Download - 4η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Transcript
Page 1: 4η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων

Γραμμική ΄Αλγεβρα

Απαλοιφή του Γκάους

Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

29 Σεπτεμβρίου 2014

Page 2: 4η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων

Επίλυση Ειδικών Συστημάτων (m = n)Με διαγώνιους πίνακες συντελεστών: ai,j = 0, ∀i 6= ja1,1x1 + 0x2 + . . .+ 0xn = b1

0x1 + a2,2x2 + . . .+ 0xn = b2

.

.

.

0x1 + 0x2 + . . .+ an,nxn = bn

⇒ xj = bj/aj,j, 1 ≤ j ≤ n

Με τριγωνικούς πίνακες συντελεστών: ai,j = 0, ∀i < ja1,1x1 + 0x2 + . . .+ 0xn = b1

a2,1x1 + a2,2x2 + . . .+ 0xn = b2

.

.

.

an,1x1 + an,2x2 + . . .+ an,nxn = bn

xj =

bj −j−1∑k=1

aj,kxk

/aj,j, 1 ≤ j ≤ n

Page 3: 4η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων

Επίλυση Ειδικών Συστημάτων (m = n)Με διαγώνιους πίνακες συντελεστών: ai,j = 0, ∀i 6= ja1,1x1 + 0x2 + . . .+ 0xn = b1

0x1 + a2,2x2 + . . .+ 0xn = b2

.

.

.

0x1 + 0x2 + . . .+ an,nxn = bn

⇒ xj = bj/aj,j, 1 ≤ j ≤ n

Με τριγωνικούς πίνακες συντελεστών: ai,j = 0, ∀i < ja1,1x1 + 0x2 + . . .+ 0xn = b1

a2,1x1 + a2,2x2 + . . .+ 0xn = b2

.

.

.

an,1x1 + an,2x2 + . . .+ an,nxn = bn

xj =

bj −j−1∑k=1

aj,kxk

/aj,j, 1 ≤ j ≤ n

Page 4: 4η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων

Επίλυση Ειδικών Συστημάτων (m = n)Με διαγώνιους πίνακες συντελεστών: ai,j = 0, ∀i 6= ja1,1x1 + 0x2 + . . .+ 0xn = b1

0x1 + a2,2x2 + . . .+ 0xn = b2

.

.

.

0x1 + 0x2 + . . .+ an,nxn = bn

⇒ xj = bj/aj,j, 1 ≤ j ≤ n

Με τριγωνικούς πίνακες συντελεστών: ai,j = 0, ∀i < ja1,1x1 + 0x2 + . . .+ 0xn = b1

a2,1x1 + a2,2x2 + . . .+ 0xn = b2

.

.

.

an,1x1 + an,2x2 + . . .+ an,nxn = bn

xj =

bj −j−1∑k=1

aj,kxk

/aj,j, 1 ≤ j ≤ n

Page 5: 4η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων

Παράδειγμα

Επαυξημένος Πίνακας1 2 2 −6 1

0 1 5 −6 15

0 0 1 − 175 4

0 0 0 1 0

Τελευταία εξίσωση x4 = 0.3η εξίσωση x3 − 17

5 x4 = 4⇒ x3 = 4.2η εξίσωση x2 + 5x3 − 6x4 = 15⇒ x2 = −5.1η εξίσωση x1 + 2x2 + 2x3 − 6x4 = 1⇒ x1 = 3.

Λύση: x1 = 3, x2 = −5, x3 = 4, x4 = 0.

Page 6: 4η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων

Παράδειγμα

Επαυξημένος Πίνακας1 2 2 −6 1

0 1 5 −6 15

0 0 1 − 175 4

0 0 0 1 0

Τελευταία εξίσωση x4 = 0.3η εξίσωση x3 − 17

5 x4 = 4⇒ x3 = 4.2η εξίσωση x2 + 5x3 − 6x4 = 15⇒ x2 = −5.1η εξίσωση x1 + 2x2 + 2x3 − 6x4 = 1⇒ x1 = 3.

