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13Maio/2015 – Aula 20

15/Maio/2015 – Aula 21

Introdução à Física Nuclear

Estrutura e propriedades do núcleo

Átomo de hidrogénioModelo de Bohr Modelo quântico. Números quânticos.

22

Modelo planetário semi-clássico :

1) os electrões deslocam-se em certas órbitas circulares estáveis em torno do protão, com raio rn .

2π rn = n λ = nh

p

2) só as órbitas para as quais o comprimento é um múltiplo inteiro do comprimento de onda de de Broglie são estáveis :

3) a força centrípeta é dada pela lei de Coulomb:

2 2

2n o n

m v e

r 4 rπε=

Bohr : os átomos só podem existir em certos estados de energia discretos.

Aula anteriorÁtomos – modelo de Bohr do hidrogénio

33

Energia total numa órbita circular :

2 21 12 2

n n n n2 2o n o n

e eE m v U( r ) m v

4 r 8 rπε πε= + = − = −

n

2

2

n

nhde : 2 r

mv

nv

m r

π =

→ =

h

2)2 2

2

n o n

2

2

o n

m v ede :

r 4 r

ev

4 m r

πε

πε

=

→ =

3)

rn = n2 h2 4πεo

me2

= n2 ao

Raio de Bohr :ao = 5.29 x 10-11 m

21

n 2 2o o

EeE

8 n a nπε= − = −

Energias permitidas:En = -13,6 eV /n2

Aula anterior

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Modelo de Bohr :

1. O espectro de energia é explicado : En = -13,6 eV / n2.2. O espectro de riscas é explicado: os fotões são emitidos com

hf = Einicial – Efinal ≡≡≡≡ ∆∆∆∆E .3. O raio de Bohr ao está de acordo com o tamanho do átomo de

hidrogénio no estado fundamental.

Expressão de Rydbergpara os comprimentos de onda observados

R = constante de Rydberg (medida experimentalmente)

2 2final inicial

1 1 1R

n nλ

= −

∆ E =hc

λ= hcR ∆

1

n2

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555

Série de Lyman(ultravioleta)

Série de Balmer(visível)

Série dePaschen(infravermelho)

A partir do modelo de Bohr:

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E1

E2

(a) Absorption

(b) Spontaneous emission

(c) Stimulated emission

Inhυ

Out

E2

E2

E1 E

1

Absorption, spontaneous (random photon) emission and stimulatedemission.

© 1999 S.O. Kasap, Optoelectronics (Prentice Hall)

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LASER

77

O electrão está confinado a um poço de potencial U(r) = - e2/ (4πεπεπεπεo r)

Consideremos agora :

1. A densidade de probabilidade pode ser relacionada com a densidade de carga do átomo:

ρρρρcarga (r) = - e |ψψψψ(r)|2 Coulomb/m3

2. A partícula confinada tem 1 número quântico para cada dimensão espacial ⇒⇒⇒⇒ são necessários 3 números quânticos para descrever cada estado (no modelo de Bohr só existe 1 número quântico, n ).

Estado fundamental, n = 1 , com distribuição de densidade electrónica dada por P(r) = |ψψψψ |2.

Modelo quântico do átomo de hidrogénio

Aula anterior

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8

Equação de Schrödinger a 3 dimensões:

−h

2

2m

∂2ψ

∂x2+

∂2ψ

∂y2+

∂2ψ

∂z2

+ U( x,y,z) ψ = E ψ

2

2 2 2o

eU( x, y,z ) -

4 x y zπε=

+ +

Forma do poço de potencial que mantém o electrão confinado.

999

Elemento de volume com simetria esférica :

2dV 4 r drπ=

r• superfície de uma esfera: 4 ππππ r 2

• volume dV de uma coroa esférica com espessura dr

Densidade de probabilidade radial:

A probabilidade de encontrar o electrão em r dentro da coroa esférica de espessura dr é igual a

P(r)dr

oar /

Localização mais provável do electrão ⇔⇔⇔⇔ r = ao (raio de Bohr).

