γλώσσες
Σελίδες
Νομικός
ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ
4. Στρωτό Οριακό Στρώμα Πρόχειρες Σημειώσεις
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
ΔΙΔΑΣΚΩΝ:
Ν. Ανδρίτσος, Καθηγητής
Απρίλιος 2020
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 2
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΕΣ ΑΠΟ ΜΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ
Μέχρι τώρα πραγματευτήκαμε μόνο μονοδιάστατα προβλήματα μεταφοράς. Μερικά κοινά προβλήματα με
δύο μεταβλητές που συναντάμε είναι:
1) Μονοδιάστατη ροή σε μεταβατική κατάσταση (ή μη‐μόνιμη κατάσταση – non‐steady / transient state). Για
παράδειγμα, για τη μεταφορά θερμότητας σε καρτεσιανές συντεταγμένες και για σταθερές φυσικές
ιδιότητες έχουμε (Πίνακας 5.6, Εξ. 5.13Α, Βιβλίο του Brodkey):
2 2 2
Gx y z 2 2 2
p
qT T T T T T Tu u u
t x y z c x y z
(i)
Η Εξ. (1) απλοποιείται για μεταφορά σε στερεό (ui=0), σε μία διεύθυνση (x), χωρίς παραγωγή θερμότητας:
2
2
T T
t x
(ii)
Είναι προφανές ότι για την επίλυση της εξίσωσης αυτής χρειαζόμαστε μία αρχική συνθήκη και δύο
συνοριακές συνθήκες.
Ανάλογα με τις συνοριακές συνθήκες μπορούμε να λύσουμε την Εξ. (2) με διάφορους τρόπους, όπως με
τον διαχωρισμό των μεταβλητών (σειρές Fourier), με μετασχηματισμό Laplace ή αριθμητικά. Για μικρούς
χρόνους ή για μεταφορά σε ημιάπειρο μέσο μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη λύση ομοιότητας.
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 3
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΕΣ ΑΠΟ ΜΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ (συν.) 2) Μεταφορά σε μόνιμη κατάσταση σε πλάκα σε δύο διαστάσεις, οπότε:
2 2
2 2
T T0
x y
(iii)
Και εδώ έχουμε ποικιλία λύσεων.
3) Στρωτό οριακό στρώμα, το οποίο θα συζητηθεί παρακάτω.
4) Απορρόφηση ελάχιστα διαλυτού αερίου σε πίπτουσα υγρή στιβάδα, δηλαδή έχουμε
μεταφορά μάζας σε δύο διαστάσεις, θέμα που θα το πραγματευτούμε στη συνέχεια.
5) Θέρμανση νερού κατά τη ροή του σε σωλήνα. Θα το πραγματευτούμε και αυτό το πρόβλημα
στη συνέχεια.
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 4
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΥΝΑΓΩΓΗ
Σε ένα ρευστό που μετακινείται ελευθέρα από μια περιοχή σε μια άλλη, η μεταφορά
θερμότητας ή μάζας οφείλεται κυρίως στη μετακίνηση «στοιχείων» ρευστού από περιοχές με
υψηλή θερμοκρασία ή συγκέντρωση ενός συστατικού σε περιοχές με μικρότερη
θερμοκρασία ή συγκέντρωση.
Καθώς τα «στοιχεία» του ρευστού μετακινούνται, μεταφέρουν μαζί (συν‐άγουν, στα αγγλικά
convection, από το λατινικό con + vehere = μεταφέρω μαζί) με τη μάζα τους την ορμή, τη
θερμική ενέργεια και τη διαφορετική σύσταση αυτών των «στοιχείων».
Είναι κατανοητό ότι ο μηχανισμός μεταφοράς με συναγωγή είναι ίδιος για κάθε φαινόμενο
μεταφοράς και έχουμε την ιδία προσέγγιση στη μελέτη των φαινομένων αυτών.
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 5
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΥΝΑΓΩΓΗ (συν.)
Τα προβλήματα με συναγωγή είναι πολύ δυσκολότερο να λυθούν αναλυτικά σε σχέση με τα
προβλήματα με αγωγή (εκτός και αν έχουμε στρωτή ροή). Ο λόγος αυτός οδηγεί στην κατά
κόρον χρήση ημιεμπειρικών συσχετίσεων.
Βέβαια πάντα να έχουμε στο μυαλό μας ότι στη διεπιφάνεια στερεού‐ρευστού η μεταφορά
γίνεται αποκλειστικά με αγωγή (ή διάχυση), ενώ η μεταφορά μέσα στο ρευστό γίνεται κυρίως
με συναγωγή.
Αντίστοιχα και για τη μεταφορά μάζας.
cond. f
y 0 f
y 0
wconv. w
Tq k T
y ky
hT T
q h(T T )
kf θερμική αγωγιμότητα ρευστού
h συντελεστής μεταφοράς θερμότητας
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 6
Η ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΒΥΘΙΣΜΕΝΑ ΣΩΜΑΤΑ
(Flow past immersed bodies – external flow: σε αντίθεση με τις εσωτερικές ροές σε σωλήνα)
Η ροή ρευστού γύρω από «βυθισμένα» σώματα περιλαμβάνει φαινόμενα ιξώδους κοντά στις
στερεές επιφάνειες, αλλά η ροή είναι «άτριβη» μακριά από τα σώματα.
Οι εξωτερικές ροές δεν περιορίζονται και το πάχος του ιξώδους στρώματος μπορεί να μεγαλώνει.
Ροές γύρω από βυθισμένα σώματα απαντούν σε πολλές εφαρμογές!
Αεροδυναμική (αεροπλάνα, πύραυλοι κτλ.)
Υδροδυναμική: πλοία, υποβρύχια
Μεταφορές: αυτοκίνητα, μηχανές, φορτηγά
Φαινόμενα από τη ροή ανέμου: κτήρια, γέφυρες, ανεμογεννήτριες (wind energy)
Φαινόμενα στη θάλασσα: κυματοθραύστες, σημαδούρες, υποβρύχια καλώδια (ocean
engineering)
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 7
Η ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΒΥΘΙΣΜΕΝΑ ΣΩΜΑΤΑ
Στη συνέχεια θα συζητήσουμε ίσως για την απλούστερη εξωτερική ροή, τη ροή παράλληλα σε μία
επίπεδη πλάκα, πάνω από την οποία σχηματίζεται το λεγόμενο στρωτό οριακό στρώμα (laminar
boundary layer), το οποίο αποτελεί ίσως ένα από απλουστέρα προβλήματα με δύο μεταβλητές
που επιδέχεται αναλυτική λύση.
(Για σχετικά μεγάλους αριθμούς Reynolds, Re=Ux/ν>600)
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 8
ΣΤΡΩΤΟ ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ
Θεωρούμε τη ροή παράλληλα προς μία λεπτή επίπεδη πλάκα και εξετάζουμε τι συμβαίνει μόνο
στη μία πλευρά και σχετικά κοντά στην πλάκα, όπου σχηματίζεται το λεγόμενο οριακό στρώμα
(boundary layer).
