ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ

3η Σειρά Ασκήσεων

Διδάσκοντες: Β. Χρηστάρας Καθηγητής

Β. Μαρίνος, Λέκτορας

Εργαστήριο Τεχνικής Γεωλογίας

και Υδρογεωλογίας ΑΠΘ

1. Υπολογισμός Διατμητικής Αντοχής Εδάφους • Συνοχή (c)

• Γωνία τριβής (φο)

2. Γεωστατικές τάσεις • Ολικές τάσεις

• Ενεργές τάσεις

• Πιέσεις πόρων

Γιατί μελετάμε τις τάσεις;

• Ανάλογα με το πώς κατανέμονται οι τάσεις στο

έδαφος ή στο βράχο, όπου κατασκευάζονται τα

τεχνικά έργα, εξαρτώνται οι παραμορφώσεις και

οι αστοχίες που μπορεί να προκληθούν στα

γεωυλικά. Υπολογίζονται είτε αναλυτικά είτε με

αριθμητικές μεθόδους (π.χ. πεπερασμένα

στοιχεία).

Γιατί μελετάμε τις τάσεις;

• Κατά την κατασκευή τεχνικών έργων οι τάσεις

μεταβάλλονται δραματικά. Ο βράχος ή έδαφος ο

οποίος εκσκάπτεται, περιείχε πριν τάσεις και

αυτές οι τάσεις πρέπει να παραληφθούν αλλού.

• Τα περισσότερα κριτήρια αστοχίας σχετίζονται

με τη παραμορφωσιμότητα και την αντοχή του

γεωυλικού και η ανάλυση αυτών περιλαμβάνει

τις τάσεις.

Τύποι τάσεων

• Υδροστατική τάση:

Οι τάσεις είναι ίδιες σε

όλες τις διευθύνσεις

• Θλιπτική

(συμπιεστική)

τάση

• Εφελκυστική τάση

• Διατμητική τάση

Διατμητικές τάσεις

• Διατμητική τάση (τ): Η

τάση που ασκείται

εφαπτομενικά σε ένα

επίπεδο

• Ορθή τάση (σn): Η τάση

που ασκείται κάθετα σε

ένα επίπεδο

Διατμητικές τάσεις

Από Δημόπουλος Γ.,

Σημειώσεις Τεχνικής Γεωλογίας από το διαδίκτυο

Διατμητικές τάσεις τxy στην οριακή κατάσταση αστοχίας

Παράδειγμα διατμητικής αστοχίας και

παραμόρφωσης γεωυλικού σε πρανές

Σημεία αστοχίας γεωυλικού στην οριακή κατάσταση αστοχίας

Σημεία διατμητικής αστοχίας

Σημεία αστοχίας σε

εφελκυσμό

Παράδειγμα διατμητικής αστοχίας και

παραμόρφωσης γεωυλικού

Ασκήσεις

2ο Μάθημα

1η Ενότητα

Κύκλος Mohr

Υπολογισμός Διατμητικής Αντοχής Εδάφους

•Συνοχή (c)

•Γωνία τριβής (φο)

Κύκλος Mohr

Ποιο είναι το πρόβλημα ? ? ?

Μπορούμε να υπολογίσουμε σε ένα

εδαφικό στοιχείο τα φορτία που δέχεται

(μέγεθος και φορά).

Θέλουμε να ξέρουμε εάν αστοχεί.

Δεν γνωρίζουμε, όμως, ποιο είναι το

κρίσιμο επίπεδο.

Γιατί η εντατική κατάσταση είναι

διαφορετική σε κάθε επίπεδο.

Επομένως, χρειάζεται να ξέρουμε, ΜΕ

ΚΑΠΟΙΟ ΤΡΟΠΟ, τους συνδυασμούς των

τάσεων που ασκούνται σε κάθε επίπεδο

σxx

σzz

τzx

τxz

x

z

τ σ

θ

σ

τ

Ψάχνω τις ακραίες σ

σ

τ

Ασκούνται σε επίπεδα, όπου τ = 0

Ονομάζονται κύριες τάσεις και τα

αντίστοιχα επίπεδα κύρια επίπεδα

σ3 = Ελάχιστη κύρια τάση

σ1 = Μέγιστη κύρια τάση

σ3 σ1

Ψάχνω τις ακραίες τ

σ

τ

Ασκούνται σε επίπεδα, όπου σ = (σ1 + σ3)/2

τmin = - (σ1 - σ3)/2

τmax = (σ1- σ3)/2

Άρα για τα άπειρα επίπεδα

τmin

τmax

σ3 σ1

σxx

σzz

τzx

τxz

x

z

τ σ

θ

Έστω ότι τα επίπεδα Α και Β

είναι τα κύρια επίπεδα

Α

B

σ

τ

Επομένως .......

