Anhang A
Losungen zu den Aufgaben
A.1 Kapitel 2
Losung der Aufgabe 2.1σ= 140N/mm2, F= 280N, Δh= 0,06mm
Losung der Aufgabe 2.2228 Einzeldrahte
Losung der Aufgabe 2.3a) außere Drahte: σ= 149N/mm2, Δl= 4,97mm,
innerer Draht: σ= 239N/mm2, Δl= 7,97mm,b) außere Drahte: σ= 209N/mm2, Δl= 6,97mm,
innerer Draht: σ= 119N/mm2, Δl= 3,97mm
Losung der Aufgabe 2.4Stahlzylinder σ=−120N/mm2, Graugussrohr σ=−72N/mm2,F= 253kN, σ=−293N/mm2.Ja, da diese Spannung weit unter der Druckfestigkeit von Grauguss liegt (σdB > 500N/mm2).
Losung der Aufgabe 2.5Losungsweg wie in Beispiel 2.10 mit α= 0 und l1 = l2. Verlangerung Δl= 2,62mmAluminiumstange: σ= 68N/mm2, Stangenkraft 12kN,Stahlstange: σ= 204N/mm2, Stangenkraft 16kN
Losung der Aufgabe 2.6Gewindegroße M 24
Losung der Aufgabe 2.7
a) σ(1) = 120N/mm2, FS1 = 75kN,b) F= 56kN (Abb. A.1 a),c) FS2 = 94kN, σ(2) = 25,2N/mm2,d) Δl1 = 1,8mm, dl2 = 1,8mm, vK = 3,5mm (Abb. A.1 b)
Losung der Aufgabe 2.8σ= 100N/mm2
Losung der Aufgabe 2.97650min−1
H. Altenbach, Holzmann/Meyer/Schumpich Technische Mechanik Festigkeitslehre,DOI 10.1007/978-3-658-06041-1, © Springer Fachmedien Wiesbaden 2014
386 A Losungen zu den Aufgaben
Abb. A.1 Kranauslegera) Krafteplan fur denKnoten Kb) Verschiebungsplan
a) b)
F
FS1 FS2
10 kN
Δl1
Δl2
vK
K
1 mm
Losung der Aufgabe 2.10di = 1798mm, Δϑ= 93K, p= 13,3N/mm2
Losung der Aufgabe 2.11
a) dw = 250,54mm,b) di = 249,775mm,c) σ= 108N/mm2, p= 8,64N/mm2
Losung der Aufgabe 2.12
1. a) 170 bzw. 85N/mm2,b) 0,56mm,c) 103K,
2. 340 bzw. 170N/mm2,3. 297N/mm2
Losung der Aufgabe 2.13
a) Mit der Anleitung in Abschnitt 2.4 und den Bezeichnungen von Abb. 2.23 ist
ΔdS =Δd1 +Δd2 = d0
(σAl
EAl+
σSt
ESt
)
Aus den Gln. (2.25) und (2.26) werden die Spannungen in der obigen Gleichung durch diegemeinsame Pressung p ersetzt, die man nummehr aus den gegebenen Großen berechnen kann:p= 7,5N/mm2.
b) Im Ring σAl = 37,5N/mm2, in der Buchse σSt =−150N/mm2.c) Zum Erwarmen des Ringes Δϑ =+52K, zum Unterkuhlen der Buchse Δϑ =−104K. Das
Anwarmen des Ringes ist sinnvoller und einfacher durchzufuhren.
Losung der Aufgabe 2.14Fzul = 12,55kN, Verlangerung unter Eigengewichtskraft 14,8cm, unter Last 12,55kN ist dieVerlangerung 33,9cm
Losung der Aufgabe 2.15
a) Querschnittsflache A= 90,9 ·104 mm2, a= 960mm,b) 46%,c) d= 163cm,d) Mit F. G = γAx. erhalt man die Eigengewichtskraft FG durch Integration
FG =
h∫0
γAx. mit A=A0eγ(h−x)
σzul und l=h .
A.3 Kapitel 4 387
A0 = 62,5 ·104 mm2, a0 = 790mm, A1 = 85,5 ·104 mm2, a1 = 925mm, Eigengewichtskraft36,7%
A.2 Kapitel 3
Losung der Aufgabe 3.1
1. a) 2,26,b) 1,67,c) 1,44,
2. a) ±19,2kN,b) 14±14kN
Losung der Aufgabe 3.2
a) F=±17,7kN,b) F= 7,3±14,6kN,c) F= 12,3±12,3kN,d) F= 20,25±6,75kN
Losung der Aufgabe 3.3σSch = 310N/mm2,
1. SD = 2,2. Fzul = 94±94kN
Losung der Aufgabe 3.4
1. F= 25kN,2. σn = 162N/mm2, σwirksam = 235N/mm2, σW = 180N/mm2,
ein Dauerbruch war nicht zu vermeiden3. ca. 28 cm Durchmesser
Losung der Aufgabe 3.5Zum Zeichnen des Verspannungsschaubilds A.2 werden benotigtFn = pd0 = 300N/mm, FB =pidi = 380N/mm, ΔdAl = 0,021mm, ΔdSt = 0,029mmPressung im Aluminiumring , p0 = 12,9N/mm2,Spannungen σ=σm ±σa = 51±13,5N/mm2, mit σA = 50N/mm2 ist SD = 2,31,Restpressung p ′
V in der Stahlbuchse 3,4N/mm2, Spannungen σ=−68N/mm2, ohne Schrump-fung σ=+190N/mm2
A.3 Kapitel 4
A.3.1 Abschnitt 4.1
Losung der Aufgabe 4.1a) Iy = 15,21 ·107 mm4 < 10,50 ·104 mm4 >, Iy = 6,47 ·107 mm4 < 1,72 ·104 mm4 >,b) Ia = 1,63 ·107 mm4 < 0,71 ·104 mm4 >, IpS = 3,26 ·107 mm4 < 1,42 ·104 mm4 >,c) Ia = 3,58 ·107 mm4 < 12,76 ·104 mm4 >, IpS = 7,16 ·107 mm4 < 25,52 ·104 mm4 >
