Introduction to Control Systems

VI. Γεωμετρικός τόπος των ριζών (Root Locus)

r y+

- K ( )G s

( ) ( )( ) 1 ( )

Y s KG sR s KG s

=+

Χαρακτηριστική εξίσωση: 1 ( ) 0KG s+ =

Ο γεωμετρικός τόπος των ριζών δίνει τις τροχιές των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης, καθώς το K μεταβάλλεται από 0 ως ∞.

1 ( ) 0( )1 0( )

( ) ( ) 01( )

KG sn sKd s

d s Kn s

G sK

• + =• + =• + =• = −

Ισοδύναμες μορφές

Παράδειγμα

( )1( )

1G s

s s=

+

Να βρεθούν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης (σύστημα κλειστού βρόχου) ως συνάρτηση του Κ.

( )2

1 2

1 ( ) 0

1 0 01

1 1 4Ρίζες: ,2

KG sK s s K

s s

Kr r

+ =

+ = ⇒ + + =+

− ± −=

-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis θ=sin-1(J)

Γεωμετρικός τόπος ριζών (ΓΤΡ)

1 ( ) 0( ) ( ) 1 0

( ) 1

( ) 180 360

KG sKG s KG s j

KG s

KG s µ

+ =

⇒ ∠ = − +

=

∠ = ± ⋅

•Ο γεωμετρικός τόπος των ριζών είναι το σύνολο τιμών του s για τις οποίες 1+KG(s)=0.

•Συνήθως η G(s) είναι η συνάρτηση ανοικτού βρόχου του συστήματος.

•Ο γεωμετρικός τόπος των ριζών της G(s) είναι το σύνολο των σημείων στο μιγαδικό επίπεδο στα οποία η φάση της G(s) ισούται με 180 360µ± ⋅

( )

( )1

1

0 1 2 3 4

( )

( )

m

iin

ii

s zG s

s p

G s θ θ θ θ

=

=

+=

+

∠ = − − −

∏

∏

Διαδικασία για σχεδίαση του ΓΤΡ

Βήμα 1: Βρίσκουμε τη χαρακτηριστική εξίσωση 1+G(s)=0 και την ξαναγράφουμε (αν χρειάζεται) έτσι ώστε η μεταβλητή Κ που μας ενδιαφέρει να εμφανίζεται ως: 1+ΚP(s)=0.

( )

( )1

1

1 0

m

iin

ii

s z

s p

=

=

++ Κ =

+

∏

∏

Βήμα 3: Σημειώνουμε τους πόλους στο μιγαδικό επίπεδο με “X” και τα μηδενικά με “Ο”.

Βήμα 2: Παραγοντοποιούμε την P(s) υπό μορφή πόλων και μηδενικών:

Βήμα 4: Βρίσκουμε τα τμήματα του πραγματικού άξονα που ανήκουν στο ΓΤΡ. α) Όταν Κ=0 οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι οι πόλοι της P(s). Καθώς το Κ πλησιάζει το ∞, οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι τα μηδενικά της P(s). Ο ΓΤΡ ξεκινά από τους πόλους και καταλήγει στα μηδενικά. Μερικές φορές κάποια από τα μηδενικά βρίσκονται στο άπειρο. β) Ο πραγματικός άξονας που βρίσκεται στα αριστερά από περιττό αριθμό πόλων και μηδενικών, ανήκει στο ΓΤΡ. Π.χ.

Re(s)

Im(s)

s0

Παράδειγμα

r y+

- K ( )G s

3 2

1( )8 32

G ss s s

=+ +

Βήμα 1: 3 2

3 2

Χαρακτηριστική εξίσωση: 1 08 32

1( )8 32

s s s

P ss s s

Κ+ =

+ +

⇒ =+ +

Βήμα 2: ( ) ( )( )23 2 28 32 8 32 4 16

Πόλοι: 0,-4 4Μηδενικά: , ,

s s s s s s s s

j

+ + = + + = + +

±∞ ∞ ∞

Βήμα 3&4: Το τμήμα του πραγματικού άξονα που ανήκει στο ΓΤΡ είναι στα αριστερά του πόλου s=0.

Re(s)

Im(s)

-4

-4j

Βήμα 6: Ο ΓΤΡ είναι συμμετρικός ως προς τον πραγματικό άξονα.

