Download - ALGEBRA LINEAL MATRICES VECTORES

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MetodosMatematicos1OperadoresLinealesMatrices,Determinantes,AutovaloresyAutovectores*L.A.N u nez**CentrodeFsicaFundamental,DepartamentodeFsica,FacultaddeCiencias,UniversidaddeLosAndes,Merida5101,VenezuelayCentroNacional deCalculoCientco,UniversidaddeLosAndes,(CeCalCULA),CorporacionParqueTecnologicodeMerida,Merida5101,VenezuelaEnero20071.0Indice1. OperadoresLineales 11.1. Espacio Vectorial de Operadores Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Composicion de Operadores Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Proyectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4. Espacio Nulo e Imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5. Operadores Biyectivos e Inversos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6. Operadores Hermticos Conjugados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7. Operadores Unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142. RepresentacionMatricialdeOperadores 152.1. Bases y Representacion Matricial de Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2. Algebra de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3. Representacion Diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20*ADVERTENCIA: El presentedocumentoconstituyeunaguaparalos estudiantes deMetodosMatematicosdelaFsicadelaUniversidaddeLosAndes. Es, enel mejordeloscasos, unFORMU-LARIOydeningunamanerasustituyealoslbrosdetextodel curso. Labibliografadelacual hansurgidoestasnotassepresentaal nal deellasydebeserconsultadaporlosestudiantes.**e-mail:[email protected] Web:http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/nunez/1FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectores2.4. Sistemas de Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5. Operadores Hermticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.6. Inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.7. Cambio de Bases para vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233. TrazadeOperadores 243.1. Invariancia de la Traza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2. Propiedades de la Traza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3. Diferenciacion de Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.4. Reglas de Diferenciacion de Operadores Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.5. La Formula de Glauber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284. UnZoologicodeMatricesCuadradas 294.1. La matriz nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2. Diagonal a Bloques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.3. Triangular superior e inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.4. Matriz singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.5. Matriz de cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.6. Matriz Adjunta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305. UnParentesisDeterminante 315.1. Denicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.2. Propiedades Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316. AutovectoresyAutovalores 346.1. Deniciones y Teoremas Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.2. Algunos comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.3. Algunos Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.4. Autovalores, autovectores e independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377. AutovaloresyAutovectoresdeunoperador 387.1. El polinomio caracterstico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397.2. Primero los autovalores, luego los autovectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398. AutovaloresyAutovectoresdeMatricesImportantes 438.1. Autovalores y Autovectores de Matrices Similares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438.2. Autovalores y Autovectores de Matrices Hermticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468.3. Autovalores y Autovectores de Matrices Unitarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499. ConjuntoCompletodeObservablesqueconmutan 52Luis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 2FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectores1. OperadoresLinealesDeniremos como operador lineal (o transformaciones lineales) a una operacion que asocia unvector [v) V1un vector [v

) V2y que respeta la linealidad, es decir esta funcion de V1V2cumple conv

_ = A[v) A[ [v1) +[v2)] = A[v1) +A[v2) [v) , [v1) y [v2) V1Sencillamente algo que act ue sobre una suma de vectores y que sea equivalente a la suma de susactuaciones sobre los vectores suma.EjemplosLas siguientes transformacionesx

_ = T[x) _x

, y

, z

_ = T(x, y, z)claramente son linealesT(x, y, z) = (x, 2y, 3z) Ta (x, y, z) +b (m, n, l) = aT(x, y, z) +bT(m, n, l)T(ax +bm, ay +bn, az +bl) = a (x, 2y, 3z) +b (m, 2n, 3l)(ax +bm, 2 [ay +bn] , 3 [az +bl]) = (ax +bm, 2 [ay +bn] , 3 [az +bl])T(x, y, z) = (z, y, x) Ta (x, y, z) +b (m, n, l) = aT(x, y, z) +bT(m, n, l)T(ax +bm, ay +bn, az +bl) = a (z, y, x) +b (l, n, m)(az +bl, ay +bn, ax +bm) = (az +bl, ay +bn, ax +bm)Cosastansencillascomomultiplicacionporunescalaresunatransformacion(uoperador)lineal T : V V tal queT[v) = v

_ = [v)Claramente,T[a [v) +b [w)] = aT[v) +bT[w) = a[v) +b[w)Obviamente, si =1tenemoslatransformacionidentidadquetransformatodovectorens mismo; si = 0 tendremos la transformacion cero, vale decir que lleva a todo [v) V a alelemento cero [0)La denicion de producto interno tambien puede ser vista como una transformacion (opera-dor) lineal T : V RT[v) = a [v) Luis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 3FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectoresOtra vez:T[a [v) +b [w)] = a[ [a [v) +b [w)] = a a [v) +b a [w)porlotantoeslineal. Estoimplicaquetambienlaproyecciondeundeterminado [v) Vsobre un subespacio S es un operador lineal, y lo denotaremos como[[s) s[] [v) = s [v) [s) = [vs) con [s) y [vs) Sesta idea se extiende facil si para un proyector T : Vm Sn con m > n de tal modo que paraun vector [v) VmPm[v) _[ui)uim_[v) = ui[v)m[ui) = [vm)con ui[ base de Sn.Es claro que estamos utilizando la convencion de Einstein para la sumade nidicesLas ecuaciones lineales tambien pueden verse como transformaciones lineales. Esto es, consi-dere una transformacion lineal T : Vn Vm Por lo tanto asociaremos[y) = T[x) _y1, y2, y3, , ym_ = T__x1, x2, x3, , xn__a traves den m n umeros,aij, organizados de la siguiente formayi= aijxjcon_i = 1, 2, , mj = 1, 2, , nuna vez mas,T[[v) + [w)] = T__v1, v2, v3, , vn_+_w1, w2, w3, , wn__ = aijvj+aijwj= T__v1+w1, v2+w2, v3+w3, , vn+wn__= aij(v +w)j= aijvj+aijwj= aij_vj+wj_Como siempre estamos utilzando la convencion de suma de EinsteinLa derivada es un operador lineal. As podemos representar el operador lineal diferenciacioncomov

_ = T[v) y

_ = D[y) D[y (x)] ddx [y (x)] dy (x)dx y

(x)es claro queD[f (x) +g (x)] = Df (x) +Dg (x) f

(x) +g

(x)Luis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 4FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectoresigualmentepodemosasociarunoperadordiferencialdecualquierordenaunaderivadadelmismo orden, esto esy

_ = D2[y) D2[y (x)] d2dx2 [y (x)] d2y (x)dx2 y

(x)y

_ = D3[y) D3[y (x)] d3dx3 [y (x)] d3y (x)dx3 y

(x)...y(n)_ = Dn[y) Dn[y (x)] dndxn [y (x)] dny (x)dxn y(n)(x)Igualmente, cualquier ecuacion diferencial lineal es un ejemplo de operador lineal, recordamosel ejemplo del tema de transformadas integrales. Esto esy

3y

+ 2y = _D23D + 2_y (x)es claro que siy (x) =f (x) +g (x) la linealidad es evidente(f (x) +g (x))

3(f (x) +g (x))

+ 2(f (x) +g (x)) = _f

3f

+ 2f_+g

3g

+ 2g_D23D + 2_(f (x) +g (x)) = _D23D + 2_f (x) +_D23D + 2_g (x)La integral tambien es un operador linealg (x) =_xaf(t)dtTf(t)Otro ejemplo tpico son los operadores de transformaciones integralesF(s) =_ba/(s, t) f(t)dtTf(t)donde /(s, t) es una funcion conocida des yt, denominada el n ucleode la transformacion.Sia yb son nitos la transformacion se dira nita, de lo contrario innita.As si f(t) = f1(t) +f2(t) conf1(t) yf2(t) ([a,b] es obvio queF(s) =_ba/(s, t) [f1(t) +f2(t)] dtT[f1(t) +f2(t)]F(s) = _ba/(s, t) f1(t)dt +_ba/(s, t) f2(t)dtF(s) = F(s1) +F(s2)T[f1(t) +f2(t)] = Tf1(t) +Tf2(t)Dependiendodelaselecciondel n ucleoyloslimitestendremosdistintastransformacionesintegrales. En Fsica las mas comunes son:Luis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 5FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectoresNombre F(s) = Tf(t) f(t) = T1F(s)Laplace F(s) = _0estf(t)dt f(t) =12i_+iiestF(s)dsFourier de senos y cosenos F(s) =_0sen(st)cos(st)f(t)dt f(t) =2_0sen(ts)cos(ts)F(s)dsFourier compleja F(s) =_ei stf(t)dt f(t) =2_ei stF(s)dsHankel F(s) =_0tJn(st)f(t)dt f(t) =_0sJn(ts)F(s)dsMellin F(s) =_0ts1f(t)dt f(t) =12i_+iistF(s)ds1.1. EspacioVectorialdeOperadoresLinealesUnconjuntodeoperadoreslineales A, B, C :V1V2puedeconstituirunespaciovec-torial lineal si se dispone entre ellos de la operacion suma y la multiplicacion por un escalar. As,claramente, dado A, B, C ,y denida(A+B) [v) A[v) +B[v) ___A[ [v1) +[v2)] = A[v1) +A[v2)B[ [v1) +[v2)] = B[v1) +B[v2)es directo comprobar que(A+B) [ [v1) +[v2)] = A[ [v1) +[v2)] +B[ [v1) +[v2)]= ( A[v1) +A[v2)) + B[v1) +B[v2)= ( A[v1) + B[v1)) +A[v2) +B[v2)(A+B) [ [v1) +[v2)] = A[ [v1) +[v2)] +B[ [v1) +[v2)]Igualmente, se cumple que[(A+B) +C] = [A+(B+C)]con A+B+C lineales en V[(A+B) +C] [v) = (A+B) [v) +C[v) [v) V1= A[v) +B[v) +C[v)= A[v) +(B+C) [v)= [A+(B+C)] [v)Luis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 6FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectoresdel mismo modo se puede comprobar facilmenteA+B = B+AAhora bien, si denimos la transformacion cero de V1V2 tal que[0) = 0 [v) [v) V1se le asigna a el vector [0) V2 [v) V1, entonces el operador lineal 0 sera el elemento neutrorespecto a la suma de operadores. Finalmente, el elemento simetrico queda denido por(A) [v) = A[v) = (AA) [v) = 0 [v) = [0)Con ello queda demostrado que los operadores lineales forman un espacio vectorial el cual de ahoraen adelante denominaremos L(V1, V2) .1.2. ComposiciondeOperadoresLinealesEl producto o composicion de dos operadores lineales, A y B se denotara AB y signicara queprimero se aplica B y al resultado se aplica A. Esto esAB[v) = A(B[v)) = A[ v) = v

_La composicion de funciones cumple con las siguientes propiedades(AB) C = A(BC) ; (AB) =(A) B = A(B) ;(A1+A2) B = A1B+A2B; A(B1+B2) = AB1+AB2Es decir, que la composicion de operadores es asociativa y distributiva a la suma y que conmutarespecto a la multiplicacion por escalares.Por otro lado si 1 es el operador Identidad1[v) = [v) = A1 = 1A = A;En general AB ,= BA,por lo tanto podemos construir el conmutador de estos operadores como[A, B] = ABBA [ABBA] [v) = AB[v) BA[v)Es inmediato comprobar algunas de las propiedades mas utiles de los conmutadores:[A, B] = [B, A][A, (B+C)] = [A, B] + [A, C][A, BC] = [A, B] C+B[A, C]0 = [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]]Dados dos vectores [v1) y [v2) deniremos como el elemento de matriz del operador A al productointerno de dos vectoresv2[ (A[v1)) A(|v1,|v2)es claro queA(|v1,|v2)sera en general un n umero complejo, pero esto lo veremos detalladamenteen la seccion 2, mas adelante.Luis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 7FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectoresEjemplosPotencias de Operadores: Uno de los ejemplos mas utiles en la composicion de operadoreslo constituyen las potencias de los operadores, las cuales provienen de la aplicacion consecutivade un mismo operador,A0= 1; A1= A; A2= AA; A3= A2A = AAA; Es claro que las potencias de operadores cumplen las propiedades estandares de las potenciasde n umerosAn+m= AnAm; (An)m= AnmLlamaremos operadores nilpotentes de gradon a los operadores An,= 0, del tipoAn[v) = [0) [v) V1al vector nulo, [0) V2. Es decir un operador que lleva cualquiervector [v) al elemento neutro de V2. El ejemplo mas emblematico es el operador diferencialDnPn1_ = [0) dndxnPn1(x) =dndxn_aixi = 0con Pn1_ perteneciente al espacio de polinomios de gradon 1OperadorEcuacionesDiferenciales. Si consideramos el espacio de funcionesf(x) ([a,b] podemos construir un operador diferencial_a01 +a1D+a2D2+ +anDn[f ) _a0 +a1ddx +a2d2dx2 + +andndxn_f(x)con a0, a1, a2,an coecientes constantes. De este modo_D23D+ 2_y = (D1) (D2) y =_d2dx2 3ddx + 2_y (x) = y

3y

+ 2yconr = 1 yr = 2 las races del polinomio caractersticoFuncionesdeOperadores:Basandonosenelprimerodelosejemplossepuedeconstruirun polinomio en potencias de los operadores:Pn(x) = a0 +a1x +a2x2+ +anxn= aixi=Pn(A) [v) = _a01 +a1A+a22A+ +annAn[v) = _aiAi[v) [v) V1Masa un, loanterior nospermiteextender laideaoperadoresafuncionesdeoperadores,esdecirsi nossaltamostodoslosdetallesdeconvergenciadelaserieanterior, loscualesdependeran de los autovalores de A y de su radio de convergencia, de esta manera, al igualque podemos expresar cualquier funcionF (z) como una serie de potencias dez en un ciertodominio, podremos expresar la funcion de un operador,F (A) , como una serie de potenciasdel operador A esto esF (z) = aixi F (A) [v) = _aiAi[v)Luis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 8FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectoresAs, por ejemplo, podemos expresareA[v) =_

n=0Ann!_[v) =_1 +A+ A2! + + Ann! _[v)Enestecasohayquehacerunaacotacion, dadoque, engeneral, [A, B] ,=0=eAeB,=eBeA,= eA+Besta armacion se corrobora de manera inmediata al desarrollar las exponen-cialeseAeB[v) =_

n=0Ann!__

m=0Bmm!_[v) =_

n=0

m=0Ann!Bmm!_[v)eBeA[v) =_

n=0Bnn!__

m=0Amm!_[v) =_

n=0

m=0Bnn!Amm!_[v)eA+B[v) =_

n=0(A+B)nn!_[v)soloenel casoque[A, B] =0=eAeB=eBeA=eA+B, lademostracionesinmediatapero requiere expandir y rearreglar las sumatorias arriba expuestas. En general mas adelantedemostraremos la relacion de GlaubereAeB= eA+Be12[A,B]1.3. ProyectoresLa notacion de Dirac se hace particularmente conveniente para representar proyectores. Hastaahora,hemosrelacionadounfuncionallineal,unbra w[delespaciodualV,conunvectorket[v) del espacio vectorialVa traves de su producto interno w[ v) C el cual es, en general, unn umerocomplejo. Si ahoraescribimosestarelacionentrevectoresyformasdiferencialesdeunamanera diferente. As, la relacion entre w[, y [v) un ket [) o un bra [ arbitrarios seran[v) w[ =___[v) w[ ) [v) w[Laprimeraseralamultiplicaciondelvector [v)poreln umerocomplejo w[ ) ,mientrasquelasegunda relacion sera la multiplicacion de la forma w[ por el complejo [v) . Es imperioso se nalarqueel ordenenlaescrituradelosvectoresyformasescrtico, sololosn umeroscomplejossepueden mover con impunidad a traves de estas relaciones[v) = [v) = [v) , w[ = w[ = w[ w[ [v) = w[ v) = w[ v) y A[v) = A[v) = A[v)Luis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 9FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectoresPor lo tanto, dado un vector [v) , podemos construir un proyector P|v a lo largo del vector [v)P|v [v) v[ con v[ v) = 1siempre y cuando este operador lineal cumplaP|v [ [z1) +[z2)] = P|v[z1) +P|v[z2) =[v) v[ [ [z1) +[z2)] = [v) v[ [z1) +[v) v[ [z2) = [v) v [z1) +[v) v [z2)P2|v =P|v ([v) v[) ([v) v[) = [v) v[ =P|vP|v[z) = ([v) v[) ([v) v[) [z) = [v) v [v). .1v [z) = [v) v [z) = P|v[z)As el operador P|vactuando sobre el vector [) representara la proyeccion de [) a lo largo de[v)P|v[) = [v) v[ ) v[ ) [v)Es inmediato construir un proyector de un vector sobre un subespacio Sq.Sea [e1) , [e2) , [e3) , , [eq) un conjunto ortonormal de vectores que expande Sq. Por lo tantodeniremos el proyector Pqal proyector sobre el subespacio Sqde la formaPq = [ei)eiqes claro que P2q =PqP2q[v) = PqPq[v) = P2q[v) =_[ei)eiq__[ej)ejq_[v) = [ei)ei[ej). .ijej[v)P2q[v) = [ej)ej[v) Pq[v) [v) V1.4. EspacioNuloeImagenElconjuntodetodoslos [v) V1 A[v)= [0) ,sedenominaespacionulo,n ucleookernel(n ucleo en aleman) de la transformacion A y lo denotaremos como (A), en smbolos diremos que(A) = [v) [ [v) V1 A[v) = [0)Adicionalmente, (A) V1 sera un subespacio de V1. La prueba de esta armacion es inmediata.Dados [v1) , [v2) (A) ,con A un operador lineal, es claro queA[v1) = [0)A[v2) = [0)___= 1A[v1) +2A[v2) = [0) =A(1[v1) +2[v2))Luis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 10FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectorespor la misma razon se tiene que el elemento neutro contenido en (A) ,esto esA[ v) = [0) [v) V1 A[0) = [0) si = 0por lo tanto, queda demostrado que (A) es un subespacio de V1 .Deniremos imagen (rango o recorrido) de A,y la denotaremos como(A) = _v

_ [v

_ V2 A[v) = v

__igualmente (A) V2tambienseraunsubespaciodeV2yaquesi [v)=1[v1) + 2[v2)ydado que A es un operador lineal, se cumple queA___1[v1) +2[v2). .|v___ = 1A[v1). .[v

1)+2A[v2). .[v

2)= 1v

1_+2v

2_. .|v

Es claro que si V de dimension nita, AV = n tambien sera de dimension nitan y tendremosquedim[(A)] + dim[(A)] = dim[V]vale decir que la dimension del n ucleo mas la dimension del recorrido o imagen de una transforma-cion lineal es igual a la dimension del dominio.Para demostrar esta armacion supongamos que dim[V] = n y que[e1) , [e2) , [e3)[ek) V es una base de (A) , dondek = dim[(A)] n.Como [e1) , [e2) , [e3)[ek) Vestoselementosformanbaseyporlotantosonlinealmenteindependientes, necesariamente ellos formaran parte de una base mayor de V.Estoes [e1) , [e2) , [e3) , , [ek) , [ek+1) , , [ek+r1) , [ek+r) VseraunabasedeVdondek +r = nEs esquema de la demostracion ser a:primero probaremos que A[ek+1) , A[ek+2) , , A[ek+r1) , A[ek+r) forman unabase para AVluego demostraremos que dim[AV] = ry como hemos supuesto quek + r = n habremosdemostrado la armacion anterior.Si los r elementos A[ek+1) , A[ek+2) , , A[ek+r1) , A[ek+r) expanden AV en-tonces cualquier elemento[w) AV [w) = A[v) = Ci[Aei) con [Aei) = A[ei)Ahora bien, analicemos con cuidado los lmites de la suma implcita del ndicei = 1, 2, , k +r[w) = Ci[Aei) = C1[Ae1) +C2[Ae2) + +Ck[Aek). .=|0 yaqueA|e1=A|e2=A|e3=A|ek=|0+Ck+1[Aek+1) + +Ck+r[Aek+r)Luis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 11FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectoresPor lo tanto A[ek+1) , A[ek+2) , , A[ek+r1) , A[ek+r) expanden AV . Ahora bien,para demostrar que son base, demostraremos que son linealmente independientes, para ello supon-dremos que_Ck+1, Ck+2, , Ck+r_ Ci[Aei) = 0 coni = k + 1, k + 2, , k +ry ttenemos que demostrar queCk+1= Ck+2== Ck+r= 0. EntoncesCi[Aei) = CiA[ei) = A_Ci[ei)_ = 0 coni = k + 1, k + 2, , k +rpor lo tanto el elemento [v) = Ci[ei) (A) coni = k + 1, k + 2, , k +r. Con lo cual dadoque [v) (A) , [v) = Ci[ei) con i = 1, 2, , r, entonces se puede hacer la siguiente resta[v) [v) =k

i=1Ci[ei) k+r

i=k+1Ci[ei)ycomolos [e1) , [e2) , [e3) , , [ek) , [ek+1) , , [ek+r1) , [ek+r)sonunabasedeVentonceslasCk+1= Ck+2== Ck+r= 0EjemplosTransformacionesIdentidad: Sea 1 : V1V2 , la transformacion identidad, [v) V1 1[v) = [v) . (1) = [0) V1 (1) V1Sistemas de lineales de Ecuaciones. En Vnlos sistemas de ecuaciones lineales representanel espacio nulo,(A) , para vectores de VnA[x) = [0) _____A11A12 A1nA21A22

......An1An2Ann__________x1x2...xn_____ =_____00...0_____Aijxi = 0sonjecuacionesconj=1, 2, , n. RecordemosqueestamosutilizandolaconvenciondeEinstein para suma de ndices. Esto es ni=1Aijxi = 0Ecuaciones diferenciales ordinarias. Sea (2[,] el espacio vectorial de todas las funcio-nes continuas doblemente diferenciables. Denimos A :(2[,] ([,] como la transfor-macion lineal _D21_ tal que para todas lasy(x) (2[,] se cumpleA[x) = [0) _D21_y(x) = 0 _d2dx2 1_y (x) = y

y = 0por lo tanto el n ucleo o espacio nulo de A,(A) lo constituyen el conjunto de soluciones parala mencionada ecuacion diferencial. Por lo tanto el problema de encontrar las soluciones dela ecuacion diferencial es equivalente a encontrar los elementos del n ucleo de A.Luis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 12FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectores1.5. OperadoresBiyectivoseInversosSe dice que A : V1V2 es biyectivo (uno a uno o biunvoco) si dados [v1) , [v2) V1, [v

) V2, se tiene queA[v1) = v

_ A[v2) = v

_= [v1) = [v2)es decir sera biyectiva si A transforma vectores distintos de V1en vectores distintos de V2. Masa un, sepuedearmarqueunatransformacionlineal A, serabiyectivasi ysolosi (A)= [0) .Valedecir,sielsubespacionuloestaconstituido, unicamenteporelelementoneutrodelespaciovectorial. La demostracion es sencilla. Supongamos que A es biyectiva y que A[v) = [0) ,entonces[v) = [0) ,es decir, A[0) = [0) , por consiguiente (A) = [0) . Recprocamente, si(A) = [0)A[v1) = A[v2)___ = A[v1) A[v2) = [0) = A___[v1) [v2). .|v1|v2=0___ = [v1) = [v2)La importancia de las transformaciones lineales uno a uno o biyectiva reside en la posibilidadde denir inversa, debido a que siempre existe en V2 un vector [v

) asociado a traves de A con unvector [v) V1. Diremos que A1: V2V1 es el inverso de A, si A1A = 1 = AA1.Podemos armar que un operador lineal A tendra inverso A1si a cada vector [v

) V2Habra que hacer un par de comentarios al respecto. El primero es que, tal y como hemos enfa-tizado arriba, en general, los operadores no conmutan entre si, y los inversos no son una excepcion.Esdecir, debieranexistir(ydehechoexisten)inversasporlaizquierdaA1Aeinversasporladerecha AA1. Por simplicidad e importancia en Fsica obviaremos esta dicotoma y supondremosqueA1A = 1 = AA1. El segundocomentariotienequeverconlaexistenciayunicidaddelinversodeunoperadorlineal.Algunosoperadorestieneninverso,otrosno, peroaquellosquienestienen inverso, ese inverso es unico. Veamos, supongamos queA11A[v) = [v)A12A[v) = [v)___ = A11A[v) A12A[v) = [0) = _A11A12_. .A11=A12A[v) = A11= A12Ahorabien,unoperadorlinealA tendrainversosysolosparacadavector [v

) V2![v) V1 A[v) = [v

) . Es decir cada vector [v

) esta asociado con uno y solo un vector [v) a travesde la transformacion linealA. Dejaremos sin demostracion esta armacion pero lo importante esrecalcar que para que exista inverso la transformacion lineal A,tiene que ser biyectiva y esto implicaque se asocia uno y solo un vector de V1 con otro de V2.Todava podemos a nadir algunas demostraciones consecuencias de las armaciones anteriores.Sealatransformacionlineal T:V1 V2supongamosademasqueT L(V1, V2)Entonceslassiguientes armaciones son validas y equivalentes1. T es Biyectiva en V12. T es invertible y su inversa T1: TV1 V1 es linealLuis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 13FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectores3. [v) V1, T[v) = [0) = [v) = [0) esto es, el espacio nulo (T) unicamente contiene alelemento neutro de V1.SiahorasuponemosqueV1tienedimensionnita,digamosdim[V1] =n,lassiguientesar-maciones seran validas y equivalentes1. T es Biyectiva en V12. Si [u1) , [u2) , [u3) ,[un) V1 son linealmente independientes entonces, T[u1) , T[u2) , T[u3) ,T[un) TV1 tambien seran linealmente independientes.3. dim[TV1] = n4. Si [e1) , [e2) , [e3)[en) V1 es una base de V1, entonces T[e1) , T[e2) , T[e3)T[en) TV1 es una base de TV11.6. OperadoresHermticosConjugadosDeniremos la accion de un operador A sobre un brade la forma siguiente(w[ A). .w

|[v) = w[ (A[v)). .|v

por lo cual lo que estamos diciendo es que el elemento de matriz para el operador, A, es el mismo,y no importa donde opere A.De esta manera, dado cada vector en V, tiene asociado un vector enV podemos demostrar que A operando sobre los braes lineal. Esto es dadow[ = 1z1[ +2z2[ =(w[ A) [v) (1z1[ +2z2[ A) [v) = (1z1[ +2z2[) (A[v)) = 1z1[ (A[v)) +2z2[ (A[v))= 1 (z1[ A) [v) +2 (z2[ A) [v)Siguiendo con esta logica podemos construir la accion del operador hermtico conjugado, A. Paraello recordamos que igual que a cada vector (ket) [v) le esta asociado una forma lineal (bra) v[ ,acadaket transformadoA[v)= [v

)lecorresponderaunbratransformado v

[ = v[ A. Porlotanto[v) v[v

_ = A[v) v

= v[ Aahorabien,si Aeslineal, Atambienlosera. Dadoqueaunvector [w) =1[z1) + 2[z2)lecorrespondeunbraw[ =1z1[ +2z2[ (lacorrespondenciaes antilineal). Por lotanto,[w

) = A[w) = 1A[z1) +2A[z2) , por ser A lineal, entoncesw

_ w

w[ A = (1z1[ +2z2[) A 1z

1+2z

2 = 1z1[ A +2z2[ ALuis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 14FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectoresEs claro que de la denicion de producto interno en la notacion de Dirac, se desprendex

y) = y[ x

_x

_ = A[x) , [y) V = x[ A[y) = y[ A[x) [x) , [y) VIgualmente se pueden deducir las propiedades de los operadores hermticos conjugados_A_= A; (A) = A; (A+B) = A +B; (AB) = BAEsta ultimapropiedadesfacilmentedemostrableyeseducativasudemostracion. Dado [v

) =AB[v), ademas se tiene que[ v) = B[v)[v

) = A[ v)___=v

= v[ A = v[ BA = v[ (AB)Apartirdepropiedadesanterioressederivaunamas util relacionadaconel conmutadordedosoperadores hermticos[A, B] = _A, B_ =_B, A_La conclusiones a las que llegamos sonPara obtener el hermtico conjugado de una expresion proceda de la siguiente manera:Cambie constantes por sus complejas conjugadas Cambie los ketspor sus brasasociados y viceversa (braspor kets): [v) v[Cambie operadores lineales por sus hermticos conjugados AA;Invierta el orden de los factoresDe este modo([v) w[) = [w) v[que se deduce facilmente de la consecuencia de la denicion de producto internox[_[v) w[_[y) = y[ ([v) w[) [x) = y[ [v)w[ [x) = x[ [w) v[ [y)ExisteunconjuntodeoperadoresquesedenominanHermticosasecasoautoadjunto. Unoperador Hermtico (o autoadjunto) sera aquel para el cual A = A. Con estox[ A[y) = x[ A[y) = y[ A[x)Claramente los proyectores son autoadjuntos por construccionP|v ([v) v[) = [v) v[Luis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 15FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectores1.7. OperadoresUnitariosPor denicion un operador sera unitario si su inversa es igual a su adjunto. Esto esU1= U= UU = UU = 1De estos operadores podemos decir varias cosasLas transformaciones unitarias dejan invariantes al producto interno y consecuentemente lanorma de vectores. Esto se demuestra facilmente. Dados dos vectores [x) , [y) sobre los cualesactua un operadore unitario[ x) = U[x)[ y) = U[y)___= y [ x) = y[ UU[x) = y [x)Es claro que si Aes hermtico, A = A, el operador T = eiAes unitario.T = eiA= T = eiA= eiA= TT = eiAeiA= 1 = TT = eiAeiAEl producto de dos operadores unitarios tambien es unitario. Esto es si U y V son unitariosentonces(UV) (UV) = VUU. .1V = VV = 1(UV) (UV) = UVV. .1U = UU = 12. Representaci onMatricialdeOperadoresSupongamos un operador lineal A en el espacio vectorial de transformaciones lineales L(V, W)donde dim(V ) = n y dim(W) = m y sean [e1) , [e2) , [e3) ,[en) y [e1) , [e2) , [e3) ,[em)las bases paraVyWrespectivamente. Entonces A[ej) WA[ei) = Ai [e) coni = 1, 2, .., n y = 1, 2, .., mlasAison las componentes de la expansion de A[ei) en la base [e1) , [e2) , [e3) ,[em) . Paraun vector generico [x) tendremos que[ x) = A[x) = x[e) pero, a su vez [x) = xi[ei)con lo cual[ x) = A[x) = x[e) = A_xi[ei)_ = xiA[ei) = xiAi [e) =_ xxiAi_[ei) = 0para nalmente concluir que x= Ai xiVarias cosas se pueden concluir hasta este puntoLuis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 16FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectores1. Siacordamosquelos ndicesdearribaindicanlaspodemosrepresentarlosvectorescomoun arreglo vertical de sus componentes[x) _____x1x2...xn_____y las cantidadesAi__________A11A12 A1j A1nA21A22A2jA2n.........A1A2AjAn.........Am1Am2AmjAmn__________de tal modo que se cumpla[ x) _________ x1 x2... x xm_________=__________A11A12 A1j A1nA21A22A2jA2n.........A1A2AjAn.........Am1Am2AmjAmn___________________x1x2...xjxn_________Notese que los ndices arriba indican la y los de abajo columnas. Las cantidades Ajes la re-presentacion del operador Aen las bases [e1) , [e2) , [e3) ,[en) y [e1) , [e2) , [e3) ,[em)deVyWrespectivamente. Es decir una matrizAijes un arreglo de n umerosAij =_____A11A12 A1nA21A22A2n......An1An2Ann_____donde el superndice,i, indica la_____A11A21...An1_____y el subndicejcolumna_A11A12 A1n_Luis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 17FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectores2. Diremos que las componentes de los vectores transforman como x= Ai xi3. Si suponemos [e1) , [e2) , [e3) ,[en) y [e1) , [e2) , [e3) ,[em) bases ortonormales x= e[ x) = e[ A[x) = e[ A_xi[ei)_=xie[ A[ei)queda claro queAi e[ A[ei) sera la representacion matricial4. Los vectores [ek) transforman de la siguiente maneraA[ei) = [ wi) = Aji [ej) =donde [e1) , [e2) , [e3) ,[en) y [e1) , [e2) , [e3) ,[en) son las bases paraVyWres-pectivamente.Denitivamente, las matrices son uno de los objetos mas utiles de las Matematicas. Ellas permi-ten aterrizar conceptos y calcular cantidades. La palabra matriz fue introducida en 1850 por JamesJoseph Sylvester1y su teora desarrollada por Hamilton2y Cayley3. Si bien los fsicos las conside-ramos indispensables, no fueron utilizadas de manera intensiva hasta el aparicion de la MecanicaCuantica alrededor de 1925.2.1. BasesyRepresentaci onMatricialdeOperadoresEsimportanterecalcarquelarepresentacionmatricial deunoperadordependedelasbases[e1) , [e2) , [e3) ,[en) y [e1) , [e2) , [e3) ,[em) de deVyWrespectivamente. Si tenemosotras bases ortonormal para Vy W vale decir, [e1) , [e2) , [e3) ,[en) y [e1) , [e2) , [e3) ,[em)su representacion sera distinta. Esto ese[ A[ej) =Aj=___________A11A12

A1j

A1nA21A22A2jA2n.........A1A2AjAn.........Am1Am2AmjAmn___________1JamesJosephSylvester(1814-1897Londres, Inglaterra). Adem asdesusaportesconCayleyalaTeoradelas Matrices descubri olasoluci onalaecuaci onc ubicayfueel primeroenutilizar el terminodiscriminanteparacategorizarcadaunadelasracesdelaecuaci on. Paravivirtuvoqueejercerdeabogadoduranteunadecada. Porfortunaotromatem aticode laepoca(Arthur Cayley) frecuentabalos mismos juzgados ytribunales ypudieroninteractuar.PorserjudotuvocantidaddedicultadesparaconseguirtrabajoenlaAcademia.2Sir William Rowan Hamilton (1805 - 1865, Dublin, Irlanda) Sus contribuciones en el campo de la Optica, DinamicadelcuerpoRgido,Teoradeecuacionesalgebr aicasyTeoradeOperadoresLineales.3Arthur Cayley(1821, Richmond, 1895, Cambridge, Inglaterra) Ensus cercade900trabajos cubri ocas latotalidaddelas areasdelasMatem aticasdeaquel entonces. Susmayorescotribucionessecentranel laTeoradeMatricesylaGemetranoeuclideana. NoconsiguioempleocomoMatemeticoytuvoquegraduarsedeabogadoyejercerdurantemasde15a nos,duranteloscualespublic omasde250trabajosenMatem aticasLuis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 18FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectoresMasa uncambiandoelordenenelcualsepresentaunabase,cambialarepresentacionmatricialdel operador. Los siguientes ejemplos trataran de ilustrar estas situacionesSi tenemos un matriz 2 3, B de la formaB =_3 1 21 0 4_ysupongamoslasbasescanonicasparaV3yV2: [e1) , [e2) , [e3)y [e1) , [e2) . Entonceslamatriz B representan la transformacion B :V3 V2que lleva un vector generico [x) = (x1, x2, x3)en un vector generico [y) = (y1, y2) tal queB =_3 1 21 0 4_= B[x) = [y) =_3 1 21 0 4___x1x2x3__ =_y1y2_y esto esy1 = 3x1 +x22x3y2 = x1 + 0x2 + 4x3La representacion matricial, dependera de la base en la cual se exprese. Si suponemos el operadordiferencialD() =d()dxy consideramos el dominio un espacio vectorial de los polinomios de grado 3, por lo tantoD() :P3P2, si consieramos las bases _1, x, x2, x3_ y _1, x, x2_ deP3yP2respectivamente. Si el producto interno esta denido comoPi[Pj) _11dx Ti (x) Tj (x) dxLa representacion matricial el operador diferencial sera_Pi D[Pj) =_PiPj_ =__0 1 0 00 0 2 00 0 0 3__como siemprei indica las las yjlas columnas.Otra manera de verlo es operar (diferenciar) sobre el [Pj) P3y expresar ese resultado en labase deP2D[Pj) =___d(1)dx= 0 = 01 + 0x + 0x2d(x)dx= 1 = 11 + 0x + 0x2d(x2)dx= 2x = 01 + 2x + 0x2d(x3)dx= 3x2= 01 + 0x + 3x2y los coecientes de esa expansion ser an las columnas de la matriz que los representa.Luis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 19FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectoresParaenfatizarqueloselementosdematrz,nosolodependendelabasesinodelordenenelcuallabasesepresente.ConsideremosquelabasedeP2vienerepresentadaspor _x2, x, 1_.Larepresentacion matricial del operadorD() =d()dxseraPiD[Pj) = PiPj_ =__0 0 0 30 0 2 00 1 0 0__aunque__0 1 0 00 0 2 00 0 0 3______1111____ =__123__=1 + 2x + 3x2equivalentemente__0 0 0 30 0 2 00 1 0 0______1111____ =__321__=1 + 2x + 3x2Es el mismo polinomio!Recuerde que las componentes del vector multiplican a los vectores bases en el mismo orden.Si ahora construimos la respresentacion para el mismo operador D() =d()dxen la siguiente base_1, 1 +x, 1 +x +x2, 1 +x +x2+x3_ y _1, x, x2_ deP3yP2, respectivamente.D[Pj) =Pj_=___d(1)dx= 0 = 01 + 0x + 0x2d(1+x)dx= 1 = 11 + 0x + 0x2d(1+x+x2)dx= 1 + 2x = 11 + 2x + 0x2d(1+x+x2+x3)dx= 1 + 2x + 3x2= 11 + 2x + 3x2con lo cualPiD[Pj) = PiPj_ =__0 1 1 10 0 2 20 0 0 3__2.2. AlgebradeMatricesPorcomodidadsupongamosquedim(V )=dim(W)=nyconsideremoslabaseortogonal[e1) , [e2) , [e3) ,[en) .De este modo es claro, que se reobtienen las conocidas relaciones paramatrices cuadradaseiA+B[ej) = eiA+B[ej) = eiA[ej) +_ei B[ej) = Aij +BijLuis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 20FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectorescon lo cual tenemos la suma de matrices. Esto es_____A11A12 A1nA21A22A2n......An1An2Ann_____+_____B11B12 B1nB21B22B2n......Bn1Bn2Ann__________A11 +B11A12 +B12 A1n +B1nA21 +B21A22 +B22A2n +B2n.........An1 +Bn1Ann +Bnn_____en forma compacta puede demostrarseAij + Bij= (A+B)ijcon lo cual es directo la demostrar laigualdad de matrices_____A11 +B11A12 +B12 A1n +B1nA21 +B21A22 +B22A2n +B2n.........An1 +Bn1Ann +Bnn_____ = 0_____A11A12 A1nA21A22A2n......An1An2Ann_____ =_____B11B12 B1nB21B22B2n......Bn1Bn2Ann_____de dondeAij = BijDe igual modo para la representacion de composicion de operadoreseiAB[ej) = eiA1B[ej) = eiA_[ek)_ek_B[ej) = eiA[ek)_ek B[ej) = AikBkjpara multiplicacion de matrices. Esto es_____A11A12 A1nA21A22A2n......An1An2Ann_____

