UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANASETOR DE CIENCIAS EXATAS

POS-GRADUACAO EM MATEMATICA APLICADA

Alguns topicos em L espacos topologicos: compacidade local,

espacos de Hurewicz e propriedade ω∗

Tomas Keller Breuckmann

CURITIBA - PR

2004

Alguns topicos em L espacos topologicos:compacidade local, espacos de Hurewicz e

propriedade ω∗

Tomas Keller Breuckmann

Orientacao:

Profa Soraya R. T. Kudri

Dissertacao apresentada como requisitoparcial a obtencao do grau de Mestre em Ma-tematica Aplicada, Curso de Pos-graduacaoem Matematica Aplicada, Setor de CienciasExatas, Universidade Federal do Parana.

UFPR - CURITIBA

2004

i

Termo de Aprovacao

Dissertacao aprovada como requisito parcial a obtencao do grau de Mestre em

Matematica Aplicada no Curso de Pos-graduacao em Matematica Aplicada da

Universidade Federal do Parana.

Profa. Soraya Rosana Torres Kudri (Orientadora)Departamento de Matematica - UFPR ———————————————

Prof. Marko Antonio Rojas MedarDepartamento de Matematica - UNICAMP ———————————————

Prof. Jose carlos Cifuentes VasquesDepartamento de Matematica - UFPR ———————————————

Prof. Marcelo Muniz Silva AlvesDepartamento de Matematica - UFPR ———————————————

Curitiba 18 de fevereiro de 2004

ii

Dedicado a todos os cubos,

esferas e outros seres

que vivem alem de Flatland.

iii

Agradecimento

Meus sinceros agradecimentos a professora Soraya.

iv

Sumario

Lista de Sımbolos vi

Lista de Figuras vii

Resumo ix

Abstract 1

1 Introducao 2

2 Teoria Basica 72.1 Topologia Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Reticulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 L-Conjuntos e L-Pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 L-Topologias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Compacidade Local 303.1 Compacidade local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4 Teorema da L-Caixa 464.1 Teorema da L-caixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5 Propriedades de Recobrimento: Hurewicz e ω∗ 525.1 Espacos de Hurewicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.2 Propriedade ω∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.3 Teorema Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Bibliografia 64

v

Lista de Sımbolos

N o conjunto dos numeros naturais.

∅ o conjunto vazio.

≤, � relacao de ordem parcial e sua negacao.

∨, ∧ supremo e ınfimo respectivamente.

′ involucao com reversao de ordem.

〈X, δ〉 um espaco topologico.

〈X, T 〉 um espaco L-topologico.

〈X, TD〉 um subespaco de um espaco L-topologico.

A o fecho do conjunto A ou de um L-conjunto A.

Ac o complementar do conjunto A.

χA a funcao caracterıstica de A.

x ∈ A, x /∈ A x pertence a A e sua negacao.

{x ∈ X ; P (x)} o conjunto dos elementos x em X com a propriedade P .

A ⊂<∞ B A e um subconjunto finito de B.

A ⊂ B A esta contido em B.

{Aj}j∈J uma famılia indexada de conjuntos, quando J = N e uma sequencia.

∪j∈JAj a uniao da famılia {Aj}j∈J .

f : X → Y uma funcao de X em Y .

vi

∏j∈J Aj o produto da famılia {Aj}j∈J .

∑j∈J Aj a soma da famılia {Aj}j∈J .

f(A), f−1(A) a imagem direta e inversa do conjunto A ou de um L-conjunto A.

f |A a restricao de f a A.

∀, ∃ quantificadores “para todo” e “existe”

pr(L) elementos primos do reticulado L.

πj a j-esima projecao.

0, 1 menor e maior elementos de um reticulado L.

LX o conjunto dos L-conjuntos de X.

xp um L-ponto.

supp(f) o suporte de f .

∨j∈Jfj a uniao da famılia de L-conjuntos {fj}j∈J .

∧j∈Jfj a intersecao da famılia de L-conjuntos {fj}j∈J .

ω(δ)o espaco L-topologico de todas as funcoes contınuas de umespaco topologico 〈X, δ〉 em um reticulado fuzzy L comtopologia Scott.

vii

Lista de Figuras

1.1 Funcao caracterıstica de A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Conjunto fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 L-conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 L-conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.1 L-conjunto muito compacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.2 Compacidade local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3 Compacidade local fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4 Compacidade local relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.1 Teorema 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.1 Princıpio de selecao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.2 Espacos de Hurewicz e propriedade ω∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

viii

Resumo

Em um L espaco topologico propomos boas definicoes de compacidade local, com-

pacidade local fraca e compacidade local relativa. Como resultados obtemos a in-

variancia por funcoes abertas contınuas e sobrejetoras, a equivalencia em espacos de

Hausdorff, a regularidade em espacos de Hausdorff, teoremas de compatificacao por

um ponto e dois teoremas sobre a compacidade local e compacidade local fraca para

o L-espaco produto. Propomos tambem boas definicoes para espacos de Hurewicz

e a propriedade ω∗ em L espacos topologicos. Alguns resultados sobre espacos de

Hurewicz sao obtidos, onde o principal teorema estabelece por meio da proprie-

dade ω∗ condicoes necessarias e suficientes para um espaco ser Hurewicz. Para isso

foi necessario generalizar para um L espaco topologico um resultado simples sobre

produto finito de compactos, que chamamos de Teorema da L-Caixa.

Palavras-chave: L espacos topologicos, compacidade local, espacos de Hurewicz,

propriedade ω∗.

ix

Abstract

In an L-topological space we propose good definitions for local compactness, weak

local compactness and relative local compactness. As results we obtain the inva-

riance under continuous open surjections, the equivalence in Hausdorff spaces, the

regularity in Hausdorff spaces, one point compactification theorems and two the-

orems about local compacness and weak local compactness for L-product spaces.

We also propose good definitions for Hurewicz spaces and the ω∗ property in L-

topological spaces. Some results about Hurewicz spaces are obtained, where the

main theorem gives necessaries and sufficient conditions for a space to be Hurewicz

by means of the ω∗ property. For this result was necessary the generalization, for an

L-topological space, of a result about the product of finite compacts spaces which

we call here the L-Box Theorem.

Keywords: L-topological space, local compactness, Hurewicz spaces, ω∗ pro-

perty.

1

Capıtulo 1

Introducao

A teoria de conjuntos fuzzy teve origem com Zadeh [26] em 1965. Tal trabalho

causou grande interesse entre matematicos e profissionais das mais diversas areas, o

que resultou em um novo campo da matematica chamado ”Matematica Fuzzy”.

Dado um conjunto X, podemos ver um subconjunto A ⊂ X como uma funcao

caracterıstica χA, figura 1.1, definida por:

χA(x) =

{1 se x ∈ A0 se x /∈ A

As operacoes ∪, ∩ e c, e a relacao ⊂ entre conjuntos podem ser traduzidas para

funcoes caracterısticas da seguinte forma:

A ∪B ↔ χA∪B = χA ∨ χB.

A ∩B ↔ χA∩B = χA ∧ χB.

Ac ↔ χAc = 1− χA.

Figura 1.1: Funcao caracterıstica de A

2

CAPITULO 1. INTRODUCAO 3

A ⊂ B ↔ χA ≤ χB.

onde ∨ e ∧ denotam as operacoes de supremo e ınfimo respectivamente.

A ideia apresentada por Zadeh, foi de generalizar as funcoes caracterısticas per-

mitindo que asumissem valores no intervalo [0, 1]. Deste modo, um subconjunto de

X passa a ser uma funcao caracterıstica generalizada µ : X → [0, 1], chamados de

conjuntos fuzzy, figura 1.2.

Figura 1.2: Conjunto fuzzy

As operacoes ∪, ∩ e c, e a relacao ⊂ entre conjuntos se generalizam para conjuntos

fuzzy do mesmo modo que para funcoes caracterısticas.

Em 1967, Goguen [6] generalizou ainda mais a nocao de conjunto fuzzy, per-

mitindo que as funcoes caracterısticas asumissem valores em um reticulado L com

elemento minimo 0 = ∧L e maximo 1 = ∨L. Deste modo, os subconjuntos de X

passam a ser funcoes f : X → L, chamados de L-conjuntos, ou conjuntos L-fuzzy,

figura 1.3. O conjunto de todos os L-conjuntos de X e denotado por LX .

Em L-conjuntos podemos definir a uniao de f e g como sendo o L-conjunto f ∨g,

onde (f∨g)(x) = f(x)∨g(x). Definicao analoga para a intersecao de f e g utilizando

∧. Dizemos que f esta contido em g se e somente se f ≤ g, ou seja, f(x) ≤ g(x)

para todo x ∈ X.

A definicao do complementar de um conjunto para um L-conjunto nao pode ser

generalizada da forma anterior, pois em um reticulado nao temos obrigatoriamente

CAPITULO 1. INTRODUCAO 4

uma operacao de soma que nos permita fazer 1 − f(x). O complementar de um

L-conjunto f e um L-conjunto f c definido por f c(x) = f(x)′ onde ′ : L → L e

uma funcao que satisfaz as seguintes propriedades: e ≤ b ⇒ b′ ≤ e′, e, (e′)′ = e.

Note que com esta defininicao temos as mesmas propriedades de conjuntos para o

complementar, isto e, f ≤ g ⇒ gc ≤ f c e (f c)c = f . Como notacao escrevemos f ′

para o complementar de f e nao f c.

Um elemento p 6= 1 em L e primo se e somente se e∧ b ≤ p ⇒ e ≤ p ou b ≤ p. O

conjunto e todos os elementos primos de L sera denotado por pr(L). A definicao de

ponto fuzzy, ou L-ponto, que utilizaremos neste trabalho foi proposta em [21] por

Warner. Um L-ponto de X, figura 1.4, e um L-conjunto xp : X → L definido por:

xp(y) =

{p se y = x1 se y 6= x

onde x ∈ X e p ∈ pr(L).

Dizemos que o L-ponto xp pertence ao L-conjunto f , e escrevemos xp ∈ f , se e

somente se f(x) � p, figura 1.4. Interessante notar que em L-conjuntos nao temos

necessariamente a equivalencia xp ∈ f ⇔ xp /∈ f ′ que existe em conjuntos, pois

f(x) � p e f(x) ≥ p′ podem nao ser equivalentes.

A primeira definicao de espacos topologicos fuzzy foi proposta por Chang em [2].

Um espaco topologico fuzzy e um conjunto X com uma topologia usual de conjuntos

Figura 1.3: L-conjunto

CAPITULO 1. INTRODUCAO 5

fuzzy, isto e: ∅ e X sao abertos, uniao arbitraria de abertos e aberto, e intersecao

finita de abertos e aberto. Atualmente estes espacos topologicos fuzzy sao ditos

espacos L-topologicos ou L espacos topologico.

O primeiro capıtulo e dedicado a definicoes e propriedades basicas de reticulados,

L-conjuntos e L-pontos, e de espacos L-topologicos.

No segundo capıtulo apresentamos boas definicoes (definicao 2.27) para as propri-

edades de compacidade local, compacidade local fraca e compacidade local relativa

em um espaco L-topologico. Como resultados obtemos a invariancia destas propri-

edades por funcoes sobrejetoras contınuas e abertas, a equivalencia em espacos de

Hausdorff, a regularidade em espacos de Hausdorff, teoremas de compactificacao por

um ponto e teoremas sobre a compacidade local do L-espaco produto.

Em topologia geral, temos um resultado simples sobre compacidade que diz que

dado A, um subconjunto compacto de X, e um aberto W em Xn tal que An ⊂ W ,

existe um aberto V tal que A ⊂ V e V n ⊂ W . No terceiro capıtulo apresentamos

uma versao deste resultado para um L espaco topologico, o “teorema da L-caixa”.

Duas propriedades de recobrimento existentes na topologia geral sao a proprie-

dade de Hurewicz e a propriedade ω (selectively ω-grouping property). A propri-

edade de Hurewicz foi introduzida por Hurewicz em [8] e trata de sequencias de

coberturas abertas. A propriedade ω foi introduzida por Scheepers em [18] e trata

Figura 1.4: L-conjunto

CAPITULO 1. INTRODUCAO 6

de sequencias de ω coberturas.

No quarto capıtulo, trabalharemos com duas propriedades de recobrimento em

um L-espaco topologico: propriedade ω∗ e propriedade de Hurewicz. Apresentamos

boas definicoes para estas propriedades e obtemos um teorema garantindo condicoes

necessarias e suficientes para que um espaco seja Hurewicz atraves da propriedade

ω∗ (selectively ω∗-grouping property).

Em todos os capıtulos os resultados e definicoes sem atribuicao de autoria sao

nossa contribuicao.

Capıtulo 2

Teoria Basica

Este capıtulo consiste de definicoes e resultados necessarios no desenvolvimento deste

trabalho.

Dividimos este capıtulo em quatro secoes.

A primeira secao e dedicada a espacos topologicos. As definicoes e resultados

apresentados podem ser encontrados em qualquer bom livro de topologia geral,

como [3] e [15], e nos artigos [8] e [18].

A segunda secao e sobre reticulados. Importante aqui e a definicao de reticulado

fuzzy e um teorema sobre topologia Scott.

Na terceira secao introduzimos as definicoes e propriedades de L-conjuntos e L-

pontos, que sao casos particulares de L-conjuntos. Em muitos trabalhos, L-conjuntos

sao chamados de conjuntos L-fuzzy, que tem o mesmo significado.

Na ultima secao introduzimos espacos L-topologicos. Em trabalhos mais anti-

gos, um espaco L-topologico era chamado espaco topologico fuzzy. Atualmente, a

definicao de Chang [2] corresponde a espacos L-topologicos e a definicao de Sostak

[19] corresponde a espaco topologico fuzzy. Algumas demonstracoes simples serao

incluidas em detalhes para tornar o leitor familiarizado com alguns conceitos em

L-topologias.

2.1 Topologia Geral

Nesta secao X e Y sao considerados conjuntos nao vazios.

7

CAPITULO 2. TEORIA BASICA 8

Teorema 2.1 [15, Munkres] Sejam 〈X, δ〉 um espaco topologico e A um compacto

em X. Considere Xn com a topologia produto. Se W e um aberto em Xn tal que

An ⊂ W entao existe V ∈ δ tal que A ⊂ V e An ⊂ V n ⊂ W .

Em topologia geral existem tres modos de se definir compacidade local, as quais

chamaremos aqui de compacidade local, compacidade local fraca e compacidade

local relativa.

Definicao 2.1 [3, Dugundji] Um espaco topologico 〈X, δ〉 e localmente compacto se

e somente se para cada x ∈ X e V ∈ δ tal que x ∈ V existem K compacto e U ∈ δ

tais que x ∈ U e U ⊂ K ⊂ V .

Definicao 2.2 [3, Dugundji] Um espaco topologico 〈X, δ〉 e fracamente localmente

compacto se e somente se para cada x ∈ X existem K compacto e U ∈ δ tais que

x ∈ U e U ⊂ K.

Definicao 2.3 [3, Dugundji] Um espaco topologico 〈X, δ〉 e relativamente local-

mente compacto se e somente se para cada x ∈ X existe U ∈ δ com U compacto tal

que x ∈ U .

Teorema 2.2 [3, Dugundji] Em espacos de Hausdorff as definicoes anteriores sobre

compacidade local sao equivalentes.

As definicoes a seguir falam a respeito das propriedades de Hurewicz e propriedade

ω (selectively ω-grouping). A primeira foi introduzida por Hurewicz em [8] e trata

de sequencias de coberturas abertas, a segunda foi introduzida mais recentemente

por Scheepers em [18] e trata de sequencias de ω coberturas. Usamos a notacao

A ⊂<∞ B como abreviacao para A e um subconjunto finito de B.

Definicao 2.4 [8, Hurewicz] Um espaco topologico 〈X, δ〉 e Hurewicz se e somente

se para cada sequencia {Un}n∈N de coberturas abertas de X, existe uma sequencia

{Vn}n∈N tal que:

CAPITULO 2. TEORIA BASICA 9

(i) Cada Vn ⊂<∞ Un.

(ii) ∀x ∈ X, ∃n0 ∈ N; n > n0 ⇒ (∃V ∈ Vn, x ∈ V ).

Definicao 2.5 [18, Scheepers] Uma ω cobertura aberta de 〈X, δ〉 e uma famılia de

abertos U com X /∈ U tal que para cada F ⊂<∞ X existe V ∈ U com F ⊂ V

Definicao 2.6 [18, Scheepers] Um espaco topologico 〈X, δ〉 tem a propriedade ω se e

somente se para cada sequencia {Un}n∈N de ω coberturas de X existe uma sequencia

{Vn}n∈N tal que:

(i) Cada Vn e um subconjunto finito de Un.

