APLICACIONES DE INTEGRALES TRIPLES

CENTRO DE MASA Al igual que para las placas delgadas, si f (x, y, z) es la

función de densidad como Ρ (x, y, z) y se integra sobre la región del solido, se obtiene

la masa del solido. También se definen los momentos y centro de masa como se señala.

Ejemplo

Calcular la masa, el centro de masa y los momentos de inercia de un solido en el primer octante acotado por los planos y = 0 y z = 0 y por las superficies z = 4-x2 y x = y2 si la densidad es p(x; y; z) = kxy, donde k es una constante. El sólido se muestra en la figura.

De la figura del solido se observa que el limite en z es 0 <  z <  4 - x2 .La proyección del sólido en el plano xy corresponde a la región plana limitada por las intersecciones de las superficies x = y2 y z = 4-x2 con el plano xy en el primer octante. Estas intersecciones corresponden a la parábola x = y2 y la recta x = 2 como se muestra.

Y los límites de la región plana (horizontal simple) son: y2 <x < 2 y 0 < y <√2. Y para el solidoQ = {(x; y; z) / y2 <x < 2 ; 0 < y <√2 : 0 <  z <  4 - x2}

MASA DE UN SOLIDO EN EL ESPACIO

MASA DE UN SOLIDO EN EL ESPACIO

Ejemplo 1:

MOMENTOS ESTATICOS

Calcular los momentos estáticos alrededor de los planos coordenados para el sólido descrito en el ejemplo anterior.

VOLUMEN DE UN SOLIDOSi la función f es igual a la unidad; es decir,

f(x,y,z)=1 , entonces, la integral triple representa el volumen V del sólido B, resultando la siguiente integral:

V= ∫∫∫BdV