388 A Losungen zu den Aufgaben
Abb. A.2 Verspannungsschaubild
ΔdAl ΔdStpd
0=
300
N/
mm
p′ Vd
0=
136
N/
mm
pidi=
380
N/
mm
p0d
0=
510
N/
mm
Losung der Aufgabe 4.2Fur Halbkreisring ist
γS =2
3πd3
a −d3i
d2a −d2
i
= 16,1mm, Iy = 25,5 ·104 mm4, Iη = 5,1 ·104 mm4
Losung der Aufgabe 4.3Die Diagonale a teilt das Quadrat in zwei Dreiecke: fur ein Dreieck (b=
√2a, h =
√2a/2) ist
(Tabelle 4.1) Ia =bh3/12 =a4/24, fur das Quadrat ist demnach Ia = 2a4/24 =a4/12 = Iy
Losung der Aufgabe 4.4zS = 198mm, Iy = 15,8 ·108 mm4, Iz = 2,7 ·108 mm4
Losung der Aufgabe 4.5zS = 129mm, Iy = 6,66 ·107 mm4, Anteil des Flachenmoments 17,5%, der Masse 30%
Losung der Aufgabe 4.6di = 136mm, da = 170mm
Losung der Aufgabe 4.7
(a+ey)2 =
Iy−Iz
A+e2
z (Iy und Iz aus Profiltafel [27]), 2a= 142mm
Losung der Aufgabe 4.8
a) Iy = 1584cm4, Iz = 466cm4, Iyz = 624cm4, ϕ1 =−α=−24,1◦, I1 = 1864cm4, I2 =
186cm4 (Abb. A.3 a),b) Iy = 1923cm4, Iz = 856cm4, Iyz = 180cm4, ϕ1 =−α=−9,35◦, I1 = 1952cm4, I2 =
827cm4, yS = 43,6mm, zS = 78,6mm (Abb. A.3 b),c) Iy = 41,25cm4, Iz = 13,13cm4, Iyz = −11,63cm4, ϕ1 = α = 19,8◦, I1 = 45,44cm4,
I2 = 8,94cm4, yS = 13,3mm, zS = 23,3mm (Abb. A.3 c)
A.3 Kapitel 4 389
a) b) c)
SSS
v
v
v
www
y
yy
zzz
Abb. A.3 Querschnitte mit Koordinatensystemen
A.3.2 Abschnitt 4.2
Losung der Aufgabe 4.9
a) Wb = 444 ·103 mm3,b) z1 = 66mm, z2 = 94mm, Wb1 = 295 ·103 mm3, Wb2 = 207 ·103 mm3,c) z1 = 86,7mm, z2 = 73,3mm, Wb1 = 317 ·103 mm3, Wb2 = 375 ·103 mm3
d) z1 = 136mm, z2 = 139mm, Wb1 = 555 ·103 mm3, Wb2 = 545 ·103 mm3
Losung der Aufgabe 4.10
a) 1. σb = 50N/mm2,2. σb = 53,5 bzw. 84,5N/mm2,
b) da = 102mm bzw. 120mm, di = 51 bzw. 96mm (Abb. A.4),c) Masseersparnis nach a) 25% bzw. 64%, nach b) 22% bzw. 48%, Zunahme der Randspannungen
nach a) 7% bzw. 69%, nach b) 0%
a) b) c)
∅10
0
∅10
0
∅10
0
σbσbσb
zzz
50N/mm2
∅50
53,5N/mm2
21,75N/mm2
∅80
84,5N/mm2
67,5N/mm2
Abb. A.4 Biegespannungsverlaufa) in der Vollwelleb) in einer Hohlwelle mit großer Wandstarkec) in einer Hohlwelle mit kleiner Wandstarke
390 A Losungen zu den Aufgaben
Losung der Aufgabe 4.11
a) a= 64mm, Mb zul = 6,1 ·106 Nmm,b) h= 90mm, b= 45mm, Mb zul = 8,5 ·106 Nmm,c) d= 72mm, Mb zul = 5,15 ·106 Nmm,d) I, 220 Mb zul = 39 ·106 Nmm,e) L 130×75×10, Mb zul = 11 ·106 Nmm,f) da = 120mm, di = 96mm, Mb zul = 14 ·106 Nmm .
Tragfahigkeit, bezogen auf den Kreisquerschnitt, bei a) 1,18, b) 1,65, c) 1, d) 7,57, e) 2,14,f) 2,72fach. Die Kreiswelle als ubliche Querschnittsform im Maschinenbau fur Hebel, Wellenusw. hat die geringste Tragfahigkeit. Die Werkstoffausnutzung ist um so besser, je weiter dasMaterial von der Nulllinie entfernt liegt. Also Hohlwellen im Maschinenbau, Bauprofile imStahl- und Hochbau verwenden (Leichtbau).
Losung der Aufgabe 4.12
a) qzul = 600N/m,b) Fzul = 10 ·104 N
Losung der Aufgabe 4.13z1 = 57,5mm, Iy = 2875mm4, σbd = 40N/mm2, σbz = 99N/mm2 (Abb. A.5)
Abb. A.5 Biegespannungsverlaufim T-Tragerquerschnitt
x
z
σb−40N/mm2
99N/mm2
Losung der Aufgabe 4.14
a) σb = 145N/mm2,b) da = 57mm, di = 40mm,c) 39%
Losung der Aufgabe 4.15l=
√dσF/ρ= 7,3m
Losung der Aufgabe 4.16
a) h(x) = h0x/l, Gerade, Abb. A.6 a)b) b(x) = b0x
2/l2, Parabel, Abb. A.6 b)
A.3 Kapitel 4 391
Abb. A.6 Formgebung vonFreitragern nach Abb. 4.50mit gleichmaßig verteilterLast q fur gleiche Biegebe-anspruchung, Begrenzung derLangsschnittea) Gerade Linienb) Parabel
a)
b)
x
x
l
h(x)
b0
b0
h0
h0
b(x)
Losung der Aufgabe 4.17
a) Aus der Tabelle in [27] fur I-Stahl erhalt man Wb = 54,7cm3, mit einer Lasche ist Wb1 =
117cm3, mit zwei Laschen Wb2 = 184cm3:
Mb(x)=ql2
2
[x
l−(xl
)2]
, Mb max =ql2
8= 225 ·105 Nmm, σb max = 122N/mm2 .