Para o estado com n = 1

2 2P( r ) 4 r | |π ψ=

Aula anterior

101010

Em resumo: - dois modelos para o átomo de hidrogénio

1. Modelo de Bohr, de órbitas planetárias com 2ππππ rn = n λλλλ , rn = n ao ,

• consegue prever os níveis de energia correctamente En = -13,6 eV/ n2.

2. Modelo quântico, em que o electrão está confinado a um poço de potencial da forma

U(r) = - e2/ (4πεπεπεπεo r)

• consegue obter os níveis de energia correctamente

En = -13,6 eV/ n2

• consegue obter a maior probabilidade de encontrar o electrão para r = ao a partir da densidade de probabilidade radial da função de onda.

No modelo quântico, o átomo é representado por uma nuvem definida pela densidade de probabilidade electrónica.

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111111

Números quânticos para o hidrogénio e coordenadas associadas:

1. Coordenada radial rnúmero quântico principal n = 1, 2, 3 .... (⇔⇔⇔⇔ n do modelo de Bohr)

2. Ângulo polar θθθθnúmero quântico do momento angular l = 0, 1, 2 ... (n-1)

3. Ângulo azimutal φφφφnúmero quântico magnético m l ≡≡≡≡ m = -l, -l +1, 0, 1 ... l (2l+1) valores

φφφφ

rθθθθ

x

y

zO conjunto dos números quânticos (n, l, m)

tem origem nas condições de confinamento da função de onda (que seja solução da equação de Schrödinger) a 3 dimensões : todos os 3 números são necessários para especificar essa função de onda.

Números quânticos do átomo de hidrogénio

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121212

Estados excitados, com E = - 3,4 eV , n = 2

o o o2,0,0 2,1,0 2,1, 1

r r r2

a a ao o o

r / 2a r / 2a r / 2a iA e B e cos C e sen e

φψ ψ θ ψ θ±− − − − ± = = =

Densidades de probabilidade radiais:

2, 0, 0 2, 1, 0 2, 1, ±±±± 1

1 o100 3

ao

r / a( r, , ) e

πψ θ φ

−=

Estado fundamental, de simetria esférica

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Introdução à Física Nuclear

MedicinaPET = Positron Emission Tomography

MRI = Magnetic Resonance Image

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Introdução à Física Nuclear

MedicinaPETMRI

RadioactividadeArqueologiaIdade da TerraDetectores

Raio cósmico

Núcleos atómicos

Carbono-14, radio-activo, está presente em todos os orga-nismos vivos.

Dióxido de car-bono introduz 14C no ciclo alimentar

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Introdução à Física Nuclear

Fusão e FissãoEnergiaAstronomia

MedicinaPETMRI

RadioactividadeArqueologiaIdade da TerraDetectores

Fusão Fissão

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Estrutura e propriedades do núcleo

Número atómico

Z ≡≡≡≡ número de protões.

Número de neutrões

N ≡≡≡≡ número de neutrões.

Número de massa

A ≡≡≡≡ número de nucleões (protões + neutrões) no núcleo.

Ex: 56 Fe (ferro)

A = 56 e Z = 26

AZ N

X

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Estrutura e propriedades do núcleo

Isótopos

Núcleos com o mesmo valor de Z (mesmo elemento) mas com N e A diferentes.

Exemplo

Quatro isótopos do carbono ( 11C, 12C, 13C e 14C ) com propriedades químicas semelhantes mas com características nucleares diferentes: 12C e 13C são estáveis (abundâncias de 98,9% e 1,1%, respectivamente); 11C e 14C são instáveis (são o resultado de reacções nucleares, naturais ou não) .

Carga eléctrica

Carga do núcleo = Z | e | = Z x 1,6.10-19 C.

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+ve charge neutral

m = 1.67262 × 10 kgm = 1.67493 × 10 kgp

-27

n -27

Δm 0.00231 × 10 kg = 0.14%-27

Estrutura e propriedades do núcleo

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Estrutura e propriedades do núcleo

Massa

A massa do núcleo é normalmente definida como um múltiplo de unidades de massa atómica (u) , com 1 u = 1,660559.10-27 kg .