(ii) Para cada subconjunto finito F de X, existe n0 ∈ N tal que:

n > n0 ⇒ ∃V ∈ Vn, F ⊂ V

Definicao 2.7 Uma ω∗ cobertura em X e uma famılia de abertos U tal que para

cada subconjunto finito F de X, existe V ∈ U com F ⊂ V

Definicao 2.8 Um espaco topologico 〈X, δ〉 tem a propriedade ω∗ se e somente se

para cada sequencia {Un}n∈N de ω∗ coberturas de X existe uma sequencia {Vn}n∈N

tal que:

(i) Cada Vn e um subconjunto finito de Un.

(ii) Para cada subconjunto finito F de X, existe n0 ∈ N tal que:

n > n0 ⇒ ∃V ∈ Vn, F ⊂ V

2.2 Reticulados

Definicao 2.9 [1, Birkhoff] Um reticulado L = 〈L,≤,∨,∧〉 e um conjunto nao

vazio, com uma ordem parcial ≤, tal que cada subconjunto finito tem supremo e

ınfimo, denotados respectivamente por sup e inf, ou ∨ e ∧.

CAPITULO 2. TEORIA BASICA 10

Definicao 2.10 [1, Birkhoff] Um reticulado L = 〈L,≤,∨,∧〉 e completo se e so-

mente se cada subconjunto tem supremo e ınfimo. Denotamos 0 = ∧L e 1 = ∨L.

Observe que 0 = ∨∅ e 1 = ∧∅. De fato, 0 e uma cota superior para ∅, isto e,

0 ≥ x para cada x ∈ ∅, pois caso contrario existiria x ∈ ∅ com 0 � x. Sendo uma

cota superior, 0 ≥ ∨∅, logo, 0 = ∨∅. Analogamente se mostra que 1 = ∧∅.

Definicao 2.11 [5, Gierz et al.] Um reticulado completo L = 〈L,≤,∨,∧〉 e com-

pletamente distributivo se e somente se satisfaz:

∧i∈I (∨j∈Jiei,j) = ∨f∈K (∧i∈I) ei,f(i)

onde para cada i ∈ I e j ∈ Ji, ei,j ∈ L; e K e o conjunto das funcoes f : I → ∪i∈IJi

tais que para cada i ∈ I, f(i) ∈ Ji.

Definicao 2.12 [1, Birkhoff] Uma involucao com reversao de ordem em um reticu-

lado L e uma funcao ′ : L → L, f(e) = e′, tal que:

(i) e ≤ b ⇒ b′ ≤ e′.

(ii) (e′)′ = e.

Definicao 2.13 [7, Hutton] Um reticulado fuzzy L = 〈L,≤,∨,∧,′ 〉 e um reticulado

completo, completamente distributivo com uma involucao com reversao de ordem

onde 0 = ∧L e 1 = ∨L.

Note que a involucao com reversao de ordem ′ : L → L e uma bijecao pois

a′ = b′ ⇒ a = (a′)′ = (b′)′ = b e b = a′ para cada b ∈ L onde a = b′ ∈ L. Com isso

temos que 1′ = 0 e 0′ = 1. De fato, 0 = a′ para algum a ∈ L, como 1 ≥ a temos que

1′ ≤ a′ = 0, logo 1′ = 0 pois 0 = ∧L. Analogamente temos 0′ = 1.

Para o que segue nesta secao, L sera um reticulado fuzzy.

Definicao 2.14 [5, Gierz at al.] Dizemos que p ∈ L:

CAPITULO 2. TEORIA BASICA 11

(i) e primo se e somente se p 6= 1 e ∀e, b ∈ L, e ∧ b ≤ p ⇒ e ≤ p ou b ≤ p.

Definimos pr(L) = {p ∈ L ; p e primo}

(ii) e coprimo se e somente se p 6= 0 e ∀e, b ∈ L, e ∨ b ≥ p ⇒ e ≥ p ou b ≥ p.

Definicao 2.15 [1, Birkhoff] Um conjunto D com uma ordem parcial tal que: ∀a, b ∈D, ∃k ∈ D; k ≥ a e k ≥ b, e dito conjunto direto.

Definicao 2.16 [5, Gierz at al.] A topologia Scott T em L e definida como segue.

U ∈ T se e somente se:

1. ∀a ∈ U, ∀b ∈ L; a ≤ b ⇒ b ∈ U

2. Para cada D subconjunto direto de L com ∨D ∈ U temos D ∩ U 6= ∅.

Teorema 2.3 [22, Warner e McLean] A topologia Scott em L e gerada pelos con-

juntos {Ap}p∈pr(L), onde Ap = {x ∈ L ; x � p}.

2.3 L-Conjuntos e L-Pontos

Nesta secao X e um conjunto nao vazio e L e um reticulado fuzzy com a topologia

Scott.

Definicao 2.17 [6, Goguen] Um L-conjunto f em X e uma funcao f : X → L. O

conjunto de todos os L-conjuntos em X sera denotado por LX .

Podemos definir em LX uma ordem parcial, operacoes de sup e inf, e uma in-

volucao com reversao de ordem que fazem com que LX seja um reticulado fuzzy.

Sao elas [6, Goguen]:

(i) f ≤ g se e somente se f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ X. Dizemos neste caso que f

esta contido em g.

(ii) (∨j∈Jfj) (x) = ∨j∈Jfj(x) para cada x ∈ X e famılia {fj}j∈J em LX . Dizemos

que (∨j∈Jfj) e a uniao dos L-conjuntos fj.

CAPITULO 2. TEORIA BASICA 12

(iii) (∧j∈Jfj) (x) = ∧j∈Jfj(x) para cada x ∈ X e famılia {fj}j∈J em LX . Dizemos

que (∧j∈Jfj) e a intersecao dos L-conjuntos fj.

(iv) f ′(x) = (f(x))′ para f ∈ LX . Dizemos que f ′ e o complementar de f .

Definicao 2.18 [24, Weiss] Seja f um L-conjunto em X. O suporte de f e o

conjunto supp(f) = {x ∈ X; f(x) > 0}.

Em [21], Warner determinou os elementos primos de LX ,

pr(LX) ={xp ∈ LX ; x ∈ X, p ∈ prL

}

onde cada xp : X → L e o L-conjunto definido por

xp(y) =

{p , y = x1 , y 6= x

Definicao 2.19 [21, Warner] Os elementos de pr(LX) sao chamados L-pontos de

X. Dizemos que o L-ponto xp pertence ao L-conjunto f em X, escrevemos xp ∈ f ,

se e somente se f(x) � p.

Observe que em L-conjuntos nao temos necessariamente a equivalencia

xp ∈ f ⇔ xp /∈ f ′ que existe em conjuntos, x ∈ A ⇔ x /∈ Ac, pois f(x) � p e

f(x) ≥ p′ podem nao ser equivalentes. Isso nos da uma certa liberdade de escolha

em definicoes e teoremas. O modo como faremos a escolha entre xp ∈ f e xp /∈ f ′

sera semelhante ao feito por Kudri em [9, 10, 11, 12] que se mostrou satisfatoria na

obtencao de alguns resultados.

Definicao 2.20 [2, Chang] Sejam f : X → Y uma funcao, g ∈ LX e h ∈ LY

L-conjuntos em X e Y respectivamente. Definimos:

(i) A imagem direta de g por f e o L-conjunto f(g) em Y definido por

f(g)(y) = ∨{g(x) ∈ L ; x ∈ f−1(y)} para cada y ∈ Y .

(ii) A imagem inversa de h por f e o L-conjunto f−1(h) em X definido por

f−1(h)(x) = h (f(x)) para cada x ∈ X.

CAPITULO 2. TEORIA BASICA 13

Proposicao 2.1 [2, 14, 17] Sejam f : X → Y uma funcao, {gj}j∈J uma famılia de

L-conjuntos em X e {hj}j∈K uma famılia de L-conjuntos em Y . Temos:

(i) f−1(h′j) = (f−1(hj))′

(ii) hj ≤ hi ⇒ f−1(hj) ≤ f−1(hi)

(iii) f−1(∨j∈Khj) = ∨j∈Kf−1(hj)

(iv) f−1(∧j∈Khj) = ∧j∈Kf−1(hj)

(v) f(g′j) ≤ (f(gj))′ se f e injetiva.

(vi) (f(gj))′ ≤ f(g′j) se f e sobrejetiva.

(vii) gj ≤ gi ⇒ f(gj) ≤ f(gi)

(viii) f(∨j∈Kgj) = ∨j∈Kf(gj)

(ix) f(∧j∈Kgj) ≤ ∧j∈Kf(gj)

(x) f(f−1(hj)) ≤ hj. Se f e sobrejetora entao vale a igualdade.

(xi) gj ≤ f−1(f(gj)). Se f e injetora entao vale a igualdade.

Proposicao 2.2 [14, Malghan e Benchalli] Sejam f : X → Y uma funcao, {gj}j∈J

uma famılia de L-conjuntos em X e h um L-conjunto em Y . Temos:

(i) gj ≤ gi ⇒ supp(gj) ⊂ supp(gi)

(ii) supp(∨j∈Jgj) = ∪j∈Jsupp(gj))

(iii) supp(∧nj=1gj) = ∩n

j=1gj

(iv) f(supp(gj)) = supp(f(gj))

(v) f−1(supp(h)) = supp(f−1(h))

CAPITULO 2. TEORIA BASICA 14

2.4 L-Topologias

Nesta secao X, Y e Xj sao conjuntos nao vazios, e L e um reticulado fuzzy com a

topologia Scott.

Definicao 2.21 [2, Chang] O par 〈X,T 〉 e um espaco L-topologico, se e somente

se T e uma L-topologia em X, isto e, T ⊂ LX e tal que:

(i) ∅ ∈ T, X ∈ T , onde ∅ e X sao os L conjuntos definidos por ∅(x) = 0 e X(x) = 1

para cada x ∈ X.

(ii) Para toda famılia {fj}j∈J em T , ∨j∈Jfj ∈ T .

(iii) Para toda famılia {fj}kj=1 em T , ∧k

j=1fj ∈ T

Os elementos de T acima sao chamados de L-conjuntos abertos, ou L-abertos.

Dizemos que f e um L-conjunto fechado, ou um L-fechado, se e somente se f ′ ∈ T .

Definicao 2.22 [16, Pu e Liu] Seja 〈X, T 〉 um espaco L-topologico. Seja f ∈ LX .

O interior de f , int(f), e o fecho de f , cl(f) = f , sao definidos por:

int(f) = ∨{g ∈ T ; g ≤ f}

cl(f) = ∧{g ∈ LX ; f ≤ g, g′ ∈ T

}

Definicao 2.23 [12, Kudri] Sejam 〈X, TX〉 e 〈Y, TY 〉 espacos L-topologicos. Seja

f : X → Y uma funcao. Dizemos que f e contınua se e somente se f−1(g) ∈ TX

para cada g ∈ TY . Dizemos que f e aberta se e somente se f(h) ∈ TY para cada

h ∈ TX .

Proposicao 2.3 [12, Kudri] Sejam 〈X,TX〉 e 〈Y, TY 〉 espacos L-topologicos. Seja

f : X → Y uma funcao. Temos:

(i) f e contınua se e somente se para cada L-conjunto fechado g ∈ LY temos que

f−1(g) ∈ LX e um L-conjunto fechado.

CAPITULO 2. TEORIA BASICA 15

(ii) Se f e contınua entao f−1(g) ≤ f−1(g) para cada g ∈ LY .

(iii) Se f e contınua entao f(h) ≤ f(h)para cada h ∈ LX .

Demonstracao.

(i) Necessidade: Seja g ∈ LY um L-conjunto fechado, entao f ′ e um L-conjunto

aberto. Como f e contınua temos que f−1(g′) ∈ TX . Mas

(f−1(g))′ = f−1(g′) ∈ TX , logo, f−1(g) e um L-conjunto fechado.

Suficiencia: Seja g ∈ TY , entao g′ e um L-conjunto fechado, logo f−1(g′) e um

L-conjunto fechado. Mas (f−1(g))′ = f−1(g′), logo f−1(g) ∈ TX .

(ii) Como g ≤ g e f e contınua temos que f−1(g) ≤ f−1(g) e, por (i), f−1(g) e um

L-conjunto fechado. Logo, f−1(g) ≤ f−1(g).

(iii) Como h ≤ f−1(f(h)) temos que h ≤ f−1(f(h)), entao, pela continuidade da

f e usando (ii) com g = f(h), temos h ≤ f−1(f(h)) ≤ f−1(f(h)). Logo

f(h) ≤ f(f−1(f(h))) ≤ f(h)

Fica assim demonstrado a proposicao. ¥

Definicao 2.24 [25, Wong] Seja 〈X, T 〉 um espaco L-topologico. Uma colecao

B ⊂ T e uma base para T se e somente se para cada f ∈ T existe uma famılia

{gj}j∈J em B tal que f = ∨j∈Jgj. Neste caso dizemos que T e gerada por B.

Definicao 2.25 [25, Wong] Seja 〈X, T 〉 um espaco L-topologico. Uma colecao

C ⊂ T e uma subbase para T se e somente se a famılia de todas as intersecoes

finitas de elementos de C forma uma base para T . Neste caso dizemos que T e

gerada por C.

Definicao 2.26 [25, Wong] Seja {〈Xj, Tj〉}j∈J uma famılia de espacos L-topologicos.

Seja X =∏

j∈J Xj e defina para cada α ∈ J a α-esima projecao πα : X → Xα por

πα((xj)j∈J) = xα. A L-topologia produto T em X tem como subbase a famılia

∪j∈J

{π−1

j (f) ; f ∈ Tj

}. Chamamos 〈X, T 〉 de L-espaco produto.

CAPITULO 2. TEORIA BASICA 16

Seja 〈X, δ〉 um espaco topologico. Em [20] e [21] Warner mostrou que o conjunto

de todas as funcoes contınuas f : 〈X, δ〉 → L formam uma L-topologia w(δ) em X,

e que uma base para este espaco e o conjunto B ={fUb ∈ LX ; b ∈ L, U ∈ δ

}onde

cada fUb e definido por:

fUb(y) =

{b se x ∈ U0 se x /∈ U

Definicao 2.27 [20, Warner] Seja 〈X, δ〉 um espaco topologico e P uma propri-

edade topologica em 〈X, δ〉. Dizemos que uma propriedade topologica PL em um

espaco L-topologico e uma boa extensao de P se e somente se: 〈X, δ〉 tem a propri-

edade P se e somente se 〈X,w(δ)〉 tem a propriedade PL.

Os proximos quatro resultados serao usados futuramente sem referencia a eles.

Proposicao 2.4 [12, Kudri] Seja 〈X, δ〉 um espaco topologico, entao: f ∈ ω(δ) se

e somente se f−1 {t ∈ L ; t � p} ∈ δ para cada p ∈ pr(L).

Demonstracao. Necessidade: Se f ∈ ω(δ) entao e uma funcao contınua de X em

L, onde L tem a topologia Scott. Logo, f−1(A) ∈ δ para cada A aberto em L. Em

particular f−1(A) ∈ δ para os abertos A = {t ∈ L ; t � p} da base.

Suficiencia: Seja A um aberto em L, entao podemos escrever A = ∪p∈P Ap onde

P ⊂ pr(L) e Ap = {t ∈ L ; t � p}. Como f−1(Ap) ∈ δ temos que f−1(A) ∈ δ pois

f−1(A) = ∪p∈P f−1(Ap). Logo f ∈ ω(δ). ¥

Proposicao 2.5 [12, Kudri] Seja 〈X, δ〉 um espaco topologico, entao: f e fechado

em 〈X, ω(δ)〉 se e somente se f−1 {t ∈ L ; t ≥ p′} e fechado em 〈X, δ〉 para cada

p ∈ pr(L).

Demonstracao. Usando que

(f ′)−1 {t ∈ L ; t � p} = f−1 {t ∈ L ; t � p′}

e que(f−1 {t ∈ L ; t � p′})c

= f−1 {t ∈ L ; t ≥ p′}

CAPITULO 2. TEORIA BASICA 17

temos que:

f ′ ∈ ω(δ) ⇔ ∀p ∈ pr(L), (f ′)−1 {t ∈ L ; t � p} ∈ δ

⇔ ∀p ∈ pr(L), f−1 {t ∈ L ; t � p′} ∈ δ

⇔ ∀p ∈ pr(L),(f−1 {t ∈ L ; t � p′})c

e fechado em 〈X,ω(δ)〉

⇔ f−1 {t ∈ L ; t ≥ p′} e fechado em 〈X, ω(δ)〉

O resultado segue do fato de que f e fechado em 〈X,ω(δ)〉 se e somente se

f ′ ∈ ω(δ). ¥

Proposicao 2.6 [12, Kudri] Seja 〈X, δ〉 um espaco topologico, entao: A ∈ δ se e

somente se χA ∈ w(δ).

