Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Analisis Matematico II, LFM. Tarea 2. Variante α.

Medidas, funciones medibles, varios modos de convergencia, convergencia de integrales.

Ejercicio 1. 3 %.Analizar la convergencia puntual y la convergencia uniforme de la sucesion de funciones fn : R→R, donde fn es la funcion caracterıstica del intervalo cerrado [−3n,−n].

1. Dibujar las graficas de fn para n = 1, 2, 3.

2. Para cada x en R hallar el siguiente lımite:

g(x) := limn→∞ fn(x)

y escribir el razonamiento completo basandose en le definicion del lımite.

3. Para cada n en N, calcular la norma uniforme de la funcion fn − g. Hacer una conclusion sobrela convergencia uniforme.

Ejercicio 2. 5 %.En el conjunto X = (0, 1] con la medida de Lebesgue se considera la sucesion de funciones fn : (0, 1]→[0,+∞) definida mediante la regla

fn(x) :=

n− nx, 0 < x < 1n ;

0, 1n ≤ x ≤ 1.

Demuestre que fn converge puntualmente a la funcion g = 0. Calcule∫X

(limn→∞ fn

)dµ y lim

n→∞∫X

fn dµ.

Explique por que no se puede aplicar el teorema de la convergencia dominada. Para ello,calcule la siguiente funcion h y muestre que h no es integrable:

h(x) := supn∈N

|fn(x)|.

Tarea 2, variante α, pagina 1 de 2

En cada uno de los siguientes dos ejercicios hay que analizar varios modos de convergencia deuna sucesion (fn)

∞n=1 de funciones fn : X→ R. Se recomienda el siguiente plan.

a) Dibujar las graficas de fn para n = 1, 2, 3.

b) Para todo punto x en X calcular el lımite puntual g(x) := limn→∞ fn(x).

c) Para todo n en N calcular supx∈X

|fn(x) − g(x)|.

d) Determinar si (fn)n∈N converge a g uniformemente.

e) Para todos ε > 0 y n ∈ N calcular A(ε, n) := {x ∈ X : |fn(x) − g(x)| > ε}. En este inciso y en losincisos g), h) es suficiente trabajar con valores de ε cercanos a cero.

f) Determinar si fn converge a g en medida µ.

g) Para todos ε > 0 y k ∈ N calcular B(ε, k) :=⋃∞n=kA(ε, n).

h) Para todo ε > 0 calcular C(ε) :=⋂∞k=1 B(ε, k).

i) Calcular D :=⋃ε>0C(ε).

j) Utilizando los resultados de los incisos g), i) comprobar las conclusiones sobre la convergenciauniforme y puntual.

k) Utilizando el resultado del inciso g) determinar si tiene caso la convergencia casi uniforme (lla-mada tambien convergencia de Egorov).

l) En el caso de respuesta positiva en k), para todo η > 0 construir un conjunto E con µ(E) < ηtal que la sucesion (fn)n∈N converja a g uniformemente en X \ E.

Ejercicio 3. 7 %.

X = R, µ es la medida de Lebesgue, fn(x) = e−n2x2 .

Ejercicio 4. 7 %.X = R, µ es la medida de Lebesgue, fn(x) = χ[0,1/n).

Tarea 2, variante α, pagina 2 de 2

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Analisis Matematico II, LFM. Tarea 2. Variante β.

Medidas, funciones medibles, varios modos de convergencia, convergencia de integrales.

Ejercicio 1. 3 %.Analizar la convergencia puntual y la convergencia uniforme de la sucesion de funciones fn : R→R, donde fn es la funcion caracterıstica del intervalo (0, 1/n], multiplicada por n.

1. Dibujar las graficas de fn para n = 1, 2, 3.

2. Para cada x en R hallar el siguiente lımite:

g(x) := limn→∞ fn(x)

y escribir el razonamiento completo basandose en le definicion del lımite.

3. Para cada n en N, calcular la norma uniforme de la funcion fn − g. Hacer una conclusion sobrela convergencia uniforme.

Ejercicio 2. 5 %.En el conjunto X = (0, 1] con la medida de Lebesgue se considera la sucesion de funciones fn : (0, 1]→[0,+∞) definida mediante la regla

fn(x) :=

n− nx, 0 < x < 1n ;

0, 1n ≤ x ≤ 1.

Demuestre que fn converge puntualmente a la funcion g = 0. Calcule∫X

(limn→∞ fn

)dµ y lim

n→∞∫X

fn dµ.

Explique por que no se puede aplicar el teorema de la convergencia dominada. Para ello,calcule la siguiente funcion h y muestre que h no es integrable:

h(x) := supn∈N

|fn(x)|.