Σημαντικές εφαρμογές: πτερύγια αεροπλάνων (ιδιαίτερη φροντίδα για τη μείωση της
οπισθέλκουσας τριβής), πτερύγια ανεμογεννητριών.
Το πρόβλημα εισήχθη αρχικά (αν και υπήρξαν νύξεις για το θέμα αυτό
και προηγουμένως) από τον Prandtl το 1904 και αποτελεί τη βάση για
την πραγμάτευση προβλημάτων με συναγωγή.
Η ανάπτυξη και η επίλυση των εξισώσεων του οριακού στρώματος
αποτέλεσε αναμφισβήτητα ένα από τα σπουδαιότερα βήματα στην
πρόοδο της ρευστοδυναμικής, αλλά και της σύζευξης των τριών
φαινομένων μεταφοράς.
Ludwig Prandtl (1875 –1953)
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 9
ΣΤΡΩΤΟ ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ
Θεωρήστε τη ροή στο παρακάτω σχήμα. Ρευστό με ομοιόμορφη ταχύτητα U κινείται
παράλληλα προς μία επίπεδη πλάκα (με θεωρητικά ελάχιστο πάχος). Να υπολογιστούν: (α)
το πάχος του οριακού στρώματος και (β) η οπισθέλκουσα δύναμη (drag force) στο τοίχωμα. Η
ροή μπορεί να είναι στρωτή ή τυρβώδης.
Συζήτηση για το θέμα μπορείτε να βρείτε στις Ενότητες του βιβλίου 5.17, 12.1.1 και 12.1.2.
w
w
T T0,99
T T
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 10
Παραδοχές – Σχόλια
‐ Θεωρούμε πραγματικό ρευστό με μ≠0, πλήρως αναπτυγμένη ροή.
‐ Θεωρούμε διδιάσταστη ροή σε μόνιμη κατάσταση ( iu / t 0 ) με ρ και μ σταθερά.
‐ H ταχύτητα ακριβώς πάνω στο τοίχωμα, ux, είναι 0, λόγω της συνθήκης μη‐ολίσθησης, όπως και
η uy. Αποτέλεσμα αυτής της «πέδησης» πάνω στο τοίχωμα (ή της τριβής του ρευστού) είναι ότι
θα υπάρχει μια λεπτή σχετικά στιβάδα ρευστού – οριακό στρώμα (ΟΣ, πάχους δ<< L), όπου
xu U και uy≠0, αλλά uz=0. Δηλαδή θα έχουμε: ux= ux(x,y) και uy= uy(x,y). Συμβατικά, το δ
ορίζεται στο σημείο y στο οποίο ισχύει xu 0,99U .
‐ H ροή διακρίνεται σε 2 περιοχές: (α) Μέσα στο ΟΣ, όπου οι κλίσεις των ταχυτήτων είναι
μεγάλες (όπως και η διατμητική τάση), με το ιξώδες να παίζει καθοριστικό ρόλο. Εδώ
συναντάται ουσιαστικά όλη η «αντίσταση» στη ροή. (β) Στην περιοχή του λεγόμενου
«ελεύθερου ρεύματος» (free stream), με xu U και uy=0.
‐ Το πάχος του ΟΣ, δ(x), μεγαλώνει διαρκώς από την αρχή της πλάκας και είναι συνάρτηση του x.
Έξω από το δ(x) το τοίχωμα δεν έχει κάποια επίδραση στη ροή.
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 11
Παραδοχές – Σχόλια (συν.)
‐ Η ροή αρχικά είναι στρωτή και παρατηρείται μία μετάπτωση στην τυρβώδη ροή σε κάποια
κρίσιμη απόσταση, xcr, που αντιστοιχεί σε έναν κρίσιμο αριθμό Reynolds Recr (π.χ. 500 000).
Προφανώς υπάρχει και μία μεταβατική περιοχή.
‐ Ο τοπικός αριθμό Reynolds (Rex) ορίζεται ως: x
U xRe
(x απόσταση από την αρχή της πλάκας)
‐ Θα δειχθεί ότι: x
x 1(x)
U Re
, δηλαδή για x τότε
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 12
Ανάλυση στρωτού οριακού στρώματος σε πλάκα
Για μόνιμη, ασυμπίεστη και διδιάστατη ροή πάνω από μία επίπεδη πλάκα οι εξισώσεις που ισχύουν είναι:
Εξίσωση συνεχείας: yxuu
0x y
(1)
Εξίσωση Ν‐S στη διεύθυνση x (Εξ. 5.15.Α):
2 2
x x x xx y 2 2
u u 1 P u uu u
x y x x y
(2)
Εξίσωση Ν‐S στη διεύθυνση y (Εξ. 5.15.Β):
2 2
y y y y
x y 2 2
u u u u1 Pu u
x y y x y
(3)
Οι εξισώσεις αυτές θα πρέπει να λυθούν ως προς ux, uy και P.
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 13
Ανάλυση στρωτού οριακού στρώματος σε πλάκα (συν.)
Αν έχουμε και ταυτόχρονη μεταφορά θερμότητας (για σχετικά μικρές θερμοκρασιακές διαφορές έτσι ώστε το α να μένει περίπου σταθερό) θα πρέπει να λυθεί και η εξίσωση ενέργειας:
2 2
x y 2 2p
T T T T ku u ,
x y x y c
(4)
Συνοριακές συνθήκες:
Για y = 0 και για κάθε x: x y wu 0, u 0 (T T ) (5)
Για y>>δ ή y : yx )u (, uU T0 T (6)
Ορισμένοι όροι στις Εξ. (2) και (3) είναι δυνατόν να απαλειφθούν με ανάλυση «τάξης μεγέθους»
(order of magnitude analysis) ή με την κλιμάκωση (scaling) των διαφόρων όρων και, βέβαια,
κάνοντας και τις κατάλληλες παραδοχές.
Χαρακτηριστικά μεγέθη (ή κλίμακες) είναι:
xu U
x L και
y ( L)
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 14
Ανάλυση στρωτού οριακού στρώματος σε πλάκα (συν.)
Μπορούμε να γράψουμε για τις τάξεις μεγέθους:
yx xy
Eξ.συνεχείας uu u u U UO , O O u U U
y x L y L L
όπου το σύμβολο Ο σημαίνει τάξη μεγέθους.
Έτσι για την Εξ. (2) μπορούμε να εκτιμήσουμε την τάξη μεγέθους των διάφορων όρων:
2 2x x x
2
xx y 2 2
2
ίδια τάξη μεγέθους ο αριστερός όροςπολύ μικρότερος απότον δεξιό και μπορεί να απαλειφθεί
u u u u1 Pu u
x y x x y
U U U UO U O U O O
L L L
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 15
Ανάλυση στρωτού οριακού στρώματος σε πλάκα (συν.)
Στην ανάλυση του οριακού στρώματος αναμένεται ότι οι όροι του αριστερού μέλους (αδράνεια)
να είναι της ίδιας τάξης μεγέθους με τον ιξώδη όρο που έχει μείνει. Δηλαδή:
2 2
2
U U 1O O ή O O
L L U L Re
‐1/2δRe
L
Εδώ θα πρέπει να προσέξουμε ότι όσο μεγάλο και αν είναι το δ, είναι πολύ μικρότερο και από το
πλάτος της πλάκας, b.