_____B11B12 B1nB21B22B2n......Bn1Bn2Ann__________A1kBk1A1kBk2 A1kBknA2kBk1A2kBk2A2kBkn.........AnkBk1AnkBkn_____Luis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 21FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectorescomo ya sabamos AB ,= BA AikBkj,=BikAkjDelamismamaneralamultiplicaciondeunn umeroporunamatrizeslamultiplicaciondetodos sus elementos por ese n umeroeiA[ej) = eiA[ej) = Aij2.3. Representaci onDiagonalFinalmente mostraremos que dado un operador lineal A L(V, W) donde dim(V ) = dim(W) =n y sea [u1) , [u2) , [u3) ,[un) una base ortonormal paraV yW. Si adicionalmente se da elcaso queA[ui) = [ui)la representacion matricial es diagonalujA[ui) = Aji= uj[ui) = jiEsta armacion tambien es valida para dim(V ) ,= dim(W) pero por simplicidad seguimos traba-jando con matrices cuadradas.En leguaje de ndices estaremos diciendo queDij = Dkkl ljik =____D10 0 00 D20 00 0 D300 0 0 D4____2.4. SistemasdeEcuacioneslinealesUnadelasaplicacionesmas utilesdel algebradematriceseslaresoluciondelossitemasdeecuaciones lineales. El cual puede ser expresado de la siguiente formaAi xi= cconi = 1, 2, .., n y = 1, 2, .., mpor lo tanto tendremos m ecuaciones lineales para n incognitas _x1, x2,xn_. Las Aies la matrizde los coecientes. Por lo tanto este problema puede ser pensado como un problema de un operadorA en el espacio vectorial de transformaciones lineales L(V, W) donde dim(V ) = n y dim(W) = m,con lasclas componentes del vector transformado[c) = A[x) c= Ai xiConcretemos en un ejemplo2x + 3y z = 54x + 4y 3z = 32x + 3y z = 10=__2 3 14 4 32 3 1____xyz__ =__531__Luis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 22FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectoresel metodomasutilizadoeslaeliminaciondeGaussJordanel cual sebasaenel intercambiodeecuaciones y la multiplicacion apropiada e inteligente por constantes y resta de ecuaciones. La ideaes construir una matriz triangular superior para poder luego despejar desde abajo. Veamos:abc__2 3 14 4 32 3 1531__entonces para eliminar x de lala la c (o la ecuacion c) sumamos la la a con la c, a+c y esta nuevaecuacion sera la nuevacabc

__2 3 14 4 30 6 2536__ahora 2a +b sera la nuevabab

c

__2 3 10 2 10 6 2576__nalmente 3b

+c

ab

c

__2 3 10 2 10 0 55715__Este sistema es equivalente al primer sistema de ecuaciones. La solucion emerge rapidamente:5z = 15 z = 3 2y z = 7 2y 3 = 7 y = 2 2x + 3 (2) 3 = 5 x = 1Esbuenorecalcarquelossistemasdeecuacioneslinealesnonecesariamentetienensolucionyaveces tienen mas de una solucion.2.5. OperadoresHermticosLa representacion matricial de un operador hermtico,_A_ij= eiA[ej) = ejA[ei) =_Aji_vale decir: el hermtico conjugado de una matriz, es su traspuesta conjugada. Si la matriz es Hermti-ca, i.e.A = A =_A_ij= Aijporlotanto, lasmatriceshermticassonsimetricasrespectoaladiagonal yloselementosdeladiagonal son n umeros reales. Un operador hermtico estara representado por una matriz hermtica.Aqu valelapenaprobaralgunasdelaspropiedadesquearribaexpresamosparaoperadoreshermticos conjugados, vale decir_A_= A; (A) = A; (A+B) = A +B; (AB) = BALuis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 23FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectoresEs claro que_A__eiA[ej)_=__A_ij_=__Aji__= Aijy(A) eiA[ej) = ejA[ei) = ejA[ei) = eiA[ej) = Apero mas interesante es(AB) ei(AB)[ej) =_AikBkj_= AjkBki= AkjBik= BikAkj BA2.6. InversadeunamatrizHemosvistoquedadaunatransformacionlineal biyectiva, podemosdenirunainversaparaesa transformacion lineal. Esa transformacion lineal tendra como representacion un matriz. Por lotanto dado un operador lineal A diremos que otro operador lineal B sera su inverso (por la derecha)siAB = 1 eiAB[ej) = ij AikBkj= ijahorabien,comoconocemsolamatrizAikylassuponemosnosingular(estoes:det_Aik_ ,= 0)ysi tomamos unjjo tendremos un sistema den ecuaciones lineales inhomogeneo conn incognitasB1j, B2j, B3j,Bnj . Al resolver el sistema tendremos la solucion. El procedimiento para encontrar lainversa es equivalente al metodo de eliminacion de Gauss Jordan, veamos como funciona. Supon-gamos una matriz 3 3__A11A12A13A21A22A23A31A32A331 0 00 1 00 0 1__GaussJordan__1 0 00 1 00 0 1B11B12B13B21B22B23B31B32B33__Como un ejemplo__2 3 42 1 11 1 21 0 00 1 00 0 1__ __2 3 40 2 31 1 21 0 01 1 00 0 1__ __2 3 40 2 30 5 81 0 01 1 01 0 2__ 2.7. CambiodeBasesparavectoresDada una representacion (una base) particular un bra, un ket o un operador queda representadopor una matriz. Si cambiamos la representacion, ese mismo bra, ketu operador tendra otra matrizcomo representacion. Mostraremos como estan relacionadas esas matrices.Luis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 24FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectoresDadas dos base discretas ortonormales [ui) y [ti), entonces un vector cualquiera[) = _uk_uk[_[) =_uk ). .ck[uk)[) = ([tm) tm[) [) = tm[ ). . cm[tm)___=___tm[) = uk ) tm[uk). .Smkuk[) = tm[ )_uk[tm)..Skmconlocual, unavezmas, tendremosquelaexpresiondetransformaciondecomponentesdeunvector cm= Smkck ck=Skm cmySmk(oSkm) sera la matriz de transformacion, cambio de base o cambio de representacion. Ahorabien, por denicion de producto internotm[uk) =_uk[tm)= Smk= Skm Smkporlotanto, lamatrizdetransformacionentrebaseseshermticaoautoadjuntaylarelacionanterior queda escrita como cm= Smkck= tm[ ) = Smk_uk )ck= Skm cm=_uk[) = Skm tm[ )Igualmentelaregladetransformaciondelasrepresentacionesmatricialesdeoperadoresquedanexpresadas comotiA[tj) = ti_[uk)_uk_A([um) um[) [tj) = ti[uk). .Sik_uk A[um) um[tj). .Smjpor lo tanto,Aij = SikAkmSmjdondeAijes la representacion del operador A respecto a la base [tj) yAkmsu representacion enla base [um)3. TrazadeOperadoresLa traza, Tr (A) , de un operador A es la suma de los elementos diagonales de su representacionmatricial. Esto es dado un operador A y una base ortogonal [ui) paraVnTr (A) =_uk A[uk) = AiiLuis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 25FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectoresAsAij =__1 2 34 5 67 8 9__= Tr (A) = Aii = 153.1. InvarianciadelaTrazaLa traza de una matriz no depende de la base que seleccionemos. Es un invariante que caracterizaal operador independientementedelabaseenlacual serepresente. Entonces Dadas dos basediscretas ortonormales [ui) y [ti),Akk =_uk A[uk) =_uk[tm) tm[ A[uk) = tm[ A[uk)_uk. .1[tm) = tm[ A[tm) = AmmDonde una vez mas hemos utilizado las dos relaciones de cierre [tm) tm[ = 1 yuk_uk[ = 1. Es cla-ro que el n umero que representa esta suma sera el mismo independientemente de su representacionmatricial.3.2. PropiedadesdelaTrazaClaramente la traza es linealTr (A+B) = Tr (A) +Tr (B)ya queTr (A+B) =_uk A+B[uk) =_uk A[uk) +_uk B[uk) = Tr (A) +Tr (B)La traza de un producto conmuta esto esTr (AB) = Tr (BA)y es facilmente demostrableTr (AB) =_uk AB[uk) =_uk A[um) um[. .1B[uk) =_uk B[um) um[. .1A[uk) = Tr (BA)Recuerde que ukB[um) y ukA[uk) son n umeros que pueden ser reordenados.Del mismo modo es facil demostrar que la traza de un triple producto de matrices respeta laciclicidad del orden de la matrices en el productoTr (ABC) = Tr (BCA) = Tr (CAB)Luis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 26FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectores3.3. Diferenciaci ondeOperadoresDado un operador A(t) el cual supondremos dependiente de una variable arbitraria t podremosdenir la derivada comodA(t)dt=lmt0A(t + t) A(t)tpor lo tanto si ukA[ui) = Akientonces_uk dA(t)dt[ui) =_dA(t)dt_ki=ddt_uk A(t) [ui) =dAkidt=______dA11dtdA12dt

dA1ndtdA21dtdA22dtdA2ndt......dAn1dtdAn2dtdAnndt______conlocual lareglaessimple, larepresentacionmatricial deladerivadadeunoperadorseraladerivada de cada uno de sus elementos. Con elloddx__x x221 ex5x3x33 cos x__ =__1 2x 00 ex59x20 sen x__3.4. ReglasdeDiferenciaciondeOperadoresLinealesLas reglas usuales de la diferenciacion se cumpliran con la diferenciacion de operadores. Esto sedemuestra con la representacion matriciald (A(t) +B(t))dt=d (A(t))dt+ d (B(t))dt_uk d (A(t) +B(t))dt[ui) =ddt_uk (A(t) +B(t)) [ui)=ddt__uk A(t) [ui) +_uk B(t) [ui)_=ddt_uk A(t) [ui) +ddt_uk B(t) [ui)=_uk dA(t)dt[ui) +_uk dB(t)dt[ui) =d (A(t))dt+ d (B(t))dtDel mismo modo se cumplira qued (A(t) B(t))dt=dA(t)dtB(t) +A(t) dB(t)dtLuis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 27FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectorescon la precaucion que no se puede modicar el orden de aparicion de los operadores. Es facil verque_uk d (A(t) B(t))dt[ui) =ddt_uk A(t) B(t) [ui) =ddt_uk A(t) 1B(t) [ui)=__uk A(t) [um) um[ B(t) [ui)_=dukA(t) [um)dtum[ B(t) [ui) +_uk A(t) [um) d um[ B(t) [ui)dt=_uk dA(t)dt[um) um[ B(t) [ui) +_uk A(t) [um) um[ dB(t)dt[ui)Otraspropiedadesdeladerivaciondeoperadoressedemuestranapartirdelaexpansionenseries de los operadores. Por ejemplo si queremos conocer la expresion paradeAtdt, con A ,= A(t)sirecordamos queeAt[v) =_

n=0(At)nn!_[v) =_1 +At + (At)22!+ + (At)nn!

_[v)tendremos quedeAtdt[v) =ddt_

n=0(At)nn!_[v) =_

n=0ddt_(At)nn!__[v)=_

n=0ntn1Ann!_[v) =_

n=0tn1An1(n 1)!_. .eAtA[v)Notese que la suma es hasta innito, por lo tanto al cambiar de ndicep = n 1,p sigue variandohasta innito y la serie es la misma que la anterior. EntoncesdeAtdt[v) = eAtA[v) AeAt[v)tambien fjese que si un solo operador esta siendo derivado el orden de presentacion de los operadoreses indiferente. Ahora bien, cuando se presenta la siguiente situaciond_eAteBt_dt[v) =deAtdteBt[v) +eAtdeBtdt[v) = AeAteBt[v) +eAtBeBt[v)= eAtAeBt[v) +eAteBtB[v)conA ,=A(t)yB ,=B(t)ysiempre _eBt, B=0. Conlocual, soloparael casoenel cual[A, B] = 0 podremos factorizareAteBtyd_eAteBt_dt[v) = (A+B) eAteBt[v)Luis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 28FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectoresSi [A, B] ,= 0 el orden de aparicion de los operadores es MUY importante.Para el caso en el cual A = A(t)nonecesariamente_A(t) , edA(t)dt_ = 0. Veamos:deA(t)dt[v) =ddt_

n=0(A(t))nn!_[v) =_

n=0_ 1n!d (A(t))ndt__[v)=_

n=0_ 1n!_d (A(t))dtA(t)n1+A(t) d (A(t))dtA(t)n2 A(t)n1 d (A(t))dt___[v)Adicionalmentesi [A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0 = [A, F(B)] = [A, B] dF(B)dtEsta relacion es facilmente demostrable para el caso en el cual [A, B] = 1 el operador indentidad,en ese caso tenamos que ABnBnA = nBn1ABnBnA = ABB B..nBB B..nA= (1 +BA) BB B..n1BB B..nA= 1Bn1+B(1 +BA)BB B..n2BB B..nA= 2Bn1+B2(1 +BA)BB B..n3BB B..nA...= nBn1Obviamente, para este caso, se cumple que[A, B] = 1 = [A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0para demostrar esta relacion desarrollemos en Serie de Taylor la funcion F(B) . Esto es[A, F(B)] =_A,

n=0fnBnn!_ =

n=0fn[A, Bn]n!= [A, B]

n=0fnnBn1n!= [A, B]

n=0fnBn1(n 1)!= [A, B] dF(B)dtPara el caso mas general se procede del mismo modosi [A, C] = [B, C] = 0 con C =[A, B] = [A, F(B)]?= [A, B] dF(B)dtLuis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 29FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectoresProbaremos primero quesi [A, C] = [B, C] = 0 con C =[A, B] = [A, Bn] = ABnBnA = n[A, B] Bn1Tendremos queABnBnA = ABB B..nBB B..nA= (C+BA) BB B..n1BB B..nA= CBn1+B(C+BA)BB B..n2BB B..nA= 2CBn1+B2(C+BA)BB B..n3BB B..nA...= nCBn1= n[A, B] Bn1con lo cual es inmediato demostrar que[A, F(B)] =_A,

n=0fnBnn!_ =

n=0fn[A, Bn]n!= [A, B]

n=0fnnBn1n!= [A, B]

n=0fnBn1(n 1)!= [A, B] dF(B)dt3.5. LaF ormuladeGlauberAhora estamos en capacidad de demostrar limpiamente la formula de Glauber. Esta eseAeB= eA+Be12[A,B]Para demostrarla, procedemos a considerar un operador F(t) = eAteBt, por lo tantodF(t)dt[v) =deAteBtdt[v) = AeAteBt[v) +eAtBeBt[v) = _A+eAtBeAt_eAteBt[v)= _A+eAtBeAt_F(t) [v)Ahora bien, dado quesi [A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0 = [A, F(B)] = [A, B] dF(B)dtentonces_eAt, B = t [A, B] eAt= eAtB = BeAt+t [A, B] eAtLuis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 30FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectorespor lo cualdF(t)dt[v) = _A+eAtBeAt_F(t) [v) = _A+B+t [A, B] eAt_F(t) [v)por tanteo uno puede darse cuenta queF(t) = en(A+B)t+t22[A,B]ocumpleconlaecuacionanterior, porlotantoabsorbiendotenlosoperadorescorrespondientesllegamos a la formula de GlaubereAeB= eA+Be12[A,B]4. UnZoologicodeMatricesCuadradasA continuacion presentaremos un conjunto de matrices que seran de utilidad mas adelante4.1. LamatriznulaesAij = 0 i, j = Aij =_____0 000 0 0......0 0 0_____4.2. DiagonalaBloquesPodremos tener matrices diagonales a bloques, vale decirDij =____D11D120 0D21D220 00 0 D33D340 0 D43D44____4.3. TriangularsuperioreinferiorDij =____D11D12D13D140D22D23D240 0D33D340 0 0D44____yDij =_____D110 0 0D21D220 0D31D32D330D41D42D43D44_____4.4. MatrizsingularA es singular = det A = 0Luis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 31FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectores4.5. MatrizdecofactoresAij =__a11a12a13a21a22a23a31a32a33__y (Ac)ij =__(Ac)11(Ac)12(Ac)13(Ac)21(Ac)22(Ac)23(Ac)31(Ac)32(Ac)33__donde los (Ac)ijes la matriz de cofactores, y los cofactores son(Ac)11 = (1)1+1a22a23a32a33(Ac)12 = (1)1+2a21a23a31a33(Ac)13 = (1)1+3a21a22a31a32(Ac)21 = (1)2+1a12a13a32a33(Ac)22 = (1)2+2a11a13a31a33(Ac)23 = (1)2+3a11a12a31a32(Ac)31 = (1)3+1a12a13a22a23(Ac)32 = (1)3+2a11a13a21a23(Ac)33 = (1)3+3a11a12a21a224.6. MatrizAdjuntaLlamaremos matriz adjunta, adj [A], a la traspuesta de la matriz de cofactores de una determi-nada matriz. Esto esadj [A] = (Ac)T= adj_Aij =_(Ac)ij_T= (Ac)jiEsto esAij =__1 2 34 5 67 8 9__= adj_Aij =__3 6 36 12 63 6 3__Una matriz sera autoadjunta si adj [A] = A5. UnParentesisDeterminante5.1. Denici onAntes de continuar es imperioso que refresquemos algunas propiedades del determinante de unamatriz. Ya hemos visto que el det A : Mnn '. Es decir, asocia un n umero real con cada matrizdel espacio vectorial Mnn de matricesn nAs, dada una matrizAij =_____A11A12 A1nA21A22A2n......An1An2Ann_____= det A = ijkA1iA2jA3k =A11A12 A1nA21A22A2n......An1An2AnnLuis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 32FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectoresHemos generalizado el ndice de Levi Civita de tal forma queijk = ijk =___0, si cualesquiera dos ndices son iguales1, si los ndicesi, j, kconstituyen una permutacion cclica de 1, 2, 3n1 si los ndicesi, j, kconstituyen una permutacion anticclica de 1, 2, 3nEsta situacion es clara para el caso de matrices 3 3, veamos.Dada una matriz 3 3Aij =__A11A12A13A21A22A23A31A32A33__= det A = ijkA1iA2jA3k =A11A12A13A21A22A23A31A32A33con lo cualdet A = 123A11A22A33 +312A13A21A32 +231A12A23A31 +132A11A23A32 +321A13A22A31 +213A12A21A33= A11A22A33 +A13A21A32 +A12A23A31A11A23A32A13A22A31A12A21A335.2. PropiedadesDeterminantes1. det A = det ATdonde ATes la traspuesta de AEsta propiedad proviene de la denicion del ndice de Levi Civitadet A = ijkA1iA2jA3k = ijkAi1Aj2Ak3 = det ATque se traduce que se intercambian las por columnas el determinante no se alteraA11A12A13A21A22A23A31A32A33=A11A21A31A12A22A32A13A23A332. Si dos las o dos columnas son identicas el determinante se anulaiikA1iA2iA3k = iikAi1Ai2Ak3 = 0por denicion del ndice de Levi CivitaA11A11A13A21A21A23A31A31A33=A11A12A13A11A12A13A31A32A33= 03. Si multiplicamos una la o una columna por un n umero, el determinante queda multiplicadopor el n umeroijkA1i_A2j_A3k = ijkA1iA2jA3k = det AijkAi1Aj2_Ak3_ = ijkAi1Aj2Ak3 = det ALuis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 33FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectoresde aqu claramente se desprende que si una la o una columna es cero ( = 0) el determinantese anula. Mas a un, si dos las o dos columnas son proporcionalesA1i= A2jel determinantese anula, por cuanto se cumple la propiedad anteriorA11A12A13A21A22A23A31A32A33=A11A12A13A21A22A23A31A32A33= A11A12A13A21A22A23A31A32A33Obvio queA110 A13A210 A23A310 A33=A11A12A13A21A22A230 0 0= 0al igual queA11A11A13A21A21A23A31A31A33=A11A12A13A11A12A13A31A32A33= A11A11A13A21A21A23A31A31A33= A11A12A13A11A12A13A31A32A33= 04. Si se intercambian dos las o dos columnas cambia de signo el determinante.det A = ijkA1iA2jA3k =A11A12 A1nA21A22A2n......An1An2Ann= ijkA1jA2iA3k = det Adonde en la matrizA se han intercambiando un par de columnas. Claramente las propiedadesdel ndice de Levi Civita, obliga al cambio de signodet A = det ANotese que una sntesis de las propiedades anteriores nos lleva a reescribir el determinante deuna matriz de la formadet A = det A = ijkAiAjAk det A = det A = ijkAi AjAk

claramente, si 123reobtenemos la denicion anterior. Si se intercambian doslasodoscolumnas,eldeterminantecambiadesignodebidoalintercambiodedos ndicesgriegos. Si dos las o dos columnas son iguales el determinante se anula debido a la propiedadde smbolo de Levi Civita con ndices griegos.5. El determinante de un producto es el producto de los determinantesdet (AB) = det (A) det (B)Antes de proceder a la demostracion de este importante propiedad jugaremos un poco masLuis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 34FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectorescon las propiedades de las matrices. Queremos se nalar que si A es una matrizmn y B esuna matrizn p, entonces tendremos que(AB)= ABesto es que la esima la es igual a la multiplicacion de la esima la, A,por toda lamatriz B. VeamosCij = (AB)ij = AilBljpor lo tanto la esima laCj= AlBlj= Cj= (A1, A2, A3,An, )_____B11B12 B1nB21B22B2n......Bn1Bn2Bnn_____det (A) det (B) = det (A)_ijkBi1Bj2Bk3 _ =_ijkAiAjAk

__abcBa1Bb2Bc3

_que siempre puede ser rearreglado a_ijkAi AjAk

__ijkBi1Bj2Bk3 _ = Ai Bi1AjBj2AkBk3= det (AB)veamos este desarrollo en el caso de 3 3_123A11A22A33 +312A13A21A32 +231A12A23A31 +132A11A23A32 +321A13A22A31 +213A12A21A33_

_123B11B22B33 +312B13B21B32 +231B12B23B31 +132B11B23B32 +321B13B22B31 +213B12B21B33_con lo cual= A11A22A33_B11B22B33 +B13B21B32 +B12B23B31 B11B23B32 B13B22B31 B12B21B33_+A13A21A32_B11B22B33 +B13B21B32 +B12B23B31 +B11B23B32 +B13B22B31 +B12B21B33_+A12A23A31_B11B22B33 +B13B21B32 +B12B23B31 +B11B23B32 +B13B22B31 +B12B21B33_A11A23A32_B11B22B33 +B13B21B32 +B12B23B31 +B11B23B32 +B13B22B31 +B12B21B33_A13A22A31_B11B22B33 +B13B21B32 +B12B23B31 +B11B23B32 +B13B22B31 +B12B21B33_A12A21A33_B11B22B33 +B13B21B32 +B12B23B31 +B11B23B32 +B13B22B31 +B12B21B33_como son n umeros los rearreglo= A11A22A33_B11B22B33 +B21B32B13 +B31B12B23 B11B32B23 B31B22B13 B21B12B33_+A13A21A32_B11B22B33 +B21B32B13 +B31B12B23 B11B32B23 B31B22B13 B21B12B33_+A12A23A31_B11B22B33 +B21B32B13 +B31B12B23 B11B32B23 B31B22B13 B21B12B33_A11A23A32_B11B22B33 +B21B32B13 +B31B12B23 B11B32B23 B31B22B13 B21B12B33_A13A22A31_B11B22B33 +B21B32B13 +B31B12B23 B11B32B23 B31B22B13 B21B12B33_A12A21A33_B11B22B33 +B21B32B13 +B31B12B23 B11B32B23 B31B22B13 B21B12B33_Luis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 35FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectores= A11A22A33_+B21B32B13 +B31B12B23 B11B32B23 B31B22B13 B21B12B33_+A13A21A32_B11B22B33 +B21B32B13 +B31B12B23 B11B32B23 B31B22B13 B21B12B33_+A12A23A31_B11B22B33 + +B31B12B23 B11B32B23 B31B22B13 B21B12B33_A11A23A32_B11B22B33 +B21B32B13 +B31B12B23 B11B32B23 B31B22B13 B21B12B33_A13A22A31_B11B22B33 +B21B32B13 +B31B12B23 B11B32B23 B31B22B13 B21B12B33_A12A21A33_B11B22B33 +B21B32B13 +B31B12B23 B11B32B23 B31B22B13 B21B12B33_A11B11A22A33B22B33 +A12B21A23A31B32B13ijkAiB1AjB2AkB2 6. AutovectoresyAutovalores6.1. DenicionesyTeoremasPreliminaresLlamaremos a [) un autovector del operador A si se cumple queA[) = [)en este caso (que, en general sera un n umero complejo) se denomina el autovalor correspondienteal autovector [) . LaecuacionA[)=[)enconocidaenlaliteraturacomolaecuaciondeautovalores y se cumple para algunos valores particulares de los autovalores. El conjunto de losautovalores se denomina el espectro del operador A.Supongamos que A : V Vy que dimV= n, supongamos ademas que una base ortogonal paraVes [e1) , [e2) , [e3) ,[en) . Por lo tanto la repercusion de esta ecuacion sobre la representacionmatricial es la siguienteeiA[ej)ej[) = ei[) = ei[) = Aijcj= ciclaramente, si [e1) , [e2) , [e3) ,[en) genera una representacion diagonal de A entoncesAij ij= Aijcj ijcj= ci= Aij ijEsto lo podemos resumir en el siguiente teorema que presentaremos sin demostracion.TeoremaDadounoperador lineal A :VnVnsi larepresentacionmatricial de Aes diagonal,eiA[ej) =Aijijentonces existeunabaseortonormal [e1) , [e2) , [e3) ,[en)4yun conjunto de cantidades 1, n, , n tales que se cumpleA[ei) = i[ei) coni = 1, 2,n4Realmenteunconjuntodevectoreslinealmenteindependientes, perocomosiemprepuedoortoganalizarlosme-dianteelmetododeGramSmith,consideraremosqueesunabaseortogonaldeentradaLuis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 36FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectoresigualmente se cumple que si existe una base ortonormal [e1) , [e2) , [e3) ,[en)y un con-junto de cantidades 1, n, , n tales satisfaganA[ei) = i[ei) coni = 1, 2,nEntonces se cumple la representacion matricial de A es diagonal,eiA[ej) = Aij = diag (1, n, , n)6.2. Algunoscomentarios1. Notese que si [) es autovector de A para un determinado autovalor entonces_ = [)(unvectorproporcional a [) ,conunn umerocomplejo)tambienesunautovectorparael mismoautovalor. Estorepresentaunaincomodaambig uedad: dosautovectoresqueco-rrespondenal mismoautovalor. Unintentodeeliminarlaes siempreconsiderar vectores[)normalizados, i.e. [) =1. Sinembargonodejadeserunintentoquenoeliminalaambig uedaddel todoporquesiemprequedaangulodefasearbitrario. Estoesel vectorei[) ,conunn umerorealarbitrario,tienelamismanormadelvector [) .Sinembargoesta arbitrariedad es inofensiva. En Mecanica Cuantica las predicciones obtenidas con [) sonlas mismas que conei[)2. Un autovalor sera nodegeneradoo simplesi esta asociado a un unico autovector [)5delocontrariosidenominaradegeneradosiexistendosomasautovectoresdeA,linealmenteindependientes asociados al mismo autovalor . El grado (o el orden) de la degeneracion es eln umero de vectores linealmente independientes que esten asociados al mencionado autovalor.3. El orden de degeneracion de un autovalor expande un espacio vectorial S () Vn(denomi-nado autoespacio) cuya dimension es el orden de la degeneracion. Esto es si es gdegenerado,entonces existen[1) , [2) , [3) ,[g) = A[i) = [i)adicionalmente un autovector correspondiente al autovalor puede ser expresado como[) = ci[i) coni = 1, 2, , gcon lo cualA[) = ciA[i) = ci[i) = [)6.3. AlgunosEjemplos1. Reexionrespectoal planoxy: Si R :V3V3estal queR[)=_dondeseharealizado una reexion en el planoxy. Esto esR[i) = [i) ; R[j) = [j) ; R[k) = [k)5ConlaarbitrariedaddelcalibreantesmencionadoLuis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 37FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectorescon [i) , [j) , [k)vectoresunitarioscartesianos. Esclaroquecualquiervectorenel planoxysera autovector de R con un autovalor = 1 mientras que cualquier otro vector [) V3yque no este en el mencionado plano cumple con [) =c [k) y tambien sera autovector de Rpero esta vez con un autovalor = 1.2. DosvisionesdeRotacionesdeangulojo:Larotacionesdeunvectorenelplanopueden verse de dos maneras.a) Se considera el plano como un espacio vectorial real V2con una base cartesiana canonica:[i) = (1, 0) , y [j) = (0, 1) , esto es siR[a) = [a) =el angulo de rotacion = n conn enterob) Igualmente si consideramos el plano complejo unidimensional, expresemos cualquier vec-tor en el plano en su forma polar [z) = reipor lo cualR[z) = rei(+)= ei[z)si queremos = eireales necesariamente = n conn entero3. AutovaloresyAutovectoresdeProyectores. Esinteresanteplantearselaecuaciondeautovaloresconladeniciondel proyectorparaundeterminadoautoespacio. EstoesdadoP = [) [ si este proyector cumple con una ecuacion de autovalores para un [) supuesta-mente arbitrarioP[) = [) = P[) = ([) [) [) = [) [)es decir necesariamente [) es colineal con [) . Mas a un si ahora el [) no es tan arbitrariosino que es ortogonal a [) , [) = 0 = = 0. Esto nos lleva a concluir que el espectrodeloperadorP= [) [es0y1,elprimerdeloscualesesinnitamentedegeneradoyelsegundo es simple. Esto nos lleva a reexionar que si existe un autovector de un determinadooperador, entonces su autovalor es distinto de cero, pero pueden existir autovalores nulos quegeneran un autoespacio innitamente degenerado.4. El operadordiferenciacionD[f ) D(f) =f