Massa do protão = 1,007276 u

Massa do neutrão = 1,008665 u

Massa do electrão = 0,0005486 u

(cerca de 1836 vezes menor do que a massa do protão)

Massa do átomo de 12C = 12 unidades atómicas de massa = 12 u .

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Estrutura e propriedades do núcleo

Como a massa em repouso de uma partícula é dada por E = mc2 e os valores das massas são muito pequenos em Física Nuclear, é conveniente expressar as massas atómicas e nucleares em termos da energia equivalente em repouso:

Sendo a massa e a energia equivalentes, utiliza-se normalmente um sistema de unidades em que

[ massa ] ≡≡≡≡ MeV / c2

[ momento ] ≡≡≡≡ MeV / c com [ c ] = 1 [ energia ] ≡≡≡≡ MeV

1u →→→→ E = mc2 = (1,660559.10-27 kg)(2,99792.108 m/s) 2 = 931,494 MeV

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Estrutura e propriedades do núcleo

Dimensão do núcleo

A dimensão e a estrutura do núcleo começaram por ser estudadas por difracção (Rutherford, Prémio Nobel 1908).

Se uma partícula carregada (por exemplo, um núcleo de hélio – partícula alfa) se aproximar de um núcleo pesado, a partícula alfa vai ser repelida devido à força de Coulomb (repulsão electrostática).

Para colisões frontais, no ponto de maior aproximação (d), a energia cinética da partícula alfa vai ser completamente transformada em energia potencial :

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2 1 2

0 0

q q1 1 1 2e Zemv

2 4 r 4 dπε πε

= =

Alvo de ouro ⇒⇒⇒⇒ d = 3,2.10-14 m

Alvo de prata ⇒⇒⇒⇒ d = 2,0.10-14 m

As cargas positivas no átomo tinham que estar confinadas a uma região espacial da ordem de 10-14 m (10 fm) -- núcleo atómico .

Estrutura e propriedades do núcleo

2

20

1 4 Zed

4 mvπε=

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(a) Dimensões relativas dos núcleos de hélio e urânio.

(b) Dimensões relativas de um núcleo e de um átomo.

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Estrutura e propriedades do núcleo

Raio nuclearVárias experiências de difracção mostram que os núcleos (pelo menos a maior parte) tem simetria esférica, com um raio médio dado por :

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0r r A=em que r0 é uma constante igual a 1,2.10-15 m e A é o número de massa.

Densidade de carga no interior do núcleo em função da distância ao centro:

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Estrutura e propriedades do núcleo

Como o volume de uma esfera é proporcional ao raio elevado ao cubo, então o volume do núcleovai ser proporcional ao número de massa A.

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0r r A=

Portanto, um núcleo pode ser visualizado como uma distribuição de esferas (os nucleões).

Para além disso, todos os núcleos terão uma densidade semelhante (independente da forma, tal como uma gota de um líquido).

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Densidade nuclear

A densidade nuclear ρρρρN é a razão entre a massa e o volume do núcleo:

Com r0 = 1,2.10-15 m e m = 1,67.10-27 kg tem-se ρρρρN = 2,3.1017 kg/m3

(que é ≈≈≈≈ 2,3.1014 vezes a densidade da água)

Estrutura e propriedades do núcleo

N 33

00

massa A m 3 m

4volume 4 rr A3

ρππ

= = =

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Estrutura e propriedades do núcleo

Estabilidade nuclear

Sendo o núcleo composto por protões, confinados a um espaço pequeno, porque será que não se repelem entre si devido às forças de Coulomb (forças de repulsão electrostáticas) ?

