Γραμμική ΄Αλγεβρα

Βάσεις θεμελειωδών διανυσματικών χώρων

Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

10 Νοεμβρίου 2014

Γραμμική Ανεξαρτησία

΄Ενα σύνολο διανυσμάτων v1,v2, . . . ,vk ∈Rnλέγονται γραμμικά

εξαρτημένα ανν υπάρχουν αριθμοί c1,c2, . . . ,ck ∈R εκ τωνοποίων τουλάχιστον ένας δεν είναι μηδέν και για τους

οποίους ισχύει c1v1 +c2v2 . . . ,ckvk = 0.

Για να ελέγξουμε την εξάρτηση των v1,v2, . . . ,vk ∈Rn

Ï Σχηματίζουμε τον πίνακα A οποίος έχει σαν στήλες ταδιανύσματα αυτά

Ï Υπολογίζουμε τον μηδενόχωρο του AΑν αυτός περιλαμβάνει μόνον το μηδενικό διάνυσμα τότε αυτά

είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

Γραμμική Ανεξαρτησία

΄Ενα σύνολο διανυσμάτων v1,v2, . . . ,vk ∈Rnλέγονται γραμμικά

εξαρτημένα ανν υπάρχουν αριθμοί c1,c2, . . . ,ck ∈R εκ τωνοποίων τουλάχιστον ένας δεν είναι μηδέν και για τους

οποίους ισχύει c1v1 +c2v2 . . . ,ckvk = 0.

Για να ελέγξουμε την εξάρτηση των v1,v2, . . . ,vk ∈Rn

Ï Σχηματίζουμε τον πίνακα A οποίος έχει σαν στήλες ταδιανύσματα αυτά

Ï Υπολογίζουμε τον μηδενόχωρο του AΑν αυτός περιλαμβάνει μόνον το μηδενικό διάνυσμα τότε αυτά

είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

Ορισμοί

Ï Εάν ένας διανυσματικός χώρος V αποτελείται από όλουςτους γραμμικούς συνδυασμούς των διανυσμάτων

v1,v2, . . . ,vkτότε λέμε ότι αυτά παράγουν τον V.

Ï ΄Ενα σύνολο διανυσμάτων παράγει έναν διανυσματικόχώρο ανν κάθε διάνυσμα του χώρου μπορεί να γραφθεί

σαν γραμμικός συνδυασμός των εν λόγω διανυσμάτων.

Ï ΄Ενα σύνολο διανυσμάτων αποτελεί βάση ενόςδιανυσματικού χώρου ανν αυτά είναι γραμμικά

ανεξάρτητα και παράγουν τον χώρο.

Ï Διάσταση ενός υποχώρου είναι το πλήθος των στοιχείωντης βάσης του.

Ορισμοί

Ï Εάν ένας διανυσματικός χώρος V αποτελείται από όλουςτους γραμμικούς συνδυασμούς των διανυσμάτων

v1,v2, . . . ,vkτότε λέμε ότι αυτά παράγουν τον V.

Ï ΄Ενα σύνολο διανυσμάτων παράγει έναν διανυσματικόχώρο ανν κάθε διάνυσμα του χώρου μπορεί να γραφθεί

σαν γραμμικός συνδυασμός των εν λόγω διανυσμάτων.

Ï ΄Ενα σύνολο διανυσμάτων αποτελεί βάση ενόςδιανυσματικού χώρου ανν αυτά είναι γραμμικά

ανεξάρτητα και παράγουν τον χώρο.

Ï Διάσταση ενός υποχώρου είναι το πλήθος των στοιχείωντης βάσης του.

Ορισμοί

Ï Εάν ένας διανυσματικός χώρος V αποτελείται από όλουςτους γραμμικούς συνδυασμούς των διανυσμάτων

v1,v2, . . . ,vkτότε λέμε ότι αυτά παράγουν τον V.

Ï ΄Ενα σύνολο διανυσμάτων παράγει έναν διανυσματικόχώρο ανν κάθε διάνυσμα του χώρου μπορεί να γραφθεί

σαν γραμμικός συνδυασμός των εν λόγω διανυσμάτων.

