ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Η ιδέα για την εκπόνηση της παρακάτω ερευνητικής εργασίας προέκυψε από μια ανάγκη να προσεγγίσουμε το μάθημα των Μαθηματικών μέσα από μια άλλη οπτική γωνία Θεωρούμε ότι οι μαθητές γνωρίζοντας το έργο και τη ζωή των αρχαίων Ελλήνων Μαθηματικών θα συνειδητοποιήσουν ότι τα Μαθηματικά έθεσαν τις βάσεις της δομημένης σκέψης και της ανθρώπινης λογικής Η συγκεκριμένη εργασία θα βοηθήσει τους μαθητές να δουν τη σχέση της μαθηματικής σκέψης με την ιστορία και τη φιλοσοφία

Θεωρήσαμε λοιπόν απαραίτητο να δώσουμε κάποια ερεθίσματα στα παιδιά για να ερευνήσουν μέσα στην υπάρχουσα βιβλιογραφία στα αρχαία κείμενα αλλά και μέσα στο διαδίκτυο ώστε να συγκεντρώσουν το κατάλληλο υλικό για τις γνώσεις που μας κληροδότησαν οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί και να καταλήξουν σε κάποια χρήσιμα συμπεράσματα για την εξέλιξη της επιστήμης των Μαθηματικών

Αφού συγκεντρώσαμε όσα περισσότερα στοιχεία μπορέσαμε και τα αξιολογήσαμε διαμορφώσαμε την παρούσα εργασία Στην εργασία αυτή υπεύθυνοι καθηγητές ήταν ο κΤακτικός Θεόδωρος Μαθηματικός και η κΚατσίχτη Ευγενία Φιλόλογος

Οι μαθητές της Αrsquo τάξης του 1ου Γενικού Λυκείου Σπάρτης που συμμετείχαν ανά ομάδες στην ερευνητική αυτή εργασία είναι

Ομάδα laquoΘαλήςraquo

Ομάδα laquoΠυθαγόραςraquo

Ομάδα laquoΠλάτωναςraquo

Ομάδα laquoΕυκλείδηςraquo

Ομάδα laquoΑρχιμήδηςraquo

Αποστολάκος Γρηγόριος

Γραμματικάκης Άγγελος

Γκουλεβατάγια Κριστίνα

Αποστολάκου Βασιλική

Γιαλελή Αγγελική

Ζαλούμης Αλέξανδρος

Κουτσοβίτη Παναγιώτα

Μακρής Απόστολος

Γεωργακάκου Μάρθα

Ζάλμπα Μαρία

Ταϊφάκου Σωτηρία

Μητσόπουλος Γεώργιος

Μιχαλαριάς Βασίλειος

Δρακοπούλου Σταματική

Κουτσοβίτης Ευάγγελος

Τούμπουρα Αθανασία

Παπαδάκου Παναγιώτα

Μπόκος Βασίλειος

Σκούρου Άννα

Τσιάκου Ελπίδα

2

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Ξεκινώντας την εργασία με την ομάδα των μαθητών που επέλεξαν το συγκεκριμένο θέμα θεωρήσαμε αναγκαίο να συνάψουμε από κοινού το συμβόλαιο συνεργασίας Οι μαθητές με προθυμία ανταποκρίθηκαν και έθεσαν τις αρχές του συμβολαίου το οποίο όλοι υπέγραψαν Στη συνέχεια παρουσιάσαμε το σκεπτικό του σχεδίου εργασίας δίνοντας τα κατάλληλα ερεθίσματα για προβληματισμό και συζήτηση με σκοπό τη διαμόρφωση συγκεκριμένων ερευνητικών ερωτημάτων

Μετά την παρουσίαση πολλών αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών η ομάδα αποφάσισε να ασχοληθεί με τους πιο οικείους για τους μαθητές μαθηματικούς δηλαδή τον Πυθαγόρα τον Αρχιμήδη τον Ευκλείδη το Θαλή αλλά και με τον Πλάτωνα αφού η σχέση του με τα μαθηματικά θα καταδείκνυε τη σχέση των μαθηματικών με τη φιλοσοφία

Στην πορεία οι μαθητές χωρίστηκαν σε 5 τετραμελείς υποομάδες όπου με τη διακριτική καθοδήγησή μας φροντίσαμε να αποτελούνται από μαθητές διαφορετικών προσωπικοτήτων (με γνώμονα την αρχή της ετερογένειας) Ύστερα από κλήρωση (τυχαίο κριτήριο) η κάθε υποομάδα ανέλαβε έναν από τους παραπάνω μαθηματικούς

Έχοντας ως σκοπούς αυτής της εργασίας

να γνωρίσουν και να συνειδητοποιήσουν οι μαθητές την αξία και τη χρησιμότητα των μαθηματικών επιτευγμάτων των αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών και ειδικότερα του Θαλή του Ευκλείδη του Πυθαγόρα του Αρχιμήδη και του Πλάτωνα στην παγκόσμια ιστορία των μαθηματικών αλλά και στην ανάπτυξη της ανθρώπινης σκέψης γενικότερα να προβληματιστούν και να ερευνήσουν κατά πόσο αυτές οι μαθηματικές γνώσεις των αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών μπορούν να συμβάλουν στη λύση σύγχρονων προβλημάτων να ασκήσουν οι μαθητές τον τρόπο σκέψης την επιστημονική μέθοδο εργασίας και να ενεργοποιήσουν τη δημιουργικότητα αλλά και τη συλλογικότητα με την ενεργό και άμεση εμπλοκή τους σε όλες τις φάσεις της ερευνητικής εργασίας

καταλήξαμε στα παρακάτω ερευνητικά ερωτήματα

1 Βιογραφικά στοιχεία για κάθε Έλληνα μαθηματικό2 Βασικές μαθηματικές γνώσεις που μετέδωσε ο καθένας στην ανθρωπότητα3 Πως αυτές οι γνώσεις μπορούν να βοηθήσουν στην επίλυση σύγχρονων προβλημάτων4 Ποια επιτεύγματα αυτών έχουν εφαρμογή στη σύγχρονη εποχή και σε ποιους τομείς5 Ποια η συμβολή τους στην ανάπτυξη της μαθηματικής επιστήμης

Στη συνέχεια ακολούθησε η αναζήτηση του υλικού μέσα από τη σχετική βιβλιογραφία και τις ανάλογες ιστοσελίδες η επεξεργασία η αξιολόγηση και η σύνθεση αυτών των στοιχείων Στην πορεία οι μαθητές ασχολήθηκαν και με την κατασκευή τεχνήματος ndash αφίσας όσο και με την οργάνωση της παρουσίασης της εργασίας Οι μαθητές εργάστηκαν ομαδοσυνεργατικά σε όλες τις φάσεις της ερευνητικής τους εργασίας

3

ΘΑΛΗΣ Ο ΜΙΛΗΣΙΟΣΒΙΟΓΡΑΦΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ

Ο Θαλής ο Μιλήσιος θεμελιωτής της Ελληνικής Φιλοσοφίας και της Μιλησίας Σχολής των κοσμολόγων ήταν προσωκρατικός φιλόσοφος που δραστηριοποιήθηκε στις αρχές του 6ου

αιώνα πΧ στη Μίλητο

Γεννήθηκε περίπου το 624-623 πΧ σύμφωνα με τις μαρτυρίες του Απολλόδωρου ενώ σύμφωνα με άλλες μαρτυρίες γεννήθηκε στα 630-635 πΧ και πέθανε σε προχωρημένη ηλικία παρακολουθώντας αθλητικούς αγώνες στην Ολυμπία εξαιτίας της ζέστης της δίψας και της εξάντλησης Στον τάφο του χαράχτηκε το εξής επίγραμμα laquoΕἰ ὀλίγον τό δέ σῆμα τό δέ κλεός οὐρανόμηκεςraquo δηλαδή laquoο χώρος που πιάνει ο τάφος είναι μικρός αλλά η δόξα σου φτάνει στα ουράνιαraquo

Η παράδοση κατατάσσει το Θαλή μεταξύ των 7 Σοφών και τον περιγράφει ως άνθρωπο με πλατιές γνώσεις και μεγάλη επινοητικότητα Ήταν μία πολύπλευρη προσωπικότητα Ασχολήθηκε με την αστρονομία και τα μαθηματικά την φυσική και την φιλοσοφία Επίσης αναδείχτηκε σε αξιόλογο πολιτικό αφού σε καίριες στιγμές παρενέβη στα πολιτικά δρώμενα της εποχής του Πληροφορίες λένε ότι δεν σπούδασε σε καμία σχολή ούτε μαθήτευσε σε κανένα δάσκαλο Σε όλη τη διάρκεια της ζωής του παρέμεινε άγαμος και αφοσιωμένος στη θεωρητική πρακτική ενασχόληση με τη φιλοσοφία και τις άλλες επιστήμες

Όπως μας αναφέρει και ο Πρόκλος

Ο Θαλής αγαπούσε τα ταξίδια Ταξίδεψε στην Αίγυπτο και την Βαβυλώνα όπως ήταν καθιερωμένο να κάνουν οι σοφοί του 6ου αιώνα και μελέτησε τον τρόπο ζωής και τις επιστήμες των Αιγυπτίων Με τον τρόπο αυτό έφερε μαζί του πίσω στη Μίλητο γνώσεις και εφαρμογές οι οποίες συνέβαλαν στην εξέλιξη της Γεωμετρίας και των Μαθηματικών

4

Για τα επιστημονικά επιτεύγματα λέγονται πολλά και είναι δύσκολο να ξεχωρίσει κανείς ποια από αυτά δεν οφείλονται στο θρύλο που δημιουργήθηκε γύρω από την προσωπικότητα του Το σημαντικότερο ωστόσο είναι ότι μέσω των προβληματισμών του για την αρχή του κόσμου ανήγαγε τα πολλαπλά φαινόμενα του κόσμου σε μία μοναδική αρχή γεγονός που τον κατατάσσει δίκαια laquo στη χορεία των φιλοσόφωνraquo Ο Θαλής δεν πρέπει να άφησε κανένα έργο παρά μόνο ένα με τίτλο laquo Ναυτική Αστρολογίαraquo αν και αυτό αμφισβητείται σύμφωνα με τον Διογένη Λαέρτιο ο οποίος υποστηρίζει ότι είναι έργο του Φώκου του ΣάμιουΕΡΓΟ-ΓΝΩΣΕΙΣ-ΘΕΩΡΙΑΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑΟ Θαλής ήταν ο πρώτος Έλληνας Φιλόσοφος που αναζήτησε την πρώτη αρχή των όντων και των κοσμολογικών φαινομένων Ως πρώτη αιτία όρισε το νερό Η ζωτική δύναμη του νερού και η τεράστια σημασία του για την φύση ήταν τα αίτια που έκαναν το Θαλή να το ορίσει ως πρωταρχικό στοιχείο του αποδίδοντας 2 κοσμολογικές απόψεις

bull Η γη έχει την μορφή ενός κυκλικού δίσκου που στηρίζεται στο νερό

bull Το νερό είναι η αρχή των πάντων

Σύμφωνα με τον Αριστοτέλη ήταν η αρχαιότερη θεωρία που είχε διατυπωθεί και είχε παραδοθεί από τον Θαλή

ΘΕΟΛΟΓΙΑ Όπως μας αναφέρει ο Αριστοτέλης μια άλλη επιστήμη στην οποία συνέβαλε ο Θαλής ήταν η Θεολογία Υποστήριζε πως ο κόσμος είναι γεμάτος Θεούς laquoπάντα πλήρη θεῶν εἶναιraquo και ότι η ψυχή είναι κάτι το κινητικό laquoκινητικόν τίraquo

Ακόμη είναι ο πρώτος που παρατήρησε ότι ο μαγνήτης (Fe 0) ασκεί ελκτικές δυνάμεις σε σιδερένια αντικείμενα Οι ανακαλύψεις των ηλεκτρικών και μαγνητικών ιδιοτήτων ορισμένων υλικών ώθησαν το Θαλή στη διατύπωση της θεωρίας ότι καθετί που υπάρχει στη φύση έχει ψυχή Από την εξήγηση που έδωσε ότι οι ετήσιες (μελτέμια) προκαλούν τις πλημμύρες του ποταμού Νείλου πιθανολογείται ότι πρέπει να ασχολήθηκε και με τη μελέτη των μετεωρολογικών φαινομένων χωρίς όμως να σωθούν οι παρατηρήσεις και οι μελέτες που έκανε

ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΕάν η θεμελίωση της θεωρητικής γεωμετρίας ως επιστήμης και κατά συνέπεια η θεμελίωση του πολιτισμού οφείλεται στην αναλαμπή του Θαλή ο οποίος σκέφτηκε να διατυπώσει τα γεωμετρικά αξιώματα και την ανάγκη απόδειξης με αυτά των γεωμετρικών προτάσεων η συνολική θεώρηση του κόσμου και η προσπάθεια αναγωγής όλων των φαινομένων σε μία αρχή αποτελεί πράγματι σημαντικό επίτευγμα του

5

ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΟ Θαλής εκτός από φιλόσοφος υπήρξε και μεγάλος αστρονόμος Ο Ηράκλειτος γράφει laquoΘαλῆς πρῶτος ἀστρολογῆσαιraquo

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑΩς μαθηματικός ο Θαλής είναι γνωστός στη στοιχειώδη γεωμετρία από το ομώνυμο θεώρημά του Η κυριότερη προσφορά του Θαλή όμως στην επιστήμη των μαθηματικών ήταν η εισαγωγή της αποδείξεως γεγονός που έφερε αλλαγή στον τρόπο του laquoσκέπτεσθαιraquo μέχρι εκείνη την εποχή

ΣΥΜΒΟΛΗ ΣΤΗΝ ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝΜε βάση όλες τις θεωρίες και τις γνώσεις του μπορούμε να κατανοήσουμε πως η συμβολή του στην εξέλιξη όλων των επιστημών ήταν καθοριστική

ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΜερικά από τα αποφθέγματα του Θαλή ήταν

bull Γνῶθι σαυτόν (Γνώρισε τον εαυτό σου)

bull Χαλεπόν τόν ἑυατόν γνῶναι (Είναι δύσκολο το να γνωρίσει κανείς τον εαυτό του)

bull Βαρύ ἀπαιδευσία (Η απαιδευσία είναι βαρύ πράγμα)

bull Μέτρῳ χρῶ (Σε όλες τις ενέργειες να υπάρχει μέτρο)

bull Μή πλούτει κακῶς (Να μην πλουτίζεις κακώς)

6

bull Ἀργός μή ἲσθι μηδ΄ἀν πλουτῆς (Να μην μένεις αργός ούτε όταν είσαι πλούσιος)

bull Ίσχυρότατον ἀνάγκη κρατεῖ γάρ πάντων (Η ανάγκη είναι το ισχυρότατο των πραγμάτων διότι υπερισχύει όλων)

bull Φίλων παρόντων καί ἀπόντων μέμνησο (Να θυμάσαι τους φίλους σου όταν είναι παρόντες και απόντες)

bull Φθονοῦ μᾶλλον ἤ οἰκτίρου (Καλύτερα να σε φθονούν παρά να σε λυπούνται)

bull Πρός τόν πυθόμενον τί πρότερον γεγόνοι νύξ ἡ ἡμέρα laquoἡ νύξraquo ἔφη laquoμία ημέρα πρότερονraquo (Προς κάποιον που τον ρώτησε τι έγινε πρώτα η νύκτα ή η ημέρα απάντησε laquoΗ νύχτα έγινε μία μέρα νωρίτεραraquo)

ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣυνοπτικά ο Θαλής στην αστρονομία

bull ανακάλυψε την ανισότητα των εξάμηνων (θερινού και χειμερινού) με σκιοθηρικό γνώμονα

bull Μέτρησε την διάρκεια του έτους (365 μέρες) bull Μελέτησε τις τροπές και τις ισημερίες του ήλιου και ανέπτυξε μεθόδους εντοπισμού

των αντίστοιχων ημερών μέσα στο έτος bull Ανέπτυξε μέθοδο υλοποίησης στο έδαφος της ακριβούς διεύθυνσης βορρά και

νότουbull Προέβλεψε μια έκλειψη ήλιου (Μάιος 585 πχ)bull Υπολόγισε τον λόγο της διαμέτρου του Ήλιου προς την φαινόμενη τροχιά του γύρω

από την γη καθώς και της διαμέτρου της σελήνης προς την τροχιά της γύρω από την γη

bull Κατασκεύασε το περίφημο laquoδιαστημόμετροraquo για τον υπολογισμό των αποστάσεων των πλοίων από την ξηρά

ΦΥΣΙΚΗΌσον αφορά την φυσική με την παρατήρηση ότι το ήλεκτρο (κεχριμπάρι) όταν τρίβεται πάνω σε μάλλινο ρούχο αποκτά την ιδιότητα να έλκει τρίχες μικρά φτερά κλπ ο Θαλής έθεσε τα θεμέλια του ηλεκτρισμού Αρκετούς αιώνες μετά η παραγωγή ηλεκτρισμού με την χρήση της τριβής πραγματοποιήθηκε με την βοήθεια ηλεκτροστατικών μηχανών Τέλος στο Θαλή οφείλεται και η ανακάλυψη του μαγνητισμού

7

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Συνοπτικά ο Θαλής στη γεωμετρία

bull Εισήγαγε την έννοια των παράλληλων ευθειώνbull Εισήγαγε την έννοια των γωνιών και τα πρώτα τους θεωρήματαbull Ανακάλυψε κριτήρια ισότητας και ομοιότητας τριγώνωνbull Ανακάλυψε το ομώνυμό του Θεώρημα του Θαλήbull Ανακάλυψε το θεώρημα της γωνίας της εγγεγραμμένης στο ημικύκλιοbull Εκτιμάται ότι ανακάλυψε το θεώρημα των τριών γωνιών τρίγωνου

ΜΑΡΤΥΡΙΕΣ-ΑΠΟΤΙΜΗΣΗΔυστυχώς οι γνώσεις μας για τα μαθηματικά που αναπτύχθηκαν τον 6ο και τον 5ο αιώνα πΧ είναι αποσπασματικές Κανένα κείμενο δεν διασώζεται ακέραιο ενώ οι πληροφορίες που έχουμε προέρχονται από συγγραφείς που έζησαν έως και 1000 χρόνια αργότερα

Ο Πρόκλος αποτελεί την καλύτερη και την πλέον αξιόπιστη πηγή για τον Θαλή ως Γεωμέτρη

Παρrsquo ότι ο Πρόκλος έζησε τον 5ο μΧ αιώνα η επισκόπηση της Ιστορίας της Γεωμετρίας που περιέλαβε στα σχόλια του για το πρώτο βιβλίο του Ευκλείδη είναι αξιόπιστη καθώς θεωρείται ότι βασίζεται στην χαμένη Ιστορία της Γεωμετρίας που είχε συγγράψει ο μαθητής του Αριστοτέλη ο Εύδημος

Με τον Θαλή αλλά και τους επίγονους της σχολής της Ιωνίας το σχήμα παίρνει ουσιαστικό και πρωτεύοντα ρόλο στην σπουδή της Γεωμετρίας και γίνεται το ίδιο αντικείμενο μελέτης και μαθηματικού στοχασμού

Δικαίως λοιπόν εξασφάλισε τον τίτλο του laquoΠατέρα της Γεωμετρίαςraquo αφού

bull Σύμφωνα με τον Ιερώνυμο (Μαθητής του Αριστοτέλη)

laquoΚατόρθωσε να μετρήσει τις πυραμίδες παρατηρώντας το μήκος της σκιάς τους κατά τη στιγμή που οι σκιές μας έχουν μήκος ίσο με το ύψος μαςraquo

8

bull Ο Πλίνιος

Μας λέει τα ίδια προσθέτοντας ότι ο Θαλής χρησιμοποίησε την μέθοδο και για κάθε άλλο σώμα του οποίου θέλουμε να βρούμε το ύψος

bull Ο Πρόκλος αποδίδει στο Θαλή πολλά μαθηματικά αποτελέσματαlaquoΠρώτος ο Θαλής απέδειξε ότι η διάμετρος διχοτομεί τον κύκλοraquolaquoΠρώτος εκείνος επεσήμανε ότι οι γωνίες της βάσης κάθε ισοσκελούς τρίγωνου είναι ίσεςraquo

bull Ο Εύδημος αναφέρει

laquoΟ Θαλής βρήκε πρώτος το θεώρημα ότι οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσεςraquo

Άλλες μαρτυρίες για τα θεωρήματα και τη συμβολή του Θαλή είναι και της ιστορικού Παμφίλης (που παρατίθεται από το Διογένη Λαέρτιο) η οποία υποστήριξε πως ο Θαλής υπήρξε ο πρώτος που ενέγραψε ορθογώνιο τρίγωνο σε κύκλο Συμφώνα όμως με τον Απολλόδωρο το λογικιστή αυτό πρέπει να αποδοθεί στους Πυθαγορείους Συμφώνα πάλι με τον Cantor ο Θαλής δεν laquoαπέδειξεraquo αλλά μάλλον παρατήρησε τις ιδιότητες των γεωμετρικών σχημάτων

Με βάση τις παραπάνω μαρτυρίες είμαστε σε θέση να αποτιμήσουμε τη συμβολή του Θαλή στην παγκόσμια ιστορία όλων των τομέων των επιστημών Η συμβολή αυτή έγκειται στο γεγονός ότι ανέπτυξε μια λογική δομή και εισήγαγε την απόδειξη στα μαθηματικά

9

ΠυθαγόραςΒΙΟΓΡΑΦΙΚΑ

Ο γνωστός σε όλους μας Πυθαγόρας ο Σάμιοςγεννήθηκε στη Σάμο και έζησε το 580-500πΧ Το όνομά του του το έδωσαν οι γονείς του προς τιμήν της Πυθίας η οποία προφήτεψε τη γέννησή του Σύμφωνα με τον Διογένη Λαέρτιο ο Πυθαγόρας έλεγε ότι κάποτε υπήρξε Αιθαλίδης και ήταν γιος του Ερμή Ο Ερμής του ζήτησε να διαλέξει ότι ήθελε εκτός από την αθανασία Ζήτησε λοιπόν όσο ζει να θυμάται όσα του έχουν συμβεί Έτσι μπορούσε να επαναφέρει στη μνήμη του τα πάντα από τις προηγούμενες ζωές του

Νεαρός ακόμα παρακινούμενος από τη φιλομάθειά του έφυγε από την πατρίδα του για να μυηθεί σε όλες τις ελληνικές και βαρβαρικές τελετές Πήγε στην Αίγυπτο και τότε ο πολιτάρχης τον σύστησε με επιστολή του στον Αμάση Εκεί έμαθε τέλεια τα αιγυπτιακά όπως λέει ο Αντιφών στο laquo Περί τῶν ἒν ἁρετῇ πρωτευσάντων raquo και επισκοπήθηκε τους Χυδαίους και τους Μάγους Κατόπιν στην Κρήτη με το Επιμενίδη κατέβηκε στο Ιδαίον Άντρο αλλά και στην Αίγυπτο είχε μπει στα άδυτα Έτσι γνώρισε τα μυστικά για τους θεούς Στη συνέχεια επέστρεψε στη Σάμο επειδή όμως βρήκε την πατρίδα του τυραννοκρατούμενη από τον Πολυκράτη αναχώρησε για τον Κρότωνα της Ιταλίας Έδρασε εκεί όπου και ίδρυσε την περίφημη laquoΠυθαγόρειο Σχολήraquo η οποία ήταν πολίτικο-θρησκευτικό ίδρυμα με πολιτικούς κυρίως στόχους όπου μελετήθηκαν και η αριθμητική και η γεωμετρία Επεδίωκε την ηθική και πνευματική αναγέννηση όλων των λαϊκών στρωμάτων ανδρών και γυναικών της περιοχής του Κρότωνα

Είχε πολλούς και καλούς μαθητές Κάθε φορά που έμπαιναν στο σπίτι του τους έλεγε να λένε τα εξής laquoΠού έσφαλαraquo laquoΤι έκαναraquo laquoΤι έπρεπε να κάνω και δεν έκαναraquo Οι μαθητές του επί πέντε χρόνια παρέμεναν σιωπηλοί και άκουγαν μόνο τις ομιλίες του Πυθαγόρα χωρίς ποτέ να βλέπουν τον ίδιο Μετά το τέλος αυτής της δοκιμασίας του γίνονταν μέλη του σπιτιού του και είχαν το δικαίωμα να τον βλέπουν

10

Πέθανε σύμφωνα με τον Διογένη Λαέρτιο καθώς προσπαθούσε να διαφύγει από την καταδίωξη Κροτωνιατών που φοβήθηκαν την εγκαθίδρυση τυραννίας λόγω της μεγάλης δύναμης που είχε αποκτήσει αυτός και οι μαθητές του στην πόλη Οι Κροτωνιάτες έσφαξαν αυτόν και τους τετρακόσιους μαθητές του αφού πρώτα έκαψαν το σπίτι του Μίλωνα στο οποίο λίγο πριν είχαν συγκεντρωθεί Ο Δικαίαρχος αναφέρει πως ο Πυθαγόρας πέθανε στο ιερό των Μουσών στο Μετάποντιο (ελληνική αποικία) μένοντας σαράντα ημέρες νηστικός

ΕΠΙΤΕΥΓΜΑΤΑ - ΕΡΓΟ

Η ηθική διδασκαλία του Πυθαγόρα και των ακολούθων του (Πυθαγορείων) διασώζεται σε 71 στίχους του έργου laquoΤα χρυσά έπη του Πυθαγόραraquo Η σύνθεση αυτών των στίχων αποδίδεται στους Νεοπυθαγορείους του 2ου-3ου μΧ αιώνα Η γνώση ότι τα laquoΧρυσά Έπηraquo γραφτήκαν από τον Πυθαγόρα ή τους Πυθαγορείους και ανασυντέθηκαν μεταγενέστερα με τη μορφή που έφτασαν σε εμάς δεν φαίνεται να είναι σωστή Αν κάνουμε μια απλή ανάγνωση στα εν λόγω έπη αποδεικνύεται ότι αυτά γράφτηκαν πολύ αργότερα Οπωσδήποτε όμως το περιεχόμενο των επών είναι απόλυτα laquoπυθαγορικόraquo και συμφωνεί με την παράδοση της ηθικής διδασκαλίας του Πυθαγόρα και των Πυθαγορείων

Οι σύγχρονοί του όμως φαίνεται ότι θεωρούσαν τον Πυθαγόρα περισσότερο ως θρησκευτικό προφήτη και λιγότερο ως μαθηματικό Πρέπει να υπογραμμίσουμε πάντως ότι η διδασκαλία του διέφερε από διδασκαλίες άλλων στοχαστών της εποχής του κατά το ότι απέδιδε πολύ μεγάλη σημασία στα μαθηματικά λέγοντας ότι αυτά είναι η οδός για την απελευθέρωση της ψυχής Το πιο σημαντικό μέρος των μαθηματικών για τους Πυθαγορείους είναι η αριθμητική Διότι όπως έλεγε και ο Πυθαγόρας laquoΤά τῶν αριθμῶν στοιχεία τῶν ὂντων πάντωνεἴναιraquo (Αριστοτέλους Μετά τα φυσικάΑ5)

11

[Aristot Metaph A 5985 b 23]οἱ καλούμενοι Πυθαγόρειοι τῶν μαθημάτων ἁψάμενοι πρῶτοι ταῦτά τε προήγαγον καὶ ἐντραφέντες ἐν αὐτοῖς τὰς τούτων ἀρχὰς τῶν ὄντων ἀρχὰς ᾠήθησαν εἶναι πάντων ἐπεὶ δὲ τούτων οἱ ἀριθμοὶ φύσει πρῶτοι ἐν δὲ τούτοις ἐδόκουν θεωρεῖν ὁμοιώματα πολλὰ τοῖς οὖσι καὶ γιγνομένοις μᾶλλον ἢ ἐν πυρὶ καὶ γῇ καὶ ὕδατι ὅτι τὸ μὲν τοιονδὶ τῶν ἀριθμῶν πάθος δικαιοσύνη τὸ δὲ τοιονδὶ ψυχή τε καὶ νοῦς ἕτερον δὲ καιρὸς καὶ τῶν ἄλλων ὡς εἰπεῖν ἕκαστον ὁμοίως ἔτι δὲ τῶν ἁρμονιῶν ἐν ἀριθμοῖς ὁρῶντες τὰ πάθη καὶ τοὺς λόγους - ἐπεὶ δὴ τὰ μὲν ἄλλα τοῖς ἀριθμοῖς ἐφαίνετο τὴν φύσιν ἀφωμοιῶσθαι πᾶσαν οἱ δ ἀριθμοὶ πάσης τῆς φύσεως πρῶτοι τὰ τῶν ἀριθμῶν στοιχεῖα τῶν ὄντων στοιχεῖα πάντων ὑπέλαβον εἶναι καὶ τὸν ὅλον οὐρανὸν ἁρμονίαν εἶναι καὶ ἀριθμόν

bull Πυθαγόρειες τριάδες

Ο Πρόκλος αποδίδει στον ίδιο τον Πυθαγόρα την εύρεση των πυθαγορείων τριάδων της

μορφής

+ΝminusΝΝ2

12

122

όπου Ν περιττός αριθμός μεγαλύτερος του 1 Για

παράδειγμα αν πάρουμε ως Ν τον αριθμό 3 θα σχηματιστεί η τριάδα

+minus2

132

13322

δηλαδή η (3 4 5) η οποία είναι πράγματι Πυθαγόρεια τριάδα αφού ικανοποιεί τη σχέση 222 543 =+

Φαίνεται ότι αληθεύει η εκδοχή λόγω της παράδοσης κάποιες μαθηματικές γνώσεις να μεταδόθηκαν από την Αίγυπτο σε πολλούς αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς ανάμεσα τους τον Πυθαγόρα

12

bull Πυθαγόρειο θεώρημα

Σε αντιστοιχία με τον ορισμό των πυθαγορείων τριάδων ένα τρίγωνο λέγεται πυθαγόρειο όταν τα μήκη των πλευρών του αποτελούν Πυθαγόρεια τριάδα Προφανώς κάθε ορθογώνιο τρίγωνο είναι πυθαγόρειο ενώ το αντίστροφο γενικά δεν ισχύει Το ΠΘ αποτελεί χαρακτηριστικό παράδειγμα μελέτης των ιδιοτήτων των σχημάτων Ο Ευκλείδης στα laquoΣτοιχείαraquo μας λέει ουσιαστικά ότι η επιφάνεια που καταλαμβάνει το τετράγωνο που κατασκευάζεται με πλευρά την υποτείνουσα ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι ίση με την επιφάνια που καταλαμβάνουν μαζί τα τετράγωνα που κατασκευάζονται με πλευρά τις κάθετες πλευρές του τριγώνου

-Ορισμός Πυθαγορείου Θεωρήματος Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών Αντίστροφο Πυθαγορείου Θεωρήματος Αν σε ένα τρίγωνο το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο

Η απόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήματος που χρησιμοποιούμε συνήθως σήμερα στηρίζεται στην έννοια της ομοιότητας των τριγώνων και τις αλγεβρικές ιδιότητες των αναλογιών ενώ το θεώρημα διατυπώνεται στη μορφή μιας αλγεβρικής ισότητας για τετράγωνα των μήκων των πλευρών του ορθογώνιου τριγώνου Με τον τρόπο αυτό γίνεται ένα ευέλικτο υπολογιστικό εργαλείο με πολυάριθμες εφαρμογές και προεκτάσεις

Το πυθαγόρειο θεώρημα αποδεικνύεται με πάνω από έναν τρόπους

13

Απόδειξη με εμβαδά

Θεωρούμε ένα τετράγωνο πλευράς a + b και σχεδιάζουμε σε αυτό τέσσερα ορθογώνια τρίγωνα με πλευρές a και b και υποτείνουσα c έτσι ώστε στο κέντρο να έχουμε τετράγωνο πλευράς c (βλ σχήμα)

Υπολογίζουμε το εμβαδό του τετραγώνου προσθέτοντας το εμβαδό του μικρότερου τετραγώνου καθώς και τα εμβαδά των τεσσάρων τριγώνων

c2 + 2abΑφού πρόκειται για τετράγωνο πλευράς a + b το εμβαδό του ισούται επίσης με

a2 + b2 + 2abΕξισώνοντας τις δυο αυτές σχέσεις προκύπτει

a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab ή a2 + b2 = c2

Απόδειξη με ομοιότητα τριγώνων

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ορθή γωνία την Α Θεωρώ το ύψος της υποτείνουσας ότι την τέμνει στο σημείο Δ Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΒΑ είναι όμοια μεταξύ τους ως ορθογώνια τρίγωνα με ίδια τη γωνία Β Παρομοίως τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΓΑ είναι όμοια μεταξύ τους με ίδια τη γωνία Γ

Ισχύει ))(()AB()AB()(

)()AB( 2 ∆ ΒΒ Γ=rArr∆ Β=

Β Γ και (ΑΓ)2 = (ΒΓ)(ΔΓ)

Αν προσθέσουμε τις δυο αυτές εξισώσεις έχουμε(ΑΒ)2 + (ΑΓ)2 =

(ΒΓ)(ΔΒ) + (ΒΓ)(ΔΓ) = (ΒΓ)(ΔΒ + ΔΓ) = (ΒΓ)2

bull Η περίφημη κούπα του Πυθαγόρα

Ο Πυθαγόρας κατά την τοπική παράδοση της Σάμου είχε φτιάξει μια κούπα εφαρμόζοντας τους νόμους της Φυσικής για να πίνει με μέτρο το κρασί Εσωτερικά είχε μία γραμμή που όριζε ως που έπρεπε να γεμίσει κανείς Μια στάλα παραπάνω και η κούπα άδειαζε όλο το κρασί της από μία κρυφή οπή στη βάση Πως όμως γίνεται αυτό Στο κέντρο της κούπας βρίσκεται μια στήλη τοποθετημένη ακριβώς πάνω από έναν σωλήνα ο οποίος οδηγεί στο κάτω μέρος της Εκεί βρίσκεται η κρυφή οπή Ενώ γεμίζουμε την κούπα η στάθμη του κρασιού ανεβαίνει και στο εσωτερικό της κεντρικής στήλης ακολουθώντας το νόμο του Pascal για τα συγκοινωνούντα δοχεία

14

Όσο η στάθμη του κρασιού δεν ξεπερνά τη γραμμή που είναι χαραγμένη στο εσωτερικό της κούπας laquoδεν τρέχει τίποταraquo Εάν όμως την ξεπεράσει ταυτόχρονα φτάνει και στην κορυφή της εσωτερικής στήλης έτσι μέσω του σωλήνα το παραπανίσιο κρασί χύνεται κάτω από την κούπα Τότε η υδροστατική πίεση δημιουργεί ένα σιφόνι στον εσωτερικό σωλήνα το οποίο αδειάζει όλο το περιεχόμενο της κούπας από την οπή που υπάρχει

Ένα πλήθος επιπρόσθετων επιτευγμάτων όπως η κατασκευή και η μελέτη τριών τουλάχιστον από τα πέντε κανονικά πολύγωνα (κύβος τετράεδρο δωδεκάεδρο) και η κατασκευή της μουσικής κλίμακας (μελέτη των λόγων της τετράχορδης λύρας και δημιουργία κανόνα της οχτάχορδης λύρας) μας αποδεικνύει τη σημαντικότητα του Πυθαγόρα ως επιστήμονας της εποχής του Οι πληροφορίες για τη μελέτη των πολυέδρων δεν είναι αρκετές ωστόσο για τη μουσική κλίμακα γνωρίζουμε ότι βασίστηκε στις μελέτες του Πυθαγόρα ο οποίος μελετώντας τη μαθηματική σχέση της μουσικής κλίμακας και διατυπώνοντας σχετικούς κανόνες διευκόλυνε κατά πολύ την κατασκευή μουσικών οργάνων Κατάφερε να εκφράσει τη μουσική αρμονία με μαθηματικές σχέσεις μέσα από τη φιλοσοφική και επιστημονική του προσέγγιση Ξεκινώντας από μία χορδή και διαιρώντας διαδοχικά με το μήκος της και τον χρυσό αριθμό Φ κατάφερε να κατασκευάσει το μουσικό όργανο laquoΚανόναraquo εξέλιξη του οποίου συναντάται σήμερα στο γνωστό laquoκανονάκιraquo

Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΟΥ ΣΤΟ ΣΗΜΕΡΑ

Το αρχαιότερο παράδειγμα εφαρμογής του γνωστού σε όλους laquoπυθαγορείου θεωρήματοςraquo το συναντούμε στη πινακίδα ΒΜ 85196 που χρονολογείται από την περίοδο της πρώτης βαβυλωνιακής χιλιετίας πΧ Έχοντας γνώση λοιπόν του έργου του οι Βαβυλώνιοι οδηγηθήκαν σε αξιόλογα επιτεύγματα

Ο Πυθαγόρας υπήρξε μεγάλη προσωπικότητα με τις έρευνες και το Πανεπιστήμιό του συνέβαλε στο άλμα των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών Η περίεργη μυστικότητα όμως που διέπνεε το σύλλογο έγινε αιτία να μην πληροφορηθούν οι βιογράφοι επακριβώς όλα τα προσωπικά επιτεύγματα του ίδιου Έτσι σήμερα αγνοούμε εν μέρη το δικό του έργο το οποίο ασφαλώς θα ήταν σημαντικότατο

Όσο αναφορά το πυθαγόρειο σχήμα παρά τα αρκετά μειονεκτήματα έχει μερικά χαρακτηριστικά τα οποία μόνιμα επηρέαζαν την ελληνική αστρονομική σκέψη Έδινε βαρύτητα στις κυκλικές κινήσει των ουράνιων σωμάτων γύρω από ένα κεντρικό στοιχείο Τέλος στον Πυθαγόρα και τους Πυθαγορείους οφείλεται πλήθος γεωμετρικών εργασιών αφού αυτοί μελέτησαν με επιτυχία την επιστήμη της Γεωμετρίας

15

Πλάτων ο ΑθηναίοςΒιογραφικά στοιχεία

Έζησε στο διάστημα (427-347πΧ) Ήταν Aθηναίος φιλόσοφος αριστοκρατικής καταγωγής όπου ίδρυσε και διεύθυνε το διασημότερο πανεπιστήμιο στην αρχαία Ελλάδα την Ακαδημία για 40 περίπου χρόνια μέχρι το θάνατό του Πατέρας του ήταν ο Αρίστωνας ο οποίος καταγόταν από το γένος του βασιλιά Κόδρου και μητέρα του ήταν η Περικτιόνη η οποία ήταν αδερφή του Χαρμίδη ενός από τους Τριάκοντα τύραννους και ανιψιά του Κριτία επίσης μέλος των Τριάκοντα με καταγωγή από το γένος του νομοθέτη Σόλωνος Αδέρφια του ήταν οι Αδείμαντος και Γλαύκων Το πρώτο του όνομα ήταν Αριστοκλής αλλά αργότερα ονομάστηκε Πλάτωνας γιατί είχε ευρύ στέρνο και πλατύ μέτωπο

Σε ηλικία 18 ετών γνώρισε τον Σωκράτη και γοητεύτηκε από την προσωπικότητα και από την διδασκαλία του Από το συνολικό έργο του διασώζονται 36 έργα τα οποία εκτός από την Απολογία του Σωκράτη έχουν την μορφή διαλόγου σε όλα εκτός των Νόμων Την συζήτηση διεύθυνε ο Σωκράτης ενώ ο τίτλος του καθενός είναι το όνομα του σπουδαιότερου συνομιλητή ή αφηγητή Στα έργα αυτά γίνεται φανερή η τοποθέτηση του και ο άκρατος

θαυμασμός του προς τα μαθηματικά και ιδιαίτερα προς την γεωμετρία

Λίγες πληροφορίες για την Ακαδημία

Η Ακαδημία ήταν ένα προάστιο των Αθηνών Πήρε το όνομά της από τον ήρωα Ακάδημο Αναφορικά ο Ιππίας γιος του Πεισίστρατου έκτισε ένα κυκλικό τοίχο και ο Κίμωνας φύτεψε τη περιοχή με τα δέντρα η οποία καταστράφηκε από τον Σίλα το 86 πΧ Το 387

16

πΧ O Πλάτωνας ίδρυσε τη φιλοσοφική του σχολή η οποία έγινε πολύ διάσημη χάρη στους νεοπλατωνιστές και χρησιμοποιείτο έως το 526 μΧ οπότε και έκλεισε από τον αυτοκράτορα Ιουστινιανό Η Ακαδημία ήταν σχολή ανωτέρων μελετών και ταυτόχρονα και εκπαιδευτικό ίδρυμα Είχε ισχυρή καταστατική συγκρότηση και παρουσιάζεται περισσότερο υπό τη μορφή μιας αδελφότητας μιας φιλοσοφικής αίρεσης τα μέλη της οποίας αισθάνονται στενά συνδεδεμένα μεταξύ τους και διακρίνεται και από μια οικειότητα στις σχέσεις μεταξύ των μαθητών και των δασκάλων την οποία θα χαρακτηρίζαμε στοργική και φιλική συνάμα Υπάρχει μια διαφωνία σχετικά με το αν η Ακαδημία ήταν ένωση για τη πρόοδο των επιστημών ή ίδρυμα ανώτατης μόρφωσης Η διαφωνία αυτή είναι κάπως άσκοπη δεδομένου το ότι ο άκρατος ρεαλισμός της σχολής αλλά και ο απλός χαρακτήρας της αρχαϊκής εκείνης εποχής δεν επιτρέπουν στο να μεταθέσουμε σε εκείνο το περιβάλλον τη σύγχρονη αντίληψη που έχουμε για την επιστήμη Η Ακαδημία άλλωστε ήταν σχολή ανώτερων μελετών αλλά και εκπαιδευτικό ίδρυμα ταυτόχρονα Τέλος ο Πλάτωνας δεν ονειρεύτηκε μόνο τη ldquoμετά επιστήμηςrdquo παιδεία αλλά και τη μετέδωσε για σαράντα χρόνια στους μαθητές του στην Ακαδημία

Η Ακαδημία ήταν ο τόπος στον οποίο ο Πλάτωνας προσπαθούσε να δείξει τον δρόμο σε προικισμένους μαθητές ώσπου να αναπηδήσει ο σπινθήρας και να αποκαλυφθεί η έσχατη γνώση Ξέρουμε τόσα λίγα για την καθημερινή διδασκαλία στην ακαδημία την εποχή του Πλάτωνα ώστε πότε-πότε θέλησαν να αρνηθούν τον επιστημονικό χαρακτήρα της Τέτοιοι σκεπτικισμοί δεν στηρίζονται πουθενά Την μεγάλη σημασία των μαθηματικών σαν προπαίδεια για την διαλεκτική η οποία στηριζόταν σε αυτά την δείχνουν μερικές προσωπικότητες του Πλατωνικού κύκλου και χωρίς αμφιβολία υπάρχει ουσιαστική αλήθεια στο ανέκδοτο που λένε ότι βρισκόταν πάνω από την είσοδο της Ακαδημίας laquoἁγεωμέτρητος μηδείς εἰσίτωraquo Ξέρουμε ακόμα ότι η διαιρετική μέθοδος για την οποία μιλήσαμε στους οψιμότερους διαλόγους έπαιξε σημαντικό ρόλο στον αγώνα για ένα λογικά ταχτοποιημένο κοσμοείδωλο και στην απόκτηση ορισμών με την διαίρεση των γενικότερων εννοιών

Η συμβολή του Πλάτωνα και της Ακαδημίας στα μαθηματικά

Η συμβολή της Ακαδημίας στα μαθηματικά του 4ου αιώνα πΧ είναι σημαντικότατη ιδιαίτερα με τα έργα των καθηγητών της Θεαίτητου Μεναίχμου και Ενδόξου Η συμβολή όμως του Πλάτωνα είναι αμφιλεγόμενη αν και πιστεύεται ότι

-Έλυσε το Δήλιο πρόβλημα (διπλασιασμό του κύβου) με κινητική γεωμετρία και κάποιο όργανο με την βοήθεια του οποίου προέκυπτε η λύση

-Έδωσε γενική μορφή στην αναλυτική μέθοδο και συνέβαλε στην έρευνα των γεωμετρικών τύπων

-Προσδιόρισε ένα πλήθος των πυθαγορείων τριάδων δηλαδή των τριαδικών ακέραιων αριθμών που επαληθεύουν την ισότητα x2+y2=ω2 του Πυθαγορείου θεωρήματος

Για τα πολυσυζητημένα αστρονομικά ζητήματα της εποχής του (κίνηση του ουρανού θέση σχήμα και κίνηση της Γης) παρουσιάζει ξένες και θολά διατυπωμένες απόψεις γεγονός που

17

φανερώνει ότι δεν διέθετε προσωπική άποψη για το θέμα και γενικά ότι δεν ήταν μαθηματικός

Έγραψε μεταξύ άλλων την απολογία του Σωκράτη η οποία θεωρείται ως μια σχετικά ακριβής καταγραφή της απολογίας του Σωκράτη στην δίκη που τον καταδίκασε σε θάνατο Μετά τη θανάτωση του Σωκράτη για λίγο καιρό κατέφυγε στα Μέγαρα κοντά στον συμμαθητή του Ευκλείδη Ύστερα γύρισε στην Αθήνα όπου για 10 χρόνια ασχολήθηκε με τη συγγραφή φιλοσοφικών έργων τα οποία φέρουν τη σφραγίδα της σωκρατικής φιλοσοφίας Στη συνέχεια ταξίδεψε στην Αίγυπτο και στην Κυρήνη όπου σχετίστηκε με τον μαθηματικό Θεόδωρο και τέλος στον Τάραντα της Ιταλίας όπου γνώρισε τους πυθαγόρειους από τη φιλοσοφική σκέψη των οποίων επηρεάστηκε αποφασιστικά Μετά πέρασε στη Σικελία Στην αυλή του βασιλιά των Συρακουσών Διονυσίου Α΄ γνώρισε τον βασιλικό γυναικάδελφο Δίωνα με τον οποίον συνδέθηκε φιλικά Η φιλία όμως αυτή προκάλεσε τις υποψίες του Διονυσίου για συνωμοσία γι αυτό έδιωξε τον Πλάτωνα από τη Σικελία Στην Αίγινα κινδύνεψε να πουληθεί ως δούλος αλλά τον εξαγόρασε ο Κυρηναίος φίλος του Αννίκερης Επιστρέφοντας στην Αθήνα άνοιξε τη φιλοσοφική σχολή του την Ακαδημία (387 πΧ) Η προσπάθεια όμως των δύο φίλων να προσηλυτίσουν στις ιδέες τους τον νέο ηγεμόνα Διονύσιο τον Πρεσβύτερο απέτυχαν Για τρίτη φορά ήρθε στην αυλή των Συρακουσών το 361 πΧ με σκοπό να συμφιλιώσει τον Δίωνα με τον Διονύσιο Αυτή τη φορά κινδύνεψε και η ζωή του Τον έσωσε η επέμβαση του πυθαγόρειου Αρχύτα Αλλά ο Δίωνας δεν γλίτωσε Δολοφονήθηκε το 353 πΧ Έτσι ο Πλάτωνας έχασε τον άνθρωπο στον οποίο στήριξε τις ελπίδες του για την επιβολή των πολιτικών του ιδεών Από τότε και μέχρι τον θάνατό του ασχολήθηκε με τη διδασκαλία και με τη συγγραφή φιλοσοφικών έργων Επίσης έγραψε το συμπόσιο που μιλάει για την φύση του έρωτα στον Πρωταγόρα Μεταξύ άλλων θεμελιώνεται θεωρητικά η αρχή της πρόληψης που δεν λαμβάνει την τιμή ως απολύτως ανταποδοτική στον Παρμενίδη και Θεαίτητο θεμελιώνει την αντικειμενικότητα του λόγου και της ιδέας ενώ σε 2 μακρούς διαλόγους την Πολιτεία και τους Νόμους περιέγραψε την ιδανική πολιτεία

Η κύρια συμβολή του στα μαθηματικά βρίσκεται κυρίως στο ότι προέτρεπεe τους μαθηματικούς να ερευνούν καθολικές μαθηματικές αλήθειες και γενικά να καλλιεργούν τα μαθηματικά τα οποία θεωρούσε ότι διαθέτουν τεράστια εκπαιδευτική αξία Η προτροπή αυτή φαίνεται εκτός των άλλων και στις απόψεις του ότι τα μαθηματικά είναι lsquorsquoδόσις θεῶν εἰς ἀνθρώπουςrsquorsquo και ότι οδηγούν έντονα την ψυχή προς το θείο

Οι επιδράσεις του Πλάτωνος στους έπειτα αιώνες

Ο Γάλλος ιστορικός της φιλοσοφίας Ζακ Σεβαλιέ τονίζει στο έργο του laquoΙστορία της σκέψηςraquo (1955) την κυρίαρχη παρουσία ή έστω ανταύγεια της πλατωνικής φιλοσοφίας σε ολόκληρο το Μεσαίωνα και στην Αναγέννηση και στους Νεότερους χρόνους ενώ ο Γερμανός φιλόσοφος Καρλ Γιάσπερς προβάλλει τον Πλάτωνα ως το τον πρώτο από τους τρεις θεμελιωτές του φιλοσοφείν Η ιστορία της φιλοσοφίας μέχρι τον Κικέρωνα είναι σαφώς επηρεασμένη από αυτόν και είτε αμφισβητεί είτε ακολουθεί τη διδασκαλία του Ο μαθητής του Αριστοτέλης εξ ίσου επιδραστικός με τον ίδιο οδηγήθηκε στην ανάπτυξη τμήματος του έργου του ως απάντηση στον πλατωνισμό Η σχολή την οποία ο Πλάτωνας

18

ίδρυσε το 387 πΧ η Ακαδημία συνέχισε να ακμάζει ως τις αρχές του πρώτου αιώνα π Χ έχοντας όμως μετατραπεί σε σκεπτική σχολή μετά τις αρχές της ελληνιστικής περιόδου

Κατά την εποχή του Αυγούστου υπήρξε αναβίωση της πλατωνικής φιλοσοφίας ο μεσοπλατωνισμός με εκπροσώπους όπως ο Φίλων ο Αλεξανδρεύς ενώ κατά τα τέλη του δεύτερου αιώνα ο μεσοπλατωνισμός άρχεσαι να μετατρέπεται σταδιακά υπό την επίδραση του νεοπυθαγορισμού και του ερμητισμού στην κατεχόμενη από τους Ρωμαίους Αίγυπτο στο κίνημα του νεοπλατωνισμού με αρχικούς εκπροσώπους όπως ο Πλωτίνος το οποίο είχε ιδεαλιστικό μυστικιστικό και σωτηριολογικό χαρακτήρα Η Ακαδημία στην Αθήνα επανιδρύθηκε ως κέντρο νεοπλατωνικών μελετών κατά τον τέταρτο αιώνα

Την ίδια εποχή περίοδο έντονων θρησκευτικών ζυμώσεων στη Ρωμαϊκή Αυτοκρατορία και σταδιακής επικράτησης του χριστιανισμού στη Μεσόγειο οι ακόλουθοι της αστικής ελληνορωμαϊκής θρησκείας αλλά και των ελληνικών μυστηριακών λατρειών συσπειρώθηκαν γύρω από τον νεοπλατωνισμό ως υπερασπιστή του μέχρι πρότινος επικρατούντος παγανισμού Μεμονωμένοι νεοπλατωνικοί και παγανιστικοί πυρήνες επέζησαν ως τον έκτο αιώνα οπότε και ο Αυτοκράτορας Ιουστινιανός έκλεισε με διάταγμα την Ακαδημία της Αθήνας Μετά περίπου εννέα αιώνες το έτος 1439 ο Γεώργιος Γεμιστός Πλήθων γράφει στη Φλωρεντία το πολύκροτο έργο του Περί ὧν Αριστοτέλης προς Πλάτωνα που αποτέλεσε το έναυσμα της διαμάχης πλατωνικών και αριστοτελικών στο Βυζάντιο και στην Ιταλία Ο πλατωνισμός επιβίωσε υπογείως καθ όλον τον Μεσαίωνα κρυμμένος σε μυστηριακά ρεύματα έως ότου οι πρωτότυπες ιδέες του ανακαλύφθηκαν ξανά και σχολιάστηκαν κατά την Αναγέννηση Έτσι ούτε η νεότερη φιλοσοφική σκέψη έμεινε ανεπηρέαστη από αυτόν Τα διάφορα φιλοσοφικά συστήματα ή προσπαθούν να ανατρέψουν τις ιδέες του ή οικοδομούνται πάνω σ αυτές εκσυγχρονίζοντάς τες

Τα έργα του είναι

Αλκιβιάδης Α η Περί Ανθρώπου Φύσεως μαιευτικός

Αλκιβιάδης Β ή Περί Προσευχής μαιευτικός

Απολογία Σωκράτους ηθικός

Γοργίας ή Περί Ρητορικής ανατρεπτικός

Επινομίς ή Νυκτερινος Σύλλογος πολιτικός

Επιστολαί ηθικαί

Ερασταί ή Περί Φιλοσοφίας ηθικός

Ευθύδημος ή Εριστικός ανατρεπτικός

Ευθύφρων ή Περί του Οσίου

Θεάγης ή Περί Φιλοσοφίας μαιευτικός

Θεαίτητος ή Περί Επιστήμης πειραστικός

19

Ιππαρχος ή Φιλοκερδής ηθικός

Ιππίας ελάσσων ή Περί του Ψεύδους ανατρεπτικός

Ιππίας μείζων ή Περί του Καλού ανατρεπτικός

Ίων ή Περί Ιλιάδος πειραστικός

Κλειτοφών ή Προτρεπτικός ηθικός

Κρατύλος ή Περί Ονομάτων Ορθότητος λογικός

Κριτίας ή Ατλαντικός ηθικός

Κρίτων ή Περί του Πρακτέου ηθικός

Λάχης ή Περί Ανδρείας ηθικός

Λύσις ή Περί Φιλίας μαιευτικός

Μενέξενος ή Επιτάφιος ηθικός

Μένων ή Περί Αρετής πειραστικός

Μίνως ή Περί Νόμου πολιτικός

Νόμοι ή Περί Νομοθεσίας πολιτικός

Παρμενίδης ή Περί Ιδεών λογικός

Πολιτεία ή Περί Δικαίου πολιτικός

Πολιτικός ή Περί της Βασιλείας λογικός

Πρωταγόρας ή Σοφισταί επιδεικτικός

Σοφιστής ή Περί του Όντος λογικός

Συμπόσιον ή Περί Αγαθού ηθικός

Τίμαιος ή Περί Φύσεως φυσικός

Φαίδρος ή Περί Έρωτος ηθικός

Φαίδων ή Περί Ψυχής ηθικός

Φίληβος ή Περί Ηδονής ηθικός

Χαρμίδης ή Περί Σωφροσύνης πειραστικός

20

21

ΕυκλείδηςΒΙΟΓΡΑΦΙΑ

Υπολογίζεται ότι έζησε το βrsquo μισό του 4ου έως τις αρχές του 3ου πΧ αιώνα πιο συγκεκριμένα περίπου το 325 πΧ έως το 265 πΧ Κορυφαίος μαθηματικός της αρχαιότητας που επηρέασε με το έργο του σε ανυπέρβλητο βαθμό τον επιστημονικό τρόπο σκέψης σε όλο τον κόσμο Για τη ζωή του δεν υπάρχουν επιβεβαιωμένες πληροφορίες Πιθανώς εκπαιδεύτηκε στην Αθήνα στην Ακαδημία του Πλάτωνα και δίδαξε στην Αλεξάνδρεια Ξέρουμε ότι ήταν μεγαλύτερος στην ηλικία από τον Αρχιμήδη πράγμα που σημαίνει ότι η χρονολόγηση της ακμής του laquoγύρω στο 300 πΧraquo δεν πρέπει να απέχει πολύ από την αλήθεια Ο Πρόκλος επίσης τον χαρακτηρίζει σύγχρονο του βασιλιά Πτολεμαίου Αrsquo στον

οποίο είχε το θάρρος να του πει κατά πρόσωπο πως δεν υπάρχει βασιλική οδός προς τη γεωμετρία Ο Πάππος τον επαινεί για την ηθική του ακεραιότητα τη μετριοφροσύνη και την ευμενή στάση του προς όσους είναι ικανοί να προαγάγουν τη μαθηματική γνώση Ο Στοβαίος διηγείται το ακόλουθο ενδιαφέρον περιστατικό Ένας νέος επισκέφθηκε κάποτε τον Ευκλείδη και τον παρακάλεσε να τον διδάξει γεωμετρία Μόλις έμαθε το πρώτο θεώρημα ρώτησε τον Ευκλείδη laquoΚαι τώρα τι θα κερδίσω με το θεώρημα αυτόraquo Ο Ευκλείδης τότε γύρισε προς τον υπηρέτη του και του είπε laquoΔώσrsquo του τρεις δεκάρες ώστε να κερδίσει κάτι από το θεώρημα το οποίο έμαθεraquo Αυτά είναι όλα όσα γνωρίζουμε για τον Ευκλείδη ως άνθρωπο Πολύ μεγαλύτερη σημασία όμως έχει το έργο του το οποίο ακόμα και σήμερα μαρτυρεί τα απαράμιλλα χαρίσματά του ως δασκάλου

ΕΡΓΟ

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη

Μετά το θάνατο του Μεγάλου Αλεξάνδρου στα 323 πΧ η αχανής μακεδονική αυτοκρατορία διαιρέθηκε σε τρεις περιοχές Η περιοχή πού περιλάμβανε την Αίγυπτο περιήλθε κάτω από την άξια ηγεμονία του ικανού στρατηγού του Αλεξάνδρου Πτολεμαίου του Σωτήρος ο οποίος σύντομα κέρδισε τη βασιλεία της περιοχής Ο Πτολεμαίος επέλεξε για πρωτεύουσα της περιοχής του την Αλεξάνδρεια λίγα μόνο μίλια από τις εκβολές του ποταμού Νείλου και γύρω στα 300 πΧ άνοιξε τις πόρτες του περίφημου πανεπιστημίου της Αλεξάνδρειας Ανάμεσα στους μελετητές που κλήθηκαν να επανδρώσουν το νέο ίδρυμα ήταν και ο μαθηματικός Ευκλείδης που πιθανότατα υπήρξε μαθητής της Ακαδημίας του Πλάτωνα στην Αθήνα

22

Ο Ευκλείδης από τη στιγμή που ανέλαβε τα καθήκοντά του στην Αλεξάνδρεια όρισε ανάμεσα στους στόχους του τη συγκρότηση του μνημειώδους και ιστορικά σημαντικού έργου του των Στοιχείων Αυτή η αξιόλογη και εκτεταμένη εργασία γραμμένη σε δεκατρία βιβλία ή μέρη αποτελεί την αρχαιότερη εφαρμογή της αξιωματικής μεθόδου που έχει φτάσει στα χέρια μας Θεωρείται ο πρώτος μεγάλος σταθμός στην ιστορία της οργάνωσης των μαθηματικών και η μετέπειτα επίδραση της στον επιστημονικό τρόπο γραφής πολύ δύσκολα μπορεί να περιγραφεί

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη διεκδικούν αναμφισβήτητα μια θέση ανάμεσα στις μεγάλες στιγμές των μαθηματικών Η εργασία αυτή εκτόπισε τόσο γρήγορα και ολοκληρωτικά όλες τις προηγούμενες εργασίες ανάλογου περιεχομένου που σήμερα δεν υπάρχουν αντίγραφα προηγουμένων προσπαθειών και απλά γνωρίζουμε την ύπαρξη τους από σχόλια μεταγενέστερων συγγραφέων Τα Στοιχεία του Ευκλείδη από την πρώτη εμφάνιση τους κέρδισαν τεράστια εκτίμηση Με μοναδική εξαίρεση τη Βίβλο καμιά άλλη εργασία δεν χρησιμοποιήθηκε μελετήθηκε ή εκδόθηκε τόσο πολύ Για πάνω από δύο χιλιετίες κυριάρχησε στο χώρο διδασκαλίας της γεωμετρίας Από την πρώτη έκδοση της στα 1472 έχει γνωρίσει πάνω από χίλιες εκδόσεις Το περιεχόμενο και η μορφή της επέδρασαν εντυπωσιακά στην ανάπτυξη του αντικειμένου της και της λογικής θεμελίωσης των μαθηματικών

Ο Πρόκλος ένας κατοπινός σχολιαστής των μαθηματικών που έζησε στον 5ο αιώνα έχει δώσει μια εξήγηση της έννοιας του όρου laquoστοιχείαraquo Τα στοιχεία μιας αποδεικτικής μελέτης είναι τα πιο σημαντικά θεωρήματα ή τα θεωρήματα κλειδιά που χρησιμοποιούνται συχνά και πλατιά στο αντικείμενο της μελέτης Είναι τα θεωρήματα που χρειάζονται για την απόδειξη όλων ή των περισσότερων από τα άλλα θεωρήματα Η λειτουργία τους συγκρίνεται με αυτή των γραμμάτων του αλφαβήτου σε σχέση με τη γλώσσα Τα γράμματα στα ελληνικά ονομάζονται και στοιχεία Η επιλογή των προτάσεων που θα λειτουργήσουν ως στοιχεία κάποιου θέματος μελέτης απαιτεί μεγάλη ικανότητα και κρίση από το συγγραφέα

Δεν υποτιμά καθόλου την αίγλη του έργου του Ευκλείδη το γεγονός ότι είχαν προηγηθεί ανάλογες προσπάθειες Σύμφωνα με τον Πρόκλο η πρώτη προσπάθεια να γραφτούν Στοιχεία έγινε από τον Ιπποκράτη το Χίο στα μέσα του πέμπτου πΧ αιώνα Η επόμενη προσπάθεια ήταν του Λέοντα που χρονολογικά τοποθετείται κάπου ανάμεσα στον Πλάτωνα και τον Εύδοξο Όπως μαθαίνουμε η εργασία του Λέοντα περιείχε μια μεγαλύτερη και πιο χρήσιμη επιλογή προτάσεων από τον Ιπποκράτη Το βιβλίο που χρησιμοποιούνταν στην Ακαδημία του Πλάτωνα είχε επιμεληθεί ο Θεύδιος από τη Μαγνησία και θεωρούνταν μια θαυμάσια συλλογή στοιχείων Η εργασία του Θεύδιου ήταν ασφαλώς ο άμεσος πρόδρομος της εργασίας του Ευκλείδη ο οποίος την είχε χωρίς αμφιβολία στη διάθεση του ειδικά αν όπως πιστεύουν σπούδασε στην Ακαδημία του Πλάτωνα

Ο Ευκλείδης γνώριζε επίσης την εργασία του Θεαίτητου και του Εύδοξου Δεν είναι καθόλου υποτιμητικό ότι η εργασία του Ευκλείδη αποτελεί σε μεγάλο βαθμό συγκέντρωση και επιμέλεια των εργασιών των προγενεστέρων του αφού η ουσιαστική αξία των Στοιχείων βρίσκεται ακριβώς στην τέλεια επιδεξιότητα με την οποία επιλέχτηκαν και τοποθετήθηκαν

23

σε λογική σειρά οι προτάσεις ξεκινώντας από μια μικρή ομάδα αρχικών υποθέσεων Ούτε είναι υποτιμητικό το γεγονός ότι η εξονυχιστική μελέτη των σύγχρονων κριτικών έχουν αποκαλύψει ορισμένα μειονεκτήματα στη δομή της εργασίας του Ευκλείδη Δε θα μπορούσε κανείς να περιμένει μια τέτοια αρχική και κολοσσιαία προσπάθεια με την αξιωματική μέθοδο να μην παρουσιάζει καμία ατέλεια

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη έχουν γραφεί γύρω στο 300 πΧ αλλά το αυθεντικό χειρόγραφο κείμενο του Ευκλείδη δεν διασώζεται Αντίθετα σώζονται δεκάδες αντίγραφα που σε τελική ανάλυση κατάγονται από αυτό Το αρχαιότερο πλήρες αντίγραφο περιέχεται σε έναν χειρόγραφο περγαμηνό κώδικα που φυλάσσεται σήμερα στη Βιβλιοθήκη της Οξφόρδης και χρονολογείται από του έτους 888 ενώ μικρά αποσπάσματα του έργου διασώζονται σε παπύρους προγενέστερης εποχής καθώς και σε ένα παλίμψητο χειρόγραφο του 7ου ή του 8ου

μΧ αι που φυλάσσεται στο Βρετανικό Μουσείο Βλέπουμε λοιπόν ότι το αρχαιότερο χειρόγραφο που περιέχει το πλήρες κείμενο των Στοιχείων του Ευκλείδη χρονολογείται από τα τέλη του 9ου μΧ αι και επομένως απέχει από την εποχή μας όσο απέχει από την εποχή που ο ίδιος ο Ευκλείδης έγραψε το έργο

Όλες οι σύγχρονες εκδόσεις στηρίζονται σε μια επανέκδοση που έκανε ο Θεωνάς από την Αλεξάνδρεια ένας Έλληνας σχολιαστής που έζησε εφτακόσια περίπου χρόνια μετά τον Ευκλείδη Μόνο στις αρχές του 19ου αιώνα ανακαλύφθηκε ένα παλιότερο αντίγραφο Στα 1808 όταν ο Ναπολέοντας διέταξε να μεταφερθούν όλα τα αξιόλογα χειρόγραφα από τις ιταλικές βιβλιοθήκες στο Παρίσι ο Φ Πέιραρντ (F Peyrard) ανακάλυψε στη βιβλιοθήκη του Βατικανού ένα αντίγραφο των Στοιχείων από έκδοση προγενέστερη από του Θεωνά Η μελέτη όμως αυτής της παλιότερης έκδοσης αποκάλυψε δευτερεύουσες μόνο διαφορές από τον Θεωνά

Οι πρώτες πλήρεις μεταφράσεις των Στοιχείων στα λατινικά δεν έγιναν από τα ελληνικά αλλά από τα αραβικά Τον 8ο αιώνα οι Άραβες μετέφρασαν έναν αριθμό βυζαντινών χειρογράφων με ελληνικές εργασίες και στα 1120 ο Άγγλος μελετητής Άντελαρντ (Adelard) από το Μπαθ μετέφρασε τα Στοιχεία στα λατινικά χρησιμοποιώντας μια απ αυτές τις παλιότερες αραβικές μεταφράσεις Άλλες λατινικές μεταφράσεις από τα αραβικά έκαναν ο Γκεράρντο από την Κρεμώνα (Gherardo 1114-1187) και 150 χρόνια μετά τον Άντελαρντ ο Γιοχάννες Καμπάνους (Johannes Campanus) Η πρώτη τυπωμένη έκδοση των Στοιχείων έγινε στη Βενετία στα 1482 η έκδοση αυτή ήταν η μετάφραση του Καμπάνους Αυτό το πολύ σπάνιο βιβλίο ήταν θαυμάσια τυπωμένο και ήταν το πρώτο αξιόλογο μαθηματικό βιβλίο που τυπώθηκε Μια σημαντική λατινική μετάφραση από τα ελληνικά έγινε από τον Κομμαντίνο (Commandino) στα 1572 Αυτή η μετάφραση χρησιμοποιήθηκε ως βάση για πολλές άλλες μεταφράσεις που ακολούθησαν ανάμεσα σ αυτές και η εργασία του Ρόμπερτ Σίμσον (Robert Simson) που άσκησε σημαντική επιρροή και αποτέλεσε με τη σειρά της τη βάση για πάρα πολλές αγγλικές εκδόσεις

24

Αναλυτική περιγραφή των laquo στοιχείων raquo

Ειδικότερα το πρώτο βιβλίο αναφέρεται σε τεμνόμενες και παράλληλες ευθείες στην ισότητα ευθύγραμμων σχημάτων και στο τέλος το πυθαγόρειο θεώρημα Στο 2ο βιβλίο αναφέρονται συνέπειες από το πυθαγόρειο θεώρημα και γίνονται μετασχηματισμοί ευθύγραμμων σχημάτων σε ισοδύναμα τετράγωνα Εδώ περιέχεται και το πρόβλημα

της laquoχρυσής τομήςraquo Πολλές από τις προτάσεις αυτού μπορούν με σύγχρονους συμβολισμούς να πάρουν μορφή αλγεβρική γιrsquo αυτό έχει επικρατήσει να λέγεται για το 2ο βιβλίο ότι εισάγει τη laquoγεωμετρική άλγεβραraquo Στο 3ο βιβλίο εξετάζεται ο κύκλος και στο τέταρτο βιβλίο λύνονται προβλήματα σχετικά με τα εγγεγραμμένα στον κύκλο κανονικά πολύγωνα Στο 5ο βιβλίο σπουδάζεται η laquoθεωρία των λόγωνraquo του Ευδόξου Πρόκειται ουσιαστικά για τη θεωρία των πραγματικών αριθμών δοσμένη όμως σε μορφή γεωμετρική Το 6ο βιβλίο ασχολείται με την ομοιότητα επίπεδων σχημάτων και σrsquo αυτά αποδεικνύεται ότι από όλα τα ορθογώνια με δοσμένη περίμετρο το τετράγωνο έχει το μέγιστο εμβαδόν Στα βιβλία 7ο-9ο που αφορούν στην αριθμοθεωρία είναι εκπληκτικό πώς με παντελή μπορεί να πει κανείς έλλειψη συμβολισμών (αριθμοί δεν αναγράφονται) κατορθώνεται μια ακροβασία στην αλληλουχία των συλλογισμών που καταλήγει σε πολύ ενδιαφέροντα αριθμητικά αποτελέσματα Ειδικότερα στο 7ο βιβλίο μελετιούνται οι άρτιοι και οι περιττοί αριθμοί οι πρώτοι και οι σύνθετοι καθώς και οι τέλειοι εξετάζονται διάφορα προβλήματα διαιρετότητας ορίζεται το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο αριθμών (ΕΚΠ) καθώς και ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης τους και δίνεται η μέθοδος προσδιορισμού του που ονομάστηκε laquoΕυκλείδειος Αλγόριθμοςraquo Στα δύο επόμενα βιβλία εξακολουθεί η σπουδή αριθμοθεωρητικών θεμάτων στο 8ο εισάγονται επίσης και μελετιούνται οι γεωμετρικές πρόοδοι και στο 9ο έχουν συμπεριληφθεί τρεις σημαντικότατες προτάσεις Πρόκειται για α) το αποκαλούμενο laquoθεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικήςraquo β) την απόφανση ότι υπάρχουν απειράριθμοι πρώτοι και γ) την πρόταση που οδηγεί σε ένα γενικό τύπο που παρέχει άρτιους τέλειους αριθμούς Στο 10ο βιβλίο που αποτελεί ένα από τα ωραιότερα μέρη των Στοιχείων γίνεται μια ταξινόμηση των τετραγωνικών άρρητων και των τετραγωνικών ριζών τους και κατασκευάζεται ένα σύνολο ασύμμετρων μεγεθών το οποίο μαζί με το σύνολο των ρητών συναποτελεί επέκταση αυτού του τελευταίου τέτοια ώστε κάθε στοιχείο της να είναι κατασκευασμένο με κανόνα και διαβήτη Τέλος τα βιβλία της στερεομετρίας το 11ο βιβλίο ασχολείται με θεμελιώδεις σχέσεις μεταξύ ευθειών και επιπέδων καθώς και με τις στερεές γωνίες στο 12ο αναφέρεται σε επιφάνειες και όγκους στερεών και στο 13ο γίνεται η μελέτη της σφαίρας σε συσχετισμό με τα εγγεγραμμένα σε αυτήν κανονικά πολύεδρα

25

Άλλα έργα

bull Δεδομένα (94 θεωρήματα) έργο ανώτερης γεωμετρίας Στο έργο αυτό περιέχονται προτάσεις σε σχήματα στα οποία δίνονται ορισμένα στοιχεία τους κατά σχήμα θέση ή μέγεθος

bull Περί διαιρέσεων (36 προτάσεις) με περιεχόμενό του τη διαίρεση σχημάτων με δοσμένη σχέση

bull Πορίσματα (3 βιβλία που χάθηκαν) σώθηκαν ορισμένα αποσπάσματα που το 1860 έγινε απόπειρα ανασύνθεσής τους από τον Πάππο

bull Οπτικά-κατοπτρικά αντίστοιχα γεωμετρική οπτική ανάκλαση του φωτός πάνω σε επίπεδο κάτοπτρο

bull Φαινόμενα εγχειρίδιο κοσμογραφίας απλές προτάσεις για τη σφαίρα

bull Κατατομή κανόνος στοιχεία πυθαγόρεια θεωρία μουσικής

bull Ψευδάρεια laquoπαράδοξαraquo με στόχο να ασκηθούν οι σπουδαστές στην ανεύρεση λογικών σφαλμάτων κατά τις αποδείξεις

bull Κωνικαί τομαί Μηχανικά δεν γνωρίζουμε τίποτα γιrsquo αυτά τα έργα

Αιτήματα του Ευκλείδη

Τα αιτήματα είναι αρχικές προτάσεις οι οποίες προσιδιάζουν στη συγκεκριμένη κάθε φορά επιστήμη στην προκειμένη περίπτωση στη Γεωμετρία Ο Ευκλείδης διατυπώνει 5 αιτήματα

1 Ζητείται να γίνει δεκτό ότι από οποιοδήποτε σημείο σε οποιοδήποτε σημείο άγεται ευθεία γραμμή

2 Και (ότι) πεπερασμένη ευθεία προεκτείνεται σε ευθεία κατά συνεχή τρόπο

3 Και (ότι) με οποιοδήποτε κέντρο και διάστημα γράφεται κύκλος

4 Και (ότι) όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους

5 Και αν η ευθεία η οποία τέμνει δύο ευθείες σχηματίζει δύο εντός και επί τrsquo αυτά μέρη γωνίες μικρότερες των δύο ορθών τότε οι δύο ευθείες προεκτεινόμενες επrsquo απείρου συναντώνται προς εκείνα τα μέρη τους όπου βρίσκονται μικρότερες των δύο ορθών

Ακολουθούν τα laquoαιτήματαraquo διατυπωμένα σε αρχαίο κείμενο όπως αυτά βρίσκονται στο Βιβλίο Ι

26

Ο ρόλος των τριών πρώτων από τα αιτήματα αυτά είναι να εξασφαλίσουν τη νομιμότητα των κατασκευών της ευθείας και του κύκλου και κατά συνέπεια εκείνων και μόνο των γραμμών και των γεωμετρικών σχημάτων που κατασκευάζονται με πεπερασμένο αριθμό βημάτων από τα δύο αυτά βασικά σχήματα Στα Στοιχεία επομένως δεν έχουν θέση καμπύλες όπως είναι οι κωνικές τομές τη τετραγωνίζουσα κλπ ή κατασκευές όπως κατασκευές νεύσεως Η φύση των δύο τελευταίων αιτημάτων είναι διαφορετική Αποσκοπούν να δηλώσουν ότι κάποια γεωμετρικά σχήματα έχουν ορισμένες ειδικές ιδιότητες

Πολλοί ιστορικοί των μαθηματικών έχουν ασχοληθεί κατά το παρελθόν με το ερώτημα εάν τα αξιώματα του Ευκλείδη ικανοποιούν τις σύγχρονες απαιτήσεις (πληρότητα συνέπεια ανεξαρτησία) ενός αξιωματικού συστήματος Από την προσεκτική μελέτη των αποδείξεων κι των κατασκευών που περιέχονται στα Στοιχεία προκύπτει ότι ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί μερικές φορές απόρρητες παραδοχές οι οποίες δεν περιλαμβάνονται στα αξιώματα Επομένως το σύστημα των αξιωμάτων του δεν ικανοποιεί την απαίτηση της πληρότητας

Μεγάλο ιστορικό ενδιαφέρον εξάλλου έχει το ερώτημα της ανεξαρτησίας των αιτημάτων του Ευκλείδη ιδιαίτερα σε ότι αφορά το πέμπτο από αυτά Το αίτημα αυτό αναφέρεται συχνά και ως laquoαίτημα των παραλλήλωνraquo γιατί μια ισοδύναμη διατύπωσή του είναι η εξής από ένα σημείο εκτός ευθείας άγεται μια μόνο παράλληλη προς τη ευθεία Πολλοί μαθηματικοί από την αρχαιότητα έως τα μέσα του 18ου αιώνα προσπάθησαν να εξαγάγουν το αίτημα αυτό από τα άλλα αιτήματα όλες οι προσπάθειες όμως απέβησαν άκαρπες Από τα τέλη του 18ου αιώνα η προσδοκώμενη εξάρτηση του αιτήματος επιχειρήθηκε να αποδειχτεί με έμμεσο τρόπο Η σκέψη ήταν η εξής αν το αίτημα των παραλλήλων μπορεί να εξαχθεί από τα άλλα τέσσερα αιτήματα μαζί με την άρνηση του πέμπτου θα πρέπει να οδηγούν σε αντίφαση Το νέο σύστημα αξιωμάτων όμως αντί να οδηγήσει σε αντίφαση αποδείχτηκε ότι παράγει συνέπειες μαθηματικές θεωρίες Έτσι ανακαλύφθηκαν οι λεγόμενες μη ευκλείδειες γεωμετρίες και ταυτόχρονα αποδείχθηκε η ανεξαρτησία των αιτημάτων του Ευκλείδη

27

Ας δούμε τώρα την διατύπωση και την απόδειξη της πρότασης (5) που περιέχεται στο Βιβλίο Ι των laquoστοιχείωνraquo και αναφέρεται στη γνωστή μας πρόταση της ισότητας των παρά τη βάση γωνιών ισοσκελούς τριγώνου

28

Γιατί διδάσκουμε το μάθημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στο ζήτημα της laquoχρησιμότηταςraquo των σχολικών Μαθηματικών θα μπορούσε κανείς να αντιπαραθέσει (και πράγματι αντιπαρατέθηκαν) πολλές διαφορετικές απόψεις Εμείς θα παραθέσουμε απλώς ένα απόσπασμα από τις αυτοβιογραφικές σημειώσεις του Albert Einstein το οποίο δείχνει μια άλλη τελείως διαφορετική αντίληψη σχετικά με την laquoχρησιμότηταraquo της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Γράφοντας για τα γεγονότα της παιδικής και εφηβικής του ζωής που είχαν μεγάλη επίδραση στην μετέπειτα εξέλιξη του ο Einstein σημειώνει

Σε ηλικία 12 ετών δοκίμασα μια δεύτερη τελείως διαφορετική έκπληξη σε ένα μικρό βιβλίο Ευκλείδειας επίπεδης γεωμετρίαςhellip Εδώ υπήρχαν ισχυρισμοί όπως για παράδειγμα τα τρία ύψη ενός τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο οι οποίοι - αν και καθόλου προφανείς - μπορούσαν ωστόσο να αποδειχτούν με τέτοια βεβαιότητα ώστε να μην χωρεί η παραμικρή αμφιβολία Αυτή η σαφήνεια και βεβαιότητα μου προξένησαν μια εντύπωση που δεν μπορεί να περιγραφεί Το γεγονός ότι τα αξιώματα έπρεπε να γίνουν δεκτά χωρίς απόδειξη δεν με ενόχλησε Σε κάθε περίπτωση μου αρκούσε πλήρως το γεγονός ότι μπορούσαν να στηρίζω τις αποδείξεις σε προτάσεις η εγκυρότητα των οποίων ήταν για μένα αναμφισβήτητη

Η περίπτωση του Einstein του επιστήμονα που άλλαξε ριζικά τις αντιλήψεις μας και την γεωμετρική δομή του σύμπαντος αποκαλύπτει την σπουδαιότητα ορισμένων παιδαγωγικών σκοπών και τη συνάφειά τους με το ερώτημα που θέσαμε ως τίτλο αυτής της ενότητας καλλιέργεια και ανάπτυξη της συγκροτημένης σκέψης μύηση στην επιστημονική μέθοδο μελέτες του κόσμου Αυτοί οι σκοποί παρόλη τη γενικότητά τους συνδέονται άμεσα με τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας που άσκησαν καθοριστική επίδραση στο νεαρό Einstein τα οποία είναι

bull Σαφήνεια στην έκθεση

bull Ολοκληρωτική απόδειξη κάθε υπόθεσης

bull Απόλυτη συνάφεια σχημάτων και συλλογισμών

bull Τάξη και ομορφιά

Αν τα στοιχεία αυτά αποτελούν ουσιώδη συστατικά της μαθηματικής παιδείας τότε παρέχουν κατά την άποψή μας μια αυτονόητη απάντηση στο ερώτημα laquoΓιατί διδάσκουμε την Ευκλείδεια Γεωμετρίαraquo

Αντιλήψεις και αντιπαραθέσεις για τη διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Οι ένθερμοι υποστηρικτές της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προβάλλουν την παιδαγωγική αξία της λογικής και διάφανης επιχειρηματολογίας των γεωμετρικών αποδείξεων ενώ οι πολέμιοί της επικαλούνται την αναμφισβήτητη δυσκολία των περισσότερων μαθητών να κατανοήσουν τις γεωμετρικές έννοιες και τις πολύ χαμηλές επιδόσεις τους στην αντιμετώπιση σχετικών προβλημάτων Ενδιάμεσα βρίσκονται συνήθως οι σκεπτικιστές οι οποίοι επισημαίνουν τον περιορισμένο επιστημολογικά ρόλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και την ανάγκη να ανανεωθεί η διδασκαλία των Μαθηματικών δίνοντας μεγαλύτερη έμφαση σε πιο σύγχρονους και laquoχρήσιμουςraquo κλάδους (πχ Πιθανότητες και Στατιστική) Από την εποχή που ο Dieudonne κήρυξε τον πόλεμο κατά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας οι αντιλήψεις

29

αυτές έγιναν αντικείμενο επεξεργασίας και αντιπαρατέθηκαν μεταξύ τους από σημαντικούς μαθηματικούς και παιδαγωγούς ενώ οι σχετικές συζητήσεις συνεχίζονται με αμείωτη ένταση μέχρι σήμερα Σε μια ειδική μελέτη της Διεθνούς Επιτροπής για τη Μαθηματική Εκπαίδευση (ICMI) έγινε απόπειρα σύνθεσης των διαφόρων τάσεων και διατυπώθηκαν οι εξής τρεις εναλλακτικές λύσεις για τη διδασκαλία του μαθήματος

1 η λύση

Απορρίπτουμε την ιδέα ότι η Γεωμετρία πρέπει ή μπορεί να χρησιμοποιηθεί στο σχολείο ως ένα σύστημα γνώσεων (παραγωγικά οργανωμένο ή όχι) όπου οι έννοιες και τα γεγονότα πρέπει να γίνουν γνωστά απλά και μόνο επειδή ανήκουν στο σύστημα Αντίθετα η Γεωμετρία και ο χώρος θεωρούνται ως πηγές άντλησης εξαιρετικών θεμάτων για την οργάνωση πολλαπλών δραστηριοτήτων σε διαφορετικά επίπεδα Οι laquoχρησιμοθηρικέςraquo όψεις της Γεωμετρίας θα εξυπηρετηθούν με την παροχή αλγεβρικών μεθόδων

2 η λύση

Εξακολουθούμε να επιχειρούμε τη διδασκαλία ενός αξιωματικού ή ψευδο-αξιωματικού μαθήματος σχολικής Γεωμετρίας το οποίο στηρίζεται είτε σε laquoτροποποίησηraquo των laquoΣτοιχείωνraquo του Ευκλείδη (για παράδειγμα αξιωματική θεμελίωση τύπου Pogorelov) είτε πχ στους γεωμετρικούς σχηματισμούς

3 η λύση

Για ορισμένες ομάδες μαθητών τουλάχιστον παρουσιάζουμε laquoνησίδεςraquo Γεωμετρίας δηλαδή laquoτοπικάraquo παραγωγικά συστήματα μέσα στο πλαίσιο του γενικού αναλυτικού προγράμματος (Έτσι μπορούμε για παράδειγμα να έχουμε ενότητες για τις ιδιότητες των εγγεγραμμένων σε κύκλο γωνιών ή τη στοιχειώδη προβολική Γεωμετρία)

Στην Ελλάδα για προφανείς ιστορικούς και πολιτιστικούς λόγους συνεχίζεται μια παράδοση που προσεγγίζεται εγγύτατα τη δεύτερη από τις προηγούμενες εναλλακτικές λύσεις Ακόμη και την περίοδο της μεταρρύθμισης των laquoΝέων Μαθηματικώνraquo η διεθνής πίεση για εκσυγχρονισμό των σχολικών Μαθηματικών και εγκατάλειψη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αφομοιώθηκε στη χώρα μας μέσα από έναν ιδιότυπο συμβιβασμό από τη μια μεριά διατηρήθηκε όλη η παραδοσιακή σχολική ύλη την οποία σε μεγάλο βαθμό συντηρούσαν οι εισαγωγικές εξετάσεις των ΑΕΙ και από την άλλη δόθηκε υπερβολική έμφαση στην αυστηρή αξιωματική θεμελίωσης της Γεωμετρίας καθώς και με την εισαγωγή νέας ύλης πάνω στους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς Στις αντιφατικές επιλογές εκείνης της περιόδου βρίσκονται κατά την άποψη μας οι ρίζες της μετέπειτα υποβάθμισης και παρακμής του μαθήματος της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

30

Το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στη σύγχρονη Διδακτική των Μαθηματικών τα θεμελιώδη επιστημολογικά χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας όπως είναι η παραγωγική οργάνωση του περιεχομένου η αποδεικτική διαδικασία και η έμφαση στις γεωμετρικές κατασκευές αναφέρονται συνήθως ως laquoανώτερα επίπεδα γεωμετρικής σκέψηςraquo και η μάθηση τους έχει γίνει αντικείμενο συστηματικής μελέτης και έρευνας Ένα βασικό θεωρητικό μοντέλο στο οποίο έχει στηριχθεί η διεξαγωγή μεγάλου αριθμού ερευνών σε διάφορες χώρες αποτελούν τα λεγόμενα laquoεπίπεδα van Hieleraquo Σύμφωνα με αυτό το μοντέλο η μάθηση της Γεωμετρίας εξελίσσεται ιεραρχικά περνώντας από πέντε διαδοχικά επίπεδα

bull 1ο επίπεδο Εποπτικό

bull 2ο επίπεδο ΠεριγραφικόΑναλυτικό

bull 3ο επίπεδο ΑφηρημένοΣχεσιακό

bull 4ο επίπεδο ΤυπικόΠαραγωγικό

bull 5ο επίπεδο Μεταμαθηματικό

Οι μαθητές κατανοούν τη σημασία και τη διαδικασία οικοδόμησης ενός αξιωματικού μαθηματικού συστήματος και τις σχέσεις ανάμεσα σε διαφορετικά συστήματα Για παράδειγμα αναγνωρίζουν ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία δεν είναι παρά ένας από τους πολλούς δυνατούς τρόπους περιγραφής ενός αφηρημένου μαθηματικού σύμπαντος

Είναι φανερό ότι η διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προϋποθέτει τα δύο πρώτα επίπεδα και έχει ως κύριο σκοπό την κατάκτηση των δύο επόμενων επιπέδων (για το 5ο

μάλλον δεν μπορεί να γίνεται λόγος στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση) Σε θεωρητικό επίπεδο τόσο και η θεωρία των van Hiele όσο και η γενικότερη θεωρία των σταδίων μάθησης του Piaget προβλέπουν ότι η κατάκτηση αυτών των επιπέδων είναι μια επίπονη και ιεραρχικά εξελισσόμενη διαδικασία που απαιτεί μακροχρόνια και προσεχτικά σχεδιασμένη διδασκαλία Αυτές οι θεωρητικές προβλέψεις φαίνεται να επιβεβαιώνονται από πολλές εμπειρικές έρευνες που έχουν διεξαχθεί σε διάφορες χώρες και τα αποτελέσματά τους οδηγούν σε ένα βασικό συμπέρασμα laquo η καθιερωμένη παραδοσιακή διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αδυνατεί να οδηγήσει τους μαθητές στην κατάκτηση των ανώτερων επιπέδων γεωμετρικής σκέψης raquo

Από τα αποτελέσματα αυτών των ερευνών αξίζει νrsquo αναφέρουμε εδώ ένα εντυπωσιακό στατιστικό στοιχείο που αποκαλύπτει τις διαστάσεις του προβλήματος σε μια έρευνα που έγινε στις ΗΠΑ μεταξύ 1520 μαθητών που είχαν ολοκληρώσει ένα έτος διδασκαλίας της θεωρητικής Ευκλείδειας Γεωμετρίας διαπιστώθηκε ότι μόνο το 30 είχε φτάσει σε ένα επίπεδο που μπορεί να χαρακτηριστεί από 75 επιτυχία στην απόδειξη απλών γεωμετρικών προτάσεων (πχ ότι οι διαγώνιες ενός ορθογωνίου είναι ίσες) Το ποσοστό των μαθητών που είχαν 100 επιτυχία δεν ξεπέρασε το 3

31

Κοινή πεποίθηση όλων αυτών των ερευνητών είναι ότι για να κατανοηθούν οι παραγωγικές αποδείξεις της Ευκλείδειας Γεωμετρίας απαιτείται μια ισχυρή διαισθητική βάση την οποία οι μαθητές θα αποκτήσουν μέσα από επαγωγικές εμπειρικές ανακαλύψεις τη διαπίστωση και επαλήθευση υποθέσεων τις γεωμετρικές κατασκευές και εφαρμογές Έτσι λοιπόν η διδασκαλία της Γεωμετρίας δεν θα πρέπει να στηρίζεται σrsquo ένα τεχνητό διαχωρισμό ανάμεσα σε laquoΠρακτική Γεωμετρίαraquo σχεδίασης και μετρήσεων και μια laquoΘεωρητική Γεωμετρίαraquo αποδείξεων αλλά να συνδυάζει μια ισορροπημένη ανάπτυξη των δύο αυτών όψεων του μαθήματος σrsquo όλο το φάσμα της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Η επινόηση διδακτικών μέσων και μεθόδων που θα επιτρέψουν την υλοποίηση αυτού του στόχου φαίνεται ότι αποτελεί σήμερα το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ

Η Γεωμετρία του Ευκλείδη απετέλεσε το θεμέλιο για την ανάπτυξη της laquoδυτικήςraquo επιστήμης και τεχνικής και σ αυτή τη Γεωμετρία στηρίζονται οι προϋποθέσεις της κλασικής Φυσικής από την Αναγέννηση και μετά Μόλις το 19ο αιώνα διαπιστώθηκε όμως (Λάμπερτ Γκάους Μπολυάι Λομπατσέβσκι κά) ότι η ευκλείδεια Γεωμετρία στηρίζεται στην απλοϊκή αντίληψη του επίπεδου χώρου ο οποίος είναι μεν χρήσιμος για την περιοχή που αντιλαμβάνεται με τις αισθήσεις του ένας άνθρωπος αλλά όχι για πολύ μεγάλες τιμές των φυσικών μεγεθών (αποστάσεις ταχύτητες μάζες κτλ) Τότε παύει να ισχύει η επίπεδη αντίληψη και μαζί της η Ευκλείδεια Γεωμετρία επειδή στην πραγματικότητα ο χώρος είναι κυρτός Έτσι η Γεωμετρία συμπληρώνεται με βάση αντιλήψεις που στηρίζονται στον υπερβολικό ελλειπτικό κά χώρο

Σήμερα η γεωμετρία του Ευκλείδη διδάσκεται παγκοσμίως και ανελλιπώς επί 23 αιώνες με τον τιμητικό τίτλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Στη σύγχρονη όμως σχολική γεωμετρία περιλαμβάνονται και υπολογισμοί και μετρήσεις οι οποίες από το έργο του Ευκλείδη απουσιάζουν εντελώς

Η συνολική προσφορά του Ευκλείδη στα Μαθηματικά και τις εφαρμοσμένες τέχνες υπήρξε σημαντικότατη και ταυτόχρονα βάση από την οποία εξόρμησαν οι μεταγενέστεροι μαθηματικοί γεωγράφοι και αστρονόμοι για να οδηγηθούν στο τελικό μαθηματικό θαύμα της Ελληνικής Αρχαιότητας

32

33

ΒΙΟΓΡΑΦΙΑ Ο Αρχιμήδης ήταν ένας από τους μεγάλους μαθηματικούς μηχανικούς και φυσικούς του αρχαίου Ελληνικού χώρου και μια από τις μεγαλύτερες μαθηματικές ευφυΐες του κόσμου Γεννήθηκε έζησε και πέθανε στις Συρακούσες την μεγάλη Ελληνική αποικία της Σικελίας

Πατέρας του Αρχιμήδη ήταν ο αστρονόμος Φειδίας που είχε δεσμούς φιλίας με το βασιλικό γένος των Συρακουσών Ο Αρχιμήδης ταξίδεψε στην Αίγυπτο και ήρθε σε επαφή με τους διαδόχους του Ευκλείδη του Ερατοσθένη και το Δισίθεο ενώ ήταν φίλος και συμμαθητής του Κόνωνα του Σάμιου

Υπήρξε λαμπρό παράδειγμα πρωτότυπου ερευνητή ο οποίος δεν ενδιαφέρθηκε να διευκολύνει τους αρχάριους αλλά ασχολήθηκε κυρίως για την αποκάλυψη νέων αληθειών για δική του ικανοποίηση και των ώριμων ήδη διανοούμενων Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο ενώ η κατανόηση του Ευκλείδη δεν απαιτεί εξαιρετική προηγούμενη γνώση και ευφυΐα τα προϊόντα της μαθηματικής σκέψεως τα οποία πρόκειται τώρα να εξετάσουμε είναι προσιτά αποκλειστικώς και μόνο στην ανάγνωση υψηλής πνευματικής στάθμης

Πήγε στην Αίγυπτο ως εκπαιδευτικός και ήρθε σε επαφή όχι βέβαια με τον Ευκλείδη που είχε στο μεταξύ πεθάνει αλλά με τους διαδόχους του και έκανε στενούς δεσμούς με εξαιρετικούς γεωμετρικούς όπως ο Κόνων ο Σάμιος ο Ερατοσθένης ο Κυρηναίος ο Δισίθεος κλπ από τους οποίους κατόπιν όσα έργα συνέταξε μετά την επιστροφή του στην πατρίδα του

34

Το έργο τουΤο έργο του Αρχιμήδη υπήρξε τεράστιο τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά και η ερευνητική ματιά του κάλυψε πολλούς τομείς γεωμετρία οπτική (κατοπτρική) υδραυλική μηχανική αρχιτεκτονική και την πολιορκητική Συνέδεσε το όνομά του με την γένεση της μηχανικής στην αρχαία Ελλάδα και με την λύση περίφημων μαθηματικών προβλημάτων καθώς και με τις αμυντικές εφευρέσεις του που χρησιμοποιήθηκαν όταν οι Ρωμαίοι πολιορκούσαν την πατρίδα του τις Συρακούσες

Σχολιαστής του έργου του Αρχιμήδη υπήρξε ο Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης (6ος αι μΧ) που καταγόταν από την ελληνική πόλη της Συρίας Ασκαλών

Στον χώρο της εφαρμοσμένης μηχανικής ο Αρχιμήδης επινόησε ιδιοφυείς μηχανές κάθε είδους Εφηύρε τον ρωμαϊκό ζυγό (καντάρι) το τρίσπαστο (ανυψωτική τριπλή τροχαλία) και τον ατέρμονα κοχλία έλιξ του Αρχιμήδους μηχανή άντλησης νερού από ποταμούς και φρέατα (η οποία χρησιμοποιείται ακόμα και στις μέρες μας σε περιοχές της βόρειας Αφρικής) Κατασκεύασε ένα υδραυλικό ρολόι το οποίο υπολόγιζε με μεγάλη ακρίβεια τις ώρες (και ειδοποιούσε για την αλλαγή της ώρας)

Μεγάλη φήμη απέκτησαν οι πολεμικές μηχανές του Αρχιμήδη αρχιτρόνιτο (πυροβόλο ατμού) καταπέλτες άρπαγες (μηχανισμός που ανύψωνε και αναποδογύριζε πλοία) και κάτοπτρα για την καύση των Ρωμαϊκών εχθρικών πλοίων (με παραβολικά κάτοπτρα όπως αποδείχτηκε από τα πειράματα του μηχανικού Ι Σακκά ο οποίος το 1973 απόδειξε τον τρόπο με τον οποίο ο Αρχιμήδης έκαψε τον ρωμαϊκό στόλο) Σύμφωνα με την παράδοση όταν η πόλη μετά από τριετή αντίσταση των ελλήνων κατελήφθη με προδοσία ένας ρωμαίος στρατιώτης σκότωσε τον Έλληνα επιστήμονα ενώ αυτός ήταν προσηλωμένος σε κάποιο γεωμετρικό πρόβλημα ΜΗ ΜΟΥ ΤΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥΣ ΤΑΡΑΤΤΕ πρόλαβε να του απαντήσει ο Έλληνας επιστήμονας

Ο Αρχιμήδης επηρέασε σε μεγάλο βαθμό την ευρωπαϊκή επιστημονική σκέψη καθώς και τους Άραβες επιστήμονες οι οποίοι αντέγραψαν όλα τα έργα του στα αραβικά γλώσσα στην οποία διασώθηκαν αρκετά αφού τα πρωτότυπα είχαν χαθεί

35

Διασωθέντα συγγράμματα

bull Περί σφαίρας και κυλίνδρου Βιβλίο α και βbull Κύκλου μέτρησις Σώζονται τρία θεωρήματαbull Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων (32 θεωρήματα 1 πόρισμα)bull Περί ελίκων (28 θεωρήματα 6 πορίσματα)bull Περί επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων ή Μηχανικά Βιβλ α και βbull Περί μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος (=μέθοδος)bull Βιβλίο λημμάτωνbull Πρόβλημα Βοεικόνbull Κατασκευή πλευράς του περιγραφομένου εις κύκλο επταγώνουbull Ωρολόγιον Αρχιμήδους (Σώζεται στα αραβικά)bull Περί κύκλων εφαπτομένων αλλήλωνbull Αρχαί της Γεωμετρίαςbull Ψαμμίτηςbull Τετραγωνισμός παραβολήςbull Οχουμένων (Υδροστατική)bull Στομάχιον (Σώζονται λίγα αποσπάσματα)

Συγγράμματα μη διασωθέντα (ή συγγράμματα μη αποκαλυφθέντα μέχρι σήμερα)

bull Αριθμητικάbull Βαρουλκός Υδροσκοπίαι Πνευματικήbull Επισίδια Βιβλία (Μάλλον περί στατιστικής - Τζέτζης)bull Περί τριγώνωνbull Περί τετραπλεύρουbull Περί ζευγώνbull Περί 13 ημικανονικών πολυέδρωνbull Ισοπεριμετικάbull Ισορροπίαιbull Καύσις δια κατόπτρων (επ΄ αυτού έγινε επιτυχές πείραμα στο ΝΣ)bull Περί Αρχιτεκτονικήςbull Περί βαρύτητος και ελαφρότητος (Πυκνόμετρα - Αραιόμετρα)bull Περί δρομομέτρων (Οδόμετρα πλοίων)bull Περί κέντρου Βάρους ή Κεντροβαρικάbull Κατοπρικάbull Περί παραλλήλων γραμμώνbull Περί κοίλων και παραβολικών κατόπτρωνbull Προοπτικήbull Στοιχεία μηχανικώνbull Πλινθίδες και Κύλινδροιbull Στοιχεία επί των στηρίξεωνbull Σφαιροποιΐα

36

Εφευρέσεις

bull Αραιόμετρο - Πυκνόμετροbull Αστρονομική συσκευήbull Βαρουλκόςbull Γερανοί (Αρπάγες)bull Καταπέλτεςbull Κάτοπτραbull Κοχλίας ή έλιξbull Οδόμετρο (δρομόμετρο)bull Πλανητάριον (σφαίρα)bull Πολύσπαστον (Βαρούλκο) τρίσπαστοbull Σίφωνbull Στομάχιον (επιτραπέζιο παιγνίδι το πρώτο παζλ)bull Τηλεβόλον Αρχιμήδους bull Χαριστίων (μοχλός)bull Ωρολόγιο υδραυλικό

37

Τα συγγράμματα του Αρχιμήδη που σώθηκαν μέχρι σήμερα είναι τα ακόλουθα Περί σφαίρας και κυλίνδρου Κύκλου μέτρησις περί σφαιροειδέων και κωνοειδέων Περί λίκων Επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων Ψαμμίτης Τετραγωνισμός παραβολής Οχούμενων Στομάχιον Προς Ερατοσθένην Έφοδος Βιβλίον περί λημμάτων Πρόβλημα βοεικόν Αποσπάσματα Μερικά από αυτά διασώθηκαν Πολλά επίσης είναι τα συγγράμματα του που χάθηκαν

Έκανε τα πρώτα βήματα για το μαθηματικό υπολογισμό επιφανειών με ακανόνιστο περίγραμμα και συμμετρικών εκ περιστροφής σωμάτων μέθοδος που εξελίχθηκε τεκμηριώθηκε και ονομάστηκε στην σύγχρονη εποχή laquoΟλοκληρωτικός Λογισμόςraquo υπολόγισε μία προσεγγιστική τιμή για τον άρρητο αριθμό π διατύπωσε το νόμο προεκτάσεις του γενίκευσε την εφαρμογή λέγοντας laquoΔώστε μου σημείο να στηριχθώ και θα κινήσω την γηraquo διατύπωσε την ομώνυμη αρχή για την άνωση του νερού κατασκεύασε διάφορες μηχανές ένα τύπο πολύσπαστου τον κοχλία μία αντλητική μηχανή με την laquoαρχιμήδειον έλικαraquo κά

Η συμβολή του ΑρχιμήδηΗ συμβολή του Αρχιμήδη στην ανάπτυξη της Μηχανικής συνιστάται πέρα από την επινόηση των τροχαλιών του πολύσπαστου και των οδοντωτών τροχών και ενός ιδιόμορφου αντλητικού συγκροτήματος στην έλικα που φέρει το όνομα του Ακόμα στην επακριβή διατύπωση των νόμων των μοχλών και των ισορροπιών ή κέντρα βαρών Εδώ υπάρχει και η περίφημη πρόταση laquo σύμμετρα μεγέθη ισορροπούν σε αποστάσεις αντιστρόφως ανάλογες προς το βάρος τους raquo

Σε σχέση με τους μοχλούς και τις δυνατότητες τους μας αναφέρει τη φράση laquo δος μοι πα στω και ταν γαν κινάσω raquo Απέδειξε στον Ιέρωνα ότι με ένα σύστημα τροχαλιών ndash οδοντωτών τροχών και μοχλών μπορεί να μετακινήσει ένα τεράστιο πλοίο με όλο το πλήρωμα μέσα μόνος του Ήταν ακόμα ο ίδιος που σχεδίασε και επιμελήθηκε τη ναυπήγηση του πλοίου

Ανέλαβε μετά από εντολή του Ιέρωνα την οχύρωση της πόλης και διηύθυνε ο ίδιος την άμυνα της εναντίον των Ρωμαίων

Στην αστρονομία ο Λίβιος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης είναι laquoμοναδικός παρατηρητής του ουρανού και των αστέρων raquo Ο Ίππαρχος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης ασχολήθηκε με τη μελέτη των ηλιοστασίων καθώς και με τον υπολογισμό της διάρκειας του έτους

Ο Μακρόβιος αναφέρει ότι ο Αρχιμήδης ανακάλυψε τις αποστάσεις των πλανητών ενώ στο έργο laquoΨαμμίτηςraquo περιγράφει τη συσκευή μέσω της οποίας μέτρησε τη φαινομενική γωνιακή διάμετρο του ήλιου

38

Ο Κικέρων αναφέρεται με θαυμασμό για τον Αρχιμήδη στα laquoΚατοπτρικάraquo Στα Μαθηματικά που ο ίδιος θεωρούσε ως τα πιο σημαντικά παρουσίασε την μέθοδο του προσδιορισμού του αριθμού π Τελειοποίησε το ελληνικό σύστημα αρίθμησης και παρουσίασε μια μέθοδο παράστασης των πολύ μεγάλων αριθμών Ασχολήθηκε με τη διαφορική Γεωμετρία βρήκε τους τύπους πρόσθεσης και αφαίρεσης τόξων Υπολόγισε το εμβαδόν της σφαίρας και του κυλίνδρου Μελέτησε διάφορα στερεά εκ περιστροφής όπως τα στερεά που παράγονται από περιστροφή έλλειψης υπερβολής και παραβολής γύρω από έναν άξονα

Στη Γεωμετρία το έργο του Αρχιμήδη αποτελείται κατά κύριο λόγο από πρωτότυπες μελέτες σχετικά με τον τετραγωνισμό των καμπυλόγραμμων επίπεδων σχημάτων καθώς και με τον τετραγωνισμό και τον κυβισμό καμπύλων επιφανειών

Τέλος επινόησε στο σύνολό της την Υδροστατική Επιστήμη την οποία ανέπτυξε πλήρως Οι μελέτες του αναπαριστούν ένα σύνολο μαθηματικών και γεωμετρικών επιτευγμάτων το οποίο δεν ξεπέρασε κανείς στην ανθρώπινη ιστορία

Όπως αναφέρει ο Wallis laquo ο Αρχιμήδης αφήνει ένα συγκεκριμένο μυστήριο να καλύπτει τον τρόπο με τον οποίο κατέληγε στα αποτελέσματά του Είναι σαν να είχε καλύψει σκοπίμως τα ίχνη του τα ίχνη των ερευνών του σα να ήταν απρόθυμος να αποκαλύψει το μυστικό της μεθόδου έρευνάς του στους μεταγενέστερους ενώ επιθυμούσε να αποσπάσει τη συναίνεσή τους για τα αποτελέσματά του raquo

Ο ίδιος ο Αρχιμήδης ως φορέας ενός ανώτερου φιλοσοφικού πνεύματος θεωρούσε ταπεινή και ανάξια κάθε τέχνη που εξυπηρετούσε πρακτικές ανάγκες ή αποσκοπούσε στο οικονομικό κέρδος Γι` αυτό και έστρεψε όλη του την προσοχή και τις επιδιώξεις στους καθαρούς στοχασμούς χωρίς να καταδεχτεί να αφήσει κάποιο γραπτό στοιχείο για τις τεχνολογικές του ανακαλύψεις με μοναδική εξαίρεση όσες αναφέρονται στο έργο του laquoπερί σφαιροποιίαςraquo Δεν είναι καθόλου τυχαίο λοιπόν το ότι ο Κικέρων αργότερα βρήκε τον τάφο του και πάνω μία αναπαράσταση ενός κυλίνδρου περιγεγραμμένου σε σφαίρα με μία περιγραφή που έδινε το λόγο του κυλίνδρου προς τη σφαίρα

Σε ποιους τομείς εφαρμόστηκαν οι θεωρίες του Εξαιρετικές του μελέτες και για τη μέθοδο και για το αποτέλεσμα είναι εκείνες που έδωσαν τα εμβαδά Κύκλου Έλλειψης Παραβολής και Έλικας καθώς και τα εμβαδά και τους όγκους των Κυλίνδρων των Κώνων και κυρίως των Σφαιρών

Σημαντικότατη θεωρείται και η ανακάλυψη από τον ίδιο τύπου που δίνει το εμβαδόν τριγώνου από τις πλευρές του και ακόμα η επέκτασή του στα εγγεγραμμένα τετράπλευρα Ο Αρχιμήδης επίσης γνώριζε να κατασκευάζει τη λύση ειδικών τριτοβάθμιων προβλημάτων και μεταξύ αυτών και του Δηλίου Προβλήματος Τις λύσεις αυτές τις έδινε με την τομή δύο κωνικών (Ευτόκιος) Μοναδική είναι η προσφορά του στην ανώτερη μετρική Γεωμετρία Συγκεκριμένα εξέφρασε τους όγκους στερεών εκ περιστροφής κωνικών τομών εφαρμόζοντας απειροστικές μεθόδους ανάλυσης των στερεών αυτών

39

Στη σύγχρονη κλασική γεωμετρία όλο σχεδόν το μετρικό της μέρος οφείλεται στον Αρχιμήδη με αποτέλεσμα αυτή ουσιαστικά να είναι ισορροπημένη μείξη της Ευκλείδειας και της Αρχιμήδειας αρχαίας γεωμετρίας

Έτσι ο σοφός μας αποτελεί ουσιαστικά τον πατέρα της ανώτερης μετρικής γεωμετρίας της αρχαιότητας και ταυτόχρονα την πηγή έμπνευσης των νεώτερων μελετών του διαφορικού και απειροστικού λογισμού

Η πρωτοτυπία και η αποτελεσματικότητα των μελετών του έγιναν αιτία να χαρακτηριστεί από τους ιστορικούς των μαθηματικών ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών και όλων των εθνών

Ρεύμα στα ανάκτορα της Βρετανίας μέσω εφεύρεσης του Αρχιμήδη ( httpkatestimenoblogspotcom201109blog-post_1015html )

laquoΗ Βασίλισσα Ελισάβετ πρόκειται να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση ενός αρχαίου Έλληνα για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Και όταν λέμε αρχαίο Έλληνα εννοούμε τον Αρχιμήδη και όχι τον 90χρονο σύζυγό της Φίλιππο της Ελλάδαςraquo

Με αυτόν τον τίτλο πληροφορεί το βρετανικό κοινό η εφημερίδα ldquoDaily Mailrdquo για την απόφαση της Αυτής Μεγαλειότητας να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση του αρχαίου Έλληνα εφευρέτη Αρχιμήδη από τις Συρακούσες για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Πρόκειται για τη σύγχρονη εκδοχή του ατέρμονα κοχλία της έλικος του Αρχιμήδους όπως έμεινε γνωστή η εφεύρεση και είναι ένας σωληνοειδής κοχλίας που χρησίμευε για την άντληση νερού και την άρδευση καλλιεργημένων εκτάσεων

Η σύγχρονη εκδοχή της εφεύρεσης θα χρησιμοποιεί το νερό που μεταφέρεται από ένα τεχνητό φράγμα για να παράγει υδροηλεκτρική ενέργεια Ο μηχανισμός έχει ήδη μεταφερθεί μέσω του Τάμεση στο Romney Weir στα ανάκτορα του Γουίντσορ Σύμφωνα με το δημοσίευμα της εφημερίδας οι έλικες θα είναι έτοιμες για την παραγωγή ενέργειας τον προσεχή Νοέμβριο ενώ θα μπορούν να καλύψουν πλήρως τις ανάγκες του κάστρου σε ενέργεια μέσα στον επόμενο χρόνο

Εκτός αυτού οι τουρμπίνες είναι σχεδιασμένες ώστε να μην εμποδίζουν την ασφαλή διέλευση σολομού και χελιού μέσα στον ποταμό Τάμεση

Οι laquoέλικες του Αρχιμήδηraquo βάρους 40 τόνων κατασκευάστηκαν από ένα εργοστάσιο στην Ολλανδία και στοίχησαν 700000 λίρες Αγγλίας ενώ το κόστος εγκατάστασής τους θα ξεπεράσει το ένα εκατομμύριο λίρες

40

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Ξεκινώντας την εργασία με την ομάδα των μαθητών που επέλεξαν το συγκεκριμένο θέμα θεωρήσαμε αναγκαίο να συνάψουμε από κοινού το συμβόλαιο συνεργασίας Οι μαθητές με προθυμία ανταποκρίθηκαν και έθεσαν τις αρχές του συμβολαίου το οποίο όλοι υπέγραψαν Στη συνέχεια παρουσιάσαμε το σκεπτικό του σχεδίου εργασίας δίνοντας τα κατάλληλα ερεθίσματα για προβληματισμό και συζήτηση με σκοπό τη διαμόρφωση συγκεκριμένων ερευνητικών ερωτημάτων

Μετά την παρουσίαση πολλών αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών η ομάδα αποφάσισε να ασχοληθεί με τους πιο οικείους για τους μαθητές μαθηματικούς δηλαδή τον Πυθαγόρα τον Αρχιμήδη τον Ευκλείδη το Θαλή αλλά και με τον Πλάτωνα αφού η σχέση του με τα μαθηματικά θα καταδείκνυε τη σχέση των μαθηματικών με τη φιλοσοφία

Στην πορεία οι μαθητές χωρίστηκαν σε 5 τετραμελείς υποομάδες όπου με τη διακριτική καθοδήγησή μας φροντίσαμε να αποτελούνται από μαθητές διαφορετικών προσωπικοτήτων (με γνώμονα την αρχή της ετερογένειας) Ύστερα από κλήρωση (τυχαίο κριτήριο) η κάθε υποομάδα ανέλαβε έναν από τους παραπάνω μαθηματικούς

Έχοντας ως σκοπούς αυτής της εργασίας

να γνωρίσουν και να συνειδητοποιήσουν οι μαθητές την αξία και τη χρησιμότητα των μαθηματικών επιτευγμάτων των αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών και ειδικότερα του Θαλή του Ευκλείδη του Πυθαγόρα του Αρχιμήδη και του Πλάτωνα στην παγκόσμια ιστορία των μαθηματικών αλλά και στην ανάπτυξη της ανθρώπινης σκέψης γενικότερα να προβληματιστούν και να ερευνήσουν κατά πόσο αυτές οι μαθηματικές γνώσεις των αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών μπορούν να συμβάλουν στη λύση σύγχρονων προβλημάτων να ασκήσουν οι μαθητές τον τρόπο σκέψης την επιστημονική μέθοδο εργασίας και να ενεργοποιήσουν τη δημιουργικότητα αλλά και τη συλλογικότητα με την ενεργό και άμεση εμπλοκή τους σε όλες τις φάσεις της ερευνητικής εργασίας

καταλήξαμε στα παρακάτω ερευνητικά ερωτήματα

1 Βιογραφικά στοιχεία για κάθε Έλληνα μαθηματικό2 Βασικές μαθηματικές γνώσεις που μετέδωσε ο καθένας στην ανθρωπότητα3 Πως αυτές οι γνώσεις μπορούν να βοηθήσουν στην επίλυση σύγχρονων προβλημάτων4 Ποια επιτεύγματα αυτών έχουν εφαρμογή στη σύγχρονη εποχή και σε ποιους τομείς5 Ποια η συμβολή τους στην ανάπτυξη της μαθηματικής επιστήμης

Στη συνέχεια ακολούθησε η αναζήτηση του υλικού μέσα από τη σχετική βιβλιογραφία και τις ανάλογες ιστοσελίδες η επεξεργασία η αξιολόγηση και η σύνθεση αυτών των στοιχείων Στην πορεία οι μαθητές ασχολήθηκαν και με την κατασκευή τεχνήματος ndash αφίσας όσο και με την οργάνωση της παρουσίασης της εργασίας Οι μαθητές εργάστηκαν ομαδοσυνεργατικά σε όλες τις φάσεις της ερευνητικής τους εργασίας

3

ΘΑΛΗΣ Ο ΜΙΛΗΣΙΟΣΒΙΟΓΡΑΦΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ

Ο Θαλής ο Μιλήσιος θεμελιωτής της Ελληνικής Φιλοσοφίας και της Μιλησίας Σχολής των κοσμολόγων ήταν προσωκρατικός φιλόσοφος που δραστηριοποιήθηκε στις αρχές του 6ου

αιώνα πΧ στη Μίλητο

Γεννήθηκε περίπου το 624-623 πΧ σύμφωνα με τις μαρτυρίες του Απολλόδωρου ενώ σύμφωνα με άλλες μαρτυρίες γεννήθηκε στα 630-635 πΧ και πέθανε σε προχωρημένη ηλικία παρακολουθώντας αθλητικούς αγώνες στην Ολυμπία εξαιτίας της ζέστης της δίψας και της εξάντλησης Στον τάφο του χαράχτηκε το εξής επίγραμμα laquoΕἰ ὀλίγον τό δέ σῆμα τό δέ κλεός οὐρανόμηκεςraquo δηλαδή laquoο χώρος που πιάνει ο τάφος είναι μικρός αλλά η δόξα σου φτάνει στα ουράνιαraquo

Η παράδοση κατατάσσει το Θαλή μεταξύ των 7 Σοφών και τον περιγράφει ως άνθρωπο με πλατιές γνώσεις και μεγάλη επινοητικότητα Ήταν μία πολύπλευρη προσωπικότητα Ασχολήθηκε με την αστρονομία και τα μαθηματικά την φυσική και την φιλοσοφία Επίσης αναδείχτηκε σε αξιόλογο πολιτικό αφού σε καίριες στιγμές παρενέβη στα πολιτικά δρώμενα της εποχής του Πληροφορίες λένε ότι δεν σπούδασε σε καμία σχολή ούτε μαθήτευσε σε κανένα δάσκαλο Σε όλη τη διάρκεια της ζωής του παρέμεινε άγαμος και αφοσιωμένος στη θεωρητική πρακτική ενασχόληση με τη φιλοσοφία και τις άλλες επιστήμες

Όπως μας αναφέρει και ο Πρόκλος

Ο Θαλής αγαπούσε τα ταξίδια Ταξίδεψε στην Αίγυπτο και την Βαβυλώνα όπως ήταν καθιερωμένο να κάνουν οι σοφοί του 6ου αιώνα και μελέτησε τον τρόπο ζωής και τις επιστήμες των Αιγυπτίων Με τον τρόπο αυτό έφερε μαζί του πίσω στη Μίλητο γνώσεις και εφαρμογές οι οποίες συνέβαλαν στην εξέλιξη της Γεωμετρίας και των Μαθηματικών

4

Για τα επιστημονικά επιτεύγματα λέγονται πολλά και είναι δύσκολο να ξεχωρίσει κανείς ποια από αυτά δεν οφείλονται στο θρύλο που δημιουργήθηκε γύρω από την προσωπικότητα του Το σημαντικότερο ωστόσο είναι ότι μέσω των προβληματισμών του για την αρχή του κόσμου ανήγαγε τα πολλαπλά φαινόμενα του κόσμου σε μία μοναδική αρχή γεγονός που τον κατατάσσει δίκαια laquo στη χορεία των φιλοσόφωνraquo Ο Θαλής δεν πρέπει να άφησε κανένα έργο παρά μόνο ένα με τίτλο laquo Ναυτική Αστρολογίαraquo αν και αυτό αμφισβητείται σύμφωνα με τον Διογένη Λαέρτιο ο οποίος υποστηρίζει ότι είναι έργο του Φώκου του ΣάμιουΕΡΓΟ-ΓΝΩΣΕΙΣ-ΘΕΩΡΙΑΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑΟ Θαλής ήταν ο πρώτος Έλληνας Φιλόσοφος που αναζήτησε την πρώτη αρχή των όντων και των κοσμολογικών φαινομένων Ως πρώτη αιτία όρισε το νερό Η ζωτική δύναμη του νερού και η τεράστια σημασία του για την φύση ήταν τα αίτια που έκαναν το Θαλή να το ορίσει ως πρωταρχικό στοιχείο του αποδίδοντας 2 κοσμολογικές απόψεις

bull Η γη έχει την μορφή ενός κυκλικού δίσκου που στηρίζεται στο νερό

bull Το νερό είναι η αρχή των πάντων

Σύμφωνα με τον Αριστοτέλη ήταν η αρχαιότερη θεωρία που είχε διατυπωθεί και είχε παραδοθεί από τον Θαλή

ΘΕΟΛΟΓΙΑ Όπως μας αναφέρει ο Αριστοτέλης μια άλλη επιστήμη στην οποία συνέβαλε ο Θαλής ήταν η Θεολογία Υποστήριζε πως ο κόσμος είναι γεμάτος Θεούς laquoπάντα πλήρη θεῶν εἶναιraquo και ότι η ψυχή είναι κάτι το κινητικό laquoκινητικόν τίraquo

Ακόμη είναι ο πρώτος που παρατήρησε ότι ο μαγνήτης (Fe 0) ασκεί ελκτικές δυνάμεις σε σιδερένια αντικείμενα Οι ανακαλύψεις των ηλεκτρικών και μαγνητικών ιδιοτήτων ορισμένων υλικών ώθησαν το Θαλή στη διατύπωση της θεωρίας ότι καθετί που υπάρχει στη φύση έχει ψυχή Από την εξήγηση που έδωσε ότι οι ετήσιες (μελτέμια) προκαλούν τις πλημμύρες του ποταμού Νείλου πιθανολογείται ότι πρέπει να ασχολήθηκε και με τη μελέτη των μετεωρολογικών φαινομένων χωρίς όμως να σωθούν οι παρατηρήσεις και οι μελέτες που έκανε

ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΕάν η θεμελίωση της θεωρητικής γεωμετρίας ως επιστήμης και κατά συνέπεια η θεμελίωση του πολιτισμού οφείλεται στην αναλαμπή του Θαλή ο οποίος σκέφτηκε να διατυπώσει τα γεωμετρικά αξιώματα και την ανάγκη απόδειξης με αυτά των γεωμετρικών προτάσεων η συνολική θεώρηση του κόσμου και η προσπάθεια αναγωγής όλων των φαινομένων σε μία αρχή αποτελεί πράγματι σημαντικό επίτευγμα του

5

ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΟ Θαλής εκτός από φιλόσοφος υπήρξε και μεγάλος αστρονόμος Ο Ηράκλειτος γράφει laquoΘαλῆς πρῶτος ἀστρολογῆσαιraquo

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑΩς μαθηματικός ο Θαλής είναι γνωστός στη στοιχειώδη γεωμετρία από το ομώνυμο θεώρημά του Η κυριότερη προσφορά του Θαλή όμως στην επιστήμη των μαθηματικών ήταν η εισαγωγή της αποδείξεως γεγονός που έφερε αλλαγή στον τρόπο του laquoσκέπτεσθαιraquo μέχρι εκείνη την εποχή

ΣΥΜΒΟΛΗ ΣΤΗΝ ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝΜε βάση όλες τις θεωρίες και τις γνώσεις του μπορούμε να κατανοήσουμε πως η συμβολή του στην εξέλιξη όλων των επιστημών ήταν καθοριστική

ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΜερικά από τα αποφθέγματα του Θαλή ήταν

bull Γνῶθι σαυτόν (Γνώρισε τον εαυτό σου)

bull Χαλεπόν τόν ἑυατόν γνῶναι (Είναι δύσκολο το να γνωρίσει κανείς τον εαυτό του)

bull Βαρύ ἀπαιδευσία (Η απαιδευσία είναι βαρύ πράγμα)

bull Μέτρῳ χρῶ (Σε όλες τις ενέργειες να υπάρχει μέτρο)

bull Μή πλούτει κακῶς (Να μην πλουτίζεις κακώς)

6

bull Ἀργός μή ἲσθι μηδ΄ἀν πλουτῆς (Να μην μένεις αργός ούτε όταν είσαι πλούσιος)

bull Ίσχυρότατον ἀνάγκη κρατεῖ γάρ πάντων (Η ανάγκη είναι το ισχυρότατο των πραγμάτων διότι υπερισχύει όλων)

bull Φίλων παρόντων καί ἀπόντων μέμνησο (Να θυμάσαι τους φίλους σου όταν είναι παρόντες και απόντες)

bull Φθονοῦ μᾶλλον ἤ οἰκτίρου (Καλύτερα να σε φθονούν παρά να σε λυπούνται)

bull Πρός τόν πυθόμενον τί πρότερον γεγόνοι νύξ ἡ ἡμέρα laquoἡ νύξraquo ἔφη laquoμία ημέρα πρότερονraquo (Προς κάποιον που τον ρώτησε τι έγινε πρώτα η νύκτα ή η ημέρα απάντησε laquoΗ νύχτα έγινε μία μέρα νωρίτεραraquo)

ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣυνοπτικά ο Θαλής στην αστρονομία

bull ανακάλυψε την ανισότητα των εξάμηνων (θερινού και χειμερινού) με σκιοθηρικό γνώμονα

bull Μέτρησε την διάρκεια του έτους (365 μέρες) bull Μελέτησε τις τροπές και τις ισημερίες του ήλιου και ανέπτυξε μεθόδους εντοπισμού

των αντίστοιχων ημερών μέσα στο έτος bull Ανέπτυξε μέθοδο υλοποίησης στο έδαφος της ακριβούς διεύθυνσης βορρά και

νότουbull Προέβλεψε μια έκλειψη ήλιου (Μάιος 585 πχ)bull Υπολόγισε τον λόγο της διαμέτρου του Ήλιου προς την φαινόμενη τροχιά του γύρω

από την γη καθώς και της διαμέτρου της σελήνης προς την τροχιά της γύρω από την γη

bull Κατασκεύασε το περίφημο laquoδιαστημόμετροraquo για τον υπολογισμό των αποστάσεων των πλοίων από την ξηρά

ΦΥΣΙΚΗΌσον αφορά την φυσική με την παρατήρηση ότι το ήλεκτρο (κεχριμπάρι) όταν τρίβεται πάνω σε μάλλινο ρούχο αποκτά την ιδιότητα να έλκει τρίχες μικρά φτερά κλπ ο Θαλής έθεσε τα θεμέλια του ηλεκτρισμού Αρκετούς αιώνες μετά η παραγωγή ηλεκτρισμού με την χρήση της τριβής πραγματοποιήθηκε με την βοήθεια ηλεκτροστατικών μηχανών Τέλος στο Θαλή οφείλεται και η ανακάλυψη του μαγνητισμού

7

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Συνοπτικά ο Θαλής στη γεωμετρία

bull Εισήγαγε την έννοια των παράλληλων ευθειώνbull Εισήγαγε την έννοια των γωνιών και τα πρώτα τους θεωρήματαbull Ανακάλυψε κριτήρια ισότητας και ομοιότητας τριγώνωνbull Ανακάλυψε το ομώνυμό του Θεώρημα του Θαλήbull Ανακάλυψε το θεώρημα της γωνίας της εγγεγραμμένης στο ημικύκλιοbull Εκτιμάται ότι ανακάλυψε το θεώρημα των τριών γωνιών τρίγωνου

ΜΑΡΤΥΡΙΕΣ-ΑΠΟΤΙΜΗΣΗΔυστυχώς οι γνώσεις μας για τα μαθηματικά που αναπτύχθηκαν τον 6ο και τον 5ο αιώνα πΧ είναι αποσπασματικές Κανένα κείμενο δεν διασώζεται ακέραιο ενώ οι πληροφορίες που έχουμε προέρχονται από συγγραφείς που έζησαν έως και 1000 χρόνια αργότερα

Ο Πρόκλος αποτελεί την καλύτερη και την πλέον αξιόπιστη πηγή για τον Θαλή ως Γεωμέτρη

Παρrsquo ότι ο Πρόκλος έζησε τον 5ο μΧ αιώνα η επισκόπηση της Ιστορίας της Γεωμετρίας που περιέλαβε στα σχόλια του για το πρώτο βιβλίο του Ευκλείδη είναι αξιόπιστη καθώς θεωρείται ότι βασίζεται στην χαμένη Ιστορία της Γεωμετρίας που είχε συγγράψει ο μαθητής του Αριστοτέλη ο Εύδημος

Με τον Θαλή αλλά και τους επίγονους της σχολής της Ιωνίας το σχήμα παίρνει ουσιαστικό και πρωτεύοντα ρόλο στην σπουδή της Γεωμετρίας και γίνεται το ίδιο αντικείμενο μελέτης και μαθηματικού στοχασμού

Δικαίως λοιπόν εξασφάλισε τον τίτλο του laquoΠατέρα της Γεωμετρίαςraquo αφού

bull Σύμφωνα με τον Ιερώνυμο (Μαθητής του Αριστοτέλη)

laquoΚατόρθωσε να μετρήσει τις πυραμίδες παρατηρώντας το μήκος της σκιάς τους κατά τη στιγμή που οι σκιές μας έχουν μήκος ίσο με το ύψος μαςraquo

8

bull Ο Πλίνιος

Μας λέει τα ίδια προσθέτοντας ότι ο Θαλής χρησιμοποίησε την μέθοδο και για κάθε άλλο σώμα του οποίου θέλουμε να βρούμε το ύψος

bull Ο Πρόκλος αποδίδει στο Θαλή πολλά μαθηματικά αποτελέσματαlaquoΠρώτος ο Θαλής απέδειξε ότι η διάμετρος διχοτομεί τον κύκλοraquolaquoΠρώτος εκείνος επεσήμανε ότι οι γωνίες της βάσης κάθε ισοσκελούς τρίγωνου είναι ίσεςraquo

bull Ο Εύδημος αναφέρει

laquoΟ Θαλής βρήκε πρώτος το θεώρημα ότι οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσεςraquo

Άλλες μαρτυρίες για τα θεωρήματα και τη συμβολή του Θαλή είναι και της ιστορικού Παμφίλης (που παρατίθεται από το Διογένη Λαέρτιο) η οποία υποστήριξε πως ο Θαλής υπήρξε ο πρώτος που ενέγραψε ορθογώνιο τρίγωνο σε κύκλο Συμφώνα όμως με τον Απολλόδωρο το λογικιστή αυτό πρέπει να αποδοθεί στους Πυθαγορείους Συμφώνα πάλι με τον Cantor ο Θαλής δεν laquoαπέδειξεraquo αλλά μάλλον παρατήρησε τις ιδιότητες των γεωμετρικών σχημάτων

Με βάση τις παραπάνω μαρτυρίες είμαστε σε θέση να αποτιμήσουμε τη συμβολή του Θαλή στην παγκόσμια ιστορία όλων των τομέων των επιστημών Η συμβολή αυτή έγκειται στο γεγονός ότι ανέπτυξε μια λογική δομή και εισήγαγε την απόδειξη στα μαθηματικά

9

ΠυθαγόραςΒΙΟΓΡΑΦΙΚΑ

Ο γνωστός σε όλους μας Πυθαγόρας ο Σάμιοςγεννήθηκε στη Σάμο και έζησε το 580-500πΧ Το όνομά του του το έδωσαν οι γονείς του προς τιμήν της Πυθίας η οποία προφήτεψε τη γέννησή του Σύμφωνα με τον Διογένη Λαέρτιο ο Πυθαγόρας έλεγε ότι κάποτε υπήρξε Αιθαλίδης και ήταν γιος του Ερμή Ο Ερμής του ζήτησε να διαλέξει ότι ήθελε εκτός από την αθανασία Ζήτησε λοιπόν όσο ζει να θυμάται όσα του έχουν συμβεί Έτσι μπορούσε να επαναφέρει στη μνήμη του τα πάντα από τις προηγούμενες ζωές του

Νεαρός ακόμα παρακινούμενος από τη φιλομάθειά του έφυγε από την πατρίδα του για να μυηθεί σε όλες τις ελληνικές και βαρβαρικές τελετές Πήγε στην Αίγυπτο και τότε ο πολιτάρχης τον σύστησε με επιστολή του στον Αμάση Εκεί έμαθε τέλεια τα αιγυπτιακά όπως λέει ο Αντιφών στο laquo Περί τῶν ἒν ἁρετῇ πρωτευσάντων raquo και επισκοπήθηκε τους Χυδαίους και τους Μάγους Κατόπιν στην Κρήτη με το Επιμενίδη κατέβηκε στο Ιδαίον Άντρο αλλά και στην Αίγυπτο είχε μπει στα άδυτα Έτσι γνώρισε τα μυστικά για τους θεούς Στη συνέχεια επέστρεψε στη Σάμο επειδή όμως βρήκε την πατρίδα του τυραννοκρατούμενη από τον Πολυκράτη αναχώρησε για τον Κρότωνα της Ιταλίας Έδρασε εκεί όπου και ίδρυσε την περίφημη laquoΠυθαγόρειο Σχολήraquo η οποία ήταν πολίτικο-θρησκευτικό ίδρυμα με πολιτικούς κυρίως στόχους όπου μελετήθηκαν και η αριθμητική και η γεωμετρία Επεδίωκε την ηθική και πνευματική αναγέννηση όλων των λαϊκών στρωμάτων ανδρών και γυναικών της περιοχής του Κρότωνα

Είχε πολλούς και καλούς μαθητές Κάθε φορά που έμπαιναν στο σπίτι του τους έλεγε να λένε τα εξής laquoΠού έσφαλαraquo laquoΤι έκαναraquo laquoΤι έπρεπε να κάνω και δεν έκαναraquo Οι μαθητές του επί πέντε χρόνια παρέμεναν σιωπηλοί και άκουγαν μόνο τις ομιλίες του Πυθαγόρα χωρίς ποτέ να βλέπουν τον ίδιο Μετά το τέλος αυτής της δοκιμασίας του γίνονταν μέλη του σπιτιού του και είχαν το δικαίωμα να τον βλέπουν

10

Πέθανε σύμφωνα με τον Διογένη Λαέρτιο καθώς προσπαθούσε να διαφύγει από την καταδίωξη Κροτωνιατών που φοβήθηκαν την εγκαθίδρυση τυραννίας λόγω της μεγάλης δύναμης που είχε αποκτήσει αυτός και οι μαθητές του στην πόλη Οι Κροτωνιάτες έσφαξαν αυτόν και τους τετρακόσιους μαθητές του αφού πρώτα έκαψαν το σπίτι του Μίλωνα στο οποίο λίγο πριν είχαν συγκεντρωθεί Ο Δικαίαρχος αναφέρει πως ο Πυθαγόρας πέθανε στο ιερό των Μουσών στο Μετάποντιο (ελληνική αποικία) μένοντας σαράντα ημέρες νηστικός

ΕΠΙΤΕΥΓΜΑΤΑ - ΕΡΓΟ

Η ηθική διδασκαλία του Πυθαγόρα και των ακολούθων του (Πυθαγορείων) διασώζεται σε 71 στίχους του έργου laquoΤα χρυσά έπη του Πυθαγόραraquo Η σύνθεση αυτών των στίχων αποδίδεται στους Νεοπυθαγορείους του 2ου-3ου μΧ αιώνα Η γνώση ότι τα laquoΧρυσά Έπηraquo γραφτήκαν από τον Πυθαγόρα ή τους Πυθαγορείους και ανασυντέθηκαν μεταγενέστερα με τη μορφή που έφτασαν σε εμάς δεν φαίνεται να είναι σωστή Αν κάνουμε μια απλή ανάγνωση στα εν λόγω έπη αποδεικνύεται ότι αυτά γράφτηκαν πολύ αργότερα Οπωσδήποτε όμως το περιεχόμενο των επών είναι απόλυτα laquoπυθαγορικόraquo και συμφωνεί με την παράδοση της ηθικής διδασκαλίας του Πυθαγόρα και των Πυθαγορείων

Οι σύγχρονοί του όμως φαίνεται ότι θεωρούσαν τον Πυθαγόρα περισσότερο ως θρησκευτικό προφήτη και λιγότερο ως μαθηματικό Πρέπει να υπογραμμίσουμε πάντως ότι η διδασκαλία του διέφερε από διδασκαλίες άλλων στοχαστών της εποχής του κατά το ότι απέδιδε πολύ μεγάλη σημασία στα μαθηματικά λέγοντας ότι αυτά είναι η οδός για την απελευθέρωση της ψυχής Το πιο σημαντικό μέρος των μαθηματικών για τους Πυθαγορείους είναι η αριθμητική Διότι όπως έλεγε και ο Πυθαγόρας laquoΤά τῶν αριθμῶν στοιχεία τῶν ὂντων πάντωνεἴναιraquo (Αριστοτέλους Μετά τα φυσικάΑ5)

11

[Aristot Metaph A 5985 b 23]οἱ καλούμενοι Πυθαγόρειοι τῶν μαθημάτων ἁψάμενοι πρῶτοι ταῦτά τε προήγαγον καὶ ἐντραφέντες ἐν αὐτοῖς τὰς τούτων ἀρχὰς τῶν ὄντων ἀρχὰς ᾠήθησαν εἶναι πάντων ἐπεὶ δὲ τούτων οἱ ἀριθμοὶ φύσει πρῶτοι ἐν δὲ τούτοις ἐδόκουν θεωρεῖν ὁμοιώματα πολλὰ τοῖς οὖσι καὶ γιγνομένοις μᾶλλον ἢ ἐν πυρὶ καὶ γῇ καὶ ὕδατι ὅτι τὸ μὲν τοιονδὶ τῶν ἀριθμῶν πάθος δικαιοσύνη τὸ δὲ τοιονδὶ ψυχή τε καὶ νοῦς ἕτερον δὲ καιρὸς καὶ τῶν ἄλλων ὡς εἰπεῖν ἕκαστον ὁμοίως ἔτι δὲ τῶν ἁρμονιῶν ἐν ἀριθμοῖς ὁρῶντες τὰ πάθη καὶ τοὺς λόγους - ἐπεὶ δὴ τὰ μὲν ἄλλα τοῖς ἀριθμοῖς ἐφαίνετο τὴν φύσιν ἀφωμοιῶσθαι πᾶσαν οἱ δ ἀριθμοὶ πάσης τῆς φύσεως πρῶτοι τὰ τῶν ἀριθμῶν στοιχεῖα τῶν ὄντων στοιχεῖα πάντων ὑπέλαβον εἶναι καὶ τὸν ὅλον οὐρανὸν ἁρμονίαν εἶναι καὶ ἀριθμόν

bull Πυθαγόρειες τριάδες

Ο Πρόκλος αποδίδει στον ίδιο τον Πυθαγόρα την εύρεση των πυθαγορείων τριάδων της

μορφής

+ΝminusΝΝ2

12

122

όπου Ν περιττός αριθμός μεγαλύτερος του 1 Για

παράδειγμα αν πάρουμε ως Ν τον αριθμό 3 θα σχηματιστεί η τριάδα

+minus2

132

13322

δηλαδή η (3 4 5) η οποία είναι πράγματι Πυθαγόρεια τριάδα αφού ικανοποιεί τη σχέση 222 543 =+

Φαίνεται ότι αληθεύει η εκδοχή λόγω της παράδοσης κάποιες μαθηματικές γνώσεις να μεταδόθηκαν από την Αίγυπτο σε πολλούς αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς ανάμεσα τους τον Πυθαγόρα

12

bull Πυθαγόρειο θεώρημα

Σε αντιστοιχία με τον ορισμό των πυθαγορείων τριάδων ένα τρίγωνο λέγεται πυθαγόρειο όταν τα μήκη των πλευρών του αποτελούν Πυθαγόρεια τριάδα Προφανώς κάθε ορθογώνιο τρίγωνο είναι πυθαγόρειο ενώ το αντίστροφο γενικά δεν ισχύει Το ΠΘ αποτελεί χαρακτηριστικό παράδειγμα μελέτης των ιδιοτήτων των σχημάτων Ο Ευκλείδης στα laquoΣτοιχείαraquo μας λέει ουσιαστικά ότι η επιφάνεια που καταλαμβάνει το τετράγωνο που κατασκευάζεται με πλευρά την υποτείνουσα ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι ίση με την επιφάνια που καταλαμβάνουν μαζί τα τετράγωνα που κατασκευάζονται με πλευρά τις κάθετες πλευρές του τριγώνου

-Ορισμός Πυθαγορείου Θεωρήματος Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών Αντίστροφο Πυθαγορείου Θεωρήματος Αν σε ένα τρίγωνο το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο

Η απόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήματος που χρησιμοποιούμε συνήθως σήμερα στηρίζεται στην έννοια της ομοιότητας των τριγώνων και τις αλγεβρικές ιδιότητες των αναλογιών ενώ το θεώρημα διατυπώνεται στη μορφή μιας αλγεβρικής ισότητας για τετράγωνα των μήκων των πλευρών του ορθογώνιου τριγώνου Με τον τρόπο αυτό γίνεται ένα ευέλικτο υπολογιστικό εργαλείο με πολυάριθμες εφαρμογές και προεκτάσεις

Το πυθαγόρειο θεώρημα αποδεικνύεται με πάνω από έναν τρόπους

13

Απόδειξη με εμβαδά

Θεωρούμε ένα τετράγωνο πλευράς a + b και σχεδιάζουμε σε αυτό τέσσερα ορθογώνια τρίγωνα με πλευρές a και b και υποτείνουσα c έτσι ώστε στο κέντρο να έχουμε τετράγωνο πλευράς c (βλ σχήμα)

Υπολογίζουμε το εμβαδό του τετραγώνου προσθέτοντας το εμβαδό του μικρότερου τετραγώνου καθώς και τα εμβαδά των τεσσάρων τριγώνων

c2 + 2abΑφού πρόκειται για τετράγωνο πλευράς a + b το εμβαδό του ισούται επίσης με

a2 + b2 + 2abΕξισώνοντας τις δυο αυτές σχέσεις προκύπτει

a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab ή a2 + b2 = c2

Απόδειξη με ομοιότητα τριγώνων

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ορθή γωνία την Α Θεωρώ το ύψος της υποτείνουσας ότι την τέμνει στο σημείο Δ Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΒΑ είναι όμοια μεταξύ τους ως ορθογώνια τρίγωνα με ίδια τη γωνία Β Παρομοίως τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΓΑ είναι όμοια μεταξύ τους με ίδια τη γωνία Γ

Ισχύει ))(()AB()AB()(

)()AB( 2 ∆ ΒΒ Γ=rArr∆ Β=

Β Γ και (ΑΓ)2 = (ΒΓ)(ΔΓ)

Αν προσθέσουμε τις δυο αυτές εξισώσεις έχουμε(ΑΒ)2 + (ΑΓ)2 =

(ΒΓ)(ΔΒ) + (ΒΓ)(ΔΓ) = (ΒΓ)(ΔΒ + ΔΓ) = (ΒΓ)2

bull Η περίφημη κούπα του Πυθαγόρα

Ο Πυθαγόρας κατά την τοπική παράδοση της Σάμου είχε φτιάξει μια κούπα εφαρμόζοντας τους νόμους της Φυσικής για να πίνει με μέτρο το κρασί Εσωτερικά είχε μία γραμμή που όριζε ως που έπρεπε να γεμίσει κανείς Μια στάλα παραπάνω και η κούπα άδειαζε όλο το κρασί της από μία κρυφή οπή στη βάση Πως όμως γίνεται αυτό Στο κέντρο της κούπας βρίσκεται μια στήλη τοποθετημένη ακριβώς πάνω από έναν σωλήνα ο οποίος οδηγεί στο κάτω μέρος της Εκεί βρίσκεται η κρυφή οπή Ενώ γεμίζουμε την κούπα η στάθμη του κρασιού ανεβαίνει και στο εσωτερικό της κεντρικής στήλης ακολουθώντας το νόμο του Pascal για τα συγκοινωνούντα δοχεία

14

Όσο η στάθμη του κρασιού δεν ξεπερνά τη γραμμή που είναι χαραγμένη στο εσωτερικό της κούπας laquoδεν τρέχει τίποταraquo Εάν όμως την ξεπεράσει ταυτόχρονα φτάνει και στην κορυφή της εσωτερικής στήλης έτσι μέσω του σωλήνα το παραπανίσιο κρασί χύνεται κάτω από την κούπα Τότε η υδροστατική πίεση δημιουργεί ένα σιφόνι στον εσωτερικό σωλήνα το οποίο αδειάζει όλο το περιεχόμενο της κούπας από την οπή που υπάρχει

Ένα πλήθος επιπρόσθετων επιτευγμάτων όπως η κατασκευή και η μελέτη τριών τουλάχιστον από τα πέντε κανονικά πολύγωνα (κύβος τετράεδρο δωδεκάεδρο) και η κατασκευή της μουσικής κλίμακας (μελέτη των λόγων της τετράχορδης λύρας και δημιουργία κανόνα της οχτάχορδης λύρας) μας αποδεικνύει τη σημαντικότητα του Πυθαγόρα ως επιστήμονας της εποχής του Οι πληροφορίες για τη μελέτη των πολυέδρων δεν είναι αρκετές ωστόσο για τη μουσική κλίμακα γνωρίζουμε ότι βασίστηκε στις μελέτες του Πυθαγόρα ο οποίος μελετώντας τη μαθηματική σχέση της μουσικής κλίμακας και διατυπώνοντας σχετικούς κανόνες διευκόλυνε κατά πολύ την κατασκευή μουσικών οργάνων Κατάφερε να εκφράσει τη μουσική αρμονία με μαθηματικές σχέσεις μέσα από τη φιλοσοφική και επιστημονική του προσέγγιση Ξεκινώντας από μία χορδή και διαιρώντας διαδοχικά με το μήκος της και τον χρυσό αριθμό Φ κατάφερε να κατασκευάσει το μουσικό όργανο laquoΚανόναraquo εξέλιξη του οποίου συναντάται σήμερα στο γνωστό laquoκανονάκιraquo

Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΟΥ ΣΤΟ ΣΗΜΕΡΑ

Το αρχαιότερο παράδειγμα εφαρμογής του γνωστού σε όλους laquoπυθαγορείου θεωρήματοςraquo το συναντούμε στη πινακίδα ΒΜ 85196 που χρονολογείται από την περίοδο της πρώτης βαβυλωνιακής χιλιετίας πΧ Έχοντας γνώση λοιπόν του έργου του οι Βαβυλώνιοι οδηγηθήκαν σε αξιόλογα επιτεύγματα

Ο Πυθαγόρας υπήρξε μεγάλη προσωπικότητα με τις έρευνες και το Πανεπιστήμιό του συνέβαλε στο άλμα των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών Η περίεργη μυστικότητα όμως που διέπνεε το σύλλογο έγινε αιτία να μην πληροφορηθούν οι βιογράφοι επακριβώς όλα τα προσωπικά επιτεύγματα του ίδιου Έτσι σήμερα αγνοούμε εν μέρη το δικό του έργο το οποίο ασφαλώς θα ήταν σημαντικότατο

Όσο αναφορά το πυθαγόρειο σχήμα παρά τα αρκετά μειονεκτήματα έχει μερικά χαρακτηριστικά τα οποία μόνιμα επηρέαζαν την ελληνική αστρονομική σκέψη Έδινε βαρύτητα στις κυκλικές κινήσει των ουράνιων σωμάτων γύρω από ένα κεντρικό στοιχείο Τέλος στον Πυθαγόρα και τους Πυθαγορείους οφείλεται πλήθος γεωμετρικών εργασιών αφού αυτοί μελέτησαν με επιτυχία την επιστήμη της Γεωμετρίας

15

Πλάτων ο ΑθηναίοςΒιογραφικά στοιχεία

Έζησε στο διάστημα (427-347πΧ) Ήταν Aθηναίος φιλόσοφος αριστοκρατικής καταγωγής όπου ίδρυσε και διεύθυνε το διασημότερο πανεπιστήμιο στην αρχαία Ελλάδα την Ακαδημία για 40 περίπου χρόνια μέχρι το θάνατό του Πατέρας του ήταν ο Αρίστωνας ο οποίος καταγόταν από το γένος του βασιλιά Κόδρου και μητέρα του ήταν η Περικτιόνη η οποία ήταν αδερφή του Χαρμίδη ενός από τους Τριάκοντα τύραννους και ανιψιά του Κριτία επίσης μέλος των Τριάκοντα με καταγωγή από το γένος του νομοθέτη Σόλωνος Αδέρφια του ήταν οι Αδείμαντος και Γλαύκων Το πρώτο του όνομα ήταν Αριστοκλής αλλά αργότερα ονομάστηκε Πλάτωνας γιατί είχε ευρύ στέρνο και πλατύ μέτωπο

Σε ηλικία 18 ετών γνώρισε τον Σωκράτη και γοητεύτηκε από την προσωπικότητα και από την διδασκαλία του Από το συνολικό έργο του διασώζονται 36 έργα τα οποία εκτός από την Απολογία του Σωκράτη έχουν την μορφή διαλόγου σε όλα εκτός των Νόμων Την συζήτηση διεύθυνε ο Σωκράτης ενώ ο τίτλος του καθενός είναι το όνομα του σπουδαιότερου συνομιλητή ή αφηγητή Στα έργα αυτά γίνεται φανερή η τοποθέτηση του και ο άκρατος

θαυμασμός του προς τα μαθηματικά και ιδιαίτερα προς την γεωμετρία

Λίγες πληροφορίες για την Ακαδημία

Η Ακαδημία ήταν ένα προάστιο των Αθηνών Πήρε το όνομά της από τον ήρωα Ακάδημο Αναφορικά ο Ιππίας γιος του Πεισίστρατου έκτισε ένα κυκλικό τοίχο και ο Κίμωνας φύτεψε τη περιοχή με τα δέντρα η οποία καταστράφηκε από τον Σίλα το 86 πΧ Το 387

16

πΧ O Πλάτωνας ίδρυσε τη φιλοσοφική του σχολή η οποία έγινε πολύ διάσημη χάρη στους νεοπλατωνιστές και χρησιμοποιείτο έως το 526 μΧ οπότε και έκλεισε από τον αυτοκράτορα Ιουστινιανό Η Ακαδημία ήταν σχολή ανωτέρων μελετών και ταυτόχρονα και εκπαιδευτικό ίδρυμα Είχε ισχυρή καταστατική συγκρότηση και παρουσιάζεται περισσότερο υπό τη μορφή μιας αδελφότητας μιας φιλοσοφικής αίρεσης τα μέλη της οποίας αισθάνονται στενά συνδεδεμένα μεταξύ τους και διακρίνεται και από μια οικειότητα στις σχέσεις μεταξύ των μαθητών και των δασκάλων την οποία θα χαρακτηρίζαμε στοργική και φιλική συνάμα Υπάρχει μια διαφωνία σχετικά με το αν η Ακαδημία ήταν ένωση για τη πρόοδο των επιστημών ή ίδρυμα ανώτατης μόρφωσης Η διαφωνία αυτή είναι κάπως άσκοπη δεδομένου το ότι ο άκρατος ρεαλισμός της σχολής αλλά και ο απλός χαρακτήρας της αρχαϊκής εκείνης εποχής δεν επιτρέπουν στο να μεταθέσουμε σε εκείνο το περιβάλλον τη σύγχρονη αντίληψη που έχουμε για την επιστήμη Η Ακαδημία άλλωστε ήταν σχολή ανώτερων μελετών αλλά και εκπαιδευτικό ίδρυμα ταυτόχρονα Τέλος ο Πλάτωνας δεν ονειρεύτηκε μόνο τη ldquoμετά επιστήμηςrdquo παιδεία αλλά και τη μετέδωσε για σαράντα χρόνια στους μαθητές του στην Ακαδημία

Η Ακαδημία ήταν ο τόπος στον οποίο ο Πλάτωνας προσπαθούσε να δείξει τον δρόμο σε προικισμένους μαθητές ώσπου να αναπηδήσει ο σπινθήρας και να αποκαλυφθεί η έσχατη γνώση Ξέρουμε τόσα λίγα για την καθημερινή διδασκαλία στην ακαδημία την εποχή του Πλάτωνα ώστε πότε-πότε θέλησαν να αρνηθούν τον επιστημονικό χαρακτήρα της Τέτοιοι σκεπτικισμοί δεν στηρίζονται πουθενά Την μεγάλη σημασία των μαθηματικών σαν προπαίδεια για την διαλεκτική η οποία στηριζόταν σε αυτά την δείχνουν μερικές προσωπικότητες του Πλατωνικού κύκλου και χωρίς αμφιβολία υπάρχει ουσιαστική αλήθεια στο ανέκδοτο που λένε ότι βρισκόταν πάνω από την είσοδο της Ακαδημίας laquoἁγεωμέτρητος μηδείς εἰσίτωraquo Ξέρουμε ακόμα ότι η διαιρετική μέθοδος για την οποία μιλήσαμε στους οψιμότερους διαλόγους έπαιξε σημαντικό ρόλο στον αγώνα για ένα λογικά ταχτοποιημένο κοσμοείδωλο και στην απόκτηση ορισμών με την διαίρεση των γενικότερων εννοιών

Η συμβολή του Πλάτωνα και της Ακαδημίας στα μαθηματικά

Η συμβολή της Ακαδημίας στα μαθηματικά του 4ου αιώνα πΧ είναι σημαντικότατη ιδιαίτερα με τα έργα των καθηγητών της Θεαίτητου Μεναίχμου και Ενδόξου Η συμβολή όμως του Πλάτωνα είναι αμφιλεγόμενη αν και πιστεύεται ότι

-Έλυσε το Δήλιο πρόβλημα (διπλασιασμό του κύβου) με κινητική γεωμετρία και κάποιο όργανο με την βοήθεια του οποίου προέκυπτε η λύση

-Έδωσε γενική μορφή στην αναλυτική μέθοδο και συνέβαλε στην έρευνα των γεωμετρικών τύπων

-Προσδιόρισε ένα πλήθος των πυθαγορείων τριάδων δηλαδή των τριαδικών ακέραιων αριθμών που επαληθεύουν την ισότητα x2+y2=ω2 του Πυθαγορείου θεωρήματος

Για τα πολυσυζητημένα αστρονομικά ζητήματα της εποχής του (κίνηση του ουρανού θέση σχήμα και κίνηση της Γης) παρουσιάζει ξένες και θολά διατυπωμένες απόψεις γεγονός που

17

φανερώνει ότι δεν διέθετε προσωπική άποψη για το θέμα και γενικά ότι δεν ήταν μαθηματικός

Έγραψε μεταξύ άλλων την απολογία του Σωκράτη η οποία θεωρείται ως μια σχετικά ακριβής καταγραφή της απολογίας του Σωκράτη στην δίκη που τον καταδίκασε σε θάνατο Μετά τη θανάτωση του Σωκράτη για λίγο καιρό κατέφυγε στα Μέγαρα κοντά στον συμμαθητή του Ευκλείδη Ύστερα γύρισε στην Αθήνα όπου για 10 χρόνια ασχολήθηκε με τη συγγραφή φιλοσοφικών έργων τα οποία φέρουν τη σφραγίδα της σωκρατικής φιλοσοφίας Στη συνέχεια ταξίδεψε στην Αίγυπτο και στην Κυρήνη όπου σχετίστηκε με τον μαθηματικό Θεόδωρο και τέλος στον Τάραντα της Ιταλίας όπου γνώρισε τους πυθαγόρειους από τη φιλοσοφική σκέψη των οποίων επηρεάστηκε αποφασιστικά Μετά πέρασε στη Σικελία Στην αυλή του βασιλιά των Συρακουσών Διονυσίου Α΄ γνώρισε τον βασιλικό γυναικάδελφο Δίωνα με τον οποίον συνδέθηκε φιλικά Η φιλία όμως αυτή προκάλεσε τις υποψίες του Διονυσίου για συνωμοσία γι αυτό έδιωξε τον Πλάτωνα από τη Σικελία Στην Αίγινα κινδύνεψε να πουληθεί ως δούλος αλλά τον εξαγόρασε ο Κυρηναίος φίλος του Αννίκερης Επιστρέφοντας στην Αθήνα άνοιξε τη φιλοσοφική σχολή του την Ακαδημία (387 πΧ) Η προσπάθεια όμως των δύο φίλων να προσηλυτίσουν στις ιδέες τους τον νέο ηγεμόνα Διονύσιο τον Πρεσβύτερο απέτυχαν Για τρίτη φορά ήρθε στην αυλή των Συρακουσών το 361 πΧ με σκοπό να συμφιλιώσει τον Δίωνα με τον Διονύσιο Αυτή τη φορά κινδύνεψε και η ζωή του Τον έσωσε η επέμβαση του πυθαγόρειου Αρχύτα Αλλά ο Δίωνας δεν γλίτωσε Δολοφονήθηκε το 353 πΧ Έτσι ο Πλάτωνας έχασε τον άνθρωπο στον οποίο στήριξε τις ελπίδες του για την επιβολή των πολιτικών του ιδεών Από τότε και μέχρι τον θάνατό του ασχολήθηκε με τη διδασκαλία και με τη συγγραφή φιλοσοφικών έργων Επίσης έγραψε το συμπόσιο που μιλάει για την φύση του έρωτα στον Πρωταγόρα Μεταξύ άλλων θεμελιώνεται θεωρητικά η αρχή της πρόληψης που δεν λαμβάνει την τιμή ως απολύτως ανταποδοτική στον Παρμενίδη και Θεαίτητο θεμελιώνει την αντικειμενικότητα του λόγου και της ιδέας ενώ σε 2 μακρούς διαλόγους την Πολιτεία και τους Νόμους περιέγραψε την ιδανική πολιτεία

Η κύρια συμβολή του στα μαθηματικά βρίσκεται κυρίως στο ότι προέτρεπεe τους μαθηματικούς να ερευνούν καθολικές μαθηματικές αλήθειες και γενικά να καλλιεργούν τα μαθηματικά τα οποία θεωρούσε ότι διαθέτουν τεράστια εκπαιδευτική αξία Η προτροπή αυτή φαίνεται εκτός των άλλων και στις απόψεις του ότι τα μαθηματικά είναι lsquorsquoδόσις θεῶν εἰς ἀνθρώπουςrsquorsquo και ότι οδηγούν έντονα την ψυχή προς το θείο

Οι επιδράσεις του Πλάτωνος στους έπειτα αιώνες

Ο Γάλλος ιστορικός της φιλοσοφίας Ζακ Σεβαλιέ τονίζει στο έργο του laquoΙστορία της σκέψηςraquo (1955) την κυρίαρχη παρουσία ή έστω ανταύγεια της πλατωνικής φιλοσοφίας σε ολόκληρο το Μεσαίωνα και στην Αναγέννηση και στους Νεότερους χρόνους ενώ ο Γερμανός φιλόσοφος Καρλ Γιάσπερς προβάλλει τον Πλάτωνα ως το τον πρώτο από τους τρεις θεμελιωτές του φιλοσοφείν Η ιστορία της φιλοσοφίας μέχρι τον Κικέρωνα είναι σαφώς επηρεασμένη από αυτόν και είτε αμφισβητεί είτε ακολουθεί τη διδασκαλία του Ο μαθητής του Αριστοτέλης εξ ίσου επιδραστικός με τον ίδιο οδηγήθηκε στην ανάπτυξη τμήματος του έργου του ως απάντηση στον πλατωνισμό Η σχολή την οποία ο Πλάτωνας

18

ίδρυσε το 387 πΧ η Ακαδημία συνέχισε να ακμάζει ως τις αρχές του πρώτου αιώνα π Χ έχοντας όμως μετατραπεί σε σκεπτική σχολή μετά τις αρχές της ελληνιστικής περιόδου

Κατά την εποχή του Αυγούστου υπήρξε αναβίωση της πλατωνικής φιλοσοφίας ο μεσοπλατωνισμός με εκπροσώπους όπως ο Φίλων ο Αλεξανδρεύς ενώ κατά τα τέλη του δεύτερου αιώνα ο μεσοπλατωνισμός άρχεσαι να μετατρέπεται σταδιακά υπό την επίδραση του νεοπυθαγορισμού και του ερμητισμού στην κατεχόμενη από τους Ρωμαίους Αίγυπτο στο κίνημα του νεοπλατωνισμού με αρχικούς εκπροσώπους όπως ο Πλωτίνος το οποίο είχε ιδεαλιστικό μυστικιστικό και σωτηριολογικό χαρακτήρα Η Ακαδημία στην Αθήνα επανιδρύθηκε ως κέντρο νεοπλατωνικών μελετών κατά τον τέταρτο αιώνα

Την ίδια εποχή περίοδο έντονων θρησκευτικών ζυμώσεων στη Ρωμαϊκή Αυτοκρατορία και σταδιακής επικράτησης του χριστιανισμού στη Μεσόγειο οι ακόλουθοι της αστικής ελληνορωμαϊκής θρησκείας αλλά και των ελληνικών μυστηριακών λατρειών συσπειρώθηκαν γύρω από τον νεοπλατωνισμό ως υπερασπιστή του μέχρι πρότινος επικρατούντος παγανισμού Μεμονωμένοι νεοπλατωνικοί και παγανιστικοί πυρήνες επέζησαν ως τον έκτο αιώνα οπότε και ο Αυτοκράτορας Ιουστινιανός έκλεισε με διάταγμα την Ακαδημία της Αθήνας Μετά περίπου εννέα αιώνες το έτος 1439 ο Γεώργιος Γεμιστός Πλήθων γράφει στη Φλωρεντία το πολύκροτο έργο του Περί ὧν Αριστοτέλης προς Πλάτωνα που αποτέλεσε το έναυσμα της διαμάχης πλατωνικών και αριστοτελικών στο Βυζάντιο και στην Ιταλία Ο πλατωνισμός επιβίωσε υπογείως καθ όλον τον Μεσαίωνα κρυμμένος σε μυστηριακά ρεύματα έως ότου οι πρωτότυπες ιδέες του ανακαλύφθηκαν ξανά και σχολιάστηκαν κατά την Αναγέννηση Έτσι ούτε η νεότερη φιλοσοφική σκέψη έμεινε ανεπηρέαστη από αυτόν Τα διάφορα φιλοσοφικά συστήματα ή προσπαθούν να ανατρέψουν τις ιδέες του ή οικοδομούνται πάνω σ αυτές εκσυγχρονίζοντάς τες

Τα έργα του είναι

Αλκιβιάδης Α η Περί Ανθρώπου Φύσεως μαιευτικός

Αλκιβιάδης Β ή Περί Προσευχής μαιευτικός

Απολογία Σωκράτους ηθικός

Γοργίας ή Περί Ρητορικής ανατρεπτικός

Επινομίς ή Νυκτερινος Σύλλογος πολιτικός

Επιστολαί ηθικαί

Ερασταί ή Περί Φιλοσοφίας ηθικός

Ευθύδημος ή Εριστικός ανατρεπτικός

Ευθύφρων ή Περί του Οσίου

Θεάγης ή Περί Φιλοσοφίας μαιευτικός

Θεαίτητος ή Περί Επιστήμης πειραστικός

19

Ιππαρχος ή Φιλοκερδής ηθικός

Ιππίας ελάσσων ή Περί του Ψεύδους ανατρεπτικός

Ιππίας μείζων ή Περί του Καλού ανατρεπτικός

Ίων ή Περί Ιλιάδος πειραστικός

Κλειτοφών ή Προτρεπτικός ηθικός

Κρατύλος ή Περί Ονομάτων Ορθότητος λογικός

Κριτίας ή Ατλαντικός ηθικός

Κρίτων ή Περί του Πρακτέου ηθικός

Λάχης ή Περί Ανδρείας ηθικός

Λύσις ή Περί Φιλίας μαιευτικός

Μενέξενος ή Επιτάφιος ηθικός

Μένων ή Περί Αρετής πειραστικός

Μίνως ή Περί Νόμου πολιτικός

Νόμοι ή Περί Νομοθεσίας πολιτικός

Παρμενίδης ή Περί Ιδεών λογικός

Πολιτεία ή Περί Δικαίου πολιτικός

Πολιτικός ή Περί της Βασιλείας λογικός

Πρωταγόρας ή Σοφισταί επιδεικτικός

Σοφιστής ή Περί του Όντος λογικός

Συμπόσιον ή Περί Αγαθού ηθικός

Τίμαιος ή Περί Φύσεως φυσικός

Φαίδρος ή Περί Έρωτος ηθικός

Φαίδων ή Περί Ψυχής ηθικός

Φίληβος ή Περί Ηδονής ηθικός

Χαρμίδης ή Περί Σωφροσύνης πειραστικός

20

21

ΕυκλείδηςΒΙΟΓΡΑΦΙΑ

Υπολογίζεται ότι έζησε το βrsquo μισό του 4ου έως τις αρχές του 3ου πΧ αιώνα πιο συγκεκριμένα περίπου το 325 πΧ έως το 265 πΧ Κορυφαίος μαθηματικός της αρχαιότητας που επηρέασε με το έργο του σε ανυπέρβλητο βαθμό τον επιστημονικό τρόπο σκέψης σε όλο τον κόσμο Για τη ζωή του δεν υπάρχουν επιβεβαιωμένες πληροφορίες Πιθανώς εκπαιδεύτηκε στην Αθήνα στην Ακαδημία του Πλάτωνα και δίδαξε στην Αλεξάνδρεια Ξέρουμε ότι ήταν μεγαλύτερος στην ηλικία από τον Αρχιμήδη πράγμα που σημαίνει ότι η χρονολόγηση της ακμής του laquoγύρω στο 300 πΧraquo δεν πρέπει να απέχει πολύ από την αλήθεια Ο Πρόκλος επίσης τον χαρακτηρίζει σύγχρονο του βασιλιά Πτολεμαίου Αrsquo στον

οποίο είχε το θάρρος να του πει κατά πρόσωπο πως δεν υπάρχει βασιλική οδός προς τη γεωμετρία Ο Πάππος τον επαινεί για την ηθική του ακεραιότητα τη μετριοφροσύνη και την ευμενή στάση του προς όσους είναι ικανοί να προαγάγουν τη μαθηματική γνώση Ο Στοβαίος διηγείται το ακόλουθο ενδιαφέρον περιστατικό Ένας νέος επισκέφθηκε κάποτε τον Ευκλείδη και τον παρακάλεσε να τον διδάξει γεωμετρία Μόλις έμαθε το πρώτο θεώρημα ρώτησε τον Ευκλείδη laquoΚαι τώρα τι θα κερδίσω με το θεώρημα αυτόraquo Ο Ευκλείδης τότε γύρισε προς τον υπηρέτη του και του είπε laquoΔώσrsquo του τρεις δεκάρες ώστε να κερδίσει κάτι από το θεώρημα το οποίο έμαθεraquo Αυτά είναι όλα όσα γνωρίζουμε για τον Ευκλείδη ως άνθρωπο Πολύ μεγαλύτερη σημασία όμως έχει το έργο του το οποίο ακόμα και σήμερα μαρτυρεί τα απαράμιλλα χαρίσματά του ως δασκάλου

ΕΡΓΟ

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη

Μετά το θάνατο του Μεγάλου Αλεξάνδρου στα 323 πΧ η αχανής μακεδονική αυτοκρατορία διαιρέθηκε σε τρεις περιοχές Η περιοχή πού περιλάμβανε την Αίγυπτο περιήλθε κάτω από την άξια ηγεμονία του ικανού στρατηγού του Αλεξάνδρου Πτολεμαίου του Σωτήρος ο οποίος σύντομα κέρδισε τη βασιλεία της περιοχής Ο Πτολεμαίος επέλεξε για πρωτεύουσα της περιοχής του την Αλεξάνδρεια λίγα μόνο μίλια από τις εκβολές του ποταμού Νείλου και γύρω στα 300 πΧ άνοιξε τις πόρτες του περίφημου πανεπιστημίου της Αλεξάνδρειας Ανάμεσα στους μελετητές που κλήθηκαν να επανδρώσουν το νέο ίδρυμα ήταν και ο μαθηματικός Ευκλείδης που πιθανότατα υπήρξε μαθητής της Ακαδημίας του Πλάτωνα στην Αθήνα

22

Ο Ευκλείδης από τη στιγμή που ανέλαβε τα καθήκοντά του στην Αλεξάνδρεια όρισε ανάμεσα στους στόχους του τη συγκρότηση του μνημειώδους και ιστορικά σημαντικού έργου του των Στοιχείων Αυτή η αξιόλογη και εκτεταμένη εργασία γραμμένη σε δεκατρία βιβλία ή μέρη αποτελεί την αρχαιότερη εφαρμογή της αξιωματικής μεθόδου που έχει φτάσει στα χέρια μας Θεωρείται ο πρώτος μεγάλος σταθμός στην ιστορία της οργάνωσης των μαθηματικών και η μετέπειτα επίδραση της στον επιστημονικό τρόπο γραφής πολύ δύσκολα μπορεί να περιγραφεί

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη διεκδικούν αναμφισβήτητα μια θέση ανάμεσα στις μεγάλες στιγμές των μαθηματικών Η εργασία αυτή εκτόπισε τόσο γρήγορα και ολοκληρωτικά όλες τις προηγούμενες εργασίες ανάλογου περιεχομένου που σήμερα δεν υπάρχουν αντίγραφα προηγουμένων προσπαθειών και απλά γνωρίζουμε την ύπαρξη τους από σχόλια μεταγενέστερων συγγραφέων Τα Στοιχεία του Ευκλείδη από την πρώτη εμφάνιση τους κέρδισαν τεράστια εκτίμηση Με μοναδική εξαίρεση τη Βίβλο καμιά άλλη εργασία δεν χρησιμοποιήθηκε μελετήθηκε ή εκδόθηκε τόσο πολύ Για πάνω από δύο χιλιετίες κυριάρχησε στο χώρο διδασκαλίας της γεωμετρίας Από την πρώτη έκδοση της στα 1472 έχει γνωρίσει πάνω από χίλιες εκδόσεις Το περιεχόμενο και η μορφή της επέδρασαν εντυπωσιακά στην ανάπτυξη του αντικειμένου της και της λογικής θεμελίωσης των μαθηματικών

Ο Πρόκλος ένας κατοπινός σχολιαστής των μαθηματικών που έζησε στον 5ο αιώνα έχει δώσει μια εξήγηση της έννοιας του όρου laquoστοιχείαraquo Τα στοιχεία μιας αποδεικτικής μελέτης είναι τα πιο σημαντικά θεωρήματα ή τα θεωρήματα κλειδιά που χρησιμοποιούνται συχνά και πλατιά στο αντικείμενο της μελέτης Είναι τα θεωρήματα που χρειάζονται για την απόδειξη όλων ή των περισσότερων από τα άλλα θεωρήματα Η λειτουργία τους συγκρίνεται με αυτή των γραμμάτων του αλφαβήτου σε σχέση με τη γλώσσα Τα γράμματα στα ελληνικά ονομάζονται και στοιχεία Η επιλογή των προτάσεων που θα λειτουργήσουν ως στοιχεία κάποιου θέματος μελέτης απαιτεί μεγάλη ικανότητα και κρίση από το συγγραφέα

Δεν υποτιμά καθόλου την αίγλη του έργου του Ευκλείδη το γεγονός ότι είχαν προηγηθεί ανάλογες προσπάθειες Σύμφωνα με τον Πρόκλο η πρώτη προσπάθεια να γραφτούν Στοιχεία έγινε από τον Ιπποκράτη το Χίο στα μέσα του πέμπτου πΧ αιώνα Η επόμενη προσπάθεια ήταν του Λέοντα που χρονολογικά τοποθετείται κάπου ανάμεσα στον Πλάτωνα και τον Εύδοξο Όπως μαθαίνουμε η εργασία του Λέοντα περιείχε μια μεγαλύτερη και πιο χρήσιμη επιλογή προτάσεων από τον Ιπποκράτη Το βιβλίο που χρησιμοποιούνταν στην Ακαδημία του Πλάτωνα είχε επιμεληθεί ο Θεύδιος από τη Μαγνησία και θεωρούνταν μια θαυμάσια συλλογή στοιχείων Η εργασία του Θεύδιου ήταν ασφαλώς ο άμεσος πρόδρομος της εργασίας του Ευκλείδη ο οποίος την είχε χωρίς αμφιβολία στη διάθεση του ειδικά αν όπως πιστεύουν σπούδασε στην Ακαδημία του Πλάτωνα

Ο Ευκλείδης γνώριζε επίσης την εργασία του Θεαίτητου και του Εύδοξου Δεν είναι καθόλου υποτιμητικό ότι η εργασία του Ευκλείδη αποτελεί σε μεγάλο βαθμό συγκέντρωση και επιμέλεια των εργασιών των προγενεστέρων του αφού η ουσιαστική αξία των Στοιχείων βρίσκεται ακριβώς στην τέλεια επιδεξιότητα με την οποία επιλέχτηκαν και τοποθετήθηκαν

23

σε λογική σειρά οι προτάσεις ξεκινώντας από μια μικρή ομάδα αρχικών υποθέσεων Ούτε είναι υποτιμητικό το γεγονός ότι η εξονυχιστική μελέτη των σύγχρονων κριτικών έχουν αποκαλύψει ορισμένα μειονεκτήματα στη δομή της εργασίας του Ευκλείδη Δε θα μπορούσε κανείς να περιμένει μια τέτοια αρχική και κολοσσιαία προσπάθεια με την αξιωματική μέθοδο να μην παρουσιάζει καμία ατέλεια

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη έχουν γραφεί γύρω στο 300 πΧ αλλά το αυθεντικό χειρόγραφο κείμενο του Ευκλείδη δεν διασώζεται Αντίθετα σώζονται δεκάδες αντίγραφα που σε τελική ανάλυση κατάγονται από αυτό Το αρχαιότερο πλήρες αντίγραφο περιέχεται σε έναν χειρόγραφο περγαμηνό κώδικα που φυλάσσεται σήμερα στη Βιβλιοθήκη της Οξφόρδης και χρονολογείται από του έτους 888 ενώ μικρά αποσπάσματα του έργου διασώζονται σε παπύρους προγενέστερης εποχής καθώς και σε ένα παλίμψητο χειρόγραφο του 7ου ή του 8ου

μΧ αι που φυλάσσεται στο Βρετανικό Μουσείο Βλέπουμε λοιπόν ότι το αρχαιότερο χειρόγραφο που περιέχει το πλήρες κείμενο των Στοιχείων του Ευκλείδη χρονολογείται από τα τέλη του 9ου μΧ αι και επομένως απέχει από την εποχή μας όσο απέχει από την εποχή που ο ίδιος ο Ευκλείδης έγραψε το έργο

Όλες οι σύγχρονες εκδόσεις στηρίζονται σε μια επανέκδοση που έκανε ο Θεωνάς από την Αλεξάνδρεια ένας Έλληνας σχολιαστής που έζησε εφτακόσια περίπου χρόνια μετά τον Ευκλείδη Μόνο στις αρχές του 19ου αιώνα ανακαλύφθηκε ένα παλιότερο αντίγραφο Στα 1808 όταν ο Ναπολέοντας διέταξε να μεταφερθούν όλα τα αξιόλογα χειρόγραφα από τις ιταλικές βιβλιοθήκες στο Παρίσι ο Φ Πέιραρντ (F Peyrard) ανακάλυψε στη βιβλιοθήκη του Βατικανού ένα αντίγραφο των Στοιχείων από έκδοση προγενέστερη από του Θεωνά Η μελέτη όμως αυτής της παλιότερης έκδοσης αποκάλυψε δευτερεύουσες μόνο διαφορές από τον Θεωνά

Οι πρώτες πλήρεις μεταφράσεις των Στοιχείων στα λατινικά δεν έγιναν από τα ελληνικά αλλά από τα αραβικά Τον 8ο αιώνα οι Άραβες μετέφρασαν έναν αριθμό βυζαντινών χειρογράφων με ελληνικές εργασίες και στα 1120 ο Άγγλος μελετητής Άντελαρντ (Adelard) από το Μπαθ μετέφρασε τα Στοιχεία στα λατινικά χρησιμοποιώντας μια απ αυτές τις παλιότερες αραβικές μεταφράσεις Άλλες λατινικές μεταφράσεις από τα αραβικά έκαναν ο Γκεράρντο από την Κρεμώνα (Gherardo 1114-1187) και 150 χρόνια μετά τον Άντελαρντ ο Γιοχάννες Καμπάνους (Johannes Campanus) Η πρώτη τυπωμένη έκδοση των Στοιχείων έγινε στη Βενετία στα 1482 η έκδοση αυτή ήταν η μετάφραση του Καμπάνους Αυτό το πολύ σπάνιο βιβλίο ήταν θαυμάσια τυπωμένο και ήταν το πρώτο αξιόλογο μαθηματικό βιβλίο που τυπώθηκε Μια σημαντική λατινική μετάφραση από τα ελληνικά έγινε από τον Κομμαντίνο (Commandino) στα 1572 Αυτή η μετάφραση χρησιμοποιήθηκε ως βάση για πολλές άλλες μεταφράσεις που ακολούθησαν ανάμεσα σ αυτές και η εργασία του Ρόμπερτ Σίμσον (Robert Simson) που άσκησε σημαντική επιρροή και αποτέλεσε με τη σειρά της τη βάση για πάρα πολλές αγγλικές εκδόσεις

24

Αναλυτική περιγραφή των laquo στοιχείων raquo

Ειδικότερα το πρώτο βιβλίο αναφέρεται σε τεμνόμενες και παράλληλες ευθείες στην ισότητα ευθύγραμμων σχημάτων και στο τέλος το πυθαγόρειο θεώρημα Στο 2ο βιβλίο αναφέρονται συνέπειες από το πυθαγόρειο θεώρημα και γίνονται μετασχηματισμοί ευθύγραμμων σχημάτων σε ισοδύναμα τετράγωνα Εδώ περιέχεται και το πρόβλημα

της laquoχρυσής τομήςraquo Πολλές από τις προτάσεις αυτού μπορούν με σύγχρονους συμβολισμούς να πάρουν μορφή αλγεβρική γιrsquo αυτό έχει επικρατήσει να λέγεται για το 2ο βιβλίο ότι εισάγει τη laquoγεωμετρική άλγεβραraquo Στο 3ο βιβλίο εξετάζεται ο κύκλος και στο τέταρτο βιβλίο λύνονται προβλήματα σχετικά με τα εγγεγραμμένα στον κύκλο κανονικά πολύγωνα Στο 5ο βιβλίο σπουδάζεται η laquoθεωρία των λόγωνraquo του Ευδόξου Πρόκειται ουσιαστικά για τη θεωρία των πραγματικών αριθμών δοσμένη όμως σε μορφή γεωμετρική Το 6ο βιβλίο ασχολείται με την ομοιότητα επίπεδων σχημάτων και σrsquo αυτά αποδεικνύεται ότι από όλα τα ορθογώνια με δοσμένη περίμετρο το τετράγωνο έχει το μέγιστο εμβαδόν Στα βιβλία 7ο-9ο που αφορούν στην αριθμοθεωρία είναι εκπληκτικό πώς με παντελή μπορεί να πει κανείς έλλειψη συμβολισμών (αριθμοί δεν αναγράφονται) κατορθώνεται μια ακροβασία στην αλληλουχία των συλλογισμών που καταλήγει σε πολύ ενδιαφέροντα αριθμητικά αποτελέσματα Ειδικότερα στο 7ο βιβλίο μελετιούνται οι άρτιοι και οι περιττοί αριθμοί οι πρώτοι και οι σύνθετοι καθώς και οι τέλειοι εξετάζονται διάφορα προβλήματα διαιρετότητας ορίζεται το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο αριθμών (ΕΚΠ) καθώς και ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης τους και δίνεται η μέθοδος προσδιορισμού του που ονομάστηκε laquoΕυκλείδειος Αλγόριθμοςraquo Στα δύο επόμενα βιβλία εξακολουθεί η σπουδή αριθμοθεωρητικών θεμάτων στο 8ο εισάγονται επίσης και μελετιούνται οι γεωμετρικές πρόοδοι και στο 9ο έχουν συμπεριληφθεί τρεις σημαντικότατες προτάσεις Πρόκειται για α) το αποκαλούμενο laquoθεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικήςraquo β) την απόφανση ότι υπάρχουν απειράριθμοι πρώτοι και γ) την πρόταση που οδηγεί σε ένα γενικό τύπο που παρέχει άρτιους τέλειους αριθμούς Στο 10ο βιβλίο που αποτελεί ένα από τα ωραιότερα μέρη των Στοιχείων γίνεται μια ταξινόμηση των τετραγωνικών άρρητων και των τετραγωνικών ριζών τους και κατασκευάζεται ένα σύνολο ασύμμετρων μεγεθών το οποίο μαζί με το σύνολο των ρητών συναποτελεί επέκταση αυτού του τελευταίου τέτοια ώστε κάθε στοιχείο της να είναι κατασκευασμένο με κανόνα και διαβήτη Τέλος τα βιβλία της στερεομετρίας το 11ο βιβλίο ασχολείται με θεμελιώδεις σχέσεις μεταξύ ευθειών και επιπέδων καθώς και με τις στερεές γωνίες στο 12ο αναφέρεται σε επιφάνειες και όγκους στερεών και στο 13ο γίνεται η μελέτη της σφαίρας σε συσχετισμό με τα εγγεγραμμένα σε αυτήν κανονικά πολύεδρα

25

Άλλα έργα

bull Δεδομένα (94 θεωρήματα) έργο ανώτερης γεωμετρίας Στο έργο αυτό περιέχονται προτάσεις σε σχήματα στα οποία δίνονται ορισμένα στοιχεία τους κατά σχήμα θέση ή μέγεθος

bull Περί διαιρέσεων (36 προτάσεις) με περιεχόμενό του τη διαίρεση σχημάτων με δοσμένη σχέση

bull Πορίσματα (3 βιβλία που χάθηκαν) σώθηκαν ορισμένα αποσπάσματα που το 1860 έγινε απόπειρα ανασύνθεσής τους από τον Πάππο

bull Οπτικά-κατοπτρικά αντίστοιχα γεωμετρική οπτική ανάκλαση του φωτός πάνω σε επίπεδο κάτοπτρο

bull Φαινόμενα εγχειρίδιο κοσμογραφίας απλές προτάσεις για τη σφαίρα

bull Κατατομή κανόνος στοιχεία πυθαγόρεια θεωρία μουσικής

bull Ψευδάρεια laquoπαράδοξαraquo με στόχο να ασκηθούν οι σπουδαστές στην ανεύρεση λογικών σφαλμάτων κατά τις αποδείξεις

bull Κωνικαί τομαί Μηχανικά δεν γνωρίζουμε τίποτα γιrsquo αυτά τα έργα

Αιτήματα του Ευκλείδη

Τα αιτήματα είναι αρχικές προτάσεις οι οποίες προσιδιάζουν στη συγκεκριμένη κάθε φορά επιστήμη στην προκειμένη περίπτωση στη Γεωμετρία Ο Ευκλείδης διατυπώνει 5 αιτήματα

1 Ζητείται να γίνει δεκτό ότι από οποιοδήποτε σημείο σε οποιοδήποτε σημείο άγεται ευθεία γραμμή

2 Και (ότι) πεπερασμένη ευθεία προεκτείνεται σε ευθεία κατά συνεχή τρόπο

3 Και (ότι) με οποιοδήποτε κέντρο και διάστημα γράφεται κύκλος

4 Και (ότι) όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους

5 Και αν η ευθεία η οποία τέμνει δύο ευθείες σχηματίζει δύο εντός και επί τrsquo αυτά μέρη γωνίες μικρότερες των δύο ορθών τότε οι δύο ευθείες προεκτεινόμενες επrsquo απείρου συναντώνται προς εκείνα τα μέρη τους όπου βρίσκονται μικρότερες των δύο ορθών

Ακολουθούν τα laquoαιτήματαraquo διατυπωμένα σε αρχαίο κείμενο όπως αυτά βρίσκονται στο Βιβλίο Ι

26

Ο ρόλος των τριών πρώτων από τα αιτήματα αυτά είναι να εξασφαλίσουν τη νομιμότητα των κατασκευών της ευθείας και του κύκλου και κατά συνέπεια εκείνων και μόνο των γραμμών και των γεωμετρικών σχημάτων που κατασκευάζονται με πεπερασμένο αριθμό βημάτων από τα δύο αυτά βασικά σχήματα Στα Στοιχεία επομένως δεν έχουν θέση καμπύλες όπως είναι οι κωνικές τομές τη τετραγωνίζουσα κλπ ή κατασκευές όπως κατασκευές νεύσεως Η φύση των δύο τελευταίων αιτημάτων είναι διαφορετική Αποσκοπούν να δηλώσουν ότι κάποια γεωμετρικά σχήματα έχουν ορισμένες ειδικές ιδιότητες

Πολλοί ιστορικοί των μαθηματικών έχουν ασχοληθεί κατά το παρελθόν με το ερώτημα εάν τα αξιώματα του Ευκλείδη ικανοποιούν τις σύγχρονες απαιτήσεις (πληρότητα συνέπεια ανεξαρτησία) ενός αξιωματικού συστήματος Από την προσεκτική μελέτη των αποδείξεων κι των κατασκευών που περιέχονται στα Στοιχεία προκύπτει ότι ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί μερικές φορές απόρρητες παραδοχές οι οποίες δεν περιλαμβάνονται στα αξιώματα Επομένως το σύστημα των αξιωμάτων του δεν ικανοποιεί την απαίτηση της πληρότητας

Μεγάλο ιστορικό ενδιαφέρον εξάλλου έχει το ερώτημα της ανεξαρτησίας των αιτημάτων του Ευκλείδη ιδιαίτερα σε ότι αφορά το πέμπτο από αυτά Το αίτημα αυτό αναφέρεται συχνά και ως laquoαίτημα των παραλλήλωνraquo γιατί μια ισοδύναμη διατύπωσή του είναι η εξής από ένα σημείο εκτός ευθείας άγεται μια μόνο παράλληλη προς τη ευθεία Πολλοί μαθηματικοί από την αρχαιότητα έως τα μέσα του 18ου αιώνα προσπάθησαν να εξαγάγουν το αίτημα αυτό από τα άλλα αιτήματα όλες οι προσπάθειες όμως απέβησαν άκαρπες Από τα τέλη του 18ου αιώνα η προσδοκώμενη εξάρτηση του αιτήματος επιχειρήθηκε να αποδειχτεί με έμμεσο τρόπο Η σκέψη ήταν η εξής αν το αίτημα των παραλλήλων μπορεί να εξαχθεί από τα άλλα τέσσερα αιτήματα μαζί με την άρνηση του πέμπτου θα πρέπει να οδηγούν σε αντίφαση Το νέο σύστημα αξιωμάτων όμως αντί να οδηγήσει σε αντίφαση αποδείχτηκε ότι παράγει συνέπειες μαθηματικές θεωρίες Έτσι ανακαλύφθηκαν οι λεγόμενες μη ευκλείδειες γεωμετρίες και ταυτόχρονα αποδείχθηκε η ανεξαρτησία των αιτημάτων του Ευκλείδη

27

Ας δούμε τώρα την διατύπωση και την απόδειξη της πρότασης (5) που περιέχεται στο Βιβλίο Ι των laquoστοιχείωνraquo και αναφέρεται στη γνωστή μας πρόταση της ισότητας των παρά τη βάση γωνιών ισοσκελούς τριγώνου

28

Γιατί διδάσκουμε το μάθημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στο ζήτημα της laquoχρησιμότηταςraquo των σχολικών Μαθηματικών θα μπορούσε κανείς να αντιπαραθέσει (και πράγματι αντιπαρατέθηκαν) πολλές διαφορετικές απόψεις Εμείς θα παραθέσουμε απλώς ένα απόσπασμα από τις αυτοβιογραφικές σημειώσεις του Albert Einstein το οποίο δείχνει μια άλλη τελείως διαφορετική αντίληψη σχετικά με την laquoχρησιμότηταraquo της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Γράφοντας για τα γεγονότα της παιδικής και εφηβικής του ζωής που είχαν μεγάλη επίδραση στην μετέπειτα εξέλιξη του ο Einstein σημειώνει

Σε ηλικία 12 ετών δοκίμασα μια δεύτερη τελείως διαφορετική έκπληξη σε ένα μικρό βιβλίο Ευκλείδειας επίπεδης γεωμετρίαςhellip Εδώ υπήρχαν ισχυρισμοί όπως για παράδειγμα τα τρία ύψη ενός τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο οι οποίοι - αν και καθόλου προφανείς - μπορούσαν ωστόσο να αποδειχτούν με τέτοια βεβαιότητα ώστε να μην χωρεί η παραμικρή αμφιβολία Αυτή η σαφήνεια και βεβαιότητα μου προξένησαν μια εντύπωση που δεν μπορεί να περιγραφεί Το γεγονός ότι τα αξιώματα έπρεπε να γίνουν δεκτά χωρίς απόδειξη δεν με ενόχλησε Σε κάθε περίπτωση μου αρκούσε πλήρως το γεγονός ότι μπορούσαν να στηρίζω τις αποδείξεις σε προτάσεις η εγκυρότητα των οποίων ήταν για μένα αναμφισβήτητη

Η περίπτωση του Einstein του επιστήμονα που άλλαξε ριζικά τις αντιλήψεις μας και την γεωμετρική δομή του σύμπαντος αποκαλύπτει την σπουδαιότητα ορισμένων παιδαγωγικών σκοπών και τη συνάφειά τους με το ερώτημα που θέσαμε ως τίτλο αυτής της ενότητας καλλιέργεια και ανάπτυξη της συγκροτημένης σκέψης μύηση στην επιστημονική μέθοδο μελέτες του κόσμου Αυτοί οι σκοποί παρόλη τη γενικότητά τους συνδέονται άμεσα με τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας που άσκησαν καθοριστική επίδραση στο νεαρό Einstein τα οποία είναι

bull Σαφήνεια στην έκθεση

bull Ολοκληρωτική απόδειξη κάθε υπόθεσης

bull Απόλυτη συνάφεια σχημάτων και συλλογισμών

bull Τάξη και ομορφιά

Αν τα στοιχεία αυτά αποτελούν ουσιώδη συστατικά της μαθηματικής παιδείας τότε παρέχουν κατά την άποψή μας μια αυτονόητη απάντηση στο ερώτημα laquoΓιατί διδάσκουμε την Ευκλείδεια Γεωμετρίαraquo

Αντιλήψεις και αντιπαραθέσεις για τη διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Οι ένθερμοι υποστηρικτές της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προβάλλουν την παιδαγωγική αξία της λογικής και διάφανης επιχειρηματολογίας των γεωμετρικών αποδείξεων ενώ οι πολέμιοί της επικαλούνται την αναμφισβήτητη δυσκολία των περισσότερων μαθητών να κατανοήσουν τις γεωμετρικές έννοιες και τις πολύ χαμηλές επιδόσεις τους στην αντιμετώπιση σχετικών προβλημάτων Ενδιάμεσα βρίσκονται συνήθως οι σκεπτικιστές οι οποίοι επισημαίνουν τον περιορισμένο επιστημολογικά ρόλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και την ανάγκη να ανανεωθεί η διδασκαλία των Μαθηματικών δίνοντας μεγαλύτερη έμφαση σε πιο σύγχρονους και laquoχρήσιμουςraquo κλάδους (πχ Πιθανότητες και Στατιστική) Από την εποχή που ο Dieudonne κήρυξε τον πόλεμο κατά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας οι αντιλήψεις

29

αυτές έγιναν αντικείμενο επεξεργασίας και αντιπαρατέθηκαν μεταξύ τους από σημαντικούς μαθηματικούς και παιδαγωγούς ενώ οι σχετικές συζητήσεις συνεχίζονται με αμείωτη ένταση μέχρι σήμερα Σε μια ειδική μελέτη της Διεθνούς Επιτροπής για τη Μαθηματική Εκπαίδευση (ICMI) έγινε απόπειρα σύνθεσης των διαφόρων τάσεων και διατυπώθηκαν οι εξής τρεις εναλλακτικές λύσεις για τη διδασκαλία του μαθήματος

1 η λύση

Απορρίπτουμε την ιδέα ότι η Γεωμετρία πρέπει ή μπορεί να χρησιμοποιηθεί στο σχολείο ως ένα σύστημα γνώσεων (παραγωγικά οργανωμένο ή όχι) όπου οι έννοιες και τα γεγονότα πρέπει να γίνουν γνωστά απλά και μόνο επειδή ανήκουν στο σύστημα Αντίθετα η Γεωμετρία και ο χώρος θεωρούνται ως πηγές άντλησης εξαιρετικών θεμάτων για την οργάνωση πολλαπλών δραστηριοτήτων σε διαφορετικά επίπεδα Οι laquoχρησιμοθηρικέςraquo όψεις της Γεωμετρίας θα εξυπηρετηθούν με την παροχή αλγεβρικών μεθόδων

2 η λύση

Εξακολουθούμε να επιχειρούμε τη διδασκαλία ενός αξιωματικού ή ψευδο-αξιωματικού μαθήματος σχολικής Γεωμετρίας το οποίο στηρίζεται είτε σε laquoτροποποίησηraquo των laquoΣτοιχείωνraquo του Ευκλείδη (για παράδειγμα αξιωματική θεμελίωση τύπου Pogorelov) είτε πχ στους γεωμετρικούς σχηματισμούς

3 η λύση

Για ορισμένες ομάδες μαθητών τουλάχιστον παρουσιάζουμε laquoνησίδεςraquo Γεωμετρίας δηλαδή laquoτοπικάraquo παραγωγικά συστήματα μέσα στο πλαίσιο του γενικού αναλυτικού προγράμματος (Έτσι μπορούμε για παράδειγμα να έχουμε ενότητες για τις ιδιότητες των εγγεγραμμένων σε κύκλο γωνιών ή τη στοιχειώδη προβολική Γεωμετρία)

Στην Ελλάδα για προφανείς ιστορικούς και πολιτιστικούς λόγους συνεχίζεται μια παράδοση που προσεγγίζεται εγγύτατα τη δεύτερη από τις προηγούμενες εναλλακτικές λύσεις Ακόμη και την περίοδο της μεταρρύθμισης των laquoΝέων Μαθηματικώνraquo η διεθνής πίεση για εκσυγχρονισμό των σχολικών Μαθηματικών και εγκατάλειψη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αφομοιώθηκε στη χώρα μας μέσα από έναν ιδιότυπο συμβιβασμό από τη μια μεριά διατηρήθηκε όλη η παραδοσιακή σχολική ύλη την οποία σε μεγάλο βαθμό συντηρούσαν οι εισαγωγικές εξετάσεις των ΑΕΙ και από την άλλη δόθηκε υπερβολική έμφαση στην αυστηρή αξιωματική θεμελίωσης της Γεωμετρίας καθώς και με την εισαγωγή νέας ύλης πάνω στους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς Στις αντιφατικές επιλογές εκείνης της περιόδου βρίσκονται κατά την άποψη μας οι ρίζες της μετέπειτα υποβάθμισης και παρακμής του μαθήματος της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

30

Το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στη σύγχρονη Διδακτική των Μαθηματικών τα θεμελιώδη επιστημολογικά χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας όπως είναι η παραγωγική οργάνωση του περιεχομένου η αποδεικτική διαδικασία και η έμφαση στις γεωμετρικές κατασκευές αναφέρονται συνήθως ως laquoανώτερα επίπεδα γεωμετρικής σκέψηςraquo και η μάθηση τους έχει γίνει αντικείμενο συστηματικής μελέτης και έρευνας Ένα βασικό θεωρητικό μοντέλο στο οποίο έχει στηριχθεί η διεξαγωγή μεγάλου αριθμού ερευνών σε διάφορες χώρες αποτελούν τα λεγόμενα laquoεπίπεδα van Hieleraquo Σύμφωνα με αυτό το μοντέλο η μάθηση της Γεωμετρίας εξελίσσεται ιεραρχικά περνώντας από πέντε διαδοχικά επίπεδα

bull 1ο επίπεδο Εποπτικό

bull 2ο επίπεδο ΠεριγραφικόΑναλυτικό

bull 3ο επίπεδο ΑφηρημένοΣχεσιακό

bull 4ο επίπεδο ΤυπικόΠαραγωγικό

bull 5ο επίπεδο Μεταμαθηματικό

Οι μαθητές κατανοούν τη σημασία και τη διαδικασία οικοδόμησης ενός αξιωματικού μαθηματικού συστήματος και τις σχέσεις ανάμεσα σε διαφορετικά συστήματα Για παράδειγμα αναγνωρίζουν ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία δεν είναι παρά ένας από τους πολλούς δυνατούς τρόπους περιγραφής ενός αφηρημένου μαθηματικού σύμπαντος

Είναι φανερό ότι η διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προϋποθέτει τα δύο πρώτα επίπεδα και έχει ως κύριο σκοπό την κατάκτηση των δύο επόμενων επιπέδων (για το 5ο

μάλλον δεν μπορεί να γίνεται λόγος στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση) Σε θεωρητικό επίπεδο τόσο και η θεωρία των van Hiele όσο και η γενικότερη θεωρία των σταδίων μάθησης του Piaget προβλέπουν ότι η κατάκτηση αυτών των επιπέδων είναι μια επίπονη και ιεραρχικά εξελισσόμενη διαδικασία που απαιτεί μακροχρόνια και προσεχτικά σχεδιασμένη διδασκαλία Αυτές οι θεωρητικές προβλέψεις φαίνεται να επιβεβαιώνονται από πολλές εμπειρικές έρευνες που έχουν διεξαχθεί σε διάφορες χώρες και τα αποτελέσματά τους οδηγούν σε ένα βασικό συμπέρασμα laquo η καθιερωμένη παραδοσιακή διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αδυνατεί να οδηγήσει τους μαθητές στην κατάκτηση των ανώτερων επιπέδων γεωμετρικής σκέψης raquo

