Download - 4 ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΡΟΗΣ ΣΕ ΣΩΛΗΝΕΣ · 2008-10-17 · 2 4 ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΡΟΗΣ ΣΕ ΣΩΛΗΝΕΣ 4.1 Γενικά Στo

Transcript

1

4 ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΡΟΗΣ ΣΕ ΣΩΛΗΝΕΣ.................................................... 2

4.1 Γενικά........................................................................................................................ 2

4.2 Απλά προβλήµατα ροής........................................................................................... 2 4.2.1 Τύποι απλών προβληµάτων ροής ...................................................................... 2 4.2.2 Τύπος απλού προβλήµατος 1: Υπολογισµός γραµµικών απωλειών.................. 3 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 4.2-1 ........................................................................................................ 4 4.2.3 Τύπος απλού προβλήµατος 2: Υπολογισµός παροχής....................................... 5 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 4.2-2 ........................................................................................................ 6 4.2.4 Τύπος απλού προβλήµατος 3: Υπολογισµός διαµέτρου σωλήνα ...................... 7 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 4.2-3 ........................................................................................................ 8

4.3 Προβλήµατα ροής µε µηχανολογικό εξοπλισµό .................................................... 9 4.3.1 Εισαγωγή ........................................................................................................... 9 4.3.2 Εξίσωση ενέργειας και µανοµετρικό ύψος ........................................................ 9 4.3.3 Ισχύς αντλίας ή υδροστρόβιλου....................................................................... 12 4.3.4 Έλεγχος υποπίεσης στην αντλία ...................................................................... 12 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 4.3-1 ...................................................................................................... 13 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 4.3-2 ...................................................................................................... 16

4.4 Συστήµατα πολλαπλών σωλήνων......................................................................... 19 4.4.1 Οι τρείς βασικές περιπτώσεις .......................................................................... 19 4.4.2 Σύστηµα σωλήνων σε σειρά ............................................................................ 20 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 4.4-1 ...................................................................................................... 20 4.4.3 Σύστηµα παράλληλων σωλήνων...................................................................... 23 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 4.4-2 ...................................................................................................... 23 4.4.4 Σύστηµα σωλήνων διερχόµενοι από κόµβο..................................................... 26 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 4.4-3 ...................................................................................................... 27

4.5 Σύνθετα προβλήµατα ροής.................................................................................... 29 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 4.5-1 ...................................................................................................... 30 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 4.5-2 ...................................................................................................... 35 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 4.5-3 ...................................................................................................... 39 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 4.5-4 ...................................................................................................... 42

2

4 ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΡΟΗΣ ΣΕ ΣΩΛΗΝΕΣ

4.1 Γενικά Στo παρόν κεφάλαιο πραγµατοποιούµε την επίλυση πρακτικών προβληµάτων ροής σε

σωλήνες.

Έχοντας µελετήσει το κεφάλαιο αυτό, θα είσαστε σε θέση να επιλύσετε προβλήµατα ροής:

1) πολύ απλής µορφής για τον υπολογισµό των γραµµικών απωλειών, της παροχής ή

της διαµέτρου ενός σωλήνα,

2) µε µηχανικό εξοπλισµό (αντλία ή υδροστρόβιλο) και απαιτούν συνήθως τον

υπολογισµό και των τοπικών απωλειών,

3) µε πολλαπλούς σωλήνες (που βρίσκονται σε σειρά ή είναι παράλληλοι ή διέρχονται

από ένα κοινό σηµείο) και

4) σύνθετης µορφής, που προκύπτουν από συνδυασµούς των 3 προηγούµενων

περιπτώσεων ροής.

4.2 Απλά προβλήµατα ροής

4.2.1 Τύποι απλών προβληµάτων ροής

Ας συνοψίσουµε τις βασικές εξισώσεις υπολογισµού.

1. Εξίσωση Darcy-Weisbach

2

f

L Vh f

D 2g= (3.3-16)

2. Εξισώσεις που συνδέουν τα V, Q, D, ν και Re.

Εξίσωση ορισµού αριθµού Reynolds VD

Reν

= (1.4-1)

Εξίσωση παροχής

2πDQ V

4= ή

2

4QV

πD= (3.3-1)

3. Εξίσωση υπολογισµού του συντελεστή τραχύτητας f, η οποία εξαρτάται από το είδος

ροής, κυρίως τον Re και την τραχύτητα του σωλήνα (ks/D). Ο f µπορεί να

προσδιοριστεί µε µια από τις ακόλουθες εξισώσεις

Για στρωτή ροή στ

64f

Re= (3.5-11)

Για τυρβώδη ροή - Εξίσωση Darcy-Weisbach

3

sk1 2.51D2.0 log

3.7f Re f

= − +

(3.6-16)

Εναλλακτικά, ο προσδιορισµός του f µπορεί να γίνει µε το διάγραµµα Moody (βλ.

Σχ. 3.6-2).

Οι παραπάνω 4 εξισώσεις (περιλαµβανοµένης της εξίσωσης προσδιορισµού του f)

περιλαµβάνουν 8 µεταβλητές (hf, L, D, ks, f, V, Q και Re), 8-4=4 εκ των οποίων είναι

ανεξάρτητες µεταξύ τους.

Ας θεωρήσουµε ως ανεξάρτητες µεταβλητές τις ακόλουθες: hf, L, D και Q. Στα απλά

προβλήµατα ροής το µήκος του σωλήνα L είναι συνήθως δεδοµένο και ζητείται µια από τις

µεταβλητές hf, D και Q. O τύπος του απλού προβλήµατος καθορίζεται από την άγνωστη

µεταβλητή και είναι:

1. Τύπος 1: Ζητείται το hf.

2. Τύπος 2: Ζητείται το Q.

3. Τύπος 3: Ζητείται το D.

Στη συνέχεια θα παρουσιαστούν οι µεθοδολογίες επίλυσης του κάθε τύπου απλού

προβλήµατος.

ΣΧΟΛΙΑ

1. Παρατηρείστε ότι η επίλυση των 4 εξισώσεων για τον προσδιορισµό της άγνωστης

µεταβλητής γίνεται πολύ εύκολα σε περιβάλλον EXCEL, οπότε πρακτικά τα 3

προβλήµατα µπορεί να απλοποιηθούν σε ένα.

2. Η επίλυση του κάθε τύπου απλού προβλήµατος απλοποιείται περαιτέρω µε τη

χρησιµοποίηση ρητών εξισώσεων υπολογισµού του f, αντί της ακριβούς πεπλεγµένης

εξ. (3.6-16). Τις ρητές εξισώσεις υπολογισµού µπορείτε να χρησιµοποιείτε όταν κάνετε

υπολογισµούς µε υπολογιστή τσέπης, ο οποίος δεν έχει τη δυνατότητα προγραµµατισµού

επίλυσης της εξ. (3.6-16). Στη συνέχεια µπορείτε να κάνετε ένα γρήγορο έλεγχο µε την

ακριβή εξίσωση ή το διάγραµµα Moody.

3. Στα απλά παραδείγµατα που ακολουθούν χρησιµοποιούµε και τις ρητές εξισώσεις για

να εκτιµήσουµε το σφάλµα υπολογισµού σε σχέση µε την επίλυση χρησιµοποιώντας την

ακριβή εξίσωση υπολογισµού, εξ. (3.6-16). Για το λόγο αυτό ορισµένα µεγέθη δίνονται

µε σχετικά µεγάλη ακρίβεια, π.χ. 4-6 δεκαδικών ψηφίων.

4.2.2 Τύπος απλού προβλήµατος 1: Υπολογισµός γραµµικών απωλειών

Ο ακριβής υπολογισµός των γραµµικών απωλειών hf πραγµατοποιείται µε την εξ. (3.3-16),

αφού πρώτα υπολογίσουµε τον συντελεστή f (α) µε δοκιµές από την εξ. (3.6-16) και (β)

άµεσα από το διάγραµµα Moody.

Εναλλακτικά, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τη ρητή εξίσωση των Swamee and Jain

(1976).

2

s

0.9

0.25f

k1 5.74log

3.7 D Re

=

+

(4.2-1)

4

η οποία ισχύει για 5000 <Re< 3·108 και 0.000001 <ks/D< 0.01. Η εξ. (4.2-1) έχει ακρίβεια

υπολογισµού της τάξης του 2%.

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 4.2-1

Υπολογίστε τις γραµµικές απώλειες στη ροή νερού (ν=0.0000011 m2/s), παροχής Q=0.1267

m3/s που διέρχεται από σωλήνα µε τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: L=1500 m, D=300 mm και

ks=1.5 mm.

Λύση

1. Υπολογίζουµε τα ks/D και Re.

sk 1.5 mm0.005

D 300 mm= =

3

2

m4 0.1267

s mV 1.792

π(0.300 m) s

= =

2

(1.792 m / s) (0.300 m)Re 488727

0.0000011 m / s

⋅ = =

2. Υπολογίζουµε τoν συντελεστή f από την ακριβή εξίσωση, εξ. (3.6-16), ίσο µε

f=0.0306 και τις γραµµικές απώλειες ίσες µε 25.054 m. Οι υπολογισµοί παρουσιάζονται στον

Πίν. 1

Πίνακας 1. Υπολογισµός των γραµµικών απωλειών του παραδείγµατος 4.2-1 µε την εξ. (3.3-

16)

Χαρακτηριστικό Τιµή Μονάδες

D 0.300 m

L 1500 m

Q 0.1267 m3/s

A 0.071 m2

V 1.792 m/s

Re 488847 -

ks 1.5 mm

ks/D 0.005 -

f 0.0306 -

hf 25.054 m

3. Υπολογίζουµε τoν συντελεστή f µε την εξ. (4.2-1) και τις απώλειες από την εξ. (3.3-

16).

( )2 2

0.9

0.25 0.25f 0.0307

log 0.001351 0.0000440.005 5.74log

3.7 (488727)

= = = + +

5

2

f

2

m(1.792 )

(1500 m) sh 0.0307 25.124 mm(0.300 m)

2(9.81 )s

= =

Το σφάλµα υπολογισµού του hf είναι ίσο µε 25.124 m 25.054 m

0.3%25.054 m

−=

4.2.3 Τύπος απλού προβλήµατος 2: Υπολογισµός παροχής

Ο ακριβής υπολογισµός της παροχής Q πραγµατοποιείται άµεσα (χωρίς δοκιµές) µε τις

εξισώσεις (3.3-16), (1.4-1), (3.3-1) και (3.6-16) ακολουθώντας την ακόλουθη διαδικασία 4

βηµάτων.

1. Υπολογίζουµε την ποσότητα Re f συνδυάζοντας την εξ. (1.4-1) µε την εξ. (3.3-

16).

f1.5

f

2gDhD

2gh DLRe f

ν L ν

= =

(4.2-2)

2. Υπολογίζουµε την ποσότητα 1

f από την εξ. (3.6-16).

sk1 2.51D2.0 log

3.7f Re f

= − +

(3.6-16)

3. Υπολογίζουµε την V επιλύοντας την εξ. (3.3-16) ως προς V.

f2gDh1V

Lf= (4.2-3)

4. Υπολογίζουµε την Q από την εξ. (3.3-1).

