Download - ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

Transcript
Page 1: ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

���20

������� 1: ����� �

������ 1.2:

������������������

�������� ������

����������������������� ��� �

�������

������ ��� ������� � ������

�� ����� ����� ����� ����!����"� ��#�$�

%� ����� �������"� ��#�$�

%� &�� �����'#�� ������ �(��� )��

����������� ��������������������� �������

�� )��

%� *���

+� ,�����

-� ! ���

.� /�� ���# �� ����0��������������1�

&�������#�1� �� �� ���

�� "��#�1�� ������� � ��������

%� "��#�1�� ���������������� ������2���

+� "��#�1������������ ���

-� 0� ��3��2�"��#�12

0�� �� ��

�� � �� ���4 ��� �

%� "��� ��

+� "5 ���12

�. �!"� ��� ���������

�!�!#�� �

��$ ��� ��!�$ ��������%� �$ �$ !��&!��'�#$� ($� ��� )���� ���

�������$)�� ��!��

��$ �#����*�(�#� ($� ��� �$�)#��$�� �+� !#�$��$��%�

�!�!#�� ,

� -�+��� ���.*����� �������%�

����������� ��������������������� �������

� -�+��� ���.*����� �������%�

�!�!#�� -

� (-)

,. /#+����������$ � ����!�$����#��

� ����(���$ " (��� n).

���������� ��������������������� �������

��� ����� ����� ������� ��������� �������� ���������� ������� �!�� ��� ��"

12...)2()1(! ⋅⋅⋅−⋅−⋅= nnnn

#�����$%��� ��&'�����( ������ �����"

��� ��������)������*+,!

12...)2()1(! ⋅⋅⋅−⋅−⋅= nnnn

1,

1

1

,)!1(!

=

>

��� −

=n

nnnn

αν

αν

Page 2: ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

,. /#+����������$ � ����!�$����#��

� � !��"���� P(n,k) �$ � !��"���� C(n,k)

!���������� ��������������������� �������

��� �����)��� ���)���-.��/0������ ��+�(���� �.�1/0+������2*�����*3/3�"

)1...()2()1()!(

!),( +−⋅−⋅−⋅=

−= knnnn

kn

nknP

#��� �� �����)��� ���)���4.��/0����� ��+�� ��� �/+.�1/0+�����n00 �$ 01k1n

56�4.��/0����7 8���������������&'�"����������� ����$%��"

)!(!

!),(

knk

nknC

−=

���

����

k

n

)!(!

!

knk

n

k

n

−=��

����

,. /#+����������$ � ����!�$����#��

� ��� �$ �� /#+������:

"���������� ��������������������� �������

9� )���!"���$%���)��$:�)"

���

����

−=��

����

kn

n

k

n

��

�� −

��

�� knk

9� )���;"���$%���)��$:�)"

���

����

−+���

����

−=��

����

1

11

k

n

k

n

k

n

,. /#+����")�� ��� �������$ ��

� �")�� ��� �������$ �� #���$ �� �#����# �# !"���� ��"!��� �!��#� ��(��#$ '�� (!#��!*� �) (#(��"�.

� -$� �� �� �����# ���" ')���# ��#$� ��"!���:

� ��� ����'����� �+� ��"!+� «�# �� )'�$» "!�� ���(��2���# "*������� ��"!��� �# ���� �!����� �!��#� �� (��#$ �� (#(��"� �$ '!#$������ �#����#.

#���������� ��������������������� �������

���� �#����#.

� �$� .��$ '� ��)'� �!���������, ��*��� ��� ��"�� ��� ����������� �$ ��� ($���'���, "!�� �!��# �� .��$ " !�".*��� �# �!�!��-.*����� �$ �� �#*$ " �!��'*#��� !�� �!�#$ +� �� ����$��� � ��($�"�#�� �+� #!$�'���� �!��#*#����+�.

� ���� �������$ ��� ��!��� �+� ����'*+� ��� ��������$ ��, !�� #���$�������$ �� ��!�$ !�� #2���"3����$ �"�� ��+ �!" ����$��'�#�!��&!��'�#$�. ��" #$��$ ($� ���� ��!��� ��� ��������� (�� ��1.2) �+� �$���4#+� (������ 1.3) �$ �+� �$����%� �# �!���)'�(������ 1.4)

��$ !$� ��� �*#� �� ��#$� #���$ ���'� !�� �!�$���� �� ����������# ����!���!��+ ��"!���.