Από τα αποτελέσματα αυτών των ερευνών αξίζει νrsquo αναφέρουμε εδώ ένα εντυπωσιακό στατιστικό στοιχείο που αποκαλύπτει τις διαστάσεις του προβλήματος σε μια έρευνα που έγινε στις ΗΠΑ μεταξύ 1520 μαθητών που είχαν ολοκληρώσει ένα έτος διδασκαλίας της θεωρητικής Ευκλείδειας Γεωμετρίας διαπιστώθηκε ότι μόνο το 30 είχε φτάσει σε ένα επίπεδο που μπορεί να χαρακτηριστεί από 75 επιτυχία στην απόδειξη απλών γεωμετρικών προτάσεων (πχ ότι οι διαγώνιες ενός ορθογωνίου είναι ίσες) Το ποσοστό των μαθητών που είχαν 100 επιτυχία δεν ξεπέρασε το 3

31

Κοινή πεποίθηση όλων αυτών των ερευνητών είναι ότι για να κατανοηθούν οι παραγωγικές αποδείξεις της Ευκλείδειας Γεωμετρίας απαιτείται μια ισχυρή διαισθητική βάση την οποία οι μαθητές θα αποκτήσουν μέσα από επαγωγικές εμπειρικές ανακαλύψεις τη διαπίστωση και επαλήθευση υποθέσεων τις γεωμετρικές κατασκευές και εφαρμογές Έτσι λοιπόν η διδασκαλία της Γεωμετρίας δεν θα πρέπει να στηρίζεται σrsquo ένα τεχνητό διαχωρισμό ανάμεσα σε laquoΠρακτική Γεωμετρίαraquo σχεδίασης και μετρήσεων και μια laquoΘεωρητική Γεωμετρίαraquo αποδείξεων αλλά να συνδυάζει μια ισορροπημένη ανάπτυξη των δύο αυτών όψεων του μαθήματος σrsquo όλο το φάσμα της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Η επινόηση διδακτικών μέσων και μεθόδων που θα επιτρέψουν την υλοποίηση αυτού του στόχου φαίνεται ότι αποτελεί σήμερα το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ

Η Γεωμετρία του Ευκλείδη απετέλεσε το θεμέλιο για την ανάπτυξη της laquoδυτικήςraquo επιστήμης και τεχνικής και σ αυτή τη Γεωμετρία στηρίζονται οι προϋποθέσεις της κλασικής Φυσικής από την Αναγέννηση και μετά Μόλις το 19ο αιώνα διαπιστώθηκε όμως (Λάμπερτ Γκάους Μπολυάι Λομπατσέβσκι κά) ότι η ευκλείδεια Γεωμετρία στηρίζεται στην απλοϊκή αντίληψη του επίπεδου χώρου ο οποίος είναι μεν χρήσιμος για την περιοχή που αντιλαμβάνεται με τις αισθήσεις του ένας άνθρωπος αλλά όχι για πολύ μεγάλες τιμές των φυσικών μεγεθών (αποστάσεις ταχύτητες μάζες κτλ) Τότε παύει να ισχύει η επίπεδη αντίληψη και μαζί της η Ευκλείδεια Γεωμετρία επειδή στην πραγματικότητα ο χώρος είναι κυρτός Έτσι η Γεωμετρία συμπληρώνεται με βάση αντιλήψεις που στηρίζονται στον υπερβολικό ελλειπτικό κά χώρο

Σήμερα η γεωμετρία του Ευκλείδη διδάσκεται παγκοσμίως και ανελλιπώς επί 23 αιώνες με τον τιμητικό τίτλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Στη σύγχρονη όμως σχολική γεωμετρία περιλαμβάνονται και υπολογισμοί και μετρήσεις οι οποίες από το έργο του Ευκλείδη απουσιάζουν εντελώς

Η συνολική προσφορά του Ευκλείδη στα Μαθηματικά και τις εφαρμοσμένες τέχνες υπήρξε σημαντικότατη και ταυτόχρονα βάση από την οποία εξόρμησαν οι μεταγενέστεροι μαθηματικοί γεωγράφοι και αστρονόμοι για να οδηγηθούν στο τελικό μαθηματικό θαύμα της Ελληνικής Αρχαιότητας

32

33

ΒΙΟΓΡΑΦΙΑ Ο Αρχιμήδης ήταν ένας από τους μεγάλους μαθηματικούς μηχανικούς και φυσικούς του αρχαίου Ελληνικού χώρου και μια από τις μεγαλύτερες μαθηματικές ευφυΐες του κόσμου Γεννήθηκε έζησε και πέθανε στις Συρακούσες την μεγάλη Ελληνική αποικία της Σικελίας

Πατέρας του Αρχιμήδη ήταν ο αστρονόμος Φειδίας που είχε δεσμούς φιλίας με το βασιλικό γένος των Συρακουσών Ο Αρχιμήδης ταξίδεψε στην Αίγυπτο και ήρθε σε επαφή με τους διαδόχους του Ευκλείδη του Ερατοσθένη και το Δισίθεο ενώ ήταν φίλος και συμμαθητής του Κόνωνα του Σάμιου

Υπήρξε λαμπρό παράδειγμα πρωτότυπου ερευνητή ο οποίος δεν ενδιαφέρθηκε να διευκολύνει τους αρχάριους αλλά ασχολήθηκε κυρίως για την αποκάλυψη νέων αληθειών για δική του ικανοποίηση και των ώριμων ήδη διανοούμενων Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο ενώ η κατανόηση του Ευκλείδη δεν απαιτεί εξαιρετική προηγούμενη γνώση και ευφυΐα τα προϊόντα της μαθηματικής σκέψεως τα οποία πρόκειται τώρα να εξετάσουμε είναι προσιτά αποκλειστικώς και μόνο στην ανάγνωση υψηλής πνευματικής στάθμης

Πήγε στην Αίγυπτο ως εκπαιδευτικός και ήρθε σε επαφή όχι βέβαια με τον Ευκλείδη που είχε στο μεταξύ πεθάνει αλλά με τους διαδόχους του και έκανε στενούς δεσμούς με εξαιρετικούς γεωμετρικούς όπως ο Κόνων ο Σάμιος ο Ερατοσθένης ο Κυρηναίος ο Δισίθεος κλπ από τους οποίους κατόπιν όσα έργα συνέταξε μετά την επιστροφή του στην πατρίδα του

34

Το έργο τουΤο έργο του Αρχιμήδη υπήρξε τεράστιο τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά και η ερευνητική ματιά του κάλυψε πολλούς τομείς γεωμετρία οπτική (κατοπτρική) υδραυλική μηχανική αρχιτεκτονική και την πολιορκητική Συνέδεσε το όνομά του με την γένεση της μηχανικής στην αρχαία Ελλάδα και με την λύση περίφημων μαθηματικών προβλημάτων καθώς και με τις αμυντικές εφευρέσεις του που χρησιμοποιήθηκαν όταν οι Ρωμαίοι πολιορκούσαν την πατρίδα του τις Συρακούσες

Σχολιαστής του έργου του Αρχιμήδη υπήρξε ο Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης (6ος αι μΧ) που καταγόταν από την ελληνική πόλη της Συρίας Ασκαλών

Στον χώρο της εφαρμοσμένης μηχανικής ο Αρχιμήδης επινόησε ιδιοφυείς μηχανές κάθε είδους Εφηύρε τον ρωμαϊκό ζυγό (καντάρι) το τρίσπαστο (ανυψωτική τριπλή τροχαλία) και τον ατέρμονα κοχλία έλιξ του Αρχιμήδους μηχανή άντλησης νερού από ποταμούς και φρέατα (η οποία χρησιμοποιείται ακόμα και στις μέρες μας σε περιοχές της βόρειας Αφρικής) Κατασκεύασε ένα υδραυλικό ρολόι το οποίο υπολόγιζε με μεγάλη ακρίβεια τις ώρες (και ειδοποιούσε για την αλλαγή της ώρας)

Μεγάλη φήμη απέκτησαν οι πολεμικές μηχανές του Αρχιμήδη αρχιτρόνιτο (πυροβόλο ατμού) καταπέλτες άρπαγες (μηχανισμός που ανύψωνε και αναποδογύριζε πλοία) και κάτοπτρα για την καύση των Ρωμαϊκών εχθρικών πλοίων (με παραβολικά κάτοπτρα όπως αποδείχτηκε από τα πειράματα του μηχανικού Ι Σακκά ο οποίος το 1973 απόδειξε τον τρόπο με τον οποίο ο Αρχιμήδης έκαψε τον ρωμαϊκό στόλο) Σύμφωνα με την παράδοση όταν η πόλη μετά από τριετή αντίσταση των ελλήνων κατελήφθη με προδοσία ένας ρωμαίος στρατιώτης σκότωσε τον Έλληνα επιστήμονα ενώ αυτός ήταν προσηλωμένος σε κάποιο γεωμετρικό πρόβλημα ΜΗ ΜΟΥ ΤΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥΣ ΤΑΡΑΤΤΕ πρόλαβε να του απαντήσει ο Έλληνας επιστήμονας

Ο Αρχιμήδης επηρέασε σε μεγάλο βαθμό την ευρωπαϊκή επιστημονική σκέψη καθώς και τους Άραβες επιστήμονες οι οποίοι αντέγραψαν όλα τα έργα του στα αραβικά γλώσσα στην οποία διασώθηκαν αρκετά αφού τα πρωτότυπα είχαν χαθεί

35

Διασωθέντα συγγράμματα

bull Περί σφαίρας και κυλίνδρου Βιβλίο α και βbull Κύκλου μέτρησις Σώζονται τρία θεωρήματαbull Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων (32 θεωρήματα 1 πόρισμα)bull Περί ελίκων (28 θεωρήματα 6 πορίσματα)bull Περί επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων ή Μηχανικά Βιβλ α και βbull Περί μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος (=μέθοδος)bull Βιβλίο λημμάτωνbull Πρόβλημα Βοεικόνbull Κατασκευή πλευράς του περιγραφομένου εις κύκλο επταγώνουbull Ωρολόγιον Αρχιμήδους (Σώζεται στα αραβικά)bull Περί κύκλων εφαπτομένων αλλήλωνbull Αρχαί της Γεωμετρίαςbull Ψαμμίτηςbull Τετραγωνισμός παραβολήςbull Οχουμένων (Υδροστατική)bull Στομάχιον (Σώζονται λίγα αποσπάσματα)

Συγγράμματα μη διασωθέντα (ή συγγράμματα μη αποκαλυφθέντα μέχρι σήμερα)

bull Αριθμητικάbull Βαρουλκός Υδροσκοπίαι Πνευματικήbull Επισίδια Βιβλία (Μάλλον περί στατιστικής - Τζέτζης)bull Περί τριγώνωνbull Περί τετραπλεύρουbull Περί ζευγώνbull Περί 13 ημικανονικών πολυέδρωνbull Ισοπεριμετικάbull Ισορροπίαιbull Καύσις δια κατόπτρων (επ΄ αυτού έγινε επιτυχές πείραμα στο ΝΣ)bull Περί Αρχιτεκτονικήςbull Περί βαρύτητος και ελαφρότητος (Πυκνόμετρα - Αραιόμετρα)bull Περί δρομομέτρων (Οδόμετρα πλοίων)bull Περί κέντρου Βάρους ή Κεντροβαρικάbull Κατοπρικάbull Περί παραλλήλων γραμμώνbull Περί κοίλων και παραβολικών κατόπτρωνbull Προοπτικήbull Στοιχεία μηχανικώνbull Πλινθίδες και Κύλινδροιbull Στοιχεία επί των στηρίξεωνbull Σφαιροποιΐα

36

Εφευρέσεις

bull Αραιόμετρο - Πυκνόμετροbull Αστρονομική συσκευήbull Βαρουλκόςbull Γερανοί (Αρπάγες)bull Καταπέλτεςbull Κάτοπτραbull Κοχλίας ή έλιξbull Οδόμετρο (δρομόμετρο)bull Πλανητάριον (σφαίρα)bull Πολύσπαστον (Βαρούλκο) τρίσπαστοbull Σίφωνbull Στομάχιον (επιτραπέζιο παιγνίδι το πρώτο παζλ)bull Τηλεβόλον Αρχιμήδους bull Χαριστίων (μοχλός)bull Ωρολόγιο υδραυλικό

37

Τα συγγράμματα του Αρχιμήδη που σώθηκαν μέχρι σήμερα είναι τα ακόλουθα Περί σφαίρας και κυλίνδρου Κύκλου μέτρησις περί σφαιροειδέων και κωνοειδέων Περί λίκων Επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων Ψαμμίτης Τετραγωνισμός παραβολής Οχούμενων Στομάχιον Προς Ερατοσθένην Έφοδος Βιβλίον περί λημμάτων Πρόβλημα βοεικόν Αποσπάσματα Μερικά από αυτά διασώθηκαν Πολλά επίσης είναι τα συγγράμματα του που χάθηκαν

Έκανε τα πρώτα βήματα για το μαθηματικό υπολογισμό επιφανειών με ακανόνιστο περίγραμμα και συμμετρικών εκ περιστροφής σωμάτων μέθοδος που εξελίχθηκε τεκμηριώθηκε και ονομάστηκε στην σύγχρονη εποχή laquoΟλοκληρωτικός Λογισμόςraquo υπολόγισε μία προσεγγιστική τιμή για τον άρρητο αριθμό π διατύπωσε το νόμο προεκτάσεις του γενίκευσε την εφαρμογή λέγοντας laquoΔώστε μου σημείο να στηριχθώ και θα κινήσω την γηraquo διατύπωσε την ομώνυμη αρχή για την άνωση του νερού κατασκεύασε διάφορες μηχανές ένα τύπο πολύσπαστου τον κοχλία μία αντλητική μηχανή με την laquoαρχιμήδειον έλικαraquo κά

Η συμβολή του ΑρχιμήδηΗ συμβολή του Αρχιμήδη στην ανάπτυξη της Μηχανικής συνιστάται πέρα από την επινόηση των τροχαλιών του πολύσπαστου και των οδοντωτών τροχών και ενός ιδιόμορφου αντλητικού συγκροτήματος στην έλικα που φέρει το όνομα του Ακόμα στην επακριβή διατύπωση των νόμων των μοχλών και των ισορροπιών ή κέντρα βαρών Εδώ υπάρχει και η περίφημη πρόταση laquo σύμμετρα μεγέθη ισορροπούν σε αποστάσεις αντιστρόφως ανάλογες προς το βάρος τους raquo

Σε σχέση με τους μοχλούς και τις δυνατότητες τους μας αναφέρει τη φράση laquo δος μοι πα στω και ταν γαν κινάσω raquo Απέδειξε στον Ιέρωνα ότι με ένα σύστημα τροχαλιών ndash οδοντωτών τροχών και μοχλών μπορεί να μετακινήσει ένα τεράστιο πλοίο με όλο το πλήρωμα μέσα μόνος του Ήταν ακόμα ο ίδιος που σχεδίασε και επιμελήθηκε τη ναυπήγηση του πλοίου

Ανέλαβε μετά από εντολή του Ιέρωνα την οχύρωση της πόλης και διηύθυνε ο ίδιος την άμυνα της εναντίον των Ρωμαίων

Στην αστρονομία ο Λίβιος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης είναι laquoμοναδικός παρατηρητής του ουρανού και των αστέρων raquo Ο Ίππαρχος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης ασχολήθηκε με τη μελέτη των ηλιοστασίων καθώς και με τον υπολογισμό της διάρκειας του έτους

Ο Μακρόβιος αναφέρει ότι ο Αρχιμήδης ανακάλυψε τις αποστάσεις των πλανητών ενώ στο έργο laquoΨαμμίτηςraquo περιγράφει τη συσκευή μέσω της οποίας μέτρησε τη φαινομενική γωνιακή διάμετρο του ήλιου

38

Ο Κικέρων αναφέρεται με θαυμασμό για τον Αρχιμήδη στα laquoΚατοπτρικάraquo Στα Μαθηματικά που ο ίδιος θεωρούσε ως τα πιο σημαντικά παρουσίασε την μέθοδο του προσδιορισμού του αριθμού π Τελειοποίησε το ελληνικό σύστημα αρίθμησης και παρουσίασε μια μέθοδο παράστασης των πολύ μεγάλων αριθμών Ασχολήθηκε με τη διαφορική Γεωμετρία βρήκε τους τύπους πρόσθεσης και αφαίρεσης τόξων Υπολόγισε το εμβαδόν της σφαίρας και του κυλίνδρου Μελέτησε διάφορα στερεά εκ περιστροφής όπως τα στερεά που παράγονται από περιστροφή έλλειψης υπερβολής και παραβολής γύρω από έναν άξονα

Στη Γεωμετρία το έργο του Αρχιμήδη αποτελείται κατά κύριο λόγο από πρωτότυπες μελέτες σχετικά με τον τετραγωνισμό των καμπυλόγραμμων επίπεδων σχημάτων καθώς και με τον τετραγωνισμό και τον κυβισμό καμπύλων επιφανειών

Τέλος επινόησε στο σύνολό της την Υδροστατική Επιστήμη την οποία ανέπτυξε πλήρως Οι μελέτες του αναπαριστούν ένα σύνολο μαθηματικών και γεωμετρικών επιτευγμάτων το οποίο δεν ξεπέρασε κανείς στην ανθρώπινη ιστορία

Όπως αναφέρει ο Wallis laquo ο Αρχιμήδης αφήνει ένα συγκεκριμένο μυστήριο να καλύπτει τον τρόπο με τον οποίο κατέληγε στα αποτελέσματά του Είναι σαν να είχε καλύψει σκοπίμως τα ίχνη του τα ίχνη των ερευνών του σα να ήταν απρόθυμος να αποκαλύψει το μυστικό της μεθόδου έρευνάς του στους μεταγενέστερους ενώ επιθυμούσε να αποσπάσει τη συναίνεσή τους για τα αποτελέσματά του raquo

Ο ίδιος ο Αρχιμήδης ως φορέας ενός ανώτερου φιλοσοφικού πνεύματος θεωρούσε ταπεινή και ανάξια κάθε τέχνη που εξυπηρετούσε πρακτικές ανάγκες ή αποσκοπούσε στο οικονομικό κέρδος Γι` αυτό και έστρεψε όλη του την προσοχή και τις επιδιώξεις στους καθαρούς στοχασμούς χωρίς να καταδεχτεί να αφήσει κάποιο γραπτό στοιχείο για τις τεχνολογικές του ανακαλύψεις με μοναδική εξαίρεση όσες αναφέρονται στο έργο του laquoπερί σφαιροποιίαςraquo Δεν είναι καθόλου τυχαίο λοιπόν το ότι ο Κικέρων αργότερα βρήκε τον τάφο του και πάνω μία αναπαράσταση ενός κυλίνδρου περιγεγραμμένου σε σφαίρα με μία περιγραφή που έδινε το λόγο του κυλίνδρου προς τη σφαίρα

Σε ποιους τομείς εφαρμόστηκαν οι θεωρίες του Εξαιρετικές του μελέτες και για τη μέθοδο και για το αποτέλεσμα είναι εκείνες που έδωσαν τα εμβαδά Κύκλου Έλλειψης Παραβολής και Έλικας καθώς και τα εμβαδά και τους όγκους των Κυλίνδρων των Κώνων και κυρίως των Σφαιρών

Σημαντικότατη θεωρείται και η ανακάλυψη από τον ίδιο τύπου που δίνει το εμβαδόν τριγώνου από τις πλευρές του και ακόμα η επέκτασή του στα εγγεγραμμένα τετράπλευρα Ο Αρχιμήδης επίσης γνώριζε να κατασκευάζει τη λύση ειδικών τριτοβάθμιων προβλημάτων και μεταξύ αυτών και του Δηλίου Προβλήματος Τις λύσεις αυτές τις έδινε με την τομή δύο κωνικών (Ευτόκιος) Μοναδική είναι η προσφορά του στην ανώτερη μετρική Γεωμετρία Συγκεκριμένα εξέφρασε τους όγκους στερεών εκ περιστροφής κωνικών τομών εφαρμόζοντας απειροστικές μεθόδους ανάλυσης των στερεών αυτών

39

Στη σύγχρονη κλασική γεωμετρία όλο σχεδόν το μετρικό της μέρος οφείλεται στον Αρχιμήδη με αποτέλεσμα αυτή ουσιαστικά να είναι ισορροπημένη μείξη της Ευκλείδειας και της Αρχιμήδειας αρχαίας γεωμετρίας

Έτσι ο σοφός μας αποτελεί ουσιαστικά τον πατέρα της ανώτερης μετρικής γεωμετρίας της αρχαιότητας και ταυτόχρονα την πηγή έμπνευσης των νεώτερων μελετών του διαφορικού και απειροστικού λογισμού

Η πρωτοτυπία και η αποτελεσματικότητα των μελετών του έγιναν αιτία να χαρακτηριστεί από τους ιστορικούς των μαθηματικών ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών και όλων των εθνών

Ρεύμα στα ανάκτορα της Βρετανίας μέσω εφεύρεσης του Αρχιμήδη ( httpkatestimenoblogspotcom201109blog-post_1015html )

laquoΗ Βασίλισσα Ελισάβετ πρόκειται να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση ενός αρχαίου Έλληνα για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Και όταν λέμε αρχαίο Έλληνα εννοούμε τον Αρχιμήδη και όχι τον 90χρονο σύζυγό της Φίλιππο της Ελλάδαςraquo

Με αυτόν τον τίτλο πληροφορεί το βρετανικό κοινό η εφημερίδα ldquoDaily Mailrdquo για την απόφαση της Αυτής Μεγαλειότητας να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση του αρχαίου Έλληνα εφευρέτη Αρχιμήδη από τις Συρακούσες για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Πρόκειται για τη σύγχρονη εκδοχή του ατέρμονα κοχλία της έλικος του Αρχιμήδους όπως έμεινε γνωστή η εφεύρεση και είναι ένας σωληνοειδής κοχλίας που χρησίμευε για την άντληση νερού και την άρδευση καλλιεργημένων εκτάσεων

Η σύγχρονη εκδοχή της εφεύρεσης θα χρησιμοποιεί το νερό που μεταφέρεται από ένα τεχνητό φράγμα για να παράγει υδροηλεκτρική ενέργεια Ο μηχανισμός έχει ήδη μεταφερθεί μέσω του Τάμεση στο Romney Weir στα ανάκτορα του Γουίντσορ Σύμφωνα με το δημοσίευμα της εφημερίδας οι έλικες θα είναι έτοιμες για την παραγωγή ενέργειας τον προσεχή Νοέμβριο ενώ θα μπορούν να καλύψουν πλήρως τις ανάγκες του κάστρου σε ενέργεια μέσα στον επόμενο χρόνο

Εκτός αυτού οι τουρμπίνες είναι σχεδιασμένες ώστε να μην εμποδίζουν την ασφαλή διέλευση σολομού και χελιού μέσα στον ποταμό Τάμεση

Οι laquoέλικες του Αρχιμήδηraquo βάρους 40 τόνων κατασκευάστηκαν από ένα εργοστάσιο στην Ολλανδία και στοίχησαν 700000 λίρες Αγγλίας ενώ το κόστος εγκατάστασής τους θα ξεπεράσει το ένα εκατομμύριο λίρες

40

ΘΑΛΗΣ Ο ΜΙΛΗΣΙΟΣΒΙΟΓΡΑΦΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ

Ο Θαλής ο Μιλήσιος θεμελιωτής της Ελληνικής Φιλοσοφίας και της Μιλησίας Σχολής των κοσμολόγων ήταν προσωκρατικός φιλόσοφος που δραστηριοποιήθηκε στις αρχές του 6ου

αιώνα πΧ στη Μίλητο

Γεννήθηκε περίπου το 624-623 πΧ σύμφωνα με τις μαρτυρίες του Απολλόδωρου ενώ σύμφωνα με άλλες μαρτυρίες γεννήθηκε στα 630-635 πΧ και πέθανε σε προχωρημένη ηλικία παρακολουθώντας αθλητικούς αγώνες στην Ολυμπία εξαιτίας της ζέστης της δίψας και της εξάντλησης Στον τάφο του χαράχτηκε το εξής επίγραμμα laquoΕἰ ὀλίγον τό δέ σῆμα τό δέ κλεός οὐρανόμηκεςraquo δηλαδή laquoο χώρος που πιάνει ο τάφος είναι μικρός αλλά η δόξα σου φτάνει στα ουράνιαraquo

Η παράδοση κατατάσσει το Θαλή μεταξύ των 7 Σοφών και τον περιγράφει ως άνθρωπο με πλατιές γνώσεις και μεγάλη επινοητικότητα Ήταν μία πολύπλευρη προσωπικότητα Ασχολήθηκε με την αστρονομία και τα μαθηματικά την φυσική και την φιλοσοφία Επίσης αναδείχτηκε σε αξιόλογο πολιτικό αφού σε καίριες στιγμές παρενέβη στα πολιτικά δρώμενα της εποχής του Πληροφορίες λένε ότι δεν σπούδασε σε καμία σχολή ούτε μαθήτευσε σε κανένα δάσκαλο Σε όλη τη διάρκεια της ζωής του παρέμεινε άγαμος και αφοσιωμένος στη θεωρητική πρακτική ενασχόληση με τη φιλοσοφία και τις άλλες επιστήμες

Όπως μας αναφέρει και ο Πρόκλος

Ο Θαλής αγαπούσε τα ταξίδια Ταξίδεψε στην Αίγυπτο και την Βαβυλώνα όπως ήταν καθιερωμένο να κάνουν οι σοφοί του 6ου αιώνα και μελέτησε τον τρόπο ζωής και τις επιστήμες των Αιγυπτίων Με τον τρόπο αυτό έφερε μαζί του πίσω στη Μίλητο γνώσεις και εφαρμογές οι οποίες συνέβαλαν στην εξέλιξη της Γεωμετρίας και των Μαθηματικών

4

Για τα επιστημονικά επιτεύγματα λέγονται πολλά και είναι δύσκολο να ξεχωρίσει κανείς ποια από αυτά δεν οφείλονται στο θρύλο που δημιουργήθηκε γύρω από την προσωπικότητα του Το σημαντικότερο ωστόσο είναι ότι μέσω των προβληματισμών του για την αρχή του κόσμου ανήγαγε τα πολλαπλά φαινόμενα του κόσμου σε μία μοναδική αρχή γεγονός που τον κατατάσσει δίκαια laquo στη χορεία των φιλοσόφωνraquo Ο Θαλής δεν πρέπει να άφησε κανένα έργο παρά μόνο ένα με τίτλο laquo Ναυτική Αστρολογίαraquo αν και αυτό αμφισβητείται σύμφωνα με τον Διογένη Λαέρτιο ο οποίος υποστηρίζει ότι είναι έργο του Φώκου του ΣάμιουΕΡΓΟ-ΓΝΩΣΕΙΣ-ΘΕΩΡΙΑΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑΟ Θαλής ήταν ο πρώτος Έλληνας Φιλόσοφος που αναζήτησε την πρώτη αρχή των όντων και των κοσμολογικών φαινομένων Ως πρώτη αιτία όρισε το νερό Η ζωτική δύναμη του νερού και η τεράστια σημασία του για την φύση ήταν τα αίτια που έκαναν το Θαλή να το ορίσει ως πρωταρχικό στοιχείο του αποδίδοντας 2 κοσμολογικές απόψεις

bull Η γη έχει την μορφή ενός κυκλικού δίσκου που στηρίζεται στο νερό

bull Το νερό είναι η αρχή των πάντων

Σύμφωνα με τον Αριστοτέλη ήταν η αρχαιότερη θεωρία που είχε διατυπωθεί και είχε παραδοθεί από τον Θαλή

ΘΕΟΛΟΓΙΑ Όπως μας αναφέρει ο Αριστοτέλης μια άλλη επιστήμη στην οποία συνέβαλε ο Θαλής ήταν η Θεολογία Υποστήριζε πως ο κόσμος είναι γεμάτος Θεούς laquoπάντα πλήρη θεῶν εἶναιraquo και ότι η ψυχή είναι κάτι το κινητικό laquoκινητικόν τίraquo

Ακόμη είναι ο πρώτος που παρατήρησε ότι ο μαγνήτης (Fe 0) ασκεί ελκτικές δυνάμεις σε σιδερένια αντικείμενα Οι ανακαλύψεις των ηλεκτρικών και μαγνητικών ιδιοτήτων ορισμένων υλικών ώθησαν το Θαλή στη διατύπωση της θεωρίας ότι καθετί που υπάρχει στη φύση έχει ψυχή Από την εξήγηση που έδωσε ότι οι ετήσιες (μελτέμια) προκαλούν τις πλημμύρες του ποταμού Νείλου πιθανολογείται ότι πρέπει να ασχολήθηκε και με τη μελέτη των μετεωρολογικών φαινομένων χωρίς όμως να σωθούν οι παρατηρήσεις και οι μελέτες που έκανε

ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΕάν η θεμελίωση της θεωρητικής γεωμετρίας ως επιστήμης και κατά συνέπεια η θεμελίωση του πολιτισμού οφείλεται στην αναλαμπή του Θαλή ο οποίος σκέφτηκε να διατυπώσει τα γεωμετρικά αξιώματα και την ανάγκη απόδειξης με αυτά των γεωμετρικών προτάσεων η συνολική θεώρηση του κόσμου και η προσπάθεια αναγωγής όλων των φαινομένων σε μία αρχή αποτελεί πράγματι σημαντικό επίτευγμα του

5

ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΟ Θαλής εκτός από φιλόσοφος υπήρξε και μεγάλος αστρονόμος Ο Ηράκλειτος γράφει laquoΘαλῆς πρῶτος ἀστρολογῆσαιraquo

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑΩς μαθηματικός ο Θαλής είναι γνωστός στη στοιχειώδη γεωμετρία από το ομώνυμο θεώρημά του Η κυριότερη προσφορά του Θαλή όμως στην επιστήμη των μαθηματικών ήταν η εισαγωγή της αποδείξεως γεγονός που έφερε αλλαγή στον τρόπο του laquoσκέπτεσθαιraquo μέχρι εκείνη την εποχή

ΣΥΜΒΟΛΗ ΣΤΗΝ ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝΜε βάση όλες τις θεωρίες και τις γνώσεις του μπορούμε να κατανοήσουμε πως η συμβολή του στην εξέλιξη όλων των επιστημών ήταν καθοριστική

ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΜερικά από τα αποφθέγματα του Θαλή ήταν

bull Γνῶθι σαυτόν (Γνώρισε τον εαυτό σου)

bull Χαλεπόν τόν ἑυατόν γνῶναι (Είναι δύσκολο το να γνωρίσει κανείς τον εαυτό του)

bull Βαρύ ἀπαιδευσία (Η απαιδευσία είναι βαρύ πράγμα)

bull Μέτρῳ χρῶ (Σε όλες τις ενέργειες να υπάρχει μέτρο)

bull Μή πλούτει κακῶς (Να μην πλουτίζεις κακώς)

6

bull Ἀργός μή ἲσθι μηδ΄ἀν πλουτῆς (Να μην μένεις αργός ούτε όταν είσαι πλούσιος)

bull Ίσχυρότατον ἀνάγκη κρατεῖ γάρ πάντων (Η ανάγκη είναι το ισχυρότατο των πραγμάτων διότι υπερισχύει όλων)

bull Φίλων παρόντων καί ἀπόντων μέμνησο (Να θυμάσαι τους φίλους σου όταν είναι παρόντες και απόντες)

bull Φθονοῦ μᾶλλον ἤ οἰκτίρου (Καλύτερα να σε φθονούν παρά να σε λυπούνται)

bull Πρός τόν πυθόμενον τί πρότερον γεγόνοι νύξ ἡ ἡμέρα laquoἡ νύξraquo ἔφη laquoμία ημέρα πρότερονraquo (Προς κάποιον που τον ρώτησε τι έγινε πρώτα η νύκτα ή η ημέρα απάντησε laquoΗ νύχτα έγινε μία μέρα νωρίτεραraquo)

ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣυνοπτικά ο Θαλής στην αστρονομία

bull ανακάλυψε την ανισότητα των εξάμηνων (θερινού και χειμερινού) με σκιοθηρικό γνώμονα

bull Μέτρησε την διάρκεια του έτους (365 μέρες) bull Μελέτησε τις τροπές και τις ισημερίες του ήλιου και ανέπτυξε μεθόδους εντοπισμού

των αντίστοιχων ημερών μέσα στο έτος bull Ανέπτυξε μέθοδο υλοποίησης στο έδαφος της ακριβούς διεύθυνσης βορρά και

νότουbull Προέβλεψε μια έκλειψη ήλιου (Μάιος 585 πχ)bull Υπολόγισε τον λόγο της διαμέτρου του Ήλιου προς την φαινόμενη τροχιά του γύρω

από την γη καθώς και της διαμέτρου της σελήνης προς την τροχιά της γύρω από την γη

bull Κατασκεύασε το περίφημο laquoδιαστημόμετροraquo για τον υπολογισμό των αποστάσεων των πλοίων από την ξηρά

ΦΥΣΙΚΗΌσον αφορά την φυσική με την παρατήρηση ότι το ήλεκτρο (κεχριμπάρι) όταν τρίβεται πάνω σε μάλλινο ρούχο αποκτά την ιδιότητα να έλκει τρίχες μικρά φτερά κλπ ο Θαλής έθεσε τα θεμέλια του ηλεκτρισμού Αρκετούς αιώνες μετά η παραγωγή ηλεκτρισμού με την χρήση της τριβής πραγματοποιήθηκε με την βοήθεια ηλεκτροστατικών μηχανών Τέλος στο Θαλή οφείλεται και η ανακάλυψη του μαγνητισμού

7

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Συνοπτικά ο Θαλής στη γεωμετρία

bull Εισήγαγε την έννοια των παράλληλων ευθειώνbull Εισήγαγε την έννοια των γωνιών και τα πρώτα τους θεωρήματαbull Ανακάλυψε κριτήρια ισότητας και ομοιότητας τριγώνωνbull Ανακάλυψε το ομώνυμό του Θεώρημα του Θαλήbull Ανακάλυψε το θεώρημα της γωνίας της εγγεγραμμένης στο ημικύκλιοbull Εκτιμάται ότι ανακάλυψε το θεώρημα των τριών γωνιών τρίγωνου

ΜΑΡΤΥΡΙΕΣ-ΑΠΟΤΙΜΗΣΗΔυστυχώς οι γνώσεις μας για τα μαθηματικά που αναπτύχθηκαν τον 6ο και τον 5ο αιώνα πΧ είναι αποσπασματικές Κανένα κείμενο δεν διασώζεται ακέραιο ενώ οι πληροφορίες που έχουμε προέρχονται από συγγραφείς που έζησαν έως και 1000 χρόνια αργότερα

Ο Πρόκλος αποτελεί την καλύτερη και την πλέον αξιόπιστη πηγή για τον Θαλή ως Γεωμέτρη

Παρrsquo ότι ο Πρόκλος έζησε τον 5ο μΧ αιώνα η επισκόπηση της Ιστορίας της Γεωμετρίας που περιέλαβε στα σχόλια του για το πρώτο βιβλίο του Ευκλείδη είναι αξιόπιστη καθώς θεωρείται ότι βασίζεται στην χαμένη Ιστορία της Γεωμετρίας που είχε συγγράψει ο μαθητής του Αριστοτέλη ο Εύδημος

Με τον Θαλή αλλά και τους επίγονους της σχολής της Ιωνίας το σχήμα παίρνει ουσιαστικό και πρωτεύοντα ρόλο στην σπουδή της Γεωμετρίας και γίνεται το ίδιο αντικείμενο μελέτης και μαθηματικού στοχασμού

Δικαίως λοιπόν εξασφάλισε τον τίτλο του laquoΠατέρα της Γεωμετρίαςraquo αφού

bull Σύμφωνα με τον Ιερώνυμο (Μαθητής του Αριστοτέλη)

laquoΚατόρθωσε να μετρήσει τις πυραμίδες παρατηρώντας το μήκος της σκιάς τους κατά τη στιγμή που οι σκιές μας έχουν μήκος ίσο με το ύψος μαςraquo

8

bull Ο Πλίνιος

Μας λέει τα ίδια προσθέτοντας ότι ο Θαλής χρησιμοποίησε την μέθοδο και για κάθε άλλο σώμα του οποίου θέλουμε να βρούμε το ύψος

bull Ο Πρόκλος αποδίδει στο Θαλή πολλά μαθηματικά αποτελέσματαlaquoΠρώτος ο Θαλής απέδειξε ότι η διάμετρος διχοτομεί τον κύκλοraquolaquoΠρώτος εκείνος επεσήμανε ότι οι γωνίες της βάσης κάθε ισοσκελούς τρίγωνου είναι ίσεςraquo

bull Ο Εύδημος αναφέρει

laquoΟ Θαλής βρήκε πρώτος το θεώρημα ότι οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσεςraquo

Άλλες μαρτυρίες για τα θεωρήματα και τη συμβολή του Θαλή είναι και της ιστορικού Παμφίλης (που παρατίθεται από το Διογένη Λαέρτιο) η οποία υποστήριξε πως ο Θαλής υπήρξε ο πρώτος που ενέγραψε ορθογώνιο τρίγωνο σε κύκλο Συμφώνα όμως με τον Απολλόδωρο το λογικιστή αυτό πρέπει να αποδοθεί στους Πυθαγορείους Συμφώνα πάλι με τον Cantor ο Θαλής δεν laquoαπέδειξεraquo αλλά μάλλον παρατήρησε τις ιδιότητες των γεωμετρικών σχημάτων

Με βάση τις παραπάνω μαρτυρίες είμαστε σε θέση να αποτιμήσουμε τη συμβολή του Θαλή στην παγκόσμια ιστορία όλων των τομέων των επιστημών Η συμβολή αυτή έγκειται στο γεγονός ότι ανέπτυξε μια λογική δομή και εισήγαγε την απόδειξη στα μαθηματικά

9

ΠυθαγόραςΒΙΟΓΡΑΦΙΚΑ

Ο γνωστός σε όλους μας Πυθαγόρας ο Σάμιοςγεννήθηκε στη Σάμο και έζησε το 580-500πΧ Το όνομά του του το έδωσαν οι γονείς του προς τιμήν της Πυθίας η οποία προφήτεψε τη γέννησή του Σύμφωνα με τον Διογένη Λαέρτιο ο Πυθαγόρας έλεγε ότι κάποτε υπήρξε Αιθαλίδης και ήταν γιος του Ερμή Ο Ερμής του ζήτησε να διαλέξει ότι ήθελε εκτός από την αθανασία Ζήτησε λοιπόν όσο ζει να θυμάται όσα του έχουν συμβεί Έτσι μπορούσε να επαναφέρει στη μνήμη του τα πάντα από τις προηγούμενες ζωές του

Νεαρός ακόμα παρακινούμενος από τη φιλομάθειά του έφυγε από την πατρίδα του για να μυηθεί σε όλες τις ελληνικές και βαρβαρικές τελετές Πήγε στην Αίγυπτο και τότε ο πολιτάρχης τον σύστησε με επιστολή του στον Αμάση Εκεί έμαθε τέλεια τα αιγυπτιακά όπως λέει ο Αντιφών στο laquo Περί τῶν ἒν ἁρετῇ πρωτευσάντων raquo και επισκοπήθηκε τους Χυδαίους και τους Μάγους Κατόπιν στην Κρήτη με το Επιμενίδη κατέβηκε στο Ιδαίον Άντρο αλλά και στην Αίγυπτο είχε μπει στα άδυτα Έτσι γνώρισε τα μυστικά για τους θεούς Στη συνέχεια επέστρεψε στη Σάμο επειδή όμως βρήκε την πατρίδα του τυραννοκρατούμενη από τον Πολυκράτη αναχώρησε για τον Κρότωνα της Ιταλίας Έδρασε εκεί όπου και ίδρυσε την περίφημη laquoΠυθαγόρειο Σχολήraquo η οποία ήταν πολίτικο-θρησκευτικό ίδρυμα με πολιτικούς κυρίως στόχους όπου μελετήθηκαν και η αριθμητική και η γεωμετρία Επεδίωκε την ηθική και πνευματική αναγέννηση όλων των λαϊκών στρωμάτων ανδρών και γυναικών της περιοχής του Κρότωνα

Είχε πολλούς και καλούς μαθητές Κάθε φορά που έμπαιναν στο σπίτι του τους έλεγε να λένε τα εξής laquoΠού έσφαλαraquo laquoΤι έκαναraquo laquoΤι έπρεπε να κάνω και δεν έκαναraquo Οι μαθητές του επί πέντε χρόνια παρέμεναν σιωπηλοί και άκουγαν μόνο τις ομιλίες του Πυθαγόρα χωρίς ποτέ να βλέπουν τον ίδιο Μετά το τέλος αυτής της δοκιμασίας του γίνονταν μέλη του σπιτιού του και είχαν το δικαίωμα να τον βλέπουν

10

Πέθανε σύμφωνα με τον Διογένη Λαέρτιο καθώς προσπαθούσε να διαφύγει από την καταδίωξη Κροτωνιατών που φοβήθηκαν την εγκαθίδρυση τυραννίας λόγω της μεγάλης δύναμης που είχε αποκτήσει αυτός και οι μαθητές του στην πόλη Οι Κροτωνιάτες έσφαξαν αυτόν και τους τετρακόσιους μαθητές του αφού πρώτα έκαψαν το σπίτι του Μίλωνα στο οποίο λίγο πριν είχαν συγκεντρωθεί Ο Δικαίαρχος αναφέρει πως ο Πυθαγόρας πέθανε στο ιερό των Μουσών στο Μετάποντιο (ελληνική αποικία) μένοντας σαράντα ημέρες νηστικός

ΕΠΙΤΕΥΓΜΑΤΑ - ΕΡΓΟ

Η ηθική διδασκαλία του Πυθαγόρα και των ακολούθων του (Πυθαγορείων) διασώζεται σε 71 στίχους του έργου laquoΤα χρυσά έπη του Πυθαγόραraquo Η σύνθεση αυτών των στίχων αποδίδεται στους Νεοπυθαγορείους του 2ου-3ου μΧ αιώνα Η γνώση ότι τα laquoΧρυσά Έπηraquo γραφτήκαν από τον Πυθαγόρα ή τους Πυθαγορείους και ανασυντέθηκαν μεταγενέστερα με τη μορφή που έφτασαν σε εμάς δεν φαίνεται να είναι σωστή Αν κάνουμε μια απλή ανάγνωση στα εν λόγω έπη αποδεικνύεται ότι αυτά γράφτηκαν πολύ αργότερα Οπωσδήποτε όμως το περιεχόμενο των επών είναι απόλυτα laquoπυθαγορικόraquo και συμφωνεί με την παράδοση της ηθικής διδασκαλίας του Πυθαγόρα και των Πυθαγορείων

Οι σύγχρονοί του όμως φαίνεται ότι θεωρούσαν τον Πυθαγόρα περισσότερο ως θρησκευτικό προφήτη και λιγότερο ως μαθηματικό Πρέπει να υπογραμμίσουμε πάντως ότι η διδασκαλία του διέφερε από διδασκαλίες άλλων στοχαστών της εποχής του κατά το ότι απέδιδε πολύ μεγάλη σημασία στα μαθηματικά λέγοντας ότι αυτά είναι η οδός για την απελευθέρωση της ψυχής Το πιο σημαντικό μέρος των μαθηματικών για τους Πυθαγορείους είναι η αριθμητική Διότι όπως έλεγε και ο Πυθαγόρας laquoΤά τῶν αριθμῶν στοιχεία τῶν ὂντων πάντωνεἴναιraquo (Αριστοτέλους Μετά τα φυσικάΑ5)

11

[Aristot Metaph A 5985 b 23]οἱ καλούμενοι Πυθαγόρειοι τῶν μαθημάτων ἁψάμενοι πρῶτοι ταῦτά τε προήγαγον καὶ ἐντραφέντες ἐν αὐτοῖς τὰς τούτων ἀρχὰς τῶν ὄντων ἀρχὰς ᾠήθησαν εἶναι πάντων ἐπεὶ δὲ τούτων οἱ ἀριθμοὶ φύσει πρῶτοι ἐν δὲ τούτοις ἐδόκουν θεωρεῖν ὁμοιώματα πολλὰ τοῖς οὖσι καὶ γιγνομένοις μᾶλλον ἢ ἐν πυρὶ καὶ γῇ καὶ ὕδατι ὅτι τὸ μὲν τοιονδὶ τῶν ἀριθμῶν πάθος δικαιοσύνη τὸ δὲ τοιονδὶ ψυχή τε καὶ νοῦς ἕτερον δὲ καιρὸς καὶ τῶν ἄλλων ὡς εἰπεῖν ἕκαστον ὁμοίως ἔτι δὲ τῶν ἁρμονιῶν ἐν ἀριθμοῖς ὁρῶντες τὰ πάθη καὶ τοὺς λόγους - ἐπεὶ δὴ τὰ μὲν ἄλλα τοῖς ἀριθμοῖς ἐφαίνετο τὴν φύσιν ἀφωμοιῶσθαι πᾶσαν οἱ δ ἀριθμοὶ πάσης τῆς φύσεως πρῶτοι τὰ τῶν ἀριθμῶν στοιχεῖα τῶν ὄντων στοιχεῖα πάντων ὑπέλαβον εἶναι καὶ τὸν ὅλον οὐρανὸν ἁρμονίαν εἶναι καὶ ἀριθμόν

bull Πυθαγόρειες τριάδες

Ο Πρόκλος αποδίδει στον ίδιο τον Πυθαγόρα την εύρεση των πυθαγορείων τριάδων της

μορφής

+ΝminusΝΝ2

12

122

όπου Ν περιττός αριθμός μεγαλύτερος του 1 Για

παράδειγμα αν πάρουμε ως Ν τον αριθμό 3 θα σχηματιστεί η τριάδα

+minus2

132

13322

δηλαδή η (3 4 5) η οποία είναι πράγματι Πυθαγόρεια τριάδα αφού ικανοποιεί τη σχέση 222 543 =+

Φαίνεται ότι αληθεύει η εκδοχή λόγω της παράδοσης κάποιες μαθηματικές γνώσεις να μεταδόθηκαν από την Αίγυπτο σε πολλούς αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς ανάμεσα τους τον Πυθαγόρα

12

bull Πυθαγόρειο θεώρημα

Σε αντιστοιχία με τον ορισμό των πυθαγορείων τριάδων ένα τρίγωνο λέγεται πυθαγόρειο όταν τα μήκη των πλευρών του αποτελούν Πυθαγόρεια τριάδα Προφανώς κάθε ορθογώνιο τρίγωνο είναι πυθαγόρειο ενώ το αντίστροφο γενικά δεν ισχύει Το ΠΘ αποτελεί χαρακτηριστικό παράδειγμα μελέτης των ιδιοτήτων των σχημάτων Ο Ευκλείδης στα laquoΣτοιχείαraquo μας λέει ουσιαστικά ότι η επιφάνεια που καταλαμβάνει το τετράγωνο που κατασκευάζεται με πλευρά την υποτείνουσα ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι ίση με την επιφάνια που καταλαμβάνουν μαζί τα τετράγωνα που κατασκευάζονται με πλευρά τις κάθετες πλευρές του τριγώνου

-Ορισμός Πυθαγορείου Θεωρήματος Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών Αντίστροφο Πυθαγορείου Θεωρήματος Αν σε ένα τρίγωνο το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο

Η απόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήματος που χρησιμοποιούμε συνήθως σήμερα στηρίζεται στην έννοια της ομοιότητας των τριγώνων και τις αλγεβρικές ιδιότητες των αναλογιών ενώ το θεώρημα διατυπώνεται στη μορφή μιας αλγεβρικής ισότητας για τετράγωνα των μήκων των πλευρών του ορθογώνιου τριγώνου Με τον τρόπο αυτό γίνεται ένα ευέλικτο υπολογιστικό εργαλείο με πολυάριθμες εφαρμογές και προεκτάσεις

Το πυθαγόρειο θεώρημα αποδεικνύεται με πάνω από έναν τρόπους

13

Απόδειξη με εμβαδά

Θεωρούμε ένα τετράγωνο πλευράς a + b και σχεδιάζουμε σε αυτό τέσσερα ορθογώνια τρίγωνα με πλευρές a και b και υποτείνουσα c έτσι ώστε στο κέντρο να έχουμε τετράγωνο πλευράς c (βλ σχήμα)

Υπολογίζουμε το εμβαδό του τετραγώνου προσθέτοντας το εμβαδό του μικρότερου τετραγώνου καθώς και τα εμβαδά των τεσσάρων τριγώνων

c2 + 2abΑφού πρόκειται για τετράγωνο πλευράς a + b το εμβαδό του ισούται επίσης με

a2 + b2 + 2abΕξισώνοντας τις δυο αυτές σχέσεις προκύπτει

a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab ή a2 + b2 = c2

Απόδειξη με ομοιότητα τριγώνων

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ορθή γωνία την Α Θεωρώ το ύψος της υποτείνουσας ότι την τέμνει στο σημείο Δ Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΒΑ είναι όμοια μεταξύ τους ως ορθογώνια τρίγωνα με ίδια τη γωνία Β Παρομοίως τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΓΑ είναι όμοια μεταξύ τους με ίδια τη γωνία Γ

Ισχύει ))(()AB()AB()(

)()AB( 2 ∆ ΒΒ Γ=rArr∆ Β=

Β Γ και (ΑΓ)2 = (ΒΓ)(ΔΓ)

Αν προσθέσουμε τις δυο αυτές εξισώσεις έχουμε(ΑΒ)2 + (ΑΓ)2 =

(ΒΓ)(ΔΒ) + (ΒΓ)(ΔΓ) = (ΒΓ)(ΔΒ + ΔΓ) = (ΒΓ)2

bull Η περίφημη κούπα του Πυθαγόρα

Ο Πυθαγόρας κατά την τοπική παράδοση της Σάμου είχε φτιάξει μια κούπα εφαρμόζοντας τους νόμους της Φυσικής για να πίνει με μέτρο το κρασί Εσωτερικά είχε μία γραμμή που όριζε ως που έπρεπε να γεμίσει κανείς Μια στάλα παραπάνω και η κούπα άδειαζε όλο το κρασί της από μία κρυφή οπή στη βάση Πως όμως γίνεται αυτό Στο κέντρο της κούπας βρίσκεται μια στήλη τοποθετημένη ακριβώς πάνω από έναν σωλήνα ο οποίος οδηγεί στο κάτω μέρος της Εκεί βρίσκεται η κρυφή οπή Ενώ γεμίζουμε την κούπα η στάθμη του κρασιού ανεβαίνει και στο εσωτερικό της κεντρικής στήλης ακολουθώντας το νόμο του Pascal για τα συγκοινωνούντα δοχεία

14

Όσο η στάθμη του κρασιού δεν ξεπερνά τη γραμμή που είναι χαραγμένη στο εσωτερικό της κούπας laquoδεν τρέχει τίποταraquo Εάν όμως την ξεπεράσει ταυτόχρονα φτάνει και στην κορυφή της εσωτερικής στήλης έτσι μέσω του σωλήνα το παραπανίσιο κρασί χύνεται κάτω από την κούπα Τότε η υδροστατική πίεση δημιουργεί ένα σιφόνι στον εσωτερικό σωλήνα το οποίο αδειάζει όλο το περιεχόμενο της κούπας από την οπή που υπάρχει

Ένα πλήθος επιπρόσθετων επιτευγμάτων όπως η κατασκευή και η μελέτη τριών τουλάχιστον από τα πέντε κανονικά πολύγωνα (κύβος τετράεδρο δωδεκάεδρο) και η κατασκευή της μουσικής κλίμακας (μελέτη των λόγων της τετράχορδης λύρας και δημιουργία κανόνα της οχτάχορδης λύρας) μας αποδεικνύει τη σημαντικότητα του Πυθαγόρα ως επιστήμονας της εποχής του Οι πληροφορίες για τη μελέτη των πολυέδρων δεν είναι αρκετές ωστόσο για τη μουσική κλίμακα γνωρίζουμε ότι βασίστηκε στις μελέτες του Πυθαγόρα ο οποίος μελετώντας τη μαθηματική σχέση της μουσικής κλίμακας και διατυπώνοντας σχετικούς κανόνες διευκόλυνε κατά πολύ την κατασκευή μουσικών οργάνων Κατάφερε να εκφράσει τη μουσική αρμονία με μαθηματικές σχέσεις μέσα από τη φιλοσοφική και επιστημονική του προσέγγιση Ξεκινώντας από μία χορδή και διαιρώντας διαδοχικά με το μήκος της και τον χρυσό αριθμό Φ κατάφερε να κατασκευάσει το μουσικό όργανο laquoΚανόναraquo εξέλιξη του οποίου συναντάται σήμερα στο γνωστό laquoκανονάκιraquo

Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΟΥ ΣΤΟ ΣΗΜΕΡΑ

Το αρχαιότερο παράδειγμα εφαρμογής του γνωστού σε όλους laquoπυθαγορείου θεωρήματοςraquo το συναντούμε στη πινακίδα ΒΜ 85196 που χρονολογείται από την περίοδο της πρώτης βαβυλωνιακής χιλιετίας πΧ Έχοντας γνώση λοιπόν του έργου του οι Βαβυλώνιοι οδηγηθήκαν σε αξιόλογα επιτεύγματα

Ο Πυθαγόρας υπήρξε μεγάλη προσωπικότητα με τις έρευνες και το Πανεπιστήμιό του συνέβαλε στο άλμα των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών Η περίεργη μυστικότητα όμως που διέπνεε το σύλλογο έγινε αιτία να μην πληροφορηθούν οι βιογράφοι επακριβώς όλα τα προσωπικά επιτεύγματα του ίδιου Έτσι σήμερα αγνοούμε εν μέρη το δικό του έργο το οποίο ασφαλώς θα ήταν σημαντικότατο

Όσο αναφορά το πυθαγόρειο σχήμα παρά τα αρκετά μειονεκτήματα έχει μερικά χαρακτηριστικά τα οποία μόνιμα επηρέαζαν την ελληνική αστρονομική σκέψη Έδινε βαρύτητα στις κυκλικές κινήσει των ουράνιων σωμάτων γύρω από ένα κεντρικό στοιχείο Τέλος στον Πυθαγόρα και τους Πυθαγορείους οφείλεται πλήθος γεωμετρικών εργασιών αφού αυτοί μελέτησαν με επιτυχία την επιστήμη της Γεωμετρίας

15

Πλάτων ο ΑθηναίοςΒιογραφικά στοιχεία

Έζησε στο διάστημα (427-347πΧ) Ήταν Aθηναίος φιλόσοφος αριστοκρατικής καταγωγής όπου ίδρυσε και διεύθυνε το διασημότερο πανεπιστήμιο στην αρχαία Ελλάδα την Ακαδημία για 40 περίπου χρόνια μέχρι το θάνατό του Πατέρας του ήταν ο Αρίστωνας ο οποίος καταγόταν από το γένος του βασιλιά Κόδρου και μητέρα του ήταν η Περικτιόνη η οποία ήταν αδερφή του Χαρμίδη ενός από τους Τριάκοντα τύραννους και ανιψιά του Κριτία επίσης μέλος των Τριάκοντα με καταγωγή από το γένος του νομοθέτη Σόλωνος Αδέρφια του ήταν οι Αδείμαντος και Γλαύκων Το πρώτο του όνομα ήταν Αριστοκλής αλλά αργότερα ονομάστηκε Πλάτωνας γιατί είχε ευρύ στέρνο και πλατύ μέτωπο

Σε ηλικία 18 ετών γνώρισε τον Σωκράτη και γοητεύτηκε από την προσωπικότητα και από την διδασκαλία του Από το συνολικό έργο του διασώζονται 36 έργα τα οποία εκτός από την Απολογία του Σωκράτη έχουν την μορφή διαλόγου σε όλα εκτός των Νόμων Την συζήτηση διεύθυνε ο Σωκράτης ενώ ο τίτλος του καθενός είναι το όνομα του σπουδαιότερου συνομιλητή ή αφηγητή Στα έργα αυτά γίνεται φανερή η τοποθέτηση του και ο άκρατος

θαυμασμός του προς τα μαθηματικά και ιδιαίτερα προς την γεωμετρία

Λίγες πληροφορίες για την Ακαδημία

Η Ακαδημία ήταν ένα προάστιο των Αθηνών Πήρε το όνομά της από τον ήρωα Ακάδημο Αναφορικά ο Ιππίας γιος του Πεισίστρατου έκτισε ένα κυκλικό τοίχο και ο Κίμωνας φύτεψε τη περιοχή με τα δέντρα η οποία καταστράφηκε από τον Σίλα το 86 πΧ Το 387

16

πΧ O Πλάτωνας ίδρυσε τη φιλοσοφική του σχολή η οποία έγινε πολύ διάσημη χάρη στους νεοπλατωνιστές και χρησιμοποιείτο έως το 526 μΧ οπότε και έκλεισε από τον αυτοκράτορα Ιουστινιανό Η Ακαδημία ήταν σχολή ανωτέρων μελετών και ταυτόχρονα και εκπαιδευτικό ίδρυμα Είχε ισχυρή καταστατική συγκρότηση και παρουσιάζεται περισσότερο υπό τη μορφή μιας αδελφότητας μιας φιλοσοφικής αίρεσης τα μέλη της οποίας αισθάνονται στενά συνδεδεμένα μεταξύ τους και διακρίνεται και από μια οικειότητα στις σχέσεις μεταξύ των μαθητών και των δασκάλων την οποία θα χαρακτηρίζαμε στοργική και φιλική συνάμα Υπάρχει μια διαφωνία σχετικά με το αν η Ακαδημία ήταν ένωση για τη πρόοδο των επιστημών ή ίδρυμα ανώτατης μόρφωσης Η διαφωνία αυτή είναι κάπως άσκοπη δεδομένου το ότι ο άκρατος ρεαλισμός της σχολής αλλά και ο απλός χαρακτήρας της αρχαϊκής εκείνης εποχής δεν επιτρέπουν στο να μεταθέσουμε σε εκείνο το περιβάλλον τη σύγχρονη αντίληψη που έχουμε για την επιστήμη Η Ακαδημία άλλωστε ήταν σχολή ανώτερων μελετών αλλά και εκπαιδευτικό ίδρυμα ταυτόχρονα Τέλος ο Πλάτωνας δεν ονειρεύτηκε μόνο τη ldquoμετά επιστήμηςrdquo παιδεία αλλά και τη μετέδωσε για σαράντα χρόνια στους μαθητές του στην Ακαδημία

Η Ακαδημία ήταν ο τόπος στον οποίο ο Πλάτωνας προσπαθούσε να δείξει τον δρόμο σε προικισμένους μαθητές ώσπου να αναπηδήσει ο σπινθήρας και να αποκαλυφθεί η έσχατη γνώση Ξέρουμε τόσα λίγα για την καθημερινή διδασκαλία στην ακαδημία την εποχή του Πλάτωνα ώστε πότε-πότε θέλησαν να αρνηθούν τον επιστημονικό χαρακτήρα της Τέτοιοι σκεπτικισμοί δεν στηρίζονται πουθενά Την μεγάλη σημασία των μαθηματικών σαν προπαίδεια για την διαλεκτική η οποία στηριζόταν σε αυτά την δείχνουν μερικές προσωπικότητες του Πλατωνικού κύκλου και χωρίς αμφιβολία υπάρχει ουσιαστική αλήθεια στο ανέκδοτο που λένε ότι βρισκόταν πάνω από την είσοδο της Ακαδημίας laquoἁγεωμέτρητος μηδείς εἰσίτωraquo Ξέρουμε ακόμα ότι η διαιρετική μέθοδος για την οποία μιλήσαμε στους οψιμότερους διαλόγους έπαιξε σημαντικό ρόλο στον αγώνα για ένα λογικά ταχτοποιημένο κοσμοείδωλο και στην απόκτηση ορισμών με την διαίρεση των γενικότερων εννοιών

Η συμβολή του Πλάτωνα και της Ακαδημίας στα μαθηματικά

Η συμβολή της Ακαδημίας στα μαθηματικά του 4ου αιώνα πΧ είναι σημαντικότατη ιδιαίτερα με τα έργα των καθηγητών της Θεαίτητου Μεναίχμου και Ενδόξου Η συμβολή όμως του Πλάτωνα είναι αμφιλεγόμενη αν και πιστεύεται ότι

-Έλυσε το Δήλιο πρόβλημα (διπλασιασμό του κύβου) με κινητική γεωμετρία και κάποιο όργανο με την βοήθεια του οποίου προέκυπτε η λύση

-Έδωσε γενική μορφή στην αναλυτική μέθοδο και συνέβαλε στην έρευνα των γεωμετρικών τύπων

-Προσδιόρισε ένα πλήθος των πυθαγορείων τριάδων δηλαδή των τριαδικών ακέραιων αριθμών που επαληθεύουν την ισότητα x2+y2=ω2 του Πυθαγορείου θεωρήματος

Για τα πολυσυζητημένα αστρονομικά ζητήματα της εποχής του (κίνηση του ουρανού θέση σχήμα και κίνηση της Γης) παρουσιάζει ξένες και θολά διατυπωμένες απόψεις γεγονός που

17

φανερώνει ότι δεν διέθετε προσωπική άποψη για το θέμα και γενικά ότι δεν ήταν μαθηματικός

Έγραψε μεταξύ άλλων την απολογία του Σωκράτη η οποία θεωρείται ως μια σχετικά ακριβής καταγραφή της απολογίας του Σωκράτη στην δίκη που τον καταδίκασε σε θάνατο Μετά τη θανάτωση του Σωκράτη για λίγο καιρό κατέφυγε στα Μέγαρα κοντά στον συμμαθητή του Ευκλείδη Ύστερα γύρισε στην Αθήνα όπου για 10 χρόνια ασχολήθηκε με τη συγγραφή φιλοσοφικών έργων τα οποία φέρουν τη σφραγίδα της σωκρατικής φιλοσοφίας Στη συνέχεια ταξίδεψε στην Αίγυπτο και στην Κυρήνη όπου σχετίστηκε με τον μαθηματικό Θεόδωρο και τέλος στον Τάραντα της Ιταλίας όπου γνώρισε τους πυθαγόρειους από τη φιλοσοφική σκέψη των οποίων επηρεάστηκε αποφασιστικά Μετά πέρασε στη Σικελία Στην αυλή του βασιλιά των Συρακουσών Διονυσίου Α΄ γνώρισε τον βασιλικό γυναικάδελφο Δίωνα με τον οποίον συνδέθηκε φιλικά Η φιλία όμως αυτή προκάλεσε τις υποψίες του Διονυσίου για συνωμοσία γι αυτό έδιωξε τον Πλάτωνα από τη Σικελία Στην Αίγινα κινδύνεψε να πουληθεί ως δούλος αλλά τον εξαγόρασε ο Κυρηναίος φίλος του Αννίκερης Επιστρέφοντας στην Αθήνα άνοιξε τη φιλοσοφική σχολή του την Ακαδημία (387 πΧ) Η προσπάθεια όμως των δύο φίλων να προσηλυτίσουν στις ιδέες τους τον νέο ηγεμόνα Διονύσιο τον Πρεσβύτερο απέτυχαν Για τρίτη φορά ήρθε στην αυλή των Συρακουσών το 361 πΧ με σκοπό να συμφιλιώσει τον Δίωνα με τον Διονύσιο Αυτή τη φορά κινδύνεψε και η ζωή του Τον έσωσε η επέμβαση του πυθαγόρειου Αρχύτα Αλλά ο Δίωνας δεν γλίτωσε Δολοφονήθηκε το 353 πΧ Έτσι ο Πλάτωνας έχασε τον άνθρωπο στον οποίο στήριξε τις ελπίδες του για την επιβολή των πολιτικών του ιδεών Από τότε και μέχρι τον θάνατό του ασχολήθηκε με τη διδασκαλία και με τη συγγραφή φιλοσοφικών έργων Επίσης έγραψε το συμπόσιο που μιλάει για την φύση του έρωτα στον Πρωταγόρα Μεταξύ άλλων θεμελιώνεται θεωρητικά η αρχή της πρόληψης που δεν λαμβάνει την τιμή ως απολύτως ανταποδοτική στον Παρμενίδη και Θεαίτητο θεμελιώνει την αντικειμενικότητα του λόγου και της ιδέας ενώ σε 2 μακρούς διαλόγους την Πολιτεία και τους Νόμους περιέγραψε την ιδανική πολιτεία

Η κύρια συμβολή του στα μαθηματικά βρίσκεται κυρίως στο ότι προέτρεπεe τους μαθηματικούς να ερευνούν καθολικές μαθηματικές αλήθειες και γενικά να καλλιεργούν τα μαθηματικά τα οποία θεωρούσε ότι διαθέτουν τεράστια εκπαιδευτική αξία Η προτροπή αυτή φαίνεται εκτός των άλλων και στις απόψεις του ότι τα μαθηματικά είναι lsquorsquoδόσις θεῶν εἰς ἀνθρώπουςrsquorsquo και ότι οδηγούν έντονα την ψυχή προς το θείο

Οι επιδράσεις του Πλάτωνος στους έπειτα αιώνες

Ο Γάλλος ιστορικός της φιλοσοφίας Ζακ Σεβαλιέ τονίζει στο έργο του laquoΙστορία της σκέψηςraquo (1955) την κυρίαρχη παρουσία ή έστω ανταύγεια της πλατωνικής φιλοσοφίας σε ολόκληρο το Μεσαίωνα και στην Αναγέννηση και στους Νεότερους χρόνους ενώ ο Γερμανός φιλόσοφος Καρλ Γιάσπερς προβάλλει τον Πλάτωνα ως το τον πρώτο από τους τρεις θεμελιωτές του φιλοσοφείν Η ιστορία της φιλοσοφίας μέχρι τον Κικέρωνα είναι σαφώς επηρεασμένη από αυτόν και είτε αμφισβητεί είτε ακολουθεί τη διδασκαλία του Ο μαθητής του Αριστοτέλης εξ ίσου επιδραστικός με τον ίδιο οδηγήθηκε στην ανάπτυξη τμήματος του έργου του ως απάντηση στον πλατωνισμό Η σχολή την οποία ο Πλάτωνας

18

ίδρυσε το 387 πΧ η Ακαδημία συνέχισε να ακμάζει ως τις αρχές του πρώτου αιώνα π Χ έχοντας όμως μετατραπεί σε σκεπτική σχολή μετά τις αρχές της ελληνιστικής περιόδου

Κατά την εποχή του Αυγούστου υπήρξε αναβίωση της πλατωνικής φιλοσοφίας ο μεσοπλατωνισμός με εκπροσώπους όπως ο Φίλων ο Αλεξανδρεύς ενώ κατά τα τέλη του δεύτερου αιώνα ο μεσοπλατωνισμός άρχεσαι να μετατρέπεται σταδιακά υπό την επίδραση του νεοπυθαγορισμού και του ερμητισμού στην κατεχόμενη από τους Ρωμαίους Αίγυπτο στο κίνημα του νεοπλατωνισμού με αρχικούς εκπροσώπους όπως ο Πλωτίνος το οποίο είχε ιδεαλιστικό μυστικιστικό και σωτηριολογικό χαρακτήρα Η Ακαδημία στην Αθήνα επανιδρύθηκε ως κέντρο νεοπλατωνικών μελετών κατά τον τέταρτο αιώνα

Την ίδια εποχή περίοδο έντονων θρησκευτικών ζυμώσεων στη Ρωμαϊκή Αυτοκρατορία και σταδιακής επικράτησης του χριστιανισμού στη Μεσόγειο οι ακόλουθοι της αστικής ελληνορωμαϊκής θρησκείας αλλά και των ελληνικών μυστηριακών λατρειών συσπειρώθηκαν γύρω από τον νεοπλατωνισμό ως υπερασπιστή του μέχρι πρότινος επικρατούντος παγανισμού Μεμονωμένοι νεοπλατωνικοί και παγανιστικοί πυρήνες επέζησαν ως τον έκτο αιώνα οπότε και ο Αυτοκράτορας Ιουστινιανός έκλεισε με διάταγμα την Ακαδημία της Αθήνας Μετά περίπου εννέα αιώνες το έτος 1439 ο Γεώργιος Γεμιστός Πλήθων γράφει στη Φλωρεντία το πολύκροτο έργο του Περί ὧν Αριστοτέλης προς Πλάτωνα που αποτέλεσε το έναυσμα της διαμάχης πλατωνικών και αριστοτελικών στο Βυζάντιο και στην Ιταλία Ο πλατωνισμός επιβίωσε υπογείως καθ όλον τον Μεσαίωνα κρυμμένος σε μυστηριακά ρεύματα έως ότου οι πρωτότυπες ιδέες του ανακαλύφθηκαν ξανά και σχολιάστηκαν κατά την Αναγέννηση Έτσι ούτε η νεότερη φιλοσοφική σκέψη έμεινε ανεπηρέαστη από αυτόν Τα διάφορα φιλοσοφικά συστήματα ή προσπαθούν να ανατρέψουν τις ιδέες του ή οικοδομούνται πάνω σ αυτές εκσυγχρονίζοντάς τες

Τα έργα του είναι

Αλκιβιάδης Α η Περί Ανθρώπου Φύσεως μαιευτικός

Αλκιβιάδης Β ή Περί Προσευχής μαιευτικός

Απολογία Σωκράτους ηθικός

Γοργίας ή Περί Ρητορικής ανατρεπτικός

Επινομίς ή Νυκτερινος Σύλλογος πολιτικός

Επιστολαί ηθικαί

Ερασταί ή Περί Φιλοσοφίας ηθικός

Ευθύδημος ή Εριστικός ανατρεπτικός

Ευθύφρων ή Περί του Οσίου

Θεάγης ή Περί Φιλοσοφίας μαιευτικός

Θεαίτητος ή Περί Επιστήμης πειραστικός

19

Ιππαρχος ή Φιλοκερδής ηθικός

Ιππίας ελάσσων ή Περί του Ψεύδους ανατρεπτικός

Ιππίας μείζων ή Περί του Καλού ανατρεπτικός

Ίων ή Περί Ιλιάδος πειραστικός

Κλειτοφών ή Προτρεπτικός ηθικός

Κρατύλος ή Περί Ονομάτων Ορθότητος λογικός

Κριτίας ή Ατλαντικός ηθικός

Κρίτων ή Περί του Πρακτέου ηθικός

Λάχης ή Περί Ανδρείας ηθικός

Λύσις ή Περί Φιλίας μαιευτικός

Μενέξενος ή Επιτάφιος ηθικός

Μένων ή Περί Αρετής πειραστικός

Μίνως ή Περί Νόμου πολιτικός

Νόμοι ή Περί Νομοθεσίας πολιτικός

Παρμενίδης ή Περί Ιδεών λογικός

Πολιτεία ή Περί Δικαίου πολιτικός

Πολιτικός ή Περί της Βασιλείας λογικός

Πρωταγόρας ή Σοφισταί επιδεικτικός

Σοφιστής ή Περί του Όντος λογικός

Συμπόσιον ή Περί Αγαθού ηθικός

Τίμαιος ή Περί Φύσεως φυσικός

Φαίδρος ή Περί Έρωτος ηθικός

Φαίδων ή Περί Ψυχής ηθικός

Φίληβος ή Περί Ηδονής ηθικός

Χαρμίδης ή Περί Σωφροσύνης πειραστικός

20

21

ΕυκλείδηςΒΙΟΓΡΑΦΙΑ

Υπολογίζεται ότι έζησε το βrsquo μισό του 4ου έως τις αρχές του 3ου πΧ αιώνα πιο συγκεκριμένα περίπου το 325 πΧ έως το 265 πΧ Κορυφαίος μαθηματικός της αρχαιότητας που επηρέασε με το έργο του σε ανυπέρβλητο βαθμό τον επιστημονικό τρόπο σκέψης σε όλο τον κόσμο Για τη ζωή του δεν υπάρχουν επιβεβαιωμένες πληροφορίες Πιθανώς εκπαιδεύτηκε στην Αθήνα στην Ακαδημία του Πλάτωνα και δίδαξε στην Αλεξάνδρεια Ξέρουμε ότι ήταν μεγαλύτερος στην ηλικία από τον Αρχιμήδη πράγμα που σημαίνει ότι η χρονολόγηση της ακμής του laquoγύρω στο 300 πΧraquo δεν πρέπει να απέχει πολύ από την αλήθεια Ο Πρόκλος επίσης τον χαρακτηρίζει σύγχρονο του βασιλιά Πτολεμαίου Αrsquo στον

οποίο είχε το θάρρος να του πει κατά πρόσωπο πως δεν υπάρχει βασιλική οδός προς τη γεωμετρία Ο Πάππος τον επαινεί για την ηθική του ακεραιότητα τη μετριοφροσύνη και την ευμενή στάση του προς όσους είναι ικανοί να προαγάγουν τη μαθηματική γνώση Ο Στοβαίος διηγείται το ακόλουθο ενδιαφέρον περιστατικό Ένας νέος επισκέφθηκε κάποτε τον Ευκλείδη και τον παρακάλεσε να τον διδάξει γεωμετρία Μόλις έμαθε το πρώτο θεώρημα ρώτησε τον Ευκλείδη laquoΚαι τώρα τι θα κερδίσω με το θεώρημα αυτόraquo Ο Ευκλείδης τότε γύρισε προς τον υπηρέτη του και του είπε laquoΔώσrsquo του τρεις δεκάρες ώστε να κερδίσει κάτι από το θεώρημα το οποίο έμαθεraquo Αυτά είναι όλα όσα γνωρίζουμε για τον Ευκλείδη ως άνθρωπο Πολύ μεγαλύτερη σημασία όμως έχει το έργο του το οποίο ακόμα και σήμερα μαρτυρεί τα απαράμιλλα χαρίσματά του ως δασκάλου

ΕΡΓΟ

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη

Μετά το θάνατο του Μεγάλου Αλεξάνδρου στα 323 πΧ η αχανής μακεδονική αυτοκρατορία διαιρέθηκε σε τρεις περιοχές Η περιοχή πού περιλάμβανε την Αίγυπτο περιήλθε κάτω από την άξια ηγεμονία του ικανού στρατηγού του Αλεξάνδρου Πτολεμαίου του Σωτήρος ο οποίος σύντομα κέρδισε τη βασιλεία της περιοχής Ο Πτολεμαίος επέλεξε για πρωτεύουσα της περιοχής του την Αλεξάνδρεια λίγα μόνο μίλια από τις εκβολές του ποταμού Νείλου και γύρω στα 300 πΧ άνοιξε τις πόρτες του περίφημου πανεπιστημίου της Αλεξάνδρειας Ανάμεσα στους μελετητές που κλήθηκαν να επανδρώσουν το νέο ίδρυμα ήταν και ο μαθηματικός Ευκλείδης που πιθανότατα υπήρξε μαθητής της Ακαδημίας του Πλάτωνα στην Αθήνα

22

Ο Ευκλείδης από τη στιγμή που ανέλαβε τα καθήκοντά του στην Αλεξάνδρεια όρισε ανάμεσα στους στόχους του τη συγκρότηση του μνημειώδους και ιστορικά σημαντικού έργου του των Στοιχείων Αυτή η αξιόλογη και εκτεταμένη εργασία γραμμένη σε δεκατρία βιβλία ή μέρη αποτελεί την αρχαιότερη εφαρμογή της αξιωματικής μεθόδου που έχει φτάσει στα χέρια μας Θεωρείται ο πρώτος μεγάλος σταθμός στην ιστορία της οργάνωσης των μαθηματικών και η μετέπειτα επίδραση της στον επιστημονικό τρόπο γραφής πολύ δύσκολα μπορεί να περιγραφεί

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη διεκδικούν αναμφισβήτητα μια θέση ανάμεσα στις μεγάλες στιγμές των μαθηματικών Η εργασία αυτή εκτόπισε τόσο γρήγορα και ολοκληρωτικά όλες τις προηγούμενες εργασίες ανάλογου περιεχομένου που σήμερα δεν υπάρχουν αντίγραφα προηγουμένων προσπαθειών και απλά γνωρίζουμε την ύπαρξη τους από σχόλια μεταγενέστερων συγγραφέων Τα Στοιχεία του Ευκλείδη από την πρώτη εμφάνιση τους κέρδισαν τεράστια εκτίμηση Με μοναδική εξαίρεση τη Βίβλο καμιά άλλη εργασία δεν χρησιμοποιήθηκε μελετήθηκε ή εκδόθηκε τόσο πολύ Για πάνω από δύο χιλιετίες κυριάρχησε στο χώρο διδασκαλίας της γεωμετρίας Από την πρώτη έκδοση της στα 1472 έχει γνωρίσει πάνω από χίλιες εκδόσεις Το περιεχόμενο και η μορφή της επέδρασαν εντυπωσιακά στην ανάπτυξη του αντικειμένου της και της λογικής θεμελίωσης των μαθηματικών

Ο Πρόκλος ένας κατοπινός σχολιαστής των μαθηματικών που έζησε στον 5ο αιώνα έχει δώσει μια εξήγηση της έννοιας του όρου laquoστοιχείαraquo Τα στοιχεία μιας αποδεικτικής μελέτης είναι τα πιο σημαντικά θεωρήματα ή τα θεωρήματα κλειδιά που χρησιμοποιούνται συχνά και πλατιά στο αντικείμενο της μελέτης Είναι τα θεωρήματα που χρειάζονται για την απόδειξη όλων ή των περισσότερων από τα άλλα θεωρήματα Η λειτουργία τους συγκρίνεται με αυτή των γραμμάτων του αλφαβήτου σε σχέση με τη γλώσσα Τα γράμματα στα ελληνικά ονομάζονται και στοιχεία Η επιλογή των προτάσεων που θα λειτουργήσουν ως στοιχεία κάποιου θέματος μελέτης απαιτεί μεγάλη ικανότητα και κρίση από το συγγραφέα

Δεν υποτιμά καθόλου την αίγλη του έργου του Ευκλείδη το γεγονός ότι είχαν προηγηθεί ανάλογες προσπάθειες Σύμφωνα με τον Πρόκλο η πρώτη προσπάθεια να γραφτούν Στοιχεία έγινε από τον Ιπποκράτη το Χίο στα μέσα του πέμπτου πΧ αιώνα Η επόμενη προσπάθεια ήταν του Λέοντα που χρονολογικά τοποθετείται κάπου ανάμεσα στον Πλάτωνα και τον Εύδοξο Όπως μαθαίνουμε η εργασία του Λέοντα περιείχε μια μεγαλύτερη και πιο χρήσιμη επιλογή προτάσεων από τον Ιπποκράτη Το βιβλίο που χρησιμοποιούνταν στην Ακαδημία του Πλάτωνα είχε επιμεληθεί ο Θεύδιος από τη Μαγνησία και θεωρούνταν μια θαυμάσια συλλογή στοιχείων Η εργασία του Θεύδιου ήταν ασφαλώς ο άμεσος πρόδρομος της εργασίας του Ευκλείδη ο οποίος την είχε χωρίς αμφιβολία στη διάθεση του ειδικά αν όπως πιστεύουν σπούδασε στην Ακαδημία του Πλάτωνα

Ο Ευκλείδης γνώριζε επίσης την εργασία του Θεαίτητου και του Εύδοξου Δεν είναι καθόλου υποτιμητικό ότι η εργασία του Ευκλείδη αποτελεί σε μεγάλο βαθμό συγκέντρωση και επιμέλεια των εργασιών των προγενεστέρων του αφού η ουσιαστική αξία των Στοιχείων βρίσκεται ακριβώς στην τέλεια επιδεξιότητα με την οποία επιλέχτηκαν και τοποθετήθηκαν

23

σε λογική σειρά οι προτάσεις ξεκινώντας από μια μικρή ομάδα αρχικών υποθέσεων Ούτε είναι υποτιμητικό το γεγονός ότι η εξονυχιστική μελέτη των σύγχρονων κριτικών έχουν αποκαλύψει ορισμένα μειονεκτήματα στη δομή της εργασίας του Ευκλείδη Δε θα μπορούσε κανείς να περιμένει μια τέτοια αρχική και κολοσσιαία προσπάθεια με την αξιωματική μέθοδο να μην παρουσιάζει καμία ατέλεια

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη έχουν γραφεί γύρω στο 300 πΧ αλλά το αυθεντικό χειρόγραφο κείμενο του Ευκλείδη δεν διασώζεται Αντίθετα σώζονται δεκάδες αντίγραφα που σε τελική ανάλυση κατάγονται από αυτό Το αρχαιότερο πλήρες αντίγραφο περιέχεται σε έναν χειρόγραφο περγαμηνό κώδικα που φυλάσσεται σήμερα στη Βιβλιοθήκη της Οξφόρδης και χρονολογείται από του έτους 888 ενώ μικρά αποσπάσματα του έργου διασώζονται σε παπύρους προγενέστερης εποχής καθώς και σε ένα παλίμψητο χειρόγραφο του 7ου ή του 8ου

μΧ αι που φυλάσσεται στο Βρετανικό Μουσείο Βλέπουμε λοιπόν ότι το αρχαιότερο χειρόγραφο που περιέχει το πλήρες κείμενο των Στοιχείων του Ευκλείδη χρονολογείται από τα τέλη του 9ου μΧ αι και επομένως απέχει από την εποχή μας όσο απέχει από την εποχή που ο ίδιος ο Ευκλείδης έγραψε το έργο

Όλες οι σύγχρονες εκδόσεις στηρίζονται σε μια επανέκδοση που έκανε ο Θεωνάς από την Αλεξάνδρεια ένας Έλληνας σχολιαστής που έζησε εφτακόσια περίπου χρόνια μετά τον Ευκλείδη Μόνο στις αρχές του 19ου αιώνα ανακαλύφθηκε ένα παλιότερο αντίγραφο Στα 1808 όταν ο Ναπολέοντας διέταξε να μεταφερθούν όλα τα αξιόλογα χειρόγραφα από τις ιταλικές βιβλιοθήκες στο Παρίσι ο Φ Πέιραρντ (F Peyrard) ανακάλυψε στη βιβλιοθήκη του Βατικανού ένα αντίγραφο των Στοιχείων από έκδοση προγενέστερη από του Θεωνά Η μελέτη όμως αυτής της παλιότερης έκδοσης αποκάλυψε δευτερεύουσες μόνο διαφορές από τον Θεωνά

Οι πρώτες πλήρεις μεταφράσεις των Στοιχείων στα λατινικά δεν έγιναν από τα ελληνικά αλλά από τα αραβικά Τον 8ο αιώνα οι Άραβες μετέφρασαν έναν αριθμό βυζαντινών χειρογράφων με ελληνικές εργασίες και στα 1120 ο Άγγλος μελετητής Άντελαρντ (Adelard) από το Μπαθ μετέφρασε τα Στοιχεία στα λατινικά χρησιμοποιώντας μια απ αυτές τις παλιότερες αραβικές μεταφράσεις Άλλες λατινικές μεταφράσεις από τα αραβικά έκαναν ο Γκεράρντο από την Κρεμώνα (Gherardo 1114-1187) και 150 χρόνια μετά τον Άντελαρντ ο Γιοχάννες Καμπάνους (Johannes Campanus) Η πρώτη τυπωμένη έκδοση των Στοιχείων έγινε στη Βενετία στα 1482 η έκδοση αυτή ήταν η μετάφραση του Καμπάνους Αυτό το πολύ σπάνιο βιβλίο ήταν θαυμάσια τυπωμένο και ήταν το πρώτο αξιόλογο μαθηματικό βιβλίο που τυπώθηκε Μια σημαντική λατινική μετάφραση από τα ελληνικά έγινε από τον Κομμαντίνο (Commandino) στα 1572 Αυτή η μετάφραση χρησιμοποιήθηκε ως βάση για πολλές άλλες μεταφράσεις που ακολούθησαν ανάμεσα σ αυτές και η εργασία του Ρόμπερτ Σίμσον (Robert Simson) που άσκησε σημαντική επιρροή και αποτέλεσε με τη σειρά της τη βάση για πάρα πολλές αγγλικές εκδόσεις

24

Αναλυτική περιγραφή των laquo στοιχείων raquo

Ειδικότερα το πρώτο βιβλίο αναφέρεται σε τεμνόμενες και παράλληλες ευθείες στην ισότητα ευθύγραμμων σχημάτων και στο τέλος το πυθαγόρειο θεώρημα Στο 2ο βιβλίο αναφέρονται συνέπειες από το πυθαγόρειο θεώρημα και γίνονται μετασχηματισμοί ευθύγραμμων σχημάτων σε ισοδύναμα τετράγωνα Εδώ περιέχεται και το πρόβλημα

της laquoχρυσής τομήςraquo Πολλές από τις προτάσεις αυτού μπορούν με σύγχρονους συμβολισμούς να πάρουν μορφή αλγεβρική γιrsquo αυτό έχει επικρατήσει να λέγεται για το 2ο βιβλίο ότι εισάγει τη laquoγεωμετρική άλγεβραraquo Στο 3ο βιβλίο εξετάζεται ο κύκλος και στο τέταρτο βιβλίο λύνονται προβλήματα σχετικά με τα εγγεγραμμένα στον κύκλο κανονικά πολύγωνα Στο 5ο βιβλίο σπουδάζεται η laquoθεωρία των λόγωνraquo του Ευδόξου Πρόκειται ουσιαστικά για τη θεωρία των πραγματικών αριθμών δοσμένη όμως σε μορφή γεωμετρική Το 6ο βιβλίο ασχολείται με την ομοιότητα επίπεδων σχημάτων και σrsquo αυτά αποδεικνύεται ότι από όλα τα ορθογώνια με δοσμένη περίμετρο το τετράγωνο έχει το μέγιστο εμβαδόν Στα βιβλία 7ο-9ο που αφορούν στην αριθμοθεωρία είναι εκπληκτικό πώς με παντελή μπορεί να πει κανείς έλλειψη συμβολισμών (αριθμοί δεν αναγράφονται) κατορθώνεται μια ακροβασία στην αλληλουχία των συλλογισμών που καταλήγει σε πολύ ενδιαφέροντα αριθμητικά αποτελέσματα Ειδικότερα στο 7ο βιβλίο μελετιούνται οι άρτιοι και οι περιττοί αριθμοί οι πρώτοι και οι σύνθετοι καθώς και οι τέλειοι εξετάζονται διάφορα προβλήματα διαιρετότητας ορίζεται το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο αριθμών (ΕΚΠ) καθώς και ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης τους και δίνεται η μέθοδος προσδιορισμού του που ονομάστηκε laquoΕυκλείδειος Αλγόριθμοςraquo Στα δύο επόμενα βιβλία εξακολουθεί η σπουδή αριθμοθεωρητικών θεμάτων στο 8ο εισάγονται επίσης και μελετιούνται οι γεωμετρικές πρόοδοι και στο 9ο έχουν συμπεριληφθεί τρεις σημαντικότατες προτάσεις Πρόκειται για α) το αποκαλούμενο laquoθεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικήςraquo β) την απόφανση ότι υπάρχουν απειράριθμοι πρώτοι και γ) την πρόταση που οδηγεί σε ένα γενικό τύπο που παρέχει άρτιους τέλειους αριθμούς Στο 10ο βιβλίο που αποτελεί ένα από τα ωραιότερα μέρη των Στοιχείων γίνεται μια ταξινόμηση των τετραγωνικών άρρητων και των τετραγωνικών ριζών τους και κατασκευάζεται ένα σύνολο ασύμμετρων μεγεθών το οποίο μαζί με το σύνολο των ρητών συναποτελεί επέκταση αυτού του τελευταίου τέτοια ώστε κάθε στοιχείο της να είναι κατασκευασμένο με κανόνα και διαβήτη Τέλος τα βιβλία της στερεομετρίας το 11ο βιβλίο ασχολείται με θεμελιώδεις σχέσεις μεταξύ ευθειών και επιπέδων καθώς και με τις στερεές γωνίες στο 12ο αναφέρεται σε επιφάνειες και όγκους στερεών και στο 13ο γίνεται η μελέτη της σφαίρας σε συσχετισμό με τα εγγεγραμμένα σε αυτήν κανονικά πολύεδρα

25

Άλλα έργα

bull Δεδομένα (94 θεωρήματα) έργο ανώτερης γεωμετρίας Στο έργο αυτό περιέχονται προτάσεις σε σχήματα στα οποία δίνονται ορισμένα στοιχεία τους κατά σχήμα θέση ή μέγεθος

bull Περί διαιρέσεων (36 προτάσεις) με περιεχόμενό του τη διαίρεση σχημάτων με δοσμένη σχέση

bull Πορίσματα (3 βιβλία που χάθηκαν) σώθηκαν ορισμένα αποσπάσματα που το 1860 έγινε απόπειρα ανασύνθεσής τους από τον Πάππο

bull Οπτικά-κατοπτρικά αντίστοιχα γεωμετρική οπτική ανάκλαση του φωτός πάνω σε επίπεδο κάτοπτρο

bull Φαινόμενα εγχειρίδιο κοσμογραφίας απλές προτάσεις για τη σφαίρα

bull Κατατομή κανόνος στοιχεία πυθαγόρεια θεωρία μουσικής

bull Ψευδάρεια laquoπαράδοξαraquo με στόχο να ασκηθούν οι σπουδαστές στην ανεύρεση λογικών σφαλμάτων κατά τις αποδείξεις

bull Κωνικαί τομαί Μηχανικά δεν γνωρίζουμε τίποτα γιrsquo αυτά τα έργα

Αιτήματα του Ευκλείδη

Τα αιτήματα είναι αρχικές προτάσεις οι οποίες προσιδιάζουν στη συγκεκριμένη κάθε φορά επιστήμη στην προκειμένη περίπτωση στη Γεωμετρία Ο Ευκλείδης διατυπώνει 5 αιτήματα

1 Ζητείται να γίνει δεκτό ότι από οποιοδήποτε σημείο σε οποιοδήποτε σημείο άγεται ευθεία γραμμή

2 Και (ότι) πεπερασμένη ευθεία προεκτείνεται σε ευθεία κατά συνεχή τρόπο

3 Και (ότι) με οποιοδήποτε κέντρο και διάστημα γράφεται κύκλος

4 Και (ότι) όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους

5 Και αν η ευθεία η οποία τέμνει δύο ευθείες σχηματίζει δύο εντός και επί τrsquo αυτά μέρη γωνίες μικρότερες των δύο ορθών τότε οι δύο ευθείες προεκτεινόμενες επrsquo απείρου συναντώνται προς εκείνα τα μέρη τους όπου βρίσκονται μικρότερες των δύο ορθών

Ακολουθούν τα laquoαιτήματαraquo διατυπωμένα σε αρχαίο κείμενο όπως αυτά βρίσκονται στο Βιβλίο Ι

26

Ο ρόλος των τριών πρώτων από τα αιτήματα αυτά είναι να εξασφαλίσουν τη νομιμότητα των κατασκευών της ευθείας και του κύκλου και κατά συνέπεια εκείνων και μόνο των γραμμών και των γεωμετρικών σχημάτων που κατασκευάζονται με πεπερασμένο αριθμό βημάτων από τα δύο αυτά βασικά σχήματα Στα Στοιχεία επομένως δεν έχουν θέση καμπύλες όπως είναι οι κωνικές τομές τη τετραγωνίζουσα κλπ ή κατασκευές όπως κατασκευές νεύσεως Η φύση των δύο τελευταίων αιτημάτων είναι διαφορετική Αποσκοπούν να δηλώσουν ότι κάποια γεωμετρικά σχήματα έχουν ορισμένες ειδικές ιδιότητες

Πολλοί ιστορικοί των μαθηματικών έχουν ασχοληθεί κατά το παρελθόν με το ερώτημα εάν τα αξιώματα του Ευκλείδη ικανοποιούν τις σύγχρονες απαιτήσεις (πληρότητα συνέπεια ανεξαρτησία) ενός αξιωματικού συστήματος Από την προσεκτική μελέτη των αποδείξεων κι των κατασκευών που περιέχονται στα Στοιχεία προκύπτει ότι ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί μερικές φορές απόρρητες παραδοχές οι οποίες δεν περιλαμβάνονται στα αξιώματα Επομένως το σύστημα των αξιωμάτων του δεν ικανοποιεί την απαίτηση της πληρότητας

Μεγάλο ιστορικό ενδιαφέρον εξάλλου έχει το ερώτημα της ανεξαρτησίας των αιτημάτων του Ευκλείδη ιδιαίτερα σε ότι αφορά το πέμπτο από αυτά Το αίτημα αυτό αναφέρεται συχνά και ως laquoαίτημα των παραλλήλωνraquo γιατί μια ισοδύναμη διατύπωσή του είναι η εξής από ένα σημείο εκτός ευθείας άγεται μια μόνο παράλληλη προς τη ευθεία Πολλοί μαθηματικοί από την αρχαιότητα έως τα μέσα του 18ου αιώνα προσπάθησαν να εξαγάγουν το αίτημα αυτό από τα άλλα αιτήματα όλες οι προσπάθειες όμως απέβησαν άκαρπες Από τα τέλη του 18ου αιώνα η προσδοκώμενη εξάρτηση του αιτήματος επιχειρήθηκε να αποδειχτεί με έμμεσο τρόπο Η σκέψη ήταν η εξής αν το αίτημα των παραλλήλων μπορεί να εξαχθεί από τα άλλα τέσσερα αιτήματα μαζί με την άρνηση του πέμπτου θα πρέπει να οδηγούν σε αντίφαση Το νέο σύστημα αξιωμάτων όμως αντί να οδηγήσει σε αντίφαση αποδείχτηκε ότι παράγει συνέπειες μαθηματικές θεωρίες Έτσι ανακαλύφθηκαν οι λεγόμενες μη ευκλείδειες γεωμετρίες και ταυτόχρονα αποδείχθηκε η ανεξαρτησία των αιτημάτων του Ευκλείδη

27

Ας δούμε τώρα την διατύπωση και την απόδειξη της πρότασης (5) που περιέχεται στο Βιβλίο Ι των laquoστοιχείωνraquo και αναφέρεται στη γνωστή μας πρόταση της ισότητας των παρά τη βάση γωνιών ισοσκελούς τριγώνου

28

Γιατί διδάσκουμε το μάθημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στο ζήτημα της laquoχρησιμότηταςraquo των σχολικών Μαθηματικών θα μπορούσε κανείς να αντιπαραθέσει (και πράγματι αντιπαρατέθηκαν) πολλές διαφορετικές απόψεις Εμείς θα παραθέσουμε απλώς ένα απόσπασμα από τις αυτοβιογραφικές σημειώσεις του Albert Einstein το οποίο δείχνει μια άλλη τελείως διαφορετική αντίληψη σχετικά με την laquoχρησιμότηταraquo της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Γράφοντας για τα γεγονότα της παιδικής και εφηβικής του ζωής που είχαν μεγάλη επίδραση στην μετέπειτα εξέλιξη του ο Einstein σημειώνει

Σε ηλικία 12 ετών δοκίμασα μια δεύτερη τελείως διαφορετική έκπληξη σε ένα μικρό βιβλίο Ευκλείδειας επίπεδης γεωμετρίαςhellip Εδώ υπήρχαν ισχυρισμοί όπως για παράδειγμα τα τρία ύψη ενός τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο οι οποίοι - αν και καθόλου προφανείς - μπορούσαν ωστόσο να αποδειχτούν με τέτοια βεβαιότητα ώστε να μην χωρεί η παραμικρή αμφιβολία Αυτή η σαφήνεια και βεβαιότητα μου προξένησαν μια εντύπωση που δεν μπορεί να περιγραφεί Το γεγονός ότι τα αξιώματα έπρεπε να γίνουν δεκτά χωρίς απόδειξη δεν με ενόχλησε Σε κάθε περίπτωση μου αρκούσε πλήρως το γεγονός ότι μπορούσαν να στηρίζω τις αποδείξεις σε προτάσεις η εγκυρότητα των οποίων ήταν για μένα αναμφισβήτητη

Η περίπτωση του Einstein του επιστήμονα που άλλαξε ριζικά τις αντιλήψεις μας και την γεωμετρική δομή του σύμπαντος αποκαλύπτει την σπουδαιότητα ορισμένων παιδαγωγικών σκοπών και τη συνάφειά τους με το ερώτημα που θέσαμε ως τίτλο αυτής της ενότητας καλλιέργεια και ανάπτυξη της συγκροτημένης σκέψης μύηση στην επιστημονική μέθοδο μελέτες του κόσμου Αυτοί οι σκοποί παρόλη τη γενικότητά τους συνδέονται άμεσα με τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας που άσκησαν καθοριστική επίδραση στο νεαρό Einstein τα οποία είναι

bull Σαφήνεια στην έκθεση

bull Ολοκληρωτική απόδειξη κάθε υπόθεσης

bull Απόλυτη συνάφεια σχημάτων και συλλογισμών

bull Τάξη και ομορφιά

Αν τα στοιχεία αυτά αποτελούν ουσιώδη συστατικά της μαθηματικής παιδείας τότε παρέχουν κατά την άποψή μας μια αυτονόητη απάντηση στο ερώτημα laquoΓιατί διδάσκουμε την Ευκλείδεια Γεωμετρίαraquo

Αντιλήψεις και αντιπαραθέσεις για τη διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Οι ένθερμοι υποστηρικτές της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προβάλλουν την παιδαγωγική αξία της λογικής και διάφανης επιχειρηματολογίας των γεωμετρικών αποδείξεων ενώ οι πολέμιοί της επικαλούνται την αναμφισβήτητη δυσκολία των περισσότερων μαθητών να κατανοήσουν τις γεωμετρικές έννοιες και τις πολύ χαμηλές επιδόσεις τους στην αντιμετώπιση σχετικών προβλημάτων Ενδιάμεσα βρίσκονται συνήθως οι σκεπτικιστές οι οποίοι επισημαίνουν τον περιορισμένο επιστημολογικά ρόλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και την ανάγκη να ανανεωθεί η διδασκαλία των Μαθηματικών δίνοντας μεγαλύτερη έμφαση σε πιο σύγχρονους και laquoχρήσιμουςraquo κλάδους (πχ Πιθανότητες και Στατιστική) Από την εποχή που ο Dieudonne κήρυξε τον πόλεμο κατά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας οι αντιλήψεις

29

αυτές έγιναν αντικείμενο επεξεργασίας και αντιπαρατέθηκαν μεταξύ τους από σημαντικούς μαθηματικούς και παιδαγωγούς ενώ οι σχετικές συζητήσεις συνεχίζονται με αμείωτη ένταση μέχρι σήμερα Σε μια ειδική μελέτη της Διεθνούς Επιτροπής για τη Μαθηματική Εκπαίδευση (ICMI) έγινε απόπειρα σύνθεσης των διαφόρων τάσεων και διατυπώθηκαν οι εξής τρεις εναλλακτικές λύσεις για τη διδασκαλία του μαθήματος

1 η λύση

Απορρίπτουμε την ιδέα ότι η Γεωμετρία πρέπει ή μπορεί να χρησιμοποιηθεί στο σχολείο ως ένα σύστημα γνώσεων (παραγωγικά οργανωμένο ή όχι) όπου οι έννοιες και τα γεγονότα πρέπει να γίνουν γνωστά απλά και μόνο επειδή ανήκουν στο σύστημα Αντίθετα η Γεωμετρία και ο χώρος θεωρούνται ως πηγές άντλησης εξαιρετικών θεμάτων για την οργάνωση πολλαπλών δραστηριοτήτων σε διαφορετικά επίπεδα Οι laquoχρησιμοθηρικέςraquo όψεις της Γεωμετρίας θα εξυπηρετηθούν με την παροχή αλγεβρικών μεθόδων

2 η λύση

Εξακολουθούμε να επιχειρούμε τη διδασκαλία ενός αξιωματικού ή ψευδο-αξιωματικού μαθήματος σχολικής Γεωμετρίας το οποίο στηρίζεται είτε σε laquoτροποποίησηraquo των laquoΣτοιχείωνraquo του Ευκλείδη (για παράδειγμα αξιωματική θεμελίωση τύπου Pogorelov) είτε πχ στους γεωμετρικούς σχηματισμούς

3 η λύση

Για ορισμένες ομάδες μαθητών τουλάχιστον παρουσιάζουμε laquoνησίδεςraquo Γεωμετρίας δηλαδή laquoτοπικάraquo παραγωγικά συστήματα μέσα στο πλαίσιο του γενικού αναλυτικού προγράμματος (Έτσι μπορούμε για παράδειγμα να έχουμε ενότητες για τις ιδιότητες των εγγεγραμμένων σε κύκλο γωνιών ή τη στοιχειώδη προβολική Γεωμετρία)

Στην Ελλάδα για προφανείς ιστορικούς και πολιτιστικούς λόγους συνεχίζεται μια παράδοση που προσεγγίζεται εγγύτατα τη δεύτερη από τις προηγούμενες εναλλακτικές λύσεις Ακόμη και την περίοδο της μεταρρύθμισης των laquoΝέων Μαθηματικώνraquo η διεθνής πίεση για εκσυγχρονισμό των σχολικών Μαθηματικών και εγκατάλειψη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αφομοιώθηκε στη χώρα μας μέσα από έναν ιδιότυπο συμβιβασμό από τη μια μεριά διατηρήθηκε όλη η παραδοσιακή σχολική ύλη την οποία σε μεγάλο βαθμό συντηρούσαν οι εισαγωγικές εξετάσεις των ΑΕΙ και από την άλλη δόθηκε υπερβολική έμφαση στην αυστηρή αξιωματική θεμελίωσης της Γεωμετρίας καθώς και με την εισαγωγή νέας ύλης πάνω στους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς Στις αντιφατικές επιλογές εκείνης της περιόδου βρίσκονται κατά την άποψη μας οι ρίζες της μετέπειτα υποβάθμισης και παρακμής του μαθήματος της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

30

Το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στη σύγχρονη Διδακτική των Μαθηματικών τα θεμελιώδη επιστημολογικά χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας όπως είναι η παραγωγική οργάνωση του περιεχομένου η αποδεικτική διαδικασία και η έμφαση στις γεωμετρικές κατασκευές αναφέρονται συνήθως ως laquoανώτερα επίπεδα γεωμετρικής σκέψηςraquo και η μάθηση τους έχει γίνει αντικείμενο συστηματικής μελέτης και έρευνας Ένα βασικό θεωρητικό μοντέλο στο οποίο έχει στηριχθεί η διεξαγωγή μεγάλου αριθμού ερευνών σε διάφορες χώρες αποτελούν τα λεγόμενα laquoεπίπεδα van Hieleraquo Σύμφωνα με αυτό το μοντέλο η μάθηση της Γεωμετρίας εξελίσσεται ιεραρχικά περνώντας από πέντε διαδοχικά επίπεδα

bull 1ο επίπεδο Εποπτικό

bull 2ο επίπεδο ΠεριγραφικόΑναλυτικό

bull 3ο επίπεδο ΑφηρημένοΣχεσιακό

bull 4ο επίπεδο ΤυπικόΠαραγωγικό

bull 5ο επίπεδο Μεταμαθηματικό

Οι μαθητές κατανοούν τη σημασία και τη διαδικασία οικοδόμησης ενός αξιωματικού μαθηματικού συστήματος και τις σχέσεις ανάμεσα σε διαφορετικά συστήματα Για παράδειγμα αναγνωρίζουν ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία δεν είναι παρά ένας από τους πολλούς δυνατούς τρόπους περιγραφής ενός αφηρημένου μαθηματικού σύμπαντος

Είναι φανερό ότι η διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προϋποθέτει τα δύο πρώτα επίπεδα και έχει ως κύριο σκοπό την κατάκτηση των δύο επόμενων επιπέδων (για το 5ο

μάλλον δεν μπορεί να γίνεται λόγος στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση) Σε θεωρητικό επίπεδο τόσο και η θεωρία των van Hiele όσο και η γενικότερη θεωρία των σταδίων μάθησης του Piaget προβλέπουν ότι η κατάκτηση αυτών των επιπέδων είναι μια επίπονη και ιεραρχικά εξελισσόμενη διαδικασία που απαιτεί μακροχρόνια και προσεχτικά σχεδιασμένη διδασκαλία Αυτές οι θεωρητικές προβλέψεις φαίνεται να επιβεβαιώνονται από πολλές εμπειρικές έρευνες που έχουν διεξαχθεί σε διάφορες χώρες και τα αποτελέσματά τους οδηγούν σε ένα βασικό συμπέρασμα laquo η καθιερωμένη παραδοσιακή διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αδυνατεί να οδηγήσει τους μαθητές στην κατάκτηση των ανώτερων επιπέδων γεωμετρικής σκέψης raquo

Από τα αποτελέσματα αυτών των ερευνών αξίζει νrsquo αναφέρουμε εδώ ένα εντυπωσιακό στατιστικό στοιχείο που αποκαλύπτει τις διαστάσεις του προβλήματος σε μια έρευνα που έγινε στις ΗΠΑ μεταξύ 1520 μαθητών που είχαν ολοκληρώσει ένα έτος διδασκαλίας της θεωρητικής Ευκλείδειας Γεωμετρίας διαπιστώθηκε ότι μόνο το 30 είχε φτάσει σε ένα επίπεδο που μπορεί να χαρακτηριστεί από 75 επιτυχία στην απόδειξη απλών γεωμετρικών προτάσεων (πχ ότι οι διαγώνιες ενός ορθογωνίου είναι ίσες) Το ποσοστό των μαθητών που είχαν 100 επιτυχία δεν ξεπέρασε το 3

31

Κοινή πεποίθηση όλων αυτών των ερευνητών είναι ότι για να κατανοηθούν οι παραγωγικές αποδείξεις της Ευκλείδειας Γεωμετρίας απαιτείται μια ισχυρή διαισθητική βάση την οποία οι μαθητές θα αποκτήσουν μέσα από επαγωγικές εμπειρικές ανακαλύψεις τη διαπίστωση και επαλήθευση υποθέσεων τις γεωμετρικές κατασκευές και εφαρμογές Έτσι λοιπόν η διδασκαλία της Γεωμετρίας δεν θα πρέπει να στηρίζεται σrsquo ένα τεχνητό διαχωρισμό ανάμεσα σε laquoΠρακτική Γεωμετρίαraquo σχεδίασης και μετρήσεων και μια laquoΘεωρητική Γεωμετρίαraquo αποδείξεων αλλά να συνδυάζει μια ισορροπημένη ανάπτυξη των δύο αυτών όψεων του μαθήματος σrsquo όλο το φάσμα της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Η επινόηση διδακτικών μέσων και μεθόδων που θα επιτρέψουν την υλοποίηση αυτού του στόχου φαίνεται ότι αποτελεί σήμερα το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ

Η Γεωμετρία του Ευκλείδη απετέλεσε το θεμέλιο για την ανάπτυξη της laquoδυτικήςraquo επιστήμης και τεχνικής και σ αυτή τη Γεωμετρία στηρίζονται οι προϋποθέσεις της κλασικής Φυσικής από την Αναγέννηση και μετά Μόλις το 19ο αιώνα διαπιστώθηκε όμως (Λάμπερτ Γκάους Μπολυάι Λομπατσέβσκι κά) ότι η ευκλείδεια Γεωμετρία στηρίζεται στην απλοϊκή αντίληψη του επίπεδου χώρου ο οποίος είναι μεν χρήσιμος για την περιοχή που αντιλαμβάνεται με τις αισθήσεις του ένας άνθρωπος αλλά όχι για πολύ μεγάλες τιμές των φυσικών μεγεθών (αποστάσεις ταχύτητες μάζες κτλ) Τότε παύει να ισχύει η επίπεδη αντίληψη και μαζί της η Ευκλείδεια Γεωμετρία επειδή στην πραγματικότητα ο χώρος είναι κυρτός Έτσι η Γεωμετρία συμπληρώνεται με βάση αντιλήψεις που στηρίζονται στον υπερβολικό ελλειπτικό κά χώρο

Σήμερα η γεωμετρία του Ευκλείδη διδάσκεται παγκοσμίως και ανελλιπώς επί 23 αιώνες με τον τιμητικό τίτλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Στη σύγχρονη όμως σχολική γεωμετρία περιλαμβάνονται και υπολογισμοί και μετρήσεις οι οποίες από το έργο του Ευκλείδη απουσιάζουν εντελώς

Η συνολική προσφορά του Ευκλείδη στα Μαθηματικά και τις εφαρμοσμένες τέχνες υπήρξε σημαντικότατη και ταυτόχρονα βάση από την οποία εξόρμησαν οι μεταγενέστεροι μαθηματικοί γεωγράφοι και αστρονόμοι για να οδηγηθούν στο τελικό μαθηματικό θαύμα της Ελληνικής Αρχαιότητας

32

33

ΒΙΟΓΡΑΦΙΑ Ο Αρχιμήδης ήταν ένας από τους μεγάλους μαθηματικούς μηχανικούς και φυσικούς του αρχαίου Ελληνικού χώρου και μια από τις μεγαλύτερες μαθηματικές ευφυΐες του κόσμου Γεννήθηκε έζησε και πέθανε στις Συρακούσες την μεγάλη Ελληνική αποικία της Σικελίας

Πατέρας του Αρχιμήδη ήταν ο αστρονόμος Φειδίας που είχε δεσμούς φιλίας με το βασιλικό γένος των Συρακουσών Ο Αρχιμήδης ταξίδεψε στην Αίγυπτο και ήρθε σε επαφή με τους διαδόχους του Ευκλείδη του Ερατοσθένη και το Δισίθεο ενώ ήταν φίλος και συμμαθητής του Κόνωνα του Σάμιου

Υπήρξε λαμπρό παράδειγμα πρωτότυπου ερευνητή ο οποίος δεν ενδιαφέρθηκε να διευκολύνει τους αρχάριους αλλά ασχολήθηκε κυρίως για την αποκάλυψη νέων αληθειών για δική του ικανοποίηση και των ώριμων ήδη διανοούμενων Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο ενώ η κατανόηση του Ευκλείδη δεν απαιτεί εξαιρετική προηγούμενη γνώση και ευφυΐα τα προϊόντα της μαθηματικής σκέψεως τα οποία πρόκειται τώρα να εξετάσουμε είναι προσιτά αποκλειστικώς και μόνο στην ανάγνωση υψηλής πνευματικής στάθμης

Πήγε στην Αίγυπτο ως εκπαιδευτικός και ήρθε σε επαφή όχι βέβαια με τον Ευκλείδη που είχε στο μεταξύ πεθάνει αλλά με τους διαδόχους του και έκανε στενούς δεσμούς με εξαιρετικούς γεωμετρικούς όπως ο Κόνων ο Σάμιος ο Ερατοσθένης ο Κυρηναίος ο Δισίθεος κλπ από τους οποίους κατόπιν όσα έργα συνέταξε μετά την επιστροφή του στην πατρίδα του

34

Το έργο τουΤο έργο του Αρχιμήδη υπήρξε τεράστιο τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά και η ερευνητική ματιά του κάλυψε πολλούς τομείς γεωμετρία οπτική (κατοπτρική) υδραυλική μηχανική αρχιτεκτονική και την πολιορκητική Συνέδεσε το όνομά του με την γένεση της μηχανικής στην αρχαία Ελλάδα και με την λύση περίφημων μαθηματικών προβλημάτων καθώς και με τις αμυντικές εφευρέσεις του που χρησιμοποιήθηκαν όταν οι Ρωμαίοι πολιορκούσαν την πατρίδα του τις Συρακούσες

Σχολιαστής του έργου του Αρχιμήδη υπήρξε ο Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης (6ος αι μΧ) που καταγόταν από την ελληνική πόλη της Συρίας Ασκαλών

Στον χώρο της εφαρμοσμένης μηχανικής ο Αρχιμήδης επινόησε ιδιοφυείς μηχανές κάθε είδους Εφηύρε τον ρωμαϊκό ζυγό (καντάρι) το τρίσπαστο (ανυψωτική τριπλή τροχαλία) και τον ατέρμονα κοχλία έλιξ του Αρχιμήδους μηχανή άντλησης νερού από ποταμούς και φρέατα (η οποία χρησιμοποιείται ακόμα και στις μέρες μας σε περιοχές της βόρειας Αφρικής) Κατασκεύασε ένα υδραυλικό ρολόι το οποίο υπολόγιζε με μεγάλη ακρίβεια τις ώρες (και ειδοποιούσε για την αλλαγή της ώρας)

Μεγάλη φήμη απέκτησαν οι πολεμικές μηχανές του Αρχιμήδη αρχιτρόνιτο (πυροβόλο ατμού) καταπέλτες άρπαγες (μηχανισμός που ανύψωνε και αναποδογύριζε πλοία) και κάτοπτρα για την καύση των Ρωμαϊκών εχθρικών πλοίων (με παραβολικά κάτοπτρα όπως αποδείχτηκε από τα πειράματα του μηχανικού Ι Σακκά ο οποίος το 1973 απόδειξε τον τρόπο με τον οποίο ο Αρχιμήδης έκαψε τον ρωμαϊκό στόλο) Σύμφωνα με την παράδοση όταν η πόλη μετά από τριετή αντίσταση των ελλήνων κατελήφθη με προδοσία ένας ρωμαίος στρατιώτης σκότωσε τον Έλληνα επιστήμονα ενώ αυτός ήταν προσηλωμένος σε κάποιο γεωμετρικό πρόβλημα ΜΗ ΜΟΥ ΤΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥΣ ΤΑΡΑΤΤΕ πρόλαβε να του απαντήσει ο Έλληνας επιστήμονας

Ο Αρχιμήδης επηρέασε σε μεγάλο βαθμό την ευρωπαϊκή επιστημονική σκέψη καθώς και τους Άραβες επιστήμονες οι οποίοι αντέγραψαν όλα τα έργα του στα αραβικά γλώσσα στην οποία διασώθηκαν αρκετά αφού τα πρωτότυπα είχαν χαθεί

35

Διασωθέντα συγγράμματα

bull Περί σφαίρας και κυλίνδρου Βιβλίο α και βbull Κύκλου μέτρησις Σώζονται τρία θεωρήματαbull Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων (32 θεωρήματα 1 πόρισμα)bull Περί ελίκων (28 θεωρήματα 6 πορίσματα)bull Περί επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων ή Μηχανικά Βιβλ α και βbull Περί μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος (=μέθοδος)bull Βιβλίο λημμάτωνbull Πρόβλημα Βοεικόνbull Κατασκευή πλευράς του περιγραφομένου εις κύκλο επταγώνουbull Ωρολόγιον Αρχιμήδους (Σώζεται στα αραβικά)bull Περί κύκλων εφαπτομένων αλλήλωνbull Αρχαί της Γεωμετρίαςbull Ψαμμίτηςbull Τετραγωνισμός παραβολήςbull Οχουμένων (Υδροστατική)bull Στομάχιον (Σώζονται λίγα αποσπάσματα)

Συγγράμματα μη διασωθέντα (ή συγγράμματα μη αποκαλυφθέντα μέχρι σήμερα)

bull Αριθμητικάbull Βαρουλκός Υδροσκοπίαι Πνευματικήbull Επισίδια Βιβλία (Μάλλον περί στατιστικής - Τζέτζης)bull Περί τριγώνωνbull Περί τετραπλεύρουbull Περί ζευγώνbull Περί 13 ημικανονικών πολυέδρωνbull Ισοπεριμετικάbull Ισορροπίαιbull Καύσις δια κατόπτρων (επ΄ αυτού έγινε επιτυχές πείραμα στο ΝΣ)bull Περί Αρχιτεκτονικήςbull Περί βαρύτητος και ελαφρότητος (Πυκνόμετρα - Αραιόμετρα)bull Περί δρομομέτρων (Οδόμετρα πλοίων)bull Περί κέντρου Βάρους ή Κεντροβαρικάbull Κατοπρικάbull Περί παραλλήλων γραμμώνbull Περί κοίλων και παραβολικών κατόπτρωνbull Προοπτικήbull Στοιχεία μηχανικώνbull Πλινθίδες και Κύλινδροιbull Στοιχεία επί των στηρίξεωνbull Σφαιροποιΐα

36

Εφευρέσεις

bull Αραιόμετρο - Πυκνόμετροbull Αστρονομική συσκευήbull Βαρουλκόςbull Γερανοί (Αρπάγες)bull Καταπέλτεςbull Κάτοπτραbull Κοχλίας ή έλιξbull Οδόμετρο (δρομόμετρο)bull Πλανητάριον (σφαίρα)bull Πολύσπαστον (Βαρούλκο) τρίσπαστοbull Σίφωνbull Στομάχιον (επιτραπέζιο παιγνίδι το πρώτο παζλ)bull Τηλεβόλον Αρχιμήδους bull Χαριστίων (μοχλός)bull Ωρολόγιο υδραυλικό

37

Τα συγγράμματα του Αρχιμήδη που σώθηκαν μέχρι σήμερα είναι τα ακόλουθα Περί σφαίρας και κυλίνδρου Κύκλου μέτρησις περί σφαιροειδέων και κωνοειδέων Περί λίκων Επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων Ψαμμίτης Τετραγωνισμός παραβολής Οχούμενων Στομάχιον Προς Ερατοσθένην Έφοδος Βιβλίον περί λημμάτων Πρόβλημα βοεικόν Αποσπάσματα Μερικά από αυτά διασώθηκαν Πολλά επίσης είναι τα συγγράμματα του που χάθηκαν

Έκανε τα πρώτα βήματα για το μαθηματικό υπολογισμό επιφανειών με ακανόνιστο περίγραμμα και συμμετρικών εκ περιστροφής σωμάτων μέθοδος που εξελίχθηκε τεκμηριώθηκε και ονομάστηκε στην σύγχρονη εποχή laquoΟλοκληρωτικός Λογισμόςraquo υπολόγισε μία προσεγγιστική τιμή για τον άρρητο αριθμό π διατύπωσε το νόμο προεκτάσεις του γενίκευσε την εφαρμογή λέγοντας laquoΔώστε μου σημείο να στηριχθώ και θα κινήσω την γηraquo διατύπωσε την ομώνυμη αρχή για την άνωση του νερού κατασκεύασε διάφορες μηχανές ένα τύπο πολύσπαστου τον κοχλία μία αντλητική μηχανή με την laquoαρχιμήδειον έλικαraquo κά

Η συμβολή του ΑρχιμήδηΗ συμβολή του Αρχιμήδη στην ανάπτυξη της Μηχανικής συνιστάται πέρα από την επινόηση των τροχαλιών του πολύσπαστου και των οδοντωτών τροχών και ενός ιδιόμορφου αντλητικού συγκροτήματος στην έλικα που φέρει το όνομα του Ακόμα στην επακριβή διατύπωση των νόμων των μοχλών και των ισορροπιών ή κέντρα βαρών Εδώ υπάρχει και η περίφημη πρόταση laquo σύμμετρα μεγέθη ισορροπούν σε αποστάσεις αντιστρόφως ανάλογες προς το βάρος τους raquo

Σε σχέση με τους μοχλούς και τις δυνατότητες τους μας αναφέρει τη φράση laquo δος μοι πα στω και ταν γαν κινάσω raquo Απέδειξε στον Ιέρωνα ότι με ένα σύστημα τροχαλιών ndash οδοντωτών τροχών και μοχλών μπορεί να μετακινήσει ένα τεράστιο πλοίο με όλο το πλήρωμα μέσα μόνος του Ήταν ακόμα ο ίδιος που σχεδίασε και επιμελήθηκε τη ναυπήγηση του πλοίου

Ανέλαβε μετά από εντολή του Ιέρωνα την οχύρωση της πόλης και διηύθυνε ο ίδιος την άμυνα της εναντίον των Ρωμαίων

Στην αστρονομία ο Λίβιος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης είναι laquoμοναδικός παρατηρητής του ουρανού και των αστέρων raquo Ο Ίππαρχος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης ασχολήθηκε με τη μελέτη των ηλιοστασίων καθώς και με τον υπολογισμό της διάρκειας του έτους

Ο Μακρόβιος αναφέρει ότι ο Αρχιμήδης ανακάλυψε τις αποστάσεις των πλανητών ενώ στο έργο laquoΨαμμίτηςraquo περιγράφει τη συσκευή μέσω της οποίας μέτρησε τη φαινομενική γωνιακή διάμετρο του ήλιου

38

Ο Κικέρων αναφέρεται με θαυμασμό για τον Αρχιμήδη στα laquoΚατοπτρικάraquo Στα Μαθηματικά που ο ίδιος θεωρούσε ως τα πιο σημαντικά παρουσίασε την μέθοδο του προσδιορισμού του αριθμού π Τελειοποίησε το ελληνικό σύστημα αρίθμησης και παρουσίασε μια μέθοδο παράστασης των πολύ μεγάλων αριθμών Ασχολήθηκε με τη διαφορική Γεωμετρία βρήκε τους τύπους πρόσθεσης και αφαίρεσης τόξων Υπολόγισε το εμβαδόν της σφαίρας και του κυλίνδρου Μελέτησε διάφορα στερεά εκ περιστροφής όπως τα στερεά που παράγονται από περιστροφή έλλειψης υπερβολής και παραβολής γύρω από έναν άξονα

Στη Γεωμετρία το έργο του Αρχιμήδη αποτελείται κατά κύριο λόγο από πρωτότυπες μελέτες σχετικά με τον τετραγωνισμό των καμπυλόγραμμων επίπεδων σχημάτων καθώς και με τον τετραγωνισμό και τον κυβισμό καμπύλων επιφανειών

Τέλος επινόησε στο σύνολό της την Υδροστατική Επιστήμη την οποία ανέπτυξε πλήρως Οι μελέτες του αναπαριστούν ένα σύνολο μαθηματικών και γεωμετρικών επιτευγμάτων το οποίο δεν ξεπέρασε κανείς στην ανθρώπινη ιστορία

Όπως αναφέρει ο Wallis laquo ο Αρχιμήδης αφήνει ένα συγκεκριμένο μυστήριο να καλύπτει τον τρόπο με τον οποίο κατέληγε στα αποτελέσματά του Είναι σαν να είχε καλύψει σκοπίμως τα ίχνη του τα ίχνη των ερευνών του σα να ήταν απρόθυμος να αποκαλύψει το μυστικό της μεθόδου έρευνάς του στους μεταγενέστερους ενώ επιθυμούσε να αποσπάσει τη συναίνεσή τους για τα αποτελέσματά του raquo

Ο ίδιος ο Αρχιμήδης ως φορέας ενός ανώτερου φιλοσοφικού πνεύματος θεωρούσε ταπεινή και ανάξια κάθε τέχνη που εξυπηρετούσε πρακτικές ανάγκες ή αποσκοπούσε στο οικονομικό κέρδος Γι` αυτό και έστρεψε όλη του την προσοχή και τις επιδιώξεις στους καθαρούς στοχασμούς χωρίς να καταδεχτεί να αφήσει κάποιο γραπτό στοιχείο για τις τεχνολογικές του ανακαλύψεις με μοναδική εξαίρεση όσες αναφέρονται στο έργο του laquoπερί σφαιροποιίαςraquo Δεν είναι καθόλου τυχαίο λοιπόν το ότι ο Κικέρων αργότερα βρήκε τον τάφο του και πάνω μία αναπαράσταση ενός κυλίνδρου περιγεγραμμένου σε σφαίρα με μία περιγραφή που έδινε το λόγο του κυλίνδρου προς τη σφαίρα

Σε ποιους τομείς εφαρμόστηκαν οι θεωρίες του Εξαιρετικές του μελέτες και για τη μέθοδο και για το αποτέλεσμα είναι εκείνες που έδωσαν τα εμβαδά Κύκλου Έλλειψης Παραβολής και Έλικας καθώς και τα εμβαδά και τους όγκους των Κυλίνδρων των Κώνων και κυρίως των Σφαιρών

Σημαντικότατη θεωρείται και η ανακάλυψη από τον ίδιο τύπου που δίνει το εμβαδόν τριγώνου από τις πλευρές του και ακόμα η επέκτασή του στα εγγεγραμμένα τετράπλευρα Ο Αρχιμήδης επίσης γνώριζε να κατασκευάζει τη λύση ειδικών τριτοβάθμιων προβλημάτων και μεταξύ αυτών και του Δηλίου Προβλήματος Τις λύσεις αυτές τις έδινε με την τομή δύο κωνικών (Ευτόκιος) Μοναδική είναι η προσφορά του στην ανώτερη μετρική Γεωμετρία Συγκεκριμένα εξέφρασε τους όγκους στερεών εκ περιστροφής κωνικών τομών εφαρμόζοντας απειροστικές μεθόδους ανάλυσης των στερεών αυτών

39

Στη σύγχρονη κλασική γεωμετρία όλο σχεδόν το μετρικό της μέρος οφείλεται στον Αρχιμήδη με αποτέλεσμα αυτή ουσιαστικά να είναι ισορροπημένη μείξη της Ευκλείδειας και της Αρχιμήδειας αρχαίας γεωμετρίας

Έτσι ο σοφός μας αποτελεί ουσιαστικά τον πατέρα της ανώτερης μετρικής γεωμετρίας της αρχαιότητας και ταυτόχρονα την πηγή έμπνευσης των νεώτερων μελετών του διαφορικού και απειροστικού λογισμού

Η πρωτοτυπία και η αποτελεσματικότητα των μελετών του έγιναν αιτία να χαρακτηριστεί από τους ιστορικούς των μαθηματικών ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών και όλων των εθνών

Ρεύμα στα ανάκτορα της Βρετανίας μέσω εφεύρεσης του Αρχιμήδη ( httpkatestimenoblogspotcom201109blog-post_1015html )

laquoΗ Βασίλισσα Ελισάβετ πρόκειται να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση ενός αρχαίου Έλληνα για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Και όταν λέμε αρχαίο Έλληνα εννοούμε τον Αρχιμήδη και όχι τον 90χρονο σύζυγό της Φίλιππο της Ελλάδαςraquo

Με αυτόν τον τίτλο πληροφορεί το βρετανικό κοινό η εφημερίδα ldquoDaily Mailrdquo για την απόφαση της Αυτής Μεγαλειότητας να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση του αρχαίου Έλληνα εφευρέτη Αρχιμήδη από τις Συρακούσες για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Πρόκειται για τη σύγχρονη εκδοχή του ατέρμονα κοχλία της έλικος του Αρχιμήδους όπως έμεινε γνωστή η εφεύρεση και είναι ένας σωληνοειδής κοχλίας που χρησίμευε για την άντληση νερού και την άρδευση καλλιεργημένων εκτάσεων

Η σύγχρονη εκδοχή της εφεύρεσης θα χρησιμοποιεί το νερό που μεταφέρεται από ένα τεχνητό φράγμα για να παράγει υδροηλεκτρική ενέργεια Ο μηχανισμός έχει ήδη μεταφερθεί μέσω του Τάμεση στο Romney Weir στα ανάκτορα του Γουίντσορ Σύμφωνα με το δημοσίευμα της εφημερίδας οι έλικες θα είναι έτοιμες για την παραγωγή ενέργειας τον προσεχή Νοέμβριο ενώ θα μπορούν να καλύψουν πλήρως τις ανάγκες του κάστρου σε ενέργεια μέσα στον επόμενο χρόνο

Εκτός αυτού οι τουρμπίνες είναι σχεδιασμένες ώστε να μην εμποδίζουν την ασφαλή διέλευση σολομού και χελιού μέσα στον ποταμό Τάμεση

Οι laquoέλικες του Αρχιμήδηraquo βάρους 40 τόνων κατασκευάστηκαν από ένα εργοστάσιο στην Ολλανδία και στοίχησαν 700000 λίρες Αγγλίας ενώ το κόστος εγκατάστασής τους θα ξεπεράσει το ένα εκατομμύριο λίρες

40

Για τα επιστημονικά επιτεύγματα λέγονται πολλά και είναι δύσκολο να ξεχωρίσει κανείς ποια από αυτά δεν οφείλονται στο θρύλο που δημιουργήθηκε γύρω από την προσωπικότητα του Το σημαντικότερο ωστόσο είναι ότι μέσω των προβληματισμών του για την αρχή του κόσμου ανήγαγε τα πολλαπλά φαινόμενα του κόσμου σε μία μοναδική αρχή γεγονός που τον κατατάσσει δίκαια laquo στη χορεία των φιλοσόφωνraquo Ο Θαλής δεν πρέπει να άφησε κανένα έργο παρά μόνο ένα με τίτλο laquo Ναυτική Αστρολογίαraquo αν και αυτό αμφισβητείται σύμφωνα με τον Διογένη Λαέρτιο ο οποίος υποστηρίζει ότι είναι έργο του Φώκου του ΣάμιουΕΡΓΟ-ΓΝΩΣΕΙΣ-ΘΕΩΡΙΑΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑΟ Θαλής ήταν ο πρώτος Έλληνας Φιλόσοφος που αναζήτησε την πρώτη αρχή των όντων και των κοσμολογικών φαινομένων Ως πρώτη αιτία όρισε το νερό Η ζωτική δύναμη του νερού και η τεράστια σημασία του για την φύση ήταν τα αίτια που έκαναν το Θαλή να το ορίσει ως πρωταρχικό στοιχείο του αποδίδοντας 2 κοσμολογικές απόψεις

bull Η γη έχει την μορφή ενός κυκλικού δίσκου που στηρίζεται στο νερό

bull Το νερό είναι η αρχή των πάντων

Σύμφωνα με τον Αριστοτέλη ήταν η αρχαιότερη θεωρία που είχε διατυπωθεί και είχε παραδοθεί από τον Θαλή

ΘΕΟΛΟΓΙΑ Όπως μας αναφέρει ο Αριστοτέλης μια άλλη επιστήμη στην οποία συνέβαλε ο Θαλής ήταν η Θεολογία Υποστήριζε πως ο κόσμος είναι γεμάτος Θεούς laquoπάντα πλήρη θεῶν εἶναιraquo και ότι η ψυχή είναι κάτι το κινητικό laquoκινητικόν τίraquo

Ακόμη είναι ο πρώτος που παρατήρησε ότι ο μαγνήτης (Fe 0) ασκεί ελκτικές δυνάμεις σε σιδερένια αντικείμενα Οι ανακαλύψεις των ηλεκτρικών και μαγνητικών ιδιοτήτων ορισμένων υλικών ώθησαν το Θαλή στη διατύπωση της θεωρίας ότι καθετί που υπάρχει στη φύση έχει ψυχή Από την εξήγηση που έδωσε ότι οι ετήσιες (μελτέμια) προκαλούν τις πλημμύρες του ποταμού Νείλου πιθανολογείται ότι πρέπει να ασχολήθηκε και με τη μελέτη των μετεωρολογικών φαινομένων χωρίς όμως να σωθούν οι παρατηρήσεις και οι μελέτες που έκανε

ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΕάν η θεμελίωση της θεωρητικής γεωμετρίας ως επιστήμης και κατά συνέπεια η θεμελίωση του πολιτισμού οφείλεται στην αναλαμπή του Θαλή ο οποίος σκέφτηκε να διατυπώσει τα γεωμετρικά αξιώματα και την ανάγκη απόδειξης με αυτά των γεωμετρικών προτάσεων η συνολική θεώρηση του κόσμου και η προσπάθεια αναγωγής όλων των φαινομένων σε μία αρχή αποτελεί πράγματι σημαντικό επίτευγμα του

5

ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΟ Θαλής εκτός από φιλόσοφος υπήρξε και μεγάλος αστρονόμος Ο Ηράκλειτος γράφει laquoΘαλῆς πρῶτος ἀστρολογῆσαιraquo

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑΩς μαθηματικός ο Θαλής είναι γνωστός στη στοιχειώδη γεωμετρία από το ομώνυμο θεώρημά του Η κυριότερη προσφορά του Θαλή όμως στην επιστήμη των μαθηματικών ήταν η εισαγωγή της αποδείξεως γεγονός που έφερε αλλαγή στον τρόπο του laquoσκέπτεσθαιraquo μέχρι εκείνη την εποχή

ΣΥΜΒΟΛΗ ΣΤΗΝ ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝΜε βάση όλες τις θεωρίες και τις γνώσεις του μπορούμε να κατανοήσουμε πως η συμβολή του στην εξέλιξη όλων των επιστημών ήταν καθοριστική

ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΜερικά από τα αποφθέγματα του Θαλή ήταν

bull Γνῶθι σαυτόν (Γνώρισε τον εαυτό σου)

bull Χαλεπόν τόν ἑυατόν γνῶναι (Είναι δύσκολο το να γνωρίσει κανείς τον εαυτό του)

bull Βαρύ ἀπαιδευσία (Η απαιδευσία είναι βαρύ πράγμα)

bull Μέτρῳ χρῶ (Σε όλες τις ενέργειες να υπάρχει μέτρο)

bull Μή πλούτει κακῶς (Να μην πλουτίζεις κακώς)

6

bull Ἀργός μή ἲσθι μηδ΄ἀν πλουτῆς (Να μην μένεις αργός ούτε όταν είσαι πλούσιος)

bull Ίσχυρότατον ἀνάγκη κρατεῖ γάρ πάντων (Η ανάγκη είναι το ισχυρότατο των πραγμάτων διότι υπερισχύει όλων)

bull Φίλων παρόντων καί ἀπόντων μέμνησο (Να θυμάσαι τους φίλους σου όταν είναι παρόντες και απόντες)

bull Φθονοῦ μᾶλλον ἤ οἰκτίρου (Καλύτερα να σε φθονούν παρά να σε λυπούνται)

bull Πρός τόν πυθόμενον τί πρότερον γεγόνοι νύξ ἡ ἡμέρα laquoἡ νύξraquo ἔφη laquoμία ημέρα πρότερονraquo (Προς κάποιον που τον ρώτησε τι έγινε πρώτα η νύκτα ή η ημέρα απάντησε laquoΗ νύχτα έγινε μία μέρα νωρίτεραraquo)

ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣυνοπτικά ο Θαλής στην αστρονομία

bull ανακάλυψε την ανισότητα των εξάμηνων (θερινού και χειμερινού) με σκιοθηρικό γνώμονα

bull Μέτρησε την διάρκεια του έτους (365 μέρες) bull Μελέτησε τις τροπές και τις ισημερίες του ήλιου και ανέπτυξε μεθόδους εντοπισμού

των αντίστοιχων ημερών μέσα στο έτος bull Ανέπτυξε μέθοδο υλοποίησης στο έδαφος της ακριβούς διεύθυνσης βορρά και

νότουbull Προέβλεψε μια έκλειψη ήλιου (Μάιος 585 πχ)bull Υπολόγισε τον λόγο της διαμέτρου του Ήλιου προς την φαινόμενη τροχιά του γύρω

από την γη καθώς και της διαμέτρου της σελήνης προς την τροχιά της γύρω από την γη

bull Κατασκεύασε το περίφημο laquoδιαστημόμετροraquo για τον υπολογισμό των αποστάσεων των πλοίων από την ξηρά

ΦΥΣΙΚΗΌσον αφορά την φυσική με την παρατήρηση ότι το ήλεκτρο (κεχριμπάρι) όταν τρίβεται πάνω σε μάλλινο ρούχο αποκτά την ιδιότητα να έλκει τρίχες μικρά φτερά κλπ ο Θαλής έθεσε τα θεμέλια του ηλεκτρισμού Αρκετούς αιώνες μετά η παραγωγή ηλεκτρισμού με την χρήση της τριβής πραγματοποιήθηκε με την βοήθεια ηλεκτροστατικών μηχανών Τέλος στο Θαλή οφείλεται και η ανακάλυψη του μαγνητισμού

7

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Συνοπτικά ο Θαλής στη γεωμετρία

bull Εισήγαγε την έννοια των παράλληλων ευθειώνbull Εισήγαγε την έννοια των γωνιών και τα πρώτα τους θεωρήματαbull Ανακάλυψε κριτήρια ισότητας και ομοιότητας τριγώνωνbull Ανακάλυψε το ομώνυμό του Θεώρημα του Θαλήbull Ανακάλυψε το θεώρημα της γωνίας της εγγεγραμμένης στο ημικύκλιοbull Εκτιμάται ότι ανακάλυψε το θεώρημα των τριών γωνιών τρίγωνου

ΜΑΡΤΥΡΙΕΣ-ΑΠΟΤΙΜΗΣΗΔυστυχώς οι γνώσεις μας για τα μαθηματικά που αναπτύχθηκαν τον 6ο και τον 5ο αιώνα πΧ είναι αποσπασματικές Κανένα κείμενο δεν διασώζεται ακέραιο ενώ οι πληροφορίες που έχουμε προέρχονται από συγγραφείς που έζησαν έως και 1000 χρόνια αργότερα

Ο Πρόκλος αποτελεί την καλύτερη και την πλέον αξιόπιστη πηγή για τον Θαλή ως Γεωμέτρη

Παρrsquo ότι ο Πρόκλος έζησε τον 5ο μΧ αιώνα η επισκόπηση της Ιστορίας της Γεωμετρίας που περιέλαβε στα σχόλια του για το πρώτο βιβλίο του Ευκλείδη είναι αξιόπιστη καθώς θεωρείται ότι βασίζεται στην χαμένη Ιστορία της Γεωμετρίας που είχε συγγράψει ο μαθητής του Αριστοτέλη ο Εύδημος

Με τον Θαλή αλλά και τους επίγονους της σχολής της Ιωνίας το σχήμα παίρνει ουσιαστικό και πρωτεύοντα ρόλο στην σπουδή της Γεωμετρίας και γίνεται το ίδιο αντικείμενο μελέτης και μαθηματικού στοχασμού

Δικαίως λοιπόν εξασφάλισε τον τίτλο του laquoΠατέρα της Γεωμετρίαςraquo αφού

bull Σύμφωνα με τον Ιερώνυμο (Μαθητής του Αριστοτέλη)

laquoΚατόρθωσε να μετρήσει τις πυραμίδες παρατηρώντας το μήκος της σκιάς τους κατά τη στιγμή που οι σκιές μας έχουν μήκος ίσο με το ύψος μαςraquo

8

bull Ο Πλίνιος

Μας λέει τα ίδια προσθέτοντας ότι ο Θαλής χρησιμοποίησε την μέθοδο και για κάθε άλλο σώμα του οποίου θέλουμε να βρούμε το ύψος

bull Ο Πρόκλος αποδίδει στο Θαλή πολλά μαθηματικά αποτελέσματαlaquoΠρώτος ο Θαλής απέδειξε ότι η διάμετρος διχοτομεί τον κύκλοraquolaquoΠρώτος εκείνος επεσήμανε ότι οι γωνίες της βάσης κάθε ισοσκελούς τρίγωνου είναι ίσεςraquo

bull Ο Εύδημος αναφέρει

laquoΟ Θαλής βρήκε πρώτος το θεώρημα ότι οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσεςraquo

Άλλες μαρτυρίες για τα θεωρήματα και τη συμβολή του Θαλή είναι και της ιστορικού Παμφίλης (που παρατίθεται από το Διογένη Λαέρτιο) η οποία υποστήριξε πως ο Θαλής υπήρξε ο πρώτος που ενέγραψε ορθογώνιο τρίγωνο σε κύκλο Συμφώνα όμως με τον Απολλόδωρο το λογικιστή αυτό πρέπει να αποδοθεί στους Πυθαγορείους Συμφώνα πάλι με τον Cantor ο Θαλής δεν laquoαπέδειξεraquo αλλά μάλλον παρατήρησε τις ιδιότητες των γεωμετρικών σχημάτων

Με βάση τις παραπάνω μαρτυρίες είμαστε σε θέση να αποτιμήσουμε τη συμβολή του Θαλή στην παγκόσμια ιστορία όλων των τομέων των επιστημών Η συμβολή αυτή έγκειται στο γεγονός ότι ανέπτυξε μια λογική δομή και εισήγαγε την απόδειξη στα μαθηματικά

9

ΠυθαγόραςΒΙΟΓΡΑΦΙΚΑ

Ο γνωστός σε όλους μας Πυθαγόρας ο Σάμιοςγεννήθηκε στη Σάμο και έζησε το 580-500πΧ Το όνομά του του το έδωσαν οι γονείς του προς τιμήν της Πυθίας η οποία προφήτεψε τη γέννησή του Σύμφωνα με τον Διογένη Λαέρτιο ο Πυθαγόρας έλεγε ότι κάποτε υπήρξε Αιθαλίδης και ήταν γιος του Ερμή Ο Ερμής του ζήτησε να διαλέξει ότι ήθελε εκτός από την αθανασία Ζήτησε λοιπόν όσο ζει να θυμάται όσα του έχουν συμβεί Έτσι μπορούσε να επαναφέρει στη μνήμη του τα πάντα από τις προηγούμενες ζωές του

Νεαρός ακόμα παρακινούμενος από τη φιλομάθειά του έφυγε από την πατρίδα του για να μυηθεί σε όλες τις ελληνικές και βαρβαρικές τελετές Πήγε στην Αίγυπτο και τότε ο πολιτάρχης τον σύστησε με επιστολή του στον Αμάση Εκεί έμαθε τέλεια τα αιγυπτιακά όπως λέει ο Αντιφών στο laquo Περί τῶν ἒν ἁρετῇ πρωτευσάντων raquo και επισκοπήθηκε τους Χυδαίους και τους Μάγους Κατόπιν στην Κρήτη με το Επιμενίδη κατέβηκε στο Ιδαίον Άντρο αλλά και στην Αίγυπτο είχε μπει στα άδυτα Έτσι γνώρισε τα μυστικά για τους θεούς Στη συνέχεια επέστρεψε στη Σάμο επειδή όμως βρήκε την πατρίδα του τυραννοκρατούμενη από τον Πολυκράτη αναχώρησε για τον Κρότωνα της Ιταλίας Έδρασε εκεί όπου και ίδρυσε την περίφημη laquoΠυθαγόρειο Σχολήraquo η οποία ήταν πολίτικο-θρησκευτικό ίδρυμα με πολιτικούς κυρίως στόχους όπου μελετήθηκαν και η αριθμητική και η γεωμετρία Επεδίωκε την ηθική και πνευματική αναγέννηση όλων των λαϊκών στρωμάτων ανδρών και γυναικών της περιοχής του Κρότωνα

Είχε πολλούς και καλούς μαθητές Κάθε φορά που έμπαιναν στο σπίτι του τους έλεγε να λένε τα εξής laquoΠού έσφαλαraquo laquoΤι έκαναraquo laquoΤι έπρεπε να κάνω και δεν έκαναraquo Οι μαθητές του επί πέντε χρόνια παρέμεναν σιωπηλοί και άκουγαν μόνο τις ομιλίες του Πυθαγόρα χωρίς ποτέ να βλέπουν τον ίδιο Μετά το τέλος αυτής της δοκιμασίας του γίνονταν μέλη του σπιτιού του και είχαν το δικαίωμα να τον βλέπουν

10

Πέθανε σύμφωνα με τον Διογένη Λαέρτιο καθώς προσπαθούσε να διαφύγει από την καταδίωξη Κροτωνιατών που φοβήθηκαν την εγκαθίδρυση τυραννίας λόγω της μεγάλης δύναμης που είχε αποκτήσει αυτός και οι μαθητές του στην πόλη Οι Κροτωνιάτες έσφαξαν αυτόν και τους τετρακόσιους μαθητές του αφού πρώτα έκαψαν το σπίτι του Μίλωνα στο οποίο λίγο πριν είχαν συγκεντρωθεί Ο Δικαίαρχος αναφέρει πως ο Πυθαγόρας πέθανε στο ιερό των Μουσών στο Μετάποντιο (ελληνική αποικία) μένοντας σαράντα ημέρες νηστικός

ΕΠΙΤΕΥΓΜΑΤΑ - ΕΡΓΟ

Η ηθική διδασκαλία του Πυθαγόρα και των ακολούθων του (Πυθαγορείων) διασώζεται σε 71 στίχους του έργου laquoΤα χρυσά έπη του Πυθαγόραraquo Η σύνθεση αυτών των στίχων αποδίδεται στους Νεοπυθαγορείους του 2ου-3ου μΧ αιώνα Η γνώση ότι τα laquoΧρυσά Έπηraquo γραφτήκαν από τον Πυθαγόρα ή τους Πυθαγορείους και ανασυντέθηκαν μεταγενέστερα με τη μορφή που έφτασαν σε εμάς δεν φαίνεται να είναι σωστή Αν κάνουμε μια απλή ανάγνωση στα εν λόγω έπη αποδεικνύεται ότι αυτά γράφτηκαν πολύ αργότερα Οπωσδήποτε όμως το περιεχόμενο των επών είναι απόλυτα laquoπυθαγορικόraquo και συμφωνεί με την παράδοση της ηθικής διδασκαλίας του Πυθαγόρα και των Πυθαγορείων

Οι σύγχρονοί του όμως φαίνεται ότι θεωρούσαν τον Πυθαγόρα περισσότερο ως θρησκευτικό προφήτη και λιγότερο ως μαθηματικό Πρέπει να υπογραμμίσουμε πάντως ότι η διδασκαλία του διέφερε από διδασκαλίες άλλων στοχαστών της εποχής του κατά το ότι απέδιδε πολύ μεγάλη σημασία στα μαθηματικά λέγοντας ότι αυτά είναι η οδός για την απελευθέρωση της ψυχής Το πιο σημαντικό μέρος των μαθηματικών για τους Πυθαγορείους είναι η αριθμητική Διότι όπως έλεγε και ο Πυθαγόρας laquoΤά τῶν αριθμῶν στοιχεία τῶν ὂντων πάντωνεἴναιraquo (Αριστοτέλους Μετά τα φυσικάΑ5)

11

[Aristot Metaph A 5985 b 23]οἱ καλούμενοι Πυθαγόρειοι τῶν μαθημάτων ἁψάμενοι πρῶτοι ταῦτά τε προήγαγον καὶ ἐντραφέντες ἐν αὐτοῖς τὰς τούτων ἀρχὰς τῶν ὄντων ἀρχὰς ᾠήθησαν εἶναι πάντων ἐπεὶ δὲ τούτων οἱ ἀριθμοὶ φύσει πρῶτοι ἐν δὲ τούτοις ἐδόκουν θεωρεῖν ὁμοιώματα πολλὰ τοῖς οὖσι καὶ γιγνομένοις μᾶλλον ἢ ἐν πυρὶ καὶ γῇ καὶ ὕδατι ὅτι τὸ μὲν τοιονδὶ τῶν ἀριθμῶν πάθος δικαιοσύνη τὸ δὲ τοιονδὶ ψυχή τε καὶ νοῦς ἕτερον δὲ καιρὸς καὶ τῶν ἄλλων ὡς εἰπεῖν ἕκαστον ὁμοίως ἔτι δὲ τῶν ἁρμονιῶν ἐν ἀριθμοῖς ὁρῶντες τὰ πάθη καὶ τοὺς λόγους - ἐπεὶ δὴ τὰ μὲν ἄλλα τοῖς ἀριθμοῖς ἐφαίνετο τὴν φύσιν ἀφωμοιῶσθαι πᾶσαν οἱ δ ἀριθμοὶ πάσης τῆς φύσεως πρῶτοι τὰ τῶν ἀριθμῶν στοιχεῖα τῶν ὄντων στοιχεῖα πάντων ὑπέλαβον εἶναι καὶ τὸν ὅλον οὐρανὸν ἁρμονίαν εἶναι καὶ ἀριθμόν

bull Πυθαγόρειες τριάδες

Ο Πρόκλος αποδίδει στον ίδιο τον Πυθαγόρα την εύρεση των πυθαγορείων τριάδων της

μορφής

+ΝminusΝΝ2

12

122

όπου Ν περιττός αριθμός μεγαλύτερος του 1 Για

παράδειγμα αν πάρουμε ως Ν τον αριθμό 3 θα σχηματιστεί η τριάδα

+minus2

132

13322

δηλαδή η (3 4 5) η οποία είναι πράγματι Πυθαγόρεια τριάδα αφού ικανοποιεί τη σχέση 222 543 =+

Φαίνεται ότι αληθεύει η εκδοχή λόγω της παράδοσης κάποιες μαθηματικές γνώσεις να μεταδόθηκαν από την Αίγυπτο σε πολλούς αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς ανάμεσα τους τον Πυθαγόρα

12

bull Πυθαγόρειο θεώρημα

Σε αντιστοιχία με τον ορισμό των πυθαγορείων τριάδων ένα τρίγωνο λέγεται πυθαγόρειο όταν τα μήκη των πλευρών του αποτελούν Πυθαγόρεια τριάδα Προφανώς κάθε ορθογώνιο τρίγωνο είναι πυθαγόρειο ενώ το αντίστροφο γενικά δεν ισχύει Το ΠΘ αποτελεί χαρακτηριστικό παράδειγμα μελέτης των ιδιοτήτων των σχημάτων Ο Ευκλείδης στα laquoΣτοιχείαraquo μας λέει ουσιαστικά ότι η επιφάνεια που καταλαμβάνει το τετράγωνο που κατασκευάζεται με πλευρά την υποτείνουσα ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι ίση με την επιφάνια που καταλαμβάνουν μαζί τα τετράγωνα που κατασκευάζονται με πλευρά τις κάθετες πλευρές του τριγώνου

-Ορισμός Πυθαγορείου Θεωρήματος Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών Αντίστροφο Πυθαγορείου Θεωρήματος Αν σε ένα τρίγωνο το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο

Η απόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήματος που χρησιμοποιούμε συνήθως σήμερα στηρίζεται στην έννοια της ομοιότητας των τριγώνων και τις αλγεβρικές ιδιότητες των αναλογιών ενώ το θεώρημα διατυπώνεται στη μορφή μιας αλγεβρικής ισότητας για τετράγωνα των μήκων των πλευρών του ορθογώνιου τριγώνου Με τον τρόπο αυτό γίνεται ένα ευέλικτο υπολογιστικό εργαλείο με πολυάριθμες εφαρμογές και προεκτάσεις

Το πυθαγόρειο θεώρημα αποδεικνύεται με πάνω από έναν τρόπους

13

Απόδειξη με εμβαδά

Θεωρούμε ένα τετράγωνο πλευράς a + b και σχεδιάζουμε σε αυτό τέσσερα ορθογώνια τρίγωνα με πλευρές a και b και υποτείνουσα c έτσι ώστε στο κέντρο να έχουμε τετράγωνο πλευράς c (βλ σχήμα)

Υπολογίζουμε το εμβαδό του τετραγώνου προσθέτοντας το εμβαδό του μικρότερου τετραγώνου καθώς και τα εμβαδά των τεσσάρων τριγώνων

c2 + 2abΑφού πρόκειται για τετράγωνο πλευράς a + b το εμβαδό του ισούται επίσης με

a2 + b2 + 2abΕξισώνοντας τις δυο αυτές σχέσεις προκύπτει

a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab ή a2 + b2 = c2

Απόδειξη με ομοιότητα τριγώνων

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ορθή γωνία την Α Θεωρώ το ύψος της υποτείνουσας ότι την τέμνει στο σημείο Δ Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΒΑ είναι όμοια μεταξύ τους ως ορθογώνια τρίγωνα με ίδια τη γωνία Β Παρομοίως τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΓΑ είναι όμοια μεταξύ τους με ίδια τη γωνία Γ

Ισχύει ))(()AB()AB()(

)()AB( 2 ∆ ΒΒ Γ=rArr∆ Β=

Β Γ και (ΑΓ)2 = (ΒΓ)(ΔΓ)

Αν προσθέσουμε τις δυο αυτές εξισώσεις έχουμε(ΑΒ)2 + (ΑΓ)2 =

(ΒΓ)(ΔΒ) + (ΒΓ)(ΔΓ) = (ΒΓ)(ΔΒ + ΔΓ) = (ΒΓ)2

bull Η περίφημη κούπα του Πυθαγόρα

Ο Πυθαγόρας κατά την τοπική παράδοση της Σάμου είχε φτιάξει μια κούπα εφαρμόζοντας τους νόμους της Φυσικής για να πίνει με μέτρο το κρασί Εσωτερικά είχε μία γραμμή που όριζε ως που έπρεπε να γεμίσει κανείς Μια στάλα παραπάνω και η κούπα άδειαζε όλο το κρασί της από μία κρυφή οπή στη βάση Πως όμως γίνεται αυτό Στο κέντρο της κούπας βρίσκεται μια στήλη τοποθετημένη ακριβώς πάνω από έναν σωλήνα ο οποίος οδηγεί στο κάτω μέρος της Εκεί βρίσκεται η κρυφή οπή Ενώ γεμίζουμε την κούπα η στάθμη του κρασιού ανεβαίνει και στο εσωτερικό της κεντρικής στήλης ακολουθώντας το νόμο του Pascal για τα συγκοινωνούντα δοχεία

14

Όσο η στάθμη του κρασιού δεν ξεπερνά τη γραμμή που είναι χαραγμένη στο εσωτερικό της κούπας laquoδεν τρέχει τίποταraquo Εάν όμως την ξεπεράσει ταυτόχρονα φτάνει και στην κορυφή της εσωτερικής στήλης έτσι μέσω του σωλήνα το παραπανίσιο κρασί χύνεται κάτω από την κούπα Τότε η υδροστατική πίεση δημιουργεί ένα σιφόνι στον εσωτερικό σωλήνα το οποίο αδειάζει όλο το περιεχόμενο της κούπας από την οπή που υπάρχει

Ένα πλήθος επιπρόσθετων επιτευγμάτων όπως η κατασκευή και η μελέτη τριών τουλάχιστον από τα πέντε κανονικά πολύγωνα (κύβος τετράεδρο δωδεκάεδρο) και η κατασκευή της μουσικής κλίμακας (μελέτη των λόγων της τετράχορδης λύρας και δημιουργία κανόνα της οχτάχορδης λύρας) μας αποδεικνύει τη σημαντικότητα του Πυθαγόρα ως επιστήμονας της εποχής του Οι πληροφορίες για τη μελέτη των πολυέδρων δεν είναι αρκετές ωστόσο για τη μουσική κλίμακα γνωρίζουμε ότι βασίστηκε στις μελέτες του Πυθαγόρα ο οποίος μελετώντας τη μαθηματική σχέση της μουσικής κλίμακας και διατυπώνοντας σχετικούς κανόνες διευκόλυνε κατά πολύ την κατασκευή μουσικών οργάνων Κατάφερε να εκφράσει τη μουσική αρμονία με μαθηματικές σχέσεις μέσα από τη φιλοσοφική και επιστημονική του προσέγγιση Ξεκινώντας από μία χορδή και διαιρώντας διαδοχικά με το μήκος της και τον χρυσό αριθμό Φ κατάφερε να κατασκευάσει το μουσικό όργανο laquoΚανόναraquo εξέλιξη του οποίου συναντάται σήμερα στο γνωστό laquoκανονάκιraquo

Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΟΥ ΣΤΟ ΣΗΜΕΡΑ

Το αρχαιότερο παράδειγμα εφαρμογής του γνωστού σε όλους laquoπυθαγορείου θεωρήματοςraquo το συναντούμε στη πινακίδα ΒΜ 85196 που χρονολογείται από την περίοδο της πρώτης βαβυλωνιακής χιλιετίας πΧ Έχοντας γνώση λοιπόν του έργου του οι Βαβυλώνιοι οδηγηθήκαν σε αξιόλογα επιτεύγματα

Ο Πυθαγόρας υπήρξε μεγάλη προσωπικότητα με τις έρευνες και το Πανεπιστήμιό του συνέβαλε στο άλμα των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών Η περίεργη μυστικότητα όμως που διέπνεε το σύλλογο έγινε αιτία να μην πληροφορηθούν οι βιογράφοι επακριβώς όλα τα προσωπικά επιτεύγματα του ίδιου Έτσι σήμερα αγνοούμε εν μέρη το δικό του έργο το οποίο ασφαλώς θα ήταν σημαντικότατο

Όσο αναφορά το πυθαγόρειο σχήμα παρά τα αρκετά μειονεκτήματα έχει μερικά χαρακτηριστικά τα οποία μόνιμα επηρέαζαν την ελληνική αστρονομική σκέψη Έδινε βαρύτητα στις κυκλικές κινήσει των ουράνιων σωμάτων γύρω από ένα κεντρικό στοιχείο Τέλος στον Πυθαγόρα και τους Πυθαγορείους οφείλεται πλήθος γεωμετρικών εργασιών αφού αυτοί μελέτησαν με επιτυχία την επιστήμη της Γεωμετρίας

15

Πλάτων ο ΑθηναίοςΒιογραφικά στοιχεία

Έζησε στο διάστημα (427-347πΧ) Ήταν Aθηναίος φιλόσοφος αριστοκρατικής καταγωγής όπου ίδρυσε και διεύθυνε το διασημότερο πανεπιστήμιο στην αρχαία Ελλάδα την Ακαδημία για 40 περίπου χρόνια μέχρι το θάνατό του Πατέρας του ήταν ο Αρίστωνας ο οποίος καταγόταν από το γένος του βασιλιά Κόδρου και μητέρα του ήταν η Περικτιόνη η οποία ήταν αδερφή του Χαρμίδη ενός από τους Τριάκοντα τύραννους και ανιψιά του Κριτία επίσης μέλος των Τριάκοντα με καταγωγή από το γένος του νομοθέτη Σόλωνος Αδέρφια του ήταν οι Αδείμαντος και Γλαύκων Το πρώτο του όνομα ήταν Αριστοκλής αλλά αργότερα ονομάστηκε Πλάτωνας γιατί είχε ευρύ στέρνο και πλατύ μέτωπο

Σε ηλικία 18 ετών γνώρισε τον Σωκράτη και γοητεύτηκε από την προσωπικότητα και από την διδασκαλία του Από το συνολικό έργο του διασώζονται 36 έργα τα οποία εκτός από την Απολογία του Σωκράτη έχουν την μορφή διαλόγου σε όλα εκτός των Νόμων Την συζήτηση διεύθυνε ο Σωκράτης ενώ ο τίτλος του καθενός είναι το όνομα του σπουδαιότερου συνομιλητή ή αφηγητή Στα έργα αυτά γίνεται φανερή η τοποθέτηση του και ο άκρατος

θαυμασμός του προς τα μαθηματικά και ιδιαίτερα προς την γεωμετρία

Λίγες πληροφορίες για την Ακαδημία

Η Ακαδημία ήταν ένα προάστιο των Αθηνών Πήρε το όνομά της από τον ήρωα Ακάδημο Αναφορικά ο Ιππίας γιος του Πεισίστρατου έκτισε ένα κυκλικό τοίχο και ο Κίμωνας φύτεψε τη περιοχή με τα δέντρα η οποία καταστράφηκε από τον Σίλα το 86 πΧ Το 387

16

πΧ O Πλάτωνας ίδρυσε τη φιλοσοφική του σχολή η οποία έγινε πολύ διάσημη χάρη στους νεοπλατωνιστές και χρησιμοποιείτο έως το 526 μΧ οπότε και έκλεισε από τον αυτοκράτορα Ιουστινιανό Η Ακαδημία ήταν σχολή ανωτέρων μελετών και ταυτόχρονα και εκπαιδευτικό ίδρυμα Είχε ισχυρή καταστατική συγκρότηση και παρουσιάζεται περισσότερο υπό τη μορφή μιας αδελφότητας μιας φιλοσοφικής αίρεσης τα μέλη της οποίας αισθάνονται στενά συνδεδεμένα μεταξύ τους και διακρίνεται και από μια οικειότητα στις σχέσεις μεταξύ των μαθητών και των δασκάλων την οποία θα χαρακτηρίζαμε στοργική και φιλική συνάμα Υπάρχει μια διαφωνία σχετικά με το αν η Ακαδημία ήταν ένωση για τη πρόοδο των επιστημών ή ίδρυμα ανώτατης μόρφωσης Η διαφωνία αυτή είναι κάπως άσκοπη δεδομένου το ότι ο άκρατος ρεαλισμός της σχολής αλλά και ο απλός χαρακτήρας της αρχαϊκής εκείνης εποχής δεν επιτρέπουν στο να μεταθέσουμε σε εκείνο το περιβάλλον τη σύγχρονη αντίληψη που έχουμε για την επιστήμη Η Ακαδημία άλλωστε ήταν σχολή ανώτερων μελετών αλλά και εκπαιδευτικό ίδρυμα ταυτόχρονα Τέλος ο Πλάτωνας δεν ονειρεύτηκε μόνο τη ldquoμετά επιστήμηςrdquo παιδεία αλλά και τη μετέδωσε για σαράντα χρόνια στους μαθητές του στην Ακαδημία

Η Ακαδημία ήταν ο τόπος στον οποίο ο Πλάτωνας προσπαθούσε να δείξει τον δρόμο σε προικισμένους μαθητές ώσπου να αναπηδήσει ο σπινθήρας και να αποκαλυφθεί η έσχατη γνώση Ξέρουμε τόσα λίγα για την καθημερινή διδασκαλία στην ακαδημία την εποχή του Πλάτωνα ώστε πότε-πότε θέλησαν να αρνηθούν τον επιστημονικό χαρακτήρα της Τέτοιοι σκεπτικισμοί δεν στηρίζονται πουθενά Την μεγάλη σημασία των μαθηματικών σαν προπαίδεια για την διαλεκτική η οποία στηριζόταν σε αυτά την δείχνουν μερικές προσωπικότητες του Πλατωνικού κύκλου και χωρίς αμφιβολία υπάρχει ουσιαστική αλήθεια στο ανέκδοτο που λένε ότι βρισκόταν πάνω από την είσοδο της Ακαδημίας laquoἁγεωμέτρητος μηδείς εἰσίτωraquo Ξέρουμε ακόμα ότι η διαιρετική μέθοδος για την οποία μιλήσαμε στους οψιμότερους διαλόγους έπαιξε σημαντικό ρόλο στον αγώνα για ένα λογικά ταχτοποιημένο κοσμοείδωλο και στην απόκτηση ορισμών με την διαίρεση των γενικότερων εννοιών

Η συμβολή του Πλάτωνα και της Ακαδημίας στα μαθηματικά

Η συμβολή της Ακαδημίας στα μαθηματικά του 4ου αιώνα πΧ είναι σημαντικότατη ιδιαίτερα με τα έργα των καθηγητών της Θεαίτητου Μεναίχμου και Ενδόξου Η συμβολή όμως του Πλάτωνα είναι αμφιλεγόμενη αν και πιστεύεται ότι

-Έλυσε το Δήλιο πρόβλημα (διπλασιασμό του κύβου) με κινητική γεωμετρία και κάποιο όργανο με την βοήθεια του οποίου προέκυπτε η λύση

-Έδωσε γενική μορφή στην αναλυτική μέθοδο και συνέβαλε στην έρευνα των γεωμετρικών τύπων

-Προσδιόρισε ένα πλήθος των πυθαγορείων τριάδων δηλαδή των τριαδικών ακέραιων αριθμών που επαληθεύουν την ισότητα x2+y2=ω2 του Πυθαγορείου θεωρήματος

Για τα πολυσυζητημένα αστρονομικά ζητήματα της εποχής του (κίνηση του ουρανού θέση σχήμα και κίνηση της Γης) παρουσιάζει ξένες και θολά διατυπωμένες απόψεις γεγονός που

17

φανερώνει ότι δεν διέθετε προσωπική άποψη για το θέμα και γενικά ότι δεν ήταν μαθηματικός

Έγραψε μεταξύ άλλων την απολογία του Σωκράτη η οποία θεωρείται ως μια σχετικά ακριβής καταγραφή της απολογίας του Σωκράτη στην δίκη που τον καταδίκασε σε θάνατο Μετά τη θανάτωση του Σωκράτη για λίγο καιρό κατέφυγε στα Μέγαρα κοντά στον συμμαθητή του Ευκλείδη Ύστερα γύρισε στην Αθήνα όπου για 10 χρόνια ασχολήθηκε με τη συγγραφή φιλοσοφικών έργων τα οποία φέρουν τη σφραγίδα της σωκρατικής φιλοσοφίας Στη συνέχεια ταξίδεψε στην Αίγυπτο και στην Κυρήνη όπου σχετίστηκε με τον μαθηματικό Θεόδωρο και τέλος στον Τάραντα της Ιταλίας όπου γνώρισε τους πυθαγόρειους από τη φιλοσοφική σκέψη των οποίων επηρεάστηκε αποφασιστικά Μετά πέρασε στη Σικελία Στην αυλή του βασιλιά των Συρακουσών Διονυσίου Α΄ γνώρισε τον βασιλικό γυναικάδελφο Δίωνα με τον οποίον συνδέθηκε φιλικά Η φιλία όμως αυτή προκάλεσε τις υποψίες του Διονυσίου για συνωμοσία γι αυτό έδιωξε τον Πλάτωνα από τη Σικελία Στην Αίγινα κινδύνεψε να πουληθεί ως δούλος αλλά τον εξαγόρασε ο Κυρηναίος φίλος του Αννίκερης Επιστρέφοντας στην Αθήνα άνοιξε τη φιλοσοφική σχολή του την Ακαδημία (387 πΧ) Η προσπάθεια όμως των δύο φίλων να προσηλυτίσουν στις ιδέες τους τον νέο ηγεμόνα Διονύσιο τον Πρεσβύτερο απέτυχαν Για τρίτη φορά ήρθε στην αυλή των Συρακουσών το 361 πΧ με σκοπό να συμφιλιώσει τον Δίωνα με τον Διονύσιο Αυτή τη φορά κινδύνεψε και η ζωή του Τον έσωσε η επέμβαση του πυθαγόρειου Αρχύτα Αλλά ο Δίωνας δεν γλίτωσε Δολοφονήθηκε το 353 πΧ Έτσι ο Πλάτωνας έχασε τον άνθρωπο στον οποίο στήριξε τις ελπίδες του για την επιβολή των πολιτικών του ιδεών Από τότε και μέχρι τον θάνατό του ασχολήθηκε με τη διδασκαλία και με τη συγγραφή φιλοσοφικών έργων Επίσης έγραψε το συμπόσιο που μιλάει για την φύση του έρωτα στον Πρωταγόρα Μεταξύ άλλων θεμελιώνεται θεωρητικά η αρχή της πρόληψης που δεν λαμβάνει την τιμή ως απολύτως ανταποδοτική στον Παρμενίδη και Θεαίτητο θεμελιώνει την αντικειμενικότητα του λόγου και της ιδέας ενώ σε 2 μακρούς διαλόγους την Πολιτεία και τους Νόμους περιέγραψε την ιδανική πολιτεία

Η κύρια συμβολή του στα μαθηματικά βρίσκεται κυρίως στο ότι προέτρεπεe τους μαθηματικούς να ερευνούν καθολικές μαθηματικές αλήθειες και γενικά να καλλιεργούν τα μαθηματικά τα οποία θεωρούσε ότι διαθέτουν τεράστια εκπαιδευτική αξία Η προτροπή αυτή φαίνεται εκτός των άλλων και στις απόψεις του ότι τα μαθηματικά είναι lsquorsquoδόσις θεῶν εἰς ἀνθρώπουςrsquorsquo και ότι οδηγούν έντονα την ψυχή προς το θείο

Οι επιδράσεις του Πλάτωνος στους έπειτα αιώνες

Ο Γάλλος ιστορικός της φιλοσοφίας Ζακ Σεβαλιέ τονίζει στο έργο του laquoΙστορία της σκέψηςraquo (1955) την κυρίαρχη παρουσία ή έστω ανταύγεια της πλατωνικής φιλοσοφίας σε ολόκληρο το Μεσαίωνα και στην Αναγέννηση και στους Νεότερους χρόνους ενώ ο Γερμανός φιλόσοφος Καρλ Γιάσπερς προβάλλει τον Πλάτωνα ως το τον πρώτο από τους τρεις θεμελιωτές του φιλοσοφείν Η ιστορία της φιλοσοφίας μέχρι τον Κικέρωνα είναι σαφώς επηρεασμένη από αυτόν και είτε αμφισβητεί είτε ακολουθεί τη διδασκαλία του Ο μαθητής του Αριστοτέλης εξ ίσου επιδραστικός με τον ίδιο οδηγήθηκε στην ανάπτυξη τμήματος του έργου του ως απάντηση στον πλατωνισμό Η σχολή την οποία ο Πλάτωνας

18

ίδρυσε το 387 πΧ η Ακαδημία συνέχισε να ακμάζει ως τις αρχές του πρώτου αιώνα π Χ έχοντας όμως μετατραπεί σε σκεπτική σχολή μετά τις αρχές της ελληνιστικής περιόδου

Κατά την εποχή του Αυγούστου υπήρξε αναβίωση της πλατωνικής φιλοσοφίας ο μεσοπλατωνισμός με εκπροσώπους όπως ο Φίλων ο Αλεξανδρεύς ενώ κατά τα τέλη του δεύτερου αιώνα ο μεσοπλατωνισμός άρχεσαι να μετατρέπεται σταδιακά υπό την επίδραση του νεοπυθαγορισμού και του ερμητισμού στην κατεχόμενη από τους Ρωμαίους Αίγυπτο στο κίνημα του νεοπλατωνισμού με αρχικούς εκπροσώπους όπως ο Πλωτίνος το οποίο είχε ιδεαλιστικό μυστικιστικό και σωτηριολογικό χαρακτήρα Η Ακαδημία στην Αθήνα επανιδρύθηκε ως κέντρο νεοπλατωνικών μελετών κατά τον τέταρτο αιώνα

Την ίδια εποχή περίοδο έντονων θρησκευτικών ζυμώσεων στη Ρωμαϊκή Αυτοκρατορία και σταδιακής επικράτησης του χριστιανισμού στη Μεσόγειο οι ακόλουθοι της αστικής ελληνορωμαϊκής θρησκείας αλλά και των ελληνικών μυστηριακών λατρειών συσπειρώθηκαν γύρω από τον νεοπλατωνισμό ως υπερασπιστή του μέχρι πρότινος επικρατούντος παγανισμού Μεμονωμένοι νεοπλατωνικοί και παγανιστικοί πυρήνες επέζησαν ως τον έκτο αιώνα οπότε και ο Αυτοκράτορας Ιουστινιανός έκλεισε με διάταγμα την Ακαδημία της Αθήνας Μετά περίπου εννέα αιώνες το έτος 1439 ο Γεώργιος Γεμιστός Πλήθων γράφει στη Φλωρεντία το πολύκροτο έργο του Περί ὧν Αριστοτέλης προς Πλάτωνα που αποτέλεσε το έναυσμα της διαμάχης πλατωνικών και αριστοτελικών στο Βυζάντιο και στην Ιταλία Ο πλατωνισμός επιβίωσε υπογείως καθ όλον τον Μεσαίωνα κρυμμένος σε μυστηριακά ρεύματα έως ότου οι πρωτότυπες ιδέες του ανακαλύφθηκαν ξανά και σχολιάστηκαν κατά την Αναγέννηση Έτσι ούτε η νεότερη φιλοσοφική σκέψη έμεινε ανεπηρέαστη από αυτόν Τα διάφορα φιλοσοφικά συστήματα ή προσπαθούν να ανατρέψουν τις ιδέες του ή οικοδομούνται πάνω σ αυτές εκσυγχρονίζοντάς τες

Τα έργα του είναι

Αλκιβιάδης Α η Περί Ανθρώπου Φύσεως μαιευτικός

Αλκιβιάδης Β ή Περί Προσευχής μαιευτικός

Απολογία Σωκράτους ηθικός

Γοργίας ή Περί Ρητορικής ανατρεπτικός

Επινομίς ή Νυκτερινος Σύλλογος πολιτικός

Επιστολαί ηθικαί

Ερασταί ή Περί Φιλοσοφίας ηθικός

Ευθύδημος ή Εριστικός ανατρεπτικός

Ευθύφρων ή Περί του Οσίου

Θεάγης ή Περί Φιλοσοφίας μαιευτικός

Θεαίτητος ή Περί Επιστήμης πειραστικός

19

Ιππαρχος ή Φιλοκερδής ηθικός

Ιππίας ελάσσων ή Περί του Ψεύδους ανατρεπτικός

Ιππίας μείζων ή Περί του Καλού ανατρεπτικός

Ίων ή Περί Ιλιάδος πειραστικός

Κλειτοφών ή Προτρεπτικός ηθικός

Κρατύλος ή Περί Ονομάτων Ορθότητος λογικός

Κριτίας ή Ατλαντικός ηθικός

Κρίτων ή Περί του Πρακτέου ηθικός

Λάχης ή Περί Ανδρείας ηθικός

Λύσις ή Περί Φιλίας μαιευτικός

Μενέξενος ή Επιτάφιος ηθικός

Μένων ή Περί Αρετής πειραστικός

Μίνως ή Περί Νόμου πολιτικός

Νόμοι ή Περί Νομοθεσίας πολιτικός

Παρμενίδης ή Περί Ιδεών λογικός

Πολιτεία ή Περί Δικαίου πολιτικός

Πολιτικός ή Περί της Βασιλείας λογικός

Πρωταγόρας ή Σοφισταί επιδεικτικός

Σοφιστής ή Περί του Όντος λογικός

Συμπόσιον ή Περί Αγαθού ηθικός

Τίμαιος ή Περί Φύσεως φυσικός

Φαίδρος ή Περί Έρωτος ηθικός

Φαίδων ή Περί Ψυχής ηθικός

Φίληβος ή Περί Ηδονής ηθικός

Χαρμίδης ή Περί Σωφροσύνης πειραστικός

20

21

ΕυκλείδηςΒΙΟΓΡΑΦΙΑ

Υπολογίζεται ότι έζησε το βrsquo μισό του 4ου έως τις αρχές του 3ου πΧ αιώνα πιο συγκεκριμένα περίπου το 325 πΧ έως το 265 πΧ Κορυφαίος μαθηματικός της αρχαιότητας που επηρέασε με το έργο του σε ανυπέρβλητο βαθμό τον επιστημονικό τρόπο σκέψης σε όλο τον κόσμο Για τη ζωή του δεν υπάρχουν επιβεβαιωμένες πληροφορίες Πιθανώς εκπαιδεύτηκε στην Αθήνα στην Ακαδημία του Πλάτωνα και δίδαξε στην Αλεξάνδρεια Ξέρουμε ότι ήταν μεγαλύτερος στην ηλικία από τον Αρχιμήδη πράγμα που σημαίνει ότι η χρονολόγηση της ακμής του laquoγύρω στο 300 πΧraquo δεν πρέπει να απέχει πολύ από την αλήθεια Ο Πρόκλος επίσης τον χαρακτηρίζει σύγχρονο του βασιλιά Πτολεμαίου Αrsquo στον

οποίο είχε το θάρρος να του πει κατά πρόσωπο πως δεν υπάρχει βασιλική οδός προς τη γεωμετρία Ο Πάππος τον επαινεί για την ηθική του ακεραιότητα τη μετριοφροσύνη και την ευμενή στάση του προς όσους είναι ικανοί να προαγάγουν τη μαθηματική γνώση Ο Στοβαίος διηγείται το ακόλουθο ενδιαφέρον περιστατικό Ένας νέος επισκέφθηκε κάποτε τον Ευκλείδη και τον παρακάλεσε να τον διδάξει γεωμετρία Μόλις έμαθε το πρώτο θεώρημα ρώτησε τον Ευκλείδη laquoΚαι τώρα τι θα κερδίσω με το θεώρημα αυτόraquo Ο Ευκλείδης τότε γύρισε προς τον υπηρέτη του και του είπε laquoΔώσrsquo του τρεις δεκάρες ώστε να κερδίσει κάτι από το θεώρημα το οποίο έμαθεraquo Αυτά είναι όλα όσα γνωρίζουμε για τον Ευκλείδη ως άνθρωπο Πολύ μεγαλύτερη σημασία όμως έχει το έργο του το οποίο ακόμα και σήμερα μαρτυρεί τα απαράμιλλα χαρίσματά του ως δασκάλου

ΕΡΓΟ

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη

Μετά το θάνατο του Μεγάλου Αλεξάνδρου στα 323 πΧ η αχανής μακεδονική αυτοκρατορία διαιρέθηκε σε τρεις περιοχές Η περιοχή πού περιλάμβανε την Αίγυπτο περιήλθε κάτω από την άξια ηγεμονία του ικανού στρατηγού του Αλεξάνδρου Πτολεμαίου του Σωτήρος ο οποίος σύντομα κέρδισε τη βασιλεία της περιοχής Ο Πτολεμαίος επέλεξε για πρωτεύουσα της περιοχής του την Αλεξάνδρεια λίγα μόνο μίλια από τις εκβολές του ποταμού Νείλου και γύρω στα 300 πΧ άνοιξε τις πόρτες του περίφημου πανεπιστημίου της Αλεξάνδρειας Ανάμεσα στους μελετητές που κλήθηκαν να επανδρώσουν το νέο ίδρυμα ήταν και ο μαθηματικός Ευκλείδης που πιθανότατα υπήρξε μαθητής της Ακαδημίας του Πλάτωνα στην Αθήνα

22

Ο Ευκλείδης από τη στιγμή που ανέλαβε τα καθήκοντά του στην Αλεξάνδρεια όρισε ανάμεσα στους στόχους του τη συγκρότηση του μνημειώδους και ιστορικά σημαντικού έργου του των Στοιχείων Αυτή η αξιόλογη και εκτεταμένη εργασία γραμμένη σε δεκατρία βιβλία ή μέρη αποτελεί την αρχαιότερη εφαρμογή της αξιωματικής μεθόδου που έχει φτάσει στα χέρια μας Θεωρείται ο πρώτος μεγάλος σταθμός στην ιστορία της οργάνωσης των μαθηματικών και η μετέπειτα επίδραση της στον επιστημονικό τρόπο γραφής πολύ δύσκολα μπορεί να περιγραφεί

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη διεκδικούν αναμφισβήτητα μια θέση ανάμεσα στις μεγάλες στιγμές των μαθηματικών Η εργασία αυτή εκτόπισε τόσο γρήγορα και ολοκληρωτικά όλες τις προηγούμενες εργασίες ανάλογου περιεχομένου που σήμερα δεν υπάρχουν αντίγραφα προηγουμένων προσπαθειών και απλά γνωρίζουμε την ύπαρξη τους από σχόλια μεταγενέστερων συγγραφέων Τα Στοιχεία του Ευκλείδη από την πρώτη εμφάνιση τους κέρδισαν τεράστια εκτίμηση Με μοναδική εξαίρεση τη Βίβλο καμιά άλλη εργασία δεν χρησιμοποιήθηκε μελετήθηκε ή εκδόθηκε τόσο πολύ Για πάνω από δύο χιλιετίες κυριάρχησε στο χώρο διδασκαλίας της γεωμετρίας Από την πρώτη έκδοση της στα 1472 έχει γνωρίσει πάνω από χίλιες εκδόσεις Το περιεχόμενο και η μορφή της επέδρασαν εντυπωσιακά στην ανάπτυξη του αντικειμένου της και της λογικής θεμελίωσης των μαθηματικών

Ο Πρόκλος ένας κατοπινός σχολιαστής των μαθηματικών που έζησε στον 5ο αιώνα έχει δώσει μια εξήγηση της έννοιας του όρου laquoστοιχείαraquo Τα στοιχεία μιας αποδεικτικής μελέτης είναι τα πιο σημαντικά θεωρήματα ή τα θεωρήματα κλειδιά που χρησιμοποιούνται συχνά και πλατιά στο αντικείμενο της μελέτης Είναι τα θεωρήματα που χρειάζονται για την απόδειξη όλων ή των περισσότερων από τα άλλα θεωρήματα Η λειτουργία τους συγκρίνεται με αυτή των γραμμάτων του αλφαβήτου σε σχέση με τη γλώσσα Τα γράμματα στα ελληνικά ονομάζονται και στοιχεία Η επιλογή των προτάσεων που θα λειτουργήσουν ως στοιχεία κάποιου θέματος μελέτης απαιτεί μεγάλη ικανότητα και κρίση από το συγγραφέα

Δεν υποτιμά καθόλου την αίγλη του έργου του Ευκλείδη το γεγονός ότι είχαν προηγηθεί ανάλογες προσπάθειες Σύμφωνα με τον Πρόκλο η πρώτη προσπάθεια να γραφτούν Στοιχεία έγινε από τον Ιπποκράτη το Χίο στα μέσα του πέμπτου πΧ αιώνα Η επόμενη προσπάθεια ήταν του Λέοντα που χρονολογικά τοποθετείται κάπου ανάμεσα στον Πλάτωνα και τον Εύδοξο Όπως μαθαίνουμε η εργασία του Λέοντα περιείχε μια μεγαλύτερη και πιο χρήσιμη επιλογή προτάσεων από τον Ιπποκράτη Το βιβλίο που χρησιμοποιούνταν στην Ακαδημία του Πλάτωνα είχε επιμεληθεί ο Θεύδιος από τη Μαγνησία και θεωρούνταν μια θαυμάσια συλλογή στοιχείων Η εργασία του Θεύδιου ήταν ασφαλώς ο άμεσος πρόδρομος της εργασίας του Ευκλείδη ο οποίος την είχε χωρίς αμφιβολία στη διάθεση του ειδικά αν όπως πιστεύουν σπούδασε στην Ακαδημία του Πλάτωνα

Ο Ευκλείδης γνώριζε επίσης την εργασία του Θεαίτητου και του Εύδοξου Δεν είναι καθόλου υποτιμητικό ότι η εργασία του Ευκλείδη αποτελεί σε μεγάλο βαθμό συγκέντρωση και επιμέλεια των εργασιών των προγενεστέρων του αφού η ουσιαστική αξία των Στοιχείων βρίσκεται ακριβώς στην τέλεια επιδεξιότητα με την οποία επιλέχτηκαν και τοποθετήθηκαν

23

σε λογική σειρά οι προτάσεις ξεκινώντας από μια μικρή ομάδα αρχικών υποθέσεων Ούτε είναι υποτιμητικό το γεγονός ότι η εξονυχιστική μελέτη των σύγχρονων κριτικών έχουν αποκαλύψει ορισμένα μειονεκτήματα στη δομή της εργασίας του Ευκλείδη Δε θα μπορούσε κανείς να περιμένει μια τέτοια αρχική και κολοσσιαία προσπάθεια με την αξιωματική μέθοδο να μην παρουσιάζει καμία ατέλεια

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη έχουν γραφεί γύρω στο 300 πΧ αλλά το αυθεντικό χειρόγραφο κείμενο του Ευκλείδη δεν διασώζεται Αντίθετα σώζονται δεκάδες αντίγραφα που σε τελική ανάλυση κατάγονται από αυτό Το αρχαιότερο πλήρες αντίγραφο περιέχεται σε έναν χειρόγραφο περγαμηνό κώδικα που φυλάσσεται σήμερα στη Βιβλιοθήκη της Οξφόρδης και χρονολογείται από του έτους 888 ενώ μικρά αποσπάσματα του έργου διασώζονται σε παπύρους προγενέστερης εποχής καθώς και σε ένα παλίμψητο χειρόγραφο του 7ου ή του 8ου

μΧ αι που φυλάσσεται στο Βρετανικό Μουσείο Βλέπουμε λοιπόν ότι το αρχαιότερο χειρόγραφο που περιέχει το πλήρες κείμενο των Στοιχείων του Ευκλείδη χρονολογείται από τα τέλη του 9ου μΧ αι και επομένως απέχει από την εποχή μας όσο απέχει από την εποχή που ο ίδιος ο Ευκλείδης έγραψε το έργο

Όλες οι σύγχρονες εκδόσεις στηρίζονται σε μια επανέκδοση που έκανε ο Θεωνάς από την Αλεξάνδρεια ένας Έλληνας σχολιαστής που έζησε εφτακόσια περίπου χρόνια μετά τον Ευκλείδη Μόνο στις αρχές του 19ου αιώνα ανακαλύφθηκε ένα παλιότερο αντίγραφο Στα 1808 όταν ο Ναπολέοντας διέταξε να μεταφερθούν όλα τα αξιόλογα χειρόγραφα από τις ιταλικές βιβλιοθήκες στο Παρίσι ο Φ Πέιραρντ (F Peyrard) ανακάλυψε στη βιβλιοθήκη του Βατικανού ένα αντίγραφο των Στοιχείων από έκδοση προγενέστερη από του Θεωνά Η μελέτη όμως αυτής της παλιότερης έκδοσης αποκάλυψε δευτερεύουσες μόνο διαφορές από τον Θεωνά

Οι πρώτες πλήρεις μεταφράσεις των Στοιχείων στα λατινικά δεν έγιναν από τα ελληνικά αλλά από τα αραβικά Τον 8ο αιώνα οι Άραβες μετέφρασαν έναν αριθμό βυζαντινών χειρογράφων με ελληνικές εργασίες και στα 1120 ο Άγγλος μελετητής Άντελαρντ (Adelard) από το Μπαθ μετέφρασε τα Στοιχεία στα λατινικά χρησιμοποιώντας μια απ αυτές τις παλιότερες αραβικές μεταφράσεις Άλλες λατινικές μεταφράσεις από τα αραβικά έκαναν ο Γκεράρντο από την Κρεμώνα (Gherardo 1114-1187) και 150 χρόνια μετά τον Άντελαρντ ο Γιοχάννες Καμπάνους (Johannes Campanus) Η πρώτη τυπωμένη έκδοση των Στοιχείων έγινε στη Βενετία στα 1482 η έκδοση αυτή ήταν η μετάφραση του Καμπάνους Αυτό το πολύ σπάνιο βιβλίο ήταν θαυμάσια τυπωμένο και ήταν το πρώτο αξιόλογο μαθηματικό βιβλίο που τυπώθηκε Μια σημαντική λατινική μετάφραση από τα ελληνικά έγινε από τον Κομμαντίνο (Commandino) στα 1572 Αυτή η μετάφραση χρησιμοποιήθηκε ως βάση για πολλές άλλες μεταφράσεις που ακολούθησαν ανάμεσα σ αυτές και η εργασία του Ρόμπερτ Σίμσον (Robert Simson) που άσκησε σημαντική επιρροή και αποτέλεσε με τη σειρά της τη βάση για πάρα πολλές αγγλικές εκδόσεις

24

Αναλυτική περιγραφή των laquo στοιχείων raquo

Ειδικότερα το πρώτο βιβλίο αναφέρεται σε τεμνόμενες και παράλληλες ευθείες στην ισότητα ευθύγραμμων σχημάτων και στο τέλος το πυθαγόρειο θεώρημα Στο 2ο βιβλίο αναφέρονται συνέπειες από το πυθαγόρειο θεώρημα και γίνονται μετασχηματισμοί ευθύγραμμων σχημάτων σε ισοδύναμα τετράγωνα Εδώ περιέχεται και το πρόβλημα

της laquoχρυσής τομήςraquo Πολλές από τις προτάσεις αυτού μπορούν με σύγχρονους συμβολισμούς να πάρουν μορφή αλγεβρική γιrsquo αυτό έχει επικρατήσει να λέγεται για το 2ο βιβλίο ότι εισάγει τη laquoγεωμετρική άλγεβραraquo Στο 3ο βιβλίο εξετάζεται ο κύκλος και στο τέταρτο βιβλίο λύνονται προβλήματα σχετικά με τα εγγεγραμμένα στον κύκλο κανονικά πολύγωνα Στο 5ο βιβλίο σπουδάζεται η laquoθεωρία των λόγωνraquo του Ευδόξου Πρόκειται ουσιαστικά για τη θεωρία των πραγματικών αριθμών δοσμένη όμως σε μορφή γεωμετρική Το 6ο βιβλίο ασχολείται με την ομοιότητα επίπεδων σχημάτων και σrsquo αυτά αποδεικνύεται ότι από όλα τα ορθογώνια με δοσμένη περίμετρο το τετράγωνο έχει το μέγιστο εμβαδόν Στα βιβλία 7ο-9ο που αφορούν στην αριθμοθεωρία είναι εκπληκτικό πώς με παντελή μπορεί να πει κανείς έλλειψη συμβολισμών (αριθμοί δεν αναγράφονται) κατορθώνεται μια ακροβασία στην αλληλουχία των συλλογισμών που καταλήγει σε πολύ ενδιαφέροντα αριθμητικά αποτελέσματα Ειδικότερα στο 7ο βιβλίο μελετιούνται οι άρτιοι και οι περιττοί αριθμοί οι πρώτοι και οι σύνθετοι καθώς και οι τέλειοι εξετάζονται διάφορα προβλήματα διαιρετότητας ορίζεται το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο αριθμών (ΕΚΠ) καθώς και ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης τους και δίνεται η μέθοδος προσδιορισμού του που ονομάστηκε laquoΕυκλείδειος Αλγόριθμοςraquo Στα δύο επόμενα βιβλία εξακολουθεί η σπουδή αριθμοθεωρητικών θεμάτων στο 8ο εισάγονται επίσης και μελετιούνται οι γεωμετρικές πρόοδοι και στο 9ο έχουν συμπεριληφθεί τρεις σημαντικότατες προτάσεις Πρόκειται για α) το αποκαλούμενο laquoθεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικήςraquo β) την απόφανση ότι υπάρχουν απειράριθμοι πρώτοι και γ) την πρόταση που οδηγεί σε ένα γενικό τύπο που παρέχει άρτιους τέλειους αριθμούς Στο 10ο βιβλίο που αποτελεί ένα από τα ωραιότερα μέρη των Στοιχείων γίνεται μια ταξινόμηση των τετραγωνικών άρρητων και των τετραγωνικών ριζών τους και κατασκευάζεται ένα σύνολο ασύμμετρων μεγεθών το οποίο μαζί με το σύνολο των ρητών συναποτελεί επέκταση αυτού του τελευταίου τέτοια ώστε κάθε στοιχείο της να είναι κατασκευασμένο με κανόνα και διαβήτη Τέλος τα βιβλία της στερεομετρίας το 11ο βιβλίο ασχολείται με θεμελιώδεις σχέσεις μεταξύ ευθειών και επιπέδων καθώς και με τις στερεές γωνίες στο 12ο αναφέρεται σε επιφάνειες και όγκους στερεών και στο 13ο γίνεται η μελέτη της σφαίρας σε συσχετισμό με τα εγγεγραμμένα σε αυτήν κανονικά πολύεδρα

25

Άλλα έργα

bull Δεδομένα (94 θεωρήματα) έργο ανώτερης γεωμετρίας Στο έργο αυτό περιέχονται προτάσεις σε σχήματα στα οποία δίνονται ορισμένα στοιχεία τους κατά σχήμα θέση ή μέγεθος

bull Περί διαιρέσεων (36 προτάσεις) με περιεχόμενό του τη διαίρεση σχημάτων με δοσμένη σχέση

bull Πορίσματα (3 βιβλία που χάθηκαν) σώθηκαν ορισμένα αποσπάσματα που το 1860 έγινε απόπειρα ανασύνθεσής τους από τον Πάππο

bull Οπτικά-κατοπτρικά αντίστοιχα γεωμετρική οπτική ανάκλαση του φωτός πάνω σε επίπεδο κάτοπτρο

bull Φαινόμενα εγχειρίδιο κοσμογραφίας απλές προτάσεις για τη σφαίρα

bull Κατατομή κανόνος στοιχεία πυθαγόρεια θεωρία μουσικής

bull Ψευδάρεια laquoπαράδοξαraquo με στόχο να ασκηθούν οι σπουδαστές στην ανεύρεση λογικών σφαλμάτων κατά τις αποδείξεις

bull Κωνικαί τομαί Μηχανικά δεν γνωρίζουμε τίποτα γιrsquo αυτά τα έργα

Αιτήματα του Ευκλείδη

Τα αιτήματα είναι αρχικές προτάσεις οι οποίες προσιδιάζουν στη συγκεκριμένη κάθε φορά επιστήμη στην προκειμένη περίπτωση στη Γεωμετρία Ο Ευκλείδης διατυπώνει 5 αιτήματα

1 Ζητείται να γίνει δεκτό ότι από οποιοδήποτε σημείο σε οποιοδήποτε σημείο άγεται ευθεία γραμμή

2 Και (ότι) πεπερασμένη ευθεία προεκτείνεται σε ευθεία κατά συνεχή τρόπο

3 Και (ότι) με οποιοδήποτε κέντρο και διάστημα γράφεται κύκλος

4 Και (ότι) όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους

5 Και αν η ευθεία η οποία τέμνει δύο ευθείες σχηματίζει δύο εντός και επί τrsquo αυτά μέρη γωνίες μικρότερες των δύο ορθών τότε οι δύο ευθείες προεκτεινόμενες επrsquo απείρου συναντώνται προς εκείνα τα μέρη τους όπου βρίσκονται μικρότερες των δύο ορθών

Ακολουθούν τα laquoαιτήματαraquo διατυπωμένα σε αρχαίο κείμενο όπως αυτά βρίσκονται στο Βιβλίο Ι

26

Ο ρόλος των τριών πρώτων από τα αιτήματα αυτά είναι να εξασφαλίσουν τη νομιμότητα των κατασκευών της ευθείας και του κύκλου και κατά συνέπεια εκείνων και μόνο των γραμμών και των γεωμετρικών σχημάτων που κατασκευάζονται με πεπερασμένο αριθμό βημάτων από τα δύο αυτά βασικά σχήματα Στα Στοιχεία επομένως δεν έχουν θέση καμπύλες όπως είναι οι κωνικές τομές τη τετραγωνίζουσα κλπ ή κατασκευές όπως κατασκευές νεύσεως Η φύση των δύο τελευταίων αιτημάτων είναι διαφορετική Αποσκοπούν να δηλώσουν ότι κάποια γεωμετρικά σχήματα έχουν ορισμένες ειδικές ιδιότητες

Πολλοί ιστορικοί των μαθηματικών έχουν ασχοληθεί κατά το παρελθόν με το ερώτημα εάν τα αξιώματα του Ευκλείδη ικανοποιούν τις σύγχρονες απαιτήσεις (πληρότητα συνέπεια ανεξαρτησία) ενός αξιωματικού συστήματος Από την προσεκτική μελέτη των αποδείξεων κι των κατασκευών που περιέχονται στα Στοιχεία προκύπτει ότι ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί μερικές φορές απόρρητες παραδοχές οι οποίες δεν περιλαμβάνονται στα αξιώματα Επομένως το σύστημα των αξιωμάτων του δεν ικανοποιεί την απαίτηση της πληρότητας

Μεγάλο ιστορικό ενδιαφέρον εξάλλου έχει το ερώτημα της ανεξαρτησίας των αιτημάτων του Ευκλείδη ιδιαίτερα σε ότι αφορά το πέμπτο από αυτά Το αίτημα αυτό αναφέρεται συχνά και ως laquoαίτημα των παραλλήλωνraquo γιατί μια ισοδύναμη διατύπωσή του είναι η εξής από ένα σημείο εκτός ευθείας άγεται μια μόνο παράλληλη προς τη ευθεία Πολλοί μαθηματικοί από την αρχαιότητα έως τα μέσα του 18ου αιώνα προσπάθησαν να εξαγάγουν το αίτημα αυτό από τα άλλα αιτήματα όλες οι προσπάθειες όμως απέβησαν άκαρπες Από τα τέλη του 18ου αιώνα η προσδοκώμενη εξάρτηση του αιτήματος επιχειρήθηκε να αποδειχτεί με έμμεσο τρόπο Η σκέψη ήταν η εξής αν το αίτημα των παραλλήλων μπορεί να εξαχθεί από τα άλλα τέσσερα αιτήματα μαζί με την άρνηση του πέμπτου θα πρέπει να οδηγούν σε αντίφαση Το νέο σύστημα αξιωμάτων όμως αντί να οδηγήσει σε αντίφαση αποδείχτηκε ότι παράγει συνέπειες μαθηματικές θεωρίες Έτσι ανακαλύφθηκαν οι λεγόμενες μη ευκλείδειες γεωμετρίες και ταυτόχρονα αποδείχθηκε η ανεξαρτησία των αιτημάτων του Ευκλείδη

27

Ας δούμε τώρα την διατύπωση και την απόδειξη της πρότασης (5) που περιέχεται στο Βιβλίο Ι των laquoστοιχείωνraquo και αναφέρεται στη γνωστή μας πρόταση της ισότητας των παρά τη βάση γωνιών ισοσκελούς τριγώνου

28

Γιατί διδάσκουμε το μάθημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στο ζήτημα της laquoχρησιμότηταςraquo των σχολικών Μαθηματικών θα μπορούσε κανείς να αντιπαραθέσει (και πράγματι αντιπαρατέθηκαν) πολλές διαφορετικές απόψεις Εμείς θα παραθέσουμε απλώς ένα απόσπασμα από τις αυτοβιογραφικές σημειώσεις του Albert Einstein το οποίο δείχνει μια άλλη τελείως διαφορετική αντίληψη σχετικά με την laquoχρησιμότηταraquo της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Γράφοντας για τα γεγονότα της παιδικής και εφηβικής του ζωής που είχαν μεγάλη επίδραση στην μετέπειτα εξέλιξη του ο Einstein σημειώνει

