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Νομικός
Prof. Ricardo R. Horta O.
Escuela Militar de Ingenieros
ONDAS SENOIDALES, FRECUENCIA Y FASE
)2()()( 00 ftsenVwtsenVtv
Los valores instantáneos de las señales eléctricas pueden graficarse cuando varían en el tiempo y se llaman formas de onda. Cuando varía en el tiempo y contiene partes positivas como negativas se le llama onda de corriente alterna (ca). Cuando varía repitiéndose en forma continua, se llama onda periódica. Cuando no varían en el tiempo se llaman señales de corriente directa (cd).
La señal más utilizada es la senoide. Su expresión matemática es:
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En la figura anterior, hay dos ondas de igual frecuencia pero desplazadas un cierto ángulo de fase:
)()( v.s.)()( 00 wtsenVtvwtsenVtv BA
Si la onda B tiene valor cero (con pendiente positiva) que se presenta después del valor de cero (con pendiente positiva) de la onda A, entonces se dice que la onda B sigue a la onda A, o está atrasada con respecto a la onda A y viceversa.
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VALOR PROMEDIO Y VALOR CUADRÁTICO MEDIO (RMS)
Si las señales aplicadas a un circuito son señales de cd , es bastante fácil calcular cantidades tales como el número de amperios que fluyen en el circuito, o la energía disipada por los componentes del circuito a lo largo de un periodo de tiempo.
Si la señal varía con el tiempo, su onda ya no es tan sencilla como la (a), sino como la (b) ó (c):
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Cuando las ondas poseen formas variables con el tiempo, ya no es suficiente medir solamente el valor de la cantidad que representa un solo instante. No es posible determinar todo lo que se debe conocer sobre la señal, a partir de una sola medición.
Los dos valores característicos empleados con mayor frecuencia en ondas variables en el tiempo son su valor promedio (ó medio) y su valor cuadrático (ó rms).
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VALOR PROMEDIO
periodo del longitudcurva la bajo áreapromA
El valor promedio de una onda de corriente que varía a lo largo de un periodo T, es el valor que tendría una corriente directa si suministrara una cantidad igual de carga en el mismo periodo T.
Matemáticamente, el valor promedio de cualquier onda periódica se obtiene dividiendo el área bajo la curva de la onda en un periodo T, entre el tiempo del periodo:
En forma general:
T
prom dttfT
A0
)(1
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Encuentren el valor promedio de las siguientes ondas:
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El valor promedio de la onda (a) lo podemos obtener de la siguiente forma:
5420
4)210()0()140(
periodo del longitudcurva la bajo área promA
TT
prom dtT
tsenA
Tdttf
TA
0 00)
2(
1)(
1
El valor promedio de la onda (b) lo podemos obtener de la siguiente forma:
0)1()1(2
2cos
2)
2( 0
00
00
At
TTTA
dttT
senTA
AT
T
prom
Nótese que el valor medio de una señal sinusoidal ó simétrica es cero.
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VALOR CUADRÁTICO MEDIO (RMS)
RMS son las primeras letras de root mean square. El valor rms o valor efectivo de una onda variable en el tiempo es el valor que una onda de cd entregaría para disipar la misma potencia.
Para calcular el valor efectivo, se eleva primero al cuadrado la magnitud de la onda en cada instante, se calcula el valor promedio de las magnitudes elevadas al cuadrado y se calcula su raíz cuadrada:
T
rms dttfT
A0
2)(1
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Para la onda senoidal del ejemplo anterior:
T
TT
rms tT
senTt
TA
dttT
senAT
dttfT
A0
20
0
2
200
2 442
21)(
1
00 707.02
AA
Arms
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En la siguiente figura se muestran seis formas de onda con valores promedio y rms:
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Sea la función:
)()cos()(
:generalEn
)cos()cos()( )3
)()()( )2
)cos()( )1
2
wtAsenwtAtf
wtAwtAtf
wtAsenwtAsentf
wtAtf
)()( wtAsentf
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Correspondencia entre funciones senoidales y números complejos
Todas las funciones senoidales tienen una correspondencia con un número complejo y viceversa:
)()()( sFKAwtAsentf
K es una constante para todas las funciones sinusoidales y vale 1/2, es decir, KA es el valor rms de la señal sinusoidal. Tendrá otro valor según el tipo de forma de onda que se maneje.
