Analisa Data StatistikChap 11: Regresi Linear

Agoes Soehianie, Ph.D

Model Regresi Linear

Variabel Y merupakan respons dari variabel independen x dengan hubungan Y = α + β X + ε . Dengan α dan β adalah titik poting dengan sumbu Y dan gradien yg belum diketahui, sedangkan ε adalah variabel random dengan sifat nilai rata-rata =0, dan variansi = σ2.

Dari sampel data diperoleh set data {xi,yi} ingin diperoleh model garis lurus terbaik y= a + b x, yaitu dengan mendapatkan a sebagai estimator α dan β di estimasi oleh b.

Variable independen X dipilih yg error dalam pengukurannya kecil atau dapat diabaikan dibandingkan Y.

Garis Lurus Terbaik – Metoda Least Squares

Garis lurus terbaik diperoleh dengan meminimasi residual error ek yaitu selisih antara predicted yk dengan data yg dipeoleh yk, yaitu jumlah total kuadrat residual error minimum (Sum Squares of Errors)

X

XXk

Ykek

bxay ˆ

ky

N

kkk

N

kkk

N

kk ybxayyeSSE

1

2

1

2

1

2 )()ˆ(

Garis Lurus Terbaik – Metoda Least Squares

Untuk mendapatkan koefisien a dan b yg terbaik, maka dicari a dan b yg meminimumkan SSE, yaitu dengan menghitung turunan SSE thd a dan b:

00

SSEb

SSEa

Yang akan memberikan dua buah persamaan linear bagi a dan b:

02212)(2)(11111

2

N

kk

N

kk

N

k

N

kkk

N

kkk yxbaybxaybxa

a

0222)(2)(11

2

111

2

N

kkk

N

kk

N

kk

N

kkkk

N

kkk yxxbxaybxaxybxa

b

Garis Lurus Terbaik – Metoda Least Squares

Dalam notasi matrix sistem pers. Linear tsb dapat dituliskan:

N

kk

N

kk

N

k

yxba111

1

N

kkk

N

kk

N

kk yxxbxa

11

2

1

N

kkk

N

kk

N

kk

N

kk

N

kk

N

k

yx

y

b

a

xx

x

1

1

1

2

1

11

1

Solusi bagi sistem pers. Linear tsb dapat diperoleh dengan berbagai cara antara lain cara Cramers:

Garis Lurus Terbaik – Metoda Least Squares

Solusi bagi a dan b (metoda Cramers):

N

kk

N

kk

N

kk

N

k

N

kk

N

kkk

N

kk

N

kk

xx

x

xyx

xy

a

1

2

1

11

1

2

1

11

1

Atau :

N

kk

N

kk

N

kk

N

k

N

kkk

N

kk

N

kk

N

k

xx

x

yxx

y

b

1

2

1

11

11

11

1

1

N

k

N

kk

N

kk

N

k

N

kkkk

N

k

N

kkk

xx

yxxyxa

1

2

11

2

1 11 1

2

1

N

k

N

kk

N

kk

N

k

N

kkk

N

k

N

kkk

xx

yxyxb

1

2

11

2

1 11 1

1

1

Garis Lurus Terbaik – Metoda Least Squares

Penyederhanaan bisa dilakukan mengingat Σ1=N, sehingga:

2

11

2

1 11 1

2

N

kk

N

kk

N

k

N

kkkk

N

k

N

kkk

xxN

yxxyxa 2

11

2

1 11

N

kk

N

kk

N

k

N

kkk

N

kkk

xxN

yxyxNb

Untuk keperluan perhitungan, formula di atas dapat dituliskan sbb:

N

kk

N

kkk

xx

yyxxb

1

2

1 xbya

Dengan N

yyN

xx

N

kk

N

kk

11

Notasi

Sehingga rumus regresi linear dapat dituliskan sbb:

Untuk keperluan penulisan diperkenalkan notasi berikut:

N

kkYY

N

kkXX

N

kkkXY yySxxSyyxxS

1

2

1

2

1

XXXY SSb / xbya

Contoh

SXX = 1554.9 SYY= 3117.5 SXY=2168.5

xs= 293/6=48.8 ys=1713/6=285.5

b = SXY/SXX = 1.3947 a= ys-bxs= 285.5- 1.3947*48.8=217.39

X Y Xs=X-Xr Ys=Y-Yr Xs^2 Ys^2 Xs*Ys Yteori

27 250 -21.8 -35.5 476.7 1260.25 775.1 255.0

45 285 -3.8 -0.5 14.7 0.25 1.9 280.2

72 320 23.2 34.5 536.7 1190.25 799.3 317.8

58 295 9.2 9.5 84.0 90.25 87.1 298.3

31 265 -17.8 -20.5 318.0 420.25 365.6 260.6

60 298 11.2 12.5 124.7 156.25 139.6 301.1

Σ 293 1713 0 0 1554.8 3117.5 2168.5

Contoh : Grafik

Regresi Linear

220

240

260

280

300

320

340

20 30 40 50 60 70 80

X

Y

Memahami Estimator Rata-Rata dan Variansi

Dengan suku error εi diasumsikan adalah variabel random dengan rata-rata 0, dan varian konstan σ2 yang tak bergantung pada nilai xi dipakai. Sedangkan nilai α dan β adalah nilai parameter regresi yg sesungguhnya di populasi.

Jadi koefisien a dan b yg diperoleh dari satu set data percobaan hanyalah salah satu kemungkinan nilai yg mungkin saja. Kita sebut estimator bagi α adalah A dan bagi β adalah B. Dengan A dan B untuk satu set nilai {xi} yg sama bila diulang-ulang akan menghasilkan nilai (a,b) yg berbeda.

Karena nilai {xi} sama, maka variansi dari A dan B hanya ditentukan dari variansi variabel yi.

Sebenarnya model linear yg benar menggambarkan hubungan linear x dan y di populasi adalah:

iii xY

Memahami Estimator Rata-Rata dan Variansi

Ingat σ2 adalah variansi suku error.

Bisa dibuktikan bahwa A dan B adalah unbiased estimator bagi α dan β. Maksudnya:

Tentu saja asumsi distribusinya adalah bahwa rata-ratanya mencerminkan nilai parameter populasi yg sesungguhnya:

ixY xi

|

22| ixY

BXX

n

ii

B Sxx

2

1

2

22

)(

A

XX

n

ii

n

ii

n

ii

A nS

x

xxn

x

1

22

1

2

1

22

2

)(

Partisi Variabilitas Total dan Estimator Variansi

Dapat dibuktikan SSE (Sum Squares of Errors) bisa dituliskan sebagai:

N

kkk

N

kkk bxayyySSE

1

2

1

2 )()ˆ(

N

kkk bxayyySSE

1

2)(

N

kkk bxaxbayySSE

1

2)(

N

kk

N

kkk

N

kk xxbyyxxbyySSE

1

2

1

2

1

2 )())((2

XXXYYY SbSbSSSE **2 2

Tetapi b= SXY/SXX sehingga:

XYYY SbSSSE *

Partisi Variabilitas Total dan Estimator Variansi

Sedangkan variansi dari Y, yaitu σ2 , diwakili oleh unbiased estimator S2 yg besarnya adalah:

Besaran S2 ini disebut Mean Squared Errors,

Sedangkan S juga disebut Standard Error Estimates bagi Y.

2

*

22

)ˆ( 2

2

n

SXYbSYY

n

SSE

n

yyS k

kk

Inference Statistik ttg Slope Regresi (β)

Estimator bagi slope regresi β adalah B, sedangkan variabel statistik yg terkait dengan distribusi B adalah :

XXSS

Bt

/

Variabel t memiliki distribusi student-t dengan derajat kebebasan v=n-2.

Dengan ini dapat dicari interval kepercayaan bagi slope (β) dan juga dilakukan testing hipotesis terhadap slope tsb.

Contoh: Interval Kepercayaan β

Dari contoh sebelumnya tentukan interval kepercayaan 95% bagi slope (β).

Jawab:

Interval kepercayaan 100(1-α)% diberikan oleh

Jumlah data n=6, sehingga v=n-2 = 4. Interval kepercayaan 95% berarti α = 5%. Dari tabel student-t diperoleh nilai kritis t0.025 (v=4) adalah 2.776.

SXXStbSXXStb // 2/2/

2

*2

n

SXYbSYYS

Contoh: Interval Kepercayaan β

Sehingga interval kepercayaan bagi slope adalah:

SXXStbSXXStb // 2/2/

28.2326

5.2168*3947.15.3117

2

*2

n

SXYbSYYS

Dari tabel tsb diperoleh:

SXX = 1554.9 SYY= 3117.5 SXY=2168.5 b = SXY/SXX = 1.3947

Sehingga:

9.1554/28.23*776.23947.19.1554/28.23*776.23947.1

interval kepercayaan 95% bagi slope adalah: 1.?? < β < 1.??

