Γραμμική Αλγεβρα
Ορίζουσες
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
14 Ιανουαρίου 2014
Ορίζουσα Πίνακα A, det(A), |A|
Ορισμός
Ορίζουσα είναι μια απεικόνιση του Rn×nστο R
τέτοια ώστε
1 Εξαρτάται γραμμικά απο την πρώτη γραμμή του πίνακα
2 Εάν εναλλαχθούν οι γραμμές του πίνακα αλλάζει πρόσημο
3 |I | = 1
Ορίζουσα Πίνακα A, det(A), |A|
Ορισμός
Ορίζουσα είναι μια απεικόνιση του Rn×nστο R τέτοια ώστε
1 Εξαρτάται γραμμικά απο την πρώτη γραμμή του πίνακα
2 Εάν εναλλαχθούν οι γραμμές του πίνακα αλλάζει πρόσημο
3 |I | = 1
Ορίζουσα Πίνακα A, det(A), |A|
Ορισμός
Ορίζουσα είναι μια απεικόνιση του Rn×nστο R τέτοια ώστε
1 Εξαρτάται γραμμικά απο την πρώτη γραμμή του πίνακα
2 Εάν εναλλαχθούν οι γραμμές του πίνακα αλλάζει πρόσημο
3 |I | = 1
Ορίζουσα Πίνακα A, det(A), |A|
Ορισμός
Ορίζουσα είναι μια απεικόνιση του Rn×nστο R τέτοια ώστε
1 Εξαρτάται γραμμικά απο την πρώτη γραμμή του πίνακα
2 Εάν εναλλαχθούν οι γραμμές του πίνακα αλλάζει πρόσημο
3 |I | = 1
Εξαρτάται γραμμικά απο την πρώτη γραμμή
Εαν οι πίνακες A,B,C ταυτίζονται απο την 2η γραμμή του και
κάτω και η 1η γραμμή του A είναι γραμμικός συνδυσμός της 1ων
γραμμών των B και C τότε η |A| είναι ο ίδιος γραμμικός
συνδυσμός των |B| και |C |.
∣∣∣∣ a+ ta′ b + tb′
c d
∣∣∣∣ =∣∣∣∣ a bc d
∣∣∣∣+ t
∣∣∣∣ a′ b′
c d
∣∣∣∣
Εξαρτάται γραμμικά απο την πρώτη γραμμή
Εαν οι πίνακες A,B,C ταυτίζονται απο την 2η γραμμή του και
κάτω και η 1η γραμμή του A είναι γραμμικός συνδυσμός της 1ων
γραμμών των B και C τότε η |A| είναι ο ίδιος γραμμικός
συνδυσμός των |B| και |C |.∣∣∣∣ a+ ta′ b + tb′
c d
∣∣∣∣ =∣∣∣∣ a bc d
∣∣∣∣+ t
∣∣∣∣ a′ b′
c d
∣∣∣∣
Αν εναλλαχθούν δύο γραμμές αλλάζει πρόσημο
∣∣∣∣ a bc d
∣∣∣∣ = − ∣∣∣∣ c da b
∣∣∣∣
Συμπεράσματα
Η 1η γραμμή δεν είναι κάτι το ιδιαίτερο
Η 1η ιδιότητα γίνεται ¨Η ορίζουσα εξαρτάται γραμμικά απο
κάθε γραμμή της ξεχωριστά’
Αν εναλλαχθούν δύο γραμμές αλλάζει πρόσημο
∣∣∣∣ a bc d
∣∣∣∣ = − ∣∣∣∣ c da b
∣∣∣∣Συμπεράσματα
Η 1η γραμμή δεν είναι κάτι το ιδιαίτερο
Η 1η ιδιότητα γίνεται ¨Η ορίζουσα εξαρτάται γραμμικά απο
κάθε γραμμή της ξεχωριστά’
Αν εναλλαχθούν δύο γραμμές αλλάζει πρόσημο
∣∣∣∣ a bc d
∣∣∣∣ = − ∣∣∣∣ c da b
∣∣∣∣Συμπεράσματα
Η 1η γραμμή δεν είναι κάτι το ιδιαίτερο
Η 1η ιδιότητα γίνεται ¨Η ορίζουσα εξαρτάται γραμμικά απο
κάθε γραμμή της ξεχωριστά’
Ιδιότητες ορίζουσας (4-8)
Εάν δυο γραμμές είναι ίδιες τότε η ορίζουσα είναι μηδέν
Η αφαίρεση ενός πολλαπλάσιου μιας γραμμής απο μια
άλλη αφήνει την ορίζουσα αναλοίωτη
Η ορίζουσα ενός πίνακα με μηδενική γραμμή είναι μηδέν
Η ορίζουσα ενός τριγωνικού πίνακα ισούται με το γινόμενο
των στοιχείων της διαγωνίου
A αντιστρέψιμος ανν |A| 6= 0
Ιδιότητες ορίζουσας (4-8)
Εάν δυο γραμμές είναι ίδιες τότε η ορίζουσα είναι μηδέν
Η αφαίρεση ενός πολλαπλάσιου μιας γραμμής απο μια
άλλη αφήνει την ορίζουσα αναλοίωτη
Η ορίζουσα ενός πίνακα με μηδενική γραμμή είναι μηδέν
Η ορίζουσα ενός τριγωνικού πίνακα ισούται με το γινόμενο
των στοιχείων της διαγωνίου
A αντιστρέψιμος ανν |A| 6= 0
Ιδιότητες ορίζουσας (4-8)
Εάν δυο γραμμές είναι ίδιες τότε η ορίζουσα είναι μηδέν
Η αφαίρεση ενός πολλαπλάσιου μιας γραμμής απο μια
άλλη αφήνει την ορίζουσα αναλοίωτη
Η ορίζουσα ενός πίνακα με μηδενική γραμμή είναι μηδέν
Η ορίζουσα ενός τριγωνικού πίνακα ισούται με το γινόμενο
των στοιχείων της διαγωνίου
A αντιστρέψιμος ανν |A| 6= 0
Ιδιότητες ορίζουσας (4-8)
Εάν δυο γραμμές είναι ίδιες τότε η ορίζουσα είναι μηδέν
Η αφαίρεση ενός πολλαπλάσιου μιας γραμμής απο μια
άλλη αφήνει την ορίζουσα αναλοίωτη
Η ορίζουσα ενός πίνακα με μηδενική γραμμή είναι μηδέν
Η ορίζουσα ενός τριγωνικού πίνακα ισούται με το γινόμενο
των στοιχείων της διαγωνίου
A αντιστρέψιμος ανν |A| 6= 0
Ιδιότητες ορίζουσας (4-8)
Εάν δυο γραμμές είναι ίδιες τότε η ορίζουσα είναι μηδέν
Η αφαίρεση ενός πολλαπλάσιου μιας γραμμής απο μια
άλλη αφήνει την ορίζουσα αναλοίωτη
Η ορίζουσα ενός πίνακα με μηδενική γραμμή είναι μηδέν
Η ορίζουσα ενός τριγωνικού πίνακα ισούται με το γινόμενο
των στοιχείων της διαγωνίου
A αντιστρέψιμος ανν |A| 6= 0
Πορίσματα, Υπολογισμός Ορίζουσας
|A| = ±|U||A| = ±(γινόμενο των οδηγών)
Για να υπολογίσω την ορίζουσα ενός πίνακα αρκεί να κάνω
απαλοιφή και να πολλαπλασιάσω τους οδηγούς που θα βρω.
Ιδιότητες ορίζουσας (9, 10)
Η ορίζουσα του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το
γινόμενο των οριζουσών τους
Η ορίζουσα του αντίστροφου ενός πίνακα ισούται με το
αντίστροφο της ορίζουσα του εν λόγω πίνακα
Η ορίζουσα του ανάστροφου ενός πίνακα ισούται με την
ορίζουσα του εν λόγω πίνακα
Συμπέρασμα: Προκύπτουν επιπρόσθετα και άλλες τόσες
ιδιότητες όσον αφορά τις στήλες.
Ιδιότητες ορίζουσας (9, 10)
Η ορίζουσα του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το
γινόμενο των οριζουσών τους
Η ορίζουσα του αντίστροφου ενός πίνακα ισούται με το
αντίστροφο της ορίζουσα του εν λόγω πίνακα
Η ορίζουσα του ανάστροφου ενός πίνακα ισούται με την
ορίζουσα του εν λόγω πίνακα
Συμπέρασμα: Προκύπτουν επιπρόσθετα και άλλες τόσες
ιδιότητες όσον αφορά τις στήλες.
Ιδιότητες ορίζουσας (9, 10)
Η ορίζουσα του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το
γινόμενο των οριζουσών τους
Η ορίζουσα του αντίστροφου ενός πίνακα ισούται με το
αντίστροφο της ορίζουσα του εν λόγω πίνακα
Η ορίζουσα του ανάστροφου ενός πίνακα ισούται με την
ορίζουσα του εν λόγω πίνακα
Συμπέρασμα: Προκύπτουν επιπρόσθετα και άλλες τόσες
ιδιότητες όσον αφορά τις στήλες.
Ιδιότητες ορίζουσας (9, 10)
Η ορίζουσα του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το
γινόμενο των οριζουσών τους
Η ορίζουσα του αντίστροφου ενός πίνακα ισούται με το
αντίστροφο της ορίζουσα του εν λόγω πίνακα
Η ορίζουσα του ανάστροφου ενός πίνακα ισούται με την
ορίζουσα του εν λόγω πίνακα
Συμπέρασμα: Προκύπτουν επιπρόσθετα και άλλες τόσες
ιδιότητες όσον αφορά τις στήλες.
Συμπαράγοντες
Ο αριθμός
Cij = (−1)(i+j) detAij
λέγεται συμπαράγοντας του στοιχείου aij όπου Aij είναι ο
(n − 1)× (n − 1) πίνακας που προκύπτει απο τον Aδιαγράφοντας την i-στη γραμμή του και την j-στη στήλη του.
Οπτικοποίηση του (−1)(i+j):
+ − + · · ·− + − · · ·+ − + · · ·...
.
.
....
. . .
.
Συμπαράγοντες
Ο αριθμός
Cij = (−1)(i+j) detAij
λέγεται συμπαράγοντας του στοιχείου aij όπου Aij είναι ο
(n − 1)× (n − 1) πίνακας που προκύπτει απο τον Aδιαγράφοντας την i-στη γραμμή του και την j-στη στήλη του.
Οπτικοποίηση του (−1)(i+j):
+ − + · · ·− + − · · ·+ − + · · ·...
.
.
....
. . .
.
Συμπαράγοντες
Ο αριθμός
Cij = (−1)(i+j) detAij
λέγεται συμπαράγοντας του στοιχείου aij όπου Aij είναι ο
(n − 1)× (n − 1) πίνακας που προκύπτει απο τον Aδιαγράφοντας την i-στη γραμμή του και την j-στη στήλη του.
Οπτικοποίηση του (−1)(i+j):
+ − + · · ·− + − · · ·+ − + · · ·...
.
.
....
. . .
.
Εναλλακτικός Υπολογισμός Ορίζουσας
Επιλέγουμε μια οποιαδήποτε γραμμή (ή στήλη), έστω την i-στηγραμμή και έχουμε
|A| = ai ,1Ci ,1 + ai ,2Ci ,2 + . . .+ ai ,nCi ,n
Η ορίζουσα ισούται με το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων
οποιασδήποτε γραμμής (ή στήλης) με τους συμπαράγοντές τους.
Εναλλακτικός Υπολογισμός Ορίζουσας
Επιλέγουμε μια οποιαδήποτε γραμμή (ή στήλη), έστω την i-στηγραμμή και έχουμε
|A| = ai ,1Ci ,1 + ai ,2Ci ,2 + . . .+ ai ,nCi ,n
Η ορίζουσα ισούται με το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων
οποιασδήποτε γραμμής (ή στήλης) με τους συμπαράγοντές τους.
Παράδειγμα
A =
2 3 −40 −4 21 −1 5
=⇒ C22 = +det
[2 −41 5
]C23 = − det
[2 31 −1
]
C22 = 2 · 5− (−4) · 1 = 14 C23 = −(2 · (−1)− 3 · 1) = 5
detA = a21C21 + a22C22 + a23C23 = 0·? + (−4) · 14 + 2 · 5 = −46
Παράδειγμα
A =
2 3 −40 −4 21 −1 5
=⇒ C22 = +det
[2 −41 5
]
C23 = − det
[2 31 −1
]
C22 = 2 · 5− (−4) · 1 = 14 C23 = −(2 · (−1)− 3 · 1) = 5
detA = a21C21 + a22C22 + a23C23 = 0·? + (−4) · 14 + 2 · 5 = −46
Παράδειγμα
A =
2 3 −40 −4 21 −1 5
=⇒ C22 = +det
[2 −41 5
]C23 = − det
[2 31 −1
]
C22 = 2 · 5− (−4) · 1 = 14 C23 = −(2 · (−1)− 3 · 1) = 5
detA = a21C21 + a22C22 + a23C23 = 0·? + (−4) · 14 + 2 · 5 = −46
Παράδειγμα
A =
2 3 −40 −4 21 −1 5
=⇒ C22 = +det
[2 −41 5
]C23 = − det
[2 31 −1
]
C22 = 2 · 5− (−4) · 1 = 14 C23 = −(2 · (−1)− 3 · 1) = 5
detA = a21C21 + a22C22 + a23C23 = 0·? + (−4) · 14 + 2 · 5 = −46
Παράδειγμα
A =
2 3 −40 −4 21 −1 5
=⇒ C22 = +det
[2 −41 5
]C23 = − det
[2 31 −1
]
C22 = 2 · 5− (−4) · 1 = 14 C23 = −(2 · (−1)− 3 · 1) = 5
detA = a21C21 + a22C22 + a23C23 = 0·? + (−4) · 14 + 2 · 5 = −46
Υπολογισμός του A−1
Τα στοιχεία του A−1 είναι οι συμπαράγοντες του Α
ανεστραμένοι και διαιρεμένοι με |A|
A−1 =Asymp
|A|
Υπολογισμός του A−1
Τα στοιχεία του A−1 είναι οι συμπαράγοντες του Α
ανεστραμένοι και διαιρεμένοι με |A|
A−1 =Asymp
|A|