ΑΛΓΕΒΡΑΚΑΙ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝΑ΄ τάξης Γενικού Λυκείου

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΣΤΙΤΟΥΤΟ

ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ - ΑΘΗΝΑ

ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ

Ανδρεαδάκης Στυλιανός Ομοτ. Καθηγητής Πανεπιστημίου ΑθηνώνΚατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής Βαρβακείου Πειραματικού ΛυκείουΠαπασταυρίδης Σταύρος Καθηγητής Πανεπιστημίου ΠάτραςΠολύζος Γεώργιος Μόνιμος Πάρεδρος του Π.Ι.Σβέρκος Ανδρέας Καθηγητής 2ου Πειραματικού Λυκείου Αθηνών

ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ

Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας

ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗΣΑνδρεαδάκης Στυλιανός Ομοτ. Καθηγητής Πανεπιστημίου ΑθηνώνΚατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής Βαρβακείου Πειραματικού ΛυκείουΠαπασταυρίδης Σταύρος Καθηγητής Πανεπιστημίου ΑθηνώνΠολύζος Γεώργιος Μόνιμος Πάρεδρος του Π.Ι.Σβέρκος Ανδρέας Καθηγητής 2ου Πειραματικού Λυκείου Αθηνών

ΕΠΟΠΤΕΙΑ ΤΗΣ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΟΥ Π. Ι.

Σκούρας Αθανάσιος Σύμβουλος του Π. Ι.Πολύζος Γεώργιος Μόνιμος Πάρεδρος του Π. Ι.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΗΣ ΑΝΑΜΟΡΦΩΜΕΝΗΣ ΕΚΔΟΣΗΣΕλευθερόπουλος Ιωάννης Καθηγητής Μαθηματικών, Αποσπασμένος στο Π. Ι. Ζώτος Ιωάννης Καθηγητής Μαθηματικών, Αποσπασμένος στο Π. Ι.Καλλιπολίτου Ευρυδίκη Καθηγήτρια Μαθηματικών, Αποσπασμένη στο Π. Ι.

Α΄ ΕΚΔΟΣΗ: 1991ΕΠΑΝΕΚΔΟΣΕΙΣ ΜΕ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ: 1992, 1993, 1994, 1995, 1996, 1997, 1998Η προσαρμογή του βιβλίου στο νέο αναλυτικό πρόγραμμα έγινε από το Παιδαγωγικό Ινστιτούτο.

ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ

Αδαμόπουλος Λεωνίδας Επ. Σύμβουλος Παιδαγωγικού ΙνστιτούτουΔαμιανού Χαράλαμπος Αναπλ. Καθηγητής Παν/μίου ΑθηνώνΣβέρκος Ανδρέας Σχολικός Σύμβουλος

ΚΡΙΤΕΣ:Κουνιάς Στρατής Καθηγητής Παν/μίου ΑθηνώνΜακρής Κωνσταντίνος Σχολικός ΣύμβουλοςΤσικαλουδάκης Γεώργιος Καθηγητής Β/θμιας Εκπαίδευσης

ΓΛΩΣΣΙΚΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:Μπουσούνη Λία Καθηγήτρια Β/θμιας Εκπαίδευσης

ΔΑΚΤΥΛΟΓΡΑΦΗΣΗ: Μπολιώτη Πόπη

ΣΧΗΜΑΤΑ: Μπούτσικας Μιχάλης

Το βιβλίο που κρατάτε στα χέρια σας περιλαμβάνει την ύλη της Άλγεβρας και των Πιθανοτήτων που προβλέπεται από το πρόγραμμα σπουδών της Α’ τάξης του Γενικού Λυκείου.

Το βιβλίο αυτό προήλθε από αναμόρφωση της Α’ έκδοσης (2010) του βιβλίου ΑΛΓΕΒΡΑ Α’ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ, του οποίου τη συγγραφική ομάδα αποτελούν οι Σ. Ανδρεαδάκης, Β. Κατσαργύρης, Σ. Παπασταυρίδης, Γ. Πολύζος και Α. Σβέρκος. Προ-στέθηκαν επίσης δυο ακόμα κεφάλαια: το κεφάλαιο «Πιθανότητες» και το κεφάλαιο «Πρόοδοι».

Το κεφάλαιο «Πιθανότητες» είναι μέρος του αντίστοιχου κεφαλαίου από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ’ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (2010) του οποίου τη συγγραφική ομάδα αποτελούν οι Λ. Αδαμόπουλος, Χ. Δαμιανού και Α. Σβέρ-κος. Το κεφάλαιο «Πρόοδοι» είναι μέρος του αντίστοιχου κεφαλαίου από το βιβλίο ΑΛΓΕΒΡΑ Β’ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (2010), του οποίου τη συγγραφική ομάδα αποτελούν οι Σ. Ανδρεαδάκης, Β. Κατσαργύρης, Σ. Παπασταυρίδης, Γ. Πολύζος και Α. Σβέρκος.

Το περιεχόμενο του βιβλίου περιλαμβάνει σε γενικές γραμμές τα εξής:

Στο 1° Κεφάλαιο γίνεται μια εισαγωγή στη Θεωρία των Πιθανοτήτων. Η απόδειξη των ιδιοτήτων της πιθανότητας ενός ενδεχομένου γίνεται μόνο στην περίπτωση που τα απλά ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα. Η Θεωρία των Πιθανοτήτων ασχολείται με καταστάσεις όπου υπάρχει αβεβαιότητα, και αυτό την κάνει ιδιαίτερα σημαντική στις εφαρμογές της καθημερινής ζωής.

Στο 2° Κεφάλαιο επαναλαμβάνονται, συμπληρώνονται και επεκτείνονται οι βασικές ιδιότητες των πραγματικών αριθμών.

Στο 3° Κεφάλαιο επαναλαμβάνονται, επεκτείνονται και εξετάζονται συστηματικά όσα είναι γνωστά από το Γυμνάσιο για τις εξισώσεις 1ου και 2ου βαθμού. Επίσης εξετάζονται εξισώσεις που, για να επιλυθούν, ανάγονται σε 1ου και 2ου βαθμού.

Στο 4° Κεφάλαιο παρουσιάζονται ανισώσεις 1ου και 2ου βαθμού καθώς και ανισώσεις που, για να επιλυθούν, ανάγονται σε 1ου και 2ου βαθμού.

Στο 5° Κεφάλαιο γίνεται εισαγωγή στην έννοια της ακολουθίας πραγματικών αριθμών, και εξετάζονται η αριθμητική και η γεωμετρική πρόοδος ως ειδικές περιπτώσεις κανο-νικότητας (pattern) σε ακολουθίες.

Στο 6° Κεφάλαιο εισάγεται η έννοια της συνάρτησης. Η συνάρτηση είναι μια θεμελι-

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

ώδης έννοια που διαπερνά όλους τους κλάδους των Μαθηματικών και έχει κεντρική σημασία για την περαιτέρω ανάπτυξη και εφαρμογή τους.

Στο 7° Κεφάλαιο γίνεται μελέτη των συναρτήσεων , και. Η μελέτη της είναι ο κεντρικός στόχος του κεφα-

λαίου αυτού.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Σελ.ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε1 Το Λεξιλόγιο της Λογικής 9Ε2 Σύνολα 13

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1°: Πιθανότητες1.1 Δειγματικός Χώρος-Ενδεχόμενα 201.2 Έννοια της Πιθανότητας 29

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2°: Οι Πραγματικοί Αριθμοί2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 432.2 Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 542.3 Απόλυτη Τιμή Πραγματικών Αριθμών 612.4 Ρίζες Πραγματικών Αριθμών 69

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3°: Εξισώσεις3.1 Εξισώσεις 1ου Βαθμού 793.2 Η Εξίσωση 863.3 Εξισώσεις 2ου Βαθμού 88

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4°: Ανισώσεις4.1 Ανισώσεις 1ου Βαθμού 1014.2 Ανισώσεις 2ου Βαθμού 1064.3 Ανισώσεις Γινόμενο & Ανισώσεις Πηλίκο 115

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5°: Πρόοδοι5.1 Ακολουθίες 1215.2 Αριθμητική πρόοδος 1255.3 Γεωμετρική πρόοδος 1325.4 Ανατοκισμός-Ίσες καταθέσεις 141

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6°: Βασικές Έννοιες των Συναρτήσεων6.1 Η Έννοια της Συνάρτησης 1456.2 Γραφική Παράσταση Συνάρτησης 1526.3 Η Συνάρτηση ƒ(x) = αx + β 1596.4 Κατακόρυφη-Οριζόντια Μετατόπιση Καμπύλης 1686.5 Μονοτονία-Ακρότατα-Συμμετρίες Συνάρτησης 175

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7°: Μελέτη Βασικών Συναρτήσεων7.1 Μελέτη της Συνάρτησης: ƒ(x) = αx2 1887.2 Μελέτη της Συνάρτησης: ƒ(x) = 1947.3 Μελέτη της Συνάρτησης: ƒ(x) = αx2+βx+γ 199

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 207

ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 213

αx

.1

Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη διατύπωση μαθηματικών εννοιών, προτάσεων κτλ. Τα παραδείγματα που θα χρησιμοποιήσουμε αναφέρονται σε έννοιες και ιδιό-τητες που είναι γνωστές από το Γυμνάσιο.

Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς . Είναι γνωστό ότι:

, .

Αυτό σημαίνει ότι: « » , « 2 2 » .

Γι’ αυτό λέμε ότι ο ισχυρισμός « » συνεπάγεται τον ισχυρισμό

« 2 2 » και γράφουμε: 2 2a a .

Γενικά:

Αν P και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τέτοιοι ώστε, όταν αληθεύει ο P να αληθεύει και ο Q , τότε λέμε ότι P Q και γράφουμε P Q .

Ο ισχυρισμός « P Q » λέγεται και πολλές φορές διαβάζεται « P, Q». Ο P λέγεται της συνεπαγωγής, ενώ ο Q λέγεται

αυτής(1).

(1) Στην καθημερινή πράξη, συνήθως, δεν χρησιμοποιούμε συνεπαγωγές με ψευδή υπόθεση.

Αλλά και η μαθηματική επιστήμη δεν έχει ανάγκη τέτοιου είδους συνεπαγωγών. Όμως, για τεχνικούς λόγους που συνδέονται με την ευκολία της έκφρασης μαθηματικών ζητημάτων, θα υιοθετήσουμε τη σύμβαση ότι η συνεπαγωγή « P Q » να είναι αληθής και στην περί-πτωση που η υπόθεση P είναι ψευδής. Έτσι, η συνεπαγωγή « P Q » είναι ψευδής, μόνο όταν η υπόθεση P είναι αληθής και το συμπέρασμα Q είναι ψευδές και αληθής σε κάθε άλ-λη περίπτωση. Εκ πρώτης όψεως η σύμβαση αυτή φαίνεται περίεργη, αλλά στο πλαίσιο του παρόντος βιβλίου δεν μπορούν να εξηγηθούν οι λόγοι που οδήγησαν σε αυτή.

10 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ10

Ας θεωρήσουμε τις γνωστές μας από το Γυμνάσιο συνεπαγωγές: 2 2 (1) και (2), που ισχύουν για όλους τους πραγματικούς , και . Παρατηρούμε ότι:

Για την πρώτη συνεπαγωγή, δεν ισχύει το αντίστροφο. Δηλαδή δεν ισχύει η συνεπαγωγή 2 2 για όλους τους πραγματικούς αριθμούς

και , αφού για παράδειγμα είναι 2 23 3 , ενώ 3 3 . Για τη δεύτερη, όμως, συνεπαγωγή ισχύει και το αντίστροφο. Δηλαδή για

όλους τους πραγματικούς αριθμούς , , ισχύει και η συνεπαγωγή:

Γι’ αυτό λέμε ότι οι δύο ισχυρισμοί είναι ισοδύναμοι και γράφουμε:

.

Γενικά

Αν και P Q είναι δύο ισχυρισμοί, τέτοιοι ώστε, όταν αληθεύει ο P, να αληθεύει και ο Q και όταν αληθεύει ο Q, να αληθεύει και ο P, τότε λέμε ότι P Q ή, αλλιώς, ότι P

Q και γράφουμε P Q .

Ο ισχυρισμός « P Q » λέγεται και αρκετές φορές διαβάζεται «P Q».

« » Γνωρίζουμε ότι:

και , και

.

Για να δηλώσουμε ότι ένας τουλάχιστον από τους και είναι ίσος με το μηδέν, γράφουμε 0 ή 0 . Έτσι, έχουμε την ισοδυναμία

0 0 ή 0 Γενικά

Λεξιλόγιο της Λογικής - Σύνολα 11 – 11

Αν και P Q είναι δύο ισχυρισμοί, τότε ο ισχυρισμός P Q αληθεύει μόνο στην περίπτωση που ένας τουλάχιστον από τους δύο ισχυρισμούς αληθεύει.

Ο ισχυρισμός «P Q» λέγεται των P και Q . Για παράδειγμα η εξίσωση

2 2 1 0x x x

αληθεύει, αν και μόνο αν ένας τουλάχιστον από τους παράγοντες 2x x και 2 1x είναι ίσος με το μηδέν, δηλαδή, αν και μόνο αν ισχύει η διάζευξη:

2 20 ή 1 0x x x . Παρατηρούμε εδώ ότι:

Για 1x αληθεύουν και οι δύο εξισώσεις, ενώ Για 0x αληθεύει μόνο η πρώτη και για 1x αληθεύει μόνο η δεύτε-

ρη.

« » Γνωρίζουμε ότι:

« και -, και -».

Για να δηλώσουμε ότι και οι δύο αριθμοί και είναι διάφοροι του μηδενός γράφουμε

0 και 0 Έτσι, έχουμε την ισοδυναμία

0 0 και 0 Γενικά

Αν και P Q είναι δύο ισχυρισμοί, τότε ο ισχυρισμός P Q αληθεύει μόνο στην περίπτωση που και οι δύο ισχυρισμοί αληθεύουν.

Ο ισχυρισμός «P Q» λέγεται των P και Q .

Για παράδειγμα, ο ισχυρισμός

( 1) 0x x και ( 1)( 1) 0x x

αληθεύει για εκείνα τα x για τα οποία αληθεύουν και οι δύο εξισώσεις, δηλα-δή για 1x .

12 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ12

I. , -

. .

1. 2 9 3 Α Ψ

2. 2 1 Α Ψ

3. 2 1 Α Ψ

4. 22 4 Α Ψ

5. 22 4 Α Ψ

6. 22 4 Α Ψ

7. 2 4 2 Α Ψ

8. 2 4 2 Α Ψ

9. 2 και 3 6 Α Ψ

II.

.

1 2 0x x 0 και 2x x

2 2 0x x 2x

3 2 4x 2 ή 2x x

4 2 4 και 0x x 0x

5 2 0 και 1 0x x x x 0 ή 2x x

6 2 4 και 0x x 2x

Λεξιλόγιο της Λογικής - Σύνολα 13 – 13

.2

Πολλοί άνθρωποι συνηθίζουν να συλλέγουν διάφορα πράγματα, όπως π.χ. γραμματόσημα, νομίσματα, πίνακες ζωγραφικής, εφημερίδες, βιβλία κτλ. Οι περισσότεροι συλλέκτες ταξινομούν τις συλλογές τους σε κατηγορίες, π.χ. «γραμματόσημα που προέρχονται από την ίδια χώρα», «νομίσματα του περα-σμένου αιώνα», «πίνακες της αναγέννησης» κτλ. Επίσης από αρχαιοτάτων χρόνων οι άνθρωποι ενδιαφέρθηκαν για τους αριθ-μούς και τους ταξινόμησαν σε κατηγορίες, όπως είναι π.χ. «οι άρτιοι αριθ-μοί», «οι πρώτοι αριθμοί» κτλ. Συλλογές ή κατηγορίες όπως οι παραπάνω ή ακόμη ομάδες αντικειμένων, ο-μοειδών ή όχι, που μπορούμε με κάποιο τρόπο να τα ξεχωρίσουμε, ονομάζο-νται στα Μαθηματικά . Σύμφωνα με τον μεγάλο μαθηματικό Cantor:

είναι κάθε συλλογή αντικειμένων, που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Τα αντικείμενα αυτά, που αποτελούν το σύνολο, ονομάζονται στοιχεία ή μέλη του συνόλου.

Ένα σύνολο πρέπει να είναι, όπως συνηθίζουμε να λέμε, «καλώς ορισμένο». Αυτό σημαίνει ότι τα στοιχεία του μπορούν να αναγνωρίζονται με σιγουριά. Για παράδειγμα δεν μπορούμε να μιλάμε για το σύνολο των μεγάλων πραγμα-τικών αριθμών. Αυτό δεν είναι σύνολο, με τη μαθηματική έννοια του όρου, διότι δεν υπάρχει κανόνας που να καθορίζει αν ένας πραγματικός αριθμός εί-ναι ή δεν είναι μεγάλος. Αν όμως θεωρήσουμε τους πραγματικούς αριθμούς που είναι μεγαλύτεροι του 1000000, τότε αυτοί αποτελούν σύνολο.

Για να συμβολίσουμε ένα σύνολο στα Μαθηματικά, χρησιμοποιούμε ένα από τα κεφαλαία γράμματα του Ελληνικού ή του Λατινικού αλφαβήτου, ενώ για τα στοιχεία του χρησιμοποιούμε τα μικρά γράμματα αυτών. Για παράδειγμα:

με συμβολίζουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών, με το σύνολο των ακεραίων αριθμών, με το σύνολο των ρητών αριθμών και με το σύνολο των πραγματικών αριθμών.

14 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ14

Για να δηλώσουμε ότι το x είναι στοιχείο του συνόλου Α, γράφουμε Αx και διαβάζουμε «το x ανήκει στο Α», ενώ για να δηλώσουμε ότι το x δεν είναι στοιχείο του συνόλου Α γράφουμε Αx και διαβάζουμε «το x δεν ανήκει στο Α». Για παράδειγμα

35 , 3

5 , 2 , 2 , 2 κτλ.

Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους:

) Όταν δίνονται όλα τα στοιχεία του και είναι λίγα σε πλήθος, τότε γράφουμε τα στοιχεία αυτά μεταξύ δύο αγκίστρων, χωρίζοντας τα με το κόμμα. Έτσι π.χ., αν το σύνολο Α έχει ως στοιχεία τους αριθμούς 2, 4 και 6, γράφουμε:

Α 2, 4, 6

Πολλές φορές χρησιμοποιούμε έναν παρόμοιο συμβολισμό και για σύνολα που έχουν πολλά ή άπειρα στοιχεία, γράφοντας μερικά μόνο από αυτά και α-ποσιωπώντας τα υπόλοιπα, αρκεί να είναι σαφές ποια είναι αυτά που παραλεί-πονται. Έτσι για παράδειγμα το σύνολο Β των ακεραίων από το 1 μέχρι το 100 συμβολίζεται ως εξής

Β 1, 2, 3, ... , 100 ,

ενώ το σύνολο των κλασμάτων της μορφής 1v

, όπου ν θετικός ακέραιος, συμ-

βολίζεται ως εξής: 1 1 1Γ= 1, , , , ... 2 3 4

Ο παραπάνω τρόπος παράστασης ενός συνόλου λέγεται «παράσταση του συ-νόλου με των στοιχείων του».

) Αν από το σύνολο των πραγματικών αριθμών επιλέξουμε εκείνους που έ-χουν την ιδιότητα να είναι θετικοί, τότε φτιάχνουμε το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών, το οποίο συμβολίζεται με:

0x x

και διαβάζεται «Το σύνολο των x , όπου 0x ».

Ομοίως το σύνολο των άρτιων ακεραίων συμβολίζεται

άρτιοςx x

Λεξιλόγιο της Λογικής - Σύνολα 15 – 15

Γενικά, αν από ένα σύνολο Ω επιλέγουμε εκείνα τα στοιχεία του, που έχουν μια ορισμένη ιδιότητα Ι, τότε φτιάχνουμε ένα νέο σύνολο που συμβολίζεται με:

Ω έχει την ιδιότητα Ιx x

και διαβάζεται «Το σύνολο των x , όπου x έχει την ιδιότητα Ι». Ο παραπάνω τρόπος παράστασης ενός συνόλου λέγεται «παράσταση του συ-νόλου µε των στοιχείων του».

Ας θεωρήσουμε τώρα τα σύνολα:

Α 1, 2 και Β= ( 1)( 2) 0 x x x

Επειδή οι λύσεις της εξίσωσης ( 1)( 2) 0x x είναι οι αριθμοί 1 και 2, το σύνολο Β έχει τα ίδια ακριβώς στοιχεία µε το Α. Σε αυτήν την περίπτωση λέ-με ότι τα σύνολα Α και Β είναι ίσα.

Γενικά

Δύο σύνολα Α και Β λέγονται , όταν έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία.

Με άλλα λόγια: « , -

». Στην περίπτωση αυτή γράφουμε = .

Ας θεωρήσουμε τα σύνολα

Α= 1, 2, 3, ... , 15 και Β= 1, 2, 3, ... , 100 Παρατηρούμε ότι κάθε στοιχείο του συνόλου Α είναι και στοιχείο του συνό-λου Β. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι το Α είναι υποσύνολο του Β.

Γενικά

Ένα σύνολο Α λέγεται ενός συνόλου Β, όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β.

Στην περίπτωση αυτή γράφουμε . Άµεσες συνέπειες του ορισμού είναι οι: i) Α Α , για κάθε σύνολο Α. ii) Αν Α Β και Β Γ , τότε Α Γ . iii) Αν Α Β και Β Α , τότε Α=Β .

16 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ16

Ας αναζητήσουμε τα στοιχεία του συνόλου 2Α 1x x . Είναι φανερό

ότι τέτοια στοιχεία δεν υπάρχουν, αφού η εξίσωση 2 1x είναι αδύνατη στο . Το σύνολο αυτό, που δεν έχει κανένα στοιχείο, λέγεται και

συμβολίζεται με ή { }. Δηλαδή:

είναι το σύνολο που δεν έχει στοιχεία.

Δεχόμαστε ότι το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου.

Venn Μια εποπτική παρουσίαση των συνόλων και των μεταξύ τους σχέσεων γίνεται με τα διαγράμματα Venn. Κάθε φορά που εργαζόμαστε με σύνολα, τα σύνολα αυτά θεωρούνται

υποσύνολα ενός συνόλου που λέγεται και συμβολίζεται με . Για παράδειγμα, τα σύνολα , και , είναι υποσύνολα του βα-σικού συνόλου Ω= .

Το βασικό σύνολο συμβολίζεται με το εσωτε-ρικό ενός ορθογωνίου, ενώ κάθε υποσύνολο ενός βασικού συνόλου παριστάνεται με το εσωτερικό μιας κλειστής καμπύλης που πε-ριέχεται στο εσωτερικό του ορθογωνίου.

Αν Α Β , τότε το Α παριστάνεται με το εσωτερικό μιας κλειστής καμπύλης που περιέχεται στο εσωτερικό της κλειστής καμπύλης που παριστάνει το Β.

Έστω Ω 1,2,3,...,10 ένα βασικό σύνολο και δύο υποσύνολά του:

Α 1,2,3,4 και Β 3,4,5,6 .

Το σύνολο 1,2,3,4,5,6 , που έχει ως στοιχεία τα κοινά και τα μη κοινά

στοιχεία των Α και Β, δηλαδή το σύνολο των στοιχείων του Ω που ανή-κουν τουλάχιστον σε ένα από τα Α και Β λέγεται ένωση των συνόλων Α και Β.

Λεξιλόγιο της Λογικής - Σύνολα 17 – 17

Γενικά:

δύο υποσυνόλων Α, Β ενός βασι-κού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχείων του Ω που ανήκουν τουλάχι-στον σε ένα από τα σύνολα Α και Β και συμβολίζεται με .

Δηλαδή είναι:

x x x

Το σύνολο 3,4 που έχει ως στοιχεία τα κοινά μόνο στοιχεία των Α και Β

λέγεται τομή των Α και Β.

Γενικά:

δύο υποσυνόλων Α, Β ενός βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο των στοι-χείων του Ω που ανήκουν και στα δύο σύ-νολα Α, Β και συμβολίζεται με

Δηλαδή είναι:

x x x

Στην περίπτωση που δύο σύνολα Α και Β δεν έχουν κοινά στοιχεία, δηλα-δή όταν Α Β , τα δύο σύνολα λέγονται μεταξύ τους.

Το σύνολο 5,6,7,8,9,10 που έχει ως στοιχεία τα στοιχεία του Ω που

δεν ανήκουν στο Α, λέγεται συμπλήρωμα του συνόλου Α.

Γενικά:

ενός υποσυνόλου Α ενός βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχείων του Ω που δεν ανήκουν στο Α και συμβολίζεται με .

Δηλαδή είναι:

x x

18 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ18

I. 1. Στους παρακάτω πίνακες να συμπληρώσετε με το σύμβολο “ ” εκείνα τα τε-τραγωνάκια των οποίων ο αντίστοιχος αριθμός ανήκει στο αντίστοιχο σύνολο.

2. Πώς ονομάζονται οι αριθμοί για τους οποίους έχουν συμπληρωθεί τα τετραγω-νάκια μόνο της τελευταίας γραμμής;

3. Να χρησιμοποιήσετε τα διαγράμματα του Venn για να παραστήσετε τις διαδο-χικές σχέσεις εγκλεισμού των συνόλων , , και και να τοποθετήσετε μέσα σε αυτά τους αριθμούς αυτούς.

3,5 0 10 135

π 2,3 205

100 5

II. .

1. Αν Α= διαιρέτης του 16x x και Β= διαιρέτης του 24x x ,τότε:

) Α Β=............................ ) Α Β=................ 2. Ας θεωρήσουμε ως βασικό σύνολο το σύνολο Ω των γραμμάτων του

ελληνικού αλφαβήτου και τα υποσύνολά του

Α= Ω φωνήενx x και Β= Ω σύμφωνοx x .

Τότε: ) Α Β=....... ) Α Β=...... ) Α΄=...... ) B΄=......

III. .

1. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Τότε: ) Α Α Β ) Β Α Β ) Α Β Α ) Α Β Β

2. Έστω δύο σύνολα Α και Β . Τότε: ) Α Α Β ) Α Β Β ) Α Β Α ) Α Β Β

IV. . 1. Έστω Ω ένα βασικό σύνολο, το κενό σύνολο και Α Ω .Τότε: ) ́= …… ) Ω ́= …… ) (Α )́ ́= …..

2. Έστω Α Β .Τότε ) Α Β …… ) Α Β = …….

1 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Εισαγωγή

Υπάρχει σε πολλούς η εντύπωση ότι το κύριο κίνητρο για την ανάπτυξη της Θεωρίας των Πιθανοτήτων προήλθε από το ενδιαφέρον του ανθρώπου για τα τυχερά παιχνίδια. Σημαντική μάλιστα ώθηση στην ανάπτυξη του κλάδου αυτού των Μαθηματικών αποτέλεσε η γόνιμη αλληλογραφία που αναπτύχθηκε ανά-μεσα στους Pascal και Fermat το 17ο αιώνα με αφορμή διάφορα προβλήματα που προέκυψαν από την ενασχόληση του ανθρώπου με τα τυχερά παιχνίδια.Μολονότι όμως τα τυχερά παιχνίδια ήταν ευρέως διαδεδομένα και στους Αρχαί-ους Έλληνες και στους Ρωμαίους, η Θεωρία των Πιθανοτήτων δεν αναπτύχθη-κε κατά την αρχαιότητα, όπως συνέβη με άλλους κλάδους των Μαθηματικών, αλλά πολύ αργότερα, το 16ο και 17ο αιώνα μ.Χ. Γι' αυτό πολλοί απορρίπτουν την άποψη ότι η Θεωρία των Πιθανοτήτων οφείλει τη γένεσή της στην ενασχό-ληση του ανθρώπου με τα τυχερά παιχνίδια και την αποδίδουν στις ανάγκες να λυθούν προβλήματα που παρουσιάστηκαν με την ανάπτυξη του εμπορίου, των ασφαλίσεων, της συλλογής εσόδων του κράτους κτλ. Η ανάπτυξη της Θεωρίας των Πιθανοτήτων οφείλεται επίσης και στις ανάγκες των Φυσικών Επιστημών όπως η εφαρμογή της Θεωρίας Σφαλμάτων σε αστρονομικές παρατηρήσεις.Η Θεωρία των Πιθανοτήτων αναπτύχθηκε ακόμα περισσότερο το 18ο αιώνα με τις αξιοσημείωτες εργασίες των μαθηματικών Bernoulli, Moivre, Laplace και Gauss. Ιδιαίτερα ο Laplace με τις εργασίες του άνοιξε μια καινούργια εποχή για τη Θεωρία Πιθανοτήτων. Γιατί ο Laplace δεν περιορίζεται μόνο στη μαθη-ματική ανάλυση των τυχερών παιγνιδιών, αλλά εφαρμόζει τα συμπεράσματά του και σε ένα πλήθος από επιστημονικά και πρακτικά προβλήματα. Έτσι, με αφορμή τη μελέτη των σφαλμάτων που προκύπτουν στις επαναλαμβανόμενες μετρήσεις του ίδιου αστρονομικού μεγέθους ανακαλύπτεται η περίφημη κανο-νική κατανομή του Gauss. Κατόπιν αποδεικνύεται ότι η κανονική κατανομή απεικονίζει όχι μόνο την κατανομή των σφαλμάτων των αστρονομικών παρα-τηρήσεων αλλά και την κατανομή πολλών βιολογικών, κοινωνικών και φυσι-

20 1.ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

κών φαινομένων. Έτσι, στη διάρκεια του 19ου αιώνα γεννιούνται νέοι κλάδοι των εφαρμοσμένων μαθηματικών, όπως είναι η Θεωρία των Σφαλμάτων, τα Ασφαλιστικά Μαθηματικά και η Στατιστική Μηχανική.Στις μέρες μας η Θεωρία των Πιθανοτήτων με τις εργασίες πολλών διάσημων μαθηματικών, όπως είναι οι (Chebyshev, Markov, Von Mises, Kolmogorov κ.ά., έχει σημειώσει αλματώδη πρόοδο. Καινούργια θεωρητικά αποτελέσματα παρέχουν νέες δυνατότητες για τη χρησιμοποίηση των μεθόδων της Θεωρίας των Πιθανοτήτων. Είναι αξιοσημείωτο το γεγονός ότι οι εφαρμογές των Πι-θανοτήτων αναφέρονται σε ένα ευρύτατο φάσμα επιστημών όπως η Φυσική, η Χημεία, η Γενετική, η Ψυχολογία, η Οικονομολογία, η Τηλεπικοινωνία, η Μετεωρολογία κτλ.Η Θεωρία των Πιθανοτήτων ανήκει στους κλάδους των Μαθηματικών που συμβαδίζουν με την ανάπτυξη των φυσικών επιστημών και της τεχνολογίας. Αυτό δε σημαίνει βέβαια ότι η Θεωρία των Πιθανοτήτων είναι απλώς ένα βοη-θητικό εργαλείο για τη λύση πρακτικών προβλημάτων των άλλων επιστημών. Απεναντίας έχει μετασχηματιστεί σε έναν αυτοτελή κλάδο των καθαρών Μα-θηματικών, που έχει δικά του προβλήματα και δικές του μεθόδους.

1.1ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣΧΩΡΟΣ-ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

ΠείραμαΤύχηςΌπως γνωρίζουμε από τη Φυσική, αν θερμάνουμε αποσταγμένο νερό σε 100° Κελσίου στην επιφάνεια της θάλασσας, δηλαδή σε ατμοσφαιρική πίεση 760 mm Hg, το νερό θα βράσει. Επίσης, αν αφήσουμε ένα σώμα να πέσει στο κενό υπό την επίδραση της βαρύτητας, μπορούμε να προβλέψουμε με ακρίβεια το διάστημα που θα διανύσει σε ορισμένο χρόνο t. Κάθε τέτοιο πείραμα κατά το οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλή-ρως το αποτέλεσμα λέγεται αιτιοκρατικό (deterministic) πείραμα. Υπάρχουν όμως και πειράματα των οποίων δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνονται (φαινομε-νικά τουλάχιστον) κάτω από τις ίδιες συνθήκες. Ένα τέτοιο πείραμα ονο-μάζεται πείραμα τύχης (random experiment). Για παράδειγμα, δεν μπο-ρούμε να προβλέψουμε με ακρίβεια τον αριθμό των τροχαίων ατυχημάτων που συμβαίνουν σε μια εβδομάδα σε ένα σημείο μιας εθνικής οδού, αφού ο

1.1Δειγματικόςχώρος-Ενδεχόμενα 21

αριθμός αυτός εξαρτάται από πολλούς απρόβλεπτους παράγοντες. Πειράματα τύχης είναι και τα εξής:1. Ρίχνεται ένα νόμισμα και καταγράφεται η άνω όψη του.2. Ρίχνεται ένα ζάρι και καταγράφεται η ένδειξη της άνω έδρας του.3. Διαλέγεται αυθαίρετα μια οικογένεια με δύο παιδιά και εξετάζεται ως προς

το φύλο των παιδιών και τη σειρά γέννησης τους.4. Ρίχνεται ένα νόμισμα ώσπου να φέρουμε “γράμματα” αλλά όχι περισσότερο

από τρεις φορές.5. Επιλέγεται τυχαία μια τηλεφωνική συνδιάλεξη και καταγράφεται η διάρκειά της.6. Γίνεται η κλήρωση του ΛΟΤΤΟ και καταγράφεται το αποτέλεσμα.7. Την παραμονή του Πάσχα, στις 5 μ.μ., μετριέται το μήκος της ουράς των

αυτοκινήτων στα πρώτα διόδια της Εθνικής οδού Αθηνών-Λαμίας.8. Επιλέγεται τυχαία μια μέρα της εβδομάδος και μετριέται ο αριθμός των

τηλεθεατών που παρακολούθησαν το απογευματινό δελτίο ειδήσεων στην ΕΤ1.

9. Επιλέγεται τυχαία μια ραδιενεργός πηγή και καταγράφεται ο αριθμός των εκπεμπόμενων σωματιδίων σε συγκεκριμένο χρονικό διάστημα.

ΔειγματικόςΧώροςΌλα τα αποτελέσματα που μπορούν να εμφανιστούν σε ένα πείραμα τύχης λέγονται δυνατά αποτελέσματα ή δυνατές περιπτώσεις του πειράματος. Το σύ-νολο των δυνατών αποτελεσμάτων λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Ω. Αν δηλαδή ω1, ω2,...,ωκ είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης, τότε ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο:

Ω = {ω1, ω2,...,ωκ}. Έτσι, στο πρώτο από τα παραπάνω πειράματα τύχης, αν με Κ συμβολίσουμε το αποτέλεσμα να φέρουμε “κεφαλή” και με Γ το αποτέλεσμα να φέρουμε “γράμματα”, τότε ο δειγματικός χώρος είναι Ω = {Κ, Γ}. Επίσης, στο δεύτερο από τα παραπάνω πειράματα τύχης η ένδειξη της άνω έδρας μπορεί να είναι ένας από τους αριθμούς 1, 2, 3, 4, 5, 6. Επομένως, ο δειγματικός χώρος είναι Ω ={1,2,3,4,5,6}.

ΕνδεχόμεναΤο σύνολο που έχει ως στοιχεία ένα ή περισσότερα αποτελέσματα ενός πειρά-ματος τύχης λέγεται ενδεχόμενο (event) ή γεγονός. Για παράδειγμα, στη ρίψη ενός ζαριού τα σύνολα Α = {2,4,6}, B = {1,3,5} και Γ = {6} είναι ενδεχόμενα.

22 1.ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Το Α είναι το ενδεχόμενο να φέρουμε άρτιο αριθμό, το Β να φέρουμε περιττό αριθμό και το Γ να φέρουμε 6. Είναι φανερό ότι ένα ενδεχόμενο είναι υπο-σύνολο του δειγματικού χώρου. Ένα ενδεχόμενο λέγεται απλό όταν έχει ένα μόνο στοιχείο και σύνθετο αν έχει περισσότερα στοιχεία. Για παράδειγμα, το Γ είναι ένα απλό ενδεχόμενο, ενώ τα Α και Β είναι σύνθετα ενδεχόμενα. Όταν το αποτέλεσμα ενός πειράματος, σε μια συγκεκριμένη εκτέλεσή του είναι στοι-χείο ενός ενδεχομένου, τότε λέμε ότι το ενδεχόμενο αυτό πραγματοποιείται ή συμβαίνει. Γι’αυτό τα στοιχεία ενός ενδεχομένου λέγονται και ευνοϊκές πε-ριπτώσεις για την πραγματοποίησή του. Έτσι, για παράδειγμα, το ενδεχόμενο Α = {2,4,6} έχει τρεις ευνοϊκές περιπτώσεις και πραγματοποιείται, όταν φέ-ρουμε 2 ή 4 ή 6.Ο ίδιος ο δειγματικός χώρος Ω ενός πειράματος θεωρείται ότι είναι ενδεχόμε-νο, το οποίο μάλιστα πραγματοποιείται πάντοτε, αφού όποιο και αν είναι το αποτέλεσμα του πειράματος θα ανήκει στο Ω. Γι’αυτό το Ω λέγεται βέβαιο ενδεχόμενο. Δεχόμαστε ακόμα ως ενδεχόμενο και το κενό σύνολο Ø που δεν πραγματοποιείται σε καμιά εκτέλεση του πειράματος τύχης. Γι’αυτό λέμε ότι το Ø είναι το αδύνατο ενδεχόμενο.Το πλήθος των στοιχείων ενός ενδεχομένου Α θα το συμβολίζουμε με Ν(Α). Επομένως, αν Ω = {1,2,3,4,5,6} και Α = {2,4,6} έχουμε Ν(Α) = 3, Ν (Ω) = 6 και Ν(Ø} = 0.

ΠράξειςμεΕνδεχόμεναΌπως είδαμε, τα ενδεχόμενα είναι υποσύνολα του δειγματικού χώρου Ω. Επο-μένως, μεταξύ των ενδεχομένων ενός πειράματος μπορούν να οριστούν οι γνω-στές πράξεις μεταξύ των συνόλων, από τις οποίες προκύπτουν νέα ενδεχόμενα. Έτσι, αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα, έχουμε:

• Το ενδεχόμενο Α ∩ Β, που διαβάζεται “Α τομή Β” ή “Α και Β” και πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιούνται συγχρόνως τα Α και Β.

1.1Δειγματικόςχώρος-Ενδεχόμενα 23

• Το ενδεχόμενο Α ∪ Β, που διαβάζεται “Α ένω-ση Β” ή “Α ή Β” και πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α, Β.

• Το ενδεχόμενο Α', που διαβάζεται “όχι Α” ή “συμπληρωματικό του Α” και πραγματοποιεί-ται, όταν δεν πραγματοποιείται το Α. Το Α' λέ-γεται και “αντίθετο του Α”.

• Το ενδεχόμενο Α_Β, που διαβάζεται “δι-αφορά του Β από το Α” και πραγματο-ποιείται, όταν πραγματοποιείται το Α αλλά όχι το Β. Είναι εύκολο να δούμε ότι Α _ Β = Α ∩ Β'.

Στον παρακάτω πίνακα τα Α και Β συμβολίζουν ενδεχόμενα ενός πειράματος και το ω ένα αποτέλεσμα του πειράματος αυτού. Στην αριστερή στήλη του πί-νακα αναγράφονται διάφορες σχέσεις για τα Α και Β διατυπωμένες στην κοινή γλώσσα, και στη δεξιά στήλη αναγράφονται οι ίδιες σχέσεις αλλά διατυπωμέ-νες στη γλώσσα των συνόλων.

Το ενδεχόμενο Α πραγματοποιείταιΤο ενδεχόμενο Α δεν πραγματοποιείταιΈνα τουλάχιστον από τα Α και Β πραγματο-ποιείταιΠραγματοποιούνται αμφότερα τα Α και ΒΔεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και ΒΠραγματοποιείται μόνο το ΑΗ πραγματοποίηση του Α συνεπάγεται την πραγματοποίηση του Β

ω ∈ Αω ∈ Α' (ή ω ∉ Α)ω ∈ Α ∪ Β

ω ∈ Α ∩ Βω ∈ (Α ∪ Β)'ω ∈ Α - Β (ή ω ∈ Α ∩ Β')Α ⊆ Β

24 1.ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Για παράδειγμα, στη ρίψη ενός ζαριού έστω τα ενδεχόμενα Α = {1,2,3,4} και Β = {2,4,6}. Αν το αποτέλεσμα της ρίψης είναι ο αριθμός 1, τότε τα ενδεχόμενα Α, Α ∪ Β, Α - Β, Β' πραγματοποιούνται, ενώ τα Α', Β, (Α ∪ Β)', (Α - Β), Α ∩ Β δεν πραγματοποιούνται.

ΑσυμβίβασταΕνδεχόμεναΣτη ρίψη ενός ζαριού αν Α είναι το ενδεχό-μενο να φέρουμε άρτιο αριθμό και Β το εν-δεχόμενο να φέρουμε περιττό αριθμό, έχουμε Α = {2,4,6} και Β = {1,3,5}. Παρατηρούμε ότι τα Α και Β δεν μπορούν να πραγματοποιη-θούν συγχρόνως, αφού δεν έχουν κανένα κοι-νό στοιχείο. Στην περίπτωση αυτή τα Α και Β λέγονται ασυμβίβαστα. Γενικά:

Δύο ενδεχόμενα Α και Β λέγονται ασυμβίβαστα, όταν Α ∩ Β = ∅.Δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα λέγονται επίσης ξένα μεταξύ τους ή αμοιβαί-ως αποκλειόμενα.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1η Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις διαδοχικές φορές. i) Να γραφτεί ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος. ii) Να παρασταθούν με αναγραφή τα ενδεχόμενα που προσδιορίζονται

από την αντίστοιχη ιδιότητα: Α1: “Ο αριθμός των Κ υπερβαίνει τον αριθμό των Γ” Α2: “Ο αριθμός των Κ είναι ακριβώς 2” Α3: “Ο αριθμός των Κ είναι τουλάχιστον 2” Α4: “Ίδια όψη και στις τρεις ρίψεις” Α5: “Στην πρώτη ρίψη φέρνουμε Κ” iii) Να βρεθούν τα ενδεχόμενα Α'3, Α5 ∩ Α2, Α5 ∪ Α4.

ΛΥΣΗi) Για να προσδιορίσουμε το δειγματικό χώρο, θα χρησιμοποιήσουμε ένα

δεντροδιάγραμμα:

1.1Δειγματικόςχώρος-Ενδεχόμενα 25

1η ρίψη 2η ρίψη 3η ρίψη Αποτέλεσμα

Άρα, ο δειγματικός χώρος του πειράματος αποτελείται από διατεταγμένες τρι-άδες με στοιχεία το Κ και το Γ και είναι

Ω = {ΚΚΚ, ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΚΓΓ, ΓΚΚ ΓΚΓ, ΓΓΚ, ΓΓΓ}.

ii) Έχοντας υπόψη το δειγματικό χώρο Ω και την αντίστοιχη ιδιότητα έχουμε:

Α1={ΚΚΚ, ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΓΚΚ} Α2 = {ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΓΚΚ} Α3 = {ΚΚΚ, ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΓΚΚ} (Παρατηρούμε ότι Α3 = Α1) Α4 ={ΚΚΚ, ΓΓΓ} Α5 = {ΚΚΚ, ΚΓΓ, ΚΓΚ, ΚΓΓ}.

iii) Το Α'3 περιέχει εκείνα τα στοιχεία του δειγματικού χώρου που δεν περιέχει το Α3, περιέχει δηλαδή τα στοιχεία στα οποία ο αριθμός των Κ είναι μικρότερος από 2. Επομένως, Α'3 ={ΚΓΓ, ΓΚΓ, ΓΓΚ, ΓΓΓ}. Το ενδεχόμενο Α5 ∩ Α2 περιέχει τα κοινά στοιχεία των Α5 και Α2, δηλαδή τα στοιχεία με δύο ακριβώς Κ, εκ των οποίων το ένα στην πρώτη θέση. Επομέ-νως, Α5 ∩ Α2={ΚΚΓ, ΚΓΚ}.Το ενδεχόμενο Α5 ∪ Α4 περιέχει τα στοιχεία που στην πρώτη θέση έχουν Κ ή τα στοιχεία που έχουν ίδιες και τις τρεις ενδείξεις. Επομένως, Α5 ∪ Α4 = {ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΚΚΓ, ΚΚΚ, ΓΓΓ}.

2η Δίνονται δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός πειράματος με δειγματικό χώρο Ω. Να παρασταθούν με διαγράμματα Venn και να εκφραστούν με τη βοή-θεια συνόλων τα ενδεχόμενα που ορίζονται με τις εκφράσεις: i) Πραγματοποιείται μόνο ένα από τα Α και Β. ii) Δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β.

Κ

Κ

Κ

Κ

Κ

Κ

ΚΓ

Γ

Γ

Γ

Γ

ΓΓ

Κ Κ Κ

Κ Κ Γ

Κ Γ Κ

Κ Γ Γ

Γ Κ Κ

Γ Κ Γ

Γ Γ Κ

Γ Γ Γ

26 1.ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΛΥΣΗ

i) Επειδή θέλουμε να πραγματοποιείται μόνο το Α ή μόνο το Β, γραμμοσκιάζουμε τις επιφά-νειες των Α και Β με εξαίρεση την τομή τους, δηλαδή την κοινή επιφάνειά τους. Παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή πραγματοποιείται ένα μόνο από τα Α - Β και Β - Α. Άρα, το ζητούμενο ενδεχόμενο είναι το (Α - Β) ∪ (Β - Α) ή ισοδύναμα το (Α ∩ Β') ∪ (Α' ∩ Β).

ii) Επειδή θέλουμε να μην πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β, γραμμοσκιάζουμε την επιφάνεια του Ω που είναι εκτός της ένωσης των Α και Β. Στην περίπτωση αυτή παρατηρού-με ότι το ζητούμενο σύνολο είναι συμπληρω-ματικό του Α ∪ Β, δηλαδή το (Α ∪ Β)'.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α'ΟΜΑΔΑΣ

1. Ένα κουτί έχει τρεις μπάλες, μια άσπρη, μια μαύρη και μια κόκκινη. Κάνουμε το εξής πείραμα: παίρνουμε από το κουτί μια μπάλα, κατα-γράφουμε το χρώμα της και την ξαναβάζουμε στο κουτί. Στη συνέχεια παίρνουμε μια δεύτερη μπάλα και καταγράφουμε επίσης το χρώμα της. (Όπως λέμε παίρνουμε διαδοχικά δύο μπάλες με επανατοποθέτηση).

i) Ποιος είναι ο δειγματικός χώρος του πειράματος; ii) Ποιο είναι το ενδεχόμενο “η πρώτη μπάλα να είναι κόκκινη”; iii) Ποιο είναι το ενδεχόμενο “να εξαχθεί και τις δυο φορές μπάλα με

το ίδιο χρώμα”;

2. Να επιλυθεί το προηγούμενο πρόβλημα, χωρίς όμως τώρα να γίνει επανατοποθέτηση της πρώτης μπάλας πριν την εξαγωγή της δεύτε-ρης. (Όπως λέμε παίρνουμε διαδοχικά δύο μπάλες χωρίς επανατοπο-θέτηση).

1.1Δειγματικόςχώρος-Ενδεχόμενα 27

3. Μια οικογένεια από την Αθήνα αποφασίζει να κάνει τις επόμενες διακοπές της στην Κύπρο ή στη Μακεδονία. Στην Κύπρο μπορεί να πάει με αεροπλάνο ή με πλοίο. Στη Μακεδονία μπορεί να πάει με το αυτοκίνητό της, με τρένο ή με αεροπλάνο. Αν ως αποτέλεσμα του πειράματος θεωρήσουμε τον τόπο διακοπών και το ταξιδιωτικό μέσο, τότε:

i) Να γράψετε το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος ii) Να βρείτε το ενδεχόμενο Α: “Η οικογένεια θα πάει με αεροπλάνο

στον τόπο των διακοπών της”.

4. Ένα ξενοδοχείο προσφέρει γεύμα που αποτελείται από τρία πιάτα. Το κύριο πιάτο, το συνοδευτικό και το γλυκό. Οι δυνατές επιλογές δίνονται στον παρακάτω πίνακα:

Γεύμα ΕπιλογέςΚύριο πιάτο Συνοδευτικό Γλυκό

Κοτόπουλο ή φιλέτοΜακαρόνια ή ρύζι ή χόρτα Παγωτό ή τούρτα ή ζελέ

Ένα άτομο πρόκειται να διαλέξει ένα είδος από κάθε πιάτο, i) Να βρείτε το δειγματικό χώρο του πειράματος ii) Να βρείτε το ενδεχόμενο Α: “το άτομο επιλέγει παγωτό” iii) Να βρείτε το ενδεχόμενο Β: “το άτομο επιλέγει κοτόπουλο” iv) Να βρείτε το ενδεχόμενο Α ∩ Β ν) Αν Γ το ενδεχόμενο: “το άτομο επιλέγει ρύζι”, να βρείτε το ενδε-

χόμενο (Α ∩ Β) ∩ Γ.

5. Η διεύθυνση ενός νοσοκομείου κωδικοποιεί τους ασθενείς σύμφωνα με το αν είναι ασφαλισμένοι ή όχι και σύμφωνα με την κατάσταση της υγείας τους, η οποία χαρακτηρίζεται ως καλή, μέτρια, σοβαρή ή κρίσιμη. Η διεύθυνση καταγράφει με 0 τον ανασφάλιστο ασθενή και με 1 τον ασφαλισμένο, και στη συνέχεια δίπλα γράφει ένα από τα γράμματα α, β, γ ή δ, ανάλογα με το αν η κατάστασή του είναι καλή, μέτρια, σοβαρή ή κρίσιμη. Θεωρούμε το πείραμα της κωδικοποίησης ενός νέου ασθενούς. Να βρείτε:

i) Το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος.

ii) Το ενδεχόμενο Α: “η κατάσταση του ασθενούς είναι σοβαρή ή κρίσιμη και είναι ανασφάλιστος”,

iii) Το ενδεχόμενο Β: “η κατάσταση του ασθενούς είναι καλή ή μέτρια”, iv) Το ενδεχόμενο Γ: “ο ασθενής είναι ασφαλισμένος”.

6. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ασυμβίβαστα:

i) Ρίχνουμε ένα ζάρι. Α είναι το ενδεχόμενο να φέρουμε 3 και Β είναι το ενδεχόμενο να φέρουμε άρτιο αριθμό.

ii) Επιλέγουμε ένα άτομο. Α είναι το ενδεχόμενο να έχει γεννηθεί στην Ελλάδα και Β το ενδεχόμενο να είναι καθολικός,

iii) Επιλέγουμε μια γυναίκα. Α είναι το ενδεχόμενο να έχει ηλικία άνω των 30 και Β το ενδεχόμενο να είναι παντρεμένη πάνω από 30 χρόνια,

iv) Επιλέγουμε κάποιον με ένα αυτοκίνητο. Α είναι το ενδεχόμενο το αυτοκίνητο του να είναι ευρωπαϊκό και Β το ενδεχόμενο να είναι ασιατικό.

7. Μεταξύ των οικογενειών με τρία παιδιά επιλέγουμε τυχαία μια οικο-γένεια και εξετάζουμε τα παιδιά ως προς το φύλο και ως προς τη σει-ρά γέννησης τους. Να γράψετε το δειγματικό χώρο του πειράματος.

Β'ΟΜΑΔΑΣ

1. Δύο παίκτες θα παίξουν σκάκι και συμφωνούν νικητής να είναι εκεί-νος που πρώτος θα κερδίσει δύο παιχνίδια. Αν α είναι το αποτέλεσμα να κερδίσει ο πρώτος παίκτης ένα παιχνίδι και β είναι το αποτέλεσμα να κερδίσει ο δεύτερος παίκτης ένα παιχνίδι, να γράψετε το δειγμα-τικό χώρο του πειράματος.

2. Ρίχνουμε ένα ζάρι δύο φορές. Να βρείτε τα ενδεχόμενα: Α: “ Το αποτέλεσμα της 1ης ρίψης είναι μεγαλύτερο από το αποτέλε-

σμα της 2ης ρίψης”. Β: “ Το άθροισμα των ενδείξεων στις δύο ρίψεις είναι άρτιος αριθ-

μός” Γ: “Το γινόμενο των ενδείξεων στις δύο ρίψεις είναι μικρότερο του 5” Στη συνέχεια να βρείτε τα ενδεχόμενα Α ∩ Β, Α ∩ Γ,

Β ∩ Γ, (Α ∩ Β) ∩ Γ.

28 1.ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Εισαγωγή

Ένα από τα κύρια χαρακτηριστικά του πειράματος τύχης, όπως είδαμε, είναι η αβεβαιότητα για το ποιο αποτέλεσμα του πειράματος θα εμφανιστεί σε μια συγκεκριμένη εκτέλεση του. Επομένως, αν Α είναι ένα ενδεχόμενο, δεν μπο-ρούμε με βεβαιότητα να προβλέψουμε αν το Α θα πραγματοποιηθεί ή όχι. Γι' αυτό είναι χρήσιμο να αντιστοιχίσουμε σε κάθε ενδεχόμενο Α έναν αριθμό, που θα είναι ένα μέτρο της “προσδοκίας” με την οποία αναμένουμε την πραγ-ματοποίηση του. Τον αριθμό αυτό τον ονομάζουμε πιθανότητα του Α και τον συμβολίζουμε με Ρ(Α). Πώς όμως θα προσδιορίσουμε για κάθε ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης την πιθανότητά του; Δηλαδή πώς θα βρούμε μια δια-δικασία με την οποία σε κάθε ενδεχόμενο θα αντιστοιχίζουμε την πιθανότητά του; Θα προσπαθήσουμε στη συνέχεια να απαντήσουμε στα ερωτήματα αυτά.

ΈννοιακαιΙδιότητεςΣχετικήςΣυχνότηταςΑν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται κ φο-ρές, τότε ο λόγος ονομάζεται σχετική συχνότητα του Α και συμβολίζεται με ƒΑ. Ιδιαίτερα αν ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος είναι το πεπερασμένο σύνολο Ω = {ω1, ω2,...,ωλ} και σε ν εκτελέσεις του πειράματος αυτού τα απλά ενδεχόμενα {ω1}, {ω2 },..., {ωλ) πραγματοποιούνται κ1,κ2,...,κλ φορές αντιστοί-χως, τότε για τις σχετικές συχνότητες

των απλών ενδεχομένων θα έχουμε:

1. 0 ≤ ƒi ≤ 1, i= 1,2,..., λ (αφού 0 ≤ κi ≤ ν)

2.

Ας εκτελέσουμε τώρα το ακόλουθο πείραμα: Ρίχνουμε ένα συμμετρικό και ομογενές νόμισμα και σημειώνουμε με Κ το αποτέλεσμα “κεφαλή” και με Γ το αποτέλεσμα “γράμματα”.Στον παρακάτω πίνακα αναφέρονται το πλήθος των Κ και οι αντίστοιχες σχε-τικές συχνότητες στις 10, 20, 30,...,200 ρίψεις του νομίσματος ενώ στο σχήμα 1 παριστάνεται το αντίστοιχο διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων.

1.2ΕΝΝΟΙΑΤΗΣΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

30 1.ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Πίνακαςρίψεων ενός νομίσματος

ν κ ƒκ

10 7 0,700 20 13 0,650 30 16 0,533 40 23 0,575 50 26 0,520 60 31 0,517 70 33 0,471 80 39 0,488 90 43 0,478100 46 0,460110 53 0,482120 61 0,508130 66 0,508140 70 0,500150 73 0,486160 81 0,506170 87 0,512180 89 0,494190 93 0,489200 99 0,495

{Κ}, {Γ} είναι ίσες. Ανάλογα παραδείγματα μας οδηγούν στο συμπέρασμα ότι οι σχετικές συχνότητες πραγματοποίησης των ενδεχομένων ενός πειράματος σταθεροποιούνται γύρω από κάποιους αριθμούς (όχι πάντοτε ίδιους), καθώς ο αριθμός των δοκιμών του πειράματος επαναλαμβάνεται απεριόριστα. Το εμπειρικό αυτό εξαγόμενο, το οποίο επιβεβαιώνεται και θεωρητικά, ονομάζε-ται στατιστική ομαλότητα ή νόμος των μεγάλων αριθμών.Θα προσπαθήσουμε τώρα στηριζόμενοι στις προηγούμενες διαπιστώσεις να ορίσουμε την πιθανότητα ενός ενδεχομένου.

ΚλασικόςΟρισμόςΠιθανότηταςΑς εξετάσουμε την ειδική περίπτωση του αμερόληπτου νομίσματος. Ρί-χνουμε ένα τέτοιο νόμισμα και παρατηρούμε την όψη που θα εμφανιστεί.

Διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων

1

Παρατηρούμε ότι καθώς αυξάνεται ο αριθμός ν των ρίψεων η σχετική συχνότητα ƒκ εμφάνισης της “κεφαλής” σταθεροποιείται γύρω από την τιμή 0,5 ή, όπως λέμε “τείνει” στον αριθμό 0,5. Αυτό επιβεβαιώνει την “προσδοκία” μας ότι στη ρίψη ενός συμμετρικού και ομογενούς νομίσμα-τος ή, όπως λέμε, ενός “αμερόληπτου” νομίσμα-τος, οι σχετικές συχνότητες των ενδεχομένων

1.2ΈννοιατηςΠιθανότητας 31

Όπως διαπιστώσαμε προηγουμένως η σχετική συχνότητα καθενός από τα απλά ενδεχόμενα {Κ}, {Γ} τείνει στον αριθμό . Ομοίως θα μπορούσαμε να διαπιστώσουμε ότι στη ρίψη ενός αμερόληπτου ζαριού η σχετική συχνότη-τα καθενός από τα απλά ενδεχόμενα {1},{2},{3},{4},{5} και {6} τείνει στον αριθμό . Σε πειράματα όπως τα προηγούμενα λέμε ότι τα δυνατά αποτελέ-σματα ή, ισοδύναμα, τα απλά ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα.Ας δούμε τώρα ποια αναμένουμε να είναι η σχετική συχνότητα ενός σύνθετου

ενδεχομένου σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα.

Έστω για παράδειγμα, το ενδεχόμενο να φέρουμε ζυγό αριθμό στη ρίψη ενός

αμερόληπτου ζαριού. Επειδή το ενδεχόμενο αυτό πραγματοποιείται όταν το

αποτέλεσμα του πειράματος είναι 2 ή 4 ή 6 και καθένα από τα αποτελέσματα

αυτά εμφανίζεται με σχετική συχνότητα , η συχνότητα εμφάνισης του ζυγού

αριθμού αναμένεται να είναι .

Γενικά, σε ένα πείραμα με ν ισοπίθανα αποτελέσματα η σχετική συχνότητα ενός ενδεχομένου με κ στοιχεία θα τείνει στον αριθμό . Γι'αυτό είναι εύλογο σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα να ορίσουμε ως πιθανότητα του ενδεχομένου Α τον αριθμό:

Έτσι, έχουμε τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας, που διατυπώθηκε από τον Laplace το 1812.Από τον προηγούμενο ορισμό προκύπτει άμεσα ότι:

1.

2.

3. Για κάθε ενδεχόμενο Α ισχύει 0 ≤ Ρ(Α) ≤ 1, αφού το πλήθος των στοιχεί-ων ενός ενδεχομένου είναι ίσο ή μικρότερο από το πλήθος των στοιχείων του δειγματικού χώρου.

32 1.ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑξιωματικόςΟρισμόςΠιθανότηταςΓια να μπορεί όμως να χρησιμοποιηθεί ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας σε ένα δειγματικό χώρο με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων, είναι απαραίτητο τα απλά ενδεχόμενα να είναι ισοπίθανα. Υπάρχουν όμως πολλά πειράματα τύχης, των οποίων ο δειγματικός χώρος δεν αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχό-μενα. Όπως για παράδειγμα ο αριθμός των αυτοκινητιστικών δυστυχημάτων μια ορισμένη εβδομάδα, η ρίψη ενός ζαριού που δεν είναι συμμετρικό κτλ. Για τις περιπτώσεις αυτές χρησιμοποιούμε τον παρακάτω αξιωματικό ορισμό της πιθανότητας, ο οποίος έχει ανάλογες ιδιότητες με τη σχετική συχνότητα.

Έστω Ω = {ω1,ω2,...,ων} ένας δειγματικός χώρος με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων. Σε κάθε απλό ενδεχόμενο {ωi} αντιστοιχίζουμε έναν πραγματι-κό αριθμό, που τον συμβολίζουμε με Ρ(ωi), έτσι ώστε να ισχύουν:

• 0 ≤ Ρ(ωi) ≤ 1 • Ρ(ω1) + Ρ(ω2) + ... + Ρ(ων) = 1.

Τον αριθμό Ρ(ωi) ονομάζουμε πιθανότητα του ενδεχομένου {ωi}. Ως πιθανότητα Ρ(Α) ενός ενδεχομένου Α = {α1, α2,...,ακ} ≠ ∅ ορίζουμε το άθροισμα Ρ(α1) + Ρ(α2) + ... + Ρ(ακ), ενώ ως πιθανότητα του αδύνατου ενδεχομένου ∅ ορίζουμε τον αριθμό Ρ(∅) = 0.

Αν Ρ(ωi) = , i = 1,2,...,ν , τότε έχουμε τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας ενός ενδεχομένου.

ΣΧΟΛΙΟΌταν έχουμε ένα δειγματικό χώρο Ω = {ω1, ω2,...,ων} και χρησιμοποιούμε τη φράση “παίρνουμε τυχαία ένα στοιχείο του Ω”, εννοούμε ότι όλα τα δυνατά αποτελέσματα είναι ισοπίθανα με πιθανότητα Ρ(ωi) = , i = 1,2,..., ν.

ΚανόνεςΛογισμούτωνΠιθανοτήτωνΓια τις πιθανότητες των ενδεχομένων ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες, γνωστές ως “κανόνες λογισμού των πιθανοτήτων”. Οι κανόνες αυτοί θα αποδειχθούν στην περίπτωση που τα απλά ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα. Αποδεικνύεται όμως ότι ισχύουν και στην περίπτωση που τα απλά ενδεχόμενα δεν είναι ισοπίθανα.

1.2ΈννοιατηςΠιθανότητας 33

1. Για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει:

Ρ(Α ∪ Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β)

ΑΠΟΔΕΙΞΗΑν Ν(Α) = κ και Ν(Β) = λ, τότε το Α ∪ Β έχει κ + λ στοιχεία, γιατί αλλιώς τα Α και Β δε θα ήταν ασυμβίβαστα. Δηλαδή, έχουμε Ν (Α ∪ Β) = κ + λ = Ν (Α) + Ν(Β).Επομένως:

Η ιδιότητα αυτή είναι γνωστή ως απλός προσθετικός νόμος (simply additive law) και ισχύει και για περισσότερα από δύο ενδεχόμενα. Έτσι, αν τα ενδεχό-μενα Α, Β και Γ είναι ανά δύο ασυμβίβαστα θα έχουμε:Ρ(Α ∪ Β ∪ Γ) = Ρ(Α) + Ρ(Β) + Ρ(Γ).

2. Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α' ισχύει:

Ρ(Α') = 1 - Ρ(Α)

ΑΠΟΔΕΙΞΗΕπειδή Α ∩ Α' = ∅, δηλαδή τα Α και Α' είναι ασυμβίβαστα, έχουμε διαδοχικά, σύμφωνα με τον απλό προσθετικό νόμο:

Ρ(Α ∪ Α') = Ρ(Α) + Ρ(Α') Ρ(Ω) = Ρ(Α) + Ρ(Α') 1 = Ρ(Α) + Ρ(Α').Οπότε Ρ(Α') = 1 - Ρ(Α).

3. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει:

Ρ(Α ∪ Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α ∩ Β)

34 1.ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΠΟΔΕΙΞΗΓια δυο ενδεχόμενα Α και Β έχουμε Ν(Α ∪ Β) = Ν(Α) + Ν(Β) - Ν(Α ∩ Β), (1)αφού στο άθροισμα Ν(Α) + Ν(Β) το πλήθος των στοιχείων του Α ∩ Β υπολογίζεται δυο φορές.

Αν διαιρέσουμε τα μέλη της (1) με Ν (Ω) έχουμε:

και επομένωςΡ(Α ∪ Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α ∩ Β).

Η ιδιότητα αυτή είναι γνωστή ως προσθετικός νόμος (additive law).

Αν Α ⊆ Β,τότε Ρ(Α) ≤ Ρ(Β)

ΑΠΟΔΕΙΞΗΕπειδή Α ⊆ Β έχουμε διαδοχικά:

5. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύειΡ(Α - Β) = Ρ(Α) - Ρ(Α ∩ Β).

ΑΠΟΔΕΙΞΗΕπειδή τα ενδεχόμενα Α - Β και Α ∩ Β είναι ασυμβίβαστα και (Α - Β) ∪ (Α ∩ Β) = Α, έχουμε:

Ρ(Α) = Ρ(Α - Β) + Ρ(Α ∩ Β).

Άρα Ρ(A - B) = Ρ(A) - Ρ(Α ∩ B).

1.2ΈννοιατηςΠιθανότητας 35

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ1η Ρίχνουμε δύο “αμερόληπτα” ζάρια. Να βρεθεί η πιθανότητα να φέρουμε ως αποτέλεσμα δύο διαδοχικούς αριθμούς.

ΛΥΣΗ

• Για να βρούμε το δειγματικό χώρο του πειράματος, χρησιμοποιούμε έναν πίνακα “διπλής εισόδου”, όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα.

2ο 1ο 1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Από τον πίνακα αυτόν έχουμε ότι ο δειγματικός χώρος Ω έχει 36 ισοπίθανα δυνατά αποτελέσματα, δηλαδή Ν (Ω) = 36 .

• Το ενδεχόμενο Α: “να φέρουμε δύο διαδοχικούς αριθμούς”, είναι τοΑ = {(1,2), (2,1), (2,3), (3,2), (3,4), (4,3), (4,5), (5,4), (5,6)(6,5)}

δηλαδή Ν(Α) = 10

• Επομένως,

Αρα, η πιθανότητα να φέρουμε δύο διαδοχικούς αριθμούς είναι ≈ 0,28 ή,στη γλώσσα των ποσοστών, περίπου 28%.

2η Για δύο ενδεχόμενα A και Β ενός δειγματικού χώρου Ω δίνονται Ρ(Α) = 0,5, Ρ(Β) = 0,4 και Ρ(Α ∩ Β) = 0,2. Να βρεθεί η πιθανότητα των ενδεχομένων:i) Να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β. ii) Να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β.

ΛΥΣΗ

i) Το ενδεχόμενο να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β είναι το (Α ∪ Β)'.

36 1.ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Επομένως Ρ((Α ∪ Β)') = 1 - Ρ(Α ∪ Β) = 1 - (Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α ∩ Β)) = 1 - (0,5 + 0,4 - 0,2) = 1 - 0,7 = 0,3.

ii) Το ενδεχόμενο να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β είναι το (Α - Β) ∪ (Β - Α). Επειδή τα ενδεχόμενα Α - Β και Β - Α είναι ασυμβίβαστα, έχουμε:

Ρ((Α - Β) ∪ (Β - Α)) = Ρ(Α - Β) + Ρ(Β - Α) = Ρ(Α) - Ρ(Α ∩ B) + Ρ(Β) - Ρ(Α ∩ Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - 2Ρ(Α ∩ Β) = 0,5 + 0,4 - 2 . 0,2 = 0,5.

3η Για δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν Ρ(A) = 0,6 και P(B) = 0,5.i) Να εξεταστεί αν τα Α και Β είναι ασυμβίβαστα, ii) Να αποδείξετε ότι 0,1 ≤ Ρ(Α ∩ B) ≤ 0,5 .

ΛΥΣΗ

i) Αν τα Α και Β ήταν ασυμβίβαστα, από τον απλό προθετικό νόμο των πιθα-νοτήτων θα είχαμε:

Ρ(Α ∪ B) = Ρ(Α) + Ρ(Β) = 0,6 + 0,5 = 1,1

ισχύει, δηλαδή, Ρ{Α ∪ Β) > 1, που είναι άτοπο. Άρα, τα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα.

ii) Επειδή Α ∩ Β ⊆ Β και Α ∩ Β ⊆ Α ,έχουμε Ρ(Α ∩ Β) ≤ Ρ(Β) και Ρ(Α ∩ Β) ≤ Ρ(Α),επομένως Ρ(Α ∩ Β) ≤ 0,5 (1)

1.2ΈννοιατηςΠιθανότητας 37

Από τον προσθετικό νόμο των πιθανοτήτων έχουμε:

Ρ(Α ∪ B) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α ∩ Β) Ρ(Α ∪ Β) = 0,6 + 0,5 - Ρ(Α ∩ B). Όμως Ρ(Α ∪ Β) ≤ 1.Επομένως: 0,6 + 0,5 - Ρ(Α ∩ Β) ≤ 1 0,6 + 0,5 - 1 ≤ Ρ(Α ∩ Β) 0,1 ≤ Ρ(Α ∩ Β). (2)Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι: 0,1 ≤ Ρ(A ∩ B) ≤ 0,5.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α'ΟΜΑΔΑΣ1. Από μια τράπουλα με 52 φύλλα παίρνουμε ένα στην τύχη. Να βρεί-

τε τις πιθανότητες των ενδεχομένων i) το χαρτί να είναι πέντε ii) το χαρτί να μην είναι πέντε.

2. Να βρείτε την πιθανότητα στη ρίψη δύο νομισμάτων να εμφανιστούν δύο “γράμματα”.

3. Ένα κουτί περιέχει μπάλες: 10 άσπρες, 15 μαύρες, 5 κόκκινες και 10 πράσινες. Παίρνουμε τυχαίως μια μπάλα. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων η μπάλα να είναι:

i) μαύρη ii) άσπρη ή μαύρη iii) ούτε κόκκινη ούτε πράσινη.

4. Σε μια τάξη με 30 μαθητές, ρωτήθηκαν οι μαθητές πόσα αδέλφια έχουν. Οι απαντήσεις τους φαίνονται στον επόμενο πίνακα:

Αριθμός μαθητών

4 11 9 3 2 1

Αριθμός αδελφών

0 1 2 3 4 5

Αν επιλέξουμε τυχαία από την τάξη ένα μαθητή, να βρείτε την πιθα-νότητα η οικογένειά του να έχει τρία παιδιά.

38 1.ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

5. Έστω τα σύνολα Ω = {ω ∈ Ν / 10 ≤ ω ≤ 20}, Α = {ω ∈ Ω / ω πολλαπλάσιο του 3} και Β = {ω ∈ Ω / ω πολλαπλάσιο του 4}. Αν επιλέξουμε τυχαίως ένα στοιχείο του Ω, να βρείτε τις πιθανότητες i) να ανήκει στο Α ii) να μην ανήκει στο Β.

6. Σε έναν αγώνα η πιθανότητα να κερδίσει ο Λευτέρης είναι 30%, η πιθανότητα να κερδίσει ο Παύλος είναι 20% και η πιθανότητα να κερδίσει ο Νίκος είναι 40%. Να βρείτε την πιθανότητα i) να κερδίσει ο Λευτέρης ή ο Παύλος ii) να μην κερδίσει ο Λευτέρης ή ο Νίκος.

7. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν

και . Να βρείτε την Ρ(Α ∩ Β).

8. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν ,

και .Να βρείτε την Ρ(Β).

9. Για τα ενδεχόμενα Α και Β του ίδιου δειγματικού χώρου είναι γνω-στό ότι Ρ(Α) = Ρ(Β), Ρ(Α ∪ Β) = 0,6 και Ρ(Α ∩ Β) = 0,2. Να βρείτε την Ρ(Α).

10. Για τα ενδεχόμενα Α και Β του ίδιου δειγματικού χώρου Ω δίνεται ότι

και . Να βρείτε την Ρ(Α ∪ Β).

11. Για δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω να δείξετε ότι Ρ(Α ∪ Β) ≤ Ρ(Α) + Ρ(Β).

12. Ένα ορισμένο κατάστημα δέχεται πιστωτικές κάρτες D ή V. Το 25% των πελατών έχουν κάρτα D, το 55% έχουν κάρτα V και το 15% έχουν και τις δύο κάρτες. Ποια είναι η πιθανότητα ένας πελάτης που επιλέγεται τυχαία να έχει μία τουλάχιστον από τις δυο κάρτες;

13. Το 10% των ατόμων ενός πληθυσμού έχουν υπέρταση, το 6% στεφα-νιαία καρδιακή ασθένεια και το 2% έχουν και τα δύο. Για ένα άτομο που επιλέγεται τυχαία ποια είναι η πιθανότητα να έχει

α) τουλάχιστον μία ασθένεια; β) μόνο μία ασθένεια;

1.2ΈννοιατηςΠιθανότητας 39

14. Από τους μαθητές ενός σχολείου το 80% μαθαίνει Αγγλικά, το 30% Γαλλικά και το 20% και τις δύο γλώσσες. Επιλέγουμε τυχαίως ένα μαθητή. Να βρείτε την πιθανότητα να μη μαθαίνει καμιά από τις δύο γλώσσες.

Β'ΟΜΑΔΑΣ

1. Αν για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω έχουμε Ρ(Α) = κ, Ρ(Β) = λ και Ρ(Α ∩ Β) = μ, να βρείτε τις πιθανότητες:

i) να πραγματοποιηθεί τουλάχιστον ένα από τα Α και Β ii) να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β iii) να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β.

2. Σε μια κωμόπολη το 15% των νοικοκυριών δεν έχουν τηλεόραση, το 40% δεν έχουν βίντεο και το 10% δεν έχουν ούτε τηλεόραση ούτε βίντεο. Επιλέγουμε τυχαίως ένα νοικοκυριό. Να βρείτε την πιθανότητα να έχει τηλεόραση και βίντεο.

3. Αν να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Α) και Ρ(Α').

4. Αν 0 < Ρ(Α) < 1, να αποδείξετε ότι

5. Αν Α και Β είναι ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α) = 0,6 και Ρ(Β) = 0,7 , να δείξετε ότι 0,3 ≤ Ρ(Α ∩ Β) ≤ 0,6.

6. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β του ίδιου δειγματικού χώρου Ω να δεί-ξετε ότι Ρ(Β) - Ρ(Α') ≤ Ρ(Α ∩ Β).

40 1.ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

1. Αν ρίξουμε δύο νομίσματα τα αποτελέσματα μπορεί να είναι δύο “κεφαλές”, μια “κεφαλή” και μια “γράμματα”, ή δύο “γράμματα”, και επομένως, καθένα από αυτά τα ενδεχόμενα έχει πιθανότητα . Τι είναι λάθος στο επιχείρημα αυτό; Ποιο είναι το σωστό;

2. Ένα νόμισμα ρίχνεται 5 φορές και έρχεται κάθε φορά “κεφαλή”. Επομένως, η πιθανότητα να φέρουμε “κεφαλή” σε μια ρίψη του νο-μίσματος είναι Να σχολιάσετε το αποτέλεσμα αυτό.