Contoh: Hipotesis Testing untuk slope β

No x y

1 3 5

2 7 11

3 11 21

4 15 16

5 18 16

6 27 28

7 29 27

8 30 25

9 30 35

10 31 30

11 31 40

12 32 32

13 33 34

14 33 32

15 34 34

16 36 37

Tabel disamping memberikan hasil pengukuran BOD (Biological Oxygen Demand) Y% dan Solid Reduction X(%).

Periksalah hipotesa H0: β=1 dan H1: β<1 dengan tingkat signifikan 5%

No x y

17 36 38

18 36 34

19 37 36

20 38 38

21 39 37

22 39 36

23 39 45

24 40 39

25 42 41

26 42 40

27 43 44

28 44 37

29 45 44

30 46 46

31 47 49

32 50 51

Oxygen Demand vs Solid Reduction

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

X

Y

Contoh: Hipotesis Testing

Jawab:

1. Hipotesa H0: β=1 dan H1: β<1

2. Tingkat signifikan α= 5%

3. Daerah kritis

Variabel statistik untuk di test adalah t:

dengan derajat kebebasan v=n-2

Nilai kritis -t0.05 = -1.697

Tolak H0 jika t < -1.697

SXXS

bt

/

Contoh: Hipotesis Testing

4. Perhitungan

Berdasarkan tabel data diperoleh koefisien regresi Y = a+ bX,

a = 4.1390 b=0.8895

SXX = 4093.47 SYY = 3566.88

SXY = 3641.19

S2 = (SYY-b SXY)/(n-2) = (3566.88-0.8895*3641.19)/(32-2)

S = 3.3065

5. Keputusan

Karena t < -1.697 maka H0 ditolak

6. Kesimpulan, cukup bukti untuk menolak bahwa slope = 1, dan menerima slope < 1

14.247.4093/3065.3

18895.0

/

SXXS

bt

Estimasi bagi Titik Potong (a)

Nilai titik potong a juga terdistribusi merata. Jika A adalah variabel random yg terkait, maka A akan terdistribusi normal, dengan nilai rata-rata μA=α, dan variansi:

Parameter t sbb:

XX

n

ii

A nS

xSS

1

22

2

)/(1

2XX

n

ii

A nSxS

A

S

AT

Akan terdistribusi menurut student t dengan derajat kebebasan n-2. Dengan demikian interval kepercayaan maupun hipotesa testing yang terkait dengan α dapat diformulasikan memakai rumus di atas.

Kualitas Fitting : Koefisien Determinasi

Besaran SST = total corrected sum of squares didefinisikan sbb:

n

ii yySST

1

2)(

Sedangkan SSE

n

iii yySSE

1

2)ˆ(

Dan SSR (regression sum squares):

n

ii yySSR

1

2)ˆ(

SSESSRSST

SST

SSE

SST

SSESST

SST

SSRR

1

R: koefisien determinasi , persentase dari variansi data yg bisa dijelaskan oleh regresi.

SSE : variansi karena random error = unexplained variation

Kualitas Fitting : Koefisien Determinasi

Jika seluruh variansi bisa dijelaskan oleh regresi maka SSE=0, sehingga R=1. Sebaliknya jika regresi hanya bisa menjelaskan sedikit sekali maka R~ 0.

Berapakah nilai R yang bisa dikatakan bagus? Sulit! Tergantung keperluan dan bidang dimana statistik ini dipakai.

Dalam modelling menambahkan variabel bebas akan mempertinggi nilai R tentu saja, tapi tidak berarti modelnya lebih bagus.

