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Anhang A

Losungen zu den Aufgaben

A.1 Kapitel 2

Losung der Aufgabe 2.1σ= 140N/mm2, F= 280N, Δh= 0,06mm

Losung der Aufgabe 2.2228 Einzeldrahte

Losung der Aufgabe 2.3a) außere Drahte: σ= 149N/mm2, Δl= 4,97mm,

innerer Draht: σ= 239N/mm2, Δl= 7,97mm,b) außere Drahte: σ= 209N/mm2, Δl= 6,97mm,

innerer Draht: σ= 119N/mm2, Δl= 3,97mm

Losung der Aufgabe 2.4Stahlzylinder σ=−120N/mm2, Graugussrohr σ=−72N/mm2,F= 253kN, σ=−293N/mm2.Ja, da diese Spannung weit unter der Druckfestigkeit von Grauguss liegt (σdB > 500N/mm2).

Losung der Aufgabe 2.5Losungsweg wie in Beispiel 2.10 mit α= 0 und l1 = l2. Verlangerung Δl= 2,62mmAluminiumstange: σ= 68N/mm2, Stangenkraft 12kN,Stahlstange: σ= 204N/mm2, Stangenkraft 16kN

Losung der Aufgabe 2.6Gewindegroße M 24

Losung der Aufgabe 2.7

a) σ(1) = 120N/mm2, FS1 = 75kN,b) F= 56kN (Abb. A.1 a),c) FS2 = 94kN, σ(2) = 25,2N/mm2,d) Δl1 = 1,8mm, dl2 = 1,8mm, vK = 3,5mm (Abb. A.1 b)

Losung der Aufgabe 2.8σ= 100N/mm2

Losung der Aufgabe 2.97650min−1

H. Altenbach, Holzmann/Meyer/Schumpich Technische Mechanik Festigkeitslehre,DOI 10.1007/978-3-658-06041-1, © Springer Fachmedien Wiesbaden 2014

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386 A Losungen zu den Aufgaben

Abb. A.1 Kranauslegera) Krafteplan fur denKnoten Kb) Verschiebungsplan

a) b)

F

FS1 FS2

10 kN

Δl1

Δl2

vK

K

1 mm

Losung der Aufgabe 2.10di = 1798mm, Δϑ= 93K, p= 13,3N/mm2

Losung der Aufgabe 2.11

a) dw = 250,54mm,b) di = 249,775mm,c) σ= 108N/mm2, p= 8,64N/mm2

Losung der Aufgabe 2.12

1. a) 170 bzw. 85N/mm2,b) 0,56mm,c) 103K,

2. 340 bzw. 170N/mm2,3. 297N/mm2

Losung der Aufgabe 2.13

a) Mit der Anleitung in Abschnitt 2.4 und den Bezeichnungen von Abb. 2.23 ist

ΔdS =Δd1 +Δd2 = d0

(σAl

EAl+

σSt

ESt

)

Aus den Gln. (2.25) und (2.26) werden die Spannungen in der obigen Gleichung durch diegemeinsame Pressung p ersetzt, die man nummehr aus den gegebenen Großen berechnen kann:p= 7,5N/mm2.

b) Im Ring σAl = 37,5N/mm2, in der Buchse σSt =−150N/mm2.c) Zum Erwarmen des Ringes Δϑ =+52K, zum Unterkuhlen der Buchse Δϑ =−104K. Das

Anwarmen des Ringes ist sinnvoller und einfacher durchzufuhren.

Losung der Aufgabe 2.14Fzul = 12,55kN, Verlangerung unter Eigengewichtskraft 14,8cm, unter Last 12,55kN ist dieVerlangerung 33,9cm

Losung der Aufgabe 2.15

a) Querschnittsflache A= 90,9 ·104 mm2, a= 960mm,b) 46%,c) d= 163cm,d) Mit F. G = γAx. erhalt man die Eigengewichtskraft FG durch Integration

FG =

h∫0

γAx. mit A=A0eγ(h−x)

σzul und l=h .

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A.3 Kapitel 4 387

A0 = 62,5 ·104 mm2, a0 = 790mm, A1 = 85,5 ·104 mm2, a1 = 925mm, Eigengewichtskraft36,7%

A.2 Kapitel 3

Losung der Aufgabe 3.1

1. a) 2,26,b) 1,67,c) 1,44,

2. a) ±19,2kN,b) 14±14kN

Losung der Aufgabe 3.2

a) F=±17,7kN,b) F= 7,3±14,6kN,c) F= 12,3±12,3kN,d) F= 20,25±6,75kN

Losung der Aufgabe 3.3σSch = 310N/mm2,

1. SD = 2,2. Fzul = 94±94kN

Losung der Aufgabe 3.4

1. F= 25kN,2. σn = 162N/mm2, σwirksam = 235N/mm2, σW = 180N/mm2,

ein Dauerbruch war nicht zu vermeiden3. ca. 28 cm Durchmesser

Losung der Aufgabe 3.5Zum Zeichnen des Verspannungsschaubilds A.2 werden benotigtFn = pd0 = 300N/mm, FB =pidi = 380N/mm, ΔdAl = 0,021mm, ΔdSt = 0,029mmPressung im Aluminiumring , p0 = 12,9N/mm2,Spannungen σ=σm ±σa = 51±13,5N/mm2, mit σA = 50N/mm2 ist SD = 2,31,Restpressung p ′

V in der Stahlbuchse 3,4N/mm2, Spannungen σ=−68N/mm2, ohne Schrump-fung σ=+190N/mm2

A.3 Kapitel 4

A.3.1 Abschnitt 4.1

Losung der Aufgabe 4.1a) Iy = 15,21 ·107 mm4 < 10,50 ·104 mm4 >, Iy = 6,47 ·107 mm4 < 1,72 ·104 mm4 >,b) Ia = 1,63 ·107 mm4 < 0,71 ·104 mm4 >, IpS = 3,26 ·107 mm4 < 1,42 ·104 mm4 >,c) Ia = 3,58 ·107 mm4 < 12,76 ·104 mm4 >, IpS = 7,16 ·107 mm4 < 25,52 ·104 mm4 >