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jKwAtfdtd
jKwAKwAKwA
KwAwtwAsentfdtd
senwtwAtfdtd
)(
)901()(90 :donde
90)90()(
)90(cos :como )cos()(
Para la derivada:
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jwKA
dttf
jwKA
wKA
wKA
wKA
wtsenwA
dttf
senwwtA
dtwtAsendttf
)(
)901()(90 :donde
90)90()(
)90(cos :como
)cos()()(
Para la integral:
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Respuesta de los elementos básicos a un voltaje o corriente senoidal
Al suministrar energía eléctrica a un elemento pasivo de un circuito, éste se comporta de una ó más formas: Si disipa la energía es un elemento resistivo; si la almacena en un campo magnético, es una bobina pura; si la acumula en un campo eléctrico, es un condensador puro. En la práctica, los componentes de un circuito se comportan de más de una de estas formas y muchas de las veces, de las tres simultáneamente; pero suele dominar alguno de los tres efectos. Se puede diseñar una bobina con un gran coeficiente de autoinducción, pero el alambre con que se fabrica presenta cierta resistencia que es imposible de anular. De modo que ésta bobina presentará dos efectos: el de bobina y el de resistencia.
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Consideremos el siguiente circuito serie:
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La diferencia de potencial en un elemento resistivo puro es directamente proporcional a la corriente que circula por él (Ley de Ohm). La constante de proporcionalidad entre estas variables es llamada resistencia (R):
.frecuencia la de dominio elEn )()(
tiempo.del dominio elEn )()(
sIRsV
tiRtv
Si por la bobina circula una corriente eléctrica variante en el tiempo, se origina en ella un potencial que es directamente proporcional a dicha corriente:
.frecuencia la de dominio elEn )()()(
tiempo.del dominio elEn )(
)(
sIjwLsVdt
tdiLtv
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La diferencia de potencial en un condensador es directamente proporcional a la carga Q almacenada en él. La constante de proporcionalidad entre estas variables es llamada capacitancia (C):
.frecuencia la de dominio elEn )(1
)(
tiempo.del dominio elEn )(1
)(
)( como )()(
sIjwC
sV
dttiC
tv
dtdQ
titvCtQ
Por lo tanto, la suma de los voltajes de cada elemento pasivo del circuito serie es igual al voltaje total de la fuente de alimentación:
.frecuencia la de dominio elEn )(
)()()(
tiempo.del dominio elEn )(C1)(
)()(
1
1
jwCsI
sjwLIsRIsV
dttidt
tdiLtRitv
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Factorizando el termino de la corriente eléctrica en el dominio de la frecuencia:
)()1
()(1
)(1 sIwC
wLjRsIjwC
jwLRsV
El termino entre paréntesis es la impedancia Z (en Ohms) de los elementos en serie. Donde wL es la reactancia inductiva XL , 1/wC es la reactancia capacitiva XC y R es la resistencia pura.