2πDQ V

4= (3.3-1)

Εναλλακτικά, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τη ρητή εξίσωση των Swamee and Jain

(1976).

0.50.55 2

sf

3

f

kgD h 1 3.17ν LQ 0.965 ln

L 3.7 D gD h

= − +

(4.2-4)

η οποία ισχύει για Re>2000 και έχει την ίδια ακρίβεια υπολογισµού µε αυτή του

διαγράµµατος Moody.

6

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 4.2-2

Υπολογίστε την παροχή νερού (ν=0.0000011 m2/s) που διέρχεται από σωλήνα µε τα

ακόλουθα χαρακτηριστικά: D=400 mm, ks=0.5 mm, L=1200 m και hf=8.211 m.

Λύση

1. Υπολογίζουµε την Q εφαρµόζοντας την άµεση µέθοδο που περιγράφεται στο Κεφ.

4.2.3.

(i) Υπολογίζουµε την ποσότητα Re f .

( ) 1/52

2

m2 9.81 8.211 m

(0.400 m)sRe f 48818.127

(1200 m) 0.0000011 m / s

== =

(ii) Υπολογίζουµε την ποσότητα 1

f .

0.0005 m

1 2.510.4 m2.0 log 6.820

3.7 48818.127f

= − + =

(iii) Υπολογίζουµε την V από την εξ. (3.3-16).

( )( )2

m2 9.81 0.400 m 8.211 m

msV (6.820) 1.58

(1200 m) s

= =

(iv) Υπολογίζουµε την Q από την εξ. (3.3-1).

2 3π(0.400 m) m mQ (1.58 ) 0.200

4 s s= =

2. Επαναλαµβάνουµε τους υπολογισµούς χρησιµοποιώντας την εξ. (4.2-4).

0.5

50.5

5 32f

m9.81 (0.400 m) (8.211 m)

gD h ms0.026218

L (1200 m) s

= =

sk1 1 0.0005 m0.000338

3.7 D 3.7 0.4 m= =

7

( )

0.5

0.52 2 2

33

f2

3.17ν L 3.17(0.0000011 m / s) (1200 m)0.000030

mgD h9.81 0.400 m (8.211 m)

s

= =

( )3 3m m

Q 0.965 0.026218 ln 0.000338 0.000030 0.200 s s

= − ⋅ + =

Το σφάλµα υπολογισµού της Q είναι µηδενικό.

4.2.4 Τύπος απλού προβλήµατος 3: Υπολογισµός διαµέτρου σωλήνα

Ο ακριβής υπολογισµός της διαµέτρου D πραγµατοποιείται µε δοκιµές. Η εξίσωση που

επιλύουµε µε δοκιµές προσδιορίζεται επιλύοντας την εξ. (3.3-16) ως προς D και

αντικαθιστώντας την V από την εξ. (3.3-1) στην εξίσωση που προκύπτει.

2

2 22

2 4

f f f

4Q

L V L 8LQπDD f f f

h 2g h 2g gπ D h

= = = ή

25

2

f

8LQD f

gπ h=

οπότε

1/52

2

f

8fLQD

gπ h

=

(4.2-5)

Η εξ. (4.2-5) γράφεται µε την ακόλουθη µορφή

1/5 1/51/5 2 2

2

f f

8f 8LQ 8LQD a

gπ h h

= =

όπου

2

8fa

gπ= (4.2-6)

Η διαδικασία υπολογισµού είναι η ακόλουθη

1. Εκλέγουµε µια αρχική διάµετρο. Αυτή µπορεί να υπολογιστεί από την εξ. (4.2-6)

θέτοντας a=0.26, 0.28 και 0.30, για λείους, τραχείς και πολύ τραχείς σωλήνες, αντίστοιχα.

2. Υπολογίζουµε την ποσότητα Re f από την εξ. (4.2-2).

1.5

f2gh DRe f

L ν

=

(4.2-2)

3. Υπολογίζουµε τον συντελεστή f από την εξ. (3.6-16)

2

s

1f

k2.51D2.0 log

3.7 Re f

= − +

(3.6-16)

4. Υπολογίζουµε τη D από την εξ. (4.2-5).

8

5. Ελέγχουµε αν η τιµή της D που υπολογίζουµε είναι περίπου ίδια µε την τιµή που

υποθέσαµε στο 1, δηλ. να έχει µια διαφορά µικρότερη από 3%. Αν όχι,

επαναµβάνουµε τους υπολογισµούς 2 µέχρι 4 θέτοντας τη νέα τιµή της D που

υπολογίσαµε. Σηµειώνεται, ότι η ταχύτητα σύγκλισης των υπολογισµών είναι πολύ

µεγάλη (βλ. Σχόλιο 2, Κεφ. 4.2.4.) και συνήθως απαιτούνται 2-3 δοκιµές.

Εναλλακτικά, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τη ρητή εξίσωση των Swamee and Jain

(1976).

0.044.75 5.2

2 21.25

s

f f

LQ ν LQD 0.66 k

gh Q gh

= +

(4.2-7)

η οποία ισχύει για 5000 <Re< 3·108 και 0.000001 <ks/D< 0.01. Η εξ. (4.2-6) έχει ακρίβεια

υπολογισµού της τάξης του 2%.

Η εξ. (4.2-7) υπολογίζεται εύκολα σε περιβάλλον EXCEL. Για να περιορίσουµε την

πιθανότητα σφάλµατος κατά τους υπολογισµούς µε έναν υπολογιστή τσέπης θέτουµε

2

1

f

LQA

gh= οπότε (4.2-8)

0.04

1.25 4.75 5.2

s 1 1

νD 0.66 k A A

Q

= +

(4.2-9)

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 4.2-3

Υπολογίστε τη διατοµή σωλήνα µε τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: ks=0.5 mm, L=1800 m και

hf=56.398 m για να διοχετεύει παροχή νερού (ν=0.0000011 m2/s) ίση µε Q=0.125 m

3/s.

Λύση

1. Υπολογίζουµε την D εφαρµόζοντας τη µεθοδολογία που περιγράφεται στο Κεφ.

4.2.3. Από τους υπολογισµούς, οι οποίοι παρουσιάζονται στον Πίν. 1, προκύπτει ότι

D=0.250 m.

Πίνακας 1. Υπολογισµός της διατοµής του παραδείγµατος 4.2-3

Βήµα υπολογισµού ∆οκιµή 1 ∆οκιµή 2 ∆οκιµή 3 ∆οκιµή 4

1. Υποθέτουµε D 1.000 0.233 0.251 0.250

2. Υπολογίζουµε Re f 712774 80352 89651 89112

Υπολογίζουµε ks/D 0.0005 0.0021 0.0020 0.0020

3. Υπολογίζουµε f 0.0168 0.0242 0.0237 0.0237

Υπολογίζουµε V 0.159 2.923 2.526 2.546

4. Υπολογίζουµε D 0.233 0.251 0.250 0.250

2. Υπολογίζουµε την D από την εξ. (4.2-7).

23

5

1

2

m(1800 m) 0.125

sA 0.050835 m

m(9.81 )(56.398 m)

s

= =

9

0.04

2-6

1.25 5 4.75 5 5.2

3

m1.1 10

sD 0.66 (0.0005 m) (0.050835 m ) (0.050835 m ) 0.257 m

m0.125

s

= + =

Το σφάλµα υπολογισµού της D είναι ίσο µε 0.257 m 0.250 m

err 2.8%0.250 m

−= =

ΣΧΟΛΙΑ

1. Η υπολογιζόµενη διάµετρος αποτελεί τη θεωρητική διάµετρο του σωλήνα, η οποία

σπάνια συµπίπτει µε την ονοµαστική διάµετρο ενός σωλήνα του εµπορίου. Στην πράξη

χρησιµοποιούµε δυο σωλήνες του εµπορίου σε σειρά, οι οποίοι ικανοποιούν τους δυο

κανόνες των σωλήνων σε σειρά του Κεφ. 4.4.2. Επιπλέον, το άθροισµα των µηκών των

δυο σωλήνων είναι ίσο µε το µήκος του σωλήνα µε τη θεωρητική διάµετρο που

υπολογίσαµε (βλ. Παράδειγµα 4.5-3).

2. Παρατηρείστε τη γρήγορη σύγκλιση των υπολογισµών στον Πίν.1 του παραδείγµατος

4.2-3. Αν και ξεκινήσαµε τις δοκιµές µε µια πολύ µεγάλη διάµετρο, στην 4η δοκιµή είχε

επιτευχθεί πλήρης σύγκλιση. Πολύ γρηγορότερη σύγκλιση θα πετυχαίναµε

χρησιµοποιώντας ως αρχική τιµή αυτή που υπολογίζεται από την εξ. (4.2-6). ∆οκιµάστε

την τιµή αυτή.

4.3 Προβλήµατα ροής µε µηχανολογικό εξοπλισµό

4.3.1 Εισαγωγή

Ο συνηθισµένος µηχανολογικός εξοπλισµός που χρησιµοποιούµε στα υδραυλικά έργα είναι

οι αντλίες και οι υδροστρόβιλοι. Με µια αντλία προσδίδουµε µηχανική ενέργεια στη ροή

αυξάνοντας τη στάθµη της ΓΕ και µε ένα υδροστρόβιλο απορροφούµε ενέργεια µειώνοντας

τη στάθµη της ΓΕ.

4.3.2 Εξίσωση ενέργειας και µανοµετρικό ύψος

Η εξίσωση ενέργειας (εξ. (1.2-11) και εξ. (1.2-12)) στην περίπτωση χρησιµοποίησης µιας

αντλίας για την ανύψωση της στάθµης του νερού, έστω από τη δεξαµενή Α στη δεξαµενή Β

του Σχ. 4.3-1, γράφεται ως εξής

A man B f (A B) m(A B)H H H h h− −+ = + +∑ ∑ (4.3-1)

όπου Hman είναι το µανοµετρικό ύψος της αντλίας, ΗΑ είναι η ενέργεια στη δεξαµενή Α, ΗΒ

η ενέργεια στη δεξαµενή Β, f (A B)h −∑ το άθροισµα των γραµµικών απωλειών των σωλήνων

και m(A B)h −∑ το άθροισµα των τοπικών απωλειών.

10

ΣΧΗΜΑ 4.3-1. Χρησιµοποίηση αντλίας για την ανύψωση της στάθµης του νερού από τη

δεξαµενή Α στη δεξαµενή Β

Η εξ. (4.3-1) γράφεται ως εξής

2 2

A A B BA man B f (A B) m(A B)

V p V pz α H z α h h

2g γ 2g γ− −+ + + = + + + +∑ ∑ (4.3-2)

Επιλύοντας ως προς Hman προκύπτει

2 2

B A B Aman B A f (A B) m(A B)

V V p pH z z α α h h

2g 2g γ γ− −= − + − + − + +∑ ∑ (4.3-3)

Για την περίπτωση του Σχ. 4.3-1 η εξ. (4.3-3) γράφεται

man B A f (A B) m(A B)

0 0 0 0H z z α α h h

2g 2g γ γ− −= − + − + − + +∑ ∑ ή

man B A f (A B) m(A B)H z z h h− −= − + +∑ ∑ (4.3-4)

Οι όροι των απωλειών ενέργειας αναλύονται ως εξής

11

f (A B) f ,AN f ,NBh h h− = +∑ (4.3-5)

m(A B) m,A m,N m,Bh h h h− = + +∑ (4.3-6)

όπου f ,ANh και f ,NBh είναι οι γραµµικές απώλειες στους σωλήνες ΑΝ και ΝΒ, αντίστοιχα

και m,Ah , m,Nh και m,Bh είναι οι τοπικές απώλειες στις θέσεις εισόδου (Α), αντλία (Ν) και

εξόδου (Β).

