1

Analiza stabilităŃii sistemelor automate 6.1. Criteriul lui Bode6.1. Criteriul lui Bode6.1. Criteriul lui Bode6.1. Criteriul lui Bode

Utilizând caracteristicile semilogaritmice de frecvenŃă, stabilitatea se poate aprecia prin două mărimi:

• marginea (câştigul) de amplitudine:

• marginea (câştigul) de fază:

unde ωt este pulsaŃia de tăiere (|H(jω)| = 1), iar ωπ pulsaŃia la care sistemul are o fază egală cu π (vezi figura de mai jos).

πω0

oo o1t

ω 2tω ω

+-

0

- 180001>γ

02<γ

2,1ϕ

( )b dBH jω

( )ϕ ω

1tω

2 0dBm <

1 0dBm >

ω

πω

Stabil

Instabil

Figura 1. Caracteristicile semilogaritmice de frecvenŃă – criteriul lui Bode

Criteriul lui Bode precizează:

“CondiŃia necesară şi suficientă ca un sistem să fie stabil este ca marginea de amplitudine şi

marginea de fază să fie pozitive în situaŃia în care caracteristicile semilogaritmice de frecvenŃă ale

sistemului deschis sunt monoton descrescătoare”. Se observă că la sistemele stabile, ωt < ωε. Practica arată că stabilitatea internă se asigură pentru m ≅ 10 ÷ 20 dB şi γ ≅ 300 ÷ 600.

2

EXEMPLUL 1. În acest exemplu se dă o funcŃie de transfer şi se doreşte studierea stabilităŃii cu ajutorul criteriului de stabilitate Bode, după cum urmează: se defineşte funcŃia de transfer

cu ajutorul a două variabile, numite num şi den. În acestea sunt introduse valorile corespunzătoare coeficienŃilor (în ordinea descrescătoare a puterilor) numărătorului şi numitorului: >> num=[40]

>> den=[0.5 1.5 1 0]

Pentru reprezentarea în frecvenŃă a caracteristicilor de frecvenŃă semilogaritmice, se foloseşte funcŃia MATLAB “bode(num,den)”. Dacă se doreşte şi afişarea marginei de amplitudine şi de fază, se foloseşte comanda: “margin(num,den)”.

După executarea acestei comenzi, se va deschide o fereastră grafică conŃinând cele două caracteristici amplitudine-pulsaŃie şi fază-pulsaŃie. IntersecŃia reprezentării amplitudine-pulsaŃie cu axa 0 se notează cu ωt şi se numeşte pulsaŃie de tăiere. IntersecŃia reprezentării fază-pulsaŃie cu axa de -180° se notează ωπ şi se numeşte pulsaŃie de frângere. CondiŃia necesară şi suficientă ca sistemul să fie stabil este ca reprezentarea fază-pulsaŃie să intersecteze axa ω într-un punct situat după intersecŃia cu aceeaşi axă a reprezentării amplitudine-pulsaŃie, adică ωπ < ωt.

Figura 2. Reprezentarea diagramelor Bode

După rularea liniilor de comandă din secvenŃa anterioară, MATLAB-ul va afişa fereastra grafică prezentată în fig. 2. Stabilitatea sistemului definit prin funcŃia de transfer H(s) se poate evalua conform criteriului de stabilitate Bode. Din grafic, se poate observa că ωπ < ωt (margini de amplitudine şi fază negative) şi deci în acest caz avem un sistem instabil.

3

6.2. Criteriul lui Nyquist6.2. Criteriul lui Nyquist6.2. Criteriul lui Nyquist6.2. Criteriul lui Nyquist

Criteriul porneşte de la observaŃia că

şi deci un sistem cu reacŃie este asimptotic stabil (intern), dacă şi numai dacă în +C se găsesc cel mult

polii raŃionalei 1 + Hb(s).

Acest lucru se poate constata inspectând semiplanul stâng al variabilei s, ce a fost închis printr-un contur Nyquist (axa imaginară şi un cerc de rază infinit mare). Când acest contur este parcurs în sens pozitiv, în planul funcŃiei, funcŃia de transfer H(s) descrie locul de transfer. În raport cu punctul (-1, j0) din planul funcŃiei, locul de transfer devine hodograful ecuaŃiei caracteristice 1 + Hb(s) = 0.

Criteriul lui Nyquist generalizat precizează: CondiŃia necesară şi suficientă ca un SRA să fie stabil este ca locul de transfer a lui Hb(s) să

înconjoare punctul critic (-1, j0) în sens antiorar de un număr de ori p, reprezentând polii lui 1+Hb(s)

aflaŃi în semiplanul drept al planului s, când ω∈(-∞,+∞).

