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1.4 Calculo de Probabilidades conMetodos de Conteo
Considerere un espacio muestral finito,
Ω = ω1, . . . , ωn,y defina,
P (ωi) = pi, i = 1, . . . , n
Luego,
P (A) =∑ωi∈A
pi , A ⊂ Ω
Ω se dice equiprobable si todos los pi son iguales,e.d.
pi =1
n, i = 1, . . . , n.
En este caso,
P (A) = nAn = numero de casos favorables
numero de casos totales
= (∑
ωi∈A pi =∑
ωi∈A1n = nA
n = #A#Ω)
Advertencia
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Ejemplo B:
Urna negra: 5 bolas rojas, 6 bolas verdesUrna blanca: 3 bolas rojas, 4 bolas verdesUsted escoge una urna a voluntad, y luego extraeal azar una bola de esa urna.
Si usted extrae una bola roja gana un premio.
¿Que urna usted debe preferir?
Defina los eventos:
RN =se extrae una bola roja de la urna negra.
RB =se extrae una bola roja de la urna blanca.
P (RN ) = 55+6 = 5
11 = 0, 455
P (RB) = 33+4 = 0, 429
La urna negra es preferible.
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En un segundo juego la composicion de las urnases:Urna negra: 6 bolas rojas, 3 bolas verdesUrna blanca: 9 bolas rojas, 5 bolas verdes¿Que urna usted debe preferir?
Para este segundo par de urnas las probabilidadesde extraer una bola roja son:
P (RN ) = 69 = 0, 667
P (RB) = 33+4 = 0, 643
Nuevamente la urna negra es preferible.En un tercer, y ultimo, juego, el contenido deurna negra del segundo juego se agrega a la urnanegra del primer juego. De manera similar, elcontenido de urna blanca del segundo juego seagrega a la urna blanca del primer juego. ¿Queurna usted debe preferir en el ultimo juego?
Tal vez su intuicion le dice que escoja la urnanegra.
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El calculo de la probabilidades arroja:P (RN ) = 11
20 = 0, 55
P (RB) = 1221 = 0, 571
De modo que en el ultimo juego
la urna blanca es preferible!Este ejemplo ilustra una instancia de la paradojade Simpson.Ejemplo real: ver seccion 11.4.7.
Ejemplos interesantes en: Gardner, M. (1976) Mathematical Games. Scientific
American, 234. 119-123.
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El Principio de Multiplicacion.
Si un experimento tiene m resultados y otrotiene n resultados,
entonces hay m× n resultados para los dosexperimentos.
Ejemplo:
En la clase hay hombres
mujeres
es posible formar parejas
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Principio de Multiplicacion Extendido.
p experimentos
ni resultados en el experimento i, i = 1, . . . , p
hay n1 × n2 × · · · × np resultados para los pexperimentos.
Ej.: ¿cual es el numero total de patentes de au-tos?
Ejemplo C:Una palabra binaria de 8 bits es una secuencia de8 dıgitos, cada uno de los cuales puede ser 0 o 1.¿Cuantos palabras de 8 bits Ud. puede formar?Sol: Hay dos alternativas para el primer dıgito,dos para el segundo, etc. Luego hay
2× 2× 2× 2× 2× 2× 2× 2 = 28 = 256,
palabras binarias de 8 bits.
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Ejemplo D:Una molecula de ADN es una secuencia de cu-atro tipos de nucleotidos que se denotan por A,G, C y T. La molecula puede tener millones deunidades de largo y por lo tanto puede codificaruna cantidad enorme de informacion. Por ejem-plo, para una molecula con 1 millon de unidades
de largo, uno puede formar 4106secuencias difer-
entes. Este es un numero enorme con cerca deun millon de dıgitos.Un aminoacido se codifica con una secuencia detres nucleotidos. Luego hay 43 = 64 codigosdiferentes, pero hay solo 20 aminoacidos puestoque alguno de ellos tienen varios codigos.Una proteına es una molecula que se compone decientos de unidades de aminoacidos. Luego hayuna cantidad enorme de proteınas. Por ejemplohay 20100 secuencias diferentes de 100 aminoacidos.
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1.4.2 Permutaciones y Combinaciones.
Sea C = C1, C2, . . . , Cn una coleccion de nobjetos.
Escogemos r objetos y los listamos en orden.
1. Muestreo sin reemplazo(objetos no se pueden repetir)
2. Muestreo con reemplazo(objetos se pueden repetir)
Proposicion A
Para muestreo sin reemplazo, uno puede escogerlos r objetos de
n×(n−1)×(n−2)×· · ·×n−r−1︷ ︸︸ ︷
(n− r + 1) formas
Para muestreo con reemplazo, uno puede escogerlos r de
n× n× · · · × n︸ ︷︷ ︸r
= nr formas
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Corolario
El numero de permutaciones de n objetos es
n(n− 1)(n− 2) · · · 1 = n!
Ejemplo:
Suponga que todas las patentes son equiproba-bles. ¿Cual es la probabilidad de que una patenteescogida al azar no tenga ni letras ni numerosrepetidos?
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Ejemplo E: Problema del cumpleanos
Hay n personas en una sala.
¿Cual es la probabilidad que al menos dos de el-las tengan el mismo dıa de cumpleanos?
Suponga que cada dıa del ano es igualmente prob-able como cumpleanos. (Descarte anos bisiestos).
Sea A el evento: “hay al menos dos personas conel mismo dıa de cumpleanos”.
P (A) = 1− P (Ac).
P (Ac) = P (“no hay dos personas con
=365× 364× · · · × (365− n + 1)
365n
En un curso con n = 75 alumnos:
P (A) = 0.9997199
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n P (A)4 0,016
16 0,28423 0,50732 0,75340 0,89156 0,988
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Recuento de Combinaciones
El interes se centra en los constituyentes de lasmuestra y NO en el orden de ellos.
Pregunta basica: si seleccionamos r objetos deun conjunto de n, sin reemplazo y sin considerarel orden,¿cuantas muestras distintas hay?
Pregunta equivalente: ¿cuantos subconjuntos detamano r se pueden formar de un conjunto detamano n?
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Respuesta:
numero de muestras ordenadas:
n(n− 1) · · · (n− r + 1) (r objetos)
que se pueden ordenar de r! manerasLuego, el numero de subconjutos de tamano rque se pueden a partir de un conjunto de tamanon es,
n(n− 1) · · · (n− r + 1)
r!.
Note que el numerador en esta ecuacion se puedereescribir en la forma,
n(n− 1)× · · · × (n− r + 1)
= n(n− 1)× · · · × (n− r + 1)× (n− r)!
(n− r)!
=n!
(n− r)!
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Proposicion B
El numero de muestras no-ordenadas de tamanor tomadas sin reemplazo de n objetos es(
n
r
)=
n!
r!(n− r)!
= Coeficiente binomial
Los coeficientes binomiales ocurren en la expan-sion,
(a + b)n =
n∑k=0
(n
k
)akbn−k
En particular,
2n =
n∑k=0
(n
k
).
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Interpretacion: Este resultado provee el numerode subconjuntos que uno puede formar a partirde un conjunto de tamano n. Es decir,
#(P (A)) = 2n, si #(A) = n.
Uno suma el numero de subconjuntos de tamanocero (con la convencion 0! = 1.) con el numerode subconjuntos de tamano 1, etc., hasta el numerode subconjuntos de tamano n.
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Ejemplo G: Hasta 1991, un jugador de la loterıadel Estado de California, EEUU, podıa ganar elpozo escogiendo seis numeros entre 1 y 49 y quedespues coincidieran con los seleccionados porfuncionarios de la loterıa.Habıan
(496
)= 13.983.816 formas de escoger 6
numeros de 49, y por lo tanto la probabilidad deganar el pozo era aproximadamente 14 millones.Si no habıa ganadores, el pozo se acumulaba parael proximo juego.Las reglas del juego fueron modificadas de modoque el los jugadores tenıan que escoger 6 numerosentre 1 y 53.Puesto que
(536
)= 22.957.480, la probabilidad
de ganar decrece a 1 en 23 millones aproximada-mente. Por la acumulacion de pozos de variosjuegos, el pozo alcanzo un record de USD 120millones. Este pozo genero un fiebre de juego,gente compraba boletos a tasas de entre 1 y2 millones por hora y los ingresos del estadocrecieron fuertemente.
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Ejemplo H:
- n items en un lote.
- items pueden ser defectuosos o no.
- se seleccionan r para ser examinados.
hay(nr
)de tales muestras.
Supongamos que hay k items defectuosos en ellote.
¿Cual es la probabilidad que la muestra contengam items defectuosos exactamente?
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Sea A el evento relevante:
P (A) =n casos favorables
n casos totales
=n formas en que A puede ocurrir
n muestras(k
m
)= numero de muestras con exacta-
mente m items defectuosos.(n− k
r −m
)= numero de muestras con exacta-
mente r −m items NO defectuosos
Luego,
P (A) =
( km
)(n−kr−m
)(nr
)Probabilidad Hipergeometrica
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Ejemplo I: Metodos de Captura-Recaptura
Uso: Estimacion del tamano
de una poblacion de animales
Etapa I
10 animales son atrapados, marcados y
devueltos
Etapa II
20 animales son atrapados,
4 de ellos habıan sido marcados
¿Cual es el tamano de la poblacion?
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Sea A el evento:“4 animales de 20 tienen marcas.”
P (A) =
(104
)(n−1016
)(n20
)=
n muestras “favorables”
n muestras “totales”
n = tamano de la poblacion
DESCONOCIDO
cantidad de interes
“datos” = n de animales marcados
en la Etapa II
cantidad desconocida ANTES
del experimento . . .
observada DESPUES
del experimento
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Tamanos de las muestras (10 y 20) son conoci-dos antes del experimento (cantidades fijas porDISENO.
Cantidad de interes NO observable: parametro
El proceso de aprendizaje sobre los parametrosse llama INFERENCIA ESTADISTICA.
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Proposicion C
El numero de formas que n objetos pueden ser
ordenados en r clases con ni objetos en la clase
i, i = 1, . . . , r, y∑r
i=1 ni = n, es(n
n1n2 · · ·nr
)=
n!
n1!n2! · · ·nr!.
Note que la Proposicion B es un caso especialdel la Proposicion C con r = 2.
Dem:
Hay( nn1
)maneras de escoger los objetos para la
primera clase.
Terminada esta etapa,
Hay(n−n1
n2
)maneras de escoger los objetos
para la 2da clase.
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Continuando de esta manera, uno cuenta
n!
n1!(n− n1)!× (n− n1)!
(n− n1 − n2)!(n2)!×
· · · ×
nr︷ ︸︸ ︷(n− n1 − n2 − · · · − nr−1)!
(0)!nr!︸ ︷︷ ︸1
,
formas de escoger los objetos de la forma desea-da.
El resultado de la proposicion se obtienedespues de simplificar.
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Ejemplo JUn comite de siete personas puede ser divididoen tres comites de tamano tres, dos y dos, re-spectivamente.¿Cuantos subcomites diferentes uno puede for-mar de esta forma ?(
7
322
)=
9!
2!4!3!= 1260.
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Ejemplo KDe cuantas formas uno puede reordenar el con-junto de nucleotoides A, A,G,G,G,G,C, C, Cen una secuencia de nueve letras?Solucion: Uno puede usar la Proposicion Cdespues de notar que uno puede reformular lapregunta en forma equivalente:De cuantas formas uno puede ordenar las nueveposiciones en la secuencia en subgrupos de tamanodos, cuatro y tres? (que son las posiciones de lasletras A, G y C).(
9
243
)=
9!
2!4!3!= 1260.
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Ejemplo L¿De cuantas formas uno puede ordenar n = 2mpersonas y luego asignarlas a m canchas de tenis?Sol: En este problema ni = 2, i = 1, . . . ,m,y de acuerdo a la proposicion C el numero deasignaciones es
(2m)!
2m .
Uno tiene que ser cauteloso con estos problemas.Suponga que la pregunta fuera por el numero deparejas que uno puede formar con 2m personas,sin requerir que luego sean asignadas a canchasde tenis.Puesto que el numero de formas en que unopuede asignar m parejas a m canchas es m!, unodebe dividir el resultado anterior por m!, y obten-er,
(2m)!
m!× 2m.
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Los numeros( nn1n2···nr
)se llaman coeficientes
multinomiales, y ocurren en la expansion
(x1 + x2 + · · · + xr)n =∑ (
n
n1n2 · · ·nr
)x
n11 x
n22 · · ·xnr
r ,
donde la suma es sobre los enteros n1, n2, . . . , nr,tales que n1 + n2 + · · · + nr = n.
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Ejercicio
Suponga que un mazo de 52 naipes contiene 4ases.
El mazo se mezcla y los naipes se distribuyenentre cuatro jugadores. Cada Jugador recibe 13naipes.
Calcule la probabilidad que cada jugador recibaun as.
Sol:
Numero de casos totales:
Los cuatro ases ocupan cuatro posiciones en elmazo.
Enumere las posiciones en el mazo de 1 a 52.
El numero de casos totales es el numero de for-mas que se puede seleccionar 4 numeros de 52.
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En otras palabras, el numero de subconjuntos detamano 4 que se puede seleccionar a partir de 52elementos.
Numero de configuraciones totales =(52
4
).
Suponga que cada una de estas configuracines esigualmente probable.
Numero de casos favorables:
Si cada jugador recibe un as, entonces debe haberexactamente un as entre los 13 primeros naipes,exactamente un as entre los 13 naipes siguientes,y exactamente un as entre los 13 naipes que losotros dos jugadores recibiran.
Para el primer as hay 13 posicines posibles.
Para el segundo as hay 13 posiciones posibles, yel mismo numero de posiciones para los ases delos otros dos jugadores.
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Por lo tanto hay 134 configuraciones de posi-ciones de los cuatro ases que conducen al re-sultado deseado.
Luego, la probabilidad p que cada jugador recibaexactamente un as es
p =134(524
) = 0, 1055
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