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VECTORESVECTORES

RECTASRECTAS

VECTORESVECTORES

RECTASRECTAS

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• COMBINACIÓN LINEAL DE COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORESVECTORES• BASES EN EL PLANOBASES EN EL PLANO

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Combinación Combinación lineal de lineal de vectoresvectores

Cualquier vector w se puede poner como combinación lineal de dos vectores u, v no nulos y no paralelos.

Existen dos números λ y µ, tales que w= λ u + µ v

Cualquier vector w se puede poner como combinación lineal de dos vectores u, v no nulos y no paralelos.

Existen dos números λ y µ, tales que w= λ u + µ v

u v

u

vu

v

Dados dos vectores u, v y dos números λ y µ, el vector λ u + µ v se dice que es una combinación lineal de u y v

Dados dos vectores u, v y dos números λ y µ, el vector λ u + µ v se dice que es una combinación lineal de u y v

u

v w

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Combinación lineal de Combinación lineal de vectoresvectores

Sean los vectoresDefinimos un tercer vector w como combinación lineal de u y v:

Ejemplo:

u

v

u2

w

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Combinación lineal de Combinación lineal de vectoresvectores

Otro ejemplo:

Con los mismos vectores

u

v

u2 w

v-

Pero con distintos coeficientes

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Propiedades de la Propiedades de la dependencia lineal. dependencia lineal.

Base del planoBase del plano v

direcciónlamismatienenquedecirquierequelowvligadoeswvSSi ,

- Si dos vectores v y w distintos de 0 son linealmente dependientes, tienen la misma dirección.

- Si dos vectores v y w distintos de 0 son linealmente dependientes, tienen la misma dirección.

- Dos vectores v y w no nulos con dirección distinta forman siempre un sistema libre.

- Dos vectores v y w no nulos con dirección distinta forman siempre un sistema libre.

vw

v vw

- En el plano, fijado un sistema S de dos vectores linealmente independientes , cualquier otro vector w es combinación lineal de S

- En el plano, fijado un sistema S de dos vectores linealmente independientes , cualquier otro vector w es combinación lineal de S

w

1u

2u

1u

2u

21 uuS ,

Este sistema S libre se llama BASE del plano y los escalares que sirven para formar las combinaciones lineales son las componentes de los vectores: w = ( λ, μ )

21 uuw

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Bases del Bases del plano plano

BASEBASE

1u

2u

Dos vectores no nulos y no paralelos constituyes una BASE del plano.

Cada vector del plano tiene unas únicas componentes respecto a una determinada base.

Dos vectores no nulos y no paralelos constituyes una BASE del plano.

Cada vector del plano tiene unas únicas componentes respecto a una determinada base.

1u

2u

BASE ORTOGONAL:

Los vectores de la base son perpendiculares

BASE ORTOGONAL:

Los vectores de la base son perpendiculares

1u

2u

BASE ORTONORMAL:

Los vectores de la base son perpendiculares y de módulo 1

BASE ORTONORMAL:

Los vectores de la base son perpendiculares y de módulo 1

21 uuB , 21 uuB ,

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Bases del plano Bases del plano

BASEBASE

1u

2u

Un vector tiene distintas componentes si cambiamos la baseUn vector tiene distintas componentes si cambiamos la base

1u

2u

BASE ORTOGONAL:BASE ORTOGONAL:

1u

2u

BASE ORTONORMAL:BASE ORTONORMAL:

21 uuB , 21 uuB ,

Con unas mismas componentes, el vector no es el mismo si cambiamos la baseCon unas mismas componentes, el vector no es el mismo si cambiamos la base

1u

2u

1u

2u

1u

2u

u(1,1)

u(2,0'6)

u(1'2,0 '9)

u(1,1)

v(1,1)

w(1,1)%%%%%%%%%%%%%%

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Vectores linealmente Vectores linealmente

dependientesdependientes Si dos vectores son linealmente dependientes, sus componentes son proporcionales.

