34

2.5 Modulación en Banda Lateral Única (BLU) Sea x(t) una señal real (x(t) ∈ ℜ), con transformada de Fourier como la de la figura 2.3. Se definen X-(ω) y X+(ω) en las expresiones 2-66 y 2-67, donde u(ω) es el escalón unitario.

⎩⎨⎧

>ω∀<ω∀ω

=ω−ω=ω− 0 00 )(X

)(u)(X)(X (2-66)

⎩⎨⎧

>ω∀ω<ω∀

=ωω=ω+ 0 )(X0 0

)(u)(X)(X (2-67)

Los espectros X-(ω) y X+(ω) se observan en la figura 2.47.

Figura 2.47 Se verifica la expresión 2-68.

)(X)(X)(X ω+ω=ω +− (2-68) A las transformadas inversas de Fourier de X-(ω) y X+(ω) se les llama x-(t) y x+(t) respectivamente (2-69), que serán en general señales complejas.

)t(x)(X)t(x)(X

1

1

TF

TF

++

−−

⎯⎯ →⎯ω⎯⎯ →⎯ω

−

−

(2-69)

Haciendo la transformada inversa a 2-68 se cumple 2-70.

)t(x)t(x)t(x +− += (2-70)

ω

X+(ω)

+B

X(0)

ω

X-(ω) X(0)

-B

35

2.5.1 Método de generación de filtrado selectivo en BLU El diagrama de bloques de este tipo de modulador se tiene en la figura 2.48.

Figura 2.48 La transformada de Fourier de la señal de salida del multiplicador se tiene en la expresión 2-71.

[ ] [ ])(X)(X2

A)tcos(A)t(x` pp

ppp ω+ω+ω−ω=ω⋅ℑ (2-71)

La transformada de Fourier de esta señal se muestra en la figura 2.49.

Figura 2.49 BLS Supóngase un filtro paso banda que tiene la forma de la figura 2.50: ideal, ganancia igual a 2, sintonizado en (ωp+B/2) rad/s y B rad/s de ancho de banda. Es decir, su frecuencia de corte inferior es ωp rad/s, y su frecuencia de corte superior es (ωp+B) rad/s.

Figura 2.50

x(t) yBLU(t)

Ap·cosωpt

Filtro Paso Banda

ω

2B

Ap/2·X(0)

ωp -ωp

ωp+Bωp-B

ω

B

2

ωp -ωp

ωp+B

36

Entonces el espectro de la señal de salida del filtro tiene la forma de 2.51, y es la señal modulada en Banda Lateral Superior (BLS). Nótese que esta señal es real. El ancho de banda vale B rad/s, lo que supone un ahorro respecto a DBL y AM.

Figura 2.51 La expresión del espectro de la señal modulada en BLS se tiene en 2-72.

][ )(X)(XA)(Y pppBLS ω−ω+ω+ω=ω +− (2-72)

A esta modulación se la llama Banda Lateral Superior por que se trasnmiten las componentes de frecuencia que se encuentran por encima de la frecuencia de la portadora. Se ha supuesto la ganancia del filtro igual a 2 por simplificación, cualquier otro valor solo cambia la amplitud y la potencia de la señal, sin afectar a la forma del espectro. Ahora se tratará de determinar la expresión de la BLS en el dominio del tiempo (2-73), pero todavía no se conoce x-(t) ni x+(t) que se obtendrán posteriormente.

[ ]tjtjpBLS

pp e)t(xe)t(xA)t(y ω++

ω−− += (2-73)

BLI De forma análoga supóngase un filtro paso banda que tiene la forma de la figura 2.52: ideal, ganancia igual a 2, sintonizado en (ωp-B/2) rad/s y B rad/s de ancho de banda. Es decir, su frecuencia de corte inferior es (ωp-B) rad/s, y su frecuencia de corte superior es ωp rad/s.

Figura 2.52

ω

Ap·X(0)

ωp -ωp ωp+B

YBLS(ω)

ω

B

2

ωp -ωp

ωp-B

37

Entonces el espectro de la señal de salida del filtro tiene la forma de 2.53, y es la señal modulada en Banda Lateral Inferior (BLI). Nótese que esta señal es real. El ancho de banda vale B rad/s.

Figura 2.53 La expresión del espectro de la señal modulada en BLI se tiene en 2-74.

[ ])(X)(XA)(Y pppBLI ω−ω+ω+ω=ω −+ (2-74)

A esta modulación se la llama Banda Lateral Inferior por que se trasnmiten las componentes de frecuencia que se encuentran por debajo de la frecuencia de la portadora. Ahora se tratará de determinar la expresión de la BLI en el dominio del tiempo (2-75), pero todavía no se conoce x-(t) ni x+(t) que se obtendrán posteriormente.

[ ]tjtjpBLI

pp e)t(xe)t(xA)t(y ω+−

ω−+ += (2-75)

2.5.2 Demodulación síncrona de BLU La señal de BLU se puede demodular con un detector síncrono (2.54). Para el caso de BLS la salida del multiplicador se calcula en 2-76.