Σε ηλικία 12 ετών δοκίμασα μια δεύτερη τελείως διαφορετική έκπληξη σε ένα μικρό βιβλίο Ευκλείδειας επίπεδης γεωμετρίαςhellip Εδώ υπήρχαν ισχυρισμοί όπως για παράδειγμα τα τρία ύψη ενός τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο οι οποίοι - αν και καθόλου προφανείς - μπορούσαν ωστόσο να αποδειχτούν με τέτοια βεβαιότητα ώστε να μην χωρεί η παραμικρή αμφιβολία Αυτή η σαφήνεια και βεβαιότητα μου προξένησαν μια εντύπωση που δεν μπορεί να περιγραφεί Το γεγονός ότι τα αξιώματα έπρεπε να γίνουν δεκτά χωρίς απόδειξη δεν με ενόχλησε Σε κάθε περίπτωση μου αρκούσε πλήρως το γεγονός ότι μπορούσαν να στηρίζω τις αποδείξεις σε προτάσεις η εγκυρότητα των οποίων ήταν για μένα αναμφισβήτητη

Η περίπτωση του Einstein του επιστήμονα που άλλαξε ριζικά τις αντιλήψεις μας και την γεωμετρική δομή του σύμπαντος αποκαλύπτει την σπουδαιότητα ορισμένων παιδαγωγικών σκοπών και τη συνάφειά τους με το ερώτημα που θέσαμε ως τίτλο αυτής της ενότητας καλλιέργεια και ανάπτυξη της συγκροτημένης σκέψης μύηση στην επιστημονική μέθοδο μελέτες του κόσμου Αυτοί οι σκοποί παρόλη τη γενικότητά τους συνδέονται άμεσα με τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας που άσκησαν καθοριστική επίδραση στο νεαρό Einstein τα οποία είναι

bull Σαφήνεια στην έκθεση

bull Ολοκληρωτική απόδειξη κάθε υπόθεσης

bull Απόλυτη συνάφεια σχημάτων και συλλογισμών

bull Τάξη και ομορφιά

Αν τα στοιχεία αυτά αποτελούν ουσιώδη συστατικά της μαθηματικής παιδείας τότε παρέχουν κατά την άποψή μας μια αυτονόητη απάντηση στο ερώτημα laquoΓιατί διδάσκουμε την Ευκλείδεια Γεωμετρίαraquo

Αντιλήψεις και αντιπαραθέσεις για τη διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Οι ένθερμοι υποστηρικτές της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προβάλλουν την παιδαγωγική αξία της λογικής και διάφανης επιχειρηματολογίας των γεωμετρικών αποδείξεων ενώ οι πολέμιοί της επικαλούνται την αναμφισβήτητη δυσκολία των περισσότερων μαθητών να κατανοήσουν τις γεωμετρικές έννοιες και τις πολύ χαμηλές επιδόσεις τους στην αντιμετώπιση σχετικών προβλημάτων Ενδιάμεσα βρίσκονται συνήθως οι σκεπτικιστές οι οποίοι επισημαίνουν τον περιορισμένο επιστημολογικά ρόλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και την ανάγκη να ανανεωθεί η διδασκαλία των Μαθηματικών δίνοντας μεγαλύτερη έμφαση σε πιο σύγχρονους και laquoχρήσιμουςraquo κλάδους (πχ Πιθανότητες και Στατιστική) Από την εποχή που ο Dieudonne κήρυξε τον πόλεμο κατά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας οι αντιλήψεις

29

αυτές έγιναν αντικείμενο επεξεργασίας και αντιπαρατέθηκαν μεταξύ τους από σημαντικούς μαθηματικούς και παιδαγωγούς ενώ οι σχετικές συζητήσεις συνεχίζονται με αμείωτη ένταση μέχρι σήμερα Σε μια ειδική μελέτη της Διεθνούς Επιτροπής για τη Μαθηματική Εκπαίδευση (ICMI) έγινε απόπειρα σύνθεσης των διαφόρων τάσεων και διατυπώθηκαν οι εξής τρεις εναλλακτικές λύσεις για τη διδασκαλία του μαθήματος

1 η λύση

Απορρίπτουμε την ιδέα ότι η Γεωμετρία πρέπει ή μπορεί να χρησιμοποιηθεί στο σχολείο ως ένα σύστημα γνώσεων (παραγωγικά οργανωμένο ή όχι) όπου οι έννοιες και τα γεγονότα πρέπει να γίνουν γνωστά απλά και μόνο επειδή ανήκουν στο σύστημα Αντίθετα η Γεωμετρία και ο χώρος θεωρούνται ως πηγές άντλησης εξαιρετικών θεμάτων για την οργάνωση πολλαπλών δραστηριοτήτων σε διαφορετικά επίπεδα Οι laquoχρησιμοθηρικέςraquo όψεις της Γεωμετρίας θα εξυπηρετηθούν με την παροχή αλγεβρικών μεθόδων

2 η λύση

Εξακολουθούμε να επιχειρούμε τη διδασκαλία ενός αξιωματικού ή ψευδο-αξιωματικού μαθήματος σχολικής Γεωμετρίας το οποίο στηρίζεται είτε σε laquoτροποποίησηraquo των laquoΣτοιχείωνraquo του Ευκλείδη (για παράδειγμα αξιωματική θεμελίωση τύπου Pogorelov) είτε πχ στους γεωμετρικούς σχηματισμούς

3 η λύση

Για ορισμένες ομάδες μαθητών τουλάχιστον παρουσιάζουμε laquoνησίδεςraquo Γεωμετρίας δηλαδή laquoτοπικάraquo παραγωγικά συστήματα μέσα στο πλαίσιο του γενικού αναλυτικού προγράμματος (Έτσι μπορούμε για παράδειγμα να έχουμε ενότητες για τις ιδιότητες των εγγεγραμμένων σε κύκλο γωνιών ή τη στοιχειώδη προβολική Γεωμετρία)

Στην Ελλάδα για προφανείς ιστορικούς και πολιτιστικούς λόγους συνεχίζεται μια παράδοση που προσεγγίζεται εγγύτατα τη δεύτερη από τις προηγούμενες εναλλακτικές λύσεις Ακόμη και την περίοδο της μεταρρύθμισης των laquoΝέων Μαθηματικώνraquo η διεθνής πίεση για εκσυγχρονισμό των σχολικών Μαθηματικών και εγκατάλειψη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αφομοιώθηκε στη χώρα μας μέσα από έναν ιδιότυπο συμβιβασμό από τη μια μεριά διατηρήθηκε όλη η παραδοσιακή σχολική ύλη την οποία σε μεγάλο βαθμό συντηρούσαν οι εισαγωγικές εξετάσεις των ΑΕΙ και από την άλλη δόθηκε υπερβολική έμφαση στην αυστηρή αξιωματική θεμελίωσης της Γεωμετρίας καθώς και με την εισαγωγή νέας ύλης πάνω στους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς Στις αντιφατικές επιλογές εκείνης της περιόδου βρίσκονται κατά την άποψη μας οι ρίζες της μετέπειτα υποβάθμισης και παρακμής του μαθήματος της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

30

Το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στη σύγχρονη Διδακτική των Μαθηματικών τα θεμελιώδη επιστημολογικά χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας όπως είναι η παραγωγική οργάνωση του περιεχομένου η αποδεικτική διαδικασία και η έμφαση στις γεωμετρικές κατασκευές αναφέρονται συνήθως ως laquoανώτερα επίπεδα γεωμετρικής σκέψηςraquo και η μάθηση τους έχει γίνει αντικείμενο συστηματικής μελέτης και έρευνας Ένα βασικό θεωρητικό μοντέλο στο οποίο έχει στηριχθεί η διεξαγωγή μεγάλου αριθμού ερευνών σε διάφορες χώρες αποτελούν τα λεγόμενα laquoεπίπεδα van Hieleraquo Σύμφωνα με αυτό το μοντέλο η μάθηση της Γεωμετρίας εξελίσσεται ιεραρχικά περνώντας από πέντε διαδοχικά επίπεδα

bull 1ο επίπεδο Εποπτικό

bull 2ο επίπεδο ΠεριγραφικόΑναλυτικό

bull 3ο επίπεδο ΑφηρημένοΣχεσιακό

bull 4ο επίπεδο ΤυπικόΠαραγωγικό

bull 5ο επίπεδο Μεταμαθηματικό

Οι μαθητές κατανοούν τη σημασία και τη διαδικασία οικοδόμησης ενός αξιωματικού μαθηματικού συστήματος και τις σχέσεις ανάμεσα σε διαφορετικά συστήματα Για παράδειγμα αναγνωρίζουν ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία δεν είναι παρά ένας από τους πολλούς δυνατούς τρόπους περιγραφής ενός αφηρημένου μαθηματικού σύμπαντος

Είναι φανερό ότι η διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προϋποθέτει τα δύο πρώτα επίπεδα και έχει ως κύριο σκοπό την κατάκτηση των δύο επόμενων επιπέδων (για το 5ο

μάλλον δεν μπορεί να γίνεται λόγος στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση) Σε θεωρητικό επίπεδο τόσο και η θεωρία των van Hiele όσο και η γενικότερη θεωρία των σταδίων μάθησης του Piaget προβλέπουν ότι η κατάκτηση αυτών των επιπέδων είναι μια επίπονη και ιεραρχικά εξελισσόμενη διαδικασία που απαιτεί μακροχρόνια και προσεχτικά σχεδιασμένη διδασκαλία Αυτές οι θεωρητικές προβλέψεις φαίνεται να επιβεβαιώνονται από πολλές εμπειρικές έρευνες που έχουν διεξαχθεί σε διάφορες χώρες και τα αποτελέσματά τους οδηγούν σε ένα βασικό συμπέρασμα laquo η καθιερωμένη παραδοσιακή διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αδυνατεί να οδηγήσει τους μαθητές στην κατάκτηση των ανώτερων επιπέδων γεωμετρικής σκέψης raquo

Από τα αποτελέσματα αυτών των ερευνών αξίζει νrsquo αναφέρουμε εδώ ένα εντυπωσιακό στατιστικό στοιχείο που αποκαλύπτει τις διαστάσεις του προβλήματος σε μια έρευνα που έγινε στις ΗΠΑ μεταξύ 1520 μαθητών που είχαν ολοκληρώσει ένα έτος διδασκαλίας της θεωρητικής Ευκλείδειας Γεωμετρίας διαπιστώθηκε ότι μόνο το 30 είχε φτάσει σε ένα επίπεδο που μπορεί να χαρακτηριστεί από 75 επιτυχία στην απόδειξη απλών γεωμετρικών προτάσεων (πχ ότι οι διαγώνιες ενός ορθογωνίου είναι ίσες) Το ποσοστό των μαθητών που είχαν 100 επιτυχία δεν ξεπέρασε το 3

31

Κοινή πεποίθηση όλων αυτών των ερευνητών είναι ότι για να κατανοηθούν οι παραγωγικές αποδείξεις της Ευκλείδειας Γεωμετρίας απαιτείται μια ισχυρή διαισθητική βάση την οποία οι μαθητές θα αποκτήσουν μέσα από επαγωγικές εμπειρικές ανακαλύψεις τη διαπίστωση και επαλήθευση υποθέσεων τις γεωμετρικές κατασκευές και εφαρμογές Έτσι λοιπόν η διδασκαλία της Γεωμετρίας δεν θα πρέπει να στηρίζεται σrsquo ένα τεχνητό διαχωρισμό ανάμεσα σε laquoΠρακτική Γεωμετρίαraquo σχεδίασης και μετρήσεων και μια laquoΘεωρητική Γεωμετρίαraquo αποδείξεων αλλά να συνδυάζει μια ισορροπημένη ανάπτυξη των δύο αυτών όψεων του μαθήματος σrsquo όλο το φάσμα της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Η επινόηση διδακτικών μέσων και μεθόδων που θα επιτρέψουν την υλοποίηση αυτού του στόχου φαίνεται ότι αποτελεί σήμερα το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ

Η Γεωμετρία του Ευκλείδη απετέλεσε το θεμέλιο για την ανάπτυξη της laquoδυτικήςraquo επιστήμης και τεχνικής και σ αυτή τη Γεωμετρία στηρίζονται οι προϋποθέσεις της κλασικής Φυσικής από την Αναγέννηση και μετά Μόλις το 19ο αιώνα διαπιστώθηκε όμως (Λάμπερτ Γκάους Μπολυάι Λομπατσέβσκι κά) ότι η ευκλείδεια Γεωμετρία στηρίζεται στην απλοϊκή αντίληψη του επίπεδου χώρου ο οποίος είναι μεν χρήσιμος για την περιοχή που αντιλαμβάνεται με τις αισθήσεις του ένας άνθρωπος αλλά όχι για πολύ μεγάλες τιμές των φυσικών μεγεθών (αποστάσεις ταχύτητες μάζες κτλ) Τότε παύει να ισχύει η επίπεδη αντίληψη και μαζί της η Ευκλείδεια Γεωμετρία επειδή στην πραγματικότητα ο χώρος είναι κυρτός Έτσι η Γεωμετρία συμπληρώνεται με βάση αντιλήψεις που στηρίζονται στον υπερβολικό ελλειπτικό κά χώρο

Σήμερα η γεωμετρία του Ευκλείδη διδάσκεται παγκοσμίως και ανελλιπώς επί 23 αιώνες με τον τιμητικό τίτλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Στη σύγχρονη όμως σχολική γεωμετρία περιλαμβάνονται και υπολογισμοί και μετρήσεις οι οποίες από το έργο του Ευκλείδη απουσιάζουν εντελώς

Η συνολική προσφορά του Ευκλείδη στα Μαθηματικά και τις εφαρμοσμένες τέχνες υπήρξε σημαντικότατη και ταυτόχρονα βάση από την οποία εξόρμησαν οι μεταγενέστεροι μαθηματικοί γεωγράφοι και αστρονόμοι για να οδηγηθούν στο τελικό μαθηματικό θαύμα της Ελληνικής Αρχαιότητας

32

33

ΒΙΟΓΡΑΦΙΑ Ο Αρχιμήδης ήταν ένας από τους μεγάλους μαθηματικούς μηχανικούς και φυσικούς του αρχαίου Ελληνικού χώρου και μια από τις μεγαλύτερες μαθηματικές ευφυΐες του κόσμου Γεννήθηκε έζησε και πέθανε στις Συρακούσες την μεγάλη Ελληνική αποικία της Σικελίας

Πατέρας του Αρχιμήδη ήταν ο αστρονόμος Φειδίας που είχε δεσμούς φιλίας με το βασιλικό γένος των Συρακουσών Ο Αρχιμήδης ταξίδεψε στην Αίγυπτο και ήρθε σε επαφή με τους διαδόχους του Ευκλείδη του Ερατοσθένη και το Δισίθεο ενώ ήταν φίλος και συμμαθητής του Κόνωνα του Σάμιου

Υπήρξε λαμπρό παράδειγμα πρωτότυπου ερευνητή ο οποίος δεν ενδιαφέρθηκε να διευκολύνει τους αρχάριους αλλά ασχολήθηκε κυρίως για την αποκάλυψη νέων αληθειών για δική του ικανοποίηση και των ώριμων ήδη διανοούμενων Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο ενώ η κατανόηση του Ευκλείδη δεν απαιτεί εξαιρετική προηγούμενη γνώση και ευφυΐα τα προϊόντα της μαθηματικής σκέψεως τα οποία πρόκειται τώρα να εξετάσουμε είναι προσιτά αποκλειστικώς και μόνο στην ανάγνωση υψηλής πνευματικής στάθμης

Πήγε στην Αίγυπτο ως εκπαιδευτικός και ήρθε σε επαφή όχι βέβαια με τον Ευκλείδη που είχε στο μεταξύ πεθάνει αλλά με τους διαδόχους του και έκανε στενούς δεσμούς με εξαιρετικούς γεωμετρικούς όπως ο Κόνων ο Σάμιος ο Ερατοσθένης ο Κυρηναίος ο Δισίθεος κλπ από τους οποίους κατόπιν όσα έργα συνέταξε μετά την επιστροφή του στην πατρίδα του

34

Το έργο τουΤο έργο του Αρχιμήδη υπήρξε τεράστιο τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά και η ερευνητική ματιά του κάλυψε πολλούς τομείς γεωμετρία οπτική (κατοπτρική) υδραυλική μηχανική αρχιτεκτονική και την πολιορκητική Συνέδεσε το όνομά του με την γένεση της μηχανικής στην αρχαία Ελλάδα και με την λύση περίφημων μαθηματικών προβλημάτων καθώς και με τις αμυντικές εφευρέσεις του που χρησιμοποιήθηκαν όταν οι Ρωμαίοι πολιορκούσαν την πατρίδα του τις Συρακούσες

Σχολιαστής του έργου του Αρχιμήδη υπήρξε ο Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης (6ος αι μΧ) που καταγόταν από την ελληνική πόλη της Συρίας Ασκαλών

Στον χώρο της εφαρμοσμένης μηχανικής ο Αρχιμήδης επινόησε ιδιοφυείς μηχανές κάθε είδους Εφηύρε τον ρωμαϊκό ζυγό (καντάρι) το τρίσπαστο (ανυψωτική τριπλή τροχαλία) και τον ατέρμονα κοχλία έλιξ του Αρχιμήδους μηχανή άντλησης νερού από ποταμούς και φρέατα (η οποία χρησιμοποιείται ακόμα και στις μέρες μας σε περιοχές της βόρειας Αφρικής) Κατασκεύασε ένα υδραυλικό ρολόι το οποίο υπολόγιζε με μεγάλη ακρίβεια τις ώρες (και ειδοποιούσε για την αλλαγή της ώρας)

Μεγάλη φήμη απέκτησαν οι πολεμικές μηχανές του Αρχιμήδη αρχιτρόνιτο (πυροβόλο ατμού) καταπέλτες άρπαγες (μηχανισμός που ανύψωνε και αναποδογύριζε πλοία) και κάτοπτρα για την καύση των Ρωμαϊκών εχθρικών πλοίων (με παραβολικά κάτοπτρα όπως αποδείχτηκε από τα πειράματα του μηχανικού Ι Σακκά ο οποίος το 1973 απόδειξε τον τρόπο με τον οποίο ο Αρχιμήδης έκαψε τον ρωμαϊκό στόλο) Σύμφωνα με την παράδοση όταν η πόλη μετά από τριετή αντίσταση των ελλήνων κατελήφθη με προδοσία ένας ρωμαίος στρατιώτης σκότωσε τον Έλληνα επιστήμονα ενώ αυτός ήταν προσηλωμένος σε κάποιο γεωμετρικό πρόβλημα ΜΗ ΜΟΥ ΤΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥΣ ΤΑΡΑΤΤΕ πρόλαβε να του απαντήσει ο Έλληνας επιστήμονας

Ο Αρχιμήδης επηρέασε σε μεγάλο βαθμό την ευρωπαϊκή επιστημονική σκέψη καθώς και τους Άραβες επιστήμονες οι οποίοι αντέγραψαν όλα τα έργα του στα αραβικά γλώσσα στην οποία διασώθηκαν αρκετά αφού τα πρωτότυπα είχαν χαθεί

35

Διασωθέντα συγγράμματα

bull Περί σφαίρας και κυλίνδρου Βιβλίο α και βbull Κύκλου μέτρησις Σώζονται τρία θεωρήματαbull Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων (32 θεωρήματα 1 πόρισμα)bull Περί ελίκων (28 θεωρήματα 6 πορίσματα)bull Περί επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων ή Μηχανικά Βιβλ α και βbull Περί μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος (=μέθοδος)bull Βιβλίο λημμάτωνbull Πρόβλημα Βοεικόνbull Κατασκευή πλευράς του περιγραφομένου εις κύκλο επταγώνουbull Ωρολόγιον Αρχιμήδους (Σώζεται στα αραβικά)bull Περί κύκλων εφαπτομένων αλλήλωνbull Αρχαί της Γεωμετρίαςbull Ψαμμίτηςbull Τετραγωνισμός παραβολήςbull Οχουμένων (Υδροστατική)bull Στομάχιον (Σώζονται λίγα αποσπάσματα)

Συγγράμματα μη διασωθέντα (ή συγγράμματα μη αποκαλυφθέντα μέχρι σήμερα)

bull Αριθμητικάbull Βαρουλκός Υδροσκοπίαι Πνευματικήbull Επισίδια Βιβλία (Μάλλον περί στατιστικής - Τζέτζης)bull Περί τριγώνωνbull Περί τετραπλεύρουbull Περί ζευγώνbull Περί 13 ημικανονικών πολυέδρωνbull Ισοπεριμετικάbull Ισορροπίαιbull Καύσις δια κατόπτρων (επ΄ αυτού έγινε επιτυχές πείραμα στο ΝΣ)bull Περί Αρχιτεκτονικήςbull Περί βαρύτητος και ελαφρότητος (Πυκνόμετρα - Αραιόμετρα)bull Περί δρομομέτρων (Οδόμετρα πλοίων)bull Περί κέντρου Βάρους ή Κεντροβαρικάbull Κατοπρικάbull Περί παραλλήλων γραμμώνbull Περί κοίλων και παραβολικών κατόπτρωνbull Προοπτικήbull Στοιχεία μηχανικώνbull Πλινθίδες και Κύλινδροιbull Στοιχεία επί των στηρίξεωνbull Σφαιροποιΐα

36

Εφευρέσεις

bull Αραιόμετρο - Πυκνόμετροbull Αστρονομική συσκευήbull Βαρουλκόςbull Γερανοί (Αρπάγες)bull Καταπέλτεςbull Κάτοπτραbull Κοχλίας ή έλιξbull Οδόμετρο (δρομόμετρο)bull Πλανητάριον (σφαίρα)bull Πολύσπαστον (Βαρούλκο) τρίσπαστοbull Σίφωνbull Στομάχιον (επιτραπέζιο παιγνίδι το πρώτο παζλ)bull Τηλεβόλον Αρχιμήδους bull Χαριστίων (μοχλός)bull Ωρολόγιο υδραυλικό

37

Τα συγγράμματα του Αρχιμήδη που σώθηκαν μέχρι σήμερα είναι τα ακόλουθα Περί σφαίρας και κυλίνδρου Κύκλου μέτρησις περί σφαιροειδέων και κωνοειδέων Περί λίκων Επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων Ψαμμίτης Τετραγωνισμός παραβολής Οχούμενων Στομάχιον Προς Ερατοσθένην Έφοδος Βιβλίον περί λημμάτων Πρόβλημα βοεικόν Αποσπάσματα Μερικά από αυτά διασώθηκαν Πολλά επίσης είναι τα συγγράμματα του που χάθηκαν

Έκανε τα πρώτα βήματα για το μαθηματικό υπολογισμό επιφανειών με ακανόνιστο περίγραμμα και συμμετρικών εκ περιστροφής σωμάτων μέθοδος που εξελίχθηκε τεκμηριώθηκε και ονομάστηκε στην σύγχρονη εποχή laquoΟλοκληρωτικός Λογισμόςraquo υπολόγισε μία προσεγγιστική τιμή για τον άρρητο αριθμό π διατύπωσε το νόμο προεκτάσεις του γενίκευσε την εφαρμογή λέγοντας laquoΔώστε μου σημείο να στηριχθώ και θα κινήσω την γηraquo διατύπωσε την ομώνυμη αρχή για την άνωση του νερού κατασκεύασε διάφορες μηχανές ένα τύπο πολύσπαστου τον κοχλία μία αντλητική μηχανή με την laquoαρχιμήδειον έλικαraquo κά

Η συμβολή του ΑρχιμήδηΗ συμβολή του Αρχιμήδη στην ανάπτυξη της Μηχανικής συνιστάται πέρα από την επινόηση των τροχαλιών του πολύσπαστου και των οδοντωτών τροχών και ενός ιδιόμορφου αντλητικού συγκροτήματος στην έλικα που φέρει το όνομα του Ακόμα στην επακριβή διατύπωση των νόμων των μοχλών και των ισορροπιών ή κέντρα βαρών Εδώ υπάρχει και η περίφημη πρόταση laquo σύμμετρα μεγέθη ισορροπούν σε αποστάσεις αντιστρόφως ανάλογες προς το βάρος τους raquo

Σε σχέση με τους μοχλούς και τις δυνατότητες τους μας αναφέρει τη φράση laquo δος μοι πα στω και ταν γαν κινάσω raquo Απέδειξε στον Ιέρωνα ότι με ένα σύστημα τροχαλιών ndash οδοντωτών τροχών και μοχλών μπορεί να μετακινήσει ένα τεράστιο πλοίο με όλο το πλήρωμα μέσα μόνος του Ήταν ακόμα ο ίδιος που σχεδίασε και επιμελήθηκε τη ναυπήγηση του πλοίου

Ανέλαβε μετά από εντολή του Ιέρωνα την οχύρωση της πόλης και διηύθυνε ο ίδιος την άμυνα της εναντίον των Ρωμαίων

Στην αστρονομία ο Λίβιος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης είναι laquoμοναδικός παρατηρητής του ουρανού και των αστέρων raquo Ο Ίππαρχος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης ασχολήθηκε με τη μελέτη των ηλιοστασίων καθώς και με τον υπολογισμό της διάρκειας του έτους

Ο Μακρόβιος αναφέρει ότι ο Αρχιμήδης ανακάλυψε τις αποστάσεις των πλανητών ενώ στο έργο laquoΨαμμίτηςraquo περιγράφει τη συσκευή μέσω της οποίας μέτρησε τη φαινομενική γωνιακή διάμετρο του ήλιου

38

Ο Κικέρων αναφέρεται με θαυμασμό για τον Αρχιμήδη στα laquoΚατοπτρικάraquo Στα Μαθηματικά που ο ίδιος θεωρούσε ως τα πιο σημαντικά παρουσίασε την μέθοδο του προσδιορισμού του αριθμού π Τελειοποίησε το ελληνικό σύστημα αρίθμησης και παρουσίασε μια μέθοδο παράστασης των πολύ μεγάλων αριθμών Ασχολήθηκε με τη διαφορική Γεωμετρία βρήκε τους τύπους πρόσθεσης και αφαίρεσης τόξων Υπολόγισε το εμβαδόν της σφαίρας και του κυλίνδρου Μελέτησε διάφορα στερεά εκ περιστροφής όπως τα στερεά που παράγονται από περιστροφή έλλειψης υπερβολής και παραβολής γύρω από έναν άξονα

Στη Γεωμετρία το έργο του Αρχιμήδη αποτελείται κατά κύριο λόγο από πρωτότυπες μελέτες σχετικά με τον τετραγωνισμό των καμπυλόγραμμων επίπεδων σχημάτων καθώς και με τον τετραγωνισμό και τον κυβισμό καμπύλων επιφανειών

Τέλος επινόησε στο σύνολό της την Υδροστατική Επιστήμη την οποία ανέπτυξε πλήρως Οι μελέτες του αναπαριστούν ένα σύνολο μαθηματικών και γεωμετρικών επιτευγμάτων το οποίο δεν ξεπέρασε κανείς στην ανθρώπινη ιστορία

Όπως αναφέρει ο Wallis laquo ο Αρχιμήδης αφήνει ένα συγκεκριμένο μυστήριο να καλύπτει τον τρόπο με τον οποίο κατέληγε στα αποτελέσματά του Είναι σαν να είχε καλύψει σκοπίμως τα ίχνη του τα ίχνη των ερευνών του σα να ήταν απρόθυμος να αποκαλύψει το μυστικό της μεθόδου έρευνάς του στους μεταγενέστερους ενώ επιθυμούσε να αποσπάσει τη συναίνεσή τους για τα αποτελέσματά του raquo

Ο ίδιος ο Αρχιμήδης ως φορέας ενός ανώτερου φιλοσοφικού πνεύματος θεωρούσε ταπεινή και ανάξια κάθε τέχνη που εξυπηρετούσε πρακτικές ανάγκες ή αποσκοπούσε στο οικονομικό κέρδος Γι` αυτό και έστρεψε όλη του την προσοχή και τις επιδιώξεις στους καθαρούς στοχασμούς χωρίς να καταδεχτεί να αφήσει κάποιο γραπτό στοιχείο για τις τεχνολογικές του ανακαλύψεις με μοναδική εξαίρεση όσες αναφέρονται στο έργο του laquoπερί σφαιροποιίαςraquo Δεν είναι καθόλου τυχαίο λοιπόν το ότι ο Κικέρων αργότερα βρήκε τον τάφο του και πάνω μία αναπαράσταση ενός κυλίνδρου περιγεγραμμένου σε σφαίρα με μία περιγραφή που έδινε το λόγο του κυλίνδρου προς τη σφαίρα

Σε ποιους τομείς εφαρμόστηκαν οι θεωρίες του Εξαιρετικές του μελέτες και για τη μέθοδο και για το αποτέλεσμα είναι εκείνες που έδωσαν τα εμβαδά Κύκλου Έλλειψης Παραβολής και Έλικας καθώς και τα εμβαδά και τους όγκους των Κυλίνδρων των Κώνων και κυρίως των Σφαιρών

Σημαντικότατη θεωρείται και η ανακάλυψη από τον ίδιο τύπου που δίνει το εμβαδόν τριγώνου από τις πλευρές του και ακόμα η επέκτασή του στα εγγεγραμμένα τετράπλευρα Ο Αρχιμήδης επίσης γνώριζε να κατασκευάζει τη λύση ειδικών τριτοβάθμιων προβλημάτων και μεταξύ αυτών και του Δηλίου Προβλήματος Τις λύσεις αυτές τις έδινε με την τομή δύο κωνικών (Ευτόκιος) Μοναδική είναι η προσφορά του στην ανώτερη μετρική Γεωμετρία Συγκεκριμένα εξέφρασε τους όγκους στερεών εκ περιστροφής κωνικών τομών εφαρμόζοντας απειροστικές μεθόδους ανάλυσης των στερεών αυτών

39

Στη σύγχρονη κλασική γεωμετρία όλο σχεδόν το μετρικό της μέρος οφείλεται στον Αρχιμήδη με αποτέλεσμα αυτή ουσιαστικά να είναι ισορροπημένη μείξη της Ευκλείδειας και της Αρχιμήδειας αρχαίας γεωμετρίας

Έτσι ο σοφός μας αποτελεί ουσιαστικά τον πατέρα της ανώτερης μετρικής γεωμετρίας της αρχαιότητας και ταυτόχρονα την πηγή έμπνευσης των νεώτερων μελετών του διαφορικού και απειροστικού λογισμού

Η πρωτοτυπία και η αποτελεσματικότητα των μελετών του έγιναν αιτία να χαρακτηριστεί από τους ιστορικούς των μαθηματικών ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών και όλων των εθνών

Ρεύμα στα ανάκτορα της Βρετανίας μέσω εφεύρεσης του Αρχιμήδη ( httpkatestimenoblogspotcom201109blog-post_1015html )

laquoΗ Βασίλισσα Ελισάβετ πρόκειται να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση ενός αρχαίου Έλληνα για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Και όταν λέμε αρχαίο Έλληνα εννοούμε τον Αρχιμήδη και όχι τον 90χρονο σύζυγό της Φίλιππο της Ελλάδαςraquo

Με αυτόν τον τίτλο πληροφορεί το βρετανικό κοινό η εφημερίδα ldquoDaily Mailrdquo για την απόφαση της Αυτής Μεγαλειότητας να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση του αρχαίου Έλληνα εφευρέτη Αρχιμήδη από τις Συρακούσες για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Πρόκειται για τη σύγχρονη εκδοχή του ατέρμονα κοχλία της έλικος του Αρχιμήδους όπως έμεινε γνωστή η εφεύρεση και είναι ένας σωληνοειδής κοχλίας που χρησίμευε για την άντληση νερού και την άρδευση καλλιεργημένων εκτάσεων

Η σύγχρονη εκδοχή της εφεύρεσης θα χρησιμοποιεί το νερό που μεταφέρεται από ένα τεχνητό φράγμα για να παράγει υδροηλεκτρική ενέργεια Ο μηχανισμός έχει ήδη μεταφερθεί μέσω του Τάμεση στο Romney Weir στα ανάκτορα του Γουίντσορ Σύμφωνα με το δημοσίευμα της εφημερίδας οι έλικες θα είναι έτοιμες για την παραγωγή ενέργειας τον προσεχή Νοέμβριο ενώ θα μπορούν να καλύψουν πλήρως τις ανάγκες του κάστρου σε ενέργεια μέσα στον επόμενο χρόνο

Εκτός αυτού οι τουρμπίνες είναι σχεδιασμένες ώστε να μην εμποδίζουν την ασφαλή διέλευση σολομού και χελιού μέσα στον ποταμό Τάμεση

Οι laquoέλικες του Αρχιμήδηraquo βάρους 40 τόνων κατασκευάστηκαν από ένα εργοστάσιο στην Ολλανδία και στοίχησαν 700000 λίρες Αγγλίας ενώ το κόστος εγκατάστασής τους θα ξεπεράσει το ένα εκατομμύριο λίρες

40

ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΟ Θαλής εκτός από φιλόσοφος υπήρξε και μεγάλος αστρονόμος Ο Ηράκλειτος γράφει laquoΘαλῆς πρῶτος ἀστρολογῆσαιraquo

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑΩς μαθηματικός ο Θαλής είναι γνωστός στη στοιχειώδη γεωμετρία από το ομώνυμο θεώρημά του Η κυριότερη προσφορά του Θαλή όμως στην επιστήμη των μαθηματικών ήταν η εισαγωγή της αποδείξεως γεγονός που έφερε αλλαγή στον τρόπο του laquoσκέπτεσθαιraquo μέχρι εκείνη την εποχή

ΣΥΜΒΟΛΗ ΣΤΗΝ ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝΜε βάση όλες τις θεωρίες και τις γνώσεις του μπορούμε να κατανοήσουμε πως η συμβολή του στην εξέλιξη όλων των επιστημών ήταν καθοριστική

ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΜερικά από τα αποφθέγματα του Θαλή ήταν

bull Γνῶθι σαυτόν (Γνώρισε τον εαυτό σου)

bull Χαλεπόν τόν ἑυατόν γνῶναι (Είναι δύσκολο το να γνωρίσει κανείς τον εαυτό του)

bull Βαρύ ἀπαιδευσία (Η απαιδευσία είναι βαρύ πράγμα)

bull Μέτρῳ χρῶ (Σε όλες τις ενέργειες να υπάρχει μέτρο)

bull Μή πλούτει κακῶς (Να μην πλουτίζεις κακώς)

6

bull Ἀργός μή ἲσθι μηδ΄ἀν πλουτῆς (Να μην μένεις αργός ούτε όταν είσαι πλούσιος)

bull Ίσχυρότατον ἀνάγκη κρατεῖ γάρ πάντων (Η ανάγκη είναι το ισχυρότατο των πραγμάτων διότι υπερισχύει όλων)

bull Φίλων παρόντων καί ἀπόντων μέμνησο (Να θυμάσαι τους φίλους σου όταν είναι παρόντες και απόντες)

bull Φθονοῦ μᾶλλον ἤ οἰκτίρου (Καλύτερα να σε φθονούν παρά να σε λυπούνται)

bull Πρός τόν πυθόμενον τί πρότερον γεγόνοι νύξ ἡ ἡμέρα laquoἡ νύξraquo ἔφη laquoμία ημέρα πρότερονraquo (Προς κάποιον που τον ρώτησε τι έγινε πρώτα η νύκτα ή η ημέρα απάντησε laquoΗ νύχτα έγινε μία μέρα νωρίτεραraquo)

ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣυνοπτικά ο Θαλής στην αστρονομία

bull ανακάλυψε την ανισότητα των εξάμηνων (θερινού και χειμερινού) με σκιοθηρικό γνώμονα

bull Μέτρησε την διάρκεια του έτους (365 μέρες) bull Μελέτησε τις τροπές και τις ισημερίες του ήλιου και ανέπτυξε μεθόδους εντοπισμού

των αντίστοιχων ημερών μέσα στο έτος bull Ανέπτυξε μέθοδο υλοποίησης στο έδαφος της ακριβούς διεύθυνσης βορρά και

νότουbull Προέβλεψε μια έκλειψη ήλιου (Μάιος 585 πχ)bull Υπολόγισε τον λόγο της διαμέτρου του Ήλιου προς την φαινόμενη τροχιά του γύρω

από την γη καθώς και της διαμέτρου της σελήνης προς την τροχιά της γύρω από την γη

bull Κατασκεύασε το περίφημο laquoδιαστημόμετροraquo για τον υπολογισμό των αποστάσεων των πλοίων από την ξηρά

ΦΥΣΙΚΗΌσον αφορά την φυσική με την παρατήρηση ότι το ήλεκτρο (κεχριμπάρι) όταν τρίβεται πάνω σε μάλλινο ρούχο αποκτά την ιδιότητα να έλκει τρίχες μικρά φτερά κλπ ο Θαλής έθεσε τα θεμέλια του ηλεκτρισμού Αρκετούς αιώνες μετά η παραγωγή ηλεκτρισμού με την χρήση της τριβής πραγματοποιήθηκε με την βοήθεια ηλεκτροστατικών μηχανών Τέλος στο Θαλή οφείλεται και η ανακάλυψη του μαγνητισμού

7

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Συνοπτικά ο Θαλής στη γεωμετρία

bull Εισήγαγε την έννοια των παράλληλων ευθειώνbull Εισήγαγε την έννοια των γωνιών και τα πρώτα τους θεωρήματαbull Ανακάλυψε κριτήρια ισότητας και ομοιότητας τριγώνωνbull Ανακάλυψε το ομώνυμό του Θεώρημα του Θαλήbull Ανακάλυψε το θεώρημα της γωνίας της εγγεγραμμένης στο ημικύκλιοbull Εκτιμάται ότι ανακάλυψε το θεώρημα των τριών γωνιών τρίγωνου

ΜΑΡΤΥΡΙΕΣ-ΑΠΟΤΙΜΗΣΗΔυστυχώς οι γνώσεις μας για τα μαθηματικά που αναπτύχθηκαν τον 6ο και τον 5ο αιώνα πΧ είναι αποσπασματικές Κανένα κείμενο δεν διασώζεται ακέραιο ενώ οι πληροφορίες που έχουμε προέρχονται από συγγραφείς που έζησαν έως και 1000 χρόνια αργότερα

Ο Πρόκλος αποτελεί την καλύτερη και την πλέον αξιόπιστη πηγή για τον Θαλή ως Γεωμέτρη

Παρrsquo ότι ο Πρόκλος έζησε τον 5ο μΧ αιώνα η επισκόπηση της Ιστορίας της Γεωμετρίας που περιέλαβε στα σχόλια του για το πρώτο βιβλίο του Ευκλείδη είναι αξιόπιστη καθώς θεωρείται ότι βασίζεται στην χαμένη Ιστορία της Γεωμετρίας που είχε συγγράψει ο μαθητής του Αριστοτέλη ο Εύδημος

Με τον Θαλή αλλά και τους επίγονους της σχολής της Ιωνίας το σχήμα παίρνει ουσιαστικό και πρωτεύοντα ρόλο στην σπουδή της Γεωμετρίας και γίνεται το ίδιο αντικείμενο μελέτης και μαθηματικού στοχασμού

Δικαίως λοιπόν εξασφάλισε τον τίτλο του laquoΠατέρα της Γεωμετρίαςraquo αφού

bull Σύμφωνα με τον Ιερώνυμο (Μαθητής του Αριστοτέλη)

laquoΚατόρθωσε να μετρήσει τις πυραμίδες παρατηρώντας το μήκος της σκιάς τους κατά τη στιγμή που οι σκιές μας έχουν μήκος ίσο με το ύψος μαςraquo

8

bull Ο Πλίνιος

Μας λέει τα ίδια προσθέτοντας ότι ο Θαλής χρησιμοποίησε την μέθοδο και για κάθε άλλο σώμα του οποίου θέλουμε να βρούμε το ύψος

bull Ο Πρόκλος αποδίδει στο Θαλή πολλά μαθηματικά αποτελέσματαlaquoΠρώτος ο Θαλής απέδειξε ότι η διάμετρος διχοτομεί τον κύκλοraquolaquoΠρώτος εκείνος επεσήμανε ότι οι γωνίες της βάσης κάθε ισοσκελούς τρίγωνου είναι ίσεςraquo

bull Ο Εύδημος αναφέρει

laquoΟ Θαλής βρήκε πρώτος το θεώρημα ότι οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσεςraquo

Άλλες μαρτυρίες για τα θεωρήματα και τη συμβολή του Θαλή είναι και της ιστορικού Παμφίλης (που παρατίθεται από το Διογένη Λαέρτιο) η οποία υποστήριξε πως ο Θαλής υπήρξε ο πρώτος που ενέγραψε ορθογώνιο τρίγωνο σε κύκλο Συμφώνα όμως με τον Απολλόδωρο το λογικιστή αυτό πρέπει να αποδοθεί στους Πυθαγορείους Συμφώνα πάλι με τον Cantor ο Θαλής δεν laquoαπέδειξεraquo αλλά μάλλον παρατήρησε τις ιδιότητες των γεωμετρικών σχημάτων

Με βάση τις παραπάνω μαρτυρίες είμαστε σε θέση να αποτιμήσουμε τη συμβολή του Θαλή στην παγκόσμια ιστορία όλων των τομέων των επιστημών Η συμβολή αυτή έγκειται στο γεγονός ότι ανέπτυξε μια λογική δομή και εισήγαγε την απόδειξη στα μαθηματικά

9

ΠυθαγόραςΒΙΟΓΡΑΦΙΚΑ

Ο γνωστός σε όλους μας Πυθαγόρας ο Σάμιοςγεννήθηκε στη Σάμο και έζησε το 580-500πΧ Το όνομά του του το έδωσαν οι γονείς του προς τιμήν της Πυθίας η οποία προφήτεψε τη γέννησή του Σύμφωνα με τον Διογένη Λαέρτιο ο Πυθαγόρας έλεγε ότι κάποτε υπήρξε Αιθαλίδης και ήταν γιος του Ερμή Ο Ερμής του ζήτησε να διαλέξει ότι ήθελε εκτός από την αθανασία Ζήτησε λοιπόν όσο ζει να θυμάται όσα του έχουν συμβεί Έτσι μπορούσε να επαναφέρει στη μνήμη του τα πάντα από τις προηγούμενες ζωές του

Νεαρός ακόμα παρακινούμενος από τη φιλομάθειά του έφυγε από την πατρίδα του για να μυηθεί σε όλες τις ελληνικές και βαρβαρικές τελετές Πήγε στην Αίγυπτο και τότε ο πολιτάρχης τον σύστησε με επιστολή του στον Αμάση Εκεί έμαθε τέλεια τα αιγυπτιακά όπως λέει ο Αντιφών στο laquo Περί τῶν ἒν ἁρετῇ πρωτευσάντων raquo και επισκοπήθηκε τους Χυδαίους και τους Μάγους Κατόπιν στην Κρήτη με το Επιμενίδη κατέβηκε στο Ιδαίον Άντρο αλλά και στην Αίγυπτο είχε μπει στα άδυτα Έτσι γνώρισε τα μυστικά για τους θεούς Στη συνέχεια επέστρεψε στη Σάμο επειδή όμως βρήκε την πατρίδα του τυραννοκρατούμενη από τον Πολυκράτη αναχώρησε για τον Κρότωνα της Ιταλίας Έδρασε εκεί όπου και ίδρυσε την περίφημη laquoΠυθαγόρειο Σχολήraquo η οποία ήταν πολίτικο-θρησκευτικό ίδρυμα με πολιτικούς κυρίως στόχους όπου μελετήθηκαν και η αριθμητική και η γεωμετρία Επεδίωκε την ηθική και πνευματική αναγέννηση όλων των λαϊκών στρωμάτων ανδρών και γυναικών της περιοχής του Κρότωνα

Είχε πολλούς και καλούς μαθητές Κάθε φορά που έμπαιναν στο σπίτι του τους έλεγε να λένε τα εξής laquoΠού έσφαλαraquo laquoΤι έκαναraquo laquoΤι έπρεπε να κάνω και δεν έκαναraquo Οι μαθητές του επί πέντε χρόνια παρέμεναν σιωπηλοί και άκουγαν μόνο τις ομιλίες του Πυθαγόρα χωρίς ποτέ να βλέπουν τον ίδιο Μετά το τέλος αυτής της δοκιμασίας του γίνονταν μέλη του σπιτιού του και είχαν το δικαίωμα να τον βλέπουν

10

Πέθανε σύμφωνα με τον Διογένη Λαέρτιο καθώς προσπαθούσε να διαφύγει από την καταδίωξη Κροτωνιατών που φοβήθηκαν την εγκαθίδρυση τυραννίας λόγω της μεγάλης δύναμης που είχε αποκτήσει αυτός και οι μαθητές του στην πόλη Οι Κροτωνιάτες έσφαξαν αυτόν και τους τετρακόσιους μαθητές του αφού πρώτα έκαψαν το σπίτι του Μίλωνα στο οποίο λίγο πριν είχαν συγκεντρωθεί Ο Δικαίαρχος αναφέρει πως ο Πυθαγόρας πέθανε στο ιερό των Μουσών στο Μετάποντιο (ελληνική αποικία) μένοντας σαράντα ημέρες νηστικός

ΕΠΙΤΕΥΓΜΑΤΑ - ΕΡΓΟ

Η ηθική διδασκαλία του Πυθαγόρα και των ακολούθων του (Πυθαγορείων) διασώζεται σε 71 στίχους του έργου laquoΤα χρυσά έπη του Πυθαγόραraquo Η σύνθεση αυτών των στίχων αποδίδεται στους Νεοπυθαγορείους του 2ου-3ου μΧ αιώνα Η γνώση ότι τα laquoΧρυσά Έπηraquo γραφτήκαν από τον Πυθαγόρα ή τους Πυθαγορείους και ανασυντέθηκαν μεταγενέστερα με τη μορφή που έφτασαν σε εμάς δεν φαίνεται να είναι σωστή Αν κάνουμε μια απλή ανάγνωση στα εν λόγω έπη αποδεικνύεται ότι αυτά γράφτηκαν πολύ αργότερα Οπωσδήποτε όμως το περιεχόμενο των επών είναι απόλυτα laquoπυθαγορικόraquo και συμφωνεί με την παράδοση της ηθικής διδασκαλίας του Πυθαγόρα και των Πυθαγορείων

Οι σύγχρονοί του όμως φαίνεται ότι θεωρούσαν τον Πυθαγόρα περισσότερο ως θρησκευτικό προφήτη και λιγότερο ως μαθηματικό Πρέπει να υπογραμμίσουμε πάντως ότι η διδασκαλία του διέφερε από διδασκαλίες άλλων στοχαστών της εποχής του κατά το ότι απέδιδε πολύ μεγάλη σημασία στα μαθηματικά λέγοντας ότι αυτά είναι η οδός για την απελευθέρωση της ψυχής Το πιο σημαντικό μέρος των μαθηματικών για τους Πυθαγορείους είναι η αριθμητική Διότι όπως έλεγε και ο Πυθαγόρας laquoΤά τῶν αριθμῶν στοιχεία τῶν ὂντων πάντωνεἴναιraquo (Αριστοτέλους Μετά τα φυσικάΑ5)

11

[Aristot Metaph A 5985 b 23]οἱ καλούμενοι Πυθαγόρειοι τῶν μαθημάτων ἁψάμενοι πρῶτοι ταῦτά τε προήγαγον καὶ ἐντραφέντες ἐν αὐτοῖς τὰς τούτων ἀρχὰς τῶν ὄντων ἀρχὰς ᾠήθησαν εἶναι πάντων ἐπεὶ δὲ τούτων οἱ ἀριθμοὶ φύσει πρῶτοι ἐν δὲ τούτοις ἐδόκουν θεωρεῖν ὁμοιώματα πολλὰ τοῖς οὖσι καὶ γιγνομένοις μᾶλλον ἢ ἐν πυρὶ καὶ γῇ καὶ ὕδατι ὅτι τὸ μὲν τοιονδὶ τῶν ἀριθμῶν πάθος δικαιοσύνη τὸ δὲ τοιονδὶ ψυχή τε καὶ νοῦς ἕτερον δὲ καιρὸς καὶ τῶν ἄλλων ὡς εἰπεῖν ἕκαστον ὁμοίως ἔτι δὲ τῶν ἁρμονιῶν ἐν ἀριθμοῖς ὁρῶντες τὰ πάθη καὶ τοὺς λόγους - ἐπεὶ δὴ τὰ μὲν ἄλλα τοῖς ἀριθμοῖς ἐφαίνετο τὴν φύσιν ἀφωμοιῶσθαι πᾶσαν οἱ δ ἀριθμοὶ πάσης τῆς φύσεως πρῶτοι τὰ τῶν ἀριθμῶν στοιχεῖα τῶν ὄντων στοιχεῖα πάντων ὑπέλαβον εἶναι καὶ τὸν ὅλον οὐρανὸν ἁρμονίαν εἶναι καὶ ἀριθμόν

bull Πυθαγόρειες τριάδες

Ο Πρόκλος αποδίδει στον ίδιο τον Πυθαγόρα την εύρεση των πυθαγορείων τριάδων της

μορφής

+ΝminusΝΝ2

12

122

όπου Ν περιττός αριθμός μεγαλύτερος του 1 Για

παράδειγμα αν πάρουμε ως Ν τον αριθμό 3 θα σχηματιστεί η τριάδα

+minus2

132

13322

δηλαδή η (3 4 5) η οποία είναι πράγματι Πυθαγόρεια τριάδα αφού ικανοποιεί τη σχέση 222 543 =+

Φαίνεται ότι αληθεύει η εκδοχή λόγω της παράδοσης κάποιες μαθηματικές γνώσεις να μεταδόθηκαν από την Αίγυπτο σε πολλούς αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς ανάμεσα τους τον Πυθαγόρα

12

bull Πυθαγόρειο θεώρημα

Σε αντιστοιχία με τον ορισμό των πυθαγορείων τριάδων ένα τρίγωνο λέγεται πυθαγόρειο όταν τα μήκη των πλευρών του αποτελούν Πυθαγόρεια τριάδα Προφανώς κάθε ορθογώνιο τρίγωνο είναι πυθαγόρειο ενώ το αντίστροφο γενικά δεν ισχύει Το ΠΘ αποτελεί χαρακτηριστικό παράδειγμα μελέτης των ιδιοτήτων των σχημάτων Ο Ευκλείδης στα laquoΣτοιχείαraquo μας λέει ουσιαστικά ότι η επιφάνεια που καταλαμβάνει το τετράγωνο που κατασκευάζεται με πλευρά την υποτείνουσα ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι ίση με την επιφάνια που καταλαμβάνουν μαζί τα τετράγωνα που κατασκευάζονται με πλευρά τις κάθετες πλευρές του τριγώνου

-Ορισμός Πυθαγορείου Θεωρήματος Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών Αντίστροφο Πυθαγορείου Θεωρήματος Αν σε ένα τρίγωνο το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο

Η απόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήματος που χρησιμοποιούμε συνήθως σήμερα στηρίζεται στην έννοια της ομοιότητας των τριγώνων και τις αλγεβρικές ιδιότητες των αναλογιών ενώ το θεώρημα διατυπώνεται στη μορφή μιας αλγεβρικής ισότητας για τετράγωνα των μήκων των πλευρών του ορθογώνιου τριγώνου Με τον τρόπο αυτό γίνεται ένα ευέλικτο υπολογιστικό εργαλείο με πολυάριθμες εφαρμογές και προεκτάσεις

Το πυθαγόρειο θεώρημα αποδεικνύεται με πάνω από έναν τρόπους

13

Απόδειξη με εμβαδά

Θεωρούμε ένα τετράγωνο πλευράς a + b και σχεδιάζουμε σε αυτό τέσσερα ορθογώνια τρίγωνα με πλευρές a και b και υποτείνουσα c έτσι ώστε στο κέντρο να έχουμε τετράγωνο πλευράς c (βλ σχήμα)

Υπολογίζουμε το εμβαδό του τετραγώνου προσθέτοντας το εμβαδό του μικρότερου τετραγώνου καθώς και τα εμβαδά των τεσσάρων τριγώνων

c2 + 2abΑφού πρόκειται για τετράγωνο πλευράς a + b το εμβαδό του ισούται επίσης με

a2 + b2 + 2abΕξισώνοντας τις δυο αυτές σχέσεις προκύπτει

a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab ή a2 + b2 = c2

Απόδειξη με ομοιότητα τριγώνων

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ορθή γωνία την Α Θεωρώ το ύψος της υποτείνουσας ότι την τέμνει στο σημείο Δ Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΒΑ είναι όμοια μεταξύ τους ως ορθογώνια τρίγωνα με ίδια τη γωνία Β Παρομοίως τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΓΑ είναι όμοια μεταξύ τους με ίδια τη γωνία Γ

Ισχύει ))(()AB()AB()(

)()AB( 2 ∆ ΒΒ Γ=rArr∆ Β=

Β Γ και (ΑΓ)2 = (ΒΓ)(ΔΓ)

Αν προσθέσουμε τις δυο αυτές εξισώσεις έχουμε(ΑΒ)2 + (ΑΓ)2 =

(ΒΓ)(ΔΒ) + (ΒΓ)(ΔΓ) = (ΒΓ)(ΔΒ + ΔΓ) = (ΒΓ)2

bull Η περίφημη κούπα του Πυθαγόρα

Ο Πυθαγόρας κατά την τοπική παράδοση της Σάμου είχε φτιάξει μια κούπα εφαρμόζοντας τους νόμους της Φυσικής για να πίνει με μέτρο το κρασί Εσωτερικά είχε μία γραμμή που όριζε ως που έπρεπε να γεμίσει κανείς Μια στάλα παραπάνω και η κούπα άδειαζε όλο το κρασί της από μία κρυφή οπή στη βάση Πως όμως γίνεται αυτό Στο κέντρο της κούπας βρίσκεται μια στήλη τοποθετημένη ακριβώς πάνω από έναν σωλήνα ο οποίος οδηγεί στο κάτω μέρος της Εκεί βρίσκεται η κρυφή οπή Ενώ γεμίζουμε την κούπα η στάθμη του κρασιού ανεβαίνει και στο εσωτερικό της κεντρικής στήλης ακολουθώντας το νόμο του Pascal για τα συγκοινωνούντα δοχεία

14

Όσο η στάθμη του κρασιού δεν ξεπερνά τη γραμμή που είναι χαραγμένη στο εσωτερικό της κούπας laquoδεν τρέχει τίποταraquo Εάν όμως την ξεπεράσει ταυτόχρονα φτάνει και στην κορυφή της εσωτερικής στήλης έτσι μέσω του σωλήνα το παραπανίσιο κρασί χύνεται κάτω από την κούπα Τότε η υδροστατική πίεση δημιουργεί ένα σιφόνι στον εσωτερικό σωλήνα το οποίο αδειάζει όλο το περιεχόμενο της κούπας από την οπή που υπάρχει

Ένα πλήθος επιπρόσθετων επιτευγμάτων όπως η κατασκευή και η μελέτη τριών τουλάχιστον από τα πέντε κανονικά πολύγωνα (κύβος τετράεδρο δωδεκάεδρο) και η κατασκευή της μουσικής κλίμακας (μελέτη των λόγων της τετράχορδης λύρας και δημιουργία κανόνα της οχτάχορδης λύρας) μας αποδεικνύει τη σημαντικότητα του Πυθαγόρα ως επιστήμονας της εποχής του Οι πληροφορίες για τη μελέτη των πολυέδρων δεν είναι αρκετές ωστόσο για τη μουσική κλίμακα γνωρίζουμε ότι βασίστηκε στις μελέτες του Πυθαγόρα ο οποίος μελετώντας τη μαθηματική σχέση της μουσικής κλίμακας και διατυπώνοντας σχετικούς κανόνες διευκόλυνε κατά πολύ την κατασκευή μουσικών οργάνων Κατάφερε να εκφράσει τη μουσική αρμονία με μαθηματικές σχέσεις μέσα από τη φιλοσοφική και επιστημονική του προσέγγιση Ξεκινώντας από μία χορδή και διαιρώντας διαδοχικά με το μήκος της και τον χρυσό αριθμό Φ κατάφερε να κατασκευάσει το μουσικό όργανο laquoΚανόναraquo εξέλιξη του οποίου συναντάται σήμερα στο γνωστό laquoκανονάκιraquo

Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΟΥ ΣΤΟ ΣΗΜΕΡΑ

Το αρχαιότερο παράδειγμα εφαρμογής του γνωστού σε όλους laquoπυθαγορείου θεωρήματοςraquo το συναντούμε στη πινακίδα ΒΜ 85196 που χρονολογείται από την περίοδο της πρώτης βαβυλωνιακής χιλιετίας πΧ Έχοντας γνώση λοιπόν του έργου του οι Βαβυλώνιοι οδηγηθήκαν σε αξιόλογα επιτεύγματα

Ο Πυθαγόρας υπήρξε μεγάλη προσωπικότητα με τις έρευνες και το Πανεπιστήμιό του συνέβαλε στο άλμα των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών Η περίεργη μυστικότητα όμως που διέπνεε το σύλλογο έγινε αιτία να μην πληροφορηθούν οι βιογράφοι επακριβώς όλα τα προσωπικά επιτεύγματα του ίδιου Έτσι σήμερα αγνοούμε εν μέρη το δικό του έργο το οποίο ασφαλώς θα ήταν σημαντικότατο

Όσο αναφορά το πυθαγόρειο σχήμα παρά τα αρκετά μειονεκτήματα έχει μερικά χαρακτηριστικά τα οποία μόνιμα επηρέαζαν την ελληνική αστρονομική σκέψη Έδινε βαρύτητα στις κυκλικές κινήσει των ουράνιων σωμάτων γύρω από ένα κεντρικό στοιχείο Τέλος στον Πυθαγόρα και τους Πυθαγορείους οφείλεται πλήθος γεωμετρικών εργασιών αφού αυτοί μελέτησαν με επιτυχία την επιστήμη της Γεωμετρίας

15

Πλάτων ο ΑθηναίοςΒιογραφικά στοιχεία

Έζησε στο διάστημα (427-347πΧ) Ήταν Aθηναίος φιλόσοφος αριστοκρατικής καταγωγής όπου ίδρυσε και διεύθυνε το διασημότερο πανεπιστήμιο στην αρχαία Ελλάδα την Ακαδημία για 40 περίπου χρόνια μέχρι το θάνατό του Πατέρας του ήταν ο Αρίστωνας ο οποίος καταγόταν από το γένος του βασιλιά Κόδρου και μητέρα του ήταν η Περικτιόνη η οποία ήταν αδερφή του Χαρμίδη ενός από τους Τριάκοντα τύραννους και ανιψιά του Κριτία επίσης μέλος των Τριάκοντα με καταγωγή από το γένος του νομοθέτη Σόλωνος Αδέρφια του ήταν οι Αδείμαντος και Γλαύκων Το πρώτο του όνομα ήταν Αριστοκλής αλλά αργότερα ονομάστηκε Πλάτωνας γιατί είχε ευρύ στέρνο και πλατύ μέτωπο

Σε ηλικία 18 ετών γνώρισε τον Σωκράτη και γοητεύτηκε από την προσωπικότητα και από την διδασκαλία του Από το συνολικό έργο του διασώζονται 36 έργα τα οποία εκτός από την Απολογία του Σωκράτη έχουν την μορφή διαλόγου σε όλα εκτός των Νόμων Την συζήτηση διεύθυνε ο Σωκράτης ενώ ο τίτλος του καθενός είναι το όνομα του σπουδαιότερου συνομιλητή ή αφηγητή Στα έργα αυτά γίνεται φανερή η τοποθέτηση του και ο άκρατος

θαυμασμός του προς τα μαθηματικά και ιδιαίτερα προς την γεωμετρία

Λίγες πληροφορίες για την Ακαδημία

Η Ακαδημία ήταν ένα προάστιο των Αθηνών Πήρε το όνομά της από τον ήρωα Ακάδημο Αναφορικά ο Ιππίας γιος του Πεισίστρατου έκτισε ένα κυκλικό τοίχο και ο Κίμωνας φύτεψε τη περιοχή με τα δέντρα η οποία καταστράφηκε από τον Σίλα το 86 πΧ Το 387

16

πΧ O Πλάτωνας ίδρυσε τη φιλοσοφική του σχολή η οποία έγινε πολύ διάσημη χάρη στους νεοπλατωνιστές και χρησιμοποιείτο έως το 526 μΧ οπότε και έκλεισε από τον αυτοκράτορα Ιουστινιανό Η Ακαδημία ήταν σχολή ανωτέρων μελετών και ταυτόχρονα και εκπαιδευτικό ίδρυμα Είχε ισχυρή καταστατική συγκρότηση και παρουσιάζεται περισσότερο υπό τη μορφή μιας αδελφότητας μιας φιλοσοφικής αίρεσης τα μέλη της οποίας αισθάνονται στενά συνδεδεμένα μεταξύ τους και διακρίνεται και από μια οικειότητα στις σχέσεις μεταξύ των μαθητών και των δασκάλων την οποία θα χαρακτηρίζαμε στοργική και φιλική συνάμα Υπάρχει μια διαφωνία σχετικά με το αν η Ακαδημία ήταν ένωση για τη πρόοδο των επιστημών ή ίδρυμα ανώτατης μόρφωσης Η διαφωνία αυτή είναι κάπως άσκοπη δεδομένου το ότι ο άκρατος ρεαλισμός της σχολής αλλά και ο απλός χαρακτήρας της αρχαϊκής εκείνης εποχής δεν επιτρέπουν στο να μεταθέσουμε σε εκείνο το περιβάλλον τη σύγχρονη αντίληψη που έχουμε για την επιστήμη Η Ακαδημία άλλωστε ήταν σχολή ανώτερων μελετών αλλά και εκπαιδευτικό ίδρυμα ταυτόχρονα Τέλος ο Πλάτωνας δεν ονειρεύτηκε μόνο τη ldquoμετά επιστήμηςrdquo παιδεία αλλά και τη μετέδωσε για σαράντα χρόνια στους μαθητές του στην Ακαδημία

Η Ακαδημία ήταν ο τόπος στον οποίο ο Πλάτωνας προσπαθούσε να δείξει τον δρόμο σε προικισμένους μαθητές ώσπου να αναπηδήσει ο σπινθήρας και να αποκαλυφθεί η έσχατη γνώση Ξέρουμε τόσα λίγα για την καθημερινή διδασκαλία στην ακαδημία την εποχή του Πλάτωνα ώστε πότε-πότε θέλησαν να αρνηθούν τον επιστημονικό χαρακτήρα της Τέτοιοι σκεπτικισμοί δεν στηρίζονται πουθενά Την μεγάλη σημασία των μαθηματικών σαν προπαίδεια για την διαλεκτική η οποία στηριζόταν σε αυτά την δείχνουν μερικές προσωπικότητες του Πλατωνικού κύκλου και χωρίς αμφιβολία υπάρχει ουσιαστική αλήθεια στο ανέκδοτο που λένε ότι βρισκόταν πάνω από την είσοδο της Ακαδημίας laquoἁγεωμέτρητος μηδείς εἰσίτωraquo Ξέρουμε ακόμα ότι η διαιρετική μέθοδος για την οποία μιλήσαμε στους οψιμότερους διαλόγους έπαιξε σημαντικό ρόλο στον αγώνα για ένα λογικά ταχτοποιημένο κοσμοείδωλο και στην απόκτηση ορισμών με την διαίρεση των γενικότερων εννοιών

Η συμβολή του Πλάτωνα και της Ακαδημίας στα μαθηματικά

Η συμβολή της Ακαδημίας στα μαθηματικά του 4ου αιώνα πΧ είναι σημαντικότατη ιδιαίτερα με τα έργα των καθηγητών της Θεαίτητου Μεναίχμου και Ενδόξου Η συμβολή όμως του Πλάτωνα είναι αμφιλεγόμενη αν και πιστεύεται ότι

-Έλυσε το Δήλιο πρόβλημα (διπλασιασμό του κύβου) με κινητική γεωμετρία και κάποιο όργανο με την βοήθεια του οποίου προέκυπτε η λύση

-Έδωσε γενική μορφή στην αναλυτική μέθοδο και συνέβαλε στην έρευνα των γεωμετρικών τύπων

-Προσδιόρισε ένα πλήθος των πυθαγορείων τριάδων δηλαδή των τριαδικών ακέραιων αριθμών που επαληθεύουν την ισότητα x2+y2=ω2 του Πυθαγορείου θεωρήματος

Για τα πολυσυζητημένα αστρονομικά ζητήματα της εποχής του (κίνηση του ουρανού θέση σχήμα και κίνηση της Γης) παρουσιάζει ξένες και θολά διατυπωμένες απόψεις γεγονός που

17

φανερώνει ότι δεν διέθετε προσωπική άποψη για το θέμα και γενικά ότι δεν ήταν μαθηματικός

Έγραψε μεταξύ άλλων την απολογία του Σωκράτη η οποία θεωρείται ως μια σχετικά ακριβής καταγραφή της απολογίας του Σωκράτη στην δίκη που τον καταδίκασε σε θάνατο Μετά τη θανάτωση του Σωκράτη για λίγο καιρό κατέφυγε στα Μέγαρα κοντά στον συμμαθητή του Ευκλείδη Ύστερα γύρισε στην Αθήνα όπου για 10 χρόνια ασχολήθηκε με τη συγγραφή φιλοσοφικών έργων τα οποία φέρουν τη σφραγίδα της σωκρατικής φιλοσοφίας Στη συνέχεια ταξίδεψε στην Αίγυπτο και στην Κυρήνη όπου σχετίστηκε με τον μαθηματικό Θεόδωρο και τέλος στον Τάραντα της Ιταλίας όπου γνώρισε τους πυθαγόρειους από τη φιλοσοφική σκέψη των οποίων επηρεάστηκε αποφασιστικά Μετά πέρασε στη Σικελία Στην αυλή του βασιλιά των Συρακουσών Διονυσίου Α΄ γνώρισε τον βασιλικό γυναικάδελφο Δίωνα με τον οποίον συνδέθηκε φιλικά Η φιλία όμως αυτή προκάλεσε τις υποψίες του Διονυσίου για συνωμοσία γι αυτό έδιωξε τον Πλάτωνα από τη Σικελία Στην Αίγινα κινδύνεψε να πουληθεί ως δούλος αλλά τον εξαγόρασε ο Κυρηναίος φίλος του Αννίκερης Επιστρέφοντας στην Αθήνα άνοιξε τη φιλοσοφική σχολή του την Ακαδημία (387 πΧ) Η προσπάθεια όμως των δύο φίλων να προσηλυτίσουν στις ιδέες τους τον νέο ηγεμόνα Διονύσιο τον Πρεσβύτερο απέτυχαν Για τρίτη φορά ήρθε στην αυλή των Συρακουσών το 361 πΧ με σκοπό να συμφιλιώσει τον Δίωνα με τον Διονύσιο Αυτή τη φορά κινδύνεψε και η ζωή του Τον έσωσε η επέμβαση του πυθαγόρειου Αρχύτα Αλλά ο Δίωνας δεν γλίτωσε Δολοφονήθηκε το 353 πΧ Έτσι ο Πλάτωνας έχασε τον άνθρωπο στον οποίο στήριξε τις ελπίδες του για την επιβολή των πολιτικών του ιδεών Από τότε και μέχρι τον θάνατό του ασχολήθηκε με τη διδασκαλία και με τη συγγραφή φιλοσοφικών έργων Επίσης έγραψε το συμπόσιο που μιλάει για την φύση του έρωτα στον Πρωταγόρα Μεταξύ άλλων θεμελιώνεται θεωρητικά η αρχή της πρόληψης που δεν λαμβάνει την τιμή ως απολύτως ανταποδοτική στον Παρμενίδη και Θεαίτητο θεμελιώνει την αντικειμενικότητα του λόγου και της ιδέας ενώ σε 2 μακρούς διαλόγους την Πολιτεία και τους Νόμους περιέγραψε την ιδανική πολιτεία

Η κύρια συμβολή του στα μαθηματικά βρίσκεται κυρίως στο ότι προέτρεπεe τους μαθηματικούς να ερευνούν καθολικές μαθηματικές αλήθειες και γενικά να καλλιεργούν τα μαθηματικά τα οποία θεωρούσε ότι διαθέτουν τεράστια εκπαιδευτική αξία Η προτροπή αυτή φαίνεται εκτός των άλλων και στις απόψεις του ότι τα μαθηματικά είναι lsquorsquoδόσις θεῶν εἰς ἀνθρώπουςrsquorsquo και ότι οδηγούν έντονα την ψυχή προς το θείο

Οι επιδράσεις του Πλάτωνος στους έπειτα αιώνες

Ο Γάλλος ιστορικός της φιλοσοφίας Ζακ Σεβαλιέ τονίζει στο έργο του laquoΙστορία της σκέψηςraquo (1955) την κυρίαρχη παρουσία ή έστω ανταύγεια της πλατωνικής φιλοσοφίας σε ολόκληρο το Μεσαίωνα και στην Αναγέννηση και στους Νεότερους χρόνους ενώ ο Γερμανός φιλόσοφος Καρλ Γιάσπερς προβάλλει τον Πλάτωνα ως το τον πρώτο από τους τρεις θεμελιωτές του φιλοσοφείν Η ιστορία της φιλοσοφίας μέχρι τον Κικέρωνα είναι σαφώς επηρεασμένη από αυτόν και είτε αμφισβητεί είτε ακολουθεί τη διδασκαλία του Ο μαθητής του Αριστοτέλης εξ ίσου επιδραστικός με τον ίδιο οδηγήθηκε στην ανάπτυξη τμήματος του έργου του ως απάντηση στον πλατωνισμό Η σχολή την οποία ο Πλάτωνας

18

ίδρυσε το 387 πΧ η Ακαδημία συνέχισε να ακμάζει ως τις αρχές του πρώτου αιώνα π Χ έχοντας όμως μετατραπεί σε σκεπτική σχολή μετά τις αρχές της ελληνιστικής περιόδου

Κατά την εποχή του Αυγούστου υπήρξε αναβίωση της πλατωνικής φιλοσοφίας ο μεσοπλατωνισμός με εκπροσώπους όπως ο Φίλων ο Αλεξανδρεύς ενώ κατά τα τέλη του δεύτερου αιώνα ο μεσοπλατωνισμός άρχεσαι να μετατρέπεται σταδιακά υπό την επίδραση του νεοπυθαγορισμού και του ερμητισμού στην κατεχόμενη από τους Ρωμαίους Αίγυπτο στο κίνημα του νεοπλατωνισμού με αρχικούς εκπροσώπους όπως ο Πλωτίνος το οποίο είχε ιδεαλιστικό μυστικιστικό και σωτηριολογικό χαρακτήρα Η Ακαδημία στην Αθήνα επανιδρύθηκε ως κέντρο νεοπλατωνικών μελετών κατά τον τέταρτο αιώνα

Την ίδια εποχή περίοδο έντονων θρησκευτικών ζυμώσεων στη Ρωμαϊκή Αυτοκρατορία και σταδιακής επικράτησης του χριστιανισμού στη Μεσόγειο οι ακόλουθοι της αστικής ελληνορωμαϊκής θρησκείας αλλά και των ελληνικών μυστηριακών λατρειών συσπειρώθηκαν γύρω από τον νεοπλατωνισμό ως υπερασπιστή του μέχρι πρότινος επικρατούντος παγανισμού Μεμονωμένοι νεοπλατωνικοί και παγανιστικοί πυρήνες επέζησαν ως τον έκτο αιώνα οπότε και ο Αυτοκράτορας Ιουστινιανός έκλεισε με διάταγμα την Ακαδημία της Αθήνας Μετά περίπου εννέα αιώνες το έτος 1439 ο Γεώργιος Γεμιστός Πλήθων γράφει στη Φλωρεντία το πολύκροτο έργο του Περί ὧν Αριστοτέλης προς Πλάτωνα που αποτέλεσε το έναυσμα της διαμάχης πλατωνικών και αριστοτελικών στο Βυζάντιο και στην Ιταλία Ο πλατωνισμός επιβίωσε υπογείως καθ όλον τον Μεσαίωνα κρυμμένος σε μυστηριακά ρεύματα έως ότου οι πρωτότυπες ιδέες του ανακαλύφθηκαν ξανά και σχολιάστηκαν κατά την Αναγέννηση Έτσι ούτε η νεότερη φιλοσοφική σκέψη έμεινε ανεπηρέαστη από αυτόν Τα διάφορα φιλοσοφικά συστήματα ή προσπαθούν να ανατρέψουν τις ιδέες του ή οικοδομούνται πάνω σ αυτές εκσυγχρονίζοντάς τες

Τα έργα του είναι

Αλκιβιάδης Α η Περί Ανθρώπου Φύσεως μαιευτικός

Αλκιβιάδης Β ή Περί Προσευχής μαιευτικός

Απολογία Σωκράτους ηθικός

Γοργίας ή Περί Ρητορικής ανατρεπτικός

Επινομίς ή Νυκτερινος Σύλλογος πολιτικός

Επιστολαί ηθικαί

Ερασταί ή Περί Φιλοσοφίας ηθικός

Ευθύδημος ή Εριστικός ανατρεπτικός

Ευθύφρων ή Περί του Οσίου

Θεάγης ή Περί Φιλοσοφίας μαιευτικός

Θεαίτητος ή Περί Επιστήμης πειραστικός

19

Ιππαρχος ή Φιλοκερδής ηθικός

Ιππίας ελάσσων ή Περί του Ψεύδους ανατρεπτικός

Ιππίας μείζων ή Περί του Καλού ανατρεπτικός

Ίων ή Περί Ιλιάδος πειραστικός

Κλειτοφών ή Προτρεπτικός ηθικός

Κρατύλος ή Περί Ονομάτων Ορθότητος λογικός

Κριτίας ή Ατλαντικός ηθικός

Κρίτων ή Περί του Πρακτέου ηθικός

Λάχης ή Περί Ανδρείας ηθικός

Λύσις ή Περί Φιλίας μαιευτικός

Μενέξενος ή Επιτάφιος ηθικός

Μένων ή Περί Αρετής πειραστικός

Μίνως ή Περί Νόμου πολιτικός

Νόμοι ή Περί Νομοθεσίας πολιτικός

Παρμενίδης ή Περί Ιδεών λογικός

Πολιτεία ή Περί Δικαίου πολιτικός

Πολιτικός ή Περί της Βασιλείας λογικός

Πρωταγόρας ή Σοφισταί επιδεικτικός

Σοφιστής ή Περί του Όντος λογικός

Συμπόσιον ή Περί Αγαθού ηθικός

Τίμαιος ή Περί Φύσεως φυσικός

Φαίδρος ή Περί Έρωτος ηθικός

Φαίδων ή Περί Ψυχής ηθικός

Φίληβος ή Περί Ηδονής ηθικός

Χαρμίδης ή Περί Σωφροσύνης πειραστικός

20

21

ΕυκλείδηςΒΙΟΓΡΑΦΙΑ

Υπολογίζεται ότι έζησε το βrsquo μισό του 4ου έως τις αρχές του 3ου πΧ αιώνα πιο συγκεκριμένα περίπου το 325 πΧ έως το 265 πΧ Κορυφαίος μαθηματικός της αρχαιότητας που επηρέασε με το έργο του σε ανυπέρβλητο βαθμό τον επιστημονικό τρόπο σκέψης σε όλο τον κόσμο Για τη ζωή του δεν υπάρχουν επιβεβαιωμένες πληροφορίες Πιθανώς εκπαιδεύτηκε στην Αθήνα στην Ακαδημία του Πλάτωνα και δίδαξε στην Αλεξάνδρεια Ξέρουμε ότι ήταν μεγαλύτερος στην ηλικία από τον Αρχιμήδη πράγμα που σημαίνει ότι η χρονολόγηση της ακμής του laquoγύρω στο 300 πΧraquo δεν πρέπει να απέχει πολύ από την αλήθεια Ο Πρόκλος επίσης τον χαρακτηρίζει σύγχρονο του βασιλιά Πτολεμαίου Αrsquo στον

οποίο είχε το θάρρος να του πει κατά πρόσωπο πως δεν υπάρχει βασιλική οδός προς τη γεωμετρία Ο Πάππος τον επαινεί για την ηθική του ακεραιότητα τη μετριοφροσύνη και την ευμενή στάση του προς όσους είναι ικανοί να προαγάγουν τη μαθηματική γνώση Ο Στοβαίος διηγείται το ακόλουθο ενδιαφέρον περιστατικό Ένας νέος επισκέφθηκε κάποτε τον Ευκλείδη και τον παρακάλεσε να τον διδάξει γεωμετρία Μόλις έμαθε το πρώτο θεώρημα ρώτησε τον Ευκλείδη laquoΚαι τώρα τι θα κερδίσω με το θεώρημα αυτόraquo Ο Ευκλείδης τότε γύρισε προς τον υπηρέτη του και του είπε laquoΔώσrsquo του τρεις δεκάρες ώστε να κερδίσει κάτι από το θεώρημα το οποίο έμαθεraquo Αυτά είναι όλα όσα γνωρίζουμε για τον Ευκλείδη ως άνθρωπο Πολύ μεγαλύτερη σημασία όμως έχει το έργο του το οποίο ακόμα και σήμερα μαρτυρεί τα απαράμιλλα χαρίσματά του ως δασκάλου

ΕΡΓΟ

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη

Μετά το θάνατο του Μεγάλου Αλεξάνδρου στα 323 πΧ η αχανής μακεδονική αυτοκρατορία διαιρέθηκε σε τρεις περιοχές Η περιοχή πού περιλάμβανε την Αίγυπτο περιήλθε κάτω από την άξια ηγεμονία του ικανού στρατηγού του Αλεξάνδρου Πτολεμαίου του Σωτήρος ο οποίος σύντομα κέρδισε τη βασιλεία της περιοχής Ο Πτολεμαίος επέλεξε για πρωτεύουσα της περιοχής του την Αλεξάνδρεια λίγα μόνο μίλια από τις εκβολές του ποταμού Νείλου και γύρω στα 300 πΧ άνοιξε τις πόρτες του περίφημου πανεπιστημίου της Αλεξάνδρειας Ανάμεσα στους μελετητές που κλήθηκαν να επανδρώσουν το νέο ίδρυμα ήταν και ο μαθηματικός Ευκλείδης που πιθανότατα υπήρξε μαθητής της Ακαδημίας του Πλάτωνα στην Αθήνα

22

Ο Ευκλείδης από τη στιγμή που ανέλαβε τα καθήκοντά του στην Αλεξάνδρεια όρισε ανάμεσα στους στόχους του τη συγκρότηση του μνημειώδους και ιστορικά σημαντικού έργου του των Στοιχείων Αυτή η αξιόλογη και εκτεταμένη εργασία γραμμένη σε δεκατρία βιβλία ή μέρη αποτελεί την αρχαιότερη εφαρμογή της αξιωματικής μεθόδου που έχει φτάσει στα χέρια μας Θεωρείται ο πρώτος μεγάλος σταθμός στην ιστορία της οργάνωσης των μαθηματικών και η μετέπειτα επίδραση της στον επιστημονικό τρόπο γραφής πολύ δύσκολα μπορεί να περιγραφεί

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη διεκδικούν αναμφισβήτητα μια θέση ανάμεσα στις μεγάλες στιγμές των μαθηματικών Η εργασία αυτή εκτόπισε τόσο γρήγορα και ολοκληρωτικά όλες τις προηγούμενες εργασίες ανάλογου περιεχομένου που σήμερα δεν υπάρχουν αντίγραφα προηγουμένων προσπαθειών και απλά γνωρίζουμε την ύπαρξη τους από σχόλια μεταγενέστερων συγγραφέων Τα Στοιχεία του Ευκλείδη από την πρώτη εμφάνιση τους κέρδισαν τεράστια εκτίμηση Με μοναδική εξαίρεση τη Βίβλο καμιά άλλη εργασία δεν χρησιμοποιήθηκε μελετήθηκε ή εκδόθηκε τόσο πολύ Για πάνω από δύο χιλιετίες κυριάρχησε στο χώρο διδασκαλίας της γεωμετρίας Από την πρώτη έκδοση της στα 1472 έχει γνωρίσει πάνω από χίλιες εκδόσεις Το περιεχόμενο και η μορφή της επέδρασαν εντυπωσιακά στην ανάπτυξη του αντικειμένου της και της λογικής θεμελίωσης των μαθηματικών

Ο Πρόκλος ένας κατοπινός σχολιαστής των μαθηματικών που έζησε στον 5ο αιώνα έχει δώσει μια εξήγηση της έννοιας του όρου laquoστοιχείαraquo Τα στοιχεία μιας αποδεικτικής μελέτης είναι τα πιο σημαντικά θεωρήματα ή τα θεωρήματα κλειδιά που χρησιμοποιούνται συχνά και πλατιά στο αντικείμενο της μελέτης Είναι τα θεωρήματα που χρειάζονται για την απόδειξη όλων ή των περισσότερων από τα άλλα θεωρήματα Η λειτουργία τους συγκρίνεται με αυτή των γραμμάτων του αλφαβήτου σε σχέση με τη γλώσσα Τα γράμματα στα ελληνικά ονομάζονται και στοιχεία Η επιλογή των προτάσεων που θα λειτουργήσουν ως στοιχεία κάποιου θέματος μελέτης απαιτεί μεγάλη ικανότητα και κρίση από το συγγραφέα

Δεν υποτιμά καθόλου την αίγλη του έργου του Ευκλείδη το γεγονός ότι είχαν προηγηθεί ανάλογες προσπάθειες Σύμφωνα με τον Πρόκλο η πρώτη προσπάθεια να γραφτούν Στοιχεία έγινε από τον Ιπποκράτη το Χίο στα μέσα του πέμπτου πΧ αιώνα Η επόμενη προσπάθεια ήταν του Λέοντα που χρονολογικά τοποθετείται κάπου ανάμεσα στον Πλάτωνα και τον Εύδοξο Όπως μαθαίνουμε η εργασία του Λέοντα περιείχε μια μεγαλύτερη και πιο χρήσιμη επιλογή προτάσεων από τον Ιπποκράτη Το βιβλίο που χρησιμοποιούνταν στην Ακαδημία του Πλάτωνα είχε επιμεληθεί ο Θεύδιος από τη Μαγνησία και θεωρούνταν μια θαυμάσια συλλογή στοιχείων Η εργασία του Θεύδιου ήταν ασφαλώς ο άμεσος πρόδρομος της εργασίας του Ευκλείδη ο οποίος την είχε χωρίς αμφιβολία στη διάθεση του ειδικά αν όπως πιστεύουν σπούδασε στην Ακαδημία του Πλάτωνα

Ο Ευκλείδης γνώριζε επίσης την εργασία του Θεαίτητου και του Εύδοξου Δεν είναι καθόλου υποτιμητικό ότι η εργασία του Ευκλείδη αποτελεί σε μεγάλο βαθμό συγκέντρωση και επιμέλεια των εργασιών των προγενεστέρων του αφού η ουσιαστική αξία των Στοιχείων βρίσκεται ακριβώς στην τέλεια επιδεξιότητα με την οποία επιλέχτηκαν και τοποθετήθηκαν

23

σε λογική σειρά οι προτάσεις ξεκινώντας από μια μικρή ομάδα αρχικών υποθέσεων Ούτε είναι υποτιμητικό το γεγονός ότι η εξονυχιστική μελέτη των σύγχρονων κριτικών έχουν αποκαλύψει ορισμένα μειονεκτήματα στη δομή της εργασίας του Ευκλείδη Δε θα μπορούσε κανείς να περιμένει μια τέτοια αρχική και κολοσσιαία προσπάθεια με την αξιωματική μέθοδο να μην παρουσιάζει καμία ατέλεια

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη έχουν γραφεί γύρω στο 300 πΧ αλλά το αυθεντικό χειρόγραφο κείμενο του Ευκλείδη δεν διασώζεται Αντίθετα σώζονται δεκάδες αντίγραφα που σε τελική ανάλυση κατάγονται από αυτό Το αρχαιότερο πλήρες αντίγραφο περιέχεται σε έναν χειρόγραφο περγαμηνό κώδικα που φυλάσσεται σήμερα στη Βιβλιοθήκη της Οξφόρδης και χρονολογείται από του έτους 888 ενώ μικρά αποσπάσματα του έργου διασώζονται σε παπύρους προγενέστερης εποχής καθώς και σε ένα παλίμψητο χειρόγραφο του 7ου ή του 8ου

μΧ αι που φυλάσσεται στο Βρετανικό Μουσείο Βλέπουμε λοιπόν ότι το αρχαιότερο χειρόγραφο που περιέχει το πλήρες κείμενο των Στοιχείων του Ευκλείδη χρονολογείται από τα τέλη του 9ου μΧ αι και επομένως απέχει από την εποχή μας όσο απέχει από την εποχή που ο ίδιος ο Ευκλείδης έγραψε το έργο

Όλες οι σύγχρονες εκδόσεις στηρίζονται σε μια επανέκδοση που έκανε ο Θεωνάς από την Αλεξάνδρεια ένας Έλληνας σχολιαστής που έζησε εφτακόσια περίπου χρόνια μετά τον Ευκλείδη Μόνο στις αρχές του 19ου αιώνα ανακαλύφθηκε ένα παλιότερο αντίγραφο Στα 1808 όταν ο Ναπολέοντας διέταξε να μεταφερθούν όλα τα αξιόλογα χειρόγραφα από τις ιταλικές βιβλιοθήκες στο Παρίσι ο Φ Πέιραρντ (F Peyrard) ανακάλυψε στη βιβλιοθήκη του Βατικανού ένα αντίγραφο των Στοιχείων από έκδοση προγενέστερη από του Θεωνά Η μελέτη όμως αυτής της παλιότερης έκδοσης αποκάλυψε δευτερεύουσες μόνο διαφορές από τον Θεωνά

Οι πρώτες πλήρεις μεταφράσεις των Στοιχείων στα λατινικά δεν έγιναν από τα ελληνικά αλλά από τα αραβικά Τον 8ο αιώνα οι Άραβες μετέφρασαν έναν αριθμό βυζαντινών χειρογράφων με ελληνικές εργασίες και στα 1120 ο Άγγλος μελετητής Άντελαρντ (Adelard) από το Μπαθ μετέφρασε τα Στοιχεία στα λατινικά χρησιμοποιώντας μια απ αυτές τις παλιότερες αραβικές μεταφράσεις Άλλες λατινικές μεταφράσεις από τα αραβικά έκαναν ο Γκεράρντο από την Κρεμώνα (Gherardo 1114-1187) και 150 χρόνια μετά τον Άντελαρντ ο Γιοχάννες Καμπάνους (Johannes Campanus) Η πρώτη τυπωμένη έκδοση των Στοιχείων έγινε στη Βενετία στα 1482 η έκδοση αυτή ήταν η μετάφραση του Καμπάνους Αυτό το πολύ σπάνιο βιβλίο ήταν θαυμάσια τυπωμένο και ήταν το πρώτο αξιόλογο μαθηματικό βιβλίο που τυπώθηκε Μια σημαντική λατινική μετάφραση από τα ελληνικά έγινε από τον Κομμαντίνο (Commandino) στα 1572 Αυτή η μετάφραση χρησιμοποιήθηκε ως βάση για πολλές άλλες μεταφράσεις που ακολούθησαν ανάμεσα σ αυτές και η εργασία του Ρόμπερτ Σίμσον (Robert Simson) που άσκησε σημαντική επιρροή και αποτέλεσε με τη σειρά της τη βάση για πάρα πολλές αγγλικές εκδόσεις

24

Αναλυτική περιγραφή των laquo στοιχείων raquo

Ειδικότερα το πρώτο βιβλίο αναφέρεται σε τεμνόμενες και παράλληλες ευθείες στην ισότητα ευθύγραμμων σχημάτων και στο τέλος το πυθαγόρειο θεώρημα Στο 2ο βιβλίο αναφέρονται συνέπειες από το πυθαγόρειο θεώρημα και γίνονται μετασχηματισμοί ευθύγραμμων σχημάτων σε ισοδύναμα τετράγωνα Εδώ περιέχεται και το πρόβλημα

της laquoχρυσής τομήςraquo Πολλές από τις προτάσεις αυτού μπορούν με σύγχρονους συμβολισμούς να πάρουν μορφή αλγεβρική γιrsquo αυτό έχει επικρατήσει να λέγεται για το 2ο βιβλίο ότι εισάγει τη laquoγεωμετρική άλγεβραraquo Στο 3ο βιβλίο εξετάζεται ο κύκλος και στο τέταρτο βιβλίο λύνονται προβλήματα σχετικά με τα εγγεγραμμένα στον κύκλο κανονικά πολύγωνα Στο 5ο βιβλίο σπουδάζεται η laquoθεωρία των λόγωνraquo του Ευδόξου Πρόκειται ουσιαστικά για τη θεωρία των πραγματικών αριθμών δοσμένη όμως σε μορφή γεωμετρική Το 6ο βιβλίο ασχολείται με την ομοιότητα επίπεδων σχημάτων και σrsquo αυτά αποδεικνύεται ότι από όλα τα ορθογώνια με δοσμένη περίμετρο το τετράγωνο έχει το μέγιστο εμβαδόν Στα βιβλία 7ο-9ο που αφορούν στην αριθμοθεωρία είναι εκπληκτικό πώς με παντελή μπορεί να πει κανείς έλλειψη συμβολισμών (αριθμοί δεν αναγράφονται) κατορθώνεται μια ακροβασία στην αλληλουχία των συλλογισμών που καταλήγει σε πολύ ενδιαφέροντα αριθμητικά αποτελέσματα Ειδικότερα στο 7ο βιβλίο μελετιούνται οι άρτιοι και οι περιττοί αριθμοί οι πρώτοι και οι σύνθετοι καθώς και οι τέλειοι εξετάζονται διάφορα προβλήματα διαιρετότητας ορίζεται το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο αριθμών (ΕΚΠ) καθώς και ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης τους και δίνεται η μέθοδος προσδιορισμού του που ονομάστηκε laquoΕυκλείδειος Αλγόριθμοςraquo Στα δύο επόμενα βιβλία εξακολουθεί η σπουδή αριθμοθεωρητικών θεμάτων στο 8ο εισάγονται επίσης και μελετιούνται οι γεωμετρικές πρόοδοι και στο 9ο έχουν συμπεριληφθεί τρεις σημαντικότατες προτάσεις Πρόκειται για α) το αποκαλούμενο laquoθεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικήςraquo β) την απόφανση ότι υπάρχουν απειράριθμοι πρώτοι και γ) την πρόταση που οδηγεί σε ένα γενικό τύπο που παρέχει άρτιους τέλειους αριθμούς Στο 10ο βιβλίο που αποτελεί ένα από τα ωραιότερα μέρη των Στοιχείων γίνεται μια ταξινόμηση των τετραγωνικών άρρητων και των τετραγωνικών ριζών τους και κατασκευάζεται ένα σύνολο ασύμμετρων μεγεθών το οποίο μαζί με το σύνολο των ρητών συναποτελεί επέκταση αυτού του τελευταίου τέτοια ώστε κάθε στοιχείο της να είναι κατασκευασμένο με κανόνα και διαβήτη Τέλος τα βιβλία της στερεομετρίας το 11ο βιβλίο ασχολείται με θεμελιώδεις σχέσεις μεταξύ ευθειών και επιπέδων καθώς και με τις στερεές γωνίες στο 12ο αναφέρεται σε επιφάνειες και όγκους στερεών και στο 13ο γίνεται η μελέτη της σφαίρας σε συσχετισμό με τα εγγεγραμμένα σε αυτήν κανονικά πολύεδρα

25

Άλλα έργα

bull Δεδομένα (94 θεωρήματα) έργο ανώτερης γεωμετρίας Στο έργο αυτό περιέχονται προτάσεις σε σχήματα στα οποία δίνονται ορισμένα στοιχεία τους κατά σχήμα θέση ή μέγεθος

bull Περί διαιρέσεων (36 προτάσεις) με περιεχόμενό του τη διαίρεση σχημάτων με δοσμένη σχέση

bull Πορίσματα (3 βιβλία που χάθηκαν) σώθηκαν ορισμένα αποσπάσματα που το 1860 έγινε απόπειρα ανασύνθεσής τους από τον Πάππο

bull Οπτικά-κατοπτρικά αντίστοιχα γεωμετρική οπτική ανάκλαση του φωτός πάνω σε επίπεδο κάτοπτρο

bull Φαινόμενα εγχειρίδιο κοσμογραφίας απλές προτάσεις για τη σφαίρα

bull Κατατομή κανόνος στοιχεία πυθαγόρεια θεωρία μουσικής

bull Ψευδάρεια laquoπαράδοξαraquo με στόχο να ασκηθούν οι σπουδαστές στην ανεύρεση λογικών σφαλμάτων κατά τις αποδείξεις

bull Κωνικαί τομαί Μηχανικά δεν γνωρίζουμε τίποτα γιrsquo αυτά τα έργα

Αιτήματα του Ευκλείδη

Τα αιτήματα είναι αρχικές προτάσεις οι οποίες προσιδιάζουν στη συγκεκριμένη κάθε φορά επιστήμη στην προκειμένη περίπτωση στη Γεωμετρία Ο Ευκλείδης διατυπώνει 5 αιτήματα

1 Ζητείται να γίνει δεκτό ότι από οποιοδήποτε σημείο σε οποιοδήποτε σημείο άγεται ευθεία γραμμή

2 Και (ότι) πεπερασμένη ευθεία προεκτείνεται σε ευθεία κατά συνεχή τρόπο

3 Και (ότι) με οποιοδήποτε κέντρο και διάστημα γράφεται κύκλος

4 Και (ότι) όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους

5 Και αν η ευθεία η οποία τέμνει δύο ευθείες σχηματίζει δύο εντός και επί τrsquo αυτά μέρη γωνίες μικρότερες των δύο ορθών τότε οι δύο ευθείες προεκτεινόμενες επrsquo απείρου συναντώνται προς εκείνα τα μέρη τους όπου βρίσκονται μικρότερες των δύο ορθών

Ακολουθούν τα laquoαιτήματαraquo διατυπωμένα σε αρχαίο κείμενο όπως αυτά βρίσκονται στο Βιβλίο Ι

26

Ο ρόλος των τριών πρώτων από τα αιτήματα αυτά είναι να εξασφαλίσουν τη νομιμότητα των κατασκευών της ευθείας και του κύκλου και κατά συνέπεια εκείνων και μόνο των γραμμών και των γεωμετρικών σχημάτων που κατασκευάζονται με πεπερασμένο αριθμό βημάτων από τα δύο αυτά βασικά σχήματα Στα Στοιχεία επομένως δεν έχουν θέση καμπύλες όπως είναι οι κωνικές τομές τη τετραγωνίζουσα κλπ ή κατασκευές όπως κατασκευές νεύσεως Η φύση των δύο τελευταίων αιτημάτων είναι διαφορετική Αποσκοπούν να δηλώσουν ότι κάποια γεωμετρικά σχήματα έχουν ορισμένες ειδικές ιδιότητες

Πολλοί ιστορικοί των μαθηματικών έχουν ασχοληθεί κατά το παρελθόν με το ερώτημα εάν τα αξιώματα του Ευκλείδη ικανοποιούν τις σύγχρονες απαιτήσεις (πληρότητα συνέπεια ανεξαρτησία) ενός αξιωματικού συστήματος Από την προσεκτική μελέτη των αποδείξεων κι των κατασκευών που περιέχονται στα Στοιχεία προκύπτει ότι ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί μερικές φορές απόρρητες παραδοχές οι οποίες δεν περιλαμβάνονται στα αξιώματα Επομένως το σύστημα των αξιωμάτων του δεν ικανοποιεί την απαίτηση της πληρότητας

Μεγάλο ιστορικό ενδιαφέρον εξάλλου έχει το ερώτημα της ανεξαρτησίας των αιτημάτων του Ευκλείδη ιδιαίτερα σε ότι αφορά το πέμπτο από αυτά Το αίτημα αυτό αναφέρεται συχνά και ως laquoαίτημα των παραλλήλωνraquo γιατί μια ισοδύναμη διατύπωσή του είναι η εξής από ένα σημείο εκτός ευθείας άγεται μια μόνο παράλληλη προς τη ευθεία Πολλοί μαθηματικοί από την αρχαιότητα έως τα μέσα του 18ου αιώνα προσπάθησαν να εξαγάγουν το αίτημα αυτό από τα άλλα αιτήματα όλες οι προσπάθειες όμως απέβησαν άκαρπες Από τα τέλη του 18ου αιώνα η προσδοκώμενη εξάρτηση του αιτήματος επιχειρήθηκε να αποδειχτεί με έμμεσο τρόπο Η σκέψη ήταν η εξής αν το αίτημα των παραλλήλων μπορεί να εξαχθεί από τα άλλα τέσσερα αιτήματα μαζί με την άρνηση του πέμπτου θα πρέπει να οδηγούν σε αντίφαση Το νέο σύστημα αξιωμάτων όμως αντί να οδηγήσει σε αντίφαση αποδείχτηκε ότι παράγει συνέπειες μαθηματικές θεωρίες Έτσι ανακαλύφθηκαν οι λεγόμενες μη ευκλείδειες γεωμετρίες και ταυτόχρονα αποδείχθηκε η ανεξαρτησία των αιτημάτων του Ευκλείδη

27

Ας δούμε τώρα την διατύπωση και την απόδειξη της πρότασης (5) που περιέχεται στο Βιβλίο Ι των laquoστοιχείωνraquo και αναφέρεται στη γνωστή μας πρόταση της ισότητας των παρά τη βάση γωνιών ισοσκελούς τριγώνου

28

Γιατί διδάσκουμε το μάθημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στο ζήτημα της laquoχρησιμότηταςraquo των σχολικών Μαθηματικών θα μπορούσε κανείς να αντιπαραθέσει (και πράγματι αντιπαρατέθηκαν) πολλές διαφορετικές απόψεις Εμείς θα παραθέσουμε απλώς ένα απόσπασμα από τις αυτοβιογραφικές σημειώσεις του Albert Einstein το οποίο δείχνει μια άλλη τελείως διαφορετική αντίληψη σχετικά με την laquoχρησιμότηταraquo της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Γράφοντας για τα γεγονότα της παιδικής και εφηβικής του ζωής που είχαν μεγάλη επίδραση στην μετέπειτα εξέλιξη του ο Einstein σημειώνει

Σε ηλικία 12 ετών δοκίμασα μια δεύτερη τελείως διαφορετική έκπληξη σε ένα μικρό βιβλίο Ευκλείδειας επίπεδης γεωμετρίαςhellip Εδώ υπήρχαν ισχυρισμοί όπως για παράδειγμα τα τρία ύψη ενός τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο οι οποίοι - αν και καθόλου προφανείς - μπορούσαν ωστόσο να αποδειχτούν με τέτοια βεβαιότητα ώστε να μην χωρεί η παραμικρή αμφιβολία Αυτή η σαφήνεια και βεβαιότητα μου προξένησαν μια εντύπωση που δεν μπορεί να περιγραφεί Το γεγονός ότι τα αξιώματα έπρεπε να γίνουν δεκτά χωρίς απόδειξη δεν με ενόχλησε Σε κάθε περίπτωση μου αρκούσε πλήρως το γεγονός ότι μπορούσαν να στηρίζω τις αποδείξεις σε προτάσεις η εγκυρότητα των οποίων ήταν για μένα αναμφισβήτητη

Η περίπτωση του Einstein του επιστήμονα που άλλαξε ριζικά τις αντιλήψεις μας και την γεωμετρική δομή του σύμπαντος αποκαλύπτει την σπουδαιότητα ορισμένων παιδαγωγικών σκοπών και τη συνάφειά τους με το ερώτημα που θέσαμε ως τίτλο αυτής της ενότητας καλλιέργεια και ανάπτυξη της συγκροτημένης σκέψης μύηση στην επιστημονική μέθοδο μελέτες του κόσμου Αυτοί οι σκοποί παρόλη τη γενικότητά τους συνδέονται άμεσα με τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας που άσκησαν καθοριστική επίδραση στο νεαρό Einstein τα οποία είναι

bull Σαφήνεια στην έκθεση

bull Ολοκληρωτική απόδειξη κάθε υπόθεσης

bull Απόλυτη συνάφεια σχημάτων και συλλογισμών

bull Τάξη και ομορφιά

Αν τα στοιχεία αυτά αποτελούν ουσιώδη συστατικά της μαθηματικής παιδείας τότε παρέχουν κατά την άποψή μας μια αυτονόητη απάντηση στο ερώτημα laquoΓιατί διδάσκουμε την Ευκλείδεια Γεωμετρίαraquo

Αντιλήψεις και αντιπαραθέσεις για τη διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Οι ένθερμοι υποστηρικτές της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προβάλλουν την παιδαγωγική αξία της λογικής και διάφανης επιχειρηματολογίας των γεωμετρικών αποδείξεων ενώ οι πολέμιοί της επικαλούνται την αναμφισβήτητη δυσκολία των περισσότερων μαθητών να κατανοήσουν τις γεωμετρικές έννοιες και τις πολύ χαμηλές επιδόσεις τους στην αντιμετώπιση σχετικών προβλημάτων Ενδιάμεσα βρίσκονται συνήθως οι σκεπτικιστές οι οποίοι επισημαίνουν τον περιορισμένο επιστημολογικά ρόλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και την ανάγκη να ανανεωθεί η διδασκαλία των Μαθηματικών δίνοντας μεγαλύτερη έμφαση σε πιο σύγχρονους και laquoχρήσιμουςraquo κλάδους (πχ Πιθανότητες και Στατιστική) Από την εποχή που ο Dieudonne κήρυξε τον πόλεμο κατά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας οι αντιλήψεις

29

αυτές έγιναν αντικείμενο επεξεργασίας και αντιπαρατέθηκαν μεταξύ τους από σημαντικούς μαθηματικούς και παιδαγωγούς ενώ οι σχετικές συζητήσεις συνεχίζονται με αμείωτη ένταση μέχρι σήμερα Σε μια ειδική μελέτη της Διεθνούς Επιτροπής για τη Μαθηματική Εκπαίδευση (ICMI) έγινε απόπειρα σύνθεσης των διαφόρων τάσεων και διατυπώθηκαν οι εξής τρεις εναλλακτικές λύσεις για τη διδασκαλία του μαθήματος

1 η λύση

Απορρίπτουμε την ιδέα ότι η Γεωμετρία πρέπει ή μπορεί να χρησιμοποιηθεί στο σχολείο ως ένα σύστημα γνώσεων (παραγωγικά οργανωμένο ή όχι) όπου οι έννοιες και τα γεγονότα πρέπει να γίνουν γνωστά απλά και μόνο επειδή ανήκουν στο σύστημα Αντίθετα η Γεωμετρία και ο χώρος θεωρούνται ως πηγές άντλησης εξαιρετικών θεμάτων για την οργάνωση πολλαπλών δραστηριοτήτων σε διαφορετικά επίπεδα Οι laquoχρησιμοθηρικέςraquo όψεις της Γεωμετρίας θα εξυπηρετηθούν με την παροχή αλγεβρικών μεθόδων

2 η λύση

Εξακολουθούμε να επιχειρούμε τη διδασκαλία ενός αξιωματικού ή ψευδο-αξιωματικού μαθήματος σχολικής Γεωμετρίας το οποίο στηρίζεται είτε σε laquoτροποποίησηraquo των laquoΣτοιχείωνraquo του Ευκλείδη (για παράδειγμα αξιωματική θεμελίωση τύπου Pogorelov) είτε πχ στους γεωμετρικούς σχηματισμούς

3 η λύση

Για ορισμένες ομάδες μαθητών τουλάχιστον παρουσιάζουμε laquoνησίδεςraquo Γεωμετρίας δηλαδή laquoτοπικάraquo παραγωγικά συστήματα μέσα στο πλαίσιο του γενικού αναλυτικού προγράμματος (Έτσι μπορούμε για παράδειγμα να έχουμε ενότητες για τις ιδιότητες των εγγεγραμμένων σε κύκλο γωνιών ή τη στοιχειώδη προβολική Γεωμετρία)

Στην Ελλάδα για προφανείς ιστορικούς και πολιτιστικούς λόγους συνεχίζεται μια παράδοση που προσεγγίζεται εγγύτατα τη δεύτερη από τις προηγούμενες εναλλακτικές λύσεις Ακόμη και την περίοδο της μεταρρύθμισης των laquoΝέων Μαθηματικώνraquo η διεθνής πίεση για εκσυγχρονισμό των σχολικών Μαθηματικών και εγκατάλειψη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αφομοιώθηκε στη χώρα μας μέσα από έναν ιδιότυπο συμβιβασμό από τη μια μεριά διατηρήθηκε όλη η παραδοσιακή σχολική ύλη την οποία σε μεγάλο βαθμό συντηρούσαν οι εισαγωγικές εξετάσεις των ΑΕΙ και από την άλλη δόθηκε υπερβολική έμφαση στην αυστηρή αξιωματική θεμελίωσης της Γεωμετρίας καθώς και με την εισαγωγή νέας ύλης πάνω στους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς Στις αντιφατικές επιλογές εκείνης της περιόδου βρίσκονται κατά την άποψη μας οι ρίζες της μετέπειτα υποβάθμισης και παρακμής του μαθήματος της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

30

Το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στη σύγχρονη Διδακτική των Μαθηματικών τα θεμελιώδη επιστημολογικά χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας όπως είναι η παραγωγική οργάνωση του περιεχομένου η αποδεικτική διαδικασία και η έμφαση στις γεωμετρικές κατασκευές αναφέρονται συνήθως ως laquoανώτερα επίπεδα γεωμετρικής σκέψηςraquo και η μάθηση τους έχει γίνει αντικείμενο συστηματικής μελέτης και έρευνας Ένα βασικό θεωρητικό μοντέλο στο οποίο έχει στηριχθεί η διεξαγωγή μεγάλου αριθμού ερευνών σε διάφορες χώρες αποτελούν τα λεγόμενα laquoεπίπεδα van Hieleraquo Σύμφωνα με αυτό το μοντέλο η μάθηση της Γεωμετρίας εξελίσσεται ιεραρχικά περνώντας από πέντε διαδοχικά επίπεδα

bull 1ο επίπεδο Εποπτικό

bull 2ο επίπεδο ΠεριγραφικόΑναλυτικό

bull 3ο επίπεδο ΑφηρημένοΣχεσιακό

bull 4ο επίπεδο ΤυπικόΠαραγωγικό

bull 5ο επίπεδο Μεταμαθηματικό

Οι μαθητές κατανοούν τη σημασία και τη διαδικασία οικοδόμησης ενός αξιωματικού μαθηματικού συστήματος και τις σχέσεις ανάμεσα σε διαφορετικά συστήματα Για παράδειγμα αναγνωρίζουν ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία δεν είναι παρά ένας από τους πολλούς δυνατούς τρόπους περιγραφής ενός αφηρημένου μαθηματικού σύμπαντος

Είναι φανερό ότι η διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προϋποθέτει τα δύο πρώτα επίπεδα και έχει ως κύριο σκοπό την κατάκτηση των δύο επόμενων επιπέδων (για το 5ο

μάλλον δεν μπορεί να γίνεται λόγος στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση) Σε θεωρητικό επίπεδο τόσο και η θεωρία των van Hiele όσο και η γενικότερη θεωρία των σταδίων μάθησης του Piaget προβλέπουν ότι η κατάκτηση αυτών των επιπέδων είναι μια επίπονη και ιεραρχικά εξελισσόμενη διαδικασία που απαιτεί μακροχρόνια και προσεχτικά σχεδιασμένη διδασκαλία Αυτές οι θεωρητικές προβλέψεις φαίνεται να επιβεβαιώνονται από πολλές εμπειρικές έρευνες που έχουν διεξαχθεί σε διάφορες χώρες και τα αποτελέσματά τους οδηγούν σε ένα βασικό συμπέρασμα laquo η καθιερωμένη παραδοσιακή διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αδυνατεί να οδηγήσει τους μαθητές στην κατάκτηση των ανώτερων επιπέδων γεωμετρικής σκέψης raquo

Από τα αποτελέσματα αυτών των ερευνών αξίζει νrsquo αναφέρουμε εδώ ένα εντυπωσιακό στατιστικό στοιχείο που αποκαλύπτει τις διαστάσεις του προβλήματος σε μια έρευνα που έγινε στις ΗΠΑ μεταξύ 1520 μαθητών που είχαν ολοκληρώσει ένα έτος διδασκαλίας της θεωρητικής Ευκλείδειας Γεωμετρίας διαπιστώθηκε ότι μόνο το 30 είχε φτάσει σε ένα επίπεδο που μπορεί να χαρακτηριστεί από 75 επιτυχία στην απόδειξη απλών γεωμετρικών προτάσεων (πχ ότι οι διαγώνιες ενός ορθογωνίου είναι ίσες) Το ποσοστό των μαθητών που είχαν 100 επιτυχία δεν ξεπέρασε το 3

31

Κοινή πεποίθηση όλων αυτών των ερευνητών είναι ότι για να κατανοηθούν οι παραγωγικές αποδείξεις της Ευκλείδειας Γεωμετρίας απαιτείται μια ισχυρή διαισθητική βάση την οποία οι μαθητές θα αποκτήσουν μέσα από επαγωγικές εμπειρικές ανακαλύψεις τη διαπίστωση και επαλήθευση υποθέσεων τις γεωμετρικές κατασκευές και εφαρμογές Έτσι λοιπόν η διδασκαλία της Γεωμετρίας δεν θα πρέπει να στηρίζεται σrsquo ένα τεχνητό διαχωρισμό ανάμεσα σε laquoΠρακτική Γεωμετρίαraquo σχεδίασης και μετρήσεων και μια laquoΘεωρητική Γεωμετρίαraquo αποδείξεων αλλά να συνδυάζει μια ισορροπημένη ανάπτυξη των δύο αυτών όψεων του μαθήματος σrsquo όλο το φάσμα της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Η επινόηση διδακτικών μέσων και μεθόδων που θα επιτρέψουν την υλοποίηση αυτού του στόχου φαίνεται ότι αποτελεί σήμερα το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ

Η Γεωμετρία του Ευκλείδη απετέλεσε το θεμέλιο για την ανάπτυξη της laquoδυτικήςraquo επιστήμης και τεχνικής και σ αυτή τη Γεωμετρία στηρίζονται οι προϋποθέσεις της κλασικής Φυσικής από την Αναγέννηση και μετά Μόλις το 19ο αιώνα διαπιστώθηκε όμως (Λάμπερτ Γκάους Μπολυάι Λομπατσέβσκι κά) ότι η ευκλείδεια Γεωμετρία στηρίζεται στην απλοϊκή αντίληψη του επίπεδου χώρου ο οποίος είναι μεν χρήσιμος για την περιοχή που αντιλαμβάνεται με τις αισθήσεις του ένας άνθρωπος αλλά όχι για πολύ μεγάλες τιμές των φυσικών μεγεθών (αποστάσεις ταχύτητες μάζες κτλ) Τότε παύει να ισχύει η επίπεδη αντίληψη και μαζί της η Ευκλείδεια Γεωμετρία επειδή στην πραγματικότητα ο χώρος είναι κυρτός Έτσι η Γεωμετρία συμπληρώνεται με βάση αντιλήψεις που στηρίζονται στον υπερβολικό ελλειπτικό κά χώρο

Σήμερα η γεωμετρία του Ευκλείδη διδάσκεται παγκοσμίως και ανελλιπώς επί 23 αιώνες με τον τιμητικό τίτλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Στη σύγχρονη όμως σχολική γεωμετρία περιλαμβάνονται και υπολογισμοί και μετρήσεις οι οποίες από το έργο του Ευκλείδη απουσιάζουν εντελώς

Η συνολική προσφορά του Ευκλείδη στα Μαθηματικά και τις εφαρμοσμένες τέχνες υπήρξε σημαντικότατη και ταυτόχρονα βάση από την οποία εξόρμησαν οι μεταγενέστεροι μαθηματικοί γεωγράφοι και αστρονόμοι για να οδηγηθούν στο τελικό μαθηματικό θαύμα της Ελληνικής Αρχαιότητας

32

33

ΒΙΟΓΡΑΦΙΑ Ο Αρχιμήδης ήταν ένας από τους μεγάλους μαθηματικούς μηχανικούς και φυσικούς του αρχαίου Ελληνικού χώρου και μια από τις μεγαλύτερες μαθηματικές ευφυΐες του κόσμου Γεννήθηκε έζησε και πέθανε στις Συρακούσες την μεγάλη Ελληνική αποικία της Σικελίας

Πατέρας του Αρχιμήδη ήταν ο αστρονόμος Φειδίας που είχε δεσμούς φιλίας με το βασιλικό γένος των Συρακουσών Ο Αρχιμήδης ταξίδεψε στην Αίγυπτο και ήρθε σε επαφή με τους διαδόχους του Ευκλείδη του Ερατοσθένη και το Δισίθεο ενώ ήταν φίλος και συμμαθητής του Κόνωνα του Σάμιου

Υπήρξε λαμπρό παράδειγμα πρωτότυπου ερευνητή ο οποίος δεν ενδιαφέρθηκε να διευκολύνει τους αρχάριους αλλά ασχολήθηκε κυρίως για την αποκάλυψη νέων αληθειών για δική του ικανοποίηση και των ώριμων ήδη διανοούμενων Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο ενώ η κατανόηση του Ευκλείδη δεν απαιτεί εξαιρετική προηγούμενη γνώση και ευφυΐα τα προϊόντα της μαθηματικής σκέψεως τα οποία πρόκειται τώρα να εξετάσουμε είναι προσιτά αποκλειστικώς και μόνο στην ανάγνωση υψηλής πνευματικής στάθμης

Πήγε στην Αίγυπτο ως εκπαιδευτικός και ήρθε σε επαφή όχι βέβαια με τον Ευκλείδη που είχε στο μεταξύ πεθάνει αλλά με τους διαδόχους του και έκανε στενούς δεσμούς με εξαιρετικούς γεωμετρικούς όπως ο Κόνων ο Σάμιος ο Ερατοσθένης ο Κυρηναίος ο Δισίθεος κλπ από τους οποίους κατόπιν όσα έργα συνέταξε μετά την επιστροφή του στην πατρίδα του

34

Το έργο τουΤο έργο του Αρχιμήδη υπήρξε τεράστιο τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά και η ερευνητική ματιά του κάλυψε πολλούς τομείς γεωμετρία οπτική (κατοπτρική) υδραυλική μηχανική αρχιτεκτονική και την πολιορκητική Συνέδεσε το όνομά του με την γένεση της μηχανικής στην αρχαία Ελλάδα και με την λύση περίφημων μαθηματικών προβλημάτων καθώς και με τις αμυντικές εφευρέσεις του που χρησιμοποιήθηκαν όταν οι Ρωμαίοι πολιορκούσαν την πατρίδα του τις Συρακούσες

Σχολιαστής του έργου του Αρχιμήδη υπήρξε ο Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης (6ος αι μΧ) που καταγόταν από την ελληνική πόλη της Συρίας Ασκαλών

Στον χώρο της εφαρμοσμένης μηχανικής ο Αρχιμήδης επινόησε ιδιοφυείς μηχανές κάθε είδους Εφηύρε τον ρωμαϊκό ζυγό (καντάρι) το τρίσπαστο (ανυψωτική τριπλή τροχαλία) και τον ατέρμονα κοχλία έλιξ του Αρχιμήδους μηχανή άντλησης νερού από ποταμούς και φρέατα (η οποία χρησιμοποιείται ακόμα και στις μέρες μας σε περιοχές της βόρειας Αφρικής) Κατασκεύασε ένα υδραυλικό ρολόι το οποίο υπολόγιζε με μεγάλη ακρίβεια τις ώρες (και ειδοποιούσε για την αλλαγή της ώρας)

Μεγάλη φήμη απέκτησαν οι πολεμικές μηχανές του Αρχιμήδη αρχιτρόνιτο (πυροβόλο ατμού) καταπέλτες άρπαγες (μηχανισμός που ανύψωνε και αναποδογύριζε πλοία) και κάτοπτρα για την καύση των Ρωμαϊκών εχθρικών πλοίων (με παραβολικά κάτοπτρα όπως αποδείχτηκε από τα πειράματα του μηχανικού Ι Σακκά ο οποίος το 1973 απόδειξε τον τρόπο με τον οποίο ο Αρχιμήδης έκαψε τον ρωμαϊκό στόλο) Σύμφωνα με την παράδοση όταν η πόλη μετά από τριετή αντίσταση των ελλήνων κατελήφθη με προδοσία ένας ρωμαίος στρατιώτης σκότωσε τον Έλληνα επιστήμονα ενώ αυτός ήταν προσηλωμένος σε κάποιο γεωμετρικό πρόβλημα ΜΗ ΜΟΥ ΤΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥΣ ΤΑΡΑΤΤΕ πρόλαβε να του απαντήσει ο Έλληνας επιστήμονας

Ο Αρχιμήδης επηρέασε σε μεγάλο βαθμό την ευρωπαϊκή επιστημονική σκέψη καθώς και τους Άραβες επιστήμονες οι οποίοι αντέγραψαν όλα τα έργα του στα αραβικά γλώσσα στην οποία διασώθηκαν αρκετά αφού τα πρωτότυπα είχαν χαθεί

35

Διασωθέντα συγγράμματα

bull Περί σφαίρας και κυλίνδρου Βιβλίο α και βbull Κύκλου μέτρησις Σώζονται τρία θεωρήματαbull Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων (32 θεωρήματα 1 πόρισμα)bull Περί ελίκων (28 θεωρήματα 6 πορίσματα)bull Περί επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων ή Μηχανικά Βιβλ α και βbull Περί μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος (=μέθοδος)bull Βιβλίο λημμάτωνbull Πρόβλημα Βοεικόνbull Κατασκευή πλευράς του περιγραφομένου εις κύκλο επταγώνουbull Ωρολόγιον Αρχιμήδους (Σώζεται στα αραβικά)bull Περί κύκλων εφαπτομένων αλλήλωνbull Αρχαί της Γεωμετρίαςbull Ψαμμίτηςbull Τετραγωνισμός παραβολήςbull Οχουμένων (Υδροστατική)bull Στομάχιον (Σώζονται λίγα αποσπάσματα)

Συγγράμματα μη διασωθέντα (ή συγγράμματα μη αποκαλυφθέντα μέχρι σήμερα)

bull Αριθμητικάbull Βαρουλκός Υδροσκοπίαι Πνευματικήbull Επισίδια Βιβλία (Μάλλον περί στατιστικής - Τζέτζης)bull Περί τριγώνωνbull Περί τετραπλεύρουbull Περί ζευγώνbull Περί 13 ημικανονικών πολυέδρωνbull Ισοπεριμετικάbull Ισορροπίαιbull Καύσις δια κατόπτρων (επ΄ αυτού έγινε επιτυχές πείραμα στο ΝΣ)bull Περί Αρχιτεκτονικήςbull Περί βαρύτητος και ελαφρότητος (Πυκνόμετρα - Αραιόμετρα)bull Περί δρομομέτρων (Οδόμετρα πλοίων)bull Περί κέντρου Βάρους ή Κεντροβαρικάbull Κατοπρικάbull Περί παραλλήλων γραμμώνbull Περί κοίλων και παραβολικών κατόπτρωνbull Προοπτικήbull Στοιχεία μηχανικώνbull Πλινθίδες και Κύλινδροιbull Στοιχεία επί των στηρίξεωνbull Σφαιροποιΐα

36

Εφευρέσεις

bull Αραιόμετρο - Πυκνόμετροbull Αστρονομική συσκευήbull Βαρουλκόςbull Γερανοί (Αρπάγες)bull Καταπέλτεςbull Κάτοπτραbull Κοχλίας ή έλιξbull Οδόμετρο (δρομόμετρο)bull Πλανητάριον (σφαίρα)bull Πολύσπαστον (Βαρούλκο) τρίσπαστοbull Σίφωνbull Στομάχιον (επιτραπέζιο παιγνίδι το πρώτο παζλ)bull Τηλεβόλον Αρχιμήδους bull Χαριστίων (μοχλός)bull Ωρολόγιο υδραυλικό

37

Τα συγγράμματα του Αρχιμήδη που σώθηκαν μέχρι σήμερα είναι τα ακόλουθα Περί σφαίρας και κυλίνδρου Κύκλου μέτρησις περί σφαιροειδέων και κωνοειδέων Περί λίκων Επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων Ψαμμίτης Τετραγωνισμός παραβολής Οχούμενων Στομάχιον Προς Ερατοσθένην Έφοδος Βιβλίον περί λημμάτων Πρόβλημα βοεικόν Αποσπάσματα Μερικά από αυτά διασώθηκαν Πολλά επίσης είναι τα συγγράμματα του που χάθηκαν

Έκανε τα πρώτα βήματα για το μαθηματικό υπολογισμό επιφανειών με ακανόνιστο περίγραμμα και συμμετρικών εκ περιστροφής σωμάτων μέθοδος που εξελίχθηκε τεκμηριώθηκε και ονομάστηκε στην σύγχρονη εποχή laquoΟλοκληρωτικός Λογισμόςraquo υπολόγισε μία προσεγγιστική τιμή για τον άρρητο αριθμό π διατύπωσε το νόμο προεκτάσεις του γενίκευσε την εφαρμογή λέγοντας laquoΔώστε μου σημείο να στηριχθώ και θα κινήσω την γηraquo διατύπωσε την ομώνυμη αρχή για την άνωση του νερού κατασκεύασε διάφορες μηχανές ένα τύπο πολύσπαστου τον κοχλία μία αντλητική μηχανή με την laquoαρχιμήδειον έλικαraquo κά

Η συμβολή του ΑρχιμήδηΗ συμβολή του Αρχιμήδη στην ανάπτυξη της Μηχανικής συνιστάται πέρα από την επινόηση των τροχαλιών του πολύσπαστου και των οδοντωτών τροχών και ενός ιδιόμορφου αντλητικού συγκροτήματος στην έλικα που φέρει το όνομα του Ακόμα στην επακριβή διατύπωση των νόμων των μοχλών και των ισορροπιών ή κέντρα βαρών Εδώ υπάρχει και η περίφημη πρόταση laquo σύμμετρα μεγέθη ισορροπούν σε αποστάσεις αντιστρόφως ανάλογες προς το βάρος τους raquo

Σε σχέση με τους μοχλούς και τις δυνατότητες τους μας αναφέρει τη φράση laquo δος μοι πα στω και ταν γαν κινάσω raquo Απέδειξε στον Ιέρωνα ότι με ένα σύστημα τροχαλιών ndash οδοντωτών τροχών και μοχλών μπορεί να μετακινήσει ένα τεράστιο πλοίο με όλο το πλήρωμα μέσα μόνος του Ήταν ακόμα ο ίδιος που σχεδίασε και επιμελήθηκε τη ναυπήγηση του πλοίου

Ανέλαβε μετά από εντολή του Ιέρωνα την οχύρωση της πόλης και διηύθυνε ο ίδιος την άμυνα της εναντίον των Ρωμαίων

Στην αστρονομία ο Λίβιος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης είναι laquoμοναδικός παρατηρητής του ουρανού και των αστέρων raquo Ο Ίππαρχος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης ασχολήθηκε με τη μελέτη των ηλιοστασίων καθώς και με τον υπολογισμό της διάρκειας του έτους

Ο Μακρόβιος αναφέρει ότι ο Αρχιμήδης ανακάλυψε τις αποστάσεις των πλανητών ενώ στο έργο laquoΨαμμίτηςraquo περιγράφει τη συσκευή μέσω της οποίας μέτρησε τη φαινομενική γωνιακή διάμετρο του ήλιου

38

Ο Κικέρων αναφέρεται με θαυμασμό για τον Αρχιμήδη στα laquoΚατοπτρικάraquo Στα Μαθηματικά που ο ίδιος θεωρούσε ως τα πιο σημαντικά παρουσίασε την μέθοδο του προσδιορισμού του αριθμού π Τελειοποίησε το ελληνικό σύστημα αρίθμησης και παρουσίασε μια μέθοδο παράστασης των πολύ μεγάλων αριθμών Ασχολήθηκε με τη διαφορική Γεωμετρία βρήκε τους τύπους πρόσθεσης και αφαίρεσης τόξων Υπολόγισε το εμβαδόν της σφαίρας και του κυλίνδρου Μελέτησε διάφορα στερεά εκ περιστροφής όπως τα στερεά που παράγονται από περιστροφή έλλειψης υπερβολής και παραβολής γύρω από έναν άξονα

Στη Γεωμετρία το έργο του Αρχιμήδη αποτελείται κατά κύριο λόγο από πρωτότυπες μελέτες σχετικά με τον τετραγωνισμό των καμπυλόγραμμων επίπεδων σχημάτων καθώς και με τον τετραγωνισμό και τον κυβισμό καμπύλων επιφανειών

Τέλος επινόησε στο σύνολό της την Υδροστατική Επιστήμη την οποία ανέπτυξε πλήρως Οι μελέτες του αναπαριστούν ένα σύνολο μαθηματικών και γεωμετρικών επιτευγμάτων το οποίο δεν ξεπέρασε κανείς στην ανθρώπινη ιστορία

Όπως αναφέρει ο Wallis laquo ο Αρχιμήδης αφήνει ένα συγκεκριμένο μυστήριο να καλύπτει τον τρόπο με τον οποίο κατέληγε στα αποτελέσματά του Είναι σαν να είχε καλύψει σκοπίμως τα ίχνη του τα ίχνη των ερευνών του σα να ήταν απρόθυμος να αποκαλύψει το μυστικό της μεθόδου έρευνάς του στους μεταγενέστερους ενώ επιθυμούσε να αποσπάσει τη συναίνεσή τους για τα αποτελέσματά του raquo

Ο ίδιος ο Αρχιμήδης ως φορέας ενός ανώτερου φιλοσοφικού πνεύματος θεωρούσε ταπεινή και ανάξια κάθε τέχνη που εξυπηρετούσε πρακτικές ανάγκες ή αποσκοπούσε στο οικονομικό κέρδος Γι` αυτό και έστρεψε όλη του την προσοχή και τις επιδιώξεις στους καθαρούς στοχασμούς χωρίς να καταδεχτεί να αφήσει κάποιο γραπτό στοιχείο για τις τεχνολογικές του ανακαλύψεις με μοναδική εξαίρεση όσες αναφέρονται στο έργο του laquoπερί σφαιροποιίαςraquo Δεν είναι καθόλου τυχαίο λοιπόν το ότι ο Κικέρων αργότερα βρήκε τον τάφο του και πάνω μία αναπαράσταση ενός κυλίνδρου περιγεγραμμένου σε σφαίρα με μία περιγραφή που έδινε το λόγο του κυλίνδρου προς τη σφαίρα

Σε ποιους τομείς εφαρμόστηκαν οι θεωρίες του Εξαιρετικές του μελέτες και για τη μέθοδο και για το αποτέλεσμα είναι εκείνες που έδωσαν τα εμβαδά Κύκλου Έλλειψης Παραβολής και Έλικας καθώς και τα εμβαδά και τους όγκους των Κυλίνδρων των Κώνων και κυρίως των Σφαιρών

Σημαντικότατη θεωρείται και η ανακάλυψη από τον ίδιο τύπου που δίνει το εμβαδόν τριγώνου από τις πλευρές του και ακόμα η επέκτασή του στα εγγεγραμμένα τετράπλευρα Ο Αρχιμήδης επίσης γνώριζε να κατασκευάζει τη λύση ειδικών τριτοβάθμιων προβλημάτων και μεταξύ αυτών και του Δηλίου Προβλήματος Τις λύσεις αυτές τις έδινε με την τομή δύο κωνικών (Ευτόκιος) Μοναδική είναι η προσφορά του στην ανώτερη μετρική Γεωμετρία Συγκεκριμένα εξέφρασε τους όγκους στερεών εκ περιστροφής κωνικών τομών εφαρμόζοντας απειροστικές μεθόδους ανάλυσης των στερεών αυτών

39

Στη σύγχρονη κλασική γεωμετρία όλο σχεδόν το μετρικό της μέρος οφείλεται στον Αρχιμήδη με αποτέλεσμα αυτή ουσιαστικά να είναι ισορροπημένη μείξη της Ευκλείδειας και της Αρχιμήδειας αρχαίας γεωμετρίας

Έτσι ο σοφός μας αποτελεί ουσιαστικά τον πατέρα της ανώτερης μετρικής γεωμετρίας της αρχαιότητας και ταυτόχρονα την πηγή έμπνευσης των νεώτερων μελετών του διαφορικού και απειροστικού λογισμού

Η πρωτοτυπία και η αποτελεσματικότητα των μελετών του έγιναν αιτία να χαρακτηριστεί από τους ιστορικούς των μαθηματικών ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών και όλων των εθνών

Ρεύμα στα ανάκτορα της Βρετανίας μέσω εφεύρεσης του Αρχιμήδη ( httpkatestimenoblogspotcom201109blog-post_1015html )

laquoΗ Βασίλισσα Ελισάβετ πρόκειται να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση ενός αρχαίου Έλληνα για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Και όταν λέμε αρχαίο Έλληνα εννοούμε τον Αρχιμήδη και όχι τον 90χρονο σύζυγό της Φίλιππο της Ελλάδαςraquo

Με αυτόν τον τίτλο πληροφορεί το βρετανικό κοινό η εφημερίδα ldquoDaily Mailrdquo για την απόφαση της Αυτής Μεγαλειότητας να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση του αρχαίου Έλληνα εφευρέτη Αρχιμήδη από τις Συρακούσες για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Πρόκειται για τη σύγχρονη εκδοχή του ατέρμονα κοχλία της έλικος του Αρχιμήδους όπως έμεινε γνωστή η εφεύρεση και είναι ένας σωληνοειδής κοχλίας που χρησίμευε για την άντληση νερού και την άρδευση καλλιεργημένων εκτάσεων

Η σύγχρονη εκδοχή της εφεύρεσης θα χρησιμοποιεί το νερό που μεταφέρεται από ένα τεχνητό φράγμα για να παράγει υδροηλεκτρική ενέργεια Ο μηχανισμός έχει ήδη μεταφερθεί μέσω του Τάμεση στο Romney Weir στα ανάκτορα του Γουίντσορ Σύμφωνα με το δημοσίευμα της εφημερίδας οι έλικες θα είναι έτοιμες για την παραγωγή ενέργειας τον προσεχή Νοέμβριο ενώ θα μπορούν να καλύψουν πλήρως τις ανάγκες του κάστρου σε ενέργεια μέσα στον επόμενο χρόνο

Εκτός αυτού οι τουρμπίνες είναι σχεδιασμένες ώστε να μην εμποδίζουν την ασφαλή διέλευση σολομού και χελιού μέσα στον ποταμό Τάμεση

Οι laquoέλικες του Αρχιμήδηraquo βάρους 40 τόνων κατασκευάστηκαν από ένα εργοστάσιο στην Ολλανδία και στοίχησαν 700000 λίρες Αγγλίας ενώ το κόστος εγκατάστασής τους θα ξεπεράσει το ένα εκατομμύριο λίρες

40

bull Ἀργός μή ἲσθι μηδ΄ἀν πλουτῆς (Να μην μένεις αργός ούτε όταν είσαι πλούσιος)

bull Ίσχυρότατον ἀνάγκη κρατεῖ γάρ πάντων (Η ανάγκη είναι το ισχυρότατο των πραγμάτων διότι υπερισχύει όλων)

bull Φίλων παρόντων καί ἀπόντων μέμνησο (Να θυμάσαι τους φίλους σου όταν είναι παρόντες και απόντες)

bull Φθονοῦ μᾶλλον ἤ οἰκτίρου (Καλύτερα να σε φθονούν παρά να σε λυπούνται)

bull Πρός τόν πυθόμενον τί πρότερον γεγόνοι νύξ ἡ ἡμέρα laquoἡ νύξraquo ἔφη laquoμία ημέρα πρότερονraquo (Προς κάποιον που τον ρώτησε τι έγινε πρώτα η νύκτα ή η ημέρα απάντησε laquoΗ νύχτα έγινε μία μέρα νωρίτεραraquo)

ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣυνοπτικά ο Θαλής στην αστρονομία

bull ανακάλυψε την ανισότητα των εξάμηνων (θερινού και χειμερινού) με σκιοθηρικό γνώμονα

bull Μέτρησε την διάρκεια του έτους (365 μέρες) bull Μελέτησε τις τροπές και τις ισημερίες του ήλιου και ανέπτυξε μεθόδους εντοπισμού

των αντίστοιχων ημερών μέσα στο έτος bull Ανέπτυξε μέθοδο υλοποίησης στο έδαφος της ακριβούς διεύθυνσης βορρά και

νότουbull Προέβλεψε μια έκλειψη ήλιου (Μάιος 585 πχ)bull Υπολόγισε τον λόγο της διαμέτρου του Ήλιου προς την φαινόμενη τροχιά του γύρω

από την γη καθώς και της διαμέτρου της σελήνης προς την τροχιά της γύρω από την γη

bull Κατασκεύασε το περίφημο laquoδιαστημόμετροraquo για τον υπολογισμό των αποστάσεων των πλοίων από την ξηρά

ΦΥΣΙΚΗΌσον αφορά την φυσική με την παρατήρηση ότι το ήλεκτρο (κεχριμπάρι) όταν τρίβεται πάνω σε μάλλινο ρούχο αποκτά την ιδιότητα να έλκει τρίχες μικρά φτερά κλπ ο Θαλής έθεσε τα θεμέλια του ηλεκτρισμού Αρκετούς αιώνες μετά η παραγωγή ηλεκτρισμού με την χρήση της τριβής πραγματοποιήθηκε με την βοήθεια ηλεκτροστατικών μηχανών Τέλος στο Θαλή οφείλεται και η ανακάλυψη του μαγνητισμού

7

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Συνοπτικά ο Θαλής στη γεωμετρία

bull Εισήγαγε την έννοια των παράλληλων ευθειώνbull Εισήγαγε την έννοια των γωνιών και τα πρώτα τους θεωρήματαbull Ανακάλυψε κριτήρια ισότητας και ομοιότητας τριγώνωνbull Ανακάλυψε το ομώνυμό του Θεώρημα του Θαλήbull Ανακάλυψε το θεώρημα της γωνίας της εγγεγραμμένης στο ημικύκλιοbull Εκτιμάται ότι ανακάλυψε το θεώρημα των τριών γωνιών τρίγωνου

ΜΑΡΤΥΡΙΕΣ-ΑΠΟΤΙΜΗΣΗΔυστυχώς οι γνώσεις μας για τα μαθηματικά που αναπτύχθηκαν τον 6ο και τον 5ο αιώνα πΧ είναι αποσπασματικές Κανένα κείμενο δεν διασώζεται ακέραιο ενώ οι πληροφορίες που έχουμε προέρχονται από συγγραφείς που έζησαν έως και 1000 χρόνια αργότερα

Ο Πρόκλος αποτελεί την καλύτερη και την πλέον αξιόπιστη πηγή για τον Θαλή ως Γεωμέτρη

Παρrsquo ότι ο Πρόκλος έζησε τον 5ο μΧ αιώνα η επισκόπηση της Ιστορίας της Γεωμετρίας που περιέλαβε στα σχόλια του για το πρώτο βιβλίο του Ευκλείδη είναι αξιόπιστη καθώς θεωρείται ότι βασίζεται στην χαμένη Ιστορία της Γεωμετρίας που είχε συγγράψει ο μαθητής του Αριστοτέλη ο Εύδημος

Με τον Θαλή αλλά και τους επίγονους της σχολής της Ιωνίας το σχήμα παίρνει ουσιαστικό και πρωτεύοντα ρόλο στην σπουδή της Γεωμετρίας και γίνεται το ίδιο αντικείμενο μελέτης και μαθηματικού στοχασμού

Δικαίως λοιπόν εξασφάλισε τον τίτλο του laquoΠατέρα της Γεωμετρίαςraquo αφού

bull Σύμφωνα με τον Ιερώνυμο (Μαθητής του Αριστοτέλη)

laquoΚατόρθωσε να μετρήσει τις πυραμίδες παρατηρώντας το μήκος της σκιάς τους κατά τη στιγμή που οι σκιές μας έχουν μήκος ίσο με το ύψος μαςraquo

8

bull Ο Πλίνιος

Μας λέει τα ίδια προσθέτοντας ότι ο Θαλής χρησιμοποίησε την μέθοδο και για κάθε άλλο σώμα του οποίου θέλουμε να βρούμε το ύψος

bull Ο Πρόκλος αποδίδει στο Θαλή πολλά μαθηματικά αποτελέσματαlaquoΠρώτος ο Θαλής απέδειξε ότι η διάμετρος διχοτομεί τον κύκλοraquolaquoΠρώτος εκείνος επεσήμανε ότι οι γωνίες της βάσης κάθε ισοσκελούς τρίγωνου είναι ίσεςraquo

bull Ο Εύδημος αναφέρει

laquoΟ Θαλής βρήκε πρώτος το θεώρημα ότι οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσεςraquo

Άλλες μαρτυρίες για τα θεωρήματα και τη συμβολή του Θαλή είναι και της ιστορικού Παμφίλης (που παρατίθεται από το Διογένη Λαέρτιο) η οποία υποστήριξε πως ο Θαλής υπήρξε ο πρώτος που ενέγραψε ορθογώνιο τρίγωνο σε κύκλο Συμφώνα όμως με τον Απολλόδωρο το λογικιστή αυτό πρέπει να αποδοθεί στους Πυθαγορείους Συμφώνα πάλι με τον Cantor ο Θαλής δεν laquoαπέδειξεraquo αλλά μάλλον παρατήρησε τις ιδιότητες των γεωμετρικών σχημάτων

Με βάση τις παραπάνω μαρτυρίες είμαστε σε θέση να αποτιμήσουμε τη συμβολή του Θαλή στην παγκόσμια ιστορία όλων των τομέων των επιστημών Η συμβολή αυτή έγκειται στο γεγονός ότι ανέπτυξε μια λογική δομή και εισήγαγε την απόδειξη στα μαθηματικά

9

ΠυθαγόραςΒΙΟΓΡΑΦΙΚΑ

Ο γνωστός σε όλους μας Πυθαγόρας ο Σάμιοςγεννήθηκε στη Σάμο και έζησε το 580-500πΧ Το όνομά του του το έδωσαν οι γονείς του προς τιμήν της Πυθίας η οποία προφήτεψε τη γέννησή του Σύμφωνα με τον Διογένη Λαέρτιο ο Πυθαγόρας έλεγε ότι κάποτε υπήρξε Αιθαλίδης και ήταν γιος του Ερμή Ο Ερμής του ζήτησε να διαλέξει ότι ήθελε εκτός από την αθανασία Ζήτησε λοιπόν όσο ζει να θυμάται όσα του έχουν συμβεί Έτσι μπορούσε να επαναφέρει στη μνήμη του τα πάντα από τις προηγούμενες ζωές του

Νεαρός ακόμα παρακινούμενος από τη φιλομάθειά του έφυγε από την πατρίδα του για να μυηθεί σε όλες τις ελληνικές και βαρβαρικές τελετές Πήγε στην Αίγυπτο και τότε ο πολιτάρχης τον σύστησε με επιστολή του στον Αμάση Εκεί έμαθε τέλεια τα αιγυπτιακά όπως λέει ο Αντιφών στο laquo Περί τῶν ἒν ἁρετῇ πρωτευσάντων raquo και επισκοπήθηκε τους Χυδαίους και τους Μάγους Κατόπιν στην Κρήτη με το Επιμενίδη κατέβηκε στο Ιδαίον Άντρο αλλά και στην Αίγυπτο είχε μπει στα άδυτα Έτσι γνώρισε τα μυστικά για τους θεούς Στη συνέχεια επέστρεψε στη Σάμο επειδή όμως βρήκε την πατρίδα του τυραννοκρατούμενη από τον Πολυκράτη αναχώρησε για τον Κρότωνα της Ιταλίας Έδρασε εκεί όπου και ίδρυσε την περίφημη laquoΠυθαγόρειο Σχολήraquo η οποία ήταν πολίτικο-θρησκευτικό ίδρυμα με πολιτικούς κυρίως στόχους όπου μελετήθηκαν και η αριθμητική και η γεωμετρία Επεδίωκε την ηθική και πνευματική αναγέννηση όλων των λαϊκών στρωμάτων ανδρών και γυναικών της περιοχής του Κρότωνα

Είχε πολλούς και καλούς μαθητές Κάθε φορά που έμπαιναν στο σπίτι του τους έλεγε να λένε τα εξής laquoΠού έσφαλαraquo laquoΤι έκαναraquo laquoΤι έπρεπε να κάνω και δεν έκαναraquo Οι μαθητές του επί πέντε χρόνια παρέμεναν σιωπηλοί και άκουγαν μόνο τις ομιλίες του Πυθαγόρα χωρίς ποτέ να βλέπουν τον ίδιο Μετά το τέλος αυτής της δοκιμασίας του γίνονταν μέλη του σπιτιού του και είχαν το δικαίωμα να τον βλέπουν

10

Πέθανε σύμφωνα με τον Διογένη Λαέρτιο καθώς προσπαθούσε να διαφύγει από την καταδίωξη Κροτωνιατών που φοβήθηκαν την εγκαθίδρυση τυραννίας λόγω της μεγάλης δύναμης που είχε αποκτήσει αυτός και οι μαθητές του στην πόλη Οι Κροτωνιάτες έσφαξαν αυτόν και τους τετρακόσιους μαθητές του αφού πρώτα έκαψαν το σπίτι του Μίλωνα στο οποίο λίγο πριν είχαν συγκεντρωθεί Ο Δικαίαρχος αναφέρει πως ο Πυθαγόρας πέθανε στο ιερό των Μουσών στο Μετάποντιο (ελληνική αποικία) μένοντας σαράντα ημέρες νηστικός

ΕΠΙΤΕΥΓΜΑΤΑ - ΕΡΓΟ

Η ηθική διδασκαλία του Πυθαγόρα και των ακολούθων του (Πυθαγορείων) διασώζεται σε 71 στίχους του έργου laquoΤα χρυσά έπη του Πυθαγόραraquo Η σύνθεση αυτών των στίχων αποδίδεται στους Νεοπυθαγορείους του 2ου-3ου μΧ αιώνα Η γνώση ότι τα laquoΧρυσά Έπηraquo γραφτήκαν από τον Πυθαγόρα ή τους Πυθαγορείους και ανασυντέθηκαν μεταγενέστερα με τη μορφή που έφτασαν σε εμάς δεν φαίνεται να είναι σωστή Αν κάνουμε μια απλή ανάγνωση στα εν λόγω έπη αποδεικνύεται ότι αυτά γράφτηκαν πολύ αργότερα Οπωσδήποτε όμως το περιεχόμενο των επών είναι απόλυτα laquoπυθαγορικόraquo και συμφωνεί με την παράδοση της ηθικής διδασκαλίας του Πυθαγόρα και των Πυθαγορείων

Οι σύγχρονοί του όμως φαίνεται ότι θεωρούσαν τον Πυθαγόρα περισσότερο ως θρησκευτικό προφήτη και λιγότερο ως μαθηματικό Πρέπει να υπογραμμίσουμε πάντως ότι η διδασκαλία του διέφερε από διδασκαλίες άλλων στοχαστών της εποχής του κατά το ότι απέδιδε πολύ μεγάλη σημασία στα μαθηματικά λέγοντας ότι αυτά είναι η οδός για την απελευθέρωση της ψυχής Το πιο σημαντικό μέρος των μαθηματικών για τους Πυθαγορείους είναι η αριθμητική Διότι όπως έλεγε και ο Πυθαγόρας laquoΤά τῶν αριθμῶν στοιχεία τῶν ὂντων πάντωνεἴναιraquo (Αριστοτέλους Μετά τα φυσικάΑ5)

11

[Aristot Metaph A 5985 b 23]οἱ καλούμενοι Πυθαγόρειοι τῶν μαθημάτων ἁψάμενοι πρῶτοι ταῦτά τε προήγαγον καὶ ἐντραφέντες ἐν αὐτοῖς τὰς τούτων ἀρχὰς τῶν ὄντων ἀρχὰς ᾠήθησαν εἶναι πάντων ἐπεὶ δὲ τούτων οἱ ἀριθμοὶ φύσει πρῶτοι ἐν δὲ τούτοις ἐδόκουν θεωρεῖν ὁμοιώματα πολλὰ τοῖς οὖσι καὶ γιγνομένοις μᾶλλον ἢ ἐν πυρὶ καὶ γῇ καὶ ὕδατι ὅτι τὸ μὲν τοιονδὶ τῶν ἀριθμῶν πάθος δικαιοσύνη τὸ δὲ τοιονδὶ ψυχή τε καὶ νοῦς ἕτερον δὲ καιρὸς καὶ τῶν ἄλλων ὡς εἰπεῖν ἕκαστον ὁμοίως ἔτι δὲ τῶν ἁρμονιῶν ἐν ἀριθμοῖς ὁρῶντες τὰ πάθη καὶ τοὺς λόγους - ἐπεὶ δὴ τὰ μὲν ἄλλα τοῖς ἀριθμοῖς ἐφαίνετο τὴν φύσιν ἀφωμοιῶσθαι πᾶσαν οἱ δ ἀριθμοὶ πάσης τῆς φύσεως πρῶτοι τὰ τῶν ἀριθμῶν στοιχεῖα τῶν ὄντων στοιχεῖα πάντων ὑπέλαβον εἶναι καὶ τὸν ὅλον οὐρανὸν ἁρμονίαν εἶναι καὶ ἀριθμόν

bull Πυθαγόρειες τριάδες

Ο Πρόκλος αποδίδει στον ίδιο τον Πυθαγόρα την εύρεση των πυθαγορείων τριάδων της

μορφής

+ΝminusΝΝ2

12

122

όπου Ν περιττός αριθμός μεγαλύτερος του 1 Για

παράδειγμα αν πάρουμε ως Ν τον αριθμό 3 θα σχηματιστεί η τριάδα

+minus2

132

13322

δηλαδή η (3 4 5) η οποία είναι πράγματι Πυθαγόρεια τριάδα αφού ικανοποιεί τη σχέση 222 543 =+

Φαίνεται ότι αληθεύει η εκδοχή λόγω της παράδοσης κάποιες μαθηματικές γνώσεις να μεταδόθηκαν από την Αίγυπτο σε πολλούς αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς ανάμεσα τους τον Πυθαγόρα

12

bull Πυθαγόρειο θεώρημα

Σε αντιστοιχία με τον ορισμό των πυθαγορείων τριάδων ένα τρίγωνο λέγεται πυθαγόρειο όταν τα μήκη των πλευρών του αποτελούν Πυθαγόρεια τριάδα Προφανώς κάθε ορθογώνιο τρίγωνο είναι πυθαγόρειο ενώ το αντίστροφο γενικά δεν ισχύει Το ΠΘ αποτελεί χαρακτηριστικό παράδειγμα μελέτης των ιδιοτήτων των σχημάτων Ο Ευκλείδης στα laquoΣτοιχείαraquo μας λέει ουσιαστικά ότι η επιφάνεια που καταλαμβάνει το τετράγωνο που κατασκευάζεται με πλευρά την υποτείνουσα ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι ίση με την επιφάνια που καταλαμβάνουν μαζί τα τετράγωνα που κατασκευάζονται με πλευρά τις κάθετες πλευρές του τριγώνου

-Ορισμός Πυθαγορείου Θεωρήματος Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών Αντίστροφο Πυθαγορείου Θεωρήματος Αν σε ένα τρίγωνο το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο

Η απόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήματος που χρησιμοποιούμε συνήθως σήμερα στηρίζεται στην έννοια της ομοιότητας των τριγώνων και τις αλγεβρικές ιδιότητες των αναλογιών ενώ το θεώρημα διατυπώνεται στη μορφή μιας αλγεβρικής ισότητας για τετράγωνα των μήκων των πλευρών του ορθογώνιου τριγώνου Με τον τρόπο αυτό γίνεται ένα ευέλικτο υπολογιστικό εργαλείο με πολυάριθμες εφαρμογές και προεκτάσεις

Το πυθαγόρειο θεώρημα αποδεικνύεται με πάνω από έναν τρόπους

13

Απόδειξη με εμβαδά

Θεωρούμε ένα τετράγωνο πλευράς a + b και σχεδιάζουμε σε αυτό τέσσερα ορθογώνια τρίγωνα με πλευρές a και b και υποτείνουσα c έτσι ώστε στο κέντρο να έχουμε τετράγωνο πλευράς c (βλ σχήμα)

Υπολογίζουμε το εμβαδό του τετραγώνου προσθέτοντας το εμβαδό του μικρότερου τετραγώνου καθώς και τα εμβαδά των τεσσάρων τριγώνων

c2 + 2abΑφού πρόκειται για τετράγωνο πλευράς a + b το εμβαδό του ισούται επίσης με

a2 + b2 + 2abΕξισώνοντας τις δυο αυτές σχέσεις προκύπτει

a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab ή a2 + b2 = c2

Απόδειξη με ομοιότητα τριγώνων

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ορθή γωνία την Α Θεωρώ το ύψος της υποτείνουσας ότι την τέμνει στο σημείο Δ Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΒΑ είναι όμοια μεταξύ τους ως ορθογώνια τρίγωνα με ίδια τη γωνία Β Παρομοίως τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΓΑ είναι όμοια μεταξύ τους με ίδια τη γωνία Γ

Ισχύει ))(()AB()AB()(

)()AB( 2 ∆ ΒΒ Γ=rArr∆ Β=

Β Γ και (ΑΓ)2 = (ΒΓ)(ΔΓ)

Αν προσθέσουμε τις δυο αυτές εξισώσεις έχουμε(ΑΒ)2 + (ΑΓ)2 =

(ΒΓ)(ΔΒ) + (ΒΓ)(ΔΓ) = (ΒΓ)(ΔΒ + ΔΓ) = (ΒΓ)2

bull Η περίφημη κούπα του Πυθαγόρα

Ο Πυθαγόρας κατά την τοπική παράδοση της Σάμου είχε φτιάξει μια κούπα εφαρμόζοντας τους νόμους της Φυσικής για να πίνει με μέτρο το κρασί Εσωτερικά είχε μία γραμμή που όριζε ως που έπρεπε να γεμίσει κανείς Μια στάλα παραπάνω και η κούπα άδειαζε όλο το κρασί της από μία κρυφή οπή στη βάση Πως όμως γίνεται αυτό Στο κέντρο της κούπας βρίσκεται μια στήλη τοποθετημένη ακριβώς πάνω από έναν σωλήνα ο οποίος οδηγεί στο κάτω μέρος της Εκεί βρίσκεται η κρυφή οπή Ενώ γεμίζουμε την κούπα η στάθμη του κρασιού ανεβαίνει και στο εσωτερικό της κεντρικής στήλης ακολουθώντας το νόμο του Pascal για τα συγκοινωνούντα δοχεία

14

Όσο η στάθμη του κρασιού δεν ξεπερνά τη γραμμή που είναι χαραγμένη στο εσωτερικό της κούπας laquoδεν τρέχει τίποταraquo Εάν όμως την ξεπεράσει ταυτόχρονα φτάνει και στην κορυφή της εσωτερικής στήλης έτσι μέσω του σωλήνα το παραπανίσιο κρασί χύνεται κάτω από την κούπα Τότε η υδροστατική πίεση δημιουργεί ένα σιφόνι στον εσωτερικό σωλήνα το οποίο αδειάζει όλο το περιεχόμενο της κούπας από την οπή που υπάρχει

Ένα πλήθος επιπρόσθετων επιτευγμάτων όπως η κατασκευή και η μελέτη τριών τουλάχιστον από τα πέντε κανονικά πολύγωνα (κύβος τετράεδρο δωδεκάεδρο) και η κατασκευή της μουσικής κλίμακας (μελέτη των λόγων της τετράχορδης λύρας και δημιουργία κανόνα της οχτάχορδης λύρας) μας αποδεικνύει τη σημαντικότητα του Πυθαγόρα ως επιστήμονας της εποχής του Οι πληροφορίες για τη μελέτη των πολυέδρων δεν είναι αρκετές ωστόσο για τη μουσική κλίμακα γνωρίζουμε ότι βασίστηκε στις μελέτες του Πυθαγόρα ο οποίος μελετώντας τη μαθηματική σχέση της μουσικής κλίμακας και διατυπώνοντας σχετικούς κανόνες διευκόλυνε κατά πολύ την κατασκευή μουσικών οργάνων Κατάφερε να εκφράσει τη μουσική αρμονία με μαθηματικές σχέσεις μέσα από τη φιλοσοφική και επιστημονική του προσέγγιση Ξεκινώντας από μία χορδή και διαιρώντας διαδοχικά με το μήκος της και τον χρυσό αριθμό Φ κατάφερε να κατασκευάσει το μουσικό όργανο laquoΚανόναraquo εξέλιξη του οποίου συναντάται σήμερα στο γνωστό laquoκανονάκιraquo

Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΟΥ ΣΤΟ ΣΗΜΕΡΑ

Το αρχαιότερο παράδειγμα εφαρμογής του γνωστού σε όλους laquoπυθαγορείου θεωρήματοςraquo το συναντούμε στη πινακίδα ΒΜ 85196 που χρονολογείται από την περίοδο της πρώτης βαβυλωνιακής χιλιετίας πΧ Έχοντας γνώση λοιπόν του έργου του οι Βαβυλώνιοι οδηγηθήκαν σε αξιόλογα επιτεύγματα

Ο Πυθαγόρας υπήρξε μεγάλη προσωπικότητα με τις έρευνες και το Πανεπιστήμιό του συνέβαλε στο άλμα των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών Η περίεργη μυστικότητα όμως που διέπνεε το σύλλογο έγινε αιτία να μην πληροφορηθούν οι βιογράφοι επακριβώς όλα τα προσωπικά επιτεύγματα του ίδιου Έτσι σήμερα αγνοούμε εν μέρη το δικό του έργο το οποίο ασφαλώς θα ήταν σημαντικότατο

Όσο αναφορά το πυθαγόρειο σχήμα παρά τα αρκετά μειονεκτήματα έχει μερικά χαρακτηριστικά τα οποία μόνιμα επηρέαζαν την ελληνική αστρονομική σκέψη Έδινε βαρύτητα στις κυκλικές κινήσει των ουράνιων σωμάτων γύρω από ένα κεντρικό στοιχείο Τέλος στον Πυθαγόρα και τους Πυθαγορείους οφείλεται πλήθος γεωμετρικών εργασιών αφού αυτοί μελέτησαν με επιτυχία την επιστήμη της Γεωμετρίας

15

Πλάτων ο ΑθηναίοςΒιογραφικά στοιχεία

Έζησε στο διάστημα (427-347πΧ) Ήταν Aθηναίος φιλόσοφος αριστοκρατικής καταγωγής όπου ίδρυσε και διεύθυνε το διασημότερο πανεπιστήμιο στην αρχαία Ελλάδα την Ακαδημία για 40 περίπου χρόνια μέχρι το θάνατό του Πατέρας του ήταν ο Αρίστωνας ο οποίος καταγόταν από το γένος του βασιλιά Κόδρου και μητέρα του ήταν η Περικτιόνη η οποία ήταν αδερφή του Χαρμίδη ενός από τους Τριάκοντα τύραννους και ανιψιά του Κριτία επίσης μέλος των Τριάκοντα με καταγωγή από το γένος του νομοθέτη Σόλωνος Αδέρφια του ήταν οι Αδείμαντος και Γλαύκων Το πρώτο του όνομα ήταν Αριστοκλής αλλά αργότερα ονομάστηκε Πλάτωνας γιατί είχε ευρύ στέρνο και πλατύ μέτωπο

Σε ηλικία 18 ετών γνώρισε τον Σωκράτη και γοητεύτηκε από την προσωπικότητα και από την διδασκαλία του Από το συνολικό έργο του διασώζονται 36 έργα τα οποία εκτός από την Απολογία του Σωκράτη έχουν την μορφή διαλόγου σε όλα εκτός των Νόμων Την συζήτηση διεύθυνε ο Σωκράτης ενώ ο τίτλος του καθενός είναι το όνομα του σπουδαιότερου συνομιλητή ή αφηγητή Στα έργα αυτά γίνεται φανερή η τοποθέτηση του και ο άκρατος

θαυμασμός του προς τα μαθηματικά και ιδιαίτερα προς την γεωμετρία

Λίγες πληροφορίες για την Ακαδημία

Η Ακαδημία ήταν ένα προάστιο των Αθηνών Πήρε το όνομά της από τον ήρωα Ακάδημο Αναφορικά ο Ιππίας γιος του Πεισίστρατου έκτισε ένα κυκλικό τοίχο και ο Κίμωνας φύτεψε τη περιοχή με τα δέντρα η οποία καταστράφηκε από τον Σίλα το 86 πΧ Το 387

16

πΧ O Πλάτωνας ίδρυσε τη φιλοσοφική του σχολή η οποία έγινε πολύ διάσημη χάρη στους νεοπλατωνιστές και χρησιμοποιείτο έως το 526 μΧ οπότε και έκλεισε από τον αυτοκράτορα Ιουστινιανό Η Ακαδημία ήταν σχολή ανωτέρων μελετών και ταυτόχρονα και εκπαιδευτικό ίδρυμα Είχε ισχυρή καταστατική συγκρότηση και παρουσιάζεται περισσότερο υπό τη μορφή μιας αδελφότητας μιας φιλοσοφικής αίρεσης τα μέλη της οποίας αισθάνονται στενά συνδεδεμένα μεταξύ τους και διακρίνεται και από μια οικειότητα στις σχέσεις μεταξύ των μαθητών και των δασκάλων την οποία θα χαρακτηρίζαμε στοργική και φιλική συνάμα Υπάρχει μια διαφωνία σχετικά με το αν η Ακαδημία ήταν ένωση για τη πρόοδο των επιστημών ή ίδρυμα ανώτατης μόρφωσης Η διαφωνία αυτή είναι κάπως άσκοπη δεδομένου το ότι ο άκρατος ρεαλισμός της σχολής αλλά και ο απλός χαρακτήρας της αρχαϊκής εκείνης εποχής δεν επιτρέπουν στο να μεταθέσουμε σε εκείνο το περιβάλλον τη σύγχρονη αντίληψη που έχουμε για την επιστήμη Η Ακαδημία άλλωστε ήταν σχολή ανώτερων μελετών αλλά και εκπαιδευτικό ίδρυμα ταυτόχρονα Τέλος ο Πλάτωνας δεν ονειρεύτηκε μόνο τη ldquoμετά επιστήμηςrdquo παιδεία αλλά και τη μετέδωσε για σαράντα χρόνια στους μαθητές του στην Ακαδημία

Η Ακαδημία ήταν ο τόπος στον οποίο ο Πλάτωνας προσπαθούσε να δείξει τον δρόμο σε προικισμένους μαθητές ώσπου να αναπηδήσει ο σπινθήρας και να αποκαλυφθεί η έσχατη γνώση Ξέρουμε τόσα λίγα για την καθημερινή διδασκαλία στην ακαδημία την εποχή του Πλάτωνα ώστε πότε-πότε θέλησαν να αρνηθούν τον επιστημονικό χαρακτήρα της Τέτοιοι σκεπτικισμοί δεν στηρίζονται πουθενά Την μεγάλη σημασία των μαθηματικών σαν προπαίδεια για την διαλεκτική η οποία στηριζόταν σε αυτά την δείχνουν μερικές προσωπικότητες του Πλατωνικού κύκλου και χωρίς αμφιβολία υπάρχει ουσιαστική αλήθεια στο ανέκδοτο που λένε ότι βρισκόταν πάνω από την είσοδο της Ακαδημίας laquoἁγεωμέτρητος μηδείς εἰσίτωraquo Ξέρουμε ακόμα ότι η διαιρετική μέθοδος για την οποία μιλήσαμε στους οψιμότερους διαλόγους έπαιξε σημαντικό ρόλο στον αγώνα για ένα λογικά ταχτοποιημένο κοσμοείδωλο και στην απόκτηση ορισμών με την διαίρεση των γενικότερων εννοιών

Η συμβολή του Πλάτωνα και της Ακαδημίας στα μαθηματικά

Η συμβολή της Ακαδημίας στα μαθηματικά του 4ου αιώνα πΧ είναι σημαντικότατη ιδιαίτερα με τα έργα των καθηγητών της Θεαίτητου Μεναίχμου και Ενδόξου Η συμβολή όμως του Πλάτωνα είναι αμφιλεγόμενη αν και πιστεύεται ότι

-Έλυσε το Δήλιο πρόβλημα (διπλασιασμό του κύβου) με κινητική γεωμετρία και κάποιο όργανο με την βοήθεια του οποίου προέκυπτε η λύση

-Έδωσε γενική μορφή στην αναλυτική μέθοδο και συνέβαλε στην έρευνα των γεωμετρικών τύπων

-Προσδιόρισε ένα πλήθος των πυθαγορείων τριάδων δηλαδή των τριαδικών ακέραιων αριθμών που επαληθεύουν την ισότητα x2+y2=ω2 του Πυθαγορείου θεωρήματος

Για τα πολυσυζητημένα αστρονομικά ζητήματα της εποχής του (κίνηση του ουρανού θέση σχήμα και κίνηση της Γης) παρουσιάζει ξένες και θολά διατυπωμένες απόψεις γεγονός που

17

φανερώνει ότι δεν διέθετε προσωπική άποψη για το θέμα και γενικά ότι δεν ήταν μαθηματικός

Έγραψε μεταξύ άλλων την απολογία του Σωκράτη η οποία θεωρείται ως μια σχετικά ακριβής καταγραφή της απολογίας του Σωκράτη στην δίκη που τον καταδίκασε σε θάνατο Μετά τη θανάτωση του Σωκράτη για λίγο καιρό κατέφυγε στα Μέγαρα κοντά στον συμμαθητή του Ευκλείδη Ύστερα γύρισε στην Αθήνα όπου για 10 χρόνια ασχολήθηκε με τη συγγραφή φιλοσοφικών έργων τα οποία φέρουν τη σφραγίδα της σωκρατικής φιλοσοφίας Στη συνέχεια ταξίδεψε στην Αίγυπτο και στην Κυρήνη όπου σχετίστηκε με τον μαθηματικό Θεόδωρο και τέλος στον Τάραντα της Ιταλίας όπου γνώρισε τους πυθαγόρειους από τη φιλοσοφική σκέψη των οποίων επηρεάστηκε αποφασιστικά Μετά πέρασε στη Σικελία Στην αυλή του βασιλιά των Συρακουσών Διονυσίου Α΄ γνώρισε τον βασιλικό γυναικάδελφο Δίωνα με τον οποίον συνδέθηκε φιλικά Η φιλία όμως αυτή προκάλεσε τις υποψίες του Διονυσίου για συνωμοσία γι αυτό έδιωξε τον Πλάτωνα από τη Σικελία Στην Αίγινα κινδύνεψε να πουληθεί ως δούλος αλλά τον εξαγόρασε ο Κυρηναίος φίλος του Αννίκερης Επιστρέφοντας στην Αθήνα άνοιξε τη φιλοσοφική σχολή του την Ακαδημία (387 πΧ) Η προσπάθεια όμως των δύο φίλων να προσηλυτίσουν στις ιδέες τους τον νέο ηγεμόνα Διονύσιο τον Πρεσβύτερο απέτυχαν Για τρίτη φορά ήρθε στην αυλή των Συρακουσών το 361 πΧ με σκοπό να συμφιλιώσει τον Δίωνα με τον Διονύσιο Αυτή τη φορά κινδύνεψε και η ζωή του Τον έσωσε η επέμβαση του πυθαγόρειου Αρχύτα Αλλά ο Δίωνας δεν γλίτωσε Δολοφονήθηκε το 353 πΧ Έτσι ο Πλάτωνας έχασε τον άνθρωπο στον οποίο στήριξε τις ελπίδες του για την επιβολή των πολιτικών του ιδεών Από τότε και μέχρι τον θάνατό του ασχολήθηκε με τη διδασκαλία και με τη συγγραφή φιλοσοφικών έργων Επίσης έγραψε το συμπόσιο που μιλάει για την φύση του έρωτα στον Πρωταγόρα Μεταξύ άλλων θεμελιώνεται θεωρητικά η αρχή της πρόληψης που δεν λαμβάνει την τιμή ως απολύτως ανταποδοτική στον Παρμενίδη και Θεαίτητο θεμελιώνει την αντικειμενικότητα του λόγου και της ιδέας ενώ σε 2 μακρούς διαλόγους την Πολιτεία και τους Νόμους περιέγραψε την ιδανική πολιτεία

Η κύρια συμβολή του στα μαθηματικά βρίσκεται κυρίως στο ότι προέτρεπεe τους μαθηματικούς να ερευνούν καθολικές μαθηματικές αλήθειες και γενικά να καλλιεργούν τα μαθηματικά τα οποία θεωρούσε ότι διαθέτουν τεράστια εκπαιδευτική αξία Η προτροπή αυτή φαίνεται εκτός των άλλων και στις απόψεις του ότι τα μαθηματικά είναι lsquorsquoδόσις θεῶν εἰς ἀνθρώπουςrsquorsquo και ότι οδηγούν έντονα την ψυχή προς το θείο

Οι επιδράσεις του Πλάτωνος στους έπειτα αιώνες

Ο Γάλλος ιστορικός της φιλοσοφίας Ζακ Σεβαλιέ τονίζει στο έργο του laquoΙστορία της σκέψηςraquo (1955) την κυρίαρχη παρουσία ή έστω ανταύγεια της πλατωνικής φιλοσοφίας σε ολόκληρο το Μεσαίωνα και στην Αναγέννηση και στους Νεότερους χρόνους ενώ ο Γερμανός φιλόσοφος Καρλ Γιάσπερς προβάλλει τον Πλάτωνα ως το τον πρώτο από τους τρεις θεμελιωτές του φιλοσοφείν Η ιστορία της φιλοσοφίας μέχρι τον Κικέρωνα είναι σαφώς επηρεασμένη από αυτόν και είτε αμφισβητεί είτε ακολουθεί τη διδασκαλία του Ο μαθητής του Αριστοτέλης εξ ίσου επιδραστικός με τον ίδιο οδηγήθηκε στην ανάπτυξη τμήματος του έργου του ως απάντηση στον πλατωνισμό Η σχολή την οποία ο Πλάτωνας

18

ίδρυσε το 387 πΧ η Ακαδημία συνέχισε να ακμάζει ως τις αρχές του πρώτου αιώνα π Χ έχοντας όμως μετατραπεί σε σκεπτική σχολή μετά τις αρχές της ελληνιστικής περιόδου

Κατά την εποχή του Αυγούστου υπήρξε αναβίωση της πλατωνικής φιλοσοφίας ο μεσοπλατωνισμός με εκπροσώπους όπως ο Φίλων ο Αλεξανδρεύς ενώ κατά τα τέλη του δεύτερου αιώνα ο μεσοπλατωνισμός άρχεσαι να μετατρέπεται σταδιακά υπό την επίδραση του νεοπυθαγορισμού και του ερμητισμού στην κατεχόμενη από τους Ρωμαίους Αίγυπτο στο κίνημα του νεοπλατωνισμού με αρχικούς εκπροσώπους όπως ο Πλωτίνος το οποίο είχε ιδεαλιστικό μυστικιστικό και σωτηριολογικό χαρακτήρα Η Ακαδημία στην Αθήνα επανιδρύθηκε ως κέντρο νεοπλατωνικών μελετών κατά τον τέταρτο αιώνα

Την ίδια εποχή περίοδο έντονων θρησκευτικών ζυμώσεων στη Ρωμαϊκή Αυτοκρατορία και σταδιακής επικράτησης του χριστιανισμού στη Μεσόγειο οι ακόλουθοι της αστικής ελληνορωμαϊκής θρησκείας αλλά και των ελληνικών μυστηριακών λατρειών συσπειρώθηκαν γύρω από τον νεοπλατωνισμό ως υπερασπιστή του μέχρι πρότινος επικρατούντος παγανισμού Μεμονωμένοι νεοπλατωνικοί και παγανιστικοί πυρήνες επέζησαν ως τον έκτο αιώνα οπότε και ο Αυτοκράτορας Ιουστινιανός έκλεισε με διάταγμα την Ακαδημία της Αθήνας Μετά περίπου εννέα αιώνες το έτος 1439 ο Γεώργιος Γεμιστός Πλήθων γράφει στη Φλωρεντία το πολύκροτο έργο του Περί ὧν Αριστοτέλης προς Πλάτωνα που αποτέλεσε το έναυσμα της διαμάχης πλατωνικών και αριστοτελικών στο Βυζάντιο και στην Ιταλία Ο πλατωνισμός επιβίωσε υπογείως καθ όλον τον Μεσαίωνα κρυμμένος σε μυστηριακά ρεύματα έως ότου οι πρωτότυπες ιδέες του ανακαλύφθηκαν ξανά και σχολιάστηκαν κατά την Αναγέννηση Έτσι ούτε η νεότερη φιλοσοφική σκέψη έμεινε ανεπηρέαστη από αυτόν Τα διάφορα φιλοσοφικά συστήματα ή προσπαθούν να ανατρέψουν τις ιδέες του ή οικοδομούνται πάνω σ αυτές εκσυγχρονίζοντάς τες

Τα έργα του είναι

Αλκιβιάδης Α η Περί Ανθρώπου Φύσεως μαιευτικός

Αλκιβιάδης Β ή Περί Προσευχής μαιευτικός

Απολογία Σωκράτους ηθικός

Γοργίας ή Περί Ρητορικής ανατρεπτικός

Επινομίς ή Νυκτερινος Σύλλογος πολιτικός

Επιστολαί ηθικαί

Ερασταί ή Περί Φιλοσοφίας ηθικός

Ευθύδημος ή Εριστικός ανατρεπτικός

Ευθύφρων ή Περί του Οσίου

Θεάγης ή Περί Φιλοσοφίας μαιευτικός

Θεαίτητος ή Περί Επιστήμης πειραστικός

19

Ιππαρχος ή Φιλοκερδής ηθικός

Ιππίας ελάσσων ή Περί του Ψεύδους ανατρεπτικός

Ιππίας μείζων ή Περί του Καλού ανατρεπτικός

Ίων ή Περί Ιλιάδος πειραστικός

Κλειτοφών ή Προτρεπτικός ηθικός

Κρατύλος ή Περί Ονομάτων Ορθότητος λογικός

Κριτίας ή Ατλαντικός ηθικός

Κρίτων ή Περί του Πρακτέου ηθικός

Λάχης ή Περί Ανδρείας ηθικός

Λύσις ή Περί Φιλίας μαιευτικός

Μενέξενος ή Επιτάφιος ηθικός

Μένων ή Περί Αρετής πειραστικός

Μίνως ή Περί Νόμου πολιτικός

Νόμοι ή Περί Νομοθεσίας πολιτικός

Παρμενίδης ή Περί Ιδεών λογικός

Πολιτεία ή Περί Δικαίου πολιτικός

Πολιτικός ή Περί της Βασιλείας λογικός

Πρωταγόρας ή Σοφισταί επιδεικτικός

Σοφιστής ή Περί του Όντος λογικός

Συμπόσιον ή Περί Αγαθού ηθικός

Τίμαιος ή Περί Φύσεως φυσικός

Φαίδρος ή Περί Έρωτος ηθικός

Φαίδων ή Περί Ψυχής ηθικός

Φίληβος ή Περί Ηδονής ηθικός

Χαρμίδης ή Περί Σωφροσύνης πειραστικός

20

21

ΕυκλείδηςΒΙΟΓΡΑΦΙΑ

Υπολογίζεται ότι έζησε το βrsquo μισό του 4ου έως τις αρχές του 3ου πΧ αιώνα πιο συγκεκριμένα περίπου το 325 πΧ έως το 265 πΧ Κορυφαίος μαθηματικός της αρχαιότητας που επηρέασε με το έργο του σε ανυπέρβλητο βαθμό τον επιστημονικό τρόπο σκέψης σε όλο τον κόσμο Για τη ζωή του δεν υπάρχουν επιβεβαιωμένες πληροφορίες Πιθανώς εκπαιδεύτηκε στην Αθήνα στην Ακαδημία του Πλάτωνα και δίδαξε στην Αλεξάνδρεια Ξέρουμε ότι ήταν μεγαλύτερος στην ηλικία από τον Αρχιμήδη πράγμα που σημαίνει ότι η χρονολόγηση της ακμής του laquoγύρω στο 300 πΧraquo δεν πρέπει να απέχει πολύ από την αλήθεια Ο Πρόκλος επίσης τον χαρακτηρίζει σύγχρονο του βασιλιά Πτολεμαίου Αrsquo στον

οποίο είχε το θάρρος να του πει κατά πρόσωπο πως δεν υπάρχει βασιλική οδός προς τη γεωμετρία Ο Πάππος τον επαινεί για την ηθική του ακεραιότητα τη μετριοφροσύνη και την ευμενή στάση του προς όσους είναι ικανοί να προαγάγουν τη μαθηματική γνώση Ο Στοβαίος διηγείται το ακόλουθο ενδιαφέρον περιστατικό Ένας νέος επισκέφθηκε κάποτε τον Ευκλείδη και τον παρακάλεσε να τον διδάξει γεωμετρία Μόλις έμαθε το πρώτο θεώρημα ρώτησε τον Ευκλείδη laquoΚαι τώρα τι θα κερδίσω με το θεώρημα αυτόraquo Ο Ευκλείδης τότε γύρισε προς τον υπηρέτη του και του είπε laquoΔώσrsquo του τρεις δεκάρες ώστε να κερδίσει κάτι από το θεώρημα το οποίο έμαθεraquo Αυτά είναι όλα όσα γνωρίζουμε για τον Ευκλείδη ως άνθρωπο Πολύ μεγαλύτερη σημασία όμως έχει το έργο του το οποίο ακόμα και σήμερα μαρτυρεί τα απαράμιλλα χαρίσματά του ως δασκάλου

ΕΡΓΟ

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη

Μετά το θάνατο του Μεγάλου Αλεξάνδρου στα 323 πΧ η αχανής μακεδονική αυτοκρατορία διαιρέθηκε σε τρεις περιοχές Η περιοχή πού περιλάμβανε την Αίγυπτο περιήλθε κάτω από την άξια ηγεμονία του ικανού στρατηγού του Αλεξάνδρου Πτολεμαίου του Σωτήρος ο οποίος σύντομα κέρδισε τη βασιλεία της περιοχής Ο Πτολεμαίος επέλεξε για πρωτεύουσα της περιοχής του την Αλεξάνδρεια λίγα μόνο μίλια από τις εκβολές του ποταμού Νείλου και γύρω στα 300 πΧ άνοιξε τις πόρτες του περίφημου πανεπιστημίου της Αλεξάνδρειας Ανάμεσα στους μελετητές που κλήθηκαν να επανδρώσουν το νέο ίδρυμα ήταν και ο μαθηματικός Ευκλείδης που πιθανότατα υπήρξε μαθητής της Ακαδημίας του Πλάτωνα στην Αθήνα

22

Ο Ευκλείδης από τη στιγμή που ανέλαβε τα καθήκοντά του στην Αλεξάνδρεια όρισε ανάμεσα στους στόχους του τη συγκρότηση του μνημειώδους και ιστορικά σημαντικού έργου του των Στοιχείων Αυτή η αξιόλογη και εκτεταμένη εργασία γραμμένη σε δεκατρία βιβλία ή μέρη αποτελεί την αρχαιότερη εφαρμογή της αξιωματικής μεθόδου που έχει φτάσει στα χέρια μας Θεωρείται ο πρώτος μεγάλος σταθμός στην ιστορία της οργάνωσης των μαθηματικών και η μετέπειτα επίδραση της στον επιστημονικό τρόπο γραφής πολύ δύσκολα μπορεί να περιγραφεί

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη διεκδικούν αναμφισβήτητα μια θέση ανάμεσα στις μεγάλες στιγμές των μαθηματικών Η εργασία αυτή εκτόπισε τόσο γρήγορα και ολοκληρωτικά όλες τις προηγούμενες εργασίες ανάλογου περιεχομένου που σήμερα δεν υπάρχουν αντίγραφα προηγουμένων προσπαθειών και απλά γνωρίζουμε την ύπαρξη τους από σχόλια μεταγενέστερων συγγραφέων Τα Στοιχεία του Ευκλείδη από την πρώτη εμφάνιση τους κέρδισαν τεράστια εκτίμηση Με μοναδική εξαίρεση τη Βίβλο καμιά άλλη εργασία δεν χρησιμοποιήθηκε μελετήθηκε ή εκδόθηκε τόσο πολύ Για πάνω από δύο χιλιετίες κυριάρχησε στο χώρο διδασκαλίας της γεωμετρίας Από την πρώτη έκδοση της στα 1472 έχει γνωρίσει πάνω από χίλιες εκδόσεις Το περιεχόμενο και η μορφή της επέδρασαν εντυπωσιακά στην ανάπτυξη του αντικειμένου της και της λογικής θεμελίωσης των μαθηματικών

Ο Πρόκλος ένας κατοπινός σχολιαστής των μαθηματικών που έζησε στον 5ο αιώνα έχει δώσει μια εξήγηση της έννοιας του όρου laquoστοιχείαraquo Τα στοιχεία μιας αποδεικτικής μελέτης είναι τα πιο σημαντικά θεωρήματα ή τα θεωρήματα κλειδιά που χρησιμοποιούνται συχνά και πλατιά στο αντικείμενο της μελέτης Είναι τα θεωρήματα που χρειάζονται για την απόδειξη όλων ή των περισσότερων από τα άλλα θεωρήματα Η λειτουργία τους συγκρίνεται με αυτή των γραμμάτων του αλφαβήτου σε σχέση με τη γλώσσα Τα γράμματα στα ελληνικά ονομάζονται και στοιχεία Η επιλογή των προτάσεων που θα λειτουργήσουν ως στοιχεία κάποιου θέματος μελέτης απαιτεί μεγάλη ικανότητα και κρίση από το συγγραφέα

Δεν υποτιμά καθόλου την αίγλη του έργου του Ευκλείδη το γεγονός ότι είχαν προηγηθεί ανάλογες προσπάθειες Σύμφωνα με τον Πρόκλο η πρώτη προσπάθεια να γραφτούν Στοιχεία έγινε από τον Ιπποκράτη το Χίο στα μέσα του πέμπτου πΧ αιώνα Η επόμενη προσπάθεια ήταν του Λέοντα που χρονολογικά τοποθετείται κάπου ανάμεσα στον Πλάτωνα και τον Εύδοξο Όπως μαθαίνουμε η εργασία του Λέοντα περιείχε μια μεγαλύτερη και πιο χρήσιμη επιλογή προτάσεων από τον Ιπποκράτη Το βιβλίο που χρησιμοποιούνταν στην Ακαδημία του Πλάτωνα είχε επιμεληθεί ο Θεύδιος από τη Μαγνησία και θεωρούνταν μια θαυμάσια συλλογή στοιχείων Η εργασία του Θεύδιου ήταν ασφαλώς ο άμεσος πρόδρομος της εργασίας του Ευκλείδη ο οποίος την είχε χωρίς αμφιβολία στη διάθεση του ειδικά αν όπως πιστεύουν σπούδασε στην Ακαδημία του Πλάτωνα

Ο Ευκλείδης γνώριζε επίσης την εργασία του Θεαίτητου και του Εύδοξου Δεν είναι καθόλου υποτιμητικό ότι η εργασία του Ευκλείδη αποτελεί σε μεγάλο βαθμό συγκέντρωση και επιμέλεια των εργασιών των προγενεστέρων του αφού η ουσιαστική αξία των Στοιχείων βρίσκεται ακριβώς στην τέλεια επιδεξιότητα με την οποία επιλέχτηκαν και τοποθετήθηκαν

23

σε λογική σειρά οι προτάσεις ξεκινώντας από μια μικρή ομάδα αρχικών υποθέσεων Ούτε είναι υποτιμητικό το γεγονός ότι η εξονυχιστική μελέτη των σύγχρονων κριτικών έχουν αποκαλύψει ορισμένα μειονεκτήματα στη δομή της εργασίας του Ευκλείδη Δε θα μπορούσε κανείς να περιμένει μια τέτοια αρχική και κολοσσιαία προσπάθεια με την αξιωματική μέθοδο να μην παρουσιάζει καμία ατέλεια

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη έχουν γραφεί γύρω στο 300 πΧ αλλά το αυθεντικό χειρόγραφο κείμενο του Ευκλείδη δεν διασώζεται Αντίθετα σώζονται δεκάδες αντίγραφα που σε τελική ανάλυση κατάγονται από αυτό Το αρχαιότερο πλήρες αντίγραφο περιέχεται σε έναν χειρόγραφο περγαμηνό κώδικα που φυλάσσεται σήμερα στη Βιβλιοθήκη της Οξφόρδης και χρονολογείται από του έτους 888 ενώ μικρά αποσπάσματα του έργου διασώζονται σε παπύρους προγενέστερης εποχής καθώς και σε ένα παλίμψητο χειρόγραφο του 7ου ή του 8ου

μΧ αι που φυλάσσεται στο Βρετανικό Μουσείο Βλέπουμε λοιπόν ότι το αρχαιότερο χειρόγραφο που περιέχει το πλήρες κείμενο των Στοιχείων του Ευκλείδη χρονολογείται από τα τέλη του 9ου μΧ αι και επομένως απέχει από την εποχή μας όσο απέχει από την εποχή που ο ίδιος ο Ευκλείδης έγραψε το έργο

Όλες οι σύγχρονες εκδόσεις στηρίζονται σε μια επανέκδοση που έκανε ο Θεωνάς από την Αλεξάνδρεια ένας Έλληνας σχολιαστής που έζησε εφτακόσια περίπου χρόνια μετά τον Ευκλείδη Μόνο στις αρχές του 19ου αιώνα ανακαλύφθηκε ένα παλιότερο αντίγραφο Στα 1808 όταν ο Ναπολέοντας διέταξε να μεταφερθούν όλα τα αξιόλογα χειρόγραφα από τις ιταλικές βιβλιοθήκες στο Παρίσι ο Φ Πέιραρντ (F Peyrard) ανακάλυψε στη βιβλιοθήκη του Βατικανού ένα αντίγραφο των Στοιχείων από έκδοση προγενέστερη από του Θεωνά Η μελέτη όμως αυτής της παλιότερης έκδοσης αποκάλυψε δευτερεύουσες μόνο διαφορές από τον Θεωνά

Οι πρώτες πλήρεις μεταφράσεις των Στοιχείων στα λατινικά δεν έγιναν από τα ελληνικά αλλά από τα αραβικά Τον 8ο αιώνα οι Άραβες μετέφρασαν έναν αριθμό βυζαντινών χειρογράφων με ελληνικές εργασίες και στα 1120 ο Άγγλος μελετητής Άντελαρντ (Adelard) από το Μπαθ μετέφρασε τα Στοιχεία στα λατινικά χρησιμοποιώντας μια απ αυτές τις παλιότερες αραβικές μεταφράσεις Άλλες λατινικές μεταφράσεις από τα αραβικά έκαναν ο Γκεράρντο από την Κρεμώνα (Gherardo 1114-1187) και 150 χρόνια μετά τον Άντελαρντ ο Γιοχάννες Καμπάνους (Johannes Campanus) Η πρώτη τυπωμένη έκδοση των Στοιχείων έγινε στη Βενετία στα 1482 η έκδοση αυτή ήταν η μετάφραση του Καμπάνους Αυτό το πολύ σπάνιο βιβλίο ήταν θαυμάσια τυπωμένο και ήταν το πρώτο αξιόλογο μαθηματικό βιβλίο που τυπώθηκε Μια σημαντική λατινική μετάφραση από τα ελληνικά έγινε από τον Κομμαντίνο (Commandino) στα 1572 Αυτή η μετάφραση χρησιμοποιήθηκε ως βάση για πολλές άλλες μεταφράσεις που ακολούθησαν ανάμεσα σ αυτές και η εργασία του Ρόμπερτ Σίμσον (Robert Simson) που άσκησε σημαντική επιρροή και αποτέλεσε με τη σειρά της τη βάση για πάρα πολλές αγγλικές εκδόσεις

24

Αναλυτική περιγραφή των laquo στοιχείων raquo

Ειδικότερα το πρώτο βιβλίο αναφέρεται σε τεμνόμενες και παράλληλες ευθείες στην ισότητα ευθύγραμμων σχημάτων και στο τέλος το πυθαγόρειο θεώρημα Στο 2ο βιβλίο αναφέρονται συνέπειες από το πυθαγόρειο θεώρημα και γίνονται μετασχηματισμοί ευθύγραμμων σχημάτων σε ισοδύναμα τετράγωνα Εδώ περιέχεται και το πρόβλημα

της laquoχρυσής τομήςraquo Πολλές από τις προτάσεις αυτού μπορούν με σύγχρονους συμβολισμούς να πάρουν μορφή αλγεβρική γιrsquo αυτό έχει επικρατήσει να λέγεται για το 2ο βιβλίο ότι εισάγει τη laquoγεωμετρική άλγεβραraquo Στο 3ο βιβλίο εξετάζεται ο κύκλος και στο τέταρτο βιβλίο λύνονται προβλήματα σχετικά με τα εγγεγραμμένα στον κύκλο κανονικά πολύγωνα Στο 5ο βιβλίο σπουδάζεται η laquoθεωρία των λόγωνraquo του Ευδόξου Πρόκειται ουσιαστικά για τη θεωρία των πραγματικών αριθμών δοσμένη όμως σε μορφή γεωμετρική Το 6ο βιβλίο ασχολείται με την ομοιότητα επίπεδων σχημάτων και σrsquo αυτά αποδεικνύεται ότι από όλα τα ορθογώνια με δοσμένη περίμετρο το τετράγωνο έχει το μέγιστο εμβαδόν Στα βιβλία 7ο-9ο που αφορούν στην αριθμοθεωρία είναι εκπληκτικό πώς με παντελή μπορεί να πει κανείς έλλειψη συμβολισμών (αριθμοί δεν αναγράφονται) κατορθώνεται μια ακροβασία στην αλληλουχία των συλλογισμών που καταλήγει σε πολύ ενδιαφέροντα αριθμητικά αποτελέσματα Ειδικότερα στο 7ο βιβλίο μελετιούνται οι άρτιοι και οι περιττοί αριθμοί οι πρώτοι και οι σύνθετοι καθώς και οι τέλειοι εξετάζονται διάφορα προβλήματα διαιρετότητας ορίζεται το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο αριθμών (ΕΚΠ) καθώς και ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης τους και δίνεται η μέθοδος προσδιορισμού του που ονομάστηκε laquoΕυκλείδειος Αλγόριθμοςraquo Στα δύο επόμενα βιβλία εξακολουθεί η σπουδή αριθμοθεωρητικών θεμάτων στο 8ο εισάγονται επίσης και μελετιούνται οι γεωμετρικές πρόοδοι και στο 9ο έχουν συμπεριληφθεί τρεις σημαντικότατες προτάσεις Πρόκειται για α) το αποκαλούμενο laquoθεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικήςraquo β) την απόφανση ότι υπάρχουν απειράριθμοι πρώτοι και γ) την πρόταση που οδηγεί σε ένα γενικό τύπο που παρέχει άρτιους τέλειους αριθμούς Στο 10ο βιβλίο που αποτελεί ένα από τα ωραιότερα μέρη των Στοιχείων γίνεται μια ταξινόμηση των τετραγωνικών άρρητων και των τετραγωνικών ριζών τους και κατασκευάζεται ένα σύνολο ασύμμετρων μεγεθών το οποίο μαζί με το σύνολο των ρητών συναποτελεί επέκταση αυτού του τελευταίου τέτοια ώστε κάθε στοιχείο της να είναι κατασκευασμένο με κανόνα και διαβήτη Τέλος τα βιβλία της στερεομετρίας το 11ο βιβλίο ασχολείται με θεμελιώδεις σχέσεις μεταξύ ευθειών και επιπέδων καθώς και με τις στερεές γωνίες στο 12ο αναφέρεται σε επιφάνειες και όγκους στερεών και στο 13ο γίνεται η μελέτη της σφαίρας σε συσχετισμό με τα εγγεγραμμένα σε αυτήν κανονικά πολύεδρα

25

Άλλα έργα

bull Δεδομένα (94 θεωρήματα) έργο ανώτερης γεωμετρίας Στο έργο αυτό περιέχονται προτάσεις σε σχήματα στα οποία δίνονται ορισμένα στοιχεία τους κατά σχήμα θέση ή μέγεθος

bull Περί διαιρέσεων (36 προτάσεις) με περιεχόμενό του τη διαίρεση σχημάτων με δοσμένη σχέση

bull Πορίσματα (3 βιβλία που χάθηκαν) σώθηκαν ορισμένα αποσπάσματα που το 1860 έγινε απόπειρα ανασύνθεσής τους από τον Πάππο

bull Οπτικά-κατοπτρικά αντίστοιχα γεωμετρική οπτική ανάκλαση του φωτός πάνω σε επίπεδο κάτοπτρο

bull Φαινόμενα εγχειρίδιο κοσμογραφίας απλές προτάσεις για τη σφαίρα

bull Κατατομή κανόνος στοιχεία πυθαγόρεια θεωρία μουσικής

bull Ψευδάρεια laquoπαράδοξαraquo με στόχο να ασκηθούν οι σπουδαστές στην ανεύρεση λογικών σφαλμάτων κατά τις αποδείξεις

bull Κωνικαί τομαί Μηχανικά δεν γνωρίζουμε τίποτα γιrsquo αυτά τα έργα

Αιτήματα του Ευκλείδη

Τα αιτήματα είναι αρχικές προτάσεις οι οποίες προσιδιάζουν στη συγκεκριμένη κάθε φορά επιστήμη στην προκειμένη περίπτωση στη Γεωμετρία Ο Ευκλείδης διατυπώνει 5 αιτήματα

1 Ζητείται να γίνει δεκτό ότι από οποιοδήποτε σημείο σε οποιοδήποτε σημείο άγεται ευθεία γραμμή

2 Και (ότι) πεπερασμένη ευθεία προεκτείνεται σε ευθεία κατά συνεχή τρόπο

3 Και (ότι) με οποιοδήποτε κέντρο και διάστημα γράφεται κύκλος

4 Και (ότι) όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους

5 Και αν η ευθεία η οποία τέμνει δύο ευθείες σχηματίζει δύο εντός και επί τrsquo αυτά μέρη γωνίες μικρότερες των δύο ορθών τότε οι δύο ευθείες προεκτεινόμενες επrsquo απείρου συναντώνται προς εκείνα τα μέρη τους όπου βρίσκονται μικρότερες των δύο ορθών

Ακολουθούν τα laquoαιτήματαraquo διατυπωμένα σε αρχαίο κείμενο όπως αυτά βρίσκονται στο Βιβλίο Ι

26

Ο ρόλος των τριών πρώτων από τα αιτήματα αυτά είναι να εξασφαλίσουν τη νομιμότητα των κατασκευών της ευθείας και του κύκλου και κατά συνέπεια εκείνων και μόνο των γραμμών και των γεωμετρικών σχημάτων που κατασκευάζονται με πεπερασμένο αριθμό βημάτων από τα δύο αυτά βασικά σχήματα Στα Στοιχεία επομένως δεν έχουν θέση καμπύλες όπως είναι οι κωνικές τομές τη τετραγωνίζουσα κλπ ή κατασκευές όπως κατασκευές νεύσεως Η φύση των δύο τελευταίων αιτημάτων είναι διαφορετική Αποσκοπούν να δηλώσουν ότι κάποια γεωμετρικά σχήματα έχουν ορισμένες ειδικές ιδιότητες

Πολλοί ιστορικοί των μαθηματικών έχουν ασχοληθεί κατά το παρελθόν με το ερώτημα εάν τα αξιώματα του Ευκλείδη ικανοποιούν τις σύγχρονες απαιτήσεις (πληρότητα συνέπεια ανεξαρτησία) ενός αξιωματικού συστήματος Από την προσεκτική μελέτη των αποδείξεων κι των κατασκευών που περιέχονται στα Στοιχεία προκύπτει ότι ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί μερικές φορές απόρρητες παραδοχές οι οποίες δεν περιλαμβάνονται στα αξιώματα Επομένως το σύστημα των αξιωμάτων του δεν ικανοποιεί την απαίτηση της πληρότητας

Μεγάλο ιστορικό ενδιαφέρον εξάλλου έχει το ερώτημα της ανεξαρτησίας των αιτημάτων του Ευκλείδη ιδιαίτερα σε ότι αφορά το πέμπτο από αυτά Το αίτημα αυτό αναφέρεται συχνά και ως laquoαίτημα των παραλλήλωνraquo γιατί μια ισοδύναμη διατύπωσή του είναι η εξής από ένα σημείο εκτός ευθείας άγεται μια μόνο παράλληλη προς τη ευθεία Πολλοί μαθηματικοί από την αρχαιότητα έως τα μέσα του 18ου αιώνα προσπάθησαν να εξαγάγουν το αίτημα αυτό από τα άλλα αιτήματα όλες οι προσπάθειες όμως απέβησαν άκαρπες Από τα τέλη του 18ου αιώνα η προσδοκώμενη εξάρτηση του αιτήματος επιχειρήθηκε να αποδειχτεί με έμμεσο τρόπο Η σκέψη ήταν η εξής αν το αίτημα των παραλλήλων μπορεί να εξαχθεί από τα άλλα τέσσερα αιτήματα μαζί με την άρνηση του πέμπτου θα πρέπει να οδηγούν σε αντίφαση Το νέο σύστημα αξιωμάτων όμως αντί να οδηγήσει σε αντίφαση αποδείχτηκε ότι παράγει συνέπειες μαθηματικές θεωρίες Έτσι ανακαλύφθηκαν οι λεγόμενες μη ευκλείδειες γεωμετρίες και ταυτόχρονα αποδείχθηκε η ανεξαρτησία των αιτημάτων του Ευκλείδη

27

Ας δούμε τώρα την διατύπωση και την απόδειξη της πρότασης (5) που περιέχεται στο Βιβλίο Ι των laquoστοιχείωνraquo και αναφέρεται στη γνωστή μας πρόταση της ισότητας των παρά τη βάση γωνιών ισοσκελούς τριγώνου

28

Γιατί διδάσκουμε το μάθημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στο ζήτημα της laquoχρησιμότηταςraquo των σχολικών Μαθηματικών θα μπορούσε κανείς να αντιπαραθέσει (και πράγματι αντιπαρατέθηκαν) πολλές διαφορετικές απόψεις Εμείς θα παραθέσουμε απλώς ένα απόσπασμα από τις αυτοβιογραφικές σημειώσεις του Albert Einstein το οποίο δείχνει μια άλλη τελείως διαφορετική αντίληψη σχετικά με την laquoχρησιμότηταraquo της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Γράφοντας για τα γεγονότα της παιδικής και εφηβικής του ζωής που είχαν μεγάλη επίδραση στην μετέπειτα εξέλιξη του ο Einstein σημειώνει

Σε ηλικία 12 ετών δοκίμασα μια δεύτερη τελείως διαφορετική έκπληξη σε ένα μικρό βιβλίο Ευκλείδειας επίπεδης γεωμετρίαςhellip Εδώ υπήρχαν ισχυρισμοί όπως για παράδειγμα τα τρία ύψη ενός τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο οι οποίοι - αν και καθόλου προφανείς - μπορούσαν ωστόσο να αποδειχτούν με τέτοια βεβαιότητα ώστε να μην χωρεί η παραμικρή αμφιβολία Αυτή η σαφήνεια και βεβαιότητα μου προξένησαν μια εντύπωση που δεν μπορεί να περιγραφεί Το γεγονός ότι τα αξιώματα έπρεπε να γίνουν δεκτά χωρίς απόδειξη δεν με ενόχλησε Σε κάθε περίπτωση μου αρκούσε πλήρως το γεγονός ότι μπορούσαν να στηρίζω τις αποδείξεις σε προτάσεις η εγκυρότητα των οποίων ήταν για μένα αναμφισβήτητη