Si dos vectores son linealmente dependientes, sus componentes son proporcionales.

v Sean v=(v1 ,v2) y w=( w1 , w2) dos vectores en el plano

son linealmente independientesson linealmente independientesSiSi

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EL PLANO AFÍNEL PLANO AFÍN

• TRES PUNTOS ALINEADOS• PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO• SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO DE OTRO

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Condición para que tres Condición para que tres puntos estén alineadospuntos estén alineados

1 1 2 2 1 1 2 2r p ,r p q p ,q p

Tres puntos P(p1,p2), Q(q1,q2) y R(r1,r2) están alineados si: P

Q

R

1 1 2 2 1 1 2 2r p ,r p q p , q p

1 1 1 1

2 2 2 2

r p q p

r p q p

1 1

1 1

2 2

2 2

r p

q p

r p

q p

1 1 2 2

1 1 2 2

r p r p

q p q p

1 1 2 2

1 1 2 2

r p r p

q p q p

R

Q P

P

es decir si las componentes de ambos vectores son proporcionales

PR PQ%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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Punto medio de un segmentoPunto medio de un segmento

PQ 2PM%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Si M(x,y) es el punto medio de dos P(p1,p2) y Q(q1,q2):

M

P

Q

1 1 2 2 1 2q p ,q p 2 q x,q y

1 1 1

2 2 2

q p 2 q x

q p 2 q y

1 1 1

2 2 2

q p 2q 2x

q p 2q 2y

1 1 1

2 2 2

2x 2q q p

2y 2q q p

1 1

2 2

q px

2q p

y2

1 1 2 2q p q pM (x,y) ,

2 2

M(x,y) es el punto medio de P(p1,p2) y Q(q1,q2):

Por análogo procedimiento podremos hallar las coordenadas de los puntos que dividen un segmento en partes iguales

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SimétricoSimétrico de un punto respecto de un punto respecto de otrode otro

1 21 2

x p y pq ,q ,

2 2

PP' 2PQ%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

1 2 1 1 2 2x p ,y p 2 q p ,q p

Para hallar el simétrico P’(x,y) de un punto P(p1,p2) respecto de Q(q1,q2): P

Q

P’

1 1 1

2 2 2

x p 2 q p

y p 2 q p

1 1 1

2 2 2

x 2q 2p p

y 2q 2p p

1 1 2 2Q(x,y) 2q p ,2q p

O bien:

Q es el punto medio de PP’:

11

22

x pq

2y p

q2

1 1

2 2

2q x p

2q y p

1 1

2 2

x 2q p

y 2q p

1 1

2 2

x 2q p

y 2q p

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Ecuaciones de la rectaEcuaciones de la recta

• ECUACIÓN VECTORIAL• ECUACIONES PARAMÉTRICAS• ECUACIÓN CONTÍNUA• ECUACIÓN GENERAL , IMPLÍCITA O CARTESIANA• ECUACIÓN EXPLÍCITA• CONDICIÓN DE PARALELISMO ENTRE RECTAS

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Ecuaciones de la recta(1)Ecuaciones de la recta(1)Para determinar una recta r necesitamos:

• Un punto de la recta y una dirección

• Dos puntos de la recta

A

v

r

r

A

B

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Ecuación vectorial de la Ecuación vectorial de la rectarecta

vax

X(x,y)v

A(a1,a2)

r

Vamos a determinar la ecuación de una recta r que pasa por el punto A y tiene por dirección v (vector director de la recta)

a x

2121 v,va,ay,x 2121 v,va,ay,x

Sea A el punto de coordenadas A(a1,a2) y v un

vector de componentes (v1,v2)

Nota: Dando valores al parámetro λ se obtienen los distintos puntos de la recta

ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA

OX OA AX %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Sea X(x,y) un punto genérico de la recta

O

v

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Ecuaciones de la recta Ecuaciones de la recta r que pasa por el punto A(a1,a2) y cuyo vector

direccional es v=(v1,v2)