Interval Kepercayaan Bagi Y

Tujuan dilakukannya regresi adalah untuk membuat prediksi nilai variabel tak bebas Y bilamana diketahui sebuah nilai X tertentu. Nilai

00| bxaxY Memberikan nilai rata-rata prediksi bagi Y untuk x=x0. Diinginkan

untuk mendapatkan interval kepercayaan bagi nilai Y prediksi tsb. Dapat dibuktikan bahwa distribusi rata-rata sampel Y0 = a+bx0 adalah normal dengan nilai rata-rata dan variansi :

00| xxY

XXxxBYBxAY S

xx

n

2022

)0(2

02ˆ

)(10

Sedangkan variabel statistik berikut ini terdistribusi student t dengan v=n-2

XX

xY

XX

xY

Sxx

nS

bxa

Sxx

nS

yt

20

0|0

20

0|0

)(1

)(

)(1

ˆ

Interval Kepercayaan bagi Y

Jadi untuk sebuah nilai X0 tertentu, kita dapat membuat interval kepercayaan bagi nilai rata-rata Y0 yg terkait, dengan interval kepercayaan (1-α)100% yaitu diberikan oleh:

Dengan dan

XXXX S

XX

nStYY

S

XX

nStY

20

0

20

0

)(1*

)(1*

bXaY

N

XX

N

ii

1

Interval Prediksi Y dari 1 Kali Pengukuran

Nilai prediksi yg akan dimiliki oleh Y0 untuk satu kali pengukuran berikutnya di X0, akan memiliki rata-rata dan variansi:

00| xxY

SXX

XX

nBxA

222

0

)(11

Variabel statistik berikut ini memiliki distribusi student t dengan derajat kebebasan v=n-2

XXSXX

nS

YYt

20

00

)(11

ˆ

Interval Prediksi Y dari 1 Kali Pengukuran

Interval kepercayaan bagi prediksi nilai yg akan dimiliki oleh Y0 untuk satu kali pengukuran berikutnya di X0, adalah:

XXXX S

XX

nStYY

S

XX

nStY

20

2/00

20

2/0

)(11ˆ)(1

1ˆ

Contoh

Contoh.Data berikut ini memberikan hubungan antara frekuensi kunjungan Salesman fotocopy (X) dan jumlah mesin fotocopy terjual (Y).

a) Buatlah interval kepercayaan 95% bagi rata-rata fotocopy terjual bagi salesman-salesman yg melakukan kunjungan sebanyak 25 kali

b) Bilamana si Polan melakukan kunjungan 25 kali berapakah interval kepercayaan 95% bagi jumlah mesin fotocopy yg mampu dia jual?

SOlusi

4522 YX

Jawab.Hasil pengolahan data memberikan:

SXX = 760 SYY=1850 SXY=900b = SXY/SXX = 900/760 = 1.1842a = Yrata-b*Xrata = 45 – 1.1842*22= 18.95S2 = (SYY-bSXY)/(n-2) = 98.03 S = 9.90

Dari tabel student t untuk v=n-2=8, t0.025 = 2.306Sehingga untuk X=25, Y = a+bX = 18.95+1.1842*25 =48.55

64.7760

)2225(

10

1*9.9*306.2

)(1*

22

025.0

SXX

XX

nSt

SOlusi

Jawab (lanjutan).Hasil pengolahan data memberikan:

a) Interval kepercayaan bagi rata-rata sales untuk frekuensi kunjungan X=25 adalah

48.55 – 7.64 < Y < 48.55+ 7.6440.9 < Y < 56.2

b) Interval prediksi bagi si Polan yg melakukan kunjungan X=25 kali:

SXX

XX

nStYY

SXX

XX

nStY

22 )(1*

)(1*

SXX

XX

nStYY

SXX

XX

nStY

22 )(11*

)(11*

SOlusi

Jawab (lanjutan).

48.55 – 24.1 < Y < 48.55 + 24.124.5 < Y < 72.6

Wajar bagi interval prediksi bagi 1 orang si Polan jauh lebih besar dibandingkan dengan interval kepercayaan bagi rata-rata sales untuk seluruh sales untuk jumlah kunjungan yg sama yaitu 25.

1.24760

)2225(

10

11*9.9*306.2

)(11*

22

025.0

SXX

XX

nSt

Grafik : Garis Regresi, CI dan Prediksi

Sales vs Frek Kunjungan

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 10 20 30 40 50

X (kunjungan)

Y(s

ale

s)

Data

Teori

CI-min

CI-max

Pred-min

Pred-max

Koefisien Determinasi (ulangan)

Arti lebih jelas daripada r didapat dari r2 = R yang sering disebutkan sebagai koefisien determinasi sampel.

Jadi R adalah:SYY

SSRSYYSXX

SXYrR

*

22

Dimana SST = SSR + SSE, dengan masing-masing adalah

222 )ˆ()ˆ()(

n

kii

n

ki

n

ki yyyyyy

DI depan kita beri nama SST=SEE. SSR = Sum Squares of Residual atau regression sum squares, SSR mencerminkan bagian dari variasi data yg bisa dijelaskan oleh regresi.