Βήμα 5: Υπολογισμός του αριθμού των ξεχωριστών κλάδων, ο oποίος ισούται με των αριθμό των πόλων n (ή τον αριθμό των μηδενικών m αν m > n ).

Βήμα 7: Σχεδιασμός των ασύμπτωτων για Κ→∞.

n= αριθμός πόλων m=αριθμός μηδενικών

Υπάρχουν n-m ασύμπτωτες

Οι ασύμπτωτες έχουν κέντρο σΑ και γωνία φΑ

( ) ( )

( )

1 1

2 1 180 , 0,1,... 1

n m

i ii i

p z

n mq q n m

n m

σ

ϕ

= =Α

Α

− − −=

−+

= ⋅ = − −−

∑ ∑

Παράδειγμα

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

1 1

1( )4 16

3 ασύμπτωτες

0 4 4 4 4 0 83 3

2 1 2 1180 180 , 0,1,23

60 ,180 ,300

n m

i ii i

P ss s

p z j jn m

q q qn m

σ

ϕ

ϕ

= =Α

Α

Α

=+ +

→

− − −− + − − −

→ = = = −−

+ +→ = ⋅ = ⋅ =

−⇒ =

∑ ∑

Re(s)

Im(s)

-4

-4j

-8/3

Βήμα 8: Εύρεση των σημείων στο φανταστικό άξονα που περνά ο ΓΤΡ (χρησιμοποιώντας το κριτήριο Routh-Hurwitz)

Παράδειγμα ( )( )2

3 2

3

2

1

0

1( )4 16

1 ( ) 0 8 32 0

Πίνακας Routh1 328

P ss s

KP s s s s K

sKs

bsKs

=+ +

+ = ⇒ + + + =

Το Κ=256 αντιστοιχεί σε μια λύση s=jω0 για κάποιο ω0.

( ) ( ) ( )3 20 0 0

20

030 0

8 32 256 0Εξισώνοντας πραγματικά και φανταστικά μέρη:

8 256 032 5.66

sec32 0

j j j

rad

ω ω ω

ωω

ω ω

⇒ + + + =

− + = = ± = ±− + =

8 32 0 2568

Kb K⋅ −= > ⇒ <

Βήμα 9: Εύρεση σημείων απόσχισης στον πραγματικό άξονα (αν υπάρχουν)

Παράδειγμα

( )

( ) 2

1( )1

1 ( ) 01

10 2 1 02

P ss s

KP sK s s s s

dK s sds

=+

+ =

= − + = − −

= ⇒ − − = ⇒ = −

Re(s)

Im(s) -4j

-1/2 -1

Γενικά: 0 στο σημείο απόσχισης (πολλαπλή ρίζα)dKds

=

2

( ) ( )1 0 ( ) ( ) 0( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 0( )

n s d sK d s Kn s Kd s n s

dK n s d s d s n sds n s

+ = ⇒ + = ⇒ = −

′ ′− += =

Παράδειγμα

( )

3 2

3 2

2

1( )8 32

1 ( ) 0 8 32

3 16 32 0 2.67 1.89

0 είναι αναγκαία αλλά όχι ικανή συνθήκη

για να δείξει αν ένα σημείο είναι σημείο απόσχισης.

P ss s s

KP s K s s sdK s s s jds

dKds

=+ +

+ = ⇒ = − − −

= − + + = ⇒ = − ±

→ =

Παράδειγμα 2

2

2

( )1

11 ( ) 0

0 1 0 1

sP ss

sKP s Ks

dK s sds

=+

− −+ = ⇒ =

= ⇒ − = ⇒ = ±Re(s)

Im(s) j

-1

Βήμα 10: Εύρεση της γωνίας αναχώρησης [angle of departure] από τους πόλους και της γωνίας άφιξης [angle of arrival] στα μηδενικά.

( ) 180 360 για s=pi iP s ή zµ∠ = ±

Παράδειγμα

( )( )2

1 2 3

1

1

1

1( )4 16

180 360

90 135 180 360

405 360 45 360

45

P ss s

θ θ θ µ

θ µ

θ µ µ

θ

=+ +

− − − = ±

− − − = ±

− = ± = ±

= −

Παράδειγμα

2

1 2 3

2

2

( )1

180 360

90 90 180 360

180

sP ss

θ θ θ µ

θ µ

θ

=+

− − = ±

− − = ±

=

Re(s)

Im(s)

θ2

θ1

θ3

Re(s)

Im(s)

θ3

θ2

θ1

Βήμα 11: Ολοκλήρωση του ΓΤΡ χρησιμοποιώντας τους κανόνες που αναπτύχθηκαν στα προηγούμενα βήματα.

