Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων
Γραμμική ΄Αλγεβρα
Απαλοιφή του Γκάους
Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
29 Σεπτεμβρίου 2014
Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων
Επίλυση Ειδικών Συστημάτων (m = n)Με διαγώνιους πίνακες συντελεστών: ai,j = 0, ∀i 6= ja1,1x1 + 0x2 + . . .+ 0xn = b1
0x1 + a2,2x2 + . . .+ 0xn = b2
.
.
.
0x1 + 0x2 + . . .+ an,nxn = bn
⇒ xj = bj/aj,j, 1 ≤ j ≤ n
Με τριγωνικούς πίνακες συντελεστών: ai,j = 0, ∀i < ja1,1x1 + 0x2 + . . .+ 0xn = b1
a2,1x1 + a2,2x2 + . . .+ 0xn = b2
.
.
.
an,1x1 + an,2x2 + . . .+ an,nxn = bn
⇒
xj =
bj −j−1∑k=1
aj,kxk
/aj,j, 1 ≤ j ≤ n
Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων
Επίλυση Ειδικών Συστημάτων (m = n)Με διαγώνιους πίνακες συντελεστών: ai,j = 0, ∀i 6= ja1,1x1 + 0x2 + . . .+ 0xn = b1
0x1 + a2,2x2 + . . .+ 0xn = b2
.
.
.
0x1 + 0x2 + . . .+ an,nxn = bn
⇒ xj = bj/aj,j, 1 ≤ j ≤ n
Με τριγωνικούς πίνακες συντελεστών: ai,j = 0, ∀i < ja1,1x1 + 0x2 + . . .+ 0xn = b1
a2,1x1 + a2,2x2 + . . .+ 0xn = b2
.
.
.
an,1x1 + an,2x2 + . . .+ an,nxn = bn
⇒
xj =
bj −j−1∑k=1
aj,kxk
/aj,j, 1 ≤ j ≤ n
Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων
Επίλυση Ειδικών Συστημάτων (m = n)Με διαγώνιους πίνακες συντελεστών: ai,j = 0, ∀i 6= ja1,1x1 + 0x2 + . . .+ 0xn = b1
0x1 + a2,2x2 + . . .+ 0xn = b2
.
.
.
0x1 + 0x2 + . . .+ an,nxn = bn
⇒ xj = bj/aj,j, 1 ≤ j ≤ n
Με τριγωνικούς πίνακες συντελεστών: ai,j = 0, ∀i < ja1,1x1 + 0x2 + . . .+ 0xn = b1
a2,1x1 + a2,2x2 + . . .+ 0xn = b2
.
.
.
an,1x1 + an,2x2 + . . .+ an,nxn = bn
⇒
xj =
bj −j−1∑k=1
aj,kxk
/aj,j, 1 ≤ j ≤ n
Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων
Παράδειγμα
Επαυξημένος Πίνακας1 2 2 −6 1
0 1 5 −6 15
0 0 1 − 175 4
0 0 0 1 0
Τελευταία εξίσωση x4 = 0.3η εξίσωση x3 − 17
5 x4 = 4⇒ x3 = 4.2η εξίσωση x2 + 5x3 − 6x4 = 15⇒ x2 = −5.1η εξίσωση x1 + 2x2 + 2x3 − 6x4 = 1⇒ x1 = 3.
Λύση: x1 = 3, x2 = −5, x3 = 4, x4 = 0.
Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων
Παράδειγμα
Επαυξημένος Πίνακας1 2 2 −6 1
0 1 5 −6 15
0 0 1 − 175 4
0 0 0 1 0
Τελευταία εξίσωση x4 = 0.3η εξίσωση x3 − 17
5 x4 = 4⇒ x3 = 4.2η εξίσωση x2 + 5x3 − 6x4 = 15⇒ x2 = −5.1η εξίσωση x1 + 2x2 + 2x3 − 6x4 = 1⇒ x1 = 3.
Λύση: x1 = 3, x2 = −5, x3 = 4, x4 = 0.
Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων
Παράδειγμα
Επαυξημένος Πίνακας1 2 2 −6 1
0 1 5 −6 15
0 0 1 − 175 4
0 0 0 1 0
Τελευταία εξίσωση x4 = 0.3η εξίσωση x3 − 17
5 x4 = 4⇒ x3 = 4.2η εξίσωση x2 + 5x3 − 6x4 = 15⇒ x2 = −5.1η εξίσωση x1 + 2x2 + 2x3 − 6x4 = 1⇒ x1 = 3.
