Download - 07 σύνθεση ταλαντώσεων

Transcript
Page 1: 07 σύνθεση ταλαντώσεων

1

Σύνθεση Ταλαντώσεων

ΦυσικήΓ’ ΛυκείουΚατεύθυνση

2011 - 2012ΓΕΛ∆Ε Σαπών

Page 2: 07 σύνθεση ταλαντώσεων

2

Όταν σε έναν ταλαντωτήδιαβιβάζονται περισσότερες απόμια απλές αρμονικές ταλαντώσεις, τότε αυτός εκτελεί σύνθετηταλάντωση.

Σύνθετη ταλάντωση

Το αποτέλεσμα αυτής της σύνθεσης εξαρτάται από ταχαρακτηριστικά των συνιστωσών αρμονικών ταλαντώσεων, δηλαδή• τις διευθύνσεις τους• τις συχνότητες τους• τα πλάτη τους και• τις αρχικές φάσεις τους

Page 3: 07 σύνθεση ταλαντώσεων

3

Αρχή της Ανεξαρτησίαςή Αρχή της Επαλληλίας των κινήσεων.

Όταν ένα κινητό εκτελεί ταυτόχρονα δύο ή περισσότερεςκινήσεις, κάθε μία από αυτές εκτελείται εντελώςανεξάρτητα από τις υπόλοιπες και η θέση στην οποίαφτάνει το κινητό μετά από χρόνο t, είναι ίδια είτε οι κινήσειςεκτελούνται ταυτόχρονα, είτε εκτελούνται διαδοχικά, σεχρόνο t η κάθε μία.

Page 4: 07 σύνθεση ταλαντώσεων

4

Σύνθεση Ταλαντώσεων

Σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων πουγίνονται στην ίδια ευθεία, γύρω από την ίδια θέσηισορροπίας και έχουν την ίδια συχνότητα καιδιαφορετικό πλάτος.Σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων που

γίνονται στην ίδια ευθεία, γύρω από την ίδια θέση μείσα πλάτη και διαφορετικές συχνότητες.∆ιακροτήματα.

Page 5: 07 σύνθεση ταλαντώσεων

5

ωt A1

A2

A

x1

x2

x

φθ

Α. Σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων που γίνονταιστην ίδια ευθεία, γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας και έχουντην ίδια συχνότητα.

x2=A2ημ(ωt+φ)

x1=Α1ημωtκαιΚ

Ο

Λ

Ν

A2

x = x1 + x2

Σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας, κάθε στιγμή για τη συνισταμένη

ταλάντωση θα ισχύει:

Page 6: 07 σύνθεση ταλαντώσεων

6

ωt A1

A2

A

x1

x2

x

φθ

Κ

Ο

Λ

Μ

Νφ

A2

Α2ημφ

Α2συνφ

Η συνισταμένη ταλάντωση: x=Aημ(ωt+θ)

Το πλάτος:

συνφ2122

21 AA2AAA ++=

Η φάση:

συνφΑΑημφ

21 += 2Αεφθ

Α. Σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων που γίνονταιστην ίδια ευθεία, γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας και έχουντην ίδια συχνότητα.

Η σύνθετη ταλάντωση έχει την ίδια διεύθυνση και την ίδια συχνότητα μετις δύο ταλαντώσεις και γίνεται γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας.

Page 7: 07 σύνθεση ταλαντώσεων

7

Ειδικές περιπτώσεις ... Ι1. Οι δύο ταλαντώσεις είναι συμφασικές, δηλαδή φ=0

δηλαδή x1 = Α1ημωtx2 = Α2ημωt

τότε x = x1 + x2 = Aoλημ(ωt+θ)με

και

άρα xολ = (Α1 + Α2)ημωt

2122

21 2 ΑΑ+Α+Α=λ συνφoA

( ) 212

2110 Α+Α=Α⇒Α+Α=Α⎯⎯⎯⎯ →⎯ =⇒=

ολολσυνφφ

001

0

21

20

21

2 =⇒=⇒⋅Α+Α

⋅Α=⎯→⎯

Α+ΑΑ

= = θεφθεφθσυνφ

ημφεφθ φ

H σύνθετη ταλάντωση έχει πλάτος ίσομε το άθροισμα των πλατών των επιμέρουςταλαντώσεων και φάση ίδια με τη φάσητων αρχικών ταλαντώσεων.