Η περίπτωση του Einstein του επιστήμονα που άλλαξε ριζικά τις αντιλήψεις μας και την γεωμετρική δομή του σύμπαντος αποκαλύπτει την σπουδαιότητα ορισμένων παιδαγωγικών σκοπών και τη συνάφειά τους με το ερώτημα που θέσαμε ως τίτλο αυτής της ενότητας καλλιέργεια και ανάπτυξη της συγκροτημένης σκέψης μύηση στην επιστημονική μέθοδο μελέτες του κόσμου Αυτοί οι σκοποί παρόλη τη γενικότητά τους συνδέονται άμεσα με τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας που άσκησαν καθοριστική επίδραση στο νεαρό Einstein τα οποία είναι

bull Σαφήνεια στην έκθεση

bull Ολοκληρωτική απόδειξη κάθε υπόθεσης

bull Απόλυτη συνάφεια σχημάτων και συλλογισμών

bull Τάξη και ομορφιά

Αν τα στοιχεία αυτά αποτελούν ουσιώδη συστατικά της μαθηματικής παιδείας τότε παρέχουν κατά την άποψή μας μια αυτονόητη απάντηση στο ερώτημα laquoΓιατί διδάσκουμε την Ευκλείδεια Γεωμετρίαraquo

Αντιλήψεις και αντιπαραθέσεις για τη διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Οι ένθερμοι υποστηρικτές της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προβάλλουν την παιδαγωγική αξία της λογικής και διάφανης επιχειρηματολογίας των γεωμετρικών αποδείξεων ενώ οι πολέμιοί της επικαλούνται την αναμφισβήτητη δυσκολία των περισσότερων μαθητών να κατανοήσουν τις γεωμετρικές έννοιες και τις πολύ χαμηλές επιδόσεις τους στην αντιμετώπιση σχετικών προβλημάτων Ενδιάμεσα βρίσκονται συνήθως οι σκεπτικιστές οι οποίοι επισημαίνουν τον περιορισμένο επιστημολογικά ρόλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και την ανάγκη να ανανεωθεί η διδασκαλία των Μαθηματικών δίνοντας μεγαλύτερη έμφαση σε πιο σύγχρονους και laquoχρήσιμουςraquo κλάδους (πχ Πιθανότητες και Στατιστική) Από την εποχή που ο Dieudonne κήρυξε τον πόλεμο κατά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας οι αντιλήψεις

29

αυτές έγιναν αντικείμενο επεξεργασίας και αντιπαρατέθηκαν μεταξύ τους από σημαντικούς μαθηματικούς και παιδαγωγούς ενώ οι σχετικές συζητήσεις συνεχίζονται με αμείωτη ένταση μέχρι σήμερα Σε μια ειδική μελέτη της Διεθνούς Επιτροπής για τη Μαθηματική Εκπαίδευση (ICMI) έγινε απόπειρα σύνθεσης των διαφόρων τάσεων και διατυπώθηκαν οι εξής τρεις εναλλακτικές λύσεις για τη διδασκαλία του μαθήματος

1 η λύση

Απορρίπτουμε την ιδέα ότι η Γεωμετρία πρέπει ή μπορεί να χρησιμοποιηθεί στο σχολείο ως ένα σύστημα γνώσεων (παραγωγικά οργανωμένο ή όχι) όπου οι έννοιες και τα γεγονότα πρέπει να γίνουν γνωστά απλά και μόνο επειδή ανήκουν στο σύστημα Αντίθετα η Γεωμετρία και ο χώρος θεωρούνται ως πηγές άντλησης εξαιρετικών θεμάτων για την οργάνωση πολλαπλών δραστηριοτήτων σε διαφορετικά επίπεδα Οι laquoχρησιμοθηρικέςraquo όψεις της Γεωμετρίας θα εξυπηρετηθούν με την παροχή αλγεβρικών μεθόδων

2 η λύση

Εξακολουθούμε να επιχειρούμε τη διδασκαλία ενός αξιωματικού ή ψευδο-αξιωματικού μαθήματος σχολικής Γεωμετρίας το οποίο στηρίζεται είτε σε laquoτροποποίησηraquo των laquoΣτοιχείωνraquo του Ευκλείδη (για παράδειγμα αξιωματική θεμελίωση τύπου Pogorelov) είτε πχ στους γεωμετρικούς σχηματισμούς

3 η λύση

Για ορισμένες ομάδες μαθητών τουλάχιστον παρουσιάζουμε laquoνησίδεςraquo Γεωμετρίας δηλαδή laquoτοπικάraquo παραγωγικά συστήματα μέσα στο πλαίσιο του γενικού αναλυτικού προγράμματος (Έτσι μπορούμε για παράδειγμα να έχουμε ενότητες για τις ιδιότητες των εγγεγραμμένων σε κύκλο γωνιών ή τη στοιχειώδη προβολική Γεωμετρία)

Στην Ελλάδα για προφανείς ιστορικούς και πολιτιστικούς λόγους συνεχίζεται μια παράδοση που προσεγγίζεται εγγύτατα τη δεύτερη από τις προηγούμενες εναλλακτικές λύσεις Ακόμη και την περίοδο της μεταρρύθμισης των laquoΝέων Μαθηματικώνraquo η διεθνής πίεση για εκσυγχρονισμό των σχολικών Μαθηματικών και εγκατάλειψη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αφομοιώθηκε στη χώρα μας μέσα από έναν ιδιότυπο συμβιβασμό από τη μια μεριά διατηρήθηκε όλη η παραδοσιακή σχολική ύλη την οποία σε μεγάλο βαθμό συντηρούσαν οι εισαγωγικές εξετάσεις των ΑΕΙ και από την άλλη δόθηκε υπερβολική έμφαση στην αυστηρή αξιωματική θεμελίωσης της Γεωμετρίας καθώς και με την εισαγωγή νέας ύλης πάνω στους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς Στις αντιφατικές επιλογές εκείνης της περιόδου βρίσκονται κατά την άποψη μας οι ρίζες της μετέπειτα υποβάθμισης και παρακμής του μαθήματος της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

30

Το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στη σύγχρονη Διδακτική των Μαθηματικών τα θεμελιώδη επιστημολογικά χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας όπως είναι η παραγωγική οργάνωση του περιεχομένου η αποδεικτική διαδικασία και η έμφαση στις γεωμετρικές κατασκευές αναφέρονται συνήθως ως laquoανώτερα επίπεδα γεωμετρικής σκέψηςraquo και η μάθηση τους έχει γίνει αντικείμενο συστηματικής μελέτης και έρευνας Ένα βασικό θεωρητικό μοντέλο στο οποίο έχει στηριχθεί η διεξαγωγή μεγάλου αριθμού ερευνών σε διάφορες χώρες αποτελούν τα λεγόμενα laquoεπίπεδα van Hieleraquo Σύμφωνα με αυτό το μοντέλο η μάθηση της Γεωμετρίας εξελίσσεται ιεραρχικά περνώντας από πέντε διαδοχικά επίπεδα

bull 1ο επίπεδο Εποπτικό

bull 2ο επίπεδο ΠεριγραφικόΑναλυτικό

bull 3ο επίπεδο ΑφηρημένοΣχεσιακό

bull 4ο επίπεδο ΤυπικόΠαραγωγικό

bull 5ο επίπεδο Μεταμαθηματικό

Οι μαθητές κατανοούν τη σημασία και τη διαδικασία οικοδόμησης ενός αξιωματικού μαθηματικού συστήματος και τις σχέσεις ανάμεσα σε διαφορετικά συστήματα Για παράδειγμα αναγνωρίζουν ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία δεν είναι παρά ένας από τους πολλούς δυνατούς τρόπους περιγραφής ενός αφηρημένου μαθηματικού σύμπαντος

Είναι φανερό ότι η διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προϋποθέτει τα δύο πρώτα επίπεδα και έχει ως κύριο σκοπό την κατάκτηση των δύο επόμενων επιπέδων (για το 5ο

μάλλον δεν μπορεί να γίνεται λόγος στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση) Σε θεωρητικό επίπεδο τόσο και η θεωρία των van Hiele όσο και η γενικότερη θεωρία των σταδίων μάθησης του Piaget προβλέπουν ότι η κατάκτηση αυτών των επιπέδων είναι μια επίπονη και ιεραρχικά εξελισσόμενη διαδικασία που απαιτεί μακροχρόνια και προσεχτικά σχεδιασμένη διδασκαλία Αυτές οι θεωρητικές προβλέψεις φαίνεται να επιβεβαιώνονται από πολλές εμπειρικές έρευνες που έχουν διεξαχθεί σε διάφορες χώρες και τα αποτελέσματά τους οδηγούν σε ένα βασικό συμπέρασμα laquo η καθιερωμένη παραδοσιακή διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αδυνατεί να οδηγήσει τους μαθητές στην κατάκτηση των ανώτερων επιπέδων γεωμετρικής σκέψης raquo

Από τα αποτελέσματα αυτών των ερευνών αξίζει νrsquo αναφέρουμε εδώ ένα εντυπωσιακό στατιστικό στοιχείο που αποκαλύπτει τις διαστάσεις του προβλήματος σε μια έρευνα που έγινε στις ΗΠΑ μεταξύ 1520 μαθητών που είχαν ολοκληρώσει ένα έτος διδασκαλίας της θεωρητικής Ευκλείδειας Γεωμετρίας διαπιστώθηκε ότι μόνο το 30 είχε φτάσει σε ένα επίπεδο που μπορεί να χαρακτηριστεί από 75 επιτυχία στην απόδειξη απλών γεωμετρικών προτάσεων (πχ ότι οι διαγώνιες ενός ορθογωνίου είναι ίσες) Το ποσοστό των μαθητών που είχαν 100 επιτυχία δεν ξεπέρασε το 3

31

Κοινή πεποίθηση όλων αυτών των ερευνητών είναι ότι για να κατανοηθούν οι παραγωγικές αποδείξεις της Ευκλείδειας Γεωμετρίας απαιτείται μια ισχυρή διαισθητική βάση την οποία οι μαθητές θα αποκτήσουν μέσα από επαγωγικές εμπειρικές ανακαλύψεις τη διαπίστωση και επαλήθευση υποθέσεων τις γεωμετρικές κατασκευές και εφαρμογές Έτσι λοιπόν η διδασκαλία της Γεωμετρίας δεν θα πρέπει να στηρίζεται σrsquo ένα τεχνητό διαχωρισμό ανάμεσα σε laquoΠρακτική Γεωμετρίαraquo σχεδίασης και μετρήσεων και μια laquoΘεωρητική Γεωμετρίαraquo αποδείξεων αλλά να συνδυάζει μια ισορροπημένη ανάπτυξη των δύο αυτών όψεων του μαθήματος σrsquo όλο το φάσμα της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Η επινόηση διδακτικών μέσων και μεθόδων που θα επιτρέψουν την υλοποίηση αυτού του στόχου φαίνεται ότι αποτελεί σήμερα το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ

Η Γεωμετρία του Ευκλείδη απετέλεσε το θεμέλιο για την ανάπτυξη της laquoδυτικήςraquo επιστήμης και τεχνικής και σ αυτή τη Γεωμετρία στηρίζονται οι προϋποθέσεις της κλασικής Φυσικής από την Αναγέννηση και μετά Μόλις το 19ο αιώνα διαπιστώθηκε όμως (Λάμπερτ Γκάους Μπολυάι Λομπατσέβσκι κά) ότι η ευκλείδεια Γεωμετρία στηρίζεται στην απλοϊκή αντίληψη του επίπεδου χώρου ο οποίος είναι μεν χρήσιμος για την περιοχή που αντιλαμβάνεται με τις αισθήσεις του ένας άνθρωπος αλλά όχι για πολύ μεγάλες τιμές των φυσικών μεγεθών (αποστάσεις ταχύτητες μάζες κτλ) Τότε παύει να ισχύει η επίπεδη αντίληψη και μαζί της η Ευκλείδεια Γεωμετρία επειδή στην πραγματικότητα ο χώρος είναι κυρτός Έτσι η Γεωμετρία συμπληρώνεται με βάση αντιλήψεις που στηρίζονται στον υπερβολικό ελλειπτικό κά χώρο

Σήμερα η γεωμετρία του Ευκλείδη διδάσκεται παγκοσμίως και ανελλιπώς επί 23 αιώνες με τον τιμητικό τίτλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Στη σύγχρονη όμως σχολική γεωμετρία περιλαμβάνονται και υπολογισμοί και μετρήσεις οι οποίες από το έργο του Ευκλείδη απουσιάζουν εντελώς

Η συνολική προσφορά του Ευκλείδη στα Μαθηματικά και τις εφαρμοσμένες τέχνες υπήρξε σημαντικότατη και ταυτόχρονα βάση από την οποία εξόρμησαν οι μεταγενέστεροι μαθηματικοί γεωγράφοι και αστρονόμοι για να οδηγηθούν στο τελικό μαθηματικό θαύμα της Ελληνικής Αρχαιότητας

32

33

ΒΙΟΓΡΑΦΙΑ Ο Αρχιμήδης ήταν ένας από τους μεγάλους μαθηματικούς μηχανικούς και φυσικούς του αρχαίου Ελληνικού χώρου και μια από τις μεγαλύτερες μαθηματικές ευφυΐες του κόσμου Γεννήθηκε έζησε και πέθανε στις Συρακούσες την μεγάλη Ελληνική αποικία της Σικελίας

Πατέρας του Αρχιμήδη ήταν ο αστρονόμος Φειδίας που είχε δεσμούς φιλίας με το βασιλικό γένος των Συρακουσών Ο Αρχιμήδης ταξίδεψε στην Αίγυπτο και ήρθε σε επαφή με τους διαδόχους του Ευκλείδη του Ερατοσθένη και το Δισίθεο ενώ ήταν φίλος και συμμαθητής του Κόνωνα του Σάμιου

Υπήρξε λαμπρό παράδειγμα πρωτότυπου ερευνητή ο οποίος δεν ενδιαφέρθηκε να διευκολύνει τους αρχάριους αλλά ασχολήθηκε κυρίως για την αποκάλυψη νέων αληθειών για δική του ικανοποίηση και των ώριμων ήδη διανοούμενων Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο ενώ η κατανόηση του Ευκλείδη δεν απαιτεί εξαιρετική προηγούμενη γνώση και ευφυΐα τα προϊόντα της μαθηματικής σκέψεως τα οποία πρόκειται τώρα να εξετάσουμε είναι προσιτά αποκλειστικώς και μόνο στην ανάγνωση υψηλής πνευματικής στάθμης

Πήγε στην Αίγυπτο ως εκπαιδευτικός και ήρθε σε επαφή όχι βέβαια με τον Ευκλείδη που είχε στο μεταξύ πεθάνει αλλά με τους διαδόχους του και έκανε στενούς δεσμούς με εξαιρετικούς γεωμετρικούς όπως ο Κόνων ο Σάμιος ο Ερατοσθένης ο Κυρηναίος ο Δισίθεος κλπ από τους οποίους κατόπιν όσα έργα συνέταξε μετά την επιστροφή του στην πατρίδα του

34

Το έργο τουΤο έργο του Αρχιμήδη υπήρξε τεράστιο τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά και η ερευνητική ματιά του κάλυψε πολλούς τομείς γεωμετρία οπτική (κατοπτρική) υδραυλική μηχανική αρχιτεκτονική και την πολιορκητική Συνέδεσε το όνομά του με την γένεση της μηχανικής στην αρχαία Ελλάδα και με την λύση περίφημων μαθηματικών προβλημάτων καθώς και με τις αμυντικές εφευρέσεις του που χρησιμοποιήθηκαν όταν οι Ρωμαίοι πολιορκούσαν την πατρίδα του τις Συρακούσες

Σχολιαστής του έργου του Αρχιμήδη υπήρξε ο Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης (6ος αι μΧ) που καταγόταν από την ελληνική πόλη της Συρίας Ασκαλών

Στον χώρο της εφαρμοσμένης μηχανικής ο Αρχιμήδης επινόησε ιδιοφυείς μηχανές κάθε είδους Εφηύρε τον ρωμαϊκό ζυγό (καντάρι) το τρίσπαστο (ανυψωτική τριπλή τροχαλία) και τον ατέρμονα κοχλία έλιξ του Αρχιμήδους μηχανή άντλησης νερού από ποταμούς και φρέατα (η οποία χρησιμοποιείται ακόμα και στις μέρες μας σε περιοχές της βόρειας Αφρικής) Κατασκεύασε ένα υδραυλικό ρολόι το οποίο υπολόγιζε με μεγάλη ακρίβεια τις ώρες (και ειδοποιούσε για την αλλαγή της ώρας)

Μεγάλη φήμη απέκτησαν οι πολεμικές μηχανές του Αρχιμήδη αρχιτρόνιτο (πυροβόλο ατμού) καταπέλτες άρπαγες (μηχανισμός που ανύψωνε και αναποδογύριζε πλοία) και κάτοπτρα για την καύση των Ρωμαϊκών εχθρικών πλοίων (με παραβολικά κάτοπτρα όπως αποδείχτηκε από τα πειράματα του μηχανικού Ι Σακκά ο οποίος το 1973 απόδειξε τον τρόπο με τον οποίο ο Αρχιμήδης έκαψε τον ρωμαϊκό στόλο) Σύμφωνα με την παράδοση όταν η πόλη μετά από τριετή αντίσταση των ελλήνων κατελήφθη με προδοσία ένας ρωμαίος στρατιώτης σκότωσε τον Έλληνα επιστήμονα ενώ αυτός ήταν προσηλωμένος σε κάποιο γεωμετρικό πρόβλημα ΜΗ ΜΟΥ ΤΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥΣ ΤΑΡΑΤΤΕ πρόλαβε να του απαντήσει ο Έλληνας επιστήμονας

Ο Αρχιμήδης επηρέασε σε μεγάλο βαθμό την ευρωπαϊκή επιστημονική σκέψη καθώς και τους Άραβες επιστήμονες οι οποίοι αντέγραψαν όλα τα έργα του στα αραβικά γλώσσα στην οποία διασώθηκαν αρκετά αφού τα πρωτότυπα είχαν χαθεί

35

Διασωθέντα συγγράμματα

bull Περί σφαίρας και κυλίνδρου Βιβλίο α και βbull Κύκλου μέτρησις Σώζονται τρία θεωρήματαbull Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων (32 θεωρήματα 1 πόρισμα)bull Περί ελίκων (28 θεωρήματα 6 πορίσματα)bull Περί επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων ή Μηχανικά Βιβλ α και βbull Περί μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος (=μέθοδος)bull Βιβλίο λημμάτωνbull Πρόβλημα Βοεικόνbull Κατασκευή πλευράς του περιγραφομένου εις κύκλο επταγώνουbull Ωρολόγιον Αρχιμήδους (Σώζεται στα αραβικά)bull Περί κύκλων εφαπτομένων αλλήλωνbull Αρχαί της Γεωμετρίαςbull Ψαμμίτηςbull Τετραγωνισμός παραβολήςbull Οχουμένων (Υδροστατική)bull Στομάχιον (Σώζονται λίγα αποσπάσματα)

Συγγράμματα μη διασωθέντα (ή συγγράμματα μη αποκαλυφθέντα μέχρι σήμερα)

bull Αριθμητικάbull Βαρουλκός Υδροσκοπίαι Πνευματικήbull Επισίδια Βιβλία (Μάλλον περί στατιστικής - Τζέτζης)bull Περί τριγώνωνbull Περί τετραπλεύρουbull Περί ζευγώνbull Περί 13 ημικανονικών πολυέδρωνbull Ισοπεριμετικάbull Ισορροπίαιbull Καύσις δια κατόπτρων (επ΄ αυτού έγινε επιτυχές πείραμα στο ΝΣ)bull Περί Αρχιτεκτονικήςbull Περί βαρύτητος και ελαφρότητος (Πυκνόμετρα - Αραιόμετρα)bull Περί δρομομέτρων (Οδόμετρα πλοίων)bull Περί κέντρου Βάρους ή Κεντροβαρικάbull Κατοπρικάbull Περί παραλλήλων γραμμώνbull Περί κοίλων και παραβολικών κατόπτρωνbull Προοπτικήbull Στοιχεία μηχανικώνbull Πλινθίδες και Κύλινδροιbull Στοιχεία επί των στηρίξεωνbull Σφαιροποιΐα

36

Εφευρέσεις

bull Αραιόμετρο - Πυκνόμετροbull Αστρονομική συσκευήbull Βαρουλκόςbull Γερανοί (Αρπάγες)bull Καταπέλτεςbull Κάτοπτραbull Κοχλίας ή έλιξbull Οδόμετρο (δρομόμετρο)bull Πλανητάριον (σφαίρα)bull Πολύσπαστον (Βαρούλκο) τρίσπαστοbull Σίφωνbull Στομάχιον (επιτραπέζιο παιγνίδι το πρώτο παζλ)bull Τηλεβόλον Αρχιμήδους bull Χαριστίων (μοχλός)bull Ωρολόγιο υδραυλικό

37

Τα συγγράμματα του Αρχιμήδη που σώθηκαν μέχρι σήμερα είναι τα ακόλουθα Περί σφαίρας και κυλίνδρου Κύκλου μέτρησις περί σφαιροειδέων και κωνοειδέων Περί λίκων Επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων Ψαμμίτης Τετραγωνισμός παραβολής Οχούμενων Στομάχιον Προς Ερατοσθένην Έφοδος Βιβλίον περί λημμάτων Πρόβλημα βοεικόν Αποσπάσματα Μερικά από αυτά διασώθηκαν Πολλά επίσης είναι τα συγγράμματα του που χάθηκαν

Έκανε τα πρώτα βήματα για το μαθηματικό υπολογισμό επιφανειών με ακανόνιστο περίγραμμα και συμμετρικών εκ περιστροφής σωμάτων μέθοδος που εξελίχθηκε τεκμηριώθηκε και ονομάστηκε στην σύγχρονη εποχή laquoΟλοκληρωτικός Λογισμόςraquo υπολόγισε μία προσεγγιστική τιμή για τον άρρητο αριθμό π διατύπωσε το νόμο προεκτάσεις του γενίκευσε την εφαρμογή λέγοντας laquoΔώστε μου σημείο να στηριχθώ και θα κινήσω την γηraquo διατύπωσε την ομώνυμη αρχή για την άνωση του νερού κατασκεύασε διάφορες μηχανές ένα τύπο πολύσπαστου τον κοχλία μία αντλητική μηχανή με την laquoαρχιμήδειον έλικαraquo κά

Η συμβολή του ΑρχιμήδηΗ συμβολή του Αρχιμήδη στην ανάπτυξη της Μηχανικής συνιστάται πέρα από την επινόηση των τροχαλιών του πολύσπαστου και των οδοντωτών τροχών και ενός ιδιόμορφου αντλητικού συγκροτήματος στην έλικα που φέρει το όνομα του Ακόμα στην επακριβή διατύπωση των νόμων των μοχλών και των ισορροπιών ή κέντρα βαρών Εδώ υπάρχει και η περίφημη πρόταση laquo σύμμετρα μεγέθη ισορροπούν σε αποστάσεις αντιστρόφως ανάλογες προς το βάρος τους raquo

Σε σχέση με τους μοχλούς και τις δυνατότητες τους μας αναφέρει τη φράση laquo δος μοι πα στω και ταν γαν κινάσω raquo Απέδειξε στον Ιέρωνα ότι με ένα σύστημα τροχαλιών ndash οδοντωτών τροχών και μοχλών μπορεί να μετακινήσει ένα τεράστιο πλοίο με όλο το πλήρωμα μέσα μόνος του Ήταν ακόμα ο ίδιος που σχεδίασε και επιμελήθηκε τη ναυπήγηση του πλοίου

Ανέλαβε μετά από εντολή του Ιέρωνα την οχύρωση της πόλης και διηύθυνε ο ίδιος την άμυνα της εναντίον των Ρωμαίων

Στην αστρονομία ο Λίβιος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης είναι laquoμοναδικός παρατηρητής του ουρανού και των αστέρων raquo Ο Ίππαρχος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης ασχολήθηκε με τη μελέτη των ηλιοστασίων καθώς και με τον υπολογισμό της διάρκειας του έτους

Ο Μακρόβιος αναφέρει ότι ο Αρχιμήδης ανακάλυψε τις αποστάσεις των πλανητών ενώ στο έργο laquoΨαμμίτηςraquo περιγράφει τη συσκευή μέσω της οποίας μέτρησε τη φαινομενική γωνιακή διάμετρο του ήλιου

38

Ο Κικέρων αναφέρεται με θαυμασμό για τον Αρχιμήδη στα laquoΚατοπτρικάraquo Στα Μαθηματικά που ο ίδιος θεωρούσε ως τα πιο σημαντικά παρουσίασε την μέθοδο του προσδιορισμού του αριθμού π Τελειοποίησε το ελληνικό σύστημα αρίθμησης και παρουσίασε μια μέθοδο παράστασης των πολύ μεγάλων αριθμών Ασχολήθηκε με τη διαφορική Γεωμετρία βρήκε τους τύπους πρόσθεσης και αφαίρεσης τόξων Υπολόγισε το εμβαδόν της σφαίρας και του κυλίνδρου Μελέτησε διάφορα στερεά εκ περιστροφής όπως τα στερεά που παράγονται από περιστροφή έλλειψης υπερβολής και παραβολής γύρω από έναν άξονα

Στη Γεωμετρία το έργο του Αρχιμήδη αποτελείται κατά κύριο λόγο από πρωτότυπες μελέτες σχετικά με τον τετραγωνισμό των καμπυλόγραμμων επίπεδων σχημάτων καθώς και με τον τετραγωνισμό και τον κυβισμό καμπύλων επιφανειών

Τέλος επινόησε στο σύνολό της την Υδροστατική Επιστήμη την οποία ανέπτυξε πλήρως Οι μελέτες του αναπαριστούν ένα σύνολο μαθηματικών και γεωμετρικών επιτευγμάτων το οποίο δεν ξεπέρασε κανείς στην ανθρώπινη ιστορία

Όπως αναφέρει ο Wallis laquo ο Αρχιμήδης αφήνει ένα συγκεκριμένο μυστήριο να καλύπτει τον τρόπο με τον οποίο κατέληγε στα αποτελέσματά του Είναι σαν να είχε καλύψει σκοπίμως τα ίχνη του τα ίχνη των ερευνών του σα να ήταν απρόθυμος να αποκαλύψει το μυστικό της μεθόδου έρευνάς του στους μεταγενέστερους ενώ επιθυμούσε να αποσπάσει τη συναίνεσή τους για τα αποτελέσματά του raquo

Ο ίδιος ο Αρχιμήδης ως φορέας ενός ανώτερου φιλοσοφικού πνεύματος θεωρούσε ταπεινή και ανάξια κάθε τέχνη που εξυπηρετούσε πρακτικές ανάγκες ή αποσκοπούσε στο οικονομικό κέρδος Γι` αυτό και έστρεψε όλη του την προσοχή και τις επιδιώξεις στους καθαρούς στοχασμούς χωρίς να καταδεχτεί να αφήσει κάποιο γραπτό στοιχείο για τις τεχνολογικές του ανακαλύψεις με μοναδική εξαίρεση όσες αναφέρονται στο έργο του laquoπερί σφαιροποιίαςraquo Δεν είναι καθόλου τυχαίο λοιπόν το ότι ο Κικέρων αργότερα βρήκε τον τάφο του και πάνω μία αναπαράσταση ενός κυλίνδρου περιγεγραμμένου σε σφαίρα με μία περιγραφή που έδινε το λόγο του κυλίνδρου προς τη σφαίρα

Σε ποιους τομείς εφαρμόστηκαν οι θεωρίες του Εξαιρετικές του μελέτες και για τη μέθοδο και για το αποτέλεσμα είναι εκείνες που έδωσαν τα εμβαδά Κύκλου Έλλειψης Παραβολής και Έλικας καθώς και τα εμβαδά και τους όγκους των Κυλίνδρων των Κώνων και κυρίως των Σφαιρών

Σημαντικότατη θεωρείται και η ανακάλυψη από τον ίδιο τύπου που δίνει το εμβαδόν τριγώνου από τις πλευρές του και ακόμα η επέκτασή του στα εγγεγραμμένα τετράπλευρα Ο Αρχιμήδης επίσης γνώριζε να κατασκευάζει τη λύση ειδικών τριτοβάθμιων προβλημάτων και μεταξύ αυτών και του Δηλίου Προβλήματος Τις λύσεις αυτές τις έδινε με την τομή δύο κωνικών (Ευτόκιος) Μοναδική είναι η προσφορά του στην ανώτερη μετρική Γεωμετρία Συγκεκριμένα εξέφρασε τους όγκους στερεών εκ περιστροφής κωνικών τομών εφαρμόζοντας απειροστικές μεθόδους ανάλυσης των στερεών αυτών

39

Στη σύγχρονη κλασική γεωμετρία όλο σχεδόν το μετρικό της μέρος οφείλεται στον Αρχιμήδη με αποτέλεσμα αυτή ουσιαστικά να είναι ισορροπημένη μείξη της Ευκλείδειας και της Αρχιμήδειας αρχαίας γεωμετρίας

Έτσι ο σοφός μας αποτελεί ουσιαστικά τον πατέρα της ανώτερης μετρικής γεωμετρίας της αρχαιότητας και ταυτόχρονα την πηγή έμπνευσης των νεώτερων μελετών του διαφορικού και απειροστικού λογισμού

Η πρωτοτυπία και η αποτελεσματικότητα των μελετών του έγιναν αιτία να χαρακτηριστεί από τους ιστορικούς των μαθηματικών ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών και όλων των εθνών

Ρεύμα στα ανάκτορα της Βρετανίας μέσω εφεύρεσης του Αρχιμήδη ( httpkatestimenoblogspotcom201109blog-post_1015html )

laquoΗ Βασίλισσα Ελισάβετ πρόκειται να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση ενός αρχαίου Έλληνα για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Και όταν λέμε αρχαίο Έλληνα εννοούμε τον Αρχιμήδη και όχι τον 90χρονο σύζυγό της Φίλιππο της Ελλάδαςraquo

Με αυτόν τον τίτλο πληροφορεί το βρετανικό κοινό η εφημερίδα ldquoDaily Mailrdquo για την απόφαση της Αυτής Μεγαλειότητας να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση του αρχαίου Έλληνα εφευρέτη Αρχιμήδη από τις Συρακούσες για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Πρόκειται για τη σύγχρονη εκδοχή του ατέρμονα κοχλία της έλικος του Αρχιμήδους όπως έμεινε γνωστή η εφεύρεση και είναι ένας σωληνοειδής κοχλίας που χρησίμευε για την άντληση νερού και την άρδευση καλλιεργημένων εκτάσεων

Η σύγχρονη εκδοχή της εφεύρεσης θα χρησιμοποιεί το νερό που μεταφέρεται από ένα τεχνητό φράγμα για να παράγει υδροηλεκτρική ενέργεια Ο μηχανισμός έχει ήδη μεταφερθεί μέσω του Τάμεση στο Romney Weir στα ανάκτορα του Γουίντσορ Σύμφωνα με το δημοσίευμα της εφημερίδας οι έλικες θα είναι έτοιμες για την παραγωγή ενέργειας τον προσεχή Νοέμβριο ενώ θα μπορούν να καλύψουν πλήρως τις ανάγκες του κάστρου σε ενέργεια μέσα στον επόμενο χρόνο

Εκτός αυτού οι τουρμπίνες είναι σχεδιασμένες ώστε να μην εμποδίζουν την ασφαλή διέλευση σολομού και χελιού μέσα στον ποταμό Τάμεση

Οι laquoέλικες του Αρχιμήδηraquo βάρους 40 τόνων κατασκευάστηκαν από ένα εργοστάσιο στην Ολλανδία και στοίχησαν 700000 λίρες Αγγλίας ενώ το κόστος εγκατάστασής τους θα ξεπεράσει το ένα εκατομμύριο λίρες

40

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Συνοπτικά ο Θαλής στη γεωμετρία

bull Εισήγαγε την έννοια των παράλληλων ευθειώνbull Εισήγαγε την έννοια των γωνιών και τα πρώτα τους θεωρήματαbull Ανακάλυψε κριτήρια ισότητας και ομοιότητας τριγώνωνbull Ανακάλυψε το ομώνυμό του Θεώρημα του Θαλήbull Ανακάλυψε το θεώρημα της γωνίας της εγγεγραμμένης στο ημικύκλιοbull Εκτιμάται ότι ανακάλυψε το θεώρημα των τριών γωνιών τρίγωνου

ΜΑΡΤΥΡΙΕΣ-ΑΠΟΤΙΜΗΣΗΔυστυχώς οι γνώσεις μας για τα μαθηματικά που αναπτύχθηκαν τον 6ο και τον 5ο αιώνα πΧ είναι αποσπασματικές Κανένα κείμενο δεν διασώζεται ακέραιο ενώ οι πληροφορίες που έχουμε προέρχονται από συγγραφείς που έζησαν έως και 1000 χρόνια αργότερα

Ο Πρόκλος αποτελεί την καλύτερη και την πλέον αξιόπιστη πηγή για τον Θαλή ως Γεωμέτρη

Παρrsquo ότι ο Πρόκλος έζησε τον 5ο μΧ αιώνα η επισκόπηση της Ιστορίας της Γεωμετρίας που περιέλαβε στα σχόλια του για το πρώτο βιβλίο του Ευκλείδη είναι αξιόπιστη καθώς θεωρείται ότι βασίζεται στην χαμένη Ιστορία της Γεωμετρίας που είχε συγγράψει ο μαθητής του Αριστοτέλη ο Εύδημος

Με τον Θαλή αλλά και τους επίγονους της σχολής της Ιωνίας το σχήμα παίρνει ουσιαστικό και πρωτεύοντα ρόλο στην σπουδή της Γεωμετρίας και γίνεται το ίδιο αντικείμενο μελέτης και μαθηματικού στοχασμού

Δικαίως λοιπόν εξασφάλισε τον τίτλο του laquoΠατέρα της Γεωμετρίαςraquo αφού

bull Σύμφωνα με τον Ιερώνυμο (Μαθητής του Αριστοτέλη)

laquoΚατόρθωσε να μετρήσει τις πυραμίδες παρατηρώντας το μήκος της σκιάς τους κατά τη στιγμή που οι σκιές μας έχουν μήκος ίσο με το ύψος μαςraquo

8

bull Ο Πλίνιος

Μας λέει τα ίδια προσθέτοντας ότι ο Θαλής χρησιμοποίησε την μέθοδο και για κάθε άλλο σώμα του οποίου θέλουμε να βρούμε το ύψος

bull Ο Πρόκλος αποδίδει στο Θαλή πολλά μαθηματικά αποτελέσματαlaquoΠρώτος ο Θαλής απέδειξε ότι η διάμετρος διχοτομεί τον κύκλοraquolaquoΠρώτος εκείνος επεσήμανε ότι οι γωνίες της βάσης κάθε ισοσκελούς τρίγωνου είναι ίσεςraquo

bull Ο Εύδημος αναφέρει

laquoΟ Θαλής βρήκε πρώτος το θεώρημα ότι οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσεςraquo

Άλλες μαρτυρίες για τα θεωρήματα και τη συμβολή του Θαλή είναι και της ιστορικού Παμφίλης (που παρατίθεται από το Διογένη Λαέρτιο) η οποία υποστήριξε πως ο Θαλής υπήρξε ο πρώτος που ενέγραψε ορθογώνιο τρίγωνο σε κύκλο Συμφώνα όμως με τον Απολλόδωρο το λογικιστή αυτό πρέπει να αποδοθεί στους Πυθαγορείους Συμφώνα πάλι με τον Cantor ο Θαλής δεν laquoαπέδειξεraquo αλλά μάλλον παρατήρησε τις ιδιότητες των γεωμετρικών σχημάτων

Με βάση τις παραπάνω μαρτυρίες είμαστε σε θέση να αποτιμήσουμε τη συμβολή του Θαλή στην παγκόσμια ιστορία όλων των τομέων των επιστημών Η συμβολή αυτή έγκειται στο γεγονός ότι ανέπτυξε μια λογική δομή και εισήγαγε την απόδειξη στα μαθηματικά

9

ΠυθαγόραςΒΙΟΓΡΑΦΙΚΑ

Ο γνωστός σε όλους μας Πυθαγόρας ο Σάμιοςγεννήθηκε στη Σάμο και έζησε το 580-500πΧ Το όνομά του του το έδωσαν οι γονείς του προς τιμήν της Πυθίας η οποία προφήτεψε τη γέννησή του Σύμφωνα με τον Διογένη Λαέρτιο ο Πυθαγόρας έλεγε ότι κάποτε υπήρξε Αιθαλίδης και ήταν γιος του Ερμή Ο Ερμής του ζήτησε να διαλέξει ότι ήθελε εκτός από την αθανασία Ζήτησε λοιπόν όσο ζει να θυμάται όσα του έχουν συμβεί Έτσι μπορούσε να επαναφέρει στη μνήμη του τα πάντα από τις προηγούμενες ζωές του

Νεαρός ακόμα παρακινούμενος από τη φιλομάθειά του έφυγε από την πατρίδα του για να μυηθεί σε όλες τις ελληνικές και βαρβαρικές τελετές Πήγε στην Αίγυπτο και τότε ο πολιτάρχης τον σύστησε με επιστολή του στον Αμάση Εκεί έμαθε τέλεια τα αιγυπτιακά όπως λέει ο Αντιφών στο laquo Περί τῶν ἒν ἁρετῇ πρωτευσάντων raquo και επισκοπήθηκε τους Χυδαίους και τους Μάγους Κατόπιν στην Κρήτη με το Επιμενίδη κατέβηκε στο Ιδαίον Άντρο αλλά και στην Αίγυπτο είχε μπει στα άδυτα Έτσι γνώρισε τα μυστικά για τους θεούς Στη συνέχεια επέστρεψε στη Σάμο επειδή όμως βρήκε την πατρίδα του τυραννοκρατούμενη από τον Πολυκράτη αναχώρησε για τον Κρότωνα της Ιταλίας Έδρασε εκεί όπου και ίδρυσε την περίφημη laquoΠυθαγόρειο Σχολήraquo η οποία ήταν πολίτικο-θρησκευτικό ίδρυμα με πολιτικούς κυρίως στόχους όπου μελετήθηκαν και η αριθμητική και η γεωμετρία Επεδίωκε την ηθική και πνευματική αναγέννηση όλων των λαϊκών στρωμάτων ανδρών και γυναικών της περιοχής του Κρότωνα

Είχε πολλούς και καλούς μαθητές Κάθε φορά που έμπαιναν στο σπίτι του τους έλεγε να λένε τα εξής laquoΠού έσφαλαraquo laquoΤι έκαναraquo laquoΤι έπρεπε να κάνω και δεν έκαναraquo Οι μαθητές του επί πέντε χρόνια παρέμεναν σιωπηλοί και άκουγαν μόνο τις ομιλίες του Πυθαγόρα χωρίς ποτέ να βλέπουν τον ίδιο Μετά το τέλος αυτής της δοκιμασίας του γίνονταν μέλη του σπιτιού του και είχαν το δικαίωμα να τον βλέπουν

10

Πέθανε σύμφωνα με τον Διογένη Λαέρτιο καθώς προσπαθούσε να διαφύγει από την καταδίωξη Κροτωνιατών που φοβήθηκαν την εγκαθίδρυση τυραννίας λόγω της μεγάλης δύναμης που είχε αποκτήσει αυτός και οι μαθητές του στην πόλη Οι Κροτωνιάτες έσφαξαν αυτόν και τους τετρακόσιους μαθητές του αφού πρώτα έκαψαν το σπίτι του Μίλωνα στο οποίο λίγο πριν είχαν συγκεντρωθεί Ο Δικαίαρχος αναφέρει πως ο Πυθαγόρας πέθανε στο ιερό των Μουσών στο Μετάποντιο (ελληνική αποικία) μένοντας σαράντα ημέρες νηστικός

ΕΠΙΤΕΥΓΜΑΤΑ - ΕΡΓΟ

Η ηθική διδασκαλία του Πυθαγόρα και των ακολούθων του (Πυθαγορείων) διασώζεται σε 71 στίχους του έργου laquoΤα χρυσά έπη του Πυθαγόραraquo Η σύνθεση αυτών των στίχων αποδίδεται στους Νεοπυθαγορείους του 2ου-3ου μΧ αιώνα Η γνώση ότι τα laquoΧρυσά Έπηraquo γραφτήκαν από τον Πυθαγόρα ή τους Πυθαγορείους και ανασυντέθηκαν μεταγενέστερα με τη μορφή που έφτασαν σε εμάς δεν φαίνεται να είναι σωστή Αν κάνουμε μια απλή ανάγνωση στα εν λόγω έπη αποδεικνύεται ότι αυτά γράφτηκαν πολύ αργότερα Οπωσδήποτε όμως το περιεχόμενο των επών είναι απόλυτα laquoπυθαγορικόraquo και συμφωνεί με την παράδοση της ηθικής διδασκαλίας του Πυθαγόρα και των Πυθαγορείων

Οι σύγχρονοί του όμως φαίνεται ότι θεωρούσαν τον Πυθαγόρα περισσότερο ως θρησκευτικό προφήτη και λιγότερο ως μαθηματικό Πρέπει να υπογραμμίσουμε πάντως ότι η διδασκαλία του διέφερε από διδασκαλίες άλλων στοχαστών της εποχής του κατά το ότι απέδιδε πολύ μεγάλη σημασία στα μαθηματικά λέγοντας ότι αυτά είναι η οδός για την απελευθέρωση της ψυχής Το πιο σημαντικό μέρος των μαθηματικών για τους Πυθαγορείους είναι η αριθμητική Διότι όπως έλεγε και ο Πυθαγόρας laquoΤά τῶν αριθμῶν στοιχεία τῶν ὂντων πάντωνεἴναιraquo (Αριστοτέλους Μετά τα φυσικάΑ5)

11

[Aristot Metaph A 5985 b 23]οἱ καλούμενοι Πυθαγόρειοι τῶν μαθημάτων ἁψάμενοι πρῶτοι ταῦτά τε προήγαγον καὶ ἐντραφέντες ἐν αὐτοῖς τὰς τούτων ἀρχὰς τῶν ὄντων ἀρχὰς ᾠήθησαν εἶναι πάντων ἐπεὶ δὲ τούτων οἱ ἀριθμοὶ φύσει πρῶτοι ἐν δὲ τούτοις ἐδόκουν θεωρεῖν ὁμοιώματα πολλὰ τοῖς οὖσι καὶ γιγνομένοις μᾶλλον ἢ ἐν πυρὶ καὶ γῇ καὶ ὕδατι ὅτι τὸ μὲν τοιονδὶ τῶν ἀριθμῶν πάθος δικαιοσύνη τὸ δὲ τοιονδὶ ψυχή τε καὶ νοῦς ἕτερον δὲ καιρὸς καὶ τῶν ἄλλων ὡς εἰπεῖν ἕκαστον ὁμοίως ἔτι δὲ τῶν ἁρμονιῶν ἐν ἀριθμοῖς ὁρῶντες τὰ πάθη καὶ τοὺς λόγους - ἐπεὶ δὴ τὰ μὲν ἄλλα τοῖς ἀριθμοῖς ἐφαίνετο τὴν φύσιν ἀφωμοιῶσθαι πᾶσαν οἱ δ ἀριθμοὶ πάσης τῆς φύσεως πρῶτοι τὰ τῶν ἀριθμῶν στοιχεῖα τῶν ὄντων στοιχεῖα πάντων ὑπέλαβον εἶναι καὶ τὸν ὅλον οὐρανὸν ἁρμονίαν εἶναι καὶ ἀριθμόν

bull Πυθαγόρειες τριάδες

Ο Πρόκλος αποδίδει στον ίδιο τον Πυθαγόρα την εύρεση των πυθαγορείων τριάδων της

μορφής

+ΝminusΝΝ2

12

122

όπου Ν περιττός αριθμός μεγαλύτερος του 1 Για

παράδειγμα αν πάρουμε ως Ν τον αριθμό 3 θα σχηματιστεί η τριάδα

+minus2

132

13322

δηλαδή η (3 4 5) η οποία είναι πράγματι Πυθαγόρεια τριάδα αφού ικανοποιεί τη σχέση 222 543 =+

Φαίνεται ότι αληθεύει η εκδοχή λόγω της παράδοσης κάποιες μαθηματικές γνώσεις να μεταδόθηκαν από την Αίγυπτο σε πολλούς αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς ανάμεσα τους τον Πυθαγόρα

12

bull Πυθαγόρειο θεώρημα

Σε αντιστοιχία με τον ορισμό των πυθαγορείων τριάδων ένα τρίγωνο λέγεται πυθαγόρειο όταν τα μήκη των πλευρών του αποτελούν Πυθαγόρεια τριάδα Προφανώς κάθε ορθογώνιο τρίγωνο είναι πυθαγόρειο ενώ το αντίστροφο γενικά δεν ισχύει Το ΠΘ αποτελεί χαρακτηριστικό παράδειγμα μελέτης των ιδιοτήτων των σχημάτων Ο Ευκλείδης στα laquoΣτοιχείαraquo μας λέει ουσιαστικά ότι η επιφάνεια που καταλαμβάνει το τετράγωνο που κατασκευάζεται με πλευρά την υποτείνουσα ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι ίση με την επιφάνια που καταλαμβάνουν μαζί τα τετράγωνα που κατασκευάζονται με πλευρά τις κάθετες πλευρές του τριγώνου

-Ορισμός Πυθαγορείου Θεωρήματος Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών Αντίστροφο Πυθαγορείου Θεωρήματος Αν σε ένα τρίγωνο το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο

Η απόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήματος που χρησιμοποιούμε συνήθως σήμερα στηρίζεται στην έννοια της ομοιότητας των τριγώνων και τις αλγεβρικές ιδιότητες των αναλογιών ενώ το θεώρημα διατυπώνεται στη μορφή μιας αλγεβρικής ισότητας για τετράγωνα των μήκων των πλευρών του ορθογώνιου τριγώνου Με τον τρόπο αυτό γίνεται ένα ευέλικτο υπολογιστικό εργαλείο με πολυάριθμες εφαρμογές και προεκτάσεις

Το πυθαγόρειο θεώρημα αποδεικνύεται με πάνω από έναν τρόπους

13

Απόδειξη με εμβαδά

Θεωρούμε ένα τετράγωνο πλευράς a + b και σχεδιάζουμε σε αυτό τέσσερα ορθογώνια τρίγωνα με πλευρές a και b και υποτείνουσα c έτσι ώστε στο κέντρο να έχουμε τετράγωνο πλευράς c (βλ σχήμα)

Υπολογίζουμε το εμβαδό του τετραγώνου προσθέτοντας το εμβαδό του μικρότερου τετραγώνου καθώς και τα εμβαδά των τεσσάρων τριγώνων

c2 + 2abΑφού πρόκειται για τετράγωνο πλευράς a + b το εμβαδό του ισούται επίσης με

a2 + b2 + 2abΕξισώνοντας τις δυο αυτές σχέσεις προκύπτει

a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab ή a2 + b2 = c2

Απόδειξη με ομοιότητα τριγώνων

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ορθή γωνία την Α Θεωρώ το ύψος της υποτείνουσας ότι την τέμνει στο σημείο Δ Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΒΑ είναι όμοια μεταξύ τους ως ορθογώνια τρίγωνα με ίδια τη γωνία Β Παρομοίως τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΓΑ είναι όμοια μεταξύ τους με ίδια τη γωνία Γ

Ισχύει ))(()AB()AB()(

)()AB( 2 ∆ ΒΒ Γ=rArr∆ Β=

Β Γ και (ΑΓ)2 = (ΒΓ)(ΔΓ)

Αν προσθέσουμε τις δυο αυτές εξισώσεις έχουμε(ΑΒ)2 + (ΑΓ)2 =

(ΒΓ)(ΔΒ) + (ΒΓ)(ΔΓ) = (ΒΓ)(ΔΒ + ΔΓ) = (ΒΓ)2

bull Η περίφημη κούπα του Πυθαγόρα

Ο Πυθαγόρας κατά την τοπική παράδοση της Σάμου είχε φτιάξει μια κούπα εφαρμόζοντας τους νόμους της Φυσικής για να πίνει με μέτρο το κρασί Εσωτερικά είχε μία γραμμή που όριζε ως που έπρεπε να γεμίσει κανείς Μια στάλα παραπάνω και η κούπα άδειαζε όλο το κρασί της από μία κρυφή οπή στη βάση Πως όμως γίνεται αυτό Στο κέντρο της κούπας βρίσκεται μια στήλη τοποθετημένη ακριβώς πάνω από έναν σωλήνα ο οποίος οδηγεί στο κάτω μέρος της Εκεί βρίσκεται η κρυφή οπή Ενώ γεμίζουμε την κούπα η στάθμη του κρασιού ανεβαίνει και στο εσωτερικό της κεντρικής στήλης ακολουθώντας το νόμο του Pascal για τα συγκοινωνούντα δοχεία

14

Όσο η στάθμη του κρασιού δεν ξεπερνά τη γραμμή που είναι χαραγμένη στο εσωτερικό της κούπας laquoδεν τρέχει τίποταraquo Εάν όμως την ξεπεράσει ταυτόχρονα φτάνει και στην κορυφή της εσωτερικής στήλης έτσι μέσω του σωλήνα το παραπανίσιο κρασί χύνεται κάτω από την κούπα Τότε η υδροστατική πίεση δημιουργεί ένα σιφόνι στον εσωτερικό σωλήνα το οποίο αδειάζει όλο το περιεχόμενο της κούπας από την οπή που υπάρχει

Ένα πλήθος επιπρόσθετων επιτευγμάτων όπως η κατασκευή και η μελέτη τριών τουλάχιστον από τα πέντε κανονικά πολύγωνα (κύβος τετράεδρο δωδεκάεδρο) και η κατασκευή της μουσικής κλίμακας (μελέτη των λόγων της τετράχορδης λύρας και δημιουργία κανόνα της οχτάχορδης λύρας) μας αποδεικνύει τη σημαντικότητα του Πυθαγόρα ως επιστήμονας της εποχής του Οι πληροφορίες για τη μελέτη των πολυέδρων δεν είναι αρκετές ωστόσο για τη μουσική κλίμακα γνωρίζουμε ότι βασίστηκε στις μελέτες του Πυθαγόρα ο οποίος μελετώντας τη μαθηματική σχέση της μουσικής κλίμακας και διατυπώνοντας σχετικούς κανόνες διευκόλυνε κατά πολύ την κατασκευή μουσικών οργάνων Κατάφερε να εκφράσει τη μουσική αρμονία με μαθηματικές σχέσεις μέσα από τη φιλοσοφική και επιστημονική του προσέγγιση Ξεκινώντας από μία χορδή και διαιρώντας διαδοχικά με το μήκος της και τον χρυσό αριθμό Φ κατάφερε να κατασκευάσει το μουσικό όργανο laquoΚανόναraquo εξέλιξη του οποίου συναντάται σήμερα στο γνωστό laquoκανονάκιraquo

Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΟΥ ΣΤΟ ΣΗΜΕΡΑ

Το αρχαιότερο παράδειγμα εφαρμογής του γνωστού σε όλους laquoπυθαγορείου θεωρήματοςraquo το συναντούμε στη πινακίδα ΒΜ 85196 που χρονολογείται από την περίοδο της πρώτης βαβυλωνιακής χιλιετίας πΧ Έχοντας γνώση λοιπόν του έργου του οι Βαβυλώνιοι οδηγηθήκαν σε αξιόλογα επιτεύγματα

Ο Πυθαγόρας υπήρξε μεγάλη προσωπικότητα με τις έρευνες και το Πανεπιστήμιό του συνέβαλε στο άλμα των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών Η περίεργη μυστικότητα όμως που διέπνεε το σύλλογο έγινε αιτία να μην πληροφορηθούν οι βιογράφοι επακριβώς όλα τα προσωπικά επιτεύγματα του ίδιου Έτσι σήμερα αγνοούμε εν μέρη το δικό του έργο το οποίο ασφαλώς θα ήταν σημαντικότατο

Όσο αναφορά το πυθαγόρειο σχήμα παρά τα αρκετά μειονεκτήματα έχει μερικά χαρακτηριστικά τα οποία μόνιμα επηρέαζαν την ελληνική αστρονομική σκέψη Έδινε βαρύτητα στις κυκλικές κινήσει των ουράνιων σωμάτων γύρω από ένα κεντρικό στοιχείο Τέλος στον Πυθαγόρα και τους Πυθαγορείους οφείλεται πλήθος γεωμετρικών εργασιών αφού αυτοί μελέτησαν με επιτυχία την επιστήμη της Γεωμετρίας

15

Πλάτων ο ΑθηναίοςΒιογραφικά στοιχεία

Έζησε στο διάστημα (427-347πΧ) Ήταν Aθηναίος φιλόσοφος αριστοκρατικής καταγωγής όπου ίδρυσε και διεύθυνε το διασημότερο πανεπιστήμιο στην αρχαία Ελλάδα την Ακαδημία για 40 περίπου χρόνια μέχρι το θάνατό του Πατέρας του ήταν ο Αρίστωνας ο οποίος καταγόταν από το γένος του βασιλιά Κόδρου και μητέρα του ήταν η Περικτιόνη η οποία ήταν αδερφή του Χαρμίδη ενός από τους Τριάκοντα τύραννους και ανιψιά του Κριτία επίσης μέλος των Τριάκοντα με καταγωγή από το γένος του νομοθέτη Σόλωνος Αδέρφια του ήταν οι Αδείμαντος και Γλαύκων Το πρώτο του όνομα ήταν Αριστοκλής αλλά αργότερα ονομάστηκε Πλάτωνας γιατί είχε ευρύ στέρνο και πλατύ μέτωπο

Σε ηλικία 18 ετών γνώρισε τον Σωκράτη και γοητεύτηκε από την προσωπικότητα και από την διδασκαλία του Από το συνολικό έργο του διασώζονται 36 έργα τα οποία εκτός από την Απολογία του Σωκράτη έχουν την μορφή διαλόγου σε όλα εκτός των Νόμων Την συζήτηση διεύθυνε ο Σωκράτης ενώ ο τίτλος του καθενός είναι το όνομα του σπουδαιότερου συνομιλητή ή αφηγητή Στα έργα αυτά γίνεται φανερή η τοποθέτηση του και ο άκρατος

θαυμασμός του προς τα μαθηματικά και ιδιαίτερα προς την γεωμετρία

Λίγες πληροφορίες για την Ακαδημία

Η Ακαδημία ήταν ένα προάστιο των Αθηνών Πήρε το όνομά της από τον ήρωα Ακάδημο Αναφορικά ο Ιππίας γιος του Πεισίστρατου έκτισε ένα κυκλικό τοίχο και ο Κίμωνας φύτεψε τη περιοχή με τα δέντρα η οποία καταστράφηκε από τον Σίλα το 86 πΧ Το 387

16

πΧ O Πλάτωνας ίδρυσε τη φιλοσοφική του σχολή η οποία έγινε πολύ διάσημη χάρη στους νεοπλατωνιστές και χρησιμοποιείτο έως το 526 μΧ οπότε και έκλεισε από τον αυτοκράτορα Ιουστινιανό Η Ακαδημία ήταν σχολή ανωτέρων μελετών και ταυτόχρονα και εκπαιδευτικό ίδρυμα Είχε ισχυρή καταστατική συγκρότηση και παρουσιάζεται περισσότερο υπό τη μορφή μιας αδελφότητας μιας φιλοσοφικής αίρεσης τα μέλη της οποίας αισθάνονται στενά συνδεδεμένα μεταξύ τους και διακρίνεται και από μια οικειότητα στις σχέσεις μεταξύ των μαθητών και των δασκάλων την οποία θα χαρακτηρίζαμε στοργική και φιλική συνάμα Υπάρχει μια διαφωνία σχετικά με το αν η Ακαδημία ήταν ένωση για τη πρόοδο των επιστημών ή ίδρυμα ανώτατης μόρφωσης Η διαφωνία αυτή είναι κάπως άσκοπη δεδομένου το ότι ο άκρατος ρεαλισμός της σχολής αλλά και ο απλός χαρακτήρας της αρχαϊκής εκείνης εποχής δεν επιτρέπουν στο να μεταθέσουμε σε εκείνο το περιβάλλον τη σύγχρονη αντίληψη που έχουμε για την επιστήμη Η Ακαδημία άλλωστε ήταν σχολή ανώτερων μελετών αλλά και εκπαιδευτικό ίδρυμα ταυτόχρονα Τέλος ο Πλάτωνας δεν ονειρεύτηκε μόνο τη ldquoμετά επιστήμηςrdquo παιδεία αλλά και τη μετέδωσε για σαράντα χρόνια στους μαθητές του στην Ακαδημία

Η Ακαδημία ήταν ο τόπος στον οποίο ο Πλάτωνας προσπαθούσε να δείξει τον δρόμο σε προικισμένους μαθητές ώσπου να αναπηδήσει ο σπινθήρας και να αποκαλυφθεί η έσχατη γνώση Ξέρουμε τόσα λίγα για την καθημερινή διδασκαλία στην ακαδημία την εποχή του Πλάτωνα ώστε πότε-πότε θέλησαν να αρνηθούν τον επιστημονικό χαρακτήρα της Τέτοιοι σκεπτικισμοί δεν στηρίζονται πουθενά Την μεγάλη σημασία των μαθηματικών σαν προπαίδεια για την διαλεκτική η οποία στηριζόταν σε αυτά την δείχνουν μερικές προσωπικότητες του Πλατωνικού κύκλου και χωρίς αμφιβολία υπάρχει ουσιαστική αλήθεια στο ανέκδοτο που λένε ότι βρισκόταν πάνω από την είσοδο της Ακαδημίας laquoἁγεωμέτρητος μηδείς εἰσίτωraquo Ξέρουμε ακόμα ότι η διαιρετική μέθοδος για την οποία μιλήσαμε στους οψιμότερους διαλόγους έπαιξε σημαντικό ρόλο στον αγώνα για ένα λογικά ταχτοποιημένο κοσμοείδωλο και στην απόκτηση ορισμών με την διαίρεση των γενικότερων εννοιών

Η συμβολή του Πλάτωνα και της Ακαδημίας στα μαθηματικά

Η συμβολή της Ακαδημίας στα μαθηματικά του 4ου αιώνα πΧ είναι σημαντικότατη ιδιαίτερα με τα έργα των καθηγητών της Θεαίτητου Μεναίχμου και Ενδόξου Η συμβολή όμως του Πλάτωνα είναι αμφιλεγόμενη αν και πιστεύεται ότι

-Έλυσε το Δήλιο πρόβλημα (διπλασιασμό του κύβου) με κινητική γεωμετρία και κάποιο όργανο με την βοήθεια του οποίου προέκυπτε η λύση

-Έδωσε γενική μορφή στην αναλυτική μέθοδο και συνέβαλε στην έρευνα των γεωμετρικών τύπων

-Προσδιόρισε ένα πλήθος των πυθαγορείων τριάδων δηλαδή των τριαδικών ακέραιων αριθμών που επαληθεύουν την ισότητα x2+y2=ω2 του Πυθαγορείου θεωρήματος

Για τα πολυσυζητημένα αστρονομικά ζητήματα της εποχής του (κίνηση του ουρανού θέση σχήμα και κίνηση της Γης) παρουσιάζει ξένες και θολά διατυπωμένες απόψεις γεγονός που

17

φανερώνει ότι δεν διέθετε προσωπική άποψη για το θέμα και γενικά ότι δεν ήταν μαθηματικός

Έγραψε μεταξύ άλλων την απολογία του Σωκράτη η οποία θεωρείται ως μια σχετικά ακριβής καταγραφή της απολογίας του Σωκράτη στην δίκη που τον καταδίκασε σε θάνατο Μετά τη θανάτωση του Σωκράτη για λίγο καιρό κατέφυγε στα Μέγαρα κοντά στον συμμαθητή του Ευκλείδη Ύστερα γύρισε στην Αθήνα όπου για 10 χρόνια ασχολήθηκε με τη συγγραφή φιλοσοφικών έργων τα οποία φέρουν τη σφραγίδα της σωκρατικής φιλοσοφίας Στη συνέχεια ταξίδεψε στην Αίγυπτο και στην Κυρήνη όπου σχετίστηκε με τον μαθηματικό Θεόδωρο και τέλος στον Τάραντα της Ιταλίας όπου γνώρισε τους πυθαγόρειους από τη φιλοσοφική σκέψη των οποίων επηρεάστηκε αποφασιστικά Μετά πέρασε στη Σικελία Στην αυλή του βασιλιά των Συρακουσών Διονυσίου Α΄ γνώρισε τον βασιλικό γυναικάδελφο Δίωνα με τον οποίον συνδέθηκε φιλικά Η φιλία όμως αυτή προκάλεσε τις υποψίες του Διονυσίου για συνωμοσία γι αυτό έδιωξε τον Πλάτωνα από τη Σικελία Στην Αίγινα κινδύνεψε να πουληθεί ως δούλος αλλά τον εξαγόρασε ο Κυρηναίος φίλος του Αννίκερης Επιστρέφοντας στην Αθήνα άνοιξε τη φιλοσοφική σχολή του την Ακαδημία (387 πΧ) Η προσπάθεια όμως των δύο φίλων να προσηλυτίσουν στις ιδέες τους τον νέο ηγεμόνα Διονύσιο τον Πρεσβύτερο απέτυχαν Για τρίτη φορά ήρθε στην αυλή των Συρακουσών το 361 πΧ με σκοπό να συμφιλιώσει τον Δίωνα με τον Διονύσιο Αυτή τη φορά κινδύνεψε και η ζωή του Τον έσωσε η επέμβαση του πυθαγόρειου Αρχύτα Αλλά ο Δίωνας δεν γλίτωσε Δολοφονήθηκε το 353 πΧ Έτσι ο Πλάτωνας έχασε τον άνθρωπο στον οποίο στήριξε τις ελπίδες του για την επιβολή των πολιτικών του ιδεών Από τότε και μέχρι τον θάνατό του ασχολήθηκε με τη διδασκαλία και με τη συγγραφή φιλοσοφικών έργων Επίσης έγραψε το συμπόσιο που μιλάει για την φύση του έρωτα στον Πρωταγόρα Μεταξύ άλλων θεμελιώνεται θεωρητικά η αρχή της πρόληψης που δεν λαμβάνει την τιμή ως απολύτως ανταποδοτική στον Παρμενίδη και Θεαίτητο θεμελιώνει την αντικειμενικότητα του λόγου και της ιδέας ενώ σε 2 μακρούς διαλόγους την Πολιτεία και τους Νόμους περιέγραψε την ιδανική πολιτεία

Η κύρια συμβολή του στα μαθηματικά βρίσκεται κυρίως στο ότι προέτρεπεe τους μαθηματικούς να ερευνούν καθολικές μαθηματικές αλήθειες και γενικά να καλλιεργούν τα μαθηματικά τα οποία θεωρούσε ότι διαθέτουν τεράστια εκπαιδευτική αξία Η προτροπή αυτή φαίνεται εκτός των άλλων και στις απόψεις του ότι τα μαθηματικά είναι lsquorsquoδόσις θεῶν εἰς ἀνθρώπουςrsquorsquo και ότι οδηγούν έντονα την ψυχή προς το θείο

Οι επιδράσεις του Πλάτωνος στους έπειτα αιώνες

Ο Γάλλος ιστορικός της φιλοσοφίας Ζακ Σεβαλιέ τονίζει στο έργο του laquoΙστορία της σκέψηςraquo (1955) την κυρίαρχη παρουσία ή έστω ανταύγεια της πλατωνικής φιλοσοφίας σε ολόκληρο το Μεσαίωνα και στην Αναγέννηση και στους Νεότερους χρόνους ενώ ο Γερμανός φιλόσοφος Καρλ Γιάσπερς προβάλλει τον Πλάτωνα ως το τον πρώτο από τους τρεις θεμελιωτές του φιλοσοφείν Η ιστορία της φιλοσοφίας μέχρι τον Κικέρωνα είναι σαφώς επηρεασμένη από αυτόν και είτε αμφισβητεί είτε ακολουθεί τη διδασκαλία του Ο μαθητής του Αριστοτέλης εξ ίσου επιδραστικός με τον ίδιο οδηγήθηκε στην ανάπτυξη τμήματος του έργου του ως απάντηση στον πλατωνισμό Η σχολή την οποία ο Πλάτωνας

18

ίδρυσε το 387 πΧ η Ακαδημία συνέχισε να ακμάζει ως τις αρχές του πρώτου αιώνα π Χ έχοντας όμως μετατραπεί σε σκεπτική σχολή μετά τις αρχές της ελληνιστικής περιόδου

Κατά την εποχή του Αυγούστου υπήρξε αναβίωση της πλατωνικής φιλοσοφίας ο μεσοπλατωνισμός με εκπροσώπους όπως ο Φίλων ο Αλεξανδρεύς ενώ κατά τα τέλη του δεύτερου αιώνα ο μεσοπλατωνισμός άρχεσαι να μετατρέπεται σταδιακά υπό την επίδραση του νεοπυθαγορισμού και του ερμητισμού στην κατεχόμενη από τους Ρωμαίους Αίγυπτο στο κίνημα του νεοπλατωνισμού με αρχικούς εκπροσώπους όπως ο Πλωτίνος το οποίο είχε ιδεαλιστικό μυστικιστικό και σωτηριολογικό χαρακτήρα Η Ακαδημία στην Αθήνα επανιδρύθηκε ως κέντρο νεοπλατωνικών μελετών κατά τον τέταρτο αιώνα

Την ίδια εποχή περίοδο έντονων θρησκευτικών ζυμώσεων στη Ρωμαϊκή Αυτοκρατορία και σταδιακής επικράτησης του χριστιανισμού στη Μεσόγειο οι ακόλουθοι της αστικής ελληνορωμαϊκής θρησκείας αλλά και των ελληνικών μυστηριακών λατρειών συσπειρώθηκαν γύρω από τον νεοπλατωνισμό ως υπερασπιστή του μέχρι πρότινος επικρατούντος παγανισμού Μεμονωμένοι νεοπλατωνικοί και παγανιστικοί πυρήνες επέζησαν ως τον έκτο αιώνα οπότε και ο Αυτοκράτορας Ιουστινιανός έκλεισε με διάταγμα την Ακαδημία της Αθήνας Μετά περίπου εννέα αιώνες το έτος 1439 ο Γεώργιος Γεμιστός Πλήθων γράφει στη Φλωρεντία το πολύκροτο έργο του Περί ὧν Αριστοτέλης προς Πλάτωνα που αποτέλεσε το έναυσμα της διαμάχης πλατωνικών και αριστοτελικών στο Βυζάντιο και στην Ιταλία Ο πλατωνισμός επιβίωσε υπογείως καθ όλον τον Μεσαίωνα κρυμμένος σε μυστηριακά ρεύματα έως ότου οι πρωτότυπες ιδέες του ανακαλύφθηκαν ξανά και σχολιάστηκαν κατά την Αναγέννηση Έτσι ούτε η νεότερη φιλοσοφική σκέψη έμεινε ανεπηρέαστη από αυτόν Τα διάφορα φιλοσοφικά συστήματα ή προσπαθούν να ανατρέψουν τις ιδέες του ή οικοδομούνται πάνω σ αυτές εκσυγχρονίζοντάς τες

Τα έργα του είναι

Αλκιβιάδης Α η Περί Ανθρώπου Φύσεως μαιευτικός

Αλκιβιάδης Β ή Περί Προσευχής μαιευτικός

Απολογία Σωκράτους ηθικός

Γοργίας ή Περί Ρητορικής ανατρεπτικός

Επινομίς ή Νυκτερινος Σύλλογος πολιτικός

Επιστολαί ηθικαί

Ερασταί ή Περί Φιλοσοφίας ηθικός

Ευθύδημος ή Εριστικός ανατρεπτικός

Ευθύφρων ή Περί του Οσίου

Θεάγης ή Περί Φιλοσοφίας μαιευτικός

Θεαίτητος ή Περί Επιστήμης πειραστικός

19

Ιππαρχος ή Φιλοκερδής ηθικός

Ιππίας ελάσσων ή Περί του Ψεύδους ανατρεπτικός

Ιππίας μείζων ή Περί του Καλού ανατρεπτικός

Ίων ή Περί Ιλιάδος πειραστικός

Κλειτοφών ή Προτρεπτικός ηθικός

Κρατύλος ή Περί Ονομάτων Ορθότητος λογικός

Κριτίας ή Ατλαντικός ηθικός

Κρίτων ή Περί του Πρακτέου ηθικός

Λάχης ή Περί Ανδρείας ηθικός

Λύσις ή Περί Φιλίας μαιευτικός

Μενέξενος ή Επιτάφιος ηθικός

Μένων ή Περί Αρετής πειραστικός

Μίνως ή Περί Νόμου πολιτικός

Νόμοι ή Περί Νομοθεσίας πολιτικός

Παρμενίδης ή Περί Ιδεών λογικός

Πολιτεία ή Περί Δικαίου πολιτικός

Πολιτικός ή Περί της Βασιλείας λογικός

Πρωταγόρας ή Σοφισταί επιδεικτικός

Σοφιστής ή Περί του Όντος λογικός

Συμπόσιον ή Περί Αγαθού ηθικός

Τίμαιος ή Περί Φύσεως φυσικός

Φαίδρος ή Περί Έρωτος ηθικός

Φαίδων ή Περί Ψυχής ηθικός

Φίληβος ή Περί Ηδονής ηθικός

Χαρμίδης ή Περί Σωφροσύνης πειραστικός

20

21

ΕυκλείδηςΒΙΟΓΡΑΦΙΑ

Υπολογίζεται ότι έζησε το βrsquo μισό του 4ου έως τις αρχές του 3ου πΧ αιώνα πιο συγκεκριμένα περίπου το 325 πΧ έως το 265 πΧ Κορυφαίος μαθηματικός της αρχαιότητας που επηρέασε με το έργο του σε ανυπέρβλητο βαθμό τον επιστημονικό τρόπο σκέψης σε όλο τον κόσμο Για τη ζωή του δεν υπάρχουν επιβεβαιωμένες πληροφορίες Πιθανώς εκπαιδεύτηκε στην Αθήνα στην Ακαδημία του Πλάτωνα και δίδαξε στην Αλεξάνδρεια Ξέρουμε ότι ήταν μεγαλύτερος στην ηλικία από τον Αρχιμήδη πράγμα που σημαίνει ότι η χρονολόγηση της ακμής του laquoγύρω στο 300 πΧraquo δεν πρέπει να απέχει πολύ από την αλήθεια Ο Πρόκλος επίσης τον χαρακτηρίζει σύγχρονο του βασιλιά Πτολεμαίου Αrsquo στον

οποίο είχε το θάρρος να του πει κατά πρόσωπο πως δεν υπάρχει βασιλική οδός προς τη γεωμετρία Ο Πάππος τον επαινεί για την ηθική του ακεραιότητα τη μετριοφροσύνη και την ευμενή στάση του προς όσους είναι ικανοί να προαγάγουν τη μαθηματική γνώση Ο Στοβαίος διηγείται το ακόλουθο ενδιαφέρον περιστατικό Ένας νέος επισκέφθηκε κάποτε τον Ευκλείδη και τον παρακάλεσε να τον διδάξει γεωμετρία Μόλις έμαθε το πρώτο θεώρημα ρώτησε τον Ευκλείδη laquoΚαι τώρα τι θα κερδίσω με το θεώρημα αυτόraquo Ο Ευκλείδης τότε γύρισε προς τον υπηρέτη του και του είπε laquoΔώσrsquo του τρεις δεκάρες ώστε να κερδίσει κάτι από το θεώρημα το οποίο έμαθεraquo Αυτά είναι όλα όσα γνωρίζουμε για τον Ευκλείδη ως άνθρωπο Πολύ μεγαλύτερη σημασία όμως έχει το έργο του το οποίο ακόμα και σήμερα μαρτυρεί τα απαράμιλλα χαρίσματά του ως δασκάλου

ΕΡΓΟ

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη

Μετά το θάνατο του Μεγάλου Αλεξάνδρου στα 323 πΧ η αχανής μακεδονική αυτοκρατορία διαιρέθηκε σε τρεις περιοχές Η περιοχή πού περιλάμβανε την Αίγυπτο περιήλθε κάτω από την άξια ηγεμονία του ικανού στρατηγού του Αλεξάνδρου Πτολεμαίου του Σωτήρος ο οποίος σύντομα κέρδισε τη βασιλεία της περιοχής Ο Πτολεμαίος επέλεξε για πρωτεύουσα της περιοχής του την Αλεξάνδρεια λίγα μόνο μίλια από τις εκβολές του ποταμού Νείλου και γύρω στα 300 πΧ άνοιξε τις πόρτες του περίφημου πανεπιστημίου της Αλεξάνδρειας Ανάμεσα στους μελετητές που κλήθηκαν να επανδρώσουν το νέο ίδρυμα ήταν και ο μαθηματικός Ευκλείδης που πιθανότατα υπήρξε μαθητής της Ακαδημίας του Πλάτωνα στην Αθήνα

22

Ο Ευκλείδης από τη στιγμή που ανέλαβε τα καθήκοντά του στην Αλεξάνδρεια όρισε ανάμεσα στους στόχους του τη συγκρότηση του μνημειώδους και ιστορικά σημαντικού έργου του των Στοιχείων Αυτή η αξιόλογη και εκτεταμένη εργασία γραμμένη σε δεκατρία βιβλία ή μέρη αποτελεί την αρχαιότερη εφαρμογή της αξιωματικής μεθόδου που έχει φτάσει στα χέρια μας Θεωρείται ο πρώτος μεγάλος σταθμός στην ιστορία της οργάνωσης των μαθηματικών και η μετέπειτα επίδραση της στον επιστημονικό τρόπο γραφής πολύ δύσκολα μπορεί να περιγραφεί

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη διεκδικούν αναμφισβήτητα μια θέση ανάμεσα στις μεγάλες στιγμές των μαθηματικών Η εργασία αυτή εκτόπισε τόσο γρήγορα και ολοκληρωτικά όλες τις προηγούμενες εργασίες ανάλογου περιεχομένου που σήμερα δεν υπάρχουν αντίγραφα προηγουμένων προσπαθειών και απλά γνωρίζουμε την ύπαρξη τους από σχόλια μεταγενέστερων συγγραφέων Τα Στοιχεία του Ευκλείδη από την πρώτη εμφάνιση τους κέρδισαν τεράστια εκτίμηση Με μοναδική εξαίρεση τη Βίβλο καμιά άλλη εργασία δεν χρησιμοποιήθηκε μελετήθηκε ή εκδόθηκε τόσο πολύ Για πάνω από δύο χιλιετίες κυριάρχησε στο χώρο διδασκαλίας της γεωμετρίας Από την πρώτη έκδοση της στα 1472 έχει γνωρίσει πάνω από χίλιες εκδόσεις Το περιεχόμενο και η μορφή της επέδρασαν εντυπωσιακά στην ανάπτυξη του αντικειμένου της και της λογικής θεμελίωσης των μαθηματικών

Ο Πρόκλος ένας κατοπινός σχολιαστής των μαθηματικών που έζησε στον 5ο αιώνα έχει δώσει μια εξήγηση της έννοιας του όρου laquoστοιχείαraquo Τα στοιχεία μιας αποδεικτικής μελέτης είναι τα πιο σημαντικά θεωρήματα ή τα θεωρήματα κλειδιά που χρησιμοποιούνται συχνά και πλατιά στο αντικείμενο της μελέτης Είναι τα θεωρήματα που χρειάζονται για την απόδειξη όλων ή των περισσότερων από τα άλλα θεωρήματα Η λειτουργία τους συγκρίνεται με αυτή των γραμμάτων του αλφαβήτου σε σχέση με τη γλώσσα Τα γράμματα στα ελληνικά ονομάζονται και στοιχεία Η επιλογή των προτάσεων που θα λειτουργήσουν ως στοιχεία κάποιου θέματος μελέτης απαιτεί μεγάλη ικανότητα και κρίση από το συγγραφέα

Δεν υποτιμά καθόλου την αίγλη του έργου του Ευκλείδη το γεγονός ότι είχαν προηγηθεί ανάλογες προσπάθειες Σύμφωνα με τον Πρόκλο η πρώτη προσπάθεια να γραφτούν Στοιχεία έγινε από τον Ιπποκράτη το Χίο στα μέσα του πέμπτου πΧ αιώνα Η επόμενη προσπάθεια ήταν του Λέοντα που χρονολογικά τοποθετείται κάπου ανάμεσα στον Πλάτωνα και τον Εύδοξο Όπως μαθαίνουμε η εργασία του Λέοντα περιείχε μια μεγαλύτερη και πιο χρήσιμη επιλογή προτάσεων από τον Ιπποκράτη Το βιβλίο που χρησιμοποιούνταν στην Ακαδημία του Πλάτωνα είχε επιμεληθεί ο Θεύδιος από τη Μαγνησία και θεωρούνταν μια θαυμάσια συλλογή στοιχείων Η εργασία του Θεύδιου ήταν ασφαλώς ο άμεσος πρόδρομος της εργασίας του Ευκλείδη ο οποίος την είχε χωρίς αμφιβολία στη διάθεση του ειδικά αν όπως πιστεύουν σπούδασε στην Ακαδημία του Πλάτωνα

Ο Ευκλείδης γνώριζε επίσης την εργασία του Θεαίτητου και του Εύδοξου Δεν είναι καθόλου υποτιμητικό ότι η εργασία του Ευκλείδη αποτελεί σε μεγάλο βαθμό συγκέντρωση και επιμέλεια των εργασιών των προγενεστέρων του αφού η ουσιαστική αξία των Στοιχείων βρίσκεται ακριβώς στην τέλεια επιδεξιότητα με την οποία επιλέχτηκαν και τοποθετήθηκαν

23

σε λογική σειρά οι προτάσεις ξεκινώντας από μια μικρή ομάδα αρχικών υποθέσεων Ούτε είναι υποτιμητικό το γεγονός ότι η εξονυχιστική μελέτη των σύγχρονων κριτικών έχουν αποκαλύψει ορισμένα μειονεκτήματα στη δομή της εργασίας του Ευκλείδη Δε θα μπορούσε κανείς να περιμένει μια τέτοια αρχική και κολοσσιαία προσπάθεια με την αξιωματική μέθοδο να μην παρουσιάζει καμία ατέλεια

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη έχουν γραφεί γύρω στο 300 πΧ αλλά το αυθεντικό χειρόγραφο κείμενο του Ευκλείδη δεν διασώζεται Αντίθετα σώζονται δεκάδες αντίγραφα που σε τελική ανάλυση κατάγονται από αυτό Το αρχαιότερο πλήρες αντίγραφο περιέχεται σε έναν χειρόγραφο περγαμηνό κώδικα που φυλάσσεται σήμερα στη Βιβλιοθήκη της Οξφόρδης και χρονολογείται από του έτους 888 ενώ μικρά αποσπάσματα του έργου διασώζονται σε παπύρους προγενέστερης εποχής καθώς και σε ένα παλίμψητο χειρόγραφο του 7ου ή του 8ου

μΧ αι που φυλάσσεται στο Βρετανικό Μουσείο Βλέπουμε λοιπόν ότι το αρχαιότερο χειρόγραφο που περιέχει το πλήρες κείμενο των Στοιχείων του Ευκλείδη χρονολογείται από τα τέλη του 9ου μΧ αι και επομένως απέχει από την εποχή μας όσο απέχει από την εποχή που ο ίδιος ο Ευκλείδης έγραψε το έργο

Όλες οι σύγχρονες εκδόσεις στηρίζονται σε μια επανέκδοση που έκανε ο Θεωνάς από την Αλεξάνδρεια ένας Έλληνας σχολιαστής που έζησε εφτακόσια περίπου χρόνια μετά τον Ευκλείδη Μόνο στις αρχές του 19ου αιώνα ανακαλύφθηκε ένα παλιότερο αντίγραφο Στα 1808 όταν ο Ναπολέοντας διέταξε να μεταφερθούν όλα τα αξιόλογα χειρόγραφα από τις ιταλικές βιβλιοθήκες στο Παρίσι ο Φ Πέιραρντ (F Peyrard) ανακάλυψε στη βιβλιοθήκη του Βατικανού ένα αντίγραφο των Στοιχείων από έκδοση προγενέστερη από του Θεωνά Η μελέτη όμως αυτής της παλιότερης έκδοσης αποκάλυψε δευτερεύουσες μόνο διαφορές από τον Θεωνά

Οι πρώτες πλήρεις μεταφράσεις των Στοιχείων στα λατινικά δεν έγιναν από τα ελληνικά αλλά από τα αραβικά Τον 8ο αιώνα οι Άραβες μετέφρασαν έναν αριθμό βυζαντινών χειρογράφων με ελληνικές εργασίες και στα 1120 ο Άγγλος μελετητής Άντελαρντ (Adelard) από το Μπαθ μετέφρασε τα Στοιχεία στα λατινικά χρησιμοποιώντας μια απ αυτές τις παλιότερες αραβικές μεταφράσεις Άλλες λατινικές μεταφράσεις από τα αραβικά έκαναν ο Γκεράρντο από την Κρεμώνα (Gherardo 1114-1187) και 150 χρόνια μετά τον Άντελαρντ ο Γιοχάννες Καμπάνους (Johannes Campanus) Η πρώτη τυπωμένη έκδοση των Στοιχείων έγινε στη Βενετία στα 1482 η έκδοση αυτή ήταν η μετάφραση του Καμπάνους Αυτό το πολύ σπάνιο βιβλίο ήταν θαυμάσια τυπωμένο και ήταν το πρώτο αξιόλογο μαθηματικό βιβλίο που τυπώθηκε Μια σημαντική λατινική μετάφραση από τα ελληνικά έγινε από τον Κομμαντίνο (Commandino) στα 1572 Αυτή η μετάφραση χρησιμοποιήθηκε ως βάση για πολλές άλλες μεταφράσεις που ακολούθησαν ανάμεσα σ αυτές και η εργασία του Ρόμπερτ Σίμσον (Robert Simson) που άσκησε σημαντική επιρροή και αποτέλεσε με τη σειρά της τη βάση για πάρα πολλές αγγλικές εκδόσεις

24

Αναλυτική περιγραφή των laquo στοιχείων raquo

Ειδικότερα το πρώτο βιβλίο αναφέρεται σε τεμνόμενες και παράλληλες ευθείες στην ισότητα ευθύγραμμων σχημάτων και στο τέλος το πυθαγόρειο θεώρημα Στο 2ο βιβλίο αναφέρονται συνέπειες από το πυθαγόρειο θεώρημα και γίνονται μετασχηματισμοί ευθύγραμμων σχημάτων σε ισοδύναμα τετράγωνα Εδώ περιέχεται και το πρόβλημα

της laquoχρυσής τομήςraquo Πολλές από τις προτάσεις αυτού μπορούν με σύγχρονους συμβολισμούς να πάρουν μορφή αλγεβρική γιrsquo αυτό έχει επικρατήσει να λέγεται για το 2ο βιβλίο ότι εισάγει τη laquoγεωμετρική άλγεβραraquo Στο 3ο βιβλίο εξετάζεται ο κύκλος και στο τέταρτο βιβλίο λύνονται προβλήματα σχετικά με τα εγγεγραμμένα στον κύκλο κανονικά πολύγωνα Στο 5ο βιβλίο σπουδάζεται η laquoθεωρία των λόγωνraquo του Ευδόξου Πρόκειται ουσιαστικά για τη θεωρία των πραγματικών αριθμών δοσμένη όμως σε μορφή γεωμετρική Το 6ο βιβλίο ασχολείται με την ομοιότητα επίπεδων σχημάτων και σrsquo αυτά αποδεικνύεται ότι από όλα τα ορθογώνια με δοσμένη περίμετρο το τετράγωνο έχει το μέγιστο εμβαδόν Στα βιβλία 7ο-9ο που αφορούν στην αριθμοθεωρία είναι εκπληκτικό πώς με παντελή μπορεί να πει κανείς έλλειψη συμβολισμών (αριθμοί δεν αναγράφονται) κατορθώνεται μια ακροβασία στην αλληλουχία των συλλογισμών που καταλήγει σε πολύ ενδιαφέροντα αριθμητικά αποτελέσματα Ειδικότερα στο 7ο βιβλίο μελετιούνται οι άρτιοι και οι περιττοί αριθμοί οι πρώτοι και οι σύνθετοι καθώς και οι τέλειοι εξετάζονται διάφορα προβλήματα διαιρετότητας ορίζεται το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο αριθμών (ΕΚΠ) καθώς και ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης τους και δίνεται η μέθοδος προσδιορισμού του που ονομάστηκε laquoΕυκλείδειος Αλγόριθμοςraquo Στα δύο επόμενα βιβλία εξακολουθεί η σπουδή αριθμοθεωρητικών θεμάτων στο 8ο εισάγονται επίσης και μελετιούνται οι γεωμετρικές πρόοδοι και στο 9ο έχουν συμπεριληφθεί τρεις σημαντικότατες προτάσεις Πρόκειται για α) το αποκαλούμενο laquoθεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικήςraquo β) την απόφανση ότι υπάρχουν απειράριθμοι πρώτοι και γ) την πρόταση που οδηγεί σε ένα γενικό τύπο που παρέχει άρτιους τέλειους αριθμούς Στο 10ο βιβλίο που αποτελεί ένα από τα ωραιότερα μέρη των Στοιχείων γίνεται μια ταξινόμηση των τετραγωνικών άρρητων και των τετραγωνικών ριζών τους και κατασκευάζεται ένα σύνολο ασύμμετρων μεγεθών το οποίο μαζί με το σύνολο των ρητών συναποτελεί επέκταση αυτού του τελευταίου τέτοια ώστε κάθε στοιχείο της να είναι κατασκευασμένο με κανόνα και διαβήτη Τέλος τα βιβλία της στερεομετρίας το 11ο βιβλίο ασχολείται με θεμελιώδεις σχέσεις μεταξύ ευθειών και επιπέδων καθώς και με τις στερεές γωνίες στο 12ο αναφέρεται σε επιφάνειες και όγκους στερεών και στο 13ο γίνεται η μελέτη της σφαίρας σε συσχετισμό με τα εγγεγραμμένα σε αυτήν κανονικά πολύεδρα

25

Άλλα έργα

bull Δεδομένα (94 θεωρήματα) έργο ανώτερης γεωμετρίας Στο έργο αυτό περιέχονται προτάσεις σε σχήματα στα οποία δίνονται ορισμένα στοιχεία τους κατά σχήμα θέση ή μέγεθος

bull Περί διαιρέσεων (36 προτάσεις) με περιεχόμενό του τη διαίρεση σχημάτων με δοσμένη σχέση

bull Πορίσματα (3 βιβλία που χάθηκαν) σώθηκαν ορισμένα αποσπάσματα που το 1860 έγινε απόπειρα ανασύνθεσής τους από τον Πάππο

bull Οπτικά-κατοπτρικά αντίστοιχα γεωμετρική οπτική ανάκλαση του φωτός πάνω σε επίπεδο κάτοπτρο

bull Φαινόμενα εγχειρίδιο κοσμογραφίας απλές προτάσεις για τη σφαίρα

bull Κατατομή κανόνος στοιχεία πυθαγόρεια θεωρία μουσικής

bull Ψευδάρεια laquoπαράδοξαraquo με στόχο να ασκηθούν οι σπουδαστές στην ανεύρεση λογικών σφαλμάτων κατά τις αποδείξεις

bull Κωνικαί τομαί Μηχανικά δεν γνωρίζουμε τίποτα γιrsquo αυτά τα έργα

Αιτήματα του Ευκλείδη

Τα αιτήματα είναι αρχικές προτάσεις οι οποίες προσιδιάζουν στη συγκεκριμένη κάθε φορά επιστήμη στην προκειμένη περίπτωση στη Γεωμετρία Ο Ευκλείδης διατυπώνει 5 αιτήματα

1 Ζητείται να γίνει δεκτό ότι από οποιοδήποτε σημείο σε οποιοδήποτε σημείο άγεται ευθεία γραμμή

2 Και (ότι) πεπερασμένη ευθεία προεκτείνεται σε ευθεία κατά συνεχή τρόπο

3 Και (ότι) με οποιοδήποτε κέντρο και διάστημα γράφεται κύκλος

4 Και (ότι) όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους

5 Και αν η ευθεία η οποία τέμνει δύο ευθείες σχηματίζει δύο εντός και επί τrsquo αυτά μέρη γωνίες μικρότερες των δύο ορθών τότε οι δύο ευθείες προεκτεινόμενες επrsquo απείρου συναντώνται προς εκείνα τα μέρη τους όπου βρίσκονται μικρότερες των δύο ορθών

Ακολουθούν τα laquoαιτήματαraquo διατυπωμένα σε αρχαίο κείμενο όπως αυτά βρίσκονται στο Βιβλίο Ι

26

Ο ρόλος των τριών πρώτων από τα αιτήματα αυτά είναι να εξασφαλίσουν τη νομιμότητα των κατασκευών της ευθείας και του κύκλου και κατά συνέπεια εκείνων και μόνο των γραμμών και των γεωμετρικών σχημάτων που κατασκευάζονται με πεπερασμένο αριθμό βημάτων από τα δύο αυτά βασικά σχήματα Στα Στοιχεία επομένως δεν έχουν θέση καμπύλες όπως είναι οι κωνικές τομές τη τετραγωνίζουσα κλπ ή κατασκευές όπως κατασκευές νεύσεως Η φύση των δύο τελευταίων αιτημάτων είναι διαφορετική Αποσκοπούν να δηλώσουν ότι κάποια γεωμετρικά σχήματα έχουν ορισμένες ειδικές ιδιότητες

Πολλοί ιστορικοί των μαθηματικών έχουν ασχοληθεί κατά το παρελθόν με το ερώτημα εάν τα αξιώματα του Ευκλείδη ικανοποιούν τις σύγχρονες απαιτήσεις (πληρότητα συνέπεια ανεξαρτησία) ενός αξιωματικού συστήματος Από την προσεκτική μελέτη των αποδείξεων κι των κατασκευών που περιέχονται στα Στοιχεία προκύπτει ότι ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί μερικές φορές απόρρητες παραδοχές οι οποίες δεν περιλαμβάνονται στα αξιώματα Επομένως το σύστημα των αξιωμάτων του δεν ικανοποιεί την απαίτηση της πληρότητας

Μεγάλο ιστορικό ενδιαφέρον εξάλλου έχει το ερώτημα της ανεξαρτησίας των αιτημάτων του Ευκλείδη ιδιαίτερα σε ότι αφορά το πέμπτο από αυτά Το αίτημα αυτό αναφέρεται συχνά και ως laquoαίτημα των παραλλήλωνraquo γιατί μια ισοδύναμη διατύπωσή του είναι η εξής από ένα σημείο εκτός ευθείας άγεται μια μόνο παράλληλη προς τη ευθεία Πολλοί μαθηματικοί από την αρχαιότητα έως τα μέσα του 18ου αιώνα προσπάθησαν να εξαγάγουν το αίτημα αυτό από τα άλλα αιτήματα όλες οι προσπάθειες όμως απέβησαν άκαρπες Από τα τέλη του 18ου αιώνα η προσδοκώμενη εξάρτηση του αιτήματος επιχειρήθηκε να αποδειχτεί με έμμεσο τρόπο Η σκέψη ήταν η εξής αν το αίτημα των παραλλήλων μπορεί να εξαχθεί από τα άλλα τέσσερα αιτήματα μαζί με την άρνηση του πέμπτου θα πρέπει να οδηγούν σε αντίφαση Το νέο σύστημα αξιωμάτων όμως αντί να οδηγήσει σε αντίφαση αποδείχτηκε ότι παράγει συνέπειες μαθηματικές θεωρίες Έτσι ανακαλύφθηκαν οι λεγόμενες μη ευκλείδειες γεωμετρίες και ταυτόχρονα αποδείχθηκε η ανεξαρτησία των αιτημάτων του Ευκλείδη

27

Ας δούμε τώρα την διατύπωση και την απόδειξη της πρότασης (5) που περιέχεται στο Βιβλίο Ι των laquoστοιχείωνraquo και αναφέρεται στη γνωστή μας πρόταση της ισότητας των παρά τη βάση γωνιών ισοσκελούς τριγώνου

28

Γιατί διδάσκουμε το μάθημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στο ζήτημα της laquoχρησιμότηταςraquo των σχολικών Μαθηματικών θα μπορούσε κανείς να αντιπαραθέσει (και πράγματι αντιπαρατέθηκαν) πολλές διαφορετικές απόψεις Εμείς θα παραθέσουμε απλώς ένα απόσπασμα από τις αυτοβιογραφικές σημειώσεις του Albert Einstein το οποίο δείχνει μια άλλη τελείως διαφορετική αντίληψη σχετικά με την laquoχρησιμότηταraquo της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Γράφοντας για τα γεγονότα της παιδικής και εφηβικής του ζωής που είχαν μεγάλη επίδραση στην μετέπειτα εξέλιξη του ο Einstein σημειώνει

Σε ηλικία 12 ετών δοκίμασα μια δεύτερη τελείως διαφορετική έκπληξη σε ένα μικρό βιβλίο Ευκλείδειας επίπεδης γεωμετρίαςhellip Εδώ υπήρχαν ισχυρισμοί όπως για παράδειγμα τα τρία ύψη ενός τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο οι οποίοι - αν και καθόλου προφανείς - μπορούσαν ωστόσο να αποδειχτούν με τέτοια βεβαιότητα ώστε να μην χωρεί η παραμικρή αμφιβολία Αυτή η σαφήνεια και βεβαιότητα μου προξένησαν μια εντύπωση που δεν μπορεί να περιγραφεί Το γεγονός ότι τα αξιώματα έπρεπε να γίνουν δεκτά χωρίς απόδειξη δεν με ενόχλησε Σε κάθε περίπτωση μου αρκούσε πλήρως το γεγονός ότι μπορούσαν να στηρίζω τις αποδείξεις σε προτάσεις η εγκυρότητα των οποίων ήταν για μένα αναμφισβήτητη

Η περίπτωση του Einstein του επιστήμονα που άλλαξε ριζικά τις αντιλήψεις μας και την γεωμετρική δομή του σύμπαντος αποκαλύπτει την σπουδαιότητα ορισμένων παιδαγωγικών σκοπών και τη συνάφειά τους με το ερώτημα που θέσαμε ως τίτλο αυτής της ενότητας καλλιέργεια και ανάπτυξη της συγκροτημένης σκέψης μύηση στην επιστημονική μέθοδο μελέτες του κόσμου Αυτοί οι σκοποί παρόλη τη γενικότητά τους συνδέονται άμεσα με τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας που άσκησαν καθοριστική επίδραση στο νεαρό Einstein τα οποία είναι

bull Σαφήνεια στην έκθεση

bull Ολοκληρωτική απόδειξη κάθε υπόθεσης

bull Απόλυτη συνάφεια σχημάτων και συλλογισμών

bull Τάξη και ομορφιά

Αν τα στοιχεία αυτά αποτελούν ουσιώδη συστατικά της μαθηματικής παιδείας τότε παρέχουν κατά την άποψή μας μια αυτονόητη απάντηση στο ερώτημα laquoΓιατί διδάσκουμε την Ευκλείδεια Γεωμετρίαraquo

Αντιλήψεις και αντιπαραθέσεις για τη διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Οι ένθερμοι υποστηρικτές της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προβάλλουν την παιδαγωγική αξία της λογικής και διάφανης επιχειρηματολογίας των γεωμετρικών αποδείξεων ενώ οι πολέμιοί της επικαλούνται την αναμφισβήτητη δυσκολία των περισσότερων μαθητών να κατανοήσουν τις γεωμετρικές έννοιες και τις πολύ χαμηλές επιδόσεις τους στην αντιμετώπιση σχετικών προβλημάτων Ενδιάμεσα βρίσκονται συνήθως οι σκεπτικιστές οι οποίοι επισημαίνουν τον περιορισμένο επιστημολογικά ρόλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και την ανάγκη να ανανεωθεί η διδασκαλία των Μαθηματικών δίνοντας μεγαλύτερη έμφαση σε πιο σύγχρονους και laquoχρήσιμουςraquo κλάδους (πχ Πιθανότητες και Στατιστική) Από την εποχή που ο Dieudonne κήρυξε τον πόλεμο κατά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας οι αντιλήψεις

29

αυτές έγιναν αντικείμενο επεξεργασίας και αντιπαρατέθηκαν μεταξύ τους από σημαντικούς μαθηματικούς και παιδαγωγούς ενώ οι σχετικές συζητήσεις συνεχίζονται με αμείωτη ένταση μέχρι σήμερα Σε μια ειδική μελέτη της Διεθνούς Επιτροπής για τη Μαθηματική Εκπαίδευση (ICMI) έγινε απόπειρα σύνθεσης των διαφόρων τάσεων και διατυπώθηκαν οι εξής τρεις εναλλακτικές λύσεις για τη διδασκαλία του μαθήματος

1 η λύση

Απορρίπτουμε την ιδέα ότι η Γεωμετρία πρέπει ή μπορεί να χρησιμοποιηθεί στο σχολείο ως ένα σύστημα γνώσεων (παραγωγικά οργανωμένο ή όχι) όπου οι έννοιες και τα γεγονότα πρέπει να γίνουν γνωστά απλά και μόνο επειδή ανήκουν στο σύστημα Αντίθετα η Γεωμετρία και ο χώρος θεωρούνται ως πηγές άντλησης εξαιρετικών θεμάτων για την οργάνωση πολλαπλών δραστηριοτήτων σε διαφορετικά επίπεδα Οι laquoχρησιμοθηρικέςraquo όψεις της Γεωμετρίας θα εξυπηρετηθούν με την παροχή αλγεβρικών μεθόδων

2 η λύση

Εξακολουθούμε να επιχειρούμε τη διδασκαλία ενός αξιωματικού ή ψευδο-αξιωματικού μαθήματος σχολικής Γεωμετρίας το οποίο στηρίζεται είτε σε laquoτροποποίησηraquo των laquoΣτοιχείωνraquo του Ευκλείδη (για παράδειγμα αξιωματική θεμελίωση τύπου Pogorelov) είτε πχ στους γεωμετρικούς σχηματισμούς

3 η λύση

Για ορισμένες ομάδες μαθητών τουλάχιστον παρουσιάζουμε laquoνησίδεςraquo Γεωμετρίας δηλαδή laquoτοπικάraquo παραγωγικά συστήματα μέσα στο πλαίσιο του γενικού αναλυτικού προγράμματος (Έτσι μπορούμε για παράδειγμα να έχουμε ενότητες για τις ιδιότητες των εγγεγραμμένων σε κύκλο γωνιών ή τη στοιχειώδη προβολική Γεωμετρία)

Στην Ελλάδα για προφανείς ιστορικούς και πολιτιστικούς λόγους συνεχίζεται μια παράδοση που προσεγγίζεται εγγύτατα τη δεύτερη από τις προηγούμενες εναλλακτικές λύσεις Ακόμη και την περίοδο της μεταρρύθμισης των laquoΝέων Μαθηματικώνraquo η διεθνής πίεση για εκσυγχρονισμό των σχολικών Μαθηματικών και εγκατάλειψη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αφομοιώθηκε στη χώρα μας μέσα από έναν ιδιότυπο συμβιβασμό από τη μια μεριά διατηρήθηκε όλη η παραδοσιακή σχολική ύλη την οποία σε μεγάλο βαθμό συντηρούσαν οι εισαγωγικές εξετάσεις των ΑΕΙ και από την άλλη δόθηκε υπερβολική έμφαση στην αυστηρή αξιωματική θεμελίωσης της Γεωμετρίας καθώς και με την εισαγωγή νέας ύλης πάνω στους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς Στις αντιφατικές επιλογές εκείνης της περιόδου βρίσκονται κατά την άποψη μας οι ρίζες της μετέπειτα υποβάθμισης και παρακμής του μαθήματος της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

30

Το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στη σύγχρονη Διδακτική των Μαθηματικών τα θεμελιώδη επιστημολογικά χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας όπως είναι η παραγωγική οργάνωση του περιεχομένου η αποδεικτική διαδικασία και η έμφαση στις γεωμετρικές κατασκευές αναφέρονται συνήθως ως laquoανώτερα επίπεδα γεωμετρικής σκέψηςraquo και η μάθηση τους έχει γίνει αντικείμενο συστηματικής μελέτης και έρευνας Ένα βασικό θεωρητικό μοντέλο στο οποίο έχει στηριχθεί η διεξαγωγή μεγάλου αριθμού ερευνών σε διάφορες χώρες αποτελούν τα λεγόμενα laquoεπίπεδα van Hieleraquo Σύμφωνα με αυτό το μοντέλο η μάθηση της Γεωμετρίας εξελίσσεται ιεραρχικά περνώντας από πέντε διαδοχικά επίπεδα

bull 1ο επίπεδο Εποπτικό

bull 2ο επίπεδο ΠεριγραφικόΑναλυτικό

bull 3ο επίπεδο ΑφηρημένοΣχεσιακό

bull 4ο επίπεδο ΤυπικόΠαραγωγικό

bull 5ο επίπεδο Μεταμαθηματικό

Οι μαθητές κατανοούν τη σημασία και τη διαδικασία οικοδόμησης ενός αξιωματικού μαθηματικού συστήματος και τις σχέσεις ανάμεσα σε διαφορετικά συστήματα Για παράδειγμα αναγνωρίζουν ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία δεν είναι παρά ένας από τους πολλούς δυνατούς τρόπους περιγραφής ενός αφηρημένου μαθηματικού σύμπαντος

Είναι φανερό ότι η διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προϋποθέτει τα δύο πρώτα επίπεδα και έχει ως κύριο σκοπό την κατάκτηση των δύο επόμενων επιπέδων (για το 5ο

μάλλον δεν μπορεί να γίνεται λόγος στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση) Σε θεωρητικό επίπεδο τόσο και η θεωρία των van Hiele όσο και η γενικότερη θεωρία των σταδίων μάθησης του Piaget προβλέπουν ότι η κατάκτηση αυτών των επιπέδων είναι μια επίπονη και ιεραρχικά εξελισσόμενη διαδικασία που απαιτεί μακροχρόνια και προσεχτικά σχεδιασμένη διδασκαλία Αυτές οι θεωρητικές προβλέψεις φαίνεται να επιβεβαιώνονται από πολλές εμπειρικές έρευνες που έχουν διεξαχθεί σε διάφορες χώρες και τα αποτελέσματά τους οδηγούν σε ένα βασικό συμπέρασμα laquo η καθιερωμένη παραδοσιακή διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αδυνατεί να οδηγήσει τους μαθητές στην κατάκτηση των ανώτερων επιπέδων γεωμετρικής σκέψης raquo

Από τα αποτελέσματα αυτών των ερευνών αξίζει νrsquo αναφέρουμε εδώ ένα εντυπωσιακό στατιστικό στοιχείο που αποκαλύπτει τις διαστάσεις του προβλήματος σε μια έρευνα που έγινε στις ΗΠΑ μεταξύ 1520 μαθητών που είχαν ολοκληρώσει ένα έτος διδασκαλίας της θεωρητικής Ευκλείδειας Γεωμετρίας διαπιστώθηκε ότι μόνο το 30 είχε φτάσει σε ένα επίπεδο που μπορεί να χαρακτηριστεί από 75 επιτυχία στην απόδειξη απλών γεωμετρικών προτάσεων (πχ ότι οι διαγώνιες ενός ορθογωνίου είναι ίσες) Το ποσοστό των μαθητών που είχαν 100 επιτυχία δεν ξεπέρασε το 3

31

Κοινή πεποίθηση όλων αυτών των ερευνητών είναι ότι για να κατανοηθούν οι παραγωγικές αποδείξεις της Ευκλείδειας Γεωμετρίας απαιτείται μια ισχυρή διαισθητική βάση την οποία οι μαθητές θα αποκτήσουν μέσα από επαγωγικές εμπειρικές ανακαλύψεις τη διαπίστωση και επαλήθευση υποθέσεων τις γεωμετρικές κατασκευές και εφαρμογές Έτσι λοιπόν η διδασκαλία της Γεωμετρίας δεν θα πρέπει να στηρίζεται σrsquo ένα τεχνητό διαχωρισμό ανάμεσα σε laquoΠρακτική Γεωμετρίαraquo σχεδίασης και μετρήσεων και μια laquoΘεωρητική Γεωμετρίαraquo αποδείξεων αλλά να συνδυάζει μια ισορροπημένη ανάπτυξη των δύο αυτών όψεων του μαθήματος σrsquo όλο το φάσμα της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Η επινόηση διδακτικών μέσων και μεθόδων που θα επιτρέψουν την υλοποίηση αυτού του στόχου φαίνεται ότι αποτελεί σήμερα το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ

Η Γεωμετρία του Ευκλείδη απετέλεσε το θεμέλιο για την ανάπτυξη της laquoδυτικήςraquo επιστήμης και τεχνικής και σ αυτή τη Γεωμετρία στηρίζονται οι προϋποθέσεις της κλασικής Φυσικής από την Αναγέννηση και μετά Μόλις το 19ο αιώνα διαπιστώθηκε όμως (Λάμπερτ Γκάους Μπολυάι Λομπατσέβσκι κά) ότι η ευκλείδεια Γεωμετρία στηρίζεται στην απλοϊκή αντίληψη του επίπεδου χώρου ο οποίος είναι μεν χρήσιμος για την περιοχή που αντιλαμβάνεται με τις αισθήσεις του ένας άνθρωπος αλλά όχι για πολύ μεγάλες τιμές των φυσικών μεγεθών (αποστάσεις ταχύτητες μάζες κτλ) Τότε παύει να ισχύει η επίπεδη αντίληψη και μαζί της η Ευκλείδεια Γεωμετρία επειδή στην πραγματικότητα ο χώρος είναι κυρτός Έτσι η Γεωμετρία συμπληρώνεται με βάση αντιλήψεις που στηρίζονται στον υπερβολικό ελλειπτικό κά χώρο

Σήμερα η γεωμετρία του Ευκλείδη διδάσκεται παγκοσμίως και ανελλιπώς επί 23 αιώνες με τον τιμητικό τίτλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Στη σύγχρονη όμως σχολική γεωμετρία περιλαμβάνονται και υπολογισμοί και μετρήσεις οι οποίες από το έργο του Ευκλείδη απουσιάζουν εντελώς

Η συνολική προσφορά του Ευκλείδη στα Μαθηματικά και τις εφαρμοσμένες τέχνες υπήρξε σημαντικότατη και ταυτόχρονα βάση από την οποία εξόρμησαν οι μεταγενέστεροι μαθηματικοί γεωγράφοι και αστρονόμοι για να οδηγηθούν στο τελικό μαθηματικό θαύμα της Ελληνικής Αρχαιότητας

32

33

ΒΙΟΓΡΑΦΙΑ Ο Αρχιμήδης ήταν ένας από τους μεγάλους μαθηματικούς μηχανικούς και φυσικούς του αρχαίου Ελληνικού χώρου και μια από τις μεγαλύτερες μαθηματικές ευφυΐες του κόσμου Γεννήθηκε έζησε και πέθανε στις Συρακούσες την μεγάλη Ελληνική αποικία της Σικελίας

Πατέρας του Αρχιμήδη ήταν ο αστρονόμος Φειδίας που είχε δεσμούς φιλίας με το βασιλικό γένος των Συρακουσών Ο Αρχιμήδης ταξίδεψε στην Αίγυπτο και ήρθε σε επαφή με τους διαδόχους του Ευκλείδη του Ερατοσθένη και το Δισίθεο ενώ ήταν φίλος και συμμαθητής του Κόνωνα του Σάμιου

Υπήρξε λαμπρό παράδειγμα πρωτότυπου ερευνητή ο οποίος δεν ενδιαφέρθηκε να διευκολύνει τους αρχάριους αλλά ασχολήθηκε κυρίως για την αποκάλυψη νέων αληθειών για δική του ικανοποίηση και των ώριμων ήδη διανοούμενων Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο ενώ η κατανόηση του Ευκλείδη δεν απαιτεί εξαιρετική προηγούμενη γνώση και ευφυΐα τα προϊόντα της μαθηματικής σκέψεως τα οποία πρόκειται τώρα να εξετάσουμε είναι προσιτά αποκλειστικώς και μόνο στην ανάγνωση υψηλής πνευματικής στάθμης

Πήγε στην Αίγυπτο ως εκπαιδευτικός και ήρθε σε επαφή όχι βέβαια με τον Ευκλείδη που είχε στο μεταξύ πεθάνει αλλά με τους διαδόχους του και έκανε στενούς δεσμούς με εξαιρετικούς γεωμετρικούς όπως ο Κόνων ο Σάμιος ο Ερατοσθένης ο Κυρηναίος ο Δισίθεος κλπ από τους οποίους κατόπιν όσα έργα συνέταξε μετά την επιστροφή του στην πατρίδα του

34

Το έργο τουΤο έργο του Αρχιμήδη υπήρξε τεράστιο τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά και η ερευνητική ματιά του κάλυψε πολλούς τομείς γεωμετρία οπτική (κατοπτρική) υδραυλική μηχανική αρχιτεκτονική και την πολιορκητική Συνέδεσε το όνομά του με την γένεση της μηχανικής στην αρχαία Ελλάδα και με την λύση περίφημων μαθηματικών προβλημάτων καθώς και με τις αμυντικές εφευρέσεις του που χρησιμοποιήθηκαν όταν οι Ρωμαίοι πολιορκούσαν την πατρίδα του τις Συρακούσες

Σχολιαστής του έργου του Αρχιμήδη υπήρξε ο Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης (6ος αι μΧ) που καταγόταν από την ελληνική πόλη της Συρίας Ασκαλών

Στον χώρο της εφαρμοσμένης μηχανικής ο Αρχιμήδης επινόησε ιδιοφυείς μηχανές κάθε είδους Εφηύρε τον ρωμαϊκό ζυγό (καντάρι) το τρίσπαστο (ανυψωτική τριπλή τροχαλία) και τον ατέρμονα κοχλία έλιξ του Αρχιμήδους μηχανή άντλησης νερού από ποταμούς και φρέατα (η οποία χρησιμοποιείται ακόμα και στις μέρες μας σε περιοχές της βόρειας Αφρικής) Κατασκεύασε ένα υδραυλικό ρολόι το οποίο υπολόγιζε με μεγάλη ακρίβεια τις ώρες (και ειδοποιούσε για την αλλαγή της ώρας)

Μεγάλη φήμη απέκτησαν οι πολεμικές μηχανές του Αρχιμήδη αρχιτρόνιτο (πυροβόλο ατμού) καταπέλτες άρπαγες (μηχανισμός που ανύψωνε και αναποδογύριζε πλοία) και κάτοπτρα για την καύση των Ρωμαϊκών εχθρικών πλοίων (με παραβολικά κάτοπτρα όπως αποδείχτηκε από τα πειράματα του μηχανικού Ι Σακκά ο οποίος το 1973 απόδειξε τον τρόπο με τον οποίο ο Αρχιμήδης έκαψε τον ρωμαϊκό στόλο) Σύμφωνα με την παράδοση όταν η πόλη μετά από τριετή αντίσταση των ελλήνων κατελήφθη με προδοσία ένας ρωμαίος στρατιώτης σκότωσε τον Έλληνα επιστήμονα ενώ αυτός ήταν προσηλωμένος σε κάποιο γεωμετρικό πρόβλημα ΜΗ ΜΟΥ ΤΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥΣ ΤΑΡΑΤΤΕ πρόλαβε να του απαντήσει ο Έλληνας επιστήμονας

Ο Αρχιμήδης επηρέασε σε μεγάλο βαθμό την ευρωπαϊκή επιστημονική σκέψη καθώς και τους Άραβες επιστήμονες οι οποίοι αντέγραψαν όλα τα έργα του στα αραβικά γλώσσα στην οποία διασώθηκαν αρκετά αφού τα πρωτότυπα είχαν χαθεί

35

Διασωθέντα συγγράμματα

bull Περί σφαίρας και κυλίνδρου Βιβλίο α και βbull Κύκλου μέτρησις Σώζονται τρία θεωρήματαbull Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων (32 θεωρήματα 1 πόρισμα)bull Περί ελίκων (28 θεωρήματα 6 πορίσματα)bull Περί επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων ή Μηχανικά Βιβλ α και βbull Περί μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος (=μέθοδος)bull Βιβλίο λημμάτωνbull Πρόβλημα Βοεικόνbull Κατασκευή πλευράς του περιγραφομένου εις κύκλο επταγώνουbull Ωρολόγιον Αρχιμήδους (Σώζεται στα αραβικά)bull Περί κύκλων εφαπτομένων αλλήλωνbull Αρχαί της Γεωμετρίαςbull Ψαμμίτηςbull Τετραγωνισμός παραβολήςbull Οχουμένων (Υδροστατική)bull Στομάχιον (Σώζονται λίγα αποσπάσματα)

Συγγράμματα μη διασωθέντα (ή συγγράμματα μη αποκαλυφθέντα μέχρι σήμερα)

bull Αριθμητικάbull Βαρουλκός Υδροσκοπίαι Πνευματικήbull Επισίδια Βιβλία (Μάλλον περί στατιστικής - Τζέτζης)bull Περί τριγώνωνbull Περί τετραπλεύρουbull Περί ζευγώνbull Περί 13 ημικανονικών πολυέδρωνbull Ισοπεριμετικάbull Ισορροπίαιbull Καύσις δια κατόπτρων (επ΄ αυτού έγινε επιτυχές πείραμα στο ΝΣ)bull Περί Αρχιτεκτονικήςbull Περί βαρύτητος και ελαφρότητος (Πυκνόμετρα - Αραιόμετρα)bull Περί δρομομέτρων (Οδόμετρα πλοίων)bull Περί κέντρου Βάρους ή Κεντροβαρικάbull Κατοπρικάbull Περί παραλλήλων γραμμώνbull Περί κοίλων και παραβολικών κατόπτρωνbull Προοπτικήbull Στοιχεία μηχανικώνbull Πλινθίδες και Κύλινδροιbull Στοιχεία επί των στηρίξεωνbull Σφαιροποιΐα

36

Εφευρέσεις

bull Αραιόμετρο - Πυκνόμετροbull Αστρονομική συσκευήbull Βαρουλκόςbull Γερανοί (Αρπάγες)bull Καταπέλτεςbull Κάτοπτραbull Κοχλίας ή έλιξbull Οδόμετρο (δρομόμετρο)bull Πλανητάριον (σφαίρα)bull Πολύσπαστον (Βαρούλκο) τρίσπαστοbull Σίφωνbull Στομάχιον (επιτραπέζιο παιγνίδι το πρώτο παζλ)bull Τηλεβόλον Αρχιμήδους bull Χαριστίων (μοχλός)bull Ωρολόγιο υδραυλικό

37

Τα συγγράμματα του Αρχιμήδη που σώθηκαν μέχρι σήμερα είναι τα ακόλουθα Περί σφαίρας και κυλίνδρου Κύκλου μέτρησις περί σφαιροειδέων και κωνοειδέων Περί λίκων Επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων Ψαμμίτης Τετραγωνισμός παραβολής Οχούμενων Στομάχιον Προς Ερατοσθένην Έφοδος Βιβλίον περί λημμάτων Πρόβλημα βοεικόν Αποσπάσματα Μερικά από αυτά διασώθηκαν Πολλά επίσης είναι τα συγγράμματα του που χάθηκαν

Έκανε τα πρώτα βήματα για το μαθηματικό υπολογισμό επιφανειών με ακανόνιστο περίγραμμα και συμμετρικών εκ περιστροφής σωμάτων μέθοδος που εξελίχθηκε τεκμηριώθηκε και ονομάστηκε στην σύγχρονη εποχή laquoΟλοκληρωτικός Λογισμόςraquo υπολόγισε μία προσεγγιστική τιμή για τον άρρητο αριθμό π διατύπωσε το νόμο προεκτάσεις του γενίκευσε την εφαρμογή λέγοντας laquoΔώστε μου σημείο να στηριχθώ και θα κινήσω την γηraquo διατύπωσε την ομώνυμη αρχή για την άνωση του νερού κατασκεύασε διάφορες μηχανές ένα τύπο πολύσπαστου τον κοχλία μία αντλητική μηχανή με την laquoαρχιμήδειον έλικαraquo κά

Η συμβολή του ΑρχιμήδηΗ συμβολή του Αρχιμήδη στην ανάπτυξη της Μηχανικής συνιστάται πέρα από την επινόηση των τροχαλιών του πολύσπαστου και των οδοντωτών τροχών και ενός ιδιόμορφου αντλητικού συγκροτήματος στην έλικα που φέρει το όνομα του Ακόμα στην επακριβή διατύπωση των νόμων των μοχλών και των ισορροπιών ή κέντρα βαρών Εδώ υπάρχει και η περίφημη πρόταση laquo σύμμετρα μεγέθη ισορροπούν σε αποστάσεις αντιστρόφως ανάλογες προς το βάρος τους raquo

Σε σχέση με τους μοχλούς και τις δυνατότητες τους μας αναφέρει τη φράση laquo δος μοι πα στω και ταν γαν κινάσω raquo Απέδειξε στον Ιέρωνα ότι με ένα σύστημα τροχαλιών ndash οδοντωτών τροχών και μοχλών μπορεί να μετακινήσει ένα τεράστιο πλοίο με όλο το πλήρωμα μέσα μόνος του Ήταν ακόμα ο ίδιος που σχεδίασε και επιμελήθηκε τη ναυπήγηση του πλοίου

Ανέλαβε μετά από εντολή του Ιέρωνα την οχύρωση της πόλης και διηύθυνε ο ίδιος την άμυνα της εναντίον των Ρωμαίων

Στην αστρονομία ο Λίβιος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης είναι laquoμοναδικός παρατηρητής του ουρανού και των αστέρων raquo Ο Ίππαρχος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης ασχολήθηκε με τη μελέτη των ηλιοστασίων καθώς και με τον υπολογισμό της διάρκειας του έτους

Ο Μακρόβιος αναφέρει ότι ο Αρχιμήδης ανακάλυψε τις αποστάσεις των πλανητών ενώ στο έργο laquoΨαμμίτηςraquo περιγράφει τη συσκευή μέσω της οποίας μέτρησε τη φαινομενική γωνιακή διάμετρο του ήλιου

38

Ο Κικέρων αναφέρεται με θαυμασμό για τον Αρχιμήδη στα laquoΚατοπτρικάraquo Στα Μαθηματικά που ο ίδιος θεωρούσε ως τα πιο σημαντικά παρουσίασε την μέθοδο του προσδιορισμού του αριθμού π Τελειοποίησε το ελληνικό σύστημα αρίθμησης και παρουσίασε μια μέθοδο παράστασης των πολύ μεγάλων αριθμών Ασχολήθηκε με τη διαφορική Γεωμετρία βρήκε τους τύπους πρόσθεσης και αφαίρεσης τόξων Υπολόγισε το εμβαδόν της σφαίρας και του κυλίνδρου Μελέτησε διάφορα στερεά εκ περιστροφής όπως τα στερεά που παράγονται από περιστροφή έλλειψης υπερβολής και παραβολής γύρω από έναν άξονα

Στη Γεωμετρία το έργο του Αρχιμήδη αποτελείται κατά κύριο λόγο από πρωτότυπες μελέτες σχετικά με τον τετραγωνισμό των καμπυλόγραμμων επίπεδων σχημάτων καθώς και με τον τετραγωνισμό και τον κυβισμό καμπύλων επιφανειών

Τέλος επινόησε στο σύνολό της την Υδροστατική Επιστήμη την οποία ανέπτυξε πλήρως Οι μελέτες του αναπαριστούν ένα σύνολο μαθηματικών και γεωμετρικών επιτευγμάτων το οποίο δεν ξεπέρασε κανείς στην ανθρώπινη ιστορία

Όπως αναφέρει ο Wallis laquo ο Αρχιμήδης αφήνει ένα συγκεκριμένο μυστήριο να καλύπτει τον τρόπο με τον οποίο κατέληγε στα αποτελέσματά του Είναι σαν να είχε καλύψει σκοπίμως τα ίχνη του τα ίχνη των ερευνών του σα να ήταν απρόθυμος να αποκαλύψει το μυστικό της μεθόδου έρευνάς του στους μεταγενέστερους ενώ επιθυμούσε να αποσπάσει τη συναίνεσή τους για τα αποτελέσματά του raquo

Ο ίδιος ο Αρχιμήδης ως φορέας ενός ανώτερου φιλοσοφικού πνεύματος θεωρούσε ταπεινή και ανάξια κάθε τέχνη που εξυπηρετούσε πρακτικές ανάγκες ή αποσκοπούσε στο οικονομικό κέρδος Γι` αυτό και έστρεψε όλη του την προσοχή και τις επιδιώξεις στους καθαρούς στοχασμούς χωρίς να καταδεχτεί να αφήσει κάποιο γραπτό στοιχείο για τις τεχνολογικές του ανακαλύψεις με μοναδική εξαίρεση όσες αναφέρονται στο έργο του laquoπερί σφαιροποιίαςraquo Δεν είναι καθόλου τυχαίο λοιπόν το ότι ο Κικέρων αργότερα βρήκε τον τάφο του και πάνω μία αναπαράσταση ενός κυλίνδρου περιγεγραμμένου σε σφαίρα με μία περιγραφή που έδινε το λόγο του κυλίνδρου προς τη σφαίρα

Σε ποιους τομείς εφαρμόστηκαν οι θεωρίες του Εξαιρετικές του μελέτες και για τη μέθοδο και για το αποτέλεσμα είναι εκείνες που έδωσαν τα εμβαδά Κύκλου Έλλειψης Παραβολής και Έλικας καθώς και τα εμβαδά και τους όγκους των Κυλίνδρων των Κώνων και κυρίως των Σφαιρών

Σημαντικότατη θεωρείται και η ανακάλυψη από τον ίδιο τύπου που δίνει το εμβαδόν τριγώνου από τις πλευρές του και ακόμα η επέκτασή του στα εγγεγραμμένα τετράπλευρα Ο Αρχιμήδης επίσης γνώριζε να κατασκευάζει τη λύση ειδικών τριτοβάθμιων προβλημάτων και μεταξύ αυτών και του Δηλίου Προβλήματος Τις λύσεις αυτές τις έδινε με την τομή δύο κωνικών (Ευτόκιος) Μοναδική είναι η προσφορά του στην ανώτερη μετρική Γεωμετρία Συγκεκριμένα εξέφρασε τους όγκους στερεών εκ περιστροφής κωνικών τομών εφαρμόζοντας απειροστικές μεθόδους ανάλυσης των στερεών αυτών

39

Στη σύγχρονη κλασική γεωμετρία όλο σχεδόν το μετρικό της μέρος οφείλεται στον Αρχιμήδη με αποτέλεσμα αυτή ουσιαστικά να είναι ισορροπημένη μείξη της Ευκλείδειας και της Αρχιμήδειας αρχαίας γεωμετρίας

Έτσι ο σοφός μας αποτελεί ουσιαστικά τον πατέρα της ανώτερης μετρικής γεωμετρίας της αρχαιότητας και ταυτόχρονα την πηγή έμπνευσης των νεώτερων μελετών του διαφορικού και απειροστικού λογισμού

Η πρωτοτυπία και η αποτελεσματικότητα των μελετών του έγιναν αιτία να χαρακτηριστεί από τους ιστορικούς των μαθηματικών ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών και όλων των εθνών

Ρεύμα στα ανάκτορα της Βρετανίας μέσω εφεύρεσης του Αρχιμήδη ( httpkatestimenoblogspotcom201109blog-post_1015html )

laquoΗ Βασίλισσα Ελισάβετ πρόκειται να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση ενός αρχαίου Έλληνα για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Και όταν λέμε αρχαίο Έλληνα εννοούμε τον Αρχιμήδη και όχι τον 90χρονο σύζυγό της Φίλιππο της Ελλάδαςraquo

Με αυτόν τον τίτλο πληροφορεί το βρετανικό κοινό η εφημερίδα ldquoDaily Mailrdquo για την απόφαση της Αυτής Μεγαλειότητας να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση του αρχαίου Έλληνα εφευρέτη Αρχιμήδη από τις Συρακούσες για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Πρόκειται για τη σύγχρονη εκδοχή του ατέρμονα κοχλία της έλικος του Αρχιμήδους όπως έμεινε γνωστή η εφεύρεση και είναι ένας σωληνοειδής κοχλίας που χρησίμευε για την άντληση νερού και την άρδευση καλλιεργημένων εκτάσεων

Η σύγχρονη εκδοχή της εφεύρεσης θα χρησιμοποιεί το νερό που μεταφέρεται από ένα τεχνητό φράγμα για να παράγει υδροηλεκτρική ενέργεια Ο μηχανισμός έχει ήδη μεταφερθεί μέσω του Τάμεση στο Romney Weir στα ανάκτορα του Γουίντσορ Σύμφωνα με το δημοσίευμα της εφημερίδας οι έλικες θα είναι έτοιμες για την παραγωγή ενέργειας τον προσεχή Νοέμβριο ενώ θα μπορούν να καλύψουν πλήρως τις ανάγκες του κάστρου σε ενέργεια μέσα στον επόμενο χρόνο

Εκτός αυτού οι τουρμπίνες είναι σχεδιασμένες ώστε να μην εμποδίζουν την ασφαλή διέλευση σολομού και χελιού μέσα στον ποταμό Τάμεση

Οι laquoέλικες του Αρχιμήδηraquo βάρους 40 τόνων κατασκευάστηκαν από ένα εργοστάσιο στην Ολλανδία και στοίχησαν 700000 λίρες Αγγλίας ενώ το κόστος εγκατάστασής τους θα ξεπεράσει το ένα εκατομμύριο λίρες

40

bull Ο Πλίνιος

Μας λέει τα ίδια προσθέτοντας ότι ο Θαλής χρησιμοποίησε την μέθοδο και για κάθε άλλο σώμα του οποίου θέλουμε να βρούμε το ύψος

bull Ο Πρόκλος αποδίδει στο Θαλή πολλά μαθηματικά αποτελέσματαlaquoΠρώτος ο Θαλής απέδειξε ότι η διάμετρος διχοτομεί τον κύκλοraquolaquoΠρώτος εκείνος επεσήμανε ότι οι γωνίες της βάσης κάθε ισοσκελούς τρίγωνου είναι ίσεςraquo

bull Ο Εύδημος αναφέρει

laquoΟ Θαλής βρήκε πρώτος το θεώρημα ότι οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσεςraquo

Άλλες μαρτυρίες για τα θεωρήματα και τη συμβολή του Θαλή είναι και της ιστορικού Παμφίλης (που παρατίθεται από το Διογένη Λαέρτιο) η οποία υποστήριξε πως ο Θαλής υπήρξε ο πρώτος που ενέγραψε ορθογώνιο τρίγωνο σε κύκλο Συμφώνα όμως με τον Απολλόδωρο το λογικιστή αυτό πρέπει να αποδοθεί στους Πυθαγορείους Συμφώνα πάλι με τον Cantor ο Θαλής δεν laquoαπέδειξεraquo αλλά μάλλον παρατήρησε τις ιδιότητες των γεωμετρικών σχημάτων

Με βάση τις παραπάνω μαρτυρίες είμαστε σε θέση να αποτιμήσουμε τη συμβολή του Θαλή στην παγκόσμια ιστορία όλων των τομέων των επιστημών Η συμβολή αυτή έγκειται στο γεγονός ότι ανέπτυξε μια λογική δομή και εισήγαγε την απόδειξη στα μαθηματικά

9

ΠυθαγόραςΒΙΟΓΡΑΦΙΚΑ

Ο γνωστός σε όλους μας Πυθαγόρας ο Σάμιοςγεννήθηκε στη Σάμο και έζησε το 580-500πΧ Το όνομά του του το έδωσαν οι γονείς του προς τιμήν της Πυθίας η οποία προφήτεψε τη γέννησή του Σύμφωνα με τον Διογένη Λαέρτιο ο Πυθαγόρας έλεγε ότι κάποτε υπήρξε Αιθαλίδης και ήταν γιος του Ερμή Ο Ερμής του ζήτησε να διαλέξει ότι ήθελε εκτός από την αθανασία Ζήτησε λοιπόν όσο ζει να θυμάται όσα του έχουν συμβεί Έτσι μπορούσε να επαναφέρει στη μνήμη του τα πάντα από τις προηγούμενες ζωές του

Νεαρός ακόμα παρακινούμενος από τη φιλομάθειά του έφυγε από την πατρίδα του για να μυηθεί σε όλες τις ελληνικές και βαρβαρικές τελετές Πήγε στην Αίγυπτο και τότε ο πολιτάρχης τον σύστησε με επιστολή του στον Αμάση Εκεί έμαθε τέλεια τα αιγυπτιακά όπως λέει ο Αντιφών στο laquo Περί τῶν ἒν ἁρετῇ πρωτευσάντων raquo και επισκοπήθηκε τους Χυδαίους και τους Μάγους Κατόπιν στην Κρήτη με το Επιμενίδη κατέβηκε στο Ιδαίον Άντρο αλλά και στην Αίγυπτο είχε μπει στα άδυτα Έτσι γνώρισε τα μυστικά για τους θεούς Στη συνέχεια επέστρεψε στη Σάμο επειδή όμως βρήκε την πατρίδα του τυραννοκρατούμενη από τον Πολυκράτη αναχώρησε για τον Κρότωνα της Ιταλίας Έδρασε εκεί όπου και ίδρυσε την περίφημη laquoΠυθαγόρειο Σχολήraquo η οποία ήταν πολίτικο-θρησκευτικό ίδρυμα με πολιτικούς κυρίως στόχους όπου μελετήθηκαν και η αριθμητική και η γεωμετρία Επεδίωκε την ηθική και πνευματική αναγέννηση όλων των λαϊκών στρωμάτων ανδρών και γυναικών της περιοχής του Κρότωνα

Είχε πολλούς και καλούς μαθητές Κάθε φορά που έμπαιναν στο σπίτι του τους έλεγε να λένε τα εξής laquoΠού έσφαλαraquo laquoΤι έκαναraquo laquoΤι έπρεπε να κάνω και δεν έκαναraquo Οι μαθητές του επί πέντε χρόνια παρέμεναν σιωπηλοί και άκουγαν μόνο τις ομιλίες του Πυθαγόρα χωρίς ποτέ να βλέπουν τον ίδιο Μετά το τέλος αυτής της δοκιμασίας του γίνονταν μέλη του σπιτιού του και είχαν το δικαίωμα να τον βλέπουν

10

Πέθανε σύμφωνα με τον Διογένη Λαέρτιο καθώς προσπαθούσε να διαφύγει από την καταδίωξη Κροτωνιατών που φοβήθηκαν την εγκαθίδρυση τυραννίας λόγω της μεγάλης δύναμης που είχε αποκτήσει αυτός και οι μαθητές του στην πόλη Οι Κροτωνιάτες έσφαξαν αυτόν και τους τετρακόσιους μαθητές του αφού πρώτα έκαψαν το σπίτι του Μίλωνα στο οποίο λίγο πριν είχαν συγκεντρωθεί Ο Δικαίαρχος αναφέρει πως ο Πυθαγόρας πέθανε στο ιερό των Μουσών στο Μετάποντιο (ελληνική αποικία) μένοντας σαράντα ημέρες νηστικός

ΕΠΙΤΕΥΓΜΑΤΑ - ΕΡΓΟ

Η ηθική διδασκαλία του Πυθαγόρα και των ακολούθων του (Πυθαγορείων) διασώζεται σε 71 στίχους του έργου laquoΤα χρυσά έπη του Πυθαγόραraquo Η σύνθεση αυτών των στίχων αποδίδεται στους Νεοπυθαγορείους του 2ου-3ου μΧ αιώνα Η γνώση ότι τα laquoΧρυσά Έπηraquo γραφτήκαν από τον Πυθαγόρα ή τους Πυθαγορείους και ανασυντέθηκαν μεταγενέστερα με τη μορφή που έφτασαν σε εμάς δεν φαίνεται να είναι σωστή Αν κάνουμε μια απλή ανάγνωση στα εν λόγω έπη αποδεικνύεται ότι αυτά γράφτηκαν πολύ αργότερα Οπωσδήποτε όμως το περιεχόμενο των επών είναι απόλυτα laquoπυθαγορικόraquo και συμφωνεί με την παράδοση της ηθικής διδασκαλίας του Πυθαγόρα και των Πυθαγορείων

Οι σύγχρονοί του όμως φαίνεται ότι θεωρούσαν τον Πυθαγόρα περισσότερο ως θρησκευτικό προφήτη και λιγότερο ως μαθηματικό Πρέπει να υπογραμμίσουμε πάντως ότι η διδασκαλία του διέφερε από διδασκαλίες άλλων στοχαστών της εποχής του κατά το ότι απέδιδε πολύ μεγάλη σημασία στα μαθηματικά λέγοντας ότι αυτά είναι η οδός για την απελευθέρωση της ψυχής Το πιο σημαντικό μέρος των μαθηματικών για τους Πυθαγορείους είναι η αριθμητική Διότι όπως έλεγε και ο Πυθαγόρας laquoΤά τῶν αριθμῶν στοιχεία τῶν ὂντων πάντωνεἴναιraquo (Αριστοτέλους Μετά τα φυσικάΑ5)

11

[Aristot Metaph A 5985 b 23]οἱ καλούμενοι Πυθαγόρειοι τῶν μαθημάτων ἁψάμενοι πρῶτοι ταῦτά τε προήγαγον καὶ ἐντραφέντες ἐν αὐτοῖς τὰς τούτων ἀρχὰς τῶν ὄντων ἀρχὰς ᾠήθησαν εἶναι πάντων ἐπεὶ δὲ τούτων οἱ ἀριθμοὶ φύσει πρῶτοι ἐν δὲ τούτοις ἐδόκουν θεωρεῖν ὁμοιώματα πολλὰ τοῖς οὖσι καὶ γιγνομένοις μᾶλλον ἢ ἐν πυρὶ καὶ γῇ καὶ ὕδατι ὅτι τὸ μὲν τοιονδὶ τῶν ἀριθμῶν πάθος δικαιοσύνη τὸ δὲ τοιονδὶ ψυχή τε καὶ νοῦς ἕτερον δὲ καιρὸς καὶ τῶν ἄλλων ὡς εἰπεῖν ἕκαστον ὁμοίως ἔτι δὲ τῶν ἁρμονιῶν ἐν ἀριθμοῖς ὁρῶντες τὰ πάθη καὶ τοὺς λόγους - ἐπεὶ δὴ τὰ μὲν ἄλλα τοῖς ἀριθμοῖς ἐφαίνετο τὴν φύσιν ἀφωμοιῶσθαι πᾶσαν οἱ δ ἀριθμοὶ πάσης τῆς φύσεως πρῶτοι τὰ τῶν ἀριθμῶν στοιχεῖα τῶν ὄντων στοιχεῖα πάντων ὑπέλαβον εἶναι καὶ τὸν ὅλον οὐρανὸν ἁρμονίαν εἶναι καὶ ἀριθμόν

bull Πυθαγόρειες τριάδες

Ο Πρόκλος αποδίδει στον ίδιο τον Πυθαγόρα την εύρεση των πυθαγορείων τριάδων της

μορφής

+ΝminusΝΝ2

12

122

όπου Ν περιττός αριθμός μεγαλύτερος του 1 Για

παράδειγμα αν πάρουμε ως Ν τον αριθμό 3 θα σχηματιστεί η τριάδα

+minus2

132

13322

δηλαδή η (3 4 5) η οποία είναι πράγματι Πυθαγόρεια τριάδα αφού ικανοποιεί τη σχέση 222 543 =+

Φαίνεται ότι αληθεύει η εκδοχή λόγω της παράδοσης κάποιες μαθηματικές γνώσεις να μεταδόθηκαν από την Αίγυπτο σε πολλούς αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς ανάμεσα τους τον Πυθαγόρα

12

bull Πυθαγόρειο θεώρημα

Σε αντιστοιχία με τον ορισμό των πυθαγορείων τριάδων ένα τρίγωνο λέγεται πυθαγόρειο όταν τα μήκη των πλευρών του αποτελούν Πυθαγόρεια τριάδα Προφανώς κάθε ορθογώνιο τρίγωνο είναι πυθαγόρειο ενώ το αντίστροφο γενικά δεν ισχύει Το ΠΘ αποτελεί χαρακτηριστικό παράδειγμα μελέτης των ιδιοτήτων των σχημάτων Ο Ευκλείδης στα laquoΣτοιχείαraquo μας λέει ουσιαστικά ότι η επιφάνεια που καταλαμβάνει το τετράγωνο που κατασκευάζεται με πλευρά την υποτείνουσα ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι ίση με την επιφάνια που καταλαμβάνουν μαζί τα τετράγωνα που κατασκευάζονται με πλευρά τις κάθετες πλευρές του τριγώνου

-Ορισμός Πυθαγορείου Θεωρήματος Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών Αντίστροφο Πυθαγορείου Θεωρήματος Αν σε ένα τρίγωνο το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο

Η απόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήματος που χρησιμοποιούμε συνήθως σήμερα στηρίζεται στην έννοια της ομοιότητας των τριγώνων και τις αλγεβρικές ιδιότητες των αναλογιών ενώ το θεώρημα διατυπώνεται στη μορφή μιας αλγεβρικής ισότητας για τετράγωνα των μήκων των πλευρών του ορθογώνιου τριγώνου Με τον τρόπο αυτό γίνεται ένα ευέλικτο υπολογιστικό εργαλείο με πολυάριθμες εφαρμογές και προεκτάσεις

Το πυθαγόρειο θεώρημα αποδεικνύεται με πάνω από έναν τρόπους

13

Απόδειξη με εμβαδά

Θεωρούμε ένα τετράγωνο πλευράς a + b και σχεδιάζουμε σε αυτό τέσσερα ορθογώνια τρίγωνα με πλευρές a και b και υποτείνουσα c έτσι ώστε στο κέντρο να έχουμε τετράγωνο πλευράς c (βλ σχήμα)

Υπολογίζουμε το εμβαδό του τετραγώνου προσθέτοντας το εμβαδό του μικρότερου τετραγώνου καθώς και τα εμβαδά των τεσσάρων τριγώνων

c2 + 2abΑφού πρόκειται για τετράγωνο πλευράς a + b το εμβαδό του ισούται επίσης με

a2 + b2 + 2abΕξισώνοντας τις δυο αυτές σχέσεις προκύπτει

a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab ή a2 + b2 = c2

Απόδειξη με ομοιότητα τριγώνων

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ορθή γωνία την Α Θεωρώ το ύψος της υποτείνουσας ότι την τέμνει στο σημείο Δ Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΒΑ είναι όμοια μεταξύ τους ως ορθογώνια τρίγωνα με ίδια τη γωνία Β Παρομοίως τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΓΑ είναι όμοια μεταξύ τους με ίδια τη γωνία Γ

Ισχύει ))(()AB()AB()(

)()AB( 2 ∆ ΒΒ Γ=rArr∆ Β=

Β Γ και (ΑΓ)2 = (ΒΓ)(ΔΓ)

Αν προσθέσουμε τις δυο αυτές εξισώσεις έχουμε(ΑΒ)2 + (ΑΓ)2 =

(ΒΓ)(ΔΒ) + (ΒΓ)(ΔΓ) = (ΒΓ)(ΔΒ + ΔΓ) = (ΒΓ)2

bull Η περίφημη κούπα του Πυθαγόρα

Ο Πυθαγόρας κατά την τοπική παράδοση της Σάμου είχε φτιάξει μια κούπα εφαρμόζοντας τους νόμους της Φυσικής για να πίνει με μέτρο το κρασί Εσωτερικά είχε μία γραμμή που όριζε ως που έπρεπε να γεμίσει κανείς Μια στάλα παραπάνω και η κούπα άδειαζε όλο το κρασί της από μία κρυφή οπή στη βάση Πως όμως γίνεται αυτό Στο κέντρο της κούπας βρίσκεται μια στήλη τοποθετημένη ακριβώς πάνω από έναν σωλήνα ο οποίος οδηγεί στο κάτω μέρος της Εκεί βρίσκεται η κρυφή οπή Ενώ γεμίζουμε την κούπα η στάθμη του κρασιού ανεβαίνει και στο εσωτερικό της κεντρικής στήλης ακολουθώντας το νόμο του Pascal για τα συγκοινωνούντα δοχεία

14

Όσο η στάθμη του κρασιού δεν ξεπερνά τη γραμμή που είναι χαραγμένη στο εσωτερικό της κούπας laquoδεν τρέχει τίποταraquo Εάν όμως την ξεπεράσει ταυτόχρονα φτάνει και στην κορυφή της εσωτερικής στήλης έτσι μέσω του σωλήνα το παραπανίσιο κρασί χύνεται κάτω από την κούπα Τότε η υδροστατική πίεση δημιουργεί ένα σιφόνι στον εσωτερικό σωλήνα το οποίο αδειάζει όλο το περιεχόμενο της κούπας από την οπή που υπάρχει

Ένα πλήθος επιπρόσθετων επιτευγμάτων όπως η κατασκευή και η μελέτη τριών τουλάχιστον από τα πέντε κανονικά πολύγωνα (κύβος τετράεδρο δωδεκάεδρο) και η κατασκευή της μουσικής κλίμακας (μελέτη των λόγων της τετράχορδης λύρας και δημιουργία κανόνα της οχτάχορδης λύρας) μας αποδεικνύει τη σημαντικότητα του Πυθαγόρα ως επιστήμονας της εποχής του Οι πληροφορίες για τη μελέτη των πολυέδρων δεν είναι αρκετές ωστόσο για τη μουσική κλίμακα γνωρίζουμε ότι βασίστηκε στις μελέτες του Πυθαγόρα ο οποίος μελετώντας τη μαθηματική σχέση της μουσικής κλίμακας και διατυπώνοντας σχετικούς κανόνες διευκόλυνε κατά πολύ την κατασκευή μουσικών οργάνων Κατάφερε να εκφράσει τη μουσική αρμονία με μαθηματικές σχέσεις μέσα από τη φιλοσοφική και επιστημονική του προσέγγιση Ξεκινώντας από μία χορδή και διαιρώντας διαδοχικά με το μήκος της και τον χρυσό αριθμό Φ κατάφερε να κατασκευάσει το μουσικό όργανο laquoΚανόναraquo εξέλιξη του οποίου συναντάται σήμερα στο γνωστό laquoκανονάκιraquo

Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΟΥ ΣΤΟ ΣΗΜΕΡΑ

Το αρχαιότερο παράδειγμα εφαρμογής του γνωστού σε όλους laquoπυθαγορείου θεωρήματοςraquo το συναντούμε στη πινακίδα ΒΜ 85196 που χρονολογείται από την περίοδο της πρώτης βαβυλωνιακής χιλιετίας πΧ Έχοντας γνώση λοιπόν του έργου του οι Βαβυλώνιοι οδηγηθήκαν σε αξιόλογα επιτεύγματα

Ο Πυθαγόρας υπήρξε μεγάλη προσωπικότητα με τις έρευνες και το Πανεπιστήμιό του συνέβαλε στο άλμα των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών Η περίεργη μυστικότητα όμως που διέπνεε το σύλλογο έγινε αιτία να μην πληροφορηθούν οι βιογράφοι επακριβώς όλα τα προσωπικά επιτεύγματα του ίδιου Έτσι σήμερα αγνοούμε εν μέρη το δικό του έργο το οποίο ασφαλώς θα ήταν σημαντικότατο

Όσο αναφορά το πυθαγόρειο σχήμα παρά τα αρκετά μειονεκτήματα έχει μερικά χαρακτηριστικά τα οποία μόνιμα επηρέαζαν την ελληνική αστρονομική σκέψη Έδινε βαρύτητα στις κυκλικές κινήσει των ουράνιων σωμάτων γύρω από ένα κεντρικό στοιχείο Τέλος στον Πυθαγόρα και τους Πυθαγορείους οφείλεται πλήθος γεωμετρικών εργασιών αφού αυτοί μελέτησαν με επιτυχία την επιστήμη της Γεωμετρίας

15

Πλάτων ο ΑθηναίοςΒιογραφικά στοιχεία

Έζησε στο διάστημα (427-347πΧ) Ήταν Aθηναίος φιλόσοφος αριστοκρατικής καταγωγής όπου ίδρυσε και διεύθυνε το διασημότερο πανεπιστήμιο στην αρχαία Ελλάδα την Ακαδημία για 40 περίπου χρόνια μέχρι το θάνατό του Πατέρας του ήταν ο Αρίστωνας ο οποίος καταγόταν από το γένος του βασιλιά Κόδρου και μητέρα του ήταν η Περικτιόνη η οποία ήταν αδερφή του Χαρμίδη ενός από τους Τριάκοντα τύραννους και ανιψιά του Κριτία επίσης μέλος των Τριάκοντα με καταγωγή από το γένος του νομοθέτη Σόλωνος Αδέρφια του ήταν οι Αδείμαντος και Γλαύκων Το πρώτο του όνομα ήταν Αριστοκλής αλλά αργότερα ονομάστηκε Πλάτωνας γιατί είχε ευρύ στέρνο και πλατύ μέτωπο

Σε ηλικία 18 ετών γνώρισε τον Σωκράτη και γοητεύτηκε από την προσωπικότητα και από την διδασκαλία του Από το συνολικό έργο του διασώζονται 36 έργα τα οποία εκτός από την Απολογία του Σωκράτη έχουν την μορφή διαλόγου σε όλα εκτός των Νόμων Την συζήτηση διεύθυνε ο Σωκράτης ενώ ο τίτλος του καθενός είναι το όνομα του σπουδαιότερου συνομιλητή ή αφηγητή Στα έργα αυτά γίνεται φανερή η τοποθέτηση του και ο άκρατος

θαυμασμός του προς τα μαθηματικά και ιδιαίτερα προς την γεωμετρία

Λίγες πληροφορίες για την Ακαδημία

Η Ακαδημία ήταν ένα προάστιο των Αθηνών Πήρε το όνομά της από τον ήρωα Ακάδημο Αναφορικά ο Ιππίας γιος του Πεισίστρατου έκτισε ένα κυκλικό τοίχο και ο Κίμωνας φύτεψε τη περιοχή με τα δέντρα η οποία καταστράφηκε από τον Σίλα το 86 πΧ Το 387

16

πΧ O Πλάτωνας ίδρυσε τη φιλοσοφική του σχολή η οποία έγινε πολύ διάσημη χάρη στους νεοπλατωνιστές και χρησιμοποιείτο έως το 526 μΧ οπότε και έκλεισε από τον αυτοκράτορα Ιουστινιανό Η Ακαδημία ήταν σχολή ανωτέρων μελετών και ταυτόχρονα και εκπαιδευτικό ίδρυμα Είχε ισχυρή καταστατική συγκρότηση και παρουσιάζεται περισσότερο υπό τη μορφή μιας αδελφότητας μιας φιλοσοφικής αίρεσης τα μέλη της οποίας αισθάνονται στενά συνδεδεμένα μεταξύ τους και διακρίνεται και από μια οικειότητα στις σχέσεις μεταξύ των μαθητών και των δασκάλων την οποία θα χαρακτηρίζαμε στοργική και φιλική συνάμα Υπάρχει μια διαφωνία σχετικά με το αν η Ακαδημία ήταν ένωση για τη πρόοδο των επιστημών ή ίδρυμα ανώτατης μόρφωσης Η διαφωνία αυτή είναι κάπως άσκοπη δεδομένου το ότι ο άκρατος ρεαλισμός της σχολής αλλά και ο απλός χαρακτήρας της αρχαϊκής εκείνης εποχής δεν επιτρέπουν στο να μεταθέσουμε σε εκείνο το περιβάλλον τη σύγχρονη αντίληψη που έχουμε για την επιστήμη Η Ακαδημία άλλωστε ήταν σχολή ανώτερων μελετών αλλά και εκπαιδευτικό ίδρυμα ταυτόχρονα Τέλος ο Πλάτωνας δεν ονειρεύτηκε μόνο τη ldquoμετά επιστήμηςrdquo παιδεία αλλά και τη μετέδωσε για σαράντα χρόνια στους μαθητές του στην Ακαδημία

Η Ακαδημία ήταν ο τόπος στον οποίο ο Πλάτωνας προσπαθούσε να δείξει τον δρόμο σε προικισμένους μαθητές ώσπου να αναπηδήσει ο σπινθήρας και να αποκαλυφθεί η έσχατη γνώση Ξέρουμε τόσα λίγα για την καθημερινή διδασκαλία στην ακαδημία την εποχή του Πλάτωνα ώστε πότε-πότε θέλησαν να αρνηθούν τον επιστημονικό χαρακτήρα της Τέτοιοι σκεπτικισμοί δεν στηρίζονται πουθενά Την μεγάλη σημασία των μαθηματικών σαν προπαίδεια για την διαλεκτική η οποία στηριζόταν σε αυτά την δείχνουν μερικές προσωπικότητες του Πλατωνικού κύκλου και χωρίς αμφιβολία υπάρχει ουσιαστική αλήθεια στο ανέκδοτο που λένε ότι βρισκόταν πάνω από την είσοδο της Ακαδημίας laquoἁγεωμέτρητος μηδείς εἰσίτωraquo Ξέρουμε ακόμα ότι η διαιρετική μέθοδος για την οποία μιλήσαμε στους οψιμότερους διαλόγους έπαιξε σημαντικό ρόλο στον αγώνα για ένα λογικά ταχτοποιημένο κοσμοείδωλο και στην απόκτηση ορισμών με την διαίρεση των γενικότερων εννοιών

Η συμβολή του Πλάτωνα και της Ακαδημίας στα μαθηματικά

Η συμβολή της Ακαδημίας στα μαθηματικά του 4ου αιώνα πΧ είναι σημαντικότατη ιδιαίτερα με τα έργα των καθηγητών της Θεαίτητου Μεναίχμου και Ενδόξου Η συμβολή όμως του Πλάτωνα είναι αμφιλεγόμενη αν και πιστεύεται ότι

-Έλυσε το Δήλιο πρόβλημα (διπλασιασμό του κύβου) με κινητική γεωμετρία και κάποιο όργανο με την βοήθεια του οποίου προέκυπτε η λύση

-Έδωσε γενική μορφή στην αναλυτική μέθοδο και συνέβαλε στην έρευνα των γεωμετρικών τύπων

-Προσδιόρισε ένα πλήθος των πυθαγορείων τριάδων δηλαδή των τριαδικών ακέραιων αριθμών που επαληθεύουν την ισότητα x2+y2=ω2 του Πυθαγορείου θεωρήματος

Για τα πολυσυζητημένα αστρονομικά ζητήματα της εποχής του (κίνηση του ουρανού θέση σχήμα και κίνηση της Γης) παρουσιάζει ξένες και θολά διατυπωμένες απόψεις γεγονός που

17

φανερώνει ότι δεν διέθετε προσωπική άποψη για το θέμα και γενικά ότι δεν ήταν μαθηματικός

Έγραψε μεταξύ άλλων την απολογία του Σωκράτη η οποία θεωρείται ως μια σχετικά ακριβής καταγραφή της απολογίας του Σωκράτη στην δίκη που τον καταδίκασε σε θάνατο Μετά τη θανάτωση του Σωκράτη για λίγο καιρό κατέφυγε στα Μέγαρα κοντά στον συμμαθητή του Ευκλείδη Ύστερα γύρισε στην Αθήνα όπου για 10 χρόνια ασχολήθηκε με τη συγγραφή φιλοσοφικών έργων τα οποία φέρουν τη σφραγίδα της σωκρατικής φιλοσοφίας Στη συνέχεια ταξίδεψε στην Αίγυπτο και στην Κυρήνη όπου σχετίστηκε με τον μαθηματικό Θεόδωρο και τέλος στον Τάραντα της Ιταλίας όπου γνώρισε τους πυθαγόρειους από τη φιλοσοφική σκέψη των οποίων επηρεάστηκε αποφασιστικά Μετά πέρασε στη Σικελία Στην αυλή του βασιλιά των Συρακουσών Διονυσίου Α΄ γνώρισε τον βασιλικό γυναικάδελφο Δίωνα με τον οποίον συνδέθηκε φιλικά Η φιλία όμως αυτή προκάλεσε τις υποψίες του Διονυσίου για συνωμοσία γι αυτό έδιωξε τον Πλάτωνα από τη Σικελία Στην Αίγινα κινδύνεψε να πουληθεί ως δούλος αλλά τον εξαγόρασε ο Κυρηναίος φίλος του Αννίκερης Επιστρέφοντας στην Αθήνα άνοιξε τη φιλοσοφική σχολή του την Ακαδημία (387 πΧ) Η προσπάθεια όμως των δύο φίλων να προσηλυτίσουν στις ιδέες τους τον νέο ηγεμόνα Διονύσιο τον Πρεσβύτερο απέτυχαν Για τρίτη φορά ήρθε στην αυλή των Συρακουσών το 361 πΧ με σκοπό να συμφιλιώσει τον Δίωνα με τον Διονύσιο Αυτή τη φορά κινδύνεψε και η ζωή του Τον έσωσε η επέμβαση του πυθαγόρειου Αρχύτα Αλλά ο Δίωνας δεν γλίτωσε Δολοφονήθηκε το 353 πΧ Έτσι ο Πλάτωνας έχασε τον άνθρωπο στον οποίο στήριξε τις ελπίδες του για την επιβολή των πολιτικών του ιδεών Από τότε και μέχρι τον θάνατό του ασχολήθηκε με τη διδασκαλία και με τη συγγραφή φιλοσοφικών έργων Επίσης έγραψε το συμπόσιο που μιλάει για την φύση του έρωτα στον Πρωταγόρα Μεταξύ άλλων θεμελιώνεται θεωρητικά η αρχή της πρόληψης που δεν λαμβάνει την τιμή ως απολύτως ανταποδοτική στον Παρμενίδη και Θεαίτητο θεμελιώνει την αντικειμενικότητα του λόγου και της ιδέας ενώ σε 2 μακρούς διαλόγους την Πολιτεία και τους Νόμους περιέγραψε την ιδανική πολιτεία

Η κύρια συμβολή του στα μαθηματικά βρίσκεται κυρίως στο ότι προέτρεπεe τους μαθηματικούς να ερευνούν καθολικές μαθηματικές αλήθειες και γενικά να καλλιεργούν τα μαθηματικά τα οποία θεωρούσε ότι διαθέτουν τεράστια εκπαιδευτική αξία Η προτροπή αυτή φαίνεται εκτός των άλλων και στις απόψεις του ότι τα μαθηματικά είναι lsquorsquoδόσις θεῶν εἰς ἀνθρώπουςrsquorsquo και ότι οδηγούν έντονα την ψυχή προς το θείο

Οι επιδράσεις του Πλάτωνος στους έπειτα αιώνες

Ο Γάλλος ιστορικός της φιλοσοφίας Ζακ Σεβαλιέ τονίζει στο έργο του laquoΙστορία της σκέψηςraquo (1955) την κυρίαρχη παρουσία ή έστω ανταύγεια της πλατωνικής φιλοσοφίας σε ολόκληρο το Μεσαίωνα και στην Αναγέννηση και στους Νεότερους χρόνους ενώ ο Γερμανός φιλόσοφος Καρλ Γιάσπερς προβάλλει τον Πλάτωνα ως το τον πρώτο από τους τρεις θεμελιωτές του φιλοσοφείν Η ιστορία της φιλοσοφίας μέχρι τον Κικέρωνα είναι σαφώς επηρεασμένη από αυτόν και είτε αμφισβητεί είτε ακολουθεί τη διδασκαλία του Ο μαθητής του Αριστοτέλης εξ ίσου επιδραστικός με τον ίδιο οδηγήθηκε στην ανάπτυξη τμήματος του έργου του ως απάντηση στον πλατωνισμό Η σχολή την οποία ο Πλάτωνας

18

ίδρυσε το 387 πΧ η Ακαδημία συνέχισε να ακμάζει ως τις αρχές του πρώτου αιώνα π Χ έχοντας όμως μετατραπεί σε σκεπτική σχολή μετά τις αρχές της ελληνιστικής περιόδου

Κατά την εποχή του Αυγούστου υπήρξε αναβίωση της πλατωνικής φιλοσοφίας ο μεσοπλατωνισμός με εκπροσώπους όπως ο Φίλων ο Αλεξανδρεύς ενώ κατά τα τέλη του δεύτερου αιώνα ο μεσοπλατωνισμός άρχεσαι να μετατρέπεται σταδιακά υπό την επίδραση του νεοπυθαγορισμού και του ερμητισμού στην κατεχόμενη από τους Ρωμαίους Αίγυπτο στο κίνημα του νεοπλατωνισμού με αρχικούς εκπροσώπους όπως ο Πλωτίνος το οποίο είχε ιδεαλιστικό μυστικιστικό και σωτηριολογικό χαρακτήρα Η Ακαδημία στην Αθήνα επανιδρύθηκε ως κέντρο νεοπλατωνικών μελετών κατά τον τέταρτο αιώνα

Την ίδια εποχή περίοδο έντονων θρησκευτικών ζυμώσεων στη Ρωμαϊκή Αυτοκρατορία και σταδιακής επικράτησης του χριστιανισμού στη Μεσόγειο οι ακόλουθοι της αστικής ελληνορωμαϊκής θρησκείας αλλά και των ελληνικών μυστηριακών λατρειών συσπειρώθηκαν γύρω από τον νεοπλατωνισμό ως υπερασπιστή του μέχρι πρότινος επικρατούντος παγανισμού Μεμονωμένοι νεοπλατωνικοί και παγανιστικοί πυρήνες επέζησαν ως τον έκτο αιώνα οπότε και ο Αυτοκράτορας Ιουστινιανός έκλεισε με διάταγμα την Ακαδημία της Αθήνας Μετά περίπου εννέα αιώνες το έτος 1439 ο Γεώργιος Γεμιστός Πλήθων γράφει στη Φλωρεντία το πολύκροτο έργο του Περί ὧν Αριστοτέλης προς Πλάτωνα που αποτέλεσε το έναυσμα της διαμάχης πλατωνικών και αριστοτελικών στο Βυζάντιο και στην Ιταλία Ο πλατωνισμός επιβίωσε υπογείως καθ όλον τον Μεσαίωνα κρυμμένος σε μυστηριακά ρεύματα έως ότου οι πρωτότυπες ιδέες του ανακαλύφθηκαν ξανά και σχολιάστηκαν κατά την Αναγέννηση Έτσι ούτε η νεότερη φιλοσοφική σκέψη έμεινε ανεπηρέαστη από αυτόν Τα διάφορα φιλοσοφικά συστήματα ή προσπαθούν να ανατρέψουν τις ιδέες του ή οικοδομούνται πάνω σ αυτές εκσυγχρονίζοντάς τες

Τα έργα του είναι

Αλκιβιάδης Α η Περί Ανθρώπου Φύσεως μαιευτικός

Αλκιβιάδης Β ή Περί Προσευχής μαιευτικός

Απολογία Σωκράτους ηθικός

Γοργίας ή Περί Ρητορικής ανατρεπτικός

Επινομίς ή Νυκτερινος Σύλλογος πολιτικός

Επιστολαί ηθικαί

Ερασταί ή Περί Φιλοσοφίας ηθικός

Ευθύδημος ή Εριστικός ανατρεπτικός

Ευθύφρων ή Περί του Οσίου

Θεάγης ή Περί Φιλοσοφίας μαιευτικός

Θεαίτητος ή Περί Επιστήμης πειραστικός

19

Ιππαρχος ή Φιλοκερδής ηθικός

Ιππίας ελάσσων ή Περί του Ψεύδους ανατρεπτικός

Ιππίας μείζων ή Περί του Καλού ανατρεπτικός

Ίων ή Περί Ιλιάδος πειραστικός

Κλειτοφών ή Προτρεπτικός ηθικός

Κρατύλος ή Περί Ονομάτων Ορθότητος λογικός

Κριτίας ή Ατλαντικός ηθικός

Κρίτων ή Περί του Πρακτέου ηθικός

Λάχης ή Περί Ανδρείας ηθικός

Λύσις ή Περί Φιλίας μαιευτικός

Μενέξενος ή Επιτάφιος ηθικός

Μένων ή Περί Αρετής πειραστικός

Μίνως ή Περί Νόμου πολιτικός

Νόμοι ή Περί Νομοθεσίας πολιτικός

Παρμενίδης ή Περί Ιδεών λογικός

Πολιτεία ή Περί Δικαίου πολιτικός

Πολιτικός ή Περί της Βασιλείας λογικός

Πρωταγόρας ή Σοφισταί επιδεικτικός

Σοφιστής ή Περί του Όντος λογικός

Συμπόσιον ή Περί Αγαθού ηθικός

Τίμαιος ή Περί Φύσεως φυσικός

Φαίδρος ή Περί Έρωτος ηθικός

Φαίδων ή Περί Ψυχής ηθικός

Φίληβος ή Περί Ηδονής ηθικός

Χαρμίδης ή Περί Σωφροσύνης πειραστικός

20

21

ΕυκλείδηςΒΙΟΓΡΑΦΙΑ

Υπολογίζεται ότι έζησε το βrsquo μισό του 4ου έως τις αρχές του 3ου πΧ αιώνα πιο συγκεκριμένα περίπου το 325 πΧ έως το 265 πΧ Κορυφαίος μαθηματικός της αρχαιότητας που επηρέασε με το έργο του σε ανυπέρβλητο βαθμό τον επιστημονικό τρόπο σκέψης σε όλο τον κόσμο Για τη ζωή του δεν υπάρχουν επιβεβαιωμένες πληροφορίες Πιθανώς εκπαιδεύτηκε στην Αθήνα στην Ακαδημία του Πλάτωνα και δίδαξε στην Αλεξάνδρεια Ξέρουμε ότι ήταν μεγαλύτερος στην ηλικία από τον Αρχιμήδη πράγμα που σημαίνει ότι η χρονολόγηση της ακμής του laquoγύρω στο 300 πΧraquo δεν πρέπει να απέχει πολύ από την αλήθεια Ο Πρόκλος επίσης τον χαρακτηρίζει σύγχρονο του βασιλιά Πτολεμαίου Αrsquo στον

οποίο είχε το θάρρος να του πει κατά πρόσωπο πως δεν υπάρχει βασιλική οδός προς τη γεωμετρία Ο Πάππος τον επαινεί για την ηθική του ακεραιότητα τη μετριοφροσύνη και την ευμενή στάση του προς όσους είναι ικανοί να προαγάγουν τη μαθηματική γνώση Ο Στοβαίος διηγείται το ακόλουθο ενδιαφέρον περιστατικό Ένας νέος επισκέφθηκε κάποτε τον Ευκλείδη και τον παρακάλεσε να τον διδάξει γεωμετρία Μόλις έμαθε το πρώτο θεώρημα ρώτησε τον Ευκλείδη laquoΚαι τώρα τι θα κερδίσω με το θεώρημα αυτόraquo Ο Ευκλείδης τότε γύρισε προς τον υπηρέτη του και του είπε laquoΔώσrsquo του τρεις δεκάρες ώστε να κερδίσει κάτι από το θεώρημα το οποίο έμαθεraquo Αυτά είναι όλα όσα γνωρίζουμε για τον Ευκλείδη ως άνθρωπο Πολύ μεγαλύτερη σημασία όμως έχει το έργο του το οποίο ακόμα και σήμερα μαρτυρεί τα απαράμιλλα χαρίσματά του ως δασκάλου

ΕΡΓΟ

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη

Μετά το θάνατο του Μεγάλου Αλεξάνδρου στα 323 πΧ η αχανής μακεδονική αυτοκρατορία διαιρέθηκε σε τρεις περιοχές Η περιοχή πού περιλάμβανε την Αίγυπτο περιήλθε κάτω από την άξια ηγεμονία του ικανού στρατηγού του Αλεξάνδρου Πτολεμαίου του Σωτήρος ο οποίος σύντομα κέρδισε τη βασιλεία της περιοχής Ο Πτολεμαίος επέλεξε για πρωτεύουσα της περιοχής του την Αλεξάνδρεια λίγα μόνο μίλια από τις εκβολές του ποταμού Νείλου και γύρω στα 300 πΧ άνοιξε τις πόρτες του περίφημου πανεπιστημίου της Αλεξάνδρειας Ανάμεσα στους μελετητές που κλήθηκαν να επανδρώσουν το νέο ίδρυμα ήταν και ο μαθηματικός Ευκλείδης που πιθανότατα υπήρξε μαθητής της Ακαδημίας του Πλάτωνα στην Αθήνα

22

Ο Ευκλείδης από τη στιγμή που ανέλαβε τα καθήκοντά του στην Αλεξάνδρεια όρισε ανάμεσα στους στόχους του τη συγκρότηση του μνημειώδους και ιστορικά σημαντικού έργου του των Στοιχείων Αυτή η αξιόλογη και εκτεταμένη εργασία γραμμένη σε δεκατρία βιβλία ή μέρη αποτελεί την αρχαιότερη εφαρμογή της αξιωματικής μεθόδου που έχει φτάσει στα χέρια μας Θεωρείται ο πρώτος μεγάλος σταθμός στην ιστορία της οργάνωσης των μαθηματικών και η μετέπειτα επίδραση της στον επιστημονικό τρόπο γραφής πολύ δύσκολα μπορεί να περιγραφεί

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη διεκδικούν αναμφισβήτητα μια θέση ανάμεσα στις μεγάλες στιγμές των μαθηματικών Η εργασία αυτή εκτόπισε τόσο γρήγορα και ολοκληρωτικά όλες τις προηγούμενες εργασίες ανάλογου περιεχομένου που σήμερα δεν υπάρχουν αντίγραφα προηγουμένων προσπαθειών και απλά γνωρίζουμε την ύπαρξη τους από σχόλια μεταγενέστερων συγγραφέων Τα Στοιχεία του Ευκλείδη από την πρώτη εμφάνιση τους κέρδισαν τεράστια εκτίμηση Με μοναδική εξαίρεση τη Βίβλο καμιά άλλη εργασία δεν χρησιμοποιήθηκε μελετήθηκε ή εκδόθηκε τόσο πολύ Για πάνω από δύο χιλιετίες κυριάρχησε στο χώρο διδασκαλίας της γεωμετρίας Από την πρώτη έκδοση της στα 1472 έχει γνωρίσει πάνω από χίλιες εκδόσεις Το περιεχόμενο και η μορφή της επέδρασαν εντυπωσιακά στην ανάπτυξη του αντικειμένου της και της λογικής θεμελίωσης των μαθηματικών

Ο Πρόκλος ένας κατοπινός σχολιαστής των μαθηματικών που έζησε στον 5ο αιώνα έχει δώσει μια εξήγηση της έννοιας του όρου laquoστοιχείαraquo Τα στοιχεία μιας αποδεικτικής μελέτης είναι τα πιο σημαντικά θεωρήματα ή τα θεωρήματα κλειδιά που χρησιμοποιούνται συχνά και πλατιά στο αντικείμενο της μελέτης Είναι τα θεωρήματα που χρειάζονται για την απόδειξη όλων ή των περισσότερων από τα άλλα θεωρήματα Η λειτουργία τους συγκρίνεται με αυτή των γραμμάτων του αλφαβήτου σε σχέση με τη γλώσσα Τα γράμματα στα ελληνικά ονομάζονται και στοιχεία Η επιλογή των προτάσεων που θα λειτουργήσουν ως στοιχεία κάποιου θέματος μελέτης απαιτεί μεγάλη ικανότητα και κρίση από το συγγραφέα

Δεν υποτιμά καθόλου την αίγλη του έργου του Ευκλείδη το γεγονός ότι είχαν προηγηθεί ανάλογες προσπάθειες Σύμφωνα με τον Πρόκλο η πρώτη προσπάθεια να γραφτούν Στοιχεία έγινε από τον Ιπποκράτη το Χίο στα μέσα του πέμπτου πΧ αιώνα Η επόμενη προσπάθεια ήταν του Λέοντα που χρονολογικά τοποθετείται κάπου ανάμεσα στον Πλάτωνα και τον Εύδοξο Όπως μαθαίνουμε η εργασία του Λέοντα περιείχε μια μεγαλύτερη και πιο χρήσιμη επιλογή προτάσεων από τον Ιπποκράτη Το βιβλίο που χρησιμοποιούνταν στην Ακαδημία του Πλάτωνα είχε επιμεληθεί ο Θεύδιος από τη Μαγνησία και θεωρούνταν μια θαυμάσια συλλογή στοιχείων Η εργασία του Θεύδιου ήταν ασφαλώς ο άμεσος πρόδρομος της εργασίας του Ευκλείδη ο οποίος την είχε χωρίς αμφιβολία στη διάθεση του ειδικά αν όπως πιστεύουν σπούδασε στην Ακαδημία του Πλάτωνα

Ο Ευκλείδης γνώριζε επίσης την εργασία του Θεαίτητου και του Εύδοξου Δεν είναι καθόλου υποτιμητικό ότι η εργασία του Ευκλείδη αποτελεί σε μεγάλο βαθμό συγκέντρωση και επιμέλεια των εργασιών των προγενεστέρων του αφού η ουσιαστική αξία των Στοιχείων βρίσκεται ακριβώς στην τέλεια επιδεξιότητα με την οποία επιλέχτηκαν και τοποθετήθηκαν

23

σε λογική σειρά οι προτάσεις ξεκινώντας από μια μικρή ομάδα αρχικών υποθέσεων Ούτε είναι υποτιμητικό το γεγονός ότι η εξονυχιστική μελέτη των σύγχρονων κριτικών έχουν αποκαλύψει ορισμένα μειονεκτήματα στη δομή της εργασίας του Ευκλείδη Δε θα μπορούσε κανείς να περιμένει μια τέτοια αρχική και κολοσσιαία προσπάθεια με την αξιωματική μέθοδο να μην παρουσιάζει καμία ατέλεια

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη έχουν γραφεί γύρω στο 300 πΧ αλλά το αυθεντικό χειρόγραφο κείμενο του Ευκλείδη δεν διασώζεται Αντίθετα σώζονται δεκάδες αντίγραφα που σε τελική ανάλυση κατάγονται από αυτό Το αρχαιότερο πλήρες αντίγραφο περιέχεται σε έναν χειρόγραφο περγαμηνό κώδικα που φυλάσσεται σήμερα στη Βιβλιοθήκη της Οξφόρδης και χρονολογείται από του έτους 888 ενώ μικρά αποσπάσματα του έργου διασώζονται σε παπύρους προγενέστερης εποχής καθώς και σε ένα παλίμψητο χειρόγραφο του 7ου ή του 8ου

μΧ αι που φυλάσσεται στο Βρετανικό Μουσείο Βλέπουμε λοιπόν ότι το αρχαιότερο χειρόγραφο που περιέχει το πλήρες κείμενο των Στοιχείων του Ευκλείδη χρονολογείται από τα τέλη του 9ου μΧ αι και επομένως απέχει από την εποχή μας όσο απέχει από την εποχή που ο ίδιος ο Ευκλείδης έγραψε το έργο

Όλες οι σύγχρονες εκδόσεις στηρίζονται σε μια επανέκδοση που έκανε ο Θεωνάς από την Αλεξάνδρεια ένας Έλληνας σχολιαστής που έζησε εφτακόσια περίπου χρόνια μετά τον Ευκλείδη Μόνο στις αρχές του 19ου αιώνα ανακαλύφθηκε ένα παλιότερο αντίγραφο Στα 1808 όταν ο Ναπολέοντας διέταξε να μεταφερθούν όλα τα αξιόλογα χειρόγραφα από τις ιταλικές βιβλιοθήκες στο Παρίσι ο Φ Πέιραρντ (F Peyrard) ανακάλυψε στη βιβλιοθήκη του Βατικανού ένα αντίγραφο των Στοιχείων από έκδοση προγενέστερη από του Θεωνά Η μελέτη όμως αυτής της παλιότερης έκδοσης αποκάλυψε δευτερεύουσες μόνο διαφορές από τον Θεωνά

Οι πρώτες πλήρεις μεταφράσεις των Στοιχείων στα λατινικά δεν έγιναν από τα ελληνικά αλλά από τα αραβικά Τον 8ο αιώνα οι Άραβες μετέφρασαν έναν αριθμό βυζαντινών χειρογράφων με ελληνικές εργασίες και στα 1120 ο Άγγλος μελετητής Άντελαρντ (Adelard) από το Μπαθ μετέφρασε τα Στοιχεία στα λατινικά χρησιμοποιώντας μια απ αυτές τις παλιότερες αραβικές μεταφράσεις Άλλες λατινικές μεταφράσεις από τα αραβικά έκαναν ο Γκεράρντο από την Κρεμώνα (Gherardo 1114-1187) και 150 χρόνια μετά τον Άντελαρντ ο Γιοχάννες Καμπάνους (Johannes Campanus) Η πρώτη τυπωμένη έκδοση των Στοιχείων έγινε στη Βενετία στα 1482 η έκδοση αυτή ήταν η μετάφραση του Καμπάνους Αυτό το πολύ σπάνιο βιβλίο ήταν θαυμάσια τυπωμένο και ήταν το πρώτο αξιόλογο μαθηματικό βιβλίο που τυπώθηκε Μια σημαντική λατινική μετάφραση από τα ελληνικά έγινε από τον Κομμαντίνο (Commandino) στα 1572 Αυτή η μετάφραση χρησιμοποιήθηκε ως βάση για πολλές άλλες μεταφράσεις που ακολούθησαν ανάμεσα σ αυτές και η εργασία του Ρόμπερτ Σίμσον (Robert Simson) που άσκησε σημαντική επιρροή και αποτέλεσε με τη σειρά της τη βάση για πάρα πολλές αγγλικές εκδόσεις

24

Αναλυτική περιγραφή των laquo στοιχείων raquo

Ειδικότερα το πρώτο βιβλίο αναφέρεται σε τεμνόμενες και παράλληλες ευθείες στην ισότητα ευθύγραμμων σχημάτων και στο τέλος το πυθαγόρειο θεώρημα Στο 2ο βιβλίο αναφέρονται συνέπειες από το πυθαγόρειο θεώρημα και γίνονται μετασχηματισμοί ευθύγραμμων σχημάτων σε ισοδύναμα τετράγωνα Εδώ περιέχεται και το πρόβλημα

της laquoχρυσής τομήςraquo Πολλές από τις προτάσεις αυτού μπορούν με σύγχρονους συμβολισμούς να πάρουν μορφή αλγεβρική γιrsquo αυτό έχει επικρατήσει να λέγεται για το 2ο βιβλίο ότι εισάγει τη laquoγεωμετρική άλγεβραraquo Στο 3ο βιβλίο εξετάζεται ο κύκλος και στο τέταρτο βιβλίο λύνονται προβλήματα σχετικά με τα εγγεγραμμένα στον κύκλο κανονικά πολύγωνα Στο 5ο βιβλίο σπουδάζεται η laquoθεωρία των λόγωνraquo του Ευδόξου Πρόκειται ουσιαστικά για τη θεωρία των πραγματικών αριθμών δοσμένη όμως σε μορφή γεωμετρική Το 6ο βιβλίο ασχολείται με την ομοιότητα επίπεδων σχημάτων και σrsquo αυτά αποδεικνύεται ότι από όλα τα ορθογώνια με δοσμένη περίμετρο το τετράγωνο έχει το μέγιστο εμβαδόν Στα βιβλία 7ο-9ο που αφορούν στην αριθμοθεωρία είναι εκπληκτικό πώς με παντελή μπορεί να πει κανείς έλλειψη συμβολισμών (αριθμοί δεν αναγράφονται) κατορθώνεται μια ακροβασία στην αλληλουχία των συλλογισμών που καταλήγει σε πολύ ενδιαφέροντα αριθμητικά αποτελέσματα Ειδικότερα στο 7ο βιβλίο μελετιούνται οι άρτιοι και οι περιττοί αριθμοί οι πρώτοι και οι σύνθετοι καθώς και οι τέλειοι εξετάζονται διάφορα προβλήματα διαιρετότητας ορίζεται το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο αριθμών (ΕΚΠ) καθώς και ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης τους και δίνεται η μέθοδος προσδιορισμού του που ονομάστηκε laquoΕυκλείδειος Αλγόριθμοςraquo Στα δύο επόμενα βιβλία εξακολουθεί η σπουδή αριθμοθεωρητικών θεμάτων στο 8ο εισάγονται επίσης και μελετιούνται οι γεωμετρικές πρόοδοι και στο 9ο έχουν συμπεριληφθεί τρεις σημαντικότατες προτάσεις Πρόκειται για α) το αποκαλούμενο laquoθεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικήςraquo β) την απόφανση ότι υπάρχουν απειράριθμοι πρώτοι και γ) την πρόταση που οδηγεί σε ένα γενικό τύπο που παρέχει άρτιους τέλειους αριθμούς Στο 10ο βιβλίο που αποτελεί ένα από τα ωραιότερα μέρη των Στοιχείων γίνεται μια ταξινόμηση των τετραγωνικών άρρητων και των τετραγωνικών ριζών τους και κατασκευάζεται ένα σύνολο ασύμμετρων μεγεθών το οποίο μαζί με το σύνολο των ρητών συναποτελεί επέκταση αυτού του τελευταίου τέτοια ώστε κάθε στοιχείο της να είναι κατασκευασμένο με κανόνα και διαβήτη Τέλος τα βιβλία της στερεομετρίας το 11ο βιβλίο ασχολείται με θεμελιώδεις σχέσεις μεταξύ ευθειών και επιπέδων καθώς και με τις στερεές γωνίες στο 12ο αναφέρεται σε επιφάνειες και όγκους στερεών και στο 13ο γίνεται η μελέτη της σφαίρας σε συσχετισμό με τα εγγεγραμμένα σε αυτήν κανονικά πολύεδρα

25

Άλλα έργα

bull Δεδομένα (94 θεωρήματα) έργο ανώτερης γεωμετρίας Στο έργο αυτό περιέχονται προτάσεις σε σχήματα στα οποία δίνονται ορισμένα στοιχεία τους κατά σχήμα θέση ή μέγεθος

bull Περί διαιρέσεων (36 προτάσεις) με περιεχόμενό του τη διαίρεση σχημάτων με δοσμένη σχέση

bull Πορίσματα (3 βιβλία που χάθηκαν) σώθηκαν ορισμένα αποσπάσματα που το 1860 έγινε απόπειρα ανασύνθεσής τους από τον Πάππο

bull Οπτικά-κατοπτρικά αντίστοιχα γεωμετρική οπτική ανάκλαση του φωτός πάνω σε επίπεδο κάτοπτρο

bull Φαινόμενα εγχειρίδιο κοσμογραφίας απλές προτάσεις για τη σφαίρα

bull Κατατομή κανόνος στοιχεία πυθαγόρεια θεωρία μουσικής

bull Ψευδάρεια laquoπαράδοξαraquo με στόχο να ασκηθούν οι σπουδαστές στην ανεύρεση λογικών σφαλμάτων κατά τις αποδείξεις

bull Κωνικαί τομαί Μηχανικά δεν γνωρίζουμε τίποτα γιrsquo αυτά τα έργα

Αιτήματα του Ευκλείδη

Τα αιτήματα είναι αρχικές προτάσεις οι οποίες προσιδιάζουν στη συγκεκριμένη κάθε φορά επιστήμη στην προκειμένη περίπτωση στη Γεωμετρία Ο Ευκλείδης διατυπώνει 5 αιτήματα

1 Ζητείται να γίνει δεκτό ότι από οποιοδήποτε σημείο σε οποιοδήποτε σημείο άγεται ευθεία γραμμή

2 Και (ότι) πεπερασμένη ευθεία προεκτείνεται σε ευθεία κατά συνεχή τρόπο

3 Και (ότι) με οποιοδήποτε κέντρο και διάστημα γράφεται κύκλος

4 Και (ότι) όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους

5 Και αν η ευθεία η οποία τέμνει δύο ευθείες σχηματίζει δύο εντός και επί τrsquo αυτά μέρη γωνίες μικρότερες των δύο ορθών τότε οι δύο ευθείες προεκτεινόμενες επrsquo απείρου συναντώνται προς εκείνα τα μέρη τους όπου βρίσκονται μικρότερες των δύο ορθών

Ακολουθούν τα laquoαιτήματαraquo διατυπωμένα σε αρχαίο κείμενο όπως αυτά βρίσκονται στο Βιβλίο Ι

26

Ο ρόλος των τριών πρώτων από τα αιτήματα αυτά είναι να εξασφαλίσουν τη νομιμότητα των κατασκευών της ευθείας και του κύκλου και κατά συνέπεια εκείνων και μόνο των γραμμών και των γεωμετρικών σχημάτων που κατασκευάζονται με πεπερασμένο αριθμό βημάτων από τα δύο αυτά βασικά σχήματα Στα Στοιχεία επομένως δεν έχουν θέση καμπύλες όπως είναι οι κωνικές τομές τη τετραγωνίζουσα κλπ ή κατασκευές όπως κατασκευές νεύσεως Η φύση των δύο τελευταίων αιτημάτων είναι διαφορετική Αποσκοπούν να δηλώσουν ότι κάποια γεωμετρικά σχήματα έχουν ορισμένες ειδικές ιδιότητες

Πολλοί ιστορικοί των μαθηματικών έχουν ασχοληθεί κατά το παρελθόν με το ερώτημα εάν τα αξιώματα του Ευκλείδη ικανοποιούν τις σύγχρονες απαιτήσεις (πληρότητα συνέπεια ανεξαρτησία) ενός αξιωματικού συστήματος Από την προσεκτική μελέτη των αποδείξεων κι των κατασκευών που περιέχονται στα Στοιχεία προκύπτει ότι ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί μερικές φορές απόρρητες παραδοχές οι οποίες δεν περιλαμβάνονται στα αξιώματα Επομένως το σύστημα των αξιωμάτων του δεν ικανοποιεί την απαίτηση της πληρότητας

Μεγάλο ιστορικό ενδιαφέρον εξάλλου έχει το ερώτημα της ανεξαρτησίας των αιτημάτων του Ευκλείδη ιδιαίτερα σε ότι αφορά το πέμπτο από αυτά Το αίτημα αυτό αναφέρεται συχνά και ως laquoαίτημα των παραλλήλωνraquo γιατί μια ισοδύναμη διατύπωσή του είναι η εξής από ένα σημείο εκτός ευθείας άγεται μια μόνο παράλληλη προς τη ευθεία Πολλοί μαθηματικοί από την αρχαιότητα έως τα μέσα του 18ου αιώνα προσπάθησαν να εξαγάγουν το αίτημα αυτό από τα άλλα αιτήματα όλες οι προσπάθειες όμως απέβησαν άκαρπες Από τα τέλη του 18ου αιώνα η προσδοκώμενη εξάρτηση του αιτήματος επιχειρήθηκε να αποδειχτεί με έμμεσο τρόπο Η σκέψη ήταν η εξής αν το αίτημα των παραλλήλων μπορεί να εξαχθεί από τα άλλα τέσσερα αιτήματα μαζί με την άρνηση του πέμπτου θα πρέπει να οδηγούν σε αντίφαση Το νέο σύστημα αξιωμάτων όμως αντί να οδηγήσει σε αντίφαση αποδείχτηκε ότι παράγει συνέπειες μαθηματικές θεωρίες Έτσι ανακαλύφθηκαν οι λεγόμενες μη ευκλείδειες γεωμετρίες και ταυτόχρονα αποδείχθηκε η ανεξαρτησία των αιτημάτων του Ευκλείδη

27

Ας δούμε τώρα την διατύπωση και την απόδειξη της πρότασης (5) που περιέχεται στο Βιβλίο Ι των laquoστοιχείωνraquo και αναφέρεται στη γνωστή μας πρόταση της ισότητας των παρά τη βάση γωνιών ισοσκελούς τριγώνου

28

Γιατί διδάσκουμε το μάθημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στο ζήτημα της laquoχρησιμότηταςraquo των σχολικών Μαθηματικών θα μπορούσε κανείς να αντιπαραθέσει (και πράγματι αντιπαρατέθηκαν) πολλές διαφορετικές απόψεις Εμείς θα παραθέσουμε απλώς ένα απόσπασμα από τις αυτοβιογραφικές σημειώσεις του Albert Einstein το οποίο δείχνει μια άλλη τελείως διαφορετική αντίληψη σχετικά με την laquoχρησιμότηταraquo της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Γράφοντας για τα γεγονότα της παιδικής και εφηβικής του ζωής που είχαν μεγάλη επίδραση στην μετέπειτα εξέλιξη του ο Einstein σημειώνει

Σε ηλικία 12 ετών δοκίμασα μια δεύτερη τελείως διαφορετική έκπληξη σε ένα μικρό βιβλίο Ευκλείδειας επίπεδης γεωμετρίαςhellip Εδώ υπήρχαν ισχυρισμοί όπως για παράδειγμα τα τρία ύψη ενός τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο οι οποίοι - αν και καθόλου προφανείς - μπορούσαν ωστόσο να αποδειχτούν με τέτοια βεβαιότητα ώστε να μην χωρεί η παραμικρή αμφιβολία Αυτή η σαφήνεια και βεβαιότητα μου προξένησαν μια εντύπωση που δεν μπορεί να περιγραφεί Το γεγονός ότι τα αξιώματα έπρεπε να γίνουν δεκτά χωρίς απόδειξη δεν με ενόχλησε Σε κάθε περίπτωση μου αρκούσε πλήρως το γεγονός ότι μπορούσαν να στηρίζω τις αποδείξεις σε προτάσεις η εγκυρότητα των οποίων ήταν για μένα αναμφισβήτητη

Η περίπτωση του Einstein του επιστήμονα που άλλαξε ριζικά τις αντιλήψεις μας και την γεωμετρική δομή του σύμπαντος αποκαλύπτει την σπουδαιότητα ορισμένων παιδαγωγικών σκοπών και τη συνάφειά τους με το ερώτημα που θέσαμε ως τίτλο αυτής της ενότητας καλλιέργεια και ανάπτυξη της συγκροτημένης σκέψης μύηση στην επιστημονική μέθοδο μελέτες του κόσμου Αυτοί οι σκοποί παρόλη τη γενικότητά τους συνδέονται άμεσα με τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας που άσκησαν καθοριστική επίδραση στο νεαρό Einstein τα οποία είναι

bull Σαφήνεια στην έκθεση

bull Ολοκληρωτική απόδειξη κάθε υπόθεσης

bull Απόλυτη συνάφεια σχημάτων και συλλογισμών

bull Τάξη και ομορφιά

Αν τα στοιχεία αυτά αποτελούν ουσιώδη συστατικά της μαθηματικής παιδείας τότε παρέχουν κατά την άποψή μας μια αυτονόητη απάντηση στο ερώτημα laquoΓιατί διδάσκουμε την Ευκλείδεια Γεωμετρίαraquo

Αντιλήψεις και αντιπαραθέσεις για τη διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Οι ένθερμοι υποστηρικτές της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προβάλλουν την παιδαγωγική αξία της λογικής και διάφανης επιχειρηματολογίας των γεωμετρικών αποδείξεων ενώ οι πολέμιοί της επικαλούνται την αναμφισβήτητη δυσκολία των περισσότερων μαθητών να κατανοήσουν τις γεωμετρικές έννοιες και τις πολύ χαμηλές επιδόσεις τους στην αντιμετώπιση σχετικών προβλημάτων Ενδιάμεσα βρίσκονται συνήθως οι σκεπτικιστές οι οποίοι επισημαίνουν τον περιορισμένο επιστημολογικά ρόλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και την ανάγκη να ανανεωθεί η διδασκαλία των Μαθηματικών δίνοντας μεγαλύτερη έμφαση σε πιο σύγχρονους και laquoχρήσιμουςraquo κλάδους (πχ Πιθανότητες και Στατιστική) Από την εποχή που ο Dieudonne κήρυξε τον πόλεμο κατά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας οι αντιλήψεις

29

αυτές έγιναν αντικείμενο επεξεργασίας και αντιπαρατέθηκαν μεταξύ τους από σημαντικούς μαθηματικούς και παιδαγωγούς ενώ οι σχετικές συζητήσεις συνεχίζονται με αμείωτη ένταση μέχρι σήμερα Σε μια ειδική μελέτη της Διεθνούς Επιτροπής για τη Μαθηματική Εκπαίδευση (ICMI) έγινε απόπειρα σύνθεσης των διαφόρων τάσεων και διατυπώθηκαν οι εξής τρεις εναλλακτικές λύσεις για τη διδασκαλία του μαθήματος

1 η λύση

Απορρίπτουμε την ιδέα ότι η Γεωμετρία πρέπει ή μπορεί να χρησιμοποιηθεί στο σχολείο ως ένα σύστημα γνώσεων (παραγωγικά οργανωμένο ή όχι) όπου οι έννοιες και τα γεγονότα πρέπει να γίνουν γνωστά απλά και μόνο επειδή ανήκουν στο σύστημα Αντίθετα η Γεωμετρία και ο χώρος θεωρούνται ως πηγές άντλησης εξαιρετικών θεμάτων για την οργάνωση πολλαπλών δραστηριοτήτων σε διαφορετικά επίπεδα Οι laquoχρησιμοθηρικέςraquo όψεις της Γεωμετρίας θα εξυπηρετηθούν με την παροχή αλγεβρικών μεθόδων

2 η λύση

Εξακολουθούμε να επιχειρούμε τη διδασκαλία ενός αξιωματικού ή ψευδο-αξιωματικού μαθήματος σχολικής Γεωμετρίας το οποίο στηρίζεται είτε σε laquoτροποποίησηraquo των laquoΣτοιχείωνraquo του Ευκλείδη (για παράδειγμα αξιωματική θεμελίωση τύπου Pogorelov) είτε πχ στους γεωμετρικούς σχηματισμούς

3 η λύση

Για ορισμένες ομάδες μαθητών τουλάχιστον παρουσιάζουμε laquoνησίδεςraquo Γεωμετρίας δηλαδή laquoτοπικάraquo παραγωγικά συστήματα μέσα στο πλαίσιο του γενικού αναλυτικού προγράμματος (Έτσι μπορούμε για παράδειγμα να έχουμε ενότητες για τις ιδιότητες των εγγεγραμμένων σε κύκλο γωνιών ή τη στοιχειώδη προβολική Γεωμετρία)

Στην Ελλάδα για προφανείς ιστορικούς και πολιτιστικούς λόγους συνεχίζεται μια παράδοση που προσεγγίζεται εγγύτατα τη δεύτερη από τις προηγούμενες εναλλακτικές λύσεις Ακόμη και την περίοδο της μεταρρύθμισης των laquoΝέων Μαθηματικώνraquo η διεθνής πίεση για εκσυγχρονισμό των σχολικών Μαθηματικών και εγκατάλειψη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αφομοιώθηκε στη χώρα μας μέσα από έναν ιδιότυπο συμβιβασμό από τη μια μεριά διατηρήθηκε όλη η παραδοσιακή σχολική ύλη την οποία σε μεγάλο βαθμό συντηρούσαν οι εισαγωγικές εξετάσεις των ΑΕΙ και από την άλλη δόθηκε υπερβολική έμφαση στην αυστηρή αξιωματική θεμελίωσης της Γεωμετρίας καθώς και με την εισαγωγή νέας ύλης πάνω στους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς Στις αντιφατικές επιλογές εκείνης της περιόδου βρίσκονται κατά την άποψη μας οι ρίζες της μετέπειτα υποβάθμισης και παρακμής του μαθήματος της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

30

Το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στη σύγχρονη Διδακτική των Μαθηματικών τα θεμελιώδη επιστημολογικά χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας όπως είναι η παραγωγική οργάνωση του περιεχομένου η αποδεικτική διαδικασία και η έμφαση στις γεωμετρικές κατασκευές αναφέρονται συνήθως ως laquoανώτερα επίπεδα γεωμετρικής σκέψηςraquo και η μάθηση τους έχει γίνει αντικείμενο συστηματικής μελέτης και έρευνας Ένα βασικό θεωρητικό μοντέλο στο οποίο έχει στηριχθεί η διεξαγωγή μεγάλου αριθμού ερευνών σε διάφορες χώρες αποτελούν τα λεγόμενα laquoεπίπεδα van Hieleraquo Σύμφωνα με αυτό το μοντέλο η μάθηση της Γεωμετρίας εξελίσσεται ιεραρχικά περνώντας από πέντε διαδοχικά επίπεδα

bull 1ο επίπεδο Εποπτικό

bull 2ο επίπεδο ΠεριγραφικόΑναλυτικό

bull 3ο επίπεδο ΑφηρημένοΣχεσιακό

bull 4ο επίπεδο ΤυπικόΠαραγωγικό

bull 5ο επίπεδο Μεταμαθηματικό

Οι μαθητές κατανοούν τη σημασία και τη διαδικασία οικοδόμησης ενός αξιωματικού μαθηματικού συστήματος και τις σχέσεις ανάμεσα σε διαφορετικά συστήματα Για παράδειγμα αναγνωρίζουν ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία δεν είναι παρά ένας από τους πολλούς δυνατούς τρόπους περιγραφής ενός αφηρημένου μαθηματικού σύμπαντος

Είναι φανερό ότι η διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προϋποθέτει τα δύο πρώτα επίπεδα και έχει ως κύριο σκοπό την κατάκτηση των δύο επόμενων επιπέδων (για το 5ο

μάλλον δεν μπορεί να γίνεται λόγος στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση) Σε θεωρητικό επίπεδο τόσο και η θεωρία των van Hiele όσο και η γενικότερη θεωρία των σταδίων μάθησης του Piaget προβλέπουν ότι η κατάκτηση αυτών των επιπέδων είναι μια επίπονη και ιεραρχικά εξελισσόμενη διαδικασία που απαιτεί μακροχρόνια και προσεχτικά σχεδιασμένη διδασκαλία Αυτές οι θεωρητικές προβλέψεις φαίνεται να επιβεβαιώνονται από πολλές εμπειρικές έρευνες που έχουν διεξαχθεί σε διάφορες χώρες και τα αποτελέσματά τους οδηγούν σε ένα βασικό συμπέρασμα laquo η καθιερωμένη παραδοσιακή διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αδυνατεί να οδηγήσει τους μαθητές στην κατάκτηση των ανώτερων επιπέδων γεωμετρικής σκέψης raquo

Από τα αποτελέσματα αυτών των ερευνών αξίζει νrsquo αναφέρουμε εδώ ένα εντυπωσιακό στατιστικό στοιχείο που αποκαλύπτει τις διαστάσεις του προβλήματος σε μια έρευνα που έγινε στις ΗΠΑ μεταξύ 1520 μαθητών που είχαν ολοκληρώσει ένα έτος διδασκαλίας της θεωρητικής Ευκλείδειας Γεωμετρίας διαπιστώθηκε ότι μόνο το 30 είχε φτάσει σε ένα επίπεδο που μπορεί να χαρακτηριστεί από 75 επιτυχία στην απόδειξη απλών γεωμετρικών προτάσεων (πχ ότι οι διαγώνιες ενός ορθογωνίου είναι ίσες) Το ποσοστό των μαθητών που είχαν 100 επιτυχία δεν ξεπέρασε το 3

31

Κοινή πεποίθηση όλων αυτών των ερευνητών είναι ότι για να κατανοηθούν οι παραγωγικές αποδείξεις της Ευκλείδειας Γεωμετρίας απαιτείται μια ισχυρή διαισθητική βάση την οποία οι μαθητές θα αποκτήσουν μέσα από επαγωγικές εμπειρικές ανακαλύψεις τη διαπίστωση και επαλήθευση υποθέσεων τις γεωμετρικές κατασκευές και εφαρμογές Έτσι λοιπόν η διδασκαλία της Γεωμετρίας δεν θα πρέπει να στηρίζεται σrsquo ένα τεχνητό διαχωρισμό ανάμεσα σε laquoΠρακτική Γεωμετρίαraquo σχεδίασης και μετρήσεων και μια laquoΘεωρητική Γεωμετρίαraquo αποδείξεων αλλά να συνδυάζει μια ισορροπημένη ανάπτυξη των δύο αυτών όψεων του μαθήματος σrsquo όλο το φάσμα της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Η επινόηση διδακτικών μέσων και μεθόδων που θα επιτρέψουν την υλοποίηση αυτού του στόχου φαίνεται ότι αποτελεί σήμερα το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ

Η Γεωμετρία του Ευκλείδη απετέλεσε το θεμέλιο για την ανάπτυξη της laquoδυτικήςraquo επιστήμης και τεχνικής και σ αυτή τη Γεωμετρία στηρίζονται οι προϋποθέσεις της κλασικής Φυσικής από την Αναγέννηση και μετά Μόλις το 19ο αιώνα διαπιστώθηκε όμως (Λάμπερτ Γκάους Μπολυάι Λομπατσέβσκι κά) ότι η ευκλείδεια Γεωμετρία στηρίζεται στην απλοϊκή αντίληψη του επίπεδου χώρου ο οποίος είναι μεν χρήσιμος για την περιοχή που αντιλαμβάνεται με τις αισθήσεις του ένας άνθρωπος αλλά όχι για πολύ μεγάλες τιμές των φυσικών μεγεθών (αποστάσεις ταχύτητες μάζες κτλ) Τότε παύει να ισχύει η επίπεδη αντίληψη και μαζί της η Ευκλείδεια Γεωμετρία επειδή στην πραγματικότητα ο χώρος είναι κυρτός Έτσι η Γεωμετρία συμπληρώνεται με βάση αντιλήψεις που στηρίζονται στον υπερβολικό ελλειπτικό κά χώρο

Σήμερα η γεωμετρία του Ευκλείδη διδάσκεται παγκοσμίως και ανελλιπώς επί 23 αιώνες με τον τιμητικό τίτλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Στη σύγχρονη όμως σχολική γεωμετρία περιλαμβάνονται και υπολογισμοί και μετρήσεις οι οποίες από το έργο του Ευκλείδη απουσιάζουν εντελώς

Η συνολική προσφορά του Ευκλείδη στα Μαθηματικά και τις εφαρμοσμένες τέχνες υπήρξε σημαντικότατη και ταυτόχρονα βάση από την οποία εξόρμησαν οι μεταγενέστεροι μαθηματικοί γεωγράφοι και αστρονόμοι για να οδηγηθούν στο τελικό μαθηματικό θαύμα της Ελληνικής Αρχαιότητας

32

33

ΒΙΟΓΡΑΦΙΑ Ο Αρχιμήδης ήταν ένας από τους μεγάλους μαθηματικούς μηχανικούς και φυσικούς του αρχαίου Ελληνικού χώρου και μια από τις μεγαλύτερες μαθηματικές ευφυΐες του κόσμου Γεννήθηκε έζησε και πέθανε στις Συρακούσες την μεγάλη Ελληνική αποικία της Σικελίας

Πατέρας του Αρχιμήδη ήταν ο αστρονόμος Φειδίας που είχε δεσμούς φιλίας με το βασιλικό γένος των Συρακουσών Ο Αρχιμήδης ταξίδεψε στην Αίγυπτο και ήρθε σε επαφή με τους διαδόχους του Ευκλείδη του Ερατοσθένη και το Δισίθεο ενώ ήταν φίλος και συμμαθητής του Κόνωνα του Σάμιου

Υπήρξε λαμπρό παράδειγμα πρωτότυπου ερευνητή ο οποίος δεν ενδιαφέρθηκε να διευκολύνει τους αρχάριους αλλά ασχολήθηκε κυρίως για την αποκάλυψη νέων αληθειών για δική του ικανοποίηση και των ώριμων ήδη διανοούμενων Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο ενώ η κατανόηση του Ευκλείδη δεν απαιτεί εξαιρετική προηγούμενη γνώση και ευφυΐα τα προϊόντα της μαθηματικής σκέψεως τα οποία πρόκειται τώρα να εξετάσουμε είναι προσιτά αποκλειστικώς και μόνο στην ανάγνωση υψηλής πνευματικής στάθμης

Πήγε στην Αίγυπτο ως εκπαιδευτικός και ήρθε σε επαφή όχι βέβαια με τον Ευκλείδη που είχε στο μεταξύ πεθάνει αλλά με τους διαδόχους του και έκανε στενούς δεσμούς με εξαιρετικούς γεωμετρικούς όπως ο Κόνων ο Σάμιος ο Ερατοσθένης ο Κυρηναίος ο Δισίθεος κλπ από τους οποίους κατόπιν όσα έργα συνέταξε μετά την επιστροφή του στην πατρίδα του

34

Το έργο τουΤο έργο του Αρχιμήδη υπήρξε τεράστιο τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά και η ερευνητική ματιά του κάλυψε πολλούς τομείς γεωμετρία οπτική (κατοπτρική) υδραυλική μηχανική αρχιτεκτονική και την πολιορκητική Συνέδεσε το όνομά του με την γένεση της μηχανικής στην αρχαία Ελλάδα και με την λύση περίφημων μαθηματικών προβλημάτων καθώς και με τις αμυντικές εφευρέσεις του που χρησιμοποιήθηκαν όταν οι Ρωμαίοι πολιορκούσαν την πατρίδα του τις Συρακούσες

Σχολιαστής του έργου του Αρχιμήδη υπήρξε ο Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης (6ος αι μΧ) που καταγόταν από την ελληνική πόλη της Συρίας Ασκαλών

Στον χώρο της εφαρμοσμένης μηχανικής ο Αρχιμήδης επινόησε ιδιοφυείς μηχανές κάθε είδους Εφηύρε τον ρωμαϊκό ζυγό (καντάρι) το τρίσπαστο (ανυψωτική τριπλή τροχαλία) και τον ατέρμονα κοχλία έλιξ του Αρχιμήδους μηχανή άντλησης νερού από ποταμούς και φρέατα (η οποία χρησιμοποιείται ακόμα και στις μέρες μας σε περιοχές της βόρειας Αφρικής) Κατασκεύασε ένα υδραυλικό ρολόι το οποίο υπολόγιζε με μεγάλη ακρίβεια τις ώρες (και ειδοποιούσε για την αλλαγή της ώρας)

Μεγάλη φήμη απέκτησαν οι πολεμικές μηχανές του Αρχιμήδη αρχιτρόνιτο (πυροβόλο ατμού) καταπέλτες άρπαγες (μηχανισμός που ανύψωνε και αναποδογύριζε πλοία) και κάτοπτρα για την καύση των Ρωμαϊκών εχθρικών πλοίων (με παραβολικά κάτοπτρα όπως αποδείχτηκε από τα πειράματα του μηχανικού Ι Σακκά ο οποίος το 1973 απόδειξε τον τρόπο με τον οποίο ο Αρχιμήδης έκαψε τον ρωμαϊκό στόλο) Σύμφωνα με την παράδοση όταν η πόλη μετά από τριετή αντίσταση των ελλήνων κατελήφθη με προδοσία ένας ρωμαίος στρατιώτης σκότωσε τον Έλληνα επιστήμονα ενώ αυτός ήταν προσηλωμένος σε κάποιο γεωμετρικό πρόβλημα ΜΗ ΜΟΥ ΤΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥΣ ΤΑΡΑΤΤΕ πρόλαβε να του απαντήσει ο Έλληνας επιστήμονας

Ο Αρχιμήδης επηρέασε σε μεγάλο βαθμό την ευρωπαϊκή επιστημονική σκέψη καθώς και τους Άραβες επιστήμονες οι οποίοι αντέγραψαν όλα τα έργα του στα αραβικά γλώσσα στην οποία διασώθηκαν αρκετά αφού τα πρωτότυπα είχαν χαθεί

35

Διασωθέντα συγγράμματα

bull Περί σφαίρας και κυλίνδρου Βιβλίο α και βbull Κύκλου μέτρησις Σώζονται τρία θεωρήματαbull Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων (32 θεωρήματα 1 πόρισμα)bull Περί ελίκων (28 θεωρήματα 6 πορίσματα)bull Περί επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων ή Μηχανικά Βιβλ α και βbull Περί μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος (=μέθοδος)bull Βιβλίο λημμάτωνbull Πρόβλημα Βοεικόνbull Κατασκευή πλευράς του περιγραφομένου εις κύκλο επταγώνουbull Ωρολόγιον Αρχιμήδους (Σώζεται στα αραβικά)bull Περί κύκλων εφαπτομένων αλλήλωνbull Αρχαί της Γεωμετρίαςbull Ψαμμίτηςbull Τετραγωνισμός παραβολήςbull Οχουμένων (Υδροστατική)bull Στομάχιον (Σώζονται λίγα αποσπάσματα)

Συγγράμματα μη διασωθέντα (ή συγγράμματα μη αποκαλυφθέντα μέχρι σήμερα)

bull Αριθμητικάbull Βαρουλκός Υδροσκοπίαι Πνευματικήbull Επισίδια Βιβλία (Μάλλον περί στατιστικής - Τζέτζης)bull Περί τριγώνωνbull Περί τετραπλεύρουbull Περί ζευγώνbull Περί 13 ημικανονικών πολυέδρωνbull Ισοπεριμετικάbull Ισορροπίαιbull Καύσις δια κατόπτρων (επ΄ αυτού έγινε επιτυχές πείραμα στο ΝΣ)bull Περί Αρχιτεκτονικήςbull Περί βαρύτητος και ελαφρότητος (Πυκνόμετρα - Αραιόμετρα)bull Περί δρομομέτρων (Οδόμετρα πλοίων)bull Περί κέντρου Βάρους ή Κεντροβαρικάbull Κατοπρικάbull Περί παραλλήλων γραμμώνbull Περί κοίλων και παραβολικών κατόπτρωνbull Προοπτικήbull Στοιχεία μηχανικώνbull Πλινθίδες και Κύλινδροιbull Στοιχεία επί των στηρίξεωνbull Σφαιροποιΐα

36

Εφευρέσεις

bull Αραιόμετρο - Πυκνόμετροbull Αστρονομική συσκευήbull Βαρουλκόςbull Γερανοί (Αρπάγες)bull Καταπέλτεςbull Κάτοπτραbull Κοχλίας ή έλιξbull Οδόμετρο (δρομόμετρο)bull Πλανητάριον (σφαίρα)bull Πολύσπαστον (Βαρούλκο) τρίσπαστοbull Σίφωνbull Στομάχιον (επιτραπέζιο παιγνίδι το πρώτο παζλ)bull Τηλεβόλον Αρχιμήδους bull Χαριστίων (μοχλός)bull Ωρολόγιο υδραυλικό

37

Τα συγγράμματα του Αρχιμήδη που σώθηκαν μέχρι σήμερα είναι τα ακόλουθα Περί σφαίρας και κυλίνδρου Κύκλου μέτρησις περί σφαιροειδέων και κωνοειδέων Περί λίκων Επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων Ψαμμίτης Τετραγωνισμός παραβολής Οχούμενων Στομάχιον Προς Ερατοσθένην Έφοδος Βιβλίον περί λημμάτων Πρόβλημα βοεικόν Αποσπάσματα Μερικά από αυτά διασώθηκαν Πολλά επίσης είναι τα συγγράμματα του που χάθηκαν

Έκανε τα πρώτα βήματα για το μαθηματικό υπολογισμό επιφανειών με ακανόνιστο περίγραμμα και συμμετρικών εκ περιστροφής σωμάτων μέθοδος που εξελίχθηκε τεκμηριώθηκε και ονομάστηκε στην σύγχρονη εποχή laquoΟλοκληρωτικός Λογισμόςraquo υπολόγισε μία προσεγγιστική τιμή για τον άρρητο αριθμό π διατύπωσε το νόμο προεκτάσεις του γενίκευσε την εφαρμογή λέγοντας laquoΔώστε μου σημείο να στηριχθώ και θα κινήσω την γηraquo διατύπωσε την ομώνυμη αρχή για την άνωση του νερού κατασκεύασε διάφορες μηχανές ένα τύπο πολύσπαστου τον κοχλία μία αντλητική μηχανή με την laquoαρχιμήδειον έλικαraquo κά

Η συμβολή του ΑρχιμήδηΗ συμβολή του Αρχιμήδη στην ανάπτυξη της Μηχανικής συνιστάται πέρα από την επινόηση των τροχαλιών του πολύσπαστου και των οδοντωτών τροχών και ενός ιδιόμορφου αντλητικού συγκροτήματος στην έλικα που φέρει το όνομα του Ακόμα στην επακριβή διατύπωση των νόμων των μοχλών και των ισορροπιών ή κέντρα βαρών Εδώ υπάρχει και η περίφημη πρόταση laquo σύμμετρα μεγέθη ισορροπούν σε αποστάσεις αντιστρόφως ανάλογες προς το βάρος τους raquo

Σε σχέση με τους μοχλούς και τις δυνατότητες τους μας αναφέρει τη φράση laquo δος μοι πα στω και ταν γαν κινάσω raquo Απέδειξε στον Ιέρωνα ότι με ένα σύστημα τροχαλιών ndash οδοντωτών τροχών και μοχλών μπορεί να μετακινήσει ένα τεράστιο πλοίο με όλο το πλήρωμα μέσα μόνος του Ήταν ακόμα ο ίδιος που σχεδίασε και επιμελήθηκε τη ναυπήγηση του πλοίου

Ανέλαβε μετά από εντολή του Ιέρωνα την οχύρωση της πόλης και διηύθυνε ο ίδιος την άμυνα της εναντίον των Ρωμαίων

Στην αστρονομία ο Λίβιος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης είναι laquoμοναδικός παρατηρητής του ουρανού και των αστέρων raquo Ο Ίππαρχος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης ασχολήθηκε με τη μελέτη των ηλιοστασίων καθώς και με τον υπολογισμό της διάρκειας του έτους

Ο Μακρόβιος αναφέρει ότι ο Αρχιμήδης ανακάλυψε τις αποστάσεις των πλανητών ενώ στο έργο laquoΨαμμίτηςraquo περιγράφει τη συσκευή μέσω της οποίας μέτρησε τη φαινομενική γωνιακή διάμετρο του ήλιου

38

Ο Κικέρων αναφέρεται με θαυμασμό για τον Αρχιμήδη στα laquoΚατοπτρικάraquo Στα Μαθηματικά που ο ίδιος θεωρούσε ως τα πιο σημαντικά παρουσίασε την μέθοδο του προσδιορισμού του αριθμού π Τελειοποίησε το ελληνικό σύστημα αρίθμησης και παρουσίασε μια μέθοδο παράστασης των πολύ μεγάλων αριθμών Ασχολήθηκε με τη διαφορική Γεωμετρία βρήκε τους τύπους πρόσθεσης και αφαίρεσης τόξων Υπολόγισε το εμβαδόν της σφαίρας και του κυλίνδρου Μελέτησε διάφορα στερεά εκ περιστροφής όπως τα στερεά που παράγονται από περιστροφή έλλειψης υπερβολής και παραβολής γύρω από έναν άξονα

Στη Γεωμετρία το έργο του Αρχιμήδη αποτελείται κατά κύριο λόγο από πρωτότυπες μελέτες σχετικά με τον τετραγωνισμό των καμπυλόγραμμων επίπεδων σχημάτων καθώς και με τον τετραγωνισμό και τον κυβισμό καμπύλων επιφανειών

Τέλος επινόησε στο σύνολό της την Υδροστατική Επιστήμη την οποία ανέπτυξε πλήρως Οι μελέτες του αναπαριστούν ένα σύνολο μαθηματικών και γεωμετρικών επιτευγμάτων το οποίο δεν ξεπέρασε κανείς στην ανθρώπινη ιστορία

Όπως αναφέρει ο Wallis laquo ο Αρχιμήδης αφήνει ένα συγκεκριμένο μυστήριο να καλύπτει τον τρόπο με τον οποίο κατέληγε στα αποτελέσματά του Είναι σαν να είχε καλύψει σκοπίμως τα ίχνη του τα ίχνη των ερευνών του σα να ήταν απρόθυμος να αποκαλύψει το μυστικό της μεθόδου έρευνάς του στους μεταγενέστερους ενώ επιθυμούσε να αποσπάσει τη συναίνεσή τους για τα αποτελέσματά του raquo

Ο ίδιος ο Αρχιμήδης ως φορέας ενός ανώτερου φιλοσοφικού πνεύματος θεωρούσε ταπεινή και ανάξια κάθε τέχνη που εξυπηρετούσε πρακτικές ανάγκες ή αποσκοπούσε στο οικονομικό κέρδος Γι` αυτό και έστρεψε όλη του την προσοχή και τις επιδιώξεις στους καθαρούς στοχασμούς χωρίς να καταδεχτεί να αφήσει κάποιο γραπτό στοιχείο για τις τεχνολογικές του ανακαλύψεις με μοναδική εξαίρεση όσες αναφέρονται στο έργο του laquoπερί σφαιροποιίαςraquo Δεν είναι καθόλου τυχαίο λοιπόν το ότι ο Κικέρων αργότερα βρήκε τον τάφο του και πάνω μία αναπαράσταση ενός κυλίνδρου περιγεγραμμένου σε σφαίρα με μία περιγραφή που έδινε το λόγο του κυλίνδρου προς τη σφαίρα

Σε ποιους τομείς εφαρμόστηκαν οι θεωρίες του Εξαιρετικές του μελέτες και για τη μέθοδο και για το αποτέλεσμα είναι εκείνες που έδωσαν τα εμβαδά Κύκλου Έλλειψης Παραβολής και Έλικας καθώς και τα εμβαδά και τους όγκους των Κυλίνδρων των Κώνων και κυρίως των Σφαιρών

Σημαντικότατη θεωρείται και η ανακάλυψη από τον ίδιο τύπου που δίνει το εμβαδόν τριγώνου από τις πλευρές του και ακόμα η επέκτασή του στα εγγεγραμμένα τετράπλευρα Ο Αρχιμήδης επίσης γνώριζε να κατασκευάζει τη λύση ειδικών τριτοβάθμιων προβλημάτων και μεταξύ αυτών και του Δηλίου Προβλήματος Τις λύσεις αυτές τις έδινε με την τομή δύο κωνικών (Ευτόκιος) Μοναδική είναι η προσφορά του στην ανώτερη μετρική Γεωμετρία Συγκεκριμένα εξέφρασε τους όγκους στερεών εκ περιστροφής κωνικών τομών εφαρμόζοντας απειροστικές μεθόδους ανάλυσης των στερεών αυτών

39

Στη σύγχρονη κλασική γεωμετρία όλο σχεδόν το μετρικό της μέρος οφείλεται στον Αρχιμήδη με αποτέλεσμα αυτή ουσιαστικά να είναι ισορροπημένη μείξη της Ευκλείδειας και της Αρχιμήδειας αρχαίας γεωμετρίας

Έτσι ο σοφός μας αποτελεί ουσιαστικά τον πατέρα της ανώτερης μετρικής γεωμετρίας της αρχαιότητας και ταυτόχρονα την πηγή έμπνευσης των νεώτερων μελετών του διαφορικού και απειροστικού λογισμού

Η πρωτοτυπία και η αποτελεσματικότητα των μελετών του έγιναν αιτία να χαρακτηριστεί από τους ιστορικούς των μαθηματικών ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών και όλων των εθνών

Ρεύμα στα ανάκτορα της Βρετανίας μέσω εφεύρεσης του Αρχιμήδη ( httpkatestimenoblogspotcom201109blog-post_1015html )

laquoΗ Βασίλισσα Ελισάβετ πρόκειται να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση ενός αρχαίου Έλληνα για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Και όταν λέμε αρχαίο Έλληνα εννοούμε τον Αρχιμήδη και όχι τον 90χρονο σύζυγό της Φίλιππο της Ελλάδαςraquo

Με αυτόν τον τίτλο πληροφορεί το βρετανικό κοινό η εφημερίδα ldquoDaily Mailrdquo για την απόφαση της Αυτής Μεγαλειότητας να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση του αρχαίου Έλληνα εφευρέτη Αρχιμήδη από τις Συρακούσες για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Πρόκειται για τη σύγχρονη εκδοχή του ατέρμονα κοχλία της έλικος του Αρχιμήδους όπως έμεινε γνωστή η εφεύρεση και είναι ένας σωληνοειδής κοχλίας που χρησίμευε για την άντληση νερού και την άρδευση καλλιεργημένων εκτάσεων

Η σύγχρονη εκδοχή της εφεύρεσης θα χρησιμοποιεί το νερό που μεταφέρεται από ένα τεχνητό φράγμα για να παράγει υδροηλεκτρική ενέργεια Ο μηχανισμός έχει ήδη μεταφερθεί μέσω του Τάμεση στο Romney Weir στα ανάκτορα του Γουίντσορ Σύμφωνα με το δημοσίευμα της εφημερίδας οι έλικες θα είναι έτοιμες για την παραγωγή ενέργειας τον προσεχή Νοέμβριο ενώ θα μπορούν να καλύψουν πλήρως τις ανάγκες του κάστρου σε ενέργεια μέσα στον επόμενο χρόνο

Εκτός αυτού οι τουρμπίνες είναι σχεδιασμένες ώστε να μην εμποδίζουν την ασφαλή διέλευση σολομού και χελιού μέσα στον ποταμό Τάμεση

Οι laquoέλικες του Αρχιμήδηraquo βάρους 40 τόνων κατασκευάστηκαν από ένα εργοστάσιο στην Ολλανδία και στοίχησαν 700000 λίρες Αγγλίας ενώ το κόστος εγκατάστασής τους θα ξεπεράσει το ένα εκατομμύριο λίρες

40

ΠυθαγόραςΒΙΟΓΡΑΦΙΚΑ

Ο γνωστός σε όλους μας Πυθαγόρας ο Σάμιοςγεννήθηκε στη Σάμο και έζησε το 580-500πΧ Το όνομά του του το έδωσαν οι γονείς του προς τιμήν της Πυθίας η οποία προφήτεψε τη γέννησή του Σύμφωνα με τον Διογένη Λαέρτιο ο Πυθαγόρας έλεγε ότι κάποτε υπήρξε Αιθαλίδης και ήταν γιος του Ερμή Ο Ερμής του ζήτησε να διαλέξει ότι ήθελε εκτός από την αθανασία Ζήτησε λοιπόν όσο ζει να θυμάται όσα του έχουν συμβεί Έτσι μπορούσε να επαναφέρει στη μνήμη του τα πάντα από τις προηγούμενες ζωές του

Νεαρός ακόμα παρακινούμενος από τη φιλομάθειά του έφυγε από την πατρίδα του για να μυηθεί σε όλες τις ελληνικές και βαρβαρικές τελετές Πήγε στην Αίγυπτο και τότε ο πολιτάρχης τον σύστησε με επιστολή του στον Αμάση Εκεί έμαθε τέλεια τα αιγυπτιακά όπως λέει ο Αντιφών στο laquo Περί τῶν ἒν ἁρετῇ πρωτευσάντων raquo και επισκοπήθηκε τους Χυδαίους και τους Μάγους Κατόπιν στην Κρήτη με το Επιμενίδη κατέβηκε στο Ιδαίον Άντρο αλλά και στην Αίγυπτο είχε μπει στα άδυτα Έτσι γνώρισε τα μυστικά για τους θεούς Στη συνέχεια επέστρεψε στη Σάμο επειδή όμως βρήκε την πατρίδα του τυραννοκρατούμενη από τον Πολυκράτη αναχώρησε για τον Κρότωνα της Ιταλίας Έδρασε εκεί όπου και ίδρυσε την περίφημη laquoΠυθαγόρειο Σχολήraquo η οποία ήταν πολίτικο-θρησκευτικό ίδρυμα με πολιτικούς κυρίως στόχους όπου μελετήθηκαν και η αριθμητική και η γεωμετρία Επεδίωκε την ηθική και πνευματική αναγέννηση όλων των λαϊκών στρωμάτων ανδρών και γυναικών της περιοχής του Κρότωνα

Είχε πολλούς και καλούς μαθητές Κάθε φορά που έμπαιναν στο σπίτι του τους έλεγε να λένε τα εξής laquoΠού έσφαλαraquo laquoΤι έκαναraquo laquoΤι έπρεπε να κάνω και δεν έκαναraquo Οι μαθητές του επί πέντε χρόνια παρέμεναν σιωπηλοί και άκουγαν μόνο τις ομιλίες του Πυθαγόρα χωρίς ποτέ να βλέπουν τον ίδιο Μετά το τέλος αυτής της δοκιμασίας του γίνονταν μέλη του σπιτιού του και είχαν το δικαίωμα να τον βλέπουν

10

Πέθανε σύμφωνα με τον Διογένη Λαέρτιο καθώς προσπαθούσε να διαφύγει από την καταδίωξη Κροτωνιατών που φοβήθηκαν την εγκαθίδρυση τυραννίας λόγω της μεγάλης δύναμης που είχε αποκτήσει αυτός και οι μαθητές του στην πόλη Οι Κροτωνιάτες έσφαξαν αυτόν και τους τετρακόσιους μαθητές του αφού πρώτα έκαψαν το σπίτι του Μίλωνα στο οποίο λίγο πριν είχαν συγκεντρωθεί Ο Δικαίαρχος αναφέρει πως ο Πυθαγόρας πέθανε στο ιερό των Μουσών στο Μετάποντιο (ελληνική αποικία) μένοντας σαράντα ημέρες νηστικός

ΕΠΙΤΕΥΓΜΑΤΑ - ΕΡΓΟ

Η ηθική διδασκαλία του Πυθαγόρα και των ακολούθων του (Πυθαγορείων) διασώζεται σε 71 στίχους του έργου laquoΤα χρυσά έπη του Πυθαγόραraquo Η σύνθεση αυτών των στίχων αποδίδεται στους Νεοπυθαγορείους του 2ου-3ου μΧ αιώνα Η γνώση ότι τα laquoΧρυσά Έπηraquo γραφτήκαν από τον Πυθαγόρα ή τους Πυθαγορείους και ανασυντέθηκαν μεταγενέστερα με τη μορφή που έφτασαν σε εμάς δεν φαίνεται να είναι σωστή Αν κάνουμε μια απλή ανάγνωση στα εν λόγω έπη αποδεικνύεται ότι αυτά γράφτηκαν πολύ αργότερα Οπωσδήποτε όμως το περιεχόμενο των επών είναι απόλυτα laquoπυθαγορικόraquo και συμφωνεί με την παράδοση της ηθικής διδασκαλίας του Πυθαγόρα και των Πυθαγορείων

Οι σύγχρονοί του όμως φαίνεται ότι θεωρούσαν τον Πυθαγόρα περισσότερο ως θρησκευτικό προφήτη και λιγότερο ως μαθηματικό Πρέπει να υπογραμμίσουμε πάντως ότι η διδασκαλία του διέφερε από διδασκαλίες άλλων στοχαστών της εποχής του κατά το ότι απέδιδε πολύ μεγάλη σημασία στα μαθηματικά λέγοντας ότι αυτά είναι η οδός για την απελευθέρωση της ψυχής Το πιο σημαντικό μέρος των μαθηματικών για τους Πυθαγορείους είναι η αριθμητική Διότι όπως έλεγε και ο Πυθαγόρας laquoΤά τῶν αριθμῶν στοιχεία τῶν ὂντων πάντωνεἴναιraquo (Αριστοτέλους Μετά τα φυσικάΑ5)

11

[Aristot Metaph A 5985 b 23]οἱ καλούμενοι Πυθαγόρειοι τῶν μαθημάτων ἁψάμενοι πρῶτοι ταῦτά τε προήγαγον καὶ ἐντραφέντες ἐν αὐτοῖς τὰς τούτων ἀρχὰς τῶν ὄντων ἀρχὰς ᾠήθησαν εἶναι πάντων ἐπεὶ δὲ τούτων οἱ ἀριθμοὶ φύσει πρῶτοι ἐν δὲ τούτοις ἐδόκουν θεωρεῖν ὁμοιώματα πολλὰ τοῖς οὖσι καὶ γιγνομένοις μᾶλλον ἢ ἐν πυρὶ καὶ γῇ καὶ ὕδατι ὅτι τὸ μὲν τοιονδὶ τῶν ἀριθμῶν πάθος δικαιοσύνη τὸ δὲ τοιονδὶ ψυχή τε καὶ νοῦς ἕτερον δὲ καιρὸς καὶ τῶν ἄλλων ὡς εἰπεῖν ἕκαστον ὁμοίως ἔτι δὲ τῶν ἁρμονιῶν ἐν ἀριθμοῖς ὁρῶντες τὰ πάθη καὶ τοὺς λόγους - ἐπεὶ δὴ τὰ μὲν ἄλλα τοῖς ἀριθμοῖς ἐφαίνετο τὴν φύσιν ἀφωμοιῶσθαι πᾶσαν οἱ δ ἀριθμοὶ πάσης τῆς φύσεως πρῶτοι τὰ τῶν ἀριθμῶν στοιχεῖα τῶν ὄντων στοιχεῖα πάντων ὑπέλαβον εἶναι καὶ τὸν ὅλον οὐρανὸν ἁρμονίαν εἶναι καὶ ἀριθμόν

bull Πυθαγόρειες τριάδες

Ο Πρόκλος αποδίδει στον ίδιο τον Πυθαγόρα την εύρεση των πυθαγορείων τριάδων της

μορφής

+ΝminusΝΝ2

12

122

όπου Ν περιττός αριθμός μεγαλύτερος του 1 Για

παράδειγμα αν πάρουμε ως Ν τον αριθμό 3 θα σχηματιστεί η τριάδα

+minus2

132

13322

δηλαδή η (3 4 5) η οποία είναι πράγματι Πυθαγόρεια τριάδα αφού ικανοποιεί τη σχέση 222 543 =+

Φαίνεται ότι αληθεύει η εκδοχή λόγω της παράδοσης κάποιες μαθηματικές γνώσεις να μεταδόθηκαν από την Αίγυπτο σε πολλούς αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς ανάμεσα τους τον Πυθαγόρα

12

bull Πυθαγόρειο θεώρημα

Σε αντιστοιχία με τον ορισμό των πυθαγορείων τριάδων ένα τρίγωνο λέγεται πυθαγόρειο όταν τα μήκη των πλευρών του αποτελούν Πυθαγόρεια τριάδα Προφανώς κάθε ορθογώνιο τρίγωνο είναι πυθαγόρειο ενώ το αντίστροφο γενικά δεν ισχύει Το ΠΘ αποτελεί χαρακτηριστικό παράδειγμα μελέτης των ιδιοτήτων των σχημάτων Ο Ευκλείδης στα laquoΣτοιχείαraquo μας λέει ουσιαστικά ότι η επιφάνεια που καταλαμβάνει το τετράγωνο που κατασκευάζεται με πλευρά την υποτείνουσα ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι ίση με την επιφάνια που καταλαμβάνουν μαζί τα τετράγωνα που κατασκευάζονται με πλευρά τις κάθετες πλευρές του τριγώνου

-Ορισμός Πυθαγορείου Θεωρήματος Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών Αντίστροφο Πυθαγορείου Θεωρήματος Αν σε ένα τρίγωνο το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο

Η απόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήματος που χρησιμοποιούμε συνήθως σήμερα στηρίζεται στην έννοια της ομοιότητας των τριγώνων και τις αλγεβρικές ιδιότητες των αναλογιών ενώ το θεώρημα διατυπώνεται στη μορφή μιας αλγεβρικής ισότητας για τετράγωνα των μήκων των πλευρών του ορθογώνιου τριγώνου Με τον τρόπο αυτό γίνεται ένα ευέλικτο υπολογιστικό εργαλείο με πολυάριθμες εφαρμογές και προεκτάσεις

Το πυθαγόρειο θεώρημα αποδεικνύεται με πάνω από έναν τρόπους

13

Απόδειξη με εμβαδά

Θεωρούμε ένα τετράγωνο πλευράς a + b και σχεδιάζουμε σε αυτό τέσσερα ορθογώνια τρίγωνα με πλευρές a και b και υποτείνουσα c έτσι ώστε στο κέντρο να έχουμε τετράγωνο πλευράς c (βλ σχήμα)

Υπολογίζουμε το εμβαδό του τετραγώνου προσθέτοντας το εμβαδό του μικρότερου τετραγώνου καθώς και τα εμβαδά των τεσσάρων τριγώνων

c2 + 2abΑφού πρόκειται για τετράγωνο πλευράς a + b το εμβαδό του ισούται επίσης με

a2 + b2 + 2abΕξισώνοντας τις δυο αυτές σχέσεις προκύπτει

a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab ή a2 + b2 = c2

Απόδειξη με ομοιότητα τριγώνων

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ορθή γωνία την Α Θεωρώ το ύψος της υποτείνουσας ότι την τέμνει στο σημείο Δ Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΒΑ είναι όμοια μεταξύ τους ως ορθογώνια τρίγωνα με ίδια τη γωνία Β Παρομοίως τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΓΑ είναι όμοια μεταξύ τους με ίδια τη γωνία Γ

Ισχύει ))(()AB()AB()(

)()AB( 2 ∆ ΒΒ Γ=rArr∆ Β=

Β Γ και (ΑΓ)2 = (ΒΓ)(ΔΓ)

Αν προσθέσουμε τις δυο αυτές εξισώσεις έχουμε(ΑΒ)2 + (ΑΓ)2 =

(ΒΓ)(ΔΒ) + (ΒΓ)(ΔΓ) = (ΒΓ)(ΔΒ + ΔΓ) = (ΒΓ)2

bull Η περίφημη κούπα του Πυθαγόρα

Ο Πυθαγόρας κατά την τοπική παράδοση της Σάμου είχε φτιάξει μια κούπα εφαρμόζοντας τους νόμους της Φυσικής για να πίνει με μέτρο το κρασί Εσωτερικά είχε μία γραμμή που όριζε ως που έπρεπε να γεμίσει κανείς Μια στάλα παραπάνω και η κούπα άδειαζε όλο το κρασί της από μία κρυφή οπή στη βάση Πως όμως γίνεται αυτό Στο κέντρο της κούπας βρίσκεται μια στήλη τοποθετημένη ακριβώς πάνω από έναν σωλήνα ο οποίος οδηγεί στο κάτω μέρος της Εκεί βρίσκεται η κρυφή οπή Ενώ γεμίζουμε την κούπα η στάθμη του κρασιού ανεβαίνει και στο εσωτερικό της κεντρικής στήλης ακολουθώντας το νόμο του Pascal για τα συγκοινωνούντα δοχεία

14

Όσο η στάθμη του κρασιού δεν ξεπερνά τη γραμμή που είναι χαραγμένη στο εσωτερικό της κούπας laquoδεν τρέχει τίποταraquo Εάν όμως την ξεπεράσει ταυτόχρονα φτάνει και στην κορυφή της εσωτερικής στήλης έτσι μέσω του σωλήνα το παραπανίσιο κρασί χύνεται κάτω από την κούπα Τότε η υδροστατική πίεση δημιουργεί ένα σιφόνι στον εσωτερικό σωλήνα το οποίο αδειάζει όλο το περιεχόμενο της κούπας από την οπή που υπάρχει

Ένα πλήθος επιπρόσθετων επιτευγμάτων όπως η κατασκευή και η μελέτη τριών τουλάχιστον από τα πέντε κανονικά πολύγωνα (κύβος τετράεδρο δωδεκάεδρο) και η κατασκευή της μουσικής κλίμακας (μελέτη των λόγων της τετράχορδης λύρας και δημιουργία κανόνα της οχτάχορδης λύρας) μας αποδεικνύει τη σημαντικότητα του Πυθαγόρα ως επιστήμονας της εποχής του Οι πληροφορίες για τη μελέτη των πολυέδρων δεν είναι αρκετές ωστόσο για τη μουσική κλίμακα γνωρίζουμε ότι βασίστηκε στις μελέτες του Πυθαγόρα ο οποίος μελετώντας τη μαθηματική σχέση της μουσικής κλίμακας και διατυπώνοντας σχετικούς κανόνες διευκόλυνε κατά πολύ την κατασκευή μουσικών οργάνων Κατάφερε να εκφράσει τη μουσική αρμονία με μαθηματικές σχέσεις μέσα από τη φιλοσοφική και επιστημονική του προσέγγιση Ξεκινώντας από μία χορδή και διαιρώντας διαδοχικά με το μήκος της και τον χρυσό αριθμό Φ κατάφερε να κατασκευάσει το μουσικό όργανο laquoΚανόναraquo εξέλιξη του οποίου συναντάται σήμερα στο γνωστό laquoκανονάκιraquo

Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΟΥ ΣΤΟ ΣΗΜΕΡΑ

Το αρχαιότερο παράδειγμα εφαρμογής του γνωστού σε όλους laquoπυθαγορείου θεωρήματοςraquo το συναντούμε στη πινακίδα ΒΜ 85196 που χρονολογείται από την περίοδο της πρώτης βαβυλωνιακής χιλιετίας πΧ Έχοντας γνώση λοιπόν του έργου του οι Βαβυλώνιοι οδηγηθήκαν σε αξιόλογα επιτεύγματα

Ο Πυθαγόρας υπήρξε μεγάλη προσωπικότητα με τις έρευνες και το Πανεπιστήμιό του συνέβαλε στο άλμα των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών Η περίεργη μυστικότητα όμως που διέπνεε το σύλλογο έγινε αιτία να μην πληροφορηθούν οι βιογράφοι επακριβώς όλα τα προσωπικά επιτεύγματα του ίδιου Έτσι σήμερα αγνοούμε εν μέρη το δικό του έργο το οποίο ασφαλώς θα ήταν σημαντικότατο

Όσο αναφορά το πυθαγόρειο σχήμα παρά τα αρκετά μειονεκτήματα έχει μερικά χαρακτηριστικά τα οποία μόνιμα επηρέαζαν την ελληνική αστρονομική σκέψη Έδινε βαρύτητα στις κυκλικές κινήσει των ουράνιων σωμάτων γύρω από ένα κεντρικό στοιχείο Τέλος στον Πυθαγόρα και τους Πυθαγορείους οφείλεται πλήθος γεωμετρικών εργασιών αφού αυτοί μελέτησαν με επιτυχία την επιστήμη της Γεωμετρίας

15

Πλάτων ο ΑθηναίοςΒιογραφικά στοιχεία

Έζησε στο διάστημα (427-347πΧ) Ήταν Aθηναίος φιλόσοφος αριστοκρατικής καταγωγής όπου ίδρυσε και διεύθυνε το διασημότερο πανεπιστήμιο στην αρχαία Ελλάδα την Ακαδημία για 40 περίπου χρόνια μέχρι το θάνατό του Πατέρας του ήταν ο Αρίστωνας ο οποίος καταγόταν από το γένος του βασιλιά Κόδρου και μητέρα του ήταν η Περικτιόνη η οποία ήταν αδερφή του Χαρμίδη ενός από τους Τριάκοντα τύραννους και ανιψιά του Κριτία επίσης μέλος των Τριάκοντα με καταγωγή από το γένος του νομοθέτη Σόλωνος Αδέρφια του ήταν οι Αδείμαντος και Γλαύκων Το πρώτο του όνομα ήταν Αριστοκλής αλλά αργότερα ονομάστηκε Πλάτωνας γιατί είχε ευρύ στέρνο και πλατύ μέτωπο

Σε ηλικία 18 ετών γνώρισε τον Σωκράτη και γοητεύτηκε από την προσωπικότητα και από την διδασκαλία του Από το συνολικό έργο του διασώζονται 36 έργα τα οποία εκτός από την Απολογία του Σωκράτη έχουν την μορφή διαλόγου σε όλα εκτός των Νόμων Την συζήτηση διεύθυνε ο Σωκράτης ενώ ο τίτλος του καθενός είναι το όνομα του σπουδαιότερου συνομιλητή ή αφηγητή Στα έργα αυτά γίνεται φανερή η τοποθέτηση του και ο άκρατος

θαυμασμός του προς τα μαθηματικά και ιδιαίτερα προς την γεωμετρία

Λίγες πληροφορίες για την Ακαδημία

Η Ακαδημία ήταν ένα προάστιο των Αθηνών Πήρε το όνομά της από τον ήρωα Ακάδημο Αναφορικά ο Ιππίας γιος του Πεισίστρατου έκτισε ένα κυκλικό τοίχο και ο Κίμωνας φύτεψε τη περιοχή με τα δέντρα η οποία καταστράφηκε από τον Σίλα το 86 πΧ Το 387

16

πΧ O Πλάτωνας ίδρυσε τη φιλοσοφική του σχολή η οποία έγινε πολύ διάσημη χάρη στους νεοπλατωνιστές και χρησιμοποιείτο έως το 526 μΧ οπότε και έκλεισε από τον αυτοκράτορα Ιουστινιανό Η Ακαδημία ήταν σχολή ανωτέρων μελετών και ταυτόχρονα και εκπαιδευτικό ίδρυμα Είχε ισχυρή καταστατική συγκρότηση και παρουσιάζεται περισσότερο υπό τη μορφή μιας αδελφότητας μιας φιλοσοφικής αίρεσης τα μέλη της οποίας αισθάνονται στενά συνδεδεμένα μεταξύ τους και διακρίνεται και από μια οικειότητα στις σχέσεις μεταξύ των μαθητών και των δασκάλων την οποία θα χαρακτηρίζαμε στοργική και φιλική συνάμα Υπάρχει μια διαφωνία σχετικά με το αν η Ακαδημία ήταν ένωση για τη πρόοδο των επιστημών ή ίδρυμα ανώτατης μόρφωσης Η διαφωνία αυτή είναι κάπως άσκοπη δεδομένου το ότι ο άκρατος ρεαλισμός της σχολής αλλά και ο απλός χαρακτήρας της αρχαϊκής εκείνης εποχής δεν επιτρέπουν στο να μεταθέσουμε σε εκείνο το περιβάλλον τη σύγχρονη αντίληψη που έχουμε για την επιστήμη Η Ακαδημία άλλωστε ήταν σχολή ανώτερων μελετών αλλά και εκπαιδευτικό ίδρυμα ταυτόχρονα Τέλος ο Πλάτωνας δεν ονειρεύτηκε μόνο τη ldquoμετά επιστήμηςrdquo παιδεία αλλά και τη μετέδωσε για σαράντα χρόνια στους μαθητές του στην Ακαδημία

Η Ακαδημία ήταν ο τόπος στον οποίο ο Πλάτωνας προσπαθούσε να δείξει τον δρόμο σε προικισμένους μαθητές ώσπου να αναπηδήσει ο σπινθήρας και να αποκαλυφθεί η έσχατη γνώση Ξέρουμε τόσα λίγα για την καθημερινή διδασκαλία στην ακαδημία την εποχή του Πλάτωνα ώστε πότε-πότε θέλησαν να αρνηθούν τον επιστημονικό χαρακτήρα της Τέτοιοι σκεπτικισμοί δεν στηρίζονται πουθενά Την μεγάλη σημασία των μαθηματικών σαν προπαίδεια για την διαλεκτική η οποία στηριζόταν σε αυτά την δείχνουν μερικές προσωπικότητες του Πλατωνικού κύκλου και χωρίς αμφιβολία υπάρχει ουσιαστική αλήθεια στο ανέκδοτο που λένε ότι βρισκόταν πάνω από την είσοδο της Ακαδημίας laquoἁγεωμέτρητος μηδείς εἰσίτωraquo Ξέρουμε ακόμα ότι η διαιρετική μέθοδος για την οποία μιλήσαμε στους οψιμότερους διαλόγους έπαιξε σημαντικό ρόλο στον αγώνα για ένα λογικά ταχτοποιημένο κοσμοείδωλο και στην απόκτηση ορισμών με την διαίρεση των γενικότερων εννοιών

Η συμβολή του Πλάτωνα και της Ακαδημίας στα μαθηματικά

Η συμβολή της Ακαδημίας στα μαθηματικά του 4ου αιώνα πΧ είναι σημαντικότατη ιδιαίτερα με τα έργα των καθηγητών της Θεαίτητου Μεναίχμου και Ενδόξου Η συμβολή όμως του Πλάτωνα είναι αμφιλεγόμενη αν και πιστεύεται ότι

-Έλυσε το Δήλιο πρόβλημα (διπλασιασμό του κύβου) με κινητική γεωμετρία και κάποιο όργανο με την βοήθεια του οποίου προέκυπτε η λύση

-Έδωσε γενική μορφή στην αναλυτική μέθοδο και συνέβαλε στην έρευνα των γεωμετρικών τύπων

-Προσδιόρισε ένα πλήθος των πυθαγορείων τριάδων δηλαδή των τριαδικών ακέραιων αριθμών που επαληθεύουν την ισότητα x2+y2=ω2 του Πυθαγορείου θεωρήματος

Για τα πολυσυζητημένα αστρονομικά ζητήματα της εποχής του (κίνηση του ουρανού θέση σχήμα και κίνηση της Γης) παρουσιάζει ξένες και θολά διατυπωμένες απόψεις γεγονός που

17

φανερώνει ότι δεν διέθετε προσωπική άποψη για το θέμα και γενικά ότι δεν ήταν μαθηματικός

Έγραψε μεταξύ άλλων την απολογία του Σωκράτη η οποία θεωρείται ως μια σχετικά ακριβής καταγραφή της απολογίας του Σωκράτη στην δίκη που τον καταδίκασε σε θάνατο Μετά τη θανάτωση του Σωκράτη για λίγο καιρό κατέφυγε στα Μέγαρα κοντά στον συμμαθητή του Ευκλείδη Ύστερα γύρισε στην Αθήνα όπου για 10 χρόνια ασχολήθηκε με τη συγγραφή φιλοσοφικών έργων τα οποία φέρουν τη σφραγίδα της σωκρατικής φιλοσοφίας Στη συνέχεια ταξίδεψε στην Αίγυπτο και στην Κυρήνη όπου σχετίστηκε με τον μαθηματικό Θεόδωρο και τέλος στον Τάραντα της Ιταλίας όπου γνώρισε τους πυθαγόρειους από τη φιλοσοφική σκέψη των οποίων επηρεάστηκε αποφασιστικά Μετά πέρασε στη Σικελία Στην αυλή του βασιλιά των Συρακουσών Διονυσίου Α΄ γνώρισε τον βασιλικό γυναικάδελφο Δίωνα με τον οποίον συνδέθηκε φιλικά Η φιλία όμως αυτή προκάλεσε τις υποψίες του Διονυσίου για συνωμοσία γι αυτό έδιωξε τον Πλάτωνα από τη Σικελία Στην Αίγινα κινδύνεψε να πουληθεί ως δούλος αλλά τον εξαγόρασε ο Κυρηναίος φίλος του Αννίκερης Επιστρέφοντας στην Αθήνα άνοιξε τη φιλοσοφική σχολή του την Ακαδημία (387 πΧ) Η προσπάθεια όμως των δύο φίλων να προσηλυτίσουν στις ιδέες τους τον νέο ηγεμόνα Διονύσιο τον Πρεσβύτερο απέτυχαν Για τρίτη φορά ήρθε στην αυλή των Συρακουσών το 361 πΧ με σκοπό να συμφιλιώσει τον Δίωνα με τον Διονύσιο Αυτή τη φορά κινδύνεψε και η ζωή του Τον έσωσε η επέμβαση του πυθαγόρειου Αρχύτα Αλλά ο Δίωνας δεν γλίτωσε Δολοφονήθηκε το 353 πΧ Έτσι ο Πλάτωνας έχασε τον άνθρωπο στον οποίο στήριξε τις ελπίδες του για την επιβολή των πολιτικών του ιδεών Από τότε και μέχρι τον θάνατό του ασχολήθηκε με τη διδασκαλία και με τη συγγραφή φιλοσοφικών έργων Επίσης έγραψε το συμπόσιο που μιλάει για την φύση του έρωτα στον Πρωταγόρα Μεταξύ άλλων θεμελιώνεται θεωρητικά η αρχή της πρόληψης που δεν λαμβάνει την τιμή ως απολύτως ανταποδοτική στον Παρμενίδη και Θεαίτητο θεμελιώνει την αντικειμενικότητα του λόγου και της ιδέας ενώ σε 2 μακρούς διαλόγους την Πολιτεία και τους Νόμους περιέγραψε την ιδανική πολιτεία

Η κύρια συμβολή του στα μαθηματικά βρίσκεται κυρίως στο ότι προέτρεπεe τους μαθηματικούς να ερευνούν καθολικές μαθηματικές αλήθειες και γενικά να καλλιεργούν τα μαθηματικά τα οποία θεωρούσε ότι διαθέτουν τεράστια εκπαιδευτική αξία Η προτροπή αυτή φαίνεται εκτός των άλλων και στις απόψεις του ότι τα μαθηματικά είναι lsquorsquoδόσις θεῶν εἰς ἀνθρώπουςrsquorsquo και ότι οδηγούν έντονα την ψυχή προς το θείο

Οι επιδράσεις του Πλάτωνος στους έπειτα αιώνες

Ο Γάλλος ιστορικός της φιλοσοφίας Ζακ Σεβαλιέ τονίζει στο έργο του laquoΙστορία της σκέψηςraquo (1955) την κυρίαρχη παρουσία ή έστω ανταύγεια της πλατωνικής φιλοσοφίας σε ολόκληρο το Μεσαίωνα και στην Αναγέννηση και στους Νεότερους χρόνους ενώ ο Γερμανός φιλόσοφος Καρλ Γιάσπερς προβάλλει τον Πλάτωνα ως το τον πρώτο από τους τρεις θεμελιωτές του φιλοσοφείν Η ιστορία της φιλοσοφίας μέχρι τον Κικέρωνα είναι σαφώς επηρεασμένη από αυτόν και είτε αμφισβητεί είτε ακολουθεί τη διδασκαλία του Ο μαθητής του Αριστοτέλης εξ ίσου επιδραστικός με τον ίδιο οδηγήθηκε στην ανάπτυξη τμήματος του έργου του ως απάντηση στον πλατωνισμό Η σχολή την οποία ο Πλάτωνας

18

ίδρυσε το 387 πΧ η Ακαδημία συνέχισε να ακμάζει ως τις αρχές του πρώτου αιώνα π Χ έχοντας όμως μετατραπεί σε σκεπτική σχολή μετά τις αρχές της ελληνιστικής περιόδου

Κατά την εποχή του Αυγούστου υπήρξε αναβίωση της πλατωνικής φιλοσοφίας ο μεσοπλατωνισμός με εκπροσώπους όπως ο Φίλων ο Αλεξανδρεύς ενώ κατά τα τέλη του δεύτερου αιώνα ο μεσοπλατωνισμός άρχεσαι να μετατρέπεται σταδιακά υπό την επίδραση του νεοπυθαγορισμού και του ερμητισμού στην κατεχόμενη από τους Ρωμαίους Αίγυπτο στο κίνημα του νεοπλατωνισμού με αρχικούς εκπροσώπους όπως ο Πλωτίνος το οποίο είχε ιδεαλιστικό μυστικιστικό και σωτηριολογικό χαρακτήρα Η Ακαδημία στην Αθήνα επανιδρύθηκε ως κέντρο νεοπλατωνικών μελετών κατά τον τέταρτο αιώνα

Την ίδια εποχή περίοδο έντονων θρησκευτικών ζυμώσεων στη Ρωμαϊκή Αυτοκρατορία και σταδιακής επικράτησης του χριστιανισμού στη Μεσόγειο οι ακόλουθοι της αστικής ελληνορωμαϊκής θρησκείας αλλά και των ελληνικών μυστηριακών λατρειών συσπειρώθηκαν γύρω από τον νεοπλατωνισμό ως υπερασπιστή του μέχρι πρότινος επικρατούντος παγανισμού Μεμονωμένοι νεοπλατωνικοί και παγανιστικοί πυρήνες επέζησαν ως τον έκτο αιώνα οπότε και ο Αυτοκράτορας Ιουστινιανός έκλεισε με διάταγμα την Ακαδημία της Αθήνας Μετά περίπου εννέα αιώνες το έτος 1439 ο Γεώργιος Γεμιστός Πλήθων γράφει στη Φλωρεντία το πολύκροτο έργο του Περί ὧν Αριστοτέλης προς Πλάτωνα που αποτέλεσε το έναυσμα της διαμάχης πλατωνικών και αριστοτελικών στο Βυζάντιο και στην Ιταλία Ο πλατωνισμός επιβίωσε υπογείως καθ όλον τον Μεσαίωνα κρυμμένος σε μυστηριακά ρεύματα έως ότου οι πρωτότυπες ιδέες του ανακαλύφθηκαν ξανά και σχολιάστηκαν κατά την Αναγέννηση Έτσι ούτε η νεότερη φιλοσοφική σκέψη έμεινε ανεπηρέαστη από αυτόν Τα διάφορα φιλοσοφικά συστήματα ή προσπαθούν να ανατρέψουν τις ιδέες του ή οικοδομούνται πάνω σ αυτές εκσυγχρονίζοντάς τες

Τα έργα του είναι

Αλκιβιάδης Α η Περί Ανθρώπου Φύσεως μαιευτικός

Αλκιβιάδης Β ή Περί Προσευχής μαιευτικός

Απολογία Σωκράτους ηθικός

Γοργίας ή Περί Ρητορικής ανατρεπτικός

Επινομίς ή Νυκτερινος Σύλλογος πολιτικός

Επιστολαί ηθικαί

Ερασταί ή Περί Φιλοσοφίας ηθικός

Ευθύδημος ή Εριστικός ανατρεπτικός

Ευθύφρων ή Περί του Οσίου

Θεάγης ή Περί Φιλοσοφίας μαιευτικός

Θεαίτητος ή Περί Επιστήμης πειραστικός

19

Ιππαρχος ή Φιλοκερδής ηθικός

Ιππίας ελάσσων ή Περί του Ψεύδους ανατρεπτικός

Ιππίας μείζων ή Περί του Καλού ανατρεπτικός

Ίων ή Περί Ιλιάδος πειραστικός

Κλειτοφών ή Προτρεπτικός ηθικός

Κρατύλος ή Περί Ονομάτων Ορθότητος λογικός

Κριτίας ή Ατλαντικός ηθικός

Κρίτων ή Περί του Πρακτέου ηθικός

Λάχης ή Περί Ανδρείας ηθικός

Λύσις ή Περί Φιλίας μαιευτικός

Μενέξενος ή Επιτάφιος ηθικός

Μένων ή Περί Αρετής πειραστικός

Μίνως ή Περί Νόμου πολιτικός

Νόμοι ή Περί Νομοθεσίας πολιτικός

Παρμενίδης ή Περί Ιδεών λογικός

Πολιτεία ή Περί Δικαίου πολιτικός

Πολιτικός ή Περί της Βασιλείας λογικός

Πρωταγόρας ή Σοφισταί επιδεικτικός

Σοφιστής ή Περί του Όντος λογικός

Συμπόσιον ή Περί Αγαθού ηθικός

Τίμαιος ή Περί Φύσεως φυσικός

Φαίδρος ή Περί Έρωτος ηθικός

Φαίδων ή Περί Ψυχής ηθικός

Φίληβος ή Περί Ηδονής ηθικός

Χαρμίδης ή Περί Σωφροσύνης πειραστικός

20

21

ΕυκλείδηςΒΙΟΓΡΑΦΙΑ

Υπολογίζεται ότι έζησε το βrsquo μισό του 4ου έως τις αρχές του 3ου πΧ αιώνα πιο συγκεκριμένα περίπου το 325 πΧ έως το 265 πΧ Κορυφαίος μαθηματικός της αρχαιότητας που επηρέασε με το έργο του σε ανυπέρβλητο βαθμό τον επιστημονικό τρόπο σκέψης σε όλο τον κόσμο Για τη ζωή του δεν υπάρχουν επιβεβαιωμένες πληροφορίες Πιθανώς εκπαιδεύτηκε στην Αθήνα στην Ακαδημία του Πλάτωνα και δίδαξε στην Αλεξάνδρεια Ξέρουμε ότι ήταν μεγαλύτερος στην ηλικία από τον Αρχιμήδη πράγμα που σημαίνει ότι η χρονολόγηση της ακμής του laquoγύρω στο 300 πΧraquo δεν πρέπει να απέχει πολύ από την αλήθεια Ο Πρόκλος επίσης τον χαρακτηρίζει σύγχρονο του βασιλιά Πτολεμαίου Αrsquo στον

οποίο είχε το θάρρος να του πει κατά πρόσωπο πως δεν υπάρχει βασιλική οδός προς τη γεωμετρία Ο Πάππος τον επαινεί για την ηθική του ακεραιότητα τη μετριοφροσύνη και την ευμενή στάση του προς όσους είναι ικανοί να προαγάγουν τη μαθηματική γνώση Ο Στοβαίος διηγείται το ακόλουθο ενδιαφέρον περιστατικό Ένας νέος επισκέφθηκε κάποτε τον Ευκλείδη και τον παρακάλεσε να τον διδάξει γεωμετρία Μόλις έμαθε το πρώτο θεώρημα ρώτησε τον Ευκλείδη laquoΚαι τώρα τι θα κερδίσω με το θεώρημα αυτόraquo Ο Ευκλείδης τότε γύρισε προς τον υπηρέτη του και του είπε laquoΔώσrsquo του τρεις δεκάρες ώστε να κερδίσει κάτι από το θεώρημα το οποίο έμαθεraquo Αυτά είναι όλα όσα γνωρίζουμε για τον Ευκλείδη ως άνθρωπο Πολύ μεγαλύτερη σημασία όμως έχει το έργο του το οποίο ακόμα και σήμερα μαρτυρεί τα απαράμιλλα χαρίσματά του ως δασκάλου

ΕΡΓΟ

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη

Μετά το θάνατο του Μεγάλου Αλεξάνδρου στα 323 πΧ η αχανής μακεδονική αυτοκρατορία διαιρέθηκε σε τρεις περιοχές Η περιοχή πού περιλάμβανε την Αίγυπτο περιήλθε κάτω από την άξια ηγεμονία του ικανού στρατηγού του Αλεξάνδρου Πτολεμαίου του Σωτήρος ο οποίος σύντομα κέρδισε τη βασιλεία της περιοχής Ο Πτολεμαίος επέλεξε για πρωτεύουσα της περιοχής του την Αλεξάνδρεια λίγα μόνο μίλια από τις εκβολές του ποταμού Νείλου και γύρω στα 300 πΧ άνοιξε τις πόρτες του περίφημου πανεπιστημίου της Αλεξάνδρειας Ανάμεσα στους μελετητές που κλήθηκαν να επανδρώσουν το νέο ίδρυμα ήταν και ο μαθηματικός Ευκλείδης που πιθανότατα υπήρξε μαθητής της Ακαδημίας του Πλάτωνα στην Αθήνα

22

Ο Ευκλείδης από τη στιγμή που ανέλαβε τα καθήκοντά του στην Αλεξάνδρεια όρισε ανάμεσα στους στόχους του τη συγκρότηση του μνημειώδους και ιστορικά σημαντικού έργου του των Στοιχείων Αυτή η αξιόλογη και εκτεταμένη εργασία γραμμένη σε δεκατρία βιβλία ή μέρη αποτελεί την αρχαιότερη εφαρμογή της αξιωματικής μεθόδου που έχει φτάσει στα χέρια μας Θεωρείται ο πρώτος μεγάλος σταθμός στην ιστορία της οργάνωσης των μαθηματικών και η μετέπειτα επίδραση της στον επιστημονικό τρόπο γραφής πολύ δύσκολα μπορεί να περιγραφεί

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη διεκδικούν αναμφισβήτητα μια θέση ανάμεσα στις μεγάλες στιγμές των μαθηματικών Η εργασία αυτή εκτόπισε τόσο γρήγορα και ολοκληρωτικά όλες τις προηγούμενες εργασίες ανάλογου περιεχομένου που σήμερα δεν υπάρχουν αντίγραφα προηγουμένων προσπαθειών και απλά γνωρίζουμε την ύπαρξη τους από σχόλια μεταγενέστερων συγγραφέων Τα Στοιχεία του Ευκλείδη από την πρώτη εμφάνιση τους κέρδισαν τεράστια εκτίμηση Με μοναδική εξαίρεση τη Βίβλο καμιά άλλη εργασία δεν χρησιμοποιήθηκε μελετήθηκε ή εκδόθηκε τόσο πολύ Για πάνω από δύο χιλιετίες κυριάρχησε στο χώρο διδασκαλίας της γεωμετρίας Από την πρώτη έκδοση της στα 1472 έχει γνωρίσει πάνω από χίλιες εκδόσεις Το περιεχόμενο και η μορφή της επέδρασαν εντυπωσιακά στην ανάπτυξη του αντικειμένου της και της λογικής θεμελίωσης των μαθηματικών

Ο Πρόκλος ένας κατοπινός σχολιαστής των μαθηματικών που έζησε στον 5ο αιώνα έχει δώσει μια εξήγηση της έννοιας του όρου laquoστοιχείαraquo Τα στοιχεία μιας αποδεικτικής μελέτης είναι τα πιο σημαντικά θεωρήματα ή τα θεωρήματα κλειδιά που χρησιμοποιούνται συχνά και πλατιά στο αντικείμενο της μελέτης Είναι τα θεωρήματα που χρειάζονται για την απόδειξη όλων ή των περισσότερων από τα άλλα θεωρήματα Η λειτουργία τους συγκρίνεται με αυτή των γραμμάτων του αλφαβήτου σε σχέση με τη γλώσσα Τα γράμματα στα ελληνικά ονομάζονται και στοιχεία Η επιλογή των προτάσεων που θα λειτουργήσουν ως στοιχεία κάποιου θέματος μελέτης απαιτεί μεγάλη ικανότητα και κρίση από το συγγραφέα

Δεν υποτιμά καθόλου την αίγλη του έργου του Ευκλείδη το γεγονός ότι είχαν προηγηθεί ανάλογες προσπάθειες Σύμφωνα με τον Πρόκλο η πρώτη προσπάθεια να γραφτούν Στοιχεία έγινε από τον Ιπποκράτη το Χίο στα μέσα του πέμπτου πΧ αιώνα Η επόμενη προσπάθεια ήταν του Λέοντα που χρονολογικά τοποθετείται κάπου ανάμεσα στον Πλάτωνα και τον Εύδοξο Όπως μαθαίνουμε η εργασία του Λέοντα περιείχε μια μεγαλύτερη και πιο χρήσιμη επιλογή προτάσεων από τον Ιπποκράτη Το βιβλίο που χρησιμοποιούνταν στην Ακαδημία του Πλάτωνα είχε επιμεληθεί ο Θεύδιος από τη Μαγνησία και θεωρούνταν μια θαυμάσια συλλογή στοιχείων Η εργασία του Θεύδιου ήταν ασφαλώς ο άμεσος πρόδρομος της εργασίας του Ευκλείδη ο οποίος την είχε χωρίς αμφιβολία στη διάθεση του ειδικά αν όπως πιστεύουν σπούδασε στην Ακαδημία του Πλάτωνα

Ο Ευκλείδης γνώριζε επίσης την εργασία του Θεαίτητου και του Εύδοξου Δεν είναι καθόλου υποτιμητικό ότι η εργασία του Ευκλείδη αποτελεί σε μεγάλο βαθμό συγκέντρωση και επιμέλεια των εργασιών των προγενεστέρων του αφού η ουσιαστική αξία των Στοιχείων βρίσκεται ακριβώς στην τέλεια επιδεξιότητα με την οποία επιλέχτηκαν και τοποθετήθηκαν

23

σε λογική σειρά οι προτάσεις ξεκινώντας από μια μικρή ομάδα αρχικών υποθέσεων Ούτε είναι υποτιμητικό το γεγονός ότι η εξονυχιστική μελέτη των σύγχρονων κριτικών έχουν αποκαλύψει ορισμένα μειονεκτήματα στη δομή της εργασίας του Ευκλείδη Δε θα μπορούσε κανείς να περιμένει μια τέτοια αρχική και κολοσσιαία προσπάθεια με την αξιωματική μέθοδο να μην παρουσιάζει καμία ατέλεια

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη έχουν γραφεί γύρω στο 300 πΧ αλλά το αυθεντικό χειρόγραφο κείμενο του Ευκλείδη δεν διασώζεται Αντίθετα σώζονται δεκάδες αντίγραφα που σε τελική ανάλυση κατάγονται από αυτό Το αρχαιότερο πλήρες αντίγραφο περιέχεται σε έναν χειρόγραφο περγαμηνό κώδικα που φυλάσσεται σήμερα στη Βιβλιοθήκη της Οξφόρδης και χρονολογείται από του έτους 888 ενώ μικρά αποσπάσματα του έργου διασώζονται σε παπύρους προγενέστερης εποχής καθώς και σε ένα παλίμψητο χειρόγραφο του 7ου ή του 8ου

μΧ αι που φυλάσσεται στο Βρετανικό Μουσείο Βλέπουμε λοιπόν ότι το αρχαιότερο χειρόγραφο που περιέχει το πλήρες κείμενο των Στοιχείων του Ευκλείδη χρονολογείται από τα τέλη του 9ου μΧ αι και επομένως απέχει από την εποχή μας όσο απέχει από την εποχή που ο ίδιος ο Ευκλείδης έγραψε το έργο

Όλες οι σύγχρονες εκδόσεις στηρίζονται σε μια επανέκδοση που έκανε ο Θεωνάς από την Αλεξάνδρεια ένας Έλληνας σχολιαστής που έζησε εφτακόσια περίπου χρόνια μετά τον Ευκλείδη Μόνο στις αρχές του 19ου αιώνα ανακαλύφθηκε ένα παλιότερο αντίγραφο Στα 1808 όταν ο Ναπολέοντας διέταξε να μεταφερθούν όλα τα αξιόλογα χειρόγραφα από τις ιταλικές βιβλιοθήκες στο Παρίσι ο Φ Πέιραρντ (F Peyrard) ανακάλυψε στη βιβλιοθήκη του Βατικανού ένα αντίγραφο των Στοιχείων από έκδοση προγενέστερη από του Θεωνά Η μελέτη όμως αυτής της παλιότερης έκδοσης αποκάλυψε δευτερεύουσες μόνο διαφορές από τον Θεωνά

Οι πρώτες πλήρεις μεταφράσεις των Στοιχείων στα λατινικά δεν έγιναν από τα ελληνικά αλλά από τα αραβικά Τον 8ο αιώνα οι Άραβες μετέφρασαν έναν αριθμό βυζαντινών χειρογράφων με ελληνικές εργασίες και στα 1120 ο Άγγλος μελετητής Άντελαρντ (Adelard) από το Μπαθ μετέφρασε τα Στοιχεία στα λατινικά χρησιμοποιώντας μια απ αυτές τις παλιότερες αραβικές μεταφράσεις Άλλες λατινικές μεταφράσεις από τα αραβικά έκαναν ο Γκεράρντο από την Κρεμώνα (Gherardo 1114-1187) και 150 χρόνια μετά τον Άντελαρντ ο Γιοχάννες Καμπάνους (Johannes Campanus) Η πρώτη τυπωμένη έκδοση των Στοιχείων έγινε στη Βενετία στα 1482 η έκδοση αυτή ήταν η μετάφραση του Καμπάνους Αυτό το πολύ σπάνιο βιβλίο ήταν θαυμάσια τυπωμένο και ήταν το πρώτο αξιόλογο μαθηματικό βιβλίο που τυπώθηκε Μια σημαντική λατινική μετάφραση από τα ελληνικά έγινε από τον Κομμαντίνο (Commandino) στα 1572 Αυτή η μετάφραση χρησιμοποιήθηκε ως βάση για πολλές άλλες μεταφράσεις που ακολούθησαν ανάμεσα σ αυτές και η εργασία του Ρόμπερτ Σίμσον (Robert Simson) που άσκησε σημαντική επιρροή και αποτέλεσε με τη σειρά της τη βάση για πάρα πολλές αγγλικές εκδόσεις

24

Αναλυτική περιγραφή των laquo στοιχείων raquo

Ειδικότερα το πρώτο βιβλίο αναφέρεται σε τεμνόμενες και παράλληλες ευθείες στην ισότητα ευθύγραμμων σχημάτων και στο τέλος το πυθαγόρειο θεώρημα Στο 2ο βιβλίο αναφέρονται συνέπειες από το πυθαγόρειο θεώρημα και γίνονται μετασχηματισμοί ευθύγραμμων σχημάτων σε ισοδύναμα τετράγωνα Εδώ περιέχεται και το πρόβλημα

της laquoχρυσής τομήςraquo Πολλές από τις προτάσεις αυτού μπορούν με σύγχρονους συμβολισμούς να πάρουν μορφή αλγεβρική γιrsquo αυτό έχει επικρατήσει να λέγεται για το 2ο βιβλίο ότι εισάγει τη laquoγεωμετρική άλγεβραraquo Στο 3ο βιβλίο εξετάζεται ο κύκλος και στο τέταρτο βιβλίο λύνονται προβλήματα σχετικά με τα εγγεγραμμένα στον κύκλο κανονικά πολύγωνα Στο 5ο βιβλίο σπουδάζεται η laquoθεωρία των λόγωνraquo του Ευδόξου Πρόκειται ουσιαστικά για τη θεωρία των πραγματικών αριθμών δοσμένη όμως σε μορφή γεωμετρική Το 6ο βιβλίο ασχολείται με την ομοιότητα επίπεδων σχημάτων και σrsquo αυτά αποδεικνύεται ότι από όλα τα ορθογώνια με δοσμένη περίμετρο το τετράγωνο έχει το μέγιστο εμβαδόν Στα βιβλία 7ο-9ο που αφορούν στην αριθμοθεωρία είναι εκπληκτικό πώς με παντελή μπορεί να πει κανείς έλλειψη συμβολισμών (αριθμοί δεν αναγράφονται) κατορθώνεται μια ακροβασία στην αλληλουχία των συλλογισμών που καταλήγει σε πολύ ενδιαφέροντα αριθμητικά αποτελέσματα Ειδικότερα στο 7ο βιβλίο μελετιούνται οι άρτιοι και οι περιττοί αριθμοί οι πρώτοι και οι σύνθετοι καθώς και οι τέλειοι εξετάζονται διάφορα προβλήματα διαιρετότητας ορίζεται το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο αριθμών (ΕΚΠ) καθώς και ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης τους και δίνεται η μέθοδος προσδιορισμού του που ονομάστηκε laquoΕυκλείδειος Αλγόριθμοςraquo Στα δύο επόμενα βιβλία εξακολουθεί η σπουδή αριθμοθεωρητικών θεμάτων στο 8ο εισάγονται επίσης και μελετιούνται οι γεωμετρικές πρόοδοι και στο 9ο έχουν συμπεριληφθεί τρεις σημαντικότατες προτάσεις Πρόκειται για α) το αποκαλούμενο laquoθεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικήςraquo β) την απόφανση ότι υπάρχουν απειράριθμοι πρώτοι και γ) την πρόταση που οδηγεί σε ένα γενικό τύπο που παρέχει άρτιους τέλειους αριθμούς Στο 10ο βιβλίο που αποτελεί ένα από τα ωραιότερα μέρη των Στοιχείων γίνεται μια ταξινόμηση των τετραγωνικών άρρητων και των τετραγωνικών ριζών τους και κατασκευάζεται ένα σύνολο ασύμμετρων μεγεθών το οποίο μαζί με το σύνολο των ρητών συναποτελεί επέκταση αυτού του τελευταίου τέτοια ώστε κάθε στοιχείο της να είναι κατασκευασμένο με κανόνα και διαβήτη Τέλος τα βιβλία της στερεομετρίας το 11ο βιβλίο ασχολείται με θεμελιώδεις σχέσεις μεταξύ ευθειών και επιπέδων καθώς και με τις στερεές γωνίες στο 12ο αναφέρεται σε επιφάνειες και όγκους στερεών και στο 13ο γίνεται η μελέτη της σφαίρας σε συσχετισμό με τα εγγεγραμμένα σε αυτήν κανονικά πολύεδρα

25

Άλλα έργα

bull Δεδομένα (94 θεωρήματα) έργο ανώτερης γεωμετρίας Στο έργο αυτό περιέχονται προτάσεις σε σχήματα στα οποία δίνονται ορισμένα στοιχεία τους κατά σχήμα θέση ή μέγεθος

bull Περί διαιρέσεων (36 προτάσεις) με περιεχόμενό του τη διαίρεση σχημάτων με δοσμένη σχέση

bull Πορίσματα (3 βιβλία που χάθηκαν) σώθηκαν ορισμένα αποσπάσματα που το 1860 έγινε απόπειρα ανασύνθεσής τους από τον Πάππο

bull Οπτικά-κατοπτρικά αντίστοιχα γεωμετρική οπτική ανάκλαση του φωτός πάνω σε επίπεδο κάτοπτρο

bull Φαινόμενα εγχειρίδιο κοσμογραφίας απλές προτάσεις για τη σφαίρα

bull Κατατομή κανόνος στοιχεία πυθαγόρεια θεωρία μουσικής

bull Ψευδάρεια laquoπαράδοξαraquo με στόχο να ασκηθούν οι σπουδαστές στην ανεύρεση λογικών σφαλμάτων κατά τις αποδείξεις

bull Κωνικαί τομαί Μηχανικά δεν γνωρίζουμε τίποτα γιrsquo αυτά τα έργα

Αιτήματα του Ευκλείδη

Τα αιτήματα είναι αρχικές προτάσεις οι οποίες προσιδιάζουν στη συγκεκριμένη κάθε φορά επιστήμη στην προκειμένη περίπτωση στη Γεωμετρία Ο Ευκλείδης διατυπώνει 5 αιτήματα

1 Ζητείται να γίνει δεκτό ότι από οποιοδήποτε σημείο σε οποιοδήποτε σημείο άγεται ευθεία γραμμή

2 Και (ότι) πεπερασμένη ευθεία προεκτείνεται σε ευθεία κατά συνεχή τρόπο

3 Και (ότι) με οποιοδήποτε κέντρο και διάστημα γράφεται κύκλος

4 Και (ότι) όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους

5 Και αν η ευθεία η οποία τέμνει δύο ευθείες σχηματίζει δύο εντός και επί τrsquo αυτά μέρη γωνίες μικρότερες των δύο ορθών τότε οι δύο ευθείες προεκτεινόμενες επrsquo απείρου συναντώνται προς εκείνα τα μέρη τους όπου βρίσκονται μικρότερες των δύο ορθών

Ακολουθούν τα laquoαιτήματαraquo διατυπωμένα σε αρχαίο κείμενο όπως αυτά βρίσκονται στο Βιβλίο Ι

26

Ο ρόλος των τριών πρώτων από τα αιτήματα αυτά είναι να εξασφαλίσουν τη νομιμότητα των κατασκευών της ευθείας και του κύκλου και κατά συνέπεια εκείνων και μόνο των γραμμών και των γεωμετρικών σχημάτων που κατασκευάζονται με πεπερασμένο αριθμό βημάτων από τα δύο αυτά βασικά σχήματα Στα Στοιχεία επομένως δεν έχουν θέση καμπύλες όπως είναι οι κωνικές τομές τη τετραγωνίζουσα κλπ ή κατασκευές όπως κατασκευές νεύσεως Η φύση των δύο τελευταίων αιτημάτων είναι διαφορετική Αποσκοπούν να δηλώσουν ότι κάποια γεωμετρικά σχήματα έχουν ορισμένες ειδικές ιδιότητες

Πολλοί ιστορικοί των μαθηματικών έχουν ασχοληθεί κατά το παρελθόν με το ερώτημα εάν τα αξιώματα του Ευκλείδη ικανοποιούν τις σύγχρονες απαιτήσεις (πληρότητα συνέπεια ανεξαρτησία) ενός αξιωματικού συστήματος Από την προσεκτική μελέτη των αποδείξεων κι των κατασκευών που περιέχονται στα Στοιχεία προκύπτει ότι ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί μερικές φορές απόρρητες παραδοχές οι οποίες δεν περιλαμβάνονται στα αξιώματα Επομένως το σύστημα των αξιωμάτων του δεν ικανοποιεί την απαίτηση της πληρότητας

Μεγάλο ιστορικό ενδιαφέρον εξάλλου έχει το ερώτημα της ανεξαρτησίας των αιτημάτων του Ευκλείδη ιδιαίτερα σε ότι αφορά το πέμπτο από αυτά Το αίτημα αυτό αναφέρεται συχνά και ως laquoαίτημα των παραλλήλωνraquo γιατί μια ισοδύναμη διατύπωσή του είναι η εξής από ένα σημείο εκτός ευθείας άγεται μια μόνο παράλληλη προς τη ευθεία Πολλοί μαθηματικοί από την αρχαιότητα έως τα μέσα του 18ου αιώνα προσπάθησαν να εξαγάγουν το αίτημα αυτό από τα άλλα αιτήματα όλες οι προσπάθειες όμως απέβησαν άκαρπες Από τα τέλη του 18ου αιώνα η προσδοκώμενη εξάρτηση του αιτήματος επιχειρήθηκε να αποδειχτεί με έμμεσο τρόπο Η σκέψη ήταν η εξής αν το αίτημα των παραλλήλων μπορεί να εξαχθεί από τα άλλα τέσσερα αιτήματα μαζί με την άρνηση του πέμπτου θα πρέπει να οδηγούν σε αντίφαση Το νέο σύστημα αξιωμάτων όμως αντί να οδηγήσει σε αντίφαση αποδείχτηκε ότι παράγει συνέπειες μαθηματικές θεωρίες Έτσι ανακαλύφθηκαν οι λεγόμενες μη ευκλείδειες γεωμετρίες και ταυτόχρονα αποδείχθηκε η ανεξαρτησία των αιτημάτων του Ευκλείδη

27

Ας δούμε τώρα την διατύπωση και την απόδειξη της πρότασης (5) που περιέχεται στο Βιβλίο Ι των laquoστοιχείωνraquo και αναφέρεται στη γνωστή μας πρόταση της ισότητας των παρά τη βάση γωνιών ισοσκελούς τριγώνου

28

Γιατί διδάσκουμε το μάθημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στο ζήτημα της laquoχρησιμότηταςraquo των σχολικών Μαθηματικών θα μπορούσε κανείς να αντιπαραθέσει (και πράγματι αντιπαρατέθηκαν) πολλές διαφορετικές απόψεις Εμείς θα παραθέσουμε απλώς ένα απόσπασμα από τις αυτοβιογραφικές σημειώσεις του Albert Einstein το οποίο δείχνει μια άλλη τελείως διαφορετική αντίληψη σχετικά με την laquoχρησιμότηταraquo της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Γράφοντας για τα γεγονότα της παιδικής και εφηβικής του ζωής που είχαν μεγάλη επίδραση στην μετέπειτα εξέλιξη του ο Einstein σημειώνει

Σε ηλικία 12 ετών δοκίμασα μια δεύτερη τελείως διαφορετική έκπληξη σε ένα μικρό βιβλίο Ευκλείδειας επίπεδης γεωμετρίαςhellip Εδώ υπήρχαν ισχυρισμοί όπως για παράδειγμα τα τρία ύψη ενός τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο οι οποίοι - αν και καθόλου προφανείς - μπορούσαν ωστόσο να αποδειχτούν με τέτοια βεβαιότητα ώστε να μην χωρεί η παραμικρή αμφιβολία Αυτή η σαφήνεια και βεβαιότητα μου προξένησαν μια εντύπωση που δεν μπορεί να περιγραφεί Το γεγονός ότι τα αξιώματα έπρεπε να γίνουν δεκτά χωρίς απόδειξη δεν με ενόχλησε Σε κάθε περίπτωση μου αρκούσε πλήρως το γεγονός ότι μπορούσαν να στηρίζω τις αποδείξεις σε προτάσεις η εγκυρότητα των οποίων ήταν για μένα αναμφισβήτητη

Η περίπτωση του Einstein του επιστήμονα που άλλαξε ριζικά τις αντιλήψεις μας και την γεωμετρική δομή του σύμπαντος αποκαλύπτει την σπουδαιότητα ορισμένων παιδαγωγικών σκοπών και τη συνάφειά τους με το ερώτημα που θέσαμε ως τίτλο αυτής της ενότητας καλλιέργεια και ανάπτυξη της συγκροτημένης σκέψης μύηση στην επιστημονική μέθοδο μελέτες του κόσμου Αυτοί οι σκοποί παρόλη τη γενικότητά τους συνδέονται άμεσα με τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας που άσκησαν καθοριστική επίδραση στο νεαρό Einstein τα οποία είναι

bull Σαφήνεια στην έκθεση

bull Ολοκληρωτική απόδειξη κάθε υπόθεσης

bull Απόλυτη συνάφεια σχημάτων και συλλογισμών

bull Τάξη και ομορφιά

Αν τα στοιχεία αυτά αποτελούν ουσιώδη συστατικά της μαθηματικής παιδείας τότε παρέχουν κατά την άποψή μας μια αυτονόητη απάντηση στο ερώτημα laquoΓιατί διδάσκουμε την Ευκλείδεια Γεωμετρίαraquo

Αντιλήψεις και αντιπαραθέσεις για τη διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Οι ένθερμοι υποστηρικτές της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προβάλλουν την παιδαγωγική αξία της λογικής και διάφανης επιχειρηματολογίας των γεωμετρικών αποδείξεων ενώ οι πολέμιοί της επικαλούνται την αναμφισβήτητη δυσκολία των περισσότερων μαθητών να κατανοήσουν τις γεωμετρικές έννοιες και τις πολύ χαμηλές επιδόσεις τους στην αντιμετώπιση σχετικών προβλημάτων Ενδιάμεσα βρίσκονται συνήθως οι σκεπτικιστές οι οποίοι επισημαίνουν τον περιορισμένο επιστημολογικά ρόλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και την ανάγκη να ανανεωθεί η διδασκαλία των Μαθηματικών δίνοντας μεγαλύτερη έμφαση σε πιο σύγχρονους και laquoχρήσιμουςraquo κλάδους (πχ Πιθανότητες και Στατιστική) Από την εποχή που ο Dieudonne κήρυξε τον πόλεμο κατά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας οι αντιλήψεις

29

αυτές έγιναν αντικείμενο επεξεργασίας και αντιπαρατέθηκαν μεταξύ τους από σημαντικούς μαθηματικούς και παιδαγωγούς ενώ οι σχετικές συζητήσεις συνεχίζονται με αμείωτη ένταση μέχρι σήμερα Σε μια ειδική μελέτη της Διεθνούς Επιτροπής για τη Μαθηματική Εκπαίδευση (ICMI) έγινε απόπειρα σύνθεσης των διαφόρων τάσεων και διατυπώθηκαν οι εξής τρεις εναλλακτικές λύσεις για τη διδασκαλία του μαθήματος

1 η λύση

Απορρίπτουμε την ιδέα ότι η Γεωμετρία πρέπει ή μπορεί να χρησιμοποιηθεί στο σχολείο ως ένα σύστημα γνώσεων (παραγωγικά οργανωμένο ή όχι) όπου οι έννοιες και τα γεγονότα πρέπει να γίνουν γνωστά απλά και μόνο επειδή ανήκουν στο σύστημα Αντίθετα η Γεωμετρία και ο χώρος θεωρούνται ως πηγές άντλησης εξαιρετικών θεμάτων για την οργάνωση πολλαπλών δραστηριοτήτων σε διαφορετικά επίπεδα Οι laquoχρησιμοθηρικέςraquo όψεις της Γεωμετρίας θα εξυπηρετηθούν με την παροχή αλγεβρικών μεθόδων

2 η λύση

Εξακολουθούμε να επιχειρούμε τη διδασκαλία ενός αξιωματικού ή ψευδο-αξιωματικού μαθήματος σχολικής Γεωμετρίας το οποίο στηρίζεται είτε σε laquoτροποποίησηraquo των laquoΣτοιχείωνraquo του Ευκλείδη (για παράδειγμα αξιωματική θεμελίωση τύπου Pogorelov) είτε πχ στους γεωμετρικούς σχηματισμούς

3 η λύση

Για ορισμένες ομάδες μαθητών τουλάχιστον παρουσιάζουμε laquoνησίδεςraquo Γεωμετρίας δηλαδή laquoτοπικάraquo παραγωγικά συστήματα μέσα στο πλαίσιο του γενικού αναλυτικού προγράμματος (Έτσι μπορούμε για παράδειγμα να έχουμε ενότητες για τις ιδιότητες των εγγεγραμμένων σε κύκλο γωνιών ή τη στοιχειώδη προβολική Γεωμετρία)

Στην Ελλάδα για προφανείς ιστορικούς και πολιτιστικούς λόγους συνεχίζεται μια παράδοση που προσεγγίζεται εγγύτατα τη δεύτερη από τις προηγούμενες εναλλακτικές λύσεις Ακόμη και την περίοδο της μεταρρύθμισης των laquoΝέων Μαθηματικώνraquo η διεθνής πίεση για εκσυγχρονισμό των σχολικών Μαθηματικών και εγκατάλειψη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αφομοιώθηκε στη χώρα μας μέσα από έναν ιδιότυπο συμβιβασμό από τη μια μεριά διατηρήθηκε όλη η παραδοσιακή σχολική ύλη την οποία σε μεγάλο βαθμό συντηρούσαν οι εισαγωγικές εξετάσεις των ΑΕΙ και από την άλλη δόθηκε υπερβολική έμφαση στην αυστηρή αξιωματική θεμελίωσης της Γεωμετρίας καθώς και με την εισαγωγή νέας ύλης πάνω στους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς Στις αντιφατικές επιλογές εκείνης της περιόδου βρίσκονται κατά την άποψη μας οι ρίζες της μετέπειτα υποβάθμισης και παρακμής του μαθήματος της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

30

Το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στη σύγχρονη Διδακτική των Μαθηματικών τα θεμελιώδη επιστημολογικά χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας όπως είναι η παραγωγική οργάνωση του περιεχομένου η αποδεικτική διαδικασία και η έμφαση στις γεωμετρικές κατασκευές αναφέρονται συνήθως ως laquoανώτερα επίπεδα γεωμετρικής σκέψηςraquo και η μάθηση τους έχει γίνει αντικείμενο συστηματικής μελέτης και έρευνας Ένα βασικό θεωρητικό μοντέλο στο οποίο έχει στηριχθεί η διεξαγωγή μεγάλου αριθμού ερευνών σε διάφορες χώρες αποτελούν τα λεγόμενα laquoεπίπεδα van Hieleraquo Σύμφωνα με αυτό το μοντέλο η μάθηση της Γεωμετρίας εξελίσσεται ιεραρχικά περνώντας από πέντε διαδοχικά επίπεδα

bull 1ο επίπεδο Εποπτικό

bull 2ο επίπεδο ΠεριγραφικόΑναλυτικό

bull 3ο επίπεδο ΑφηρημένοΣχεσιακό

bull 4ο επίπεδο ΤυπικόΠαραγωγικό

bull 5ο επίπεδο Μεταμαθηματικό

Οι μαθητές κατανοούν τη σημασία και τη διαδικασία οικοδόμησης ενός αξιωματικού μαθηματικού συστήματος και τις σχέσεις ανάμεσα σε διαφορετικά συστήματα Για παράδειγμα αναγνωρίζουν ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία δεν είναι παρά ένας από τους πολλούς δυνατούς τρόπους περιγραφής ενός αφηρημένου μαθηματικού σύμπαντος

Είναι φανερό ότι η διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προϋποθέτει τα δύο πρώτα επίπεδα και έχει ως κύριο σκοπό την κατάκτηση των δύο επόμενων επιπέδων (για το 5ο

μάλλον δεν μπορεί να γίνεται λόγος στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση) Σε θεωρητικό επίπεδο τόσο και η θεωρία των van Hiele όσο και η γενικότερη θεωρία των σταδίων μάθησης του Piaget προβλέπουν ότι η κατάκτηση αυτών των επιπέδων είναι μια επίπονη και ιεραρχικά εξελισσόμενη διαδικασία που απαιτεί μακροχρόνια και προσεχτικά σχεδιασμένη διδασκαλία Αυτές οι θεωρητικές προβλέψεις φαίνεται να επιβεβαιώνονται από πολλές εμπειρικές έρευνες που έχουν διεξαχθεί σε διάφορες χώρες και τα αποτελέσματά τους οδηγούν σε ένα βασικό συμπέρασμα laquo η καθιερωμένη παραδοσιακή διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αδυνατεί να οδηγήσει τους μαθητές στην κατάκτηση των ανώτερων επιπέδων γεωμετρικής σκέψης raquo

Από τα αποτελέσματα αυτών των ερευνών αξίζει νrsquo αναφέρουμε εδώ ένα εντυπωσιακό στατιστικό στοιχείο που αποκαλύπτει τις διαστάσεις του προβλήματος σε μια έρευνα που έγινε στις ΗΠΑ μεταξύ 1520 μαθητών που είχαν ολοκληρώσει ένα έτος διδασκαλίας της θεωρητικής Ευκλείδειας Γεωμετρίας διαπιστώθηκε ότι μόνο το 30 είχε φτάσει σε ένα επίπεδο που μπορεί να χαρακτηριστεί από 75 επιτυχία στην απόδειξη απλών γεωμετρικών προτάσεων (πχ ότι οι διαγώνιες ενός ορθογωνίου είναι ίσες) Το ποσοστό των μαθητών που είχαν 100 επιτυχία δεν ξεπέρασε το 3

31

Κοινή πεποίθηση όλων αυτών των ερευνητών είναι ότι για να κατανοηθούν οι παραγωγικές αποδείξεις της Ευκλείδειας Γεωμετρίας απαιτείται μια ισχυρή διαισθητική βάση την οποία οι μαθητές θα αποκτήσουν μέσα από επαγωγικές εμπειρικές ανακαλύψεις τη διαπίστωση και επαλήθευση υποθέσεων τις γεωμετρικές κατασκευές και εφαρμογές Έτσι λοιπόν η διδασκαλία της Γεωμετρίας δεν θα πρέπει να στηρίζεται σrsquo ένα τεχνητό διαχωρισμό ανάμεσα σε laquoΠρακτική Γεωμετρίαraquo σχεδίασης και μετρήσεων και μια laquoΘεωρητική Γεωμετρίαraquo αποδείξεων αλλά να συνδυάζει μια ισορροπημένη ανάπτυξη των δύο αυτών όψεων του μαθήματος σrsquo όλο το φάσμα της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Η επινόηση διδακτικών μέσων και μεθόδων που θα επιτρέψουν την υλοποίηση αυτού του στόχου φαίνεται ότι αποτελεί σήμερα το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ

Η Γεωμετρία του Ευκλείδη απετέλεσε το θεμέλιο για την ανάπτυξη της laquoδυτικήςraquo επιστήμης και τεχνικής και σ αυτή τη Γεωμετρία στηρίζονται οι προϋποθέσεις της κλασικής Φυσικής από την Αναγέννηση και μετά Μόλις το 19ο αιώνα διαπιστώθηκε όμως (Λάμπερτ Γκάους Μπολυάι Λομπατσέβσκι κά) ότι η ευκλείδεια Γεωμετρία στηρίζεται στην απλοϊκή αντίληψη του επίπεδου χώρου ο οποίος είναι μεν χρήσιμος για την περιοχή που αντιλαμβάνεται με τις αισθήσεις του ένας άνθρωπος αλλά όχι για πολύ μεγάλες τιμές των φυσικών μεγεθών (αποστάσεις ταχύτητες μάζες κτλ) Τότε παύει να ισχύει η επίπεδη αντίληψη και μαζί της η Ευκλείδεια Γεωμετρία επειδή στην πραγματικότητα ο χώρος είναι κυρτός Έτσι η Γεωμετρία συμπληρώνεται με βάση αντιλήψεις που στηρίζονται στον υπερβολικό ελλειπτικό κά χώρο

Σήμερα η γεωμετρία του Ευκλείδη διδάσκεται παγκοσμίως και ανελλιπώς επί 23 αιώνες με τον τιμητικό τίτλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Στη σύγχρονη όμως σχολική γεωμετρία περιλαμβάνονται και υπολογισμοί και μετρήσεις οι οποίες από το έργο του Ευκλείδη απουσιάζουν εντελώς

Η συνολική προσφορά του Ευκλείδη στα Μαθηματικά και τις εφαρμοσμένες τέχνες υπήρξε σημαντικότατη και ταυτόχρονα βάση από την οποία εξόρμησαν οι μεταγενέστεροι μαθηματικοί γεωγράφοι και αστρονόμοι για να οδηγηθούν στο τελικό μαθηματικό θαύμα της Ελληνικής Αρχαιότητας

32

33

ΒΙΟΓΡΑΦΙΑ Ο Αρχιμήδης ήταν ένας από τους μεγάλους μαθηματικούς μηχανικούς και φυσικούς του αρχαίου Ελληνικού χώρου και μια από τις μεγαλύτερες μαθηματικές ευφυΐες του κόσμου Γεννήθηκε έζησε και πέθανε στις Συρακούσες την μεγάλη Ελληνική αποικία της Σικελίας

Πατέρας του Αρχιμήδη ήταν ο αστρονόμος Φειδίας που είχε δεσμούς φιλίας με το βασιλικό γένος των Συρακουσών Ο Αρχιμήδης ταξίδεψε στην Αίγυπτο και ήρθε σε επαφή με τους διαδόχους του Ευκλείδη του Ερατοσθένη και το Δισίθεο ενώ ήταν φίλος και συμμαθητής του Κόνωνα του Σάμιου

Υπήρξε λαμπρό παράδειγμα πρωτότυπου ερευνητή ο οποίος δεν ενδιαφέρθηκε να διευκολύνει τους αρχάριους αλλά ασχολήθηκε κυρίως για την αποκάλυψη νέων αληθειών για δική του ικανοποίηση και των ώριμων ήδη διανοούμενων Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο ενώ η κατανόηση του Ευκλείδη δεν απαιτεί εξαιρετική προηγούμενη γνώση και ευφυΐα τα προϊόντα της μαθηματικής σκέψεως τα οποία πρόκειται τώρα να εξετάσουμε είναι προσιτά αποκλειστικώς και μόνο στην ανάγνωση υψηλής πνευματικής στάθμης

Πήγε στην Αίγυπτο ως εκπαιδευτικός και ήρθε σε επαφή όχι βέβαια με τον Ευκλείδη που είχε στο μεταξύ πεθάνει αλλά με τους διαδόχους του και έκανε στενούς δεσμούς με εξαιρετικούς γεωμετρικούς όπως ο Κόνων ο Σάμιος ο Ερατοσθένης ο Κυρηναίος ο Δισίθεος κλπ από τους οποίους κατόπιν όσα έργα συνέταξε μετά την επιστροφή του στην πατρίδα του

34

Το έργο τουΤο έργο του Αρχιμήδη υπήρξε τεράστιο τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά και η ερευνητική ματιά του κάλυψε πολλούς τομείς γεωμετρία οπτική (κατοπτρική) υδραυλική μηχανική αρχιτεκτονική και την πολιορκητική Συνέδεσε το όνομά του με την γένεση της μηχανικής στην αρχαία Ελλάδα και με την λύση περίφημων μαθηματικών προβλημάτων καθώς και με τις αμυντικές εφευρέσεις του που χρησιμοποιήθηκαν όταν οι Ρωμαίοι πολιορκούσαν την πατρίδα του τις Συρακούσες

Σχολιαστής του έργου του Αρχιμήδη υπήρξε ο Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης (6ος αι μΧ) που καταγόταν από την ελληνική πόλη της Συρίας Ασκαλών

Στον χώρο της εφαρμοσμένης μηχανικής ο Αρχιμήδης επινόησε ιδιοφυείς μηχανές κάθε είδους Εφηύρε τον ρωμαϊκό ζυγό (καντάρι) το τρίσπαστο (ανυψωτική τριπλή τροχαλία) και τον ατέρμονα κοχλία έλιξ του Αρχιμήδους μηχανή άντλησης νερού από ποταμούς και φρέατα (η οποία χρησιμοποιείται ακόμα και στις μέρες μας σε περιοχές της βόρειας Αφρικής) Κατασκεύασε ένα υδραυλικό ρολόι το οποίο υπολόγιζε με μεγάλη ακρίβεια τις ώρες (και ειδοποιούσε για την αλλαγή της ώρας)

Μεγάλη φήμη απέκτησαν οι πολεμικές μηχανές του Αρχιμήδη αρχιτρόνιτο (πυροβόλο ατμού) καταπέλτες άρπαγες (μηχανισμός που ανύψωνε και αναποδογύριζε πλοία) και κάτοπτρα για την καύση των Ρωμαϊκών εχθρικών πλοίων (με παραβολικά κάτοπτρα όπως αποδείχτηκε από τα πειράματα του μηχανικού Ι Σακκά ο οποίος το 1973 απόδειξε τον τρόπο με τον οποίο ο Αρχιμήδης έκαψε τον ρωμαϊκό στόλο) Σύμφωνα με την παράδοση όταν η πόλη μετά από τριετή αντίσταση των ελλήνων κατελήφθη με προδοσία ένας ρωμαίος στρατιώτης σκότωσε τον Έλληνα επιστήμονα ενώ αυτός ήταν προσηλωμένος σε κάποιο γεωμετρικό πρόβλημα ΜΗ ΜΟΥ ΤΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥΣ ΤΑΡΑΤΤΕ πρόλαβε να του απαντήσει ο Έλληνας επιστήμονας

Ο Αρχιμήδης επηρέασε σε μεγάλο βαθμό την ευρωπαϊκή επιστημονική σκέψη καθώς και τους Άραβες επιστήμονες οι οποίοι αντέγραψαν όλα τα έργα του στα αραβικά γλώσσα στην οποία διασώθηκαν αρκετά αφού τα πρωτότυπα είχαν χαθεί

35

Διασωθέντα συγγράμματα

bull Περί σφαίρας και κυλίνδρου Βιβλίο α και βbull Κύκλου μέτρησις Σώζονται τρία θεωρήματαbull Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων (32 θεωρήματα 1 πόρισμα)bull Περί ελίκων (28 θεωρήματα 6 πορίσματα)bull Περί επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων ή Μηχανικά Βιβλ α και βbull Περί μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος (=μέθοδος)bull Βιβλίο λημμάτωνbull Πρόβλημα Βοεικόνbull Κατασκευή πλευράς του περιγραφομένου εις κύκλο επταγώνουbull Ωρολόγιον Αρχιμήδους (Σώζεται στα αραβικά)bull Περί κύκλων εφαπτομένων αλλήλωνbull Αρχαί της Γεωμετρίαςbull Ψαμμίτηςbull Τετραγωνισμός παραβολήςbull Οχουμένων (Υδροστατική)bull Στομάχιον (Σώζονται λίγα αποσπάσματα)

Συγγράμματα μη διασωθέντα (ή συγγράμματα μη αποκαλυφθέντα μέχρι σήμερα)

bull Αριθμητικάbull Βαρουλκός Υδροσκοπίαι Πνευματικήbull Επισίδια Βιβλία (Μάλλον περί στατιστικής - Τζέτζης)bull Περί τριγώνωνbull Περί τετραπλεύρουbull Περί ζευγώνbull Περί 13 ημικανονικών πολυέδρωνbull Ισοπεριμετικάbull Ισορροπίαιbull Καύσις δια κατόπτρων (επ΄ αυτού έγινε επιτυχές πείραμα στο ΝΣ)bull Περί Αρχιτεκτονικήςbull Περί βαρύτητος και ελαφρότητος (Πυκνόμετρα - Αραιόμετρα)bull Περί δρομομέτρων (Οδόμετρα πλοίων)bull Περί κέντρου Βάρους ή Κεντροβαρικάbull Κατοπρικάbull Περί παραλλήλων γραμμώνbull Περί κοίλων και παραβολικών κατόπτρωνbull Προοπτικήbull Στοιχεία μηχανικώνbull Πλινθίδες και Κύλινδροιbull Στοιχεία επί των στηρίξεωνbull Σφαιροποιΐα

36

Εφευρέσεις

bull Αραιόμετρο - Πυκνόμετροbull Αστρονομική συσκευήbull Βαρουλκόςbull Γερανοί (Αρπάγες)bull Καταπέλτεςbull Κάτοπτραbull Κοχλίας ή έλιξbull Οδόμετρο (δρομόμετρο)bull Πλανητάριον (σφαίρα)bull Πολύσπαστον (Βαρούλκο) τρίσπαστοbull Σίφωνbull Στομάχιον (επιτραπέζιο παιγνίδι το πρώτο παζλ)bull Τηλεβόλον Αρχιμήδους bull Χαριστίων (μοχλός)bull Ωρολόγιο υδραυλικό

37

Τα συγγράμματα του Αρχιμήδη που σώθηκαν μέχρι σήμερα είναι τα ακόλουθα Περί σφαίρας και κυλίνδρου Κύκλου μέτρησις περί σφαιροειδέων και κωνοειδέων Περί λίκων Επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων Ψαμμίτης Τετραγωνισμός παραβολής Οχούμενων Στομάχιον Προς Ερατοσθένην Έφοδος Βιβλίον περί λημμάτων Πρόβλημα βοεικόν Αποσπάσματα Μερικά από αυτά διασώθηκαν Πολλά επίσης είναι τα συγγράμματα του που χάθηκαν

Έκανε τα πρώτα βήματα για το μαθηματικό υπολογισμό επιφανειών με ακανόνιστο περίγραμμα και συμμετρικών εκ περιστροφής σωμάτων μέθοδος που εξελίχθηκε τεκμηριώθηκε και ονομάστηκε στην σύγχρονη εποχή laquoΟλοκληρωτικός Λογισμόςraquo υπολόγισε μία προσεγγιστική τιμή για τον άρρητο αριθμό π διατύπωσε το νόμο προεκτάσεις του γενίκευσε την εφαρμογή λέγοντας laquoΔώστε μου σημείο να στηριχθώ και θα κινήσω την γηraquo διατύπωσε την ομώνυμη αρχή για την άνωση του νερού κατασκεύασε διάφορες μηχανές ένα τύπο πολύσπαστου τον κοχλία μία αντλητική μηχανή με την laquoαρχιμήδειον έλικαraquo κά

Η συμβολή του ΑρχιμήδηΗ συμβολή του Αρχιμήδη στην ανάπτυξη της Μηχανικής συνιστάται πέρα από την επινόηση των τροχαλιών του πολύσπαστου και των οδοντωτών τροχών και ενός ιδιόμορφου αντλητικού συγκροτήματος στην έλικα που φέρει το όνομα του Ακόμα στην επακριβή διατύπωση των νόμων των μοχλών και των ισορροπιών ή κέντρα βαρών Εδώ υπάρχει και η περίφημη πρόταση laquo σύμμετρα μεγέθη ισορροπούν σε αποστάσεις αντιστρόφως ανάλογες προς το βάρος τους raquo

Σε σχέση με τους μοχλούς και τις δυνατότητες τους μας αναφέρει τη φράση laquo δος μοι πα στω και ταν γαν κινάσω raquo Απέδειξε στον Ιέρωνα ότι με ένα σύστημα τροχαλιών ndash οδοντωτών τροχών και μοχλών μπορεί να μετακινήσει ένα τεράστιο πλοίο με όλο το πλήρωμα μέσα μόνος του Ήταν ακόμα ο ίδιος που σχεδίασε και επιμελήθηκε τη ναυπήγηση του πλοίου

Ανέλαβε μετά από εντολή του Ιέρωνα την οχύρωση της πόλης και διηύθυνε ο ίδιος την άμυνα της εναντίον των Ρωμαίων

Στην αστρονομία ο Λίβιος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης είναι laquoμοναδικός παρατηρητής του ουρανού και των αστέρων raquo Ο Ίππαρχος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης ασχολήθηκε με τη μελέτη των ηλιοστασίων καθώς και με τον υπολογισμό της διάρκειας του έτους

Ο Μακρόβιος αναφέρει ότι ο Αρχιμήδης ανακάλυψε τις αποστάσεις των πλανητών ενώ στο έργο laquoΨαμμίτηςraquo περιγράφει τη συσκευή μέσω της οποίας μέτρησε τη φαινομενική γωνιακή διάμετρο του ήλιου

38

Ο Κικέρων αναφέρεται με θαυμασμό για τον Αρχιμήδη στα laquoΚατοπτρικάraquo Στα Μαθηματικά που ο ίδιος θεωρούσε ως τα πιο σημαντικά παρουσίασε την μέθοδο του προσδιορισμού του αριθμού π Τελειοποίησε το ελληνικό σύστημα αρίθμησης και παρουσίασε μια μέθοδο παράστασης των πολύ μεγάλων αριθμών Ασχολήθηκε με τη διαφορική Γεωμετρία βρήκε τους τύπους πρόσθεσης και αφαίρεσης τόξων Υπολόγισε το εμβαδόν της σφαίρας και του κυλίνδρου Μελέτησε διάφορα στερεά εκ περιστροφής όπως τα στερεά που παράγονται από περιστροφή έλλειψης υπερβολής και παραβολής γύρω από έναν άξονα

Στη Γεωμετρία το έργο του Αρχιμήδη αποτελείται κατά κύριο λόγο από πρωτότυπες μελέτες σχετικά με τον τετραγωνισμό των καμπυλόγραμμων επίπεδων σχημάτων καθώς και με τον τετραγωνισμό και τον κυβισμό καμπύλων επιφανειών

Τέλος επινόησε στο σύνολό της την Υδροστατική Επιστήμη την οποία ανέπτυξε πλήρως Οι μελέτες του αναπαριστούν ένα σύνολο μαθηματικών και γεωμετρικών επιτευγμάτων το οποίο δεν ξεπέρασε κανείς στην ανθρώπινη ιστορία

Όπως αναφέρει ο Wallis laquo ο Αρχιμήδης αφήνει ένα συγκεκριμένο μυστήριο να καλύπτει τον τρόπο με τον οποίο κατέληγε στα αποτελέσματά του Είναι σαν να είχε καλύψει σκοπίμως τα ίχνη του τα ίχνη των ερευνών του σα να ήταν απρόθυμος να αποκαλύψει το μυστικό της μεθόδου έρευνάς του στους μεταγενέστερους ενώ επιθυμούσε να αποσπάσει τη συναίνεσή τους για τα αποτελέσματά του raquo

Ο ίδιος ο Αρχιμήδης ως φορέας ενός ανώτερου φιλοσοφικού πνεύματος θεωρούσε ταπεινή και ανάξια κάθε τέχνη που εξυπηρετούσε πρακτικές ανάγκες ή αποσκοπούσε στο οικονομικό κέρδος Γι` αυτό και έστρεψε όλη του την προσοχή και τις επιδιώξεις στους καθαρούς στοχασμούς χωρίς να καταδεχτεί να αφήσει κάποιο γραπτό στοιχείο για τις τεχνολογικές του ανακαλύψεις με μοναδική εξαίρεση όσες αναφέρονται στο έργο του laquoπερί σφαιροποιίαςraquo Δεν είναι καθόλου τυχαίο λοιπόν το ότι ο Κικέρων αργότερα βρήκε τον τάφο του και πάνω μία αναπαράσταση ενός κυλίνδρου περιγεγραμμένου σε σφαίρα με μία περιγραφή που έδινε το λόγο του κυλίνδρου προς τη σφαίρα

Σε ποιους τομείς εφαρμόστηκαν οι θεωρίες του Εξαιρετικές του μελέτες και για τη μέθοδο και για το αποτέλεσμα είναι εκείνες που έδωσαν τα εμβαδά Κύκλου Έλλειψης Παραβολής και Έλικας καθώς και τα εμβαδά και τους όγκους των Κυλίνδρων των Κώνων και κυρίως των Σφαιρών

Σημαντικότατη θεωρείται και η ανακάλυψη από τον ίδιο τύπου που δίνει το εμβαδόν τριγώνου από τις πλευρές του και ακόμα η επέκτασή του στα εγγεγραμμένα τετράπλευρα Ο Αρχιμήδης επίσης γνώριζε να κατασκευάζει τη λύση ειδικών τριτοβάθμιων προβλημάτων και μεταξύ αυτών και του Δηλίου Προβλήματος Τις λύσεις αυτές τις έδινε με την τομή δύο κωνικών (Ευτόκιος) Μοναδική είναι η προσφορά του στην ανώτερη μετρική Γεωμετρία Συγκεκριμένα εξέφρασε τους όγκους στερεών εκ περιστροφής κωνικών τομών εφαρμόζοντας απειροστικές μεθόδους ανάλυσης των στερεών αυτών

39

Στη σύγχρονη κλασική γεωμετρία όλο σχεδόν το μετρικό της μέρος οφείλεται στον Αρχιμήδη με αποτέλεσμα αυτή ουσιαστικά να είναι ισορροπημένη μείξη της Ευκλείδειας και της Αρχιμήδειας αρχαίας γεωμετρίας

Έτσι ο σοφός μας αποτελεί ουσιαστικά τον πατέρα της ανώτερης μετρικής γεωμετρίας της αρχαιότητας και ταυτόχρονα την πηγή έμπνευσης των νεώτερων μελετών του διαφορικού και απειροστικού λογισμού

Η πρωτοτυπία και η αποτελεσματικότητα των μελετών του έγιναν αιτία να χαρακτηριστεί από τους ιστορικούς των μαθηματικών ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών και όλων των εθνών

Ρεύμα στα ανάκτορα της Βρετανίας μέσω εφεύρεσης του Αρχιμήδη ( httpkatestimenoblogspotcom201109blog-post_1015html )

laquoΗ Βασίλισσα Ελισάβετ πρόκειται να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση ενός αρχαίου Έλληνα για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Και όταν λέμε αρχαίο Έλληνα εννοούμε τον Αρχιμήδη και όχι τον 90χρονο σύζυγό της Φίλιππο της Ελλάδαςraquo

Με αυτόν τον τίτλο πληροφορεί το βρετανικό κοινό η εφημερίδα ldquoDaily Mailrdquo για την απόφαση της Αυτής Μεγαλειότητας να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση του αρχαίου Έλληνα εφευρέτη Αρχιμήδη από τις Συρακούσες για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Πρόκειται για τη σύγχρονη εκδοχή του ατέρμονα κοχλία της έλικος του Αρχιμήδους όπως έμεινε γνωστή η εφεύρεση και είναι ένας σωληνοειδής κοχλίας που χρησίμευε για την άντληση νερού και την άρδευση καλλιεργημένων εκτάσεων

Η σύγχρονη εκδοχή της εφεύρεσης θα χρησιμοποιεί το νερό που μεταφέρεται από ένα τεχνητό φράγμα για να παράγει υδροηλεκτρική ενέργεια Ο μηχανισμός έχει ήδη μεταφερθεί μέσω του Τάμεση στο Romney Weir στα ανάκτορα του Γουίντσορ Σύμφωνα με το δημοσίευμα της εφημερίδας οι έλικες θα είναι έτοιμες για την παραγωγή ενέργειας τον προσεχή Νοέμβριο ενώ θα μπορούν να καλύψουν πλήρως τις ανάγκες του κάστρου σε ενέργεια μέσα στον επόμενο χρόνο

Εκτός αυτού οι τουρμπίνες είναι σχεδιασμένες ώστε να μην εμποδίζουν την ασφαλή διέλευση σολομού και χελιού μέσα στον ποταμό Τάμεση

Οι laquoέλικες του Αρχιμήδηraquo βάρους 40 τόνων κατασκευάστηκαν από ένα εργοστάσιο στην Ολλανδία και στοίχησαν 700000 λίρες Αγγλίας ενώ το κόστος εγκατάστασής τους θα ξεπεράσει το ένα εκατομμύριο λίρες

40

Πέθανε σύμφωνα με τον Διογένη Λαέρτιο καθώς προσπαθούσε να διαφύγει από την καταδίωξη Κροτωνιατών που φοβήθηκαν την εγκαθίδρυση τυραννίας λόγω της μεγάλης δύναμης που είχε αποκτήσει αυτός και οι μαθητές του στην πόλη Οι Κροτωνιάτες έσφαξαν αυτόν και τους τετρακόσιους μαθητές του αφού πρώτα έκαψαν το σπίτι του Μίλωνα στο οποίο λίγο πριν είχαν συγκεντρωθεί Ο Δικαίαρχος αναφέρει πως ο Πυθαγόρας πέθανε στο ιερό των Μουσών στο Μετάποντιο (ελληνική αποικία) μένοντας σαράντα ημέρες νηστικός

ΕΠΙΤΕΥΓΜΑΤΑ - ΕΡΓΟ

Η ηθική διδασκαλία του Πυθαγόρα και των ακολούθων του (Πυθαγορείων) διασώζεται σε 71 στίχους του έργου laquoΤα χρυσά έπη του Πυθαγόραraquo Η σύνθεση αυτών των στίχων αποδίδεται στους Νεοπυθαγορείους του 2ου-3ου μΧ αιώνα Η γνώση ότι τα laquoΧρυσά Έπηraquo γραφτήκαν από τον Πυθαγόρα ή τους Πυθαγορείους και ανασυντέθηκαν μεταγενέστερα με τη μορφή που έφτασαν σε εμάς δεν φαίνεται να είναι σωστή Αν κάνουμε μια απλή ανάγνωση στα εν λόγω έπη αποδεικνύεται ότι αυτά γράφτηκαν πολύ αργότερα Οπωσδήποτε όμως το περιεχόμενο των επών είναι απόλυτα laquoπυθαγορικόraquo και συμφωνεί με την παράδοση της ηθικής διδασκαλίας του Πυθαγόρα και των Πυθαγορείων

Οι σύγχρονοί του όμως φαίνεται ότι θεωρούσαν τον Πυθαγόρα περισσότερο ως θρησκευτικό προφήτη και λιγότερο ως μαθηματικό Πρέπει να υπογραμμίσουμε πάντως ότι η διδασκαλία του διέφερε από διδασκαλίες άλλων στοχαστών της εποχής του κατά το ότι απέδιδε πολύ μεγάλη σημασία στα μαθηματικά λέγοντας ότι αυτά είναι η οδός για την απελευθέρωση της ψυχής Το πιο σημαντικό μέρος των μαθηματικών για τους Πυθαγορείους είναι η αριθμητική Διότι όπως έλεγε και ο Πυθαγόρας laquoΤά τῶν αριθμῶν στοιχεία τῶν ὂντων πάντωνεἴναιraquo (Αριστοτέλους Μετά τα φυσικάΑ5)

11

[Aristot Metaph A 5985 b 23]οἱ καλούμενοι Πυθαγόρειοι τῶν μαθημάτων ἁψάμενοι πρῶτοι ταῦτά τε προήγαγον καὶ ἐντραφέντες ἐν αὐτοῖς τὰς τούτων ἀρχὰς τῶν ὄντων ἀρχὰς ᾠήθησαν εἶναι πάντων ἐπεὶ δὲ τούτων οἱ ἀριθμοὶ φύσει πρῶτοι ἐν δὲ τούτοις ἐδόκουν θεωρεῖν ὁμοιώματα πολλὰ τοῖς οὖσι καὶ γιγνομένοις μᾶλλον ἢ ἐν πυρὶ καὶ γῇ καὶ ὕδατι ὅτι τὸ μὲν τοιονδὶ τῶν ἀριθμῶν πάθος δικαιοσύνη τὸ δὲ τοιονδὶ ψυχή τε καὶ νοῦς ἕτερον δὲ καιρὸς καὶ τῶν ἄλλων ὡς εἰπεῖν ἕκαστον ὁμοίως ἔτι δὲ τῶν ἁρμονιῶν ἐν ἀριθμοῖς ὁρῶντες τὰ πάθη καὶ τοὺς λόγους - ἐπεὶ δὴ τὰ μὲν ἄλλα τοῖς ἀριθμοῖς ἐφαίνετο τὴν φύσιν ἀφωμοιῶσθαι πᾶσαν οἱ δ ἀριθμοὶ πάσης τῆς φύσεως πρῶτοι τὰ τῶν ἀριθμῶν στοιχεῖα τῶν ὄντων στοιχεῖα πάντων ὑπέλαβον εἶναι καὶ τὸν ὅλον οὐρανὸν ἁρμονίαν εἶναι καὶ ἀριθμόν

bull Πυθαγόρειες τριάδες

Ο Πρόκλος αποδίδει στον ίδιο τον Πυθαγόρα την εύρεση των πυθαγορείων τριάδων της

μορφής

+ΝminusΝΝ2

12

122

όπου Ν περιττός αριθμός μεγαλύτερος του 1 Για

παράδειγμα αν πάρουμε ως Ν τον αριθμό 3 θα σχηματιστεί η τριάδα

+minus2

132

13322

δηλαδή η (3 4 5) η οποία είναι πράγματι Πυθαγόρεια τριάδα αφού ικανοποιεί τη σχέση 222 543 =+

Φαίνεται ότι αληθεύει η εκδοχή λόγω της παράδοσης κάποιες μαθηματικές γνώσεις να μεταδόθηκαν από την Αίγυπτο σε πολλούς αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς ανάμεσα τους τον Πυθαγόρα

12

bull Πυθαγόρειο θεώρημα

Σε αντιστοιχία με τον ορισμό των πυθαγορείων τριάδων ένα τρίγωνο λέγεται πυθαγόρειο όταν τα μήκη των πλευρών του αποτελούν Πυθαγόρεια τριάδα Προφανώς κάθε ορθογώνιο τρίγωνο είναι πυθαγόρειο ενώ το αντίστροφο γενικά δεν ισχύει Το ΠΘ αποτελεί χαρακτηριστικό παράδειγμα μελέτης των ιδιοτήτων των σχημάτων Ο Ευκλείδης στα laquoΣτοιχείαraquo μας λέει ουσιαστικά ότι η επιφάνεια που καταλαμβάνει το τετράγωνο που κατασκευάζεται με πλευρά την υποτείνουσα ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι ίση με την επιφάνια που καταλαμβάνουν μαζί τα τετράγωνα που κατασκευάζονται με πλευρά τις κάθετες πλευρές του τριγώνου

-Ορισμός Πυθαγορείου Θεωρήματος Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών Αντίστροφο Πυθαγορείου Θεωρήματος Αν σε ένα τρίγωνο το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο

Η απόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήματος που χρησιμοποιούμε συνήθως σήμερα στηρίζεται στην έννοια της ομοιότητας των τριγώνων και τις αλγεβρικές ιδιότητες των αναλογιών ενώ το θεώρημα διατυπώνεται στη μορφή μιας αλγεβρικής ισότητας για τετράγωνα των μήκων των πλευρών του ορθογώνιου τριγώνου Με τον τρόπο αυτό γίνεται ένα ευέλικτο υπολογιστικό εργαλείο με πολυάριθμες εφαρμογές και προεκτάσεις

Το πυθαγόρειο θεώρημα αποδεικνύεται με πάνω από έναν τρόπους

13

Απόδειξη με εμβαδά

Θεωρούμε ένα τετράγωνο πλευράς a + b και σχεδιάζουμε σε αυτό τέσσερα ορθογώνια τρίγωνα με πλευρές a και b και υποτείνουσα c έτσι ώστε στο κέντρο να έχουμε τετράγωνο πλευράς c (βλ σχήμα)

Υπολογίζουμε το εμβαδό του τετραγώνου προσθέτοντας το εμβαδό του μικρότερου τετραγώνου καθώς και τα εμβαδά των τεσσάρων τριγώνων

c2 + 2abΑφού πρόκειται για τετράγωνο πλευράς a + b το εμβαδό του ισούται επίσης με

a2 + b2 + 2abΕξισώνοντας τις δυο αυτές σχέσεις προκύπτει

a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab ή a2 + b2 = c2

Απόδειξη με ομοιότητα τριγώνων

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ορθή γωνία την Α Θεωρώ το ύψος της υποτείνουσας ότι την τέμνει στο σημείο Δ Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΒΑ είναι όμοια μεταξύ τους ως ορθογώνια τρίγωνα με ίδια τη γωνία Β Παρομοίως τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΓΑ είναι όμοια μεταξύ τους με ίδια τη γωνία Γ

Ισχύει ))(()AB()AB()(

)()AB( 2 ∆ ΒΒ Γ=rArr∆ Β=

Β Γ και (ΑΓ)2 = (ΒΓ)(ΔΓ)

Αν προσθέσουμε τις δυο αυτές εξισώσεις έχουμε(ΑΒ)2 + (ΑΓ)2 =

(ΒΓ)(ΔΒ) + (ΒΓ)(ΔΓ) = (ΒΓ)(ΔΒ + ΔΓ) = (ΒΓ)2

bull Η περίφημη κούπα του Πυθαγόρα

Ο Πυθαγόρας κατά την τοπική παράδοση της Σάμου είχε φτιάξει μια κούπα εφαρμόζοντας τους νόμους της Φυσικής για να πίνει με μέτρο το κρασί Εσωτερικά είχε μία γραμμή που όριζε ως που έπρεπε να γεμίσει κανείς Μια στάλα παραπάνω και η κούπα άδειαζε όλο το κρασί της από μία κρυφή οπή στη βάση Πως όμως γίνεται αυτό Στο κέντρο της κούπας βρίσκεται μια στήλη τοποθετημένη ακριβώς πάνω από έναν σωλήνα ο οποίος οδηγεί στο κάτω μέρος της Εκεί βρίσκεται η κρυφή οπή Ενώ γεμίζουμε την κούπα η στάθμη του κρασιού ανεβαίνει και στο εσωτερικό της κεντρικής στήλης ακολουθώντας το νόμο του Pascal για τα συγκοινωνούντα δοχεία

14

Όσο η στάθμη του κρασιού δεν ξεπερνά τη γραμμή που είναι χαραγμένη στο εσωτερικό της κούπας laquoδεν τρέχει τίποταraquo Εάν όμως την ξεπεράσει ταυτόχρονα φτάνει και στην κορυφή της εσωτερικής στήλης έτσι μέσω του σωλήνα το παραπανίσιο κρασί χύνεται κάτω από την κούπα Τότε η υδροστατική πίεση δημιουργεί ένα σιφόνι στον εσωτερικό σωλήνα το οποίο αδειάζει όλο το περιεχόμενο της κούπας από την οπή που υπάρχει

Ένα πλήθος επιπρόσθετων επιτευγμάτων όπως η κατασκευή και η μελέτη τριών τουλάχιστον από τα πέντε κανονικά πολύγωνα (κύβος τετράεδρο δωδεκάεδρο) και η κατασκευή της μουσικής κλίμακας (μελέτη των λόγων της τετράχορδης λύρας και δημιουργία κανόνα της οχτάχορδης λύρας) μας αποδεικνύει τη σημαντικότητα του Πυθαγόρα ως επιστήμονας της εποχής του Οι πληροφορίες για τη μελέτη των πολυέδρων δεν είναι αρκετές ωστόσο για τη μουσική κλίμακα γνωρίζουμε ότι βασίστηκε στις μελέτες του Πυθαγόρα ο οποίος μελετώντας τη μαθηματική σχέση της μουσικής κλίμακας και διατυπώνοντας σχετικούς κανόνες διευκόλυνε κατά πολύ την κατασκευή μουσικών οργάνων Κατάφερε να εκφράσει τη μουσική αρμονία με μαθηματικές σχέσεις μέσα από τη φιλοσοφική και επιστημονική του προσέγγιση Ξεκινώντας από μία χορδή και διαιρώντας διαδοχικά με το μήκος της και τον χρυσό αριθμό Φ κατάφερε να κατασκευάσει το μουσικό όργανο laquoΚανόναraquo εξέλιξη του οποίου συναντάται σήμερα στο γνωστό laquoκανονάκιraquo

Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΟΥ ΣΤΟ ΣΗΜΕΡΑ

Το αρχαιότερο παράδειγμα εφαρμογής του γνωστού σε όλους laquoπυθαγορείου θεωρήματοςraquo το συναντούμε στη πινακίδα ΒΜ 85196 που χρονολογείται από την περίοδο της πρώτης βαβυλωνιακής χιλιετίας πΧ Έχοντας γνώση λοιπόν του έργου του οι Βαβυλώνιοι οδηγηθήκαν σε αξιόλογα επιτεύγματα

Ο Πυθαγόρας υπήρξε μεγάλη προσωπικότητα με τις έρευνες και το Πανεπιστήμιό του συνέβαλε στο άλμα των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών Η περίεργη μυστικότητα όμως που διέπνεε το σύλλογο έγινε αιτία να μην πληροφορηθούν οι βιογράφοι επακριβώς όλα τα προσωπικά επιτεύγματα του ίδιου Έτσι σήμερα αγνοούμε εν μέρη το δικό του έργο το οποίο ασφαλώς θα ήταν σημαντικότατο

Όσο αναφορά το πυθαγόρειο σχήμα παρά τα αρκετά μειονεκτήματα έχει μερικά χαρακτηριστικά τα οποία μόνιμα επηρέαζαν την ελληνική αστρονομική σκέψη Έδινε βαρύτητα στις κυκλικές κινήσει των ουράνιων σωμάτων γύρω από ένα κεντρικό στοιχείο Τέλος στον Πυθαγόρα και τους Πυθαγορείους οφείλεται πλήθος γεωμετρικών εργασιών αφού αυτοί μελέτησαν με επιτυχία την επιστήμη της Γεωμετρίας

15

Πλάτων ο ΑθηναίοςΒιογραφικά στοιχεία

Έζησε στο διάστημα (427-347πΧ) Ήταν Aθηναίος φιλόσοφος αριστοκρατικής καταγωγής όπου ίδρυσε και διεύθυνε το διασημότερο πανεπιστήμιο στην αρχαία Ελλάδα την Ακαδημία για 40 περίπου χρόνια μέχρι το θάνατό του Πατέρας του ήταν ο Αρίστωνας ο οποίος καταγόταν από το γένος του βασιλιά Κόδρου και μητέρα του ήταν η Περικτιόνη η οποία ήταν αδερφή του Χαρμίδη ενός από τους Τριάκοντα τύραννους και ανιψιά του Κριτία επίσης μέλος των Τριάκοντα με καταγωγή από το γένος του νομοθέτη Σόλωνος Αδέρφια του ήταν οι Αδείμαντος και Γλαύκων Το πρώτο του όνομα ήταν Αριστοκλής αλλά αργότερα ονομάστηκε Πλάτωνας γιατί είχε ευρύ στέρνο και πλατύ μέτωπο

Σε ηλικία 18 ετών γνώρισε τον Σωκράτη και γοητεύτηκε από την προσωπικότητα και από την διδασκαλία του Από το συνολικό έργο του διασώζονται 36 έργα τα οποία εκτός από την Απολογία του Σωκράτη έχουν την μορφή διαλόγου σε όλα εκτός των Νόμων Την συζήτηση διεύθυνε ο Σωκράτης ενώ ο τίτλος του καθενός είναι το όνομα του σπουδαιότερου συνομιλητή ή αφηγητή Στα έργα αυτά γίνεται φανερή η τοποθέτηση του και ο άκρατος

θαυμασμός του προς τα μαθηματικά και ιδιαίτερα προς την γεωμετρία

Λίγες πληροφορίες για την Ακαδημία

Η Ακαδημία ήταν ένα προάστιο των Αθηνών Πήρε το όνομά της από τον ήρωα Ακάδημο Αναφορικά ο Ιππίας γιος του Πεισίστρατου έκτισε ένα κυκλικό τοίχο και ο Κίμωνας φύτεψε τη περιοχή με τα δέντρα η οποία καταστράφηκε από τον Σίλα το 86 πΧ Το 387

16

πΧ O Πλάτωνας ίδρυσε τη φιλοσοφική του σχολή η οποία έγινε πολύ διάσημη χάρη στους νεοπλατωνιστές και χρησιμοποιείτο έως το 526 μΧ οπότε και έκλεισε από τον αυτοκράτορα Ιουστινιανό Η Ακαδημία ήταν σχολή ανωτέρων μελετών και ταυτόχρονα και εκπαιδευτικό ίδρυμα Είχε ισχυρή καταστατική συγκρότηση και παρουσιάζεται περισσότερο υπό τη μορφή μιας αδελφότητας μιας φιλοσοφικής αίρεσης τα μέλη της οποίας αισθάνονται στενά συνδεδεμένα μεταξύ τους και διακρίνεται και από μια οικειότητα στις σχέσεις μεταξύ των μαθητών και των δασκάλων την οποία θα χαρακτηρίζαμε στοργική και φιλική συνάμα Υπάρχει μια διαφωνία σχετικά με το αν η Ακαδημία ήταν ένωση για τη πρόοδο των επιστημών ή ίδρυμα ανώτατης μόρφωσης Η διαφωνία αυτή είναι κάπως άσκοπη δεδομένου το ότι ο άκρατος ρεαλισμός της σχολής αλλά και ο απλός χαρακτήρας της αρχαϊκής εκείνης εποχής δεν επιτρέπουν στο να μεταθέσουμε σε εκείνο το περιβάλλον τη σύγχρονη αντίληψη που έχουμε για την επιστήμη Η Ακαδημία άλλωστε ήταν σχολή ανώτερων μελετών αλλά και εκπαιδευτικό ίδρυμα ταυτόχρονα Τέλος ο Πλάτωνας δεν ονειρεύτηκε μόνο τη ldquoμετά επιστήμηςrdquo παιδεία αλλά και τη μετέδωσε για σαράντα χρόνια στους μαθητές του στην Ακαδημία

Η Ακαδημία ήταν ο τόπος στον οποίο ο Πλάτωνας προσπαθούσε να δείξει τον δρόμο σε προικισμένους μαθητές ώσπου να αναπηδήσει ο σπινθήρας και να αποκαλυφθεί η έσχατη γνώση Ξέρουμε τόσα λίγα για την καθημερινή διδασκαλία στην ακαδημία την εποχή του Πλάτωνα ώστε πότε-πότε θέλησαν να αρνηθούν τον επιστημονικό χαρακτήρα της Τέτοιοι σκεπτικισμοί δεν στηρίζονται πουθενά Την μεγάλη σημασία των μαθηματικών σαν προπαίδεια για την διαλεκτική η οποία στηριζόταν σε αυτά την δείχνουν μερικές προσωπικότητες του Πλατωνικού κύκλου και χωρίς αμφιβολία υπάρχει ουσιαστική αλήθεια στο ανέκδοτο που λένε ότι βρισκόταν πάνω από την είσοδο της Ακαδημίας laquoἁγεωμέτρητος μηδείς εἰσίτωraquo Ξέρουμε ακόμα ότι η διαιρετική μέθοδος για την οποία μιλήσαμε στους οψιμότερους διαλόγους έπαιξε σημαντικό ρόλο στον αγώνα για ένα λογικά ταχτοποιημένο κοσμοείδωλο και στην απόκτηση ορισμών με την διαίρεση των γενικότερων εννοιών

Η συμβολή του Πλάτωνα και της Ακαδημίας στα μαθηματικά

Η συμβολή της Ακαδημίας στα μαθηματικά του 4ου αιώνα πΧ είναι σημαντικότατη ιδιαίτερα με τα έργα των καθηγητών της Θεαίτητου Μεναίχμου και Ενδόξου Η συμβολή όμως του Πλάτωνα είναι αμφιλεγόμενη αν και πιστεύεται ότι

-Έλυσε το Δήλιο πρόβλημα (διπλασιασμό του κύβου) με κινητική γεωμετρία και κάποιο όργανο με την βοήθεια του οποίου προέκυπτε η λύση

-Έδωσε γενική μορφή στην αναλυτική μέθοδο και συνέβαλε στην έρευνα των γεωμετρικών τύπων

-Προσδιόρισε ένα πλήθος των πυθαγορείων τριάδων δηλαδή των τριαδικών ακέραιων αριθμών που επαληθεύουν την ισότητα x2+y2=ω2 του Πυθαγορείου θεωρήματος

Για τα πολυσυζητημένα αστρονομικά ζητήματα της εποχής του (κίνηση του ουρανού θέση σχήμα και κίνηση της Γης) παρουσιάζει ξένες και θολά διατυπωμένες απόψεις γεγονός που

17

φανερώνει ότι δεν διέθετε προσωπική άποψη για το θέμα και γενικά ότι δεν ήταν μαθηματικός

Έγραψε μεταξύ άλλων την απολογία του Σωκράτη η οποία θεωρείται ως μια σχετικά ακριβής καταγραφή της απολογίας του Σωκράτη στην δίκη που τον καταδίκασε σε θάνατο Μετά τη θανάτωση του Σωκράτη για λίγο καιρό κατέφυγε στα Μέγαρα κοντά στον συμμαθητή του Ευκλείδη Ύστερα γύρισε στην Αθήνα όπου για 10 χρόνια ασχολήθηκε με τη συγγραφή φιλοσοφικών έργων τα οποία φέρουν τη σφραγίδα της σωκρατικής φιλοσοφίας Στη συνέχεια ταξίδεψε στην Αίγυπτο και στην Κυρήνη όπου σχετίστηκε με τον μαθηματικό Θεόδωρο και τέλος στον Τάραντα της Ιταλίας όπου γνώρισε τους πυθαγόρειους από τη φιλοσοφική σκέψη των οποίων επηρεάστηκε αποφασιστικά Μετά πέρασε στη Σικελία Στην αυλή του βασιλιά των Συρακουσών Διονυσίου Α΄ γνώρισε τον βασιλικό γυναικάδελφο Δίωνα με τον οποίον συνδέθηκε φιλικά Η φιλία όμως αυτή προκάλεσε τις υποψίες του Διονυσίου για συνωμοσία γι αυτό έδιωξε τον Πλάτωνα από τη Σικελία Στην Αίγινα κινδύνεψε να πουληθεί ως δούλος αλλά τον εξαγόρασε ο Κυρηναίος φίλος του Αννίκερης Επιστρέφοντας στην Αθήνα άνοιξε τη φιλοσοφική σχολή του την Ακαδημία (387 πΧ) Η προσπάθεια όμως των δύο φίλων να προσηλυτίσουν στις ιδέες τους τον νέο ηγεμόνα Διονύσιο τον Πρεσβύτερο απέτυχαν Για τρίτη φορά ήρθε στην αυλή των Συρακουσών το 361 πΧ με σκοπό να συμφιλιώσει τον Δίωνα με τον Διονύσιο Αυτή τη φορά κινδύνεψε και η ζωή του Τον έσωσε η επέμβαση του πυθαγόρειου Αρχύτα Αλλά ο Δίωνας δεν γλίτωσε Δολοφονήθηκε το 353 πΧ Έτσι ο Πλάτωνας έχασε τον άνθρωπο στον οποίο στήριξε τις ελπίδες του για την επιβολή των πολιτικών του ιδεών Από τότε και μέχρι τον θάνατό του ασχολήθηκε με τη διδασκαλία και με τη συγγραφή φιλοσοφικών έργων Επίσης έγραψε το συμπόσιο που μιλάει για την φύση του έρωτα στον Πρωταγόρα Μεταξύ άλλων θεμελιώνεται θεωρητικά η αρχή της πρόληψης που δεν λαμβάνει την τιμή ως απολύτως ανταποδοτική στον Παρμενίδη και Θεαίτητο θεμελιώνει την αντικειμενικότητα του λόγου και της ιδέας ενώ σε 2 μακρούς διαλόγους την Πολιτεία και τους Νόμους περιέγραψε την ιδανική πολιτεία

Η κύρια συμβολή του στα μαθηματικά βρίσκεται κυρίως στο ότι προέτρεπεe τους μαθηματικούς να ερευνούν καθολικές μαθηματικές αλήθειες και γενικά να καλλιεργούν τα μαθηματικά τα οποία θεωρούσε ότι διαθέτουν τεράστια εκπαιδευτική αξία Η προτροπή αυτή φαίνεται εκτός των άλλων και στις απόψεις του ότι τα μαθηματικά είναι lsquorsquoδόσις θεῶν εἰς ἀνθρώπουςrsquorsquo και ότι οδηγούν έντονα την ψυχή προς το θείο

Οι επιδράσεις του Πλάτωνος στους έπειτα αιώνες

Ο Γάλλος ιστορικός της φιλοσοφίας Ζακ Σεβαλιέ τονίζει στο έργο του laquoΙστορία της σκέψηςraquo (1955) την κυρίαρχη παρουσία ή έστω ανταύγεια της πλατωνικής φιλοσοφίας σε ολόκληρο το Μεσαίωνα και στην Αναγέννηση και στους Νεότερους χρόνους ενώ ο Γερμανός φιλόσοφος Καρλ Γιάσπερς προβάλλει τον Πλάτωνα ως το τον πρώτο από τους τρεις θεμελιωτές του φιλοσοφείν Η ιστορία της φιλοσοφίας μέχρι τον Κικέρωνα είναι σαφώς επηρεασμένη από αυτόν και είτε αμφισβητεί είτε ακολουθεί τη διδασκαλία του Ο μαθητής του Αριστοτέλης εξ ίσου επιδραστικός με τον ίδιο οδηγήθηκε στην ανάπτυξη τμήματος του έργου του ως απάντηση στον πλατωνισμό Η σχολή την οποία ο Πλάτωνας

18

ίδρυσε το 387 πΧ η Ακαδημία συνέχισε να ακμάζει ως τις αρχές του πρώτου αιώνα π Χ έχοντας όμως μετατραπεί σε σκεπτική σχολή μετά τις αρχές της ελληνιστικής περιόδου

Κατά την εποχή του Αυγούστου υπήρξε αναβίωση της πλατωνικής φιλοσοφίας ο μεσοπλατωνισμός με εκπροσώπους όπως ο Φίλων ο Αλεξανδρεύς ενώ κατά τα τέλη του δεύτερου αιώνα ο μεσοπλατωνισμός άρχεσαι να μετατρέπεται σταδιακά υπό την επίδραση του νεοπυθαγορισμού και του ερμητισμού στην κατεχόμενη από τους Ρωμαίους Αίγυπτο στο κίνημα του νεοπλατωνισμού με αρχικούς εκπροσώπους όπως ο Πλωτίνος το οποίο είχε ιδεαλιστικό μυστικιστικό και σωτηριολογικό χαρακτήρα Η Ακαδημία στην Αθήνα επανιδρύθηκε ως κέντρο νεοπλατωνικών μελετών κατά τον τέταρτο αιώνα

Την ίδια εποχή περίοδο έντονων θρησκευτικών ζυμώσεων στη Ρωμαϊκή Αυτοκρατορία και σταδιακής επικράτησης του χριστιανισμού στη Μεσόγειο οι ακόλουθοι της αστικής ελληνορωμαϊκής θρησκείας αλλά και των ελληνικών μυστηριακών λατρειών συσπειρώθηκαν γύρω από τον νεοπλατωνισμό ως υπερασπιστή του μέχρι πρότινος επικρατούντος παγανισμού Μεμονωμένοι νεοπλατωνικοί και παγανιστικοί πυρήνες επέζησαν ως τον έκτο αιώνα οπότε και ο Αυτοκράτορας Ιουστινιανός έκλεισε με διάταγμα την Ακαδημία της Αθήνας Μετά περίπου εννέα αιώνες το έτος 1439 ο Γεώργιος Γεμιστός Πλήθων γράφει στη Φλωρεντία το πολύκροτο έργο του Περί ὧν Αριστοτέλης προς Πλάτωνα που αποτέλεσε το έναυσμα της διαμάχης πλατωνικών και αριστοτελικών στο Βυζάντιο και στην Ιταλία Ο πλατωνισμός επιβίωσε υπογείως καθ όλον τον Μεσαίωνα κρυμμένος σε μυστηριακά ρεύματα έως ότου οι πρωτότυπες ιδέες του ανακαλύφθηκαν ξανά και σχολιάστηκαν κατά την Αναγέννηση Έτσι ούτε η νεότερη φιλοσοφική σκέψη έμεινε ανεπηρέαστη από αυτόν Τα διάφορα φιλοσοφικά συστήματα ή προσπαθούν να ανατρέψουν τις ιδέες του ή οικοδομούνται πάνω σ αυτές εκσυγχρονίζοντάς τες

Τα έργα του είναι

Αλκιβιάδης Α η Περί Ανθρώπου Φύσεως μαιευτικός

Αλκιβιάδης Β ή Περί Προσευχής μαιευτικός

Απολογία Σωκράτους ηθικός

Γοργίας ή Περί Ρητορικής ανατρεπτικός

Επινομίς ή Νυκτερινος Σύλλογος πολιτικός

Επιστολαί ηθικαί

Ερασταί ή Περί Φιλοσοφίας ηθικός

Ευθύδημος ή Εριστικός ανατρεπτικός

Ευθύφρων ή Περί του Οσίου

Θεάγης ή Περί Φιλοσοφίας μαιευτικός

Θεαίτητος ή Περί Επιστήμης πειραστικός

19

Ιππαρχος ή Φιλοκερδής ηθικός

Ιππίας ελάσσων ή Περί του Ψεύδους ανατρεπτικός

Ιππίας μείζων ή Περί του Καλού ανατρεπτικός

Ίων ή Περί Ιλιάδος πειραστικός

Κλειτοφών ή Προτρεπτικός ηθικός

Κρατύλος ή Περί Ονομάτων Ορθότητος λογικός

Κριτίας ή Ατλαντικός ηθικός

Κρίτων ή Περί του Πρακτέου ηθικός

Λάχης ή Περί Ανδρείας ηθικός

Λύσις ή Περί Φιλίας μαιευτικός

Μενέξενος ή Επιτάφιος ηθικός

Μένων ή Περί Αρετής πειραστικός

Μίνως ή Περί Νόμου πολιτικός

Νόμοι ή Περί Νομοθεσίας πολιτικός

Παρμενίδης ή Περί Ιδεών λογικός

Πολιτεία ή Περί Δικαίου πολιτικός

Πολιτικός ή Περί της Βασιλείας λογικός

Πρωταγόρας ή Σοφισταί επιδεικτικός

Σοφιστής ή Περί του Όντος λογικός

Συμπόσιον ή Περί Αγαθού ηθικός

Τίμαιος ή Περί Φύσεως φυσικός

Φαίδρος ή Περί Έρωτος ηθικός

Φαίδων ή Περί Ψυχής ηθικός

Φίληβος ή Περί Ηδονής ηθικός

Χαρμίδης ή Περί Σωφροσύνης πειραστικός

20

21

ΕυκλείδηςΒΙΟΓΡΑΦΙΑ

Υπολογίζεται ότι έζησε το βrsquo μισό του 4ου έως τις αρχές του 3ου πΧ αιώνα πιο συγκεκριμένα περίπου το 325 πΧ έως το 265 πΧ Κορυφαίος μαθηματικός της αρχαιότητας που επηρέασε με το έργο του σε ανυπέρβλητο βαθμό τον επιστημονικό τρόπο σκέψης σε όλο τον κόσμο Για τη ζωή του δεν υπάρχουν επιβεβαιωμένες πληροφορίες Πιθανώς εκπαιδεύτηκε στην Αθήνα στην Ακαδημία του Πλάτωνα και δίδαξε στην Αλεξάνδρεια Ξέρουμε ότι ήταν μεγαλύτερος στην ηλικία από τον Αρχιμήδη πράγμα που σημαίνει ότι η χρονολόγηση της ακμής του laquoγύρω στο 300 πΧraquo δεν πρέπει να απέχει πολύ από την αλήθεια Ο Πρόκλος επίσης τον χαρακτηρίζει σύγχρονο του βασιλιά Πτολεμαίου Αrsquo στον

οποίο είχε το θάρρος να του πει κατά πρόσωπο πως δεν υπάρχει βασιλική οδός προς τη γεωμετρία Ο Πάππος τον επαινεί για την ηθική του ακεραιότητα τη μετριοφροσύνη και την ευμενή στάση του προς όσους είναι ικανοί να προαγάγουν τη μαθηματική γνώση Ο Στοβαίος διηγείται το ακόλουθο ενδιαφέρον περιστατικό Ένας νέος επισκέφθηκε κάποτε τον Ευκλείδη και τον παρακάλεσε να τον διδάξει γεωμετρία Μόλις έμαθε το πρώτο θεώρημα ρώτησε τον Ευκλείδη laquoΚαι τώρα τι θα κερδίσω με το θεώρημα αυτόraquo Ο Ευκλείδης τότε γύρισε προς τον υπηρέτη του και του είπε laquoΔώσrsquo του τρεις δεκάρες ώστε να κερδίσει κάτι από το θεώρημα το οποίο έμαθεraquo Αυτά είναι όλα όσα γνωρίζουμε για τον Ευκλείδη ως άνθρωπο Πολύ μεγαλύτερη σημασία όμως έχει το έργο του το οποίο ακόμα και σήμερα μαρτυρεί τα απαράμιλλα χαρίσματά του ως δασκάλου

ΕΡΓΟ

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη

Μετά το θάνατο του Μεγάλου Αλεξάνδρου στα 323 πΧ η αχανής μακεδονική αυτοκρατορία διαιρέθηκε σε τρεις περιοχές Η περιοχή πού περιλάμβανε την Αίγυπτο περιήλθε κάτω από την άξια ηγεμονία του ικανού στρατηγού του Αλεξάνδρου Πτολεμαίου του Σωτήρος ο οποίος σύντομα κέρδισε τη βασιλεία της περιοχής Ο Πτολεμαίος επέλεξε για πρωτεύουσα της περιοχής του την Αλεξάνδρεια λίγα μόνο μίλια από τις εκβολές του ποταμού Νείλου και γύρω στα 300 πΧ άνοιξε τις πόρτες του περίφημου πανεπιστημίου της Αλεξάνδρειας Ανάμεσα στους μελετητές που κλήθηκαν να επανδρώσουν το νέο ίδρυμα ήταν και ο μαθηματικός Ευκλείδης που πιθανότατα υπήρξε μαθητής της Ακαδημίας του Πλάτωνα στην Αθήνα

22

Ο Ευκλείδης από τη στιγμή που ανέλαβε τα καθήκοντά του στην Αλεξάνδρεια όρισε ανάμεσα στους στόχους του τη συγκρότηση του μνημειώδους και ιστορικά σημαντικού έργου του των Στοιχείων Αυτή η αξιόλογη και εκτεταμένη εργασία γραμμένη σε δεκατρία βιβλία ή μέρη αποτελεί την αρχαιότερη εφαρμογή της αξιωματικής μεθόδου που έχει φτάσει στα χέρια μας Θεωρείται ο πρώτος μεγάλος σταθμός στην ιστορία της οργάνωσης των μαθηματικών και η μετέπειτα επίδραση της στον επιστημονικό τρόπο γραφής πολύ δύσκολα μπορεί να περιγραφεί

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη διεκδικούν αναμφισβήτητα μια θέση ανάμεσα στις μεγάλες στιγμές των μαθηματικών Η εργασία αυτή εκτόπισε τόσο γρήγορα και ολοκληρωτικά όλες τις προηγούμενες εργασίες ανάλογου περιεχομένου που σήμερα δεν υπάρχουν αντίγραφα προηγουμένων προσπαθειών και απλά γνωρίζουμε την ύπαρξη τους από σχόλια μεταγενέστερων συγγραφέων Τα Στοιχεία του Ευκλείδη από την πρώτη εμφάνιση τους κέρδισαν τεράστια εκτίμηση Με μοναδική εξαίρεση τη Βίβλο καμιά άλλη εργασία δεν χρησιμοποιήθηκε μελετήθηκε ή εκδόθηκε τόσο πολύ Για πάνω από δύο χιλιετίες κυριάρχησε στο χώρο διδασκαλίας της γεωμετρίας Από την πρώτη έκδοση της στα 1472 έχει γνωρίσει πάνω από χίλιες εκδόσεις Το περιεχόμενο και η μορφή της επέδρασαν εντυπωσιακά στην ανάπτυξη του αντικειμένου της και της λογικής θεμελίωσης των μαθηματικών

Ο Πρόκλος ένας κατοπινός σχολιαστής των μαθηματικών που έζησε στον 5ο αιώνα έχει δώσει μια εξήγηση της έννοιας του όρου laquoστοιχείαraquo Τα στοιχεία μιας αποδεικτικής μελέτης είναι τα πιο σημαντικά θεωρήματα ή τα θεωρήματα κλειδιά που χρησιμοποιούνται συχνά και πλατιά στο αντικείμενο της μελέτης Είναι τα θεωρήματα που χρειάζονται για την απόδειξη όλων ή των περισσότερων από τα άλλα θεωρήματα Η λειτουργία τους συγκρίνεται με αυτή των γραμμάτων του αλφαβήτου σε σχέση με τη γλώσσα Τα γράμματα στα ελληνικά ονομάζονται και στοιχεία Η επιλογή των προτάσεων που θα λειτουργήσουν ως στοιχεία κάποιου θέματος μελέτης απαιτεί μεγάλη ικανότητα και κρίση από το συγγραφέα

Δεν υποτιμά καθόλου την αίγλη του έργου του Ευκλείδη το γεγονός ότι είχαν προηγηθεί ανάλογες προσπάθειες Σύμφωνα με τον Πρόκλο η πρώτη προσπάθεια να γραφτούν Στοιχεία έγινε από τον Ιπποκράτη το Χίο στα μέσα του πέμπτου πΧ αιώνα Η επόμενη προσπάθεια ήταν του Λέοντα που χρονολογικά τοποθετείται κάπου ανάμεσα στον Πλάτωνα και τον Εύδοξο Όπως μαθαίνουμε η εργασία του Λέοντα περιείχε μια μεγαλύτερη και πιο χρήσιμη επιλογή προτάσεων από τον Ιπποκράτη Το βιβλίο που χρησιμοποιούνταν στην Ακαδημία του Πλάτωνα είχε επιμεληθεί ο Θεύδιος από τη Μαγνησία και θεωρούνταν μια θαυμάσια συλλογή στοιχείων Η εργασία του Θεύδιου ήταν ασφαλώς ο άμεσος πρόδρομος της εργασίας του Ευκλείδη ο οποίος την είχε χωρίς αμφιβολία στη διάθεση του ειδικά αν όπως πιστεύουν σπούδασε στην Ακαδημία του Πλάτωνα

Ο Ευκλείδης γνώριζε επίσης την εργασία του Θεαίτητου και του Εύδοξου Δεν είναι καθόλου υποτιμητικό ότι η εργασία του Ευκλείδη αποτελεί σε μεγάλο βαθμό συγκέντρωση και επιμέλεια των εργασιών των προγενεστέρων του αφού η ουσιαστική αξία των Στοιχείων βρίσκεται ακριβώς στην τέλεια επιδεξιότητα με την οποία επιλέχτηκαν και τοποθετήθηκαν

23

σε λογική σειρά οι προτάσεις ξεκινώντας από μια μικρή ομάδα αρχικών υποθέσεων Ούτε είναι υποτιμητικό το γεγονός ότι η εξονυχιστική μελέτη των σύγχρονων κριτικών έχουν αποκαλύψει ορισμένα μειονεκτήματα στη δομή της εργασίας του Ευκλείδη Δε θα μπορούσε κανείς να περιμένει μια τέτοια αρχική και κολοσσιαία προσπάθεια με την αξιωματική μέθοδο να μην παρουσιάζει καμία ατέλεια

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη έχουν γραφεί γύρω στο 300 πΧ αλλά το αυθεντικό χειρόγραφο κείμενο του Ευκλείδη δεν διασώζεται Αντίθετα σώζονται δεκάδες αντίγραφα που σε τελική ανάλυση κατάγονται από αυτό Το αρχαιότερο πλήρες αντίγραφο περιέχεται σε έναν χειρόγραφο περγαμηνό κώδικα που φυλάσσεται σήμερα στη Βιβλιοθήκη της Οξφόρδης και χρονολογείται από του έτους 888 ενώ μικρά αποσπάσματα του έργου διασώζονται σε παπύρους προγενέστερης εποχής καθώς και σε ένα παλίμψητο χειρόγραφο του 7ου ή του 8ου

μΧ αι που φυλάσσεται στο Βρετανικό Μουσείο Βλέπουμε λοιπόν ότι το αρχαιότερο χειρόγραφο που περιέχει το πλήρες κείμενο των Στοιχείων του Ευκλείδη χρονολογείται από τα τέλη του 9ου μΧ αι και επομένως απέχει από την εποχή μας όσο απέχει από την εποχή που ο ίδιος ο Ευκλείδης έγραψε το έργο

Όλες οι σύγχρονες εκδόσεις στηρίζονται σε μια επανέκδοση που έκανε ο Θεωνάς από την Αλεξάνδρεια ένας Έλληνας σχολιαστής που έζησε εφτακόσια περίπου χρόνια μετά τον Ευκλείδη Μόνο στις αρχές του 19ου αιώνα ανακαλύφθηκε ένα παλιότερο αντίγραφο Στα 1808 όταν ο Ναπολέοντας διέταξε να μεταφερθούν όλα τα αξιόλογα χειρόγραφα από τις ιταλικές βιβλιοθήκες στο Παρίσι ο Φ Πέιραρντ (F Peyrard) ανακάλυψε στη βιβλιοθήκη του Βατικανού ένα αντίγραφο των Στοιχείων από έκδοση προγενέστερη από του Θεωνά Η μελέτη όμως αυτής της παλιότερης έκδοσης αποκάλυψε δευτερεύουσες μόνο διαφορές από τον Θεωνά

Οι πρώτες πλήρεις μεταφράσεις των Στοιχείων στα λατινικά δεν έγιναν από τα ελληνικά αλλά από τα αραβικά Τον 8ο αιώνα οι Άραβες μετέφρασαν έναν αριθμό βυζαντινών χειρογράφων με ελληνικές εργασίες και στα 1120 ο Άγγλος μελετητής Άντελαρντ (Adelard) από το Μπαθ μετέφρασε τα Στοιχεία στα λατινικά χρησιμοποιώντας μια απ αυτές τις παλιότερες αραβικές μεταφράσεις Άλλες λατινικές μεταφράσεις από τα αραβικά έκαναν ο Γκεράρντο από την Κρεμώνα (Gherardo 1114-1187) και 150 χρόνια μετά τον Άντελαρντ ο Γιοχάννες Καμπάνους (Johannes Campanus) Η πρώτη τυπωμένη έκδοση των Στοιχείων έγινε στη Βενετία στα 1482 η έκδοση αυτή ήταν η μετάφραση του Καμπάνους Αυτό το πολύ σπάνιο βιβλίο ήταν θαυμάσια τυπωμένο και ήταν το πρώτο αξιόλογο μαθηματικό βιβλίο που τυπώθηκε Μια σημαντική λατινική μετάφραση από τα ελληνικά έγινε από τον Κομμαντίνο (Commandino) στα 1572 Αυτή η μετάφραση χρησιμοποιήθηκε ως βάση για πολλές άλλες μεταφράσεις που ακολούθησαν ανάμεσα σ αυτές και η εργασία του Ρόμπερτ Σίμσον (Robert Simson) που άσκησε σημαντική επιρροή και αποτέλεσε με τη σειρά της τη βάση για πάρα πολλές αγγλικές εκδόσεις

24

Αναλυτική περιγραφή των laquo στοιχείων raquo

Ειδικότερα το πρώτο βιβλίο αναφέρεται σε τεμνόμενες και παράλληλες ευθείες στην ισότητα ευθύγραμμων σχημάτων και στο τέλος το πυθαγόρειο θεώρημα Στο 2ο βιβλίο αναφέρονται συνέπειες από το πυθαγόρειο θεώρημα και γίνονται μετασχηματισμοί ευθύγραμμων σχημάτων σε ισοδύναμα τετράγωνα Εδώ περιέχεται και το πρόβλημα

της laquoχρυσής τομήςraquo Πολλές από τις προτάσεις αυτού μπορούν με σύγχρονους συμβολισμούς να πάρουν μορφή αλγεβρική γιrsquo αυτό έχει επικρατήσει να λέγεται για το 2ο βιβλίο ότι εισάγει τη laquoγεωμετρική άλγεβραraquo Στο 3ο βιβλίο εξετάζεται ο κύκλος και στο τέταρτο βιβλίο λύνονται προβλήματα σχετικά με τα εγγεγραμμένα στον κύκλο κανονικά πολύγωνα Στο 5ο βιβλίο σπουδάζεται η laquoθεωρία των λόγωνraquo του Ευδόξου Πρόκειται ουσιαστικά για τη θεωρία των πραγματικών αριθμών δοσμένη όμως σε μορφή γεωμετρική Το 6ο βιβλίο ασχολείται με την ομοιότητα επίπεδων σχημάτων και σrsquo αυτά αποδεικνύεται ότι από όλα τα ορθογώνια με δοσμένη περίμετρο το τετράγωνο έχει το μέγιστο εμβαδόν Στα βιβλία 7ο-9ο που αφορούν στην αριθμοθεωρία είναι εκπληκτικό πώς με παντελή μπορεί να πει κανείς έλλειψη συμβολισμών (αριθμοί δεν αναγράφονται) κατορθώνεται μια ακροβασία στην αλληλουχία των συλλογισμών που καταλήγει σε πολύ ενδιαφέροντα αριθμητικά αποτελέσματα Ειδικότερα στο 7ο βιβλίο μελετιούνται οι άρτιοι και οι περιττοί αριθμοί οι πρώτοι και οι σύνθετοι καθώς και οι τέλειοι εξετάζονται διάφορα προβλήματα διαιρετότητας ορίζεται το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο αριθμών (ΕΚΠ) καθώς και ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης τους και δίνεται η μέθοδος προσδιορισμού του που ονομάστηκε laquoΕυκλείδειος Αλγόριθμοςraquo Στα δύο επόμενα βιβλία εξακολουθεί η σπουδή αριθμοθεωρητικών θεμάτων στο 8ο εισάγονται επίσης και μελετιούνται οι γεωμετρικές πρόοδοι και στο 9ο έχουν συμπεριληφθεί τρεις σημαντικότατες προτάσεις Πρόκειται για α) το αποκαλούμενο laquoθεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικήςraquo β) την απόφανση ότι υπάρχουν απειράριθμοι πρώτοι και γ) την πρόταση που οδηγεί σε ένα γενικό τύπο που παρέχει άρτιους τέλειους αριθμούς Στο 10ο βιβλίο που αποτελεί ένα από τα ωραιότερα μέρη των Στοιχείων γίνεται μια ταξινόμηση των τετραγωνικών άρρητων και των τετραγωνικών ριζών τους και κατασκευάζεται ένα σύνολο ασύμμετρων μεγεθών το οποίο μαζί με το σύνολο των ρητών συναποτελεί επέκταση αυτού του τελευταίου τέτοια ώστε κάθε στοιχείο της να είναι κατασκευασμένο με κανόνα και διαβήτη Τέλος τα βιβλία της στερεομετρίας το 11ο βιβλίο ασχολείται με θεμελιώδεις σχέσεις μεταξύ ευθειών και επιπέδων καθώς και με τις στερεές γωνίες στο 12ο αναφέρεται σε επιφάνειες και όγκους στερεών και στο 13ο γίνεται η μελέτη της σφαίρας σε συσχετισμό με τα εγγεγραμμένα σε αυτήν κανονικά πολύεδρα

25

Άλλα έργα

bull Δεδομένα (94 θεωρήματα) έργο ανώτερης γεωμετρίας Στο έργο αυτό περιέχονται προτάσεις σε σχήματα στα οποία δίνονται ορισμένα στοιχεία τους κατά σχήμα θέση ή μέγεθος

bull Περί διαιρέσεων (36 προτάσεις) με περιεχόμενό του τη διαίρεση σχημάτων με δοσμένη σχέση

bull Πορίσματα (3 βιβλία που χάθηκαν) σώθηκαν ορισμένα αποσπάσματα που το 1860 έγινε απόπειρα ανασύνθεσής τους από τον Πάππο

bull Οπτικά-κατοπτρικά αντίστοιχα γεωμετρική οπτική ανάκλαση του φωτός πάνω σε επίπεδο κάτοπτρο

bull Φαινόμενα εγχειρίδιο κοσμογραφίας απλές προτάσεις για τη σφαίρα

bull Κατατομή κανόνος στοιχεία πυθαγόρεια θεωρία μουσικής

bull Ψευδάρεια laquoπαράδοξαraquo με στόχο να ασκηθούν οι σπουδαστές στην ανεύρεση λογικών σφαλμάτων κατά τις αποδείξεις

bull Κωνικαί τομαί Μηχανικά δεν γνωρίζουμε τίποτα γιrsquo αυτά τα έργα

Αιτήματα του Ευκλείδη

Τα αιτήματα είναι αρχικές προτάσεις οι οποίες προσιδιάζουν στη συγκεκριμένη κάθε φορά επιστήμη στην προκειμένη περίπτωση στη Γεωμετρία Ο Ευκλείδης διατυπώνει 5 αιτήματα

1 Ζητείται να γίνει δεκτό ότι από οποιοδήποτε σημείο σε οποιοδήποτε σημείο άγεται ευθεία γραμμή

2 Και (ότι) πεπερασμένη ευθεία προεκτείνεται σε ευθεία κατά συνεχή τρόπο

3 Και (ότι) με οποιοδήποτε κέντρο και διάστημα γράφεται κύκλος

4 Και (ότι) όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους

5 Και αν η ευθεία η οποία τέμνει δύο ευθείες σχηματίζει δύο εντός και επί τrsquo αυτά μέρη γωνίες μικρότερες των δύο ορθών τότε οι δύο ευθείες προεκτεινόμενες επrsquo απείρου συναντώνται προς εκείνα τα μέρη τους όπου βρίσκονται μικρότερες των δύο ορθών

Ακολουθούν τα laquoαιτήματαraquo διατυπωμένα σε αρχαίο κείμενο όπως αυτά βρίσκονται στο Βιβλίο Ι

26

Ο ρόλος των τριών πρώτων από τα αιτήματα αυτά είναι να εξασφαλίσουν τη νομιμότητα των κατασκευών της ευθείας και του κύκλου και κατά συνέπεια εκείνων και μόνο των γραμμών και των γεωμετρικών σχημάτων που κατασκευάζονται με πεπερασμένο αριθμό βημάτων από τα δύο αυτά βασικά σχήματα Στα Στοιχεία επομένως δεν έχουν θέση καμπύλες όπως είναι οι κωνικές τομές τη τετραγωνίζουσα κλπ ή κατασκευές όπως κατασκευές νεύσεως Η φύση των δύο τελευταίων αιτημάτων είναι διαφορετική Αποσκοπούν να δηλώσουν ότι κάποια γεωμετρικά σχήματα έχουν ορισμένες ειδικές ιδιότητες

Πολλοί ιστορικοί των μαθηματικών έχουν ασχοληθεί κατά το παρελθόν με το ερώτημα εάν τα αξιώματα του Ευκλείδη ικανοποιούν τις σύγχρονες απαιτήσεις (πληρότητα συνέπεια ανεξαρτησία) ενός αξιωματικού συστήματος Από την προσεκτική μελέτη των αποδείξεων κι των κατασκευών που περιέχονται στα Στοιχεία προκύπτει ότι ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί μερικές φορές απόρρητες παραδοχές οι οποίες δεν περιλαμβάνονται στα αξιώματα Επομένως το σύστημα των αξιωμάτων του δεν ικανοποιεί την απαίτηση της πληρότητας

Μεγάλο ιστορικό ενδιαφέρον εξάλλου έχει το ερώτημα της ανεξαρτησίας των αιτημάτων του Ευκλείδη ιδιαίτερα σε ότι αφορά το πέμπτο από αυτά Το αίτημα αυτό αναφέρεται συχνά και ως laquoαίτημα των παραλλήλωνraquo γιατί μια ισοδύναμη διατύπωσή του είναι η εξής από ένα σημείο εκτός ευθείας άγεται μια μόνο παράλληλη προς τη ευθεία Πολλοί μαθηματικοί από την αρχαιότητα έως τα μέσα του 18ου αιώνα προσπάθησαν να εξαγάγουν το αίτημα αυτό από τα άλλα αιτήματα όλες οι προσπάθειες όμως απέβησαν άκαρπες Από τα τέλη του 18ου αιώνα η προσδοκώμενη εξάρτηση του αιτήματος επιχειρήθηκε να αποδειχτεί με έμμεσο τρόπο Η σκέψη ήταν η εξής αν το αίτημα των παραλλήλων μπορεί να εξαχθεί από τα άλλα τέσσερα αιτήματα μαζί με την άρνηση του πέμπτου θα πρέπει να οδηγούν σε αντίφαση Το νέο σύστημα αξιωμάτων όμως αντί να οδηγήσει σε αντίφαση αποδείχτηκε ότι παράγει συνέπειες μαθηματικές θεωρίες Έτσι ανακαλύφθηκαν οι λεγόμενες μη ευκλείδειες γεωμετρίες και ταυτόχρονα αποδείχθηκε η ανεξαρτησία των αιτημάτων του Ευκλείδη

27

Ας δούμε τώρα την διατύπωση και την απόδειξη της πρότασης (5) που περιέχεται στο Βιβλίο Ι των laquoστοιχείωνraquo και αναφέρεται στη γνωστή μας πρόταση της ισότητας των παρά τη βάση γωνιών ισοσκελούς τριγώνου

28

Γιατί διδάσκουμε το μάθημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στο ζήτημα της laquoχρησιμότηταςraquo των σχολικών Μαθηματικών θα μπορούσε κανείς να αντιπαραθέσει (και πράγματι αντιπαρατέθηκαν) πολλές διαφορετικές απόψεις Εμείς θα παραθέσουμε απλώς ένα απόσπασμα από τις αυτοβιογραφικές σημειώσεις του Albert Einstein το οποίο δείχνει μια άλλη τελείως διαφορετική αντίληψη σχετικά με την laquoχρησιμότηταraquo της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Γράφοντας για τα γεγονότα της παιδικής και εφηβικής του ζωής που είχαν μεγάλη επίδραση στην μετέπειτα εξέλιξη του ο Einstein σημειώνει

Σε ηλικία 12 ετών δοκίμασα μια δεύτερη τελείως διαφορετική έκπληξη σε ένα μικρό βιβλίο Ευκλείδειας επίπεδης γεωμετρίαςhellip Εδώ υπήρχαν ισχυρισμοί όπως για παράδειγμα τα τρία ύψη ενός τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο οι οποίοι - αν και καθόλου προφανείς - μπορούσαν ωστόσο να αποδειχτούν με τέτοια βεβαιότητα ώστε να μην χωρεί η παραμικρή αμφιβολία Αυτή η σαφήνεια και βεβαιότητα μου προξένησαν μια εντύπωση που δεν μπορεί να περιγραφεί Το γεγονός ότι τα αξιώματα έπρεπε να γίνουν δεκτά χωρίς απόδειξη δεν με ενόχλησε Σε κάθε περίπτωση μου αρκούσε πλήρως το γεγονός ότι μπορούσαν να στηρίζω τις αποδείξεις σε προτάσεις η εγκυρότητα των οποίων ήταν για μένα αναμφισβήτητη

Η περίπτωση του Einstein του επιστήμονα που άλλαξε ριζικά τις αντιλήψεις μας και την γεωμετρική δομή του σύμπαντος αποκαλύπτει την σπουδαιότητα ορισμένων παιδαγωγικών σκοπών και τη συνάφειά τους με το ερώτημα που θέσαμε ως τίτλο αυτής της ενότητας καλλιέργεια και ανάπτυξη της συγκροτημένης σκέψης μύηση στην επιστημονική μέθοδο μελέτες του κόσμου Αυτοί οι σκοποί παρόλη τη γενικότητά τους συνδέονται άμεσα με τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας που άσκησαν καθοριστική επίδραση στο νεαρό Einstein τα οποία είναι

bull Σαφήνεια στην έκθεση

bull Ολοκληρωτική απόδειξη κάθε υπόθεσης

bull Απόλυτη συνάφεια σχημάτων και συλλογισμών

bull Τάξη και ομορφιά

Αν τα στοιχεία αυτά αποτελούν ουσιώδη συστατικά της μαθηματικής παιδείας τότε παρέχουν κατά την άποψή μας μια αυτονόητη απάντηση στο ερώτημα laquoΓιατί διδάσκουμε την Ευκλείδεια Γεωμετρίαraquo

Αντιλήψεις και αντιπαραθέσεις για τη διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Οι ένθερμοι υποστηρικτές της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προβάλλουν την παιδαγωγική αξία της λογικής και διάφανης επιχειρηματολογίας των γεωμετρικών αποδείξεων ενώ οι πολέμιοί της επικαλούνται την αναμφισβήτητη δυσκολία των περισσότερων μαθητών να κατανοήσουν τις γεωμετρικές έννοιες και τις πολύ χαμηλές επιδόσεις τους στην αντιμετώπιση σχετικών προβλημάτων Ενδιάμεσα βρίσκονται συνήθως οι σκεπτικιστές οι οποίοι επισημαίνουν τον περιορισμένο επιστημολογικά ρόλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και την ανάγκη να ανανεωθεί η διδασκαλία των Μαθηματικών δίνοντας μεγαλύτερη έμφαση σε πιο σύγχρονους και laquoχρήσιμουςraquo κλάδους (πχ Πιθανότητες και Στατιστική) Από την εποχή που ο Dieudonne κήρυξε τον πόλεμο κατά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας οι αντιλήψεις

29

αυτές έγιναν αντικείμενο επεξεργασίας και αντιπαρατέθηκαν μεταξύ τους από σημαντικούς μαθηματικούς και παιδαγωγούς ενώ οι σχετικές συζητήσεις συνεχίζονται με αμείωτη ένταση μέχρι σήμερα Σε μια ειδική μελέτη της Διεθνούς Επιτροπής για τη Μαθηματική Εκπαίδευση (ICMI) έγινε απόπειρα σύνθεσης των διαφόρων τάσεων και διατυπώθηκαν οι εξής τρεις εναλλακτικές λύσεις για τη διδασκαλία του μαθήματος

1 η λύση

Απορρίπτουμε την ιδέα ότι η Γεωμετρία πρέπει ή μπορεί να χρησιμοποιηθεί στο σχολείο ως ένα σύστημα γνώσεων (παραγωγικά οργανωμένο ή όχι) όπου οι έννοιες και τα γεγονότα πρέπει να γίνουν γνωστά απλά και μόνο επειδή ανήκουν στο σύστημα Αντίθετα η Γεωμετρία και ο χώρος θεωρούνται ως πηγές άντλησης εξαιρετικών θεμάτων για την οργάνωση πολλαπλών δραστηριοτήτων σε διαφορετικά επίπεδα Οι laquoχρησιμοθηρικέςraquo όψεις της Γεωμετρίας θα εξυπηρετηθούν με την παροχή αλγεβρικών μεθόδων

2 η λύση

Εξακολουθούμε να επιχειρούμε τη διδασκαλία ενός αξιωματικού ή ψευδο-αξιωματικού μαθήματος σχολικής Γεωμετρίας το οποίο στηρίζεται είτε σε laquoτροποποίησηraquo των laquoΣτοιχείωνraquo του Ευκλείδη (για παράδειγμα αξιωματική θεμελίωση τύπου Pogorelov) είτε πχ στους γεωμετρικούς σχηματισμούς

3 η λύση

Για ορισμένες ομάδες μαθητών τουλάχιστον παρουσιάζουμε laquoνησίδεςraquo Γεωμετρίας δηλαδή laquoτοπικάraquo παραγωγικά συστήματα μέσα στο πλαίσιο του γενικού αναλυτικού προγράμματος (Έτσι μπορούμε για παράδειγμα να έχουμε ενότητες για τις ιδιότητες των εγγεγραμμένων σε κύκλο γωνιών ή τη στοιχειώδη προβολική Γεωμετρία)

Στην Ελλάδα για προφανείς ιστορικούς και πολιτιστικούς λόγους συνεχίζεται μια παράδοση που προσεγγίζεται εγγύτατα τη δεύτερη από τις προηγούμενες εναλλακτικές λύσεις Ακόμη και την περίοδο της μεταρρύθμισης των laquoΝέων Μαθηματικώνraquo η διεθνής πίεση για εκσυγχρονισμό των σχολικών Μαθηματικών και εγκατάλειψη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αφομοιώθηκε στη χώρα μας μέσα από έναν ιδιότυπο συμβιβασμό από τη μια μεριά διατηρήθηκε όλη η παραδοσιακή σχολική ύλη την οποία σε μεγάλο βαθμό συντηρούσαν οι εισαγωγικές εξετάσεις των ΑΕΙ και από την άλλη δόθηκε υπερβολική έμφαση στην αυστηρή αξιωματική θεμελίωσης της Γεωμετρίας καθώς και με την εισαγωγή νέας ύλης πάνω στους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς Στις αντιφατικές επιλογές εκείνης της περιόδου βρίσκονται κατά την άποψη μας οι ρίζες της μετέπειτα υποβάθμισης και παρακμής του μαθήματος της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

30

Το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στη σύγχρονη Διδακτική των Μαθηματικών τα θεμελιώδη επιστημολογικά χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας όπως είναι η παραγωγική οργάνωση του περιεχομένου η αποδεικτική διαδικασία και η έμφαση στις γεωμετρικές κατασκευές αναφέρονται συνήθως ως laquoανώτερα επίπεδα γεωμετρικής σκέψηςraquo και η μάθηση τους έχει γίνει αντικείμενο συστηματικής μελέτης και έρευνας Ένα βασικό θεωρητικό μοντέλο στο οποίο έχει στηριχθεί η διεξαγωγή μεγάλου αριθμού ερευνών σε διάφορες χώρες αποτελούν τα λεγόμενα laquoεπίπεδα van Hieleraquo Σύμφωνα με αυτό το μοντέλο η μάθηση της Γεωμετρίας εξελίσσεται ιεραρχικά περνώντας από πέντε διαδοχικά επίπεδα

bull 1ο επίπεδο Εποπτικό

bull 2ο επίπεδο ΠεριγραφικόΑναλυτικό

bull 3ο επίπεδο ΑφηρημένοΣχεσιακό

bull 4ο επίπεδο ΤυπικόΠαραγωγικό

bull 5ο επίπεδο Μεταμαθηματικό

Οι μαθητές κατανοούν τη σημασία και τη διαδικασία οικοδόμησης ενός αξιωματικού μαθηματικού συστήματος και τις σχέσεις ανάμεσα σε διαφορετικά συστήματα Για παράδειγμα αναγνωρίζουν ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία δεν είναι παρά ένας από τους πολλούς δυνατούς τρόπους περιγραφής ενός αφηρημένου μαθηματικού σύμπαντος

Είναι φανερό ότι η διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προϋποθέτει τα δύο πρώτα επίπεδα και έχει ως κύριο σκοπό την κατάκτηση των δύο επόμενων επιπέδων (για το 5ο

μάλλον δεν μπορεί να γίνεται λόγος στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση) Σε θεωρητικό επίπεδο τόσο και η θεωρία των van Hiele όσο και η γενικότερη θεωρία των σταδίων μάθησης του Piaget προβλέπουν ότι η κατάκτηση αυτών των επιπέδων είναι μια επίπονη και ιεραρχικά εξελισσόμενη διαδικασία που απαιτεί μακροχρόνια και προσεχτικά σχεδιασμένη διδασκαλία Αυτές οι θεωρητικές προβλέψεις φαίνεται να επιβεβαιώνονται από πολλές εμπειρικές έρευνες που έχουν διεξαχθεί σε διάφορες χώρες και τα αποτελέσματά τους οδηγούν σε ένα βασικό συμπέρασμα laquo η καθιερωμένη παραδοσιακή διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αδυνατεί να οδηγήσει τους μαθητές στην κατάκτηση των ανώτερων επιπέδων γεωμετρικής σκέψης raquo

Από τα αποτελέσματα αυτών των ερευνών αξίζει νrsquo αναφέρουμε εδώ ένα εντυπωσιακό στατιστικό στοιχείο που αποκαλύπτει τις διαστάσεις του προβλήματος σε μια έρευνα που έγινε στις ΗΠΑ μεταξύ 1520 μαθητών που είχαν ολοκληρώσει ένα έτος διδασκαλίας της θεωρητικής Ευκλείδειας Γεωμετρίας διαπιστώθηκε ότι μόνο το 30 είχε φτάσει σε ένα επίπεδο που μπορεί να χαρακτηριστεί από 75 επιτυχία στην απόδειξη απλών γεωμετρικών προτάσεων (πχ ότι οι διαγώνιες ενός ορθογωνίου είναι ίσες) Το ποσοστό των μαθητών που είχαν 100 επιτυχία δεν ξεπέρασε το 3

31

Κοινή πεποίθηση όλων αυτών των ερευνητών είναι ότι για να κατανοηθούν οι παραγωγικές αποδείξεις της Ευκλείδειας Γεωμετρίας απαιτείται μια ισχυρή διαισθητική βάση την οποία οι μαθητές θα αποκτήσουν μέσα από επαγωγικές εμπειρικές ανακαλύψεις τη διαπίστωση και επαλήθευση υποθέσεων τις γεωμετρικές κατασκευές και εφαρμογές Έτσι λοιπόν η διδασκαλία της Γεωμετρίας δεν θα πρέπει να στηρίζεται σrsquo ένα τεχνητό διαχωρισμό ανάμεσα σε laquoΠρακτική Γεωμετρίαraquo σχεδίασης και μετρήσεων και μια laquoΘεωρητική Γεωμετρίαraquo αποδείξεων αλλά να συνδυάζει μια ισορροπημένη ανάπτυξη των δύο αυτών όψεων του μαθήματος σrsquo όλο το φάσμα της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Η επινόηση διδακτικών μέσων και μεθόδων που θα επιτρέψουν την υλοποίηση αυτού του στόχου φαίνεται ότι αποτελεί σήμερα το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ

Η Γεωμετρία του Ευκλείδη απετέλεσε το θεμέλιο για την ανάπτυξη της laquoδυτικήςraquo επιστήμης και τεχνικής και σ αυτή τη Γεωμετρία στηρίζονται οι προϋποθέσεις της κλασικής Φυσικής από την Αναγέννηση και μετά Μόλις το 19ο αιώνα διαπιστώθηκε όμως (Λάμπερτ Γκάους Μπολυάι Λομπατσέβσκι κά) ότι η ευκλείδεια Γεωμετρία στηρίζεται στην απλοϊκή αντίληψη του επίπεδου χώρου ο οποίος είναι μεν χρήσιμος για την περιοχή που αντιλαμβάνεται με τις αισθήσεις του ένας άνθρωπος αλλά όχι για πολύ μεγάλες τιμές των φυσικών μεγεθών (αποστάσεις ταχύτητες μάζες κτλ) Τότε παύει να ισχύει η επίπεδη αντίληψη και μαζί της η Ευκλείδεια Γεωμετρία επειδή στην πραγματικότητα ο χώρος είναι κυρτός Έτσι η Γεωμετρία συμπληρώνεται με βάση αντιλήψεις που στηρίζονται στον υπερβολικό ελλειπτικό κά χώρο

Σήμερα η γεωμετρία του Ευκλείδη διδάσκεται παγκοσμίως και ανελλιπώς επί 23 αιώνες με τον τιμητικό τίτλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Στη σύγχρονη όμως σχολική γεωμετρία περιλαμβάνονται και υπολογισμοί και μετρήσεις οι οποίες από το έργο του Ευκλείδη απουσιάζουν εντελώς

Η συνολική προσφορά του Ευκλείδη στα Μαθηματικά και τις εφαρμοσμένες τέχνες υπήρξε σημαντικότατη και ταυτόχρονα βάση από την οποία εξόρμησαν οι μεταγενέστεροι μαθηματικοί γεωγράφοι και αστρονόμοι για να οδηγηθούν στο τελικό μαθηματικό θαύμα της Ελληνικής Αρχαιότητας

32

33

ΒΙΟΓΡΑΦΙΑ Ο Αρχιμήδης ήταν ένας από τους μεγάλους μαθηματικούς μηχανικούς και φυσικούς του αρχαίου Ελληνικού χώρου και μια από τις μεγαλύτερες μαθηματικές ευφυΐες του κόσμου Γεννήθηκε έζησε και πέθανε στις Συρακούσες την μεγάλη Ελληνική αποικία της Σικελίας

Πατέρας του Αρχιμήδη ήταν ο αστρονόμος Φειδίας που είχε δεσμούς φιλίας με το βασιλικό γένος των Συρακουσών Ο Αρχιμήδης ταξίδεψε στην Αίγυπτο και ήρθε σε επαφή με τους διαδόχους του Ευκλείδη του Ερατοσθένη και το Δισίθεο ενώ ήταν φίλος και συμμαθητής του Κόνωνα του Σάμιου

Υπήρξε λαμπρό παράδειγμα πρωτότυπου ερευνητή ο οποίος δεν ενδιαφέρθηκε να διευκολύνει τους αρχάριους αλλά ασχολήθηκε κυρίως για την αποκάλυψη νέων αληθειών για δική του ικανοποίηση και των ώριμων ήδη διανοούμενων Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο ενώ η κατανόηση του Ευκλείδη δεν απαιτεί εξαιρετική προηγούμενη γνώση και ευφυΐα τα προϊόντα της μαθηματικής σκέψεως τα οποία πρόκειται τώρα να εξετάσουμε είναι προσιτά αποκλειστικώς και μόνο στην ανάγνωση υψηλής πνευματικής στάθμης

Πήγε στην Αίγυπτο ως εκπαιδευτικός και ήρθε σε επαφή όχι βέβαια με τον Ευκλείδη που είχε στο μεταξύ πεθάνει αλλά με τους διαδόχους του και έκανε στενούς δεσμούς με εξαιρετικούς γεωμετρικούς όπως ο Κόνων ο Σάμιος ο Ερατοσθένης ο Κυρηναίος ο Δισίθεος κλπ από τους οποίους κατόπιν όσα έργα συνέταξε μετά την επιστροφή του στην πατρίδα του

34

Το έργο τουΤο έργο του Αρχιμήδη υπήρξε τεράστιο τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά και η ερευνητική ματιά του κάλυψε πολλούς τομείς γεωμετρία οπτική (κατοπτρική) υδραυλική μηχανική αρχιτεκτονική και την πολιορκητική Συνέδεσε το όνομά του με την γένεση της μηχανικής στην αρχαία Ελλάδα και με την λύση περίφημων μαθηματικών προβλημάτων καθώς και με τις αμυντικές εφευρέσεις του που χρησιμοποιήθηκαν όταν οι Ρωμαίοι πολιορκούσαν την πατρίδα του τις Συρακούσες

Σχολιαστής του έργου του Αρχιμήδη υπήρξε ο Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης (6ος αι μΧ) που καταγόταν από την ελληνική πόλη της Συρίας Ασκαλών

Στον χώρο της εφαρμοσμένης μηχανικής ο Αρχιμήδης επινόησε ιδιοφυείς μηχανές κάθε είδους Εφηύρε τον ρωμαϊκό ζυγό (καντάρι) το τρίσπαστο (ανυψωτική τριπλή τροχαλία) και τον ατέρμονα κοχλία έλιξ του Αρχιμήδους μηχανή άντλησης νερού από ποταμούς και φρέατα (η οποία χρησιμοποιείται ακόμα και στις μέρες μας σε περιοχές της βόρειας Αφρικής) Κατασκεύασε ένα υδραυλικό ρολόι το οποίο υπολόγιζε με μεγάλη ακρίβεια τις ώρες (και ειδοποιούσε για την αλλαγή της ώρας)

Μεγάλη φήμη απέκτησαν οι πολεμικές μηχανές του Αρχιμήδη αρχιτρόνιτο (πυροβόλο ατμού) καταπέλτες άρπαγες (μηχανισμός που ανύψωνε και αναποδογύριζε πλοία) και κάτοπτρα για την καύση των Ρωμαϊκών εχθρικών πλοίων (με παραβολικά κάτοπτρα όπως αποδείχτηκε από τα πειράματα του μηχανικού Ι Σακκά ο οποίος το 1973 απόδειξε τον τρόπο με τον οποίο ο Αρχιμήδης έκαψε τον ρωμαϊκό στόλο) Σύμφωνα με την παράδοση όταν η πόλη μετά από τριετή αντίσταση των ελλήνων κατελήφθη με προδοσία ένας ρωμαίος στρατιώτης σκότωσε τον Έλληνα επιστήμονα ενώ αυτός ήταν προσηλωμένος σε κάποιο γεωμετρικό πρόβλημα ΜΗ ΜΟΥ ΤΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥΣ ΤΑΡΑΤΤΕ πρόλαβε να του απαντήσει ο Έλληνας επιστήμονας

Ο Αρχιμήδης επηρέασε σε μεγάλο βαθμό την ευρωπαϊκή επιστημονική σκέψη καθώς και τους Άραβες επιστήμονες οι οποίοι αντέγραψαν όλα τα έργα του στα αραβικά γλώσσα στην οποία διασώθηκαν αρκετά αφού τα πρωτότυπα είχαν χαθεί

35

Διασωθέντα συγγράμματα

bull Περί σφαίρας και κυλίνδρου Βιβλίο α και βbull Κύκλου μέτρησις Σώζονται τρία θεωρήματαbull Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων (32 θεωρήματα 1 πόρισμα)bull Περί ελίκων (28 θεωρήματα 6 πορίσματα)bull Περί επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων ή Μηχανικά Βιβλ α και βbull Περί μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος (=μέθοδος)bull Βιβλίο λημμάτωνbull Πρόβλημα Βοεικόνbull Κατασκευή πλευράς του περιγραφομένου εις κύκλο επταγώνουbull Ωρολόγιον Αρχιμήδους (Σώζεται στα αραβικά)bull Περί κύκλων εφαπτομένων αλλήλωνbull Αρχαί της Γεωμετρίαςbull Ψαμμίτηςbull Τετραγωνισμός παραβολήςbull Οχουμένων (Υδροστατική)bull Στομάχιον (Σώζονται λίγα αποσπάσματα)

Συγγράμματα μη διασωθέντα (ή συγγράμματα μη αποκαλυφθέντα μέχρι σήμερα)

bull Αριθμητικάbull Βαρουλκός Υδροσκοπίαι Πνευματικήbull Επισίδια Βιβλία (Μάλλον περί στατιστικής - Τζέτζης)bull Περί τριγώνωνbull Περί τετραπλεύρουbull Περί ζευγώνbull Περί 13 ημικανονικών πολυέδρωνbull Ισοπεριμετικάbull Ισορροπίαιbull Καύσις δια κατόπτρων (επ΄ αυτού έγινε επιτυχές πείραμα στο ΝΣ)bull Περί Αρχιτεκτονικήςbull Περί βαρύτητος και ελαφρότητος (Πυκνόμετρα - Αραιόμετρα)bull Περί δρομομέτρων (Οδόμετρα πλοίων)bull Περί κέντρου Βάρους ή Κεντροβαρικάbull Κατοπρικάbull Περί παραλλήλων γραμμώνbull Περί κοίλων και παραβολικών κατόπτρωνbull Προοπτικήbull Στοιχεία μηχανικώνbull Πλινθίδες και Κύλινδροιbull Στοιχεία επί των στηρίξεωνbull Σφαιροποιΐα

36

Εφευρέσεις

bull Αραιόμετρο - Πυκνόμετροbull Αστρονομική συσκευήbull Βαρουλκόςbull Γερανοί (Αρπάγες)bull Καταπέλτεςbull Κάτοπτραbull Κοχλίας ή έλιξbull Οδόμετρο (δρομόμετρο)bull Πλανητάριον (σφαίρα)bull Πολύσπαστον (Βαρούλκο) τρίσπαστοbull Σίφωνbull Στομάχιον (επιτραπέζιο παιγνίδι το πρώτο παζλ)bull Τηλεβόλον Αρχιμήδους bull Χαριστίων (μοχλός)bull Ωρολόγιο υδραυλικό

37

Τα συγγράμματα του Αρχιμήδη που σώθηκαν μέχρι σήμερα είναι τα ακόλουθα Περί σφαίρας και κυλίνδρου Κύκλου μέτρησις περί σφαιροειδέων και κωνοειδέων Περί λίκων Επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων Ψαμμίτης Τετραγωνισμός παραβολής Οχούμενων Στομάχιον Προς Ερατοσθένην Έφοδος Βιβλίον περί λημμάτων Πρόβλημα βοεικόν Αποσπάσματα Μερικά από αυτά διασώθηκαν Πολλά επίσης είναι τα συγγράμματα του που χάθηκαν

Έκανε τα πρώτα βήματα για το μαθηματικό υπολογισμό επιφανειών με ακανόνιστο περίγραμμα και συμμετρικών εκ περιστροφής σωμάτων μέθοδος που εξελίχθηκε τεκμηριώθηκε και ονομάστηκε στην σύγχρονη εποχή laquoΟλοκληρωτικός Λογισμόςraquo υπολόγισε μία προσεγγιστική τιμή για τον άρρητο αριθμό π διατύπωσε το νόμο προεκτάσεις του γενίκευσε την εφαρμογή λέγοντας laquoΔώστε μου σημείο να στηριχθώ και θα κινήσω την γηraquo διατύπωσε την ομώνυμη αρχή για την άνωση του νερού κατασκεύασε διάφορες μηχανές ένα τύπο πολύσπαστου τον κοχλία μία αντλητική μηχανή με την laquoαρχιμήδειον έλικαraquo κά

Η συμβολή του ΑρχιμήδηΗ συμβολή του Αρχιμήδη στην ανάπτυξη της Μηχανικής συνιστάται πέρα από την επινόηση των τροχαλιών του πολύσπαστου και των οδοντωτών τροχών και ενός ιδιόμορφου αντλητικού συγκροτήματος στην έλικα που φέρει το όνομα του Ακόμα στην επακριβή διατύπωση των νόμων των μοχλών και των ισορροπιών ή κέντρα βαρών Εδώ υπάρχει και η περίφημη πρόταση laquo σύμμετρα μεγέθη ισορροπούν σε αποστάσεις αντιστρόφως ανάλογες προς το βάρος τους raquo

Σε σχέση με τους μοχλούς και τις δυνατότητες τους μας αναφέρει τη φράση laquo δος μοι πα στω και ταν γαν κινάσω raquo Απέδειξε στον Ιέρωνα ότι με ένα σύστημα τροχαλιών ndash οδοντωτών τροχών και μοχλών μπορεί να μετακινήσει ένα τεράστιο πλοίο με όλο το πλήρωμα μέσα μόνος του Ήταν ακόμα ο ίδιος που σχεδίασε και επιμελήθηκε τη ναυπήγηση του πλοίου

Ανέλαβε μετά από εντολή του Ιέρωνα την οχύρωση της πόλης και διηύθυνε ο ίδιος την άμυνα της εναντίον των Ρωμαίων

Στην αστρονομία ο Λίβιος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης είναι laquoμοναδικός παρατηρητής του ουρανού και των αστέρων raquo Ο Ίππαρχος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης ασχολήθηκε με τη μελέτη των ηλιοστασίων καθώς και με τον υπολογισμό της διάρκειας του έτους

Ο Μακρόβιος αναφέρει ότι ο Αρχιμήδης ανακάλυψε τις αποστάσεις των πλανητών ενώ στο έργο laquoΨαμμίτηςraquo περιγράφει τη συσκευή μέσω της οποίας μέτρησε τη φαινομενική γωνιακή διάμετρο του ήλιου

38

Ο Κικέρων αναφέρεται με θαυμασμό για τον Αρχιμήδη στα laquoΚατοπτρικάraquo Στα Μαθηματικά που ο ίδιος θεωρούσε ως τα πιο σημαντικά παρουσίασε την μέθοδο του προσδιορισμού του αριθμού π Τελειοποίησε το ελληνικό σύστημα αρίθμησης και παρουσίασε μια μέθοδο παράστασης των πολύ μεγάλων αριθμών Ασχολήθηκε με τη διαφορική Γεωμετρία βρήκε τους τύπους πρόσθεσης και αφαίρεσης τόξων Υπολόγισε το εμβαδόν της σφαίρας και του κυλίνδρου Μελέτησε διάφορα στερεά εκ περιστροφής όπως τα στερεά που παράγονται από περιστροφή έλλειψης υπερβολής και παραβολής γύρω από έναν άξονα

Στη Γεωμετρία το έργο του Αρχιμήδη αποτελείται κατά κύριο λόγο από πρωτότυπες μελέτες σχετικά με τον τετραγωνισμό των καμπυλόγραμμων επίπεδων σχημάτων καθώς και με τον τετραγωνισμό και τον κυβισμό καμπύλων επιφανειών

Τέλος επινόησε στο σύνολό της την Υδροστατική Επιστήμη την οποία ανέπτυξε πλήρως Οι μελέτες του αναπαριστούν ένα σύνολο μαθηματικών και γεωμετρικών επιτευγμάτων το οποίο δεν ξεπέρασε κανείς στην ανθρώπινη ιστορία

Όπως αναφέρει ο Wallis laquo ο Αρχιμήδης αφήνει ένα συγκεκριμένο μυστήριο να καλύπτει τον τρόπο με τον οποίο κατέληγε στα αποτελέσματά του Είναι σαν να είχε καλύψει σκοπίμως τα ίχνη του τα ίχνη των ερευνών του σα να ήταν απρόθυμος να αποκαλύψει το μυστικό της μεθόδου έρευνάς του στους μεταγενέστερους ενώ επιθυμούσε να αποσπάσει τη συναίνεσή τους για τα αποτελέσματά του raquo

Ο ίδιος ο Αρχιμήδης ως φορέας ενός ανώτερου φιλοσοφικού πνεύματος θεωρούσε ταπεινή και ανάξια κάθε τέχνη που εξυπηρετούσε πρακτικές ανάγκες ή αποσκοπούσε στο οικονομικό κέρδος Γι` αυτό και έστρεψε όλη του την προσοχή και τις επιδιώξεις στους καθαρούς στοχασμούς χωρίς να καταδεχτεί να αφήσει κάποιο γραπτό στοιχείο για τις τεχνολογικές του ανακαλύψεις με μοναδική εξαίρεση όσες αναφέρονται στο έργο του laquoπερί σφαιροποιίαςraquo Δεν είναι καθόλου τυχαίο λοιπόν το ότι ο Κικέρων αργότερα βρήκε τον τάφο του και πάνω μία αναπαράσταση ενός κυλίνδρου περιγεγραμμένου σε σφαίρα με μία περιγραφή που έδινε το λόγο του κυλίνδρου προς τη σφαίρα

Σε ποιους τομείς εφαρμόστηκαν οι θεωρίες του Εξαιρετικές του μελέτες και για τη μέθοδο και για το αποτέλεσμα είναι εκείνες που έδωσαν τα εμβαδά Κύκλου Έλλειψης Παραβολής και Έλικας καθώς και τα εμβαδά και τους όγκους των Κυλίνδρων των Κώνων και κυρίως των Σφαιρών

Σημαντικότατη θεωρείται και η ανακάλυψη από τον ίδιο τύπου που δίνει το εμβαδόν τριγώνου από τις πλευρές του και ακόμα η επέκτασή του στα εγγεγραμμένα τετράπλευρα Ο Αρχιμήδης επίσης γνώριζε να κατασκευάζει τη λύση ειδικών τριτοβάθμιων προβλημάτων και μεταξύ αυτών και του Δηλίου Προβλήματος Τις λύσεις αυτές τις έδινε με την τομή δύο κωνικών (Ευτόκιος) Μοναδική είναι η προσφορά του στην ανώτερη μετρική Γεωμετρία Συγκεκριμένα εξέφρασε τους όγκους στερεών εκ περιστροφής κωνικών τομών εφαρμόζοντας απειροστικές μεθόδους ανάλυσης των στερεών αυτών

39

Στη σύγχρονη κλασική γεωμετρία όλο σχεδόν το μετρικό της μέρος οφείλεται στον Αρχιμήδη με αποτέλεσμα αυτή ουσιαστικά να είναι ισορροπημένη μείξη της Ευκλείδειας και της Αρχιμήδειας αρχαίας γεωμετρίας

Έτσι ο σοφός μας αποτελεί ουσιαστικά τον πατέρα της ανώτερης μετρικής γεωμετρίας της αρχαιότητας και ταυτόχρονα την πηγή έμπνευσης των νεώτερων μελετών του διαφορικού και απειροστικού λογισμού

Η πρωτοτυπία και η αποτελεσματικότητα των μελετών του έγιναν αιτία να χαρακτηριστεί από τους ιστορικούς των μαθηματικών ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών και όλων των εθνών

Ρεύμα στα ανάκτορα της Βρετανίας μέσω εφεύρεσης του Αρχιμήδη ( httpkatestimenoblogspotcom201109blog-post_1015html )

laquoΗ Βασίλισσα Ελισάβετ πρόκειται να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση ενός αρχαίου Έλληνα για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Και όταν λέμε αρχαίο Έλληνα εννοούμε τον Αρχιμήδη και όχι τον 90χρονο σύζυγό της Φίλιππο της Ελλάδαςraquo

Με αυτόν τον τίτλο πληροφορεί το βρετανικό κοινό η εφημερίδα ldquoDaily Mailrdquo για την απόφαση της Αυτής Μεγαλειότητας να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση του αρχαίου Έλληνα εφευρέτη Αρχιμήδη από τις Συρακούσες για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Πρόκειται για τη σύγχρονη εκδοχή του ατέρμονα κοχλία της έλικος του Αρχιμήδους όπως έμεινε γνωστή η εφεύρεση και είναι ένας σωληνοειδής κοχλίας που χρησίμευε για την άντληση νερού και την άρδευση καλλιεργημένων εκτάσεων

