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Page 1: Algebra TP - Cap 2 - Determinantes

ISEP – ALGAN – EMECAN 1

Conteúdo

2.1 Cálculo de determinantes de 2ª e 3ª ordens

2.2 Teorema de Laplace

2.3 Cálculo de determinantes usando propriedades

2.4 Exercícios de conclusão do capítulo

Capítulo 2 - Determinantes 

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2.1 Cálculo de determinantes de 2ª e 3ª ordens

Exercícios resolvidos

1. Calcule o valor dos seguintes determinantes:

a) 2 1

3 -5

Δ = b) 3 1 21 1 0 2 4 1

−Δ = −

Resolução:

a) Determinante de 2ª ordem. Regra prática.

( )2 1

2 5 3 1 133 5

Δ = = × − − × = −−

.

b) Determinante de 3ª ordem. Regra de Sarrus.

( ) ( ) ( ) ( ) 3 -1 2 1 -1 0 3 1 1 1 4 2 2 1 0 1 1 1 3 4 0 2 1 2 10 2 4 1

3 -1 2 1 -1 0

Δ = = × − × + × × + × − × − × − × − × × − × − × =

Exercícios propostos

1. Calcule os valores dos seguintes determinantes:

1.1 12 3

4 5

−Δ = 1.2 2

1 2 12 0 31 1 1

−Δ =

1.3 3

1 4 03 1 21 0 1

Δ =

Soluções:

1.1 1 22Δ = . 1.2 2 7Δ = 1.3 3 3Δ = −

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Exercícios suplementares

1. Calcule os valores dos seguintes determinantes:

1.1 11 2

3 4

Δ = 1.2 2

1 0 00 1 00 0 1

Δ = 1.3 3

2 0 00 2 00 0 2

Δ =

Soluções:

1.1 1 2Δ = − . 1.2 2 1Δ = 1.3 3 8Δ =

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2.2 Teorema de Laplace

Exercícios resolvidos

1. Calcule, aplicando o teorema de Laplace, o valor do seguinte determinante:

1 2 1 02 3 1 1

1 1 4 21 1 1 0

−−

Δ =−

.

Resolução:

Aplicando o Teorema de Laplace à 4ª coluna vem: ( )14 24 34 440 1 2 0A A A AΔ = × + − × + × + × .

Cálculo dos complementos algébricos ijA e dos menores complementares ijM :

( )2 424 24 241A M M+= − = sendo 24

1 2 11 1 4 111 1 1

M−

= − = −−

( )3 434 34 341A M M+= − = − sendo 34

1 2 12 3 1 111 1 1

M−

= = −−

Assim, 11 2 11 33Δ = + × = .

Exercícios propostos

1. Considere a matriz 4 1 01 2 3 2 3 4

A⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎣ ⎦

.

1.1 Indique o menor complementar e o complemento algébrico do elemento 32a de A .

1.2 Calcule o valor de AΔ = utilizando o teorema de Laplace.

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2. Seja o determinante

1 1 2 30 3 2 02 1 3 04 2 1 1

−−

Δ =−− −

. Calcule o valor de Δ , aplicando o teorema de

Laplace:

2.1 à 2ª linha;

2.2 à 4ª coluna.

3. Calcule o valor do determinante

5 0 1 32 3 1 14 1 2 13 3 1 1

Δ =− −

aplicando o teorema de Laplace.

Exercícios suplementares

1. Considere a matriz

3

2

32

nx nz ny n x

A x y y n x

ny nx ny nx n x

⎡ ⎤+⎢ ⎥

= +⎢ ⎥⎢ ⎥

− − −⎢ ⎥⎣ ⎦

.