Figura 2.54 BLS

ω

Ap·X(0)

ωp -ωp ωp-B

YBLI(ω)

YBLU(t) s(t)

cosωpt

Filtro Paso Bajor(t)

38

[ ]

[ ]

[ ])2(X)(X)2(X2

A

)2(X)(X)(X)2(X2

A

)(Y)(Y21)(R

ppp

ppp

pBLSpBLS

ω−ω+ω+ω+ω=

=ω−ω+ω+ω+ω+ω=

=ω−ω+ω+ω=ω

+−

+−+−

(2-76) Este espectro se observa en la figura 2.55.

Figura 2.55 Para poder demodular la señal es suficiente con que Bp ≥ω .

A partir de R(ω) se puede recuperar el espectro en el origen con un filtro paso bajo. Suponiendo un filtro ideal con ancho de banda de B rad/s y ganancia unitaria en la banda de paso se obtiene la señal demodulada (2-77 y 2-78).

)(X2

A)(S p ω=ω (2-77)

)t(x2

A)t(s p= (2-78)

BLI Para el caso que se reciba una señal de BLI la salida del multiplicador se tiene en 2-79.

[ ]

[ ]

[ ])2(X)(X)2(X2

A

)2(X)(X)(X)2(X2

A

)(Y)(Y21)(R

ppp

ppp

pBLIpBLI

ω−ω+ω+ω+ω=

=ω−ω+ω+ω+ω+ω=

=ω−ω+ω+ω=ω

−+

−+−+

(2-79) Este espectro se observa en la figura 2.56.

R(ω)

ω

Ap/2·X(0)

ωp -ωp 2ωp -2ωp B -B

39

Figura 2.56 Para poder demodular la señal es suficiente con que Bp ≥ω .

A partir de R(ω) se puede recuperar el espectro en el origen con un filtro paso bajo. Suponiendo un filtro ideal con ancho de banda de B rad/s y ganancia unitaria en la banda de paso se obtiene la señal demodulada (2-80 y 2-81).

)(X2

A)(S p ω=ω (2-80)

)t(x2

A)t(s p= (2-81)

2.5.3 Transformada de Hilbert Antes de estudiar el segundo método de generación de BLU es preciso estudiar el filtro de Hilbert. Este es un SLIT que tiene una función de transferencia dada por 2-82.

)sgn(2

je1

0j0j

)sgn(j)(Hωπ−

⋅=⎩⎨⎧

>ω−<ω+

=ω⋅−=ω (2-82)

Su módulo y su fase viene dada por 2-83 y 2-84.

1)(H =ω (2-83)

)sgn(2

)(H ωπ−=ω∠ (2-84)

Se representan en 2.57.a y 2.57.b respectivamente.

R(ω)

ω

Ap/2·X(0)

ωp -ωp 2ωp -2ωp B -B

40

Figura 2.57.a Figura 2.57.b Cuando a la entrada del filtro de Hilbert se tiene x(t) se dice que en la salida se obtiene la transformada de Hilbert de x(t), que se denota como )t(x̂ (figura 2.58).

Figura 2.58 Donde:

)(X̂)t(x̂

)t(x̂)t(x)(X)t(x

TF

TH

TF

ω⎯⎯→⎯

⎯⎯→⎯

ω⎯⎯→⎯

La respuesta impulsiva del filtro de Hilbert es la de la expresión 2-85.

t1)t(hπ

= (2-85)

Además de cumple 2-86.

))sgn(2

)(X(j)(Xj)sgn(2

je)(Xe)(Xe1)(X)(H)(X̂

ωπ−ω∠ω∠ωπ−ω=ω⋅=ωω=ω (2-86)

A partir de la expresión anterior se calcula el módulo y la fase del espectro de la transformada de Hilbert, en 2-87 y 2-88 respectivamente.

)(X)(X̂ ω=ω (2-87)

)sgn(2

)(X)(X̂ ωπ−ω∠=ω∠ (2-88)

En resumen, el filtro de Hilbert tiene una ganancia constante con la frecuencia y el módulo del espectro de la señal de salida es igual al de la entrada; por otro

|H(ω)|

ω

1

∠H(ω)

ω π/2

-π/2

H(ω) x(t) X(ω) )(X̂

)t(x̂

ω

41

lado, es un desfasador de 2π− rad para todas las frecuencias. Es un sistema que

produce distorsión lineal de fase. A continuación se exponen algunas propiedades de la transformada de Hilbert. - El ancho de banda de la señal y de su transformada de Hilbert son iguales (2-89).

)t(x̂)t(x BB = (2-89)

- La TH de la TH es igual a la señal cambiada de signo (2-90).

)t(x)t(x̂̂ −= (2-90)

- Si x(t) es real entonces su trasnformada de Hilbert tambien es real. - Si la señal x(t) es de energía su transformada de Hilbert también es de energía, y sus energías son iguales.

x̂x EE = (2-91) - Si la señal x(t) es de potencia su transformada de Hilbert también es de potencia, y sus potencias son iguales.

x̂x PP = (2-92) - Para un tono se verifica 2-93.

)t(sen2

tcos)t(x̂)tcos()t(x 00TH

0 ϕ+ω=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π−ϕ+ω=⎯⎯→⎯ϕ+ω= (2-93)

La transformada de Hilbert permite conocer la forma de x-(t) y x+(t), y por tanto determinar la expresión en el tiempo de la BLS y la BLI (2-73 y 2-75). Para x+(t) se verifica 2-94.

( ))t(x̂j)t(x21)t(x +=+ (2-94)

La expresión 2-94 se demuestra haciendo su transformada de Fourier (2-95).

42

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) )(X)(u)(X)(u2)(X21)sgn(1)(X

21)(X)sgn()(X

21

)(X))sgn(j(j)(X21)(X)(jH)(X

21)(X̂j)(X

21)(X

ω=ωω=ωω=ω+ω=ωω+ω=

=ωω⋅−+ω=ωω+ω=ω+ω=ω

+

+

(2-95)

Análogamente para x-(t) se verifica 2-96.

( ))t(x̂j)t(x21)t(x −=− (2-96)

La expresión 2-96 se demuestra haciendo su transformada de Fourier (2-97).

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) )(X)(u)(X)(u2)(X21)sgn(1)(X

21

)(X)sgn()(X21)(X))sgn(j(j)(X

21

)(X)(jH)(X21)(X̂j)(X

21)(X

ω=ω−ω=ω−ω=ω−ω=

=ωω−ω=ωω⋅−−ω=

=ωω−ω=ω−ω=ω

−

−

(2-97)

Sustituyendo 2-94 y 2-96 en 2-73 se determinará la expresión de la BLS en el dominio del tiempo (2-98).

[ ] ( ) ( )

( ) ( ))t(sen)t(x̂A)tcos()t(xA

jeje)t(x̂2

Aee)t(x

2A

e)t(x̂j)t(x2

Ae)t(x̂j)t(x

2A

e)t(xe)t(xA)t(y

pppp

tjtjptjtjp

tjptjptjtjpBLS

pppp

pppp

ω−ω=

=+−++=

=++−=+=

ω+ω−ω+ω−

ω+ω−ω++

ω−−

(2-98)

Sustituyendo 2-94 y 2-96 en 2-75 se determinará la expresión de la BLI en el dominio del tiempo (2-99).

[ ] ( ) ( )

( ) ( ))t(sen)t(x̂A)tcos()t(xA

jeje)t(x̂2

Aee)t(x

2A

e)t(x̂j)t(x2

Ae)t(x̂j)t(x

2A

e)t(xe)t(xA)t(y

pppp

tjtjptjtjp

tjptjptjtjpBLI

pppp

pppp

ω+ω=

=−++=

=−++=+=

ω+ω−ω+ω−

ω+ω−ω+−

ω−+

(2-99)

En resumen la expresión de la BLU se puede poner como en 2-100 donde si se toma el signo “-” se genera la BLS y con el signo “+” la BLI.

)t(sen)t(x̂A)tcos()t(xA)t(y ppppBLIBLS ωω= m (2-100)

43

2.5.4 Método de generación de desplazamiento de fase Este método de generación de BLU aparece analizando la expresión 2-100, el diagrama de bloques se tiene en la figura 2.59.

Figura 2.59 A continuación se comprobará que la salida del modulador es una BLS o BLI. Para el primer caso se elige el signo menos y se comprobará que es una BLS realizando la transformada de Fourier de la expresión. BLS

[ ])t(sen)t(x̂A)tcos()t(xA)(Y ppppBLS ω−ωℑ=ω (2-101)

[ ] [ ])(X)(X21)tcos()t(x` ppp ω+ω+ω−ω=ωℑ (2-102)

[ ] [ ]

( ) [ ]

[ ])(X)sgn()(X)sgn(21

)()(j)(X)sgn(j21

)()(j)(X̂21)t(sen)t(x̂`

pppp

pp

ppp

ω−ωω−ω−ω+ωω+ω=

=ω−ωδ−ω+ωδπ∗ωω−π

=

=ω−ωδ−ω+ωδπ∗ωπ

=ωℑ

(2-103)

Ahora se sustituye 2-102 y 2-103 en 2-101.

[ ]

[ ]

( ) ( )[ ]

[ ] [ ])(X)(XA)(X2)(X22

A

)sgn(1)(X)sgn(1)(X2

A

)(X)sgn()(X)sgn(2

A

)(X)(X2

A)(Y

pppppp

ppppp

ppppp

ppp

BLS

ω−ω+ω+ω=ω−ω+ω+ω=

=ω−ω+ω−ω+ω+ω−ω+ω=

=ω−ωω−ω−ω+ωω+ω−

ω+ω+ω−ω=ω

+−+−

(2-104)

x(t)

)t(x̂

Apcosωpt

-π/2

Filtro de Hilbert

)tcos()t(xA pp ω

)t(sen)t(x̂A pp ω

)t(yBLIBLS

Apsenωptm

44

De la misma forma se comprueba que tomando el signo más es una BLI. BLI

[ ])t(sen)t(x̂A)tcos()t(xA)(Y ppppBLI ω+ωℑ=ω (2-105)

Se demuestra sustituyendo 2-102 y 2-103 en 2-105.