Fur eine zeichnerische Losung ist die folgende Parabel darzustellen
Wb(x) =Mb(x)
σb max=Wb2 =
Mb(x)
Mb max=Mb24
[x
l−(xl
)2]
.
Die diese Parabel schneidenden, zur x-Achse parallelen Geraden im Abstand Wb und Wb1ergeben die gesuchten Langen: l1 ≈ 2500mm,l2 ≈ 1800mm (Abb. A.7 a).
a) b) x/lx/l
Wb/
4Wb2
0 0,5 1
Wb/
4Wb2
Wb1/
4Wb2
Wb2/
4Wb2
l2/l= 0,6l1/l= 0,83
100
200
300
400
σb max
Mb max/Wb1
Mb max/Wb
σb
Ran
d[N
/mm
2]
Abb. A.7 Tragers annahernd konstanter Biegebeanspruchung nach Abb. 4.33a) Widerstandsmomentlinie Wb(x)
b) Randspannungsverlauf
392 A Losungen zu den Aufgaben
Rechnerische Losung: Aus der Parabelgleichung folgt die quadratische Gleichung fur x
(xl
)2−
x
l−
14Wb(x)
Wb2= 0
mit der hier brauchbaren Losung
x
l=
12
(1−
√1−
Wb(x)
Wb2
).
Dax1,2
l=
12
(1−
l1,2
l
)ist (Abb. A.7 a), ergibt sich
l1 = l
√1−
Wb
Wb2= 0,84l= 2,52m, l2 = l
√1−
Wb1
Wb2= 0,6l= 1,80m.
b) Abb. A.7 bc) σb = 410N/mm2, der Trager wurde diese Spannung nie erreichen, da das Material vorher
fließt.d) I 200, Wb = 214cm3, σb = 105N/mm2,e) 7,7%
A.3.3 Abschnitt 4.3
Losung der Aufgabe 4.18Iy = 7,8 ·107 mm4,Iz = 4,45 ·107 mm4,Iyz = 0mm4,FS = 2kN,α= 60◦ ,β= 18,25◦ ≈ 18◦
(Abb. A.8)
Abb. A.8 Nulllinie undLastebene des Gittermastes y
z
S
α= 60◦
β= 18◦
Last
eben
e
Nulllinie
140
mm
Losung der Aufgabe 4.19β= 40,1◦ ≈ 40◦, σb max = 123N/mm2 (Abb. A.9)
Losung der Aufgabe 4.20Die Spur der Lastebene liegt um 21,5◦ gegenuber der z-Achse nach rechts geneigt.
A.4 Kapitel 5 393
Abb. A.9 Nulllinie und Las-tebene des Freitragers
y
z
S
Lastebene
Nullli
nie67 mm
α= 30◦ β= 40 ◦
Losung der Aufgabe 4.21
a) Iy = 24,9 ·106 mm4, Iz = 8,7 ·106 mm4, Iyz = 8,1 ·106 mm4, α= 22,5◦,I1 = 28,25 ·106 mm4, I2 = 5,35 ·106 mm4, β= 14,35◦ ,Zug 143N/mm2 links oben, 138,5N/mm2 rechts unten,
b) Zug 76N/mm2 links oben, 90N/mm2 rechts unten
A.3.4 Abschnitt 4.4
Losung der Aufgabe 4.22αK = 2,46, SD = 1,65
Losung der Aufgabe 4.23
a) Fa,zul = 200N,b) βK = 2,08, βKσn = 420N/mm2 zulassige Spannung uberschritten,c) 135mm
Losung der Aufgabe 4.24
a) Mb1 = 40 ·106 Nmm, Mb2 = 40 ·106 Nmm,b) h= 970mm .c) Mit der Zugschwellfestigkeit σz Sch = 220N/mm2 und σwirksam = 105N/mm2 ist SD = 2,1 .
A.4 Kapitel 5
Losung der Aufgabe 5.1s. Tabelle 5.1
Losung der Aufgabe 5.2
I0 =b0h30/12,w(x)=
Fl3
2EI0
(1−
x
l
)2,f=
Fl3
2EI0,w ′(x) =
Fl2
EI0
(xl−1
), tanα=−
Fl2
EI0
394 A Losungen zu den Aufgaben
Losung der Aufgabe 5.3Aus Abb. 4.21 a) entnimmt man F1 = F = 2000N,F2 = F3 = 5F, l= 750mm, l2 = 450mm,l3 = 200mm, l2/l= 3/5, l3/l= 4/15, dann ist
f= f11 +f21 + tanα21l
(1−
l2
l
)+f31 + tanα31l
(1−
l3
l
)=−
9134 ·5
Fl3
EI=−0,505mm,
tanα= tanα11 + tanα21 + tanα31 =232
Fl2
EI= 0,000665, α= 0,0381◦
Losung der Aufgabe 5.4
a)
f1 =l3
48EIa
(F1 +F2 ·3
a
l
)= 3
Fl3
48EIa,
f2 = −l3
48EIa
a
l
[3F1 +F2 ·16
a
l
(1+
a
l
)]=−5,74
Fl3
48EIa,
FA =76F, FB =−
136F, MbF1 =
712
Fl, MbB =8
12Fl,
b)
f1 =l3
48EIa
(F1 −F2 ·3
a
l
)=−1
Fl3
48EIa,
f2 = −l3
48EIa
a
l
[3F1 −F2 ·16
a
l
(1+
a
l
)]= 3,74
Fl3
48EIa,
FA =−16F, FB =
196F, MbF1 =−
112
Fl, MbB =−812
Fl
Die Lastrichtung in b) ist mit Rucksicht auf die Durchbiegung gunstiger, mit Rucksicht auf die Bie-gemomente gleichwertig und mit Rucksicht auf die Lagerkrafte ungunstiger als die Lastrichtungin a).