3. Τρία συνηθισμένα ζάρια, ένα άσπρο, ένα μαύρο και ένα κόκκινο, το-ποθετούνται σε ένα κουτί. Ένα πείραμα συνίσταται στην τυχαία επι-λογή ενός ζαριού από το κουτί, στη ρίψη του ζαριού αυτού και στην παρατήρηση του χρώματος και της ένδειξης της άνω έδρας του.

(α) Τι σημαίνει εδώ η λέξη “τυχαία”; (β) Το πλήθος των στοιχείων του δειγματικού χώρου του πειράματος

είναι (i) 3 • 6 (ii) 36 (iii) 63 (iv) 3 • 63. (Να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση)

(Σε καθεμιά από τις ερωτήσεις 4 - 6 μία μόνο από τις συνοδευτικές απα-ντήσεις είναι σωστή. Να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση).

4. Αν η πιθανότητα πραγματοποίησης ενός ενδεχομένου είναι 0,4, ποια είναι η πιθανότητα της μη πραγματοποίησης του ενδεχομένου αυ-τού;

(α) 0,2 (β) 0,8 (γ) 0,6 (δ) 1,4.

5. Αν τα ενδεχόμενα Α και Β είναι τέτοια ώστε Ρ(Α) = 12 , Ρ(Β) = 12 ,

Ρ(Α ∩ B) = , ποια είναι η Ρ(Α ∪ Β);

(α) 1 (β) (γ) (δ) (ε) τίποτα από τα προηγούμενα.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ1ουΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

1.2ΈννοιατηςΠιθανότητας 41

6. Ποιο ενδεχόμενο παριστάνει στο διπλανό διάγραμμα Venn το σκιασμένο εμβαδόν; (α)Β β) Α' (γ) Α - Β (δ) Β - Α.

(Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις 7 - 9 είναι σωστή ή λάθος.

Αν είναι σωστή, κυκλώστε το Σ, αν είναι λάθος, κυκλώστε το Λ).

7. Δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα είναι ξένα μεταξύ τους. Σ Λ

8. Δύο ενδεχόμενα ξένα μεταξύ τους είναι αντίθετα. Σ Λ

9. Αν δύο ενδεχόμενα Α και Β είναι ξένα μεταξύ τους, τότε και τα συ-μπληρωματικά τους Α' και Β' είναι ξένα μεταξύ τους. Σ Λ

10. Αν τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ξένα μεταξύ τους, μπορεί να ισχύει Ρ(Α) + Ρ(Β) = 1,3;

-Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

11. Να γράψετε με τη βοήθεια των πράξεων των συνόλων το ενδε-χόμενο που παριστάνει το σκιασμένο εμβαδόν σε καθένα από τα παρακάτω διαγράμματα Venn:

i)

iii)

ii)

iv)

1.1 ( – )

, .

: ( ) , -

, , , 0 .

- , ,

. , 14 2,85 ,

9 1,258

, 60 5,4511

, 2252,25100

2302,3299

.

, 2 , 3, , .,

, , , 0 ( , ,

). .

12 ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ (Επαναλήψεις - Συμπληρώσεις)

44 2. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ20 1.

, , .

, .

=

0 1

/ 0 1 1, 0

, , , -

. 0 , -

. 1 - ,

.

, , - -

. , 3 2 2 3 2 5 2 3 3 2 2 5 2 2 5 .

, - -

. ,

2 1 5 1 2 53 6 4 3 6 4 245 3 2 3 5 2

2.1 Οι πράξεις και οι ιδιότητές του 451.1 21

( -).

:

1: ( 0)

: ,

, , 0 , -

.

, -

, 0 .

- :

1.

, .

2.

, .

3.

, .

4. 0, :

, .

5. 0 0 0

46 2. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ22 1.

, , .

:

0 0 0

- ,

. , ,

.

1 . :

2

2

11

1 11 1 1 1

1 10

1 , 1 0. , 1 1 1 1

1 , , .

-. , , :

, 1

1 , 1.

0 , :

0 1 1

2.1 Οι πράξεις και οι ιδιότητές του 471.1 23

, , , , -

2 22 2 , 2 2 .

, .

. , -

.

:

2 2 22

2 2 22

2 2

3 3 2 2 33 3

3 3 2 2 33 3

3 3 2 2

3 3 2 2

2 2 2 2 2 2 2

48 2. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ24 1.

1 )

,

0 3 3 3 3 , :

« 3 3 30, 3 ».

0 , , :

33 3 3 3 3

3 3 3

3 2 2 3 3 3

2 2

3 33 33

3 , .

0

3 3 3 3 . .

1 )

. , 2 2 22 , , R , :

2

2 2

2 22

2 ) ,

. - .

, , , ,x y :

2.1 Οι πράξεις και οι ιδιότητές του 491.1 25

2 22 2 2 2 +x y x y y x

:

2 22 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

+

2 2, .

x y x y y x

x y x y x xy y y xy xx y x y x y x y

3 ) , , , .

« 0 2 »

, 12

2 14

, 2 .

2 )

:

« , »,

« 2 , »

:

. , 2 1 , , :

22

2

2

2

2 1

4 4 1

2 2 2 1

2 1 ( 2 2 ).

2 2 1, , 2 .

2 . , - . .

- -

. - .

50 2. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ26 1.

- .

1 :

) 0 :

.

i

) 0 :

.

ii

) 0 :

1 1

iii

) 0, , :

, ( ).

, ,

iv

2 2 . , , 2 2 .

) 0

) 0

) 0

) 0

i

ii

iii

iv

2.1 Οι πράξεις και οι ιδιότητές του 511.1 27

2 . 2 , ,

(

). :

2

2

2

2

2 2

2

2

2

2 , ( . 25) , =2 . :

2 , .

, , ( ).

1 - 1.

2 . = 2 - x x M’ -

2 2 .

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2 2

4 22

52 2. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ28 1.

1. 332 42 3 3

1

xx y xyy

.

i) 9 9x y .

ii) 12010 2010

x y .

2. 22 11 3 7:xy x y

0,4 2,5x y .

3. :

i) 2 21001 999 ii) 99 101 iii) 2 27,23 4,23

11,46

.

4. i) 2 2 4 . ii) :

2 2999 1000 999 10001000 999 1000 999

.

5. i) 2 1 1 1 . ii) :

21,3265 0,3265 2,3265 .

6. - ( ) .

7. , 1 22 2 2 - 7.

2.1 Οι πράξεις και οι ιδιότητές του 531.1 29

1. :

i) 3 2

2

2

ii) 2

2

2 2

1

.

2.

i)

2 3 2

3

11

ii)

2 2

3

1 11 1

3.

i) 22 1 1x y x y ii)

1 1

2 2

x y x yx y x y

.

4. 3 3 2

2 2 : 1x y x yx yx y

.

5. , . :

i) .

ii) - - - .

6. , 4L 2E , .

7. : i) , .

ii) , 0, , .

1.2

« », « »,

, :

, , .

-

: . .

:

0

, - .

, : « ».

-, :

0 0 0

0 0 0

, 0 0

, 0 0

2.2 ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

2.2 Διάταξη πραγματικών αριθμών 551.2 31

2 0, 0

: 2 2

2 2

0 0 00 0 0

0 , :

1.

2.

0 , :

0 , :

3.

, , , :

3. . :

1 1 2 2 1 2 1 2... ... ...

, , , : 1 1 2 2 1 2 1 2... ... ... (*)

.

4. ,

:

56 2. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ32 1.

. , (*),

1 2 ... 0 1 2 ... 0 ,

: .

. . : ,

( ), , ( ).

, .

:

, :

. , , -

, .

. . :

, (4), ( ), , (4), ( ).

, .

1 3, - , . -

. , 10 6 7 2, 10 7 6 2 .

2o , 3, , , ,

. . ,

2.2 Διάταξη πραγματικών αριθμών 571.2 33

24 1024 10 6 2, 6 2

.

x x - [ , ] .

[ , ] - -

, .

- .

,

.

:

[ , ) x x

( , ] - x x .

, ,

x x [ , ) ,

x x ( , ] .

( , ) ( , ) . , « » « »

, .

:

58 2. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ34 1.

x [ , ]

x [ , )

x ( , ]

x ( , )

x [ , )

x ( , )

x ( , ]

x ( , )

1 :

i) , , 1 1

ii) , 2 2 2

iii) 0 , 1 2

i) , 0 . : 1 1 1 1

.

ii) :

22 2 2 22 2 0 0 ,

iii) :

22 21 2 1 2 1 2 0 1 0 , .

2.2 Διάταξη πραγματικών αριθμών 591.2 35

2 1 32 4

x 2 53 6

y , :

11 8 12 3 17x y

1 32 4

x :

1 38 8 82 4

x

4 8 6x (1)

2 53 6

y :

2 512 12 123 6

y

8 12 <108 12 10

yy

10 12 <8y (2)

(1) (2), , :

14 8 12 14,x y :

14 3 8 12 3 14 3x y

11 8 12 3 17x y

1. : i) 2 9 6 ii) 22 22

2. 2 2 2 1 0 . ;

3. x y - :

i) 2 22 1 0 x y ii) 2 2 2 4 5 0 x y x y

60 2. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ36 1.

4. 4,5 4,6 x 5,3 5,4 y , :

i) x y ii) x y iii) xy

iv) 2 2x y

5. x y 2 3 x 3 5 y . 0,2 -

0,1, :

i) ii) .

6. 0 , 1 1

.

7. :

5x .

2 2

55 25

5 255 5 5

50 5.

xx

x x xx x x x

x x

1. .

:

i) 1 ,

ii) 1 ,

2. 1 , 1 .

3. , , 1 1 4

.

4. :

i) 2 2 0 ii) 2 2 0

2.3 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ1.3

.

, , . :

13 132 2, , 2 25 5

: , 0 .

: .

13 132 2, , 2 25 5

: , 0 .

: .

0 0 .

, .

:

, 0, 0

62 2. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ38 1.

:

0

2 2

0 , :

x x x

x x x

,

5 5 5x x x

2 3 2 3 3 2

42 3

, - :

1.

2.

3.

, , .

1. , :

22

2 2 2

2 2 2 , .

2. .

2.3 Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού 63 1.3 39

3. - , :

22

2 22 2

2 2 2 22 2

, .

0 ,

.

. -

:

1 2 1 2... ... 1 2 ... , :

. :

1 2 1 2... ...

, 2 3, -

.

2 3. -

5 2 3 3 2 .

, .

64 2. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ40 1.

, - ,d . :

,d

, ,d d . ,

[ , ] .

[ , ] .

0x AB ,

0 0( ) ( ) , ,MA MB d x d x

0 0x x

0 0x x , 0x 02x

0 2x

2

[ , ] , 2

[ , ] . , , , [ , ) ( , ]

, [ , ] .

x 3 2x .

2.3 Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού 65 1.3 41

: 3 2 ,3 2x d x 3 2 <3+2x 3 2, 3 2x

:

0 0, :x

0 0 0

0 0

,x x x x xx x x

, x 0x x

0 0,x x 0x .

0 0x , : x ,x x .

, 2x 2, 2 2 2x x .

, , x

3 2x .

: 3 2 ,3 2x d x 3 2 3 2x x , 3 2 3 2,x .

:

66 2. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ42 1.

0 0, :x

0 0 0

0 0

, ,x x x x xx x x x

x 0x x

x x x 0x .

0 0x , :

x x x

: 2x 2 2x x .

1. .

i) 3 ii) 4

iii) 3 4 iv) 2 3 3 2 .

2. 3 4x ,

3 4x x

3. 3 4x x , :

i) 3x ii) 4x .

2.3 Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού 67 1.3 43

4. ,

.

5. 0x 0y , x yx y

6. 2,37dm. - 0,005dm. D -

, : i)

ii) D.

7. .

4 2x ( , 4) 2d x 2, 6

3 4x

4 2x

3 4x

( ,5) 1d x

( , 1) 2d x

( ,5) 1d x

( , 1) 2d x

2, 2

5, 1

, 2 2,

, 5 1,

68 2. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ44 1.

1. .

2. , :

i) 2

ii)

2

3. x y :

i) 0x y ; ii) 0x y ;

4. 0 . i)

1, .

ii) -

1 .

5. 2 0,1x 4 0, 2y , :

2.4 ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ1.4

-

. :

H

, ,

.

:

0 , 2x .

:

2

- 64

. x ,

3x -

: 3 64x . x ,

, 64. , ,

.

70 2. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ46 1.

4, 34 64 .

4 64 3 64 . 3 64 =4.

. ,

.

-

(1) , , .

1 2 .

:

0 ,

x .

410 10000 , 4 10000 10 . 410 10000 .

, 4 10000 10 , ,

, 4 10000 4 10000x .

- , -

: 0 , :

0 , :

.

(1) .

2.4 Ρίζες πραγματικών αριθμών 711.4 47

: 6 62 2 , 66 2 2 2 .

, :

, 0 , :

1.

2. ( 0)

3.

4.

1. :

, .

2. 1. 3. :

, .

4. :

1. -. , 1 2, , ... , :

1 2 1 2... ...

72 2. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ48 1.

1 2 ... 0 , :

,

, 1, , 0

.

a , 0 , - , -. ,

.

, , 253 ;

qp pqa , 52 2 5 25 53 3 3

.

253 5 23x .

2

5 253 3 . :

0a , , :

a

, , , 0 0 .

: 2

3 2 338 8 64 4 4

3 43 34 43 4

1 1 127 2727 327

.

.

. - :

1 1 11 771234 3 4 34 12

.

2.4 Ρίζες πραγματικών αριθμών 731.4 49

1 a , :

a

:

, .

2 , -:

i) 153

`ii) 105 1

iii) 67 5

.

ii) 2

15 15 3 15 3 15 3 5 333 3 3 3

.

iii)

2 2

10 5 1 10 5 1 10 5 1 5 5 1105 1 25 1 5 1 5 1 5 1

.

iv)

2 2

6 7 5 6 7 5 6 7 56 3 7 57 57 5 7 5 7 5 7 5

.

3 :

3 610 5 40 10 .

:

1 1 11 11

33 6 3 6 32 62

1 3 1 1 11 1 1 1 13 6 6 3 62 2 2 2 2

1 1 11 2 3 6

10 5 40 10 5 40 2 5 5 2 5

2 5 5 2 5 2 2 5 5 5

2 5 2 5 10

74 2. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ50 1.

1. :

i) 100 , 3 1000 , 4 10000 , 5 100000 .

ii) 4 , 3 8 , 4 16 , 5 32 .

iii) 0,01 , 3 0,001 , 4 0,0001 , 5 0,00001 .

2.

i) 24 ii) 220 iii) 21x iv) 2

4x

3. : 2 22 5 3 5 1 .

4. : 5 3 5 3 8x x x x .

5. : i) 8 18 50 72 32 14 .

ii) 28 7 32 63 32 31 .

6. :

i) 2 2 2 2 2 2 ii) 3 33 2 3 5 3 5 2 .

7. :

i) 3 32 2 2 ii) 5 3 32 2 2 2 .

8. :

i) 4 3 3 123 3 3 3 ii) 9 6 188 5 132 2 2 2

iii) 63 435 5 5 25 5 .

9. :

i) 25 12 1075

ii) 216 75 1850

.

2.4 Ρίζες πραγματικών αριθμών 751.4 51

10. -:

i) 45 3

ii) 87 5

iii) 7 67 6

11.

i) 162 98 1650 32

ii)

12 20

11 6

9 3 39 27

,

.

1. i) 3 3 2 2 5 63 2

ii) , 0

( )

.

2. i) 23 2 7 2

3 2 7 .

ii) : 37 12 7 37 12 7 6 .

3. i) 2

2 33 2

.

ii) , 2

1

.

4.

i) 3 5 45 3 5 3

ii) 2 2

1 1 8 32 3 2 3

.

5. .

i) .

ii) : .

iii) ,

. ;

76 2. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 2ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

52 1.

1

I. , ,

, . .

1. ( ) . 2. 2 , . 3. 2 2 2( ) . 4.

5. .

6. , .

7. 2 , .

8. 1 , .

9. , 0 .

10. 1 , 1 .

11. 0 , 2 2 .

12. 2 3 , 6 .

13. 2 3 , 6 . 14. 2 24 20 25 0 .

15. 2 21 1 0 .

16. 2 22 1 1 0a .

17. 2 2 0 0 .

18. 0 , .

19. 2 , .

20. 2 .

2.4 Ρίζες πραγματικών αριθμών 771.4 53

21. 0 , 2 .

22. 0 ,

.

23. 0 , 2 .

24. 2 2 .

25. 0 , 6 3 .

26. 4 2 .

27. 25 55 25 .

28. 22 1111 22 .

II. . 1. 2 5x 2 5x x :

) 2 7x ) 7 2x ) 3 ) 3 .

2. 10 20x 10 2010 20

x xx x

:

) 2 ) 2 ) 10 ) 0 .

3. 6 10 , 2 3 3 : ) ) ) ) .

4. 9 4 5 : ) 3 2 5 ) 43 2 5 ) 2 5 ) 42 5 .

III. , , 0,

1, , 0 1 1 , , , , ,

, , 2 , 2 , 3 3 , . , , , ,

.

78 2. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ54 1.

« », - ,

« » . « -»

. , ,

, - .

( ) - , .

. ( : 6 . . ).

. ’ , ,

-,

.

. 450 . ., :

« ( ). .

».

, - , -

, . - .

, - , .

. « »

, (360 . .) « ».

.

2.1 1

0x

0x , , 0

, , ,

, .

0x x

x

: 0 :

x xa

, 0 , xa

.

0 , x 0x , : i) 0 ,

ii) 0 0 0x -

x .

0x .

4( 5) 5x x :

23 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ

80 3. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ56 2.

4( 5) 5 4 20 54 20 53 15

15 5.3

x x x xx xx

x

, , =5x .

3 3 2x x x 3 3 2 3 2 3 0 3x x x x x x x

.

4( 5) 3 20x x x 4 20 3 20 4 3 20 20 0 0x x x x x x x

.

, 0x ,

- . ,

0x . , ,

- .

2 1 1 0,x

2 21 1 0 1 1

1 1 1

x x

x

1 1, ,

1 1

1 1 1x

1 , 0 2x .

1 , 0 0x .

3.1 Εξισώσεις 1ου βαθμού 812. 1 1 57

. 25km/h -

1 . 20 km/h . 10 ,

.

x km , 25x

20x . 1 ,

125 20x x

10 :

1 1025 20x x

:

1 10 4 5 100 100025 20

9 900100

x x x x

xx

100 km.

1 , ,

1 , , , 1 .

1

2 111 1

xx x

1x . :

82 3. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ58 2.

2 2

2

2

1 11 1 1 11 1 1 1

1 10

1 00, 1.

x xx x xx x x x

x xx xx xx x

, 0x .

2

2 1 3x x

: 2 1 3 2 1 3 2 1 3x x x x x x

: 2 1 3 2 4 4x x x x x

22 1 ( 3) 2 3 1 3 23

x x x x x x .

, 4 23

.

( ) ( )f x g x .

3

2 3 3 2x x

,

. -, :

3 2 0x (1)

, , -:

3.1 Εξισώσεις 1ου βαθμού 832. 1 1 59

2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 2 32 3 2 3 2 3 2 3

1 5 51 1

x x x x x xx x x xx x

x x

1x , (1).

( ) ( )f x g x .

1.

i) 4 3 2 1 7 42x x x ii) 1 4 1 4 55 4 20 4

x x x

iii) 492 3 4 5 60x x x x iv) 1,2 1 2,5 1,5 8,6x x .

2.

i) 2 3 1 3 2 1 4x x ii) 5 5 723 3 3

x xx .

3. . i) 1 1x ii) 2 x

iii) 1 1x iv) 21 x

4.

1 2( ), ( ) 3 ( ) :

i) 1 2 3 ii) 1 2

5. 4000 € 5% 3%.

1 175€ . - 5% 3%;

84 3. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ60 2.

6. :

i) 0 , 0 v v t t ii) 11 2

1 1 1 ( )RR R R .

7.

i) 2 4 2 4 4 0x x x x x .

ii) 22 2 4 0x x x .

8.

i) 2 3 21 0x x x x ii) 2 21 1 0x x .

9.

i) 2 22 4 4x x x x ii) 2 24 1 1 2x x x x .

10.

i) 3 22 2 0x x x ii) 3 22 2 1 2 0x x x x .

11.

i) 2

11

xx x x

ii) 2 2

1 2 01 2 1

xx x x

.

12.

i) 2

1 1 21 1 1x x x

ii) 2

3 2 42 2

xx x x x

iii) 2

12 4

xx x

iv) 2

2 11x x x

xx

.

13. .

14.

i) 2 3 5x ii) 2 4 1x x

iii) 2 2 1x x iv) 2 1 2x x .

3.1 Εξισώσεις 1ου βαθμού 852. 1 1 61

15. .

i) 4 4 2

3 5 3x x

, ii) 2 1 1 1

3 2 2x x

16.

i) 3 43

xx

ii) 1 2 1x x x

1. :

i) 2 2 2x x ii) x x

, , .

2. , ,

1x x ;

3.

200ml 15%, 32%;

4. 100km/h. 120km/h .

1km;

5. 2

2 2

x xx x

.

6. 3

28 42

x xx

.

7. 2 1 3x .

8. 2 2 1 3 5x x x .

3.2 Η ΕΞΙΣΩΣΗ xν = α2.2 vx

3 8x . - - , 3 8x

, 3 8 2 . , , 0x 3 0x .

3 8x , 3 8 .

:

vx , 0 , v .

4 16x . 4 16 2 .

4 16 2 , 4 44 416 16 16 .

4 16x , 4 16 2

4 16 2 .

:

vx , 0 , v v .

3 8x :

33 3 3 38 8 8 8 8 2x x x x x .

, 3 8 2

:

vx , 0 , v a .

4 4x . x 4 0x , .

:

vx , 0 , .

3.2 Η εξίσωση xν = α 872.2 x = 63

, v vx , x , :

, v vx , x

, v vx , 1x

2x .

4 8 0x x

4 3

3

3

8 0 8 0

0 8

0 8 2

x x x x

x x

x x

1.

i) 3 125 0x ii) 5 243 0x iii) 7 1 0x .

2. i) 3 125 0x ii) 5 243 0x iii) 7 1 0x .

3. i) 2 64 0x ii) 4 81 0x iii) 6 64 0x

4. i) 5 28 0x x ii) 4 0x x iii) 5 16 0x x .

5. 381m x, x 3x. .

6. i) 31 64x ii) 31 125 0x iii) 41 27 1 0x x .

3.3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ2.3 2

2 0, 0x x

, - :

2 0, 0x x (1) .

, 20

12

S v t t , S -

t, v0 . - t, :

20

1 02

t v t S ,

.

« ».

:

2 2

2

2

22

2 2

2 2

2

0 0 [ o 0 ]

22

22 4 4

42 4

x x x x

x x

x x

x x

x

2 4 , :

2

22 4x

(2)

:

0 , :

2 2 2 2x x

3.3 Εξισώσεις 2ου βαθμού 892.3 2 65

2 2x x

(2), (1), :

1 22 2x x

1,2 2x

.

0 , (2) : 2

0 02 2 2

=0 =02 2

2 2

x x x

x x

x x

2

.

0 , (2), (1), , .

2 4 , 2 0, 0x x , -

.

: 2 4 2 0, 0x x

0 1,2 2x

0 2

x

0 .

90 3. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ66 2.

22 3 1 0x x 23 4 2 1 1 0 ,

13 1 12 2

x

2

3 1 12 2 2

x

.

2 4 4 0x x 24 4 1 4 0 , -

42

2 1x

.

: 2 24 4 0 ( 2) 0 2 ( ).x x x x

22 3 4 0x x 23 4 2 4 23 0 , .

2 0, 0x x

1 2,x x , :

1 22

2 2 2x x

22 2 2

1 2 2 2 2

4 42 2 4 4 4

x x

S 1 2x x P 1 2x x , :

S P

Vieta.

2 0x x , Vieta, - :

2 2

21 2 1 2

2

0 0

0

0

x x x x

x x x x x x

x Sx P

2 0x x ,

. 3 2

2 3 2 0x x

3.3 Εξισώσεις 2ου βαθμού 912.3 2 67

1 2 2 3 1 4 3 0x x

vo

2 2 24 3 1 4 4 3 4 3 2 3 1 4 3 1

2

1,2

2 3

2

2 3 1 4 3 1 2 3 2 2 3 1

2 2x

2 ,

300m. , ,

i) ; ii) 50 m/sec;

g 10 m/sec2.

i) S

t sec : 212

S gt

2300 10sec

mS m g , :

2 2 2110 300 5 300 60 60 7,752

t t t t t

, - . 7,75sect .

ii) 0v , t

sec 20

1 t2

S v t .

0 50secmv 0t :

2 2

2

110 50 300 5 50 300 02

10 60 0

10 100 4 60 10 18,43 4, 22sec.2 2

t t t t

t t

t

, 4,22sec .

92 3. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ68 2.

, , , .

2 , ,

2 , , - , 2 .

1 :

2 2 3 0x x .

22x x , :

2 2 3 0x x

x , 2 2 3 0 .

1 23 1 .

, 0x . 3x ,

3 3x x .

2 :

: 2

2

3 1 2 2 11

x x xx x x x

.

1 0x 2 0x x , 0x 1x . x :

2 2

2

2

2

3 1 2 2 1 3 1 2 2 11 1 11 1 1

3 1 1 2 2 1

4 3 0

x x x x x xx x x x x xx x x x x x x x

x x x x x

x x

3.3 Εξισώσεις 2ου βαθμού 932.3 2 69

1 1x 2 3x . , -, 2 3x .

3 : :

4 22 7 4 0x x (1)

2x y :

22 7 4 0y y (2)

22 7 4 0y y 1 4y 212

y

2 0y x , 1 4y . , (1) 2 4x ,

1 2x 2 2x .

: 4 2 0, 0x x

.

1. : i) 22 5 3 0x x ii) 2 6 9 0x x iii) 23 4 2 0x x .

2. : i) 2 1,69 0x ii) 20,5 0x x iii) 23 27 0x .

3. : i) 2 2 2 0, 0x x ii) 2 0, 0x x .

4. 2 2 0, 0x x .

94 3. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ70 2.

5. ,

2 2 2 2 2 0x x .

.

6. 2

i) 2 . 3 ii) 1 12

iii) 5 2 6 5 2 6 .

7. , , i) 2 15 . ii) 9 10.

8. i) 2 5 3 15 0x x ii) 2 2 1 2 0x x .

9. 2 2 2 2x ax , , .

10. 68cm 26cm.

11. i) 2 7 12 0x x ii) 2 2 35 0x x iii) 2 8 12 0x x .

12. 21 4 1 5 0x x .

13. 21 15 6 0x x

x x

.

14.

i) 1 131 6

x xx x

ii)

2

2

2 2 3 2 02 2

x xx x x x

.

15. i) 4 26 40 0x x ii) 4 24 11 3 0x x iii) 4 22 7 3 0x x .

3.3 Εξισώσεις 2ου βαθμού 952.3 2 71

1. 2 2 3 42 1 0, 0x x .

i) 24 .

ii) 2 1

2 1a .

2. 2 5 2 6 3 2 0x x .

i) 21 2

ii) 3 2 2 .

3. 2 22 9 3 4 0x x .

4. 2 0x x , 0 ,

1 2 0x x .

5. :

i) 1 1 , 0xx

ii) , , 0xx

.

6. 2 2 8 0x x i) . ii) ,

.

7. .

8. . 4m 3m .

d , -

.

72 2.

9. . - 12 -

. , 8 .

.

10. 4 210 0x x 1. .

2

I. , ,

. .

1. ( 1) ( 1)x x .

2. H 01 2x x .

3. H 01 2x x .

4. H 01 2x x .

5. 2x x .

6. 2x x .

7. 2 0x x , .

8. 2 , x -

.

9. 2 2 0x x .

96 3. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 3ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

3.3 Εξισώσεις 2ου βαθμού 972.3 2 73

10. 2 24 4 0x x , 0 , .

11. 2 2 2 2 0x x , 0 , - .

12. 2 22 3 0x x .

13. 2 1 1 0x x

, 0, 1

.

14. 2 3 2 0

1x x

x

2 3 2 0x x

.

15. 2

2

2 3 1 51

x xx

2 2(2 3 1) 5( 1)x x x

.

16. x y - 10S 16P .

17. x y - 10S 25P .

18. x y - 2S 2P .

II. :

1. (2 1)( 2) (3 2 )( 2)x x x x : (2 1)( 2) (3 2 )( 2) 2 1 3 2 4 4 1x x x x x x x x .

2x .

2. 2 1 2x x :

2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1x x x x x x x x . x .

98 3. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ74 2.

2 .

, , .

« »,

.

2 2 2, ,x px q x px q x px q .

2 0x x 1500 µ. ,

Cardano Girard.

Descartes Wessel, Argand Gauss -

.

2

1,2

42

x

2 2 0, 0x x .

2 .

, Sridhara (1025 . . ).

: 2

2

0x xx x

4 - 2 , « »

.

3.3 Εξισώσεις 2ου βαθμού 992.3 2 75

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

4 4 44 4 4

2 4

2 4 , 4 0.

x xx x

x

x

: 2 4

2x

: . .

Vieta

2 2 0, 0x x , x , -

2

x y (1)

: 2

02 2

y y

-

: 2 4y 0

4

.

2 42

y

2 4 0

- y (1) :

2 42 2 2

x y

2 4

2x

.

: Vieta , -

. ,

3 2 0x x x , 3

x y -

.

100 3. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ76 2.

Harriot

Thomas Harriot (1560-1621) -, 2 , -

«Artis Analytical Praxis». - :

1x 2x 2 0, 0x x (1).

1x 2x .

1 2 0x x x x , ,

21 2 1 2 0x x x x x x (2)

(1) 0 , :

2 0x x (3)

(2) (3) , . :

1 2x x 1 2x x (4)

2 21 2 1 2 1 24x x x x x x (4)

2

1 2

4x x

, [ 2 4 0 ] (5)

(4) (5) : 2

1

42

x

2

2

42

x

:

(5). 1x 2x .

4 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ

3.1 1

: x + > 0 x + < 0

0x 0x , . :

0x xx

:

0 , :

xx

x

0 , :

xx

x

0 , 0x , x , 0 , , 0 .

: 4 8x :

84 8 24

x x x .

3

102 4. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ78 3.

(2, )x

4 8x : 84 8 24

x x x .

( , 2)x .

0 2x x , 0 2x .

i) :

x x x2 4 6 12 xx x52 2 16 3

ii) .

i) :

2 4 6 12 2 8 6 12x x x x x x

2 12 6 8 x x x 2 10 x

2 102 2

x

5 x .

5x .

:

52 2 1 12 10 12 16 3xx x x x x

12 10 12 12 x x x 2 x .

2x

4.1 Ανισώσεις 1ου βαθμού 1033.1 1 79

ii) 5x 2x , - x 2 5x ,

2,5x .

- ( ), -

2 5x

- , -

. .

1

: 2 3 x .

2 3 x ,

0 0 0x x x x x :

2 3 2 3 2 3

1 5x x

x

x x :

2 3 3 2 3x x 3 2 2 2 3 2x 1 5x .

1,5x .

2

: 2 1 5x .

104 4. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ80 3.

x x x :

2 1 5 2 1 5 2 1 5x x x 2 4 2 6x x 2 3x x

, 2 3,x .

1. :

i) 1 2 32 4 6

x x x ii) 12 3

2 2 4

x x x iii) 2 1 2 2

2 5 10 5

x x x .

2. x :

3 1 5 x x 122 2

x x .

3. : 1 12 2

xx 1 1

3 3

xx .

4. x : 12

8

xx x 14 0

2

xx .

5. : i) 3x ii) 1 4 x iii) 2 1 5 x .

6. : i) 3x ii) 1 4x iii) 2 1 5x .

7. : i) 2 6 2 6x x ii) 3 1 1 3 .x x

4.1 Ανισώσεις 1ου βαθμού 1053.1 1 81

8. :

ii) 1 4 152 3 3

x x ii)

1 2 12 3 3

x x x .

9. 2 6 9 5x x .

10. 0x x , -

7,3 .

11. C

F 9 325

F C . -

41 F 50 F . C .

1. x : i) 3 4 1 6x ii) 4 2 3 2x .

2. x : i) 2 4x ii) 2 5 4x .

3. 3 5 .

i) ; ii) 5 3x x

. iii) .

4. 1 7 .

i) ;

ii) 1 7 6x x .

iii) , - 1x 7x .

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ3.2 2

2 , 0 x x 2 , , . 2 0 x x -

.

2 0, x x 1 2

x 2 2

x

.

2 , 0 x x :

2 2

x x x x

2 2

2 22 2 2

x x

2 2

2

42 4

x .

:

x x x2

222 4

(1).

:

0 . 2 , :

22

2

2 2x x x

2 2 2 2

x x

2 2

x x

.

: x x x x x x2

1 2 , 1 2, x x .

4.2 Ανισώσεις 2ου βαθμού 1073.2 2 83

, 0 , .

0 . (1) :

x x x2

2

2

.

, 0 , .

0 . , :

x x x2

222 4

x , , .

2 , 0x x :

0 , : 2

1 2x x x x x x , 1 2, x x .

0 , : 2

2

2x x x

.

0 , : 2

222 4

x x x

.

:

22 3 2x x 9 16 25 0 112

x

2 2x . :

2 12 3 2 2 2 2 1 22

x x x x x x

.

21 932 2

x x 1 99 4 02 2

32

. -

:

108 4. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ84 3.

221 9 13 32 2 2

x x x .

22 6 5x x = 4 0 . : 2

2 3 12 6 5 22 4

x x x

.

2 , 0x x ,

.

0 , , , : 2

1 2 1x x x x x x . 1 2x x .

: 1 2x x x ( ), 1 0x x

2 0x x , 1 2 0x x x x .

, 1 , .

1 2 x x x ( ), 1 0x x 2 0x x , 1 2 0x x x x .

, 1 , .

1 2x x x ( ), 1 0x x 2 0x x , 1 2 0x x x x .

, 1 , .

0 , : 2

2

2x x x

.

,

2x ,

2x .

4.2 Ανισώσεις 2ου βαθμού 1093.2 2 85

0 , : 2

222 4

x x x

.

- x . .

:

2 , 0x x : , 0 x ,

.

, x -.

.

x2+ x+ > 0 x2+ x+ < 0

2 0x x 2 0, 0x x a ,

. - .

1

i) 22 3 2 0x x (ii) 22 3 2 0x x

x , 22 3 2x x

(i) (ii).

12

2 , 2 0 ,

.

x 12

2

( )f x 0 0

110 4. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ86 3.

: i) 22 3 2 0x x x

12

x 2x , 1, 2,2

x

.

.

ii) 22 3 2 0x x x

1 22

x , 1 , 22

x

. -

.

2 22 3 2 0x x .

x , 22 3 2 0x x

22 3 2 0x x . 1

22 3 2 0x x x , 1 22

x , -

1 , 22

x . -

.

3

i) 2 2 1 0x x (ii) 2 2 1 0x x

2 2 1x x 0 ,

1x . 1 , , x 1x .

4.2 Ανισώσεις 2ου βαθμού 1113.2 2 87

(i) x , 1x , (ii) . (i) .

4 2 1 0x x

2 1x x 3 0 , 1 , , x . -

.

1 x :

2 4 5 0x x 2 6 0x x .

.

: 2 4 5 0 5 1 0 1 5x x x x x

2 6 0 2 3 0 2 3x x x x x x

3,5x .

2 2 1 4 0, x x

i) .

ii) ; iii) ; iv) ;

i) :

112 4. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ88 3.

2 21 4 1 4 2 15 .

22 4 1 15 64 0 . :

12 8 5

2

22 8 3

2

.

.

3 5

0 0

:

ii) 0 , 3 5 . iii) 0 , 3 5 . iv) 0 , 3 5 .

1. :

i) 2 3 2x x ii) 22 3 2x x .

2. :

i) 2

2

3 22 3 2x xx x

. ii) 2

2

2 8 4249

x xx

iii) 2

2

4 12 92 5 3x xx x

.

3. x , :

i) 2 2 15x x ii) 24 4 1x x iii) 2 4 13x x .

4. x , :

i) 2 4 3x x ii) 29 6 1x x iii) 2 2 2x x .

4.2 Ανισώσεις 2ου βαθμού 1133.2 2 89

5. :

i) 25 20x x ii) 2 3 4x x .

6. :

i) 2 2 0x x ii) 22 3 5 0x x .

7. :

i) 2 4 4x x ii) 2 9 6x x .

8. :

i) 2 3 5 0x x ii) 22 3 20 0x x .

9. 21 4 3 04

x x .

10. x : 22 1 4 12x x .

11. x 2 6 5 0x x 2 5 6 0x x .

1. i) : 2 22 2 26 .

ii) 2 2

2 2

26

.

2. 22 2 x x .

3. 2

2 23 2x x x

x x

.

114 4. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ90 3.

4. 2 3 5 0, x x . :

i) ii) iii) .

5. 2 3 0 x x x .

6. 22 2 3 , 2x x .

i) - 0 .

ii) 22 2 3 0, 2x x x .

7. 3

.

- 5 .

8. i) 2 2 0 , , 0 .

ii) 1

, 0 .

4.3 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΗΛΙΚΟ3.3 &

...P x x x x

, x , x ,…, x

x ( ) 2x x ( ). -

P x , .

x

2 21 6 2 1 P x x x x x x .

:

1 0 1x x ,

1x 1x , 1x 1x .

2 6 0 3 2 0 3 2x x x x x x ,

2 6x x 3x 2x , 3x 2x 3 2x .

22 1x x 1 8 7 0 , x .

, , P x , .

x 3 1 2 1x 0

2 6x x 0 0 22 1x x P x 0 0 0

P x 3 1x 2x ,

3x 1 2x . 3x , 1x 2x .

116 4. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ92 3.

x x ... x 0 ( 0 )

- ... 0 ( 0)x x x ,

2 21 6 2 1 0x x x x x

x 2 21 6 2 1P x x x x x x

. P x

, 3 1,2x .

x0 ( 0 )

x

. :

0 0

xx x

x

0 0x

x xx

,

, 0x x 0x x

x .

,

2

2

1 2 10

6x x x

x x

.

2 21 6 2 1 0x x x x x ,

0P x , , P x -

3,1 2,x .

0xx

-

x 0x x 0x .

4.3 Ανισώσεις γινόμενο & Ανισώσεις πηλίκο 1173.3 & 93

2

2

4 3 03 4

x xx x

. :

2

2 22

4 3 0 4 3 3 4 03 4

x x x x x xx x

2 3 4 0x x .

2 4 3x x 1 3 , 2 3 4x x 1 4 .

:

2 2( ) 4 3 3 4P x x x x x

x 4 1 3 2 4 3x x 0 0 2 3 4x x 0 0

( )P x

, 4 3,x .

1.

2 22 3 2 1P x x x x x x .

2.

2 2 24 3 2 1P x x x x x x .

3. 2 21 2 9 0x x x .

4. 2 23 2 6 3 0x x x x .

5. 2 22 2 1 0x x x x .

6. 2 23 2 3 1 2 0x x x x x .

118 4. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ94 3.

7. :

i) 2 01

xx

ii) 2 1 03

xx

.

8. 2

2

2 02

x xx x

.

1. :

i) 2 3 41

xx

ii) 2 43 5xx

.

2. 2 3 10 2 0

1x x

x

.

3. :

i) 23 5 1

xx x

ii) 32 1 2

xx x

.

4. 1 2xx

.

5. . -

- x , -

( ) - 7 x 25x x . -

. 6. -

, - . , t

, 2

20 /4

t mgr ltt

.

4 /mgr lt , .

4.3 Ανισώσεις γινόμενο & Ανισώσεις πηλίκο 119

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 4ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

3.3 & 95

3

I. -.

1. 2 2 0x x : ) 1 ) 1 ) 1 ) 1 .

2. 2 2 0x x x , : ) 1 ) 1 ) 1 ) 1 .

3. 2 22 3 0x x x , : ) 0 ) 0 ) 1 ) 0 .

4. 1 5 4x x : ) 1x ) 5x ) 1 5x ) 1 5x .

5. 1 1x x : ) ) 1x

) ) .

II. , ,

.

1. 2 2 0x x , 0 , x .

2. 2 2 4 5 0x x , 0 , x .

3. 2 ( 1) 0x x 1 0x .

4. 2 ( 1) 0x x 1 0x .

5. 2 1 11

xx

2 1 1x x

.

6. 2

1 02

xx

1 0x

.

7. 2

1 02

xx

21 2 0x x

.

120 4. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ96 3.

8. 2 01

xx

( 2)( 1) 0x x

.

9. 2 01

xx

( 2)( 1) 0x x

.

10. 1 21 1

x xx x

21 1 1x x x

.

III. .

1 22 6 4x x 1 2x x

2 2 3 2x x 1 2x x

3 2 3 2x x 2 1 2x x

4 22 6 4x x 2 1 2x x

IV. :

1. 2 6 1 0x x : 2 6 1 0 2 6 0 1 0 3 1 3x x x x x x x .

0 , 3, .

2. 4xx

:

2 24 4 4 0 2 2x x x xx

.

1 , 2 2, .

3. 2( 2) ( 1) 0x x :

2( 2) ( 1) 0 1 0 1x x x x .

2 , 1, .

5 ΠΡΟΟΔΟΙ

5.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

Η έννοια της ακολουθίαςΑς υποθέσουμε ότι καταθέτουμε στην τράπεζα ένα κεφάλαιο 10000 ευρώ με ανατοκισμό ανά έτος και με επιτόκιο 2%. Αυτό σημαίνει ότι σε ένα χρόνο οι τόκοι που θα αποδώσει το κεφάλαιο προστίθενται σε αυτό και το ποσό που προκύπτει ξανατοκίζεται για τον επόμενο χρόνο με το ίδιο επιτόκιο. Η διαδι-κασία αυτή μπορεί να συνεχιστεί όσα χρόνια θέλουμε. Επομένως, το κεφάλαιο των 10000 ευρώ θα γίνει:

Σε 1 χρόνο:10000 + 0,02 • 10000 = 10000(1 + 0,02) = 10200 ευρώ. Σε 2 χρόνια:10000 • 1,02 + 0,02 • ( 10000 • 1,02) = 10000 1,02 • (1+0,02) = 10000 • (1,02)2

= 10404 ευρώ.

Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε ότι το ποσό των 10000 ευρώ θα γίνει:Σε 3 χρόνια 10000 • (1,02)3 ευρώ, σε 4 χρόνια 10000 • (1,02)4 ευρώ κτλ. και σε ν χρόνια θα γίνει 10000 • (1,02 )ν ευρώ.Έτσι έχουμε τον πίνακα:

Χρόνια: ν 1 2 3 ... ν ...

Κεφάλαιο σε ν χρόνια 10000 • 1,02 10000 • (1,02)2 10000 • (1,02)3 ... 10000•( 1,02)ν ...

Παρατηρούμε ότι κάθε θετικός ακέραιος ν αντιστοιχίζεται στον πραγματικό αριθμό 10000 • (1,02)ν.Η παραπάνω αντιστοίχιση ονομάζεται ακολουθία πραγματικών αριθμών.Γενικά ακολουθία πραγματικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση των φυσι-κών αριθμών 1,2,3,...,ν,... στους πραγματικούς αριθμούς. Ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 1 καλείται πρώτος όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε

122 5. ΠΡΟΟΔΟΙ

συνήθως με α1, ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 2 καλείται δεύτερος όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με α2 κ.λ.π. Γενικά ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ένας φυσικός αριθμός ν καλείται ν-οστός ή γενικός όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με αν. Δηλαδή, 1→ α1, 2 → α2, 3 → α3, ..., ν→αν, ... Την ακολουθία αυτή τη συμβο-λίζουμε (αν). Παραδείγματα.i) Η αντιστοίχιση 1→12, 2→22, ... ν→ν2, ... είναι η ακολουθία (αν) με πρώτο όρο α1 = 12, δεύτερο όρο α2=22 κλπ. και γενικό όρο αν = ν2.ii) Η ακολουθία (αν) με γενικό όρο αν = (−1)ν έχει όρους: α1 = −1, α2 = 1, α3= −1,...

iii) Η ακολουθία (αν) με ν-οστό όρο έχει όρους:

Ακολουθίες που ορίζονται αναδρομικάΣτην ακολουθία 12, 22, 32, ..., ν2, ... ο γενικός της όρος αν = ν2 μας επιτρέπει να βρούμε τον οποιονδήποτε όρο της. Είναι π.χ. α20 = 202 = 400, α100 = 1002 = 10000 κτλ.Υπάρχουν όμως και ακολουθίες που για το γενικό τους όρο είναι δύσκολο να βρεθεί ένας μαθηματικός τύπος.Ας θεωρήσουμε π.χ. την ακολουθία (αν), της οποίας ο πρώτος όρος είναι το 1, ο δεύτερος όρος είναι επίσης το 1 και κάθε άλλος όρος, από τον τρίτο και μετά, είναι ίσος με το άθροισμα των δυο προηγούμενων όρων:

α1 = 1, α2=1, αν+2 = αν+1 + αν

Έχουμε:

α3 = 1 + 1 = 2, α4 = 2 + 1 = 3, α5 = 3 + 2 = 5, α6 = 5 + 3 = 8, κτλ.

Παρατηρούμε ότι μπορούμε με διαδοχικά βήματα να βρούμε τον οποιονδή-ποτε όρο της ακολουθίας. Αυτό σημαίνει ότι η ακολουθία (αν) είναι τελείως ορισμένη.Λέμε ότι η ακολουθία (αν) ορίζεται αναδρομικά και η ισότητα αν+2 = αν+ι + αν λέγεται αναδρομικός τύπος της ακολουθίας. Γενικότερα, για να ορίζεται μια ακολουθία αναδρομικά, απαιτείται να γνωρίζουμε:(i) Τον αναδρομικό της τύπο και(ii) Όσους αρχικούς όρους μας χρειάζονται, ώστε ο αναδρομικός τύπος να αρχίσει να δίνει όρους.

Σχόλιό: Υπάρχουν ακολουθίες, για τις οποίες μέχρι τώρα δε γνωρίζουμε ούτε έναν τύπο

5.1 Ακολουθίες 123

για το γενικό τους όρο ούτε έναν αναδρομικό τύπο. Μια τέτοια ακολουθία εί-ναι π.χ. η ακολουθία των πρώτων αριθμών:

2, 3, 5, 7,11,13, ...

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1ο Να γράψετε τους τέσσερις πρώτους όρους και τους 20ους όρους των ακο-λουθιών:

i) αν = 2ν2 − 3 ii)

ΛΥΣΗ

i) Έχουμε α1 = 2 . 12 − 3 = −1, α2 = 2 . 22 − 3 = 5

α3 = 2 . 32 − 3 = 15, α4 = 2 . 42 − 3 = 29και α20 = 2 . 202 − 3 = 797

ii) Έχουμε

και

2ο Δίνεται η ακολουθία με α1 = 2 και . Να βρεθούν οι πρώτοι τέσσερις όροι της ακολουθίας.

ΛΥΣΗ

Έχουμε

124 5. ΠΡΟΟΔΟΙ

3ο Δίνεται η ακολουθία αν = 3ν+5. Να οριστεί η ακολουθία αυτή και ανα-δρομικά.

ΛΥΣΗ

Έχουμε αν+1 − αν = [3 (ν + 1) +5] − (3ν + 5) = 3ν + 3 + 5 − 3ν − 5 = 3

Άρα αν+1 = 3 + αν που είναι ο αναδρομικός τύπος της ακολουθίας. Επειδή α1 = 3.1 + 5 = 8, η ακολουθία ορίζεται αναδρομικά ως εξής:

α1 = 8 και αν+1 = 3 + αν

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α' ΟΜΑΔΑΣ 1. Να βρείτε τους πέντε πρώτους όρους των ακολουθιών: i) αν = 2ν + 1 ii) αν = 2ν iii) αν = ν2 + ν iv)

v) vi) vii) αν = |5 - ν| vii)

ix) x) xi) αν = (− 1)ν + 1

2. Να βρείτε τους πέντε πρώτους όρους των ακολουθιών:

i) α1 = 2, ii) α1 = 0, iii) α1 = 3, αν+1 = 2(αν- 1)

3. Να ορίσετε αναδρομικά τις ακολουθίες: i) αν = ν + 5 ii) αν = 2ν iii) αν = 2ν − 1 iv) αν = 5ν + 3

4. Να βρείτε το όρο των ακολουθιών: i) α1 = 1, αν+1 = αν + 2 ii) α1 = 3, αν+1 = 5αν

— Στην ακολουθία 1, 3, 5, 7,... των περιττών αριθμών, κάθε όρος προκύπτει από τον προηγούμενό του με πρόσθεση του αριθμού 2. Δηλαδή για την ακο-λουθία αυτή ισχύει:

αν+1 = αν + 2 ή αν+1 − αν = 2

Η ακολουθία (αν) λέγεται αριθμητική πρόοδος με διαφορά 2.— Στην ακολουθία 15, 10, 5, 0, −5, −10,... κάθε όρος προκύπτει από τον προ-ηγούμενό του με πρόσθεση του αριθμού −5. Δηλαδή για την ακολουθία αυτή ισχύει:

αν+1 = αν − 5 ή αν+1 − αν = −5

Όπως και προηγουμένως, η ακολουθία (αν) λέγεται αριθμητική πρόοδος με διαφορά −5.Γενικότερα ορίζουμε ότι:

Μια ακολουθία λέγεται αριθμητική πρόοδος, αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενό του με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού.

Τον αριθμό αυτό τον συμβολίζουμε με ω και τον λέμε διαφορά της προό-δου.Επομένως, η ακολουθία (αν) είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά ω, αν και μόνο αν ισχύει:

αν+1 = αν + ω ή αν+1 − αν = ω

Αν σε μια αριθμητική πρόοδο γνωρίζουμε τον πρώτο όρο της α1 και τη διαφορά της ω, τότε ο αναδρομικός της τύπος αν+1 = αν + ω μας επιτρέπει να βρούμε με διαδοχικά βήματα τον οποιονδήποτε όρο της.Μπορούμε όμως να υπολογίσουμε κατευθείαν το όρο αν μιας αριθμητικής προόδου ως συνάρτηση των α1, ω και ν ως εξής: Από τον ορισμό της αριθμη-τικής προόδου έχουμε:

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ

126 5. ΠΡΟΟΔΟΙ

α1 = α1 α2 = α1+ ω α3 = α2+ ω α4 = α3+ ω

.................................................. αν−1 = αν−2 + ω αν = αν−1 + ωΠροσθέτοντας κατά μέλη της ν αυτές ισότητες και εφαρμόζοντας την ιδιότητα της διαγραφής, βρίσκουμε αν = α1 + (ν − 1)ω. Επομένως

Ο όρος μιας αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο α1 και διαφορά ω είναιαν = α1 + (ν − 1)ω

Έτσι π.χ. στην αριθμητική πρόοδο 3, 5, 7, 9, ..., η οποία έχει α1 = 3 και ω = 5 − 3 = 2, ο όρος της είναι αν = 3 + (ν − 1) • 2. Επομένως ο όρος της είναι α20 = 3 + 19 • 2 = 41, ο όρος της είναι α100 = 3 + 99 • 2 = 201 κτλ.

Αριθμητικός μέσοςΑν πάρουμε τρεις διαδοχικούς όρους α, β, γ μιας αριθμητικής προόδου με δι-αφορά ω, τότε ισχύει:

β − α= ω και γ − β= ω, επομένως β − α = γ − β ή

Αλλά και αντιστρόφως, αν για τρεις αριθμούς α, β, γ ισχύει , τότε έχουμε:

2β = α + γ ή β − α = γ − β,που σημαίνει ότι οι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Ο β λέγεται αριθμητικός μέσος των α και γ.Αποδείξαμε λοιπόν ότι:

Τρεις αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν ισχύει

5.2 Αριθμητική πρόοδος 127

Άθροισμα ν διαδοχικών όρων αριθμητικής προόδουΑς θεωρήσουμε την αριθμητική πρόοδο 1, 2, 3, 4,... και ας βρούμε το άθροι-σμα των 100 πρώτων όρων της

S100 = 1+2+3 +...+ 98+99+100Αντί να προσθέσουμε τους αριθμούς αυτούς με τον συνήθη τρόπο, μπορούμε να βρούμε συντομότερα το άθροισμα τους ως εξής:Γράφουμε δυο φορές το παραπάνω άθροισμα, αλλά με αντίθετη τη σειρά των προσθετέων και προσθέτουμε τις δυο ισότητες κατά μέλη: S100 = 1+2+3 +...+ 98+99+100 S100 = 100+99+98 +...+ 3+2+1 2S100 = (1+100)+(2+99)+(3+98)+...+ (98+3)+(99+2)+(100+1) ή 2S100 = 101+101+101 +...+ 101+101+101

ή 2S100 = 100•101, άρα

Εφαρμόζοντας τον παραπάνω τρόπο σε μια οποιαδήποτε αριθμητική πρόοδο, θα αποδείξουμε ότι:

Το άθροισμα των πρώτων ν όρων αριθμητικής προόδου (αν) με διαφορά ω είναι

ΑΠΟΔΕΙΞΗ *Έχουμε: Sν = α1+(α1+ω)+(α1+2ω) + ... + [α1+(ν−2)ω]+[α1+(ν−1)ω] και Sν = αν+(αν−ω)+(αν−2ω) + ... + [αν−(ν−2)ω]+[αν−(ν−1)ω]Αν προσθέσουμε κατά μέλη τις παραπάνω ισότητες έχουμε: 2Sν = (α1+αν)+(α1+αν)+(α1+αν) + ... + (αν+α1)+(αν+α1)

ή 2Sν = ν(α1+αν). Άρα

Επειδή αν = α1 + (ν−1)ω, ο τύπος γράφεται:

•

128 5. ΠΡΟΟΔΟΙ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1ο Να βρεθεί το άθροισμα 7+10+13 + ••• + 157

ΛΥΣΗ

Πρόκειται για το άθροισμα διαδοχικών όρων μιας αριθμητικής προόδου με α1 = 7,αν = 157 και ω = 3. Για να το υπολογίσουμε, χρειαζόμαστε το πλήθος ν των προσθετέων. Από τον τύπο του όρου αν = α1+(ν − 1)ω έχουμε

157 = 7+(ν−1)3 ⇔ 7+(ν−1)3 = 157

⇔ 7+3ν−3 = 157

⇔ 3ν = 153

⇔ ν = 51

Επομένως το ζητούμενο άθροισμα είναι

2ο Πόσοι όροι της αριθμητικής προόδου 52, 47, 42,... έχουν άθροισμα ίσο με 90;

ΛΥΣΗ

Έχουμε α1 = 52, ω=47 − 52 = −5 και Sν = 90.

Επειδή , έχουμε

Επειδή όμως ν∈ΙΝ*, συμπεραίνουμε ότι ν = 20. Άρα 20 όροι της δοθείσης αριθμητικής προόδου έχουν άθροισμα ίσο με 90.

3ο ό όρος μιας αριθμητικής προόδου είναι ο 42 και ο όρος της είναι ο 87. Να υπολογισθεί το άθροισμα των πρώτων 100 όρων της προόδου αυτής.

ΛΥΣΗ

Από τον τύπο αν = α1+(ν−1)ω έχουμε 42 = α1+ω και 87 = α1+18ω.

•

5.2 Αριθμητική πρόοδος 129

Επομένως οι α1 και ω είναι οι λύσεις του συστήματος

α1 + 9ω = 42 α1 + 18ω = 87

Από την επίλυση του συστήματος αυτού βρίσκουμε ότι είναι α1 = −3 και ω = 5.

Επομένως

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α' ΟΜΑΔΑΣ 1. Να βρείτε το όρο των αριθμητικών προόδων:

i) 7, 10, 13,... ii) 11, 13, 15,... iii) 5, 2, -1,...

iv) v) − 6, − 9, − 12,...

2. Να βρείτε το ζητούμενο όρο σε καθεμιά από τις αριθμητικές προό-δους:

i) Τον α15 της − 2, 3, 8... ii) Τον α20 της 11, 18, 25,... iii) Τον α30 της 4, 15, 26,...

iv) Τον α35 της 17, 25, 33,... v) Τον α50 της

vi) Τον α47 της

3. i) Αν ο όρος μιας αριθμητικής προόδου είναι 12 και ο όρος είναι 16, να βρείτε τον όρο και τη διαφορά της προόδου.

ii) Ομοίως, αν είναι α5 = 14 και α12 = 42 iii) Ομοίως, αν είναι α3 = 20 και α7 = 32.

4. i) Ο όρος μιας αριθμητικής προόδου είναι −5 και ο όρος της είναι −2. Να βρείτε τον όρο της προόδου.

{

•

130 5. ΠΡΟΟΔΟΙ

ii) Αν σε μια αριθμητική προόδο είναι α7 = 55 και α22 = 145, να βρεί-τε τον α18.

5. i) Ποιος όρος της αριθμητικής προόδου με α1 = 2 και ω = 5 ισούται με 97;

ii) Ποιος όρος της αριθμητικής προόδου με α1 = 80 και ω = −3 ισού-ται με −97;

6. i) Να βρείτε τον αριθμητικό μέσο των 10 και −40. ii) Να βρείτε για ποια τιμή του x ο αριθμητικός μέσος των 5x + 1 και

11 είναι ο 3x − 2.

7. Αν δυο αριθμοί διαφέρουν κατά 10 και ο αριθμητικός τους μέσος είναι ο 25, να βρείτε τους δυο αυτούς αριθμούς.

8. Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 40 όρων των αριθμητικών προ-όδων:

i) 7, 9, 11,... ii) 0, 2, 4,.... iii) 6, 10, 14,... iv) −7, −2, +3,...

9. Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 80 όρων των αριθμητικών προ-όδων:

i) 2, −1, −4,... ii)

10. Να υπολογίσετε τα αθροίσματα: i) 1+5+9 + ... + 197 ii) 9+12+15 + ... + 90 iii)

−7−10−13−...−109

11. Πόσους πρώτους όρους πρέπει να πάρουμε από καθεμιά από τις παρακάτω αριθμητικές προόδους για να έχουν άθροισμα 180;

i) 4, 8, 12,... ii) 5, 10, 15,...

12. Μια στέγη σχήματος τραπεζίου έχει 15 σειρές κεραμίδια. Η πρώτη σειρά έχει 53 κεραμίδια και κάθε επόμενη σειρά έχει δυο κεραμίδια λιγότερα. Πόσα κεραμίδια έχει η 15η σειρά και πόσα κεραμίδια έχει συνολικά η στέγη;

5.2 Αριθμητική πρόοδος 131

Β' ΟΜΑΔΑΣ 1. Ο όρος μιας ακολουθίας είναι αν = 12−4ν. Να δείξετε ότι η ακο-

λουθία αυτή είναι αριθμητική πρόοδος και να γράψετε τον πρώτο όρο της α1 και τη διαφορά της ω.

2. Να βρείτε το άθροισμα: i) των πρώτων 200 περιττών αριθμών, ii) των πρώτων 300 θετι-

κών άρτιων iii) όλων των περιττών αριθμών μεταξύ 16 και 380.

3. Να βρείτε το άθροισμα: i) των πολλαπλασίων του 5 μεταξύ 1 και 199, ii) των πολλαπλασίων του 3 μεταξύ 10 και 200.

4. Να βρείτε το άθροισμα: i) των πρώτων 30 όρων της ακολουθίας αν = 5ν−4, ii) των πρώτων 40 όρων της ακολουθίας αν = −5ν−3.

5. Να βρείτε το άθροισμα των ακεραίων από 1 μέχρι 200 που δεν είναι πολλαπλάσια του 4 ή του 9.

6. Να βρείτε το ελάχιστο πλήθος πρώτων όρων της αριθμητικής προό-δου 1, 3, 5, 7,... που απαιτούνται, ώστε το άθροισμα του να ξεπερνάει το 4000.

7. Να συμπληρώσετε το διπλανό πίνα-κα, στον οποίο τα α1 ω, ν, αν και Sν ανήκουν σε κάθε γραμμή στην ίδια αριθμητική πρόοδο.

8. Ένα ρολόι χτυπάει τις ακέραιες ώρες. Πόσα χτυπήματα ακούγο-νται σε ένα 24/ωρο;

9. Ένα στάδιο έχει 33 σειρές καθισμάτων. Στην κάτω-κάτω σειρά

α1 ω ν αν Sν

120 −10 125 27 109

3 12 2102 16 −8

132 5. ΠΡΟΟΔΟΙ

βρίσκονται 800 θέσεις και στην πάνω-πάνω σειρά βρίσκονται 4160 θέσεις. Το πλήθος των θέσεων αυξάνει από σειρά σε σειρά κατά τον ίδιο πάντα αριθμό θέσεων. Να βρείτε πόσες θέσεις έχει συνολικά το στάδιο και πόσες θέσεις έχει η μεσαία σειρά.

10. Μεταξύ των αριθμών 3 και 80 θέλουμε να βρούμε άλλους 10 αριθμούς που όλοι μαζί να είναι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου. Να βρεθούν οι αριθμοί αυτοί. [Τέτοια προβλήματα λέ-γονται προβλήματα παρεμβολής όρων].

11. Να υπολογίσετε το άθροισμα:

11. Ένας αγρότης, για να κάνει μία γεώτρηση στο κτήμα του, συμφώ-νησε τα εξής με τον ιδιοκτήτη του γεωτρύπανου: Το 1° μέτρο θα κοστίσει 20 ευρώ και αυξανομένου του βάθους, θα αυξάνεται και η τιμή κάθε μέτρου κατά 5 ευρώ. Ο αγρότης διαθέτει 4700 ευρώ. Σε πόσο βάθος μπορεί να πάει η γεώτρηση στο κτήμα του;

— Στην ακολουθία 3, 6, 12, 24, ... κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγού-μενό του με πολλαπλασιασμό επί 2. Δηλαδή για την ακολουθία αυτή ισχύει:

Η ακολουθία (αν) λέγεται γεωμετρική πρόοδος με λόγο 2.

— Στην ακολουθία 27, −9, 3, −1, ... κάθε όρος της προκύπτει από τον προ-ηγούμενό του με πολλαπλασιασμό επί . Δηλαδή για την ακολουθία αυτή ισχύει:

5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ

5.3 Γεωμετρική πρόοδος 133

Όπως και προηγουμένως, η ακολουθία (αν) λέγεται γεωμετρική πρόοδος με λόγο .Γενικότερα ορίζουμε ότι:

Μια ακολουθία λέγεται γεωμετρική πρόοδος, αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενό του με πολλαπλασιασμό επί τον ίδιο πάντοτε μη μηδενικό αριθμό.

Τον αριθμό αυτό τον συμβολίζουμε με λ και τον λέμε λόγο της προόδου.Σε μια γεωμετρική πρόοδο (αν) υποθέτουμε πάντα ότι α1 ≠ 0, οπότε, αφού είναι και λ ≠ 0, ισχύει αν ≠ 0 για κάθε ν∈ιΝ*. Επομένως, η ακολουθία (αν) είναι γεωμετρική πρόοδος με λόγο λ, αν και μόνο αν ισχύει:

αν+1 = αν • λ ή

Αν σε μια γεωμετρική πρόοδο γνωρίζουμε τον πρώτο όρο της α1 και το λόγο της λ, τότε ο αναδρομικός της τύπος αν+1 = αν•λ μας επιτρέπει να βρούμε με δι-αδοχικά βήματα τον οποιονδήποτε όρο της. Μπορούμε όμως να υπολογίσουμε κατευθείαν το όρο αν μιας γεωμετρικής προόδου ως συνάρτηση των α1, λ και ν ως εξής:Από τον ορισμό της γεωμετρικής προόδου έχουμε:

α1 = α1 α2 = α1λ α3 = α2λ ............................................... αν−1 = αν−2 λ αν = αν−1 λ

Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις ν αυτές ισότητες και εφαρμόζοντας την ιδι-ότητα της διαγραφής, βρίσκουμε αν = α1λ

ν−1

Επομένως

Ο όρος μιας γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο α1 και λόγο λ είναιαν = α1 • λ

ν−1

Έτσι π.χ. στη γεωμετρική πρόοδο 3, −6, 12, −24,... η οποία έχει α1 = 3 και, ο όρος της είναι αν = 3 • (−2)ν−1. Επομένως ο όρος της είναι

α5 = 3(−2)4 = 48, ο δέκατος όρος της είναι α10 = 3• (−2)9 = − 1536 κτλ.

134 5. ΠΡΟΟΔΟΙ

Γεωμετρικός μέσοςΑν πάρουμε τρεις διαδοχικούς όρους α, β, γ μιας γεωμετρικής προόδου με λόγο λ, τότε ισχύει:

Αλλά και αντιστρόφως, αν για τρεις αριθμούς α, β, γ ≠ 0 ισχύει β2 = αγ,

τότε έχουμε = , που σημαίνει ότι οι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι μιας

γεωμετρικής προόδου. Ο θετικός αριθμός λέγεται γεωμετρικός μέσος των α και γ.Αποδείξαμε λοιπόν ότι:

Τρεις μη μηδενικοί αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, αν και μόνο αν ισχύει β2 = αγ

Άθροισμα ν διαδοχικών όρων γεωμετρικής προόδουΑς θεωρήσουμε τη γεωμετρική πρόοδο 1, 3, 9, 27,... στην οποία είναι α1 = 1 και λ = 3, και ας βρούμε το άθροισμα S7 των 7 πρώτων όρων της. Έχουμε S7 = 1+3+9+27+81+243+729 (1)

Αντί να προσθέσουμε τους αριθμούς αυτούς με τον συνήθη τρόπο, μπορού-με να βρούμε συντομότερα το άθροισμα τους ως εξής: Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της (1) με το λόγο λ=3 και έχουμε 3S7 = 3+9+27+81+243+729+2187 (2)

Αφαιρούμε από τα μέλη της (2) τα μέλη της (1) και έχουμε:

3S7 − S7 = 2187−1 2S7 = 2186 S7 = 1093Εφαρμόζοντας τον παραπάνω τρόπο σε μια οποιαδήποτε γεωμετρική πρόοδο, θα αποδείξουμε ότι:

Το άθροισμα των πρώτων ν όρων μιας γεωμετρικής προόδου (αν) με λόγο λ ≠ 1 είναι

5.3 Γεωμετρική πρόοδος 135

ΑΠΟΔΕΙΞΗΈστω Sν = α1 + α1λ + α1λ

2 + • • • + α1λν−2 + α1λ

ν−1 (1)Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της (1) με το λόγο λ και έχουμε λSν = α1λ + α1λ

2 + α1λ3 + • • • + α1λ

ν−1 + α1λν (2)

Αφαιρούμε από τα μέλη της (2) τα μέλη της (1) και έχουμε:

λSν−Sν = α1λν−α1

ή (λ−1)Sν = α1(λν−1)

Επομένως, αφού λ ≠ 1, έχουμε:

Παρατήρηση: Στην περίπτωση που ο λόγος της προόδου είναι λ=1, τότε το άθροισμα των όρων της είναι Sν = ν • α1, αφού όλοι οι όροι της προόδου είναι ίσοι με α1.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1ο Να βρεθεί ο όρος μιας γεωμετρικής προόδου της οποίας ο όρος είναι και ο όρος της είναι

ΛΥΣΗΈστω α1 ο πρώτος όρος της γεωμετρικής προόδου και λ ο λόγος της. Τότε έχουμε:

Επομένως

από την οποία προκύπτει ότι

Αντικαθιστούμε την τιμή αυτή του λ στην και έχουμε

136 5. ΠΡΟΟΔΟΙ

Άρα ο όρος της γεωμετρικής προόδου, σύμφωνα με τον τύπο αν = α1λν−1,

είναι

2ο Να υπολογιστεί το άθροισμα

ΛΥΣΗΠρόκειται για το άθροισμα διαδοχικών όρων μιας γεωμετρικής προόδου με

Για να εφαρμόσουμε τον τύπο , πρέπει να ξέρουμε το πλήθος ν των όρων.

Από τον τύπο όμως του όρου αν = α1λν−1 έχουμε:

και επομένως ν−1 = 8 ή ν = 9.

Άρα το ζητούμενο άθροισμα είναι:

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α' ΟΜΑΔΑΣ 1. Να βρείτε το όρο των γεωμετρικών προόδων:

i) 3, 6, 12, ... ii) , 2, 6,... iii) 9, 27, 81, ...

iv) v) 16', 8, 4, ... vi) 18, 6, 2, ...

vii) 1, 0,4, 0,16, ... vii) −2, 4, −8, .... ix) −3, 9, −27, ...

5.3 Γεωμετρική πρόοδος 137

2. Να βρείτε το ζητούμενο όρο σε καθεμιά από τις γεωμετρικές προό-δους:

i) Τον α9 της ii) Τον α7 της 2, 6, 18, ...

iii) Τον α8 της 729, 243, ... iv) Τον α10 της 1 −2, 4, ...

v) Τον α9 της

3. i) Να βρείτε τον όρο μιας γεωμετρικής προόδου, της οποίας ο όρος είναι και ο λόγος 2.

ii) Ομοίως, αν ο όρος είναι και ο λόγος

4. i) Να βρείτε το λόγο μιας γεωμετρικής προόδου της οποίας ο όρος είναι 12 και ο όρος είναι 96.

ii) Ομοίως, αν ο όρος είναι και ο όρος είναι

5. Να βρείτε: i) τον α14 μιας γεωμετρικής προόδου με α4 = 125 και α10 =

ii) τον α21 μιας γεωμετρικής προόδου με α13 = και α23 =

6. Έστω η γεωμετρική πρόοδος 3, 6, 12,.... Να βρείτε το πλήθος των όρων της μέχρι και τον όρο που ισούται με 768.

7. i) Να βρείτε τον πρώτο όρο της γεωμετρικής προόδου 4, 8, 16,... που υπερβαίνει το 2000.

ii) Να βρείτε τον πρώτο όρο της γεωμετρικής προόδου 128, 64, 32,..., που είναι μικρότερος του 0,25.

8. i) Να βρείτε το γεωμετρικό μέσο των αριθμών 5 και 20, καθώς και των και

ii) Να βρείτε τον x ώστε οι αριθμοί x−4, x+1, x−19 να αποτελούν γεωμετρική πρόοδο.

138 5. ΠΡΟΟΔΟΙ

9. Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων των γεωμετρικών προόδων

i) 1, 2, 4,... ii) 3, 9, 27,... iii) −4, 8, −16,...

10. Να υπολογίσετε τα αθροίσματα: i) 2+8+32 + ... + 8192 ii) 4+2+1 + ... + iii) 1+(−2)+4 + ... + 256.

11. Μια κοινωνία βακτηριδίων διπλασιάζεται σε αριθμό κάθε μια ώρα. Αν αρχικά υπάρχουν 3 βακτηρίδια, πόσα βακτηρίδια θα υπάρχουν ύστερα από 12 ώρες;

12. Μια μπάλα πέφτει από ύψος 60 μέτρων και αναπηδά σε έδαφος φθά-νοντας κάθε φορά στο του ύψους της προηγούμενης αναπήδησης. Να βρείτε σε τι ύψος θα φθάσει στην 4η αναπήδηση.

Β' ΟΜΑΔΑΣ 1. Ο όρος μιας ακολουθίας είναι . Να δείξετε ότι η ακο-

λουθία αυτή είναι γεωμετρική πρόοδος και να γράψετε τους α1 και λ.

2. Για ποια τιμή του ν οι αριθμοί είναι διαδο-χικοί όροι γεωμετρικής προόδου;

3. Να δείξετε ότι: i) τα τετράγωνα των όρων μιας γεωμετρικής προόδου σχηματίζουν

επίσης γεωμετρική προόδο ii) Αν υψώσουμε κάθε όρο μιας γεωμετρικής προόδου στην k, τότε

προκύπτει πάλι γεωμετρική πρόοδος.

4. Να βρείτε τη γεωμετρική πρόοδο, της οποίας το άθροισμα των δυο πρώτων όρων της είναι και το άθροισμα των τεσσάρων πρώ-των όρων της είναι .

5.3 Γεωμετρική πρόοδος 139

5. Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων δέκα όρων της γεωμετρικής προόδου, στην οποία είναι α2 + α6 = 34 και α3 + α7 = 68.

6. Ο πληθυσμός μιας χώρας είναι 90 εκατομμύρια και παρουσιάζει ετήσια αύξηση 2%. Αν αν είναι ο πληθυσμός της χώρας ύστερα από ν χρόνια, να βρείτε έναν αναδρομικό τύπο, καθώς και το γενικό όρο της ακολουθίας (αν).

- Ποιος θα είναι ο πληθυσμός της χώρας ύστερα από 10 χρόνια; [Χρησιμοποιήστε υπολογιστή τσέπης].

7. Η ένταση του φωτός μειώνεται κατά 10%, όταν αυτό διέρχεται από ένα φίλτρο. Αν Ιν είναι η ένταση του φωτός, αφού διέλθει διαδοχικά μέσα από ν τέτοια φίλτρα, να βρείτε έναν αναδρομικό τύπο, καθώς και το γενικό όρο της ακολουθίας (Iν).

- Ποια θα είναι η ένταση του φωτός, αν διέλθει μέσα από 10 τέτοια φίλτρα και η αρχική ένταση είναι Ιο; [Χρησιμοποιήστε υπολογιστή τσέπης].

8. Σε ένα όργανο μουσικής ο τόνος C' έχει συχνότητα 261 Ηz και η οκτάβα του C" έχει διπλάσια συχνότητα. Ανάμεσα στους C' και C" υπάρχουν 11 επιπλέον τόνοι, των οποίων οι συχνότητες σχηματίζουν με τις συχνότητες των C' και C" 13 διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου. Να υπολογίσετε:

i) το λόγο της προόδου, ii) τη συχνότητα του πέμπτου τόνου.

9. Το ψυγείο ενός φορτηγού περιέχει 40 lt νερό. Αδειάζουμε 4 lt νερό και το αντικαθιστούμε με αντιπυκτικό. Ύστερα αδειάζουμε 4 lt του μείγματος και το αντικαθιστούμε με αντιπυκτικό κ.ο.κ. Αν Dν είναι η ποσότητα του νερού στο ψυγείο, αφού εφαρμοσθεί η διαδικασία ν φορές, να βρείτε:

i) Έναν αναδρομικό τύπο της ακολουθίας (Dν). ii) Την ποσότητα του αντιπυκτικού στο ψυγείο, αφού εφαρμοσθεί η

διαδικασία 7 φορές. [Χρησιμοποιήστε υπολογιστή τσέπης].

140 5. ΠΡΟΟΔΟΙ

10. Λέγεται ότι ο εφευρέτης του σκακιού παρακλήθηκε από έναν Ινδό βασιλιά να ζητήσει όποια αμοιβή ήθελε για τη σπουδαία ιδέα του. Ο εφευρέτης ζήτησε να πάρει το ρύζι που θα μαζευόταν ως εξής: Στο 1ο τετραγωνάκι του σκακιού να έβαζε κάποιος έναν κόκκο ρυζιού, στο 2ο τετραγωνάκι 2 κόκκους, στο 3ο τετραγωνάκι 4 κόκκους, στο 5ο τετραγωνάκι 8 κόκκους κτλ.

Να βρείτε πόσοι τόνοι θα ήταν η ποσότητα αυτή του ρυζιού, αν 1 Κg ρυζιού έχει 20000 κόκκους.