Παράδειγμα

( )( )2

1( )4 16

P ss s

=+ +

Κ=256

Κ=256

r y+

- K

( )G s

2

11 0sKs+

+ =

Παράδειγμα

2

1ss+

Βήμα 1&2: Χαρακτηριστική εξίσωση:

2

1( ) sP ss+

=Πόλοι: 0,0Μηδενικά: -1,∞

Βήμα 3&4:

Re(s)

Im(s)

-1

Διπλός πόλος

Βήμα 5,6,7:

( ) ( ) ( )1 1

•2 ξεχωριστοί κλάδοι•Μια ασύμπτωτη

0 0 1• 1

12 1• 180 180 , 0

n m

i ii i

p z

n mq q

n m

σ

ϕ

= =Α

Α

− − −+ − −

= = =−

+= ⋅ = =

−

∑ ∑

Βήμα 8: Σημεία τομής με φανταστικό άξονα.

2

2

1

0

1 ( ) 0 0

Πίνακας Routh

1Για Κ>0 όλες οι ρίζες βρίσκονται στο ΑΗΠ.

KP s s Ks K

s Ks Ks K

+ = ⇒ + + =

Βήμα 9: Σημεία απόσχισης (πολλαπλές ρίζες)

( )( )

22

22

2

2 2

11 0 ( 1) 0

2 10

1 1

2 2 0( 2) 00, 2

sK s K ss

s s ss dKKs ds s

s s ss s

s

++ = ⇒ + + =

− + += − ⇒ = =

+ +

⇒ − − + =⇒ − + =⇒ = −

Βήμα 10: Γωνίες αναχώρησης

2 1

1 1

1

2 180

0 2 180 90

Λόγω συμμετρίας 90

θ θ

θ θ

θ

− =

− = ⇒ = −

=

Re(s)

Im(s)

-1 θ1

θ2

Βήμα 11:

Re(s)

Im(s)

-1 -2

Παράδειγμα Να βρεθεί η τιμή του Κ για s=-2 (εκεί δηλαδή που υπάρχει διπλή ρίζα για s=-2). Χαρακτηριστική εξίσωση: ( ) ( )22

2

s 1 2

4 44

K s s

s sK

+ + = +

= + +⇒ =

Παράδειγμα ( )2

1( )4

sP ss s

+=

+

Βήμα 1,2,3,4:

Re(s)

Im(s)

-1 -4

Διπλός πόλος

Βήμα 5,6,7:

( ) ( ) ( ) ( )1 1

•3 ξεχωριστοί κλάδοι•2 ασύμπτωτες

0 0 4 1 3•2 2

2 1• 180 90 ,270 0,1

n m

i ii i

p z

n mq q

n m

σ

ϕ

= =Α

Α

− − −+ + − − −

= = = −−

+= ⋅ = =

−

∑ ∑

Re(s)

Im(s)

-1 -4 -3/2

Βήμα 8: ( )2

3 2

3

2

1

0

11 ( ) 0 1 04

4 0

Πίνακας Routh14

Για Κ>0 όλες οι ρίζες είναι στο ΑΗΠ.3 4

sKP s Ks s

s s Ks K

KsKs

KsKs

++ = ⇒ + =

+

⇒ + + + =

Βήμα 9: Πολλαπλές ρίζες

( )

( )( ) ( )( )

( )

2

2 2

2

3 2

2

41

3 8 1 40

1

2 7 8 0

2 7 8 0

0, 1.75 0.97

s sK

ss s s s sdK

ds s

s s s

s s s

s j

+= −

+− − + + +

= =+

⇒ − − − =

⇒ − + + =

⇒ = − ±

Βήμα 10: Γωνίες αναχώρησης

1

1

1

1

2 180

0 0 2 180

90

90

z pθ θ θ

θ

θ

θ

− − =

− − =

= −

=

Re(s)

Im(s)

-1 θ1

θz

-4 θp

Βήμα 11:

Re(s)

Im(s)

-1 -4

Matlab

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

num=1; den=[1,8,32,0]; rlocus(tf(num,den))