Losung der Aufgabe 5.5Der Ansatz f= fm (Tabelle 5.1, Zeile 6) ergibt die quadratische Gleichung
(al
)2+
32a
l−
38= 0
mit der brauchbaren positiven Losung a/l= 0,218,l= 458mm,f= fm = 3,5mm. Mit fm =
1mm ist l= 245mm und f= 2,08mm.
Losung der Aufgabe 5.6f= 21,3mm
Losung der Aufgabe 5.7ρ= 10m, f= 333mm, α= 6,9◦
Losung der Aufgabe 5.8fy = 16,65mm, fz = 7,5mm, f= 11,65mm
A.5 Kapitel 6
Losung der Aufgabe 6.1s. Beispiel 6.1
A.6 Kapitel 7 395
Losung der Aufgabe 6.2FA = FD =−(27/88)F=−1,35kN,FB = FC = (77/88)F= 3,55kN, σb = 58,9N/mm2,fF = (17/44)Fl3/48EI= 0,0585mm,σb = 99,7N/mm2
Losung der Aufgabe 6.3
1. I 4502. a) FC = 5ql/8 = 150kN, σb = 44,1N/mm2,
b) FC =5ql/8
1+48hI
l3A
= 1,491 ·105 N, σd = 19,3N/mm2, I 360
Losung der Aufgabe 6.4
a) FA = 1,363F, MA =−0,289Fl, FB = 1,637F,MB =−0,343Fl, MbF = 0,052Fl, Mb2F = 0,203Fl,
b) FA = 0,25F, FB = F, FC = F, FD =−0,25F,Mb(l/2) =Mb(5l/2) = 0,125Fl, Mb(l) =Mb(3l) =−0,25F
Losung der Aufgabe 6.5FA = 26,1kN,FB = 84,2kN,FC = 10,0kN, gefahrdeter Querschnitt in B σb = 104N/mm
A.6 Kapitel 7
A.6.1 Abschnitt 7.1
Losung der Aufgabe 7.1
a) d= 40mm,b) da = 44mm, di = 33mm (aufgerundet), 47%
Losung der Aufgabe 7.2d= 2 mm, l= 139 mm, W = 350 Nmm
Losung der Aufgabe 7.3
a) τt = 285N/mm2, ϕ= 6,7◦,b) d= 38mm, ϕ= 5,2◦, m�/m◦ ≈ 2
Losung der Aufgabe 7.4α4/(1−α4), α2 (Abb. A.10)
Losung der Aufgabe 7.5
a) τt = 225N/mm2 bzw. 318N/mm2,b) l1 = 1050mm, ϕ= 6,8◦,c) W = 237 ·103 Nmm, m�/m◦ ≈ 3,5
Losung der Aufgabe 7.6
a) Mt = 1,47 ·107 Nmm,b) ϑ= 1,75◦/m,c) W = 224 ·103 Nmm
396 A Losungen zu den Aufgaben
Abb. A.10 Schubspannungszunahme(1) und Masseersparnis (2)in % in Abhangigkeit vomWanddik-kenverhaltnis α
Wanddickenverhaltnis α
1Sc
hubs
pann
ungs
zuna
hme
in%
2M
asse
ersp
arni
sin
%
0, 2 0,4 0,6 0,8 1,0
20
40
60
80
100
0
1
2
Losung der Aufgabe 7.7Kreis Kreisring Rechteck
a) d= 22mm, da = 22mm, di = 17mm, h= 90mm, s= 30,5mm,b) s= 27,2mm, s= 25,6mm, s= 30,5mm,c) c= 74N/mm, c= 78N/mm, c= 66N/mm,d) W = 272 ·102 Nmm, W = 256 ·102 Nmm, W = 305 ·102 NmmMassen verhalten sich wie 1,65 : 1 : 3,5 .
Losung der Aufgabe 7.8αk = 1,93, SD = 1,9, ϕ= 2,3◦
A.6.2 Abschnitt 7.2
Losung der Aufgabe 7.9
a) d= 3,1mm, R= 7,75mm, i= 49,5,b) lE = 160mm + Anschlussosen,c) l≈ 2500mm
Losung der Aufgabe 7.10
a) s= 37,5mm, c= 226N/mm, τi = 198,5N/mm2,b) d= 2,1cm, i= 10, τi = 169,5N/mm2
Die Rechteckfeder ist etwa doppelt so schwer wie die beiden Kreisfedern.
Losung der Aufgabe 7.11
a) Fzul = 8,8kN (fur eine Feder), s= 38,3mm, lE = 298mm,b) a= 28,3mm, R= 71mm, i= 7, lE = 303mm
Losung der Aufgabe 7.12szul = 20mm, c= 33N/mm, Fzul = 660N, W = 66 ·102 Nmm
A.8 Kapitel 9 397
A.7 Kapitel 8
Losung der Aufgabe 8.1
a) l= 51cm,b) τq max = 16,5N/mm2
Losung der Aufgabe 8.2τs = 28,5N/mm2, s= 55mm
Losung der Aufgabe 8.3d1 = 15mm, τp max = 43,7N/mm2
Losung der Aufgabe 8.44,7 m, 57 kN
Losung der Aufgabe 8.5
a) 98,5N/mm2,b) 37N/mm2,c) 79 bzw. 24,5N/mm2
A.8 Kapitel 9
A.8.1 Abschnitt 9.1
Losung der Aufgabe 9.1β= 5,9◦, u0 = 11,9cm, σ= 102N/mm2 in A, σ=−53N/mm2 in B
Losung der Aufgabe 9.2z0 = 6,95mm, σ= 97N/mm2, σ=−47N/mm2
Losung der Aufgabe 9.3d= 11,9mm, σd = 13,5N/mm2, σb =±96,5N/mm2
Losung der Aufgabe 9.4
λ= 8r2
0
d2
⎡⎣1−
√1−
(d/2r0
)2⎤⎦−1
oder umgeformt
λ=
1−
√1−
(d/2r0
)2
1+
√1−
(d/2r0
)2= 0,0718.