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388 A Losungen zu den Aufgaben

Abb. A.2 Verspannungsschaubild

ΔdAl ΔdStpd

0=

300

N/

mm

p′ Vd

0=

136

N/

mm

pidi=

380

N/

mm

p0d

0=

510

N/

mm

Losung der Aufgabe 4.2Fur Halbkreisring ist

γS =2

3πd3

a −d3i

d2a −d2

i

= 16,1mm, Iy = 25,5 ·104 mm4, Iη = 5,1 ·104 mm4

Losung der Aufgabe 4.3Die Diagonale a teilt das Quadrat in zwei Dreiecke: fur ein Dreieck (b=

√2a, h =

√2a/2) ist

(Tabelle 4.1) Ia =bh3/12 =a4/24, fur das Quadrat ist demnach Ia = 2a4/24 =a4/12 = Iy

Losung der Aufgabe 4.4zS = 198mm, Iy = 15,8 ·108 mm4, Iz = 2,7 ·108 mm4

Losung der Aufgabe 4.5zS = 129mm, Iy = 6,66 ·107 mm4, Anteil des Flachenmoments 17,5%, der Masse 30%

Losung der Aufgabe 4.6di = 136mm, da = 170mm

Losung der Aufgabe 4.7

(a+ey)2 =

Iy−Iz

A+e2

z (Iy und Iz aus Profiltafel [27]), 2a= 142mm

Losung der Aufgabe 4.8

a) Iy = 1584cm4, Iz = 466cm4, Iyz = 624cm4, ϕ1 =−α=−24,1◦, I1 = 1864cm4, I2 =

186cm4 (Abb. A.3 a),b) Iy = 1923cm4, Iz = 856cm4, Iyz = 180cm4, ϕ1 =−α=−9,35◦, I1 = 1952cm4, I2 =

827cm4, yS = 43,6mm, zS = 78,6mm (Abb. A.3 b),c) Iy = 41,25cm4, Iz = 13,13cm4, Iyz = −11,63cm4, ϕ1 = α = 19,8◦, I1 = 45,44cm4,

I2 = 8,94cm4, yS = 13,3mm, zS = 23,3mm (Abb. A.3 c)

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A.3 Kapitel 4 389

a) b) c)

SSS

v

v

v

www

y

yy

zzz

Abb. A.3 Querschnitte mit Koordinatensystemen

A.3.2 Abschnitt 4.2

Losung der Aufgabe 4.9

a) Wb = 444 ·103 mm3,b) z1 = 66mm, z2 = 94mm, Wb1 = 295 ·103 mm3, Wb2 = 207 ·103 mm3,c) z1 = 86,7mm, z2 = 73,3mm, Wb1 = 317 ·103 mm3, Wb2 = 375 ·103 mm3

d) z1 = 136mm, z2 = 139mm, Wb1 = 555 ·103 mm3, Wb2 = 545 ·103 mm3

Losung der Aufgabe 4.10

a) 1. σb = 50N/mm2,2. σb = 53,5 bzw. 84,5N/mm2,

b) da = 102mm bzw. 120mm, di = 51 bzw. 96mm (Abb. A.4),c) Masseersparnis nach a) 25% bzw. 64%, nach b) 22% bzw. 48%, Zunahme der Randspannungen

nach a) 7% bzw. 69%, nach b) 0%

a) b) c)

∅10

0

∅10

0

∅10

0

σbσbσb

zzz

50N/mm2

∅50

53,5N/mm2

21,75N/mm2

∅80

84,5N/mm2

67,5N/mm2

Abb. A.4 Biegespannungsverlaufa) in der Vollwelleb) in einer Hohlwelle mit großer Wandstarkec) in einer Hohlwelle mit kleiner Wandstarke

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390 A Losungen zu den Aufgaben

Losung der Aufgabe 4.11

a) a= 64mm, Mb zul = 6,1 ·106 Nmm,b) h= 90mm, b= 45mm, Mb zul = 8,5 ·106 Nmm,c) d= 72mm, Mb zul = 5,15 ·106 Nmm,d) I, 220 Mb zul = 39 ·106 Nmm,e) L 130×75×10, Mb zul = 11 ·106 Nmm,f) da = 120mm, di = 96mm, Mb zul = 14 ·106 Nmm .

Tragfahigkeit, bezogen auf den Kreisquerschnitt, bei a) 1,18, b) 1,65, c) 1, d) 7,57, e) 2,14,f) 2,72fach. Die Kreiswelle als ubliche Querschnittsform im Maschinenbau fur Hebel, Wellenusw. hat die geringste Tragfahigkeit. Die Werkstoffausnutzung ist um so besser, je weiter dasMaterial von der Nulllinie entfernt liegt. Also Hohlwellen im Maschinenbau, Bauprofile imStahl- und Hochbau verwenden (Leichtbau).

Losung der Aufgabe 4.12

a) qzul = 600N/m,b) Fzul = 10 ·104 N

Losung der Aufgabe 4.13z1 = 57,5mm, Iy = 2875mm4, σbd = 40N/mm2, σbz = 99N/mm2 (Abb. A.5)

Abb. A.5 Biegespannungsverlaufim T-Tragerquerschnitt

x

z

σb−40N/mm2

99N/mm2

Losung der Aufgabe 4.14

a) σb = 145N/mm2,b) da = 57mm, di = 40mm,c) 39%

Losung der Aufgabe 4.15l=

√dσF/ρ= 7,3m

Losung der Aufgabe 4.16

a) h(x) = h0x/l, Gerade, Abb. A.6 a)b) b(x) = b0x

2/l2, Parabel, Abb. A.6 b)

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A.3 Kapitel 4 391

Abb. A.6 Formgebung vonFreitragern nach Abb. 4.50mit gleichmaßig verteilterLast q fur gleiche Biegebe-anspruchung, Begrenzung derLangsschnittea) Gerade Linienb) Parabel

a)

b)

x

x

l

h(x)

b0

b0

h0

h0

b(x)

Losung der Aufgabe 4.17

a) Aus der Tabelle in [27] fur I-Stahl erhalt man Wb = 54,7cm3, mit einer Lasche ist Wb1 =

117cm3, mit zwei Laschen Wb2 = 184cm3:

Mb(x)=ql2

2

[x

l−(xl

)2]

, Mb max =ql2

8= 225 ·105 Nmm, σb max = 122N/mm2 .