Η σύγχρονη εκδοχή της εφεύρεσης θα χρησιμοποιεί το νερό που μεταφέρεται από ένα τεχνητό φράγμα για να παράγει υδροηλεκτρική ενέργεια Ο μηχανισμός έχει ήδη μεταφερθεί μέσω του Τάμεση στο Romney Weir στα ανάκτορα του Γουίντσορ Σύμφωνα με το δημοσίευμα της εφημερίδας οι έλικες θα είναι έτοιμες για την παραγωγή ενέργειας τον προσεχή Νοέμβριο ενώ θα μπορούν να καλύψουν πλήρως τις ανάγκες του κάστρου σε ενέργεια μέσα στον επόμενο χρόνο

Εκτός αυτού οι τουρμπίνες είναι σχεδιασμένες ώστε να μην εμποδίζουν την ασφαλή διέλευση σολομού και χελιού μέσα στον ποταμό Τάμεση

Οι laquoέλικες του Αρχιμήδηraquo βάρους 40 τόνων κατασκευάστηκαν από ένα εργοστάσιο στην Ολλανδία και στοίχησαν 700000 λίρες Αγγλίας ενώ το κόστος εγκατάστασής τους θα ξεπεράσει το ένα εκατομμύριο λίρες

40

[Aristot Metaph A 5985 b 23]οἱ καλούμενοι Πυθαγόρειοι τῶν μαθημάτων ἁψάμενοι πρῶτοι ταῦτά τε προήγαγον καὶ ἐντραφέντες ἐν αὐτοῖς τὰς τούτων ἀρχὰς τῶν ὄντων ἀρχὰς ᾠήθησαν εἶναι πάντων ἐπεὶ δὲ τούτων οἱ ἀριθμοὶ φύσει πρῶτοι ἐν δὲ τούτοις ἐδόκουν θεωρεῖν ὁμοιώματα πολλὰ τοῖς οὖσι καὶ γιγνομένοις μᾶλλον ἢ ἐν πυρὶ καὶ γῇ καὶ ὕδατι ὅτι τὸ μὲν τοιονδὶ τῶν ἀριθμῶν πάθος δικαιοσύνη τὸ δὲ τοιονδὶ ψυχή τε καὶ νοῦς ἕτερον δὲ καιρὸς καὶ τῶν ἄλλων ὡς εἰπεῖν ἕκαστον ὁμοίως ἔτι δὲ τῶν ἁρμονιῶν ἐν ἀριθμοῖς ὁρῶντες τὰ πάθη καὶ τοὺς λόγους - ἐπεὶ δὴ τὰ μὲν ἄλλα τοῖς ἀριθμοῖς ἐφαίνετο τὴν φύσιν ἀφωμοιῶσθαι πᾶσαν οἱ δ ἀριθμοὶ πάσης τῆς φύσεως πρῶτοι τὰ τῶν ἀριθμῶν στοιχεῖα τῶν ὄντων στοιχεῖα πάντων ὑπέλαβον εἶναι καὶ τὸν ὅλον οὐρανὸν ἁρμονίαν εἶναι καὶ ἀριθμόν

bull Πυθαγόρειες τριάδες

Ο Πρόκλος αποδίδει στον ίδιο τον Πυθαγόρα την εύρεση των πυθαγορείων τριάδων της

μορφής

+ΝminusΝΝ2

12

122

όπου Ν περιττός αριθμός μεγαλύτερος του 1 Για

παράδειγμα αν πάρουμε ως Ν τον αριθμό 3 θα σχηματιστεί η τριάδα

+minus2

132

13322

δηλαδή η (3 4 5) η οποία είναι πράγματι Πυθαγόρεια τριάδα αφού ικανοποιεί τη σχέση 222 543 =+

Φαίνεται ότι αληθεύει η εκδοχή λόγω της παράδοσης κάποιες μαθηματικές γνώσεις να μεταδόθηκαν από την Αίγυπτο σε πολλούς αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς ανάμεσα τους τον Πυθαγόρα

12

bull Πυθαγόρειο θεώρημα

Σε αντιστοιχία με τον ορισμό των πυθαγορείων τριάδων ένα τρίγωνο λέγεται πυθαγόρειο όταν τα μήκη των πλευρών του αποτελούν Πυθαγόρεια τριάδα Προφανώς κάθε ορθογώνιο τρίγωνο είναι πυθαγόρειο ενώ το αντίστροφο γενικά δεν ισχύει Το ΠΘ αποτελεί χαρακτηριστικό παράδειγμα μελέτης των ιδιοτήτων των σχημάτων Ο Ευκλείδης στα laquoΣτοιχείαraquo μας λέει ουσιαστικά ότι η επιφάνεια που καταλαμβάνει το τετράγωνο που κατασκευάζεται με πλευρά την υποτείνουσα ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι ίση με την επιφάνια που καταλαμβάνουν μαζί τα τετράγωνα που κατασκευάζονται με πλευρά τις κάθετες πλευρές του τριγώνου

-Ορισμός Πυθαγορείου Θεωρήματος Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών Αντίστροφο Πυθαγορείου Θεωρήματος Αν σε ένα τρίγωνο το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο

Η απόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήματος που χρησιμοποιούμε συνήθως σήμερα στηρίζεται στην έννοια της ομοιότητας των τριγώνων και τις αλγεβρικές ιδιότητες των αναλογιών ενώ το θεώρημα διατυπώνεται στη μορφή μιας αλγεβρικής ισότητας για τετράγωνα των μήκων των πλευρών του ορθογώνιου τριγώνου Με τον τρόπο αυτό γίνεται ένα ευέλικτο υπολογιστικό εργαλείο με πολυάριθμες εφαρμογές και προεκτάσεις

Το πυθαγόρειο θεώρημα αποδεικνύεται με πάνω από έναν τρόπους

13

Απόδειξη με εμβαδά

Θεωρούμε ένα τετράγωνο πλευράς a + b και σχεδιάζουμε σε αυτό τέσσερα ορθογώνια τρίγωνα με πλευρές a και b και υποτείνουσα c έτσι ώστε στο κέντρο να έχουμε τετράγωνο πλευράς c (βλ σχήμα)

Υπολογίζουμε το εμβαδό του τετραγώνου προσθέτοντας το εμβαδό του μικρότερου τετραγώνου καθώς και τα εμβαδά των τεσσάρων τριγώνων

c2 + 2abΑφού πρόκειται για τετράγωνο πλευράς a + b το εμβαδό του ισούται επίσης με

a2 + b2 + 2abΕξισώνοντας τις δυο αυτές σχέσεις προκύπτει

a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab ή a2 + b2 = c2

Απόδειξη με ομοιότητα τριγώνων

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ορθή γωνία την Α Θεωρώ το ύψος της υποτείνουσας ότι την τέμνει στο σημείο Δ Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΒΑ είναι όμοια μεταξύ τους ως ορθογώνια τρίγωνα με ίδια τη γωνία Β Παρομοίως τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΓΑ είναι όμοια μεταξύ τους με ίδια τη γωνία Γ

Ισχύει ))(()AB()AB()(

)()AB( 2 ∆ ΒΒ Γ=rArr∆ Β=

Β Γ και (ΑΓ)2 = (ΒΓ)(ΔΓ)

Αν προσθέσουμε τις δυο αυτές εξισώσεις έχουμε(ΑΒ)2 + (ΑΓ)2 =

(ΒΓ)(ΔΒ) + (ΒΓ)(ΔΓ) = (ΒΓ)(ΔΒ + ΔΓ) = (ΒΓ)2

bull Η περίφημη κούπα του Πυθαγόρα

Ο Πυθαγόρας κατά την τοπική παράδοση της Σάμου είχε φτιάξει μια κούπα εφαρμόζοντας τους νόμους της Φυσικής για να πίνει με μέτρο το κρασί Εσωτερικά είχε μία γραμμή που όριζε ως που έπρεπε να γεμίσει κανείς Μια στάλα παραπάνω και η κούπα άδειαζε όλο το κρασί της από μία κρυφή οπή στη βάση Πως όμως γίνεται αυτό Στο κέντρο της κούπας βρίσκεται μια στήλη τοποθετημένη ακριβώς πάνω από έναν σωλήνα ο οποίος οδηγεί στο κάτω μέρος της Εκεί βρίσκεται η κρυφή οπή Ενώ γεμίζουμε την κούπα η στάθμη του κρασιού ανεβαίνει και στο εσωτερικό της κεντρικής στήλης ακολουθώντας το νόμο του Pascal για τα συγκοινωνούντα δοχεία

14

Όσο η στάθμη του κρασιού δεν ξεπερνά τη γραμμή που είναι χαραγμένη στο εσωτερικό της κούπας laquoδεν τρέχει τίποταraquo Εάν όμως την ξεπεράσει ταυτόχρονα φτάνει και στην κορυφή της εσωτερικής στήλης έτσι μέσω του σωλήνα το παραπανίσιο κρασί χύνεται κάτω από την κούπα Τότε η υδροστατική πίεση δημιουργεί ένα σιφόνι στον εσωτερικό σωλήνα το οποίο αδειάζει όλο το περιεχόμενο της κούπας από την οπή που υπάρχει

Ένα πλήθος επιπρόσθετων επιτευγμάτων όπως η κατασκευή και η μελέτη τριών τουλάχιστον από τα πέντε κανονικά πολύγωνα (κύβος τετράεδρο δωδεκάεδρο) και η κατασκευή της μουσικής κλίμακας (μελέτη των λόγων της τετράχορδης λύρας και δημιουργία κανόνα της οχτάχορδης λύρας) μας αποδεικνύει τη σημαντικότητα του Πυθαγόρα ως επιστήμονας της εποχής του Οι πληροφορίες για τη μελέτη των πολυέδρων δεν είναι αρκετές ωστόσο για τη μουσική κλίμακα γνωρίζουμε ότι βασίστηκε στις μελέτες του Πυθαγόρα ο οποίος μελετώντας τη μαθηματική σχέση της μουσικής κλίμακας και διατυπώνοντας σχετικούς κανόνες διευκόλυνε κατά πολύ την κατασκευή μουσικών οργάνων Κατάφερε να εκφράσει τη μουσική αρμονία με μαθηματικές σχέσεις μέσα από τη φιλοσοφική και επιστημονική του προσέγγιση Ξεκινώντας από μία χορδή και διαιρώντας διαδοχικά με το μήκος της και τον χρυσό αριθμό Φ κατάφερε να κατασκευάσει το μουσικό όργανο laquoΚανόναraquo εξέλιξη του οποίου συναντάται σήμερα στο γνωστό laquoκανονάκιraquo

Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΟΥ ΣΤΟ ΣΗΜΕΡΑ

Το αρχαιότερο παράδειγμα εφαρμογής του γνωστού σε όλους laquoπυθαγορείου θεωρήματοςraquo το συναντούμε στη πινακίδα ΒΜ 85196 που χρονολογείται από την περίοδο της πρώτης βαβυλωνιακής χιλιετίας πΧ Έχοντας γνώση λοιπόν του έργου του οι Βαβυλώνιοι οδηγηθήκαν σε αξιόλογα επιτεύγματα

Ο Πυθαγόρας υπήρξε μεγάλη προσωπικότητα με τις έρευνες και το Πανεπιστήμιό του συνέβαλε στο άλμα των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών Η περίεργη μυστικότητα όμως που διέπνεε το σύλλογο έγινε αιτία να μην πληροφορηθούν οι βιογράφοι επακριβώς όλα τα προσωπικά επιτεύγματα του ίδιου Έτσι σήμερα αγνοούμε εν μέρη το δικό του έργο το οποίο ασφαλώς θα ήταν σημαντικότατο

Όσο αναφορά το πυθαγόρειο σχήμα παρά τα αρκετά μειονεκτήματα έχει μερικά χαρακτηριστικά τα οποία μόνιμα επηρέαζαν την ελληνική αστρονομική σκέψη Έδινε βαρύτητα στις κυκλικές κινήσει των ουράνιων σωμάτων γύρω από ένα κεντρικό στοιχείο Τέλος στον Πυθαγόρα και τους Πυθαγορείους οφείλεται πλήθος γεωμετρικών εργασιών αφού αυτοί μελέτησαν με επιτυχία την επιστήμη της Γεωμετρίας

15

Πλάτων ο ΑθηναίοςΒιογραφικά στοιχεία

Έζησε στο διάστημα (427-347πΧ) Ήταν Aθηναίος φιλόσοφος αριστοκρατικής καταγωγής όπου ίδρυσε και διεύθυνε το διασημότερο πανεπιστήμιο στην αρχαία Ελλάδα την Ακαδημία για 40 περίπου χρόνια μέχρι το θάνατό του Πατέρας του ήταν ο Αρίστωνας ο οποίος καταγόταν από το γένος του βασιλιά Κόδρου και μητέρα του ήταν η Περικτιόνη η οποία ήταν αδερφή του Χαρμίδη ενός από τους Τριάκοντα τύραννους και ανιψιά του Κριτία επίσης μέλος των Τριάκοντα με καταγωγή από το γένος του νομοθέτη Σόλωνος Αδέρφια του ήταν οι Αδείμαντος και Γλαύκων Το πρώτο του όνομα ήταν Αριστοκλής αλλά αργότερα ονομάστηκε Πλάτωνας γιατί είχε ευρύ στέρνο και πλατύ μέτωπο

Σε ηλικία 18 ετών γνώρισε τον Σωκράτη και γοητεύτηκε από την προσωπικότητα και από την διδασκαλία του Από το συνολικό έργο του διασώζονται 36 έργα τα οποία εκτός από την Απολογία του Σωκράτη έχουν την μορφή διαλόγου σε όλα εκτός των Νόμων Την συζήτηση διεύθυνε ο Σωκράτης ενώ ο τίτλος του καθενός είναι το όνομα του σπουδαιότερου συνομιλητή ή αφηγητή Στα έργα αυτά γίνεται φανερή η τοποθέτηση του και ο άκρατος

θαυμασμός του προς τα μαθηματικά και ιδιαίτερα προς την γεωμετρία

Λίγες πληροφορίες για την Ακαδημία

Η Ακαδημία ήταν ένα προάστιο των Αθηνών Πήρε το όνομά της από τον ήρωα Ακάδημο Αναφορικά ο Ιππίας γιος του Πεισίστρατου έκτισε ένα κυκλικό τοίχο και ο Κίμωνας φύτεψε τη περιοχή με τα δέντρα η οποία καταστράφηκε από τον Σίλα το 86 πΧ Το 387

16

πΧ O Πλάτωνας ίδρυσε τη φιλοσοφική του σχολή η οποία έγινε πολύ διάσημη χάρη στους νεοπλατωνιστές και χρησιμοποιείτο έως το 526 μΧ οπότε και έκλεισε από τον αυτοκράτορα Ιουστινιανό Η Ακαδημία ήταν σχολή ανωτέρων μελετών και ταυτόχρονα και εκπαιδευτικό ίδρυμα Είχε ισχυρή καταστατική συγκρότηση και παρουσιάζεται περισσότερο υπό τη μορφή μιας αδελφότητας μιας φιλοσοφικής αίρεσης τα μέλη της οποίας αισθάνονται στενά συνδεδεμένα μεταξύ τους και διακρίνεται και από μια οικειότητα στις σχέσεις μεταξύ των μαθητών και των δασκάλων την οποία θα χαρακτηρίζαμε στοργική και φιλική συνάμα Υπάρχει μια διαφωνία σχετικά με το αν η Ακαδημία ήταν ένωση για τη πρόοδο των επιστημών ή ίδρυμα ανώτατης μόρφωσης Η διαφωνία αυτή είναι κάπως άσκοπη δεδομένου το ότι ο άκρατος ρεαλισμός της σχολής αλλά και ο απλός χαρακτήρας της αρχαϊκής εκείνης εποχής δεν επιτρέπουν στο να μεταθέσουμε σε εκείνο το περιβάλλον τη σύγχρονη αντίληψη που έχουμε για την επιστήμη Η Ακαδημία άλλωστε ήταν σχολή ανώτερων μελετών αλλά και εκπαιδευτικό ίδρυμα ταυτόχρονα Τέλος ο Πλάτωνας δεν ονειρεύτηκε μόνο τη ldquoμετά επιστήμηςrdquo παιδεία αλλά και τη μετέδωσε για σαράντα χρόνια στους μαθητές του στην Ακαδημία

Η Ακαδημία ήταν ο τόπος στον οποίο ο Πλάτωνας προσπαθούσε να δείξει τον δρόμο σε προικισμένους μαθητές ώσπου να αναπηδήσει ο σπινθήρας και να αποκαλυφθεί η έσχατη γνώση Ξέρουμε τόσα λίγα για την καθημερινή διδασκαλία στην ακαδημία την εποχή του Πλάτωνα ώστε πότε-πότε θέλησαν να αρνηθούν τον επιστημονικό χαρακτήρα της Τέτοιοι σκεπτικισμοί δεν στηρίζονται πουθενά Την μεγάλη σημασία των μαθηματικών σαν προπαίδεια για την διαλεκτική η οποία στηριζόταν σε αυτά την δείχνουν μερικές προσωπικότητες του Πλατωνικού κύκλου και χωρίς αμφιβολία υπάρχει ουσιαστική αλήθεια στο ανέκδοτο που λένε ότι βρισκόταν πάνω από την είσοδο της Ακαδημίας laquoἁγεωμέτρητος μηδείς εἰσίτωraquo Ξέρουμε ακόμα ότι η διαιρετική μέθοδος για την οποία μιλήσαμε στους οψιμότερους διαλόγους έπαιξε σημαντικό ρόλο στον αγώνα για ένα λογικά ταχτοποιημένο κοσμοείδωλο και στην απόκτηση ορισμών με την διαίρεση των γενικότερων εννοιών

Η συμβολή του Πλάτωνα και της Ακαδημίας στα μαθηματικά

Η συμβολή της Ακαδημίας στα μαθηματικά του 4ου αιώνα πΧ είναι σημαντικότατη ιδιαίτερα με τα έργα των καθηγητών της Θεαίτητου Μεναίχμου και Ενδόξου Η συμβολή όμως του Πλάτωνα είναι αμφιλεγόμενη αν και πιστεύεται ότι

-Έλυσε το Δήλιο πρόβλημα (διπλασιασμό του κύβου) με κινητική γεωμετρία και κάποιο όργανο με την βοήθεια του οποίου προέκυπτε η λύση

-Έδωσε γενική μορφή στην αναλυτική μέθοδο και συνέβαλε στην έρευνα των γεωμετρικών τύπων

-Προσδιόρισε ένα πλήθος των πυθαγορείων τριάδων δηλαδή των τριαδικών ακέραιων αριθμών που επαληθεύουν την ισότητα x2+y2=ω2 του Πυθαγορείου θεωρήματος

Για τα πολυσυζητημένα αστρονομικά ζητήματα της εποχής του (κίνηση του ουρανού θέση σχήμα και κίνηση της Γης) παρουσιάζει ξένες και θολά διατυπωμένες απόψεις γεγονός που

17

φανερώνει ότι δεν διέθετε προσωπική άποψη για το θέμα και γενικά ότι δεν ήταν μαθηματικός

Έγραψε μεταξύ άλλων την απολογία του Σωκράτη η οποία θεωρείται ως μια σχετικά ακριβής καταγραφή της απολογίας του Σωκράτη στην δίκη που τον καταδίκασε σε θάνατο Μετά τη θανάτωση του Σωκράτη για λίγο καιρό κατέφυγε στα Μέγαρα κοντά στον συμμαθητή του Ευκλείδη Ύστερα γύρισε στην Αθήνα όπου για 10 χρόνια ασχολήθηκε με τη συγγραφή φιλοσοφικών έργων τα οποία φέρουν τη σφραγίδα της σωκρατικής φιλοσοφίας Στη συνέχεια ταξίδεψε στην Αίγυπτο και στην Κυρήνη όπου σχετίστηκε με τον μαθηματικό Θεόδωρο και τέλος στον Τάραντα της Ιταλίας όπου γνώρισε τους πυθαγόρειους από τη φιλοσοφική σκέψη των οποίων επηρεάστηκε αποφασιστικά Μετά πέρασε στη Σικελία Στην αυλή του βασιλιά των Συρακουσών Διονυσίου Α΄ γνώρισε τον βασιλικό γυναικάδελφο Δίωνα με τον οποίον συνδέθηκε φιλικά Η φιλία όμως αυτή προκάλεσε τις υποψίες του Διονυσίου για συνωμοσία γι αυτό έδιωξε τον Πλάτωνα από τη Σικελία Στην Αίγινα κινδύνεψε να πουληθεί ως δούλος αλλά τον εξαγόρασε ο Κυρηναίος φίλος του Αννίκερης Επιστρέφοντας στην Αθήνα άνοιξε τη φιλοσοφική σχολή του την Ακαδημία (387 πΧ) Η προσπάθεια όμως των δύο φίλων να προσηλυτίσουν στις ιδέες τους τον νέο ηγεμόνα Διονύσιο τον Πρεσβύτερο απέτυχαν Για τρίτη φορά ήρθε στην αυλή των Συρακουσών το 361 πΧ με σκοπό να συμφιλιώσει τον Δίωνα με τον Διονύσιο Αυτή τη φορά κινδύνεψε και η ζωή του Τον έσωσε η επέμβαση του πυθαγόρειου Αρχύτα Αλλά ο Δίωνας δεν γλίτωσε Δολοφονήθηκε το 353 πΧ Έτσι ο Πλάτωνας έχασε τον άνθρωπο στον οποίο στήριξε τις ελπίδες του για την επιβολή των πολιτικών του ιδεών Από τότε και μέχρι τον θάνατό του ασχολήθηκε με τη διδασκαλία και με τη συγγραφή φιλοσοφικών έργων Επίσης έγραψε το συμπόσιο που μιλάει για την φύση του έρωτα στον Πρωταγόρα Μεταξύ άλλων θεμελιώνεται θεωρητικά η αρχή της πρόληψης που δεν λαμβάνει την τιμή ως απολύτως ανταποδοτική στον Παρμενίδη και Θεαίτητο θεμελιώνει την αντικειμενικότητα του λόγου και της ιδέας ενώ σε 2 μακρούς διαλόγους την Πολιτεία και τους Νόμους περιέγραψε την ιδανική πολιτεία

Η κύρια συμβολή του στα μαθηματικά βρίσκεται κυρίως στο ότι προέτρεπεe τους μαθηματικούς να ερευνούν καθολικές μαθηματικές αλήθειες και γενικά να καλλιεργούν τα μαθηματικά τα οποία θεωρούσε ότι διαθέτουν τεράστια εκπαιδευτική αξία Η προτροπή αυτή φαίνεται εκτός των άλλων και στις απόψεις του ότι τα μαθηματικά είναι lsquorsquoδόσις θεῶν εἰς ἀνθρώπουςrsquorsquo και ότι οδηγούν έντονα την ψυχή προς το θείο

Οι επιδράσεις του Πλάτωνος στους έπειτα αιώνες

Ο Γάλλος ιστορικός της φιλοσοφίας Ζακ Σεβαλιέ τονίζει στο έργο του laquoΙστορία της σκέψηςraquo (1955) την κυρίαρχη παρουσία ή έστω ανταύγεια της πλατωνικής φιλοσοφίας σε ολόκληρο το Μεσαίωνα και στην Αναγέννηση και στους Νεότερους χρόνους ενώ ο Γερμανός φιλόσοφος Καρλ Γιάσπερς προβάλλει τον Πλάτωνα ως το τον πρώτο από τους τρεις θεμελιωτές του φιλοσοφείν Η ιστορία της φιλοσοφίας μέχρι τον Κικέρωνα είναι σαφώς επηρεασμένη από αυτόν και είτε αμφισβητεί είτε ακολουθεί τη διδασκαλία του Ο μαθητής του Αριστοτέλης εξ ίσου επιδραστικός με τον ίδιο οδηγήθηκε στην ανάπτυξη τμήματος του έργου του ως απάντηση στον πλατωνισμό Η σχολή την οποία ο Πλάτωνας

18

ίδρυσε το 387 πΧ η Ακαδημία συνέχισε να ακμάζει ως τις αρχές του πρώτου αιώνα π Χ έχοντας όμως μετατραπεί σε σκεπτική σχολή μετά τις αρχές της ελληνιστικής περιόδου

Κατά την εποχή του Αυγούστου υπήρξε αναβίωση της πλατωνικής φιλοσοφίας ο μεσοπλατωνισμός με εκπροσώπους όπως ο Φίλων ο Αλεξανδρεύς ενώ κατά τα τέλη του δεύτερου αιώνα ο μεσοπλατωνισμός άρχεσαι να μετατρέπεται σταδιακά υπό την επίδραση του νεοπυθαγορισμού και του ερμητισμού στην κατεχόμενη από τους Ρωμαίους Αίγυπτο στο κίνημα του νεοπλατωνισμού με αρχικούς εκπροσώπους όπως ο Πλωτίνος το οποίο είχε ιδεαλιστικό μυστικιστικό και σωτηριολογικό χαρακτήρα Η Ακαδημία στην Αθήνα επανιδρύθηκε ως κέντρο νεοπλατωνικών μελετών κατά τον τέταρτο αιώνα

Την ίδια εποχή περίοδο έντονων θρησκευτικών ζυμώσεων στη Ρωμαϊκή Αυτοκρατορία και σταδιακής επικράτησης του χριστιανισμού στη Μεσόγειο οι ακόλουθοι της αστικής ελληνορωμαϊκής θρησκείας αλλά και των ελληνικών μυστηριακών λατρειών συσπειρώθηκαν γύρω από τον νεοπλατωνισμό ως υπερασπιστή του μέχρι πρότινος επικρατούντος παγανισμού Μεμονωμένοι νεοπλατωνικοί και παγανιστικοί πυρήνες επέζησαν ως τον έκτο αιώνα οπότε και ο Αυτοκράτορας Ιουστινιανός έκλεισε με διάταγμα την Ακαδημία της Αθήνας Μετά περίπου εννέα αιώνες το έτος 1439 ο Γεώργιος Γεμιστός Πλήθων γράφει στη Φλωρεντία το πολύκροτο έργο του Περί ὧν Αριστοτέλης προς Πλάτωνα που αποτέλεσε το έναυσμα της διαμάχης πλατωνικών και αριστοτελικών στο Βυζάντιο και στην Ιταλία Ο πλατωνισμός επιβίωσε υπογείως καθ όλον τον Μεσαίωνα κρυμμένος σε μυστηριακά ρεύματα έως ότου οι πρωτότυπες ιδέες του ανακαλύφθηκαν ξανά και σχολιάστηκαν κατά την Αναγέννηση Έτσι ούτε η νεότερη φιλοσοφική σκέψη έμεινε ανεπηρέαστη από αυτόν Τα διάφορα φιλοσοφικά συστήματα ή προσπαθούν να ανατρέψουν τις ιδέες του ή οικοδομούνται πάνω σ αυτές εκσυγχρονίζοντάς τες

Τα έργα του είναι

Αλκιβιάδης Α η Περί Ανθρώπου Φύσεως μαιευτικός

Αλκιβιάδης Β ή Περί Προσευχής μαιευτικός

Απολογία Σωκράτους ηθικός

Γοργίας ή Περί Ρητορικής ανατρεπτικός

Επινομίς ή Νυκτερινος Σύλλογος πολιτικός

Επιστολαί ηθικαί

Ερασταί ή Περί Φιλοσοφίας ηθικός

Ευθύδημος ή Εριστικός ανατρεπτικός

Ευθύφρων ή Περί του Οσίου

Θεάγης ή Περί Φιλοσοφίας μαιευτικός

Θεαίτητος ή Περί Επιστήμης πειραστικός

19

Ιππαρχος ή Φιλοκερδής ηθικός

Ιππίας ελάσσων ή Περί του Ψεύδους ανατρεπτικός

Ιππίας μείζων ή Περί του Καλού ανατρεπτικός

Ίων ή Περί Ιλιάδος πειραστικός

Κλειτοφών ή Προτρεπτικός ηθικός

Κρατύλος ή Περί Ονομάτων Ορθότητος λογικός

Κριτίας ή Ατλαντικός ηθικός

Κρίτων ή Περί του Πρακτέου ηθικός

Λάχης ή Περί Ανδρείας ηθικός

Λύσις ή Περί Φιλίας μαιευτικός

Μενέξενος ή Επιτάφιος ηθικός

Μένων ή Περί Αρετής πειραστικός

Μίνως ή Περί Νόμου πολιτικός

Νόμοι ή Περί Νομοθεσίας πολιτικός

Παρμενίδης ή Περί Ιδεών λογικός

Πολιτεία ή Περί Δικαίου πολιτικός

Πολιτικός ή Περί της Βασιλείας λογικός

Πρωταγόρας ή Σοφισταί επιδεικτικός

Σοφιστής ή Περί του Όντος λογικός

Συμπόσιον ή Περί Αγαθού ηθικός

Τίμαιος ή Περί Φύσεως φυσικός

Φαίδρος ή Περί Έρωτος ηθικός

Φαίδων ή Περί Ψυχής ηθικός

Φίληβος ή Περί Ηδονής ηθικός

Χαρμίδης ή Περί Σωφροσύνης πειραστικός

20

21

ΕυκλείδηςΒΙΟΓΡΑΦΙΑ

Υπολογίζεται ότι έζησε το βrsquo μισό του 4ου έως τις αρχές του 3ου πΧ αιώνα πιο συγκεκριμένα περίπου το 325 πΧ έως το 265 πΧ Κορυφαίος μαθηματικός της αρχαιότητας που επηρέασε με το έργο του σε ανυπέρβλητο βαθμό τον επιστημονικό τρόπο σκέψης σε όλο τον κόσμο Για τη ζωή του δεν υπάρχουν επιβεβαιωμένες πληροφορίες Πιθανώς εκπαιδεύτηκε στην Αθήνα στην Ακαδημία του Πλάτωνα και δίδαξε στην Αλεξάνδρεια Ξέρουμε ότι ήταν μεγαλύτερος στην ηλικία από τον Αρχιμήδη πράγμα που σημαίνει ότι η χρονολόγηση της ακμής του laquoγύρω στο 300 πΧraquo δεν πρέπει να απέχει πολύ από την αλήθεια Ο Πρόκλος επίσης τον χαρακτηρίζει σύγχρονο του βασιλιά Πτολεμαίου Αrsquo στον

οποίο είχε το θάρρος να του πει κατά πρόσωπο πως δεν υπάρχει βασιλική οδός προς τη γεωμετρία Ο Πάππος τον επαινεί για την ηθική του ακεραιότητα τη μετριοφροσύνη και την ευμενή στάση του προς όσους είναι ικανοί να προαγάγουν τη μαθηματική γνώση Ο Στοβαίος διηγείται το ακόλουθο ενδιαφέρον περιστατικό Ένας νέος επισκέφθηκε κάποτε τον Ευκλείδη και τον παρακάλεσε να τον διδάξει γεωμετρία Μόλις έμαθε το πρώτο θεώρημα ρώτησε τον Ευκλείδη laquoΚαι τώρα τι θα κερδίσω με το θεώρημα αυτόraquo Ο Ευκλείδης τότε γύρισε προς τον υπηρέτη του και του είπε laquoΔώσrsquo του τρεις δεκάρες ώστε να κερδίσει κάτι από το θεώρημα το οποίο έμαθεraquo Αυτά είναι όλα όσα γνωρίζουμε για τον Ευκλείδη ως άνθρωπο Πολύ μεγαλύτερη σημασία όμως έχει το έργο του το οποίο ακόμα και σήμερα μαρτυρεί τα απαράμιλλα χαρίσματά του ως δασκάλου

ΕΡΓΟ

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη

Μετά το θάνατο του Μεγάλου Αλεξάνδρου στα 323 πΧ η αχανής μακεδονική αυτοκρατορία διαιρέθηκε σε τρεις περιοχές Η περιοχή πού περιλάμβανε την Αίγυπτο περιήλθε κάτω από την άξια ηγεμονία του ικανού στρατηγού του Αλεξάνδρου Πτολεμαίου του Σωτήρος ο οποίος σύντομα κέρδισε τη βασιλεία της περιοχής Ο Πτολεμαίος επέλεξε για πρωτεύουσα της περιοχής του την Αλεξάνδρεια λίγα μόνο μίλια από τις εκβολές του ποταμού Νείλου και γύρω στα 300 πΧ άνοιξε τις πόρτες του περίφημου πανεπιστημίου της Αλεξάνδρειας Ανάμεσα στους μελετητές που κλήθηκαν να επανδρώσουν το νέο ίδρυμα ήταν και ο μαθηματικός Ευκλείδης που πιθανότατα υπήρξε μαθητής της Ακαδημίας του Πλάτωνα στην Αθήνα

22

Ο Ευκλείδης από τη στιγμή που ανέλαβε τα καθήκοντά του στην Αλεξάνδρεια όρισε ανάμεσα στους στόχους του τη συγκρότηση του μνημειώδους και ιστορικά σημαντικού έργου του των Στοιχείων Αυτή η αξιόλογη και εκτεταμένη εργασία γραμμένη σε δεκατρία βιβλία ή μέρη αποτελεί την αρχαιότερη εφαρμογή της αξιωματικής μεθόδου που έχει φτάσει στα χέρια μας Θεωρείται ο πρώτος μεγάλος σταθμός στην ιστορία της οργάνωσης των μαθηματικών και η μετέπειτα επίδραση της στον επιστημονικό τρόπο γραφής πολύ δύσκολα μπορεί να περιγραφεί

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη διεκδικούν αναμφισβήτητα μια θέση ανάμεσα στις μεγάλες στιγμές των μαθηματικών Η εργασία αυτή εκτόπισε τόσο γρήγορα και ολοκληρωτικά όλες τις προηγούμενες εργασίες ανάλογου περιεχομένου που σήμερα δεν υπάρχουν αντίγραφα προηγουμένων προσπαθειών και απλά γνωρίζουμε την ύπαρξη τους από σχόλια μεταγενέστερων συγγραφέων Τα Στοιχεία του Ευκλείδη από την πρώτη εμφάνιση τους κέρδισαν τεράστια εκτίμηση Με μοναδική εξαίρεση τη Βίβλο καμιά άλλη εργασία δεν χρησιμοποιήθηκε μελετήθηκε ή εκδόθηκε τόσο πολύ Για πάνω από δύο χιλιετίες κυριάρχησε στο χώρο διδασκαλίας της γεωμετρίας Από την πρώτη έκδοση της στα 1472 έχει γνωρίσει πάνω από χίλιες εκδόσεις Το περιεχόμενο και η μορφή της επέδρασαν εντυπωσιακά στην ανάπτυξη του αντικειμένου της και της λογικής θεμελίωσης των μαθηματικών

Ο Πρόκλος ένας κατοπινός σχολιαστής των μαθηματικών που έζησε στον 5ο αιώνα έχει δώσει μια εξήγηση της έννοιας του όρου laquoστοιχείαraquo Τα στοιχεία μιας αποδεικτικής μελέτης είναι τα πιο σημαντικά θεωρήματα ή τα θεωρήματα κλειδιά που χρησιμοποιούνται συχνά και πλατιά στο αντικείμενο της μελέτης Είναι τα θεωρήματα που χρειάζονται για την απόδειξη όλων ή των περισσότερων από τα άλλα θεωρήματα Η λειτουργία τους συγκρίνεται με αυτή των γραμμάτων του αλφαβήτου σε σχέση με τη γλώσσα Τα γράμματα στα ελληνικά ονομάζονται και στοιχεία Η επιλογή των προτάσεων που θα λειτουργήσουν ως στοιχεία κάποιου θέματος μελέτης απαιτεί μεγάλη ικανότητα και κρίση από το συγγραφέα

Δεν υποτιμά καθόλου την αίγλη του έργου του Ευκλείδη το γεγονός ότι είχαν προηγηθεί ανάλογες προσπάθειες Σύμφωνα με τον Πρόκλο η πρώτη προσπάθεια να γραφτούν Στοιχεία έγινε από τον Ιπποκράτη το Χίο στα μέσα του πέμπτου πΧ αιώνα Η επόμενη προσπάθεια ήταν του Λέοντα που χρονολογικά τοποθετείται κάπου ανάμεσα στον Πλάτωνα και τον Εύδοξο Όπως μαθαίνουμε η εργασία του Λέοντα περιείχε μια μεγαλύτερη και πιο χρήσιμη επιλογή προτάσεων από τον Ιπποκράτη Το βιβλίο που χρησιμοποιούνταν στην Ακαδημία του Πλάτωνα είχε επιμεληθεί ο Θεύδιος από τη Μαγνησία και θεωρούνταν μια θαυμάσια συλλογή στοιχείων Η εργασία του Θεύδιου ήταν ασφαλώς ο άμεσος πρόδρομος της εργασίας του Ευκλείδη ο οποίος την είχε χωρίς αμφιβολία στη διάθεση του ειδικά αν όπως πιστεύουν σπούδασε στην Ακαδημία του Πλάτωνα

Ο Ευκλείδης γνώριζε επίσης την εργασία του Θεαίτητου και του Εύδοξου Δεν είναι καθόλου υποτιμητικό ότι η εργασία του Ευκλείδη αποτελεί σε μεγάλο βαθμό συγκέντρωση και επιμέλεια των εργασιών των προγενεστέρων του αφού η ουσιαστική αξία των Στοιχείων βρίσκεται ακριβώς στην τέλεια επιδεξιότητα με την οποία επιλέχτηκαν και τοποθετήθηκαν

23

σε λογική σειρά οι προτάσεις ξεκινώντας από μια μικρή ομάδα αρχικών υποθέσεων Ούτε είναι υποτιμητικό το γεγονός ότι η εξονυχιστική μελέτη των σύγχρονων κριτικών έχουν αποκαλύψει ορισμένα μειονεκτήματα στη δομή της εργασίας του Ευκλείδη Δε θα μπορούσε κανείς να περιμένει μια τέτοια αρχική και κολοσσιαία προσπάθεια με την αξιωματική μέθοδο να μην παρουσιάζει καμία ατέλεια

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη έχουν γραφεί γύρω στο 300 πΧ αλλά το αυθεντικό χειρόγραφο κείμενο του Ευκλείδη δεν διασώζεται Αντίθετα σώζονται δεκάδες αντίγραφα που σε τελική ανάλυση κατάγονται από αυτό Το αρχαιότερο πλήρες αντίγραφο περιέχεται σε έναν χειρόγραφο περγαμηνό κώδικα που φυλάσσεται σήμερα στη Βιβλιοθήκη της Οξφόρδης και χρονολογείται από του έτους 888 ενώ μικρά αποσπάσματα του έργου διασώζονται σε παπύρους προγενέστερης εποχής καθώς και σε ένα παλίμψητο χειρόγραφο του 7ου ή του 8ου

μΧ αι που φυλάσσεται στο Βρετανικό Μουσείο Βλέπουμε λοιπόν ότι το αρχαιότερο χειρόγραφο που περιέχει το πλήρες κείμενο των Στοιχείων του Ευκλείδη χρονολογείται από τα τέλη του 9ου μΧ αι και επομένως απέχει από την εποχή μας όσο απέχει από την εποχή που ο ίδιος ο Ευκλείδης έγραψε το έργο

Όλες οι σύγχρονες εκδόσεις στηρίζονται σε μια επανέκδοση που έκανε ο Θεωνάς από την Αλεξάνδρεια ένας Έλληνας σχολιαστής που έζησε εφτακόσια περίπου χρόνια μετά τον Ευκλείδη Μόνο στις αρχές του 19ου αιώνα ανακαλύφθηκε ένα παλιότερο αντίγραφο Στα 1808 όταν ο Ναπολέοντας διέταξε να μεταφερθούν όλα τα αξιόλογα χειρόγραφα από τις ιταλικές βιβλιοθήκες στο Παρίσι ο Φ Πέιραρντ (F Peyrard) ανακάλυψε στη βιβλιοθήκη του Βατικανού ένα αντίγραφο των Στοιχείων από έκδοση προγενέστερη από του Θεωνά Η μελέτη όμως αυτής της παλιότερης έκδοσης αποκάλυψε δευτερεύουσες μόνο διαφορές από τον Θεωνά

Οι πρώτες πλήρεις μεταφράσεις των Στοιχείων στα λατινικά δεν έγιναν από τα ελληνικά αλλά από τα αραβικά Τον 8ο αιώνα οι Άραβες μετέφρασαν έναν αριθμό βυζαντινών χειρογράφων με ελληνικές εργασίες και στα 1120 ο Άγγλος μελετητής Άντελαρντ (Adelard) από το Μπαθ μετέφρασε τα Στοιχεία στα λατινικά χρησιμοποιώντας μια απ αυτές τις παλιότερες αραβικές μεταφράσεις Άλλες λατινικές μεταφράσεις από τα αραβικά έκαναν ο Γκεράρντο από την Κρεμώνα (Gherardo 1114-1187) και 150 χρόνια μετά τον Άντελαρντ ο Γιοχάννες Καμπάνους (Johannes Campanus) Η πρώτη τυπωμένη έκδοση των Στοιχείων έγινε στη Βενετία στα 1482 η έκδοση αυτή ήταν η μετάφραση του Καμπάνους Αυτό το πολύ σπάνιο βιβλίο ήταν θαυμάσια τυπωμένο και ήταν το πρώτο αξιόλογο μαθηματικό βιβλίο που τυπώθηκε Μια σημαντική λατινική μετάφραση από τα ελληνικά έγινε από τον Κομμαντίνο (Commandino) στα 1572 Αυτή η μετάφραση χρησιμοποιήθηκε ως βάση για πολλές άλλες μεταφράσεις που ακολούθησαν ανάμεσα σ αυτές και η εργασία του Ρόμπερτ Σίμσον (Robert Simson) που άσκησε σημαντική επιρροή και αποτέλεσε με τη σειρά της τη βάση για πάρα πολλές αγγλικές εκδόσεις

24

Αναλυτική περιγραφή των laquo στοιχείων raquo

Ειδικότερα το πρώτο βιβλίο αναφέρεται σε τεμνόμενες και παράλληλες ευθείες στην ισότητα ευθύγραμμων σχημάτων και στο τέλος το πυθαγόρειο θεώρημα Στο 2ο βιβλίο αναφέρονται συνέπειες από το πυθαγόρειο θεώρημα και γίνονται μετασχηματισμοί ευθύγραμμων σχημάτων σε ισοδύναμα τετράγωνα Εδώ περιέχεται και το πρόβλημα

της laquoχρυσής τομήςraquo Πολλές από τις προτάσεις αυτού μπορούν με σύγχρονους συμβολισμούς να πάρουν μορφή αλγεβρική γιrsquo αυτό έχει επικρατήσει να λέγεται για το 2ο βιβλίο ότι εισάγει τη laquoγεωμετρική άλγεβραraquo Στο 3ο βιβλίο εξετάζεται ο κύκλος και στο τέταρτο βιβλίο λύνονται προβλήματα σχετικά με τα εγγεγραμμένα στον κύκλο κανονικά πολύγωνα Στο 5ο βιβλίο σπουδάζεται η laquoθεωρία των λόγωνraquo του Ευδόξου Πρόκειται ουσιαστικά για τη θεωρία των πραγματικών αριθμών δοσμένη όμως σε μορφή γεωμετρική Το 6ο βιβλίο ασχολείται με την ομοιότητα επίπεδων σχημάτων και σrsquo αυτά αποδεικνύεται ότι από όλα τα ορθογώνια με δοσμένη περίμετρο το τετράγωνο έχει το μέγιστο εμβαδόν Στα βιβλία 7ο-9ο που αφορούν στην αριθμοθεωρία είναι εκπληκτικό πώς με παντελή μπορεί να πει κανείς έλλειψη συμβολισμών (αριθμοί δεν αναγράφονται) κατορθώνεται μια ακροβασία στην αλληλουχία των συλλογισμών που καταλήγει σε πολύ ενδιαφέροντα αριθμητικά αποτελέσματα Ειδικότερα στο 7ο βιβλίο μελετιούνται οι άρτιοι και οι περιττοί αριθμοί οι πρώτοι και οι σύνθετοι καθώς και οι τέλειοι εξετάζονται διάφορα προβλήματα διαιρετότητας ορίζεται το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο αριθμών (ΕΚΠ) καθώς και ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης τους και δίνεται η μέθοδος προσδιορισμού του που ονομάστηκε laquoΕυκλείδειος Αλγόριθμοςraquo Στα δύο επόμενα βιβλία εξακολουθεί η σπουδή αριθμοθεωρητικών θεμάτων στο 8ο εισάγονται επίσης και μελετιούνται οι γεωμετρικές πρόοδοι και στο 9ο έχουν συμπεριληφθεί τρεις σημαντικότατες προτάσεις Πρόκειται για α) το αποκαλούμενο laquoθεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικήςraquo β) την απόφανση ότι υπάρχουν απειράριθμοι πρώτοι και γ) την πρόταση που οδηγεί σε ένα γενικό τύπο που παρέχει άρτιους τέλειους αριθμούς Στο 10ο βιβλίο που αποτελεί ένα από τα ωραιότερα μέρη των Στοιχείων γίνεται μια ταξινόμηση των τετραγωνικών άρρητων και των τετραγωνικών ριζών τους και κατασκευάζεται ένα σύνολο ασύμμετρων μεγεθών το οποίο μαζί με το σύνολο των ρητών συναποτελεί επέκταση αυτού του τελευταίου τέτοια ώστε κάθε στοιχείο της να είναι κατασκευασμένο με κανόνα και διαβήτη Τέλος τα βιβλία της στερεομετρίας το 11ο βιβλίο ασχολείται με θεμελιώδεις σχέσεις μεταξύ ευθειών και επιπέδων καθώς και με τις στερεές γωνίες στο 12ο αναφέρεται σε επιφάνειες και όγκους στερεών και στο 13ο γίνεται η μελέτη της σφαίρας σε συσχετισμό με τα εγγεγραμμένα σε αυτήν κανονικά πολύεδρα

25

Άλλα έργα

bull Δεδομένα (94 θεωρήματα) έργο ανώτερης γεωμετρίας Στο έργο αυτό περιέχονται προτάσεις σε σχήματα στα οποία δίνονται ορισμένα στοιχεία τους κατά σχήμα θέση ή μέγεθος

bull Περί διαιρέσεων (36 προτάσεις) με περιεχόμενό του τη διαίρεση σχημάτων με δοσμένη σχέση

bull Πορίσματα (3 βιβλία που χάθηκαν) σώθηκαν ορισμένα αποσπάσματα που το 1860 έγινε απόπειρα ανασύνθεσής τους από τον Πάππο

bull Οπτικά-κατοπτρικά αντίστοιχα γεωμετρική οπτική ανάκλαση του φωτός πάνω σε επίπεδο κάτοπτρο

bull Φαινόμενα εγχειρίδιο κοσμογραφίας απλές προτάσεις για τη σφαίρα

bull Κατατομή κανόνος στοιχεία πυθαγόρεια θεωρία μουσικής

bull Ψευδάρεια laquoπαράδοξαraquo με στόχο να ασκηθούν οι σπουδαστές στην ανεύρεση λογικών σφαλμάτων κατά τις αποδείξεις

bull Κωνικαί τομαί Μηχανικά δεν γνωρίζουμε τίποτα γιrsquo αυτά τα έργα

Αιτήματα του Ευκλείδη

Τα αιτήματα είναι αρχικές προτάσεις οι οποίες προσιδιάζουν στη συγκεκριμένη κάθε φορά επιστήμη στην προκειμένη περίπτωση στη Γεωμετρία Ο Ευκλείδης διατυπώνει 5 αιτήματα

1 Ζητείται να γίνει δεκτό ότι από οποιοδήποτε σημείο σε οποιοδήποτε σημείο άγεται ευθεία γραμμή

2 Και (ότι) πεπερασμένη ευθεία προεκτείνεται σε ευθεία κατά συνεχή τρόπο

3 Και (ότι) με οποιοδήποτε κέντρο και διάστημα γράφεται κύκλος

4 Και (ότι) όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους

5 Και αν η ευθεία η οποία τέμνει δύο ευθείες σχηματίζει δύο εντός και επί τrsquo αυτά μέρη γωνίες μικρότερες των δύο ορθών τότε οι δύο ευθείες προεκτεινόμενες επrsquo απείρου συναντώνται προς εκείνα τα μέρη τους όπου βρίσκονται μικρότερες των δύο ορθών

Ακολουθούν τα laquoαιτήματαraquo διατυπωμένα σε αρχαίο κείμενο όπως αυτά βρίσκονται στο Βιβλίο Ι

26

Ο ρόλος των τριών πρώτων από τα αιτήματα αυτά είναι να εξασφαλίσουν τη νομιμότητα των κατασκευών της ευθείας και του κύκλου και κατά συνέπεια εκείνων και μόνο των γραμμών και των γεωμετρικών σχημάτων που κατασκευάζονται με πεπερασμένο αριθμό βημάτων από τα δύο αυτά βασικά σχήματα Στα Στοιχεία επομένως δεν έχουν θέση καμπύλες όπως είναι οι κωνικές τομές τη τετραγωνίζουσα κλπ ή κατασκευές όπως κατασκευές νεύσεως Η φύση των δύο τελευταίων αιτημάτων είναι διαφορετική Αποσκοπούν να δηλώσουν ότι κάποια γεωμετρικά σχήματα έχουν ορισμένες ειδικές ιδιότητες

Πολλοί ιστορικοί των μαθηματικών έχουν ασχοληθεί κατά το παρελθόν με το ερώτημα εάν τα αξιώματα του Ευκλείδη ικανοποιούν τις σύγχρονες απαιτήσεις (πληρότητα συνέπεια ανεξαρτησία) ενός αξιωματικού συστήματος Από την προσεκτική μελέτη των αποδείξεων κι των κατασκευών που περιέχονται στα Στοιχεία προκύπτει ότι ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί μερικές φορές απόρρητες παραδοχές οι οποίες δεν περιλαμβάνονται στα αξιώματα Επομένως το σύστημα των αξιωμάτων του δεν ικανοποιεί την απαίτηση της πληρότητας

Μεγάλο ιστορικό ενδιαφέρον εξάλλου έχει το ερώτημα της ανεξαρτησίας των αιτημάτων του Ευκλείδη ιδιαίτερα σε ότι αφορά το πέμπτο από αυτά Το αίτημα αυτό αναφέρεται συχνά και ως laquoαίτημα των παραλλήλωνraquo γιατί μια ισοδύναμη διατύπωσή του είναι η εξής από ένα σημείο εκτός ευθείας άγεται μια μόνο παράλληλη προς τη ευθεία Πολλοί μαθηματικοί από την αρχαιότητα έως τα μέσα του 18ου αιώνα προσπάθησαν να εξαγάγουν το αίτημα αυτό από τα άλλα αιτήματα όλες οι προσπάθειες όμως απέβησαν άκαρπες Από τα τέλη του 18ου αιώνα η προσδοκώμενη εξάρτηση του αιτήματος επιχειρήθηκε να αποδειχτεί με έμμεσο τρόπο Η σκέψη ήταν η εξής αν το αίτημα των παραλλήλων μπορεί να εξαχθεί από τα άλλα τέσσερα αιτήματα μαζί με την άρνηση του πέμπτου θα πρέπει να οδηγούν σε αντίφαση Το νέο σύστημα αξιωμάτων όμως αντί να οδηγήσει σε αντίφαση αποδείχτηκε ότι παράγει συνέπειες μαθηματικές θεωρίες Έτσι ανακαλύφθηκαν οι λεγόμενες μη ευκλείδειες γεωμετρίες και ταυτόχρονα αποδείχθηκε η ανεξαρτησία των αιτημάτων του Ευκλείδη

27

Ας δούμε τώρα την διατύπωση και την απόδειξη της πρότασης (5) που περιέχεται στο Βιβλίο Ι των laquoστοιχείωνraquo και αναφέρεται στη γνωστή μας πρόταση της ισότητας των παρά τη βάση γωνιών ισοσκελούς τριγώνου

28

Γιατί διδάσκουμε το μάθημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στο ζήτημα της laquoχρησιμότηταςraquo των σχολικών Μαθηματικών θα μπορούσε κανείς να αντιπαραθέσει (και πράγματι αντιπαρατέθηκαν) πολλές διαφορετικές απόψεις Εμείς θα παραθέσουμε απλώς ένα απόσπασμα από τις αυτοβιογραφικές σημειώσεις του Albert Einstein το οποίο δείχνει μια άλλη τελείως διαφορετική αντίληψη σχετικά με την laquoχρησιμότηταraquo της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Γράφοντας για τα γεγονότα της παιδικής και εφηβικής του ζωής που είχαν μεγάλη επίδραση στην μετέπειτα εξέλιξη του ο Einstein σημειώνει

Σε ηλικία 12 ετών δοκίμασα μια δεύτερη τελείως διαφορετική έκπληξη σε ένα μικρό βιβλίο Ευκλείδειας επίπεδης γεωμετρίαςhellip Εδώ υπήρχαν ισχυρισμοί όπως για παράδειγμα τα τρία ύψη ενός τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο οι οποίοι - αν και καθόλου προφανείς - μπορούσαν ωστόσο να αποδειχτούν με τέτοια βεβαιότητα ώστε να μην χωρεί η παραμικρή αμφιβολία Αυτή η σαφήνεια και βεβαιότητα μου προξένησαν μια εντύπωση που δεν μπορεί να περιγραφεί Το γεγονός ότι τα αξιώματα έπρεπε να γίνουν δεκτά χωρίς απόδειξη δεν με ενόχλησε Σε κάθε περίπτωση μου αρκούσε πλήρως το γεγονός ότι μπορούσαν να στηρίζω τις αποδείξεις σε προτάσεις η εγκυρότητα των οποίων ήταν για μένα αναμφισβήτητη

Η περίπτωση του Einstein του επιστήμονα που άλλαξε ριζικά τις αντιλήψεις μας και την γεωμετρική δομή του σύμπαντος αποκαλύπτει την σπουδαιότητα ορισμένων παιδαγωγικών σκοπών και τη συνάφειά τους με το ερώτημα που θέσαμε ως τίτλο αυτής της ενότητας καλλιέργεια και ανάπτυξη της συγκροτημένης σκέψης μύηση στην επιστημονική μέθοδο μελέτες του κόσμου Αυτοί οι σκοποί παρόλη τη γενικότητά τους συνδέονται άμεσα με τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας που άσκησαν καθοριστική επίδραση στο νεαρό Einstein τα οποία είναι

bull Σαφήνεια στην έκθεση

bull Ολοκληρωτική απόδειξη κάθε υπόθεσης

bull Απόλυτη συνάφεια σχημάτων και συλλογισμών

bull Τάξη και ομορφιά

Αν τα στοιχεία αυτά αποτελούν ουσιώδη συστατικά της μαθηματικής παιδείας τότε παρέχουν κατά την άποψή μας μια αυτονόητη απάντηση στο ερώτημα laquoΓιατί διδάσκουμε την Ευκλείδεια Γεωμετρίαraquo

Αντιλήψεις και αντιπαραθέσεις για τη διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Οι ένθερμοι υποστηρικτές της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προβάλλουν την παιδαγωγική αξία της λογικής και διάφανης επιχειρηματολογίας των γεωμετρικών αποδείξεων ενώ οι πολέμιοί της επικαλούνται την αναμφισβήτητη δυσκολία των περισσότερων μαθητών να κατανοήσουν τις γεωμετρικές έννοιες και τις πολύ χαμηλές επιδόσεις τους στην αντιμετώπιση σχετικών προβλημάτων Ενδιάμεσα βρίσκονται συνήθως οι σκεπτικιστές οι οποίοι επισημαίνουν τον περιορισμένο επιστημολογικά ρόλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και την ανάγκη να ανανεωθεί η διδασκαλία των Μαθηματικών δίνοντας μεγαλύτερη έμφαση σε πιο σύγχρονους και laquoχρήσιμουςraquo κλάδους (πχ Πιθανότητες και Στατιστική) Από την εποχή που ο Dieudonne κήρυξε τον πόλεμο κατά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας οι αντιλήψεις

29

αυτές έγιναν αντικείμενο επεξεργασίας και αντιπαρατέθηκαν μεταξύ τους από σημαντικούς μαθηματικούς και παιδαγωγούς ενώ οι σχετικές συζητήσεις συνεχίζονται με αμείωτη ένταση μέχρι σήμερα Σε μια ειδική μελέτη της Διεθνούς Επιτροπής για τη Μαθηματική Εκπαίδευση (ICMI) έγινε απόπειρα σύνθεσης των διαφόρων τάσεων και διατυπώθηκαν οι εξής τρεις εναλλακτικές λύσεις για τη διδασκαλία του μαθήματος

1 η λύση

Απορρίπτουμε την ιδέα ότι η Γεωμετρία πρέπει ή μπορεί να χρησιμοποιηθεί στο σχολείο ως ένα σύστημα γνώσεων (παραγωγικά οργανωμένο ή όχι) όπου οι έννοιες και τα γεγονότα πρέπει να γίνουν γνωστά απλά και μόνο επειδή ανήκουν στο σύστημα Αντίθετα η Γεωμετρία και ο χώρος θεωρούνται ως πηγές άντλησης εξαιρετικών θεμάτων για την οργάνωση πολλαπλών δραστηριοτήτων σε διαφορετικά επίπεδα Οι laquoχρησιμοθηρικέςraquo όψεις της Γεωμετρίας θα εξυπηρετηθούν με την παροχή αλγεβρικών μεθόδων

2 η λύση

Εξακολουθούμε να επιχειρούμε τη διδασκαλία ενός αξιωματικού ή ψευδο-αξιωματικού μαθήματος σχολικής Γεωμετρίας το οποίο στηρίζεται είτε σε laquoτροποποίησηraquo των laquoΣτοιχείωνraquo του Ευκλείδη (για παράδειγμα αξιωματική θεμελίωση τύπου Pogorelov) είτε πχ στους γεωμετρικούς σχηματισμούς

3 η λύση

Για ορισμένες ομάδες μαθητών τουλάχιστον παρουσιάζουμε laquoνησίδεςraquo Γεωμετρίας δηλαδή laquoτοπικάraquo παραγωγικά συστήματα μέσα στο πλαίσιο του γενικού αναλυτικού προγράμματος (Έτσι μπορούμε για παράδειγμα να έχουμε ενότητες για τις ιδιότητες των εγγεγραμμένων σε κύκλο γωνιών ή τη στοιχειώδη προβολική Γεωμετρία)

Στην Ελλάδα για προφανείς ιστορικούς και πολιτιστικούς λόγους συνεχίζεται μια παράδοση που προσεγγίζεται εγγύτατα τη δεύτερη από τις προηγούμενες εναλλακτικές λύσεις Ακόμη και την περίοδο της μεταρρύθμισης των laquoΝέων Μαθηματικώνraquo η διεθνής πίεση για εκσυγχρονισμό των σχολικών Μαθηματικών και εγκατάλειψη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αφομοιώθηκε στη χώρα μας μέσα από έναν ιδιότυπο συμβιβασμό από τη μια μεριά διατηρήθηκε όλη η παραδοσιακή σχολική ύλη την οποία σε μεγάλο βαθμό συντηρούσαν οι εισαγωγικές εξετάσεις των ΑΕΙ και από την άλλη δόθηκε υπερβολική έμφαση στην αυστηρή αξιωματική θεμελίωσης της Γεωμετρίας καθώς και με την εισαγωγή νέας ύλης πάνω στους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς Στις αντιφατικές επιλογές εκείνης της περιόδου βρίσκονται κατά την άποψη μας οι ρίζες της μετέπειτα υποβάθμισης και παρακμής του μαθήματος της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

30

Το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στη σύγχρονη Διδακτική των Μαθηματικών τα θεμελιώδη επιστημολογικά χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας όπως είναι η παραγωγική οργάνωση του περιεχομένου η αποδεικτική διαδικασία και η έμφαση στις γεωμετρικές κατασκευές αναφέρονται συνήθως ως laquoανώτερα επίπεδα γεωμετρικής σκέψηςraquo και η μάθηση τους έχει γίνει αντικείμενο συστηματικής μελέτης και έρευνας Ένα βασικό θεωρητικό μοντέλο στο οποίο έχει στηριχθεί η διεξαγωγή μεγάλου αριθμού ερευνών σε διάφορες χώρες αποτελούν τα λεγόμενα laquoεπίπεδα van Hieleraquo Σύμφωνα με αυτό το μοντέλο η μάθηση της Γεωμετρίας εξελίσσεται ιεραρχικά περνώντας από πέντε διαδοχικά επίπεδα

bull 1ο επίπεδο Εποπτικό

bull 2ο επίπεδο ΠεριγραφικόΑναλυτικό

bull 3ο επίπεδο ΑφηρημένοΣχεσιακό

bull 4ο επίπεδο ΤυπικόΠαραγωγικό

bull 5ο επίπεδο Μεταμαθηματικό

Οι μαθητές κατανοούν τη σημασία και τη διαδικασία οικοδόμησης ενός αξιωματικού μαθηματικού συστήματος και τις σχέσεις ανάμεσα σε διαφορετικά συστήματα Για παράδειγμα αναγνωρίζουν ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία δεν είναι παρά ένας από τους πολλούς δυνατούς τρόπους περιγραφής ενός αφηρημένου μαθηματικού σύμπαντος

Είναι φανερό ότι η διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προϋποθέτει τα δύο πρώτα επίπεδα και έχει ως κύριο σκοπό την κατάκτηση των δύο επόμενων επιπέδων (για το 5ο

μάλλον δεν μπορεί να γίνεται λόγος στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση) Σε θεωρητικό επίπεδο τόσο και η θεωρία των van Hiele όσο και η γενικότερη θεωρία των σταδίων μάθησης του Piaget προβλέπουν ότι η κατάκτηση αυτών των επιπέδων είναι μια επίπονη και ιεραρχικά εξελισσόμενη διαδικασία που απαιτεί μακροχρόνια και προσεχτικά σχεδιασμένη διδασκαλία Αυτές οι θεωρητικές προβλέψεις φαίνεται να επιβεβαιώνονται από πολλές εμπειρικές έρευνες που έχουν διεξαχθεί σε διάφορες χώρες και τα αποτελέσματά τους οδηγούν σε ένα βασικό συμπέρασμα laquo η καθιερωμένη παραδοσιακή διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αδυνατεί να οδηγήσει τους μαθητές στην κατάκτηση των ανώτερων επιπέδων γεωμετρικής σκέψης raquo

Από τα αποτελέσματα αυτών των ερευνών αξίζει νrsquo αναφέρουμε εδώ ένα εντυπωσιακό στατιστικό στοιχείο που αποκαλύπτει τις διαστάσεις του προβλήματος σε μια έρευνα που έγινε στις ΗΠΑ μεταξύ 1520 μαθητών που είχαν ολοκληρώσει ένα έτος διδασκαλίας της θεωρητικής Ευκλείδειας Γεωμετρίας διαπιστώθηκε ότι μόνο το 30 είχε φτάσει σε ένα επίπεδο που μπορεί να χαρακτηριστεί από 75 επιτυχία στην απόδειξη απλών γεωμετρικών προτάσεων (πχ ότι οι διαγώνιες ενός ορθογωνίου είναι ίσες) Το ποσοστό των μαθητών που είχαν 100 επιτυχία δεν ξεπέρασε το 3

31

Κοινή πεποίθηση όλων αυτών των ερευνητών είναι ότι για να κατανοηθούν οι παραγωγικές αποδείξεις της Ευκλείδειας Γεωμετρίας απαιτείται μια ισχυρή διαισθητική βάση την οποία οι μαθητές θα αποκτήσουν μέσα από επαγωγικές εμπειρικές ανακαλύψεις τη διαπίστωση και επαλήθευση υποθέσεων τις γεωμετρικές κατασκευές και εφαρμογές Έτσι λοιπόν η διδασκαλία της Γεωμετρίας δεν θα πρέπει να στηρίζεται σrsquo ένα τεχνητό διαχωρισμό ανάμεσα σε laquoΠρακτική Γεωμετρίαraquo σχεδίασης και μετρήσεων και μια laquoΘεωρητική Γεωμετρίαraquo αποδείξεων αλλά να συνδυάζει μια ισορροπημένη ανάπτυξη των δύο αυτών όψεων του μαθήματος σrsquo όλο το φάσμα της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Η επινόηση διδακτικών μέσων και μεθόδων που θα επιτρέψουν την υλοποίηση αυτού του στόχου φαίνεται ότι αποτελεί σήμερα το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ

Η Γεωμετρία του Ευκλείδη απετέλεσε το θεμέλιο για την ανάπτυξη της laquoδυτικήςraquo επιστήμης και τεχνικής και σ αυτή τη Γεωμετρία στηρίζονται οι προϋποθέσεις της κλασικής Φυσικής από την Αναγέννηση και μετά Μόλις το 19ο αιώνα διαπιστώθηκε όμως (Λάμπερτ Γκάους Μπολυάι Λομπατσέβσκι κά) ότι η ευκλείδεια Γεωμετρία στηρίζεται στην απλοϊκή αντίληψη του επίπεδου χώρου ο οποίος είναι μεν χρήσιμος για την περιοχή που αντιλαμβάνεται με τις αισθήσεις του ένας άνθρωπος αλλά όχι για πολύ μεγάλες τιμές των φυσικών μεγεθών (αποστάσεις ταχύτητες μάζες κτλ) Τότε παύει να ισχύει η επίπεδη αντίληψη και μαζί της η Ευκλείδεια Γεωμετρία επειδή στην πραγματικότητα ο χώρος είναι κυρτός Έτσι η Γεωμετρία συμπληρώνεται με βάση αντιλήψεις που στηρίζονται στον υπερβολικό ελλειπτικό κά χώρο

Σήμερα η γεωμετρία του Ευκλείδη διδάσκεται παγκοσμίως και ανελλιπώς επί 23 αιώνες με τον τιμητικό τίτλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Στη σύγχρονη όμως σχολική γεωμετρία περιλαμβάνονται και υπολογισμοί και μετρήσεις οι οποίες από το έργο του Ευκλείδη απουσιάζουν εντελώς

Η συνολική προσφορά του Ευκλείδη στα Μαθηματικά και τις εφαρμοσμένες τέχνες υπήρξε σημαντικότατη και ταυτόχρονα βάση από την οποία εξόρμησαν οι μεταγενέστεροι μαθηματικοί γεωγράφοι και αστρονόμοι για να οδηγηθούν στο τελικό μαθηματικό θαύμα της Ελληνικής Αρχαιότητας

32

33

ΒΙΟΓΡΑΦΙΑ Ο Αρχιμήδης ήταν ένας από τους μεγάλους μαθηματικούς μηχανικούς και φυσικούς του αρχαίου Ελληνικού χώρου και μια από τις μεγαλύτερες μαθηματικές ευφυΐες του κόσμου Γεννήθηκε έζησε και πέθανε στις Συρακούσες την μεγάλη Ελληνική αποικία της Σικελίας

Πατέρας του Αρχιμήδη ήταν ο αστρονόμος Φειδίας που είχε δεσμούς φιλίας με το βασιλικό γένος των Συρακουσών Ο Αρχιμήδης ταξίδεψε στην Αίγυπτο και ήρθε σε επαφή με τους διαδόχους του Ευκλείδη του Ερατοσθένη και το Δισίθεο ενώ ήταν φίλος και συμμαθητής του Κόνωνα του Σάμιου

Υπήρξε λαμπρό παράδειγμα πρωτότυπου ερευνητή ο οποίος δεν ενδιαφέρθηκε να διευκολύνει τους αρχάριους αλλά ασχολήθηκε κυρίως για την αποκάλυψη νέων αληθειών για δική του ικανοποίηση και των ώριμων ήδη διανοούμενων Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο ενώ η κατανόηση του Ευκλείδη δεν απαιτεί εξαιρετική προηγούμενη γνώση και ευφυΐα τα προϊόντα της μαθηματικής σκέψεως τα οποία πρόκειται τώρα να εξετάσουμε είναι προσιτά αποκλειστικώς και μόνο στην ανάγνωση υψηλής πνευματικής στάθμης

Πήγε στην Αίγυπτο ως εκπαιδευτικός και ήρθε σε επαφή όχι βέβαια με τον Ευκλείδη που είχε στο μεταξύ πεθάνει αλλά με τους διαδόχους του και έκανε στενούς δεσμούς με εξαιρετικούς γεωμετρικούς όπως ο Κόνων ο Σάμιος ο Ερατοσθένης ο Κυρηναίος ο Δισίθεος κλπ από τους οποίους κατόπιν όσα έργα συνέταξε μετά την επιστροφή του στην πατρίδα του

34

Το έργο τουΤο έργο του Αρχιμήδη υπήρξε τεράστιο τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά και η ερευνητική ματιά του κάλυψε πολλούς τομείς γεωμετρία οπτική (κατοπτρική) υδραυλική μηχανική αρχιτεκτονική και την πολιορκητική Συνέδεσε το όνομά του με την γένεση της μηχανικής στην αρχαία Ελλάδα και με την λύση περίφημων μαθηματικών προβλημάτων καθώς και με τις αμυντικές εφευρέσεις του που χρησιμοποιήθηκαν όταν οι Ρωμαίοι πολιορκούσαν την πατρίδα του τις Συρακούσες

Σχολιαστής του έργου του Αρχιμήδη υπήρξε ο Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης (6ος αι μΧ) που καταγόταν από την ελληνική πόλη της Συρίας Ασκαλών

Στον χώρο της εφαρμοσμένης μηχανικής ο Αρχιμήδης επινόησε ιδιοφυείς μηχανές κάθε είδους Εφηύρε τον ρωμαϊκό ζυγό (καντάρι) το τρίσπαστο (ανυψωτική τριπλή τροχαλία) και τον ατέρμονα κοχλία έλιξ του Αρχιμήδους μηχανή άντλησης νερού από ποταμούς και φρέατα (η οποία χρησιμοποιείται ακόμα και στις μέρες μας σε περιοχές της βόρειας Αφρικής) Κατασκεύασε ένα υδραυλικό ρολόι το οποίο υπολόγιζε με μεγάλη ακρίβεια τις ώρες (και ειδοποιούσε για την αλλαγή της ώρας)

Μεγάλη φήμη απέκτησαν οι πολεμικές μηχανές του Αρχιμήδη αρχιτρόνιτο (πυροβόλο ατμού) καταπέλτες άρπαγες (μηχανισμός που ανύψωνε και αναποδογύριζε πλοία) και κάτοπτρα για την καύση των Ρωμαϊκών εχθρικών πλοίων (με παραβολικά κάτοπτρα όπως αποδείχτηκε από τα πειράματα του μηχανικού Ι Σακκά ο οποίος το 1973 απόδειξε τον τρόπο με τον οποίο ο Αρχιμήδης έκαψε τον ρωμαϊκό στόλο) Σύμφωνα με την παράδοση όταν η πόλη μετά από τριετή αντίσταση των ελλήνων κατελήφθη με προδοσία ένας ρωμαίος στρατιώτης σκότωσε τον Έλληνα επιστήμονα ενώ αυτός ήταν προσηλωμένος σε κάποιο γεωμετρικό πρόβλημα ΜΗ ΜΟΥ ΤΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥΣ ΤΑΡΑΤΤΕ πρόλαβε να του απαντήσει ο Έλληνας επιστήμονας

Ο Αρχιμήδης επηρέασε σε μεγάλο βαθμό την ευρωπαϊκή επιστημονική σκέψη καθώς και τους Άραβες επιστήμονες οι οποίοι αντέγραψαν όλα τα έργα του στα αραβικά γλώσσα στην οποία διασώθηκαν αρκετά αφού τα πρωτότυπα είχαν χαθεί

35

Διασωθέντα συγγράμματα

bull Περί σφαίρας και κυλίνδρου Βιβλίο α και βbull Κύκλου μέτρησις Σώζονται τρία θεωρήματαbull Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων (32 θεωρήματα 1 πόρισμα)bull Περί ελίκων (28 θεωρήματα 6 πορίσματα)bull Περί επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων ή Μηχανικά Βιβλ α και βbull Περί μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος (=μέθοδος)bull Βιβλίο λημμάτωνbull Πρόβλημα Βοεικόνbull Κατασκευή πλευράς του περιγραφομένου εις κύκλο επταγώνουbull Ωρολόγιον Αρχιμήδους (Σώζεται στα αραβικά)bull Περί κύκλων εφαπτομένων αλλήλωνbull Αρχαί της Γεωμετρίαςbull Ψαμμίτηςbull Τετραγωνισμός παραβολήςbull Οχουμένων (Υδροστατική)bull Στομάχιον (Σώζονται λίγα αποσπάσματα)

Συγγράμματα μη διασωθέντα (ή συγγράμματα μη αποκαλυφθέντα μέχρι σήμερα)

bull Αριθμητικάbull Βαρουλκός Υδροσκοπίαι Πνευματικήbull Επισίδια Βιβλία (Μάλλον περί στατιστικής - Τζέτζης)bull Περί τριγώνωνbull Περί τετραπλεύρουbull Περί ζευγώνbull Περί 13 ημικανονικών πολυέδρωνbull Ισοπεριμετικάbull Ισορροπίαιbull Καύσις δια κατόπτρων (επ΄ αυτού έγινε επιτυχές πείραμα στο ΝΣ)bull Περί Αρχιτεκτονικήςbull Περί βαρύτητος και ελαφρότητος (Πυκνόμετρα - Αραιόμετρα)bull Περί δρομομέτρων (Οδόμετρα πλοίων)bull Περί κέντρου Βάρους ή Κεντροβαρικάbull Κατοπρικάbull Περί παραλλήλων γραμμώνbull Περί κοίλων και παραβολικών κατόπτρωνbull Προοπτικήbull Στοιχεία μηχανικώνbull Πλινθίδες και Κύλινδροιbull Στοιχεία επί των στηρίξεωνbull Σφαιροποιΐα

36

Εφευρέσεις

bull Αραιόμετρο - Πυκνόμετροbull Αστρονομική συσκευήbull Βαρουλκόςbull Γερανοί (Αρπάγες)bull Καταπέλτεςbull Κάτοπτραbull Κοχλίας ή έλιξbull Οδόμετρο (δρομόμετρο)bull Πλανητάριον (σφαίρα)bull Πολύσπαστον (Βαρούλκο) τρίσπαστοbull Σίφωνbull Στομάχιον (επιτραπέζιο παιγνίδι το πρώτο παζλ)bull Τηλεβόλον Αρχιμήδους bull Χαριστίων (μοχλός)bull Ωρολόγιο υδραυλικό

37

Τα συγγράμματα του Αρχιμήδη που σώθηκαν μέχρι σήμερα είναι τα ακόλουθα Περί σφαίρας και κυλίνδρου Κύκλου μέτρησις περί σφαιροειδέων και κωνοειδέων Περί λίκων Επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων Ψαμμίτης Τετραγωνισμός παραβολής Οχούμενων Στομάχιον Προς Ερατοσθένην Έφοδος Βιβλίον περί λημμάτων Πρόβλημα βοεικόν Αποσπάσματα Μερικά από αυτά διασώθηκαν Πολλά επίσης είναι τα συγγράμματα του που χάθηκαν

Έκανε τα πρώτα βήματα για το μαθηματικό υπολογισμό επιφανειών με ακανόνιστο περίγραμμα και συμμετρικών εκ περιστροφής σωμάτων μέθοδος που εξελίχθηκε τεκμηριώθηκε και ονομάστηκε στην σύγχρονη εποχή laquoΟλοκληρωτικός Λογισμόςraquo υπολόγισε μία προσεγγιστική τιμή για τον άρρητο αριθμό π διατύπωσε το νόμο προεκτάσεις του γενίκευσε την εφαρμογή λέγοντας laquoΔώστε μου σημείο να στηριχθώ και θα κινήσω την γηraquo διατύπωσε την ομώνυμη αρχή για την άνωση του νερού κατασκεύασε διάφορες μηχανές ένα τύπο πολύσπαστου τον κοχλία μία αντλητική μηχανή με την laquoαρχιμήδειον έλικαraquo κά

Η συμβολή του ΑρχιμήδηΗ συμβολή του Αρχιμήδη στην ανάπτυξη της Μηχανικής συνιστάται πέρα από την επινόηση των τροχαλιών του πολύσπαστου και των οδοντωτών τροχών και ενός ιδιόμορφου αντλητικού συγκροτήματος στην έλικα που φέρει το όνομα του Ακόμα στην επακριβή διατύπωση των νόμων των μοχλών και των ισορροπιών ή κέντρα βαρών Εδώ υπάρχει και η περίφημη πρόταση laquo σύμμετρα μεγέθη ισορροπούν σε αποστάσεις αντιστρόφως ανάλογες προς το βάρος τους raquo

Σε σχέση με τους μοχλούς και τις δυνατότητες τους μας αναφέρει τη φράση laquo δος μοι πα στω και ταν γαν κινάσω raquo Απέδειξε στον Ιέρωνα ότι με ένα σύστημα τροχαλιών ndash οδοντωτών τροχών και μοχλών μπορεί να μετακινήσει ένα τεράστιο πλοίο με όλο το πλήρωμα μέσα μόνος του Ήταν ακόμα ο ίδιος που σχεδίασε και επιμελήθηκε τη ναυπήγηση του πλοίου

Ανέλαβε μετά από εντολή του Ιέρωνα την οχύρωση της πόλης και διηύθυνε ο ίδιος την άμυνα της εναντίον των Ρωμαίων

Στην αστρονομία ο Λίβιος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης είναι laquoμοναδικός παρατηρητής του ουρανού και των αστέρων raquo Ο Ίππαρχος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης ασχολήθηκε με τη μελέτη των ηλιοστασίων καθώς και με τον υπολογισμό της διάρκειας του έτους

Ο Μακρόβιος αναφέρει ότι ο Αρχιμήδης ανακάλυψε τις αποστάσεις των πλανητών ενώ στο έργο laquoΨαμμίτηςraquo περιγράφει τη συσκευή μέσω της οποίας μέτρησε τη φαινομενική γωνιακή διάμετρο του ήλιου

38

Ο Κικέρων αναφέρεται με θαυμασμό για τον Αρχιμήδη στα laquoΚατοπτρικάraquo Στα Μαθηματικά που ο ίδιος θεωρούσε ως τα πιο σημαντικά παρουσίασε την μέθοδο του προσδιορισμού του αριθμού π Τελειοποίησε το ελληνικό σύστημα αρίθμησης και παρουσίασε μια μέθοδο παράστασης των πολύ μεγάλων αριθμών Ασχολήθηκε με τη διαφορική Γεωμετρία βρήκε τους τύπους πρόσθεσης και αφαίρεσης τόξων Υπολόγισε το εμβαδόν της σφαίρας και του κυλίνδρου Μελέτησε διάφορα στερεά εκ περιστροφής όπως τα στερεά που παράγονται από περιστροφή έλλειψης υπερβολής και παραβολής γύρω από έναν άξονα

Στη Γεωμετρία το έργο του Αρχιμήδη αποτελείται κατά κύριο λόγο από πρωτότυπες μελέτες σχετικά με τον τετραγωνισμό των καμπυλόγραμμων επίπεδων σχημάτων καθώς και με τον τετραγωνισμό και τον κυβισμό καμπύλων επιφανειών

Τέλος επινόησε στο σύνολό της την Υδροστατική Επιστήμη την οποία ανέπτυξε πλήρως Οι μελέτες του αναπαριστούν ένα σύνολο μαθηματικών και γεωμετρικών επιτευγμάτων το οποίο δεν ξεπέρασε κανείς στην ανθρώπινη ιστορία

Όπως αναφέρει ο Wallis laquo ο Αρχιμήδης αφήνει ένα συγκεκριμένο μυστήριο να καλύπτει τον τρόπο με τον οποίο κατέληγε στα αποτελέσματά του Είναι σαν να είχε καλύψει σκοπίμως τα ίχνη του τα ίχνη των ερευνών του σα να ήταν απρόθυμος να αποκαλύψει το μυστικό της μεθόδου έρευνάς του στους μεταγενέστερους ενώ επιθυμούσε να αποσπάσει τη συναίνεσή τους για τα αποτελέσματά του raquo

Ο ίδιος ο Αρχιμήδης ως φορέας ενός ανώτερου φιλοσοφικού πνεύματος θεωρούσε ταπεινή και ανάξια κάθε τέχνη που εξυπηρετούσε πρακτικές ανάγκες ή αποσκοπούσε στο οικονομικό κέρδος Γι` αυτό και έστρεψε όλη του την προσοχή και τις επιδιώξεις στους καθαρούς στοχασμούς χωρίς να καταδεχτεί να αφήσει κάποιο γραπτό στοιχείο για τις τεχνολογικές του ανακαλύψεις με μοναδική εξαίρεση όσες αναφέρονται στο έργο του laquoπερί σφαιροποιίαςraquo Δεν είναι καθόλου τυχαίο λοιπόν το ότι ο Κικέρων αργότερα βρήκε τον τάφο του και πάνω μία αναπαράσταση ενός κυλίνδρου περιγεγραμμένου σε σφαίρα με μία περιγραφή που έδινε το λόγο του κυλίνδρου προς τη σφαίρα

Σε ποιους τομείς εφαρμόστηκαν οι θεωρίες του Εξαιρετικές του μελέτες και για τη μέθοδο και για το αποτέλεσμα είναι εκείνες που έδωσαν τα εμβαδά Κύκλου Έλλειψης Παραβολής και Έλικας καθώς και τα εμβαδά και τους όγκους των Κυλίνδρων των Κώνων και κυρίως των Σφαιρών

Σημαντικότατη θεωρείται και η ανακάλυψη από τον ίδιο τύπου που δίνει το εμβαδόν τριγώνου από τις πλευρές του και ακόμα η επέκτασή του στα εγγεγραμμένα τετράπλευρα Ο Αρχιμήδης επίσης γνώριζε να κατασκευάζει τη λύση ειδικών τριτοβάθμιων προβλημάτων και μεταξύ αυτών και του Δηλίου Προβλήματος Τις λύσεις αυτές τις έδινε με την τομή δύο κωνικών (Ευτόκιος) Μοναδική είναι η προσφορά του στην ανώτερη μετρική Γεωμετρία Συγκεκριμένα εξέφρασε τους όγκους στερεών εκ περιστροφής κωνικών τομών εφαρμόζοντας απειροστικές μεθόδους ανάλυσης των στερεών αυτών

39

Στη σύγχρονη κλασική γεωμετρία όλο σχεδόν το μετρικό της μέρος οφείλεται στον Αρχιμήδη με αποτέλεσμα αυτή ουσιαστικά να είναι ισορροπημένη μείξη της Ευκλείδειας και της Αρχιμήδειας αρχαίας γεωμετρίας

Έτσι ο σοφός μας αποτελεί ουσιαστικά τον πατέρα της ανώτερης μετρικής γεωμετρίας της αρχαιότητας και ταυτόχρονα την πηγή έμπνευσης των νεώτερων μελετών του διαφορικού και απειροστικού λογισμού

Η πρωτοτυπία και η αποτελεσματικότητα των μελετών του έγιναν αιτία να χαρακτηριστεί από τους ιστορικούς των μαθηματικών ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών και όλων των εθνών

Ρεύμα στα ανάκτορα της Βρετανίας μέσω εφεύρεσης του Αρχιμήδη ( httpkatestimenoblogspotcom201109blog-post_1015html )

laquoΗ Βασίλισσα Ελισάβετ πρόκειται να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση ενός αρχαίου Έλληνα για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Και όταν λέμε αρχαίο Έλληνα εννοούμε τον Αρχιμήδη και όχι τον 90χρονο σύζυγό της Φίλιππο της Ελλάδαςraquo

Με αυτόν τον τίτλο πληροφορεί το βρετανικό κοινό η εφημερίδα ldquoDaily Mailrdquo για την απόφαση της Αυτής Μεγαλειότητας να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση του αρχαίου Έλληνα εφευρέτη Αρχιμήδη από τις Συρακούσες για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Πρόκειται για τη σύγχρονη εκδοχή του ατέρμονα κοχλία της έλικος του Αρχιμήδους όπως έμεινε γνωστή η εφεύρεση και είναι ένας σωληνοειδής κοχλίας που χρησίμευε για την άντληση νερού και την άρδευση καλλιεργημένων εκτάσεων

Η σύγχρονη εκδοχή της εφεύρεσης θα χρησιμοποιεί το νερό που μεταφέρεται από ένα τεχνητό φράγμα για να παράγει υδροηλεκτρική ενέργεια Ο μηχανισμός έχει ήδη μεταφερθεί μέσω του Τάμεση στο Romney Weir στα ανάκτορα του Γουίντσορ Σύμφωνα με το δημοσίευμα της εφημερίδας οι έλικες θα είναι έτοιμες για την παραγωγή ενέργειας τον προσεχή Νοέμβριο ενώ θα μπορούν να καλύψουν πλήρως τις ανάγκες του κάστρου σε ενέργεια μέσα στον επόμενο χρόνο

Εκτός αυτού οι τουρμπίνες είναι σχεδιασμένες ώστε να μην εμποδίζουν την ασφαλή διέλευση σολομού και χελιού μέσα στον ποταμό Τάμεση

Οι laquoέλικες του Αρχιμήδηraquo βάρους 40 τόνων κατασκευάστηκαν από ένα εργοστάσιο στην Ολλανδία και στοίχησαν 700000 λίρες Αγγλίας ενώ το κόστος εγκατάστασής τους θα ξεπεράσει το ένα εκατομμύριο λίρες

40

bull Πυθαγόρειο θεώρημα

Σε αντιστοιχία με τον ορισμό των πυθαγορείων τριάδων ένα τρίγωνο λέγεται πυθαγόρειο όταν τα μήκη των πλευρών του αποτελούν Πυθαγόρεια τριάδα Προφανώς κάθε ορθογώνιο τρίγωνο είναι πυθαγόρειο ενώ το αντίστροφο γενικά δεν ισχύει Το ΠΘ αποτελεί χαρακτηριστικό παράδειγμα μελέτης των ιδιοτήτων των σχημάτων Ο Ευκλείδης στα laquoΣτοιχείαraquo μας λέει ουσιαστικά ότι η επιφάνεια που καταλαμβάνει το τετράγωνο που κατασκευάζεται με πλευρά την υποτείνουσα ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι ίση με την επιφάνια που καταλαμβάνουν μαζί τα τετράγωνα που κατασκευάζονται με πλευρά τις κάθετες πλευρές του τριγώνου

-Ορισμός Πυθαγορείου Θεωρήματος Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών Αντίστροφο Πυθαγορείου Θεωρήματος Αν σε ένα τρίγωνο το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο

Η απόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήματος που χρησιμοποιούμε συνήθως σήμερα στηρίζεται στην έννοια της ομοιότητας των τριγώνων και τις αλγεβρικές ιδιότητες των αναλογιών ενώ το θεώρημα διατυπώνεται στη μορφή μιας αλγεβρικής ισότητας για τετράγωνα των μήκων των πλευρών του ορθογώνιου τριγώνου Με τον τρόπο αυτό γίνεται ένα ευέλικτο υπολογιστικό εργαλείο με πολυάριθμες εφαρμογές και προεκτάσεις

Το πυθαγόρειο θεώρημα αποδεικνύεται με πάνω από έναν τρόπους

13

Απόδειξη με εμβαδά

Θεωρούμε ένα τετράγωνο πλευράς a + b και σχεδιάζουμε σε αυτό τέσσερα ορθογώνια τρίγωνα με πλευρές a και b και υποτείνουσα c έτσι ώστε στο κέντρο να έχουμε τετράγωνο πλευράς c (βλ σχήμα)

Υπολογίζουμε το εμβαδό του τετραγώνου προσθέτοντας το εμβαδό του μικρότερου τετραγώνου καθώς και τα εμβαδά των τεσσάρων τριγώνων

c2 + 2abΑφού πρόκειται για τετράγωνο πλευράς a + b το εμβαδό του ισούται επίσης με

a2 + b2 + 2abΕξισώνοντας τις δυο αυτές σχέσεις προκύπτει

a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab ή a2 + b2 = c2

Απόδειξη με ομοιότητα τριγώνων

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ορθή γωνία την Α Θεωρώ το ύψος της υποτείνουσας ότι την τέμνει στο σημείο Δ Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΒΑ είναι όμοια μεταξύ τους ως ορθογώνια τρίγωνα με ίδια τη γωνία Β Παρομοίως τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΓΑ είναι όμοια μεταξύ τους με ίδια τη γωνία Γ

Ισχύει ))(()AB()AB()(

)()AB( 2 ∆ ΒΒ Γ=rArr∆ Β=

Β Γ και (ΑΓ)2 = (ΒΓ)(ΔΓ)

Αν προσθέσουμε τις δυο αυτές εξισώσεις έχουμε(ΑΒ)2 + (ΑΓ)2 =

(ΒΓ)(ΔΒ) + (ΒΓ)(ΔΓ) = (ΒΓ)(ΔΒ + ΔΓ) = (ΒΓ)2

bull Η περίφημη κούπα του Πυθαγόρα

Ο Πυθαγόρας κατά την τοπική παράδοση της Σάμου είχε φτιάξει μια κούπα εφαρμόζοντας τους νόμους της Φυσικής για να πίνει με μέτρο το κρασί Εσωτερικά είχε μία γραμμή που όριζε ως που έπρεπε να γεμίσει κανείς Μια στάλα παραπάνω και η κούπα άδειαζε όλο το κρασί της από μία κρυφή οπή στη βάση Πως όμως γίνεται αυτό Στο κέντρο της κούπας βρίσκεται μια στήλη τοποθετημένη ακριβώς πάνω από έναν σωλήνα ο οποίος οδηγεί στο κάτω μέρος της Εκεί βρίσκεται η κρυφή οπή Ενώ γεμίζουμε την κούπα η στάθμη του κρασιού ανεβαίνει και στο εσωτερικό της κεντρικής στήλης ακολουθώντας το νόμο του Pascal για τα συγκοινωνούντα δοχεία

14

Όσο η στάθμη του κρασιού δεν ξεπερνά τη γραμμή που είναι χαραγμένη στο εσωτερικό της κούπας laquoδεν τρέχει τίποταraquo Εάν όμως την ξεπεράσει ταυτόχρονα φτάνει και στην κορυφή της εσωτερικής στήλης έτσι μέσω του σωλήνα το παραπανίσιο κρασί χύνεται κάτω από την κούπα Τότε η υδροστατική πίεση δημιουργεί ένα σιφόνι στον εσωτερικό σωλήνα το οποίο αδειάζει όλο το περιεχόμενο της κούπας από την οπή που υπάρχει

Ένα πλήθος επιπρόσθετων επιτευγμάτων όπως η κατασκευή και η μελέτη τριών τουλάχιστον από τα πέντε κανονικά πολύγωνα (κύβος τετράεδρο δωδεκάεδρο) και η κατασκευή της μουσικής κλίμακας (μελέτη των λόγων της τετράχορδης λύρας και δημιουργία κανόνα της οχτάχορδης λύρας) μας αποδεικνύει τη σημαντικότητα του Πυθαγόρα ως επιστήμονας της εποχής του Οι πληροφορίες για τη μελέτη των πολυέδρων δεν είναι αρκετές ωστόσο για τη μουσική κλίμακα γνωρίζουμε ότι βασίστηκε στις μελέτες του Πυθαγόρα ο οποίος μελετώντας τη μαθηματική σχέση της μουσικής κλίμακας και διατυπώνοντας σχετικούς κανόνες διευκόλυνε κατά πολύ την κατασκευή μουσικών οργάνων Κατάφερε να εκφράσει τη μουσική αρμονία με μαθηματικές σχέσεις μέσα από τη φιλοσοφική και επιστημονική του προσέγγιση Ξεκινώντας από μία χορδή και διαιρώντας διαδοχικά με το μήκος της και τον χρυσό αριθμό Φ κατάφερε να κατασκευάσει το μουσικό όργανο laquoΚανόναraquo εξέλιξη του οποίου συναντάται σήμερα στο γνωστό laquoκανονάκιraquo

Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΟΥ ΣΤΟ ΣΗΜΕΡΑ

Το αρχαιότερο παράδειγμα εφαρμογής του γνωστού σε όλους laquoπυθαγορείου θεωρήματοςraquo το συναντούμε στη πινακίδα ΒΜ 85196 που χρονολογείται από την περίοδο της πρώτης βαβυλωνιακής χιλιετίας πΧ Έχοντας γνώση λοιπόν του έργου του οι Βαβυλώνιοι οδηγηθήκαν σε αξιόλογα επιτεύγματα

Ο Πυθαγόρας υπήρξε μεγάλη προσωπικότητα με τις έρευνες και το Πανεπιστήμιό του συνέβαλε στο άλμα των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών Η περίεργη μυστικότητα όμως που διέπνεε το σύλλογο έγινε αιτία να μην πληροφορηθούν οι βιογράφοι επακριβώς όλα τα προσωπικά επιτεύγματα του ίδιου Έτσι σήμερα αγνοούμε εν μέρη το δικό του έργο το οποίο ασφαλώς θα ήταν σημαντικότατο

Όσο αναφορά το πυθαγόρειο σχήμα παρά τα αρκετά μειονεκτήματα έχει μερικά χαρακτηριστικά τα οποία μόνιμα επηρέαζαν την ελληνική αστρονομική σκέψη Έδινε βαρύτητα στις κυκλικές κινήσει των ουράνιων σωμάτων γύρω από ένα κεντρικό στοιχείο Τέλος στον Πυθαγόρα και τους Πυθαγορείους οφείλεται πλήθος γεωμετρικών εργασιών αφού αυτοί μελέτησαν με επιτυχία την επιστήμη της Γεωμετρίας

15

Πλάτων ο ΑθηναίοςΒιογραφικά στοιχεία

Έζησε στο διάστημα (427-347πΧ) Ήταν Aθηναίος φιλόσοφος αριστοκρατικής καταγωγής όπου ίδρυσε και διεύθυνε το διασημότερο πανεπιστήμιο στην αρχαία Ελλάδα την Ακαδημία για 40 περίπου χρόνια μέχρι το θάνατό του Πατέρας του ήταν ο Αρίστωνας ο οποίος καταγόταν από το γένος του βασιλιά Κόδρου και μητέρα του ήταν η Περικτιόνη η οποία ήταν αδερφή του Χαρμίδη ενός από τους Τριάκοντα τύραννους και ανιψιά του Κριτία επίσης μέλος των Τριάκοντα με καταγωγή από το γένος του νομοθέτη Σόλωνος Αδέρφια του ήταν οι Αδείμαντος και Γλαύκων Το πρώτο του όνομα ήταν Αριστοκλής αλλά αργότερα ονομάστηκε Πλάτωνας γιατί είχε ευρύ στέρνο και πλατύ μέτωπο

Σε ηλικία 18 ετών γνώρισε τον Σωκράτη και γοητεύτηκε από την προσωπικότητα και από την διδασκαλία του Από το συνολικό έργο του διασώζονται 36 έργα τα οποία εκτός από την Απολογία του Σωκράτη έχουν την μορφή διαλόγου σε όλα εκτός των Νόμων Την συζήτηση διεύθυνε ο Σωκράτης ενώ ο τίτλος του καθενός είναι το όνομα του σπουδαιότερου συνομιλητή ή αφηγητή Στα έργα αυτά γίνεται φανερή η τοποθέτηση του και ο άκρατος

θαυμασμός του προς τα μαθηματικά και ιδιαίτερα προς την γεωμετρία

Λίγες πληροφορίες για την Ακαδημία

Η Ακαδημία ήταν ένα προάστιο των Αθηνών Πήρε το όνομά της από τον ήρωα Ακάδημο Αναφορικά ο Ιππίας γιος του Πεισίστρατου έκτισε ένα κυκλικό τοίχο και ο Κίμωνας φύτεψε τη περιοχή με τα δέντρα η οποία καταστράφηκε από τον Σίλα το 86 πΧ Το 387

16

πΧ O Πλάτωνας ίδρυσε τη φιλοσοφική του σχολή η οποία έγινε πολύ διάσημη χάρη στους νεοπλατωνιστές και χρησιμοποιείτο έως το 526 μΧ οπότε και έκλεισε από τον αυτοκράτορα Ιουστινιανό Η Ακαδημία ήταν σχολή ανωτέρων μελετών και ταυτόχρονα και εκπαιδευτικό ίδρυμα Είχε ισχυρή καταστατική συγκρότηση και παρουσιάζεται περισσότερο υπό τη μορφή μιας αδελφότητας μιας φιλοσοφικής αίρεσης τα μέλη της οποίας αισθάνονται στενά συνδεδεμένα μεταξύ τους και διακρίνεται και από μια οικειότητα στις σχέσεις μεταξύ των μαθητών και των δασκάλων την οποία θα χαρακτηρίζαμε στοργική και φιλική συνάμα Υπάρχει μια διαφωνία σχετικά με το αν η Ακαδημία ήταν ένωση για τη πρόοδο των επιστημών ή ίδρυμα ανώτατης μόρφωσης Η διαφωνία αυτή είναι κάπως άσκοπη δεδομένου το ότι ο άκρατος ρεαλισμός της σχολής αλλά και ο απλός χαρακτήρας της αρχαϊκής εκείνης εποχής δεν επιτρέπουν στο να μεταθέσουμε σε εκείνο το περιβάλλον τη σύγχρονη αντίληψη που έχουμε για την επιστήμη Η Ακαδημία άλλωστε ήταν σχολή ανώτερων μελετών αλλά και εκπαιδευτικό ίδρυμα ταυτόχρονα Τέλος ο Πλάτωνας δεν ονειρεύτηκε μόνο τη ldquoμετά επιστήμηςrdquo παιδεία αλλά και τη μετέδωσε για σαράντα χρόνια στους μαθητές του στην Ακαδημία

Η Ακαδημία ήταν ο τόπος στον οποίο ο Πλάτωνας προσπαθούσε να δείξει τον δρόμο σε προικισμένους μαθητές ώσπου να αναπηδήσει ο σπινθήρας και να αποκαλυφθεί η έσχατη γνώση Ξέρουμε τόσα λίγα για την καθημερινή διδασκαλία στην ακαδημία την εποχή του Πλάτωνα ώστε πότε-πότε θέλησαν να αρνηθούν τον επιστημονικό χαρακτήρα της Τέτοιοι σκεπτικισμοί δεν στηρίζονται πουθενά Την μεγάλη σημασία των μαθηματικών σαν προπαίδεια για την διαλεκτική η οποία στηριζόταν σε αυτά την δείχνουν μερικές προσωπικότητες του Πλατωνικού κύκλου και χωρίς αμφιβολία υπάρχει ουσιαστική αλήθεια στο ανέκδοτο που λένε ότι βρισκόταν πάνω από την είσοδο της Ακαδημίας laquoἁγεωμέτρητος μηδείς εἰσίτωraquo Ξέρουμε ακόμα ότι η διαιρετική μέθοδος για την οποία μιλήσαμε στους οψιμότερους διαλόγους έπαιξε σημαντικό ρόλο στον αγώνα για ένα λογικά ταχτοποιημένο κοσμοείδωλο και στην απόκτηση ορισμών με την διαίρεση των γενικότερων εννοιών

Η συμβολή του Πλάτωνα και της Ακαδημίας στα μαθηματικά

Η συμβολή της Ακαδημίας στα μαθηματικά του 4ου αιώνα πΧ είναι σημαντικότατη ιδιαίτερα με τα έργα των καθηγητών της Θεαίτητου Μεναίχμου και Ενδόξου Η συμβολή όμως του Πλάτωνα είναι αμφιλεγόμενη αν και πιστεύεται ότι

-Έλυσε το Δήλιο πρόβλημα (διπλασιασμό του κύβου) με κινητική γεωμετρία και κάποιο όργανο με την βοήθεια του οποίου προέκυπτε η λύση

-Έδωσε γενική μορφή στην αναλυτική μέθοδο και συνέβαλε στην έρευνα των γεωμετρικών τύπων

-Προσδιόρισε ένα πλήθος των πυθαγορείων τριάδων δηλαδή των τριαδικών ακέραιων αριθμών που επαληθεύουν την ισότητα x2+y2=ω2 του Πυθαγορείου θεωρήματος

Για τα πολυσυζητημένα αστρονομικά ζητήματα της εποχής του (κίνηση του ουρανού θέση σχήμα και κίνηση της Γης) παρουσιάζει ξένες και θολά διατυπωμένες απόψεις γεγονός που

17

φανερώνει ότι δεν διέθετε προσωπική άποψη για το θέμα και γενικά ότι δεν ήταν μαθηματικός

Έγραψε μεταξύ άλλων την απολογία του Σωκράτη η οποία θεωρείται ως μια σχετικά ακριβής καταγραφή της απολογίας του Σωκράτη στην δίκη που τον καταδίκασε σε θάνατο Μετά τη θανάτωση του Σωκράτη για λίγο καιρό κατέφυγε στα Μέγαρα κοντά στον συμμαθητή του Ευκλείδη Ύστερα γύρισε στην Αθήνα όπου για 10 χρόνια ασχολήθηκε με τη συγγραφή φιλοσοφικών έργων τα οποία φέρουν τη σφραγίδα της σωκρατικής φιλοσοφίας Στη συνέχεια ταξίδεψε στην Αίγυπτο και στην Κυρήνη όπου σχετίστηκε με τον μαθηματικό Θεόδωρο και τέλος στον Τάραντα της Ιταλίας όπου γνώρισε τους πυθαγόρειους από τη φιλοσοφική σκέψη των οποίων επηρεάστηκε αποφασιστικά Μετά πέρασε στη Σικελία Στην αυλή του βασιλιά των Συρακουσών Διονυσίου Α΄ γνώρισε τον βασιλικό γυναικάδελφο Δίωνα με τον οποίον συνδέθηκε φιλικά Η φιλία όμως αυτή προκάλεσε τις υποψίες του Διονυσίου για συνωμοσία γι αυτό έδιωξε τον Πλάτωνα από τη Σικελία Στην Αίγινα κινδύνεψε να πουληθεί ως δούλος αλλά τον εξαγόρασε ο Κυρηναίος φίλος του Αννίκερης Επιστρέφοντας στην Αθήνα άνοιξε τη φιλοσοφική σχολή του την Ακαδημία (387 πΧ) Η προσπάθεια όμως των δύο φίλων να προσηλυτίσουν στις ιδέες τους τον νέο ηγεμόνα Διονύσιο τον Πρεσβύτερο απέτυχαν Για τρίτη φορά ήρθε στην αυλή των Συρακουσών το 361 πΧ με σκοπό να συμφιλιώσει τον Δίωνα με τον Διονύσιο Αυτή τη φορά κινδύνεψε και η ζωή του Τον έσωσε η επέμβαση του πυθαγόρειου Αρχύτα Αλλά ο Δίωνας δεν γλίτωσε Δολοφονήθηκε το 353 πΧ Έτσι ο Πλάτωνας έχασε τον άνθρωπο στον οποίο στήριξε τις ελπίδες του για την επιβολή των πολιτικών του ιδεών Από τότε και μέχρι τον θάνατό του ασχολήθηκε με τη διδασκαλία και με τη συγγραφή φιλοσοφικών έργων Επίσης έγραψε το συμπόσιο που μιλάει για την φύση του έρωτα στον Πρωταγόρα Μεταξύ άλλων θεμελιώνεται θεωρητικά η αρχή της πρόληψης που δεν λαμβάνει την τιμή ως απολύτως ανταποδοτική στον Παρμενίδη και Θεαίτητο θεμελιώνει την αντικειμενικότητα του λόγου και της ιδέας ενώ σε 2 μακρούς διαλόγους την Πολιτεία και τους Νόμους περιέγραψε την ιδανική πολιτεία

Η κύρια συμβολή του στα μαθηματικά βρίσκεται κυρίως στο ότι προέτρεπεe τους μαθηματικούς να ερευνούν καθολικές μαθηματικές αλήθειες και γενικά να καλλιεργούν τα μαθηματικά τα οποία θεωρούσε ότι διαθέτουν τεράστια εκπαιδευτική αξία Η προτροπή αυτή φαίνεται εκτός των άλλων και στις απόψεις του ότι τα μαθηματικά είναι lsquorsquoδόσις θεῶν εἰς ἀνθρώπουςrsquorsquo και ότι οδηγούν έντονα την ψυχή προς το θείο

Οι επιδράσεις του Πλάτωνος στους έπειτα αιώνες

Ο Γάλλος ιστορικός της φιλοσοφίας Ζακ Σεβαλιέ τονίζει στο έργο του laquoΙστορία της σκέψηςraquo (1955) την κυρίαρχη παρουσία ή έστω ανταύγεια της πλατωνικής φιλοσοφίας σε ολόκληρο το Μεσαίωνα και στην Αναγέννηση και στους Νεότερους χρόνους ενώ ο Γερμανός φιλόσοφος Καρλ Γιάσπερς προβάλλει τον Πλάτωνα ως το τον πρώτο από τους τρεις θεμελιωτές του φιλοσοφείν Η ιστορία της φιλοσοφίας μέχρι τον Κικέρωνα είναι σαφώς επηρεασμένη από αυτόν και είτε αμφισβητεί είτε ακολουθεί τη διδασκαλία του Ο μαθητής του Αριστοτέλης εξ ίσου επιδραστικός με τον ίδιο οδηγήθηκε στην ανάπτυξη τμήματος του έργου του ως απάντηση στον πλατωνισμό Η σχολή την οποία ο Πλάτωνας

18

ίδρυσε το 387 πΧ η Ακαδημία συνέχισε να ακμάζει ως τις αρχές του πρώτου αιώνα π Χ έχοντας όμως μετατραπεί σε σκεπτική σχολή μετά τις αρχές της ελληνιστικής περιόδου

Κατά την εποχή του Αυγούστου υπήρξε αναβίωση της πλατωνικής φιλοσοφίας ο μεσοπλατωνισμός με εκπροσώπους όπως ο Φίλων ο Αλεξανδρεύς ενώ κατά τα τέλη του δεύτερου αιώνα ο μεσοπλατωνισμός άρχεσαι να μετατρέπεται σταδιακά υπό την επίδραση του νεοπυθαγορισμού και του ερμητισμού στην κατεχόμενη από τους Ρωμαίους Αίγυπτο στο κίνημα του νεοπλατωνισμού με αρχικούς εκπροσώπους όπως ο Πλωτίνος το οποίο είχε ιδεαλιστικό μυστικιστικό και σωτηριολογικό χαρακτήρα Η Ακαδημία στην Αθήνα επανιδρύθηκε ως κέντρο νεοπλατωνικών μελετών κατά τον τέταρτο αιώνα

Την ίδια εποχή περίοδο έντονων θρησκευτικών ζυμώσεων στη Ρωμαϊκή Αυτοκρατορία και σταδιακής επικράτησης του χριστιανισμού στη Μεσόγειο οι ακόλουθοι της αστικής ελληνορωμαϊκής θρησκείας αλλά και των ελληνικών μυστηριακών λατρειών συσπειρώθηκαν γύρω από τον νεοπλατωνισμό ως υπερασπιστή του μέχρι πρότινος επικρατούντος παγανισμού Μεμονωμένοι νεοπλατωνικοί και παγανιστικοί πυρήνες επέζησαν ως τον έκτο αιώνα οπότε και ο Αυτοκράτορας Ιουστινιανός έκλεισε με διάταγμα την Ακαδημία της Αθήνας Μετά περίπου εννέα αιώνες το έτος 1439 ο Γεώργιος Γεμιστός Πλήθων γράφει στη Φλωρεντία το πολύκροτο έργο του Περί ὧν Αριστοτέλης προς Πλάτωνα που αποτέλεσε το έναυσμα της διαμάχης πλατωνικών και αριστοτελικών στο Βυζάντιο και στην Ιταλία Ο πλατωνισμός επιβίωσε υπογείως καθ όλον τον Μεσαίωνα κρυμμένος σε μυστηριακά ρεύματα έως ότου οι πρωτότυπες ιδέες του ανακαλύφθηκαν ξανά και σχολιάστηκαν κατά την Αναγέννηση Έτσι ούτε η νεότερη φιλοσοφική σκέψη έμεινε ανεπηρέαστη από αυτόν Τα διάφορα φιλοσοφικά συστήματα ή προσπαθούν να ανατρέψουν τις ιδέες του ή οικοδομούνται πάνω σ αυτές εκσυγχρονίζοντάς τες

Τα έργα του είναι

Αλκιβιάδης Α η Περί Ανθρώπου Φύσεως μαιευτικός

Αλκιβιάδης Β ή Περί Προσευχής μαιευτικός

Απολογία Σωκράτους ηθικός

Γοργίας ή Περί Ρητορικής ανατρεπτικός

Επινομίς ή Νυκτερινος Σύλλογος πολιτικός

Επιστολαί ηθικαί

Ερασταί ή Περί Φιλοσοφίας ηθικός

Ευθύδημος ή Εριστικός ανατρεπτικός

Ευθύφρων ή Περί του Οσίου

Θεάγης ή Περί Φιλοσοφίας μαιευτικός

Θεαίτητος ή Περί Επιστήμης πειραστικός

19

Ιππαρχος ή Φιλοκερδής ηθικός

Ιππίας ελάσσων ή Περί του Ψεύδους ανατρεπτικός

Ιππίας μείζων ή Περί του Καλού ανατρεπτικός

Ίων ή Περί Ιλιάδος πειραστικός

Κλειτοφών ή Προτρεπτικός ηθικός

Κρατύλος ή Περί Ονομάτων Ορθότητος λογικός

Κριτίας ή Ατλαντικός ηθικός

Κρίτων ή Περί του Πρακτέου ηθικός

Λάχης ή Περί Ανδρείας ηθικός

Λύσις ή Περί Φιλίας μαιευτικός

Μενέξενος ή Επιτάφιος ηθικός

Μένων ή Περί Αρετής πειραστικός

Μίνως ή Περί Νόμου πολιτικός

Νόμοι ή Περί Νομοθεσίας πολιτικός

Παρμενίδης ή Περί Ιδεών λογικός

Πολιτεία ή Περί Δικαίου πολιτικός

Πολιτικός ή Περί της Βασιλείας λογικός

Πρωταγόρας ή Σοφισταί επιδεικτικός

Σοφιστής ή Περί του Όντος λογικός

Συμπόσιον ή Περί Αγαθού ηθικός

Τίμαιος ή Περί Φύσεως φυσικός

Φαίδρος ή Περί Έρωτος ηθικός

Φαίδων ή Περί Ψυχής ηθικός

Φίληβος ή Περί Ηδονής ηθικός

Χαρμίδης ή Περί Σωφροσύνης πειραστικός

20

21

ΕυκλείδηςΒΙΟΓΡΑΦΙΑ

Υπολογίζεται ότι έζησε το βrsquo μισό του 4ου έως τις αρχές του 3ου πΧ αιώνα πιο συγκεκριμένα περίπου το 325 πΧ έως το 265 πΧ Κορυφαίος μαθηματικός της αρχαιότητας που επηρέασε με το έργο του σε ανυπέρβλητο βαθμό τον επιστημονικό τρόπο σκέψης σε όλο τον κόσμο Για τη ζωή του δεν υπάρχουν επιβεβαιωμένες πληροφορίες Πιθανώς εκπαιδεύτηκε στην Αθήνα στην Ακαδημία του Πλάτωνα και δίδαξε στην Αλεξάνδρεια Ξέρουμε ότι ήταν μεγαλύτερος στην ηλικία από τον Αρχιμήδη πράγμα που σημαίνει ότι η χρονολόγηση της ακμής του laquoγύρω στο 300 πΧraquo δεν πρέπει να απέχει πολύ από την αλήθεια Ο Πρόκλος επίσης τον χαρακτηρίζει σύγχρονο του βασιλιά Πτολεμαίου Αrsquo στον

οποίο είχε το θάρρος να του πει κατά πρόσωπο πως δεν υπάρχει βασιλική οδός προς τη γεωμετρία Ο Πάππος τον επαινεί για την ηθική του ακεραιότητα τη μετριοφροσύνη και την ευμενή στάση του προς όσους είναι ικανοί να προαγάγουν τη μαθηματική γνώση Ο Στοβαίος διηγείται το ακόλουθο ενδιαφέρον περιστατικό Ένας νέος επισκέφθηκε κάποτε τον Ευκλείδη και τον παρακάλεσε να τον διδάξει γεωμετρία Μόλις έμαθε το πρώτο θεώρημα ρώτησε τον Ευκλείδη laquoΚαι τώρα τι θα κερδίσω με το θεώρημα αυτόraquo Ο Ευκλείδης τότε γύρισε προς τον υπηρέτη του και του είπε laquoΔώσrsquo του τρεις δεκάρες ώστε να κερδίσει κάτι από το θεώρημα το οποίο έμαθεraquo Αυτά είναι όλα όσα γνωρίζουμε για τον Ευκλείδη ως άνθρωπο Πολύ μεγαλύτερη σημασία όμως έχει το έργο του το οποίο ακόμα και σήμερα μαρτυρεί τα απαράμιλλα χαρίσματά του ως δασκάλου

ΕΡΓΟ

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη

Μετά το θάνατο του Μεγάλου Αλεξάνδρου στα 323 πΧ η αχανής μακεδονική αυτοκρατορία διαιρέθηκε σε τρεις περιοχές Η περιοχή πού περιλάμβανε την Αίγυπτο περιήλθε κάτω από την άξια ηγεμονία του ικανού στρατηγού του Αλεξάνδρου Πτολεμαίου του Σωτήρος ο οποίος σύντομα κέρδισε τη βασιλεία της περιοχής Ο Πτολεμαίος επέλεξε για πρωτεύουσα της περιοχής του την Αλεξάνδρεια λίγα μόνο μίλια από τις εκβολές του ποταμού Νείλου και γύρω στα 300 πΧ άνοιξε τις πόρτες του περίφημου πανεπιστημίου της Αλεξάνδρειας Ανάμεσα στους μελετητές που κλήθηκαν να επανδρώσουν το νέο ίδρυμα ήταν και ο μαθηματικός Ευκλείδης που πιθανότατα υπήρξε μαθητής της Ακαδημίας του Πλάτωνα στην Αθήνα

22

Ο Ευκλείδης από τη στιγμή που ανέλαβε τα καθήκοντά του στην Αλεξάνδρεια όρισε ανάμεσα στους στόχους του τη συγκρότηση του μνημειώδους και ιστορικά σημαντικού έργου του των Στοιχείων Αυτή η αξιόλογη και εκτεταμένη εργασία γραμμένη σε δεκατρία βιβλία ή μέρη αποτελεί την αρχαιότερη εφαρμογή της αξιωματικής μεθόδου που έχει φτάσει στα χέρια μας Θεωρείται ο πρώτος μεγάλος σταθμός στην ιστορία της οργάνωσης των μαθηματικών και η μετέπειτα επίδραση της στον επιστημονικό τρόπο γραφής πολύ δύσκολα μπορεί να περιγραφεί

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη διεκδικούν αναμφισβήτητα μια θέση ανάμεσα στις μεγάλες στιγμές των μαθηματικών Η εργασία αυτή εκτόπισε τόσο γρήγορα και ολοκληρωτικά όλες τις προηγούμενες εργασίες ανάλογου περιεχομένου που σήμερα δεν υπάρχουν αντίγραφα προηγουμένων προσπαθειών και απλά γνωρίζουμε την ύπαρξη τους από σχόλια μεταγενέστερων συγγραφέων Τα Στοιχεία του Ευκλείδη από την πρώτη εμφάνιση τους κέρδισαν τεράστια εκτίμηση Με μοναδική εξαίρεση τη Βίβλο καμιά άλλη εργασία δεν χρησιμοποιήθηκε μελετήθηκε ή εκδόθηκε τόσο πολύ Για πάνω από δύο χιλιετίες κυριάρχησε στο χώρο διδασκαλίας της γεωμετρίας Από την πρώτη έκδοση της στα 1472 έχει γνωρίσει πάνω από χίλιες εκδόσεις Το περιεχόμενο και η μορφή της επέδρασαν εντυπωσιακά στην ανάπτυξη του αντικειμένου της και της λογικής θεμελίωσης των μαθηματικών

Ο Πρόκλος ένας κατοπινός σχολιαστής των μαθηματικών που έζησε στον 5ο αιώνα έχει δώσει μια εξήγηση της έννοιας του όρου laquoστοιχείαraquo Τα στοιχεία μιας αποδεικτικής μελέτης είναι τα πιο σημαντικά θεωρήματα ή τα θεωρήματα κλειδιά που χρησιμοποιούνται συχνά και πλατιά στο αντικείμενο της μελέτης Είναι τα θεωρήματα που χρειάζονται για την απόδειξη όλων ή των περισσότερων από τα άλλα θεωρήματα Η λειτουργία τους συγκρίνεται με αυτή των γραμμάτων του αλφαβήτου σε σχέση με τη γλώσσα Τα γράμματα στα ελληνικά ονομάζονται και στοιχεία Η επιλογή των προτάσεων που θα λειτουργήσουν ως στοιχεία κάποιου θέματος μελέτης απαιτεί μεγάλη ικανότητα και κρίση από το συγγραφέα

Δεν υποτιμά καθόλου την αίγλη του έργου του Ευκλείδη το γεγονός ότι είχαν προηγηθεί ανάλογες προσπάθειες Σύμφωνα με τον Πρόκλο η πρώτη προσπάθεια να γραφτούν Στοιχεία έγινε από τον Ιπποκράτη το Χίο στα μέσα του πέμπτου πΧ αιώνα Η επόμενη προσπάθεια ήταν του Λέοντα που χρονολογικά τοποθετείται κάπου ανάμεσα στον Πλάτωνα και τον Εύδοξο Όπως μαθαίνουμε η εργασία του Λέοντα περιείχε μια μεγαλύτερη και πιο χρήσιμη επιλογή προτάσεων από τον Ιπποκράτη Το βιβλίο που χρησιμοποιούνταν στην Ακαδημία του Πλάτωνα είχε επιμεληθεί ο Θεύδιος από τη Μαγνησία και θεωρούνταν μια θαυμάσια συλλογή στοιχείων Η εργασία του Θεύδιου ήταν ασφαλώς ο άμεσος πρόδρομος της εργασίας του Ευκλείδη ο οποίος την είχε χωρίς αμφιβολία στη διάθεση του ειδικά αν όπως πιστεύουν σπούδασε στην Ακαδημία του Πλάτωνα

Ο Ευκλείδης γνώριζε επίσης την εργασία του Θεαίτητου και του Εύδοξου Δεν είναι καθόλου υποτιμητικό ότι η εργασία του Ευκλείδη αποτελεί σε μεγάλο βαθμό συγκέντρωση και επιμέλεια των εργασιών των προγενεστέρων του αφού η ουσιαστική αξία των Στοιχείων βρίσκεται ακριβώς στην τέλεια επιδεξιότητα με την οποία επιλέχτηκαν και τοποθετήθηκαν

23

σε λογική σειρά οι προτάσεις ξεκινώντας από μια μικρή ομάδα αρχικών υποθέσεων Ούτε είναι υποτιμητικό το γεγονός ότι η εξονυχιστική μελέτη των σύγχρονων κριτικών έχουν αποκαλύψει ορισμένα μειονεκτήματα στη δομή της εργασίας του Ευκλείδη Δε θα μπορούσε κανείς να περιμένει μια τέτοια αρχική και κολοσσιαία προσπάθεια με την αξιωματική μέθοδο να μην παρουσιάζει καμία ατέλεια

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη έχουν γραφεί γύρω στο 300 πΧ αλλά το αυθεντικό χειρόγραφο κείμενο του Ευκλείδη δεν διασώζεται Αντίθετα σώζονται δεκάδες αντίγραφα που σε τελική ανάλυση κατάγονται από αυτό Το αρχαιότερο πλήρες αντίγραφο περιέχεται σε έναν χειρόγραφο περγαμηνό κώδικα που φυλάσσεται σήμερα στη Βιβλιοθήκη της Οξφόρδης και χρονολογείται από του έτους 888 ενώ μικρά αποσπάσματα του έργου διασώζονται σε παπύρους προγενέστερης εποχής καθώς και σε ένα παλίμψητο χειρόγραφο του 7ου ή του 8ου

μΧ αι που φυλάσσεται στο Βρετανικό Μουσείο Βλέπουμε λοιπόν ότι το αρχαιότερο χειρόγραφο που περιέχει το πλήρες κείμενο των Στοιχείων του Ευκλείδη χρονολογείται από τα τέλη του 9ου μΧ αι και επομένως απέχει από την εποχή μας όσο απέχει από την εποχή που ο ίδιος ο Ευκλείδης έγραψε το έργο

Όλες οι σύγχρονες εκδόσεις στηρίζονται σε μια επανέκδοση που έκανε ο Θεωνάς από την Αλεξάνδρεια ένας Έλληνας σχολιαστής που έζησε εφτακόσια περίπου χρόνια μετά τον Ευκλείδη Μόνο στις αρχές του 19ου αιώνα ανακαλύφθηκε ένα παλιότερο αντίγραφο Στα 1808 όταν ο Ναπολέοντας διέταξε να μεταφερθούν όλα τα αξιόλογα χειρόγραφα από τις ιταλικές βιβλιοθήκες στο Παρίσι ο Φ Πέιραρντ (F Peyrard) ανακάλυψε στη βιβλιοθήκη του Βατικανού ένα αντίγραφο των Στοιχείων από έκδοση προγενέστερη από του Θεωνά Η μελέτη όμως αυτής της παλιότερης έκδοσης αποκάλυψε δευτερεύουσες μόνο διαφορές από τον Θεωνά

Οι πρώτες πλήρεις μεταφράσεις των Στοιχείων στα λατινικά δεν έγιναν από τα ελληνικά αλλά από τα αραβικά Τον 8ο αιώνα οι Άραβες μετέφρασαν έναν αριθμό βυζαντινών χειρογράφων με ελληνικές εργασίες και στα 1120 ο Άγγλος μελετητής Άντελαρντ (Adelard) από το Μπαθ μετέφρασε τα Στοιχεία στα λατινικά χρησιμοποιώντας μια απ αυτές τις παλιότερες αραβικές μεταφράσεις Άλλες λατινικές μεταφράσεις από τα αραβικά έκαναν ο Γκεράρντο από την Κρεμώνα (Gherardo 1114-1187) και 150 χρόνια μετά τον Άντελαρντ ο Γιοχάννες Καμπάνους (Johannes Campanus) Η πρώτη τυπωμένη έκδοση των Στοιχείων έγινε στη Βενετία στα 1482 η έκδοση αυτή ήταν η μετάφραση του Καμπάνους Αυτό το πολύ σπάνιο βιβλίο ήταν θαυμάσια τυπωμένο και ήταν το πρώτο αξιόλογο μαθηματικό βιβλίο που τυπώθηκε Μια σημαντική λατινική μετάφραση από τα ελληνικά έγινε από τον Κομμαντίνο (Commandino) στα 1572 Αυτή η μετάφραση χρησιμοποιήθηκε ως βάση για πολλές άλλες μεταφράσεις που ακολούθησαν ανάμεσα σ αυτές και η εργασία του Ρόμπερτ Σίμσον (Robert Simson) που άσκησε σημαντική επιρροή και αποτέλεσε με τη σειρά της τη βάση για πάρα πολλές αγγλικές εκδόσεις

24

Αναλυτική περιγραφή των laquo στοιχείων raquo

Ειδικότερα το πρώτο βιβλίο αναφέρεται σε τεμνόμενες και παράλληλες ευθείες στην ισότητα ευθύγραμμων σχημάτων και στο τέλος το πυθαγόρειο θεώρημα Στο 2ο βιβλίο αναφέρονται συνέπειες από το πυθαγόρειο θεώρημα και γίνονται μετασχηματισμοί ευθύγραμμων σχημάτων σε ισοδύναμα τετράγωνα Εδώ περιέχεται και το πρόβλημα

της laquoχρυσής τομήςraquo Πολλές από τις προτάσεις αυτού μπορούν με σύγχρονους συμβολισμούς να πάρουν μορφή αλγεβρική γιrsquo αυτό έχει επικρατήσει να λέγεται για το 2ο βιβλίο ότι εισάγει τη laquoγεωμετρική άλγεβραraquo Στο 3ο βιβλίο εξετάζεται ο κύκλος και στο τέταρτο βιβλίο λύνονται προβλήματα σχετικά με τα εγγεγραμμένα στον κύκλο κανονικά πολύγωνα Στο 5ο βιβλίο σπουδάζεται η laquoθεωρία των λόγωνraquo του Ευδόξου Πρόκειται ουσιαστικά για τη θεωρία των πραγματικών αριθμών δοσμένη όμως σε μορφή γεωμετρική Το 6ο βιβλίο ασχολείται με την ομοιότητα επίπεδων σχημάτων και σrsquo αυτά αποδεικνύεται ότι από όλα τα ορθογώνια με δοσμένη περίμετρο το τετράγωνο έχει το μέγιστο εμβαδόν Στα βιβλία 7ο-9ο που αφορούν στην αριθμοθεωρία είναι εκπληκτικό πώς με παντελή μπορεί να πει κανείς έλλειψη συμβολισμών (αριθμοί δεν αναγράφονται) κατορθώνεται μια ακροβασία στην αλληλουχία των συλλογισμών που καταλήγει σε πολύ ενδιαφέροντα αριθμητικά αποτελέσματα Ειδικότερα στο 7ο βιβλίο μελετιούνται οι άρτιοι και οι περιττοί αριθμοί οι πρώτοι και οι σύνθετοι καθώς και οι τέλειοι εξετάζονται διάφορα προβλήματα διαιρετότητας ορίζεται το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο αριθμών (ΕΚΠ) καθώς και ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης τους και δίνεται η μέθοδος προσδιορισμού του που ονομάστηκε laquoΕυκλείδειος Αλγόριθμοςraquo Στα δύο επόμενα βιβλία εξακολουθεί η σπουδή αριθμοθεωρητικών θεμάτων στο 8ο εισάγονται επίσης και μελετιούνται οι γεωμετρικές πρόοδοι και στο 9ο έχουν συμπεριληφθεί τρεις σημαντικότατες προτάσεις Πρόκειται για α) το αποκαλούμενο laquoθεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικήςraquo β) την απόφανση ότι υπάρχουν απειράριθμοι πρώτοι και γ) την πρόταση που οδηγεί σε ένα γενικό τύπο που παρέχει άρτιους τέλειους αριθμούς Στο 10ο βιβλίο που αποτελεί ένα από τα ωραιότερα μέρη των Στοιχείων γίνεται μια ταξινόμηση των τετραγωνικών άρρητων και των τετραγωνικών ριζών τους και κατασκευάζεται ένα σύνολο ασύμμετρων μεγεθών το οποίο μαζί με το σύνολο των ρητών συναποτελεί επέκταση αυτού του τελευταίου τέτοια ώστε κάθε στοιχείο της να είναι κατασκευασμένο με κανόνα και διαβήτη Τέλος τα βιβλία της στερεομετρίας το 11ο βιβλίο ασχολείται με θεμελιώδεις σχέσεις μεταξύ ευθειών και επιπέδων καθώς και με τις στερεές γωνίες στο 12ο αναφέρεται σε επιφάνειες και όγκους στερεών και στο 13ο γίνεται η μελέτη της σφαίρας σε συσχετισμό με τα εγγεγραμμένα σε αυτήν κανονικά πολύεδρα

25

Άλλα έργα

bull Δεδομένα (94 θεωρήματα) έργο ανώτερης γεωμετρίας Στο έργο αυτό περιέχονται προτάσεις σε σχήματα στα οποία δίνονται ορισμένα στοιχεία τους κατά σχήμα θέση ή μέγεθος

bull Περί διαιρέσεων (36 προτάσεις) με περιεχόμενό του τη διαίρεση σχημάτων με δοσμένη σχέση

bull Πορίσματα (3 βιβλία που χάθηκαν) σώθηκαν ορισμένα αποσπάσματα που το 1860 έγινε απόπειρα ανασύνθεσής τους από τον Πάππο

bull Οπτικά-κατοπτρικά αντίστοιχα γεωμετρική οπτική ανάκλαση του φωτός πάνω σε επίπεδο κάτοπτρο

bull Φαινόμενα εγχειρίδιο κοσμογραφίας απλές προτάσεις για τη σφαίρα

bull Κατατομή κανόνος στοιχεία πυθαγόρεια θεωρία μουσικής

bull Ψευδάρεια laquoπαράδοξαraquo με στόχο να ασκηθούν οι σπουδαστές στην ανεύρεση λογικών σφαλμάτων κατά τις αποδείξεις

bull Κωνικαί τομαί Μηχανικά δεν γνωρίζουμε τίποτα γιrsquo αυτά τα έργα

Αιτήματα του Ευκλείδη

Τα αιτήματα είναι αρχικές προτάσεις οι οποίες προσιδιάζουν στη συγκεκριμένη κάθε φορά επιστήμη στην προκειμένη περίπτωση στη Γεωμετρία Ο Ευκλείδης διατυπώνει 5 αιτήματα

1 Ζητείται να γίνει δεκτό ότι από οποιοδήποτε σημείο σε οποιοδήποτε σημείο άγεται ευθεία γραμμή

2 Και (ότι) πεπερασμένη ευθεία προεκτείνεται σε ευθεία κατά συνεχή τρόπο

3 Και (ότι) με οποιοδήποτε κέντρο και διάστημα γράφεται κύκλος

4 Και (ότι) όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους

5 Και αν η ευθεία η οποία τέμνει δύο ευθείες σχηματίζει δύο εντός και επί τrsquo αυτά μέρη γωνίες μικρότερες των δύο ορθών τότε οι δύο ευθείες προεκτεινόμενες επrsquo απείρου συναντώνται προς εκείνα τα μέρη τους όπου βρίσκονται μικρότερες των δύο ορθών

Ακολουθούν τα laquoαιτήματαraquo διατυπωμένα σε αρχαίο κείμενο όπως αυτά βρίσκονται στο Βιβλίο Ι

26

Ο ρόλος των τριών πρώτων από τα αιτήματα αυτά είναι να εξασφαλίσουν τη νομιμότητα των κατασκευών της ευθείας και του κύκλου και κατά συνέπεια εκείνων και μόνο των γραμμών και των γεωμετρικών σχημάτων που κατασκευάζονται με πεπερασμένο αριθμό βημάτων από τα δύο αυτά βασικά σχήματα Στα Στοιχεία επομένως δεν έχουν θέση καμπύλες όπως είναι οι κωνικές τομές τη τετραγωνίζουσα κλπ ή κατασκευές όπως κατασκευές νεύσεως Η φύση των δύο τελευταίων αιτημάτων είναι διαφορετική Αποσκοπούν να δηλώσουν ότι κάποια γεωμετρικά σχήματα έχουν ορισμένες ειδικές ιδιότητες

Πολλοί ιστορικοί των μαθηματικών έχουν ασχοληθεί κατά το παρελθόν με το ερώτημα εάν τα αξιώματα του Ευκλείδη ικανοποιούν τις σύγχρονες απαιτήσεις (πληρότητα συνέπεια ανεξαρτησία) ενός αξιωματικού συστήματος Από την προσεκτική μελέτη των αποδείξεων κι των κατασκευών που περιέχονται στα Στοιχεία προκύπτει ότι ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί μερικές φορές απόρρητες παραδοχές οι οποίες δεν περιλαμβάνονται στα αξιώματα Επομένως το σύστημα των αξιωμάτων του δεν ικανοποιεί την απαίτηση της πληρότητας

Μεγάλο ιστορικό ενδιαφέρον εξάλλου έχει το ερώτημα της ανεξαρτησίας των αιτημάτων του Ευκλείδη ιδιαίτερα σε ότι αφορά το πέμπτο από αυτά Το αίτημα αυτό αναφέρεται συχνά και ως laquoαίτημα των παραλλήλωνraquo γιατί μια ισοδύναμη διατύπωσή του είναι η εξής από ένα σημείο εκτός ευθείας άγεται μια μόνο παράλληλη προς τη ευθεία Πολλοί μαθηματικοί από την αρχαιότητα έως τα μέσα του 18ου αιώνα προσπάθησαν να εξαγάγουν το αίτημα αυτό από τα άλλα αιτήματα όλες οι προσπάθειες όμως απέβησαν άκαρπες Από τα τέλη του 18ου αιώνα η προσδοκώμενη εξάρτηση του αιτήματος επιχειρήθηκε να αποδειχτεί με έμμεσο τρόπο Η σκέψη ήταν η εξής αν το αίτημα των παραλλήλων μπορεί να εξαχθεί από τα άλλα τέσσερα αιτήματα μαζί με την άρνηση του πέμπτου θα πρέπει να οδηγούν σε αντίφαση Το νέο σύστημα αξιωμάτων όμως αντί να οδηγήσει σε αντίφαση αποδείχτηκε ότι παράγει συνέπειες μαθηματικές θεωρίες Έτσι ανακαλύφθηκαν οι λεγόμενες μη ευκλείδειες γεωμετρίες και ταυτόχρονα αποδείχθηκε η ανεξαρτησία των αιτημάτων του Ευκλείδη

27

Ας δούμε τώρα την διατύπωση και την απόδειξη της πρότασης (5) που περιέχεται στο Βιβλίο Ι των laquoστοιχείωνraquo και αναφέρεται στη γνωστή μας πρόταση της ισότητας των παρά τη βάση γωνιών ισοσκελούς τριγώνου

28

Γιατί διδάσκουμε το μάθημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στο ζήτημα της laquoχρησιμότηταςraquo των σχολικών Μαθηματικών θα μπορούσε κανείς να αντιπαραθέσει (και πράγματι αντιπαρατέθηκαν) πολλές διαφορετικές απόψεις Εμείς θα παραθέσουμε απλώς ένα απόσπασμα από τις αυτοβιογραφικές σημειώσεις του Albert Einstein το οποίο δείχνει μια άλλη τελείως διαφορετική αντίληψη σχετικά με την laquoχρησιμότηταraquo της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Γράφοντας για τα γεγονότα της παιδικής και εφηβικής του ζωής που είχαν μεγάλη επίδραση στην μετέπειτα εξέλιξη του ο Einstein σημειώνει

Σε ηλικία 12 ετών δοκίμασα μια δεύτερη τελείως διαφορετική έκπληξη σε ένα μικρό βιβλίο Ευκλείδειας επίπεδης γεωμετρίαςhellip Εδώ υπήρχαν ισχυρισμοί όπως για παράδειγμα τα τρία ύψη ενός τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο οι οποίοι - αν και καθόλου προφανείς - μπορούσαν ωστόσο να αποδειχτούν με τέτοια βεβαιότητα ώστε να μην χωρεί η παραμικρή αμφιβολία Αυτή η σαφήνεια και βεβαιότητα μου προξένησαν μια εντύπωση που δεν μπορεί να περιγραφεί Το γεγονός ότι τα αξιώματα έπρεπε να γίνουν δεκτά χωρίς απόδειξη δεν με ενόχλησε Σε κάθε περίπτωση μου αρκούσε πλήρως το γεγονός ότι μπορούσαν να στηρίζω τις αποδείξεις σε προτάσεις η εγκυρότητα των οποίων ήταν για μένα αναμφισβήτητη

Η περίπτωση του Einstein του επιστήμονα που άλλαξε ριζικά τις αντιλήψεις μας και την γεωμετρική δομή του σύμπαντος αποκαλύπτει την σπουδαιότητα ορισμένων παιδαγωγικών σκοπών και τη συνάφειά τους με το ερώτημα που θέσαμε ως τίτλο αυτής της ενότητας καλλιέργεια και ανάπτυξη της συγκροτημένης σκέψης μύηση στην επιστημονική μέθοδο μελέτες του κόσμου Αυτοί οι σκοποί παρόλη τη γενικότητά τους συνδέονται άμεσα με τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας που άσκησαν καθοριστική επίδραση στο νεαρό Einstein τα οποία είναι

bull Σαφήνεια στην έκθεση

bull Ολοκληρωτική απόδειξη κάθε υπόθεσης

bull Απόλυτη συνάφεια σχημάτων και συλλογισμών

bull Τάξη και ομορφιά

Αν τα στοιχεία αυτά αποτελούν ουσιώδη συστατικά της μαθηματικής παιδείας τότε παρέχουν κατά την άποψή μας μια αυτονόητη απάντηση στο ερώτημα laquoΓιατί διδάσκουμε την Ευκλείδεια Γεωμετρίαraquo

Αντιλήψεις και αντιπαραθέσεις για τη διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Οι ένθερμοι υποστηρικτές της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προβάλλουν την παιδαγωγική αξία της λογικής και διάφανης επιχειρηματολογίας των γεωμετρικών αποδείξεων ενώ οι πολέμιοί της επικαλούνται την αναμφισβήτητη δυσκολία των περισσότερων μαθητών να κατανοήσουν τις γεωμετρικές έννοιες και τις πολύ χαμηλές επιδόσεις τους στην αντιμετώπιση σχετικών προβλημάτων Ενδιάμεσα βρίσκονται συνήθως οι σκεπτικιστές οι οποίοι επισημαίνουν τον περιορισμένο επιστημολογικά ρόλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και την ανάγκη να ανανεωθεί η διδασκαλία των Μαθηματικών δίνοντας μεγαλύτερη έμφαση σε πιο σύγχρονους και laquoχρήσιμουςraquo κλάδους (πχ Πιθανότητες και Στατιστική) Από την εποχή που ο Dieudonne κήρυξε τον πόλεμο κατά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας οι αντιλήψεις

29

αυτές έγιναν αντικείμενο επεξεργασίας και αντιπαρατέθηκαν μεταξύ τους από σημαντικούς μαθηματικούς και παιδαγωγούς ενώ οι σχετικές συζητήσεις συνεχίζονται με αμείωτη ένταση μέχρι σήμερα Σε μια ειδική μελέτη της Διεθνούς Επιτροπής για τη Μαθηματική Εκπαίδευση (ICMI) έγινε απόπειρα σύνθεσης των διαφόρων τάσεων και διατυπώθηκαν οι εξής τρεις εναλλακτικές λύσεις για τη διδασκαλία του μαθήματος

1 η λύση

Απορρίπτουμε την ιδέα ότι η Γεωμετρία πρέπει ή μπορεί να χρησιμοποιηθεί στο σχολείο ως ένα σύστημα γνώσεων (παραγωγικά οργανωμένο ή όχι) όπου οι έννοιες και τα γεγονότα πρέπει να γίνουν γνωστά απλά και μόνο επειδή ανήκουν στο σύστημα Αντίθετα η Γεωμετρία και ο χώρος θεωρούνται ως πηγές άντλησης εξαιρετικών θεμάτων για την οργάνωση πολλαπλών δραστηριοτήτων σε διαφορετικά επίπεδα Οι laquoχρησιμοθηρικέςraquo όψεις της Γεωμετρίας θα εξυπηρετηθούν με την παροχή αλγεβρικών μεθόδων

2 η λύση

Εξακολουθούμε να επιχειρούμε τη διδασκαλία ενός αξιωματικού ή ψευδο-αξιωματικού μαθήματος σχολικής Γεωμετρίας το οποίο στηρίζεται είτε σε laquoτροποποίησηraquo των laquoΣτοιχείωνraquo του Ευκλείδη (για παράδειγμα αξιωματική θεμελίωση τύπου Pogorelov) είτε πχ στους γεωμετρικούς σχηματισμούς

3 η λύση

Για ορισμένες ομάδες μαθητών τουλάχιστον παρουσιάζουμε laquoνησίδεςraquo Γεωμετρίας δηλαδή laquoτοπικάraquo παραγωγικά συστήματα μέσα στο πλαίσιο του γενικού αναλυτικού προγράμματος (Έτσι μπορούμε για παράδειγμα να έχουμε ενότητες για τις ιδιότητες των εγγεγραμμένων σε κύκλο γωνιών ή τη στοιχειώδη προβολική Γεωμετρία)

Στην Ελλάδα για προφανείς ιστορικούς και πολιτιστικούς λόγους συνεχίζεται μια παράδοση που προσεγγίζεται εγγύτατα τη δεύτερη από τις προηγούμενες εναλλακτικές λύσεις Ακόμη και την περίοδο της μεταρρύθμισης των laquoΝέων Μαθηματικώνraquo η διεθνής πίεση για εκσυγχρονισμό των σχολικών Μαθηματικών και εγκατάλειψη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αφομοιώθηκε στη χώρα μας μέσα από έναν ιδιότυπο συμβιβασμό από τη μια μεριά διατηρήθηκε όλη η παραδοσιακή σχολική ύλη την οποία σε μεγάλο βαθμό συντηρούσαν οι εισαγωγικές εξετάσεις των ΑΕΙ και από την άλλη δόθηκε υπερβολική έμφαση στην αυστηρή αξιωματική θεμελίωσης της Γεωμετρίας καθώς και με την εισαγωγή νέας ύλης πάνω στους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς Στις αντιφατικές επιλογές εκείνης της περιόδου βρίσκονται κατά την άποψη μας οι ρίζες της μετέπειτα υποβάθμισης και παρακμής του μαθήματος της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

30

Το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στη σύγχρονη Διδακτική των Μαθηματικών τα θεμελιώδη επιστημολογικά χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας όπως είναι η παραγωγική οργάνωση του περιεχομένου η αποδεικτική διαδικασία και η έμφαση στις γεωμετρικές κατασκευές αναφέρονται συνήθως ως laquoανώτερα επίπεδα γεωμετρικής σκέψηςraquo και η μάθηση τους έχει γίνει αντικείμενο συστηματικής μελέτης και έρευνας Ένα βασικό θεωρητικό μοντέλο στο οποίο έχει στηριχθεί η διεξαγωγή μεγάλου αριθμού ερευνών σε διάφορες χώρες αποτελούν τα λεγόμενα laquoεπίπεδα van Hieleraquo Σύμφωνα με αυτό το μοντέλο η μάθηση της Γεωμετρίας εξελίσσεται ιεραρχικά περνώντας από πέντε διαδοχικά επίπεδα

bull 1ο επίπεδο Εποπτικό

bull 2ο επίπεδο ΠεριγραφικόΑναλυτικό

bull 3ο επίπεδο ΑφηρημένοΣχεσιακό

bull 4ο επίπεδο ΤυπικόΠαραγωγικό

bull 5ο επίπεδο Μεταμαθηματικό

Οι μαθητές κατανοούν τη σημασία και τη διαδικασία οικοδόμησης ενός αξιωματικού μαθηματικού συστήματος και τις σχέσεις ανάμεσα σε διαφορετικά συστήματα Για παράδειγμα αναγνωρίζουν ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία δεν είναι παρά ένας από τους πολλούς δυνατούς τρόπους περιγραφής ενός αφηρημένου μαθηματικού σύμπαντος

Είναι φανερό ότι η διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προϋποθέτει τα δύο πρώτα επίπεδα και έχει ως κύριο σκοπό την κατάκτηση των δύο επόμενων επιπέδων (για το 5ο

μάλλον δεν μπορεί να γίνεται λόγος στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση) Σε θεωρητικό επίπεδο τόσο και η θεωρία των van Hiele όσο και η γενικότερη θεωρία των σταδίων μάθησης του Piaget προβλέπουν ότι η κατάκτηση αυτών των επιπέδων είναι μια επίπονη και ιεραρχικά εξελισσόμενη διαδικασία που απαιτεί μακροχρόνια και προσεχτικά σχεδιασμένη διδασκαλία Αυτές οι θεωρητικές προβλέψεις φαίνεται να επιβεβαιώνονται από πολλές εμπειρικές έρευνες που έχουν διεξαχθεί σε διάφορες χώρες και τα αποτελέσματά τους οδηγούν σε ένα βασικό συμπέρασμα laquo η καθιερωμένη παραδοσιακή διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αδυνατεί να οδηγήσει τους μαθητές στην κατάκτηση των ανώτερων επιπέδων γεωμετρικής σκέψης raquo

Από τα αποτελέσματα αυτών των ερευνών αξίζει νrsquo αναφέρουμε εδώ ένα εντυπωσιακό στατιστικό στοιχείο που αποκαλύπτει τις διαστάσεις του προβλήματος σε μια έρευνα που έγινε στις ΗΠΑ μεταξύ 1520 μαθητών που είχαν ολοκληρώσει ένα έτος διδασκαλίας της θεωρητικής Ευκλείδειας Γεωμετρίας διαπιστώθηκε ότι μόνο το 30 είχε φτάσει σε ένα επίπεδο που μπορεί να χαρακτηριστεί από 75 επιτυχία στην απόδειξη απλών γεωμετρικών προτάσεων (πχ ότι οι διαγώνιες ενός ορθογωνίου είναι ίσες) Το ποσοστό των μαθητών που είχαν 100 επιτυχία δεν ξεπέρασε το 3

31

Κοινή πεποίθηση όλων αυτών των ερευνητών είναι ότι για να κατανοηθούν οι παραγωγικές αποδείξεις της Ευκλείδειας Γεωμετρίας απαιτείται μια ισχυρή διαισθητική βάση την οποία οι μαθητές θα αποκτήσουν μέσα από επαγωγικές εμπειρικές ανακαλύψεις τη διαπίστωση και επαλήθευση υποθέσεων τις γεωμετρικές κατασκευές και εφαρμογές Έτσι λοιπόν η διδασκαλία της Γεωμετρίας δεν θα πρέπει να στηρίζεται σrsquo ένα τεχνητό διαχωρισμό ανάμεσα σε laquoΠρακτική Γεωμετρίαraquo σχεδίασης και μετρήσεων και μια laquoΘεωρητική Γεωμετρίαraquo αποδείξεων αλλά να συνδυάζει μια ισορροπημένη ανάπτυξη των δύο αυτών όψεων του μαθήματος σrsquo όλο το φάσμα της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Η επινόηση διδακτικών μέσων και μεθόδων που θα επιτρέψουν την υλοποίηση αυτού του στόχου φαίνεται ότι αποτελεί σήμερα το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ

Η Γεωμετρία του Ευκλείδη απετέλεσε το θεμέλιο για την ανάπτυξη της laquoδυτικήςraquo επιστήμης και τεχνικής και σ αυτή τη Γεωμετρία στηρίζονται οι προϋποθέσεις της κλασικής Φυσικής από την Αναγέννηση και μετά Μόλις το 19ο αιώνα διαπιστώθηκε όμως (Λάμπερτ Γκάους Μπολυάι Λομπατσέβσκι κά) ότι η ευκλείδεια Γεωμετρία στηρίζεται στην απλοϊκή αντίληψη του επίπεδου χώρου ο οποίος είναι μεν χρήσιμος για την περιοχή που αντιλαμβάνεται με τις αισθήσεις του ένας άνθρωπος αλλά όχι για πολύ μεγάλες τιμές των φυσικών μεγεθών (αποστάσεις ταχύτητες μάζες κτλ) Τότε παύει να ισχύει η επίπεδη αντίληψη και μαζί της η Ευκλείδεια Γεωμετρία επειδή στην πραγματικότητα ο χώρος είναι κυρτός Έτσι η Γεωμετρία συμπληρώνεται με βάση αντιλήψεις που στηρίζονται στον υπερβολικό ελλειπτικό κά χώρο

Σήμερα η γεωμετρία του Ευκλείδη διδάσκεται παγκοσμίως και ανελλιπώς επί 23 αιώνες με τον τιμητικό τίτλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Στη σύγχρονη όμως σχολική γεωμετρία περιλαμβάνονται και υπολογισμοί και μετρήσεις οι οποίες από το έργο του Ευκλείδη απουσιάζουν εντελώς

Η συνολική προσφορά του Ευκλείδη στα Μαθηματικά και τις εφαρμοσμένες τέχνες υπήρξε σημαντικότατη και ταυτόχρονα βάση από την οποία εξόρμησαν οι μεταγενέστεροι μαθηματικοί γεωγράφοι και αστρονόμοι για να οδηγηθούν στο τελικό μαθηματικό θαύμα της Ελληνικής Αρχαιότητας

32

33

ΒΙΟΓΡΑΦΙΑ Ο Αρχιμήδης ήταν ένας από τους μεγάλους μαθηματικούς μηχανικούς και φυσικούς του αρχαίου Ελληνικού χώρου και μια από τις μεγαλύτερες μαθηματικές ευφυΐες του κόσμου Γεννήθηκε έζησε και πέθανε στις Συρακούσες την μεγάλη Ελληνική αποικία της Σικελίας

Πατέρας του Αρχιμήδη ήταν ο αστρονόμος Φειδίας που είχε δεσμούς φιλίας με το βασιλικό γένος των Συρακουσών Ο Αρχιμήδης ταξίδεψε στην Αίγυπτο και ήρθε σε επαφή με τους διαδόχους του Ευκλείδη του Ερατοσθένη και το Δισίθεο ενώ ήταν φίλος και συμμαθητής του Κόνωνα του Σάμιου

Υπήρξε λαμπρό παράδειγμα πρωτότυπου ερευνητή ο οποίος δεν ενδιαφέρθηκε να διευκολύνει τους αρχάριους αλλά ασχολήθηκε κυρίως για την αποκάλυψη νέων αληθειών για δική του ικανοποίηση και των ώριμων ήδη διανοούμενων Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο ενώ η κατανόηση του Ευκλείδη δεν απαιτεί εξαιρετική προηγούμενη γνώση και ευφυΐα τα προϊόντα της μαθηματικής σκέψεως τα οποία πρόκειται τώρα να εξετάσουμε είναι προσιτά αποκλειστικώς και μόνο στην ανάγνωση υψηλής πνευματικής στάθμης

Πήγε στην Αίγυπτο ως εκπαιδευτικός και ήρθε σε επαφή όχι βέβαια με τον Ευκλείδη που είχε στο μεταξύ πεθάνει αλλά με τους διαδόχους του και έκανε στενούς δεσμούς με εξαιρετικούς γεωμετρικούς όπως ο Κόνων ο Σάμιος ο Ερατοσθένης ο Κυρηναίος ο Δισίθεος κλπ από τους οποίους κατόπιν όσα έργα συνέταξε μετά την επιστροφή του στην πατρίδα του

34

Το έργο τουΤο έργο του Αρχιμήδη υπήρξε τεράστιο τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά και η ερευνητική ματιά του κάλυψε πολλούς τομείς γεωμετρία οπτική (κατοπτρική) υδραυλική μηχανική αρχιτεκτονική και την πολιορκητική Συνέδεσε το όνομά του με την γένεση της μηχανικής στην αρχαία Ελλάδα και με την λύση περίφημων μαθηματικών προβλημάτων καθώς και με τις αμυντικές εφευρέσεις του που χρησιμοποιήθηκαν όταν οι Ρωμαίοι πολιορκούσαν την πατρίδα του τις Συρακούσες

Σχολιαστής του έργου του Αρχιμήδη υπήρξε ο Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης (6ος αι μΧ) που καταγόταν από την ελληνική πόλη της Συρίας Ασκαλών

Στον χώρο της εφαρμοσμένης μηχανικής ο Αρχιμήδης επινόησε ιδιοφυείς μηχανές κάθε είδους Εφηύρε τον ρωμαϊκό ζυγό (καντάρι) το τρίσπαστο (ανυψωτική τριπλή τροχαλία) και τον ατέρμονα κοχλία έλιξ του Αρχιμήδους μηχανή άντλησης νερού από ποταμούς και φρέατα (η οποία χρησιμοποιείται ακόμα και στις μέρες μας σε περιοχές της βόρειας Αφρικής) Κατασκεύασε ένα υδραυλικό ρολόι το οποίο υπολόγιζε με μεγάλη ακρίβεια τις ώρες (και ειδοποιούσε για την αλλαγή της ώρας)

Μεγάλη φήμη απέκτησαν οι πολεμικές μηχανές του Αρχιμήδη αρχιτρόνιτο (πυροβόλο ατμού) καταπέλτες άρπαγες (μηχανισμός που ανύψωνε και αναποδογύριζε πλοία) και κάτοπτρα για την καύση των Ρωμαϊκών εχθρικών πλοίων (με παραβολικά κάτοπτρα όπως αποδείχτηκε από τα πειράματα του μηχανικού Ι Σακκά ο οποίος το 1973 απόδειξε τον τρόπο με τον οποίο ο Αρχιμήδης έκαψε τον ρωμαϊκό στόλο) Σύμφωνα με την παράδοση όταν η πόλη μετά από τριετή αντίσταση των ελλήνων κατελήφθη με προδοσία ένας ρωμαίος στρατιώτης σκότωσε τον Έλληνα επιστήμονα ενώ αυτός ήταν προσηλωμένος σε κάποιο γεωμετρικό πρόβλημα ΜΗ ΜΟΥ ΤΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥΣ ΤΑΡΑΤΤΕ πρόλαβε να του απαντήσει ο Έλληνας επιστήμονας

Ο Αρχιμήδης επηρέασε σε μεγάλο βαθμό την ευρωπαϊκή επιστημονική σκέψη καθώς και τους Άραβες επιστήμονες οι οποίοι αντέγραψαν όλα τα έργα του στα αραβικά γλώσσα στην οποία διασώθηκαν αρκετά αφού τα πρωτότυπα είχαν χαθεί

35

Διασωθέντα συγγράμματα

bull Περί σφαίρας και κυλίνδρου Βιβλίο α και βbull Κύκλου μέτρησις Σώζονται τρία θεωρήματαbull Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων (32 θεωρήματα 1 πόρισμα)bull Περί ελίκων (28 θεωρήματα 6 πορίσματα)bull Περί επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων ή Μηχανικά Βιβλ α και βbull Περί μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος (=μέθοδος)bull Βιβλίο λημμάτωνbull Πρόβλημα Βοεικόνbull Κατασκευή πλευράς του περιγραφομένου εις κύκλο επταγώνουbull Ωρολόγιον Αρχιμήδους (Σώζεται στα αραβικά)bull Περί κύκλων εφαπτομένων αλλήλωνbull Αρχαί της Γεωμετρίαςbull Ψαμμίτηςbull Τετραγωνισμός παραβολήςbull Οχουμένων (Υδροστατική)bull Στομάχιον (Σώζονται λίγα αποσπάσματα)

Συγγράμματα μη διασωθέντα (ή συγγράμματα μη αποκαλυφθέντα μέχρι σήμερα)

bull Αριθμητικάbull Βαρουλκός Υδροσκοπίαι Πνευματικήbull Επισίδια Βιβλία (Μάλλον περί στατιστικής - Τζέτζης)bull Περί τριγώνωνbull Περί τετραπλεύρουbull Περί ζευγώνbull Περί 13 ημικανονικών πολυέδρωνbull Ισοπεριμετικάbull Ισορροπίαιbull Καύσις δια κατόπτρων (επ΄ αυτού έγινε επιτυχές πείραμα στο ΝΣ)bull Περί Αρχιτεκτονικήςbull Περί βαρύτητος και ελαφρότητος (Πυκνόμετρα - Αραιόμετρα)bull Περί δρομομέτρων (Οδόμετρα πλοίων)bull Περί κέντρου Βάρους ή Κεντροβαρικάbull Κατοπρικάbull Περί παραλλήλων γραμμώνbull Περί κοίλων και παραβολικών κατόπτρωνbull Προοπτικήbull Στοιχεία μηχανικώνbull Πλινθίδες και Κύλινδροιbull Στοιχεία επί των στηρίξεωνbull Σφαιροποιΐα

36

Εφευρέσεις

bull Αραιόμετρο - Πυκνόμετροbull Αστρονομική συσκευήbull Βαρουλκόςbull Γερανοί (Αρπάγες)bull Καταπέλτεςbull Κάτοπτραbull Κοχλίας ή έλιξbull Οδόμετρο (δρομόμετρο)bull Πλανητάριον (σφαίρα)bull Πολύσπαστον (Βαρούλκο) τρίσπαστοbull Σίφωνbull Στομάχιον (επιτραπέζιο παιγνίδι το πρώτο παζλ)bull Τηλεβόλον Αρχιμήδους bull Χαριστίων (μοχλός)bull Ωρολόγιο υδραυλικό

37

Τα συγγράμματα του Αρχιμήδη που σώθηκαν μέχρι σήμερα είναι τα ακόλουθα Περί σφαίρας και κυλίνδρου Κύκλου μέτρησις περί σφαιροειδέων και κωνοειδέων Περί λίκων Επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων Ψαμμίτης Τετραγωνισμός παραβολής Οχούμενων Στομάχιον Προς Ερατοσθένην Έφοδος Βιβλίον περί λημμάτων Πρόβλημα βοεικόν Αποσπάσματα Μερικά από αυτά διασώθηκαν Πολλά επίσης είναι τα συγγράμματα του που χάθηκαν

Έκανε τα πρώτα βήματα για το μαθηματικό υπολογισμό επιφανειών με ακανόνιστο περίγραμμα και συμμετρικών εκ περιστροφής σωμάτων μέθοδος που εξελίχθηκε τεκμηριώθηκε και ονομάστηκε στην σύγχρονη εποχή laquoΟλοκληρωτικός Λογισμόςraquo υπολόγισε μία προσεγγιστική τιμή για τον άρρητο αριθμό π διατύπωσε το νόμο προεκτάσεις του γενίκευσε την εφαρμογή λέγοντας laquoΔώστε μου σημείο να στηριχθώ και θα κινήσω την γηraquo διατύπωσε την ομώνυμη αρχή για την άνωση του νερού κατασκεύασε διάφορες μηχανές ένα τύπο πολύσπαστου τον κοχλία μία αντλητική μηχανή με την laquoαρχιμήδειον έλικαraquo κά

Η συμβολή του ΑρχιμήδηΗ συμβολή του Αρχιμήδη στην ανάπτυξη της Μηχανικής συνιστάται πέρα από την επινόηση των τροχαλιών του πολύσπαστου και των οδοντωτών τροχών και ενός ιδιόμορφου αντλητικού συγκροτήματος στην έλικα που φέρει το όνομα του Ακόμα στην επακριβή διατύπωση των νόμων των μοχλών και των ισορροπιών ή κέντρα βαρών Εδώ υπάρχει και η περίφημη πρόταση laquo σύμμετρα μεγέθη ισορροπούν σε αποστάσεις αντιστρόφως ανάλογες προς το βάρος τους raquo

Σε σχέση με τους μοχλούς και τις δυνατότητες τους μας αναφέρει τη φράση laquo δος μοι πα στω και ταν γαν κινάσω raquo Απέδειξε στον Ιέρωνα ότι με ένα σύστημα τροχαλιών ndash οδοντωτών τροχών και μοχλών μπορεί να μετακινήσει ένα τεράστιο πλοίο με όλο το πλήρωμα μέσα μόνος του Ήταν ακόμα ο ίδιος που σχεδίασε και επιμελήθηκε τη ναυπήγηση του πλοίου

Ανέλαβε μετά από εντολή του Ιέρωνα την οχύρωση της πόλης και διηύθυνε ο ίδιος την άμυνα της εναντίον των Ρωμαίων

Στην αστρονομία ο Λίβιος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης είναι laquoμοναδικός παρατηρητής του ουρανού και των αστέρων raquo Ο Ίππαρχος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης ασχολήθηκε με τη μελέτη των ηλιοστασίων καθώς και με τον υπολογισμό της διάρκειας του έτους

Ο Μακρόβιος αναφέρει ότι ο Αρχιμήδης ανακάλυψε τις αποστάσεις των πλανητών ενώ στο έργο laquoΨαμμίτηςraquo περιγράφει τη συσκευή μέσω της οποίας μέτρησε τη φαινομενική γωνιακή διάμετρο του ήλιου

38

Ο Κικέρων αναφέρεται με θαυμασμό για τον Αρχιμήδη στα laquoΚατοπτρικάraquo Στα Μαθηματικά που ο ίδιος θεωρούσε ως τα πιο σημαντικά παρουσίασε την μέθοδο του προσδιορισμού του αριθμού π Τελειοποίησε το ελληνικό σύστημα αρίθμησης και παρουσίασε μια μέθοδο παράστασης των πολύ μεγάλων αριθμών Ασχολήθηκε με τη διαφορική Γεωμετρία βρήκε τους τύπους πρόσθεσης και αφαίρεσης τόξων Υπολόγισε το εμβαδόν της σφαίρας και του κυλίνδρου Μελέτησε διάφορα στερεά εκ περιστροφής όπως τα στερεά που παράγονται από περιστροφή έλλειψης υπερβολής και παραβολής γύρω από έναν άξονα

Στη Γεωμετρία το έργο του Αρχιμήδη αποτελείται κατά κύριο λόγο από πρωτότυπες μελέτες σχετικά με τον τετραγωνισμό των καμπυλόγραμμων επίπεδων σχημάτων καθώς και με τον τετραγωνισμό και τον κυβισμό καμπύλων επιφανειών

Τέλος επινόησε στο σύνολό της την Υδροστατική Επιστήμη την οποία ανέπτυξε πλήρως Οι μελέτες του αναπαριστούν ένα σύνολο μαθηματικών και γεωμετρικών επιτευγμάτων το οποίο δεν ξεπέρασε κανείς στην ανθρώπινη ιστορία

Όπως αναφέρει ο Wallis laquo ο Αρχιμήδης αφήνει ένα συγκεκριμένο μυστήριο να καλύπτει τον τρόπο με τον οποίο κατέληγε στα αποτελέσματά του Είναι σαν να είχε καλύψει σκοπίμως τα ίχνη του τα ίχνη των ερευνών του σα να ήταν απρόθυμος να αποκαλύψει το μυστικό της μεθόδου έρευνάς του στους μεταγενέστερους ενώ επιθυμούσε να αποσπάσει τη συναίνεσή τους για τα αποτελέσματά του raquo

Ο ίδιος ο Αρχιμήδης ως φορέας ενός ανώτερου φιλοσοφικού πνεύματος θεωρούσε ταπεινή και ανάξια κάθε τέχνη που εξυπηρετούσε πρακτικές ανάγκες ή αποσκοπούσε στο οικονομικό κέρδος Γι` αυτό και έστρεψε όλη του την προσοχή και τις επιδιώξεις στους καθαρούς στοχασμούς χωρίς να καταδεχτεί να αφήσει κάποιο γραπτό στοιχείο για τις τεχνολογικές του ανακαλύψεις με μοναδική εξαίρεση όσες αναφέρονται στο έργο του laquoπερί σφαιροποιίαςraquo Δεν είναι καθόλου τυχαίο λοιπόν το ότι ο Κικέρων αργότερα βρήκε τον τάφο του και πάνω μία αναπαράσταση ενός κυλίνδρου περιγεγραμμένου σε σφαίρα με μία περιγραφή που έδινε το λόγο του κυλίνδρου προς τη σφαίρα

Σε ποιους τομείς εφαρμόστηκαν οι θεωρίες του Εξαιρετικές του μελέτες και για τη μέθοδο και για το αποτέλεσμα είναι εκείνες που έδωσαν τα εμβαδά Κύκλου Έλλειψης Παραβολής και Έλικας καθώς και τα εμβαδά και τους όγκους των Κυλίνδρων των Κώνων και κυρίως των Σφαιρών

Σημαντικότατη θεωρείται και η ανακάλυψη από τον ίδιο τύπου που δίνει το εμβαδόν τριγώνου από τις πλευρές του και ακόμα η επέκτασή του στα εγγεγραμμένα τετράπλευρα Ο Αρχιμήδης επίσης γνώριζε να κατασκευάζει τη λύση ειδικών τριτοβάθμιων προβλημάτων και μεταξύ αυτών και του Δηλίου Προβλήματος Τις λύσεις αυτές τις έδινε με την τομή δύο κωνικών (Ευτόκιος) Μοναδική είναι η προσφορά του στην ανώτερη μετρική Γεωμετρία Συγκεκριμένα εξέφρασε τους όγκους στερεών εκ περιστροφής κωνικών τομών εφαρμόζοντας απειροστικές μεθόδους ανάλυσης των στερεών αυτών

39

Στη σύγχρονη κλασική γεωμετρία όλο σχεδόν το μετρικό της μέρος οφείλεται στον Αρχιμήδη με αποτέλεσμα αυτή ουσιαστικά να είναι ισορροπημένη μείξη της Ευκλείδειας και της Αρχιμήδειας αρχαίας γεωμετρίας

Έτσι ο σοφός μας αποτελεί ουσιαστικά τον πατέρα της ανώτερης μετρικής γεωμετρίας της αρχαιότητας και ταυτόχρονα την πηγή έμπνευσης των νεώτερων μελετών του διαφορικού και απειροστικού λογισμού

Η πρωτοτυπία και η αποτελεσματικότητα των μελετών του έγιναν αιτία να χαρακτηριστεί από τους ιστορικούς των μαθηματικών ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών και όλων των εθνών

Ρεύμα στα ανάκτορα της Βρετανίας μέσω εφεύρεσης του Αρχιμήδη ( httpkatestimenoblogspotcom201109blog-post_1015html )

laquoΗ Βασίλισσα Ελισάβετ πρόκειται να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση ενός αρχαίου Έλληνα για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Και όταν λέμε αρχαίο Έλληνα εννοούμε τον Αρχιμήδη και όχι τον 90χρονο σύζυγό της Φίλιππο της Ελλάδαςraquo

Με αυτόν τον τίτλο πληροφορεί το βρετανικό κοινό η εφημερίδα ldquoDaily Mailrdquo για την απόφαση της Αυτής Μεγαλειότητας να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση του αρχαίου Έλληνα εφευρέτη Αρχιμήδη από τις Συρακούσες για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Πρόκειται για τη σύγχρονη εκδοχή του ατέρμονα κοχλία της έλικος του Αρχιμήδους όπως έμεινε γνωστή η εφεύρεση και είναι ένας σωληνοειδής κοχλίας που χρησίμευε για την άντληση νερού και την άρδευση καλλιεργημένων εκτάσεων

Η σύγχρονη εκδοχή της εφεύρεσης θα χρησιμοποιεί το νερό που μεταφέρεται από ένα τεχνητό φράγμα για να παράγει υδροηλεκτρική ενέργεια Ο μηχανισμός έχει ήδη μεταφερθεί μέσω του Τάμεση στο Romney Weir στα ανάκτορα του Γουίντσορ Σύμφωνα με το δημοσίευμα της εφημερίδας οι έλικες θα είναι έτοιμες για την παραγωγή ενέργειας τον προσεχή Νοέμβριο ενώ θα μπορούν να καλύψουν πλήρως τις ανάγκες του κάστρου σε ενέργεια μέσα στον επόμενο χρόνο

Εκτός αυτού οι τουρμπίνες είναι σχεδιασμένες ώστε να μην εμποδίζουν την ασφαλή διέλευση σολομού και χελιού μέσα στον ποταμό Τάμεση

Οι laquoέλικες του Αρχιμήδηraquo βάρους 40 τόνων κατασκευάστηκαν από ένα εργοστάσιο στην Ολλανδία και στοίχησαν 700000 λίρες Αγγλίας ενώ το κόστος εγκατάστασής τους θα ξεπεράσει το ένα εκατομμύριο λίρες

40

Απόδειξη με εμβαδά

Θεωρούμε ένα τετράγωνο πλευράς a + b και σχεδιάζουμε σε αυτό τέσσερα ορθογώνια τρίγωνα με πλευρές a και b και υποτείνουσα c έτσι ώστε στο κέντρο να έχουμε τετράγωνο πλευράς c (βλ σχήμα)

Υπολογίζουμε το εμβαδό του τετραγώνου προσθέτοντας το εμβαδό του μικρότερου τετραγώνου καθώς και τα εμβαδά των τεσσάρων τριγώνων

c2 + 2abΑφού πρόκειται για τετράγωνο πλευράς a + b το εμβαδό του ισούται επίσης με

a2 + b2 + 2abΕξισώνοντας τις δυο αυτές σχέσεις προκύπτει

a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab ή a2 + b2 = c2

Απόδειξη με ομοιότητα τριγώνων

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ορθή γωνία την Α Θεωρώ το ύψος της υποτείνουσας ότι την τέμνει στο σημείο Δ Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΒΑ είναι όμοια μεταξύ τους ως ορθογώνια τρίγωνα με ίδια τη γωνία Β Παρομοίως τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΓΑ είναι όμοια μεταξύ τους με ίδια τη γωνία Γ

Ισχύει ))(()AB()AB()(

)()AB( 2 ∆ ΒΒ Γ=rArr∆ Β=

Β Γ και (ΑΓ)2 = (ΒΓ)(ΔΓ)

Αν προσθέσουμε τις δυο αυτές εξισώσεις έχουμε(ΑΒ)2 + (ΑΓ)2 =

(ΒΓ)(ΔΒ) + (ΒΓ)(ΔΓ) = (ΒΓ)(ΔΒ + ΔΓ) = (ΒΓ)2

bull Η περίφημη κούπα του Πυθαγόρα

Ο Πυθαγόρας κατά την τοπική παράδοση της Σάμου είχε φτιάξει μια κούπα εφαρμόζοντας τους νόμους της Φυσικής για να πίνει με μέτρο το κρασί Εσωτερικά είχε μία γραμμή που όριζε ως που έπρεπε να γεμίσει κανείς Μια στάλα παραπάνω και η κούπα άδειαζε όλο το κρασί της από μία κρυφή οπή στη βάση Πως όμως γίνεται αυτό Στο κέντρο της κούπας βρίσκεται μια στήλη τοποθετημένη ακριβώς πάνω από έναν σωλήνα ο οποίος οδηγεί στο κάτω μέρος της Εκεί βρίσκεται η κρυφή οπή Ενώ γεμίζουμε την κούπα η στάθμη του κρασιού ανεβαίνει και στο εσωτερικό της κεντρικής στήλης ακολουθώντας το νόμο του Pascal για τα συγκοινωνούντα δοχεία

14

Όσο η στάθμη του κρασιού δεν ξεπερνά τη γραμμή που είναι χαραγμένη στο εσωτερικό της κούπας laquoδεν τρέχει τίποταraquo Εάν όμως την ξεπεράσει ταυτόχρονα φτάνει και στην κορυφή της εσωτερικής στήλης έτσι μέσω του σωλήνα το παραπανίσιο κρασί χύνεται κάτω από την κούπα Τότε η υδροστατική πίεση δημιουργεί ένα σιφόνι στον εσωτερικό σωλήνα το οποίο αδειάζει όλο το περιεχόμενο της κούπας από την οπή που υπάρχει

Ένα πλήθος επιπρόσθετων επιτευγμάτων όπως η κατασκευή και η μελέτη τριών τουλάχιστον από τα πέντε κανονικά πολύγωνα (κύβος τετράεδρο δωδεκάεδρο) και η κατασκευή της μουσικής κλίμακας (μελέτη των λόγων της τετράχορδης λύρας και δημιουργία κανόνα της οχτάχορδης λύρας) μας αποδεικνύει τη σημαντικότητα του Πυθαγόρα ως επιστήμονας της εποχής του Οι πληροφορίες για τη μελέτη των πολυέδρων δεν είναι αρκετές ωστόσο για τη μουσική κλίμακα γνωρίζουμε ότι βασίστηκε στις μελέτες του Πυθαγόρα ο οποίος μελετώντας τη μαθηματική σχέση της μουσικής κλίμακας και διατυπώνοντας σχετικούς κανόνες διευκόλυνε κατά πολύ την κατασκευή μουσικών οργάνων Κατάφερε να εκφράσει τη μουσική αρμονία με μαθηματικές σχέσεις μέσα από τη φιλοσοφική και επιστημονική του προσέγγιση Ξεκινώντας από μία χορδή και διαιρώντας διαδοχικά με το μήκος της και τον χρυσό αριθμό Φ κατάφερε να κατασκευάσει το μουσικό όργανο laquoΚανόναraquo εξέλιξη του οποίου συναντάται σήμερα στο γνωστό laquoκανονάκιraquo

Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΟΥ ΣΤΟ ΣΗΜΕΡΑ

Το αρχαιότερο παράδειγμα εφαρμογής του γνωστού σε όλους laquoπυθαγορείου θεωρήματοςraquo το συναντούμε στη πινακίδα ΒΜ 85196 που χρονολογείται από την περίοδο της πρώτης βαβυλωνιακής χιλιετίας πΧ Έχοντας γνώση λοιπόν του έργου του οι Βαβυλώνιοι οδηγηθήκαν σε αξιόλογα επιτεύγματα

Ο Πυθαγόρας υπήρξε μεγάλη προσωπικότητα με τις έρευνες και το Πανεπιστήμιό του συνέβαλε στο άλμα των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών Η περίεργη μυστικότητα όμως που διέπνεε το σύλλογο έγινε αιτία να μην πληροφορηθούν οι βιογράφοι επακριβώς όλα τα προσωπικά επιτεύγματα του ίδιου Έτσι σήμερα αγνοούμε εν μέρη το δικό του έργο το οποίο ασφαλώς θα ήταν σημαντικότατο

Όσο αναφορά το πυθαγόρειο σχήμα παρά τα αρκετά μειονεκτήματα έχει μερικά χαρακτηριστικά τα οποία μόνιμα επηρέαζαν την ελληνική αστρονομική σκέψη Έδινε βαρύτητα στις κυκλικές κινήσει των ουράνιων σωμάτων γύρω από ένα κεντρικό στοιχείο Τέλος στον Πυθαγόρα και τους Πυθαγορείους οφείλεται πλήθος γεωμετρικών εργασιών αφού αυτοί μελέτησαν με επιτυχία την επιστήμη της Γεωμετρίας

15

Πλάτων ο ΑθηναίοςΒιογραφικά στοιχεία

Έζησε στο διάστημα (427-347πΧ) Ήταν Aθηναίος φιλόσοφος αριστοκρατικής καταγωγής όπου ίδρυσε και διεύθυνε το διασημότερο πανεπιστήμιο στην αρχαία Ελλάδα την Ακαδημία για 40 περίπου χρόνια μέχρι το θάνατό του Πατέρας του ήταν ο Αρίστωνας ο οποίος καταγόταν από το γένος του βασιλιά Κόδρου και μητέρα του ήταν η Περικτιόνη η οποία ήταν αδερφή του Χαρμίδη ενός από τους Τριάκοντα τύραννους και ανιψιά του Κριτία επίσης μέλος των Τριάκοντα με καταγωγή από το γένος του νομοθέτη Σόλωνος Αδέρφια του ήταν οι Αδείμαντος και Γλαύκων Το πρώτο του όνομα ήταν Αριστοκλής αλλά αργότερα ονομάστηκε Πλάτωνας γιατί είχε ευρύ στέρνο και πλατύ μέτωπο

Σε ηλικία 18 ετών γνώρισε τον Σωκράτη και γοητεύτηκε από την προσωπικότητα και από την διδασκαλία του Από το συνολικό έργο του διασώζονται 36 έργα τα οποία εκτός από την Απολογία του Σωκράτη έχουν την μορφή διαλόγου σε όλα εκτός των Νόμων Την συζήτηση διεύθυνε ο Σωκράτης ενώ ο τίτλος του καθενός είναι το όνομα του σπουδαιότερου συνομιλητή ή αφηγητή Στα έργα αυτά γίνεται φανερή η τοποθέτηση του και ο άκρατος

θαυμασμός του προς τα μαθηματικά και ιδιαίτερα προς την γεωμετρία

Λίγες πληροφορίες για την Ακαδημία

Η Ακαδημία ήταν ένα προάστιο των Αθηνών Πήρε το όνομά της από τον ήρωα Ακάδημο Αναφορικά ο Ιππίας γιος του Πεισίστρατου έκτισε ένα κυκλικό τοίχο και ο Κίμωνας φύτεψε τη περιοχή με τα δέντρα η οποία καταστράφηκε από τον Σίλα το 86 πΧ Το 387

16

πΧ O Πλάτωνας ίδρυσε τη φιλοσοφική του σχολή η οποία έγινε πολύ διάσημη χάρη στους νεοπλατωνιστές και χρησιμοποιείτο έως το 526 μΧ οπότε και έκλεισε από τον αυτοκράτορα Ιουστινιανό Η Ακαδημία ήταν σχολή ανωτέρων μελετών και ταυτόχρονα και εκπαιδευτικό ίδρυμα Είχε ισχυρή καταστατική συγκρότηση και παρουσιάζεται περισσότερο υπό τη μορφή μιας αδελφότητας μιας φιλοσοφικής αίρεσης τα μέλη της οποίας αισθάνονται στενά συνδεδεμένα μεταξύ τους και διακρίνεται και από μια οικειότητα στις σχέσεις μεταξύ των μαθητών και των δασκάλων την οποία θα χαρακτηρίζαμε στοργική και φιλική συνάμα Υπάρχει μια διαφωνία σχετικά με το αν η Ακαδημία ήταν ένωση για τη πρόοδο των επιστημών ή ίδρυμα ανώτατης μόρφωσης Η διαφωνία αυτή είναι κάπως άσκοπη δεδομένου το ότι ο άκρατος ρεαλισμός της σχολής αλλά και ο απλός χαρακτήρας της αρχαϊκής εκείνης εποχής δεν επιτρέπουν στο να μεταθέσουμε σε εκείνο το περιβάλλον τη σύγχρονη αντίληψη που έχουμε για την επιστήμη Η Ακαδημία άλλωστε ήταν σχολή ανώτερων μελετών αλλά και εκπαιδευτικό ίδρυμα ταυτόχρονα Τέλος ο Πλάτωνας δεν ονειρεύτηκε μόνο τη ldquoμετά επιστήμηςrdquo παιδεία αλλά και τη μετέδωσε για σαράντα χρόνια στους μαθητές του στην Ακαδημία

Η Ακαδημία ήταν ο τόπος στον οποίο ο Πλάτωνας προσπαθούσε να δείξει τον δρόμο σε προικισμένους μαθητές ώσπου να αναπηδήσει ο σπινθήρας και να αποκαλυφθεί η έσχατη γνώση Ξέρουμε τόσα λίγα για την καθημερινή διδασκαλία στην ακαδημία την εποχή του Πλάτωνα ώστε πότε-πότε θέλησαν να αρνηθούν τον επιστημονικό χαρακτήρα της Τέτοιοι σκεπτικισμοί δεν στηρίζονται πουθενά Την μεγάλη σημασία των μαθηματικών σαν προπαίδεια για την διαλεκτική η οποία στηριζόταν σε αυτά την δείχνουν μερικές προσωπικότητες του Πλατωνικού κύκλου και χωρίς αμφιβολία υπάρχει ουσιαστική αλήθεια στο ανέκδοτο που λένε ότι βρισκόταν πάνω από την είσοδο της Ακαδημίας laquoἁγεωμέτρητος μηδείς εἰσίτωraquo Ξέρουμε ακόμα ότι η διαιρετική μέθοδος για την οποία μιλήσαμε στους οψιμότερους διαλόγους έπαιξε σημαντικό ρόλο στον αγώνα για ένα λογικά ταχτοποιημένο κοσμοείδωλο και στην απόκτηση ορισμών με την διαίρεση των γενικότερων εννοιών

Η συμβολή του Πλάτωνα και της Ακαδημίας στα μαθηματικά

Η συμβολή της Ακαδημίας στα μαθηματικά του 4ου αιώνα πΧ είναι σημαντικότατη ιδιαίτερα με τα έργα των καθηγητών της Θεαίτητου Μεναίχμου και Ενδόξου Η συμβολή όμως του Πλάτωνα είναι αμφιλεγόμενη αν και πιστεύεται ότι

-Έλυσε το Δήλιο πρόβλημα (διπλασιασμό του κύβου) με κινητική γεωμετρία και κάποιο όργανο με την βοήθεια του οποίου προέκυπτε η λύση

-Έδωσε γενική μορφή στην αναλυτική μέθοδο και συνέβαλε στην έρευνα των γεωμετρικών τύπων

-Προσδιόρισε ένα πλήθος των πυθαγορείων τριάδων δηλαδή των τριαδικών ακέραιων αριθμών που επαληθεύουν την ισότητα x2+y2=ω2 του Πυθαγορείου θεωρήματος

Για τα πολυσυζητημένα αστρονομικά ζητήματα της εποχής του (κίνηση του ουρανού θέση σχήμα και κίνηση της Γης) παρουσιάζει ξένες και θολά διατυπωμένες απόψεις γεγονός που

17

φανερώνει ότι δεν διέθετε προσωπική άποψη για το θέμα και γενικά ότι δεν ήταν μαθηματικός

Έγραψε μεταξύ άλλων την απολογία του Σωκράτη η οποία θεωρείται ως μια σχετικά ακριβής καταγραφή της απολογίας του Σωκράτη στην δίκη που τον καταδίκασε σε θάνατο Μετά τη θανάτωση του Σωκράτη για λίγο καιρό κατέφυγε στα Μέγαρα κοντά στον συμμαθητή του Ευκλείδη Ύστερα γύρισε στην Αθήνα όπου για 10 χρόνια ασχολήθηκε με τη συγγραφή φιλοσοφικών έργων τα οποία φέρουν τη σφραγίδα της σωκρατικής φιλοσοφίας Στη συνέχεια ταξίδεψε στην Αίγυπτο και στην Κυρήνη όπου σχετίστηκε με τον μαθηματικό Θεόδωρο και τέλος στον Τάραντα της Ιταλίας όπου γνώρισε τους πυθαγόρειους από τη φιλοσοφική σκέψη των οποίων επηρεάστηκε αποφασιστικά Μετά πέρασε στη Σικελία Στην αυλή του βασιλιά των Συρακουσών Διονυσίου Α΄ γνώρισε τον βασιλικό γυναικάδελφο Δίωνα με τον οποίον συνδέθηκε φιλικά Η φιλία όμως αυτή προκάλεσε τις υποψίες του Διονυσίου για συνωμοσία γι αυτό έδιωξε τον Πλάτωνα από τη Σικελία Στην Αίγινα κινδύνεψε να πουληθεί ως δούλος αλλά τον εξαγόρασε ο Κυρηναίος φίλος του Αννίκερης Επιστρέφοντας στην Αθήνα άνοιξε τη φιλοσοφική σχολή του την Ακαδημία (387 πΧ) Η προσπάθεια όμως των δύο φίλων να προσηλυτίσουν στις ιδέες τους τον νέο ηγεμόνα Διονύσιο τον Πρεσβύτερο απέτυχαν Για τρίτη φορά ήρθε στην αυλή των Συρακουσών το 361 πΧ με σκοπό να συμφιλιώσει τον Δίωνα με τον Διονύσιο Αυτή τη φορά κινδύνεψε και η ζωή του Τον έσωσε η επέμβαση του πυθαγόρειου Αρχύτα Αλλά ο Δίωνας δεν γλίτωσε Δολοφονήθηκε το 353 πΧ Έτσι ο Πλάτωνας έχασε τον άνθρωπο στον οποίο στήριξε τις ελπίδες του για την επιβολή των πολιτικών του ιδεών Από τότε και μέχρι τον θάνατό του ασχολήθηκε με τη διδασκαλία και με τη συγγραφή φιλοσοφικών έργων Επίσης έγραψε το συμπόσιο που μιλάει για την φύση του έρωτα στον Πρωταγόρα Μεταξύ άλλων θεμελιώνεται θεωρητικά η αρχή της πρόληψης που δεν λαμβάνει την τιμή ως απολύτως ανταποδοτική στον Παρμενίδη και Θεαίτητο θεμελιώνει την αντικειμενικότητα του λόγου και της ιδέας ενώ σε 2 μακρούς διαλόγους την Πολιτεία και τους Νόμους περιέγραψε την ιδανική πολιτεία

Η κύρια συμβολή του στα μαθηματικά βρίσκεται κυρίως στο ότι προέτρεπεe τους μαθηματικούς να ερευνούν καθολικές μαθηματικές αλήθειες και γενικά να καλλιεργούν τα μαθηματικά τα οποία θεωρούσε ότι διαθέτουν τεράστια εκπαιδευτική αξία Η προτροπή αυτή φαίνεται εκτός των άλλων και στις απόψεις του ότι τα μαθηματικά είναι lsquorsquoδόσις θεῶν εἰς ἀνθρώπουςrsquorsquo και ότι οδηγούν έντονα την ψυχή προς το θείο

Οι επιδράσεις του Πλάτωνος στους έπειτα αιώνες

Ο Γάλλος ιστορικός της φιλοσοφίας Ζακ Σεβαλιέ τονίζει στο έργο του laquoΙστορία της σκέψηςraquo (1955) την κυρίαρχη παρουσία ή έστω ανταύγεια της πλατωνικής φιλοσοφίας σε ολόκληρο το Μεσαίωνα και στην Αναγέννηση και στους Νεότερους χρόνους ενώ ο Γερμανός φιλόσοφος Καρλ Γιάσπερς προβάλλει τον Πλάτωνα ως το τον πρώτο από τους τρεις θεμελιωτές του φιλοσοφείν Η ιστορία της φιλοσοφίας μέχρι τον Κικέρωνα είναι σαφώς επηρεασμένη από αυτόν και είτε αμφισβητεί είτε ακολουθεί τη διδασκαλία του Ο μαθητής του Αριστοτέλης εξ ίσου επιδραστικός με τον ίδιο οδηγήθηκε στην ανάπτυξη τμήματος του έργου του ως απάντηση στον πλατωνισμό Η σχολή την οποία ο Πλάτωνας

18

ίδρυσε το 387 πΧ η Ακαδημία συνέχισε να ακμάζει ως τις αρχές του πρώτου αιώνα π Χ έχοντας όμως μετατραπεί σε σκεπτική σχολή μετά τις αρχές της ελληνιστικής περιόδου

Κατά την εποχή του Αυγούστου υπήρξε αναβίωση της πλατωνικής φιλοσοφίας ο μεσοπλατωνισμός με εκπροσώπους όπως ο Φίλων ο Αλεξανδρεύς ενώ κατά τα τέλη του δεύτερου αιώνα ο μεσοπλατωνισμός άρχεσαι να μετατρέπεται σταδιακά υπό την επίδραση του νεοπυθαγορισμού και του ερμητισμού στην κατεχόμενη από τους Ρωμαίους Αίγυπτο στο κίνημα του νεοπλατωνισμού με αρχικούς εκπροσώπους όπως ο Πλωτίνος το οποίο είχε ιδεαλιστικό μυστικιστικό και σωτηριολογικό χαρακτήρα Η Ακαδημία στην Αθήνα επανιδρύθηκε ως κέντρο νεοπλατωνικών μελετών κατά τον τέταρτο αιώνα

Την ίδια εποχή περίοδο έντονων θρησκευτικών ζυμώσεων στη Ρωμαϊκή Αυτοκρατορία και σταδιακής επικράτησης του χριστιανισμού στη Μεσόγειο οι ακόλουθοι της αστικής ελληνορωμαϊκής θρησκείας αλλά και των ελληνικών μυστηριακών λατρειών συσπειρώθηκαν γύρω από τον νεοπλατωνισμό ως υπερασπιστή του μέχρι πρότινος επικρατούντος παγανισμού Μεμονωμένοι νεοπλατωνικοί και παγανιστικοί πυρήνες επέζησαν ως τον έκτο αιώνα οπότε και ο Αυτοκράτορας Ιουστινιανός έκλεισε με διάταγμα την Ακαδημία της Αθήνας Μετά περίπου εννέα αιώνες το έτος 1439 ο Γεώργιος Γεμιστός Πλήθων γράφει στη Φλωρεντία το πολύκροτο έργο του Περί ὧν Αριστοτέλης προς Πλάτωνα που αποτέλεσε το έναυσμα της διαμάχης πλατωνικών και αριστοτελικών στο Βυζάντιο και στην Ιταλία Ο πλατωνισμός επιβίωσε υπογείως καθ όλον τον Μεσαίωνα κρυμμένος σε μυστηριακά ρεύματα έως ότου οι πρωτότυπες ιδέες του ανακαλύφθηκαν ξανά και σχολιάστηκαν κατά την Αναγέννηση Έτσι ούτε η νεότερη φιλοσοφική σκέψη έμεινε ανεπηρέαστη από αυτόν Τα διάφορα φιλοσοφικά συστήματα ή προσπαθούν να ανατρέψουν τις ιδέες του ή οικοδομούνται πάνω σ αυτές εκσυγχρονίζοντάς τες

Τα έργα του είναι

Αλκιβιάδης Α η Περί Ανθρώπου Φύσεως μαιευτικός

Αλκιβιάδης Β ή Περί Προσευχής μαιευτικός

Απολογία Σωκράτους ηθικός

Γοργίας ή Περί Ρητορικής ανατρεπτικός

Επινομίς ή Νυκτερινος Σύλλογος πολιτικός

Επιστολαί ηθικαί

Ερασταί ή Περί Φιλοσοφίας ηθικός

Ευθύδημος ή Εριστικός ανατρεπτικός

Ευθύφρων ή Περί του Οσίου

Θεάγης ή Περί Φιλοσοφίας μαιευτικός

Θεαίτητος ή Περί Επιστήμης πειραστικός

19

Ιππαρχος ή Φιλοκερδής ηθικός

Ιππίας ελάσσων ή Περί του Ψεύδους ανατρεπτικός

Ιππίας μείζων ή Περί του Καλού ανατρεπτικός

Ίων ή Περί Ιλιάδος πειραστικός

Κλειτοφών ή Προτρεπτικός ηθικός

Κρατύλος ή Περί Ονομάτων Ορθότητος λογικός

Κριτίας ή Ατλαντικός ηθικός

Κρίτων ή Περί του Πρακτέου ηθικός

Λάχης ή Περί Ανδρείας ηθικός

Λύσις ή Περί Φιλίας μαιευτικός

Μενέξενος ή Επιτάφιος ηθικός

Μένων ή Περί Αρετής πειραστικός

Μίνως ή Περί Νόμου πολιτικός

Νόμοι ή Περί Νομοθεσίας πολιτικός

Παρμενίδης ή Περί Ιδεών λογικός

Πολιτεία ή Περί Δικαίου πολιτικός

Πολιτικός ή Περί της Βασιλείας λογικός

Πρωταγόρας ή Σοφισταί επιδεικτικός

Σοφιστής ή Περί του Όντος λογικός

Συμπόσιον ή Περί Αγαθού ηθικός

Τίμαιος ή Περί Φύσεως φυσικός

Φαίδρος ή Περί Έρωτος ηθικός

Φαίδων ή Περί Ψυχής ηθικός

Φίληβος ή Περί Ηδονής ηθικός

Χαρμίδης ή Περί Σωφροσύνης πειραστικός

20

21

ΕυκλείδηςΒΙΟΓΡΑΦΙΑ

Υπολογίζεται ότι έζησε το βrsquo μισό του 4ου έως τις αρχές του 3ου πΧ αιώνα πιο συγκεκριμένα περίπου το 325 πΧ έως το 265 πΧ Κορυφαίος μαθηματικός της αρχαιότητας που επηρέασε με το έργο του σε ανυπέρβλητο βαθμό τον επιστημονικό τρόπο σκέψης σε όλο τον κόσμο Για τη ζωή του δεν υπάρχουν επιβεβαιωμένες πληροφορίες Πιθανώς εκπαιδεύτηκε στην Αθήνα στην Ακαδημία του Πλάτωνα και δίδαξε στην Αλεξάνδρεια Ξέρουμε ότι ήταν μεγαλύτερος στην ηλικία από τον Αρχιμήδη πράγμα που σημαίνει ότι η χρονολόγηση της ακμής του laquoγύρω στο 300 πΧraquo δεν πρέπει να απέχει πολύ από την αλήθεια Ο Πρόκλος επίσης τον χαρακτηρίζει σύγχρονο του βασιλιά Πτολεμαίου Αrsquo στον

οποίο είχε το θάρρος να του πει κατά πρόσωπο πως δεν υπάρχει βασιλική οδός προς τη γεωμετρία Ο Πάππος τον επαινεί για την ηθική του ακεραιότητα τη μετριοφροσύνη και την ευμενή στάση του προς όσους είναι ικανοί να προαγάγουν τη μαθηματική γνώση Ο Στοβαίος διηγείται το ακόλουθο ενδιαφέρον περιστατικό Ένας νέος επισκέφθηκε κάποτε τον Ευκλείδη και τον παρακάλεσε να τον διδάξει γεωμετρία Μόλις έμαθε το πρώτο θεώρημα ρώτησε τον Ευκλείδη laquoΚαι τώρα τι θα κερδίσω με το θεώρημα αυτόraquo Ο Ευκλείδης τότε γύρισε προς τον υπηρέτη του και του είπε laquoΔώσrsquo του τρεις δεκάρες ώστε να κερδίσει κάτι από το θεώρημα το οποίο έμαθεraquo Αυτά είναι όλα όσα γνωρίζουμε για τον Ευκλείδη ως άνθρωπο Πολύ μεγαλύτερη σημασία όμως έχει το έργο του το οποίο ακόμα και σήμερα μαρτυρεί τα απαράμιλλα χαρίσματά του ως δασκάλου

ΕΡΓΟ

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη

Μετά το θάνατο του Μεγάλου Αλεξάνδρου στα 323 πΧ η αχανής μακεδονική αυτοκρατορία διαιρέθηκε σε τρεις περιοχές Η περιοχή πού περιλάμβανε την Αίγυπτο περιήλθε κάτω από την άξια ηγεμονία του ικανού στρατηγού του Αλεξάνδρου Πτολεμαίου του Σωτήρος ο οποίος σύντομα κέρδισε τη βασιλεία της περιοχής Ο Πτολεμαίος επέλεξε για πρωτεύουσα της περιοχής του την Αλεξάνδρεια λίγα μόνο μίλια από τις εκβολές του ποταμού Νείλου και γύρω στα 300 πΧ άνοιξε τις πόρτες του περίφημου πανεπιστημίου της Αλεξάνδρειας Ανάμεσα στους μελετητές που κλήθηκαν να επανδρώσουν το νέο ίδρυμα ήταν και ο μαθηματικός Ευκλείδης που πιθανότατα υπήρξε μαθητής της Ακαδημίας του Πλάτωνα στην Αθήνα

22

Ο Ευκλείδης από τη στιγμή που ανέλαβε τα καθήκοντά του στην Αλεξάνδρεια όρισε ανάμεσα στους στόχους του τη συγκρότηση του μνημειώδους και ιστορικά σημαντικού έργου του των Στοιχείων Αυτή η αξιόλογη και εκτεταμένη εργασία γραμμένη σε δεκατρία βιβλία ή μέρη αποτελεί την αρχαιότερη εφαρμογή της αξιωματικής μεθόδου που έχει φτάσει στα χέρια μας Θεωρείται ο πρώτος μεγάλος σταθμός στην ιστορία της οργάνωσης των μαθηματικών και η μετέπειτα επίδραση της στον επιστημονικό τρόπο γραφής πολύ δύσκολα μπορεί να περιγραφεί

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη διεκδικούν αναμφισβήτητα μια θέση ανάμεσα στις μεγάλες στιγμές των μαθηματικών Η εργασία αυτή εκτόπισε τόσο γρήγορα και ολοκληρωτικά όλες τις προηγούμενες εργασίες ανάλογου περιεχομένου που σήμερα δεν υπάρχουν αντίγραφα προηγουμένων προσπαθειών και απλά γνωρίζουμε την ύπαρξη τους από σχόλια μεταγενέστερων συγγραφέων Τα Στοιχεία του Ευκλείδη από την πρώτη εμφάνιση τους κέρδισαν τεράστια εκτίμηση Με μοναδική εξαίρεση τη Βίβλο καμιά άλλη εργασία δεν χρησιμοποιήθηκε μελετήθηκε ή εκδόθηκε τόσο πολύ Για πάνω από δύο χιλιετίες κυριάρχησε στο χώρο διδασκαλίας της γεωμετρίας Από την πρώτη έκδοση της στα 1472 έχει γνωρίσει πάνω από χίλιες εκδόσεις Το περιεχόμενο και η μορφή της επέδρασαν εντυπωσιακά στην ανάπτυξη του αντικειμένου της και της λογικής θεμελίωσης των μαθηματικών

Ο Πρόκλος ένας κατοπινός σχολιαστής των μαθηματικών που έζησε στον 5ο αιώνα έχει δώσει μια εξήγηση της έννοιας του όρου laquoστοιχείαraquo Τα στοιχεία μιας αποδεικτικής μελέτης είναι τα πιο σημαντικά θεωρήματα ή τα θεωρήματα κλειδιά που χρησιμοποιούνται συχνά και πλατιά στο αντικείμενο της μελέτης Είναι τα θεωρήματα που χρειάζονται για την απόδειξη όλων ή των περισσότερων από τα άλλα θεωρήματα Η λειτουργία τους συγκρίνεται με αυτή των γραμμάτων του αλφαβήτου σε σχέση με τη γλώσσα Τα γράμματα στα ελληνικά ονομάζονται και στοιχεία Η επιλογή των προτάσεων που θα λειτουργήσουν ως στοιχεία κάποιου θέματος μελέτης απαιτεί μεγάλη ικανότητα και κρίση από το συγγραφέα

