Download - Algebra Lineal

Transcript

Algebra LinealProfesor: Ing. Ing. Santiago UrquizoEstudiante:Eddy Sebastin Chiriboga YanchaguanoJhonatan Stalin Salazar urtado!i"el: #$ %&'Carrera: Ingenier(a en soft)are*echa: +,-&bril-.+#/

E0 1E23E4& 5E C&Y0EY6&4I012!El teorema de CayleyHamilton establece que cada matriz cuadrada Asatisface su ecuacin caracterstica: Si p( !det("# es el polinomiocaracterstico de A$ entonces p(A es la matriz nula%Entre las di&ersas demostraciones del teorema 'emos encontrado en (%)ellman(*+,- una puramente al.ebraica$ que es la que detallamos$ con al./n matiz$en nuestro traba0o%Elinter1s de la demostracin radica en la utilidad que puede tener para losestudiantes $ la e2posicin de un desarrollo l.ico basado en sus conocimientosb3sicos de c3lculo matricial% 4ambi1n es inmediato y puede ser i.ualmente /tilcalcular$ a partir del teorema$ la in&ersa de A$ cuando A sea no sin.ular%1E23E4& 5E C&Y0EY6&4I012!Sea p( ! ( * n n 5 cn* n* 5 cn6 n6 5 %%% 5 c6 6 5 c* 5 c7el polinomio caracterstico de una matriz A de orden n% Entonces p(A ! ( *n "n 5 cn* "n* 5 cn6 An6 5 %%% 5 c* A 5 c7 8 es la matriz nula% Es decir$cada matriz cuadrada A satisface su ecuacin caracterstica p(A ! 7 %5E42S13&CI7!9or las propiedades de las matrices se cumple que:(A 8 Ad0(A 8 t ! p(8donde Ad0(A 8 t es la matriz traspuesta de la matriz de los ad0untos de loselementos respecti&os de la matriz A 8 y p( ! det(" # es el polinomiocaracterstico de la matriz A%Si denotamos )( ! Ad0(A 8t $ entonces )( es una matriz polinmica en $de .rado n*$ que se puede escribir como:)( ! :n* n* 5 :n6 n6 5 %%% 5 :6 6 5 :* 5 :7dondecada:i esunamatrizdeordenn$ conelementosenel cuerpo;%Entonces el producto(A 8 )( &ale:(A 8 )( ! (A 8 (:n* n* 5 :n6 n6 5 %%% 5 :6 6 5 :* 5 :7! )n* n 5 (":n* :n6 n* 5(":n6 :n< n6 5 %%% 5 (":6 :* 6 5 (":* :7 5 " :79or otro lado p( 8 es la matriz polinmica: p( 8 ! ( * n 8 n 5 cn* 8 n* 5 cn6 8 n6 5 %%% 5 c6 8 6 5 c* 8 5 c7 8=ue.o$ i.ualando las matrices polinmicas$ con elementos en el dominio ;($ (A 8 )( ! p( 8$ se deduce que: :n* ! ( * n 8":n* :n6 ! cn* 8":n6 :n< ! cn6 8%%%":6 :*! c6 8":* :7! c* 8" :7 ! c7 8Si &amos sustituyendo cada matriz )i en la si.uiente ecuacin 'asta lle.ar a lapen/ltima resulta: :n* ! ( * n 8 :n6 ! ( * n A 5 cn* 8 :n< ! ( * n A6 5 cn* A 5 cn6 8 :n> ! ( * n A< 5 cn* A6 5 cn6 A 5 cn< 8%%% :6! ( * n An< 5 cn* An> 5 cn6 An- 5 %%%5 c> A 5 c< 8 :*! ( * n An6 5 cn* An< 5 cn6 An> 5 %%%5 c< A 5 c6 8 :7 ! ( * n An* 5cn* An6 5 cn6 An< 5 %%%5 c6 A 5 c* 8Entonces sustituyendo :7 en la /ltima ecuacin " :7 ! c7 8 se obtiene: " :7! ( * n An 5 cn* An* 5 cn6 An6 5 %%%5 c6 A6 5 c* A ! c7 89or tanto$ ( * n An 5 cn* An* 5 cn6 An6 5 %%%5 c6 A6 5 c* A 5 c7 8 !7% Es decir$ p(A ! 7 c%q%d%