ΣΥΝΘΕΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Α' & Β' …blogs.sch.gr/gymkamin/files/2012/11/m1.pdfΣΥΝΘΕΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Α' & Β' ΤΑΞΗΣ

ΣΥΝΘΕΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Α amp Β ΤΑΞΗΣ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΑΜΙΝΙΩΝ

ΤΙΤΛΟΣ Η ΟΜΟΡΦΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Φεβρουάριος- Ιούνιος 2012

Επιβλέποντες καθηγητές ΠΕ 3

Θ Παπαδημητρίου Α1 Α2 Α3 Α4 Ε Χατζησταματίου Α5 Β2 Β3 Β5 Β Παναγιωτόπουλος Β1 Β4 Α Αναστασίου Α6

Θέματα 1 Άπειρο και τα παράδοξά του 2 Αριθμητικά τετράγωνα περιττής τάξης 3 Γεωμετρικές κατασκευές - τα 4 άλυτα προβλήματα της αρχαιότητας 4 Διαγωνισμός Θαλής της ΕΜΕ - Ολυμπιάδες - μετάλλιο Fields 5 Εικασίες η εικασία του P Fermat (1637) αποδείχθηκε (1995) από τον A Wiles 6 Εscher MC ο ολλανδός χαράκτης 7 Fibonnaci αριθμοί το παράδειγμα με τα κουνέλια και τις μέλισσες 8 Fractals αυτo-όμοια σχήματα πχ του B Mandelbrot 9 Hanoi πύργος μετακινείστε τον μεταφέροντας έναν έναν τους δίσκους του 10 Ηλιακό ρολόι (κατασκευή) 11 Ημερολόγια κύκλος ηλίου - κύκλος σελήνης - ισημερίες - εορτασμός Πάσχα 12 Ιστορία των Μαθηματικών - Αρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί - Ευκλείδης 13 Καμπύλες καρδιοειδής - κογχοειδής - κισσοειδής - στροφοειδής - δελτοειδής 14 Κανονικά πολύγωνα και αριθμοί Fermat 15 Κανονικά πολύεδρα 5 (Πλάτωνα) - Ημικανονικά πολύεδρα 13 (Αρχιμήδους) 16 Κωνικές τομές οι 3 καμπύλες του Απολλώνιου 17 Μobius ταινία 18 Μουσική amp Μαθηματικά το μονόχορδο του Πυθαγόρα και η μουσική εξέλιξη 19 Όγκοι στερεών Vκώνου+Vσφαίρας = Vκυλίνδρου 20 Origami - Tangram 21 π = 314hellip (το πηλίκο της περιφέρειας με τη διάμετρο) 22 Πολύγωνοι αριθμοί τρίγωνοι τετράγωνοι hellip 23 Πρώτοι αριθμοί 24 Πυθαγόρειο θεώρημα 25 Rubik κύβος 26 Sudoku 27 Συνδιαστική yin amp yang τριγράμματα 28 Συμμετρία 29 Τέλειοι αριθμοί και αριθμοί Mersenne 30 Τέχνη (αρχιτεκτονική γλυπτική ζωγραφική) amp Μαθηματικά το φ του Φειδία 31 Το τρίγωνο του Pascal 32 Φύση amp Μαθηματικά 33

Aφιερώνεται στους

Henry Poincare (+1912) Jiovanni-Domenico Cassini (+1712) Alan Turing (1912)

1 Άπειρο και τα παράδοξά του

2 Aριθμητικά τετράγωνα περιττής τάξης

8 1 6 3 5 7 4 9 2 Στο παραπάνω τετράγωνο κάθε γραμμή έχει άθροισμα 15 Επίσης κάθε στήλη και κάθε

διαγώνιος Αυτό το τετράγωνο λέγεται αριθμητικό

Η διάταξη των αριθμών είναι 3Χ3 για αυτό λέμε η τάξη του είναι ν=3 Περιέχει τους

αριθμούς 1 2 hellip ν2 1 Το 15 λέγεται σταθερά Α του τετραγώνου και υπολογίζεται ως εξής Ισχύει

1+2+hellip+9 = 2109

= 45

αλλά έχουμε βρει το άθροισμα 3 γραμμών έτσι η ζητούμενη σταθερά είναι 453 = 15

Γενικότερα είναι Α = 2

)1(2

)1( 222

v

Έτσι έχω ν Α 3 15 4 34

1 Αν τον αριθμό στο κέντρο του τετραγώνου τον πούμε μεσαίο μ (για ν=3 μ=5) τότε ισχύει ότι μ =

212

οπότε Α=νmiddotμ

5 65 6 111 7 175 hellip hellip Στο παραπάνω αριθμητικό τετράγωνο μπορούμε να αλλάξουμε τη θέση της 1ης στήλης με την 3η θα προκύψει πάλι αριθμητικό τετράγωνο με την ίδια σταθερά Επίσης της 1ης γραμμής με την 3η Ακόμη μπορούμε να προσθέσουμε έναν αριθμό α πχ α = 10 σε κάθε έναν από τους παραπάνω αριθμούς θα προκύψει πάλι αριθμητικό τετράγωνο 18 11 16 13 15 17 14 19 12

Τότε Α = 3middot10+15 = 45 και γενικότερα Α = νmiddotα+2

)1( 2 2

Τρόπος κατασκευής Αν ν=περιττός τότε υπάρχει λύση 1ος τρόπος (του Yang Hui +1298) γράφω διαγώνια τους αριθμούς 1 2 hellip 9 9

8 hellip 6 7 hellip 5 hellip 3

4 hellip 2 1

Η περιοχή με τα έντονα γράμματα θα αποτελέσει το τετράγωνο Μετακινώ το 1 και το 9 μέσα στο τετράγωνο πηγαίνοντάς τα σε τετράγωνο της ίδιας στήλης αλλά στο πιο μακρινό 8 1 6 7 hellip 5 hellip 3 4 9 2 Μετακινώ το 3 και το 7 μέσα στο τετράγωνο με παρόμοιο τρόπο 8 1 6 3 5 7 4 9 2 2ος τρόπος (από το ΣιάμΤαϋλάνδη) φανταστείτε ότι το τετράγωνο επαναλαμβάνεται γεμίζοντας το επίπεδο

Αρχίζω από τη μεσαία θέση της 1ης γραμμής όπου γράφω το 1 hellip 1 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip Γεμίζω πηγαίνοντας προς τα επάνω amp δεξιά 2 hellip 1 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip Αν ο αριθμός είναι εκτός του τετραγώνου τον πηγαίνω στη θέση του αν φανταστείτε ακόμη ένα τετράγωνο πάνω από δεδομένο το 2 θα ήταν στην κάτω δεξιά γωνία του Το γράφω στην κάτω δεξιά γωνία του δεδομένου τετραγώνου hellip 1 hellip hellip hellip hellip hellip hellip 2

2 Α = νmiddotα+νmiddotμ = ν(α+μ)

Γεμίζω πηγαίνοντας επάνω amp δεξιά Είμαι εκτός του τετραγώνου αν φανταστώ ακόμη ένα τετράγωνο δεξιά του δεδομένου το 3 θα ήταν στη μέση της 1ης στήλης του Το γράφω στη μέση της 1ης στήλης του δεδομένου τετραγώνου hellip 1 hellip 3 hellip hellip hellip hellip 2 Επειδή η επόμενη θέση είναι κατειλημένη δεν συνεχίζω επάνω amp δεξιά αλλά κάτω από εκεί που είναι το 3 hellip 1 hellip 3 hellip hellip 4 hellip 2 συνεχίζω επάνω amp δεξιά hellip 1 hellip 3 5 hellip 4 hellip 2 hellip 1 6 3 5 hellip 4 2 Σε ένα φανταστικό τετράγωνο διαγώνια επάνω δεξιά από το δεδομένο το 7 θα ήταν στην κάτω αριστερά γωνία του Επειδή είναι κατειλημένη (από το 4) γράφω το 7 κάτω από τον τελευταίο αριθμό που έγραψα hellip 1 6 3 5 7 4 2 Σε ένα φανταστικό τετράγωνο δεξιά από δεδομένο το 8 θα ήταν στην πάνω αριστερή γωνία 8 1 6 3 5 7 4 hellip 2 Σε ένα φανταστικό τετράγωνο επάνω από το δεδομένο το 9 θα ήταν στη μέση της κάτω γραμμής Το γράφω στη μέση της κάτω γραμμής του δεδομένου τετραγώνου 8 1 6 3 5 7 4 9 2 Συνοπτικά η τεχνική έχει ως εξής 1 Ξεκινώ από τη μεσαία θέση της 1ης γραμμής όπου γράφω το 1 2 Συνεχίζω με την επάνω δεξιά θέση Αν είναι κατειλημένη συνεχίζω κάτω από τον τελευταίο αριθμό που έγραψα Αν είμαι έξω από το δεδομένο τετράγωνο φαντάζομαι ένα άλλο σε ποια θέση θα γραφόταν και το γράφω στην ίδια θέση στο δεδομένο τετράγωνο

Το παρακάτω είναι ένα αριθμητικό τετράγωνο τάξης 5 (με τον τρόπο από το Σιάμ)

17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22

10 12 19 21 3 11 18 25 2 9 και το επόμενο είναι 7Χ7

22 47 16 41 10 35 4 5 23 48 17 42 11 29 30 6 24 49 18 36 12 13 31 7 25 43 19 37 38 14 32 1 26 44 20 21 39 8 33 2 27 45 46 15 40 9 34 3 28 Για ν=άρτιος δεν υπάρχει γενική μέθοδος Αν ν=πολ4 τότε υπάρχει ένας τρόπος

3 Γεωμετρικές κατασκευές ndash τα 4 άλυτα προβλήματα της αρχαιότητας

4 Διαγωνισμός Θαλής της ΕΜΕ - Ολυμπιάδες - μετάλλιο Fields H Eλληνική Μαθηματική Εταιρεία ΕΜΕ (Ηellenic Mathematical Society HMS) ιδρύθηκε το 1918 και μπορεί να γίνει μέλος της όποιος έχει πτυχίο Μαθηματικού

Εκδίδει περιοδικά όπως ο μικρός Ευκλείδης για το Δημοτικό ο Ευκλείδης Α για το Γυμνάσιο ο Ευκλείδης Β για το Λύκειο Κάθε περιοδικό έχει 4 τεύχη το χρόνο και η ετήσια συνδρομή κοστίζει 10 ευρώ Επίσης εκδίδει και άλλα βιβλία Τα τεύχη ως το 1993 υπάρχουν σε ψηφιακή μορφή στον ιστότοπο της ΕΜΕ wwwhmsgr στην περιοχή Ψηφιακή Βιβλιοθήκη

Διοργανώνει κάθε χρόνο το διαγωνισμό Θαλής για τους μαθητές από β γυμνασίου ως γ λυκείου Οι καλύτεροι συμμετέχουν στο διαγωνισμό Ευκλείδης και οι καλύτεροι από αυτόν στο διαγωνισμό Αρχιμήδης Οι καλύτεροι από τον τελευταίο συμμετέχουν στη Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα και στη Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα

Ο διαγωνισμός Θαλής γίνεται κάθε ΟκτώβριοΝοέμβριο Οι μαθητές του Πειραιά πηγαίνουν ένα Σάββατο στο κτήριο της Ιωνιδείου Σχολής στην Πλατεία Κοραή (είσοδος από οδό Σωτήρος Διός) Η ύλη είναι αυτή της προηγούμενης τάξης συν ότι έχετε διδαχθεί στην τωρινή τάξη ως την ημέρα του διαγωνισμού Θέματα παρελθόντων ετών με τις λύσεις τους μπορείτε να βρείτε στον ιστότοπο της ΕΜΕ

Η ΕΜΕ οργανώνει Κατασκήνωση που είναι ένα Θερινό Μαθηματικό Σχολείο Οι Μαθηματικές Εταιρείες όλων των χωρών αποτελούν την International Mathematical

Union IMU

The logo of the International Mathematical Olympiad

Yπάρχουν 27 διεθνείς μαθηματικοί διαγωνισμοί με πιο εξέχων τον ετήσιο International

Mathematical Olympiad ΙΜΟ από το 1939 Ξεκίνησε σαν διαγωνισμός των χωρών του ανατολικού Block αλλά σιγά σιγά επεκτάθηκε παγκόσμια Είναι ο αρχαιότερος Συμμετέχει μια ομάδα με το πολύ 6 μαθητές έναν αρχηγό έναν υπεύθυνο και έναν παρατηρητή από κάθε χώρα μικρότεροι των 20 ετών που δεν φοιτούν σε ανώτερο ίδρυμα Τους δίνονται 6 θέματα Η ύλη είναι και εκτός αυτής των σχολικών βιβλίων Στους μισούς συμμετέχοντες δίνονται μετάλλια χρυσά αργυρά και χάλκινα με αναλογία 123

Επίσης υπάρχουν και 31 τοπικoί διαγωνισμοί όπως ο Balkan Mathematical Olympiad Υπάρχουν περίπου 100 μετάλλια για μαθηματικούς που έχουν πρωτότυπη συμβολή στα

Μαθηματικά Επειδή ο Α Νοbel θέσπισε βραβεία για τις (πέντε) ανθρωπιστικές επιστήμες3 ο καναδός J-Ch Fields όρισε να δίνεται κάθε 4 χρόνια μετάλλιο σε νέο μαθηματικό (μικρότερο των 40 ετών)

Η πρόσθια όψη του μεταλλίου έχει το κεφάλι του Αρχιμήδη και γράφει στα λατινικά υψώσου πάνω από τον εαυτό σου και αγκάλιασε τον κόσμο Η οπίσθια όψη γράφει οι μαθηματικοί που συγκεντρώθηκαν από όλο τον κόσμο απονέμουν στους νικητές για τα εξέχοντα γραπτά τους πιο πίσω υπάρχει ένα κλαδί δάφνης και πιο πίσω μια σφαίρα εγγεγραμμένη σε κύλινδρο όπου σύμφωνα με το θεώρημα του Αρχιμήδη Vσφαίρας = (23) Vκυλίνδρου

Άλλα σημαντικά μετάλλια είναι αυτό προς τιμή του Νορβηγού NH Αbel (ετήσιο) και αυτό προς τιμή του κινέζου μαθηματικού SS Chern (από την ΙΜU που συνεδριάζει κάθε 4 έτη)

3 το κάθε βραβείο συνοδεύεται από ένα εκατομμύριο ευρώ

5 Εικασίες η εικασία του P Fermat (1637) που αποδείχθηκε από τον A Wiles (1995) Εικασία (conjecture) λέμε κάθε πρόταση που δεν έχει ακόμη αποδειχθεί Πιστεύουμε ότι είναι αληθινή αλλά δεν έχουμε αποδείξει ότι ισχύει ούτε έχουμε βρει (αντι)παράδειγμα (counterexample) για το ότι δεν ισχύει

H πιο γνωστές εικασίες είναι του Ch Goldbach 1742 κάθε άρτιος είναι άθροισμα δύο πρώτων πχ 6=3+3 100=47+53 του Β Riemann 1859 ο Riemann θεώρησε μια γενίκευση του αθροίσματος όλων των

μοναδιαίων κλασμάτων 31

21

11

και συγκεκριμένα τη συνάρτηση 31

21

11

sss όπου s

μιγαδικός αριθμός Την ονόμασε συνάρτηση ζ(s) Ψάχνουμε πού η συνάρτηση γίνεται 04 Ο Riemann

διατύπωσε την εικασία ότι ζ(21

) = 0 Επειδή υπάρχει σχέση της συνάρτησης με τους πρώτους

αριθμούς μπορούμε να συμπεράνουμε για την κατανομή τους Αν αποδειχθεί η εικασία του θα δοθεί απάντηση και σε άλλα θέματα της Θεωρίας Αριθμών των Πιθανοτήτων της Φυσικής κά Θεωρείται από τους μαθηματικούς το πιο σημαντικό από τα άλυτα προβλήματα

Στη Θεωρία Αριθμών υπάρχουν πολλές εικασίες Μια διάσημη εικασία που αποδείχθηκε το 1994 είναι αυτή του P Fermat Ο γάλλος μαθηματικός είπε ότι η σχέση α2 = β2+γ2 (όπου α β γ θετικοί ακέραιοι) είναι η μόνη που υπάρχει με εκθέτες ακεραίους δηλ δεν υπάρχουν α β γ α3 = β3+γ3 α4 = β4+γ4 hellip Από το 1637 που τη διατύπωσε αποδείχθηκε μόλις το 1995 μετά από 358 προσπαθειών πολλών μαθηματικών από τον βρετανό Α Wiles Aν την είχε αποδείξει 2 έτη νωρίτερα θα μπορούσε να πάρει το μετάλλιο Fields

Ο γερμανός G Hilbert (+1943) στο συνέδριο της ΙΜU το 1900 πρότεινε 23 από τα άλυτα

προβλήματα της εποχής του ως εκείνα με τα οποία θα απασχολούνταν οι μαθηματικοί του 20ου αι λόγω της σπουδαιότητάς τους Μερικά από αυτά λύθηκαν άλλα παραμένουν άλυτα Ο μεγάλος μαθηματικός ήταν πολύ αισιόδοξος διότι πίστευε ότι κάθε για κάθε εικασία μπορούμε να δώσουμε απόδειξη ή αντιπαράδειγμα Δηλ δεν υπάρχουν προβλήματα που δεν μπορούμε να αποφανθούμε (ignoramibus)

Δυστυχώς ο αυστριακός Κ Goumldel απέδειξε ότι 1 υπάρχουν προτάσεις που δεν μπορούμε να αποφανθούμε για την αλήθειά τους 2 δεν υπάρχει τρόπος να ξέρουμε εάν μια πρόταση είναι αποδείξιμη ή μη αποφαντή Πχ το 5ο αίτημα του Ευκλείδη δεν μπορεί να αποδειχθεί από τα υπόλοιπα Μιας τέτοιας πρότασης μπορούμε να προσθέσουμε σαν αξίωμα την παραδοχή της ή την άρνησή της πχ ο Ευκλείδης το δέχθηκε ως τέτοιο Το 2000 το CMI πρότεινε βραβείο 700000 ευρώ για κάθε λύση σε ένα από 7 άλυτα προβλήματα (της χιλιετίας όπως ονομάστηκαν) Ως σήμερα (2012) έχει λυθεί μόνο ένα η εικασία του H Poincare

4 για 0 lt s lt 1

6 Εscher M-C ο ολλανδός χαράκτης

Ο ολλανδός Μaurits-Cornelius Escher (1898-1972) σπούδασε γραφικές - διακοσμητικές τέχνες Είναι περίφημος για τις ξυλογραφίες και τις λιθογραφίες του σχεδιάζοντας αδύνατες κατασκευές καλύψεις επιφανειών και γενικά σχέδια με έμπνευση από τα μαθηματικά

Θαύμαζε αδύνατα γεωμετρικά σχήματα και από αυτά εμπνεύστηκε πολυπλοκότερες συνθέσεις Οι αδύνατες κατασκευές ξεγελούν την αντίληψή μας παραβιάζουν την προοπτική είναι μια οπτική απάτη

Σχετικότητα 1953 Από τα γραπτά του μαθηματικού G Polya για τις συμμετρικές ομάδες έμαθε ότι υπάρχουν 17

τέτοιες για να καλύψεις μια επιφάνεια Αυτό υπάρχει σαν διακοσμητικό θέμα στα πλακάκια της Alhambra που είχε επισκευθεί όπως κι άλλες πόλεις της Ισπανίας με Μαυριτανικά μνημεία Του άρεσαν τα πολύεδρα Κάλυπτε με επαναλαμβανόμενα μοτίβα (tessellation) ένα υπερβολικό επίπεδο Έλεγε ότι οι μαθηματικοί άνοιξαν την πύλη ενός ευρέως πεδίου Μελέτησε τοπολογία βοηθήθηκε από τον R Penrose και έμαθε για την ταινία του Moumlbius

Τα όρια του κύκλου ΙΙΙ 1959 Η επιφάνεια δεξιά είναι η quadratic του F Klein στην υπερβολική γεωμετρία η επιφάνεια καλύπτεται με τρίγωνα

Βαρύτητα 1952 (αστεροειδές 12εδρο)

Άστρα 1948 Κανονική διαίρεση του επιπέδου ΙΙΙ 1958

κύβος με μαγικές λωρίδες 1957

Oυρανός και νερό Ι 1938

7 Fibonnaci αριθμοί το παράδειγμα με τα κουνέλια

Ο Leonardo από την Pisa ο γιος του Βοnaccio (1170-1250) ακολουθούσε τον έμπορο πατέρα

του ως τα λιμάνια της Αλγερίας Εκεί γνώρισε τα αραβικά ψηφία και κατάλαβε πόσο υπερτερούσαν των ρωμαϊκών Έγραψε το Βιβλίο των Υπολογισμών (Liber Abaci) με πολλά πρωτότυπα θέματα

Αν έχουμε ένα ζεύγος κουνέλια που μπορούν να γεννήσουν τότε στην επόμενη γενιά θα έχουμε το αρχικό ζεύγος και ένα νέο δηλ 2 ζεύγη Στην επόμενη γενιά θα έχουμε τα δύο ζεύγη και άλλα δύο που θα γεννηθούν δηλ 4 Μετά 8 16 32 που είναι οι δυνάμεις του 2 Αυτό είναι απλό Ο Fibonacci στο Bιβλίο του άβακα έκανε ένα πιο περίτεχνο πρόβλημα

Ένα ζεύγος κουνέλια μπορεί να είναι μικρά ή μεγάλα (σε ηλικία) Τα μεγάλα μπορούν να γεννήσουν ένα ακόμη ζεύγος μικρών κουνελιών Ξεκινάμε στην 1η γενιά με 1 ζεύγος μικρά κουνέλια

Στη 2η γενιά θα έχουμε αυτά ως μεγάλα Στην 3η γενιά θα έχουμε αυτό το ζεύγος και θα έχει γεννήσει και 1 ζεύγος μικρά συνολικά 2 ζεύγη Στην 4η γενιά θα έχουμε τα μεγάλα θα έχουν γεννήσει 1 ζεύγος μικρά και το 1 ζεύγος που ήταν μικρά τώρα θα είναι μεγάλα δηλ 3 ζεύγη Στην 5η γενιά θα έχουμε τα δύο ζεύγη μεγάλα κουνέλια θα έχουν γεννήσει δύο ζεύγη μικρά και θα έχουμε και το ένα ζεύγος που ήταν μικρά και τώρα θα είναι μεγάλα συνολικά 5 ζεύγη Στην 6η θα είναι 8 στην 7η θα είναι 13 στην 8η θα είναι 21 κοκ

Δηλ σε κάθε γενιά έχω τα ζεύγη της προηγούμενης (που μεγάλωσαν) και τα νέα ζεύγη που είναι τόσα όσα τα μεγάλα δηλ όσα τα ζεύγη της προ-προηγούμενης γενιάς Έτσι αν ξέρω ότι μια γενιά έχει 21 και η προηγούμενη 13 μπορώ να υπολογίσω ότι η μεθεπόμενη θα έχει 21+13 = 34 ζεύγη

Οι αριθμοί που ξεκινούν από τους 1 και 1 και παράγονται προσθέτοντας τους δύο προηγούμενους λέγονται αριθμοί του Fibonacci και οι πρώτοι από αυτούς είναι 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 hellip Οι ινδοί μαθηματικοί τους γνώριζαν από το 200 πΚΕ

Οι πρόγονοι του κηφήνα μια θυλική μέλισσα έχει δύο γονείς αλλά μία αρσενική έχει μόνο μητέρα Πόσους προγόνους είχε σε κάθε προηγούμενη γενιά μια αρσενική μέλισσα 1η γενιά η αρσενική μέλισσα 2η η μητέρα του 3η οι γονείς της Ο πατέρας της είχε μόνο πατέρα η μητέρα της δύο γονείς έτσι 4η γενιά 3 μέλισσες Οι δύο πατέρες προέρχονται από 2 θυλικές μέλισσες οι τρείς μητέρες από 6 γονείς σύνολο η 5η γενιά 8 Μετά 13 21 hellip Είναι οι αριθμοί Fibonacci

Οι αριθμοί του Fibonacci υπάρχουν στη Φύση κάτι που είναι εκπληκτικό όπως πχ στον αριθμό των βλαστών ή των φύλλων

Στο χαμομήλι (κάτω) σχεδιάσαμε με ανοικτό μπλέ τις 13 αριστερόστροφες σπείρες και με σκούρο μπλε τις 21 δεξιόστροφες σπείρες To ίδιο και στο ηλιοτρόπιο στο κουκουνάρι στον ανανά κά

Αν σχεδιάσουμε τετράγωνα με πλευρές αριθμούς Fibonacci όπως δείχνει το παρακάτω σχήμα παίρνουμε τη σπείρα που βλέπετε

Συνδέεται με τη χρυσή αναλογία φ αν πάρουμε τα πηλίκα διαδοχικών αριθμών Fibonacci αυτά τείνουν στο φ 11 21 32 53 85 138 2113 3421 5534 hellip 1 2 15 166 16 1625 1615 1619 1617 Eπίσης αν fν ο ν-στός αριθμός Fibonnaci τότε fν = fν-1+fν-2 και φν = φν-1+φν-2 δηλ ο επόμενος είναι και στις δύο περιπτώσεις το άθροισμα των δύο προηγου΄μένων Οι αριθμοί αυτοί προκύπτουν και από το τρίγωνο του Pascal αν αθροίσουμε τα στοιχεία της αντιδιαγωνίου (της διαγωνίου από κάτω αριστερά προς τα επάνω δεξιά) πχ αν αρχίσω από την 6η γραμμή 1+4+3 = 8 δηλ παίρνω τον 6ο αριθμό Fibonacci 1 1 2 1 1 3 1 2 1 4 1 3 3 1 5 1 4 6 4 1 6 1 5 10 10 5 1 7 1 6 15 20 15 6 1 Παρατηρούμε ότι τα αθροίσματα των τετραγώνων των fν 12 12+12 12+12+22 12+12+22+32 12+12+22+32+52 12+12+22+32+52+82 hellip 1 2 6 15 40 104 290 hellip 1middot1 1middot2 2middot3 3middot5 5middot8 8middot13 13middot21 hellip Συμβολικά f1

2+ f22+ f3

2+hellip+fν2 = fνmiddotfν+1

Ακόμη κάτι ωραίο ΜΚΔ(21 144) = 3 ΜΚΔ(55 610) = 5 ή ΜΚΔ(f8 f12) = f4 MKΔ(f10 f15) = f5 αλλά ΜΚΔ(8 12) = 4 ΜΚΔ(10 15) = 5 Εφαρμογή ΜΚΔ(fμ fμκ) = fMΚΔ(μ μκ) = fμ δηλ ο fμκ έχει διαιρέτη τον fμ Πόσοι από τους fν είναι πρώτοι δεν ξέρουμε Εικασία οι πρώτοι fν είναι άπειροι Να μερικοί ν 3 4 5 7 11 13 17 23 29 hellip fν 2 3 5 13 89 233 1597 28657 514229 Από την εφαρμογή έχω ότι αν ν=σύνθετος τότε σίγουρα ο fν=σύνθετος Εξαιρείται ο f4=3 Ο f19 = 4181 = 37middot113 Κάθε fν με τον επόμενό του ή με το μεθεπόμενό του είναι πρώτοι μεταξύ τους πχ

Συνθέτες έγραψαν μουσική με χρήση αριθμών Fibonacci όπως οι E Lendvai B Bartok (123585321) E Satie CA Debussy (34 21 13 8)

377 = 13middot29 610 = 2middot5middot61 987 = 3middot7middot47 2584 = 23middot17middot19 4181 = 37middot113 κλπ

Στο πιάνο έχουμε 13 πλήκτρα για μια 8άβα Τα διαστήματα 5ης και η 3ης κάνουν συμφωνία

που ξεκινά 2 διαστήματα από την 1η νότα της κλίμακας Οι αριθμοί 13 8 5 3 2 1 είναι Fibonacci

8 Fractals (μορφοκλάσματα) τα αυτo-όμοια σχήματα του B Mandelbrot Το μορφόκλασμα (fractal) είναι ένα αυτο-όμοιο σχήμα δηλ όσο και να το μεγεθύνουμε θα παρατηρούμε το ίδιο σχέδιο Υπάρχουν και στη Φύση τέτοια όπως το ρωμαϊκό μπρόκολο

Στα μαθηματικά έχουμε τη νιφάδα (1904) του σουηδού H Koch

που είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο όπου κάθε πλευρά του τη διαιρούμε σε 3 ίσα μέρη και στο μεσαίο κάνουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο όπου σε κάθε μία από τις δύο πλευρές του κάνουμε πάλι ένα ισόπλευρο τρίγωνο κοκ5

Η διάσταση του τριγώνου υπολογίζεται μεγαλύτερη του 1 (του περιγράμματος του τριγώνου) αλλά μικρότερη του 2 είναι δηλ ένα κλάσμα μεταξύ του 2 και του 3 Η κατά Hausdorff διάσταση ίναι 126196 Για αυτό ο πολωνός B Mandelbrot (+2010) τους έδωσε το 1975 την ονομασία μορφοκλάσματα (fractal)

O πολωνός W Sierpinski έφτιαξε το τρίγωνό του (1915) και τον τάπητά του (1918)

Hausdorff διάσταση = 158497 Hausdorff διάσταση = 189288

Το 1891 ο D Hilbert έφτιαξε την καμπύλη του

Στο 1ο βήμα έχουμε 1 εσοχή στο 2ο τρεις στο 3ο κάθε εσοχή έχει τρεις κοκ Η αρχική γραμμή έχει διάσταση 1 αλλά σε κάθε βήμα τείνει να καλύψει το επίπεδο Λέμε ότι η τοπολογική διάσταση είναι 1 αλλά η κατά F Hausdorff διάσταση είναι μεγαλύτερη της τοπολογικής είναι Η διάσταση μπορεί και να μικραίνει στο σύνολο του Cantor

5 κάθε φορά αφαιρούμε τη βάση του τριγώνου 6 log4 log3 7 log3 log2 8 log8 log3

έχουμε διάσταση log2 log3 = 06309

Τα παρακάτω είναι μερικά από τα σύνολα του γάλλου G Julia (διάσταση = 2)

Ο Β Μandelbrot βρήκε (1978) το παρακάτω διάστασης 2

Πάτε στο enwikipediaorg στο λήμμα Mandelbrot set και στο Geometry Image gallery of a zoom sequence κάντε κλικ στην εικόνα με την zoom sequence Δείτε το Είναι το πιο χαρακτηριστικό δείγμα μαθηματικής οπτικοποίησης (mathematical visualization) Τα μορφοκλάσματα είναι εντυπωσιακά ωραία αλλά και αρκετά πολύπλοκα Φύλλα φυτών όπως η φτέρη μοιάζουν με μορφοκλάσματα αλλά και κοράλλια νευρώνες κά Οι γραφίστες χρησιμοποιούν μορφοκλάσματα για να σχεδιάσουν δένδρα σύννεφα κά

Το παράδοξο είναι το εξης ας πούμε ότι έχω μετρήσει την ακτογραμμή ενός νησιού με μονάδα το 1 m Αν μετά τη μετρήσω με μονάδα το 1 dm θα τη βρω μεγαλύτερη αν μετά τη μετρήσω με μοναδα το 1 cm πιο μεγάλη κοκ Η ακτή της Βρετανίας βρέθηκε με διάσταση 13 και της Σουηδίας 15

Αν ένα κουνουπίδι έχει 13 κλάδους που ο καθένας είναι 3 φορές μικρότερος του

προηγουμένου κοκ τότε η διάσταση του είναι log13 log3 = 233 Του μπρόκολου 266 Του ανθρώπινου εγκεφάλου 279 και του πνεύμονα 297

(Aπό enwikipediacom το λήμμα List of fractals by Hausdorff dimention)

9 Ηanoi πύργος μετακινείστε τον μεταφέροντας έναν έναν τους δίσκους του

Ο γρίφος επινοήθηκε από το γάλλο μαθηματικό E Loucas το 1883 Βασίζεται στο μύθο ότι σε ένα ναό στο Βιετνάμ οι ιερείς μετακινούν έναν πύργο (μια στήλη) από δίσκους μεταφέροντας τους δίσκους του με έναν συγκεκριμένο τρόπο

Ξεκινάμε με ένα σύνολο δίσκων ο καθένας διαφορετικού μεγέθους από τον άλλο Για

ευκολία στήριξης είναι τρύπιοι και περνούν από ένας στύλος Α Θέλουμε να τους μετακινήσουμε σε μία άλλη θέση εκεί που είναι ο στύλος Γ Βοηθητικά μπορούμε να χρησιμοποιούμε έναν τρίτο στύλο Β Οι κανόνες μετακίνησης είναι

μετακινούμε έναν δίσκο κάθε φορά μπορούμε να πάρουμε μόνο τον πιο πάνω δίσκο από ένα σωρό δίσκων και να τον βάλουμε

μόνο επάνω σε έναν σωρό δίσκων αν ένας δίσκος τοποθετηθεί πάνω σε άλλον πρέπει ο πάνω να είναι μικρότερος από τον κάτω

δίσκο Πχ για 1 δίσκο στύλοι Α Β Γ

ξεκινώ 1 1η κίνηση 1

Πχ για 2 δίσκους στύλοι Α Β Γ

1 ξεκινώ 2 1η κίνηση 2 1 2η κίνηση 1 2 1 3η κίνηση 2

Πχ για 3 δίσκους στύλοι Α Β Γ

1 2

ξεκινώ 3

2 1η κίνηση 3 1 2η κίνηση 3 2 1

1

3η κίνηση 3 2 1

4η κίνηση 2 3 5η κίνηση 1 2 3

2

6η κίνηση 1 3 1 2

7η κίνηση 3

Η τεχνική (με τις λιγότερες μετακινήσεις) για ν δίσκους είναι η εξής Αν έχω ν δίσκους στον αρχικό στύλο Α

1 μετακινώ όλους εκτός από τον τελευταίο (δηλ τους ν-1 δίσκους) στον βοηθητικό στύλο Β 2 μετακινώ τον τελευταίο στον τελικό στύλο Γ 3 μετακινώ τους ν-1 δίσκους από τον Β στον Γ (με τη βοήθεια του στύλου Α)

Οι ν-1 δίσκοι μετακινούνται χρησιμοποιώντας την ίδια τεχνική κοκ Στο τέλος ο ένας δίσκος μετακινείται απλά Πόσες κινήσεις χρειάζονται κάθε φορά Για 1 δίσκο 1 κίνηση Για 2 δίσκους 3 κινήσεις Για 3 δίσκους 7 κινήσεις Για 4 δίσκους 15 κινήσεις Αλλά 3 = 4-1 7 = 8-1 15 = 16-1 δηλ Για ν δίσκους 2ν-1 κινήσεις Ο αριθμός αυτός αυξάνει γρήγορα πχ για τους 8 δίσκους της εικόνας έχω 28-1 = 255 κινήσεις Η τεχνική παραπάνω περιγράφτηκε χρησιμοποιώντας προηγούμενους όρους Αυτό λέγεται αναδρομή (recurrence) και η μέθοδος λέγεται αναδρομική (recursive algorithm) Αναδρομή χρησιμοποιούμε πχ για να ορίσουμε τους αριθμούς Fibonnaci Αν καταγράψω όλες τις δυνατές κινήσεις κάθε φορά με έναν γραφικό τρόπο (αυτόν στο λήμμα Hanoi tower στο enwikipediaorg) τότε το γραφικό σχήμα είναι τύπου fractal (τρίγωνο του Sierpinski)

10 Ηλιακό ρολόι (κατασκευή)

To ηλιακό ρολόι (sundial) είναι μια οριζόνια επιφάνεια που στο κέντρο της έχει ένα στύλο (stylus) -δηλ μια μεταλλική μεγάλη βελόνα- ευθυγραμισμένο με τον ουράνιο Β πόλο (όχι το μαγνητικό) Παλαιά ο στύλος ήταν κάθετος πχ οι οβελίσκοι της Αιγύπτου (3500 πΚΕ) ήταν στύλος ηλιακού ωρολογίου αλλά το τόξο (η διαδρομή) του ηλίου έχει αποκλίσεις Το σωστό είναι η υποτείνουσα να είναι ο άξονας του κόσμου (της ουράνιας σφαίρας) δηλ η γωνία της με το οριζόντιο επίπεδο (την πλάκα του ρολογιού) να είναι όσο το γεωγραφικό πλάτος του τόπου ο Πειραιάς έχει 37ο 57 Β Ο γνώμονας (η κάθετη πλευρά του)9 πρέπει να είναι στραμμένος προς το Β Περιμένουμε πότε ο γνώμονας θα ρίξει τη μικρότερη σκιά του τότε είναι μεσημέρι και η σκιά δείχνει το Β χαράσουμε στη σκιά μια ευθεία Τώρα θα χαράξουμε τις άλλες ευθείες μία για κάθε ώρα Επειδή 360ο24 = 15ο κάθε 15ο χαράσσω και μία ημιευθεία10 από το κέντρο της πλάκας προς τα ΒΔ (και γράφω 11 10 9 8 7 6) και προς τα ΒΑ (1 2 3 4 5 6) Έτσι κάθε ημιευθεία σχηματίζει με τη διπλανή της γωνία 15ο Η οριζόντια πλάκα έχει τώρα χαραγμένες γραμμές ανά ώρα και η σκιά του στύλου θα μας δείχνει την ώρα

Αυτή η ώρα θα είναι η αληθινή ηλιακή Για να δείχνει το ρολόι μας την ακριβή ώρα των ρολογιών χεριού πρέπει να κάνουμε διορθώσεις α από αστρονομικές εφημερίδες για να υπολογίσουμε τη μέση (πολιτική ώρα) β από το πόσο απέχει το γεωγραφικό μήκος μας (23ο 38 Α για τον Πειραιά) από το μεσαίο μεσημβρινό της ατράκτου ζώνης που είμαστε γ από την αλλαγή για τη θερινή

ώρα

9 στους πόλους ο στύλος θα είναι κάθετος (γπ = 90ο) ενώ στον ισημερινό θα είναι οριζόντιος (γπ = 0ο) 10 ή περιμένω να περάσει 1 ώρα και χαράσσω στη σκιά το υγνώμονα

11 Ημερολόγια κύκλος ηλίου - κύκλος σελήνης - ισημερίες - εορτασμός Πάσχα Η περιστροφή της γης γύρω από τον εαυτό της με φορά από τη Δ προς την Α λέγεται ημέρα έχει χωριστεί σε 24 ώρες Ο ήλιος είναι ακίνητος Η αντίληψη όμως που έχει ο άνθρωπος είναι ότι η γη είναι ακίνητη και ο ήλιος κινείται από την Α προς τη Δ Στις ισημερίες (22 Μαρτίου 22 Σεπτεμβρίου)11 η ημέρα διαρκεί 12 ώρες από τις 600 ως τις 1800 και η νύχτα διαρκεί 12 ώρες Εμείς τώρα μετράμε 12 ώρες από τα μεσάνυχτα ως το μεσημέρι (λέμε προ μεσημβρίας πμ) και 12 ώρες από το μεσημέρι ως τα επόμενα μεσάνυχτα (λέμε μετά μεσημβρίας μμ)12 Οι ρωμαίοι - βυζαντινοί χώριζαν την ημέρα (που αρχίζει στις 6πμ) σε 12 ώρες έτσι 7πμ ήταν η 1η ώρα 8πμ η 2η μεσημέρι η 6η κοκ και τη νύχτα (που αρχίζει στις 6μμ) σε 12 ώρες δηλ 7μμ ήταν η 1η ώρα 8μμ ήταν η 2η ώρα μεσάνυχτα ήταν η 6η ώρα κοκ

Όσο πιο μεγάλο είναι το γεωγραφικό πλάτος δηλ όσο πιο μακριά από τον ισημερινό (και πιο κοντά στους πόλους) είμαστε τόσο πιο μεγάλη είναι η ημέρα στις 22 Ιουνίου (και η νύχτα στις 22 Δεκεμβρίου)13

Η περιστροφή της σελήνης διαρκεί περίπου 29ημ 12ω 44λ 29δ = 29530589 ημέρες και λέγεται (σεληνιακός ή συνοδικός) μήνας

Η σελήνη έλκει τα ρευστά έτσι όταν είναι επάνω από έναν τόπο στη γη έχουμε πλημμυρίδα

(άνοδο στάθμης νερού) σε αυτόν και στον αντίποδά του ενώ τόποι 90ο μακρύτερα από εμάς έχουν άμπωτη Επειτα από 6ω 12λ 375δ οι τόποι 90ο μακρύτερα έχουν πλημμυρίδα και εμείς άμπωτη Έπειτα από το ίδιο διάστημα η σελήνη είναι επάνω από τους αντίποδές μας έχουν πλημμυρίδα όπως και εμείς Έπειτα από το ίδιο διάστημα οι τόποι 90ο μακρύτερα έχουν πλημμυρίδα και εμείς άμπωτη Αυτό συμβαίνει διότι με την περιστροφή της γης γύρω από τον εαυτό της η σελήνη βρίσκεται κάθε 24ω 50λ 30δ επάνω από τον ίδιο τόπο Η άνοδος και η κάθοδος των υδάτων λέγεται παλίρροια και είναι τόσο μεγαλύτερη όσο μεγαλύτερη είναι η ποσότητα των υδάτων Είναι εμφανής σε μια μεγάλη λίμνη αλλά στον ωκεανό μπορεί να έχει εύρος ακόμη και 10m

Α χωρίς τη σελήνη Β με τη σελήνη Γ σελήνη amp ήλιος σε συζυγία

Όταν ο ήλιος ευθυγραμμίζεται με τη σελήνη και τη γη (συζυγία) η στάθμη είναι υψηλότερα ενώ όταν οι ευθείες γης-ηλίου και γης-σελήνης σχηματίζουν ορθή γωνία (τετραγωνισμός) η στάθμη είναι χαμηλότερα

Η σελήνη επηρεάζει τον κύκλο γονιμότητας των περισσοτέρων γυναικών διαρκεί 295 ημέρες όσο ο σεληνιακός μήνας

Ίσως για αυτό το λόγο είτε επειδή η σελήνη έχει χρώμα ασημί και στην εποχή της μητριαρχίας το ασήμι ήταν το πιο πολύτιμο μέταλλο (ο χρυσός ήταν σχεδόν αδύνατο να παραχθεί)

11 εαρινή και φθινωπορινή ισημερία vernal amp eutomnal equinox Το 2012 θα συμβούν στις 20 Μαρτίου ώρα 514 και στις 22 Σεπτεμβρίου ώρα 1449 (Universal or Greenwich Mean Time) 12 ante meridiem am και post meridiem pm αντίστοιχα 13 θερινό και χειμερινό ηλιοστάσιο summer amp winter solstice Το 2012 θα συμβούν στις 20 Ιουνίου ώρα 2309 και στις 21 Δεκεμβρίου ώρα 1111 UT

είτε γιατί λατρευόταν η σελήνη-θεά καθιερώθηκαν τα σεληνιακά ημερολόγια Τα έχουν ακόμη οι εβραίοι οι άραβες κά

Η σελήνη ξεκινάει νέα (σκοτεινή) μετά από ένα διάστημα έχει γεμίσει το δεξί 12 μετά είναι πλήρης (πανσέληνος) μετά έχει αδειάσει κατά το δεξί 14 και μετά είναι πάλι νέα Αυτό το διάστημα είναι 29534 = 7383ημ asymp 7ημ και λέγεται εβδομάδα

Η περιστροφή της γης γύρω από τον ήλιο διαρκεί 365ημ 5ω 48λ 452δ = 3652421896698 και λέγεται (ηλιακό ή τροπικό14) έτος Επειδή 365242192953 = 1237 το έτος χωρίστηκε σε 12 μήνες όπου κάθε μήνας είχε 295 ημέρες δηλ ένας με 29ημ ο επόμενος με 30 κοκ εναλλάξ Αλλά 295middot12 = 354 δηλ το σεληνιακό έτος υπολείπεται κατά 11 ημέρες του κανονικού έτους των 365 ημερών Για αυτό υιοθετήθηκαν τα ηλιακά ημερολόγια με μήνες των 31 30 ή 28 ημερών που δεν ήταν πια σεληνιακοί

Ημερολογιακό έτος Δυστυχώς το τροπικό έτος δεν είναι ακριβώς 365ημ έτσι σε κάθε 4 έτη έδινε λάθος -097ημ έτσι ορίστηκε το 4ο έτος να είναι δίσεκτο (leap year 366ημ) Τώρα ο μέσος όρος των ημερών ενός έτους από αυτά τα 4 έγινε 36525 (ιουλιανό ή παλαιό ημερολόγιο15) που είναι λίγο περισσότερο από το σωστό Αυτό σε κάθε 100 έτη έδινε λάθος +08ημ έτσι ορίστηκε το 100ο έτος να μην είναι δίσεκτο Τώρα ο μέσος όρος των ημερών ενός έτους από αυτά έγινε 36524 που είναι λιγότερο από το σωστό Αυτό σε κάθε 400 έτη έδινε λάθος -088ημ έτσι ορίστηκε το 400ο έτος να είναι δίσεκτο Τώρα ο μέσος όρος των ημερών ενός έτους από αυτά έγινε 3652425 (γρηγοριανό ημερολόγιο16) που είναι περισσότερο από το σωστό Αυτό σε 3222 έτη θα δώσει λάθος +1ημ έτσι ο αστρονόμος W Herschell17 πρότεινε διόρθωση το έτος 4000 Έτσι τα πολλαπλάσια του 4 είναι δίσεκτα έτη εκτός από τα έτη 1700 1800 1900 2100 2200 2300 κλπ Τα 1600 2000 2400 είναι δίσεκτα Η γρηγοριανή μεταρρύθμιση υιοθετήθηκε από τις καθολικές χώρες αργότερα από τις προτεσταντικές Η μεταρρύθμιση αφαίρεσε τις 1118 παραπάνω ημέρες που προπορευόταν το ιουλιανό άλλαξε το δίσεκτα έτη και άλλαξε τον τρόπο υπολογισμού του Πάσχα Το 1923 έγινε σύνοδος στην Κωνσταντινούπολη για το θέμα αυτό και αποφασίστηκε να αφαιρεθούν οι 13 πια19 παραπάνω ημέρες να αλλάξουν τα δίσεκτα έτη αλλά με άλλο τρόπο υπολογισμού και να μην υιοθετηθεί η αλλαγή του υπολογισμού της ημέρας του Πάσχα20 Ονομάστηκε διορθωμένο ιουλιανό ή νέο ημερολόγιο Δίσεκτα πρότεινε ο Σέρβος Μ Μilankovic να είναι τα πολλαπλάσια του 4 ενώ από τα πολλαπλάσια του 100 δίσεκτα να είναι όσα διαιρούμενα με το 900 αφήνουν υπόλοιπο 200 ή 600 Δηλ τα 2000 2400 2900 3300 3800 4200 κλπ Το γρηγοριανό θεωρεί δίσεκτα τα 2000 2400 2800 3200 3600 4000 κλπ Δηλ ως το 2800 είναι ίδια τα δίσεκτα έτη το 2800 όμως οι ορθόδοξοι δεν θα το θεωρήσουν δίσεκτο Ως το 5100 το γρηγοριανό θα συμφωνεί ή θα πηγαίνει 1ημ μπροστά σε σχέση με το διορθωμένο ιουλιανό Από το 5200 θα πηγαίνει 1ημ μπροστά ενώ το 6200 θα πηγαίνει 1ημ ή 2ημ μπροστά Ο εορτασμός του Πάσχα αποφασίστηκε να είναι κοινός και να μη συμπίπτει με των Εβραίων (σύνοδος Νικαίας 325) Το εβραϊκό Pesach εορτάζεται την πρώτη πανσέληνο μετά την εαρινή ισημερία (14ημ του μηνός Nisan) που ήταν η 21 Μαρτίου Καθιερώθηκε το Πάσχα να εορτάζεται την πρώτη Κυριακή μετά από αυτή την πανσέληνο Αν η Πανσέληνος είναι Κυριακή τότε να εορτάζεται την επόμενη (για να μη συμπίπτει με το Pesach) O υπολογισμός είναι ο εξής Διαιρούμε το έτος με το 19 και στο υπόλοιπο προσθέτουμε 1 δηλ (έτος mod 19)+1 πχ 201219 δίνει υπόλοιπο 17 και 17+1 = 18 Η παρακάτω γραμμή μας λέει πότε έχουμε πανσέληνο τον Μ (Μάρτιο) ή Α (Απρίλιο) και βλέπουμε τι έχει στην 18η θέση 5A 25M 13A 2A 22M 10A 30M 18A 7A 27M 15A 4A 24M 12A 1A 21M 9A 29M 17A Προσθέτουμε 13ημ και κοιτάμε πότε είναι η επόμενη Κυριακή

14 τροπές είναι οι ισημερίες όπου ο ήλιος τρέπεται (γυρίζει στρίβει) 15 το 46 πΚΕ ο Ιούλιος Καίσαρ αποφάσισε τη μεταρρύθμιση του παλαιού ρωμαϊκού ημερολογίου σύμφωνα με τις υποδείξεις του αστρονόμου Σωσιγένους από την Αλεξάνδρεια 16 το 1582 ο πάπας Γρηγόριος ΙΓ αποφάσισε τη μεταρρύθμιση του ιουλιανού σύμφωνα με τις υποδείξεις του Luigi (=Aloysio) Lilio από την Καλαβρία 17 αυτός που ανακάλυψε τον πλανήτη Ουρανό 18 46+1582 = 1628 1628middot0781 = 1272 19 46+1923 = 1969 1969middot0781 = 1538 20 τα χριστούγεννα θα συνεορταζονται ως πριν το 2800

Πχ 29Μ+13 = 11 Απριλίου είναι Τετάρτη 15 Απριλίου είναι Κυριακή του Πάσχα Ο τρόπος αυτός που ισχύει ακόμη στις ορθόδοξες χώρες άλλαξε με την εφαρμογή του γρηγοριανού ημερολογίου στις καθολικές και προτεσταντικές Το ορθόδοξο Πάσχα μπορεί να είναι από 4 Απριλίου ως 8 Μαΐου (ενώ το καθολικό Πάσχα 13ημ νωρίτερα δηλ 22 Μαρτίου ως 25 Απριλίου) 2ος τρόπος μέθοδος του Gauss α = έτος mod 19 β = έτος mod 4 γ = έτος mod 7 δ = (19α+15) mod 30 ε = (2β+4γ+6δ+6) mod 7 Πάσχα = 22+δ+ε Μαρτίου ή δ+ε-9 Απριλίου Αν δ=29 ε=6 αντικατέστησε το 26 Απριλίου με το 19 Απριλίου Πχ για το έτος 2012 α=17 β=0 γ=3 δ=8 ε=3 Πάσχα=2 Απριλίου (ιουλιανό) = 2+13=15 Απριλίου (διορθωμένο ιουλιανό) Η μέθοδος αυτή του ιουλιανού ημερολογίου δυστυχώς στηρίζεται στο ότι η εαρινή ισημερία είναι πάντα στις 21 Μαρτίου (κάτι που αλλάζει) και στο ότι 19 τροπικά έτη = 235 σεληνιακοί μήνες (κύκλος 19 ετών του Μέτωνα του Αθηναίου) μια αρχαία προσέγγιση για την οποία τώρα πια μπορούμε να έχουμε μεγαλύτερη ακρίβεια

10 Ιστορία των Μαθηματικών - Αρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί - Ευκλείδης Οι Αιγύπτιοι έκαναν πολλές ανακαλύψεις αλλά δεν ήταν πολύ αυστηροί Χρησιμοποιούσαν μόνο μοναδιαία κλάσματα Ήξεραν να υπολογίζουν επίπεδα εμβαδά για τον προσδιορισμό των χωραφιών μετά την πλημμύρου του Νείλου Ακόμη τον όγκο της κόλουρης τετραγωνικής πυραμίδας για να παρακολουθούν την πρόοδο των εργασιών στους τάφους των φαραώ Ο πάπυρος του Rhind είναι πολύτιμος για τα μαθηματικά του προβλήματα Οι Βαβυλώνιοι ανέπτυξαν την αστρονομία και βρέθηκαν πήλινες πινακίδες με τις πλευρές ορθογωνίου τριγώνου και τριγωνομετρικούς πίνακες Πολύτιμη είναι η πινακίδα Plimpton Ο Θαλής από τη Μίλητο έκανε την πρώτη απόδειξη Αυτή είναι η μεγάλη συνεισφορά των Ελλήνων στα μαθηματικά Διατύπωσε μερικά θεωρήματα ένα έμεινε με το όνομά του Υπολόγισε το ύψος πυραμίδας από τη σκιά της Προέβλεψε την έκλειψη ηλίου του 585 πΚΕ Έγραψε το έργο περί Φύσεως όπου θεωρεί το ύδωρ ως το θεμελιώδες στοιχείο Ήταν ένας από τους επτά σοφούς Ο Πυθαγόρας ο Σάμιος είναι γνωστός για το ομώνυμο θεώρημά του Ασχολήθηκε με τους φυσικούς αριθμούς και ιδιαίτερα με το ποιοι φυσικοί μπορεί να είναι μήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου (πυθαγόριες τριάδες) Βρήκε ότι στη φύση πολλά πράγματα είναι

αναλογίες (κλάσματα) όπως οι νότες της μουσικής κλίμακας Μελέτησε τη χρυσή τομή Τους τρίγωνους τετράγωνους κλπ αριθμούς Ίδρυσε Σχολή στο Κρότωνα της Καλαβρίας και προσπαθούσε να αναπτύξει πνευματικά τους μαθητές του και την κοινωνία της πόλης Είχε πολλούς μαθητές και επηρέασε πολλούς μεταγενέστερους Ο Πλάτων ο Αθηναίος ήταν μαθητής του Σωκράτη Ίδρυσε την Ακαδημία όπου δίδασκε φιλοσοφία με πολλή αγάπη για τα μαθηματικά Όταν τον κάλεσε ο τύρανος των Συρακουσών εξοικιώθηκε με τις διδαχές του Πυθαγόρα και στο έργο του Τίμαιος

προσπαθεί να εξηγήσει γεωμετρικά τον κόσμο Εκεί αναφέρεται στα 5 κανονικά πολύεδρα που τα λέμε πλατωνικά στερεά Ο Εύδοξος από την Κνίδο ξεπέρασε τις δυσκολίες με τα σύμμετρα και ασσύμετρα μεγέθη και οι υποδειγματικές διατυπώσεις του περιλήφθηκαν στο 5ο βιβλίο των Στοιχείων Θεωρούσε τη γη σφαίρα και υπολόγισε έναν μεσημβρινό της Ο Αριστοτέλης ο Αθηναίος μαθητής του Πλάτωνα είπε ότι για να αποδειχθεί μια πρόταση πρέπει να στηριχτούμε σε αξιώματα Πρέπει να ορίζουμε με ακρίβεια τις έννοιές μας Ίδρυσε το Λύκειον των περιπατητών και συνέλεγε βιβλία όργανα πετρώματα Μαθητές του ήταν ο Αλέξανδρος και ο Πτολεμαίος Α που ίδρυσε το Μουσείον με τη Βιβλιοθήκη του στην Αλεξάνδρεια Το έργο του επηρέασε αργότερα τη δυτική Ευρώπη Οι Έλληνες μαθηματικοί προτιμούσαν να κατασκευάζουν τα σχήματα χρησιμοποιώντας μόνο

κανόνα (αβαθμολόγητο χάρακα) και διαβήτη Ήταν τα όργανα των τεκτόνων (κτιστών οικοδόμων μηχανικών) αλλά τους απέδιδαν και συμβολική σημασία Έτσι οι μόνες επιτρεπτές γραμμές ήταν η ευθεία και ο κύκλος και ο Ευκλείδης στα στοιχεία του αναφέρεται μόνο σε αυτές Ο μεγάλος μαθηματικός της Αλεξάνδρειας εργάστηκε στο Μουσείον και στα Στοιχεία του συνέλεξε και τακτοποίησε συστηματικά τις περισσότερες ως τότε μαθηματικές γνώσεις Περιέλαβε και δικά του πρωτότυπα θεωρήματα Το έργο του αποτελείται από 13 βιβλία και καταλήγει στην κατασκευή των 5 πλατωνικών στερεών Τα Στοιχεία ήταν το βασικό εγχειρίδιο

μαθηματικών ως το 19ο αιώνα Το 5ο αίτημά του προσπάθησαν πολλοί ανά τους αιώνες να το αποδείξουν ως θεώρημα αλλά τελικά αποδείχθηκε ότι δεν γίνεται Από αυτή την αναζήτηση προέκυψαν οι μη ευκλείδειες γεωμετρίες To αρχαιότερο αντίγραφο των Στοιχείων φυλάσσεται στην Οξφόρδη και ανήκε στον Αρέθα

Ο αστρονόμος Αρίσταρχος ο Σάμιος διατύπωσε την ηλιοκεντρική άποψη Αυτή διάβασε ο N

Kopernik στις αρχές του 16ου αι Ο Αρχιμήδης ο Συρακούσιος το ευρηματικό μυαλό της αρχαιότητας Υπολόγισε το εμβαδό των πολυγώνων και του κύκλου τον όγκο κυλίνδρου κώνου και σφαίρας Διατύπωσε την αρχή της Άνωσης Ήταν μηχανικός ο εφευρέτης του κοχλία Με τη μέθοδό του της εξάντλησης ξεκίνησε ο απειροστικός λογισμός Εισήγαγε την καμπύλη έλικα

Ο Ερατοσθένης από την Κυρήνη εργάσθηκε στο Μουσείο Ως γεωγράφος υπολόγισε ένα μεσημβρινό της γης Αλληλογραφούσε με τον Αρχιμήδη Είναι γνωστός από τη μέθοδο κόσκινο του Ερατοσθένη

Προσπαθώντας να λύσουν το διπλασιασμό του κύβου την τριχοτόμηση της γωνίας και τον τετραγωνισμό του κύκλου (τα 3 άλυτα προβλήματα της αρχαιότητας) χρησμοποίησαν και άλλες καμπύλες Έτσι προέκυψε η παραβολή η υπερβολή και η έλλειψη που ο Απολλώνιος από την Πέργη παρατήρησε ότι και οι τρείς παράγονται από την τομή ενός κώνου με ένα επίπεδο Είναι οι τρείς κωνικές τομές που αναφέρονται στο έργο του Κωνικά Προσπάθησε να εξηγήσει την μη ομαλή κίνηση των πλανητών με επικύκλους

Ο αστρονόμος Ίππαρχος από τη Νίκαια συνέταξε τριγωνομετρικούς πίνακες βρήκε και

υπολόγισε τη μετάπτωση των ισημεριών και επινόησε όργανα όπως ο αστρολάβος

Ο αστρονόμος Κλαύδιος Πτολεμαίος ο συγγραφέας της Μεγίστης Μαθηματικής Σύνταξης

όπου παραθέτει όλες τις αστρονομικές γνώσεις της εποχής του Το έργο του που επανεκδόθηκε το 1406 και 1478 μελέτησε ο Ch Columbus

O Διόφαντος από την Αλεξάνδρεια έγραψε τα Αριθμητικά όπου γράφει για πρώτη φορά με σύμβολα τις εξισώσεις Έψαχνε ακέραιες και ρητές λύσεις αν και τώρα λέμε διοφαντικές τις εξισώσεις στις οποίες ψάχνουμε ακέραιες λύσεις

Ο Πάππος από την Αλεξάνδρεια έγραψε τη Μαθηματική

Συναγωγή Η Υπατία από την Αλεξάνδρεια μαθηματικός και φιλόσοφος

που πέθανε τραγικά

Ο Πυθαγόρας και ο Πλάτωνας δεν ήταν μόνο επιστήμονες αναζητούσαν την πνευματικότητα και τη γνώση του κόσμου Αυτό αναζωπυρώθηκε (1ο αι πΚΕ - 2ο αι μΚΕ) με τους Νεοπυθαγόριους Απολλώνιο από τα Τύανα Νικόμαχο από τα Γέρασα και συνεχίστηκε (3ο μΚΕ - 6ο αι) από την κίνηση του Νεοπλατωνισμού με τους Πλωτίνο από την Αίγυπτο21 Πορφύριο από την Αραβία Ιάμβλιχο από τη Συρία Πρόκλο από τη Λυκία ψευδο-Διονύσιο Αρεοπαγίτη από τη Συρία τον αυτοκράτορα Ιουλιανό Το 529 ο Ιουστινιανός Α έκλεισε τη Νεοπλατωνική Σχολή των Αθηνών Ο Νεοπλατωνισμός συνεχίστηκε τον 11ο αι με τον Μιχαήλ Ψελλό και τον 14ο-15ο αι από τον Γεώργιο Γεμιστό που τον διέδωσε κατά τα ταξίδια του στην Ιταλία Tον 18o-19o αι έχουμε τον άγγλο T Taylor Πολλά συνέβαλαν και οι κινέζοι ινδοί (Bhaskara I Bhaskara II Αryabhata) και άραβες μαθηματικοί Στα σχέδια ο Οίκος της Σοφίας στη Βαγδάτη (8ος αι) και ο Brahmagupta (7ος αι)

Brahmagupta (7oς αι) - ο Οίκος της Σοφίας στη Βαγδάτη (8ος αι) - Al-Khwarizmi

Τοn 13ο αι στο έργο του Leonardo Fibonacci εμφανίζονται οι αριθμοί Fibonacci Τον 16ο λύνεται η εξίσωση 3ου βαθμού από τους S del Ferro amp N Tartaglia και η εξίσωση 4ου βαθμού από τους G Cardano amp L Ferrari Τον 17ο αι ο J Napier περιγράφει τους λογαρίθμους και ο R Descartes τις καρτεσιανές συντεταγμένες και την αναλυτική γεωμετρία Ακολουθούν ο I Newton o GW Leibniz που ταυτόχρονα ξεκίνησαμ τον απειροστικό λογισμό Οι Pde Fermat και B Pascal ασχολήθηκαν με πιθανότητες και θεωρία παιγνίων

Τον 18ο αι έχουμε τον ελβετό L Euler (εικόνα αριστερά) και τους JL Lagrange PS Laplace AM Legendre και τον γερμανό CFGauss (εικόνα δεξιά) που έγραψε το Disquisitiones Arithmeticae (1798)

21 συγγραφέα των Εννεάδων

Ο 19ος αι οι N Lobachevsky amp J Bolyai ορίζουν την υπερβολική γεωμετρία και ο B Riemann την ελλιπτική γεωμετρία Aκολουθούν οι NHAbel E Galois G Cantor JH Poincare D Hilbert

Στον 20ο έχουμε τους Α Wiles που απέδειξε την τελευταία εικασία του Fermat τον Κ Gedel τον B Mandelbrot Ο A Einstein χρησιμοποίησε διαφορική γεωμετρία για τη Γενική Σχετικότητα Επίσης τον J Neumann τον ινδό S Ramanujan

Το 2003 λύθηκε η εικασία του Poincare από τον G Perelman

11 Καμπύλες καρδιοειδής - κογχοειδής - κισσοειδής - στροφοειδής - δελτοειδής Βαθμού 1 η ευθεία Βαθμού 2 παραβολή υπερβολή έλλειψη Βαθμού 3

κισσοειδής Διοκλέους (για το διπλασιασμό του κύβου)

κυβική του Tschirnhausen Βαθμού 4

τριφύλλι (clover)

amp (ampersand)

ιπποπέδη

φιόγκος (λημνίσκος) Άλλες

Ρουλέττες λέγονται οι καμπύλες που παράγονται από ένα σημείο μιας καμπύλης που κινείται (εφάπτεται και κυλάει) πάνω σε μια άλλη καμπύλη

Πχ1 αν σε δύο αντικρυστές παραβολές (που εφάπτονται στις κορυφές τους) κρατήσω τη μια σταθερή και κυλίσω την άλλη πάνω στην πρώτη η κορυφή της κινούμενης θα σχεδιάσει την κισσοειδή του Διοκλέους

Πχ2 αν μία παραβολή κυλήσει πάνω σε μια ευθεία τότε η εστία της παραβολής θα παράξει μια αλυσσοειδή καμπύλη

Πχ3 αν ένας κύκλος ο οποίος κυλάει πάνω σε μια ευθεία παράγει ρουλέττα καμπύλη που τη λέμε τροχοειδή Το σημείο που σχεδιάζει μπορεί να απέχει οσοδήποτε από το κέντρο του κινούμενου κύκλου ας πούμε d αυτή την απόσταση Ας είναι r η ακτίνα του κινούμενου κύκλου

Ειδικότερα αν σε μια τροχοειδή το σημείο είναι πάνω στον κινούμενο κύκλο δηλ d=r τότε η τροχοειδής λέγεται κυκλοειδής

τροχοειδής με d=r Το εμβαδό μιας περιοχής είναι 3 φορές το εμβαδό του κινούμενου κυκλικού δίσκου Αν dgtr η τροχοειδής θα τέμνει την ευθεία ενώ αν dltr δεν θα την τέμνει

Πχ4 αν ένας κύκλος ο οποίος κυλάει και εφάπτεται εξωτερικά πάνω σε ένα σταθερό κύκλο παράγει ρουλέττα καμπύλη που τη λέμε επιτροχοειδή Το σημείο που σχεδιάζει μπορεί να απέχει οσοδήποτε από το κέντρο του κινούμενου κύκλου ας πούμε d αυτή την απόσταση Ας είναι R η ακτίνα του σταθερού κύκλου και r η ακτίνα του κινούμενου

επιτροχοειδής με dltr (R=3 r=2 d=05)

επιτροχοειδής με d=r

επιτροχοειδής με dgtr Ειδικότερα αν σε μια επιτοχοειδή το σημείο είναι πάνω στον κινούμενο κύκλο τότε η

επιτροχοειδής λέγεται επικυκλοειδής Ειδικότερα αν οι δύο κύκλοι είναι ίσοι τότε θα παραχθεί η

καρδιοειδής Αν ο Κ είναι μικρότερος παράγεται η

νεφροειδής (δηλ με 2 λοβούς) Αν ο Κ είναι πολύ μικρότερος παράγεται η επικυκλοειδής με 3 λοβούς 4 λοβούς κοκ

επικυκλοειδής με 3 λοβούς

112 195 365 2110

επικυκλοειδείς με 11 19 36 21 άκρα Πχ5 αν ένας κύκλος ο οποίος κυλάει και εφάπτεται εσωτερικά πάνω σε ένα σταθερό κύκλο

παράγει ρουλέττα καμπύλη που τη λέμε υποτροχοειδή Το σημείο που σχεδιάζει μπορεί να απέχει οσοδήποτε από το κέντρο του κινούμενου κύκλου

Ειδικότερα αν σε μια υποτροχοειδή το σημείο είναι πάνω στον κινούμενο κύκλο τότε η επιτροχοειδής λέγεται υποκυκλοειδής

Πχ

δελτοειδής (3 άκρα)

αστεροειδής (4 άκρα)

υποκυκλοειδείς με 5 άκρα (cusps)

υποκυκλοειδής με 6 άκρα

υποκυκλοειδής με 7 άκρα

53 112 195 362 υποκυκλοειδείς με 5 11 19 36 άκρα

2110 R=35 r=1 d=08

Με το σπειρογράφο μπορούμε να σχεδιάσουμε επιτροχοειδείς και υποτροχοειδείς καμπύλες Το πορτοκαλί τμήμα λέγεται στράτωρ και ο εσωτερικός δίσκος ρότωρ

Aλυσσοειδής (catenary)

Πχ τα συρματόσχοινα που συγκρατούν μια γέφυρα τα καλώδια ανάμεσα από δύο κολώνες της ΔΕΗ τα νήματα του ιστού της αράχνης η αλυσίδα από την άγκυρα ως το πλοίο κά Μοιάζει με παραβολή αλλά δεν είναι Me 5 πέταλα

Τετραγωνίζουσα του Ιππία

Σπείρες

σπείρα του Αρχιμήδη

υπερβολική σπείρα

λογαριθμική σπείρα Οι σπείρες στη Φύση είναι λογαριθμικές πχ στο ναυτίλο στο σύνολο του Mandelbrot στους

σπειροειδείς γαλαξίες σε ένα χαμηλό βαρομετρικό πεδίο σε ένα ρωμαϊκό μπρόκολο

12 Κανονικά πολύγωνα και αριθμοί Fermat Ένα πολύγωνο που έχει όλες τις πλευρές του και όλες τις γωνίες του22 ίσες θα λέγεται κονονικό (regular) Το κανονικό 5πλευρο λέγεται 5γωνο κτό Αν έχουμε ένα κύκλο μπορούμε να εγγράψουμε ένα κανονικό πολύγωνο κατασκευάζοντάς το γεωμετρικά (δηλ με κανόνα και διαβήτη)

Πχ μπορούμε να κατασκευάσουμε το 4γωνο σε ένα κύκλο φέρνουμε δύο κάθετες διαμέτρους

κλπ Επίσης αν διχοτομήσουμε τα ενδιάμεσα τόξα παίρνουμε ένα 8γωνο Αν διχοτομήσουμε τα

τόξα παίρνουμε 16γωνο 32γωνο 64γωνο κοκ

Μπορούμε να κατασκευάσουμε και ένα 6γωνο γιατί η πλευρά του 6γωνου είναι ρ (όση η ακτίνα του κύκλου) δηλ παίρνω ένα σημείο Α του κύκλου και κάνω τη χορδή ΑΒ = ρ Επίσης τη χορδή ΒΓ = ρ τη ΓΔ = ρ τη ΔΕ= ρ τη ΕΖ =ρ Το ΑΒΓΔΕΖ είναι το ζητούμενο 6γωνο23 Επίσης αν πάρω το ΑΓΕ έχω εγγράψει και ένα ισόπλευρο 3γωνο Αν διχοτομήσω τα τόξα παίρνω το 12γωνο το 24γωνο 48γωνο 96γωνο κοκ Μπορώ να κατασκευάσω το 5γωνο Υπάρχουν πολλοί τρόποι ο Ευκλείδης στα Στοιχεία αναφέρει τον εξής

Σε δοθέντα κύκλο κέντρου Ο φέρω δύο κάθετες διαμέτρους Η μία τέμνει τον κύκλο στο Α

και η άλλη στο Β Στην ακτίνα ΟΒ παίρνω το μέσο της C και σχεδιάζω τον κύκλο (C CA) που τέμνει τη διάμετρο ΟΒ στο D H AD είναι η ζητούμενη πλευρά του 5γώνου24

22 ένα πολύγωνο μπορεί να έχει όλες τις πλευρές ίσες αλλά όχι και τις γωνίες πχ ο ρόμβος 23 αν σχεδιάσω όλες τις διαγωνίους ενός 6γωνου σχηματίζεται το άστρο του Δαβίδ Αν κάνω το ίδιο για ένα 12γωνο βγαίνει το εξης σχήμα

Επίσης αν διχοτομήσουμε τα ενδιάμεσα τόξα παίρνω ένα 10γωνο Αν διχοτομήσω πάλι 20γωνο 40γωνο 80γωνο κοκ Τα κανονικά πολύγωνα με 7 9 11 13 14 δεν κατασκευάζονται γεωμετρικά

Για το 15γωνο παρατηρούμε ότι 53

32

151

δηλ το τόξο του 115 του κύκλου προκύπτει

αν πάρω το τόξο 13 δύο φορές και από αυτό αφαιρέσω τρεις φορές το τόξο 15 Αρχίζοντας από ένα σημείο Α του κύκλου κατασκευάζω ένα ισόπλευρο 3γωνο ΑΒΓ και ένα 5γωνο ΑΔΕΖΗ Το ΓΖ θα είναι η πλευρά του 15γώνου25 Με διχοτομήσεις κατασκευάζω και τα 30γωνο 60γωνο κοκ

Η κατασκευή του 17γώνου είναι πιο σύνθετη και δόθηκε το 1796 από τον CF Gauss

Με διχοτομήσεις κατασκευάζω το 34γωνο 68γωνο κοκ Η κατασκευή του 257γώνου δόθηκε από τον FJ Richelot (1832) και αυτή του 65537γώνου από τον JGHermes (1894) Ποια πολύγωνα κατασκευάζονται O CFGauss στο έργο του Disqusitiones Arithmeticae (1798) διατύπωσε και απέδειξε το εξής Θεώρημα Αν ν = γινόμενο δύναμης του 2 με (διαφορετικούς) πρώτους αριθμούς Fermat τότε το ν-γωνο είναι κατασκευάσιμο Διατύπωσε και το αντίστροφο το οποίο απέδειξε ο P Wantzel (1837) Οι αριθμοί του Fermat έχουν τη μορφή 2ν+1 όπου ν = 2μ Έχουν υπολογιστεί ως τώρα οι μ ν Fμ 0 1 3 1 2 5 2 4 17 3 8 257 4 16 65537 5 32 4294967297 6 64 18446744073709551617 7 128 340282366920938463463374607431768211457 8 256 με πολλά ψηφία

Από αυτούς οι F0 F1 F2 F3 F4 είναι πρώτοι26 ενώ οι F5 F6 F7 F8 είναι σύνθετοι Δεν ξέρουμε αν οι επόμενοι είναι πρώτοι ή σύνθετοι Εικασίες υπάρχουν άλλοι πρώτοι αριθμοί Fermat Αν ναι είναι άπειροι Οι σύνθετοι αριθμοί Fermat είναι άπειροι

24 Αν σχεδιάσω τον κύκλο (C

2CO ) που τέμνει την CA στο Ι τότε το ΑΙ είναι

πλευρά 10γώνου 25 άλλος τρόπος

101

61

151

26 Αν ο 2μ+1 είναι πρώτος τότε πρέπει μ θα είναι δύναμη του 2 δηλ πρέπει μ = 2ν

Το Θεώρημα του Gauss μπορεί τώρα να διατυπωθεί ως εξής Αν ν = 2κmiddotF1middotF2middotFmiddotmiddotmiddotFλ όπου Fi πρώτοι αριθμοί Fermat διαφορετικοί μεταξύ τους τότε το ν-

γωνο είναι κατασκευάσιμο γεωμετρικά Ισχύει και το αντίστροφο Έτσι μόνο τα παρακάτω ν-γωνα κατασκευάζονται

3 4 5 6 8 10 12 15 16 17 20 24 30 32 34 40 48 51 60 64 68 80 85 96 102 120 128 136 160 170 192 204 240 255 256 257 hellip ενώ τα πιο πολλά όχι 7 9 11 13 14 18 19 21 22 23 25 26 27 28 29 31 33 35 36 37 38 39 41 42 43 44 45 46 47 49 50 52 53 54 55 56 57 58 59 61 62 63 65 66 67 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 81 82 83 84 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 97 98 99 100 101 hellip Αρκεί να βρω την κατασκευή των ν-γωνων με πλευρές 3 5 17 257 65537 hellip δηλ με ν = Fi Αν ξέρω αυτών μπορώ να κατασκευάσω και το ν-γωνο με ν = 3middot5 3middot17 3middot257 5middot17 5middot257 17middot257 κά με τη βοήθεια της παρακάτω Πρότασης

Αν κ λ αριθμοί πρώτοι μεταξύ τους τότε υπάρχουν ακέραιοι α β ακ+βλ = 1

Αν ν = λmiddotκ τότε

1

Πχ το 15γωνο το κατασκευάσαμε πιο πριν επειδή 15 = 5middot3 και υπάρχουν οι 2 -3 2middot5-3middot3 = 1

Για να κατασκευάσω το 51γωνο επειδή 51 = 3middot17 και 11middot3-2middot17 = 1 θα έχω 511

1711

32

δηλ το

τόξο του 3γώνου το παίρνω 2 φορές και από αυτό αφαιρώ 11 φορές το τόξο του 17γώνου Όμοια για ν = 85 = 5middot17 Επίσης μπορώ να κατασκευάσω και τα 3middot5middot17 3middot5middot257 5middot17middot257 κά

Μπορώ λοιπόν να κατασκευάσω τα ν-γωνα με ν = F1middotF2middotmiddotmiddotFλ 27 Αν διχοτομήσω τα ενδιάμεσα τόξα κατασκευάζω και το 2middotF1middotF2middotmiddotmiddotFλ Αν διχοτομήσω πάλι κατασκευάζω το 22middotF1middotF2middotmiddotmiddotFλ και γενικότερα το 2κmiddotF1middotF2middotFmiddotmiddotmiddotFλ

Επίσης το ν-γωνο με ν = 2κ κατασκευάζεται με διχοτομήσεις αρχίζοντας από το 4γωνο

27 είναι 31 περιπτώσεις με τους μέχρι τώρα γνωστούς πρώτους αριθμούς Fermat

Page 2: ΣΥΝΘΕΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Α' & Β' …blogs.sch.gr/gymkamin/files/2012/11/m1.pdfΣΥΝΘΕΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Α' & Β' ΤΑΞΗΣ