Η εξίσωση ενέργειας, εξ. (1.2-11) ή εξ. (1.2-12), στην περίπτωση χρησιµοποίησης ενός

υδροστρόβιλου που απορροφά ενέργεια κατά την πτώση του νερού από τη δεξαµενή Α στη

δεξαµενή Β του Σχ. 4.3-2, γράφεται

A man B f (A B) m(A B)H H H h h− −= + + +∑ ∑ (4.3-7)

όπου Hman είναι το µανοµετρικό ύψος του υδροστρόβιλου.

ΣΧΗΜΑ 4.3-2. Χρησιµοποίηση υδροστρόβιλου µεταξύ των δεξαµενών Α και Β για την

απορρόφηση ενέργειας

Σε αντιστοιχία µε την εξ. (4.3-4), η εξίσωση υπολογισµού του µανοµετρικού ύψους του

υδροστρόβιλου είναι η ακόλουθη

man A B f (A B) m(A B)H z z h h− −= − − −∑ ∑ (4.3-8)

12

4.3.3 Ισχύς αντλίας ή υδροστρόβιλου

Η ισχύς που απαιτεί µια αντλία ή αποδίδει ένας υδροστρόβιλος P (σε KW) υπολογίζεται από

τις ακόλουθες εξισώσεις

man man

p p

γQH ρgQHP

n n= = (4.3-9)

man y man yP γQH n ρgQH n= = (4.3-10)

όπου np και ny είναι οι συντελεστές απόδοσης της αντλίας και του υδροστρόβιλου,

αντίστοιχα.

4.3.4 Έλεγχος υποπίεσης στην αντλία

Γράφουµε την εξίσωση ενέργειας µεταξύ της στάθµης της δεξαµενής Α και της εισόδου στην

αντλία Ν (βλ. Σχ. 4.3-1).

22

N NA AA N f (A N) m(A N)

V pV pz α z α h h

2g γ 2g γ− −+ + = + + + + ή (4.3-11)

NA N f (A N) m(A N)

p0 0 0z α z α h h

2g γ 2g γ− −+ + = + + + + ή

NA N f (A N) m(A N)

p(z z ) h h

γ− −= − − − − (4.3-12)

Αντικαθιστούµε τη σχετική πίεση pΝ µε την απόλυτη τιµή της pΝa, οπότε η εξ. (4.3-12)

γράφεται

Na atmA N f (A N) m(A N)

p p(z z ) h h

γ− −

−= − − − − (4.3-13)

Λύνουµε την εξ. (4.3-13) ως προς pΝa και γράφουµε την συνθήκη ελέγχου της υποπίεσης (βλ.

Κεφ. 3.10)

Na atm υA N f (A N) m(A N)

p p p(z z ) h h

γ γ γ− −= − − − − ≥ ή

atm υA N f (A N) m(A N)

p pNPSH (z z ) h h 0

γ− −

−= − − − − ≥ (4.3-14)

Το αριστερό µέλος της ανισότητας καλείται καθαρό θετικό ύψος αναρρόφησης (Net

Positive Suction Head, NPSH). To NPSH πρέπει να είναι θετικό για να αποφεύγεται η

σπηλαίωση ανάντη µιας αντλίας.

ΣΧΟΛΙΑ

1. Στα Σχ. 4.3-1 και 4.3-2 φαίνεται ότι η µεταβολή της στάθµης της ΓΕ ( και της ΠΓ) στη

θέση εγκατάστασης µιας αντλίας ή ενός υδροστρόβιλου θεωρείται ότι γίνεται σηµειακά,

όπως και στην περίπτωση των τοπικών απωλειών ενέργειας. Έτσι, η ΓΕ παρουσιάζει

«σηµειακή» ανύψωση στην περίπτωση της αντλίας και «σηµειακή» πτώση στην

περίπτωση του υδροστρόβιλου.

13

2. Για να αποφύγουµε σφάλµατα κατά την εφαρµογή της εξ.(4.3-9) σηµειώνουµε τις

µονάδες του κάθε όρου

[ ]

[ ]

3

man3 2 2

3

p

kg m mρ g Q H m

m s s kgmP

n - s

=

ή

Με βάση τις µονάδες του Πιν. 1.3-1, ισχύουν τα ακόλουθα

2

3

1 J 1 Nm m kgm m kgm1 W 1 N 1 1

s s s s s s= = = = =

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 4.3-1

Από τη δεξαµενή Α τροφοδοτείται η δεξαµενή Β µε παροχή νερού (ν=0.0000011 m2/s) ίση µε

Q=0.200 m3/s µέσω δυο σωλήνων ΑΝ και ΝΒ µε τα στοιχεία του Πιν. 1, και µιας αντλίας Ν

µε συντελεστή απόδοσης ίσο µε 0.75, όπως φαίνεται στο Σχ. 1.

1) Υπολογίστε το µανοµετρικό ύψος και την ισχύ της αντλίας που είναι εγκατεστηµένη

σε υψόµετρο ίσο µε ΖΝ=15.00 m. Λάβετε υπόψη τις τοπικές απώλειες και θεωρείστε

ότι ο συντελεστής τοπικών απωλειών της αντλίας είναι ίσος µε 5.0.

2) Σχεδιάστε σε σκαρίφηµα την ΓΕ και την ΠΓ και προσδιορίστε την υποπίεση στην

αντλία.

ΣΧΗΜΑ 1. Σύστηµα των σωλήνων του παραδείγµατος 4.3-1

14

Πίνακας 1. Στοιχεία των σωλήνων του παραδείγµατος 4.3-1

Σωλήνας ΑΝ ΝΒ

Μήκος (m) 50 100

∆ιάµετρος (mm) 300 300

Τραχύτητα (mm) 0.1 0.1

Λύση

1. Υπολογίζουµε τη V, τον Re και το ύψος κινητικής ενέργειας στους σωλήνες ΑΝ και

ΝΒ.

3

2

m4 0.200

s mV 2.829

π(0.300 m) s

= =

2

(2.829 m / s) (0.300 m)Re 771545

0.0000011 m / s

⋅ = =

22

2

m(2.829 )

V s 0.408 mm2g

2(9.81 )s

= =

2. Υπολογίζουµε τις γραµµικές απώλειες στους σωλήνες ΑΝ και ΝΒ (τύπος απλού

προβλήµατος 1).

f ,AN

(50 m)h 0.0161 (0.408 m) 1.095 m

(0.300 m)

= =

f ,NB

(100 m)h 0.0161 (0.408 m) 2.190 m

(0.300 m)

= =

f (A B)h 1.095 m 2.190 m 3.285 m− = + =∑

3. Υπολογίζουµε τις τοπικές απώλειες στις θέσεις Α, Ν και Β.

Εισόδου (θέση Α): m,Ah 0.5 (0.408 m) 0.204 m= ⋅ =

Αντλίας (θέση Ν): m,Nh 5.0 (0.408 m) 2.040 m= ⋅ =

Εξόδου (θέση Β): m,Bh 1.0 (0.408 m) 0.408 m= ⋅ =

m(A B)h 0.204 m 2.040 m 0.408 m 2.652 m− = + + =∑

4. Υπολογίζουµε το µανοµετρικό ύψος της αντλίας και την ισχύ της από τις εξ. (4.3-4)

και (4.3-9), αντίστοιχα.

manH 23.000 m 14.000 m 3.285 m 2.652 m 14.937 m 15.00 m= − + + = ≃

15

3

3 2

kg m m(998 ) 9.81 0.200 (15.0 m)

m s sP 39161 W

0.75 (-)

= = ή Ρ≈39.2 KW

5. Προσδιορίζουµε τα υψόµετρα της ΓΕ και της ΠΓ.

Θέση Α: HΑ = 14.000 m

Θέση Α, δεξιά: HΑδ = 14.000 m - 0.204 m = 13.796 m

Θέση Ν, αριστερά: HΝα= 13.796 m - 1.095 m = 12.701 m

Θέση Ν: HΝ= 12.701 m - 2.040 m = 10.661 m

Θέση Ν, δεξιά: HΝδ = 10.661 m + 14.937 m= 25.598 m

Θέση Β, αριστερά: HΒα = 25.598 m - 2.190 m = 23.408 m

Θέση Β: HΒ = 23.408 m - 0.408 m = 23.000 m

Η ΠΓ βρίσκεται κάτω από τη ΓΕ και σε απόσταση 0.408 m.

6. Σχεδιάζουµε σκαρίφηµα της ΓΕ και της ΠΓ στο Σχ. 2.

ΣΧΗΜΑ 2. Σκαρίφηµα της ΓΕ και της ΠΓ στο σύστηµα των σωλήνων του παραδείγµατος

4.3-1

7. Eλέγχουµε την πίεση στην είσοδο της αντλίας.

16

Ισχύει

2

N NN

V pz 10.661 m

2g γ+ + = ή

Np15.000 m 0.408 m 10.661 m

γ+ + = ή

Np4.747 m > -8.0 m

γ= −

Άρα, δεν αναµένεται πρόβληµα σπηλαίωσης.

Εναλλακτικά, µπορούµε να υπολογίσουµε το NPSH από την εξ. (4.3-14).

3

101325 Pa 2340 PaNSPH (14.000 m 15.000 m) (1.095 m) - (0.204 m 2.04 m)

N9790

m

−= − − − +

ή NSPH 10.111 m 1.000 m 1.095 m 2.244 m 5.722 0= − − − = >

δηλ. επιβεβαιώνεται ότι δεν αναµένεται σπηλαίωση στην περιοχή της αντλίας.

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 4.3-2

Από τη δεξαµενή Α τροφοδοτείται η δεξαµενή Β µε παροχή νερού (ν=0.0000011 m2/s) ίση µε

Q=0.200 m3/s µέσω δυο σωλήνων ΑΝ και ΝΒ µε τα στοιχεία του Πιν.1, όπως φαίνεται στο

Σχ. 1. Μεταξύ των δυο δεξαµενών παρεµβάλλεται υδροστρόβιλος µε συντελεστή απόδοσης

ίσο µε 0.60.

1) Υπολογίστε το µανοµετρικό ύψος και την ισχύ του υδροστρόβιλου που είναι

εγκατεστηµένος σε υψόµετρο ίσο µε ΖΝ=18.00 m. Λάβετε υπόψη τις τοπικές

απώλειες και θεωρείστε ότι ο συντελεστής τοπικών απωλειών του υδροστρόβιλου

είναι ίσος µε 5.0.

2) Σχεδιάστε σε σκαρίφηµα τη ΓΕ και την ΠΓ και προσδιορίστε την υποπίεση στον

υδροστρόβιλο.

