ALJABAR LINIER & MATRIKS

VEKTOR

Menghitung Besar Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan Bila

Diketahui Sudutnya

cos||||2|||||| 22 vuvuvu u + v

u

v

θ

cos||||2|||||| 22 vuvuvu u

vu-v

θ

Perkalian Vektor dengan Skalar

Definisi

• Untuk sembarang vektor a dengan α, maka:– panjang αa = | α |.|a|– jika a ≠ 0 dan α > 0 , αa searah dengan a– jika a ≠ 0 dan α < 0 , αa berlawanan arah dengan a– jika a = 0 dan α = 0 , maka αa = 0

• Untuk vektor a dalam koordinat kartesian

jika a = [a1,a2,a3] maka

αa = [αa1, αa2, αa3]

Sifat Perkalian skalar & vektor

αa = aα Komutatif

α( ka ) = ( αk )a Asosiatif

α ( a+b ) = αa + αb Distributif

(α+k) a = αa + ka Distributif

1 . a = a Elemen Netral

0 . a = 0 Elemen Central

(-1) a = -a Elemen Invers

Ruang Vektor

• Merupakan himpunan elemen vektor yang terdefinisikan sekurang-kurangnya dua operasi yang membentuk group

• Berlaku sifat distributif dan assosiatif gabungan

- distributif operasi 1 terhadap operasi 2

- distributif operasi 2 terhadap operasi 1

- assosiatif

Kombinasi linear

• Untuk sembarang vektor a1, … , am didalam ruang vektor v , maka ungkapan:

α1a1 + α2a2 + … + αm am

α1, … , αm skalar sembarang

disebut sebagai “Kombinasi Linear”

Ketergantungan Linear

• Jika kombinasi linear dari m buah vektor sama dengan vektor nol dan berlaku hanya untuk αi = 0 (i=1,2,…,m), maka m buah vektor tersebut dikatakan sebagai ‘vektor-vektor bebas linear’

• Jika sekurang-kurangnya terdapat satu α1=0, dimana kombinasi linear dari m buah vektor sama dengan vektor nol, maka m buah vektor tersebut dikatakan sebagai ‘vektor-vektor bergantungan linear’

α1a1 + α2a2 + … + αm am = 0

• Berlaku untuk α1 = α2 = … = αm = 0 (vektor-vektor bebas linear)

terdapat minimal satu α1≠0 (vektor-vektor tidak bebas linear)

Perkalian Titik

(Dot Product)

Visualisasi

• Vektor-vektor diposisikan sehingga titik pangkalnya berimpitan

• Memiliki sudut antara dua vektor

Rumus

• Jika u dan v adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi-2 atau berdimensi-3 dan Ø adalah sudut antara u dan v, maka hasil kali titik u.v adalah:

u.v = |u||v| u.v = |u||v| cos Ø jika cos Ø jika u ≠ u ≠ 0 dan 0 dan v ≠ v ≠ 00

u.v = 0u.v = 0 jika jika u = u = 0 atau 0 atau v = v = 00

Rumus

a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3

Dalam bentuk komponen vektor, Dalam vektor 3 dimensi;

bila a = [a1,a2,a3] dan b = [b1,b2,b3], maka :

Formulasi Khusus

GenjangJajaranPersbababa

segitigamaanPertidaksababa

SchwarzmaanPertidaksababa

.)|||(|2||||

||||||

|||||.|

2222

Sifat Dot Product

• Untuk setiap vektor sebarang a, b, c dan skalar α1, α2 berlaku:

Orthogonalitas dua vektor

• Teorema– Hasil perkalian dot product antara dua vektor bukan-nol

adalah nol jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut saling tegak lurus

• Vektor a disebut ortogonal thd vektor b jika a•b = 0, dan vektor b juga ortogonal thd vektor a.

• Vektor nol 0 ortogonal terhadap semua vektor.

• Untuk vektor bukan-nol– a•b = 0 jika dan hanya jika cos γ = 0 γ = 90o = π/2

• Jika u dan v adalah vektor-vektor tak nol, maka :

vu

v.ucos

Rumus

Hasil Dot Product bisa digunakan untuk memperoleh informasi mengenai sudut antara

2 vektor.