Demonstracao. Necessidade: Seja A ∈ δ. Seja p ∈ pr(L) e considere o aberto

basico Ap = {t ∈ L ; t � p}. Temos que χ−1A (Ap) = {x ∈ X ; χA(x) � p} = A.

Logo, χ−1A (Ap) ∈ δ para cada aberto basico, ou seja χA e continua. Portanto

χA ∈ ω(δ).

Suficiencia: Se χA ∈ w(δ) entao χ−1A {t ∈ L ; t � p} ∈ δ para cada p ∈ pr(L),

mas χ−1A {t ∈ L ; t � p} = A, logo, A ∈ δ. ¥

Proposicao 2.7 [12, Kudri] Seja 〈X, δ〉 um espaco topologico. Seja e ∈ L e f um

L-conjunto em 〈X, ω(δ)〉 definido por:

f(y) =

{e se y ∈ A0 se y /∈ A

Entao:

int(f)(y) =

{e se y ∈ int(A)0 se y /∈ int(A)

e f(y) =

{e se y ∈ A0 se y /∈ A

Demonstracao. Ver Kudri [12]. ¥

Definicao 2.28 [11, Kudri] Sejam 〈X, T 〉 um espaco L-topologico e g ∈ LX . Di-

zemos que g e compacto se e somente se para cada p ∈ pr(L) e famılia {fj}j∈J

de L abertos tal que (∨j∈Jfj) (x) � p para todo x ∈ X com g(x) ≥ p′, existe um

subconjunto finito J1 de J tal que (∨j∈J1fj) (x) � p para todo x ∈ X com g(x) ≥ p′.

CAPITULO 2. TEORIA BASICA 18

Seja 〈X, T 〉 um espaco L-topologico, a funcao φ : T → P(X × pr(L)) definida

por φ(f) = {(x, p) ∈ X × pr(L) ; f(x) � p} determina uma L-topologia φ(T ) em

X × pr(L) [23].

Lema 2.1 [22, Warner e McLean] Seja 〈X,T 〉 um espaco L-topologico. Temos:

〈X, T 〉 e compacto se e somente se para cada p ∈ pr(L), X × {p} e compacto em

〈X × pr(L), φ(T )〉.

Demonstracao. Necessidade: Seja p ∈ pr(L) fixado. Seja {φ(fj)}j∈J uma cober-

tura aberta de X × {p}, isto e, fj ∈ T e X × {p} ⊂ ∪j∈Jφ(fj).

Seja x ∈ X, entao, existe i ∈ J tal que (x, p) ∈ φ(fi), isto e, fi(x) � p, logo,

(∨j∈Jfj) (x) � p. Pela compacidade de 〈X, T 〉, existe um subconjunto finito J1 de

J tal que (∨j∈J1fj) (x) � p para cada x ∈ X.

Temos entao que X × {p} ⊂ ∪j∈J1φ(fj). De fato, para x ∈ X temos

(∨j∈J1fj) (x) � p, entao existe i ∈ J1 tal que fi(x) � p, ou seja, (x, p) ∈ φ(fi).

Suficiencia: Sejam p ∈ pr(L) e {fj}j∈J uma famılia de L-abertos tal que

(∨j∈Jfj) (x) � p para cada x ∈ X.

Seja (x, p) ∈ X × {p}. Como x ∈ X, (∨j∈Jfj) (x) � p, entao existe i ∈ J tal que

fi(x) � p, isto e, (x, p) ∈ φ(fi), logo, X × {p} ∈ ∪j∈Jφ(fj). Pela compacidade de

X × {p} existe um subconjunto finito J1 de J tal que X × {p} ∈ ∪j∈J1φ(fj).

Segue que (∨j∈J1fj) (x) � p para cada x ∈ X. De fato, para x ∈ X temos

X × {p} ∈ ∪j∈J1φ(fj), entao existe i ∈ J tal que (x, p) ∈ φ(fi), ou seja fi(x) � p.

Logo, (∨j∈J1fj) (x) � p. ¥

Teorema 2.4 [22, Warner e McLean] Seja 〈X, δ〉 um espaco topologico. Entao:

〈X, δ〉 e compacto se e somente se 〈X,ω(δ)〉 e compacto.

Demonstracao. Tendo em vista o lema anterior, mostraremos que: 〈X, δ〉 e com-

pacto se e somente se para cada p ∈ pr(L), X × {p} e compacto em

〈X × pr(L), φ(ω(δ))〉

CAPITULO 2. TEORIA BASICA 19

Necessidade: Sejam p ∈ pr(L) e {φ(fj)}j∈J , fj ∈ ω(δ), uma cobertura aberta de

X ×{p}. Para cada j ∈ J considere os abertos Uj = {t ∈ L ; t � p}, entao, {Uj}j∈J

e uma cobertura aberta de X. De fato:

x ∈ X ⇒ (x, p) ∈ X × {p}

⇒ ∃j ∈ J ; (x, p) ∈ φ(fj)

⇒ fj(x) � p

⇒ x ∈ Uj

Pela compacidade de X, existe um subconjunto finito J1 de J tal que X ⊂∪j∈J1Uj. Segue que X × {p} ⊂ ∪j∈Jφ(fj). De fato:

(x, p) ∈ X × {p} ⇒ x ∈ X

⇒ ∃j ∈ J1; x ∈ Uj

⇒ fj(x) � p

⇒ (x, p) ∈ φ(fj)

Portanto, X × {p} e compacto em 〈X × pr(L), φ(ω(δ))〉.Suficiencia: Seja {Uj}j∈J uma cobertura aberta de X. Fixe p ∈ pr(L) e considere

os L-abertos fj = χUj. Temos entao que {φ(fj)}j∈J e uma cobertura aberta de

X × {p}. De fato:

(x, p) ∈ X × {p} ⇒ x ∈ X

⇒ ∃j ∈ J ; x ∈ Uj

⇒ fj(x) = 1 � p

⇒ (x, p) ∈ φ(fj)

Pela compacidade de X × {p}, existe um subconjunto finito J1 de J tal que

X × {p} ⊂ ∪j∈J1φ(fj). Segue que X ⊂ ∪j∈J1Uj. De fato:

x ∈ X ⇒ (x, p) ∈ X × {p}

CAPITULO 2. TEORIA BASICA 20

⇒ ∃j ∈ J1; (x, p) ∈ φ(fj)

⇒ fj(x) � p

⇒ x ∈ Uj

Portanto, 〈X, δ〉 e compacto. ¥

Teorema 2.5 [11, Kudri] Sejam S uma subbase para a L-topologia T em X, e

g ∈ LX . Se para cada p ∈ pr(L) e cada familia {fj}j∈J de L-abertos subbasicos tais

que (∨j∈Jfj) (x) � p para todo x ∈ X com g(x) ≥ p′ existe um subconjunto finito J1

de J tal que (∨j∈J1fj) (x) � p para todo x ∈ X com g(x) ≥ p′, entao, g e compacto.

Demonstracao. Ver Kudri [11]. ¥

Teorema 2.6 Seja 〈X,T 〉 um espaco L-topologico. Se h ∈ LX e tal que supp(h) e

finito, entao h e compacto.

Demonstracao. Ver Kudri [12].

Teorema 2.7 Seja 〈X, T 〉 um espaco L-topologico. Se h, g ∈ LX sao compactos

entao h ∨ g e compacto.

Demonstracao. Ver Kudri [12].

Teorema 2.8 [12, Kudri] Sejam 〈X,TX〉 e 〈Y, TY 〉 espacos L-topologicos. Se

f : X → Y e uma funcao contınua e χA e um L-conjunto compacto em X entao

f(χA) e um L-conjunto compacto em Y .

Demonstracao. Observe inicialmente que f(χA) = χf(A). Seja p ∈ pr(L) e seja

{fj}j∈J uma famılia de L-abertos tal que (∨j∈Jfj) (y) � p para cada y ∈ Y com

χf(A)(y) ≥ p′, isto e, y ∈ f(A).

Considere a famılia {gj}j∈J , onde cada gj = f−1(fj) e um L-aberto pela conti-

nuidade de f . Seja x ∈ X com χA(x) ≥ p′, isto e, x ∈ A, entao y = f(x) ∈ f(A),

CAPITULO 2. TEORIA BASICA 21

logo (∨j∈Jfj) (y) � p. Mas fj(y) = fj(f(x)) = f−1(fj)(x), logo (∨j∈Jgj) (x) � p

para cada x ∈ A.

Pela compacidade de χA existe um subconjunto finito J1 de J tal que

(∨j∈J1gj) (x) � p para cada x ∈ A. Segue que (∨j∈Jfj) (y) � p para cada y ∈ f(A),

isto e, y ∈ Y e χf(A)(y) ≥ p′. De fato, seja y ∈ f(A), entao y = f(x) para algum

x ∈ A. Temos entao que (∨j∈Jgj) (x) � p, ou seja, (∨j∈Jfj) (y) � p. ¥

Definicao 2.29 [4, Gantner et al.] Sejam 〈X, T 〉 um espaco L-topologico, A ⊂ X

e TA ={f |A ∈ LA ; f ∈ T

}. Dizemos neste caso que 〈A, TA〉 e um subespaco de

〈X, T 〉.

Teorema 2.9 [12, Kudri] Sejam 〈X, T 〉 um espaco L-topologico e D ⊂ X. Entao:

χD e compacto se e somente se o subespaco 〈D, TD〉 e compacto.

Demonstracao. Necessidade: Sejam p ∈ pr(L) e {fj}j∈J uma famılia de L-abertos

tais que (∨j∈Jfj) (x) � p para cada x ∈ D. Para cada j ∈ J , seja f ∗j ∈ T tal que

fj = f ∗j |D. Entao a famılia{f ∗j

}j∈J

e tal que(∨j∈Jf ∗j

)(x) � p para cada x ∈ X

com χD(x) ≥ p′ pois χD(x) ≥ p′ ⇔ x ∈ D.

Sendo χD compacto, existe um subconjunto finito J1 de J tal que(∨j∈J1f

∗j

)(x) � p para cada x ∈ X com χD(x) ≥ p′. Entao (∨j∈J1fj) (x) � p

para cada x ∈ D. Portanto 〈D, TD〉 e compacto.

Suficiencia: Sejam p ∈ pr(L) e {fj}j∈J uma famılia de L-abertos tais que

(∨j∈Jfj) (x) � p para cada x ∈ X com χD(x) ≥ p′. Para cada j ∈ J seja gj = fj|D,

entao cada gj ∈ TD e a famılia {gj}j∈J e tal que (∨j∈Jgj) (x) � p para cada x ∈ D

pois χD(x) ≥ p′ ⇔ x ∈ D.

Sendo 〈D,TD〉 compacto, existe um subconjunto finito J1 de J tal que

(∨j∈Jgj) (x) � p para cada x ∈ D. Entao (∨j∈J1fj) (x) � p para cada x ∈ X

com χD(x) ≥ p′. Portanto χD e compacto. ¥

Teorema 2.10 [12, Kudri] Seja {〈Xj, Tj〉}j∈J uma famılia de espacos L-topologicos

CAPITULO 2. TEORIA BASICA 22

e seja X o L-espaco produto. Entao: X e compacto se e somente se para cada j ∈ J ,

Xj e compacto.

Demonstracao. Ver Kudry [12]. ¥

Definicao 2.30 [22, Warner e McLean] Um espaco L-topologico 〈X,T 〉 e Hausdorff

se e somente se para cada p, q ∈ pr(L) e cada x 6= y em X, existem f, g ∈ T tais

que f(x) � p, g(y) � q, e, f(z) = 0 ou g(z) = 0 para cada z ∈ X.

Teorema 2.11 [22, Warner e McLean] Seja 〈X, δ〉 um espaco topologico. Entao:

〈X, δ〉 e Hausdorff se e somente se 〈X,ω(δ)〉 e Hausdorff.

Demonstracao. Necessidade: Sejam p, q ∈ pr(L) e x 6= y em X. Sendo 〈X, δ〉Hausdorff, existem U, V ∈ δ tais que x ∈ U , y ∈ V e U ∩ V = ∅. Seja f = χU e

g = χV , entao f, g ∈ ω(δ), f(x) = 1 � p, g(y) = 1 � q, e, f(z) = 0 ou g(z) = 0 para

cada z ∈ X.

Suficiencia: Seja x 6= y em X. Fixe p ∈ pr(L). Sendo 〈X, ω(δ)〉 Hausdorff,

existem f, g ∈ T tais que f(x) � p, g(y) � q, e, f(z) = 0 ou g(z) = 0 para cada

z ∈ X. Sejam S = {t ∈ pr(L) ; t � p}, U = f−1(S) e U = g−1(S). Entao U, V ∈ δ,

x ∈ U , y ∈ V e U ∩ V = ∅. ¥

Teorema 2.12 [12, Kudri] Seja 〈X, T 〉 um espaco L-topologico. Se g ∈ LX e com-

pacto e f ∈ LX e L-fechado, entao f ∧ g e compacto.

Demonstracao. Sejam p ∈ pr(L) e H uma famılia de L-abertos tais que

(∨h∈Hh) (x) � p para cada x ∈ X com (f ∧ g)(x) ≥ p′. Seja F = H ∪ {f ′},entao (∨h∈Fh) (x) � p para cada x ∈ X com g(x) ≥ p′. De fato, seja x ∈ X com

g(x) ≥ p′, entao:

f(x) ≥ p′ ⇒ (f ∧ g)(x) ≥ p′

⇒ (∨h∈Hh) (x) � p

⇒ (∨h∈Fh) (x) � p

CAPITULO 2. TEORIA BASICA 23

ou

f(x) � p′ ⇒ f ′(x) � p

⇒ (∨h∈Fh) (x) � p

Sendo g compacto, existe um subconjunto finito U de F tal que (∨h∈Uh) (x) � p

para cada x ∈ X com g(x) ≥ p′. Suponha U = {h1, · · · , hn, f′}, entao

(∨ni=1hi) (x) � p para cada x ∈ X com (f ∧ g)(x) ≥ p′. De fato, seja x ∈ X

com (f ∧ g)(x) ≥ p′, entao g(x) ≥ p′ e f(x) ≥ p′. Logo (∨h∈Uh) (x) � p e f ′(x) ≤ p.

Segue que existe h ∈ U tal que h(x) � p e que h 6= f ′. Portanto (∨ni=1hi) (x) � p e

f ∧ g e compacto. ¥

Corolario 2.1 [12, Kudri] Seja 〈X, T 〉 um espaco L-topologico. Se g ∈ LX e com-

pacto e f e um L-conjunto fechado tal que f ≤ g, entao, f e compacto.

Demonstracao. Segue do teorema 2.12. ¥

Teorema 2.13 [11, Kudri] Seja 〈X,T 〉 um espaco L-topologico, Hausdorff. Se F ⊂X e tal que χF e compacto, entao χF e L-fechado.

Demonstracao. Ver Kudri [11]. ¥

Definicao 2.31 [17, Pu e Liu] Um espaco L-topologico 〈X, T 〉 e dito totalmente

estratificado se e somente se cada L-conjunto constante e L-aberto.

Teorema 2.14 [12, Kudri] Seja 〈X,T 〉 um espaco L-topologico, totalmente estra-

tificado e Hausdorff. Seja D ⊂ X, entao o subespaco 〈D, TD〉 e totalmente estrati-

ficado e Hausdorff.

Demonstracao. Seja f ∈ LD um L-conjunto constante, digamos f(x) = c para

cada x ∈ D. Sendo 〈X, T 〉 totalmente estratificado, a funcao g definida por g(y) = c

para cada y ∈ Y e um L-aberto. Como g|D = f , temos que f ∈ TD. Logo, 〈D, TD〉e totalmente estratificado.

CAPITULO 2. TEORIA BASICA 24

Sejam x 6= y em D ⊂ X e p, q ∈ pr(L). Como 〈X, T 〉 e Hausdorff, existem

f, g ∈ T tais que f(x) � p, g(y) � q, e, f(z) = 0 ou g(z) = 0 para cada z ∈ X.

Entao f |D, g|D ∈ TD sao tais que f |D(x) � p, g|D(y) � q, e, f(z) = 0 ou g(z) = 0

para cada z ∈ D. Logo, 〈D, TD〉 e Hausdorff. ¥

Definicao 2.32 [13, Lowen] Dizemos que um espaco L-topologico 〈X, T 〉 e topolo-

gicamente gerado se e somente se existe uma topologia δ em X tal que T = ω(δ).

Teorema 2.15 [22, Warner e McLean] Se 〈X, T 〉 e um espaco L-topologico, total-

mente estratificado, compacto e Hausdorff, entao e topologicamente gerado.