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Força Nuclear ( Interacção forte)

• a força nuclear é mais forte do que a electrostática e é atractivaentre todos os nucleões, independentemente da sua carga eléctrica ;

• a força nuclear é de curto alcance (≈≈≈≈1 fm = 10-15m), pelo que um nucleão só atrai (e é atraído) os seus vizinhos mais próximos ;

• para núcleos grandes, as forças de Coulomb tornam-se maiores (a força de Coulomb é de longo alcance e os protões vão repelir todos os outros protões). Para um determinado ponto, a força de Coulomb vai ser maior do que a força nuclear, e o núcleo vai separar-se (o que acontece para Z = 83).

Estrutura e propriedades do núcleo

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Tipo de Força Intensidade Alcance (m) Partícula

Gravítica

Electro-magnética

Fraca

Forte

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Estrutura e propriedades do núcleo

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Átomo de hidrogénio

A energia de ligação (do electrão ao núcleo) é igual a 13,6eV.

Comparação entre a Força Nuclear e a Força de Coulomb :

Força de Coulomb

electrão protão

Núcleo (protão + neutrão)A energia de ligação (do núcleo) é igual a 2,2.106 eV ( 2,2 MeV).

neutrão protão

Força nuclear

Estrutura e propriedades do núcleo

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Número de neutrões emfunção do número atómico

• 92 elementos naturais

• 1440 nuclídeos conhecidos(340 são naturais)

• alguns elementos só têm 1 isótopo (19F )

• alguns podem ter váriosisótopos estáveis ( 50Sn) .

Estrutura e propriedades do núcleo

Estabilidade nuclear

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Estrutura e propriedades do núcleo

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Certos valores de Z e A correspondem a núcleos muito estáveis:

Z ou N iguais a 2, 8, 20, 28, 50, 82 ou 126 (números mágicos).

Estrutura e propriedades do núcleo

Oito neutrões numa caixa unidimensional.

Quatro neutrões e quatro protões numa caixa unidimensional.

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Estrutura e propriedades do núcleo

Energia de ligação

A energia total de um sistema ligado (núcleo) é sempre menor do que a soma das energias individuais dos nucleões que o constituem.

A massa (energia) que falta é numericamente igual à energia necessária para separar o núcleo nos seus constituintes.

Essa diferença é a chamada energia de ligação :

E ligação = [ (N mn + Z m p) – M núcleo] c2

sendo mn a massa do neutrão e mp a do protão.

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Exemplo

O deutério (deuterão) é um isótopo do hidrogénio com 1 neutrão (de massa mn = 1,008665 u) e 1 protão (massa mp = 1,007276 u) no núcleo. No entanto, a massa do deutério é igual a 2,013553 u.

O deutério é “mais leve” do que a soma das massas do protão e do neutrão:

1,008665 u + 1,007276 u – 2,013553 u = 0,002388u

Usando E = mc2 ⇒⇒⇒⇒ (0,002388 u) (931,494 MeV/u) = 2,224 MeV

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Estrutura e propriedades do núcleo

Fissão

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238U

Consideremos um núcleo de massa grande (por ex, A=240). A sua energia de ligação é igual a 240 x 7,2 MeV = 1728 MeV.

Se este núcleo se dividir em duas metades iguais, a energia de ligação de cada uma é igual a 120 x 8,2 MeV = 984 MeV. A energia total (das duas metades) será 2 x 984 MeV = 1968 MeV.

Energia de ligação em função do número de massa

A zona de maior estabilidade corresponde a A=56 (ferro), com Elig/nucleão = 8,5 MeV.

Os núcleos fora desta zona têm energias de ligação menores, sendo, portanto, menos estáveis.

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Os nucleões dos fragmentos estão “mais ligados” do que os nucleões do núcleo original.

Este aumento na energia por nucleão é convertida em energia cinética libertada pelos fragmentos aquando da cisão.

Quando um núcleo de massa elevada é cindido (fissão nuclear), liberta energia.

No exemplo anterior, cada núcleo libertava 1968 - 1728 = 240 MeV.

Do mesmo modo, quando dois núcleos de massa pequena se “juntam” (fusão nuclear), também se liberta energia.

Estrutura e propriedades do núcleo

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