Da 1+(Mby/Fnr0) = 1−(Fr0/Fr0) = 0, ist z0 = 0.
σx(z=−d/2) = 13,92F
A, σx(z= d/2) = 4,64
F
A
(Abb. A.11). Nach linearer Biegegleichung 9F/A bzw. −7F/A.
398 A Losungen zu den Aufgaben
Abb. A.11 Spannungsverteilung
z/d
bezo
gene
Span
nung
σx
F/A
00
2
4
6
8
10
12
14
−2
−4
−6
−0,25
0,25 0,5
−0,5
2
1
A.8.2 Abschnitt 9.2
Losung der Aufgabe 9.12Abb. A.12Zugseite 1: σ1 = 100N/mm2, σ2 = 0N/mm2,α= 45◦,Druckseite 2: σ1 = 81N/mm2, σ2 =−31N/mm2, α= 31,7◦ ,σb = 0N/mm2, 3: σ1 = 89N/mm2, σ2 =−14N/mm2, α= 38,5◦,τ= 0N/mm2, Zugseite 4: σ1 = σ2 = 50N/mm2,τ= 0N/mm2, Druckseite 4: σ1 = 50N/mm2, σ2 = 0N/mm2, α= 0◦
Abb. A.12 Losungsbild σt
σt
σl
σl
−τ
−τ
τ
τ
σbσb
−σb−σb
Losung der Aufgabe 9.13σ1 = 180N/mm2, σ2 =−120N/mm2, α= 26,5◦,τmax = 150N/mm2, σ45◦ =−30N/mm2, β=−18,5◦
A.8 Kapitel 9 399
aa
ε1,σ1
ε1,σ1 ε2,σ2
ε2,σ2
α=−19,3◦
α ′ = 25,7◦
α= 19,3◦
α ′ =−25,7◦
ττ
σbσb
Abb. A.13 Losungsbild
A.8.3 Abschnitt 9.3
Losung der Aufgabe 9.7
1. 1 : 0,05%−0,015%, 2 : 0,0452%−0,0277%, 3 : 0,0466%−0,0204%, 4 : 0,0175%,5 : 0,025%−0,0075%
2. 0,108%−0,087%
Losung der Aufgabe 9.8
a) σ=Eε/(1−ν), ε1 = ε2 = ε,b) τ=Eε45◦/(1+ν), ε2 =−ε1 = ε45◦ ,c) σ1 = Eε1/(1−ν/2), σ2 = Eε2/(1−2ν), ε1 = (2−ν)ε2/(1−2ν)
Losung der Aufgabe 9.9
A : B :
ε1 = 55,6 ·10−5, ε1 = 27,6 ·10−5,ε2 = −27,6 ·10−5, ε2 = −55,6 ·10−5,α = 19,3◦, α = −19,3◦,σ1 = 104N/mm2, σ1 = 24N/mm2,σ2 = −24N/mm2, σ2 = −104N/mm2
Normalspannungen σx =σb =±80N/mm2, Schubspannungen τ= 50N/mm2 (Abb. A.13),Biegemoment ca. 6kNm, Drehmoment ca. 7,5kNm
Losung der Aufgabe 9.10σ= 523N/mm2, Δda = 3,8mm
Losung der Aufgabe 9.11σt = 16N/mm2, σl = 8N/mm2, pi = 0,4N/mm2
400 A Losungen zu den Aufgaben
A.8.4 Abschnitt 9.4
Losung der Aufgabe 9.12
1. 1: σV(N) =σV(Sch) =σV(GE) =σ1 = 100N/mm2,2: 81/112/100N/mm2,3: 89/103/96,7N/mm2,4 und 5: je 50N/mm2,
2. 180/300/261,5N/mm2
Losung der Aufgabe 9.131: 150, 2: 159, 3: 160, 4: 151, 5: 139,5, 6: 130, 7: 123,7N/mm
Losung der Aufgabe 9.14123,7N/mm2,154kN,830Nm,151,3N/mm2,−28,7N/mm2,0,221%,−0,112%,23,6◦
Losung der Aufgabe 9.151,48fache Sicherheit (mit b0 = 0,7) nach der GE-Hypothese
Losung der Aufgabe 9.16119 kW
Losung der Aufgabe 9.17
a) 75N/mm2,b) 2,c) 1,5N/mm2
Losung der Aufgabe 9.18
a) 55N/mm2, 86Nm,b) 57,5Nm,c) 103N/mm2 bzw. −30N/mm2, 0,053 bzw. −0,029 %, 28 bzw. 118◦
A.9 Kapitel 10
Losung der Aufgabe 10.1dm = 200mm, t= 10mm
Losung der Aufgabe 10.2Fzul = 3,77kN
Losung der Aufgabe 10.3
a) Ierf = 154mm2 U 80,b) d= 27mm
Losung der Aufgabe 10.4F= 175kN
Losung der Aufgabe 10.5mind. 65×9 (σ= 137N/mm2)
Losung der Aufgabe 10.6σ= 92,9N/mm2
A.10 Kapitel 11 401
Losung der Aufgabe 10.7t� 0,875mm
Losung der Aufgabe 10.8tD = 8mm(7,9), pBeul = 0,0585N/mm2
A.10 Kapitel 11
Losung der Aufgabe 11.1
a) σri =−90N/mm2, σti = 150N/mm2, σV max = 240N/mm2,b) p ′
i = 135N/mm2 (11.30), mit β= 1,1 ist nach W. u. B. σV =βp ′i rm/t= 222,5N/mm2
Losung der Aufgabe 11.2
a) da1 = 280mm, da2 = 340mm, da3 = 400mm, σV = 233/252/267N/mm2,b) da1 = 280mm, da2 = 375mm, da3 = 550mm, 0%/25%/54%
Losung der Aufgabe 11.3
Mit N=ESt
ECu
(η2
i +1
η2i −1
−μ
)+
η2a +1
η2a −1
+μ ist
c1 = pi1
η2i −1
−2pi
N
ESt
ECuη2
i1
(η2i −1)2
= 0,14pi,
c2 = −pir2
1
η2i −1
+2pi
N
ESt
ECu
1
(η2i −1)2
= 0,792pir21,
c3 =2pi
N
ESt
ECu
1
(η2i −1)2
1(η2
a −1)2 = 0,522pi ,
c4 = −2pir
2a
N
ESt
ECu
1
(η2i −1)2
1(η2
a −1)2 = −0,522pir2a
im Kupferrohr im Stahlrohrσri = −150N/mm2, σr1 = −98N/mm2,σti = 192N/mm2, σt1 = 254,5N/mm2,σr1 = −98N/mm2, σra = 0N/mm2,σt1 = 140N/mm2, σra = 156,5N/mm2,σV max = 342N/mm2, σV max = 352,5N/mm2
Losung der Aufgabe 11.4
a) Der Ansatz σV = σt −σr fur die Innenwandungen der drei Teilrohre fuhrt auf das Glei-chungssystem
σV = −2p1η2
i
η2i −1
+ 2piη2
η2 −1,
σV = 2p1η2
i
η2i −1
− 2p2η2
1
η21 −1
+ 2piη2
1η2a
η2 −1,
σV = 2p2η2
a
η2a −1
+ 2piη2
a