Demonstracao. Ver Warner e McLean [22]. ¥

Definicao 2.33 [12, Kudri] Sejam 〈X, T 〉 um espaco L-topologico e g ∈ LX . Di-

zemos que g e Lindelof se e somente se para cada p ∈ pr(L) e famılia {fj}j∈J de

L-abertos tal que (∨j∈Jfj) (x) � p para cada x ∈ X com g(x) ≥ p′; existe um

subconjunto enumeravel J1 de J tal que (∨j∈J1fj) (x) � p para cada x ∈ X com

g(x) ≥ p′.

Teorema 2.16 [12, Kudri] Seja 〈X, δ〉 um espaco topologico. Entao: 〈X, δ〉 e Lin-

delof se e somente se 〈X, ω(δ)〉 e Lindelof.

Demonstracao. Necessidade: Sejam p ∈ pr(L) e {fj}j∈J uma famılia de

L-abertos tal que (∨j∈Jfj) (x) � p para cada x ∈ X. Considere os conjuntos

Uj = f−1j {t ∈ L ; t � p}, entao, cada Uj ∈ δ e a famılia {Uj}j∈J e uma cobertura

aberta de X. De fato:

x ∈ X ⇒ (∨j∈Jfj) (x) � p

⇒ ∃j ∈ J ; fj(x) � p

⇒ x ∈ Uj

CAPITULO 2. TEORIA BASICA 25

Sendo 〈X, δ〉 Lindelof, existe um subconjunto enumeravel J1 de J tal que

X ⊂ ∪j∈J1Uj. Segue que (∨j∈J1fj) (x) � p para cada x ∈ X. De fato:

x ∈ X ⇒ ∃j ∈ J1; x ∈ Uj

⇒ fj(x) � p

⇒ (∨j∈Jfj) (x) � p

Portanto, 〈X,ω(δ)〉 e Lindelof.

Suficiencia: Seja {Uj}j∈J uma cobertura aberta de X. Fixe p ∈ pr(L) e considere

os L-abertos fj = χUj, entao a famılia {fj}j∈J e tal que (∨j∈Jfj) (x) � p para cada

x ∈ X. De fato:

x ∈ X ⇒ ∃j ∈ J1; x ∈ Uj

⇒ fj(x) = 1 � p

⇒ (∨j∈Jfj) (x) � p

Sendo 〈X, ω(δ)〉 Lindelof, existe um subconjunto enumeravel J1 de J tal que

(∨j∈J1fj) (x) � p para cada x ∈ X. Segue que X ⊂ ∪j∈J1Uj. De fato:

x ∈ X ⇒ (∨j∈J1fj) (x) � p

⇒ ∃j ∈ J1; fj(x) � p

⇒ x ∈ Uj

Portanto, 〈X, δ〉 e Lindelof. ¥

Definicao 2.34 [12, Kudri] Um espaco L-topologico 〈X,T 〉 e regular se e somente

se para cada x ∈ X, cada p ∈ pr(L), e cada L-conjunto fechado f tal que f(x) = 0

e f(y0) ≥ p′ para algum y0 ∈ X, existem u, v ∈ T com u(x) � p, v(z) � p para cada

z ∈ X com f(z) ≥ p′, e, u(z) = 0 ou v(z) = 0 para cada z ∈ X.

Teorema 2.17 [22, Warner e McLean] Seja 〈X, δ〉 um espaco L-topologico. Entao:

〈X, δ〉 e regular se e somente se 〈X,ω(δ)〉 e regular.

CAPITULO 2. TEORIA BASICA 26

Demonstracao. Necessidade: Sejam x ∈ X, p ∈ pr(L) e f um L-conjunto fechado

em 〈X,ω(δ)〉 tal que f(x) = 0 e existe y0 ∈ X com f(y0) ≥ p′.

Sendo f um L-conjunto fechado temos que F = f−1 {t ∈ L ; t ≥ p′} e fechado

em 〈X, δ〉, e F 6= ∅ pois y0 ∈ F . Como 〈X, δ〉 e regular temos que existem U, V ∈ δ

tais que x ∈ U , F ⊂ V e U ∩ V = ∅.Seja u = χU e v = χV , entao u, v ∈ ω(δ), u(x) = 1 � p e v(y) � p para cada

y ∈ X com f(y) ≥ p′ pois

f(y) ≥ p′ ⇒ y ∈ F ⇒ y ∈ V ⇒ v(y) = 1 � p.

Tambem temos que u(z) = 0 ou v(z) = 0 para cada z ∈ X. De fato, se z ∈ X e

u(z) 6= 0 entao z ∈ U , logo z /∈ V pois U ∩ V = ∅. Segue que v(z) = 0.

Portanto 〈X,ω(δ)〉 e regular.

Suficiencia: Seja x ∈ X e F ⊂ X um fechado nao vazio em 〈X, δ〉 tal que x /∈ F .

Seja p ∈ pr(L) fixado.

Seja f ∈ LX definida por:

f(y) =

{p′ se y ∈ F0 se y /∈ F

Como F 6= ∅ existe y0 ∈ F , logo f(y0) = p′. Tambem temos que f e L-fechado

em 〈X,ω(δ)〉 pois para cada q ∈ pr(L) temos

f−1 {t ∈ L ; t ≥ q′} =

{F se p′ ≥ q′

∅ se p′ � q′

Pela regularidade de 〈X,ω(δ)〉 existem u, v ∈ 〈X,ω(δ)〉 tais que u(x) � p,

v(y) � p para cada y ∈ X com f(y) ≥ p′, e, u(z) = 0 ou v(z) = 0 para cada

z ∈ X.

Seja U = u−1 {t ∈ L ; t � p} e V = v−1 {t ∈ L ; t � p}, entao U, V ∈ δ, x ∈ U

pois u(x) � p e F ⊂ V pois

y ∈ F ⇒ f(y) = p′ ⇒ v(y) � p ⇒ y ∈ V.

Tambem temos que U ∩ V = ∅. De fato, se z ∈ U entao u(z) � p logo v(z) = 0,

isto e, z /∈ V .

CAPITULO 2. TEORIA BASICA 27

Portanto 〈X, δ〉 e regular. ¥

Teorema 2.18 [11, Kudri] Se 〈X, T 〉 e um espaco L-topologico compacto e Haus-

dorff entao 〈X, T 〉 e regular.

Demonstracao. Sejam x ∈ X, p ∈ pr(L) e f um L-conjunto fechado tal que

f(x) = 0 e existe y0 ∈ X com f(y0) ≥ p′. Mostraremos que existem u, v ∈ T tais

que u(x) � p, v(y) � p para cada y ∈ X com f(y) ≥ p′, e, u(z) = 0 ou v(z) = 0

para cada z ∈ X.

Seja F = {t ∈ X ; f(t) ≥ p′}, entao F 6= ∅ pois y0 ∈ F e x /∈ F pois f(x) = 0 e

p′ 6= 0.

Como 〈X, T 〉 e Hausdorff, para cada y ∈ F existem fy, gy ∈ T tais que fy(x) � p,

gy(y) � p, e, fy(z) = 0 ou gy(z) = 0 para cada z ∈ X.

Seja A = {gy}y∈F . Entao (∨h∈Ah) (z) � p para cada z ∈ X tal que f(z) ≥ p′. De

fato, se z ∈ X e f(z) ≥ p′ entao z ∈ F e gz(z) � p.

Sendo f um L-fechado e 〈X, T 〉 compacto, pelo corolario 2.1 f e compacto. Por-

tanto existe um subconjunto finito B = {gy1 , · · · , gyk} de A tal que (∨h∈Bh) (z) � p

para cada z ∈ F .

Seja u = ∧ki=1fyi

e v = ∨ki=1gyi

, entao u, v ∈ T , u(x) � p pois fyi(x) � p para

cada i = 1, · · · , k, v(y) � p para cada y ∈ F pois v(y) =(∨k

i=1gyi

)(y) � p. Tambem

temos que u(z) = 0 ou v(z) = 0 para cada z ∈ X. De fato, se z ∈ X e u(z) 6= 0

entao fyi(z) 6= 0 para cada i = 1, · · · , k, logo gyi

(z) = 0 para cada i = 1, · · · , k e

v(z) = 0.

Portanto 〈X,T 〉 e regular. ¥

O proximo lema e um resultado simples que sera usado em algumas demons-

tracoes no proximo capıtulo sem nos referirmos a ele.

Lema 2.2 [12, Kudri] Seja 〈X, δ〉 um espaco topologico. Entao: K ⊂ X e compacto

em 〈X, δ〉 se e somente se χK e compacto em 〈X,ω(δ)〉.

CAPITULO 2. TEORIA BASICA 28

Demonstracao. Necessidade: Seja p ∈ pr(L) e {fj}j∈J uma famılia de L-abertos

tal que (∨j∈Jfj) (x) � p para todo x ∈ X com χK(x) ≥ p′. Defina para cada j ∈ J

o aberto Uj = f−1 {t ; t � p}. Temos entao que a famılia {Uj}j∈J e uma cobertura

aberta de K. De fato:

y ∈ K ⇒ y ∈ X e χK(y) ≥ p′

⇒ (∨j∈Jfj) (y) � p

⇒ ∃j ∈ J ; fj(y) � p

⇒ y ∈ Uj

Sendo K compacto, existe um subconjunto finito J1 de J tal que K ⊂ ∪j∈J1Uj.

Segue que (∨j∈J1fj) (x) � p para todo x ∈ X com χK(x) ≥ p′. De fato:

y ∈ X e χK(y) ≥ p′ ⇒ y ∈ K

⇒ ∃j ∈ J1; y ∈ Uj

⇒ fj(y) � p

⇒ (∨j∈J1fj) (y) � p

Portanto χK e compacto.

Suficiencia: Seja {Uj}j∈J uma cobertura aberta de K. Para cada j ∈ J con-

sidere o L-aberto fj definido por fj = χUj. Entao a famılia {fj}j∈J e tal que

(∨j∈Jfj) (x) � p para todo x ∈ X com χK(x) ≥ p′. De fato:

y ∈ X e χK(y) ≥ p′ ⇒ y ∈ K

⇒ ∃j ∈ J ; y ∈ Uj

⇒ fj(y) � p

⇒ (∨j∈Jfj) (y) � p

Pela compacidade de χK existe um subconjunto finito J1 de J tal que

(∨j∈J1fj) (x) � p para todo x ∈ X com χK(x) ≥ p′. Segue que K ⊂ ∪j∈J1Uj.

CAPITULO 2. TEORIA BASICA 29

De fato:

y ∈ K ⇒ y ∈ X e χK(y) ≥ p′

⇒ (∨j∈J1fj) (y) � p

⇒ ∃j ∈ J1; fj(y) � p

⇒ y ∈ Uj

Portanto K e compacto. ¥

Capıtulo 3

Compacidade Local

Neste capıtulo trataremos da propriedade de compacidade local. Em topologia geral

existem tres modos de se definir compacidade local, equivalentes entre si em espacos

de Hausdorff. Vamos chamar aqui de compacidade local, compacidade local fraca e

compacidade local relativa, ver definicoes 2.1, 2.2 e 2.3.

As duas primeiras formas foram generalizadas para espacos L-topologicos por

Kudri em [9] e [10] atraves de L-conjuntos muito compactos. Um L-conjunto k e

muito compacto se e somente se e da forma:

k(y) =

{b y ∈ D0 y /∈ D

com χD compacto.

Definicao 3.1 [9] Um espaco L-topologico 〈X, T 〉 e localmente compacto se e so-

mente se para cada x ∈ X, p ∈ pr(L) e f ∈ T tal que f(x) � p existem g ∈ T e

k ∈ LX muito compacto tais que g(x) � p e g ≤ k ≤ f .

Definicao 3.2 [9] Um espaco L-topologico 〈X, T 〉 e fracamente localmente compacto

se e somente se para cada x ∈ X e p ∈ pr(L) existem g ∈ T e k ∈ LX muito

compacto tais que g(x) � p e g ≤ k.

Em [10] Kudri mostrou a equivalencia destas duas propriedades em espacos de

Hausdorff. Faltava ainda uma definicao para espacos relativamente localmente com-

pactos equivalente a estas em espacos de Hausdorff.

30

CAPITULO 3. COMPACIDADE LOCAL 31

Em anotacoes feitas por Kudri e Aygun foi proposta uma boa definicao para

espacos relativamente localmente compactos. O que fazemos aqui, na primeira secao,

e redefinir as propriedades de compacidade local e compacidade local fraca nos mol-

des da definicao de Kudri e Aygun para compacidade local relativa. A segunda

secao e dedicada aos resultados obtidos destas propriedades: a invariancia por so-

brejecoes contınuas e abertas, equivalencias em espacos de Hausdorff, regularidade

em espacos de Hausdorff, teoremas de compactificacao por um ponto e teoremas

sobre a compacidade local do L-espaco produto.

3.1 Compacidade local

Definicao 3.3 Um espaco L-topologico 〈X, T 〉 e localmente compacto se e somente

se para cada x ∈ X, p ∈ pr(L) e f ∈ T tal que f(x) � p, existem g ∈ T e k ∈ LX ,

com χsupp(k) compacto, tais que g(x) � p e g ≤ k ≤ f .

Teorema 3.1 Seja 〈X, δ〉 um espaco topologico. Entao: 〈X, δ〉 e localmente com-

pacto se e somente se 〈X, ω(δ)〉 e localmente compacto.

Demonstracao. Necessidade: Sejam x ∈ X, p ∈ pr(L) e f ∈ ω(δ) tal que f(x) � p.

Seja h ∈ ω(δ) um L-conjunto aberto basico tal que h(x) � p e h ≤ f , definido por:

h(y) =

{e se y ∈ V ∈ δ0 se y /∈ V

Como 〈X, δ〉 e localmente compacto, existem U ∈ δ e um subconjunto compacto

J de X tais que x ∈ U e U ⊂ J ⊂ V .

Sejam g ∈ ω(δ) e k ∈ LX definidos por:

g(y) =

{e se y ∈ U ∈ δ0 se y /∈ U

k(y) =

{e se y ∈ J ∈ δ0 se y /∈ J

Entao g(x) � p, g ≤ k ≤ h ≤ f e χsupp(k) = χJ e compacto pois J e compacto.

Logo, 〈X, ω(δ)〉 e localmente compacto.

Suficiencia: Sejam x ∈ X e V ∈ δ tal que x ∈ V . Fixe p ∈ pr(L). Como

CAPITULO 3. COMPACIDADE LOCAL 32

〈X, ω(δ)〉 e localmente compacto, para f = χV , existem g ∈ ω(δ) e k ∈ LX , com

χsupp(k) compacto, tais que g(x) � p e g ≤ k ≤ f .

Sejam U = g−1 {t ∈ L ; t � p} e K = supp(k), entao, U ∈ δ, x ∈ U , U ⊂ K ⊂ V

e K e um subconjunto compacto de X pois χsupp(k) e compacto. Logo, 〈X, δ〉 e

localmente compacto. ¥

Definicao 3.4 Um espaco L-topologico 〈X, T 〉 e fracamente localmente compacto

se e somente se para cada x ∈ X e p ∈ pr(L) existem f ∈ T e k ∈ LX , com χsupp(k)

compacto, tais que f(x) � p e f ≤ k.

Teorema 3.2 Seja 〈X, δ〉 um espaco topologico. Entao: 〈X, δ〉 e fracamente local-

mente compacto se e somente se 〈X, ω(δ)〉 e fracamente localmente compacto.

Demonstracao. Necessidade: Sejam x ∈ X e p ∈ pr(L). Como 〈X, δ〉 e fracamente

localmente compacto, existem U ∈ δ e um subconjunto compacto J de X tais que

x ∈ U e U ⊂ J .

Sejam g = χU e K = χJ , entao g ∈ ω(δ), g(x) � p, g ≤ k e χsupp(k) = χJ e

compacto pois J e compacto. Logo, 〈X, ω(δ)〉 e fracamente localmente compacto.

Suficiencia: Seja x ∈ X e fixe p ∈ pr(L). Como 〈X,ω(δ)〉 e fracamente localmente

compacto existem g ∈ ω(δ) e k ∈ LX , com χsupp(k) compacto, tais que g(x) � p e

g ≤ k.

Sejam V = g−1 {t ∈ L ; t � p} e K = supp(k), entao, V ∈ δ, x ∈ V , V ⊂ K

e K e um subconjunto compacto de X pois χsupp(k) e compacto. Logo, 〈X, δ〉 e

fracamente localmente compacto. ¥

Definicao 3.5 Um espaco L-topologico 〈X,T 〉 e relativamente localmente compacto

se e somente se para cada x ∈ X e p ∈ pr(L) existe f ∈ T , com χsupp(f) compacto,

tal que f(x) � p.

Teorema 3.3 Seja 〈X, δ〉 um espaco topologico. Entao: 〈X, δ〉 e relativamente lo-

calmente compacto se e somente se 〈X,ω(δ)〉 e relativamente localmente compacto.

CAPITULO 3. COMPACIDADE LOCAL 33

Demonstracao. Necessidade: Sejam x ∈ X e p ∈ pr(L). Como 〈X, δ〉 e relativa-

mente localmente compacto existe V ∈ δ, com V compacto, tal que x ∈ V . Seja

f = χV , entao f(x) = 1 � p. Temos ainda que f = χV , logo supp(f) = V e

compacto, portanto χsupp(f) e compacto.

Suficiencia: Seja x ∈ X e fixe p ∈ pr(L). Como 〈X, ω(δ)〉 e relativamente

localmente compacto existe f ∈ ω(δ) tal que f(x) � p, com χsupp(f) compacto, logo

supp(f) e compacto. Seja g ∈ LX Um L-conjunto aberto basico tal que g(x) � p e

g ≤ f , definido por:

g(y) =

{e se y ∈ V ∈ δ0 se y /∈ V

Como g ≤ f e

g(y) =

{e se y ∈ V0 se y /∈ V

temos que g ≤ f e V = supp(g) ⊂ supp(f), logo, V e compacto pois e fechado e

supp(f) e compacto. ¥

3.2 Propriedades

Teorema 3.4 Seja 〈X, TX〉 um espaco L-topologico localmente compacto e seja

〈Y, TY 〉 um espaco L-topologico. Se h : X → Y e uma sobrejecao contınua e aberta

entao 〈Y, TY 〉 e localmente compacto.

Demonstracao. Sejam y ∈ Y , com y = h(x), p ∈ pr(L) e f ∈ TY tal que f(y) � p.

Seja j = h−1(f) entao j ∈ TX , pois h contınua, e j(x) = f(y) � p. Como 〈X, TX〉 e

localmente compacto existem i ∈ TX e c ∈ LX , χsupp(c) compacto, tais que i(x) � p

e i ≤ c ≤ j.

Sejam g = h(j) e k = h(c). Entao g ∈ TY , pois h e aberta, e g ≤ k ≤ f ,

pois i ≤ c ≤ j. Como h e contınua e χsupp(c) e compacto temos que h(χsupp(c)) e

compacto, teorema 2.8. Mas:

h(χsupp(c)) = χh(supp(c)) = χsupp(h(c)) = χsupp(k)

CAPITULO 3. COMPACIDADE LOCAL 34

Portanto, 〈Y, TY 〉 e localmente compacto. ¥

Teorema 3.5 Seja 〈X,TX〉 um espaco L-topologico fracamente localmente compacto

e seja 〈Y, TY 〉 um espaco L-topologico. se h : X → Y e uma sobrejecao contınua e

aberta entao 〈Y, TY 〉 e fracamente localmente compacto.

Demonstracao. Sejam y ∈ Y , com y = h(x), e p ∈ pr(L). Como 〈X, TX〉 e

fracamente localmente compacto existem i ∈ TX e c ∈ LX , com χsupp(c) compacto,

tais que i(x) � p e i ≤ c.

Sejam g = h(j) e k = h(c). Entao g ∈ TY , pois h e aberta, e g ≤ k, pois i ≤ c.

Como h e contınua e χsupp(c) e compacto temos que h(χsupp(c)) e compacto, 2.8. Mas:

h(χsupp(c)) = χh(supp(c)) = χsupp(h(c)) = χsupp(k)

Portanto, 〈Y, TY 〉 e fracamente localmente compacto. ¥

Teorema 3.6 Seja 〈X, TX〉 um espaco L-topologico relativamente localmente com-

pacto e seja 〈Y, TY 〉 um espaco L-topologico. Se h : X → Y e uma sobrejecao

contınua e aberta tal que h(g) ≤ h(g) para cada g ∈ LX , entao, 〈Y, TY 〉 e relativa-

mente localmente compacto.

Demonstracao. Sejam y ∈ Y , com y = h(x), e p ∈ pr(L). Como 〈X, TX〉 e

relativamente localmente compacto existe g ∈ TX , com χsupp(g) compacto, tal que

g(x) � p. Seja f = h(g) entao f(x) � p, f ∈ TY pois h e aberta, e h(χsupp(g)) e

compacto pois h e contınua. Mas:

h(χsupp(g)) = χh(supp(g)) = χsupp(h(g)) = χsupp(h(g)) = χsupp(f))

onde usamos o teorema 2.3 e o fato de h(g) ≤ h(g).

Portanto, 〈Y, TY 〉 e relativamente localmente compacto. ¥

Teorema 3.7 Se 〈X,T 〉 e um espaco L-topologico localmente compacto entao e fra-

camente localmente compacto.

CAPITULO 3. COMPACIDADE LOCAL 35

Demonstracao. Sejam x ∈ X e p ∈ pr(L). Como 〈X, T 〉 e localmente compacto,

para f = X, existem g ∈ T e k ∈ LX , com χsupp(k) compacto, tal que g(x) � p e

g ≤ k ≤ f . Logo 〈X,T 〉 e fracamente localmente compacto. ¥

Teorema 3.8 Se 〈X, T 〉 e um espaco L-topologico compacto Hausdorff totalmente

estratificado, entao 〈X,T 〉 e localmente compacto.

Demonstracao. Sendo 〈X,T 〉 compacto Hausdorff totalmente estratificado, e to-

pologicamente gerado, teorema 2.15, logo existe uma topologia δ em X tal que

T = ω(δ). Pelos teoremas 2.4 e 2.11, 〈X, δ〉 e um espaco topologico compacto e

Hausdorff, logo e localmente compacto. Segue do teorema 3.1 que 〈X, T 〉 e local-

mente compacto. ¥

Teorema 3.9 Se 〈X, T 〉 e um espaco L-topologico fracamente localmente compacto

totalmente estratificado Hausdorff entao e localmente compacto.

Demonstracao. Sejam x ∈ X, p ∈ pr(L) e f ∈ T tal que f(x) � p. Vamos mostrar

que existem g ∈ T e k ∈ LX , com χsupp(k) compacto, tais que g(x) � p e g ≤ k ≤ f .

Como 〈X, T 〉 e fracamente localmente compacto existem i ∈ T e j ∈ LX , com

χsupp(j) compacto, tais que i(x) � p e i ≤ j. Seja D = supp(j). Como χsupp(j)

e compacto e 〈X,T 〉 e Hausdorff totalmente estratificado, o subespaco 〈D, TD〉 e

um espaco L-topologico compacto totalmente estratificado e Hausdorff. Entao, pelo

teorema 3.8, 〈D, TD〉 e localmente compacto. Logo, para fD = f |D, existem hD ∈ TD

e c ∈ LD, com χsupp(c) compacto, tais que hD ≤ cD ≤ fD e hD(x) � p.

Seja h ∈ T tal que h|D = hD e defina k ∈ LX por

k(y) =

{cD(y) if y ∈ D0 if y /∈ D

entao, h(x) � p e χsupp(k) e compacto pois supp(k) = supp(cD).

Seja g = h ∧ i, entao g ∈ T e g(x) � p. Tambem temos que g ≤ k ≤ f . De fato,

se y ∈ D entao g(y) ≤ h(y) ≤ k(y) ≤ f(y) pois hD ≤ cD ≤ fD, e se y /∈ D entao

i(y) = 0 e k(y) = 0, logo g(y) = 0 = k(y) ≤ f(y). ¥

CAPITULO 3. COMPACIDADE LOCAL 36

Teorema 3.10 Se 〈X,T 〉 e um espaco L-topologico relativamente localmente com-

pacto entao 〈X, T 〉 e fracamente localmente compacto.

Demonstracao. Sejam x ∈ X e p ∈ pr(L). Como 〈X,T 〉 e relativamente local-

mente compacto existe g ∈ T , com χsupp(g) compacto, tal que g(x) � p. Como g ≤ g

temos que 〈X,T 〉 e fracamente localmente compacto. ¥

Teorema 3.11 Seja 〈X, T 〉 um espaco L-topologico fracamente localmente com-

pacto Hausdorff tal que χsupp(f) = χsupp(f), entao 〈X, T 〉 e relativamente localmente

compacto.

Demonstracao. Sejam x ∈ X e p ∈ pr(L). Como 〈X, T 〉 e fracamente localmente

compacto existem f ∈ T e k ∈ LX , com χsupp(k) compacto, tal que f(x) � p e

f ≤ k. Como χsupp(k) e compacto em um espaco de Hausdorff, e L-fechado, ver

teorema 2.13, entao, χsupp(k) = χsupp(k). Como f ≤ k, χsupp(f) ≤ χsupp(k), entao,

χsupp(f) ≤ χsupp(k), logo χsupp(f) e compacto pois e fechado e χsupp(k) e compacto, ver

corolario 2.1. Mas χsupp(f) = χsupp(f), entao χsupp(f) e compacto. Portanto 〈X, T 〉 e

relativamente localmente compacto. ¥

Teorema 3.12 Seja {Xj}j∈J um famılia de espacos L-topologicos totalmente estra-

tificados. Entao: O L-espaco produto∏

j∈J Xj e localmente compacto se e somente

se Xj e localmente compacto para cada j ∈ J e Xj e compacto para cada j ∈ J − J1

onde J1 e um subconjunto finito de J .

Demonstracao. Seja X =∏

j∈J Xj.

Necessidade: Como a j-esima projecao, πj : X → Xj, e uma funcao sobrejetora

aberta contınua e X e localmente compacto, pelo teorema 3.4, Xj e localmente

compacto para cada j ∈ J . Sejam p ∈ pr(L), x ∈ X e f um L-conjunto aberto

em X com f(x) � p. Entao pela compacidade local de X, existem um L-conjunto

aberto g em X e um L-conjunto k em X, com χsupp(k) compacto, tais que g(x) � p

e g ≤ k ≤ f .

CAPITULO 3. COMPACIDADE LOCAL 37

Seja ∧mi=1π

−1ji

(gji) um L-conjunto aberto basico tal que

∧mi=1π

−1ji

(gji) ≤ g ≤ k ≤ f.

Entao

χsupp(k) ≥ χsupp(∧mi=1π−1

ji(gji

))

= χ∩mi=1supp(π−1

ji(gji

))

= ∧mi=1χsupp(π−1

ji(gji

))

= ∧mi=1π

−1ji

(χsupp(gji))

Logo πj(χsupp(k)) ≥ πj(∧mi=1π

−1ji

(χsupp(gji))) = Xj para todo j ∈ J − J1, onde

J1 = {j1, · · · , jm}, ou seja, πj(χsupp(k)) = Xj. Como πj e contınua e χsupp(k) e

compacto em X temos pelo teorema 2.8 que Xj e compacto para cada j ∈ J − J1.

Suficiencia: Sejam p ∈ pr(L), x ∈ X e f = ∧mi=1π

−1ji

(fji) um L-aberto basico

em X tal que f(x) � p onde fjie um L-aberto em Xj. Podemos assumir que

{j1, · · · , jm} contem os ındices ji ∈ J1 onde Xjinao e compacto, caso contrario,

g = f ∧ (∧j∈J1π−1j (fj)

)e um L-aberto basico em X com g(x) � p.

Como f(x) � p temos que fji(xji

) � p para cada i ∈ {1, · · · ,m}. Da compacidade

local de cada Xji, existem L-abertos gji

em Xjie L-conjuntos kji

em Xji, com

χsupp(kji) compacto, tais que gji

(xji) � p e gji

≤ kji≤ fji

.

Sejam g = ∧mi=1π

−1ji

(gji) e k = ∧m

i=1π−1ji

(kji), entao, g e um L-aberto em X,

g ≤ k ≤ f e

g(x) = ∧mi=1π

−1ji

(gji)(x) = ∧m

i=1gji(xji

) � p

Tambem temos

χsupp(k) = χsupp(∧mi=1π−1

ji(kji

)) = ∧mi=1π

−1ji

(χsupp(kji)) = ∧j∈Jπ−1

j (wj)

onde wji= χsupp(kji

) para i ∈ {1, · · · , m} e wj = Xj para j /∈ {j1, · · · , jm}. Entao

χsupp(k) e um L-conjunto compacto em X pelo teorema 2.10, pois χsupp(kji) e com-

pacto para cada i ∈ {1, · · · ,m} e Xj e compacto para cada j /∈ {j1, · · · , jm}. ¥

CAPITULO 3. COMPACIDADE LOCAL 38

Teorema 3.13 Seja {Xj}j∈J uma famılia de espacos L-topologicos totalmente es-

tratificado. Entao: O espaco L-topologico produto∏

j∈J Xj e fracamente localmente

compacto se e somente se Xj e fracamente localmente compacto para cada j ∈ J e

Xj e compacto para cada j ∈ J − J1 onde J1 e um subconjunto finito de J .

Demonstracao. A demonstracao e analoga a do teorema 3.12, entao daremos

apenas uma ideia da demonstracao. Seja X =∏

j∈J Xj.

Necessidade: A compacidade local de cada Xj e do teorema 3.5. Para o restante

basta usar a compacidade local fraca para obter um L-aberto g in X e um L-conjunto

k em X, com χsupp(k) compacto, tais que g(x) � p e g ≤ k.

Suficiencia: Para p ∈ pr(L) e x ∈ ∏j∈J Xj usar a compacidade local fraca de Xj,

j ∈ J1 = {j1, · · · jm} onde J1 e o conjunto de ındices onde Xj nao e compacto, para

obter L-abertos gjiem X e L-conjuntos kji

em X, com χsupp(kji) compactos, tais que

gji(xji

) � p e gji≤ kji

. Para o restante da demonstracao fazer g = ∧mi=1π

−1jli

(gji) e

k = ∧mi=1π

−1ji

(kji). ¥

Teorema 3.14 Se 〈X, T 〉 e um espaco L-topologico fracamente localmente compacto

e Hausdorff entao 〈X, T 〉 e regular.

Demonstracao. Sejam x ∈ X, p ∈ pr(L) e h um L-conjunto fechado tal que

h(x) = 0 e existe y0 ∈ X com h(y0) ≥ p′.

Vamos mostrar que existem u, v ∈ T tais que u(x) � p, v(y) � p para cada y ∈ X

com h(y) ≥ p′, e, u(z) = 0 ou v(z) = 0 para cada z ∈ X.

Pela compacidade local fraca de 〈X,T 〉 existem f ∈ T e k ∈ LX , com χsupp(k)

compacto, tais que f(x) � p e f ≤ k. Seja D = supp(k), entao:

(1) Como f(x) � p e f ≤ k temos que k(x) 6= 0, logo x ∈ D.

(2) Como f ≤ k e k(z) = 0 para z ∈ Dc temos que f(z) = 0 para z ∈ Dc.

(3) Como χD e compacto e 〈X,T 〉 e Hausdorff temos que χD e um L-fechado,

teorema 2.13. Logo, χ′D = χDc e um L-aberto.

CAPITULO 3. COMPACIDADE LOCAL 39

Sendo χD compacto e 〈X,T 〉 Hausdorff, o espaco L-topologico 〈D, TD〉 e com-

pacto e Hausdorff, logo 〈D, TD〉 e regular pelo teorema 2.18.

Caso 1: Existe y ∈ D tal que h(y) ≥ p′.

Neste caso, por (1) e pela regularidade de 〈D, TD〉, existem uD, vD ∈ TD tais

que uD(x) � p, vD(z) � p para cada z ∈ D com h(z) ≥ p′, e, uD(z) = 0 ou

vD(z) = 0 para cada z ∈ D. Sejam u∗, v∗ ∈ T tais que u∗|D = uD e v∗|D = vD,

e defina u = u∗ ∧ f e v = v∗ ∨ χDc . Temos entao que:

(a) u ∈ T pois u∗, f ∈ T , e v ∈ T pois v∗ ∈ T e de (3).

(b) Temos que u∗(x) = uD(x) � p pois x ∈ D, logo u(x) � p pois f(x) � p e

p ∈ pr(L).

(c) Seja z ∈ X tal que h(z) ≥ p′.

z ∈ D ⇒ v(z) = v∗(z) = vD(z) � p

z ∈ Dc ⇒ χDc(z) = 1 � p ⇒ v(z) = χDc(z) � p

(d) Seja z ∈ X tal que u(z) 6= 0, entao, u∗(z) 6= 0 e f(z) 6= 0. Por (2), z ∈ D,

entao uD(z) = u∗(z) 6= 0, logo v∗(z) = vD(z) = 0. Segue que

v(z) = v∗(z) ∨ χDc(z) = 0 ∨ 0 = 0

Caso 2: Nao existe y ∈ D tal que h(y) ≥ p′.

Sejam u = f e v = χDc , entao u, v ∈ T e:

(a) u(x) = f(x) � p

(b) Seja z ∈ X tal que h(z) ≥ p′, entao z ∈ Dc pois estamos supondo neste caso

que nao existe z ∈ D com h(z) ≥ p′, logo χDc(z) = 1. Segue que v(z) = 1 � p.

(c) Seja z ∈ X tal que u(z) = f(z) 6= 0, entao por (2), z ∈ D, logo

v(z) = χDc(z) = 0.