Tarea 2, variante β, pagina 1 de 2

En cada uno de los siguientes dos ejercicios hay que analizar varios modos de convergencia deuna sucesion (fn)

∞n=1 de funciones fn : X→ R. Se recomienda el siguiente plan.

a) Dibujar las graficas de fn para n = 1, 2, 3.

b) Para todo punto x en X calcular el lımite puntual g(x) := limn→∞ fn(x).

c) Para todo n en N calcular supx∈X

|fn(x) − g(x)|.

d) Determinar si (fn)n∈N converge a g uniformemente.

e) Para todos ε > 0 y n ∈ N calcular A(ε, n) := {x ∈ X : |fn(x) − g(x)| > ε}. En este inciso y en losincisos g), h) es suficiente trabajar con valores de ε cercanos a cero.

f) Determinar si fn converge a g en medida µ.

g) Para todos ε > 0 y k ∈ N calcular B(ε, k) :=⋃∞n=kA(ε, n).

h) Para todo ε > 0 calcular C(ε) :=⋂∞k=1 B(ε, k).

i) Calcular D :=⋃ε>0C(ε).

j) Utilizando los resultados de los incisos g), i) comprobar las conclusiones sobre la convergenciauniforme y puntual.

k) Utilizando el resultado del inciso g) determinar si tiene caso la convergencia casi uniforme (lla-mada tambien convergencia de Egorov).

l) En el caso de respuesta positiva en k), para todo η > 0 construir un conjunto E con µ(E) < ηtal que la sucesion (fn)n∈N converja a g uniformemente en X \ E.

Ejercicio 3. 7 %.

X = R, µ es la medida de Lebesgue, fn(x) = e−n2x2 .

Ejercicio 4. 7 %.X = R, µ es la medida de Lebesgue, fn(x) = χ[0,1/n).

Tarea 2, variante β, pagina 2 de 2

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Analisis Matematico II, LFM. Tarea 2. Variante 1 (ASD,CFS,MZJA).

Medidas, funciones medibles, varios modos de convergencia, convergencia de integrales.

Ejercicio 1. 3 %.Analizar la convergencia puntual y la convergencia uniforme de la sucesion de funciones fn : R→R, donde fn es la funcion caracterıstica del intervalo cerrado [−1/n, 2/n].

1. Dibujar las graficas de fn para n = 1, 2, 3.

2. Para cada x en R hallar el siguiente lımite:

g(x) := limn→∞ fn(x),

y escribir el razonamiento completo basandose en le definicion del lımite.

3. Para cada n en N, calcular la norma uniforme de la funcion fn − g. Hacer una conclusion sobrela convergencia uniforme.

Ejercicio 2. 5 %.En el conjunto X = (0, 1] con la medida de Lebesgue se considera la sucesion de funciones fn : (0, 1]→[0,+∞) definida mediante la regla

fn(x) := nχ(0,1/n](x) =

{n, 0 < x 6 1

n ;

0, 1n < x 6 1.

Demuestre que fn converge puntualmente a la funcion g = 0. Calcule∫X

(limn→∞ fn

)dµ y lim

n→∞∫X

fn dµ.

Explique por que no se puede aplicar el teorema de la convergencia dominada. Para ello,calcule la siguiente funcion h y muestre que h no es integrable:

h(x) := supn∈N

|fn(x)|.

Tarea 2, variante 1 (ASD, CFS, MZJA), pagina 1 de 2

En cada uno de los siguientes dos ejercicios hay que analizar varios modos de convergencia deuna sucesion (fn)

∞n=1 de funciones fn : X→ R. Se recomienda el siguiente plan.

a) Dibujar las graficas de fn para n = 1, 2, 3.

b) Para todo punto x en X calcular el lımite puntual g(x) := limn→∞ fn(x).

c) Para todo n en N calcular supx∈X

|fn(x) − g(x)|.

d) Determinar si (fn)n∈N converge a g uniformemente.

e) Para todos ε > 0 y n ∈ N calcular A(ε, n) := {x ∈ X : |fn(x) − g(x)| > ε}. En este inciso y en losincisos g), h) es suficiente trabajar con valores de ε cercanos a cero.

f) Determinar si fn converge a g en medida µ.

g) Para todos ε > 0 y k ∈ N calcular B(ε, k) :=⋃∞n=kA(ε, n).

h) Para todo ε > 0 calcular C(ε) :=⋂∞k=1 B(ε, k).

i) Calcular D :=⋃ε>0C(ε).

j) Utilizando los resultados de los incisos g), i) comprobar las conclusiones sobre la convergenciauniforme y puntual.

k) Utilizando el resultado del inciso g) determinar si tiene caso la convergencia casi uniforme (lla-mada tambien convergencia de Egorov).

l) En el caso de respuesta positiva en k), para todo η > 0 construir un conjunto E con µ(E) < ηtal que la sucesion (fn)n∈N converja a g uniformemente en X \ E.

Ejercicio 3. 7 %.X = [0, 1], µ es la medida de Lebesgue, fn(x) := 4

nxn(1− x)n.

Ejercicio 4. 7 %.X = R, µ es la medida de Lebesgue, fn(x) := χ(−n−1,−n].

Tarea 2, variante 1 (ASD, CFS, MZJA), pagina 2 de 2

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Analisis Matematico II, LFM. Tarea 2. Variante 2 (JEA,MDCEA,SBE).

Medidas, funciones medibles, varios modos de convergencia, convergencia de integrales.

