1

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Θεωρία ΘΕΜΑ 1Ο α)Πώς µπορούµε να συγκρίνουµε δύο κλάσµατα; β)Πότε ένα κλάσµα είναι µικρότερο της µονάδας και πότε µεγαλύτερο της µονάδας; ΘΕΜΑ 2Ο α)Ποιοι αριθµοί διαιρούνται µε το 2 ,3 , 5 , 9; β)Να εξεταστεί ποιοι από τους αριθµούς 758 ,1039 , 693 διαιρούνται µε το 2, 3 ,9. Ασκήσεις ΘΕΜΑ 3Ο Αν α=2, β=3 και γ=5 να βρεθεί η τιµή της παράστασης: α(β⁷-γ²)+2αβγ+(7γ-3β):4 ΘΕΜΑ 4Ο

Τα 85

των µηνυµάτων που έστειλε ένας συνδροµητής το

προηγούµενο µήνα ήταν 24 µηνύµατα. α)Πόσα µηνύµατα έστειλε συνολικά;

β)Αν τα 73

των µηνυµάτων του είναι δωρεάν λόγω του

προγράµµατος που επέλεξε , πόσα µηνύµατα πλήρωσε; γ)Να βρεθεί το ποσοστό των µηνυµάτων που πλήρωσε. δ)Αν αυξηθεί ο αριθµός των µηνυµάτων κατά 15%, πόσα µηνύµατα θα έχει στείλει; ΘΕΜΑ 5Ο Αν οι ευθείες ε1,ε2 είναι παράλληλες , να βρεθούν οι γωνίες α, β, γ ,δ ,ε ,ζ του σχήµατος.

2

ΘΕΜΑ 6Ο Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων α)Α=-(2+4-3)+(-3+2+5)-1 β)Β=(-1)(-1)(-1) γ)Γ=(-4)(-2)(+5)(-1)(-6) δ)Ε=(-1)²+(-1)³+(-1)°

(όλα τα θέµατα είναι ισοδύναµα)

3

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ου ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΘΕΜΑ 1 α)Όταν δύο κλάσµατα είναι οµώνυµα , µεγαλύτερο είναι εκείνο που έχει µεγαλύτερο αριθµητή. Όταν δύο κλάσµατα έχουν τον ίδιο αριθµητή , µεγαλύτερο είναι εκείνο που έχει τον µικρότερο παρανοµαστή. Αν τα κλάσµατά είναι ετερώνυµα τα τρέπουµε σε οµώνυµα. β)Ένα κλάσµα είναι µικρότερο της µονάδας, αν ο αριθµητής είναι µικρότερος από τον παρανοµαστή. ενώ είναι µεγαλύτερο της µονάδας , αν ο αριθµητής είναι µεγαλύτερος του παρανοµαστή. ΘΕΜΑ 2 Ένας φυσικός αριθµός διαιρείται µε το 2 αν το τελευταίο ψηφίο του είναι 0,2,4,6,8. Ένας φυσικός αριθµός διαιρείται µε το 5 αν το τελευταίο ψηφίο του είναι 0,5. Ένας φυσικός αριθµός διαιρείται µε το 3 αν το άθροισµα των ψηφίων του διαιρείται µε το 3. Ένας φυσικός αριθµός διαιρείται µε τα 9 αν το άθροισµα των ψηφίων του διαιρείται µε τα 9. β) το 758 διαιρείται µε το 2. Το 1029 διαιρείται µε το 3 (1+0+2+9=12) Το 693 διαιρείται µε το 3 και το 9 (6+9+3=18) ΘΕΜΑ 3 α(β-γ²)+2αβγ-(7γ-3β):4= 2(3³-5²)+2·3·5-(7·5-3·3):4= 2(27-25)+30-(35+9):4 2·2+30-44:4 4+30-11 34-11 23 ΘΕΜΑ 4

565

2805835

85:35 ==⋅=

Έστειλε συνολικά 56 µηνύµατα.

β) 247

1685673

==⋅ µηνύµατα ήταν δωρεάν άρα 56-24=32 µηνύµατα

πλήρωσε.

4

γ) 14100140056

10025

==⋅ µηνύµατα επιπλέον , άρα 56+14=70 µηνύµατα

συνολικά.