Dacă sistemul este stabil în circuit deschis, se poate aplica criteriul lui Nyquist simplificat (practic): CondiŃia necesară şi suficientă ca un SRA să fie stabil este ca locul de transfer al lui Hb(s) să nu

înconjoare punctul critic (-1, j0) când ω∈(-∞,+∞) sau

CondiŃia necesară şi suficientă ca un SRA să fie stabil este ca hodograful lui Hb(s) să taie axa

reală, în sensul crescător al pulsaŃiilor ω∈[0,+∞), la dreapta punctului critic (-1,j0) (vezi fig. 3) sau

să taie axa reală la stânga punctului critic (-1,j0) când ω∈(0,+∞) (regula “mâinii stângii”).

o ooo

o

o

o

-1

+1

1M2

M

instabil

stabil

o

-1

01 >γ

02 <γ

1tω1 1( )

tH jω

2 1( )t

H jω

2tω

1ϕ

Im ( )bj H jω

Re ( )bH jω

1πω2πωω=+∞

0ω+

=

Figura 3. Locul de transfer – criteriul Nyquist simplificat

EXEMPLUL 2. În acest exemplu se dă o funcŃie de transfer, se determină polinomul său caracteristic şi se doreşte studierea stabilităŃii cu ajutorul criteriului de stabilitate al lui Nyquist, după cum urmează:

4

Se defineşte funcŃia de transfer

cu ajutorul variabilelor num1 şi den1. În aceste variabile sunt introduse valorile corespunzătoare coeficienŃilor (în ordinea descrescătoare a puterilor) numărătorului şi numitorului: >> num1=[1 0]

>> den1=[0.01 0.4 2]

Pentru reprezentarea în frecvenŃă, se foloseşte funcŃia de mai jos: >> nyquist(num1,den1);

După executarea acestei comenzi, se va deschide o fereastră grafică conŃinând hodograful (locul

de transfer) lui H(s), ca în figura de mai jos:

Figura 4. Diagrama Nyquist pentru sistemul considerat Cu ajutorul Criteriul Nyquist simplificat putem aprecia stabilitatea sistemului. CondiŃia necesară şi suficientă pentru ca un sistem să fie stabil este ca locul de transfer al lui H(s) să nu înconjoare punctul critic (-1,j0). Din grafic, se poate observa că hodograful lui H(s) nu înconjoară punctul critic, deci este stabil.

6.3. Criteriul lui Routh 6.3. Criteriul lui Routh 6.3. Criteriul lui Routh 6.3. Criteriul lui Routh ---- Hurwitz Hurwitz Hurwitz Hurwitz

Se pune problema cum se poate aprecia stabilitatea fără a calcula efectiv rădăcinile polinomului caracteristic? Răspunsul la această întrebare este dat de criteriul Routh - Hurwitz.

5

Fie polinomul caracteristic:

complet şi cu toŃi coeficienŃii pozitivi.

CondiŃia necesară şi suficientă ca radacinile lui χA(s) să aibă partea reală strict negativă este ca

toŃi determinanŃii principali ai matricei Hurwitz să fie strict pozitivi:

EXEMPLUL 3. În acest exemplu se consideră un sistem definit printr-o funcŃie de transfer de tipul

Se doreşte studierea stabilităŃii acestui sistem cu ajutorul criteriului de stabilitate Routh - Hurwitz.

Astfel, se determină polinomul caracteristic

şi se verifică dacă toŃi coeficienŃii polinomului caracteristic sunt mai mari ca 0.

Dacă aceste condiŃii sunt îndeplinite, se alcătuieşte matricea Hurwitz, după care se calculează determinanŃii principali ai acesteia.

În momentul în care am găsit un determinant < 0, putem trage concluzia că sistemul este instabil, nemaifiind necesară calcularea tuturor determinanŃilor matricei Hurwitz. Pentru acest exemplu, determinantul matricei Hurwitz 3 0H∆ = indică un sistem la limita de stabilitate.

Pentru rezolvarea acestei probleme, utilizăm comenzile MATLAB (vezi fişierul script

Hurwitz.m): %Definirea functiei de transfer prin declararea coeficientii in

%ordine descrescatoare ai numaratorului functiei de transfer

6

num=[1 1]

% si ai numitorului functiei de transfer

den=[1 1 0 0]

H=tf(num,den)

% determinarea polinomului caracteristic

X=1+H

%matricea Hurwitz

DH1=[1 1 0;1 1 0;0 1 1]

%Calcularea determinantului

det(DH1)

Rezultatele rulării scriptului anterior sunt afişate mai jos: (afişarea numărătorului funcŃiei de transfer): num =

1 1

(afişarea numitorului funcŃiei de transfer): den =

1 1 0 0

(afişarea funcŃiei de transfer): Transfer function:

s + 1

---------

s^3 + s^2

(determinarea polinomul caracteristic): Transfer function:

s^3 + s^2 + s + 1

-----------------

s^3 + s^2

(afişarea determinantul de ordinul trei al matricei Hurwitz): DH1 =

1 1 0

1 1 0

0 1 1

(calculul determinantul de ordinul trei al matricei Hurwitz): ans =

0