Ejercicio 1. 3 %.Analizar la convergencia puntual y la convergencia uniforme de la sucesion de funciones fn : R→R, donde fn es la funcion caracterıstica del intervalo cerrado [n, 2n].

1. Dibujar las graficas de fn para n = 1, 2, 3.

2. Para cada x en R hallar el siguiente lımite:

g(x) := limn→∞ fn(x),

y escribir el razonamiento completo basandose en le definicion del lımite.

3. Para cada n en N, calcular la norma uniforme de la funcion fn − g. Hacer una conclusion sobrela convergencia uniforme.

Ejercicio 2. 5 %.En el conjunto X = R con la medida de Lebesgue se considera la sucesion de funciones fn : R→ [0,+∞)definida mediante la regla

fn(x) := χ[−2n,−n](x) =

{1, x ∈ [−2n,−n];

0, x ∈ (−∞,−2n) ∪ (−n,+∞).

Demuestre que fn converge puntualmente a la funcion g = 0. Calcule∫X

(limn→∞ fn

)dµ y lim

n→∞∫X

fn dµ.

Explique por que no se puede aplicar el teorema de la convergencia dominada. Para ello,calcule la siguiente funcion h y muestre que h no es integrable:

h(x) := supn∈N

|fn(x)|.

Tarea 2, variante 2 (JEA, MDCEA, SBE), pagina 1 de 2

En cada uno de los siguientes dos ejercicios hay que analizar varios modos de convergencia deuna sucesion (fn)

∞n=1 de funciones fn : X→ R. Se recomienda el siguiente plan.

a) Dibujar las graficas de fn para n = 1, 2, 3.

b) Para todo punto x en X calcular el lımite puntual g(x) := limn→∞ fn(x).

c) Para todo n en N calcular supx∈X

|fn(x) − g(x)|.

d) Determinar si (fn)n∈N converge a g uniformemente.

e) Para todos ε > 0 y n ∈ N calcular A(ε, n) := {x ∈ X : |fn(x) − g(x)| > ε}. En este inciso y en losincisos g), h) es suficiente trabajar con valores de ε cercanos a cero.

f) Determinar si fn converge a g en medida µ.

g) Para todos ε > 0 y k ∈ N calcular B(ε, k) :=⋃∞n=kA(ε, n).

h) Para todo ε > 0 calcular C(ε) :=⋂∞k=1 B(ε, k).

i) Calcular D :=⋃ε>0C(ε).

j) Utilizando los resultados de los incisos g), i) comprobar las conclusiones sobre la convergenciauniforme y puntual.

k) Utilizando el resultado del inciso g) determinar si tiene caso la convergencia casi uniforme (lla-mada tambien convergencia de Egorov).

l) En el caso de respuesta positiva en k), para todo η > 0 construir un conjunto E con µ(E) < ηtal que la sucesion (fn)n∈N converja a g uniformemente en X \ E.

Ejercicio 3. 7 %.

X = R, µ es la medida de Lebesgue, fn(x) :=1

1+ (x− n)2.

Ejercicio 4. 7 %.

X = R, µ es la medida de Lebesgue, fn(x) := n · χ[1−1/n,1) =

{n, x ∈ [1− 1/n, 1),

0, x ∈ R \ [1− 1/n, 1).

Tarea 2, variante 2 (JEA, MDCEA, SBE), pagina 2 de 2

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Analisis Matematico II, LFM. Tarea 2. Variante 3 (JCJC,RELF,ZGSE).

Medidas, funciones medibles, varios modos de convergencia, convergencia de integrales.

Ejercicio 1. 3 %.Analizar la convergencia puntual y la convergencia uniforme de la sucesion de funciones fn : R→R, donde fn es la funcion caracterıstica del intervalo cerrado [−1/n, 0].

1. Dibujar las graficas de fn para n = 1, 2, 3.

2. Para cada x en R hallar el siguiente lımite:

g(x) := limn→∞ fn(x),

y escribir el razonamiento completo basandose en le definicion del lımite.

3. Para cada n en N, calcular la norma uniforme de la funcion fn − g. Hacer una conclusion sobrela convergencia uniforme.

Ejercicio 2. 5 %.En el conjunto X = R con la medida de Lebesgue se considera la sucesion de funciones fn : R→ [0,+∞)definida mediante la regla

fn(x) := 2−n · χ[2n,2n+1)(x) =

{2−n, x ∈ [2n, 2n+1];

0, x ∈ (−∞, 2n) ∪ (2n+1,+∞).

Demuestre que fn converge puntualmente a la funcion g = 0. Calcule∫X

(limn→∞ fn

)dµ y lim

n→∞∫X

fn dµ.

Explique por que no se puede aplicar el teorema de la convergencia dominada. Para ello,calcule la siguiente funcion h y muestre que h no es integrable:

h(x) := supn∈N

|fn(x)|.