17

ΣΧΗΜΑ 1. Σύστηµα των σωλήνων του παραδείγµατος 4.3-2

Πίνακας 1. Στοιχεία των σωλήνων του παραδείγµατος 4.3-2

Σωλήνας ΑΝ ΝΒ

Μήκος (m) 50 100

∆ιάµετρος (mm) 300 300

Τραχύτητα (mm) 0.1 0.1

Λύση

1. Υπολογίζουµε τη V, τον Re και το ύψος κινητικής ενέργειας στους σωλήνες ΑΝ και

ΝΒ. Παρατηρείστε ότι τα βασικά δεδοµένα είναι τα ίδια µε αυτά του παραδείγµατος

4.3-1.

m

V 2.829 s

= , Re 771545= και

2V0.408 m

2g=

2. Υπολογίζουµε τις γραµµικές απώλειες στους σωλήνες ΑΝ και ΝΒ (τύπος απλού

προβλήµατος 1).

f ,AN f ,ANh h 1.095 m= =

f ,NB

(100 m)h 0.0161 (0.408 m) 2.190 m

(0.300 m)

= =

3. Υπολογίζουµε τις τοπικές απώλειες στις θέσεις Α, Ν και Β.

Εισόδου (θέση Α): m,Ah 0.5 (0.408 m) 0.204 m= ⋅ =

Αντλίας (θέση Ν): m,Nh 5.0 (0.408 m) 2.040 m= ⋅ =

18

Εξόδου (θέση Β): m,Bh 1.0 (0.408 m) 0.408 m= ⋅ =

4. Προσδιορίζουµε τα υψόµετρα της ΓΕ και της ΠΓ.

Θέση Α: HΑ = 23.000 m

Θέση Α, δεξιά: HΑδ = 23.000 m - 0.204 m = 22.796 m

Θέση Ν, αριστερά: HΝα= 22.796 m - 1.095 m = 21.701 m

Θέση Ν: HΝ= 21.701 m - 2.040 m = 19.661 m

Θέση Β: HΒ = 14.000 m

Θέση Β, αριστερά: HΒα = 14.000 m + 0.408 m = 14.408 m

Θέση Ν, δεξιά: HΝδ = 14.408 m + 2.190 m = 16.598 m

Η ΠΓ βρίσκεται κάτω από τη ΓΕ και σε απόσταση 0.408 m.

5. Σχεδιάζουµε σκαρίφηµα της ΓΕ και της ΠΓ στο Σχ. 2.

ΣΧΗΜΑ 2. Σκαρίφηµα της ΓΕ και της ΠΓ στο σύστηµα των σωλήνων του παραδείγµατος

4.3-2

6. Υπολογίζουµε το µανοµετρικό ύψος του υδροστρόβιλου από τα υψόµετρα της ΓΕ ή

εναλλακτικά από την εξ. (4.3-8) και την ισχύ του υδροστρόβιλου από την εξ. (4.3-

10).

manH 19.661 m 16.598 m 3.063 m 3.00 m= − = ≃

19

3

3 2

kg m mP (998 ) 9.81 0.200 (3.0 m)(0.60) 3524 W

m s s

= =

ή Ρ≈3.5 KW

7. Eλέγχουµε την πίεση στην έξοδο του υδροστρόβιλου.

Ισχύει

2

N NN

V pz 16.598 m

2g γ+ + = ή

Np18.000 m 0.408 m 16.598 m

γ+ + = ή

Np1.810 m -8.0 m

γ= − >

Άρα, δεν αναµένεται πρόβληµα σπηλαίωσης.

4.4 Συστήµατα πολλαπλών σωλήνων

4.4.1 Οι τρείς βασικές περιπτώσεις

Στο Σχ. 4.4-1 παρουσιάζονται οι 3 βασικές περιπτώσεις συστηµάτων πολλαπλών σωλήνων.

Στο Σχ. 4.4-1 (α) φαίνεται ένα σύστηµα n=3 σωλήνων σε σειρά, στο Σχ. 4.4-1 (β) ένα

σύστηµα n=3 παράλληλων σωλήνων και στο Σχ. 4.4-1 (γ) ένα σύστηµα n=5 σωλήνων που

διέρχονται από ένα κοινό σηµείο (κόµβο).

ΣΧΗΜΑ 4.4-1. Οι 3 βασικές περιπτώσεις συστηµάτων πολλαπλών σωλήνων

20

(α) σωλήνες σε σειρά, (β) παράλληλοι σωλήνες και (γ) σωλήνες διερχόµενοι από κόµβο

Για κάθε ένα σωλήνα i θα χρησιµοποιήσουµε τους ακόλουθους συµβολισµούς: διάµετρος Di,

µήκος Li, παροχή Qi, ταχύτητα Vi, συντελεστής τραχύτητας fi, άθροισµα συντελεστών

τοπικών απωλειών σε κάθε σωλήνα i Σki, γραµµικές απώλειες hf,i και τοπικές απώλειες hm,i.

Η παροχή και οι απώλειες σε κάθε σωλήνα υπολογίζονται από τις ακόλουθες εξισώσεις:

2

ii i

πDQ V

4= (4.4-1)

2 2

i i ii f ,i m,i i i

i

L V V∆H h h f k

D 2g 2g= + = + ∑ (4.4-2)

4.4.2 Σύστηµα σωλήνων σε σειρά

Σε ένα σύστηµα σωλήνων σε σειρά ισχύουν οι ακόλουθοι δυο κανόνες:

1) Σε κάθε σωλήνα η παροχή είναι η ίδια.

AB 1 2 3 nQ Q Q Q ... Q= = = = = (4.4-3)

2) Οι ολικές απώλειες στο σύστηµα είναι ίσες µε το άθροισµα των απωλειών σε κάθε

έναν από τους σωλήνες.

AB 1 2 3 n∆Η ∆H ∆H ∆H ... ∆H= + + + + (4.4-4)

ΣΧΟΛΙΑ

1. Παρατηρείστε ότι οι εξ.(4.4-3) και (4.4-4) είναι όµοιες µε τις εξισώσεις υπολογισµού

αντιστάσεων σε σειρά στον ηλεκτρισµό. Αρκεί να αντικαταστήσουµε στις εξισώσεις τις

εντάσεις των ρευµάτων (Ii) µε τις παροχές (Qi) και τις αντιστάσεις (Ri) µε τις απώλειες

ενέργειας.

2. Η οµοιότητα των εξισώσεων της υδραυλικής µε αυτές του ηλεκτρισµού ισχύει και στις

περιπτώσεις των παράλληλων σωλήνων (βλ. Κεφ. 4.4.3) και των σωλήνων που

διέρχονται από ένα κόµβο (βλ. Κεφ. 4.4.4).

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 4.4-1

Από τη δεξαµενή Α τροφοδοτείται η δεξαµενή Β µε παροχή νερού (ν=0.0000011 m2/s) ίση µε

Q=0.1267 m3/s µέσω ενός συστήµατος 3 σωλήνων σε σειρά A1, 12 και 2Β µε τα στοιχεία του

Πιν. 1, όπως φαίνεται στο Σχ. 1.

1) Υπολογίστε τη στάθµη της δεξαµενής Β λαµβάνοντας υπόψη τις τοπικές απώλειες.

2) Σχεδιάστε σε σκαρίφηµα τη ΓΕ και την ΠΓ.

21

ΣΧΗΜΑ 1. Σύστηµα 3 σωλήνων σε σειρά του παραδείγµατος 4.4-1

Πίνακας 1. Στοιχεία των σωλήνων του παραδείγµατος 4.4-1

Σωλήνας Α1 12 2Β

Μήκος (m) 1000 500 200

∆ιάµετρος (mm) 600 400 300

Τραχύτητα (mm) 1.5 1.0 0.5

Λύση

1. Υπολογίζουµε τις γραµµικές απώλειες σε κάθε σωλήνα.

2

f ,A1

2

m(0.707 )

(1000 m) sh 0.0253 1.074 mm(0.600 m)

2(9.81 )s

= =

2

f ,12

2

m(1.592 )

(500 m) sh 0.0251 4.053 mm(0.400 m)

2(9.81 )s

= =

2

f ,2B

2

m(2.829 )

(200 m) sh 0.0226 6.146 mm(0.300 m)

2(9.81 )s

= =

Τα αναλυτικά αποτελέσµατα φαίνονται στον Πιν. 2.

22

Πίνακας 2. Υπολογισµοί των γραµµικών απωλειών των σωλήνων του παραδείγµατος 4.4-1

Σωλήνας Α1 12 2Β Μονάδες

D 0.600 0.400 0.300 m

L 1000 500 200 m

Q 0.200 0.200 0.200 m3/s

A 0.283 0.126 0.071 m2

V 0.707 1.592 2.829 m/s

Re 385830 578745 771660 -

ks 1.5 1.0 0.5 mm

ks/D 0.00250 0.00250 0.00167 -

f 0.0253 0.0251 0.0226 -

hf 1.074 4.053 6.146 m

2. Υπολογίζουµε τους συντελεστές τοπικών απωλειών και τις τοπικές απώλειες στις

θέσεις Α, 1, 2 και Β.

Θέση Α:

2

mA 2

(0.707 m / s)h 0.50 0.013 m

(2 9.81 m / s )= =

Θέση 1:

( )( )

22 2 2

m,1 2 2 2

0.400 m (1.592 m / s) (1.592 m / s)h 1 0.309 0.040 m

(2 9.81 m / s ) (2 9.81 m / s )0.600 m

= − = = ⋅ ⋅

Θέση 2:

( )( )

22 2 2

m,2 2 2 2

0.300 m (2.829 m / s) (2.829 m / s)h 1 0.191 0.078 m

(2 9.81 m / s ) (2 9.81 m / s )0.400 m

= − = = ⋅ ⋅

Θέση Β:

2

m,B 2

(2.829 m / s)h 1.0 0.408 m

(2 9.81 m / s )= =

3. Υπολογίζουµε τα υψόµετρα της ΓΕ σε κάθε θέση.

Θέση Α: HΑ = 20.000 m

Θέση Α, δεξιά: HΑδ = 20.000 m - 0.013 m = 19.987 m

Θέση 1, αριστερά: H1α = 19.987 m - 1.075 m = 18.912 m

Θέση 1, δεξιά: H1δ = 18.912 m - 0.040 m = 18.872 m

Θέση 2, αριστερά: H2α = 18.872 m - 4.051 m = 14.821 m

Θέση 2, δεξιά: H2δ = 14.821 m - 0.078 m = 14.743 m

Θέση Β, αριστερά: HΒα = 14.743 m - 6.148 m = 8.595 m

Θέση Β: HΒ = 8.595 m - 0.408 m = 8.187 m

Το υψόµετρο της στάθµης της δεξαµενής Β είναι ίσο µε 8.187 m.

Η ΠΓ των σωλήνων Α1, 12 και 2Β βρίσκεται κάτω από τη ΓΕ και σε απόσταση 0.025

m, 0.129 m και 0.408 m, αντίστοιχα.

4. Σχεδιάζουµε σκαρίφηµα της ΓΕ και της ΠΓ στο Σχ. 2.