1.1 Indique o menor complementar e o complemento algébrico do elemento 32a de A .

1.2 Calcule o valor do complemento algébrico do elemento 31a de A .

2. Calcule o valor dos seguintes determinantes aplicando o teorema de Laplace:

2.1 11 23 4− −

Δ =− −

2.2 2

0 2 51 0 2

1 2 3Δ = − 2.3 3

2 1 0 30 2 1 42 2 1 1

0 1 3 1

Δ =−

Soluções:

1.1 324 0

1 3

M =−

e ( )3 232 321A M+= − 1.2 6Δ = −

2.1 105Δ = 2.2 105Δ =

3. 33Δ =

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Soluções:

1.13

32 2 nx nz n x

Mx y n x

+=

+ e ( )3 2

32 321A M+= − 1.2 31 0A =

2.1 1 2Δ = − 2.2 2 0Δ = 2.3 3 22Δ = −

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2.3 Cálculo de determinantes usando propriedades

Exercícios resolvidos

1. Considere o seguinte determinante

1 2 3 41 7 8 90 3 2 41 6 11 6

.

1.1 Sem calcular o valor do determinante, represente um determinante de 3ª ordem de

valor igual ao determinante dado.

1.2 Calcule o valor do determinante, aplicando apenas propriedades.

Resolução:

1.1 Se aplicarmos o Teorema de Laplace a qualquer uma das filas do determinante dado,

obtém-se sempre uma soma de vários determinantes e não um único como é pretendido.

Então, vamos aplicar as propriedades dos determinantes de forma a obtermos uma fila com

apenas um elemento não nulo.

Aplicando a 8ª propriedade:

( )1 1

2 2 14 14

1 2 3 4 1 2 3 45 5 5 5 5 5

1 7 8 9 0 5 5 5 1 1 3 2 4 3 2 4

0 3 2 4 0 3 2 44 8 2 4 8 2

1 6 11 6 0 4 8 2L L LL LL

+

← −← −

= = × − =

Então 5 5 5

3 2 4 4 8 2

é um determinante de 3ª ordem de valor igual ao determinante dado.

1.2 Vamos anular todos os elementos que estão acima ou abaixo da diagonal principal, para

depois utilizando a 9ª propriedade fazermos o produto dos elementos da diagonal principal,

obtendo o valor pretendido.

Anulando coluna a coluna, começamos da esquerda para a direita e nunca passamos à coluna

seguinte sem anularmos todos os elementos da coluna anterior. O elemento redutor é sempre

o elemento da coluna que estamos a trabalhar e que se encontra na diagonal principal.

Na 1ª coluna o elemento redutor é 1.

Page 8: Algebra TP - Cap 2 - Determinantes

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2 2 14 4 1

1 2 3 4 1 2 3 41 7 8 9 0 5 5 5

0 3 2 4 0 3 2 41 6 11 6 0 4 8 2L L L

L L L← −← −

= =

O elemento redutor é agora 5. Para reduzir a zero os elementos 32a e 42a teríamos de

trabalhar com números fraccionários. Para evitar isso, dividimos a 2ª linha por 5. Dividindo

também a 4ª linha por 2 vem:

32

3 3 24 4 2

1 2 3 4 1 2 3 40 1 1 1 0 1 1 1

5 2 10 0 3 2 4 0 0 1 10 2 4 1 0 0 2 1L L L

L L L← − ×← − ×

= × × = × =−

Na 3ª coluna o elemento redutor é -1. Fica então:

24 4 3

1 2 3 4 1 2 3 40 1 1 1 0 1 1 1

10 10 0 0 1 1 0 0 1 10 0 2 1 0 0 0 1L L L← + ×

= × = × =− −

Utilizando agora a 9ª propriedade (o determinante de uma matriz triangular superior ou

inferior é igual ao produto dos elementos da diagonal principal) fica:

( )10 1 1 1 1 10= × × × − × = − .

2. Mostre utilizando apenas propriedades, que é nulo o seguinte determinante

1 5 4 2 12 1 3 5 14 9 11 1 30 2 1 0 01 1 1 1 1

−−

− −

− − −

.

Resolução:

Aplicando a 8ª propriedade vem:

22 2 1

1 5 4 2 1 1 5 4 2 12 1 3 5 1 4 9 11 1 3

04 9 11 1 3 4 9 11 1 30 2 1 0 0 0 2 1 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1L L L← + ×

− −− − −

= =− − − −

− − − − − −

, porque o determinante tem

duas linhas iguais.