11. Κάθε πλευρά ενός ισόπλευρου τριγώνου χωρίζεται σε τρία ίσα τμή-ματα. Το μεσαίο τμήμα κάθε πλευράς αντικαθίσταται από τις δυο πλευρές ισόπλευρου τριγώνου. Στο σχήμα με μορφή αστεριού που προκύπτει αντικαθιστούμε πάλι το μεσαίο κάθε πλευράς με δυο πλευρές ισόπλευρου τριγώνου. Με ανάλογο τρόπο συνεχίζουμε για κάθε σχήμα που προκύπτει από τη διαδικασία αυτή.

i) Να βρείτε έναν αναδρομικό τύπο και το γενικό όρο της ακολουθί-ας (Sν) που εκφράζει το πλήθος των πλευρών κάθε σχήματος.

ii) Να βρείτε έναν αναδρομικό τύπο και το γενικό όρο της ακολου-θίας (Uν) που εκφράζει την περίμετρο κάθε σχήματος, αν το αρχικό ισόπλευρο τρίγωνο έχει πλευρά ίση με 1.

Με τη βοήθεια των γεωμετρικών προόδων μπορούμε να λύσουμε προβλήματα οικονομικής φύσεως, που συχνά παρουσιάζονται στις συναλλαγές με πιστωτι-κούς οργανισμούς.

ΑνατοκισμόςΠΡΟΒΛΗΜΑ. Καταθέτουμε στην τράπεζα ένα κεφάλαιο α ευρώ με ετήσιο επιτόκιο ε%. Με τη συμπλήρωση ενός χρόνου οι τόκοι προστίθενται στο κεφάλαιο και το ποσό που προκύπτει είναι το νέο κεφάλαιο που τοκίζεται με το ίδιο επιτόκιο για τον επόμενο χρόνο. Αν η διαδικασία αυτή επαναλη-φθεί για ν χρόνια, να βρεθεί πόσα χρήματα θα εισπράξουμε στο τέλος του

χρόνου.(Το πρόβλημα αυτό είναι γνωστό ως πρόβλημα ανατοκισμού).

ΛΥΣΗΣτο τέλος του χρόνου το κεφάλαιο α θα δώσει τόκο και μαζί με τον τόκο θα γίνει

Στο τέλος του χρόνου το κεφάλαιο α1 θα δώσει τόκο α1 και μαζί με τον τόκο θα γίνει

Στο τέλος του χρόνου το κεφάλαιο α2 μαζί με τους τόκους θα γίνει

και γενικά στο τέλος του χρόνου το κεφάλαιο θα γίνει

Παρατηρούμε ότι τα α1, α2, α3,..., αν είναι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής

προόδου με .

Άρα, σύμφωνα με τον τύπο του όρου γεωμετρικής προόδου, στο τέλος του χρόνου το κεφάλαιο α μαζί με τους τόκους θα γίνει

5.4 ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ - ΙΣΕΣ ΚΑΤΑΘΕΣΕΙΣ

142 5. ΠΡΟΟΔΟΙ

Αν θέσουμε , που είναι ο τόκος του ενός ευρώ σε ένα χρόνο, έχουμε τον τύπο

αν = α (1+τ)ν

που είναι γνωστός ως τύπος του ανατοκισμού.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΚαταθέτουμε με ανατοκισμό κεφάλαιο 10000 ευρώ με ετήσιο επιτόκιο 2%. Να βρεθεί τι ποσό θα εισπράξουμε ύστερα από 10 χρόνια.

ΛΥΣΗΣύμφωνα με τον τύπο αν = α(1+τ)ν, ύστερα από 10 χρόνια θα εισπράξουμε ποσό α10 = 10000 • (1 + 0,02)10 = 10000 • (1,02)10 = 10000 • 1,218994 = 12189,94 ευρώ.Παρατήρηση. Τη δύναμη (1,02)10 την υπολογίζουμε με τη βοήθεια πινάκων ή με έναν υπολογιστή τσέπης.

Ίσες καταθέσειςΠΡΟΒΛΗΜΑ. Καταθέτουμε σε μια τράπεζα στην αρχή κάθε χρόνου α ευρώ με ανατοκισμό και επιτόκιο ε%. Τι ποσό θα πάρουμε ύστερα από ν χρόνια; (Το πρόβλημα αυτό είναι γνωστό ως πρόβλημα των ίσων καταθέσεων)

ΛΥΣΗ

Η κατάθεση θα ανατοκιστεί για ν χρόνια και επομένως, σύμφωνα με τον τύπο του ανατοκισμού, θα γίνει α(1+τ)ν, όπου .

Η κατάθεση θα ανατοκιστεί να ν−1 χρόνια και επομένως θα γίνει α(1+τ)ν−1 κτλ. και η κατάθεση θα τοκιστεί για 1 χρόνο και θα γίνει α(1+τ). Συνεπώς ύστερα από ν χρόνια θα πάρουμε το ποσό

ή

5.4 Ανατοκισμός - Ίσες καταθέσεις 143

Σ = α(1+τ)ν+α(1+τ)ν−1 + ... + α(1+τ) = α(1+τ)+α(1+τ)2 + ... + α(1+τ)ν = α(1+τ)[1+(1+τ)+(1+τ)2 + ... + (1+τ)ν−1]

Επομένως

Ο τύπος αυτός είναι γνωστός ως τύπος των ίσων καταθέσεων.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΣτην αρχή κάθε χρόνου καταθέτουμε στην τράπεζα ποσό 10000 ευρώ με ανατοκισμό και με επιτόκιο 2%. Τι ποσό θα πάρουμε ύστερα από 10 χρό-νια;

ΛΥΣΗΣύμφωνα με τον τύπο , ύστερα από 10 χρόνια θα πάρου-με ποσό

•

144 5. ΠΡΟΟΔΟΙ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Για την επίλυση των ασκήσεων να χρησιμοποιηθεί υπολογιστής τσέπης

Α' ΟΜΑΔΑΣ 1. Δανείζει κάποιος 5000 ευρώ με ανατοκισμό και ετήσιο επιτόκιο 5%.

Πόσα χρήματα θα πάρει συνολικά ύστερα από 5 χρόνια;

2. Πόσα χρήματα πρέπει να τοκίσει κάποιος με ανατοκισμό και ετήσιο επιτόκιο 3% για να πάρει ύστερα από 10 χρόνια συνολικά 50.000 ευρώ;

3. Ποιο είναι το επιτόκιο με το οποίο, κεφάλαιο 10.000 ευρώ, ανατοκι-ζόμενο ανά έτος, γίνεται ύστερα από 5 χρόνια 12.762 ευρώ;

4. Στην αρχή κάθε χρόνου και για 5 συνεχή χρόνια καταθέτουμε 5.000 ευρώ με ανατοκισμό ανά έτος και με ετήσιο επιτόκιο 3%. Τι ποσό θα πάρουμε στο τέλος του 5ου έτους;

6 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

4.1

, -

, .

, - , .

1. 5000

%, 5000100

.

, . , 3 ,

150 , 5 , 250 .

2. S km - 2h, km/h, 2S . - , -

S. , 60 , 120S , 70 , 140S , .

3. 2 . - ,

. 1 , , 2 , 4 .

-

. : .

4

146 6. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ98 4.

( . . -).

-,

. . :

( ) .

f.

f, g, h . .

f , x y , :

y f x

«y f x». f x f x. o x, f,

, y, x, .

, ( )f x x , - f f .

: :

( )f

x f x

. . f, - , :

: 0,f

x x

:

1

f .

6.1 Η έννοια της συνάρτησης 1474.1 99

, 1,2,3,4,5,6,7} ,

0 0 0 0 0( ) 9 , 11 , 12 , 13 , 15f

:f .

. f ( . . 180).

( . . 3 7 13°). 2

={ , , } ={1, 2, 3, 4, 5}, ( ). :

( ) , - .

( ) , .

( ) , - .

( ) . .

148 6. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ100 4.

, f, :

f x x

, , :f , , , , - .

f f x . . . « f,

1 4f x x » , , « 1 4f x x » , ,

« 1 4y x ».

:

f « » f x .

.

1 4f x x

1,4

, 1 4 0x , .

6.1 Η έννοια της συνάρτησης 1494.1 101

,

:

2 1, 0

1, 0x x

f xx x

.

f 1, 0 1 :

1 0x , 2 1f x x , :

21 1 1 1 1 2f .

0x , 1f x x , :

0 0 1 1f .

, 1 0x , 1f x x , :

1 1 1 0f .

, , f -

x , .

2 2 24 7, 4 7 4 7f x x x g t t t h s s s

. x «

». ,

2 4 7,f . 2f 2 ,

: 22 2 4 2 7

4 8 7 19f

,

2

2

3 3 4 3 7

9 12 7

f x x x

x x

µ - µ . «

150 6. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ102 4.

212

s t gt », µ « 212

s gt », s -

s(t). -, -

, , . , t ,

, s(t) .

1 12

f x xx

f x 2 0x 1 0x

, , 2x 1x

f 1, 2 2, ( )

1. :

i) 4 51

f xx

ii) 2

2

164

xf xx x

iii) 2

11

f xx

iv) 1f xx x

6.1 Η έννοια της συνάρτησης 1514.1 103

2. :

i) 1 2f x x x ii) 2 4f x x

iii) 2 4 3f x x x iv) 11

f xx

3.

3 , 0

2 3, 0x x

f xx x

5f , 0f 6f .

4. f : “ , ’ 1,

4 ”.

i) f 0x , 1x , 2x 3x . ;

ii) x ( ) 36f x , ( ) 49f x , ( ) 100f x ( ) 144f x .

5. :

i) 4 51

f xx

, ii) 2

2

164

xg xx x

iii) 2

11

h xx

.

x :

i) ( ) 7f x ii) ( ) 2g x iii) 1( )5

h x .

4.2

-

, - . , -

, :

'x x 'y y . 'x x

x, 'y y - y.

, ( , ) , ( , ) -, , :

, . -

. - ( , ) , , ( , ) .

,

xy , -

. , xy .

: , , -

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 Γραφική παράσταση συνάρτησης 1534.2 105

, -.

Oxy . :

'x x -, 'y y

,

xOy , 'yOx , ' 'x Oy 'y Ox - 1 , 2 , 3 4 , , -.

.

, - ,

, :

'x x , , ( . ).

'y y ,B , ( . ).

, , ( . ).

1 3 ' ,

( . ).

154 6. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ106 4.

Oxy 1 1,x y

2 2,x y . :

2 22 1 2 1x x y y

:

:

2 2 2

2 22 1 2 1

2 22 1 2 1

( ) ( ) ( )

x x y y

x x y y

:

2 22 1 2 1x x y y .

'x x ( ) 'y y ( ).

, (3,1) , (3,5) (-1,1) - , :

2 2 2( ) (3-3) (5 1) 4 4

2 2 2( ) (-1-3) (1 1) 4 4

2 2 2 2( ) (-1- 3) (1 5) 4 4 4 2 .

, , ( ) ( ) , - 2 2 2( ) ( ) 32 ( ) , -

.

6.2 Γραφική παράσταση συνάρτησης 1554.2 107

C o O . ,x y C,

2 2 2x y

,x y

C , .

2 2x y , :

2 2 2 2 2x y x y

,x y ,C , -

2 2 2x y (1) (1), ,C , - .

, 1 2 2 1x y . .

f Oxy -

. ( , )M x y ( )y f x , ( , ( ))M x f x , Ax , -

f fC . , -

, ( )y f x fC . -

, ( )y f x f. , fC f , ,

, ( )y f x .

x A y , f .

f ( . ). , -

( . ).

156 6. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ108 4.

f , ,

f , f

x x - f ( , ( ))M x f x -

( , ( ))M x f x f x x .

- f g ,

. i) f :

3 , 2 , 1 , 0, 1 2 ii) :

( ) 0f x , ( ) 2f x & ( ) ( )f x g x . iii) :

( ) 0f x ( ) ( )f x g x .

i) :

3 2f , 2 0f , 1 1f , 0 1f , 1 0f 2 2f .

ii) 0f x

f 'x x , 1 2x 2 1x .

6.2 Γραφική παράσταση συνάρτησης 1574.2 109

2f x

f 2, 1 3x

2 2x .

( )f x g x

f g ,

1 1x , 2 0x 3 2x .

iii) 0f x -

f 'x x , ( , 2) (1, )x .

( )f x g x

f - g , ( , 1) (0, 2)x .

1. : 1, 2 , 3,4 , 0,0 , 3,0 , 0, 5 2, 3 .

2. ,x y .

, x y ;

3. 1,3 , i) 'x x ii) 'y y

iii) x y iv) O .

4. : i) 0,0 4, 2 , ii) 1,1 3, 4 ,

iii) 3, 1 1, 1 , iv) 1, 1 1, 4 .

158 6. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ110 4.

5. : i) 1,2 , 4,-2 3,5

. ii) 1, 1 , 1,1 4,2

.

6. :

2,5 , 5,1 , 2, 3 , 1,1 .

7. k

. i) 2f x x k , 2,6

ii) 3g x kx , 2,8

iii) 1h x k x , 3,8 .

8. ,

.

i) 4f x x ii) 2 3g x x x

iii) 2( 1)h x x iv) 2 1q x x x

v) 1x x x vi) 2 4x x x .

9. 2 1f x x . :

i) fC .

ii) fC - 'x x .

10. 2 5 4f x x x 2 6g x x . :

i) fC gC .

ii) fC gC .

4.3 : ( )f x x

Oxy x x .

x ,

(1) , xx . x x , x x 0 .

0 180 . -

xx . .

, - , , ,

. 90 , - xx ,

.

( )f x x ( ) 0,5 1f x x . - , f - 0,5 1y x ( ).

(1)

x y, 900.

6.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ: ƒ(x) = αx + β

160 6. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ112 4.

: 'x x (-2,0), 0y

2x , 'y y (0,1), 0x - 1y

: ( ) 1 0,5( ) 2

, , 0,5 1y x x.

, , ( )f x x , y x ,

y (0, ) . - : 0 , 0 90 0 , 90 180 0 , 0 . 0 , ( )f x

, x .

1 1( , )x y 2 2( , )x y y x .

6.3 Η συνάρτηση f(x) = αx+β 1614.3 f(x)= x+ 113

: 1 1y x 2 2y x ,

: 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )y y x x x x .

:

2 1

2 1

y yx x

, ( 1,3)A (3,6)B

6 3 0,753 ( 1)

. ,

x x 0,75 , 36,87 .

( )f x x 0 , f ( )f x x , -

y x . -:

1 y x . ,

x x, 1 , 45 .

y x

ˆxOy ˆx O y .

1 y x . , x x,

1 , 135 . y x -

ˆyOx ˆy O x .

1 2 1 1y x

2 2y x - x x 1 2 .

1 2 , 1 2 , 1 2 1 2 . :

162 6. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ114 4.

1 2 1 2 , ( . ),

1 2 1 2 , . 1 2 , 1 2 , 1 2 1 2

. ( . )

:

1y x , ,

: 1y x , 1y x , 2 1y x .,

, 1 - 'y y

, y x ,

'y y .

2y x , ,

: 2y x , 2 1y x , 2 3y x .,

, =2

, y x ,

, .

6.3 Η συνάρτηση f(x) = αx+β 1634.3 f(x)= x+ 115

f x x :

, 0, 0

x xf x x

x x

f x x

: , 0y x x , 0y x x

ˆ'x Oy ˆxOy .

- f .

i) - - .

ii) ( ) 0,5 1f x x .

i) y x

2,0 0,1 :

0 2 1 0 , :

0,5 1 :

0,5 1y x .

164 6. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ116 4.

, 2, 2 -

, 2 0,5 2 1 , .

ii) 0,5 1f x x

f - 0,5 1y x , . ,

2,0 2,x .

1. 'x x :

i) 2y x ii) 3 1y x

iii) 1y x iv) 3 2y x .

2. : i) (1,2)A (2,3)B ii) (1,2)A (2,1)B

iii) (2,1)A ( 1,1)B iv) (1,3)A (2,1)B .

3. :

i) 1 'y y B(0, 2) .

ii) 'x x 45 'y y (0,1)B .

iii) 2 3y x -

(1,1)A .

6.3 Η συνάρτηση f(x) = αx+β 1654.3 f(x)= x+ 117

4. : i) (1,2)A (2,3)B ii) (1,2)A (2,1)B

iii) (2,1)A ( 1,1)B iv) (1,3)A (2,1)B .

5. C Celsius F -

Fahrenheit 5 ( 32)9

C F

0oC 32 F 100oC 212 F.

;

6. : 2, 0

( ) 2, 0 11, 1

x xf x x

x x

7. f

y x .

: i) :

( ) 1f x ( )f x x . ii) :

( ) 1f x ( )f x x .

8. i) -

( )f x x ( ) 1g x

: 1x 1x .

ii) .

166 6. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ118 4.

1.

f 6,5 .

i) f [ 6,5]x . ii) :

( ) 0, ( ) 1 ( ) 1f x f x f x iii)

( ) 0,5f x x .

2. 1y x - 'x x .

.

3. 600 . - 2000 .

100 - :

i) , t, :

) ) . ii)

.

4. .

x ( )f x

. - = ( )E f x

.

6.3 Η συνάρτηση f(x) = αx+β 1674.3 f(x)= x+ 119

5. 1 2 , 20cm , 3 ,

4 . 1 2 , t, , -

1k 2k .

i) 1( )h h t 2 ( )h h t , -

t, 1 2 .

ii) 2 1 .

iii) . ;

6.4 ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ - ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ

4.4 –

) 1f x x .

1, 01, 0

x xf x

x x

,

- 1f x x , -

1, 0y x x 1, 0y x x ,

1 'y y -

ˆ'x Oy ˆxOy , ,

x x ( ).

, x x -(1) 1 , - 1f x x . , , ,

: 1f x x , x ,

x f x 1

x .

:

f , :

, 0f x x c c ,

c ( )

(1) 'y y .

6.4 Κατακόρυφη - Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης 1694.4 – 121

) 1f x x .

1, 01, 0

x xf x

x x

,

1f x x ,

1, 0y x x 1, 0y x x ,

1 'y y -

ˆ'x Oy ˆxOy

x x ( ).

, x x -

1 , - 1f x x . , , ,

: 1f x x , x ,

x f x 1

x . :

f , :

, 0f x x c c ,

c ( )

170 6. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ122 4.

) 1f x x .

1, 11, 1

x xf x

x x

,

1f x x ,

1, 1y x x 1, 1y x x ,

1 'x x -

ˆ'x Oy ˆxOy x x ( ).

, x x -(2) 1 , -

1f x x . , , ,

1f x x , x ,

1f x x x

x x 1x .

: (2) 'x x .

6.4 Κατακόρυφη - Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης 1714.4 – 123

f :

, 0f x x c c ,

c ( ).

· ,f x x c f x

x c , c x. , f c -

( ).

) 1f x x .

1, 11, 1

x xf x

x x

,

1f x x ,

1, 1y x x 1, 1y x x ,

1 'x x -

ˆ'x Oy ˆxOy x x ( ).

, x x -

1 , -

172 6. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ124 4.

1f x x . , , ,

1f x x , x ,

1f x x x

x x 1x . :

f , :

, 0f x x c c ,

c ( ).

· ,f x x c f x

x c , c - x. , f c - ( ).

( ) 3 2f x x .

3y x , -

y x 3 . -

3 2y x , -

6.4 Κατακόρυφη - Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης 1734.4 – 125

3y x 2 -

.

, -

( ) 3 2f x x

- -

y x , 3 -

2 ( ).

: , - :

( ) ( )f x x c d , , 0c d , -

.

A 1. -

: x x , 2f x x 2g x x .

2. : x x , 2h x x 2q x x .

3. : x x , 2 1F x x 2 1G x x .

174 6. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ126 4.

4. 1

(0,0)O (2,0)A .

-:

i) ( ) ( ) 2f x x ( ) ( ) 2g x x

ii) ( ) ( 3)h x x ( ) ( 3)q x x

iii) ( ) ( 3) 2F x x ( ) ( 3) 2G x x .

5. 2( ) 2 1x x .

f - :

i) 2 1 . ii) 3 2 . iii) 2 1 . iv) 3 2 .

6.5 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

4.5 - -

T f t -

t 0t -

24t .

) 4,16 - .

176 6. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ128 4.

, , - , 1 2, 4,16t t 1 2t t :

1 2f t f t

T f t

4,16 . :

f , 1 2,x x 1 2x x :

1 2f fx x

f f .

, 2 3f x x . · 1 2 1 2, ,x x x x . :

1 2 1 2

1 2

1 2

2 22 3 2 3

x x x xx x

f x f x

:

f x x , 0 .

) , 16,24 - .

6.5 Μονοτονία - Ακρότατα - Συμμετρίες συνάρτησης 1774.5 – – 129

, , - , 1 2, 16,24t t 1 2t t :

1 2f t f t

T f t

16,24 . :

f - , 1 2,x x 1 2x x :

1 2f x f x f

f

, 2 5f x x . · 1 2 1 2, ,x x x x . :

1 2 1 2

1 2

1 2

2 22 5 2 5

x x x xx x

f x f x

: f x x , 0 .

.

T f t .

178 6. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ130 4.

: ) 1 4t

, 4 3f . :

4 3f t f , 0,24t

T f t 4t -

, 4 3f . :

f, , 0x ( ) :

0f x f x , x

0x , 0f x

f min f x .

, 43 1f x x .

4 0x , x ,

43 0x , x ,

43 1 1x , x . :

0f x f , x

, f 0 0x , 0 1f

) 2 16t

, 16 11T . :

16 11f t f , 0,24t

T f t 16t

, 16 11f . :

f, , 0x ( )

0f x f x , x

6.5 Μονοτονία - Ακρότατα - Συμμετρίες συνάρτησης 1794.5 – – 131

0x , 0f x -

f max f x .

, 43 1f x x .

4 0x , x ,

43 0x , x ,

43 1 1x , x . :

( ) 0f x f , x

, f 0 0x , 0 1f .

( ) ( ) .

: ( . )

( . ) ( . ) ( . ).

180 6. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ132 4.

) -

fC f

. fC

'y y , fC

'y y fC .

, , ( , )M x y fC

'y y '( , )M x y ( , )M x y '( , )M x y fC , y f x y f x ,

: f x f x

f . :

: f, , ,

x : x f x f x

y y

, 4 22 1f x x x , x :

4 2 4 22 1 2 1f x x x x x f x , 'y y .

) - fC f

.

fC

, - fC -

fC .

6.5 Μονοτονία - Ακρότατα - Συμμετρίες συνάρτησης 1814.5 – – 133

, , ( , )M x y fC

'( , )M x y ( , )M x y '( , )M x y fC , y f x

y f x , :

f x f x f . :

: f, , , x :

x f x f x

.

, 32f x x x , - x :

3 32 2f x x x x x f x ,

.

: “ ” 2y x ,

4y x , 6y x ., , 'y y , , “ ” -

y x , 3y x , 5y x ., - , ,

.

- f

[ 6,6] .

f :

182 6. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ134 4.

) f : i) , ii) iii) .

) f , - .

f ,

'y y . , 'y y f ,

f , ( ).

:

) f : i) [0,2] [5,6] , ii) [ 2,0]

[ 6, 5] , [0,2] [5,6] f .

iii) [ 5, 2] [2,5] .

6.5 Μονοτονία - Ακρότατα - Συμμετρίες συνάρτησης 1834.5 – – 135

) f 4 x 6 6. :

max ( ) ( 6) (6) 4f x f f f 0 x

0. : min ( ) (0) 0f x f .

1) - :

) ) .

2) , .

3) : i) 2( ) 6 10f x x x 3x .

ii) 2

2( )1

xg xx

1x .

4) :

i) 2 41 3 5f x x x ii) 2 3 1f x x iii) 3 1f x x

iv) 3 54 3f x x x v)

2

5 1xf x

x

vi) 6 2

21

xf xx

.

184 6. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ136 4.

5) :

i) 11f xx

ii) 2 2f x x iii) 3 1 1f x x x

iv) 4 2

1

1

xxf x

x

v) 5f x x vi) 2

6 ( ) 1f x x .

6) .

7)

8)

) ) .

6.5 Μονοτονία - Ακρότατα - Συμμετρίες συνάρτησης 185

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 6ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

4.5 – – 137

4

I) , ,

.

1. 1, 2 1,3 .

2. 2 2y x 1y x . 3. f , f

.

4. . 5.

1,2 , 2,1 3,3 .

6. f 1, (0) 0f .

7. f -

1,2

2,5 , f .

8. f 1, ( ) 2f x .

9. : -1,2f 23f x x .

10. , – .

11. f , f - .

12. f , f .

II) f. f, -

43x x , 1 -

2 , :

) 43( 1) 2f x x ) 43( 1) 2f x x ,

) 43( 1) 2f x x ) 43( 1) 2f x x

186 6. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ138 4.

- , Rene Des-

cartes (1596-1650) Pierre de Fermat (1601-1665).

Descartes ( ) La Haye ( ) Touraine . 10

La Fleche, . .

, .

, 1637 Le Geometrie, -

.

. « - », .

Fermat, Toulouse , - ,

17 .

, 1629 ,

1679. Fermat :

« 2 , , a » « Fermat». Fermat :

« ».

Fermat 1994 - . Wiles, 350 -

.

7 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α-ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγα-λύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων

21( )f x x , 3

2 ( )f x x , 3 ( )f xx

και 24 ( )f x x x .

Η πορεία την οποία ακολουθούμε λέγεται και περι-λαμβάνει τα ακόλουθα βήματα:

1. Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.

2. Προσδιορίζουμε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ολικά ακρότατα της συνάρτησης.

3. Μελετούμε τη “συμπεριφορά” της συνάρτησης στα άκρα των διαστη-μάτων του πεδίου ορισμού της (“οριακές τιμές” κτλ.).

4. Συντάσσουμε έναν πίνακα τιμών της συνάρτησης και, με τη βοήθεια αυτού και των προηγούμενων συμπερασμάτων, χαράσσουμε τη γραφι-κή της παράσταση.

Όπως είναι γνωστό, αν μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α είναι , τότε η γραφική της παράσταση έχει άξονα συμμετρίας τον άξο-να y y , ενώ αν είναι , έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. Επομένως, για τη μελέτη μιας τέτοιας συνάρτησης αρκεί να περιοριστούμε στα x A , με 0x και να χαράξουμε τη γραφική της παράσταση στο σύ-νολο αυτό. Στη συνέχεια θα πάρουμε το συμμετρικό της καμπύλης που χα-ράξαμε ως προς τον άξονα y y αν η συνάρτηση είναι άρτια και ως προς την αρχή των αξόνων αν η συνάρτηση είναι περιττή και θα βγάλουμε τα σχετι-κά συμπεράσματα. Γι’ αυτό, συνήθως, πριν προχωρήσουμε στα βήματα 2 έως 4, ελέγχουμε από την αρχή αν η συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή.

5

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: f(x) = αx2

140 5.

5.1 : 2f x x

2g x x Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση 2g x x . Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση αυτή, έχει πεδίο ορισμού όλο το και είναι άρτια, διότι για κάθε x ισχύει :

2 2g x x x g x Επομένως, η γραφική παράσταση της g έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα

'y y . Άρα, σύμφωνα με όσα αναφέραμε προηγουμένως, αρχικά θα μελετή-

σουμε και θα παραστήσουμε γραφικά την g στο διάστημα 0, .

Έχουμε λοιπόν:

: Έστω τυχαία 1 2, 0,x x με 1 2x x . Τότε θα είναι 2 21 2x x , οπότε θα έχουμε 1 2g x g x . Άρα η συνάρτηση 2g x x

είναι γνησίως αύξουσα στο 0, .

: Για κάθε 0,x ισχύει:

2 0 0g x x g .

Άρα η συνάρτηση g παρουσιάζει στο 0 0x ελάχιστο, το 0 0g .

g “ ” x: Ας θεωρήσουμε τον παρακάτω πίνακα τιμών της g για “πολύ μεγάλες” τιμές του x :

x 1010 2010 5010 10010 100010 …

2g x x 2010 4010 10010 20010 200010 …

Παρατηρούμε ότι, καθώς το x αυξάνεται απεριόριστα, ή όπως λέμε “ ”, το 2x αυξάνεται και αυτό απεριόρι-στα και μάλιστα γρηγορότερα και άρα “ -

”. Αυτό σημαίνει ότι η γραφική παράσταση της g προεκτείνεται απεριόρι-στα προς τα πάνω, καθώς το x απομακρύ-νεται προς το .

7.1 Μελέτη της συνάρτησης f(x)=αx2 1895.1 f(x)= x2 141

Λαμβάνοντας υπόψη τα παραπάνω και παίρνοντας ένα πίνακα τιμών της g για μη αρνητικές τιμές του x , μπορούμε να χαράξουμε τη γραφική της πα-ράσταση στο διάστημα 0, . Αν τώρα πάρουμε το συμμετρικό της παραπάνω καμπύλης ως προς τον άξονα 'y y , τότε θα έχουμε τη γρα-φική παράσταση της 2( )g x x σε όλο , από την οποία συμπεραίνου-με ότι: Η συνάρτηση 2g x x : Είναι γνησίως φθίνουσα στο

,0 και γνησίως αύξουσα στο 0, Παρουσιάζει ελάχιστο για 0x , το (0) 0g . Έχει γραφική παράσταση που προεκτείνεται απεριόριστα προς τα πάνω,

καθώς το x τείνει είτε στο , είτε στο .

2h x x Ας θεωρήσουμε τώρα τη συνάρτηση

2( )h x x . Παρατηρούμε ότι για κάθε x ισχύει

h x g x Άρα, όπως μάθαμε στην §4.2, η γρα-φική παράσταση της 2h x x είναι συμμετρική της γραφικής παράστασης της 2g x x ως προς τον άξονα 'x x . Επομένως η συνάρτηση 2h x x : Είναι γνησίως αύξουσα στο

,0 και γνησίως φθίνουσα στο 0, . Παρουσιάζει μέγιστο για 0x , το 0 0h Έχει γραφική παράσταση που προεκτείνεται απεριόριστα προς τα κάτω,

καθώς το x τείνει είτε στο είτε στο .

2f x x Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Αν 0 , τότε εργαζόμαστε όπως εργαστήκαμε για τη συνάρτηση

2g x x και καταλήγουμε στα ίδια συμπεράσματα. Τα συμπεράσματα αυτά συνοψίζονται στον παρακάτω πίνακα:

190 7. ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ142 5.

x 0

2( )0

f x x

Στο σχήμα που ακολουθεί δίνονται οι γραφικές παραστάσεις της συνάρτη-σης 2f x x για 0,5 , 1 και 2 .

Αν 0 , τότε εργαζόμαστε όπως εργαστήκαμε για τη συνάρτηση

2h x x και καταλήγουμε στα ίδια συμπεράσματα. Τα συμπεράσματα αυτά συνοψίζονται στον παρακάτω πίνακα:

x 0

2( )0

f x x

Στο σχήμα που ακολουθεί δίνονται οι γραφικές παραστάσεις της συνάρτη-σης 2f x x για 0,5 , 1 , 2 .

7.1 Μελέτη της συνάρτησης f(x)=αx2 1915.1 f(x)= x2 143

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2 , με 0f x x , είναι μια κα-μπύλη που λέγεται με την αρχή των αξόνων και

τον άξονα 'y y .

Στα παραπάνω σχήματα παρατηρούμε ότι: Όταν το είναι θετικό, τότε η παραβολή είναι “ανοικτή” προς τα πάνω, ενώ όταν το είναι αρνητικό, τότε η παραβολή είναι “ανοικτή” προς τα κάτω.

Καθώς η μεγαλώνει, η παραβολή γίνεται όλο και πιο “κλειστή”, δη-λαδή “πλησιάζει” τον άξονα 'y y .

3h x x .

Η συνάρτηση 3 , με 0h x x , είναι

περιττή, διότι: 3 3( ) ( ) ( )h x x x h x

Επομένως, αρκεί να τη μελετήσουμε και να την παραστήσουμε γραφικά στο διά-στημα 0, και στη συνέχεια να βγά-

λουμε τα σχετικά συμπεράσματα για όλο το . Αν εργαστούμε με τρόπο ανάλογο με εκείνο με τον οποίο εργαστήκαμε για τη μελέτη της συνάρτησης 2f x x , συ-

μπεραίνουμε ότι: Η συνάρτηση 3 , με 0h x x :

Αν 0 , Είναι γνησίως αύξουσα στο . Έχει γραφική παράσταση που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και ε-κτείνεται απεριόριστα προς τα πάνω, όταν το x τείνει στο και απεριό-ριστα προς τα κάτω όταν το x τείνει στο .

Αν 0 , Είναι γνησίως φθίνουσα στο

192 7. ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ144 5.

Έχει γραφική παράσταση που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και ε-κτείνεται απεριόριστα προς τα κάτω, όταν το x τείνει στο και απεριό-ριστα προς τα πάνω όταν το x τείνει στο .

1. Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής του διπλα-νού σχήματος.

2. Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτή-σεις:

i) 20,5x x , 20,5 2f x x και 20,5 3g x x

ii) 20,5x x , 20,5 2h x x και 20,5 3q x x .

3. Ομοίως τις συναρτήσεις:

i) 20,5x x , 20,5 2f x x και 20,5 2g x x

ii) 20,5x x , 20,5 2h x x και 20,5 2q x x .

4. i) Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να χαράξετε τις γραφικές παραστά-σεις των συναρτήσεων

2( )f x x και ( ) 1g x και με τη βοήθεια αυτών να λύσετε τις ανισώσεις:

2 1x και 2 1x .

ii) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά τα προηγούμενα συμπεράσματα.

1. Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης: f x x x .

7.1 Μελέτη της συνάρτησης f(x)=αx2 1935.1 f(x)= x2 145

2. Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης:

2

, 0( )

, 0x x

f xx x

και με τη βοήθεια αυτής να βγάλετε τα συμπεράσματα τα σχετικά με τη μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης f.

3. Στο διπλανό σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρ-τήσεων:

( )f x x , 2( )g x x , 3( )h x x και ( )x x

στο διάστημα 0, , τις οποίες χαράξαμε με τη βοήθεια Η/Y.

i) Να διατάξετε από τη μικρότερη στη μεγαλύτερη τις τιμές

2 3, , και x x x x των συναρτήσεων , , και f g h : α) για 0 1x και β) για 1x .

ii) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά τα συμπεράσματα στα οποία καταλήξατε προηγουμένως.

4. Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο OAB είναι ισόπλευρο. Να βρεθεί η τετμη-μένη του σημείου .

7.2 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: 5.2 : f xx

1g xx

Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση 1g xx

. Παρατηρούμε ότι, η συνάρτηση

αυτή έχει πεδίο ορισμού όλο το ( ,0) (0, ) και είναι περιττή, διότι για κάθε x ισχύει :

1g x g xx

Επομένως, η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. Γι’ αυτό αρχικά θα τη μελετήσουμε και θα την παραστήσουμε γραφικά στο διάστημα 0, .

Έχουμε λοιπόν: : Έστω τυχαία 1 2, (0, )x x με 1 2x x . Τότε θα ισχύει

1 2

1 1x x , οπότε θα έχουμε 1 2g x g x . Άρα η συνάρτηση 1g x

x

είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, ) .

g: Για κάθε (0,+ )x ισχύει 1( ) 0g xx

.

Επομένως, στο διάστημα (0, ) η γραφική παράσταση της g θα βρί-σκεται πάνω από τον άξονα των x.

g “ ” x: Ας θεωρήσουμε τον πα-ρακάτω πίνακα τιμών της g για “πολύ μικρές” τιμές του x :

x 1010 2010 5010 10010 100010 ……. 0

1g xx

1010 2010 5010 10010 100010 …….

Παρατηρούμε ότι, καθώς το x μειώνεται απεριόριστα και παίρνει τιμές

οσοδήποτε κοντά στο 0 ή, όπως λέμε, “ 0”, το 1x

αυξάνεται

απεριόριστα και . Αυτό σημαίνει ότι, καθώς το x “πλη-σιάζει” το 0 από τα δεξιά, η γραφική παράσταση της g τείνει να συ-

7.2 Μελέτη της συνάρτησης f(x)=α/x 1955.2 f(x)= /x 147

μπέσει με τον ημιάξονα Oy . Γι’ αυτό ο άξονας 'y y λέγεται - της γραφικής παράστασης της g προς τα πάνω.

g “ ” x: Ας θεωρήσουμε τον πα-ρακάτω πίνακα τιμών της g για “πολύ μεγάλες” τιμές του x :

x 1010 2010 5010 10010 100010 …….

1g xx

1010 2010 5010 10010 100010 ……. 0

Παρατηρούμε ότι, καθώς το x αυξάνεται απεριόριστα και

, το 1x

μειώνεται απεριόριστα και 0. Αυτό σημαίνει ότι,

καθώς το x “απομακρύνεται” προς το , η γραφική παράσταση της g τείνει να συμπέσει με τον ημιάξονα Ox . Γι’ αυτό ο άξονας 'x x λέ-γεται της γραφικής παράστασης της g προς τα δεξιά.

Λαμβάνοντας υπόψη τα παραπάνω και παίρνοντας ένα πίνακα τιμών της g για θετικές τιμές του x , μπορούμε να χαράξουμε τη γραφική της παράσταση στο διάστημα (0, ) .

Αν τώρα πάρουμε το συμμετρικό της πα-ραπάνω καμπύλης ως προς την αρχή των αξόνων, τότε θα έχουμε τη γραφική παρά-

σταση της 1g xx

σε όλο το , από την

οποία συμπεραίνουμε ότι:

Η συνάρτηση 1g xx

:

Είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήματα ( ,0) και (0, ) .

Έχει γραφική παράσταση η οποία: αποτελείται από δύο κλάδους, έναν στο 1ο και έναν στο 3ο τεταρτη-μόριο,

έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων,

έχει άξονες συμμετρίας τις ευθείες y x και y x , που διχοτο-μούν τις γωνίες των αξόνων και τέλος

196 7. ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ148 5.

έχει οριζόντια ασύμπτωτη τον άξονα 'x x και κατακόρυφη ασύ-μπτωτη τον άξονα 'y y .

1h xx

Ας θεωρήσουμε τώρα τη συνάρτηση

1h xx

. Παρατηρούμε ότι για κάθε

x ισχύει h x g x .

Επομένως, η γραφική παράσταση της

1h xx

είναι συμμετρική της γραφι-

κής παράστασης της 1g xx

ως προς

τον άξονα 'x x , οπότε, η συνάρτηση 1h xx

:

Είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα ( ,0) και (0, ) .

Έχει γραφική παράσταση η οποία: αποτελείται από δύο κλάδους, έναν στο 2ο και έναν στο 4ο τεταρτη-μόριο,

έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων,

έχει άξονες συμμετρίας τις ευθείες y x και y x , που διχοτο-μούν τις γωνίες των αξόνων και τέλος

έχει οριζόντια ασύμπτωτη τον άξονα 'x x και κατακόρυφη ασύ-μπτωτη τον άξονα 'y y .

f xx

Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Αν 0 , τότε εργαζόμαστε όπως εργαστήκαμε για τη συνάρτηση

1g xx

και καταλήγουμε στα ίδια συμπεράσματα.

Στο σχήμα α΄ δίνονται οι γραφικές παραστάσεις της f xx

για

0,5 , 1 και 2 .

7.2 Μελέτη της συνάρτησης f(x)=α/x 1975.2 f(x)= /x 149

Αν 0 , τότε εργαζόμαστε όπως εργαστήκαμε για τη συνάρτηση

1h xx

και καταλήγουμε στα ίδια συμπεράσματα.

Στο σχήμα β΄ δίνονται οι γραφικές παραστάσεις της f xx

για

0,5 , 1 και 2 .

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης , με 0f xx

, λέγεται -

με την αρχή των αξόνων και τους άξονες 'x x και 'y y .

1 - ,

2 . . - .

Αν με x συμβολίσουμε το μήκος και με y το πλάτος του ορθογωνίου, επειδή το εμβαδόν του είναι ίσο με 2τμ, θα ισχύει 2xy και , 0x y , οπότε θα έχουμε:

2, με 0y x

x

Άρα το σημείο Μ θα διαγράφει τον κλάδο της υπερβολής 2

yx

που βρίσκεται στο 1ο τεταρτημόριο.

198 7. ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ150 5.

1. Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής

του διπλανού σχήματος.

2. Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτή-σεις:

i) 1xx

, 1 2f xx

και 1 3g xx

ii) 1xx

, 1 2h xx

και 1 3q xx

.

3. Ομοίως τις συναρτήσεις:

i) 1xx

, 12

f xx

και 13

g xx

ii) 1xx

, 12

h xx

και 13

q xx

.

4. i) Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να χαράξετε τις γραφικές παραστά-

σεις των συναρτήσεων 1( )f xx

και ( ) 1g x και με τη βοήθεια αυτών

να λύσετε γραφικά τις ανισώσεις: 1 1x και 1 1

x

ii) Να επιβεβαιώσετε και αλγεβρικά τα παραπάνω συμπεράσματα.

5. Ομοίως για τις συναρτήσεις 1( )f xx

και 2( )g x x και τις ανισώσεις:

21 xx

και 21 xx

6. Οι κάθετες πλευρές ΑΒ και ΑΓ ενός ορθογώνιου τριγώνου ΑΒΓ μετα-βάλλονται έτσι, ώστε το εμβαδόν του να παραμένει σταθερό και ίσο με 2 τετραγωνικές μονάδες. Να εκφράσετε το μήκος y της ΑΓ συναρτήσει του μήκους x της ΑΒ και στη συνέχεια να παραστήσετε γραφικά τη συνάρ-τηση αυτή.

7.3 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: f(x) = αx2 + βx + γ5.3 : 2f x x x Θα μελετήσουμε αρχικά τη συνάρτηση 22 12 20g x x x που είναι ειδι-

κή περίπτωση της 2f x x x με α 0 . Για τη μελέτη της συνάρτησης g μετασχηματίζουμε τον τύπο της ως εξής:

2 2

2 2 2

2

2

2 12 20 2 6 10

2 2 3 3 3 10

2 3 1

2 3 2

g x x x x x

x x

x

x

Έτσι έχουμε

22 3 2g x x

Επομένως, για να παραστήσουμε γραφικά την g , χαράσσουμε πρώτα την

22 3y x που προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της 22y x κατά 3 μονάδες προς τα αριστερά, και στη συνέχεια χαράσσουμε την

22 3 2y x που προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφι-

κής παράστασης της 22 3y x κατά 2 μονάδες προς τα πάνω.

Άρα, η γραφική παράσταση της

22 3 2g x x προκύπτει από δύο διαδοχικές μετατοπίσεις της παραβολής 22y x , μιας ορι-ζόντιας κατά 3 μονάδες προς τα αριστερά και μιας κατακόρυφης κατά 2 μονάδες προς τα πάνω. Είναι δηλαδή μια παραβολή ανοι-κτή προς τα άνω με κορυφή το σημείο Κ( 3,2) και άξονα συμ-μετρίας την ευθεία 3x .

Θα μελετήσουμε τώρα τη συνάρ-τηση 2f x x x , με 0 . Όπως είδαμε στην §3.2 (μορφές τριωνύ-

μου), η f x παίρνει τη μορφή:

200 7. ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ152 5.

2 Δ

2 4f x x

Επομένως η γραφική της παράσταση προκύπτει από δύο διαδοχικές μετατο-πίσεις της παραβολής 2y x , μιας οριζόντιας και μιας κατακόρυφης, έτσι

ώστε η κορυφή της να συμπέσει με το σημείο ΔΚ ,2 4

. Συνεπώς είναι

και αυτή μια , που έχει το σημείο ,2 4

και

την ευθεία 2

x .

Άρα, η συνάρτηση 2f x x x : Αν 0 ,

Είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα ,2

και γνησίως αύ-

ξουσα στο διάστημα ,2

.

Παρουσιάζει ελάχιστο για 2

x , το Δ2 4

f

.

Τα συμπεράσματα αυτά συνοψίζονται στον παρακάτω πίνακα.

x 2

2( )0

f x x x

7.3 Μελέτη της συνάρτησης f(x)=αx2+βx+γ 2015.3 f(x)= x2+ x+ 153

Αν 0 , η συνάρτηση 2f x x x :

Είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα ,2

, γνησίως φθίνουσα

στο διάστημα ,2

Παρουσιάζει μέγιστο για 2

x ,το Δ2 4

f

.

Τα συμπεράσματα αυτά συνοψίζονται στον πίνακα.

x 2

2( )0

f x x x

Τέλος η γραφική παράσταση της f είναι μια που τέμνει τον άξο-να 'y y στο σημείο Γ 0, , διότι 0f , ενώ για τα σημεία τομής της με τον άξονα 'x x παρατηρούμε ότι:

Αν Δ 0 , το τριώνυμο 2x x έχει δύο ρίζες 1 2καιx x και επομέ-νως η παραβολή 2y x x τέμνει τον άξονα 'x x σε δύο σημεία, τα

1Α ,0x και 2Β ,0x (Σχ. α΄).

Αν Δ 0 , το τριώνυμο έχει διπλή ρίζα την 2

. Στην περίπτωση αυτή

λέμε ότι η παραβολή εφάπτεται του άξονα 'x x στο σημείο Α ,02

(Σχ. β΄).

Αν Δ 0 , το τριώνυμο δεν έχει πραγματικές ρίζες. Επομένως η παραβο-λή δεν έχει κοινά σημεία με τον άξονα 'x x (Σχ. γ΄).

Η γραφική παράσταση της f εξαρτάται από το πρόσημο των α και Δ και φαίνεται κατά περίπτωση στα παρακάτω σχήματα:

202 7. ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ154 5.

Τα συμπεράσματα της §3.2 για το πρόσημο του τριωνύμου προκύπτουν άμε-σα και με τη βοήθεια των παραπάνω γραφικών παραστάσεων.

2 4 3f x x x

Για τη συνάρτηση 2 4 3f x x x είναι

Δ1 0, 2 και 2 1

2 4 2f f

,

Επομένως έχουμε τον πίνακα μεταβολών: x 2

2( ) 4 3f x x x

7.3 Μελέτη της συνάρτησης f(x)=αx2+βx+γ 2035.3 f(x)= x2+ x+ 155

Δηλαδή η συνάρτηση f, Είναι γνησίως φθίνουσα στο , 2 και γνησίως αύξουσα στο 2, ,

Παρουσιάζει για 2x ελάχιστο, το 2 1f .

Επιπλέον, η γραφική παράσταση της f είναι μια παραβολή η οποία: Έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία 2x και

Τέμνει τον άξονα 'x x στα σημεία με τετμημένες 1 και 3 αντιστοίχως, που εί-ναι οι ρίζες του τριωνύμου 2 4 3x x , και τον άξονα 'y y στο σημείο με τε-ταγμένη 3.

1. i) Να γράψετε τη συνάρτηση 2( ) 2 4 5f x x x στη μορφή 2( ) ( )f x x p q και στη συνέχεια να βρείτε με ποια οριζόντια και

ποια κατακόρυφη μετατόπιση η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2( ) 2g x x θα συμπέσει με τη γραφική παράσταση της f.

ii) Να κάνετε το ίδιο και για τη συνάρτηση 2( ) 2 8 9f x x x , θεωρώ-

ντας ως g την 2( ) 2g x x .

2. Να βρείτε τη μέγιστη ή ελάχιστη τιμή των συναρτήσεων:

α) 22 6 3f x x x και β) 23 5 2g x x x .

204 7. ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ156 5.

3. Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις α) 22 4 1f x x x και β) 22 8 9g x x x .

4. Στα παρακάτω σχήματα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις επτά τριωνύμων, δηλαδή συναρτήσεων της μορφής 2y x x . Να συμπληρώσετε τις στήλες του πίνακα που ακολουθεί με το πρόσημο των συντελεστών και της διακρίνουσας των αντίστοιχων τριωνύμων.

f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 0

'

1. Δίνεται η παραβολή 2 ( 1)y x k x k . Να καθορίσετε τις τιμές του k, για τις οποίες η παραβολή: i) Εφάπτεται του άξονα 'x x . ii) Έχει τον 'y y άξονα συμμετρίας. iii) Έχει για κορυφή ένα σημείο με τεταγμένη 4 . Ποια είναι η τετμημένη

της κορυφής;

2. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση ενός τριωνύμου 2P x x x . Να βρείτε: i) Το πρόσημο του α. ii) Το πρόσημο της διακρίνουσας Δ και iii) Τους συντελεστές του τριωνύμου, αν δίνεται ότι

6 .

7.3 Μελέτη της συνάρτησης f(x)=αx2+βx+γ 2055.3 f(x)= x2+ x+ 157

3. Οι διαστάσεις ,x y ενός ορθογωνίου μεταβάλλονται, έτσι ώστε η περίμε-τρός του να παραμένει σταθερή και ίση με 20 μ . i) Να εκφράσετε το y συναρτήσει του x και στη συνέχεια να βρείτε τον

τύπο Ε ( )f x που δίνει το εμβαδόν E του ορθογωνίου συναρτήσει του x .

ii) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν μεγιστοποιείται για 5x και να βρείτε τη μέγιστη τιμή του.

4. 'Ένα σημείο Μ κινείται πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ 6cm . Με πλευρές τα ΜΑ και ΜΒ κατασκευάζουμε ισόπλευρα τρίγωνα. Για ποια θέση του Μ το άθροισμα των εμβαδών των δύο τριγώνων είναι ελάχιστο;

5. Ένας κτηνοτρόφος έχει σύρμα 200m και θέλει να περιφράξει δύο συνεχόμε-νους ορθογώνιους υπαίθριους χώρους με διαστάσεις x και y, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Για ποιες τιμές των x και y το εμβαδόν και των δύο χώρων μεγιστοποιείται;

I. , ,

.

1. Αν η παραβολή 2 , 0y x διέρχεται από το σημείο (1, 2)A , τότε βρίσκεται στο 3ο και 4ο τεταρτημόριο.

Α Ψ

2. Αν το τριώνυμο 2( ) , 0f x x x έχει ρίζες τους αριθμούς 1 1x και 2 3x , τότε έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία 1x .

Α Ψ

3. Για οποιουσδήποτε , η παραβολή 2y x και η υ-

περβολή yx

έχουν ένα και μοναδικό κοινό σημείο. Α Ψ

4. H υπερβολή 1yx

και η ευθεία y x τέμνονται. Α Ψ

206 7. ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ158 5.

II. .

1. Αν το τριώνυμο 22f x x x έχει ρίζες τους αριθμούς 1 1x και

2 3x , τότε θα ισχύει: 5f … 0 , 1f … 0 , 5f … 0 , … 0 … 4 .

2. Αν το τριώνυμο 2f x x x έχει ρίζες τους αριθμούς 1 3x και

2 1x , θα ισχύει: 5f … 0 , 2f … 0 , 5f … 0 , … 0 , … 2 .

III. 2f x x x , 0 . :

1. Αν 2 και το τριώνυμο f έχει κορυφή το σημείο Κ 1, 3 , τότε

Α) 22 1 3f x x Β) 22 1 3f x x

Γ) 22 1 3f x x Δ) 22 1 3f x x .

2. Αν 1 0f , 3 0f και 5 0f , τότε Α) Δ 0 και 0 Β) Δ 0 και 0 Γ) Δ 0 και 0 .

3. Αν το τριώνυμο έχει κορυφή το σημείο Κ 1,2 και 0 , τότε: Α) Δ 0 Β) Δ 0 Γ) Δ 0 Δ) 0 .

4. Αν το τριώνυμο έχει κορυφή το σημείο Κ 1,0 , τότε Α) 0 Β) Δ 0 Γ) Δ 0 Δ) Δ 0 .

IV. Οι παρακάτω καμπύλες C1, C2, C3 και C4 είναι οι γραφικές παραστάσεις των συ-

ναρτήσεων 21 1( ) 4f x x x , 2

2 2( ) 2 8f x x x , 23 3( ) 4f x x x και

24 4( ) 2 8f x x x , όχι όμως με την ίδια σειρά. Να αντιστοιχίσετε καθεμιά

από τις παραπάνω συναρτήσεις με τη γραφική της παράσταση.

f1 f2 f3 f4

1. i) Να αποδείξετε την ταυτότητα

2 2 22 2 2 12 .

ii) Να αποδείξετε ότι για όλους τους , , ισχύει 2 2 2 .

Πότε ισχύει ισότητα;

2. Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων , , είναι

όταν 2 2 2 , δηλαδή όταν οι , , είναι πλευρές ορθογωνίου τρι-

γώνου. i) Αν , , είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός

ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα , , είναι επίσης πυ-θαγόρεια τριάδα.

ii) Αν και θετικοί ακέραιοι με , να δείξετε

ότι η τριάδα 2 2 2 2, 2 , είναι πυθα-

γόρεια τριάδα. Στη συνέχεια να συμπληρώσετε τον πίνακα με τις πυθαγόρειες τριάδες που αντι-στοιχούν στις τιμές των και που δίνονται στις δυο πρώτες στήλες:

2 2 2 2 2 2 1 3 1 3 2 5 2 5 3 4 1

3. ) Να αποδείξετε ότι 2

2

. Τι σημαίνει η ανισότητα αυτή για

ένα ορθογώνιο με διαστάσεις και ; Πότε ισχύει η ισότητα;

) Με τη βοήθεια της παραπάνω ανισότητας (ή και με άλλο τρόπο), να αποδείξετε ότι:

i) Από όλα τα ορθογώνια με σταθερή περίμετρο P το τετράγωνο έχει το μεγαλύτερο εμβαδό.

ii) Από όλα τα ορθογώνια με σταθερό εμβαδό E το τετράγωνο έχει την ελάχιστη περίμετρο.

208 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ206

4. Δίνεται η εξίσωση 3 1 4x x , . i) Να λύσετε την εξίσωση για τις διάφορες τιμές του . ii) Για ποιες τιμές του η εξίσωση έχει λύση μεγαλύτερη του1;

5. Δίνεται η εξίσωση 2 1 3 2,x x . i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση αυτή γράφεται ισοδύναμα:

1 1 1 2 .x

ii) Να λύσετε την εξίσωση για τις διάφορες τιμές του .

iii) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η εξίσωση έχει ρίζα τον

αριθμό 14

.

6. Από τη φυσική γνωρίζουμε ότι στην κατακόρυφη βολή ενός σώματος με αρχική ταχύτητα 0v , το ύψος h του σώματος συναρτήσει του χρόνου t

της κίνησης του δίνεται από τον τύπο 20

12

h t v t gt , όπου g η επιτά-

χυνση της βαρύτητας. ) Αν 0 60 secv m και 210 secg m : i) Να βρείτε πότε το σώμα θα φθάσει σε ύψος h =180 μέτρα. ii) Να βρείτε πότε το σώμα θα βρεθεί σε ύψος h =100 μέτρα.

Ποια είναι η ερμηνεία των προηγούμενων απαντήσεων;

) Στη γενική περίπτωση όπου 20

12

h t v t gt , με τα 0v και g σταθερά,

να βρείτε τη συνθήκη που πρέπει να ισχύει, ώστε το σώμα να φθάσει σε δεδομένο ύψος 0h .

7. Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτή-

σεις 2 και 2f x x g x x

και στη συνέχεια να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείε-ται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g.

8. A) Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να χαράξετε τις γραφικές παραστά-

σεις των συναρτήσεων 1 και 3f x x g x x

και με τη βοήθεια αυτών να βρείτε τις λύσεις της ανίσωσης

1 3x x .

B) Στη συνέχεια να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά τα προηγούμενα συμπε-ράσματα.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 209 207

9. ) Σε ένα καρτεσιανό επίπεδο να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

f x x , 3g x x και ( ) 3h x x .

) Με τη βοήθεια των παραπάνω γραφικών παραστάσεων να προσδιορί-σετε το πλήθος των λύσεων του συστήματος

3y x

y

για τις διάφορες τιμές του α .

10. Σε ένα επίπεδο σχεδιάζουμε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Oxy .

i) Να δείξετε ότι η εξίσωση 2 2 0y x παριστάνει τις διχοτόμους 1 και 2 των γωνιών των αξόνων τις οποίες και να σχεδιάσετε.

ii) Ποια είναι η απόσταση ενός σημείου ,M x y του επιπέδου από το

σημείο ,0K του άξονα x x ; Να δείξετε ότι η εξίσωση

2 2 1,x y

παριστάνει στο επίπεδο κύκλο C με κέντρο K και ακτίνα 1. Σχεδιάστε τον κύκλο για μια τιμή του .

iii) Με τη βοήθεια των παραπάνω γραφικών παραστάσεων να προσδιο-ρίσετε το πλήθος των λύσεων του συστήματος

2 2

2 2

0

1

y x

x y

για τις διάφορες τιμές του α .

11. Στο διπλανό σχήμα τα C1 και C2 είναι ημικύκλια με κέντρα

και και ακτίνες R1 = 6cm και R2 = 3cm αντιστοίχως, ενώ το είναι ένα σημείο της δια-κέντρου και η είναι κάθετη στην . Να βρείτε το μήκος x του τμήματος , αν γνωρίζουμε ότι το σημείο εί-ναι μέσο του .

12. Θεωρούμε έναν άξονα 'x x και παίρνουμε πάνω σ’ αυτόν τα σταθερά σημεία 1 , 1 και ένα μεταβλητό σημείο x . Θέτουμε

( )f x και ( )g x .

210 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ208

i) Να αποδείξετε ότι : ( ) 1 1f x x x και ( ) 1 1g x x x .

ii) Να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις f και g. iii) Να βρείτε με τη βοήθεια των παραπάνω γραφικών παραστάσεων την

ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή (εφόσον υπάρχουν) των συναρτήσεων f και g, καθώς και τις θέσεις στις οποίες παρουσιάζονται.

13. Στα παρακάτω σχήματα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτή-

σεων:

2

2( )1

f xx

, 2

4( )1

xg xx

& 2

4

4( )1

xh xx

i) Από τις γραφικές παραστάσεις να βρείτε τα ολικά ακρότατα των συ-

ναρτήσεων f, g, h, καθώς και τις θέσεις των ακροτάτων αυτών. ii) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά τα προηγούμενα συμπεράσματα.

14. ) Δίνεται η συνάρτηση f x x . i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. ii) Να αποδείξετε ότι αν το σημείο ( , )M ανήκει στη γραφική πα-

ράσταση της f, το σημείο '( , )M ανήκει στη γραφική παράστα-

ση της συνάρτησης 2x xg . iii) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε πρώτα τη γραφική παρά-

σταση της συνάρτησης g και στη συνέχεια, με τη βοήθεια του προηγούμενου ερωτήματος, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f. Ποιο είναι το είδος της μονοτονίας και ποιο το ακρότατο της συνάρτησης f ;

) Να δείξετε ότι η συνάρτηση ( )h x x είναι άρτια και στη συνέχεια

να χαράξετε τη γραφική της παράσταση.

) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της ( )f x x .

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 211 209

Αν ', ', ' , …, ', ' είναι τα σημεία της γραφικής παράστασης της f με τετμημένες 1, 2, 3,…, ν, ν 1 αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι τα τρί-

γωνα ' ' , ' ' , …, ' ' είναι ισοσκελή.

15. Μία γέφυρα έχει ένα παραβολικό τόξο του

οποίου το πλάτος είναι 8m και ύψος είναι 5,6m. Κάτω από τη γέφυρα θέλει να περάσει γεωργικό μηχάνημα του οποίου η καρότσα έχει πλάτος 6m και ύψος 2m. Μπορεί το μηχάνημα να περάσει;

16. Δίνεται ένα τετράγωνο με πλευρά 20cm και το μέσον της . Ένα κινητό σημείο ξεκινά από το και, διαγράφοντας την πολυγωνι-κή γραμμή , καταλήγει στο .

Αν με x συμβολίσουμε το μήκος της διαδρομής που έκανε το κινητό και με ( )f x το εμβαδόν του σκιασμένου χωρίου,

i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και τον τύπο της συνάρτησης f .

ii) Να παραστήσετε γραφικά την f .

iii) Να βρείτε την τιμή του x για την οποία ισχύει ( ) 120f x cm2.

17. Στο διπλανό σχήμα το είναι τετράγωνο πλευράς 2 μ. και το M είναι ένα σημείο της δι-αγωνίου με ( ) x . Συμβολίζουμε με

f x το εμβαδόν του τριγώνου και με

g x το εμβαδόν του τραπεζίου .

i) Να αποδείξετε ότι , 0 2f x x x και 20,5 2, 0 2g x x x .

212 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ210

ii) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες τα δύο εμβαδά είναι ίσα.

iii) Να παραστήσετε γραφικά στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων τις συ-ναρτήσεις f και g και να βρείτε, με τη βοήθεια των γραφικών πα-ραστάσεων, με προσέγγιση την τιμή του x για την οποία τα δύο εμ-βαδά είναι ίσα.

18. Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, το είναι τυχαίο σημείο της

και // . Αν ( )=4, ( )=3 και ( )=x, και (x) είναι το εμβαδόν του τρι-γώνου , i) Να αποδείξετε ότι:

3(4 )( )4

xMN και 23 3( )

8 2E x x x .

ii) Να βρείτε τη θέση του Μ για την οποία το εμβαδόν (x) μεγιστοποι-είται. Ποια είναι η μέγιστη τιμή του (x).

19. Σε ένα καρτεσιανό επίπεδο θεωρούμε τα

σημεία (0,4) και (2,2) , καθώς και το σημείο ( ,0)x που κινείται κατά μήκος του άξονα 'x x . i) Να βρείτε τις συντεταγμένες του ση-

μείου στο οποίο τέμνει η ευθεία τον άξονα 'x x .

ii) Να εκφράσετε το εμβαδόν του τριγώνου συναρτήσει της τε-τμημένης x του σημείου και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρ-τηση αυτή.

20. Σε ένα τμήμα ΑΒ 10km μιας λεωφόρου πέφτει συνεχώς χιόνι και το ύψος του χιονιού αυξάνεται 1cm την ώρα. Όταν αρχίζει η χιονόπτωση ένα εκχιονιστικό μηχάνημα αρχίζει από το άκρο Α να καθαρίζει το χιόνι κινούμενο κατά μήκος του δρόμου με ταχύτητα 10km h . Μόλις φτάσει στο Βγυρίζει και καθαρίζει το δρόμο αντιστρόφως από το Β προς το Α και συνεχίζει με τον ίδιο τρόπο.

i) Να σχεδιάσετε ένα διάγραμμα για το ύψος του χιονιού στο Α , παρα-βλέποντας το χρόνο στροφής στα Α και Β .

ii) Να κάνετε το ίδιο για το ύψος του χιονιού στο μέσο Μ του ΑΒ .

1-5. Να χρησιμοποιήσετε δενδροδιαγράμμα-τα.6. i) Ασυμβίβαστα ii) Δεν είναι ασυμβίβαστα iii) Δεν είναι ασυμβίβαστα iv) Ασυμβίβαστα.7. {ααα, αακ, ακα, ακκ, καα, κακ, κκα, κκκ}.

1. Ω = {αα, αβα, αββ, βαα, βαβ, ββ}.2. Να βρείτε το δειγματικό χώρο και τα ενδε-χόμενα με τη βοήθεια πίνακα διπλής εισόδου.

1. i) ii)

2.

3. i) ii) iii) .

4. .

5. i) ii) .

6. i) 50% ii) 30%.

7. .

8. .

9. 0,4.

10. .

11. P(A∪B) ≤ P(A) + P(B) ⇔ P(A) + P(B)− P(A∩B) ≤ P(A) + P(B) κτλ.

12. 65%.

13. α) 14% β) 12%.

14. 10%.

1. i) κ + λ − μ ii) 1 − κ − λ + μ iii) κ + λ − 2μ.2. 55%.

3. .

4. Αν P(A) = x, τότε P(A') = 1 − x κτλ.

5. Να λάβετε υπόψη ότι Α ∩ Β ⊆ Α και P(A ∪ B) ≤ 1.

6. Να λάβετε υπόψη ότι P(Α') = 1 − P(A) και P(A ∪ B) ≤ 1.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 213

21. Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = {0, 1, 2, 3,..., 100}. Δίνονται και οι πιθανότητες κ = 1, 2,..., 100. Να υπολογίσετε την πιθα-νότητα P(0).

22. Έστω Ω ένας δειγματικός χώρος με πεπερασμένο πλήθος στοιχεί-ων και Α, Β υποσύνολα του Ω. Υποθέτουμε ότι P(A')≤0,28 kai P(B')≤0,71. Να αποδείξετε ότι i) P(A∩Β)≥1,01− P(A∪Β) και ii) A∩Β≠∅.

–

1 § 1.1 A 1. ii) 1 , 2. 1 , 3. i) 4.000 ii) 9.999 iii) 3 , 4.ii) 4 , 5. ii) 1 , 7. 7 2 B

1. i) 1 ii) 21

, 2. i) 2( 1) ii) 1 ,

3. i) 2 2x y ii) xyx y

, 4. 1

§ 1.2 A 1. i) Πάρτε τη διαφορά ii) Πάρτε τη διαφορά , 2. Άθροισμα τετραγώνων, 3. i) 2, 1 ii) 1, 2 , 4. i) 9, 8 και 10, ii) 0,9 και 0,7

iii) 4554

και 4653

iv) 48,34 και 50,32 ,

5. i) 10,2 και 16,2 ii) 6,38 και 15,68 , 6. Απαλοιφή παρονομαστών, 7. 5 0x B 1. i) Απαλοιφή παρονομαστών ii) Απαλοιφή παρονομαστών, 2. Πάρτε τη διαφορά, 3.Εκτέλεση πράξεων, 4. i) πολλαπλασιάστε με το 2 ii) πολλαπλασιάστε με το 2

§ 1.3

1. i) 3 , ii) 4 iii) 1 iv) 0 , 2. 1 , 3. i) 1 ii) 1 , 4. 1 , 5. 2 ή 0 ή 2 , 6. i) 2,37, 0,005d D ,

ii) 2,365 και 2,375 B 1. Χρησιμοποιήστε τριγωνική ανισότητα, 3. i) 0x y ii) 0 0x y ,

4. i) 1

ii) Αρκεί να δειχθεί 1 1 ,

5. i) 9,5 10,5 ii) 15,2 16,8 iii) 3,8 4,2

§ 1.4

1. i) 10 ii) 2 iii) 110

,

2. i) 4 ii) 20 iii) 1x , iv) 2x

, 3. 1,

10. i) 10 2 311 ii) 4 7 5

iii) 13 2 42 B 2. ii) Χρησιμοποιείστε το ερώτημα (i),

3. i) 256

ii) 21a

.

2o

§ 2.1

1. i) 5 ii) -1 iii) 7 iv) 113

,

2. i) αδύνατη ii) ταυτότητα, 3. i) αν 1 , τότε 1x ,αν 1 , ταυτό

τητα

ii) αν 2 , τότε 2x , αν 2 ,

τότε αδύνατη

iii) αν 0 , και 1 , τότε 1x , αν

0 , τότε αδύνατη

iv) αν 0 , και 1 , τότε 11

x

,

αν 0 , τότε ταυτότητα, αν 1 , τότε αδύνατη,

4. i) 2,5x ii) 158

x 5. 2.750 1.250 ,

6. i) 0t ii) 2

12

R RRR R

,

7. i) 4 και 1 ii) 2 και 1 ,

8. i) 0 και 1 ii) 1 και 0 ,

9. i) 2 και 1 ii) 1 και 2 ,

§ 1.1

§ 1.2

Α' Ομάδας

Β' Ομάδας

Β' Ομάδας

A' Ομάδας

1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ

–

1 § 1.1 A 1. ii) 1 2. 1 3. i) 4.000 ii) 9.999 iii) 3 4. ii) 4 5. ii) 1 7. 7 2 . B

1. i) 1 ii) 21

2. i) 2( 1) ii) 1 .

3. i) 2 2x y ii) xyx y

4. 1 .

§ 1.2 A 1. i) Πάρτε τη διαφορά ii) Πάρτε τη διαφορά. 2. Άθροισμα τετραγώνων. 3. i) 2, 1 ii) 1, 2 . 4. i) 9, 8 και 10 ii) 0,9 και 0,7.

iii) 4554

και 4653

iv) 48,34 και 50,32 .

5. i) 10,2 και 16,2 ii) 6,38 και 15,68 . 6. Απαλοιφή παρονομαστών. 7. 5 0x . B 1. i) Απαλοιφή παρονομαστών, ii) απαλοιφή παρονομαστών. 2. Πάρτε τη διαφορά. 3. Εκτέλεση πράξεων. 4. i) Πολλαπλασιάστε με το 2 ii) πολλαπλασιάστε με το 2 .

§ 1.3

1. i) 3 ii) 4 iii) 1 iv) 0 2. 1 3. i) 1 ii) 1 4. 1 5. 2 ή 0 ή 2 6. i) 2,37, 0,005d D

ii) 2,365 και 2,375 . B 1. Χρησιμοποιήστε τριγωνική ανισότητα, 3. i) 0x y ii) 0 ή 0x y .

4. i) 1 .

ii) Αρκεί να δειχθεί 1 1 .

5. i) 9,5 έως 10,5 ii) 15,2 έως 16,8 iii) 3,8 έως 4,2 .

§ 1.4

1. i) 10 ii) 2 iii) 110

.

2. i) 4 ii) 20 iii) 1x iv) 2x

10. i) 10 2 311 ii) 4 7 5

iii) 13 2 42 . B 2. ii) Χρησιμοποιείστε το ερώτημα (i).

3. i) 256

ii) 21a

.

2o

§ 2.1

1. i) 5 ii) 1 iii) 7 iv) 113

.

2. i) Αδύνατη ii) ταυτότητα. 3. i) Αν 1 , τότε 1x , αν 1 , ταυτότητα.

ii) Αν 2 , τότε 2

x

,

αν 2 , αδύνατη.

iii) Αν 0 και 1 , τότε 1x ,

αν 0 , αδύνατη, αν 1 , ταυτότητα.

iv) Αν 0 και 1 , τότε 11

x

,

αν 0 , ταυτότητα, αν 1 , αδύνατη.

4. i) 2,5x ii) 158

x 5. 2.750 και 1.250 .

6. i) 0v vt ii) 2

12

R RRR R

.

7. i) 4 και 1 ii) 2 και 1 .

8. i) 0 και 1 ii) 1 και 0 .

214 ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

§ 2.1

2o ΚΕΦΑΛΑΙΟ

§ 2.2

§ 2.3

§ 2.4

§ 3.1

3o ΚΕΦΑΛΑΙΟ

212 –

9. i) 2 και 1 ii) 1 και 2 .

10. i) 2, 1 και 1 ii) 2 και 1 11. i) 1 ii) αδύνατη, 12. i) αδύνατη ii) x με 0x και

2x iii) αδύνατη iv) x με 1x και 1x .

13. 1,0,1 , 1,2,3 και 3, 2, 1 .

14. i) 4 και 1 ii) 53 και3

iii) 1 iv) αδύνατη. 15. i) 1 και 1 ii) αδύνατη.

16. i) 95 και5

ii) 1 και 3 .

B 2. , 0, 0 , 3. 50ml 4. 3 λεπτά,

5. Αν 0 , τότε 2

x ,

αν 0 , τότε x με 0x .

6. 0x , 7. 2 και 2 , 8. 2 και 32

.

§ 2.2

1. i) 5 ii) 3 iii) 1 . 2. i) 5 ii) 3 iii) 1 . 3. i) 8 και 8 ii) 3 και 3 iii) 2και 2 . 4. i) 0και 2 ii) 0και 1 iii) 0 .

5. 3, 3και 9 . 6. i) 3 ii) 15

iii) 1και 4 .

§ 2.3 A

1. i) 3 και 12

ii) 3 iii) αδύνατη.

2. i) 1,3και 1,3 ii) 0και 2 iii) αδύνατη.

3. i) 2Δ 4 1 ii) 2Δ .

4. 1 και 1 , 5. 2Δ 4 .

6. i) 2 5 6 0x x ii) 22 3 1 0x x iii) 2 10 1 0x x .

7. i) 5και 3 ii) 9 41 9 41και2 2

.

8. i) 5 και 3 ii) 1 και 2 .

9. και . 10. 24 και 10 .

11. i) 3, 3, 4 και 4 . ii) 5 και 5 iii) 6, 6, 2 και 2 , 12. 0 και 2 .

13. 3 5 3 51, και2 2 .

14. i) 2 και 3 ii) 1 .

15. i) 2και 2 ii) 1 1και2 2

iii) αδύνατη.

3. 7 και 1 . 4. Θέτουμε όπου x το 1 .

5. i) 1και ii) 2

και .

6. i) 2Δ 4 32 ii) 2 και4, 1 . 7. 3, 4 και 5. 8. 1. 9. 12 ώρες, 24 ώρες. 10. 9 , ρίζες είναι οι : 3, 3, 1και 1 .

3o § 3.1 A

1. i) 310

x ii) αδύνατη iii) x .

2. i) 1 3x , 3. Όχι., 4. 0 , 1 και 2 . 5. i) 3,3x ii) 3,5x

iii) 3,2x .

6. i) , 3 3,x

ii) , 3 5,x

iii) , 3 2,x , 7. i) 3x

ii) 13

x , 8. i) 1,3x ii) x .

9. 2,8x 10. 2 5x 11. 5,10

1. i) 71,4

x ii) 4 ,2

3x

.

2. i) 4, 2 2,4x

ii) 1,3 7,9x

3. i) 1 iii) 1x . 4. i) 4 iii) 1 7x .

§ 3.2

1. i) 1 2x x ii) 2 1 2x x .

ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 215

§ 3.2

§ 3.3

4o ΚΕΦΑΛΑΙΟ§ 4.1

§ 4.2

216 ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ – 213

2. i) 12 1xx

ii) 2 37

xx

iii) 2 31

xx

.

3. i) 2 2 15 0x x , για , 3 5,x

ii) 224 4 1 2 1x x x

iii) 2 4 3 0 x x για x . 4. i) 2 4 3 0 x x για 1,3x

ii) 229 6 1 3 1x x x

iii) 2 2 2 0 x x για x . 5. i) 0,4x ii) 4,1x .

6. i) , 1 2,x ii) 5 1,2

x

7. i) , x 2x ii) 3x . 8. i) Αδύνατη ii) x . 9. 1,3x .

10. 4, 1 3,4x .

11. 1,2 3,5x . B 1. i) ( ) 2 , ( 2 ) 3

ii) ,3

3 και 2 .

2. 2x x .

3. ,2

xx

x και 2x .

4. i) 4 ii) 0 ή 4 iii) 0 4 .

5. 409

.

6. i) 2Δ 8 24 , 3 ή 0 ii) 3 . 7. Το Μ βρίσκεται ανάμεσα στα σημεία

που τριχοτομούν την ΑΓ. 8. ii) Α 0 με , ομόσημους, Α 0 με , ετερόσημους.

§ 3.3

1. x 21 2

3

P x 0 0 0

2. x 2 1 2

P x 0 0 0

3. 3,1 3,x .

4. 3,0 3,x .

5. , 2 1 1,x .

6. 3, 1,32

x

.

7. i) , 1 2,x ii) 1 ,32

x .

8. 2, 1 1,2x .

B

1. i) 71,2

x

ii) 5, 2 ,3

x

.

2. , 3 1,4x .

3. i) 51, 2,53

x

.

ii) 1, 2 ,1 3,2

x .

4. 1 ,0 0,13

x

.