23

ΣΧΗΜΑ 2. Σκαρίφηµα της ΓΕ και της ΠΓ στο σύστηµα των 3 σωλήνων σε σειρά του

παραδείγµατος 4.4-1

4.4.3 Σύστηµα παράλληλων σωλήνων

Σε ένα σύστηµα παράλληλων σωλήνων ισχύουν οι ακόλουθοι δυο κανόνες:

1) Σε κάθε σωλήνα οι απώλειες είναι οι ίδιες.

AB 1 2 3 n∆Η ∆H ∆H ∆H ... ∆H= = = = = (4.4-5)

2) Η ολική παροχή στο σύστηµα είναι ίση µε το άθροισµα των παροχών σε κάθε ένα

από τους σωλήνες.

AB 1 2 3 nQ Q Q Q ... Q= + + + + (4.4-6)

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 4.4-2

Από τη δεξαµενή Α τροφοδοτείται η δεξαµενή Β µε παροχή νερού (ν=0.0000011 m2/s) ίση µε

Q=0.1267 m3/s µέσω ενός συστήµατος 3 παράλληλων σωλήνων 1, 2 και 3 µε τα στοιχεία του

Πιν. 1, όπως φαίνεται στο Σχ. 1.

1) Υπολογίστε την παροχή µε την οποία τροφοδοτείται η δεξαµενή Β λαµβάνοντας

υπόψη τις τοπικές απώλειες.

2) Σχεδιάστε σε σκαρίφηµα τη ΓΕ και την ΠΓ.

24

ΣΧΗΜΑ 1. Σύστηµα των 3 παράλληλων σωλήνων του παραδείγµατος 4.4-2

Πίνακας 1. Στοιχεία των σωλήνων του παραδείγµατος 4.4-2

Σωλήνας 1 2 3

Μήκος (m) 1000 1100 1200

∆ιάµετρος (mm) 600 400 300

Τραχύτητα (mm) 1.5 1.0 0.5

Λύση

1. Υπολογίζουµε την παροχή σε κάθε σωλήνα θεωρώντας ότι το σύνολο των απωλειών

για κάθε σωλήνα είναι ίσο µε +30.000 m-20.000 m = 10.000 m, δηλ. για κάθε

σωλήνα ισχύει

f ,AB m,A m,B ΑΒh h h ∆Η 10.000 m+ + = = ή

2 2 2

1 1 1 11

1

L V V Vf 1.0 0.5 10.000 m

D 2g 2g 2g+ + =

2 2 2

2 2 2 22

2

L V V Vf 1.0 0.5 10.000 m

D 2g 2g 2g+ + =

2 2 2

3 3 3 33

3

L V V Vf 1.0 0.5 10.000 m

D 2g 2g 2g+ + =

Οι αναλυτικοί υπολογισµοί φαίνονται στον Πίν. 2.

25

Πίνακας 2. Υπολογισµοί των παροχών των σωλήνων του παραδείγµατος 4.4-2

Σωλήνας 1 2 3 Μονάδες

D 0.600 0.400 0.300 m

L 1000 1100 1200 m

Q 0.603 0.210 0.103 m3/s

A 0.283 0.126 0.071 m2

V 2.133 1.671 1.457 m/s

Re 1163278 607683 397405 -

ks 1.5 1.0 0.5 mm

ks/D 0.00250 0.00250 0.00167 -

f 0.0250 0.0251 0.0228 -

hm,A 0.116 0.071 0.054 m

hf,AB 9.659 9.825 9.870 m

hm,B 0.232 0.142 0.108 m

∆ΗΑΒ 10.007 10.038 10.032 m

2. Aπό τα νούµερα του Πιν. 1 υπολογίζεται η συνολική παροχή ίση µε

QAB = 0.603 m3/s + 0.210 m

3/s + 0.103 m

3/s = 0.916 m

3/s.

3. Υπολογίζουµε τα υψόµετρα της ΓΕ σε κάθε θέση.

Θέση Α: HΑ = 30.000 m

Θέση Α, δεξιά: HΑδ = 30.000 m - 0.116 m = 29.884 m για το σωλήνα 1.

Θέση Α, δεξιά: HΑδ = 30.000 m - 0.071 m = 29.929 m για το σωλήνα 2.

Θέση Α, δεξιά: HΑδ = 30.000 m - 0.054 m = 29.946 m για το σωλήνα 3.

Θέση Β: HΒ = 20.000 m

Θέση Β, αριστερά: HΒα = 20.000 m + 0.232 m = 20.232 m για το σωλήνα 1.

Θέση Β, αριστερά: HΒα = 20.000 m + 0.142 m = 20.142 m για το σωλήνα 2.

Θέση Β, αριστερά: HΒα = 20.000 m + 0.108 m = 20.108 m για το σωλήνα 3.

Η ΠΓ βρίσκεται κάτω από τη ΓΕ και σε απόσταση 0.232 m, 0.142 m και 0.108 m για

το σωλήνα 1, 2 και 3, αντίστοιχα.

4. Σχεδιάζουµε σκαρίφηµα της ΓΕ και της ΠΓ για τον σωλήνα 1 στο Σχ. 2.

26

ΣΧΗΜΑ 2. Σκαρίφηµα της ΓΕ για το σωλήνα 1 του παραδείγµατος 4.4-2

4.4.4 Σύστηµα σωλήνων διερχόµενοι από κόµβο

Σε ένα σύστηµα σωλήνων που διέρχονται από ένα κόµβο ισχύουν οι ακόλουθοι δυο κανόνες:

1) Ισοζύγιο παροχών. Το άθροισµα των παροχών που «εισέρχονται» στον κόµβο είναι

ίσο µε το άθροισµα των παροχών που «εξέρχονται» από αυτόν.

2) Στην περιοχή του κόµβου κάθε σωλήνας υφίσταται µεταβολή πίεσης, η οποία

εξασφαλίζει το ίδιο υψόµετρο της ΠΓ στον κόµβο.

Χαρακτηριστική περίπτωση ενός συστήµατος 3 σωλήνων που διέρχονται από έναν κόµβο

αποτελεί το πρόβληµα των 3 δεξαµενών, το οποίο φαίνεται στο Σχ. 4.4-2.

ΣΧΗΜΑ 4.4-2. Το πρόβληµα των 3 δεξαµενών

27

Ας θεωρήσουµε ότι οι στάθµες των δεξαµενών και τα χαρακτηριστικά των σωλήνων είναι

γνωστά και σταθερά και ζητούνται οι παροχές στους 3 σωλήνες.

Για να λύσουµε το πρόβληµα αυτό θα πρέπει να προσδιορίσουµε το υψόµετρο της ΓΕ στον

κόµβο Κ, ΗΚ. Για να το κάνουµε αυτό υποθέτουµε διάφορες τιµές του ΗΚ και υπολογίζουµε

τις παροχές στους 3 σωλήνες (τύπος απλού προβλήµατος 2) µέχρι να ικανοποιηθεί ο πρώτος

κανόνας.

Σηµειώστε ότι ο πρώτος κανόνας (ισοζύγιο παροχών) αλλάζει ανάλογα µε το υψόµετρο ΗΚ

και µπορεί να έχει µια από τις ακόλουθες 2 µορφές:

1) ΗΑ> ΗΚ>ΗΒ>ΗΓ. Η δεξαµενή Α τροφοδοτεί τη Β και τη Γ και ισχύει: Q1=Q2+Q3

2) ΗΑ> ΗΒ> ΗΚ>ΗΓ. Οι δεξαµενές Α και Β τροφοδοτούν τη Γ και ισχύει: Q1+Q2=Q3

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 4.4-3

Υπολογίστε τις παροχές νερού (ν=0.0000011 m2/s) στο πρόβληµα των 3 δεξαµενών του Σχ.1

για τα στοιχεία των σωλήνων του Πιν.1 αγνοώντας τις τοπικές απώλειες και σχεδιάστε

σκαρίφηµα της ΓΕ.

ΣΧΗΜΑ 1. Το πρόβληµα των 3 δεξαµενών του παραδείγµατος 4.4-3

Πίνακας 1. Χαρακτηριστικά των σωλήνων του παραδείγµατος 4.4-3

Σωλήνας 1 (ΑΚ) 2 (ΒΚ) 3 (ΚΓ)

Μήκος (m) 1330 1170 790

∆ιάµετρος (mm) 300 400 400

Τραχύτητα (mm) 0.4 0.7 0.9

28

Λύση

1. Πραγµατοποιούµε την 1η δοκιµή θέτοντας ΗΚ=45.000 m, δηλ. θέτουµε το υψόµετρο

της ΓΕ στο Κ ίσο µε τη στάθµη της δεξαµενής Β, οπότε η παροχή στο σωλήνα 2 είναι

ίση µε µηδέν.

Προσδιορίζουµε τις απώλειες στους 3 σωλήνες.

f ,1h 50.0 m 45.0 m 5.0 m= − =

f ,2h 45.0 m 45.0 m 0.0 m= − =

f ,3h 45.0 m 30.0 m 15.0 m= − =

Με δεδοµένες τις παραπάνω απώλειες υπολογίζουµε τις 3 παροχές (τύπος απλού

προβλήµατος 2) και ελέγχουµε τον 1ο κανόνα (ισοζύγιο παροχών στον κόµβο).

Υπολογίζονται: Q1=0.070 m3/s, Q2=0 και Q3=0.306 m

3/s.

Το σφάλµα υπολογισµού είναι ίσο µε Q1+Q2-Q3=-0.244 m3/s<0 και δείχνει ότι πρέπει

HK < 45.0 m.

2. Πραγµατοποιούµε τη 2η δοκιµή θέτοντας ΗΚ=40.00 m, οπότε οι δεξαµενές Α και Β

τροφοδοτούν τη Γ.

Υπολογίζονται τα ακόλουθα:

f ,1h 50.0 m 40.0 m 10.0 m= − =

f ,2h 45.0 m 40.0 m 5.0 m= − =

f ,3h 40.0 m 30.0 m 10.0 m= − =

Q1=0.100 m3/s, Q2=0.150 m

3/s και Q3=0.250 m

3/s.

Το σφάλµα υπολογισµού είναι ίσο µε Q1+Q2-Q3=+0.065 m3/s>0 και δείχνει ότι

πρέπει HK < 40.0 m.

3. Πραγµατοποιούµε την 3η δοκιµή θέτοντας ΗΚ=38.00 m, οπότε οι δεξαµενές Α και Β

τροφοδοτούν τη Γ.

Υπολογίζονται τα ακόλουθα:

f ,1h 50.0 m 38.0 m 12.0 m= − =

f ,2h 45.0 m 38.0 m 7.0 m= − =

f ,3h 38.0 m 30.0 m 8.0 m= − =

Q1=0.110 m3/s, Q2=0.178 m

3/s και Q3=0.223 m

3/s.

Το σφάλµα υπολογισµού είναι ίσο µε Q1+Q2-Q3=+0.00 m3/s, οπότε το υψόµετρο της

ΓΕ στο Κ είναι ίσο µε 38.0 m.

Οι αναλυτικοί υπολογισµοί της 3ης

δοκιµής φαίνονται στον Πίν. 2.

29

Πίνακας 2. Υπολογισµοί των σωλήνων του παραδείγµατος 4.4-3

Σωλήνας 1 2 3 Μονάδες

D 0.300 0.400 0.400 m

L 1330 1170 790 m

Q 0.110 0.178 0.223 m3/s

A 0.071 0.126 0.126 m2

V 1.556 1.416 1.775 m/s

Re 424413 515083 645301 -

ks 0.4 0.7 0.9 mm

ks/D 0.00133 0.00175 0.00225 -

f 0.0217 0.0230 0.0244 -

hf 12.06 7.03 7.98 m

4. Υπολογίζουµε τα υψόµετρα της ΓΕ σε κάθε θέση.

Θέση Α: HΑ = 50.000 m

Θέση Κ: HΚ = 50.000 m – 12.000 m = 38.000 m

Θέση Κ: HΚ = 45.000 m – 7.000 m = 38.000 m

Θέση Β: HΒ = 38.000 m - 8.000 m = 30.000 m

5. Σχεδιάζουµε σκαρίφηµα της ΓΕ στο Σχ. 2.

ΣΧΗΜΑ 2. Σκαρίφηµα της ΓΕ στο πρόβληµα των 3 δεξαµενών του παραδείγµατος 4.4-3

4.5 Σύνθετα προβλήµατα ροής Στα κεφάλαια 4.1, 4.2, 4.3 και 4.4 µάθατε πώς να λύνετε απλά προβλήµατα ροής σε σωλήνες.

Αυτά τα απλά προβλήµατα µπορεί να συνδυαστούν και να δηµιουργήσουν σύνθετα

προβλήµατα ροής. Για να λύσετε ένα σύνθετο πρόβληµα ροής θα πρέπει να το «σπάσετε» σε

απλά και στη συνέχεια να λύσετε κάθε απλό πρόβληµα µε τις µεθόδους που γνωρίζετε.

30

Στη συνέχεια θα λύσουµε µια σειρά παραδειγµάτων σύνθετων προβληµάτων ροής.

Προσπαθείστε να λύσετε µόνοι/ες σας τα προβλήµατα αυτά έχοντας υπόψη σας τα ακόλουθα:

1) ∆ιαβάστε προσεκτικά την εκφώνηση προσέχοντας το σχήµα του προβλήµατος και τα

δεδοµένα.

2) Μην ξεκινάτε στην τύχη µε υποθέσεις και δοκιµές ακολουθώντας τη µεθοδολογία

του προβλήµατος των 3 δεξαµενών (βλ. Κεφ. 4.4.4). Πρώτα, εντοπίστε κάποιον

σωλήνα για τον οποίο γνωρίζετε όλα τα στοιχεία εκτός από ένα (γραµµικές απώλειες

ή παροχή ή διατοµή), το οποίο µπορείτε να υπολογίσετε µε έναν από τους βασικούς

τύπους των απλών προβληµάτων (1, 2 ή 3, αντίστοιχα). Εάν δεν υπάρχει τέτοιος

σωλήνας, τότε ξεκινήστε τις δοκιµές υποθέτοντας κάποια τιµή για ένα µέγεθος το

οποίο γνωρίζετε καλύτερα από τα άλλα δυο.

3) Στη συνέχεια «σπάστε» το σύνθετο πρόβληµα σε απλά και λύστε κατά σειρά τα απλά

προβλήµατα.

4) Κατά τη διάρκεια της λύσης σχεδιάστε πρόχειρα τη ΓΕ. Θα σας βοηθήσει σηµαντικά.

Για την επίλυση των προβληµάτων:

1) όταν έχετε τη δυνατότητα χρήσης PC ή προγραµµατιζόµενου υπολογιστή τσέπης,

µπορείτε να χρησιµοποιήσετε EXCEL και την ακριβή εξίσωση υπολογισµού εξ. (3.6-

16) και

2) σε διαφορετική περίπτωση, όπως π.χ. σε ένα διαγώνισµα, µπορείτε να

χρησιµοποιήσετε τις προσεγγιστικές εξισώσεις του Κεφ. 4.2.

Οι επιλύσεις των παραδειγµάτων που ακολουθούν πραγµατοποιούνται µε την ακριβή

εξίσωση υπολογισµού, εξ. (3.6-16). Ειδικότερα, το πρώτο παράδειγµα 4.5-1 λύνεται και µε

τις προσεγγιστικές εξισώσεις για να πάρετε µια ιδέα για τις διαφορές των τιµών των

διάφορων µεγεθών που περιµένετε, µεταξύ των δυο µεθόδων. Στο παράδειγµα 4.5-1 θα

διαπιστώσετε ότι οι απώλειες των 10.494 m που υπολογίζετε µε την προσεγγιστική εξισώση

είναι «περίπου ίδιες» και εξίσου αποδεκτές µε το «σωστό» νούµερο των 10.458 m που

υπολογίζεται µε την ακριβή εξίσωση.

∆οκιµάστε να λύσετε και άλλα σύνθετα προβλήµατα που περιέχονται στον Κατσαρέλη

(2008).

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 4.5-1

Θεωρείστε το σύστηµα του Σχ. 1 το οποίο αποτελείται από

1) 3 δεξαµενές Α, Β και Γ µε σταθερές στάθµες νερού (ν=1.1×10-6

m2⁄s),

2) 4 σωλήνες τραχύτητας ks=1 mm µε τα ακόλουθα στοιχεία:

Α1 (διαµέτρου DA1=400 mm και µήκους LA1=1020 m),

1Β (διαµέτρου D1B και µήκους L1B=630 m),

1Σ (διαµέτρου D1Σ=400 mm και µήκους L1Σ=280 m) και

ΣΓ (διαµέτρου DΣΓ=400 mm και µήκους LΣΓ=280 m) και

3) υδροστρόβιλο Σ.

Από τη δεξαµενή Α παροχετεύεται στη δεξαµενή Β παροχή νερού ίση µε 0.225 m3⁄s µέσω

των σωλήνων Α1 και 1Β, για τις ακόλουθες 2 συνθήκες λειτουργίας:

1) Συνθήκη 1. Στάθµη του νερού στη δεξαµενή Α= Κατώτατη (ΚΣY). Στη δεξαµενή Γ

δεν µεταφέρεται παροχή, οπότε ο στρόβιλος δεν λειτουργεί.

2) Συνθήκη 2. Στάθµη του νερού στη δεξαµενή Α = Ανώτατη (ΑΣY). Στη δεξαµενή Γ

µεταφέρεται παροχή µέσω των σωλήνων 1Σ και ΣΓ και ο στρόβιλος λειτουργεί.

Yπολογίστε αγνοώντας τις τοπικές απώλειες:

1) Τη θεωρητική διάµετρο D1B του σωλήνα 1Β.

31

2) Το µανοµετρικό ύψος του υδροστρόβιλου.

3) Σχεδιάστε σε σκαρίφηµα τη ΓΕ για την ΑΣY (συνθήκη 2).

4) Ελέγξτε τα σηµεία του δικτύου όπου εµφανίζεται υποπίεση και σχολιάστε.

ΣΧΗΜΑ 1. Σύστηµα των 3 δεξαµενών του παραδείγµατος 4.5-1

Λύση

Οι υπολογισµοί πραγµατοποιούνται αναλύοντας το σύνθετο πρόβληµα σε µια σειρά 5 απλών

προβληµάτων 1 µέχρι 5. Τα απλά αυτά προβλήµατα επιλύουµε αρχικά χρησιµοποιώντας την

ακριβή εξ. (3.6-16). Στον Πίνακα 1 συνοψίζονται τα αποτελέσµατα.

Πίνακας 1. Αναλυτικοί υπολογισµοί των σωλήνων του παραδείγµατος 4.5-1

Σωλήνας Α1 1Β Α1 1Σ ΣΓ -

D 0.400 0.300 0.400 0.250 0.250 m

L 1020 630 1020 280 280 m

Q 0.225 0.225 0.330 0.105 0.105 m3/s

A 0.126 0.071 0.126 0.049 0.049 m2

V 1.790 3.183 2.626 2.139 2.139 m/s

Re 651088 868118 954930 486146 486146 -

ks 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 mm

ks/D 0.00250 0.00333 0.00250 0.00400 0.00400 -

f 0.0251 0.0271 0.0250 0.0287 0.0287 -

hf 10.458 29.389 22.407 7.496 7.496 m

1. Υπολογίζουµε τις απώλειες στο σωλήνα Α1 (τύπος απλού προβλήµατος 1) και το

υψόµετρο της ΓΕ στη θέση 1 για τη συνθήκη λειτουργίας 1.

hf,A1=10.458 m και 1 A,KΣΥ f ,A1H H h 63.000 m 10.458 m 52.542 m= − = − =

Το υψόµετρο της θέσης 1 παραµένει σταθερό και στις 2 συνθήκες λειτουργίας.

32

2. Υπολογίζουµε τη διάµετρο του σωλήνα 1Β (τύπος απλού προβλήµατος 3) για τη

συνθήκη λειτουργίας 1 µε δεδοµένες τις απώλειες στο σωλήνα 1Β, οι οποίες είναι

ίσες µε f ,1B 1,ΑΣΥ Bh H H 52.542 m 23.000 m 29.542 m= − = − = . Η τιµή αυτή

είναι περίπου ίση µε την τιµή του Πίν. 1 29.389 m.

D1B=300 mm.

3. Υπολογίζουµε την παροχή στο σωλήνα Α1 ( τύπος απλού προβλήµατος 2) για τη

συνθήκη λειτουργίας 2 µε δεδοµένες τις απώλειες στο σωλήνα Α1, οι οποίες είναι

ίσες µε f ,A1 A,ΑΣΥ 1h H H 75.000 m 52.542 m 22.458 m= − = + − = . Η τιµή αυτή

είναι περίπου ίση µε την τιµή του Πίν. 1 22.407 m.

QA1=0.330 m3/s.

4. Υπολογίζουµε τις απώλειες στους σωλήνες 1Σ και 1Γ (τύπος απλού προβλήµατος 1)

µε δεδοµένη την παροχή, η οποία είναι ίση µε Q1Σ=Q1Γ=QA1-Q1B=0.330 m3/s-0.225

m3/s=0.105 m

3/s.

hf,1Σ=7.496 m και hf,ΣΓ=7.496 m

5. Υπολογίζουµε τα υψόµετρα της ΓΕ σε κάθε θέση.

Θέση Α: HΑ = 75.000 m

Θέση 1: H1 = 75.000 m – 22.458 m = 52.542 m

Θέση Σ,ανάντη: HΣ,α = 52.542 m – 7.496 m = 45.046 m

Θέση Σ,κατάντη: HΣ,κ = 17.200 m + 7.496 m = 24.696 m

Θέση Γ: HΒ = 17.200 m

6. Υπολογίζουµε το µανοµετρικό ύψος του υδροστρόβιλου.

Ηman=45.046 m-24.696 m=20.35 m.

7. Σχεδιάζουµε στο Σχ. 2 σκαρίφηµα της ΓΕ για την ΑΣY (συνθήκη 2).

ΣΧΗΜΑ 2. Σκαρίφηµα της ΓΕ στο σύστηµα των 3 δεξαµενών του παραδείγµατος 4.5-1 για

την ΑΣΥ (συνθήκη 2)

33

8. Ελέγχουµε τις υποπιέσεις.