Λύση: x1 = 3, x2 = −5, x3 = 4, x4 = 0.

Page 7: 4η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων

Παράδειγμα

Επαυξημένος Πίνακας1 2 2 −6 1

0 1 5 −6 15

0 0 1 − 175 4

0 0 0 1 0

Τελευταία εξίσωση x4 = 0.3η εξίσωση x3 − 17

5 x4 = 4⇒ x3 = 4.2η εξίσωση x2 + 5x3 − 6x4 = 15⇒ x2 = −5.1η εξίσωση x1 + 2x2 + 2x3 − 6x4 = 1⇒ x1 = 3.

Λύση: x1 = 3, x2 = −5, x3 = 4, x4 = 0.

Page 8: 4η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων

Θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας λύσης

Κάθε τριγωνικό σύστημα έχει

I μοναδική λύση ανν aj,j 6= 0 ∀jI καμμία λύση ανν για κάποιο j, ajj = 0 και

bj −∑j−1

k=1 aj,kxk 6= 0I άπειρες λύσεις ανν για κάποιο j, ajj = 0 και

bj −∑j−1

k=1 aj,kxk = 0

Page 9: 4η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων

Επίλυση Γενικών Συστημάτων (m = n)

Για να λύσω (μελετήσω) ένα γενικό σύστημα

I το μετατρέπω σε ισοδύναμο τριγωνικό

I λύνω (μελετώ) το τριγωνικό

Δύο συστήματα εξισώσεων είναι ισοδύναμα ανν όλες οι λύσεις του

ενός είναι και λύσεις του άλλου.

Το σύνολο των λύσεων ενός συστήματος δεν αλλάζει αν

I πολλαπλασιάσω μια εξίσωσή του με έναν μη-μηδενικό αριθμό

I προσθέσω μια εξίσωση σε μια άλλη

I εναλλάξω την σειρά δύο εξισώσεων

Page 10: 4η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων

Επίλυση Γενικών Συστημάτων (m = n)

Για να λύσω (μελετήσω) ένα γενικό σύστημα

I το μετατρέπω σε ισοδύναμο τριγωνικό

I λύνω (μελετώ) το τριγωνικό

Δύο συστήματα εξισώσεων είναι ισοδύναμα ανν όλες οι λύσεις του

ενός είναι και λύσεις του άλλου.

Το σύνολο των λύσεων ενός συστήματος δεν αλλάζει αν

I πολλαπλασιάσω μια εξίσωσή του με έναν μη-μηδενικό αριθμό

I προσθέσω μια εξίσωση σε μια άλλη

I εναλλάξω την σειρά δύο εξισώσεων

Page 11: 4η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων

Επίλυση Γενικών Συστημάτων (m = n)

Για να λύσω (μελετήσω) ένα γενικό σύστημα

I το μετατρέπω σε ισοδύναμο τριγωνικό

I λύνω (μελετώ) το τριγωνικό

Δύο συστήματα εξισώσεων είναι ισοδύναμα ανν όλες οι λύσεις του

ενός είναι και λύσεις του άλλου.

Το σύνολο των λύσεων ενός συστήματος δεν αλλάζει αν

I πολλαπλασιάσω μια εξίσωσή του με έναν μη-μηδενικό αριθμό

I προσθέσω μια εξίσωση σε μια άλλη

I εναλλάξω την σειρά δύο εξισώσεων

Page 12: 4η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων

Επίλυση Γενικών Συστημάτων (m = n)

Για να λύσω (μελετήσω) ένα γενικό σύστημα

I το μετατρέπω σε ισοδύναμο τριγωνικό

I λύνω (μελετώ) το τριγωνικό

Δύο συστήματα εξισώσεων είναι ισοδύναμα ανν όλες οι λύσεις του

ενός είναι και λύσεις του άλλου.