Αντίστοιχος χειρισμός της Εξ. (3) για την y‐ορμή μάς δίνει ότι η τάξη μεγέθους των όρων είναι:
2U
L L
Επομένως, οι όροι της y‐ορμής είναι πολύ μικρότεροι από τους όρους της x‐ορμής και μπορούμε
να συμπεράνουμε ότι από την Εξ. (3) μένει μόνο ο όρος της πίεσης:
P
0 P P(x)y
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 16
Ανάλυση στρωτού οριακού στρώματος σε πλάκα (συν.)
Δηλαδή η πίεση είναι σταθερή σε μία διατομή ΟΣ και άρα είναι παντού P . Από την εξίσωση
Bernoulli έχουμε:
21 P dP dUP U cons. U
2 x dx dx
Για επίπεδη πλάκα dU / dx 0 και ο όρος της πίεσης απαλείφεται από την Εξ. (2). Ύστερα από
την προηγούμενη συζήτηση, οι λεγόμενες Εξισώσεις Οριακού Στρώματος του Prandtl είναι:
Εξίσωση συνεχείας: yxuu
0x y
(1)
Εξίσωση κίνησης στη διεύθυνση x: 2
x x xx y 2
u u uu u
x y y
(7)
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 17
Ανάλυση στρωτού οριακού στρώματος σε πλάκα (συν.)
Αντικαθιστώντας την uy από την Εξ. (1) με τις γνωστές Σ.Σ., η Εξ. (2) παίρνει τη μορφή
y 2
x x x xx 2
0
u u u uu dy
x x y y
(8)
η οποία είναι μία παραβολική διαφορική εξίσωση.
Η πρώτη προσέγγιση για τη λύση της Εξ. (7) έγινε από τον Prandtl υποθέτοντας την κατανομή της
ταχύτητας στη διεύθυνση x ως εξής:
3
xu 3 y 1 y
U 2 2
(9)
Εδώ θα παρουσιάσουμε τη λύση με την προσέγγιση του
Blasius (1908), μαθητή του Prandtl.
Paul Richard Heinrich
Blasius (1883‐1970)
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 18
Ανάλυση στρωτού οριακού στρώματος σε πλάκα (συν.)
Ο Blasius αρχικά συμπέρανε ότι οι κατανομές της ταχύτητας σε διάφορα σημεία κατά μήκος της
πλάκας ήταν γεωμετρικά όμοιες και εισήγαγε μία καινούρια μεταβλητή, τη μεταβλητή
ομοιότητας (similarity variable). Η μεταβλητή αυτή είναι:
1/2
Uy
x
(10)
Πολλές φορές είναι βολικό να εκφράζουμε την εξίσωση συνεχείας με όρους της ροϊκής
συνάρτησης ψ (stream function, για διδιάστατη ασυμπίεστη ροή σε μόνιμη κατάσταση, m2/s), η
οποία ορίζεται ως εξής
xu y
και yu x
(11)
H εξίσωση συνεχείας ικανοποιείται αυτόματα με τον παραπάνω ορισμό. Επίσης ορίζεται μία
κατάλληλη ροϊκή συνάρτηση ως
(x,y) x U f( ) (12)
όπου f(η) είναι η αδιάστατη ροϊκή συνάρτηση.
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 19
Ανάλυση στρωτού οριακού στρώματος σε πλάκα (συν.)
Οι ταχύτητες και οι διάφοροι όροι της Εξ. (7) μετασχηματίζονται ως εξής:
xx
Ux df df dfU U
U d x d U d
uu
y y
y
U Ux f 1 dfU f f
U x 2 U x 2 x du
x
2
2x U d f
x 2x d
u
2
2x U d f
Uy x d
u
2 2 3
2 3x U d f
y x d
u
Αντικαθιστώντας τους μετασχηματισμένους όρους στην Εξ. (7) προκύπτει η εξίσωση Blasius:
3 2
3 2
d f d f2 f 0d d
(13)
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 20
Ανάλυση στρωτού οριακού στρώματος σε πλάκα (συν.)
Έτσι, το πρόβλημα του υδροδυναμικού οριακού στρώματος ανάγεται στην επίλυση μιας μη‐
γραμμικής, διαφορικής εξίσωσης τρίτης τάξης με τις παρακάτω (μετασχηματισμένες) συνοριακές
συνθήκες:
Στο τοίχωμα (η=0): 0
dff 0 και 0
d
Μακριά από τα τοιχώματα: x
df1 αφού u (x, ) U
d
Η Εξ. (13) μπορεί να λυθεί (με τις συνοριακές συνθήκες) με βάση σειρές δυνάμεων (Howarth,
1938) και τα αποτελέσματα παρουσιάζονται σε πίνακες. Μερικές τιμές παρουσιάζονται στον
Πίνακα 1. Σήμερα βέβαια μπορούμε να το λύσουμε με αριθμητικές μεθόδους.
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 21
Ανάλυση στρωτού οριακού στρώματος σε πλάκα (συν.)
1/2U
yx
f xudf
d U
2
2
d f
d
0 0 0 0,332 0,4 0,027 0,133 0,331 0,8 0,106 0,265 0,327 1,2 0,238 0,394 0,317
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 5,0 3,283 0,992 0,0159
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 6,0 4,280 0,999 0,002
Αρχικά βλέπουμε ότι για xu 0,99 και 5,0 (ήορθότερα 4,92)U
και επομένως από τον ορισμό
του η: x
5 5x(x)
U / x Re
(14)
Δηλαδή, το δ αυξάνεται με την τετραγωνική ρίζα του ιξώδους και της απόστασης από την αρχή
της πλάκας και μειώνεται με την τετραγωνική ρίζα της ταχύτητας του ελεύθερου ρεύματος, U .
Howarth (1938)
ΠΙΝΑΚΑΣ 1
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 22
Ανάλυση στρωτού οριακού στρώματος σε πλάκα (συν.)
Η διατμητική τάση στο τοίχωμα μπορεί να υπολογιστεί ως:
2
xw 2
0y 0 0 0
u df df U d fU U U
y y d d y x d
Αλλά από τον πίνακα: 2
2
0
d f0,332
d
, οπότε η διατμητική τάση είναι:
w
U U(x) 0,332 U 0,332U
x x
(15)
Η συνολική οπισθέλκουσα δύναμη (total drag, μόνο τριβή), στη μία πλευρά της πλάκας, είναι ίση
με το ολοκλήρωμα της διατμητικής τάσης πάνω στην επιφάνεια της πλάκας:
b L L
D w w0 0 0F dxdz b dx 0,664U b LU (16)
όπου b είναι το πλάτος και L το μήκος της πλάκας.
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 23
Ανάλυση στρωτού οριακού στρώματος σε πλάκα (συν.)