:Losautovectoresdeloperadordiferen-ciacion necesariamente deben satisfacer la ecuacionD[f ) = [f ) D(f) (x) = f

(x) = f (x)la solucion a esta ecuacion sera una exponencial. Esto es[f ) f (x) = cexconc ,= 0lasf (x) se denominaran autofuncionesdel operadorLuis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 38FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectores6.4. Autovalores,autovectoreseindependencialinealUnodelosteoremasmas utileseimportantestienequeverconlaindependencialineal delos autovectores correspondientes a distintos autovalores de un determinado operador lineal. Esteimportante teorema se puede concretar en.TeoremaSean [1) , [2) , [3) ,[k)autovectoresdeloperadorA :VmVnysuponemosqueexisten k autovalores, 1, 2, , k , distintos correspondientes a cada uno de los autovec-tores [j) . Entonces los [1) , [2) , [3) , , [k) son linealmente independientes.Demostracion La demostracion de este teorema es por induccion y resulta elegante y sencilla.Primeramente demostramos que valej = 1.Obvioqueel resultadosecumpleyestrivial parael casok=1(unautovector [1)quecorresponde a un autovalor1 es obvia y trivialmente linealmente independiente).Seguidamente supondremos que se cumple paraj = k 1.Estoesquesi existen [1) , [2) , [3) ,[k1)autovectoresdeAcorrespondientesa1, 2, , k1entonceslos [1) , [2) , [3) ,[k1)sonlinealmenteindependien-tes.Ahora lo probaremos paraj = k.Porlocual si tenemoskautovectores [1) , [2) , [3) ,[k), podremosconstruirunacombinacion lineal con ellos y si esa combinacion lineal se anula seran linealmente indepen-dientescj[j) = 0 conj = 1, 2, , kal aplicar el operador A a esa combinacion lineal, obtenemoscjA[j) = 0 = cjj[j) = 0multiplicando porky restando miembro a miembro obtenemoscj(j k) [j) = 0 conj = 1, 2, , k 1(notese que el ultimo ndice esk 1) pero, dado que losk 1 vectores [j) son linealmen-teindependiente,entoncestendremosk 1ecuacionescj(j k) = 0unaparacadaj=1, 2, , k1. Dado que j ,= k necesariamente llegamos a que cj= 0 para j = 1, 2, , k1y dado quecj[j) = 0 conj = 1, 2, , k = cj,= 0con lo cual sicj[j) = 0 = cj= 0 conj = 1, 2, , ky los [1) , [2) , [3) ,[k) son linealmente independientes. Con lo cual queda demos-trado el teoremaLuis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 39FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectoresEs importante acotar que el inverso de este teorema NO se cumple.Esto es, si A :Vm Vntiene [1) , [2) , [3) , , [n) autovectores linealmente independien-tes. NO se puede concluir que existann autovalores, 1, 2, , n , distintos correspondientes acada uno de los autovectores [j) .Elteoremaanteriorlocomplementaelsiguientequelopresentaremossindemostracion.Esteteorema sera de gran utilidad en lo que sigue.TeoremaSi la dim(Vn) = n cualquier operador lineal A :Vn Vntendra un maximo de n autovaloresdistintos. Adicionalmente, si A tiene precisamenten autovalores, 1, 2, , n , entonceslos correspondientesn autovectores, [1) , [2) , [3) , , [n) , forman una base paraVny la representacion matricial, en esa base, del operador sera diagonaliA[j) = Aij = diag (1, 2, , n)7. AutovaloresyAutovectoresdeunoperadorUnavez mas supongamos que A: V V yque dimV =n, supongamos ademas que[e1) , [e2) , [e3) ,[en)esunabaseortogonalparaV.Porlotantolarepresentacionmatricialde la ecuacion de autovalores es la siguienteeiA[ej)ej[) = ei[) = Aijcj= ci=_Aij ij_cj= 0paraconj =1, 2, , nEl conjuntodeecuaciones_Aij ij_cj=0puedeserconsideradounsistema (lineal y homogeneo) de ecuaciones conn incognitascj.7.1. Elpolinomiocaracterstico.Dadoqueunsistemalineal yhomogeneodeecuacionesconnincognitastienesolucionsi eldeterminante de los coecientes se anula tendremos que_Aij ij_cj= 0 = det [A1] = 0 P () = det_Aij ij = 0Esta ecuacion se denomina ecuacion caracterstica (o secular) y a partir de ella emergen todos losautovalores (el espectro) del operador A. Claramente esta ecuacion implica queA11 A12 A1nA21A22 A2n......An1An2Ann= 0 det_Aij ij = 0y tendra como resultado un polinomio de gradon (el polinomio caracterstico). Las races de estepolinomio seran los autovalores que estamos buscando. Es claro que estas races podran ser realesy distintas, algunas reales e iguales y otras imaginarias.Esimportantese nalarqueelpolinomiocaractersticoseraindependientedelabasealacualeste referida la representacion matricial wiA[wj) del operador A.Luis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 40FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectores7.2. Primerolosautovalores,luegolosautovectoresElprocedimientoeselsiguiente.Unavezobtenidos(losautovalores)lasracesdelpolinomiocaracterstico, seprocedeadeterminarel autovector, [j) , correspondienteaeseautovalor. Dis-tinguiremosenestadeterminacioncasosparticularesdependiendodeltipoderazdelpolinomiocaracterstico. Ilustraremos estos casos con ejemplos especcos para el caso especco de matrices3 3 a saber:1. Una matriz 3 3 con 3 autovalores reales distintoseiA[ej) =__2 1 31 2 33 3 20__= det_Aij ij =2 1 31 2 33 3 20 = 0con lo cual el polinomio caracterstico queda expresado como3242+ 65 42 = ( 1) ( 2) ( 21) = 0yesclaroquetiene3racesdistintas.Paraprocederacalcularlosautovectorescorrespon-dientesacadaautovalorresolvemoslaecuaciondeautovaloresparacadaautovalor. Estoesa) 1 = 1__2 1 31 2 33 3 20____x1x2x3__ =__x1x2x3__ 2x1+x2+ 3x3= x1x1+ 2x2+ 3x3= x23x1+ 3x2+ 20x3= x3queconstituyeunsistemadeecuacionesalgebraicasde3ecuacionescon3incognitas.Resolviendo el sistema tendremos que1 = 1 __x1x2x3__1=1= __110__con un escalar distinto de cerob) 2 = 2__2 1 31 2 33 3 20____x1x2x3__ = 2__x1x2x3__ 2x1+x2+ 3x3= 2x1x1+ 2x2+ 3x3= 2x23x1+ 3x2+ 20x3= 2x3Resolviendo el sistema tendremos que2 = 2 __x1x2x3__2=2= __331__Luis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 41FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectoresc) 3 = 21__2 1 31 2 33 3 20____x1x2x3__ = 21__x1x2x3__ 2x1+x2+ 3x3= 21x1x1+ 2x2+ 3x3= 21x23x1+ 3x2+ 20x3= 21x3Resolviendo el sistema tendremos que3 = 21 __x1x2x3__3=21= __116__2. Unamatriz33con2autovalores reales distintos, es decir unamatrizconautovaloresrepetidoseiA[ej) =__4 3 14 1 01 7 4__= det_Aij ij =4 3 14 1 01 7 4 = 0con lo cual el polinomio caracterstico queda expresado como3+25 3 = ( + 3) ( 1)2= 0yesclaroquetiene2racesigualesyunadistinta. Enestecaso=1esunautovalordegeneradodeorden2. Paraprocederacalcularlosautovectorescorrespondientesacadaautovalor resolvemos la ecuacion de autovalores para cada autovalor. Esto es:a) 1 = 3__4 3 14 1 01 7 4____x1x2x3__ = 3__x1x2x3__ 4x13x2+x3= 3x14x1x2= 3x2x1+ 7x24x3= 3x3Resolviendo el sistema tendremos que1 = 3 __x1x2x3__1=3= __1213__b) 2 = 1 (autovalor degenerado de orden 2)__4 3 14 1 01 7 4____x1x2x3__ =__x1x2x3__ 4x13x2+x3= x14x1x2= x2x1+ 7x24x3= x3Resolviendo el sistema tendremos que2 = 1 __x1x2x3__2=1= __123__Luis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 42FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectores3. Otramatriz33con2autovaloresrealesdistintos, esdecirotramatrizconautovaloresrepetidoseiA[ej) =__2 1 12 3 23 3 4__= det_Aij ij =2 1 12 3 23 3 4 = 0con lo cual el polinomio caracterstico ahora queda expresado como3+25 3 = ( 7) ( 1)2= 0yesclaroquetiene2racesigualesyunadistinta. Enestecaso=1vuelveaserunautovalor degenerado de orden 2. Para proceder a calcular los autovectores correspondientesa cada autovalor resolvemos la ecuacion de autovalores para cada autovalor. Esto es:a) 1 = 7__2 1 12 3 23 3 4____x1x2x3__ = 7__x1x2x3__ 2x1+x2+x3= 7x12x1+ 3x2+ 3x3= 7x23x1+ 3x2+ 4x3= 7x3Resolviendo el sistema tendremos que1 = 7 __x1x2x3__1=7= __123__b) 2 = 1, el autovalor degenerado de orden 2 presenta una peque na patologa. Veamos__2 1 12 3 23 3 4____x1x2x3__ =__x1x2x3__ 2x1+x2+x3= x12x1+ 3x2+ 3x3= x23x1+ 3x2+ 4x3= x3Resolviendo el sistema tendremos que2 = 1 _____x1x2x3__2=1= __101____x1x2x3__2=1= __011__con lo cual el autovector [2) correspondiente al autovalor 2 = 1 se podra escribir como[2) = [21) + [22) __x1x2x3__2=1= __101__+__011__Luis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 43FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectores4. Una matriz 3 3 con 1 autovalor real y dos autovalores complejoseiA[ej) =__1 2 33 1 22 3 1__= det_Aij ij =1 2 33 1 22 3 1 = 0con lo cual el polinomio caracterstico queda expresado como33215 18 = ( 6)_2+ 3 + 3_ = 0yesclaroquetiene2racesigualesyunadistinta. Enestecaso=6esunautovalorreal. Adicionalmente existen dos autovalores complejos, uno el complejo conjugado del otro:= 12_3 +i3_y= 12_3 i3_.Paraprocederacalcularlosautovectorescorres-pondientes a cada autovalor resolvemos la ecuacion de autovalores para cada autovalor real.En este caso existe un unico autovalor real = 6.__1 2 33 1 22 3 1____x1x2x3__ = 6__x1x2x3__ 4x13x2+x3= 6x14x1x2= 6x2x1+ 7x24x3= 6x3Resolviendo el sistema tendremos que = 6 __x1x2x3__=6= __111__8. AutovaloresyAutovectoresdeMatricesImportantesEn esta seccion presentaremos autovalores y autovectores de matrices importantes en Fsica8.1. AutovaloresyAutovectoresdeMatricesSimilaresSupongamos la representacion matricial de un determinado operador lineal A :VV y quedimV= n, supongamos ademas que [e1) , [e2) , [e3) ,[en) y [w1) , [w2) , [w3) ,[wn) sondos bases ortogonales paraV. EntoncesA[ej) = Alj[el) conAij = eiA[ej)yA[wj) =Alj[wl) conAij = wiA[wj)ahorabien, cadaunodelos vectores base [ej) y [wj) puedeser expresadoenlas otras bases[w1) , [w2) , [w3) ,[wn) y [e1) , [e2) , [e3) ,[en) , respectivamente como[wj) = clj[el)[el) = cml[wm)___= [wj) = clj cml[wm) = clj cml= cmlclj = mj= cml= (cml)1Luis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 44FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectoresLas cantidadescljson escalares que pueden ser arreglados como una matriz. Esa matriz, adicio-nalmente es no singular6por ser una la representacion de una transformacion lineal que aplica unabase en otra. Entonces ademas[wj) = clj[el) = A[wj) = cljA[el) =Alj[wl) = cmjAkm[ek) = cmjAkm chk. .hj[wh)con lo cualAlj = cmjAkm clk=Alj = clkAkmcmj=Alj =_clk_1Akmcmjque puede ser expresada en el lenguaje de operadores, nalmente comoA = C1AC wiA[wj) = _cik_1_ek A[em) cmjDe esta manera hemos demostrado el siguiente teorema.TeoremaDadas dos matrices,n n,AljyAijlas cuales corresponden a la representacion matricial deun operador A en las bases ortogonales [e1) , [e2) , [e3) ,[en) y[w1) , [w2) , [w3) ,[wn) , respectivamente. Entoncesexisteunamatrizclj, nosingular,tal queA = C1AC wiA[wj) = _cik_1_ek A[em) cmjEl inverso de este teorema tambien se cumple. Vale decirTeoremaSi dos matricesn n,AljyAij, estan relacionadas por la ecuacionA = C1AC wi A[wj) = _cik_1_wk A[wm) cmjdonde C es una matriz no singular, entoncesA y A representan el mismo operador lineal.Demostracion Para proceder a demostrarlo supondremos A : V Vy que dimV= n, supongamos ademasque [e1) , [e2) , [e3) ,[en) y [w1) , [w2) , [w3) ,[wn) son bases deVde tal forma[wj) = clj[el)[el) = cml[wm)___= [wj) = clj cml[wm) = clj cml= cmlclj = mj= cml= (cml)1dondeclj =_el[wj) y cml= (cml)1= wm[el)Supongamos queA[ej) = Alj[el) conAij = eiA[ej)yA[wj) =Alj[wl) conAij = wi A[wj)6det`cij = 0Luis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 45FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectoresal actuar A sobre [wj) tendremosA[wj) = cljA[el) = cljAkl [ek) = cljAkl cmk [wm) = cmkAklclj[wm) = (cmk )1Aklclj. .wi|A|wj