CAPITULO 3. COMPACIDADE LOCAL 40

Portanto 〈X,T 〉 e regular. ¥

De um modo analogo obtemos a regularidade para espacos de Hausdorff local-

mente compactos e Hausdorff relativamente localmente compactos pois os teoremas

3.7 e 3.10 garantem que estes espacos sao fracamente localmente compactos.

O que segue e baseado em [9].

Seja 〈X,TX〉 um espaco L-topologico que nao seja compacto, mas fracamente

localmente compacto e Hausdorff. Considere o conjunto Y = X∪{∞} com topologia

TY gerada pela subbase

S ={f1 ∈ LY ; f ∈ TX

} ∪ {χB∞ ∈ LY ; χB ∈ C

}

onde:

(i) f1 ∈ LY e definida por:

f1(y) =

{f(y) se y ∈ X0 se y = ∞

(ii) C ={χB ∈ LX ; B ⊂ X, χB compacto

}

(iii) Para χB ∈ C, definimos B∞ = (X −B) ∪ {∞}, logo:

χB∞(y) =

{1 se y ∈ B∞0 se y ∈ B.

O espaco L-topologico 〈Y, TY 〉 e a compactificacao por um ponto de 〈X,TX〉.

Teorema 3.15 Sejam 〈X,TX〉 um espaco L-topologico fracamente localmente com-

pacto Hausdorff, que nao seja compacto, e 〈Y, TY 〉 sua compactificacao por um ponto.

Entao, 〈Y, TY 〉 e compacto, Hausdorff, cl(X) = Y e tem 〈X,TX〉 como subespaco.

Demonstracao.

(i) Mostraremos que 〈X, TX〉 e subespaco de 〈Y, TY 〉.

Seja f ∈ TX , entao f = f1|X , onde f1 ∈ S e definida por

f1(y) =

{f(y) se y ∈ X0 se y = ∞

CAPITULO 3. COMPACIDADE LOCAL 41

Logo, f ∈ TY |X .

Seja f1 ∈ TY , entao, f1|X = f onde f ∈ TX . Logo, f1|X ∈ TX .

Seja χB∞ ∈ TY , entao, χB∞|X = χX−B. Sendo χB compacto em X e X Hausdorff,

temos que χB e L-fechado, ou seja, χ′B e L-aberto. Mas χ′B = χX−B, portanto,

χB∞|X ∈ TX .

(ii) Mostraremos que cl(X) = Y .

Suponha que cl(X) 6= Y , entao cl(X) e da forma:

cl(X)(y) =

{1 se y ∈ Xl 6= 1 se y = ∞

Temos entao que cl(X)′ e um L-aberto definido por:

cl(X)′(y) =

{0 se y ∈ Xl′ 6= 0 se y = ∞

Seja f = χB1∞ ∧ · · ·∧χBn∞ um aberto basico tal que f ≤ cl(X)′ onde B1, · · · , Bn

sao subconjuntos de X com χB1 , · · · , χB1 compactos. Temos entao para y = ∞ que

f(y) = 1 ≤ cl(X)′(y), logo l′ = 1, ou seja, l = 0.

Temos tambem:

f ≤ cl(X)′ ⇒ χB1∞ ∧ · · · ∧ χBn∞ ≤ cl(X)′

⇒ cl(X) ≤ χ′B1∞ ∨ · · · ∨ χ′Bn∞ .

Como X ≤ cl(X) e χ′Bi∞|X = χBi, temos X ≤ χB1 ∨ · · · ∨ χBn , logo,

X = χB1 ∨ · · · ∨ χBn . Como a uniao finita de compactos e compacto e cada χBie

compacto, temos que X e compacto, um absurdo.

(iii) Mostraremos que 〈Y, TY 〉 e compacto.

Seja p ∈ pr(L) e B = {fj}j∈J uma famılia de L abertos subbasicos, fj ∈ S, tais

que (∨j∈Jfj) (y) � p para cada y ∈ Y . Entao existe j ∈ J tal que fj e da forma

fj = χB∞ com B ⊂ X e χB compacto, pois caso contrario, (∨j∈Jfj) (∞) = 0 ≤ p.

CAPITULO 3. COMPACIDADE LOCAL 42

Seja B1 = {fj|X}j∈J1onde J1 = {j ∈ J ; fj 6= χB∞}, entao B1 e tal que

(∨j∈J1fj|X) (x) � p para cada x ∈ X com χB(x) ≥ p′. De fato:

x ∈ X, χB(x) ≥ p′ ⇒ x ∈ B ⊂ Y

⇒ (∨j∈Jfj) (x) � p

⇒ χB∞(x) ∨ (∨j∈J1fj) (x) � p

⇒ (∨j∈J1fj) (x) � p pois χB∞(x) = 0 ≤ p

⇒ (∨j∈J1fj|X) (x) � p

Pela compacidade de χB existe um subconjunto finito J2 de J1 tal que

(∨j∈J2fj|X) (x) � p para cada x ∈ X com χB(x) ≥ p′. Entao,

(χB∞ ∨ ∨j∈J2fj) (y) � p para cada y ∈ Y . De fato, seja y ∈ Y entao:

y ∈ B ⇒ y ∈ X e χB(y) ≥ p′

⇒ (∨j∈J2fj|X) (y) � p

⇒ (χB∞ ∨ ∨j∈J2fj) (y) � p

ou,

y ∈ B∞ ⇒ χB∞(y) = 1 � p

⇒ (χB∞ ∨ ∨j∈J2fj) (y) � p

(iv) Mostraremos que 〈Y, TY 〉 e Hausdorff.

Sejam x 6= y em Y e p, q ∈ pr(L). Caso x, y ∈ X, temos pelo fato de X ser

Hausdorff, que existem f, g ∈ TX tais que f(x) � p, g(y) � q, e, f(z) = 0 ou

g(z) = 0 para cada z ∈ X. Definindo

f1(y) =

{f(y) se y ∈ X0 se y = ∞ , g1(y) =

{g(y) se y ∈ X0 se y = ∞

temos que f1 ∈ TY , g1 ∈ TY , e, f1(z) = 0 ou g1(z) = 0 para cada z ∈ Y .

Caso x ∈ X e y = ∞, pela compacidade local fraca de 〈X,TX〉 existem f ∈ TX

CAPITULO 3. COMPACIDADE LOCAL 43

e k ∈ LX , com χsupp(k) compacto, tais que f(x) � p e f ≤ k. Seja B = supp(k) and

f1(y) =

{f(y) se y ∈ X0 se y = ∞

entao f1 ∈ TY e χB∞ ∈ TY .

Segue que f1(x) = f(x) � p e χB∞(y) = 1 � q. Tambem temos:

(a) z ∈ B ⇒ χB∞(z) = 0

(b) z ∈ X −B = X − supp(k) ⇒ k(z) = 0 ⇒ f1(z) = f(z) = 0

(c) z = ∞⇒ f1(z) = 0

isto e, para cada z ∈ Y , f1(z) = 0 ou χB∞(z) = 0.

Estas condicoes demonstram o teorema. ¥

De um modo analogo podemos obter teoremas de compactificacao por um ponto

para espacos localmente compactos e relativamente localmente compactos pois os

teoremas 3.7 e 3.10 garantem que estes espacos sao fracamente localmente compac-

tos.

CAPITULO 3. COMPACIDADE LOCAL 44

Figura 3.1: L-conjunto muito compacto

Figura 3.2: Compacidade local

CAPITULO 3. COMPACIDADE LOCAL 45

Figura 3.3: Compacidade local fraca

Figura 3.4: Compacidade local relativa

Capıtulo 4

Teorema da L-Caixa

Em topologia geral existe um resultado simples envolvendo produto finito de com-

pactos.

Teorema 4.1 [15, Munkres] Sejam 〈X, δ〉 um espaco topologico e A um compacto

em X. Considere Xn com a topologia produto. Se W e um aberto em Xn tal que

An ⊂ W entao existe V ∈ δ tal que A ⊂ V e An ⊂ V n ⊂ W .

Neste capıtulo apresentamos uma versao deste teorema para um espaco L-topologico

que chamaremos do“teorema da L-caixa”. Assumimos aqui que os conjuntos X, Y

e Xj sao nao vazios e que L e um reticulado fuzzy com a topologia Scott.

4.1 Teorema da L-caixa

Lema 4.1 Sejam 〈X, TX〉 e 〈Y, TY 〉 espacos L-topologicos, h ∈ LY um L-conjunto

compacto, x0 ∈ X e p ∈ pr(L). Considere X × Y com a L-topologia produto T . Se

N ∈ T e tal que

∀y ∈ Y, h(y) ≥ p′ ⇒ N(x0, y) � p

entao, existem L-conjuntos f ∈ TX e g ∈ TY tais que:

(i) f(x0) � p.

46

CAPITULO 4. TEOREMA DA L-CAIXA 47

(ii) ∀y ∈ Y, h(y) ≥ p′ ⇒ g(y) � p.

(iii) ∀(x, y) ∈ X × Y ,(π−1

1 (f) ∧ π−12 (g)

)(x, y) � p ⇒ N(x, y) � p.

Demonstracao. Como N ∈ T , podemos escrever N = ∨j∈J

(π−1

1 (fj) ∧ π−12 (gj)

)

onde fj ∈ TX e gj ∈ TY . Seja y ∈ Y com h(y) ≥ p′ entao N(x0, y) � p, logo, existe

jy ∈ J tal que fjy(x0) � p e gjy(y) � p.

Seja J1 = {jy ∈ J ; y ∈ Y, h(y) ≥ p′}, entao a famılia {gj}j∈J1e tal que

(∨j∈J1gj) (y) � p para cada y ∈ Y com h(y) ≥ p′. Pela compacidade de h, existe

J2 ⊂<∞ J1, tal que (∨j∈J2gj) (y) � p para cada y ∈ Y com h(y) ≥ p′.

Seja f = ∧j∈J2fj e g = ∨j∈J2gj, entao f ∈ TX , g ∈ TY e:

(i) Para cada j ∈ J2, fj(x0) � p, logo f(x0) � p.

(ii) Seja y ∈ Y com h(y) ≥ p′, entao (∨j∈J2gj) (y) � p, logo g(y) � p.

(iii) Seja (x, y) ∈ X × Y tal que(π−1

1 (f) ∧ π−12 (g)

)(x, y) � p, entao f(x) � p e

g(y) � p. Pelas definicoes de f e g, existe j ∈ J2 com fj(x) � p e gj(y) � p.

Logo,(π−1

j (fj) ∧ π−1j (gj)

)(x, y) � p. Portanto, N(x, y) � p.

Estas condicoes demonstram o teorema. ¥

Lema 4.2 Sejam 〈X, TX〉 e 〈Y, TY 〉 espacos L-topologicos, g ∈ LX e h ∈ LY

L-conjuntos compactos, e p ∈ pr(L). Considere X × Y com a L-topologia produto

T . Se N ∈ T e tal que

∀(x, y) ∈ X × Y,(π−1

1 (g) ∧ π−12 (h)

)(x, y) ≥ p′ ⇒ N(x, y) � p

entao, existem f ∈ TX e k ∈ TY tais que:

(i) ∀x ∈ X, g(x) ≥ p′ ⇒ f(x) � p.

(ii) ∀y ∈ Y, h(y) ≥ p′ ⇒ k(y) � p.

(iii) ∀(x, y) ∈ X × Y,(π−1

1 (f) ∧ π−12 (k)

)(x, y) � p ⇒ N(x, y) � p.

CAPITULO 4. TEOREMA DA L-CAIXA 48

Demonstracao. Como N ∈ T , podemos escrever N = ∨j∈J

(π−1

1 (fj) ∧ π−12 (gj)

).

Seja X1 = {x ∈ X ; g(x) ≥ p′}, e fixe x0 ∈ X1. Entao para y ∈ Y com h(y) ≥ p′

temos(π−1

1 (g) ∧ π−12 (h)

)(x0, y) ≥ p′, logo, N(x0, y) � p.

Pelo lema 4.1 existem fx0 ∈ TX e gx0 ∈ TY tais que:

(1) fx0(x0) � p.

(2) y ∈ Y, h(y) ≥ p′ ⇒ gx0(y) � p.

(3) ∀(x, y) ∈ X × Y,(π−1

1 (fx0) ∧ π−12 (gx0)

)(x, y) � p ⇒ N(x, y) � p.

Por (1), a famılia {fx}x∈X1e tal que (∨x∈X1fx) (x0) � p para cada x0 ∈ X1. Pela

compacidade de g, existe X2 ⊂<∞ X1 tal que (∨x∈X2fx) (x0) � p para cada x0 ∈ X1.

Seja f = ∨x∈X2fx e k = ∧x∈X2gx, entao, f ∈ TX , k ∈ TY e:

(i) Seja x ∈ X com g(x) ≥ p′, entao x ∈ X1, logo (∨x∈X2fx) (x0) � p, isto e,

f(x) � p.

(ii) Seja y ∈ Y com h(y) ≥ p′, entao para cada x ∈ X2, gx(y) � p por (2), logo

k(y) � p.

(iii) Seja (x, y) ∈ X × Y com(π−1

1 (f) ∧ π−12 (k)

)(x, y) � p, entao f(x) � p e

k(y) � p. Pelas definicoes de f e k, existe x0 ∈ X2 com fx0(x) � p e gx0(y) � p,

entao(π−1

1 (fx0) ∧ π−12 (gx0)

)(x, y) � p. Portanto, por (3), N(x, y) � p.

Estas condicoes demonstram o teorema. ¥

Lema 4.3 Sejam {〈Xj, Tj〉}nj=1, n ≥ 2, uma famılia de espacos L-topologicos, {hj}n

j=1

uma famılia de L-conjuntos compactos onde cada hj ∈ LXj e p ∈ pr(L). Considere

X =∏n

j=1 Xj com a L-topologia produto T . Se N ∈ T e tal que

∀x ∈ X,(∧n

j=1π−1j (hj)

)(x) ≥ p′ ⇒ N(x) � p

entao existe uma famılia {fj}nj=1 onde cada fj ∈ TXj

tal que:

(i) Para cada j = 1, · · · , n temos: ∀y ∈ Xj, hj(y) ≥ p′ ⇒ fj(y) � p.

CAPITULO 4. TEOREMA DA L-CAIXA 49

(ii) ∀x ∈ X,(∧n

j=1π−1j (fj)

)(x) � p ⇒ N(x) � p.

Demonstracao. Provaremos o teorema por inducao. Para o produto de 2

L-conjuntos compactos ver o teorema 4.2. Suponha entao que o teorema seja valido

para o produto de n− 1 L-conjuntos compactos.

Sejam g = ∧n−1j=1 π−1

j (hj) e X =∏n−1

j=1 Xj o L-espaco produto. Entao g e um

L-conjunto compacto em X. Sejam Y = Xn e h = hn.

Seja (x, y) ∈ X × Y tal que(π−1

1 (g) ∧ π−12 (h)

)(x, y) ≥ p′, entao g(x) ≥ p′ e

hn(y) ≥ p′. Seja x = (x1, · · · , xn−1) ∈ X. Como g(x) ≥ p′, ∧n−1j=1 hj(xj) ≥ p′, entao

(∧nj=1π

−1j (hj)

)(x, y) ≥ p′, logo, N(x, y) � p.

Pelo lema 4.2, existe um L-conjunto f ∈ TX e fn ∈ TY tal que:

(1) x ∈ X, g(x) ≥ p′ ⇒ f(x) � p.

(2) y ∈ Y, hn(y) ≥ p′ ⇒ fn(y) � p.

(3) ∀(x, y) ∈ X × Y,(π−1

1 (f) ∧ π−12 (fn)

)(x, y) � p ⇒ N(x, y) � p.

Sendo g = ∧n−1j=1 π−1

j (hj), por (1) podemos usar que o teorema e valido para n− 1

L-conjuntos compactos para obter L-abertos fj ∈ Tj, j = 1, · · · , n− 1, tais que:

(4) ∀y ∈ Xj, hj(y) ≥ p′ ⇒ fj(y) � p.

(5) ∀x ∈ X,(∧n−1

j=1 π−1j (fj)

)(x) � p ⇒ f(x) � p.

Considere a famılia {fj}nj=1 com cada fj ∈ Tj. Temos:

(i) De (2) e (4), para cada j = 1, · · · , n temos: ∀y ∈ Xj, hj(y) ≥ p′ ⇒ fj(y) � p.

(ii) Seja x = (z, xn) ∈ X tal que(∧n

j=1π−1j (fj)

)(x) � p, entao

(∧n−1j=1 π−1

j (fj))(z) � p

e fn(xn) � p. De (5), f(z) � p, entao(π−1

1 (f) ∧ π−12 (fn)

)(z, xn) � p. Logo, de

(3), N(x) � p.

