OLEH :

FAKULTAS PERTANIANUNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON

2009

WIJAYA

S T A T I S T I K A

email : zeamays_hibrida@yahoo.com

IV. PENDUGAAN PARAMETER

Populasi Sampel

Sampling

N n

Rata-rata : μSimp. Baku : σRagam : σ2

Rata-rata : x

Simp. Baku : s

Ragam : s2

Parameter Statistik

1. Parameter = sembarang nilai yang menjelaskan ciri populasi

Misalkan populasi tanaman padi kultivar IR-64 pada luasan 1 hektar

dengan jarak tanam 20 cm x 20 cm yaitu sebanyak 250.000

tanaman, diambil sebuah sampel secara acak berukuran n = 500

tanaman dan diperoleh rata-rata jumlah anakannya 15 anakan.

IV. PENDUGAAN PARAMETER

2. Statistik = sembarang nilai yang menjelaskan ciri sampel

Ukuran Populasi N = 250.000

Ukuran Sampel n = 500, Rata-rata x = 15

Berdasarkan rata-rata sampel (statistik) dapat diduga bahwa rata-

rata jumlah anakan padi kultivar IR-64 pada luasan 1 ha sebanyak

15 anakan (parameter).

Statistik sebagai penduga bagi Parameter yang tidak diketahui.

Rata-rata x = 15 sebagai Penduga Titik

IV. PENDUGAAN PARAMETER

Nilai dugaan dalam bentuk selang lebih tepat digunakan daripada

nilai dugaan dalam bentuk dugaan titik.

Nilai dugaan selang : P (a < θ < b ) = 1 – α, artinya peluang θterletak diantara a dan b sebesar (1 – α). Atau kita yakin

sebesar (1 –α) 100% bahwa θ ada dalam selang (a,b).

Selang : (a < θ < b ) disebut Selang Kepercayaan (1 – α) 100%.

(1 –α) disebut Koefisien (Derajat) Kepercayaan (Keyakinan)

Nilai statistik a dan b disebut Batas Kepercayaan.

IV. PENDUGAAN PARAMETER

Jika nilai α = 5 % maka (1 –α ) = 95 % = 0,95.

a x b

SE SE

a = x – SE a = x – SE

SE = Standard Error of Mean (Galat Baku Rata-rata)

SE = σx = σ / √ n

1. PENDUGAAN RATA-RATA

Penggunaan Sebaran t dan z

Apa σ ada?Ya

Uji - z

Uji - zn ≥30 ?Ya

Tidak

Tidak

Uji - t

A. Pendugaan Rata-rata Satu Sampel

P ( –zα/2 < z < zα/2 ) = 1 – α

P ( –zα/2 < (x–μ)/σx < zα/2 ) = 1 – α

P ( x – zα/2 . σx < μ < x + zα/2 . σx ) = 1 – α

( x – zα/2 . σx ) < μ < ( x + z α/2 . σx )

( x – zα/2 . σ/√n ) < μ < ( x + z α/2 . σ/√n )

A. Pendugaan Rata-rata Satu Sampel

Contoh 1 :

Suatu contoh acak 36 mhs tingkat akhir mempunyai IP rata–rata

2,60 dan simpangan baku 0,30. Buatlah selang kepercayaan

95% bagi rata–rata IP seluruh mhs tingkat akhir tersebut.

Jawab :

n = 36 ; Rata–rata x = 2,60 dan simp. baku s =0,30 ;

α = 0,05 ; α/2 = 0,025 ; zα/2 = z0,025 = 1,96

x – zα/2 . s/√n < μ < x + z α/2 . s/√n

2,60 – (1,96)( 0,30/√36) < μ < 2,60 + (1,96)(0,30/√36)

(2,60 – 0,10) < μ < (2,60 + 0,10)

2,50 < μ < 2,70

A. Pendugaan Rata-rata Satu Sampel

Contoh 2 :

Sebuah lembaga penelitian menghasilkan kedelai Kultivar X. Dari

hasil percobaan di 16 lokasi diperoleh rata-rata hasilnya 1,15

t/ha dengan simp. baku 0,20 t/ha. Buatlah selang kepercayaan

95% bagi rata-rata hasil yang sebenarnya.