Λύση: x1 = 3, x2 = −5, x3 = 4, x4 = 0.
Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων
Θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας λύσης
Κάθε τριγωνικό σύστημα έχει
I μοναδική λύση ανν aj,j 6= 0 ∀jI καμμία λύση ανν για κάποιο j, ajj = 0 και
bj −∑j−1
k=1 aj,kxk 6= 0I άπειρες λύσεις ανν για κάποιο j, ajj = 0 και
bj −∑j−1
k=1 aj,kxk = 0
Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων
Επίλυση Γενικών Συστημάτων (m = n)
Για να λύσω (μελετήσω) ένα γενικό σύστημα
I το μετατρέπω σε ισοδύναμο τριγωνικό
I λύνω (μελετώ) το τριγωνικό
Δύο συστήματα εξισώσεων είναι ισοδύναμα ανν όλες οι λύσεις του
ενός είναι και λύσεις του άλλου.
Το σύνολο των λύσεων ενός συστήματος δεν αλλάζει αν
I πολλαπλασιάσω μια εξίσωσή του με έναν μη-μηδενικό αριθμό
I προσθέσω μια εξίσωση σε μια άλλη
I εναλλάξω την σειρά δύο εξισώσεων
Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων
Επίλυση Γενικών Συστημάτων (m = n)
Για να λύσω (μελετήσω) ένα γενικό σύστημα
I το μετατρέπω σε ισοδύναμο τριγωνικό
I λύνω (μελετώ) το τριγωνικό
Δύο συστήματα εξισώσεων είναι ισοδύναμα ανν όλες οι λύσεις του
ενός είναι και λύσεις του άλλου.
Το σύνολο των λύσεων ενός συστήματος δεν αλλάζει αν
I πολλαπλασιάσω μια εξίσωσή του με έναν μη-μηδενικό αριθμό
I προσθέσω μια εξίσωση σε μια άλλη
I εναλλάξω την σειρά δύο εξισώσεων
Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων
Επίλυση Γενικών Συστημάτων (m = n)
Για να λύσω (μελετήσω) ένα γενικό σύστημα
I το μετατρέπω σε ισοδύναμο τριγωνικό
I λύνω (μελετώ) το τριγωνικό
Δύο συστήματα εξισώσεων είναι ισοδύναμα ανν όλες οι λύσεις του
ενός είναι και λύσεις του άλλου.
Το σύνολο των λύσεων ενός συστήματος δεν αλλάζει αν
I πολλαπλασιάσω μια εξίσωσή του με έναν μη-μηδενικό αριθμό
I προσθέσω μια εξίσωση σε μια άλλη
I εναλλάξω την σειρά δύο εξισώσεων
Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων
Επίλυση Γενικών Συστημάτων (m = n)
Για να λύσω (μελετήσω) ένα γενικό σύστημα
I το μετατρέπω σε ισοδύναμο τριγωνικό
I λύνω (μελετώ) το τριγωνικό
Δύο συστήματα εξισώσεων είναι ισοδύναμα ανν όλες οι λύσεις του
ενός είναι και λύσεις του άλλου.
Το σύνολο των λύσεων ενός συστήματος δεν αλλάζει αν
I πολλαπλασιάσω μια εξίσωσή του με έναν μη-μηδενικό αριθμό
I προσθέσω μια εξίσωση σε μια άλλη
I εναλλάξω την σειρά δύο εξισώσεων
Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων
Επίλυση Γενικών Συστημάτων (m = n)
Για να λύσω (μελετήσω) ένα γενικό σύστημα
I το μετατρέπω σε ισοδύναμο τριγωνικό
I λύνω (μελετώ) το τριγωνικό
Δύο συστήματα εξισώσεων είναι ισοδύναμα ανν όλες οι λύσεις του
ενός είναι και λύσεις του άλλου.