Estas condicoes demonstram o teorema. ¥

CAPITULO 4. TEOREMA DA L-CAIXA 50

Teorema 4.2 (Teorema da L-Caixa) Sejam 〈X, TX〉 um espaco L-topologico,

h ∈ LX um L-conjunto compacto e p ∈ pr(L). Considere Xn com a L-topologia

produto T . Se N ∈ T e tal que

∀x ∈ Xn,(∧n

j=1π−1j (h)

)(x) ≥ p′ ⇒ N(x) � p

entao, existe um L-conjunto f ∈ TX tal que:

(i) ∀y ∈ X, h(y) ≥ p′ ⇒ f(y) � p.

(ii) ∀x ∈ Xn,(∧n

j=1π−1j (f)

)(x) � p ⇒ N(x) � p.

Demonstracao. Para j = 1, · · · , n seja hj = h, entao pelo lema 4.3, existe uma

famılia {fj}nj=1 onde cada fj ∈ TX tal que:

(1) ∀y ∈ X, hj(y) ≥ p′ ⇒ fj(y) � p.

(2) ∀x ∈ Xn,(∧n

j=1π−1j (fj)

)(x) � p ⇒ N(x) � p.

Seja f = ∧nj=1fj, entao f ∈ TX e temos:

(i) Seja y ∈ X tal que h(y) ≥ p′, entao, de (1), para cada j = 1, · · · , n, fj(y) � p.

Portanto, f(y) � p.

(ii) Seja x ∈ Xn tal que(∧n

j=1π−1j (f)

)(x) � p, entao, para cada j = 1, · · · , n,

f(xj) � p. Logo, para cada j = 1, · · · , n, fj(xj) � p, ou seja, π−1j (fj)(x) � p.

Portanto(∧n

j=1π−1j (fj)

)(x) � p. De (2), temos entao que N(x) � p.

Fica assim demonstrado o teorema da L-caixa. ¥

CAPITULO 4. TEOREMA DA L-CAIXA 51

Figura 4.1: Teorema 4.1

Capıtulo 5

Propriedades de Recobrimento:Hurewicz e ω∗

As propriedades de recobrimento Hurewicz e ω∗ se enquadram dentro do que

Scheepers chama em seus artigos de ”princıpio de selecao”. Tal principio diz o

seguinte: Dada uma classe de objetos Γ e uma classe de objetos ∆, mediante um

certo procedimento Π podemos obter para cada objeto A ∈ Γ um objeto Π(A) ∈ ∆.

Um exemplo conhecido de propriedade que se enquadra neste princıpio e a com-

pacidade. Seja

Γ = ∆ = {coberturas abertas}

Π = existir subcobertura finita.

Dizemos que um espaco topologico X e compacto se e somente se satisfaz o

principo de selecao acima, isto e, X ∈ Π(Γ, ∆).

Vamos inicialmente relembrar as definicoes de espacos de Hurewicz e a proprie-

dade ω∗ e verificar como se enquadram dentro do principio de selecao.

Definicao 5.1 [8, Hurewicz] Um espaco topologico 〈X, δ〉 e Hurewicz se e somente

se para cada sequencia {Un}n∈N de coberturas abertas de X, existe uma sequencia

{Vn}n∈N tal que:

(i) Cada Vn ⊂<∞ Un.

(ii) ∀x ∈ X, ∃n0 ∈ N; n > n0 ⇒ (∃V ∈ Vn, x ∈ V ).

52

CAPITULO 5. PROPRIEDADES DE RECOBRIMENTO: HUREWICZ E ω∗ 53

Aqui tomamos

Γ = sequencias de coberturas abertas.

∆ = sequencias {Vn}n∈N onde cada Vn e formado por finitos abertos.

Π = existir um elemento de ∆ satisfazendo as propriedades (i) e (ii).

Uma ilustracao desta propriedade pode ser vista na figura 5.2 com F = {x}.

Definicao 5.2 Uma ω∗ cobertura em X e uma famılia de abertos U tal que para

cada subconjunto finito F de X, existe V ∈ U com F ⊂ V

Definicao 5.3 Um espaco topologico 〈X, δ〉 tem a propriedade ω∗ se e somente se

para cada sequencia {Un}n∈N de ω∗ coberturas de X existe uma sequencia {Vn}n∈N

tal que:

(i) Cada Vn ⊂<∞ Un.

(ii) ∀F ⊂<∞ X, ∃n0 ∈ N; n > n0 ⇒ ∃V ∈ Vn, F ⊂ V

Aqui tomamos

Γ = sequencias de ω∗-coberturas abertas.

∆ = sequencias {Vn}n∈N onde cada Vn e formado por finitos abertos.

Π = existir um elemento de ∆ satisfazendo as propriedades (i) e (ii).

Uma ilustracao desta propriedade pode ser vista na figura 5.2.

Dividimos este capıtulo em tres secoes.

Nas duas primeiras secoes propomos boas definicoes para as propriedades de

Hurewicz e ω∗ em um espaco L-topologico. Na ultima secao apresentamos um

teorema que garante condicoes necessarias e suficientes para que um espaco tenha a

propriedade ω∗ utilizando-se da propriedade de Hurewicz.

Assumimos neste capıtulo que X e um conjunto nao vazio e que L e um reticulado

fuzzy com a topologia Scott. Vamos usar tambem a notacao A ⊂<∞ B como

abreviacao para “A e um subconjunto finito de B”.

CAPITULO 5. PROPRIEDADES DE RECOBRIMENTO: HUREWICZ E ω∗ 54

5.1 Espacos de Hurewicz

Definicao 5.4 Um espaco L-topologico X e Hurewicz se e somente se para cada

p ∈ pr(L) e sequencia {Fn}n∈N de famılias de L-abertos tal que (∨f∈Fnf) (x) � p

para todo x ∈ X e n ∈ N, existe uma sequencia {Hn}n∈N tal que:

(i) Cada Hn ⊂<∞ Fn.

(ii) ∀x ∈ X, ∃n0 ∈ N; (n > n0 ⇒ ∃h ∈ Hn, h(x) � p).

Teorema 5.1 O espaco topologico 〈X, δ〉 e Hurewicz se e somente se o espaco

L-topologico 〈X, ω(δ)〉 e Hurewicz.

Demonstracao. Necessidade: Seja p ∈ pr(L) e {Fn}n∈N uma sequencia onde cada

Fn = {fnj}j∈Jne uma famılia de L-abertos tal que (∨j∈Jnfnj) (x) � p para todo

x ∈ X.

Seja {Un}n∈N a sequencia definida por Un = {Unj}j∈Jnonde

Unj = f−1nj {t ∈ L ; t p} .

Entao cada Un e uma cobertura aberta para X pois:

x ∈ X ⇒ (∨j∈Jnfnj) (x) � p ⇒ ∃j ∈ Jn, fnj(x) � p ⇒ x ∈ Unj

Como 〈X, δ〉 e Hurewicz, existe uma sequencia {Vn}n∈N tal que:

(1) Cada Vn ⊂<∞ Un.

(2) ∀x ∈ X, ∃n0 ∈ N; n > n0 ⇒ (∃V ∈ Vn, x ∈ V ).

Por (1) podemos escrever Vn = {Unj}j∈Inonde In ⊂<∞ Jn. Defina

Hn = {fnj}j∈In, entao para a sequencia {Hn}n∈N temos:

(i) Cada Hn ⊂<∞ Fn.

(ii) Seja x ∈ X entao, por (2), existe um n0 ∈ N tal que:

n > n0 ⇒ (∃Unj ∈ Vn, x ∈ Unj)

CAPITULO 5. PROPRIEDADES DE RECOBRIMENTO: HUREWICZ E ω∗ 55

Logo fnj ∈ Hn e tal que fnj(x) � p pois x ∈ Unj.

Estas condicoes mostram que o espaco 〈X, ω(δ)〉 e Hurewicz.

Suficiencia: Seja {Un}n∈N uma sequencia de coberturas abertas de X onde

Un = {Unj}j∈Jn. Seja p ∈ pr(L) fixado e considere a sequencia {Fn}n∈N, onde

Fn = {fnj}j∈Jne uma famılia de L-abertos definidos por fnj = χUnj

.

Seja x ∈ X. Sendo Un uma cobertura aberta de X, existe j ∈ Jn com x ∈ Unj,

logo, fnj(x) = 1 � p. Portanto, (∨j∈Jnfnj) (x) � p. Como 〈X, ω(δ)〉 e Hurewicz,

existe uma sequencia {Hn}n∈N tal que:

(1) Cada Hn ⊂<∞ Fn.

(2) ∀x ∈ X, ∃n0 ∈ N; n > n0 ⇒ (∃h ∈ Hn, h(x) � p).

Por (1) podemos escrever Hn = {fnj}j∈Inonde In ⊂<∞ Jn. Defina

Vn = {Unj}j∈In, entao para a sequencia {Vn}n∈N temos que:

(i) Cada Vn ⊂<∞ Un.

(ii) Seja x ∈ X entao, por (2), existe um n0 ∈ N tal que:

n > n0 ⇒ (∃fnj ∈ Hn, fnj(x) � p)

Logo Unj ∈ Vn e tal que x ∈ Unj pois fnj(x) � p.

Estas condicoes mostram que o espaco 〈X, δ〉 e Hurewicz. ¥

Definicao 5.5 Sejam 〈X, T 〉 um espaco L-topologico e g ∈ LX . Dizemos que g e

Hurewicz se e somente se para cada p ∈ pr(L) e sequencia {Fn}n∈N de famılias de

L-abertos tais que

∀x ∈ X, g(x) ≥ p′ ⇒ (∨f∈Fnf) (x) � p

existe uma sequencia {Hn}n∈N tal que:

(i) Cada Hn ⊂<∞ Fn.

CAPITULO 5. PROPRIEDADES DE RECOBRIMENTO: HUREWICZ E ω∗ 56

(ii) ∀x ∈ X, g(x) ≥ p′, ∃n0 ∈ N; n > n0 ⇒ (∃h ∈ Hn; h(x) � p).

Teorema 5.2 Sejam 〈X, T 〉 um espaco L-topologico e g ∈ LX . Se g e compacto

entao e Hurewicz.

Demonstracao. Sejam p ∈ pr(L) e {Fn}n∈N uma sequencia onde cada

Fn = {fnj}j∈Jne uma famılia de L-abertos tal que (∨j∈Jnfnj) (x) � p para cada

x ∈ X com g(x) ≥ p′. Sendo g compacto, existe J1n ⊂<∞ Jn tal que

(∨j∈J1nfnj

)(x) � p para cada x ∈ X com g(x) ≥ p′.

Seja Hn = {fnj}j∈J1n, entao a sequencia {Hn}n∈N e tal que:

(i) Cada Hn ⊂<∞ Fn.

(ii) Seja x ∈ X com g(x) ≥ p′, fixado n0 ∈ N temos que, para n > n0:

g(x) ≥ p′ ⇒ (∨j∈J1nfnj

)(x) � p

⇒ (∃j ∈ J1n

)(fnj(x) � p)

⇒ (∃fnj ∈ Hn) (fnj(x) � p)

Estas condicoes mostram que 〈X, T 〉 e Hurewicz. ¥

Teorema 5.3 Sejam 〈X, T 〉 um espaco L-topologico e g ∈ LX . Se g e Hurewicz

entao e Lindelof.

Demonstracao. Sejam p ∈ pr(L) e F = {fj}j∈J uma famılia de L-abertos tais que

(∨j∈Jnfnj) (x) � p para cada x ∈ X com g(x) ≥ p′. Considere a sequencia {Fn}n∈N

onde Fn = F. Como g e Hurewicz, existe uma sequencia {Hn}n∈N tal que:

(1) Cada Hn ⊂<∞ Fn = F.

(2) ∀x ∈ X, g(x) ≥ p′, ∃n0 ∈ N; n > n0 ⇒ (∃h ∈ Hn; h(x) � p).

Seja S = ∪n∈NHn entao, por (1), e um subconjunto enumeravel de F. Seja x ∈ X

com g(x) ≥ p′, por (2) existe n0 ∈ N tal que:

n > n0 ⇒ (∃h ∈ Hn; h(x) � p) .

CAPITULO 5. PROPRIEDADES DE RECOBRIMENTO: HUREWICZ E ω∗ 57

Mas Hn ⊂ S, logo, h ∈ S e h(x) � p. Portanto, 〈X, T 〉 e Lindelof. ¥

Teorema 5.4 Sejam 〈X,T 〉 um espaco L-topologico, Hurewicz, e g ∈ LX . Se g e

L-fechado entao e Hurewicz.

Demonstracao. Sejam p ∈ pr(L) e {Fn}n∈N uma sequencia onde cada

Fn = {fnj}j∈Jne uma famılia de L-abertos tal que (∨j∈Jnfnj) (x) � p para cada

x ∈ X com g(x) ≥ p′. Seja Fgn = Fn ∪ {g′}. Sendo g L-fechado, cada Fg

n e uma

famıla de L-abertos, e a sequencia {Fgn}n∈N e tal que

(∨f∈Fgnf)(x) � p para cada

x ∈ X, pois para x ∈ X:

g(x) ≥ p′ ⇒ (∨j∈Jnfnj) (x) � p ⇒ (∨f∈Fgnf)(x) � p

g(x) � p′ ⇒ g′(x) � p ⇒ (∨f∈Fgnf)(x) � p

Sendo 〈X, T 〉 Hurewicz, existe uma sequencia {Hgn}n∈N tal que:

(1) Cada Hgn ⊂<∞ Fg

n.

(2) ∀x ∈ X, ∃n0 ∈ N; ∀n > n0 ⇒ (∃hg ∈ Hgn; hg(x) � p).

Por (1) podemos escrever Hgn = {fnj}n∈J1

n∪ {g′} onde J1

n ⊂<∞ Jn. Considere

Hn = {fnj}n∈J1n, entao a sequencia {Hn}n∈N e tal que:

(i) Cada Hn ⊂<∞ Fn.

(ii) Seja x ∈ X com g(x) ≥ p′, entao, por (2), existe n0 ∈ N tal que:

n > n0 ⇒ ∃hg ∈ Hgn; hg(x) � p.

Caso hg = g′, teriamos que g′(x) ≤ p e g′(x) � p, logo, hg nao pode ser g′.

Segue que hg ∈ Hn e hg(x) � p.

Portanto, g e Hurewicz. ¥

Teorema 5.5 Seja 〈X,T 〉 um espaco L-topologico. Se g ∈ LX e Hurewicz e

f : X → Y e uma funcao sobrejetora e contınua tal que f−1(y) e finito para cada

y ∈ Y , entao f(g) e Hurewicz.

CAPITULO 5. PROPRIEDADES DE RECOBRIMENTO: HUREWICZ E ω∗ 58

Demonstracao. Seja p ∈ pr(L) e {F′n}n∈N uma sequencia onde cada F′n = {fnj}j∈Jn

e uma famılia de L-abertos tal que (∨j∈Jnfnj) (y) � p para cada y ∈ Y com

f(g)(y) ≥ p′. Considere Fn = {gnj}n∈N onde cada gnj = f−1 (fnj). Sendo f contınua,

cada gnj e um L-aberto. Seja x ∈ X e y = f(x) entao:

g(x) ≥ p′ ⇒ f(g)(y) = ∨{g(x) ; x ∈ f−1(y)

} ≥ g(x) ≥ p′

⇒ (∨j∈Jnfnj) (y) � p

⇒ (∨j∈Jngnj) (x) � p

Sendo g Hurewicz, existe uma sequencia {Hn}n∈N tal que:

(1) Cada Hn ⊂<∞ Fn.

(2) ∀x ∈ X, g(x) ≥ p′, ∃n0 ∈ N; n > n0 ⇒ (∃h ∈ Hn; h(x) � p) .

Por (1) podemos escrever Hn = {gnj}j∈J1n

onde J1n ⊂<∞ Jn. Seja H′n = {fnj}j∈J1

n,

entao a sequencia {H ′n}n∈N e tal que:

(1) Cada H′n ⊂<∞ F′n.

(2) Seja y ∈ Y com f(g)(y) ≥ p′, entao ∨{g(x) ; x ∈ f−1(y)} ≥ p′. Sendo p′

coprimo e f−1(y) finito, existe x ∈ f−1(y) com g(x) ≥ p′. Por (2), existe

n0 ∈ N tal que:

n > n0 ⇒ (∃gnj ∈ Hn; gnj(x) � p) .

Segue que fnj ∈ Hn e fnj(y) = f−1 (f(x)) = gnj(x) � p

Portanto, f(g) e Hurewicz. ¥

Definicao 5.6 Seja {〈Xk, Tk〉}k∈N uma famılia de espacos L-topologicos disjuntos.

Seja X = ∪k∈NXk. Defina T ⊂ LX por: f ∈ T se e somente se f |Xk∈ Tk para cada

k ∈ N.