Tarea 2, variante 3 (JCJC, RELF, ZGSE), pagina 1 de 2

En cada uno de los siguientes dos ejercicios hay que analizar varios modos de convergencia deuna sucesion (fn)

∞n=1 de funciones fn : X→ R. Se recomienda el siguiente plan.

a) Dibujar las graficas de fn para n = 1, 2, 3.

b) Para todo punto x en X calcular el lımite puntual g(x) := limn→∞ fn(x).

c) Para todo n en N calcular supx∈X

|fn(x) − g(x)|.

d) Determinar si (fn)n∈N converge a g uniformemente.

e) Para todos ε > 0 y n ∈ N calcular A(ε, n) := {x ∈ X : |fn(x) − g(x)| > ε}. En este inciso y en losincisos g), h) es suficiente trabajar con valores de ε cercanos a cero.

f) Determinar si fn converge a g en medida µ.

g) Para todos ε > 0 y k ∈ N calcular B(ε, k) :=⋃∞n=kA(ε, n).

h) Para todo ε > 0 calcular C(ε) :=⋂∞k=1 B(ε, k).

i) Calcular D :=⋃ε>0C(ε).

j) Utilizando los resultados de los incisos g), i) comprobar las conclusiones sobre la convergenciauniforme y puntual.

k) Utilizando el resultado del inciso g) determinar si tiene caso la convergencia casi uniforme (lla-mada tambien convergencia de Egorov).

l) En el caso de respuesta positiva en k), para todo η > 0 construir un conjunto E con µ(E) < ηtal que la sucesion (fn)n∈N converja a g uniformemente en X \ E.

Ejercicio 3. 7 %.X = [0, 1), µ es la medida de Lebesgue, fn(x) := x

n.

Ejercicio 4. 7 %.

X = R, µ es la medida de Lebesgue, fn(x) := n · χ(0,1/n] =

{n, x ∈ (0, 1/n],

0, x ∈ R \ (0, 1/n].

Tarea 2, variante 3 (JCJC, RELF, ZGSE), pagina 2 de 2

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Analisis Matematico II, LFM. Tarea 2. Variante 4 (JEOHN,MMED,VRR).

Medidas, funciones medibles, varios modos de convergencia, convergencia de integrales.

Ejercicio 1. 3 %.Analizar la convergencia puntual y la convergencia uniforme de la sucesion de funciones fn : R→R, donde fn es la funcion caracterıstica del intervalo cerrado [−3n,−n].

1. Dibujar las graficas de fn para n = 1, 2, 3.

2. Para cada x en R hallar el siguiente lımite:

g(x) := limn→∞ fn(x),

y escribir el razonamiento completo basandose en le definicion del lımite.

3. Para cada n en N, calcular la norma uniforme de la funcion fn − g. Hacer una conclusion sobrela convergencia uniforme.

Ejercicio 2. 5 %.En el conjunto X = R con la medida de Lebesgue se considera la sucesion de funciones fn : R→ [0,+∞)definida mediante la regla

fn(x) := 2n · χ[2−n−1,2−n](x) =

{2n, x ∈ [2−n−1, 2−n];

0, x ∈ (−∞, 2−n−1) ∪ (2−n,+∞).

Demuestre que fn converge puntualmente a la funcion g = 0. Calcule∫X

(limn→∞ fn

)dµ y lim

n→∞∫X

fn dµ.

Explique por que no se puede aplicar el teorema de la convergencia dominada. Para ello,calcule la siguiente funcion h y muestre que h no es integrable:

h(x) := supn∈N

|fn(x)|.

Tarea 2, variante 4 (JEOHN, MMED, VRR), pagina 1 de 2

En cada uno de los siguientes dos ejercicios hay que analizar varios modos de convergencia deuna sucesion (fn)

∞n=1 de funciones fn : X→ R. Se recomienda el siguiente plan.

a) Dibujar las graficas de fn para n = 1, 2, 3.

b) Para todo punto x en X calcular el lımite puntual g(x) := limn→∞ fn(x).

c) Para todo n en N calcular supx∈X

|fn(x) − g(x)|.

d) Determinar si (fn)n∈N converge a g uniformemente.

e) Para todos ε > 0 y n ∈ N calcular A(ε, n) := {x ∈ X : |fn(x) − g(x)| > ε}. En este inciso y en losincisos g), h) es suficiente trabajar con valores de ε cercanos a cero.

f) Determinar si fn converge a g en medida µ.

g) Para todos ε > 0 y k ∈ N calcular B(ε, k) :=⋃∞n=kA(ε, n).

h) Para todo ε > 0 calcular C(ε) :=⋂∞k=1 B(ε, k).

i) Calcular D :=⋃ε>0C(ε).

j) Utilizando los resultados de los incisos g), i) comprobar las conclusiones sobre la convergenciauniforme y puntual.

k) Utilizando el resultado del inciso g) determinar si tiene caso la convergencia casi uniforme (lla-mada tambien convergencia de Egorov).

l) En el caso de respuesta positiva en k), para todo η > 0 construir un conjunto E con µ(E) < ηtal que la sucesion (fn)n∈N converja a g uniformemente en X \ E.

Ejercicio 3. 7 %.

X = R, µ es la medida de Lebesgue, fn(x) :=1

1+ n2x2.

Ejercicio 4. 7 %.X = R, µ es la medida de Lebesgue, fn(x) := χ[3·(−1)n,5·(−1)n].