Fur eine zeichnerische Losung ist die folgende Parabel darzustellen

Wb(x) =Mb(x)

σb max=Wb2 =

Mb(x)

Mb max=Mb24

[x

l−(xl

)2]

.

Die diese Parabel schneidenden, zur x-Achse parallelen Geraden im Abstand Wb und Wb1ergeben die gesuchten Langen: l1 ≈ 2500mm,l2 ≈ 1800mm (Abb. A.7 a).

a) b) x/lx/l

Wb/

4Wb2

0 0,5 1

Wb/

4Wb2

Wb1/

4Wb2

Wb2/

4Wb2

l2/l= 0,6l1/l= 0,83

100

200

300

400

σb max

Mb max/Wb1

Mb max/Wb

σb

Ran

d[N

/mm

2]

Abb. A.7 Tragers annahernd konstanter Biegebeanspruchung nach Abb. 4.33a) Widerstandsmomentlinie Wb(x)

b) Randspannungsverlauf

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392 A Losungen zu den Aufgaben

Rechnerische Losung: Aus der Parabelgleichung folgt die quadratische Gleichung fur x

(xl

)2−

x

l−

14Wb(x)

Wb2= 0

mit der hier brauchbaren Losung

x

l=

12

(1−

√1−

Wb(x)

Wb2

).

Dax1,2

l=

12

(1−

l1,2

l

)ist (Abb. A.7 a), ergibt sich

l1 = l

√1−

Wb

Wb2= 0,84l= 2,52m, l2 = l

√1−

Wb1

Wb2= 0,6l= 1,80m.

b) Abb. A.7 bc) σb = 410N/mm2, der Trager wurde diese Spannung nie erreichen, da das Material vorher

fließt.d) I 200, Wb = 214cm3, σb = 105N/mm2,e) 7,7%

A.3.3 Abschnitt 4.3

Losung der Aufgabe 4.18Iy = 7,8 ·107 mm4,Iz = 4,45 ·107 mm4,Iyz = 0mm4,FS = 2kN,α= 60◦ ,β= 18,25◦ ≈ 18◦

(Abb. A.8)

Abb. A.8 Nulllinie undLastebene des Gittermastes y

z

S

α= 60◦

β= 18◦

Last

eben

e

Nulllinie

140

mm

Losung der Aufgabe 4.19β= 40,1◦ ≈ 40◦, σb max = 123N/mm2 (Abb. A.9)

Losung der Aufgabe 4.20Die Spur der Lastebene liegt um 21,5◦ gegenuber der z-Achse nach rechts geneigt.

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A.4 Kapitel 5 393

Abb. A.9 Nulllinie und Las-tebene des Freitragers

y

z

S

Lastebene

Nullli

nie67 mm

α= 30◦ β= 40 ◦

Losung der Aufgabe 4.21

a) Iy = 24,9 ·106 mm4, Iz = 8,7 ·106 mm4, Iyz = 8,1 ·106 mm4, α= 22,5◦,I1 = 28,25 ·106 mm4, I2 = 5,35 ·106 mm4, β= 14,35◦ ,Zug 143N/mm2 links oben, 138,5N/mm2 rechts unten,

b) Zug 76N/mm2 links oben, 90N/mm2 rechts unten

A.3.4 Abschnitt 4.4

Losung der Aufgabe 4.22αK = 2,46, SD = 1,65

Losung der Aufgabe 4.23

a) Fa,zul = 200N,b) βK = 2,08, βKσn = 420N/mm2 zulassige Spannung uberschritten,c) 135mm

Losung der Aufgabe 4.24

a) Mb1 = 40 ·106 Nmm, Mb2 = 40 ·106 Nmm,b) h= 970mm .c) Mit der Zugschwellfestigkeit σz Sch = 220N/mm2 und σwirksam = 105N/mm2 ist SD = 2,1 .

A.4 Kapitel 5

Losung der Aufgabe 5.1s. Tabelle 5.1

Losung der Aufgabe 5.2

I0 =b0h30/12,w(x)=

Fl3

2EI0

(1−

x

l

)2,f=

Fl3

2EI0,w ′(x) =

Fl2

EI0

(xl−1

), tanα=−

Fl2

EI0

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394 A Losungen zu den Aufgaben

Losung der Aufgabe 5.3Aus Abb. 4.21 a) entnimmt man F1 = F = 2000N,F2 = F3 = 5F, l= 750mm, l2 = 450mm,l3 = 200mm, l2/l= 3/5, l3/l= 4/15, dann ist

f= f11 +f21 + tanα21l

(1−

l2

l

)+f31 + tanα31l

(1−

l3

l

)=−

9134 ·5

Fl3

EI=−0,505mm,

tanα= tanα11 + tanα21 + tanα31 =232

Fl2

EI= 0,000665, α= 0,0381◦

Losung der Aufgabe 5.4

a)

f1 =l3

48EIa

(F1 +F2 ·3

a

l

)= 3

Fl3

48EIa,

f2 = −l3

48EIa

a

l

[3F1 +F2 ·16

a

l

(1+

a

l

)]=−5,74

Fl3

48EIa,

FA =76F, FB =−

136F, MbF1 =

712

Fl, MbB =8

12Fl,

b)

f1 =l3

48EIa

(F1 −F2 ·3

a

l

)=−1

Fl3

48EIa,

f2 = −l3

48EIa

a

l

[3F1 −F2 ·16

a

l

(1+

a

l

)]= 3,74

Fl3

48EIa,

FA =−16F, FB =

196F, MbF1 =−

112

Fl, MbB =−812

Fl

Die Lastrichtung in b) ist mit Rucksicht auf die Durchbiegung gunstiger, mit Rucksicht auf die Bie-gemomente gleichwertig und mit Rucksicht auf die Lagerkrafte ungunstiger als die Lastrichtungin a).