Jawab :

n = 16 ; Rata–rata x = 1,15 dan simp. baku s =0,20 ;

α = 0,05 ; α/2 = 0,025 ; tα/2(n-1) = t0,025(15) = 2,131

x – tα/2(n-1) . s/√n < μ < x + tα/2(n-1) . s/√n

1,15 – (2,131)( 0,20/√16) < μ < 1,15 + (2,131)(0,20/√16)

(1,15 – 0,11) < μ < (1,15 + 0,11)

1,04 < μ < 1,26

B. Pendugaan Rata-rata Dua Sampel

( x1– x2 ) – tα/2(n1+n2-2).SE < (μ1– μ2) < (x1– x2) + tα/2(n1+n2-2).SE

Menghitung SE :

1. Jika Ragam Kedua Sampel Sama ( σ12 = σ2

2 ) :

(n1-1)S12 + (n2-1)S2

2

Sg2 =

n1 + n2 – 2

SE = Sg .√ (1/n1 + 1/n2)

2. Jika Ragam Kedua Sampel Tidak Sama ( σ12 ≠ σ2

2 ) :

SE = √ (s12/n1 + s2

2/n2)

B. Pendugaan Rata-rata Dua Sampel

Contoh :

Pelajaran matematika diberikan kepada 12 siswa kelas A dengan

Metode Biasa, dan 10 siswa kelas B dengan Metode Terprogram.

Hasil ujian kelas A rata–ratanya 85 dengan simpangan baku 4,

kelas B rata–ratanya 81 dengan simpangan baku 5. Tentukan

selang kepercayaan 90% bagi selisih rata–rata populasi, bila

diasumsikan kedua populasi menyebar normal dengan ragam sama

(n1-1)S12 + (n2-1)S2

2 (11)(16) + (9)(25)

Sg2 = =

n1 + n2 – 2 12 + 10 – 2

Jawab :

n1 = 12 ; x1 = 85 ; s1 = 4 ; n2 = 10 ; x2 = 81 ; s2 = 5 ;

α = 10% ; α/2 = 0,05 ; tα/2(n1+n2-2) = t0,05(20) = 1,725

Sg2 = 20,05 Sg = √20,05 = 4,478

B. Pendugaan Rata-rata Dua Sampel

Jawab :

n1 = 12 ; x1 = 85 ; s1 = 4 ; n2 = 10 ; x2 = 81 ; s2 = 5 ;

α = 10% ; α/2 = 0,05 ; tα/2(n1+n2-2) = t0,05(20) = 1,725

Sg2 = 20,05 Sg = √20,05 = 4,478

SE = Sg .√ (1/n1 + 1/n2) = (4,478) .√ (1/12 + 1/10)

SE = (4,478).√ (0,083 + 0,100) = (4,478).√0,183

SE = ( 4,478) (0,428) = 1,917

( 85 – 81) – (1,725)(1,917) < μ < ( 85 – 81) + (1,725)(1,917)

(4 – 3,307) < μ < ( 4 + 3,307)

0,693 < μ < 7,307

( x1– x2 ) – tα/2(n1+n2-2).SE < (μ1– μ2) < (x1– x2) + tα/2(n1+n2-2).SE

C. Pendugaan Rata-rata Pengamatan Berpasangan

d – tα/2(n-1) . Sd./√ n < μ < d + tα/2(n-1) . Sd./√n

d = Rata-rata dari selisih pengamatan kedua sampel

Sd = Simp. Baku dari selisih pengamatan kedua sampel

Contoh :

Pelatihan manajemen agribisnis dilakukan kepada 100 petani

andalan agar mampu mengembangkan usahataninya. Setelah

beberapa waktu, 6 orang diantara 100 petani andalan tersebut

diselidiki keuntungan yang mereka peroleh sebelum dan sesudah

pelatihan. Tentukan selang kepercayaan 95% bagi selisih rata–

rata populasi.