Συχνά μπορούμε να ορίσουμε έναν τοπικό συντελεστή τριβής ή οπισθέλκουσας (local skin friction
coefficient) για στρωτή ροή Cf,x:
1/2
1/2 1/2w,xf ,x x L
2
LC 0,664Re 0,664 Re
1 xU2
(17)
O Cf,x σπάνια είναι χρήσιμος σε κάποιο σημείο και συνήθως επιθυμούμε να υπολογίσουμε τον
μέσο συντελεστή οπισθέλκουσας (σε μήκος L):
L
D f ,x f ,x
A 0 L
1 1 1,328C C dA C dx
A L Re (18)
Η συνολική οπισθέλκουσα δύναμη ( 2D D
1F U C A
2 ) είναι προφανώς ιδία με την Εξ. (16).
Το CD είναι παρόμοιο (ως προς τον ορισμό) με τον συντελεστή τριβής Fanning f.
Ισχύει μόνο για στρωτή ροή (Re<5×105) και για τιμές του x που είναι αρκετά μεγαλύτερες
από το δ (δηλαδή όχι πολύ κοντά στην αρχή της πλάκας, Rex>600).
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 24
Ανάλυση στρωτού οριακού στρώματος σε πλάκα (συν.)
Όταν ο αριθμός Reynolds υπερβαίνει κάποια κρίσιμη τιμή (από ~ 5×105 μέχρι 5×106) τότε αρχίζει η μετάβαση στην τυρβώδη ροή (turbulent boundary layer).
Η μετάβαση βέβαια δεν είναι απότομη και μεσολαβεί μία μεταβατική περιοχή (transition region).
H μετάπτωση μπορεί να ξεκινήσει νωρίτερα, κάτι που εξαρτάται από την ύπαρξη τραχύτητας ή εμποδίων.
Για πρακτικούς λόγος τις περισσότερες φορές θεωρούμε ότι η μετάπτωση στην τυρβώδη περιοχή γίνεται απότομα σε κάποιον Recr.
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 25
Ανάλυση στρωτού οριακού στρώματος σε πλάκα (συν.)
Υπάρχουν αρκετές εμπειρικές σχέσεις για να περιγράψουν τις παραμέτρους στην
τυρβώδη περιοχή:
5 7f ,x x
x x
1/5 1/5
0,376 0,0592, C (Re στην περιοχή 5 10 10 )
x Re Re
(19)
Εάν θεωρήσουμε ότι Recr=5×105, οι εξισώσεις (17) και (19) μπορούν να συνδυαστούν, για μήκος L,
το οποίο βρίσκεται στην τυρβώδη περιοχή, και να μας δώσουν τον συνολικό συντελεστή
οπισθέλκουσας ως
5D cr
LL
1/5
0,074 1743C (για Re 5 10 )
ReRe (20)
Περισσότερες λεπτομέρειες στην Ενότητα 12.1.2 του βιβλίου του Brodkey.
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 26
Παράδειγμα 1
Αέρας ρέει με ταχύτητα 2 m/s πάνω από μία επίπεδη πλάκα (με οξεία άκρη) στους 15°C και 1
atm. Το μήκος της πλάκας είναι 2,15 m και το πλάτος της 3 m. Για τη μία πλευρά της πλάκας να
υπολογιστούν τα μεγέθη: δ(L), Cf,L, τw(L), CD και FD. Θεωρήστε ότι Recr=500 000.
Λύση
Από πίνακες: ρ= 1,225 kg/m3, μ= 1,802×10‐5 kg/ms και ν= 1,470×10‐5 m2/s
5 2L 0
1,47R
0 10
U L 2 (m/ s) 2,15 (m)e 291500 5
(m0
/ s0 0
)0
Συνεπώς σε όλο το μήκος της πλάκας η ροή είναι στρωτή.
Πάχος του ΟΣ στο L: L
5L 5 2,15(m)(L) 0,0199m 1,99 cm
Re 291500
Τοπικός συντελεστής τριβής ή οπισθέλκουσας στο x=L:
1/2
1/2 1/2w,xf ,L L L2
LC 0,664 Re 0,664Re 0,00123
U /2 L
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 27
Παράδειγμα 1
Διατμητική τάση στο τοίχωμα στο x=L:
5
w 2)
1,80U 1 0,224 2 N(L) 0,332U 0,332 2 0,0030 (ή Pa
L 2,1 m
1
5
2
Μέσος συντελεστής οπισθέλκουσας (σε μήκος L):
D
L
1,328C 0,00246
Re
Συνολική οπισθέλκουσα δύναμη
2
2 2D D 3 2
1 1 kg mF U C A 1,225 2 0,00246 3(m) 2,5(m) 0,0389 N
2 2 m s
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 28
Παράδειγμα 2 (από το βιβλίο του Brodkey)
1 ft 1 ft
δ(L)
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 29
Παράδειγμα 2
x 4
(2)(6)xURe 73910
(1,623 10 )
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 30
Παράδειγμα 2
1C 0,332
11,2mm
f ,xC
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 31
Παράδειγμα 2
3 2
4mf‐1 1 2
m f
( )
(
3,874 10 lb ft sF 1,204 10 lb
32,174 lb lb t )f s
DF 0,664U b L U
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 32
ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ
5. Οριακό Στρώμα Θερμότητας & Μάζας Πρόχειρες Σημειώσεις
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
ΔΙΔΑΣΚΩΝ:
Ν. Ανδρίτσος, Καθηγητής
Απρίλιος 2020
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 33
ΣΤΡΩΤΟ ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Ή/ΚΑΙ ΜΑΖΑΣ
Θεωρήστε τη ροή στο παρακάτω σχήμα. Ρευστό με ομοιόμορφη ταχύτητα U και θερμοκρασία
T κινείται παράλληλα προς μία επίπεδη πλάκα (με θεωρητικά ελάχιστο πάχος). Να
υπολογιστεί το πάχος του θερμικού οριακού στρώματος.
Παραδοχές
Ίδιες παραδοχές με το υδροδυναμικό ΟΣ
Οι φυσικές ιδιότητες θεωρούνται σταθερές και εκτιμώνται σε μία μέση θερμοκρασία
στρώματος.
w
w
T T0,99
T T
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 34
ΣΤΡΩΤΟ ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Ή/ΚΑΙ ΜΑΖΑΣ
Για μόνιμη, ασυμπίεστη και διδιάστατη ροή πάνω από μία επίπεδη πλάκα με ταυτόχρονη μεταφορά θερμότητας ή/και μάζας ισχύουν οι εξισώσεις:
Εξίσωση συνεχείας: yxuu
0x y
(1)
Εξίσωση Ν‐S στη διεύθυνση x (Εξ. 5.15.Α):
2
x x xx y 2
u u uu u
x y y
(2)
Εξίσωση ενέργειας (Εξ. 5.15.Β), ύστερα από την απαλοιφή της αγωγής στη διεύθυνση x:
22
xx y 2
p p
viscous dissipation
T T T u ku u ,
x y y c y c
(3)
Εξίσωση μάζας (Εξ. 5.16.Β), ύστερα από την απαλοιφή της διάχυσης στη διεύθυνση x:
2
A A Ax y AB 2
C C Cu u D
x y y
(4)
Οι αριστεροί όροι εκφράζουν συναγωγή και ο δεξιός μεταφορά με μοριακά μέσα.
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 35
ΣΤΡΩΤΟ ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Ή/ΚΑΙ ΜΑΖΑΣ
Οι Εξ. (1) με (4) θα πρέπει να λυθούν για να υπολογίσουμε τα ux, uy, T και CA.
Οι Εξ. (3) και (4) είναι συζευγμένες (coupled) με το πεδίο ροής και δεν μπορούν να λυθούν αν
δεν υπολογιστούν τα ux και uy.
Αν εξετάσουμε τις Εξ. (2), (3) και (4), μήπως παρατηρούμε κάτι; Υπάρχει κάποια ομοιότητα;
Σαφέστερη ομοιότητα παίρνουμε αν αδιαστατοποιήσουμε αυτές τις εξισώσεις.
Αδιαστατοποίηση:
* *x yx , y ,
L L
όπου L κάποιο χαρακτηριστικό μήκος, π.χ. το μήκος της πλάκας.
y
x y* *x y
x y 0
x 0
u,
u
u uu , u
U U
όπου U η ταχύτητα του ελευθέρου ρεύματος.
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 36
ΣΤΡΩΤΟ ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Ή/ΚΑΙ ΜΑΖΑΣ
* w
w
T TT ,
T T
όπου wT η θερμοκρασία στο τοίχωμα και T η θερμοκρασία του ελευθέρου ρεύματος.
* A A,wA
A, A,w
C CC ,
C C
όπου A,wC η συγκέντρωση στο τοίχωμα και A,C η συγκέντρωση στο ελεύθερο ρεύμα.
Από την αδιαστατοποίηση της Εξ.(2) προκύπτει:
* * 2 * * * 2 *
* * * *x x x x x xx y x y* * *2 * * *2L
U L u u u u u uu u ή u u
x y y x yRe
y
(5)
Με συνοριακές συνθήκες: * * * * * *x x yu (x ,0) 0, u (x , ) 1, u (x ,0) 0
Παράμετρος ομοιότητας: L
U LRe
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 37
ΣΤΡΩΤΟ ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Ή/ΚΑΙ ΜΑΖΑΣ
Με την αδιαστατοποίηση η Εξ. (3) γίνεται:
* * 2 * * * 2 *
* * * *x y x y* * *2 * * *2L
U L T T T T TP
Tu u ή u u
x y y x yRe r
y
(6)
Με συνοριακές συνθήκες: * * * * *T (x ,0) 0, T (x , ) 1, [T (0,y) 1]
Παράμετρος ομοιότητας: L
U L U LRe Pr
Αριθμός Prandtl: διαχυτότητα ορμής
Pr [ ]θερμική διαχυτότητα
(7)
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 38
ΣΤΡΩΤΟ ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Ή/ΚΑΙ ΜΑΖΑΣ
Με την αδιαστατοποίηση η Εξ. (4) γίνεται:
* * 2 * * * 2 *
* * * *A A A A A Ax y x y* * *2 2
A
L * * *B
UuRe
L C C C C C Cu u ή u
D x y y y ySc
x
(8)
Με συνοριακές συνθήκες: * * * *A AC (x ,0) 0, C (x , ) 1
Παράμετρος ομοιότητας: L
AB AB
U L U LRe Sc
D D
Αριθμός Schmidt: AB
διαχυτότητα ορμήςSc [ ]
D διαχυτότητα μάζας
(9)
Δηλαδή, εάν Pr 1 (ή Sc 1) το θερμικό ΟΣ (ή το ΟΣ μάζας) συμπίπτει με το υδροδυναμικό ΟΣ!
t m )δ x( )=x ( )δ δ (x=
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 39
ΣΤΡΩΤΟ ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ – Αριθμός NUSSELT
Έχουμε δείξει τον ορισμό του συντελεστή μεταφοράς θερμότητας με συναγωγή, h:
f
y 0
w
Tk
yh
T T
(10)
Αν αδιασταποιήσουμε την (10) έχουμε:
*
*
*f y 0
hL TNu
k y
(11)
Από την (5) και (6) μπορούμε βάσιμα να υποθέσουμε ότι: * * *
1 LT f (x , y ,Re , Pr)
Για *y 0 , τότε: *2 LNu f (x ,Re , Pr)
Τώρα, αν θέλουμε μία μέση τιμή του Nu σε όλο το μήκος της πλάκας, μπορούμε να
ολοκληρώσουμε από το x=0 μέχρι το x=L, όποτε : L 3 L
f
hLNu f (Re , Pr)
k
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 40
ΣΤΡΩΤΟ ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ – Αριθμός SHERWOOD
Αντίστοιχα με τον ορισμό του συντελεστή μεταφοράς θερμότητας με συναγωγή έχουμε και τον συντελεστή μεταφοράς μάζας:
Στο τοίχωμα: AA AB
y 0
CN D
y
Μεταφορά με συναγωγή: A c A,w A,N k (C C )
O ορισμός του συντελεστή μεταφοράς μάζας:
AAB
y 0
c
A,w A,
CD
yk
C C
(12)
Αν αδιαστοποιήσουμε την (11): *
*c A
*AB y 0
k L CSh
D y
(13)
Με την ίδια συλλογιστική που πραγματευτήκαμε τη μεταφορά θερμότητας παίρνουμε για τον
μέσο αριθμό Sherwood: cL 4 L
k LSh f (Re , Sc)
DAB
Η προηγούμενη εξάρτηση προκύπτει και με διαστατική ανάλυση.
u
y
x
CA,w
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 41
ΣΤΡΩΤΟ ΘΕΡΜΙΚΟ ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ
Έχει δειχθεί ότι για Pr=1 η (αδιάστατη) εξίσωση κίνησης (5) και η εξίσωση ενέργειας (6) είναι
ίδιες. Επομένως και η λύση θα είναι ίδια:
x w
w
u T T df
U T T d
Από την Εξ. (10) και για απόσταση από την άκρη x, o τοπικός συντελεστής θερμότητας είναι
2
1/2wx2
w y 0 0 0
k (T T ) df U d fh k k 0,332kRe / x
T T y d y x d
(14)
Έτσι, ο τοπικός Nu είναι:
1/2x x
hxNu 0,332 Re (για )
k (15)
Οι ιδιότητες για την Εξ. (15) υπολογίζονται στη (μέση) θερμοκρασία του στρώματος:
wf
T TT
2
* Τονίζεται πάλι ότι οι σχέσεις αυτές δεν ισχύουν πολύ κοντά στην άκρη της πλάκας (Rex<600).
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 42
ΣΤΡΩΤΟ ΘΕΡΜΙΚΟ ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ (συν.)
Μπορούμε να σκεφτούμε ότι για Pr>1 τότε δ>δt και για Pr<1 δ<δt, αφού το μεγάλο ιξώδες
ενός ρευστού οδηγεί σε μεγάλο δ, ενώ η μεγάλη τιμή του α σε μεγάλο θερμικό οριακό
στρώμα.