Losung der Aufgabe 5.5Der Ansatz f= fm (Tabelle 5.1, Zeile 6) ergibt die quadratische Gleichung

(al

)2+

32a

l−

38= 0

mit der brauchbaren positiven Losung a/l= 0,218,l= 458mm,f= fm = 3,5mm. Mit fm =

1mm ist l= 245mm und f= 2,08mm.

Losung der Aufgabe 5.6f= 21,3mm

Losung der Aufgabe 5.7ρ= 10m, f= 333mm, α= 6,9◦

Losung der Aufgabe 5.8fy = 16,65mm, fz = 7,5mm, f= 11,65mm

A.5 Kapitel 6

Losung der Aufgabe 6.1s. Beispiel 6.1

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A.6 Kapitel 7 395

Losung der Aufgabe 6.2FA = FD =−(27/88)F=−1,35kN,FB = FC = (77/88)F= 3,55kN, σb = 58,9N/mm2,fF = (17/44)Fl3/48EI= 0,0585mm,σb = 99,7N/mm2

Losung der Aufgabe 6.3

1. I 4502. a) FC = 5ql/8 = 150kN, σb = 44,1N/mm2,

b) FC =5ql/8

1+48hI

l3A

= 1,491 ·105 N, σd = 19,3N/mm2, I 360

Losung der Aufgabe 6.4

a) FA = 1,363F, MA =−0,289Fl, FB = 1,637F,MB =−0,343Fl, MbF = 0,052Fl, Mb2F = 0,203Fl,

b) FA = 0,25F, FB = F, FC = F, FD =−0,25F,Mb(l/2) =Mb(5l/2) = 0,125Fl, Mb(l) =Mb(3l) =−0,25F

Losung der Aufgabe 6.5FA = 26,1kN,FB = 84,2kN,FC = 10,0kN, gefahrdeter Querschnitt in B σb = 104N/mm

A.6 Kapitel 7

A.6.1 Abschnitt 7.1

Losung der Aufgabe 7.1

a) d= 40mm,b) da = 44mm, di = 33mm (aufgerundet), 47%

Losung der Aufgabe 7.2d= 2 mm, l= 139 mm, W = 350 Nmm

Losung der Aufgabe 7.3

a) τt = 285N/mm2, ϕ= 6,7◦,b) d= 38mm, ϕ= 5,2◦, m�/m◦ ≈ 2

Losung der Aufgabe 7.4α4/(1−α4), α2 (Abb. A.10)

Losung der Aufgabe 7.5

a) τt = 225N/mm2 bzw. 318N/mm2,b) l1 = 1050mm, ϕ= 6,8◦,c) W = 237 ·103 Nmm, m�/m◦ ≈ 3,5

Losung der Aufgabe 7.6

a) Mt = 1,47 ·107 Nmm,b) ϑ= 1,75◦/m,c) W = 224 ·103 Nmm

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396 A Losungen zu den Aufgaben

Abb. A.10 Schubspannungszunahme(1) und Masseersparnis (2)in % in Abhangigkeit vomWanddik-kenverhaltnis α

Wanddickenverhaltnis α

1Sc

hubs

pann

ungs

zuna

hme

in%

2M

asse

ersp

arni

sin

%

0, 2 0,4 0,6 0,8 1,0

20

40

60

80

100

0

1

2

Losung der Aufgabe 7.7Kreis Kreisring Rechteck

a) d= 22mm, da = 22mm, di = 17mm, h= 90mm, s= 30,5mm,b) s= 27,2mm, s= 25,6mm, s= 30,5mm,c) c= 74N/mm, c= 78N/mm, c= 66N/mm,d) W = 272 ·102 Nmm, W = 256 ·102 Nmm, W = 305 ·102 NmmMassen verhalten sich wie 1,65 : 1 : 3,5 .

Losung der Aufgabe 7.8αk = 1,93, SD = 1,9, ϕ= 2,3◦

A.6.2 Abschnitt 7.2

Losung der Aufgabe 7.9

a) d= 3,1mm, R= 7,75mm, i= 49,5,b) lE = 160mm + Anschlussosen,c) l≈ 2500mm

Losung der Aufgabe 7.10

a) s= 37,5mm, c= 226N/mm, τi = 198,5N/mm2,b) d= 2,1cm, i= 10, τi = 169,5N/mm2

Die Rechteckfeder ist etwa doppelt so schwer wie die beiden Kreisfedern.

Losung der Aufgabe 7.11

a) Fzul = 8,8kN (fur eine Feder), s= 38,3mm, lE = 298mm,b) a= 28,3mm, R= 71mm, i= 7, lE = 303mm

Losung der Aufgabe 7.12szul = 20mm, c= 33N/mm, Fzul = 660N, W = 66 ·102 Nmm

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A.8 Kapitel 9 397

A.7 Kapitel 8

Losung der Aufgabe 8.1

a) l= 51cm,b) τq max = 16,5N/mm2

Losung der Aufgabe 8.2τs = 28,5N/mm2, s= 55mm

Losung der Aufgabe 8.3d1 = 15mm, τp max = 43,7N/mm2

Losung der Aufgabe 8.44,7 m, 57 kN

Losung der Aufgabe 8.5

a) 98,5N/mm2,b) 37N/mm2,c) 79 bzw. 24,5N/mm2

A.8 Kapitel 9

A.8.1 Abschnitt 9.1

Losung der Aufgabe 9.1β= 5,9◦, u0 = 11,9cm, σ= 102N/mm2 in A, σ=−53N/mm2 in B

Losung der Aufgabe 9.2z0 = 6,95mm, σ= 97N/mm2, σ=−47N/mm2

Losung der Aufgabe 9.3d= 11,9mm, σd = 13,5N/mm2, σb =±96,5N/mm2

Losung der Aufgabe 9.4

λ= 8r2

0

d2

⎡⎣1−

√1−

(d/2r0

)2⎤⎦−1

oder umgeformt

λ=

1−

√1−

(d/2r0

)2

1+

√1−

(d/2r0

)2= 0,0718.