C. Pendugaan Rata-rata Pengamatan Berpasangan

Petani 1 2 3 4 5 6

Sebelum 40

58

4978

87 57

63

72

55

61

33 Juta Rp

Sesudah 40 Juta Rp

Jawab :

Sebelum 40 78 49 63 55 33 Jumlah

Sesudah 58

Selisih (d) 18 9 8 9 6 7 57

324

4061725787

81 64 81 36(d2) 49 635

C. Pendugaan Rata-rata Pengamatan Berpasangan

n = 6 ; ∑ d = 57 ; ∑ d2 = 635 ; α = 5% ; tα/2(n-1) = 2,571

∑ d2 – ( ∑ d)2 /n (635) – (572)/6 635 – 541,5

Sd2 = = =

n – 1 6 – 1 5

Sd2 = 18,7 Sd = √18,7 = 4,324

9,5 – (2,571)(1,765) < μ < 9,5 + (2,571)(1,765)

d = 57/6 = 9,5 ; √6 = 2,449 ; Sd /√ n = 4,324/2,449 = 1,765

9,5 – (2,571)(3,948) < μ < 9,5 + (2,571)(3,948)

9,5 – 4,538 < μ < 9,5 + 4,538

4,962 < μ < 14,038

D. Pendugaan Proporsi Satu Sampel

n ≥100 : p – zα/2 . √ pq/n < π < p + zα/2. √pq/n

n < 100 : p – tα/2(n-1) .√ pq/n < π < p + tα/2(n-1).√pq/n

Contoh :

Contoh acak 200 orang yang membeli pestisida di sebuah toko

pestisida selama satu minggu diperoleh informasi sebanyak 60

orang yang suka membeli insektisida X . Tentukan selang

kepercayaan 95% bagi proporsi sesungguhnya yang suka membeli

insektisida X di toko tersebut.

Jawab :

n = 200 ; p = 60/200 = 0,3 ; q = 0,7 ;

√ pq/n = √ (0,3)(0,7)/200 = 0,032 ; zα/2 = 1,96

D. Pendugaan Proporsi Satu Sampel

n ≥100 : p – zα/2 . √ pq/n < π < p + zα/2. √pq/n

n < 100 : p – tα/2(n-1) .√ pq/n < π < p + tα/2(n-1).√pq/n

Jawab :

n = 200 ; p = 60/200 = 0,3 ; q = 0,7 ;

√ pq/n = √ (0,3)(0,7)/200 = 0,032 ; zα/2 = 1,96

0,3 – 1,96(0,032) < π < 0,3 + 1,96(0,032)

0,3 – 0,063 < π < 0,3 + 0,063

0,237 < π < 0,363

23,7 % < π < 36,3 %

E. Pendugaan Proporsi Dua Sampel

(p1 – p2) – zα/2 .SE < (π1 –π2) < (p1 – p2) + zα/2.SE

SE = √ (p1q1/n1) + (p2q2/n2)

Contoh :

Suatu studi dilakukan untuk menduga proporsi penduduk suatu

kota dan penduduk di sekitar kota tersebut yang menyetujui

pembangkit listrik tenaga nuklir. Bila 1200 diantara 2000

penduduk kota dan 2400 diantara 5000 penduduk di sekitar

kota yang diwawancarai menyetujui pembangunan tersbut, buat

selang kepercayaan 90% bagi proporsi sebenarnya yang setuju.

Jawab :

n1 = 2000 ; p1 = 1200/2000 = 0,60 ; q1 = 0,40 ;

n2 = 5000 ; p2 = 2400/5000 = 0,48 ; q2 = 0,52

SE = √ (p1q1/n1 + p2q2/n2) = 0,013 ; zα/2 = 1,96

E. Pendugaan Proporsi Dua Sampel

(0,60 – 0,48) – 1,96(0,013) < (π1 –π2) < (0,60 – 0,48) +

1,96(0,013)

Jawab :

n1 = 2000 ; p1 = 1200/2000 = 0,60 ; q1 = 0,40 ;

n2 = 5000 ; p2 = 2400/5000 = 0,48 ; q2 = 0,52

SE = √ (p1q1/n1 + p2q2/n2) = 0,013 ; zα/2 = 1,96

(0,12 – 0,025) < (π1 –π2) < (0,12 – 0,025)

0,095 < (π1 –π2) < 0,145