Tarea 2, variante 4 (JEOHN, MMED, VRR), pagina 2 de 2

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Analisis Matematico II, LFM. Tarea 2. Variante 5 (AMPAB,LDCJA,PCRD).

Medidas, funciones medibles, varios modos de convergencia, convergencia de integrales.

Ejercicio 1. 3 %.Analizar la convergencia puntual y la convergencia uniforme de la sucesion de funciones fn : R→R, donde fn es la funcion caracterıstica del intervalo cerrado [1/n, 2n].

1. Dibujar las graficas de fn para n = 1, 2, 3.

2. Para cada x en R hallar el siguiente lımite:

g(x) := limn→∞ fn(x),

y escribir el razonamiento completo basandose en le definicion del lımite.

3. Para cada n en N, calcular la norma uniforme de la funcion fn − g. Hacer una conclusion sobrela convergencia uniforme.

Ejercicio 2. 5 %.En el conjunto X = R con la medida de Lebesgue se considera la sucesion de funciones fn : R→ [0,+∞)definida mediante la regla

fn(x) :=1

n· χ[n,2n](x) =

1

n, x ∈ [n, 2n];

0, x ∈ (−∞, n) ∪ (2n,+∞).

Demuestre que fn converge puntualmente a la funcion g = 0. Calcule∫X

(limn→∞ fn

)dµ y lim

n→∞∫X

fn dµ.

Explique por que no se puede aplicar el teorema de la convergencia dominada. Para ello,calcule la siguiente funcion h y muestre que h no es integrable:

h(x) := supn∈N

|fn(x)|.

Tarea 2, variante 5 (AMPAB, LDCJA, PCRD), pagina 1 de 2

En cada uno de los siguientes dos ejercicios hay que analizar varios modos de convergencia deuna sucesion (fn)

∞n=1 de funciones fn : X→ R. Se recomienda el siguiente plan.

a) Dibujar las graficas de fn para n = 1, 2, 3.

b) Para todo punto x en X calcular el lımite puntual g(x) := limn→∞ fn(x).

c) Para todo n en N calcular supx∈X

|fn(x) − g(x)|.

d) Determinar si (fn)n∈N converge a g uniformemente.

e) Para todos ε > 0 y n ∈ N calcular A(ε, n) := {x ∈ X : |fn(x) − g(x)| > ε}. En este inciso y en losincisos g), h) es suficiente trabajar con valores de ε cercanos a cero.

f) Determinar si fn converge a g en medida µ.

g) Para todos ε > 0 y k ∈ N calcular B(ε, k) :=⋃∞n=kA(ε, n).

h) Para todo ε > 0 calcular C(ε) :=⋂∞k=1 B(ε, k).

i) Calcular D :=⋃ε>0C(ε).

j) Utilizando los resultados de los incisos g), i) comprobar las conclusiones sobre la convergenciauniforme y puntual.

k) Utilizando el resultado del inciso g) determinar si tiene caso la convergencia casi uniforme (lla-mada tambien convergencia de Egorov).

l) En el caso de respuesta positiva en k), para todo η > 0 construir un conjunto E con µ(E) < ηtal que la sucesion (fn)n∈N converja a g uniformemente en X \ E.

Ejercicio 3. 7 %.

X = R, µ es la medida de Lebesgue, fn(x) =nx

1+ n2x2.

Ejercicio 4. 7 %.X = R, µ es la medida de Lebesgue, fn(x) := χ[−n−1,−n]∪[n,n+1].

Tarea 2, variante 5 (AMPAB, LDCJA, PCRD), pagina 2 de 2

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Analisis Matematico II, LFM. Tarea 2. Variante 6 (DOMLA,HJNX,MSJM).

Medidas, funciones medibles, varios modos de convergencia, convergencia de integrales.

Ejercicio 1. 3 %.Analizar la convergencia puntual y la convergencia uniforme de la sucesion de funciones fn : R→R, donde fn es la funcion caracterıstica del intervalo cerrado [−n, 1/n].

1. Dibujar las graficas de fn para n = 1, 2, 3.

2. Para cada x en R hallar el siguiente lımite:

g(x) := limn→∞ fn(x),

y escribir el razonamiento completo basandose en le definicion del lımite.

3. Para cada n en N, calcular la norma uniforme de la funcion fn − g. Hacer una conclusion sobrela convergencia uniforme.

Ejercicio 2. 5 %.En el conjunto X = (0,+∞) con la medida de Lebesgue se considera la sucesion de funcionesfn : (0,+∞)→ [0,+∞) definida mediante la regla

fn(x) := n · e−nx .

Demuestre que fn converge puntualmente a la funcion g = 0. Calcule∫X

(limn→∞ fn

)dµ y lim

n→∞∫X

fn dµ.

Explique por que no se puede aplicar el teorema de la convergencia dominada. Para ello,calcule la siguiente funcion h y muestre que h no es integrable:

h(x) := supn∈N

|fn(x)|.

