Download - Álgebra Lineal

Transcript
  • Engr

    apeaq

    u

    No

    dobl

    e

    Algebra III. Tarea 2. Variante .

    Determinantes.

    Nombre: Calificacion ( %):

    Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

    Ejercicio 1. 0.5%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V2 R una funcion bilineal alternante y sean a, b V .Exprese a f(2a 5b,7a+ 4b) como un multiplo de f(a, b).

    Ejercicio 2. 1%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c V .Exprese a f(5a 4b+ 5c, 3a+ 3b 2c, 3a 3b+ 3c) como un multiplo de f(a, b, c).

    Ejercicio 3. 1%.El polinomio f(x) esta definido como el siguiente determinante. Calcule el coeficiente de x4 en elpolinomio f(x). Se recomienda recordar la definicion del determinante a traves de permutacionesy encontrar los sumandos del determinante que contienen a la potencia x4.

    f(x) = det

    2 2x 1 12 3 2x 2x

    2x 1 2 22 0 3x x

    .

    Ejercicio 4. 1%.Calcule el determinante de la matriz A usando operaciones elementales con renglones y laexpansion por cofactores a lo largo de columnas casi nulos. Luego calcule el determinante dela matriz transpuesta A> usando operaciones elementales con renglones y la expansion porcofactores a lo largo de columnas casi nulos.

    A =

    5 2 1 76 6 2 13 5 5 20 1 6 6

    .

    Tarea 2, variante , pagina 1 de 3

  • Ejercicio 5. 1%.Calcule el determinante de la matriz A de dos maneras diferentes:

    1. Expandiendo por cofactores a lo largo del renglon 1.

    2. Expandiendo por cofactores a lo largo de la columna 3.

    A =

    3 3 41 2 47 5 4

    .Ejercicio 6. 2%.Calcule la matriz AB y los determinantes de las matrices A, B y AB. Verifique que se cumplela igualdad det(AB) = det(A) det(B).

    A =

    2 4 4 11 2 0 31 4 3 22 1 2 3

    , B =

    4 3 2 22 1 2 22 1 1 32 2 4 3

    .Ejercicio 7. 1%.Calcule la matriz adjunta clasica adj(A) de la matriz A, calcule det(A) y compruebe que secumple la igualdad adj(A)A = det(A)I3. Escriba la matriz A

    1.

    A =

    1 4 41 2 32 4 2

    .Ejercicio 8. 2%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion. 3 1 34 2 2

    2 5 3

    x = 62

    5

    .Ejercicio 9. 2%.Dados los puntos xk y los valores yk, k {0, 1, 2}, escriba el sistema de ecuaciones lineales quedeben satisfacer los coeficientes del polinomio P(x) = a0 + a1x+ a2x

    2 para que se cumplan lasigualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}. Calcule el determinante de la matriz del sistema con laformula para el determinante de una matriz de Vandermonde. Resuelva el sistema con laregla de Cramer. Escriba el polinomio P(x) y comprueba las igualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}.

    x0 = 3, x1 = 2, x2 = 3,

    y0 = 24, y1 = 12, y2 = 12.

    Tarea 2, variante , pagina 2 de 3

  • Ejercicio 10. 1.5%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion.[

    3 2 i 2+ 4 i2+ i 1+ i

    ]x =

    [4 6 i14

    ].

    Ejercicio 11. 1%.Saque las coordenadas de los puntos A,B,C del dibujo y calcule:

    el area orientada del paralelogramo generado porAB y

    AC;

    el area orientada del paralelogramo generado porBA y

    BC;

    el area del triangulo ABC.

    5

    5

    x

    y

    A

    B

    C

    Ejercicio 12. 1%.Dados los puntos P,Q, R, S del espacio cartesiano, calcule:

    el volumen orientado del paraleleppedo generado porPQ,

    PR,PS;

    el volumen orientado del paraleleppedo generado porQP,

    QR,

    QS;

    el volumen de la piramide PQRS.

    P =

    224

    , Q = 64

    5

    , R = 26

    1

    , S = 25

    3

    .

    Tarea 2, variante , pagina 3 de 3

  • Engr

    apeaq

    u

    No

    dobl

    e

    Algebra III. Tarea 2. Variante .

    Determinantes.

    Nombre: Calificacion ( %):

    Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

    Ejercicio 1. 0.5%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V2 R una funcion bilineal alternante y sean a, b V .Exprese a f(7a+ 8b,7a+ 6b) como un multiplo de f(a, b).

    Ejercicio 2. 1%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c V .Exprese a f(5a b+ 6c,a+ 5b c, 2a+ 3b+ 4c) como un multiplo de f(a, b, c).

    Ejercicio 3. 1%.El polinomio f(x) esta definido como el siguiente determinante. Calcule el coeficiente de x4 en elpolinomio f(x). Se recomienda recordar la definicion del determinante a traves de permutacionesy encontrar los sumandos del determinante que contienen a la potencia x4.

    f(x) = det

    2 3x 3x 1x 2 1 32 2 1 2x2 x x 2

    .

    Ejercicio 4. 1%.Calcule el determinante de la matriz A usando operaciones elementales con renglones y laexpansion por cofactores a lo largo de columnas casi nulos. Luego calcule el determinante dela matriz transpuesta A> usando operaciones elementales con renglones y la expansion porcofactores a lo largo de columnas casi nulos.

    A =

    4 1 5 22 1 4 30 4 3 55 1 7 1

    .

    Tarea 2, variante , pagina 1 de 3

  • Ejercicio 5. 1%.Calcule el determinante de la matriz A de dos maneras diferentes:

    1. Expandiendo por cofactores a lo largo del renglon 3.

    2. Expandiendo por cofactores a lo largo de la columna 2.

    A =

    0 2 61 2 25 2 4

    .Ejercicio 6. 2%.Calcule la matriz AB y los determinantes de las matrices A, B y AB. Verifique que se cumplela igualdad det(AB) = det(A) det(B).

    A =

    3 2 4 3

    1 4 2 03 4 1 24 4 1 3

    , B =

    1 1 1 32 1 3 4

    1 2 2 03 1 2 2

    .Ejercicio 7. 1%.Calcule la matriz adjunta clasica adj(A) de la matriz A, calcule det(A) y compruebe que secumple la igualdad adj(A)A = det(A)I3. Escriba la matriz A

    1.

    A =

    5 3 51 1 31 2 1

    .Ejercicio 8. 2%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion. 2 1 55 4 3

    3 1 5

    x = 40

    7

    .Ejercicio 9. 2%.Dados los puntos xk y los valores yk, k {0, 1, 2}, escriba el sistema de ecuaciones lineales quedeben satisfacer los coeficientes del polinomio P(x) = a0 + a1x+ a2x

    2 para que se cumplan lasigualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}. Calcule el determinante de la matriz del sistema con laformula para el determinante de una matriz de Vandermonde. Resuelva el sistema con laregla de Cramer. Escriba el polinomio P(x) y comprueba las igualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}.

    x0 = 4, x1 = 2, x2 = 1,

    y0 = 21, y1 = 3, y2 = 6.

    Tarea 2, variante , pagina 2 de 3

  • Ejercicio 10. 1.5%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion.[

    1 i 2+ i4 3 i 1 4 i

    ]x =

    [10 6 i7 3 i

    ].

    Ejercicio 11. 1%.Saque las coordenadas de los puntos A,B,C del dibujo y calcule:

    el area orientada del paralelogramo generado porAB y

    AC;

    el area orientada del paralelogramo generado porBA y

    BC;

    el area del triangulo ABC.

    5

    5

    x

    y

    A

    B

    C

    Ejercicio 12. 1%.Dados los puntos P,Q, R, S del espacio cartesiano, calcule:

    el volumen orientado del paraleleppedo generado porPQ,

    PR,PS;

    el volumen orientado del paraleleppedo generado porQP,

    QR,

    QS;

    el volumen de la piramide PQRS.

    P =

    444

    , Q = 22

    4

    , R = 36

    2

    , S = 21

    4

    .

    Tarea 2, variante , pagina 3 de 3

  • Engr

    apeaq

    u

    No

    dobl

    e

    Algebra III. Tarea 2. Variante 1 CMJJ.

    Determinantes.

    Nombre: Calificacion ( %):

    Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

    Ejercicio 1. 0.5%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V2 R una funcion bilineal alternante y sean a, b V .Exprese a f(2a+ b,3a 7b) como un multiplo de f(a, b).

    Ejercicio 2. 1%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c V .Exprese a f(5a 4b+ 4c, a+ 4b+ 3c, 6b+ c) como un multiplo de f(a, b, c).

    Ejercicio 3. 1%.El polinomio f(x) esta definido como el siguiente determinante. Calcule el coeficiente de x4 en elpolinomio f(x). Se recomienda recordar la definicion del determinante a traves de permutacionesy encontrar los sumandos del determinante que contienen a la potencia x4.

    f(x) = det

    1 2x 3 2x2 3 2x 10 x 1 2xx 3 3 0

    .

    Ejercicio 4. 1%.Calcule el determinante de la matriz A usando operaciones elementales con renglones y laexpansion por cofactores a lo largo de columnas casi nulos. Luego calcule el determinante dela matriz transpuesta A> usando operaciones elementales con renglones y la expansion porcofactores a lo largo de columnas casi nulos.

    A =

    4 7 0 16 4 4 5

    6 6 1 61 2 7 3

    .

    Tarea 2, variante 1 CMJJ, pagina 1 de 3

  • Ejercicio 5. 1%.Calcule el determinante de la matriz A de dos maneras diferentes:

    1. Expandiendo por cofactores a lo largo del renglon 3.

    2. Expandiendo por cofactores a lo largo de la columna 1.

    A =

    1 4 45 3 54 5 5

    .Ejercicio 6. 2%.Calcule la matriz AB y los determinantes de las matrices A, B y AB. Verifique que se cumplela igualdad det(AB) = det(A) det(B).

    A =

    4 1 3 2

    1 1 3 21 1 1 30 1 4 1

    , B =

    0 2 3 31 4 4 4

    4 1 2 32 3 2 1

    .Ejercicio 7. 1%.Calcule la matriz adjunta clasica adj(A) de la matriz A, calcule det(A) y compruebe que secumple la igualdad adj(A)A = det(A)I3. Escriba la matriz A

    1.

    A =

    2 1 15 3 22 4 3

    .Ejercicio 8. 2%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion. 5 4 14 5 4

    4 4 3

    x = 17

    6

    .Ejercicio 9. 2%.Dados los puntos xk y los valores yk, k {0, 1, 2}, escriba el sistema de ecuaciones lineales quedeben satisfacer los coeficientes del polinomio P(x) = a0 + a1x+ a2x

    2 para que se cumplan lasigualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}. Calcule el determinante de la matriz del sistema con laformula para el determinante de una matriz de Vandermonde. Resuelva el sistema con laregla de Cramer. Escriba el polinomio P(x) y comprueba las igualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}.

    x0 = 1, x1 = 1, x2 = 2,

    y0 = 1, y1 = 7, y2 = 5.

    Tarea 2, variante 1 CMJJ, pagina 2 de 3

  • Ejercicio 10. 1.5%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion.[

    3 2 i 4 i3+ 2 i 2+ 3 i

    ]x =

    [7+ 2 i1+ 8 i

    ].

    Ejercicio 11. 1%.Saque las coordenadas de los puntos A,B,C del dibujo y calcule:

    el area orientada del paralelogramo generado porAB y

    AC;

    el area orientada del paralelogramo generado porBA y

    BC;

    el area del triangulo ABC.

    5

    5

    x

    y

    A

    B

    C

    Ejercicio 12. 1%.Dados los puntos P,Q, R, S del espacio cartesiano, calcule:

    el volumen orientado del paraleleppedo generado porPQ,

    PR,PS;

    el volumen orientado del paraleleppedo generado porQP,

    QR,

    QS;

    el volumen de la piramide PQRS.

    P =

    261

    , Q = 61

    5

    , R = 23

    0

    , S = 63

    6

    .