5. 1,59 4,41x . 6. 1 4t .

4o § 4.1 A 1. i) 1 ii) 0,4 iii)

iv) 0, .

2. i) 1,2

ii) , 2 2,

iii) 1,3 iv) 0,1 1, .

3. 125 , 3 , 15 .

4. i) 22 , f x x x ii) 4,5,8,10 .

5. i) 3x ii) αδύνατο iii) 2 ή 2x x

§ 4.2 A 2. 2 5x και 1 6y . 3. i) 1, 3 ii) 1,3 iii) 3, 1

iv) 1, 3 .

4. i) 2 5 ii) 5 iii) 4 iv) 5 .

§ 4.3

1. i) 3, 5, 7, 9, 11 ii) 2, 4, 8, 16, 32 iii) 2, 6, 12, 20, 30 iv) 0, 1, 2, 3, 4 v) 1, −0,1, 0,01, −0,001, 0,0001 vi) vii) 4, 3, 2, 1, 0

viii) ix)

x) xi) 1, −1, 1, −1, 1

2. i) ii) 0, 1, 2, 5, 26

iii) 3, 4, 6, 10, 183. i) α1 = 6 και αν+1 = 1 + αν ii) α1 = 2 και αν+1 = 2αν

iii) α1 = 1 και αν+1 = 2αν + 1 iv) α1 = 8 και αν+1 = 5 + αν

4. i) αν = 2ν−1 ii) αν = 3.5ν−1

5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ§ 5.1

Α' Ομάδας

ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 217

1. i) αν = 3ν + 4 ii) αν = 2ν + 9 iii) αν = −3ν + 8

iv) v) αν = 3ν − 3

2. i) α15 = 68 ii) α20 = 144 iii) α30 = 323

iv) α35 = 289 v) vi) α47 = 35

3. i) α1 = 7 ω = 1 ii) α1 = 2, ω = 4 iii) α1 = 14, ω = 34. i) α50 = 8,5 ii) α18 = 1215. i) Ο όρος ii) ο όρος6. i) −15 ii) x = 167. i) 20 και 308. i) 1840 ii) 1560 iii) 3360 iv) 36209. i) −9320 ii) 208010. i) 4950 ii) 1386 iii) −203011. i) 9 όρους ii) 8 όρους12. i) 53,585

1. Πάρτε τη διαφορά αν+1 − αν, α1 = 8 ω = −42. i) 40000 ii) 90300 iii) 360363. i) 3900 ii) 66154. i) 2205 ii) −42205. S = (1+2+...+200)−(4+8+...+200)−(9+18+...+198)

+(36+72+...+180) = 132636. Απαιτούνται τουλάχιστον 20 πρώτοι όροι.7. 1η γραμμή: 10, 780 2η γραμμή: 4, 1539 3η γραμμή: 1, 34 4η γραμμή: −38 −3688. 78 το 12/ωρο και άρα 156 το 24/ωρο9. 81840, 248010. 10, 17, 24, 31, 38, 45, 52, 59, 66, 73

11.

12. 40m βάθος

1. i) αν = 3 . 2ν−1 ii) αν = 2 . 3ν−2 iii) αν = 3ν+1

iv) v) vi)

vii) αν = (0,4)ν−1 viii) αν = (−2)ν ix) αν = (−3)ν

2. i) α9 = 64 ii) α7 = 1458 iii)

iv) α10 = −512 v)

3. i) ii) α1 =1

4. i) λ = 2 ii)

5. i) ii)

6. 9 όροι

7. i) Ο όρος ii) O όρος8. i) 10,1 ii) x = 39. i) 1023 ii) 8572 iii) 136410. i) 10922 ii) ≅ 8 iii) 17111. 1228812. ≅ 0,74m

1. Πάρτε το λόγο 2. ν = 143. i) Σχηματίζουν γεωμετρική πρόοδο με

όρο και λόγο λ2

ii) Σχηματίζουν γεωμετρική πρόοδο με όρο και λόγο λk

4. 5. 10236. αν+1 = 1,02 . αν, ≅109,8 εκατομμύρια7. Ιν+1= 0,9 . Ιν, ≅0,35 Ι0

8. i) ii) 9. i) Dν+1 = 0,9Dν ii) ≅20,87 lt

10. 9,223.1011 τόννοι

11. i) Sν = 3.4ν−1 ii)

1. 6381,4 ευρώ2. 37.204,87 ευρώ3. 5%4. 27342,05 ευρώ

§ 5.2

Α' Ομάδας

Β' Ομάδας

Β' Ομάδας

§ 5.3

Α' Ομάδας

§ 5.4A' Ομάδας

218 ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

– 213

2. i) 12 1xx

ii) 2 37

xx

iii) 2 31

xx

.

3. i) 2 2 15 0x x , για , 3 5,x

ii) 224 4 1 2 1x x x

iii) 2 4 3 0 x x για x . 4. i) 2 4 3 0 x x για 1,3x

ii) 229 6 1 3 1x x x

iii) 2 2 2 0 x x για x . 5. i) 0,4x ii) 4,1x .

6. i) , 1 2,x ii) 5 1,2

x

7. i) , x 2x ii) 3x . 8. i) Αδύνατη ii) x . 9. 1,3x .

10. 4, 1 3,4x .

11. 1,2 3,5x . B 1. i) ( ) 2 , ( 2 ) 3

ii) ,3

3 και 2 .

2. 2x x .

3. ,2

xx

x και 2x .

4. i) 4 ii) 0 ή 4 iii) 0 4 .

5. 409

.

6. i) 2Δ 8 24 , 3 ή 0 ii) 3 . 7. Το Μ βρίσκεται ανάμεσα στα σημεία

που τριχοτομούν την ΑΓ. 8. ii) Α 0 με , ομόσημους, Α 0 με , ετερόσημους.

§ 3.3

1. x 21 2

3

P x 0 0 0

2. x 2 1 2

P x 0 0 0

3. 3,1 3,x .

4. 3,0 3,x .

5. , 2 1 1,x .

6. 3, 1,32

x

.

7. i) , 1 2,x ii) 1 ,32

x .

8. 2, 1 1,2x .

B

1. i) 71,2

x

ii) 5, 2 ,3

x

.

2. , 3 1,4x .

3. i) 51, 2,53

x

.

ii) 1, 2 ,1 3,2

x .

4. 1 ,0 0,13

x

.

5. 1,59 4,41x . 6. 1 4t .

4o § 4.1 A 1. i) 1 ii) 0,4 iii)

iv) 0, .

2. i) 1,2

ii) , 2 2,

iii) 1,3 iv) 0,1 1, .

3. 125 , 3 , 15 .

4. i) 22 , f x x x ii) 4,5,8,10 .

5. i) 3x ii) αδύνατο iii) 2 ή 2x x

§ 4.2 A 2. 2 5x και 1 6y . 3. i) 1, 3 ii) 1,3 iii) 3, 1

iv) 1, 3 .

4. i) 2 5 ii) 5 iii) 4 iv) 5 .

6o ΚΕΦΑΛΑΙΟ§ 6.1

§ 6.2

214 –

5. i) ΑΒ ΑΓ ii) 2 2 2ΒΓ ΑΒ ΑΓ .

6. ΑΒ ΒΓ ΓΔ ΔΑ 5 .

7. i) 2 ii) 1 iii) 4 . 8. i) 4,0 , 0, 4 ii) 2,0 , 3,0 ,

0,6 iii) 1,0 , 0,1 iv) 0,1

v) 1,0 vi) 2,0 , 2,0 .

9. i) 0, 1 , 1,0 , 1,0 ii) 1ή 1x x

10. i) 2, 2 , 5,4 ii) 2 5x . § 4.3 A 1. i) 45 ii) 60 iii) 135 iv) 120 . 2. i) 1 ii) 1 iii) 0 iv) 2 . 3. i) 2y x ii) 1y x iii) 2 1y x . 4. i) 1y x ii) 3y x iii) 1y .

iv) 2 5y x . 5. 40 C . 6. Αποτε-λείται από την ημιευθεία 2y x ,

0x , το ευθ. τμήμα 2y , 0 1x και την ημιευθεία 1y x , 1x .

7. i) 1 , 1 και 2 , 0 , 1 . ii) ,1 1x , 2,0 1,x

8. i) 1,1x , , 1 1,x .

B

1. i) 6 1f , 152

f , 4 0f ,

132

f , 2 1f , 1 0f ,

0 1f , 1 1f , 2 1f ,

3 0f , 4 1f , 5 2f

ii) 0f x : 4, 1, 3 1f x : 2 , 4

1f x : 0,2 6x

iii) 0,5y x , 2,5 2x

2. 1y x , 1x . 3. i) Β 2000 100t t , 0 20t ,

Δ 600 100t t , 0 20t ,

ii) t=7min 4. 8f x x , 0 4x .

5. i) 120 203

h t t , 0 3t

2 5 20h t t , 0 4t

ii) 2,4 h iii) 2,4 h .

§ 4.4 A 5. i) 22 2x ii) 22 3 3x

iii) 22 2x iv) . 22 3 3x

§ 4.5 A 1. f ,1 , f 1, , g ,0 ,

g 0,2 , g 2, , h , 1 ,

h 1,0 , h 0,1 , h 1, .

2. (1) 1f ολικό ελάχιστο, η g δεν έχει ολικά ακρότατα,

1 2h , 1 2h oλικό ελάχιστο.

3. i) Αρκεί 3f x f

ii) Αρκεί 1g x g

4. i) Άρτια ii) άρτια iii) τίποτα iv) περιττή v) τίποτα vi) περιττή 5. i) Άρτια ii) τίποτα iii) περιττή iv) περιττή v) άρτια vi) άρτια 6. i) Περιττή ii) άρτια iii) τίποτα, 7. i) Άρτια ii) περιττή iii) τίποτα.

5 § 5.1 A 1. 22y x . 4. 2 1 1 1x x ,

2 1 1 ή 1x x x .

2. f ,0 , f 0, ,

0 0f , ελάχιστο.

3. i) α) 3 2x x x x β) 3 2x x x x . 4. 3 . § 5.2

1. 2yx

. 4. 1 1 0 ή 1x xx ,

1 1 0 1xx ,

5. 21 0 ή 1x x xx

214 –

5. i) ΑΒ ΑΓ ii) 2 2 2ΒΓ ΑΒ ΑΓ .

6. ΑΒ ΒΓ ΓΔ ΔΑ 5 .

7. i) 2 ii) 1 iii) 4 . 8. i) 4,0 , 0, 4 ii) 2,0 , 3,0 ,

0,6 iii) 1,0 , 0,1 iv) 0,1

v) 1,0 vi) 2,0 , 2,0 .

9. i) 0, 1 , 1,0 , 1,0 ii) 1ή 1x x

10. i) 2, 2 , 5,4 ii) 2 5x . § 4.3 A 1. i) 45 ii) 60 iii) 135 iv) 120 . 2. i) 1 ii) 1 iii) 0 iv) 2 . 3. i) 2y x ii) 1y x iii) 2 1y x . 4. i) 1y x ii) 3y x iii) 1y .

iv) 2 5y x . 5. 40 C . 6. Αποτε-λείται από την ημιευθεία 2y x ,

0x , το ευθ. τμήμα 2y , 0 1x και την ημιευθεία 1y x , 1x .

7. i) 1 , 1 και 2 , 0 , 1 . ii) ,1 1x , 2,0 1,x

8. i) 1,1x , , 1 1,x .

B

1. i) 6 1f , 152

f , 4 0f ,

132

f , 2 1f , 1 0f ,

0 1f , 1 1f , 2 1f ,

3 0f , 4 1f , 5 2f

ii) 0f x : 4, 1, 3 1f x : 2 , 4

1f x : 0,2 6x

iii) 0,5y x , 2,5 2x

2. 1y x , 1x . 3. i) Β 2000 100t t , 0 20t ,

Δ 600 100t t , 0 20t ,

ii) t=7min 4. 8f x x , 0 4x .

5. i) 120 203

h t t , 0 3t

2 5 20h t t , 0 4t

ii) 2,4 h iii) 2,4 h .

§ 4.4 A 5. i) 22 2x ii) 22 3 3x

iii) 22 2x iv) . 22 3 3x

§ 4.5 A 1. f ,1 , f 1, , g ,0 ,

g 0,2 , g 2, , h , 1 ,

h 1,0 , h 0,1 , h 1, .

2. (1) 1f ολικό ελάχιστο, η g δεν έχει ολικά ακρότατα,

1 2h , 1 2h oλικό ελάχιστο.

3. i) Αρκεί 3f x f

ii) Αρκεί 1g x g

4. i) Άρτια ii) άρτια iii) τίποτα iv) περιττή v) τίποτα vi) περιττή 5. i) Άρτια ii) τίποτα iii) περιττή iv) περιττή v) άρτια vi) άρτια 6. i) Περιττή ii) άρτια iii) τίποτα, 7. i) Άρτια ii) περιττή iii) τίποτα.

5 § 5.1 A 1. 22y x . 4. 2 1 1 1x x ,

2 1 1 ή 1x x x .

2. f ,0 , f 0, ,

0 0f , ελάχιστο.

3. i) α) 3 2x x x x β) 3 2x x x x . 4. 3 . § 5.2

1. 2yx

. 4. 1 1 0 ή 1x xx ,

1 1 0 1xx ,

5. 21 0 ή 1x x xx

§ 6.3

214 –

5. i) ΑΒ ΑΓ ii) 2 2 2ΒΓ ΑΒ ΑΓ .

6. ΑΒ ΒΓ ΓΔ ΔΑ 5 .

7. i) 2 ii) 1 iii) 4 . 8. i) 4,0 , 0, 4 ii) 2,0 , 3,0 ,

0,6 iii) 1,0 , 0,1 iv) 0,1

v) 1,0 vi) 2,0 , 2,0 .

9. i) 0, 1 , 1,0 , 1,0 ii) 1ή 1x x

10. i) 2, 2 , 5,4 ii) 2 5x . § 4.3 A 1. i) 45 ii) 60 iii) 135 iv) 120 . 2. i) 1 ii) 1 iii) 0 iv) 2 . 3. i) 2y x ii) 1y x iii) 2 1y x . 4. i) 1y x ii) 3y x iii) 1y .

iv) 2 5y x . 5. 40 C . 6. Αποτε-λείται από την ημιευθεία 2y x ,

0x , το ευθ. τμήμα 2y , 0 1x και την ημιευθεία 1y x , 1x .

7. i) 1 , 1 και 2 , 0 , 1 . ii) ,1 1x , 2,0 1,x

8. i) 1,1x , , 1 1,x .

B

1. i) 6 1f , 152

f , 4 0f ,

132

f , 2 1f , 1 0f ,

0 1f , 1 1f , 2 1f ,

3 0f , 4 1f , 5 2f

ii) 0f x : 4, 1, 3 1f x : 2 , 4

1f x : 0,2 6x

iii) 0,5y x , 2,5 2x

2. 1y x , 1x . 3. i) Β 2000 100t t , 0 20t ,

Δ 600 100t t , 0 20t ,

ii) t=7min 4. 8f x x , 0 4x .

5. i) 120 203

h t t , 0 3t

2 5 20h t t , 0 4t

ii) 2,4 h iii) 2,4 h .

§ 4.4 A 5. i) 22 2x ii) 22 3 3x

iii) 22 2x iv) . 22 3 3x

§ 4.5 A 1. f ,1 , f 1, , g ,0 ,

g 0,2 , g 2, , h , 1 ,

h 1,0 , h 0,1 , h 1, .

2. (1) 1f ολικό ελάχιστο, η g δεν έχει ολικά ακρότατα,

1 2h , 1 2h oλικό ελάχιστο.

3. i) Αρκεί 3f x f

ii) Αρκεί 1g x g

4. i) Άρτια ii) άρτια iii) τίποτα iv) περιττή v) τίποτα vi) περιττή 5. i) Άρτια ii) τίποτα iii) περιττή iv) περιττή v) άρτια vi) άρτια 6. i) Περιττή ii) άρτια iii) τίποτα, 7. i) Άρτια ii) περιττή iii) τίποτα.

5 § 5.1 A 1. 22y x . 4. 2 1 1 1x x ,

2 1 1 ή 1x x x .

2. f ,0 , f 0, ,

0 0f , ελάχιστο.

3. i) α) 3 2x x x x β) 3 2x x x x . 4. 3 . § 5.2

1. 2yx

. 4. 1 1 0 ή 1x xx ,

1 1 0 1xx ,

5. 21 0 ή 1x x xx

§ 6.4

§ 6.5

ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 219

214 –

5. i) ΑΒ ΑΓ ii) 2 2 2ΒΓ ΑΒ ΑΓ .

6. ΑΒ ΒΓ ΓΔ ΔΑ 5 .

7. i) 2 ii) 1 iii) 4 . 8. i) 4,0 , 0, 4 ii) 2,0 , 3,0 ,

0,6 iii) 1,0 , 0,1 iv) 0,1

v) 1,0 vi) 2,0 , 2,0 .

9. i) 0, 1 , 1,0 , 1,0 ii) 1ή 1x x

10. i) 2, 2 , 5,4 ii) 2 5x . § 4.3 A 1. i) 45 ii) 60 iii) 135 iv) 120 . 2. i) 1 ii) 1 iii) 0 iv) 2 . 3. i) 2y x ii) 1y x iii) 2 1y x . 4. i) 1y x ii) 3y x iii) 1y .

iv) 2 5y x . 5. 40 C . 6. Αποτε-λείται από την ημιευθεία 2y x ,

0x , το ευθ. τμήμα 2y , 0 1x και την ημιευθεία 1y x , 1x .

7. i) 1 , 1 και 2 , 0 , 1 . ii) ,1 1x , 2,0 1,x

8. i) 1,1x , , 1 1,x .

B

1. i) 6 1f , 152

f , 4 0f ,

132

f , 2 1f , 1 0f ,

0 1f , 1 1f , 2 1f ,

3 0f , 4 1f , 5 2f

ii) 0f x : 4, 1, 3 1f x : 2 , 4

1f x : 0,2 6x

iii) 0,5y x , 2,5 2x

2. 1y x , 1x . 3. i) Β 2000 100t t , 0 20t ,

Δ 600 100t t , 0 20t ,

ii) t=7min 4. 8f x x , 0 4x .

5. i) 120 203

h t t , 0 3t

2 5 20h t t , 0 4t

ii) 2,4 h iii) 2,4 h .

§ 4.4 A 5. i) 22 2x ii) 22 3 3x

iii) 22 2x iv) . 22 3 3x

§ 4.5 A 1. f ,1 , f 1, , g ,0 ,

g 0,2 , g 2, , h , 1 ,

h 1,0 , h 0,1 , h 1, .

2. (1) 1f ολικό ελάχιστο, η g δεν έχει ολικά ακρότατα,

1 2h , 1 2h oλικό ελάχιστο.

3. i) Αρκεί 3f x f

ii) Αρκεί 1g x g

4. i) Άρτια ii) άρτια iii) τίποτα iv) περιττή v) τίποτα vi) περιττή 5. i) Άρτια ii) τίποτα iii) περιττή iv) περιττή v) άρτια vi) άρτια 6. i) Περιττή ii) άρτια iii) τίποτα, 7. i) Άρτια ii) περιττή iii) τίποτα.

5 § 5.1 A 1. 22y x . 4. 2 1 1 1x x ,

2 1 1 ή 1x x x .

2. f ,0 , f 0, ,

0 0f , ελάχιστο.

3. i) α) 3 2x x x x β) 3 2x x x x . 4. 3 . § 5.2

1. 2yx

. 4. 1 1 0 ή 1x xx ,

1 1 0 1xx ,

5. 21 0 ή 1x x xx

§ 7.2

7o ΚΕΦΑΛΑΙΟ§ 7.1

– 215

21 0 1x xx . 6. 4y

x .

§ 5.3

1. i) 22 1 3y x .

ii) 22 2 1y x .

2. α) 3 32 2

f

ελάχιστο.

β) 5 496 12

g

μέγιστο.

1. i) 1 ii) 1 iii) 3 , 5 . 2. i) 0 ii) Δ 0 iii) 1 , 5 . 3. i) 2 10f x x x ii) 5 25f .

4. i) 23E 6 182

x x ii) ΜΑ=ΜΒ

5. 30 , 40 .

6 § 6.1 A

1. 3, 1 2. i) 21,24 ii) 3 5,4 3

.

3. i) 3, 4 ii) 5,2 . 4. i) Αδύνατο ii) άπειρες λύσεις της

μορφής: 2,2

, .

5. i) 3,1 ii) 2, 1 . 6. i) Μοναδική ii) άπειρες iii) αδύνατο.

7. i) 3 1 1 , ,

ii) αδύνατο. 8. i) 4,3, 5 ii) αδύνατο

iii) 10 2, 16 2, , .

1. i) 11: 22

y x , 2: 1y x ii) 2,1 .

2. 10 δίκλινα, 16 τρίκλινα. 3. 1500 παιδιά, 700 ενήλικες.

4. 1 11600 30

R T .

5. 40 ml , 60 ml .

6. i) 112

, 212

.

ii) δεν υπάρχουν iii) 32

.

7. i) Αν 1 , οι ευθείες έχουν μοναδι-

κό κοινό σημείο, το 2 1,

1 1

,

αν 1 , οι ευθείες ταυτίζονται, αν 1 , οι ευθείες είναι παράλληλες.

ii) οι ευθείες έχουν μοναδικό κοινό σημείο για κάθε .

8. i) Αν 3 , μοναδική λύση, αν 3 , αδύνατο, αν 3 αδύνατο, ii) αν 3 μοναδική λύση, αν 3 άπειρες λύσεις, αν 3 αδύνατο.

9. 2 cm , 4 cm , 3 cm . 10. x , y , z . 11. 22,88 lt , 17,68 lt , 11,44 lt . 12. 2 4 3f x x x , 2 2 3g x x x ,

20,5 3 4h x x x .

§ 6.2

1. 1,2 , 2, 1 . 2. i) 2 4,3 3

ii) 3 2 3 2,2 2

, 3 2 3 2,2 2

.

iii) 1, 2 , 1,2 , 2, 1 , 2,1 .

1. 4,3 , 4,3 , 0, 5 .

2. 1,0 , 3,0 , 2, 1 , 4,3 .

3. 12 cm , 10 cm 4. 1 .

7 § 7.1 A 1. 3x , 3 2y , ˆ 45 .

2. ΑΒ 1 , ΑΓ 3 . 3. i) 6 rad ii) 3 rad iii) 2 rad

4. i) 6rad ii) 2

3rad

iii) 7 rad iv) 334rad .

§ 7.3

216 –

5. i) 18 ii) 150 iii) 5460 iv) 18000 .

6. i) 1 3 3, , , 32 2 3

ii) 3 1 3, , 3,2 2 3

iii) 0, 1, 0, δεν ορίζεται iv) 0, 1, 0, δεν ορίζεται.

1. i) 478 , 733 , 1062 ii) 58 .

2. iii) 2 2 v) 2 22 .

3. 12 8 3 , 12 3 . 4. 573 mm . § 7.2 A

1. 45

x , 34

x , 43

x .

2. 53

x , 52

x , 2 55

x .

3. 3x , 12

x , 32

x .

4. 52

x , 53

x , 23

x .

5. 8 5 205 . 6. i) Όχι, ii) όχι, iii) ναι.

1. i) 2 12 ii) 2

21

iii) 2

21

iv) 23-

2.

§ 7.3 A

1. i) 312002

, 112002

,

1200 3 , 312003

.

ii) 128502

, 328502

,

328503

, 2850 3 .

2. i) 187 16 2

, 187 36 2

,

187 36 3

, 187 36

.

ii) 21 24 2

, 21 24 2

,

21 21 14 4

.

3. ˆ ˆ ˆΑ Β Γ 180 , ˆ ˆ ˆΑ Β Γ 902 2

.

4. . 6. 1 .

1. 0 3. 23 .

2. ii)

3 4 5 8 6 10 5 12 13

21 20 29 16 30 34 15 8 17

4. ii) 2 3 . 5. iii) 3 ή 1 . 6. A) i) t 6 ii) 1t 2 , 2t 10 . 7. E 8τ.μ. . 8. 2x . 9. Β) Αν 0 , αδύνατο, αν 0 , δύο

λύσεις, αν 0 3 τέσσερις λύσεις, αν 3 τρεις λύσεις, αν 3 δύο λύσεις.

10. iii) Αν 2 δύο λύσεις, αν 0 2 ή 2 0 , τέσσερις λύσεις, αν 1 τρεις λύσεις, αν

2 ή 2 αδύνατο. 11. 1x . 12. iii) f : ελάχιστο 2, g : ελάχιστο 0,

μέγιστο 2, 15. ναι.

16. i) 5 , 0 2010 100, 20 405 100, 40 60

x xf x x x

x x

iii) 22x . 17. ii) 5 1x . 18. ii) 2, E 1,5τ.μx .

19. i) 4, 0 ii) E 4x x

21. Να λάβετε υπόψη ότι P(0) + P(1) +...+ P(100) = 1

22. i) P(A') = 1 − P(A) κτλ. ii) Να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο της εις άτοπον απαγωγής.

∞§°∂µƒ∞KAI

™∆√πÃ∂π∞ ¶π£∞¡√∆∏∆ø¡∞ã °∂¡π∫√À §À∫∂π√À

(2011-2012)

§À™∂π™ ∆ø¡ ∞™∫∏™∂ø¡

À¶√Àƒ°∂π√ ¶∞π¢∂π∞™ ¢π∞ µπ√À ª∞£∏™∏™ ∫∞𠣃∏™∫∂Àª∞∆ø¡¶∞π¢∞°ø°π∫√ π¡™∆π∆√À∆√

∞§°∂µƒ∞∫∞π

™∆√πÃ∂π∞ ¶π£∞¡√∆∏∆ø¡∞ã °∂¡π∫√À §À∫∂π√À

(2011-2012)

§À™∂π™ ∆ø¡ ∞™∫∏™∂ø¡

√ƒ°∞¡π™ª√™ ∂∫¢√™∂ø™ ¢π¢∞∫∆π∫ø¡ µπµ§πø¡ - ∞£∏¡∞

KEº∞§∞π√ 1

¶π£∞¡√∆∏∆∂™

¨ 1.1. ¢ÂÈÁÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ - ∂Ӊ¯fiÌÂÓ·∞ã √ª∞¢∞™

1. ŒÛÙˆ ·, Ì, Î Ù· ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Ë Ì¿Ï· Ó· Â›Ó·È ¿ÛÚË, Ì·‡ÚË Î·È ÎfiÎÎÈ-ÓË ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜. Œ¯Ô˘ÌÂ:i)

1Ë ÂÍ·ÁˆÁ‹ 2Ë ÂÍ·ÁˆÁ‹ ∞ÔÙ¤ÏÂÛÌ·· (·, ·)

· Ì (·, Ì)Î (·, Î)

· (Ì, ·)Ì Ì (Ì, Ì)

Î (Ì, Î)

· (Î, ·)Î Ì (Î, Ì)

Î (Î, Î)

ø = {(·, ·), (·, Ì), (·, Î), (Ì, ·), (Ì, Ì), (Ì, Î), (Î, ·), (Î, Ì), Î, Î)}

ii) {(Î, ·), (Î, Ì), (Î, Î)}

iii) {(·, ·), (Ì, Ì), Î, Î)}.

2. i)1Ë ÂÍ·ÁˆÁ‹ 2Ë ÂÍ·ÁˆÁ‹ ∞ÔÙ¤ÏÂÛÌ·

·Ì (·, Ì)Î (·, Î)

Ì· (Ì, ·)Î (Ì, Î)

η (Î, ·)Ì (Î, Ì)

ø = {(·, Ì), (·, Î), (Ì, ·), (Ì, Î), (Î, ·), (Î, Ì)}

ii) {(Î, ·), (Î, Ì),}

iii) ∅.

3. i) ø = {(∫‡ÚÔ˜, ·ÂÚÔÏ¿ÓÔ), (ª·Î‰ÔÓ›·, ·˘ÙÔΛÓËÙÔ), (ª·Î‰ÔÓ›·, ÙÚ¤-ÓÔ), (ª·Î‰ÔÓ›·, ·ÂÚÔÏ¿ÓÔ)}.

ii) ∞ = {(∫‡ÚÔ˜, ·ÂÚÔÏ¿ÓÔ), (ª·Î‰ÔÓ›·, ·ÂÚÔÏ¿ÓÔ)}.

4. i) ∞Ó Û˘Ì‚ÔÏ›ÛÔ˘Ì ηıÂÌ›· ·fi ÙȘ ÂÈÏÔÁ¤˜ Ì ÙÔ ·Ú¯ÈÎfi Ù˘ ÁÚ¿ÌÌ·,¤¯Ô˘Ì ÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ ‰ÂÓÙÚԉȿÁÚ·ÌÌ·:

∫‡ÚÈÔ È¿ÙÔ ™˘Óԉ¢ÙÈÎfi °Ï˘Îfi ∞ÔÙ¤ÏÂÛÌ· (Î, Ì, )

Ì Ù (Î, Ì, Ù)˙ (Î, Ì, ˙) (Î, Ú, )

Î Ú Ù (Î, Ú, Ù)˙ (Î, Ú, ˙) (Î, ¯, )

¯ Ù (Î, ¯, Ù)˙ (Î, ¯, ˙) (Ê, Ì, )

Ì Ù (Ê, Ì, Ù)˙ (Ê, Ì, ˙) (Ê, Ú, )

Ê Ú Ù (Ê, Ú, Ù)˙ (Ê, Ú, ˙) (Ê, ¯, )

¯ Ù (Ê, ¯, Ù)˙ (Ê, ¯, ˙)

∆Ô Û‡ÓÔÏÔ Ô˘ ¤¯ÂÈ ˆ˜ ÛÙÔȯ›· ÙȘ 18 ÙÚÈ¿‰Â˜ Ù˘ ÛÙ‹Ï˘ “·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·”·ÔÙÂÏ› ÙÔ ‰ÂÈÁÌ·ÙÈÎfi ¯ÒÚÔ ÙÔ˘ ÂÈÚ¿Ì·ÙÔ˜:ii) ∞ = {(Î, Ì, ), (Î, Ú, ), (Î, ¯, ), (Ê, Ì, ), (Ê, Ú, ), (Ê, ¯, )}iii) µ = {(Î, Ì, ), (Î, Ì, Ù), (Î, Ì, ˙), (Î, Ú, ), (Î, Ú, ), (Î, Ú, ˙), (Î, ¯, ),

(Î, ¯, Ù), (Î, ¯, ˙)}iv) ∞∩µ = {(Î, Ì, ), (Î, Ú, ), (Î, ¯, )}v) ° = {(Î, Ú, ), (Î, Ú, Ù), (Î, Ú, ˙), (Ê, Ú, ), (Ê, Ú, Ù), (Ê, Ú, ˙)}

(∞∩µ)∩° = {(Î, Ú, )}.

5. i) ø = {(0, ·), (0, ‚), (0, Á), (0, ‰), (1, ·), (1, ‚), (1, Á), (1, ‰)}ii) ∞ = {(0, Á), (0, ‰)}iii) µ = {(0, ·), (0, ‚), (1, ·), (1, ‚)}iv) ° = {(1, ·), (1, ‚), (1, Á), (1, ‰)}.

6. i) ∞ = {3}, µ = {2,4,6}, ∞∩µ = ∅, ¿Ú· Ù· ∞ Î·È µ Â›Ó·È ·Û˘Ì‚›‚·ÛÙ·.ii) ∂Âȉ‹ ˘¿Ú¯Ô˘Ó Î·È ŒÏÏËÓ˜ ηıÔÏÈÎÔ›, ·˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ∞∩µ ≠ ∅,

‰ËÏ·‰‹ Ù· ∞ Î·È µ ‰ÂÓ Â›Ó·È ·Û˘Ì‚›‚·ÛÙ·.

∫∂º∞§∞π√ 1: ¶π£∞¡√∆∏∆∂™6

iii) ∂Âȉ‹ ˘¿Ú¯Ô˘Ó Á˘Ó·›Î˜ ¿Óˆ ÙˆÓ 30, Ô˘ Ó· Â›Ó·È 30 ¯ÚfiÓÈ· ·ÓÙÚÂ-̤Ó˜, ·˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ∞∩µ ≠ ∅.

iv) ∞∩µ = ∅, ¿Ú· Ù· ∞ Î·È µ Â›Ó·È ·Û˘Ì‚›‚·ÛÙ·.

7.1Ô ·È‰› 2Ô ·È‰› 3Ô ·È‰› ∞ÔÙ¤ÏÂÛÌ·

·· ···

·Î ··Î

η ·Î·Î ·ÎÎ

·· η·

ÎΠηÎ

Î · ÎηΠÎÎÎ

ø = {···, ··Î, ·Î·, ·ÎÎ, η·, ηÎ, Îη, ÎÎÎ}.

µã √ª∞¢∞™

1. 1Ô ·È¯Ó›‰È 2Ô ·È¯Ó›‰È 3Ô ·È¯Ó›‰È ∞ÔÙ¤ÏÂÛÌ·

···

·‚

· ·‚·‚ ·‚‚

·· ‚··

‚‚ ‚·‚

‚‚‚

ø = {··, ·‚·, ·‚‚, ‚··, ‚·‚, ‚‚}.

2. ∆· ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Ù˘ Ú›„˘ ‰‡Ô ˙·ÚÈÒÓ Ê·›ÓÔÓÙ·È ÛÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î·‰ÈÏ‹˜ ÂÈÛfi‰Ô˘.

1.1. ¢ÂÈÁÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ - ∂Ӊ¯fiÌÂÓ· 7

2Ë Ú›„Ë1Ë Ú›„Ë 1 2 3 4 5 6

1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

ÕÚ·∞ = {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (6,1), (6,2),

(6,3), (6,4), (6,5)}.µ = {(1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,4), (4,6),

(5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6)}. ° = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (3,1), (4,1)}.∞∩µ = {(3,1), (4,2), (5,1), (5,3), (6,2), (6,4)}.∞∩° = {(2,1), (3,1), (4,1)}.(∞∩µ)∩° = {(3,1)}.

¨ 1.2. ŒÓÓÔÈ· Ù˘ Èı·ÓfiÙËÙ·˜∞ã √ª∞¢∞™

1. i) ∏ ÙÚ¿Ô˘Ï· ¤¯ÂÈ 4 ÂÓÙ¿ÚÈ· Î·È ÂÔ̤ӈ˜ Ë ˙ËÙÔ‡ÌÂÓË Èı·ÓfiÙËÙ· ›ӷÈ

›ÛË ÌÂ

ii) ∆Ô ÂӉ¯fiÌÂÓÔ Â›Ó·È ÙÔ ·ÓÙ›ıÂÙÔ ÙÔ˘ ÂӉ¯Ô̤ÓÔ˘ ÙÔ˘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ˘

ÂÚˆÙ‹Ì·ÙÔ˜. ÕÚ· Ë ̇ ËÙÔ‡ÌÂÓË Èı·ÓfiÙËÙ· Â›Ó·È ›ÛË ÌÂ

2. ∞Ó ° ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· “ÁÚ¿ÌÌ·Ù·” Î·È ∫ ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· “ÎÂÊ·Ï‹”, Ô ‰ÂÈÁÌ·-ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ÙÔ˘ ÂÈÚ¿Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È ø = {∫°, °∫, ∫∫, °°} Î·È ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÈ·

¢ÓÔ˚΋ ÂÚ›ÙˆÛË Ë °°. ÕÚ· Ë ˙ËÙÔ‡ÌÂÓË Èı·ÓfiÙËÙ· ›ӷÈ

3. ∆Ô ÎÔ˘Ù› ¤¯ÂÈ Û˘ÓÔÏÈο 10 + 15 + 5 + 10 = 40 ̿Ϙ.i) √È Ì·‡Ú˜ ̿Ϙ Â›Ó·È 15. ÕÚ· Ë Èı·ÓfiÙËÙ· Ó· Â›Ó·È Ë Ì¿Ï· Ì·‡ÚË

ii) À¿Ú¯Ô˘Ó 10 ¿ÛÚ˜ Î·È 15 Ì·‡Ú˜ ̿Ϙ. ÕÚ· Ë ˙ËÙÔ‡ÌÂÓË Èı·Ófi-

ÙËÙ· Â›Ó·È ›ÛË ÌÂ

iii) ∆Ô Ó· ÌËÓ Â›Ó·È Ë Ì¿Ï· Ô‡Ù ÎfiÎÎÈÓË Ô‡Ù ڿÛÈÓË, ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÌÔ-Ú› Ó· Â›Ó·È ¿ÛÚË ‹ Ì·‡ÚË. ÕÚ· Ë ˙ËÙÔ‡ÌÂÓË Èı·ÓfiÙËÙ· Â›Ó·È ›ÛË ÌÂ

4. ∏ Ù¿ÍË ¤¯ÂÈ Û˘ÓÔÏÈο 4 + 11 + 9 + 3 + 2 + 1 = 30 Ì·ıËÙ¤˜. °È· Ó· ¤¯ÂÈ ËÔÈÎÔÁ¤ÓÂÈ· ÂÓfi˜ Ì·ıËÙ‹ 3 ·È‰È¿, Ú¤ÂÈ Ô Ì·ıËÙ‹˜ ·˘Ùfi˜ Ó· ¤¯ÂÈ ‰ËÏÒ-

10 + 15

40 = 25

40 .

10 + 15

40 = 25

40 .

15

40 .

1

4 .

1 – 4

52 = 48

52 = 12

13 .

4

52 = 1

13 .

∫∂º∞§∞π√ 1: ¶π£∞¡√∆∏∆∂™8

ÛÂÈ fiÙÈ ¤¯ÂÈ 2 ·‰¤ÏÊÈ·. ∂Âȉ‹ 9 Ì·ıËÙ¤˜ ‰‹ÏˆÛ·Ó fiÙÈ ¤¯Ô˘Ó 2 ·‰¤ÏÊÈ·, Ë

˙ËÙÔ‡ÌÂÓË Èı·ÓfiÙËÙ· ›ӷÈ

5. Œ¯Ô˘Ì ø = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}, ∞ = {12, 15, 18}Î·È µ = {12, 16, 20}. ∂Ô̤ӈ˜

i) ƒ(∞) = ii) Œ¯Ô˘Ì ƒ(µ) = ¿Ú· ƒ(µã) =

6. ∞Ó §, ¶ Î·È ¡ Â›Ó·È Ù· ÂӉ¯fiÌÂÓ· Ó· ÎÂÚ‰›ÛÔ˘Ó Ô §Â˘Ù¤Ú˘, Ô ¶·‡ÏÔ˜ ηÈ

Ô ¡›ÎÔ˜ ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜, ÙfiÙ ƒ(§) = ƒ(¶) = Î·È ƒ(¡) =

∂Âȉ‹ Ù· ÂӉ¯fiÌÂÓ· Â›Ó·È ·Û˘Ì‚›‚·ÛÙ· ¤¯Ô˘ÌÂ:

i) ƒ(§∪¶) = ƒ(§) + ƒ(¶) = ‰ËÏ·‰‹ 50%.

ii) ƒ(§∪N)ã = 1 – ƒ(§∪N) = 1 – ƒ(§) – ƒ(¡) =

‰ËÏ·‰‹ 30%.

7. Œ¯Ô˘Ì ‰È·‰Ô¯Èο ƒ(∞) + ƒ(µ) – ƒ(∞∩µ) = ƒ(∞∪µ)

– ƒ(∞∩µ) =

ƒ(∞∩µ) =

8. Œ¯Ô˘Ì ‰È·‰Ô¯Èο ƒ(∞) + ƒ(µ) – ƒ(∞∩µ) = ƒ(∞∪µ)

+ ƒ(µ)

ƒ(µ) =

9. Œ¯Ô˘Ì ‰È·‰Ô¯Èο ƒ(∞) + ƒ(µ) – ƒ(∞∩µ) = ƒ(∞∪µ)2ƒ(∞) – 0,2 = 0,6

2ƒ(∞) = 0,8ƒ(∞) = 0,4.

5

6 + 1

3 – 1

2 = 5

6 + 2

6 – 3

6 = 4

6 = 2

3 .

– 1

3 = 5

6

1

2

17

30 + 7

15 – 2

3 = 17

30 + 14

30 – 20

30 = 11

30 .

2

3

17

30 + 7

15

1 – 30

100 – 40

100 = 30

100 ,

30

100 + 20

100 = 50

100 ,

40

100 .20

100

30

100 ,

1 – 3

11 = 8

11 .3

11 ,3

11 .

9

30 .

1.2. ŒÓÓÔÈ· Ù˘ Èı·ÓfiÙËÙ·˜ 9

10. Œ¯Ô˘Ì ‰È·‰Ô¯Èο ƒ(∞∪µ) = ƒ(∞) + ƒ(µ) – ƒ(∞∩µ)

11. Œ¯Ô˘Ìƒ(∞∪µ) ≤ ƒ(∞) + ƒ(µ) ⇔ ƒ(∞) + ƒ(µ) – ƒ(∞∩µ) ≤ ƒ(∞) + ƒ(µ)

⇔ 0 ≤ ƒ(∞∩µ) Ô˘ ÈÛ¯‡ÂÈ.

12. ŒÛÙˆ ∞ ÙÔ ÂӉ¯fiÌÂÓÔ Ó· ¤¯ÂÈ Î¿ÚÙ· D Î·È µ ÙÔ ÂӉ¯fiÌÂÓÔ Ó· ¤¯ÂÈ Î¿ÚÙ· V.

Œ¯Ô˘Ì ∂Ô̤ӈ˜

ƒ(∞∪µ) = ƒ(∞) + ƒ(µ) – ƒ(∞∩µ)

‰ËÏ·‰‹ 65%.

13. ŒÛÙˆ ∞ ÙÔ ÂӉ¯fiÌÂÓÔ Ó· ¤¯ÂÈ ˘¤ÚÙ·ÛË Î·Èµ ÙÔ ÂӉ¯fiÌÂÓÔ Ó· ¤¯ÂÈ ÛÙÂÊ·ÓÈ·›· ÓfiÛÔ. Œ¯Ô˘ÌÂ

·) Œ¯Ô˘Ìƒ(∞∪µ) = ƒ(∞) + ƒ(µ) – ƒ(∞∪µ)

‰ËÏ·‰‹ 14%.

‚) ∆Ô ÂӉ¯fiÌÂÓÔ Ó· ¤¯ÂÈ ÙÔ ¿ÙÔÌÔ ÌfiÓÔ ÌÈ· ·Ûı¤ÓÂÈ· Â›Ó·È ÙÔ (∞ – µ)∪(µ – ∞).∆· ÂӉ¯fiÌÂÓ· (∞ – µ) Î·È (µ – ∞) Â›Ó·È ·Û˘Ì‚›‚·ÛÙ·. ∂Ô̤ӈ˜ ƒ((∞ – µ)∪(µ – ∞)) = ƒ(∞ – µ) + ƒ(µ – ∞)

= ƒ(∞) – ƒ(∞∩µ) + ƒ(µ) – ƒ(∞∩µ)= ƒ(∞) + ƒ(µ) + 2ƒ(∞∩µ)

‰ËÏ·‰‹ 12%.= 10

100 + 6

100 – 4

100 = 12

100 ,

= 10

100 + 6

100 – 2

100 = 14

100 ,

ƒ(∞) = 10

100 , ƒ(µ) = 6

100 Î·È ƒ(∞∩µ) = 2

100 .

= 25

100 + 55

100 – 15

100 = 65

100 ,

ƒ(∞) = 25

100 , ƒ(µ) = 55

100 , ƒ(∞∩µ) = 15

100 .

= 6

12 + 4

12 – 1

12 = 9

12 = 3

4 .

= 1

2 + 1

3 – 1

12

= 1

2 + 1 – 2

3 – 1

12

∫∂º∞§∞π√ 1: ¶π£∞¡√∆∏∆∂™10

A B

A–B B–A

ø

14. ŒÛÙˆ ∞ ÙÔ ÂӉ¯fiÌÂÓÔ Ó· Ì·ı·›ÓÂÈ ·ÁÁÏÈο Î·È µ ÙÔ ÂӉ¯fiÌÂÓÔ Ó· Ì·-ı·›ÓÂÈ Á·ÏÏÈο.

Œ¯Ô˘ÌÂ

ÕÚ· ƒ((∞∪µ)ã) = 1 – ƒ(∞∪µ)

= 1 – ƒ(∞) – ƒ(µ) + ƒ(∞∩µ)

‰ËÏ·‰‹ 10%.

µã √ª∞¢∞™

1. i) ƒ(∞∪µ) = ƒ(∞) + ƒ(µ) – ƒ(∞∩µ) = Î + Ï – Ì

ii) ƒ((∞∪µ)ã) = 1 – ƒ(∞∪µ) = 1 – Î – Ï + Ì

iii) ƒ((∞ – µ)∪(µ – ∞)) = ƒ(∞ – µ) + ƒ(µ – ∞)

= ƒ(∞) – ƒ(∞∩µ) + ƒ(µ) – ƒ(∞∩µ)

= ƒ(∞) + ƒ(µ) – 2ƒ(∞∩µ)

= Î + Ï – 2Ì.

2. ∞Ó ∞ Î·È µ Ù· ÂӉ¯fiÌÂÓ· Ó· ÌËÓ ¤¯ÂÈ ¤Ó· ÓÔÈÎÔ΢ÚÈfi ÙËÏÂfiÚ·ÛË Î·È µ›ÓÙÂÔ

·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜, ı· ›ӷÈ

∂Ô̤ӈ˜ Ë ˙ËÙÔ‡ÌÂÓË Èı·ÓfiÙËÙ· ı· ›ӷÈ:

ƒ((∞∪µ)ã) = 1 – ƒ(∞∪µ) = 1 – [ƒ(∞) + ƒ(µ) – ƒ(∞∩µ)]

‰ËÏ·‰‹ 55%.

3. Œ¯Ô˘Ì ‰È·‰Ô¯Èο

4ƒ(∞) = 3 – 3 ƒ(∞)7ƒ(∞) = 3,

ƒ(∞)= 3

7 , ƒ(∞ã) = 1 – ƒ(∞) = 4

7 .

ƒ(∞)

1 – ƒ(∞) = 3

4

ƒ(∞)

ƒ(∞ã) = 3

4

= 1 – 15

100 + 40

100 – 10

100 = 1 – 45

100 = 55

100 ,

ƒ(∞) = 15

100 Î·È ƒ(µ) = 40

100 Î·È ƒ(∞∩µ) = 10

100 .

= 1 – 80

100 – 30

100 + 20

100 = 10

100 ,

ƒ(∞) = 80

100 , ƒ(µ) = 30

100 Î·È ƒ(∞∩µ) = 20

100 .

1.2. ŒÓÓÔÈ· Ù˘ Èı·ÓfiÙËÙ·˜ 11

4. ∞Ó ƒ(∞) = x, ÙfiÙ ƒ(∞ã) = 1 – x, fiÔ˘ 0 < x < 1.

Œ¯Ô˘Ì ⇔

⇔ 1 – x + x ≥ 4x(1 – x)⇔ 1 – x + x ≥ 4x – 4x2

⇔ 4x2 – 4x + 1 ≥ 0⇔ (2x – 1)2 ≥ 0 Ô˘ ÈÛ¯‡ÂÈ.

5. ñ Œ¯Ô˘Ì ∞∩µ ⊆ ∞ƒ(∞∩µ) ≤ ƒ(∞)ƒ(∞∩µ) ≤ 0,6 (1)

ñ Œ¯Ô˘Ì ƒ(∞∪µ) ≤ 1ƒ(∞) + ƒ(µ) – ƒ(∞∩µ) ≤ 1

0,6 + 0,7 – ƒ(∞∩µ) ≤ 10,6 + 0,7 – 1 ≤ ƒ(∞∩µ)

0,3 ≤ ƒ(∞∩µ) (2)

·fi ÙȘ (1) Î·È (2) ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ:0,3 ≤ ƒ(∞∩µ) ≤ 0,6.

6. ƒ(µ) – ƒ(∞ã) ≤ ƒ(∞∩µ) ⇔ ƒ(µ) – 1 + ƒ(∞) ≤ ƒ(∞∩µ)⇔ ƒ(µ) + ƒ(∞) – ƒ(∞∩µ) ≤ 1⇔ ƒ(∞∪µ) ≤ 1 Ô˘ ÈÛ¯‡ÂÈ.

1

x + 1

1 – x ≥ 4

1

ƒ(∞) + 1

ƒ(∞ã) ≥ 4

∫∂º∞§∞π√ 1: ¶π£∞¡√∆∏∆∂™12

KEº∞§∞π√ 2

√𠶃∞°ª∞∆π∫√π ∞ƒπ£ª√π

¨ 2.1. √È Ú¿ÍÂȘ Î·È ÔÈ È‰ÈfiÙËÙ¤˜ ÙÔ˘˜∞ã √ª∞¢∞™

1. Œ¯Ô˘ÌÂ

(i)

(ii) °È· x = 2010 Î·È ¤¯Ô˘Ì x y = 1 ÔfiÙÂ

∞ = 19 = 1.

2. Œ¯Ô˘ÌÂ

°È· x = 0,4 Î·È y = –2,5 Â›Ó·È xy = –1 ÔfiÙ ∞ = (–1)10 = 1.

3. i) 10012 – 9992 = (1001 – 999) (1001 + 999) = 2 Ø 2000 = 4.000.

ii) 99 Ø 101 = (100 – 1) (100 + 1) = 1002 – 1 = 10000 – 1 = 9.999.

iii)

4. i) Œ¯Ô˘ÌÂ

(· + ‚)2 – (· – ‚)2 = ·2 + 2·‚ + ‚2 – (·2 – 2·‚ + ‚2)

= ·2 + 2·‚ + ‚2 – ·2 + 2·‚ – ‚2 = 4·‚

ii) ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ÂÚÒÙËÌ· (i):

999

1000 + 1000

999

2

– 999

1000 – 1000

999

2

= 4 999

1000 ⋅ 1000

999 = 4

7,23 2 – 4,23 2

11,46 =

7,23 + 4,23 7,23 – 4,23

11,46 = 11,46 ⋅ 3

11,46 = 3

∞ = x

y

2

: 1

x3 y7

2

= x2

y2 ⋅ x3 y7

2

= x5 ⋅ y5 2 = xy 10

y = 1

2010

A =xy3 4

x2y3 2 : y–1

x3

3

= x4y12

x4y6 ⋅ x9

y–3 = y6 ⋅ x9

y–3 = y9 ⋅ x9 = x y 9

5. i) Œ¯Ô˘ÌÂ

·2 – (· – 1) (· + 1) = ·2 – (·2 – 1) = ·2 – ·2 + 1 = 1

ii) ∞Ó ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘Ì ÙÔ ÂÚÒÙËÌ· (i) ÁÈ· · = 1,3265 Ë ÙÈÌ‹ Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈÁÈ· ÙËÓ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Â›Ó·È 1.

6. ŒÛÙˆ v Î·È v + 1 ‰‡Ô ‰È·‰Ô¯ÈÎÔ› Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›:∆fiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ

(v + 1)2 –v2 = (v + 1 – v) (v + 1 + v) = (v + 1) + v

7. πÛ¯‡ÂÈ

2v + 2v+1 + 2v+2 = 2v (1 + 2 + 22) = 2v Ø 7

µã √ª∞¢∞™

1. ∞Ó ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ·ÚÈıÌËÙ‹ Î·È ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹Œ¯Ô˘ÌÂ

i)

ii)

2. Œ¯Ô˘ÌÂ

i)

ii)

3. Œ¯Ô˘ÌÂ

i) (x + y)2 1

x + 1

y

–2

= (x + y)2 y + x

x y

–2

= (x + y)2 x y

x + y

2

= (x y)2 = x2 y2

·2 + · + 1

· + 1 ⋅ ·

2 – 1

·3 – 1 = ·2 + · + 1

· + 1 ⋅ (· – 1) (· + 1)

(· – 1) (·2 + · + 1) = 1

= (· –1)2 (· + 1)2

·2 ⋅ ·2

(· + 1)2 = (· – 1)2

· – 1

·

2

⋅ ·3 + ·2

(· + 1)3 = ·2 – 1

·

2

⋅ ·2 (· + 1)

(· + 1)3

·2 – · + 2· – 2

·2 – 1 = ·(· – 1) + 2(· –1)

(· – 1) (· + 1) = (· – 1) (· + 2)

(· – 1) (· + 1) = · + 2

· + 1

·3 – 2·2 + ·

·2 – · = ·(·2 – 2·+1)

·(· –1) = (· – 1)2

· – 1 = · –1

∫∂º∞§∞π√ 2: √𠶃∞°ª∞∆π∫√π ∞ƒπ£ª√π14

ii)

4. Œ¯Ô˘ÌÂ

5. i) ·ã ÙÚfiÔ˜: ªÂ ÁÂӛ΢ÛË Ù˘ ȉÈfiÙËÙ·˜ 1iv) ÙˆÓ ·Ó·ÏÔÁÈÒÓ (‚Ï. ÂÊ·Ú-ÌÔÁ‹ 1, ÛÂÏ. 26) ¤¯Ô˘ÌÂ

ÔfiÙÂ · = ‚ = Á.

‚ã ÙÚfiÔ˜: £¤ÙÔ˘Ì ÔfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ

· = k‚, ‚ = kÁ Î·È Á = k· (1)

∞Ó, ÙÒÚ·, ÚÔÛı¤ÛÔ˘Ì ηٿ ̤ÏË ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜ (1), ‚Ú›ÛÎÔ˘ÌÂ

· + ‚ + Á = k(· + ‚ + Á)

ÔfiÙ ¤¯Ô˘Ì k = 1 (·ÊÔ‡ · + ‚ + Á ≠ 0, ‰ÈfiÙÈ Ù· ·, ‚, Á Â›Ó·È Ì‹ÎË Ï¢-ÚÒÓ ÙÚÈÁÒÓÔ˘).ŒÙÛÈ, ·fi ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜ (1) ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ · = ‚ = Á Î·È ¿Ú· ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Â›-Ó·È ÈÛfiÏ¢ÚÔ.

Áã ÙÚfiÔ˜: ∏ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ¿ÛÎËÛË ÌÔÚ› Ó· ·Ô‰Âȯı›, ÌÂÙ¿ ÙË ‰È‰·-Ûηϛ· Ù˘ ¨ 1.3, ˆ˜ ÂÍ‹˜:¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘Ì ηٿ ̤ÏË ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜ (1), ÔfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ

·‚Á = k3(·‚Á) ηÈ, ÂÂȉ‹ ·‚Á ≠ 0, ı· Â›Ó·È k3 = 1 Î·È ¿Ú· k = 1.

ŒÙÛÈ, ·fi ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜ (1) ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ · = ‚ = Á.

™¯fiÏÈÔ: √ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ˜ ÙÚfiÔ˜ ÌÔÚ› Ó· ÂÊ·ÚÌÔÛı› Î·È fiÙ·Ó Ù· ·, ‚,Á Â›Ó·È ÔÔÈÔȉ‹ÔÙ ڷÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›, ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ› ÙÔ˘ ÌˉÂÓfi˜,ÂÓÒ ÁÈ· ÙÔ˘˜ ‰‡Ô ÚÒÙÔ˘˜ ÙÚfiÔ˘˜ ··ÈÙÂ›Ù·È ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ Ó··Ô‰ÂȯÙ› fiÙÈ · + ‚ + Á ≠ 0.

·

‚ = ‚

Á = Á

· = k,

·

‚ = ‚

Á = Á

· = · + ‚ + Á

‚ + Á + · = 1,

= x2 – xy + y2

x – y ⋅ x – y

x2 – xy + y2 = 1

x3 + y3

x2 – y2 : x2

x – y – y = (x + y) (x2 – xy + y2)

(x – y) (x + y) : x2 – xy + y2

x – y

= x + y

x – y ⋅ 1

y + x

xy

= x + y

x – y ⋅ xy

x + y = xy

x – y

x + y

x – y ⋅ x

–1 – y–1

x–2 – y–2 = x + y

x – y ⋅

1

x – 1

y

1

x2 – 1

y2

= x + y

x – y ⋅

1

x – 1

y

1

x – 1

y 1

x + 1

y

2.1. √È Ú¿ÍÂȘ Î·È ÔÈ È‰ÈfiÙËÙ¤˜ ÙÔ˘˜ 15

ii) ·ã ÙÚfiÔ˜: Œ¯Ô˘Ì · – ‚ = ‚ – Á (1) Î·È · – ‚ = Á – · (2), ÔfiÙÂ, ·ÓÚÔÛı¤ÙÔ˘Ì ηٿ ̤ÏË ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜ (1) Î·È (2) ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ

2· – 2‚ = ‚ – · ⇒ 3· = 3‚ ⇒ · = ‚

ŒÙÛÈ, ·fi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· (1) ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì fiÙÈ Î·È ‚ = Á. ÕÚ· · = ‚ = Á ÔfiÙÂÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Â›Ó·È ÈÛfiÏ¢ÚÔ.

‚ã ÙÚfiÔ˜: £¤ÙÔ˘Ì · – ‚ = ‚ – Á = Á – · = k, ÔfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ

· – ‚ = k, ‚ – Á = k Î·È Á – · = k (2)

∞Ó ÙÒÚ· ÚÔÛı¤ÛÔ˘Ì ηٿ ̤ÏË ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜ (2), ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì fiÙÈ k = 0,ÔfiÙÂ, ÏfiÁˆ ÙˆÓ ÈÛÔÙ‹ÙˆÓ ·˘ÙÒÓ, Â›Ó·È · = ‚ = Á Î·È ¿Ú· ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Â›-Ó·È ÈÛfiÏ¢ÚÔ.

6. ∞Ó x Î·È y Â›Ó·È ÔÈ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘, ÙfiÙ ı· ÈÛ¯‡ÂÈ

L = 2x + 2y Î·È ∂ = xy

ÔfiÙÂ, ÏfiÁˆ Ù˘ ˘fiıÂÛ˘, ı· ¤¯Ô˘ÌÂ

2x + 2y = 4· Î·È xy = ·2

Î·È ¿Ú·y = 2· – x (1) Î·È xy = ·2 (2)

§fiÁˆ Ù˘ (1), Ë (2) ÁÚ¿ÊÂÙ·È ÈÛÔ‰‡Ó·Ì·:

x(2· – x) = ·2 ⇔ 2·x – x2 = ·2 ⇔ x2 – 2·x + ·2 = 0⇔ (x – ·)2 = 0 ⇔ x – · = 0 ⇔ x = ·

ŒÙÛÈ ·fi ÙËÓ (1) ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ Î·È y = · Î·È ¿Ú· ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ Â›Ó·È ÙÂÙÚ¿-ÁˆÓÔ.

7. £· ÂÚÁ·Ûıԇ̠̠ÙË Ì¤ıÔ‰Ô Ù˘ ··ÁˆÁ‹˜ Û ¿ÙÔÔ.i) ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ · + ‚ = Á ∈ �. TfiÙ ı· Â›Ó·È ‚ = Á – · ∈ �

(ˆ˜ ‰È·ÊÔÚ¿ ÚËÙÒÓ), Ô˘ Â›Ó·È ¿ÙÔÔ.

ii) ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ ·‚ = Á ∈ �. TfiÙ ı· Â›Ó·È ‚ =Á

—· ∈ �

(ˆ˜ ËÏ›ÎÔ ÚËÙÒÓ), Ô˘ Â›Ó·È ¿ÙÔÔ.

¨ 2.2. ¢È¿Ù·ÍË Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ∞ã √ª∞¢∞™

1. i) ∂›Ó·È ·2 + 9 ≥ 6· ⇔ ·2 – 6· + 9 ≥ 0 ⇔ (· – 3)2 ≥ 0 Ô˘ ÈÛ¯‡ÂÈ.

ii) ∂›Ó·È 2(·2 + ‚2) ≥ (· + ‚)2 ⇔ 2·2 + 2‚2 ≥ ·2 + ‚2 + 2·‚ ⇔ 2·2 + 2‚2 – ·2 – ‚2 – 2·‚ ≥ 0

⇔ ·2 + ‚2 – 2·‚ ≥ 0

⇔ (· – ‚)2 ≥ 0, Ô˘ ÈÛ¯‡ÂÈ.

∫∂º∞§∞π√ 2: √𠶃∞°ª∞∆π∫√π ∞ƒπ£ª√π16

2. Œ¯Ô˘Ì ·2 + ‚2 – 2· + 1 ≥ 0 ⇔ ·2 – 2· + 1 + ‚2 ≥ 0

⇔ (· – 1)2 + ‚2 ≥ 0 Ô˘ ÈÛ¯‡ÂÈ.

∏ ÈÛfiÙËÙ· ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÈ· · = 1 Î·È ‚ = 0.

3. i) πÛ¯‡ÂÈ (x – 2)2 + (y + 1)2 = 0 ⇔ x – 2 = 0 Î·È y + 1 = 0 ⇔ x = 2 Î·È y = –1.

ii) Œ¯Ô˘Ì x2 + y2 – 2x + 4y + 5 = 0 ⇔ x2 – 2x + 1 + y2 + 4y + 4 = 0

⇔ (x – 1)2 + (y + 2)2 = 0

⇔ x – 1 = 0 Î·È y + 2 = 0

⇔ x = 1 Î·È y = –2.

4. i) ¶ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ì ηٿ ̤ÏË ÙȘ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜4,5 < x < 4,6 Î·È 5,3 < y < 5,4

ÔfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ4,5 + 5,3 < x + y < 4,6 + 5,4

‰ËÏ·‰‹ 9,8 < x + y < 10.

ii) ∞fi ÙË ‰Â‡ÙÂÚË ·ÓÈÛfiÙËÙ· ÚÔ·ÙÂÈ–5,4 < –y < –5,3

Î·È ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ì ηٿ ̤ÏË Ì ÙËÓ 4,5 < x < 4,6ÔfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ

4,5 – 5,4 < x – y < 4,6 – 5,3 ⇔ –0,9 < x – y < –0,7.

iii) πÛ¯‡ÂÈ 5,3 < y < 5,4 ÔfiÙÂ

Î·È ¿Ú·

iv) ∂Âȉ‹ Ù· ̤ÏË ÙˆÓ ·ÓÈÛÔÙ‹ÙˆÓ Â›Ó·È ıÂÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› ÌÔÚԇ̠ӷ˘„ÒÛÔ˘Ì ÛÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÔfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ

(4,5)2 < x2 < (4,6)2 ⇔ 20,25 < x2 < 21,16 ηÈ

(5,3)2 < y2 < (5,4)2 ⇔ 28,09 < y2 < 29,16ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ì ηٿ ̤ÏË ÔfiÙÂ

20,25 + 28,09 < x2 + y2 < 21,16 + 29,16 ⇔ 48,34 < x2 + y2 < 50,32.

4,5 ⋅ 1

5,4 < x ⋅ 1

y < 4,6 ⋅ 1

5,3 ⇔ 45

54 < x

y < 46

53

1

5,3 > 1

y > 1

5,4 ⇔ 1

5,4 < 1

y < 1

5,3

2.2. ¢È¿Ù·ÍË Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ 17

5.

°È· ÙÔ x ¤¯Ô˘ÌÂ:2 + 0,2 < x + 0,2 < 3 + 0,2 ⇔ 2,2 < x + 0,2 < 3,2, (1)

°È· ÙÔ y ¤¯Ô˘ÌÂ:3 – 0,1 < y – 0,1 < 5 – 0,1 ⇔ 2,9 < y – 0,1 < 4,9, (2)

(i) ∏ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ÙfiÙ Á›ÓÂٷȶ = 2(x + 0,2) + 2(y – 0,1) = 2(x + y + 0,1)

¶ÚÔÛı¤ÙÔÓÙ·˜ ÙȘ (1) Î·È (2) ¤¯Ô˘Ì 5,1 < x + y + 0,1 < 8,1ÔfiÙÂ

2 Ø 5,1 < 2(x + y + 0,1) < 2 Ø 8,1 ⇔ 10,2 < ¶ < 16,2.

(ii) ∆Ô ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Á›ÓÂÙ·È∂ = (x + 0,2)(y – 0,1)

¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘Ì ÙȘ (1) Î·È (2) ηٿ ̤ÏË ÔfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ2,2 Ø 2,9 < (x + 0,2)(y – 0,1) < 3,2 Ø 4,9 ⇔ 6,38 < ∂ < 15,68.

6. ∂Âȉ‹ (1 + ·)(1 + ‚) > 0 ¤¯Ô˘ÌÂ

⇔ ·(1 + ‚) < ‚(1 + ·) ⇔ · + ·‚ < ‚ + ·‚ ⇔ · < ‚, Ô˘ ÈÛ¯‡ÂÈ.

7. πÛ¯‡ÂÈ 5 – x < 0 ÔfiÙ ηٿ ÙËÓ ·ÏÔÔ›ËÛ‹ ÙÔ˘ Ë ·ÓÈÛfiÙËÙ· ·ÏÏ¿˙ÂÈ ÊÔ-Ú¿. ŒÙÛÈ ÙÔ ÛˆÛÙfi ›ӷÈ

x(5 – x) > (5 + x)(5 – x) ⇔ x < 5 + x ⇔ 0 < 5, Ô˘ ÈÛ¯‡ÂÈ.

µã √ª∞¢∞™

1. i) ∂Âȉ‹ ÔÈ ·, ‚, Á Â›Ó·È ıÂÙÈÎÔ›, ¤¯Ô˘ÌÂ

⇔ ‚Á > ·Á ⇔ ‚ > · ⇔ Ô˘ ÈÛ¯‡ÂÈ.

ii) √ÌÔ›ˆ˜

· + Á

‚ + Á < ·

‚ ⇔ (· + Á)‚ < ·(‚ + Á) ⇔ ·‚ + ‚Á < ·‚ + ·Á ⇔

·

‚ < 1,

· + Á

‚ + Á > ·

‚ ⇔ (· + Á)‚ > ·(‚ + Á) ⇔ ·‚ + ‚Á > ·‚ + ·Á ⇔

·

1 + · < ‚

1 + ‚ ⇔ ·

1 + · (1 + ·) (1 + ‚) < ‚

1 + ‚ (1 + ·) (1 + ‚)

∫∂º∞§∞π√ 2: √𠶃∞°ª∞∆π∫√π ∞ƒπ£ª√π18

⇔ ‚Á < ·Á ⇔ ‚ < · ⇔ Ô˘ ÈÛ¯‡ÂÈ.

2. πÛ¯‡ÂÈ · + ‚ > 1 + ·‚ ⇔ · + ‚ – ·‚ – 1 > 0 ⇔ ·(1 – ‚) – (1 – ‚) > 0 ⇔ (· – 1)(1 – ‚) > 0, Ô˘ ÈÛ¯‡ÂÈ, ·ÊÔ‡ · > 1 Î·È ‚ < 1.

3. Œ¯Ô˘Ì ÙȘ ÈÛÔ‰˘Ó·Ì›Â˜

⇔ ·2 + ‚2 + 2·‚ – 4·‚ ≥ 0

⇔ ·2 + ‚2 – 2·‚ ≥ 0 ⇔ (· – ‚)2 ≥ 0, Ô˘ ÈÛ¯‡ÂÈ.

4. i) ·2 + ·‚ + ‚2 ≥ 0 ⇔ 2·2 + 2·‚ + 2‚2 ≥ 0

⇔ ·2 + 2·‚ + ‚2 + ·2 + ‚2 ≥ 0

⇔ (· + ‚)2 + ·2 + ‚2 ≥ 0, Ô˘ ÈÛ¯‡ÂÈ.

ii) ·2 – ·‚ + ‚2 ≥ 0 ⇔ 2·2 – 2·‚ + 2‚2 ≥ 0

⇔ ·2 – 2·‚ + ‚2 + ·2 + ‚2 ≥ 0

⇔ (· – ‚)2 + ·2 + ‚2 ≥ 0, Ô˘ ÈÛ¯‡ÂÈ.

¨ 2.3. ∞fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡∞ã √ª∞¢∞™

1. i) | – 3| = – 3, ·ÊÔ‡ > 3.ii) | – 4| = 4 – , ·ÊÔ‡ < 4.iii) |3 – | + |4 – | = – 3 + 4 – = 1.

iv)

2. ∂›Ó·È |x – 3| = x – 3, ·ÊÔ‡ x > 3 Î·È |x – 4| = 4 – x, ·ÊÔ‡ x < 4ÔfiÙ |x – 3| + |x – 4| = x – 3 + 4 – x = 1.

3. i) ∞Ó x < 3, ÙfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È x < 4, ÔfiÙ x – 3 < 0 Î·È 4 – x > 0.ÕÚ· Â›Ó·È |x – 3| – |4 – x| = (3 – x) – (4 – x) = 3 – x – 4 + x = –1.

ii) ∞Ó x > 4, ÙfiÙÂ Â›Ó·È Î·È x > 3, ÔfiÙ x – 4 > 0 Î·È x – 3 > 0.ÕÚ· ¤¯Ô˘Ì |x – 3| – |4 – x| = x – 3 + (4 – x) = 1.

4. ∂›Ó·È · – ‚

‚ – · =

‚ – ·

‚ – · = 1.

2 – 3 – 3 – 2 = 3 – 2 – 3 – 2 = 0

(· + ‚) 1

· + 1

‚ ≥ 4 ⇔ (· + ‚) · + ‚

·‚ ≥ 4 ⇔ (· + ‚)2 ≥ 4·‚ ⇔

·

‚ > 1,

2.3. ∞fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ 19

5. ñ ∞Ó x > 0 Î·È y > 0, ÙfiÙÂ

ñ ∞Ó x > 0 Î·È y < 0, ÙfiÙÂ

ñ ∞Ó x < 0 Î·È y < 0, ÙfiÙÂ

ñ ∞Ó x < 0 Î·È y > 0, ÙfiÙÂ

6. i) πÛ¯‡ÂÈ d(2,37, D) ≤ 0,005 (1)

ii) πÛ¯‡ÂÈ (1) ⇔ |2,37 – D| ≤ 0,005 ⇔ 2,37 – 0,005 ≤ D ≤ 2,37 + 0,005

⇔ 2,365 ≤ D ≤ 2,375.

7.

A = –x

x + y

y = –1 + 1 = 0.

A = –x

x – y

y = –1 – 1 = –2

A = x

x – y

y = 1 – 1 = 0

A = x

x + y

y = 1 + 1 = 2

∫∂º∞§∞π√ 2: √𠶃∞°ª∞∆π∫√π ∞ƒπ£ª√π20

Bã √ª∞¢∞™

1. ªÂ ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· Ù˘ ÙÚÈÁˆÓÈ΋˜ ·ÓÈÛfiÙËÙ·˜ ¤¯Ô˘ÌÂ|· – ‚| = |(· – Á) + (Á – ‚)| ≤ |· – Á| + |Á – ‚|.

2. ∞Ó · > ‚ ÙfiÙ · – ‚ > 0 Î·È ¿Ú· |· – ‚| = · – ‚ ÔfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ:

i)

ii)

3. ∂Âȉ‹ |x| ≥ 0 Î·È |y| ≥ 0, ¤¯Ô˘ÌÂ:|x| + |y| ≥ 0

°È· Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ÈÛfiÙËÙ· Ú¤ÂÈ |x| = 0 Î·È |y| = 0, ‰ËÏ·‰‹ x = 0 Î·È y = 0.¢È·ÊÔÚÂÙÈο ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ·ÓÈÛfiÙËÙ·. ∂Ô̤ӈ˜:i) |x| + |y| = 0 ⇔ x = 0 Î·È y = 0.ii) |x| + |y| > 0 ⇔ x ≠ 0 ‹ y ≠ 0.

4. i) ∞fi 0 < · < ‚ ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ

ii) ∞ÚΛ Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ‹, ÈÛÔ‰‡Ó·Ì·, fiÙÈ .

∂Âȉ‹ ·‚ > 0 Ë ·ÓÈÛfiÙËÙ· ·˘Ù‹ ÁÚ¿ÊÂÙ·È ÈÛÔ‰‡Ó·Ì·

·‚ – ·2 < ‚2 – ·‚

⇔ 0 < ‚2 + ·2 – 2·‚

⇔ (· – ‚)2 > 0, Ô˘ ÈÛ¯‡ÂÈ ·ÊÔ‡ · ≠ ‚.

5. ∂›Ó·È |x – 2| < 0,1 ⇔ 1,9 < x < 2,1 (1) Î·È |y – 4| < 0,2 ⇔ 3,8 < y < 4,2 (2)

·‚ – ·

‚ ⋅ ·‚ < ‚

· ·‚ – ·‚ ⇔

1 – ·

‚ < ‚

· – 11 – ·

‚ < 1 – ‚

·

·

‚ < 1 Î·È ‚

· > 1. ∂›Ó·È ‰ËÏ·‰‹ ·

‚ < 1 < ‚

· .

· + ‚ – |· – ‚|

2 = · + ‚ – · + ‚

2 = 2‚

2 = ‚.

· + ‚ + |· – ‚|

2 = · + ‚ + · – ‚

2 = 2·

2 = · ηÈ

2.3. ∞fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ 21

i) ∏ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ƒ1 ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ƒ1 = x + 2y. ∞fi ÙËÓ ·ÓÈÛfiÙËÙ· (2)ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ

7,6 < 2y < 8,4 (3)

¶ÚÔÛı¤ÙÔÓÙ·˜ ηٿ ̤ÏË ÙȘ (1) Î·È (3), ¤¯Ô˘ÌÂ:

1,9 + 7,6 < x + 2y < 2,1 + 8,4 ⇔ 9,5 < ƒ1 < 10,5.

ii) ∏ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ƒ2 ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È ›ÛË Ì ÙËÓ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆ-Ó›Ô˘ ∞µ°¢, ÔfiÙÂ Â›Ó·È ƒ2 = 4x + 2y. ∞fi ÙËÓ ·ÓÈÛfiÙËÙ· (1) ÚÔ·-ÙÂÈ fiÙÈ

7,6 < 4x < 8,4 (4)

¶ÚÔÛı¤ÙÔÓÙ·˜ ηٿ ̤ÏË ÙȘ (4) Î·È (3), ¤¯Ô˘ÌÂ:

7,6 + 7,6 < 4x + 2y < 8,4 + 8,4 ⇔ 15,2 < ƒ2 < 16,8.

iii) ∏ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ L ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Â›Ó·È L = 2x. ∞fi ÙËÓ (1) ÚÔ·ÙÂÈ

2 Ø 1,9 < 2x < 2 Ø 2,1 ⇔ 3,8 < L < 4,2.

¨ 2.4. ƒ›˙˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ∞ã √ª∞¢∞™

1. i)

ii)

iii)

2. i)

ii)

iii)

iv)

3. Œ¯Ô˘ÌÂ

2 – 52 + 3 – 5

2 = 2 – 5 + 3 – 5 = 5 – 2 + 3 – 5 = 1.

x2

4 = |x|

2 .

(x – 1)2 = |x – 1|.

(–20)2 = |–20| = 20.

( – 4)2 = | – 4| = 4 – .

0,00014

= 1

10000

4

= 1

10 , 0,00001

5 = 1

100000

5

= 1

10 .

0,01 = 1

100 = 1

10 , 0,001

3 = 1

1000

3

= 1

10 ,

4 = 22 = 2, 83

= 233 = 2, 16

4 = 244

= 2, 325

= 255 = 2.

100004

= 1044 = 10, 100000

5 = 1055

= 10.