Tarea 2, variante 6 (DOMLA, HJNX, MSJM), pagina 1 de 2

En cada uno de los siguientes dos ejercicios hay que analizar varios modos de convergencia deuna sucesion (fn)

∞n=1 de funciones fn : X→ R. Se recomienda el siguiente plan.

a) Dibujar las graficas de fn para n = 1, 2, 3.

b) Para todo punto x en X calcular el lımite puntual g(x) := limn→∞ fn(x).

c) Para todo n en N calcular supx∈X

|fn(x) − g(x)|.

d) Determinar si (fn)n∈N converge a g uniformemente.

e) Para todos ε > 0 y n ∈ N calcular A(ε, n) := {x ∈ X : |fn(x) − g(x)| > ε}. En este inciso y en losincisos g), h) es suficiente trabajar con valores de ε cercanos a cero.

f) Determinar si fn converge a g en medida µ.

g) Para todos ε > 0 y k ∈ N calcular B(ε, k) :=⋃∞n=kA(ε, n).

h) Para todo ε > 0 calcular C(ε) :=⋂∞k=1 B(ε, k).

i) Calcular D :=⋃ε>0C(ε).

j) Utilizando los resultados de los incisos g), i) comprobar las conclusiones sobre la convergenciauniforme y puntual.

k) Utilizando el resultado del inciso g) determinar si tiene caso la convergencia casi uniforme (lla-mada tambien convergencia de Egorov).

l) En el caso de respuesta positiva en k), para todo η > 0 construir un conjunto E con µ(E) < ηtal que la sucesion (fn)n∈N converja a g uniformemente en X \ E.

Ejercicio 3. 7 %.X = (0,+∞), µ es la medida de Lebesgue, fn(x) = e−nx.

Ejercicio 4. 7 %.X = R, µ es la medida de Lebesgue, fn(x) := (−1)n · χ[2n,2n+1].

Tarea 2, variante 6 (DOMLA, HJNX, MSJM), pagina 2 de 2

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Analisis Matematico II, LFM. Tarea 2. Variante 7 (AIAJ,GHE,TELD).

Medidas, funciones medibles, varios modos de convergencia, convergencia de integrales.

Ejercicio 1. 3 %.Analizar la convergencia puntual y la convergencia uniforme de la sucesion de funciones fn : R→R, donde fn es la funcion caracterıstica del intervalo cerrado

[n,n+ 1

n

].

1. Dibujar las graficas de fn para n = 1, 2, 3.

2. Para cada x en R hallar el siguiente lımite:

g(x) := limn→∞ fn(x),

y escribir el razonamiento completo basandose en le definicion del lımite.

3. Para cada n en N, calcular la norma uniforme de la funcion fn − g. Hacer una conclusion sobrela convergencia uniforme.

Ejercicio 2. 5 %.En el conjunto X = [0, 1) con la medida de Lebesgue se considera la sucesion de funciones fn : [0, 1)→[0,+∞) definida mediante la regla

fn(x) := (n+ 1)xn.

Demuestre que fn converge puntualmente a la funcion g = 0. Calcule∫X

(limn→∞ fn

)dµ y lim

n→∞∫X

fn dµ.

Explique por que no se puede aplicar el teorema de la convergencia dominada. Para ello,calcule la siguiente funcion h y muestre que h no es integrable:

h(x) := supn∈N

|fn(x)|.

Tarea 2, variante 7 (AIAJ, GHE, TELD), pagina 1 de 2

En cada uno de los siguientes dos ejercicios hay que analizar varios modos de convergencia deuna sucesion (fn)

∞n=1 de funciones fn : X→ R. Se recomienda el siguiente plan.

a) Dibujar las graficas de fn para n = 1, 2, 3.

b) Para todo punto x en X calcular el lımite puntual g(x) := limn→∞ fn(x).

c) Para todo n en N calcular supx∈X

|fn(x) − g(x)|.

d) Determinar si (fn)n∈N converge a g uniformemente.

e) Para todos ε > 0 y n ∈ N calcular A(ε, n) := {x ∈ X : |fn(x) − g(x)| > ε}. En este inciso y en losincisos g), h) es suficiente trabajar con valores de ε cercanos a cero.

f) Determinar si fn converge a g en medida µ.

g) Para todos ε > 0 y k ∈ N calcular B(ε, k) :=⋃∞n=kA(ε, n).

h) Para todo ε > 0 calcular C(ε) :=⋂∞k=1 B(ε, k).

i) Calcular D :=⋃ε>0C(ε).

j) Utilizando los resultados de los incisos g), i) comprobar las conclusiones sobre la convergenciauniforme y puntual.

k) Utilizando el resultado del inciso g) determinar si tiene caso la convergencia casi uniforme (lla-mada tambien convergencia de Egorov).

l) En el caso de respuesta positiva en k), para todo η > 0 construir un conjunto E con µ(E) < ηtal que la sucesion (fn)n∈N converja a g uniformemente en X \ E.

Ejercicio 3. 7 %.

X = (0,+∞), µ es la medida de Lebesgue, fn(x) =x

n+ x.

Ejercicio 4. 7 %.X = R, µ es la medida de Lebesgue, fn(x) := χ[− 1

n, 1n ]

.

Tarea 2, variante 7 (AIAJ, GHE, TELD), pagina 2 de 2

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Analisis Matematico II, LFM. Tarea 2. Variante 8 (AGJE,SMJG,SGVD).