Ï ΄Ενα σύνολο διανυσμάτων αποτελεί βάση ενόςδιανυσματικού χώρου ανν αυτά είναι γραμμικά

ανεξάρτητα και παράγουν τον χώρο.

Ï Διάσταση ενός υποχώρου είναι το πλήθος των στοιχείωντης βάσης του.

Ορισμοί

Ï Εάν ένας διανυσματικός χώρος V αποτελείται από όλουςτους γραμμικούς συνδυασμούς των διανυσμάτων

v1,v2, . . . ,vkτότε λέμε ότι αυτά παράγουν τον V.

Ï ΄Ενα σύνολο διανυσμάτων παράγει έναν διανυσματικόχώρο ανν κάθε διάνυσμα του χώρου μπορεί να γραφθεί

σαν γραμμικός συνδυασμός των εν λόγω διανυσμάτων.

Ï ΄Ενα σύνολο διανυσμάτων αποτελεί βάση ενόςδιανυσματικού χώρου ανν αυτά είναι γραμμικά

ανεξάρτητα και παράγουν τον χώρο.

Ï Διάσταση ενός υποχώρου είναι το πλήθος των στοιχείωντης βάσης του.

Παρατηρήσεις

Ï Υπάρχουν άπειρες διαφορετικές

βάσεις ενός υπόχωρου.

Ï Δύο οποιεσδήποτε βάσεις ενός

χώρου αποτελούνται από το ίδιο

πλήθος διανυσμάτων.

Παρατηρήσεις

Ï Υπάρχουν άπειρες διαφορετικές

βάσεις ενός υπόχωρου.

Ï Δύο οποιεσδήποτε βάσεις ενός

χώρου αποτελούνται από το ίδιο

πλήθος διανυσμάτων.

Θεώρημα

Αν τα σύνολα v1,v2, . . . ,vmκαι w1,w2, . . . ,wn

αποτελούν

βάσεις του χώρου V τότε m= n.

Απόδειξη:΄Εστω m< n

wj = a1,jv1 +a2,jv2 + . . .+am,jvm ⇒W =VA

Επειδή m< n τότε ο A έχει στον μηδενόχωρό τουτουλάχιστον ένα μη-μηδενικό διάνυσμα έστω το c 6= 0

Πολλαπλασιάζουμε την παραπάνω εξίσωση με το c αυτό καιέχουμε ⇒Wc=VAc

Τότε Ac= 0⇒VAc= 0⇒Wc= 0,c 6= 0

΄Ατοπο γιατί τα wi, i= 1, . . . ,m είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

Θεώρημα

Αν τα σύνολα v1,v2, . . . ,vmκαι w1,w2, . . . ,wn

αποτελούν

βάσεις του χώρου V τότε m= n.

Απόδειξη:΄Εστω m< n

wj = a1,jv1 +a2,jv2 + . . .+am,jvm

⇒W =VA

Επειδή m< n τότε ο A έχει στον μηδενόχωρό τουτουλάχιστον ένα μη-μηδενικό διάνυσμα έστω το c 6= 0

Πολλαπλασιάζουμε την παραπάνω εξίσωση με το c αυτό καιέχουμε ⇒Wc=VAc

Τότε Ac= 0⇒VAc= 0⇒Wc= 0,c 6= 0

΄Ατοπο γιατί τα wi, i= 1, . . . ,m είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

Θεώρημα

Αν τα σύνολα v1,v2, . . . ,vmκαι w1,w2, . . . ,wn

αποτελούν

βάσεις του χώρου V τότε m= n.

Απόδειξη:΄Εστω m< n

wj = a1,jv1 +a2,jv2 + . . .+am,jvm ⇒W =VA

Επειδή m< n τότε ο A έχει στον μηδενόχωρό τουτουλάχιστον ένα μη-μηδενικό διάνυσμα έστω το c 6= 0

Πολλαπλασιάζουμε την παραπάνω εξίσωση με το c αυτό καιέχουμε ⇒Wc=VAc

Τότε Ac= 0⇒VAc= 0⇒Wc= 0,c 6= 0

΄Ατοπο γιατί τα wi, i= 1, . . . ,m είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

Θεώρημα

Αν τα σύνολα v1,v2, . . . ,vmκαι w1,w2, . . . ,wn

αποτελούν

βάσεις του χώρου V τότε m= n.