Sehingga R menyatakan porsi dari variasi SYY yg bisa dijelaskan dengan regresi Y thd X, atau porsi dari variabilitas variabel Y yg bisa dijelaskan oleh model regresi.

Hipotesis Testing untuk koefisien korelasi

Untuk memeriksa kebenaran hipotesis H0: ρ = 0 H1: ρ ≠ 0

yg berkenan dengan koefisien korelasi r, maka variabel statistik yg diuji adalah

21

2

/ r

nr

SXXS

bt

Yg terdistribusi menurut student t dengan derajat kebebasan v=n-2.

Contoh

Dalam contoh sebelumnya, tentang sales mesin fotocopy, ujilah hipotesa H0: ρ=0 dengan H1: ρ≠0 dengan tingkat signifikan 5%.

21

2

r

nrt

Jawab:1. Hipotesa

H0: ρ=0 dengan H1: ρ≠02. Tingkat signifikan α = 0.053. Daerah kritis : ini adalah tes 2 ekor

Variabel statistik yg diuji adalah t:

dengan n= 10, sehingganilai kritis t0.025(v=10-2=8) = 2.306Tolak H0 jika t > 2.306 atau t < -2.306

4. Perhitungan, telah dihitung r=0.759

297.3759.01

210759.0

1

222

r

nrt

Contoh

5. KeputusanKarena r > 3.297, maka H0 ditolak

6. Kesimpulan

Cukup bukti untuk menyatakan bahwa ada hubungan korelasi linear antara frekuensi kunjungan (X) dengan tingkat penjualan (Y)

Hipotesis Testing untuk koefisien korelasi

Sedangkan untuk kasus lebih umum untuk memeriksa kebenaran hipotesis H0: ρ = ρ0

yg berkenan dengan koefisien korelasi r, maka variabel statistik yg diuji adalah

)1)(1(

)1)(1(ln

2

3

0

0

r

rnz

Yg terdistribusi menurut distribusi normal

Contoh

Dalam contoh sebelumnya, tentang sales mesin fotocopy, ujilah hipotesa H0: ρ=0.8 dengan H1: ρ<0.8 dengan tingkat signifikan 5%.

Jawab:1. Hipotesa

H0: ρ=0.8 dengan H1: ρ< 0.82. Tingkat signifikan α = 0.053. Daerah kritis : ini adalah tes 1 ekor

Variabel statistik yg diuji adalah Z:

nilai kritis -Z0.05 = -1.645Tolak H0 jika Z < -1.645

4. Perhitungan, telah dihitung r=0.759, dan dalam hal ini ρ0=0.8

)1)(1(

)1)(1(ln

2

3

0

0

r

rnz

227.0)8.01)(759.01(

)8.01)(759.01(ln

2

310

)1)(1(

)1)(1(ln

2

3

0

0

r

rnz

Contoh

5. KeputusanKarena Z> -1.645, maka H0 tidak bisa ditolak

6. Kesimpulan

Tidak cukup bukti untuk menyatakan bahwa ρ< 0.8

ANOVA – Pilihan Model Regresi

Sering analisa kualitas regresi dilakukan dengan metoda ANOVA (Analysis of Variance). Misal kita memiliki n data {xi,yi}. Telah ditunjukkan bahwa: SYY = SST = SSR + SSE atau

i

iii

ii

i yyyyyy 222 )ˆ()ˆ()(

SSR : mencerminkan variansi data yang bisa dijelaskan olehmodel.SSE : variansi di sekitar garis regresi

Hipotesa yang akan di test:H0 : β=0H1: β≠0

Ini berarti : kita menyatakan bahwa variasi data Y hanya variasi random tidak bergantung X disekitar nilai Y=α saja.

ANOVA – Pilihan Model Regresi

Dengan H0 seperti ini dapat dibuktikan bahwa variabel-variabel berikut ini memiliki distribusi Chi-Squares (χ2) dengan derajat kebebasan yg terkait:

2

2

2

)ˆ(

i

i yySSR

2

2

2

)ˆ(

i

ii yySSE

2

2

2

)(

i

i yySST

Variabel Derajat Kebebasan

1

2n

1n

ANOVA – Pilihan Model Regresi

Selanjutnya variabel f berikut ini :

Variabel f ini Akan memiliki distribusi F dengan derajat kebebasan pembilang=1 dan penyebut n-2.

H0 akan ditolak bilamana fhitung ini > fα (1,n-2).Jika H0 ditolak berarti jumlah variansi di Y yang bisa dijelaskan

secara signifikan oleh model regresi yang dipilih.

2

2

2)2/(

1/

s

Sb

s

SSR

nSSE

SSRf XX

XXi

ii

ii

i SbxxbxbabxayySSR 22222 )()()ˆ( Telah dipakai:

ANOVA – Perbandingan Dengan Test t

Sebelumnya statistik t berikut ini:

Dipakai untuk memeriksa hipotesa:H0 : β= β0

H1 : β≠ β0

Bilamana β0 =0 (kasus khusus) maka variabel t menjadi:

XXSS

bt

/0

XXSS

bt

/

Atau dengan b=SXY/SXX, maka distribusi t = f(1,v):

fS

bS

S

Sb

SS

bt XYXX

XX

22

2

2

22

/

ANOVA – Ringkasan SUmber Variansi

TABEL ANOVA

Sumber variasi

Sum of Squares

Derajat kebebasan

Mean Squares Fhitung

Regresi SSR k-1 MSR=SSR/1 MSR/MSE atau

SSR/s2Error SSE n-k MSE=SSE/(n-2)=σ2

Total SST n-1

ANOVA untuk testing β=0

ANALISA KORELASI - Definisi

Analisa korelasi ini mempelajari hubungan atau asosiasi antara beberapa variabel. Bilamana regresi dilakukan hingga menyatakan hubungan eksplisit berupa persamaan matematika, maka pada analisa korelasi hanya diwujudkan pada kekuatan hubungan itu saja yg dinyatakan oleh koefisien korelasi.

Koefisien korelasi (r) : ukuran kekuatan asosiasi linear antara dua variabel.

SYYSXX

SXY

SYY

SXXbr

*

Nilai r terbatas anstara -1 sd 1. Nilai r=1 atau -1 menyatakan hubungan korelasi sempurna antara X dan Y.

ANALISA KORELASI - Definisi

APakah nilai korelasi 0.8 bagus atau tidak, tidak ada ukuran absolut. Tergantung pada kasusnya. Untuk ilmu sosial atau ekonomi dimana banyak sekali variabel yg berpengaruh, nilai tsb sudah bagus sekali menyatakan hubungan korelasi yg kuat. Akan tetapi di bidang engineering, dimana variabel bisa dikontrol sangat ketat sekali, nilai r=0.9 mungkin baru dipandang cukup bagus.

Hal lain adalah kita tidak boleh menyatakan r=0.6 adalah 2x lebih bagus dibandingkan r=0.3

Korelasi (r=1)

-10

-5

0

5

10

15

20

25

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

X

Y

Korelasi (r=-1)

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

X

Y

Contoh

Kita pakai contoh sebelumnya, tentang hubungan antara sales mesin fotocopy (Y) dan frekuensi kunjungan (X)

No X Y5 10 306 10 401 20 303 20 407 20 408 20 509 20 304 30 60

10 30 702 40 60

Contoh

Dari perhitungan manual tsb diperoleh:SXX = 760 SYY = 1850 SXY = 900Sehingga koefisien korelasinya., r

No X Y Xe=X-Xs Ye=Y-Ys Xe^2 Ye^2 Xe*Ye5 10 30 -12 -15 144 225 1806 10 40 -12 -5 144 25 601 20 30 -2 -15 4 225 303 20 40 -2 -5 4 25 107 20 40 -2 -5 4 25 108 20 50 -2 5 4 25 -109 20 30 -2 -15 4 225 304 30 60 8 15 64 225 120

10 30 70 8 25 64 625 2002 40 60 18 15 324 225 270

Sum 220 450 0 0 760 1850 900Mean 22 45 0 0 76 185 90

7590.01850*760

900

*

SYYSXX

SXYr

Contoh

Apa artinya r=0.7590?1. Nilainya positif, jadi ada hubungan langsung kenaikan frekuensi

kunjungan (X) akan menaikkan juga volume sales (Y).2. Karena 0.759 lumayan dekat ke nilai 1 jadi agaknya memang

hubungan antara frekuensi kunjungan dengan kenaikan sales cukup kuat.