,. /#+���1. ���������

� �� !��.*����� ��������$ �� ��)�� ���� ���� ��� *���� ')���# k �'�#$�

(!��*#�) �$ �# ��# �'�� �'*���# �� ��!��#������# '�� ���$ #��#�� �!"

n �$��'�$��. �� !�%�� #�%���� !�� !�'!#$ �� �!�����# #���$ �� #)#$

������� � �#$�� �+� ���$ #$�'�+� � ")$:

� �� � �#$�� ')#$ �������, �$*��# ($� '�� !�".*��� �$���4#+�. -$� !����#$(��

$���������� ��������������������� �������

� �� � �#$�� ')#$ �������, �$*��# ($� '�� !�".*��� �$���4#+�. -$� !����#$(��

�� !�'!#$ �� ���� #������# ��� ��5� �� ��� 4 �!" �� #**��$ " �*2�.��� �

�#$�� �+� ���$ #$�'�+� ((�������) ')#$ ������� (�2�� �� #��**�4���# ���

(������� �# ��� *'4� !�� �!�#$ �$�2��#�$ � *'4�)

� �� � �#$�� ��� ')#$ �������, �$*��# ($� '�� !�".*��� ��������%�. -$�

!����#$(�� ��� 6�7�� � �#$�� �+� ���$ #$�'�+� �#� ')#$ ������� (!.). � 3��$�

1-2 �# ��� 3��$� 2-1 #���$ ��$�)

Page 3: ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

,. /#+���1. ���������

�$ ��!�$ �+� ��������%� �!�*�(�3��� ��#�� ��� *��� �# '�� !�".*���!�� �!��#� �� ����#*�!�$��#� +� #4��:

�/#+����# "�$ ')���# '��� «�����» !�� !#�$')#$ ����������� �����������

� ,�3���# �� )'�$ ���� ��.� �$ ���������� �#�$ � �!" ����

%���������� ��������������������� �������

� �'��$� !��.*����� #���$ �� ����� (� ��.�� ')#$ 49 ��$����� �$ #!$*'(+���� 6), �� 8�7��� (� ��.�� ')#$ 52 2�**� �$ #!$*'(+ – �����+� – �� 5), �� ������ �$ �**�.

�� ������� #���$ �� ���� – *#$�� !�� �� �����������# �# !�**'�# 2+���#$� �$ �� ���*�.������# "�$ #�����# �# �����������. ����������#"�$ "��� �����# �$� ������� ������������ ')#$ ������� !�$� ���$ #��#��#!$*'(���# �$ ")$ � �#$�� �# ��� �!��� �� #!$*'(���#.

,. /#+���1. ���������

�2�� ')���# ���*�.#$ "�$ ')���# '��� !�".*��� #!$*�(�� ���$ #$�'�+�,

�!��)��� ��� ��!�$ !�� ����#*�!�$��� �������$)� !��.*�����:

��$ ���������� k ���$ #$�'�+� �!" n )+��� #!���*�9�

�:!�� �$ *��#$� �� �������$ �!" ��� �)'��

������������ ��������������������� �������

���

����

k

n

��$ ���������� k ���$ #$�'�+� �!" n �# #!���*�9�

�:!�� �$ *��#$� �� �������$ �!" ��� �)'��

��

���

����

−+

k

kn 1

� ������ � � ������ � � ')#$ �� ��#$ �# !"�#� 2��'� #!$��'!#��$ �� ')���# ���� �#*$ � ���

*��� '�� �!" �� �$�2��#�$ � ���$ #��#�� ��� ��.�:

���� ����������� )+��� #!���*�9� �#� #!$��'!#��$ �� ')���# '�� ���$ #��#�� !��+ �!" ���

2��� ("!+� !.). ��� ����� ��# ��$��"� �#� �!��#� �� #!���*�2�#� !��+ �!" ��� 2���)

���� ����������� �# #!���*�9� ��# ���$ #��#�� �!��#� �� #!���*�2�#� ���� �#*$ � ��� *���

"�#���!��# 2��'� ("!+� !.). ��� 6�7�� !�� ��# ��$��"� {1,2,..,6} �!��#� �� '��#$ �# "*� ��

3��$�)

,. /#+���1. ���������1. ��������� 8+��� �!���*�9�

������������ ��������������������� �������

;)���# '�� !�".*��� ��������%� )+��� #!���*�9� "���:

1. � �#$�� �+� ���$ #$�'�+� �#� ')#$ �������

2. ;)���# n �$�2��#�$ � ���$ #��#�� (:�� �$�2��#�$ � �#��4� ����).

3. �!$*'(���# k �!" ����, )+��� �� #!���*��.��#��$ �!�$� ���$)#��

(��*��� ���� *��� ��# ���$ #��#�� �!��#� �� #!���*�2�#� �� !�*� ���(��*��� ���� *��� ��# ���$ #��#�� �!��#� �� #!���*�2�#� �� !�*� ���

2���)

�"�# �$ ������� ��"!�$ #!$*�(�� �������$ �!" ��� ��!�:

���

����

=k

nknC ),(

�����#�(���� �'��$+� !��.*����+� #���$ �� �����, �� 8�7���, ��

������ .*!.

,. /#+���1. ���������2. ��������� �# �!���*�9�

������������ ��������������������� �������

;)���# '�� !�".*��� ��������%� �# #!���*�9� "���:

1. � �#$�� �+� ���$ #$�'�+� �#� ')#$ �������

2. ;)���# n �$�2��#�$ � ���$ #��#�� (:�� �$�2��#�$ � �#��4� ����).

3. ��!*��%����# k �'�#$� %��# �# ��# �'�� �� �!��#� �� #!���*�2�#�

�� ��$� ���$)#�� (��*��� ���� *��� ��# ���$ #��#�� �!��#� �� #�2���3#��$�� ��$� ���$)#�� (��*��� ���� *��� ��# ���$ #��#�� �!��#� �� #�2���3#��$

��#���!��# 2��'� – �!" ���� #%� "*#� �$� �'�#$�)

�"�# �$ ������� ��"!�$ #!$*�(�� �������$ �!" ��� ��!�:

���

����

−+=−+

k

knkknC

1),1(

�����#�(���� �'��$+� !��.*����+� #���$ �� 6�7��, �� ������� .*!.

� #!���*�9� #���$ (�+��� �$ +� #!�����!��'����. ��*��� .(�3���# '��

���$ #��#�� �!" ��� ��.�, �� ���(��2���# �$ '!#$�� �� #!�����!��#����#

���� ��.� �$ #!$*'(���# �� #!"�#�� �# ��� ��$� �$��$ ����.

Page 4: ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

,. /#+���2. -�+��� ���.*����� �������%�1. �����

������������ ��������������������� �������

�� ����� �������$ 49 ��$���� �$ 3��#���$ �� #!$*'4���# ���� 6 ($� ��

���� #������# ��� ���*�. �"�#� ���*#� �!��)���;

��:

<� ���������� )+��� #!���*�9� �$ ��"!�$ #���$:

49�816.983.13...

6

49==��

����

-$� �� ���(�����# �# ���" �� �!��'*#��� ')���# #!�*��#��#$ "�$:

1. ��� �#*$ � *��� � �#$�� �+� ���$ #$�'�+� �#� ')#$ ������� (���(���$ �

#4��� 1, 8, 44, 12, 19, 23 #���$ ��$� !.). �# ��� 1, 12, 44, 8, 19, 23)

2. ;)���# 49 �$�2��#�$ � ���$ #��#�� �!" �� �!��� #!$*'(���# �� 6

3. ��� �#*$ � ��� *��� ��# ���$ #��#�� �!��#� �� #!$*#)�#� �� !�*� ���

2���.

,. /#+���2. -�+��� ���.*����� �������%�2. 6�7��

� ���������� ��������������������� �������

7�)����# ��� �� �$� # �$�'�� (=���$�) 3��$�. �"�#� 3��$'� �!��)���;

��:

<� ���������� �# #!���*�9� �$ ��"!�$ #���$:

2167!567!7!77126

=⋅

=⋅⋅

===���

��

=���

�� −+

212!5!2!5!2)!27(!222

==⋅

=⋅

=−

=���

���

=���

���

-$� �� ���(�����# �# ���" �� �!��'*#��� ')���# #!�*��#��#$ "�$:

1. ��� �#*$ � *��� � �#$�� �+� ���$ #$�'�+� �#� ')#$ ������� (���(���$ �

3��$� 1,2 #���$ ��$� �# ��� 2,1)

2. ;)���# n=6 �$�2��#�$ � ���$ #��#�� (�$ ��$���� 1,2,3,4,5,6) �� �!���

��!��#����# ���� ��.� �$ #!$*'(���# k=2 �# #!�����!��'����.

3. ��� �#*$ � ��� *��� ��# ���$ #��#�� �!��#� �� #!$*#)�#� ��#���!��#

2��'� (!.). � ��$��"� 1 �!��#� �� #!���*�2�#� �$ ��$� 2 �'�#$�)

,. /#+���2. -�+��� ���.*����� �������%�3. �������

�!���������� ��������������������� �������

�"�� ��"�$�� �!��)���; (�!#����$��: '�� ��"�$�� ���� #��3#��$

�!" ��� �#���(+�� !�� ��# '�� �#���(+�� �!��#� �� ')#$

����,1,2,3,4,5 � 6 �#*#�#�)

��:

<� ���������� �# #!���*�9� �$ ��"!�$ #���$:<� ���������� �# #!���*�9� �$ ��"!�$ #���$:

282

78

!6!2

!678

!6!2

!8

)!28(!2

!8

2

8

2

127=

⋅=

⋅⋅=

⋅=

−=��

����

=��

����

−+

-$� �� ���(�����# �# ���" �� �!��'*#��� ')���# #!�*��#��#$ "�$:

1. ��� �#*$ � *��� � �#$�� �+� ���$ #$�'�+� �#� ')#$ ������� (���(���$ ����"�$�� 2,5 #���$ ��$� �# �� 5,2)

2. ;)���# 7 �$�2��#�$ � ���$ #��#�� (�$ ��$���� 0,1,2,3,4,5,6) �� �!�����!��#����# ���� ��.� �$ #!$*'(���# 2 �# #!�����!��'����.

3. ��� �#*$ � ��� *��� ��# ���$ #��#�� �!��#� �� #!$*#)�#� ��#���!��#2��'� (!.). � ��$��"� 1 �!��#� �� #!���*�2�#� �$ ��$� 2 �'�#$�)

,. /#+���2. -�+��� ���.*����� �������%�4. 8�7���

�"���������� ��������������������� �������

�"�#� 5��#� )���$%� �!�����# �� ���� #������# �!" ��� !*���

���!��*�.

��:

<� ���������� )+��� #!���*�9� �$ ��"!�$ #���$:

52�960.598.2...

5

52==��

����

-$� �� ���(�����# �# ���" �� �!��'*#��� ')���# #!�*��#��#$ "�$:

1. ��� �#*$ � *��� � �#$�� �+� ���$ #$�'�+� �#� ')#$ �������

2. ;)���# n=52 �$�2��#�$ � ���$ #��#�� �� �!��� ��!��#����# ���� ��.�

�$ #!$*'(���# k=5 �!" ����.

3. ��� �#*$ � ��� *��� ��# ���$ #��#�� �!��#� �� #!$*#)�#� �� !�*� ���

2���.

Page 5: ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

,. /#+���2. -�+��� ���.*����� �������%�5. ������

�#���������� ��������������������� �������

�"�� �� �!�����*� �# 2 ���$)#�� ��� ���"*�� {1,2,3,4,5,6,7,8}

��:

<� ���������� )+��� #!���*�9� �$ ��"!�$ #���$:

28...8

==���

��

28...2

==���

���

-$� �� ���(�����# �# ���" �� �!��'*#��� ')���# #!�*��#��#$ "�$:

1. ��� �#*$ � *��� � �#$�� �+� ���$ #$�'�+� �#� ')#$ ������� (�!" ���

��$��" ��� ���"*��)

2. ;)���# n=8 �$�2��#�$ � ���$ #��#�� (�� ���$)#�� ��� ���"*��) �� �!���

��!��#����# ���� ��.� �$ #!$*'(���# k=2 �!" ����.

3. ��� �#*$ � ��� *��� ��# ���$ #��#�� �!��#� �� #!$*#)�#� �� !�*� ���

2���.

,. /#+���2. -�+��� ���.*����� �������%�5. ������ (1. �� �$+���$ " ���!��(��)

�$���������� ��������������������� �������

�� �!�����*� #���$ �#����$� SOS �$ !�'!#$ �� 4'����# �$ �� #4��:

�$ ��$���� ($� k=0,1,2,…,n *'(����$ �$ �$+���$ �� ����#*#��'� ($���

#���$ �$ ����#*#��'� ��� �$+���$ �� ���!��(�����:

nnniinn

i

nba

n

nba

nba

nba

i

nba ⋅⋅��

����

++⋅⋅��

����

+⋅⋅��

����

=⋅⋅��

����

=+

−−

= 0110

0...

10)(

���

����

k

n

�=�7��-�:

���:

iba

nbababa

iba ⋅⋅��

����

++⋅⋅���

���

+⋅⋅���

���

=⋅⋅���

���

=+= 0

...10

)(

32233021120333

0

3 333

3

2

3

1

3

0

33)( babbaabababababa

iba

ii

i+++=⋅⋅��

����

+⋅⋅��

����

+⋅⋅��

����

+⋅⋅��

����

=⋅⋅��

����

=+

=

niinn

i

nx

n

nx

nx

nx

nx

i

nx ��

����

++��

����

+��

����

+��

����

=⋅⋅��

����

=+

= ...210

1)1( 210

0

���

����

++��

����

+���

����

+���

����

=⋅⋅��

����

=+

=n

nnnn

i

niinn

i

n ...210

11)11(0

n

n

nnnn2...

210=��

����

++��

����

+���

����

+���

����

,. /#+���2. -�+��� ���.*����� �������%�5. ������ (2. )'�� �$+���$ %� ���#*#��%� �# ����������*�)

�%���������� ��������������������� �������

;��+ �={1,2,3,4} �"�# �� ����������*" ��� #���$ ��:

------------------------------------> C(4,0)=1 ���$)#��

---------------------> C(4,1)=4 ���$)#��

---> C(4,2)=6 ���$)#��},4,3{},4,2{},3,2{},4,1{},3,1{},2,1{

},4{},3{},2{},1{

,

{)(

=AP

---> C(4,2)=6 ���$)#��

--------> C(4,3)=4 ���$)#��

--------------------------------> C(4,4)=1 ���$)#��

�:*� �� �!�����*� #���$:

� �$ (#�$ #������ ($� �� !*���� �+� �!����"*+� #���$ )���$�� � �)'��:

}

}4,3,2,1{

},4,3,2{},4,3,1{},4,2,1{},3,2,1{

},4,3{},4,2{},3,2{},4,1{},3,1{},2,1{

424

4

3

4

2

4

1

4

0

4=��

����

+���

����

+���

����

+���

����

+���

����

n

n

nnnn2...

210=��

����

++��

����

+���

����

+���

����

-. �#����*�(��1. �!$*�(� �!" "��$� ���$ #��#��

������������ ��������������������� �������

��/�����-��:

�� ���$ #��#�� �!" �� �!��� #!$*'(���# �!��#� �� #���$ ��$%� ���(��$%�:

�) ���$� (= �� �$� # �$�'��). �����)� "�$ �# ����� ��� # 2%���� #������# "�$ :�� #���$ "��$�.

,) ����#� ����+� ���$ #$�'�+�. �.). ')+ 5 " $����, 4 ��!���� �$ 6 !���$���� ."*���, ���

')+ 3 ����#� ����+� ���$ #$�'�+�

-) �$�2��#�$ �. :�� �$�2��#�$ � ��� ��� �#��4� ����. �"�� �# ����� ��� !#��!�+�� �!��% ��

)���$��!�$��+ ���� ��!��� �+� ��������%�.

�����#$(��:

;��+ 50 �� �$� # �$�'��$ ."*�$. �# !"���� ��"!��� �!��% ��

#!$*'4+ 5 �!" ������

��:

�# 1 ��"!�.

)���$��!�$��+ ���� ��!��� �+� ��������%�.

-#�$ � "��� ')+ �� #!$*'4+ �!" "��$� ���$ #��#�� �!��)#$ �"�� 1 ��"!�� �$"�$ ��# �**� *��� ��

#���$ � �$.%� ��$� �# ��� !�%��.

Page 6: ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

-. �#����*�(��2. �!$*�(� �!" ����#� ����+� ���$ #$�'�+�

������������ ��������������������� �������

��/�����-��:

�� �� ���$ #��#�� #���$ ����#� ����+� ���$ #$�'�+� �"�# !�'!#$ �� ����#*�!�$��+ �� !�".*��� +�

#4��:

,�3+ ���� ��.� '�� �!" ��# ����� ����+� ���$ #$�'�+� �$ ����#*�!�$% �� !�".*��� +�

����������� �# #!���*�9�. �����)� "�$ !�'!#$ �� $ ���!�$�����$ �$ !#�$��$���� ��� ����'*��

�+� ��������%� �# #!���*�9�.

�����#$(��:

�)+ 5 !���$����, 5 " $���� �$ 5 ��!���� ."*���. �# !"����

��"!��� �!��% �� #!$*'4+ 4 �!" ������.

��:

�� !�".*��� ����#*�!�$#���$ +� ���������� �# #!���*�9� �# n=3(1

!���$��, 1 " $�� �$ 1 ��!�� ."*�) �$ k=4.

>�� �$ ��"!�$ #���$:

C(n+k-1,k)=C(3+4-1,4)=C(6,4)=15 ��"!�$.

-. �#����*�(��2. �!$*�(� �!" ����#� ����+� ���$ #$�'�+�

������������ ��������������������� �������

��/�����-��:

�����)� "��� ��+ #!$*�(� �!" ����#� ����+� ���$ #$�'�+� �$ �#� ���#���$ � !��&!"�#�� ��#

���$ #��#�� �� �!��#� �� #!���*�2�#� �# "*#� �$� �'�#$�.

�"�# #���!�3+ �� «!��.*����$ "» ���$ #��#�� �$ !����+ ($’ ���" �$�2��#�$ '� !#�$!�%�#$� "���

�2��� �� !"�#� 2��'� �!��#� �� #!$*#)�#�. �� �#*$ " �!��'*#��� �� !�� �9#$ �!" ��� ��"�� ���

�����������

�����#$(��:

�)+ 5 !���$����, 5 " $���� �$ 2 ��!���� ."*���. �# !"���� ��"!��� �!��% ��

#!$*'4+ 4 �!" ������.

��:

�$� ���+ !#�$!�%�#$� ($� ���� ��!���� ."*���:

� �� ')+ 0 ��!���� ."*���: �"�# ')+ C(2+4-1,4)=C(5,4) *��#$�

� �� ')+ 1 ��!�� ."*�. �"�# �$ �!"*�$!�$ 3 #!$*'(����$ �# C(2+3-1,3)=C(4,3) ��"!���

� �� ')+ 2 ��!���� ."*���. �"�# �$ �!"*�$!�$ 2 #!$*'(����$ �# C(2+2-1,2)=C(3,2)

��"!���.

>�� �!" ��� ��"�� ��� ����������� �$ *��#$� #���$:

C(5,4)+C(4,3)+C(3,2)=5+4+3=12

-. �#����*�(��3. �$���)$ '� �!$*�('�

������������ ��������������������� �������

��/�����-��:

# �!�$#� # 2+���#$� 3��#���$ �� #!$*'4���# �$���)$ � �!�$� ���$ #��#�� �!" ��� ��.� ($� ��

���� #������# �!�$#� ����#�. �)�� �� *'�# "�$ )+��3���# �� ���$ #��#�� ($� �� ���� #�-

�����# �$� ����#�.

�"�# #!$*'(���# �$���)$ � �� ���$ #��#�� �+� ����+�, �2�$�%���� ���� #!"�#�� 2��� ���� !��

#!$*'4��#. �� �#*$ " �!��'*#��� �� !�� �9#$ �!" ��� ��"�� ��� ($���'���.

�����#$(��:

�)+ 20 �$�2��#�$ � !�$)���$� !�� �'*+ �� �� ��$���+ ��� 3 ���9$� ���, %��# �� 1� ��

!��#$ 6, �� 2� �� !��#$ 9 �$ �� 3� �� !��#$ 5 !�$)���$�. �"��$ ��"!�$ �!��)��� �� (��#$ �

)+�$��"�;

��:

� -$� �� 1� ���9$ ')+ C(20,6) ��"!���

� -$� �� 2� ���9$ ')+ C(14,9) ��"!���

� -$� �� 3� ���9$ ')+ C(5,5) ��"!���

>�� �!" ��� ��"�� ��� ($���'��� �$ ����*$ �� ��"!�$ #���$: C(20,6)?C(14,9)?C(5,5)

�����)�! �� �$ ����#� !�� ���� #��3+ #���$ "��$#�, !�'!#$ �� �$�$�'�+ �# �� !���(���$ " ���

!*����� �+� ����+� !�� #���$ "��$#�. ���� � !#��!�+�� �!�$�#� +��"�� (�%�� �$���4#+� ($’

���" �� ��� ����������# !*��+� �# #!"�#�� ������.

-. �#����*�(��4. �#��!*� �$ �#�$��$����

� ���������� ��������������������� �������

��/�����-��:

# �� #�'� # 2+���#$� �#� �� �!�����# �� )���$��!�$�����# �!#��#��� �!�$�� �!" ����

��!��� *"(+ ��� �!��4�� �!�$�� !#�$��$����.

�$� !#�$!�%�#$� ���'� �!��# �� !�".*��� �# �!�!��.*����� �$ � #2�"����# �# ���� ��"!���

!�� ���*����# ��� !���(���#�� ������, ��*���:

���# �$� ������# �$�2��#�$ '� !#�$!�%�#$� �$ ������3���# �$� *��#$� �# ��� ��"�� �����������

�����#$(��:

;)+ 5 !���$����, 5 " $���� �$ 5 ��!���� ."*���. �"��$ ��"!�$ �!��)��� ($� �� ��+

�$� #!$*�(� 4 ."*+� �# ��� !#�$��$��" �� #!$*'4+ ���*�)$���� 2 !���$���� ."*���

��:

�$� ���+ !#�$!�%�#$� ($� ���� !���$���� ."*���:

� �� ')+ 2 !���$���� ."*���: �"�# ')+ C(2+2-1,2)=C(3,2)=3 *��#$�

� �� ')+ 3 !���$���� ."*���. �"�# ')+ C(2+1-1,1)=C(2,1)=2 *��#$�

� �� ')+ 4 !���$���� ."*���. �"�# ')+ 1 *���

>�� �!" ��� ��"�� ��� ����������� �$ ��"!�$ #���$ 3+2+1=6

���# �$� ������# �$�2��#�$ '� !#�$!�%�#$� �$ ������3���# �$� *��#$� �# ��� ��"�� �����������

���# ���� #��3���# ��� *��� �# 2��#$� (����$�) �$ ������3���# �$� *��#$� �# ��� ��"��

($���'���.

Page 7: ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

�. �� ��#$�

�� ��� ����"���� 1

!�*�(���# �$� � "*���#� !��"���#�:

�!���������� ��������������������� �������

=

=

=

=

=

!4)

!3)

!2)

!1)

!0)

E

D

C

B

A

=

=

=

=

!7)

!6)

!5)

!4)

H

G

F

E

�. �� ��#$�

�� ��� ����"���� 2

!�*�(���# �$� � "*���#� !��"���#�:

�"���������� ��������������������� �������

=

=

=

=

=

)2,4()

)1,4()

)0,4()

)2,5()

)3,5()

CE

CD

CC

PB

PA

=

=

=

=

)3,10()

)4,4()

)3,4()

)2,4()

CH

CG

CF

CE

�. �� ��#$�

�� ��� ����"���� 3

�!��#�4�# �� �#%����:

�#���������� ��������������������� �������

���

����

−=��

����

kn

n

k

n

�. �� ��#$�

��+���#$� 1

���#��$ �� ����*� A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

1. �� �!�����*� ��� A �# 5 ���$)#�� #���$

2. �� �!�����*� ��� A �# 3 ���$)#�� #���$ *$("�#�� �!" �� �!�����*� ��� � �# 7

�$���������� ��������������������� �������

���

����

5

10

2. �� �!�����*� ��� A �# 3 ���$)#�� #���$ *$("�#�� �!" �� �!�����*� ��� � �# 7

���$)#��

3. �� �!�����*� ��� A �# 4 ���$)#�� #���$ !#�$��"�#�� �!" �� �!�����*� ��� �

�# 6 ���$)#��

4. �� �!�����*� ��� � #���$ 210

Page 8: ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

�. �� ��#$�

��+���#$� 2

# �$� ��( '���+�� ����#�')��� 6 ����#� �$ 3 (���� #�. :*�$ �$ ����#� ����*������

�#��4� ���� )#$��9��, "*#� �$ (���� #� ����*������ �#��4� ���� )#$��9�� �$ 4 �!"

���� ����#� ����*������ )#$��9�� �# 2 �!" �$� (���� #�

1. �$ )#$��9�#� �#��4� ����%� #���$ 15.

�%���������� ��������������������� �������

2. �$ )#$��9�#� �#��4� (���$ %� #���$ 9.

3. �$ )#$��9�#� �#��4� ����%� �$ (���$ %� #���$ 8.

4. � ����*$ "� ��$��"� )#$��9$%� #���$ 27.

�. �� ��#$�

��+���#$� 3

# �$� ���!��*� �!��)��� 52 2�**� (4 )�%���� �# 13 )���$� �� ��# '��). ���

#!$*�(� ��� �#� #��$�2'�#$ � �#$��.

1. � ��$��"� �+� #!$*�(%� ��� 2�**+� '��$ %��# �$ �� ��� �� #���$ �!��$�

#���$ 13×12.

������������ ��������������������� �������

2. � ��$��"� �+� #!$*�(%� 5 2�**+� ��� ���!��*�� %��# �# ���� �� �!��)���

�$ �$ 4 ����$ ��� ���!��*�� #���$ .

3. � ��$��"� �+� #!$*�(%� 5 2�**+� ��� ���!��*�� %��# �# ���� �� �!��)���

�$ 4 ����$ ��� ���!��*�� �$ ��� ����� #���$ 4.

4. � ��$��"� �+� #!$*�(%� 5 2�**+� ��� ���!��*�� %��# �# ���� �� �!��)���

3 ����$ �$ 2 ����#� #���$

���

����

4

52

���

����

⋅���

����

2

49

3

52

�. �� ��#$�

��+���#$� 4

�$ ��"!�$ #!$*�(�� 2 ."*+� �!" 7 �$� # �$�'���� ."*��� #���$ ���$ �#:

1. ���� ��"!��� #!$*�(�� 2 .$.*�+� �!" 6 ���*��� (#!$��'!����$ #!���*�9#$�)

������������ ��������������������� �������

2. �� !*���� �+� �!����"*+� �# 2 ���$)#�� ��� ���"*�� {1,2,3,4,5,6,7}

3. ��� ����#*#��� ��� x2 ���� !�������� (1+x)7

4. �� �$�2��#�$ � �!��#*'����� ��� ��9�� 2 3��$%�.

�. �� ��#$�

�2����(� 1

;)���# ���� �$��#�� ��� 4 '����� �+� 2 #��%, 5 '����� ��� 1 #��% �$ 7 '�����

�+� 0.50 #��%. �# !"���� ��"!��� �!�����# �� #!$*'4���# 3 '�����;

������������ ��������������������� �������

Page 9: ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

�. �� ��#$�

�2����(� 2

# '�� �*��$ �!��)��� 30 �!�*#� " $��� )�%�����, 30 �!�*#� !���$��� )�%�����

�$ 30 �!�*#� �!*# )�%�����. !�*�(���# ���� ��"!��� �# ���� �!����� �!�����# ��

#!$*'4���# 10 �!�*#�, �� �#� ')#$ ������� � �#$�� #!$*�(�� �+� �!�*%�. �!���*�.#�#

�� #�%���� �� ��� �*��$ �!��)��� 30 �!�*#� " $��� )�%�����, 30 �!�*#�

!���$��� )�%����� �$ 5 �!�*#� �!*# )�%�����.

������������ ��������������������� �������

�. �� ��#$�

�2����(� 3

�� �'��#�� ��2$� ��� .$.*$��� �� ��� �� ��!��#������# 100 �$�2��#�$ � .$.*�� '��$

%��# �� 1� ��2$ �� ')#$ 40 .$.*��, �� 2� ��2$ �� ')#$ 30 .$.*��, �� 3� ��2$ �� ')#$ 20

.$.*�� �$ �� 4� ��2$ �� ')#$ 10 .$.*��. �"��$ ��"!�$ �!��)��� ($� �� #!$*'4���# !�$�

.$.*�� �� �!��� �# ��# ��2$;

� ���������� ��������������������� �������

�. �� ��#$�

�2����(� 4

;��+ 4 !���$�#�, 4 " $�#� �$ 4 ����#� �!�*#�. �� �!�*�($����� �$ ��"!�$ ($� ���

#!$*�(� 4 �!�*%� '��$ %��#:

1. �� #!$*#)���� �� !�*� 2 !���$�#� �!�*#�

2. �� #!$*#)���� � �$.%� 2 !���$�#� �!�*#�

3. �� #!$*#)���� ���*�)$���� 2 !���$�#� �!�*#�

�!���������� ��������������������� �������

�. �� ��#$�

�2����(� 5

�) � coach ��� ���$ �� �����2����� �'*#$ �� ��#.��#$ 11��� �# ������� 3-5-2(3

�����$ �� , 5 �'��$ �$ 2 #!$�#�$ ��). �"��$ �$ ��"!�$ ($� �� ��#$ ��� #!$*�(� �+�

!�$)�%� ���, �� ')#$ ���� �$��#�� ��� 7 �����$ ���, 8 �'���� �$ 4 #!$�#�$ ���.

,) ;)���# 20 ��$����'�#� �!�*#� �$ 4 ���$� �# )+���$ "���#� 2,5,6,7

�"���������� ��������������������� �������

,) ;)���# 20 ��$����'�#� �!�*#� �$ 4 ���$� �# )+���$ "���#� 2,5,6,7

�������$)�. �� �!�*�(��#�# ���� �������� ��"!��� ��!��'����� �+� �!�*%�

��� ���$�.

-) ;)+ 12 �$�2��#�$ � .$.*�� �$ ��#$� 2�$���'�. /'*+ �� �%�+ 5 .$.*�� ����

1� 2�$����, 3 .$.*�� ���� 2� 2�$���� �$ 4 .$.*�� ���� 3� 2�$����. �# !"����

��"!��� �!��#� �� (��#$ � )+�$��"� �+� .$.*�+�;

Page 10: ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

�. �� ��#$�

�2����(� 6

� ��� �*� �$�� ��4�� 10 !�$�$%� �'*#$ �� )+���#$ �� !�$�$� �# !'��# ����#� �+� ���

��"�+� ($� ��� # �'*#�� �!�$�� �������$"�����

�) �"��$ ��"!�$ �!��)��� �� �$ ����#� ')��� '�� )��� ���$��$ " )�%�� �

��#���. ��*��� #���$ � !���$��, � " $��, � ���$��, � ����� �$ � ��!��

�����.

,) �"��$ ��"!�$ �!��)��� �� "*#� �$ ����#� #���$ " $��� )�%�����;

-) �"��$ ��"!�$ �!��)��� �� �$ ��#�� ����#� #���$ " $��� )�%����� �$ �$

�#���������� ��������������������� �������

-) �"��$ ��"!�$ �!��)��� �� �$ ��#�� ����#� #���$ " $��� )�%����� �$ �$

��� ����#� #���$ ��!��� )�%�����;