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APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE TRAYECTORIAS
TRAYECTORIAS DE UN HAZ DE CURVAS: Se dice que una familia de curvas T(x, y, k) = 0 (k una constante arbitraria) es una trayectoria ω para una familia de curvas F(x,y,C) = 0 dada, si cualquier curva de la familia T corta a cada uno de los miembros de la familia de curvas F(x, y, C) = 0 bajo un ángulo constante ω.
Sea F(x, y ,C) = 0 una familia de curvas conocida y sea ω un ángulo dado. Se desea determinar la familia de curvas T(x, y, k) = 0 que mantiene un ángulo constante ω con cada una de las curvas de la familia F(x, y, C) = 0. Ya que F(x, y, C) = 0 es conocida, se puede determinar la ecuación diferencial asociada a dicho haz, por medio del proceso de eliminación de constantes arbitrarias de un haz de curvas. Sea f(x, y, y’)= 0 dicha ecuación diferencial. Considérese una curva F1 perteneciente a la familia F(x, y, C) = 0 y una trayectoria T1 , a un ángulo ω, tal que se cortan en un punto P(x, y) (ver Figura 1)
OBSERVACIÓN: Recuerde que el ángulo entre dos curvas queda determinado por el ángulo que
forman las rectas tangentes a ambas curvas en cualquiera de sus puntos de intersección.
L F1
ω
P ( x , y )
L T1
T1 ( x, y, K1) = 0
Y
X
F1 ( x, y, C1) = 0
Figura 1
Sea θ el ángulo que forma la recta tangente a la curva F1(x, y, C1) = 0, en el punto P(x, y), con el eje x; sea φ el ángulo que forma la recta tangente a la curva T1(x, y, K1) = 0, en el punto P(x, y), con el eje x. Sea ω el ángulo entre ambas rectas (ver Figura 2).
6
φ θ
L F1
ω
P ( x , y )
L T1
T1 ( x, y, K1) = 0
Y
X
F1 ( x, y, C1) = 0
Figura 2
A cada punto de la curva F1(x, y, C1) = 0 se puede asociar una terna ( x, y, y’), donde
y’ = tg θ es la pendiente de la recta tangente a la curva F1 en el punto P(x, y).
A cada punto de la curva T1(x, y, k1) = 0 se puede asociar una terna ( x, y, y’), donde y’= tg φ es la pendiente de la recta tangente a la curva T1 en el punto P(x, y).
ec
OBSERVACIÓN: A fin de evitar confusión con respecto a si la terna (x, y, y’), está referida a los puntos de la curva F1, o a los puntos de la curva T1, sólo a efectos de la demostración se escribirá (u, v, v’ ) para hacer referencia a la terna asociada a cada punto de la curva T1. En el punto P(x, y) exactamente se tendrá que:
x = u , y = v , y’ = tg θ , v’ = tg φ
Se debe llo, se trasladaorte de la recta
ahora establecer una relación entre las derivadas y’ = tg θ , v’ = tg φ. Para rá la recta tangente a F1(x, y, C1) = 0 en el punto P(x, y), hasta el punto de tangente a T1(x, y, k1) = 0 en el punto P(x, y) con el eje x (ver Figura 3).
θ
ω φ θ
L F1
ω
P ( x , y )
L T1
T1 ( x, y, K1) = 0
Y
X
F1 ( x, y, C1) = 0
Figura 3
7
De la Figura 3 se deduce que: θ = φ – ω.
Por identidades trigonométricas
tg θ = tg (φ – ω) = ωφ+ωφ
tgtg1tg-tg
De acuerdo a lo indicado en la observación tg θ = y’, tg φ = v’, entonces al sustituir en la ecuación anterior, resulta que:
y’= ω+ω
tg'v1tg-'v
Esta última ecuación permite establecer una relación entre las derivadas de las curvas F1(x, y, C1) = 0 y T1(x, y, k1) = 0 en el punto P(x, y). Ya que f(x, y, y’) = 0 es la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas F(x,
y, C) = 0, entonces sustituyendo en dicha ecuación diferencial y’ por ω+ω
tg'v1tg-'v , se obtiene
una nueva ecuación diferencial f(x, y , ω+ω
tg'v1tg-'v ) = 0
Esta es la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias que mantiene un
ángulo ω, con la familia F(x, y, C) = 0. Resolviendo la nueva ecuación diferencial se obtiene la familia T(x, y, k) = 0, familia que representa las trayectorias ω a la familia dada F(x, y, C) = 0.
ip
OBSERVACIÓN: La ecuación diferencial
f(x, y, ω+ω
tg'v1tg-'v ) = 0
tiene sentido siempre y cuando ω ≠ 90º, ya que tg 90º se indetermina.
Si ω = 90º entonces las rectas tangentes a ambas curvas en los puntos de ntersección son perpendiculares. Por geometría, se sabe que, si dos rectas son erpendiculares entonces el producto de sus pendientes es igual a -1, esto es:
(tg θ) (tg φ) = -1
Como tg θ = y’, tg φ = v’, resulta que:
y’ = - '
1v
8
Por lo tanto, si la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada
F(x, y, C) = 0 es f(x, y, y’) = 0, entonces sustituyendo y’ por – v1
se obtiene una nueva
ecuación diferencial f (x, y, 'v
1− ) = 0, que es la ecuación diferencial asociada a la familia de
trayectorias que mantienen un ángulo de 90º con la familia dada.
Al resolver esta nueva ecuación diferencial, se obtiene la familia T(x, y, k) = 0, la cual representa la familia de trayectorias a 90º de la familia dada. Para este caso, cuando ω = 90º, las trayectorias se denominan, trayectorias ortogonales.
OBSERVACIÓN: Recuerde que solo para efecto de la demostración, se utilizó ( u, v, v’ ) para hacer referencia a la terna asociada a cada punto de la curva T(x, y, k) = 0.
PASOS A SEGUIR PARA OBTENER LA FAMILIA DE TRAYECTORIAS A UN HAZ DE CURVAS DADO 1. Si la ecuación del haz de curvas no está dada en forma explícita, debe determinarse. Sea F(x, y, C) = 0 la ecuación del haz dado. 2. Debe determinarse la ecuación diferencial asociada al haz F(x, y, C) = 0. Sea f(x, y, y’) = 0 la ecuación diferencial que resulta. 3. Si las trayectoria a buscar son a un ángulo ω ≠ 90º, debe sustituirse y’, en la
ecuación diferencial que se obtuvo en el paso 2, por ω+ω−
tg'y1tg'y ; así se obtiene la
ecuación diferencial f(x, y, ω+ω−
tg'y1tg'y ) = 0.
Si las trayectorias a determinar son ortogonales (ω = 90º), se debe sustituir y’, en la
ecuación diferencial que se obtuvo en el paso 2, por ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜ ; así se obtiene la
ecuación diferencial f(x, y,
⎝
⎛−
'y1
'y1
− ) = 0.
4. Se resuelve la ecuación diferencial obtenida en el paso 3. 5. La solución general de la ecuación diferencial resuelta en el paso 4, representa la familia de trayectorias que mantiene un ángulo ω con la familia de curvas dada. (en el caso en que ω = 90º, recuerde que las trayectorias se denominan trayectorias ortogonales).
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EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN, A PROBLEMAS
DE TRAYECTORIAS 1. La ecuación y2 = Cx (C una constante arbitraria) define una familia de parábolas. Obtenga la familia de trayectorias ortogonales. SOLUCIÓN: Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas y2 = Cx (1)
Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se deriva solo una vez.
Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta 2yy’ = C (2)
Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C, dicha ecuación no representa la ecuación diferencial asociada. Debe recordarse que una de las características de las ecuaciones diferenciales es que no poseen constantes arbitrarias.
Por lo tanto, la constante arbitraria C debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).
C='yy2Cx=y2
Aquí basta con sustituir la ecuación (2) en la ecuación (1), resultando y2 = 2yy’x (3)
La ecuación (3) representa la ecuación diferéncial asociada a la familia de parábolas y2 = Cx. Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia y2 = Cx. Para ello, basta con
sustituir y’ en la ecuación (3) por ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
'y1 , resultando
y 2 = 2y ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
'y1 x
multiplicando por y’/y2
y’ = yx2−
10
Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene
dy = yx2− dx (4)
Esta es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables basta con multiplicar la ecuación (4) por y
y dy = – 2 x dx equivalentemente
y dy + 2x dx = 0 integrando
1Cdxx2dyy =+ ∫∫ (5)
Ambas integrales son inmediatas
=∫ dyy 2y2
+ k1
∫ dxx = 2x2
+ k2
sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (5)
2y2
+ x 2 = K
Multiplicando por K1 ,
1Kx
K2y 22
=+ (6)
La ecuación (6), que es la ecuación de una familia de elipses con centro en el origen y eje mayor paralelo al eje y, representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de parábolas y2 = Cx
OBSERVACIÓN: Observe que la constante arbitraria utilizada en la ecuación de las trayectorias, no es la misma constante del haz de curvas dado.
11
2. Encuentre las trayectorias ortogonales de la familia y3 = Cx2
SOLUCIÓN:
Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas y3 = Cx2 (1)
Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se deriva solo una vez.
Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta 3y2y’ = 2Cx (2)
Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C, dicha ecuación no representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
Cx2'yy3
Cxy2
23
Aquí basta con despejar C de la ecuación (2) y sustituir en la ecuación (1), resultando
y = 2
xy'3 (3)
La ecuación (3) representa la ecuación diferéncial asociada a la familia y3 = Cx2. Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia y3 = Cx2. Para ello, basta con
sustituir y’ en la ecuación (3) por ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
'y1 , resultando
y = 3 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
'y21 x
equivalentemente,
y’ = y2x3
−
Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene
dy = y2x3
− dx (4)
Esta es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables basta con multiplicar la ecuación (4) por 2y
2 y dy = - 3x dx
12
integrando
∫∫ −= dxx3dyy2 (5)
Ambas integrales inmediatas son inmediatas
2ydyy
2=∫ + k1
∫ =2xdxx
2 + k2
Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (5)
2x3
2y2
22−= + k
Multiplicando por k3
1 ,
1k2
xk3
y 22=+ (6)
La ecuación (6), que es la ecuación de una familia de elipses con centro en el origen y eje mayor paralelo al eje y, representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas y3 = Cx2
3. Encuentre el valor de la constante a, de tal forma que las familias
y3 = C1 x , x2 + a y2 = C2
sean ortogonales SOLUCIÓN: Como aquí se tienen dos curvas, se deberán denotar de manera diferente las derivadas de cada una de ellas; sean:
y’ la derivada de la curva y3 = C1 x ŷ’ la derivada de la curva x2 +ay2 = C2
De acuerdo con la definición de curvas ortogonales, para que estas curvas sean ortogonales debe satisfacerse que el producto de las derivadas sea igual a -1, esto es: y’. ŷ’ = -1 (1)
Derivando implícitamente respecto de x, la curva y3 = C1 x (2) 3 y2 y’ = C1 (3)
La constante C1 debe eliminase del sistema que se forma con las ecuaciones (2) y (3)
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
12
13
C'yy3
xCy
13
Sustituyendo (3) en (2) se tiene
y = 3 y’ x
Despejando y’
y’ = x3
y (4)
Derivando implícitamente respecto de x, la curva x2 + ay2 = C2 (5) 2 x + 2 a y ŷ' = 0 (6)
Despejando ŷ' de la ecuación (6)
ŷ' = ya
x− (7)
Sustituyendo las ecuaciones (4) y (7) en la ecuación (1)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛x3
y⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
ayx = -1
Simplificando y despejando la constante a
a = 31
4. Determinar las trayectorias ortogonales para la familia y = - x – 1 + C1 ex
SOLUCIÓN:
Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas y = - x – 1 + C1 ex (1)
Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se deriva solo una vez.
Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta y’ = - 1 + C1 ex (2)
Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C1, dicha ecuación no representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).
x
x1
1
eC1'y
eC1xy
⎪⎩
⎪⎨⎧
+−=
+−−=
Despejando C1 ex de la ecuación (2)
14
C1 ex = y’ + 1 (3)
Sustituyendo (3) en la ecuación (1), resulta y = - x + y’ (4)
La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia dada y = - x – 1 + C1 ex Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a dicha familia. Para ello, basta con
sustituir y’ en la ecuación (4) por ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
'y1 , resultando
y = – x + ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
'y1
equivalentemente,
y’ = yx
1+
−
Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene
dy = - yx
1+
dx (5)
La ecuación (5) es la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias ortogonales a la curva y = – x – 1 + C1 ex La ecuación diferencial (5) no es una ecuación de variables separables, pero puede escribirse de la forma dx + (x + y) dy = 0 (6)
resultando una ecuación diferencial reducible a exacta ( pues, P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0, y
xQ
yP
∂∂
≠∂∂ ).
En efecto, si P(x, y) = 1 y Q(x, y) = x + y entonces 0yP=
∂∂ y 1
xQ=
∂∂ ; luego la
ecuación no es exacta pero puede que admita un factor integrante de la forma
µ (x,y) = con g(v) = ∫ dv)v(ge
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
−∂∂
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
−∂∂
yvP
xvQ
xQ
yP
Si v = y entonces 0xv=
∂∂ 1
yv=
∂∂ ; sustituyendo en g(v) resulta:
15
g(v) = 11
−−
= 1
Así,
µ (x, y) = ∫ dv)v(ge = ev = ey
Por lo tanto el factor integrante es µ (x, y) = ey
Multiplicando la ecuación diferencial (6) por el factor integrante ey dx + ey (x + y) dy = 0 (7)
La ecuación (7) se puede escribir ey dx + x ey dy = – y ey dy (8)
El término izquierdo de la ecuación (8) es la diferencial total de ( x e y ), esto es, ey dx + x ey dy = d ( x e y )
Así, la ecuación (8) se transforma en
d ( x e y ) = – y ey dy
Integrando
∫ ∫−= dyey)ex(d yy (9)
Resolviendo las integrales
∫ = yy ex)ex(d + K1
∫ dyey y se resuelve por el método de integración por partes:
∫ ∫−= duvvudvu , donde ⎪⎩
⎪⎨⎧
==
==yy evdyedv
dyduyu
∫ dyey y = y ey ∫− dye y = y ey – ey = ey (y – 1) + K2
Sustituyendo los resultados de las integrales en (9)
x ey + K1 = – ey (y – 1) + K2
o equivalentemente
16
x ey = ey (1 – y) + K multiplicando por e –y
x = (1 – y) + K e –y
o también (x + y – 1) ey = K (10)
La ecuación (10), representa la ecuación de la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas y = – x – 1 + C1 ex 5. Obtenga la familia de trayectorias ortogonales a la familia y = (x – C1)2
SOLUCIÓN:
Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas y = (x – C1)2 (1)
Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se deriva solo una vez.
Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta y’ = 2 ( x – C1 ) (2)
Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C1, dicha ecuación no representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C1 debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).
( )⎪⎩
⎪⎨⎧
−=−=
)Cx(2'yCxy
1
21
Despejando ( x – C1 ) de la ecuación (2)
( x – C1 ) = 2y'
(3)
Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (1)
y = 2'
2y⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
equivalentemente 4y = ( y’)2
esto es, 2 y = y’ (4)
La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia de parábolas y = ( x – C1 )2
17
Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia y = ( x – C1 )2
Para ello, basta con sustituir y’ en la ecuación (4) por ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
'y1 , resultando
2 y = 'y
1−
equivalentemente,
y’= y2
1−
Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene
dy = y2
1− dx (5)
Esta es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables basta con multiplicar la ecuación (5) por y
y dy = 21
− dx
integrando
∫∫ −= dx21dyy (6)
Ambas integrales son inmediatas
∫ dyy = 2
3
23
y + k1
∫ dx = x + k2
Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (6)
23
23
y = 21
− x + k
Para despejar y, primero se multiplica por 23 a ambos lados de la igualdad y luego se
eleva a 32
32
4K6x33
2K
23x
43y ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=
18
equivalentemente
y = ( )32
16x3k − (7)
La ecuación (7), representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de parábolas y = ( x – C1 )2
6. Obtenga la familia de trayectorias ortogonales a la familia C1 x 2 + y 2 = 1 SOLUCIÓN:
Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas C1 x 2 + y 2 = 1 (1)
Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se deriva solo una vez.
Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta 2 C1 x + 2 y y’ = 0 (2)
Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C1, dicha ecuación no representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C1 debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).
⎪⎩
⎪⎨⎧
=+=+
0'yy2xC21yxC
1
221
Despejando C1 de la ecuación (2)
C1 = xyy '
− (3)
Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (1)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
xyy '
x2 + y 2 = 1
equivalentemente – yy’ x + y 2 = 1 (4) La ecuación (4) representa la ecuación diferéncial asociada a la familia
C1 x 2 + y 2 = 1
19
Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia C1 x 2 + y 2 = 1
Para ello, basta con sustituir y’ en la ecuación (4) por ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
'y1 , resultando
– y ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
'y1 x + y 2 = 1
equivalentemente,
'yyx = 1 – y2
Despejando y’
2y1xy'y−
=
Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene
dy = 2y1xy−
dx (5)
Esta es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables
basta con multiplicar la ecuación (5) por yy1 2−
yy1 2− dy = x dx
integrando
∫∫ =− dxxdyyy1 2
(6)
Ambas integrales son inmediatas
dyyy1 2
∫ − = ∫ dyy1 ∫− dyy = ln | y |
2y 2
− + k1
∫ dxx = 2
x 2 + k2
sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (6)
ln | y | 2
y 2− =
2x 2
+ k
multiplicando por 2 2 ln | y | = x 2 + y2 + 2K
20
aplicando propiedades de logaritmo ln y2 = x 2 + y2 + 2K
aplicando e a ambos lados de la ecuación
y 2 = C (7)
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ + 2y2x
e
La ecuación (7), representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas C1 x 2 + y 2 = 1 7. Determine la familia de trayectorias ortogonales al haz de curvas 2 x2 + y2 = C SOLUCIÓN:
Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas 2 x 2 + y 2 = C (1)
Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se deriva solo una vez.
Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta 4 x + 2 y y’ = 0 (2)
Como la ecuación (2) no contiene la constante arbitraria C, dicha ecuación representa la ecuación diferencial asociada al haz de curvas dado.
Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia 2 x 2 + y 2 = C
Para ello, basta con sustituir y’ en la ecuación (2) por ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
'y1 , resultando
4 x + 2 y ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
'y1 = 0
equivalentemente, 2 x y’ – y = 0
Despejando y’
x2y'y =
Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene
dy =x2y dx (3)
21
Esta es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables
basta con multiplicar la ecuación (3) por y2
y2 dy =
x1 dx
integrando
∫∫ = dxx1dy
y12 (4)
Ambas integrales son inmediatas
∫ dyy1 = yln + k1
∫ dxx1 = xln + k2
Sustituyendo los resultados de la integrales en la ecuación (4) 2 ln | y | = ln | x | + k3
aplicando propiedades de logaritmo ln y2 - ln | x | = k3
esto es
ln x
y 2 = k3
aplicando e a ambos lados de la ecuación y 2 = k x (5)
La ecuación (5), representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas 2x 2 + y 2 = C 8. Determinar la familia de trayectorias ortogonales al haz de curvas y = eCx SOLUCIÓN:
Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas y = eCx (1)
Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se deriva solo una vez.
Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta y’ = C eCx (2)
22
Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C, dicha ecuación no representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=xC
xC
eC'y
ey
Despejando C de la ecuación (1)
C = xyln (3)
Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (2)
y’ = ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
xyln y (4)
Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación
diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia y = e Cx
Para ello, basta con sustituir y’ en la ecuación (4) por ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
'y1 , resultando
'y1
− = x
ylny
equivalentemente,
y’ = ylny
x−
Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene
dy = ylny
x− dx (5)
La ecuación (5) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables basta con multiplicar la ecuación (5) por (y ln y)
y ln y dy = - x dx integrando
∫∫ −= dxxdyylny (6)
Para resolver la integral se aplica el método de integración por partes ∫ dyylny
23
∫ ∫−= duvvudvu ; donde
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
==
2yvdyydv
dyy1duylnu
2
así
∫ dyylny = dyy1
2yyln
2y 22
∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− = dy
2yyln
2y2
∫− = 4
yyln2y 22
− + k1
∫ =2xdxx
2 + k2
Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (6)
4yyln
2y 22
− = 2x2
− + k
multiplicando por 4 22 yylny2 − = – + 4 k2x2
equivalentemente y2 ( ln y2 - 1 ) + 2 x2 = C1 (7)
La ecuación (7), representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas y = eCx
9. Obtenga la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas y a = C1 xb donde a y b son constantes conocidas. SOLUCIÓN:
Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas y a = C1 x b (1)
Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se deriva solo una vez.
Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta a y a – 1 y’ = C1 b x b – 1 (2)
Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C1, dicha ecuación no representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C1 debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).
24
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=−− 1b
11a
b1
a
xbC'yya
xCy
Despejando C1 de la ecuación (1)
C1 = b
a
x
y (3)
Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (2)
a y a – 1 y’ = b
a
x
y b x b – 1 (4)
Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia y a = C1 x b
Para ello, se sustituye y’ en la ecuación (4) por ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
'y1 , resultando
a y a – 1 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
'y1 = b
xy a
Despejando y’
y’ = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
ybxa
Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene
dy = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
ybxa dx (5)
Esta es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables basta con multiplicar la ecuación (5) por (b y)
b y dy = - a x dx
integrando
∫∫ −= dxxadyyb (6)
Ambas integrales son inmediatas
∫ =2ydyy
2 + k1
25
∫ =2xdxx
2 + k2
Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (6)
k2xa
2yb 22
+−=
Multiplicando por k1
1
aK2
2x
bK2
2y=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
(8)
La ecuación (8), representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas y a = C1 x b
10. Determine la ecuación de la familia de trayectorias ortogonales al haz de
curvas xC1xC1
y1
1−+
=
SOLUCIÓN:
Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de
curvas xC1xC1y
1
1−+
= (1)
Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se
deriva solo una vez.
Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta
y’ = 21
1111)xC1(
)xC1(C)xC1(C−
++−
desarrollando y simplificando
y’ = ( ) 2
1
1xC1
C2−
(2)
Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C1, dicha ecuación no representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C1 debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).
26
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
−+
=
21
1
1
1
xC1C2'y
xC1xC1y
Despejando C1 de la ecuación (1)
y ( 1 – C1 x ) = 1 + C1 x C1 = ⇒ ( ) x1y1y
+− (3)
Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (2)
y’ = ( )
( )
2x
x1y1y1
x1y1y2
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
desarrollando y simplificando
y’ =
( )x2
)1y()1y(
1y4
1y1y
x2
2
+−=
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
de aquí resulta que
y’ = x2
1y 2 − (4)
La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada
xC1xC1
y1
1−+
=
Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación
diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a dicha familia xC1xC1y
1
1−+
= . Para ello,
basta con sustituir y’ en la ecuación (4) por ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
'y1 , resultando
'y1
− = x2
1y 2 −
despejando y’
y ’ = 1y
x22 −
− = 2y1
x2
−
27
Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene
dy = 2y1
x2
− dx (5)
Esta es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables basta con multiplicar la ecuación (5) por ( 1 – y 2 )
( 1 – y 2 ) dy = 2 x dx integrando
( ) ∫∫ =− dxx2dyy1 2 (6)
Ambas integrales son inmediatas
( )∫ − dyy1 2 = ∫ dy ∫− dyy2 = y 3y3
− + k1
∫ dxx = 2x2
+ k2
sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (6)
kx3yy 2
3+=−
multiplicando por 3 3 x2 + y 3 – 3 y = C (7)
La ecuación (7), representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas
xC1xC1y
1
1−+
=
11. Determine la ecuación del haz de trayectorias ortogonales a la familia de curvas 2 x2 + y 2 = 4 C x SOLUCIÓN:
Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas 2 x2 + y2 = 4 C x (1)
Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se deriva solo una vez.
Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta 4 x + 2 y y’ = 4 C
simplificando 2 x + y y’ = 2 C (2)
28
Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C, dicha ecuación no representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).
⎪⎩
⎪⎨⎧
=+=+
C2'yyx2xC4yx2 22
Despejando C de la ecuación (2)
C = 2
'yyx2 + (3)
Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (1)
2 x2 + y2 = 4 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
2'yyx2 x
desarrollando y simplificando
2 x2 + y2 = 4 x2 + 2 x y y’ equivalentemente y2 – 2 x2 = 2 x y y’ (4) La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada 2 x2 + y2 = 4 C x Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia 2x2 + y2 = 4 Cx . Para ello, se
sustituye y’ en la ecuación (4) por ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
'y1 , resultando
y2 – 2 x2 = 2 x y ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
'y1
despejando y’ y’ = 22 yx2
yx2−
Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene
dy = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
− 22 yx2yx2 dx
equivalentemente 2 x y dx + ( y2 – 2 x2 ) dy = 0 (5) La ecuación (5) es una ecuación diferencial homogénea, con grado dos de homogeneidad.
29
Sacando factor común x2 en la ecuación (5) ( x ≠ 0)
x2 0dy2xydx
xy2 2
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
Multiplicando por 2x1 y efectuando el cambio de variable
⎪⎩
⎪⎨⎧
+=
=⇒=
dxtdtxdy
txyxyt
2 t dx + ( t2 – 2 ) ( x dt + t dx ) = 0
Desarrollando y sacando factor común dx t3 dx + ( t2 - 2) x dt = 0 (6) La ecuación (6) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las
variables basta con multiplicar a ambos lados de la ecuación por el factor 3tx
1 , así resulta
0dtt
2tdxx1
3
2=
−+
integrando l
=−
+ ∫∫ dtt
2tdxx1
3
2C1 (7)
Ambas integrales son inmediatas
∫ dxx1 = ln | x | + k1
=−∫ dt
t2t
3
2
∫ dtt1 dt
t12 3∫− = ln | t | +
2t1 + k2
Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (7)
ln | x | + ln | t | + 2t1 = k
aplicando propiedades de logaritmo
ln | x t | + 2t1 = k
Devolviendo el cambio de variables ( t = xy )
Ln | y | + 2
2
yx = k
30
Aplicando e
2y
xey
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
= C1 (8)
La ecuación (8), representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas 2 x2 + y2 = 4 C x 12. Obtener las trayectorias ortogonales de la familia de curvas
4 y + x 2 + 1 + C1 e 2y = 0 SOLUCIÓN:
Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas 4 y + x 2 + 1 + C1 e 2y = 0 (1)
Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se deriva solo una vez.
Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta 4 y’ + 2 x + 2 C1 y’ e2y = 0 (2)
Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C1, dicha ecuación no representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C1 debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).
⎪⎩
⎪⎨⎧
=++
=+++
0eC'y2x2'y4
0eC1xy4y2
1
y21
2
Despejando C1 de la ecuación (2)
C1 = y2e'y2x2'y4 +
− (3)
Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (1)
4 y + x 2 + 1 + ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +− y2e'y2
x2'y4 e 2y = 0
simplificando ( 4y + x 2 + 1 ) y’ – 2 y’ + x = 0
sacando factor común y’ (4y + x2 – 1) y’ + x = 0 (4)
31
La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada 4 y + x 2 + 1 + C1 e 2y = 0 Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a dicha familia. Para ello, se
sustituye y’ en la ecuación (4) por ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
'y1 resultando
(4y + x2 – 1) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
'y1 + x = 0
despejando y’
y’ = x
xy41 2−−
Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene
dy = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−x
xy41 2 dx
esto es ( x 2 + 4 y - 1 ) dx + x dy = 0 (5)
La ecuación (5) es una ecuación diferencial reducible a exacta. Para resolverla, debe
determinarse un factor integrante de la forma µ = , donde ∫ dv)v(ge
g(v) =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
yvP
xvQ
xQ
yP
; P(x, y) = x 2 + 4 y - 1 ; Q(x, y) = x
Si v = x
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=∂∂
=∂∂
0yv
1xv
; 1xQ;4
yP
=∂∂
=∂∂ , entonces g(v) =
v3
x3
Q3
==
Por lo tanto, el factor integrante es
µ = ∫ dvv3
e = e3 ln| v | = v 3 = x 3
Multiplicando la ecuación (5) por el factor integrante ( x 2 + 4 y - 1 ) x 3 dx + x 4 dy = 0 (6)
La ecuación (6) es una ecuación diferencial exacta. Esto quiere decir que existe una función F(x,y) = K, tal que
32
335 xyx4xxF
−+=∂∂ )7(
4xyF=
∂∂ )8(
Integrando la ecuación (8) parcialmente respecto de y ( x se asume constante )
∫∫ =∂⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
y
.cttex
4 dyxyyF
resolviendo las integrales F( x, y ) = x 4 y + h(x) (9)
Derivando la ecuación (9) parcialmente respecto de x
yx4xF 3=∂∂ +
dx)x(hd (10)
Comparando las ecuaciones (7) y (10) resulta
x 5 + 4x3 y - x 3 = 4 x 3 y + dx
)x(hd
simplificando
dx)x(hd = x5 - x3
Ya que la diferencial de h(x) es dh(x) = ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
dx)x(hd dx, sustituyendo
dx)x(hd
dh(x) = ( x5 – x3 ) dx integrando
( )dxxx)x(hd 35∫ ∫ −= (11)
Ambas integrales son inmediatas
∫ )x(hd = h(x) + k1
∫ − dx)xx( 35 = 246
k4x
6x
+−
Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (11)
h (x ) = k4x
6x 46
+−
Sustituyendo h(x) en la ecuación (9)
33
F( x, y ) = x 4 y + k4x
6x 46
+−
De aquí resulta que, la familia de trayectorias ortogonales a la familia 4
y + x 2 + 1 + C1 e 2y = 0 es x 4 y + k4x
6x 46
+− = 0
13. Determinar la familia de trayectorias ortogonales al haz de curvas
131
31
Cyx =+ SOLUCIÓN:
Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de
curvas 131
31
Cyx =+ (1)
Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se deriva solo una vez.
Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta
( ) ( )
0'yy31x
31 3
23
2=+
−− (2)
Como la ecuación (2) no contiene la constante arbitraria C1, dicha ecuación representa
la ecuación diferencial asociada a la familia dada. Para obtener la ecuación diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia, basta con sustituir y’ en la ecuación (2)
por ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
'y1 , resultando
( ) ( )0
'y1y
31x
31 3
23
2=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
−−
multiplicando por ( ) ( )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ 32
32
yx'y3
y’( )32
y – ( )32
x = 0
Despejando y’
y’ = 3
2
yx⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene
34
dy = 3
2
yx⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ dx (3)
Esta es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables
basta con multiplicar la ecuación (3) por ( )32
y
( )32
y dy = ( )32
x dx integrando
∫∫ = dxxdyy 32
32
(4)
Ambas integrales son inmediatas
13
5
35
32
kydyy +=∫
23
5
35
32
kxdyx +=∫
Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (4)
k5
x35
y3 35
35
+=
Multiplicando por (5/3) y elevando a las (3/5)
y = ( ) 5
33
5Cx ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ (5)
La ecuación (5), representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas
131
31
Cyx =+ 14. Obtenga la curva perteneciente a la familia de trayectorias ortogonales al haz de curvas x + y = C1 ey que pasa por el punto (0, 5) SOLUCIÓN:
Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas x + y = C1 ey (1)
Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se deriva solo una vez.
35
Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta
1 + y’ = C1 ey y’ (2)
Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C1, dicha ecuación no representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C1 debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).
⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=+
'yeC'y1
eCyxy
1
y1
Despejando C1 de la ecuación (1)
C1 = ye
yx + (3)
Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (2)
1 + y’ = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +yeyx ey y’
desarrollando y simplificando ( x + y – 1 ) y’ = 1 (4) La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada x + y = C1 ey Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia x + y = C1 ey Para ello, basta
con sustituir y’ en la ecuación (4) por ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
'y1 , resultando
( x + y – 1 ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
'y1 = 1
despejando y’ y’ = 1 – x – y
Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene dy = ( 1 – x – y ) dx
equivalentemente ( x + y – 1 ) dx + dy = 0 (5)
La ecuación (5) es una ecuación diferencial reducible a exacta (también lineal en y).
Sea P(x, y) = x + y - 1 ; Q(x, y) = 1 ; 0xQ;1
yP
=∂∂
=∂∂ ; la ecuación (5) admite un
factor integrante de la forma µ = , donde dv)v(ge∫
36
g(v) =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
yvP
xvQ
xQ
yP
Si v = x , 0yv,1
xv
=∂∂
=∂∂ entonces sustituyendo en g(v), se tiene
g(v) = ( ) ( ) 1Q1
0P1Q01
==−−
Luego, el factor integrante es
µ = dv)v(g
e∫ = ∫dve = xv ee =
Multiplicando la ecuación (5) por el factor integrante µ = ex
ex ( x + y - 1 ) dx + ex dy = 0 (6)
Esta ecuación (6) es exacta, ya que si M(x, y) = ex ( x + y - 1 ) y N(x, y) = ex
resulta xx exNe
yM
=∂∂
==∂∂ .
Por definición, que la ecuación (6) sea exacta, significa que existe una función
F(x, y) = K tal que, la diferencial total de F(x, y) (dF(x, y) = dyyFdx
xF
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂ ) es
dF(x,y) = 0dy)y,x(Ndx)y,x(M =+ es decir,
)1yx(e)y,x(MxF x −+==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂ (7)
xe)y,x(NyF
==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂ (8)
Integrando la ecuación (8) parcialmente respecto de y
∫∫= =
==∂⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
y
cttex
y
cttex
x dyedy)y,x(NyyF ∫ (9)
Ambas integrales son inmediatas
37
∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂ dyyF = F (x, y)
∫ dyex = ex y + h(x)
sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (9) F (x, y) = ex y + h(x) (10) derivando la ecuación (10) parcialmente respecto de x
dx
)x(dhyexF x +=∂∂ (11)
Comparando las ecuaciones (7) y (11)
ex ( x + y – 1 ) = dx
)x(dhyex +
simplificando
)1x(edx
)x(dh x −=
Ya que la diferencial de la función h(x) es dh(x) = dxdx
)x(dh⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ , sustituyendo
dx)x(hd
dh(x) = dx )1x(ex −integrando
dx)1x(e)x(dh x∫∫ −= (12)
Resolviendo las integrales
)x(h)x(dh =∫
La integral se resuelve por el método de integración por partes dx)1x(ex∫ −
∫ ∫−= duvvudvu donde ⎪⎩
⎪⎨⎧
=⇒=
=⇒−=xx evdxedv
dxdu)1x(u
dx)1x(ex∫ − = ( x – 1 ) ex dxex∫− = ( x – 1 ) ex – ex + C = ( x – 2 ) ex + C
Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (12)
38
h (x) = ( x – 2 ) ex + C (12) Sustituyendo la ecuación (12) en la ecuación (10)
F (x,y) = ex y + ( x – 2 ) ex + C
De aquí que, ex y + ( x – 2 ) ex + C = 0 (13) es la familia de trayectorias ortogonales a la familia x + y = C1 ey Para obtener la curva perteneciente a la familia ex y + ( x – 2 ) ex + C = 0 que pase por el punto (0, 5), se sustituye en la ecuación (13) x = 0, y = 5
e0 5 + (0-2) e0 + C = 0 C = – 3 ⇒este valor obtenido para C, se sustituye en la ecuación (13) ex y + ( x – 2 ) ex = 3 (14) La ecuación (14) es la ecuación de la curva perteneciente a la familia ex y + ( x – 2 ) ex + C = 0 que pasa por el punto (0,5) y permanece ortogonal a las curvas de la familia x + y = C1 ey 15. Obtenga la curva perteneciente a la familia de trayectorias ortogonales al haz de curvas y = x + C1 que pasa por el punto (3,0) xe −
SOLUCIÓN:
Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de
curvas y = x + C1 (1) xe −
Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se
deriva solo una vez.
Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta y’ = 1 – C1 (2) xe −
Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C1, dicha ecuación no representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C1 debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
+=
−
−
x1
x1
eC1'y
eCxy
Despejando C1 de la ecuación (2) C1 = ( 1 – y ’ ) ex (3) sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (1)
y = x + ( 1 – y ’ ) ex e -x simplificando
39
y = x + 1 – y’ (4)
La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada y = x + C1 xe −
Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia dada y = x + C1 . Para ello,
se sustituye y’ en la ecuación (4) por
xe −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
'y1 , resultando
y = x + 1 + 'y
1
despejando y’
y’ = 1xy
1−−
Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’
dy = 1xy
1−−
dx
multiplicando por ( x + 1 – y ) dx + ( x + 1 – y ) dy = 0 (5)
La ecuación (5) es una ecuación diferencial reducible a exacta. Para resolverla, debe
determinarse un factor integrante de la forma µ = ∫ dv)v(ge , donde
g(v) =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
yvP
xvQ
xQ
yP
; P(x, y) = 1 ; Q(x, y) = x + 1 – y
Si v = y ⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=∂∂
=∂∂
1yv
0xv
; 1xQ;0
yP
=∂∂
=∂∂ , entonces g(v) = 1
11
P1
=−−
=−−
Por lo tanto, el factor integrante es
µ = = e v = e y ∫ dve
Multiplicando la ecuación (5) por el factor integrante e y dx + e y ( x + 1 – y ) dy = 0 (6)
40
La ecuación (6) es una ecuación diferencial exacta, ya que si M(x,y) = ey y N(x,y)
= e y ( x + 1 – y ) , entonces yy exNe
yM
=∂∂
==∂∂ .
Por definición de función exacta existe una función F(x,y) = K, tal que la diferencial
total de F(x,y) es ( )0dF ==
dF = dyyFdx
xF
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂ = M(x,y) dx + N(x,y) dy = ey dx + e y ( x + 1 – y ) dy = 0
De aquí resulta que,
yexF=
∂∂ (7)
)y1x(eyF y −+=∂∂ (8)
Integrando la ecuación (7) parcialmente respecto de x ( y se asume constante )
∫∫ =∂⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
x
.cttey
y dxexxF (9)
Ambas integrales son inmediatas
xxF
∂⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂∫ = F(x, y)
∫=
x
cttey
y dye = x ey + h(y)
sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (9) F( x, y ) = x ey + h(y) (10)
derivando la ecuación (10) parcialmente respecto de y
yexyF=
∂∂ +
dy)y(hd (11)
Comparando las ecuaciones (8) y (11) resulta
( x + 1 – y ) ey = yex + dy
)y(hd
despejando dy
)y(hd
dy)y(hd = ( 1 – y ) ey
41
Ya que la diferencial de h(y) es dh(y) = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛dy
)y(hd dy, sustituyendo dy
)y(hd
dh(y) = (1 – y ) ey dy integrando
( ) dyey1)y(hd y∫ ∫ −= (12)
Resolviendo las integrales
)y(h)y(dh =∫
La integral se resuelve por el método de integración por partes: dy)y1(ey∫ −
∫ ∫−= duvvudvu . Sea ⎪⎩
⎪⎨⎧
=⇒=
−=⇒−=yy evdyedv
dydu)y1(u
dy)y1(ey∫ − = ( 1 – y ) ey + dyey∫ = ( 1 – y ) ey + ey + C = ( 2 – y ) ey + C
sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (12) h (y) = ( 2 – y ) ey + C (13) sustituyendo la ecuación (13) en la ecuación (9)
F (x, y) = x ey + h (y) = ( 2 – y ) ey + C por lo tanto, ( x + 2 – y ) ey + C = 0 (14)
es la ecuación de la familia de trayectorias ortogonales a la familia y = x + C1 xe −
Para obtener la curva perteneciente a la familia ( x + 2 – y ) ey + C = 0 que pase por el punto (3, 0), se sustituye en la ecuación (14) x = 3, y = 0
3 e0 + (2 - 0) e0 + C = 0 ⇒ C = – 5 Luego, ( x + 2 – y ) ey = 5 es la curva perteneciente a la familia ( x + 2 – y ) ey + C = 0 que pasa por el punto (3,0) y es ortogonal a cada una de las curvas de la familia y = x + C1 xe −
16. Obtenga la curva perteneciente a la familia de trayectorias ortogonales al haz de curvas y = C tg2x + 1 que pasa por el punto ( )0,8
π SOLUCIÓN:
Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de
curvas y = C tg2x + 1 (1)
42
Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se deriva solo una vez.
Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta y’ = 2 C sec22x (2)
Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C, dicha ecuación no representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
+=
x2secC2'y
1x2tgCy2
despejando C de la ecuación (2)
C = 2
x2cos'yx2sec2
'y 2
2 = (3)
sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (1)
y = 2
x2cos'y 2 tg 2x + 1
simplificando
y = 12
x2senx2cos'y+ (4)
La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada y = C tg 2x + 1 Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia y = C tg 2x + 1. Para ello, se
sustituye y’ en la ecuación (4) por ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
'y1 , resultando
y = 12
x2senx2cos'y
1
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
despejando y’
y’ = )1y(2
x2senx2cos−
−
Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’
dy = )1y(2
x2senx2cos−
− dx
multiplicando por 2 ( y – 1 ) cos 2x sen 2x dx + 2 ( y – 1 ) dy = 0 (5)
La ecuación (5) es una ecuación diferencial de variables separadas. Integrando
43
1Cdy)1y(2dxx2senx2cos =−+∫ ∫ (6)
Ambas integrales son inmediatas
∫ dxx2senx2cos = ( )2
x22senx2sendx2sen21dxx2cosx2sen2
21
== ∫∫
2)1y(dy)1y(
2−=−∫
sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (6) resulta
22
)1y(2
x2sen−+ = C1 (7)
La ecuación (7) representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas y = C tg2x + 1. Para obtener la curva perteneciente a la familia de trayectorias ortogonales
22
)1y(2
x2sen−+ = C1 que pasa por el punto ( )0,8
π , se sustituye en la ecuación de la
familia x = 8π , y = 0
( )[ ] 282
)10(2
2sen−+
π
= C1
esto es,
C1 = ( )
451
411
222
12
sen
2
42
=+=+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=+π
Sustituyendo el valor obtenido de C1 en la ecuación (7)
22
)1y(2
x2sen−+ =
45 (8)
La ecuación (8) representa la ecuación de la curva perteneciente a la familia
22
)1y(2
x2sen−+ = C1 que pasa por el punto ( )0,8
π y es ortogonal a cada una de las
curvas de la familia y = C tg2x + 1
44
17. Obtenga las trayectorias a 45º de la familia de curvas x2 = C1 y SOLUCIÓN: Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada x2 = C1 y (1) El haz de curvas dado posee una constante arbitraria, por lo tanto, se debe derivar una sola vez. Derivando implícitamente respecto de x 2x = C1 y’ (2)
Ya que la ecuación (2) aún posee la constante arbitraria C1 no representa la ecuación diferencial. La constante C1 debe eliminarse del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2)
⎪⎩
⎪⎨⎧
==
'yCx2yCx
1
12
despejando C1 de la ecuación (2)
'yx2C1 = (3)
sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (1)
x2 'yyx2
=
multiplicando por y’ x2 y’ = 2 x y (4)
La ecuación (4) es la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada x2 = C1 y . Para obtener la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias a 45º
debe sustituirse en la ecuación (4) y’ por 'y11'y
º45tg'y1º45tg'y
+−
=+−
x2 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
'y11'y = 2 x y
multiplicando por ( 1 + y’ ) x2 y’ – x2 = 2 x y + 2 x y y’
sacando factor común y’ ( x2 – 2 x y ) y’ = 2 x y + x2 (5)
La ecuación (5) es la ecuación diferéncial asociada a la familia de trayectorias a 45º de la familia x2 = C1 y. Despejando y’ de la ecuación (5)
yx2xxyx2'y 2
2
−
+=
45
Ya que la diferencial de la variable y es dy = y’ dx, sustituyendo y’
dy = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
+
yx2xxyx2
2
2 dx
multiplicando por ( x 2 – 2xy ) ( 2 x y + x 2 ) dx + ( 2 x y - x 2 ) dy = 0 (6)
La ecuación (6) es una ecuación diferencial homogénea con grado 2 de
homogeneidad. Sacando factor común x2 en la ecuación (6)
x 2 )0x(0dy1xy2dx1
xy2 ≠=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ + (7)
multiplicando por 2x1 y efectuando el cambio de variable
⎪⎩
⎪⎨⎧
+=⇒=
=
dvxdxvdyxvyxyv
la ecuación (7) se transforma en ( 2 v + 1 ) dx + ( 2 v – 1 ) (v dx + x dv ) = 0
desarrollando y sacando factor común dx ( 2 v + 1 + 2 v 2 – v ) dx + x ( 2 v – 1 ) dv = 0
simplificando ( 2 v 2 + v + 1 ) dx + x ( 2 v – 1 ) dv = 0 (8)
La ecuación (8) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las
variables, se multiplica la ecuación (8) por el factor ( )1vv2x12 ++
( )
( ) 0dv1vv2
1v2dxx1
2 =++
−+
integrando
( )( ) 22 Cdv
1vv21v2dx
x1
=++
−+ ∫∫ (9)
Resolviendo las integrales
dxx1∫ = ln | x | + C3
En la integral ( )( ) dv
1vv21v2
2∫ ++
− , debe observarse que el polinomio del denominador
del integrando no tiene raíces reales, por lo que no se puede factorizar
46
Completando cuadrados en (2 v2 + v + 1)
2 v2 + v + 1 = 2 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
21
2vv2 = 2 ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+
21v
412v2
= 2 ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+
21
41
41v
412v
222
= 2 ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
21
161
41v
2 = 2
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
167
41v
2
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
1
167
41v
87
2
=
( )
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+
1
16716
1v4
87
2
=
( )
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+
1
16716
1v4
87
2
= ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ + 17
1v487 2
Sustituyendo en la integral
( )( ) dv
1vv21v2
2∫ ++
− = ( ) dv
17
1v487
1v22∫
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
− = ( ) dv
17
1v4
1v278
2∫⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
− (10)
Esta integral se resuelve aplicando la sustitución trigonométrica
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
θ=
−θ=⇒θ=
+
2sec47dv
41tg7vtg
71v4
Sustituyendo el cambio de variable en la ecuación (10)
( )( ) dv
1vv21v2
2∫ ++
− = θ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛θ
+θ
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −θ
∫ dsec47
1tg
14
1tg72
78 2
2
Pero tg2 θ + 1 = sec2 θ, desarrollando y simpliicando
47
( )( ) dv
1vv21v2
2∫ ++
− = ∫ θ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−θ d
23tg
27
772
= ∫∫ θ−θθ d7
73dtg
= ln | sec θ | θ−7
73
Devolviendo el cambio de variable efectuado adycatopcattg
71v4
=θ=+
4v + 1 ( )21v47 ++ 7
adycathipsec =θ =
( )7
1v47 2++ y θ = arctg ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +7
1v4
Por lo tanto
( )( ) dv
1vv21v2
2∫ ++
− = ln ( )
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−
++
71v4arctg
773
71v47 2
+ C4
Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (9)
ln | x | + ln ( )
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−
++
71v4arctg
773
71v47 2
= C
Falta devolver el primer cambio de variable efectuado v = xy
ln | x | + ln ⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+
7
1xy4
arctg7
737
1xy47
2
= C
desarrollando
48
ln | x | + ln
( )
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−
++
7x
xy4
arctg7
737x
xy4x72
22
= C
realizando operaciones
ln | x | + ln ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−
+++
x7xy4arctg
773
x7xyx8y16x7 222
= C
aplicando propiedades de logaritmo
ln ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ ++
x7xy4arctg
773
x7y8yx8y16
x22
= C
simplificando
ln ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−
++
x7xy4arctg
773
7y8yx8y16 22
= C (11)
La ecuación (11) representa la ecuación de la familia de trayectorias a 45º de la familia
x2 = C1 y
18. Obtenga las trayectorias a 45º para la familia de curvas y = C1 x SOLUCIÓN: Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada y = C1 x (1) El haz de curvas dado posee una constante arbitraria, por lo tanto, se debe derivar una sola vez. Derivando implícitamente respecto de x y’ = C1 (2)
Ya que la ecuación (2) aún posee la constante arbitraria C1, está debe buscar eliminarse a partir del sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones (1) y (2).