Η µέγιστη υποπίεση παρατηρείται κατάντη του στροβίλου, όπου η ΠΓ βρίσκεται σε

στάθµη ίση µε

2 2

Σ,κ ΣΓΣ,κ 2

P V (2.139 m / s)Η 24.696 m 24.696 m 0.233 m 24.463 m

γ 2g 2 9.81 m / s= − = − = − =

Η διαφορά από τη στάθµη του υδροστρόβιλου είναι ίση µε

Σ,κP

24.463 m 30.000 m 5.537 m 8.00 mγ

= − = − > −

Άρα, δεν αναµένεται πρόβληµα σπηλαίωσης.

Στη συνέχεια επαναλαµβάνουµε τους υπολογισµούς χρησιµοποιώντας τις προσεγγιστικές

εξισώσεις του Κεφ. 4.2. Παρατηρείστε για κάθε µέγεθος που υπολογίζουµε τα δεκαδικά

ψηφία που «κρατάµε» και φαίνονται στις εξισώσεις υπολογισµού.

1. Υπολογίζουµε τις απώλειες στο σωλήνα Α1 (τύπος απλού προβλήµατος 1) και το

υψόµετρο της ΓΕ στη θέση 1 για τη συνθήκη λειτουργίας 1.

sk 1.0 mm0.0025

D 400 mm= =

,

3

2

m4 0.225

s mV 1.790

π(0.400 m) s

= = και

2

(1.790 m / s) (0.400 m)Re 650909

0.0000011 m / s

⋅ = =

(≈ 651088, βλ. Πιν. 1)

( )A1 2 2

0.9

0.25 0.25f 0.0252

log 0.000676 0.0000340.0025 5.74log

3.7 (650909)

= = = + +

2

f ,A1

2

m(1.790 )

(1020 m) sh 0.0252 10.494 mm(0.400 m)

2(9.81 )s

= =

Σηµ. Με την ακριβή εξίσωση είχαµε βρεί hf,A1=10.458 m, δηλ. η απόκλιση είναι περ.

4 cm.

1 A f ,A1H H h 63.000 m 10.494 m 52.506 m= − = − =

2. Υπολογίζουµε τη διάµετρο του σωλήνα 1Β (τύπος απλού προβλήµατος 3) για τη

συνθήκη λειτουργίας 1 µε δεδοµένες τις απώλειες στο σωλήνα 1Β, οι οποίες είναι

ίσες µε f ,1B 1,ΑΣΥ Bh H H 52.506 m 23.000 m 29.506 m= − = − =

34

23

5

2

m(630 m) 0.225

sA 0.1101865614 m

m(9.81 )(29.506 m)

s

= =

0.04

2-6

1.25 5 4.75 5 5.2

1B 3

m1.1 10

sD 0.66 (0.001 m) (0.1101865614 m ) (0.1101865614 m )

m0.225

s

0.307 m

= +

=

Σηµ. Με την ακριβή εξίσωση είχαµε βρεί 0.300 m, δηλ. η απόκλιση είναι περ. +7

mm.

3. Υπολογίζουµε την παροχή στο σωλήνα Α1 (τύπος απλού προβλήµατος 2) για τη

συνθήκη λειτουργίας 2 µε δεδοµένες τις απώλειες στο σωλήνα Α1, οι οποίες είναι

ίσες µε f ,A1 A,ΑΣΥ 1h H H 75.000 m 52.506 m 22.494 m= − = + − =

0.5

5

32

1

m9.81 (0.400 m) (22.494 m)

msA 0.0470673025

(1020 m) s

= =

2

1 0.001 mA 0.0006756757

3.7 0.400 m= =

0.5

2 2

3 3

2

3.17(0.0000011 m / s) (1020 m)A 0.0000166442

(9.81 m / s )(0.400 m) (22.494 m)

= =

( )3 3

A1

m mQ 0.965 0.0470673025 ln 0.0006756757 0.0000166442 0.330

s s

= − ⋅ + =

Σηµ. Με την ακριβή εξίσωση είχαµε βρεί QA1=0.330 m3/s, δηλ. η απόκλιση είναι

µηδενική.

4. Υπολογίζουµε τις απώλειες στο σωλήνα 1Σ και 1Γ (τύπος απλού προβλήµατος 1) µε

δεδοµένη την παροχή στους σωλήνες σε σειρά 1Σ και 1Γ, η οποία είναι ίση µε

Q1Σ=Q1Γ=QA1-Q1B=0.330 m3/s-0.225 m

3/s=0.105 m

3/s.

sk 1.0 mm0.0040

D 250 mm= =

,

3

2

m4 0.105

s mV 2.139

π(0.250 m) s

= = και

2

(2.139 m / s) (0.250 m)Re 486136

0.0000011 m / s

⋅ = =

35

( )1Σ 2 2

0.9

0.25 0.25f 0.0287

log 0.001081 0.0000440.0040 5.74log

3.7 (486136)

= = = + +

2

f ,1Σ

2

m(2.139 )

(280 m) sh 0.0287 7.496 mm(0.250 m)

2(9.81 )s

= =

Σηµ. Με την ακριβή εξίσωση είχαµε βρεί hf,1Σ=7.496 m, δηλ. η απόκλιση είναι

µηδενική.

Οι υπόλοιποι υπολογισµοί παραµένουν ίδιοι.

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 4.5-2

Από τη δεξαµενή Α τροφοδοτείται η δεξαµενή Β µε παροχή νερού θερµοκρασίας 20οC µέσω

ενός συστήµατος 2 παράλληλων σωλήνων 1 και 2 µε τα χαρακτηριστικά του Πίνακα 1 και

µιας αντλίας Ν (που τοποθετείται πολύ κοντά στη δεξαµενή Α), η οποία έχει ισχύ 8 KW και

συντελεστή απόδοσης 0.70, όπως φαίνεται στο Σχ. 1.

1) Υπολογίστε την παροχή µε την οποία τροφοδοτείται η δεξαµενή Β και το

µανοµετρικό ύψος της αντλίας αγνοώντας τις τοπικές απώλειες και το µήκος µεταξύ

της δεξαµενής Α και της αντλίας.

2) Σχεδιάστε σκαρίφηµα της ΓΕ.

ΣΧΗΜΑ 1. Σύστηµα των σωλήνων του παραδείγµατος 4.5-2

36

Πίνακας 1. Χαρακτηριστικά των σωλήνων του παραδείγµατος 4.5-2

Σωλήνας 1 2

Μήκος (m) 36.0 36.0

∆ιάµετρος (mm) 0.08 0.04

Τραχύτητα (mm) 0.045 0.045

Λύση

1. Προσδιορίζουµε από τον Πιν. 1.2-1 τις τιµές της πυκνότητας και της κινηµατικής

συνεκτικότητας του νερού

ρ=998 kg/m3 και ν= 1.01·10

-6 m

2/s.

2. Γράφουµε τις εξισώσεις που ισχύουν

(α) Εξίσωση ενέργειας για τον σωλήνα 1 ή τον σωλήνα 2, καθόσον οι γραµµικές

απώλειες στους δυο σωλήνες είναι ίδιες, δηλ.

f ,1 f ,2 fh h h= =

2 2

A A B BA man B f

V p V pz H z h

2g γ 2g γ+ + + = + + +

2 2

A A B BA man B f

V p V pz H z h

2g γ 2g γ+ + + = + + + ή

man f

0 0 0 010.0 H 18.0 h

2g γ 2g γ+ + + = + + + ή

f manh H 8.0= − (1)

(β) Εξισώσεις υπολογισµού παροχών στους σωλήνες 1 και 2.

2 2

2 2 2f 2 2

22

L V V(36.0 m)h f f

mD 2g (0.08 m)2(9.81 )

s

= = (2α)

2 2

1 1 1f 1 1

12

L V V(36.0 m)h f f

mD 2g (0.04 m)2(9.81 )

s

= = (2β)

2

1 1

π(0.08 m)Q V

4= (2γ)

2

2 2

π(0.04 m)Q V

4= (2δ)

37

(γ) Εξίσωση συνέχειας.

1 2Q Q Q= + (3)

(δ) Εξίσωση υπολογισµού του µανοµετρικού ύψους της αντλίας

3

man3 2

kg m m(998 )(9.81 )Q( )H (m)

m s s8000 W0.70

= ή

2

33

man

3 2

kgm(8000 ) (0.70)

ms Q( )H (m)kg m s

(998 )(9.81 )m s

⋅= ή

4

man

mQH 0.572

s= (4)

3. Εφαρµόζουµε την ακόλουθη διαδικασία υπολογισµού 4 βηµάτων µε δοκιµές.

(i) Βήµα 1. Υποθέτουµε µια τιµή του Hman.

(ii) Βήµα 2. Υπολογίζουµε τις γραµµικές απώλειες hf από την εξ. (1) και την

συνολική παροχή Q από την εξ. (4).

(iii) Βήµα 3. Με δεδοµένες τις απώλειες υπολογίζουµε τις παροχές στους δυο

σωλήνες Q1 και Q2, τύπος απλού προβλήµατος 2, βλ. εξ. (2).

(iv) Βήµα 4. Υπολογίζουµε την παροχή από την εξ. (3) και ελέγχουµε αν

συµπίπτει µε αυτή που υπολογίσαµε στο Βήµα 1. Προσδιορίζουµε το

σφάλµα υπολογισµού της 1ης

δοκιµής.

Υποθέτουµε µια νέα τιµή του Hman και επαναλαµβάνουµε τη διαδικασία

υπολογισµού. Στη συνέχεια παραθέτουµε τους υπολογισµούς για την 1η δοκιµή.

(i) Βήµα 1. Υποθέτουµε Hman=15.0 m.

(ii) Βήµα 2. Υπολογίζουµε

fh 15.0 m 8.0 m 7.0 m= − = (1)

4mQ(15.0 m) 0.572

s= ή

3mQ 0.03813

s= (4)

(iii) Βήµα 3. Υπολογίζουµε τις παροχές Q1 και Q2 (τύπος απλού προβλήµατος 2).

Q1= 0.00328 m3/s και Q2= 0.02042 m

3/s

(iv) Βήµα 4. Υπολογίζουµε την ολική παροχή.

38

Q = 0.00328 m3/s + 0.02042 m

3/s = 0.0237 m

3/s < 0.03813 (3)

Το σφάλµα υπολογισµού υπολογίζεται ίσο µε

0.02370 0.03813

err 37.85%0.03813

−= = −

Άρα, θα πρέπει να αυξηθεί το Hman=15.0 m που υποθέσαµε, µέχρι το σφάλµα

να είναι αποδεκτό, έστω µικρότερο από 3%.

4. Οι αναλυτικοί υπολογισµοί 3 δοκιµών παρουσιάζονται στον Πιν. 2.

Πίνακας 2. Αναλυτικοί υπολογισµοί των σωλήνων του παραδείγµατος 4.5-2

Βήµα υπολογισµών ∆οκιµή 1 ∆οκιµή 2 ∆οκιµή 3 Μονάδες

1. Υποθέτουµε Hman 15.0 20.0 19.1 m

2α. Υπολογίζουµε Q από εξ. (4) 0.03813 0.02860 0.02995 m3/s

2β. Υπολογίζουµε hf από εξ. (1) 7.0 12.0 11.1 m

3α. Υπολογίζουµε την παροχή Q1

D 0.040 0.040 0.040 m

L 36.0 36.0 36.0 m

Q 0.00328 0.00433 0.00415 m3/s

A 0.001 0.001 0.001 m2

V 2.610 3.446 3.302 m/s

Re 103372 136464 130791 -

ks 0.045 0.045 0.045 mm

ks/D 0.00113 0.00113 0.00113 -

f 0.0225 0.0220 0.0221 -

hf 7.032 11.98 11.06 m

3α. Υπολογίζουµε την παροχή Q2

D 0.080 0.080 0.080 m

L 36.0 36.0 36.0 m

Q 0.02042 0.02695 0.02590 m3/s

A 0.005 0.005 0.005 m2

V 4.062 5.362 5.153 m/s

Re 321777 424676 408130 -

ks 0.045 0.045 0.045 mm

ks/D 0.00056 0.00056 0.00056 -

f 0.0185 0.0182 0.0182 -

hf 7.003 11.999 11.08 m

4α. Υπολογίζουµε την παροχή Q

από την εξ. (3)

4. Q=Q1+Q2 (εξ.3) 0.02370 0.03128 0.03005 m3/s

4β. Υπολογίζουµε το σφάλµα -37.85% 9.37% 0.34% %

39

5. Σχεδιάζουµε στο Σχ. 2 σκαρίφηµα της ΓΕ.

ΣΧΗΜΑ 2. Σκαρίφηµα της ΓΕ στο σύστηµα του παραδείγµατος 4.5-2

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 4.5-3

Θεωρείστε το σύστηµα των σωλήνων του Σχ. 1 το οποίο αποτελείται από

1) 3 δεξαµενές Α, Β και Γ µε σταθερές στάθµες νερού (ν=1.1×10-6

m2⁄s) και

2) 4 σωλήνες µε τα γνωστά και σταθερά στοιχεία του Πίν. 1.

Από τη δεξαµενή Α παροχετεύεται στη δεξαµενή Β παροχή νερού ίση µε 0.175 m3⁄s µέσω

των σωλήνων 3 και 4.

1) Υπολογίστε τα άγνωστα στοιχεία του Πίν. 1 αγνοώντας τις τοπικές απώλειες.

2) Σχεδιάστε σκαρίφηµα της ΓΕ.

40

ΣΧΗΜΑ 1. Σύστηµα των σωλήνων του παραδείγµατος 4.5-3

Πίνακας 1. Χαρακτηριστικά των σωλήνων του παραδείγµατος 4.5-3

Σωλήνας 1 2 3 4 Μονάδες

D ; 0.250 0.200 0.300 m

L 2900 1500 2000 4805 m

Q ; ; ; ; m3/s

ks 0.2 0.0 0.0 0.2 mm

Λύση

1. Παρατηρούµε ότι στον σωλήνα 4 το µόνο στοιχείο που δεν γνωρίζουµε είναι η

παροχή, την οποία υπολογίζουµε (τύπος απλού προβλήµατος 2) µε δεδοµένες τις

απώλειες, οι οποίες είναι ίσες µε

f ,4 A Γh H H 90.000 m 42.100 m 47.900 m= − = + − =

Υπολογίζεται Q4=0.125 m3/s, οπότε η παροχή του σωλήνα 3 υπολογίζεται ίση µε

Q3=0.175 m3/s-0.125 m

3/s=0.050 m

3/s.

2. Υπολογίζουµε τις απώλειες στο σωλήνα 3 (τύπος απλού προβλήµατος 1) και το

υψόµετρο της ΓΕ στο κόµβο Κ.

hf,3=18.849 m και K Γ f ,3H H h 42.100 m 18.849 m 60.949 m= + = + =

41

Παρατηρούµε ότι το υψόµετρο της ΓΕ στο κόµβο Κ είναι µεγαλύτερο από το

υψόµετρο της ΓΕ της δεξαµενής Β, οπότε η δεξαµενή Α τροφοδοτεί τις δεξαµενές Β

και Γ.

3. Υπολογίζουµε την παροχή στον σωλήνα 2 (τύπος απλού προβλήµατος 2) µε

δεδοµένες τις απώλειες, οι οποίες είναι ίσες µε

f ,2 K Βh H H 60.949 m 50.80 m 10.149 m= − = − =

Υπολογίζεται Q2=0.075 m3/s, οπότε η παροχή του σωλήνα (1) υπολογίζεται ίση µε

Q1=0.075 m3/s+0.050 m

3/s=0.125 m

3/s.

4. Υπολογίζουµε τη διάµετρο του σωλήνα 1 (τύπος απλού προβλήµατος 3) µε

δεδοµένες τις απώλειες, οι οποίες είναι ίσες µε

f ,1 A Kh H H 90.000 m 60.949 m 29.551 m= − = − =

D1=278 mm.

Χρησιµοποιούµε δυο σωλήνες εµπορίου σε σειρά µε διαµέτρους D1-1=300 mm και

D1-2=250 mm και αντίστοιχα µήκη L1-1 και L1-2=2900-L1-1, οπότε ισχύει η ακόλουθη

εξίσωση.

( )

2 2

1 11 11 1 1 2

2 2

m m(1.768 ) (2.546 )2900 LL s sf f 29.551 m

m m(0.300 m) (0.300 m)2(9.81 ) 2(9.81 )

s s

−−− −

−+ =

Με δοκιµές προκύπτει L1-1=2000 m και L1-2=900 m.

Στον Πίν. 2 συνοψίζονται τα αποτελέσµατα.

Πίνακας 2. Υπολογισµοί των σωλήνων του παραδείγµατος 4.5-3

Σωλήνας 4 3 2 1 1-1 1-2 Μονάδες

D 0.300 0.200 0.250 0.278 0.300 0.250 m

L 4805 2000 1500 2900 2000 900 m

Q 0.125 0.050 0.075 0.125 0.125 0.125 m3/s

A 0.071 0.031 0.049 0.061 0.071 0.049 m2

V 1.768 1.592 1.528 2.059 1.768 2.546 m/s

Re 482288 289373 347247 520454 482288 578745 -

ks 0.2 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 mm

ks/D 0.00067 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 -

f 0.0187 0.0146 0.0141 0.0131 0.0132 0.0128 -

hf 47.74 18.849 10.07 29.54 14.03 15.23 m

5. Σχεδιάζουµε σκαρίφηµα της ΓΕ στο Σχ. 2.

42

ΣΧΗΜΑ 2. Σκαρίφηµα της ΓΕ στο σύστηµα του παραδείγµατος 4.5-3

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 4.5-4

Θεωρείστε το σύστηµα του Σχ. 1 το οποίο αποτελείται από

1) 3 δεξαµενές Α, Β και Γ µε σταθερές στάθµες νερού (ν=1.2×10-6

m2⁄s),

2) 4 σωλήνες µε τα γνωστά και σταθερά στοιχεία του Πίν. 1 και

3) αντλία Ν.

Από τις δεξαµενές Α και Β παροχετεύονται λύµατα (ν=1.2×10-6

m2⁄s και γ=1005 kg/m

3) στη

δεξαµενή καθαρισµού Γ, όπου υφίστανται µερική επεξεργασία. Τα επεξεργασµένα νερά

(ν=1.2×10-6

m2⁄s) διατίθενται στη θάλασσα.

1) Υπολογίστε αγνοώντας τις τοπικές απώλειες τα άγνωστα στοιχεία του Πίν. 1 και την

απαιτούµενη ισχύ της αντλίας, η οποία έχει απόδοση 75%.

2) Σχεδιάστε σε σκαρίφηµα τη ΓΕ.

43

ΣΧΗΜΑ 1. Σύστηµα των σωλήνων του παραδείγµατος 4.5-4

Πίνακας 1. Χαρακτηριστικά των σωλήνων του παραδείγµατος 4.5-4

Aγωγός ΑΓ ΒΝ ΝΓ ∆Ε Γ∆ Μονάδες

D 0.350 0.350 0.350 0.300 ; m

L 4230 1065 1065 275 1058 m

Q ; 0.125 ; ; ; m3/s

ks 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 mm

Λύση

1. Παρατηρούµε ότι στο σωλήνα ΑΓ το µόνο στοιχείο που δεν γνωρίζουµε είναι η

παροχή, την οποία υπολογίζουµε (τύπος απλού προβλήµατος 2) µε δεδοµένες τις

απώλειες, οι οποίες είναι ίσες µε

f ,AΓ A Γh H H 40.600 m 20.600 m 20.000 m= − = + − =

Υπολογίζεται QΑΓ=0.125 m3/s.

2. Υπολογίζουµε τις απώλειες στους σωλήνες ΒΝ και ΝΓ (τύπος απλού προβλήµατος

1).

Υπολογίζονται hf,ΒΝ=5.000 m και hf,ΝΓ=5.000 m.

3. Υπολογίζουµε το µανοµετρικό ύψος της αντλίας και την ισχύ της

man f ,BN f ,NΓH h h 5.000 m 5.000 m 10.000 m= + = + =

3

3 2

kg m m(1005 ) 9.81 0.125 (10.0 m)

m s sP 16431.8 W

0.75 (-)

= = ή Ρ ≈ 16.4 KW

44

4. Υπολογίζουµε τις απώλειες στο σωλήνα ∆Ε (τύπος απλού προβλήµατος 1) µε

δεδοµένη την παροχή, η οποία είναι ίση µε Q∆Ε=0.125 m3/s+0.125 m

3/s=0.250 m

3/s.

Υπολογίζεται hf,∆Ε=11.221 m.

5. Υπολογίζουµε το υψόµετρο της ΓΕ του σηµείου ∆ είναι ίσο µε

∆ E f ,∆EH H h 0.000 m 11.221 m 11.221 m= + = + =

6. Υπολογίζουµε τη διάµετρο του σωλήνα Γ∆ (τύπος απλού προβλήµατος 3) µε

δεδοµένες τις απώλειες του σωλήνα Γ∆, οι οποίες είναι ίσες µε

f ,Γ∆ Γ ∆h H - H 20.600 m 11.221 m 9.379 m= = − = .

Υπολογίζεται DΓ∆=400 mm.

Στον Πίν. 2 συνοψίζονται τα αποτελέσµατα των υπολογισµών.

Πίνακας 2. Υπολογισµοί των σωλήνων του παραδείγµατος 4.5-4

Aγωγός AΓ ΒΝ ΝΓ ∆Ε Γ∆ Μονάδες

D 0.350 0.350 0.350 0.300 0.400 m

L 4230 1065 1065 275 1015 m

Q 0.125 0.125 0.125 0.250 0.250 m3/s

A 0.096 0.096 0.096 0.071 0.126 m2

V 1.299 1.299 1.299 3.537 1.989 m/s

Re 378940 378940 378940 964575 723432 -

ks 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 mm

ks/D 0.00071 0.00071 0.00071 0.00083 0.00063 -

f 0.0191 0.0191 0.0191 0.0192 0.0182 -

hf 19.860 5.000 5.000 11.221 9.316 m

7. Σχεδιάζουµε στο Σχ. 2 σκαρίφηµα της ΓΕ.

45

ΣΧΗΜΑ 2. Σκαρίφηµα της ΓΕ στο σύστηµα του παραδείγµατος 4.5-4