Teoria dei profili

Definizioni

• c: corda• X-X: linea di corda• t: spessore massimo• Y-Y: camber line è la linea che separa il profilo in due parti uguali• d: camber è la massima distanza della linea di camber dalla linea di corda• Distanza del punto di massimo spessore e massimo camber espressa come frazione

della corda• α: angolo di stagger o angolo di attacco, formato tra la linea di corda e il vettore velocità

della corrente indisturbata

Distribuzioni di pressione• Quando un flusso incontra un profilo, si verificano variazioni locali

della velocità attorno al profilo stesso e conseguenti modifiche della pressione (Teorema di Bernoulli) detemrinanp lift, form drag e posizione del centro di pressione del profilo. Si riporta di solito il coefficiente di pressione:

• Nei punti di ristagno il valore di Cp=1• Un valore Cp positivo significa una pressione

maggiore del valore nella corrente libera• Un valore negativo significa una depressione rispetto

alla corrente libera

Cp p p

12

U2

1 UU

2

Distribuzioni di pressione

• Si rappresentano solitamente in funzione del rapporto x/c (grafico di dx), con x distanza dal bordo di attacco misurata // alla linea di corda

Forze e momenti aerodinamici

• La forza aerodinamica è applicata nel punto C lungo la corda chiamato centro di pressione.

• Se trasliamo le forze lungo la corda si genera un momento indicato con M

Coefficienti di forza e di momento• Si definiscono i seguenti coefficienti

adimensionali:

• I coefficienti variano con l’incidenza α. Nel caso 2D, S, per unità di lunghezza, è pari alla corda c

• Il momento intorno al punto O si può calcolare come segue:

CL L12

U2S; CD D

12

U2S; CM M

12

U2Sc;

M LOCcos DOCsin OC Lcos Dsin

• Dato che D è molto minore di L e α è molto piccolo, cosα≈1 e sinα≈0:

• Quando L=0 anche M=0

• Quando CL tende a 0 allora OC tende all’infinito ovvero il centro di pressione si muove all’infinito lungo la corrente.

Coefficienti di forza e di momento

M LOC M12

U2Sc

OCc

L12

U2S

CM OCc

CL

Forze e distribuzione di pressione

• Consideriamo un profilo con una data distribuzione di pressione:

Y pl pu O

c dx CY Y12

U2c1

Corda disposta lungo l’asse x

• Possiamo scrivere:

Forze e distribuzione di pressione

CY Y12

U2c1

pl p

12

U2

pu p

12

U2

O

c 1

cdx

Cpl Cpu O

1 dxc

CX Cpl Cpu O

1 dyc

Dove Cpl e Cpu sono i coefficienti di pressione sui profili inferiore e superiore rispettivamente

• Quindi i coefficienti di lift e drag sono:

• Quindi il coefficiente di lift è proporzionale all’area racchiusa dalle distribuzioni di pressione

Forze e distribuzione di pressione

c

xdCCCC

CCCCC

CCCC

O puplYL

XYXYD

YXYL

1

cossin

sincos

Cx<<Cy ; α molto piccolo

Distribuzioni di pressione: variazione con α

Distribuzioni di pressione: variazione con α

α= -5°: punto di ristagno sulla superficie superiore lift negativo

α= -2°: punto di ristagno sulla superficie superiore, ma area racchiusa dalla curva Cp (corrisponde al coefficiente di lift CL) pari a 0 lift nullo

α= 2°: punto di ristagno ora sulla superficie inferiore lift positivoTale transizione avviene per piccoli valori positivi di incidenza

Distribuzioni di pressione: variazione con αLift cresce con α per valori generalmente (low speed aerofoil) fino a 15°-16°

Quando si verificano elevati valori del lift, il principale contributo a questo è dato dal profilo in depressione

Quando α cresce, l’altezza del picco sul lato in depressione aumenta e si sposta più avanti il centro di pressione del profilo si sposta più avanti all’aumentare dell’incidenza α

L’appiattimento repentino di Cp sul lato superiore all’aumentare di α sopra i 15°, è dovuta alla separazione forte riduzione del lift (riduzione ancora superiore se α aumenta ancora) stalloIl lato inferiore non subisce effetti immediati e, con lo stallo, il centro di pressione si sposta verso il dietro

Curva di Lift

• Se consideriamo vari angoli di attacco possiamo tracciare la curva di lift di un profilo.

L=0 per α0 negativo e proporzionale al camber. Per profilo simmetrico (camber nullo), α0=0

All’aumentare di α, L aumenta linearmente fino a quando la separazione fa diminuire progressivamente la pendenza della curva. Raggiunto il massimo CLmax (per α = angolo di stallo ~15°) anche il lift diminuisce

Massimo della curva di Lift• Per un dato profilo, CLmax ha un unico valore raggiunto

per un dato angolo di stallo di incidenza, indipendentemente da variazioni di velocità. Dipende comunque da:

• Spessore: All’aumentare dello spessore (rapporto spessore/corda t/c) CLmax aumenta, fino a t/c=12-14%. Poi cala per spessori superiori

• Camber: Aumentare il camber fa aumentare il coefficiente di lift e Clmax, ma anticipa il limite di stallo

• Re: Aumentando il numero di Reynolds ritarda la separazione e aumenta CLmax

• Il raggio del bordo di attacco è proporzionale al coefficiente di lift. Per raggi piccoli si ha separazione anticipata e quindi valori minori di CLmax

Resistenza del profilo• Il coefficiente di drag aumenta molto lentamente con il

coefficiente di lift e poi varia molto rapidamente.

A basse α, la scia è molto ridotta e il form drag è << skin friction.Quando α cresce (sempre << valore di stallo), il punto di separazione si sposta avanti aumenta lo spessore della scia.Il form drag cresce ed è > skin frictionGlobalmente, la resistenza totale nel range di valori piccoli di α cresce molto lentamente e CD può essere assunto costante Per valori superiori di α, sempre inferiori allo stallo, CD aumenta con

incremento circa proporzionale al quadrato di CL.

Schiera di profili

Schiera di profili

• Si definiscono:– Angolo di calettamento (stagger) ξ– Rapporto spazio/corda s/l– Solidità l/s– Angolo di camber θ– Angolo di ingresso della pala: α1’

– Angolo di uscita della pala: α2’

– Angolo del flusso in ingresso: α1

– Angolo del flusso in uscita: α2

– Deflessione: ε=α1-α2

– Incidenza: α1-α1’– Deviazione: α2-α2’

Profili per compressori

• Il disegno dei profili viene oggi fatto con il metodo PVD (prescribed velocity distribution). Con questo metodo si traccia una distribuzione di velocità e da questa si genera il profilo (variazione spessore e curvatura profilo).

• Tuttavia molti profili appartengono ancora alle serie storiche: Naca 65, British C Series, DCA (Double Circular Arc) e Biconvesse

Profili per compressori

• I profili Naca 65 sono di derivazione aeronautica e hanno lo spessore massimo al 40% di x/c

• La serie C ha il massimo spessore al 30% e la serie DCA al 50% di x/c

• In generale il massimo spessore è correntemente di solito inferiore al 10% della corda e spesso anche inferiore al 5%.

Caratteristiche di una schiera

• Nel passaggio attraverso una schiera si ipotizza che l’altezza della schiera rimanga costante. In realtà questo non è vero perché le variazioni di pressione possono causare un ispessimento dello strato limite nei compressori e un assottigliamento dello stesso nelle turbine.

• Quindi viene creata una variazione dell’altezza della schiera tra ingresso e uscita.

Caratteristiche di una schiera

• Considerando l’equazione di continuità attraverso una schiera:

• Da cui

• Che si chiama axialvelocity density ratioNei compressori AVDR>1Nelle turbine AVDR<1

m 1c1H1scos1 2c2H2scos2

AVDR 1c1 cos12c2 cos2

H1sH2s

H1

H2

Parametri prestazione schiere

• Di solito si conoscono– L’angolo di ingresso del flusso: α1

– Il numero di Mach all’ingresso: M1

– Il numero di Reynolds: Re=ρ1c1l/μ• E si vuole calcolare:

– L’angolo di flusso in uscita: α2

– Le perdite di pressione totale: Yp

• Quindi le curve di prestazione sono di solito espresse come:– α2=f(M1, α1, Re)– Yp=f(M1, α1, Re)

Parametri prestazione schiere

• L’angolo α2 determina quanto lavoro viene scambiato con la schiera.

• La perdita di pressione totale è una misura delle perdite aerodinamiche ed è definita da:

• Le perdite sono di tre tipi:– Attrito del fluido attraverso lo strato limite– Separazione del fluido– Onde d’urto nel fluido

YP perditadi pressionetotalepressionedinamica

Parametri prestazione schiere

• Per i compressori possiamo scrivere:

• Per le turbine possiamo

scrivere:

• Un parametro alternativo è:

YP p01 p02p01 p1

YP p01 p02p01 p2

c2is2 c2

2

c2is2

Studio delle forze su una schiera

• Consideriamo una schiera di profili di compressore:

• Definendo:

X p2 p1 sY scx cy1 cy2 scx

2 tan1 tan2

cm cx cosm

tanm 12tan1 tan2

Studio delle forze su una schiera• Lift e drag si possono calcolare rispetto alle

forze X e Y e all’angolo medio αm

• C’è una correlazione immediata tra drag e perdita di pressione totale:

L XsinmY cosm

D Y sinm Xcosm

D cosm Y tanm X sp0 cosm

• Quindi possiamo ricavare X da:

• Da cui:

Studio delle forze su una schiera

X Y tanm sp0

L sinm Y tanm sp0 Y cosm

Ysin2m

cosm

cosm

sp0 sinm

Y secm sp0 sinm

scx2 tan1 tan2 secm sp0 sinm

Coefficienti di lift e drag

• Per una schiera si possono definire il coefficienti di lift e drag con un valore medio della velocità:

• Definiamo un coefficiente di perdita di pressione:

CL L12

cm2 l; CD D

12

cm2 l

p012

cm2

Coefficienti di lift e drag• Si può calcolare il coefficiente di drag da:

• E per il coefficiente di lift:

• Quindi:

CD sp0 cos2

1 2cm2 l

s1 2cm2 cos2

1 2cm2 l

sl cos2

CL scx

2 tan1 tan2 secm sp0 sinm

1 2cm2 l

scx

2 tan1 tan2 secm sp0 sinm

1 2 cx2 cos2ml

2 slcosm tan1 tan2 CD tanm

LD

CL

CD

2sec2m

tan1 tan2

Correlazioni di perdita compressori

• Correlazione di Lieblein (1959) e Johnson e Bullock (1965)

• Lieblein ha osservato che c’era un limite alla diffusione della velocità perché si produceva un ispessimento troppo grande dello strato limite: sul lato in depressione abbiamo di solito che cmax,s-c2>>c1-c2

• Lieblein ha definito una grandezza per quantificare questa diffusione e l’ha chiamato fattore locale di diffusione

DFloc cmax,s c2

cmax,s

Correlazioni di perdita compressori

• Dato che Dfloc era difficile da calcolare Lieblein, Schwenk e Broderick hanno introdotto il fattore di diffusione basato su una velocità teorica superficiale:

• Il massimo valore accettabile è 0.6, ma il valore ottimale è <0.45

DF 1 c2c1

c1 c 2 2c1

sl

Correlazioni di perdita compressori

• Se la velocità assiale è costante il fattore di diffusione diventa:

• Calcolati gli angoli di flusso, e fissando un valore massimo di DF, si può calcolare indirettamente il rapporto passo/corda

DF 1 cos1cos2

cos1 tan1 tan2

2

sl

Correlazioni di perdita compressori

• Sempre Lieblein, nel 1960, ha introdotto il rapporto di diffusione cmax,s/c2 e l’ha correlato al rapporto θ2/l, dove:

• Che è chiamato spessore della quantità di moto della scia

2 c cmax s 2

s 2 1c cmax dy

Correlazioni di perdita compressori

• La correlazione di Lieblein (1961) è quindi la seguente:

• Se θ2/l∞ allora cmax,s/c2=2.35

• I valori ottimali di cmax,s/c2 sono tra 1.9 e 2.0

2l

0.004

11.17ln cmax,s c2

Correlazioni di perdita compressori

• Sempre per la difficoltà di conoscere cmax,s Lieblein ha stabilito una correlazione tra una funzione della circolazione e cmax,s/c1:

f cos1 lc1 cmax,s c1 1.12 0.61 f

DReq cmax,sc2

cos2

cos11.12 0.61s

lcos22 tan 1 tan 2

DReq cos2

cos1

1.12 k i iref 1.43 0.61slcos22 tan 1 tan 2

Deflessione nominale

• Uno di primi problemi è stato di determinare il limite di stallo della schiera

• Howell ha definito la deflessione nominale:

• Che corrisponde all’80%

della deflessione di stallo.

• ε* non dipende dal camber

* 1 2 f s l,2*, Re

Deviazione del fluido

• Howell ha trovato una regola empirica per calcolare la deviazione nominale δ* in funzione dell’incidenza:

• Dove n≈0.5 per le schiere di compressore e n≈1 per schiere acceleranti e:

• Dove a è la distanza del massimo camber della pala

* m s l n

m 0.23 2a l 2 2* 500

Incidenza

Correlazioni per le turbine

Correlazione di Ainley-Mathieson

• Ainley e Mathieson hanno presentato nel 1951 un metodo di calcolo delle prestazioni delle turbine assiali.

• La perdita di pressione totale si compone di tre parti:– Perdita di profilo

– Perdita per effetti secondari

– Perdita per trafilamento

• La perdita del profilo viene studiata prima ad incidenza nulla ed ha la forma identica a quella vista in precedenza:

• In pratica si usa il rapporto:

Correlazione di Ainley-Mathieson

YP perditadi pressionetotalepressionedinamica

YP p01 p02p01 p2

YP YP (i0)

• Le perdite di profilo sono legate all’incidenza da questa curva:

Correlazione di Ainley-Mathieson

• La perdita di pressione a incidenza nulla è funzione degli angoli di flusso, del rapporto passo/corda e del rapporto spessore massimo/corda

Correlazione di Ainley-Mathieson

• Una espressione matematica che può essere utilizzata per la pale con grado di reazione intermedio tra 0 e 0.5 è:

• In funzione del numero di Reynolds è infine proposta la seguente correzione:

Correlazione di Ainley-Mathieson

YP (i0) YP(10) 1

2

2

YP (12 )YP (10)

5tmax

l

1 2

1tt Re1 5

Criterio di Zweifel

• Zweifel (1945) ha mostrato che negli stadi di turbina c’è un rapporto ottimale passo/corda per cui le perdite complessive sono minime.

• Se s è troppo piccolo il flusso è molto guidato ma ci sono maggiori perdite per attrito. Viceversa per s grandi.

• In pratica il rapporto tra il carico tangenziale (portanza) reale e ideale ha un valore circa costante in corrispondenza delle perdite minime

Criterio di Zweifel

• Il carico reale tangenziale è dato da:

• Le condizioni ideali sono quelle in cui p01 agisce sul lato in pressione e p2 su quello in depressione

• Se la velocità assiale è costante:

Criterio di Zweifel

Y m cy1 cy2

Yid p01 p2 bHm Hscx

Z YYid

m cy1 cy2 p01 p2 bH

Hsc

x

2 tan1 tan2 1 2c

x

2 sec22bH

YYid

2 sbtan1 tan2 cos22

• Zweifel ha trovato che a bassi numeri di Mach il valore ottimale di Z è 0.8, da cui consegue:

• Per numeri di Mach alti, occorre calcolare Z dalla formula originaria:

Criterio di Zweifel

sb

0.4

tan1 tan2 cos22

Z YYid

m cy1 cy2 p01 p2 bH

Correlazione di Soderberg

• Nel 1949 Soderberg propose la seguente correlazione sviluppata sulla base di un numero molto grande di prove sperimentali e utilizzando il criterio di Zweifel

• Soderberg trovò che basandosi sul criterio di Zweifel le perdite delle pale di turbina potevano essere correlate con il rapporto passo/corda, con il rapporto di forma, il rapporto spessore corda e il numero di Reynolds calcolato come:

• Il coefficiente di perdita utilizzato da Soderberg è:

Correlazione di Soderberg

p012

cm2

Re 2c2Dh /

• Per Re>105 e H/b=3 e fissata tmax/l, si ha:

Correlazione di Soderberg

* 0.04 0.06 100

2

• La correlazione è valida per ε<120°• Per H/b diverso da 3 si applica la

seguente correzione per gli statori:

• E la seguente per i rotori:

Correlazione di Soderberg

11 1 * 0.993 0.021 bH

11 1 * 0.975 0.075 bH

Angolo di uscita

• Nonostante una leggera diffusione sul lato in depressione, l’angolo di uscita è molto più vicino all’angolo della pala in confronto con i compressori.

• Tuttavia la sezione di scarico varia molto con α2:

A2 H scos2

Angolo di uscita

• A numeri di Mach alti le perdite totali sono la somma di vari fattori: