Download - 2.2 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Transcript

Γ ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 2.2 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΒΕΡΑΣ

ΠΟΤΕ ΜΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΊΝΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ;

Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο A.

Θα λέμε ότι:

— Η f είναι παραγωγίσιμη στο Α όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο χ0 ε Α

— Η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα (α,β) του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο χ0 ε (α, β)

— Η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη στο (α, β) και επιπλέον

υπάρχουν στο R τα όρια και +x α

f(x)-f(α)lim

x-α -x β

f(x)-f(β)lim

x-β

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ

Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και Α1 το σύνολο των σημείων του Α στα οποία αυτή είναι παραγωγίσιμη. Αντιστοιχίζοντας κάθε χ ε Α1

• στο f ' ( x ) , ορίζουμε τη συνάρτηση η οποία ονομάζεται πρώτη παράγωγος της f ή απλά παράγωγος της f.

ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ

Διαδοχικά μπορούμε να ορίσουμε για την f τις παραγώγους ανώτερης τάξης (αν υπάρχουν) ως εξής:• Δεύτερη παράγωγος της f : Είναι η παράγωγος της πρώτης

παραγώγου. Συμβολίζουμε f ΄• Τρίτη παράγωγος της f : Είναι η παράγωγος της δευτέρας

παραγώγου. Συμβολίζουμε f ΄΄• Άλλοι συμβολισμοί της :

• =f

ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΑΝΟΙΞΤΕ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ.ggb

για να δείτε τις βασικές συναρτήσεις και τις παραγωγούς αυτών μαζί με τη γραφικές παραστάσεις.

Παράγωγοι στοιχειωδών συναρτήσεων Συνάρτηση f Παράγωγος f΄ Διάστημα που παραγωγίζεται η f

■ f(x)=c (c) =0 R

■ f(x)=x (x) =1 R

■ f(x)=xν , νN – {0, 1} ν ν-1(x ) =νx R

■ f(x)=xκ , κZ– {0, 1} κ κ-1(x ) =κx R-{0}

■ f(x)=xα , αR - Z α α-1(x ) =αx [0, ) με α>1 , (0, ) με α<1

f(x)=lnx 1

(lnx) =x

(0, )

f(x)=logx 1

(logx) =x ln10

(0, )

■ f(x)= ln|x| 1

(ln|x|) =x

R-{0}

■ f(x)= x 1

( x) =2 x

(0, )

f(x)=ex x x(e ) =e R

■ f(x)=αx , α>0 x x(α ) =α lnα R

■ f(x)=ημx (ημx) =συνx R

■ f(x)=συνx (συνx) =-ημx R

■ f(x)=εφx 2

2

1(εφx) = 1+εφ x

συν x Α={xR/x κπ+

π

2 , κZ}

f(x)=σφx 2

2

1(σφx) = - (1+σφ x)

ημ x Α={xR/x κπ , κZ}

f(x)=|x| -1 , x 0

(|x|) = 1 , x 0

R-{0}

f(x)=1

x

2

1 1= -

x x

R-{0}

• ► Εύρεση f΄και πεδίου ορισμού f΄ • Στα ανοικτά διαστήματα η f ΄ προκύπτει άμεσα• Στα άκρα διαστημάτων ίσως χρειαστεί να εφαρμόσουμε

τον ορισμό της παραγώγου• Σε κλαδικές συναρτήσεις η παράγωγος στο κρίσιμο

σημείο βρίσκεται με τον ορισμό

ΑΣΚΗΣΕΙΣ• Β1 σελ. 228

Να βρείτε τις τιμές των α, β για τις οποίες η συνάρτηση ,

είναι παραγωγίσιμη στο χ0=π.

• ΛΥΣΗ

ΑΝΟΙΞΤΕ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ: ΑΣΚΗΣΗ Β1 ΣΕΛ228.ggb

πxβxα

πxxxf

,

,ημ)(

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

• Β2 σελ. 228

Έστω η συνάρτηση και το σημείο, Α (ξ, f(ξ)) με ξ≠0 της γραφικής παράστασης της f. Να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α (ξ, f(ξ)) και Β(-ξ, 0) εφάπτεται της Cf στο Α.

• ΛΥΣΗ ΑΝΟΙΞΤΕ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ: ΑΣΚΗΣΗ Β2 ΣΕΛ 228.ggb

xxf )(

ΑΣΚΗΣΕΙΣ• Β3 σελ. 228

Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x)=x3 σε οποιοδήποτε σημείο της M(α, α3) , έχει με αυτήν και άλλο κοινό σημείο Ν εκτός του Μ. Στο σημείο Ν η κλίση της Cf είναι τετραπλάσια της κλίσης της στο Μ.

ΛΥΣΗ ΑΝΟΙΞΤΕ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ: ΑΣΚΗΣΗ Β3 ΣΕΛ 228.ggb

ΑΣΚΗΣΕΙΣ• Β4 σελ. 228

Έστω ε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της

συνάρτησης σε ένα σημείο της .

Αν Α, Β είναι τα σημεία στα οποία η ε τέμνει τους άξονες χ΄χ και ψ΄ψ αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι

    i) Το Μ είναι μέσο του ΑΒ.

  ii) Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ είναι σταθερό, δηλαδή ανεξάρτητο του ξ≠0.

ΛΥΣΗΑΝΟΙΞΤΕ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ: ΑΣΚΗΣΗ Β4 ΣΕΛ 228.ggb

ξ

ξM1

,x

xf1

)(

ΤΕΛΟΣ