Επίσης, αφού οι Εξ. (5) και (6) είναι σχεδόν ταυτόσημες εκτός από την παρουσία των ν και α,
θα περιμέναμε ότι: t f
(για την ακρίβεια αποδεικνύεται 1/3 1/3t
t
xPr , 5 Pr
U
)
H Eξ. (6) μπορεί να λυθεί αριθμητικά (ή με την ολοκληρωτική μέθοδο που δεν έχει συζητηθεί)
για Pr 0,6 , όλα τα αέρια και υγρά εκτός από τα υγρά μέταλλα και να δώσει:
*
1/3
0
dT0,332 Pr
d
Έτσι, από τον ορισμό του h, ο τοπικός Nu είναι:
1/2 1/3x x
hxNu 0,332 Re Pr (για Pr 0,6)
k (16)
Ρευστό Pr
Υδράργυρος 4,6×10‐6
Αέρας 0,7
Νερό 7
Λιπαντικό 10 000
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 43
ΣΤΡΩΤΟ ΘΕΡΜΙΚΟ ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ (συν.)
Συνήθως δεν ενδιαφερόμαστε για την τοπική τιμή του h ή του Nu, αλλά μας ενδιαφέρει ο
μέσος Nu σε όλο το μήκος της πλάκας L. Εύκολα μπορεί να δειχθεί ότι:
L
1/2 1/3L0
1 kh h(x)dx 0,664 Re Pr (για 0,6 Pr 50)
L L
δηλαδή Lh 2h και
1/2 1/3L x
hLNu 0,664 Re Pr (για 0,6 Pr 50)
k (18)
Συχνά το θερμαινόμενο τμήμα της πλάκας
ξεκινάει από μία απόσταση Lo από την άκρη
της πλάκας. Με την ολοκληρωτική μέθοδο
μπορεί να δειχθεί ότι:
1/2 1/3x
x 1/33/4o
0,332 Re PrNu
1 (L / x)
(19)
Lo
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 44
ΤΥΡΒΩΔΕΣ ΘΕΡΜΙΚΟ ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ
Για την τυρβώδη περιοχή, μία από τις σχέσεις που έχουν προταθεί για τον τοπικό Nu είναι:
4/5 1/3x x
hxNu 0,0296 Re Pr (για 0,6 Pr 60)
k (20)
Η μέση τιμή για τον συντελεστή μεταφοράς θερμότητας προφανώς δίνεται από τη σχέση
(θεωρούμε ότι στον crcr U /R xe έχουμε μετάβαση στην τυρβώδη περιοχή):
cr
cr
x L
x ,lam. x ,turb.
0 x
1h h dx h dx
L
(21)
Αν θεωρήσουμε cr 500000Re , τότε ο μέσος αριθμός Nu δίνεται από τη σχέση:
4/5 1/3L L 5 8
L
0,6 Pr 60hLNu 0,037 Re 871 Pr για
k 5 10 Re 10
(22)
Για L>>xcr η παραπάνω απλοποιείται:
4/5 1/3L L D
L
hL 0,072Nu 0,037 Re Pr και C
k Re
(23)
ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ ΜΑΖΑΣ
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 45
Σε αντιστοιχία με τη μεταφορά θερμότητας, ο τοπικός Sh στην περίπτωση του στρωτού
οριακού στρώματος μάζας δίνεται από τη σχέση:
1/2 1/3cx x
AB
k xSh 0,332 Re Sc (για Sc 0,6)
D (24)
Συνήθως πάλι μας ενδιαφέρει ο μέσος συντελεστής μεταφοράς μάζας σε όλο το μήκος της
πλάκας L:
L
1/2 1/3ABc c L0
1 Dk k (x)dx 0,664 Re Sc (για 0,6 Sc 6000)
L L
(25)
δηλαδή c c,Lk 2k [εδώ να θυμηθούμε ότι A c A,x A,N k C C ] και
1/2 1/3cL x
AB
k LSh 0,664 Re Sc (για 0,6 Sc)
D (26)
Για την τυρβώδη περιοχή, σε αντιστοιχία με τον τοπικό Nu, έχει προταθεί η σχέση:
4/5 1/3cx x
AB
k xSh 0,0296 Re Sc (για 0,6 Sc 6000)
D (27)
ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ ΜΑΖΑΣ
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 46
Η μέση τιμή για τον συντελεστή μεταφοράς μάζας για όλο το μήκος της πλάκας που
περιλαμβάνει τη στρωτή και την τυρβώδη περιοχή προφανώς δίνεται από τη σχέση (θεωρούμε
ότι στον crcr U /R xe έχουμε μετάβαση στην τυρβώδη περιοχή):
c
c
x L
c c,x ,lam. c,x ,turb.
0 x
1k k dx+ k dx
L
(28)
Αν πάλι θεωρήσουμε cr 500000Re , τότε ο μέσος αριθμός Sh δίνεται από τη σχέση:
4/5 1/3cL L 5 8
AB L
0,6 Sc 50k LSh 0,037 Re 871 Sc για
D 5 10 Re 10
(29)
Για L>>xcr η παραπάνω απλοποιείται:
4/5 1/3cL L
AB
k LSh 0,037 Re Sc
D (30)
Παράδειγμα 1
Σύστημα Sc (20°C)
Ο2 ‐ Ν2 0,73
CO2 ‐ αέρας 0,84
Ο2 ‐ νερό 340
NaCl ‐ Νερό 700
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 47
Αέρας θερμοκρασία oT 300 C και σε πίεση P 6 kPa ρέει με ταχύτητα 10 m/s πάνω από
μία επίπεδη πλάκα μήκους 0,5 m. Να υπολογιστεί ο ρυθμός ψύξης ανά μονάδα πλάτους που
απαιτείται για να διατηρείται η θερμοκρασία στην επιφάνεια της πλάκας στους 27°C.
ΛΥΣΗ
Θεωρούμε: μόνιμη κατάσταση, ροή πάνω σε μία ισοθερμοκρασιακή πλάκα, ενώ αγνοείται τυχόν
συμβολή της ακτινοβολίας.
Οι ιδιότητες του αέρα υπολογίζονται στη θερμοκρασία του στρώματος
wf
T T (273 27) (273 300)T 437K
2 2
Από πίνακες σε 1 atm και 437 Κ:
5 2 23,084 10 m / s, k 3,64 10 W /mK και Pr 0,687
Ποια είναι όμως η επίδραση της πίεσης στις παραπάνω φυσικές ιδιότητες;
Από την κλασική κινητική θεωρία δεν επηρεάζονται τα μ, k και cp. Άρα επηρεάζεται μόνο το
κινηματικό ιξώδες
5 4 21 2 26 kPa 101kPa
2 1 1
P 101,3 101,33,084 10 5,21 10 m / s
P 6 6
Παράδειγμα 1 (συν.)
Για πλάκα μήκους L και πλάτους b έχουμε από τον νόμο ψύξης του Newton:
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 48
L w L w
QQ q(Lb) h (T T )(Lb) ή Lh (T T )
b
Αρχικά θα πρέπει να ελέγξουμε αν έχουμε στρωτή ροή:
L 4 2
U L 10 (m/ s) 0,5 (m)Re 9597 στρωτή ροή
5,31 10 (m / s)
Θα βρούμε τον μέσο συντελεστή μεταφοράς θερμότητας από τον μέσο αριθμό Nusselt, Εξ. (18) :
1/2 1/3L
hLNu 0,664 (9597) (0,687) 57,5
k
Σημειώνεται ότι η τιμή του Pr βρίσκεται στην περιοχή 0,6 Pr 50 .