Da 1+(Mby/Fnr0) = 1−(Fr0/Fr0) = 0, ist z0 = 0.

σx(z=−d/2) = 13,92F

A, σx(z= d/2) = 4,64

F

A

(Abb. A.11). Nach linearer Biegegleichung 9F/A bzw. −7F/A.

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398 A Losungen zu den Aufgaben

Abb. A.11 Spannungsverteilung

z/d

bezo

gene

Span

nung

σx

F/A

00

2

4

6

8

10

12

14

−2

−4

−6

−0,25

0,25 0,5

−0,5

2

1

A.8.2 Abschnitt 9.2

Losung der Aufgabe 9.12Abb. A.12Zugseite 1: σ1 = 100N/mm2, σ2 = 0N/mm2,α= 45◦,Druckseite 2: σ1 = 81N/mm2, σ2 =−31N/mm2, α= 31,7◦ ,σb = 0N/mm2, 3: σ1 = 89N/mm2, σ2 =−14N/mm2, α= 38,5◦,τ= 0N/mm2, Zugseite 4: σ1 = σ2 = 50N/mm2,τ= 0N/mm2, Druckseite 4: σ1 = 50N/mm2, σ2 = 0N/mm2, α= 0◦

Abb. A.12 Losungsbild σt

σt

σl

σl

−τ

−τ

τ

τ

σbσb

−σb−σb

Losung der Aufgabe 9.13σ1 = 180N/mm2, σ2 =−120N/mm2, α= 26,5◦,τmax = 150N/mm2, σ45◦ =−30N/mm2, β=−18,5◦

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A.8 Kapitel 9 399

aa

ε1,σ1

ε1,σ1 ε2,σ2

ε2,σ2

α=−19,3◦

α ′ = 25,7◦

α= 19,3◦

α ′ =−25,7◦

ττ

σbσb

Abb. A.13 Losungsbild

A.8.3 Abschnitt 9.3

Losung der Aufgabe 9.7

1. 1 : 0,05%−0,015%, 2 : 0,0452%−0,0277%, 3 : 0,0466%−0,0204%, 4 : 0,0175%,5 : 0,025%−0,0075%

2. 0,108%−0,087%

Losung der Aufgabe 9.8

a) σ=Eε/(1−ν), ε1 = ε2 = ε,b) τ=Eε45◦/(1+ν), ε2 =−ε1 = ε45◦ ,c) σ1 = Eε1/(1−ν/2), σ2 = Eε2/(1−2ν), ε1 = (2−ν)ε2/(1−2ν)

Losung der Aufgabe 9.9

A : B :

ε1 = 55,6 ·10−5, ε1 = 27,6 ·10−5,ε2 = −27,6 ·10−5, ε2 = −55,6 ·10−5,α = 19,3◦, α = −19,3◦,σ1 = 104N/mm2, σ1 = 24N/mm2,σ2 = −24N/mm2, σ2 = −104N/mm2

Normalspannungen σx =σb =±80N/mm2, Schubspannungen τ= 50N/mm2 (Abb. A.13),Biegemoment ca. 6kNm, Drehmoment ca. 7,5kNm

Losung der Aufgabe 9.10σ= 523N/mm2, Δda = 3,8mm

Losung der Aufgabe 9.11σt = 16N/mm2, σl = 8N/mm2, pi = 0,4N/mm2

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400 A Losungen zu den Aufgaben

A.8.4 Abschnitt 9.4

Losung der Aufgabe 9.12

1. 1: σV(N) =σV(Sch) =σV(GE) =σ1 = 100N/mm2,2: 81/112/100N/mm2,3: 89/103/96,7N/mm2,4 und 5: je 50N/mm2,

2. 180/300/261,5N/mm2

Losung der Aufgabe 9.131: 150, 2: 159, 3: 160, 4: 151, 5: 139,5, 6: 130, 7: 123,7N/mm

Losung der Aufgabe 9.14123,7N/mm2,154kN,830Nm,151,3N/mm2,−28,7N/mm2,0,221%,−0,112%,23,6◦

Losung der Aufgabe 9.151,48fache Sicherheit (mit b0 = 0,7) nach der GE-Hypothese

Losung der Aufgabe 9.16119 kW

Losung der Aufgabe 9.17

a) 75N/mm2,b) 2,c) 1,5N/mm2

Losung der Aufgabe 9.18

a) 55N/mm2, 86Nm,b) 57,5Nm,c) 103N/mm2 bzw. −30N/mm2, 0,053 bzw. −0,029 %, 28 bzw. 118◦

A.9 Kapitel 10

Losung der Aufgabe 10.1dm = 200mm, t= 10mm

Losung der Aufgabe 10.2Fzul = 3,77kN

Losung der Aufgabe 10.3

a) Ierf = 154mm2 U 80,b) d= 27mm

Losung der Aufgabe 10.4F= 175kN

Losung der Aufgabe 10.5mind. 65×9 (σ= 137N/mm2)

Losung der Aufgabe 10.6σ= 92,9N/mm2

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A.10 Kapitel 11 401

Losung der Aufgabe 10.7t� 0,875mm

Losung der Aufgabe 10.8tD = 8mm(7,9), pBeul = 0,0585N/mm2

A.10 Kapitel 11

Losung der Aufgabe 11.1

a) σri =−90N/mm2, σti = 150N/mm2, σV max = 240N/mm2,b) p ′

i = 135N/mm2 (11.30), mit β= 1,1 ist nach W. u. B. σV =βp ′i rm/t= 222,5N/mm2

Losung der Aufgabe 11.2

a) da1 = 280mm, da2 = 340mm, da3 = 400mm, σV = 233/252/267N/mm2,b) da1 = 280mm, da2 = 375mm, da3 = 550mm, 0%/25%/54%