• Jika u dan v adalah vektor-vektor tak nol dan adalah sudut antara kedua vektor tersebut, maka :

lancip; jika dan hanya jika u.v>0

tumpul ; jika dan hanya jika u.v<0

=/2; jika dan hanya jika u.v=0

Contoh SoalJika diketahui vektor a = [1,2,0], b=[3,-2,1].

Tentukanlah:- panjang vektor a, panjang vektor b, sudut antara vektor a

dan b, - sudut vektor c = a + b terhadap sumbu x

Summary Dot Product

• Perkalian vektor dengan skalar merupakan perbesaran atau pengecilan vektor, dengan bilangan skalar merupakan satuan pembandingnya.

• vektor dalam ruang Rn dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor basis

• Rumus untuk dot product

• Perkalian titik (dot product) antara 2 vektor akan menghasilkan suatu nilai skalar

u.v = |u||v| u.v = |u||v| cos Ø cos Ø jika jika u ≠ u ≠ 0 dan 0 dan v ≠ v ≠ 00 u.v = 0u.v = 0 jika jika u = u = 0 atau 0 atau v = v = 00

Perkalian Cross

(CROSS PRODUCT)

Cross Product

• Cross product dari 2 buah vektor adalah suatu vektor baru yang besarnya sama dengan luas jajaran genjang yang diapit oleh kedua vektor tersebut, arahnya tegak lurus bidang yang dibentuk oleh kedua vektor

• Hasil Dot Product dua buah vektor menghasilkan skalar

• Hasil Cross Product antara dua buah vektor menghasilkan sebuah vektor yang tegaklurus pada kedua vektor tersebut. Perkalian silang antara dua buah vektor hanya berlaku untuk vektor-vektor di ruang.

Cross Product

• Rumus Umum

v = a x b, dimana |v| = |a| |b| sin α

v = 0, jika α = 0 atau salah satu dari a dan b sama dengan nol

Cross Product

• Jika u = (u1,u2,u3) dan v = (v1,v2,v3) adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 3,

• maka hasil kali silang u x v adalah vektor yang didefinisikan sebagai

u x v =(u2v3 - u3v2 ,u3v1 - u1v3 ,u1v2 - u2v1 )• atau dalam notasi determinan :

vv

uu ,

vv

uu ,

vv

uu u x v

21

21

31

31

32

32

• Jika u, v dan w adalah sebarang vektor dalam ruang berdimensi 3 dan k adalah sebarang skalar, maka :

Sifat Cross Product

u x v = -(v x u)u x (v+w) =(u x v) + (u x w)(u + v) x w = (u x w) + (v x w)k(u x v) = (ku) x v = u x (kv)u x 0 = 0 x u = 0u x u = 0

Hubungan Dot Product dan Cross Product

• Jika u, v dan w adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 3, maka :

u.(u x v) = 0 u x v ortogonal terhadap u.

v.(u x v) = 0 u x v ortogonal terhadap v.

|u x v|2=|u|2|v|2 – (u.v)2

u x (v x w) = (u.w)v – (u.v)w

(u x v) x w = (u.w)v – (v.w)u

Contoh Soal

• Diketahui u = (1, 2, -2) dan v=(3, 0, 1),

hitunglah u x v !

Contoh Soal

103

221

03

21,

13

21,

10

22

6,7,2 =

Jawab:

u x v =

Scalar Triple Product

21

213

13

132

32

321

332211

321

321321321

,,vac)(b a

] v, v,[v vcbandaikan c)(b a c)b(a

)(ditulis

],,[],,,[,],,[

vektor tigadariproduct tripleScalar

cc

bba

cc

bba

cc

bba

vavava

definisidengancba

ccccbbbbaaaa

Sifat Hasil Kali Triple Scalar

Latihan

1. Diketahui a = (2,1,-3) , b = (3,1,1), c = (0,2,-2) . Tentukan ( bila terdefinisi /mungkin ) :a. a x (b - 2 c) c. a x b x cb. a·b x c

2. Carilah sebuah vektor yang tegak lurus terhadap u dan v bilaa. u = (-1,2,-3) dan v = (0,2,4)b. u = (4,-2,1) dan v = (0,2,-1) .

3. Hitung luas segitiga ABC bila diketahui titik-titik sudutnya.a. A ( 1,2,3 ), B ( -1,2,-3 ) dan C ( 0,3,1 )b. A ( 0,4,-3 ) , B ( -2,3,0 ) dan C ( 4,1,1 )