Medidas, funciones medibles, varios modos de convergencia, convergencia de integrales.

Ejercicio 1. 3 %.Analizar la convergencia puntual y la convergencia uniforme de la sucesion de funciones fn : R→R, donde fn es la funcion caracterıstica del intervalo cerrado [2−n, 2n].

1. Dibujar las graficas de fn para n = 1, 2, 3.

2. Para cada x en R hallar el siguiente lımite:

g(x) := limn→∞ fn(x),

y escribir el razonamiento completo basandose en le definicion del lımite.

3. Para cada n en N, calcular la norma uniforme de la funcion fn − g. Hacer una conclusion sobrela convergencia uniforme.

Ejercicio 2. 5 %.En el conjunto X = R con la medida de Lebesgue se considera la sucesion de funciones fn : R→ [0,+∞)definida mediante la regla

fn(x) :=

{1− |x− 2n|, x ∈ [2n− 1, 2n+ 1];

0, x ∈ (−∞, 2n− 1) ∪ (2n+ 1,+∞).

Demuestre que fn converge puntualmente a la funcion g = 0. Calcule∫X

(limn→∞ fn

)dµ y lim

n→∞∫X

fn dµ.

Explique por que no se puede aplicar el teorema de la convergencia dominada. Para ello,calcule la siguiente funcion h y muestre que h no es integrable:

h(x) := supn∈N

|fn(x)|.

Tarea 2, variante 8 (AGJE, SMJG, SGVD), pagina 1 de 2

En cada uno de los siguientes dos ejercicios hay que analizar varios modos de convergencia deuna sucesion (fn)

∞n=1 de funciones fn : X→ R. Se recomienda el siguiente plan.

a) Dibujar las graficas de fn para n = 1, 2, 3.

b) Para todo punto x en X calcular el lımite puntual g(x) := limn→∞ fn(x).

c) Para todo n en N calcular supx∈X

|fn(x) − g(x)|.

d) Determinar si (fn)n∈N converge a g uniformemente.

e) Para todos ε > 0 y n ∈ N calcular A(ε, n) := {x ∈ X : |fn(x) − g(x)| > ε}. En este inciso y en losincisos g), h) es suficiente trabajar con valores de ε cercanos a cero.

f) Determinar si fn converge a g en medida µ.

g) Para todos ε > 0 y k ∈ N calcular B(ε, k) :=⋃∞n=kA(ε, n).

h) Para todo ε > 0 calcular C(ε) :=⋂∞k=1 B(ε, k).

i) Calcular D :=⋃ε>0C(ε).

j) Utilizando los resultados de los incisos g), i) comprobar las conclusiones sobre la convergenciauniforme y puntual.

k) Utilizando el resultado del inciso g) determinar si tiene caso la convergencia casi uniforme (lla-mada tambien convergencia de Egorov).

l) En el caso de respuesta positiva en k), para todo η > 0 construir un conjunto E con µ(E) < ηtal que la sucesion (fn)n∈N converja a g uniformemente en X \ E.

Ejercicio 3. 7 %.

X = (0,+∞), µ es la medida de Lebesgue, fn(x) =n

n+ x.

Ejercicio 4. 7 %.X = R, µ es la medida de Lebesgue, fn(x) := χ[−2+ 1

n,3].

Tarea 2, variante 8 (AGJE, SMJG, SGVD), pagina 2 de 2

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Analisis Matematico II, LFM. Tarea 2. Variante 9 (MMD,AVLA).

Medidas, funciones medibles, varios modos de convergencia, convergencia de integrales.

Ejercicio 1. 3 %.Analizar la convergencia puntual y la convergencia uniforme de la sucesion de funciones fn : R→R, donde fn es la funcion caracterıstica del intervalo cerrado [−2n, 1/n].

1. Dibujar las graficas de fn para n = 1, 2, 3.

2. Para cada x en R hallar el siguiente lımite:

g(x) := limn→∞ fn(x),

y escribir el razonamiento completo basandose en le definicion del lımite.

3. Para cada n en N, calcular la norma uniforme de la funcion fn − g. Hacer una conclusion sobrela convergencia uniforme.

Ejercicio 2. 5 %.En el conjunto X = R con la medida de Lebesgue se considera la sucesion de funciones fn : R→ [0,+∞)definida mediante la regla

fn(x) := χ[n,2n+1](x) =

{1, x ∈ [n, 2n+ 1];

0, x ∈ (−∞, n) ∪ (2n+ 1,+∞).

Demuestre que fn converge puntualmente a la funcion g = 0. Calcule∫X

(limn→∞ fn

)dµ y lim

n→∞∫X

fn dµ.

Explique por que no se puede aplicar el teorema de la convergencia dominada. Para ello,calcule la siguiente funcion h y muestre que h no es integrable:

h(x) := supn∈N

|fn(x)|.