Το σύνολο των λύσεων ενός συστήματος δεν αλλάζει αν

I πολλαπλασιάσω μια εξίσωσή του με έναν μη-μηδενικό αριθμό

I προσθέσω μια εξίσωση σε μια άλλη

I εναλλάξω την σειρά δύο εξισώσεων

Page 13: 4η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων

Επίλυση Γενικών Συστημάτων (m = n)

Για να λύσω (μελετήσω) ένα γενικό σύστημα

I το μετατρέπω σε ισοδύναμο τριγωνικό

I λύνω (μελετώ) το τριγωνικό

Δύο συστήματα εξισώσεων είναι ισοδύναμα ανν όλες οι λύσεις του

ενός είναι και λύσεις του άλλου.

Το σύνολο των λύσεων ενός συστήματος δεν αλλάζει αν

I πολλαπλασιάσω μια εξίσωσή του με έναν μη-μηδενικό αριθμό

I προσθέσω μια εξίσωση σε μια άλλη

I εναλλάξω την σειρά δύο εξισώσεων

Page 14: 4η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων

Το σύνολο των λύσεων ενός γραμμικού συστήματος εξισώσεων

παραμένει αναλοίωτο αν:

I Εναλλάξουμε την σειρά

των εξισώσεων

I Πολλαπλασιάσουμε κάποια

εξίσωση με έναν αριθμό

c 6= 0

I Αντικαταστήσουμε μια

εξίσωση με τον εαυτό της

συν το πολλαπλάσιο μιας

άλλης εξίσωσης

Πράξεις:

I Ενάλλαξε την σειρά δύο

γραμμών (εναλλαγή)

I Πολλαπλασιασμός μια

γραμμής με c 6= 0(στάθμιση)

I Αντικατάσταση μια

γραμμλης με τον εαυτό

της συν το πολλαπλάσιο

μιας άλλης γραμμής

(Αντικατάσταση)

Στρατηγικός

στόχος: Χρησιμοποίησε τις παραπάνω πράξεις για να απλοποιήσεις

το πρόβλημα.

Page 15: 4η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων

Το σύνολο των λύσεων ενός γραμμικού συστήματος εξισώσεων

παραμένει αναλοίωτο αν:

I Εναλλάξουμε την σειρά

των εξισώσεων

I Πολλαπλασιάσουμε κάποια

εξίσωση με έναν αριθμό

c 6= 0

I Αντικαταστήσουμε μια

εξίσωση με τον εαυτό της

συν το πολλαπλάσιο μιας

άλλης εξίσωσης

Πράξεις:

I Ενάλλαξε την σειρά δύο

γραμμών (εναλλαγή)

I Πολλαπλασιασμός μια

γραμμής με c 6= 0(στάθμιση)

I Αντικατάσταση μια

γραμμλης με τον εαυτό

της συν το πολλαπλάσιο

μιας άλλης γραμμής

(Αντικατάσταση)

Στρατηγικός

στόχος: Χρησιμοποίησε τις παραπάνω πράξεις για να απλοποιήσεις

το πρόβλημα.

Page 16: 4η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων

Το σύνολο των λύσεων ενός γραμμικού συστήματος εξισώσεων

παραμένει αναλοίωτο αν:

I Εναλλάξουμε την σειρά

των εξισώσεων

I Πολλαπλασιάσουμε κάποια

εξίσωση με έναν αριθμό

c 6= 0

I Αντικαταστήσουμε μια

εξίσωση με τον εαυτό της

συν το πολλαπλάσιο μιας

άλλης εξίσωσης

Πράξεις:

I Ενάλλαξε την σειρά δύο

γραμμών (εναλλαγή)

I Πολλαπλασιασμός μια

γραμμής με c 6= 0(στάθμιση)

I Αντικατάσταση μια

γραμμλης με τον εαυτό

της συν το πολλαπλάσιο

μιας άλλης γραμμής

(Αντικατάσταση)

Στρατηγικός

στόχος: Χρησιμοποίησε τις παραπάνω πράξεις για να απλοποιήσεις

το πρόβλημα.

Page 17: 4η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων

Το σύνολο των λύσεων ενός γραμμικού συστήματος εξισώσεων

παραμένει αναλοίωτο αν:

I Εναλλάξουμε την σειρά

των εξισώσεων

I Πολλαπλασιάσουμε κάποια

εξίσωση με έναν αριθμό

c 6= 0

I Αντικαταστήσουμε μια

εξίσωση με τον εαυτό της

συν το πολλαπλάσιο μιας

άλλης εξίσωσης

Πράξεις:

I Ενάλλαξε την σειρά δύο

γραμμών (εναλλαγή)

I Πολλαπλασιασμός μια

γραμμής με c 6= 0(στάθμιση)

I Αντικατάσταση μια

γραμμλης με τον εαυτό

της συν το πολλαπλάσιο

μιας άλλης γραμμής

(Αντικατάσταση)

Στρατηγικός

στόχος: Χρησιμοποίησε τις παραπάνω πράξεις για να απλοποιήσεις

το πρόβλημα.

Page 18: 4η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων

Το σύνολο των λύσεων ενός γραμμικού συστήματος εξισώσεων

παραμένει αναλοίωτο αν:

I Εναλλάξουμε την σειρά

των εξισώσεων

I Πολλαπλασιάσουμε κάποια

εξίσωση με έναν αριθμό

c 6= 0

I Αντικαταστήσουμε μια

εξίσωση με τον εαυτό της

συν το πολλαπλάσιο μιας

άλλης εξίσωσης

Πράξεις:

I Ενάλλαξε την σειρά δύο

γραμμών (εναλλαγή)

I Πολλαπλασιασμός μια

γραμμής με c 6= 0(στάθμιση)

I Αντικατάσταση μια

γραμμλης με τον εαυτό

της συν το πολλαπλάσιο

μιας άλλης γραμμής

(Αντικατάσταση)

Στρατηγικός

στόχος: Χρησιμοποίησε τις παραπάνω πράξεις για να απλοποιήσεις

το πρόβλημα.

Page 19: 4η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων

Το σύνολο των λύσεων ενός γραμμικού συστήματος εξισώσεων

παραμένει αναλοίωτο αν:

I Εναλλάξουμε την σειρά

των εξισώσεων

I Πολλαπλασιάσουμε κάποια

εξίσωση με έναν αριθμό

c 6= 0

I Αντικαταστήσουμε μια

εξίσωση με τον εαυτό της

συν το πολλαπλάσιο μιας

άλλης εξίσωσης

Πράξεις:

I Ενάλλαξε την σειρά δύο

γραμμών (εναλλαγή)

I Πολλαπλασιασμός μια

γραμμής με c 6= 0(στάθμιση)

I Αντικατάσταση μια

γραμμλης με τον εαυτό

της συν το πολλαπλάσιο

μιας άλλης γραμμής

(Αντικατάσταση)

Στρατηγικός

στόχος: Χρησιμοποίησε τις παραπάνω πράξεις για να απλοποιήσεις

το πρόβλημα.

Page 20: 4η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων

Το σύνολο των λύσεων ενός γραμμικού συστήματος εξισώσεων

παραμένει αναλοίωτο αν:

I Εναλλάξουμε την σειρά

των εξισώσεων

I Πολλαπλασιάσουμε κάποια

εξίσωση με έναν αριθμό

c 6= 0

I Αντικαταστήσουμε μια

εξίσωση με τον εαυτό της

συν το πολλαπλάσιο μιας

άλλης εξίσωσης

Πράξεις:

I Ενάλλαξε την σειρά δύο

γραμμών (εναλλαγή)

I Πολλαπλασιασμός μια

γραμμής με c 6= 0(στάθμιση)

I Αντικατάσταση μια

γραμμλης με τον εαυτό

της συν το πολλαπλάσιο

μιας άλλης γραμμής

(Αντικατάσταση)

Στρατηγικός

στόχος: Χρησιμοποίησε τις παραπάνω πράξεις για να απλοποιήσεις

το πρόβλημα.

Page 21: 4η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων

Παράδειγμα

1x1 + 2x2 = 32x1 + 1x2 = 3

Αφαίρεσε δύο φορές την 1η απο

την 2η:

1x1 + 2x2 = 3−3x2 = −3

[1 2 32 1 3

]

[1 2 30 −3 −3

]

Page 22: 4η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων

Παράδειγμα

1x1 + 2x2 = 32x1 + 1x2 = 3

Αφαίρεσε δύο φορές την 1η απο

την 2η:

1x1 + 2x2 = 3−3x2 = −3

[1 2 32 1 3

]

[1 2 30 −3 −3

]

Page 23: 4η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων

Παράδειγμα

1x1 + 2x2 = 32x1 + 1x2 = 3

Αφαίρεσε δύο φορές την 1η απο

την 2η:

1x1 + 2x2 = 3−3x2 = −3

[1 2 32 1 3

]

[1 2 30 −3 −3

]

Page 24: 4η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων

Παράδειγμα

1x1 + 2x2 = 32x1 + 1x2 = 3

Αφαίρεσε δύο φορές την 1η απο

την 2η:

1x1 + 2x2 = 3−3x2 = −3

[1 2 32 1 3

]

[1 2 30 −3 −3

]

Page 25: 4η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων

Πρώτο βήμα:

Χρησιμοποίησε τον x1 άγνωστο [άνω αριστερά] για να απαλοίψετε

όλους τους x1 υπόλοιπους όρους [κάνε τα υπόλοιπα στοιχεία της

πρώτης στήλης 0]:

L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6L2 : 2x1 − 4x2 − 3x3 = 8L3 : −3x1 + 6x2 + 8x3 = −5

Αφαίρεσε 2× 1η απο την 2ηΠρόσθεσε 3× 1η στην 3η:

L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6L2− 2L1 : 2x2 + x3 = −43L1 + L3 : −3x2 + 2x3 = 13

1 −3 −2 62 −4 −3 8−3 6 8 −5

1 −3 −2 60 2 1 −40 −3 2 13

Προχώρησε στο δεύτερο βήμα! - δεύτερη στήλη

Page 26: 4η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων

Πρώτο βήμα:

Χρησιμοποίησε τον x1 άγνωστο [άνω αριστερά] για να απαλοίψετε

όλους τους x1 υπόλοιπους όρους [κάνε τα υπόλοιπα στοιχεία της

πρώτης στήλης 0]:

L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6L2 : 2x1 − 4x2 − 3x3 = 8L3 : −3x1 + 6x2 + 8x3 = −5

Αφαίρεσε 2× 1η απο την 2ηΠρόσθεσε 3× 1η στην 3η:

L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6L2− 2L1 : 2x2 + x3 = −43L1 + L3 : −3x2 + 2x3 = 13

1 −3 −2 62 −4 −3 8−3 6 8 −5

1 −3 −2 60 2 1 −40 −3 2 13

Προχώρησε στο δεύτερο βήμα! - δεύτερη στήλη

Page 27: 4η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων

Πρώτο βήμα:

Χρησιμοποίησε τον x1 άγνωστο [άνω αριστερά] για να απαλοίψετε

όλους τους x1 υπόλοιπους όρους [κάνε τα υπόλοιπα στοιχεία της

πρώτης στήλης 0]:

L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6L2 : 2x1 − 4x2 − 3x3 = 8L3 : −3x1 + 6x2 + 8x3 = −5

Αφαίρεσε 2× 1η απο την 2ηΠρόσθεσε 3× 1η στην 3η:

L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6L2− 2L1 : 2x2 + x3 = −43L1 + L3 : −3x2 + 2x3 = 13

1 −3 −2 62 −4 −3 8−3 6 8 −5

1 −3 −2 60 2 1 −40 −3 2 13

Προχώρησε στο δεύτερο βήμα! - δεύτερη στήλη

Page 28: 4η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων

Πρώτο βήμα:

Χρησιμοποίησε τον x1 άγνωστο [άνω αριστερά] για να απαλοίψετε

όλους τους x1 υπόλοιπους όρους [κάνε τα υπόλοιπα στοιχεία της

πρώτης στήλης 0]:

L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6L2 : 2x1 − 4x2 − 3x3 = 8L3 : −3x1 + 6x2 + 8x3 = −5

Αφαίρεσε 2× 1η απο την 2ηΠρόσθεσε 3× 1η στην 3η:

L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6L2− 2L1 : 2x2 + x3 = −43L1 + L3 : −3x2 + 2x3 = 13

1 −3 −2 62 −4 −3 8−3 6 8 −5

1 −3 −2 60 2 1 −40 −3 2 13

Προχώρησε στο δεύτερο βήμα! - δεύτερη στήλη

Page 29: 4η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων

Δεύτερο βήμα:

L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6L2 : 2x2 + x3 = −4L3 : −3x2 + 2x3 = 13

Πρόσθεσε32 × L2 στην L3:

L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6L2 : 2x2 + x3 = −4

L3 +32

L2 :72

x3 = 7

1 −3 −2 60 2 1 −40 −3 2 13

1 0 − 1

2 00 2 1 −40 0 7

2 7

Πολ/σίασε την L3 με 2

7 1 0 − 12 0

0 2 1 −40 0 1 2

Ορίστε η λύση: (x1, x2, x3) = (1,−3, 2)

Page 30: 4η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων

Δεύτερο βήμα:

L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6L2 : 2x2 + x3 = −4L3 : −3x2 + 2x3 = 13

Πρόσθεσε32 × L2 στην L3:

L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6L2 : 2x2 + x3 = −4

L3 +32

L2 :72

x3 = 7

1 −3 −2 60 2 1 −40 −3 2 13

1 0 − 1

2 00 2 1 −40 0 7

2 7

Πολ/σίασε την L3 με 2

7 1 0 − 12 0

0 2 1 −40 0 1 2

Ορίστε η λύση: (x1, x2, x3) = (1,−3, 2)

Page 31: 4η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων

Δεύτερο βήμα:

L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6L2 : 2x2 + x3 = −4L3 : −3x2 + 2x3 = 13

Πρόσθεσε32 × L2 στην L3:

L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6L2 : 2x2 + x3 = −4

L3 +32

L2 :72

x3 = 7

1 −3 −2 60 2 1 −40 −3 2 13

1 0 − 1

2 00 2 1 −40 0 7

2 7

Πολ/σίασε την L3 με 2

7 1 0 − 12 0

0 2 1 −40 0 1 2

Ορίστε η λύση: (x1, x2, x3) = (1,−3, 2)

Page 32: 4η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων

Θα υπάρξουν προβλήματα;

x1 + 2x2 = 3x1 + 2x2 = 4

Αφαίρεσε την L1 απο την L2:

x1 + 2x2 = 30= 1

ασυνέπεια

ΚΑΜΜ΄ΙΑ Λ΄ΥΣΗ

x1 + 2x2 = 32x1 + 4x2 = 6

Αφαίρεσε 2L1 απο L2:

x1 + 2x2 = 30= 0

ασάφεια

΄ΑΠΕΙΡΕΣ Λ΄ΥΣΕΙΣ

Page 33: 4η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων

Θα υπάρξουν προβλήματα;

x1 + 2x2 = 3x1 + 2x2 = 4

Αφαίρεσε την L1 απο την L2:

x1 + 2x2 = 30= 1

ασυνέπεια

ΚΑΜΜ΄ΙΑ Λ΄ΥΣΗ

x1 + 2x2 = 32x1 + 4x2 = 6

Αφαίρεσε 2L1 απο L2:

x1 + 2x2 = 30= 0

ασάφεια

΄ΑΠΕΙΡΕΣ Λ΄ΥΣΕΙΣ

Page 34: 4η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων

Θα υπάρξουν προβλήματα;

x1 + 2x2 = 3x1 + 2x2 = 4

Αφαίρεσε την L1 απο την L2:

x1 + 2x2 = 30= 1

ασυνέπεια

ΚΑΜΜ΄ΙΑ Λ΄ΥΣΗ

x1 + 2x2 = 32x1 + 4x2 = 6

Αφαίρεσε 2L1 απο L2:

x1 + 2x2 = 30= 0

ασάφεια

΄ΑΠΕΙΡΕΣ Λ΄ΥΣΕΙΣ

Page 35: 4η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων

Θα υπάρξουν προβλήματα;

x1 + 2x2 = 3x1 + 2x2 = 4

Αφαίρεσε την L1 απο την L2:

x1 + 2x2 = 30= 1

ασυνέπεια

ΚΑΜΜ΄ΙΑ Λ΄ΥΣΗ

x1 + 2x2 = 32x1 + 4x2 = 6

Αφαίρεσε 2L1 απο L2:

x1 + 2x2 = 30= 0

ασάφεια

΄ΑΠΕΙΡΕΣ Λ΄ΥΣΕΙΣ

Page 36: 4η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων

Ερώτηση

Πόσες λύσεις έχει το παρακάτω σύστημα;

5x1 + 2x2 − 3x3 = 412x1 − 7x2 + 2x3 = 8−3x1 + 4x2 + 5x3 = 10

Page 37: 4η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων

Ορισμός

Απαλοιφή του Γκάους είναι

ένας αλγόριθμος που

μετατρέπει ένα σύστημα σε

ένα ισοδύναμο άνω τριγωνικό.

Page 38: 4η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων

Σύστημα 4× 4

x2 + 2 x3 − x4 = 1x1 + x3 + x4 = 4−x1 + x2 − x4 = 2

2 x2 + 3 x3 − x4 = 7

A =

0 1 2 −11 0 1 1−1 1 0 −10 2 3 −1

b =

1427

Page 39: 4η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων

Σύστημα 4× 4

M =

0 1 2 −11 0 1 1−1 1 0 −10 2 3 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣1427

Page 40: 4η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων

Σύστημα 4× 4

0 1 2 −11 0 1 1−1 1 0 −10 2 3 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣1427

εναλλαγές εξ.−−−−−−−−→

1 0 1 1−1 1 0 −10 1 2 −10 2 3 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣4217

Ε1+Ε2→Ε2−−−−−−−→

1 0 1 10 1 1 00 1 2 −10 2 3 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣4617

Ε3−Ε2→Ε3Ε4−2Ε2→Ε4−−−−−−−−→

1 0 1 10 1 1 00 0 1 −10 0 1 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣46−5−5

Ε4−Ε3→Ε4−−−−−−−→

1 0 1 10 1 1 00 0 1 −10 0 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣46−50

Page 41: 4η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων

Σύστημα 4× 4

0 1 2 −11 0 1 1−1 1 0 −10 2 3 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣1427

εναλλαγές εξ.−−−−−−−−→

1 0 1 1−1 1 0 −10 1 2 −10 2 3 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣4217

Ε1+Ε2→Ε2−−−−−−−→

1 0 1 10 1 1 00 1 2 −10 2 3 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣4617

Ε3−Ε2→Ε3Ε4−2Ε2→Ε4−−−−−−−−→

1 0 1 10 1 1 00 0 1 −10 0 1 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣46−5−5

Ε4−Ε3→Ε4−−−−−−−→

1 0 1 10 1 1 00 0 1 −10 0 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣46−50

Page 42: 4η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων

Η λύση

x4 = k,x3 = −5 + k,x2 = 11− kx1 = 9− 2kόπου k οποιοσδήποτεπραγματικός αριθμός.