    Tarea 2, variante 1 CMJJ, pagina 3 de 3

  • Engr

    apeaq

    u

    No

    dobl

    e

    Algebra III. Tarea 2. Variante 2 CME.

    Determinantes.

    Nombre: Calificacion ( %):

    Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

    Ejercicio 1. 0.5%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V2 R una funcion bilineal alternante y sean a, b V .Exprese a f(5a 2b, a+ 6b) como un multiplo de f(a, b).

    Ejercicio 2. 1%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c V .Exprese a f(4a 2b+ 4c,2a+ 6b+ 6c, 5a 2b 6c) como un multiplo de f(a, b, c).

    Ejercicio 3. 1%.El polinomio f(x) esta definido como el siguiente determinante. Calcule el coeficiente de x4 en elpolinomio f(x). Se recomienda recordar la definicion del determinante a traves de permutacionesy encontrar los sumandos del determinante que contienen a la potencia x4.

    f(x) = det

    2 2x 2 x

    x 0 3 2

    3 x 1 3x2 2 2x 2

    .

    Ejercicio 4. 1%.Calcule el determinante de la matriz A usando operaciones elementales con renglones y laexpansion por cofactores a lo largo de columnas casi nulos. Luego calcule el determinante dela matriz transpuesta A> usando operaciones elementales con renglones y la expansion porcofactores a lo largo de columnas casi nulos.

    A =

    5 3 6 22 0 2 1

    3 3 4 31 2 3 1

    .

    Tarea 2, variante 2 CME, pagina 1 de 3

  • Ejercicio 5. 1%.Calcule el determinante de la matriz A de dos maneras diferentes:

    1. Expandiendo por cofactores a lo largo del renglon 3.

    2. Expandiendo por cofactores a lo largo de la columna 2.

    A =

    4 5 13 5 10 4 6

    .Ejercicio 6. 2%.Calcule la matriz AB y los determinantes de las matrices A, B y AB. Verifique que se cumplela igualdad det(AB) = det(A) det(B).

    A =

    3 2 4 3

    1 4 2 03 4 1 24 4 1 3

    , B =

    4 4 2 14 4 4 13 2 2 31 1 4 2

    .Ejercicio 7. 1%.Calcule la matriz adjunta clasica adj(A) de la matriz A, calcule det(A) y compruebe que secumple la igualdad adj(A)A = det(A)I3. Escriba la matriz A

    1.

    A =

    5 2 25 1 12 1 3

    .Ejercicio 8. 2%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion. 5 5 14 3 5

    1 2 2

    x = 45

    7

    .Ejercicio 9. 2%.Dados los puntos xk y los valores yk, k {0, 1, 2}, escriba el sistema de ecuaciones lineales quedeben satisfacer los coeficientes del polinomio P(x) = a0 + a1x+ a2x

    2 para que se cumplan lasigualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}. Calcule el determinante de la matriz del sistema con laformula para el determinante de una matriz de Vandermonde. Resuelva el sistema con laregla de Cramer. Escriba el polinomio P(x) y comprueba las igualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}.

    x0 = 2, x1 = 1, x2 = 3,

    y0 = 6, y1 = 12, y2 = 46.

    Tarea 2, variante 2 CME, pagina 2 de 3

  • Ejercicio 10. 1.5%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion.[

    4+ 3 i 1+ 3 i1+ 2 i 2+ 4 i

    ]x =

    [7 9 i13+ i

    ].

    Ejercicio 11. 1%.Saque las coordenadas de los puntos A,B,C del dibujo y calcule:

    el area orientada del paralelogramo generado porAB y

    AC;

    el area orientada del paralelogramo generado porBA y

    BC;

    el area del triangulo ABC.

    5

    5

    x

    y

    A

    B

    C

    Ejercicio 12. 1%.Dados los puntos P,Q, R, S del espacio cartesiano, calcule:

    el volumen orientado del paraleleppedo generado porPQ,

    PR,PS;

    el volumen orientado del paraleleppedo generado porQP,

    QR,

    QS;

    el volumen de la piramide PQRS.

    P =

    444

    , Q = 42

    5

    , R = 45

    6

    , S = 21

    1

    .

    Tarea 2, variante 2 CME, pagina 3 de 3

  • Engr

    apeaq

    u

    No

    dobl

    e

    Algebra III. Tarea 2. Variante 3 CPMF.

    Determinantes.

    Nombre: Calificacion ( %):

    Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

    Ejercicio 1. 0.5%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V2 R una funcion bilineal alternante y sean a, b V .Exprese a f(5a+ b, 4a+ 2b) como un multiplo de f(a, b).

    Ejercicio 2. 1%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c V .Exprese a f(5a 4b 6c,2a b c, 4a+ 3b+ 2c) como un multiplo de f(a, b, c).

    Ejercicio 3. 1%.El polinomio f(x) esta definido como el siguiente determinante. Calcule el coeficiente de x4 en elpolinomio f(x). Se recomienda recordar la definicion del determinante a traves de permutacionesy encontrar los sumandos del determinante que contienen a la potencia x4.

    f(x) = det

    3 2 1 2x2x 3 2 2

    3 x x 00 3x 2x 3

    .

    Ejercicio 4. 1%.Calcule el determinante de la matriz A usando operaciones elementales con renglones y laexpansion por cofactores a lo largo de columnas casi nulos. Luego calcule el determinante dela matriz transpuesta A> usando operaciones elementales con renglones y la expansion porcofactores a lo largo de columnas casi nulos.

    A =

    4 3 7 5

    3 3 0 16 1 4 17 6 2 3

    .

    Tarea 2, variante 3 CPMF, pagina 1 de 3

  • Ejercicio 5. 1%.Calcule el determinante de la matriz A de dos maneras diferentes:

    1. Expandiendo por cofactores a lo largo del renglon 3.

    2. Expandiendo por cofactores a lo largo de la columna 1.

    A =

    0 7 21 7 54 6 5

    .Ejercicio 6. 2%.Calcule la matriz AB y los determinantes de las matrices A, B y AB. Verifique que se cumplela igualdad det(AB) = det(A) det(B).

    A =

    3 2 3 4

    2 1 1 31 2 1 4

    4 4 2 1

    , B =

    2 3 2 42 4 1 1

    1 3 4 31 0 1 4

    .Ejercicio 7. 1%.Calcule la matriz adjunta clasica adj(A) de la matriz A, calcule det(A) y compruebe que secumple la igualdad adj(A)A = det(A)I3. Escriba la matriz A

    1.

    A =

    2 4 44 4 53 5 4

    .Ejercicio 8. 2%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion. 3 3 51 2 2

    5 5 6

    x = 22

    1

    .Ejercicio 9. 2%.Dados los puntos xk y los valores yk, k {0, 1, 2}, escriba el sistema de ecuaciones lineales quedeben satisfacer los coeficientes del polinomio P(x) = a0 + a1x+ a2x

    2 para que se cumplan lasigualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}. Calcule el determinante de la matriz del sistema con laformula para el determinante de una matriz de Vandermonde. Resuelva el sistema con laregla de Cramer. Escriba el polinomio P(x) y comprueba las igualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}.

    x0 = 3, x1 = 0, x2 = 2,

    y0 = 13, y1 = 2, y2 = 8.

    Tarea 2, variante 3 CPMF, pagina 2 de 3

  • Ejercicio 10. 1.5%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion.[

    1+ 4 i 2 4 i2 i 3+ 4 i

    ]x =

    [1 i8 9 i

    ].

    Ejercicio 11. 1%.Saque las coordenadas de los puntos A,B,C del dibujo y calcule:

    el area orientada del paralelogramo generado porAB y

    AC;

    el area orientada del paralelogramo generado porBA y

    BC;

    el area del triangulo ABC.

    5

    5

    x

    y

    A

    B

    C

    Ejercicio 12. 1%.Dados los puntos P,Q, R, S del espacio cartesiano, calcule:

    el volumen orientado del paraleleppedo generado porPQ,

    PR,PS;

    el volumen orientado del paraleleppedo generado porQP,

    QR,

    QS;

    el volumen de la piramide PQRS.

    P =

    310

    , Q = 20

    5

    , R = 11

    3

    , S = 33

    6

    .

    Tarea 2, variante 3 CPMF, pagina 3 de 3

  • Engr

    apeaq

    u

    No

    dobl

    e

    Algebra III. Tarea 2. Variante 4 CAE.

    Determinantes.

    Nombre: Calificacion ( %):

    Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

    Ejercicio 1. 0.5%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V2 R una funcion bilineal alternante y sean a, b V .Exprese a f(a+ 4b,5a 6b) como un multiplo de f(a, b).

    Ejercicio 2. 1%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c V .Exprese a f(a+ 3b+ c, a+ b 5c, 3a+ 2b 3c) como un multiplo de f(a, b, c).

    Ejercicio 3. 1%.El polinomio f(x) esta definido como el siguiente determinante. Calcule el coeficiente de x4 en elpolinomio f(x). Se recomienda recordar la definicion del determinante a traves de permutacionesy encontrar los sumandos del determinante que contienen a la potencia x4.

    f(x) = det

    3 0 x 03x x 0 3

    3x x 3 11 2 1 2x

    .

    Ejercicio 4. 1%.Calcule el determinante de la matriz A usando operaciones elementales con renglones y laexpansion por cofactores a lo largo de columnas casi nulos. Luego calcule el determinante dela matriz transpuesta A> usando operaciones elementales con renglones y la expansion porcofactores a lo largo de columnas casi nulos.

    A =

    3 2 3 3

    2 7 6 22 5 2 40 3 2 4

    .

    Tarea 2, variante 4 CAE, pagina 1 de 3

  • Ejercicio 5. 1%.Calcule el determinante de la matriz A de dos maneras diferentes:

    1. Expandiendo por cofactores a lo largo del renglon 3.

    2. Expandiendo por cofactores a lo largo de la columna 1.

    A =

    1 3 21 3 54 3 0

    .Ejercicio 6. 2%.Calcule la matriz AB y los determinantes de las matrices A, B y AB. Verifique que se cumplela igualdad det(AB) = det(A) det(B).

    A =

    1 4 1 22 3 4 42 2 2 22 1 3 3

    , B =

    1 2 0 31 2 2 2

    2 1 1 21 2 1 2

    .Ejercicio 7. 1%.Calcule la matriz adjunta clasica adj(A) de la matriz A, calcule det(A) y compruebe que secumple la igualdad adj(A)A = det(A)I3. Escriba la matriz A

    1.

    A =

    4 3 51 5 14 3 2

    .Ejercicio 8. 2%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion. 5 4 64 2 2

    6 2 5

    x = 32

    2

    .Ejercicio 9. 2%.Dados los puntos xk y los valores yk, k {0, 1, 2}, escriba el sistema de ecuaciones lineales quedeben satisfacer los coeficientes del polinomio P(x) = a0 + a1x+ a2x

    2 para que se cumplan lasigualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}. Calcule el determinante de la matriz del sistema con laformula para el determinante de una matriz de Vandermonde. Resuelva el sistema con laregla de Cramer. Escriba el polinomio P(x) y comprueba las igualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}.

    x0 = 3, x1 = 1, x2 = 3,

    y0 = 20, y1 = 4, y2 = 4.

    Tarea 2, variante 4 CAE, pagina 2 de 3

  • Ejercicio 10. 1.5%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion.[

    2+ i 2 i2+ 2 i 4+ 2 i

    ]x =

    [12 i4 8 i

    ].

    Ejercicio 11. 1%.Saque las coordenadas de los puntos A,B,C del dibujo y calcule:

    el area orientada del paralelogramo generado porAB y

    AC;

    el area orientada del paralelogramo generado porBA y

    BC;

    el area del triangulo ABC.

    5

    5

    x

    y

    A

    B

    C

    Ejercicio 12. 1%.Dados los puntos P,Q, R, S del espacio cartesiano, calcule:

    el volumen orientado del paraleleppedo generado porPQ,

    PR,PS;

    el volumen orientado del paraleleppedo generado porQP,

    QR,

    QS;

    el volumen de la piramide PQRS.