100 = 10, 10003

= 1033 = 10,

∫∂º∞§∞π√ 2: √𠶃∞°ª∞∆π∫√π ∞ƒπ£ª√π22

4.

= (x – 5) – (x + 3) = x – 5 – x – 3 = –8,

Ì ÙËÓ ÚÔ¸fiıÂÛË fiÙÈ x – 5 ≥ 0 Î·È x + 3 ≥ 0, ‰ËÏ·‰‹ ÁÈ· x ≥ 5.

5. i)

ii)

6. i)

ii)

7. i) 1Ô˜ ÙÚfiÔ˜:

2Ô˜ ÙÚfiÔ˜:

ii) 1Ô˜ ÙÚfiÔ˜:

= 2 2465

= 26 ⋅ 2465

= 21065

= 21030 = 2

3.

2 2 ⋅ 23

5

= 2 23 ⋅ 23

5

= 2 2435

= 24/3 1/2 = 22/3 = 22/3 1/2

= 21/3 = 23

.

2 23

= 2 ⋅ 21/3 = 24/3

2 ⋅ 23

= 23 ⋅ 23

= 243 = 2412

= 23

.

= 23

⋅ 32 – 523 = 2

3 ⋅ 9– 5

3 = 2

3 ⋅ 4

3 = 2 ⋅ 4

3 = 8

3 = 2.

23

⋅ 3 + 53

⋅ 3 – 53

= 23

⋅ 3 + 5 3 – 53

= 2 ⋅ 22 – 22 = 2 ⋅ 2 = 2.

2 ⋅ 2 – 2 ⋅ 2 + 2 = 2 ⋅ 2 – 2 2 + 2

= 3 72 – 4 2

2 = 9 ⋅ 7 – 16 ⋅ 2 = 63 – 32 = 31.

= 2 7 + 7 + 4 2 3 7 – 4 2 = 3 7 + 4 2 3 7 – 4 2

= 4 ⋅ 7 + 7 + 2 ⋅ 16 7 ⋅ 9 – 2 ⋅ 16

28 + 7 + 32 63 – 32

= – 2 7 2 = –7 22 = –14.

= 2 2 – 3 2 5 2 + 6 2 – 4 2

= 2 ⋅ 4 – 2 ⋅ 9 2 ⋅ 25 + 2 ⋅ 36 – 2 ⋅ 16

8 – 18 50 + 72 – 32

x – 5 – x + 3 x – 5 + x + 3 = x – 52 – x + 3

2

2.4. ƒ›˙˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ 23

ii) 2Ô˜ ÙÚfiÔ˜:

8. i)

ii)

iii)

9. i)

ii) ªÂ ·Ó¿Ï˘ÛË ÙÔ˘ 216 Û ÚÒÙÔ˘˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ˜ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì 216 = 23 Ø 33

ÔfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ

10. AÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì οı ÎÏ¿ÛÌ· Ì ÙË Û˘˙ËÁ‹ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ·-ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹ ÙÔ˘ ¤¯Ô˘ÌÂ:

i)

ii)

iii)

= 7 + 6 + 2 42 = 13 + 2 42.

7 + 6

7 – 6 =

7 + 6 7 + 6

7 – 6 = 7 + 6

2

8

7 – 5 =

8 7 + 5

7 – 5 = 4 7 + 5 .

4

5 – 3 =

4 5 + 3

5 – 3 5 + 3 =

4 5 + 3

25 – 3 =

4 5 + 3

22 = 10 + 2 3

11 .

= 23 ⋅ 3

4

2 = 2

2 ⋅ 3

4 = 2 ⋅ 3

2 = 18.

216 ⋅ 75

50 = 23 ⋅ 33 ⋅ 25 ⋅ 3

2 ⋅ 25 = 5 23 ⋅ 34

5 2

25 ⋅ 12

75 = 25 ⋅ 4 ⋅ 3

25 ⋅ 3 = 25 ⋅ 2 3

5 3 = 10.

= 55 = 5

2 ⋅ 5 = 25 5.

53 ⋅ 5

3 ⋅ 5

46

= 532 ⋅ 5

13 ⋅ 5

46 = 5

32 + 1

3 + 4

6 = 596 + 2

6 + 4

6 = 5156 = 5

52 =

289

⋅ 256

= 289 ⋅ 2

56 = 2

89 + 5

6 = 21618

+ 1518 = 2

3118 = 2 ⋅ 2

1318 = 2 2

1318

.

334

⋅ 33

= 334 ⋅ 3

13 = 3

34 + 1

3 = 3912

+ 412 = 3

1312 = 3 ⋅ 3

112 = 3 3

12.

= 2 ⋅ 22/35 = 25/35

= 25/3 1/5 = 21/3 = 2

3.

2 2 ⋅ 23

5

= 2 2 ⋅ 21/35

= 2 24/35

= 2 ⋅ 24/3 1/25

∫∂º∞§∞π√ 2: √𠶃∞°ª∞∆π∫√π ∞ƒπ£ª√π24

11. i) ∞Ó ·Ó·Ï‡ÛÔ˘Ì ÙÔ˘˜ 162 Î·È 98 Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì 162 = 2 Ø 34 Î·È 98 = 2 Ø 72 ÔfiÙ ›ӷÈ

ii) ∂›Ó·È 912 + 320 = 912 + (32)10 = 912 + 910 = 910 Ø (92 + 1) = 82 Ø 910.

Î·È 911 + 276 = 911 + (3 Ø 9)6 = 911 + 36Ø 96 = 911 + (32)3

Ø 96

= 911 + 99 = 99(92 + 1) = 82 Ø 99

ÔfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ

µã √ª∞¢∞™

1. i)

ii)

2. i) ∞ÍÈÔÔÈÒÓÙ·˜ ÁÓˆÛÙ¤˜ Ù·˘ÙfiÙËÙ˜ ¤¯Ô˘ÌÂ:

ii) ªÂ ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ ÂÚˆÙ‹Ì·ÙÔ˜ (i) ·›ÚÓÔ˘ÌÂ

3. i) ∂›Ó·È

Ô˘ Â›Ó·È ÚËÙfi˜ ·ÚÈıÌfi˜.

= 2

3 + 3

2 + 2 = 4

6 + 9

6 + 12

6 = 25

6

2

3 + 3

3

2

= 2

3

2

+ 3

2

2

+ 2 2

3 ⋅ 3

2

= 3 + 2 7 – 3 – 2 7 = 3 + 2 7 – 2 7 – 3 = 6.

= 3 + 2 72 – 3 – 2 7

2

37 + 12 7 – 37 – 12 7

3 – 2 72 = 9 + 4 ⋅ 7 – 12 7 = 37 – 12 7.

3 + 2 72 = 9 + 4 ⋅ 7 + 12 7 = 37 + 12 7 ηÈ

= (· – ‚) (· + ‚) + ·‚ (· – ‚)

· – ‚ = · + ‚ + ·‚ .

· · – ‚ ‚

· – ‚ =

· · – ‚ ‚ · + ‚

· – ‚ · + ‚ = ·2 + · ·‚ – ‚ ·‚ – ‚2

· – ‚

3 3 – 2 2

3 – 2 =

3 3 – 2 2 3 + 2

3 – 2 3 + 2 = 9 + 3 6 – 2 6 – 4

3 – 2 = 5 + 6.

912 + 320

911 + 276 = 82 ⋅ 910

82 ⋅ 99 = 9 = 3.

162 + 98

50 – 32 = 2 ⋅ 34 + 2 ⋅ 72

2 ⋅ 25 – 2 ⋅ 16 = 9 2 + 7 2

5 2 – 4 2 = 16 2

2 = 16.

2.4. ƒ›˙˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ 25

ii) ∂›Ó·È

Ô˘ Â›Ó·È ÚËÙfi˜ ·ÚÈıÌfi˜.

4. i) ªÂÙ·ÙÚ¤ÔÓÙ·˜ ÙÔ˘˜ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ¤˜ Û ÚËÙÔ‡˜ ¤¯Ô˘ÌÂ

ii) ∂›Ó·Èñ

ñ

Œ¯Ô˘ÌÂ

5. i) ∞fi ÙÔ ˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ· ¤¯Ô˘ÌÂ

µ°2 = ∞µ2 + ∞°2 = · + ‚, ÔfiÙÂ

ii) ™‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ ÙÚÈÁˆÓÈ΋ ·ÓÈÛfiÙËÙ· ÈÛ¯‡ÂÈ µ° < ∞µ + ∞°

Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ

iii) À„ÒÓÔ˘Ì ÛÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Î·È ¤¯Ô˘ÌÂ

Ô˘ ÈÛ¯‡ÂÈ.

∆Ô “=” ÈÛ¯‡ÂÈ ·Ó Î·È ÌfiÓÔ ·Ó · = 0 ‹ ‚ = 0.

⇔ · + ‚ ≤ · + ‚ + 2 · ‚ ⇔ 0 ≤ 2 ·‚ ,

⇔ · + ‚2 ≤ · + ‚

2

· + ‚ ≤ · + ‚

· + ‚ < · + ‚ .

µ° = · + ‚.

= 7 + 4 3

49 – 48 – 7 – 4 3

49 – 48 = 7 + 4 3 – 7 + 4 3 = 8 3.

1

2 – 32 – 1

2 + 32 = 1

7 – 4 3 – 1

7 + 4 3

2 + 32 = 4 + 4 3 + 3 = 7 + 4 3 ÔfiÙÂ

2 – 32 = 4 – 4 3 + 3 = 7 – 4 3 ηÈ

= 3 5 + 3 + 5 – 5 3

2 = 8

2 = 4.

3

5 – 3 + 5

5 + 3 =

3 5 + 3

5 – 3 +

5 5 – 3

5 – 3

= · + 1

· + 2 = ·

2 + 1 + 2·

· =

· + 12

·

· + 1

·

2

= ·2 + 1

·

2

+ 2 · ⋅ 1

·

∫∂º∞§∞π√ 2: √𠶃∞°ª∞∆π∫√π ∞ƒπ£ª√π26

KEº∞§∞π√ 3

∂•π™ø™∂π™

¨ 3.1. ∂ÍÈÛÒÛÂȘ 1Ô˘ ‚·ıÌÔ‡∞ã √ª∞¢∞™

1. i) 4x – 3(2x – 1) = 7x – 42 ⇔ 4x – 6x + 3 = 7x – 42

⇔ 4x – 6x – 7x = –42 – 3 ⇔ –9x = –45 ⇔ x = 5.ÕÚ·, Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ χÛË, ÙËÓ x = 5.

ii)

⇔ 4(1 – 4x) – 5(x + 1) = x – 4 + 25 ⇔ 4 – 16x – 5x – 5 = x + 21 ⇔ –21x – x = 21 + 1 ⇔ –22x = 22 ⇔ x= –1.

ÕÚ·, Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ χÛË, ÙËÓ x = –1.

iii)

⇔ 30x – 20x = 15x – 12x – 49 ⇔ 30x – 20x – 15x + 12x = – 49

⇔ 7x = –49 ⇔ x = –7.

ÕÚ·, Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ χÛË, ÙËÓ x = –7.

iv) 1,2(x + 1) – 2,5 + 1,5x = 8,6 ⇔ 12(x + 1) – 25 + 15x = 86

⇔ 12x + 12 – 25 + 15x = 86 ⇔ 27x = 99 ⇔ x =

ÕÚ·, Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ χÛË, ÙËÓ x = 11—3

.

2. i) 2(3x – 1) – 3(2x – 1) = 4 ⇔ 6x – 2 – 6x + 3 = 4 ⇔ 0x = 3.

ÕÚ·, Ë Â͛ۈÛË Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙË.

ii)

ÕÚ·, Ë Â͛ۈÛË Â›Ó·È Ù·˘ÙfiÙËÙ·.

⇔ 6x – 5 + x = –5 + 7x ⇔ 0x = 0.

2x – 5 – x

3 = –

5

3 + 7x

3 ⇔ 3 ⋅ 2x – 3 ⋅ 5 – x

3 = 3 ⋅ –5

3 + 3 ⋅ 7x

3

99

27 = 11

3 .

x

2 – x

3 = x

4 – x

5 – 49

60 ⇔ 60 ⋅ x

2 – 60 ⋅ x

3 = 60 ⋅ x

4 – 60 ⋅ x

5 – 60 ⋅ 49

60

⇔ 20 1 – 4x

5 – 20 x + 1

4 = 20 x – 4

20 + 20 5

4

1 – 4x

5 – x + 1

4 = x – 4

20 + 5

4

3. i) ñ ∞Ó Ï – 1 ≠ 0 ⇔ Ï ≠ 1, ÙfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ χÛË ÙËÓ

ñ ∞Ó Ï = 1, ÙfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË Á›ÓÂÙ·È 0x = 0 Î·È Â›Ó·È Ù·˘ÙfiÙËÙ·.

ii) ñ ∞Ó Ï – 2 ≠ 0 ⇔ Ï ≠ 2, ÙfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ χÛË ÙËÓ

ñ ∞Ó Ï = 2, ÙfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË Á›ÓÂÙ·È 0x = 2 Î·È Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙË.

iii) Ï(Ï – 1)x = Ï –1ñ ∞Ó Ï(Ï – 1) ≠ 0 ⇔ Ï ≠ 0 Î·È Ï ≠ 1, ÙfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ χ-

ÛË ÙËÓ

ñ ∞Ó Ï = 0 Ë Â͛ۈÛË Á›ÓÂÙ·È 0x = –1 Î·È Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙË.ñ ∞Ó Ï = 1 Ë Â͛ۈÛË Á›ÓÂÙ·È 0x = 0 Î·È Â›Ó·È Ù·˘ÙfiÙËÙ·.

iv) Ï(Ï – 1)x = Ï2 + Ï ⇔ Ï(Ï – 1)x = Ï(Ï + 1).ñ ∞Ó Ï(Ï – 1) ≠ 0 ⇔ Ï ≠ 0 Î·È Ï ≠ 1, ÙfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ χ-

ÛË ÙËÓ

ñ ∞Ó Ï = 0, ÙfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË Á›ÓÂÙ·È 0x = 0 Î·È Â›Ó·È Ù·˘ÙfiÙËÙ·.ñ ∞Ó Ï = 1, ÙfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË Á›ÓÂÙ·È 0x = 2 Î·È Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙË.

4. ŒÛÙˆ ∞ª = x, ÙfiÙ ¢ª = 5 – x, ÔfiÙÂ

i) ∏ ÈÛfiÙËÙ· ∂1 + ∂2 = ∂3 Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·ÌË Ì ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ·

·fi ÙËÓ ÔÔ›· ÚÔ·ÙÂÈ Ë Â͛ۈÛË

∂Ô̤ӈ˜ Ë ı¤ÛË ÙÔ˘ ª ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ∞ª = 2,5, ›ӷȉËÏ·‰‹ ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ ∞¢.

⇔ 30 – 6x + 10x = 40 ⇔ 4x = 10 ⇔x = 5

2 = 2,5.

3(5 – x)

2 + 5x

2 = (5 + 3)5

4 ⇔ 4 ⋅ 15 – 3x

2 + 4 ⋅ 5x

2 = 4 ⋅ 40

4

∂1 + ∂2 =(∞µ°¢)

2

∂1 =3(5 – x)

2 Î·È ∂2 =

x ⋅ 52

.

x = Ï(Ï + 1)

Ï(Ï – 1) = Ï + 1

Ï – 1 .

x = Ï – 1

Ï(Ï – 1) = 1

Ï .

x = Ï

Ï – 2 .

x = Ï – 1

Ï – 1 = 1.

∫∂º∞§∞π√ 3: ∂•π™ø™∂π™28

ii) ∏ ÈÛfiÙËÙ· ∂1 = ∂2 Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ì·ÌË Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË

∂Ô̤ӈ˜ Ë ı¤ÛË ÙÔ˘ ª ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙÔ Ì‹ÎÔ˜

5. ∞Ó ÙÔ ÔÛfi ÙˆÓ x ¢ÚÒ Î·Ù·Ù¤ıËΠÚÔ˜ 5%, ÙfiÙ ÙÔ ˘fiÏÔÈÔ ÔÛfi ÙˆÓ(4000 – x) ¢ÚÒ Î·Ù·Ù¤ıËΠÚÔ˜ 3%.

– ∆Ô ÔÛfi ÙˆÓ x ¢ÚÒ ¤‰ˆÛ ÂÙ‹ÛÈÔ ÙfiÎÔ Â˘ÚÒ

– ∆Ô ÔÛfi ÙˆÓ (4000 – x) ¢ÚÒ ¤‰ˆÛ ÂÙ‹ÛÈÔ ÙfiÎÔ Â˘ÚÒ.

∏ Â͛ۈÛË Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙÔ Úfi‚ÏËÌ· ›ӷÈ

⇔ 5x + 12.000 – 3x = 17.500 ⇔ 2x = 17.500 – 12.000 ⇔⇔ 2x = 5.500 ⇔ x = 2.750 ¢ÚÒ.

∂Ô̤ӈ˜ Ù· 2.750 ¢ÚÒ ÙÔΛÛÙËÎ·Ó ÚÔ˜ 5% Î·È Ù· ˘fiÏÔÈ· 1.250 ¢-ÚÒ ÙÔΛÛÙËÎ·Ó ÚÔ˜ 3%.

6. i) v = v0 + ·t ⇔ ·t = v – v0 ⇔ , ·ÊÔ‡ · ≠ 0.

ii)

∞fi ÙËÓ ÙÂÏÂ˘Ù·›· ÈÛfiÙËÙ· ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ R2 – R ≠ 0, ·ÊÔ‡ ÙÔ

∂Ô̤ӈ˜ ¤¯Ô˘ÌÂ

7. i) x2(x – 4) + 2x(x – 4) + (x – 4) = 0 ⇔ (x – 4) (x2 + 2x + 1) = 0

⇔ (x – 4) (x + 1)2 = 0 ⇔ x – 4 = 0 ‹ x + 1 = 0 ⇔ x = 4 ‹ x = –1.

∂Ô̤ӈ˜ ÔÈ Ï‡ÛÂȘ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Â›Ó·È ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› 4 Î·È –1.

ii) (x – 2)2 – (2 – x) (4 + x) = 0 ⇔ (x – 2)2 + (x – 2) (x + 4) = 0

⇔ (x – 2) [(x – 2) + (x + 4)] = 0 ⇔ (x – 2) (2x + 2) = 0

⇔ x – 2 = 0 ‹ 2x + 2 = 0 ⇔ x = 2 ‹ x = –1.

∂Ô̤ӈ˜ ÔÈ Ï‡ÛÂȘ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Â›Ó·È ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› 2 Î·È –1.

R1 =

R2 R

R2 – R

.

1

R1

≠ 0.

1

R = 1

R1

+ 1

R2

⇔ 1

R – 1

R2

= 1

R1

⇔ 1

R1

=R

2 – R

R2 R

t =v – v0

·

5

100 x + 3

100 (4000 – x) = 175 ⇔ 5x + 3(4000 – x) = 100 ⋅ 175

3

100 (4000 – x)

5

100 x

∞ª = 15

8 .

3(5 – x)

2 = 5x

2 ⇔ 15 – 3x = 5x ⇔ 15 = 8x ⇔ x = 15

8 .

3.1. ∂ÍÈÛÒÛÂȘ 1Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ 29

8. i) x(x2 – 1) – x3 + x2 = 0

⇔ x3 – x – x3 + x2 = 0

⇔ x(x – 1) = 0 ⇔ x = 0 ‹ x = 1.

∂Ô̤ӈ˜ ÔÈ Ï‡ÛÂȘ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Â›Ó·È ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› 0 Î·È 1.

ii) (x + 1)2 + x2 – 1 = 0

⇔ x2 + 2x + 1 + x2 – 1 = 0

⇔ 2x2 + 2x = 0 ⇔ 2x(x + 1) ⇔ x = –1 ‹ x = 0.

∂Ô̤ӈ˜ ÔÈ Ï‡ÛÂȘ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Â›Ó·È ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› –1 Î·È 0.

9. i) x(x – 2)2 = x2 – 4x + 4

⇔ x(x – 2)2 (x – 2)2 = 0

⇔ (x – 2)2(x – 1) = 0

⇔ x – 2 = 0 ‹ x – 1 = 0 ⇔ x = 2 ‹ x = 1.

∂Ô̤ӈ˜ ÔÈ Ï‡ÛÂȘ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Â›Ó·È ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› 2 Î·È 1.

ii) (x2 – 4)(x – 1) = (x2 – 1)(x – 2)

⇔ (x – 2)(x + 2)(x – 1) – (x – 1)(x + 1)(x – 2) = 0

⇔ (x – 1)(x – 2)[(x + 2) – (x + 1)] = 0

⇔ (x – 1)(x – 2) = 0 ⇔ x = 1 ‹ x = 2

∂Ô̤ӈ˜ ÔÈ Ï‡ÛÂȘ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Â›Ó·È ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› 1 Î·È 2.

10. i) x3 – 2x2 – x + 2 = 0

⇔ x2(x – 2) – (x – 2) = 0

⇔ (x – 2)(x2 – 1) = 0

⇔ (x – 2)(x – 1)(x + 1) = 0

⇔ x – 2 = 0 ‹ x – 1 = 0 ‹ x + 1 = 0

⇔ x = 2 ‹ x = 1 ‹ x = –1.

∂Ô̤ӈ˜ ÔÈ Ï‡ÛÂȘ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Â›Ó·È ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› 2, 1 Î·È –1.

ii) x3 – 2x2 – (2x – 1)(x – 2) = 0

⇔ x2(x – 2) – (2x – 1)(x – 2) = 0

⇔ (x – 2)(x2 – 2x + 1) = 0

⇔ (x – 2)(x – 1)2 = 0

⇔ x – 2 = 0 ‹ x – 1 = 0

⇔ x = 2 ‹ x = 1.

∂Ô̤ӈ˜ ÔÈ Ï‡ÛÂȘ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Â›Ó·È ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› 1 Î·È 2.

∫∂º∞§∞π√ 3: ∂•π™ø™∂π™30

11. i)

∏ Â͛ۈÛË ·˘Ù‹ ÔÚ›˙ÂÙ·È ÁÈ· οı x ≠ 1 Î·È x ≠ 0. ªÂ ·˘ÙÔ‡˜ ÙÔ˘˜ÂÚÈÔÚÈÛÌÔ‡˜ ¤¯Ô˘ÌÂ:

⇔ x = –1 (·ÊÔ‡ x ≠ 1).

∂Ô̤ӈ˜ Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ χÛË ÙËÓ x = –1.

ii)

∏ Â͛ۈÛË ·˘Ù‹ ÔÚ›˙ÂÙ·È ÁÈ· οı x ≠ 1 Î·È x ≠ –1. ªÂ ·˘ÙÔ‡˜ ÙÔ˘˜ÂÚÈÔÚÈÛÌÔ‡˜ ¤¯Ô˘ÌÂ:

⇔ x – 1 + 2 = 0 ⇔ x + 1 = 0

⇔ x = –1,

Ô˘ ·ÔÚÚ›ÙÂÙ·È ÏfiÁˆ ÙˆÓ ÂÚÈÔÚÈÛÌÒÓ.

∂Ô̤ӈ˜ Î·È Ë ·Ú¯È΋ Â͛ۈÛË Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙË.

12. i) ∏ Â͛ۈÛË ·˘Ù‹ ÔÚ›˙ÂÙ·È ÁÈ· οı x ≠ 1 Î·È x ≠ –1. ªÂ ·˘ÙÔ‡˜ ÙÔ˘ÂÚÈÔÚÈÛÌÔ‡˜ ¤¯Ô˘ÌÂ:

⇔ x + 1 + x – 1 = 2

⇔ 2x = 2 ⇔ x = 1, Ô˘ ·ÔÚÚ›ÙÂÙ·È, ·ÊÔ‡ x ≠ 1.

∂Ô̤ӈ˜ Ë Â͛ۈÛË Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙË.

ii) ∏ Â͛ۈÛË ·˘Ù‹ ÔÚ›˙ÂÙ·È ÁÈ· οı x ≠ 0 Î·È x ≠ –2. ªÂ ·˘ÙÔ‡˜ ÙÔ˘˜ÂÚÈÔÚÈÛÌÔ‡˜ ¤¯Ô˘ÌÂ:

⇔ 3x – 2x – 4 = x – 4 ⇔ 0x = 0.

⇔ x(x + 2) 3

x + 2 – x(x + 2) 2

x = x(x + 2) x – 4

x(x + 2)

3

x + 2 – 2

x = x – 4

x2 + 2x

⇔ (x – 1) (x + 1) 1

x – 1 + (x – 1) (x + 1) 1

x + 1 = (x – 1) (x + 1) 2

x2 – 1

1

x – 1 + 1

x + 1 = 2

x2 – 1

(x + 1)

(x – 1) (x + 1) + 2

(x – 1)2 = 0 ⇔ 1

x – 1 + 2

(x – 1)2 = 0

x + 1

x2 – 1 + 2

x2 – 2x + 1 = 0 ⇔ x + 1

(x – 1) (x + 1) + 2

(x – 1)2 = 0.

x

x – 1 = 1

x(x – 1) ⇔ x2(x – 1) = x – 1 ⇔x2 = 1

x

x – 1 = 1

x2 – x ⇔ x

x – 1 = 1

x(x – 1)

3.1. ∂ÍÈÛÒÛÂȘ 1Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ 31

∏ ÙÂÏÂ˘Ù·›· Â͛ۈÛË Â›Ó·È Ù·˘ÙfiÙËÙ·. ∞Ó Ï¿‚Ô˘Ì ˘fi„Ë ÙÔ˘˜ Â-ÚÈÔÚÈÛÌÔ‡˜ ·˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Ë ·Ú¯È΋ Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ˆ˜ χÛË Î¿ıÂÚ·ÁÌ·ÙÈÎfi ÂÎÙfi˜ ·fi ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 0 Î·È –2.

iii) ∏ Â͛ۈÛË ·˘Ù‹ ÔÚ›˙ÂÙ·È ÁÈ· οı x ≠ 2 Î·È x ≠ –2. ªÂ ·˘ÙÔ‡˜ ÙÔ˘˜ÂÚÈÔÚÈÛÌÔ‡˜ ¤¯Ô˘ÌÂ:

⇔ x – 2 = x ⇔ 0x = 2, Ô˘ Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙË.

iv) ∏ Â͛ۈÛË ·˘Ù‹ ÔÚ›˙ÂÙ·È ÁÈ· οı x ≠ –1 Î·È x ≠ 1. ªÂ ÙÔ˘˜ ÂÚÈÔÚÈ-ÛÌÔ‡˜ ·˘ÙÔ‡˜ ¤¯Ô˘ÌÂ:

Ô˘ ·ÏËı‡ÂÈ ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x, Ì x ≠ ±1.

13. ŒÛÙˆ x – 1, x, x + 1 ÙÚÂȘ ‰È·‰Ô¯ÈÎÔ› ·Î¤Ú·ÈÔÈ. ∑ËÙԇ̠·Î¤Ú·ÈÔ x Ù¤-ÙÔÈÔÓ ÒÛÙ ӷ ÈÛ¯‡ÂÈ

(x – 1) + x + (x + 1) = (x – 1) x(x + 1)

⇔ 3x = x(x2 – 1)

⇔ x(3 – x2 + 1) = 0

⇔ x(4 – x2) = 0

⇔ x = 0 ‹ x2 = 4

⇔ x = 0 ‹ x = 2 ‹ x = –2.∂Ô̤ӈ˜ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÙÚÂȘ ÙÚÈ¿‰Â˜ Ù¤ÙÔÈˆÓ ‰È·‰Ô¯ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ, ÔÈ ÂÍ‹˜:

(–1, 0, 1), (1, 2, 3) Î·È (–3, –2, –1).

14. i) |2x – 3| = 5 ⇔ 2x – 3 = 5 ‹ 2x – 3 = –5

⇔ 2x = 8 ‹ 2x = –2 ⇔ x = 4 ‹ x = –1.

∂Ô̤ӈ˜ ÔÈ Ï‡ÛÂȘ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Â›Ó·È ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› 4 Î·È –1.

ii) |2x – 4| = |x – 1| ⇔ 2x – 4 = x – 1 ‹ 2x – 4 = –x + 1

⇔ x = 3 ‹ 3x = 5 ⇔ x = 3 ‹

iii) ∂Âȉ‹ ÙÔ ÚÒÙÔ Ì¤ÏÔ˜ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ |x – 2| = 2x – 1 Â›Ó·È ÌË ·ÚÓË-ÙÈÎfi, ÁÈ· Ó· ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË Ë Â͛ۈÛË ·˘Ù‹, Ú¤ÂÈ Î·È ÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ Ì¤ÏÔ˜Ó· Â›Ó·È ÌË ·ÚÓËÙÈÎfi. ¢ËÏ·‰‹, Ú¤ÂÈ

x = 5

3 .

⇔ x

x + 1 = x

x + 1 ,

x2 – x

x2 – 1 = x

x + 1 ⇔ x(x – 1)

(x + 1)(x – 1) = x

x + 1

1

x + 2 = x

x2 – 4

⇔ 1

x + 2 = x

(x + 2)(x – 2)

∫∂º∞§∞π√ 3: ∂•π™ø™∂π™32

2x – 1 ≥ 0 (1)M ÙÔÓ ÂÚÈÔÚÈÛÌfi ·˘Ùfi ¤¯Ô˘ÌÂ:

|x – 2| = 2x – 1 ⇔ x – 2 = 2x – 1 ‹ x – 2 = 1 –2x

⇔ x = –1 ‹ x = 1.

∞fi ÙȘ ·Ú·¿Óˆ χÛÂȘ ‰ÂÎÙ‹ Â›Ó·È ÌfiÓÔ Ë x = 1 Ô˘ ÈηÓÔÔÈ›ÙÔÓ ÂÚÈÔÚÈÛÌfi (1).

iv) √ÌÔ›ˆ˜, ÁÈ· ÙËÓ Â͛ۈÛË |2x – 1| = x – 2, Ú¤ÂÈ

x – 2 ≥ 0 (2)M ÙÔÓ ÂÚÈÔÚÈÛÌfi ·˘Ùfi ¤¯Ô˘ÌÂ:

|2x – 1| = x – 2 ⇔ 2x – 1 = x – 2 ‹ 2x – 1 = 2 – x

⇔ x = –1 ‹ x = 1.

∞fi ÙȘ ·Ú·¿Óˆ χÛÂȘ η̛· ‰ÂÓ Â›Ó·È ‰ÂÎÙ‹, ·ÊÔ‡ η̛· ‰ÂÓ Â·-ÏËı‡ÂÈ ÙÔÓ ÂÚÈÔÚÈÛÌfi (2). ÕÚ·, Ë Â͛ۈÛË Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙË.

15. i) Œ¯Ô˘ÌÂ:

⇔ 5|x| + 20 – 3|x| – 12 = 10

⇔ 2|x| = 2 ⇔ |x| = 1 ⇔ x = ±1.

∂Ô̤ӈ˜ ÔÈ Ï‡ÛÂȘ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Â›Ó·È ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› –1 Î·È 1.

ii)

⇔ 4|x| + 2 – 3|x| + 3 = 3 ⇔ |x| = –2, Ô˘ Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙË.

16. i) H Â͛ۈÛË ÔÚ›˙ÂÙ·È ÁÈ· x ≠ –3.

ªÂ ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÂÚÈÔÚÈÛÌfi ¤¯Ô˘ÌÂ:

⇔ 3 – x = 4(x + 3) ‹ 3 – x = –4(x + 3)

⇔ 3 – x = 4x + 12 ‹ 3 – x = –4x – 12

⇔ 5x = –9 ‹ 3x = –15 ⇔ x = ‹ x = –5.

∂Ô̤ӈ˜ ÔÈ Ï‡ÛÂȘ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Â›Ó·È ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› –5 Î·È .– 9

5

– 9

5

3 – x

3 + x = 4 ⇔ |3 – x| = 4 ⋅ |3 + x|

3 – x

3 + x = 4

⇔ 6 ⋅ 2|x| + 1

3 – 6 ⋅ |x| – 1

2 = 6 ⋅ 1

2

2|x| + 1

3 – |x| – 1

2 = 1

2

|x| + 4

3 – |x| + 4

5 = 2

3 ⇔ 15 ⋅ |x| + 4

3 – 15 ⋅ |x| + 4

5 = 15 ⋅ 2

3

3.1. ∂ÍÈÛÒÛÂȘ 1Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ 33

ii) |x – 1| |x – 2| = |x – 1| ⇔ |x – 1| (|x – 2| – 1) = 0

⇔ |x – 1| = 0 ‹ |x – 2| = 1

⇔ x = 1 ‹ x – 2 = 1 ‹ x – 2 = –1

⇔ x = 1 ‹ x = 3 ‹ x = 1.

∂Ô̤ӈ˜ ÔÈ Ï‡ÛÂȘ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Â›Ó·È ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› 1 Î·È 3.

µã √ª∞¢∞™

1. i) (x + ·)2 – (x – ‚)2 = 2·(· + ‚)

⇔ x2 + 2·x + ·2 – (x2 – 2‚x + ‚2) = 2·2 + 2·‚

⇔ x2 + 2·x + ·2 – x2 + 2‚x – ‚2 = 2·2 + 2·‚

⇔ 2(· + ‚)x = ·2 + 2·‚ + ‚2

⇔ 2(· + ‚)x = (· + ‚)2.

ñ ∞Ó · + ‚ ≠ 0 Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ χÛË ÙËÓ

ñ ∞Ó · + ‚ = 0 Ë Â͛ۈÛË ·›ÚÓÂÈ ÙË ÌÔÚÊ‹ 0x = 0 Î·È Â›Ó·È Ù·˘ÙfiÙËÙ·.

ii) °È· · ≠ 0 Î·È ‚ ≠ 0 ¤¯Ô˘ÌÂ:

·(x – ·) = ‚(x – ‚) ⇔ ·x – ·2 = ‚x – ‚2

⇔ ·x – ‚x = ·2 – ‚2 ⇔ (· – ‚)x = (· – ‚)(· + ‚).

ñ ∞Ó · – ‚ ≠ 0, ÙfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ χÛË ÙËÓ

ñ ∞Ó · – ‚ = 0 ⇔ · = ‚, ÙfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË ·›ÚÓÂÈ ÙË ÌÔÚÊ‹ 0x = 0, Ôfi-ÙÂ Â›Ó·È Ù·˘ÙfiÙËÙ·.

2. i) °È· · ≠ 0 Î·È ‚ ≠ 0 ¤¯Ô˘ÌÂ:

ñ ∞Ó ‚ – · ≠ 0 ⇔ ‚ ≠ ·, ÙfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ χÛË ÙËÓ

ñ ∞Ó ‚ – · = 0 ⇔ ‚ = · ÙfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË ·›ÚÓÂÈ ÙË ÌÔÚÊ‹ 0x = ·2 Î·È Â›Ó·È

·‰‡Ó·ÙË ÁÈ·Ù› · ≠ 0.

∂Ô̤ӈ˜ Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË ÌfiÓÔ ·Ó · ≠ 0, ‚ ≠ 0 Î·È · ≠ ‚.

x = ·‚

‚ – · .

x

· – x

‚ = 1 ⇔ ‚x – ·x

·‚ = 1 ⇔ (‚ – ·)x = ·‚.

x = (· – ‚)(· + ‚)

· – ‚ = · + ‚.

x – ·

‚ = x – ‚

· ⇔

x =(· + ‚)2

2(· + ‚) = · + ‚

2 .

∫∂º∞§∞π√ 3: ∂•π™ø™∂π™34

3. i) ™Ù· 200 ml ‰È¿Ï˘Ì· ÂÚȤ¯ÔÓÙ·È 30 ml ηı·Úfi ÔÈÓfiÓÂ˘Ì·. ∞Ó ÚÔ-Ûı¤ÛÔ˘Ì x ml ηı·Úfi ÔÈÓfiÓÂ˘Ì· ÙfiÙ ÙÔ ‰È¿Ï˘Ì· Ô˘ ı· ÚÔ·„ÂÈı· Â›Ó·È (200 + x) ml Î·È ı· ÂÚȤ¯ÂÈ (30 + x) ml ηı·Úfi ÔÈÓfiÓÂ˘Ì·ÔfiÙ ÚÔ·ÙÂÈ Ë Â͛ۈÛË

∂Ô̤ӈ˜ Ô Ê·ÚÌ·ÎÔÔÈfi˜ Ú¤ÂÈ Ó· ÚÔÛı¤ÛÂÈ 50 ml ηı·Úfi ÔÈÓfi-ÓÂ˘Ì·.

4. ŒÛÙˆ fiÙÈ x ÒÚ˜ ÌÂÙ¿ ÙËÓ ÚÔÛ¤Ú·ÛË Ù· ‰‡Ô ·˘ÙÔΛÓËÙ· ı· ·¤¯Ô˘Ó ÌÂ-ٷ͇ ÙÔ˘˜ 1 km. ∆Ô ‰È¿ÛÙËÌ· Ô˘ ‰È·Ó‡ÂÈ ÙÔ ∞ ÛÙȘ x ÒÚ˜ Â›Ó·È 100x ÂÓÒÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ‰È¿ÛÙËÌ· ÁÈ· ÙÔ µ Â›Ó·È 120x. ŒÙÛÈ ¤¯Ô˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË

120x – 100x = 1 ⇔ 20x = 1 ⇔ x = 1—20

ÒÚ˜, ÔfiÙ x = 1—20

Ø 60 = 3 ÏÂÙ¿.

√fiÙ ٷ ·˘ÙÔΛÓËÙ· ı· ·¤¯Ô˘Ó 1km ÙÚ›· ÏÂÙ¿ ÌÂÙ¿ ÙËÓ ÚÔÛ¤Ú·ÛË.

5. ∏ Â͛ۈÛË ·˘Ù‹ Â›Ó·È ÔÚÈṲ̂ÓË ÁÈ· x ≠ · Î·È x ≠ –·. ªÂ ·˘ÙÔ‡˜ ÙÔ˘˜ Â-ÚÈÔÚÈÛÌÔ‡˜ ¤¯Ô˘ÌÂ:

⇔ (x + ·)2 = x2 ⇔ x + · = x ‹ x + · = –x

⇔ 0x = · ‹ 2x = –·.

ñ ∞Ó · = 0, ÙfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ˆ˜ χÛË Î¿ı ·ÚÈıÌfi x ≠ 0.

ñ ∞Ó · ≠ 0, ÙfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ χÛË ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi .

6. ∏ Â͛ۈÛË ·˘Ù‹ Â›Ó·È ÔÚÈṲ̂ÓË ÁÈ· x ≠ 2. ªÂ ·˘Ùfi ÙÔÓ ÂÚÈÔÚÈÛÌfi ¤¯Ô˘ÌÂ:

x3 – 8 = x3 – 2x2 + 4x – 8

⇔ 2x2 – 4x = 0 ⇔ 2x(x – 2) = 0

⇔ x = 0 ‹ x = 2.

∞fi ÙȘ ÙÈ̤˜ ·˘Ù¤˜ ‰ÂÎÙ‹ Â›Ó·È ÌfiÓÔ Ë x = 0

∂Ô̤ӈ˜ Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ χÛË, ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi x = 0.

x3 – 8

x – 2 = x2 + 4 ⇔

x = –·

2

x + ·

x – · = x2

x2 – ·2 ⇔ x + ·

x – · = x2

(x + ·)(x – ·)

⇔ x = 3400

68 ⇔ x = 50.

⇔ 3000 + 100x = 6400 + 32x ⇔ 68x = 3400 ⇔

30 + x

200 + x = 32

100 ⇔ 100(30 + x) = 32(200 + x) ⇔

3.1. ∂ÍÈÛÒÛÂȘ 1Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ 35

7. |2|x| – 1| = 3 ⇔ 2|x| – 1 = 3 ‹ 2|x| – 1 = –3

⇔ 2|x| = 4 ‹ 2|x| = –2.

∏ ‰Â‡ÙÂÚË Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙË ÔfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ

2|x| = 4 ⇔ |x| = 2 ⇔ x = –2 ‹ x = 2.

∂Ô̤ӈ˜ ÔÈ Ï‡ÛÂȘ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Â›Ó·È ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› –2 Î·È 2.

8.

⇔ |x – 1| = |3x – 5|

⇔ x – 1 = 3x – 5 ‹ x – 1 = –3x + 5

⇔ 2x = 4 ‹ 4x = 6 ⇔ x = 2 ‹ x =

¨ 3.2. ∏ Â͛ۈÛË xÓ = ·∞ã √ª∞¢∞™

1. i) x3 – 125 = 0 ⇔ x3 = 53 ⇔ x = 5.

ii) x5 – 243 = ⇔ x5 = 35 ⇔ x = 3.

iii) x7 – 1 = 0 ⇔ x7 = 1 ⇔ x = 1.

2. i) x3 + 125 = 0 ⇔ x3 = (–5)3 ⇔ x = –5.

ii) x5 + 243 = 0 ⇔ x5 = (–3)5 ⇔ x = –3.

iii) x7 + 1 = 0 ⇔ x7 = (–1)7 ⇔ x = –1.

3. i) x2 – 64 = 0 ⇔ x2 = 82 ⇔ x = –8 ‹ x = 8.

ii) x4 – 81 = 0 ⇔ x = ‹ x = – ⇔ x = 3 ‹ x = –3.

iii) x6 – 64 = 0 ⇔ x6 = 64 ⇔ x = ‹ x = – ⇔ x = 2 ‹ x = –2.

4. i) x5 – 8x2 = 0 ⇔ x2(x3 – 8) = 0 ⇔ x2 = 0 ‹ x3 = 8 ⇔ x = 0 ‹ x = 2.

ÕÚ· χÛÂȘ Â›Ó·È ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› 0 Î·È 2.

ii) x4 + x = 0 ⇔ x(x3 + 1) = 0 ⇔ x = 0 ‹ x3 = –1 ⇔ x = 0 ‹ x = –1.

ÕÚ· χÛÂȘ Â›Ó·È ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› 0 Î·È –1.

646

646

814

814

3

2 .

x2 – 2x + 1 = |3x – 5| ⇔ x – 1 2 = |3x – 5|

∫∂º∞§∞π√ 3: ∂•π™ø™∂π™36

iii) x5 + 16x = 0 ⇔ x(x4 + 16) = 0 ⇔ x = 0 ‹ x4 = –16 ⇔ x = 0

·ÊÔ‡ Ë x4 = –16 Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙË.

ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ χÛË, ÙËÓ x = 0.

5. °È· ÙÔ x ¤¯Ô˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË

x Ø x Ø 3x = 81, ÌÂ x > 0 ⇔ 3x3 = 81 ⇔ x3 = 27 ⇔ x = 3.

ÕÚ·, ÔÈ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÂȤ‰Ô˘ Â›Ó·È 3m, 3m Î·È 9m.

6. i) (x + 1)3 = 64 ⇔ x + 1 = 4 ⇔ x = 3.

ii) 1 + 125x3 = 0 ⇔ (5x)3 = –1 ⇔ 5x = –1 ⇔ x = –1—5

.

iii) (x – 1)4 – 27(x – 1) = 0 ⇔ (x – 1)[(x – 1)3 – 27] = 0

⇔ x – 1 = 0 ‹ (x – 1)3 = 27

⇔ x = 1 ‹ x – 1 = 3

⇔ x = 1 ‹ x = 4.

¨ 3.3. ∂ÍÈÛÒÛÂȘ 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡∞ã √ª∞¢∞™

1. i) ¢ = (–5)2 – 4 Ø 2 Ø 3 = 1, ÔfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ‰‡Ô Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ Ú›˙˜

ii) ¢ = (–6)2 – 4 Ø 9 = 36 – 36 = 0, ÔfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ÌÈ· ‰ÈÏ‹ Ú›˙· ÙËÓ

iii) ¢ = 42 – 4 Ø 3 Ø 2 = 16 – 24 = –8 < 0, ÔfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ú·Á-Ì·ÙÈΤ˜ Ú›˙˜.

2. i) x2 – 1,69 = 0 ⇔ x2 = 1,69 ⇔ x = 1,3 ‹ x = –1,3

ii) 0,5x2 – x = 0 ⇔ x(0,5x – 1) = 0 ⇔ x = 0 ‹ 0,5x = 1 ⇔ x = 0 ‹ x = 2.

iii) 3x2 + 27 = 0 ⇔ 3(x2 + 9) = 0 ⇔ x2 = –9, Ô˘ Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙË.

3. i) Œ¯Ô˘Ì ¢ = 4 + 4Ï(Ï – 2) = 4 + 4Ï2 – 8Ï = 4(Ï2 – 2Ï + 1) = 4(Ï – 1)2 ≥ 0ÁÈ· οıÂ Ï ∈ �* Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ Ú›˙˜.

x = 6

2 = 3.

x1 =5 + 1

2 ⋅ 2 = 6

4 = 3

2  Î·È x2 =

5 – 1

2 ⋅ 2 = 4

4 = 1

3.3. ∂ÍÈÛÒÛÂȘ 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ 37

ii) Œ¯Ô˘Ì ¢ = (·+ ‚)2 – 4·‚ = ·2 + ‚2 + 2·‚ – 4·‚ = (· – ‚)2 ≥ 0 ÁÈ· fiÏ·Ù· ·, ‚ ∈ � Ì · ≠ 0, Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ Ú›-˙˜.

4. ∂Âȉ‹

¢ = 4 – 4Ì2 = 0 ⇔ Ì2 = 1 ⇔ Ì = 1 ‹ Ì = –1,

ÔÈ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ Ì ÁÈ· ÙȘ Ôԛ˜ Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ‰ÈÏ‹ Ú›˙· Â›Ó·È ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› 1Î·È –1.

5. Œ¯Ô˘Ì ¢ = 4(· + ‚)2 – 4 Ø 2(·2 + ‚2) = 4·2 + 4‚2 + 8·‚ – 8·2 – 8‚2

= –4·2 – 4‚2 + 8·‚ = –4(·2 + ‚2 – 2·‚)

= –4(· – ‚)2 < 0 Î·È Ë Â͛ۈÛË Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙË ÛÙÔ �. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ Â›Ó·È · = ‚ ≠ 0, ÈÛ¯‡ÂÈ ¢ = 0 Î·È Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ‰È-Ï‹ Ú›˙·.∞Ó Â›Ó·È · = ‚ = 0, ÙfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË ·›ÚÓÂÈ ÙË ÌÔÚÊ‹ 2 = 0 Î·È Â›Ó·È ·‰‡-Ó·ÙË.

6. i) S = 2 + 3 = 5 Î·È ƒ = 2 Ø 3 = 6, ÔfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË Â›Ó·È Ë x2 – 5x + 6 = 0.

ii) ÔfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË Â›Ó·È Ë:

iii) ηÈ

ÔfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË Â›Ó·È Ë:

x2 – 10x + 1 = 0.

7. i) ∂›Ó·È S = 2 Î·È ƒ = –15. √È ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Â›Ó·È ÔÈ Ú›˙˜ Ù˘ ÂÍ›-ÛˆÛ˘ x2 – 2x – 15 = 0, Ë ÔÔ›· ¤¯ÂÈ ¢ = 4 – 4(–15) = 64. ∂Ô̤ӈ˜ ÔÈ˙ËÙÔ˘ÌÂÓÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ›ӷÈ

ii) ∂›Ó·È S = 9 Î·È ƒ = 10. √È ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Â›Ó·È ÔÈ Ú›˙˜ Ù˘ Â͛ۈ-Û˘ x2 – 9x + 10 = 0, Ë ÔÔ›· ¤¯ÂÈ ¢ = 81 – 4 Ø 10 = 41. ∂Ô̤ӈ˜ ÔÈ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ›ӷÈ

x1 =9 + 41

2 Î·È x2 =

9 – 41

2 .

x1 =2 + 8

2 = 5 Î·È x2 =

2 – 8

2 = –3.

P = 5 – 2 6 ⋅ 5 + 2 6 = 25 – 4 ⋅ 6 = 1

S = 5 – 2 6 + 5 + 2 6 = 10

x2 – 3

2 x + 1

2 = 0 ⇔ 2x2 – 3x + 1 = 0.

S = 1 + 1

2 = 3

2 Î·È ƒ = 1 ⋅ 1

2 = 1

2 ,

∫∂º∞§∞π√ 3: ∂•π™ø™∂π™38

8. 1Ô˜ ÙÚfiÔ˜:

i) °È· Ó· χÛÔ˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË ·ÚΛ Ó· ‚Úԇ̠‰‡Ô ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ Ó·

¤¯Ô˘Ó ¿ıÚÔÈÛÌ· Î·È ÁÈÓfiÌÂÓÔ √È ·ÚÈıÌÔ›

·˘ÙÔ› Â›Ó·È ÚÔÊ·ÓÒ˜ ÔÈ Î·È Ô˘ Â›Ó·È Î·È ÔÈ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓ˜ Ú›˙˜

Ù˘ Â͛ۈÛ˘.

2Ô˜ ÙÚfiÔ˜:

∂›Ó·È

∂Ô̤ӈ˜ Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ‰‡Ô Ú›˙˜, ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜

ii) ∂›Ó·È ∂Ô̤ӈ˜ Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ

‰‡Ô Ú›˙˜, ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜

9. 1Ô˜ ÙÚfiÔ˜:

x2 + ·2 = ‚2 – 2·x ⇔ x2 + 2·x + ·2 – ‚2 = 0 ⇔ (x + ·)2 – ‚2 = 0

⇔ (x + · + ‚)(x + · – ‚) = 0 ⇔ x = –· – ‚ ‹ x = ‚ – ·.

2Ô˜ ÙÚfiÔ˜:

∏ Â͛ۈÛË ÁÚ¿ÊÂÙ·È x2 + 2·x + ·2 – ‚2 = 0.

∂›Ó·È ¢ = 4·2 – 4(·2 – ‚2) = 4‚2, ÔfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ Ú›˙˜ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜

10. ŒÛÙˆ x Î·È y ÔÈ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘. ∆fiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ2x + 2y = 68 ⇔ x + y = 34 ⇔ y = 34 – x (1)∞fi ÙÔ ˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ· ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ

x2 + y2 = 262, ÔfiÙ ÏfiÁˆ Ù˘ (1) ¤¯Ô˘ÌÂ

x2 + (34 – x)2 = 262 ⇔ x2 + 342 – 68x + x2 = 262

⇔ 2x2 – 68x + 342 – 262 = 0

x1 =–2· – 2‚

2 = –(· + ‚) Î·È x2 =

–2· + 2‚

2 = ‚ – ·.

x1 =1 – 2 + 2 + 1

2 = 1 Î·È x2 =

1 – 2 – 2 – 1

2 = – 2.

¢ = 2 – 12 + 4 2 = 2 + 1

2 > 0.

x2 =5 + 3 – 5 – 3

2

2 = 5 + 3 – 5 + 3

2 = 3.

x1 =5 + 3 + 5 – 3

2

2 = 5 + 3 + 5 – 3

2 = 5 ηÈ

= 52 + 3

2 – 2 5 ⋅ 3 = 5 – 3

2 > 0.

¢ = 5 + 32 – 4 15 = 5

2 + 3

2 + 2 5 ⋅ 3 – 4 5 ⋅ 3 =

35 +

15 = 5 ⋅ 3 .5 + 3

3.3. ∂ÍÈÛÒÛÂȘ 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ 39

x

y

26m

⇔ 2x2 – 68x + (34 – 26)(34 + 26) = 0 ⇔⇔ 2x2 – 68x + 8 Ø 60 = 0 ⇔ x2 – 34x + 4 Ø 60 = 0.

∂›Ó·È ¢ = 342 – 4 Ø 4 Ø 60 = 196. ∂Ô̤ӈ˜ Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ‰‡Ô Ú›˙˜ ÙȘ

√È Ú›˙˜ ·˘Ù¤˜ ÏfiÁˆ Î·È Ù˘ (1) Â›Ó·È ÔÈ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓ˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆ-Ó›Ô˘.

11. i) ∏ Â͛ۈÛË ÁÚ¿ÊÂÙ·È |x|2 – 7|x| + 12 = 0. £¤ÙÔ˘Ì |x| = ˆ ÔfiÙÂ Ë ÂÍ›-ÛˆÛË Á›ÓÂÙ·È ˆ2 – 7ˆ + 12 = 0 Î·È ¤¯ÂÈ Ú›˙˜ ˆ1 = 3 Î·È ˆ2 = 4 Ô˘ ›-Ó·È ‰ÂÎÙ¤˜ Î·È ÔÈ ‰‡Ô, ÔfiÙ ¤¯Ô˘Ì |x| = 3 ‹ |x| = 4, Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈx = 3 ‹ x = –3 ‹ x = 4 ‹ x = –4. ∂Ô̤ӈ˜ Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ Ï‡ÛÂȘ ÙÔ˘˜·ÚÈıÌÔ‡˜ 3, –3, 4 Î·È –4.

ii) £¤ÙÔ˘Ì |x| = ˆ, ÔfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ

x2 + 2|x| – 35 = 0 ⇔ ˆ2 + 2ˆ –35 = 0.

∂›Ó·È ¢ = 144.∏ Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ Ú›˙˜ 5 Î·È –7. ∞fi ·˘Ù¤˜ ‰ÂÎÙ‹ Â›Ó·È ÌfiÓÔ Ë ıÂÙÈ΋,·ÊÔ‡ ˆ = |x| ≥ 0. ∂Ô̤ӈ˜ |x| = 5, Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ x = 5 ‹ x = –5.

iii) £¤ÙÔ˘Ì |x| = ˆ, ÔfiÙ ¤¯Ô˘Ì x2 – 8|x| + 12 = 0 ⇔ ˆ2 – 8ˆ + 12 = 0,·ÊÔ‡ x2 = |x|2. ∏ Â͛ۈÛË ·˘Ù‹ ¤¯ÂÈ Ú›˙˜ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 6 Î·È 2, Ô˘Â›Ó·È ‰ÂÎÙ¤˜ Î·È ÔÈ ‰‡Ô. ∂Ô̤ӈ˜ |x| = 6 ‹ |x| = 2 Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈx = 6 ‹ x = –6 ‹ x = 2 ‹ x = –2.

12. £¤ÙÔ˘Ì |x – 1| = ˆ, ÔfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ

(x – 1)2 + 4|x – 1| – 5 = 0 ⇔ ˆ2 + 4ˆ – 5 = 0, ·ÊÔ‡ (x – 1)2 = |x – 1|2.

∏ Â͛ۈÛË ·˘Ù‹ ¤¯ÂÈ Ú›˙˜ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ –5 Î·È 1. ¢ÂÎÙ‹ Â›Ó·È ÌfiÓÔ ËıÂÙÈ΋ ˆ = 1 ·ÊÔ‡ ˆ = |x – 1| ≥ 0. ∂Ô̤ӈ˜,

|x – 1| = 1 ⇔ x – 1 = 1 ‹ x – 1 = –1 ⇔ x = 2 ‹ x = 0.

ÕÚ·, Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ‰‡Ô Ú›˙˜, ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 0 Î·È 2.

13. ∏ Â͛ۈÛË ÔÚ›˙ÂÙ·È ÁÈ· x ≠ 0. £¤ÙÔ˘Ì x +1—x = ˆ ÔfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË ÁÚ¿-

ÊÂÙ·È ˆ2 – 5ˆ + 6 = 0. ∏ Â͛ۈÛË ·˘Ù‹ ¤¯ÂÈ Ú›˙˜ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 2 Î·È 3,ÔfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ

∏ ÚÒÙË Â͛ۈÛË ÁÚ¿ÊÂÙ·È

Î·È ¤¯ÂÈ ÙÔ 1 ‰ÈÏ‹ Ú›˙·.

x + 1

x = 2 ⇔ x2 + 1 = 2x ⇔ x – 1 2 = 0

x + 1

x = 2 ‹ x + 1

x = 3.

x1 =34 + 14

2 = 24 Î·È x2 =

34 – 14

2 = 10.

∫∂º∞§∞π√ 3: ∂•π™ø™∂π™40

∏ ‰Â‡ÙÂÚË ÁÚ¿ÊÂÙ·È

Î·È ¤¯ÂÈ ˆ˜ Ú›˙˜ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡˜

∂Ô̤ӈ˜ Ë ·Ú¯È΋ Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ˆ˜ Ú›˙˜ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜

14. i) ∏ Â͛ۈÛË ÔÚ›˙ÂÙ·È ÁÈ· x ≠ –1 Î·È x ≠ 0. ªÂ ·˘ÙÔ‡˜ ÙÔ˘˜ ÂÚÈÔÚÈÛÌÔ‡˜¤¯Ô˘ÌÂ:

⇔ 6x2 + 6(x + 1)2 = 13x(x + 1)

⇔ 6x2 + 6x2 + 12x + 6 = 13x2 + 13x

⇔ x2 + x – 6 = 0

Ë ÔÔ›· ¤¯ÂÈ Ú›˙˜ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 2 Î·È –3.

ii) ∏ Â͛ۈÛË ÔÚ›˙ÂÙ·È ÁÈ· x ≠ 0 Î·È x ≠ 2. ªÂ ·˘ÙÔ‡˜ ÙÔ˘˜ ÂÚÈÔÚÈÛÌÔ‡˜¤¯Ô˘ÌÂ:

⇔ 2x – 4 + 2x2 – 3x + 2 – x2 = 0

⇔ x2 – x – 2 = 0.

∏ ÙÂÏÂ˘Ù·›· Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ Ú›˙˜ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 2 Î·È –1, ÔfiÙ ÏfiÁˆÙˆÓ ÂÚÈÔÚÈÛÌÒÓ ‰ÂÎÙ‹ Â›Ó·È ÌfiÓÔ Ë x = –1.

15. i) ∞Ó ı¤ÛÔ˘Ì x2 = y Ë Â͛ۈÛË Á›ÓÂÙ·È y2 + 6y – 40 = 0. ∞˘Ù‹ ¤¯ÂÈ Ú›˙˜

ÙȘ y1 = 4 Î·È y2 = –10. ∂Âȉ‹ y = x2 ≥ 0, ‰ÂÎÙ‹ Â›Ó·È ÌfiÓÔ Ë y1 = 4,

ÔfiÙ ¤¯Ô˘Ì x2 = 4 ⇔ x = 2 ‹ x = –2. ∂Ô̤ӈ˜ ÔÈ Ú›˙˜ Ù˘ ·Ú¯È΋˜

Â͛ۈÛ˘ Â›Ó·È ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› –2 Î·È 2.

⇔ x(x – 2) 2

x + x(x – 2) 2x – 3

x – 2 + x(x – 2) 2 – x2

x(x – 2) = 0

2

x + 2x – 3

x – 2 + 2 – x2

x(x – 2) = 0

⇔ 6x(x + 1) x

x + 1 + 6x(x + 1) x + 1

x = 6x(x + 1) 13

6

x

x + 1 + x + 1

x = 13

6

1, 3 – 5

2 Î·È 3 + 5

2 .

3 – 5

2 Î·È 3 + 5

2 .

x + 1

x = 3 ⇔ x2 + 1 = 3x ⇔ x2 – 3x + 1 = 0

3.3. ∂ÍÈÛÒÛÂȘ 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ 41

ii) ∞Ó ı¤ÛÔ˘Ì x2 = y Ë Â͛ۈÛË Á›ÓÂÙ·È 4y2 + 11y – 3 = 0. ∞˘Ù‹ ¤¯ÂÈ Ú›-

˙˜ ÙȘ y1 = –3 Î·È y2 = 1—4

. ∂Âȉ‹ y = x2 ≥ 0 ‰ÂÎÙ‹ Â›Ó·È ÌfiÓÔ Ë y2 =

1—4

, ÔfiÙ ¤¯Ô˘Ì x2 = 1—4

⇔ x = 1—2

‹ x = – 1—2

. ∂Ô̤ӈ˜ ÔÈ Ú›˙˜ Ù˘

·Ú¯È΋˜ Â͛ۈÛ˘ Â›Ó·È ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› – 1—2

Î·È 1—2

.

iii) ∞Ó ı¤ÛÔ˘Ì x2 = y Ë Â͛ۈÛË Á›ÓÂÙ·È 2y2 + 7y + 3 = 0. ∞˘Ù‹ ¤¯ÂÈ Ú›-

˙˜ ÙȘ y1 = –3 Î·È y2 = – 1—2

. ∂Âȉ‹ y = x2 ≥ 0 η̛· ·fi ·˘Ù¤˜ ‰ÂÓ Â›-

Ó·È ‰ÂÎÙ‹. ∂Ô̤ӈ˜ Ë ·Ú¯È΋ Â͛ۈÛË Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙË.

™¯fiÏÈÔ: ∂›Ó·È ÚÔÊ·Ó¤˜ fiÙÈ Ë Â͛ۈÛË Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙË, ·ÊÔ‡

2x4 + 7x2 + 3 > 0 ÁÈ· οı x ∈ �.

µã √ª∞¢∞™

1. i) ¢ = (–2·3)2 – 4·2(·4 – 1) = 4·6 – 4·6 + 4·2 = 4·2.

ii) √È Ú›˙˜ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ ›ӷÈ

2. i) ∂›Ó·È

ii) √È Ú›˙˜ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ ›ӷÈ

3. i) ∏ Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ‰ÈÏ‹ Ú›˙· ·Ó Î·È ÌfiÓÔ ·Ó ¢ = 0.

∂›Ó·È ¢ = (· – 9)2 – 4 Ø 2(·2 + 3· + 4) = ·2 – 18· + 81 – 8·2 – 24· – 32

= –7·2 – 42· + 49, ÔfiÙÂ

x2 =5 – 2 – 2 – 1

2 = 4 – 2 2

2 = 2 – 2 .

x1 =5 – 2 + 2 + 1

2

2 = 5 – 2 + 2 + 1

2 = 3 ηÈ

= 22 + 2 2 + 1 = 2 + 1

2.

¢ = 5 – 22 – 4 6 – 3 2 = 25 – 10 2 + 2

2 – 24 + 12 2 =

x2 =2·3 – 2·

2·2 = 2·(·2 – 1)

2·2 = ·2 – 1

· .

x1 =2·3 + 2·

2·2 = 2·(·2 + 1)

2·2 = ·2 + 1

· ηÈ

∫∂º∞§∞π√ 3: ∂•π™ø™∂π™42

¢ = 0 ⇔ 7·2 + 42· – 49 = 0 ⇔ ·2 + 6· – 7 = 0 ⇔ · = –7 ‹ · = 1.

∂Ô̤ӈ˜ ÁÈ· · = –7 ‹ · = 1 Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ‰ÈÏ‹ Ú›˙·.

4. ∞Ó ÙÔ Ú Â›Ó·È Ú›˙· Ù˘ Â͛ۈÛ˘, ÙfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ ·Ú2 + ‚Ú + Á = 0.

∂›Ó·È Ú ≠ 0, ·ÊÔ‡ Á ≠ 0, ÔfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ

·Ú2 + ‚Ú + Á = 0

Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ 1—Ú Â›Ó·È Ú›˙· Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Áx2 + ‚x + · = 0.

5. i) 1Ô˜ ÙÚfiÔ˜:

∏ Â͛ۈÛË Â›Ó·È ÔÚÈṲ̂ÓË ÁÈ· x ≠ 0. ªÂ ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÂÚÈÔÚÈÛÌfi ¤¯Ô˘ÌÂ

⇔ x – · = 0 ‹ ·x + 1 = 0 ⇔ x = · ‹ x = –1—·

.

2Ô˜ ÙÚfiÔ˜:∏ Â͛ۈÛË Â›Ó·È ÔÚÈṲ̂ÓË ÁÈ· x ≠ 0. ªÂ ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÂÚÈÔÚÈÛÌfi ¤¯Ô˘ÌÂ

⇔ ·x2 –· + (1 – ·2)x = 0 ⇔ ·x2 – (·2 – 1)x – · = 0.

∂›Ó·È ¢ = (·2 – 1)2 – 4·(–·) = ·4 – 2·2 + 1 + 4·2 = ·4 + 2·2 + 1 = (·2 + 1)2

ÔfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ‰‡Ô Ú›˙˜ ÙȘ

ii) 1Ô˜ ÙÚfiÔ˜:

∏ Â͛ۈÛË Â›Ó·È ÔÚÈṲ̂ÓË ÁÈ· x ≠ 0 ªÂ ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÂÚÈÔÚÈÛÌfi ¤¯Ô˘ÌÂ

⇔ 1

· (x – ‚) = · x – ‚

‚x ⇔ (x – ‚) 1

· – ·

‚x = 0

x

· + ·

x = ·

‚ + ‚

· ⇔ x

· – ‚

· = ·

‚ – ·

x ⇔ 1

· (x – ‚) = · 1

‚ – 1

x

x1 =·2 – 1 + ·2 + 1

2· = · Î·È x2 =

·2 – 1 – ·2 – 1

2· = – 1

· .

x + 1

· = · + 1

x ⇔ x – 1

x + 1

· – · = 0 ⇔ x2 – 1 + 1 – ·2

· x = 0

⇔ (x – ·) ·x + 1

·x = 0

⇔ x – · + x – ·

·x = 0 ⇔ (x – ·) 1 + 1

·x = 0

x + 1

· = · + 1

x ⇔ x – · + 1

· – 1

x = 0

⇔ · + ‚ 1

Ú + Á 1

Ú2 = 0 ⇔ Á 1

Ú

2

+ ‚ 1

Ú + · = 0.

3.3. ∂ÍÈÛÒÛÂȘ 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ 43

∂Ô̤ӈ˜ Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ Ú›˙˜ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ‚ Î·È ·2

—‚

.

2Ô˜ ÙÚfiÔ˜:

∏ Â͛ۈÛË Â›Ó·È ÔÚÈṲ̂ÓË ÁÈ· x ≠ 0. ªÂ ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÂÚÈÔÚÈÛÌfi ¤¯Ô˘ÌÂ

⇔ ‚x2 + ·2‚ = ·2x + ‚2x ⇔ ‚x2 – ‚2x + ·2‚ – ·2x = 0

⇔ ‚x(x – ‚) + ·2(‚ – x) = 0 ⇔ (x – ‚) (‚x – ·2) = 0

⇔ x = ‚ ‹ ‚x = ·2 ⇔ x = ‚ ‹ x = ·2

—‚

.

∂Ô̤ӈ˜ Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ Ú›˙˜ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ‚ Î·È ·2

—‚

.

3Ô˜ ÙÚfiÔ˜:

∏ Â͛ۈÛË Â›Ó·È ÔÚÈṲ̂ÓË ÁÈ· x ≠ 0. ªÂ ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÂÚÈÔÚÈÛÌfi ¤¯Ô˘ÌÂ

⇔ ‚x2 + ·2‚ = ·2x + ‚2x ⇔ ‚x2 – (·2 + ‚2)x + ·2‚ = 0.

∂›Ó·È

¢ = (·2 + ‚2)2 – 4·2‚2 = ·4 + ‚4 + 2·2‚2 – 4·2‚2

= ·4 + ‚4 – 2·2‚2 = (·2 – ‚2)2

ñ ∞Ó · ≠ ±‚ Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ‰‡Ô Ú›˙˜ ÙȘ

ñ ∞Ó · = ‚ ‹ · = –‚ ÙfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ‰ÈÏ‹ Ú›˙·, ÙËÓ

6. i) Œ¯Ô˘Ì¢ = 4Ï2 – 4 (–8) = 4Ï2 + 32 > 0 ÁÈ· οıÂ Ï ∈ �. ∞˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Ë ÂÍ›-ÛˆÛË ¤¯ÂÈ Ú›˙˜ Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ ÁÈ· οıÂ Ï ∈ �.

x = ·2 + ‚2

2‚ = 2·2

2‚ = ·2

‚ =

±‚ 2

‚ = ‚.

x2 =·2 + ‚2 – ·2 + ‚2

2‚ = 2‚2

2‚ = ‚.

x1 =·2 + ‚2 + ·2 – ‚2

2‚ = 2·2

2‚ = ·2

‚ ηÈ

x

· + ·

x = ·

‚ + ‚

· ⇔ ·‚x x

· + ·‚x ·

x = ·‚x ·

‚ + ·‚x ‚

· ⇔

x

· + ·

x = ·

‚ + ‚

· ⇔ ·‚x x

· + ·‚x ·

x = ·‚x ·

‚ + ·‚x ‚

· ⇔

⇔ x = ‚ ‹ x = ·2

‚ .

⇔ x = ‚ ‹ ·

‚x = 1

· ⇔ x = ‚ ‹ ‚x = ·2

∫∂º∞§∞π√ 3: ∂•π™ø™∂π™44

ii) ŒÛÙˆ x1, x2 ÔÈ Ú›˙˜ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Ì x2 = x12. ∞fi ÙÔ˘˜ Ù‡Ô˘˜ Vieta

¤¯Ô˘ÌÂñ x1 + x2 = –2Ï ⇔ x1 + x1

2 = –2Ï Î·È

ñ x1 Ø x2 = –8 ⇔ x13 = –8 ⇔ x1 = –2, ÔfiÙÂ x2 = (–2)2 = 4.

∆fiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ

–2 + 4 = –2Ï ⇔ 2Ï = –2 ⇔ Ï = –1.

7. ŒÛÙˆ x – 1, x, x + 1 ÙÚÂȘ ‰È·‰Ô¯ÈÎÔ› ·Î¤Ú·ÈÔÈ. √È ·ÚÈıÌÔ› ·˘ÙÔ› ·ÔÙÂ-ÏÔ‡Ó Ï¢ڤ˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ·Ó Î·È ÌfiÓÔ ·Ó ÈÛ¯‡ÂÈ

(x + 1)2 = x2 + (x – 1)2 ⇔ x2 + 2x + 1 = x2 + x2 – 2x + 1

⇔ x2 – 4x = 0 ⇔ x(x – 4) = 0

⇔ x = 4, ·ÊÔ‡ x ≠ 0 ˆ˜ ÏÂ˘Ú¿ ÙÚÈÁÒÓÔ˘.

∏ χÛË x = 4 Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Â›Ó·È ÌÔÓ·‰È΋. ∂Ô̤ӈ˜ ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· ÌfiÓÔÙÚÈ¿‰· ‰È·‰Ô¯ÈÎÒÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ Ô˘ Â›Ó·È Ì‹ÎË Ï¢ÚÒÓ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ÙÚÈÁÒ-ÓÔ˘. √È ·Î¤Ú·ÈÔÈ ·˘ÙÔ› Â›Ó·È ÔÈ 3, 4 Î·È 5.

8. ∆Ô ÂÌ‚·‰fiÓ ∂1 ÙÔ˘ ÛÙ·˘ÚÔ‡ ÚÔ·ÙÂÈ·fi ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙˆÓ ‰‡ÔÏ¢ÎÒÓ ÏˆÚ›‰ˆÓ Ù˘ ÛËÌ·›·˜ ·fi ÙÔÔÔ›Ô fï˜ Ú¤ÂÈ Ó· ·Ê·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ÙÔÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÎÔÈÓÔ‡ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ (√ªπ∑)ÏÂ˘Ú¿˜ d. ∂›Ó·È ‰ËÏ·‰‹

∂1 = 3 Ø d + 4 Ø d – d2 = 7d – d2

ŒÛÙˆ ∂2 ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ˘fiÏÔÈÔ˘ ̤-ÚÔ˘˜ Ù˘ ÛËÌ·›·˜. £· ÈÛ¯‡ÂÈ ∂1 = ∂2 ·ÓÎ·È ÌfiÓÔ ·Ó ÙÔ ∂1 Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ ÌÈÛfi ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ ÔÏfiÎÏËÚ˘ Ù˘ ÛËÌ·›-·˜. ∂Ô̤ӈ˜ ¤¯Ô˘ÌÂ

∂1 = ∂2 ⇔ 7d – d2 = 3 Ø 4—2

⇔ d2 – 7d + 6 = 0 ⇔ d = 1 ‹ d = 6.

ŸÌˆ˜ ÁÈ· ÙÔ d ¤¯Ô˘Ì ÙÔÓ ÂÚÈÔÚÈÛÌfi 0 < d < 3, ÔfiÙ d = 1.

9. ∞Ó ÙÔ Ì˯¿ÓËÌ· ∞ ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È x ÒÚ˜ ÁÈ· Ó· ÙÂÏÂÈÒÛÂÈ ÙÔ ¤ÚÁÔ, fiÙ·Ó ÂÚÁ¿-˙ÂÙ·È ÌfiÓÔ ÙÔ˘, ÙfiÙ ÙÔ µ ı· ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È x + 12 ÒÚ˜ ÁÈ· ÙÔ ›‰ÈÔ ¤ÚÁÔ. ™Â

Ì›· ÒÚ· ÙÔ ∞ ÂÎÙÂÏ› ÙfiÙ ÙÔ 1—x ̤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ¤ÚÁÔ˘ ÂÓÒ ÙÔ µ ÂÎÙÂÏ› ÙÔ 1

—x + 12

̤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ¤ÚÁÔ˘. ∞Ó Ù· ‰‡Ô Ì˯·Ó‹Ì·Ù· ÂÚÁ·ÛÙÔ‡Ó Ì·˙› ÁÈ· 8

ÒÚ˜, ÙfiÙ ÙÔ ∞ ÂÎÙÂÏ› ÙÔ 8 1—x

= 8—x

̤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ¤ÚÁÔ˘, ÂÓÒ ÙÔ µ ÂÎÙÂÏ› ÙÔ

̤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ¤ÚÁÔ˘. ∞Ó ÚÔÛı¤ÛÔ˘Ì ٷ ‰‡Ô ·˘Ù¿ ̤ÚË 8 ⋅ 1

x + 12 = 8

x + 12

3.3. ∂ÍÈÛÒÛÂȘ 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ 45

ÙÔ˘ ¤ÚÁÔ˘ ı· ¤¯Ô˘Ì ÔÏfiÎÏËÚÔ ÙÔ ¤ÚÁÔ ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ 1 ¤ÚÁÔ. ŒÙÛÈ ¤¯Ô˘ÌÂÙËÓ Â͛ۈÛË ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜

⇔ 8(x + 12) + 8x = x(x + 12)

⇔ 8x + 96 + 8x = x2 + 12x ⇔ x2 – 4x – 96 = 0.

∂›Ó·È ¢ = 16 – 4(–96) = 400, ÔfiÙÂ

∂›Ó·È ‰ËÏ·‰‹ x = 12, ·ÊÔ‡ x > 0. ∂Ô̤ӈ˜ ÙÔ Ì˯¿ÓËÌ· ∞ ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È 12ÒÚ˜ Á· Ó· ÙÂÏÂÈÒÛÂÈ ÙÔ ¤ÚÁÔ ÌfiÓÔ ÙÔ˘, ÂÓÒ ÙÔ µ ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È 24 ÒÚ˜.

10. √ ·ÚÈıÌfi˜ 1 Â›Ó·È Ú›˙· ·Ó Î·È ÌfiÓÔ ·Ó ·ÏËı‡ÂÈ ÙËÓ Â͛ۈÛË ‰ËÏ·‰‹·Ó Î·È ÌfiÓÔ ·Ó ÈÛ¯‡ÂÈ

14 – 10 Ø 12 + · = 0 ⇔ · = 9.

°È· · = 9 Ë Â͛ۈÛË Á›ÓÂÙ·È

x4 – 10x2 + 9 = 0.

∞Ó ı¤ÛÔ˘Ì x2 = y Ë Â͛ۈÛË Á›ÓÂÙ·È

y2 – 10y + 9 = 0.