η2 −1
402 A Losungen zu den Aufgaben
mit den Losungenpi = 372,5N/mm2, p1 = 106,5N/mm2, p2 = 87N/mm2
σri = −372,5N/mm2, σt1 = 27,5N/mm2,σr1 = −261,5N/mm2, σt1 = −84/138,5N/mm2,σr2 = −111N/mm2, σt2 = −12/289N/mm2,σra = 0N/mm2, σta = 178N/mm2,σV max = 785N/mm2,
b) σV = 785N/mm2
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Sachwortverzeichnis
Abscheren, 221, 242Achse, 5, 132Ausgangsquerschnitt, 17, 23Ausschlagfestigkeit, 61, 66Außendruck, 40, 281, 358, 363Axialdruck, 357
Balken, 3, 5, 81, 101, 121, 143, 243Balkenachse, 81, 101, 103, 104, 121, 143Baustahl, 17, 22, 312Bauteile, 1
Berechnung, 28ringformige, 39rotationssymmetrische, 363
Beanspruchungdynamische, 58, 221einfache, 261mehrachsige, 298, 307, 308ruhende, 58, 61, 221schwellende, 62schwingende, 58statische, 58wechselnde, 62zusammengesetzte, 7, 111, 261, 307
Beanspruchungsart, 2, 3Behalter, 40, 281
dunnwandiger, 281kugelformiger, 281zylindrischer, 281
dickwandiger, 364zylindrischer, 366
Belastungsfalleeinfache, 28
Belastungskollektiv, 59Bemessung, 68, 107, 115, 167, 207, 226, 231,
371Bernoulli, 104
Beuldruck, 358Beulen, 6, 323, 357Beulspannung, 357, 358Bezugsachse, 82, 90, 91Biegebalken, 11, 183Biegebeanspruchung, 101, 105, 111, 191, 209,
243, 249, 264, 312, 313, 323dynamische, 128ruhende, 127, 129schwingende, 129
Biegebruch, 249Biegedehngrenze, 127Biegefeder, 163, 166, 224, 353Biegefestigkeit, 128, 129, 249Biegefließgrenze, 127Biegelinie, 143, 144, 146, 345
Differentialgleichung 2. Ordnung, 146Differentialgleichung 4. Ordnung, 157
Biegemoment, 11, 81, 102, 111, 116, 127, 143,148, 157, 162, 170, 175, 228, 243, 257,262, 271, 344
Biegemomentvektor, 121, 122, 170Biegerandspannung, 106Biegespannung, 27, 103, 104, 106, 111, 122,
125, 127, 143, 163, 168, 239, 346maximale, 111resultierende, 121
Biegesteifigkeit, 146Biegeverformung, 143Biegung, 5, 81, 101, 175, 279
allgemeine, 121gerade, 101, 267querkraftfreie, 102reine, 102, 256schiefe, 121, 170
Bifurkationspunkt, 327Blattfeder, 106, 165
H. Altenbach, Holzmann/Meyer/Schumpich Technische Mechanik Festigkeitslehre,DOI 10.1007/978-3-658-06041-1, © Springer Fachmedien Wiesbaden 2014
408 Sachwortverzeichnis
geschichtete, 118Boltzmann, 204Bruch, 23, 25, 58–60, 65, 127, 346Bruchdehnung, 23Brucheinschnurung, 23Bruchflache, 23, 281Bruchhypothesen, 307Bruchmoment, 127
Castigliano, 179Cauchy, 9Cauchy’sches Lemma, 9Clapeyron, 179Coulomb, 307
Dauerbruch, 59, 68, 128, 129, 311, 312Dauerfestigkeit, 59, 60Dauerfestigkeitsschaubild, 221de St. Venant, 11Dehngrenze, 22, 24, 28, 58
bei nichtproportionaler Dehnung, 22Dehngrenzenverhaltnis, 127Dehnung, 16–18, 46, 104, 143, 272, 298, 299,
302–304beim Bruch, 23bleibende, 22, 24, 127plastische, 65technische, 16
Dehnungsmessung, 304Descartes, 10Dimensionierung, 2, 14Dirichlet, 326Drehmoment, 201, 202, 364Drehstab, 201, 226Drehstabfeder, 6, 209, 224Dreieckfeder, 118Drillmoment, 201Druck, 7, 14, 127, 197, 266, 279, 282, 283Druckbeanspruchung, 4, 14, 26, 27, 36, 81,
264, 281, 303, 307, 323Druckbeanspruchung schlanker Stabe, 6Druckbehalter, 7, 12, 368, 369, 373, 375, 379Druckfestigkeit, 28, 127Druckkraft, 127, 265, 344, 347, 348, 352Druckspannung, 8, 14, 26, 27, 36, 127, 266,
346, 369Druckstab, 4, 14, 34, 281, 331, 344Druckversuch, 26, 28, 308Durchbiegung, 5, 7, 143, 144, 168, 182, 191,
257bei schiefer Biegung, 170kleine, 145resultierende, 170
Durchmesseranderung, 16, 41, 368
Durchmesserverhaltnis, 208, 369
Ebenbleiben der Querschnitte, 256Eigengewicht, 45, 46, 49Eigenspannungen, 42Einschnurdehnung, 23Einschnurung, 24Einzelbeanspruchung, 7elastische Feder, 20elastische Linie, 143Elastizitatsgrenze, 22Elastizitatsmodul, 18, 24, 25, 144, 146, 204,
354Empfindlichkeitszahl, 66Energie