Tfw
XXjRjXjXRZ CLCL
22
)(
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Resonancia de un circuito serie
LCf
LCw
wCjjwL
wCjjwL
wCjjwLRZ
2
1 :decir esc
1
10
1
1
0
La reactancia de la impedancia compleja del circuito, vale cero cuando entra en resonancia:
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Consideremos el siguiente circuito paralelo:
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La corriente que circula en un elemento conductivo puro es directamente proporcional a la caída de potencial en él (Ley de Ohm). La constante de proporcionalidad entre estas variables es llamada conductancia (G):
.frecuencia la de dominio elEn )()(
tiempo.del dominio elEn )()(
sVGsI
tvGti
Si en la bobina hay una caída de potencial variante en el tiempo, se origina en ella una corriente eléctrica que es directamente proporcional a dicho potencial:
.frecuencia la de dominio elEn )(1
)(
tiempo.del dominio elEn )(1
)(
sVjwL
sI
dttvL
ti
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La diferencia de potencial del condensador es directamente proporcional a la carga Q almacenada en él. La constante de proporcionalidad entre estas variables es llamada capacitancia (C):
.frecuencia la de dominio elEn )()(
tiempo.del dominio elEn )()(
)( como )()(
sVjwCsI
tvdtd
Cti
dtdQ
titvCtQ
Por lo tanto, la suma de las corrientes de cada elemento pasivo del circuito paralelo es igual a la corriente total de la fuente de alimentación:
.frecuencia la de dominio elEn )(
)()()(
tiempo.del dominio elEn )(1
)(
)()(
1
1
jwLsV
sjwCVsGVsI
dttvLdt
tdvCtGvti
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)()()(1
)(1 sVw
wCjGsVjwL
jwCGsI
De forma similar, se define la admitancia Y como el inverso de la impedancia:
El termino entre paréntesis es la admitancia Y (en Mhos) de los elementos en un circuito paralelo. Donde es la invertancia, 1/wL es la susceptancia inductiva BL , wC es la susceptancia capacitiva BC y G es la conductancia.
Tfw
BBjGjBjBGY LCLC
22
)(
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Resonancia de un circuito paralelo
LCf
LCw
wLjjwC
wLjjwC
wLjjwCGY
2
1 :decir esc
1
10
1
1
0
La susceptancia de la admitancia compleja del circuito, vale cero cuando entra en resonancia:
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Un problema de Mecánica
Consideremos una masa (m) suspendida por un resorte que tiene una determinada elasticidad. El peso se empuja hacia abajo con una fuerza F, se libera súbitamente y se deja oscilar libremente:
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Cuando el resorte se extiende, tirando del peso hacia abajo, se gasta una cierta cantidad de energía que se almacena como Energía Potencial en la tensión del resorte. Por el momento desechemos la fricción. La energía potencial almacenada en el resorte debe ser igual a la que invertimos para estirar (ó comprimir) el resorte. La fuerza restauradora F1 que tiende a restaurar el resorte, es proporcional a la elongación o desplazamiento x del resorte desde la posición en reposo:
xKF S1
Donde Ks es una constante de proporcionalidad, el coeficiente de elasticidad. El signo “-” indica que actúa en dirección opuesta.
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Cuando se suelta la masa, la energía potencial almacenada en el resorte se libera súbitamente, convirtiéndose en Energía Cinética. Durante el movimiento, la masa sufre una aceleración a que depende directamente de la fuerza original aplicada e inversamente de la inercia de la masa:
2
2
bien ó dt
xdmmaF
mF
a
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Después de que el resorte ha tirado de la masa para regresarla a su posición original (x = 0), la acción no se detiene ahí, debido a la inercia. La masa resiste cualquier cambio súbito en su movimiento. Por lo tanto, no se detiene cuando el resorte carece de tensión, sino que por el contrario, continúa comprimiendo al resorte hasta que toda la energía cinética adquirida durante el movimiento de la masa se almacena nuevamente como energía potencial en el resorte comprimido. Ahora, el resorte libera nuevamente su compresión convirtiéndola en energía de movimiento en la masa y el proceso se repite nuevamente.
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La acción continuaría indefinidamente si no fuese por el hecho de que parte de la energía se pierde en cada oscilación, debido a la fricción viscosa del resorte y soporte. Así, el desplazamiento máximo (amplitud) es más pequeño en cada oscilación, hasta que es cero.