∞˘Ù‹ ¤¯ÂÈ Ú›˙˜ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 9 Î·È 1 ÔfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ

x2 = 9 ‹ x2 = 1 ⇔ x = 3 ‹ x = –3 ‹ x = 1 ‹ x = –1.∂Ô̤ӈ˜ Ë ·Ú¯È΋ Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ Ú›˙˜ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 3, –3, 1, –1.

x = 4 + 20

2 = 12 ‹ x = 4 – 20

2 = –8.

8

x + 8

x + 12 = 1

∫∂º∞§∞π√ 3: ∂•π™ø™∂π™46

KEº∞§∞π√ 4

∞¡π™ø™∂π™

¨ 4.1. ∞ÓÈÛÒÛÂȘ 1Ô˘ ‚·ıÌÔ‡∞ã √ª∞¢∞™

1. i)

⇔ 6x – 6 + 6x + 9 < 2x ⇔ 6x + 6x – 2x < 6 – 9

⇔ 10x < –3 ⇔ x < –3—10

.

ii)

⇔ 2x – 24 + 2x + 3 > 4x ⇔ 2x + 2x – 4x > 24 – 3 ⇔ 0x > 21 ·‰‡Ó·ÙË.

iii)

⇔ 5x – 4x – x < 10 – 2 – 4

⇔ 0x < 4 Ô˘ ·ÏËı‡ÂÈ ÁÈ· οı x ∈ �.

2. ñ 3x – 1 < x + 5 ⇔ 3x – x < 1 + 5 ⇔ 2x < 6 ⇔ x < 3.

ñ 2 –x

—2

≤ x +1—2

⇔ 4 – x ≤ 2x + 1 ⇔ –3x ≤–3 ⇔ x ≥ 1.

ÕÚ· 1 ≤ x < 3.

3. ñ

ñ

ÕÚ· ‰ÂÓ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ x ÁÈ· ÙȘ Ôԛ˜ Û˘Ó·ÏËıÂ‡Ô˘Ó ÔÈ ·ÓÈÛÒÛÂȘ.

x – 1

3 ≤ x

3 – 1 ⇔ 3x – 1 ≤ x – 3 ⇔ 3x – x ≤ 1 – 3 ⇔ 2x ≤ –2 ⇔ x ≤ –1.

x – 1

2 > x

2 + 1 ⇔ 2x – 1 > x + 2 ⇔ 2x – x > 1 + 2 ⇔ x > 3.

x – 2

2 + 1 – 2x

5 < x

10 – 2

5 ⇔ 5x – 10 + 2 – 4x < x – 4

x – 12

2 + x

2 + 3

4 > x ⇔ 2(x – 12) + 2x + 3 > 4x

x – 1

2 + 2x + 3

4 < x

6 ⇔ 6(x – 1) + 3(2x + 3) < 2x

4. ñ

ñ

√È ·ÓÈÛÒÛÂȘ Û˘Ó·ÏËıÂ‡Ô˘Ó ÁÈ· x ∈ (–1—7

,7—3

). √È ·Î¤Ú·È˜ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ xÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· ·˘Ùfi Â›Ó·È ÔÈ 0, 1, 2.

5. i) |x| < 3 ⇔ –3 < x < 3. ÕÚ· x ∈ (–3, 3).

ii) |x – 1| ≤ 4 ⇔ –4 ≤ x – 1 ≤ 4 ⇔ 1 – 4 ≤ x ≤ 1 + 4

⇔ –3 ≤ x ≤ 5. ÕÚ· x ∈ [–3, 5].

iii) |2x + 1| < 5 ⇔ –5 < 2x + 1< 5 ⇔ – 5 –1 < 2x < 5 – 1

⇔ –6 < 2x < 4 ⇔ –3 < x < 2. ÕÚ· x ∈ (–3, 2).

6. i) |x| ≥ 3 ⇔ x ≤ –3 ‹ x ≥ 3. ÕÚ· x ∈ (–∞, –3] ∪ [3, +∞).

ii) |x – 1| > 4 ⇔ x – 1 < –4 ‹ x – 1 > 4 ⇔ x < –3 ‹ x > 5.

ÕÚ· x ∈ (–∞, –3) ∪ (5, +∞).

iii) |2x + 1| ≥ 5 ⇔ 2x + 1 ≤ –5 ‹ 2x + 1 ≥ 5 ⇔ 2x ≤ –6 ‹ 2x ≥ 4

⇔ x ≤ –3 ‹ x ≥ 2. ÕÚ· x ∈ (–∞, –3] ∪ [2, +∞).

7. i) ∞fi ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi Ù˘ ·fiÏ˘Ù˘ ÙÈÌ‹˜ ¤¯Ô˘Ì |·| = · ⇔ · ≥ 0.

∂Ô̤ӈ˜ |2x – 6| = 2x – 6 ⇔ 2x – 6 ≥ 0 ⇔ 2x ≥ 6 ⇔ x ≥ 3.

ii) |3x – 1| = 1 – 3x ⇔ 3x – 1 ≤ 0 ⇔ 3x ≤ 1 ⇔ x ≤ 1—3

.

8. i)

⇔ 3|x – 1| – 12 + 10 < 2|x – 1| ⇔ |x – 1| < 2

⇔ –2 < x – 1 < 2 ⇔ –1 < x< 3. ÕÚ· x ∈ (–1, 3).

|x – 1| – 4

2 + 5

3 < |x – 1|

3 ⇔ 3 |x – 1| – 4 + 10 < 2|x – 1| ⇔

⇔ 2x + x < 8 – 1 ⇔ 3x < 7 ⇔ x < 7

3 .

x – 4 + x + 1

2 < 0 ⇔ 2x – 8 + x + 1 < 0 ⇔

⇔ 7x > –1 ⇔ x > – 1

7 .

2x – x – 1

8 > x ⇔ 16x – x + 1 > 8x ⇔ 16x – x – 8x > –1

∫∂º∞§∞π√ 4: ∞¡π™ø™∂π™48

ii)

⇔ 3|x| + 3 – 4|x| > 2 – 2|x|

⇔ 3|x| – 4|x| + 2|x| > 2 – 3

⇔ |x| > –1 Ô˘ ·ÏËı‡ÂÈ ÁÈ· οı x ∈ �.

9. |x – 3| ≤ 5

⇔ –5 ≤ x – 3 ≤ 5 ⇔ 3 – 5 ≤ x ≤ 5 + 3 ⇔ –2 ≤ x ≤ 8.

ÕÚ· x ∈ [–2, 8].

10. ∆Ô Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ‰È·ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ (– 7, 3) Â›Ó·È ÙÔ –7 + 3—2

= –2.

Œ¯Ô˘Ì x ∈ (–7, 3) ⇔ –7 < x < 3 ⇔ –7 – (–2) < x – (–2) < 3 – (–2)

⇔ –7 + 2 < x + 2 < 3 + 2

⇔ –5 < x + 2 < 5 ⇔ | x + 2| < 5.

11. 41 ≤ 9—5

C + 32 ≤ 50 ⇔ 41 – 32 ≤ 9—5

C ≤ 50 – 32

⇔ 9 ≤ 9—5

C ≤ 18 ⇔ 5 ≤ C ≤ 10.

µã √ª∞¢∞™

1. i) 3 ≤ 4x – 1 ≤ 6 ⇔ 3 ≤ 4x – 1 Î·È 4x – 1 ≤ 6. ∑ËÙ¿Ì ÂÔ̤ӈ˜ ÙȘ ÙÈ̤˜ÙÔ˘ x ÁÈ· ÙȘ Ôԛ˜ Û˘Ó·ÏËıÂ‡Ô˘Ó ÔÈ ·ÓÈÛÒÛÂȘ 3 ≤ 4x – 1 Î·È 4x – 1 ≤ 6.

ñ 3 ≤ 4x – 1 ⇔ 4 ≤ 4x ⇔ 4x ≥ 4 ⇔ x ≥ 1.

ñ 4x – 1 ≤ 6 ⇔ 4x ≤ 7 ⇔ x ≤ 7—4

.

ÕÚ· x ∈ [1, 7—4

].

ii) –4 ≤ 2 – 3x ≤ –2 ⇔ –4 ≤ 2 – 3x Î·È 2 –3x ≤ –2.

ñ –4 ≤ 2 – 3x ⇔ 3x ≤ 6 ⇔ x ≤ 2.

ñ 2 – 3x ≤ –2 ⇔ –3x ≤ –4 ⇔ x ≥ 4—3

.

ÕÚ· x ∈ [ 4—3

, 2].

x2 – 6x + 9 ≤ 5 ⇔ (x – 3)2 ≤ 5 ⇔

|x| + 1

2 – 2|x|

3 > 1 – |x|

3 ⇔ 3 |x| + 1 – 4|x| > 2(1 – |x|)

4.1. ∞ÓÈÛÒÛÂȘ 1Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ 49

2. i) 2 ≤ |x| ≤ 4 ⇔ 2 ≤ |x| Î·È |x| ≤ 4.

ñ 2 ≤ |x| ⇔ |x| ≥ 2 ⇔ x ≤ –2 ‹ x ≥ 2.

ñ |x| ≤ 4 ⇔ –4 ≤ x ≤ 4.

ÕÚ· x ∈ [–4, –2] ∪ [2, 4].

ii) 2 ≤ |x – 5| ≤ 4 ⇔ 2 ≤ |x – 5| Î·È |x – 5| ≤ 4.

ñ 2 ≤ |x – 5| ⇔ |x – 5| ≥ 2 ⇔ x – 5 ≤ –2 ‹ x – 5 ≥ 2 ⇔ x ≤ 3 ‹ x ≥ 7.

ñ |x – 5| ≤ 4 ⇔ –4 ≤ x – 5 ≤ 4 ⇔ 5 – 4 ≤ x ≤ 5 + 4 ⇔ 1 ≤ x ≤ 9.

ÕÚ· x ∈ [1, 3] ∪ [7, 9].

3. i) √ ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙÔ Ì¤ÛÔ ª ÙÔ˘ ∞µ Â›Ó·È Ô:

ii) ∞Ó ƒ Â›Ó·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ xãx Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› Û χÛË Ù˘ ·Ó›ÛˆÛ˘, ÙfiÙÂ:|x – 5| ≤ |x + 3| ⇔ d(x, 5) ≤ d(x, –3) ⇔ ƒ∞ ≤ ƒµ.

∞˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ƒ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÚÔ˜ Ù· ‰ÂÍÈ¿ ÙÔ˘ ̤ÛÔ˘ ªÙÔ˘ ∞µ. ∂Ô̤ӈ˜, ÔÈ Ï‡ÛÂȘ Ù˘ ·Ó›ÛˆÛ˘ Â›Ó·È Ù· x ∈ [1, +∞).

iii) Œ¯Ô˘ÌÂ:|x – 5| ≤ |x + 3| ⇔ |x – 5|2 ≤ |x + 3|2 ⇔ x2 – 10x + 25 ≤ x2 + 6x + 9

⇔ –16x ≤ –16 ⇔ x ≥ 1.

4. i) √ ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙÔ Ì¤ÛÔ ª ÙÔ˘ ∞µ Â›Ó·È Ô:

ii) ∞Ó ƒ Â›Ó·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ xãx Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙË Ï‡ÛË x Ù˘ Â͛ۈ-Û˘, ÙfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ

|x – 1| + |x – 7| = 6 ⇔ d(x, 1) + d(x, 7) = 6 ⇔ ƒ∞ + ƒµ = AB.

x0 =1 + 7

2 = 4

x0 =–3 + 5

2 = 1

∫∂º∞§∞π√ 4: ∞¡π™ø™∂π™50

∞˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ƒ Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ. ∂Ô̤-Óˆ˜, ÔÈ Ï‡ÛÂȘ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Â›Ó·È Ù· x ∈ [1, 7].

iii) ™¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ì ÙÔÓ ›Ó·Î· ÚÔÛ‹ÌÔ˘ ÙˆÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂˆÓ x – 1 Î·È x – 7.

¢È·ÎÚ›ÓÔ˘Ì ÙÒÚ· ÙȘ ·ÎfiÏÔ˘ı˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ:ñ ∞Ó x ∈ (–∞, 1), ÙfiÙÂ:

|x – 1| + |x – 7| = 6 ⇔ (1 – x) + (7 – x) = 6 ⇔ x = 1, Ô˘ ·ÔÚÚ›ÙÂٷȉÈfiÙÈ 1 ∉ (–∞, 1).

ñ ∞Ó x ∈ [1, 7), ÙfiÙÂ:|x – 1| + |x – 7| = 6 ⇔ (x – 1) + (7 – x) = 6 ⇔ 0x = 0, Ô˘ ÈÛ¯‡ÂÈ Áȷοı x ∈ [1, 7).

ñ ∞Ó x ∈ [7, +∞), ÙfiÙÂ:|x – 1| + |x – 7| = 6 ⇔ (x – 1) + (x – 7) = 6 ⇔ x = 7, Ô˘ Â›Ó·È ‰Â-ÎÙ‹ ‰ÈfiÙÈ 7 ∈ [7, +∞). ∂Ô̤ӈ˜, Ë Â͛ۈÛË ·ÏËı‡ÂÈ ÁÈ· x ∈ [1, 7].

¨ 4.2. ∞ÓÈÛÒÛÂȘ 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡∞ã √ª∞¢∞™

1. i) √È Ú›˙˜ ÙÔ˘ ÙÚȈӇÌÔ˘ x2 – 3x + 2 Â›Ó·È ÔÈ Ú›˙˜ Ù˘ Â͛ۈÛ˘

x2 – 3x + 2 = 0.

Œ¯Ô˘ÌÂ: x2 – 3x + 2 = 0 ⇔ x = ⇔ x = 1 ‹ x = 2.

ÕÚ· x2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2).

ii) Œ¯Ô˘ÌÂ: 2x2 – 3x – 2 = 0 ⇔ x = ⇔ x = – 1—2

‹ x = 2.

∂Ô̤ӈ˜

2x2 – 3x – 2 = 2 (x + 1—2) (x – 2) = (2x + 1)(x – 2).

2. i) ∂›Ó·È: x ≠ 2, x ≠ – 1—2

x2 – 3x + 2

2x2 – 3x – 2 = (x – 1) (x – 2)

(2x + 1) (x – 2) = x – 1

2x + 1 ,

3 ± 5

4

3 ± 1

2

4.2. ∞ÓÈÛÒÛÂȘ 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ 51

ii) Œ¯Ô˘ÌÂ: 2x2 + 8x – 42 = 0 ⇔ x2 + 4x – 21 = 0

∂Âȉ‹ ¢ = 42 – 4 (–21) = 100, ı· ›ӷÈ

x1, 2 =

∂Ô̤ӈ˜ 2x2 + 8x – 42 = 2(x + 7)(x – 3).

ÕÚ·: x ≠ ±7.

iii) ñ °È· ÙËÓ Â͛ۈÛË 4x2 – 12x + 9 = 0, ¤¯Ô˘ÌÂ

¢ = 122 – 4 Ø 4 Ø 9 = 144 – 144 = 0,

∂Ô̤ӈ˜ 4x2 – 12x + 9 = 4(x – 3—2

)2 = (2x – 3)2.

ñ °È· ÙËÓ 2x2 – 5x + 3 = 0, ¢ = 25 – 24 = 1, x1, 2 =

∂Ô̤ӈ˜ 2x2 – 5x + 3 = 2(x – 3—2

)(x – 1) = (2x – 3)(x – 1).

ÕÚ· x ≠ 1, x ≠ 3—2

3. i) x2 – 2x – 15 = 0, ¢ = 64, x1, 2 =

ii) 4x2 – 4x + 1 = (2x – 1)2

iii) x2 – 4x + 13 = 0, ¢ = 16 – 4 Ø 13 = 16 – 52 < 0, · = 1 > 0.

4. i) ∆Ô ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ –x2 + 4x – 3 ¤¯ÂÈ · = –1 Î·È Ú›˙˜ ÙȘ Ú›˙˜ Ù˘ Â͛ۈÛ˘

–x2 + 4x – 3 = 0 ⇔ x2 – 4x + 3 = 0 ⇔ x1, 2 = 4 ± 2

2

2 ± 8

2

4x2 – 12x + 9

2x2 – 5x + 3 = (2x – 3)2

(2x – 3) (x – 1) = 2x – 3

x – 1 ,

5 ± 1

4

x1,2 =12

8 = 3

2 (‰ÈÏ‹).

2x2 + 8x – 42

x2 – 49 = 2(x + 7) (x – 3)

(x + 7) (x – 7) = 2(x – 3)

x – 7 ,

–4 ± 10

2

∫∂º∞§∞π√ 4: ∞¡π™ø™∂π™52

↑↑ 3

1

↑↑ 3

–7↑↑ 1

3—2

↑↑ 5

–3

ii) Œ¯Ô˘Ì –9x2 + 6x – 1 = –(9x2 – 6x + 1) = –(3x – 1)2. ∂Ô̤ӈ˜

iii) ∆Ô ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ –x2 + 2x – 2 ¤¯ÂÈ ¢ = 22 – 4(–1)(–2) = 4 – 8 = –4 < 0 ηȷ = –1 < 0.

5. i) ∂›Ó·È: 5x2 ≤ 20x ⇔ 5x2 – 20x ≤ 0 ⇔ 5x(x – 4) ≤ 0.

∆Ô ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ 5x2 – 20x ¤¯ÂÈ · = 5 > 0 Î·È Ú›˙˜ x1 = 0, x2 = 4.

ÕÚ· x ∈ [0, 4].

ii) ∂›Ó·È: x2 + 3x ≤ 4 ⇔ x2 + 3x – 4 ≤ 0.

∆Ô ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ x2 + 3x – 4 ¤¯ÂÈ · = 1 > 0 Î·È Ú›˙˜ x1 = 1, x2 = –4.

ÕÚ· x ∈ [–4, 1].

6. i) ∆Ô ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ x2 – x – 2 ¤¯ÂÈ · = 1 > 0 Î·È Ú›˙˜ x1 = 2, x2 = –1.

ÕÚ· x ∈ (–∞, –1) ∪ (2, +∞).

ii) ∆Ô ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ 2x2 – 3x – 5 ¤¯ÂÈ · = 2 > 0 Î·È Ú›˙˜ x1 = 5—2

, x2 = –1.

4.2. ∞ÓÈÛÒÛÂȘ 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ 53

ÕÚ· x ∈ (–1, 5—2

).

7. i) ∂›Ó·È: x2 + 4 > 4x ⇔ x2 – 4x + 4 > 0 ⇔ (x – 2)2 > 0 Ô˘ ·ÏËı‡ÂÈ ÁÈ· οıÂx ∈ � Ì x ≠ 2.

ii) ∂›Ó·È: x2 + 9 ≤ 6x ⇔ x2 – 6x + 9 ≤ 0 ⇔ (x – 3)2 ≤ 0 ⇔ x = 3.

8. i) ∆Ô ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ x2 + 3x + 5 ¤¯ÂÈ · = 1 > 0 Î·È ¢ = –11 < 0. ÕÚ· Â›Ó·È ıÂÙÈ-Îfi ÁÈ· οı x ∈ � Î·È Ë ·Ó›ÛˆÛË x2 + 3x + 5 ≤ 0 Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙË.

ii) ∆Ô ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ 2x2 – 3x + 20 ¤¯ÂÈ · = 2 > 0 Î·È ¢ = –151 < 0. ÕÚ· Ë ·Ó›-ÛˆÛË 2x2 – 3x + 20 > 0 ·ÏËı‡ÂÈ ÁÈ· οı x ∈ �.

9. Œ¯Ô˘Ì –1—4

(x2 – 4x + 3) > 0 ⇔ x2 – 4x + 3 < 0.

∆Ô ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ x2 – 4x + 3 ¤¯ÂÈ · = 1 > 0 Î·È Ú›˙˜ x1 = 1, x2 = 3.

ÕÚ· x ∈ (1, 3).

10. Œ¯Ô˘Ì 2x – 1 < x2 – 4 < 12 ⇔ 2x – 1 < x2 – 4 Î·È x2 – 4 < 12.ñ ∂›Ó·È: 2x – 1 < x2 – 4 ⇔ x2 – 2x – 3 > 0.∆Ô ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ x2 – 2x – 3 ¤¯ÂÈ · = 1 > 0 Î·È Ú›˙˜ x1 = 3, x2 = –1.

∂Ô̤ӈ˜ x2 – 2x – 3 > 0 ⇔ x ∈ (–∞, –1) ∪ (3 +∞).

ñ ∂›Ó·È: x2 – 4 < 12 ⇔ x2 – 16 < 0.

∆Ô ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ x2 – 16 ¤¯ÂÈ · = 1 > 0 Î·È Ú›˙˜ x1 = 4, x2 = –4.

∂Ô̤ӈ˜ x2 – 16 < 0 ⇔ x ∈ (–4, 4).

∫∂º∞§∞π√ 4: ∞¡π™ø™∂π™54

√È ‰‡Ô ·ÓÈÛÒÛÂȘ Û˘Ó·ÏËıÂ‡Ô˘Ó ÁÈ· x ∈ (–4, –1) ∪ (3, 4).

11. Œ¯Ô˘Ì x2 – 6x + 5 < 0 ⇔ x ∈ (1, 5) ηÈ

x2 – 5x + 6 > 0 ⇔ x ∈ (–∞, 2) ∪ (3, +∞).

ÕÚ· x ∈ (1, 2) ∪ (3, 5).

µã √ª∞¢∞™

1. i) ∏ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ·2 + ·‚ – 2‚2 = ·2 + ‚ Ø · – 2‚2 Â›Ó·È ¤Ó· ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ Ì ÌÂ-Ù·‚ÏËÙ‹ ÙÔ ·. ∆Ô ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ ·˘Ùfi ¤¯ÂÈ ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Û·

¢ = ‚2 – 4 Ø 1(–2‚2) = 9‚2 ≥ 0 Î·È Ú›˙˜ ·1, 2 =

∂Ô̤ӈ˜ ·2 + ·‚ – 2‚2 = (· + 2‚)(· – ‚).

ñ √ÌÔ›ˆ˜ Ë ·Ú¿ÛÙ·ÛË ·2 – ·‚ – 6‚2 = ·2 – ‚ Ø · – 6‚2 Â›Ó·È ¤Ó· ÙÚÈÒÓ˘-ÌÔ Ì ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹ ÙÔ ·. ∆Ô ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ ·˘Ùfi ¤¯ÂÈ ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Û·

¢ = ‚2 – 4 Ø 1(–6‚2) = 25‚2 Î·È Ú›˙˜ ·3, 4 =

∂Ô̤ӈ˜ ·2 – ·‚ – 6‚2 = (· + 2‚)(· – 3‚).

ii) · ≠ 3‚, · ≠ –2‚.

2. 2x2 + (2‚ – ·)x – ·‚ = 0.

¢ = (2‚ – ·)2 – 4 Ø 2(–·‚) = 4‚2 – 4·‚ + ·2 + 8·‚

= 4‚2 + 4·‚ + ·2 = (2‚ + ·)2 ≥ 0.

√È Ú›˙˜ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Â›Ó·È x1, 2 =

ÕÚ· 2x2 + (2‚ – ·)x – ·‚ = 2(x – ·—2

)(x + ‚) = (2x – ·)(x + ‚).

3. ñ Œ¯Ô˘Ì x2 – ·x + ‚x – ·‚ = x(x – ·) + ‚(x – ·) = (x – ·)(x + ‚).

ñ ∆Ô ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ x2 – 3·x + 2·2 ¤¯ÂÈ Ú›˙˜ x1 = · Î·È x2 = 2·

ÔfiÙ x2 – 3·x + 2·2 = (x – ·)(x – 2·). ∂Ô̤ӈ˜

–(2‚ – ·) ± (2‚ + ·)

4

·2 + ·‚ – 2‚2

·2 – ·‚ – ‚‚2 = (· + 2‚)(· – ‚)

(· + 2‚)(· – 3‚) = · – ‚

· – 3‚ ,

‚ ± 5‚

2

–‚ ± 3‚

2

4.2. ∞ÓÈÛÒÛÂȘ 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ 55

↑↑ ‚

–2‚

↑↑ 3‚

–2‚

↑↑ ·—2–‚

ÌÂ x ≠ ·, x ≠ 2·.

4. ∏ ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Û· Ù˘ Â͛ۈÛ˘ ›ӷÈ

¢ = 9Ï2 – 4 Ø Ï Ø (Ï + 5) = 9Ï2 – 4Ï2 – 20Ï = 5Ï2 – 20Ï.∏ ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Û· Â›Ó·È ¤Ó· ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ Ì ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹ Ï, · = 5 > 0 Î·È Ú›˙˜Ï1 = 0 Î·È Ï2 = 4.

∂Ô̤ӈ˜ Ë ‰Ôı›۷ Â͛ۈÛËi) ¤¯ÂÈ Ú›˙˜ ›Û˜, ·Ó Ï = 4, ‰ÈfiÙÈ Ï ≠ 0.ii) ¤¯ÂÈ Ú›˙˜ ¿ÓÈÛ˜ ·Ó Ï ≠ –2 ÌÂ Ï < 0 ‹ Ï > 4.iii) Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙË ·Ó 0 < Ï < 4.

5. ∆Ô ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ x2 + 3Ïx + Ï ¤¯ÂÈ · = 1 > 0 Î·È ¢ = 9Ï2 – 4Ï.

°È· Ó· Â›Ó·È x2 + 3Ïx + Ï > 0 ÁÈ· οı x ∈ �, Ú¤ÂÈ ¢ < 0.

Œ¯Ô˘Ì ¢ < 0 ⇔ 9Ï2 – 4Ï < 0 ⇔ Ï(9Ï – 4) < 0 ⇔ Ï ∈ (0, 4—9

).

6. i) ¢ = (–2Ï)2 – 4 Ø 3Ï Ø (Ï + 2) = 4Ï2 – 12Ï2 – 24Ï = –8Ï2 – 24Ï.

¢ < 0 ⇔ –8Ï2 – 24Ï < 0 ⇔ 8Ï2 + 24Ï > 0 ⇔ Ï2 + 3Ï > 0

⇔ Ï(Ï + 3) > 0 ⇔ Ï < –3 ‹ Ï > 0.

ii) ∏ ·Ó›ÛˆÛË (Ï + 2)x2 – 2Ïx + 3Ï < 0, Ï ≠ –2 ·ÏËı‡ÂÈ ÁÈ· οı x ∈ �, ·ÓÎ·È ÌfiÓÔ ·Ó ¢ < 0 Î·È Ï + 2 < 0 ⇔ Ï < –3 ‹ Ï > 0 Î·È Ï < –2.

ÕÚ· Ï < –3.

7. ∞Ó x Â›Ó·È Ë ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘, ÙfiÙ ËÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘ ı· ›ӷÈ3 – x Î·È ¿Ú· ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ·ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙˆÓ ‰‡Ô ÙÂ-ÙÚ·ÁÒÓˆÓ ı· Â›Ó·È ›ÛÔ ÌÂ

x2 + (3 – x)2 = 2x2 – 6x + 9.

∂Ô̤ӈ˜, ÁÈ· Ó· Â›Ó·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙˆÓ ÛÎÈ·ÛÌ¤ÓˆÓ ÙÂÙÚ·-ÁÒÓˆÓ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi 5 ı· Ú¤ÂÈ Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ:

x2 – ·x + ‚x – ·‚

x2 – 3·x + 2·2 = (x – ·)(x + ‚)

(x – ·)(x – 2·) = x + ‚

x – 2· ,

∫∂º∞§∞π√ 4: ∞¡π™ø™∂π™56

2x2 – 6x + 9 < 5 ⇔ 2x2 – 6x + 4 < 0 ⇔ x2 – 3x + 2 < 0 ⇔ 1 < x < 2.

ÕÚ· ÙÔ ª ı· Ú¤ÂÈ Ó· ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ·Ó¿ÌÂÛ· ÛÙ· ÛËÌ›· ª1 Î·È ª2, Ù·ÔÔ›· ¯ˆÚ›˙Ô˘Ó ÙË ‰È·ÁÒÓÈÔ ∞° Û ÙÚ›· ›Û· ̤ÚË.

8. i) ∏ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ·2 – ·‚ + ‚2 = ·2 – ‚ Ø · + ‚2 Â›Ó·È ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ ˆ˜ ÚÔ˜ ·. ∆Ô

ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ ·˘Ùfi ¤¯ÂÈ ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Û· ¢ = (–‚)2 – 4 Ø 1 Ø ‚2 = –3‚2 ≤ 0. √ Û˘-

ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ÙÔ˘ ·2 Â›Ó·È 1 > 0. ÕÚ·

·2 – ‚ Ø · + ‚2 ≥ 0, ÁÈ· fiÏ· Ù· ·, ‚ ∈ �.

ii) Œ¯Ô˘Ì ∂Ô̤ӈ˜

ñ ∞Ó ·, ‚ ÔÌfiÛËÌÔÈ, ÙfiÙÂ ∞ > 0.ñ ∞Ó ·, ‚ ÂÙÂÚfiÛËÌÔÈ, ÙfiÙÂ ∞ < 0.

¨ 4.3. ∞ÓÈÛÒÛÂȘ ÁÈÓfiÌÂÓÔ Î·È ·ÓÈÛÒÛÂȘ ËÏ›ÎÔ∞ã √ª∞¢∞™

1. Œ¯Ô˘ÌÂ:ñ 2 – 3x ≥ 0 ⇔ 2 ≥ 3x ⇔ 3x ≤ 2 ⇔ x ≤

2—3

.

ñ x2 – x – 2 ≥ 0 ⇔ (x + 1)(x – 2) ≥ 0 ⇔ x ≤ –1 ‹ x ≥ 2.

ñ x2 – x + 1 ≥ 0 ⇔ x ∈ � (·ÊÔ‡ ¢ = 1 – 4 = –3 < 0).

2. Œ¯Ô˘ÌÂ:

ñ –x2 + 4 ≥ 0 ⇔ x2 – 4 ≤ 0 ⇔ (x + 2)(x – 2) ≤ 0 ⇔ –2 ≤ x ≤ 2.

ñ x2 – 3x + 2 ≥ 0 ⇔ (x – 1)(x – 2) ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 ‹ x ≥ 2.

ñ x2 + x + 1 ≥ 0 ⇔ x ∈ � (·ÊÔ‡ ¢ = –3 < 0).

∞ = ·

‚ + ‚

· – 1 = ·2 – ·‚ + ‚2

·‚ .

4.3. ∞ÓÈÛÒÛÂȘ ÁÈÓfiÌÂÓÔ Î·È ·ÓÈÛÒÛÂȘ ËÏ›ÎÔ 57

3. ŒÛÙˆ P(x) = (x – 1)(x2 + 2) (x2 – 9). Œ¯Ô˘ÌÂ:

ñ x – 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1.

ñ x2 + 2 > 0 ⇔ x ∈ �.

ñ x2 – 9 ≥ 0 ⇔ (x + 3)(x – 3) ≥ 0 ⇔ x ≤ –3 ‹ x ≥ 3.

ÕÚ· (x – 1)(x2 + 2)(x2 – 9) > 0 ⇔ x ∈ (–3, 1) ∪ (3, +∞).

4. ŒÛÙˆ P(x) = (3 – x)(2x2 + 6x) (x2 + 3). Œ¯Ô˘ÌÂ:

ñ 3 – x ≥ 0 ⇔ x ≤ 3.

ñ 2x2 + 6x ≥ 0 ⇔ x2 + 3x ≥ 0 ⇔ x(x + 3) ≥ 0 ⇔ x ≤ –3 ‹ x ≥ 0.

ñ x2 + 3 > 0 ⇔ x ∈ �.

ÕÚ· (3 – x)(2x2 + 6x)(x2 + 3) ≤ 0 ⇔ x ∈ [–3, 0] ∪ [3, +∞).

∫∂º∞§∞π√ 4: ∞¡π™ø™∂π™58

5. ŒÛÙˆ P(x) = (2 – x – x2) (x2 + 2x + 1). Œ¯Ô˘ÌÂ:

ñ 2 – x – x2 ≥ 0 ⇔ x2 + x – 2 ≤ 0 ⇔ (x + 2)(x – 1) ≤ 0 ⇔ –2 ≤ x ≤ 1.

ñ x2 + 2x + 1 ≥ 0 ⇔ (x + 1)2 ≥ 0,

ÔfiÙ (x + 1)2 > 0, ÁÈ· x ≠ –1 Î·È (x + 1)2 = 0 ÁÈ· x = –1.

ÕÚ· (2 – x – x2)(x2 + 2x + 1) ≤ 0 ⇔ x ∈ (–∞, –2] ∪ {–1} ∪ [1, +∞).

6. ŒÛÙˆ P(x) = (x – 3)(2x2 + x – 3)(x – 1 – 2x2) > 0. Œ¯Ô˘ÌÂ:

ñ x – 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3.

ñ 2x2 + x – 3 ≥ 0 ⇔ 2(x + 3—2

)(x – 1) ≥ 0 ⇔ x ≤ – 3—2

‹ x ≥ 1.

ñ x – 1 – 2x2 ≥ 0 ⇔ –2x2 + x – 1 ≥ 0, Ô˘ Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙË, ·ÊÔ‡ ¢ = – 7 < 0,

· = –2 < 0.

ÕÚ· (x – 3)(2x2 + x – 3)(x – 1 – 2x2) > 0 ⇔ x ∈ (–∞, – 3—2

) ∪ (1, 3).

7. i) ⇔ (x + 1)(x – 2) > 0 ⇔ x < –1 ‹ x > 2.

ii) ⇔ (2x + 1)(x – 3) ≤ 0, ÌÂ x ≠ 3

⇔ – 1—2

≤ x < 3.

8. ⇔ (x2 – x – 2)(x2 + x – 2) ≤ 0, ÌÂ x2 + x – 2 ≠ 0.

ŒÛÙˆ P(x) = (x2 – x – 2)(x2 + x – 2). Œ¯Ô˘ÌÂ:

ñ x2 – x – 2 ≥ 0 ⇔ (x + 1)(x – 2) ≥ 0 ⇔ x ≤ –1 ‹ x ≥ 2.

x2 – x – 2

x2 + x – 2 ≤ 0

2x + 1

x – 3 ≤ 0

x – 2

x + 1 > 0

4.3. ∞ÓÈÛÒÛÂȘ ÁÈÓfiÌÂÓÔ Î·È ·ÓÈÛÒÛÂȘ ËÏ›ÎÔ 59

ñ x2 + x – 2 ≥ 0 ⇔ (x + 2)(x – 1) ≥ 0 ⇔ x ≤ –2 ‹ x ≥ 1.

ÕÚ· ⇔ x ∈ (–2, –1] ∪ (1, 2].

µã √ª∞¢∞™

1. i)

ii)

⇔ x ≤ –2 ‹ x > – 5—3

.

ÕÚ· x ∈ (–∞, –2] ∪ (– 5—3

, +∞).

2.

ŒÛÙˆ P(x) = (x2 – x – 12)(x – 1). Œ¯Ô˘ÌÂ:

ñ x2 – x – 12 ≥ 0 ⇔ (x + 3)(x – 4) ≥ 0 ⇔ x ≤ –3 ‹ x ≥ 4.

ñ x – 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1.

ÕÚ· x ∈ (–∞, –3] ∪ (1, 4].

⇔ (x2 – x – 12)(x – 1) ≤ 0, ÌÂ x ≠ 1.

x2 – 3x – 10

x – 1 + 2 ≤ 0 ⇔ x

2 – 3x – 10 + 2x – 2

x – 1 ≤ 0 ⇔ x

2 – x – 12

x – 1 ≤ 0

⇔ 11x + 22

3x + 5 ≥ 0 ⇔ 11(x + 2)(3x + 5) ≥ 0, ÌÂ x ≠ – 5

3

x – 2

3x + 5 ≤ 4 ⇔ x – 2

3x + 5 – 4 ≤ 0 ⇔ x – 2 – 12x – 20

3x + 5 ≤ 0 ⇔ –11x – 22

3x + 5 ≤ 0

⇔ 2x – 7

x – 1 < 0 ⇔ (2x – 7)(x – 1) < 0 ⇔ 1 < x < 7

2 .

2x + 3

x – 1 > 4 ⇔ 2x + 3

x – 1 – 4 > 0 ⇔ 2x + 3 – 4x + 4

x – 1 > 0 ⇔ –2x + 7

x – 1 > 0

x2 – x – 2

x2 + x – 2 ≤ 0

∫∂º∞§∞π√ 4: ∞¡π™ø™∂π™60

3. i)

⇔ (3x – 5)(x – 1)(x2 – 7x + 10) ≤ 0, ÌÂ x ≠ 1, x ≠ 5—3

.

ŒÛÙˆ P(x) = (3x – 5)(x – 1)(x2 – 7x + 10). Œ¯Ô˘ÌÂ:

ñ 3x – 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ 5—3

.

ñ x – 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1.

ñ x2 – 7x + 10 ≥ 0 ⇔ (x – 2)(x – 5) ≥ 0 ⇔ x ≤ 2 ‹ x ≥ 5.

ÕÚ· (3x – 5)(x – 1)(x2 – 7x + 10) ≤ 0,

x ≠ 1, x ≠ 5—3

⇔ x ∈ (1, 5—3

) ∪ [2, 5].

ii)

⇔ (x2 – 4x + 3)(2x – 1)(x + 2) ≥ 0, ÌÂ x ≠ –2, x ≠ 1—2

.

ŒÛÙˆ P(x) = (x2 – 4x + 3)(2x – 1)(x + 2).

ÕÚ· x ∈ (–∞, –2) ∪ ( 1—2

, 1] ∪ [3, +∞).

⇔ x2 – 4x + 3

(2x – 1)(x + 2) ≥ 0 ⇔

x

2x – 1 ≥ 3

x + 2 ⇔ x

2x – 1 – 3

x + 2 ≥ 0 ⇔ x

2 + 2x – 6x + 3

(2x – 1)(x + 2) ≥ 0

x

3x – 5 ≤ 2

x – 1 ⇔

⇔ x2 – x – 6x + 10

(3x – 5)(x – 1) ≤ 0 ⇔ x2 – 7x + 10

(3x – 5)(x – 1) ≤ 0

x

3x – 5 ≤ 2

x – 1 ⇔ x

3x – 5 – 2

x – 1 ≤ 0 ⇔ x(x – 1) – 2(3x – 5)

(3x – 5)(x – 1) ≤ 0

4.3. ∞ÓÈÛÒÛÂȘ ÁÈÓfiÌÂÓÔ Î·È ·ÓÈÛÒÛÂȘ ËÏ›ÎÔ 61

4. Œ¯Ô˘ÌÂ:

ñ

⇔ (3x + 1)x < 0 ⇔ – 1—3

< x < 0.

ñ

⇔ x(x – 1) < 0 ⇔ 0 < x < 1.

ÕÚ· x ∈ (– 1—3

, 0) ∪ (0, 1).

5. °È· Ó· ¤¯ÂÈ Ë ÂÙ·ÈÚ›· ΤډԘ Ú¤ÂÈ Ó· ¤ÛÔ‰· Ó· Â›Ó·È ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ· ·fiÙÔ ÎfiÛÙÔ˜:

∂ > ∫ ⇔ 5x – x2 > 7 – x ⇔ 5x – x2 – 7 + x > 0

⇔ –x2 + 6x – 7 > 0 ⇔ x2 – 6x + 7 < 0.

√È Ú›˙˜ ÙÔ˘ ÙÚȈӇÌÔ˘ Â›Ó·È x1 = 3 – Î·È x2 = 3 + . ∂Ô̤ӈ˜

x2 – 6x + 7 < 0 ⇔ 3 – < x < 3 + .

‹, ÚÔÛÂÁÁÈÛÙÈο, 1,59 < x < 4,41.

6. Œ¯Ô˘ÌÂ:

⇔ 4(t2 – 5t + 4)(t2 + 4) < 0 ⇔ 1 < t < 4.

⇔ –4t2 + 20t – 16

t2 + 4 > 0 ⇔ 4t2 – 20t + 16

t2 + 4 < 0

20t

t2 + 4 > 4 ⇔ 20t

t2 + 4 – 4 > 0 ⇔ 20t – 4t2 – 16

t2 + 4 > 0 ⇔

22

22

x + 1

x > 2 ⇔ x + 1

x – 2 > 0 ⇔ –x + 1

x > 0 ⇔ x – 1

x < 0 ⇔

x + 1

x < –2 ⇔ x + 1

x + 2 < 0 ⇔ 3x + 1

x < 0 ⇔

x + 1

x > 2 ⇔ x + 1

x < –2 ‹ x + 1

x > 2, x ≠ 0.

∫∂º∞§∞π√ 4: ∞¡π™ø™∂π™62

KEº∞§∞π√ 5

¶ƒ√√¢√π

¨ 5.1. ∞ÎÔÏÔ˘ı›Â˜∞ã √ª∞¢∞™

1. i) 3, 5, 7, 9, 11 ii) 2, 4, 8, 16, 32iii) 2, 6, 12, 20, 30 iv) 0, 1, 2, 3, 4

v) 1, –0,1, 0,01, –0,001, 0,0001 vi)

vii) 4, 3, 2, 1, 0 viii)

ix) 2, 1, 1, x)

xi) 1, –1, 1, –1, 1.

2. i) 2, 2, 2 ii) 0, 1, 2, 5, 26

iii) 3, 4, 6, 10, 18.

3. i) Œ¯Ô˘Ì ·1 = 6 Î·È ·Ó + 1 – ·Ó = (Ó + 1) + 5 – Ó – 5 = 1,

·1 = 6ÂÔ̤ӈ˜ { ·Ó + 1 = 1 + ·Ó.

ii) Œ¯Ô˘Ì ·1 = 2 ηÈ

·1 = 2ÂÔ̤ӈ˜ { ·Ó + 1 = 2·Ó.

iii) Œ¯Ô˘Ì ·1 = 1 Î·È ·Ó + 1 = 2Ó + 1 – 1 = 2 . 2Ó – 1 = 2 . (1 + ·Ó) – 1,

·1 = 1ÂÔ̤ӈ˜ { ·Ó + 1 = 2·Ó + 1.

·Ó + 1

·Ó

= 2Ó + 1

2Ó = 2 ,

1

2 ,1

2 ,

1, –1

2 , 1

3 , –1

4 , 1

5

32

25

8

9 ,

2

2 , 1, 2

2 , 0, – 2

2

3

2 , 3

4 , 9

8 , 15

16 , 33

32

iv) Œ¯Ô˘Ì ·1 = 8 Î·È ·Ó + 1 – ·Ó = 5(Ó + 1) + 3 – 5Ó – 3 = 5,

·1 = 8ÂÔ̤ӈ˜ { ·Ó + 1 = 5 + ·Ó

4. i) Œ¯Ô˘Ì ·1 = 1 ¶ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ì ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜ ·˘Ù¤˜·2 = ·1 + 2 ηٿ ̤ÏË Î·È ‚Ú›ÛÎÔ˘ÌÂ:·3 = ·2 + 2.................·Ó = ·Ó – 1 + 2 ·Ó = 1 + (Ó – 1)2 ‹ ·Ó = 2Ó – 1.

ii) ·1 = 3 ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘Ì ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜ ·˘Ù¤˜·2 = 5·1 ηٿ ̤ÏË Î·È ‚Ú›ÛÎÔ˘ÌÂ:·3 = 5·2 ·Ó = 3 . 5Ó – 1

.................·Ó = 5·Ó – 1.

¨ 5.2. ∞ÚÈıÌËÙÈ΋ ÚfiÔ‰Ô˜∞ã √ª∞¢∞™

1. i) ·Ó = 7 + (Ó – 1) . 3 ii) ·Ó = 11 + (Ó – 1)2 iii) ·Ó = 5 + (Ó – 1)(–3)= 3Ó + 4 = 2Ó + 9 = –3Ó + 8

iv) ·Ó = 2 + (Ó – 1) . v) ·Ó = –6 + (Ó – 1)(–3)

= –3Ó – 3.

2. i) ·15 = –2 + (15 – 1) . 5 ii) ·20 = 11 + (20 – 1) . 7 iii) ·30 = 4 + (30 – 1) . 11= 68 = 144 = 323

iv) ·35 = 17 + (35 – 1) . 8 v) ·50 = 1 + (50 – 1) . vi) ·47 = + (47 – 1) .

= 289 = = 35.

3. i) Œ¯Ô˘Ì ·6 = ·1 + 5ˆ, ÂÔ̤ӈ˜ ·1 + 5ˆ = 12 Î·È ·10 = ·1 + 9ˆ, ÂÔ̤ӈ˜·1 + 9ˆ = 16.

·1 + 5ˆ = 12§‡ÓÔÓÙ·˜ ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· { ·1 + 9ˆ = 16

‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ˆ = 1 Î·È ·1 = 7.

101

3

3

4

1

2 2

3

= 1

2 Ó + 3

2

1

2

∫∂º∞§∞π√ 5: ¶ƒ√√¢√π64

·1 + 4ˆ = 14ii) OÌÔ›ˆ˜ ¤¯Ô˘Ì { ·1 + 11ˆ = 42Î·È ·fi ÙË Ï‡ÛË ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ·˘ÙÔ‡ ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ

ˆ = 4 Î·È ·1 = –2.

·1 + 2ˆ = 20iii) OÌÔ›ˆ˜ ¤¯Ô˘Ì { ·1 + 6ˆ = 32Î·È ·fi ÙË Ï‡ÛË ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ·˘ÙÔ‡ ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ

ˆ = 3 Î·È ·1 = 14.

·1 + 4ˆ = –54. i) Œ¯Ô˘Ì ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· { ·1 + 14ˆ = –2

·fi ÙË Ï‡ÛË ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì fiÙÈ

ˆ = = 0,3 Î·È ·1 = –6,2

ÕÚ· ·50 = ·1 + 49ˆ = –6,2 + 49 . 0,3 = 8,5.

·1 + 6ˆ = 55ii) OÌÔ›ˆ˜ ¤¯Ô˘Ì { ·1 + 21ˆ = 145ÔfiÙ ˆ = 6 Î·È ·1 = 19ÕÚ· ·18 = ·1 + 17ˆ = 19 + 17 . 6 = 121.

5. i) πÛ¯‡ÂÈ ·Ó = ·1 + (Ó – 1)ˆ, ÔfiÙÂ

97 = 2 + (Ó – 1)5 ⇔ 2 + (Ó – 1)5 = 97

⇔ 5Ó = 100 ⇔ Ó = 20.∂Ô̤ӈ˜ Ô ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ˜ fiÚÔ˜ Â›Ó·È Ô ·20, ‰ËÏ·‰‹ Ô 20Ô˜.

ii) IÛ¯‡ÂÈ ·Ó = ·1 + (Ó – 1)ˆ, ÔfiÙÂ

–97 = 80 + (Ó – 1)(–3) ⇔ 80 + (Ó – 1)(–3) = –97

⇔ –3Ó = –180 ⇔ Ó = 60

ÕÚ· Ô ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ˜ fiÚÔ˜ Â›Ó·È Ô ·60.

6. i)

ii) = 3x – 2 ⇔ 5x + 12 = 6x – 4 ⇔ –x = –16 ⇔ x = 16.

7. ∞Ó Â›Ó·È x Ô ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ Î·È y Ô ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ÙfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ:

x – y = 10 ⇔

x – y = 10{ { x + y = 50

Afi ÙË Ï‡ÛË ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ·˘ÙÔ‡ ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ x = 30 Î·È y = 20.

x + y

2 = 25

(5x + 1) + 11

2

10 – 40

2 = –30

2 = –15

3

10

5.2. ∞ÚÈıÌËÙÈ΋ ÚfiÔ‰Ô˜ 65

8. i) Œ¯Ô˘Ì ·1 = 7, ˆ = 9 – 7 = 2 Î·È Ó = 40, ÔfiÙÂ

. [2 . 7 + (40 – 1) . 2] = 20 . 92 = 1840

ii) Œ¯Ô˘Ì ·1 = 0, ˆ = 2 Î·È Ó = 40, ÔfiÙÂ

. [2 . 0 + (40 – 1) . 2] = 20 . 78 = 1560

iii) Œ¯Ô˘Ì ·1 = 6, ˆ = 4 Î·È Ó = 40, ÔfiÙÂ

. [2 . 6 + (40 – 1) . 4] = 20 . 168 = 3360

iv) Œ¯Ô˘Ì ·1 = –7, ˆ = 5 Î·È Ó = 40, ÔfiÙÂ

. [2 . (–7) + (40 – 1) . 5] = 20 . 181 = 3620.

9. i) Œ¯Ô˘Ì ·1 = 2, ˆ = –3 Î·È Ó = 80, ÔfiÙÂ

. [2 . 2 + (80 – 1)(–3)] = 40 . (–233) = –9320

ii) Œ¯Ô˘Ì ·1 = ˆ = Î·È Ó = 80, ÔfiÙÂ

. [2 . + (80 – 1) . ] = 40 . 52 = 2080.

10. ∫·ı¤Ó· ·fi Ù· ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù· Â›Ó·È ¿ıÚÔÈÛÌ· ‰È·‰Ô¯ÈÎÒÓ fiÚˆÓ ·ÚÈıÌËÙÈ΋˜ÚÔfi‰Ô˘.i) Œ¯Ô˘Ì ·1 = 1, ·Ó = 197 Î·È ˆ = 4.πÛ¯‡ÂÈ ·Ó = ·1 + (Ó – 1)ˆ ÔfiÙ 197 = 1 + (Ó – 1) . 4 ‹ Ó = 50.∂Ô̤ӈ˜

(·1 + ·Ó) = (1 + 197) = 4950.

ii) Œ¯Ô˘Ì ·1 = 9, ˆ = 3, ·Ó = 90. ∞fi ÙÔÓ Ù‡Ô ·Ó = ·1 + (Ó – 1)ˆ ¤¯Ô˘ÌÂ90 = 9 + (Ó – 1) . 3 ‹ Ó = 28.

∂Ô̤ӈ˜

(9 + 90) = 14 . 99 = 1386.

iii) Œ¯Ô˘Ì ·1 = –7, ˆ = –3, Î·È ·Ó = –109. ∞fi ÙÔÓ Ù‡Ô ·Ó = ·1 + (Ó – 1)ˆ¤¯Ô˘Ì –109 = –7 + (Ó – 1)(–3) ‹ Ó = 35.

∂Ô̤ӈ˜

(–7 – 109) = . (–116) = –2030.35

2S35 =

35

2

S28 =28

2

50

2S = Ó

2

2

3– 1

3S = 80

2

2

3– 1

3 ,

S = 80

2

S = 40

2

S = 40

2

S = 40

2

S = 40

2

∫∂º∞§∞π√ 5: ¶ƒ√√¢√π66

11. i) Œ¯Ô˘Ì ·1 = 4, ˆ = 4 Î·È SÓ = 180.

∂Âȉ‹ SÓ = [2·1 + (Ó – 1)ˆ], ¤¯Ô˘ÌÂ

180 = [2 . 4 + (Ó – 1) . 4] ⇔ 180 = (4Ó + 4)

⇔ 4Ó2 + 4Ó = 360⇔ Ó2 + Ó – 90 = 0

⇔ Ó = =9

–10

∂Âȉ‹ Ó∈�*, ¤ÂÙ·È fiÙÈ Ó = 9. ÕÚ· Ú¤ÂÈ Ó· ¿ÚÔ˘Ì ÙÔ˘˜ 9 ÚÒÙÔ˘˜fiÚÔ˘˜.ii) Œ¯Ô˘Ì ·1 = 5, ˆ = 5 Î·È SÓ = 180. ∂ÚÁ·˙fiÌÂÓÔÈ fiˆ˜ ÚÔËÁÔ˘Ì¤Óˆ˜

‚Ú›ÛÎÔ˘Ì fiÙÈ Ó = 8.

12. Œ¯Ô˘Ì ·1 = 53, ˆ = –2 Î·È Ó = 15.∂Ô̤ӈ˜ ·15 = 53 + (15 – 1)(–2) = 53 – 28 = 25

S15 = (25 + 53) = . 78 = 585.

µã √ª∞¢∞™

1. Œ¯Ô˘Ì ·Ó + 1 – ·Ó = 12 – 4(Ó + 1) – 12 + 4Ó= 12 – 4Ó – 4 – 12 + 4Ó = –4.

∂Ô̤ӈ˜ ·Ó + 1 = ·Ó – 4 Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· Â›Ó·È ·ÚÈıÌËÙÈ΋ÚfiÔ‰Ô˜ Ì ‰È·ÊÔÚ¿ –4 Î·È ·1 = 12 – 4 . 1 = 8.

2. i) √È ÂÚÈÙÙÔ› ·ÚÈıÌÔ› Â›Ó·È ÔÈ 1, 3, 5, 7 ... Î·È ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ÚfiÔ-‰Ô Ì ·1 = 1 Î·È ˆ = 2.

Œ¯Ô˘Ì ·200 = 1 + (200 – 1) . 2 = 399, ÔfiÙÂ

S200 – . (1 + 399) = 100 . 400 = 40000.

ii) √È ¿ÚÙÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Â›Ó·È ÔÈ 2, 4, 6, 8 ... Î·È ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ÚfiÔ‰ÔÌ ·1 = 2 Î·È ˆ = 2.

Œ¯Ô˘Ì ·300 = 2 + (300 – 1)2 = 600, ÔfiÙÂ

S300 – . (2 + 600) = 150 . 602 = 90300.

iii) ∆Ô ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· Â›Ó·È ÙÔ 17 + 19 + ... + 379 Î·È ÔÈ ÚÔÛıÂÙ¤ÔÈÙÔ˘, Ì ÙË ÛÂÈÚ¿ Ô˘ Â›Ó·È ÁÚ·Ì̤ÓÔÈ, Â›Ó·È ‰È·‰Ô¯ÈÎÔ› fiÚÔÈ ·ÚÈıÌËÙÈ-΋˜ ÚÔfi‰Ô˘ Ì ·1 = 17, ˆ = 2 Î·È ·Ó = 379.

300

2

200

2

15

2

15

2

–1 ± 19

2

Ó

2

Ó

2

Ó

2

5.2. ∞ÚÈıÌËÙÈ΋ ÚfiÔ‰Ô˜ 67

πÛ¯‡ÂÈ ·Ó = ·1 + (Ó – 1)ˆ, ÔfiÙ 379 = 17 + (Ó – 1)2 ‹ Ó = 182.∂Ô̤ӈ˜

S182 – (17 + 379) = 91 . 396 = 36036.

3. i) ∆Ô ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· Â›Ó·È ÙÔ 5 + 10 + 15 + ... + 195 Î·È ÔÈ ÚÔÛıÂ-Ù¤ÔÈ ÙÔ˘ Â›Ó·È ‰È·‰Ô¯ÈÎÔ› fiÚÔÈ ·ÚÈıÌËÙÈ΋˜ ÚÔfi‰Ô˘ Ì ·1 = 5, ˆ = 5Î·È ·Ó = 195.

∞fi ÙÔ Ù‡Ô ·Ó = ·1 + (Ó – 1)ˆ ¤¯Ô˘Ì 195 = 5 + (Ó – 1) . 5 ⇔ Ó = 39.∂Ô̤ӈ˜

S39 = (5 + 195) = 39 . 100 = 39000.

ii) ∆Ô ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· Â›Ó·È ÙÔ 12 + 15 + ... + 198 Î·È ÔÈ ÚÔÛıÂÙ¤ÔÈÙÔ˘ Â›Ó·È ‰È·‰Ô¯ÈÎÔ› fiÚÔÈ ·ÚÈıÌËÙÈ΋˜ ÚÔfi‰Ô˘ Ì ·1 = 12, ˆ = 3 Î·È·Ó = 198.

∞fi ÙÔ Ù‡Ô ·Ó = ·1 + (Ó – 1)ˆ ¤¯Ô˘Ì 198 = 12 + (Ó – 1) . 3 ‹ Ó = 63.∂Ô̤ӈ˜

S63 = (12 + 198) = . 210 = 63 . 105 = 6615.

4. i) Œ¯Ô˘Ì ·Ó + 1 – ·Ó = 5(Ó + 1) –4 – 5Ó + 4 = 5 ‹ ·Ó + 1 = ·Ó + 5.∂Ô̤ӈ˜ Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· Â›Ó·È ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ÚfiÔ‰Ô˜ Ì ·1 = 5 . 1 – 4 = 1, ˆ = 5Î·È ·30 = 5 . 30 – 4 = 146, ÔfiÙÂ

S30 = (1 + 146) = 15 . 147 = 2205.

ii) Œ¯Ô˘Ì ·Ó + 1 – ·Ó = –5(Ó + 1) –3 + 5Ó + 3 ‹ ·Ó + 1 = ·Ó – 5.∂Ô̤ӈ˜ Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· Â›Ó·È ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ÚfiÔ‰Ô˜ Ì ·1 = –5 . 1 – 3 = –8,ˆ = –5 Î·È ·40 = –5 . 40 – 3 = –203, ÔfiÙÂ

S40 = (–8 – 203) = 20 . (–201) = –4220.

5. ¶Ú¤ÂÈ ·fi ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· 1 + 2 + 3 + ... + 200 Ó· ·Ê·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ·4 + 8 + 12 + ... + 200 ÙˆÓ ÔÏÏ·Ï·Û›ˆÓ ÙÔ˘ 4 Î·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· 9 + 18 + 27 + ... + 198 ÙˆÓ ÔÏÏ·Ï·Û›ˆÓ ÙÔ˘ 9.ŸÌˆ˜ ÛÙ· ÔÏÏ·Ï¿ÛÈ· ÙÔ˘ 4 Î·È ÙÔ˘ 9 ÂÚȤ¯ÔÓÙ·È Î·È Ù· ÔÏÏ·Ï¿ÛÈ·ÙÔ˘ 36 Ô˘, Ì ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÙÚfiÔ, ·Ê·ÈÚÔ‡ÓÙ·È ‰˘Ô ÊÔÚ¤˜. ¶Ú¤ÂÈ ÏÔÈfiÓ Ó·ÚÔÛı¤ÛÔ˘Ì ÌÈ· ÊÔÚ¿ Ù· ÔÏÏ·Ï¿ÛÈ· ÙÔ˘ 36 ÁÈ· Ó· ‚Úԇ̠ÙÔ Ú·ÁÌ·-ÙÈÎfi ¿ıÚÔÈÛÌ·. ∂Ô̤ӈ˜

S = (1 + 2 + 3 + ... + 200)(4 + 8 + 12 + ... + 200) – (9 + 18 + 27 + ... + 198 ++ (36 + 72 + ... + 180).

40

2

30

2

63

2

63

2

39

2

182

2

∫∂º∞§∞π√ 5: ¶ƒ√√¢√π68

∫·Ù¿ Ù· ÁÓˆÛÙ¿ ¤¯Ô˘ÌÂ:

1 + 2 + 3 + ... + 200 = (1 + 200) = 100 . 201 = 20100

4 + 8 + 12 + ... + 200 = (4 + 200) = 25 . 204 = 5100

9 + 18 + ... + 198 = (9 + 198) = 11 . 207 = 2277

36 + 72 + ... + 180 = (36 + 180) = . 216 = 5 . 108 = 540

ÕÚ· S = 20100 – 5100 – 2277 + 540 = 13263.

6. ∆Ô ¿ıÚÔÈÛÌ· Ó fiÚˆÓ Ù˘ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜ ›ӷÈ

SÓ = [2·1 + (Ó – 1)ˆ] ‹ SÓ = [2 . 1 + (Ó – 1) . 2].

¶Ú¤ÂÈ SÓ > 400 ⇔ [2 . 1 + (Ó – 1) . 2] > 400

⇔ Ó2 > 400⇔ Ó > 20.

7. °È· ÙËÓ 1Ë ÁÚ·ÌÌ‹ ÙÔ˘ ›Ó·Î· ¤¯Ô˘ÌÂ:·Ó = ·1 + (Ó – 1)ˆ = 120 + (12 – 1)(–10) = 120 – 110 = 10.

SÓ = (·1 + ·Ó) = (120 + 10) = 6 . 130 = 780.

°È· ÙËÓ 2Ë ÁÚ·ÌÌ‹ ¤¯Ô˘ÌÂ:·Ó = ·1 + (Ó – 1)ˆ ‹ 109 = 5 + (27 – 1)ˆ ‹ ˆ = 4.

SÓ = (·1 + ·Ó) = (5 + 109) = . 114 = 1539.

°È· ÙËÓ 3Ë ÁÚ·ÌÌ‹ ¤¯Ô˘ÌÂ:

SÓ = [2·1 + (Ó – 1)ˆ] ‹ 210 = [2·1 + 11 . 3] ‹ ·1 = 1.

·Ó = ·1 + (Ó – 1)ˆ ‹ ·Ó = 1 + 11 . 3 ‹ ·Ó = 34.

°È· ÙËÓ 4Ë ÁÚ·ÌÌ‹ ¤¯Ô˘ÌÂ:

·Ó = ·1 + (Ó – 1)ˆ ‹ – 8 = ·1 + 15 . 2 ‹ ·1 = –38.

SÓ = (·1 + ·Ó) ‹ SÓ = (–38 – 8) = 8 . (–46) = –368.16

2

Ó

2

12

2

Ó

2

27

2

27

2

Ó

2

12

2

Ó

2

Ó

2

Ó

2

Ó

2

5

2

5

2

22

2

50

2

200

2

5.2. ∞ÚÈıÌËÙÈ΋ ÚfiÔ‰Ô˜ 69

8. ∆Ș ÚÒÙ˜ 12 ÒÚ˜ ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ÎÙ‡ˆÓ ›ӷÈ

1 + 2 + 3 + ... + 12 = (1 + 12) = 6 . 13 = 78, ¿Ú· Û˘ÓÔÏÈο ·ÎÔ‡ÁÔÓÙ·È

2 . 78 = 156 ÎÙ˘‹Ì·Ù·.

9. ∆Ô Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ı¤ÛÂˆÓ Î¿ı ÛÂÈÚ¿˜ ηıÈÛÌ¿ÙˆÓ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ ·ÚÈıÌËÙÈ΋ÚfiÔ‰Ô Ì ·1 = 800 Î·È ·33 = 4160. ∂Ô̤ӈ˜, ÏfiÁˆ Ù˘ ·Ó = ·1 + (Ó – 1)ˆ,Â›Ó·È 4160 = 800 + (33 – 1) . ˆ ‹ ˆ = 105. ∆Ô ÛÙ¿‰ÈÔ ¤¯ÂÈ Û˘ÓÔÏÈο:

S33 = (800 + 4160) = . 4960 = 33 . 2480 = 81840 ı¤ÛÂȘ.

∏ ÌÂÛ·›· ÛÂÈÚ¿, ‰ËÏ·‰‹ Ë 17Ë ÛÂÈÚ¿ ¤¯ÂÈ·17 = 800 + (17 – 1) . 105 = 800 + 16 . 105 = 2480 ı¤ÛÂȘ.

10. √È fiÚÔÈ Ù˘ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜ ‰È·‰Ô¯Èο ı· ›ӷÈ3, x1, x2, ..., x10, 80

Û˘ÓÔÏÈο 12 fiÚÔÈ.πÛ¯‡ÂÈ ·Ó = ·1 + (Ó – 1)ˆ ‹ 80 = 3 + 11ˆ ‹ ˆ = 7, ÔfiÙ ÔÈ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔÈ·ÚÈıÌÔ› ›ӷÈ

10, 17, 24, 31, 38, 45, 52, 59, 66, 73.

11. Œ¯Ô˘ÌÂ

12. ∆Ô 1Ô Ì¤ÙÚÔ ı· ÎÔÛÙ›ÛÂÈ 20€.∆Ô 2Ô Ì¤ÙÚÔ ı· ÎÔÛÙ›ÛÂÈ 25€.∆Ô 3Ô Ì¤ÙÚÔ ı· ÎÔÛÙ›ÛÂÈ 30€. Î.Ù.Ï.∞Ó ÏÔÈfiÓ Ë ÁÂÒÙÚËÛË ¿ÂÈ Ó Ì¤ÙÚ· ‚¿ıÔ˜, ÙfiÙ ÙÔ Û˘ÓÔÏÈÎfi ÎfiÛÙÔ˜,

Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔÓ Ù‡Ô ı· Â›Ó·È ›ÛÔ ÌÂ:

[2 . 20 + (Ó – 1)5].

¶Ú¤ÂÈ ÂÔ̤ӈ˜

[2 . 20 + (Ó – 1)5] ≤ 4.700 ⇔ 20Ó + 2,5Ó(Ó – 1) ≤ 4.700

⇔ 8Ó + Ó(Ó – 1) ≤ 1880⇔ Ó2 + 7Ó – 1880 ≤ 0⇔ (Ó – 40)(Ó + 47) ≤ 0⇔ –47 ≤ Ó ≤ 40

ÕÚ· Ë ÁÂÒÙÚËÛË ÌÔÚ› Ó· ¿ÂÈ 40m ‚¿ıÔ˜.

Ó

2

SÓ =Ó

2

SÓ =(2·1 + (Ó – 1)ˆ)Ó

2 ,

=

Ó(Ó + 1)

2

Ó = Ó + 1

2 .

1 + Ó – 1

Ó + Ó – 2

Ó + Ó – 3

Ó + ... + 1

Ó = Ó + (Ó – 1) + (Ó – 2) + ... + 1

Ó =

33

2

33

2

12

2

∫∂º∞§∞π√ 5: ¶ƒ√√¢√π70

¨ 5.3. °ÂˆÌÂÙÚÈ΋ ÚfiÔ‰Ô˜∞ã √ª∞¢∞™

1. i) ·Ó = 3 . 2Ó – 1, ii) ·Ó = . 3Ó – 1 = 2 . 3Ó – 2, iii) ·Ó = 9 . 3Ó – 1 = 3Ó + 1,

iv) ·Ó = . v) ·Ó = 16 . = 24 .

vi) ·Ó = 18 . = 2 . 32 . vii) ·Ó = 1 . (0,4)Ó – 1 =0,4 Ó – 1,

viii) ·Ó = (–2) . (–2)Ó – 1 = (–2)Ó, ix) ·Ó = (–3) . (–3)Ó – 1 = (–3)Ó.

2. i) ·9 = . 28 = 64, ii) ·7 = 2 . 36 = 1458, iii) ·8 = 729 .

iv) ·10 = 1 . (–2)9 = –512, v) ·9 =

3. i) = ·1. 25 ‹ ·1 =

ii)

4. i) 12 = ·1. Ï2

, ¿Ú· ¿Ú· Ï = 2.

96 = ·1. Ï5

ii) = ·1. Ï

, ¿Ú· ¿Ú·

= ·1. Ï4

5. i) 125 = ·1. Ï3

, ¿Ú·

= ·1. Ï9125

64

·1Ï9

·1Ï3 = 1

2

6

, ‹ Ï6 = 1

2

6

, ¿Ú· Ï = ± 1

2 .

64

81

Ï = 2

3 .

·1Ï4

·1Ï = 2

3

3

‹ Ï3 = 2

3

3

,

8

3

·1Ï5

·1Ï2 = 96

12 ‹ Ï3 = 8,

27

128 = ·1 ⋅

3

4

3

‹ 33

27 = ·1 ⋅

33

26 , ¿Ú· ·1 =

1

2 .

32

3 ⋅ 25 = 1

3 ,32

3

8

27 ⋅ 3

2

8

= 23

33 ⋅ 3

8

28 = 35

25 = 3

2

5

.

1

3

7

= 1

3 ,1

4

1

3Ó – 1 = 2

3Ó – 3 ,1

3

Ó –1

1

2Ó – 1 = 1

2Ó – 5 ,1

2

Ó –11

2

Ó –1

= 1

2Ó + 1 ,1

4

2

3

5.3. °ÂˆÌÂÙÚÈ΋ ÚfiÔ‰Ô˜ 71

{

{{

°È· Ï = ¤¯Ô˘Ì 125 = ·1. ‹ ·1 = 125 . 23 = 1000.

Œ¯Ô˘Ì ÙÒÚ· ·14 = 1000 .

°È· Ï = ÂÚÁ·˙fiÌ·ÛÙ ÔÌÔ›ˆ˜.

ii) = ·1. Ï12

, ¿Ú·

= ·1. Ï22

°È· Ï = ¤¯Ô˘Ì = ·1. 26 ‹ ·1 =

Œ¯Ô˘Ì ÙÒÚ· ·21 =

°È· Ï = ÂÚÁ·˙fiÌ·ÛÙ ÔÌÔ›ˆ˜.

6. ŒÛÙˆ ·Ó Ô fiÚÔ˜ Ô˘ ÈÛÔ‡Ù·È Ì 768. ∆fiÙ 768 = 3 . 2Ó –1 ‹ 2Ó – 1 = 256 ‹

2Ó – 1 = 28, ÔfiÙÂ Ó – 1 = 8, ¿Ú· Ó = 9.

7. i) √ ÓÔ˜ fiÚÔ˜ Ù˘ ÚÔfi‰Ô˘ Â›Ó·È ·Ó = 4 . 2Ó – 1.∞Ó 4 . 2Ó – 1 > 2000, ÙfiÙ 2Ó + 1 >2000. Œ¯Ô˘Ì 210 = 1024 Î·È 211 = 2048.ÕÚ· Ú¤ÂÈ Ó + 1 > 10 ‹ Ó > 9.∂Ô̤ӈ˜ Ô ÚÒÙÔ˜ fiÚÔ˜ Ô˘ ˘ÂÚ‚·›ÓÂÈ ÙÔ 2000 Â›Ó·È Ô 10Ô˜ fiÚÔ˜.

ii) √ ÓÔ˜ fiÚÔ˜ Ù˘ ÚÔfi‰Ô˘ Â›Ó·È ·Ó = 128 .

∞Ó 128 . < 0,25, ÙfiÙÂ 2Ó – 1 > ‹ 2Ó – 1 > 512.

Œ¯Ô˘Ì 28 = 256 Î·È 29 = 512. ÕÚ· Ú¤ÂÈ Ó – 1 > 9 ‹ Ó > 10.∂Ô̤ӈ˜ Ô ÚÒÙÔ˜ fiÚÔ˜ Ô˘ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ÙÔ˘ 512 Â›Ó·È Ô 11Ô˜.

8. i)

ii) πÛ¯‡ÂÈ(x + 1)2 = (x – 4)(x – 19) ⇔ x2 + 2x + 1 = x2 – 23x + 76

⇔ 25x = 75⇔ x = 3.

5 ⋅ 20 = 100 = 10, 1

3 ⋅ 3 = 1 = 1.

128

0,251

2Ó – 1

1

2

Ó – 1

.

– 2

2

26 ⋅ 210 = 24 ⋅ 2 = 16 2 .

2

26 .22

32 2

·1Ï22

·1Ï12

= 32 2

2 ‹ Ï10 = 25 ‹ Ï = ± 2 .

2

–1

2

1

2

13

= 1000

8192 .

1

23

1

2

∫∂º∞§∞π√ 5: ¶ƒ√√¢√π72

{

9. i) S10 = 1 . = 1023.

ii) S10 = 3 . = 3 . = 3 . 29524 = 88572.

iii) S10 = –4 . = –4 . = 4 . 341 = 1364.

10. i) ∞fi ÙÔÓ Ù‡Ô ·Ó = ·1ÏÓ – 1 ¤¯Ô˘Ì 8192 = 2 . 4Ó – 1 ‹ 4Ó – 1 = 4096 = 46,

¿Ú· Ó – 1 = 6 ‹ Ó = 7.

∂Ô̤ӈ˜ S7 = 2 . = 2 . = 2 . 5461 = 10922.

ii) √ÌÔ›ˆ˜ ·fi ÙÔÓ Ù‡Ô ·Ó = ·1ÏÓ – 1 ¤¯Ô˘ÌÂ

¿Ú· Ó – 1 = 11 ‹ Ó = 12.

∂Ô̤ӈ˜

iii) √ÌÔ›ˆ˜ ·fi ÙÔÓ Ù‡Ô ·Ó = ·1ÏÓ – 1 ¤¯Ô˘Ì 256 = 1 . (–2)Ó – 1 ‹

(–2)8 = (–2)Ó – 1, ¿Ú· Ó – 1 = 8 ‹ Ó = 9.∂Ô̤ӈ˜

11. Œ¯Ô˘Ì ·1 = 3 ηÈ,

ÛÂ 1 ÒÚ· ·2 = 3 . 2

Û 2 ÒÚ˜ ·3 = 3 . 22

Û 3 ÒÚ˜ ·4 = 3 . 23 ÎÙÏ. ηÈ,

Û 12 ÒÚ˜ ·13 = 3 . 212 = 12288 ‚·ÎÙËÚ›‰È·.

12. Œ¯Ô˘Ì ·1 = 60 ηÈ,

ÌÂÙ¿ ÙËÓ 1Ë ·Ó·‹‰ËÛË ·2 = 60 .

ÌÂÙ¿ ÙËÓ 2Ë ·Ó·‹‰ËÛË ·3 = 60 . 1

3

2

1

3

S9 = 1 ⋅ (–2)9 – 1

–2 – 1 = –513

–3 = 171.

S12 = 4 ⋅

1

2

12

– 1

1

2 – 1

= 4 ⋅

1

4096 – 1

–1

2

4 ⋅

4095

4096

1

2

= 4 ⋅ 2 ⋅ 4095

4096 = 4095

512 ≈ 8.

1

2

Ó – 1

= 1

2048 = 1

2

11

,

1

512 = 4 ⋅ 1

2

Ó – 1

‹

16383

3

47 – 1

4 – 1

1023

–3(–2)10 – 1

–2 – 1

59048

2

310 – 1

3 – 1

210 – 1

2 – 1

5.3. °ÂˆÌÂÙÚÈ΋ ÚfiÔ‰Ô˜ 73

ÌÂÙ¿ ÙËÓ 3Ë ·Ó·‹‰ËÛË ·4 = 60 .

ÌÂÙ¿ ÙËÓ 4Ë ·Ó·‹‰ËÛË ·5 = 60 .

µã √ª∞¢∞™

1. Œ¯Ô˘ÌÂ

∂Ô̤ӈ˜ Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· Â›Ó·È ÁˆÌÂÙÚÈ΋ ÚfiÔ‰Ô˜ ÌÂ

2. ¶Ú¤ÂÈ

⇔

⇔ (Ó – 5)(Ó + 2) = 10Ó + 4

⇔ Ó2 – 13Ó – 14 = 0

⇔ –1

14

ªÂ ‰ÔÎÈÌ‹ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì fiÙÈ ÌfiÓÔ Ë ÙÈÌ‹ Ó = 14 Â›Ó·È ‰ÂÎÙ‹.

3. i) ŒÛÙˆ ÌÈ· ÁˆÌÂÙÚÈ΋ ÚfiÔ‰Ô˜ Ì ÚÒÙÔ fiÚÔ ·1 Î·È ÏfiÁÔ Ï. ∆fiÙ ÔÈ fiÚÔÈÙ˘ ÚÔfi‰Ô˘ ›ӷÈ:

·1, ·1Ï, ·1Ï2, ·1Ï

3, ..., ·1ÏÓ, ...

Î·È Ù· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ· ÙˆÓ fiÚˆÓ ·˘ÙÒÓ Â›Ó·È:

·12, ·1

2Ï2, ·12Ï4, ·1

2Ï6, ... ·12Ï2Ó.

¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· ·˘Ù‹ Â›Ó·È ÁˆÌÂÙÚÈ΋ ÚfiÔ‰Ô˜ Ì 1Ô fiÚÔ·1

2 Î·È ÏfiÁÔ Ï2.ii) ∞Ó ˘„ÒÛÔ˘Ì ÙÔ˘˜ fiÚÔ˘˜ Ù˘ ÚÔfi‰Ô˘ ÛÙËÓ k ¤¯Ô˘ÌÂ:

·1k, ·1

kÏk, ·1kÏ2k, ·1

kÏ3k, ... ·1kÏÓk

¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· ·˘Ù‹ Â›Ó·È ÁˆÌÂÙÚÈ΋ ÚfiÔ‰Ô˜ Ì 1Ô fiÚÔ·1

k Î·È ÏfiÁÔ Ïk.

4. i) Œ¯Ô˘ÌÂ

√È (1) Î·È (2) Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÙÔ Û‡ÛÙËÌ·

·1 + ·1Ï = 3 + 3 (1) Î·È ·1 ⋅ Ï4 – 1

Ï – 1 = 4(3 + 3) (2).

Ó = 13 ± 225

2 = 13 ± 15

2 =

10Ó + 4 = (Ó – 5)(Ó + 2)( 10Ó + 44

)2 = Ó – 5 ⋅ Ó + 2

Ï = 2

3 Î·È ·1 =

2

9 .

·Ó + 1

·Ó

=

2Ó + 1

3Ó + 2

2Ó

3Ó + 1

= 2Ó + 1 ⋅ 3Ó + 1

2Ó ⋅ 3Ó + 2 = 2

3 ‹ ·Ó + 1 = ·Ó ⋅

2

3 .

1

3

4

= 60

81 = 20

27 ≈ 0,74m.

1

3

3

∫∂º∞§∞π√ 5: ¶ƒ√√¢√π74

·1(Ï + 1) = 3 +

·1(Ï3 + Ï2 + Ï + 1) = 4(3 + ).

ªÂ ‰È·›ÚÂÛË Î·Ù¿ ̤ÏË ÙˆÓ ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ÚÔ·ÙÂÈ

Ï3 + Ï2 – 3Ï – 3 = 0 ⇔ Ï2(Ï + 1) –3(Ï + 1) = 0

⇔ (Ï + 1)(Ï2 – 3) = 0

⇔ Ï = –1 ‹ Ï = ‹ Ï =

∞ÓÙÈηıÈÛÙԇ̠ÙȘ ÙÈ̤˜ ·˘Ù¤˜ ÙÔ˘ Ï ÛÙËÓ (1) Î·È ¤¯Ô˘ÌÂ

°È· Ï = –1, ·1. 0 = 3 + (·‰‡Ó·ÙÔ)

°È· Ï = , ·1( + 1) = 3 + ‹ ·1 =

°È· Ï = , ·1(1 – ) = 3 + ‹ ·1 = –(3 + 2 ).

5. Œ¯Ô˘Ì ·1Ï + ·1Ï5 = 34 ⇔ ·1Ï(Ï4 + 1) = 34 (1)

Î·È ·1Ï2 + ·1Ï

6 = 68 ⇔ ·1Ï2(Ï4 + 1) = 68 (2)

ªÂ ‰È·›ÚÂÛË Î·Ù¿ ̤ÏË ÙˆÓ (1) Î·È (2) ¤¯Ô˘ÌÂ Ï = 2, ÔfiÙ Ì ·ÓÙÈηٿ-ÛÙ·ÛË ÛÙËÓ (1) ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ·1 = 1.

ÕÚ· S10 = 1 . = 1024 – 1 = 1023.

6. ∞Ó ·Ó Â›Ó·È Ô ÏËı˘ÛÌfi˜ Ù˘ ¯ÒÚ·˜ ‡ÛÙÂÚ· ·fi Ó ¯ÚfiÓÈ· ·fi Û‹ÌÂÚ·, ÙfiÙÂÙÔÓ ÂfiÌÂÓÔ ¯ÚfiÓÔ, ‰ËÏ·‰‹ ‡ÛÙÂÚ· ·fi Ó + 1 ¯ÚfiÓÈ· ·fi Û‹ÌÂÚ·, ı· ›ӷÈ(Û ÂηÙÔÌ̇ÚÈ·).

·Ó + 1 = ·Ó + . ·Ó = 1,02 . ·Ó.

ÕÚ· Ô ·Ó·‰ÚÔÌÈÎfi˜ Ù‡Ô˜ Ù˘ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜ Â›Ó·È·Ó + 1 = 1,02 . ·Ó.

∂Âȉ‹ ·1 = 90 . 1,02 Î·È ·Ó + 1 = 1,02 . ·Ó Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· Â›Ó·È ÁˆÌÂÙÚÈ΋ÚfiÔ‰Ô˜ Ì 1Ô fiÚÔ ·1 = 90 . 1,02 Î·È ÏfiÁÔ Ï = 1,02, ÂÔ̤ӈ˜

·Ó = 90 . 1,02 . 1,02Ó – 1 ‹ ·Ó = 90 . 1,02Ó.⁄ÛÙÂÚ· ·fi 10 ¯ÚfiÓÈ· Ô Ï˘ı˘ÛÌfi˜ Ù˘ ¯ÒÚ·˜ ı· ›ӷÈ

·10 = 90 . 1,0210 ≈ 90 . 1,22 ‹ 109800000 οÙÔÈÎÔÈ.

7. ∞Ó πÓ Â›Ó·È Ë ¤ÓÙ·ÛË ÙÔ˘ ʈÙfi˜ ·ÊÔ‡ ‰È¤ÏıÂÈ Ì¤Û· ·fi Ó Ê›ÏÙÚ·, ÙfiÙ ˤÓÙ·Û‹ ÙÔ˘ ·ÊÔ‡ ‰È¤ÏıÂÈ Î·È Ì¤Û· ·fi ÙÔ ÂfiÌÂÓÔ Ê›ÏÙÚÔ, ‰ËÏ·‰‹ ·ÊÔ‡‰È¤ÏıÂÈ Û˘ÓÔÏÈο ̤۷ ·fi Ó + 1 Ê›ÏÙÚ· ı· ›ӷÈ

πÓ + 1 = πÓ – πÓ = 0,9πÓ.

ÕÚ· Ô ·Ó·‰ÚÔÌÈÎfi˜ Ù‡Ô˜ Ù˘ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜ ›ӷÈπÓ + 1 = 0,9 . πÓ.

10

100

2

100

210 – 1

2 – 1

333– 3

3333

3

– 3 .3

3

3

5.3. °ÂˆÌÂÙÚÈ΋ ÚfiÔ‰Ô˜ 75

{

∂Âȉ‹ π1 = π0. 0,9 Î·È πÓ + 1 = 0,9 . πÓ Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· Â›Ó·È ÁˆÌÂÙÚÈ΋ ÚfiÔ-

‰Ô˜ Ì 1Ô fiÚÔ π0. 0,9 Î·È ÏfiÁÔ Ï = 0,9, ¿Ú· πÓ = π0

. 0,9 . 0,9Ó – 1 ‹ πÓ = π0

. 0,9Ó.

°È· Ó = 10 ¤¯Ô˘Ì π10 = π0. 0,910 ≈ 0,35 . π0.

8. i) √È 11 ÂӉȿÌÂÛÔÈ ÙfiÓÔÈ Ì ÙÔ˘˜ ‰‡Ô ·ÎÚ·›Ô˘˜ Cã Î·È Cãã ı· Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘ÓÁˆÌÂÙÚÈ΋ ÚfiÔ‰Ô Ì ·1 = 261 Î·È ·13 = 522.

∂Âȉ‹ ·13 = ·1. Ï12 ¤¯Ô˘Ì 522 = 261 . Ï12 Î·È ÂÔ̤ӈ˜

ii) ∏ Û˘¯ÓfiÙËÙ· ÙÔ˘ 5Ô˘ ÙfiÓÔ˘ ı· Â›Ó·È ·5 = ·1. Ï5 = 261 .

9. i) ∞Ó DÓ Â›Ó·È Ë ÔÛfiÙËÙ· ÙÔ˘ ÓÂÚÔ‡ ÛÙÔ „˘Á›Ô, ·ÊÔ‡ ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘Ì Ùˉȷ‰Èηۛ· Ó ÊÔÚ¤˜, ÙfiÙÂ Ë ÔÛfiÙËÙ· ÙÔ˘ ÓÂÚÔ‡ ÛÙÔ „˘Á›Ô, ·Ó ÂÊ·ÚÌfi-ÛÔ˘Ì ÙË ‰È·‰Èηۛ· ÌÈ· ·ÎfiÌ· ÊÔÚ¿, ‰ËÏ·‰‹ Ó + 1 Û˘ÓÔÏÈο ÊÔÚ¤˜ ı·Â›Ó·È

DÓ + 1 = DÓ – . 4 = DÓ – 0,1 . DÓ = (1 – 0,1)DÓ = 0,9DÓ.

∂Ô̤ӈ˜ DÓ + 1 = 0,9DÓ Î·È D1 = 36 fiÛÔ ÙÔ ÓÂÚfi Ô˘ ̤ÓÂÈ ÙËÓ 1Ë ÊÔÚ¿.µÏ¤Ô˘Ì fiÙÈ Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· DÓ Â›Ó·È ÁˆÌÂÙÚÈ΋ ÚfiÔ‰Ô˜ Ì D1 = 36 ηÈÏfiÁÔ Ï = 0,9, ¿Ú· DÓ = 36 . 0,9Ó –1.ii) D7 = 36 . 0,96 ≈ 19,13, ÔfiÙÂ Ë ÔÛfiÙËÙ· ÙÔ˘ ·ÓÙÈ˘ÎÙÈÎÔ‡ Â›Ó·È Â-

Ú›Ô˘ 40 – 19,13 = 20,87�.

10. ∞ÊÔ‡ ‰ÈÏ·ÛÈ¿˙Ô˘Ì οı ÊÔÚ¿ ÙÔÓ Ú˘ıÌfi ÙˆÓ ÎfiÎÎˆÓ ÙÔ˘ Ú˘˙ÈÔ‡ ¤¯Ô˘-Ì ·Ó + 1 = 2 . ·Ó.∂Âȉ‹ ÛÙÔ 1Ô ÙÂÙÚ·ÁˆÓ¿ÎÈ ‚¿˙Ô˘Ì 1 ÎfiÎÎÔ Ú‡˙È ¤¯Ô˘Ì ·1 = 1.∂Ô̤ӈ˜ Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· ·Ó, Â›Ó·È ÁˆÌÂÙÚÈ΋ ÚfiÔ‰Ô˜ Ì ·1 = 1 Î·È ÏfiÁÔÏ = 2, ¿Ú·

·Ó = 1 . 2Ó – 1 ‹ ·Ó = 2Ó – 1.™˘ÓÔÏÈο Û fiÏ· Ù· ÙÂÙÚ·ÁˆÓ¿ÎÈ· Ú¤ÂÈ Ó· ÌÔ˘Ó

S64 = 1 . = 264 – 1 ÎfiÎÎÔÈ Ú‡˙È.

∆Ô Ú‡˙È ·˘Ùfi Â›Ó·È ÂÚ›Ô˘ Û ÎÈÏ¿

11. i) Œ¯Ô˘Ì S1 = 3S2 = 3 . 4 = 12S3 = 12 . 4 = 48

¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ Î¿ı ۯ‹Ì·ÙÔ˜ ÚÔ·ÙÂÈ ·fiÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Ì ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·-ÛÌfi › 4. ∂Ô̤ӈ˜ SÓ + 1 = 4 . SÓ, ÔfiÙÂ

264 – 1

20000 ≅ 1,8447 ⋅ 1019

2 ⋅104 = 0,9223 ⋅ 1015 = 9,223 ⋅ 1014 ÎÈÏ· = 9,223 ⋅ 1011 ÙfiÓÔÈ.

264 – 1

2 – 1

DÓ

40

2512 .

Ï = 212

.

∫∂º∞§∞π√ 5: ¶ƒ√√¢√π76

S1 = 3 ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘ÌÂS2 = 4S1 ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜ ·˘Ù¤˜ ηٿ ̤ÏËS3 = 4S2 Î·È ¤¯Ô˘ÌÂ................. SÓ = 3 . 4Ó – 1

SÓ = 4SÓ – 1

ii) Œ¯Ô˘Ì U1 = 3 . 1 = 3

U2 = 3 . 4 . = 3 . = 4

U3 = 3 . 4 . 4 . = 4 . =

UÓ + 1 = UÓ . .

∂ÚÁ·˙fiÌÂÓÔÈ fiˆ˜ ÚÔËÁÔ˘Ì¤Óˆ˜ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì fiÙÈ UÓ = 3 .

¨ 5.4. ∞Ó·ÙÔÎÈÛÌfi˜ - ÿÛ˜ ηٷı¤ÛÂȘ

1. ·5 = 5.000(1 + )5 = 5.000 . (1,05)5 = 5.000 . 1,27628 = 6381,4€.

2. ·10 = ·(1 + Ù)10 ⇔ 50.000 = ·(1 + )10

⇔ · . 1,0310 = 50.000 ⇔ · . 1,34391 = 50.000

⇔ · = = 37.204,87€.

3. ·5 = (1 + Ù)5 ⇔ 12.762 = 10.000(1 + Ù)5

⇔ (1 + Ù)5=

⇔ (1 + Ù)5= 1,2762 ⇔ 1 + Ù = 1,05⇔ Ù = 0,05 = 5%.

4. ™ = 5.000

= 5.000 . 1,03 .

= 5.000 . 1,03 . ≈ 27.342,05€.0,159274

0,03

1,035 – 1

3 / 100

(1 + 3

100) ⋅ (1 + (3 / 100))5 – 1

3 / 100

12.762

10.000

50

1,34391

3

100

20

100

4

3

Ó – 1

.

4

3

16

3

4

3

1

9

4

3

1

3

5.4. ∞Ó·ÙÔÎÈÛÌfi˜ - ÿÛ˜ ηٷı¤ÛÂȘ 77

KEº∞§∞π√ 6

µ∞™π∫∂™ ∂¡¡√π∂™ ∆ø¡ ™À¡∞ƒ∆∏™∂ø¡

¨ 6.1. ∏ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘∞ã √ª∞¢∞™

1. i) ¶Ú¤ÂÈ x – 1 ≠ 0, ‰ËÏ·‰‹ x ≠ 1. ÕÚ· ÙÔ Â‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛË˜Â›Ó·È ÙÔ: � – {1} = (–∞, 1) ∪ (1, +∞).

ii) ¶Ú¤ÂÈ x2 – 4x ≠ 0 ⇔ x (x – 4) ≠ 0 ⇔ x ≠ 0 Î·È x ≠ 4.ÕÚ·, ÙÔ Â‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ Â›Ó·È ÙÔ: � – {0,4} = (–∞, 0) ∪ (0, 4) ∪ (4, –∞).

iii) ¶Ú¤ÂÈ x2 + 1 ≠ 0 Ô˘ ÈÛ¯‡ÂÈ ¿ÓÙÔÙÂ. ÕÚ·, ÙÔ Â‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ Ù˘ Û˘-Ó¿ÚÙËÛ˘ Â›Ó·È fiÏÔ ÙÔ �.

iv) ¶Ú¤ÂÈ |x| + x ≠ 0 ⇔ |x| ≠ – x ⇔ x > 0.ÕÚ·, ÙÔ Â‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ Â›Ó·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ (0, +∞).

2. i) ¶Ú¤ÂÈ: x – 1 ≥ 0 Î·È 2 – x ≥ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 2.ÕÚ·, ÙÔ Â‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ Â›Ó·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ [1, 2].

ii) ¶Ú¤ÂÈ x2 – 4 ≥ 0 ⇔ x ≤ – 2 ‹ x ≥ 2·ÊÔ‡ ÔÈ Ú›˙˜ ÙÔ˘ ÙÚȈӇÌÔ˘ x2 – 4 Â›Ó·È ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› –2 Î·È 2.ÕÚ·, ÙÔ Â‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ Â›Ó·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ (–∞, –2] ∪ [2, +∞).

iii) OÌÔ›ˆ˜, ÙÔ Â‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ Â›Ó·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ [1, 3] ·ÊÔ‡ÔÈ Ú›˙˜ ÙÔ˘ ÙÚȈӇÌÔ˘ Î·È ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› 1 Î·È 3.

iv) ¶Ú¤ÂÈ ≠ 0 ⇔ ⇔ x ≥ 0 Î·È x ≠ 1. ÕÚ·, ÙÔ Âȉ›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ Â›Ó·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ[0, +∞) – {1} = [0, 1) ∪ (1, +∞).

3. ∂›Ó·Èf(–5) = (–5)3 = –125.f(0) = 2 Ø 0 + 3 = 3.f(6) = 2 Ø 6 + 3 = 15.

4. i) ŒÛÙˆ x Ô ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ˜ Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜. ∆fiÙÂ, Ô Ù‡Ô˜ Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ı· ÚÔ·„ÂÈ ˆ˜ ÂÍ‹˜:

x ≠ 1x – 1

x → x + 1 → (x + 1) Ø 4 → (x + 1) 4 + x2.

EÔ̤ӈ˜, ı· ÂÈÓ·È f(x) = (x + 1)4 + x2 = x2 + 4x + 4 = (x + 2)2

‰ËÏ·‰‹ f(x) = (x + 2)2, x ∈ �. (1)

ŒÙÛÈ ı· ¤¯Ô˘Ì f(0) = 22 = 4, f(1) = 32 = 9, f(2) = 42 = 16 Î·È f(3) = 52 = 25.

ii) ∂Âȉ‹ x > 0, ¤¯Ô˘ÌÂ:� f(x) = 36 ⇔ (x + 2)2 = 62 ⇔ x + 2 = 6 ⇔ x = 4.� f(x) = 49 ⇔ (x + 2)2 = 72 ⇔ x = 5.� f(x) = 100 ⇔ (x + 2)2 = 102 ⇔ x = 8.� f(x) = 144 ⇔ (x + 2)2 = 122 ⇔ x = 10.

5. i) °È· x ≠ 1 ¤¯Ô˘ÌÂ:

f(x) = 7 ⇔ ⇔

⇔ 2 (x – 1) = 4 ⇔ x – 1 = 2 ⇔ x = 3.

ii) °È· x ≠ 0, 4 ¤¯Ô˘ÌÂ:

g(x) = 2 ⇔ ⇔ ⇔

⇔ x + 4 = 2x ⇔ x = 4, ·‰‡Ó·ÙË.

iii) °È· x ∈ � ¤¯Ô˘ÌÂ:

h(x) = ⇔ ⇔ x2 + 1 = 5 ⇔ x2 = 4 ⇔ x = 2 ‹ x = –2.

¨ 6.2. °Ú·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘∞ã √ª∞¢∞™

1. T· ÛËÌ›· Â›Ó·È ·ÔÙ˘ˆÌ¤Ó· ÛÙÔ ‰ÈÏ·ÓfiÛ¯‹Ì·.

2. ¶Ú¤ÂÈ 2 < x < 5 Î·È 1 < y < 6.

1

x2 + 1 = 1

5

1

5

x + 4

x = 2(x – 4)(x + 4)

x(x – 4) = 2x2 – 16

x2 – 4x = 2,

4

x – 1 = 24

x – 1 + 5 = 7

∫∂º∞§∞π√ 6: µ∞™π∫∂™ ∂¡¡√π∂™ ∆ø¡ ™À¡∞ƒ∆∏™∂ø¡80

+ 1 Ø 4 + x2

3. ∆Ô Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘ ∞(–1, 3),i) ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· xãx Â›Ó·È ÙÔ µ(–1, –3)ii) ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· yãy Â›Ó·È ÙÔ ¢(1, 3)

iii) ˆ˜ ÚÔ˜ ÙË ‰È¯ÔÙfiÌÔ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ x y

Â›Ó·È ÙÔ ∂(3, –1)iv) ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙˆÓ ·ÍfiÓˆÓ Â›Ó·È

ÙÔ °(1, –3).

4. ªÂ ‚¿ÛË ÙÔÓ Ù‡Ô Ù˘ ·fiÛÙ·Û˘ ÙˆÓ ÛË-

Ì›ˆÓ ∞(x1, y1) Î·È B(x2, y2), ¤¯Ô˘ÌÂ

i)

ii)

iii)

iv)

5. i) ∂›Ó·È

ÕÚ·, (AB) = (A°), ÔfiÙ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜ Ì ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ ∞.

ii) ∂›Ó·È

ÔfiÙÂ (∞µ)2 = 8.

ÔfiÙÂ (∞°)2 = 18.

ÔfiÙÂ (µ°)2 = 26.

¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ (µ°)2 = (∞µ)2 + (∞°)2. ÕÚ· ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° ›ӷÈÔÚıÔÁÒÓÈÔ, Ì ÔÚı‹ ÁˆÓ›· ÙËÓ ∞.

6. ∂›Ó·È

(∞µ) = (5 – 2)2 + (1 – 5)2 = 5.

(µ°) = (4 + 1)2 + (2 – 1)2 = 26,

(A°) = (4 – 1)2 + (2 + 1)2 = 2 ⋅ 32 = 3 2,

(AB) = (–1 – 1)2 + (1 + 1)2 = 2 ⋅ 22 = 2 2,

(B°) = (–3 – 4)2 + (5 + 2)2 = 2 ⋅ 72 + = 7 2.

(A°) = (–3 – 1)2 + (5 – 2)2 = 42 + 32 = 5.

(AB) = (4 – 1)2 + (–2 – 2)2 = 32 + 42 = 5.

(AB) = 02 + (4 + 1)2 = 5.

(AB) = (1 + 3)2 + 02 = 4.

(∞B) = (3 + 1)2 + (4 – 1)2 = 42 + 32 = 25 = 5.

(O∞) = 42 + (–2)2 = 20 = 2 5.

(∞µ) = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)

2

√

6.2. °Ú·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ 81

�

�

ÕÚ· ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞µ°¢ ¤¯ÂÈfiϘ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ›Û˜, ÔfiÙÂÂ›Ó·È ÚfiÌ‚Ô˜.™¯fiÏÈÔ: ÕÌÂÛ· ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈÙÔ ∞µ°¢ Â›Ó·È ÚfiÌ‚Ô˜, ·ÊÔ‡ÔÈ ‰È·ÁÒÓȘ ÙÔ˘ Ù¤ÌÓÔÓÙ·ÈοıÂÙ· Î·È ‰È¯ÔÙÔÌÔ‡ÓÙ·È.

7. ¶Ú¤ÂÈi) f(2) = 6 ⇔ 22 + k = 6 ⇔ k = 2.ii) g(–2) = 8 ⇔ k(–2)3 = 8 ⇔ k = –1.iii) h(3) = 8 ⇔ k ⇔ k = 4.

8. i) ∆Ô Â‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ Ù˘ f Â›Ó·È fiÏÔ ÙÔ �.ñ °È· y = 0 ¤¯Ô˘Ì x = 4, ofiÙÂ Ë y = f(x) Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ xãx ÛÙÔ ÛËÌ›Ô

∞(4, 0).ñ °È· x = 0 ¤¯Ô˘Ì y = –4, ÔfiÙÂ Ë y = f(x) Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ yãy ÛÙÔ ÛËÌ›Ô

µ(0, –4).

√ÌÔ›ˆ˜ii) ∏ g ¤¯ÂÈ Â‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ fiÏÔ ÙÔ � Î·È Ù¤ÌÓÂÈ

ñ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· xãx ÛÙ· ÛËÌ›· ∞1(2, 0) Î·È ∞2(3, 0) ηÈñ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· yãy ÛÙ· ÛËÌ›· B(0, 6).

iii) H h ¤¯ÂÈ Â‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ fiÏÔ ÙÔ � ηÈñ ¤¯ÂÈ Ì ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· xãx ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ ∞(1, 0).ñ Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· yãy ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ B(0, 1).

iv) H q ¤¯ÂÈ Â‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ fiÏÔ ÙÔ � ηÈñ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ÎÔÈÓ¿ ÛËÌ›· Ì ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· xãx.ñ Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· yãy ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô µ(0, 1).

v) H Ê ¤¯ÂÈ Â‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ [1, +∞), ÔfiÙÂñ ¤¯ÂÈ Ì ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· xãx ¤Ó· ÌfiÓÔ ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ ∞(1, 0) ηÈñ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ÎÔÈÓ¿ ÛËÌ›· Ì ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· yãy.

vi) H „ ¤¯ÂÈ Â‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ (–∞, –2] ∪ [2, +∞), ÔfiÙÂñ ¤¯ÂÈ Ì ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· xãx ‰‡Ô ÎÔÈÓ¿ ÛËÌ›·, Ù· ∞1(–2, 0) Î·È ∞2(2, 0).ñ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ÎÔÈÓ¿ ÛËÌ›· Ì ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· yãy.

4 = 8

(¢A) = (2 + 1)2 + (5 – 1)2 = 5.

(°¢) = (–1 –2)2 + (1 + 3)2 = 5.

(B°) = (2 – 5)2 + (–3 –1)2 = 5.

∫∂º∞§∞π√ 6: µ∞™π∫∂™ ∂¡¡√π∂™ ∆ø¡ ™À¡∞ƒ∆∏™∂ø¡82

9. i) °È· x = 0 ¤¯Ô˘Ì f(0) = –1. ÕÚ· Ë Cf Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ yãy ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞(0, –1).°È· y = 0 ¤¯Ô˘Ì x2 – 1 = 0 ⇔ x = –1 ‹ x = 1.ÕÚ· Ë Cf Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ xãx ÛÙ· ÛËÌ›· µ1(–1, 0) Î·È µ2(1, 0).

ii) f(x) > 0 ⇔ x2 – 1 > 0 ⇔ (x + 1)(x – 1) > 0 ⇔ x < – 1 ‹ x > 1.

10. i) f(x) = g(x) ⇔ x2 – 5x + 4 = 2x – 6 ⇔ x2 – 7x + 10 = 0

⇔ x =

ÕÚ· x = 5 ‹ x = 2.°È· x = 2, g(2) = 4 – 6 = –2.°È· x = 5, g(5) = 4.ÕÚ· Ù· ÎÔÈÓ¿ ÛËÌ›· ÙˆÓ Cf Î·È Cg Â›Ó·È Ù· ∞(2, –2) Î·È µ(5, 4).

ii) f(x) < g(x) ⇔ x2 – 5x + 4 < 2x – 6 ⇔ x2 – 7x + 10 < 0 ⇔ (x – 2)(x – 5) < 0 ⇔ 2 < x < 5.

¨ 6.3. ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË f(x) = ·x + ‚∞ã √ª∞¢∞™

1. Ÿˆ˜ Â›Ó·È ÁÓˆÛÙfi, ÁÈ· ÙÔ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹ ‰È‡ı˘ÓÛ˘ Ù˘ ¢ı›·˜ y = ·x + ‚ÈÛ¯‡ÂÈ: · = Âʈ, fiÔ˘ ˆ Â›Ó·È Ë ÁˆÓ›· Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ Ë y = ·x + ‚ Ì ÙÔÓ¿ÍÔÓ· xãx. ∂Ô̤ӈ˜, ı· ¤¯Ô˘ÌÂ

i) Âʈ = 1, ÔfiÙ ˆ = 45Æ.

ii) Âʈ = , ÔfiÙ ˆ = 60Æ.

iii) Âʈ = –1, ÔfiÙ ˆ = 135Æ.

iv) Âʈ = , ÔfiÙ ˆ = 120Æ.

2. ∞Ó ı¤ÛÔ˘Ì ¢x = x2 – x1 Î·È ¢y = y2 – y1, ¤¯Ô˘ÌÂ:

i)

ii)

iii)

iv)

3. ™Â fiϘ ÙȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ Ë Â͛ۈÛË Ù˘ ¢ı›·˜ Â›Ó·È Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ y = ·x + ‚.i) ∂Âȉ‹ · = –1 Î·È ‚ = 2, Ë Â͛ۈÛË Ù˘ ¢ı›·˜ ›ӷÈ: y = –x + 2.ii) ∂Âȉ‹ · = ÂÊ 45Æ = 1 Î·È ‚ = 1, Ë Â͛ۈÛË Ù˘ ¢ı›·˜ ›ӷÈ: y = x + 1.

· = ¢y

¢x = 1 – 3

2 – 1 = –2

1 = –2.

· = ¢y

¢x = 1 – 1

–1 – 2 = 0.

· = ¢y

¢x = 1 – 2

2 – 1 = –1.

· = ¢y

¢x = 3 – 2

2 – 1 = 1.

– 3

3

7 ± 9

2 = 7 ± 3

2

6.3. ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË f(x) = ·x + ‚ 83

iii) ∂Âȉ‹ Ë Â˘ı›· Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË Ì ÙËÓ y = 2x –3 ı· ¤¯ÂÈ ›‰È· ÎÏ›ÛËÌ ·˘Ù‹, ÔfiÙ ı· Â›Ó·È · = 2. ÕÚ· Ë ˙ËÙÔ‡ÌÂÓË Â͛ۈÛË Â›Ó·È Ù˘ ÌÔÚ-Ê‹˜: y = 2x + ‚ Î·È ÂÂȉ‹ Ë Â˘ı›· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞(1, 1)ı· ÈÛ¯‡ÂÈ 1 = 2 Ø 1 + ‚ ÔfiÙ ı· ¤¯Ô˘Ì ‚ = –1. ∂Ô̤ӈ˜, Ë Â͛ۈÛËÙ˘ ¢ı›·˜ Â›Ó·È y = 2x – 1.

4. Ÿˆ˜ ›‰·Ì ÛÙËÓ ¿ÛÎËÛË 2, Û fiϘ ÙȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ Ë Â˘ı›· ¤¯ÂÈ Û˘-ÓÙÂÏÂÛÙ‹ ‰È‡ı˘ÓÛ˘, ÔfiÙ ¤¯ÂÈ Â͛ۈÛË Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ y = ·x + ‚.i) ∂Âȉ‹ · = 1, Ë ˙ËÙÔ‡ÌÂÓË Â͛ۈÛË Â›Ó·È Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ y = x + ‚ ηÈ

ÂÂȉ‹ Ë Â˘ı›· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞(1, 2) ı· ÈÛ¯‡ÂÈ 2 = 1 + ‚ÔfiÙ ı· Â›Ó·È ‚ = 1. ∂Ô̤ӈ˜ Ë Â͛ۈÛË Ù˘ ¢ı›·˜ Â›Ó·È y = x + 1.

ii) ∂Âȉ‹ · = –1, Ë ˙ËÙÔ‡ÌÂÓË Â͛ۈÛË Â›Ó·È Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ y = –x + ‚ ηÈÂÂȉ‹ Ë Â˘ı›· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞(1, 2) ı· ÈÛ¯‡ÂÈ 2 = –1 + ‚ÔfiÙ ı· Â›Ó·È ‚ = 3. ∂Ô̤ӈ˜ Ë Â͛ۈÛË Ù˘ ¢ı›·˜ ›ӷÈ: y = –x + 3.

iii) ∂Âȉ‹ · = 0, Ë Â͛ۈÛË Ù˘ ¢ı›·˜ Â›Ó·È Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ y = ‚ Î·È ÂÂȉ‹Ë ¢ı›· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞(2, 1), Ë ˙ËÙÔ‡ÌÂÓË Â͛ۈÛË Â›Ó·È y = 1.

iv) ∂Âȉ‹ · = –2, Ë Â͛ۈÛË Ù˘ ¢ı›·˜ Â›Ó·È Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ y = –2x + ‚ ηÈÂÂȉ‹ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞(1, 3) ı· ÈÛ¯‡ÂÈ 3 = –2 + ‚ ÔfiÙ ı· ›-Ó·È ‚ = 5. ∂Ô̤ӈ˜ Ë Â͛ۈÛË Ù˘ ¢ı›·˜ ›ӷÈ: y = –2x + 5.

5. H ˙ËÙÔ‡ÌÂÓË Â͛ۈÛË Â›Ó·È Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ C = · Ø F + ‚ ÂÂȉ‹ ÙÔ ÓÂÚfi ·-ÁÒÓÂÈ ÛÙÔ˘˜ 0ÆC ‹ ÛÙÔ˘˜ 32ÆF, ı· ÈÛ¯‡ÂÈ 0 = · Ø 32 + ‚. (1)∂Âȉ‹, ÂÈϤÔÓ, ÙÔ ÓÂÚfi ‚Ú¿˙ÂÈ ÛÙÔ˘˜ 100ÆC ‹ ÛÙÔ˘˜ 212ÆF, ı· ÈÛ¯‡ÂÈ100 = · Ø 212 + ‚. (2)∞Ó ·Ê·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ηٿ ̤ÏË ÙȘ (1) Î·È (2) ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì 100 = · Ø 180, ÔfiÙÂ

Î·È ÂÔ̤ӈ˜ . ÕÚ·, Ë ˙ËÙÔ‡ÌÂÓË Â͛ۈÛË Â›Ó·È

⇔

∞Ó ˘¿Ú¯ÂÈ ıÂÚÌÔÎÚ·Û›· Ô˘ Ó· ÂÎÊÚ¿˙ÂÙ·È Î·È ÛÙȘ ‰‡Ô Îϛ̷Θ Ì ÙÔÓ·ÚÈıÌfi ∆, ÙfiÙ ı· ÈÛ¯‡ÂÈ

∆ = (∆ – 32) ⇔ 9∆ = 5∆ –5 Ø 32 ⇔ 4∆ = –5 Ø 32 ⇔ ∆ = –40.

ÕÚ· ÔÈ –40ÆF ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó ÛÙÔ˘˜ –40ÆC.

6. ∏ ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ f ·ÔÙÂÏ›ٷÈ:� ∞fi ÙÔ ÙÌ‹Ì· Ù˘ ¢ı›·˜ y = –x + 2

ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ Ù· ÛËÌ›· ¤¯Ô˘Ó ÙÂÙÌË̤ÓËx∈ (–∞, 0].

� ∞fi ÙÔ ÙÌ‹Ì· Ù˘ ¢ı›·˜ y = 2 ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘Ù· ÛËÌ›· ¤¯Ô˘Ó ÙÂÙÌË̤ÓË x∈ [0, 1] ηÈ

5

9

C = 5

9 (F – 32).C = 5

9 F – 5

9 ⋅ 32

‚ = – 5

9 ⋅ 32· = 5

9

∫∂º∞§∞π√ 6: µ∞™π∫∂™ ∂¡¡√π∂™ ∆ø¡ ™À¡∞ƒ∆∏™∂ø¡84

� ∞fi ÙÔ ÙÌ‹Ì· Ù˘ ¢ı›·˜ y = x + 1 ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ Ù· ÛËÌ›· ¤¯Ô˘Ó ÙÂÙÌË-̤ÓË x∈ [1, +∞).

7. i) OÈ Ú›˙˜ Â͛ۈÛ˘ f(x) = 1 Â›Ó·È ÔÈ ÙÂÙÌË̤Ó˜ ÎÔÈÓÒÓ ÛËÌ›ˆÓ Ù˘ y = f(x)Î·È Ù˘ ¢ı›·˜ y = 1, ‰ËÏ·‰‹ ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› –1 Î·È 1.√È Ú›˙˜ Ù˘ Â͛ۈÛË f(x) = x Â›Ó·È ÙÂÙÌË̤Ó˜ ÙˆÓ ÎÔÈÓÒÓ ÛËÌ›ˆÓ Ù˘y = f(x) Î·È Ù˘ ¢ı›·˜ y = x, ‰ËÏ·‰‹ ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› –2, 0 Î·È 1.

ii) √È Ï‡ÛÂȘ Ù˘ ·Ó›ÛˆÛ˘ f(x) < 1 Â›Ó·È ÔÈ ÙÂÙÌË̤Ó˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ Ù˘y = f(x) Ù· ÔÔ›· ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È Î¿Ùˆ ·fi ÙËÓ Â˘ı›· y = 1, ‰ËÏ·‰‹ ÔÈ·ÚÈıÌÔ› x∈ (–∞, 1) – {–1}.√È Ï‡ÛÂȘ Ù˘ ·Ó›ÛˆÛ˘ f(x) ≥ x Â›Ó·È ÔÈ ÙÂÙÌË̤Ó˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ Ù˘y = f(x) Ù· ÔÔ›· ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ¿Óˆ ·fi ÙËÓ Â˘ı›· y = x ‹ ÛÙËÓ Â˘ı›··˘Ù‹, ‰ËÏ·‰‹ Ù· ÛËÌ›· x∈ [–2, 0] ∪ [1, +∞).

8. i) √È ÁÚ·ÊÈΤ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ ÙˆÓ f(x) = |x|Î·È g(x) = 1 ‰›ÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ‰ÈÏ·ÓfiÛ¯‹Ì·.� OÈ Ï‡ÛÂȘ Ù˘ ·Ó›ÛˆÛ˘ |x| ≤ 1 ›ӷÈ

ÔÈ ÙÂÙÌË̤Ó˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ Ù˘ y = |x|Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È Î¿Ùˆ ·fi ÙËÓ Â˘ı›·y = 1 ‹ ÛÙËÓ Â˘ı›· ·˘Ù‹, ‰ËÏ·‰‹ Ù·x∈ [–1, 1].

� OÈ Ï‡ÛÂȘ ·Ó›ÛˆÛ˘ |x| > 1 Â›Ó·È ÔÈ ÙÂÙÌË̤Ó˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ Ù˘ y = |x| Ô˘‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ¿Óˆ ·fi ÙËÓ Â˘ı›· y = 1, ‰ËÏ·‰‹ Ù· x∈ (–∞, –1) ∪ (1, +∞).

ii) ∞fi ıˆڛ· ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ ÁÈ· Ú > 0 ÈÛ¯‡ÂÈ |x| ≤ Ú ⇔ –Ú ≤ x ≤ Ú.|x| > Ú ⇔ x < –Ú ‹ x > Ú.∂Ô̤ӈ˜|x| ≤ 1 ⇔ –1 ≤ x ≤ 1.|x| > 1 ⇔ x < –1 ‹ x > 1.

µã √ª∞¢∞™

1. i) ∂›Ó·Èf(–6) = 1, f(–5) = , f(–4) = 0, f(–3) = – , f(–2) = –1, f(–1) = 0.

f(0) = 1, f(1) = 1, f(2) = 1, f(3) = 0, f(4) = –1, f(5) = –2.

ii) OÈ Ú›˙˜ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ f(x) = · Â›Ó·È ÔÈ ÙÂÙÌË̤Ó˜ ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ Ù˘ Cf

Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙÂÙ·Á̤ÓË ·. ∂Ô̤ӈ˜� √È Ú›˙˜ Ù˘ f(x) = 0 Â›Ó·È ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› –4, –1 Î·È 3.� √È Ú›˙˜ Ù˘ f(x) = –1 Â›Ó·È ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› –2 Î·È 4.� √È Ú›˙˜ Ù˘ f(x) = 1 Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ –6 Î·È fiÏÔÈ ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ÙÔ˘ ÎÏÂÈ-

ÛÙÔ‡ ‰È·ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ [0, 2].

1

2

1

2

6.3. ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË f(x) = ·x + ‚ 85

iii) ∏ ¢ı›· µ¢ Â›Ó·È Â͛ۈÛË Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ y = ·x + ‚ Î·È ÂÂȉ‹ ‰È¤Ú¯Â-Ù·È ·fi Ù· ÛËÌ›· µ(–2, –1) Î·È ¢(2, 1) ı· ÈÛ¯‡ÂÈ –1 = ·(–2) + ‚ ηÈ1 = · Ø 2 + ‚.√fiÙÂ, Ì ÚfiÛıÂÛË ÙˆÓ ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ ·˘ÙÒÓ Î·Ù¿ ̤ÏË, ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì fiÙÈ‚ = 0 Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ı· ¤¯Ô˘Ì · = 0,5.ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË Ù˘ ¢ı›·˜ µ¢ ı· Â›Ó·È Ë y = 0,5x.

EÔ̤ӈ˜, ÔÈ Ï‡ÛÂȘ Ù˘ ·Ó›ÛˆÛ˘ f(x) ≤ 0,5x Â›Ó·È ÔÈ ÙÂÙÌË̤ÓÂ˜ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ Ù˘ ÁÚ·ÊÈ΋˜ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ Ù˘ f Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È Î¿Ùˆ·fi ÙËÓ Â˘ı›· y = 0,5x, ‹ ¿Óˆ Û’ ·˘Ù‹. ∂›Ó·È ‰ËÏ·‰‹ fiÏ· Ù·x∈ [2,5] ∪ {–2}.

2. ∏ ·Ó¿ÎÏ·ÛË Á›ÓÂÙ·È ÛÙÔ ÛËÌ›Ô∞(1, 0) Î·È Ë ·Ó·Îψ̤ÓË Â›Ó·È Û˘Ì-ÌÂÙÚÈ΋ Ù˘ ËÌÈ¢ı›·˜ ∞µ (Û¯.) ˆ˜ÚÔ˜ ¿ÍÔÓ· ÙËÓ Â˘ı›· x = 1.∂Ô̤ӈ˜, Ë ·Ó·ÎÏÒÌÂÓË ı· ›ӷÈË ËÌÈ¢ı›· Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi Ù·ÛËÌ›· ∞(1, 0) Î·È µã(2, 1), fiÔ˘∞ Ë ·Ú¯‹ Ù˘.∞Ó y = ·x + ‚, x ≥ 1 Â›Ó·È Ë Â͛ۈÛËÙ˘ ·Ó·ÎÏÒÌÂÓ˘ ·ÎÙ›Ó·˜, ÙfiÙ ·˘Ù‹ ı· Â·Ï˘ı‡ÂÙ·È ·fi Ù· ˙‡ÁË (1, 0)Î·È (2, 1). ¢ËÏ·‰‹ ı· ÈÛ¯‡Ô˘Ó 0 = · + ‚ Î·È 1 = 2· + ‚, ·fi ÙȘ Ôԛ˜ ‚Ú›-ÛÎÔ˘Ì · = 1 Î·È ‚ = –1. ∂Ô̤ӈ˜ Ë Â͛ۈÛË Ù˘ ·Ó·ÎÏÒÌÂÓ˘ ·ÎÙ›Ó·˜Â›Ó·È: y = x – 1, x ≥ 1.

3. i) ·) ∞Ó µ(t) Â›Ó·È Ë ÔÛfiÙËÙ· Û ϛÙÚ· Ù˘ ‚ÂÓ˙›Ó˘ ÛÙÔ ‚˘ÙÈÔÊfiÚÔ Î·Ù¿ÙË ¯ÚÔÓÈ΋ ÛÙÈÁÌ‹ t, ÙfiÙ ı· ÈÛ¯‡ÂÈ µ(t) = 2000 – 100t Î·È ÂÂȉ‹Ú¤ÂÈ µ(t) ≥ 0 ı· ÈÛ¯‡ÂÈ 2000 – 100t ≥ 0 ⇔ t ≤ 20.∂Ô̤ӈ˜, ı· ¤¯Ô˘Ì µ(t) = 2000 – 100t, 0 ≤ t ≤ 20.

‚) ∞Ó ¢(t) Â›Ó·È Ë ÔÛfiÙËÙ· Û ϛÙÚ· Ù˘ ‚ÂÓ˙›Ó˘ ÛÙË ‰ÂÍ·ÌÂÓ‹ ηٿÙË ¯ÚÔÓÈ΋ ÛÙÈÁÌ‹ t, ÙfiÙ ı· ÈÛ¯‡ÂÈ ¢(t) = 600 + 100t, 0 ≤ t ≤ 20.

∫∂º∞§∞π√ 6: µ∞™π∫∂™ ∂¡¡√π∂™ ∆ø¡ ™À¡∞ƒ∆∏™∂ø¡86

ii) √È ÁÚ·ÊÈΤ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ Ù˘ ·Ú·¿Óˆ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ Â›Ó·È Ù· ¢ı‡-ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ÙÔ˘ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·ÙÔ˜. ∏ ¯ÚÔÓÈ΋ ÛÙÈÁÌ‹ ηٿ ÙËÓÔÔ›· ÔÈ ‰‡Ô ÔÛfiÙËÙ˜ Â›Ó·È ›Û˜ Â›Ó·È Ë Ï‡ÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ µ(t) = ¢(t),Ë ÔÔ›· ÁÚ¿ÊÂÙ·È 2000 – 100t = 600 + 100t ⇔ 200t = 1400 ⇔ t = 7.ÕÚ· Ë ˙ËÙÔ‡ÌÂÓË ¯ÚÔÓÈ΋ ÛÙÈÁÌ‹ Â›Ó·È Ë t = 7min.

4. °È· Ó· ‚Úԇ̠ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ª°¢ ·Ê·ÈÚԇ̠·fi ÙÔ ÂÌ‚·-‰fiÓ ÙÔ˘ ÙÚ·Â˙›Ô˘ ∞µ°¢ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙˆÓ ÔÚıÔÁÒÓȈÓ

ÙÚÈÁÒÓˆÓ ∞ª¢ Î·È µª°. ŒÙÛÈ ¤¯Ô˘ÌÂ∂ª°¢ = ∂∞µ°¢ – ∂∞ª¢ – ∂µª°

=

= 12 – 2x – (4 – x) = –x + 8.EÔ̤ӈ˜, Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ¤¯ÂÈ Ù‡Ô

f(x) = –x + 8, Ì 0 ≤ x ≤ 4.ÕÚ·, Ë ÁÚ·ÊÈ΋ Ù˘ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Â›Ó·È ÙÔ Â˘ı.ÙÌ‹Ì· Ì ¿ÎÚ· Ù· ÛËÌ›· ƒ(0, 8) Î·È ™(4, 4).

5. i) ∆Ô Â˘ı. ÙÌ‹Ì· k1 ¤¯ÂÈ Â͛ۈÛË Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ h = ·t + ‚ Î·È ÂÂȉ‹ ‰È¤Ú¯Â-Ù·È ·fi Ù· ÛËÌ›· ∞(3, 0) Î·È °(0, 20) ı· ÈÛ¯‡ÂÈ 0 = 3· + ‚ Î·È 20 = ‚,

ÔfiÙ ı· Â›Ó·È Î·È ‚ = 20. ∂Ô̤ӈ˜, ÙÔ Â˘ı. ÙÌ‹Ì· k1 ¤¯ÂÈ Â͛ۈÛË

, 0 ≤ t ≤ 3.

ÕÚ· Ë ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÙÔ˘ ‡„Ô˘˜ ÙÔ˘ ÎÂÚÈÔ‡ ∫1 Â›Ó·È Ë

, 0 ≤ t ≤ 3. (1)

√ÌÔ›ˆ˜, ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì fiÙÈ Ë ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÙÔ˘ ‡„Ô˘˜ ÙÔ˘ ÎÂÚÈÔ‡∫2 Â›Ó·È Ë

h2(t) = –5t + 20, 0 ≤ t ≤ 4. (2)

h1(t) = – 20

3 t + 20

h = – 20

3 t + 20

· = –20

3

4 + 2

2 ⋅ 4 – x ⋅ 4

2 – (4 – x) ⋅ 2

2

6.3. ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË f(x) = ·x + ‚ 87

�

� �

ii) TÔ ÎÂÚ› k2 ›¯Â ‰ÈÏ¿ÛÈÔ ‡„Ô˜ ·fi ÙÔ ÎÂÚ› k1 ÙË ¯ÚÔÓÈ΋ ÛÙÈÁÌ‹ ηٿÙËÓ ÔÔ›· ÈÛ¯‡ÂÈ h2(t) = 2h1(t). Œ¯Ô˘Ì ÏÔÈfiÓ:

h2(t) = 2h1(t) ⇔ ⇔

⇔ ⇔ –3t + 12 = –8t + 24

⇔ 5t = 12 ⇔ t = 2,4.ÕÚ·, ÙÔ k2 ›¯Â ÙÔ ‰ÈÏ¿ÛÈÔ ‡„Ô˜ ·fi ÙÔ k1 ÙË ¯ÚÔÓÈ΋ ÛÙÈÁÌ‹ t = 2,4h.

iii) AÓ ÂÚÁ·ÛÙԇ̠fiˆ˜ ÛÙÔ ÂÚÒÙËÌ· i) ı· ‚Úԇ̠fiÙÈ

h1(t) = , 0 ≤ t ≤ 3.

h2(t) = , 0 ≤ t ≤ 4.

ÔfiÙÂ, h2(t) = 2h1(t) ⇔

⇔ ⇔ t = 2,4.

¶·Ú·ÙËÚԇ̠‰ËÏ·‰‹ fiÙÈ ÙÔ k2 ı· ¤¯ÂÈ ‰ÈÏ¿ÛÈÔ ‡„Ô˜ ·fi ÙÔ k1 ÙË ¯ÚÔÓÈ-΋ ÛÙÈÁÌ‹ t = 2,4h, ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙ· ÙÔ˘ ·Ú¯ÈÎÔ‡ ‡„Ô˘˜ ˘ ÙˆÓ ÎÂÚÈÒÓ k1 Î·È k2.

¨ 6.4. K·Ù·ÎfiÚ˘ÊË - √ÚÈ˙fiÓÙÈ· ÌÂÙ·ÙfiÈÛË Î·Ì‡Ï˘∞ã √ª∞¢∞™

1. Ÿˆ˜ ›‰·Ì ÛÙËÓ ¨4.3, Ë ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ Ê(x) = |x|, ·ÔÙÂÏ›ٷÈ

·fi ÙȘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘˜ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ x y Î·È xã y. H ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘f(x) = |x| + 2 ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÌÈ· ηٷÎfiÚ˘ÊË ÌÂÙ·ÙfiÈÛË Ù˘ y = |x|, ηٿ2 ÌÔÓ¿‰Â˜ ÚÔ˜ Ù· ¿Óˆ, ÂÓÒ Ë ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ f(x) = |x| – 2ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÌÈ· ηٷÎfiÚ˘ÊË ÌÂÙ·ÙfiÈÛË Ù˘ y = |x|, ηٿ 2 ÌÔÓ¿‰Â˜ÚÔ˜ Ù· οو (Û¯‹Ì·).

√√

– 1

4 t + 1 = 2 – 1

3 t + 1

– ˘

4 t + ˘ = 2 – ˘

3 t + ˘

– ˘

4 t + ˘

– ˘

3 t + ˘

– 1

4 t + 1 = – 2

3 t + 2

– 1

4 t + 1 = 2 –1

3 t + 1– 20

4 t + 20 = 2 –20

3 t + 20

∫∂º∞§∞π√ 6: µ∞™π∫∂™ ∂¡¡√π∂™ ∆ø¡ ™À¡∞ƒ∆∏™∂ø¡88

2. H ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ h(x) = |x + 2| ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÌÈ· ÔÚÈ˙fiÓÙÈ· ÌÂ-Ù·ÙfiÈÛË Ù˘ y = |x|, ηٿ 2 ÌÔÓ¿‰Â˜ ÚÔ˜ Ù· ·ÚÈÛÙÂÚ¿, ÂÓÒ Ë ÁÚ·ÊÈ΋·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ q(x) = |x – 2| ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÌÈ· ÔÚÈ˙fiÓÙÈ· ÌÂÙ·ÙfiÈÛËÙ˘ y = |x|, ηٿ 2 ÌÔÓ¿‰Â˜ ÚÔ˜ Ù· ‰ÂÍÈ¿ (Û¯‹Ì·).

3. ∞Ú¯Èο ¯·Ú¿ÛÛÔ˘Ì ÙËÓ y = |x + 2|, Ô˘, fiˆ˜ ›‰·Ì ÛÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË¿ÛÎËÛË, ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÌÈ· ÔÚÈ˙fiÓÙÈ· ÌÂÙ·ÙfiÈÛË Ù˘ y = |x| ηٿ 2 ÌÔ-Ó¿‰Â˜ ÚÔ˜ Ù· ·ÚÈÛÙÂÚ¿. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ¯·Ú¿ÛÛÔ˘Ì ÙËÓ y = |x + 2| + 1,Ô˘, fiˆ˜ ÁÓˆÚ›˙Ô˘ÌÂ, ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÌÈ· ηٷÎfiÚ˘ÊË ÌÂÙ·ÙfiÈÛË Ù˘ÁÚ·ÊÈ΋˜ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ Ù˘ y = |x + 2| ηٿ 1 ÌÔÓ¿‰· ÚÔ˜ Ù· ¿Óˆ. ∂Ô-̤ӈ˜, Ë ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ F(x) = |x + 2| + 1. ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ‰‡Ô‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÌÂÙ·ÙÔ›ÛÂȘ Ù˘ y = |x|, ÌÈ·˜ ÔÚÈ˙fiÓÙÈ·˜ ηٿ 2 ÌÔÓ¿‰Â˜ ÚÔ˜Ù· ·ÚÈÛÙÂÚ¿ Î·È ÌÈ·˜ ηٷÎfiÚ˘Ê˘ ηٿ 1 ÌÔÓ¿‰·˜ ÚÔ˜ Ù· ¿Óˆ (Û¯‹Ì·).

√ÌÔ›ˆ˜, Ë ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ G(x) = |x – 2| – 1, ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ‰‡Ô‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÌÂÙ·ÙÔ›ÛÂȘ Ù˘ y = |x|, ÌÈ·˜ ÔÚÈ˙fiÓÙÈ·˜ ηٿ 2 ÌÔÓ¿‰Â˜ ÚÔ˜Ù· ‰ÂÍÈ¿ Î·È ÌÈ·˜ ηٷÎfiÚ˘Ê˘ ηٿ 1 ÌÔÓ¿‰· ÚÔ˜ Ù· οو (Û¯‹Ì·).

4. i)

6.4. ∫·Ù·ÎfiÚ˘ÊË - √ÚÈ˙fiÓÙÈ· ÌÂÙ·ÙfiÈÛË Î·Ì‡Ï˘ 89

ii)

iii)

5. i) f(x) = 2(x – 2)2 – 1 + 1 = 2(x – 2)2.ii) f(x) = 2(x – 3)2 – 1 – 2 = 2(x – 3)2 – 3.iii) f(x) = 2(x + 2)2 – 1 + 1 = 2(x + 2)2.iv) f(x) = 2(x + 3)2 – 1 – 2 = 2(x + 3)2 – 3.

¨ 6.5. ªÔÓÔÙÔÓ›· - ∞ÎÚfiٷٷ - ™˘ÌÌÂÙڛ˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘∞ã √ª∞¢∞™

1. ñ ∏ f Â›Ó·È ÁÓËÛ›ˆ˜ Êı›ÓÔ˘Û· ÛÙÔ (–∞, 1] Î·È ÁÓËÛ›ˆ˜ ·‡ÍÔ˘Û· ÛÙÔ [1, +∞).ñ ∏ g Â›Ó·È ÁÓËÛ›ˆ˜ ·‡ÍÔ˘Û· ÛÙÔ (–∞, 0], ÁÓËÛ›ˆ˜ Êı›ÓÔ˘Û· ÛÙÔ [0, 2] ηÈ

ÁÓËÛ›ˆ˜ ·‡ÍÔ˘Û· ÛÙÔ [2, +∞).ñ ∏ h Â›Ó·È ÁÓËÛ›ˆ˜ Êı›ÓÔ˘Û· ÛÙÔ (–∞, –1], ÁÓËÛ›ˆ˜ ·‡ÍÔ˘Û· ÛÙÔ [–1, 0],

ÁÓËÛ›ˆ˜ Êı›ÓÔ˘Û· ÛÙÔ [0, 1] Î·È ÁÓËÛ›ˆ˜ ·‡ÍÔ˘Û· ÛÙÔ [1, +∞).

∫∂º∞§∞π√ 6: µ∞™π∫∂™ ∂¡¡√π∂™ ∆ø¡ ™À¡∞ƒ∆∏™∂ø¡90

2. ñ ∏ f ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÈ ÔÏÈÎfi ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ÁÈ· x = 1, ÙÔ f(1) = –1 Î·È ‰ÂÓ ·ÚÔ˘ÛÈ¿-˙ÂÈ ÔÏÈÎfi ̤ÁÈÛÙÔ.

ñ ∏ g ‰ÂÓ ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÈ Ô‡Ù ÔÏÈÎfi ̤ÁÈÛÙÔ Ô‡Ù ÔÏÈÎfi ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ.ñ ∏ h ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÈ ÔÏÈÎfi ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ÁÈ· x = –1 Î·È ÁÈ· x = 1 ÙÔ

h(–1) = h(1) = –2, ÂÓÒ ‰ÂÓ ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÈ ÔÏÈÎfi ̤ÁÈÛÙÔ.

3. i) ∞ÚΛ Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ì ٷ f(x) ≥ f(3). Œ¯Ô˘ÌÂ

f(x) ≥ f(3) ⇔ x2 – 6x + 10 ≥ 32 – 6 Ø 3 + 10 ⇔ (x – 3)2 ≥ 0, Ô˘ ÈÛ¯‡ÂÈ.

ii) ∞ÚΛ Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ g(x) ≤ g(1). Œ¯Ô˘ÌÂ

g(x) ≤ g(1) ⇔ ≤ ⇔ 2x ≤ x2 + 1 ⇔ 0 ≤ (x – 1)2, Ô˘ ÈÛ¯‡ÂÈ.

4. i) H f1 ¤¯ÂÈ Â‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ ÙÔ � Î·È ÁÈ· οı x ∈ � ÈÛ¯‡ÂÈf1(–x) = 3(–x)2 + 5(–x)4 = 3x2 + 5x4, ¿Ú· Ë f1 Â›Ó·È ¿ÚÙÈ·.

ii) H f2 ¤¯ÂÈ Â‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ ÙÔ � Î·È ÁÈ· οı x ∈ � ÈÛ¯‡ÂÈ

f2(–x) = 3|–x| + 1 = 3|x| + 1, ¿Ú· Ë f2 Â›Ó·È ¿ÚÙÈ·.

iii) H f3 ¤¯ÂÈ Â‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ ÙÔ � Î·È ÁÈ· οı x ∈ � ÈÛ¯‡ÂÈ

f3(–x) = |–x + 1|, ÔfiÙ ‰ÂÓ Â›Ó·È Ô‡Ù ¿ÚÙÈ·, Ô‡Ù ÂÚÈÙÙ‹, ·ÊÔ‡

f3(–1) ≠ ±f3(1).

iv) H f4 ¤¯ÂÈ Â‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ ÙÔ � Î·È ÁÈ· οı x ∈ � ÈÛ¯‡ÂÈ

f4(–x) = (–x)3 – 3(–x)5 = –(x3 – 3x5) = –f4(–x), ¿Ú· Ë f4 ÂÚÈÙÙ‹.

v) H f5 ¤¯ÂÈ Â‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ ÙÔ (–∞, 1) ∪ (1, +∞) Ô˘ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Î¤ÓÙÚÔ Û˘Ì-ÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ 0. ÕÚ·, Ë f5 ‰ÂÓ Â›Ó·È Ô‡Ù ¿ÚÙÈ·, Ô‡Ù ÂÚÈÙÙ‹.

f5(–x) = , ¿Ú· Ô‡ÙÂ ¿ÚÙÈ·, Ô‡ÙÂ ÂÚÈÙÙ‹.

vi) H f6 ¤¯ÂÈ Â‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ ÙÔ � Î·È ÁÈ· οı x ∈ � ÈÛ¯‡ÂÈ

f6(–x) = = –f6(x), ¿Ú· f6 Â›Ó·È ÂÚÈÙÙ‹.

5. i) H f1 ¤¯ÂÈ Â‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ ÙÔ �* = {x ∈ � | x ≠ 0} Î·È ÁÈ· οı x ∈ �*ÈÛ¯‡ÂÈ

ÕÚ· Ë f1 Â›Ó·È ¿ÚÙÈ·.

ii) H f2 ¤¯ÂÈ Â‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ Ùo [2, +∞) Ô˘ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Î¤ÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ√. ÕÚ· ‰ÂÓ Â›Ó·È Ô‡Ù ¿ÚÙÈ·, Ô‡Ù ÂÚÈÙÙ‹.

f1(–x) = 1

|–x| = 1

|x| = f1(x).

–2x

(–x)2 + 1 = –2x

x2 + 1 = – 2x

x2 + 1

(–x)2

1 – x = x2

1 – x

2 ⋅ 112 + 1

2x

x2 + 1

6.5. ªÔÓÔÙÔÓ›· - ∞ÎÚfiٷٷ - ™˘ÌÌÂÙڛ˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ 91

iii) H f3 ¤¯ÂÈ Â‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ Ùo � Î·È ÁÈ· οı x ∈ � ÈÛ¯‡ÂÈf3(–x) = |–x – 1| – |–x + 1| = |x + 1| – |x – 1| = –f3(x).

ÕÚ· Ë f3 Â›Ó·È ÂÚÈÙÙ‹.

iv) H f4 ¤¯ÂÈ Â‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ Ùo �* Î·È Â›Ó·È ÂÚÈÙÙ‹, ‰ÈfiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ

∆¤ÏÔ˜, ·Ó ÂÚÁ·ÛÙԇ̠fiˆ˜ ÛÙËÓ i), ı· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ:

v) H f5 ¤¯ÂÈ Â‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ ÙÔ � Î·È Â›Ó·È ¿ÚÙÈ·, ‰ÈfiÙÈ f5(–x) = f5(x), Áȷοı x ∈ �.

vi) H f6 ¤¯ÂÈ Â‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ ÙÔ [–1, 1] Î·È Â›Ó·È ¿ÚÙÈ·, ‰ÈfiÙÈ f6(–x) = f6(x),ÁÈ· οı x ∈ [–1, 1].

6. i) H Cf ¤¯ÂÈ Î¤ÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ √(0, 0). ÕÚ· Ë f Â›Ó·È ÂÚÈÙÙ‹.

ii) H Cg ¤¯ÂÈ ¿ÍÔÓ· Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔÓ yãy. ÕÚ· Ë g Â›Ó·È ¿ÚÙÈ·.

iii) H Ch ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ô‡Ù ¿ÍÔÓ· Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔÓ yãy, Ô‡Ù ΤÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜

ÙÔ O(0, 0). ÕÚ· Ë h ‰ÂÓ Â›Ó·È Ô‡Ù ¿ÚÙÈ· Ô‡Ù ÂÚÈÙÙ‹.

7. √ÌÔ›ˆ˜i) H f Â›Ó·È ¿ÚÙÈ·.ii) H g Â›Ó·È ÂÚÈÙÙ‹.iii) H h ‰ÂÓ Â›Ó·È Ô‡Ù ¿ÚÙÈ·, Ô‡Ù ÂÚÈÙÙ‹.

8. ·) ¶·›ÚÓÔ˘Ì ÙȘ Û˘ÌÌÂÙÚÈΤ˜ ÙˆÓ C1, C2 Î·È C3 ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· yãy.

‚) ¶·›ÚÓÔ˘Ì ÙȘ Û˘ÌÌÂÙÚÈΤ˜ ÙˆÓ C1, C2 Î·È C3 ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙˆÓ·ÍfiÓˆÓ.

f4(x) =

x2 + 1

x

x2 + 1 = 1

x

∫∂º∞§∞π√ 6: µ∞™π∫∂™ ∂¡¡√π∂™ ∆ø¡ ™À¡∞ƒ∆∏™∂ø¡92

KEº∞§∞π√ 7

ª∂§∂∆∏ µ∞™π∫ø¡ ™À¡∞ƒ∆∏™∂ø¡

¨ 7.1. ªÂϤÙ˘ Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ f(x) = ·x2

∞ã √ª∞¢∞™

1. ∏ η̇ÏË Â›Ó·È ÌÈ· ·Ú·‚ÔÏ‹ Ì ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ O(0, 0) Î·È ¿ÍÔÓ· Û˘ÌÌÂ-ÙÚ›·˜ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· yãy. ∂Ô̤ӈ˜, ı· ¤¯ÂÈ Â͛ۈÛË Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ y = ·x2 ηÈ,ÂÂȉ‹ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞(1, 2), ÔÈ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ∞ı· ·ÏËıÂ‡Ô˘Ó ÙËÓ Â͛ۈۋ Ù˘.

ÕÚ· ı· ÈÛ¯‡ÂÈ 2 = · Ø 12 ⇔ · = 2.√fiÙÂ, Ë ˙ËÙÔ‡ÌÂÓË Â͛ۈÛË Â›Ó·È Ë y = 2x2.

2. i) H ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ Ê(x) = 0,5x2

Â›Ó·È ÌÈ· ·Ú·‚ÔÏ‹ ·ÓÔȯً ÚÔ˜ Ù·¿Óˆ Ì ÎÔÚ˘Ê‹ ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙˆÓ ·ÍfiÓˆÓÎ·È ¿ÍÔÓ· Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔÓ yãy (Û¯.).∏ ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ÙˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓf(x) = 0,5x2 + 2 Î·È g(x) = 0,5x2 – 3ÚÔ·ÙÔ˘Ó ·fi ηٷÎfiÚ˘ÊË ÌÂÙ·Ùfi-ÈÛË Ù˘ ·Ú·‚ÔÏ‹˜ y = 0,5x2, Ù˘ ÌÂÓÚÒÙ˘ ηٿ 2 ÌÔÓ¿‰Â˜ ÚÔ˜ Ù· ¿Óˆ,Ù˘ ‰Â ‰Â‡ÙÂÚ˘ ηٿ 3 ÌÔÓ¿‰Â˜ ÚÔ˜ Ù· οو.

ii) ∏ ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ „(x) = –0,5x2

Â›Ó·È ÌÈ· ·Ú·‚ÔÏ‹ ·ÓÔȯً ÚÔ˜ Ù· ο-Ùˆ Ì ÎÔÚ˘Ê‹ ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙˆÓ ·ÍfiÓˆÓ Î·È¿ÍÔÓ· Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· yãy (Û¯.).√È ÁÚ·ÊÈΤ ̃·Ú¿ÛÙ·ÛÂÈ̃ ÙˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂ-ˆÓ h(x) = –0,5x2 –2 Î·È q(x) = –0,5x2 + 3ÚÔ·ÙÔ˘Ó ·fi ηٷÎfiÚ˘Ê˜ ÌÂÙ·ÙÔ-›ÛÂȘ Ù˘ ·Ú·‚ÔÏ‹˜ y = –0,5x2, Ù˘ÌÂÓ ÚÒÙ˘ ηٿ 2 ÌÔÓ¿‰Â˜ ÚÔ˜ ٷοو, Ù˘ ‰Â ‰Â‡ÙÂÚ˘ ηٿ 3 ÌÔÓ¿‰Â˜ÚÔ˜ Ù· ¿Óˆ.¶·Ú·Ù‹ÚËÛË: ∂Âȉ‹ ÔÈ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ „, h Î·È q Â›Ó·È ·ÓÙ›ıÂÙ˜ ÙˆÓÛ˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Ê, f Î·È g ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜, ÁÈ· Ó· ¯·Ú¿ÍÔ˘Ì ÙȘ ÁÚ·ÊÈΤ˜·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘˜ ·ÚΛ Ó· ·›ÚÓ·Ì ÙȘ Û˘ÌÌÂÙÚÈΤ˜ ÙˆÓ ÁÚ·ÊÈÎÒÓ·Ú·ÛÙ¿ÛÂˆÓ ÙˆÓ Ê, f Î·È g ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· xãx.

3. i) X·Ú¿ÛÛÔ˘Ì ÙË ÁÚ·ÊÈ΋ ·-Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ Ê(x) = 0,5x2, fiˆ˜ÛÙËÓ ¿ÛÎËÛË 2. i). √È ÁÚ·ÊÈ-Τ˜ ·Ú¿ÛÙ·ÛÂȘ ÙˆÓ Û˘Ó·Ú-Ù‹ÛÂˆÓ f(x) = 0,5(x – 2)2 ηÈg(x) = 0,5(x + 2)2 ÚÔ·ÙÔ˘Ó·fi ÔÚÈ˙fiÓÙȘ ÌÂÙ·ÙÔ›ÛÂȘÙ˘ ·Ú·‚ÔÏ‹˜ y = 0,5x2, Ù˘ÌÂÓ ÚÒÙ˘ ηٿ 2 ÌÔÓ¿‰Â˜ ÚÔ˜ Ù· ‰ÂÍÈ¿, Ù˘ ‰Â ‰Â‡ÙÂÚ˘ ηٿ 2 ÌÔ-Ó¿‰Â˜ ÚÔ˜ Ù· ·ÚÈÛÙÂÚ¿.

ii) ÷ڿÛÛÔ˘Ì ÙË ÁÚ·ÊÈ΋ ·-Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ „(x) = –0,5x2,fiˆ˜ ÛÙËÓ ¿ÛÎËÛË 2. ii). √ÈÁÚ·ÊÈΤ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ ÙˆÓ Û˘-Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ h(x) = –0,5(x – 2)2

Î·È q(x) = –0,5(x + 2)2 ÚÔ-·ÙÔ˘Ó ·fi ÔÚÈ˙fiÓÙȘ ÌÂ-Ù·ÙÔ›ÛÂȘ Ù˘ ·Ú·‚ÔÏ‹˜y = –0,5x2, Ù˘ ÚÒÙ˘ ηٿ2 ÌÔÓ¿‰Â˜ ÚÔ˜ Ù· ‰ÂÍÈ¿, Ù˘‰Â ‰Â‡ÙÂÚ˘ ηٿ ‰‡Ô ÌÔÓ¿‰Â˜ ÚÔ˜ Ù· ·ÚÈÛÙÂÚ¿.

4. i) ∏ ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ÙˆÓf(x) = x2 Â›Ó·È Ë ·Ú·‚ÔÏ‹y = x2 ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜,ÂÓÒ Ë ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘g(x) = 1 Â›Ó·È Ë Â˘ı›· y = 1ÙÔ˘ ›‰ÈÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜. OÈ ÁÚ·ÊÈΤ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ Ù¤-ÌÓÔÓÙ·È ÛÙ· ÛËÌ›· A(1, 1) Î·È B(–1, 1) Ô˘ Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈο ˆ˜ ÚÔ˜ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· yãy.∂Âȉ‹

x2 ≤ 1 ⇔ f(x) ≤ g(x) Î·È x2 > 1 ⇔ f(x) > g(x)

Ë ·Ó›ÛˆÛË x2 ≤ 1 ·ÏËı‡ÂÈ ÁÈ· ÂΛӷ Ù· x ÁÈ· Ù· ÔÔ›· Cf ‚Ú›ÛÎÂÙ·Èοو ·fi ÙËÓ Cg ‹ ¤¯ÂÈ ÙÔ ›‰ÈÔ ‡„Ô˜ Ì ·˘Ù‹, ÂÓÒ Ë x2 > 1 ·ÏËı‡ÂÈ ÁÈ·ÂΛӷ Ù· x ÁÈ· Ù· ÔÔ›· Ë Cf ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ¿Óˆ ·fi ÙËÓ Cg. ∂Ô̤ӈ˜,ı· ¤¯Ô˘ÌÂ

x2 ≤ 1 ⇔ –1 ≤ x ≤ 1 Î·È x2 > 1 ⇔ x < –1 ‹ x > 1.

ii) Œ¯Ô˘ÌÂx2 ≤ 1 ⇔ x2 – 1 ≤ 0 ⇔ x ∈ [–1, 1]x2 > 1 ⇔ x2 – 1 > 0 ⇔ x ∈ (–∞, –1) ∪ (1, +∞)‰ÈfiÙÈ ÙÔ ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ x2 – 1 ¤¯ÂÈ Ú›˙˜ ÙȘ x1 = – 1 Î·È x2 = 1.

∫∂º∞§∞π√ 7: ª∂§∂∆∏ µ∞™π∫ø¡ ™À¡∞ƒ∆∏™∂ø¡94

µã √ª∞¢∞™

1. ∂›Ó·È–x2, x < 0

f(x) = x2, x ≥ 0

∂Ô̤ӈ˜, Ë ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘f ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ÙÔ ÙÌ‹Ì· Ù˘ ·Ú·-‚ÔÏ‹˜ y = –x2 ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ Ù· ÛËÌ›·¤¯Ô˘Ó ·ÚÓËÙÈ΋ ÙÂÙÌË̤ÓË Î·È ·fi ÙÔÙÌ‹Ì· Ù˘ ·Ú·‚ÔÏ‹˜ y = x2 ÙÔ˘ ÔÔ›-Ô˘ Ù· ÛËÌ›· ¤¯Ô˘Ó ÙÂÙÌË̤ÓË ıÂÙÈ΋‹ Ìˉ¤Ó.

2. ∏ ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ Ù˘

–x, x < 0f(x) =

x2, x ≥ 0

·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ÙÔ ÙÌ‹Ì· Ù˘ ¢ı›·˜y = –x ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ Ù· ÛËÌ›· ¤¯Ô˘Ó·ÚÓËÙÈ΋ ÙÂÙÌË̤ÓË Î·È ·fi ÙÔ ÙÌ‹-Ì· Ù˘ ·Ú·‚ÔÏ‹˜ y = x2 ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘Ù· ÛËÌ›· ¤¯Ô˘Ó ÙÂÙÌË̤ÓË ıÂÙÈ΋ ‹Ìˉ¤Ó.∞fi ÙË ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ f ÚÔ-Û·ÙÂÈ fiÙÈ� ∏ f Â›Ó·È ÁÓËÛ›ˆ˜ Êı›ÓÔ˘Û· ÛÙÔ

(–∞, 0] Î·È ÁÓËÛ›ˆ˜ ·‡ÍÔ˘Û· ÛÙÔ [0, +∞).� ∏ f ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÈ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ÁÈ· x = 0, ÙÔ f(0) = 0.

3. i) ∞fi ÙÔ Û¯‹Ì· ·˘Ùfi ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ·) ™ÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· (0, 1) ·fi fiϘ ÙȘ ÁÚ·ÊÈΤ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ ¯·ÌËÏfiÙÂÚ·

‚Ú›ÛÎÂÙ·È Ë y = x3, ¤ÂÈÙ· Ë y = x2, ¤ÂÈÙ· Ë y = x Î·È Ù¤ÏÔ˜ Ë

∂Ô̤ӈ˜, ·Ó x∈(0, 1) ÙfiÙ x3 < x2 < x <

‚) ™ÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· (1, +∞) Û˘Ì‚·›ÓÂÈ ÙÔ ·ÓÙ›ıÂÙÔ. ∂Ô̤ӈ˜ ·Ó x∈(1, +∞),

ÙfiÙÂ x3 > x2 > x >

ii) ñ ŒÛÙˆ 0 < x< 1. TfiÙÂ� x3 < x2 ⇔ x2(x – 1) < 0, Ô˘ ÈÛ¯‡ÂÈ, ‰ÈfiÙÈ 0 < x < 1.� x2 < x ⇔ x(x – 1) < 0, Ô˘ ÈÛ¯‡ÂÈ, ‰ÈfiÙÈ 0 < x < 1.

� x < ⇔ x2 < x, Ô˘ ÈÛ¯‡ÂÈ ·fi ÚÈÓ.x

x.

x.

y = x.

7.1. ªÂϤÙË Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ f(x) = ·x2 95

{

{

ÕÚ· x3 < x2 < x <

ñ ŒÛÙˆ x > 1. ∞Ó ÂÚÁ·ÛÙԇ̠·Ó·ÏfiÁˆ˜, ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì fiÙÈ x3 > x2 > x >

4. ∞Ó x > 0 Â›Ó·È Ë ÙÂÙÌË̤ÓË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ∞, ÙfiÙÂ Ë ÙÂÙ·Á̤ÓË ÙÔ˘ ı· ›-Ó·È Ë y = x2. ÕÚ· ÙÔ ∞ ı· ¤¯ÂÈ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ (x, x2), ÔfiÙ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô µ,Ô˘ Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘ ∞ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· yãy, ı· ¤¯ÂÈ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤-Ó˜ (–x, x2). ∂Ô̤ӈ˜, ı· ¤¯Ô˘ÌÂ(∞µ) = 2x Î·È (OA) = (OB) =

∂Ô̤ӈ˜, ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ √∞µ Â›Ó·È ÈÛfiÏ¢ÚÔ, ·Ó Î·È ÌfiÓÔ ·Ó

(OA) = (AB) ⇔ 2x = ⇔ (2x)2 = x2 + x4

⇔ x4 = 3x2 ⇔ x2 = 3,

⇔ x = , ‰ÈfiÙÈ x > 0.