    P =

    261

    , Q = 13

    1

    , R = 61

    5

    , S = 64

    0

    .

    Tarea 2, variante 4 CAE, pagina 3 de 3

  • Engr

    apeaq

    u

    No

    dobl

    e

    Algebra III. Tarea 2. Variante 5 CMR.

    Determinantes.

    Nombre: Calificacion ( %):

    Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

    Ejercicio 1. 0.5%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V2 R una funcion bilineal alternante y sean a, b V .Exprese a f(3a 5b,2a+ 8b) como un multiplo de f(a, b).

    Ejercicio 2. 1%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c V .Exprese a f(2a+ 5b+ 3c,a+ 2b 4c,a+ b+ c) como un multiplo de f(a, b, c).

    Ejercicio 3. 1%.El polinomio f(x) esta definido como el siguiente determinante. Calcule el coeficiente de x4 en elpolinomio f(x). Se recomienda recordar la definicion del determinante a traves de permutacionesy encontrar los sumandos del determinante que contienen a la potencia x4.

    f(x) = det

    3 1 3x 12 3 2 x

    3x 3x 2 2x 2x 1 0

    .

    Ejercicio 4. 1%.Calcule el determinante de la matriz A usando operaciones elementales con renglones y laexpansion por cofactores a lo largo de columnas casi nulos. Luego calcule el determinante dela matriz transpuesta A> usando operaciones elementales con renglones y la expansion porcofactores a lo largo de columnas casi nulos.

    A =

    4 4 3 5

    2 5 1 21 2 2 2

    6 5 4 2

    .

    Tarea 2, variante 5 CMR, pagina 1 de 3

  • Ejercicio 5. 1%.Calcule el determinante de la matriz A de dos maneras diferentes:

    1. Expandiendo por cofactores a lo largo del renglon 3.

    2. Expandiendo por cofactores a lo largo de la columna 2.

    A =

    1 4 13 6 61 0 1

    .Ejercicio 6. 2%.Calcule la matriz AB y los determinantes de las matrices A, B y AB. Verifique que se cumplela igualdad det(AB) = det(A) det(B).

    A =

    1 3 2 1

    3 4 1 13 1 3 21 4 2 1

    , B =1 4 1 11 2 2 41 2 1 41 1 1 4

    .Ejercicio 7. 1%.Calcule la matriz adjunta clasica adj(A) de la matriz A, calcule det(A) y compruebe que secumple la igualdad adj(A)A = det(A)I3. Escriba la matriz A

    1.

    A =

    1 4 24 5 15 4 2

    .Ejercicio 8. 2%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion. 5 1 54 6 1

    5 2 3

    x = 36

    2

    .Ejercicio 9. 2%.Dados los puntos xk y los valores yk, k {0, 1, 2}, escriba el sistema de ecuaciones lineales quedeben satisfacer los coeficientes del polinomio P(x) = a0 + a1x+ a2x

    2 para que se cumplan lasigualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}. Calcule el determinante de la matriz del sistema con laformula para el determinante de una matriz de Vandermonde. Resuelva el sistema con laregla de Cramer. Escriba el polinomio P(x) y comprueba las igualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}.

    x0 = 4, x1 = 0, x2 = 1,

    y0 = 27, y1 = 5, y2 = 3.

    Tarea 2, variante 5 CMR, pagina 2 de 3

  • Ejercicio 10. 1.5%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion.[

    3+ i 1 2 i3 i 4 2 i

    ]x =

    [7+ 11 i7 5 i

    ].

    Ejercicio 11. 1%.Saque las coordenadas de los puntos A,B,C del dibujo y calcule:

    el area orientada del paralelogramo generado porAB y

    AC;

    el area orientada del paralelogramo generado porBA y

    BC;

    el area del triangulo ABC.

    5

    5

    x

    y

    A

    B

    C

    Ejercicio 12. 1%.Dados los puntos P,Q, R, S del espacio cartesiano, calcule:

    el volumen orientado del paraleleppedo generado porPQ,

    PR,PS;

    el volumen orientado del paraleleppedo generado porQP,

    QR,

    QS;

    el volumen de la piramide PQRS.

    P =

    052

    , Q = 63

    4

    , R = 25

    5

    , S = 35

    5

    .

    Tarea 2, variante 5 CMR, pagina 3 de 3

  • Engr

    apeaq

    u

    No

    dobl

    e

    Algebra III. Tarea 2. Variante 6 DEK.

    Determinantes.

    Nombre: Calificacion ( %):

    Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

    Ejercicio 1. 0.5%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V2 R una funcion bilineal alternante y sean a, b V .Exprese a f(5a 6b, 8a 5b) como un multiplo de f(a, b).

    Ejercicio 2. 1%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c V .Exprese a f(5a+ 5b c,4a+ c,3a+ 3b+ c) como un multiplo de f(a, b, c).

    Ejercicio 3. 1%.El polinomio f(x) esta definido como el siguiente determinante. Calcule el coeficiente de x4 en elpolinomio f(x). Se recomienda recordar la definicion del determinante a traves de permutacionesy encontrar los sumandos del determinante que contienen a la potencia x4.

    f(x) = det

    1 x 3 31 2 3x x1 2 2x xx 2 2 3

    .

    Ejercicio 4. 1%.Calcule el determinante de la matriz A usando operaciones elementales con renglones y laexpansion por cofactores a lo largo de columnas casi nulos. Luego calcule el determinante dela matriz transpuesta A> usando operaciones elementales con renglones y la expansion porcofactores a lo largo de columnas casi nulos.

    A =

    1 2 6 4

    6 3 4 55 3 4 24 4 7 7

    .

    Tarea 2, variante 6 DEK, pagina 1 de 3

  • Ejercicio 5. 1%.Calcule el determinante de la matriz A de dos maneras diferentes:

    1. Expandiendo por cofactores a lo largo del renglon 2.

    2. Expandiendo por cofactores a lo largo de la columna 3.

    A =

    1 2 16 4 15 2 1

    .Ejercicio 6. 2%.Calcule la matriz AB y los determinantes de las matrices A, B y AB. Verifique que se cumplela igualdad det(AB) = det(A) det(B).

    A =

    1 1 4 11 2 3 12 3 3 0

    1 2 4 1

    , B =

    1 2 3 34 1 1 0

    1 1 2 12 1 1 2

    .Ejercicio 7. 1%.Calcule la matriz adjunta clasica adj(A) de la matriz A, calcule det(A) y compruebe que secumple la igualdad adj(A)A = det(A)I3. Escriba la matriz A

    1.

    A =

    4 5 45 3 35 5 5

    .Ejercicio 8. 2%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion. 3 5 61 4 2

    2 5 3

    x = 53

    0

    .Ejercicio 9. 2%.Dados los puntos xk y los valores yk, k {0, 1, 2}, escriba el sistema de ecuaciones lineales quedeben satisfacer los coeficientes del polinomio P(x) = a0 + a1x+ a2x

    2 para que se cumplan lasigualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}. Calcule el determinante de la matriz del sistema con laformula para el determinante de una matriz de Vandermonde. Resuelva el sistema con laregla de Cramer. Escriba el polinomio P(x) y comprueba las igualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}.

    x0 = 1, x1 = 0, x2 = 2,

    y0 = 0, y1 = 1, y2 = 3.

    Tarea 2, variante 6 DEK, pagina 2 de 3

  • Ejercicio 10. 1.5%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion.[

    2 i 1 i1 2 i 4 3 i

    ]x =

    [3+ 11 i8 3 i

    ].

    Ejercicio 11. 1%.Saque las coordenadas de los puntos A,B,C del dibujo y calcule:

    el area orientada del paralelogramo generado porAB y

    AC;

    el area orientada del paralelogramo generado porBA y

    BC;

    el area del triangulo ABC.

    5

    5

    x

    y

    A

    B

    C

    Ejercicio 12. 1%.Dados los puntos P,Q, R, S del espacio cartesiano, calcule:

    el volumen orientado del paraleleppedo generado porPQ,

    PR,PS;

    el volumen orientado del paraleleppedo generado porQP,

    QR,

    QS;

    el volumen de la piramide PQRS.

    P =

    464

    , Q = 156

    , R = 33

    6

    , S = 232

    .

    Tarea 2, variante 6 DEK, pagina 3 de 3

  • Engr

    apeaq

    u

    No

    dobl

    e

    Algebra III. Tarea 2. Variante 7 DFEE.

    Determinantes.

    Nombre: Calificacion ( %):

    Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

    Ejercicio 1. 0.5%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V2 R una funcion bilineal alternante y sean a, b V .Exprese a f(5a+ b,a+ 4b) como un multiplo de f(a, b).

    Ejercicio 2. 1%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c V .Exprese a f(3a+ 5b 2c,2a b 3c, 5a+ b+ 5c) como un multiplo de f(a, b, c).

    Ejercicio 3. 1%.El polinomio f(x) esta definido como el siguiente determinante. Calcule el coeficiente de x4 en elpolinomio f(x). Se recomienda recordar la definicion del determinante a traves de permutacionesy encontrar los sumandos del determinante que contienen a la potencia x4.

    f(x) = det

    0 2x 3 13x 3 0 x2 2 2x 0

    2x 2 2 x

    .

    Ejercicio 4. 1%.Calcule el determinante de la matriz A usando operaciones elementales con renglones y laexpansion por cofactores a lo largo de columnas casi nulos. Luego calcule el determinante dela matriz transpuesta A> usando operaciones elementales con renglones y la expansion porcofactores a lo largo de columnas casi nulos.

    A =

    7 7 2 41 1 2 20 7 3 56 5 4 5

    .

    Tarea 2, variante 7 DFEE, pagina 1 de 3

  • Ejercicio 5. 1%.Calcule el determinante de la matriz A de dos maneras diferentes:

    1. Expandiendo por cofactores a lo largo del renglon 3.

    2. Expandiendo por cofactores a lo largo de la columna 2.

    A =

    5 4 06 3 74 1 3

    .Ejercicio 6. 2%.Calcule la matriz AB y los determinantes de las matrices A, B y AB. Verifique que se cumplela igualdad det(AB) = det(A) det(B).

    A =

    1 0 2 22 2 1 12 2 1 1

    3 3 2 2

    , B =

    1 2 2 30 3 3 1

    4 1 3 12 4 3 2

    .Ejercicio 7. 1%.Calcule la matriz adjunta clasica adj(A) de la matriz A, calcule det(A) y compruebe que secumple la igualdad adj(A)A = det(A)I3. Escriba la matriz A

    1.

    A =

    2 3 31 5 13 5 1

    .Ejercicio 8. 2%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion. 2 6 51 3 5

    2 2 3

    x = 47

    0

    .Ejercicio 9. 2%.Dados los puntos xk y los valores yk, k {0, 1, 2}, escriba el sistema de ecuaciones lineales quedeben satisfacer los coeficientes del polinomio P(x) = a0 + a1x+ a2x

    2 para que se cumplan lasigualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}. Calcule el determinante de la matriz del sistema con laformula para el determinante de una matriz de Vandermonde. Resuelva el sistema con laregla de Cramer. Escriba el polinomio P(x) y comprueba las igualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}.

    x0 = 5, x1 = 3, x2 = 2,

    y0 = 27, y1 = 9, y2 = 3.

    Tarea 2, variante 7 DFEE, pagina 2 de 3

  • Ejercicio 10. 1.5%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion.[

    2 i 4+ i1 i 3 2 i

    ]x =

    [2+ 4 i9 10 i

    ].

    Ejercicio 11. 1%.Saque las coordenadas de los puntos A,B,C del dibujo y calcule:

    el area orientada del paralelogramo generado porAB y

    AC;

    el area orientada del paralelogramo generado porBA y

    BC;

    el area del triangulo ABC.