Το σύνολο των λύσεων ενός συστήματος δεν αλλάζει αν
I πολλαπλασιάσω μια εξίσωσή του με έναν μη-μηδενικό αριθμό
I προσθέσω μια εξίσωση σε μια άλλη
I εναλλάξω την σειρά δύο εξισώσεων
Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων
Το σύνολο των λύσεων ενός γραμμικού συστήματος εξισώσεων
παραμένει αναλοίωτο αν:
I Εναλλάξουμε την σειρά
των εξισώσεων
I Πολλαπλασιάσουμε κάποια
εξίσωση με έναν αριθμό
c 6= 0
I Αντικαταστήσουμε μια
εξίσωση με τον εαυτό της
συν το πολλαπλάσιο μιας
άλλης εξίσωσης
Πράξεις:
I Ενάλλαξε την σειρά δύο
γραμμών (εναλλαγή)
I Πολλαπλασιασμός μια
γραμμής με c 6= 0(στάθμιση)
I Αντικατάσταση μια
γραμμλης με τον εαυτό
της συν το πολλαπλάσιο
μιας άλλης γραμμής
(Αντικατάσταση)
Στρατηγικός
στόχος: Χρησιμοποίησε τις παραπάνω πράξεις για να απλοποιήσεις
το πρόβλημα.
Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων
Το σύνολο των λύσεων ενός γραμμικού συστήματος εξισώσεων
παραμένει αναλοίωτο αν:
I Εναλλάξουμε την σειρά
των εξισώσεων
I Πολλαπλασιάσουμε κάποια
εξίσωση με έναν αριθμό
c 6= 0
I Αντικαταστήσουμε μια
εξίσωση με τον εαυτό της
συν το πολλαπλάσιο μιας
άλλης εξίσωσης
Πράξεις:
I Ενάλλαξε την σειρά δύο
γραμμών (εναλλαγή)
I Πολλαπλασιασμός μια
γραμμής με c 6= 0(στάθμιση)
I Αντικατάσταση μια
γραμμλης με τον εαυτό
της συν το πολλαπλάσιο
μιας άλλης γραμμής
(Αντικατάσταση)
Στρατηγικός
στόχος: Χρησιμοποίησε τις παραπάνω πράξεις για να απλοποιήσεις
το πρόβλημα.
Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων
Το σύνολο των λύσεων ενός γραμμικού συστήματος εξισώσεων
παραμένει αναλοίωτο αν:
I Εναλλάξουμε την σειρά
των εξισώσεων
I Πολλαπλασιάσουμε κάποια
εξίσωση με έναν αριθμό
c 6= 0
I Αντικαταστήσουμε μια
εξίσωση με τον εαυτό της
συν το πολλαπλάσιο μιας
άλλης εξίσωσης
Πράξεις:
I Ενάλλαξε την σειρά δύο
γραμμών (εναλλαγή)
I Πολλαπλασιασμός μια
γραμμής με c 6= 0(στάθμιση)
I Αντικατάσταση μια
γραμμλης με τον εαυτό
της συν το πολλαπλάσιο
μιας άλλης γραμμής
(Αντικατάσταση)
Στρατηγικός
στόχος: Χρησιμοποίησε τις παραπάνω πράξεις για να απλοποιήσεις
το πρόβλημα.
Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων
Το σύνολο των λύσεων ενός γραμμικού συστήματος εξισώσεων
παραμένει αναλοίωτο αν:
I Εναλλάξουμε την σειρά
των εξισώσεων
I Πολλαπλασιάσουμε κάποια
εξίσωση με έναν αριθμό
c 6= 0
I Αντικαταστήσουμε μια
εξίσωση με τον εαυτό της
συν το πολλαπλάσιο μιας
άλλης εξίσωσης
Πράξεις:
I Ενάλλαξε την σειρά δύο
γραμμών (εναλλαγή)
I Πολλαπλασιασμός μια
γραμμής με c 6= 0(στάθμιση)
I Αντικατάσταση μια
γραμμλης με τον εαυτό
της συν το πολλαπλάσιο
μιας άλλης γραμμής
(Αντικατάσταση)
Στρατηγικός
στόχος: Χρησιμοποίησε τις παραπάνω πράξεις για να απλοποιήσεις
το πρόβλημα.
Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων
Το σύνολο των λύσεων ενός γραμμικού συστήματος εξισώσεων
παραμένει αναλοίωτο αν:
I Εναλλάξουμε την σειρά
των εξισώσεων
I Πολλαπλασιάσουμε κάποια
εξίσωση με έναν αριθμό
c 6= 0
I Αντικαταστήσουμε μια
εξίσωση με τον εαυτό της
συν το πολλαπλάσιο μιας
άλλης εξίσωσης
Πράξεις:
I Ενάλλαξε την σειρά δύο
γραμμών (εναλλαγή)
I Πολλαπλασιασμός μια
γραμμής με c 6= 0(στάθμιση)
I Αντικατάσταση μια
γραμμλης με τον εαυτό
της συν το πολλαπλάσιο
μιας άλλης γραμμής
(Αντικατάσταση)
Στρατηγικός
στόχος: Χρησιμοποίησε τις παραπάνω πράξεις για να απλοποιήσεις
το πρόβλημα.
Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων
Το σύνολο των λύσεων ενός γραμμικού συστήματος εξισώσεων
παραμένει αναλοίωτο αν:
I Εναλλάξουμε την σειρά
των εξισώσεων
I Πολλαπλασιάσουμε κάποια
εξίσωση με έναν αριθμό
c 6= 0
I Αντικαταστήσουμε μια
εξίσωση με τον εαυτό της
συν το πολλαπλάσιο μιας
άλλης εξίσωσης
Πράξεις:
I Ενάλλαξε την σειρά δύο
γραμμών (εναλλαγή)
I Πολλαπλασιασμός μια
γραμμής με c 6= 0(στάθμιση)
I Αντικατάσταση μια
γραμμλης με τον εαυτό
της συν το πολλαπλάσιο
μιας άλλης γραμμής
(Αντικατάσταση)
Στρατηγικός
στόχος: Χρησιμοποίησε τις παραπάνω πράξεις για να απλοποιήσεις
το πρόβλημα.
Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων
Το σύνολο των λύσεων ενός γραμμικού συστήματος εξισώσεων
παραμένει αναλοίωτο αν:
I Εναλλάξουμε την σειρά
των εξισώσεων
I Πολλαπλασιάσουμε κάποια
εξίσωση με έναν αριθμό
c 6= 0
I Αντικαταστήσουμε μια
εξίσωση με τον εαυτό της
συν το πολλαπλάσιο μιας
άλλης εξίσωσης
Πράξεις:
I Ενάλλαξε την σειρά δύο
γραμμών (εναλλαγή)
I Πολλαπλασιασμός μια
γραμμής με c 6= 0(στάθμιση)
I Αντικατάσταση μια
γραμμλης με τον εαυτό
της συν το πολλαπλάσιο
μιας άλλης γραμμής
(Αντικατάσταση)
Στρατηγικός
στόχος: Χρησιμοποίησε τις παραπάνω πράξεις για να απλοποιήσεις
το πρόβλημα.
Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων
Παράδειγμα
1x1 + 2x2 = 32x1 + 1x2 = 3
Αφαίρεσε δύο φορές την 1η απο
την 2η:
1x1 + 2x2 = 3−3x2 = −3
[1 2 32 1 3
]
[1 2 30 −3 −3
]
Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων
Παράδειγμα
1x1 + 2x2 = 32x1 + 1x2 = 3
Αφαίρεσε δύο φορές την 1η απο
την 2η:
1x1 + 2x2 = 3−3x2 = −3
[1 2 32 1 3
]
[1 2 30 −3 −3
]
Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων
Παράδειγμα
1x1 + 2x2 = 32x1 + 1x2 = 3
Αφαίρεσε δύο φορές την 1η απο
την 2η:
1x1 + 2x2 = 3−3x2 = −3
[1 2 32 1 3
]
[1 2 30 −3 −3
]
Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων
Παράδειγμα
1x1 + 2x2 = 32x1 + 1x2 = 3
Αφαίρεσε δύο φορές την 1η απο
την 2η:
1x1 + 2x2 = 3−3x2 = −3
[1 2 32 1 3
]
[1 2 30 −3 −3
]
Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων
Πρώτο βήμα:
Χρησιμοποίησε τον x1 άγνωστο [άνω αριστερά] για να απαλοίψετε
όλους τους x1 υπόλοιπους όρους [κάνε τα υπόλοιπα στοιχεία της
πρώτης στήλης 0]:
L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6L2 : 2x1 − 4x2 − 3x3 = 8L3 : −3x1 + 6x2 + 8x3 = −5
Αφαίρεσε 2× 1η απο την 2ηΠρόσθεσε 3× 1η στην 3η:
L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6L2− 2L1 : 2x2 + x3 = −43L1 + L3 : −3x2 + 2x3 = 13
1 −3 −2 62 −4 −3 8−3 6 8 −5
1 −3 −2 60 2 1 −40 −3 2 13
Προχώρησε στο δεύτερο βήμα! - δεύτερη στήλη
Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων
Πρώτο βήμα:
Χρησιμοποίησε τον x1 άγνωστο [άνω αριστερά] για να απαλοίψετε
όλους τους x1 υπόλοιπους όρους [κάνε τα υπόλοιπα στοιχεία της
πρώτης στήλης 0]:
L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6L2 : 2x1 − 4x2 − 3x3 = 8L3 : −3x1 + 6x2 + 8x3 = −5