( )( )2

1( )4 16

P ss s

=+ +

-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

num=[1 1]; den=[1,0,0]; rlocus(tf(num,den))

2

1( ) sP ss+

=

( )2

1( )4

sP ss s

+=

+

num=poly([-1]); den=poly([0,0,-4]); rlocus(tf(num,den))

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Παράδειγμα ( )2

1( )12

sP ss s

+=

+

( ) ( ) ( ) ( )1 1

•Πόλοι: 0,0,12•Μηδενικά : 1, ,•3 ξεχωριστοί κλάδοι•2 ασύμπτωτες

0 0 12 1 11•2 2

2 1• 180 90 ,270 , 0,1

n m

i ii i

p z

n mq q

n m

σ

ϕ

= =Α

Α

− ∞ ∞

− − −+ + − − −

= = = −−

+= ⋅ = =

−

∑ ∑

Re(s)

Im(s)

-1 -12 -11/2

3 2

3

2

1

0

12

Πίνακας Routh1

12Για Κ>0 όλες οι ρίζες είναι στο ΑΗΠ.

11 12

s s Ks K

KsKs

KsKs

+ + +

•Σημεία τομής με φανταστικό άξονα

•Πολλαπλές ρίζες

( )

( )( ) ( )( )

( )( )

2

2 2

2

2 2

2

121

3 24 1 120

1

12 3 27 24 0

2 15 24 0

0, 5.18, 2.31

s sK

ss s s s sdK

ds s

s s s s s

s s s

s

+= −

+− − + + +

= =+

⇒ + − − − =

⇒ − + + =

⇒ = − −

•Γωνίες αναχώρησης: όπως στο προηγούμενο παράδειγμα

Re(s)

Im(s)

-1 -12

( )2

1( )12

sP ss s

+=

+

num=poly([-1]); den=poly([0,0,-12]); rlocus(tf(num,den))

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Παράδειγμα

( ) ( )1 1

•Πόλοι: 0,-2,-1 2j•Μηδενικά : , , ,•4 ξεχωριστοί κλάδοι•4 ασύμπτωτες

0 2 1 1• 14

2 1• 180 45 ,135 , 45 , 135 0,1,2,3

n m

i ii i

p z

n mq q

n m

σ

ϕ

= =Α

Α

±∞ ∞ ∞ ∞

− − −− − −

= = = −−

+= ⋅ = − − =

−

∑ ∑

( ) ( )( )2

1( )2 1 4

P ss s s

=+ + +

( )

4 3 2

4

3

2

1

0

4 9 10 0Πίνακας Routh

1 94 10

13 22 65 4 13

s s s s K

Kss

KsKs

Ks

+ + + + =

−

•Σημεία τομής με φανταστικό άξονα

06565 4 0 16.254

K

K K

και>

− > ⇒ < =

0 16.25K⇒ < <

Για την εύρεση της ω0 λύνουμε την εξίσωσης για s=jω0 και Κ=16.25

( ) ( ) ( ) ( )

( )

4 3 20 0 0 0

4 3 20 0 0 0

4 20 0

30 0

2 20 0 0 0

4 9 10 16.25 0

4 9 10 16.25 0Εξισώνοντας πραγματικά και φανταστικά μέρη:

9 16.25 0

4 10 052 2 5 0 1.582 sec

j j j j

j j

rad

ω ω ω ω

ω ω ω ω

ω ω

ω ω

ω ω ω ω

+ + + + =

− − + + =

− + =− + =

− − = ⇒ = ⇒ =

•Γωνία αναχώρησης από τον πόλο -1+2j

1 2 3 180 360

116.6 63.4 90 180 360

270 180 360 90

90

dep

dep

dep

dep

ϕ ϕ ϕ ϕ µ

ϕ µ

ϕ µ

ϕ

− − − − = ±

− − − − = ±

− = + ± =

= −

•Πολλαπλές ρίζες

( )( )

4 3 2

3 2

2

4 9 10

4 12 18 10 0

1 4 8 10 0

1, 1 1.22

K s s s sdK s s sds

s s s

s j

= − − − −

= − − − − =

⇒ + + + =

⇒ = − − ±

( ) ( )( )2

1( )2 1 4

P ss s s

=+ + +

num=1; den=poly([0,-2,-1+2i,-1-2i]); rlocus(tf(num,den))

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis