| .

|

|

|

|

| .

xe ταυτίζεται με την Η εκθετική συνάρτηση

παράγωγό της. Αυτή είναι η πηγή όλων των ιδιοτήτων της και ο κύριος λόγος της τόσο μεγάλης σημασίας που έχει στις εφαρμογές.

R. Courant - H. Robbins

Δημήτριος Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

www.pe03.gr

2018 ΕΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Δημήτριος Σπαθάρας

Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών,

Φθιώτιδας και Ευρυτανίας

www.pe03.gr

Εισαγωγή

Προσανατολισμένα Μαθηματικά εναντίον Μαθηματικών προσανατολισμού

Από τα εξεταζόμενα μαθήματα, των πανελλαδικών εξετάσεων, τα Μαθηματικά είναι αυτά που

σε μεγαλύτερο βαθμό απ’ όλα τα άλλα, δεν μπορούν να μπουν σε «καλούπια». Όλα τα υπόλοιπα,

άλλο λιγότερο και άλλο περισσότερο, αντιμετωπίζονται με κατάλληλη μεθοδολογία, τεχνάσματα,

θέματα sos, αποστήθιση κτλ. Όμως, κατά παράδοξο τρόπο, ένα συνεχώς εξελισσόμενο σύνολο

διαδικασιών, μεθοδολογίας και ασκησιολογίας, έχει «αυτοματοποιήσει» τη διδασκαλία των Μα-

θηματικών και αποτελεί τον κύριο τρόπο προετοιμασίας των μαθητών για τις πανελλαδικές εξε-

τάσεις. Είναι μια «παιδαγωγική-διδακτική μέθοδος» που εστιάζει στην ολοκληρωτική τυποποίηση

του μαθήματος. Το αποτέλεσμα είναι, το μάθημα των Μαθηματικών στο Λύκειο να έχει πάρει μια

στείρα φορμαλιστική μορφή.

Για περισσότερο από ένα χρόνο, πολλοί μαθητές «κουρδίζονται» για να λειτουργήσουν σαν

κομπιουτεράκια στις πανελλαδικές εξετάσεις. Οι εκπαιδευτικοί, χαμένοι και αυτοί στη δίνη των

πανελλαδικών, δεν νοιάζονται να τους δείξουν τι πραγματικά συμβαίνει στον κόσμο των Μαθη-

ματικών, προτιμώντας να τους μάθουν να λύνουν, έστω και χωρίς να καταλαβαίνουν. Πολλοί εξε-

ταζόμενοι μπαίνουν στις αίθουσες χωρίς την παραμικρή μαθηματική διαίσθηση και με ακατέργα-

στη μαθηματική σκέψη. Υπολογίζουν όρια και δεν γνωρίζουν τι είναι όριο. Εφαρμόζουν μηχανικά

το θεώρημα του Fermat και δεν γνωρίζουν το βαθύτερο νόημά του. Υπολογίζουν ορισμένα ολο-

κληρώματα και δεν γνωρίζουν τι είναι ορισμένο ολοκλήρωμα κτλ. Ακόμα και, όσοι μαθητές έχουν

καλλιεργήσει στο παρελθόν την απαραίτητη μαθηματική αντίληψη, την παραμερίζουν προτιμώ-

ντας να μην ρισκάρουν. Η μαθηματική τους σκέψη μέσα στην χρονιά «ξεφουσκώνει», ίσως και

υποσυνείδητα, δίνοντας την θέση της στο «άγιο δισκοπότηρο» της επίλυσης. Οι «φόρμουλες» δί-

νουν μια μεγαλύτερη αίσθηση σιγουριάς στους μαθητές. Μια αίσθηση που, όμως, είναι εντελώς

πλασματική. Το σύστημα αυτό οδηγεί στην ισοπέδωση των παιδαγωγικών αρχών, με αποτέλεσμα

τη στρέβλωση της σκέψης των υποψηφίων και την υποκατάσταση της προσπάθειας για ουσιαστι-

κή κατάκτηση της γνώσης με την προσπάθεια επιτυχίας σε κάποιας μορφής τυπικές εξετάσεις. Οι

δε συνέπειες για το «μαθηματικό» τους μέλλον, έστω και αν επιτύχουν στις εξετάσεις, είναι κα-

ταλυτικές. Είναι φανερό ότι η αντίληψη αυτή ακολουθεί τους φοιτητές τουλάχιστον στην πρώτη

περίοδο της πανεπιστημιακής τους ζωής.

Δημιουργικό «παιχνίδι» με την ανισότητα: xe x 1 • Δημήτριος Σπαθάρας - Σχολικός Σύμβουλος

2

Όλα τα παραπάνω έχουν δημιουργήσει, όχι μόνο στους μαθητές αλλά και στην κοινωνία, την

εσφαλμένη εντύπωση ότι έτσι είναι τα Μαθηματικά. Είναι, δηλαδή, ένα σύνολο συνταγών και

άκαμπτων κανόνων και μεθοδολογιών, που όσο περισσότερο εντρυφήσει ο μαθητής σ’ αυτές τό-

σο ικανότερος γίνεται. Υπάρχει, δηλαδή, μια διαδεδομένη αντίληψη ότι η συστηματική ενασχό-

ληση των μαθητών με τη μεθοδολογία επίλυσης ασκήσεων καλλιεργεί τη μαθηματική ικανότητα.

Αυτό καθόλου δεν αποδεικνύει την απόκτηση ουσιαστικής μαθηματικής παιδείας, αν δεν έχει

προηγηθεί βαθειά κατανόηση της αντίστοιχης θεωρίας (ορισμοί των εννοιών, λογική δομή και

αποδείξεις των προτάσεων). Οι συνέπειες της παραπάνω στρεβλής θεώρησης είναι πολλές. Μια

από αυτές είναι αυτή της δημιουργίας ενός πλασματικού προφίλ του καλού δασκάλου των Μα-

θηματικών. Έχει δημιουργηθεί η εσφαλμένη εντύπωση ότι, καλός δάσκαλος των Μαθηματικών

είναι αυτός που διδάσκει μετωπικά τις μεθοδολογίες και όχι αυτός που διδάσκει διερευνητικά τις

έννοιες. Όσο για το δημόσιο σχολείο, θέλουν κ’ αυτό να γίνει όπως τα περισσότερα φροντιστήρια

(ευτυχώς όχι όλα, υπάρχουν και εξαιρέσεις). Τελικά, ο εκπαιδευτικός του δημόσιου σχολείου, ε-

γκλωβισμένος από παντού, υποκύπτει διδάσκοντας και αυτός «φόρμουλες» και «διαδικασίες»,

με μοναδικό κέρδος την αναγνώριση από μαθητές και γονείς. Και φυσικά για όσους εκπαιδευτι-

κούς αντισταθούν σε αυτή την κουλτούρα, τους περιμένει η αμφισβήτηση και η έντονη δυσαρέ-

σκεια. Αν για παράδειγμα προσπαθήσει κάποιος να διδάξει τον ορισμό του ορισμένου ολοκλη-

ρώματος σχολαστικά και για όσο χρόνο προβλέπεται από το πρόγραμμα του δημόσιου σχολείου,

τότε θα ακούσει από όλους με μια φωνή: «κύριε αυτό δεν πέφτει, έχετε τίποτα άλλο να μας πεί-

τε»; Το «ρεπερτόριο» επομένως του δημόσιου σχολείου στα Μαθηματικά το καθορίζουν, σε κά-

ποιο βαθμό, εξωθεσμικοί παράγοντες και όχι το ίδιο το σχολείο με τις διαδικασίες του.

Τα Μαθηματικά όμως εκτός από επιστήμη είναι και τέχνη, η δε διδασκαλία τους είναι μέγιστη

τέχνη. Υπό την έννοια αυτή είναι «παντοτινά ελεύθερα» και δεν είναι δυνατόν να υποδουλω-

θούν και να ισοπεδωθούν με τέτοιο τρόπο. Κάθε χρόνο ένας μεγάλος αριθμός μαθητών αποτυγ-

χάνει, επειδή δεν μπορεί να εφαρμόσει την «ευλογημένη» μεθοδολογία. Αν σε κάποια άσκηση η

«συνταγή» εφαρμόζεται διαφορετικά, τότε ένας μαθητής που δεν έχει μαθηματική αντίληψη δυ-

σκολεύεται να βρει τον τρόπο. Όταν η άσκηση δεν λύνεται μέσω της πεπατημένης, τότε ο μαθη-

ματικά απαίδευτος μαθητής ξεμένει από λύσεις. Χάνεται μέσα στις ιδέες του, αφού δεν έχει μά-

θει να αντιλαμβάνεται το πρόβλημα, παρά μόνο να το λύνει.

Αν προσπαθήσουμε να «καλουπώσουμε» τα Μαθηματικά, τότε αυτά,

αργά ή γρήγορα, θα βρουν τον τρόπο να βγουν απ’ το καλούπι.

Πέρα όμως από τις εξετάσεις και την αποτελεσματικότη-

τα ή όχι των παραπάνω μεθόδων, οι μαθητές που ακολου-

θούν αυτές τις πρακτικές δεν νιώθουν τη χαρά της δημιουρ-

γικότητας και της αυτενέργειας, γιατί δεν έχουν ανακαλύ-

ψει τις δικές τους δυνάμεις. Δεν μαθαίνουν να προσπαθούν

με συστηματικό διάβασμα και κατανόηση των εννοιών, αλ-

λά αναζητούν εναλλακτικούς δρόμους για την επίλυση ενός

προβλήματος. Ποτέ δεν θα καταλάβουν τι είναι μάθηση και

ποια είναι η μεγάλη και αναντικατάστατη χαρά της γνώσης.

Ποτέ δεν θα λατρέψουν τα Μαθηματικά! Εδώ έρχεται στο

νου μας αυτό που είπε ο Ευκλείδης στον Πτολεμαίο Α΄ όταν

του ζήτησε έναν πιο εύκολο τρόπο από τα Στοιχεία του για

να μάθει Γεωμετρία. Η απάντηση του μεγάλου μαθηματι-

κού ήταν: «Δεν υπάρχει βασιλική οδός για τη Γεωμετρία».

Δημιουργικό «παιχνίδι» με την ανισότητα: xe x 1 • Δημήτριος Σπαθάρας - Σχολικός Σύμβουλος

3

Δημιουργικότητα στο σχολείο και στη

διδασκαλία των Μαθηματικών

Η δημιουργικότητα και η δημιουργική σκέψη έχουν αποτελέσει αντικείμενο συστηματικών ε-

ρευνών και μελετών ήδη από τη δεκαετία του 1950, ωστόσο προβλήματα και αντιπαραθέσεις σε

ό,τι αφορά τον εννοιολογικό προσδιορισμό τους, εξακολουθούν να υπάρχουν ως σήμερα. Γενικά

θα μπορούσαμε να πούμε ότι:

• Δημιουργικότητα είναι η ικανότητα του ατόμου να παράγει άφθονους και πρωτότυπους τρό-

πους αντιμετώπισης προβλημάτων και οργάνωσης υλικού.

• Με τον όρο δημιουργική σκέψη εννοούμε τη σύλληψη, επεξεργασία και πραγματοποίηση μη

μονοδιάστατων ή/και μη προβλέψιμων, αρχικά, απαντήσεων.

• Η δημιουργική σκέψη συνδέεται κυρίως με την αποκλίνουσα σκέψη.

Η αποκλίνουσα σκέψη, ωστόσο, δεν λειτουργεί αυθαίρετα, αλλά αξιοποιεί τις προϋπάρχουσες

γνώσεις υπακούοντας και σε σκοπούς και σε κριτήρια. Επιπλέον, συνδέει τα διάφορα ερεθίσματα

με μοναδικό τρόπο, δημιουργεί νέες συνάψεις και τα συνθέτει. Η αποκλίνουσα σκέψη δεν λει-

τουργεί ανταγωνιστικά σε σχέση με τη συγκλίνουσα, αλλά συμπληρωματικά.

• Συγκλίνουσα Σκέψη: Τι; Ποιός; Που; Πότε;

• Αποκλίνουσα Σκέψη: Πώς αλλιώς; Υπάρχει άλλη πρόταση; Ποιές είναι οι συνέπειες;

Η επιστημονική έρευνα έχει αποδείξει ότι βέλτιστα μαθησιακά αποτελέσματα επιτυγχάνει ε-

κείνο το σχολείο που καταφέρνει να κερδίζει καθημερινά το ενδιαφέρον των μαθητών και των

μαθητριών, να ξυπνά την περιέργειά τους, να τους εμπλέκει ενεργά στην αναζήτηση της γνώσης,

δίνοντάς τους χώρο για δημιουργικότητα και ανάπτυξη πρωτοβουλιών, προωθώντας την αναλυ-

τική, συνθετική και κριτική τους σκέψη. Προφανώς αυτό είναι κάτι που πρέπει το σχολείο να το

επιδιώκει σε καθημερινή βάση. Όμως η πίεση για την ολοκλήρωση της διδακτέας ύλης, παγιδεύει

τη διδακτική πράξη σε πιο παραδοσιακά σχήματα.

Όσο αφορά τη δημιουργική διδασκαλία των Μαθηματικών μια πρόταση για τη συγκρότηση

Μαθηματικών δραστηριοτήτων στο Λύκειο, με στόχο τη δημιουργική μάθηση και την ανάπτυξη

διερευνητικής σκέψης, θα μπορούσε ενδεικτικά να εστιάζεται στα παρακάτω:

• Προβλήματα που η επίλυσή τους δεν βασίζεται σε μια εξαρχής εντελώς γνωστή μεθοδολογία.

• Ενότητες συνεκτικών θεμάτων που αναδεικνύουν την ιδέα των επεκτάσεων και των διαδοχικών

γενικεύσεων. Τέτοιου τύπου ενότητες θα μπορούσαν, για παράδειγμα, να έχουν ως αφετηρία

κάποιες βασικές σχολικές ασκήσεις, την ιδέα των οποίων θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσου-

με για την επίλυση πιο σύνθετων μαθηματικών προβλημάτων.

• Προβλήματα που η επίλυσή τους δεν βασίζεται στην απλή εφαρμογή γνώσεων από μια συγκε-

κριμένη μαθηματική ενότητα, αλλά προϋποθέτει σύνθεση γνώσεων από διαφορετικές περιο-

χές και αντικείμενα των σχολικών Μαθηματικών (Άλγεβρα, Γεωμετρία, Τριγωνομετρία), ενδε-

χομένως και κάποιες απλές γνώσεις Φυσικής.

• Προσεγγίσεις που αναδεικνύουν το ρόλο της γεωμετρικής εποπτείας στη σύλληψη μιας μαθη-

ματικής πρότασης εξαρχής, και όχι ανακόλουθα, ως συνήθως, μετά την απόδειξή της.

• Προσεγγίσεις που αιτιολογούν και αναδεικνύουν την επιλογή περισσοτέρων της μιας κατάλλη-

λων συναρτήσεων οι οποίες μας οδηγούν στην απάντηση κάποιων ερωτημάτων της Ανάλυσης.

Τα παραπάνω είναι ενδεικτικά αφού υπάρχουν πολλά άλλα πεδία συγκρότησης δραστηριοτή-

των δημιουργικής μάθησης με στόχο τη βαθύτερη κατανόηση της θεωρίας και των εφαρμογών.

Δημιουργικό «παιχνίδι» με την ανισότητα: xe x 1 • Δημήτριος Σπαθάρας - Σχολικός Σύμβουλος

4

Πρόταση δημιουργικής διδασκαλίας της Ανάλυσης και ανάπτυξης διερευνητικής σκέψης

Μέσα στην πίεση για την ολοκλήρωση της διδακτέας ύλης των Μαθηματικών προσανατολι-

σμού της Γ’ τάξης Ημερήσιου ΓΕΛ, προτείνουμε κάποια διαλείμματα δημιουργικής διδασκαλίας

με στόχο τη μετάβαση σε καθημερινές διδακτικές πρακτικές περισσότερο μαθητοκεντρικές.

Η παρούσα εργασία αποτελείται από ένα σύνολο συνεκτικών δραστηριοτήτων που αναδεικνύ-

ουν την ιδέα των πολλαπλών αποδείξεων, των εφαρμογών, των επεκτάσεων και των διαδοχικών

γενικεύσεων. Αφετηρία είναι η γνωστή ανισότητα: « xe x 1 για κάθε x », η οποία σύμφωνα

με τις φετινές οδηγίες, προτείνεται να διδαχθεί ως εφαρμογή και επομένως από εδώ και στο εξής

θα χρησιμοποιείται αναπόδεικτα για τη λύση ασκήσεων.

Η προσέγγισή μας αναδεικνύει το ρόλο της αριθμητικής και γεωμετρικής εποπτείας στη σύλ-

ληψη μιας μαθηματικής πρότασης εξαρχής, και όχι ανακόλουθα, ως συνήθως, μετά την απόδειξή

της. Επίσης, αναδεικνύει την επιλογή περισσοτέρων της μιας κατάλληλων συναρτήσεων οι οποίες

μας οδηγούν στην απάντηση κάποιων ερωτημάτων της Ανάλυσης με πολλούς διαφορετικούς

τρόπους. Αναδεικνύεται και υποστηρίζεται έτσι η άποψη ότι η απόδειξη μιας πρότασης ή ενός

ερωτήματος δεν είναι πάντα ένας μονόδρομος, αφού υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί δρόμοι που

οδηγούν στην απάντηση.

Το όλο εγχείρημα μπορεί να πάρει τη μορφή ενός «project» και να εξελίσσεται, καθώς ανα-

πτύσσονται οι διάφορες έννοιες της Ανάλυσης, μέχρι το τέλος της σχολικής ύλης. Αρκεί λίγος χρό-

νος σε κάθε ενότητα για να δίνουμε στους μαθητές μας ερεθίσματα ώστε να διερευνούν και να

δημιουργούν. Στα μικρά αυτά διαλείμματα οι εκπαιδευτικοί θα διδάσκουν δημιουργικά και θα

καθοδηγούν τους μαθητές σε ένα «παιχνίδι» δημιουργικής μάθησης.

Το διδακτικό όφελος από μια τέτοια συνεκτική και δημιουργική διαδικασία είναι πολύ μεγάλο.

Η διδακτική αυτή πρόταση δεν στοχεύει άμεσα στα «sos» και στα «κλειδιά» της αντιμετώπισης

των θεμάτων των πανελλαδικών εξετάσεων. Στοχεύει στην ανάπτυξη δημιουργικής μαθηματικής

σκέψης, πολύτιμης για την επιτυχία στις εξετάσεις και όχι μόνο.

Λαμία, Ιανουάριος 2018

Ο Σχολικός Σύμβουλος των Μαθηματικών,

Φθιώτιδας και Ευρυτανίας

Δημήτριος Σπαθάρας

Δημιουργικό «παιχνίδι» με την ανισότητα: xe x 1 • Δημήτριος Σπαθάρας - Σχολικός Σύμβουλος

5

Η φαντασία είναι πιο

σημαντική από τη γνώση.

Albert Einstein

Δημιουργικό «παιχνίδι» με την ανισότητα: xe x 1

Εισαγωγή

Η εγκύκλιος με αρ. πρωτ. 163573/Δ2/02-10-2017 του ΥΠ.Π.Ε.Θ. που αφορά τη διαχείριση της

διδακτέας-εξεταστέας ύλης των Μαθηματικών Προσανατολισμού της τελευταίας τάξης του Γενι-

κού Λυκείου για το σχολικό έτος 2017-2018, αναφέρει ότι, μετά την εφαρμογή 2 στη σελίδα 148

του σχολικού βιβλίου να διδαχθεί ως εφαρμογή η πρόταση: «Για κάθε x είναι xe x 1 και

το ίσον ισχύει μόνο όταν x 0 ». Ως απόδειξη προτείνεται να δοθεί η ακόλουθη που είναι έμμεση

συνέπεια της εφαρμογής 2.

Ζητούμενο:

Για κάθε x είναι xe x 1 και το ίσον ισχύει μόνο όταν x 0 .

Απόδειξη:

Για όλους τους θετικούς αριθμούς x είναι lnx x 1 και το ίσον ισχύει μόνο όταν x 1 . Επομένως

και για τον θετικό xe έχουμε: x x x

x

lne e 1 x e 1

e x 1

`

Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν xe 1 x 0 .

Ευκαιρία για δημιουργική διδασκαλία

Με αφορμή την παραπάνω εφαρμογή, μας δίνεται η δυνατότητα να εκμεταλλευτούμε την ευ-

καιρία για μια δημιουργική διδακτική προσέγγιση του προβλήματος της σύγκρισης των αντίστοι-

χων τιμών της υπερβατικής συνάρτησης xy e και της αλγεβρικής y x 1 . Θέτουμε αυτό το

πρόβλημα στους μαθητές μας ως μια συνεχή δραστηριότητα σε μεγάλο μέρος της διδακτέας ύλης

και τους καθοδηγούμε σε ένα «παιχνίδι» κατάκτησης της μαθηματικής γνώσης.

Στην αρχή κινητοποιούμε τους μαθητές να προσεγγίσουν το πρόβλημα αριθμητικά, αλλά και

γεωμετρικά, ώστε να αναδειχθεί ο ρόλος της εποπτείας στη σύλληψη μιας μαθηματικής πρότα-

σης εξαρχής, και όχι ανακόλουθα, ως συνήθως, μετά την απόδειξή της. Στη συνέχεια, κατά την

πορεία της διδασκαλίας συγκεκριμένων ενοτήτων, τους προτρέπουμε να αποδείξουν την πρότα-

ση με πολλούς τρόπους κάνοντας χρήση της θεωρίας της τρέχουσας ενότητας κάθε φορά. Έτσι,

αναδεικνύεται και υποστηρίζεται η άποψη ότι η απόδειξη μιας πρότασης δεν είναι πάντα ένας

μονόδρομος, αφού μπορεί να γίνει με περισσότερους από έναν τρόπους. Τους προτρέπουμε επί-

σης, καθοδηγώντας τους πάντα, να δημιουργήσουν με βάση αυτή την πρόταση άλλες παρεμφε-

ρείς και πολλές φορές γνωστές προτάσεις ή ασκήσεις, αλλά και διαδοχικές γενικεύσεις αυτής.

Δημιουργικό «παιχνίδι» με την ανισότητα: xe x 1 • Δημήτριος Σπαθάρας - Σχολικός Σύμβουλος

6

Δημιουργία εικασίας

Δραστηριότητα

Σε κάποια φάση της διδασκαλίας μας, πριν φτάσουμε στο θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού

λογισμού, θέτουμε στους μαθητές μας τον προβληματισμό σχετικά με τη διάταξη των τιμών των

συναρτήσεων με τύπους xf(x) e και g(x) x 1 για τις διάφορες τιμές του x . Ζητάμε να δι-

ερευνήσουν το θέμα αριθμητικά, μέσω του υπολογισμού πολλών τιμών των συναρτήσεων f και g,

αλλά και γεωμετρικά, μέσω των γραφικών τους παραστάσεων, χρησιμοποιώντας όποιο λογισμικό

κρίνουν κατάλληλο σε κάθε περίπτωση.

Ενδεικτική απάντηση

Αριθμητικές τιμές Γραφικές παραστάσεις

Με ένα λογιστικό φύλο εργασίας οι μαθητές

βρίσκουν τις αριθμητικές τιμές των συναρτή-

σεων xf(x) e , g(x) x 1 και xf(x) g(x) e x 1

για x 1, x 0,9, x 0,8, , x 0,9, x 1

όπως φαίνεται στον παραπάνω πίνακα.

Παρατηρούμε ότι η διαφορά f(x) g(x) μηδε-

νίζεται όταν x 0 , ενώ είναι θετική σε κάθε

άλλη περίπτωση. Βαίνει δε αυξανόμενη κα-

θώς το x απομακρύνεται όλο και περισσότερο

εκατέρωθεν του μηδενός.

Έτσι οι μαθητές εικάζουν ότι: xe x 1 , για κάθε x

με την ισότητα να αληθεύει μόνο όταν x 0 .

Με ένα λογισμικό κατάλληλο για τη δημιουρ-

γία γραφικών παραστάσεων οι μαθητές σχε-

διάζουν τις γραφικές παραστάσεις των συ-

ναρτήσεων xf(x) e , g(x) x 1 και f(x) g(x)

όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα.

Παρατηρούμε ότι η καμπύλη που παριστάνει

η συνάρτηση xy e βρίσκεται πάνω από την

ευθεία που παριστάνει η συνάρτηση y x 1 εκτός από το σημείο (0,1) το οποίο ανήκει και

στις δύο γραμμές.

Έτσι οι μαθητές εικάζουν ότι: xe x 1 , για κάθε x

με την ισότητα να αληθεύει μόνο όταν x 0 .

Δημιουργικό «παιχνίδι» με την ανισότητα: xe x 1 • Δημήτριος Σπαθάρας - Σχολικός Σύμβουλος

7

Αποδεικνύοντας ότι: xe x 1 για κάθε x , με χρήση του Θ.Μ.Τ. διαφορικού λογισμού

Δραστηριότητα κατά τη διδασκαλία του Θ.Μ.Τ. της παραγράφου 2.5

Θέτουμε στους μαθητές μας τη δραστηριότητα να αποδείξουν ότι: xe x 1 για κάθε x , με

όσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν, χρησιμοποιώντας το Θεώρημα Μέσης Τιμής διαφορικού

λογισμού. Πότε αληθεύει η ισότητα;

1η ενδεικτική απάντηση

Έστω η συνάρτηση f με xf(x) e , x . Η f είναι παραγωγίσιμη στο με xf (x) e .

• Αν x 0 , τότε η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα [0,x] , οπότε υπάρχει

ξ (0,x) τέτοιο ώστε:

xξf(x) f(0) e 1

f (ξ) ex 0 x

Όμως 0 ξ x , άρα x

0 ξ x xe 1e e 1 x e 1 e x 1

x

• Αν x 0 , τότε η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα [x,0] , οπότε υπάρχει

ξ (x,0) τέτοιο ώστε:

xξf(0) f(x) e 1

f (ξ) e0 x x

Όμως x ξ 0 , άρα x

ξ 0 x xe 1e e 1 e 1 x e x 1

x

• Αν x 0 , τότε: 0e 0 1

Τελικά ισχύει xe x 1 για κάθε x . Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν x 0 .

2η ενδεικτική απάντηση

Έστω η συνάρτηση f με f(x) lnx , x (0, ) . Η f είναι παραγωγίσιμη στο (0, ) με 1

f (x)x

• Αν x 0 , τότε είναι xe 1

Η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα x[1,e ] (0, ) . Επομένως υπάρχει xξ (1,e ) τέτοιο ώστε:

x

x x

f(e ) f(1) 1 xf (ξ)

e 1 ξ e 1

Όμως x1 ξ e , άρα x x

x

1 x1 1 e 1 x e x 1

ξ e 1

• Αν x 0 , τότε είναι x0 e 1

Η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα x[e ,1] (0, ) . Επομένως υπάρχει xξ (e ,1) τέτοιο ώστε:

x

x x

f(1) f(e ) 1 xf (ξ)

1 e ξ e 1

Όμως x0 e ξ 1 , άρα x x

x

1 x1 1 x e 1 e x 1

ξ e 1

• Αν x 0 , τότε: 0e 0 1

Τελικά ισχύει xe x 1 για κάθε x . Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν x 0 .

Δημιουργικό «παιχνίδι» με την ανισότητα: xe x 1 • Δημήτριος Σπαθάρας - Σχολικός Σύμβουλος

8

Ανισότητες που προκύπτουν από την ανισότητα: te t 1 , t

Δραστηριότητα μετά την απόδειξη της ανισότητας: te t 1 , t

Αφού οι μαθητές μας έχουν αποδείξει ότι, te t 1 για κάθε t , τους προτρέπουμε να δημι-

ουργήσουν και άλλες ανισότητες με βάση την παραπάνω, αντικαθιστώντας το t με κατάλληλη

παράσταση του x.

1η ενδεικτική απάντηση

Θέτουμε t λx , x και *λ . Τότε για κάθε x έχουμε:

λxe λx 1

Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν t 0 x 0 .

2η ενδεικτική απάντηση

Θέτουμε t x 1 , x . Τότε για κάθε x έχουμε:

xx 1

x

ee x 1 1 x

e

e ex

Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν t 0 x 1 .

3η ενδεικτική απάντηση

Θέτουμε t x , x . Τότε για κάθε x έχουμε:

x x

x x

e x 1 1 e ( x 1)

xe 1 e

Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν t 0 x 0 .

4η ενδεικτική απάντηση

Θέτουμε 2t x , x . Τότε για κάθε x έχουμε:

2

2

2

x 2 2

x

x

2

1e x 1 x 1

e

1e

x 1

Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν t 0 x 0 .

5η ενδεικτική απάντηση

Θέτουμε t lnx , x (0, ) . Τότε για κάθε x (0, ) έχουμε:

lnxe lnx 1 x lnx 1

lnx x 1

Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν t 0 x 1 .

6η ενδεικτική απάντηση

Θέτουμε t lnx , x (0, ) . Τότε για κάθε x (0, ) έχουμε:

lnx 1e lnx 1 lnx 1

x1

lnx 1x

Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν t 0 x 1 .

Δημιουργικό «παιχνίδι» με την ανισότητα: xe x 1 • Δημήτριος Σπαθάρας - Σχολικός Σύμβουλος

9

7η ενδεικτική απάντηση

Θέτουμε x

t lne

, x (0, ) . Τότε για κάθε x (0, ) έχουμε:

xln

ex x

e ln 1 lnx lne 1e e

lnx 1

x e

Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν t 0 x e .

8η ενδεικτική απάντηση

Θέτουμε t ln(x 1) , x ( 1, ) . Τότε για κάθε x ( 1, ) έχουμε:

ln(x 1)

x 1

x x 1

1e ln(x 1) 1 ln(x 1) 1

x 11 (x 1)ln(x 1) x 1

ln(x 1) x

e (x 1)

Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν t 0 x 0 .

Αν α 0 τέτοιος ώστε xα x 1 για κάθε x , τότε η μοναδική τιμή του α είναι α e ;

Δραστηριότητα κατά τη διδασκαλία του θεωρήματος Fermat της παραγράφου 2.7

Οι μαθητές έχουν αποδείξει ότι xe x 1 για κάθε x . Στο στάδιο αυτό θέτουμε στους μαθη-

τές τον εξής προβληματισμό:

«Αν α 0 τέτοιος ώστε xα x 1 για κάθε x , τότε η μοναδική τιμή του α είναι α e ;»

Αρχικά τους προτρέπουμε να δημιουργήσουν μια εικασία προσεγγίζοντας το θέμα μέσω των α-

ριθμητικών τιμών των συναρτήσεων xy α x 1 και γραφικά μέσω των γραφικών παραστάσεων

των συναρτήσεων xy α και y x 1 , χρησιμοποιώντας λογισμικό. Στη συνέχεια τους προτρέ-

πουμε να αποδείξουν την εικασία αυτή.

Ενδεικτική απάντηση - Δημιουργία εικασίας

Αριθμητικές τιμές των συναρτήσεων xy α x 1 για διάφορες τιμές του α

Στον παραπάνω πίνακα παρατηρούμε ότι, η συνάρτηση xy e x 1 δεν παίρνει αρνητικές τιμές.

Επομένως προκύπτει η εικασία ότι: «αν ισχύει xα x 1 για κάθε x , τότε α e ».

Δημιουργικό «παιχνίδι» με την ανισότητα: xe x 1 • Δημήτριος Σπαθάρας - Σχολικός Σύμβουλος

10

Γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων xy α για διάφορες τιμές του α και της y x 1

Στο παραπάνω σχήμα παρατηρούμε ότι, η γραφική παράσταση της συνάρτησης xy e βρίσκεται

εξολοκλήρου πάνω από την ευθεία y x 1 εκτός από το μοναδικό κοινό τους σημείο που είναι

το Α(0,1) . Οι γραφικές παραστάσεις των άλλων συναρτήσεων της μορφής xy α έχουν με την

ευθεία y x 1 δύο κοινά σημεία εκάστη και ένα μέρος τους βρίσκεται κάτω από την ευθεία αυ-

τή. Επομένως προκύπτει η εικασία ότι: «αν ισχύει xα x 1 για κάθε x , τότε α e ».

Στη συνέχεια θέτουμε τη δραστηριότητα

Αν α 0 και ισχύει xα x 1 για κάθε x , να βρείτε την τιμή του α.

Ενδεικτική απάντηση

Θεωρούμε τη συνάρτηση f : με xf(x) α x 1 , όπου α 0 .

H f είναι παραγωγίσιμη στο με xf (x) α lnα 1

Παρατηρούμε ότι f(0) 0 , οπότε από την δοσμένη σχέση προκύπτει ότι f(x) f(0) για κάθε x .

Αυτό σημαίνει ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 0, το οποίο είναι εσωτερικό σημείο του πεδίου

ορισμού της. Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα Fermat, έχουμε:

0f (0) 0 α lnα 1 0

lnα 1

α e

Αν α 0 τέτοιος ώστε xe αx 1 για κάθε x , τότε η μοναδική τιμή του α είναι α 1 ;

Δραστηριότητα κατά τη διδασκαλία του θεωρήματος Fermat της παραγράφου 2.7

Οι μαθητές έχουν αποδείξει ότι xe x 1 για κάθε x . Στο στάδιο αυτό θέτουμε στους μαθητές

τον εξής προβληματισμό:

«Αν α και ισχύει xe αx 1 για κάθε x , τότε η μοναδική τιμή του α είναι α 1 ;»

Αρχικά τους προτρέπουμε να δημιουργήσουν μια εικασία προσεγγίζοντας το θέμα μέσω των α-

ριθμητικών τιμών των συναρτήσεων xy e αx 1 και γραφικά μέσω των γραφικών παραστά-

σεων των συναρτήσεων xy e και y αx 1 , χρησιμοποιώντας λογισμικό. Στη συνέχεια τους

προτρέπουμε να αποδείξουν την εικασία αυτή.

Δημιουργικό «παιχνίδι» με την ανισότητα: xe x 1 • Δημήτριος Σπαθάρας - Σχολικός Σύμβουλος

11

Ενδεικτική απάντηση - Δημιουργία εικασίας

Αριθμητικές τιμές των συναρτήσεων xy e αx 1 για διάφορες τιμές του α

Στον παραπάνω πίνακα παρατηρούμε ότι, η συνάρτηση xy e x 1 δεν παίρνει αρνητικές τιμές.

Επομένως προκύπτει η εικασία ότι: «αν ισχύει xe αx 1 για κάθε x , τότε α 1 ».

Γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y αx 1 για διάφορες τιμές του α και της xy e

Στο παραπάνω σχήμα παρατηρούμε ότι, η ευθεία y x 1 βρίσκεται εξολοκλήρου κάτω από τη

γραφική παράσταση της συνάρτησης xy e εκτός από το μοναδικό κοινό τους σημείο που είναι

το Α(0,1) . Οι άλλες ευθείες της μορφής y αx 1 έχουν δύο κοινά σημεία εκάστη με τη γραφική

παράσταση της συνάρτησης xy e και ένα μέρος τους βρίσκεται πάνω από αυτή. Επομένως προ-

κύπτει η εικασία ότι: «αν ισχύει xe αx 1 για κάθε x , τότε α 1 ».

Στη συνέχεια θέτουμε τη δραστηριότητα

Αν α και ισχύει xe αx 1 για κάθε x , να βρείτε την τιμή του α.

Δημιουργικό «παιχνίδι» με την ανισότητα: xe x 1 • Δημήτριος Σπαθάρας - Σχολικός Σύμβουλος

12

Ενδεικτική απάντηση

Θεωρούμε τη συνάρτηση f : με xf(x) e αx 1 , όπου α .

H f είναι παραγωγίσιμη στο με xf (x) e α

Παρατηρούμε ότι f(0) 0 , οπότε από την δοσμένη σχέση προκύπτει ότι f(x) f(0) για κάθε x

Αυτό σημαίνει ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 0, το οποίο είναι εσωτερικό σημείο του πεδίου

ορισμού της. Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα Fermat, έχουμε:

f (0) 0 1 α 0

α 1

Αν α και ισχύει xαe x α για κάθε x , τότε η μοναδική τιμή του α είναι α 1 ;

Δραστηριότητα κατά τη διδασκαλία του θεωρήματος Fermat της παραγράφου 2.7

Οι μαθητές έχουν αποδείξει ότι xe x 1 για κάθε x . Στο στάδιο αυτό ζητάμε από τους μα-

θητές να δημιουργήσουν, με οποιονδήποτε τρόπο μπορούν, μια εικασία σε σχέση με το παραπά-

νω ερώτημα.

Στη συνέχεια θέτουμε τη δραστηριότητα

Αν α και ισχύει xαe x α για κάθε x , να βρείτε την τιμή του α.

Ενδεικτική απάντηση

Θεωρούμε τη συνάρτηση f : με xf(x) αe x α , όπου α .

H f είναι παραγωγίσιμη στο με xf (x) αe 1

Παρατηρούμε ότι f(0) 0 , οπότε από την δοσμένη σχέση προκύπτει ότι f(x) f(0) για κάθε x

Αυτό σημαίνει ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 0, το οποίο είναι εσωτερικό σημείο του πεδίου

ορισμού της. Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα Fermat, έχουμε:

f (0) 0 α 1 0

α 1

Αποδεικνύοντας ότι: xe x 1 για κάθε x , με χρήση ακρότατων τιμών συνάρτησης

Δραστηριότητα κατά τη διδασκαλία των ακρότατων συνάρτησης της παραγράφου 2.7

Θέτουμε στους μαθητές μας τη δραστηριότητα να αποδείξουν ότι: xe x 1 για κάθε x , με

όσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν, χρησιμοποιώντας ακρότατα κατάλληλων συναρτήσεων.

Πότε αληθεύει η ισότητα;

1η ενδεικτική απάντηση

Έστω η συνάρτηση f με xf(x) e x , x .

Η f είναι παραγωγίσιμη στο με xf (x) e 1 .

Έχουμε:

• xf (x) 0 e 1 x 0

• xf (x) 0 e 1 x 0

• xf (x) 0 e 1 x 0

Επομένως η f παρουσιάζει ελάχιστο μόνο στο x 0 το f(0) 1 . Άρα για κάθε x ισχύει:

x

x

f(x) f(0) e x 1

e x 1

Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν x 0 .

2η ενδεικτική απάντηση

Έστω η συνάρτηση f με x

x 1f(x)

e

, x .

Δημιουργικό «παιχνίδι» με την ανισότητα: xe x 1 • Δημήτριος Σπαθάρας - Σχολικός Σύμβουλος

13

Η f είναι παραγωγίσιμη στο με x x

2x x x

e (x 1)e 1 x 1 xf (x)

e e e

Έχουμε:

• f (x) 0 x 0 x 0

• f (x) 0 x 0 x 0

• f (x) 0 x 0 x 0

Επομένως η f παρουσιάζει μέγιστο μόνο στο x 0 το f(0) 1 . Άρα για κάθε x ισχύει:

x

x

x 1f(x) f(0) 1

e

e x 1

Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν x 0 .

3η ενδεικτική απάντηση

• Αν x 1 τότε x 1 0 και η ανισότητα xe x 1 προφανώς ισχύει.

• Αν x 1 θεωρούμε τη συνάρτηση f με xe

f(x)x 1

, x ( 1, ) .

Η f είναι παραγωγίσιμη στο ( 1, ) με x x x

2 2

e (x 1) e xef (x)

(x 1) (x 1)

Με δεδομένο ότι x 1 έχουμε:

• f (x) 0 1 x 0

• f (x) 0 x 0

• f (x) 0 x 0

Επομένως η f παρουσιάζει ελάχιστο μόνο στο x 0 το f(0) 1 , άρα για κάθε x ( 1, ) ισχύει:

x

x

ef(x) f(0) 1

x 1e x 1

Τελικά ισχύει xe x 1 για κάθε x . Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν x 0 .

4η ενδεικτική απάντηση

Έστω η συνάρτηση f με tf(t) e (1 t) , t .

Η f είναι παραγωγίσιμη στο με t t tf (t) e (1 t) e te

Έχουμε:

• tf (t) 0 te 0 t 0

• tf (t) 0 te 0 t 0

• tf (t) 0 te 0 t 0

Επομένως η f παρουσιάζει μέγιστο μόνο στο t 0 το f(0) 1 . Άρα για κάθε t ισχύει:

tf(t) f(0) e (1 t) 1

Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν t 0 .

Θέτουμε t x . Τότε για κάθε x ισχύει:

x

x

x

1e (1 x) 1 x 1

e

e x 1

Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν t 0 x 0 .

Δημιουργικό «παιχνίδι» με την ανισότητα: xe x 1 • Δημήτριος Σπαθάρας - Σχολικός Σύμβουλος

14

5η ενδεικτική απάντηση

Έστω η συνάρτηση f με f(t) tlnt , t (0, ) .

Η f είναι παραγωγίσιμη στο (0, ) με f (t) 1 lnt

Έχουμε:

• 1

f (t) 0 1 lnt 0 0 te

• 1

f (t) 0 1 lnt 0 te

• 1

f (t) 0 1 lnt 0 te

Επομένως η f παρουσιάζει ελάχιστο μόνο στο 1

te

το 1 1

fe e

. Άρα για κάθε t (0, ) ισχύει:

1 1f(t) f tlnt

e e

Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν 1

te

.

Θέτουμε όπου t τον θετικό x 1t e . Τότε για κάθε x ισχύει:

x 1 x 1

x

1 1e ( x 1) e (x 1)

e e

e x 1

Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν 1

t x 0e

.

6η ενδεικτική απάντηση

Έστω η συνάρτηση f με 1

tf(t) t , t (0, ) .

Η f είναι παραγωγίσιμη στο (0, ) με 1 1

t t1 1

lnt lntt t2

lnt 1 lntf (t) t e e t

t t

Έχουμε:

• 1

t2

1 lntf (t) 0 t 0 t e

t

• 1

t2

1 lntf (t) 0 t 0 t e

t

• 1

t2

1 lntf (t) 0 t 0 0 t e

t

Επομένως η f παρουσιάζει μέγιστο μόνο στο t e το 1

ef(e) e . Άρα για κάθε t (0, ) ισχύει: 1 1

t ef(t) f(e) t e

Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν t e .

Θέτουμε όπου t τον θετικό x 1t e . Τότε για κάθε x ισχύει:

x 1x 1

x 11 11x 1 ee ee

x 1

x

e e e e

x 1 1

e e

e x 1

Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν t e x 0 .

Δημιουργικό «παιχνίδι» με την ανισότητα: xe x 1 • Δημήτριος Σπαθάρας - Σχολικός Σύμβουλος

15

Γενίκευση της ανισότητας: xe x 1 – Ιδέες για το σχεδιασμό δραστηριοτήτων

Από τα πανεπιστημιακά μας Μαθηματικά γνωρίζουμε ότι, η εκθετική συνάρτηση xe μπορεί να

γραφεί ως μια σειρά Taylor όπως παρακάτω:

2 3 νx

ν 0

x x x xe 1

1! 2! 3! ν!

(I)

Αν γράψουμε ορισμένους αρχικούς όρους του αθροίσματος με άρτιο πλήθος, για παράδειγμα

6 πρώτους όρους, τότε ο τελευταίος όρος είναι περιττού βαθμού ως προς x και ισχύει:

2 3 4 5x x x x x

e 1 x2 6 24 120

για κάθε x

Αν γράψουμε ορισμένους αρχικούς όρους του αθροίσματος με περιττό πλήθος, για παράδειγ-

μα 5 πρώτους όρους, τότε ο τελευταίος όρος είναι άρτιου βαθμού ως προς x και ισχύει:

2 3 4x x x x

e 1 x2 6 24

για κάθε x 0

Αν στη σειρά Taylor αντικαταστήσουμε το x με x έχουμε:

2 3 νx

ν 0

x x x ( x)e 1

1! 2! 3! ν!

(ΙI)

Αν προσθέσουμε κατά μέλη τις σχέσεις (Ι) και (ΙΙ) έχουμε: 2 4 6

x x x x xe e 2 2 2 2

2! 4! 6!

Αν γράψουμε ορισμένους αρχικούς όρους του παραπάνω αθροίσματος, για παράδειγμα 3

πρώτους όρους, τότε ισχύει:

4x x 2 x

e e 2 x12

για κάθε x

Αν αφαιρέσουμε κατά μέλη τις σχέσεις (Ι) και (ΙΙ) έχουμε:

3 5x x x x x

e e 2 2 21! 3! 5!

Αν γράψουμε ορισμένους αρχικούς όρους του παραπάνω αθροίσματος, για παράδειγμα 2

πρώτους όρους, τότε ισχύει: 3

x x xe e 2x

3 για κάθε x 0

Τα παραπάνω μας δίνουν ιδέες και αποτελούν το εργαλείο με το οποίο κατασκευάστηκαν οι

επόμενες δραστηριότητες. Όλα αυτά όμως είναι για «εσωτερική» χρήση του εκπαιδευτικού και

δεν προτείνεται να αναφερθούν στους μαθητές. Αφού κατασκευασθούν οι δραστηριότητες οι

μαθητές καλούνται να αποδείξουν τα ζητούμενα με βάση τη σχολική ύλη.

Γενίκευση 1η

Δραστηριότητα

Να αποδείξετε διαδοχικά τις ανισότητες:

1) xe 1 x για κάθε x

2) 2

x xe 1 x

2 για κάθε x 0

3) 2

x xe 1 x

2 για κάθε x 0

Δημιουργικό «παιχνίδι» με την ανισότητα: xe x 1 • Δημήτριος Σπαθάρας - Σχολικός Σύμβουλος

16

4) 2 3

x x xe 1 x

2 6 για κάθε x

5) 2 3 4

x x x xe 1 x

2 6 24 για κάθε x 0

6) 2 3 4

x x x xe 1 x

2 6 24 για κάθε x 0

7) 2 3 4 5

x x x x xe 1 x

2 6 24 120 για κάθε x

Πότε αληθεύει η ισότητα σε κάθε μια από τις παραπάνω ανισότητες;

Ενδεικτική απάντηση

Θεωρούμε τη συνάρτηση f : με 2 3 4 5

x x x x xf(x) e 1 x

2 6 24 120

Η συνάρτηση f είναι έξι φορές παραγωγίσιμη στο με:

2 3 4x x x x

f (x) e 1 x2 6 24

2 3

x x xf (x) e 1 x

2 6

2x x

f (x) e 1 x2

(4) xf (x) e 1 x

(5) xf (x) e 1 (6) xf (x) e

1) Ισχύει (6)f (x) 0 για κάθε x . Άρα η (5)f είναι γνησίως αύξουσα στο οπότε έχουμε:

• (5) (5) (5)f (x) 0 f (x) f (0) x 0

• (5) (5) (5)f (x) 0 f (x) f (0) x 0

• (5) (5) (5)f (x) 0 f (x) f (0) x 0

Επομένως η (4)f παρουσιάζει ελάχιστο μόνο στο x 0 , οπότε για κάθε x ισχύει:

(4) (4) x

x

f (x) f (0) e 1 x 0

e 1 x

Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν x 0 .

2) Ισχύει (4)f (x) 0 για κάθε *x . Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο οπότε έχουμε:

2x x

x 0 f (x) f (0) e 1 x 02

Επίσης έχουμε ότι f (0) 0 . Επομένως για κάθε x 0 ισχύει:

2 2x xx x

e 1 x 0 e 1 x2 2

Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν x 0 .

3) Αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο έχουμε: 2

x xx 0 f (x) f (0) e 1 x 0

2

Επίσης έχουμε ότι f (0) 0 . Επομένως για κάθε x 0 ισχύει:

2 2x xx x

e 1 x 0 e 1 x2 2

Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν x 0 .

Δημιουργικό «παιχνίδι» με την ανισότητα: xe x 1 • Δημήτριος Σπαθάρας - Σχολικός Σύμβουλος

17

4) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο οπότε έχουμε:

• f (x) 0 f (x) f (0) x 0

• f (x) 0 f (x) f (0) x 0

• f (x) 0 f (x) f (0) x 0

Επομένως η f παρουσιάζει ελάχιστο μόνο στο x 0 , οπότε για κάθε x ισχύει: 2 3

x

2 3x

x xf (x) f (0) e 1 x 0

2 6

x xe 1 x

2 6

Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν x 0 .

5) Ισχύει f (x) 0 για κάθε *x . Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο οπότε έχουμε:

2 3 4x

2 3 4x

x 0 f (x) f (0)

x x xe 1 x 0

2 6 24

x x xe 1 x

2 6 24

Επίσης ισχύει f (0) 0 . Επομένως για κάθε x 0 ισχύει:

2 3 4 2 3 4x xx x x x x x

e 1 x 0 e 1 x2 6 24 2 6 24

Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν x 0 .

6) Αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο έχουμε:

2 3 4x

2 3 4x

x 0 f (x) f (0)

x x xe 1 x 0

2 6 24

x x xe 1 x

2 6 24

Επίσης ισχύει f (0) 0 . Επομένως για κάθε x 0 ισχύει:

2 3 4 2 3 4x xx x x x x x

e 1 x 0 e 1 x2 6 24 2 6 24

Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν x 0 .

7) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο και έχουμε:

• f (x) 0 f (x) f (0) x 0

• f (x) 0 f (x) f (0) x 0

• f (x) 0 f (x) f (0) x 0

Επομένως η f παρουσιάζει ελάχιστο μόνο στο x 0 , οπότε για κάθε x ισχύει: 2 3 4 5

x

2 3 4 5x

x x x xf(x) f(0) e 1 x 0

2 6 24 120

x x x xe 1 x

2 6 24 120

Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν x 0 .

Οι παραπάνω ανισότητες ερμηνεύονται γεωμετρικά από τις γραφικές παραστάσεις των αντίστοι-

χων συναρτήσεων, όπως φαίνεται στο επόμενο σχήμα.

Δημιουργικό «παιχνίδι» με την ανισότητα: xe x 1 • Δημήτριος Σπαθάρας - Σχολικός Σύμβουλος

18

Γενίκευση 2η

Δραστηριότητα

Να αποδείξετε διαδοχικά τις ανισότητες:

1) x xe e 2x για κάθε x 0

2) x xe e 2x για κάθε x 0

3) x x 2e e 2 x για κάθε x

4) 3

x x xe e 2x

3 για κάθε x 0

5) 3

x x xe e 2x

3 για κάθε x 0

6) 4

x x 2 xe e 2 x

12 για κάθε x

Πότε αληθεύει η ισότητα σε κάθε μια από τις παραπάνω ανισότητες;

Ενδεικτική απάντηση

Θεωρούμε τη συνάρτηση f : με 4

x x 2 xf(x) e e 2 x

12

Η συνάρτηση f είναι τέσσερις φορές παραγωγίσιμη στο με:

3x x x

f (x) e e 2x3

x x 2f (x) e e 2 x

x xf (x) e e 2x (4) x xf (x) e e 2

1) Για κάθε x έχουμε: x x 2x x x 2e e 2 0 e 1 2e 0 (e 1) 0 που ισχύει.

Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν x 0 .

Επομένως (4)f (x) 0 για κάθε *x . Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο οπότε έχουμε:

x xx 0 f (x) f (0) e e 2x 0

Δημιουργικό «παιχνίδι» με την ανισότητα: xe x 1 • Δημήτριος Σπαθάρας - Σχολικός Σύμβουλος

19

Επίσης ισχύει f (0) 0 . Επομένως για κάθε x 0 ισχύει:

x x x xe e 2x 0 e e 2x

Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν x 0 .

2) Αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο έχουμε: x xx 0 f (x) f (0) e e 2x 0

Επίσης ισχύει f (0) 0 . Επομένως για κάθε x 0 ισχύει:

x x x xe e 2x 0 e e 2x

Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν x 0 .

3) Αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο έχουμε:

• f (x) 0 f (x) f (0) x 0

• f (x) 0 f (x) f (0) x 0

• f (x) 0 f (x) f (0) x 0

Επομένως η f παρουσιάζει ελάχιστο μόνο στο x 0 , οπότε για κάθε x ισχύει:

x x 2

x x 2

f (x) f (0) e e 2 x 0

e e 2 x

Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν x 0 .

4) Ισχύει f (x) 0 για κάθε *x . Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο οπότε έχουμε:

3x x x

x 0 f (x) f (0) e e 2x 03

Επίσης ισχύει f (0) 0 . Επομένως για κάθε x 0 ισχύει:

3 3x x x xx x

e e 2x 0 e e 2x3 3

Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν x 0 .

5) Αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο έχουμε:

3x x x

x 0 f (x) f (0) e e 2x 03

Επίσης ισχύει f (0) 0 . Επομένως για κάθε x 0 ισχύει:

3 3x x x xx x

e e 2x 0 e e 2x3 3

Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν x 0 .

6) Αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο έχουμε:

• f (x) 0 f (x) f (0) x 0

• f (x) 0 f (x) f (0) x 0

• f (x) 0 f (x) f (0) x 0

Επομένως η f παρουσιάζει ελάχιστο μόνο στο x 0 , οπότε για κάθε x ισχύει:

4x x 2

4x x 2

xf(x) f(0) e e 2 x 0

12

xe e 2 x

12

Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν x 0 .

Δημιουργικό «παιχνίδι» με την ανισότητα: xe x 1 • Δημήτριος Σπαθάρας - Σχολικός Σύμβουλος

20

Οι παραπάνω ανισότητες ερμηνεύονται γεωμετρικά από τις γραφικές παραστάσεις των αντίστοι-

χων συναρτήσεων, όπως φαίνεται στο επόμενο σχήμα.

Γενίκευση 3η

Δραστηριότητα

Δίνεται η συνάρτηση f : με τύπο

2 3 νx x x x x

f(x) e 11 1 2 1 2 3 1 2 3 ν

όπου *ν .

1) Αν ν περιττός:

α) Να αποδείξετε ότι η f έχει μέγιστο στο x 0 .

β) Να αποδείξετε ότι: 2 3 ν

x x x x xe 1

1 1 2 1 2 3 1 2 3 ν

για κάθε x , ν {1,3,5, }

2) Αν ν άρτιος:

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο .

β) Να αποδείξετε ότι: 2 3 ν

x x x x xe 1

1 1 2 1 2 3 1 2 3 ν

για κάθε x 0 , ν {2,4,6, }

γ) Να αποδείξετε ότι: 2 3 ν

x x x x xe 1

1 1 2 1 2 3 1 2 3 ν

για κάθε x 0 , ν {2,4,6, }

3) Να γράψετε τις ανισότητες που προκύπτουν από τις παραπάνω, με το σύνολο αναφοράς της

κάθε μιας, για ν 1,2,3,4 .

Πότε αληθεύει η ισότητα σε κάθε μια από τις παραπάνω ανισότητες;

Ενδεικτική απάντηση

Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο με παράγωγο:

Δημιουργικό «παιχνίδι» με την ανισότητα: xe x 1 • Δημήτριος Σπαθάρας - Σχολικός Σύμβουλος

21

2 3 νx

2 3 ν 2 3 ν 1x x

νx

x x x xf (x) e 1

1 1 2 1 2 3 1 2 3 ν

x x x x x x x xe 1 e 1

1 1 2 1 2 3 1 2 3 ν 1 1 2 1 2 3 1 2 3 (ν 1)

xe

1 2 3 ν

1) α) Επειδή ν περιττός έχουμε:

• νf (x) 0 x 0 x 0

• νf (x) 0 x 0 x 0

• νf (x) 0 x 0 x 0

Επομένως η f παρουσιάζει μέγιστο μόνο στο x 0 το f(0) 1 .

β) Λόγω του μέγιστου για κάθε x ισχύει: 2 3 ν

x

2 3 νx

x x x xf(x) f(0) e 1 1

1 1 2 1 2 3 1 2 3 ν

x x x xe 1 , ν {1,3,5, }

1 1 2 1 2 3 1 2 3 ν

Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν x 0 .

2) α) Επειδή ν άρτιος έχουμε: f (x) 0 για κάθε *x .

Όμως η f είναι συνεχής στο x 0 , άρα είναι γνησίως φθίνουσα στο .

β) 2 3 ν

x

2 3 νx

x 0 f(x) f(0)

x x x xe 1 1

1 1 2 1 2 3 1 2 3 ν

x x x xe 1

1 1 2 1 2 3 1 2 3 ν

Επίσης ισχύει f(0) 0 .

Επομένως: 2 3 ν

x x x x xe 1

1 1 2 1 2 3 1 2 3 ν

για κάθε x 0 , ν {2,4,6, }

Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν x 0 .

γ) 2 3 ν

x

2 3 νx

x 0 f(x) f(0)

x x x xe 1 1

1 1 2 1 2 3 1 2 3 ν

x x x xe 1

1 1 2 1 2 3 1 2 3 ν

Επίσης ισχύει f(0) 0 .

Επομένως: 2 3 ν

x x x x xe 1

1 1 2 1 2 3 1 2 3 ν

για κάθε x 0 , ν {2,4,6, }

Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν x 0 .

3) Για ν 1 από το ερώτημα (1) έχουμε: xe 1 x για κάθε x . Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν x 0 .

Για ν 2 από το ερώτημα (2) έχουμε:

α) 2

x xe 1 x

2 για κάθε x 0 . Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν x 0 .

β) 2

x xe 1 x

2 για κάθε x 0 . Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν x 0 .

Δημιουργικό «παιχνίδι» με την ανισότητα: xe x 1 • Δημήτριος Σπαθάρας - Σχολικός Σύμβουλος

22

Για ν 3 από το ερώτημα (1) έχουμε: 2 3

x x xe 1 x

2 6 για κάθε x . Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν x 0 .

Για ν 4 από το ερώτημα (2) έχουμε:

α) 2 3 4

x x x xe 1 x

2 6 24 για κάθε x 0 . Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν x 0 .

β) 2 3 4

x x x xe 1 x

2 6 24 για κάθε x 0 . Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν x 0 .

Γενίκευση 4η

Δραστηριότητα

Δίνεται η συνάρτηση f : με τύπο 2 3 ν

x ( x) ( x) ( x) ( x)f(x) e 1

1 1 2 1 2 3 1 2 3 ν

όπου *ν .

1) Αν ν περιττός:

α) Να αποδείξετε ότι η f έχει μέγιστο στο x 0 .

β) Να αποδείξετε ότι: 2 3 ν

x x x x xe 1

1 1 2 1 2 3 1 2 3 ν

για κάθε x , ν {1,3,5, }

2) Αν ν άρτιος:

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο .

β) Να αποδείξετε ότι: 2 3 ν

x x x x xe 1

1 1 2 1 2 3 1 2 3 ν

για κάθε x 0 , ν {2,4,6, }

γ) Να αποδείξετε ότι: 2 3 ν

x x x x xe 1

1 1 2 1 2 3 1 2 3 ν

για κάθε x 0 , ν {2,4,6, }

Ενδεικτική απάντηση

Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο με παράγωγο:

2 3 νx

2 3 ν 2 3 ν 1x x

νx

( x) ( x) ( x) ( x)f (x) e 1

1 1 2 1 2 3 1 2 3 ν

( x) ( x) ( x) ( x) ( x) ( x) ( x) ( x)e 1 e 1

1 1 2 1 2 3 1 2 3 ν 1 1 2 1 2 3 1 2 3 (ν 1)

( x)e

1 2 3 ν

1) α) Επειδή ν περιττός έχουμε:

• ν νf (x) 0 ( x) 0 x 0 x 0

• ν νf (x) 0 ( x) 0 x 0 x 0

• ν νf (x) 0 ( x) 0 x 0 x 0

Επομένως η f παρουσιάζει μέγιστο μόνο στο x 0 το f(0) 1 .

β) Λόγω του μέγιστου για κάθε x ισχύει: 2 3 ν

x

2 3 νx

x x x xf(x) f(0) e 1 1

1 1 2 1 2 3 1 2 3 ν

x x x xe 1 , ν {1,3,5, }

1 1 2 1 2 3 1 2 3 ν

Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν x 0 .

Δημιουργικό «παιχνίδι» με την ανισότητα: xe x 1 • Δημήτριος Σπαθάρας - Σχολικός Σύμβουλος

23

2) α) Επειδή ν άρτιος έχουμε: f (x) 0 για κάθε *x .

Όμως η f είναι συνεχής στο x 0 , άρα είναι γνησίως αύξουσα στο .

β) 2 3 ν

x

2 3 νx

x 0 f(x) f(0)

x x x xe 1 1

1 1 2 1 2 3 1 2 3 ν

x x x xe 1

1 1 2 1 2 3 1 2 3 ν

Επίσης ισχύει f(0) 0 .

Επομένως: 2 3 ν

x x x x xe 1

1 1 2 1 2 3 1 2 3 ν

για κάθε x 0 , ν {2,4,6, }

Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν x 0 .

γ) 2 3 ν

x

2 3 νx

x 0 f(x) f(0)

x x x xe 1 1

1 1 2 1 2 3 1 2 3 ν

x x x xe 1

1 1 2 1 2 3 1 2 3 ν

Επίσης ισχύει f(0) 0 .

Επομένως: 2 3 ν

x x x x xe 1

1 1 2 1 2 3 1 2 3 ν

για κάθε x 0 , ν {2,4,6, }

Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν x 0 .

Αποδεικνύοντας ότι: xe x 1 για κάθε x , με χρήση της κυρτότητας συνάρτησης

Δραστηριότητα κατά τη διδασκαλία της κυρτότητας συνάρτησης της παραγράφου 2.8

Θέτουμε στους μαθητές μας τη δραστηριότητα να αποδείξουν ότι: xe x 1 για κάθε x , με

όσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν, χρησιμοποιώντας την κυρτότητα κατάλληλων συναρτή-

σεων. Πότε αληθεύει η ισότητα;

1η ενδεικτική απάντηση

Έστω η συνάρτηση f με xf(x) e , x .

H f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο με xf (x) e και xf (x) e

Ισχύει f (x) 0 για κάθε x , οπότε η f είναι κυρτή.

Η εφαπτομένη (ε) της fC σημείο της Α 0,f(0) έχει εξίσωση:

ε: 0 0y e e (x 0) y x 1

Επειδή η f είναι κυρτή, η fC βρίσκεται πάνω από την ευθεία (ε), εκτός του σημείου επαφής. Δη-

λαδή ισχύει: xf(x) x 1 e x 1 για κάθε x

Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν x 0 .

2η ενδεικτική απάντηση

Έστω η συνάρτηση f με tf(t) e , t .

H f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο με tf (t) e και tf (t) e

Ισχύει f (t) 0 για κάθε t , οπότε η f είναι κυρτή.

Η εφαπτομένη (ε) της fC σημείο της Α α,f(α) με α , έχει εξίσωση:

ε: α α αy e e (t α) y e (t α 1)

Δημιουργικό «παιχνίδι» με την ανισότητα: xe x 1 • Δημήτριος Σπαθάρας - Σχολικός Σύμβουλος

24

Επειδή η f είναι κυρτή, η fC βρίσκεται πάνω από την ευθεία (ε), εκτός του σημείου επαφής. Δη-

λαδή ισχύει: α t αf(t) e (t α 1) e e (t α 1) , για κάθε t

Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν t α .

Θέτουμε t x α στην παραπάνω σχέση έχουμε: x α α xe e (x α α 1) e x 1 , για κάθε x

Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν t α x 0 .

3η ενδεικτική απάντηση

Έστω η συνάρτηση f με f(t) lnt , t (0 ) .

H f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο (0 ) με 1

f (t)t

και 2

1f (t)

t

Ισχύει f (t) 0 για κάθε t (0, ) , οπότε η f είναι κοίλη.

Η εφαπτομένη (ε) της fC σημείο της Α α,f(α) με α 0 , έχει εξίσωση:

ε: 1 1

y lnα (t α) y t 1 lnαα α

Επειδή η f είναι κοίλη, η fC βρίσκεται πάνω από την ευθεία (ε), εκτός του σημείου επαφής. Δη-

λαδή ισχύει:

1 1f(t) t 1 lnα lnt t 1 lnα

α α , για κάθε t (0, )

Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν t α .

Θέτουμε όπου t τον θετικό xt αe 0 . Τότε για κάθε x ισχύει:

x x x

x

1ln(αe ) αe 1 lnα lnα x e 1 lnα

α

e x 1

Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν t α x 0 .

Αποδεικνύοντας ότι: xe x 1 για κάθε x , με χρήση συνεχών συναρτήσεων διπλού τύπου

Δραστηριότητα κατά τη διδασκαλία των κανόνων De L’ Hospital της παραγράφου 2.9

Θέτουμε στους μαθητές μας τη δραστηριότητα να αποδείξουν ότι: xe x 1 για κάθε x , με

όσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν, χρησιμοποιώντας κατάλληλες συναρτήσεις διπλού τύ-

που των οποίων η συνέχεια αποδεικνύεται υπολογίζοντας όρια με τον κανόνα De L’ Hospital. Πό-

τε αληθεύει η ισότητα;

1η ενδεικτική απάντηση

Έστω η συνάρτηση f με

xe 1, αν x 0

f(x) x 1 , αν x 0

H f είναι συνεχής στο 0 διότι

0x x x0

x 0 x 0 x 0 x 0

e 1 (e 1) elimf(x) lim lim lim 1 f(0)

x x 1

Η f είναι παραγωγίσιμη στο * με x x x

2

e 1 xe e 1f (x)

x x

Θεωρούμε τη συνάρτηση x xg(x) xe e 1 , x . Τότε για κάθε *x είναι 2

g(x)f (x)

x .

Δημιουργικό «παιχνίδι» με την ανισότητα: xe x 1 • Δημήτριος Σπαθάρας - Σχολικός Σύμβουλος

25

H g είναι παραγωγίσιμη στο με x x xg (x) (xe e 1) xe

Έχουμε:

• xg (x) 0 xe 0 x 0

• xg (x) 0 xe 0 x 0

• xg (x) 0 xe 0 x 0

Επομένως η g παρουσιάζει ελάχιστο μόνο στο x 0 το g(0) 0 , οπότε για κάθε *x ισχύει:

g(x) g(0) g(x) 0

f (x) 0

Όμως η f είναι συνεχής στο 0, οπότε είναι γνησίως αύξουσα στο και έχουμε:

• Αν x 0 , τότε: x

x xe 1x 0 f(x) f(0) 1 e 1 x e x 1

x

• Αν x 0 , τότε: x

x xe 1x 0 f(x) f(0) 1 e 1 x e x 1

x

• Αν x 0 , τότε: 0e 0 1

Τελικά ισχύει xe x 1 για κάθε x . Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν x 0 .

2η ενδεικτική απάντηση

Έστω η συνάρτηση f με

xlnx, αν x (0,1) (1, )

f(x) x 1 1 , αν x 1

H f είναι συνεχής στο 1 διότι: 0

0

x 1 x 1 x 1 x 1

xlnx (xlnx) 1 lnxlimf(x) lim lim lim 1 f(1)

x 1 (x 1) 1

Η f είναι παραγωγίσιμη στο (0,1) (1, ) με 2 2

(1 lnx)(x 1) xlnx x 1 lnxf (x)

(x 1) (x 1)

.

Γνωρίζουμε ότι lnx x 1 για κάθε x 0 και η ισότητα αληθεύει μόνο όταν x 1 .

Επομένως f (x) 0 για κάθε x (0,1) (1, )

Όμως η f είναι συνεχής στο 1, οπότε είναι γνησίως αύξουσα στο (0, ) και έχουμε:

• Αν x 0 , τότε: xx 0 x 0 e 1 και x

x

x

x x

x

x

xef(e ) f(1) 1

e 1xe e 1

x 1 e

e x 1

• Αν x 0 , τότε: xx 0 x 0 e 1 και x

x

x

x x

x

x

xef(e ) f(1) 1

e 1xe e 1

x 1 e

e x 1

• Αν x 0 , τότε: 0e 0 1

Τελικά ισχύει xe x 1 για κάθε x . Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν x 0 .

Δημιουργικό «παιχνίδι» με την ανισότητα: xe x 1 • Δημήτριος Σπαθάρας - Σχολικός Σύμβουλος

26

Αποδεικνύοντας ότι: xe x 1 για κάθε x , με χρήση του θεωρήματος που αφορά το όριο και τη διάταξη υπολογίζοντας το όριο με τον κανόνα De L’ Hostital.

1η δραστηριότητα κατά τη διδασκαλία των κανόνων De L’ Hospital της παραγράφου 2.9

Θέτουμε στους μαθητές μας τη δραστηριότητα να αποδείξουν ότι: xe x 1 για κάθε x , α-

φού αρχικά αποδείξουν ότι: h

x1 x 1

h

, για κάθε x ( 1, ) με h (1, ) . Πότε αληθεύει η

ισότητα;

Ενδεικτική απάντηση

• Αν x 1 τότε x 1 0 και η ανισότητα xe x 1 προφανώς ισχύει.

• Αν x 1 θεωρούμε τη συνάρτηση f με h

xf(x) 1 x 1

h

, x ( 1, ) με h (1, ) .

Η f είναι παραγωγίσιμη στο ( 1, ) με παράγωγο:

h 1 h 1x 1 x

f (x) h 1 1 1 1h h h

Είναι h 1 , άρα h 1 0 . Με δεδομένο ότι x 1 έχουμε:

•

h 1x x x

f (x) 0 1 1 1 1 0 1 x 0h h h

•

h 1x x x

f (x) 0 1 1 1 1 0 x 0h h h

•

h 1x x x

f (x) 0 1 1 1 1 0 x 0h h h

Επομένως η f παρουσιάζει ελάχιστο μόνο στο x 0 το f(0) 0 , άρα για κάθε x ( 1, ) ισχύει:

h

h

xf(x) f(0) 1 x 1 0

h

x1 x 1

h

Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν x 0 .

Επειδή h

x1 x 1

h

, για κάθε x ( 1, ) με h (1, ) , έχουμε:

h xh ln 1

h

h h h

xlim 1 lim (x 1) lim e x 1

h

(I)

Θέτουμε x

u h ln 1h

και έχουμε:

20

0

h h h h h

2

1 xxx x hln 1ln 1 1hx h hlim u lim h ln 1 lim lim lim x

1 1h 1h h

h

Επομένως για κάθε x ( 1, ) η σχέση (Ι) γίνεται: u x

u xlime x 1 e x 1

Τελικά ισχύει xe x 1 για κάθε x . Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν x 0 .

Δημιουργικό «παιχνίδι» με την ανισότητα: xe x 1 • Δημήτριος Σπαθάρας - Σχολικός Σύμβουλος

27

2η δραστηριότητα κατά τη διδασκαλία των κανόνων De L’ Hospital της παραγράφου 2.9

Θέτουμε στους μαθητές μας τη δραστηριότητα να αποδείξουν ότι: xe x 1 για κάθε x , α-

φού αρχικά αποδείξουν ότι: σφθ

1 xεφθ x 1 , για κάθε x ( 1, ) με π

θ (0, )4

. Πότε αλη-

θεύει η ισότητα;

Ενδεικτική απάντηση

• Αν x 1 τότε x 1 0 και η ανισότητα xe x 1 προφανώς ισχύει.

• Αν x 1 θεωρούμε τη συνάρτηση f με σφθ

f(x) 1 xεφθ x 1 , x ( 1, ) με π

θ (0, )4

.

Η f είναι παραγωγίσιμη στο ( 1, ) με παράγωγο:

σφθ 1 σφθ 1

f (x) σφθ 1 xεφθ εφθ 1 1 xεφθ 1

Είναι π

0 θ4

, άρα σφθ 1 σφθ 1 0 και εφθ 0 . Με δεδομένο ότι x 1 έχουμε:

• σφθ 1

f (x) 0 1 xεφθ 1 1 xεφθ 1 xεφθ 0 1 x 0

• σφθ 1

f (x) 0 1 xεφθ 1 1 xεφθ 1 xεφθ 0 x 0

• σφθ 1

f (x) 0 1 xεφθ 1 1 xεφθ 1 xεφθ 0 x 0

Επομένως η f παρουσιάζει ελάχιστο μόνο στο x 0 το f(0) 0 , άρα για κάθε x ( 1, ) ισχύει:

σφθ

σφθ

f(x) f(0) 1 xεφθ x 1 0

1 xεφθ x 1

Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν x 0 .

Επειδή σφθ

1 xεφθ x 1 , για κάθε x ( 1, ) με π

θ (0, )4

, έχουμε:

σφθ σφθ ln 1 xεφθ

θ 0 θ 0 θ 0lim 1 xεφθ lim(x 1) lim e x 1

(I)

Θέτουμε u σφθ ln 1 xεφθ και έχουμε:

θ 0 θ 0

θ 0

0

0

θ 0

2

θ 0

2

θ 0

lim u lim σφθ ln 1 xεφθ

ln 1 xεφθlim

εφθ

ln 1 xεφθlim

εφθ

1 x

1 xεφθ συν θlim

1

συν θ

xlim

1 xεφθ

x

Επομένως για κάθε x ( 1, ) η σχέση (Ι) γίνεται: u x

u xlime x 1 e x 1

Τελικά ισχύει xe x 1 για κάθε x . Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν x 0 .

Δημιουργικό «παιχνίδι» με την ανισότητα: xe x 1 • Δημήτριος Σπαθάρας - Σχολικός Σύμβουλος

28

Γενικεύοντας την ανισότητα: xe x 1 , x με χρήση της ίδιας της ανισότητας.

Δραστηριότητα κατά τη διδασκαλία του ορισμένου ολοκληρώματος της παραγράφου 3.5

Με χρήση της ανισότητας te t 1 , για κάθε t , να αποδείξετε διαδοχικά τις ανισότητες:

1) 2

x xe 1 x

2 για κάθε x 0

2) 2

x xe 1 x

2 για κάθε x 0

3) 2 3

x x xe 1 x

2 6 για κάθε x

4) 2 3 4

x x x xe 1 x

2 6 24 για κάθε x 0

5) 2 3 4

x x x xe 1 x

2 6 24 για κάθε x 0

Πότε αληθεύει η ισότητα σε κάθε μια από τις παραπάνω ανισότητες;

Ενδεικτική απάντηση

1) Οι συναρτήσεις ty e και y 1 t είναι συνεχείς στο και ισχύει te 1 t για κάθε t . Η

ισότητα αληθεύει μόνο όταν t 0 , επομένως για κάθε x 0 έχουμε: x2

x x xt t

00 00

2x

2x

te dt (1 t)dt e t

2

xe 1 x

2

xe 1 x

2

Αν x 0 , τότε 2

0 0e 1 0

2 .

Τελικά ισχύει 2

x xe 1 x

2 για κάθε x 0 . Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν x 0 .

2) Οι συναρτήσεις ty e και y 1 t είναι συνεχείς στο και ισχύει te 1 t για κάθε t . Η

ισότητα αληθεύει μόνο όταν t 0 , επομένως για κάθε x 0 έχουμε: 02

0 0 0t t

xx xx

2x

2x

te dt (1 t)dt e t

2

x1 e x

2

xe 1 x

2

Αν x 0 , τότε 2

0 0e 1 0

2 .

Τελικά ισχύει 2

x xe 1 x

2 για κάθε x 0 . Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν x 0 .

3) Οι συναρτήσεις ty e και 2t

y 1 t2

είναι συνεχείς στο και ισχύει 2

t te 1 t

2 για κάθε

t 0 . Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν t 0 , επομένως για κάθε x 0 έχουμε:

Δημιουργικό «παιχνίδι» με την ανισότητα: xe x 1 • Δημήτριος Σπαθάρας - Σχολικός Σύμβουλος

29

x2 2 3x x xt t

00 00

2 3x

2 3x

t t te dt 1 t dt e t

2 2 6

x xe 1 x

2 6

x xe 1 x

2 6

Επίσης ισχύει 2

t te 1 t

2 για κάθε t 0 . Η η ισότητα αληθεύει μόνο όταν t 0 , επομένως

για κάθε x 0 έχουμε: 02 2 3

0 0 0t t

xx xx

2 3x

2 3x

t t te dt 1 t dt e t

2 2 6

x x1 e x

2 6

x xe 1 x

2 6

Αν x 0 , τότε 2 3

0 0 0e 1 0

2 6 .

Τελικά ισχύει 2 3

x x xe 1 x

2 6 για κάθε x . Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν x 0 .

4) Οι συναρτήσεις ty e και 2 3t t

y 1 t2 6

είναι συνεχείς στο και ισχύει 2 3

t t te 1 t

2 6

για κάθε t . H η ισότητα αληθεύει μόνο όταν t 0 , επομένως για κάθε x 0 έχουμε: x2 3 2 3 4

x x xt t

00 00

2 3 4x

2 3 4x

t t t t te dt 1 t dt e t

2 6 2 6 24

x x xe 1 x

2 6 24

x x xe 1 x

2 6 24

Αν x 0 , τότε 2 3 4

0 0 0 0e 1 0

2 6 24 .

Τελικά ισχύει 2 3 4

x x x xe 1 x

2 6 24 για κάθε x 0 . Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν x 0 .

5) Οι συναρτήσεις ty e και 2 3t t

y 1 t2 6

είναι συνεχείς στο και ισχύει 2 3

t t te 1 t

2 6

για κάθε t . H η ισότητα αληθεύει μόνο όταν t 0 , επομένως για κάθε x 0 έχουμε: 02 3 2 3 4

0 0 0t t

xx xx

2 3 4x

2 3 4x

t t t t te dt 1 t dt e t

2 6 2 6 24

x x x1 e x

2 6 24

x x xe 1 x

2 6 24

Αν x 0 , τότε 2 3 4

0 0 0 0e 1 0

2 6 24 .

Τελικά ισχύει 2 3 4

x x x xe 1 x

2 6 24 για κάθε x 0 . Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν x 0 .

Δημιουργικό «παιχνίδι» με την ανισότητα: xe x 1 • Δημήτριος Σπαθάρας - Σχολικός Σύμβουλος

30

Αποδεικνύοντας ότι: xe x 1 για κάθε x , με χρήση εμβαδών επιπέδων χωρίων

Δραστηριότητα κατά τη διδασκαλία του εμβαδού επιπέδου χωρίου της παραγράφου 3.7

Θέτουμε στους μαθητές μας τη δραστηριότητα να αποδείξουν ότι: xe x 1 για κάθε x , με

όσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν, χρησιμοποιώντας εμβαδά επιπέδων χωρίων. Πότε αλη-

θεύει η ισότητα;

1η ενδεικτική απάντηση

Έστω η συνεχής συνάρτηση f με tf(t) e 1 , t όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

• Αν x 0 , επειδή 1Ε 0 έχουμε: x

t1 0

xt

0

x

x

Ε 0 (e 1)dt 0

e t 0

e x 1 0

e x 1

• Αν x 0 , επειδή 2Ε 0 έχουμε: 0

t2 x

0t

x

x

x

Ε 0 (e 1)dt 0

e t 0

1 e x 0

e x 1

• Αν x 0 , τότε: 0e 0 1

Επομένως xe x 1 για κάθε x .

Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν x 0 .

2η ενδεικτική απάντηση

Έστω η συνεχής συνάρτηση f με f(t) lnt , t (0, ) όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

• Αν x 0 , τότε x

x

1e 1 0 1

e . Επειδή 1E 0 έχουμε:

x

x

1

11

e

e

1x x

x

E 0 lntdt 0

tlnt t 0

xe e 1 0

e x 1

• Αν x 0 , τότε x

x

10 e 1 1

e

Επειδή 2E 0 έχουμε:

x

x

1

e2 1

e

1x x

x

E 0 lntdt 0

tlnt t 0

xe e 1 0

e x 1

• Αν x 0 , τότε: 0e 0 1

Επομένως xe x 1 για κάθε x .

Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν x 0 .

Δημιουργικό «παιχνίδι» με την ανισότητα: xe x 1 • Δημήτριος Σπαθάρας - Σχολικός Σύμβουλος

31

3η ενδεικτική απάντηση

Έστω η συνεχής συνάρτηση f με 1

f(t) 1t

, t (0, ) όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

• Αν x 0 , τότε xe 1 .

Επειδή 1E 0 έχουμε:

x

x

e

1 1

e

1x

x

1E 0 1 dt 0

t

lnt t 0

x e 1 0

e x 1

• Αν x 0 , τότε x0 e 1 .

Επειδή 2E 0 έχουμε:

x

x

1

2 e

1

ex

x

1E 0 1 dt 0

t

lnt t 0

1 x e 0

e x 1

• Αν x 0 , τότε: 0e 0 1

Επομένως xe x 1 για κάθε x .

Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν x 0 .

4η ενδεικτική απάντηση

Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις

f : (0, ) με 1

f(t)t

και

g:(0, ) με 2

1g(t)

t

Για κάθε t 0 έχουμε:

• 2

1 1f(t) g(t) t 1

t t

• 2

1 1f(t) g(t) t 1

t t

• 2

1 1f(t) g(t) 0 t 1

t t

Επομένως:

• Το κοινό σημείο των fC και gC

είναι το M(1,1)

• Ισχύουν:

f(t) g(t) για κάθε t (1, )

g(t) f(t) για κάθε t (0,1)

Τα παραπάνω φαίνονται στο δι-

πλανό σχήμα.

Δημιουργικό «παιχνίδι» με την ανισότητα: xe x 1 • Δημήτριος Σπαθάρας - Σχολικός Σύμβουλος

32

• Αν x 0 , τότε x

x

1e 1 0 1

e . Επειδή 1E 0 έχουμε:

x

x

1

11 2

e

1

1

e

x

x

1 1E 0 dt 0

t t

1lnt 0

t

1 e x 0

e x 1

• Αν x 0 , τότε x

x

10 e 1 1

e . Επειδή 2E 0 έχουμε:

x

x

1

e2 21

1

e

1

x

x

1 1E 0 dt 0

t t

1lnt 0

t

x e 1 0

e x 1

• Αν x 0 , τότε 0e 0 1

Επομένως xe x 1 για κάθε x . Η ισότητα αληθεύει μόνο όταν x 0 .

Δημιουργικό «παιχνίδι» με την ανισότητα: xe x 1 • Δημήτριος Σπαθάρας - Σχολικός Σύμβουλος

33

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

[1] Ανδρεαδάκης Σ. - Κατσαργύρης Β. - Μέτης Σ. - Μπρουχούτας Κ.- Παπασταυρίδης - Σ. Πολύζος Γ.

Σχολικό βιβλίο, Μαθηματικά Γ΄ Γενικού Λυκείου, Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

(2017), ΙΤΥΕ Διόφαντος.

[2] Ανδρεαδάκης Σ. - Κατσαργύρης Β. - Μέτης Σ. - Μπρουχούτας Κ.- Παπασταυρίδης - Σ. Πολύζος Γ.

Λύσεις των ασκήσεων του σχολικού βιβλίου, Μαθηματικά Γ΄ Γενικού Λυκείου, Θετικής & Τε-

χνολογικής Κατεύθυνσης (2017), ΙΤΥΕ Διόφαντος 2017

[3] Εγκύκλιος του ΥΠ.Π.Ε.Θ με αρ. πρωτ. 163573/Δ2/02-10-2017

Διαχείριση της διδακτέας-εξεταστέας ύλης των Μαθηματικών της Γ΄ τάξης Ημερησίου και της

Δ΄ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2017-2018, ΥΠ.Π.Ε.Θ.

[4] Θωμαΐδης Γ. – Ρίζος Γ. (2017)

Οδός Μαθηματικής Σκέψης, Θεσσαλονίκη, Εκδόσεις Μαυρίδη,

[5] Ντούγιας Σ. (2003)

«Απειροστικός Λογισμός Ι» Αθήνα: Εκδόσεις Leader Books.

[6] Ντρίζος Δ. (2017)

Μαθηματικές Δραστηριότητες: Προκλήσεις για δημιουργική μάθηση και ανάπτυξη διερευνη-

τικής σκέψης. Power Point από την ομιλία σε ημερίδα του παραρτήματος Λάρισας της ΕΜΕ.

[7] Τεύχη των περιοδικών Ευκλείδης Β΄ και Γ΄ της Ε.Μ.Ε.

[8] Πρακτικά Συνεδρίων της Ε.Μ.Ε. (2005-2017)

[9] Ιστοσελίδες του διαδικτύου.