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Si la masa fuera jalada durante cada oscilación descendente con energía suficiente para vencer la fricción interna, resultaría una oscilación no amortiguada:
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La fuerza amortiguadora F2, debida a la fricción viscosa es proporcional a la velocidad del movimiento del resorte:
dt
dxKvKF ff 2
Donde Kf es una constante de proporcionalidad, el coeficiente de fricción y el “-” indica que la fuerza amortiguadora se opone al movimiento.
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La fuerza F es la suma algebraica de las fuerzas restauradoras y amortiguadoras, es decir:
0
2
2
2
2
21
xKdt
dxK
dt
xdm
dt
dxKxK
dt
xdmF
FFF
Sf
fS
Se conoce como ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, cuya solución es:
)(wtAsenex bt
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Llevamos la ecuación a su forma integro-diferencial:
00
:frecuencia la de dominio al oTrasladand
0
:como 02
2
VK
mjKj
VkKVkKmVjk
dtvKvKdtdv
m
vdtxvdtdx
xKdtdx
Kdt
xdm
Sf
Sf
Sf
Sf
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Cuando entra en resonancia, la reactancia de la impedancia compleja del circuito vale cero :
m
Kf
m
KKm
Km SSSS
2
1;0 2
Así, frecuencia de oscilación es directamente proporcional a la raíz cuadrada del cociente del coeficiente de elasticidad entre la masa.
CKmL
mK
LCmK
LC
mK
fLC
f
S
SS
S
1 &
11
21
& 2
100
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Un problema de Electricidad
Consideremos un condensador que se ha cargado inicialmente por medio de una batería y súbitamente se descarga, colocando el interruptor S en Descarga, a través de una bobina L y resistencia R:
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Si la resistencia del circuito es de valor pequeño, tendrán lugar oscilaciones eléctricas que corresponden a las oscilaciones mecánicas amortiguadas del péndulo de resorte. Si las ecuaciones diferenciales y sus soluciones son análogas, entonces los fenómenos son equivalentes.
La inductancia se resiste a cualquier cambio de corriente que pasa por ella. Es decir, su efecto es similar a la inercia de una masa, que hace que se resista a cualquier cambio en su movimiento. En forma similar, la carga de un condensador es físicamente análoga al desplazamiento ó tensión de un resorte. La resistencia eléctrica es análoga a la resistencia mecánica ó fricción del péndulo de resorte.
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La Analogía Física
Cuando se carga un condensador por medio de una fuerza electromotriz, se almacena energía eléctrica en el campo eléctrico entre las placas del capacitor. Esta es análoga al almacenamiento de energía potencial en la tensión de un resorte. Si el condensador se descarga súbitamente a través de una inductancia, la energía del campo eléctrico se libera por el movimiento de las cargas (corriente) en la bobina, y establece un campo magnético en ella. La energía del campo eléctrico se transforma en energía de campo magnético, lo cual corresponde a la conversión de energía potencial a energía cinética del movimiento en el péndulo de resorte.
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Como en el sistema mecánico, el movimiento de las cargas no cesa cuando el capacitor está completamente descargado, sino que debido a la inercia eléctrica (inductancia) de la bobina, la corriente continúa circulando hasta que el condensador se recarga en la dirección opuesta y la energía inicial queda nuevamente almacenada en el campo eléctrico. El circuito continua oscilando con el almacenamiento y liberación alternadas de energía en los campos del condensador y la bobina, igual que el péndulo mecánico continúa oscilando por el almacenamiento y liberación alternadas de la energía mecánica en el resorte y la masa.
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El péndulo mecánico cesa de oscilar cuando toda su energía se ha utilizado en vencer la fricción interna. En forma semejante, un circuito inductivo – capacitivo cesa de oscilar cuando toda su energía eléctrica se disipa en la resistencia del devanado de la bobina y los conductores.