Losung der Aufgabe 11.3

Mit N=ESt

ECu

(η2

i +1

η2i −1

−μ

)+

η2a +1

η2a −1

+μ ist

c1 = pi1

η2i −1

−2pi

N

ESt

ECuη2

i1

(η2i −1)2

= 0,14pi,

c2 = −pir2

1

η2i −1

+2pi

N

ESt

ECu

1

(η2i −1)2

= 0,792pir21,

c3 =2pi

N

ESt

ECu

1

(η2i −1)2

1(η2

a −1)2 = 0,522pi ,

c4 = −2pir

2a

N

ESt

ECu

1

(η2i −1)2

1(η2

a −1)2 = −0,522pir2a

im Kupferrohr im Stahlrohrσri = −150N/mm2, σr1 = −98N/mm2,σti = 192N/mm2, σt1 = 254,5N/mm2,σr1 = −98N/mm2, σra = 0N/mm2,σt1 = 140N/mm2, σra = 156,5N/mm2,σV max = 342N/mm2, σV max = 352,5N/mm2

Losung der Aufgabe 11.4

a) Der Ansatz σV = σt −σr fur die Innenwandungen der drei Teilrohre fuhrt auf das Glei-chungssystem

σV = −2p1η2

i

η2i −1

+ 2piη2

η2 −1,

σV = 2p1η2

i

η2i −1

− 2p2η2

1

η21 −1

+ 2piη2

1η2a

η2 −1,

σV = 2p2η2

a

η2a −1

+ 2piη2

a

η2 −1

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402 A Losungen zu den Aufgaben

mit den Losungenpi = 372,5N/mm2, p1 = 106,5N/mm2, p2 = 87N/mm2

σri = −372,5N/mm2, σt1 = 27,5N/mm2,σr1 = −261,5N/mm2, σt1 = −84/138,5N/mm2,σr2 = −111N/mm2, σt2 = −12/289N/mm2,σra = 0N/mm2, σta = 178N/mm2,σV max = 785N/mm2,

b) σV = 785N/mm2

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Sachwortverzeichnis

Abscheren, 221, 242Achse, 5, 132Ausgangsquerschnitt, 17, 23Ausschlagfestigkeit, 61, 66Außendruck, 40, 281, 358, 363Axialdruck, 357

Balken, 3, 5, 81, 101, 121, 143, 243Balkenachse, 81, 101, 103, 104, 121, 143Baustahl, 17, 22, 312Bauteile, 1

Berechnung, 28ringformige, 39rotationssymmetrische, 363

Beanspruchungdynamische, 58, 221einfache, 261mehrachsige, 298, 307, 308ruhende, 58, 61, 221schwellende, 62schwingende, 58statische, 58wechselnde, 62zusammengesetzte, 7, 111, 261, 307

Beanspruchungsart, 2, 3Behalter, 40, 281

dunnwandiger, 281kugelformiger, 281zylindrischer, 281

dickwandiger, 364zylindrischer, 366

Belastungsfalleeinfache, 28

Belastungskollektiv, 59Bemessung, 68, 107, 115, 167, 207, 226, 231,

371Bernoulli, 104

Beuldruck, 358Beulen, 6, 323, 357Beulspannung, 357, 358Bezugsachse, 82, 90, 91Biegebalken, 11, 183Biegebeanspruchung, 101, 105, 111, 191, 209,

243, 249, 264, 312, 313, 323dynamische, 128ruhende, 127, 129schwingende, 129

Biegebruch, 249Biegedehngrenze, 127Biegefeder, 163, 166, 224, 353Biegefestigkeit, 128, 129, 249Biegefließgrenze, 127Biegelinie, 143, 144, 146, 345

Differentialgleichung 2. Ordnung, 146Differentialgleichung 4. Ordnung, 157

Biegemoment, 11, 81, 102, 111, 116, 127, 143,148, 157, 162, 170, 175, 228, 243, 257,262, 271, 344

Biegemomentvektor, 121, 122, 170Biegerandspannung, 106Biegespannung, 27, 103, 104, 106, 111, 122,

125, 127, 143, 163, 168, 239, 346maximale, 111resultierende, 121

Biegesteifigkeit, 146Biegeverformung, 143Biegung, 5, 81, 101, 175, 279

allgemeine, 121gerade, 101, 267querkraftfreie, 102reine, 102, 256schiefe, 121, 170

Bifurkationspunkt, 327Blattfeder, 106, 165

H. Altenbach, Holzmann/Meyer/Schumpich Technische Mechanik Festigkeitslehre,DOI 10.1007/978-3-658-06041-1, © Springer Fachmedien Wiesbaden 2014

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408 Sachwortverzeichnis

geschichtete, 118Boltzmann, 204Bruch, 23, 25, 58–60, 65, 127, 346Bruchdehnung, 23Brucheinschnurung, 23Bruchflache, 23, 281Bruchhypothesen, 307Bruchmoment, 127

Castigliano, 179Cauchy, 9Cauchy’sches Lemma, 9Clapeyron, 179Coulomb, 307

Dauerbruch, 59, 68, 128, 129, 311, 312Dauerfestigkeit, 59, 60Dauerfestigkeitsschaubild, 221de St. Venant, 11Dehngrenze, 22, 24, 28, 58

bei nichtproportionaler Dehnung, 22Dehngrenzenverhaltnis, 127Dehnung, 16–18, 46, 104, 143, 272, 298, 299,

302–304beim Bruch, 23bleibende, 22, 24, 127plastische, 65technische, 16

Dehnungsmessung, 304Descartes, 10Dimensionierung, 2, 14Dirichlet, 326Drehmoment, 201, 202, 364Drehstab, 201, 226Drehstabfeder, 6, 209, 224Dreieckfeder, 118Drillmoment, 201Druck, 7, 14, 127, 197, 266, 279, 282, 283Druckbeanspruchung, 4, 14, 26, 27, 36, 81,

264, 281, 303, 307, 323Druckbeanspruchung schlanker Stabe, 6Druckbehalter, 7, 12, 368, 369, 373, 375, 379Druckfestigkeit, 28, 127Druckkraft, 127, 265, 344, 347, 348, 352Druckspannung, 8, 14, 26, 27, 36, 127, 266,

346, 369Druckstab, 4, 14, 34, 281, 331, 344Druckversuch, 26, 28, 308Durchbiegung, 5, 7, 143, 144, 168, 182, 191,

257bei schiefer Biegung, 170kleine, 145resultierende, 170

Durchmesseranderung, 16, 41, 368

Durchmesserverhaltnis, 208, 369

Ebenbleiben der Querschnitte, 256Eigengewicht, 45, 46, 49Eigenspannungen, 42Einschnurdehnung, 23Einschnurung, 24Einzelbeanspruchung, 7elastische Feder, 20elastische Linie, 143Elastizitatsgrenze, 22Elastizitatsmodul, 18, 24, 25, 144, 146, 204,

354Empfindlichkeitszahl, 66Energie

elastische, 182potentielle, 324

Energiesatz, 164, 224Entlastung, 17Ersatzstreckgrenze, 24Euler, 331Euler’sche Knickkraft, 346, 347Eulerbereich, 354Eulerkurve, 354, 355Exzentrizitat, 344

Feder, 20, 118, 225, 231Federkonstante, 20, 74, 165, 166, 225, 231Federkraft, 20Federvolumen, 21Federweg, 20, 231Festigkeitsbedingung, 14, 48, 106, 111, 207,

214, 230, 240, 266, 371Festigkeitsberechnung, 2, 11, 12, 57, 60, 175,

304, 306, 371Festigkeitshypothesen, 306–308Festigkeitslehre, 1, 2, 7, 10, 12, 57, 82, 104,

179, 299Aufgabe, 1Berechnungsverfahren, 2Teilaufgaben, 2Ziele, 2

Flachenmoment, 820. Ordnung, 821. Ordnung, 832. Ordnung, 84

axial, 84Dreieck, 87Kreisring, 86Rechteck, 85Vollkreis, 86

gemischt, 84polares, 84statisch, 83

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Sachwortverzeichnis 409

Flachenpressung, 36, 38Fliehkraft, 51Fließgrenze, 22, 58Formanderungen, 175Formanderungsarbeit, 20, 163, 166, 204, 223,

225, 256spezifische, 21, 163, 166, 205, 223, 225

Formzahl, 64, 221

Galilei, 307Gerber, 175Gestaltanderung, 299, 309Gestaltanderungsenergie, 308Gleichgewichtsbedingung, 13, 125, 364Gleichgewichtsbedingungen, 12, 175, 285Gleichgewichtslage, 324

indifferent, 324labil, 324stabil, 324

Gleichmaßdehnung, 23Gleitbruch, 307Gleitfestigkeit, 307Gleitmodul, 204Gleitung, 299Gleitwinkel, 204, 205Grenzbeanspruchung, 2Grenzschwingspielzahl, 60Grenzspannung, 57–59, 61, 62, 127, 128, 221,

306, 310Grundbeanspruchung, 3, 306

Biegebeanspruchung, 5Druckbeanspruchung, 4Knickbeanspruchung, 6Torsionsbeanspruchung, 6Verdrehbeanspruchung, 6Zugbeanspruchung, 4

Grundbeanspruchungsarten, 279

Hauptachsen, 98Hauptdehnung, 299

Richtung, 300Hauptflachenmomente, 99Hauptschnitt, 286Hauptspannung, 286, 292, 299, 364

Berechnung, 292Richtung, 293

Hauptsystem, 176Hencky, 308Hilfskraft, 185Hilfsmoment, 185Hohlkorper

zylindrischer, 40Hohlquerschnitt

geschlossen, 213

Hohlquerschnittedunnwandige, 212, 214

Hohlstab, 208Hooke, 18Hooke’sche Gerade, 18, 26Hooke’sches Gesetz, 18, 204

erweitertes, 299Huber, 308Hypothese der großten Gestaltanderungsener-

gie, 308, 309Hypothese der großten Hauptspannung, 309Hypothese der großten Normalspannung, 307Hypothese der großten Schubspannung, 307,

309

Ingenieurdehnung, 16Ingenieurspannung, 17Innendruck, 40, 281, 283, 367, 369, 372, 373,

375, 378, 379

Johnson, 355Johnson-Parabel, 356

Korperhomogener, 2isotroper, 2konstanter Beanspruchung, 49

Kastenprofilgeschlossen, 214

Kennwerte, 16, 23, 25, 27, 58, 60, 204, 221,301, 302, 310

Kerbempfindlichkeit, 66Kerbempfindlichkeitszahl, 66Kerbform, 64, 66Kerbgrund, 64, 65, 67Kerbradius, 64Kerbspannung, 64, 65

wirksame, 66Kerbwirkung, 63, 65, 66, 68, 111, 121, 128,

221, 307, 312Kerbwirkungszahl, 66, 221Kesselformel, 282Knickbeanspruchung, 324Knickform, 333Knickgleichung, 332Knickkraft, 331, 346Knicklange, 343Knicksicherheit, 348Knickspannung, 347, 354Knickspannungsdiagramm, 354Kompatibilitatsbedingung, 205Krummung, 143–145, 228Krummungsradius, 64, 104, 143, 144, 271,

274, 361

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410 Sachwortverzeichnis

Kraftkritische, 324, 333

Kraftangriffaußermittig, 344exzentrisch, 265mittige, 347

Kriechen, 25

Langskrafte, 81Lagerreaktionen, 175Lagerungsfalle des Knickproblems, 336Lagrange, 326Lame, 307Lastangriff

exzentrischer, 263Lastfalle, 61Lochleibungsdruck, 38

Maxwell, 307Minding, 326Mittelspannung, 60Mohr, 288Mohr’scher Spannungskreis, 288

Neigungswinkel, 145kleiner, 145

Nennschubspannung, 221Nennspannung, 63, 64, 68, 130neutrale Schicht, 103Normalkraft, 262Normalspannung, 8, 13, 201, 261, 279, 280,

364Nulllinie, 103, 121, 264, 266

Oberflacheneinfluss, 68Oberflachenfaktor, 68Oberflachenziffer, 68Oberspannung, 60

Pendelstutze, 188Peterson, 67Poisson, 18Poisson’sche Konstante, 18Poisson’sches Gesetz, 18, 27Poissonzahl, 19polares Flachenmoment, 214Presspassungen, 240Pressung, 38, 44, 379–383Prinzip von DE ST. VENANT, 11, 14, 282Profilquerschnitt

offen, 218Profiltrager, 249Proportionalitatsgrenze, 22, 27

Querdehnung, 16, 27Querkontraktion, 16Querkontraktionszahl, 19Querkrafte, 81, 243Querschnittsfaktor, 273Querschnittsverwolbung, 205, 213Quertrager, 188Quetschgrenze, 27

Rahmen, 194Randbedingung

dynamische, 157homogene, 159inhomogene, 159kinematische, 146

Randschubspannung, 206, 209Raumzahl, 166Rechteckquerschnitt, 218

Satz von CASTIGLIANO

erster, 183zweiter, 183

Satz von STEINER, 89Scherbeanspruchung, 4Scherfestigkeit, 240Scherspannung, 239Scherversuch, 240Schlankheitsgrad, 354Schnittgroßen, 7Schnittkrafte

innere, 7Schnittmethode, 7, 13, 279Schraubenfeder, 228Schrumpfspannungen, 42Schub, 279Schubbeanspruchung, 4Schubfestigkeit, 281Schubfluss, 214Schubkraft, 254Schubmittelpunkt, 250Schubmodul, 204Schubspannung, 8, 202, 243, 249, 261, 278,

280Schubspannungsverteilung, 206

parabolische, 246Schwellfestigkeit, 62Sicherheit, 2, 57, 311Sicherheitsbeiwert, 57Siebel, 67Simpson, 274Spannung, 7, 13

technische, 17wirksame, 63zulassige, 57, 222, 311

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Sachwortverzeichnis 411

Spannungs-Dehnungs-Diagramm, 17, 26Spannungsausschlag, 60Spannungsgefalle, 67Spannungsmatrix, 292Spannungsspitze, 66Spannungstensor, 9, 292Spannungsvektor, 8, 292Spannungszustand, 10

dreiachsiger, 292ebener, 284, 292, 298homogener, 281inhomoger, 281komplexer, 239raumlicher, 292zweiachsiger, 283, 284, 298

Spiel, 240Stutzwirkung, 65, 127, 128Stutzziffer, 65Stab, 3Stabilitatskriterium, 325Stabilitatsverlust, 324, 331Stabverlangerung, 182Stauchung, 26, 27Steiner, 87Stoßziffer, 63Streckgrenze, 23Superpositionsgesetz, 149, 298Superpositionsmethode, 176

Tangentialspannung, 8Teilschwerpunktsatz, 83Tetmajer, 355Theorie I. Ordnung, 323Theorie II. Ordnung, 324Theorie III. Ordnung, 324Thum, 66Torsion, 279Torsionsbeanspruchung, 6, 84, 313Torsionsfeder, 224Torsionsfestigkeit, 221Torsionsfließgrenze, 221Torsionsmoment, 201Torsionsschubspannung, 202Torsionsschwellfestigkeit, 221Torsionsstab, 201Torsionssteifigkeit, 208, 214Torsionsversuch, 221Torsionswechselfestigkeit, 221Torsionswinkel, 208Trager, 81

linienformiger, 1schwach gekrummter, 271stark gekrummter, 271

Tragfahigkeit, 14

Tragwerkflachenhaft, 3linienformig, 3

Trennbruch, 307Trennfestigkeit, 281, 307Tresca, 307

Unterspannung, 60

Verdrehung, 202Verformung, 5, 7, 271

bleibende, 12elastische, 12plastische, 12, 22

Verformungsbedingungen, 175Verformungsbruch, 307Vergleichsbeanspruchung, 7Vergleichsmoment, 311Vergleichsspannung, 255, 262, 308

wirksame, 312Verlangerung, 19Versagen

bleibende Formanderungen, 58Trennbruch, 58

Vertraglichkeitsbedingung, 366Verwolbung, 256Verzweigungspunkt, 327Volumenanderung, 302Volumenkrafte, 45von Bach, 61von Mises, 308

Wohler, 59Warmeausdehnungsgesetz, 42Warmeausdehnungskoeffizient, 42Warmedehnung, 352

behinderte, 42Warmespannungen, 42Wohlerkurve, 60Wechselfestigkeit, 62Werkstoff

duktiler, 24, 65, 127, 221sproder, 24, 65, 127, 221

Werkstoffkennwert, 301, 310Werkstoffkunde, 2Werkstoffprufung, 2Werkstoffverhalten

duktiles, 307elastisches, 19sprodes, 307

Widerstandsmoment, 106, 206, 214Windungsverhaltnis, 230

Zeitbruchgrenze, 25

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412 Sachwortverzeichnis

Zeitdehngrenze, 25Zeitfestigkeit, 61Zerreißen, 16, 24Zug, 7, 14, 127, 266, 279Zugbeanspruchung, 4, 16, 17, 26, 27, 48, 59,

68, 81, 128, 281, 303, 307Zugfeder, 20, 228Zugfestigkeit, 23, 28, 48, 61, 76, 109, 127, 307Zugkraft, 17, 23, 127

Zugspannung, 8, 13, 17, 39, 44, 46, 48, 51,127, 266, 369

Zugstab, 4, 13, 20, 21, 23, 45, 46, 64, 65, 116,182, 279, 281, 303

Dehnung, 19genormter, 16

Zugversuch, 10, 16, 17, 24, 25, 28, 58, 298,303, 373, 374

Zusatzsystem, 176