δ) %5757,05632

==

ΘΕΜΑ 5 Η γωνία γ είναι 50ο γιατί είναι εντός και εναλλάξ µε τη γωνία των 50 µοιρών. Αν δ ονοµάσουµε την τρίτη πλευρά του τριγώνου ,τότε δ=180ο -140ο =40ο , και α=40ο γιατί α ,δ εντός εναλλάξ. Οπότε β=180ο -α-γ=180ο -40ο -50ο =90ο γιατί οι γωνίες α ,β ,γ σχηµατίζουν µια ευθεία γωνία άρα το άθροισµά τους είναι 180ο . ΘΕΜΑ 6 Α=-(2+4-3)+(-3+2+5)-1=-2-4+3-3+2+5-1=-2+2-3+3-4-1+5= =-4-1+5=-5+5=0 Β=(-1)(-1)(-1)=-1 (περιττό πλήθος αρνητικών παραγόντων) Γ=(-4)(-2)(+5)(-1)(-6)=+240 (άρτιο πλήθος αρνητικών παραγόντων) ∆==(-1)²+(-1)³+(-1)°=(+1)+(-1)+1=+1-1+1=+1

5

∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Θεωρία ΘΕΜΑ 1Ο α)Πότε δύο κλάσµα τα λέγονται ισοδύναµα. ∆ώστε δύο παραδείγµατα ισοδύναµων κλασµάτων. β)Πότε δύο αριθµοί λέγονται αντίστροφοί; ∆ώστε παράδειγµα. Έχουν όλοι οι αριθµοί αντίστροφό αριθµό; ΘΕΜΑ 2Ο α)Ποιες γωνίες ονοµάζονται παραπληρωµατικές; β)Ποιες γωνίες ονοµάζονται εφεξής; γ)Ποια σχέση συνδέει τις γωνίες ενός τριγώνου; δ)Πόσες µοίρες είναι η ορθή , η ευθεία και η πλήρης γωνία; Ασκήσεις ΘΕΜΑ 3Ο Ένας έµπορος αγόρασε εµπόρευµα προς 8500 ευρώ και το πουλούσε µε κέρδος 35%. Το πούλησε όµως στις εκπτώσεις , µειώνοντας την τιµή κατά 15%. α)Πόσο πούλησε τελικά το εµπόρευµα; β)Τι ποσοστό κέρδους είχε τελικά; ΘΕΜΑ 4Ο Να λυθούν οι εξισώσεις:

α) 1171

=x β) ( ) 11217 =⋅+ x γ) 3

489

=⋅ x δ) 010

14=

− x

ε) 111

5=

−x

ΘΕΜΑ 5Ο α)Να βρεθούν όλα τα δυνατά υπόλοιπα ενός φυσικού αριθµού ∆ µε διαιρέτη 5. β)Να βρείτε το µικρότερο δυνατό διαιρέτη µε υπόλοιπο ίσο µε 5. γ)Σε µια ευκλείδεια διαίρεση , ο διαιρετέος είναι 101, το πηλίκο 8 και το υπόλοιπο 5. Να βρεθεί ο διαιρέτης.

6

ΘΕΜΑ 6Ο Υπολογίστε τις παραστάσεις

α)Α= (−6)−2

5−2 ÷(−5)2

−4+

32

⋅ (−1)2008

β)Β= 12

⋅ (−8) + (−2) ⋅ (−1)

÷ 0,5 ⋅ (−8) − (−2)(+3)[ ]+ 6

(όλα τα θέµατα είναι ισοδύναµα)

7

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 2ου ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΘΕΜΑ 1 α)Ισοδύναµα ή ίσα είναι τα κλάσµατα που εκφράζουν το ίδιο µέρος µιας ποσότητας.

Παράδειγµα 74

και 148

β)∆ύο αριθµοί που έχουν γινόµενο ένα ονοµάζονται αντίστροφοι.

Παράδειγµα 512

και 125

Όλοι οι αριθµοί έχουν αντίστροφο εκτός από το µηδέν. ΘΕΜΑ 2 α) Παραπληρωµατικές ονοµάζονται οι γωνίες που έχουν άθροισµα 180º. β)Εφεξής ονοµάζονται οι γωνίες που έχουν την ίδια κορυφή , κοινή πλευρά και κανένα άλλο κοινό σηµείο. γ) Το άθροισµα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180º. δ)Η ορθή γωνία είναι 90º ,η ευθεία γωνία 180º και η πλήρης γωνία 360º. ΘΕΜΑ 3

8500·10035

=2975 ευρώ το κέρδος του.

Η τελική τιµή του 8500+2975=11475 ευρώ.

Η έκπτωσή είναι 11475·10015

=1721,25 ευρώ

Οπότε πουλήθηκε 11475-1721,25=9753,75 ευρώ β) το κέρδος µετά την πώληση είναι 9753,75-8500=1253,75 ευρώ. Το ποσοστό του κέρδους του

είναι 850075.1253

=0,1475=14,75%

ΘΕΜΑ 4 α)χ=17 γιατί οι αριθµοί είναι αντίστροφοι.

β)χ=5 γιατί πρέπει 7+χ=12 , οι αριθµοί (7+χ) και 121

είναι αντίστροφοι.

γ) χ= 2732

98

34

89:

34

=⋅=

δ) χ=14 [ένα κλάσµα είναι ίσο µε το µηδέν αν ο αριθµητής του είναι µηδέν] ε) χ=16 γιατί πρέπει χ-5=11 [ένα κλάσµα είναι ίσο µε τη µονάδα αν αριθµητής είναι ίσος µε τον παρανοµαστή].

8

ΘΕΜΑ 5 α)τα πιθανά υπόλοιπα είναι 0,1,2,3,4. [πρέπει υπόλοιπο να είναι µικρότερο του διαιρετή] β)ο µικρότερος διαιρετής είναι το 6. γ) διαιρετέος –υπόλοιπο= 101-5=96 διαιρέτης=96:8=12 ΘΕΜΑ 6 α) (−6)−2

5−2 ÷(−5)2

−4+

32

⋅ (−1)2008 =−65

−2

÷25−4

+32

⋅1

= −56

2

⋅ −4

25

+

32

= +2536

⋅ −4

25

+

32

= −436

+32

= −19

+32

= −2

18+

2718

=

−2 + 2718

=2518

β) 12

⋅ (−8) + (−2) ⋅ (−1)

÷ 0,5 ⋅ (−8) − (−2)(+3)[ ]+ 6

=−82

+ (+2)

÷ (−4) − (−6)[ ]+ 6

= −4 + 2( )÷ −4 + 6( )+ 6 = (−2) ÷ (+2) + 6 = −1+ 6 = +5

9

∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

Θεωρία ΘΕΜΑ 1Ο α)Πώς κάνουµε αφαίρεση και πως διαίρεση κλασµάτων; β)Ποια κλάσµατα λέγονται σύνθετα; ∆ώστε ένα παράδειγµα σύνθετού κλάσµατος και µετατρέψτε το σε απλό. ΘΕΜΑ 2Ο α) Στην πρώτη στήλη του παρακάτω πίνακα δίνονται κάποιες γωνίες και στη δεύτερη τα χαρακτηριστικά τους. Να αντιστοιχήσετε κάθε στοιχείο της α΄ στήλης µε ένα στοιχείο της β΄ στήλης.

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β Α. Ορθή γωνία α. Οι πλευρές της είναι

αντικείµενες ηµιευθείες Β. Ευθεία γωνία β. Οι πλευρές της συµπίπτουν Γ. Πλήρης γωνία γ. Οι πλευρές της είναι κάθετες ∆. Αµβλεία γωνία δ. Γωνία µικρότερη της ορθής Ε. Οξεία γωνία ε. Γωνία µεγαλύτερη της ορθής

β)Τι ονοµάζουµε διχοτόµο µιας γωνίας; γ)να γίνουν οι µετατροπές: 6,25cm=……………mm 0,569l=……………m³ 12,95dm²=………………στρέµµατα 65km=……………..m 9872mm³=………………..ml Ασκήσεις ΘΕΜΑ 3Ο α)Να γίνουν οι πράξεις µε 2 τρόπους: i)5·(8,2-3,5) ii)2·45+2·15 β)Να γραφτούν µε τη µορφή δύναµής: i)2·2·2·χ·χ·ψ·ψ γ) Να υπολογιστούν οι δυνάµεις: 0,2³ , 0,1³, 1⁸. ΘΕΜΑ 4Ο

Ένα κατάστηµα κάνει έκπτωση σε όλα τα είδη ίση µε τα 52της

αρχικής της αξίας. Αν πληρώσαµε για ένα σακάκι 158 ευρώ, να υπολογίσετε: α) Ποιο µέρος της αρχικής αξίας είναι τα 158 ευρώ, β)Πόσα ευρώ ήταν η έκπτωση

10

γ)Πόσο κόστιζε το σακάκι πριν την έκπτωση. ΘΕΜΑ 5Ο Να βρεθούν οι γωνίες α,β,γ, δικαιολογώντας την απάντηση σας.

ΘΕΜΑ 6Ο Συµπληρώστε τον πίνακα

α β α-β β-α +5 -4 -2,4 -1,2 -1/2 +3/4

(όλα τα θέµατα είναι ισοδύναµα)

11

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 3ου ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΘΕΜΑ 1 α)Η διαφορά δύο οµωνύµων κλασµάτων είναι το κλάσµα που έχει αριθµητή τη διαφορά των αριθµητών και παρανοµαστή των ίδιο. Για να βρούµε το πηλίκο της διαίρεσης δύο κλασµάτων, πολλαπλασιάζουµε το διαιρετέο µε τον αντίστροφο του διαιρέτη. β)Tο πηλίκο δύο κλασµάτων ονοµάζεται σύνθετο κλάσµα.

Παράδειγµα: 2815

4753

5473

=⋅⋅

=

ΘΕΜΑ 2 α)

Α Β Γ ∆ Ε γ α β ε δ

β)∆ιχοτόµος γωνίας ονοµάζεται η ηµιευθεία µε αρχή την κορυφή της γωνίας και η οποία τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. γ)6,25cm=625mm 569l=0,569m³ 1295dm²=0,01295 στρέµµατα 65km=65000m 9872mm³=9,872ml ΘΕΜΑ 3 5·(8,2-3,5)=5·8,2-5·3,5=41-17,5=23,5 5·(8,2-3,5)=5·4,7=23,5 2·2,45+2·0,15=4,9+0,3=5,2 2·2,45+2·0,15=2·2,6=5,2 β) 2·2·2·χ·χ·ψ·ψ=2·χ²·ψ² γ) 1 =1 0,2³=0,008 0,1=0,0000001 ΘΕΜΑ 4

α) 53

της αρχικής αξίας είναι τα 87 ευρώ ( η έκπτωση είναι 52

της αρχικής

άρα πληρώσαµε τελικά 53

52

55

=− )

12

β)το 51

είναι 87:3=29 ευρώ τα 52

που είναι η έκπτωση είναι 29·2=58

ευρώ. γ)η αρχική αξία του σακακιού είναι 5·29=145 ευρώ. ΘΕΜΑ 5 α=110 γιατί είναι κατακορυφήν µε τη γωνία 110 µοιρών. Επίσης β=180ο -100ο =80ο γιατί είναι παραπληρωµατική µε τη γωνία 100ο . Η γωνία γ είναι εντός και επί τα αυτά µε τη γωνία α ,άρα είναι παραπληρωµατικές. Οπότε γ=180ο -α=180ο -110ο =70ο . Η είναι κατακορυφήν µε τη γ άρα δ=70ο . Οι γωνίες ε και β είναι εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων ,οπότε είναι ίσες. Άρα ε=80ο . η ζ ,δ ,ε αποτελούν τις γωνίες ενός τριγώνου άρα έχουν άθροισµα 180ο . Οπότε ζ=180ο -δ-ε=180ο -70ο -80ο =30ο ΘΕΜΑ 6

α β α-β β-α +5 -4 +9 -9 -2,4 -1,2 -1,2 +1,2 -1/2 +3/4 -5/4 +5/4

(+5)-(-4)=+5+4=+9 (-4)-(+5)=-4-5=-9 (-2,4)-(-1,2)=-2,4+1,2=-1,2 (-1,2)-(-2,4)=-1,2+2,4=+1,2 (-1/2)-(+3/4)=-1/2-3/4=-2/4-3/4=-5/4 (+3/4)-(-1/2)=+3/4+1/2=+3/4+2/4=+5/4

13

∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ [ΠΡΟΣ ΕΞΑΣΚΗΣΗ] Θεωρία (να γραφτεί ένα από τα δύο θέµατα) ΘΕΜΑ 1Ο α) Τι ονοµάζεται ύψος και τι διάµεσος ενός τριγώνου; β) Να σχεδιάσετε ένα κύκλο (0, 2cm) και να σηµειώσετε στο σχήµα µια χορδή , µια διάµετρο ένα τόξο και µια χορδή. Τι σχέση έχει η χορδή µε την διάµετρο; ΘΕΜΑ 2Ο α)Ποια διαίρεση ονοµάζεται τέλεια; β)Τι είναι η ευκλείδεια διαίρεση; γ)Ποιοι αριθµοί ονοµάζονται σύνθετοι και ποιοι πρώτοι; Ασκήσεις (να γραφτούν 2 από τα τρία θέµατα) ΘΕΜΑ 3Ο α)Να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης: Α=(4²-3²)²:7+2²·4+(2·3)²:9 β)Να συγκριθούν οι παραστάσεις Β=1³+2³+3³+4³ και Γ=(1+2+3+4)³ ΘΕΜΑ 4Ο Να γίνουν οι πράξεις:

31:

43

65

+=A ,

−⋅+

+=Β

21:

43

65

312

21:

413 Β+Α=Γ

41254

ΘΕΜΑ 5Ο Ένα οικόπεδο έχει σχήµα ορθογωνίου µε περίµετρο 240 m και πλάτος 7200cm. α)Να βρεθεί το εµβαδό του σε στρέµµατα. β)Να βρεθεί το η πλευρά ενός άλλου οικοπέδου που έχει τετράγωνο σχήµα και έχει εµβαδό ίσο µε του ορθογωνίου.