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3. Resolva a seguinte equação: 1 1

1 1 01 1

bb

b= .

Resolução:

Pela regra de Sarrus obtemos 31 1

1 1 0 3 2 01 1

bb b b

b= ⇔ − + = , ou seja, temos que

determinar as raízes de um polinómio do 3º grau.

Para evitarmos este método, vamos obter uma matriz diagonal para podermos aplicar a 9ª

propriedade à resolução do determinante.

( )

1 1 2 1 1 3

1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1

1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1C C C C C C

b b b b b bb b b b b b

b b b← + ← +

+ += = + = + =

+ +

Vamos agora anular abaixo da diagonal:

( ) ( ) ( )2 2 1 3 23 3 1

1 1 1 1 1 12 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1

1 1 1 0 1 0 0 0 1L L L C CL L L

b b bb b b b b b b b

b b← − ↔← −

= + = + − − = − + − − =− −

( )( )( )2 1 1b b b= − + − −

A equação a resolver é então:

( )( )( )2 1 1 0 2 1b b b b b− + − − = ⇔ = − ∨ = (raiz dupla).

Exercícios propostos

1. Sem efectuar cálculos, diga qual o valor dos seguintes determinantes, indicando as

propriedades utilizadas:

1.1 1

1 2 10 0 09 7 3

Δ = 1.2 2

1 0 00 2 00 0 3

Δ = 1.3 3

1 0 010 2 020 30 3

Δ =

2. Sabendo que 1 2 3

2 1 4 50 3 5− = − , diga, justificando qual o valor dos determinantes:

Page 10: Algebra TP - Cap 2 - Determinantes

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2.1 1

1 2 6 2 1 8

0 3 10Δ = − 2.2 2

1 2 32 1 4 0 6 10

Δ = − 2.3 3

2 4 6 4 2 8

0 6 10Δ = −

2.4 4

2 1 3 1 2 4

3 0 5Δ = − 2.5 5

2 1 40 3 5 1 2 3

−Δ =

3. Calcule os seguintes determinantes, utilizando apenas as propriedades:

3.1 1

1 2 51 0 2

1 2 3Δ = − 3.2 2

1 1 0 32 1 2 12 1 1 1

0 1 3 1

−−

Δ =− −

3.3 3

2 1 0 30 2 1 42 2 1 1

0 1 3 1

Δ =−

3.4 4

4 0 1 30 2 2 12 2 1 1

0 1 0 1

−Δ =

− 5.5 5

1 0 0 0 02 1 0 0 00 2 1 2 00 0 2 1 20 0 0 2 1

Δ =

4. Seja 2 2 36 0 22 1 1

A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

e 6 3 24 4 24 4 4

B⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

. Sabendo que 1 10AΔ = = e que 2 24BΔ = = ,

diga qual o valor de:

4.1 3 A BΔ = × 4.2 4 B AΔ = × 4.3 15 A−Δ = 4.4 ( )car B

5. Seja

5 0 1 32 3 1 1

4 1 2 13 3 1 1

Δ =− −

.

5.1 Calcule o valor do determinante aplicando propriedades.

5.2 Com base no determinante dado encontre:

5.2.1 um determinante de 5ª ordem sem elementos nulos e de valor igual a −Δ ;

5.2.2 um determinante de 3ª ordem, cujos elementos da 2ª linha sejam todos iguais a

1 e de valor igual a 2Δ .

Page 11: Algebra TP - Cap 2 - Determinantes

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6. Calcule os seguintes determinantes, utilizando apenas propriedades:

6.1 1 a b cc a bb a c

Δ = 6.2 2

a b c da b c da b c da b c d

− − −Δ =

− −−

7. Decomponha o determinante 2

1 32 4

2

x xx x

x x x

+Δ = num produto de factores.