Απόδειξη:΄Εστω m< n

wj = a1,jv1 +a2,jv2 + . . .+am,jvm ⇒W =VA

Επειδή m< n τότε ο A έχει στον μηδενόχωρό τουτουλάχιστον ένα μη-μηδενικό διάνυσμα έστω το c 6= 0

Πολλαπλασιάζουμε την παραπάνω εξίσωση με το c αυτό καιέχουμε ⇒Wc=VAc

Τότε Ac= 0⇒VAc= 0⇒Wc= 0,c 6= 0

΄Ατοπο γιατί τα wi, i= 1, . . . ,m είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

Θεώρημα

Αν τα σύνολα v1,v2, . . . ,vmκαι w1,w2, . . . ,wn

αποτελούν

βάσεις του χώρου V τότε m= n.

Απόδειξη:΄Εστω m< n

wj = a1,jv1 +a2,jv2 + . . .+am,jvm ⇒W =VA

Επειδή m< n τότε ο A έχει στον μηδενόχωρό τουτουλάχιστον ένα μη-μηδενικό διάνυσμα έστω το c 6= 0

Πολλαπλασιάζουμε την παραπάνω εξίσωση με το c αυτό καιέχουμε ⇒Wc=VAc

Τότε Ac= 0⇒VAc= 0⇒Wc= 0,c 6= 0

΄Ατοπο γιατί τα wi, i= 1, . . . ,m είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

Θεώρημα

Αν τα σύνολα v1,v2, . . . ,vmκαι w1,w2, . . . ,wn

αποτελούν

βάσεις του χώρου V τότε m= n.

Απόδειξη:΄Εστω m< n

wj = a1,jv1 +a2,jv2 + . . .+am,jvm ⇒W =VA

Επειδή m< n τότε ο A έχει στον μηδενόχωρό τουτουλάχιστον ένα μη-μηδενικό διάνυσμα έστω το c 6= 0

Πολλαπλασιάζουμε την παραπάνω εξίσωση με το c αυτό καιέχουμε ⇒Wc=VAc

Τότε Ac= 0

⇒VAc= 0⇒Wc= 0,c 6= 0

΄Ατοπο γιατί τα wi, i= 1, . . . ,m είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

Θεώρημα

Αν τα σύνολα v1,v2, . . . ,vmκαι w1,w2, . . . ,wn

αποτελούν

βάσεις του χώρου V τότε m= n.

Απόδειξη:΄Εστω m< n

wj = a1,jv1 +a2,jv2 + . . .+am,jvm ⇒W =VA

Επειδή m< n τότε ο A έχει στον μηδενόχωρό τουτουλάχιστον ένα μη-μηδενικό διάνυσμα έστω το c 6= 0

Πολλαπλασιάζουμε την παραπάνω εξίσωση με το c αυτό καιέχουμε ⇒Wc=VAc

Τότε Ac= 0⇒VAc= 0

⇒Wc= 0,c 6= 0

΄Ατοπο γιατί τα wi, i= 1, . . . ,m είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

Θεώρημα

Αν τα σύνολα v1,v2, . . . ,vmκαι w1,w2, . . . ,wn

αποτελούν

βάσεις του χώρου V τότε m= n.

Απόδειξη:΄Εστω m< n

wj = a1,jv1 +a2,jv2 + . . .+am,jvm ⇒W =VA

Επειδή m< n τότε ο A έχει στον μηδενόχωρό τουτουλάχιστον ένα μη-μηδενικό διάνυσμα έστω το c 6= 0

Πολλαπλασιάζουμε την παραπάνω εξίσωση με το c αυτό καιέχουμε ⇒Wc=VAc

Τότε Ac= 0⇒VAc= 0⇒Wc= 0,c 6= 0

΄Ατοπο γιατί τα wi, i= 1, . . . ,m είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

Θεώρημα

Αν τα σύνολα v1,v2, . . . ,vmκαι w1,w2, . . . ,wn

αποτελούν

βάσεις του χώρου V τότε m= n.

