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Campo magnetico rotante

www.die.ing.unibo.it/pers/mastri/didattica.htm(versione del 17-3-2006)

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Definizione

● Campo magnetico rotante = campo magnetico avente intensitàcostante e direzione che ruota attorno ad un asse con velocitàangolare costante ω

● Un campo magnetico rotante può essere prodotto facendo ruotare con velocità angolare costante un magnete permanente o un solenoide percorso da corrente costante

● E’ possibile generare un campo magnetico rotante anche mediante un insieme di avvolgimenti fissi, opportunamente disposti e percorsi da correnti sinusoidali opportunamente sfasate tra loro

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Campi controrotanti

● Solenoide percorso da una corrente sinusoidale

● Si considera il campo in un punto P dell’asse del solenoide

● Il campo magnetico ha direzione assiale e varia con legge sinusoidale

● Il campo magnetico può essere scomposto nella somma di due vettori di modulo HM/2 che ruotano, uno in senso opposto all’altro, con velocitàangolare ω attorno al punto P in un piano passante per l’asse del solenoide Hd = campo diretto rotazione in senso orario

Hi = campo inverso rotazione in senso antiorario

)cos()i( tIt M ω=

)cos()H( tHt M ω=

4

Campi controrotanti

● Una rotazione in ritardo di un angolo α della fase della corrente produce rotazioni di un angolo α, in senso opposto tra loro, dei campi Hd e Hi

)cos()i( tIt M ω=

)cos()i( α−ω= tIt M

MH=)0H(

α= cos)0H( MH

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Campo magnetico rotanteprodotto da due correnti in quadratura

● Si considerano due solenoidi identici, posti alla stessa distanza dal punto P

● Agendo sulle fasi delle correnti e sull’orientamento dei due sole-noidi è possibile fare in modo che essi producano nel punto P

campi diretti in fase tra loro

campi inversi in opposizione

● In pratica occorre

che la corrente del secondo solenoide sia in quadratura in ritardo rispetto alla corrente del primo

che l’asse del secondo solenoide sia ruotato in senso orario di 90° rispetto all’asse del primo

I campi inversi si elidono, mentre i campi diretti si sommano

Viene generato un campo magnetico rotante

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Campo magnetico rotanteprodotto da due correnti in quadratura

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−ω=

ω=

2cos)(i

)cos()(i

2

1

tIt

tIt

M

M

021 =+ ii ΗΗ

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Campo magnetico rotante prodotto da un sistema di correnti trifase

● In alternativa si può ottenere un campo rotante mediante tre solenoidi identici

ciascuno avente l’asse ruotato di 120° in senso orario rispetto al precedente

percorsi da una terna equilibrata diretta di correnti trifase

● Per i campi diretti, gli effetti della rotazione del solenoide e della rotazione della fase si compensano

I campi diretti si sommano

● I campi inversi formano una terna simmetrica

i campi inversi si elidono

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Campo magnetico rotante prodotto da un sistema di correnti trifase

( )( )π+ω=

π−ω=

ω=

32

3

32

2

1

cos)(i

cos)(i

)cos()(i

tIt

tIt

tIt

M

M

M

9

Struttura di una macchina rotante

δ>>δ>>

R

S

R

R

2RS

RS

RRRRR

+=≅≅

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Struttura di una macchina rotante

● Lo statore e il rotore sono costituiti da lamierini di materiale ferroma-gnetico sovrapposti

● I lamierini hanno forma di corona circolare e recano una serie di cave nelle quali hanno sede gli avvolgimenti

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Avvolgimenti di statore

● La corona di statore viene divisa in un numero pari 2p di settori polip = numero di coppie polari

= lunghezza del tratto di traferro corrispondente ad un polopasso polare

● Ciascun settore è suddiviso a sua volta in m parti corrispondenti alle fasi dell’avvolgimento (m = 3 per una macchina trifase)

● Ciascuno di questi settori contiene q cave

q = numero di cave per polo per fase

● L’avvolgimento è formato da spire aventi due lati rettilinei (lati attivi) paralleli all’asse della macchina

● I lati attivi di una spira attraversano due cave poste alla distanza di un passo polare

● Attraverso ciascuna cava viene fatto passare uno dei lati attivi di n spire

n = numero di conduttori per cava

p

R

2

2π=τ

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Avvolgimenti di statore

● L’avvolgimento è formato da matasse costituite da n spire

● Ciascuna matassa viene collocata inserendo i suoi lati attivi in due cave che occupano la stessa posizione in due poli adiacenti

● Tutte le matasse che costituiscono l’avvolgimento di una fase vengono collegate in serie tra loro