⎩⎨⎧
=
=
1
1
C'y
xCy
Sustituyendo la ecuación (2) en la ecuación (1) resulta y = y’ x (3)
La ecuación (3) representa la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada y = C1 x
49
Para obtener la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias a 45º debe
sustituirse en la ecuación (3) y’ por 'y11'y
º45tg'y1º45tg'y
+−
=+−
y = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
'y11'y
x
multiplicando por ( 1 + y’ ) y + y y’ = x y’ - x
sacando factor común y’ ( y - x ) y’ + y + x = 0 (4)
La ecuación (4) es la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias a 45º de la familia y = C1 x. Despejando y’ de la ecuación (4)
yxyx'y
−+
=
Ya que la diferencial de la variable y es dy = y’ dx, sustituyendo y’
dy = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
yxyx dx
multiplicando por ( x – y ) (x + y) dx + (y -x ) dy = 0 (5)
La ecuación (5) es una ecuación diferencial homogénea con grado 1 de
homogeneidad. Sacando factor común x en la ecuación (5) ( x ≠ 0 )
0dy1xydx
xy1x =⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ + (6)
multiplicando por x1 y efectuando el cambio de variable
⎪⎩
⎪⎨⎧
+=⇒=
=
dvxdxvdyxvyxyv
la ecuación (6) queda ( 1 + v ) dx + ( v – 1 ) (v dx + x dv ) = 0
Desarrollando y sacando factor común dx
( 1 + v + v2 – v ) dx + x (v – 1 ) dv = 0
simplificando ( 1 + v2 ) dx + x ( v – 1 ) dv = 0 (7)
La ecuación (7) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las
variables, basta con multiplicar la ecuación (7) por el factor ( )2v1x1+
50
0dv)v1(
)1v(dxx1
2 =+
−+
integrando
22 Cdvv1
1vdxx1
=+
−+ ∫∫ (8)
Ambas integrales son inmediatas
dxx1∫ = ln | x | + C3
dvv1
1v2∫ +
− = dvv1v
2∫ +– dv
v11
2∫ +
= dvv1v2
21
2∫ +– dv
v11
2∫ +
= 2v1ln21
+ – arctg v + C4
Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (8)
ln | x | + 2v1ln21
+ – arctg v = C (9)
Multiplicando por 2 y aplicando las propiedades de logaritmo, la ecuación (9) se transforma en
ln ( )22 v1x + - 2 arctg v = 2C
Devolviendo el cambio de variable
ln ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
22
xy1x - 2 arctg ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
xy = 2C
desarrollando y simplificando
ln 22 yx + - 2 arctg ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
xy = 2C
aplicando e
( ) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−
+ xyarctg222 eyx = K (10)
La ecuación (10) representa la familia de trayectorias a 45º a la familia de curvas y = C1 x
51
19. Obtenga las trayectorias a 45º para la familia de curvas x2 + y2 = C1 x SOLUCIÓN: Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada x2 + y2 = C1 x (1) El haz de curvas dado posee una constante arbitraria, por lo tanto, se debe derivar una sola vez. Derivando implícitamente respecto de x 2 x + 2 y y’ = C1 (2)
Ya que la ecuación (2) aún posee la constante arbitraria C1 está debe buscar eliminarse a partir del sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones (1) y (2).
⎪⎩
⎪⎨⎧
=+=+
1
122
C'yy2x2xCyx
Sustituyendo la ecuación (2) en la ecuación (1) resulta
x 2 + y 2 = ( 2 x + 2 y y’ ) x desarrollando y simplificando y2 – x2 = 2 x y y’ (3)
La ecuación (3) representa la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada x2 + y2 = C1 x Para obtener la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias a 45º debe
sustituirse y’ en la ecuación (3) por 'y11'y
º45tg'y1º45tg'y
+−
=+−
y2 – x2 = 2 x y ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
'y11'y
multiplicando por ( 1 + y’ ) ( y2 – x2 ) + ( y2 – x2 ) y’ = 2 x y y’ – 2 x y
sacando factor común y’ ( y2 – x2 – 2 x y ) y’ + y2 – x2 + 2 x y = 0 (4)
La ecuación (4) es la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias a 45º de la familia x2 + y2 = C1 x Despejando y’ de la ecuación (4)
xy2yxyx2xy'y 22
22
+−
+−=
Ya que la diferencial de la variable y es dy = y’ dx, sustituyendo y’ resulta
52
dy = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−
+−
xy2yxyx2xy
22
22 dx
multiplicando por ( x2 – y2 + 2xy ) (y2 – x2 + 2 x y) dx + (y2 – x2 – 2 x y ) dy = 0 (5)
La ecuación (5) es una ecuación diferencial homogénea con grado 2 de
homogeneidad. Sacando factor común x2 en la ecuación (5) )0x( ≠
x2 0dyxy21
xydx
xy21
xy 22
=⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
(6)
multiplicando por 2x1 y efectuando el cambio de variable
⎪⎩
⎪⎨⎧
+=⇒=
=
dvxdxvdyxvyxyv
la ecuación (6) queda ( v2 + 2v – 1) dx + ( v2 – 2v –1 ) (v dx + x dv ) = 0
desarrollando y sacando factor común dx (v2 + 2v – 1 + v3 – 2v2 - v ) dx + x (v2 – 2v – 1 ) dv = 0
simplificando ( v3 – v2 + v – 1 ) dx + x ( v2 – 2v – 1 ) dv = 0 (7)
La ecuación (7) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las
variables, se multiplica la ecuación (7) por el factor ( )1vvvx1
23 −+−
0dv)1vvv(
)1v2v(dxx1
23
2=
−+−
−−+
integrando
dxx1∫ + ∫ −+−
−− dv)1vvv(
)1v2v(23
2= C2 (8)
Resolviendo las integrales
dxx1∫ = ln | x | + C3
En la integral ∫ −+−
−− dv)1vvv(
)1v2v(23
2, factorizando el denominador
v3 – v2 + v – 1 = ( v – 1 ) ( v2 + 1 ) sustituyendo en la integral
53
∫ −+−
−− dv)1vvv(
)1v2v(23
2= ∫ +−
−−
)1v()1v(1v2v
2
2 dv
El integrando se descompone como suma de fracciones simples
)1v()1v(
)CA(v)BC(v)BA(1vCBv
)1v(A
)1v()1v(1v2v
2
2
22
2
+−
−+−++=
+
++
−=
+−
−− (9)
Comparando los numeradores
v2 – 2v – 1 = ( A + B ) v2 + ( C – B ) v + ( A – C ) por igualdad entre polinómios
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−−=−
=+
1CA2BC
1BA
resolviendo este sistema de ecuaciones, se obtiene A = – 1 B = 2 C = 0
sustituyendo los valores obtenidos para A, B y C en la ecuación (9)
∫ +−
−−
)1v()1v(1v2v
2
2 = ∫ ∫ +
+−
− dv1v
v2dv1v
12 (10)
Ambas integrales son inmediatas
∫ −dv
1v1 = ln | v – 1 |
∫ +dv
1vv2
2 = ln | v2 + 1 |
sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (10)
∫ +−
−−
)1v()1v(1v2v
2
2 = – ln | v – 1 | + ln | v2 + 1 |
aplicando las propiedades de logaritmo y devolviendo el cambio de variable
∫ +−
−−
)1v()1v(1v2v
2
2 = ln
1v1v2
−+ + C4 = ln
1xy
1xy 2
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+ C4 = ln )xy(x
xy 22
−+ + C4
sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (8)
ln | x | + )xy(x
xyln22
−+ = C5
54
Aplicando las propiedades de logaritmo
ln xyyx 22
−+ = C5
aplicando e ( x2 + y2 ) = C ( y – x ) (11)
La ecuación (11) representa la familia de trayectorias a 45º a la familia de curvas x2 + y2 = C1 x
20. Obtenga la curva de la familia de las trayectorias a 60º de la familia de curvas
x2 + y2 = C1, que pasa por el punto ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
23,
21
SOLUCIÓN: Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada x2 + y2 = C1 (1) El haz de curvas dado posee una constante arbitraria, por lo tanto, se debe derivar una sola vez. Derivando implícitamente respecto de x
2 x + 2 y y’ = 0 equivalentemente x + y y’ = 0 (2)
Ya que la ecuación (2) no posee la constante arbitraria C1, está representa la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada x2 + y2 = C1 Para obtener la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias a 60º debe