Απόδειξη:΄Εστω m< n

wj = a1,jv1 +a2,jv2 + . . .+am,jvm ⇒W =VA

Επειδή m< n τότε ο A έχει στον μηδενόχωρό τουτουλάχιστον ένα μη-μηδενικό διάνυσμα έστω το c 6= 0

Πολλαπλασιάζουμε την παραπάνω εξίσωση με το c αυτό καιέχουμε ⇒Wc=VAc

Τότε Ac= 0⇒VAc= 0⇒Wc= 0,c 6= 0

΄Ατοπο γιατί τα wi, i= 1, . . . ,m είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

Παρατηρήσεις

Ï Κάθε γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο διανυσμάτων

ενός χώρου V μπορεί, εάν αυτό είναι απαραίτητο,να επεκταθεί (με προσθήκη άλλων διανυσμάτων)

έτσι ώστε να γίνει βάση του V.

Ï Κάθε σύνολο διανυσμάτων που παράγει έναν

χώρο V μπορεί, εάν αυτό είναι απαραίτητο, νασυρρικνωθεί (αφαιρώντας διανύσματα) έτσι ώστε

να γίνει βάση του V.

Παρατηρήσεις

Ï Κάθε γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο διανυσμάτων

ενός χώρου V μπορεί, εάν αυτό είναι απαραίτητο,να επεκταθεί (με προσθήκη άλλων διανυσμάτων)

έτσι ώστε να γίνει βάση του V.Ï Κάθε σύνολο διανυσμάτων που παράγει έναν

χώρο V μπορεί, εάν αυτό είναι απαραίτητο, νασυρρικνωθεί (αφαιρώντας διανύσματα) έτσι ώστε

να γίνει βάση του V.

Παρατηρήσεις

A= 1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −31 3 1 6 −4

, U = 1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −30 0 0 0 −0

1. Ο χώρος γραμμών του A ταυτίζεται (άρα έχει την ίδιαδιάσταση r και την ίδια βάση) με τον χώρο γραμμών τουU.

2. Ο χώρος στηλών του A δεν ταυτίζεται με τον χώρογραμμών του U.

3. Ο μηδενόχωρος του A ταυτίζεται με τον μηδενόχωρο τουU.

Παρατηρήσεις

A= 1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −31 3 1 6 −4

, U = 1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −30 0 0 0 −0

1. Ο χώρος γραμμών του A ταυτίζεται (άρα έχει την ίδιαδιάσταση r και την ίδια βάση) με τον χώρο γραμμών τουU.

2. Ο χώρος στηλών του A δεν ταυτίζεται με τον χώρογραμμών του U.

3. Ο μηδενόχωρος του A ταυτίζεται με τον μηδενόχωρο τουU.

Παρατηρήσεις

A= 1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −31 3 1 6 −4

, U = 1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −30 0 0 0 −0

1. Ο χώρος γραμμών του A ταυτίζεται (άρα έχει την ίδιαδιάσταση r και την ίδια βάση) με τον χώρο γραμμών τουU.

2. Ο χώρος στηλών του A δεν ταυτίζεται με τον χώρογραμμών του U.

3. Ο μηδενόχωρος του A ταυτίζεται με τον μηδενόχωρο τουU.

Παρατηρήσεις

A= 1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −31 3 1 6 −4

, U = 1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −30 0 0 0 −0

1. Ο χώρος γραμμών του A ταυτίζεται (άρα έχει την ίδιαδιάσταση r και την ίδια βάση) με τον χώρο γραμμών τουU.

2. Ο χώρος στηλών του A δεν ταυτίζεται με τον χώρογραμμών του U.

3. Ο μηδενόχωρος του A ταυτίζεται με τον μηδενόχωρο τουU.

Παρατηρήσεις

A= 1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −31 3 1 6 −4

, U = 1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −30 0 0 0 −0

1. Ο χώρος γραμμών του A ταυτίζεται (άρα έχει την ίδιαδιάσταση r και την ίδια βάση) με τον χώρο γραμμών τουU.

2. Ο χώρος στηλών του A δεν ταυτίζεται με τον χώρογραμμών του U.

3. Ο μηδενόχωρος του A ταυτίζεται με τον μηδενόχωρο τουU.

Βάσεις και διαστάσεις θεμελειωδών υπόχωρων του A ∈Rm,n

χώρος γραμμών Βάση: το σύνολο των μη-μηδενικών

γραμμών του U. Διάσταση: r (το πλήθος τωνοδηγών του A).

χώρος στηλών Βάση: το σύνολο των στηλών του A πουαντιστοιχούν σε στήλες του U που φέρουνοδηγό. Διάσταση: r.

μηδενόχωρος Βάση: οι (γραμμικά ανεξάρτητες) λύσεις του

ομογενούς. Διάσταση: n− r.αριστερός μηδενόχωρος Βάση: το σύνολο των γραμμών του

L−1που αντιστοιχούν σε μηδενικές γραμμές του

U. Διάσταση: m− r.

A= LU ⇒ L−1A=U

Βάσεις και διαστάσεις θεμελειωδών υπόχωρων του A ∈Rm,n

χώρος γραμμών Βάση: το σύνολο των μη-μηδενικών

γραμμών του U. Διάσταση: r (το πλήθος τωνοδηγών του A).

χώρος στηλών Βάση: το σύνολο των στηλών του A πουαντιστοιχούν σε στήλες του U που φέρουνοδηγό. Διάσταση: r.

μηδενόχωρος Βάση: οι (γραμμικά ανεξάρτητες) λύσεις του

ομογενούς. Διάσταση: n− r.αριστερός μηδενόχωρος Βάση: το σύνολο των γραμμών του

L−1που αντιστοιχούν σε μηδενικές γραμμές του

U. Διάσταση: m− r.

A= LU ⇒ L−1A=U

Βάσεις και διαστάσεις θεμελειωδών υπόχωρων του A ∈Rm,n

χώρος γραμμών Βάση: το σύνολο των μη-μηδενικών

γραμμών του U. Διάσταση: r (το πλήθος τωνοδηγών του A).

χώρος στηλών Βάση: το σύνολο των στηλών του A πουαντιστοιχούν σε στήλες του U που φέρουνοδηγό. Διάσταση: r.

μηδενόχωρος Βάση: οι (γραμμικά ανεξάρτητες) λύσεις του

ομογενούς. Διάσταση: n− r.

αριστερός μηδενόχωρος Βάση: το σύνολο των γραμμών του

L−1που αντιστοιχούν σε μηδενικές γραμμές του

U. Διάσταση: m− r.

A= LU ⇒ L−1A=U

Βάσεις και διαστάσεις θεμελειωδών υπόχωρων του A ∈Rm,n

χώρος γραμμών Βάση: το σύνολο των μη-μηδενικών

γραμμών του U. Διάσταση: r (το πλήθος τωνοδηγών του A).

χώρος στηλών Βάση: το σύνολο των στηλών του A πουαντιστοιχούν σε στήλες του U που φέρουνοδηγό. Διάσταση: r.

μηδενόχωρος Βάση: οι (γραμμικά ανεξάρτητες) λύσεις του

ομογενούς. Διάσταση: n− r.αριστερός μηδενόχωρος Βάση: το σύνολο των γραμμών του

L−1που αντιστοιχούν σε μηδενικές γραμμές του

U. Διάσταση: m− r.

A= LU ⇒ L−1A=U

Βάσεις και διαστάσεις θεμελειωδών υπόχωρων του A ∈Rm,n

χώρος γραμμών Βάση: το σύνολο των μη-μηδενικών

γραμμών του U. Διάσταση: r (το πλήθος τωνοδηγών του A).

χώρος στηλών Βάση: το σύνολο των στηλών του A πουαντιστοιχούν σε στήλες του U που φέρουνοδηγό. Διάσταση: r.

μηδενόχωρος Βάση: οι (γραμμικά ανεξάρτητες) λύσεις του

ομογενούς. Διάσταση: n− r.αριστερός μηδενόχωρος Βάση: το σύνολο των γραμμών του

L−1που αντιστοιχούν σε μηδενικές γραμμές του

U. Διάσταση: m− r.

A= LU ⇒ L−1A=U

Παράδειγμα

A= 1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −31 3 1 6 −4

→ 1 0 0

0 1 01 1 1

1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 −0

Παράδειγμα

A= 1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −31 3 1 6 −4

→ 1 0 0

0 1 01 1 1

1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 −0