[ ]

[ ]

( ) ( )[ ]

[ ] [ ])(X)(XA)(X2)(X22

A

)sgn(1)(X)sgn(1)(X2

A

)(X)sgn()(X)sgn(2

A

)(X)(X2

A)(Y

pppppp

ppppp

ppppp

ppp

BLI

ω−ω+ω+ω=ω−ω+ω+ω=

=ω−ω−ω−ω+ω+ω+ω+ω=

=ω−ωω−ω−ω+ωω+ω+

ω+ω+ω−ω=ω

−+−+

(2-106)

Llegados a este punto puede comprobarse de nuevo el funcionamiento del detector síncrono. Para el caso de la BLS la salida del multiplicador sería 2-107. BLS

[ ]

( )

)t2(sen)t(x̂2

A)t2cos()t(x

2A

)t(x2

A

)t2(sen)t(x̂2

A)t2cos(1)t(x

2A

)tcos()t(sen)t(x̂A)t(cos)t(xA

)tcos()t(sen)t(x̂A)tcos()t(xA)tcos()t(y)t(r

pp

ppp

pp

pp

pppp2

p

ppppppBLS

ω−ω+=

=ω−ω+=

=ωω−ω=

=ωω−ω=ω=

(2-107)

En la salida del filtro paso bajo ideal con las características indicadas anteriormente solo aparece el primer sumando de 2-107, los otros dos términos no pasan por el filtro por ser señales pasobanda (2-108).

)t(x2

A)t(s p= (2-108)

BLI De forma análoga se comprueba para la BLI, salida del multiplicador sería 2-109.

[ ]

( )

)t2(sen)t(x̂2

A)t2cos()t(x

2A

)t(x2

A

)t2(sen)t(x̂2

A)t2cos(1)t(x

2A

)tcos()t(sen)t(x̂A)t(cos)t(xA

)tcos()t(sen)t(x̂A)tcos()t(xA)tcos()t(y)t(r

pp

ppp

pp

pp

pppp2

p

ppppppBLI

ω+ω+=

=ω+ω+=

=ωω+ω=

=ωω+ω=ω=

(2-109)

45

En la salida del filtro paso bajo ideal se tiene la señal demodulada (2-110).

)t(x2

A)t(s p= (2-110)

2.5.5 Errores de frecuencia y fase en el detector síncrono de BLU A continuación se analizará la demodulación cuando existe en el oscilador local del receptor un error de fase arbitrario pero fijo de ϕ rad; es decir, el oscilador del receptor vale cos(ωpt+ϕ). En este caso la salida del multiplicador viene dada por 2-111.

[ ]

( ) ( )

)(sen)t(x̂2

A)t2(sen)t(x̂

2A

)cos()t(x2

A)t2cos()t(x

2A

)(sen)t2(sen)t(x̂2

A)cos()t2cos()t(x

2A

)tcos()t(sen)t(x̂A)tcos()tcos()t(xA

)tcos()t(sen)t(x̂A)tcos()t(xA)tcos()t(y)t(r

pp

ppp

p

pp

pp

pppppp

ppppppBLIBLS

ϕ±ϕ+ωϕ+ϕ+ω=

=ϕ−+ϕ+ωϕ+ϕ+ω=

=ϕ+ωωϕ+ωω=

=ϕ+ωωω=ϕ+ω=

m

m

m

m

(2-111)

En la salida del filtro paso bajo se tiene 2-112.

)(sen)t(x̂2

A)cos()t(x

2A

)t(s pp ϕ±ϕ= (2-112)

La señal demodulada presenta distorsión. Pero si la señal x(t) es de audio es inteligible, de hecho cuando ϕ=±π/2 rad solo está presente la transformada de Hilbert en la señal de salida, que también es inteligible. Si existe en el oscilador local del receptor un error de frecuencia arbitrario pero fijo de ∆ω rad/s mucho menor que la frecuencia de la portadora; es decir, el oscilador del receptor vale cos(ωp+∆ω)t. En este caso la salida del multiplicador viene dada por 2-113.

46

[ ]

( ) ( )

)t(sen)t(x̂2

At)2(sen)t(x̂

2A

)tcos()t(x2

At)2cos()t(x

2A

)t(sent)2(sen)t(x̂2

A)tcos(t)2cos()t(x

2A

t)cos()t(sen)t(x̂At)cos()tcos()t(xA

t)cos()t(sen)t(x̂A)tcos()t(xAt)cos()t(y)t(r

pp

p

pp

p

pp

pp

pppppp

ppppppBLIBLS

ω∆±ω∆+ω

ω∆+ω∆+ω=

=ω∆−+ω∆+ωω∆+ω∆+ω=

=ω∆+ωωω∆+ωω=

=ω∆+ωωω=ω∆+ω=

m

m

m

m

(2-113)

En la salida del filtro paso bajo se tiene 2-114, el primer y el tercer sumando constituyen una BLU a la frecuencia (2ωp+∆ω) rad/s.

)t(sen)t(x̂2

A)tcos()t(x

2A

)t(s pp ω∆±ω∆= (2-114)

La señal demodulada (2-114) presenta distorsión. Pero cuando el término cos∆ωt pasa por cero el sen∆ωt toma valor máximo y aparece en la salida la transformada de Hilbert, si x(t) es una señal de audio la señal es inteligible.

47

2.5.6 Potencia y energía de BLU ENERGÍA Si x(t) es una señal de energía la señal de BLU es tambien de energía y su energía se calcula en 2-115.

[ ]

( )( )

( )

( )

x2p

22p

22p

p2

2p2

2p

p2

2p2

2p

p2

2p

p2pp

22p

p222

p

ppppp222

p

2pppp

2BLUBLU

EAdt)t(xAdt)t(x2

A2

dt)t2cos()t(x̂2

Adt)t(x̂

2A

dt)t2cos()t(x2

Adt)t(x

2A

dt)t2cos(1)t(x̂2

A

dt)t2(sen)t(x̂)t(xAdt)t2cos(1)t(x2

A

dt)t(sen)t(x̂A

dt)t(sen)t(x̂A)tcos()t(xA2dt)t(cos)t(xA

dt)t(sen)t(x̂A)tcos()t(xAdt)t(yE

===

=ω−+

+ω+=

=ω−+

+ωω+=

=ω+

+ωω+ω=

=ωω==

∫∫

∫∫

∫∫

∫

∫∫

∫

∫∫

∫∫

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−

m

m

m

(2-115)POTENCIA Si x(t) es una señal de potencia la señal de BLU es tambien de potencia y su potencia se calcula en 2-116.

[ ]( )( )

( )

( )

x2px

2p

x̂

2p

x

2p2

2p2

2p

p2

2p2

2p

p2

2p2

2p

p2

2p

p2pp

22p

p222

p

ppppp222

p

2pppp

2BLUBLU

PAP2

A2P

2A

P2

A)t(x̂

2A

)t(x2

A

)t2cos()t(x̂2

A)t(x̂

2A

)t2cos()t(x2

A)t(x

2A

)t2cos(1)t(x̂2

A

)t2(sen)t(x̂)t(xA)t2cos(1)t(x2

A

)t(sen)t(x̂A

)t(sen)t(x̂A)tcos()t(xA2)t(cos)t(xA

)t(sen)t(x̂A)tcos()t(xA)t(yP

==+=+=

=ω−+ω+=

=ω−+

+ωω+=

=ω+

ωω+ω=

=ωω==

m

m

m

(2-116)

48

2.5.7 Modulación de tono en BLU A modo de ejemplo se estudiará la modulación en BLU cuando la moduladora es un tono como en 2-117.

tcosA)t(x mm ω= (2-117) Si se usase el método de filtrado selectivo la salida del multiplicador sería 2-118 en el dominio del tiempo y 2-119 en el dominio de la frecuencia. Su transforma de de Fourier se representa en la figura 2.60.

tcostAcosAtcosA)t(x)t(r ppmmpp ωω=ω= (2-118)

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ω+ω+ωδ+ω−ω+ωδ+

+ω+ω−ωδ+ω−ω−ωδπ=ω

)()()()(

2AA

)(Rmpmp

mpmppm (2-119)

Figura 2.60 BLS Si se filtra la BLS en la salida del filtro paso banda se tiene el espectro dado por la figura 2.61, sus expresiones se tienen en 2-120 y 2-121.

Figura 2.61

[ ])()(AA)(Y mpmppmBLS ω+ω+ωδ+ω−ω−ωδπ=ω (2-120)

t)cos(AA)t(y mppmBLS ω+ω= (2-121)

La potencia de la señal BLU en este caso viene dada por 2-122.

2AA

2AAPAP

2p

2m

2m2

px2pBLS === (2-122)

ω

R(ω)

AmApπ/2

ωp+ωmωpωp-ωm-ωp+ωm-ωp -ωp-ωm

ω

YBLS(ω)

AmApπ

ωp+ωmωpωp-ωm-ωp+ωm-ωp -ωp-ωm

49

En la salida del multiplicador del detector síncrono se tiene 2-123 en el dominio del tiempo y 2-124 en el dominio de la frecuencia (figura 2.62).

tcos2AA

t)2cos(2AA

tcost)cos(AAtcos)t(y)t(r

mpm

mppm

pmppmpBLS

ω+ω+ω=

=ωω+ω=ω= (2-123)

[ ]

[ ])()(2AA

)2()2(2AA

)(R

mmpm

mpmppm

ω+ωδ+ω−ωδπ

+

+ω+ω+ωδ+ω−ω−ωδπ

=ω (2-124)

Figura 2.62 Si el filtro paso bajo es ideal con ganancia unitaria el espectro de la señal de salida es 2-125 y en el dominio del tiempo viene dada por 2-126.

[ ])()(2AA

)(S mmpm ω+ωδ+ω−ωδπ

=ω (2-125)

tcos2AA

)t(s mpm ω= (2-126)

Se puede repetir el estudio considerando que se genera la BLS por el método de desplazamiento de fase (2-127).

( )

( )t)cos(AA

`t)cos(t)cos(2AA

t)cos(t)cos(2AA

)t(sen)t(senAA)tcos()tcos(AA)t(sen)t(x̂A)tcos()t(xA)t(y

mpmp

mpmpmp

mpmpmp

pmmppmmp

ppppBLS

ω+ω=

=ω+ω−ω−ω−

ω−ω+ω+ω=

=ωω−ωω=

=ω−ω=

(2-127) Se comprueba también el funcionamiento del demodulador síncrono considerando la segunda expresión de 2-127. La salida del multiplicador queda como 2-128.