[wm)que es exactamente la representacion matricial deA. Con lo cual A A y queda demostradoel teorema.DenicionDos matrices, AklyAij, nn, se denominara similares si existe una matriz no singular ciktal queA = C1AC wi A[wj) = _cik_1_wk A[wm) cmjPodemos juntar los dos teoremas anteriores y armar queTeoremaDos matrices,AklyAij, n n, similares representan la misma transformacion lineal.TeoremaDos matrices,AklyAij, n n, similares tienen el mismo determinante.Demostracion La demostracion es inmediata y proviene de las propiedades del determinante de un producto:det_A_ = det_C1AC_ = det_C1_det (A) det (C) = det (A)Con lo cual es inmediato el siguiente TeoremaTeoremaDos matrices, AklyAij, nn, similares tienen el mismo polinomio caracterstico y con elloel mismo conjunto de autovaloresDemostracion Es inmediato vericar queA1 = C1AC1 = C1(A1) Cy dado quedet_A1_ = det_C1(A1) C_ = det_C1_det (A1) det (C) = det (A1)ambas matrices,A y A, tendran el mismo polinomio caracterstico y con ello el mismo con-junto de autovalores.Todos los teoremas de esta seccion pueden ser resumidos en el siguiente teoremaTeoremaSea un operador lineal A :VV y que dimV=n, supongamos ademas que el polinomiocaracterstico tienen races distintas, 1, 2, . . . , n . Entonces tendremos queLos autovectores [u1) , [u2) , , [un) correspondientes a los a 1, 2, . . . , n , forman unabase paraV.Luis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 46FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectoresLa representacion matricial del operador ukA[um) en la base de autovectores[u1) , [u2) , , [un), sera diagonalAkm = km =_uk A[um) = diag (1, 2, . . . , n)Cualquier otrarepresentacionmatricial, ekA[em) , del operador Aenotrabasede V,estara relacionada con la representacion diagonal mediante una transformacion de similaridad = C1AC diag (1, 2, . . . , n) = _cik_1_ek A[em) cmjdondecmjeslamatriz, nosingularyporlotantoinvertible, decantidadesquerelacionanambas bases[uj) = clj[el)[el) = cml[um)___ cml= (cml)1= cmlclj = mjDemostracion La demostracion, en terminos de los teoremas anteriores es inmediata y se la dejamos comoejercicio al lector.8.2. AutovaloresyAutovectoresdeMatricesHermticasTal y como mencionamos con anterioridad un operador Hermtico cumple conA = A =_A_ij= eiA[ej) = ejA[ei) =_Aji_Esto es: el hermtico conjugado de una matriz, es su traspuesta conjugada. Por lo tanto las matricesHermticas son simetricas respecto a la diagonal y los elementos de la diagonal son n umeros reales.Por su parte, llamaremos antihermtico a un operador que cumpla conA = A =_A_ij= eiA[ej) = ejA[ei) = _Aji_TeoremaSuponga un operador Hermtico A = A tiene por autovalores 1, 2, . . . , n . Entonces:Los autovalores 1, 2, . . . , n son reales.Los autovectores [u1) , [u2) , , [un) , correspondientes a cada uno de los autovalores, seranortogonales.Demostracion:Luis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 47FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectoresParademostrarquelosautovalores 1, 2, . . . , nsonreales, proyectamoslaecuaciondeautovalores en cada uno de los autovectores:A[) = [) = [ A[) = [)Ahora bien, dado que [) es real, si demostramos que [ A[) estara demostrado quelo sera tambien. Pero como A es Hermtico[ A[) = [ A[) = [ A[) =[ A[) 'y por consiguiente los autovalores 1, 2, . . . , n son reales. Mas a un, si A es Hermtico, ycomo sus autovalores son reales entonces[ A = [ = [ = [ A[) = [)Para demostrar que los autovectores [u1) , [u2) , , [un) son ortogonales, consideremos dosautovectores con sus correspondientes autovalores de tal forma que se cumplen las siguientesecuacionesA[) = [) y A[) = [)pero como A es Hermtico entonces se cumple que [ A = [ entonces multiplicando a laizquierda por [) y a [ A = [ por [ la derecha.([ A = [) [)[ (A[) = [))___=___[ A[) = [)[ A[) = [)___=( ) [) = 0y como hemos supuesto que ,= con lo cual [) = 0 los autovectores correspondientes ados autovalores son ortogonales.Existen situaciones en las cuales un determinado autovalor = 0 es degenerado. Consideremosuna matriz nn, Aij, por lo cual el polinomio caracterstico P () = det_Aij ij_ = 0 tendra unaraz degenerada de orden k n. Entonces el siguiente teorema garantiza la existencia de, al menosun subespacioS (0) VnTeoremaSeaunoperadorlineal A: VnVnconunarepresentacionmatricial nntal quesupolinomio T () = det_Aij ij_ = 0 tiene al menos una raz degenerada =0, de ordenk n. Entonces existenk autovectores, no triviales, que cumplen conA[j) = 0[j) conj = 1, 2, , kDemostracion La demostracion tambien emerge de una variante del Metodo de Induccion Completa.Paraello,probamosquesecumpleparaj=1.Estaarmacionesobvia.Siexisteun=0existeun0existeun [j), tal quecumpleconlaecuacionanteriorel eslinealmenteindependiente con el mismo.Luis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 48FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectoresSuponemos que se cumple para 1 j=m k. Es decir existenm autovectores [j) deApara el autovalor0. Denamos un subespacioS0 = S (0) Vndonde[j) S0 A[j) = 0[j) = A[j) S0conj = 1, 2, , m,kporlotantopodremossepararVncomounasumadirectaentreelsubespacioS0y, ^sucomplemento ortogonalVn= S0 ^ A[j) = 0[j) [) ^ = [j) = 0claramenteS0es un subespacio invariante de A por cuanto su accion se circunscribe dentrodel mismosubespacioS0. Mostraremosque, paraestecasoporcuantonoesverdad, engeneral para operadores no Hermticos. Entonces [j) = 0A[j) = 0[j)___= j [) = 0 = j[ A[) = j[ A[)de donde se concluye que el vector es ortogonal aS0y por lo tanto esta en el complementoortogonal, A[) ^como, por hipotesis [) ^. Esto implica que ^tambien es un espacioinvariantedel operadorHermticoA. Entoncesel espacioVnpuedeexpresarsecomounasuma directa de los dos subespacios invariantes respecto al operador lineal A Vn= S0^ysu representacion matricial en la base de autovectores tendra la forma de una matriz diagonala bloques:con lo cualujA[ui) = Aji __________Q11 Q1m00...............Qm1Qmm0000 1 0 0..................00 01____________________10 00............... 001 0000 Rm+1m+1 Rm+1n..................00 Rnm+1 Rnn__________donde Q y R son matrices mm y (n m)(n m) , respectivamente. La matriz Q operaen S0mientras que Ract ua sobre el complemento ortogonal ^. El polinomio caractersticode A puede expresarse comoT () = det_Aij ij = 0 = T () = det_Qij ijdet_Rij ij = 0y como = 0es la raz m ultiple del polinomio caracterstico y que anula el det_Qij ij_tendremos quedet_Qij 0ij = 0 = T () = ( 0)mT () con T (0) ,= 0donde0noesrazdel polinomio T () . Ahorabien, paraquesecumplaparaj =kelpolinomio caracterstico esj = k = T () = ( 0)k() = ( 0)mT () = ( 0)k()Luis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 49FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectoresotravez0noesrazdelpolinomio () .Laecuacionanteriorsecumpleparatodoenparticular para = 0. Por lo tanto1 = ( 0)km ()T ()Es claro que = 0 obliga ak = m8.3. AutovaloresyAutovectoresdeMatricesUnitariasTalycomomencionamosanteriormente,unoperadorseraunitariosisuinversaesigualasuadjunto. Esto esU1= U= UU = UU = 1dado que los operadores unitarios conservan la norma de los vectores sobre los cuales ellos act uan,i.e.[ x) = U[x)[ y) = U[y)___= y [ x) = y[ UU[x) = y [x)sonnaturalespararepresentarcambiosdebasedentrodeunespaciovectorial.Deloanteriorsededuce que si [e1) , [e2) , [e3) ,[en)es una base ortonormal, el conjunto de vectores transfor-mados, [wj) = U[ej) , tambien son ortonormales:[wj) = U[ej) =wi[wj) = wiU[ej) = eiUU[ej) = ijBasesyoperadoresunitariosLos operadores unitarios aplican vectores base de un espacio vectorial en otra. El siguiente Teo-rema lo ilustraTeoremaLa condicion necesaria y suciente para que un operador U : Vn Vnsea unitario es que apli-que vectores de una base ortonormal [e1) , [e2) , [e3) ,[en) en otra de [w1) , [w2) , [w3) ,[wn)tambien ortonormal.Demostracion Demostremosprimerolacondicionnecesaria: Si esunitarioaplicaunabaseenotra. Estoes, supongamosquelosvectores [ej)formanunabaseortonormal paraVn. Sean [) , yU[) Vn. Estos vectores pueden ser expresados en terminos de la base [ej) deVn. Porlo tanto, si seleccionamos U[) se cumple queU[) = cj[ej) = UU[) = cjU[ej) = cj[wj) = [) = cj[wj)donde hemos aplicado el operador U a la ecuacion U[) = cj[ej) y el resultado es que el otrovector, [), tambien se pudo expresar como combinacion lineal de los vectores transformados[wj) de la base [ej) . Y por lo tanto los [wj) tambien constituyen una base. Es decir,los operadores unitarios aplican una base ortonormal en otraLuis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 50FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectoresLa condicion de suciencia (Si aplica una base en otra es unitario) se puede demostrar comosigue. Si [ej) y [wj) son bases ortonormales deVny una es la transformada de la otraimplica que[wj) = U[ej) ; y wj[ = ej[ Uconei[ej) = ij; [ej)ej = 1wi[wj) = ij; [wj)wj = 1Por lo tanto,UU[ej) = U[wj) = [ek)_ek U[wj) = [ek)_wk[wj) = [ek) kj= [ej)EstosignicaqueUU = 1. Deunmodoequivalente, sepuededemostrarqueUU = 1.Veamos:U[ej) = [ek)_ek U[ej) = [ek)_wk[ej)y ahora, aplicando el operador U a esta ecuacion, tenemosUU[ej) = U[ek)_wk[ej) = [wk)_wk[ej) = [ej)Esto signica que esta demostrado que U es unitario: UU = UU = 1.MatricesunitariasLa representacion de una matriz unitaria en una base [ej) implicaUkj=_ek U[ej) ; em[ U[ej) =_ej U[em) = _Ujm_kj=_ek[ej) =_ek 1[ej) =_ek UU[ej) =_ek U[em) em[ U[ej) =