sustituirse y’ en la ecuación (2) por 'y31
3'yº60tg'y1
º60tg'y+−
=+−
x + y ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−
'y313'y = 0
multiplicando por ( 1 + 3 y’ )
x + 3 x y’ + y y’ – 3 y = 0 sacando factor común y’ ( 3x + y ) y’ + x – 3 y = 0 (3)
La ecuación (3) es la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias a 60º de la familia x 2 + y 2 = C1 Despejando y’ de la ecuación (3)
yx3xy3'y
+−
=
55
Ya que la diferencial de la variable y es dy = y’ dx, sustituyendo y’ resulta
dy = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−
yx3xy3 dx
multiplicando por ( )yx3 +
( x – 3y ) dx + ( 3x + y ) dy = 0 (4)
La ecuación (4) es una ecuación diferencial homogénea con grado 1 de homogeneidad. Sacando factor común x en la ecuación (4) )0x( ≠
x 0dyxy3dx
xy31 =⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛− (5)
multiplicando por x1 y efectuando el cambio de variable
⎪⎩
⎪⎨⎧
+=⇒=
=
dvxdxvdyxvyxyv
la ecuación (5) queda ( 1 – 3v ) dx + ( 3+ v ) (v dx + x dv ) = 0
Desarrollando y sacando factor común dx
(1 – 3 v + 3 v + v2 ) dx + x ( 3+ v) dv = 0
simplificando ( 1 + v2 ) dx + x ( 3+ v) dv = 0 (6)
La ecuación (6) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las
variables, se multiplica la ecuación (6) por el factor ( )2v1x1+
0dv)v1(
v3dxx1
2 =+
++
integrando
dxx1∫ + ∫ ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
+ dvv1
v32 = C2 (7)
Ambas integrales son inmediatas
dxx1∫ = ln |x| + C3
56
∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
+ dvv1
v32 = ∫ ∫ +
++
dvv1v2
21dv
v13
22
= 3 arctg v + 21 ln | 1 + v 2 | + C4
sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (7)
ln | x | + 3 arctg v + 21 ln | 1 + v 2 | = C5 (8)
devolviendo el cambio de variable
ln | x | + 3 arctg ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
xy +
21 ln
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
2
xy1 = C5
multiplicando por 2 y efectuando las operaciones
2 ln | x | + 2 3 arctg ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
xy + ln
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ +2
22
xyx = 2 C5
aplicando las propiedades de logaritmo
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +2
222
xyxxln + 2 3 arctg ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
xy = 2C5
aplicando e
( x2 + y2 ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
xyactrg32
e = K (9)
La ecuación (9) representa la familia de trayectorias a 60º a la familia de curvas x2
+ y2 = C1 Para obtener la curva perteneciente a la familia representada por la ecuación (9), que
pasa por el punto ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
23,
21 se sustituye en dicha ecuación x =
21 , y =
23 .
K = ⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
22
23
21 e2 3arctg3 =
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ π
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ + 3
32e
43
41 =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ π332
e
Este valor de K se sustituye en la ecuación (10)
( x2 + y2 ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
xyactrg32
e = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ π332
e
multiplicando por ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ π−
332
e
( x2 + y2 ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ π−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
3xyactrg32
e = 1 (10)
57
La ecuación (10), es la ecuación de la curva perteneciente a la familia de trayectorias
a 60º del haz de curvas x2 + y2 = C1, que pasa por el punto ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
23,
21
21. Obtenga la curva de la familia de las trayectorias a 135º de la familia de curvas y = C x2e −
SOLUCIÓN: Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada y = C e-2x + 3x (1) El haz de curvas dado posee una constante arbitraria, por lo tanto, se debe derivar una sola vez. Derivando implícitamente respecto de x y’ = - 2 C + 3 (2) x2e −
Ya que la ecuación (2) aún posee la constante arbitraria C1, esta deberá eliminarse del sistema de ecuaciones que se forma con las ecuaciones (1) y (2)
⎪⎩
⎪⎨⎧
+−=
+=−
−
3eC2'y
x3eCyx2
x2
despejando C de la ecuación (1), x2e −
C = y – 3x (3) x2e −
sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (2) y’ = – 2 ( y – 3x ) + 3 (4)
La ecuación (4) es la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada y = C + 3x x2e −
Para obtener la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias a 135º debe
sustituirse y’ en la ecuación (4) por 'y11'y
º135tg'y1º135tg'y
−+
=+−
'y11'y
−+ = –2y + 6x + 3
multiplicando por ( 1 – y’ ) y’ + 1 =–2y + 6x + 3 – y’ (–2y + 6x +3)
sacando factor común y’ (– 2y +6x + 4 ) y’ = –2y + 6x + 2 (5)
La ecuación (5) es la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias a 135º de la familia y = C + 3x x2e −
58
Despejando y’ de la ecuación (5)
2x3y1x3y
4x6y22x6y2'y
++−++−
=++−++−
=
Ya que la diferencial de la variable y es dy = y’ dx, sustituyendo y’
dy = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−++−
2x3y1x3y dx
multiplicando por (3x – y + 2) ( 3x – y + 1 ) dx + (–3x + y – 2) dy = 0 (6)
La ecuación (6) es una ecuación diferencial reducible a una de variable separable, ya
que las funciones involucradas, 3x – y + 1 = 0 , – 3 x + y – 2 = 0 representan ecuaciones de rectas paralelas (ambas tienen pendiente 3).
Para resolver la ecuación diferencial (6) se efectúa el cambio de variable
⎩⎨⎧
−=⇒−=−=
dvdx3dyvx3yyx3v
sustituyendo el cambio de variable en (6) ( v + 1 ) dx + ( – v – 2 ) ( 3 dx – dv ) = 0
desarrollando y sacando factor común dx
( v + 1 – 3v – 6 ) dx + ( v + 2 ) dv = 0 simplificando (–2v – 5 ) dx + ( v + 2 ) dv = 0 (7)
La ecuación (7) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las
variables, se multiplica la ecuación (7) por el factor )5v2(
1−−
dx – ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
5v22v dv = 0
integrando
– ∫ dx ∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++ dv
5v22v = C2 (8)
Ambas integrales son inmediatas
∫ dx = x + C3
∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++ dv
5v22v =
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
+−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+−+ ∫∫∫ dv
5v21dv
21dv
5v215v2
21
= ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +− 5v2ln
21v
21 + C4 = ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +− 5v2ln
41v
21 + C4
59
sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (8)
x – ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +− 5v2ln
41v
21 = C5
multiplicando por 4 y devolviendo el cambio de variable 4x – 2 (3x – y) + ln | 2( 3x – y ) + 5 |= 4 C5
efectuando las operaciones – 2x + 2y + ln | 6x – 2y + 5 | = 4 C5
aplicando e e 2 ( y – x ) ( 6x – 2y + 5 ) = K (9)
La ecuación (9) representa la familia de trayectorias a 135º a la familia de curvas y = C + 3x x2e −
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