τmin

τmax

σ3 σ1

Κύκλος Mohr

Συνεχίζοντας..... • Γνωρίζοντας τις τάσεις που ασκούνται σε δύο επίπεδα

μπορούμε να σχεδιάσουμε τον κύκλο του Mohr

• Αρκεί, όμως, αυτό ????

• ΟΧΙ.....Γιατί ξέρουμε τους συνδυασμούς των τάσεων, αλλά

δεν ξέρουμε σε ποιο επίπεδο εφαρμόζεται ο καθένας

• Επομένως, εκτός από τις τάσεις σε δύο επίπεδα

χρειαζόμαστε και τη διεύθυνση ενός εξ αυτών για να

βρούμε……

Τον πόλο των επιπέδων

σ

τ

Άρα

σ3 σ1

τ θ

σ1

σ3

σn

σn

τ

Π

Π΄

σ

τ

Άρα

σ3 σ1

σ3

σ1

τ σn

θ

σn

τ

Περιβάλλουσα

θραύσης

φ

c

Κέντρο κύκλου: (σ1 + σ3 ) / 2

r

Ακτίνα: (σ1 - σ3 ) / 2

τ = c + σn tanφ

σ

τ

Άρα

σ3 σ1 σn

τ

φ

c

(σ1 + σ3 ) / 2

Περιβάλλουσα

θραύσης

θ

σ3

σ1

τ

σn

θ

ω

ω

Υπολογισμός παραμέτρων

διατμητικής αντοχής

(Συνοχή c και γωνία τριβής φ)

Άσκηση A1*

•Κατά τη στιγμή της θραύσης σε τριαξονική δοκιμή

αδιατάρακτου αργιλικού δείγματος μετρήθηκαν

σn=64Kg/cm2, τf=22Kg/cm2 και γωνία της επιφάνειας

θραύσης με τον άξονα σ1, θ=35ο .

•Να βρεθούν

• σ1 και σ3

• γωνία τριβής φ και συνοχή c του δείγματος.

* Άσκηση από «Προβλήματα Τεχνικής Γεωλογίας», Γ. Δημόπουλος & Θ. Μακεδών, 2008

Άσκηση A1

• Δεδομένα: σn=64Kg/cm2 και τ=22Kg/cm2

•Η επιφάνεια θραύσης σχηματίζει γωνία θ 35ο με την

κύρια τάση σ1

•Κατά τη διεξαγωγή τριαξονικής δοκιμής σε δοκίμιο

βράχου με δύο κάθετες μεταξύ τους προχαραγμένες

επιφάνειες, η μία από τις οποίες σχηματίζει γωνία 60ο

με την κύρια τάση σ1, παρουσιάστηκε αστοχία του

δοκιμίου πάνω σε αυτές τις επιφάνειες όταν

εφαρμόστηκαν κύριες τάσεις σ1=80Kg/cm2 και

σ3=30Kg/cm2.

Άσκηση A2*

•Να προσδιοριστούν οι ορθές και διατμητικές τάσεις

σn και τα που αναπτύχθηκαν κατά τη διάρκεια της

δοκιμής πάνω στις δύο αυτές επιφάνειες, καθώς και

οι γωνίες τριβής τους φ1 και φ2.

* Άσκηση από «Προβλήματα Τεχνικής Γεωλογίας», Γ. Δημόπουλος & Θ. Μακεδών, 2008

Άσκηση A2 • Δεδομένα: σ1=80Kg/cm2 και σ3=30Kg/cm2

•Η μία επιφάνεια σχηματίζει γωνία 60ο με την κύρια

τάση σ1

Ασκήσεις

2η Ενότητα

Άμεση Διάτμηση

σ΄ τ

Δοκιμή άμεση διάτμησης

Συνοχή c=0

τ = c + σn tanφ tan

Πειραματικός υπολογισμός διατμητικής

αντοχής ασυνεχειών

Διάγραμμα διατμητική τάσης (τ) –

μετατόπισης (Δl)

• Σχεδιασμός διαγράμματος τ – Δl.

•Υπολογισμός μέγιστης διατμητικής τάσης η οποία

αντιστοιχεί στη διατμητική αντοχή (τf)

•Υπολογισμός παραμένουσας διατμητικής αντοχής (τr)

τf

τr

σn

τf

τr

Διάγραμμα διατμητική τάσης (τ) –

μετατόπισης (Δl)

• Σχεδιασμός διαγράμματος τ – Δl.