8. Resolva as equações:

8.1 1

02 13 2 1

x x x xx x x

x xx

= 8.2 1 1 1

2 1 06 1 11

x xx x x

x

+ − − −+ − + =− −

Soluções:

1.1 1 0Δ = 1.2 2 6Δ = 1.3 3 6Δ =

2.1 1 10Δ = − 2.2 2 10Δ = − 2.3 3 40Δ = − 2.4 4 5Δ = 2.5 5 5Δ = −

3.1 1 4Δ = − 3.2 2 30Δ = 3.3 3 22Δ = − 3.4 4 22Δ = 3.5 5 7Δ = −

4.1 3 240Δ = 4.2 4 240Δ = 4.3 51

10Δ = 4.4 ( ) 3car B =

5.1 33Δ = 5.2.1 Por ex.

1 2 4 2 25 5 5 1 32 2 5 1 14 4 3 2 13 3 6 1 1

−−

5.2.2 Por ex. 0 10 241 1 1 0 5 3 13 5

− −

6.1 ( )( )( )1 a b c a b c bΔ = + + − − 6.2 2 8abcdΔ = −

7. ( )( )( )1 2 2x x x xΔ = − − +

8.1 0 1x x= ∨ = 8.2 5 3 1x x x= ∨ = − ∨ = −

Page 12: Algebra TP - Cap 2 - Determinantes

ISEP – ALGAN – EMECAN 12

Exercícios suplementares

1. Sabendo que 3 0 2 11 1 1

x y z= calcule o valor de:

1.1 1 3 3 3 3 2 1 1 1

x y zx y zx y z

Δ = + ++ + +

1.2 2

1 1 14 1 3 1 1 1

x y z− − −Δ =

2. Decomponha os determinantes seguintes num produto de factores:

2.1 1

2a a aa b b aa c b a

Δ = ++

2.2 2

1 21 2

1 2

2 1

x yx y

x yy x

Δ =

3. Com base no determinante 1Δ dado e sem o resolver, encontre um outro determinante 2Δ ,

apenas com elementos inteiros tal que 2 1kΔ = Δ , com k real, e determine o valor de k .

1

2 3 1 6 21 2 3 4 1

1 3 4Δ =

4. Com base no determinante dado e sem o resolver, encontre um outro determinante de 4ª

ordem com valor simétrico do dado e apenas com elementos positivos.

2 3 11 2 4 4 1 2

Δ =

5. Sem aplicar a regra de Sarrus nem o teorema de Laplace, mostre que:

( )

2 3 2 2

2 8 4 7 1 4 7 2 4 2 8 2 1 2 2 8 3 2 1 9 3 1 9

x x x xx x xx

−− = −−

6. Sem calcular o valor dos determinantes 1Δ e 2Δ , escreva um outro determinante Δ , de

modo que 1 2Δ = Δ + Δ :

Page 13: Algebra TP - Cap 2 - Determinantes

ISEP – ALGAN – EMECAN 13

1

1 2 3 41 7 8 90 3 2 41 6 11 6

Δ = 2

3 4 23 2 4 4 8 2

Δ =

7. Recorrendo apenas às propriedades dos determinantes, demonstre que o valor de Δ é

constante, sendo

2

2

2

1 0 2

2 4 4 4

3 5 6 5 1

y

y y

y y

Δ = −

− +

.

8. Considere 1 2 1

1 4 3 1 2 1

−Δ =

−. Sem calcular Δ , escreva uma matriz A de ordem 4 tal que

A tenha um terço do valor de Δ , com elementos todos negativos e em que os elementos da

terceira linha sejam iguais a -3.

9. Mostre, utilizando propriedades, que 0x = é raiz da equação:

0 0 0

0

x a x bx a x cx b x c

− −+ − =+ +

; , ,a b c∈ .

10. Considere o determinante:

1 1 0 11 3 1 2

1 3 2 11 1 4 0

−Δ =

−− −

. Mostre que 1π −Δ < , aplicando o

teorema de Laplace à terceira coluna.

11. Sendo

2 2

2 21

2 2

2

3

4

a a a

b b b

c c c

Δ = e

2 2

2 22

2 2

3 4

4 6

5 8

a a a

b b b

c c c

Δ = , verifique, sem resolver os

determinantes, que 2 12Δ = Δ .

12. Seja A uma matriz ortogonal, isto é, TAA =−1 . Mostre que 1±=A .

Page 14: Algebra TP - Cap 2 - Determinantes

ISEP – ALGAN – EMECAN 14

Soluções:

1.1 1 1Δ = 1.2 2 1Δ =

2.1 ( )( )1 a a b c bΔ = − − 2.2 ( )( )( )( )2 3 1 2 2x y x y xΔ = + + − − −

3. 2

4 1 122 3 4 1 3 4

Δ = ; 24k =

4. Por ex:

1 4 4 41 2 1 3

1 3 3 71 6 2 5

′Δ =

6. 8 9 7

3 2 4 4 8 2

Δ =

7. 4Δ =

8. Por ex:

4 9 1 3 7 9 2 33 3 5 73 3 3 35 3 5 5

A

− − − −⎡ ⎤⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥=⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦

10. 6Δ = logo 66

1 1ππ

− = <

Page 15: Algebra TP - Cap 2 - Determinantes

ISEP – ALGAN – EMECAN 15

2.4 Exercícios de conclusão do capítulo

1. Seja

1 0 1 12 1 1 30 1 1 21 1 2 1

⎡ ⎤−⎢ ⎥

−⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

A e Δ = A .

1.1 Calcule Δ , aplicando propriedades.

1.2 Com base no determinante Δ escreva um determinante 'Δ de 2ª ordem, de valor o

triplo de Δ e com os elementos da 2ª coluna iguais a 1.

2. Aplicando as propriedades dos determinantes, calcule:

1 2 3 42 2 3 42 3 2 12 3 4 1

Δ = .

3. Aplicando as propriedades, prove que

1 2 0 65 3 8 20 1 2 60 0 5 4

Δ = é múltiplo de 3.

4. Seja 1 1 10 2 11 0 1

A−⎡ ⎤

⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

e AΔ = . Com base no determinante Δ escreva um determinante

1Δ de 4ª ordem, de valor igual ao triplo de ∆ e sem elementos nulos.

5. Seja 1

1 5 23 0 2

0 3 4

−Δ = − e 2

1 1 13 0 2

0 3 4Δ = − . Com base nos determinantes 1Δ e 2Δ e sem

determinar o seu valor, escreva um determinante Δ de 4ª ordem tal que: 1 2Δ = Δ + Δ .

Page 16: Algebra TP - Cap 2 - Determinantes

ISEP – ALGAN – EMECAN 16

6. Considere a seguinte matriz: 33

3

a bb a

b a

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A , ,a b∈ .

6.1 Calcule Δ = A utilizando apenas propriedades.

6.2 Com base na alínea anterior, condicione os valores de a e de b para que a

característica da matriz A seja 3.

7. Seja

1 0 1 10 2 1 01 1 2 1

3 1 1 0

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

A e Δ = A .

7.1 Calcule Δ aplicando propriedades.

7.2 Com base na alínea anterior e em Δ , escreva um determinante ′Δ de 3ª ordem tal que

2′Δ = − Δ .

7.3 Utilizando o teorema de Laplace confirme que de facto 2′Δ = − Δ .

Soluções:

1.1 32Δ = − 1.2 Por ex. 126 130 1

−′Δ =

2. 20Δ = −

4. Por ex:

7 2 3 41 1 1 1

2 1 1 28 1 3 5

−′Δ =

5. Por ex.

1 2 3 40 0 6 3

0 3 0 20 0 3 4

Δ =−

6.1 ( )( )( )3 3a b b b aΔ = + + − − 6.2 3 0 3a b b a b+ + ≠ ∧ ≠ ∧ ≠

7.1 15Δ = 7.2 Por ex. 4 2 01 4 31 3 0

′Δ = −