Download - 6. zadaci za vježbu iz Matematike1 - FSB Online. zadaci za vježbu iz Matematike1 Trigonometrijske i arcus funkcije Eksponencijalne i logaritamske funkcije 1. Poznavajuci graf funkcije´

Transcript
Page 1: 6. zadaci za vježbu iz Matematike1 - FSB Online. zadaci za vježbu iz Matematike1 Trigonometrijske i arcus funkcije Eksponencijalne i logaritamske funkcije 1. Poznavajuci graf funkcije´

6. zadaci za vježbu iz Matematike1

Trigonometrijske i arcus funkcijeEksponencijalne i logaritamske funkcije

1. Poznavajuci graf funkcije y = sin x skicirati grafove funkcija:

a) y = 3 sinx2

b) y =32

sin 2x

c) y =12

sin (3x + π) d) y = 2 sin( x2−π

4

)

2. Naci najvecu i najmanju vrijednost funkcije na zadanom intervalu:

a) f (x) = x − sin x, x ∈ [0,π

2] b) f (x) = sin x − cos x, x ∈ [0, π]

3. Odrediti pomocu trigonometrijske kružnice:

a) arccos(cos

(−π

4

))b) arcsin

(sin

(3π4

))

4. Naci derivacije funkcija:

a) f (x) =√

arcsin x − (arc tg x)2 b) f (x) =√

arc tg x +1

arcsin x

5. Pod kojim kutem grafovi funkcija:

a) y =√

3 · sinx3

b) y = 3 · arcsinx3

sijeku x-os u ishodištu?

6. Izracunati integrale:

a)∫ √

2/2

0

1√

1 − x2dx b)

∫ 1

−1

11 + x2 dx

7. Izracunati neprave integrale:

a)∫ ∞

−∞

11 + x2 dx b)

∫ 1

0

1√

1 − x2dx

8. Poznavajuci grafove funkcija y = ex i y = ln x skicirati grafove funkcija:

a) y = ln(−x) b) y = −ex c) y = ex − 1

d) y = ln (x + 1) e) y = − ln(−

x3

)f) y = 3 − e2x

9. Ispitati tok i skicirati graf funkcije:

a) y = x2 ln x b) y = x2e−x

Page 2: 6. zadaci za vježbu iz Matematike1 - FSB Online. zadaci za vježbu iz Matematike1 Trigonometrijske i arcus funkcije Eksponencijalne i logaritamske funkcije 1. Poznavajuci graf funkcije´

10. Primjenom prethodnog logaritmiranja derivirati funkciju:

a) y =

√x − 1

3√

(x + 2)2√

(x + 3)3b) y =

(x − 2)9√(x2 + 1)5 · (x − 3)3

c) y = xsin x d) y = (cos x)x

11. Vrijeme poluraspada radija je T = 1690 godina. Koliko ce ostati od 1 grama radija nakon 10000 godina?

12. 20% radioaktivnog elementa raspadne se u godinu dana. Koliko je vrijeme poluraspada tog elementa?

2

Page 3: 6. zadaci za vježbu iz Matematike1 - FSB Online. zadaci za vježbu iz Matematike1 Trigonometrijske i arcus funkcije Eksponencijalne i logaritamske funkcije 1. Poznavajuci graf funkcije´

Rješenja

1.

a)

b)

c)

d)

2. a) Gm(0, 0), GM(π2,π

2− 1

)b) Gm(0,−1), GM

(3π4,√

2)

3. a)π

4b)

π

4

4. a) f ′(x) =1

2 ·√

arcsin x ·√

1 − x2−2

arc tg x1 + x2 b) f ′(x) =

12 ·√

arc tg x · (1 + x2)−

1

arcsin2 x ·√

1 − x2

3

Page 4: 6. zadaci za vježbu iz Matematike1 - FSB Online. zadaci za vježbu iz Matematike1 Trigonometrijske i arcus funkcije Eksponencijalne i logaritamske funkcije 1. Poznavajuci graf funkcije´

5. a)π

6b)

π

4

6. a)π

4b)

π

2

7. a) π b)π

2

8.

a)

b)

4

Page 5: 6. zadaci za vježbu iz Matematike1 - FSB Online. zadaci za vježbu iz Matematike1 Trigonometrijske i arcus funkcije Eksponencijalne i logaritamske funkcije 1. Poznavajuci graf funkcije´

c)

d)

e)

f)

5

Page 6: 6. zadaci za vježbu iz Matematike1 - FSB Online. zadaci za vježbu iz Matematike1 Trigonometrijske i arcus funkcije Eksponencijalne i logaritamske funkcije 1. Poznavajuci graf funkcije´

9.

a) y = x2 ln x

• Podrucje definicije: D = 〈0,∞〉

• Nul-tocke: y(1) = 0

• Granicno ponašanje: limx→∞

y = ∞, limx→0−

y = 0

• Rast i pad: y↘ za x ∈⟨0,

1√

e

⟩, y↗ za x ∈

⟨ 1√

e,∞

⟩• Ekstremi: Lm

( 1√

e,−

12e

)• Konveksnost i konkavnost: y ∩ za x ∈

⟨0,

1√

e3

⟩, y ∪ za x ∈

⟨ 1√

e3,∞

⟩• Infleksije: Ti

( 1√

e,−

32e3

)• Graf:

b) y = x2e−x

• Podrucje definicije: D = 〈−∞,∞〉

• Nul-tocke: y(0) = 0

• Granicno ponašanje: limx→±∞

y = ∞

• Rast i pad: y↘ za x ∈ 〈−∞, 0〉 ∪ 〈2,∞〉, y↗ za x ∈ 〈0, 2〉

• Ekstremi: Lm(0, 0), LM(2,

4e2

)• Konveksnost i konkavnost: y ∪ za x ∈ 〈−∞, 2−

√2〉∪ 〈2+

√2,∞, 〉, y ∩ za x ∈ 〈2−

√2, 2+

√2〉

• Infleksije: T1(2 −√

2, (2 −√

2)2 · e−2+√

2), T2

(2 +√

2, (2 +√

2)2 · e−2−√

2)

• Graf:

6

Page 7: 6. zadaci za vježbu iz Matematike1 - FSB Online. zadaci za vježbu iz Matematike1 Trigonometrijske i arcus funkcije Eksponencijalne i logaritamske funkcije 1. Poznavajuci graf funkcije´

10. a)dydx=

√x − 1

3√

(x + 2)2 ·√

(x + 3)3·

(1

2(x − 1)−

23(x + 2)

−3

2(x + 3)

)

b)dydx=

(x − 2)9√(x2 + 1)5 · (x − 3)3

·

(9

x − 2−

5xx2 + 1

−3

2(x − 3)

)c)

dydx= xsin x ·

(cos x ln x +

sin xx

)d)

dydx= (cos x)x ·

(ln cos x − x

sin xcos x

)

11. Q(10000) =(12

)10000/1690

� 0.017 g

12. t =ln 0.5ln 0.8

� 3.14 godina

7