•Υπολογισμός μέγιστης διατμητικής τάσης η οποία

αντιστοιχεί στη διατμητική αντοχή (τf)

•Υπολογισμός παραμένουσας διατμητικής αντοχής (τr)

τf

τr

σn

τf

τr

• Σχεδιασμός δεκαδικού διαγράμματος σn– τ από ζεύγη τιμών

(επανάληψη της δοκιμής για διαφορετικό σn)

•Σχεδιασμός της ευθείας – περιβάλλουσας θραύσης (Γραμμική

εξίσωση Mohr-Coulomb)

•Υπολογισμός φ (εκτός αν έχει συνοχή λόγω συγκόλλησης και c)

Άσκηση B1*

•Σε δείγμα αμμώδους ιλύος χωρίς συνοχή εκτελέστηκε

δοκιμή άμεσης διάτμησης. Η ορθή τάση ήταν

σn=65KPa και η διατμητική τάση που μετρήθηκε κατά

την αστοχία τ=41KPa. Να σχεδιαστεί ο κύκλος του

Mohr κατά την αστοχία και να προσδιοριστούν:

Ζητούμενα:

• Οι κύριες τάσεις σ1 και σ3, η γωνία τριβής φ και η τmax

• Η κλίση του επιπέδου αστοχίας

• Η κλίση των κυρίων επιπέδων (επιπέδων πάνω στα

οποία δρουν οι κύριες τάσεις σ1 και σ3) καθώς και του

επιπέδου της μέγιστης διατμητικής τάσης τmax

* Άσκηση από «Προβλήματα Τεχνικής Γεωλογίας», Γ. Δημόπουλος & Θ. Μακεδών, 2008

1. Από το σημείο τ-σn (A) φέρνω κάθετη στη ευθεία - περιβάλλουσα θραύσης. Το σημείο Κ

που τέμνει τον άξονα σn είναι το κέντρο του Κύκλου Mohr. 2. Η απόσταση ΑΚ είναι και η ακτίνα του κύκλου

3. Πάνω στον άξονα των ορθών τάσεων σn μετρώ ΑΚ προς τα αριστερά και βρίσκω την σ3

και δεξιά και βρίσκω την σ1

4. Από το Α φέρνω παράλληλη προς την επιφάνεια θραύσης και βρίσκω τον πόλο (Π)

5. Ενώνω το σ3 με το Π και η γωνία ισούται με θ(ο)

6. Ενώνω το σ1 με το Π και η γωνία ισούται με 90-θ(ο)

7. Ενώνω το σ3 με το Α και η γωνία ισούται με 45ο+ φ/2

8. Ενώνω το σ1 με το Α και η γωνία ισούται με 45ο- φ/2

Συνοχή c=0 σ1 σ3

Π Α

θ Κ

ΑΚ ΑΚ

Άσκηση B1

Γεωστατικές τάσεις

Γεωστατικές τάσεις

Είναι οι τάσεις που αναπτύσσονται στο εσωτερικό του εδάφους

λόγω του ιδίου βάρους του υπό στατικές συνθήκες

Η διαδικασία που θα μάθουμε ισχύει μόνο για οριζόντια επιφάνεια

εδάφους

Γεωστατικές τάσεις

Έστω οριζόντια εδαφική επιφάνεια

ρ = Πυκνότητα εδάφους

g = Επιτάχυνση της βαρύτητας

γ = Ειδικό βάρος εδάφους

γ = ρg

h

Γεωστατικές τάσεις

1. Η ολική τάση (σ): Η δύναμη η οποία ασκείται επί

επιπέδου στην μάζα του εδάφους, αν θεωρήσουμε το

έδαφος ένα εννιαίο στέρεο υλικό.

2. Η πίεση πόρων (u): Αποτελεί την πίεση του νερού που

βρίσκεται μέσα στα κενά, ανάμεσα στα σωματίδια το

εδάφους.

3. Η ενεργή τάση (σ΄): Αποτελεί τη τάση που μεταδίδεται

μόνο στον «σκελετό» - επιφάνεια επαφής των

σωματιδίων.

Γεωστατικές τάσεις (Ενεργές τάσεις)

s =s '+u

s ' =SN '

A

s =P

A

P= SN '+uAP

A=

SN '

A+u

s =s '+u

Όπου P η φόρτιση που ασκείται στην

επιφάνεια Α, κατά μήκος επιπέδου Χ-Χ.

Η δύναμη που ασκείται ανάμεσα στους

κόκκους αναλύεται σε ορθή (Ν΄) και

διατμητική (Τ).

Γεωστατικές τάσεις (Ενεργές τάσεις)

s =s '+u

u=gwz

s 'v =s v -u= (gsat -gw)z=g 'z

s v =gsatz

Γεωστατικές τάσεις

h

σv = γh τ = 0

σh= koσv

τ = 0

Άρα οι σv, σh είναι κύριες

τάσεις και μάλιστα αφού

συνήθως ko <1

σv σ1

σh σ3

σv = ? τ = ?

Γεωστατικές τάσεις

h

σv = γh τ = 0

σh= koσv

τ = 0

ko = ν / (1-ν) Με βάση τη θεωρία

της ελαστικότητας

Γεωστατικές τάσεις

Τι γίνεται, όμως, όταν υπάρχει και νερό ?

Δηλαδή, υπάρχει και υπόγειος υδροφόρος

ορίζοντας.....

Γεωστατικές τάσεις

Έστω οριζόντια επιφάνεια υπόγειου υδροφόρου ορίζοντα

Το τμήμα του εδάφους που βρίσκεται εντός του Υ.Υ.Ο. δέχεται άνωση

h

Για τη μελέτη του φαινομένου ορίζουμε το μέγεθος της ενεργού τάσης

hw

As

Aw

Αtot = As +Aw

ΣFw

ΣFs

σ΄=ΣFs/Atot

As

Αtot = As +Aw

Aw

Γεωστατικές τάσεις

h

σv = γh

σv = σv΄+u

σh= σh΄ +u

τ = τ΄ = 0

σh΄= koσv΄

u = γwhw

τ = τ΄ = 0

hw

Σημείωση:

Σε ένα επίπεδο

ακόμη και αν η

συνολική τ δεν είναι

μηδέν ισχύει πάντα

τ = τ΄

Γιατι?

Γιατί, όπως ξέρετε και

από τη Μηχανική των

Ρευστών, τα ρευστά

δεν παραλαμβάνουν

διάτμηση.

Γεωστατικές τάσεις

Διαδικασία υπολογισμού τάσεων

σv = γh u = γwhw σv΄ = σv-u

σh΄ = koσv σh΄ = σh-u

h hw

Παράδειγμα υπολογισμού ολικών (σν) και ενεργών τάσεων (σ’ν) και πιέσεων πόρων (u)

Για την άργιλο: γκορ=19 kN/m3

Για την άμμο: γκορ=20kN/m3

Για την άμμο: γξηρ=17 kN/m3 (πάνω από τον υδροφόρο ορίζοντα

Άμμος

Άργιλος

Υ.Ο.

Γεωστατικές τάσεις

Άσκηση Γ1* •Για τη γεωστατική εντατική κατάσταση της εδαφικής

τομής του σχήματος να συμπληρωθεί ο πίνακας:

* Άσκηση από μάθημα «Εδαφομηχανική Ι» της Σχολής Πολ. Μηχ/κων του Ε.Μ.Π

Άσκηση Γ1 •Για τη γεω¬στατική εντατική κατάσταση της εδαφικής

τομής του σχήματος να συμπληρωθεί ο πίνακας:

Άσκηση Γ2 •Για τη στρωματογραφία του σχήματος ζητούνται:

•Η ολική τάση στο σημείο Μ.

•Ο συντελεστής ωθήσεως γαιών Κο αν, με κατάλληλη διάταξη,

μετρήθηκε η ολική οριζόντια τάση σh = 167.5 kPa.

* Άσκηση από μάθημα «Εδαφομηχανική Ι» της Σχολής Πολ. Μηχ/κων του Ε.Μ.Π

Βιβλιογραφία

1. Craig R.F. (2003). Craig’s Soil Mechanics. Spon Press.

2. Δημόπουλος Γ. (2008). Τεχνική Γεωλογία. Εκδόσεις Αφοί Κυριακίδη.

3. Δημόπουλος Γ & Μακεδών Θ., (2008). Προβλήματα Τεχνικής Γεωλογίας. Εκδόσεις Τζιόλα, Θεσσαλονίκη.

4. Καββαδάς Μ. Σημειώσεις μαθήματος Εδαφομηχανική Ι, Σχολή Πολ. Μηχ/κων, Ε.Μ.Π.

5. Φορτσάκης Π. Παρουσιάσεις ασκήσεων Εδαφομηχανική Ι, Σχολή Πολ. Μηχ/κων, Ε.Μ.Π.

6. Χρηστάρας Β. , Χατζηαγγέλου Μ. (2011). Απλά βήματα στην εδαφομηχανική. University Studio Press.