mUkm_Ujm_kj=_ek[ej) =_ek 1[ej) =_ek UU[ej) =_ek U[em) em[ U[ej) =

m(Umk)UmjUna vez mas, dado un operador lineal A, la representacion matricial del Hermtico conjugado deese operador Aes la traspuesta conjugada de la matriz que representa al operador A. En el casode operadores unitarios.Con lo cual es facilmente vericable que una matriz sea unitaria. Basta comprobar que la sumade los productos de los elementos de una columna (la) de la matriz con los complejos conjugadosde otra columna (la). Esa suma de productos sera1. cero si las columnas (las) son distintas2. uno si las columnas (las) son igualesLuis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 51FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectoresEjemplos de matrices unitarias son las llamadas matrices de rotacion. Alrededor del ejezten-dremos queR() =__cos sen 0sen cos 00 0 1__y tambien la matriz de rotacion de una partcula de espn12en el espacio de estadosR(1/2)(, , ) =_ei2(+)cos ei2()sen ei2()sen ei2(+)cos _claramente se cumple la regla expuesta arriba.AutovaloresyAutovectoresdeMatricesUnitariasSi [u) es un autovector, normalizado del operador U correspondiente a un autovalor u tendremosque norma al cuadrado sera igual aU[u) = u[u) = u[ UU[u) = 1 = uuu[u) = uu = u = eiuconuuna funcion real. Por lo cual podemos concluir que, necesariamente, los autovalores de losoperadores unitarios seran n umeros complejos de modulo 1. Cuando los autovalores son diferentes,digamosu

,= u, entonces_u

[u) = 0. Con lo cual los autovectores de un operador unitarios sonortogonales.TransformacionunitariadeOperadores Hemosvistocomolastransformacionesunitariaspermitenconstruirbasesortogonales [em)parael espaciovectorial Vnpartiendodeotraba-se [em)tambienortogonal. Enestasubseccionmostraremoscomotransformanlosoperadoreslineales bajo transformaciones unitarias.DenicionDadas dos bases ortonormales [ej) y [wk) enVncon [wj) = U[ej), un operador linealunitario U : Vn Vn.y un operador lineal A : Vn Vn. Deniremos al operador transfor-madoA : Vn Vncomo aquel cuya representacion matricial en la base [wk) es la mismaque en la base [ej): wj A[wi) = ejA[ei)A partir de esta denicion es facil concluir quewj A[wi) = ejUAU[ei) = ejA[ei) = UAU = A A = UAUPor lo tanto la ecuacionA = UAU corresponde a la denicion de la transformacion de un opera-dor A mediante un operador unitario U. Es facil identicar las propiedades de estos operadorestransformados. VeamosLuis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 52FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectoresHermticoconjugadoyFuncionesdeunOperadortransformado:_A_=_UAU_= UAU =

(A)en particular se sigue de esta propiedad que si A = A, es Hermtico tambien lo seraAA = AA =_A_Del mismo modo_A_2=_UAU__UAU_ = UA2U=

(A2)con lo cual_A_n=_UAU_n2

_UAU_ = UAnU=

(An) =T (A) = T_A_donde T (A) es una funcion del operador A.Autovalores y autovectores de un operador transformado Sera un autovector [) deAcorrespondienteaunautovalor , ysea_el transformadode [)medianteel operadorunitario U. EntoncesA[) = [) =A_ =_UAU_U[) = UA[) = U[) = _conlocualesclaroque_esunautovectordeAconelmismoautovalor :_ =_.EquivalentementepodemosarmarquelosautovectorestransformadosdeA,seranautovectoresdel operador transformado,A.9. ConjuntoCompletodeObservablesqueconmutanDenicionDiremosqueunoperadorA: VnVnesunobservable si el conjuntodeautovectores_ui|__ de un operador Hermtico A, forman una base deVn.Aui ()_ = aiui ()_=ui ()__ui () = 1 _ui () uj ()_ = ijdonde el ndice indica el grado de degeneracion del autovalorai.Un ejemplo trivial de un observable lo constituyen los proyectores, P| = [) [ con [ ) = 1.Claramente, la ecuacion de autovalores para un proyector obliga a que tenga dos autovalores 0 y1. El autovalor nulo es innitamente degenerado y esta asociado a todos los vectores ortogonalesa [),mientrasqueelautovalor1correspondeaunautovalorsimpleyestaasociadoatodoslosvectores colineales al mismo vector [). Esto esP|[) = [) y P|[) = 0 si [ ) = 0Luis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 53FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectoresMas a un, sea un vector arbitrario [) Vn. Siempre se podra expresar como[) = P|[) +_1 P|_[) = P|_[) = P|[) +_1 P|_[)_=P|[) = P|_P|[)_+_P|P2|_[) = P|[) = P|_P|[)_ = P|[)ya que P2| = P|, por denicion de proyector. Entonces, se deduce que P|[) es un autovectorde P|con autovalor 1. Igualmente _1 P|_[) es un autovector de P|con autovalor 0, y lademostracion es inmediataP|_1 P|_[) =_P|P2|_[) = 0Para el caso de autoespacios correspondientes a autovalores degenerados se puede denir un obser-vable A de la formaA =

iaiPicon Pi =_ ()__ ()_iy = 1, 2, , kObservablesqueConmutanTeoremaSi dosoperadoreslinealesAyB, operadoresHermticos, conmutan, [A, B] =0,y [)esautovector de A con autovalora, entonces B[) tambien sera autovector de A con el mismoautovalora.Demostracion La demostracion es sencillaA[) = a [) = B(A[) = a [)) = BA[) = A(B[)) = a (B[))Ahora bien, de esta situacion se pueden distinguir un par de casos:si el autovalor aesnodegeneradolosautovectoresasociadosconesteautovalorson, pordenicion,colinealescon [) .PorlotantoB[) ,seranecesariamentecolinealcon [) .Laconclusion a esta armacion es que NECESARIAMENTE [) es autovector de Bsielautovalorasedegenerado,B[) Sa,esdecirB[)estaenelautoespacioSaconlocualSa es globalmente invariante bajo la accion de B.TeoremaSi dos observables A y B conmutan, [A, B] = 0, y si [1) y [2) son autovectores de A paraautovalores distintos, entonces el elemento de matriz 1B[2) = 0DemostracionSi A[1) = a1[1) y A[2) = a2[2) entonces0 = 1[A, B] [2) = 1ABBA[2) = _1A_B[2) 1B(A[2))= a11B[2) a21B[2) = (a1a2)1B[2) =1B[2) = 0Luis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 54FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectoresTeoremaSi dosobservablesAyB, operadoresHermticos, conmutan, [A, B] =0, losautovectores[i) comunes a A y B constituyen una base ortonormal paraVn.Demostracion Denotemos los autovectores de A como i ()_, de tal modoAi ()_ = aii ()_dondei = 1, 2, .., n kn + 1 y = 1, 2, .., knknindicael ordendeladegeneraciondeundeterminadoautovaloran. DadoqueAesunobservable los i ()_ forman base los Claramente,_i () j ()_ = ijy dado que los elementos de matriz i ()Bj ()_ = ijesto quiere decir que los elementosi ()Bj ()_ = Bi ()j ()seran nulos parai ,= jpero no podemos decir nada a priori parael caso ,= yi = j. Entonces, al ordenar la base, en general1(1)_,1(2)_, 1(k1)_,2(1)_,2(2)_, ,2(k2)_, ,3(1)_, nkn(1)_para el caso que consideraremos sera1(1)_,1(2)_,1(3)_,2(1)_,2(2)_,3(1)_,4(1)_,4(2)_,5(1)_ylarepresentacionmatricial deBenesabase, i ()Bj ()_, tendralaformadeunamatriz diagonal a bloques____________________B1(1)1(1)B1(1)1(2)B1(1)1(3)0 0 0 0 0 0B1(2)1(1)B1(2)1(2)B1(2)1(3)0 0 0 0 0 0B1(3)1(1)B1(3)1(2)B1(3)1(3)0 0 0 0 0 00 0 0 B2(1)2(1)B2(1)2(2)0 0 0 00 0 0 B2(2)2(1)B2(2)2(2)0 0 0 00 0 0 0 0 B3(1)3(1)0 0 00 0 0 0 0 0 B4(1)4(1)B4(1)4(2)00 0 0 0 0 0 B4(2)4(1)B4(2)4(2)00 0 0 0 0 0 0 0 B5(1)5(1)____________________Tal ycomohemosmencionadolossubespacios: c1, c2, y c4correspondenalosautovaloresdegeneradosa1, a2, ya4 (de orden 3, 2 y 2 respectivamente).Una vez mas surgen dos casos a analizarSi anesunautovalornodegenerado, entoncesexisteun unicoautovectorasociadoaesteautovalor (la dimension del autoespacio es 1 esto es kj = 1 y no hace falta). Esto correspondeal ejemplo hipotetico de arriba para los autovalores simplesa3, ya5Luis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 55FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectoresSi anesunautovalordegenerado, entoncesexisteunconjuntodeautovectoresasociadosaesteautovaloran(enestecasoladimensiondel autoespacioeskn). Comolos j ()_sonautovectores de A su representacion matricial sere diagonal a bloques. Ahora bien, como elautoespacio Sa es globalmente invariante bajo la accion de B y Bi ()j () = i ()Bj ()_ esHermtico, por ser B Hermtico entonces B es diagonalizable dentro del bloque que la dene.Es decir, se podra conseguir una base j ()_ tal que la representacion matricial de B en esabase es diagonalBi ()j=_i () Bj ()_=_i () Bj ()_ =Bi ()j () = bj ()ijque no es otra cosa que los vectores j ()_ seran autovectores de BBj ()_ = bj ()j ()_Es importante recalcar que los autovectores j ()_ de A asociados con un autovalor dege-nerado NO son necesariamente autovectores de B. Solo que como B es Hermtico puede serdiagonalizado dentro del autoespacio.Deahoraenadelantedenotaremos los autovectores comunes ados operadores AyBcondistintos autovalores como ui|j ()_ tal queAun|m()_ = anun|m()_y Bun|m()_ = bmun|m()_donde hemos dejado espacio para permitir la degeneracion la cual sera indicada por el ndiceLa prueba del inverso del teorema anterior es bien simpleTeoremaSi existe una base de autovectores_uj ()__ comunes aA yB, entoncesA yB conmutan,[A, B] = 0Demostracion Es claro queABun|m()_ = bmAun|m()_ = bmanun|m()_BAun|m()_ = anBun|m()_ = anbmun|m()_restando miembro a miembro obtenemos de manera inmedita(ABBA)un|m()_ = [A, B]un|m()_ = (bmananbm)un|m()_ = 0DenicionDiremos que A, B, C, D constituye un conjunto completo de observables que conmuntansi1. Obviamente los operadores del conjunto conmuntan entre ellos:[A, B] = [A, C] = [A, D] = [B, C] = [B, D] = [C, D] == 0Luis A. N u nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 56FormulariodeMetodosMatematicos1 Matrices,DeterminantesyAutovectores2. Al especicar el conjunto de autovalores para los operadoresan, bm, ck, dl, se especica de manera unvoca un unico autovetor com un a todosestos operadoresan, bm, ck, dl, =un|m|k|l ()_Analicemos los siguientes ejemplos. Considere, que el espacio de estados para