Tarea 2, variante 9 (MMD, AVLA), pagina 1 de 2

En cada uno de los siguientes dos ejercicios hay que analizar varios modos de convergencia deuna sucesion (fn)

∞n=1 de funciones fn : X→ R. Se recomienda el siguiente plan.

a) Dibujar las graficas de fn para n = 1, 2, 3.

b) Para todo punto x en X calcular el lımite puntual g(x) := limn→∞ fn(x).

c) Para todo n en N calcular supx∈X

|fn(x) − g(x)|.

d) Determinar si (fn)n∈N converge a g uniformemente.

e) Para todos ε > 0 y n ∈ N calcular A(ε, n) := {x ∈ X : |fn(x) − g(x)| > ε}. En este inciso y en losincisos g), h) es suficiente trabajar con valores de ε cercanos a cero.

f) Determinar si fn converge a g en medida µ.

g) Para todos ε > 0 y k ∈ N calcular B(ε, k) :=⋃∞n=kA(ε, n).

h) Para todo ε > 0 calcular C(ε) :=⋂∞k=1 B(ε, k).

i) Calcular D :=⋃ε>0C(ε).

j) Utilizando los resultados de los incisos g), i) comprobar las conclusiones sobre la convergenciauniforme y puntual.

k) Utilizando el resultado del inciso g) determinar si tiene caso la convergencia casi uniforme (lla-mada tambien convergencia de Egorov).

l) En el caso de respuesta positiva en k), para todo η > 0 construir un conjunto E con µ(E) < ηtal que la sucesion (fn)n∈N converja a g uniformemente en X \ E.

Ejercicio 3. 7 %.

X = (0,+∞), µ es la medida de Lebesgue, fn(x) =nx

x2 + n2.

Ejercicio 4. 7 %.

X = R, µ es la medida de Lebesgue, fn(x) :=n

n+ 1· χ[0, n

n+1 ].

Tarea 2, variante 9 (MMD, AVLA), pagina 2 de 2

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Analisis Matematico II, LFM. Tarea 2. Variante 10 (ARGJ,AAIA).

Medidas, funciones medibles, varios modos de convergencia, convergencia de integrales.

Ejercicio 1. 3 %.Analizar la convergencia puntual y la convergencia uniforme de la sucesion de funciones fn : R→R, donde fn es la funcion caracterıstica del intervalo cerrado

[−n, n

n+1

].

1. Dibujar las graficas de fn para n = 1, 2, 3.

2. Para cada x en R hallar el siguiente lımite:

g(x) := limn→∞ fn(x),

y escribir el razonamiento completo basandose en le definicion del lımite.

3. Para cada n en N, calcular la norma uniforme de la funcion fn − g. Hacer una conclusion sobrela convergencia uniforme.

Ejercicio 2. 5 %.En el conjunto X = (0,+∞) con la medida de Lebesgue se considera la sucesion de funcionesfn : (0,+∞)→ [0,+∞) definida mediante la regla

fn(x) :=n

(x+ n)2.

Demuestre que fn converge puntualmente a la funcion g = 0. Calcule∫X

(limn→∞ fn

)dµ y lim

n→∞∫X

fn dµ.

Explique por que no se puede aplicar el teorema de la convergencia dominada. Para ello,calcule la siguiente funcion h y muestre que h no es integrable:

h(x) := supn∈N

|fn(x)|.

Tarea 2, variante 10 (ARGJ, AAIA), pagina 1 de 2

En cada uno de los siguientes dos ejercicios hay que analizar varios modos de convergencia deuna sucesion (fn)

∞n=1 de funciones fn : X→ R. Se recomienda el siguiente plan.

a) Dibujar las graficas de fn para n = 1, 2, 3.

b) Para todo punto x en X calcular el lımite puntual g(x) := limn→∞ fn(x).

c) Para todo n en N calcular supx∈X

|fn(x) − g(x)|.

d) Determinar si (fn)n∈N converge a g uniformemente.

e) Para todos ε > 0 y n ∈ N calcular A(ε, n) := {x ∈ X : |fn(x) − g(x)| > ε}. En este inciso y en losincisos g), h) es suficiente trabajar con valores de ε cercanos a cero.

f) Determinar si fn converge a g en medida µ.

g) Para todos ε > 0 y k ∈ N calcular B(ε, k) :=⋃∞n=kA(ε, n).

h) Para todo ε > 0 calcular C(ε) :=⋂∞k=1 B(ε, k).

i) Calcular D :=⋃ε>0C(ε).

j) Utilizando los resultados de los incisos g), i) comprobar las conclusiones sobre la convergenciauniforme y puntual.

k) Utilizando el resultado del inciso g) determinar si tiene caso la convergencia casi uniforme (lla-mada tambien convergencia de Egorov).

l) En el caso de respuesta positiva en k), para todo η > 0 construir un conjunto E con µ(E) < ηtal que la sucesion (fn)n∈N converja a g uniformemente en X \ E.

Ejercicio 3. 7 %.

X =, µ es la medida de Lebesgue, fn(x) =1

|x− n|+ 1.

Ejercicio 4. 7 %.

X = R, µ es la medida de Lebesgue, fn(x) :=

[−1, 1+

1

n

).

Tarea 2, variante 10 (ARGJ, AAIA), pagina 2 de 2