Αφαίρεσε 2× 1η απο την 2ηΠρόσθεσε 3× 1η στην 3η:
L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6L2− 2L1 : 2x2 + x3 = −43L1 + L3 : −3x2 + 2x3 = 13
1 −3 −2 62 −4 −3 8−3 6 8 −5
1 −3 −2 60 2 1 −40 −3 2 13
Προχώρησε στο δεύτερο βήμα! - δεύτερη στήλη
Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων
Πρώτο βήμα:
Χρησιμοποίησε τον x1 άγνωστο [άνω αριστερά] για να απαλοίψετε
όλους τους x1 υπόλοιπους όρους [κάνε τα υπόλοιπα στοιχεία της
πρώτης στήλης 0]:
L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6L2 : 2x1 − 4x2 − 3x3 = 8L3 : −3x1 + 6x2 + 8x3 = −5
Αφαίρεσε 2× 1η απο την 2ηΠρόσθεσε 3× 1η στην 3η:
L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6L2− 2L1 : 2x2 + x3 = −43L1 + L3 : −3x2 + 2x3 = 13
1 −3 −2 62 −4 −3 8−3 6 8 −5
1 −3 −2 60 2 1 −40 −3 2 13
Προχώρησε στο δεύτερο βήμα! - δεύτερη στήλη
Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων
Πρώτο βήμα:
Χρησιμοποίησε τον x1 άγνωστο [άνω αριστερά] για να απαλοίψετε
όλους τους x1 υπόλοιπους όρους [κάνε τα υπόλοιπα στοιχεία της
πρώτης στήλης 0]:
L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6L2 : 2x1 − 4x2 − 3x3 = 8L3 : −3x1 + 6x2 + 8x3 = −5
Αφαίρεσε 2× 1η απο την 2ηΠρόσθεσε 3× 1η στην 3η:
L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6L2− 2L1 : 2x2 + x3 = −43L1 + L3 : −3x2 + 2x3 = 13
1 −3 −2 62 −4 −3 8−3 6 8 −5
1 −3 −2 60 2 1 −40 −3 2 13
Προχώρησε στο δεύτερο βήμα! - δεύτερη στήλη
Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων
Δεύτερο βήμα:
L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6L2 : 2x2 + x3 = −4L3 : −3x2 + 2x3 = 13
Πρόσθεσε32 × L2 στην L3:
L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6L2 : 2x2 + x3 = −4
L3 +32
L2 :72
x3 = 7
1 −3 −2 60 2 1 −40 −3 2 13
1 0 − 1
2 00 2 1 −40 0 7
2 7
Πολ/σίασε την L3 με 2
7 1 0 − 12 0
0 2 1 −40 0 1 2
Ορίστε η λύση: (x1, x2, x3) = (1,−3, 2)
Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων
Δεύτερο βήμα:
L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6L2 : 2x2 + x3 = −4L3 : −3x2 + 2x3 = 13
Πρόσθεσε32 × L2 στην L3:
L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6L2 : 2x2 + x3 = −4
L3 +32
L2 :72
x3 = 7
1 −3 −2 60 2 1 −40 −3 2 13
1 0 − 1
2 00 2 1 −40 0 7
2 7
Πολ/σίασε την L3 με 2
7 1 0 − 12 0
0 2 1 −40 0 1 2
Ορίστε η λύση: (x1, x2, x3) = (1,−3, 2)
Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων
Δεύτερο βήμα:
L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6L2 : 2x2 + x3 = −4L3 : −3x2 + 2x3 = 13
Πρόσθεσε32 × L2 στην L3:
L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6L2 : 2x2 + x3 = −4
L3 +32
L2 :72
x3 = 7
1 −3 −2 60 2 1 −40 −3 2 13
1 0 − 1
2 00 2 1 −40 0 7
2 7
Πολ/σίασε την L3 με 2
7 1 0 − 12 0
0 2 1 −40 0 1 2
Ορίστε η λύση: (x1, x2, x3) = (1,−3, 2)
Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων
Θα υπάρξουν προβλήματα;
x1 + 2x2 = 3x1 + 2x2 = 4
Αφαίρεσε την L1 απο την L2:
x1 + 2x2 = 30= 1
ασυνέπεια