Teorema 5.6 Na definicao 5.6, T ⊂ LX define uma L-topologia in X. Com esta

L-topologia, chamamos o espaco L-topologico 〈X, T 〉 de L-espaco soma e denotamos

por X =∑

j∈NXj.

CAPITULO 5. PROPRIEDADES DE RECOBRIMENTO: HUREWICZ E ω∗ 59

Demonstracao. E imediato da definicao que:

(i) ∅ ∈ T e X ∈ T pois para cada j ∈ N, ∅|Xj= ∅ ∈ Tj e X|Xj

= Xj ∈ Tj.

(ii) Para uma famılia {fj}j∈J em T , e f = ∨j∈Jfj temos para cada k ∈ N que

f |Xk= ∨j∈Jfj|Xk

∈ Tk, pois fj ∈ T.

(iii) Para uma famılia {fj}nj=1 em T , e f = ∧n

j=1fj temos para cada k ∈ N que

f |Xk= ∧n

j=1fj|Xk∈ Tk, pois fj ∈ T.

Logo, T e uma L topologia em X. ¥

Teorema 5.7 Seja {〈Xj, Tj〉}j∈N uma famılia de espacos L-topologicos. Se cada Xj

e Hurewicz, entao o L-espaco soma X =∑

j∈NXj e Hurewicz.

Demonstracao. Sejam p ∈ pr(L) e {Fn}n∈N uma sequencia onde cada

Fn = {fnj}j∈Jne uma famılia de L-abertos em X tal que (∨j∈Jnfnj) (x) � p para

todo x ∈ X.

Seja k ∈ N fixado e considere a sequencia{Fk

n

}n∈N definida por Fk

n = {fnj|Xk}j∈Jn

.

Entao, cada Fkn e uma famılia de L-abertos em Xk tal que:

x ∈ Xk ⇒ x ∈ X⇒ ∨j∈Jnfnj(x) � p ⇒ ∨j∈Jnfnj|Xk(x) � p

Como para cada k ∈ N fixado, Xk e Hurewicz, existe uma sequencia{Vk

n

}n∈N tal

que:

(1) Cada Vkn ⊂<∞ Fk

n.

(2) ∀x ∈ Xk, ∃n0 ∈ N; m > n0 ⇒ (∃h ∈ Vkm, h(x) � p).

Por (1) podemos escrever Vkn = {fnj|Xk

}j∈Jkn

onde Jkn ⊂<∞ Jn. Seja

Wkn = {fnj}j∈Jk

ne defina Hn = ∪n

k=1Wkn. Temos:

(i) Cada Hn ⊂<∞ Fn.

CAPITULO 5. PROPRIEDADES DE RECOBRIMENTO: HUREWICZ E ω∗ 60

(ii) Seja x ∈ X e k ∈ N um ındice tal que x ∈ Xk. Seja n1 = max {n0, k} onde n0

e o ındice em (2). Seja m > n1, entao, m > n0. Por (2) existe fmj|Xk∈ Vk

m

com fmj|Xk(x) � p. Tambem temos m > k, logo fmj|Xk

∈ ∪mk=1Vk

m pois nestas

condicoes Vkm ⊂ ∪m

k=1Vkm. Portanto, fmj ∈ Hm e fmj(x) � p.

Estas condicoes mostram o L-espaco soma e Hurewicz. ¥

5.2 Propriedade ω∗

Definicao 5.7 Seja X = 〈X, T 〉 um espaco L-topologico. Dizemos que X tem a

propriedade ω∗ se e somente se para cada p ∈ pr(L) e sequencia {Fn}n∈N de famılias

de L-abertos tal que

∀F ⊂<∞ X, ∃f ∈ Fn; ∀x ∈ F, f(x) � p

existe uma sequencia {Hn}n∈N tal que:

(i) Cada Hn ⊂<∞ Fn.

(ii) ∀F ⊂<∞ X, ∃n0 ∈ N; n > n0 ⇒ (∃h ∈ Hn; ∀x ∈ F, h(x) � p).

Teorema 5.8 Seja 〈X, δ〉 um espaco topologico, entao: 〈X, δ〉 tem a propriedade

ω∗ se e somente se 〈X,ω(δ)〉 tem a propriedade ω∗.

Demonstracao. Necessidade: Sejam p ∈ pr(L) e F = {Fn}n∈N uma sequencia de

famılias de L-abertos tal que:

∀F ⊂<∞ X, ∃f ∈ Fn; ∀x ∈ F, f(x) � p

Suponha que Fn = {fnj}j∈Jne defina a sequencia {Un}n∈N por Un = {Unj}j∈Jn

onde Unj = f−1nj {t ; t � p}. Entao, para F ⊂<∞ X existe fnj ∈ Fn com fnj(x) � p

para cada x ∈ F . Logo, F ⊂ Unj.

Como 〈X, δ〉 tem a propiedade ω∗ existe uma sequencia {Vn}n∈N tal que:

(1) Cada Vn ⊂<∞ Un.

CAPITULO 5. PROPRIEDADES DE RECOBRIMENTO: HUREWICZ E ω∗ 61

(2) ∀F ⊂<∞ X, ∃n0 ∈ N; n > n0 ⇒ (∃V ∈ Vn; F ⊂ V ).

Por (1) podemos escrever Vn = {Unj}j∈Jnonde Jn ⊂<∞ J . Seja Hn = {fnj}j∈Jn

,

entao para a sequencia {Hn}n∈N temos:

(i) Cada Hn ⊂<∞ Fn.

(ii) Seja F ⊂<∞ X, entao, por (2), existe um n0 ∈ N tal que:

n > n0 ⇒ (∃Unj ∈ Vn; F ⊂ Unj)

Logo, fnj(x) � p para cada x ∈ F .

Portanto, 〈X,ω(δ)〉 tem a propriedade ω∗.

Suficiencia: Seja U = {Un}n∈N uma sequencia de famılias de abertos tais que:

∀F ⊂<∞ X, ∃V ∈ Un; F ⊂ V

Seja Un = {Unj}j∈Jne defina a sequencia {Fn}n∈N por Fn = {fnj}j∈Jn

onde

fnj = χUnj. Entao para F ⊂<∞ X existe Unj ∈ Un com F ⊂ Unj, logo, para cada

x ∈ F , fnj(x) � p.

Como 〈X, ω(δ)〉 tem a propriedade ω∗, existe uma sequencia {Hn}n∈N tal que:

(1) Cada Hn ⊂<∞ Fn.

(2) ∀F ⊂<∞ X, ∃n0 ∈ N; n > n0 ⇒ (∃h ∈ Hn; ∀x ∈ F, h(x) � p).

Por (1), podemos escrever Hn = {fnj}j∈Jnonde Jn ⊂<∞ J . Seja Vn = {Unj}j∈Jn

,

entao para a sequencia {Vn}n∈N temos:

(i) Cada Vn ⊂<∞ Un.

(ii) Seja F ⊂<∞ X, entao, por (2), existe um n0 ∈ N tal que:

n > n0 ⇒ (∃fnj ∈ Nn; ∀x ∈ F, fnj(x) � p)

Logo fnj(x) = 1 para cada x ∈ F , ou seja, F ⊂ Unj.

Portanto 〈X, δ〉 tem a propriedade ω∗. ¥

CAPITULO 5. PROPRIEDADES DE RECOBRIMENTO: HUREWICZ E ω∗ 62

5.3 Teorema Principal

Teorema 5.9 Seja X = 〈X, T 〉 um espaco L-topologico, entao: X tem a proprie-

dade ω∗ se e somente se para cada n ∈ N, Xn e Hurewicz.

Demonstracao. Necessidade: Fixe n ∈ N e seja p ∈ pr(L). Seja {Uk}k∈N uma

sequencia onde cada Uk = {fnj}j∈Jke uma famılia de L-conjuntos abertos tais que

(∨j∈Jkfkj) (x) � p para cada x ∈ Xn.

Seja F ⊂<∞ X e seja h = χF , entao h e compacto em X pois supp(h) = F e

finito [12], e, ∧nj=1π

−1j (h) e compacto em Xn. Portanto, existe JF

k ⊂<∞ Jk tal que:

∀x ∈ Xn,(∧n

j=1π−1j (h)

)(x) ≥ p′ ⇒

(∨j∈JF

kfkj

)(x) � p

Pelo teorema 4.1, existe um L-conjunto fk,F ∈ T tal que:

(1) fk,F (x) � p para cada y ∈ X com h(y) ≥ p′.

(2) ∀x ∈ Xn,(∧n

j=1π−1j (fk,F )

)(x) � p ⇒

(∨j∈JF

kfkj

)(x) � p

Sejam k ∈ N fixado e Fk = {fk,F ∈ T ; F ⊂<∞ X}. Entao a sequencia {Fk}k∈N e

tal que:

y ∈ F ⇒ y ∈ X, h(y) = 1 ≥ p′ ⇒ fk,F (y) � p

Como X tem a propriedade ω∗ existe uma sequencia {Wk}k∈N tal que:

(3) Cada Wk ⊂<∞ Fk.

(4) ∀F ⊂<∞ X, ∃k0 ∈ N; k > k0 ⇒ (∃w ∈Wk; ∀y ∈ F, w(y) � p).

Como w ∈ Wk podemos escrever w = fk,g para algum G ⊂<∞ X. Seja

Hk ={fkj ∈ Uk ; j ∈ JG

k , fk,G ∈Wk

}, entao temos:

(i) Cada Hk ⊂<∞ Uk, pois Wk e JGk sao conjuntos finitos.

(ii) Seja x = (x1, · · · , xn) ∈ Xn entao F = {x1, · · · , xn} e um subconjunto finito de

X. Por (2), existe k0 ∈ N tal que:

k > k0 ⇒ (∃fk,G ∈Wk; ∀y ∈ F, fk,G(y) � p)

CAPITULO 5. PROPRIEDADES DE RECOBRIMENTO: HUREWICZ E ω∗ 63

Entao, para j = 1, · · · , n, fk,G(xj) � p e ∧nj=1π

−1j (fk,G)(x) � p. Por (2),

∨j∈JGkfkj(x) � p. Logo existe j ∈ JG

k tal que fkj(x) � p. Portanto, Xn e Hu-

rewicz.

Suficiencia: Seja p ∈ pr(L). Seja {Uk}k∈N uma sequencia onde cada Uk e uma

famılia de L-conjutos abertos tais que:

F ⊂<∞ X, ∃f ∈ Uk; ∀x ∈ F, f(x) � p (5.1)

Seja X =∑

n∈NXn o espaco soma, entao pelo teorema 5.7, e Hurewicz pois cada

Xn e Hurewicz.

Para cada k ∈ N defina Fk ={∑

n∈N fn ; f ∈ Uk

}onde

∑n∈N fn e o L-conjunto

definido por: (∑

n∈Nfn

)(x) = ∧m

j=1π−1j (f)(x)

para cada x ∈ X onde m e o ındice tal que x ∈ Xm.

Cada∑

n∈N fn e um L-conjunto aberto em X pois(∑

n∈N fn) |Xm = ∧m

j=1π−1j (f)

e um L-conjunto aberto em Xm para cada m ∈ N.

Sejam x ∈ X e m o ındice tal que x = (x1, · · · , xm) ∈ Xm, entao F = {x1, · · · , xm}e um subconjunto finito de X, logo, por 5.1, existe f ∈ Uk com f(xj) � p para

j = 1, · · · , n. Seja g =∑

n∈N fn, entao g ∈ Fk e g(x) = ∧mj=1f(xj) � p, portanto,

(∨g∈Fkg) (x) � p.

Como X e Hurewicz, existe uma sequencia {Hk}k∈N tal que:

(1) Cada Hk ⊂<∞ Fk.

(2) ∀x ∈ X, ∃k0 ∈ N; k > k0 ⇒ (∃f ∈ Hk, f(x) � p).

Por (1) podemos escrever Hk ={∑

n∈N fnj

}j∈Jk

onde Jk e um conjunto finito de

ındices. Seja Vk = {fj}j∈Jkentao temos:

(i) Cada Vk ⊂<∞ Uk.

CAPITULO 5. PROPRIEDADES DE RECOBRIMENTO: HUREWICZ E ω∗ 64

(ii) Seja F = {x1, · · · , xm} um subconjunto finito de X. Seja x = (x1, · · · , xm) ∈ X,

entao, por (2), existe k0 ∈ N tal que:

k > k0 ⇒ (∃g ∈ Hk; g(x) � p)

Escreva g =∑

n∈N fnj onde fj ∈ Uk e j ∈ Jk, ou seja, fj ∈ Vk. Como g(x) � p,

∧mi=1fj(xi) � p, entao para cada i = 1, · · · ,m, fj(xi) � p. Logo fj(y) � p para

cada y ∈ F .

Portanto X tem a propriedade ω∗. ¥

CAPITULO 5. PROPRIEDADES DE RECOBRIMENTO: HUREWICZ E ω∗ 65

Figura 5.1: Princıpio de selecao

CAPITULO 5. PROPRIEDADES DE RECOBRIMENTO: HUREWICZ E ω∗ 66

Figura 5.2: Espacos de Hurewicz e propriedade ω∗

Referencias Bibliograficas

[1] G. Birkhoff, “Lattice theory”, Amer. Mat. Soc. Colloq. Publ., vol. 25, Provi-dence, R.I., (1984).

[2] C. L. Chang, “Fuzzy topological spaces”, J. Math. Anal. Appl. 24, (1968) 182-190.

[3] J. Dugundji, “Topology”, Allyn and Bacon, Boston (1988)

[4] T.E. Gantner, R.C. Steinlage and R.H. Warren, ” Compactness in fuzzy topo-logical spaces”, J. Math. Anal. Appl. 62, (1978) 547-562.

[5] G. Gierz at al., “A compendium of continuous lattices”, Springer-Verlag, BerlinHeidelberg, New York, (1986).

[6] J. A. Goguen, “L-fuzzy sets”, J. Math. Anal. Appl. 18, (1973) 145-174.

[7] B. Hutton, “Products of fuzzy topological spaces”, Topology and it’s Applica-tions 11, (1980) 59-67.

[8] W. Hurewicz, Uber eine verallgeneinerung des Borelschen Theorems, Mathe-matische Zeitschrift 24 (1925) 401-421.

[9] S.R.T. Kudri. “L-fuzzy local compactness”, Fuzzy sets and systems 67, (1994)337-345.

[10] S.R.T. Kudri. “L-fuzzy weak local compactness”, Fuzzy sets and systems 81,(1996) 275-279.

[11] S.R.T. Kudri. “Compactness in L-fuzzy topological spaces”, Fuzzy sets andsystems 67, (1994) 329-446.

[12] S.R.T. Kudri. “L- fuzzy compactness and related concepts”, Ph.D. Thesis, CityUniversity, London, (1995)

[13] R. Lowen, “Fuzzy topological spaces and fuzzy compactness”, J.Math.Anal.Appl. 56, (1976) 621-633.

[14] S. R. Malghan and S. S. Benchalli, “Open maps, closed maps and local com-pacness in fuzzy topological spaces”, J. Math. Anal. Appl. 99, (1984) 338-349.

[15] J. Munkres, “Topology: A First Course”, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NewJersey, (1999)

[16] P.M. Pu, Y.M. Liu, “Fuzzy topology I, neighbourhood structure of a fuzzy pointand Moore-Smith convergence”, J.Math.Anal.Appl. 76, (1980) 571-599.

[17] P.M. Pu, Y.M. Liu, “Fuzzy topology II, product and quotient spaces”,J.Math.Anal.Appl. 77, (1980) 20-37.

67

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 68

[18] Lj. Kocinac, M. Scheepers, Function spaces and a property of Reznichenko,Topology and Applications 123 (2002) 135-143.

[19] A. Sostak. On a fuzzy topological structures Supp. Rend. Circ. Mat. Palermo(Ser. II) 11 (1985) 89-103

[20] M. W. Warner, “Fuzzy topology with respect to continuous lattice”, Fuzzy Setsand Systems 35, (1990) 85-91.

[21] M. W. Warner, “Frame-fuzzy points and membership”, Fuzzy Sets and Systems42, (1991) 335-344.

[22] M. W. Warner and R. G. McLean, “On compact Hausdorff L-fuzzy spaces”,Fuzzy Sets and Systems 56, (1993) 103-110.

[23] M. W. Warner and R. G. McLean, “Locale theory and fuzzy topology”, FuzzySets and Systems 54, (1993) 91-97.

[24] M. D. Weiss, “Fixed points, separation and induced topologies for fuzzy sets ”,J. Math. Anal. Appl. 50, (1975) 142-150.

[25] C. K. Wong, “Fuzzy points and local properties of fuzzy topology”, J. Math.Anal. Appl. 46, (1974) 316-328.

[26] L.A. Zadeh, Fuzzy sets Inform. Contr. 8 (1965) 338-353