ΠΟΤΕ ΜΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΊΝΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ;
Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο A.
Θα λέμε ότι:
— Η f είναι παραγωγίσιμη στο Α όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο χ0 ε Α
— Η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα (α,β) του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο χ0 ε (α, β)
— Η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη στο (α, β) και επιπλέον
υπάρχουν στο R τα όρια και +x α
f(x)-f(α)lim
x-α -x β
f(x)-f(β)lim
x-β
ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ
Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και Α1 το σύνολο των σημείων του Α στα οποία αυτή είναι παραγωγίσιμη. Αντιστοιχίζοντας κάθε χ ε Α1
• στο f ' ( x ) , ορίζουμε τη συνάρτηση η οποία ονομάζεται πρώτη παράγωγος της f ή απλά παράγωγος της f.
ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ
Διαδοχικά μπορούμε να ορίσουμε για την f τις παραγώγους ανώτερης τάξης (αν υπάρχουν) ως εξής:• Δεύτερη παράγωγος της f : Είναι η παράγωγος της πρώτης
παραγώγου. Συμβολίζουμε f ΄• Τρίτη παράγωγος της f : Είναι η παράγωγος της δευτέρας
παραγώγου. Συμβολίζουμε f ΄΄• Άλλοι συμβολισμοί της :
• =f
ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
ΑΝΟΙΞΤΕ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ.ggb
για να δείτε τις βασικές συναρτήσεις και τις παραγωγούς αυτών μαζί με τη γραφικές παραστάσεις.
Παράγωγοι στοιχειωδών συναρτήσεων Συνάρτηση f Παράγωγος f΄ Διάστημα που παραγωγίζεται η f
■ f(x)=c (c) =0 R
■ f(x)=x (x) =1 R
■ f(x)=xν , νN – {0, 1} ν ν-1(x ) =νx R
■ f(x)=xκ , κZ– {0, 1} κ κ-1(x ) =κx R-{0}
■ f(x)=xα , αR - Z α α-1(x ) =αx [0, ) με α>1 , (0, ) με α<1
f(x)=lnx 1
(lnx) =x
(0, )
f(x)=logx 1
(logx) =x ln10
(0, )
■ f(x)= ln|x| 1
(ln|x|) =x
R-{0}
■ f(x)= x 1
( x) =2 x
(0, )
f(x)=ex x x(e ) =e R
■ f(x)=αx , α>0 x x(α ) =α lnα R
■ f(x)=ημx (ημx) =συνx R
■ f(x)=συνx (συνx) =-ημx R
■ f(x)=εφx 2
2
1(εφx) = 1+εφ x
συν x Α={xR/x κπ+
π
2 , κZ}
f(x)=σφx 2
2
1(σφx) = - (1+σφ x)
ημ x Α={xR/x κπ , κZ}
f(x)=|x| -1 , x 0
(|x|) = 1 , x 0
R-{0}
f(x)=1
x
2
1 1= -
x x
R-{0}
• ► Εύρεση f΄και πεδίου ορισμού f΄ • Στα ανοικτά διαστήματα η f ΄ προκύπτει άμεσα• Στα άκρα διαστημάτων ίσως χρειαστεί να εφαρμόσουμε
τον ορισμό της παραγώγου• Σε κλαδικές συναρτήσεις η παράγωγος στο κρίσιμο
σημείο βρίσκεται με τον ορισμό
ΑΣΚΗΣΕΙΣ• Β1 σελ. 228
Να βρείτε τις τιμές των α, β για τις οποίες η συνάρτηση ,
είναι παραγωγίσιμη στο χ0=π.
• ΛΥΣΗ
ΑΝΟΙΞΤΕ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ: ΑΣΚΗΣΗ Β1 ΣΕΛ228.ggb
πxβxα
πxxxf
,
,ημ)(
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
• Β2 σελ. 228
Έστω η συνάρτηση και το σημείο, Α (ξ, f(ξ)) με ξ≠0 της γραφικής παράστασης της f. Να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α (ξ, f(ξ)) και Β(-ξ, 0) εφάπτεται της Cf στο Α.
• ΛΥΣΗ ΑΝΟΙΞΤΕ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ: ΑΣΚΗΣΗ Β2 ΣΕΛ 228.ggb
xxf )(
ΑΣΚΗΣΕΙΣ• Β3 σελ. 228
Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x)=x3 σε οποιοδήποτε σημείο της M(α, α3) , έχει με αυτήν και άλλο κοινό σημείο Ν εκτός του Μ. Στο σημείο Ν η κλίση της Cf είναι τετραπλάσια της κλίσης της στο Μ.
ΛΥΣΗ ΑΝΟΙΞΤΕ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ: ΑΣΚΗΣΗ Β3 ΣΕΛ 228.ggb
ΑΣΚΗΣΕΙΣ• Β4 σελ. 228
Έστω ε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της
συνάρτησης σε ένα σημείο της .
Αν Α, Β είναι τα σημεία στα οποία η ε τέμνει τους άξονες χ΄χ και ψ΄ψ αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι
i) Το Μ είναι μέσο του ΑΒ.
ii) Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ είναι σταθερό, δηλαδή ανεξάρτητο του ξ≠0.
ΛΥΣΗΑΝΟΙΞΤΕ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ: ΑΣΚΗΣΗ Β4 ΣΕΛ 228.ggb
ξ
ξM1
,x
xf1
)(
Top Related