¨ 7.2. ªÂϤÙË Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ f(x) = ·—x∞ã √ª∞¢∞™

1. ∏ ˘ÂÚ‚ÔÏ‹ ¤¯ÂÈ Â͛ۈÛË Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ ηÈ, ÂÂȉ‹ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ

ÛËÌÂ›Ô ∞(2, 1), ÔÈ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ∞ ı· ·ÏËıÂ‡Ô˘Ó ÙËÓ ÂÍ›-ÛˆÛ‹ Ù˘.

∂Ô̤ӈ˜ ı· ÈÛ¯‡ÂÈ ⇔ · = 2.

ÕÚ·, Ë ˙ËÙÔ‡ÌÂÓË Â͛ۈÛË Â›Ó·È Ë

2. i) ∏ ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË

Ù˘ Ê(x) = Â›Ó·È ÌÈ·

˘ÂÚ‚ÔÏ‹ Ì ÎÏ¿‰Ô˘ ̃ÛÙÔ1Ô Î·È 3Ô ÙÂÙ·ÚÙËÌfiÚÈÔÎ·È Ì ΤÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ÙÔ O (Û¯.).√È ÁÚ·ÊÈΤ˜ ·Ú·ÛÙ¿-ÛÂȘ ÙˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ

f(x) = ηÈ

g(x) = ÚÔ·ÙÔ˘Ó

·fi ηٷÎfiÚ˘ÊË ÌÂÙ·-

1

x – 3

1

x + 2

1

x

y = 2

x .

1 = ·

2

y = ·

x

3

x2 + x4

x2 + (x2)2 = x2 + x4 .

x .

x .

∫∂º∞§∞π√ 7: ª∂§∂∆∏ µ∞™π∫ø¡ ™À¡∞ƒ∆∏™∂ø¡96

�

ÙfiÈÛË Ù˘ ˘ÂÚ‚ÔÏ‹˜ Ù˘ ÌÂÓ ÚÒÙ˘ ηٿ 2 ÌÔÓ¿‰Â˜ ÚÔ˜ Ù·

¿Óˆ, Ù˘ ‰Â ‰Â‡ÙÂÚ˘ ηٿ 3 ÌÔÓ¿‰Â˜ ÚÔ˜ Ù· οو.

ii) ∏ ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË

Ù˘ „(x) = Â›Ó·È ÌÈ·

˘ÂÚ‚ÔÏ‹ Ì ÎÏ¿‰Ô˘˜ÛÙÔ 2Ô Î·È 4Ô ÙÂÙ·ÚÙËÌfi-ÚÈÔ Î·È Ì ΤÓÙÚÔ Û˘Ì-ÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ O (Û¯.).∏ ÁÚ·ÊÈΤ˜ ·Ú·ÛÙ¿-ÛÂȘ ÙˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ

h(x) = ηÈ

q(x) = ÚÔ·-

ÙÔ˘Ó ·fi ηٷÎfiÚ˘Ê˜

ÌÂÙ·ÙÔ›ÛÂȘ Ù˘ ˘ÂÚ‚ÔÏ‹˜ , Ù˘ ÌÂÓ ÚÒÙ˘ ηٿ 2 ÌÔÓ¿‰Â˜

ÚÔ˜ Ù· οو, Ù˘ ‰Â ‰Â‡ÙÂÚ˘ ηٿ 3 ÌÔÓ¿‰Â˜ ÚÔ˜ Ù· ¿Óˆ.¶·Ú·Ù‹ÚËÛË: ∂Âȉ‹ ÔÈ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ „, h Î·È q Â›Ó·È ·ÓÙ›ıÂÙ˜ ÙˆÓÛ˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Ê, f Î·È g ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜, ÁÈ· Ó· ¯·Ú¿ÍÔ˘Ì ÙȘ ÁÚ·ÊÈΤ˜·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘˜ ·ÚΛ Ó· ¿ÚÔ˘Ì ÙȘ Û˘ÌÌÂÙÚÈΤ˜ ÙˆÓ ÁÚ·ÊÈÎÒÓ·Ú·ÛÙ¿ÛÂˆÓ ÙˆÓ Ê, f Î·È g ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· xãx.

3. i) ÷ڿÛÛÔ˘Ì ÙË ÁÚ·ÊÈ-΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘

Ê(x) = , fiˆ˜ ÛÙËÓ

¿ÛÎËÛË 2. i). √È ÁÚ·ÊÈ-Τ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ ÙˆÓ Û˘-Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ

f(x) = ηÈ

g(x) = , ÚÔ·ÙÔ˘Ó

·fi ÔÚÈ˙fiÓÙȘ ÌÂÙ·ÙÔ-›ÛÂȘ Ù˘ ˘ÂÚ‚ÔÏ‹˜

1

x + 3

1

x – 2

1

x

y = – 1

x

– 1

x + 3

– 1

x – 2

– 1

x

y = 1

x

7.2. ªÂϤÙË Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ f(x) = ·—x 97

, Ù˘ ÌÂÓ ÚÒÙ˘ ηٿ 2 ÌÔÓ¿‰Â˜ ÚÔ˜ Ù· ‰ÂÍÈ¿, Ù˘ ‰Â ‰Â‡ÙÂÚ˘

ηٿ 3 ÌÔÓ¿‰Â˜ ÚÔ˜ Ù· ·ÚÈÛÙÂÚ¿.

ii) ÷ڿÛÛÔ˘Ì ÙË ÁÚ·ÊÈ-΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘

„(x) = , fiˆ˜ ÛÙËÓ

¿ÛÎËÛË 2. ii). √È ÁÚ·-ÊÈΤ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ ÙˆÓÛ˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ

h(x) = ηÈ

q(x) =

ÚÔ·ÙÔ˘Ó ·fi ÔÚÈ˙fi-ÓÙȘ ÌÂÙ·ÙÔ›ÛÂȘ Ù˘˘ÂÚ‚ÔÏ‹˜

, Ù˘ ÌÂÓ ÚÒÙ˘ ηٿ 2 ÌÔÓ¿‰Â˜ ÚÔ˜ Ù· ‰ÂÍÈ¿, Ù˘ ‰Â ‰Â‡ÙÂÚ˘

ηٿ 3 ÌÔÓ¿‰Â˜ ÚÔ˜ Ù· ·ÚÈÛÙÂÚ¿.

4. i) ∏ ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË

Ù˘ f(x) = Â›Ó·È Ë

˘ÂÚ‚ÔÏ‹ Cf ÙÔ˘ ‰ÈÏ·-ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜, ÂÓÒ ËÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘g(x) = 1 Â›Ó·È Ë Â˘ı›·Cg ÙÔ˘ ›‰ÈÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜.√È Cf Î·È Cg Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞(1, 1).∂Ô̤ӈ˜:

ñ ≤ 1 ⇔ f(x) ≤ g(x) ⇔ x < 0 ‹ x ≥ 1

ñ > 1 ⇔ f(x) > g(x) ⇔ 0 < x < 11

x

1

x

1

x

y = – 1

x

– 1

x + 3

– 1

x – 2

– 1

x

y = 1

x

∫∂º∞§∞π√ 7: ª∂§∂∆∏ µ∞™π∫ø¡ ™À¡∞ƒ∆∏™∂ø¡98

ii) Œ¯Ô˘ÌÂ

x(1 – x) ≤ 0≤ 1 ⇔ –1 ≤ 0 ⇔ ≤ 0 ⇔ ⇔ x < 0 ‹ x ≥ 1.

x ≠ 0

> 1 ⇔ –1 > 0 ⇔ > 0 ⇔ x(1 – x) > 0 ⇔ 0 < x < 1.

5. i) ∏ ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË

Ù˘ f(x) = 1—x Â›Ó·È Ë

˘ÂÚ‚ÔÏ‹ Cf ÙÔ˘ ‰È-Ï·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜, ÂÓÒ ËÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘g(x) = x2 Â›Ó·È Ë ·Ú·-‚ÔÏ‹ Cg ÙÔ˘ ›‰ÈÔ˘ Û¯‹-Ì·ÙÔ˜. √È Cf Î·È Cg ¤-¯Ô˘Ó ¤Ó· ÌfiÓÔ ÎÔÈÓfi ÛË-Ì›Ô, ÙÔ ∞(1, 1). ∂Âȉ‹

≤ x2 ⇔ f(x) ≤ g(x) ηÈ

> x2 ⇔ f(x) > g(x)

Ë ·Ó›ÛˆÛË ≤ x2 ·ÏËı‡ÂÈ ÁÈ· ÂΛӷ Ù· x ÁÈ· Ù· ÔÔ›· Ë Cf ‚Ú›ÛÎÂÙ·È

οو ·fi ÙËÓ Cg ‹ ¤¯ÂÈ ÙÔ ›‰ÈÔ ‡„Ô˜ Ì ·˘Ù‹, ÂÓÒ Ë > x2 ·ÏËı‡ÂÈ ÁÈ·

ÂΛӷ Ù· x ÁÈ· Ù· ÔÔ›· Ë Cf ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ¿Óˆ ·fi ÙËÓ Cg.∂Ô̤ӈ˜, ı· ¤¯Ô˘ÌÂ

ñ ≤ x2 ⇔ x < 0 ‹ x ≥ 1.

ñ > x2 ⇔ 0 < x < 1.

ii) Œ¯Ô˘ÌÂ

ñ ≤ x2 ⇔ – x2 ≤ 0 ⇔ ≤ 0

⇔ ≥ 0 ⇔ x(x3 – 1) ≥ 0 Î·È x ≠ 0

⇔ x(x – 1)(x2 + x + 1) ≥ 0 Î·È x ≠ 0⇔ x(x – 1) ≥ 0 Î·È x ≠ 0⇔ x < 0 ‹ x ≥ 1.

x3 – 1

x

1 – x3

x

1

x

1

x

1

x

1

x

1

x

1

x

1

x

1

x

1 – x

x

1

x

1

x

1 – x

x

1

x

1

x

7.2. ªÂϤÙË Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ f(x) = ·—x 99

{

∂Ô̤ӈ˜

ñ > x2 ⇔ 0 < x < 1.

6. ™Â ¤Ó· Û‡ÛÙËÌ· Û˘ÓÙÂÙ·ÁÌ¤ÓˆÓ ·›Ú-ÓÔ˘Ì ∞µ = √∞ = x > 0 Î·È ∞° = √°= y > 0. ∆fiÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ∂ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒ-

ÓÔ˘ Â›Ó·È ∂ = , ÔfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ

= 2 ⇔ xy = 4 ⇔ , (1).

H ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ (1) Â›Ó·È ˘ÂÚ‚ÔÏ‹ Ì Â͛ۈÛË Î·È Ê·›-ÓÂÙ·È ÛÙÔ Û¯‹Ì·.

¨ 7.3. ªÂϤÙË Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ f(x) = ·x2 + ‚x + Á∞ã √ª∞¢∞™

1. i) Œ¯Ô˘ÌÂf(x) = 2(x2 – 2x) + 5 = 2(x2 – 2 Ø x + 12) – 2 +5 = 2(x – 1)2 + 3.ÕÚ·, Ë ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ f ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ‰‡Ô ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÌÂÙ·-ÙÔ›ÛÂȘ Ù˘ ÁÚ·ÊÈ΋˜ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ Ù˘ g(x) = 2x2, ÌÈ·˜ ÔÚÈ˙fiÓÙÈ·˜ ηٿ1 ÌÔÓ¿‰· ÚÔ˜ Ù· ‰ÂÍÈ¿ Î·È ÌÈ·˜ ηٷÎfiÚ˘Ê˘ ηٿ 3 ÌÔÓ¿‰Â˜ ÚÔ˜ Ù·¿Óˆ.

ii) Œ¯Ô˘ÌÂf(x) = – 2(x2 – 4x) – 9 = –2(x2 – 2 Ø 2x + 22) + 8 – 9 = –2(x – 2)2 – 1.ÕÚ·, Ë ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ f ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ‰‡Ô ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÌÂÙ·-ÙÔ›ÛÂȘ Ù˘ ÁÚ·ÊÈ΋˜ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ Ù˘ g(x) = –2x2, ÌÈ·˜ ÔÚÈ˙fiÓÙÈ·˜ ηٿ2 ÌÔÓ¿‰Â˜ ÚÔ˜ Ù· ‰ÂÍÈ¿ Î·È ÌÈ·˜ ηٷÎfiÚ˘Ê˘ ηٿ 1 ÌÔÓ¿‰· ÚÔ˜ ٷοو.

2. ·) °È· ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f(x) = 2x2 – 6x + 3 Â›Ó·È · = 2 > 0, ÔfiÙ ·˘Ù‹ ·-ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÈ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ÁÈ·

‚) °È· ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË g(x) = –3x2 – 5x + 2 Â›Ó·È · = –3 < 0, ÔfiÙ ·˘Ù‹·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÈ Ì¤ÁÈÛÙÔ ÁÈ·

x = – ‚

2· = 6

4 = 3

2 , ÙÔ f 3

2 = 2 3

2

2

– 6 ⋅ 32

+ 3 = – 3

2 .

y = 4

x

y = 4

x

xy

2

xy

2

1

x

∫∂º∞§∞π√ 7: ª∂§∂∆∏ µ∞™π∫ø¡ ™À¡∞ƒ∆∏™∂ø¡100

3. ·) °È· ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f(x) = 2x2 + 4x + 1Â›Ó·È · = 2 > 0, ÔfiÙ ·˘Ù‹� ¶·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÈ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ÁÈ·

� ∂›Ó·È ÁÓËÛ›ˆ˜ Êı›ÓÔ˘Û· ÛÙÔ (–∞, –1]Î·È ÁÓËÛ›ˆ˜ ·‡ÍÔ˘Û· ÛÙÔ [–1, +∞).∞ÎfiÌË Ë ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ fÂ›Ó·È ·Ú·‚ÔÏ‹ ηÈ

� ¤¯ÂÈ ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∫(–1, –1) ηȿÍÔÓ· Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙËÓ Â˘ı›· x = –1,

� Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· xãx ÛÙ· ÛËÌ›·

ÔÈ ÙÂÙÌË̤Ó˜ ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ, Â›Ó·È ÔÈ Ú›˙˜ ÙÔ˘ ÙÚȈӇÌÔ˘ 2x2 + 4x + 1,ÂÓÒ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· yãy ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô °(0, 1).

‚) °È· ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË g(x) = –2x2 +8x – 9 Â›Ó·È · = –2 < 0, ÔfiÙ ·˘Ù‹� ¶·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÈ Ì¤ÁÈÛÙÔ ÁÈ·

� ∂›Ó·È ÁÓËÛ›ˆ˜ ·‡ÍÔ˘Û· ÛÙÔ(–∞, 2] Î·È ÁÓËÛ›ˆ˜ Êı›ÓÔ˘Û·ÛÙÔ [2, +∞). ∞ÎfiÌË Ë ÁÚ·ÊÈ΋Ù˘ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Â›Ó·È ·Ú·‚ÔϋηÈ

� ¤¯ÂÈ ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∫(2, –1) Î·È ¿ÍÔÓ· Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙËÓ Â˘ı›·x = 2,

� Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· yãy ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞(0, –9) ÂÓÒ, ‰ÂÓ Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ·xãx, ÁÈ·Ù› ÙÔ ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ú›˙˜.

4. °ÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈi) ŸÙ·Ó · > 0, ÙfiÙÂ Ë ·Ú·‚ÔÏ‹ y = ·x2 + ‚x + Á Â›Ó·È ·ÓÔȯً ÚÔ˜ Ù·

¿Óˆ, ÂÓÒ fiÙ·Ó · < 0, ÙfiÙÂ Ë ·Ú·‚ÔÏ‹ Â›Ó·È ·ÓÔȯً ÚÔ˜ Ù· οو.∂Ô̤ӈ˜, ıÂÙÈÎfi · ¤¯Ô˘Ó Ù· ÙÚÈÒÓ˘Ì· f1, f3 Î·È f6, ÂÓÒ ·ÚÓËÙÈÎfi ·¤¯Ô˘Ó Ù· ÙÚÈÒÓ˘Ì· f2, f4, f5 Î·È f7.

x = – ‚

2· = 2, ÙÔ g(2) = –1

A – 2 + 2

2 , 0 Î·È µ –2 + 2

2 , 0

x = – ‚

2· = –1, ÙÔ f(–1) = –1.

x = – ‚

2· = –5

6 , ÙÔ g –5

6 = –3 –5

6

2

– 5 –5

6 + 2 = 49

12 .

7.3. ªÂϤÙË Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ f(x) = ·x2 + ‚x + Á 101

ii) ∆Ô Á Â›Ó·È Ë ÙÂÙ·Á̤ÓË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ÙÔÌ‹˜ Ù˘ ·Ú·‚ÔÏ‹˜ y = ·x2 + ‚x + ÁÌ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· yãy. ∂Ô̤ӈ˜, ıÂÙÈÎfi Á ¤¯Ô˘Ó Ù· ÙÚÈÒÓ˘Ì· f1 Î·È f5, ·ÚÓË-ÙÈÎfi Á ¤¯Ô˘Ó Ù· ÙÚÈÒÓ˘Ì· f2, f3, f6 Î·È f7, ÂÓÒ Á ›ÛÔÓ Ì Ìˉ¤Ó ¤¯ÂÈ ÙÔ f4.

iii) ∏ ÙÂÙ·Á̤ÓË Ù˘ ÎÔÚ˘Ê‹˜ ∫ Ù˘ ·Ú·‚ÔÏ‹˜ y = ·x2 + ‚x + Á ‰›ÓÂÙ·È

·fi ÙÔÓ Ù‡Ô , ÔfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ ‚ = –2· Ø x∫. ∂Ô̤ӈ˜

� ÁÈ· ÙËÓ f2 Ô˘ ¤¯ÂÈ · < 0 Î·È x∫ > 0, ¤¯Ô˘Ì ‚ > 0,� ÁÈ· ÙËÓ f3 Ô˘ ¤¯ÂÈ · > 0 Î·È x∫ > 0, ¤¯Ô˘Ì ‚ < 0,� ÁÈ· ÙËÓ f4 Ô˘ ¤¯ÂÈ · < 0 Î·È x∫ > 0, ¤¯Ô˘Ì ‚ > 0,� ÁÈ· ÙËÓ f5 Ô˘ ¤¯ÂÈ · < 0 Î·È x∫ > 0, ¤¯Ô˘Ì ‚ > 0,� ÁÈ· ÙËÓ f6 Ô˘ ¤¯ÂÈ · > 0 Î·È x∫ < 0, ¤¯Ô˘Ì ‚ > 0, ηÈ� ÁÈ· ÙËÓ f7 Ô˘ ¤¯ÂÈ · < 0 Î·È x∫ < 0, ¤¯Ô˘Ì ‚ < 0.ŒÙÛÈ ¤¯Ô˘Ì ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î·

Bã √ª∞¢∞™

1. i) ∏ ·Ú·‚ÔÏ‹ ÂÊ¿ÙÂÙ·È ÙÔ˘ xãx ÌfiÓÔ ·Ó Â›Ó·È ¢ = 0.¢ËÏ·‰‹ (k + 1)2 – 4k = 0 ⇔ k2 + 2k + 1 – 4k = 0

⇔ k2 –2k + 1 = 0 ⇔ (k – 1)2 = 0 ⇔ k = 1.

ii) H ·Ú·‚ÔÏ‹ ¤¯ÂÈ ÙÔÓ yãy ¿ÍÔÓ· Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÌfiÓÔ ·Ó Ë ÎÔÚ˘Ê‹ Ù˘ ‚Ú›-

ÛÎÂÙ·È ÛÙÔÓ ¿ÍÔÓ· yãy, ‰ËÏ·‰‹ ·Ó Î·È ÌÔÓÔ ·Ó ∂Ô̤ӈ˜ Ú¤ÂÈ

⇔ k = – 1.

iii) ∏ ÎÔÚ˘Ê‹ Ù˘ ·Ú·‚ÔÏ‹˜ Â›Ó·È ÙÔ ÛËÌ›Ô

‰ËÏ·‰‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∫ – k + 1

2 , f – k + 1

2 .∫ – ‚

2· , f – ‚

2·

– (k + 1)

2 = 0

–‚

2· = 0.

xK = –‚

2·

∫∂º∞§∞π√ 7: ª∂§∂∆∏ µ∞™π∫ø¡ ™À¡∞ƒ∆∏™∂ø¡102

™‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ ˘fiıÂÛË Ú¤ÂÈ , Ô˘ ‰È·‰Ô¯Èο ÁÚ¿ÊÂÙ·È

⇔ (k + 1)2 – 2(k + 1)2 + 4k = –16

⇔ –(k + 1)2 + 4k + 16 = 0 ⇔ –k2 – 2k – 1 + 4k + 16 = 0

⇔ –k2 + 2k – 1 + 16 = 0

⇔ k2 – 2k – 15 = 0.

∏ ÙÂÏÂ˘Ù·›· Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ Ú›˙˜ k1 = – 3 Î·È k2 = 5.ñ °È· k = –3 Ë ÙÂÙÌË̤ÓË Ù˘ ÎÔÚ˘Ê‹˜ Â›Ó·È Ë x = 1, ÂÓÒñ °È· k = 5 Ë ÙÂÙÌË̤ÓË Ù˘ ÎÔÚ˘Ê‹˜ Â›Ó·È Ë x = –3.

2. i) ∂Âȉ‹ Ë ·Ú·‚ÔÏ‹ Â›Ó·È ·ÓÔȯً ÚÔ˜ Ù· οو, ı· Â›Ó·È · < 0.

ii) ∂Âȉ‹ Ë ·Ú·‚ÔÏ‹ Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· ÙˆÓ x ÛÙ· ÛËÌ›· ∞(1, 0) ηȵ(5, 0), ÙÔ ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ ¤¯ÂÈ ‰‡Ô Ú›˙˜ ¿ÓÈÛ˜ ÙȘ Ú1 = 1 Î·È Ú2 = 5. ÕÚ· Â›Ó·È ¢ > 0.

iii) ∂Âȉ‹ Ú1 + Ú2 = Î·È ‚ = 6, ı· ¤¯Ô˘Ì 1 + 5 = , ÔfiÙ ı· ›ӷÈ

· = –1.

∆¤ÏÔ˜, ÂÂȉ‹ Ú1 Ø Ú2 = , ı· ¤¯Ô˘Ì 1 Ø 5 = , ÔfiÙ ı· Â›Ó·È Á = –5.

ÕÚ· ƒ(x) = –x2 + 6x – 5.

∞ÏÏÈÒ˜. ∂Âȉ‹ ÙÔ ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ ¤¯ÂÈ Ú›˙˜ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ú1 = 1 Î·È Ú2 = 5, ı·Â›Ó·È Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ Ú(x) = ·(x – Ú1)(x – Ú2) = ·(x – 1)(x – 5) = ·x2 – 6·x + 5·.∂Ô̤ӈ˜ ı· Â›Ó·È ‚ = –6· Î·È ÂÂȉ‹ ‚ = 6, ı· ¤¯Ô˘Ì · = –1. ÕÚ· ƒ(x) = –x2 + 6x –5.

3. i) H ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ L ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙÔÓ Ù‡Ô L = 2(x + y) Î·È ÂÂÈ-‰‹ ‰›ÓÂÙ·È fiÙÈ L = 20, ı· ÈÛ¯‡ÂÈ 2(x + y) = 20 ⇔ x + y = 10 ⇔ y = 10 – x.∂Ô̤ӈ˜, ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ı· Â›Ó·È ›ÛÔ ÌÂ

∂ = xy = x(10 – x) = –x2 + 10x.

ÕÚ· f(x) = –x2 + 10x, 0 < x < 10.

ii) ∆Ô ÂÌ‚·‰fiÓ ÌÂÁÈÛÙÔÔÈÂ›Ù·È fiÙ·Ó ÌÂÁÈÛÙÔÔÈÂ›Ù·È ÙÔ ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ f(x). ∞˘-

Ùfi Û˘Ì‚·›ÓÂÈ fiÙ·Ó , ‰ËÏ·‰‹ fiÙ·Ó ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ Á›ÓÂÈ

ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ, ·ÊÔ‡ ÁÈ· x = 5 Â›Ó·È Î·È y = 5. H ̤ÁÈÛÙË ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡Â›Ó·È ›ÛË ÌÂ

f(5) = –52 + 10 Ø 5 = 25.

x = –‚

2· = –10

–2 = 5

Á

–1

Á

·

–6

·

–‚

·

k + 1

2

2

– (k + 1) k + 1

2 + k = –4

f – k + 1

2 = –4

7.3. ªÂϤÙË Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ f(x) = ·x2 + ‚x + Á 103

4. AÓ ı¤ÛÔ˘Ì (∞ª) = x, ÙfiÙ ı· Â›Ó·È (ªµ) = 6 – x (Û¯‹Ì·). ∞fi ÙÔ ÔÚıÔ-ÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∫°ª ·›ÚÓÔ˘ÌÂ.

, ÔfiÙÂ

√ÌÔ›ˆ˜ ·fi ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ §¢µ ·›ÚÓÔ˘ÌÂ

∆Ô ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙˆÓ ‰‡Ô ÙÚÈÁÒÓˆÓ Â›Ó·È ÙfiÙÂ

∂ = ∂1 + ∂2 =

ÕÚ· , ÌÂ 0 ≤ x ≤ 6. (1)

∞fi ÙËÓ (1) Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ∂ Â›Ó·È ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ÁÈ· ÙËÓ ÙÈÌ‹ÙÔ˘ x, ÁÈ· ÙËÓ ÔÔ›· Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f(x) = x2 – 6x + 18 ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÈ ÂÏ¿¯È-ÛÙÔ. ∂Âȉ‹ · = 1 > 0, Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÈ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ÁÈ·

∂Ô̤ӈ˜ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ Á›ÓÂÙ·È ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ fiÙ·Ó ÙÔ ª Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ ∞µ.

5. ∞fi ÙÔ Û¯‹Ì· ‚Ï¤Ô˘Ì fiÙÈ ÁÈ· ÙȘ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ x Î·È y ÈÛ¯‡ÂÈ

2x + 2x + 3y = 240 ⇔ 4x + 3y = 240 ⇔ y = (1)

TÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙˆÓ ‰‡Ô ¯ÒÚˆÓ Â›Ó·È

∂ = 2xy = 2x (2)

°È· ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË Â›Ó·È ÔfiÙ ·˘Ù‹

·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÈ Ì¤ÁÈÛÙÔ ÁÈ·

∆fiÙ ·fi ÙËÓ (1) ·›ÚÓÔ˘ÌÂ

ÕÚ·, ÔÈ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ Ô˘ ‰›ÓÔ˘Ó ÙÔ Ì¤ÁÈÛÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ Â›Ó·È x = 30m ηÈy = 40m.

y = 240 – 4 ⋅ 30

3 = 40.

x = –‚

2· = –160

–16

3

= 30.

· = – 8

3 < 0,∂(x) = – 8

3 x2 + 160x

240 – 4x

3 = – 8

3 x2 + 160x.

240 – 4x

3 .

x = –‚

2· = 6

2 = 3.

E = 3

2 (x2 – 6x + 18).

= 3

4x2 + 3

4(6 – x)2

= 1

2 x x 3

2 + 1

2 (6 –x) (6 –x) 3

2

1

2 (∞ª)(∫°) + 1

2 (ªµ)(§¢)

˘2 =(6 – x) 3

2 .

˘1 =x 3

2 .˘1

2 = x2 – x

2

2

= x2 – x2

4 = 3x2

4

∫∂º∞§∞π√ 7: ª∂§∂∆∏ µ∞™π∫ø¡ ™À¡∞ƒ∆∏™∂ø¡104

∞™∫∏™∂π™ °π∞ ∂¶∞¡∞§∏æ∏

1. i) Œ¯Ô˘ÌÂ

ii) Œ¯Ô˘ÌÂ

·2 + ‚2 + Á2 ≥ ·‚ + ‚Á + Á· ⇔ ·2 + ‚2 + Á2 – ·‚ – ‚Á – Á· ≥ 0

⇔ Ô˘ ÈÛ¯‡ÂÈ.

∆Ô “=” ÈÛ¯‡ÂÈ ·Ó Î·È ÌfiÓÔ ·Ó· – ‚ = 0 Î·È ‚ – Á = 0 Î·È Á – · = 0 ⇔ · = ‚ = Á.

2. i) Œ¯Ô˘Ì (΂)2 + (ÎÁ)2 = Î2‚2 + Î2Á2 = Î2(‚2 + Á2) = Î2·2 = (η)2.

ii) Œ¯Ô˘Ì (Ì2 – Ó2)2 + (2ÌÓ)2 = Ì4– 2Ì2Ó2 + Ó4 + 4Ì2Ó2

= Ì4 + 2Ì2Ó2 + Ó4 = (Ì2 + Ó2)2.3 4 58 6 105 12 13

21 20 2916 30 3415 8 17

1

2 (· – ‚)2 + (‚ – Á)2 + (Á – ·)2 ≥ 0

= ·2 + ‚2 + Á2 – ·‚ – ‚Á – Á·.

= 1

2 ⋅ 2 ·2 + ‚2 + Á2 – ·‚ – ‚Á – Á·

= 1

2 2·2 + 2‚2 + 2Á2 – 2·‚ – 2‚Á – 2Á·

= 1

2 ·2 – 2·‚ + ‚2 + ‚2 – 2‚Á + Á2 + Á2 – 2Á· + ·2

1

2 (· – ‚)2 + (‚ – Á)2 + (Á – ·)2

3. ∞) Œ¯Ô˘Ì ⇔ ⇔ 4·‚ ≤ ·2 + ‚2 + 2·‚

⇔ 0 ≤ ·2 + ‚2 + 2·‚ – 4·‚ ⇔ 0 ≤ ·2 + ‚2 – 2·‚

⇔ 0 ≤ (· – ‚)2, Ô˘ ÈÛ¯‡ÂÈ.

∆Ô “=” ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙ·Ó · = ‚.∞fi ÙËÓ ·ÓÈÛfiÙËÙ· ·˘Ù‹ ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÂÓfi˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ̉ȷÛÙ¿ÛÂȘ · Î·È ‚ ‰ÂÓ ˘ÂÚ‚·›ÓÂÈ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Ì ÏÂ˘Ú¿

ÙÔ ËÌÈ¿ıÚÔÈÛÌ·

µ) ∞Ó · Î·È ‚ Â›Ó·È ÔÈ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ÂÓfi˜ Ù¤ÙÔÈÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘, ÙfiÙ ÙÔ ÂÌ‚·-‰fiÓ ÙÔ˘ Â›Ó·È ∂ = ·‚ Î·È Ë ÂÚ›ÌÂÙÚfi˜ ÙÔ˘ ƒ = 2(· + ‚).

i) ŒÙÛÈ Ë ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ·ÓÈÛfiÙËÙ· ÁÚ¿ÊÂÙ·È

∏ ÈÛfiÙËÙ· ÈÛ¯‡ÂÈ, ·Ó Î·È ÌfiÓÔ ·Ó , ‰ËÏ·‰‹ fiÙ·Ó ÙÔ ÔÚıÔ-ÁÒÓÈÔ Á›ÓÂÈ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ.

ii) §fiÁˆ Ù˘ (i) ¤¯Ô˘ÌÂ

∏ ÈÛfiÙËÙ· ÈÛ¯‡ÂÈ ·Ó Î·È ÌfiÓÔ ·Ó · = ‚.(∆Ô ·Ú·¿Óˆ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ‹Ù·Ó ÁÓˆÛÙfi ÚÈÓ ÙËÓ ÂÔ¯‹ ÙÔ˘ ∂˘ÎÏ›‰Ë).

4. i) 3(x + 1) – ·x = 4 ⇔ 3x + 3 – ·x = 4 ⇔ (3 – ·)x = 1.

ñ ∞Ó · ≠ 3, ÙfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ χÛË ÙËÓ

ñ ∞Ó · = 3, ÙfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË Á›ÓÂÙ·È 0x = 1 Î·È Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙË.

ii) °È· · ≠ 3 Ú¤ÂÈ ⇔ ⇔

⇔ ⇔ (· – 2)(3 – ·) > 0

⇔ (· – 2)(· – 3) < 0 ⇔ 2 < · < 3.

5. i) Œ¯Ô˘ÌÂ

Ï2 (x – 1) + 3Ï = x + 2 ⇔ Ï2x – Ï2 + 3Ï = x + 2 ⇔ Ï2x – x = Ï2 – 3Ï + 2

⇔ (Ï2 – 1)x = Ï2 – 3Ï + 2

⇔ (Ï + 1)(Ï – 1)x = (Ï – 1)(Ï – 2).

ii) ñ AÓ Ï ≠ ±1, ÙfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ χÛË ÙËÓ

x = (Ï – 1) (Ï – 2)

(Ï + 1) (Ï – 1) = Ï – 2

Ï + 1 .

· – 2

3 – · > 0

1 – 3 + ·

3 – · > 01

3 – · – 1 > 01

3 – · > 1

x = 1

3 – · .

∂ ≤ ƒ

4

2

⇔ ∂ ≤ ƒ

4 ⇔ ƒ ≥ 4 ∂.

· = ‚ = ƒ

4

∂ ≤ ƒ

4

2

.

· + ‚

2 .

·‚ ≤ ·2 + ‚2 + 2·‚

4·‚ ≤ · + ‚

2

2

A™∫∏™∂π™ °π∞ ∂¶∞¡∞§∏æ∏106

ñ °È· Ï = –1, Ë Â͛ۈÛË Á›ÓÂÙ·È 0x = 6 Î·È Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙË.ñ °È· Ï = 1, Ë Â͛ۈÛË Á›ÓÂÙ·È 0x = 0 Î·È Â›Ó·È Ù·˘ÙfiÙËÙ·.

iii) ∏ Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ Ú›˙· ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi , ·Ó Î·È ÌfiÓÔ ·Ó ÈÛ¯‡ÂÈ

(Ï – 1)(Ï + 1) 1—4

= (Ï – 1)(Ï – 2) ⇔ (Ï – 1)(Ï + 1) = 4(Ï – 1)(Ï – 2)

⇔ (Ï – 1)(3Ï – 9) = 0 ⇔ Ï = 1 ‹ Ï = 3.

6. ∞) i) Œ¯Ô˘ÌÂ

180 = 60t Ø 10t2 ⇔ 18 = 6t t2 ⇔ 36 = 12t – t2 ⇔

t2 – 12t + 36 = 0 ⇔ (t – 6)2 = 0 ⇔ t = 6sec.

ii) Œ¯Ô˘ÌÂ

100 = 60t Ø 10t2 ⇔ 10 = 6t t2 ⇔ 20 = 12t – t2 ⇔

t2 – 12t + 20 = 0.¢ = (–12)2 – 4 Ø 1 Ø 20 = 144 – 80 = 64

∂Ô̤ӈ˜ ⇔ t = 2sec ‹ t = 10sec.

™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË i) ÙÔ ‡„Ô˜ ÙˆÓ 180 ̤ÙÚˆÓ Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÁÈÛÙÔ ‡„Ô˜ Ô˘ Êı¿ÓÂÈ

ÙÔ ÛÒÌ·, ·ÊÔ‡ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÙÔ˘ ‡„Ô˘˜ Â›Ó·È h(t) = Ø 10 Ø t2 + 60t, ‰ËÏ·‰‹

h(t) = –5t2 + 60t Î·È ¤¯ÂÈ Ì¤ÁÈÛÙÔ ÁÈ· t = = 6sec, ÙÔ h(6) = 180 ̤ÙÚ·.

™ÙË ‰Â‡ÙÂÚË ÂÚ›ÙˆÛË ÔÈ ‰‡Ô χÛÂȘ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Â›Ó·È ÔÈ ¯ÚÔÓÈΤ˜ÛÙÈÁ̤˜ Ô˘ ÙÔ ÛÒÌ· ı· ‚ÚÂı› Û ‡„Ô˜ 100 ̤ÙÚˆÓ, ÌÈ· ÛÙËÓ ¿ÓÔ‰Ô fiÙ·Ót = 2sec Î·È ÌÈ· ÛÙËÓ Î¿ıÔ‰Ô fiÙ·Ó t = 10sec.

B) °È· Ó· ÌÔÚ› ÙÔ ÛÒÌ· Ó· Êı¿ÛÂÈ Û ‡„Ô˜ h0, ı· Ú¤ÂÈ ÙÔ h0 Ó· Â›Ó·È ÌÈ-

ÎÚfiÙÂÚÔ ‹ ÙÔ Ôχ ›ÛÔ Ì ÙÔ Ì¤ÁÈÛÙÔ Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ h(t) = gt2 + ˘0t.

∆Ô Ì¤ÁÈÛÙÔ Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ ·˘Ù‹˜ Â›Ó·È ›ÛÔ ÌÂ

ÕÚ· ÁÈ· Ó· ÌÔÚ› ÙÔ ÛÒÌ· ·Ó Êı¿ÛÂÈ Û ‡„Ô˜ h0 Ú¤ÂÈ h0 ≤ ˘0

2

2g .

= – 1

2 ⋅ ˘0

2

g +

˘02

g =

–˘02

2g +

2˘02

2g =

˘02

2g .

h–˘0

2 – 1

2 g

= h˘0

g = – 1

2 g

˘0

g

2

+ ˘0 ⋅ ˘0

g

– 1

2

–60

2(–5)

– 1

2

t = 12 ± 8

2

– 1

2– 1

2

– 1

2– 1

2

x = 1

4

A™∫∏™∂π™ °π∞ ∂¶∞¡∞§∏æ∏ 107

7. ∏ ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ f(x) = |x| – 2 ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÌÈ· ηٷÎfiÚ˘ÊËÌÂÙ·ÙfiÈÛË Ù˘ y = |x|, ηٿ 2ÌÔÓ¿‰Â˜ ÚÔ˜ Ù· οو, ÂÓÒ ËÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ g(x) = 2 – |x| Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈ΋ Ù˘ ÁÚ·ÊÈ΋˜·Ú¿ÛÙ·Û˘ Ù˘ f ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ¿ÍÔÓ· xãx, ‰ÈfiÙÈ Ë g Â›Ó·È ·ÓÙ›-ıÂÙË Ù˘ f (Û¯.).OÈ ÁÚ·ÊÈΤ˜ ·˘Ù¤˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ٤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙ· ÛËÌ›· ∞(2, 0),µ(0, 2), °(–2, 0) Î·È ¢(0, –2).∆Ô ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÙÂÙڷχÚÔ˘ ∞µ°¢, Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ ÙÂÙÚ·Ï¿ÛÈÔ ÙÔ˘

ÂÌ‚·‰Ô‡ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ √∞µ, ‰ËÏ·‰‹ Â›Ó·È ›ÛÔ ÌÂ

™ËÌ›ˆÛË: ∆Ô ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞µ°¢ Â›Ó·È ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ, ‰ÈfiÙÈ ¤¯ÂÈ fiϘ ÙÔ˘ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÔÚı¤˜ Î·È fiϘ ÙÔ˘ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ›Û˜, Ì ̋ÎÔ˜ ∂Ô̤ӈ˜ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ Â›Ó·È ›ÛÔ ÌÂ

8. ∏ ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ f(x) = |x – 1|

ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÌÈ· ÔÚÈ˙fiÓÙÈ· ÌÂ-Ù·ÙfiÈÛË Ù˘ y = |x|, ηٿ 1 ÌÔ-Ó¿‰· ÚÔ˜ Ù· ‰ÂÍÈ¿, ÂÓÒ Ë ÁÚ·-ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘

g(x) = |x – 3| ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÌÈ· ÔÚÈ˙fiÓÙÈ· ÌÂ-Ù·ÙfiÈÛË Ù˘ y = |x|, ηٿ 3 ÌÔÓ¿‰Â˜ ÚÔ˜ Ù· ‰ÂÍÈ¿ (Û¯.). √È ÁÚ·ÊÈΤ˜ ·˘-Ù¤˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞(2, 1).OÈ Ï‡ÛÂÈ Ù˘ ·Ó›ÛˆÛ˘ |x – 1| < |x – 3| Â›Ó·È ÂΛӷ Ù· x ∈ � ÁÈ· Ù· ÔÔ›·Ë y = |x – 1| ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Î¿Ùˆ ·fi ÙËÓ y = |x – 3|. ∞˘Ùfi Û˘Ì‚·›ÓÂÈ, fiˆ˜ Ê·›-ÓÂÙ·È ÛÙÔ Û¯‹Ì·, fiÙ·Ó x < 2.∆Ô ·Ú·¿Óˆ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ÂȂ‚·ÈÒÓÂÙ·È ·ÏÁ‚ÚÈο ˆ˜ ÂÍ‹˜

|x – 1| < |x – 3| ⇔ |x – 1|2 < |x – 3|2 ⇔ (x – 1)2 < (x – 3)2

⇔ x2 – 2x + 1 < x2 – 6x + 9 ⇔ 4x < 8 ⇔ x < 2.

∂∞µ°¢ = 2 22 = 8ÙÌ.

2 2.

∂∞µ°¢ = 4 ⋅ ∂√∞µ = 4 ⋅ 1

2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8ÙÌ.

A™∫∏™∂π™ °π∞ ∂¶∞¡∞§∏æ∏108

�

9. A) H ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ g ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙË ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛËÙ˘ f Ì ηٷÎfiÚ˘ÊË ÌÂÙ·ÙfiÈÛË 3 ÌÔÓ¿‰Â˜ ÚÔ˜ Ù· οو.∏ ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ h ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙË ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛËÙ˘ g, ·Ó ·Ú·ÙËÚ‹ÛÔ˘Ì fiÙÈ h(x) = g(x), ÁÈ· x ≤ 3 ‹ x ≥ 3 Î·È h(x) = –g(x) ÁÈ· –3 ≤ x ≤ 3.

B) ∆Ô Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ Ï‡ÛÂˆÓ ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ y = ||x| – 3|y = ·

, · ∈ �

·ÚÈÛÙ¿ÓÂÙ·È ·fi ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ÙÔÌ‹˜ Ù˘ ÔÚÈ˙fiÓÙÈ·˜ ¢ı›·˜y = · Î·È Ù˘ ÁÚ·ÊÈ΋˜ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ h. ∂Ô̤ӈ˜,ñ AÓ · < 0, ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛÂȘ, ‰ËÏ·‰‹ Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙÔ.ñ AÓ · = 0, ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· ¤¯ÂÈ ‰‡Ô χÛÂȘ.ñ AÓ 0 < · < 3, ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· ¤¯ÂÈ Ù¤ÛÛÂÚȘ χÛÂȘ.ñ AÓ · = 3, ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· ¤¯ÂÈ ÙÚÂȘ χÛÂȘ.ñ AÓ · > 3, ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· ¤¯ÂÈ ‰‡Ô χÛÂȘ.

{

A™∫∏™∂π™ °π∞ ∂¶∞¡∞§∏æ∏ 109

10. i) Œ¯Ô˘Ì y2 – x2 = 0 ⇔ (y – x)(y + x) = 0 ⇔ y = x ‹ y = –x, Ô˘ ›ӷÈÔÈ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ÙˆÓ ‰È¯ÔÙfiÌˆÓ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙˆÓ ·ÍfiÓˆÓ.

ii) ∏ ·fiÛÙ·ÛË ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ∫(·, 0) Î·È ª(x, y) Â›Ó·È ›ÛË ÌÂ

ŒÓ· ÛËÌÂ›Ô ª(x, y) ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔÓ Î‡ÎÏÔ Ì ΤÓÙÚÔ ∫(·, 0) Î·È ·ÎÙ›Ó·

Ú = 1, ·Ó Î·È ÌfiÓÔ ·Ó (∫ª) = 1 ⇔ ⇔ (x – ·)2 + y2 = 1.

iii) ∆Ô Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ Ï‡ÛÂˆÓ ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È fiÛÔ Î·È ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓÎÔÈÓÒÓ ÛËÌ›ˆÓ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Ì ÙȘ ¢ı›˜ y = x Î·È y = –x.

∂Âȉ‹, ÁÈ· · ≥ 0, Ë ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ΤÓÙÚÔ˘ ∫ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ·fi ÙȘ ¢-

ı›˜ ·˘Ù¤˜ Â›Ó·È ›ÛË Ì d = KA = KB = , ¤¯Ô˘ÌÂ:

ñ ∞Ó d > Ú ⇔ > 1 ⇔ · > , Ô Î‡ÎÏÔ˜ Î·È ÔÈ Â˘ı›˜ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó

ηӤӷ ÎÔÈÓfi ÛËÌ›Ô, ÔfiÙ ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙÔ.

ñ ∞Ó d = Ú ⇔ · = , Ô Î‡ÎÏÔ˜ ÂÊ¿ÙÂÙ·È ÙˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ, ÔfiÙ ÙÔ Û‡-

ÛÙËÌ· ¤¯ÂÈ ‰‡Ô χÛÂȘ.

ñ ∞Ó d < Ú ⇔ 0 ≤ · < , Ô Î‡ÎÏÔ˜ Ù¤ÌÓÂÈ Î·È ÙȘ ‰‡Ô ¢ı›˜, ÔfiÙ ÙÔÛ‡ÛÙËÌ· ¤¯ÂÈ Ù¤ÛÛÂÚȘ χÛÂȘ, Ì ÂÍ·›ÚÂÛË ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË · = 1 ηٿÙËÓ ÔÔ›· Ô Î‡ÎÏÔ˜ ¤¯ÂÈ Ì ÙȘ ¢ı›˜ ÙÚ›· ‰È·ÎÂÎÚÈ̤ӷ ÎÔÈÓ¿ ÛË-Ì›·, ÔfiÙ ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· ¤¯ÂÈ ÙÚÂȘ χÛÂȘ.

§fiÁˆ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜, ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Û˘ÌÂÚ¿ÛÌ·Ù· ¤¯Ô˘ÌÂ Î·È fiÙ·Ó · ≤ 0.

2

2

2·

2

·

2

(x – ·)2 + y2 = 1

d = (x – ·) 2 + (y – 02) = (x – ·)2 + y2 .

A™∫∏™∂π™ °π∞ ∂¶∞¡∞§∏æ∏110

11. ∂Âȉ‹ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ª°§ Â›Ó·È ÔÚıÔ-ÁÒÓÈÔ, ı· ÈÛ¯‡ÂÈ ª°2 = §°2 – ª§2 =32 – x2 = 9 – x2, ÔfiÙ ı· Â›Ó·È ª¢ =

2ª° = Î·È ÂÂȉ‹ ÙÔ ÙÚ›-

ÁˆÓÔ ª∫¢ Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ı· ÈÛ¯‡ÂÈ

∫¢2 = ª∫2 + ª¢2 ⇔ 62 = (3 – x)2 +

⇔ 36 = x2 – 6x + 9 + 4(9 – x2)

⇔ x2 + 2x – 3 = 0 ⇔ x = 1 ‹ x = –3ÕÚ· x = 1, ·ÊÔ‡ x > 0.

12. i) ∞fi ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi Ù˘ ·fiÛÙ·Û˘ ‰˘Ô ÛËÌ›ˆÓ ÙÔ˘ ¿ÍÔÓ· ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ(ª∞) = |x + 1| Î·È (MB) = |x – 1|.EÔ̤ӈ˜, ¤¯Ô˘ÌÂf(x) = (ª∞) + (MB) = |x + 1| + |x – 1|.g(x) = ||x + 1| – |x – 1||.

ii) °È· Ó· ·ÏÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÙÔÓ Ù‡Ô Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ f Î·È g, ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙÔÚfiÛËÌÔ ÙˆÓ x + 1 Î·È x – 1 ÁÈ· ÙȘ ‰È¿ÊÔÚ˜ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ x Ô˘ Ê·›ÓÔÓÙ·ÈÛÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î·.

ŒÙÛÈ ¤¯Ô˘ÌÂ

–2x, ·Ó x < –12, ·Ó x < –1

f(x) = 2, ·Ó –1 ≤ x <1 Î·È g(x) = –2x, ·Ó –1 ≤ x <1

2x, ·Ó x ≥ 12x, ·Ó 0 ≤ x < 12, ·Ó x ≥ 1

ÔfiÙ ÔÈ ÁÚ·ÊÈΤ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ ÙˆÓ f Î·È g Â›Ó·È ÔÈ ·ÎfiÏÔ˘ı˜:

2 9 – x2 2

2 9 – x2

A™∫∏™∂π™ °π∞ ∂¶∞¡∞§∏æ∏ 111

�

�

{ {

iii) ∞fi ÙȘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ ÁÚ·ÊÈΤ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈñ ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË f� Â›Ó·È ÁÓËÛ›ˆ˜ Êı›ÓÔ˘Û· ÛÙÔ (–∞, –1], ÛÙ·ıÂÚ‹ ÙÔ˘ [–1, 1] Î·È ÁÓË-

Û›ˆ˜ ·‡ÍÔ˘Û· ÛÙÔ [1, +∞) ηÈ� ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÈ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ, ›ÛÔ Ì 2, ÁÈ· οı x ∈ [–1, 1].

ñ ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË g� Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚ‹ ÛÙÔ (–∞, –1], ÁÓËÛ›ˆ˜ Êı›ÓÔ˘Û· ÛÙÔ [–1, 0], ÁÓË-

Û›ˆ˜ ·‡ÍÔ˘Û· ÛÙÔ [0, 1] Î·È ÛÙ·ıÂÚ‹ ÛÙÔ [1, +∞),� ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÈ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ, ›ÛÔ Ì 0, ÁÈ· x = 0 ηÈ� ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÈ Ì¤ÁÈÛÙÔ, ›ÛÔ Ì 2, ÁÈ· οı x ∈ (–∞, –1] ∪ [1, +∞).

13. i) ñ H f ¤¯ÂÈ ÔÏÈÎfi ̤ÁÈÛÙÔ ÁÈ· x = 0, Ùo f(0) = 2.ñ H g ¤¯ÂÈ ÔÏÈÎfi ̤ÁÈÛÙÔ ÁÈ· x = 1, Ùo g(1) = 2 Î·È ÔÏÈÎfi ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ÁÈ· x = –1,

Ùo g(–1) = –2. ñ H h ¤¯ÂÈ ÔÏÈÎfi ̤ÁÈÛÙÔ ÁÈ· x = –1 Î·È x = 1, ÙÔ h(–1) = h(1) = 2 ηÈ

ÔÏÈÎfi ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ÁÈ· x = 0, ÙÔ h(0) = 0.

ii) ñ °È· ÙËÓ f ·ÚΛ Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÁÈ· οı x ∈ � ÈÛ¯‡ÂÈ

f(x) ≤ 2 ⇔ ≤ 2 ⇔ 1 ≤ x2 + 1 ⇔ x2 ≥ 0 Ô˘ ÈÛ¯‡ÂÈ.

ñ °È· ÙËÓ g Ú¤ÂÈ Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÁÈ· οı x ∈ � ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÔÈ ·ÓÈÛfiÙË-Ù˜ g(x) ≤ 2 Î·È g(x) ≥ –2.

Œ¯Ô˘Ì g(x) ≤ 2 ⇔ ≤ 2 ⇔ 2x ≤ x2 + 1 ⇔ (x – 1)2 ≥ 0 Ô˘ ÈÛ¯‡ÂÈ

Î·È g(x) ≥ –2 ⇔ ≥ –2 ⇔ 2x ≥ –x2 – 1 ⇔ (x + 1)2 ≥ 0 Ô˘ ÈÛ¯‡ÂÈ.

ñ °È· ÙËÓ h Ú¤ÂÈ Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÁÈ· οı x ∈ � ÈÛ¯‡ÂÈ h(x) ≥ 0 ηÈh(x) ≤ 2.

Œ¯Ô˘Ì h(x) ≥ 0 ⇔ ≥ 0 Ô˘ Â›Ó·È Ê·ÓÂÚfi fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È

h(x) ≤ 2 ⇔ ≤ 2 ⇔ 2x2 ≤ x4 + 1

⇔ x4 – 2x2 + 1 > 0 ⇔ (x2 – 1)2 ≥ 0, Ô˘ ÈÛ¯‡ÂÈ

14. A) i) ¶Ú¤ÂÈ x ≥ 0. ÕÚ· ∞ = [0, +∞).

ii) AÊÔ‡ ÙÔ ª(·, ‚) ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙË ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ f ¤¯Ô˘ÌÂ⇔ ‚2 = ·. (1)

°È· Ó· ·Ó‹ÎÂÈ ÙÔ ªã(‚, ·) ÛÙË ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ g, Ú¤-ÂÈ g(‚) = · ⇔ ‚2 = · Ô˘ ÈÛ¯‡ÂÈ.

iii) ∂Âȉ‹ Ù· ÛËÌ›· ª(·, ‚) Î·È ªã(‚, ·) Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈο ˆ˜ ÚÔ˜

‚ = ·

4x2

x4 + 1

4x2

x4 + 1

4x

x2 + 1

4x

x2 + 1

2

x2 + 1

A™∫∏™∂π™ °π∞ ∂¶∞¡∞§∏æ∏112

ÙË ‰È¯ÔÙfiÌÔ Ù˘ 1˘ Î·È 3˘ ÁˆÓ›·˜ ÙˆÓ ·ÍfiÓˆÓ Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ

Ë ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ f(x) = Â›Ó·È Ë Û˘ÌÌÂÙÚÈ΋ Ù˘ ÁÚ·-

ÊÈ΋˜ Ù˘ g(x) = x2 ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ı›· y = x ÁÈ· x ≥ 0.

Afi ÙË ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ f ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ Ë f(x) = Â›Ó·È ÁÓËÛ›ˆ˜·‡ÍÔ˘Û· ÛÙÔ ∞ = [0, +∞) Î·È ¤¯ÂÈ ÔÏÈÎfi ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ÁÈ· x = 0 ÙÔ f(0) = 0.

µ) ∆Ô Â‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ Ù˘ h Â›Ó·È fiÏÔ ÙÔ �.

Œ¯Ô˘Ì h(–x) = = h(x).ÕÚ· Ë h Â›Ó·È ¿ÚÙÈ· Î·È Ë ÁÚ·ÊÈ΋ Ù˘ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ÙËÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ f Î·È ÙË Û˘ÌÌÂÙÚÈ΋ Ù˘ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· yãy.

°) ™ÙÔ Ù˘¯·›Ô ÙÚ›ÁˆÓÔ ¡ªã¡ã ¤¯Ô˘Ì (¡¡ã) = f(v + 1) = ηÈ

(¡ªã) =

=

ÕÚ· ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¡ªã¡ã Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜.

15. ™ÙÔ Î·Ù·ÎfiÚ˘ÊÔ Â›Â‰Ô Ù˘ Á¤Ê˘Ú·˜ ıˆÚԇ̠¤Ó· Û‡ÛÙËÌ· Û˘ÓÙÂÙ·Á-̤ӈÓ, ÛÙÔ ÔÔ›Ô ·›ÚÓÔ˘Ì ˆ˜ ¿ÍÔÓ· ÙˆÓ x ÙË ¯ÔÚ‰‹ ÙÔ˘ ·Ú·‚ÔÏÈÎÔ‡ÙfiÍÔ˘ Î·È ˆ˜ ¿ÍÔÓ· ÙˆÓ y ÙË ÌÂÛÔοıÂÙÔ ·˘Ù‹˜ (Û¯‹Ì·).

1 + v = (NNã).

(¡ª)2 + (ªªã)2 = (v + 1 – v)2 + ( v)2

v + 1

|–x| = |x|

x

x

A™∫∏™∂π™ °π∞ ∂¶∞¡∞§∏æ∏ 113

�

�

™ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· ·˘Ùfi ÙÔ ·-Ú·‚ÔÏÈÎfi ÙfiÍÔ ¤¯ÂÈ Â͛ۈ-ÛË Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜y = ·x2 + Á, Ì y ≥ 0Î·È Ë ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ˘ Â›Ó·È ÙÔÛËÌÂ›Ô ∫(0, 5, 6). ™˘ÓÂÒ˜,Ë Â͛ۈÛË ÙÔ ̆·Ú·‚ÔÏÈÎÔ‡ÙfiÍÔ˘ ·›ÚÓÂÈ ÙË ÌÔÚÊ‹y = ·x2 + 5,6, Ì y ≥ 0 (1)∂Âȉ‹ ÙÔ Ï¿ÙÔ˜ Ù˘ Á¤-Ê˘Ú·˜ Â›Ó·È 8m, ÙÔ ·Ú·-‚ÔÏÈÎfi ÙfiÍÔ ı· Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ¿ÍÔÓ· xãx ÛÙ· ÛËÌ›· µ(4, 0) Î·È µã(–4, 0), ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ ÔÈ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ı· ·ÏËıÂ‡Ô˘Ó ÙËÓ Â͛ۈÛË (1). ∂Ô̤ӈ˜ ı· ÈÛ¯‡ÂÈ

0 = ·42 + 5,6 ⇔ · = –0,35.ÕÚ·, ÙÔ ·Ú·‚ÔÏÈÎfi ÙfiÍÔ ¤¯ÂÈ Â͛ۈÛË

y = –0,35x2 + 5,6 Ì –4≤ x ≤ 4 (2)∂Âȉ‹ ÙÔ ‡„Ô˜ Ù˘ ηÚfiÙÛ·˜ Â›Ó·È 2m Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔ ·Ú·‚ÔÏÈÎfi ÙfiÍÔ ÛÙ· ÛË-Ì›· ∞ Î·È ∞ã, ÁÈ· Ó· ÂÚ¿ÛÂÈ ÙÔ ÁˆÚÁÈÎfi Ì˯¿ÓËÌ· ı· Ú¤ÂÈ ∞∞ã > 6m,Ô˘ Â›Ó·È ÙÔ Ï¿ÙÔ˜ ÙÔ˘ ÊÔÚÙËÁÔ‡. °È· Ó· ‚Úԇ̠ÙÔ ∞∞ã ·ÚΛ ·Ó ‚ÚÔ‡ÌÂÙȘ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙˆÓ ∞, ∞ã. ∞Ó ı¤ÛÔ˘Ì ÛÙËÓ Â͛ۈÛË (2) y = 2 ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì–0,35x2 + 5,6 = 2 ⇔ x2 ≈ 10,6 ⇔ x ≈ 3,2.ÕÚ· ∞(3,2, 0) Î·È ∞ã(–3,2, 0), ÔfiÙ ∞∞ã ≈ 6,4m > 6m. ∂Ô̤ӈ˜ ÙÔ ÁˆÚ-ÁÈÎfi Ì˯¿ÓËÌ· ÌÔÚ› Ó· ÂÚ¿ÛÂÈ.

16. i) ¢È·ÎÚ›ÓÔ˘Ì ÙÚÂȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘñ ŸÙ·Ó ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ª ‰È·ÁÚ¿ÊÂÈ ÙÔ Â˘ı. ÙÌ‹Ì· ∞µ, ‰ËÏ·‰‹ fiÙ·Ó 0 ≤ x ≤ 20,

ÙfiÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÛÎÈ·Ṳ̂ÓÔ˘ ¯ˆÚ›Ô˘ √∞ª ı· Â›Ó·È ›ÛÔ ÌÂ

ofiÙ ı· Â›Ó·È f(x) = 5x.

ñ ŸÙ·Ó ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ª ‰È·ÁÚ¿ÊÂÈ ÙÔ Â˘ı. ÙÌ‹Ì· µ°, ‰ËÏ·‰‹ fiÙ·Ó 20 ≤ x ≤ 40,ÙfiÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÛÎÈ·Ṳ̂ÓÔ˘ ¯ˆÚ›Ô˘ ı· Â›Ó·È ›ÛÔ ÌÂ

ofiÙ ı· Â›Ó·È f(x) = 10x – 100.

ñ ŸÙ·Ó ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ª ‰È·ÁÚ¿ÊÂÈ ÙÔ Â˘ı. ÙÌ‹Ì· °¢, ‰ËÏ·‰‹ fiÙ·Ó 40 ≤ x ≤ 60,ÙfiÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÛÎÈ·Ṳ̂ÓÔ˘ ¯ˆÚ›Ô˘ ı· Â›Ó·È ›ÛÔ ÌÂ

ofiÙ ı· Â›Ó·È f(x) = 5x + 100.

∂ = ∂∞µ°¢ – ∂√¢ª = 20 ⋅ 20 – 10 ⋅ (60 – x)

2 = 5x + 100

∂ = √∞ + µª

2 ⋅ ∞µ = 10 + (x – 20)

2 ⋅ 20 = 10(x – 10)

∂ = √∞ ⋅ ∞ª

2 = 10 ⋅ x

2 = 5x

A™∫∏™∂π™ °π∞ ∂¶∞¡∞§∏æ∏114

∂Ô̤ӈ˜, Â›Ó·È 5x, 0 ≤ x ≤ 20f(x) = 10x – 100, 20 ≤ x ≤ 40

5x + 100, 40 ≤ x ≤ 60.

ii) ∏ ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ f Â›Ó·È Ë ÔÏ˘ÁˆÓÈ΋ ÁÚ·ÌÌ‹ ÙÔ˘ ·Ú·Î¿-Ùˆ Û¯‹Ì·ÙÔ˜.

iii) ∞fi ÙËÓ ·Ú·¿Óˆ ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ Ë f ·›ÚÓÂÈ ÙËÓÙÈÌ‹ 120, fiÙ·Ó x ÌÂٷ͇ 20 Î·È 40. ∂Ô̤ӈ˜

f(x) = 120 ⇔ 10x – 100 = 120 ⇔ x = 22.

17. i) ∂›Ó·È

∂Ô̤ӈ˜

f(x) = x, 0 ≤ x ≤ 2 Î·È g(x) = –0,5x2 + 2, 0 ≤ x ≤ 2

∂ª™°¢ = ª™ + °¢

2 ⋅ ™¢ = x + 2

2 ⋅ (2 – x) = 4 – x2

2 = –0,5x2 + 2

∂ª∞µ = ∞µ ⋅ ªƒ

2 = ∞µ ⋅ ∞ƒ

2 = 2 ⋅ x

2 = x ηÈ

A™∫∏™∂π™ °π∞ ∂¶∞¡∞§∏æ∏ 115

{

ii) ∂›Ó·Èf(x) = g(x) ⇔ x = –0,5x2 + 2 ⇔ x2 + 2x – 4 = 0 ⇔ ⇔

⇔ x = ‰ÈfiÙÈ x > 0.

iii) ∏ ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ f Â›Ó·È ÙÔ ÙÌ‹Ì· √° Ù˘ ¢ı›·˜ y = x, ÂÓÒ ËÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ g Â›Ó·È ÙÔ ÙfiÍÔ ∞µ Ù˘ ·Ú·‚ÔÏ‹˜ y = –0,5x2 + 2.EÔ̤ӈ˜, Ë Ï‡ÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ f(x) = g(x) Â›Ó·È Ë ÙÂÙÌË̤ÓË ÙÔ˘ ÛË-Ì›Ԣ ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ Cf Î·È Cg Î·È Â›Ó·È ÂÚ›Ô˘ 1,2, fiÛÔ Â›Ó·È Ì ÚÔ-

Û¤ÁÁÈÛË ‰ÂοÙÔ˘ Ë Ú›˙· Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Ô˘ ‚ڋηÌ ÛÙÔÂÚÒÙËÌ· ii).

18. i) Œ¯Ô˘Ì ∞ª¡ ≈ ∞√µ, ·ÊÔ‡ ª¡//√µˆ˜ οıÂÙ˜ ÛÙËÓ √∞. ∂Ô̤ӈ˜

⇔

ÔfiÙÂ

∆Ô ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ µª¡ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì (ª¡)(√ª), (·ÊÔ‡ Ë √ª

Â›Ó·È Ë ·fiÛÙ·ÛË ÙˆÓ ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ ª¡ Î·È √µ).

∂Ô̤ӈ˜,

ÕÚ· ∂(x) = – 3

8 x2 + 3

2 x.

∂(x) = 1

2 ⋅ 3(4 – x)

4 ⋅ x

1

2

(ª¡) = 3(4 – x)

4 .

(¡ª)

3 = 4 – x

4 ,

(¡ª)

(µ√) = (ª∞)

(√∞)

x = 5 – 1

5 – 1,

x = –2 + 2 5

2

A™∫∏™∂π™ °π∞ ∂¶∞¡∞§∏æ∏116

� �

ii) ∆Ô ÂÌ‚·‰fiÓ ∂(x) ÌÂÁÈÛÙÔÔÈÂ›Ù·È fiÙ·Ó

ÔfiÙÂ

19. i) ŒÛÙˆ y = ·x + ‚ Ë Â͛ۈÛË Ù˘ ¢ı›·˜ ∞µ. ∏ Â͛ۈÛË ·˘Ù‹ ·ÏË-ı‡ÂÙ·È ·fi Ù· ˙‡ÁË (0, 4) Î·È (2, 2).∂Ô̤ӈ˜ 4 = · Ø 0 + ‚ ‚ = 4 · = –1

2 = 2· + ‚ ⇔

2 = 2· + 4 ⇔

‚ = 4.ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË Ù˘ ∞µ Â›Ó·È y = –x + 4.°È· y = 0 ¤¯Ô˘Ì x = 4. ÕÚ· Ë Â˘ı›· ∞µ Ù¤ÌÓÂÈ ÙoÓ xãx ÛÙÔ °(4, 0).

ii) °È· x < 4, ·ÏÏ¿ Î·È ÁÈ· x > 4, ¤¯Ô˘ÌÂ:

ŸÌˆ˜(ª°) = |x – 4|, (√∞) = 4 Î·È (∫µ) = 2

∂Ô̤ӈ˜

™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ Â›Ó·È x = 4, ¤¯Ô˘Ì ∂ = 0.

ÕÚ·, Û οı ÂÚ›ÙˆÛË, ÈÛ¯‡ÂÈ:

–x + 4, x < 4∂(x) = |x – 4| =

x – 4, x ≥ 4

Î·È Ë ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ ∂(x) Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ Û¯‹Ì·.

{

∂ = 1

2 |x – 4| ⋅ 4 – 1

2 |x – 4| ⋅ 2 = 2|x – 4| – |x – 4| = |x – 4|.

∂ = ∂Ì‚ (∞ª°) – ∂Ì‚ (ªµ°) = 1

2 (ª°) (√∞) – 1

2 (ª°) (∫µ)

{{{

∂(2) = – 3

8 ⋅ 22 + 3

2 ⋅ 2 = – 3

2 + 3 = 1,5 ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈΤ˜ ÌÔÓ¿‰Â˜.

x =

– 3

2

2 – 3

8

= 2,

A™∫∏™∂π™ °π∞ ∂¶∞¡∞§∏æ∏ 117

20. i) ∏ ΛÓËÛË ·fi ÙÔ ∞ ÛÙÔ µ Î·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·fi ÙÔ µ ÛÙÔ ∞, ·ӷϷÌ-‚¿ÓÂÙ·È Ë ›‰È· ·ÎÚÈ‚Ò˜ οı ‰‡Ô ÒÚ˜.∂Ô̤ӈ˜ ÙÔ ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· ÙÔ˘ ‡„Ô˘˜ h, ÙÔ˘ ¯ÈÔÓÈÔ‡ ÛÙÔ ∞, ı· ·ӷϷÌ-‚¿ÓÂÙ·È Î¿ı ‰‡Ô ÒÚ˜, ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÙÔ ›‰ÈÔ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙË ÌÔÚÊ‹. ø˜ ÚÔ˜ ÙËı¤ÛË ı· Â›Ó·È ·ÏÒ˜ ÌÂÙ·ÙÔÈṲ̂ÓÔ Î·Ù¿ 2 ÌÔÓ¿‰Â˜ οı ÊÔÚ¿, ÚÔ˜Ù· ‰ÂÍÈ¿ ÙÔ˘ ¿ÍÔÓ· tãt ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘.

µÚ›ÛÎÔ˘Ì ÏÔÈfiÓ ÙÔ ÙÌ‹Ì· ÙÔ˘ ‰È·ÁÚ¿ÌÌ·ÙÔ˜, Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙȘ 2ÚÒÙ˜ ÒÚ˜.¢›ÓÂÙ·È fiÙÈ Ô Ú˘ıÌfi˜ ·‡ÍËÛ˘ ÙÔ˘ ‡„Ô˘˜ Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚfi˜, ÔfiÙ ÙÔ ‡„Ô˜h(t) Î·È Ô ¯ÚfiÓÔ˜ t Â›Ó·È ÔÛ¿ ·Ó¿ÏÔÁ·. ∞˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ, fiÙ·Ó t ∈ [0, 2],ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ · ∈ � ÁÈ· ÙÔ ÔÔ›Ô ÈÛ¯‡ÂÈh(t) = ·t (1)∂Âȉ‹ ÁÈ· t = 1h ÙÔ ‡„Ô˜ Â›Ó·È h = 1cm, ÙÔ ˙‡ÁÔ˜ (1, 1) ı· ·ÏËı‡ÂÈÙËÓ (1), ÔfiÙ 1 = · Ø 1 Î·È ¿Ú· · = 1.H (1) ÙfiÙ Á›ÓÂÙ·È h(t) = t Î·È Ë ÁÚ·ÊÈÎË Ù˘ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ Â›Ó·È ÙÔ Â˘ı‡-ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· √ª Ù˘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘ Ù˘ 1˘ ÁˆÓ›·˜ ÙˆÓ ·ÍfiÓˆÓ (Û¯.).∆¤ÏÔ˜ ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ fiÙ·Ó t = 2h, ÙÔ˘ ‡„Ô˜ h ÙÔ˘ ¯ÈÔÓÈÔ‡ Â›Ó·È Ìˉ¤Ó,ÁÈ· ·˘Ùfi ÙÔ ¿ÎÚÔ ª ÙÔ˘ √ª ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ ‰È¿ÁÚ·ÌÌ·. ∂·Ó·Ï·Ì‚¿-ÓÔÓÙ·˜ Ù· ·Ú·¿Óˆ ÁÈ· Ù· ‰È·ÛÙ‹Ì·Ù· [2, 4], [4, 6],... ¤¯Ô˘Ì ÙÔ Ï‹-Ú˜ ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· (Û¯.).

ii) ªÂ Û˘ÏÏÔÁÈÛÌÔ‡˜ ·Ó¿ÏÔÁÔ˘˜ Ì ÙÔ˘˜ ·Ú·¿Óˆ ηٷϋÁÔ˘Ì ÁÈ· ÙÔ ‡„Ô˜ÙÔ˘ ¯ÈÔÓÈÔ‡ ÛÙÔ ª, ÛÙÔ ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· ÙÔ˘ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·ÙÔ˜.

A™∫∏™∂π™ °π∞ ∂¶∞¡∞§∏æ∏118

21. Œ¯Ô˘Ì ƒ(ø) = 1ƒ(0) + ƒ(1) + ƒ(2) + ... + ƒ(100) = 1

ƒ(0) +

ƒ(0) =

ŸÌˆ˜

ÕÚ· ƒ(0) = 1 – 1 +

22. ∂Âȉ‹ ƒ(∞ã) ≤ 0,28 ¤¯Ô˘Ì 1 – ƒ(∞) ≤ 0,28, ÔfiÙ ƒ(∞) ≥ 0,72 Î·È ÂÂȉ‹ƒ(µã) ≤ 0,71, ¤¯Ô˘Ì 1 – ƒ(µã) ≤ 0,71, ÔfiÙ ƒ(µ) ≥ 0,29.i) Œ¯Ô˘Ì ‰È·‰Ô¯Èο ƒ(∞∩µ) ≥ 1,01 – ƒ (∞∪µ)

ƒ(∞∩µ) ≥ 1,01 – ƒ(∞) – ƒ(µ) + ƒ (∞∩µ)ƒ(∞) + ƒ (µ) ≥ 1,01 Ô˘ ÈÛ¯‡ÂÈ.

ii) ∞Ó ‹Ù·Ó ∞∩µ = ∅, ÙfiÙ ı· ›¯·Ìƒ(∞∪µ) = ƒ(∞) + ƒ(µ) ≥ 0,72 + 0,29 = 1,01 Ô˘ Â›Ó·È ¿ÙÔÔ,

·ÊÔ‡ ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ ƒ(∞∪µ) ≤ 1.

1

2100 = 1

2100 .

1

2 + 1

22 + ... + 1

2100 = 1

2 ⋅

1

2

100

– 1

1

2 – 1

= 1

2 ⋅

1 – 1

2100

1

2

= 1 – 1

2100 .

1 – 1

2 + 1

22 + ... + 1

2100 .

1

2 + 1

22 + ... + 1

2100 = 1

A™∫∏™∂π™ °π∞ ∂¶∞¡∞§∏æ∏ 119

ªÂ ·fiÊ·ÛË Ù˘ ∂ÏÏËÓÈ΋˜ ∫˘‚¤ÚÓËÛ˘ Ù· ‰È‰·ÎÙÈο ‚È‚Ï›· ÙÔ˘¢ËÌÔÙÈÎÔ‡, ÙÔ˘ °˘ÌÓ·Û›Ô˘ Î·È ÙÔ˘ §˘Î›Ԣ Ù˘ÒÓÔÓÙ·È ·fi ÙÔÓOÚÁ·ÓÈÛÌfi ∂ΉfiÛˆ˜ ¢È‰·ÎÙÈÎÒÓ µÈ‚Ï›ˆÓ Î·È ‰È·Ó¤ÌÔÓÙ·È ‰ˆÚÂ-¿Ó ÛÙ· ¢ËÌfiÛÈ· ™¯ÔÏ›·. ∆· ‚È‚Ï›· ÌÔÚ› Ó· ‰È·Ù›ıÂÓÙ·È ÚÔ˜ÒÏËÛË, fiÙ·Ó Ê¤ÚÔ˘Ó ‚È‚ÏÈfiÛËÌÔ ÚÔ˜ ·fi‰ÂÈÍË Ù˘ ÁÓËÛÈfiÙË-Ù¿˜ ÙÔ˘˜. ∫¿ı ·ÓÙ›Ù˘Ô Ô˘ ‰È·Ù›ıÂÙ·È ÚÔ˜ ÒÏËÛË Î·È ‰Â ʤ-ÚÂÈ ‚È‚ÏÈfiÛËÌÔ ıˆÚÂ›Ù·È ÎÏ„›Ù˘Ô Î·È Ô ·Ú·‚¿Ù˘ ‰ÈÒÎÂÙ·ÈÛ‡Ìʈӷ Ì ÙȘ ‰È·Ù¿ÍÂȘ ÙÔ˘ ¿ÚıÚÔ˘ 7 ÙÔ˘ ¡fiÌÔ˘ 1129 Ù˘15/21 ª·ÚÙ›Ô˘ 1946 (º∂∫ 1946, 108, ∞�).

∞·ÁÔÚ‡ÂÙ·È Ë ·Ó··Ú·ÁˆÁ‹ ÔÔÈÔ˘‰‹ÔÙ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘‚È‚Ï›Ô˘, Ô˘ ηχÙÂÙ·È ·fi ‰ÈηÈÒÌ·Ù· (copyright), ‹ Ë ¯Ú‹ÛËÙÔ˘ Û ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÌÔÚÊ‹, ¯ˆÚ›˜ ÙË ÁÚ·Ù‹ ¿‰ÂÈ· ÙÔ˘ ¶·È‰·-ÁˆÁÈÎÔ‡ πÓÛÙÈÙÔ‡ÙÔ˘.