Download - ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (4in1)

Transcript
Page 1: ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (4in1)

���30

������� 1: ����� ����� ����

������ 1.2:

������� ���������� � !�"! #$����% ������� ���������� � !�"! #$����%

&������% ' (��%

����������

������������� ��� �

�������

�� ����������

�� ���������� ������

�� �� ���������������

!� " ��#����� �����$

%� &� '����( ��� �#�#���$��#�#�)*+,-./0�+

����������� ���������������������������� ����!�" ��# $#�%&�����

%� &� '����( ��� �#�#���$��#�#�)*+,-./0�+

1� ���2��� ��3���2�����������

&������ �2��� ��������$

�� �4$�5#�" ����$���� �����$

�� "�� �6� ���$ �����$�(�2��2���#

����4$�5#�7 8�� ���9��$ �����2:��

8��������

�. # "$% � � ������� %

�) ��$� ) � � ������� % ����):

�"�"�* �

� �� ����� (�� $!�% �)% )*)$����% ! +�������

� �� ��� ��� ��� ��� * ! +�� �,�� ��% " ��% �" � (�� �� )����� (��

���������)% " !�"! #$����%.

����������� ���������������������������� ����!�" ��# $#�%&�����

���������)% " !�"! #$����%.

�"�"�* -

� (-)

�"�"�* �

� (-)

-. ������1. � +��)�� )1. ��)��$% � +����� �

'���������� ���������������������������� ����!�" ��# $#�%&�����

��� ������� ������������������������������� !����"��������������#� ����$%&��$�����#� ���$�����'

���#���� �� ����$#��� ��$����� ��(� ��$#��� ��$����#���)�����#�*#����$%&��$����� ����#���$�����'

log x

bx a b aανν= =

logb a

)�����#�*#����$%&��$����� ����#���$�����'

� ����*��+����:3

2

4

3

3

5

2 2

1/4 2

log 8 3 2 8

log 81 4 3 81

log 125 3 5 125

1 1 1log 1 /16 2

4 4 16

αϕο

αϕο

αϕο

αϕο

= =

= =

= =

� �= = =� �

� �

Page 2: ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (4in1)

-. ������1. � +��)�� )2. &��*)# � � +��)�� )

(���������� ���������������������������� ����!�" ��# $#�%&�����

� ��� ���30, �� *�� #�� ��.���) � /��� � � ! +����� �, �� ��� ����) $�) �

/��� ����) � 2, ��� �� ���0��$����� �� *��*)# (% ! +��)�� �%

�1��) �� �2�% ��� ����):

� �% * (�� � �% *��*)# (% ! +��)�� �% #�" )�� 0��)#3� ��)��3�:

; ./0;

2log logx x=

; ./0;; ./0;

1 log1=0

2 log2=1

4 log4=2

8 log8=3

16 log16=4

32 log32=5

64 log64=6

1024 log1024=10

; ./0;

2048 log2048=11

4096 log4096=12

8192 log8192=13

220 log220=20

230 log230=30

240 log240=40

-. ������1. � +��)�� )3. *)$����% ��� � +������� (&�����)% �� � +��)�� �%)

)���������� ���������������������������� ����!�" ��# $#�%&�����

�4*� �"$ ��� "� �+ (���� *)�0���)� ����) ��0,% $�) )��(�):

� &�!�*� �#�,��% � � ��)�� ( «",0��)» �"� ��� �"$ � � ! +��)�� .

� �� �,2�� $�) ��*,����) ! +��)�� % �� ����) �5��,� % �� #�" )� *(����:

log logK

b ba K a=

� �� �,2�� $�) ��*,����) ! +��)�� % �� ����) �5��,� % �� #�" )� *(����:

� �$�� ���$ �� � ���"��)�� (�� #�) �% �2�%:

� 6�) "� � �� $�) �#�,��% ���$% &�� «",0��)».

� �� 5�. ���%: #�) �)*)#� +)� *��*)# (% ! +��)�� �%:

(log )Xb a

log Xb a

log log

log (log )

K

b b

X X

b b

a K a

a a

=

=

log log

log (log )

K

X X

a K a

a a

=

=

-. ������1. � +��)�� )3. *)$����% ��� � +������� (�!!�+� -���%)

*���������� ���������������������������� ����!�" ��# $#�%&�����

��)� ������)#� )*)$����, ����)�� $��� ,� ��� �� �" ! +�� ��� #�" ) �

! +��)�� �� «"�����+�» /���, ����) � �#$! ���:

loglog

log

cb

c

aa

b=

� � )*)$���� ���� ����) " !( ����)�� $��� � /��� #�) �*) % ��)��$% ����)

*(���� � � 2.

� ����*��+����:

28

2

64

39

3

log 32 5log 32 1.66

log 8 3

log 2048 11log 2048 1.83

log64 6

log 27 3log 27 1.5

log 9 2

= = =

= = =

= = =

-. ������1. � +��)�� )3. *)$����% ��� � +������� (� +��)�� % �)� �,� � #�) 6!����� %)

+���������� ���������������������������� ����!�" ��# $#�%&�����

� ��( �� #�) ) �2�% *( )*)$����%:

log ( ) log log

log log log

b b b

b b b

xy x y

xx y

y

= +

= −

� 6�) �)*)#� +)� *��*)# (% ! +��)�� �%:

���+�!� "� � �� �� ��� "������� " ����. � ! +��)�� % ,��) "�*�

�0��� +�%:

� ���� ��� "�������� " � ����) �,�� ��)% "�����,��)%

� ���� � ����� �"$��� �� )��� �� *�� �"��� �� "�����,��)%

� �� � �� ! )"$�: ���

log( ) log log

log log log

xy x y

xx y

y

= +

= −

log (log )b bxy x y= ⋅ log log ( )b bxy xy≠

Page 3: ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (4in1)

-. ������1. � +��)�� )3. *)$����% ��� � +������� (�#0���� �% *(����)

,���������� ���������������������������� ����!�" ��# $#�%&�����

�1� ��� #�) ��� �2�% (" !( ������)#�) )*)$����

� �0��� +,%:

logb xb x=

25

10

log 2

log ( )

5

10

n

n n

n

n n+

=

= +

� � )*)$���� ���� �� ��% 0���� )*)������ ����)�� $��� �� )������� ���

���������)% " !�"! #$����%, $" � �� �#0��. ��� �)% ���������)% �%

�#���)#,% �� /��� 2.

� ����*��+����: 22 log

log4 log4 2

2

4 2 2 2n

n

n n n

n =

= = =

10log ( )10

n nn n

+= +

-. ������1. � +��)�� )4. ���0)#� ��������� ��% f(x)=log x

������������ ���������������������������� ����!�" ��# $#�%&�����

� ��� ���30 ��!����� ��� ���"��)0 �� ����������� ����"���)#� (�� �"�)� )

� �% ��2 ��� �)� ���)� ���� +��0)#� "�������� ��% f(x)=log x:

� ������� (�� $�):

� � f(x) ��2���) " !( ��+� (��� ����) �)#�$���� �"$ " )�*�" ��" !�����)#� ���������).

����$� ����"���)#� "�,"�) �� +����. ��� $�) �����) �� �"�)� .

-. ������1. � +��)�� )5. &)"!$% #�) ��)"!$% � +��)�� %

������������ ���������������������������� ����!�" ��# $#�%&�����

��� �������� ��� #�) �)% �2�% ���������)%:

��% ���� � +��0��% ������ )�� ��� �����������:

1

2

( ) log log

( ) log log log

f n n

f n n

=

=

��% ���� � +��0��% ������ )�� ��� �����������:

�1��) ".�. ,� ���:

� �)� �)% " ��% �� "�,"�) �� +����. ���:

� �!!� #�) $�) ����"���)#� ���� �� �"���% �� �"�)�

1

2

( ) log(log )

( ) log(log(log ))

f n n

f n n

=

=

log(log 256) log(8) 3

log(log(log16)) log(log 4) log(2) 1

= =

= = =

log log log log log logn n n< <

�. ��� * ! +�� ��#�����1. �� 5� *) ����� � +�������

������������ ���������������������������� ����!�" ��# $#�%&�����

���<��#���= �� <��#����

-�.!�&�

��/��.����0. ��1 �

log x

bx a b aανν= = log 2xx a aανν= =

log ( ) log logb b bxy x y= + log( ) log logxy x y= +

x x��/��.����2#�!�����

3##�/�4�!��

� ��� !�� ��.��&

�� ���!�� #�/��.���

5%6��!�"��� ���

log log logb b b

xx y

y= − log log log

xx y

y= −

loglog

log

cb

c

aa

b=

loglog

log 2

c

c

aa =

log logK

b ba K a= log logKa K a=

log (log )X X

b ba a= log (log )X Xa a=

logb xb x= log2 x x=

Page 4: ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (4in1)

�. ��� * ! +�� ��#�����2. ������� ���������� � !�"! #$����%

� �����% �#03���� �2�������:

� 6�) ��% *�� �� 5-6 ���������)%.

� ��� "���"���� ���� �# ! �� (�� ��� ������� ��� * ! +�� " �

���������) ��� �2�% /�����:

������������ ���������������������������� ����!�" ��# $#�%&�����

��������� �� �(2 ��� ��)�� ����"���)#�% " !�"! #$����% �)%

"���#��� ���������)%

���������) ��� �2�% /�����:

1. -���# ��� � �(.) ��� ����������� �� �"�)�����).

1. �� ) ���������)% �" � (� �� ��2)� ��� (� (*�!�*� *�� �"����)

#�" )� �"� �*)$�)��� ���������) *�� ��� ��� )������� � �%,

�!!)3% "� ������ �� /��� 2

2. �#0��. ��� ��� �)% ���������)% �% �#���)#,% �� /��� � 2,

����)� " )3���% ��� )*)$����

3. 6�� ��� "��2�)% �� �% �#�,��% ��� ����������� (������% )*)$����%

! +�������)

4. �+#��� ��� � �% �#�,��% ��� ����������� #�) ����0,� ��� �

�" �,!���� ��)% ���)#,% ���������)%

log2 xx =

�. ��� * ! +�� ��#�����2. ������� ���������� � !�"! #$����%1.�(���� � � �(.)

� � "� �+ (��� ������ ��*��� "�% �" � (�� �� �2�+ ��� � �(.) �)�%���������%.

� �)� ��� �2�+�+� � � �(.) �"�)�����) �� ,� ��� «#����� ��� ������» *�!�*� �� "�,"�) +)� �� �" 0��� (�� �� �# ! ���� ��� �)% �2�%�������)%:

� �� #�� ��� �� �).)#� *�����)%.

�'���������� ���������������������������� ����!�" ��# $#�%&�����

� �� #�� ��� �� �).)#� *�����)%.

� �� #�� ��� �)% $" )�% "��2�)% *������� �"��� ��.

� �� �" ! +�� ��� �� #!������ ��)��3� #�) �� �� �#0��� ��� �%*�#�*)# (% ��)�� (%.

� �� #�� ��� �)% $" )�% �")���)��)#,% )*)$����%.

� ����7�! � �(���� � � �(.) ����) "� �)���)#�. &�!�*�:

� �� #���� ��������� *�� ,��) ��� ������ $��� � *�� �"��� ��������,% " !!�"!��)���,��% �� �)% ���������)%, � /��� ���$"���!��"���)!

����$� , �� ,��� ��� ��������� �"�)��� ��� �(���� � � �(.), �$����7���� 6� �� "�,"�) �� "�� ��� �(.) �� $!�% �)% ���������)%.

�. ��� * ! +�� ��#�����2. ������� ���������� � !�"! #$����%1.�(���� � � �(.)

� �% � * (�� �� ,�� "���*�)+��:

�(���������� ���������������������������� ����!�" ��# $#�%&�����

� ������� (�� $�) ,� ��� ��� ������ #�) ������,% " !/��% �� �)%

���������)%, ��� 2�#)���� ���� �"������ �� ��� �(���� � � �(.)

�. ��� * ! +�� ��#�����2. ������� ���������� � !�"! #$����%2.�#���)#,% �� /��� � 2

� �� ��)% ���������)% " � ,� ��� ���� �� �(.) ,� ��� ��� � �

�"� �*)$�)��� ��������� �$�� �#0��. ��� ��� �)% ���������)%

(����7�! 8�) ,��) /+�) �� �(.) ) �% �#���)#,% �� /��� � 2.

� �% * (�� ��� �2,!)2� ��% �"������% �� "� �+ (��� "���*�)+��:

�)���������� ���������������������������� ����!�" ��# $#�%&�����

Page 5: ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (4in1)

�. ��� * ! +�� ��#�����2. ������� ���������� � !�"! #$����%3.���2�)% �� �% �#�,��% ��� �����������

�1"�)�� �" � �3� ��� � �% �#�,��% ��� ����������� #�) #�� ��� �)%

"��2�)% ��� ! +������� " � ,� �� ��0��)���� �� ��� (%.

� �$� % #�) "�!) ����) �� ,� ��� #����� ��� ������ #�) �� ,� �� ",��) $!�%

) *�����)% " � ����) �� �% ��)�� (% ��� ! +�������

� � "���*�)+�� " � ��!�����

�*���������� ���������������������������� ����!�" ��# $#�%&�����

�. ��� * ! +�� ��#�����2. ������� ���������� � !�"! #$����%4.(+#�)�� ��� �#���3�

� ��!)#� /�. ��� �� ��� �(2 ��� ��)�� � �% �#�,��% ��� �����������, �0 (

���� �)% "��2�)% �� ,� �� �������"�� �� ��� �"$ �)% +����,% � �0,%.

-��)#$ *�+$ �� )��� +)� �� �" 0��� (�� ����) "���#�% �� �)% +����,%

� �0,% ����������� " !�"! #$����%.

� �� � ��!!! �� � "�������� " � ,��) "� #(5�) ����) "���"! #� (�� ���

,�� )� $�) ,� �� "� #(5�) +)�$���� �/#�) ��� ������, �$��:

�+���������� ���������������������������� ����!�" ��# $#�%&�����

,�� )� $�) ,� �� "� #(5�) +)�$���� �/#�) ��� ������, �$��:

� ��� "�. ��� � � ��+�!(��� $� �"$ $� �% ����) ���� "��������

� �� "���"��� �"$ ��� ���������)% ,� �� � � �*) ��+�!(��� $� ,

�$�� �" 0���. ��� " )� ����) ��+�!(���� �"$ ���,%:

� # )�3���% � � ��,��% �"$��� $� �� � � " � ����)

" !!�"!��)���,�� � ���������. �.�:

� �� ,� ��� #�) "�!) )� "�!��, �$�� # )���� #�) � � �"$��� $�

� � ��� ����� %. �.�.:

� � /��� ���$, ) ������,% ,� �� �������! 9�� *�� "���!��"���)

#��,��% �"$ � �% $� �% " � ,� �� "� #(5�).

5 6 logn n n n< <

2 4 2 logn n n+ < +

� �)� ��� �"$0��� ��% )�������% ���)�.$����� �"$ ��� ������ $�)

�8" � ,� ��� "!, � ") ���!��)#�:

�. ��� * ! +�� ��#�����2. ������� ���������� � !�"! #$����%4.(+#�)�� ��� �#���3�

�,���������� �������������������3 �# !��.�7.%�!�.%8 3#/�����"

���������������� ������������ ���������������������������������

( ) (1)nΤ = Θ )(log)( nn kΘ=Τ )()( knn Θ=Τ )()( nan Θ=Τ )!()( nn Θ=Τ

)()( nnn Θ=Τ

�8" � ,� ��� "!, � ") ���!��)#�:

���'����$ �����$ �6�2�

������ �(1)

����� �� 6� � 6>1 �������

«#����$» n

������ 6� � 6 �������

«#����$» n

�6��� 6� 1<a<2, �,/: �����,%

«#����$» n

����6��� 6� «#����$» n

log log log logKn n n< <

2 3 ... Kn n n n< < < <

... 2 3 ...n n n na b< < < < <

! nn n<

�. ��� * ! +�� ��#�����2. ������� ���������� � !�"! #$����%4.(+#�)�� ��� �#���3�

�1��) #!��� ��� � "���*�)+�� " � ��!����� �% �2�%:

������������ ���������������������������� ����!�" ��# $#�%&�����

��(�):

9�� ,"���):

23log log 2.32n n n< <

1 2 3f f f< <

Page 6: ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (4in1)

�. ��� * ! +�� ��#�����2. ������� ���������� � !�"! #$����%� �% * (�� �3�� "�% "�,"�) �� ����) � �"������ ��% ��)% �2�����)%:

������������ ���������������������������� ����!�" ��# $#�%&�����

�. ��#���)%��#��� 6����$���% 1

� " ! +���� � �% �#$! �� �% ! +����� �% ����% ��� ����� �" ! +)���. ��

*�� �" ����� �� � � �" ! +����� �#�)/3%, �#�)����� ����2( " )�� *(

0��)#3� ��)��3� ���#�) ! +��)�� %

������������ ���������������������������� ����!�" ��# $#�%&�����

5

4

1.log 25

2.log 644

8

3

4

9

6

2.log 64

3.log 64

4.log7

5.log 45

6.log 62

7.log 33

8.log 80

9.log 244

�. ��#���)%��#��� 6����$���% 2

� " ! +���� � �% �#$! �� �% ! +��)�� �% #�� ���% �!!�+� /���%:

������������ ���������������������������� ����!�" ��# $#�%&�����

128

4

1.log 32

2.log 5124

9

4

2.log 512

3.log 27

4.log 1/ 2

�. ��#���)%�0��� +� 1

� ��������� �)% "���#��� ���������)% �� �(2 ��� ��)�� ����"���)#�%

" !�"! #$����%:

�'���������� ���������������������������� ����!�" ��# $#�%&�����

log

1

log

2

( ) 1.5

( ) 10log

( ) 0.005log

n

n

n

f n n

f n n

f n n

=

=

=3

4

( ) 0.005log

( ) 1.15

n

n

f n n

f n n

=

=

Page 7: ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (4in1)

�. ��#���)%�0��� +� 2

� ��������� �)% "���#��� ���������)% �� �(2 ��� ��)�� ����"���)#�%

" !�"! #$����%:

�(���������� ���������������������������� ����!�" ��# $#�%&�����

log

1

5 2 6

2

( ) 8log 4

( ) 10( )

n nf n n n n

f n n n n

= +

= + +

2 5 7

3

4

4

( )

( ) log n

f n n n n

f n n

= ⋅ +

=

�. ��#���)%�0��� +� 3

� ��������� �)% "���#��� ���������)% �� �(2 ��� ��)�� ����"���)#�%

" !�"! #$����%:

�)���������� ���������������������������� ����!�" ��# $#�%&�����

1

2

( ) 3

( ) log( )

n

n

f n

f n n

=

=

log

3

5

4

( ) 2

( ) ( )

n

n

f n

f n n

=

=