ΚΑΜΜ΄ΙΑ Λ΄ΥΣΗ
x1 + 2x2 = 32x1 + 4x2 = 6
Αφαίρεσε 2L1 απο L2:
x1 + 2x2 = 30= 0
ασάφεια
΄ΑΠΕΙΡΕΣ Λ΄ΥΣΕΙΣ
Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων
Θα υπάρξουν προβλήματα;
x1 + 2x2 = 3x1 + 2x2 = 4
Αφαίρεσε την L1 απο την L2:
x1 + 2x2 = 30= 1
ασυνέπεια
ΚΑΜΜ΄ΙΑ Λ΄ΥΣΗ
x1 + 2x2 = 32x1 + 4x2 = 6
Αφαίρεσε 2L1 απο L2:
x1 + 2x2 = 30= 0
ασάφεια
΄ΑΠΕΙΡΕΣ Λ΄ΥΣΕΙΣ
Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων
Θα υπάρξουν προβλήματα;
x1 + 2x2 = 3x1 + 2x2 = 4
Αφαίρεσε την L1 απο την L2:
x1 + 2x2 = 30= 1
ασυνέπεια
ΚΑΜΜ΄ΙΑ Λ΄ΥΣΗ
x1 + 2x2 = 32x1 + 4x2 = 6
Αφαίρεσε 2L1 απο L2:
x1 + 2x2 = 30= 0
ασάφεια
΄ΑΠΕΙΡΕΣ Λ΄ΥΣΕΙΣ
Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων
Θα υπάρξουν προβλήματα;
x1 + 2x2 = 3x1 + 2x2 = 4
Αφαίρεσε την L1 απο την L2:
x1 + 2x2 = 30= 1
ασυνέπεια
ΚΑΜΜ΄ΙΑ Λ΄ΥΣΗ
x1 + 2x2 = 32x1 + 4x2 = 6
Αφαίρεσε 2L1 απο L2:
x1 + 2x2 = 30= 0
ασάφεια
΄ΑΠΕΙΡΕΣ Λ΄ΥΣΕΙΣ
Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων
Ερώτηση
Πόσες λύσεις έχει το παρακάτω σύστημα;
5x1 + 2x2 − 3x3 = 412x1 − 7x2 + 2x3 = 8−3x1 + 4x2 + 5x3 = 10
Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων
Ορισμός
Απαλοιφή του Γκάους είναι
ένας αλγόριθμος που
μετατρέπει ένα σύστημα σε
ένα ισοδύναμο άνω τριγωνικό.
Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων
Σύστημα 4× 4
x2 + 2 x3 − x4 = 1x1 + x3 + x4 = 4−x1 + x2 − x4 = 2
2 x2 + 3 x3 − x4 = 7
A =
0 1 2 −11 0 1 1−1 1 0 −10 2 3 −1
b =
1427
Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων
Σύστημα 4× 4
M =
0 1 2 −11 0 1 1−1 1 0 −10 2 3 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣1427
Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων
Σύστημα 4× 4
0 1 2 −11 0 1 1−1 1 0 −10 2 3 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣1427
εναλλαγές εξ.−−−−−−−−→
1 0 1 1−1 1 0 −10 1 2 −10 2 3 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣4217
Ε1+Ε2→Ε2−−−−−−−→
1 0 1 10 1 1 00 1 2 −10 2 3 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣4617
Ε3−Ε2→Ε3Ε4−2Ε2→Ε4−−−−−−−−→
1 0 1 10 1 1 00 0 1 −10 0 1 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣46−5−5
Ε4−Ε3→Ε4−−−−−−−→
1 0 1 10 1 1 00 0 1 −10 0 0 0
∣∣∣∣∣∣∣∣46−50
Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων
Σύστημα 4× 4
0 1 2 −11 0 1 1−1 1 0 −10 2 3 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣1427
εναλλαγές εξ.−−−−−−−−→
1 0 1 1−1 1 0 −10 1 2 −10 2 3 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣4217
Ε1+Ε2→Ε2−−−−−−−→
1 0 1 10 1 1 00 1 2 −10 2 3 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣4617
Ε3−Ε2→Ε3Ε4−2Ε2→Ε4−−−−−−−−→
1 0 1 10 1 1 00 0 1 −10 0 1 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣46−5−5
Ε4−Ε3→Ε4−−−−−−−→
1 0 1 10 1 1 00 0 1 −10 0 0 0
∣∣∣∣∣∣∣∣46−50
Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων Επίλυση Γενικών Συστημάτων
Η λύση
x4 = k,x3 = −5 + k,x2 = 11− kx1 = 9− 2kόπου k οποιοσδήποτεπραγματικός αριθμός.