    5

    5

    x

    y

    A

    B

    C

    Ejercicio 12. 1%.Dados los puntos P,Q, R, S del espacio cartesiano, calcule:

    el volumen orientado del paraleleppedo generado porPQ,

    PR,PS;

    el volumen orientado del paraleleppedo generado porQP,

    QR,

    QS;

    el volumen de la piramide PQRS.

    P =

    125

    , Q = 43

    1

    , R = 34

    1

    , S = 25

    1

    .

    Tarea 2, variante 7 DFEE, pagina 3 de 3

  • Engr

    apeaq

    u

    No

    dobl

    e

    Algebra III. Tarea 2. Variante 8 GPDA.

    Determinantes.

    Nombre: Calificacion ( %):

    Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

    Ejercicio 1. 0.5%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V2 R una funcion bilineal alternante y sean a, b V .Exprese a f(6a+ 8b, 2a+ 2b) como un multiplo de f(a, b).

    Ejercicio 2. 1%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c V .Exprese a f(3a 5b+ 6c, 2b 4c, 6a 3b+ 5c) como un multiplo de f(a, b, c).

    Ejercicio 3. 1%.El polinomio f(x) esta definido como el siguiente determinante. Calcule el coeficiente de x4 en elpolinomio f(x). Se recomienda recordar la definicion del determinante a traves de permutacionesy encontrar los sumandos del determinante que contienen a la potencia x4.

    f(x) = det

    3 2x 2x 11 x 2x 3

    0 2 2 x

    x 1 1 1

    .

    Ejercicio 4. 1%.Calcule el determinante de la matriz A usando operaciones elementales con renglones y laexpansion por cofactores a lo largo de columnas casi nulos. Luego calcule el determinante dela matriz transpuesta A> usando operaciones elementales con renglones y la expansion porcofactores a lo largo de columnas casi nulos.

    A =

    3 1 3 46 6 5 44 1 0 62 1 3 7

    .

    Tarea 2, variante 8 GPDA, pagina 1 de 3

  • Ejercicio 5. 1%.Calcule el determinante de la matriz A de dos maneras diferentes:

    1. Expandiendo por cofactores a lo largo del renglon 3.

    2. Expandiendo por cofactores a lo largo de la columna 2.

    A =

    1 2 17 4 34 6 5

    .Ejercicio 6. 2%.Calcule la matriz AB y los determinantes de las matrices A, B y AB. Verifique que se cumplela igualdad det(AB) = det(A) det(B).

    A =

    3 2 1 22 2 2 34 3 2 33 2 1 1

    , B =

    4 2 3 14 2 4 13 3 4 1

    2 1 1 2

    .Ejercicio 7. 1%.Calcule la matriz adjunta clasica adj(A) de la matriz A, calcule det(A) y compruebe que secumple la igualdad adj(A)A = det(A)I3. Escriba la matriz A

    1.

    A =

    4 3 51 5 13 4 3

    .Ejercicio 8. 2%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion. 4 2 33 1 6

    2 1 1

    x = 67

    3

    .Ejercicio 9. 2%.Dados los puntos xk y los valores yk, k {0, 1, 2}, escriba el sistema de ecuaciones lineales quedeben satisfacer los coeficientes del polinomio P(x) = a0 + a1x+ a2x

    2 para que se cumplan lasigualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}. Calcule el determinante de la matriz del sistema con laformula para el determinante de una matriz de Vandermonde. Resuelva el sistema con laregla de Cramer. Escriba el polinomio P(x) y comprueba las igualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}.

    x0 = 4, x1 = 2, x2 = 3,

    y0 = 47, y1 = 1, y2 = 5.

    Tarea 2, variante 8 GPDA, pagina 2 de 3

  • Ejercicio 10. 1.5%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion.[

    2+ 4 i 1+ i1+ 4 i 1+ 2 i

    ]x =

    [3 3 i4+ 5 i

    ].

    Ejercicio 11. 1%.Saque las coordenadas de los puntos A,B,C del dibujo y calcule:

    el area orientada del paralelogramo generado porAB y

    AC;

    el area orientada del paralelogramo generado porBA y

    BC;

    el area del triangulo ABC.

    5

    5

    x

    y

    A

    B

    C

    Ejercicio 12. 1%.Dados los puntos P,Q, R, S del espacio cartesiano, calcule:

    el volumen orientado del paraleleppedo generado porPQ,

    PR,PS;

    el volumen orientado del paraleleppedo generado porQP,

    QR,

    QS;

    el volumen de la piramide PQRS.

    P =

    346

    , Q = 52

    1

    , R = 13

    6

    , S = 51

    2

    .

    Tarea 2, variante 8 GPDA, pagina 3 de 3

  • Engr

    apeaq

    u

    No

    dobl

    e

    Algebra III. Tarea 2. Variante 9 GLL.

    Determinantes.

    Nombre: Calificacion ( %):

    Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

    Ejercicio 1. 0.5%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V2 R una funcion bilineal alternante y sean a, b V .Exprese a f(4a+ 5b,7a+ 5b) como un multiplo de f(a, b).

    Ejercicio 2. 1%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c V .Exprese a f(2a+ c, 3a b 4c,6a+ 3b+ 2c) como un multiplo de f(a, b, c).

    Ejercicio 3. 1%.El polinomio f(x) esta definido como el siguiente determinante. Calcule el coeficiente de x4 en elpolinomio f(x). Se recomienda recordar la definicion del determinante a traves de permutacionesy encontrar los sumandos del determinante que contienen a la potencia x4.

    f(x) = det

    x 3 2 2x2 2x 0 12x 2 0 x2 3 x 3

    .

    Ejercicio 4. 1%.Calcule el determinante de la matriz A usando operaciones elementales con renglones y laexpansion por cofactores a lo largo de columnas casi nulos. Luego calcule el determinante dela matriz transpuesta A> usando operaciones elementales con renglones y la expansion porcofactores a lo largo de columnas casi nulos.

    A =

    2 3 4 2

    3 5 4 61 2 3 23 4 1 2

    .

    Tarea 2, variante 9 GLL, pagina 1 de 3

  • Ejercicio 5. 1%.Calcule el determinante de la matriz A de dos maneras diferentes:

    1. Expandiendo por cofactores a lo largo del renglon 2.

    2. Expandiendo por cofactores a lo largo de la columna 3.

    A =

    7 1 51 1 23 0 1

    .Ejercicio 6. 2%.Calcule la matriz AB y los determinantes de las matrices A, B y AB. Verifique que se cumplela igualdad det(AB) = det(A) det(B).

    A =

    1 2 1 41 1 1 4

    1 1 1 12 2 1 0

    , B =

    0 4 2 31 2 4 32 3 4 41 1 2 1

    .Ejercicio 7. 1%.Calcule la matriz adjunta clasica adj(A) de la matriz A, calcule det(A) y compruebe que secumple la igualdad adj(A)A = det(A)I3. Escriba la matriz A

    1.

    A =

    1 4 51 4 44 4 4

    .Ejercicio 8. 2%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion. 5 6 32 5 6

    4 5 3

    x = 17

    1

    .Ejercicio 9. 2%.Dados los puntos xk y los valores yk, k {0, 1, 2}, escriba el sistema de ecuaciones lineales quedeben satisfacer los coeficientes del polinomio P(x) = a0 + a1x+ a2x

    2 para que se cumplan lasigualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}. Calcule el determinante de la matriz del sistema con laformula para el determinante de una matriz de Vandermonde. Resuelva el sistema con laregla de Cramer. Escriba el polinomio P(x) y comprueba las igualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}.

    x0 = 3, x1 = 2, x2 = 4,

    y0 = 20, y1 = 13, y2 = 13.

    Tarea 2, variante 9 GLL, pagina 2 de 3

  • Ejercicio 10. 1.5%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion.[

    3 2 i 1 2 i3+ i 3 4 i

    ]x =

    [12+ 4 i1+ 13 i

    ].

    Ejercicio 11. 1%.Saque las coordenadas de los puntos A,B,C del dibujo y calcule:

    el area orientada del paralelogramo generado porAB y

    AC;

    el area orientada del paralelogramo generado porBA y

    BC;

    el area del triangulo ABC.

    5

    5

    x

    y

    A

    B

    C

    Ejercicio 12. 1%.Dados los puntos P,Q, R, S del espacio cartesiano, calcule:

    el volumen orientado del paraleleppedo generado porPQ,

    PR,PS;

    el volumen orientado del paraleleppedo generado porQP,

    QR,

    QS;

    el volumen de la piramide PQRS.

    P =

    125

    , Q = 66

    2

    , R = 32

    1

    , S = 30

    5

    .

    Tarea 2, variante 9 GLL, pagina 3 de 3

  • Engr

    apeaq

    u

    No

    dobl

    e

    Algebra III. Tarea 2. Variante 10 GDKA.

    Determinantes.

    Nombre: Calificacion ( %):

    Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

    Ejercicio 1. 0.5%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V2 R una funcion bilineal alternante y sean a, b V .Exprese a f(2a+ 5b, 6a 6b) como un multiplo de f(a, b).

    Ejercicio 2. 1%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c V .Exprese a f(a+ 4b+ 2c, 4b+ 2c,a+ 3b 5c) como un multiplo de f(a, b, c).

    Ejercicio 3. 1%.El polinomio f(x) esta definido como el siguiente determinante. Calcule el coeficiente de x4 en elpolinomio f(x). Se recomienda recordar la definicion del determinante a traves de permutacionesy encontrar los sumandos del determinante que contienen a la potencia x4.

    f(x) = det

    x 2 1 x2 1 x 03 3x 2 32x 0 3 2x

    .

    Ejercicio 4. 1%.Calcule el determinante de la matriz A usando operaciones elementales con renglones y laexpansion por cofactores a lo largo de columnas casi nulos. Luego calcule el determinante dela matriz transpuesta A> usando operaciones elementales con renglones y la expansion porcofactores a lo largo de columnas casi nulos.

    A =

    1 1 6 25 5 5 11 2 3 1

    7 7 1 1

    .

    Tarea 2, variante 10 GDKA, pagina 1 de 3

  • Ejercicio 5. 1%.Calcule el determinante de la matriz A de dos maneras diferentes:

    1. Expandiendo por cofactores a lo largo del renglon 2.

    2. Expandiendo por cofactores a lo largo de la columna 3.

    A =

    5 2 76 1 53 2 0

    .Ejercicio 6. 2%.Calcule la matriz AB y los determinantes de las matrices A, B y AB. Verifique que se cumplela igualdad det(AB) = det(A) det(B).

    A =

    3 1 0 43 1 3 24 4 4 3

    2 3 2 1

    , B =

    4 3 3 12 1 2 1

    3 2 2 43 1 3 2

    .Ejercicio 7. 1%.Calcule la matriz adjunta clasica adj(A) de la matriz A, calcule det(A) y compruebe que secumple la igualdad adj(A)A = det(A)I3. Escriba la matriz A

    1.

    A =

    3 2 24 1 25 5 5

    .Ejercicio 8. 2%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion. 2 3 31 4 4

    2 3 1

    x = 16

    7

    .Ejercicio 9. 2%.Dados los puntos xk y los valores yk, k {0, 1, 2}, escriba el sistema de ecuaciones lineales quedeben satisfacer los coeficientes del polinomio P(x) = a0 + a1x+ a2x

    2 para que se cumplan lasigualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}. Calcule el determinante de la matriz del sistema con laformula para el determinante de una matriz de Vandermonde. Resuelva el sistema con laregla de Cramer. Escriba el polinomio P(x) y comprueba las igualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}.

    x0 = 5, x1 = 0, x2 = 1,

    y0 = 39, y1 = 1, y2 = 3.

    Tarea 2, variante 10 GDKA, pagina 2 de 3

  • Ejercicio 10. 1.5%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion.[

    1+ 3 i 3 2 i4+ 4 i 4+ 3 i

    ]x =

    [2 7 i3+ 8 i

    ].

    Ejercicio 11. 1%.Saque las coordenadas de los puntos A,B,C del dibujo y calcule:

    el area orientada del paralelogramo generado porAB y

    AC;

    el area orientada del paralelogramo generado porBA y

    BC;

    el area del triangulo ABC.

    5

    5

    x

    y

    A

    B

    C

    Ejercicio 12. 1%.Dados los puntos P,Q, R, S del espacio cartesiano, calcule:

    el volumen orientado del paraleleppedo generado porPQ,

    PR,PS;

    el volumen orientado del paraleleppedo generado porQP,

    QR,

    QS;

    el volumen de la piramide PQRS.

    P =

    566

    , Q = 34

    6

    , R = 51

    3

    , S = 63

    5

    .

    Tarea 2, variante 10 GDKA, pagina 3 de 3

  • Engr

    apeaq

    u

    No

    dobl

    e

    Algebra III. Tarea 2. Variante 11 GPYU.

    Determinantes.

    Nombre: Calificacion ( %):

    Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

    Ejercicio 1. 0.5%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V2 R una funcion bilineal alternante y sean a, b V .Exprese a f(6a+ 3b, 4a+ b) como un multiplo de f(a, b).

    Ejercicio 2. 1%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c V .Exprese a f(a+ 5b+ c,2a+ 5b, 5a 4b c) como un multiplo de f(a, b, c).

    Ejercicio 3. 1%.El polinomio f(x) esta definido como el siguiente determinante. Calcule el coeficiente de x4 en elpolinomio f(x). Se recomienda recordar la definicion del determinante a traves de permutacionesy encontrar los sumandos del determinante que contienen a la potencia x4.

    f(x) = det

    1 3x 1 03 1 2 x

    3x 0 3x 2x 1 3x 3

    .

    Ejercicio 4. 1%.Calcule el determinante de la matriz A usando operaciones elementales con renglones y laexpansion por cofactores a lo largo de columnas casi nulos. Luego calcule el determinante dela matriz transpuesta A> usando operaciones elementales con renglones y la expansion porcofactores a lo largo de columnas casi nulos.

    A =

    1 1 7 14 1 2 21 5 6 50 1 2 1

    .

    Tarea 2, variante 11 GPYU, pagina 1 de 3

  • Ejercicio 5. 1%.Calcule el determinante de la matriz A de dos maneras diferentes:

    1. Expandiendo por cofactores a lo largo del renglon 3.

    2. Expandiendo por cofactores a lo largo de la columna 1.

    A =

    3 4 26 7 20 1 6

    .Ejercicio 6. 2%.Calcule la matriz AB y los determinantes de las matrices A, B y AB. Verifique que se cumplela igualdad det(AB) = det(A) det(B).

    A =

    4 2 1 2

    3 4 1 31 2 1 2

    1 2 1 0

    , B =1 2 2 32 1 3 10 3 1 41 3 3 1

    .Ejercicio 7. 1%.Calcule la matriz adjunta clasica adj(A) de la matriz A, calcule det(A) y compruebe que secumple la igualdad adj(A)A = det(A)I3. Escriba la matriz A

    1.

    A =

    1 4 21 4 45 5 1

    .Ejercicio 8. 2%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion. 2 2 26 3 6

    3 1 2

    x = 43

    1

    .Ejercicio 9. 2%.Dados los puntos xk y los valores yk, k {0, 1, 2}, escriba el sistema de ecuaciones lineales quedeben satisfacer los coeficientes del polinomio P(x) = a0 + a1x+ a2x

    2 para que se cumplan lasigualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}. Calcule el determinante de la matriz del sistema con laformula para el determinante de una matriz de Vandermonde. Resuelva el sistema con laregla de Cramer. Escriba el polinomio P(x) y comprueba las igualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}.

    x0 = 5, x1 = 4, x2 = 1,

    y0 = 13, y1 = 6, y2 = 1.

    Tarea 2, variante 11 GPYU, pagina 2 de 3

  • Ejercicio 10. 1.5%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion.[

    1+ 3 i 2+ 4 i1+ 2 i 2+ 2 i

    ]x =

    [1+ 7 i10+ 5 i

    ].

    Ejercicio 11. 1%.Saque las coordenadas de los puntos A,B,C del dibujo y calcule:

    el area orientada del paralelogramo generado porAB y

    AC;

    el area orientada del paralelogramo generado porBA y

    BC;

    el area del triangulo ABC.

    5

    5

    x

    y

    A

    B

    C

    Ejercicio 12. 1%.Dados los puntos P,Q, R, S del espacio cartesiano, calcule:

    el volumen orientado del paraleleppedo generado porPQ,

    PR,PS;

    el volumen orientado del paraleleppedo generado porQP,

    QR,

    QS;

    el volumen de la piramide PQRS.

    P =

    541

    , Q = 23

    5

    , R = 24

    2

    , S = 13

    2

    .

    Tarea 2, variante 11 GPYU, pagina 3 de 3

  • Engr

    apeaq

    u

    No

    dobl

    e

    Algebra III. Tarea 2. Variante 12 HBLM.

    Determinantes.

    Nombre: Calificacion ( %):

    Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

    Ejercicio 1. 0.5%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V2 R una funcion bilineal alternante y sean a, b V .Exprese a f(7a+ 6b, 3a+ b) como un multiplo de f(a, b).

    Ejercicio 2. 1%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c V .Exprese a f(3a+ 5b+ 3c, b 5c,a b+ 2c) como un multiplo de f(a, b, c).

    Ejercicio 3. 1%.El polinomio f(x) esta definido como el siguiente determinante. Calcule el coeficiente de x4 en elpolinomio f(x). Se recomienda recordar la definicion del determinante a traves de permutacionesy encontrar los sumandos del determinante que contienen a la potencia x4.

    f(x) = det

    2 3 2x 1

    3 3x 1 2xx 2 1 21 2x 2 3x

    .

    Ejercicio 4. 1%.Calcule el determinante de la matriz A usando operaciones elementales con renglones y laexpansion por cofactores a lo largo de columnas casi nulos. Luego calcule el determinante dela matriz transpuesta A> usando operaciones elementales con renglones y la expansion porcofactores a lo largo de columnas casi nulos.

    A =

    1 7 7 0

    6 1 2 72 5 4 3

    1 4 7 3

    .

    Tarea 2, variante 12 HBLM, pagina 1 de 3

  • Ejercicio 5. 1%.Calcule el determinante de la matriz A de dos maneras diferentes:

    1. Expandiendo por cofactores a lo largo del renglon 2.

    2. Expandiendo por cofactores a lo largo de la columna 3.

    A =

    2 0 23 5 74 7 5

    .Ejercicio 6. 2%.Calcule la matriz AB y los determinantes de las matrices A, B y AB. Verifique que se cumplela igualdad det(AB) = det(A) det(B).

    A =

    1 2 4 4

    1 1 3 22 0 1 44 4 1 4

    , B =

    1 4 4 21 3 1 11 3 3 2

    3 1 1 0

    .Ejercicio 7. 1%.Calcule la matriz adjunta clasica adj(A) de la matriz A, calcule det(A) y compruebe que secumple la igualdad adj(A)A = det(A)I3. Escriba la matriz A

    1.

    A =

    5 1 42 2 23 1 1

    .Ejercicio 8. 2%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion. 1 5 14 4 6

    5 4 6

    x = 342

    .Ejercicio 9. 2%.Dados los puntos xk y los valores yk, k {0, 1, 2}, escriba el sistema de ecuaciones lineales quedeben satisfacer los coeficientes del polinomio P(x) = a0 + a1x+ a2x

    2 para que se cumplan lasigualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}. Calcule el determinante de la matriz del sistema con laformula para el determinante de una matriz de Vandermonde. Resuelva el sistema con laregla de Cramer. Escriba el polinomio P(x) y comprueba las igualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}.

    x0 = 4, x1 = 2, x2 = 1,

    y0 = 30, y1 = 10, y2 = 3.

    Tarea 2, variante 12 HBLM, pagina 2 de 3

  • Ejercicio 10. 1.5%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion.[

    1 4 i 1+ i3 2 i 2 3 i

    ]x =

    [8 8 i4+ 9 i

    ].

    Ejercicio 11. 1%.Saque las coordenadas de los puntos A,B,C del dibujo y calcule:

    el area orientada del paralelogramo generado porAB y

    AC;

    el area orientada del paralelogramo generado porBA y

    BC;

    el area del triangulo ABC.

    5

    5

    x

    y

    A

    B

    C

    Ejercicio 12. 1%.Dados los puntos P,Q, R, S del espacio cartesiano, calcule:

    el volumen orientado del paraleleppedo generado porPQ,

    PR,PS;

    el volumen orientado del paraleleppedo generado porQP,

    QR,

    QS;

    el volumen de la piramide PQRS.

    P =

    533

    , Q = 33

    2

    , R = 34

    0

    , S = 23

    5

    .

    Tarea 2, variante 12 HBLM, pagina 3 de 3

  • Engr

    apeaq

    u

    No

    dobl

    e

    Algebra III. Tarea 2. Variante 13 HLPA.

    Determinantes.

    Nombre: Calificacion ( %):

    Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

    Ejercicio 1. 0.5%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V2 R una funcion bilineal alternante y sean a, b V .Exprese a f(4a 4b, 6a+ 2b) como un multiplo de f(a, b).

    Ejercicio 2. 1%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c V .Exprese a f(3a 2b+ 2c, a 4c, 4a b+ 2c) como un multiplo de f(a, b, c).

    Ejercicio 3. 1%.El polinomio f(x) esta definido como el siguiente determinante. Calcule el coeficiente de x4 en elpolinomio f(x). Se recomienda recordar la definicion del determinante a traves de permutacionesy encontrar los sumandos del determinante que contienen a la potencia x4.

    f(x) = det

    1 3x 1 11 1 1 2x

    3x 1 2x 3x 1 2x 2

    .

    Ejercicio 4. 1%.Calcule el determinante de la matriz A usando operaciones elementales con renglones y laexpansion por cofactores a lo largo de columnas casi nulos. Luego calcule el determinante dela matriz transpuesta A> usando operaciones elementales con renglones y la expansion porcofactores a lo largo de columnas casi nulos.

    A =

    0 6 1 41 5 1 1

    2 2 4 12 1 3 2

    .

    Tarea 2, variante 13 HLPA, pagina 1 de 3

  • Ejercicio 5. 1%.Calcule el determinante de la matriz A de dos maneras diferentes:

    1. Expandiendo por cofactores a lo largo del renglon 2.

    2. Expandiendo por cofactores a lo largo de la columna 1.

    A =

    4 6 52 7 24 3 5

    .Ejercicio 6. 2%.Calcule la matriz AB y los determinantes de las matrices A, B y AB. Verifique que se cumplela igualdad det(AB) = det(A) det(B).

    A =

    2 2 4 31 4 1 03 1 3 21 3 4 3

    , B =

    4 2 4 13 0 1 2

    2 1 3 14 1 3 4

    .Ejercicio 7. 1%.Calcule la matriz adjunta clasica adj(A) de la matriz A, calcule det(A) y compruebe que secumple la igualdad adj(A)A = det(A)I3. Escriba la matriz A

    1.

    A =

    1 3 13 2 35 5 1

    .Ejercicio 8. 2%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion. 6 6 44 3 4

    5 3 4

    x = 24

    1

    .Ejercicio 9. 2%.Dados los puntos xk y los valores yk, k {0, 1, 2}, escriba el sistema de ecuaciones lineales quedeben satisfacer los coeficientes del polinomio P(x) = a0 + a1x+ a2x

    2 para que se cumplan lasigualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}. Calcule el determinante de la matriz del sistema con laformula para el determinante de una matriz de Vandermonde. Resuelva el sistema con laregla de Cramer. Escriba el polinomio P(x) y comprueba las igualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}.

    x0 = 2, x1 = 1, x2 = 3,

    y0 = 6, y1 = 3, y2 = 31.