Page 8: 07 σύνθεση ταλαντώσεων

8

Ειδικές περιπτώσεις ... ΙΙ2. Οι δύο ταλαντώσεις έχουν αντίθετη φάση, δηλαδή φ=π

δηλαδή x1 = Α1ημωtx2 = Α2ημ(ωt+π) με Α2>Α1

τότε x = x1 + x2 = Aoλημ(ωt+θ)με

και

άρα xολ = (Α2 - Α1)ημ(ωt+π)

2122

21 2 ΑΑ+Α+Α=λ συνφoA

( ) 212

212122

21 2 Α−Α=Α⇒Α−Α=Α⇒−Α+Α=Α⎯→ ολολολ AA

πθ

θεφθεφθσυνφ

ημφεφθ πφ

=

=⇒=⇒⋅Α+Α

⋅Α=⎯⎯→⎯

Α+ΑΑ

= = 001

0

21

2

21

2

H σύνθετη ταλάντωση έχει πλάτος ίσομε τη διαφορά των πλατών των επιμέρουςταλαντώσεων και φάση ίδια με τη φάσητης ταλάντωσης με το μεγαλύτερο πλάτος.

1 Α⎯⎯⎯⎯ →⎯ −=⇒= συνφπφ

Page 9: 07 σύνθεση ταλαντώσεων

9

Ειδικές περιπτώσεις ... ΙΙa2α. Οι δύο ταλαντώσεις έχουν ίσα πλάτη αντίθετη φάση, δηλαδή φ=π

δηλαδή x1 = Α1ημωtx2 = Α2ημ(ωt+π) με Α2 = Α1 =Α

τότε x = x1 + x2 = Aoλημ(ωt+θ)με

2122

21 2 ΑΑ+Α+Α=λ συνφoA

02 2221 =Α⇒−Α+Α=Α⎯⎯⎯⎯ →⎯ −=⇒=ολολ

συνφπφ A

1 Α⎯⎯⎯⎯ →⎯ −=⇒= συνφπφ

Page 10: 07 σύνθεση ταλαντώσεων

10

Προσοχή!!!

Αν και οι δύο ταλαντώσεις έχουν αρχική φάση, δηλαδήx1=A1ημ(ωt+φ01) και x2=A2ημ(ωt+φ02) με φ02>φ01)

τότεη γωνία φ που χρησιμοποιούμε στις σχέσεις υπολογισμού του

πλάτους και της φάσης της συνισταμένης ταλάντωσης είναιφ=φ02-φ01

οπότε

και xολ=Αολημ(ωt+φ01+θ)

)(2 01022122

21 φφσυνλ −ΑΑ+Α+Α=oA

)()(

010221

01022

φφσυνφφημεφθ−Α+Α

−Α=

Page 11: 07 σύνθεση ταλαντώσεων

11

B. Σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων που γίνονταιστην ίδια ευθεία, γύρω από την ίδια θέση με ίσα πλάτη καισυχνότητες που διαφέρουν λίγο μεταξύ τους (ω1~ω2) .

x1=Aημω1t , x2=Aημω2t

Η συνισταμένη ταλάντωση θα είναι:

222 Β−ΑΒ+Α

=Β+Α συνημημημ

xολ = x1 + x2 = Aημω1t + Aημω2t

= A(ημω1t + ημω2t)

Aπό Μαθηματικά, θυμόμαστε...

Άρα,

ttAx ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=22

2 2121 ωωσυνωωημ

Page 12: 07 σύνθεση ταλαντώσεων

12

B. Σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων που γίνονταιστην ίδια ευθεία, γύρω από την ίδια θέση με ίσα πλάτη καισυχνότητες που διαφέρουν λίγο μεταξύ τους (ω1~ω2) .

)t2ω+ω

(ημ)t2ω-ω

(συνA2=x 2121

Η συνισταμένη ταλάντωση:

Η σύνθετη κίνηση που εκτελεί ο ταλαντωτής είναιπεριοδική, αλλά όχι αρμονική!!!

Θέτουμε τη συχνότητα της σύνθετης ταλάντωσης2

21 ωωω +=

Το πλάτος μεταβάλλεται με τον χρόνο!!! tAtA ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=2

2)( 21 ωωσυν

ttAx ωημ)(=

Page 13: 07 σύνθεση ταλαντώσεων

13

Οι εναλλαγές (“κυμάνσεις”) του πλάτους της σύνθετης ταλάντωσηςείναι πολύ πιο αργές από τις ταλαντώσεις του σώματος

γύρω από τη ΘΙ.

ttAx ωημ)(=Παρατηρήσεις

1. Το πλάτος της παραπάνω εξίσωσηςμεταβάλλεται περιοδικά με τον χρόνο καιμπορεί να πάρει τιμές από 0 εώς 2Α

tAtA ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=2

2)( 21 ωωσυν

2. Η σύνθετη κίνηση του σώματος είναι περιοδική, όχι όμωςαρμονική, με συχνότητα περίπου ίδια με τη συχνότητα τωνεπιμέρους ταλαντώσεων

22222

2212121 ffffff +

=⇒+

=⇒+

=πππωωω

3. Η σύνθετη αυτή κίνηση που χαρακτηρίζεται από περιοδικέςαυξομειώσεις του πλάτους ονομάζεται διακρότημα. Ο χρόνοςμεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών ή μεγιστοποιήσεων τουπλάτους ονομάζεται περίοδος του διακροτήματος.

Page 14: 07 σύνθεση ταλαντώσεων

14

x1=Aημω1t x2=Aημω2t

Συχνότητα διακροτήματος: 21δ f-f=f

Γραφική παράσταση διακροτήματος

Page 15: 07 σύνθεση ταλαντώσεων

15

Χαρακτηριστικά μεγέθη

)t2f-f

συν2π(A2=A 21'

2f+f

=f 21

Το μεταβλητό πλάτος της σύνθετηςταλάντωσης.

Η συχνότητα της σύνθετηςταλάντωσης.

Η συχνότητα του διακροτήματος.

Η περίοδος του διακροτήματος.

21δ f-f=f

21δδ f-f

1=f1=T

Page 16: 07 σύνθεση ταλαντώσεων

16

Παράδειγμα

Hzffff 400228004

240044000

221 =⇒=

+=

+=

Έστω παρατηρητής που ακούει ταυτόχρονα δύο απλούς ήχους ίδιαςέντασης με γειτονικές συχνότητες, έστω f1=4000Ηz και f2=4004Hz.

Hzffff 440044000- δ21δ =⇒−==

Ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται ήχο συχνότητας

Η ένταση του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής δεν είναισταθερή, αλλά αυξομειώνεται περιοδικά με συχνότητα

δηλαδή ο παρατηρητής ακούει 4 μέγιστα του ήχου και 4 μηδενισμούςσε κάθε δευτερόλεπτο.

Page 17: 07 σύνθεση ταλαντώσεων

17

Υπολογισμός περιόδου διακροτήματος

Περίοδος διακροτήματος χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικώνμηδενισμών του πλάτους.Αν την t1παρατηρείται ο πρώτος μηδενισμός και την t2 ο επόμενος, ηπερίοδος του διακροτήματος θα είναι Τδ = t1 - t2Προφανώς, τις t1 και t2 το πλάτος θα μηδενίζεται, άρα Α(t)=0

2)12(

222

02

02

20)(

2121

2121

πκωωπσυνωωσυν

ωωσυνωωσυν

+=−

⇒=−

⇒=−

⇒=−

⇒=

tt

ttAtA

Για κ=0

2111

2121

21

222

22 fftt

fft

−=⇒=

−⇒=

− πππωω

Για κ=1

2122

2121

23

23

22

23

2 fftt

fft

−=⇒=

−⇒=

− πππωω

Page 18: 07 σύνθεση ταλαντώσεων

18

Υπολογισμός περιόδου διακροτήματος

Για κ=0

2111

2121

21

222

22 fftt

fft

−=⇒=

−⇒=

− πππωω

Για κ=1

2122

2121

23

23

22

23

2 fftt

fft

−=⇒=

−⇒=

− πππωω

Άρα

21212112

121

23

ffT

ffffttT

−=⇒

−−

−=−= δδ

Οπότε

fδ = |f1 - f2|

Page 19: 07 σύνθεση ταλαντώσεων

19

)2ω-ω

(=ω 21Α'

Η γωνιακή συχνότητα του πλάτουςτης σύνθετης ταλάντωσης.εκφράζει πόσο γρήγοραμεταβάλλεται το πλάτος.

)2ω+ω

(=ω 21Η γωνιακή συχνότητα της σύνθετηςταλάντωσης εκφράζει τον αριθμό τωνταλαντώσεων του σώματος γύρω από τηθέση ισορροπίας σε χρόνο 2π (s).

Προσοχή!!!

• οι δύο συχνότητες διαφέρουν λίγο μεταξύ τους ισχύει ω1 - ω2 <<ω1,ω2. Άρα και ω1-ω2<< ω1 + ω2 - οι αυξομειώσεις (κυμάνσεις) του πλάτουςείναι πολύ πιο αργές από τη συχνότητα με την οποία ταλαντώνεται τοσώμα γύρω από τη ΘΙ του.

•ο μέσος όρος των δύο συχνοτήτων είναι σχεδόν ίδιος με τις επιμέρουςσυχνότητες, άρα η σύνθετη ταλάντωση έχει συχνότητα σχεδόν ίδια με τιςεπιμέρους ταλαντώσεις.

Page 20: 07 σύνθεση ταλαντώσεων

20

Μελέτη γραφικής παράστασης

Στο παραπάνω σχήμα μπορούμε να μετρήσουμε 5 ταλαντώσεις (ή 5 πλάτη) σε χρόνο 1s.

Έτσι, Hz5=2

f+f=f 21

Επίσης, υπάρχουν 2 διακροτήματα σε χρόνο 1s.

Hz2=f-f=f 21δΆρα,

Page 21: 07 σύνθεση ταλαντώσεων

21

Για να υπολογίσουμε τον αριθμό τωνδιακροτημάτων Νδ σε κάποιο χρονικό διάστημα t, αρκεί να διαιρέσουμε αυτό το χρονικό διάστημαμε την περίοδο Τδ του διακροτήματος.

δδ T

t=Ν