● Numero di spire per fase:NS = pqn

● Numero di conduttori per fase:N = 2pqn

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Avvolgimenti di statore

p = 2

m = 3

q = 4

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Avvolgimenti di statore

Avvolgimento della prima fase

Rotore

Statore

15

Avvolgimenti di statore

Avvolgimento completo

Statore

Rotore

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Ipotesi sul campo magnetico

● La permeabilità del ferro può essere considerata infinita

H può essere considerato nullo all’interno del ferro

Per la condizione di interfaccia, la componete tangente di H sulle superfici che delimitano il traferro deve essere nulla

● La distribuzione del campo magnetico è identica in tutti i piani perpendi-colari all’asse della macchina

Si trascurano gli effetti di bordo in prossimitàdelle estremità assiali dello statore e del rotore

● Nel traferro l’andamento delle linee di campo è radiale

Si ritengono trascurabili gli effetti dovuti alladeformazione delle linee di campo in pros-simità delle cave

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Campo generato da una fase con una cava per polo

● Si considerano inizialmente solo i conduttori che occupano la prima cava sotto ogni polo

● Dato che lo spessore del traferro è molto piccolo si può trascurare la curvatura delle superfici dello statore e del rotore

● L’insieme dei conduttori di una cava viene rappresentato come un unico conduttore percorso da una corrente ni(i = corrente nell’avvolgimento)

Statore

Rotore

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Campo generato da una fase con una cava per polo

● Si applica la legge della circuitazione magnetica alle linee Γ1 Γ2 Γ3 Γ4

● Sia assume come verso positivo per H quello diretto dal rotore allo statore

● I tratti all’interno del ferro danno contributo nullo

● Dato che δ è molto piccolo si può ritenere H costante nei tratti di linea che attraversano il traferro

Statore

Rotore

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Campo generato da una fase con una cava per polo

Sotto ogni polo il campo è costante

Il campo assume a poli alterni i due valori e H′ e H″

niHH

HH

niHH

HH

=δ−δΓ

=δ−δΓ=δ−δΓ

=δ−δΓ

EA

DA

CA2

BA

:

0:

:

0:

4

3

1

δ=−

=====

niH"H'

H"HH

H'HHH

EC

DBA

Statore

Rotore

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Campo generato da una fase con una cava per polo

● Per determinare i valori di H′ e H″ occorre un ulteriore vincolo

● Si utilizza la legge della solenoidalità dell’induzione magnetica

● Si considera una superficie cilindrica che racchiude il rotore

● Il flusso attraverso le basi del cilindro è nullo se si trascurano gli effetti di bordo

Deve essere nullo il flusso attraverso la superficie laterale

000 =τμ+τμ H"plH'pl

δ=−

−=ni

H"H'

H"H'

δ−=

δ=

2

2ni

H"

niH'

21

Campo generato da una fase con una cava per polo

Andamento del campo magnetico

22

Campo generato da una fase

23

Campo generato da una fase

● I conduttori nelle altre cave generano campi con andamento identico a parte uno spostamento pari a τC (passo di cava)

● Sovrapponendo i contributi si ottiene un andamento a gradini che, se il numero di cave è abbastanza grande, si può approssimare con una sinusoide, cioè

avendo posto l’origine in uno dei punti in cui H(x) è massima (punto centrale della fase)

● L’ampiezza della sinusoide vale

= ampiezza della prima armonica del campoprodotto da una fase con una cava per polo

ka = fattore di avvolgimento (ka < 1) che tiene conto degli sfasamenti tra i contributi dei conduttori posti in cave diverse

δπ=

niHM

21

1MaMT qHkH =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

τπ

=x

Hx MT cos)H(

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Campo magnetico pulsante

● Si assume che la corrente nella fase sia sinusoidale

● Espressione del campo

● In ogni punto del traferro il campo varia nel tempo con legge sinusoidale

● L’ampiezza dell’oscillazione varia a sua volta con legge sinusoidale al variare del punto lungo il traferro

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

τπ

ω=x

tHtx MM cos)cos(),H(

)cos()i( tIt M ω=

MaMM Inq

kHδπ

=2

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Campo magnetico pulsante

● L’ampiezza dell’oscillazione è nulla per x = (2k + 1) τ/2

● L’ampiezza è massima (pari ad HMM) per x = kτ

,1,0=k

(k intero)

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Campi controrotanti

● Il campo pulsante può essere scomposto nella somma di due campi controrotanti

● Il primo termine (campo diretto) si muove nel senso delle x crescenti

● Il secondo (campo inverso) si muove nel senso delle x decrescenti

● Per entrambi la velocità è

444 3444 21444 3444 21),(H

cos2

1

),(H

cos2

1

cos2

1cos

2

1

cos)cos(),H(

tx

v

xtH

tx

v

xtH

xtH

xtH

xtHtx

i

MM

d

MM

MMMM

MM

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +ω+⎥

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ω=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