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Circuito Eléctrico Serie
En un circuito serie, el voltaje E(t) es la suma de los potenciales de cada elemento que conforman la red, como lo indica la segunda ley de Kirchhoff. El potencial en cada elemento es:
Inductancia: Resistencia: Capacitancia:
qC
dtdq
RiR dt
qdL
dtdi
L1
2
2
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Por lo tanto, el potencial E(t) está expresado como:
O bien:
qCdt
dqR
dtqd
LtE1
)( 2
2
idtC
Ridtdi
LtE1
)(
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Circuito Mecánico Serie
En un circuito serie, la fuerza F(t) es la suma de las fuerzas que ejerce cada elemento que conforman la red. La fuerza en cada elemento es:
Masa: Amortiguador: Resorte:
kx bvdtdx
b dtdv
mdt
xdm 2
2
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Por lo tanto, la fuerza F(t) está expresada como:
O bien:
kxxtdx
bdt
xdmtF 2
2
)(
vdtkbvdtdv
mtF )(
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D (Distancia o desplazamiento)
V (Velocidad)
a (Aceleración)
F (Fuerza)
M (Masa o inercia)
Ks (Modulo de elasticidad)
Kf (Fricción Viscosa)
F (Fuerza sobre el resorte)=KsD
F (Fuerza de fricción)=KfV
F=MdV/dt (2a ley de Newton)
½MV2(Energía cinética)
½KsD2(Energía potencial)
Q (Carga)
I (Corriente)
V (Voltaje)
L (Inductancia)1/C (Elastancia)
V=Q/C
V=IR Ley de Ohm
V=LdI/dt (Volt. Del Inductor)
½LI2 (Energía Magnética)
½CV2 (Energía Capacitiva)
Equivalencias Mecánicas – Electricas:
R (Resistencia)
Tabla de Analogías Voltaje-Fuerza
di/dt (Amperios/segundo)
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Circuito de Nivel de Líquido
En este circuito, la altura H(t) es la suma de efectos que ejercen cada elemento que conforman la red. La influencia en la altura que cada elemento provoca es:
Inertancia: Resistencia: Capacitancia:
VC1
RqdtdV
R dtdq
Idt
VdI 2
2
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Por lo tanto, la altura H(t) esta expresada como:
O bien:
VCdt
dVR
dtVd
ItH1
)( 2
2
qdtC
qRdtdq
ItH1
)(
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Tabla de Analogías Corriente-Caudal
Voltaje
Inductancia
Resistencia
Capacitancia
Carga
Corriente
Altura
Inertancia
Resistencia al flujoCapacitancia
Volumen
Flujo ó Caudal
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BIBLIOGRAFÍA
Benitez Serrano Ismael, CIRCUITOS ELÉCTRICOS, VOL. 1, Instituto Politécnico Nacional.
Wolf & Smith, GUÍA PARA MEDICIONES ELECTRÓNICAS Y PRÁCTICAS DE LABORATORIO, Prentice Hall Hispanoamericana, 1992.
Cooper & Helfrick, INSTRUMENTACIÓN ELECTRÓNICA MODERNA Y TÉCNICAS DE MEDICIÓN, Prentice Hall Hispanoamericana, 1991.
Hayt & Kemmerl, ENGINEERING CIRCUITS ANALYSIS, McGraw-Hill, 1993.
Norton H. N., HANDBOOK OF TRANSDUCER FOR ELECTRONIC MEASURING SYSTEM, Prentice Hall, 1969.
Maloney T., ELECTRÓNICA INDUSTRIAL: DISPOSITIVOS Y SISTEMAS, Prentice Hall Hispanoamericana 1983.
Johnson, Hilburn & Jonson, ANÁLISIS BÁSICO DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS, Prentice Hall Hispanoamericana 1991.
Prat, Calderer, Argonés, Casas, Guinjoan, Molinàs, Navarro & Turo, LABORATORIO DE ELECTRONICA, Alfaomega, 2000.
Boylestad, ANALISIS INTRODUCTORIO DE CIRCUITOS, Pearson Educación, 1998.
Kaufman & Seidman, MANUAL PARA INGENIEROS Y TECNICOS EN ELECTRONICA, McGraw-Hill, 1982.
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