2121 v,va,ay,x 2121 v,va,ay,x

1 2 1 2x,y a ,a v , v

1 1 2 2x,y a v ,a v

1 1

2 2

x a v

y a v

1 1

2 2

x a v

y a v

1

1

2

2

x a

v

y a

v

1 2

1 2

x a y a

v v

1 2

1 2

x a y a

v v

2 1 1 2 1 2v x v y v a a v 02

1

1 2 1 2

v a

v b

v a a v c

ax by c 0 ax by c 0

Dada la ecuación vectorial de la recta r:

Multiplicando por el escalar:

Sumando:

Igualando componentes:

ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA

Despejando el parámetro e igualando:

ECUACIÓN CONTÍNUA DE LA RECTA

Multiplicando y pasando todo al primer miembro de la igualdad:

Si llamamos:

Tenemos: ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

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Ecuaciones de la recta Ecuaciones de la recta r que pasa por el punto A(2,-3) y cuyo vector

direccional es v=(5,-1)

x,y 2, 3 5 ,

x,y 2 5 , 3

x 2 5

y 3

x 2 5

y 3

x 2

5y 3

1

x 2 y 3

5 1

x 2 y 3

5 1

x 5y 2 15 0

x 5y 13 0 x 5y 13 0

Dada la ecuación vectorial de la recta r:

Multiplicando por el escalar:

Sumando:

Igualando componentes:

ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA

Despejando el parámetro e igualando:

ECUACIÓN CONTÍNUA DE LA RECTA

Multiplicando y pasando todo al primer miembro de la igualdad:

Tenemos: ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

x,y 2, 3 5, 1

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Ecuaciones de la recta Ecuaciones de la recta r que pasa por

el punto A(a1,a2) y cuyo vector direccional es v=(v1,v2)

2121 v,va,ay,x 2121 v,va,ay,x

1 1

2 2

x a v

y a v

1 1

2 2

x a v

y a v

1 2

1 2

x a y a

v v

1 2

1 2

x a y a

v v

21 2

1

v av v ,v b,a

v b

ax by c 0 ax by c 0

Ecuación vectorial :

Como

Ecuaciones paramétricas :

Ecuación contínua :

Ecuación general, cartesiana o implícita :

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Ecuaciones de la recta que pasaEcuaciones de la recta que pasa por dos puntos. por dos puntos.

Ecuación de r que pasa por los puntos A(a1,a2) y B(b1,b2)

1 2

1 2

x a y a

v v

Sustituyendo en la ecuación contínua de la recta r:

ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS

Su vector director puede ser

r 1 1 2 2v AB b a ,b a %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

1 2

1 1 2 2

x a y a

b a b a

1 2

1 1 2 2

x a y a

b a b a

A(a1,a2)

B(b1,b2)

r

A(a1,a2)B(b1,b2)

P(x,y)

P(x,y)

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CONDICIÓN DE PARALELISMO CONDICIÓN DE PARALELISMO ENTRE RECTASENTRE RECTAS

r

svr

vs

Si dos rectas r y s son paralelas, también lo son sus vectores directores:

r sr // s v // v %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

r sv v %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Sean vr y vs los vectores directores de dos rectas r y s paralelas.

(Sus componentes serán proporcionales)

r r1 r2v v ,v%%%%%%%%%%%%%%

s s1 s2v v ,v%%%%%%%%%%%%%%

r1 r2 s1 s2v ,v v ,v

r1 s1r1 r2 s1 s2

r2 s2

v vv ,v v , v

v v

r1 r2

s1 s2

v v

v v

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22

r

svr

vs

r sr // s v // v %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Sean dos rectas r y s dadas de diferentes formas:

r r1 r2v v ,v%%%%%%%%%%%%%%

s s1 s2v v ,v%%%%%%%%%%%%%%

CONDICIÓN DE PARALELISMOCONDICIÓN DE PARALELISMO ENTRE RECTAS ENTRE RECTAS

Serán paralelas si:

ECUACIÓN

vectorial

paramé-tricas

contínua

general

r1 r2

s1 s2

v v

v v

1 2 r1 r2

1 2 s1 s2

r x,y a ,a v ,v

s x,y b ,b v ,v

1 s11 r1

2 r2 2 s2

x b vx a vr s

y a v y b v

1 2 1 2

r1 r2 s1 s2

x a y a x b y br s

v v v v

r A x B y C 0 s A ' x B' y C' 0 A B

A ' B'

A B C

A ' B' C' Coincidirán si

se cumple:

r1 r2

s1 s2

v ,v B,A

v ,v B',A '

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PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORESPRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES

• DEFINICIÓN• PROPIEDADES• MÓDULO DE UN VECTOR• ÁNGULO QUE FORMAN DOS VECTORES• ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS• CONDICIÓN DE PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTAS• POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS• PENDIENTE DE UNA RECTA• ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE DE LA RECTA• DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA.

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Producto Producto escalar de dos escalar de dos

vectores(1)vectores(1)

Si u 0 ó v 0 u v 0

Si u v u v 0

Dados dos vectores u y v llamaremos producto escalar de u por v al número real que resulta:

Producto de los módulos por el coseno del ángulo que forman

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR

1. 2. 3.

Si u v 0 y u 0, v 0 u v

4.

2u v v u , u,v V

(El módulo del vector nulo es 0). El producto del vector nulo por otro cualquiera es 0

Si dos vectores son perpendiculares, su producto escalar es cero. (cos 90º=0)

Si el producto escalar de dos vectores no nulos es cero, son perpendiculares

Propiedad conmutativa

5.

Propiedad “asociativa”

2u v w u v u w , u,v,w V %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%

6.

Propiedad distributiva

v

u

R

v,ucosvuvu

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Propiedades del producto escalarPropiedades del producto escalar (2)(2)

1 2u u%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

u v ' u v ' cos0º %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%

u v ' u v ' %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%

8.

u v u v cos

7.

Si una base es ortonormalB = { u1,u2}

1 2

1 1

2 2

u u 0

u u 1

u u 1

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

El producto escalar de dos vectores es igual al producto de uno de ellos por el vector proyección del otro sobre él

u v u v ' %%%%%%%%%%%%% %

u v u v ' %%%%%%%%%%%%% %u v u v ' %%%%%%%%%%%%% %

2

1 1 1 1 1u u u u cos0º u 1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

2

2 2 2 2 2u u u u cos0º u 1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

(Los vectores de la base son perpendiculares y unitarios)

1 2 1 2u u u u cos90º 0 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

9.

u u u El módulo de un vector es igual a la raíz cuadrada del

producto escalar de dicho vector consigo mismo.

v '%%%%%%%%%%%%%%

u

v

v,ucosvuvu2

uu,ucosuuuu

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Expresión analítica del producto escalarExpresión analítica del producto escalar

1 2x x ,x

1 2y y ,y

1 1 2 2x x u x u %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%

Sea una base ortonormal y sean dos vectoresB = { u1,u2}

1 1 2 2y y u y u %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% 1 1 2 2 1 1 2 2x y x u x u y u y u

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%

1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2x y x y u u x y u u x y u u x y u u %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%

2 2

1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2x y u x y x y u u x y u %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

1 1 2 2x y x y

1 1 2 1 1 2 2 2x y 1 x y x y 0 x y 1

Como la base es ortonormal

1 1 2 2x y x y x y

1 1 2 2x y x y x y

2 21 2x x x x x

2 2

1 2x x x x x

Expresión del producto escalar de dos vectores y del módulo de un vector si la base es ortonormal

Expresión del producto escalar de dos vectores y del módulo de un vector si la base es ortonormal

(Los vectores de la base son perpendiculares y unitarios)

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27

Coseno del ángulo de dos vectoresCoseno del ángulo de dos vectores

x y x y cos x,y x y

cosx y

En una base ortonormal o canónica :

x ycos

x y

1 1 2 2

2 2 2 21 2 1 2

x y x y

x x y y

Expresión del coseno del ángulo que forman dos vectores si la base es ortonormal.