elastische, 182potentielle, 324
Energiesatz, 164, 224Entlastung, 17Ersatzstreckgrenze, 24Euler, 331Euler’sche Knickkraft, 346, 347Eulerbereich, 354Eulerkurve, 354, 355Exzentrizitat, 344
Feder, 20, 118, 225, 231Federkonstante, 20, 74, 165, 166, 225, 231Federkraft, 20Federvolumen, 21Federweg, 20, 231Festigkeitsbedingung, 14, 48, 106, 111, 207,
214, 230, 240, 266, 371Festigkeitsberechnung, 2, 11, 12, 57, 60, 175,
304, 306, 371Festigkeitshypothesen, 306–308Festigkeitslehre, 1, 2, 7, 10, 12, 57, 82, 104,
179, 299Aufgabe, 1Berechnungsverfahren, 2Teilaufgaben, 2Ziele, 2
Flachenmoment, 820. Ordnung, 821. Ordnung, 832. Ordnung, 84
axial, 84Dreieck, 87Kreisring, 86Rechteck, 85Vollkreis, 86
gemischt, 84polares, 84statisch, 83
Sachwortverzeichnis 409
Flachenpressung, 36, 38Fliehkraft, 51Fließgrenze, 22, 58Formanderungen, 175Formanderungsarbeit, 20, 163, 166, 204, 223,
225, 256spezifische, 21, 163, 166, 205, 223, 225
Formzahl, 64, 221
Galilei, 307Gerber, 175Gestaltanderung, 299, 309Gestaltanderungsenergie, 308Gleichgewichtsbedingung, 13, 125, 364Gleichgewichtsbedingungen, 12, 175, 285Gleichgewichtslage, 324
indifferent, 324labil, 324stabil, 324
Gleichmaßdehnung, 23Gleitbruch, 307Gleitfestigkeit, 307Gleitmodul, 204Gleitung, 299Gleitwinkel, 204, 205Grenzbeanspruchung, 2Grenzschwingspielzahl, 60Grenzspannung, 57–59, 61, 62, 127, 128, 221,
306, 310Grundbeanspruchung, 3, 306
Biegebeanspruchung, 5Druckbeanspruchung, 4Knickbeanspruchung, 6Torsionsbeanspruchung, 6Verdrehbeanspruchung, 6Zugbeanspruchung, 4
Grundbeanspruchungsarten, 279
Hauptachsen, 98Hauptdehnung, 299
Richtung, 300Hauptflachenmomente, 99Hauptschnitt, 286Hauptspannung, 286, 292, 299, 364
Berechnung, 292Richtung, 293
Hauptsystem, 176Hencky, 308Hilfskraft, 185Hilfsmoment, 185Hohlkorper
zylindrischer, 40Hohlquerschnitt
geschlossen, 213
Hohlquerschnittedunnwandige, 212, 214
Hohlstab, 208Hooke, 18Hooke’sche Gerade, 18, 26Hooke’sches Gesetz, 18, 204
erweitertes, 299Huber, 308Hypothese der großten Gestaltanderungsener-
gie, 308, 309Hypothese der großten Hauptspannung, 309Hypothese der großten Normalspannung, 307Hypothese der großten Schubspannung, 307,
309
Ingenieurdehnung, 16Ingenieurspannung, 17Innendruck, 40, 281, 283, 367, 369, 372, 373,
375, 378, 379
Johnson, 355Johnson-Parabel, 356
Korperhomogener, 2isotroper, 2konstanter Beanspruchung, 49
Kastenprofilgeschlossen, 214
Kennwerte, 16, 23, 25, 27, 58, 60, 204, 221,301, 302, 310
Kerbempfindlichkeit, 66Kerbempfindlichkeitszahl, 66Kerbform, 64, 66Kerbgrund, 64, 65, 67Kerbradius, 64Kerbspannung, 64, 65
wirksame, 66Kerbwirkung, 63, 65, 66, 68, 111, 121, 128,
221, 307, 312Kerbwirkungszahl, 66, 221Kesselformel, 282Knickbeanspruchung, 324Knickform, 333Knickgleichung, 332Knickkraft, 331, 346Knicklange, 343Knicksicherheit, 348Knickspannung, 347, 354Knickspannungsdiagramm, 354Kompatibilitatsbedingung, 205Krummung, 143–145, 228Krummungsradius, 64, 104, 143, 144, 271,
274, 361
410 Sachwortverzeichnis
Kraftkritische, 324, 333
Kraftangriffaußermittig, 344exzentrisch, 265mittige, 347
Kriechen, 25
Langskrafte, 81Lagerreaktionen, 175Lagerungsfalle des Knickproblems, 336Lagrange, 326Lame, 307Lastangriff
exzentrischer, 263Lastfalle, 61Lochleibungsdruck, 38
Maxwell, 307Minding, 326Mittelspannung, 60Mohr, 288Mohr’scher Spannungskreis, 288
Neigungswinkel, 145kleiner, 145
Nennschubspannung, 221Nennspannung, 63, 64, 68, 130neutrale Schicht, 103Normalkraft, 262Normalspannung, 8, 13, 201, 261, 279, 280,
364Nulllinie, 103, 121, 264, 266
Oberflacheneinfluss, 68Oberflachenfaktor, 68Oberflachenziffer, 68Oberspannung, 60
Pendelstutze, 188Peterson, 67Poisson, 18Poisson’sche Konstante, 18Poisson’sches Gesetz, 18, 27Poissonzahl, 19polares Flachenmoment, 214Presspassungen, 240Pressung, 38, 44, 379–383Prinzip von DE ST. VENANT, 11, 14, 282Profilquerschnitt