    Tarea 2, variante 13 HLPA, pagina 2 de 3

  • Ejercicio 10. 1.5%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion.[

    2+ 4 i 3+ 2 i3+ i 1 i

    ]x =

    [7+ 9 i1+ 5 i

    ].

    Ejercicio 11. 1%.Saque las coordenadas de los puntos A,B,C del dibujo y calcule:

    el area orientada del paralelogramo generado porAB y

    AC;

    el area orientada del paralelogramo generado porBA y

    BC;

    el area del triangulo ABC.

    5

    5

    x

    y

    A

    B

    C

    Ejercicio 12. 1%.Dados los puntos P,Q, R, S del espacio cartesiano, calcule:

    el volumen orientado del paraleleppedo generado porPQ,

    PR,PS;

    el volumen orientado del paraleleppedo generado porQP,

    QR,

    QS;

    el volumen de la piramide PQRS.

    P =

    326

    , Q = 25

    3

    , R = 550

    , S = 52

    5

    .

    Tarea 2, variante 13 HLPA, pagina 3 de 3

  • Engr

    apeaq

    u

    No

    dobl

    e

    Algebra III. Tarea 2. Variante 14 LRE.

    Determinantes.

    Nombre: Calificacion ( %):

    Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

    Ejercicio 1. 0.5%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V2 R una funcion bilineal alternante y sean a, b V .Exprese a f(6a+ 7b, a 6b) como un multiplo de f(a, b).

    Ejercicio 2. 1%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c V .Exprese a f(2a 2b+ 3c, 2a+ 2b 2c,3b+ c) como un multiplo de f(a, b, c).

    Ejercicio 3. 1%.El polinomio f(x) esta definido como el siguiente determinante. Calcule el coeficiente de x4 en elpolinomio f(x). Se recomienda recordar la definicion del determinante a traves de permutacionesy encontrar los sumandos del determinante que contienen a la potencia x4.

    f(x) = det

    3 2x 2 2xx 3 2 20 1 x 1

    1 3x 2 3x

    .

    Ejercicio 4. 1%.Calcule el determinante de la matriz A usando operaciones elementales con renglones y laexpansion por cofactores a lo largo de columnas casi nulos. Luego calcule el determinante dela matriz transpuesta A> usando operaciones elementales con renglones y la expansion porcofactores a lo largo de columnas casi nulos.

    A =

    4 4 0 1

    2 4 1 55 7 2 42 3 1 3

    .

    Tarea 2, variante 14 LRE, pagina 1 de 3

  • Ejercicio 5. 1%.Calcule el determinante de la matriz A de dos maneras diferentes:

    1. Expandiendo por cofactores a lo largo del renglon 2.

    2. Expandiendo por cofactores a lo largo de la columna 1.

    A =

    6 5 74 5 63 6 3

    .Ejercicio 6. 2%.Calcule la matriz AB y los determinantes de las matrices A, B y AB. Verifique que se cumplela igualdad det(AB) = det(A) det(B).

    A =

    1 1 1 1

    1 2 0 11 1 1 31 3 1 2

    , B =

    1 2 1 41 1 1 4

    1 1 1 12 2 1 0

    .Ejercicio 7. 1%.Calcule la matriz adjunta clasica adj(A) de la matriz A, calcule det(A) y compruebe que secumple la igualdad adj(A)A = det(A)I3. Escriba la matriz A

    1.

    A =

    5 3 22 2 14 5 5

    .Ejercicio 8. 2%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion. 1 4 64 1 3

    6 2 6

    x = 15

    4

    .Ejercicio 9. 2%.Dados los puntos xk y los valores yk, k {0, 1, 2}, escriba el sistema de ecuaciones lineales quedeben satisfacer los coeficientes del polinomio P(x) = a0 + a1x+ a2x

    2 para que se cumplan lasigualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}. Calcule el determinante de la matriz del sistema con laformula para el determinante de una matriz de Vandermonde. Resuelva el sistema con laregla de Cramer. Escriba el polinomio P(x) y comprueba las igualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}.

    x0 = 0, x1 = 1, x2 = 3,

    y0 = 0, y1 = 3, y2 = 15.

    Tarea 2, variante 14 LRE, pagina 2 de 3

  • Ejercicio 10. 1.5%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion.[

    3 2 i 3+ i4+ 2 i 3+ 2 i

    ]x =

    [6 12 i2+ 10 i

    ].

    Ejercicio 11. 1%.Saque las coordenadas de los puntos A,B,C del dibujo y calcule:

    el area orientada del paralelogramo generado porAB y

    AC;

    el area orientada del paralelogramo generado porBA y

    BC;

    el area del triangulo ABC.

    5

    5

    x

    y

    A

    B

    C

    Ejercicio 12. 1%.Dados los puntos P,Q, R, S del espacio cartesiano, calcule:

    el volumen orientado del paraleleppedo generado porPQ,

    PR,PS;

    el volumen orientado del paraleleppedo generado porQP,

    QR,

    QS;

    el volumen de la piramide PQRS.

    P =

    434

    , Q = 31

    6

    , R = 603

    , S = 63

    1

    .

    Tarea 2, variante 14 LRE, pagina 3 de 3

  • Engr

    apeaq

    u

    No

    dobl

    e

    Algebra III. Tarea 2. Variante 15 LSMR.

    Determinantes.

    Nombre: Calificacion ( %):

    Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

    Ejercicio 1. 0.5%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V2 R una funcion bilineal alternante y sean a, b V .Exprese a f(a+ 8b,3a+ 4b) como un multiplo de f(a, b).

    Ejercicio 2. 1%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c V .Exprese a f(5a+ 4b+ 5c, 3b 2c,6a+ 4b+ 4c) como un multiplo de f(a, b, c).

    Ejercicio 3. 1%.El polinomio f(x) esta definido como el siguiente determinante. Calcule el coeficiente de x4 en elpolinomio f(x). Se recomienda recordar la definicion del determinante a traves de permutacionesy encontrar los sumandos del determinante que contienen a la potencia x4.

    f(x) = det

    3 2x x 02 2 1 2x1 x x 2x 2 1 2

    .

    Ejercicio 4. 1%.Calcule el determinante de la matriz A usando operaciones elementales con renglones y laexpansion por cofactores a lo largo de columnas casi nulos. Luego calcule el determinante dela matriz transpuesta A> usando operaciones elementales con renglones y la expansion porcofactores a lo largo de columnas casi nulos.

    A =

    5 2 4 26 0 1 2

    1 5 6 72 1 2 1

    .

    Tarea 2, variante 15 LSMR, pagina 1 de 3

  • Ejercicio 5. 1%.Calcule el determinante de la matriz A de dos maneras diferentes:

    1. Expandiendo por cofactores a lo largo del renglon 1.

    2. Expandiendo por cofactores a lo largo de la columna 2.

    A =

    6 1 41 2 22 4 2

    .Ejercicio 6. 2%.Calcule la matriz AB y los determinantes de las matrices A, B y AB. Verifique que se cumplela igualdad det(AB) = det(A) det(B).

    A =

    1 1 1 21 1 1 33 1 1 23 2 3 4

    , B =

    2 2 1 21 1 1 21 4 1 42 1 0 1

    .Ejercicio 7. 1%.Calcule la matriz adjunta clasica adj(A) de la matriz A, calcule det(A) y compruebe que secumple la igualdad adj(A)A = det(A)I3. Escriba la matriz A

    1.

    A =

    5 4 54 5 52 1 3

    .Ejercicio 8. 2%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion. 2 1 63 1 6

    1 4 6

    x = 23

    1

    .Ejercicio 9. 2%.Dados los puntos xk y los valores yk, k {0, 1, 2}, escriba el sistema de ecuaciones lineales quedeben satisfacer los coeficientes del polinomio P(x) = a0 + a1x+ a2x

    2 para que se cumplan lasigualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}. Calcule el determinante de la matriz del sistema con laformula para el determinante de una matriz de Vandermonde. Resuelva el sistema con laregla de Cramer. Escriba el polinomio P(x) y comprueba las igualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}.

    x0 = 1, x1 = 4, x2 = 5,

    y0 = 2, y1 = 3, y2 = 2.

    Tarea 2, variante 15 LSMR, pagina 2 de 3

  • Ejercicio 10. 1.5%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion.[

    1+ 2 i 1+ 2 i3 4 i 2 4 i

    ]x =

    [1+ 9 i3 3 i

    ].

    Ejercicio 11. 1%.Saque las coordenadas de los puntos A,B,C del dibujo y calcule:

    el area orientada del paralelogramo generado porAB y

    AC;

    el area orientada del paralelogramo generado porBA y

    BC;

    el area del triangulo ABC.

    5

    5

    x

    y

    A

    B

    C

    Ejercicio 12. 1%.Dados los puntos P,Q, R, S del espacio cartesiano, calcule:

    el volumen orientado del paraleleppedo generado porPQ,

    PR,PS;

    el volumen orientado del paraleleppedo generado porQP,

    QR,

    QS;

    el volumen de la piramide PQRS.

    P =

    525

    , Q = 45

    1

    , R = 31

    3

    , S = 346

    .

    Tarea 2, variante 15 LSMR, pagina 3 de 3

  • Engr

    apeaq

    u

    No

    dobl

    e

    Algebra III. Tarea 2. Variante 16 LCJ.

    Determinantes.

    Nombre: Calificacion ( %):

    Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

    Ejercicio 1. 0.5%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V2 R una funcion bilineal alternante y sean a, b V .Exprese a f(7a+ 5b,7a 7b) como un multiplo de f(a, b).

    Ejercicio 2. 1%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c V .Exprese a f(4a+ 5b 4c, 3b 6c,5a+ 5b+ c) como un multiplo de f(a, b, c).

    Ejercicio 3. 1%.El polinomio f(x) esta definido como el siguiente determinante. Calcule el coeficiente de x4 en elpolinomio f(x). Se recomienda recordar la definicion del determinante a traves de permutacionesy encontrar los sumandos del determinante que contienen a la potencia x4.

    f(x) = det

    2 1 3x 13x 2x 2 3

    3x 3x 1 33 1 3 3x

    .

    Ejercicio 4. 1%.Calcule el determinante de la matriz A usando operaciones elementales con renglones y laexpansion por cofactores a lo largo de columnas casi nulos. Luego calcule el determinante dela matriz transpuesta A> usando operaciones elementales con renglones y la expansion porcofactores a lo largo de columnas casi nulos.

    A =

    2 2 6 57 4 2 3

    7 7 4 77 4 7 0

    .

    Tarea 2, variante 16 LCJ, pagina 1 de 3

  • Ejercicio 5. 1%.Calcule el determinante de la matriz A de dos maneras diferentes:

    1. Expandiendo por cofactores a lo largo del renglon 1.

    2. Expandiendo por cofactores a lo largo de la columna 2.

    A =

    7 4 60 3 67 3 2

    .Ejercicio 6. 2%.Calcule la matriz AB y los determinantes de las matrices A, B y AB. Verifique que se cumplela igualdad det(AB) = det(A) det(B).

    A =

    1 2 1 22 4 1 3

    0 2 4 41 3 4 1

    , B =

    0 3 2 23 1 2 4

    1 4 2 11 2 1 2

    .Ejercicio 7. 1%.Calcule la matriz adjunta clasica adj(A) de la matriz A, calcule det(A) y compruebe que secumple la igualdad adj(A)A = det(A)I3. Escriba la matriz A

    1.

    A =

    4 4 43 4 44 5 2

    .Ejercicio 8. 2%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion. 1 2 43 4 6

    3 1 2

    x = 77

    6

    .Ejercicio 9. 2%.Dados los puntos xk y los valores yk, k {0, 1, 2}, escriba el sistema de ecuaciones lineales quedeben satisfacer los coeficientes del polinomio P(x) = a0 + a1x+ a2x

    2 para que se cumplan lasigualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}. Calcule el determinante de la matriz del sistema con laformula para el determinante de una matriz de Vandermonde. Resuelva el sistema con laregla de Cramer. Escriba el polinomio P(x) y comprueba las igualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}.

    x0 = 0, x1 = 2, x2 = 3,

    y0 = 1, y1 = 1, y2 = 1.