Ο μέσος συντελεστής μεταφοράς θερμότητας υπολογίζεται ως:
2LNu k 57,5 0,0364 (W /mK)h 4,18W /m K
L 0,5 (m)
Και ο ρυθμός ψύξης που απαιτείται είναι:
2Q4,18 (W /m K ) 0,5 (m) 573 300 (K) 570 W /m
b
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 49
ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ
6. Ροή σε θερμαινόμενο σωλήνα Πρόχειρες Σημειώσεις
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
ΔΙΔΑΣΚΩΝ:
Ν. Ανδρίτσος, Καθηγητής
Απρίλιος 2020
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 50
Εισαγωγή – Εσωτερικές ροές
Μέχρι τώρα ασχοληθήκαμε με την αγωγή/διάχυση (χωρίς ροή) και με την εξαναγκασμένη
συναγωγή σε εξωτερικές ροές (ΟΣ), όπου η T (ή η C ) είναι η σταθερή θερμοκρασία
(συγκέντρωση) μακριά από το τοίχωμα. Το ΟΣ αναπτύσσεσαι χωρίς περιορισμό.
Τι γίνεται όμως στις εσωτερικές ροές; [π.χ. μέσα σε σωλήνα]
Θα πρέπει να διακρίνουμε μία περιοχή εισόδου (entrance region) και μία πλήρως αναπτυγμένη ροή (fully developed region) [δηλαδή μία περιοχή που η κατανομή της ταχύτητας
δεν μεταβάλλεται με την αξονική διεύθυνση].
Υποθέστε στρωτή ροή με εμβολική κατανομή ταχύτητας στην είσοδο του σωλήνα:
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 51
Εισαγωγή – Υδροδυναμικό ΟΣ
Αναπτύσσεται στο εσωτερικό του σωλήνα υδροδυναμικό ΟΣ που αυξάνεται με το x.
Μετά τη συνένωση του ΟΣ στην κεντρική γραμμή επικρατεί υδροδυναμικά πλήρως
αναπτυγμένη ροή.
Τι γίνεται όταν έχουμε επίδραση της θερμοκρασίας;
Οριακό στρώμα
Βιβλίο Incropera et al.
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 52
Εισαγωγή – Θερμικό ΟΣ ‐ Πλήρως θερμικά αναπτυγμένες συνθήκες
Θεωρήστε στρωτή ροή σε σωλήνα με ομοιόμορφη θερμοκρασία εισόδου, iT r,0 T , και
σταθερή θερμοκρασία στο τοίχωμα του σωλήνα s iT T ή σταθερή ειδική θερμορροή qs.
Αναπτύσσεται στο εσωτερικό του σωλήνα το θερμικό ΟΣ που αυξάνεται με το x (ή το z). Ο ισοθερμοκρασιακός πυρήνας μειώνεται με το x. Μετά τη συνένωση του ΘΟΣ, η κατανομή της αδιάστατης θερμοκρασίας ανεξάρτητη του x, και
επικρατούν πλήρως θερμικά αναπτυγμένες συνθήκες (thermally fully developed conditions).
Αρχικά, στην περιοχή εισόδου το δt μικρό με αποτέλεσμα το h να είναι μεγάλο. Στις πλήρως θερμικά αναπτυγμένες συνθήκες το h σταθερό.
Θερμικό ΟΣ
x (ή z)
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 53
Εισαγωγή – Μήκος Εισόδου
H έναρξη της ύπαρξης δινών (τύρβης) στη ροή σε σωλήνα συμβαίνει για D,cRe 2300
Πλήρως τυρβώδεις συνθήκες επικρατούν από DRe 10 000
Υδροδυναμικό μήκος εισόδου σε στρωτή ροή: fD
x0,05 Re
D
Υδροδυναμικό μήκος εισόδου σε τυρβώδη ροή: 1/6f fD
x x10 60 ή 4,4 Re
D D
Θερμικό μήκος εισόδου σε στρωτή ροή: tD
x0,05 Re Pr
D
Θερμικό μήκος εισόδου σε τυρβώδη ροή: tx10 60D
Για στρωτή ροή, πως συγκρίνεται το υδροδυναμικό με το θερμικό μήκος εισόδου για ένα αέριο; Για το νερό;
Μήκος εισόδου σε μεταφορά μάζας σε στρωτή ροή: mD
x0,05 Re Sc
D
[Συζήτηση για το θέμα αυτό γίνεται στην Ενότητα 11.2.2 του βιβλίου]
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 54
Εισαγωγή – Μέση θερμοκρασία ρευστού
Σε περίπτωση που δεν έχουμε ροή, η μέση θερμοκρασία σε μία διατομή είναι:
2 R
0 0Aave ave 2 R
0 0A
TdAT(r)r drd
T , για κύλινδρο TdA r dr d
(1)
Όταν έχουμε ροή περισσότερο αντιπροσωπευτική είναι η θερμοκρασία ανάμειξης Τb (bulk / mixing cup temperature).
2 R
z0 0b 2 R
z0 0
u (r)T(r,z)r drdT
u (r)r dr d
(2)
H Τb είναι ουσιαστικά η μέση θερμοκρασία του ρευστού που συλλέγεται σε ένα δοχείο ανάμειξης σε ένα συγκεκριμένο μήκος του σωλήνα, αν κόψουμε τον σωλήνα και συλλέξουμε το
ρευστό στο δοχείο. Είναι προφανές ότι σε εμβολική ροή (π.χ. σε μεγάλους Re), Τb=Tave.
Αντίστοιχες μέσες συγκεντρώσεις σε ροή σε κύλινδρο με ελάχιστα διαλυτά τοιχώματα στο ρευστό μπορούμε να γράψουμε και για τη μεταφορά μάζας.
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 55
Εισαγωγή – Πλήρως θερμικά αναπτυγμένες συνθήκες
Όταν έχουμε θερμαινόμενο σωλήνα, η Τ αυξάνει με το z, δηλαδή η Τ είναι συνάρτηση τόσο του r όσο και του z (ενώ η uz(r) δεν μεταβάλλεται).
Δηλαδή, στη μεταφορά θερμότητας T
0z
και bT 0
z
.
Όμως μπορεί να υποτεθεί ότι το σχήμα της κατανομής δεν αλλάζει με το z. Έτσι η προϋπόθεση
για πλήρως θερμικά αναπτυγμένη ροή είναι w
w b
T (z) T(r,z)0
z T (z) T (z)
(1)
Μπορούμε να γράψουμε την (1)
w w b
w b w
2w b
dT dT dT dT(T T ) (T T)
dz dz dz dz0
(T T )
w w w w b
2 2w b w b w b w b
1 dT 1 dT (T T) dT (T T) dT0
(T T ) dz (T T ) dz (T T ) dz (T T ) dz
w w w w b
w b w b
dT dT (T T) dT (T T) dT0
dz dz (T T ) dz (T T ) dz
w w w w b
w b w b
dT dT (T T) dT (T T) dT
dz dz (T T ) dz (T T ) dz
(2)
Για θερμαινόμενα τοιχώματα σωλήνα και για σταθερή ειδική θερμορροή:
b bww w b
r R fd fd
από την (2)T TdT T Tq h(T T ) k const.
dr z z z z
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 56
Εξαναγκασμένη Συναγωγή σε Εσωτερική Ροή
Μία σημαντική βιομηχανική εφαρμογή είναι η θέρμανση ή η ψύξη ενός ρευστού που ρέει μέσα
σε έναν αγωγό.