Expresión del coseno del ángulo que forman dos vectores si la base es ortonormal.

x y x y 0

1 1 2 2x y x y 0

Si dos vectores son perpendiculares :

A partir de ahora trabajaremos solamente con bases ortonormales

Dado un vector u (a,b), un vector perpendicular podría ser v(-b,a) y viceversa: a(-b)+ba=0Dado un vector u (a,b), un vector perpendicular podría ser v(-b,a) y viceversa: a(-b)+ba=0

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Ángulo que forman dos rectas.Ángulo que forman dos rectas.

Se llama ángulo de dos rectas al menor de los ángulos que forman éstas. Lo podemos calcular a partir del ángulo que forman sus vectores direccionales

rsvr

vs

r,s

r r1 r2v v ,v%%%%%%%%%%%%%%

s s1 s2v v ,v%%%%%%%%%%%%%%

r s

r s

v vcos

v v

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%r s

r s

v vcos

v v

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Valor absoluto de un número real

Módulo de un vector

Al tomar un valor positivo, el ángulo será agudo (el menor de los ángulos que forman)

Posición relativa de dos rectas.Posición relativa de dos rectas.

Secantes

Paralelas no coincidentes

Coincidentes

Dos rectas en el plano pueden ser:

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Ecuación explícita de una recta. Ecuación explícita de una recta. Pendiente de una rectaPendiente de una recta

Si en la ecuación general de la recta r, despejamos y:

r A x B y C 0

A Cy x

B B

r 1 2v v ,v B,A %%%%%%%%%%%%%%

r

A Cm n

B B

Si llamamos:

y mx n y mx n La ecuación explícita de la recta será:

m nos indica la pendiente de la recta y

n la ordenada en el origen (Para x=0, y=n)

Arv%%%%%%%%%%%%%%

-B

α

m1

m1

m1

n

mvv

BA

αtg1

2

Page 30: 1 VECTORES RECTAS. 2 COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES BASES EN EL PLANO.

30

Ecuación punto-pendiente.Ecuación punto-pendiente.Pendientes de dos rectas paralelas o perpendiculares.Pendientes de dos rectas paralelas o perpendiculares.

Para hallar la ecuación punto-pendiente de un recta r, conocida su pendiente m y un punto P(x0,y0) perteneciente a ella:

y = m x + n

Falta determinar n ( m ya lo conocemos)

Ponemos la ecuación de la recta en función de la pendiente:

y0 = m x0 + nLa recta debe pasar por P(x0,y0)

Restando ambas expresiones: y - y0 = m (x - x0 )

Para hallar la pendiente de una recta conocidos dos de sus puntos:

P1(x1,y1)

P2(x2,y2)

x2-x1

y2-y12 1

2 1

y ym tg

x x

Page 31: 1 VECTORES RECTAS. 2 COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES BASES EN EL PLANO.

31

Condición de paralelismo Condición de paralelismo y perpendicularidad entre rectasy perpendicularidad entre rectas

Vector direccional

Serán paralelas si:

Serán perpendiculares si:

ECUACIÓN

r y=mx+n

s y=m’x+n’

r Ax+By+C=0

s A’x+B’y+C’=0

A B

A ' B'

y=mx+n mx-y+n=0 rv (1,m)%%%%%%%%%%%%%%

Dada la ecuación de una recta r:

rv (1,m)%%%%%%%%%%%%%%

sv (1,m')%%%%%%%%%%%%%%

rv ( B,A) %%%%%%%%%%%%%%

sv ( B',A ') %%%%%%%%%%%%%%

1m'

m

Relación entre las pendientes de dos rectas perpendiculares

m m' 1 mm' 0

AA ' BB' 0

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32

DISTANCIAS EN EL PLANODISTANCIAS EN EL PLANO

• DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS• DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA• DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS

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33

Distancia entre dos puntosDistancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos A(a1,a2) y B (b1,b2) es el módulo del vector AB (o del BA):

2 2

1 1 2 2d A,B AB b a b a %%%%%%%%%%%%%%

2 2

1 1 2 2d A,B AB b a b a %%%%%%%%%%%%%%

Bb2

b1

A

a1

a2 b1- a1

b2- a2

Basta aplicar el Teorema de Pitágoras:

2 2 22d A,B AB 3 3 5 8 6 3

45 3 5 u

%%%%%%%%%%%%%%

Por ejemplo, la distancia entre los puntos A(-3,8) y el B(3,5):

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34

El valor absoluto de un número es positivo e igual al de su opuesto

La distancia es siempre una cantidad positiva.

Distancia de un punto a una recta (1)Distancia de un punto a una recta (1)

Recordemos que:

Un vector perpendicular al vector v x,y

puede ser el vector n y,x (Su producto

escalar es cero)

Un vector direccional de la recta ax+by+c=0 es rv b,a

El producto escalar de dos vectores perpendiculares es cero

Si un punto A(m,n) pertenece a la recta ax+by+c=0, verifica su ecuación. Es decir: am+bn+c=0

a a 0

Page 35: 1 VECTORES RECTAS. 2 COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES BASES EN EL PLANO.

35

Distancia de un punto a una recta (2)Distancia de un punto a una recta (2)

A P

Q

rv%%%%%%%%%%%%%%

Vamos a hallar la distancia del punto P(x0,y0) a la recta r de ecuación ax+by+c=0.

Sea A(x1,y1) un punto cualquiera de la recta r.

ax1+by1+c=0

PQ%%%%%%%%%%%%%%

d(P,r)=d(P,Q)=

r

rv b,a

y su vector director

n a,b

El vector es perpendicular a la recta r

La distancia de un punto P a una recta r será igual a la distancia de P al pie de la perpendi-cular a r que pasa por P (lo llamaremos Q)

n

PA n PA n cos %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

n PQ %%%%%%%%%%%%% % PA n

PQn

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

1 0 1 0

2 2

x x ,y y a,b

a b

PQ %%%%%%%%%%%%%%

1 0 1 0

2 2

ax ax by by

a b

0 0

2 2

ax by c

a b

PQ %%%%%%%%%%%%%%

0 0

2 2

ax by c

a b

FÓRMULA DE LA DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

La distancia es siempre una

cantidad positiva

ax1+by1= -c

Page 36: 1 VECTORES RECTAS. 2 COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES BASES EN EL PLANO.

36

Distancia de un punto a una recta Distancia de un punto a una recta (Ejemplo)(Ejemplo)

Vamos a hallar la distancia del punto P(-3,5) a la recta r de ecuación x-3y+7=0.

0 0

2 2

ax by cd(P,r)

a b

22

3 3 5 7

1 3

3 15 7

1 9

11

10

11 11 10 11 10u

1010 10 10

En el numerador, basta con sustituir las coordenadas del punto P en la ecuación de la recta

En el denominador, la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los coeficientes de la x y la y

Page 37: 1 VECTORES RECTAS. 2 COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES BASES EN EL PLANO.

37

Distancia entre dos rectas paralelasDistancia entre dos rectas paralelas

Para hallar la distancia entre dos rectas paralelas, bastará con hallar la distancia de un punto cualquiera de una de ellas a la otra recta.

rd Ps sd r, ,

r

s

Pr(x0,y0)r A x B y C 0

s A x B y C' 0

Sean r y s dos rectas paralelas:

Sea Pr(x0,y0) un punto de la recta r, es decir:0 0A x B y C 0

0 0

2 2

Ax By C'

A B

2 2

C C'

A B

2 2

C' C

A B

Ax0+By

0=-C

Page 38: 1 VECTORES RECTAS. 2 COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES BASES EN EL PLANO.

38

Teoría y ejercicios:http://personales.unican.es/gonzaleof/#

http://platea.pntic.mec.es/anunezca/UnidDidVectores/Index/index.htm

Maneja vectores:http://www.xtec.es/~jbartrol/vectores/index.html

Hoja de problemas con soluciones:

http://www.educa.aragob.es/iesitaza/DAPARTAM/matemat/06geometriaplano.pdf