    Tarea 2, variante 16 LCJ, pagina 2 de 3

  • Ejercicio 10. 1.5%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion.[

    2 3 i 2 3 i3+ 3 i 3+ 2 i

    ]x =

    [3 8 i5 2 i

    ].

    Ejercicio 11. 1%.Saque las coordenadas de los puntos A,B,C del dibujo y calcule:

    el area orientada del paralelogramo generado porAB y

    AC;

    el area orientada del paralelogramo generado porBA y

    BC;

    el area del triangulo ABC.

    5

    5

    x

    y

    A

    B

    C

    Ejercicio 12. 1%.Dados los puntos P,Q, R, S del espacio cartesiano, calcule:

    el volumen orientado del paraleleppedo generado porPQ,

    PR,PS;

    el volumen orientado del paraleleppedo generado porQP,

    QR,

    QS;

    el volumen de la piramide PQRS.

    P =

    351

    , Q = 62

    4

    , R = 56

    5

    , S = 64

    5

    .

    Tarea 2, variante 16 LCJ, pagina 3 de 3

  • Engr

    apeaq

    u

    No

    dobl

    e

    Algebra III. Tarea 2. Variante 17 MOA.

    Determinantes.

    Nombre: Calificacion ( %):

    Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

    Ejercicio 1. 0.5%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V2 R una funcion bilineal alternante y sean a, b V .Exprese a f(6a+ 5b, 5a+ b) como un multiplo de f(a, b).

    Ejercicio 2. 1%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c V .Exprese a f(2a+ b 2c,2a+ 6b+ 4c,3a+ b+ c) como un multiplo de f(a, b, c).

    Ejercicio 3. 1%.El polinomio f(x) esta definido como el siguiente determinante. Calcule el coeficiente de x4 en elpolinomio f(x). Se recomienda recordar la definicion del determinante a traves de permutacionesy encontrar los sumandos del determinante que contienen a la potencia x4.

    f(x) = det

    3 1 3x 2x

    3x 3 0 13 x 1 3

    2 1 x 3x

    .

    Ejercicio 4. 1%.Calcule el determinante de la matriz A usando operaciones elementales con renglones y laexpansion por cofactores a lo largo de columnas casi nulos. Luego calcule el determinante dela matriz transpuesta A> usando operaciones elementales con renglones y la expansion porcofactores a lo largo de columnas casi nulos.

    A =

    4 5 1 42 1 4 3

    1 2 2 16 2 1 7

    .

    Tarea 2, variante 17 MOA, pagina 1 de 3

  • Ejercicio 5. 1%.Calcule el determinante de la matriz A de dos maneras diferentes:

    1. Expandiendo por cofactores a lo largo del renglon 3.

    2. Expandiendo por cofactores a lo largo de la columna 2.

    A =

    4 7 41 0 51 2 6

    .Ejercicio 6. 2%.Calcule la matriz AB y los determinantes de las matrices A, B y AB. Verifique que se cumplela igualdad det(AB) = det(A) det(B).

    A =

    4 3 3 22 1 3 12 3 4 4

    2 1 3 2

    , B =

    1 1 1 11 2 0 11 1 1 31 3 1 2

    .Ejercicio 7. 1%.Calcule la matriz adjunta clasica adj(A) de la matriz A, calcule det(A) y compruebe que secumple la igualdad adj(A)A = det(A)I3. Escriba la matriz A

    1.

    A =

    2 5 54 2 31 1 2

    .Ejercicio 8. 2%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion. 1 1 15 3 3

    4 2 6

    x = 37

    2

    .Ejercicio 9. 2%.Dados los puntos xk y los valores yk, k {0, 1, 2}, escriba el sistema de ecuaciones lineales quedeben satisfacer los coeficientes del polinomio P(x) = a0 + a1x+ a2x

    2 para que se cumplan lasigualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}. Calcule el determinante de la matriz del sistema con laformula para el determinante de una matriz de Vandermonde. Resuelva el sistema con laregla de Cramer. Escriba el polinomio P(x) y comprueba las igualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}.

    x0 = 2, x1 = 2, x2 = 3,

    y0 = 1, y1 = 3, y2 = 1.

    Tarea 2, variante 17 MOA, pagina 2 de 3

  • Ejercicio 10. 1.5%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion.[

    1+ i 2+ 2 i3 2 i 3 4 i

    ]x =

    [8+ 4 i9 5 i

    ].

    Ejercicio 11. 1%.Saque las coordenadas de los puntos A,B,C del dibujo y calcule:

    el area orientada del paralelogramo generado porAB y

    AC;

    el area orientada del paralelogramo generado porBA y

    BC;

    el area del triangulo ABC.

    5

    5

    x

    y

    A

    B

    C

    Ejercicio 12. 1%.Dados los puntos P,Q, R, S del espacio cartesiano, calcule:

    el volumen orientado del paraleleppedo generado porPQ,

    PR,PS;

    el volumen orientado del paraleleppedo generado porQP,

    QR,

    QS;

    el volumen de la piramide PQRS.

    P =

    354

    , Q = 36

    0

    , R = 23

    1

    , S = 41

    3

    .

    Tarea 2, variante 17 MOA, pagina 3 de 3

  • Engr

    apeaq

    u

    No

    dobl

    e

    Algebra III. Tarea 2. Variante 18 MRA.

    Determinantes.

    Nombre: Calificacion ( %):

    Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

    Ejercicio 1. 0.5%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V2 R una funcion bilineal alternante y sean a, b V .Exprese a f(5a 3b,3a+ 5b) como un multiplo de f(a, b).

    Ejercicio 2. 1%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c V .Exprese a f(3a+ b 2c, 3a+ 3b c, a 2b+ 4c) como un multiplo de f(a, b, c).

    Ejercicio 3. 1%.El polinomio f(x) esta definido como el siguiente determinante. Calcule el coeficiente de x4 en elpolinomio f(x). Se recomienda recordar la definicion del determinante a traves de permutacionesy encontrar los sumandos del determinante que contienen a la potencia x4.

    f(x) = det

    3x 2 3 2x2 2 2x 2

    3x 3 3 x2 x 1 2

    .

    Ejercicio 4. 1%.Calcule el determinante de la matriz A usando operaciones elementales con renglones y laexpansion por cofactores a lo largo de columnas casi nulos. Luego calcule el determinante dela matriz transpuesta A> usando operaciones elementales con renglones y la expansion porcofactores a lo largo de columnas casi nulos.

    A =

    2 2 7 4

    6 2 3 14 2 1 2

    5 2 2 4

    .

    Tarea 2, variante 18 MRA, pagina 1 de 3

  • Ejercicio 5. 1%.Calcule el determinante de la matriz A de dos maneras diferentes:

    1. Expandiendo por cofactores a lo largo del renglon 3.

    2. Expandiendo por cofactores a lo largo de la columna 2.

    A =

    5 5 44 6 34 2 1

    .Ejercicio 6. 2%.Calcule la matriz AB y los determinantes de las matrices A, B y AB. Verifique que se cumplela igualdad det(AB) = det(A) det(B).

    A =

    1 4 2 2

    1 1 2 41 2 1 10 1 1 4

    , B =

    0 4 1 3

    1 1 3 33 1 2 32 1 1 1

    .Ejercicio 7. 1%.Calcule la matriz adjunta clasica adj(A) de la matriz A, calcule det(A) y compruebe que secumple la igualdad adj(A)A = det(A)I3. Escriba la matriz A

    1.

    A =

    1 4 11 1 11 5 5

    .Ejercicio 8. 2%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion. 4 3 21 1 5

    2 1 4

    x = 55

    7

    .Ejercicio 9. 2%.Dados los puntos xk y los valores yk, k {0, 1, 2}, escriba el sistema de ecuaciones lineales quedeben satisfacer los coeficientes del polinomio P(x) = a0 + a1x+ a2x

    2 para que se cumplan lasigualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}. Calcule el determinante de la matriz del sistema con laformula para el determinante de una matriz de Vandermonde. Resuelva el sistema con laregla de Cramer. Escriba el polinomio P(x) y comprueba las igualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}.

    x0 = 3, x1 = 2, x2 = 0,

    y0 = 4, y1 = 1, y2 = 1.

    Tarea 2, variante 18 MRA, pagina 2 de 3

  • Ejercicio 10. 1.5%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion.[

    3+ 2 i 4+ 2 i2 3 i 3 4 i

    ]x =

    [8+ 10 i9 i

    ].

    Ejercicio 11. 1%.Saque las coordenadas de los puntos A,B,C del dibujo y calcule:

    el area orientada del paralelogramo generado porAB y

    AC;

    el area orientada del paralelogramo generado porBA y

    BC;

    el area del triangulo ABC.

    5

    5

    x

    y

    AB

    C

    Ejercicio 12. 1%.Dados los puntos P,Q, R, S del espacio cartesiano, calcule:

    el volumen orientado del paraleleppedo generado porPQ,

    PR,PS;

    el volumen orientado del paraleleppedo generado porQP,

    QR,

    QS;

    el volumen de la piramide PQRS.

    P =

    412

    , Q = 12

    4

    , R = 55

    4

    , S = 33

    1

    .

    Tarea 2, variante 18 MRA, pagina 3 de 3

  • Engr

    apeaq

    u

    No

    dobl

    e

    Algebra III. Tarea 2. Variante 19 NHOF.

    Determinantes.

    Nombre: Calificacion ( %):

    Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

    Ejercicio 1. 0.5%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V2 R una funcion bilineal alternante y sean a, b V .Exprese a f(2a+ 6b,3a+ 3b) como un multiplo de f(a, b).

    Ejercicio 2. 1%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c V .Exprese a f(2a+ 5b 4c, a 4b+ 5c,6a 3b 5c) como un multiplo de f(a, b, c).

    Ejercicio 3. 1%.El polinomio f(x) esta definido como el siguiente determinante. Calcule el coeficiente de x4 en elpolinomio f(x). Se recomienda recordar la definicion del determinante a traves de permutacionesy encontrar los sumandos del determinante que contienen a la potencia x4.

    f(x) = det

    2 3 3 3x

    2x 1 3x 33 2x 0 3x 1 3x 0

    .

    Ejercicio 4. 1%.Calcule el determinante de la matriz A usando operaciones elementales con renglones y laexpansion por cofactores a lo largo de columnas casi nulos. Luego calcule el determinante dela matriz transpuesta A> usando operaciones elementales con renglones y la expansion porcofactores a lo largo de columnas casi nulos.

    A =

    1 1 2 4

    5 2 3 72 5 4 71 2 2 7

    .

    Tarea 2, variante 19 NHOF, pagina 1 de 3

  • Ejercicio 5. 1%.Calcule el determinante de la matriz A de dos maneras diferentes:

    1. Expandiendo por cofactores a lo largo del renglon 2.

    2. Expandiendo por cofactores a lo largo de la columna 1.

    A =

    5 4 16 4 33 7 2

    .Ejercicio 6. 2%.Calcule la matriz AB y los determinantes de las matrices A, B y AB. Verifique que se cumplela igualdad det(AB) = det(A) det(B).

    A =

    1 0 2 22 2 1 12 2 1 1

    3 3 2 2

    , B =

    1 1 3 31 1 3 2

    2 2 1 34 1 4 2

    .Ejercicio 7. 1%.Calcule la matriz adjunta clasica adj(A) de la matriz A, calcule det(A) y compruebe que secumple la igualdad adj(A)A = det(A)I3. Escriba la matriz A

    1.

    A =

    5 4 21 5 51 2 2

    .Ejercicio 8. 2%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion. 4 5 44 2 3

    2 6 1

    x = 32

    6

    .Ejercicio 9. 2%.Dados los puntos xk y los valores yk, k {0, 1, 2}, escriba el sistema de ecuaciones lineales quedeben satisfacer los coeficientes del polinomio P(x) = a0 + a1x+ a2x

    2 para que se cumplan lasigualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}. Calcule el determinante de la matriz del sistema con laformula para el determinante de una matriz de Vandermonde. Resuelva el sistema con laregla de Cramer. Escriba el polinomio P(x) y comprueba las igualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}.

    x0 = 4, x1 = 2, x2 = 3,

    y0 = 30, y1 = 6, y2 = 16.

    Tarea 2, variante 19 NHOF, pagina 2 de 3

  • Ejercicio 10. 1.5%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion.[

    2 2 i 1 3 i3 i 4 3 i

    ]x =

    [5 11 i3+ 4 i

    ].

    Ejercicio 11. 1%.Saque las coordenadas de los puntos A,B,C del dibujo y calcule:

    el area orientada del paralelogramo generado porAB y

    AC;

    el area orientada del paralelogramo generado porBA y

    BC;

    el area del triangulo ABC.

    5

    5

    x

    y

    A

    B

    C

    Ejercicio 12. 1%.Dados los puntos P,Q, R, S del espacio cartesiano, calcule:

    el volumen orientado del paraleleppedo generado porPQ,

    PR,PS;

    el volumen orientado del paraleleppedo generado porQP,

    QR,

    QS;

    el volumen de la piramide PQRS.

    P =

    631

    , Q = 15

    3

    , R = 33

    1

    , S = 34

    2

    .

    Tarea 2, variante 19 NHOF, pagina 3 de 3

  • Engr

    apeaq

    u

    No

    dobl

    e

    Algebra III. Tarea 2. Variante 20 RCCE.

    Determinantes.

    Nombre: Calificacion ( %):

    Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

    Ejercicio 1. 0.5%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V2 R una funcion bilineal alternante y sean a, b V .Exprese a f(2a 5b, 7a+ 4b) como un multiplo de f(a, b).

    Ejercicio 2. 1%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c V .Exprese a f(a 5b 2c, b 3c, a+ b 4c) como un multiplo de f(a, b, c).

    Ejercicio 3. 1%.El polinomio f(x) esta definido como el siguiente determinante. Calcule el coeficiente de x4 en elpolinomio f(x). Se recomienda recordar la definicion del determinante a traves de permutacionesy encontrar los sumandos del determinante que contienen a la potencia x4.

    f(x) = det

    3 0 0 2x3x 3 2 33 3x 3x 0

    2 3x x 0

    .

    Ejercicio 4. 1%.Calcule el determinante de la matriz A usando operaciones elementales con renglones y laexpansion por cofactores a lo largo de columnas casi nulos. Luego calcule el determinante dela matriz transpuesta A> usando operaciones elementales con renglones y la expansion porcofactores a lo largo de columnas casi nulos.

    A =

    1 6 4 74 5 2 4

    2 1 3 26 5 4 4

    .

    Tarea 2, variante 20 RCCE, pagina 1 de 3

  • Ejercicio 5. 1%.Calcule el determinante de la matriz A de dos maneras diferentes:

    1. Expandiendo por cofactores a lo largo del renglon 1.

    2. Expandiendo por cofactores a lo largo de la columna 3.

    A =

    2 5 37 6 04 1 5

    .Ejercicio 6. 2%.Calcule la matriz AB y los determinantes de las matrices A, B y AB. Verifique que se cumplela igualdad det(AB) = det(A) det(B).

    A =

    3 4 2 34 3 3 31 1 1 43 2 1 1

    , B =

    4 1 0 2

    1 1 1 13 1 3 4

    2 1 1 3

    .Ejercicio 7. 1%.Calcule la matriz adjunta clasica adj(A) de la matriz A, calcule det(A) y compruebe que secumple la igualdad adj(A)A = det(A)I3. Escriba la matriz A

    1.

    A =

    4 2 43 4 12 2 2

    .Ejercicio 8. 2%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion. 4 6 12 3 1

    6 5 4

    x = 75

    6

    .Ejercicio 9. 2%.Dados los puntos xk y los valores yk, k {0, 1, 2}, escriba el sistema de ecuaciones lineales quedeben satisfacer los coeficientes del polinomio P(x) = a0 + a1x+ a2x

    2 para que se cumplan lasigualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}. Calcule el determinante de la matriz del sistema con laformula para el determinante de una matriz de Vandermonde. Resuelva el sistema con laregla de Cramer. Escriba el polinomio P(x) y comprueba las igualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}.

    x0 = 3, x1 = 2, x2 = 0,

    y0 = 30, y1 = 13, y2 = 3.

    Tarea 2, variante 20 RCCE, pagina 2 de 3

  • Ejercicio 10. 1.5%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion.[

    4 3 i 1+ 3 i1+ 2 i 4+ i

    ]x =

    [3+ 4 i11 i

    ].

    Ejercicio 11. 1%.Saque las coordenadas de los puntos A,B,C del dibujo y calcule:

    el area orientada del paralelogramo generado porAB y

    AC;

    el area orientada del paralelogramo generado porBA y

    BC;

    el area del triangulo ABC.

    5

    5

    x

    y

    A

    BC

    Ejercicio 12. 1%.Dados los puntos P,Q, R, S del espacio cartesiano, calcule:

    el volumen orientado del paraleleppedo generado porPQ,

    PR,PS;

    el volumen orientado del paraleleppedo generado porQP,

    QR,

    QS;

    el volumen de la piramide PQRS.

    P =

    423

    , Q = 53

    5

    , R = 24

    1

    , S = 40

    3

    .

    Tarea 2, variante 20 RCCE, pagina 3 de 3

  • Engr

    apeaq

    u

    No

    dobl

    e

    Algebra III. Tarea 2. Variante 21 RCGA.

    Determinantes.

    Nombre: Calificacion ( %):

    Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

    Ejercicio 1. 0.5%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V2 R una funcion bilineal alternante y sean a, b V .Exprese a f(8a+ 2b, 2a+ 2b) como un multiplo de f(a, b).

    Ejercicio 2. 1%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c V .Exprese a f(2a 2b 2c, 5a 2b+ 6c, 3a+ 3b) como un multiplo de f(a, b, c).

    Ejercicio 3. 1%.El polinomio f(x) esta definido como el siguiente determinante. Calcule el coeficiente de x4 en elpolinomio f(x). Se recomienda recordar la definicion del determinante a traves de permutacionesy encontrar los sumandos del determinante que contienen a la potencia x4.

    f(x) = det

    2 2x 1 31 3 3x x3 1 3x x2x 0 3 2

    .

    Ejercicio 4. 1%.Calcule el determinante de la matriz A usando operaciones elementales con renglones y laexpansion por cofactores a lo largo de columnas casi nulos. Luego calcule el determinante dela matriz transpuesta A> usando operaciones elementales con renglones y la expansion porcofactores a lo largo de columnas casi nulos.

    A =

    6 4 1 56 4 3 45 2 5 2

    1 5 4 3

    .

    Tarea 2, variante 21 RCGA, pagina 1 de 3

  • Ejercicio 5. 1%.Calcule el determinante de la matriz A de dos maneras diferentes:

    1. Expandiendo por cofactores a lo largo del renglon 1.

    2. Expandiendo por cofactores a lo largo de la columna 3.

    A =

    2 5 73 3 06 7 1

    .Ejercicio 6. 2%.Calcule la matriz AB y los determinantes de las matrices A, B y AB. Verifique que se cumplela igualdad det(AB) = det(A) det(B).

    A =

    4 1 0 2

    1 1 1 13 1 3 4

    2 1 1 3

    , B =

    2 1 1 13 3 1 41 1 3 41 2 4 2

    .Ejercicio 7. 1%.Calcule la matriz adjunta clasica adj(A) de la matriz A, calcule det(A) y compruebe que secumple la igualdad adj(A)A = det(A)I3. Escriba la matriz A

    1.

    A =

    2 5 13 2 13 2 2

    .Ejercicio 8. 2%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion. 6 2 12 3 1

    2 4 3

    x = 73

    7

    .Ejercicio 9. 2%.Dados los puntos xk y los valores yk, k {0, 1, 2}, escriba el sistema de ecuaciones lineales quedeben satisfacer los coeficientes del polinomio P(x) = a0 + a1x+ a2x

    2 para que se cumplan lasigualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}. Calcule el determinante de la matriz del sistema con laformula para el determinante de una matriz de Vandermonde. Resuelva el sistema con laregla de Cramer. Escriba el polinomio P(x) y comprueba las igualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}.

    x0 = 1, x1 = 1, x2 = 5,

    y0 = 2, y1 = 4, y2 = 8.

    Tarea 2, variante 21 RCGA, pagina 2 de 3

  • Ejercicio 10. 1.5%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion.[

    4+ 4 i 2+ i4+ 4 i 1+ 4 i

    ]x =

    [2 i

    9+ 4 i

    ].

    Ejercicio 11. 1%.Saque las coordenadas de los puntos A,B,C del dibujo y calcule:

    el area orientada del paralelogramo generado porAB y

    AC;

    el area orientada del paralelogramo generado porBA y

    BC;

    el area del triangulo ABC.

    5

    5

    x

    y

    A

    B

    C

    Ejercicio 12. 1%.Dados los puntos P,Q, R, S del espacio cartesiano, calcule:

    el volumen orientado del paraleleppedo generado porPQ,

    PR,PS;

    el volumen orientado del paraleleppedo generado porQP,

    QR,

    QS;

    el volumen de la piramide PQRS.

    P =

    602

    , Q = 14

    0

    , R = 414

    , S = 34

    5

    .

    Tarea 2, variante 21 RCGA, pagina 3 de 3

  • Engr

    apeaq

    u

    No

    dobl

    e

    Algebra III. Tarea 2. Variante 22 RBH.

    Determinantes.

    Nombre: Calificacion ( %):

    Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

    Ejercicio 1. 0.5%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V2 R una funcion bilineal alternante y sean a, b V .Exprese a f(3a 6b, 6a 7b) como un multiplo de f(a, b).

    Ejercicio 2. 1%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c V .Exprese a f(6a+ 4b, 5a 6b 5c,6a+ 6b+ 2c) como un multiplo de f(a, b, c).

    Ejercicio 3. 1%.El polinomio f(x) esta definido como el siguiente determinante. Calcule el coeficiente de x4 en elpolinomio f(x). Se recomienda recordar la definicion del determinante a traves de permutacionesy encontrar los sumandos del determinante que contienen a la potencia x4.

    f(x) = det

    2 3 3x 3x2 3 2x 2x

    2x 2 3 23 x 2 1

    .

    Ejercicio 4. 1%.Calcule el determinante de la matriz A usando operaciones elementales con renglones y laexpansion por cofactores a lo largo de columnas casi nulos. Luego calcule el determinante dela matriz transpuesta A> usando operaciones elementales con renglones y la expansion porcofactores a lo largo de columnas casi nulos.

    A =

    2 1 3 52 2 1 27 1 0 7

    4 3 2 4

    .

    Tarea 2, variante 22 RBH, pagina 1 de 3

  • Ejercicio 5. 1%.Calcule el determinante de la matriz A de dos maneras diferentes:

    1. Expandiendo por cofactores a lo largo del renglon 3.

    2. Expandiendo por cofactores a lo largo de la columna 1.

    A =

    6 0 12 5 35 3 4

    .Ejercicio 6. 2%.Calcule la matriz AB y los determinantes de las matrices A, B y AB. Verifique que se cumplela igualdad det(AB) = det(A) det(B).

    A =

    3 4 1 32 2 2 13 1 0 3

    2 2 4 3

    , B =

    1 2 1 41 1 1 4

    1 1 1 12 2 1 0

    .Ejercicio 7. 1%.Calcule la matriz adjunta clasica adj(A) de la matriz A, calcule det(A) y compruebe que secumple la igualdad adj(A)A = det(A)I3. Escriba la matriz A

    1.

    A =

    3 2 45 1 53 2 5

    .Ejercicio 8. 2%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion. 5 1 61 6 1

    3 5 4

    x = 11

    1