Η πρώτη αναλυτική λύση στο πρόβλημα της ροής μέσα σε σωλήνα δόθηκε από τον Graetz το
1885 με τη μορφή σειρών
Οι βασικές παραδοχές ήταν ότι η ροή είναι πλήρως αναπτυγμένη, ότι οι φυσικές ιδιότητες ήταν
σταθερές και ότι ή θερμοκρασία στην επιφάνεια του σωλήνα είναι σταθερή.
Στη συνέχεια θα παρουσιάσουμε μια απλουστευμένη λύση για το πρόβλημα για πλήρως
θερμικά αναπτυγμένες συνθήκες και για σταθερή ειδική θερμορροή στο τοίχωμα.
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 57
Εξίσωση Ενέργειας, κυλινδρικές συνταραγμένες, Πίνακας 5.6, Εξ. (5.13.Β)
Gr z 2
p
u qT T T T 1 T 1 T Tu u r
t r r z c r r r r z z
r1 r
z
qw=const. z=0
Tw(z)
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 58
Παράδειγμα 5.6
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 59
Παράδειγμα 5.6 (συν.)
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 60
Παράδειγμα 5.6 (συν.)
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 61
Παράδειγμα 5.6 (συν.)
ή bTTσταθ.
z z
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 62
Παράδειγμα 5.6 (συν.)
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 63
Παράδειγμα 5.6 (συν.)
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 64
Παράδειγμα 5.6 (συν.)
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 65
Παράδειγμα 5.6 (συν.)
ή 2 2 4
z,ave i bw 2 4
i i
U r dT 1 r 1 r 3T T
dz 2 r 8 r 8
[Συζήτηση για το θέμα γίνεται στην Ενότητα 11.2 του βιβλίου]
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 66
Από τον ορισμό της θερμοκρασία ανάμειξης Τb και την παραπάνω σχέση μπορούμε
να υπολογίσουμε:
2 R2
w z,ave i0 0 bb w 2 R
0 0
(T T )u(r)r dr d U r dT11T T
48 dzu(r)r dr d
(A)
Γνωρίζοντας τη θερμοκρασία ανάμειξης μπορούμε να υπολογίσουμε τον συντελεστή μεταφοράς θερμότητας σε αυτή την περίπτωση (ή τον Nu) ως εξής.
Η συνολική θερμορροή που εισέρχεται από τα τοιχώματα ισούται με την αύξηση της θερμότητας του ρευστού:
conv p b,out b,in w w i wQ mc T T q (PL) q (2 rL) q DL
[Συζήτηση για το θέμα αυτό γίνεται στην Ενότητα 11.2.1 του βιβλίου]
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 67
Κάνουμε ισοζύγιο θερμότητας σε μία διαφορική φέτα του σωλήνα:
p b w p bz z dz
bp w
2b
z,ave w
bw
z,ave p
mc T q Ddz mc T
dTmc q D
dz
dTDU q D
4 dz
dT 4q (B)
dz U c D
Από τις Εξ. (Α) και (Β) έχουμε: wb w
q D11T T
48 k
Και από τον νόμο της ψύξης του Newton: w w b D
hDq h(T T ) Nu 4,36
k
Για σταθερή w DT : Nu 3,66
Και στις 2 περιπτώσεις το k υπολογίζεται στην Τb.
Συζήτηση για το θέμα αυτό στην Ενότητα 11.2.1 του βιβλίου.
.
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 68
Παράδειγμα
Σε μία παραβολική σκάφη που χρησιμοποιείται για την αξιοποίηση της ηλιακής ενέργειας μπορούμε να υποθέσουμε ότι υπάρχει ομοιόμορφη ειδική θερμορροή προς τον θερμαινόμενο σωλήνα. Η διάμετρος του σωλήνα είναι 60 mm και η ομοιόμορφη qw είναι 2000 W/m2. Εάν το νερό εισέρχεται σε μια θερμοκρασία ανάμειξης 20°C και με μαζική παροχή 0,1 kg/s , (α) ποιο είναι το απαιτούμενο μήκος του σωλήνα για να είναι η θερμοκρασία ανάμειξης στην έξοδο 80°C και (β) ποια είναι η θερμοκρασία του τοιχώματος του σωλήνα στην έξοδο; [Υποθέτουμε ότι παντού επικρατούν συνθήκες πλήρως θερμικά αναπτυγμένης ροής.]
Λύση
Παραδοχές: μόνιμη κατάσταση, ασυμπίεστο τευστό, σταθερές ιδιότητας που υπολογίζονται σε μέση θερμοκρασία ανάμειξής, Τm=(Tb,out+Tb,in)/2=(293+353)/2=323 K.
Ιδιότητες στην Tm: 6
pc 4181 J /kg s,k 0,67 W /m K, 352 10 kg /m s, Pr 2,2
(α) Για w w w p b,out b,inq const., q A q DL mc (T T )
Άρα το απαιτούμενο μήκος είναι: p
b,out b,in
w
mc 0,01 4181L (T T ) (353 293) 6,65 m
q D 2000 0,06
Ν. Ανδρίτσος: Φαινόμενα Μεταφοράς – Πρόχειρες Σημειώσεις 69
(β) Από τον νόμο ψύξης του Newton: w w w,L b,L w,L b,outq const., q h (T T ) h (T T )
Επομένως, χρειάζεται να εκτιμήουμε το h. Πως το βρίσκουμε;
Αρχικά ελέγχουμε αν η ροή είναι στρωτή:
2
aveave2 6
U D / 4 DU D 4m 4 0,01Re 602
( D / 4) D 0,06 352 10
(στρωτή ροή)
Το h υπολογίζεται από τον αριθμό Nu για στρωτή ροή:
2D
hD 4,36 0,67Nu 4,36 h 48,7 W /m K
k 0,06
Επομένως:
2
oww,L b,out 2
q 2000 (W /m )T T 353 41 353 394K 121 C
h 48,7 (W /m K)
Τι γίνεται αν είχαμε τυρβώδη ροή; Σε αυτή την περίπτωση χρησιμοποιούμε τη σχέση Dittus‐
Boelter (ή κάποια άλλη): 4/5 1/4D D
hDNu 0,023Re Pr
k (Συζήτηση για το θέμα αυτό στην Ενότητα
11.3.2 του βιβλίου.
Με Tw>100 °C, μπορεί να έχουμε βρασμό, αν ή πίεση μέσα στο σωλήνα είναι χαμηλή.
Top Related