ω

R(ω) AmApπ/2

2ωp+ωm2ωp 2ωp-ωm -2ωp+ωm -2ωp -2ωp-ωm ωm -ωm

50

( )

)t2(sen)t(sen2AA

)t2cos()tcos(2AA

)tcos(2AA

)t2(sen)t(sen2AA

)t2cos(1)tcos(2AA

)tcos()t(sen)t(senAA)t(cos)tcos(AA

)tcos()t(y)t(r

pmmp

pmmp

mmp

pmmp

pmmp

ppmmpp2

mmp

pBLS

ωω−ωω+ω=

=ωω−ω+ω=

=ωωω−ωω=

=ω=

(2-128) En la salida del filtro paso bajo se tiene 2-129. De hecho solo pasa el primer sumando dado que los demás términos son señales paso banda, en realidad constituyen una BLS donde la moduladora es el tono de baja frecuencia y la portadora vale 2ωp rad/s.

)tcos(2AA

)t(s mmp ω=

(2-129)BLI Si se filtra la BLI en la salida del filtro paso banda se tiene el espectro dado por la figura 2.63, sus expresiones se tienen en 2-130 y 2-131.

Figura 2.63

[ ])()(AA)(Y mpmppmBLI ω−ω+ωδ+ω+ω−ωδπ=ω (2-130)

t)cos(AA)t(y mppmBLI ω−ω= (2-131)

En la salida del multiplicador del detector síncrono se tiene 2-132 en el dominio del tiempo y 2-133 en el dominio de la frecuencia (figura 2.64).

tcos2AA

t)2cos(2AA

tcost)cos(AAtcos)t(y)t(r

mpm

mppm

pmppmpBLS

ω+ω−ω=

=ωω−ω=ω= (2-132)

[ ]

[ ])()(2AA

)2()2(2AA

)(R

mmpm

mpmppm

ω+ωδ+ω−ωδπ

+

+ω−ω+ωδ+ω+ω−ωδπ

=ω (2-133)

ω

YBLI(ω)

AmApπ

ωp+ωmωpωp-ωm-ωp+ωm-ωp -ωp-ωm

51

Figura 2.64 Si el filtro paso bajo es ideal con ganancia unitaria el espectro de la señal de salida es 2-134 y en el dominio del tiempo viene dada por 2-135.

[ ])()(2AA

)(S mmpm ω+ωδ+ω−ωδπ

=ω (2-134)

tcos2AA

)t(s mpm ω= (2-135)

Se puede repetir el estudio considerando que se genera la BLI por el método de desplazamiento de fase (2-136).

( )

( )t)cos(AA

`t)cos(t)cos(2AA

t)cos(t)cos(2AA

)t(sen)t(senAA)tcos()tcos(AA)t(sen)t(x̂A)tcos()t(xA)t(y

mpmp

mpmpmp

mpmpmp

pmmppmmp

ppppBLI

ω−ω=

=ω+ω−ω−ω+

ω−ω+ω+ω=

=ωω+ωω=

=ω+ω=

(2-136) Se comprueba también el funcionamiento del demodulador síncrono considerando la segunda expresión de 2-136. La salida del multiplicador queda como 2-137.

( )

)t2(sen)t(sen2AA

)t2cos()tcos(2AA

)tcos(2AA

)t2(sen)t(sen2AA

)t2cos(1)tcos(2AA

)tcos()t(sen)t(senAA)t(cos)tcos(AA

)tcos()t(y)t(r

pmmp

pmmp

mmp

pmmp

pmmp

ppmmpp2

mmp

pBLI

ωω+ωω+ω=

=ωω+ω+ω=

=ωωω+ωω=

=ω=

(2-137) En la salida del filtro paso bajo se tiene 2-138. De hecho solo pasa el primer sumando dado que los demás términos son señales paso banda, en realidad constituyen una BLI donde la moduladora es el tono de baja frecuencia y la portadora vale 2ωp rad/s.

ω

R(ω) AmApπ/2

2ωp+ωm2ωp 2ωp-ωm -2ωp+ωm -2ωp -2ωp-ωm ωm -ωm

52

)tcos(2AA

)t(s mmp ω=

(2-138) 2.5.8 BLU con portadora. Demodulación asíncrona Si la señal genérica y(t) se conecta a un detector de envolvente su salida es proporcional al módulo de e(t).

))t(tcos()t(e)t(y p ϕ+ω= (2-139) Se determinará e(t) en el caso de BLU para observar cual sería la salida del detector de envolvente. Para esto se desarrolla 2-139 por trigonometría.

)t(sen)t(sen)t(e)t(cos)tcos()t(e)t(y pp ϕω−ϕω= (2-140) Entonces se igualan los términos que acompañan a cos(ωpt) y al sen(ωpt) en la expresión en el tiempo de la BLU.

)t(sen)t(e)t(x̂A)t(cos)t(e)t(xA

p

p

ϕ−=

ϕ=

m (2-141)

Elevando al cuadrado y sumando se tiene el módulo de e(t), donde se observa que no se recupera x(t) y existe distorsión. Luego la señal de BLU no se puede demodular de forma asíncrona.

)t(x̂)t(xA)t(e 22p ++= (2-142)

Dividiendo las expresiones de 2-141 se obtiene el valor de ϕ(t).

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛±=ϕ)t(x)t(x̂arctg)t( (2-143)

En conclusión, la señal de BLU se puede expresar como 2-144.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛±ω⋅++=)t(x)t(x̂arctgtcos)t(x̂)t(xA)t(y p

22pBLU (2-144)

Para poder demodular por envolvente la señal de BLU debe sumarse portadora en la transmisión, así aparece la BLU con portadora (BLU+P), también llamada BLU

53

Compatible. Supóngase una BLU donde la amplitud es unitaria y se suma una portadora de amplitud Ap, como en la expresión 2-145.

( ) )t(sen)t(x̂)tcos()t(xA

)tcos(A)t(sen)t(x̂)tcos()t(x)t(y

ppp

ppppPBLU

ωω+=

=ω+ωω=+

m

m (2-145)

Cuestión. Dibuje el diagrama de bloques los moduladores del BLU+P usando el método de filtrado selectivo y el método de desplazamiento de fase. Cuestión. Determine el espectro de BLU+P y dibújelo ¿Cuál es su ancho de banda? En este caso e2(t) viene dada por 2-146.

( ) )t(x̂)t(xA)t(e 22p

2 ++= (2-146)

Se demuestra que x(t) y su trasnformada de Hilbert tienen una misma cota superior. Si se verifica que el valor de la portadora inyectada es mucho mayor que el valor de pico de x(t) (2-147), entonces se puede hacer la aproximación 2-148.

mp AA >> (2-147)

)t(xA)t(xA)t(e pp +=+≅ (2-148)

Esta señal se puede demodular por detección de envolvente a falta de bloquear la componente continua. En este caso se define el índice de modulación en 2-149. Para poder realizar la demodulación asíncrona debe verificarse que m<<1.

p

m

AAm = (2-149)

Cuestión. Se puede demodular la señal de BLU+P de forma síncrona.

54

2.6 Modulación de Amplitud en Cuadratura Sea dos señales moduladoras x1(t) y x2(t) de el mismo ancho de banda, B rad/s; donde la primera de ellas modula en DBL a una portadora y la segunda en DBL a la portadora desfasada -π/2 rad, y las dos señales moduladas se suman (2-150). A esta señal se la llama en inglés Quadrature Amplitude Modulation.

)t(sen)t(xA)tcos()t(xA)t(y p2pp1pQAM ω+ω= (2-150)

El diagrama de bloques se tiene en la figura 2.65.

Figura 2.65 Cuestión. Calcule y bosqueje el espectro de yQAM(t). Determine su ancho de banda. Para demodular cada señal se realiza la detección síncronamente con su portadora, como en la figura 2.66.

Figura 2.66 En la salida del multiplicador de la rama superior se tiene la expresión 2-151.

x 1(t)

Apcosωpt

-π/2

Apsenωpt

x 2(t)

Apx1(t)cos(ωpt)

Apx2(t)sen(ωpt)

yQAM(t)

cosωpt

-π/2

senωpt

yQAM(t)

Filtro Paso Bajo

s1(t)=Ap/2x1(t) Filtro Paso Bajor1(t)

r2(t) s2(t)=Ap/2x2(t)

55

( )

)t2(sen)t(x2

A)t2cos()t(x

2A

)t(x2

A

)t2(sen)t(x2

A)t2cos(1)t(x

2A

)tcos()t(sen)t(xA)t(cos)t(xA)tcos()t(y)t(r

p2p

p1p

1p

p2p

p1p

pp2pp2

1ppQAM1

ω+ω+=

=ω+ω+=

=ωω+ω=ω=

(2-151)

Si el filtro paso bajo es ideal con ganancia unitaria la señal demodulada en la rama superior es 2-152.

)t(x2

A)t(s 1

p1 = (2-152)

Análogamente, en la rama inferior se obtienen las expresiónes 2-153 y 2-154.

( )

)t2cos()t(x2

A)t(x

2A

)t2(sen)t(x2

A

)t2cos(1)t(x2

A)t2(sen)t(x

2A

)t(sen)t(xA)t(sen)tcos()t(xA)t(sen)t(y)t(r

p2p

2p

p1p

p2p

p1p

p2

2ppp1ppQAM2

ω−+ω=

=ω−+ω=

=ω+ωω=ω=

(2-153)

)t(x2

A)t(s 2

p2 = (2-154)

2.7 Modelo genérico de sistema de comunicación paso banda Cualquier señal paso banda, y por tanto las señales moduladas, se podrán representar según la expresión 2-155.

tsen)t(xtcos)t(x)t(y pcpf ω−ω= (2-155)

Donde: - y(t) es la señal paso banda. - ωp es la frecuencia de la portadora. - cosωpt es la portadora. - -senωpt es la portadora en cuadratura (desfasada +π/2 rad). - xf(t) es una señal paso bajo, llamada componente en fase (phase). - xc(t) es una señal paso bajo, llamada componente en cuadratura (quadrature). - todas las señales son reales. Las componentes en fase y en cuadratura dependerán del tipo de modulación empleado y de la señal moduladora.

56

Cuestión. Identifique las componentes xf(t) y xc(t) en la señal de DBL, AM, BLU, BLU+P y QAM. El diagrama de bloques se tiene en la figura 2.67.

Figura 2.67 Para demodular cada señal se realiza la detección síncronamente con su portadora, como en la figura 2.68.

Figura 2.68 En la salida del multiplicador de la rama superior se tiene la expresión 2-156.

( )

)t2(sen)t(x21)t2cos()t(x

21)t(x

21

)t2(sen)t(x21)t2cos(1)t(x

21

)tcos()t(sen)t(x)t(cos)t(x)tcos()t(y)t(r

pcpff

pcpf

ppcp2

fp1

ω−ω+=

=ω−ω+=

=ωω−ω=ω=

(2-156)

Si el filtro paso bajo es ideal con ganancia unitaria la señal s1(t) es 2-157.

)t(x21)t(s f1 = (2-157)

x f(t)

cosωpt

+π/2

-senωpt x c(t)

y(t)

Procesador paso bajo x(t)

cosωpt

+π/2

-senωpt

y(t)

Filtro Paso Bajo

s1(t)Filtro Paso Bajo

r1(t)

r2(t) s2(t)

Procesador paso bajo s(t)

57

Análogamente, en la rama inferior se obtienen las expresiónes 2-158 y 2-159.

( )( )

)t2cos()t(x21)t(x

21)t2(sen)t(x

21

)t2cos(1)t(x21)t2(sen)t(x

21

)t(sen)t(x)t(sen)tcos()t(x)t(sen)t(y)t(r

pccpf

pcpf

p2

cppfp2

ω−+ω−=

=ω−+ω−=

=ω+ωω−=ω−=

(2-158)

)t(x21)t(s c2 = (2-159)

2.8 Multiplexación por División en Frecuencia (MDF) ¿Cambiar “n” por “m”? Sean “n” señales paso bajo del igual ancho de banda, B rad/s; y sean “n” portadoras distintas. Cada una de las señales modula a una portadora de alguna de las formas que se conocen, por ejemplo en DBL. Finalmente estas señales se suman como en la figura 2.69.

Figura 2.69 Si los espectros de las señales son como la de la figura 2.70, y se eligen convenientemente las frecuencias de portadora de tal forma que entre los espectros quede una separación en frecuencia llamada “banda de guarda” (Bg), entonces el espectro de la señal de salida es como el de la figura 2.71, y es una señal paso banda. Las señales moduladas están mezcladas en el tiempo en el tiempo, pero separadas en la frecuencia.

Figura 2.70

x1(t) Modulador 1

f1

y1(t)

xn(t) Modulador 3

fn

yn(t)

x2(t) Modulador 2

f2

y2(t) y(t)

X1(ω)

ω

+B -B

X2(ω)

ω

+B -B

Xn(ω)

ω

+B -B

58

Figura 2.71 Cuestión. Realizando la MDF con moduladores de DBL, ¿cuál es el ancho de banda de transmisión (BT)? En la figura 2.72 se representan las señales de la multiplexación y su ocupación en la frecuencia y en el tiempo.

Figura 2.72 El diagrama de bloques del sistema demodulador del receptor es como el de la figura 2.73.

Figura 2.73

f1

Y1(f) Y2(f) Yn(f)

f

Y(f)

f2 fn Bg

BT

y(t)

x1(t) Demodulador 1y1(t)

Filtro Paso Banda (f1)

xn(t) Demodulador nyn(t)

Filtro Paso Banda (fn)

x2(t) Demodulador 2y2(t)

Filtro Paso Banda (f2)

Tiempo

Frecuencia

Señal 1

Señal 2

Señal n

. . .

Bg

59

La existencia de la banda de guarda facilita la separación de las señales por facilitar el diseño de los filtros paso banda del receptor. Se puede usar otro tipo de modulación de amplitud, incluso las modulaciones angulares que se estudiarán en el próximo capítulo. La señal y(t) podría modular a otra portadora, en ese caso el sistema multiplexor queda como en la figura 2.74.

Figura 2.74 Supuesto el modulador de salida de AM, el espectro de la señal transmitida queda como en la figura 2.75.

Figura 2.75 Hacer problema de MDF El diagrama de bloques del sistema demodulador del receptor es como el de la figura 2.76.

Figura 2.76

x1(t) Modulador 1

f1

y1(t)

xn(t) Modulador n

fn

yn(t)

x2(t) Modulador 2

f2

y2(t)

y(t) Modulador

z(t)

fp

z(t)

x1(t) Demodulador 1 y1(t)

Filtro Paso Banda (f1)

xn(t) Demodulador n yn(t)

Filtro Paso Banda (fn)

x2(t) Demodulador 2 y2(t)

Filtro Paso Banda (f2)Demodulador (fp) y(t)

f

Z(f)

fp BT

60

2.9 Conclusiones En resumen, las técnicas de modulación permiten que la señal transmitida sea paso banda, cambiando la frecuencia de la portadora se consigue desplazar la señal a la posición espectral que se precise. Esto permite el reparto del espectro y así aparecen los servicios de radiodifusión (p. eje. AM y FM) y las técnicas de MDF. Por otro lado, como se indicó al principio del tema, el aumento de la frecuencia de la señal implica una disminución de las dimensiones físicas de la antena si se trata de una transmisión por radio, con la ventajas que esto conlleva. Hasta ahora se han estudiado las modulaciones de amplitud, en el próximo capítulo se describirán las modulaciones angulares. Cada una de las modulaciones tiene ventajas e inconvenietes, la elección de una de ellas dependerá de la aplicación concreta: - del ancho de banda disponible, - de la señal moduladora, - de la frecuencia de portadora, - de comportamiento ante el ruido e interferencias, - de la forma de propagación (radio, cable u óptica), - del alcance necesario, - de los requerimientos de potencia (transmitida, recibida y consumos), - de la tecnología y circuitería disponible.