offen, 218Profiltrager, 249Proportionalitatsgrenze, 22, 27
Querdehnung, 16, 27Querkontraktion, 16Querkontraktionszahl, 19Querkrafte, 81, 243Querschnittsfaktor, 273Querschnittsverwolbung, 205, 213Quertrager, 188Quetschgrenze, 27
Rahmen, 194Randbedingung
dynamische, 157homogene, 159inhomogene, 159kinematische, 146
Randschubspannung, 206, 209Raumzahl, 166Rechteckquerschnitt, 218
Satz von CASTIGLIANO
erster, 183zweiter, 183
Satz von STEINER, 89Scherbeanspruchung, 4Scherfestigkeit, 240Scherspannung, 239Scherversuch, 240Schlankheitsgrad, 354Schnittgroßen, 7Schnittkrafte
innere, 7Schnittmethode, 7, 13, 279Schraubenfeder, 228Schrumpfspannungen, 42Schub, 279Schubbeanspruchung, 4Schubfestigkeit, 281Schubfluss, 214Schubkraft, 254Schubmittelpunkt, 250Schubmodul, 204Schubspannung, 8, 202, 243, 249, 261, 278,
280Schubspannungsverteilung, 206
parabolische, 246Schwellfestigkeit, 62Sicherheit, 2, 57, 311Sicherheitsbeiwert, 57Siebel, 67Simpson, 274Spannung, 7, 13
technische, 17wirksame, 63zulassige, 57, 222, 311
Sachwortverzeichnis 411
Spannungs-Dehnungs-Diagramm, 17, 26Spannungsausschlag, 60Spannungsgefalle, 67Spannungsmatrix, 292Spannungsspitze, 66Spannungstensor, 9, 292Spannungsvektor, 8, 292Spannungszustand, 10
dreiachsiger, 292ebener, 284, 292, 298homogener, 281inhomoger, 281komplexer, 239raumlicher, 292zweiachsiger, 283, 284, 298
Spiel, 240Stutzwirkung, 65, 127, 128Stutzziffer, 65Stab, 3Stabilitatskriterium, 325Stabilitatsverlust, 324, 331Stabverlangerung, 182Stauchung, 26, 27Steiner, 87Stoßziffer, 63Streckgrenze, 23Superpositionsgesetz, 149, 298Superpositionsmethode, 176
Tangentialspannung, 8Teilschwerpunktsatz, 83Tetmajer, 355Theorie I. Ordnung, 323Theorie II. Ordnung, 324Theorie III. Ordnung, 324Thum, 66Torsion, 279Torsionsbeanspruchung, 6, 84, 313Torsionsfeder, 224Torsionsfestigkeit, 221Torsionsfließgrenze, 221Torsionsmoment, 201Torsionsschubspannung, 202Torsionsschwellfestigkeit, 221Torsionsstab, 201Torsionssteifigkeit, 208, 214Torsionsversuch, 221Torsionswechselfestigkeit, 221Torsionswinkel, 208Trager, 81
linienformiger, 1schwach gekrummter, 271stark gekrummter, 271
Tragfahigkeit, 14
Tragwerkflachenhaft, 3linienformig, 3
Trennbruch, 307Trennfestigkeit, 281, 307Tresca, 307
Unterspannung, 60
Verdrehung, 202Verformung, 5, 7, 271
bleibende, 12elastische, 12plastische, 12, 22
Verformungsbedingungen, 175Verformungsbruch, 307Vergleichsbeanspruchung, 7Vergleichsmoment, 311Vergleichsspannung, 255, 262, 308
wirksame, 312Verlangerung, 19Versagen
bleibende Formanderungen, 58Trennbruch, 58
Vertraglichkeitsbedingung, 366Verwolbung, 256Verzweigungspunkt, 327Volumenanderung, 302Volumenkrafte, 45von Bach, 61von Mises, 308
Wohler, 59Warmeausdehnungsgesetz, 42Warmeausdehnungskoeffizient, 42Warmedehnung, 352
behinderte, 42Warmespannungen, 42Wohlerkurve, 60Wechselfestigkeit, 62Werkstoff
duktiler, 24, 65, 127, 221sproder, 24, 65, 127, 221
Werkstoffkennwert, 301, 310Werkstoffkunde, 2Werkstoffprufung, 2Werkstoffverhalten
duktiles, 307elastisches, 19sprodes, 307
Widerstandsmoment, 106, 206, 214Windungsverhaltnis, 230
Zeitbruchgrenze, 25
412 Sachwortverzeichnis
Zeitdehngrenze, 25Zeitfestigkeit, 61Zerreißen, 16, 24Zug, 7, 14, 127, 266, 279Zugbeanspruchung, 4, 16, 17, 26, 27, 48, 59,
68, 81, 128, 281, 303, 307Zugfeder, 20, 228Zugfestigkeit, 23, 28, 48, 61, 76, 109, 127, 307Zugkraft, 17, 23, 127
Zugspannung, 8, 13, 17, 39, 44, 46, 48, 51,127, 266, 369
Zugstab, 4, 13, 20, 21, 23, 45, 46, 64, 65, 116,182, 279, 281, 303
Dehnung, 19genormter, 16
Zugversuch, 10, 16, 17, 24, 25, 28, 58, 298,303, 373, 374
Zusatzsystem, 176
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