τπ

+ω+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

τπ

−ω=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

τπ

ω=

πωτ

=v

27

Campi controrotanti

28

Campi controrotanti

● La velocità angolare dei campi controrotanti è legata alla pulsazione della corrente dalla relazione

● Quindi il numero di giri al minuto è

f = frequenza della corrente =

pRR

vC

ω=

πωτ

==ω

fp

n CC

60

2

60=ω

π=

6005

7504

10003

15002

30001

Giri al minuto

Coppiepolari

f = 50 Hz

πω2

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Campo generato da un avvolgimento trifase

● Si assume che le correnti nelle tre fasi costituiscano una terna diretta equilibrata

● Tenendo conto delle fasi delle correnti introducendo in H2 e H3 gli sfasamenti necessari per spostare l’origine nel centro della prima fase, i campi delle tre fasi diventano

( )( )π+ω=

π−ω=

ω=

32

3

32

2

1

cos)(i

cos)(i

)cos()(i

tIt

tIt

tIt

M

M

M

( )( ) ( )( ) ( )π+π+ω=

π−π−ω=

ω=

τπ

τπ

τπ

32

32

3

32

32

2

1

coscos),(H

coscos),(H

cos)cos(),(H

xtHtx

xtHtx

xtHtx

MM

MM

MM

30

Campo generato da un avvolgimento trifase

● Si scompone ciascuno dei campi delle tre fasi nella somma di un campo diretto e un campo inverso

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

4444 34444 21444 3444 21

4444 34444 21444 3444 21

444 3444 21444 3444 21

),(H

cos

),(H

cos

coscos),(H

),(H

cos

),(H

cos

coscos),(H

),(H

cos

),(H

cos

cos)cos(),(H

3

34

21

3

21

32

32

3

2

34

21

2

21

32

32

2

1

21

1

21

1

tx

xtH

tx

xtH

xtHtx

tx

xtH

tx

xtH

xtHtx

tx

xtH

tx

xtH

xtHtx

i

MM

d

MM

MM

i

MM

d

MM

MM

i

MM

d

MM

MM

π++ω+−ω=

=π+π+ω=

π−+ω+−ω=

=π−π−ω=

+ω+−ω=

=ω=

τπ

τπ

τπ

τπ

τπ

τπ

τπ

τπ

τπ

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Campo generato da un avvolgimento trifase

● I campi inversi formano una terna simmetrica

hanno risultante nullo

● I campi diretti sono in fase tra loro

Il campo risultante è dato dalla somma dei tre campi diretti

0),(H),(H),(H 321 =++ txtxtx iii

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

τπ

−ω=++= xtHtxtxtxtx Mddd cos),(H),(H),(H),H( 321

Inq

kInq

kHH aMaMMM δπ=

δπ==

233

2

3

(I = valore efficace delle correnti)

32

F.E.M. indotta in una fase dal campo rotante

● Si considera una spira di larghezza pari al passo polare collocata sullo statore

● Il flusso dovuto al campo rotante concatenato con la spira varia con legge sinusoidale

● Il valore massimo coincide con il flusso del campo magnetico attraverso la superficie di un polo (flusso per polo ΦP)

33

F.E.M. indotta in una fase dal campo rotante

● Il flusso per polo vale

valore medio di B in un polo

τμπ

=τπ

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

τπ

πτ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

τπ

=Φτ

τ−

τ

τ−∫ lHlBxBlldxxB MMMMP 0

2/

2/

2/

2/

22sencos

=π MB2

34

F.E.M. indotta in una fase dal campo rotante

● La forza elettromotrice indotta in una spira (ideale) avente il centro coincidente con il centro della fase (spira centrale) vale

● La forza elettromotrice indotta nelle spire di una fase che occupano una coppia di poli adiacenti vale

Ep è in fase con la f.e.m. indotta nella spira centralela sua ampiezza è inferiore alla somma delle ampiezze delle f.e.m.indotte nelle spire perché le f.e.m. di spire poste in cave diverse non sono in fase tra loro

il fattore di avvolgimento ka è lo stesso che compare nell’espressione del campo magnetico

● La forza elettromotrice totale indotta in una fase si ottiene sommando i contributi di tutte le coppie polari (che sono in fase tra loro)

PΦω−= je

PP Φω−== qnkjqnk aa eΕ

PP Φω−=Φω−== SaaP NkjpqnkjpEΕ