Δεν υποτιμά καθόλου την αίγλη του έργου του Ευκλείδη το γεγονός ότι είχαν προηγηθεί ανάλογες προσπάθειες Σύμφωνα με τον Πρόκλο η πρώτη προσπάθεια να γραφτούν Στοιχεία έγινε από τον Ιπποκράτη το Χίο στα μέσα του πέμπτου πΧ αιώνα Η επόμενη προσπάθεια ήταν του Λέοντα που χρονολογικά τοποθετείται κάπου ανάμεσα στον Πλάτωνα και τον Εύδοξο Όπως μαθαίνουμε η εργασία του Λέοντα περιείχε μια μεγαλύτερη και πιο χρήσιμη επιλογή προτάσεων από τον Ιπποκράτη Το βιβλίο που χρησιμοποιούνταν στην Ακαδημία του Πλάτωνα είχε επιμεληθεί ο Θεύδιος από τη Μαγνησία και θεωρούνταν μια θαυμάσια συλλογή στοιχείων Η εργασία του Θεύδιου ήταν ασφαλώς ο άμεσος πρόδρομος της εργασίας του Ευκλείδη ο οποίος την είχε χωρίς αμφιβολία στη διάθεση του ειδικά αν όπως πιστεύουν σπούδασε στην Ακαδημία του Πλάτωνα

Ο Ευκλείδης γνώριζε επίσης την εργασία του Θεαίτητου και του Εύδοξου Δεν είναι καθόλου υποτιμητικό ότι η εργασία του Ευκλείδη αποτελεί σε μεγάλο βαθμό συγκέντρωση και επιμέλεια των εργασιών των προγενεστέρων του αφού η ουσιαστική αξία των Στοιχείων βρίσκεται ακριβώς στην τέλεια επιδεξιότητα με την οποία επιλέχτηκαν και τοποθετήθηκαν

23

σε λογική σειρά οι προτάσεις ξεκινώντας από μια μικρή ομάδα αρχικών υποθέσεων Ούτε είναι υποτιμητικό το γεγονός ότι η εξονυχιστική μελέτη των σύγχρονων κριτικών έχουν αποκαλύψει ορισμένα μειονεκτήματα στη δομή της εργασίας του Ευκλείδη Δε θα μπορούσε κανείς να περιμένει μια τέτοια αρχική και κολοσσιαία προσπάθεια με την αξιωματική μέθοδο να μην παρουσιάζει καμία ατέλεια

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη έχουν γραφεί γύρω στο 300 πΧ αλλά το αυθεντικό χειρόγραφο κείμενο του Ευκλείδη δεν διασώζεται Αντίθετα σώζονται δεκάδες αντίγραφα που σε τελική ανάλυση κατάγονται από αυτό Το αρχαιότερο πλήρες αντίγραφο περιέχεται σε έναν χειρόγραφο περγαμηνό κώδικα που φυλάσσεται σήμερα στη Βιβλιοθήκη της Οξφόρδης και χρονολογείται από του έτους 888 ενώ μικρά αποσπάσματα του έργου διασώζονται σε παπύρους προγενέστερης εποχής καθώς και σε ένα παλίμψητο χειρόγραφο του 7ου ή του 8ου

μΧ αι που φυλάσσεται στο Βρετανικό Μουσείο Βλέπουμε λοιπόν ότι το αρχαιότερο χειρόγραφο που περιέχει το πλήρες κείμενο των Στοιχείων του Ευκλείδη χρονολογείται από τα τέλη του 9ου μΧ αι και επομένως απέχει από την εποχή μας όσο απέχει από την εποχή που ο ίδιος ο Ευκλείδης έγραψε το έργο

Όλες οι σύγχρονες εκδόσεις στηρίζονται σε μια επανέκδοση που έκανε ο Θεωνάς από την Αλεξάνδρεια ένας Έλληνας σχολιαστής που έζησε εφτακόσια περίπου χρόνια μετά τον Ευκλείδη Μόνο στις αρχές του 19ου αιώνα ανακαλύφθηκε ένα παλιότερο αντίγραφο Στα 1808 όταν ο Ναπολέοντας διέταξε να μεταφερθούν όλα τα αξιόλογα χειρόγραφα από τις ιταλικές βιβλιοθήκες στο Παρίσι ο Φ Πέιραρντ (F Peyrard) ανακάλυψε στη βιβλιοθήκη του Βατικανού ένα αντίγραφο των Στοιχείων από έκδοση προγενέστερη από του Θεωνά Η μελέτη όμως αυτής της παλιότερης έκδοσης αποκάλυψε δευτερεύουσες μόνο διαφορές από τον Θεωνά

Οι πρώτες πλήρεις μεταφράσεις των Στοιχείων στα λατινικά δεν έγιναν από τα ελληνικά αλλά από τα αραβικά Τον 8ο αιώνα οι Άραβες μετέφρασαν έναν αριθμό βυζαντινών χειρογράφων με ελληνικές εργασίες και στα 1120 ο Άγγλος μελετητής Άντελαρντ (Adelard) από το Μπαθ μετέφρασε τα Στοιχεία στα λατινικά χρησιμοποιώντας μια απ αυτές τις παλιότερες αραβικές μεταφράσεις Άλλες λατινικές μεταφράσεις από τα αραβικά έκαναν ο Γκεράρντο από την Κρεμώνα (Gherardo 1114-1187) και 150 χρόνια μετά τον Άντελαρντ ο Γιοχάννες Καμπάνους (Johannes Campanus) Η πρώτη τυπωμένη έκδοση των Στοιχείων έγινε στη Βενετία στα 1482 η έκδοση αυτή ήταν η μετάφραση του Καμπάνους Αυτό το πολύ σπάνιο βιβλίο ήταν θαυμάσια τυπωμένο και ήταν το πρώτο αξιόλογο μαθηματικό βιβλίο που τυπώθηκε Μια σημαντική λατινική μετάφραση από τα ελληνικά έγινε από τον Κομμαντίνο (Commandino) στα 1572 Αυτή η μετάφραση χρησιμοποιήθηκε ως βάση για πολλές άλλες μεταφράσεις που ακολούθησαν ανάμεσα σ αυτές και η εργασία του Ρόμπερτ Σίμσον (Robert Simson) που άσκησε σημαντική επιρροή και αποτέλεσε με τη σειρά της τη βάση για πάρα πολλές αγγλικές εκδόσεις

24

Αναλυτική περιγραφή των laquo στοιχείων raquo

Ειδικότερα το πρώτο βιβλίο αναφέρεται σε τεμνόμενες και παράλληλες ευθείες στην ισότητα ευθύγραμμων σχημάτων και στο τέλος το πυθαγόρειο θεώρημα Στο 2ο βιβλίο αναφέρονται συνέπειες από το πυθαγόρειο θεώρημα και γίνονται μετασχηματισμοί ευθύγραμμων σχημάτων σε ισοδύναμα τετράγωνα Εδώ περιέχεται και το πρόβλημα

της laquoχρυσής τομήςraquo Πολλές από τις προτάσεις αυτού μπορούν με σύγχρονους συμβολισμούς να πάρουν μορφή αλγεβρική γιrsquo αυτό έχει επικρατήσει να λέγεται για το 2ο βιβλίο ότι εισάγει τη laquoγεωμετρική άλγεβραraquo Στο 3ο βιβλίο εξετάζεται ο κύκλος και στο τέταρτο βιβλίο λύνονται προβλήματα σχετικά με τα εγγεγραμμένα στον κύκλο κανονικά πολύγωνα Στο 5ο βιβλίο σπουδάζεται η laquoθεωρία των λόγωνraquo του Ευδόξου Πρόκειται ουσιαστικά για τη θεωρία των πραγματικών αριθμών δοσμένη όμως σε μορφή γεωμετρική Το 6ο βιβλίο ασχολείται με την ομοιότητα επίπεδων σχημάτων και σrsquo αυτά αποδεικνύεται ότι από όλα τα ορθογώνια με δοσμένη περίμετρο το τετράγωνο έχει το μέγιστο εμβαδόν Στα βιβλία 7ο-9ο που αφορούν στην αριθμοθεωρία είναι εκπληκτικό πώς με παντελή μπορεί να πει κανείς έλλειψη συμβολισμών (αριθμοί δεν αναγράφονται) κατορθώνεται μια ακροβασία στην αλληλουχία των συλλογισμών που καταλήγει σε πολύ ενδιαφέροντα αριθμητικά αποτελέσματα Ειδικότερα στο 7ο βιβλίο μελετιούνται οι άρτιοι και οι περιττοί αριθμοί οι πρώτοι και οι σύνθετοι καθώς και οι τέλειοι εξετάζονται διάφορα προβλήματα διαιρετότητας ορίζεται το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο αριθμών (ΕΚΠ) καθώς και ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης τους και δίνεται η μέθοδος προσδιορισμού του που ονομάστηκε laquoΕυκλείδειος Αλγόριθμοςraquo Στα δύο επόμενα βιβλία εξακολουθεί η σπουδή αριθμοθεωρητικών θεμάτων στο 8ο εισάγονται επίσης και μελετιούνται οι γεωμετρικές πρόοδοι και στο 9ο έχουν συμπεριληφθεί τρεις σημαντικότατες προτάσεις Πρόκειται για α) το αποκαλούμενο laquoθεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικήςraquo β) την απόφανση ότι υπάρχουν απειράριθμοι πρώτοι και γ) την πρόταση που οδηγεί σε ένα γενικό τύπο που παρέχει άρτιους τέλειους αριθμούς Στο 10ο βιβλίο που αποτελεί ένα από τα ωραιότερα μέρη των Στοιχείων γίνεται μια ταξινόμηση των τετραγωνικών άρρητων και των τετραγωνικών ριζών τους και κατασκευάζεται ένα σύνολο ασύμμετρων μεγεθών το οποίο μαζί με το σύνολο των ρητών συναποτελεί επέκταση αυτού του τελευταίου τέτοια ώστε κάθε στοιχείο της να είναι κατασκευασμένο με κανόνα και διαβήτη Τέλος τα βιβλία της στερεομετρίας το 11ο βιβλίο ασχολείται με θεμελιώδεις σχέσεις μεταξύ ευθειών και επιπέδων καθώς και με τις στερεές γωνίες στο 12ο αναφέρεται σε επιφάνειες και όγκους στερεών και στο 13ο γίνεται η μελέτη της σφαίρας σε συσχετισμό με τα εγγεγραμμένα σε αυτήν κανονικά πολύεδρα

25

Άλλα έργα

bull Δεδομένα (94 θεωρήματα) έργο ανώτερης γεωμετρίας Στο έργο αυτό περιέχονται προτάσεις σε σχήματα στα οποία δίνονται ορισμένα στοιχεία τους κατά σχήμα θέση ή μέγεθος

bull Περί διαιρέσεων (36 προτάσεις) με περιεχόμενό του τη διαίρεση σχημάτων με δοσμένη σχέση

bull Πορίσματα (3 βιβλία που χάθηκαν) σώθηκαν ορισμένα αποσπάσματα που το 1860 έγινε απόπειρα ανασύνθεσής τους από τον Πάππο

bull Οπτικά-κατοπτρικά αντίστοιχα γεωμετρική οπτική ανάκλαση του φωτός πάνω σε επίπεδο κάτοπτρο

bull Φαινόμενα εγχειρίδιο κοσμογραφίας απλές προτάσεις για τη σφαίρα

bull Κατατομή κανόνος στοιχεία πυθαγόρεια θεωρία μουσικής

bull Ψευδάρεια laquoπαράδοξαraquo με στόχο να ασκηθούν οι σπουδαστές στην ανεύρεση λογικών σφαλμάτων κατά τις αποδείξεις

bull Κωνικαί τομαί Μηχανικά δεν γνωρίζουμε τίποτα γιrsquo αυτά τα έργα

Αιτήματα του Ευκλείδη

Τα αιτήματα είναι αρχικές προτάσεις οι οποίες προσιδιάζουν στη συγκεκριμένη κάθε φορά επιστήμη στην προκειμένη περίπτωση στη Γεωμετρία Ο Ευκλείδης διατυπώνει 5 αιτήματα

1 Ζητείται να γίνει δεκτό ότι από οποιοδήποτε σημείο σε οποιοδήποτε σημείο άγεται ευθεία γραμμή

2 Και (ότι) πεπερασμένη ευθεία προεκτείνεται σε ευθεία κατά συνεχή τρόπο

3 Και (ότι) με οποιοδήποτε κέντρο και διάστημα γράφεται κύκλος

4 Και (ότι) όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους

5 Και αν η ευθεία η οποία τέμνει δύο ευθείες σχηματίζει δύο εντός και επί τrsquo αυτά μέρη γωνίες μικρότερες των δύο ορθών τότε οι δύο ευθείες προεκτεινόμενες επrsquo απείρου συναντώνται προς εκείνα τα μέρη τους όπου βρίσκονται μικρότερες των δύο ορθών

Ακολουθούν τα laquoαιτήματαraquo διατυπωμένα σε αρχαίο κείμενο όπως αυτά βρίσκονται στο Βιβλίο Ι

26

Ο ρόλος των τριών πρώτων από τα αιτήματα αυτά είναι να εξασφαλίσουν τη νομιμότητα των κατασκευών της ευθείας και του κύκλου και κατά συνέπεια εκείνων και μόνο των γραμμών και των γεωμετρικών σχημάτων που κατασκευάζονται με πεπερασμένο αριθμό βημάτων από τα δύο αυτά βασικά σχήματα Στα Στοιχεία επομένως δεν έχουν θέση καμπύλες όπως είναι οι κωνικές τομές τη τετραγωνίζουσα κλπ ή κατασκευές όπως κατασκευές νεύσεως Η φύση των δύο τελευταίων αιτημάτων είναι διαφορετική Αποσκοπούν να δηλώσουν ότι κάποια γεωμετρικά σχήματα έχουν ορισμένες ειδικές ιδιότητες

Πολλοί ιστορικοί των μαθηματικών έχουν ασχοληθεί κατά το παρελθόν με το ερώτημα εάν τα αξιώματα του Ευκλείδη ικανοποιούν τις σύγχρονες απαιτήσεις (πληρότητα συνέπεια ανεξαρτησία) ενός αξιωματικού συστήματος Από την προσεκτική μελέτη των αποδείξεων κι των κατασκευών που περιέχονται στα Στοιχεία προκύπτει ότι ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί μερικές φορές απόρρητες παραδοχές οι οποίες δεν περιλαμβάνονται στα αξιώματα Επομένως το σύστημα των αξιωμάτων του δεν ικανοποιεί την απαίτηση της πληρότητας

Μεγάλο ιστορικό ενδιαφέρον εξάλλου έχει το ερώτημα της ανεξαρτησίας των αιτημάτων του Ευκλείδη ιδιαίτερα σε ότι αφορά το πέμπτο από αυτά Το αίτημα αυτό αναφέρεται συχνά και ως laquoαίτημα των παραλλήλωνraquo γιατί μια ισοδύναμη διατύπωσή του είναι η εξής από ένα σημείο εκτός ευθείας άγεται μια μόνο παράλληλη προς τη ευθεία Πολλοί μαθηματικοί από την αρχαιότητα έως τα μέσα του 18ου αιώνα προσπάθησαν να εξαγάγουν το αίτημα αυτό από τα άλλα αιτήματα όλες οι προσπάθειες όμως απέβησαν άκαρπες Από τα τέλη του 18ου αιώνα η προσδοκώμενη εξάρτηση του αιτήματος επιχειρήθηκε να αποδειχτεί με έμμεσο τρόπο Η σκέψη ήταν η εξής αν το αίτημα των παραλλήλων μπορεί να εξαχθεί από τα άλλα τέσσερα αιτήματα μαζί με την άρνηση του πέμπτου θα πρέπει να οδηγούν σε αντίφαση Το νέο σύστημα αξιωμάτων όμως αντί να οδηγήσει σε αντίφαση αποδείχτηκε ότι παράγει συνέπειες μαθηματικές θεωρίες Έτσι ανακαλύφθηκαν οι λεγόμενες μη ευκλείδειες γεωμετρίες και ταυτόχρονα αποδείχθηκε η ανεξαρτησία των αιτημάτων του Ευκλείδη

27

Ας δούμε τώρα την διατύπωση και την απόδειξη της πρότασης (5) που περιέχεται στο Βιβλίο Ι των laquoστοιχείωνraquo και αναφέρεται στη γνωστή μας πρόταση της ισότητας των παρά τη βάση γωνιών ισοσκελούς τριγώνου

28

Γιατί διδάσκουμε το μάθημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στο ζήτημα της laquoχρησιμότηταςraquo των σχολικών Μαθηματικών θα μπορούσε κανείς να αντιπαραθέσει (και πράγματι αντιπαρατέθηκαν) πολλές διαφορετικές απόψεις Εμείς θα παραθέσουμε απλώς ένα απόσπασμα από τις αυτοβιογραφικές σημειώσεις του Albert Einstein το οποίο δείχνει μια άλλη τελείως διαφορετική αντίληψη σχετικά με την laquoχρησιμότηταraquo της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Γράφοντας για τα γεγονότα της παιδικής και εφηβικής του ζωής που είχαν μεγάλη επίδραση στην μετέπειτα εξέλιξη του ο Einstein σημειώνει

Σε ηλικία 12 ετών δοκίμασα μια δεύτερη τελείως διαφορετική έκπληξη σε ένα μικρό βιβλίο Ευκλείδειας επίπεδης γεωμετρίαςhellip Εδώ υπήρχαν ισχυρισμοί όπως για παράδειγμα τα τρία ύψη ενός τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο οι οποίοι - αν και καθόλου προφανείς - μπορούσαν ωστόσο να αποδειχτούν με τέτοια βεβαιότητα ώστε να μην χωρεί η παραμικρή αμφιβολία Αυτή η σαφήνεια και βεβαιότητα μου προξένησαν μια εντύπωση που δεν μπορεί να περιγραφεί Το γεγονός ότι τα αξιώματα έπρεπε να γίνουν δεκτά χωρίς απόδειξη δεν με ενόχλησε Σε κάθε περίπτωση μου αρκούσε πλήρως το γεγονός ότι μπορούσαν να στηρίζω τις αποδείξεις σε προτάσεις η εγκυρότητα των οποίων ήταν για μένα αναμφισβήτητη

Η περίπτωση του Einstein του επιστήμονα που άλλαξε ριζικά τις αντιλήψεις μας και την γεωμετρική δομή του σύμπαντος αποκαλύπτει την σπουδαιότητα ορισμένων παιδαγωγικών σκοπών και τη συνάφειά τους με το ερώτημα που θέσαμε ως τίτλο αυτής της ενότητας καλλιέργεια και ανάπτυξη της συγκροτημένης σκέψης μύηση στην επιστημονική μέθοδο μελέτες του κόσμου Αυτοί οι σκοποί παρόλη τη γενικότητά τους συνδέονται άμεσα με τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας που άσκησαν καθοριστική επίδραση στο νεαρό Einstein τα οποία είναι

bull Σαφήνεια στην έκθεση

bull Ολοκληρωτική απόδειξη κάθε υπόθεσης

bull Απόλυτη συνάφεια σχημάτων και συλλογισμών

bull Τάξη και ομορφιά

Αν τα στοιχεία αυτά αποτελούν ουσιώδη συστατικά της μαθηματικής παιδείας τότε παρέχουν κατά την άποψή μας μια αυτονόητη απάντηση στο ερώτημα laquoΓιατί διδάσκουμε την Ευκλείδεια Γεωμετρίαraquo

Αντιλήψεις και αντιπαραθέσεις για τη διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Οι ένθερμοι υποστηρικτές της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προβάλλουν την παιδαγωγική αξία της λογικής και διάφανης επιχειρηματολογίας των γεωμετρικών αποδείξεων ενώ οι πολέμιοί της επικαλούνται την αναμφισβήτητη δυσκολία των περισσότερων μαθητών να κατανοήσουν τις γεωμετρικές έννοιες και τις πολύ χαμηλές επιδόσεις τους στην αντιμετώπιση σχετικών προβλημάτων Ενδιάμεσα βρίσκονται συνήθως οι σκεπτικιστές οι οποίοι επισημαίνουν τον περιορισμένο επιστημολογικά ρόλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και την ανάγκη να ανανεωθεί η διδασκαλία των Μαθηματικών δίνοντας μεγαλύτερη έμφαση σε πιο σύγχρονους και laquoχρήσιμουςraquo κλάδους (πχ Πιθανότητες και Στατιστική) Από την εποχή που ο Dieudonne κήρυξε τον πόλεμο κατά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας οι αντιλήψεις

29

αυτές έγιναν αντικείμενο επεξεργασίας και αντιπαρατέθηκαν μεταξύ τους από σημαντικούς μαθηματικούς και παιδαγωγούς ενώ οι σχετικές συζητήσεις συνεχίζονται με αμείωτη ένταση μέχρι σήμερα Σε μια ειδική μελέτη της Διεθνούς Επιτροπής για τη Μαθηματική Εκπαίδευση (ICMI) έγινε απόπειρα σύνθεσης των διαφόρων τάσεων και διατυπώθηκαν οι εξής τρεις εναλλακτικές λύσεις για τη διδασκαλία του μαθήματος

1 η λύση

Απορρίπτουμε την ιδέα ότι η Γεωμετρία πρέπει ή μπορεί να χρησιμοποιηθεί στο σχολείο ως ένα σύστημα γνώσεων (παραγωγικά οργανωμένο ή όχι) όπου οι έννοιες και τα γεγονότα πρέπει να γίνουν γνωστά απλά και μόνο επειδή ανήκουν στο σύστημα Αντίθετα η Γεωμετρία και ο χώρος θεωρούνται ως πηγές άντλησης εξαιρετικών θεμάτων για την οργάνωση πολλαπλών δραστηριοτήτων σε διαφορετικά επίπεδα Οι laquoχρησιμοθηρικέςraquo όψεις της Γεωμετρίας θα εξυπηρετηθούν με την παροχή αλγεβρικών μεθόδων

2 η λύση

Εξακολουθούμε να επιχειρούμε τη διδασκαλία ενός αξιωματικού ή ψευδο-αξιωματικού μαθήματος σχολικής Γεωμετρίας το οποίο στηρίζεται είτε σε laquoτροποποίησηraquo των laquoΣτοιχείωνraquo του Ευκλείδη (για παράδειγμα αξιωματική θεμελίωση τύπου Pogorelov) είτε πχ στους γεωμετρικούς σχηματισμούς

3 η λύση

Για ορισμένες ομάδες μαθητών τουλάχιστον παρουσιάζουμε laquoνησίδεςraquo Γεωμετρίας δηλαδή laquoτοπικάraquo παραγωγικά συστήματα μέσα στο πλαίσιο του γενικού αναλυτικού προγράμματος (Έτσι μπορούμε για παράδειγμα να έχουμε ενότητες για τις ιδιότητες των εγγεγραμμένων σε κύκλο γωνιών ή τη στοιχειώδη προβολική Γεωμετρία)

Στην Ελλάδα για προφανείς ιστορικούς και πολιτιστικούς λόγους συνεχίζεται μια παράδοση που προσεγγίζεται εγγύτατα τη δεύτερη από τις προηγούμενες εναλλακτικές λύσεις Ακόμη και την περίοδο της μεταρρύθμισης των laquoΝέων Μαθηματικώνraquo η διεθνής πίεση για εκσυγχρονισμό των σχολικών Μαθηματικών και εγκατάλειψη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αφομοιώθηκε στη χώρα μας μέσα από έναν ιδιότυπο συμβιβασμό από τη μια μεριά διατηρήθηκε όλη η παραδοσιακή σχολική ύλη την οποία σε μεγάλο βαθμό συντηρούσαν οι εισαγωγικές εξετάσεις των ΑΕΙ και από την άλλη δόθηκε υπερβολική έμφαση στην αυστηρή αξιωματική θεμελίωσης της Γεωμετρίας καθώς και με την εισαγωγή νέας ύλης πάνω στους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς Στις αντιφατικές επιλογές εκείνης της περιόδου βρίσκονται κατά την άποψη μας οι ρίζες της μετέπειτα υποβάθμισης και παρακμής του μαθήματος της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

30

Το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στη σύγχρονη Διδακτική των Μαθηματικών τα θεμελιώδη επιστημολογικά χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας όπως είναι η παραγωγική οργάνωση του περιεχομένου η αποδεικτική διαδικασία και η έμφαση στις γεωμετρικές κατασκευές αναφέρονται συνήθως ως laquoανώτερα επίπεδα γεωμετρικής σκέψηςraquo και η μάθηση τους έχει γίνει αντικείμενο συστηματικής μελέτης και έρευνας Ένα βασικό θεωρητικό μοντέλο στο οποίο έχει στηριχθεί η διεξαγωγή μεγάλου αριθμού ερευνών σε διάφορες χώρες αποτελούν τα λεγόμενα laquoεπίπεδα van Hieleraquo Σύμφωνα με αυτό το μοντέλο η μάθηση της Γεωμετρίας εξελίσσεται ιεραρχικά περνώντας από πέντε διαδοχικά επίπεδα

bull 1ο επίπεδο Εποπτικό

bull 2ο επίπεδο ΠεριγραφικόΑναλυτικό

bull 3ο επίπεδο ΑφηρημένοΣχεσιακό

bull 4ο επίπεδο ΤυπικόΠαραγωγικό

bull 5ο επίπεδο Μεταμαθηματικό

Οι μαθητές κατανοούν τη σημασία και τη διαδικασία οικοδόμησης ενός αξιωματικού μαθηματικού συστήματος και τις σχέσεις ανάμεσα σε διαφορετικά συστήματα Για παράδειγμα αναγνωρίζουν ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία δεν είναι παρά ένας από τους πολλούς δυνατούς τρόπους περιγραφής ενός αφηρημένου μαθηματικού σύμπαντος

Είναι φανερό ότι η διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προϋποθέτει τα δύο πρώτα επίπεδα και έχει ως κύριο σκοπό την κατάκτηση των δύο επόμενων επιπέδων (για το 5ο

μάλλον δεν μπορεί να γίνεται λόγος στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση) Σε θεωρητικό επίπεδο τόσο και η θεωρία των van Hiele όσο και η γενικότερη θεωρία των σταδίων μάθησης του Piaget προβλέπουν ότι η κατάκτηση αυτών των επιπέδων είναι μια επίπονη και ιεραρχικά εξελισσόμενη διαδικασία που απαιτεί μακροχρόνια και προσεχτικά σχεδιασμένη διδασκαλία Αυτές οι θεωρητικές προβλέψεις φαίνεται να επιβεβαιώνονται από πολλές εμπειρικές έρευνες που έχουν διεξαχθεί σε διάφορες χώρες και τα αποτελέσματά τους οδηγούν σε ένα βασικό συμπέρασμα laquo η καθιερωμένη παραδοσιακή διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αδυνατεί να οδηγήσει τους μαθητές στην κατάκτηση των ανώτερων επιπέδων γεωμετρικής σκέψης raquo

Από τα αποτελέσματα αυτών των ερευνών αξίζει νrsquo αναφέρουμε εδώ ένα εντυπωσιακό στατιστικό στοιχείο που αποκαλύπτει τις διαστάσεις του προβλήματος σε μια έρευνα που έγινε στις ΗΠΑ μεταξύ 1520 μαθητών που είχαν ολοκληρώσει ένα έτος διδασκαλίας της θεωρητικής Ευκλείδειας Γεωμετρίας διαπιστώθηκε ότι μόνο το 30 είχε φτάσει σε ένα επίπεδο που μπορεί να χαρακτηριστεί από 75 επιτυχία στην απόδειξη απλών γεωμετρικών προτάσεων (πχ ότι οι διαγώνιες ενός ορθογωνίου είναι ίσες) Το ποσοστό των μαθητών που είχαν 100 επιτυχία δεν ξεπέρασε το 3

31

Κοινή πεποίθηση όλων αυτών των ερευνητών είναι ότι για να κατανοηθούν οι παραγωγικές αποδείξεις της Ευκλείδειας Γεωμετρίας απαιτείται μια ισχυρή διαισθητική βάση την οποία οι μαθητές θα αποκτήσουν μέσα από επαγωγικές εμπειρικές ανακαλύψεις τη διαπίστωση και επαλήθευση υποθέσεων τις γεωμετρικές κατασκευές και εφαρμογές Έτσι λοιπόν η διδασκαλία της Γεωμετρίας δεν θα πρέπει να στηρίζεται σrsquo ένα τεχνητό διαχωρισμό ανάμεσα σε laquoΠρακτική Γεωμετρίαraquo σχεδίασης και μετρήσεων και μια laquoΘεωρητική Γεωμετρίαraquo αποδείξεων αλλά να συνδυάζει μια ισορροπημένη ανάπτυξη των δύο αυτών όψεων του μαθήματος σrsquo όλο το φάσμα της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Η επινόηση διδακτικών μέσων και μεθόδων που θα επιτρέψουν την υλοποίηση αυτού του στόχου φαίνεται ότι αποτελεί σήμερα το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ

Η Γεωμετρία του Ευκλείδη απετέλεσε το θεμέλιο για την ανάπτυξη της laquoδυτικήςraquo επιστήμης και τεχνικής και σ αυτή τη Γεωμετρία στηρίζονται οι προϋποθέσεις της κλασικής Φυσικής από την Αναγέννηση και μετά Μόλις το 19ο αιώνα διαπιστώθηκε όμως (Λάμπερτ Γκάους Μπολυάι Λομπατσέβσκι κά) ότι η ευκλείδεια Γεωμετρία στηρίζεται στην απλοϊκή αντίληψη του επίπεδου χώρου ο οποίος είναι μεν χρήσιμος για την περιοχή που αντιλαμβάνεται με τις αισθήσεις του ένας άνθρωπος αλλά όχι για πολύ μεγάλες τιμές των φυσικών μεγεθών (αποστάσεις ταχύτητες μάζες κτλ) Τότε παύει να ισχύει η επίπεδη αντίληψη και μαζί της η Ευκλείδεια Γεωμετρία επειδή στην πραγματικότητα ο χώρος είναι κυρτός Έτσι η Γεωμετρία συμπληρώνεται με βάση αντιλήψεις που στηρίζονται στον υπερβολικό ελλειπτικό κά χώρο

Σήμερα η γεωμετρία του Ευκλείδη διδάσκεται παγκοσμίως και ανελλιπώς επί 23 αιώνες με τον τιμητικό τίτλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Στη σύγχρονη όμως σχολική γεωμετρία περιλαμβάνονται και υπολογισμοί και μετρήσεις οι οποίες από το έργο του Ευκλείδη απουσιάζουν εντελώς

Η συνολική προσφορά του Ευκλείδη στα Μαθηματικά και τις εφαρμοσμένες τέχνες υπήρξε σημαντικότατη και ταυτόχρονα βάση από την οποία εξόρμησαν οι μεταγενέστεροι μαθηματικοί γεωγράφοι και αστρονόμοι για να οδηγηθούν στο τελικό μαθηματικό θαύμα της Ελληνικής Αρχαιότητας

32

33

ΒΙΟΓΡΑΦΙΑ Ο Αρχιμήδης ήταν ένας από τους μεγάλους μαθηματικούς μηχανικούς και φυσικούς του αρχαίου Ελληνικού χώρου και μια από τις μεγαλύτερες μαθηματικές ευφυΐες του κόσμου Γεννήθηκε έζησε και πέθανε στις Συρακούσες την μεγάλη Ελληνική αποικία της Σικελίας

Πατέρας του Αρχιμήδη ήταν ο αστρονόμος Φειδίας που είχε δεσμούς φιλίας με το βασιλικό γένος των Συρακουσών Ο Αρχιμήδης ταξίδεψε στην Αίγυπτο και ήρθε σε επαφή με τους διαδόχους του Ευκλείδη του Ερατοσθένη και το Δισίθεο ενώ ήταν φίλος και συμμαθητής του Κόνωνα του Σάμιου

Υπήρξε λαμπρό παράδειγμα πρωτότυπου ερευνητή ο οποίος δεν ενδιαφέρθηκε να διευκολύνει τους αρχάριους αλλά ασχολήθηκε κυρίως για την αποκάλυψη νέων αληθειών για δική του ικανοποίηση και των ώριμων ήδη διανοούμενων Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο ενώ η κατανόηση του Ευκλείδη δεν απαιτεί εξαιρετική προηγούμενη γνώση και ευφυΐα τα προϊόντα της μαθηματικής σκέψεως τα οποία πρόκειται τώρα να εξετάσουμε είναι προσιτά αποκλειστικώς και μόνο στην ανάγνωση υψηλής πνευματικής στάθμης

Πήγε στην Αίγυπτο ως εκπαιδευτικός και ήρθε σε επαφή όχι βέβαια με τον Ευκλείδη που είχε στο μεταξύ πεθάνει αλλά με τους διαδόχους του και έκανε στενούς δεσμούς με εξαιρετικούς γεωμετρικούς όπως ο Κόνων ο Σάμιος ο Ερατοσθένης ο Κυρηναίος ο Δισίθεος κλπ από τους οποίους κατόπιν όσα έργα συνέταξε μετά την επιστροφή του στην πατρίδα του

34

Το έργο τουΤο έργο του Αρχιμήδη υπήρξε τεράστιο τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά και η ερευνητική ματιά του κάλυψε πολλούς τομείς γεωμετρία οπτική (κατοπτρική) υδραυλική μηχανική αρχιτεκτονική και την πολιορκητική Συνέδεσε το όνομά του με την γένεση της μηχανικής στην αρχαία Ελλάδα και με την λύση περίφημων μαθηματικών προβλημάτων καθώς και με τις αμυντικές εφευρέσεις του που χρησιμοποιήθηκαν όταν οι Ρωμαίοι πολιορκούσαν την πατρίδα του τις Συρακούσες

Σχολιαστής του έργου του Αρχιμήδη υπήρξε ο Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης (6ος αι μΧ) που καταγόταν από την ελληνική πόλη της Συρίας Ασκαλών

Στον χώρο της εφαρμοσμένης μηχανικής ο Αρχιμήδης επινόησε ιδιοφυείς μηχανές κάθε είδους Εφηύρε τον ρωμαϊκό ζυγό (καντάρι) το τρίσπαστο (ανυψωτική τριπλή τροχαλία) και τον ατέρμονα κοχλία έλιξ του Αρχιμήδους μηχανή άντλησης νερού από ποταμούς και φρέατα (η οποία χρησιμοποιείται ακόμα και στις μέρες μας σε περιοχές της βόρειας Αφρικής) Κατασκεύασε ένα υδραυλικό ρολόι το οποίο υπολόγιζε με μεγάλη ακρίβεια τις ώρες (και ειδοποιούσε για την αλλαγή της ώρας)

Μεγάλη φήμη απέκτησαν οι πολεμικές μηχανές του Αρχιμήδη αρχιτρόνιτο (πυροβόλο ατμού) καταπέλτες άρπαγες (μηχανισμός που ανύψωνε και αναποδογύριζε πλοία) και κάτοπτρα για την καύση των Ρωμαϊκών εχθρικών πλοίων (με παραβολικά κάτοπτρα όπως αποδείχτηκε από τα πειράματα του μηχανικού Ι Σακκά ο οποίος το 1973 απόδειξε τον τρόπο με τον οποίο ο Αρχιμήδης έκαψε τον ρωμαϊκό στόλο) Σύμφωνα με την παράδοση όταν η πόλη μετά από τριετή αντίσταση των ελλήνων κατελήφθη με προδοσία ένας ρωμαίος στρατιώτης σκότωσε τον Έλληνα επιστήμονα ενώ αυτός ήταν προσηλωμένος σε κάποιο γεωμετρικό πρόβλημα ΜΗ ΜΟΥ ΤΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥΣ ΤΑΡΑΤΤΕ πρόλαβε να του απαντήσει ο Έλληνας επιστήμονας

Ο Αρχιμήδης επηρέασε σε μεγάλο βαθμό την ευρωπαϊκή επιστημονική σκέψη καθώς και τους Άραβες επιστήμονες οι οποίοι αντέγραψαν όλα τα έργα του στα αραβικά γλώσσα στην οποία διασώθηκαν αρκετά αφού τα πρωτότυπα είχαν χαθεί

35

Διασωθέντα συγγράμματα

bull Περί σφαίρας και κυλίνδρου Βιβλίο α και βbull Κύκλου μέτρησις Σώζονται τρία θεωρήματαbull Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων (32 θεωρήματα 1 πόρισμα)bull Περί ελίκων (28 θεωρήματα 6 πορίσματα)bull Περί επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων ή Μηχανικά Βιβλ α και βbull Περί μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος (=μέθοδος)bull Βιβλίο λημμάτωνbull Πρόβλημα Βοεικόνbull Κατασκευή πλευράς του περιγραφομένου εις κύκλο επταγώνουbull Ωρολόγιον Αρχιμήδους (Σώζεται στα αραβικά)bull Περί κύκλων εφαπτομένων αλλήλωνbull Αρχαί της Γεωμετρίαςbull Ψαμμίτηςbull Τετραγωνισμός παραβολήςbull Οχουμένων (Υδροστατική)bull Στομάχιον (Σώζονται λίγα αποσπάσματα)

Συγγράμματα μη διασωθέντα (ή συγγράμματα μη αποκαλυφθέντα μέχρι σήμερα)

bull Αριθμητικάbull Βαρουλκός Υδροσκοπίαι Πνευματικήbull Επισίδια Βιβλία (Μάλλον περί στατιστικής - Τζέτζης)bull Περί τριγώνωνbull Περί τετραπλεύρουbull Περί ζευγώνbull Περί 13 ημικανονικών πολυέδρωνbull Ισοπεριμετικάbull Ισορροπίαιbull Καύσις δια κατόπτρων (επ΄ αυτού έγινε επιτυχές πείραμα στο ΝΣ)bull Περί Αρχιτεκτονικήςbull Περί βαρύτητος και ελαφρότητος (Πυκνόμετρα - Αραιόμετρα)bull Περί δρομομέτρων (Οδόμετρα πλοίων)bull Περί κέντρου Βάρους ή Κεντροβαρικάbull Κατοπρικάbull Περί παραλλήλων γραμμώνbull Περί κοίλων και παραβολικών κατόπτρωνbull Προοπτικήbull Στοιχεία μηχανικώνbull Πλινθίδες και Κύλινδροιbull Στοιχεία επί των στηρίξεωνbull Σφαιροποιΐα

36

Εφευρέσεις

bull Αραιόμετρο - Πυκνόμετροbull Αστρονομική συσκευήbull Βαρουλκόςbull Γερανοί (Αρπάγες)bull Καταπέλτεςbull Κάτοπτραbull Κοχλίας ή έλιξbull Οδόμετρο (δρομόμετρο)bull Πλανητάριον (σφαίρα)bull Πολύσπαστον (Βαρούλκο) τρίσπαστοbull Σίφωνbull Στομάχιον (επιτραπέζιο παιγνίδι το πρώτο παζλ)bull Τηλεβόλον Αρχιμήδους bull Χαριστίων (μοχλός)bull Ωρολόγιο υδραυλικό

37

Τα συγγράμματα του Αρχιμήδη που σώθηκαν μέχρι σήμερα είναι τα ακόλουθα Περί σφαίρας και κυλίνδρου Κύκλου μέτρησις περί σφαιροειδέων και κωνοειδέων Περί λίκων Επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων Ψαμμίτης Τετραγωνισμός παραβολής Οχούμενων Στομάχιον Προς Ερατοσθένην Έφοδος Βιβλίον περί λημμάτων Πρόβλημα βοεικόν Αποσπάσματα Μερικά από αυτά διασώθηκαν Πολλά επίσης είναι τα συγγράμματα του που χάθηκαν

Έκανε τα πρώτα βήματα για το μαθηματικό υπολογισμό επιφανειών με ακανόνιστο περίγραμμα και συμμετρικών εκ περιστροφής σωμάτων μέθοδος που εξελίχθηκε τεκμηριώθηκε και ονομάστηκε στην σύγχρονη εποχή laquoΟλοκληρωτικός Λογισμόςraquo υπολόγισε μία προσεγγιστική τιμή για τον άρρητο αριθμό π διατύπωσε το νόμο προεκτάσεις του γενίκευσε την εφαρμογή λέγοντας laquoΔώστε μου σημείο να στηριχθώ και θα κινήσω την γηraquo διατύπωσε την ομώνυμη αρχή για την άνωση του νερού κατασκεύασε διάφορες μηχανές ένα τύπο πολύσπαστου τον κοχλία μία αντλητική μηχανή με την laquoαρχιμήδειον έλικαraquo κά

Η συμβολή του ΑρχιμήδηΗ συμβολή του Αρχιμήδη στην ανάπτυξη της Μηχανικής συνιστάται πέρα από την επινόηση των τροχαλιών του πολύσπαστου και των οδοντωτών τροχών και ενός ιδιόμορφου αντλητικού συγκροτήματος στην έλικα που φέρει το όνομα του Ακόμα στην επακριβή διατύπωση των νόμων των μοχλών και των ισορροπιών ή κέντρα βαρών Εδώ υπάρχει και η περίφημη πρόταση laquo σύμμετρα μεγέθη ισορροπούν σε αποστάσεις αντιστρόφως ανάλογες προς το βάρος τους raquo

Σε σχέση με τους μοχλούς και τις δυνατότητες τους μας αναφέρει τη φράση laquo δος μοι πα στω και ταν γαν κινάσω raquo Απέδειξε στον Ιέρωνα ότι με ένα σύστημα τροχαλιών ndash οδοντωτών τροχών και μοχλών μπορεί να μετακινήσει ένα τεράστιο πλοίο με όλο το πλήρωμα μέσα μόνος του Ήταν ακόμα ο ίδιος που σχεδίασε και επιμελήθηκε τη ναυπήγηση του πλοίου

Ανέλαβε μετά από εντολή του Ιέρωνα την οχύρωση της πόλης και διηύθυνε ο ίδιος την άμυνα της εναντίον των Ρωμαίων

Στην αστρονομία ο Λίβιος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης είναι laquoμοναδικός παρατηρητής του ουρανού και των αστέρων raquo Ο Ίππαρχος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης ασχολήθηκε με τη μελέτη των ηλιοστασίων καθώς και με τον υπολογισμό της διάρκειας του έτους

Ο Μακρόβιος αναφέρει ότι ο Αρχιμήδης ανακάλυψε τις αποστάσεις των πλανητών ενώ στο έργο laquoΨαμμίτηςraquo περιγράφει τη συσκευή μέσω της οποίας μέτρησε τη φαινομενική γωνιακή διάμετρο του ήλιου

38

Ο Κικέρων αναφέρεται με θαυμασμό για τον Αρχιμήδη στα laquoΚατοπτρικάraquo Στα Μαθηματικά που ο ίδιος θεωρούσε ως τα πιο σημαντικά παρουσίασε την μέθοδο του προσδιορισμού του αριθμού π Τελειοποίησε το ελληνικό σύστημα αρίθμησης και παρουσίασε μια μέθοδο παράστασης των πολύ μεγάλων αριθμών Ασχολήθηκε με τη διαφορική Γεωμετρία βρήκε τους τύπους πρόσθεσης και αφαίρεσης τόξων Υπολόγισε το εμβαδόν της σφαίρας και του κυλίνδρου Μελέτησε διάφορα στερεά εκ περιστροφής όπως τα στερεά που παράγονται από περιστροφή έλλειψης υπερβολής και παραβολής γύρω από έναν άξονα

Στη Γεωμετρία το έργο του Αρχιμήδη αποτελείται κατά κύριο λόγο από πρωτότυπες μελέτες σχετικά με τον τετραγωνισμό των καμπυλόγραμμων επίπεδων σχημάτων καθώς και με τον τετραγωνισμό και τον κυβισμό καμπύλων επιφανειών

Τέλος επινόησε στο σύνολό της την Υδροστατική Επιστήμη την οποία ανέπτυξε πλήρως Οι μελέτες του αναπαριστούν ένα σύνολο μαθηματικών και γεωμετρικών επιτευγμάτων το οποίο δεν ξεπέρασε κανείς στην ανθρώπινη ιστορία

Όπως αναφέρει ο Wallis laquo ο Αρχιμήδης αφήνει ένα συγκεκριμένο μυστήριο να καλύπτει τον τρόπο με τον οποίο κατέληγε στα αποτελέσματά του Είναι σαν να είχε καλύψει σκοπίμως τα ίχνη του τα ίχνη των ερευνών του σα να ήταν απρόθυμος να αποκαλύψει το μυστικό της μεθόδου έρευνάς του στους μεταγενέστερους ενώ επιθυμούσε να αποσπάσει τη συναίνεσή τους για τα αποτελέσματά του raquo

Ο ίδιος ο Αρχιμήδης ως φορέας ενός ανώτερου φιλοσοφικού πνεύματος θεωρούσε ταπεινή και ανάξια κάθε τέχνη που εξυπηρετούσε πρακτικές ανάγκες ή αποσκοπούσε στο οικονομικό κέρδος Γι` αυτό και έστρεψε όλη του την προσοχή και τις επιδιώξεις στους καθαρούς στοχασμούς χωρίς να καταδεχτεί να αφήσει κάποιο γραπτό στοιχείο για τις τεχνολογικές του ανακαλύψεις με μοναδική εξαίρεση όσες αναφέρονται στο έργο του laquoπερί σφαιροποιίαςraquo Δεν είναι καθόλου τυχαίο λοιπόν το ότι ο Κικέρων αργότερα βρήκε τον τάφο του και πάνω μία αναπαράσταση ενός κυλίνδρου περιγεγραμμένου σε σφαίρα με μία περιγραφή που έδινε το λόγο του κυλίνδρου προς τη σφαίρα

Σε ποιους τομείς εφαρμόστηκαν οι θεωρίες του Εξαιρετικές του μελέτες και για τη μέθοδο και για το αποτέλεσμα είναι εκείνες που έδωσαν τα εμβαδά Κύκλου Έλλειψης Παραβολής και Έλικας καθώς και τα εμβαδά και τους όγκους των Κυλίνδρων των Κώνων και κυρίως των Σφαιρών

Σημαντικότατη θεωρείται και η ανακάλυψη από τον ίδιο τύπου που δίνει το εμβαδόν τριγώνου από τις πλευρές του και ακόμα η επέκτασή του στα εγγεγραμμένα τετράπλευρα Ο Αρχιμήδης επίσης γνώριζε να κατασκευάζει τη λύση ειδικών τριτοβάθμιων προβλημάτων και μεταξύ αυτών και του Δηλίου Προβλήματος Τις λύσεις αυτές τις έδινε με την τομή δύο κωνικών (Ευτόκιος) Μοναδική είναι η προσφορά του στην ανώτερη μετρική Γεωμετρία Συγκεκριμένα εξέφρασε τους όγκους στερεών εκ περιστροφής κωνικών τομών εφαρμόζοντας απειροστικές μεθόδους ανάλυσης των στερεών αυτών

39

Στη σύγχρονη κλασική γεωμετρία όλο σχεδόν το μετρικό της μέρος οφείλεται στον Αρχιμήδη με αποτέλεσμα αυτή ουσιαστικά να είναι ισορροπημένη μείξη της Ευκλείδειας και της Αρχιμήδειας αρχαίας γεωμετρίας

Έτσι ο σοφός μας αποτελεί ουσιαστικά τον πατέρα της ανώτερης μετρικής γεωμετρίας της αρχαιότητας και ταυτόχρονα την πηγή έμπνευσης των νεώτερων μελετών του διαφορικού και απειροστικού λογισμού

Η πρωτοτυπία και η αποτελεσματικότητα των μελετών του έγιναν αιτία να χαρακτηριστεί από τους ιστορικούς των μαθηματικών ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών και όλων των εθνών

Ρεύμα στα ανάκτορα της Βρετανίας μέσω εφεύρεσης του Αρχιμήδη ( httpkatestimenoblogspotcom201109blog-post_1015html )

laquoΗ Βασίλισσα Ελισάβετ πρόκειται να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση ενός αρχαίου Έλληνα για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Και όταν λέμε αρχαίο Έλληνα εννοούμε τον Αρχιμήδη και όχι τον 90χρονο σύζυγό της Φίλιππο της Ελλάδαςraquo

Με αυτόν τον τίτλο πληροφορεί το βρετανικό κοινό η εφημερίδα ldquoDaily Mailrdquo για την απόφαση της Αυτής Μεγαλειότητας να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση του αρχαίου Έλληνα εφευρέτη Αρχιμήδη από τις Συρακούσες για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Πρόκειται για τη σύγχρονη εκδοχή του ατέρμονα κοχλία της έλικος του Αρχιμήδους όπως έμεινε γνωστή η εφεύρεση και είναι ένας σωληνοειδής κοχλίας που χρησίμευε για την άντληση νερού και την άρδευση καλλιεργημένων εκτάσεων

Η σύγχρονη εκδοχή της εφεύρεσης θα χρησιμοποιεί το νερό που μεταφέρεται από ένα τεχνητό φράγμα για να παράγει υδροηλεκτρική ενέργεια Ο μηχανισμός έχει ήδη μεταφερθεί μέσω του Τάμεση στο Romney Weir στα ανάκτορα του Γουίντσορ Σύμφωνα με το δημοσίευμα της εφημερίδας οι έλικες θα είναι έτοιμες για την παραγωγή ενέργειας τον προσεχή Νοέμβριο ενώ θα μπορούν να καλύψουν πλήρως τις ανάγκες του κάστρου σε ενέργεια μέσα στον επόμενο χρόνο

Εκτός αυτού οι τουρμπίνες είναι σχεδιασμένες ώστε να μην εμποδίζουν την ασφαλή διέλευση σολομού και χελιού μέσα στον ποταμό Τάμεση

Οι laquoέλικες του Αρχιμήδηraquo βάρους 40 τόνων κατασκευάστηκαν από ένα εργοστάσιο στην Ολλανδία και στοίχησαν 700000 λίρες Αγγλίας ενώ το κόστος εγκατάστασής τους θα ξεπεράσει το ένα εκατομμύριο λίρες

40

Όσο η στάθμη του κρασιού δεν ξεπερνά τη γραμμή που είναι χαραγμένη στο εσωτερικό της κούπας laquoδεν τρέχει τίποταraquo Εάν όμως την ξεπεράσει ταυτόχρονα φτάνει και στην κορυφή της εσωτερικής στήλης έτσι μέσω του σωλήνα το παραπανίσιο κρασί χύνεται κάτω από την κούπα Τότε η υδροστατική πίεση δημιουργεί ένα σιφόνι στον εσωτερικό σωλήνα το οποίο αδειάζει όλο το περιεχόμενο της κούπας από την οπή που υπάρχει

Ένα πλήθος επιπρόσθετων επιτευγμάτων όπως η κατασκευή και η μελέτη τριών τουλάχιστον από τα πέντε κανονικά πολύγωνα (κύβος τετράεδρο δωδεκάεδρο) και η κατασκευή της μουσικής κλίμακας (μελέτη των λόγων της τετράχορδης λύρας και δημιουργία κανόνα της οχτάχορδης λύρας) μας αποδεικνύει τη σημαντικότητα του Πυθαγόρα ως επιστήμονας της εποχής του Οι πληροφορίες για τη μελέτη των πολυέδρων δεν είναι αρκετές ωστόσο για τη μουσική κλίμακα γνωρίζουμε ότι βασίστηκε στις μελέτες του Πυθαγόρα ο οποίος μελετώντας τη μαθηματική σχέση της μουσικής κλίμακας και διατυπώνοντας σχετικούς κανόνες διευκόλυνε κατά πολύ την κατασκευή μουσικών οργάνων Κατάφερε να εκφράσει τη μουσική αρμονία με μαθηματικές σχέσεις μέσα από τη φιλοσοφική και επιστημονική του προσέγγιση Ξεκινώντας από μία χορδή και διαιρώντας διαδοχικά με το μήκος της και τον χρυσό αριθμό Φ κατάφερε να κατασκευάσει το μουσικό όργανο laquoΚανόναraquo εξέλιξη του οποίου συναντάται σήμερα στο γνωστό laquoκανονάκιraquo

Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΟΥ ΣΤΟ ΣΗΜΕΡΑ

Το αρχαιότερο παράδειγμα εφαρμογής του γνωστού σε όλους laquoπυθαγορείου θεωρήματοςraquo το συναντούμε στη πινακίδα ΒΜ 85196 που χρονολογείται από την περίοδο της πρώτης βαβυλωνιακής χιλιετίας πΧ Έχοντας γνώση λοιπόν του έργου του οι Βαβυλώνιοι οδηγηθήκαν σε αξιόλογα επιτεύγματα

Ο Πυθαγόρας υπήρξε μεγάλη προσωπικότητα με τις έρευνες και το Πανεπιστήμιό του συνέβαλε στο άλμα των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών Η περίεργη μυστικότητα όμως που διέπνεε το σύλλογο έγινε αιτία να μην πληροφορηθούν οι βιογράφοι επακριβώς όλα τα προσωπικά επιτεύγματα του ίδιου Έτσι σήμερα αγνοούμε εν μέρη το δικό του έργο το οποίο ασφαλώς θα ήταν σημαντικότατο

Όσο αναφορά το πυθαγόρειο σχήμα παρά τα αρκετά μειονεκτήματα έχει μερικά χαρακτηριστικά τα οποία μόνιμα επηρέαζαν την ελληνική αστρονομική σκέψη Έδινε βαρύτητα στις κυκλικές κινήσει των ουράνιων σωμάτων γύρω από ένα κεντρικό στοιχείο Τέλος στον Πυθαγόρα και τους Πυθαγορείους οφείλεται πλήθος γεωμετρικών εργασιών αφού αυτοί μελέτησαν με επιτυχία την επιστήμη της Γεωμετρίας

15

Πλάτων ο ΑθηναίοςΒιογραφικά στοιχεία

Έζησε στο διάστημα (427-347πΧ) Ήταν Aθηναίος φιλόσοφος αριστοκρατικής καταγωγής όπου ίδρυσε και διεύθυνε το διασημότερο πανεπιστήμιο στην αρχαία Ελλάδα την Ακαδημία για 40 περίπου χρόνια μέχρι το θάνατό του Πατέρας του ήταν ο Αρίστωνας ο οποίος καταγόταν από το γένος του βασιλιά Κόδρου και μητέρα του ήταν η Περικτιόνη η οποία ήταν αδερφή του Χαρμίδη ενός από τους Τριάκοντα τύραννους και ανιψιά του Κριτία επίσης μέλος των Τριάκοντα με καταγωγή από το γένος του νομοθέτη Σόλωνος Αδέρφια του ήταν οι Αδείμαντος και Γλαύκων Το πρώτο του όνομα ήταν Αριστοκλής αλλά αργότερα ονομάστηκε Πλάτωνας γιατί είχε ευρύ στέρνο και πλατύ μέτωπο

Σε ηλικία 18 ετών γνώρισε τον Σωκράτη και γοητεύτηκε από την προσωπικότητα και από την διδασκαλία του Από το συνολικό έργο του διασώζονται 36 έργα τα οποία εκτός από την Απολογία του Σωκράτη έχουν την μορφή διαλόγου σε όλα εκτός των Νόμων Την συζήτηση διεύθυνε ο Σωκράτης ενώ ο τίτλος του καθενός είναι το όνομα του σπουδαιότερου συνομιλητή ή αφηγητή Στα έργα αυτά γίνεται φανερή η τοποθέτηση του και ο άκρατος

θαυμασμός του προς τα μαθηματικά και ιδιαίτερα προς την γεωμετρία

Λίγες πληροφορίες για την Ακαδημία

Η Ακαδημία ήταν ένα προάστιο των Αθηνών Πήρε το όνομά της από τον ήρωα Ακάδημο Αναφορικά ο Ιππίας γιος του Πεισίστρατου έκτισε ένα κυκλικό τοίχο και ο Κίμωνας φύτεψε τη περιοχή με τα δέντρα η οποία καταστράφηκε από τον Σίλα το 86 πΧ Το 387

16

πΧ O Πλάτωνας ίδρυσε τη φιλοσοφική του σχολή η οποία έγινε πολύ διάσημη χάρη στους νεοπλατωνιστές και χρησιμοποιείτο έως το 526 μΧ οπότε και έκλεισε από τον αυτοκράτορα Ιουστινιανό Η Ακαδημία ήταν σχολή ανωτέρων μελετών και ταυτόχρονα και εκπαιδευτικό ίδρυμα Είχε ισχυρή καταστατική συγκρότηση και παρουσιάζεται περισσότερο υπό τη μορφή μιας αδελφότητας μιας φιλοσοφικής αίρεσης τα μέλη της οποίας αισθάνονται στενά συνδεδεμένα μεταξύ τους και διακρίνεται και από μια οικειότητα στις σχέσεις μεταξύ των μαθητών και των δασκάλων την οποία θα χαρακτηρίζαμε στοργική και φιλική συνάμα Υπάρχει μια διαφωνία σχετικά με το αν η Ακαδημία ήταν ένωση για τη πρόοδο των επιστημών ή ίδρυμα ανώτατης μόρφωσης Η διαφωνία αυτή είναι κάπως άσκοπη δεδομένου το ότι ο άκρατος ρεαλισμός της σχολής αλλά και ο απλός χαρακτήρας της αρχαϊκής εκείνης εποχής δεν επιτρέπουν στο να μεταθέσουμε σε εκείνο το περιβάλλον τη σύγχρονη αντίληψη που έχουμε για την επιστήμη Η Ακαδημία άλλωστε ήταν σχολή ανώτερων μελετών αλλά και εκπαιδευτικό ίδρυμα ταυτόχρονα Τέλος ο Πλάτωνας δεν ονειρεύτηκε μόνο τη ldquoμετά επιστήμηςrdquo παιδεία αλλά και τη μετέδωσε για σαράντα χρόνια στους μαθητές του στην Ακαδημία

Η Ακαδημία ήταν ο τόπος στον οποίο ο Πλάτωνας προσπαθούσε να δείξει τον δρόμο σε προικισμένους μαθητές ώσπου να αναπηδήσει ο σπινθήρας και να αποκαλυφθεί η έσχατη γνώση Ξέρουμε τόσα λίγα για την καθημερινή διδασκαλία στην ακαδημία την εποχή του Πλάτωνα ώστε πότε-πότε θέλησαν να αρνηθούν τον επιστημονικό χαρακτήρα της Τέτοιοι σκεπτικισμοί δεν στηρίζονται πουθενά Την μεγάλη σημασία των μαθηματικών σαν προπαίδεια για την διαλεκτική η οποία στηριζόταν σε αυτά την δείχνουν μερικές προσωπικότητες του Πλατωνικού κύκλου και χωρίς αμφιβολία υπάρχει ουσιαστική αλήθεια στο ανέκδοτο που λένε ότι βρισκόταν πάνω από την είσοδο της Ακαδημίας laquoἁγεωμέτρητος μηδείς εἰσίτωraquo Ξέρουμε ακόμα ότι η διαιρετική μέθοδος για την οποία μιλήσαμε στους οψιμότερους διαλόγους έπαιξε σημαντικό ρόλο στον αγώνα για ένα λογικά ταχτοποιημένο κοσμοείδωλο και στην απόκτηση ορισμών με την διαίρεση των γενικότερων εννοιών

Η συμβολή του Πλάτωνα και της Ακαδημίας στα μαθηματικά

Η συμβολή της Ακαδημίας στα μαθηματικά του 4ου αιώνα πΧ είναι σημαντικότατη ιδιαίτερα με τα έργα των καθηγητών της Θεαίτητου Μεναίχμου και Ενδόξου Η συμβολή όμως του Πλάτωνα είναι αμφιλεγόμενη αν και πιστεύεται ότι

-Έλυσε το Δήλιο πρόβλημα (διπλασιασμό του κύβου) με κινητική γεωμετρία και κάποιο όργανο με την βοήθεια του οποίου προέκυπτε η λύση

-Έδωσε γενική μορφή στην αναλυτική μέθοδο και συνέβαλε στην έρευνα των γεωμετρικών τύπων

-Προσδιόρισε ένα πλήθος των πυθαγορείων τριάδων δηλαδή των τριαδικών ακέραιων αριθμών που επαληθεύουν την ισότητα x2+y2=ω2 του Πυθαγορείου θεωρήματος

Για τα πολυσυζητημένα αστρονομικά ζητήματα της εποχής του (κίνηση του ουρανού θέση σχήμα και κίνηση της Γης) παρουσιάζει ξένες και θολά διατυπωμένες απόψεις γεγονός που

17

φανερώνει ότι δεν διέθετε προσωπική άποψη για το θέμα και γενικά ότι δεν ήταν μαθηματικός

Έγραψε μεταξύ άλλων την απολογία του Σωκράτη η οποία θεωρείται ως μια σχετικά ακριβής καταγραφή της απολογίας του Σωκράτη στην δίκη που τον καταδίκασε σε θάνατο Μετά τη θανάτωση του Σωκράτη για λίγο καιρό κατέφυγε στα Μέγαρα κοντά στον συμμαθητή του Ευκλείδη Ύστερα γύρισε στην Αθήνα όπου για 10 χρόνια ασχολήθηκε με τη συγγραφή φιλοσοφικών έργων τα οποία φέρουν τη σφραγίδα της σωκρατικής φιλοσοφίας Στη συνέχεια ταξίδεψε στην Αίγυπτο και στην Κυρήνη όπου σχετίστηκε με τον μαθηματικό Θεόδωρο και τέλος στον Τάραντα της Ιταλίας όπου γνώρισε τους πυθαγόρειους από τη φιλοσοφική σκέψη των οποίων επηρεάστηκε αποφασιστικά Μετά πέρασε στη Σικελία Στην αυλή του βασιλιά των Συρακουσών Διονυσίου Α΄ γνώρισε τον βασιλικό γυναικάδελφο Δίωνα με τον οποίον συνδέθηκε φιλικά Η φιλία όμως αυτή προκάλεσε τις υποψίες του Διονυσίου για συνωμοσία γι αυτό έδιωξε τον Πλάτωνα από τη Σικελία Στην Αίγινα κινδύνεψε να πουληθεί ως δούλος αλλά τον εξαγόρασε ο Κυρηναίος φίλος του Αννίκερης Επιστρέφοντας στην Αθήνα άνοιξε τη φιλοσοφική σχολή του την Ακαδημία (387 πΧ) Η προσπάθεια όμως των δύο φίλων να προσηλυτίσουν στις ιδέες τους τον νέο ηγεμόνα Διονύσιο τον Πρεσβύτερο απέτυχαν Για τρίτη φορά ήρθε στην αυλή των Συρακουσών το 361 πΧ με σκοπό να συμφιλιώσει τον Δίωνα με τον Διονύσιο Αυτή τη φορά κινδύνεψε και η ζωή του Τον έσωσε η επέμβαση του πυθαγόρειου Αρχύτα Αλλά ο Δίωνας δεν γλίτωσε Δολοφονήθηκε το 353 πΧ Έτσι ο Πλάτωνας έχασε τον άνθρωπο στον οποίο στήριξε τις ελπίδες του για την επιβολή των πολιτικών του ιδεών Από τότε και μέχρι τον θάνατό του ασχολήθηκε με τη διδασκαλία και με τη συγγραφή φιλοσοφικών έργων Επίσης έγραψε το συμπόσιο που μιλάει για την φύση του έρωτα στον Πρωταγόρα Μεταξύ άλλων θεμελιώνεται θεωρητικά η αρχή της πρόληψης που δεν λαμβάνει την τιμή ως απολύτως ανταποδοτική στον Παρμενίδη και Θεαίτητο θεμελιώνει την αντικειμενικότητα του λόγου και της ιδέας ενώ σε 2 μακρούς διαλόγους την Πολιτεία και τους Νόμους περιέγραψε την ιδανική πολιτεία

Η κύρια συμβολή του στα μαθηματικά βρίσκεται κυρίως στο ότι προέτρεπεe τους μαθηματικούς να ερευνούν καθολικές μαθηματικές αλήθειες και γενικά να καλλιεργούν τα μαθηματικά τα οποία θεωρούσε ότι διαθέτουν τεράστια εκπαιδευτική αξία Η προτροπή αυτή φαίνεται εκτός των άλλων και στις απόψεις του ότι τα μαθηματικά είναι lsquorsquoδόσις θεῶν εἰς ἀνθρώπουςrsquorsquo και ότι οδηγούν έντονα την ψυχή προς το θείο

Οι επιδράσεις του Πλάτωνος στους έπειτα αιώνες

Ο Γάλλος ιστορικός της φιλοσοφίας Ζακ Σεβαλιέ τονίζει στο έργο του laquoΙστορία της σκέψηςraquo (1955) την κυρίαρχη παρουσία ή έστω ανταύγεια της πλατωνικής φιλοσοφίας σε ολόκληρο το Μεσαίωνα και στην Αναγέννηση και στους Νεότερους χρόνους ενώ ο Γερμανός φιλόσοφος Καρλ Γιάσπερς προβάλλει τον Πλάτωνα ως το τον πρώτο από τους τρεις θεμελιωτές του φιλοσοφείν Η ιστορία της φιλοσοφίας μέχρι τον Κικέρωνα είναι σαφώς επηρεασμένη από αυτόν και είτε αμφισβητεί είτε ακολουθεί τη διδασκαλία του Ο μαθητής του Αριστοτέλης εξ ίσου επιδραστικός με τον ίδιο οδηγήθηκε στην ανάπτυξη τμήματος του έργου του ως απάντηση στον πλατωνισμό Η σχολή την οποία ο Πλάτωνας

18

ίδρυσε το 387 πΧ η Ακαδημία συνέχισε να ακμάζει ως τις αρχές του πρώτου αιώνα π Χ έχοντας όμως μετατραπεί σε σκεπτική σχολή μετά τις αρχές της ελληνιστικής περιόδου

Κατά την εποχή του Αυγούστου υπήρξε αναβίωση της πλατωνικής φιλοσοφίας ο μεσοπλατωνισμός με εκπροσώπους όπως ο Φίλων ο Αλεξανδρεύς ενώ κατά τα τέλη του δεύτερου αιώνα ο μεσοπλατωνισμός άρχεσαι να μετατρέπεται σταδιακά υπό την επίδραση του νεοπυθαγορισμού και του ερμητισμού στην κατεχόμενη από τους Ρωμαίους Αίγυπτο στο κίνημα του νεοπλατωνισμού με αρχικούς εκπροσώπους όπως ο Πλωτίνος το οποίο είχε ιδεαλιστικό μυστικιστικό και σωτηριολογικό χαρακτήρα Η Ακαδημία στην Αθήνα επανιδρύθηκε ως κέντρο νεοπλατωνικών μελετών κατά τον τέταρτο αιώνα

Την ίδια εποχή περίοδο έντονων θρησκευτικών ζυμώσεων στη Ρωμαϊκή Αυτοκρατορία και σταδιακής επικράτησης του χριστιανισμού στη Μεσόγειο οι ακόλουθοι της αστικής ελληνορωμαϊκής θρησκείας αλλά και των ελληνικών μυστηριακών λατρειών συσπειρώθηκαν γύρω από τον νεοπλατωνισμό ως υπερασπιστή του μέχρι πρότινος επικρατούντος παγανισμού Μεμονωμένοι νεοπλατωνικοί και παγανιστικοί πυρήνες επέζησαν ως τον έκτο αιώνα οπότε και ο Αυτοκράτορας Ιουστινιανός έκλεισε με διάταγμα την Ακαδημία της Αθήνας Μετά περίπου εννέα αιώνες το έτος 1439 ο Γεώργιος Γεμιστός Πλήθων γράφει στη Φλωρεντία το πολύκροτο έργο του Περί ὧν Αριστοτέλης προς Πλάτωνα που αποτέλεσε το έναυσμα της διαμάχης πλατωνικών και αριστοτελικών στο Βυζάντιο και στην Ιταλία Ο πλατωνισμός επιβίωσε υπογείως καθ όλον τον Μεσαίωνα κρυμμένος σε μυστηριακά ρεύματα έως ότου οι πρωτότυπες ιδέες του ανακαλύφθηκαν ξανά και σχολιάστηκαν κατά την Αναγέννηση Έτσι ούτε η νεότερη φιλοσοφική σκέψη έμεινε ανεπηρέαστη από αυτόν Τα διάφορα φιλοσοφικά συστήματα ή προσπαθούν να ανατρέψουν τις ιδέες του ή οικοδομούνται πάνω σ αυτές εκσυγχρονίζοντάς τες

Τα έργα του είναι

Αλκιβιάδης Α η Περί Ανθρώπου Φύσεως μαιευτικός

Αλκιβιάδης Β ή Περί Προσευχής μαιευτικός

Απολογία Σωκράτους ηθικός

Γοργίας ή Περί Ρητορικής ανατρεπτικός

Επινομίς ή Νυκτερινος Σύλλογος πολιτικός

Επιστολαί ηθικαί

Ερασταί ή Περί Φιλοσοφίας ηθικός

Ευθύδημος ή Εριστικός ανατρεπτικός

Ευθύφρων ή Περί του Οσίου

Θεάγης ή Περί Φιλοσοφίας μαιευτικός

Θεαίτητος ή Περί Επιστήμης πειραστικός

19

Ιππαρχος ή Φιλοκερδής ηθικός

Ιππίας ελάσσων ή Περί του Ψεύδους ανατρεπτικός

Ιππίας μείζων ή Περί του Καλού ανατρεπτικός

Ίων ή Περί Ιλιάδος πειραστικός

Κλειτοφών ή Προτρεπτικός ηθικός

Κρατύλος ή Περί Ονομάτων Ορθότητος λογικός

Κριτίας ή Ατλαντικός ηθικός

Κρίτων ή Περί του Πρακτέου ηθικός

Λάχης ή Περί Ανδρείας ηθικός

Λύσις ή Περί Φιλίας μαιευτικός

Μενέξενος ή Επιτάφιος ηθικός

Μένων ή Περί Αρετής πειραστικός

Μίνως ή Περί Νόμου πολιτικός

Νόμοι ή Περί Νομοθεσίας πολιτικός

Παρμενίδης ή Περί Ιδεών λογικός

Πολιτεία ή Περί Δικαίου πολιτικός

Πολιτικός ή Περί της Βασιλείας λογικός

Πρωταγόρας ή Σοφισταί επιδεικτικός

Σοφιστής ή Περί του Όντος λογικός

Συμπόσιον ή Περί Αγαθού ηθικός

Τίμαιος ή Περί Φύσεως φυσικός

Φαίδρος ή Περί Έρωτος ηθικός

Φαίδων ή Περί Ψυχής ηθικός

Φίληβος ή Περί Ηδονής ηθικός

Χαρμίδης ή Περί Σωφροσύνης πειραστικός

20

21

ΕυκλείδηςΒΙΟΓΡΑΦΙΑ

Υπολογίζεται ότι έζησε το βrsquo μισό του 4ου έως τις αρχές του 3ου πΧ αιώνα πιο συγκεκριμένα περίπου το 325 πΧ έως το 265 πΧ Κορυφαίος μαθηματικός της αρχαιότητας που επηρέασε με το έργο του σε ανυπέρβλητο βαθμό τον επιστημονικό τρόπο σκέψης σε όλο τον κόσμο Για τη ζωή του δεν υπάρχουν επιβεβαιωμένες πληροφορίες Πιθανώς εκπαιδεύτηκε στην Αθήνα στην Ακαδημία του Πλάτωνα και δίδαξε στην Αλεξάνδρεια Ξέρουμε ότι ήταν μεγαλύτερος στην ηλικία από τον Αρχιμήδη πράγμα που σημαίνει ότι η χρονολόγηση της ακμής του laquoγύρω στο 300 πΧraquo δεν πρέπει να απέχει πολύ από την αλήθεια Ο Πρόκλος επίσης τον χαρακτηρίζει σύγχρονο του βασιλιά Πτολεμαίου Αrsquo στον

οποίο είχε το θάρρος να του πει κατά πρόσωπο πως δεν υπάρχει βασιλική οδός προς τη γεωμετρία Ο Πάππος τον επαινεί για την ηθική του ακεραιότητα τη μετριοφροσύνη και την ευμενή στάση του προς όσους είναι ικανοί να προαγάγουν τη μαθηματική γνώση Ο Στοβαίος διηγείται το ακόλουθο ενδιαφέρον περιστατικό Ένας νέος επισκέφθηκε κάποτε τον Ευκλείδη και τον παρακάλεσε να τον διδάξει γεωμετρία Μόλις έμαθε το πρώτο θεώρημα ρώτησε τον Ευκλείδη laquoΚαι τώρα τι θα κερδίσω με το θεώρημα αυτόraquo Ο Ευκλείδης τότε γύρισε προς τον υπηρέτη του και του είπε laquoΔώσrsquo του τρεις δεκάρες ώστε να κερδίσει κάτι από το θεώρημα το οποίο έμαθεraquo Αυτά είναι όλα όσα γνωρίζουμε για τον Ευκλείδη ως άνθρωπο Πολύ μεγαλύτερη σημασία όμως έχει το έργο του το οποίο ακόμα και σήμερα μαρτυρεί τα απαράμιλλα χαρίσματά του ως δασκάλου

ΕΡΓΟ

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη

Μετά το θάνατο του Μεγάλου Αλεξάνδρου στα 323 πΧ η αχανής μακεδονική αυτοκρατορία διαιρέθηκε σε τρεις περιοχές Η περιοχή πού περιλάμβανε την Αίγυπτο περιήλθε κάτω από την άξια ηγεμονία του ικανού στρατηγού του Αλεξάνδρου Πτολεμαίου του Σωτήρος ο οποίος σύντομα κέρδισε τη βασιλεία της περιοχής Ο Πτολεμαίος επέλεξε για πρωτεύουσα της περιοχής του την Αλεξάνδρεια λίγα μόνο μίλια από τις εκβολές του ποταμού Νείλου και γύρω στα 300 πΧ άνοιξε τις πόρτες του περίφημου πανεπιστημίου της Αλεξάνδρειας Ανάμεσα στους μελετητές που κλήθηκαν να επανδρώσουν το νέο ίδρυμα ήταν και ο μαθηματικός Ευκλείδης που πιθανότατα υπήρξε μαθητής της Ακαδημίας του Πλάτωνα στην Αθήνα

22

Ο Ευκλείδης από τη στιγμή που ανέλαβε τα καθήκοντά του στην Αλεξάνδρεια όρισε ανάμεσα στους στόχους του τη συγκρότηση του μνημειώδους και ιστορικά σημαντικού έργου του των Στοιχείων Αυτή η αξιόλογη και εκτεταμένη εργασία γραμμένη σε δεκατρία βιβλία ή μέρη αποτελεί την αρχαιότερη εφαρμογή της αξιωματικής μεθόδου που έχει φτάσει στα χέρια μας Θεωρείται ο πρώτος μεγάλος σταθμός στην ιστορία της οργάνωσης των μαθηματικών και η μετέπειτα επίδραση της στον επιστημονικό τρόπο γραφής πολύ δύσκολα μπορεί να περιγραφεί

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη διεκδικούν αναμφισβήτητα μια θέση ανάμεσα στις μεγάλες στιγμές των μαθηματικών Η εργασία αυτή εκτόπισε τόσο γρήγορα και ολοκληρωτικά όλες τις προηγούμενες εργασίες ανάλογου περιεχομένου που σήμερα δεν υπάρχουν αντίγραφα προηγουμένων προσπαθειών και απλά γνωρίζουμε την ύπαρξη τους από σχόλια μεταγενέστερων συγγραφέων Τα Στοιχεία του Ευκλείδη από την πρώτη εμφάνιση τους κέρδισαν τεράστια εκτίμηση Με μοναδική εξαίρεση τη Βίβλο καμιά άλλη εργασία δεν χρησιμοποιήθηκε μελετήθηκε ή εκδόθηκε τόσο πολύ Για πάνω από δύο χιλιετίες κυριάρχησε στο χώρο διδασκαλίας της γεωμετρίας Από την πρώτη έκδοση της στα 1472 έχει γνωρίσει πάνω από χίλιες εκδόσεις Το περιεχόμενο και η μορφή της επέδρασαν εντυπωσιακά στην ανάπτυξη του αντικειμένου της και της λογικής θεμελίωσης των μαθηματικών

Ο Πρόκλος ένας κατοπινός σχολιαστής των μαθηματικών που έζησε στον 5ο αιώνα έχει δώσει μια εξήγηση της έννοιας του όρου laquoστοιχείαraquo Τα στοιχεία μιας αποδεικτικής μελέτης είναι τα πιο σημαντικά θεωρήματα ή τα θεωρήματα κλειδιά που χρησιμοποιούνται συχνά και πλατιά στο αντικείμενο της μελέτης Είναι τα θεωρήματα που χρειάζονται για την απόδειξη όλων ή των περισσότερων από τα άλλα θεωρήματα Η λειτουργία τους συγκρίνεται με αυτή των γραμμάτων του αλφαβήτου σε σχέση με τη γλώσσα Τα γράμματα στα ελληνικά ονομάζονται και στοιχεία Η επιλογή των προτάσεων που θα λειτουργήσουν ως στοιχεία κάποιου θέματος μελέτης απαιτεί μεγάλη ικανότητα και κρίση από το συγγραφέα

Δεν υποτιμά καθόλου την αίγλη του έργου του Ευκλείδη το γεγονός ότι είχαν προηγηθεί ανάλογες προσπάθειες Σύμφωνα με τον Πρόκλο η πρώτη προσπάθεια να γραφτούν Στοιχεία έγινε από τον Ιπποκράτη το Χίο στα μέσα του πέμπτου πΧ αιώνα Η επόμενη προσπάθεια ήταν του Λέοντα που χρονολογικά τοποθετείται κάπου ανάμεσα στον Πλάτωνα και τον Εύδοξο Όπως μαθαίνουμε η εργασία του Λέοντα περιείχε μια μεγαλύτερη και πιο χρήσιμη επιλογή προτάσεων από τον Ιπποκράτη Το βιβλίο που χρησιμοποιούνταν στην Ακαδημία του Πλάτωνα είχε επιμεληθεί ο Θεύδιος από τη Μαγνησία και θεωρούνταν μια θαυμάσια συλλογή στοιχείων Η εργασία του Θεύδιου ήταν ασφαλώς ο άμεσος πρόδρομος της εργασίας του Ευκλείδη ο οποίος την είχε χωρίς αμφιβολία στη διάθεση του ειδικά αν όπως πιστεύουν σπούδασε στην Ακαδημία του Πλάτωνα

Ο Ευκλείδης γνώριζε επίσης την εργασία του Θεαίτητου και του Εύδοξου Δεν είναι καθόλου υποτιμητικό ότι η εργασία του Ευκλείδη αποτελεί σε μεγάλο βαθμό συγκέντρωση και επιμέλεια των εργασιών των προγενεστέρων του αφού η ουσιαστική αξία των Στοιχείων βρίσκεται ακριβώς στην τέλεια επιδεξιότητα με την οποία επιλέχτηκαν και τοποθετήθηκαν

23

σε λογική σειρά οι προτάσεις ξεκινώντας από μια μικρή ομάδα αρχικών υποθέσεων Ούτε είναι υποτιμητικό το γεγονός ότι η εξονυχιστική μελέτη των σύγχρονων κριτικών έχουν αποκαλύψει ορισμένα μειονεκτήματα στη δομή της εργασίας του Ευκλείδη Δε θα μπορούσε κανείς να περιμένει μια τέτοια αρχική και κολοσσιαία προσπάθεια με την αξιωματική μέθοδο να μην παρουσιάζει καμία ατέλεια

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη έχουν γραφεί γύρω στο 300 πΧ αλλά το αυθεντικό χειρόγραφο κείμενο του Ευκλείδη δεν διασώζεται Αντίθετα σώζονται δεκάδες αντίγραφα που σε τελική ανάλυση κατάγονται από αυτό Το αρχαιότερο πλήρες αντίγραφο περιέχεται σε έναν χειρόγραφο περγαμηνό κώδικα που φυλάσσεται σήμερα στη Βιβλιοθήκη της Οξφόρδης και χρονολογείται από του έτους 888 ενώ μικρά αποσπάσματα του έργου διασώζονται σε παπύρους προγενέστερης εποχής καθώς και σε ένα παλίμψητο χειρόγραφο του 7ου ή του 8ου

μΧ αι που φυλάσσεται στο Βρετανικό Μουσείο Βλέπουμε λοιπόν ότι το αρχαιότερο χειρόγραφο που περιέχει το πλήρες κείμενο των Στοιχείων του Ευκλείδη χρονολογείται από τα τέλη του 9ου μΧ αι και επομένως απέχει από την εποχή μας όσο απέχει από την εποχή που ο ίδιος ο Ευκλείδης έγραψε το έργο

Όλες οι σύγχρονες εκδόσεις στηρίζονται σε μια επανέκδοση που έκανε ο Θεωνάς από την Αλεξάνδρεια ένας Έλληνας σχολιαστής που έζησε εφτακόσια περίπου χρόνια μετά τον Ευκλείδη Μόνο στις αρχές του 19ου αιώνα ανακαλύφθηκε ένα παλιότερο αντίγραφο Στα 1808 όταν ο Ναπολέοντας διέταξε να μεταφερθούν όλα τα αξιόλογα χειρόγραφα από τις ιταλικές βιβλιοθήκες στο Παρίσι ο Φ Πέιραρντ (F Peyrard) ανακάλυψε στη βιβλιοθήκη του Βατικανού ένα αντίγραφο των Στοιχείων από έκδοση προγενέστερη από του Θεωνά Η μελέτη όμως αυτής της παλιότερης έκδοσης αποκάλυψε δευτερεύουσες μόνο διαφορές από τον Θεωνά

Οι πρώτες πλήρεις μεταφράσεις των Στοιχείων στα λατινικά δεν έγιναν από τα ελληνικά αλλά από τα αραβικά Τον 8ο αιώνα οι Άραβες μετέφρασαν έναν αριθμό βυζαντινών χειρογράφων με ελληνικές εργασίες και στα 1120 ο Άγγλος μελετητής Άντελαρντ (Adelard) από το Μπαθ μετέφρασε τα Στοιχεία στα λατινικά χρησιμοποιώντας μια απ αυτές τις παλιότερες αραβικές μεταφράσεις Άλλες λατινικές μεταφράσεις από τα αραβικά έκαναν ο Γκεράρντο από την Κρεμώνα (Gherardo 1114-1187) και 150 χρόνια μετά τον Άντελαρντ ο Γιοχάννες Καμπάνους (Johannes Campanus) Η πρώτη τυπωμένη έκδοση των Στοιχείων έγινε στη Βενετία στα 1482 η έκδοση αυτή ήταν η μετάφραση του Καμπάνους Αυτό το πολύ σπάνιο βιβλίο ήταν θαυμάσια τυπωμένο και ήταν το πρώτο αξιόλογο μαθηματικό βιβλίο που τυπώθηκε Μια σημαντική λατινική μετάφραση από τα ελληνικά έγινε από τον Κομμαντίνο (Commandino) στα 1572 Αυτή η μετάφραση χρησιμοποιήθηκε ως βάση για πολλές άλλες μεταφράσεις που ακολούθησαν ανάμεσα σ αυτές και η εργασία του Ρόμπερτ Σίμσον (Robert Simson) που άσκησε σημαντική επιρροή και αποτέλεσε με τη σειρά της τη βάση για πάρα πολλές αγγλικές εκδόσεις

24

Αναλυτική περιγραφή των laquo στοιχείων raquo

Ειδικότερα το πρώτο βιβλίο αναφέρεται σε τεμνόμενες και παράλληλες ευθείες στην ισότητα ευθύγραμμων σχημάτων και στο τέλος το πυθαγόρειο θεώρημα Στο 2ο βιβλίο αναφέρονται συνέπειες από το πυθαγόρειο θεώρημα και γίνονται μετασχηματισμοί ευθύγραμμων σχημάτων σε ισοδύναμα τετράγωνα Εδώ περιέχεται και το πρόβλημα

της laquoχρυσής τομήςraquo Πολλές από τις προτάσεις αυτού μπορούν με σύγχρονους συμβολισμούς να πάρουν μορφή αλγεβρική γιrsquo αυτό έχει επικρατήσει να λέγεται για το 2ο βιβλίο ότι εισάγει τη laquoγεωμετρική άλγεβραraquo Στο 3ο βιβλίο εξετάζεται ο κύκλος και στο τέταρτο βιβλίο λύνονται προβλήματα σχετικά με τα εγγεγραμμένα στον κύκλο κανονικά πολύγωνα Στο 5ο βιβλίο σπουδάζεται η laquoθεωρία των λόγωνraquo του Ευδόξου Πρόκειται ουσιαστικά για τη θεωρία των πραγματικών αριθμών δοσμένη όμως σε μορφή γεωμετρική Το 6ο βιβλίο ασχολείται με την ομοιότητα επίπεδων σχημάτων και σrsquo αυτά αποδεικνύεται ότι από όλα τα ορθογώνια με δοσμένη περίμετρο το τετράγωνο έχει το μέγιστο εμβαδόν Στα βιβλία 7ο-9ο που αφορούν στην αριθμοθεωρία είναι εκπληκτικό πώς με παντελή μπορεί να πει κανείς έλλειψη συμβολισμών (αριθμοί δεν αναγράφονται) κατορθώνεται μια ακροβασία στην αλληλουχία των συλλογισμών που καταλήγει σε πολύ ενδιαφέροντα αριθμητικά αποτελέσματα Ειδικότερα στο 7ο βιβλίο μελετιούνται οι άρτιοι και οι περιττοί αριθμοί οι πρώτοι και οι σύνθετοι καθώς και οι τέλειοι εξετάζονται διάφορα προβλήματα διαιρετότητας ορίζεται το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο αριθμών (ΕΚΠ) καθώς και ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης τους και δίνεται η μέθοδος προσδιορισμού του που ονομάστηκε laquoΕυκλείδειος Αλγόριθμοςraquo Στα δύο επόμενα βιβλία εξακολουθεί η σπουδή αριθμοθεωρητικών θεμάτων στο 8ο εισάγονται επίσης και μελετιούνται οι γεωμετρικές πρόοδοι και στο 9ο έχουν συμπεριληφθεί τρεις σημαντικότατες προτάσεις Πρόκειται για α) το αποκαλούμενο laquoθεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικήςraquo β) την απόφανση ότι υπάρχουν απειράριθμοι πρώτοι και γ) την πρόταση που οδηγεί σε ένα γενικό τύπο που παρέχει άρτιους τέλειους αριθμούς Στο 10ο βιβλίο που αποτελεί ένα από τα ωραιότερα μέρη των Στοιχείων γίνεται μια ταξινόμηση των τετραγωνικών άρρητων και των τετραγωνικών ριζών τους και κατασκευάζεται ένα σύνολο ασύμμετρων μεγεθών το οποίο μαζί με το σύνολο των ρητών συναποτελεί επέκταση αυτού του τελευταίου τέτοια ώστε κάθε στοιχείο της να είναι κατασκευασμένο με κανόνα και διαβήτη Τέλος τα βιβλία της στερεομετρίας το 11ο βιβλίο ασχολείται με θεμελιώδεις σχέσεις μεταξύ ευθειών και επιπέδων καθώς και με τις στερεές γωνίες στο 12ο αναφέρεται σε επιφάνειες και όγκους στερεών και στο 13ο γίνεται η μελέτη της σφαίρας σε συσχετισμό με τα εγγεγραμμένα σε αυτήν κανονικά πολύεδρα

25

Άλλα έργα

bull Δεδομένα (94 θεωρήματα) έργο ανώτερης γεωμετρίας Στο έργο αυτό περιέχονται προτάσεις σε σχήματα στα οποία δίνονται ορισμένα στοιχεία τους κατά σχήμα θέση ή μέγεθος

bull Περί διαιρέσεων (36 προτάσεις) με περιεχόμενό του τη διαίρεση σχημάτων με δοσμένη σχέση

bull Πορίσματα (3 βιβλία που χάθηκαν) σώθηκαν ορισμένα αποσπάσματα που το 1860 έγινε απόπειρα ανασύνθεσής τους από τον Πάππο

bull Οπτικά-κατοπτρικά αντίστοιχα γεωμετρική οπτική ανάκλαση του φωτός πάνω σε επίπεδο κάτοπτρο

bull Φαινόμενα εγχειρίδιο κοσμογραφίας απλές προτάσεις για τη σφαίρα

bull Κατατομή κανόνος στοιχεία πυθαγόρεια θεωρία μουσικής

bull Ψευδάρεια laquoπαράδοξαraquo με στόχο να ασκηθούν οι σπουδαστές στην ανεύρεση λογικών σφαλμάτων κατά τις αποδείξεις

bull Κωνικαί τομαί Μηχανικά δεν γνωρίζουμε τίποτα γιrsquo αυτά τα έργα

Αιτήματα του Ευκλείδη

Τα αιτήματα είναι αρχικές προτάσεις οι οποίες προσιδιάζουν στη συγκεκριμένη κάθε φορά επιστήμη στην προκειμένη περίπτωση στη Γεωμετρία Ο Ευκλείδης διατυπώνει 5 αιτήματα

1 Ζητείται να γίνει δεκτό ότι από οποιοδήποτε σημείο σε οποιοδήποτε σημείο άγεται ευθεία γραμμή

2 Και (ότι) πεπερασμένη ευθεία προεκτείνεται σε ευθεία κατά συνεχή τρόπο

3 Και (ότι) με οποιοδήποτε κέντρο και διάστημα γράφεται κύκλος

4 Και (ότι) όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους

5 Και αν η ευθεία η οποία τέμνει δύο ευθείες σχηματίζει δύο εντός και επί τrsquo αυτά μέρη γωνίες μικρότερες των δύο ορθών τότε οι δύο ευθείες προεκτεινόμενες επrsquo απείρου συναντώνται προς εκείνα τα μέρη τους όπου βρίσκονται μικρότερες των δύο ορθών

Ακολουθούν τα laquoαιτήματαraquo διατυπωμένα σε αρχαίο κείμενο όπως αυτά βρίσκονται στο Βιβλίο Ι

26

Ο ρόλος των τριών πρώτων από τα αιτήματα αυτά είναι να εξασφαλίσουν τη νομιμότητα των κατασκευών της ευθείας και του κύκλου και κατά συνέπεια εκείνων και μόνο των γραμμών και των γεωμετρικών σχημάτων που κατασκευάζονται με πεπερασμένο αριθμό βημάτων από τα δύο αυτά βασικά σχήματα Στα Στοιχεία επομένως δεν έχουν θέση καμπύλες όπως είναι οι κωνικές τομές τη τετραγωνίζουσα κλπ ή κατασκευές όπως κατασκευές νεύσεως Η φύση των δύο τελευταίων αιτημάτων είναι διαφορετική Αποσκοπούν να δηλώσουν ότι κάποια γεωμετρικά σχήματα έχουν ορισμένες ειδικές ιδιότητες

Πολλοί ιστορικοί των μαθηματικών έχουν ασχοληθεί κατά το παρελθόν με το ερώτημα εάν τα αξιώματα του Ευκλείδη ικανοποιούν τις σύγχρονες απαιτήσεις (πληρότητα συνέπεια ανεξαρτησία) ενός αξιωματικού συστήματος Από την προσεκτική μελέτη των αποδείξεων κι των κατασκευών που περιέχονται στα Στοιχεία προκύπτει ότι ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί μερικές φορές απόρρητες παραδοχές οι οποίες δεν περιλαμβάνονται στα αξιώματα Επομένως το σύστημα των αξιωμάτων του δεν ικανοποιεί την απαίτηση της πληρότητας

Μεγάλο ιστορικό ενδιαφέρον εξάλλου έχει το ερώτημα της ανεξαρτησίας των αιτημάτων του Ευκλείδη ιδιαίτερα σε ότι αφορά το πέμπτο από αυτά Το αίτημα αυτό αναφέρεται συχνά και ως laquoαίτημα των παραλλήλωνraquo γιατί μια ισοδύναμη διατύπωσή του είναι η εξής από ένα σημείο εκτός ευθείας άγεται μια μόνο παράλληλη προς τη ευθεία Πολλοί μαθηματικοί από την αρχαιότητα έως τα μέσα του 18ου αιώνα προσπάθησαν να εξαγάγουν το αίτημα αυτό από τα άλλα αιτήματα όλες οι προσπάθειες όμως απέβησαν άκαρπες Από τα τέλη του 18ου αιώνα η προσδοκώμενη εξάρτηση του αιτήματος επιχειρήθηκε να αποδειχτεί με έμμεσο τρόπο Η σκέψη ήταν η εξής αν το αίτημα των παραλλήλων μπορεί να εξαχθεί από τα άλλα τέσσερα αιτήματα μαζί με την άρνηση του πέμπτου θα πρέπει να οδηγούν σε αντίφαση Το νέο σύστημα αξιωμάτων όμως αντί να οδηγήσει σε αντίφαση αποδείχτηκε ότι παράγει συνέπειες μαθηματικές θεωρίες Έτσι ανακαλύφθηκαν οι λεγόμενες μη ευκλείδειες γεωμετρίες και ταυτόχρονα αποδείχθηκε η ανεξαρτησία των αιτημάτων του Ευκλείδη

27

Ας δούμε τώρα την διατύπωση και την απόδειξη της πρότασης (5) που περιέχεται στο Βιβλίο Ι των laquoστοιχείωνraquo και αναφέρεται στη γνωστή μας πρόταση της ισότητας των παρά τη βάση γωνιών ισοσκελούς τριγώνου

28

Γιατί διδάσκουμε το μάθημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στο ζήτημα της laquoχρησιμότηταςraquo των σχολικών Μαθηματικών θα μπορούσε κανείς να αντιπαραθέσει (και πράγματι αντιπαρατέθηκαν) πολλές διαφορετικές απόψεις Εμείς θα παραθέσουμε απλώς ένα απόσπασμα από τις αυτοβιογραφικές σημειώσεις του Albert Einstein το οποίο δείχνει μια άλλη τελείως διαφορετική αντίληψη σχετικά με την laquoχρησιμότηταraquo της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Γράφοντας για τα γεγονότα της παιδικής και εφηβικής του ζωής που είχαν μεγάλη επίδραση στην μετέπειτα εξέλιξη του ο Einstein σημειώνει

Σε ηλικία 12 ετών δοκίμασα μια δεύτερη τελείως διαφορετική έκπληξη σε ένα μικρό βιβλίο Ευκλείδειας επίπεδης γεωμετρίαςhellip Εδώ υπήρχαν ισχυρισμοί όπως για παράδειγμα τα τρία ύψη ενός τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο οι οποίοι - αν και καθόλου προφανείς - μπορούσαν ωστόσο να αποδειχτούν με τέτοια βεβαιότητα ώστε να μην χωρεί η παραμικρή αμφιβολία Αυτή η σαφήνεια και βεβαιότητα μου προξένησαν μια εντύπωση που δεν μπορεί να περιγραφεί Το γεγονός ότι τα αξιώματα έπρεπε να γίνουν δεκτά χωρίς απόδειξη δεν με ενόχλησε Σε κάθε περίπτωση μου αρκούσε πλήρως το γεγονός ότι μπορούσαν να στηρίζω τις αποδείξεις σε προτάσεις η εγκυρότητα των οποίων ήταν για μένα αναμφισβήτητη

Η περίπτωση του Einstein του επιστήμονα που άλλαξε ριζικά τις αντιλήψεις μας και την γεωμετρική δομή του σύμπαντος αποκαλύπτει την σπουδαιότητα ορισμένων παιδαγωγικών σκοπών και τη συνάφειά τους με το ερώτημα που θέσαμε ως τίτλο αυτής της ενότητας καλλιέργεια και ανάπτυξη της συγκροτημένης σκέψης μύηση στην επιστημονική μέθοδο μελέτες του κόσμου Αυτοί οι σκοποί παρόλη τη γενικότητά τους συνδέονται άμεσα με τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας που άσκησαν καθοριστική επίδραση στο νεαρό Einstein τα οποία είναι

bull Σαφήνεια στην έκθεση

bull Ολοκληρωτική απόδειξη κάθε υπόθεσης

bull Απόλυτη συνάφεια σχημάτων και συλλογισμών

bull Τάξη και ομορφιά

Αν τα στοιχεία αυτά αποτελούν ουσιώδη συστατικά της μαθηματικής παιδείας τότε παρέχουν κατά την άποψή μας μια αυτονόητη απάντηση στο ερώτημα laquoΓιατί διδάσκουμε την Ευκλείδεια Γεωμετρίαraquo

Αντιλήψεις και αντιπαραθέσεις για τη διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Οι ένθερμοι υποστηρικτές της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προβάλλουν την παιδαγωγική αξία της λογικής και διάφανης επιχειρηματολογίας των γεωμετρικών αποδείξεων ενώ οι πολέμιοί της επικαλούνται την αναμφισβήτητη δυσκολία των περισσότερων μαθητών να κατανοήσουν τις γεωμετρικές έννοιες και τις πολύ χαμηλές επιδόσεις τους στην αντιμετώπιση σχετικών προβλημάτων Ενδιάμεσα βρίσκονται συνήθως οι σκεπτικιστές οι οποίοι επισημαίνουν τον περιορισμένο επιστημολογικά ρόλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και την ανάγκη να ανανεωθεί η διδασκαλία των Μαθηματικών δίνοντας μεγαλύτερη έμφαση σε πιο σύγχρονους και laquoχρήσιμουςraquo κλάδους (πχ Πιθανότητες και Στατιστική) Από την εποχή που ο Dieudonne κήρυξε τον πόλεμο κατά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας οι αντιλήψεις

29

αυτές έγιναν αντικείμενο επεξεργασίας και αντιπαρατέθηκαν μεταξύ τους από σημαντικούς μαθηματικούς και παιδαγωγούς ενώ οι σχετικές συζητήσεις συνεχίζονται με αμείωτη ένταση μέχρι σήμερα Σε μια ειδική μελέτη της Διεθνούς Επιτροπής για τη Μαθηματική Εκπαίδευση (ICMI) έγινε απόπειρα σύνθεσης των διαφόρων τάσεων και διατυπώθηκαν οι εξής τρεις εναλλακτικές λύσεις για τη διδασκαλία του μαθήματος

1 η λύση

Απορρίπτουμε την ιδέα ότι η Γεωμετρία πρέπει ή μπορεί να χρησιμοποιηθεί στο σχολείο ως ένα σύστημα γνώσεων (παραγωγικά οργανωμένο ή όχι) όπου οι έννοιες και τα γεγονότα πρέπει να γίνουν γνωστά απλά και μόνο επειδή ανήκουν στο σύστημα Αντίθετα η Γεωμετρία και ο χώρος θεωρούνται ως πηγές άντλησης εξαιρετικών θεμάτων για την οργάνωση πολλαπλών δραστηριοτήτων σε διαφορετικά επίπεδα Οι laquoχρησιμοθηρικέςraquo όψεις της Γεωμετρίας θα εξυπηρετηθούν με την παροχή αλγεβρικών μεθόδων

2 η λύση

Εξακολουθούμε να επιχειρούμε τη διδασκαλία ενός αξιωματικού ή ψευδο-αξιωματικού μαθήματος σχολικής Γεωμετρίας το οποίο στηρίζεται είτε σε laquoτροποποίησηraquo των laquoΣτοιχείωνraquo του Ευκλείδη (για παράδειγμα αξιωματική θεμελίωση τύπου Pogorelov) είτε πχ στους γεωμετρικούς σχηματισμούς

3 η λύση

Για ορισμένες ομάδες μαθητών τουλάχιστον παρουσιάζουμε laquoνησίδεςraquo Γεωμετρίας δηλαδή laquoτοπικάraquo παραγωγικά συστήματα μέσα στο πλαίσιο του γενικού αναλυτικού προγράμματος (Έτσι μπορούμε για παράδειγμα να έχουμε ενότητες για τις ιδιότητες των εγγεγραμμένων σε κύκλο γωνιών ή τη στοιχειώδη προβολική Γεωμετρία)

Στην Ελλάδα για προφανείς ιστορικούς και πολιτιστικούς λόγους συνεχίζεται μια παράδοση που προσεγγίζεται εγγύτατα τη δεύτερη από τις προηγούμενες εναλλακτικές λύσεις Ακόμη και την περίοδο της μεταρρύθμισης των laquoΝέων Μαθηματικώνraquo η διεθνής πίεση για εκσυγχρονισμό των σχολικών Μαθηματικών και εγκατάλειψη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αφομοιώθηκε στη χώρα μας μέσα από έναν ιδιότυπο συμβιβασμό από τη μια μεριά διατηρήθηκε όλη η παραδοσιακή σχολική ύλη την οποία σε μεγάλο βαθμό συντηρούσαν οι εισαγωγικές εξετάσεις των ΑΕΙ και από την άλλη δόθηκε υπερβολική έμφαση στην αυστηρή αξιωματική θεμελίωσης της Γεωμετρίας καθώς και με την εισαγωγή νέας ύλης πάνω στους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς Στις αντιφατικές επιλογές εκείνης της περιόδου βρίσκονται κατά την άποψη μας οι ρίζες της μετέπειτα υποβάθμισης και παρακμής του μαθήματος της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

30

Το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στη σύγχρονη Διδακτική των Μαθηματικών τα θεμελιώδη επιστημολογικά χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας όπως είναι η παραγωγική οργάνωση του περιεχομένου η αποδεικτική διαδικασία και η έμφαση στις γεωμετρικές κατασκευές αναφέρονται συνήθως ως laquoανώτερα επίπεδα γεωμετρικής σκέψηςraquo και η μάθηση τους έχει γίνει αντικείμενο συστηματικής μελέτης και έρευνας Ένα βασικό θεωρητικό μοντέλο στο οποίο έχει στηριχθεί η διεξαγωγή μεγάλου αριθμού ερευνών σε διάφορες χώρες αποτελούν τα λεγόμενα laquoεπίπεδα van Hieleraquo Σύμφωνα με αυτό το μοντέλο η μάθηση της Γεωμετρίας εξελίσσεται ιεραρχικά περνώντας από πέντε διαδοχικά επίπεδα

bull 1ο επίπεδο Εποπτικό

bull 2ο επίπεδο ΠεριγραφικόΑναλυτικό

bull 3ο επίπεδο ΑφηρημένοΣχεσιακό

bull 4ο επίπεδο ΤυπικόΠαραγωγικό

bull 5ο επίπεδο Μεταμαθηματικό

Οι μαθητές κατανοούν τη σημασία και τη διαδικασία οικοδόμησης ενός αξιωματικού μαθηματικού συστήματος και τις σχέσεις ανάμεσα σε διαφορετικά συστήματα Για παράδειγμα αναγνωρίζουν ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία δεν είναι παρά ένας από τους πολλούς δυνατούς τρόπους περιγραφής ενός αφηρημένου μαθηματικού σύμπαντος

Είναι φανερό ότι η διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προϋποθέτει τα δύο πρώτα επίπεδα και έχει ως κύριο σκοπό την κατάκτηση των δύο επόμενων επιπέδων (για το 5ο

μάλλον δεν μπορεί να γίνεται λόγος στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση) Σε θεωρητικό επίπεδο τόσο και η θεωρία των van Hiele όσο και η γενικότερη θεωρία των σταδίων μάθησης του Piaget προβλέπουν ότι η κατάκτηση αυτών των επιπέδων είναι μια επίπονη και ιεραρχικά εξελισσόμενη διαδικασία που απαιτεί μακροχρόνια και προσεχτικά σχεδιασμένη διδασκαλία Αυτές οι θεωρητικές προβλέψεις φαίνεται να επιβεβαιώνονται από πολλές εμπειρικές έρευνες που έχουν διεξαχθεί σε διάφορες χώρες και τα αποτελέσματά τους οδηγούν σε ένα βασικό συμπέρασμα laquo η καθιερωμένη παραδοσιακή διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αδυνατεί να οδηγήσει τους μαθητές στην κατάκτηση των ανώτερων επιπέδων γεωμετρικής σκέψης raquo

Από τα αποτελέσματα αυτών των ερευνών αξίζει νrsquo αναφέρουμε εδώ ένα εντυπωσιακό στατιστικό στοιχείο που αποκαλύπτει τις διαστάσεις του προβλήματος σε μια έρευνα που έγινε στις ΗΠΑ μεταξύ 1520 μαθητών που είχαν ολοκληρώσει ένα έτος διδασκαλίας της θεωρητικής Ευκλείδειας Γεωμετρίας διαπιστώθηκε ότι μόνο το 30 είχε φτάσει σε ένα επίπεδο που μπορεί να χαρακτηριστεί από 75 επιτυχία στην απόδειξη απλών γεωμετρικών προτάσεων (πχ ότι οι διαγώνιες ενός ορθογωνίου είναι ίσες) Το ποσοστό των μαθητών που είχαν 100 επιτυχία δεν ξεπέρασε το 3

31

Κοινή πεποίθηση όλων αυτών των ερευνητών είναι ότι για να κατανοηθούν οι παραγωγικές αποδείξεις της Ευκλείδειας Γεωμετρίας απαιτείται μια ισχυρή διαισθητική βάση την οποία οι μαθητές θα αποκτήσουν μέσα από επαγωγικές εμπειρικές ανακαλύψεις τη διαπίστωση και επαλήθευση υποθέσεων τις γεωμετρικές κατασκευές και εφαρμογές Έτσι λοιπόν η διδασκαλία της Γεωμετρίας δεν θα πρέπει να στηρίζεται σrsquo ένα τεχνητό διαχωρισμό ανάμεσα σε laquoΠρακτική Γεωμετρίαraquo σχεδίασης και μετρήσεων και μια laquoΘεωρητική Γεωμετρίαraquo αποδείξεων αλλά να συνδυάζει μια ισορροπημένη ανάπτυξη των δύο αυτών όψεων του μαθήματος σrsquo όλο το φάσμα της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Η επινόηση διδακτικών μέσων και μεθόδων που θα επιτρέψουν την υλοποίηση αυτού του στόχου φαίνεται ότι αποτελεί σήμερα το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ

Η Γεωμετρία του Ευκλείδη απετέλεσε το θεμέλιο για την ανάπτυξη της laquoδυτικήςraquo επιστήμης και τεχνικής και σ αυτή τη Γεωμετρία στηρίζονται οι προϋποθέσεις της κλασικής Φυσικής από την Αναγέννηση και μετά Μόλις το 19ο αιώνα διαπιστώθηκε όμως (Λάμπερτ Γκάους Μπολυάι Λομπατσέβσκι κά) ότι η ευκλείδεια Γεωμετρία στηρίζεται στην απλοϊκή αντίληψη του επίπεδου χώρου ο οποίος είναι μεν χρήσιμος για την περιοχή που αντιλαμβάνεται με τις αισθήσεις του ένας άνθρωπος αλλά όχι για πολύ μεγάλες τιμές των φυσικών μεγεθών (αποστάσεις ταχύτητες μάζες κτλ) Τότε παύει να ισχύει η επίπεδη αντίληψη και μαζί της η Ευκλείδεια Γεωμετρία επειδή στην πραγματικότητα ο χώρος είναι κυρτός Έτσι η Γεωμετρία συμπληρώνεται με βάση αντιλήψεις που στηρίζονται στον υπερβολικό ελλειπτικό κά χώρο

Σήμερα η γεωμετρία του Ευκλείδη διδάσκεται παγκοσμίως και ανελλιπώς επί 23 αιώνες με τον τιμητικό τίτλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Στη σύγχρονη όμως σχολική γεωμετρία περιλαμβάνονται και υπολογισμοί και μετρήσεις οι οποίες από το έργο του Ευκλείδη απουσιάζουν εντελώς

Η συνολική προσφορά του Ευκλείδη στα Μαθηματικά και τις εφαρμοσμένες τέχνες υπήρξε σημαντικότατη και ταυτόχρονα βάση από την οποία εξόρμησαν οι μεταγενέστεροι μαθηματικοί γεωγράφοι και αστρονόμοι για να οδηγηθούν στο τελικό μαθηματικό θαύμα της Ελληνικής Αρχαιότητας

32

33

ΒΙΟΓΡΑΦΙΑ Ο Αρχιμήδης ήταν ένας από τους μεγάλους μαθηματικούς μηχανικούς και φυσικούς του αρχαίου Ελληνικού χώρου και μια από τις μεγαλύτερες μαθηματικές ευφυΐες του κόσμου Γεννήθηκε έζησε και πέθανε στις Συρακούσες την μεγάλη Ελληνική αποικία της Σικελίας

Πατέρας του Αρχιμήδη ήταν ο αστρονόμος Φειδίας που είχε δεσμούς φιλίας με το βασιλικό γένος των Συρακουσών Ο Αρχιμήδης ταξίδεψε στην Αίγυπτο και ήρθε σε επαφή με τους διαδόχους του Ευκλείδη του Ερατοσθένη και το Δισίθεο ενώ ήταν φίλος και συμμαθητής του Κόνωνα του Σάμιου

Υπήρξε λαμπρό παράδειγμα πρωτότυπου ερευνητή ο οποίος δεν ενδιαφέρθηκε να διευκολύνει τους αρχάριους αλλά ασχολήθηκε κυρίως για την αποκάλυψη νέων αληθειών για δική του ικανοποίηση και των ώριμων ήδη διανοούμενων Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο ενώ η κατανόηση του Ευκλείδη δεν απαιτεί εξαιρετική προηγούμενη γνώση και ευφυΐα τα προϊόντα της μαθηματικής σκέψεως τα οποία πρόκειται τώρα να εξετάσουμε είναι προσιτά αποκλειστικώς και μόνο στην ανάγνωση υψηλής πνευματικής στάθμης

Πήγε στην Αίγυπτο ως εκπαιδευτικός και ήρθε σε επαφή όχι βέβαια με τον Ευκλείδη που είχε στο μεταξύ πεθάνει αλλά με τους διαδόχους του και έκανε στενούς δεσμούς με εξαιρετικούς γεωμετρικούς όπως ο Κόνων ο Σάμιος ο Ερατοσθένης ο Κυρηναίος ο Δισίθεος κλπ από τους οποίους κατόπιν όσα έργα συνέταξε μετά την επιστροφή του στην πατρίδα του

34

Το έργο τουΤο έργο του Αρχιμήδη υπήρξε τεράστιο τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά και η ερευνητική ματιά του κάλυψε πολλούς τομείς γεωμετρία οπτική (κατοπτρική) υδραυλική μηχανική αρχιτεκτονική και την πολιορκητική Συνέδεσε το όνομά του με την γένεση της μηχανικής στην αρχαία Ελλάδα και με την λύση περίφημων μαθηματικών προβλημάτων καθώς και με τις αμυντικές εφευρέσεις του που χρησιμοποιήθηκαν όταν οι Ρωμαίοι πολιορκούσαν την πατρίδα του τις Συρακούσες

Σχολιαστής του έργου του Αρχιμήδη υπήρξε ο Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης (6ος αι μΧ) που καταγόταν από την ελληνική πόλη της Συρίας Ασκαλών

Στον χώρο της εφαρμοσμένης μηχανικής ο Αρχιμήδης επινόησε ιδιοφυείς μηχανές κάθε είδους Εφηύρε τον ρωμαϊκό ζυγό (καντάρι) το τρίσπαστο (ανυψωτική τριπλή τροχαλία) και τον ατέρμονα κοχλία έλιξ του Αρχιμήδους μηχανή άντλησης νερού από ποταμούς και φρέατα (η οποία χρησιμοποιείται ακόμα και στις μέρες μας σε περιοχές της βόρειας Αφρικής) Κατασκεύασε ένα υδραυλικό ρολόι το οποίο υπολόγιζε με μεγάλη ακρίβεια τις ώρες (και ειδοποιούσε για την αλλαγή της ώρας)

Μεγάλη φήμη απέκτησαν οι πολεμικές μηχανές του Αρχιμήδη αρχιτρόνιτο (πυροβόλο ατμού) καταπέλτες άρπαγες (μηχανισμός που ανύψωνε και αναποδογύριζε πλοία) και κάτοπτρα για την καύση των Ρωμαϊκών εχθρικών πλοίων (με παραβολικά κάτοπτρα όπως αποδείχτηκε από τα πειράματα του μηχανικού Ι Σακκά ο οποίος το 1973 απόδειξε τον τρόπο με τον οποίο ο Αρχιμήδης έκαψε τον ρωμαϊκό στόλο) Σύμφωνα με την παράδοση όταν η πόλη μετά από τριετή αντίσταση των ελλήνων κατελήφθη με προδοσία ένας ρωμαίος στρατιώτης σκότωσε τον Έλληνα επιστήμονα ενώ αυτός ήταν προσηλωμένος σε κάποιο γεωμετρικό πρόβλημα ΜΗ ΜΟΥ ΤΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥΣ ΤΑΡΑΤΤΕ πρόλαβε να του απαντήσει ο Έλληνας επιστήμονας

Ο Αρχιμήδης επηρέασε σε μεγάλο βαθμό την ευρωπαϊκή επιστημονική σκέψη καθώς και τους Άραβες επιστήμονες οι οποίοι αντέγραψαν όλα τα έργα του στα αραβικά γλώσσα στην οποία διασώθηκαν αρκετά αφού τα πρωτότυπα είχαν χαθεί

35

Διασωθέντα συγγράμματα

bull Περί σφαίρας και κυλίνδρου Βιβλίο α και βbull Κύκλου μέτρησις Σώζονται τρία θεωρήματαbull Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων (32 θεωρήματα 1 πόρισμα)bull Περί ελίκων (28 θεωρήματα 6 πορίσματα)bull Περί επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων ή Μηχανικά Βιβλ α και βbull Περί μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος (=μέθοδος)bull Βιβλίο λημμάτωνbull Πρόβλημα Βοεικόνbull Κατασκευή πλευράς του περιγραφομένου εις κύκλο επταγώνουbull Ωρολόγιον Αρχιμήδους (Σώζεται στα αραβικά)bull Περί κύκλων εφαπτομένων αλλήλωνbull Αρχαί της Γεωμετρίαςbull Ψαμμίτηςbull Τετραγωνισμός παραβολήςbull Οχουμένων (Υδροστατική)bull Στομάχιον (Σώζονται λίγα αποσπάσματα)

Συγγράμματα μη διασωθέντα (ή συγγράμματα μη αποκαλυφθέντα μέχρι σήμερα)

bull Αριθμητικάbull Βαρουλκός Υδροσκοπίαι Πνευματικήbull Επισίδια Βιβλία (Μάλλον περί στατιστικής - Τζέτζης)bull Περί τριγώνωνbull Περί τετραπλεύρουbull Περί ζευγώνbull Περί 13 ημικανονικών πολυέδρωνbull Ισοπεριμετικάbull Ισορροπίαιbull Καύσις δια κατόπτρων (επ΄ αυτού έγινε επιτυχές πείραμα στο ΝΣ)bull Περί Αρχιτεκτονικήςbull Περί βαρύτητος και ελαφρότητος (Πυκνόμετρα - Αραιόμετρα)bull Περί δρομομέτρων (Οδόμετρα πλοίων)bull Περί κέντρου Βάρους ή Κεντροβαρικάbull Κατοπρικάbull Περί παραλλήλων γραμμώνbull Περί κοίλων και παραβολικών κατόπτρωνbull Προοπτικήbull Στοιχεία μηχανικώνbull Πλινθίδες και Κύλινδροιbull Στοιχεία επί των στηρίξεωνbull Σφαιροποιΐα

36

Εφευρέσεις

bull Αραιόμετρο - Πυκνόμετροbull Αστρονομική συσκευήbull Βαρουλκόςbull Γερανοί (Αρπάγες)bull Καταπέλτεςbull Κάτοπτραbull Κοχλίας ή έλιξbull Οδόμετρο (δρομόμετρο)bull Πλανητάριον (σφαίρα)bull Πολύσπαστον (Βαρούλκο) τρίσπαστοbull Σίφωνbull Στομάχιον (επιτραπέζιο παιγνίδι το πρώτο παζλ)bull Τηλεβόλον Αρχιμήδους bull Χαριστίων (μοχλός)bull Ωρολόγιο υδραυλικό

37

Τα συγγράμματα του Αρχιμήδη που σώθηκαν μέχρι σήμερα είναι τα ακόλουθα Περί σφαίρας και κυλίνδρου Κύκλου μέτρησις περί σφαιροειδέων και κωνοειδέων Περί λίκων Επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων Ψαμμίτης Τετραγωνισμός παραβολής Οχούμενων Στομάχιον Προς Ερατοσθένην Έφοδος Βιβλίον περί λημμάτων Πρόβλημα βοεικόν Αποσπάσματα Μερικά από αυτά διασώθηκαν Πολλά επίσης είναι τα συγγράμματα του που χάθηκαν

Έκανε τα πρώτα βήματα για το μαθηματικό υπολογισμό επιφανειών με ακανόνιστο περίγραμμα και συμμετρικών εκ περιστροφής σωμάτων μέθοδος που εξελίχθηκε τεκμηριώθηκε και ονομάστηκε στην σύγχρονη εποχή laquoΟλοκληρωτικός Λογισμόςraquo υπολόγισε μία προσεγγιστική τιμή για τον άρρητο αριθμό π διατύπωσε το νόμο προεκτάσεις του γενίκευσε την εφαρμογή λέγοντας laquoΔώστε μου σημείο να στηριχθώ και θα κινήσω την γηraquo διατύπωσε την ομώνυμη αρχή για την άνωση του νερού κατασκεύασε διάφορες μηχανές ένα τύπο πολύσπαστου τον κοχλία μία αντλητική μηχανή με την laquoαρχιμήδειον έλικαraquo κά

Η συμβολή του ΑρχιμήδηΗ συμβολή του Αρχιμήδη στην ανάπτυξη της Μηχανικής συνιστάται πέρα από την επινόηση των τροχαλιών του πολύσπαστου και των οδοντωτών τροχών και ενός ιδιόμορφου αντλητικού συγκροτήματος στην έλικα που φέρει το όνομα του Ακόμα στην επακριβή διατύπωση των νόμων των μοχλών και των ισορροπιών ή κέντρα βαρών Εδώ υπάρχει και η περίφημη πρόταση laquo σύμμετρα μεγέθη ισορροπούν σε αποστάσεις αντιστρόφως ανάλογες προς το βάρος τους raquo

Σε σχέση με τους μοχλούς και τις δυνατότητες τους μας αναφέρει τη φράση laquo δος μοι πα στω και ταν γαν κινάσω raquo Απέδειξε στον Ιέρωνα ότι με ένα σύστημα τροχαλιών ndash οδοντωτών τροχών και μοχλών μπορεί να μετακινήσει ένα τεράστιο πλοίο με όλο το πλήρωμα μέσα μόνος του Ήταν ακόμα ο ίδιος που σχεδίασε και επιμελήθηκε τη ναυπήγηση του πλοίου

Ανέλαβε μετά από εντολή του Ιέρωνα την οχύρωση της πόλης και διηύθυνε ο ίδιος την άμυνα της εναντίον των Ρωμαίων

Στην αστρονομία ο Λίβιος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης είναι laquoμοναδικός παρατηρητής του ουρανού και των αστέρων raquo Ο Ίππαρχος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης ασχολήθηκε με τη μελέτη των ηλιοστασίων καθώς και με τον υπολογισμό της διάρκειας του έτους

Ο Μακρόβιος αναφέρει ότι ο Αρχιμήδης ανακάλυψε τις αποστάσεις των πλανητών ενώ στο έργο laquoΨαμμίτηςraquo περιγράφει τη συσκευή μέσω της οποίας μέτρησε τη φαινομενική γωνιακή διάμετρο του ήλιου

38

Ο Κικέρων αναφέρεται με θαυμασμό για τον Αρχιμήδη στα laquoΚατοπτρικάraquo Στα Μαθηματικά που ο ίδιος θεωρούσε ως τα πιο σημαντικά παρουσίασε την μέθοδο του προσδιορισμού του αριθμού π Τελειοποίησε το ελληνικό σύστημα αρίθμησης και παρουσίασε μια μέθοδο παράστασης των πολύ μεγάλων αριθμών Ασχολήθηκε με τη διαφορική Γεωμετρία βρήκε τους τύπους πρόσθεσης και αφαίρεσης τόξων Υπολόγισε το εμβαδόν της σφαίρας και του κυλίνδρου Μελέτησε διάφορα στερεά εκ περιστροφής όπως τα στερεά που παράγονται από περιστροφή έλλειψης υπερβολής και παραβολής γύρω από έναν άξονα

Στη Γεωμετρία το έργο του Αρχιμήδη αποτελείται κατά κύριο λόγο από πρωτότυπες μελέτες σχετικά με τον τετραγωνισμό των καμπυλόγραμμων επίπεδων σχημάτων καθώς και με τον τετραγωνισμό και τον κυβισμό καμπύλων επιφανειών

Τέλος επινόησε στο σύνολό της την Υδροστατική Επιστήμη την οποία ανέπτυξε πλήρως Οι μελέτες του αναπαριστούν ένα σύνολο μαθηματικών και γεωμετρικών επιτευγμάτων το οποίο δεν ξεπέρασε κανείς στην ανθρώπινη ιστορία

Όπως αναφέρει ο Wallis laquo ο Αρχιμήδης αφήνει ένα συγκεκριμένο μυστήριο να καλύπτει τον τρόπο με τον οποίο κατέληγε στα αποτελέσματά του Είναι σαν να είχε καλύψει σκοπίμως τα ίχνη του τα ίχνη των ερευνών του σα να ήταν απρόθυμος να αποκαλύψει το μυστικό της μεθόδου έρευνάς του στους μεταγενέστερους ενώ επιθυμούσε να αποσπάσει τη συναίνεσή τους για τα αποτελέσματά του raquo

Ο ίδιος ο Αρχιμήδης ως φορέας ενός ανώτερου φιλοσοφικού πνεύματος θεωρούσε ταπεινή και ανάξια κάθε τέχνη που εξυπηρετούσε πρακτικές ανάγκες ή αποσκοπούσε στο οικονομικό κέρδος Γι` αυτό και έστρεψε όλη του την προσοχή και τις επιδιώξεις στους καθαρούς στοχασμούς χωρίς να καταδεχτεί να αφήσει κάποιο γραπτό στοιχείο για τις τεχνολογικές του ανακαλύψεις με μοναδική εξαίρεση όσες αναφέρονται στο έργο του laquoπερί σφαιροποιίαςraquo Δεν είναι καθόλου τυχαίο λοιπόν το ότι ο Κικέρων αργότερα βρήκε τον τάφο του και πάνω μία αναπαράσταση ενός κυλίνδρου περιγεγραμμένου σε σφαίρα με μία περιγραφή που έδινε το λόγο του κυλίνδρου προς τη σφαίρα

Σε ποιους τομείς εφαρμόστηκαν οι θεωρίες του Εξαιρετικές του μελέτες και για τη μέθοδο και για το αποτέλεσμα είναι εκείνες που έδωσαν τα εμβαδά Κύκλου Έλλειψης Παραβολής και Έλικας καθώς και τα εμβαδά και τους όγκους των Κυλίνδρων των Κώνων και κυρίως των Σφαιρών

Σημαντικότατη θεωρείται και η ανακάλυψη από τον ίδιο τύπου που δίνει το εμβαδόν τριγώνου από τις πλευρές του και ακόμα η επέκτασή του στα εγγεγραμμένα τετράπλευρα Ο Αρχιμήδης επίσης γνώριζε να κατασκευάζει τη λύση ειδικών τριτοβάθμιων προβλημάτων και μεταξύ αυτών και του Δηλίου Προβλήματος Τις λύσεις αυτές τις έδινε με την τομή δύο κωνικών (Ευτόκιος) Μοναδική είναι η προσφορά του στην ανώτερη μετρική Γεωμετρία Συγκεκριμένα εξέφρασε τους όγκους στερεών εκ περιστροφής κωνικών τομών εφαρμόζοντας απειροστικές μεθόδους ανάλυσης των στερεών αυτών

39

Στη σύγχρονη κλασική γεωμετρία όλο σχεδόν το μετρικό της μέρος οφείλεται στον Αρχιμήδη με αποτέλεσμα αυτή ουσιαστικά να είναι ισορροπημένη μείξη της Ευκλείδειας και της Αρχιμήδειας αρχαίας γεωμετρίας

Έτσι ο σοφός μας αποτελεί ουσιαστικά τον πατέρα της ανώτερης μετρικής γεωμετρίας της αρχαιότητας και ταυτόχρονα την πηγή έμπνευσης των νεώτερων μελετών του διαφορικού και απειροστικού λογισμού

Η πρωτοτυπία και η αποτελεσματικότητα των μελετών του έγιναν αιτία να χαρακτηριστεί από τους ιστορικούς των μαθηματικών ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών και όλων των εθνών

Ρεύμα στα ανάκτορα της Βρετανίας μέσω εφεύρεσης του Αρχιμήδη ( httpkatestimenoblogspotcom201109blog-post_1015html )

laquoΗ Βασίλισσα Ελισάβετ πρόκειται να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση ενός αρχαίου Έλληνα για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Και όταν λέμε αρχαίο Έλληνα εννοούμε τον Αρχιμήδη και όχι τον 90χρονο σύζυγό της Φίλιππο της Ελλάδαςraquo

Με αυτόν τον τίτλο πληροφορεί το βρετανικό κοινό η εφημερίδα ldquoDaily Mailrdquo για την απόφαση της Αυτής Μεγαλειότητας να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση του αρχαίου Έλληνα εφευρέτη Αρχιμήδη από τις Συρακούσες για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Πρόκειται για τη σύγχρονη εκδοχή του ατέρμονα κοχλία της έλικος του Αρχιμήδους όπως έμεινε γνωστή η εφεύρεση και είναι ένας σωληνοειδής κοχλίας που χρησίμευε για την άντληση νερού και την άρδευση καλλιεργημένων εκτάσεων

Η σύγχρονη εκδοχή της εφεύρεσης θα χρησιμοποιεί το νερό που μεταφέρεται από ένα τεχνητό φράγμα για να παράγει υδροηλεκτρική ενέργεια Ο μηχανισμός έχει ήδη μεταφερθεί μέσω του Τάμεση στο Romney Weir στα ανάκτορα του Γουίντσορ Σύμφωνα με το δημοσίευμα της εφημερίδας οι έλικες θα είναι έτοιμες για την παραγωγή ενέργειας τον προσεχή Νοέμβριο ενώ θα μπορούν να καλύψουν πλήρως τις ανάγκες του κάστρου σε ενέργεια μέσα στον επόμενο χρόνο

Εκτός αυτού οι τουρμπίνες είναι σχεδιασμένες ώστε να μην εμποδίζουν την ασφαλή διέλευση σολομού και χελιού μέσα στον ποταμό Τάμεση

Οι laquoέλικες του Αρχιμήδηraquo βάρους 40 τόνων κατασκευάστηκαν από ένα εργοστάσιο στην Ολλανδία και στοίχησαν 700000 λίρες Αγγλίας ενώ το κόστος εγκατάστασής τους θα ξεπεράσει το ένα εκατομμύριο λίρες

40

Πλάτων ο ΑθηναίοςΒιογραφικά στοιχεία

Έζησε στο διάστημα (427-347πΧ) Ήταν Aθηναίος φιλόσοφος αριστοκρατικής καταγωγής όπου ίδρυσε και διεύθυνε το διασημότερο πανεπιστήμιο στην αρχαία Ελλάδα την Ακαδημία για 40 περίπου χρόνια μέχρι το θάνατό του Πατέρας του ήταν ο Αρίστωνας ο οποίος καταγόταν από το γένος του βασιλιά Κόδρου και μητέρα του ήταν η Περικτιόνη η οποία ήταν αδερφή του Χαρμίδη ενός από τους Τριάκοντα τύραννους και ανιψιά του Κριτία επίσης μέλος των Τριάκοντα με καταγωγή από το γένος του νομοθέτη Σόλωνος Αδέρφια του ήταν οι Αδείμαντος και Γλαύκων Το πρώτο του όνομα ήταν Αριστοκλής αλλά αργότερα ονομάστηκε Πλάτωνας γιατί είχε ευρύ στέρνο και πλατύ μέτωπο

Σε ηλικία 18 ετών γνώρισε τον Σωκράτη και γοητεύτηκε από την προσωπικότητα και από την διδασκαλία του Από το συνολικό έργο του διασώζονται 36 έργα τα οποία εκτός από την Απολογία του Σωκράτη έχουν την μορφή διαλόγου σε όλα εκτός των Νόμων Την συζήτηση διεύθυνε ο Σωκράτης ενώ ο τίτλος του καθενός είναι το όνομα του σπουδαιότερου συνομιλητή ή αφηγητή Στα έργα αυτά γίνεται φανερή η τοποθέτηση του και ο άκρατος

θαυμασμός του προς τα μαθηματικά και ιδιαίτερα προς την γεωμετρία

Λίγες πληροφορίες για την Ακαδημία

Η Ακαδημία ήταν ένα προάστιο των Αθηνών Πήρε το όνομά της από τον ήρωα Ακάδημο Αναφορικά ο Ιππίας γιος του Πεισίστρατου έκτισε ένα κυκλικό τοίχο και ο Κίμωνας φύτεψε τη περιοχή με τα δέντρα η οποία καταστράφηκε από τον Σίλα το 86 πΧ Το 387

16

πΧ O Πλάτωνας ίδρυσε τη φιλοσοφική του σχολή η οποία έγινε πολύ διάσημη χάρη στους νεοπλατωνιστές και χρησιμοποιείτο έως το 526 μΧ οπότε και έκλεισε από τον αυτοκράτορα Ιουστινιανό Η Ακαδημία ήταν σχολή ανωτέρων μελετών και ταυτόχρονα και εκπαιδευτικό ίδρυμα Είχε ισχυρή καταστατική συγκρότηση και παρουσιάζεται περισσότερο υπό τη μορφή μιας αδελφότητας μιας φιλοσοφικής αίρεσης τα μέλη της οποίας αισθάνονται στενά συνδεδεμένα μεταξύ τους και διακρίνεται και από μια οικειότητα στις σχέσεις μεταξύ των μαθητών και των δασκάλων την οποία θα χαρακτηρίζαμε στοργική και φιλική συνάμα Υπάρχει μια διαφωνία σχετικά με το αν η Ακαδημία ήταν ένωση για τη πρόοδο των επιστημών ή ίδρυμα ανώτατης μόρφωσης Η διαφωνία αυτή είναι κάπως άσκοπη δεδομένου το ότι ο άκρατος ρεαλισμός της σχολής αλλά και ο απλός χαρακτήρας της αρχαϊκής εκείνης εποχής δεν επιτρέπουν στο να μεταθέσουμε σε εκείνο το περιβάλλον τη σύγχρονη αντίληψη που έχουμε για την επιστήμη Η Ακαδημία άλλωστε ήταν σχολή ανώτερων μελετών αλλά και εκπαιδευτικό ίδρυμα ταυτόχρονα Τέλος ο Πλάτωνας δεν ονειρεύτηκε μόνο τη ldquoμετά επιστήμηςrdquo παιδεία αλλά και τη μετέδωσε για σαράντα χρόνια στους μαθητές του στην Ακαδημία

Η Ακαδημία ήταν ο τόπος στον οποίο ο Πλάτωνας προσπαθούσε να δείξει τον δρόμο σε προικισμένους μαθητές ώσπου να αναπηδήσει ο σπινθήρας και να αποκαλυφθεί η έσχατη γνώση Ξέρουμε τόσα λίγα για την καθημερινή διδασκαλία στην ακαδημία την εποχή του Πλάτωνα ώστε πότε-πότε θέλησαν να αρνηθούν τον επιστημονικό χαρακτήρα της Τέτοιοι σκεπτικισμοί δεν στηρίζονται πουθενά Την μεγάλη σημασία των μαθηματικών σαν προπαίδεια για την διαλεκτική η οποία στηριζόταν σε αυτά την δείχνουν μερικές προσωπικότητες του Πλατωνικού κύκλου και χωρίς αμφιβολία υπάρχει ουσιαστική αλήθεια στο ανέκδοτο που λένε ότι βρισκόταν πάνω από την είσοδο της Ακαδημίας laquoἁγεωμέτρητος μηδείς εἰσίτωraquo Ξέρουμε ακόμα ότι η διαιρετική μέθοδος για την οποία μιλήσαμε στους οψιμότερους διαλόγους έπαιξε σημαντικό ρόλο στον αγώνα για ένα λογικά ταχτοποιημένο κοσμοείδωλο και στην απόκτηση ορισμών με την διαίρεση των γενικότερων εννοιών

Η συμβολή του Πλάτωνα και της Ακαδημίας στα μαθηματικά

Η συμβολή της Ακαδημίας στα μαθηματικά του 4ου αιώνα πΧ είναι σημαντικότατη ιδιαίτερα με τα έργα των καθηγητών της Θεαίτητου Μεναίχμου και Ενδόξου Η συμβολή όμως του Πλάτωνα είναι αμφιλεγόμενη αν και πιστεύεται ότι

-Έλυσε το Δήλιο πρόβλημα (διπλασιασμό του κύβου) με κινητική γεωμετρία και κάποιο όργανο με την βοήθεια του οποίου προέκυπτε η λύση

-Έδωσε γενική μορφή στην αναλυτική μέθοδο και συνέβαλε στην έρευνα των γεωμετρικών τύπων

-Προσδιόρισε ένα πλήθος των πυθαγορείων τριάδων δηλαδή των τριαδικών ακέραιων αριθμών που επαληθεύουν την ισότητα x2+y2=ω2 του Πυθαγορείου θεωρήματος

Για τα πολυσυζητημένα αστρονομικά ζητήματα της εποχής του (κίνηση του ουρανού θέση σχήμα και κίνηση της Γης) παρουσιάζει ξένες και θολά διατυπωμένες απόψεις γεγονός που

17

φανερώνει ότι δεν διέθετε προσωπική άποψη για το θέμα και γενικά ότι δεν ήταν μαθηματικός

Έγραψε μεταξύ άλλων την απολογία του Σωκράτη η οποία θεωρείται ως μια σχετικά ακριβής καταγραφή της απολογίας του Σωκράτη στην δίκη που τον καταδίκασε σε θάνατο Μετά τη θανάτωση του Σωκράτη για λίγο καιρό κατέφυγε στα Μέγαρα κοντά στον συμμαθητή του Ευκλείδη Ύστερα γύρισε στην Αθήνα όπου για 10 χρόνια ασχολήθηκε με τη συγγραφή φιλοσοφικών έργων τα οποία φέρουν τη σφραγίδα της σωκρατικής φιλοσοφίας Στη συνέχεια ταξίδεψε στην Αίγυπτο και στην Κυρήνη όπου σχετίστηκε με τον μαθηματικό Θεόδωρο και τέλος στον Τάραντα της Ιταλίας όπου γνώρισε τους πυθαγόρειους από τη φιλοσοφική σκέψη των οποίων επηρεάστηκε αποφασιστικά Μετά πέρασε στη Σικελία Στην αυλή του βασιλιά των Συρακουσών Διονυσίου Α΄ γνώρισε τον βασιλικό γυναικάδελφο Δίωνα με τον οποίον συνδέθηκε φιλικά Η φιλία όμως αυτή προκάλεσε τις υποψίες του Διονυσίου για συνωμοσία γι αυτό έδιωξε τον Πλάτωνα από τη Σικελία Στην Αίγινα κινδύνεψε να πουληθεί ως δούλος αλλά τον εξαγόρασε ο Κυρηναίος φίλος του Αννίκερης Επιστρέφοντας στην Αθήνα άνοιξε τη φιλοσοφική σχολή του την Ακαδημία (387 πΧ) Η προσπάθεια όμως των δύο φίλων να προσηλυτίσουν στις ιδέες τους τον νέο ηγεμόνα Διονύσιο τον Πρεσβύτερο απέτυχαν Για τρίτη φορά ήρθε στην αυλή των Συρακουσών το 361 πΧ με σκοπό να συμφιλιώσει τον Δίωνα με τον Διονύσιο Αυτή τη φορά κινδύνεψε και η ζωή του Τον έσωσε η επέμβαση του πυθαγόρειου Αρχύτα Αλλά ο Δίωνας δεν γλίτωσε Δολοφονήθηκε το 353 πΧ Έτσι ο Πλάτωνας έχασε τον άνθρωπο στον οποίο στήριξε τις ελπίδες του για την επιβολή των πολιτικών του ιδεών Από τότε και μέχρι τον θάνατό του ασχολήθηκε με τη διδασκαλία και με τη συγγραφή φιλοσοφικών έργων Επίσης έγραψε το συμπόσιο που μιλάει για την φύση του έρωτα στον Πρωταγόρα Μεταξύ άλλων θεμελιώνεται θεωρητικά η αρχή της πρόληψης που δεν λαμβάνει την τιμή ως απολύτως ανταποδοτική στον Παρμενίδη και Θεαίτητο θεμελιώνει την αντικειμενικότητα του λόγου και της ιδέας ενώ σε 2 μακρούς διαλόγους την Πολιτεία και τους Νόμους περιέγραψε την ιδανική πολιτεία

Η κύρια συμβολή του στα μαθηματικά βρίσκεται κυρίως στο ότι προέτρεπεe τους μαθηματικούς να ερευνούν καθολικές μαθηματικές αλήθειες και γενικά να καλλιεργούν τα μαθηματικά τα οποία θεωρούσε ότι διαθέτουν τεράστια εκπαιδευτική αξία Η προτροπή αυτή φαίνεται εκτός των άλλων και στις απόψεις του ότι τα μαθηματικά είναι lsquorsquoδόσις θεῶν εἰς ἀνθρώπουςrsquorsquo και ότι οδηγούν έντονα την ψυχή προς το θείο

Οι επιδράσεις του Πλάτωνος στους έπειτα αιώνες

Ο Γάλλος ιστορικός της φιλοσοφίας Ζακ Σεβαλιέ τονίζει στο έργο του laquoΙστορία της σκέψηςraquo (1955) την κυρίαρχη παρουσία ή έστω ανταύγεια της πλατωνικής φιλοσοφίας σε ολόκληρο το Μεσαίωνα και στην Αναγέννηση και στους Νεότερους χρόνους ενώ ο Γερμανός φιλόσοφος Καρλ Γιάσπερς προβάλλει τον Πλάτωνα ως το τον πρώτο από τους τρεις θεμελιωτές του φιλοσοφείν Η ιστορία της φιλοσοφίας μέχρι τον Κικέρωνα είναι σαφώς επηρεασμένη από αυτόν και είτε αμφισβητεί είτε ακολουθεί τη διδασκαλία του Ο μαθητής του Αριστοτέλης εξ ίσου επιδραστικός με τον ίδιο οδηγήθηκε στην ανάπτυξη τμήματος του έργου του ως απάντηση στον πλατωνισμό Η σχολή την οποία ο Πλάτωνας

18

ίδρυσε το 387 πΧ η Ακαδημία συνέχισε να ακμάζει ως τις αρχές του πρώτου αιώνα π Χ έχοντας όμως μετατραπεί σε σκεπτική σχολή μετά τις αρχές της ελληνιστικής περιόδου

Κατά την εποχή του Αυγούστου υπήρξε αναβίωση της πλατωνικής φιλοσοφίας ο μεσοπλατωνισμός με εκπροσώπους όπως ο Φίλων ο Αλεξανδρεύς ενώ κατά τα τέλη του δεύτερου αιώνα ο μεσοπλατωνισμός άρχεσαι να μετατρέπεται σταδιακά υπό την επίδραση του νεοπυθαγορισμού και του ερμητισμού στην κατεχόμενη από τους Ρωμαίους Αίγυπτο στο κίνημα του νεοπλατωνισμού με αρχικούς εκπροσώπους όπως ο Πλωτίνος το οποίο είχε ιδεαλιστικό μυστικιστικό και σωτηριολογικό χαρακτήρα Η Ακαδημία στην Αθήνα επανιδρύθηκε ως κέντρο νεοπλατωνικών μελετών κατά τον τέταρτο αιώνα

Την ίδια εποχή περίοδο έντονων θρησκευτικών ζυμώσεων στη Ρωμαϊκή Αυτοκρατορία και σταδιακής επικράτησης του χριστιανισμού στη Μεσόγειο οι ακόλουθοι της αστικής ελληνορωμαϊκής θρησκείας αλλά και των ελληνικών μυστηριακών λατρειών συσπειρώθηκαν γύρω από τον νεοπλατωνισμό ως υπερασπιστή του μέχρι πρότινος επικρατούντος παγανισμού Μεμονωμένοι νεοπλατωνικοί και παγανιστικοί πυρήνες επέζησαν ως τον έκτο αιώνα οπότε και ο Αυτοκράτορας Ιουστινιανός έκλεισε με διάταγμα την Ακαδημία της Αθήνας Μετά περίπου εννέα αιώνες το έτος 1439 ο Γεώργιος Γεμιστός Πλήθων γράφει στη Φλωρεντία το πολύκροτο έργο του Περί ὧν Αριστοτέλης προς Πλάτωνα που αποτέλεσε το έναυσμα της διαμάχης πλατωνικών και αριστοτελικών στο Βυζάντιο και στην Ιταλία Ο πλατωνισμός επιβίωσε υπογείως καθ όλον τον Μεσαίωνα κρυμμένος σε μυστηριακά ρεύματα έως ότου οι πρωτότυπες ιδέες του ανακαλύφθηκαν ξανά και σχολιάστηκαν κατά την Αναγέννηση Έτσι ούτε η νεότερη φιλοσοφική σκέψη έμεινε ανεπηρέαστη από αυτόν Τα διάφορα φιλοσοφικά συστήματα ή προσπαθούν να ανατρέψουν τις ιδέες του ή οικοδομούνται πάνω σ αυτές εκσυγχρονίζοντάς τες

Τα έργα του είναι

Αλκιβιάδης Α η Περί Ανθρώπου Φύσεως μαιευτικός

Αλκιβιάδης Β ή Περί Προσευχής μαιευτικός

Απολογία Σωκράτους ηθικός

Γοργίας ή Περί Ρητορικής ανατρεπτικός

Επινομίς ή Νυκτερινος Σύλλογος πολιτικός

Επιστολαί ηθικαί

Ερασταί ή Περί Φιλοσοφίας ηθικός

Ευθύδημος ή Εριστικός ανατρεπτικός

Ευθύφρων ή Περί του Οσίου

Θεάγης ή Περί Φιλοσοφίας μαιευτικός

Θεαίτητος ή Περί Επιστήμης πειραστικός

19

Ιππαρχος ή Φιλοκερδής ηθικός

Ιππίας ελάσσων ή Περί του Ψεύδους ανατρεπτικός

Ιππίας μείζων ή Περί του Καλού ανατρεπτικός

Ίων ή Περί Ιλιάδος πειραστικός

Κλειτοφών ή Προτρεπτικός ηθικός

Κρατύλος ή Περί Ονομάτων Ορθότητος λογικός

Κριτίας ή Ατλαντικός ηθικός

Κρίτων ή Περί του Πρακτέου ηθικός

Λάχης ή Περί Ανδρείας ηθικός

Λύσις ή Περί Φιλίας μαιευτικός

Μενέξενος ή Επιτάφιος ηθικός

Μένων ή Περί Αρετής πειραστικός

Μίνως ή Περί Νόμου πολιτικός

Νόμοι ή Περί Νομοθεσίας πολιτικός

Παρμενίδης ή Περί Ιδεών λογικός

Πολιτεία ή Περί Δικαίου πολιτικός

Πολιτικός ή Περί της Βασιλείας λογικός

Πρωταγόρας ή Σοφισταί επιδεικτικός

Σοφιστής ή Περί του Όντος λογικός

Συμπόσιον ή Περί Αγαθού ηθικός

Τίμαιος ή Περί Φύσεως φυσικός

Φαίδρος ή Περί Έρωτος ηθικός

Φαίδων ή Περί Ψυχής ηθικός

Φίληβος ή Περί Ηδονής ηθικός

Χαρμίδης ή Περί Σωφροσύνης πειραστικός

20

21

ΕυκλείδηςΒΙΟΓΡΑΦΙΑ

Υπολογίζεται ότι έζησε το βrsquo μισό του 4ου έως τις αρχές του 3ου πΧ αιώνα πιο συγκεκριμένα περίπου το 325 πΧ έως το 265 πΧ Κορυφαίος μαθηματικός της αρχαιότητας που επηρέασε με το έργο του σε ανυπέρβλητο βαθμό τον επιστημονικό τρόπο σκέψης σε όλο τον κόσμο Για τη ζωή του δεν υπάρχουν επιβεβαιωμένες πληροφορίες Πιθανώς εκπαιδεύτηκε στην Αθήνα στην Ακαδημία του Πλάτωνα και δίδαξε στην Αλεξάνδρεια Ξέρουμε ότι ήταν μεγαλύτερος στην ηλικία από τον Αρχιμήδη πράγμα που σημαίνει ότι η χρονολόγηση της ακμής του laquoγύρω στο 300 πΧraquo δεν πρέπει να απέχει πολύ από την αλήθεια Ο Πρόκλος επίσης τον χαρακτηρίζει σύγχρονο του βασιλιά Πτολεμαίου Αrsquo στον

οποίο είχε το θάρρος να του πει κατά πρόσωπο πως δεν υπάρχει βασιλική οδός προς τη γεωμετρία Ο Πάππος τον επαινεί για την ηθική του ακεραιότητα τη μετριοφροσύνη και την ευμενή στάση του προς όσους είναι ικανοί να προαγάγουν τη μαθηματική γνώση Ο Στοβαίος διηγείται το ακόλουθο ενδιαφέρον περιστατικό Ένας νέος επισκέφθηκε κάποτε τον Ευκλείδη και τον παρακάλεσε να τον διδάξει γεωμετρία Μόλις έμαθε το πρώτο θεώρημα ρώτησε τον Ευκλείδη laquoΚαι τώρα τι θα κερδίσω με το θεώρημα αυτόraquo Ο Ευκλείδης τότε γύρισε προς τον υπηρέτη του και του είπε laquoΔώσrsquo του τρεις δεκάρες ώστε να κερδίσει κάτι από το θεώρημα το οποίο έμαθεraquo Αυτά είναι όλα όσα γνωρίζουμε για τον Ευκλείδη ως άνθρωπο Πολύ μεγαλύτερη σημασία όμως έχει το έργο του το οποίο ακόμα και σήμερα μαρτυρεί τα απαράμιλλα χαρίσματά του ως δασκάλου

ΕΡΓΟ

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη

Μετά το θάνατο του Μεγάλου Αλεξάνδρου στα 323 πΧ η αχανής μακεδονική αυτοκρατορία διαιρέθηκε σε τρεις περιοχές Η περιοχή πού περιλάμβανε την Αίγυπτο περιήλθε κάτω από την άξια ηγεμονία του ικανού στρατηγού του Αλεξάνδρου Πτολεμαίου του Σωτήρος ο οποίος σύντομα κέρδισε τη βασιλεία της περιοχής Ο Πτολεμαίος επέλεξε για πρωτεύουσα της περιοχής του την Αλεξάνδρεια λίγα μόνο μίλια από τις εκβολές του ποταμού Νείλου και γύρω στα 300 πΧ άνοιξε τις πόρτες του περίφημου πανεπιστημίου της Αλεξάνδρειας Ανάμεσα στους μελετητές που κλήθηκαν να επανδρώσουν το νέο ίδρυμα ήταν και ο μαθηματικός Ευκλείδης που πιθανότατα υπήρξε μαθητής της Ακαδημίας του Πλάτωνα στην Αθήνα

22

Ο Ευκλείδης από τη στιγμή που ανέλαβε τα καθήκοντά του στην Αλεξάνδρεια όρισε ανάμεσα στους στόχους του τη συγκρότηση του μνημειώδους και ιστορικά σημαντικού έργου του των Στοιχείων Αυτή η αξιόλογη και εκτεταμένη εργασία γραμμένη σε δεκατρία βιβλία ή μέρη αποτελεί την αρχαιότερη εφαρμογή της αξιωματικής μεθόδου που έχει φτάσει στα χέρια μας Θεωρείται ο πρώτος μεγάλος σταθμός στην ιστορία της οργάνωσης των μαθηματικών και η μετέπειτα επίδραση της στον επιστημονικό τρόπο γραφής πολύ δύσκολα μπορεί να περιγραφεί

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη διεκδικούν αναμφισβήτητα μια θέση ανάμεσα στις μεγάλες στιγμές των μαθηματικών Η εργασία αυτή εκτόπισε τόσο γρήγορα και ολοκληρωτικά όλες τις προηγούμενες εργασίες ανάλογου περιεχομένου που σήμερα δεν υπάρχουν αντίγραφα προηγουμένων προσπαθειών και απλά γνωρίζουμε την ύπαρξη τους από σχόλια μεταγενέστερων συγγραφέων Τα Στοιχεία του Ευκλείδη από την πρώτη εμφάνιση τους κέρδισαν τεράστια εκτίμηση Με μοναδική εξαίρεση τη Βίβλο καμιά άλλη εργασία δεν χρησιμοποιήθηκε μελετήθηκε ή εκδόθηκε τόσο πολύ Για πάνω από δύο χιλιετίες κυριάρχησε στο χώρο διδασκαλίας της γεωμετρίας Από την πρώτη έκδοση της στα 1472 έχει γνωρίσει πάνω από χίλιες εκδόσεις Το περιεχόμενο και η μορφή της επέδρασαν εντυπωσιακά στην ανάπτυξη του αντικειμένου της και της λογικής θεμελίωσης των μαθηματικών

Ο Πρόκλος ένας κατοπινός σχολιαστής των μαθηματικών που έζησε στον 5ο αιώνα έχει δώσει μια εξήγηση της έννοιας του όρου laquoστοιχείαraquo Τα στοιχεία μιας αποδεικτικής μελέτης είναι τα πιο σημαντικά θεωρήματα ή τα θεωρήματα κλειδιά που χρησιμοποιούνται συχνά και πλατιά στο αντικείμενο της μελέτης Είναι τα θεωρήματα που χρειάζονται για την απόδειξη όλων ή των περισσότερων από τα άλλα θεωρήματα Η λειτουργία τους συγκρίνεται με αυτή των γραμμάτων του αλφαβήτου σε σχέση με τη γλώσσα Τα γράμματα στα ελληνικά ονομάζονται και στοιχεία Η επιλογή των προτάσεων που θα λειτουργήσουν ως στοιχεία κάποιου θέματος μελέτης απαιτεί μεγάλη ικανότητα και κρίση από το συγγραφέα

Δεν υποτιμά καθόλου την αίγλη του έργου του Ευκλείδη το γεγονός ότι είχαν προηγηθεί ανάλογες προσπάθειες Σύμφωνα με τον Πρόκλο η πρώτη προσπάθεια να γραφτούν Στοιχεία έγινε από τον Ιπποκράτη το Χίο στα μέσα του πέμπτου πΧ αιώνα Η επόμενη προσπάθεια ήταν του Λέοντα που χρονολογικά τοποθετείται κάπου ανάμεσα στον Πλάτωνα και τον Εύδοξο Όπως μαθαίνουμε η εργασία του Λέοντα περιείχε μια μεγαλύτερη και πιο χρήσιμη επιλογή προτάσεων από τον Ιπποκράτη Το βιβλίο που χρησιμοποιούνταν στην Ακαδημία του Πλάτωνα είχε επιμεληθεί ο Θεύδιος από τη Μαγνησία και θεωρούνταν μια θαυμάσια συλλογή στοιχείων Η εργασία του Θεύδιου ήταν ασφαλώς ο άμεσος πρόδρομος της εργασίας του Ευκλείδη ο οποίος την είχε χωρίς αμφιβολία στη διάθεση του ειδικά αν όπως πιστεύουν σπούδασε στην Ακαδημία του Πλάτωνα

Ο Ευκλείδης γνώριζε επίσης την εργασία του Θεαίτητου και του Εύδοξου Δεν είναι καθόλου υποτιμητικό ότι η εργασία του Ευκλείδη αποτελεί σε μεγάλο βαθμό συγκέντρωση και επιμέλεια των εργασιών των προγενεστέρων του αφού η ουσιαστική αξία των Στοιχείων βρίσκεται ακριβώς στην τέλεια επιδεξιότητα με την οποία επιλέχτηκαν και τοποθετήθηκαν

23

σε λογική σειρά οι προτάσεις ξεκινώντας από μια μικρή ομάδα αρχικών υποθέσεων Ούτε είναι υποτιμητικό το γεγονός ότι η εξονυχιστική μελέτη των σύγχρονων κριτικών έχουν αποκαλύψει ορισμένα μειονεκτήματα στη δομή της εργασίας του Ευκλείδη Δε θα μπορούσε κανείς να περιμένει μια τέτοια αρχική και κολοσσιαία προσπάθεια με την αξιωματική μέθοδο να μην παρουσιάζει καμία ατέλεια

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη έχουν γραφεί γύρω στο 300 πΧ αλλά το αυθεντικό χειρόγραφο κείμενο του Ευκλείδη δεν διασώζεται Αντίθετα σώζονται δεκάδες αντίγραφα που σε τελική ανάλυση κατάγονται από αυτό Το αρχαιότερο πλήρες αντίγραφο περιέχεται σε έναν χειρόγραφο περγαμηνό κώδικα που φυλάσσεται σήμερα στη Βιβλιοθήκη της Οξφόρδης και χρονολογείται από του έτους 888 ενώ μικρά αποσπάσματα του έργου διασώζονται σε παπύρους προγενέστερης εποχής καθώς και σε ένα παλίμψητο χειρόγραφο του 7ου ή του 8ου

μΧ αι που φυλάσσεται στο Βρετανικό Μουσείο Βλέπουμε λοιπόν ότι το αρχαιότερο χειρόγραφο που περιέχει το πλήρες κείμενο των Στοιχείων του Ευκλείδη χρονολογείται από τα τέλη του 9ου μΧ αι και επομένως απέχει από την εποχή μας όσο απέχει από την εποχή που ο ίδιος ο Ευκλείδης έγραψε το έργο

Όλες οι σύγχρονες εκδόσεις στηρίζονται σε μια επανέκδοση που έκανε ο Θεωνάς από την Αλεξάνδρεια ένας Έλληνας σχολιαστής που έζησε εφτακόσια περίπου χρόνια μετά τον Ευκλείδη Μόνο στις αρχές του 19ου αιώνα ανακαλύφθηκε ένα παλιότερο αντίγραφο Στα 1808 όταν ο Ναπολέοντας διέταξε να μεταφερθούν όλα τα αξιόλογα χειρόγραφα από τις ιταλικές βιβλιοθήκες στο Παρίσι ο Φ Πέιραρντ (F Peyrard) ανακάλυψε στη βιβλιοθήκη του Βατικανού ένα αντίγραφο των Στοιχείων από έκδοση προγενέστερη από του Θεωνά Η μελέτη όμως αυτής της παλιότερης έκδοσης αποκάλυψε δευτερεύουσες μόνο διαφορές από τον Θεωνά

Οι πρώτες πλήρεις μεταφράσεις των Στοιχείων στα λατινικά δεν έγιναν από τα ελληνικά αλλά από τα αραβικά Τον 8ο αιώνα οι Άραβες μετέφρασαν έναν αριθμό βυζαντινών χειρογράφων με ελληνικές εργασίες και στα 1120 ο Άγγλος μελετητής Άντελαρντ (Adelard) από το Μπαθ μετέφρασε τα Στοιχεία στα λατινικά χρησιμοποιώντας μια απ αυτές τις παλιότερες αραβικές μεταφράσεις Άλλες λατινικές μεταφράσεις από τα αραβικά έκαναν ο Γκεράρντο από την Κρεμώνα (Gherardo 1114-1187) και 150 χρόνια μετά τον Άντελαρντ ο Γιοχάννες Καμπάνους (Johannes Campanus) Η πρώτη τυπωμένη έκδοση των Στοιχείων έγινε στη Βενετία στα 1482 η έκδοση αυτή ήταν η μετάφραση του Καμπάνους Αυτό το πολύ σπάνιο βιβλίο ήταν θαυμάσια τυπωμένο και ήταν το πρώτο αξιόλογο μαθηματικό βιβλίο που τυπώθηκε Μια σημαντική λατινική μετάφραση από τα ελληνικά έγινε από τον Κομμαντίνο (Commandino) στα 1572 Αυτή η μετάφραση χρησιμοποιήθηκε ως βάση για πολλές άλλες μεταφράσεις που ακολούθησαν ανάμεσα σ αυτές και η εργασία του Ρόμπερτ Σίμσον (Robert Simson) που άσκησε σημαντική επιρροή και αποτέλεσε με τη σειρά της τη βάση για πάρα πολλές αγγλικές εκδόσεις

24

Αναλυτική περιγραφή των laquo στοιχείων raquo

Ειδικότερα το πρώτο βιβλίο αναφέρεται σε τεμνόμενες και παράλληλες ευθείες στην ισότητα ευθύγραμμων σχημάτων και στο τέλος το πυθαγόρειο θεώρημα Στο 2ο βιβλίο αναφέρονται συνέπειες από το πυθαγόρειο θεώρημα και γίνονται μετασχηματισμοί ευθύγραμμων σχημάτων σε ισοδύναμα τετράγωνα Εδώ περιέχεται και το πρόβλημα

της laquoχρυσής τομήςraquo Πολλές από τις προτάσεις αυτού μπορούν με σύγχρονους συμβολισμούς να πάρουν μορφή αλγεβρική γιrsquo αυτό έχει επικρατήσει να λέγεται για το 2ο βιβλίο ότι εισάγει τη laquoγεωμετρική άλγεβραraquo Στο 3ο βιβλίο εξετάζεται ο κύκλος και στο τέταρτο βιβλίο λύνονται προβλήματα σχετικά με τα εγγεγραμμένα στον κύκλο κανονικά πολύγωνα Στο 5ο βιβλίο σπουδάζεται η laquoθεωρία των λόγωνraquo του Ευδόξου Πρόκειται ουσιαστικά για τη θεωρία των πραγματικών αριθμών δοσμένη όμως σε μορφή γεωμετρική Το 6ο βιβλίο ασχολείται με την ομοιότητα επίπεδων σχημάτων και σrsquo αυτά αποδεικνύεται ότι από όλα τα ορθογώνια με δοσμένη περίμετρο το τετράγωνο έχει το μέγιστο εμβαδόν Στα βιβλία 7ο-9ο που αφορούν στην αριθμοθεωρία είναι εκπληκτικό πώς με παντελή μπορεί να πει κανείς έλλειψη συμβολισμών (αριθμοί δεν αναγράφονται) κατορθώνεται μια ακροβασία στην αλληλουχία των συλλογισμών που καταλήγει σε πολύ ενδιαφέροντα αριθμητικά αποτελέσματα Ειδικότερα στο 7ο βιβλίο μελετιούνται οι άρτιοι και οι περιττοί αριθμοί οι πρώτοι και οι σύνθετοι καθώς και οι τέλειοι εξετάζονται διάφορα προβλήματα διαιρετότητας ορίζεται το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο αριθμών (ΕΚΠ) καθώς και ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης τους και δίνεται η μέθοδος προσδιορισμού του που ονομάστηκε laquoΕυκλείδειος Αλγόριθμοςraquo Στα δύο επόμενα βιβλία εξακολουθεί η σπουδή αριθμοθεωρητικών θεμάτων στο 8ο εισάγονται επίσης και μελετιούνται οι γεωμετρικές πρόοδοι και στο 9ο έχουν συμπεριληφθεί τρεις σημαντικότατες προτάσεις Πρόκειται για α) το αποκαλούμενο laquoθεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικήςraquo β) την απόφανση ότι υπάρχουν απειράριθμοι πρώτοι και γ) την πρόταση που οδηγεί σε ένα γενικό τύπο που παρέχει άρτιους τέλειους αριθμούς Στο 10ο βιβλίο που αποτελεί ένα από τα ωραιότερα μέρη των Στοιχείων γίνεται μια ταξινόμηση των τετραγωνικών άρρητων και των τετραγωνικών ριζών τους και κατασκευάζεται ένα σύνολο ασύμμετρων μεγεθών το οποίο μαζί με το σύνολο των ρητών συναποτελεί επέκταση αυτού του τελευταίου τέτοια ώστε κάθε στοιχείο της να είναι κατασκευασμένο με κανόνα και διαβήτη Τέλος τα βιβλία της στερεομετρίας το 11ο βιβλίο ασχολείται με θεμελιώδεις σχέσεις μεταξύ ευθειών και επιπέδων καθώς και με τις στερεές γωνίες στο 12ο αναφέρεται σε επιφάνειες και όγκους στερεών και στο 13ο γίνεται η μελέτη της σφαίρας σε συσχετισμό με τα εγγεγραμμένα σε αυτήν κανονικά πολύεδρα

25

Άλλα έργα

bull Δεδομένα (94 θεωρήματα) έργο ανώτερης γεωμετρίας Στο έργο αυτό περιέχονται προτάσεις σε σχήματα στα οποία δίνονται ορισμένα στοιχεία τους κατά σχήμα θέση ή μέγεθος

bull Περί διαιρέσεων (36 προτάσεις) με περιεχόμενό του τη διαίρεση σχημάτων με δοσμένη σχέση

bull Πορίσματα (3 βιβλία που χάθηκαν) σώθηκαν ορισμένα αποσπάσματα που το 1860 έγινε απόπειρα ανασύνθεσής τους από τον Πάππο

bull Οπτικά-κατοπτρικά αντίστοιχα γεωμετρική οπτική ανάκλαση του φωτός πάνω σε επίπεδο κάτοπτρο

bull Φαινόμενα εγχειρίδιο κοσμογραφίας απλές προτάσεις για τη σφαίρα

bull Κατατομή κανόνος στοιχεία πυθαγόρεια θεωρία μουσικής

bull Ψευδάρεια laquoπαράδοξαraquo με στόχο να ασκηθούν οι σπουδαστές στην ανεύρεση λογικών σφαλμάτων κατά τις αποδείξεις

bull Κωνικαί τομαί Μηχανικά δεν γνωρίζουμε τίποτα γιrsquo αυτά τα έργα

Αιτήματα του Ευκλείδη

Τα αιτήματα είναι αρχικές προτάσεις οι οποίες προσιδιάζουν στη συγκεκριμένη κάθε φορά επιστήμη στην προκειμένη περίπτωση στη Γεωμετρία Ο Ευκλείδης διατυπώνει 5 αιτήματα

1 Ζητείται να γίνει δεκτό ότι από οποιοδήποτε σημείο σε οποιοδήποτε σημείο άγεται ευθεία γραμμή

2 Και (ότι) πεπερασμένη ευθεία προεκτείνεται σε ευθεία κατά συνεχή τρόπο

3 Και (ότι) με οποιοδήποτε κέντρο και διάστημα γράφεται κύκλος

4 Και (ότι) όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους

5 Και αν η ευθεία η οποία τέμνει δύο ευθείες σχηματίζει δύο εντός και επί τrsquo αυτά μέρη γωνίες μικρότερες των δύο ορθών τότε οι δύο ευθείες προεκτεινόμενες επrsquo απείρου συναντώνται προς εκείνα τα μέρη τους όπου βρίσκονται μικρότερες των δύο ορθών

Ακολουθούν τα laquoαιτήματαraquo διατυπωμένα σε αρχαίο κείμενο όπως αυτά βρίσκονται στο Βιβλίο Ι

26

Ο ρόλος των τριών πρώτων από τα αιτήματα αυτά είναι να εξασφαλίσουν τη νομιμότητα των κατασκευών της ευθείας και του κύκλου και κατά συνέπεια εκείνων και μόνο των γραμμών και των γεωμετρικών σχημάτων που κατασκευάζονται με πεπερασμένο αριθμό βημάτων από τα δύο αυτά βασικά σχήματα Στα Στοιχεία επομένως δεν έχουν θέση καμπύλες όπως είναι οι κωνικές τομές τη τετραγωνίζουσα κλπ ή κατασκευές όπως κατασκευές νεύσεως Η φύση των δύο τελευταίων αιτημάτων είναι διαφορετική Αποσκοπούν να δηλώσουν ότι κάποια γεωμετρικά σχήματα έχουν ορισμένες ειδικές ιδιότητες

Πολλοί ιστορικοί των μαθηματικών έχουν ασχοληθεί κατά το παρελθόν με το ερώτημα εάν τα αξιώματα του Ευκλείδη ικανοποιούν τις σύγχρονες απαιτήσεις (πληρότητα συνέπεια ανεξαρτησία) ενός αξιωματικού συστήματος Από την προσεκτική μελέτη των αποδείξεων κι των κατασκευών που περιέχονται στα Στοιχεία προκύπτει ότι ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί μερικές φορές απόρρητες παραδοχές οι οποίες δεν περιλαμβάνονται στα αξιώματα Επομένως το σύστημα των αξιωμάτων του δεν ικανοποιεί την απαίτηση της πληρότητας

Μεγάλο ιστορικό ενδιαφέρον εξάλλου έχει το ερώτημα της ανεξαρτησίας των αιτημάτων του Ευκλείδη ιδιαίτερα σε ότι αφορά το πέμπτο από αυτά Το αίτημα αυτό αναφέρεται συχνά και ως laquoαίτημα των παραλλήλωνraquo γιατί μια ισοδύναμη διατύπωσή του είναι η εξής από ένα σημείο εκτός ευθείας άγεται μια μόνο παράλληλη προς τη ευθεία Πολλοί μαθηματικοί από την αρχαιότητα έως τα μέσα του 18ου αιώνα προσπάθησαν να εξαγάγουν το αίτημα αυτό από τα άλλα αιτήματα όλες οι προσπάθειες όμως απέβησαν άκαρπες Από τα τέλη του 18ου αιώνα η προσδοκώμενη εξάρτηση του αιτήματος επιχειρήθηκε να αποδειχτεί με έμμεσο τρόπο Η σκέψη ήταν η εξής αν το αίτημα των παραλλήλων μπορεί να εξαχθεί από τα άλλα τέσσερα αιτήματα μαζί με την άρνηση του πέμπτου θα πρέπει να οδηγούν σε αντίφαση Το νέο σύστημα αξιωμάτων όμως αντί να οδηγήσει σε αντίφαση αποδείχτηκε ότι παράγει συνέπειες μαθηματικές θεωρίες Έτσι ανακαλύφθηκαν οι λεγόμενες μη ευκλείδειες γεωμετρίες και ταυτόχρονα αποδείχθηκε η ανεξαρτησία των αιτημάτων του Ευκλείδη

27

Ας δούμε τώρα την διατύπωση και την απόδειξη της πρότασης (5) που περιέχεται στο Βιβλίο Ι των laquoστοιχείωνraquo και αναφέρεται στη γνωστή μας πρόταση της ισότητας των παρά τη βάση γωνιών ισοσκελούς τριγώνου

28

Γιατί διδάσκουμε το μάθημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στο ζήτημα της laquoχρησιμότηταςraquo των σχολικών Μαθηματικών θα μπορούσε κανείς να αντιπαραθέσει (και πράγματι αντιπαρατέθηκαν) πολλές διαφορετικές απόψεις Εμείς θα παραθέσουμε απλώς ένα απόσπασμα από τις αυτοβιογραφικές σημειώσεις του Albert Einstein το οποίο δείχνει μια άλλη τελείως διαφορετική αντίληψη σχετικά με την laquoχρησιμότηταraquo της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Γράφοντας για τα γεγονότα της παιδικής και εφηβικής του ζωής που είχαν μεγάλη επίδραση στην μετέπειτα εξέλιξη του ο Einstein σημειώνει

Σε ηλικία 12 ετών δοκίμασα μια δεύτερη τελείως διαφορετική έκπληξη σε ένα μικρό βιβλίο Ευκλείδειας επίπεδης γεωμετρίαςhellip Εδώ υπήρχαν ισχυρισμοί όπως για παράδειγμα τα τρία ύψη ενός τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο οι οποίοι - αν και καθόλου προφανείς - μπορούσαν ωστόσο να αποδειχτούν με τέτοια βεβαιότητα ώστε να μην χωρεί η παραμικρή αμφιβολία Αυτή η σαφήνεια και βεβαιότητα μου προξένησαν μια εντύπωση που δεν μπορεί να περιγραφεί Το γεγονός ότι τα αξιώματα έπρεπε να γίνουν δεκτά χωρίς απόδειξη δεν με ενόχλησε Σε κάθε περίπτωση μου αρκούσε πλήρως το γεγονός ότι μπορούσαν να στηρίζω τις αποδείξεις σε προτάσεις η εγκυρότητα των οποίων ήταν για μένα αναμφισβήτητη

Η περίπτωση του Einstein του επιστήμονα που άλλαξε ριζικά τις αντιλήψεις μας και την γεωμετρική δομή του σύμπαντος αποκαλύπτει την σπουδαιότητα ορισμένων παιδαγωγικών σκοπών και τη συνάφειά τους με το ερώτημα που θέσαμε ως τίτλο αυτής της ενότητας καλλιέργεια και ανάπτυξη της συγκροτημένης σκέψης μύηση στην επιστημονική μέθοδο μελέτες του κόσμου Αυτοί οι σκοποί παρόλη τη γενικότητά τους συνδέονται άμεσα με τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας που άσκησαν καθοριστική επίδραση στο νεαρό Einstein τα οποία είναι

bull Σαφήνεια στην έκθεση

bull Ολοκληρωτική απόδειξη κάθε υπόθεσης

bull Απόλυτη συνάφεια σχημάτων και συλλογισμών

bull Τάξη και ομορφιά

Αν τα στοιχεία αυτά αποτελούν ουσιώδη συστατικά της μαθηματικής παιδείας τότε παρέχουν κατά την άποψή μας μια αυτονόητη απάντηση στο ερώτημα laquoΓιατί διδάσκουμε την Ευκλείδεια Γεωμετρίαraquo

Αντιλήψεις και αντιπαραθέσεις για τη διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Οι ένθερμοι υποστηρικτές της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προβάλλουν την παιδαγωγική αξία της λογικής και διάφανης επιχειρηματολογίας των γεωμετρικών αποδείξεων ενώ οι πολέμιοί της επικαλούνται την αναμφισβήτητη δυσκολία των περισσότερων μαθητών να κατανοήσουν τις γεωμετρικές έννοιες και τις πολύ χαμηλές επιδόσεις τους στην αντιμετώπιση σχετικών προβλημάτων Ενδιάμεσα βρίσκονται συνήθως οι σκεπτικιστές οι οποίοι επισημαίνουν τον περιορισμένο επιστημολογικά ρόλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και την ανάγκη να ανανεωθεί η διδασκαλία των Μαθηματικών δίνοντας μεγαλύτερη έμφαση σε πιο σύγχρονους και laquoχρήσιμουςraquo κλάδους (πχ Πιθανότητες και Στατιστική) Από την εποχή που ο Dieudonne κήρυξε τον πόλεμο κατά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας οι αντιλήψεις

29

αυτές έγιναν αντικείμενο επεξεργασίας και αντιπαρατέθηκαν μεταξύ τους από σημαντικούς μαθηματικούς και παιδαγωγούς ενώ οι σχετικές συζητήσεις συνεχίζονται με αμείωτη ένταση μέχρι σήμερα Σε μια ειδική μελέτη της Διεθνούς Επιτροπής για τη Μαθηματική Εκπαίδευση (ICMI) έγινε απόπειρα σύνθεσης των διαφόρων τάσεων και διατυπώθηκαν οι εξής τρεις εναλλακτικές λύσεις για τη διδασκαλία του μαθήματος

1 η λύση

Απορρίπτουμε την ιδέα ότι η Γεωμετρία πρέπει ή μπορεί να χρησιμοποιηθεί στο σχολείο ως ένα σύστημα γνώσεων (παραγωγικά οργανωμένο ή όχι) όπου οι έννοιες και τα γεγονότα πρέπει να γίνουν γνωστά απλά και μόνο επειδή ανήκουν στο σύστημα Αντίθετα η Γεωμετρία και ο χώρος θεωρούνται ως πηγές άντλησης εξαιρετικών θεμάτων για την οργάνωση πολλαπλών δραστηριοτήτων σε διαφορετικά επίπεδα Οι laquoχρησιμοθηρικέςraquo όψεις της Γεωμετρίας θα εξυπηρετηθούν με την παροχή αλγεβρικών μεθόδων

2 η λύση

Εξακολουθούμε να επιχειρούμε τη διδασκαλία ενός αξιωματικού ή ψευδο-αξιωματικού μαθήματος σχολικής Γεωμετρίας το οποίο στηρίζεται είτε σε laquoτροποποίησηraquo των laquoΣτοιχείωνraquo του Ευκλείδη (για παράδειγμα αξιωματική θεμελίωση τύπου Pogorelov) είτε πχ στους γεωμετρικούς σχηματισμούς

3 η λύση

Για ορισμένες ομάδες μαθητών τουλάχιστον παρουσιάζουμε laquoνησίδεςraquo Γεωμετρίας δηλαδή laquoτοπικάraquo παραγωγικά συστήματα μέσα στο πλαίσιο του γενικού αναλυτικού προγράμματος (Έτσι μπορούμε για παράδειγμα να έχουμε ενότητες για τις ιδιότητες των εγγεγραμμένων σε κύκλο γωνιών ή τη στοιχειώδη προβολική Γεωμετρία)

Στην Ελλάδα για προφανείς ιστορικούς και πολιτιστικούς λόγους συνεχίζεται μια παράδοση που προσεγγίζεται εγγύτατα τη δεύτερη από τις προηγούμενες εναλλακτικές λύσεις Ακόμη και την περίοδο της μεταρρύθμισης των laquoΝέων Μαθηματικώνraquo η διεθνής πίεση για εκσυγχρονισμό των σχολικών Μαθηματικών και εγκατάλειψη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αφομοιώθηκε στη χώρα μας μέσα από έναν ιδιότυπο συμβιβασμό από τη μια μεριά διατηρήθηκε όλη η παραδοσιακή σχολική ύλη την οποία σε μεγάλο βαθμό συντηρούσαν οι εισαγωγικές εξετάσεις των ΑΕΙ και από την άλλη δόθηκε υπερβολική έμφαση στην αυστηρή αξιωματική θεμελίωσης της Γεωμετρίας καθώς και με την εισαγωγή νέας ύλης πάνω στους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς Στις αντιφατικές επιλογές εκείνης της περιόδου βρίσκονται κατά την άποψη μας οι ρίζες της μετέπειτα υποβάθμισης και παρακμής του μαθήματος της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

30

Το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στη σύγχρονη Διδακτική των Μαθηματικών τα θεμελιώδη επιστημολογικά χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας όπως είναι η παραγωγική οργάνωση του περιεχομένου η αποδεικτική διαδικασία και η έμφαση στις γεωμετρικές κατασκευές αναφέρονται συνήθως ως laquoανώτερα επίπεδα γεωμετρικής σκέψηςraquo και η μάθηση τους έχει γίνει αντικείμενο συστηματικής μελέτης και έρευνας Ένα βασικό θεωρητικό μοντέλο στο οποίο έχει στηριχθεί η διεξαγωγή μεγάλου αριθμού ερευνών σε διάφορες χώρες αποτελούν τα λεγόμενα laquoεπίπεδα van Hieleraquo Σύμφωνα με αυτό το μοντέλο η μάθηση της Γεωμετρίας εξελίσσεται ιεραρχικά περνώντας από πέντε διαδοχικά επίπεδα

bull 1ο επίπεδο Εποπτικό

bull 2ο επίπεδο ΠεριγραφικόΑναλυτικό

bull 3ο επίπεδο ΑφηρημένοΣχεσιακό

bull 4ο επίπεδο ΤυπικόΠαραγωγικό

bull 5ο επίπεδο Μεταμαθηματικό

Οι μαθητές κατανοούν τη σημασία και τη διαδικασία οικοδόμησης ενός αξιωματικού μαθηματικού συστήματος και τις σχέσεις ανάμεσα σε διαφορετικά συστήματα Για παράδειγμα αναγνωρίζουν ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία δεν είναι παρά ένας από τους πολλούς δυνατούς τρόπους περιγραφής ενός αφηρημένου μαθηματικού σύμπαντος

Είναι φανερό ότι η διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προϋποθέτει τα δύο πρώτα επίπεδα και έχει ως κύριο σκοπό την κατάκτηση των δύο επόμενων επιπέδων (για το 5ο

μάλλον δεν μπορεί να γίνεται λόγος στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση) Σε θεωρητικό επίπεδο τόσο και η θεωρία των van Hiele όσο και η γενικότερη θεωρία των σταδίων μάθησης του Piaget προβλέπουν ότι η κατάκτηση αυτών των επιπέδων είναι μια επίπονη και ιεραρχικά εξελισσόμενη διαδικασία που απαιτεί μακροχρόνια και προσεχτικά σχεδιασμένη διδασκαλία Αυτές οι θεωρητικές προβλέψεις φαίνεται να επιβεβαιώνονται από πολλές εμπειρικές έρευνες που έχουν διεξαχθεί σε διάφορες χώρες και τα αποτελέσματά τους οδηγούν σε ένα βασικό συμπέρασμα laquo η καθιερωμένη παραδοσιακή διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αδυνατεί να οδηγήσει τους μαθητές στην κατάκτηση των ανώτερων επιπέδων γεωμετρικής σκέψης raquo

Από τα αποτελέσματα αυτών των ερευνών αξίζει νrsquo αναφέρουμε εδώ ένα εντυπωσιακό στατιστικό στοιχείο που αποκαλύπτει τις διαστάσεις του προβλήματος σε μια έρευνα που έγινε στις ΗΠΑ μεταξύ 1520 μαθητών που είχαν ολοκληρώσει ένα έτος διδασκαλίας της θεωρητικής Ευκλείδειας Γεωμετρίας διαπιστώθηκε ότι μόνο το 30 είχε φτάσει σε ένα επίπεδο που μπορεί να χαρακτηριστεί από 75 επιτυχία στην απόδειξη απλών γεωμετρικών προτάσεων (πχ ότι οι διαγώνιες ενός ορθογωνίου είναι ίσες) Το ποσοστό των μαθητών που είχαν 100 επιτυχία δεν ξεπέρασε το 3

31

Κοινή πεποίθηση όλων αυτών των ερευνητών είναι ότι για να κατανοηθούν οι παραγωγικές αποδείξεις της Ευκλείδειας Γεωμετρίας απαιτείται μια ισχυρή διαισθητική βάση την οποία οι μαθητές θα αποκτήσουν μέσα από επαγωγικές εμπειρικές ανακαλύψεις τη διαπίστωση και επαλήθευση υποθέσεων τις γεωμετρικές κατασκευές και εφαρμογές Έτσι λοιπόν η διδασκαλία της Γεωμετρίας δεν θα πρέπει να στηρίζεται σrsquo ένα τεχνητό διαχωρισμό ανάμεσα σε laquoΠρακτική Γεωμετρίαraquo σχεδίασης και μετρήσεων και μια laquoΘεωρητική Γεωμετρίαraquo αποδείξεων αλλά να συνδυάζει μια ισορροπημένη ανάπτυξη των δύο αυτών όψεων του μαθήματος σrsquo όλο το φάσμα της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Η επινόηση διδακτικών μέσων και μεθόδων που θα επιτρέψουν την υλοποίηση αυτού του στόχου φαίνεται ότι αποτελεί σήμερα το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ

Η Γεωμετρία του Ευκλείδη απετέλεσε το θεμέλιο για την ανάπτυξη της laquoδυτικήςraquo επιστήμης και τεχνικής και σ αυτή τη Γεωμετρία στηρίζονται οι προϋποθέσεις της κλασικής Φυσικής από την Αναγέννηση και μετά Μόλις το 19ο αιώνα διαπιστώθηκε όμως (Λάμπερτ Γκάους Μπολυάι Λομπατσέβσκι κά) ότι η ευκλείδεια Γεωμετρία στηρίζεται στην απλοϊκή αντίληψη του επίπεδου χώρου ο οποίος είναι μεν χρήσιμος για την περιοχή που αντιλαμβάνεται με τις αισθήσεις του ένας άνθρωπος αλλά όχι για πολύ μεγάλες τιμές των φυσικών μεγεθών (αποστάσεις ταχύτητες μάζες κτλ) Τότε παύει να ισχύει η επίπεδη αντίληψη και μαζί της η Ευκλείδεια Γεωμετρία επειδή στην πραγματικότητα ο χώρος είναι κυρτός Έτσι η Γεωμετρία συμπληρώνεται με βάση αντιλήψεις που στηρίζονται στον υπερβολικό ελλειπτικό κά χώρο

Σήμερα η γεωμετρία του Ευκλείδη διδάσκεται παγκοσμίως και ανελλιπώς επί 23 αιώνες με τον τιμητικό τίτλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Στη σύγχρονη όμως σχολική γεωμετρία περιλαμβάνονται και υπολογισμοί και μετρήσεις οι οποίες από το έργο του Ευκλείδη απουσιάζουν εντελώς

Η συνολική προσφορά του Ευκλείδη στα Μαθηματικά και τις εφαρμοσμένες τέχνες υπήρξε σημαντικότατη και ταυτόχρονα βάση από την οποία εξόρμησαν οι μεταγενέστεροι μαθηματικοί γεωγράφοι και αστρονόμοι για να οδηγηθούν στο τελικό μαθηματικό θαύμα της Ελληνικής Αρχαιότητας

32

33

ΒΙΟΓΡΑΦΙΑ Ο Αρχιμήδης ήταν ένας από τους μεγάλους μαθηματικούς μηχανικούς και φυσικούς του αρχαίου Ελληνικού χώρου και μια από τις μεγαλύτερες μαθηματικές ευφυΐες του κόσμου Γεννήθηκε έζησε και πέθανε στις Συρακούσες την μεγάλη Ελληνική αποικία της Σικελίας

Πατέρας του Αρχιμήδη ήταν ο αστρονόμος Φειδίας που είχε δεσμούς φιλίας με το βασιλικό γένος των Συρακουσών Ο Αρχιμήδης ταξίδεψε στην Αίγυπτο και ήρθε σε επαφή με τους διαδόχους του Ευκλείδη του Ερατοσθένη και το Δισίθεο ενώ ήταν φίλος και συμμαθητής του Κόνωνα του Σάμιου

Υπήρξε λαμπρό παράδειγμα πρωτότυπου ερευνητή ο οποίος δεν ενδιαφέρθηκε να διευκολύνει τους αρχάριους αλλά ασχολήθηκε κυρίως για την αποκάλυψη νέων αληθειών για δική του ικανοποίηση και των ώριμων ήδη διανοούμενων Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο ενώ η κατανόηση του Ευκλείδη δεν απαιτεί εξαιρετική προηγούμενη γνώση και ευφυΐα τα προϊόντα της μαθηματικής σκέψεως τα οποία πρόκειται τώρα να εξετάσουμε είναι προσιτά αποκλειστικώς και μόνο στην ανάγνωση υψηλής πνευματικής στάθμης

Πήγε στην Αίγυπτο ως εκπαιδευτικός και ήρθε σε επαφή όχι βέβαια με τον Ευκλείδη που είχε στο μεταξύ πεθάνει αλλά με τους διαδόχους του και έκανε στενούς δεσμούς με εξαιρετικούς γεωμετρικούς όπως ο Κόνων ο Σάμιος ο Ερατοσθένης ο Κυρηναίος ο Δισίθεος κλπ από τους οποίους κατόπιν όσα έργα συνέταξε μετά την επιστροφή του στην πατρίδα του

34

Το έργο τουΤο έργο του Αρχιμήδη υπήρξε τεράστιο τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά και η ερευνητική ματιά του κάλυψε πολλούς τομείς γεωμετρία οπτική (κατοπτρική) υδραυλική μηχανική αρχιτεκτονική και την πολιορκητική Συνέδεσε το όνομά του με την γένεση της μηχανικής στην αρχαία Ελλάδα και με την λύση περίφημων μαθηματικών προβλημάτων καθώς και με τις αμυντικές εφευρέσεις του που χρησιμοποιήθηκαν όταν οι Ρωμαίοι πολιορκούσαν την πατρίδα του τις Συρακούσες

Σχολιαστής του έργου του Αρχιμήδη υπήρξε ο Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης (6ος αι μΧ) που καταγόταν από την ελληνική πόλη της Συρίας Ασκαλών

Στον χώρο της εφαρμοσμένης μηχανικής ο Αρχιμήδης επινόησε ιδιοφυείς μηχανές κάθε είδους Εφηύρε τον ρωμαϊκό ζυγό (καντάρι) το τρίσπαστο (ανυψωτική τριπλή τροχαλία) και τον ατέρμονα κοχλία έλιξ του Αρχιμήδους μηχανή άντλησης νερού από ποταμούς και φρέατα (η οποία χρησιμοποιείται ακόμα και στις μέρες μας σε περιοχές της βόρειας Αφρικής) Κατασκεύασε ένα υδραυλικό ρολόι το οποίο υπολόγιζε με μεγάλη ακρίβεια τις ώρες (και ειδοποιούσε για την αλλαγή της ώρας)

Μεγάλη φήμη απέκτησαν οι πολεμικές μηχανές του Αρχιμήδη αρχιτρόνιτο (πυροβόλο ατμού) καταπέλτες άρπαγες (μηχανισμός που ανύψωνε και αναποδογύριζε πλοία) και κάτοπτρα για την καύση των Ρωμαϊκών εχθρικών πλοίων (με παραβολικά κάτοπτρα όπως αποδείχτηκε από τα πειράματα του μηχανικού Ι Σακκά ο οποίος το 1973 απόδειξε τον τρόπο με τον οποίο ο Αρχιμήδης έκαψε τον ρωμαϊκό στόλο) Σύμφωνα με την παράδοση όταν η πόλη μετά από τριετή αντίσταση των ελλήνων κατελήφθη με προδοσία ένας ρωμαίος στρατιώτης σκότωσε τον Έλληνα επιστήμονα ενώ αυτός ήταν προσηλωμένος σε κάποιο γεωμετρικό πρόβλημα ΜΗ ΜΟΥ ΤΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥΣ ΤΑΡΑΤΤΕ πρόλαβε να του απαντήσει ο Έλληνας επιστήμονας

Ο Αρχιμήδης επηρέασε σε μεγάλο βαθμό την ευρωπαϊκή επιστημονική σκέψη καθώς και τους Άραβες επιστήμονες οι οποίοι αντέγραψαν όλα τα έργα του στα αραβικά γλώσσα στην οποία διασώθηκαν αρκετά αφού τα πρωτότυπα είχαν χαθεί

35

Διασωθέντα συγγράμματα

bull Περί σφαίρας και κυλίνδρου Βιβλίο α και βbull Κύκλου μέτρησις Σώζονται τρία θεωρήματαbull Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων (32 θεωρήματα 1 πόρισμα)bull Περί ελίκων (28 θεωρήματα 6 πορίσματα)bull Περί επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων ή Μηχανικά Βιβλ α και βbull Περί μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος (=μέθοδος)bull Βιβλίο λημμάτωνbull Πρόβλημα Βοεικόνbull Κατασκευή πλευράς του περιγραφομένου εις κύκλο επταγώνουbull Ωρολόγιον Αρχιμήδους (Σώζεται στα αραβικά)bull Περί κύκλων εφαπτομένων αλλήλωνbull Αρχαί της Γεωμετρίαςbull Ψαμμίτηςbull Τετραγωνισμός παραβολήςbull Οχουμένων (Υδροστατική)bull Στομάχιον (Σώζονται λίγα αποσπάσματα)

Συγγράμματα μη διασωθέντα (ή συγγράμματα μη αποκαλυφθέντα μέχρι σήμερα)

bull Αριθμητικάbull Βαρουλκός Υδροσκοπίαι Πνευματικήbull Επισίδια Βιβλία (Μάλλον περί στατιστικής - Τζέτζης)bull Περί τριγώνωνbull Περί τετραπλεύρουbull Περί ζευγώνbull Περί 13 ημικανονικών πολυέδρωνbull Ισοπεριμετικάbull Ισορροπίαιbull Καύσις δια κατόπτρων (επ΄ αυτού έγινε επιτυχές πείραμα στο ΝΣ)bull Περί Αρχιτεκτονικήςbull Περί βαρύτητος και ελαφρότητος (Πυκνόμετρα - Αραιόμετρα)bull Περί δρομομέτρων (Οδόμετρα πλοίων)bull Περί κέντρου Βάρους ή Κεντροβαρικάbull Κατοπρικάbull Περί παραλλήλων γραμμώνbull Περί κοίλων και παραβολικών κατόπτρωνbull Προοπτικήbull Στοιχεία μηχανικώνbull Πλινθίδες και Κύλινδροιbull Στοιχεία επί των στηρίξεωνbull Σφαιροποιΐα

36

Εφευρέσεις

bull Αραιόμετρο - Πυκνόμετροbull Αστρονομική συσκευήbull Βαρουλκόςbull Γερανοί (Αρπάγες)bull Καταπέλτεςbull Κάτοπτραbull Κοχλίας ή έλιξbull Οδόμετρο (δρομόμετρο)bull Πλανητάριον (σφαίρα)bull Πολύσπαστον (Βαρούλκο) τρίσπαστοbull Σίφωνbull Στομάχιον (επιτραπέζιο παιγνίδι το πρώτο παζλ)bull Τηλεβόλον Αρχιμήδους bull Χαριστίων (μοχλός)bull Ωρολόγιο υδραυλικό

37

Τα συγγράμματα του Αρχιμήδη που σώθηκαν μέχρι σήμερα είναι τα ακόλουθα Περί σφαίρας και κυλίνδρου Κύκλου μέτρησις περί σφαιροειδέων και κωνοειδέων Περί λίκων Επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων Ψαμμίτης Τετραγωνισμός παραβολής Οχούμενων Στομάχιον Προς Ερατοσθένην Έφοδος Βιβλίον περί λημμάτων Πρόβλημα βοεικόν Αποσπάσματα Μερικά από αυτά διασώθηκαν Πολλά επίσης είναι τα συγγράμματα του που χάθηκαν

Έκανε τα πρώτα βήματα για το μαθηματικό υπολογισμό επιφανειών με ακανόνιστο περίγραμμα και συμμετρικών εκ περιστροφής σωμάτων μέθοδος που εξελίχθηκε τεκμηριώθηκε και ονομάστηκε στην σύγχρονη εποχή laquoΟλοκληρωτικός Λογισμόςraquo υπολόγισε μία προσεγγιστική τιμή για τον άρρητο αριθμό π διατύπωσε το νόμο προεκτάσεις του γενίκευσε την εφαρμογή λέγοντας laquoΔώστε μου σημείο να στηριχθώ και θα κινήσω την γηraquo διατύπωσε την ομώνυμη αρχή για την άνωση του νερού κατασκεύασε διάφορες μηχανές ένα τύπο πολύσπαστου τον κοχλία μία αντλητική μηχανή με την laquoαρχιμήδειον έλικαraquo κά

Η συμβολή του ΑρχιμήδηΗ συμβολή του Αρχιμήδη στην ανάπτυξη της Μηχανικής συνιστάται πέρα από την επινόηση των τροχαλιών του πολύσπαστου και των οδοντωτών τροχών και ενός ιδιόμορφου αντλητικού συγκροτήματος στην έλικα που φέρει το όνομα του Ακόμα στην επακριβή διατύπωση των νόμων των μοχλών και των ισορροπιών ή κέντρα βαρών Εδώ υπάρχει και η περίφημη πρόταση laquo σύμμετρα μεγέθη ισορροπούν σε αποστάσεις αντιστρόφως ανάλογες προς το βάρος τους raquo

Σε σχέση με τους μοχλούς και τις δυνατότητες τους μας αναφέρει τη φράση laquo δος μοι πα στω και ταν γαν κινάσω raquo Απέδειξε στον Ιέρωνα ότι με ένα σύστημα τροχαλιών ndash οδοντωτών τροχών και μοχλών μπορεί να μετακινήσει ένα τεράστιο πλοίο με όλο το πλήρωμα μέσα μόνος του Ήταν ακόμα ο ίδιος που σχεδίασε και επιμελήθηκε τη ναυπήγηση του πλοίου

Ανέλαβε μετά από εντολή του Ιέρωνα την οχύρωση της πόλης και διηύθυνε ο ίδιος την άμυνα της εναντίον των Ρωμαίων

Στην αστρονομία ο Λίβιος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης είναι laquoμοναδικός παρατηρητής του ουρανού και των αστέρων raquo Ο Ίππαρχος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης ασχολήθηκε με τη μελέτη των ηλιοστασίων καθώς και με τον υπολογισμό της διάρκειας του έτους

Ο Μακρόβιος αναφέρει ότι ο Αρχιμήδης ανακάλυψε τις αποστάσεις των πλανητών ενώ στο έργο laquoΨαμμίτηςraquo περιγράφει τη συσκευή μέσω της οποίας μέτρησε τη φαινομενική γωνιακή διάμετρο του ήλιου

38

Ο Κικέρων αναφέρεται με θαυμασμό για τον Αρχιμήδη στα laquoΚατοπτρικάraquo Στα Μαθηματικά που ο ίδιος θεωρούσε ως τα πιο σημαντικά παρουσίασε την μέθοδο του προσδιορισμού του αριθμού π Τελειοποίησε το ελληνικό σύστημα αρίθμησης και παρουσίασε μια μέθοδο παράστασης των πολύ μεγάλων αριθμών Ασχολήθηκε με τη διαφορική Γεωμετρία βρήκε τους τύπους πρόσθεσης και αφαίρεσης τόξων Υπολόγισε το εμβαδόν της σφαίρας και του κυλίνδρου Μελέτησε διάφορα στερεά εκ περιστροφής όπως τα στερεά που παράγονται από περιστροφή έλλειψης υπερβολής και παραβολής γύρω από έναν άξονα

Στη Γεωμετρία το έργο του Αρχιμήδη αποτελείται κατά κύριο λόγο από πρωτότυπες μελέτες σχετικά με τον τετραγωνισμό των καμπυλόγραμμων επίπεδων σχημάτων καθώς και με τον τετραγωνισμό και τον κυβισμό καμπύλων επιφανειών

Τέλος επινόησε στο σύνολό της την Υδροστατική Επιστήμη την οποία ανέπτυξε πλήρως Οι μελέτες του αναπαριστούν ένα σύνολο μαθηματικών και γεωμετρικών επιτευγμάτων το οποίο δεν ξεπέρασε κανείς στην ανθρώπινη ιστορία

Όπως αναφέρει ο Wallis laquo ο Αρχιμήδης αφήνει ένα συγκεκριμένο μυστήριο να καλύπτει τον τρόπο με τον οποίο κατέληγε στα αποτελέσματά του Είναι σαν να είχε καλύψει σκοπίμως τα ίχνη του τα ίχνη των ερευνών του σα να ήταν απρόθυμος να αποκαλύψει το μυστικό της μεθόδου έρευνάς του στους μεταγενέστερους ενώ επιθυμούσε να αποσπάσει τη συναίνεσή τους για τα αποτελέσματά του raquo

Ο ίδιος ο Αρχιμήδης ως φορέας ενός ανώτερου φιλοσοφικού πνεύματος θεωρούσε ταπεινή και ανάξια κάθε τέχνη που εξυπηρετούσε πρακτικές ανάγκες ή αποσκοπούσε στο οικονομικό κέρδος Γι` αυτό και έστρεψε όλη του την προσοχή και τις επιδιώξεις στους καθαρούς στοχασμούς χωρίς να καταδεχτεί να αφήσει κάποιο γραπτό στοιχείο για τις τεχνολογικές του ανακαλύψεις με μοναδική εξαίρεση όσες αναφέρονται στο έργο του laquoπερί σφαιροποιίαςraquo Δεν είναι καθόλου τυχαίο λοιπόν το ότι ο Κικέρων αργότερα βρήκε τον τάφο του και πάνω μία αναπαράσταση ενός κυλίνδρου περιγεγραμμένου σε σφαίρα με μία περιγραφή που έδινε το λόγο του κυλίνδρου προς τη σφαίρα

Σε ποιους τομείς εφαρμόστηκαν οι θεωρίες του Εξαιρετικές του μελέτες και για τη μέθοδο και για το αποτέλεσμα είναι εκείνες που έδωσαν τα εμβαδά Κύκλου Έλλειψης Παραβολής και Έλικας καθώς και τα εμβαδά και τους όγκους των Κυλίνδρων των Κώνων και κυρίως των Σφαιρών

Σημαντικότατη θεωρείται και η ανακάλυψη από τον ίδιο τύπου που δίνει το εμβαδόν τριγώνου από τις πλευρές του και ακόμα η επέκτασή του στα εγγεγραμμένα τετράπλευρα Ο Αρχιμήδης επίσης γνώριζε να κατασκευάζει τη λύση ειδικών τριτοβάθμιων προβλημάτων και μεταξύ αυτών και του Δηλίου Προβλήματος Τις λύσεις αυτές τις έδινε με την τομή δύο κωνικών (Ευτόκιος) Μοναδική είναι η προσφορά του στην ανώτερη μετρική Γεωμετρία Συγκεκριμένα εξέφρασε τους όγκους στερεών εκ περιστροφής κωνικών τομών εφαρμόζοντας απειροστικές μεθόδους ανάλυσης των στερεών αυτών

39

Στη σύγχρονη κλασική γεωμετρία όλο σχεδόν το μετρικό της μέρος οφείλεται στον Αρχιμήδη με αποτέλεσμα αυτή ουσιαστικά να είναι ισορροπημένη μείξη της Ευκλείδειας και της Αρχιμήδειας αρχαίας γεωμετρίας

Έτσι ο σοφός μας αποτελεί ουσιαστικά τον πατέρα της ανώτερης μετρικής γεωμετρίας της αρχαιότητας και ταυτόχρονα την πηγή έμπνευσης των νεώτερων μελετών του διαφορικού και απειροστικού λογισμού

Η πρωτοτυπία και η αποτελεσματικότητα των μελετών του έγιναν αιτία να χαρακτηριστεί από τους ιστορικούς των μαθηματικών ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών και όλων των εθνών

Ρεύμα στα ανάκτορα της Βρετανίας μέσω εφεύρεσης του Αρχιμήδη ( httpkatestimenoblogspotcom201109blog-post_1015html )

laquoΗ Βασίλισσα Ελισάβετ πρόκειται να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση ενός αρχαίου Έλληνα για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Και όταν λέμε αρχαίο Έλληνα εννοούμε τον Αρχιμήδη και όχι τον 90χρονο σύζυγό της Φίλιππο της Ελλάδαςraquo

Με αυτόν τον τίτλο πληροφορεί το βρετανικό κοινό η εφημερίδα ldquoDaily Mailrdquo για την απόφαση της Αυτής Μεγαλειότητας να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση του αρχαίου Έλληνα εφευρέτη Αρχιμήδη από τις Συρακούσες για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Πρόκειται για τη σύγχρονη εκδοχή του ατέρμονα κοχλία της έλικος του Αρχιμήδους όπως έμεινε γνωστή η εφεύρεση και είναι ένας σωληνοειδής κοχλίας που χρησίμευε για την άντληση νερού και την άρδευση καλλιεργημένων εκτάσεων

Η σύγχρονη εκδοχή της εφεύρεσης θα χρησιμοποιεί το νερό που μεταφέρεται από ένα τεχνητό φράγμα για να παράγει υδροηλεκτρική ενέργεια Ο μηχανισμός έχει ήδη μεταφερθεί μέσω του Τάμεση στο Romney Weir στα ανάκτορα του Γουίντσορ Σύμφωνα με το δημοσίευμα της εφημερίδας οι έλικες θα είναι έτοιμες για την παραγωγή ενέργειας τον προσεχή Νοέμβριο ενώ θα μπορούν να καλύψουν πλήρως τις ανάγκες του κάστρου σε ενέργεια μέσα στον επόμενο χρόνο

Εκτός αυτού οι τουρμπίνες είναι σχεδιασμένες ώστε να μην εμποδίζουν την ασφαλή διέλευση σολομού και χελιού μέσα στον ποταμό Τάμεση

Οι laquoέλικες του Αρχιμήδηraquo βάρους 40 τόνων κατασκευάστηκαν από ένα εργοστάσιο στην Ολλανδία και στοίχησαν 700000 λίρες Αγγλίας ενώ το κόστος εγκατάστασής τους θα ξεπεράσει το ένα εκατομμύριο λίρες

40

πΧ O Πλάτωνας ίδρυσε τη φιλοσοφική του σχολή η οποία έγινε πολύ διάσημη χάρη στους νεοπλατωνιστές και χρησιμοποιείτο έως το 526 μΧ οπότε και έκλεισε από τον αυτοκράτορα Ιουστινιανό Η Ακαδημία ήταν σχολή ανωτέρων μελετών και ταυτόχρονα και εκπαιδευτικό ίδρυμα Είχε ισχυρή καταστατική συγκρότηση και παρουσιάζεται περισσότερο υπό τη μορφή μιας αδελφότητας μιας φιλοσοφικής αίρεσης τα μέλη της οποίας αισθάνονται στενά συνδεδεμένα μεταξύ τους και διακρίνεται και από μια οικειότητα στις σχέσεις μεταξύ των μαθητών και των δασκάλων την οποία θα χαρακτηρίζαμε στοργική και φιλική συνάμα Υπάρχει μια διαφωνία σχετικά με το αν η Ακαδημία ήταν ένωση για τη πρόοδο των επιστημών ή ίδρυμα ανώτατης μόρφωσης Η διαφωνία αυτή είναι κάπως άσκοπη δεδομένου το ότι ο άκρατος ρεαλισμός της σχολής αλλά και ο απλός χαρακτήρας της αρχαϊκής εκείνης εποχής δεν επιτρέπουν στο να μεταθέσουμε σε εκείνο το περιβάλλον τη σύγχρονη αντίληψη που έχουμε για την επιστήμη Η Ακαδημία άλλωστε ήταν σχολή ανώτερων μελετών αλλά και εκπαιδευτικό ίδρυμα ταυτόχρονα Τέλος ο Πλάτωνας δεν ονειρεύτηκε μόνο τη ldquoμετά επιστήμηςrdquo παιδεία αλλά και τη μετέδωσε για σαράντα χρόνια στους μαθητές του στην Ακαδημία

Η Ακαδημία ήταν ο τόπος στον οποίο ο Πλάτωνας προσπαθούσε να δείξει τον δρόμο σε προικισμένους μαθητές ώσπου να αναπηδήσει ο σπινθήρας και να αποκαλυφθεί η έσχατη γνώση Ξέρουμε τόσα λίγα για την καθημερινή διδασκαλία στην ακαδημία την εποχή του Πλάτωνα ώστε πότε-πότε θέλησαν να αρνηθούν τον επιστημονικό χαρακτήρα της Τέτοιοι σκεπτικισμοί δεν στηρίζονται πουθενά Την μεγάλη σημασία των μαθηματικών σαν προπαίδεια για την διαλεκτική η οποία στηριζόταν σε αυτά την δείχνουν μερικές προσωπικότητες του Πλατωνικού κύκλου και χωρίς αμφιβολία υπάρχει ουσιαστική αλήθεια στο ανέκδοτο που λένε ότι βρισκόταν πάνω από την είσοδο της Ακαδημίας laquoἁγεωμέτρητος μηδείς εἰσίτωraquo Ξέρουμε ακόμα ότι η διαιρετική μέθοδος για την οποία μιλήσαμε στους οψιμότερους διαλόγους έπαιξε σημαντικό ρόλο στον αγώνα για ένα λογικά ταχτοποιημένο κοσμοείδωλο και στην απόκτηση ορισμών με την διαίρεση των γενικότερων εννοιών

Η συμβολή του Πλάτωνα και της Ακαδημίας στα μαθηματικά

Η συμβολή της Ακαδημίας στα μαθηματικά του 4ου αιώνα πΧ είναι σημαντικότατη ιδιαίτερα με τα έργα των καθηγητών της Θεαίτητου Μεναίχμου και Ενδόξου Η συμβολή όμως του Πλάτωνα είναι αμφιλεγόμενη αν και πιστεύεται ότι

-Έλυσε το Δήλιο πρόβλημα (διπλασιασμό του κύβου) με κινητική γεωμετρία και κάποιο όργανο με την βοήθεια του οποίου προέκυπτε η λύση

-Έδωσε γενική μορφή στην αναλυτική μέθοδο και συνέβαλε στην έρευνα των γεωμετρικών τύπων

-Προσδιόρισε ένα πλήθος των πυθαγορείων τριάδων δηλαδή των τριαδικών ακέραιων αριθμών που επαληθεύουν την ισότητα x2+y2=ω2 του Πυθαγορείου θεωρήματος

Για τα πολυσυζητημένα αστρονομικά ζητήματα της εποχής του (κίνηση του ουρανού θέση σχήμα και κίνηση της Γης) παρουσιάζει ξένες και θολά διατυπωμένες απόψεις γεγονός που

17

φανερώνει ότι δεν διέθετε προσωπική άποψη για το θέμα και γενικά ότι δεν ήταν μαθηματικός

Έγραψε μεταξύ άλλων την απολογία του Σωκράτη η οποία θεωρείται ως μια σχετικά ακριβής καταγραφή της απολογίας του Σωκράτη στην δίκη που τον καταδίκασε σε θάνατο Μετά τη θανάτωση του Σωκράτη για λίγο καιρό κατέφυγε στα Μέγαρα κοντά στον συμμαθητή του Ευκλείδη Ύστερα γύρισε στην Αθήνα όπου για 10 χρόνια ασχολήθηκε με τη συγγραφή φιλοσοφικών έργων τα οποία φέρουν τη σφραγίδα της σωκρατικής φιλοσοφίας Στη συνέχεια ταξίδεψε στην Αίγυπτο και στην Κυρήνη όπου σχετίστηκε με τον μαθηματικό Θεόδωρο και τέλος στον Τάραντα της Ιταλίας όπου γνώρισε τους πυθαγόρειους από τη φιλοσοφική σκέψη των οποίων επηρεάστηκε αποφασιστικά Μετά πέρασε στη Σικελία Στην αυλή του βασιλιά των Συρακουσών Διονυσίου Α΄ γνώρισε τον βασιλικό γυναικάδελφο Δίωνα με τον οποίον συνδέθηκε φιλικά Η φιλία όμως αυτή προκάλεσε τις υποψίες του Διονυσίου για συνωμοσία γι αυτό έδιωξε τον Πλάτωνα από τη Σικελία Στην Αίγινα κινδύνεψε να πουληθεί ως δούλος αλλά τον εξαγόρασε ο Κυρηναίος φίλος του Αννίκερης Επιστρέφοντας στην Αθήνα άνοιξε τη φιλοσοφική σχολή του την Ακαδημία (387 πΧ) Η προσπάθεια όμως των δύο φίλων να προσηλυτίσουν στις ιδέες τους τον νέο ηγεμόνα Διονύσιο τον Πρεσβύτερο απέτυχαν Για τρίτη φορά ήρθε στην αυλή των Συρακουσών το 361 πΧ με σκοπό να συμφιλιώσει τον Δίωνα με τον Διονύσιο Αυτή τη φορά κινδύνεψε και η ζωή του Τον έσωσε η επέμβαση του πυθαγόρειου Αρχύτα Αλλά ο Δίωνας δεν γλίτωσε Δολοφονήθηκε το 353 πΧ Έτσι ο Πλάτωνας έχασε τον άνθρωπο στον οποίο στήριξε τις ελπίδες του για την επιβολή των πολιτικών του ιδεών Από τότε και μέχρι τον θάνατό του ασχολήθηκε με τη διδασκαλία και με τη συγγραφή φιλοσοφικών έργων Επίσης έγραψε το συμπόσιο που μιλάει για την φύση του έρωτα στον Πρωταγόρα Μεταξύ άλλων θεμελιώνεται θεωρητικά η αρχή της πρόληψης που δεν λαμβάνει την τιμή ως απολύτως ανταποδοτική στον Παρμενίδη και Θεαίτητο θεμελιώνει την αντικειμενικότητα του λόγου και της ιδέας ενώ σε 2 μακρούς διαλόγους την Πολιτεία και τους Νόμους περιέγραψε την ιδανική πολιτεία

Η κύρια συμβολή του στα μαθηματικά βρίσκεται κυρίως στο ότι προέτρεπεe τους μαθηματικούς να ερευνούν καθολικές μαθηματικές αλήθειες και γενικά να καλλιεργούν τα μαθηματικά τα οποία θεωρούσε ότι διαθέτουν τεράστια εκπαιδευτική αξία Η προτροπή αυτή φαίνεται εκτός των άλλων και στις απόψεις του ότι τα μαθηματικά είναι lsquorsquoδόσις θεῶν εἰς ἀνθρώπουςrsquorsquo και ότι οδηγούν έντονα την ψυχή προς το θείο

Οι επιδράσεις του Πλάτωνος στους έπειτα αιώνες

Ο Γάλλος ιστορικός της φιλοσοφίας Ζακ Σεβαλιέ τονίζει στο έργο του laquoΙστορία της σκέψηςraquo (1955) την κυρίαρχη παρουσία ή έστω ανταύγεια της πλατωνικής φιλοσοφίας σε ολόκληρο το Μεσαίωνα και στην Αναγέννηση και στους Νεότερους χρόνους ενώ ο Γερμανός φιλόσοφος Καρλ Γιάσπερς προβάλλει τον Πλάτωνα ως το τον πρώτο από τους τρεις θεμελιωτές του φιλοσοφείν Η ιστορία της φιλοσοφίας μέχρι τον Κικέρωνα είναι σαφώς επηρεασμένη από αυτόν και είτε αμφισβητεί είτε ακολουθεί τη διδασκαλία του Ο μαθητής του Αριστοτέλης εξ ίσου επιδραστικός με τον ίδιο οδηγήθηκε στην ανάπτυξη τμήματος του έργου του ως απάντηση στον πλατωνισμό Η σχολή την οποία ο Πλάτωνας

18

ίδρυσε το 387 πΧ η Ακαδημία συνέχισε να ακμάζει ως τις αρχές του πρώτου αιώνα π Χ έχοντας όμως μετατραπεί σε σκεπτική σχολή μετά τις αρχές της ελληνιστικής περιόδου

Κατά την εποχή του Αυγούστου υπήρξε αναβίωση της πλατωνικής φιλοσοφίας ο μεσοπλατωνισμός με εκπροσώπους όπως ο Φίλων ο Αλεξανδρεύς ενώ κατά τα τέλη του δεύτερου αιώνα ο μεσοπλατωνισμός άρχεσαι να μετατρέπεται σταδιακά υπό την επίδραση του νεοπυθαγορισμού και του ερμητισμού στην κατεχόμενη από τους Ρωμαίους Αίγυπτο στο κίνημα του νεοπλατωνισμού με αρχικούς εκπροσώπους όπως ο Πλωτίνος το οποίο είχε ιδεαλιστικό μυστικιστικό και σωτηριολογικό χαρακτήρα Η Ακαδημία στην Αθήνα επανιδρύθηκε ως κέντρο νεοπλατωνικών μελετών κατά τον τέταρτο αιώνα

Την ίδια εποχή περίοδο έντονων θρησκευτικών ζυμώσεων στη Ρωμαϊκή Αυτοκρατορία και σταδιακής επικράτησης του χριστιανισμού στη Μεσόγειο οι ακόλουθοι της αστικής ελληνορωμαϊκής θρησκείας αλλά και των ελληνικών μυστηριακών λατρειών συσπειρώθηκαν γύρω από τον νεοπλατωνισμό ως υπερασπιστή του μέχρι πρότινος επικρατούντος παγανισμού Μεμονωμένοι νεοπλατωνικοί και παγανιστικοί πυρήνες επέζησαν ως τον έκτο αιώνα οπότε και ο Αυτοκράτορας Ιουστινιανός έκλεισε με διάταγμα την Ακαδημία της Αθήνας Μετά περίπου εννέα αιώνες το έτος 1439 ο Γεώργιος Γεμιστός Πλήθων γράφει στη Φλωρεντία το πολύκροτο έργο του Περί ὧν Αριστοτέλης προς Πλάτωνα που αποτέλεσε το έναυσμα της διαμάχης πλατωνικών και αριστοτελικών στο Βυζάντιο και στην Ιταλία Ο πλατωνισμός επιβίωσε υπογείως καθ όλον τον Μεσαίωνα κρυμμένος σε μυστηριακά ρεύματα έως ότου οι πρωτότυπες ιδέες του ανακαλύφθηκαν ξανά και σχολιάστηκαν κατά την Αναγέννηση Έτσι ούτε η νεότερη φιλοσοφική σκέψη έμεινε ανεπηρέαστη από αυτόν Τα διάφορα φιλοσοφικά συστήματα ή προσπαθούν να ανατρέψουν τις ιδέες του ή οικοδομούνται πάνω σ αυτές εκσυγχρονίζοντάς τες

Τα έργα του είναι

Αλκιβιάδης Α η Περί Ανθρώπου Φύσεως μαιευτικός

Αλκιβιάδης Β ή Περί Προσευχής μαιευτικός

Απολογία Σωκράτους ηθικός

Γοργίας ή Περί Ρητορικής ανατρεπτικός

Επινομίς ή Νυκτερινος Σύλλογος πολιτικός

Επιστολαί ηθικαί

Ερασταί ή Περί Φιλοσοφίας ηθικός

Ευθύδημος ή Εριστικός ανατρεπτικός

Ευθύφρων ή Περί του Οσίου

Θεάγης ή Περί Φιλοσοφίας μαιευτικός

Θεαίτητος ή Περί Επιστήμης πειραστικός

19

Ιππαρχος ή Φιλοκερδής ηθικός

Ιππίας ελάσσων ή Περί του Ψεύδους ανατρεπτικός

Ιππίας μείζων ή Περί του Καλού ανατρεπτικός

Ίων ή Περί Ιλιάδος πειραστικός

Κλειτοφών ή Προτρεπτικός ηθικός

Κρατύλος ή Περί Ονομάτων Ορθότητος λογικός

Κριτίας ή Ατλαντικός ηθικός

Κρίτων ή Περί του Πρακτέου ηθικός

Λάχης ή Περί Ανδρείας ηθικός

Λύσις ή Περί Φιλίας μαιευτικός

Μενέξενος ή Επιτάφιος ηθικός

Μένων ή Περί Αρετής πειραστικός

Μίνως ή Περί Νόμου πολιτικός

Νόμοι ή Περί Νομοθεσίας πολιτικός

Παρμενίδης ή Περί Ιδεών λογικός

Πολιτεία ή Περί Δικαίου πολιτικός

Πολιτικός ή Περί της Βασιλείας λογικός

Πρωταγόρας ή Σοφισταί επιδεικτικός

Σοφιστής ή Περί του Όντος λογικός

Συμπόσιον ή Περί Αγαθού ηθικός

Τίμαιος ή Περί Φύσεως φυσικός

Φαίδρος ή Περί Έρωτος ηθικός

Φαίδων ή Περί Ψυχής ηθικός

Φίληβος ή Περί Ηδονής ηθικός

Χαρμίδης ή Περί Σωφροσύνης πειραστικός

20

21

ΕυκλείδηςΒΙΟΓΡΑΦΙΑ

Υπολογίζεται ότι έζησε το βrsquo μισό του 4ου έως τις αρχές του 3ου πΧ αιώνα πιο συγκεκριμένα περίπου το 325 πΧ έως το 265 πΧ Κορυφαίος μαθηματικός της αρχαιότητας που επηρέασε με το έργο του σε ανυπέρβλητο βαθμό τον επιστημονικό τρόπο σκέψης σε όλο τον κόσμο Για τη ζωή του δεν υπάρχουν επιβεβαιωμένες πληροφορίες Πιθανώς εκπαιδεύτηκε στην Αθήνα στην Ακαδημία του Πλάτωνα και δίδαξε στην Αλεξάνδρεια Ξέρουμε ότι ήταν μεγαλύτερος στην ηλικία από τον Αρχιμήδη πράγμα που σημαίνει ότι η χρονολόγηση της ακμής του laquoγύρω στο 300 πΧraquo δεν πρέπει να απέχει πολύ από την αλήθεια Ο Πρόκλος επίσης τον χαρακτηρίζει σύγχρονο του βασιλιά Πτολεμαίου Αrsquo στον

οποίο είχε το θάρρος να του πει κατά πρόσωπο πως δεν υπάρχει βασιλική οδός προς τη γεωμετρία Ο Πάππος τον επαινεί για την ηθική του ακεραιότητα τη μετριοφροσύνη και την ευμενή στάση του προς όσους είναι ικανοί να προαγάγουν τη μαθηματική γνώση Ο Στοβαίος διηγείται το ακόλουθο ενδιαφέρον περιστατικό Ένας νέος επισκέφθηκε κάποτε τον Ευκλείδη και τον παρακάλεσε να τον διδάξει γεωμετρία Μόλις έμαθε το πρώτο θεώρημα ρώτησε τον Ευκλείδη laquoΚαι τώρα τι θα κερδίσω με το θεώρημα αυτόraquo Ο Ευκλείδης τότε γύρισε προς τον υπηρέτη του και του είπε laquoΔώσrsquo του τρεις δεκάρες ώστε να κερδίσει κάτι από το θεώρημα το οποίο έμαθεraquo Αυτά είναι όλα όσα γνωρίζουμε για τον Ευκλείδη ως άνθρωπο Πολύ μεγαλύτερη σημασία όμως έχει το έργο του το οποίο ακόμα και σήμερα μαρτυρεί τα απαράμιλλα χαρίσματά του ως δασκάλου

ΕΡΓΟ

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη

Μετά το θάνατο του Μεγάλου Αλεξάνδρου στα 323 πΧ η αχανής μακεδονική αυτοκρατορία διαιρέθηκε σε τρεις περιοχές Η περιοχή πού περιλάμβανε την Αίγυπτο περιήλθε κάτω από την άξια ηγεμονία του ικανού στρατηγού του Αλεξάνδρου Πτολεμαίου του Σωτήρος ο οποίος σύντομα κέρδισε τη βασιλεία της περιοχής Ο Πτολεμαίος επέλεξε για πρωτεύουσα της περιοχής του την Αλεξάνδρεια λίγα μόνο μίλια από τις εκβολές του ποταμού Νείλου και γύρω στα 300 πΧ άνοιξε τις πόρτες του περίφημου πανεπιστημίου της Αλεξάνδρειας Ανάμεσα στους μελετητές που κλήθηκαν να επανδρώσουν το νέο ίδρυμα ήταν και ο μαθηματικός Ευκλείδης που πιθανότατα υπήρξε μαθητής της Ακαδημίας του Πλάτωνα στην Αθήνα

22

Ο Ευκλείδης από τη στιγμή που ανέλαβε τα καθήκοντά του στην Αλεξάνδρεια όρισε ανάμεσα στους στόχους του τη συγκρότηση του μνημειώδους και ιστορικά σημαντικού έργου του των Στοιχείων Αυτή η αξιόλογη και εκτεταμένη εργασία γραμμένη σε δεκατρία βιβλία ή μέρη αποτελεί την αρχαιότερη εφαρμογή της αξιωματικής μεθόδου που έχει φτάσει στα χέρια μας Θεωρείται ο πρώτος μεγάλος σταθμός στην ιστορία της οργάνωσης των μαθηματικών και η μετέπειτα επίδραση της στον επιστημονικό τρόπο γραφής πολύ δύσκολα μπορεί να περιγραφεί

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη διεκδικούν αναμφισβήτητα μια θέση ανάμεσα στις μεγάλες στιγμές των μαθηματικών Η εργασία αυτή εκτόπισε τόσο γρήγορα και ολοκληρωτικά όλες τις προηγούμενες εργασίες ανάλογου περιεχομένου που σήμερα δεν υπάρχουν αντίγραφα προηγουμένων προσπαθειών και απλά γνωρίζουμε την ύπαρξη τους από σχόλια μεταγενέστερων συγγραφέων Τα Στοιχεία του Ευκλείδη από την πρώτη εμφάνιση τους κέρδισαν τεράστια εκτίμηση Με μοναδική εξαίρεση τη Βίβλο καμιά άλλη εργασία δεν χρησιμοποιήθηκε μελετήθηκε ή εκδόθηκε τόσο πολύ Για πάνω από δύο χιλιετίες κυριάρχησε στο χώρο διδασκαλίας της γεωμετρίας Από την πρώτη έκδοση της στα 1472 έχει γνωρίσει πάνω από χίλιες εκδόσεις Το περιεχόμενο και η μορφή της επέδρασαν εντυπωσιακά στην ανάπτυξη του αντικειμένου της και της λογικής θεμελίωσης των μαθηματικών

Ο Πρόκλος ένας κατοπινός σχολιαστής των μαθηματικών που έζησε στον 5ο αιώνα έχει δώσει μια εξήγηση της έννοιας του όρου laquoστοιχείαraquo Τα στοιχεία μιας αποδεικτικής μελέτης είναι τα πιο σημαντικά θεωρήματα ή τα θεωρήματα κλειδιά που χρησιμοποιούνται συχνά και πλατιά στο αντικείμενο της μελέτης Είναι τα θεωρήματα που χρειάζονται για την απόδειξη όλων ή των περισσότερων από τα άλλα θεωρήματα Η λειτουργία τους συγκρίνεται με αυτή των γραμμάτων του αλφαβήτου σε σχέση με τη γλώσσα Τα γράμματα στα ελληνικά ονομάζονται και στοιχεία Η επιλογή των προτάσεων που θα λειτουργήσουν ως στοιχεία κάποιου θέματος μελέτης απαιτεί μεγάλη ικανότητα και κρίση από το συγγραφέα

Δεν υποτιμά καθόλου την αίγλη του έργου του Ευκλείδη το γεγονός ότι είχαν προηγηθεί ανάλογες προσπάθειες Σύμφωνα με τον Πρόκλο η πρώτη προσπάθεια να γραφτούν Στοιχεία έγινε από τον Ιπποκράτη το Χίο στα μέσα του πέμπτου πΧ αιώνα Η επόμενη προσπάθεια ήταν του Λέοντα που χρονολογικά τοποθετείται κάπου ανάμεσα στον Πλάτωνα και τον Εύδοξο Όπως μαθαίνουμε η εργασία του Λέοντα περιείχε μια μεγαλύτερη και πιο χρήσιμη επιλογή προτάσεων από τον Ιπποκράτη Το βιβλίο που χρησιμοποιούνταν στην Ακαδημία του Πλάτωνα είχε επιμεληθεί ο Θεύδιος από τη Μαγνησία και θεωρούνταν μια θαυμάσια συλλογή στοιχείων Η εργασία του Θεύδιου ήταν ασφαλώς ο άμεσος πρόδρομος της εργασίας του Ευκλείδη ο οποίος την είχε χωρίς αμφιβολία στη διάθεση του ειδικά αν όπως πιστεύουν σπούδασε στην Ακαδημία του Πλάτωνα

Ο Ευκλείδης γνώριζε επίσης την εργασία του Θεαίτητου και του Εύδοξου Δεν είναι καθόλου υποτιμητικό ότι η εργασία του Ευκλείδη αποτελεί σε μεγάλο βαθμό συγκέντρωση και επιμέλεια των εργασιών των προγενεστέρων του αφού η ουσιαστική αξία των Στοιχείων βρίσκεται ακριβώς στην τέλεια επιδεξιότητα με την οποία επιλέχτηκαν και τοποθετήθηκαν

23

σε λογική σειρά οι προτάσεις ξεκινώντας από μια μικρή ομάδα αρχικών υποθέσεων Ούτε είναι υποτιμητικό το γεγονός ότι η εξονυχιστική μελέτη των σύγχρονων κριτικών έχουν αποκαλύψει ορισμένα μειονεκτήματα στη δομή της εργασίας του Ευκλείδη Δε θα μπορούσε κανείς να περιμένει μια τέτοια αρχική και κολοσσιαία προσπάθεια με την αξιωματική μέθοδο να μην παρουσιάζει καμία ατέλεια

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη έχουν γραφεί γύρω στο 300 πΧ αλλά το αυθεντικό χειρόγραφο κείμενο του Ευκλείδη δεν διασώζεται Αντίθετα σώζονται δεκάδες αντίγραφα που σε τελική ανάλυση κατάγονται από αυτό Το αρχαιότερο πλήρες αντίγραφο περιέχεται σε έναν χειρόγραφο περγαμηνό κώδικα που φυλάσσεται σήμερα στη Βιβλιοθήκη της Οξφόρδης και χρονολογείται από του έτους 888 ενώ μικρά αποσπάσματα του έργου διασώζονται σε παπύρους προγενέστερης εποχής καθώς και σε ένα παλίμψητο χειρόγραφο του 7ου ή του 8ου

μΧ αι που φυλάσσεται στο Βρετανικό Μουσείο Βλέπουμε λοιπόν ότι το αρχαιότερο χειρόγραφο που περιέχει το πλήρες κείμενο των Στοιχείων του Ευκλείδη χρονολογείται από τα τέλη του 9ου μΧ αι και επομένως απέχει από την εποχή μας όσο απέχει από την εποχή που ο ίδιος ο Ευκλείδης έγραψε το έργο

Όλες οι σύγχρονες εκδόσεις στηρίζονται σε μια επανέκδοση που έκανε ο Θεωνάς από την Αλεξάνδρεια ένας Έλληνας σχολιαστής που έζησε εφτακόσια περίπου χρόνια μετά τον Ευκλείδη Μόνο στις αρχές του 19ου αιώνα ανακαλύφθηκε ένα παλιότερο αντίγραφο Στα 1808 όταν ο Ναπολέοντας διέταξε να μεταφερθούν όλα τα αξιόλογα χειρόγραφα από τις ιταλικές βιβλιοθήκες στο Παρίσι ο Φ Πέιραρντ (F Peyrard) ανακάλυψε στη βιβλιοθήκη του Βατικανού ένα αντίγραφο των Στοιχείων από έκδοση προγενέστερη από του Θεωνά Η μελέτη όμως αυτής της παλιότερης έκδοσης αποκάλυψε δευτερεύουσες μόνο διαφορές από τον Θεωνά

Οι πρώτες πλήρεις μεταφράσεις των Στοιχείων στα λατινικά δεν έγιναν από τα ελληνικά αλλά από τα αραβικά Τον 8ο αιώνα οι Άραβες μετέφρασαν έναν αριθμό βυζαντινών χειρογράφων με ελληνικές εργασίες και στα 1120 ο Άγγλος μελετητής Άντελαρντ (Adelard) από το Μπαθ μετέφρασε τα Στοιχεία στα λατινικά χρησιμοποιώντας μια απ αυτές τις παλιότερες αραβικές μεταφράσεις Άλλες λατινικές μεταφράσεις από τα αραβικά έκαναν ο Γκεράρντο από την Κρεμώνα (Gherardo 1114-1187) και 150 χρόνια μετά τον Άντελαρντ ο Γιοχάννες Καμπάνους (Johannes Campanus) Η πρώτη τυπωμένη έκδοση των Στοιχείων έγινε στη Βενετία στα 1482 η έκδοση αυτή ήταν η μετάφραση του Καμπάνους Αυτό το πολύ σπάνιο βιβλίο ήταν θαυμάσια τυπωμένο και ήταν το πρώτο αξιόλογο μαθηματικό βιβλίο που τυπώθηκε Μια σημαντική λατινική μετάφραση από τα ελληνικά έγινε από τον Κομμαντίνο (Commandino) στα 1572 Αυτή η μετάφραση χρησιμοποιήθηκε ως βάση για πολλές άλλες μεταφράσεις που ακολούθησαν ανάμεσα σ αυτές και η εργασία του Ρόμπερτ Σίμσον (Robert Simson) που άσκησε σημαντική επιρροή και αποτέλεσε με τη σειρά της τη βάση για πάρα πολλές αγγλικές εκδόσεις

24

Αναλυτική περιγραφή των laquo στοιχείων raquo

Ειδικότερα το πρώτο βιβλίο αναφέρεται σε τεμνόμενες και παράλληλες ευθείες στην ισότητα ευθύγραμμων σχημάτων και στο τέλος το πυθαγόρειο θεώρημα Στο 2ο βιβλίο αναφέρονται συνέπειες από το πυθαγόρειο θεώρημα και γίνονται μετασχηματισμοί ευθύγραμμων σχημάτων σε ισοδύναμα τετράγωνα Εδώ περιέχεται και το πρόβλημα

της laquoχρυσής τομήςraquo Πολλές από τις προτάσεις αυτού μπορούν με σύγχρονους συμβολισμούς να πάρουν μορφή αλγεβρική γιrsquo αυτό έχει επικρατήσει να λέγεται για το 2ο βιβλίο ότι εισάγει τη laquoγεωμετρική άλγεβραraquo Στο 3ο βιβλίο εξετάζεται ο κύκλος και στο τέταρτο βιβλίο λύνονται προβλήματα σχετικά με τα εγγεγραμμένα στον κύκλο κανονικά πολύγωνα Στο 5ο βιβλίο σπουδάζεται η laquoθεωρία των λόγωνraquo του Ευδόξου Πρόκειται ουσιαστικά για τη θεωρία των πραγματικών αριθμών δοσμένη όμως σε μορφή γεωμετρική Το 6ο βιβλίο ασχολείται με την ομοιότητα επίπεδων σχημάτων και σrsquo αυτά αποδεικνύεται ότι από όλα τα ορθογώνια με δοσμένη περίμετρο το τετράγωνο έχει το μέγιστο εμβαδόν Στα βιβλία 7ο-9ο που αφορούν στην αριθμοθεωρία είναι εκπληκτικό πώς με παντελή μπορεί να πει κανείς έλλειψη συμβολισμών (αριθμοί δεν αναγράφονται) κατορθώνεται μια ακροβασία στην αλληλουχία των συλλογισμών που καταλήγει σε πολύ ενδιαφέροντα αριθμητικά αποτελέσματα Ειδικότερα στο 7ο βιβλίο μελετιούνται οι άρτιοι και οι περιττοί αριθμοί οι πρώτοι και οι σύνθετοι καθώς και οι τέλειοι εξετάζονται διάφορα προβλήματα διαιρετότητας ορίζεται το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο αριθμών (ΕΚΠ) καθώς και ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης τους και δίνεται η μέθοδος προσδιορισμού του που ονομάστηκε laquoΕυκλείδειος Αλγόριθμοςraquo Στα δύο επόμενα βιβλία εξακολουθεί η σπουδή αριθμοθεωρητικών θεμάτων στο 8ο εισάγονται επίσης και μελετιούνται οι γεωμετρικές πρόοδοι και στο 9ο έχουν συμπεριληφθεί τρεις σημαντικότατες προτάσεις Πρόκειται για α) το αποκαλούμενο laquoθεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικήςraquo β) την απόφανση ότι υπάρχουν απειράριθμοι πρώτοι και γ) την πρόταση που οδηγεί σε ένα γενικό τύπο που παρέχει άρτιους τέλειους αριθμούς Στο 10ο βιβλίο που αποτελεί ένα από τα ωραιότερα μέρη των Στοιχείων γίνεται μια ταξινόμηση των τετραγωνικών άρρητων και των τετραγωνικών ριζών τους και κατασκευάζεται ένα σύνολο ασύμμετρων μεγεθών το οποίο μαζί με το σύνολο των ρητών συναποτελεί επέκταση αυτού του τελευταίου τέτοια ώστε κάθε στοιχείο της να είναι κατασκευασμένο με κανόνα και διαβήτη Τέλος τα βιβλία της στερεομετρίας το 11ο βιβλίο ασχολείται με θεμελιώδεις σχέσεις μεταξύ ευθειών και επιπέδων καθώς και με τις στερεές γωνίες στο 12ο αναφέρεται σε επιφάνειες και όγκους στερεών και στο 13ο γίνεται η μελέτη της σφαίρας σε συσχετισμό με τα εγγεγραμμένα σε αυτήν κανονικά πολύεδρα

25

Άλλα έργα

bull Δεδομένα (94 θεωρήματα) έργο ανώτερης γεωμετρίας Στο έργο αυτό περιέχονται προτάσεις σε σχήματα στα οποία δίνονται ορισμένα στοιχεία τους κατά σχήμα θέση ή μέγεθος

bull Περί διαιρέσεων (36 προτάσεις) με περιεχόμενό του τη διαίρεση σχημάτων με δοσμένη σχέση

bull Πορίσματα (3 βιβλία που χάθηκαν) σώθηκαν ορισμένα αποσπάσματα που το 1860 έγινε απόπειρα ανασύνθεσής τους από τον Πάππο

bull Οπτικά-κατοπτρικά αντίστοιχα γεωμετρική οπτική ανάκλαση του φωτός πάνω σε επίπεδο κάτοπτρο

bull Φαινόμενα εγχειρίδιο κοσμογραφίας απλές προτάσεις για τη σφαίρα

bull Κατατομή κανόνος στοιχεία πυθαγόρεια θεωρία μουσικής

bull Ψευδάρεια laquoπαράδοξαraquo με στόχο να ασκηθούν οι σπουδαστές στην ανεύρεση λογικών σφαλμάτων κατά τις αποδείξεις

bull Κωνικαί τομαί Μηχανικά δεν γνωρίζουμε τίποτα γιrsquo αυτά τα έργα

Αιτήματα του Ευκλείδη

Τα αιτήματα είναι αρχικές προτάσεις οι οποίες προσιδιάζουν στη συγκεκριμένη κάθε φορά επιστήμη στην προκειμένη περίπτωση στη Γεωμετρία Ο Ευκλείδης διατυπώνει 5 αιτήματα

1 Ζητείται να γίνει δεκτό ότι από οποιοδήποτε σημείο σε οποιοδήποτε σημείο άγεται ευθεία γραμμή

2 Και (ότι) πεπερασμένη ευθεία προεκτείνεται σε ευθεία κατά συνεχή τρόπο

3 Και (ότι) με οποιοδήποτε κέντρο και διάστημα γράφεται κύκλος

4 Και (ότι) όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους

5 Και αν η ευθεία η οποία τέμνει δύο ευθείες σχηματίζει δύο εντός και επί τrsquo αυτά μέρη γωνίες μικρότερες των δύο ορθών τότε οι δύο ευθείες προεκτεινόμενες επrsquo απείρου συναντώνται προς εκείνα τα μέρη τους όπου βρίσκονται μικρότερες των δύο ορθών

Ακολουθούν τα laquoαιτήματαraquo διατυπωμένα σε αρχαίο κείμενο όπως αυτά βρίσκονται στο Βιβλίο Ι

26

Ο ρόλος των τριών πρώτων από τα αιτήματα αυτά είναι να εξασφαλίσουν τη νομιμότητα των κατασκευών της ευθείας και του κύκλου και κατά συνέπεια εκείνων και μόνο των γραμμών και των γεωμετρικών σχημάτων που κατασκευάζονται με πεπερασμένο αριθμό βημάτων από τα δύο αυτά βασικά σχήματα Στα Στοιχεία επομένως δεν έχουν θέση καμπύλες όπως είναι οι κωνικές τομές τη τετραγωνίζουσα κλπ ή κατασκευές όπως κατασκευές νεύσεως Η φύση των δύο τελευταίων αιτημάτων είναι διαφορετική Αποσκοπούν να δηλώσουν ότι κάποια γεωμετρικά σχήματα έχουν ορισμένες ειδικές ιδιότητες

Πολλοί ιστορικοί των μαθηματικών έχουν ασχοληθεί κατά το παρελθόν με το ερώτημα εάν τα αξιώματα του Ευκλείδη ικανοποιούν τις σύγχρονες απαιτήσεις (πληρότητα συνέπεια ανεξαρτησία) ενός αξιωματικού συστήματος Από την προσεκτική μελέτη των αποδείξεων κι των κατασκευών που περιέχονται στα Στοιχεία προκύπτει ότι ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί μερικές φορές απόρρητες παραδοχές οι οποίες δεν περιλαμβάνονται στα αξιώματα Επομένως το σύστημα των αξιωμάτων του δεν ικανοποιεί την απαίτηση της πληρότητας

Μεγάλο ιστορικό ενδιαφέρον εξάλλου έχει το ερώτημα της ανεξαρτησίας των αιτημάτων του Ευκλείδη ιδιαίτερα σε ότι αφορά το πέμπτο από αυτά Το αίτημα αυτό αναφέρεται συχνά και ως laquoαίτημα των παραλλήλωνraquo γιατί μια ισοδύναμη διατύπωσή του είναι η εξής από ένα σημείο εκτός ευθείας άγεται μια μόνο παράλληλη προς τη ευθεία Πολλοί μαθηματικοί από την αρχαιότητα έως τα μέσα του 18ου αιώνα προσπάθησαν να εξαγάγουν το αίτημα αυτό από τα άλλα αιτήματα όλες οι προσπάθειες όμως απέβησαν άκαρπες Από τα τέλη του 18ου αιώνα η προσδοκώμενη εξάρτηση του αιτήματος επιχειρήθηκε να αποδειχτεί με έμμεσο τρόπο Η σκέψη ήταν η εξής αν το αίτημα των παραλλήλων μπορεί να εξαχθεί από τα άλλα τέσσερα αιτήματα μαζί με την άρνηση του πέμπτου θα πρέπει να οδηγούν σε αντίφαση Το νέο σύστημα αξιωμάτων όμως αντί να οδηγήσει σε αντίφαση αποδείχτηκε ότι παράγει συνέπειες μαθηματικές θεωρίες Έτσι ανακαλύφθηκαν οι λεγόμενες μη ευκλείδειες γεωμετρίες και ταυτόχρονα αποδείχθηκε η ανεξαρτησία των αιτημάτων του Ευκλείδη

27

Ας δούμε τώρα την διατύπωση και την απόδειξη της πρότασης (5) που περιέχεται στο Βιβλίο Ι των laquoστοιχείωνraquo και αναφέρεται στη γνωστή μας πρόταση της ισότητας των παρά τη βάση γωνιών ισοσκελούς τριγώνου

28

Γιατί διδάσκουμε το μάθημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στο ζήτημα της laquoχρησιμότηταςraquo των σχολικών Μαθηματικών θα μπορούσε κανείς να αντιπαραθέσει (και πράγματι αντιπαρατέθηκαν) πολλές διαφορετικές απόψεις Εμείς θα παραθέσουμε απλώς ένα απόσπασμα από τις αυτοβιογραφικές σημειώσεις του Albert Einstein το οποίο δείχνει μια άλλη τελείως διαφορετική αντίληψη σχετικά με την laquoχρησιμότηταraquo της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Γράφοντας για τα γεγονότα της παιδικής και εφηβικής του ζωής που είχαν μεγάλη επίδραση στην μετέπειτα εξέλιξη του ο Einstein σημειώνει

Σε ηλικία 12 ετών δοκίμασα μια δεύτερη τελείως διαφορετική έκπληξη σε ένα μικρό βιβλίο Ευκλείδειας επίπεδης γεωμετρίαςhellip Εδώ υπήρχαν ισχυρισμοί όπως για παράδειγμα τα τρία ύψη ενός τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο οι οποίοι - αν και καθόλου προφανείς - μπορούσαν ωστόσο να αποδειχτούν με τέτοια βεβαιότητα ώστε να μην χωρεί η παραμικρή αμφιβολία Αυτή η σαφήνεια και βεβαιότητα μου προξένησαν μια εντύπωση που δεν μπορεί να περιγραφεί Το γεγονός ότι τα αξιώματα έπρεπε να γίνουν δεκτά χωρίς απόδειξη δεν με ενόχλησε Σε κάθε περίπτωση μου αρκούσε πλήρως το γεγονός ότι μπορούσαν να στηρίζω τις αποδείξεις σε προτάσεις η εγκυρότητα των οποίων ήταν για μένα αναμφισβήτητη

Η περίπτωση του Einstein του επιστήμονα που άλλαξε ριζικά τις αντιλήψεις μας και την γεωμετρική δομή του σύμπαντος αποκαλύπτει την σπουδαιότητα ορισμένων παιδαγωγικών σκοπών και τη συνάφειά τους με το ερώτημα που θέσαμε ως τίτλο αυτής της ενότητας καλλιέργεια και ανάπτυξη της συγκροτημένης σκέψης μύηση στην επιστημονική μέθοδο μελέτες του κόσμου Αυτοί οι σκοποί παρόλη τη γενικότητά τους συνδέονται άμεσα με τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας που άσκησαν καθοριστική επίδραση στο νεαρό Einstein τα οποία είναι

bull Σαφήνεια στην έκθεση

bull Ολοκληρωτική απόδειξη κάθε υπόθεσης

bull Απόλυτη συνάφεια σχημάτων και συλλογισμών

bull Τάξη και ομορφιά

Αν τα στοιχεία αυτά αποτελούν ουσιώδη συστατικά της μαθηματικής παιδείας τότε παρέχουν κατά την άποψή μας μια αυτονόητη απάντηση στο ερώτημα laquoΓιατί διδάσκουμε την Ευκλείδεια Γεωμετρίαraquo

Αντιλήψεις και αντιπαραθέσεις για τη διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Οι ένθερμοι υποστηρικτές της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προβάλλουν την παιδαγωγική αξία της λογικής και διάφανης επιχειρηματολογίας των γεωμετρικών αποδείξεων ενώ οι πολέμιοί της επικαλούνται την αναμφισβήτητη δυσκολία των περισσότερων μαθητών να κατανοήσουν τις γεωμετρικές έννοιες και τις πολύ χαμηλές επιδόσεις τους στην αντιμετώπιση σχετικών προβλημάτων Ενδιάμεσα βρίσκονται συνήθως οι σκεπτικιστές οι οποίοι επισημαίνουν τον περιορισμένο επιστημολογικά ρόλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και την ανάγκη να ανανεωθεί η διδασκαλία των Μαθηματικών δίνοντας μεγαλύτερη έμφαση σε πιο σύγχρονους και laquoχρήσιμουςraquo κλάδους (πχ Πιθανότητες και Στατιστική) Από την εποχή που ο Dieudonne κήρυξε τον πόλεμο κατά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας οι αντιλήψεις

29

αυτές έγιναν αντικείμενο επεξεργασίας και αντιπαρατέθηκαν μεταξύ τους από σημαντικούς μαθηματικούς και παιδαγωγούς ενώ οι σχετικές συζητήσεις συνεχίζονται με αμείωτη ένταση μέχρι σήμερα Σε μια ειδική μελέτη της Διεθνούς Επιτροπής για τη Μαθηματική Εκπαίδευση (ICMI) έγινε απόπειρα σύνθεσης των διαφόρων τάσεων και διατυπώθηκαν οι εξής τρεις εναλλακτικές λύσεις για τη διδασκαλία του μαθήματος

1 η λύση

Απορρίπτουμε την ιδέα ότι η Γεωμετρία πρέπει ή μπορεί να χρησιμοποιηθεί στο σχολείο ως ένα σύστημα γνώσεων (παραγωγικά οργανωμένο ή όχι) όπου οι έννοιες και τα γεγονότα πρέπει να γίνουν γνωστά απλά και μόνο επειδή ανήκουν στο σύστημα Αντίθετα η Γεωμετρία και ο χώρος θεωρούνται ως πηγές άντλησης εξαιρετικών θεμάτων για την οργάνωση πολλαπλών δραστηριοτήτων σε διαφορετικά επίπεδα Οι laquoχρησιμοθηρικέςraquo όψεις της Γεωμετρίας θα εξυπηρετηθούν με την παροχή αλγεβρικών μεθόδων

2 η λύση

Εξακολουθούμε να επιχειρούμε τη διδασκαλία ενός αξιωματικού ή ψευδο-αξιωματικού μαθήματος σχολικής Γεωμετρίας το οποίο στηρίζεται είτε σε laquoτροποποίησηraquo των laquoΣτοιχείωνraquo του Ευκλείδη (για παράδειγμα αξιωματική θεμελίωση τύπου Pogorelov) είτε πχ στους γεωμετρικούς σχηματισμούς

3 η λύση

Για ορισμένες ομάδες μαθητών τουλάχιστον παρουσιάζουμε laquoνησίδεςraquo Γεωμετρίας δηλαδή laquoτοπικάraquo παραγωγικά συστήματα μέσα στο πλαίσιο του γενικού αναλυτικού προγράμματος (Έτσι μπορούμε για παράδειγμα να έχουμε ενότητες για τις ιδιότητες των εγγεγραμμένων σε κύκλο γωνιών ή τη στοιχειώδη προβολική Γεωμετρία)

Στην Ελλάδα για προφανείς ιστορικούς και πολιτιστικούς λόγους συνεχίζεται μια παράδοση που προσεγγίζεται εγγύτατα τη δεύτερη από τις προηγούμενες εναλλακτικές λύσεις Ακόμη και την περίοδο της μεταρρύθμισης των laquoΝέων Μαθηματικώνraquo η διεθνής πίεση για εκσυγχρονισμό των σχολικών Μαθηματικών και εγκατάλειψη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αφομοιώθηκε στη χώρα μας μέσα από έναν ιδιότυπο συμβιβασμό από τη μια μεριά διατηρήθηκε όλη η παραδοσιακή σχολική ύλη την οποία σε μεγάλο βαθμό συντηρούσαν οι εισαγωγικές εξετάσεις των ΑΕΙ και από την άλλη δόθηκε υπερβολική έμφαση στην αυστηρή αξιωματική θεμελίωσης της Γεωμετρίας καθώς και με την εισαγωγή νέας ύλης πάνω στους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς Στις αντιφατικές επιλογές εκείνης της περιόδου βρίσκονται κατά την άποψη μας οι ρίζες της μετέπειτα υποβάθμισης και παρακμής του μαθήματος της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

30

Το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στη σύγχρονη Διδακτική των Μαθηματικών τα θεμελιώδη επιστημολογικά χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας όπως είναι η παραγωγική οργάνωση του περιεχομένου η αποδεικτική διαδικασία και η έμφαση στις γεωμετρικές κατασκευές αναφέρονται συνήθως ως laquoανώτερα επίπεδα γεωμετρικής σκέψηςraquo και η μάθηση τους έχει γίνει αντικείμενο συστηματικής μελέτης και έρευνας Ένα βασικό θεωρητικό μοντέλο στο οποίο έχει στηριχθεί η διεξαγωγή μεγάλου αριθμού ερευνών σε διάφορες χώρες αποτελούν τα λεγόμενα laquoεπίπεδα van Hieleraquo Σύμφωνα με αυτό το μοντέλο η μάθηση της Γεωμετρίας εξελίσσεται ιεραρχικά περνώντας από πέντε διαδοχικά επίπεδα

bull 1ο επίπεδο Εποπτικό

bull 2ο επίπεδο ΠεριγραφικόΑναλυτικό

bull 3ο επίπεδο ΑφηρημένοΣχεσιακό

bull 4ο επίπεδο ΤυπικόΠαραγωγικό

bull 5ο επίπεδο Μεταμαθηματικό

Οι μαθητές κατανοούν τη σημασία και τη διαδικασία οικοδόμησης ενός αξιωματικού μαθηματικού συστήματος και τις σχέσεις ανάμεσα σε διαφορετικά συστήματα Για παράδειγμα αναγνωρίζουν ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία δεν είναι παρά ένας από τους πολλούς δυνατούς τρόπους περιγραφής ενός αφηρημένου μαθηματικού σύμπαντος

Είναι φανερό ότι η διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προϋποθέτει τα δύο πρώτα επίπεδα και έχει ως κύριο σκοπό την κατάκτηση των δύο επόμενων επιπέδων (για το 5ο

μάλλον δεν μπορεί να γίνεται λόγος στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση) Σε θεωρητικό επίπεδο τόσο και η θεωρία των van Hiele όσο και η γενικότερη θεωρία των σταδίων μάθησης του Piaget προβλέπουν ότι η κατάκτηση αυτών των επιπέδων είναι μια επίπονη και ιεραρχικά εξελισσόμενη διαδικασία που απαιτεί μακροχρόνια και προσεχτικά σχεδιασμένη διδασκαλία Αυτές οι θεωρητικές προβλέψεις φαίνεται να επιβεβαιώνονται από πολλές εμπειρικές έρευνες που έχουν διεξαχθεί σε διάφορες χώρες και τα αποτελέσματά τους οδηγούν σε ένα βασικό συμπέρασμα laquo η καθιερωμένη παραδοσιακή διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αδυνατεί να οδηγήσει τους μαθητές στην κατάκτηση των ανώτερων επιπέδων γεωμετρικής σκέψης raquo

Από τα αποτελέσματα αυτών των ερευνών αξίζει νrsquo αναφέρουμε εδώ ένα εντυπωσιακό στατιστικό στοιχείο που αποκαλύπτει τις διαστάσεις του προβλήματος σε μια έρευνα που έγινε στις ΗΠΑ μεταξύ 1520 μαθητών που είχαν ολοκληρώσει ένα έτος διδασκαλίας της θεωρητικής Ευκλείδειας Γεωμετρίας διαπιστώθηκε ότι μόνο το 30 είχε φτάσει σε ένα επίπεδο που μπορεί να χαρακτηριστεί από 75 επιτυχία στην απόδειξη απλών γεωμετρικών προτάσεων (πχ ότι οι διαγώνιες ενός ορθογωνίου είναι ίσες) Το ποσοστό των μαθητών που είχαν 100 επιτυχία δεν ξεπέρασε το 3

31

Κοινή πεποίθηση όλων αυτών των ερευνητών είναι ότι για να κατανοηθούν οι παραγωγικές αποδείξεις της Ευκλείδειας Γεωμετρίας απαιτείται μια ισχυρή διαισθητική βάση την οποία οι μαθητές θα αποκτήσουν μέσα από επαγωγικές εμπειρικές ανακαλύψεις τη διαπίστωση και επαλήθευση υποθέσεων τις γεωμετρικές κατασκευές και εφαρμογές Έτσι λοιπόν η διδασκαλία της Γεωμετρίας δεν θα πρέπει να στηρίζεται σrsquo ένα τεχνητό διαχωρισμό ανάμεσα σε laquoΠρακτική Γεωμετρίαraquo σχεδίασης και μετρήσεων και μια laquoΘεωρητική Γεωμετρίαraquo αποδείξεων αλλά να συνδυάζει μια ισορροπημένη ανάπτυξη των δύο αυτών όψεων του μαθήματος σrsquo όλο το φάσμα της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Η επινόηση διδακτικών μέσων και μεθόδων που θα επιτρέψουν την υλοποίηση αυτού του στόχου φαίνεται ότι αποτελεί σήμερα το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ

Η Γεωμετρία του Ευκλείδη απετέλεσε το θεμέλιο για την ανάπτυξη της laquoδυτικήςraquo επιστήμης και τεχνικής και σ αυτή τη Γεωμετρία στηρίζονται οι προϋποθέσεις της κλασικής Φυσικής από την Αναγέννηση και μετά Μόλις το 19ο αιώνα διαπιστώθηκε όμως (Λάμπερτ Γκάους Μπολυάι Λομπατσέβσκι κά) ότι η ευκλείδεια Γεωμετρία στηρίζεται στην απλοϊκή αντίληψη του επίπεδου χώρου ο οποίος είναι μεν χρήσιμος για την περιοχή που αντιλαμβάνεται με τις αισθήσεις του ένας άνθρωπος αλλά όχι για πολύ μεγάλες τιμές των φυσικών μεγεθών (αποστάσεις ταχύτητες μάζες κτλ) Τότε παύει να ισχύει η επίπεδη αντίληψη και μαζί της η Ευκλείδεια Γεωμετρία επειδή στην πραγματικότητα ο χώρος είναι κυρτός Έτσι η Γεωμετρία συμπληρώνεται με βάση αντιλήψεις που στηρίζονται στον υπερβολικό ελλειπτικό κά χώρο

Σήμερα η γεωμετρία του Ευκλείδη διδάσκεται παγκοσμίως και ανελλιπώς επί 23 αιώνες με τον τιμητικό τίτλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Στη σύγχρονη όμως σχολική γεωμετρία περιλαμβάνονται και υπολογισμοί και μετρήσεις οι οποίες από το έργο του Ευκλείδη απουσιάζουν εντελώς

Η συνολική προσφορά του Ευκλείδη στα Μαθηματικά και τις εφαρμοσμένες τέχνες υπήρξε σημαντικότατη και ταυτόχρονα βάση από την οποία εξόρμησαν οι μεταγενέστεροι μαθηματικοί γεωγράφοι και αστρονόμοι για να οδηγηθούν στο τελικό μαθηματικό θαύμα της Ελληνικής Αρχαιότητας

32

33

ΒΙΟΓΡΑΦΙΑ Ο Αρχιμήδης ήταν ένας από τους μεγάλους μαθηματικούς μηχανικούς και φυσικούς του αρχαίου Ελληνικού χώρου και μια από τις μεγαλύτερες μαθηματικές ευφυΐες του κόσμου Γεννήθηκε έζησε και πέθανε στις Συρακούσες την μεγάλη Ελληνική αποικία της Σικελίας

Πατέρας του Αρχιμήδη ήταν ο αστρονόμος Φειδίας που είχε δεσμούς φιλίας με το βασιλικό γένος των Συρακουσών Ο Αρχιμήδης ταξίδεψε στην Αίγυπτο και ήρθε σε επαφή με τους διαδόχους του Ευκλείδη του Ερατοσθένη και το Δισίθεο ενώ ήταν φίλος και συμμαθητής του Κόνωνα του Σάμιου

Υπήρξε λαμπρό παράδειγμα πρωτότυπου ερευνητή ο οποίος δεν ενδιαφέρθηκε να διευκολύνει τους αρχάριους αλλά ασχολήθηκε κυρίως για την αποκάλυψη νέων αληθειών για δική του ικανοποίηση και των ώριμων ήδη διανοούμενων Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο ενώ η κατανόηση του Ευκλείδη δεν απαιτεί εξαιρετική προηγούμενη γνώση και ευφυΐα τα προϊόντα της μαθηματικής σκέψεως τα οποία πρόκειται τώρα να εξετάσουμε είναι προσιτά αποκλειστικώς και μόνο στην ανάγνωση υψηλής πνευματικής στάθμης

Πήγε στην Αίγυπτο ως εκπαιδευτικός και ήρθε σε επαφή όχι βέβαια με τον Ευκλείδη που είχε στο μεταξύ πεθάνει αλλά με τους διαδόχους του και έκανε στενούς δεσμούς με εξαιρετικούς γεωμετρικούς όπως ο Κόνων ο Σάμιος ο Ερατοσθένης ο Κυρηναίος ο Δισίθεος κλπ από τους οποίους κατόπιν όσα έργα συνέταξε μετά την επιστροφή του στην πατρίδα του

34

Το έργο τουΤο έργο του Αρχιμήδη υπήρξε τεράστιο τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά και η ερευνητική ματιά του κάλυψε πολλούς τομείς γεωμετρία οπτική (κατοπτρική) υδραυλική μηχανική αρχιτεκτονική και την πολιορκητική Συνέδεσε το όνομά του με την γένεση της μηχανικής στην αρχαία Ελλάδα και με την λύση περίφημων μαθηματικών προβλημάτων καθώς και με τις αμυντικές εφευρέσεις του που χρησιμοποιήθηκαν όταν οι Ρωμαίοι πολιορκούσαν την πατρίδα του τις Συρακούσες

Σχολιαστής του έργου του Αρχιμήδη υπήρξε ο Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης (6ος αι μΧ) που καταγόταν από την ελληνική πόλη της Συρίας Ασκαλών

Στον χώρο της εφαρμοσμένης μηχανικής ο Αρχιμήδης επινόησε ιδιοφυείς μηχανές κάθε είδους Εφηύρε τον ρωμαϊκό ζυγό (καντάρι) το τρίσπαστο (ανυψωτική τριπλή τροχαλία) και τον ατέρμονα κοχλία έλιξ του Αρχιμήδους μηχανή άντλησης νερού από ποταμούς και φρέατα (η οποία χρησιμοποιείται ακόμα και στις μέρες μας σε περιοχές της βόρειας Αφρικής) Κατασκεύασε ένα υδραυλικό ρολόι το οποίο υπολόγιζε με μεγάλη ακρίβεια τις ώρες (και ειδοποιούσε για την αλλαγή της ώρας)

Μεγάλη φήμη απέκτησαν οι πολεμικές μηχανές του Αρχιμήδη αρχιτρόνιτο (πυροβόλο ατμού) καταπέλτες άρπαγες (μηχανισμός που ανύψωνε και αναποδογύριζε πλοία) και κάτοπτρα για την καύση των Ρωμαϊκών εχθρικών πλοίων (με παραβολικά κάτοπτρα όπως αποδείχτηκε από τα πειράματα του μηχανικού Ι Σακκά ο οποίος το 1973 απόδειξε τον τρόπο με τον οποίο ο Αρχιμήδης έκαψε τον ρωμαϊκό στόλο) Σύμφωνα με την παράδοση όταν η πόλη μετά από τριετή αντίσταση των ελλήνων κατελήφθη με προδοσία ένας ρωμαίος στρατιώτης σκότωσε τον Έλληνα επιστήμονα ενώ αυτός ήταν προσηλωμένος σε κάποιο γεωμετρικό πρόβλημα ΜΗ ΜΟΥ ΤΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥΣ ΤΑΡΑΤΤΕ πρόλαβε να του απαντήσει ο Έλληνας επιστήμονας

Ο Αρχιμήδης επηρέασε σε μεγάλο βαθμό την ευρωπαϊκή επιστημονική σκέψη καθώς και τους Άραβες επιστήμονες οι οποίοι αντέγραψαν όλα τα έργα του στα αραβικά γλώσσα στην οποία διασώθηκαν αρκετά αφού τα πρωτότυπα είχαν χαθεί

35

Διασωθέντα συγγράμματα

bull Περί σφαίρας και κυλίνδρου Βιβλίο α και βbull Κύκλου μέτρησις Σώζονται τρία θεωρήματαbull Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων (32 θεωρήματα 1 πόρισμα)bull Περί ελίκων (28 θεωρήματα 6 πορίσματα)bull Περί επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων ή Μηχανικά Βιβλ α και βbull Περί μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος (=μέθοδος)bull Βιβλίο λημμάτωνbull Πρόβλημα Βοεικόνbull Κατασκευή πλευράς του περιγραφομένου εις κύκλο επταγώνουbull Ωρολόγιον Αρχιμήδους (Σώζεται στα αραβικά)bull Περί κύκλων εφαπτομένων αλλήλωνbull Αρχαί της Γεωμετρίαςbull Ψαμμίτηςbull Τετραγωνισμός παραβολήςbull Οχουμένων (Υδροστατική)bull Στομάχιον (Σώζονται λίγα αποσπάσματα)

Συγγράμματα μη διασωθέντα (ή συγγράμματα μη αποκαλυφθέντα μέχρι σήμερα)

bull Αριθμητικάbull Βαρουλκός Υδροσκοπίαι Πνευματικήbull Επισίδια Βιβλία (Μάλλον περί στατιστικής - Τζέτζης)bull Περί τριγώνωνbull Περί τετραπλεύρουbull Περί ζευγώνbull Περί 13 ημικανονικών πολυέδρωνbull Ισοπεριμετικάbull Ισορροπίαιbull Καύσις δια κατόπτρων (επ΄ αυτού έγινε επιτυχές πείραμα στο ΝΣ)bull Περί Αρχιτεκτονικήςbull Περί βαρύτητος και ελαφρότητος (Πυκνόμετρα - Αραιόμετρα)bull Περί δρομομέτρων (Οδόμετρα πλοίων)bull Περί κέντρου Βάρους ή Κεντροβαρικάbull Κατοπρικάbull Περί παραλλήλων γραμμώνbull Περί κοίλων και παραβολικών κατόπτρωνbull Προοπτικήbull Στοιχεία μηχανικώνbull Πλινθίδες και Κύλινδροιbull Στοιχεία επί των στηρίξεωνbull Σφαιροποιΐα

36

Εφευρέσεις

bull Αραιόμετρο - Πυκνόμετροbull Αστρονομική συσκευήbull Βαρουλκόςbull Γερανοί (Αρπάγες)bull Καταπέλτεςbull Κάτοπτραbull Κοχλίας ή έλιξbull Οδόμετρο (δρομόμετρο)bull Πλανητάριον (σφαίρα)bull Πολύσπαστον (Βαρούλκο) τρίσπαστοbull Σίφωνbull Στομάχιον (επιτραπέζιο παιγνίδι το πρώτο παζλ)bull Τηλεβόλον Αρχιμήδους bull Χαριστίων (μοχλός)bull Ωρολόγιο υδραυλικό

37

Τα συγγράμματα του Αρχιμήδη που σώθηκαν μέχρι σήμερα είναι τα ακόλουθα Περί σφαίρας και κυλίνδρου Κύκλου μέτρησις περί σφαιροειδέων και κωνοειδέων Περί λίκων Επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων Ψαμμίτης Τετραγωνισμός παραβολής Οχούμενων Στομάχιον Προς Ερατοσθένην Έφοδος Βιβλίον περί λημμάτων Πρόβλημα βοεικόν Αποσπάσματα Μερικά από αυτά διασώθηκαν Πολλά επίσης είναι τα συγγράμματα του που χάθηκαν

Έκανε τα πρώτα βήματα για το μαθηματικό υπολογισμό επιφανειών με ακανόνιστο περίγραμμα και συμμετρικών εκ περιστροφής σωμάτων μέθοδος που εξελίχθηκε τεκμηριώθηκε και ονομάστηκε στην σύγχρονη εποχή laquoΟλοκληρωτικός Λογισμόςraquo υπολόγισε μία προσεγγιστική τιμή για τον άρρητο αριθμό π διατύπωσε το νόμο προεκτάσεις του γενίκευσε την εφαρμογή λέγοντας laquoΔώστε μου σημείο να στηριχθώ και θα κινήσω την γηraquo διατύπωσε την ομώνυμη αρχή για την άνωση του νερού κατασκεύασε διάφορες μηχανές ένα τύπο πολύσπαστου τον κοχλία μία αντλητική μηχανή με την laquoαρχιμήδειον έλικαraquo κά

Η συμβολή του ΑρχιμήδηΗ συμβολή του Αρχιμήδη στην ανάπτυξη της Μηχανικής συνιστάται πέρα από την επινόηση των τροχαλιών του πολύσπαστου και των οδοντωτών τροχών και ενός ιδιόμορφου αντλητικού συγκροτήματος στην έλικα που φέρει το όνομα του Ακόμα στην επακριβή διατύπωση των νόμων των μοχλών και των ισορροπιών ή κέντρα βαρών Εδώ υπάρχει και η περίφημη πρόταση laquo σύμμετρα μεγέθη ισορροπούν σε αποστάσεις αντιστρόφως ανάλογες προς το βάρος τους raquo

Σε σχέση με τους μοχλούς και τις δυνατότητες τους μας αναφέρει τη φράση laquo δος μοι πα στω και ταν γαν κινάσω raquo Απέδειξε στον Ιέρωνα ότι με ένα σύστημα τροχαλιών ndash οδοντωτών τροχών και μοχλών μπορεί να μετακινήσει ένα τεράστιο πλοίο με όλο το πλήρωμα μέσα μόνος του Ήταν ακόμα ο ίδιος που σχεδίασε και επιμελήθηκε τη ναυπήγηση του πλοίου

Ανέλαβε μετά από εντολή του Ιέρωνα την οχύρωση της πόλης και διηύθυνε ο ίδιος την άμυνα της εναντίον των Ρωμαίων

Στην αστρονομία ο Λίβιος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης είναι laquoμοναδικός παρατηρητής του ουρανού και των αστέρων raquo Ο Ίππαρχος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης ασχολήθηκε με τη μελέτη των ηλιοστασίων καθώς και με τον υπολογισμό της διάρκειας του έτους

Ο Μακρόβιος αναφέρει ότι ο Αρχιμήδης ανακάλυψε τις αποστάσεις των πλανητών ενώ στο έργο laquoΨαμμίτηςraquo περιγράφει τη συσκευή μέσω της οποίας μέτρησε τη φαινομενική γωνιακή διάμετρο του ήλιου

38

Ο Κικέρων αναφέρεται με θαυμασμό για τον Αρχιμήδη στα laquoΚατοπτρικάraquo Στα Μαθηματικά που ο ίδιος θεωρούσε ως τα πιο σημαντικά παρουσίασε την μέθοδο του προσδιορισμού του αριθμού π Τελειοποίησε το ελληνικό σύστημα αρίθμησης και παρουσίασε μια μέθοδο παράστασης των πολύ μεγάλων αριθμών Ασχολήθηκε με τη διαφορική Γεωμετρία βρήκε τους τύπους πρόσθεσης και αφαίρεσης τόξων Υπολόγισε το εμβαδόν της σφαίρας και του κυλίνδρου Μελέτησε διάφορα στερεά εκ περιστροφής όπως τα στερεά που παράγονται από περιστροφή έλλειψης υπερβολής και παραβολής γύρω από έναν άξονα

Στη Γεωμετρία το έργο του Αρχιμήδη αποτελείται κατά κύριο λόγο από πρωτότυπες μελέτες σχετικά με τον τετραγωνισμό των καμπυλόγραμμων επίπεδων σχημάτων καθώς και με τον τετραγωνισμό και τον κυβισμό καμπύλων επιφανειών

Τέλος επινόησε στο σύνολό της την Υδροστατική Επιστήμη την οποία ανέπτυξε πλήρως Οι μελέτες του αναπαριστούν ένα σύνολο μαθηματικών και γεωμετρικών επιτευγμάτων το οποίο δεν ξεπέρασε κανείς στην ανθρώπινη ιστορία

Όπως αναφέρει ο Wallis laquo ο Αρχιμήδης αφήνει ένα συγκεκριμένο μυστήριο να καλύπτει τον τρόπο με τον οποίο κατέληγε στα αποτελέσματά του Είναι σαν να είχε καλύψει σκοπίμως τα ίχνη του τα ίχνη των ερευνών του σα να ήταν απρόθυμος να αποκαλύψει το μυστικό της μεθόδου έρευνάς του στους μεταγενέστερους ενώ επιθυμούσε να αποσπάσει τη συναίνεσή τους για τα αποτελέσματά του raquo

Ο ίδιος ο Αρχιμήδης ως φορέας ενός ανώτερου φιλοσοφικού πνεύματος θεωρούσε ταπεινή και ανάξια κάθε τέχνη που εξυπηρετούσε πρακτικές ανάγκες ή αποσκοπούσε στο οικονομικό κέρδος Γι` αυτό και έστρεψε όλη του την προσοχή και τις επιδιώξεις στους καθαρούς στοχασμούς χωρίς να καταδεχτεί να αφήσει κάποιο γραπτό στοιχείο για τις τεχνολογικές του ανακαλύψεις με μοναδική εξαίρεση όσες αναφέρονται στο έργο του laquoπερί σφαιροποιίαςraquo Δεν είναι καθόλου τυχαίο λοιπόν το ότι ο Κικέρων αργότερα βρήκε τον τάφο του και πάνω μία αναπαράσταση ενός κυλίνδρου περιγεγραμμένου σε σφαίρα με μία περιγραφή που έδινε το λόγο του κυλίνδρου προς τη σφαίρα

Σε ποιους τομείς εφαρμόστηκαν οι θεωρίες του Εξαιρετικές του μελέτες και για τη μέθοδο και για το αποτέλεσμα είναι εκείνες που έδωσαν τα εμβαδά Κύκλου Έλλειψης Παραβολής και Έλικας καθώς και τα εμβαδά και τους όγκους των Κυλίνδρων των Κώνων και κυρίως των Σφαιρών

Σημαντικότατη θεωρείται και η ανακάλυψη από τον ίδιο τύπου που δίνει το εμβαδόν τριγώνου από τις πλευρές του και ακόμα η επέκτασή του στα εγγεγραμμένα τετράπλευρα Ο Αρχιμήδης επίσης γνώριζε να κατασκευάζει τη λύση ειδικών τριτοβάθμιων προβλημάτων και μεταξύ αυτών και του Δηλίου Προβλήματος Τις λύσεις αυτές τις έδινε με την τομή δύο κωνικών (Ευτόκιος) Μοναδική είναι η προσφορά του στην ανώτερη μετρική Γεωμετρία Συγκεκριμένα εξέφρασε τους όγκους στερεών εκ περιστροφής κωνικών τομών εφαρμόζοντας απειροστικές μεθόδους ανάλυσης των στερεών αυτών

39

Στη σύγχρονη κλασική γεωμετρία όλο σχεδόν το μετρικό της μέρος οφείλεται στον Αρχιμήδη με αποτέλεσμα αυτή ουσιαστικά να είναι ισορροπημένη μείξη της Ευκλείδειας και της Αρχιμήδειας αρχαίας γεωμετρίας

Έτσι ο σοφός μας αποτελεί ουσιαστικά τον πατέρα της ανώτερης μετρικής γεωμετρίας της αρχαιότητας και ταυτόχρονα την πηγή έμπνευσης των νεώτερων μελετών του διαφορικού και απειροστικού λογισμού

Η πρωτοτυπία και η αποτελεσματικότητα των μελετών του έγιναν αιτία να χαρακτηριστεί από τους ιστορικούς των μαθηματικών ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών και όλων των εθνών

Ρεύμα στα ανάκτορα της Βρετανίας μέσω εφεύρεσης του Αρχιμήδη ( httpkatestimenoblogspotcom201109blog-post_1015html )

laquoΗ Βασίλισσα Ελισάβετ πρόκειται να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση ενός αρχαίου Έλληνα για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Και όταν λέμε αρχαίο Έλληνα εννοούμε τον Αρχιμήδη και όχι τον 90χρονο σύζυγό της Φίλιππο της Ελλάδαςraquo

Με αυτόν τον τίτλο πληροφορεί το βρετανικό κοινό η εφημερίδα ldquoDaily Mailrdquo για την απόφαση της Αυτής Μεγαλειότητας να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση του αρχαίου Έλληνα εφευρέτη Αρχιμήδη από τις Συρακούσες για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Πρόκειται για τη σύγχρονη εκδοχή του ατέρμονα κοχλία της έλικος του Αρχιμήδους όπως έμεινε γνωστή η εφεύρεση και είναι ένας σωληνοειδής κοχλίας που χρησίμευε για την άντληση νερού και την άρδευση καλλιεργημένων εκτάσεων

Η σύγχρονη εκδοχή της εφεύρεσης θα χρησιμοποιεί το νερό που μεταφέρεται από ένα τεχνητό φράγμα για να παράγει υδροηλεκτρική ενέργεια Ο μηχανισμός έχει ήδη μεταφερθεί μέσω του Τάμεση στο Romney Weir στα ανάκτορα του Γουίντσορ Σύμφωνα με το δημοσίευμα της εφημερίδας οι έλικες θα είναι έτοιμες για την παραγωγή ενέργειας τον προσεχή Νοέμβριο ενώ θα μπορούν να καλύψουν πλήρως τις ανάγκες του κάστρου σε ενέργεια μέσα στον επόμενο χρόνο

Εκτός αυτού οι τουρμπίνες είναι σχεδιασμένες ώστε να μην εμποδίζουν την ασφαλή διέλευση σολομού και χελιού μέσα στον ποταμό Τάμεση

Οι laquoέλικες του Αρχιμήδηraquo βάρους 40 τόνων κατασκευάστηκαν από ένα εργοστάσιο στην Ολλανδία και στοίχησαν 700000 λίρες Αγγλίας ενώ το κόστος εγκατάστασής τους θα ξεπεράσει το ένα εκατομμύριο λίρες

40

φανερώνει ότι δεν διέθετε προσωπική άποψη για το θέμα και γενικά ότι δεν ήταν μαθηματικός

Έγραψε μεταξύ άλλων την απολογία του Σωκράτη η οποία θεωρείται ως μια σχετικά ακριβής καταγραφή της απολογίας του Σωκράτη στην δίκη που τον καταδίκασε σε θάνατο Μετά τη θανάτωση του Σωκράτη για λίγο καιρό κατέφυγε στα Μέγαρα κοντά στον συμμαθητή του Ευκλείδη Ύστερα γύρισε στην Αθήνα όπου για 10 χρόνια ασχολήθηκε με τη συγγραφή φιλοσοφικών έργων τα οποία φέρουν τη σφραγίδα της σωκρατικής φιλοσοφίας Στη συνέχεια ταξίδεψε στην Αίγυπτο και στην Κυρήνη όπου σχετίστηκε με τον μαθηματικό Θεόδωρο και τέλος στον Τάραντα της Ιταλίας όπου γνώρισε τους πυθαγόρειους από τη φιλοσοφική σκέψη των οποίων επηρεάστηκε αποφασιστικά Μετά πέρασε στη Σικελία Στην αυλή του βασιλιά των Συρακουσών Διονυσίου Α΄ γνώρισε τον βασιλικό γυναικάδελφο Δίωνα με τον οποίον συνδέθηκε φιλικά Η φιλία όμως αυτή προκάλεσε τις υποψίες του Διονυσίου για συνωμοσία γι αυτό έδιωξε τον Πλάτωνα από τη Σικελία Στην Αίγινα κινδύνεψε να πουληθεί ως δούλος αλλά τον εξαγόρασε ο Κυρηναίος φίλος του Αννίκερης Επιστρέφοντας στην Αθήνα άνοιξε τη φιλοσοφική σχολή του την Ακαδημία (387 πΧ) Η προσπάθεια όμως των δύο φίλων να προσηλυτίσουν στις ιδέες τους τον νέο ηγεμόνα Διονύσιο τον Πρεσβύτερο απέτυχαν Για τρίτη φορά ήρθε στην αυλή των Συρακουσών το 361 πΧ με σκοπό να συμφιλιώσει τον Δίωνα με τον Διονύσιο Αυτή τη φορά κινδύνεψε και η ζωή του Τον έσωσε η επέμβαση του πυθαγόρειου Αρχύτα Αλλά ο Δίωνας δεν γλίτωσε Δολοφονήθηκε το 353 πΧ Έτσι ο Πλάτωνας έχασε τον άνθρωπο στον οποίο στήριξε τις ελπίδες του για την επιβολή των πολιτικών του ιδεών Από τότε και μέχρι τον θάνατό του ασχολήθηκε με τη διδασκαλία και με τη συγγραφή φιλοσοφικών έργων Επίσης έγραψε το συμπόσιο που μιλάει για την φύση του έρωτα στον Πρωταγόρα Μεταξύ άλλων θεμελιώνεται θεωρητικά η αρχή της πρόληψης που δεν λαμβάνει την τιμή ως απολύτως ανταποδοτική στον Παρμενίδη και Θεαίτητο θεμελιώνει την αντικειμενικότητα του λόγου και της ιδέας ενώ σε 2 μακρούς διαλόγους την Πολιτεία και τους Νόμους περιέγραψε την ιδανική πολιτεία

Η κύρια συμβολή του στα μαθηματικά βρίσκεται κυρίως στο ότι προέτρεπεe τους μαθηματικούς να ερευνούν καθολικές μαθηματικές αλήθειες και γενικά να καλλιεργούν τα μαθηματικά τα οποία θεωρούσε ότι διαθέτουν τεράστια εκπαιδευτική αξία Η προτροπή αυτή φαίνεται εκτός των άλλων και στις απόψεις του ότι τα μαθηματικά είναι lsquorsquoδόσις θεῶν εἰς ἀνθρώπουςrsquorsquo και ότι οδηγούν έντονα την ψυχή προς το θείο

Οι επιδράσεις του Πλάτωνος στους έπειτα αιώνες

Ο Γάλλος ιστορικός της φιλοσοφίας Ζακ Σεβαλιέ τονίζει στο έργο του laquoΙστορία της σκέψηςraquo (1955) την κυρίαρχη παρουσία ή έστω ανταύγεια της πλατωνικής φιλοσοφίας σε ολόκληρο το Μεσαίωνα και στην Αναγέννηση και στους Νεότερους χρόνους ενώ ο Γερμανός φιλόσοφος Καρλ Γιάσπερς προβάλλει τον Πλάτωνα ως το τον πρώτο από τους τρεις θεμελιωτές του φιλοσοφείν Η ιστορία της φιλοσοφίας μέχρι τον Κικέρωνα είναι σαφώς επηρεασμένη από αυτόν και είτε αμφισβητεί είτε ακολουθεί τη διδασκαλία του Ο μαθητής του Αριστοτέλης εξ ίσου επιδραστικός με τον ίδιο οδηγήθηκε στην ανάπτυξη τμήματος του έργου του ως απάντηση στον πλατωνισμό Η σχολή την οποία ο Πλάτωνας

18

ίδρυσε το 387 πΧ η Ακαδημία συνέχισε να ακμάζει ως τις αρχές του πρώτου αιώνα π Χ έχοντας όμως μετατραπεί σε σκεπτική σχολή μετά τις αρχές της ελληνιστικής περιόδου

Κατά την εποχή του Αυγούστου υπήρξε αναβίωση της πλατωνικής φιλοσοφίας ο μεσοπλατωνισμός με εκπροσώπους όπως ο Φίλων ο Αλεξανδρεύς ενώ κατά τα τέλη του δεύτερου αιώνα ο μεσοπλατωνισμός άρχεσαι να μετατρέπεται σταδιακά υπό την επίδραση του νεοπυθαγορισμού και του ερμητισμού στην κατεχόμενη από τους Ρωμαίους Αίγυπτο στο κίνημα του νεοπλατωνισμού με αρχικούς εκπροσώπους όπως ο Πλωτίνος το οποίο είχε ιδεαλιστικό μυστικιστικό και σωτηριολογικό χαρακτήρα Η Ακαδημία στην Αθήνα επανιδρύθηκε ως κέντρο νεοπλατωνικών μελετών κατά τον τέταρτο αιώνα

Την ίδια εποχή περίοδο έντονων θρησκευτικών ζυμώσεων στη Ρωμαϊκή Αυτοκρατορία και σταδιακής επικράτησης του χριστιανισμού στη Μεσόγειο οι ακόλουθοι της αστικής ελληνορωμαϊκής θρησκείας αλλά και των ελληνικών μυστηριακών λατρειών συσπειρώθηκαν γύρω από τον νεοπλατωνισμό ως υπερασπιστή του μέχρι πρότινος επικρατούντος παγανισμού Μεμονωμένοι νεοπλατωνικοί και παγανιστικοί πυρήνες επέζησαν ως τον έκτο αιώνα οπότε και ο Αυτοκράτορας Ιουστινιανός έκλεισε με διάταγμα την Ακαδημία της Αθήνας Μετά περίπου εννέα αιώνες το έτος 1439 ο Γεώργιος Γεμιστός Πλήθων γράφει στη Φλωρεντία το πολύκροτο έργο του Περί ὧν Αριστοτέλης προς Πλάτωνα που αποτέλεσε το έναυσμα της διαμάχης πλατωνικών και αριστοτελικών στο Βυζάντιο και στην Ιταλία Ο πλατωνισμός επιβίωσε υπογείως καθ όλον τον Μεσαίωνα κρυμμένος σε μυστηριακά ρεύματα έως ότου οι πρωτότυπες ιδέες του ανακαλύφθηκαν ξανά και σχολιάστηκαν κατά την Αναγέννηση Έτσι ούτε η νεότερη φιλοσοφική σκέψη έμεινε ανεπηρέαστη από αυτόν Τα διάφορα φιλοσοφικά συστήματα ή προσπαθούν να ανατρέψουν τις ιδέες του ή οικοδομούνται πάνω σ αυτές εκσυγχρονίζοντάς τες

Τα έργα του είναι

Αλκιβιάδης Α η Περί Ανθρώπου Φύσεως μαιευτικός

Αλκιβιάδης Β ή Περί Προσευχής μαιευτικός

Απολογία Σωκράτους ηθικός

Γοργίας ή Περί Ρητορικής ανατρεπτικός

Επινομίς ή Νυκτερινος Σύλλογος πολιτικός

Επιστολαί ηθικαί

Ερασταί ή Περί Φιλοσοφίας ηθικός

Ευθύδημος ή Εριστικός ανατρεπτικός

Ευθύφρων ή Περί του Οσίου

Θεάγης ή Περί Φιλοσοφίας μαιευτικός

Θεαίτητος ή Περί Επιστήμης πειραστικός

19

Ιππαρχος ή Φιλοκερδής ηθικός

Ιππίας ελάσσων ή Περί του Ψεύδους ανατρεπτικός

Ιππίας μείζων ή Περί του Καλού ανατρεπτικός

Ίων ή Περί Ιλιάδος πειραστικός

Κλειτοφών ή Προτρεπτικός ηθικός

Κρατύλος ή Περί Ονομάτων Ορθότητος λογικός

Κριτίας ή Ατλαντικός ηθικός

Κρίτων ή Περί του Πρακτέου ηθικός

Λάχης ή Περί Ανδρείας ηθικός

Λύσις ή Περί Φιλίας μαιευτικός

Μενέξενος ή Επιτάφιος ηθικός

Μένων ή Περί Αρετής πειραστικός

Μίνως ή Περί Νόμου πολιτικός

Νόμοι ή Περί Νομοθεσίας πολιτικός

Παρμενίδης ή Περί Ιδεών λογικός

Πολιτεία ή Περί Δικαίου πολιτικός

Πολιτικός ή Περί της Βασιλείας λογικός

Πρωταγόρας ή Σοφισταί επιδεικτικός

Σοφιστής ή Περί του Όντος λογικός

Συμπόσιον ή Περί Αγαθού ηθικός

Τίμαιος ή Περί Φύσεως φυσικός

Φαίδρος ή Περί Έρωτος ηθικός

Φαίδων ή Περί Ψυχής ηθικός

Φίληβος ή Περί Ηδονής ηθικός

Χαρμίδης ή Περί Σωφροσύνης πειραστικός

20

21

ΕυκλείδηςΒΙΟΓΡΑΦΙΑ

Υπολογίζεται ότι έζησε το βrsquo μισό του 4ου έως τις αρχές του 3ου πΧ αιώνα πιο συγκεκριμένα περίπου το 325 πΧ έως το 265 πΧ Κορυφαίος μαθηματικός της αρχαιότητας που επηρέασε με το έργο του σε ανυπέρβλητο βαθμό τον επιστημονικό τρόπο σκέψης σε όλο τον κόσμο Για τη ζωή του δεν υπάρχουν επιβεβαιωμένες πληροφορίες Πιθανώς εκπαιδεύτηκε στην Αθήνα στην Ακαδημία του Πλάτωνα και δίδαξε στην Αλεξάνδρεια Ξέρουμε ότι ήταν μεγαλύτερος στην ηλικία από τον Αρχιμήδη πράγμα που σημαίνει ότι η χρονολόγηση της ακμής του laquoγύρω στο 300 πΧraquo δεν πρέπει να απέχει πολύ από την αλήθεια Ο Πρόκλος επίσης τον χαρακτηρίζει σύγχρονο του βασιλιά Πτολεμαίου Αrsquo στον

οποίο είχε το θάρρος να του πει κατά πρόσωπο πως δεν υπάρχει βασιλική οδός προς τη γεωμετρία Ο Πάππος τον επαινεί για την ηθική του ακεραιότητα τη μετριοφροσύνη και την ευμενή στάση του προς όσους είναι ικανοί να προαγάγουν τη μαθηματική γνώση Ο Στοβαίος διηγείται το ακόλουθο ενδιαφέρον περιστατικό Ένας νέος επισκέφθηκε κάποτε τον Ευκλείδη και τον παρακάλεσε να τον διδάξει γεωμετρία Μόλις έμαθε το πρώτο θεώρημα ρώτησε τον Ευκλείδη laquoΚαι τώρα τι θα κερδίσω με το θεώρημα αυτόraquo Ο Ευκλείδης τότε γύρισε προς τον υπηρέτη του και του είπε laquoΔώσrsquo του τρεις δεκάρες ώστε να κερδίσει κάτι από το θεώρημα το οποίο έμαθεraquo Αυτά είναι όλα όσα γνωρίζουμε για τον Ευκλείδη ως άνθρωπο Πολύ μεγαλύτερη σημασία όμως έχει το έργο του το οποίο ακόμα και σήμερα μαρτυρεί τα απαράμιλλα χαρίσματά του ως δασκάλου

ΕΡΓΟ

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη

Μετά το θάνατο του Μεγάλου Αλεξάνδρου στα 323 πΧ η αχανής μακεδονική αυτοκρατορία διαιρέθηκε σε τρεις περιοχές Η περιοχή πού περιλάμβανε την Αίγυπτο περιήλθε κάτω από την άξια ηγεμονία του ικανού στρατηγού του Αλεξάνδρου Πτολεμαίου του Σωτήρος ο οποίος σύντομα κέρδισε τη βασιλεία της περιοχής Ο Πτολεμαίος επέλεξε για πρωτεύουσα της περιοχής του την Αλεξάνδρεια λίγα μόνο μίλια από τις εκβολές του ποταμού Νείλου και γύρω στα 300 πΧ άνοιξε τις πόρτες του περίφημου πανεπιστημίου της Αλεξάνδρειας Ανάμεσα στους μελετητές που κλήθηκαν να επανδρώσουν το νέο ίδρυμα ήταν και ο μαθηματικός Ευκλείδης που πιθανότατα υπήρξε μαθητής της Ακαδημίας του Πλάτωνα στην Αθήνα

22

Ο Ευκλείδης από τη στιγμή που ανέλαβε τα καθήκοντά του στην Αλεξάνδρεια όρισε ανάμεσα στους στόχους του τη συγκρότηση του μνημειώδους και ιστορικά σημαντικού έργου του των Στοιχείων Αυτή η αξιόλογη και εκτεταμένη εργασία γραμμένη σε δεκατρία βιβλία ή μέρη αποτελεί την αρχαιότερη εφαρμογή της αξιωματικής μεθόδου που έχει φτάσει στα χέρια μας Θεωρείται ο πρώτος μεγάλος σταθμός στην ιστορία της οργάνωσης των μαθηματικών και η μετέπειτα επίδραση της στον επιστημονικό τρόπο γραφής πολύ δύσκολα μπορεί να περιγραφεί

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη διεκδικούν αναμφισβήτητα μια θέση ανάμεσα στις μεγάλες στιγμές των μαθηματικών Η εργασία αυτή εκτόπισε τόσο γρήγορα και ολοκληρωτικά όλες τις προηγούμενες εργασίες ανάλογου περιεχομένου που σήμερα δεν υπάρχουν αντίγραφα προηγουμένων προσπαθειών και απλά γνωρίζουμε την ύπαρξη τους από σχόλια μεταγενέστερων συγγραφέων Τα Στοιχεία του Ευκλείδη από την πρώτη εμφάνιση τους κέρδισαν τεράστια εκτίμηση Με μοναδική εξαίρεση τη Βίβλο καμιά άλλη εργασία δεν χρησιμοποιήθηκε μελετήθηκε ή εκδόθηκε τόσο πολύ Για πάνω από δύο χιλιετίες κυριάρχησε στο χώρο διδασκαλίας της γεωμετρίας Από την πρώτη έκδοση της στα 1472 έχει γνωρίσει πάνω από χίλιες εκδόσεις Το περιεχόμενο και η μορφή της επέδρασαν εντυπωσιακά στην ανάπτυξη του αντικειμένου της και της λογικής θεμελίωσης των μαθηματικών

Ο Πρόκλος ένας κατοπινός σχολιαστής των μαθηματικών που έζησε στον 5ο αιώνα έχει δώσει μια εξήγηση της έννοιας του όρου laquoστοιχείαraquo Τα στοιχεία μιας αποδεικτικής μελέτης είναι τα πιο σημαντικά θεωρήματα ή τα θεωρήματα κλειδιά που χρησιμοποιούνται συχνά και πλατιά στο αντικείμενο της μελέτης Είναι τα θεωρήματα που χρειάζονται για την απόδειξη όλων ή των περισσότερων από τα άλλα θεωρήματα Η λειτουργία τους συγκρίνεται με αυτή των γραμμάτων του αλφαβήτου σε σχέση με τη γλώσσα Τα γράμματα στα ελληνικά ονομάζονται και στοιχεία Η επιλογή των προτάσεων που θα λειτουργήσουν ως στοιχεία κάποιου θέματος μελέτης απαιτεί μεγάλη ικανότητα και κρίση από το συγγραφέα

Δεν υποτιμά καθόλου την αίγλη του έργου του Ευκλείδη το γεγονός ότι είχαν προηγηθεί ανάλογες προσπάθειες Σύμφωνα με τον Πρόκλο η πρώτη προσπάθεια να γραφτούν Στοιχεία έγινε από τον Ιπποκράτη το Χίο στα μέσα του πέμπτου πΧ αιώνα Η επόμενη προσπάθεια ήταν του Λέοντα που χρονολογικά τοποθετείται κάπου ανάμεσα στον Πλάτωνα και τον Εύδοξο Όπως μαθαίνουμε η εργασία του Λέοντα περιείχε μια μεγαλύτερη και πιο χρήσιμη επιλογή προτάσεων από τον Ιπποκράτη Το βιβλίο που χρησιμοποιούνταν στην Ακαδημία του Πλάτωνα είχε επιμεληθεί ο Θεύδιος από τη Μαγνησία και θεωρούνταν μια θαυμάσια συλλογή στοιχείων Η εργασία του Θεύδιου ήταν ασφαλώς ο άμεσος πρόδρομος της εργασίας του Ευκλείδη ο οποίος την είχε χωρίς αμφιβολία στη διάθεση του ειδικά αν όπως πιστεύουν σπούδασε στην Ακαδημία του Πλάτωνα

Ο Ευκλείδης γνώριζε επίσης την εργασία του Θεαίτητου και του Εύδοξου Δεν είναι καθόλου υποτιμητικό ότι η εργασία του Ευκλείδη αποτελεί σε μεγάλο βαθμό συγκέντρωση και επιμέλεια των εργασιών των προγενεστέρων του αφού η ουσιαστική αξία των Στοιχείων βρίσκεται ακριβώς στην τέλεια επιδεξιότητα με την οποία επιλέχτηκαν και τοποθετήθηκαν

23

σε λογική σειρά οι προτάσεις ξεκινώντας από μια μικρή ομάδα αρχικών υποθέσεων Ούτε είναι υποτιμητικό το γεγονός ότι η εξονυχιστική μελέτη των σύγχρονων κριτικών έχουν αποκαλύψει ορισμένα μειονεκτήματα στη δομή της εργασίας του Ευκλείδη Δε θα μπορούσε κανείς να περιμένει μια τέτοια αρχική και κολοσσιαία προσπάθεια με την αξιωματική μέθοδο να μην παρουσιάζει καμία ατέλεια

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη έχουν γραφεί γύρω στο 300 πΧ αλλά το αυθεντικό χειρόγραφο κείμενο του Ευκλείδη δεν διασώζεται Αντίθετα σώζονται δεκάδες αντίγραφα που σε τελική ανάλυση κατάγονται από αυτό Το αρχαιότερο πλήρες αντίγραφο περιέχεται σε έναν χειρόγραφο περγαμηνό κώδικα που φυλάσσεται σήμερα στη Βιβλιοθήκη της Οξφόρδης και χρονολογείται από του έτους 888 ενώ μικρά αποσπάσματα του έργου διασώζονται σε παπύρους προγενέστερης εποχής καθώς και σε ένα παλίμψητο χειρόγραφο του 7ου ή του 8ου

μΧ αι που φυλάσσεται στο Βρετανικό Μουσείο Βλέπουμε λοιπόν ότι το αρχαιότερο χειρόγραφο που περιέχει το πλήρες κείμενο των Στοιχείων του Ευκλείδη χρονολογείται από τα τέλη του 9ου μΧ αι και επομένως απέχει από την εποχή μας όσο απέχει από την εποχή που ο ίδιος ο Ευκλείδης έγραψε το έργο

Όλες οι σύγχρονες εκδόσεις στηρίζονται σε μια επανέκδοση που έκανε ο Θεωνάς από την Αλεξάνδρεια ένας Έλληνας σχολιαστής που έζησε εφτακόσια περίπου χρόνια μετά τον Ευκλείδη Μόνο στις αρχές του 19ου αιώνα ανακαλύφθηκε ένα παλιότερο αντίγραφο Στα 1808 όταν ο Ναπολέοντας διέταξε να μεταφερθούν όλα τα αξιόλογα χειρόγραφα από τις ιταλικές βιβλιοθήκες στο Παρίσι ο Φ Πέιραρντ (F Peyrard) ανακάλυψε στη βιβλιοθήκη του Βατικανού ένα αντίγραφο των Στοιχείων από έκδοση προγενέστερη από του Θεωνά Η μελέτη όμως αυτής της παλιότερης έκδοσης αποκάλυψε δευτερεύουσες μόνο διαφορές από τον Θεωνά

Οι πρώτες πλήρεις μεταφράσεις των Στοιχείων στα λατινικά δεν έγιναν από τα ελληνικά αλλά από τα αραβικά Τον 8ο αιώνα οι Άραβες μετέφρασαν έναν αριθμό βυζαντινών χειρογράφων με ελληνικές εργασίες και στα 1120 ο Άγγλος μελετητής Άντελαρντ (Adelard) από το Μπαθ μετέφρασε τα Στοιχεία στα λατινικά χρησιμοποιώντας μια απ αυτές τις παλιότερες αραβικές μεταφράσεις Άλλες λατινικές μεταφράσεις από τα αραβικά έκαναν ο Γκεράρντο από την Κρεμώνα (Gherardo 1114-1187) και 150 χρόνια μετά τον Άντελαρντ ο Γιοχάννες Καμπάνους (Johannes Campanus) Η πρώτη τυπωμένη έκδοση των Στοιχείων έγινε στη Βενετία στα 1482 η έκδοση αυτή ήταν η μετάφραση του Καμπάνους Αυτό το πολύ σπάνιο βιβλίο ήταν θαυμάσια τυπωμένο και ήταν το πρώτο αξιόλογο μαθηματικό βιβλίο που τυπώθηκε Μια σημαντική λατινική μετάφραση από τα ελληνικά έγινε από τον Κομμαντίνο (Commandino) στα 1572 Αυτή η μετάφραση χρησιμοποιήθηκε ως βάση για πολλές άλλες μεταφράσεις που ακολούθησαν ανάμεσα σ αυτές και η εργασία του Ρόμπερτ Σίμσον (Robert Simson) που άσκησε σημαντική επιρροή και αποτέλεσε με τη σειρά της τη βάση για πάρα πολλές αγγλικές εκδόσεις

24

Αναλυτική περιγραφή των laquo στοιχείων raquo

Ειδικότερα το πρώτο βιβλίο αναφέρεται σε τεμνόμενες και παράλληλες ευθείες στην ισότητα ευθύγραμμων σχημάτων και στο τέλος το πυθαγόρειο θεώρημα Στο 2ο βιβλίο αναφέρονται συνέπειες από το πυθαγόρειο θεώρημα και γίνονται μετασχηματισμοί ευθύγραμμων σχημάτων σε ισοδύναμα τετράγωνα Εδώ περιέχεται και το πρόβλημα

της laquoχρυσής τομήςraquo Πολλές από τις προτάσεις αυτού μπορούν με σύγχρονους συμβολισμούς να πάρουν μορφή αλγεβρική γιrsquo αυτό έχει επικρατήσει να λέγεται για το 2ο βιβλίο ότι εισάγει τη laquoγεωμετρική άλγεβραraquo Στο 3ο βιβλίο εξετάζεται ο κύκλος και στο τέταρτο βιβλίο λύνονται προβλήματα σχετικά με τα εγγεγραμμένα στον κύκλο κανονικά πολύγωνα Στο 5ο βιβλίο σπουδάζεται η laquoθεωρία των λόγωνraquo του Ευδόξου Πρόκειται ουσιαστικά για τη θεωρία των πραγματικών αριθμών δοσμένη όμως σε μορφή γεωμετρική Το 6ο βιβλίο ασχολείται με την ομοιότητα επίπεδων σχημάτων και σrsquo αυτά αποδεικνύεται ότι από όλα τα ορθογώνια με δοσμένη περίμετρο το τετράγωνο έχει το μέγιστο εμβαδόν Στα βιβλία 7ο-9ο που αφορούν στην αριθμοθεωρία είναι εκπληκτικό πώς με παντελή μπορεί να πει κανείς έλλειψη συμβολισμών (αριθμοί δεν αναγράφονται) κατορθώνεται μια ακροβασία στην αλληλουχία των συλλογισμών που καταλήγει σε πολύ ενδιαφέροντα αριθμητικά αποτελέσματα Ειδικότερα στο 7ο βιβλίο μελετιούνται οι άρτιοι και οι περιττοί αριθμοί οι πρώτοι και οι σύνθετοι καθώς και οι τέλειοι εξετάζονται διάφορα προβλήματα διαιρετότητας ορίζεται το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο αριθμών (ΕΚΠ) καθώς και ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης τους και δίνεται η μέθοδος προσδιορισμού του που ονομάστηκε laquoΕυκλείδειος Αλγόριθμοςraquo Στα δύο επόμενα βιβλία εξακολουθεί η σπουδή αριθμοθεωρητικών θεμάτων στο 8ο εισάγονται επίσης και μελετιούνται οι γεωμετρικές πρόοδοι και στο 9ο έχουν συμπεριληφθεί τρεις σημαντικότατες προτάσεις Πρόκειται για α) το αποκαλούμενο laquoθεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικήςraquo β) την απόφανση ότι υπάρχουν απειράριθμοι πρώτοι και γ) την πρόταση που οδηγεί σε ένα γενικό τύπο που παρέχει άρτιους τέλειους αριθμούς Στο 10ο βιβλίο που αποτελεί ένα από τα ωραιότερα μέρη των Στοιχείων γίνεται μια ταξινόμηση των τετραγωνικών άρρητων και των τετραγωνικών ριζών τους και κατασκευάζεται ένα σύνολο ασύμμετρων μεγεθών το οποίο μαζί με το σύνολο των ρητών συναποτελεί επέκταση αυτού του τελευταίου τέτοια ώστε κάθε στοιχείο της να είναι κατασκευασμένο με κανόνα και διαβήτη Τέλος τα βιβλία της στερεομετρίας το 11ο βιβλίο ασχολείται με θεμελιώδεις σχέσεις μεταξύ ευθειών και επιπέδων καθώς και με τις στερεές γωνίες στο 12ο αναφέρεται σε επιφάνειες και όγκους στερεών και στο 13ο γίνεται η μελέτη της σφαίρας σε συσχετισμό με τα εγγεγραμμένα σε αυτήν κανονικά πολύεδρα

25

Άλλα έργα

bull Δεδομένα (94 θεωρήματα) έργο ανώτερης γεωμετρίας Στο έργο αυτό περιέχονται προτάσεις σε σχήματα στα οποία δίνονται ορισμένα στοιχεία τους κατά σχήμα θέση ή μέγεθος

bull Περί διαιρέσεων (36 προτάσεις) με περιεχόμενό του τη διαίρεση σχημάτων με δοσμένη σχέση

bull Πορίσματα (3 βιβλία που χάθηκαν) σώθηκαν ορισμένα αποσπάσματα που το 1860 έγινε απόπειρα ανασύνθεσής τους από τον Πάππο

bull Οπτικά-κατοπτρικά αντίστοιχα γεωμετρική οπτική ανάκλαση του φωτός πάνω σε επίπεδο κάτοπτρο

bull Φαινόμενα εγχειρίδιο κοσμογραφίας απλές προτάσεις για τη σφαίρα

bull Κατατομή κανόνος στοιχεία πυθαγόρεια θεωρία μουσικής

bull Ψευδάρεια laquoπαράδοξαraquo με στόχο να ασκηθούν οι σπουδαστές στην ανεύρεση λογικών σφαλμάτων κατά τις αποδείξεις

bull Κωνικαί τομαί Μηχανικά δεν γνωρίζουμε τίποτα γιrsquo αυτά τα έργα

Αιτήματα του Ευκλείδη

Τα αιτήματα είναι αρχικές προτάσεις οι οποίες προσιδιάζουν στη συγκεκριμένη κάθε φορά επιστήμη στην προκειμένη περίπτωση στη Γεωμετρία Ο Ευκλείδης διατυπώνει 5 αιτήματα

1 Ζητείται να γίνει δεκτό ότι από οποιοδήποτε σημείο σε οποιοδήποτε σημείο άγεται ευθεία γραμμή

2 Και (ότι) πεπερασμένη ευθεία προεκτείνεται σε ευθεία κατά συνεχή τρόπο

3 Και (ότι) με οποιοδήποτε κέντρο και διάστημα γράφεται κύκλος

4 Και (ότι) όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους

5 Και αν η ευθεία η οποία τέμνει δύο ευθείες σχηματίζει δύο εντός και επί τrsquo αυτά μέρη γωνίες μικρότερες των δύο ορθών τότε οι δύο ευθείες προεκτεινόμενες επrsquo απείρου συναντώνται προς εκείνα τα μέρη τους όπου βρίσκονται μικρότερες των δύο ορθών

Ακολουθούν τα laquoαιτήματαraquo διατυπωμένα σε αρχαίο κείμενο όπως αυτά βρίσκονται στο Βιβλίο Ι

26

Ο ρόλος των τριών πρώτων από τα αιτήματα αυτά είναι να εξασφαλίσουν τη νομιμότητα των κατασκευών της ευθείας και του κύκλου και κατά συνέπεια εκείνων και μόνο των γραμμών και των γεωμετρικών σχημάτων που κατασκευάζονται με πεπερασμένο αριθμό βημάτων από τα δύο αυτά βασικά σχήματα Στα Στοιχεία επομένως δεν έχουν θέση καμπύλες όπως είναι οι κωνικές τομές τη τετραγωνίζουσα κλπ ή κατασκευές όπως κατασκευές νεύσεως Η φύση των δύο τελευταίων αιτημάτων είναι διαφορετική Αποσκοπούν να δηλώσουν ότι κάποια γεωμετρικά σχήματα έχουν ορισμένες ειδικές ιδιότητες

Πολλοί ιστορικοί των μαθηματικών έχουν ασχοληθεί κατά το παρελθόν με το ερώτημα εάν τα αξιώματα του Ευκλείδη ικανοποιούν τις σύγχρονες απαιτήσεις (πληρότητα συνέπεια ανεξαρτησία) ενός αξιωματικού συστήματος Από την προσεκτική μελέτη των αποδείξεων κι των κατασκευών που περιέχονται στα Στοιχεία προκύπτει ότι ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί μερικές φορές απόρρητες παραδοχές οι οποίες δεν περιλαμβάνονται στα αξιώματα Επομένως το σύστημα των αξιωμάτων του δεν ικανοποιεί την απαίτηση της πληρότητας

Μεγάλο ιστορικό ενδιαφέρον εξάλλου έχει το ερώτημα της ανεξαρτησίας των αιτημάτων του Ευκλείδη ιδιαίτερα σε ότι αφορά το πέμπτο από αυτά Το αίτημα αυτό αναφέρεται συχνά και ως laquoαίτημα των παραλλήλωνraquo γιατί μια ισοδύναμη διατύπωσή του είναι η εξής από ένα σημείο εκτός ευθείας άγεται μια μόνο παράλληλη προς τη ευθεία Πολλοί μαθηματικοί από την αρχαιότητα έως τα μέσα του 18ου αιώνα προσπάθησαν να εξαγάγουν το αίτημα αυτό από τα άλλα αιτήματα όλες οι προσπάθειες όμως απέβησαν άκαρπες Από τα τέλη του 18ου αιώνα η προσδοκώμενη εξάρτηση του αιτήματος επιχειρήθηκε να αποδειχτεί με έμμεσο τρόπο Η σκέψη ήταν η εξής αν το αίτημα των παραλλήλων μπορεί να εξαχθεί από τα άλλα τέσσερα αιτήματα μαζί με την άρνηση του πέμπτου θα πρέπει να οδηγούν σε αντίφαση Το νέο σύστημα αξιωμάτων όμως αντί να οδηγήσει σε αντίφαση αποδείχτηκε ότι παράγει συνέπειες μαθηματικές θεωρίες Έτσι ανακαλύφθηκαν οι λεγόμενες μη ευκλείδειες γεωμετρίες και ταυτόχρονα αποδείχθηκε η ανεξαρτησία των αιτημάτων του Ευκλείδη

27

Ας δούμε τώρα την διατύπωση και την απόδειξη της πρότασης (5) που περιέχεται στο Βιβλίο Ι των laquoστοιχείωνraquo και αναφέρεται στη γνωστή μας πρόταση της ισότητας των παρά τη βάση γωνιών ισοσκελούς τριγώνου

28

Γιατί διδάσκουμε το μάθημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στο ζήτημα της laquoχρησιμότηταςraquo των σχολικών Μαθηματικών θα μπορούσε κανείς να αντιπαραθέσει (και πράγματι αντιπαρατέθηκαν) πολλές διαφορετικές απόψεις Εμείς θα παραθέσουμε απλώς ένα απόσπασμα από τις αυτοβιογραφικές σημειώσεις του Albert Einstein το οποίο δείχνει μια άλλη τελείως διαφορετική αντίληψη σχετικά με την laquoχρησιμότηταraquo της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Γράφοντας για τα γεγονότα της παιδικής και εφηβικής του ζωής που είχαν μεγάλη επίδραση στην μετέπειτα εξέλιξη του ο Einstein σημειώνει

Σε ηλικία 12 ετών δοκίμασα μια δεύτερη τελείως διαφορετική έκπληξη σε ένα μικρό βιβλίο Ευκλείδειας επίπεδης γεωμετρίαςhellip Εδώ υπήρχαν ισχυρισμοί όπως για παράδειγμα τα τρία ύψη ενός τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο οι οποίοι - αν και καθόλου προφανείς - μπορούσαν ωστόσο να αποδειχτούν με τέτοια βεβαιότητα ώστε να μην χωρεί η παραμικρή αμφιβολία Αυτή η σαφήνεια και βεβαιότητα μου προξένησαν μια εντύπωση που δεν μπορεί να περιγραφεί Το γεγονός ότι τα αξιώματα έπρεπε να γίνουν δεκτά χωρίς απόδειξη δεν με ενόχλησε Σε κάθε περίπτωση μου αρκούσε πλήρως το γεγονός ότι μπορούσαν να στηρίζω τις αποδείξεις σε προτάσεις η εγκυρότητα των οποίων ήταν για μένα αναμφισβήτητη

Η περίπτωση του Einstein του επιστήμονα που άλλαξε ριζικά τις αντιλήψεις μας και την γεωμετρική δομή του σύμπαντος αποκαλύπτει την σπουδαιότητα ορισμένων παιδαγωγικών σκοπών και τη συνάφειά τους με το ερώτημα που θέσαμε ως τίτλο αυτής της ενότητας καλλιέργεια και ανάπτυξη της συγκροτημένης σκέψης μύηση στην επιστημονική μέθοδο μελέτες του κόσμου Αυτοί οι σκοποί παρόλη τη γενικότητά τους συνδέονται άμεσα με τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας που άσκησαν καθοριστική επίδραση στο νεαρό Einstein τα οποία είναι

bull Σαφήνεια στην έκθεση

bull Ολοκληρωτική απόδειξη κάθε υπόθεσης

bull Απόλυτη συνάφεια σχημάτων και συλλογισμών

bull Τάξη και ομορφιά

Αν τα στοιχεία αυτά αποτελούν ουσιώδη συστατικά της μαθηματικής παιδείας τότε παρέχουν κατά την άποψή μας μια αυτονόητη απάντηση στο ερώτημα laquoΓιατί διδάσκουμε την Ευκλείδεια Γεωμετρίαraquo

Αντιλήψεις και αντιπαραθέσεις για τη διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Οι ένθερμοι υποστηρικτές της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προβάλλουν την παιδαγωγική αξία της λογικής και διάφανης επιχειρηματολογίας των γεωμετρικών αποδείξεων ενώ οι πολέμιοί της επικαλούνται την αναμφισβήτητη δυσκολία των περισσότερων μαθητών να κατανοήσουν τις γεωμετρικές έννοιες και τις πολύ χαμηλές επιδόσεις τους στην αντιμετώπιση σχετικών προβλημάτων Ενδιάμεσα βρίσκονται συνήθως οι σκεπτικιστές οι οποίοι επισημαίνουν τον περιορισμένο επιστημολογικά ρόλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και την ανάγκη να ανανεωθεί η διδασκαλία των Μαθηματικών δίνοντας μεγαλύτερη έμφαση σε πιο σύγχρονους και laquoχρήσιμουςraquo κλάδους (πχ Πιθανότητες και Στατιστική) Από την εποχή που ο Dieudonne κήρυξε τον πόλεμο κατά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας οι αντιλήψεις

29

αυτές έγιναν αντικείμενο επεξεργασίας και αντιπαρατέθηκαν μεταξύ τους από σημαντικούς μαθηματικούς και παιδαγωγούς ενώ οι σχετικές συζητήσεις συνεχίζονται με αμείωτη ένταση μέχρι σήμερα Σε μια ειδική μελέτη της Διεθνούς Επιτροπής για τη Μαθηματική Εκπαίδευση (ICMI) έγινε απόπειρα σύνθεσης των διαφόρων τάσεων και διατυπώθηκαν οι εξής τρεις εναλλακτικές λύσεις για τη διδασκαλία του μαθήματος

1 η λύση

Απορρίπτουμε την ιδέα ότι η Γεωμετρία πρέπει ή μπορεί να χρησιμοποιηθεί στο σχολείο ως ένα σύστημα γνώσεων (παραγωγικά οργανωμένο ή όχι) όπου οι έννοιες και τα γεγονότα πρέπει να γίνουν γνωστά απλά και μόνο επειδή ανήκουν στο σύστημα Αντίθετα η Γεωμετρία και ο χώρος θεωρούνται ως πηγές άντλησης εξαιρετικών θεμάτων για την οργάνωση πολλαπλών δραστηριοτήτων σε διαφορετικά επίπεδα Οι laquoχρησιμοθηρικέςraquo όψεις της Γεωμετρίας θα εξυπηρετηθούν με την παροχή αλγεβρικών μεθόδων

2 η λύση

Εξακολουθούμε να επιχειρούμε τη διδασκαλία ενός αξιωματικού ή ψευδο-αξιωματικού μαθήματος σχολικής Γεωμετρίας το οποίο στηρίζεται είτε σε laquoτροποποίησηraquo των laquoΣτοιχείωνraquo του Ευκλείδη (για παράδειγμα αξιωματική θεμελίωση τύπου Pogorelov) είτε πχ στους γεωμετρικούς σχηματισμούς

3 η λύση

Για ορισμένες ομάδες μαθητών τουλάχιστον παρουσιάζουμε laquoνησίδεςraquo Γεωμετρίας δηλαδή laquoτοπικάraquo παραγωγικά συστήματα μέσα στο πλαίσιο του γενικού αναλυτικού προγράμματος (Έτσι μπορούμε για παράδειγμα να έχουμε ενότητες για τις ιδιότητες των εγγεγραμμένων σε κύκλο γωνιών ή τη στοιχειώδη προβολική Γεωμετρία)

Στην Ελλάδα για προφανείς ιστορικούς και πολιτιστικούς λόγους συνεχίζεται μια παράδοση που προσεγγίζεται εγγύτατα τη δεύτερη από τις προηγούμενες εναλλακτικές λύσεις Ακόμη και την περίοδο της μεταρρύθμισης των laquoΝέων Μαθηματικώνraquo η διεθνής πίεση για εκσυγχρονισμό των σχολικών Μαθηματικών και εγκατάλειψη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αφομοιώθηκε στη χώρα μας μέσα από έναν ιδιότυπο συμβιβασμό από τη μια μεριά διατηρήθηκε όλη η παραδοσιακή σχολική ύλη την οποία σε μεγάλο βαθμό συντηρούσαν οι εισαγωγικές εξετάσεις των ΑΕΙ και από την άλλη δόθηκε υπερβολική έμφαση στην αυστηρή αξιωματική θεμελίωσης της Γεωμετρίας καθώς και με την εισαγωγή νέας ύλης πάνω στους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς Στις αντιφατικές επιλογές εκείνης της περιόδου βρίσκονται κατά την άποψη μας οι ρίζες της μετέπειτα υποβάθμισης και παρακμής του μαθήματος της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

30

Το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στη σύγχρονη Διδακτική των Μαθηματικών τα θεμελιώδη επιστημολογικά χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας όπως είναι η παραγωγική οργάνωση του περιεχομένου η αποδεικτική διαδικασία και η έμφαση στις γεωμετρικές κατασκευές αναφέρονται συνήθως ως laquoανώτερα επίπεδα γεωμετρικής σκέψηςraquo και η μάθηση τους έχει γίνει αντικείμενο συστηματικής μελέτης και έρευνας Ένα βασικό θεωρητικό μοντέλο στο οποίο έχει στηριχθεί η διεξαγωγή μεγάλου αριθμού ερευνών σε διάφορες χώρες αποτελούν τα λεγόμενα laquoεπίπεδα van Hieleraquo Σύμφωνα με αυτό το μοντέλο η μάθηση της Γεωμετρίας εξελίσσεται ιεραρχικά περνώντας από πέντε διαδοχικά επίπεδα

bull 1ο επίπεδο Εποπτικό

bull 2ο επίπεδο ΠεριγραφικόΑναλυτικό

bull 3ο επίπεδο ΑφηρημένοΣχεσιακό

bull 4ο επίπεδο ΤυπικόΠαραγωγικό

bull 5ο επίπεδο Μεταμαθηματικό

Οι μαθητές κατανοούν τη σημασία και τη διαδικασία οικοδόμησης ενός αξιωματικού μαθηματικού συστήματος και τις σχέσεις ανάμεσα σε διαφορετικά συστήματα Για παράδειγμα αναγνωρίζουν ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία δεν είναι παρά ένας από τους πολλούς δυνατούς τρόπους περιγραφής ενός αφηρημένου μαθηματικού σύμπαντος

Είναι φανερό ότι η διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προϋποθέτει τα δύο πρώτα επίπεδα και έχει ως κύριο σκοπό την κατάκτηση των δύο επόμενων επιπέδων (για το 5ο

μάλλον δεν μπορεί να γίνεται λόγος στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση) Σε θεωρητικό επίπεδο τόσο και η θεωρία των van Hiele όσο και η γενικότερη θεωρία των σταδίων μάθησης του Piaget προβλέπουν ότι η κατάκτηση αυτών των επιπέδων είναι μια επίπονη και ιεραρχικά εξελισσόμενη διαδικασία που απαιτεί μακροχρόνια και προσεχτικά σχεδιασμένη διδασκαλία Αυτές οι θεωρητικές προβλέψεις φαίνεται να επιβεβαιώνονται από πολλές εμπειρικές έρευνες που έχουν διεξαχθεί σε διάφορες χώρες και τα αποτελέσματά τους οδηγούν σε ένα βασικό συμπέρασμα laquo η καθιερωμένη παραδοσιακή διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αδυνατεί να οδηγήσει τους μαθητές στην κατάκτηση των ανώτερων επιπέδων γεωμετρικής σκέψης raquo

Από τα αποτελέσματα αυτών των ερευνών αξίζει νrsquo αναφέρουμε εδώ ένα εντυπωσιακό στατιστικό στοιχείο που αποκαλύπτει τις διαστάσεις του προβλήματος σε μια έρευνα που έγινε στις ΗΠΑ μεταξύ 1520 μαθητών που είχαν ολοκληρώσει ένα έτος διδασκαλίας της θεωρητικής Ευκλείδειας Γεωμετρίας διαπιστώθηκε ότι μόνο το 30 είχε φτάσει σε ένα επίπεδο που μπορεί να χαρακτηριστεί από 75 επιτυχία στην απόδειξη απλών γεωμετρικών προτάσεων (πχ ότι οι διαγώνιες ενός ορθογωνίου είναι ίσες) Το ποσοστό των μαθητών που είχαν 100 επιτυχία δεν ξεπέρασε το 3

31

Κοινή πεποίθηση όλων αυτών των ερευνητών είναι ότι για να κατανοηθούν οι παραγωγικές αποδείξεις της Ευκλείδειας Γεωμετρίας απαιτείται μια ισχυρή διαισθητική βάση την οποία οι μαθητές θα αποκτήσουν μέσα από επαγωγικές εμπειρικές ανακαλύψεις τη διαπίστωση και επαλήθευση υποθέσεων τις γεωμετρικές κατασκευές και εφαρμογές Έτσι λοιπόν η διδασκαλία της Γεωμετρίας δεν θα πρέπει να στηρίζεται σrsquo ένα τεχνητό διαχωρισμό ανάμεσα σε laquoΠρακτική Γεωμετρίαraquo σχεδίασης και μετρήσεων και μια laquoΘεωρητική Γεωμετρίαraquo αποδείξεων αλλά να συνδυάζει μια ισορροπημένη ανάπτυξη των δύο αυτών όψεων του μαθήματος σrsquo όλο το φάσμα της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Η επινόηση διδακτικών μέσων και μεθόδων που θα επιτρέψουν την υλοποίηση αυτού του στόχου φαίνεται ότι αποτελεί σήμερα το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ

Η Γεωμετρία του Ευκλείδη απετέλεσε το θεμέλιο για την ανάπτυξη της laquoδυτικήςraquo επιστήμης και τεχνικής και σ αυτή τη Γεωμετρία στηρίζονται οι προϋποθέσεις της κλασικής Φυσικής από την Αναγέννηση και μετά Μόλις το 19ο αιώνα διαπιστώθηκε όμως (Λάμπερτ Γκάους Μπολυάι Λομπατσέβσκι κά) ότι η ευκλείδεια Γεωμετρία στηρίζεται στην απλοϊκή αντίληψη του επίπεδου χώρου ο οποίος είναι μεν χρήσιμος για την περιοχή που αντιλαμβάνεται με τις αισθήσεις του ένας άνθρωπος αλλά όχι για πολύ μεγάλες τιμές των φυσικών μεγεθών (αποστάσεις ταχύτητες μάζες κτλ) Τότε παύει να ισχύει η επίπεδη αντίληψη και μαζί της η Ευκλείδεια Γεωμετρία επειδή στην πραγματικότητα ο χώρος είναι κυρτός Έτσι η Γεωμετρία συμπληρώνεται με βάση αντιλήψεις που στηρίζονται στον υπερβολικό ελλειπτικό κά χώρο

Σήμερα η γεωμετρία του Ευκλείδη διδάσκεται παγκοσμίως και ανελλιπώς επί 23 αιώνες με τον τιμητικό τίτλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Στη σύγχρονη όμως σχολική γεωμετρία περιλαμβάνονται και υπολογισμοί και μετρήσεις οι οποίες από το έργο του Ευκλείδη απουσιάζουν εντελώς

Η συνολική προσφορά του Ευκλείδη στα Μαθηματικά και τις εφαρμοσμένες τέχνες υπήρξε σημαντικότατη και ταυτόχρονα βάση από την οποία εξόρμησαν οι μεταγενέστεροι μαθηματικοί γεωγράφοι και αστρονόμοι για να οδηγηθούν στο τελικό μαθηματικό θαύμα της Ελληνικής Αρχαιότητας

32

33

ΒΙΟΓΡΑΦΙΑ Ο Αρχιμήδης ήταν ένας από τους μεγάλους μαθηματικούς μηχανικούς και φυσικούς του αρχαίου Ελληνικού χώρου και μια από τις μεγαλύτερες μαθηματικές ευφυΐες του κόσμου Γεννήθηκε έζησε και πέθανε στις Συρακούσες την μεγάλη Ελληνική αποικία της Σικελίας

Πατέρας του Αρχιμήδη ήταν ο αστρονόμος Φειδίας που είχε δεσμούς φιλίας με το βασιλικό γένος των Συρακουσών Ο Αρχιμήδης ταξίδεψε στην Αίγυπτο και ήρθε σε επαφή με τους διαδόχους του Ευκλείδη του Ερατοσθένη και το Δισίθεο ενώ ήταν φίλος και συμμαθητής του Κόνωνα του Σάμιου

Υπήρξε λαμπρό παράδειγμα πρωτότυπου ερευνητή ο οποίος δεν ενδιαφέρθηκε να διευκολύνει τους αρχάριους αλλά ασχολήθηκε κυρίως για την αποκάλυψη νέων αληθειών για δική του ικανοποίηση και των ώριμων ήδη διανοούμενων Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο ενώ η κατανόηση του Ευκλείδη δεν απαιτεί εξαιρετική προηγούμενη γνώση και ευφυΐα τα προϊόντα της μαθηματικής σκέψεως τα οποία πρόκειται τώρα να εξετάσουμε είναι προσιτά αποκλειστικώς και μόνο στην ανάγνωση υψηλής πνευματικής στάθμης

Πήγε στην Αίγυπτο ως εκπαιδευτικός και ήρθε σε επαφή όχι βέβαια με τον Ευκλείδη που είχε στο μεταξύ πεθάνει αλλά με τους διαδόχους του και έκανε στενούς δεσμούς με εξαιρετικούς γεωμετρικούς όπως ο Κόνων ο Σάμιος ο Ερατοσθένης ο Κυρηναίος ο Δισίθεος κλπ από τους οποίους κατόπιν όσα έργα συνέταξε μετά την επιστροφή του στην πατρίδα του

34

Το έργο τουΤο έργο του Αρχιμήδη υπήρξε τεράστιο τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά και η ερευνητική ματιά του κάλυψε πολλούς τομείς γεωμετρία οπτική (κατοπτρική) υδραυλική μηχανική αρχιτεκτονική και την πολιορκητική Συνέδεσε το όνομά του με την γένεση της μηχανικής στην αρχαία Ελλάδα και με την λύση περίφημων μαθηματικών προβλημάτων καθώς και με τις αμυντικές εφευρέσεις του που χρησιμοποιήθηκαν όταν οι Ρωμαίοι πολιορκούσαν την πατρίδα του τις Συρακούσες

Σχολιαστής του έργου του Αρχιμήδη υπήρξε ο Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης (6ος αι μΧ) που καταγόταν από την ελληνική πόλη της Συρίας Ασκαλών

Στον χώρο της εφαρμοσμένης μηχανικής ο Αρχιμήδης επινόησε ιδιοφυείς μηχανές κάθε είδους Εφηύρε τον ρωμαϊκό ζυγό (καντάρι) το τρίσπαστο (ανυψωτική τριπλή τροχαλία) και τον ατέρμονα κοχλία έλιξ του Αρχιμήδους μηχανή άντλησης νερού από ποταμούς και φρέατα (η οποία χρησιμοποιείται ακόμα και στις μέρες μας σε περιοχές της βόρειας Αφρικής) Κατασκεύασε ένα υδραυλικό ρολόι το οποίο υπολόγιζε με μεγάλη ακρίβεια τις ώρες (και ειδοποιούσε για την αλλαγή της ώρας)

Μεγάλη φήμη απέκτησαν οι πολεμικές μηχανές του Αρχιμήδη αρχιτρόνιτο (πυροβόλο ατμού) καταπέλτες άρπαγες (μηχανισμός που ανύψωνε και αναποδογύριζε πλοία) και κάτοπτρα για την καύση των Ρωμαϊκών εχθρικών πλοίων (με παραβολικά κάτοπτρα όπως αποδείχτηκε από τα πειράματα του μηχανικού Ι Σακκά ο οποίος το 1973 απόδειξε τον τρόπο με τον οποίο ο Αρχιμήδης έκαψε τον ρωμαϊκό στόλο) Σύμφωνα με την παράδοση όταν η πόλη μετά από τριετή αντίσταση των ελλήνων κατελήφθη με προδοσία ένας ρωμαίος στρατιώτης σκότωσε τον Έλληνα επιστήμονα ενώ αυτός ήταν προσηλωμένος σε κάποιο γεωμετρικό πρόβλημα ΜΗ ΜΟΥ ΤΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥΣ ΤΑΡΑΤΤΕ πρόλαβε να του απαντήσει ο Έλληνας επιστήμονας

Ο Αρχιμήδης επηρέασε σε μεγάλο βαθμό την ευρωπαϊκή επιστημονική σκέψη καθώς και τους Άραβες επιστήμονες οι οποίοι αντέγραψαν όλα τα έργα του στα αραβικά γλώσσα στην οποία διασώθηκαν αρκετά αφού τα πρωτότυπα είχαν χαθεί

35

Διασωθέντα συγγράμματα

bull Περί σφαίρας και κυλίνδρου Βιβλίο α και βbull Κύκλου μέτρησις Σώζονται τρία θεωρήματαbull Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων (32 θεωρήματα 1 πόρισμα)bull Περί ελίκων (28 θεωρήματα 6 πορίσματα)bull Περί επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων ή Μηχανικά Βιβλ α και βbull Περί μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος (=μέθοδος)bull Βιβλίο λημμάτωνbull Πρόβλημα Βοεικόνbull Κατασκευή πλευράς του περιγραφομένου εις κύκλο επταγώνουbull Ωρολόγιον Αρχιμήδους (Σώζεται στα αραβικά)bull Περί κύκλων εφαπτομένων αλλήλωνbull Αρχαί της Γεωμετρίαςbull Ψαμμίτηςbull Τετραγωνισμός παραβολήςbull Οχουμένων (Υδροστατική)bull Στομάχιον (Σώζονται λίγα αποσπάσματα)

Συγγράμματα μη διασωθέντα (ή συγγράμματα μη αποκαλυφθέντα μέχρι σήμερα)

bull Αριθμητικάbull Βαρουλκός Υδροσκοπίαι Πνευματικήbull Επισίδια Βιβλία (Μάλλον περί στατιστικής - Τζέτζης)bull Περί τριγώνωνbull Περί τετραπλεύρουbull Περί ζευγώνbull Περί 13 ημικανονικών πολυέδρωνbull Ισοπεριμετικάbull Ισορροπίαιbull Καύσις δια κατόπτρων (επ΄ αυτού έγινε επιτυχές πείραμα στο ΝΣ)bull Περί Αρχιτεκτονικήςbull Περί βαρύτητος και ελαφρότητος (Πυκνόμετρα - Αραιόμετρα)bull Περί δρομομέτρων (Οδόμετρα πλοίων)bull Περί κέντρου Βάρους ή Κεντροβαρικάbull Κατοπρικάbull Περί παραλλήλων γραμμώνbull Περί κοίλων και παραβολικών κατόπτρωνbull Προοπτικήbull Στοιχεία μηχανικώνbull Πλινθίδες και Κύλινδροιbull Στοιχεία επί των στηρίξεωνbull Σφαιροποιΐα

36

Εφευρέσεις

bull Αραιόμετρο - Πυκνόμετροbull Αστρονομική συσκευήbull Βαρουλκόςbull Γερανοί (Αρπάγες)bull Καταπέλτεςbull Κάτοπτραbull Κοχλίας ή έλιξbull Οδόμετρο (δρομόμετρο)bull Πλανητάριον (σφαίρα)bull Πολύσπαστον (Βαρούλκο) τρίσπαστοbull Σίφωνbull Στομάχιον (επιτραπέζιο παιγνίδι το πρώτο παζλ)bull Τηλεβόλον Αρχιμήδους bull Χαριστίων (μοχλός)bull Ωρολόγιο υδραυλικό

37

Τα συγγράμματα του Αρχιμήδη που σώθηκαν μέχρι σήμερα είναι τα ακόλουθα Περί σφαίρας και κυλίνδρου Κύκλου μέτρησις περί σφαιροειδέων και κωνοειδέων Περί λίκων Επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων Ψαμμίτης Τετραγωνισμός παραβολής Οχούμενων Στομάχιον Προς Ερατοσθένην Έφοδος Βιβλίον περί λημμάτων Πρόβλημα βοεικόν Αποσπάσματα Μερικά από αυτά διασώθηκαν Πολλά επίσης είναι τα συγγράμματα του που χάθηκαν

Έκανε τα πρώτα βήματα για το μαθηματικό υπολογισμό επιφανειών με ακανόνιστο περίγραμμα και συμμετρικών εκ περιστροφής σωμάτων μέθοδος που εξελίχθηκε τεκμηριώθηκε και ονομάστηκε στην σύγχρονη εποχή laquoΟλοκληρωτικός Λογισμόςraquo υπολόγισε μία προσεγγιστική τιμή για τον άρρητο αριθμό π διατύπωσε το νόμο προεκτάσεις του γενίκευσε την εφαρμογή λέγοντας laquoΔώστε μου σημείο να στηριχθώ και θα κινήσω την γηraquo διατύπωσε την ομώνυμη αρχή για την άνωση του νερού κατασκεύασε διάφορες μηχανές ένα τύπο πολύσπαστου τον κοχλία μία αντλητική μηχανή με την laquoαρχιμήδειον έλικαraquo κά

Η συμβολή του ΑρχιμήδηΗ συμβολή του Αρχιμήδη στην ανάπτυξη της Μηχανικής συνιστάται πέρα από την επινόηση των τροχαλιών του πολύσπαστου και των οδοντωτών τροχών και ενός ιδιόμορφου αντλητικού συγκροτήματος στην έλικα που φέρει το όνομα του Ακόμα στην επακριβή διατύπωση των νόμων των μοχλών και των ισορροπιών ή κέντρα βαρών Εδώ υπάρχει και η περίφημη πρόταση laquo σύμμετρα μεγέθη ισορροπούν σε αποστάσεις αντιστρόφως ανάλογες προς το βάρος τους raquo

Σε σχέση με τους μοχλούς και τις δυνατότητες τους μας αναφέρει τη φράση laquo δος μοι πα στω και ταν γαν κινάσω raquo Απέδειξε στον Ιέρωνα ότι με ένα σύστημα τροχαλιών ndash οδοντωτών τροχών και μοχλών μπορεί να μετακινήσει ένα τεράστιο πλοίο με όλο το πλήρωμα μέσα μόνος του Ήταν ακόμα ο ίδιος που σχεδίασε και επιμελήθηκε τη ναυπήγηση του πλοίου

Ανέλαβε μετά από εντολή του Ιέρωνα την οχύρωση της πόλης και διηύθυνε ο ίδιος την άμυνα της εναντίον των Ρωμαίων

Στην αστρονομία ο Λίβιος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης είναι laquoμοναδικός παρατηρητής του ουρανού και των αστέρων raquo Ο Ίππαρχος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης ασχολήθηκε με τη μελέτη των ηλιοστασίων καθώς και με τον υπολογισμό της διάρκειας του έτους

Ο Μακρόβιος αναφέρει ότι ο Αρχιμήδης ανακάλυψε τις αποστάσεις των πλανητών ενώ στο έργο laquoΨαμμίτηςraquo περιγράφει τη συσκευή μέσω της οποίας μέτρησε τη φαινομενική γωνιακή διάμετρο του ήλιου

38

Ο Κικέρων αναφέρεται με θαυμασμό για τον Αρχιμήδη στα laquoΚατοπτρικάraquo Στα Μαθηματικά που ο ίδιος θεωρούσε ως τα πιο σημαντικά παρουσίασε την μέθοδο του προσδιορισμού του αριθμού π Τελειοποίησε το ελληνικό σύστημα αρίθμησης και παρουσίασε μια μέθοδο παράστασης των πολύ μεγάλων αριθμών Ασχολήθηκε με τη διαφορική Γεωμετρία βρήκε τους τύπους πρόσθεσης και αφαίρεσης τόξων Υπολόγισε το εμβαδόν της σφαίρας και του κυλίνδρου Μελέτησε διάφορα στερεά εκ περιστροφής όπως τα στερεά που παράγονται από περιστροφή έλλειψης υπερβολής και παραβολής γύρω από έναν άξονα

Στη Γεωμετρία το έργο του Αρχιμήδη αποτελείται κατά κύριο λόγο από πρωτότυπες μελέτες σχετικά με τον τετραγωνισμό των καμπυλόγραμμων επίπεδων σχημάτων καθώς και με τον τετραγωνισμό και τον κυβισμό καμπύλων επιφανειών

Τέλος επινόησε στο σύνολό της την Υδροστατική Επιστήμη την οποία ανέπτυξε πλήρως Οι μελέτες του αναπαριστούν ένα σύνολο μαθηματικών και γεωμετρικών επιτευγμάτων το οποίο δεν ξεπέρασε κανείς στην ανθρώπινη ιστορία

Όπως αναφέρει ο Wallis laquo ο Αρχιμήδης αφήνει ένα συγκεκριμένο μυστήριο να καλύπτει τον τρόπο με τον οποίο κατέληγε στα αποτελέσματά του Είναι σαν να είχε καλύψει σκοπίμως τα ίχνη του τα ίχνη των ερευνών του σα να ήταν απρόθυμος να αποκαλύψει το μυστικό της μεθόδου έρευνάς του στους μεταγενέστερους ενώ επιθυμούσε να αποσπάσει τη συναίνεσή τους για τα αποτελέσματά του raquo

Ο ίδιος ο Αρχιμήδης ως φορέας ενός ανώτερου φιλοσοφικού πνεύματος θεωρούσε ταπεινή και ανάξια κάθε τέχνη που εξυπηρετούσε πρακτικές ανάγκες ή αποσκοπούσε στο οικονομικό κέρδος Γι` αυτό και έστρεψε όλη του την προσοχή και τις επιδιώξεις στους καθαρούς στοχασμούς χωρίς να καταδεχτεί να αφήσει κάποιο γραπτό στοιχείο για τις τεχνολογικές του ανακαλύψεις με μοναδική εξαίρεση όσες αναφέρονται στο έργο του laquoπερί σφαιροποιίαςraquo Δεν είναι καθόλου τυχαίο λοιπόν το ότι ο Κικέρων αργότερα βρήκε τον τάφο του και πάνω μία αναπαράσταση ενός κυλίνδρου περιγεγραμμένου σε σφαίρα με μία περιγραφή που έδινε το λόγο του κυλίνδρου προς τη σφαίρα

Σε ποιους τομείς εφαρμόστηκαν οι θεωρίες του Εξαιρετικές του μελέτες και για τη μέθοδο και για το αποτέλεσμα είναι εκείνες που έδωσαν τα εμβαδά Κύκλου Έλλειψης Παραβολής και Έλικας καθώς και τα εμβαδά και τους όγκους των Κυλίνδρων των Κώνων και κυρίως των Σφαιρών

Σημαντικότατη θεωρείται και η ανακάλυψη από τον ίδιο τύπου που δίνει το εμβαδόν τριγώνου από τις πλευρές του και ακόμα η επέκτασή του στα εγγεγραμμένα τετράπλευρα Ο Αρχιμήδης επίσης γνώριζε να κατασκευάζει τη λύση ειδικών τριτοβάθμιων προβλημάτων και μεταξύ αυτών και του Δηλίου Προβλήματος Τις λύσεις αυτές τις έδινε με την τομή δύο κωνικών (Ευτόκιος) Μοναδική είναι η προσφορά του στην ανώτερη μετρική Γεωμετρία Συγκεκριμένα εξέφρασε τους όγκους στερεών εκ περιστροφής κωνικών τομών εφαρμόζοντας απειροστικές μεθόδους ανάλυσης των στερεών αυτών

39

Στη σύγχρονη κλασική γεωμετρία όλο σχεδόν το μετρικό της μέρος οφείλεται στον Αρχιμήδη με αποτέλεσμα αυτή ουσιαστικά να είναι ισορροπημένη μείξη της Ευκλείδειας και της Αρχιμήδειας αρχαίας γεωμετρίας

Έτσι ο σοφός μας αποτελεί ουσιαστικά τον πατέρα της ανώτερης μετρικής γεωμετρίας της αρχαιότητας και ταυτόχρονα την πηγή έμπνευσης των νεώτερων μελετών του διαφορικού και απειροστικού λογισμού

Η πρωτοτυπία και η αποτελεσματικότητα των μελετών του έγιναν αιτία να χαρακτηριστεί από τους ιστορικούς των μαθηματικών ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών και όλων των εθνών

Ρεύμα στα ανάκτορα της Βρετανίας μέσω εφεύρεσης του Αρχιμήδη ( httpkatestimenoblogspotcom201109blog-post_1015html )

laquoΗ Βασίλισσα Ελισάβετ πρόκειται να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση ενός αρχαίου Έλληνα για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Και όταν λέμε αρχαίο Έλληνα εννοούμε τον Αρχιμήδη και όχι τον 90χρονο σύζυγό της Φίλιππο της Ελλάδαςraquo

Με αυτόν τον τίτλο πληροφορεί το βρετανικό κοινό η εφημερίδα ldquoDaily Mailrdquo για την απόφαση της Αυτής Μεγαλειότητας να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση του αρχαίου Έλληνα εφευρέτη Αρχιμήδη από τις Συρακούσες για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Πρόκειται για τη σύγχρονη εκδοχή του ατέρμονα κοχλία της έλικος του Αρχιμήδους όπως έμεινε γνωστή η εφεύρεση και είναι ένας σωληνοειδής κοχλίας που χρησίμευε για την άντληση νερού και την άρδευση καλλιεργημένων εκτάσεων

Η σύγχρονη εκδοχή της εφεύρεσης θα χρησιμοποιεί το νερό που μεταφέρεται από ένα τεχνητό φράγμα για να παράγει υδροηλεκτρική ενέργεια Ο μηχανισμός έχει ήδη μεταφερθεί μέσω του Τάμεση στο Romney Weir στα ανάκτορα του Γουίντσορ Σύμφωνα με το δημοσίευμα της εφημερίδας οι έλικες θα είναι έτοιμες για την παραγωγή ενέργειας τον προσεχή Νοέμβριο ενώ θα μπορούν να καλύψουν πλήρως τις ανάγκες του κάστρου σε ενέργεια μέσα στον επόμενο χρόνο

Εκτός αυτού οι τουρμπίνες είναι σχεδιασμένες ώστε να μην εμποδίζουν την ασφαλή διέλευση σολομού και χελιού μέσα στον ποταμό Τάμεση

Οι laquoέλικες του Αρχιμήδηraquo βάρους 40 τόνων κατασκευάστηκαν από ένα εργοστάσιο στην Ολλανδία και στοίχησαν 700000 λίρες Αγγλίας ενώ το κόστος εγκατάστασής τους θα ξεπεράσει το ένα εκατομμύριο λίρες

40

ίδρυσε το 387 πΧ η Ακαδημία συνέχισε να ακμάζει ως τις αρχές του πρώτου αιώνα π Χ έχοντας όμως μετατραπεί σε σκεπτική σχολή μετά τις αρχές της ελληνιστικής περιόδου

Κατά την εποχή του Αυγούστου υπήρξε αναβίωση της πλατωνικής φιλοσοφίας ο μεσοπλατωνισμός με εκπροσώπους όπως ο Φίλων ο Αλεξανδρεύς ενώ κατά τα τέλη του δεύτερου αιώνα ο μεσοπλατωνισμός άρχεσαι να μετατρέπεται σταδιακά υπό την επίδραση του νεοπυθαγορισμού και του ερμητισμού στην κατεχόμενη από τους Ρωμαίους Αίγυπτο στο κίνημα του νεοπλατωνισμού με αρχικούς εκπροσώπους όπως ο Πλωτίνος το οποίο είχε ιδεαλιστικό μυστικιστικό και σωτηριολογικό χαρακτήρα Η Ακαδημία στην Αθήνα επανιδρύθηκε ως κέντρο νεοπλατωνικών μελετών κατά τον τέταρτο αιώνα

Την ίδια εποχή περίοδο έντονων θρησκευτικών ζυμώσεων στη Ρωμαϊκή Αυτοκρατορία και σταδιακής επικράτησης του χριστιανισμού στη Μεσόγειο οι ακόλουθοι της αστικής ελληνορωμαϊκής θρησκείας αλλά και των ελληνικών μυστηριακών λατρειών συσπειρώθηκαν γύρω από τον νεοπλατωνισμό ως υπερασπιστή του μέχρι πρότινος επικρατούντος παγανισμού Μεμονωμένοι νεοπλατωνικοί και παγανιστικοί πυρήνες επέζησαν ως τον έκτο αιώνα οπότε και ο Αυτοκράτορας Ιουστινιανός έκλεισε με διάταγμα την Ακαδημία της Αθήνας Μετά περίπου εννέα αιώνες το έτος 1439 ο Γεώργιος Γεμιστός Πλήθων γράφει στη Φλωρεντία το πολύκροτο έργο του Περί ὧν Αριστοτέλης προς Πλάτωνα που αποτέλεσε το έναυσμα της διαμάχης πλατωνικών και αριστοτελικών στο Βυζάντιο και στην Ιταλία Ο πλατωνισμός επιβίωσε υπογείως καθ όλον τον Μεσαίωνα κρυμμένος σε μυστηριακά ρεύματα έως ότου οι πρωτότυπες ιδέες του ανακαλύφθηκαν ξανά και σχολιάστηκαν κατά την Αναγέννηση Έτσι ούτε η νεότερη φιλοσοφική σκέψη έμεινε ανεπηρέαστη από αυτόν Τα διάφορα φιλοσοφικά συστήματα ή προσπαθούν να ανατρέψουν τις ιδέες του ή οικοδομούνται πάνω σ αυτές εκσυγχρονίζοντάς τες

Τα έργα του είναι

Αλκιβιάδης Α η Περί Ανθρώπου Φύσεως μαιευτικός

Αλκιβιάδης Β ή Περί Προσευχής μαιευτικός

Απολογία Σωκράτους ηθικός

Γοργίας ή Περί Ρητορικής ανατρεπτικός

Επινομίς ή Νυκτερινος Σύλλογος πολιτικός

Επιστολαί ηθικαί

Ερασταί ή Περί Φιλοσοφίας ηθικός

Ευθύδημος ή Εριστικός ανατρεπτικός

Ευθύφρων ή Περί του Οσίου

Θεάγης ή Περί Φιλοσοφίας μαιευτικός

Θεαίτητος ή Περί Επιστήμης πειραστικός

19

Ιππαρχος ή Φιλοκερδής ηθικός

Ιππίας ελάσσων ή Περί του Ψεύδους ανατρεπτικός

Ιππίας μείζων ή Περί του Καλού ανατρεπτικός

Ίων ή Περί Ιλιάδος πειραστικός

Κλειτοφών ή Προτρεπτικός ηθικός

Κρατύλος ή Περί Ονομάτων Ορθότητος λογικός

Κριτίας ή Ατλαντικός ηθικός

Κρίτων ή Περί του Πρακτέου ηθικός

Λάχης ή Περί Ανδρείας ηθικός

Λύσις ή Περί Φιλίας μαιευτικός

Μενέξενος ή Επιτάφιος ηθικός

Μένων ή Περί Αρετής πειραστικός

Μίνως ή Περί Νόμου πολιτικός

Νόμοι ή Περί Νομοθεσίας πολιτικός

Παρμενίδης ή Περί Ιδεών λογικός

Πολιτεία ή Περί Δικαίου πολιτικός

Πολιτικός ή Περί της Βασιλείας λογικός

Πρωταγόρας ή Σοφισταί επιδεικτικός

Σοφιστής ή Περί του Όντος λογικός

Συμπόσιον ή Περί Αγαθού ηθικός

Τίμαιος ή Περί Φύσεως φυσικός

Φαίδρος ή Περί Έρωτος ηθικός

Φαίδων ή Περί Ψυχής ηθικός

Φίληβος ή Περί Ηδονής ηθικός

Χαρμίδης ή Περί Σωφροσύνης πειραστικός

20

21

ΕυκλείδηςΒΙΟΓΡΑΦΙΑ

Υπολογίζεται ότι έζησε το βrsquo μισό του 4ου έως τις αρχές του 3ου πΧ αιώνα πιο συγκεκριμένα περίπου το 325 πΧ έως το 265 πΧ Κορυφαίος μαθηματικός της αρχαιότητας που επηρέασε με το έργο του σε ανυπέρβλητο βαθμό τον επιστημονικό τρόπο σκέψης σε όλο τον κόσμο Για τη ζωή του δεν υπάρχουν επιβεβαιωμένες πληροφορίες Πιθανώς εκπαιδεύτηκε στην Αθήνα στην Ακαδημία του Πλάτωνα και δίδαξε στην Αλεξάνδρεια Ξέρουμε ότι ήταν μεγαλύτερος στην ηλικία από τον Αρχιμήδη πράγμα που σημαίνει ότι η χρονολόγηση της ακμής του laquoγύρω στο 300 πΧraquo δεν πρέπει να απέχει πολύ από την αλήθεια Ο Πρόκλος επίσης τον χαρακτηρίζει σύγχρονο του βασιλιά Πτολεμαίου Αrsquo στον

οποίο είχε το θάρρος να του πει κατά πρόσωπο πως δεν υπάρχει βασιλική οδός προς τη γεωμετρία Ο Πάππος τον επαινεί για την ηθική του ακεραιότητα τη μετριοφροσύνη και την ευμενή στάση του προς όσους είναι ικανοί να προαγάγουν τη μαθηματική γνώση Ο Στοβαίος διηγείται το ακόλουθο ενδιαφέρον περιστατικό Ένας νέος επισκέφθηκε κάποτε τον Ευκλείδη και τον παρακάλεσε να τον διδάξει γεωμετρία Μόλις έμαθε το πρώτο θεώρημα ρώτησε τον Ευκλείδη laquoΚαι τώρα τι θα κερδίσω με το θεώρημα αυτόraquo Ο Ευκλείδης τότε γύρισε προς τον υπηρέτη του και του είπε laquoΔώσrsquo του τρεις δεκάρες ώστε να κερδίσει κάτι από το θεώρημα το οποίο έμαθεraquo Αυτά είναι όλα όσα γνωρίζουμε για τον Ευκλείδη ως άνθρωπο Πολύ μεγαλύτερη σημασία όμως έχει το έργο του το οποίο ακόμα και σήμερα μαρτυρεί τα απαράμιλλα χαρίσματά του ως δασκάλου

ΕΡΓΟ

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη

Μετά το θάνατο του Μεγάλου Αλεξάνδρου στα 323 πΧ η αχανής μακεδονική αυτοκρατορία διαιρέθηκε σε τρεις περιοχές Η περιοχή πού περιλάμβανε την Αίγυπτο περιήλθε κάτω από την άξια ηγεμονία του ικανού στρατηγού του Αλεξάνδρου Πτολεμαίου του Σωτήρος ο οποίος σύντομα κέρδισε τη βασιλεία της περιοχής Ο Πτολεμαίος επέλεξε για πρωτεύουσα της περιοχής του την Αλεξάνδρεια λίγα μόνο μίλια από τις εκβολές του ποταμού Νείλου και γύρω στα 300 πΧ άνοιξε τις πόρτες του περίφημου πανεπιστημίου της Αλεξάνδρειας Ανάμεσα στους μελετητές που κλήθηκαν να επανδρώσουν το νέο ίδρυμα ήταν και ο μαθηματικός Ευκλείδης που πιθανότατα υπήρξε μαθητής της Ακαδημίας του Πλάτωνα στην Αθήνα

22

Ο Ευκλείδης από τη στιγμή που ανέλαβε τα καθήκοντά του στην Αλεξάνδρεια όρισε ανάμεσα στους στόχους του τη συγκρότηση του μνημειώδους και ιστορικά σημαντικού έργου του των Στοιχείων Αυτή η αξιόλογη και εκτεταμένη εργασία γραμμένη σε δεκατρία βιβλία ή μέρη αποτελεί την αρχαιότερη εφαρμογή της αξιωματικής μεθόδου που έχει φτάσει στα χέρια μας Θεωρείται ο πρώτος μεγάλος σταθμός στην ιστορία της οργάνωσης των μαθηματικών και η μετέπειτα επίδραση της στον επιστημονικό τρόπο γραφής πολύ δύσκολα μπορεί να περιγραφεί

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη διεκδικούν αναμφισβήτητα μια θέση ανάμεσα στις μεγάλες στιγμές των μαθηματικών Η εργασία αυτή εκτόπισε τόσο γρήγορα και ολοκληρωτικά όλες τις προηγούμενες εργασίες ανάλογου περιεχομένου που σήμερα δεν υπάρχουν αντίγραφα προηγουμένων προσπαθειών και απλά γνωρίζουμε την ύπαρξη τους από σχόλια μεταγενέστερων συγγραφέων Τα Στοιχεία του Ευκλείδη από την πρώτη εμφάνιση τους κέρδισαν τεράστια εκτίμηση Με μοναδική εξαίρεση τη Βίβλο καμιά άλλη εργασία δεν χρησιμοποιήθηκε μελετήθηκε ή εκδόθηκε τόσο πολύ Για πάνω από δύο χιλιετίες κυριάρχησε στο χώρο διδασκαλίας της γεωμετρίας Από την πρώτη έκδοση της στα 1472 έχει γνωρίσει πάνω από χίλιες εκδόσεις Το περιεχόμενο και η μορφή της επέδρασαν εντυπωσιακά στην ανάπτυξη του αντικειμένου της και της λογικής θεμελίωσης των μαθηματικών

Ο Πρόκλος ένας κατοπινός σχολιαστής των μαθηματικών που έζησε στον 5ο αιώνα έχει δώσει μια εξήγηση της έννοιας του όρου laquoστοιχείαraquo Τα στοιχεία μιας αποδεικτικής μελέτης είναι τα πιο σημαντικά θεωρήματα ή τα θεωρήματα κλειδιά που χρησιμοποιούνται συχνά και πλατιά στο αντικείμενο της μελέτης Είναι τα θεωρήματα που χρειάζονται για την απόδειξη όλων ή των περισσότερων από τα άλλα θεωρήματα Η λειτουργία τους συγκρίνεται με αυτή των γραμμάτων του αλφαβήτου σε σχέση με τη γλώσσα Τα γράμματα στα ελληνικά ονομάζονται και στοιχεία Η επιλογή των προτάσεων που θα λειτουργήσουν ως στοιχεία κάποιου θέματος μελέτης απαιτεί μεγάλη ικανότητα και κρίση από το συγγραφέα

Δεν υποτιμά καθόλου την αίγλη του έργου του Ευκλείδη το γεγονός ότι είχαν προηγηθεί ανάλογες προσπάθειες Σύμφωνα με τον Πρόκλο η πρώτη προσπάθεια να γραφτούν Στοιχεία έγινε από τον Ιπποκράτη το Χίο στα μέσα του πέμπτου πΧ αιώνα Η επόμενη προσπάθεια ήταν του Λέοντα που χρονολογικά τοποθετείται κάπου ανάμεσα στον Πλάτωνα και τον Εύδοξο Όπως μαθαίνουμε η εργασία του Λέοντα περιείχε μια μεγαλύτερη και πιο χρήσιμη επιλογή προτάσεων από τον Ιπποκράτη Το βιβλίο που χρησιμοποιούνταν στην Ακαδημία του Πλάτωνα είχε επιμεληθεί ο Θεύδιος από τη Μαγνησία και θεωρούνταν μια θαυμάσια συλλογή στοιχείων Η εργασία του Θεύδιου ήταν ασφαλώς ο άμεσος πρόδρομος της εργασίας του Ευκλείδη ο οποίος την είχε χωρίς αμφιβολία στη διάθεση του ειδικά αν όπως πιστεύουν σπούδασε στην Ακαδημία του Πλάτωνα

Ο Ευκλείδης γνώριζε επίσης την εργασία του Θεαίτητου και του Εύδοξου Δεν είναι καθόλου υποτιμητικό ότι η εργασία του Ευκλείδη αποτελεί σε μεγάλο βαθμό συγκέντρωση και επιμέλεια των εργασιών των προγενεστέρων του αφού η ουσιαστική αξία των Στοιχείων βρίσκεται ακριβώς στην τέλεια επιδεξιότητα με την οποία επιλέχτηκαν και τοποθετήθηκαν

23

σε λογική σειρά οι προτάσεις ξεκινώντας από μια μικρή ομάδα αρχικών υποθέσεων Ούτε είναι υποτιμητικό το γεγονός ότι η εξονυχιστική μελέτη των σύγχρονων κριτικών έχουν αποκαλύψει ορισμένα μειονεκτήματα στη δομή της εργασίας του Ευκλείδη Δε θα μπορούσε κανείς να περιμένει μια τέτοια αρχική και κολοσσιαία προσπάθεια με την αξιωματική μέθοδο να μην παρουσιάζει καμία ατέλεια

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη έχουν γραφεί γύρω στο 300 πΧ αλλά το αυθεντικό χειρόγραφο κείμενο του Ευκλείδη δεν διασώζεται Αντίθετα σώζονται δεκάδες αντίγραφα που σε τελική ανάλυση κατάγονται από αυτό Το αρχαιότερο πλήρες αντίγραφο περιέχεται σε έναν χειρόγραφο περγαμηνό κώδικα που φυλάσσεται σήμερα στη Βιβλιοθήκη της Οξφόρδης και χρονολογείται από του έτους 888 ενώ μικρά αποσπάσματα του έργου διασώζονται σε παπύρους προγενέστερης εποχής καθώς και σε ένα παλίμψητο χειρόγραφο του 7ου ή του 8ου

μΧ αι που φυλάσσεται στο Βρετανικό Μουσείο Βλέπουμε λοιπόν ότι το αρχαιότερο χειρόγραφο που περιέχει το πλήρες κείμενο των Στοιχείων του Ευκλείδη χρονολογείται από τα τέλη του 9ου μΧ αι και επομένως απέχει από την εποχή μας όσο απέχει από την εποχή που ο ίδιος ο Ευκλείδης έγραψε το έργο

Όλες οι σύγχρονες εκδόσεις στηρίζονται σε μια επανέκδοση που έκανε ο Θεωνάς από την Αλεξάνδρεια ένας Έλληνας σχολιαστής που έζησε εφτακόσια περίπου χρόνια μετά τον Ευκλείδη Μόνο στις αρχές του 19ου αιώνα ανακαλύφθηκε ένα παλιότερο αντίγραφο Στα 1808 όταν ο Ναπολέοντας διέταξε να μεταφερθούν όλα τα αξιόλογα χειρόγραφα από τις ιταλικές βιβλιοθήκες στο Παρίσι ο Φ Πέιραρντ (F Peyrard) ανακάλυψε στη βιβλιοθήκη του Βατικανού ένα αντίγραφο των Στοιχείων από έκδοση προγενέστερη από του Θεωνά Η μελέτη όμως αυτής της παλιότερης έκδοσης αποκάλυψε δευτερεύουσες μόνο διαφορές από τον Θεωνά

Οι πρώτες πλήρεις μεταφράσεις των Στοιχείων στα λατινικά δεν έγιναν από τα ελληνικά αλλά από τα αραβικά Τον 8ο αιώνα οι Άραβες μετέφρασαν έναν αριθμό βυζαντινών χειρογράφων με ελληνικές εργασίες και στα 1120 ο Άγγλος μελετητής Άντελαρντ (Adelard) από το Μπαθ μετέφρασε τα Στοιχεία στα λατινικά χρησιμοποιώντας μια απ αυτές τις παλιότερες αραβικές μεταφράσεις Άλλες λατινικές μεταφράσεις από τα αραβικά έκαναν ο Γκεράρντο από την Κρεμώνα (Gherardo 1114-1187) και 150 χρόνια μετά τον Άντελαρντ ο Γιοχάννες Καμπάνους (Johannes Campanus) Η πρώτη τυπωμένη έκδοση των Στοιχείων έγινε στη Βενετία στα 1482 η έκδοση αυτή ήταν η μετάφραση του Καμπάνους Αυτό το πολύ σπάνιο βιβλίο ήταν θαυμάσια τυπωμένο και ήταν το πρώτο αξιόλογο μαθηματικό βιβλίο που τυπώθηκε Μια σημαντική λατινική μετάφραση από τα ελληνικά έγινε από τον Κομμαντίνο (Commandino) στα 1572 Αυτή η μετάφραση χρησιμοποιήθηκε ως βάση για πολλές άλλες μεταφράσεις που ακολούθησαν ανάμεσα σ αυτές και η εργασία του Ρόμπερτ Σίμσον (Robert Simson) που άσκησε σημαντική επιρροή και αποτέλεσε με τη σειρά της τη βάση για πάρα πολλές αγγλικές εκδόσεις

24

Αναλυτική περιγραφή των laquo στοιχείων raquo

Ειδικότερα το πρώτο βιβλίο αναφέρεται σε τεμνόμενες και παράλληλες ευθείες στην ισότητα ευθύγραμμων σχημάτων και στο τέλος το πυθαγόρειο θεώρημα Στο 2ο βιβλίο αναφέρονται συνέπειες από το πυθαγόρειο θεώρημα και γίνονται μετασχηματισμοί ευθύγραμμων σχημάτων σε ισοδύναμα τετράγωνα Εδώ περιέχεται και το πρόβλημα

της laquoχρυσής τομήςraquo Πολλές από τις προτάσεις αυτού μπορούν με σύγχρονους συμβολισμούς να πάρουν μορφή αλγεβρική γιrsquo αυτό έχει επικρατήσει να λέγεται για το 2ο βιβλίο ότι εισάγει τη laquoγεωμετρική άλγεβραraquo Στο 3ο βιβλίο εξετάζεται ο κύκλος και στο τέταρτο βιβλίο λύνονται προβλήματα σχετικά με τα εγγεγραμμένα στον κύκλο κανονικά πολύγωνα Στο 5ο βιβλίο σπουδάζεται η laquoθεωρία των λόγωνraquo του Ευδόξου Πρόκειται ουσιαστικά για τη θεωρία των πραγματικών αριθμών δοσμένη όμως σε μορφή γεωμετρική Το 6ο βιβλίο ασχολείται με την ομοιότητα επίπεδων σχημάτων και σrsquo αυτά αποδεικνύεται ότι από όλα τα ορθογώνια με δοσμένη περίμετρο το τετράγωνο έχει το μέγιστο εμβαδόν Στα βιβλία 7ο-9ο που αφορούν στην αριθμοθεωρία είναι εκπληκτικό πώς με παντελή μπορεί να πει κανείς έλλειψη συμβολισμών (αριθμοί δεν αναγράφονται) κατορθώνεται μια ακροβασία στην αλληλουχία των συλλογισμών που καταλήγει σε πολύ ενδιαφέροντα αριθμητικά αποτελέσματα Ειδικότερα στο 7ο βιβλίο μελετιούνται οι άρτιοι και οι περιττοί αριθμοί οι πρώτοι και οι σύνθετοι καθώς και οι τέλειοι εξετάζονται διάφορα προβλήματα διαιρετότητας ορίζεται το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο αριθμών (ΕΚΠ) καθώς και ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης τους και δίνεται η μέθοδος προσδιορισμού του που ονομάστηκε laquoΕυκλείδειος Αλγόριθμοςraquo Στα δύο επόμενα βιβλία εξακολουθεί η σπουδή αριθμοθεωρητικών θεμάτων στο 8ο εισάγονται επίσης και μελετιούνται οι γεωμετρικές πρόοδοι και στο 9ο έχουν συμπεριληφθεί τρεις σημαντικότατες προτάσεις Πρόκειται για α) το αποκαλούμενο laquoθεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικήςraquo β) την απόφανση ότι υπάρχουν απειράριθμοι πρώτοι και γ) την πρόταση που οδηγεί σε ένα γενικό τύπο που παρέχει άρτιους τέλειους αριθμούς Στο 10ο βιβλίο που αποτελεί ένα από τα ωραιότερα μέρη των Στοιχείων γίνεται μια ταξινόμηση των τετραγωνικών άρρητων και των τετραγωνικών ριζών τους και κατασκευάζεται ένα σύνολο ασύμμετρων μεγεθών το οποίο μαζί με το σύνολο των ρητών συναποτελεί επέκταση αυτού του τελευταίου τέτοια ώστε κάθε στοιχείο της να είναι κατασκευασμένο με κανόνα και διαβήτη Τέλος τα βιβλία της στερεομετρίας το 11ο βιβλίο ασχολείται με θεμελιώδεις σχέσεις μεταξύ ευθειών και επιπέδων καθώς και με τις στερεές γωνίες στο 12ο αναφέρεται σε επιφάνειες και όγκους στερεών και στο 13ο γίνεται η μελέτη της σφαίρας σε συσχετισμό με τα εγγεγραμμένα σε αυτήν κανονικά πολύεδρα

25

Άλλα έργα

bull Δεδομένα (94 θεωρήματα) έργο ανώτερης γεωμετρίας Στο έργο αυτό περιέχονται προτάσεις σε σχήματα στα οποία δίνονται ορισμένα στοιχεία τους κατά σχήμα θέση ή μέγεθος

bull Περί διαιρέσεων (36 προτάσεις) με περιεχόμενό του τη διαίρεση σχημάτων με δοσμένη σχέση

bull Πορίσματα (3 βιβλία που χάθηκαν) σώθηκαν ορισμένα αποσπάσματα που το 1860 έγινε απόπειρα ανασύνθεσής τους από τον Πάππο

bull Οπτικά-κατοπτρικά αντίστοιχα γεωμετρική οπτική ανάκλαση του φωτός πάνω σε επίπεδο κάτοπτρο

bull Φαινόμενα εγχειρίδιο κοσμογραφίας απλές προτάσεις για τη σφαίρα

bull Κατατομή κανόνος στοιχεία πυθαγόρεια θεωρία μουσικής

bull Ψευδάρεια laquoπαράδοξαraquo με στόχο να ασκηθούν οι σπουδαστές στην ανεύρεση λογικών σφαλμάτων κατά τις αποδείξεις

bull Κωνικαί τομαί Μηχανικά δεν γνωρίζουμε τίποτα γιrsquo αυτά τα έργα

Αιτήματα του Ευκλείδη

Τα αιτήματα είναι αρχικές προτάσεις οι οποίες προσιδιάζουν στη συγκεκριμένη κάθε φορά επιστήμη στην προκειμένη περίπτωση στη Γεωμετρία Ο Ευκλείδης διατυπώνει 5 αιτήματα

1 Ζητείται να γίνει δεκτό ότι από οποιοδήποτε σημείο σε οποιοδήποτε σημείο άγεται ευθεία γραμμή

2 Και (ότι) πεπερασμένη ευθεία προεκτείνεται σε ευθεία κατά συνεχή τρόπο

3 Και (ότι) με οποιοδήποτε κέντρο και διάστημα γράφεται κύκλος

4 Και (ότι) όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους

5 Και αν η ευθεία η οποία τέμνει δύο ευθείες σχηματίζει δύο εντός και επί τrsquo αυτά μέρη γωνίες μικρότερες των δύο ορθών τότε οι δύο ευθείες προεκτεινόμενες επrsquo απείρου συναντώνται προς εκείνα τα μέρη τους όπου βρίσκονται μικρότερες των δύο ορθών

Ακολουθούν τα laquoαιτήματαraquo διατυπωμένα σε αρχαίο κείμενο όπως αυτά βρίσκονται στο Βιβλίο Ι

26

Ο ρόλος των τριών πρώτων από τα αιτήματα αυτά είναι να εξασφαλίσουν τη νομιμότητα των κατασκευών της ευθείας και του κύκλου και κατά συνέπεια εκείνων και μόνο των γραμμών και των γεωμετρικών σχημάτων που κατασκευάζονται με πεπερασμένο αριθμό βημάτων από τα δύο αυτά βασικά σχήματα Στα Στοιχεία επομένως δεν έχουν θέση καμπύλες όπως είναι οι κωνικές τομές τη τετραγωνίζουσα κλπ ή κατασκευές όπως κατασκευές νεύσεως Η φύση των δύο τελευταίων αιτημάτων είναι διαφορετική Αποσκοπούν να δηλώσουν ότι κάποια γεωμετρικά σχήματα έχουν ορισμένες ειδικές ιδιότητες

Πολλοί ιστορικοί των μαθηματικών έχουν ασχοληθεί κατά το παρελθόν με το ερώτημα εάν τα αξιώματα του Ευκλείδη ικανοποιούν τις σύγχρονες απαιτήσεις (πληρότητα συνέπεια ανεξαρτησία) ενός αξιωματικού συστήματος Από την προσεκτική μελέτη των αποδείξεων κι των κατασκευών που περιέχονται στα Στοιχεία προκύπτει ότι ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί μερικές φορές απόρρητες παραδοχές οι οποίες δεν περιλαμβάνονται στα αξιώματα Επομένως το σύστημα των αξιωμάτων του δεν ικανοποιεί την απαίτηση της πληρότητας

Μεγάλο ιστορικό ενδιαφέρον εξάλλου έχει το ερώτημα της ανεξαρτησίας των αιτημάτων του Ευκλείδη ιδιαίτερα σε ότι αφορά το πέμπτο από αυτά Το αίτημα αυτό αναφέρεται συχνά και ως laquoαίτημα των παραλλήλωνraquo γιατί μια ισοδύναμη διατύπωσή του είναι η εξής από ένα σημείο εκτός ευθείας άγεται μια μόνο παράλληλη προς τη ευθεία Πολλοί μαθηματικοί από την αρχαιότητα έως τα μέσα του 18ου αιώνα προσπάθησαν να εξαγάγουν το αίτημα αυτό από τα άλλα αιτήματα όλες οι προσπάθειες όμως απέβησαν άκαρπες Από τα τέλη του 18ου αιώνα η προσδοκώμενη εξάρτηση του αιτήματος επιχειρήθηκε να αποδειχτεί με έμμεσο τρόπο Η σκέψη ήταν η εξής αν το αίτημα των παραλλήλων μπορεί να εξαχθεί από τα άλλα τέσσερα αιτήματα μαζί με την άρνηση του πέμπτου θα πρέπει να οδηγούν σε αντίφαση Το νέο σύστημα αξιωμάτων όμως αντί να οδηγήσει σε αντίφαση αποδείχτηκε ότι παράγει συνέπειες μαθηματικές θεωρίες Έτσι ανακαλύφθηκαν οι λεγόμενες μη ευκλείδειες γεωμετρίες και ταυτόχρονα αποδείχθηκε η ανεξαρτησία των αιτημάτων του Ευκλείδη

27

Ας δούμε τώρα την διατύπωση και την απόδειξη της πρότασης (5) που περιέχεται στο Βιβλίο Ι των laquoστοιχείωνraquo και αναφέρεται στη γνωστή μας πρόταση της ισότητας των παρά τη βάση γωνιών ισοσκελούς τριγώνου

28

Γιατί διδάσκουμε το μάθημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στο ζήτημα της laquoχρησιμότηταςraquo των σχολικών Μαθηματικών θα μπορούσε κανείς να αντιπαραθέσει (και πράγματι αντιπαρατέθηκαν) πολλές διαφορετικές απόψεις Εμείς θα παραθέσουμε απλώς ένα απόσπασμα από τις αυτοβιογραφικές σημειώσεις του Albert Einstein το οποίο δείχνει μια άλλη τελείως διαφορετική αντίληψη σχετικά με την laquoχρησιμότηταraquo της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Γράφοντας για τα γεγονότα της παιδικής και εφηβικής του ζωής που είχαν μεγάλη επίδραση στην μετέπειτα εξέλιξη του ο Einstein σημειώνει

Σε ηλικία 12 ετών δοκίμασα μια δεύτερη τελείως διαφορετική έκπληξη σε ένα μικρό βιβλίο Ευκλείδειας επίπεδης γεωμετρίαςhellip Εδώ υπήρχαν ισχυρισμοί όπως για παράδειγμα τα τρία ύψη ενός τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο οι οποίοι - αν και καθόλου προφανείς - μπορούσαν ωστόσο να αποδειχτούν με τέτοια βεβαιότητα ώστε να μην χωρεί η παραμικρή αμφιβολία Αυτή η σαφήνεια και βεβαιότητα μου προξένησαν μια εντύπωση που δεν μπορεί να περιγραφεί Το γεγονός ότι τα αξιώματα έπρεπε να γίνουν δεκτά χωρίς απόδειξη δεν με ενόχλησε Σε κάθε περίπτωση μου αρκούσε πλήρως το γεγονός ότι μπορούσαν να στηρίζω τις αποδείξεις σε προτάσεις η εγκυρότητα των οποίων ήταν για μένα αναμφισβήτητη

Η περίπτωση του Einstein του επιστήμονα που άλλαξε ριζικά τις αντιλήψεις μας και την γεωμετρική δομή του σύμπαντος αποκαλύπτει την σπουδαιότητα ορισμένων παιδαγωγικών σκοπών και τη συνάφειά τους με το ερώτημα που θέσαμε ως τίτλο αυτής της ενότητας καλλιέργεια και ανάπτυξη της συγκροτημένης σκέψης μύηση στην επιστημονική μέθοδο μελέτες του κόσμου Αυτοί οι σκοποί παρόλη τη γενικότητά τους συνδέονται άμεσα με τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας που άσκησαν καθοριστική επίδραση στο νεαρό Einstein τα οποία είναι

bull Σαφήνεια στην έκθεση

bull Ολοκληρωτική απόδειξη κάθε υπόθεσης

bull Απόλυτη συνάφεια σχημάτων και συλλογισμών

bull Τάξη και ομορφιά

Αν τα στοιχεία αυτά αποτελούν ουσιώδη συστατικά της μαθηματικής παιδείας τότε παρέχουν κατά την άποψή μας μια αυτονόητη απάντηση στο ερώτημα laquoΓιατί διδάσκουμε την Ευκλείδεια Γεωμετρίαraquo

Αντιλήψεις και αντιπαραθέσεις για τη διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Οι ένθερμοι υποστηρικτές της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προβάλλουν την παιδαγωγική αξία της λογικής και διάφανης επιχειρηματολογίας των γεωμετρικών αποδείξεων ενώ οι πολέμιοί της επικαλούνται την αναμφισβήτητη δυσκολία των περισσότερων μαθητών να κατανοήσουν τις γεωμετρικές έννοιες και τις πολύ χαμηλές επιδόσεις τους στην αντιμετώπιση σχετικών προβλημάτων Ενδιάμεσα βρίσκονται συνήθως οι σκεπτικιστές οι οποίοι επισημαίνουν τον περιορισμένο επιστημολογικά ρόλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και την ανάγκη να ανανεωθεί η διδασκαλία των Μαθηματικών δίνοντας μεγαλύτερη έμφαση σε πιο σύγχρονους και laquoχρήσιμουςraquo κλάδους (πχ Πιθανότητες και Στατιστική) Από την εποχή που ο Dieudonne κήρυξε τον πόλεμο κατά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας οι αντιλήψεις

29

αυτές έγιναν αντικείμενο επεξεργασίας και αντιπαρατέθηκαν μεταξύ τους από σημαντικούς μαθηματικούς και παιδαγωγούς ενώ οι σχετικές συζητήσεις συνεχίζονται με αμείωτη ένταση μέχρι σήμερα Σε μια ειδική μελέτη της Διεθνούς Επιτροπής για τη Μαθηματική Εκπαίδευση (ICMI) έγινε απόπειρα σύνθεσης των διαφόρων τάσεων και διατυπώθηκαν οι εξής τρεις εναλλακτικές λύσεις για τη διδασκαλία του μαθήματος

1 η λύση

Απορρίπτουμε την ιδέα ότι η Γεωμετρία πρέπει ή μπορεί να χρησιμοποιηθεί στο σχολείο ως ένα σύστημα γνώσεων (παραγωγικά οργανωμένο ή όχι) όπου οι έννοιες και τα γεγονότα πρέπει να γίνουν γνωστά απλά και μόνο επειδή ανήκουν στο σύστημα Αντίθετα η Γεωμετρία και ο χώρος θεωρούνται ως πηγές άντλησης εξαιρετικών θεμάτων για την οργάνωση πολλαπλών δραστηριοτήτων σε διαφορετικά επίπεδα Οι laquoχρησιμοθηρικέςraquo όψεις της Γεωμετρίας θα εξυπηρετηθούν με την παροχή αλγεβρικών μεθόδων

2 η λύση

Εξακολουθούμε να επιχειρούμε τη διδασκαλία ενός αξιωματικού ή ψευδο-αξιωματικού μαθήματος σχολικής Γεωμετρίας το οποίο στηρίζεται είτε σε laquoτροποποίησηraquo των laquoΣτοιχείωνraquo του Ευκλείδη (για παράδειγμα αξιωματική θεμελίωση τύπου Pogorelov) είτε πχ στους γεωμετρικούς σχηματισμούς

3 η λύση

Για ορισμένες ομάδες μαθητών τουλάχιστον παρουσιάζουμε laquoνησίδεςraquo Γεωμετρίας δηλαδή laquoτοπικάraquo παραγωγικά συστήματα μέσα στο πλαίσιο του γενικού αναλυτικού προγράμματος (Έτσι μπορούμε για παράδειγμα να έχουμε ενότητες για τις ιδιότητες των εγγεγραμμένων σε κύκλο γωνιών ή τη στοιχειώδη προβολική Γεωμετρία)

Στην Ελλάδα για προφανείς ιστορικούς και πολιτιστικούς λόγους συνεχίζεται μια παράδοση που προσεγγίζεται εγγύτατα τη δεύτερη από τις προηγούμενες εναλλακτικές λύσεις Ακόμη και την περίοδο της μεταρρύθμισης των laquoΝέων Μαθηματικώνraquo η διεθνής πίεση για εκσυγχρονισμό των σχολικών Μαθηματικών και εγκατάλειψη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αφομοιώθηκε στη χώρα μας μέσα από έναν ιδιότυπο συμβιβασμό από τη μια μεριά διατηρήθηκε όλη η παραδοσιακή σχολική ύλη την οποία σε μεγάλο βαθμό συντηρούσαν οι εισαγωγικές εξετάσεις των ΑΕΙ και από την άλλη δόθηκε υπερβολική έμφαση στην αυστηρή αξιωματική θεμελίωσης της Γεωμετρίας καθώς και με την εισαγωγή νέας ύλης πάνω στους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς Στις αντιφατικές επιλογές εκείνης της περιόδου βρίσκονται κατά την άποψη μας οι ρίζες της μετέπειτα υποβάθμισης και παρακμής του μαθήματος της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

30

Το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στη σύγχρονη Διδακτική των Μαθηματικών τα θεμελιώδη επιστημολογικά χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας όπως είναι η παραγωγική οργάνωση του περιεχομένου η αποδεικτική διαδικασία και η έμφαση στις γεωμετρικές κατασκευές αναφέρονται συνήθως ως laquoανώτερα επίπεδα γεωμετρικής σκέψηςraquo και η μάθηση τους έχει γίνει αντικείμενο συστηματικής μελέτης και έρευνας Ένα βασικό θεωρητικό μοντέλο στο οποίο έχει στηριχθεί η διεξαγωγή μεγάλου αριθμού ερευνών σε διάφορες χώρες αποτελούν τα λεγόμενα laquoεπίπεδα van Hieleraquo Σύμφωνα με αυτό το μοντέλο η μάθηση της Γεωμετρίας εξελίσσεται ιεραρχικά περνώντας από πέντε διαδοχικά επίπεδα

bull 1ο επίπεδο Εποπτικό

bull 2ο επίπεδο ΠεριγραφικόΑναλυτικό

bull 3ο επίπεδο ΑφηρημένοΣχεσιακό

bull 4ο επίπεδο ΤυπικόΠαραγωγικό

bull 5ο επίπεδο Μεταμαθηματικό

Οι μαθητές κατανοούν τη σημασία και τη διαδικασία οικοδόμησης ενός αξιωματικού μαθηματικού συστήματος και τις σχέσεις ανάμεσα σε διαφορετικά συστήματα Για παράδειγμα αναγνωρίζουν ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία δεν είναι παρά ένας από τους πολλούς δυνατούς τρόπους περιγραφής ενός αφηρημένου μαθηματικού σύμπαντος

Είναι φανερό ότι η διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προϋποθέτει τα δύο πρώτα επίπεδα και έχει ως κύριο σκοπό την κατάκτηση των δύο επόμενων επιπέδων (για το 5ο

μάλλον δεν μπορεί να γίνεται λόγος στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση) Σε θεωρητικό επίπεδο τόσο και η θεωρία των van Hiele όσο και η γενικότερη θεωρία των σταδίων μάθησης του Piaget προβλέπουν ότι η κατάκτηση αυτών των επιπέδων είναι μια επίπονη και ιεραρχικά εξελισσόμενη διαδικασία που απαιτεί μακροχρόνια και προσεχτικά σχεδιασμένη διδασκαλία Αυτές οι θεωρητικές προβλέψεις φαίνεται να επιβεβαιώνονται από πολλές εμπειρικές έρευνες που έχουν διεξαχθεί σε διάφορες χώρες και τα αποτελέσματά τους οδηγούν σε ένα βασικό συμπέρασμα laquo η καθιερωμένη παραδοσιακή διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αδυνατεί να οδηγήσει τους μαθητές στην κατάκτηση των ανώτερων επιπέδων γεωμετρικής σκέψης raquo

Από τα αποτελέσματα αυτών των ερευνών αξίζει νrsquo αναφέρουμε εδώ ένα εντυπωσιακό στατιστικό στοιχείο που αποκαλύπτει τις διαστάσεις του προβλήματος σε μια έρευνα που έγινε στις ΗΠΑ μεταξύ 1520 μαθητών που είχαν ολοκληρώσει ένα έτος διδασκαλίας της θεωρητικής Ευκλείδειας Γεωμετρίας διαπιστώθηκε ότι μόνο το 30 είχε φτάσει σε ένα επίπεδο που μπορεί να χαρακτηριστεί από 75 επιτυχία στην απόδειξη απλών γεωμετρικών προτάσεων (πχ ότι οι διαγώνιες ενός ορθογωνίου είναι ίσες) Το ποσοστό των μαθητών που είχαν 100 επιτυχία δεν ξεπέρασε το 3

31

Κοινή πεποίθηση όλων αυτών των ερευνητών είναι ότι για να κατανοηθούν οι παραγωγικές αποδείξεις της Ευκλείδειας Γεωμετρίας απαιτείται μια ισχυρή διαισθητική βάση την οποία οι μαθητές θα αποκτήσουν μέσα από επαγωγικές εμπειρικές ανακαλύψεις τη διαπίστωση και επαλήθευση υποθέσεων τις γεωμετρικές κατασκευές και εφαρμογές Έτσι λοιπόν η διδασκαλία της Γεωμετρίας δεν θα πρέπει να στηρίζεται σrsquo ένα τεχνητό διαχωρισμό ανάμεσα σε laquoΠρακτική Γεωμετρίαraquo σχεδίασης και μετρήσεων και μια laquoΘεωρητική Γεωμετρίαraquo αποδείξεων αλλά να συνδυάζει μια ισορροπημένη ανάπτυξη των δύο αυτών όψεων του μαθήματος σrsquo όλο το φάσμα της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Η επινόηση διδακτικών μέσων και μεθόδων που θα επιτρέψουν την υλοποίηση αυτού του στόχου φαίνεται ότι αποτελεί σήμερα το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ

Η Γεωμετρία του Ευκλείδη απετέλεσε το θεμέλιο για την ανάπτυξη της laquoδυτικήςraquo επιστήμης και τεχνικής και σ αυτή τη Γεωμετρία στηρίζονται οι προϋποθέσεις της κλασικής Φυσικής από την Αναγέννηση και μετά Μόλις το 19ο αιώνα διαπιστώθηκε όμως (Λάμπερτ Γκάους Μπολυάι Λομπατσέβσκι κά) ότι η ευκλείδεια Γεωμετρία στηρίζεται στην απλοϊκή αντίληψη του επίπεδου χώρου ο οποίος είναι μεν χρήσιμος για την περιοχή που αντιλαμβάνεται με τις αισθήσεις του ένας άνθρωπος αλλά όχι για πολύ μεγάλες τιμές των φυσικών μεγεθών (αποστάσεις ταχύτητες μάζες κτλ) Τότε παύει να ισχύει η επίπεδη αντίληψη και μαζί της η Ευκλείδεια Γεωμετρία επειδή στην πραγματικότητα ο χώρος είναι κυρτός Έτσι η Γεωμετρία συμπληρώνεται με βάση αντιλήψεις που στηρίζονται στον υπερβολικό ελλειπτικό κά χώρο

Σήμερα η γεωμετρία του Ευκλείδη διδάσκεται παγκοσμίως και ανελλιπώς επί 23 αιώνες με τον τιμητικό τίτλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Στη σύγχρονη όμως σχολική γεωμετρία περιλαμβάνονται και υπολογισμοί και μετρήσεις οι οποίες από το έργο του Ευκλείδη απουσιάζουν εντελώς

Η συνολική προσφορά του Ευκλείδη στα Μαθηματικά και τις εφαρμοσμένες τέχνες υπήρξε σημαντικότατη και ταυτόχρονα βάση από την οποία εξόρμησαν οι μεταγενέστεροι μαθηματικοί γεωγράφοι και αστρονόμοι για να οδηγηθούν στο τελικό μαθηματικό θαύμα της Ελληνικής Αρχαιότητας

32

33

ΒΙΟΓΡΑΦΙΑ Ο Αρχιμήδης ήταν ένας από τους μεγάλους μαθηματικούς μηχανικούς και φυσικούς του αρχαίου Ελληνικού χώρου και μια από τις μεγαλύτερες μαθηματικές ευφυΐες του κόσμου Γεννήθηκε έζησε και πέθανε στις Συρακούσες την μεγάλη Ελληνική αποικία της Σικελίας

Πατέρας του Αρχιμήδη ήταν ο αστρονόμος Φειδίας που είχε δεσμούς φιλίας με το βασιλικό γένος των Συρακουσών Ο Αρχιμήδης ταξίδεψε στην Αίγυπτο και ήρθε σε επαφή με τους διαδόχους του Ευκλείδη του Ερατοσθένη και το Δισίθεο ενώ ήταν φίλος και συμμαθητής του Κόνωνα του Σάμιου

Υπήρξε λαμπρό παράδειγμα πρωτότυπου ερευνητή ο οποίος δεν ενδιαφέρθηκε να διευκολύνει τους αρχάριους αλλά ασχολήθηκε κυρίως για την αποκάλυψη νέων αληθειών για δική του ικανοποίηση και των ώριμων ήδη διανοούμενων Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο ενώ η κατανόηση του Ευκλείδη δεν απαιτεί εξαιρετική προηγούμενη γνώση και ευφυΐα τα προϊόντα της μαθηματικής σκέψεως τα οποία πρόκειται τώρα να εξετάσουμε είναι προσιτά αποκλειστικώς και μόνο στην ανάγνωση υψηλής πνευματικής στάθμης

Πήγε στην Αίγυπτο ως εκπαιδευτικός και ήρθε σε επαφή όχι βέβαια με τον Ευκλείδη που είχε στο μεταξύ πεθάνει αλλά με τους διαδόχους του και έκανε στενούς δεσμούς με εξαιρετικούς γεωμετρικούς όπως ο Κόνων ο Σάμιος ο Ερατοσθένης ο Κυρηναίος ο Δισίθεος κλπ από τους οποίους κατόπιν όσα έργα συνέταξε μετά την επιστροφή του στην πατρίδα του

34

Το έργο τουΤο έργο του Αρχιμήδη υπήρξε τεράστιο τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά και η ερευνητική ματιά του κάλυψε πολλούς τομείς γεωμετρία οπτική (κατοπτρική) υδραυλική μηχανική αρχιτεκτονική και την πολιορκητική Συνέδεσε το όνομά του με την γένεση της μηχανικής στην αρχαία Ελλάδα και με την λύση περίφημων μαθηματικών προβλημάτων καθώς και με τις αμυντικές εφευρέσεις του που χρησιμοποιήθηκαν όταν οι Ρωμαίοι πολιορκούσαν την πατρίδα του τις Συρακούσες

Σχολιαστής του έργου του Αρχιμήδη υπήρξε ο Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης (6ος αι μΧ) που καταγόταν από την ελληνική πόλη της Συρίας Ασκαλών

Στον χώρο της εφαρμοσμένης μηχανικής ο Αρχιμήδης επινόησε ιδιοφυείς μηχανές κάθε είδους Εφηύρε τον ρωμαϊκό ζυγό (καντάρι) το τρίσπαστο (ανυψωτική τριπλή τροχαλία) και τον ατέρμονα κοχλία έλιξ του Αρχιμήδους μηχανή άντλησης νερού από ποταμούς και φρέατα (η οποία χρησιμοποιείται ακόμα και στις μέρες μας σε περιοχές της βόρειας Αφρικής) Κατασκεύασε ένα υδραυλικό ρολόι το οποίο υπολόγιζε με μεγάλη ακρίβεια τις ώρες (και ειδοποιούσε για την αλλαγή της ώρας)

Μεγάλη φήμη απέκτησαν οι πολεμικές μηχανές του Αρχιμήδη αρχιτρόνιτο (πυροβόλο ατμού) καταπέλτες άρπαγες (μηχανισμός που ανύψωνε και αναποδογύριζε πλοία) και κάτοπτρα για την καύση των Ρωμαϊκών εχθρικών πλοίων (με παραβολικά κάτοπτρα όπως αποδείχτηκε από τα πειράματα του μηχανικού Ι Σακκά ο οποίος το 1973 απόδειξε τον τρόπο με τον οποίο ο Αρχιμήδης έκαψε τον ρωμαϊκό στόλο) Σύμφωνα με την παράδοση όταν η πόλη μετά από τριετή αντίσταση των ελλήνων κατελήφθη με προδοσία ένας ρωμαίος στρατιώτης σκότωσε τον Έλληνα επιστήμονα ενώ αυτός ήταν προσηλωμένος σε κάποιο γεωμετρικό πρόβλημα ΜΗ ΜΟΥ ΤΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥΣ ΤΑΡΑΤΤΕ πρόλαβε να του απαντήσει ο Έλληνας επιστήμονας

Ο Αρχιμήδης επηρέασε σε μεγάλο βαθμό την ευρωπαϊκή επιστημονική σκέψη καθώς και τους Άραβες επιστήμονες οι οποίοι αντέγραψαν όλα τα έργα του στα αραβικά γλώσσα στην οποία διασώθηκαν αρκετά αφού τα πρωτότυπα είχαν χαθεί

35

Διασωθέντα συγγράμματα

bull Περί σφαίρας και κυλίνδρου Βιβλίο α και βbull Κύκλου μέτρησις Σώζονται τρία θεωρήματαbull Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων (32 θεωρήματα 1 πόρισμα)bull Περί ελίκων (28 θεωρήματα 6 πορίσματα)bull Περί επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων ή Μηχανικά Βιβλ α και βbull Περί μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος (=μέθοδος)bull Βιβλίο λημμάτωνbull Πρόβλημα Βοεικόνbull Κατασκευή πλευράς του περιγραφομένου εις κύκλο επταγώνουbull Ωρολόγιον Αρχιμήδους (Σώζεται στα αραβικά)bull Περί κύκλων εφαπτομένων αλλήλωνbull Αρχαί της Γεωμετρίαςbull Ψαμμίτηςbull Τετραγωνισμός παραβολήςbull Οχουμένων (Υδροστατική)bull Στομάχιον (Σώζονται λίγα αποσπάσματα)

Συγγράμματα μη διασωθέντα (ή συγγράμματα μη αποκαλυφθέντα μέχρι σήμερα)

bull Αριθμητικάbull Βαρουλκός Υδροσκοπίαι Πνευματικήbull Επισίδια Βιβλία (Μάλλον περί στατιστικής - Τζέτζης)bull Περί τριγώνωνbull Περί τετραπλεύρουbull Περί ζευγώνbull Περί 13 ημικανονικών πολυέδρωνbull Ισοπεριμετικάbull Ισορροπίαιbull Καύσις δια κατόπτρων (επ΄ αυτού έγινε επιτυχές πείραμα στο ΝΣ)bull Περί Αρχιτεκτονικήςbull Περί βαρύτητος και ελαφρότητος (Πυκνόμετρα - Αραιόμετρα)bull Περί δρομομέτρων (Οδόμετρα πλοίων)bull Περί κέντρου Βάρους ή Κεντροβαρικάbull Κατοπρικάbull Περί παραλλήλων γραμμώνbull Περί κοίλων και παραβολικών κατόπτρωνbull Προοπτικήbull Στοιχεία μηχανικώνbull Πλινθίδες και Κύλινδροιbull Στοιχεία επί των στηρίξεωνbull Σφαιροποιΐα

36

Εφευρέσεις

bull Αραιόμετρο - Πυκνόμετροbull Αστρονομική συσκευήbull Βαρουλκόςbull Γερανοί (Αρπάγες)bull Καταπέλτεςbull Κάτοπτραbull Κοχλίας ή έλιξbull Οδόμετρο (δρομόμετρο)bull Πλανητάριον (σφαίρα)bull Πολύσπαστον (Βαρούλκο) τρίσπαστοbull Σίφωνbull Στομάχιον (επιτραπέζιο παιγνίδι το πρώτο παζλ)bull Τηλεβόλον Αρχιμήδους bull Χαριστίων (μοχλός)bull Ωρολόγιο υδραυλικό

37

Τα συγγράμματα του Αρχιμήδη που σώθηκαν μέχρι σήμερα είναι τα ακόλουθα Περί σφαίρας και κυλίνδρου Κύκλου μέτρησις περί σφαιροειδέων και κωνοειδέων Περί λίκων Επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων Ψαμμίτης Τετραγωνισμός παραβολής Οχούμενων Στομάχιον Προς Ερατοσθένην Έφοδος Βιβλίον περί λημμάτων Πρόβλημα βοεικόν Αποσπάσματα Μερικά από αυτά διασώθηκαν Πολλά επίσης είναι τα συγγράμματα του που χάθηκαν

Έκανε τα πρώτα βήματα για το μαθηματικό υπολογισμό επιφανειών με ακανόνιστο περίγραμμα και συμμετρικών εκ περιστροφής σωμάτων μέθοδος που εξελίχθηκε τεκμηριώθηκε και ονομάστηκε στην σύγχρονη εποχή laquoΟλοκληρωτικός Λογισμόςraquo υπολόγισε μία προσεγγιστική τιμή για τον άρρητο αριθμό π διατύπωσε το νόμο προεκτάσεις του γενίκευσε την εφαρμογή λέγοντας laquoΔώστε μου σημείο να στηριχθώ και θα κινήσω την γηraquo διατύπωσε την ομώνυμη αρχή για την άνωση του νερού κατασκεύασε διάφορες μηχανές ένα τύπο πολύσπαστου τον κοχλία μία αντλητική μηχανή με την laquoαρχιμήδειον έλικαraquo κά

Η συμβολή του ΑρχιμήδηΗ συμβολή του Αρχιμήδη στην ανάπτυξη της Μηχανικής συνιστάται πέρα από την επινόηση των τροχαλιών του πολύσπαστου και των οδοντωτών τροχών και ενός ιδιόμορφου αντλητικού συγκροτήματος στην έλικα που φέρει το όνομα του Ακόμα στην επακριβή διατύπωση των νόμων των μοχλών και των ισορροπιών ή κέντρα βαρών Εδώ υπάρχει και η περίφημη πρόταση laquo σύμμετρα μεγέθη ισορροπούν σε αποστάσεις αντιστρόφως ανάλογες προς το βάρος τους raquo

Σε σχέση με τους μοχλούς και τις δυνατότητες τους μας αναφέρει τη φράση laquo δος μοι πα στω και ταν γαν κινάσω raquo Απέδειξε στον Ιέρωνα ότι με ένα σύστημα τροχαλιών ndash οδοντωτών τροχών και μοχλών μπορεί να μετακινήσει ένα τεράστιο πλοίο με όλο το πλήρωμα μέσα μόνος του Ήταν ακόμα ο ίδιος που σχεδίασε και επιμελήθηκε τη ναυπήγηση του πλοίου

Ανέλαβε μετά από εντολή του Ιέρωνα την οχύρωση της πόλης και διηύθυνε ο ίδιος την άμυνα της εναντίον των Ρωμαίων

Στην αστρονομία ο Λίβιος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης είναι laquoμοναδικός παρατηρητής του ουρανού και των αστέρων raquo Ο Ίππαρχος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης ασχολήθηκε με τη μελέτη των ηλιοστασίων καθώς και με τον υπολογισμό της διάρκειας του έτους

Ο Μακρόβιος αναφέρει ότι ο Αρχιμήδης ανακάλυψε τις αποστάσεις των πλανητών ενώ στο έργο laquoΨαμμίτηςraquo περιγράφει τη συσκευή μέσω της οποίας μέτρησε τη φαινομενική γωνιακή διάμετρο του ήλιου

38

Ο Κικέρων αναφέρεται με θαυμασμό για τον Αρχιμήδη στα laquoΚατοπτρικάraquo Στα Μαθηματικά που ο ίδιος θεωρούσε ως τα πιο σημαντικά παρουσίασε την μέθοδο του προσδιορισμού του αριθμού π Τελειοποίησε το ελληνικό σύστημα αρίθμησης και παρουσίασε μια μέθοδο παράστασης των πολύ μεγάλων αριθμών Ασχολήθηκε με τη διαφορική Γεωμετρία βρήκε τους τύπους πρόσθεσης και αφαίρεσης τόξων Υπολόγισε το εμβαδόν της σφαίρας και του κυλίνδρου Μελέτησε διάφορα στερεά εκ περιστροφής όπως τα στερεά που παράγονται από περιστροφή έλλειψης υπερβολής και παραβολής γύρω από έναν άξονα

Στη Γεωμετρία το έργο του Αρχιμήδη αποτελείται κατά κύριο λόγο από πρωτότυπες μελέτες σχετικά με τον τετραγωνισμό των καμπυλόγραμμων επίπεδων σχημάτων καθώς και με τον τετραγωνισμό και τον κυβισμό καμπύλων επιφανειών

Τέλος επινόησε στο σύνολό της την Υδροστατική Επιστήμη την οποία ανέπτυξε πλήρως Οι μελέτες του αναπαριστούν ένα σύνολο μαθηματικών και γεωμετρικών επιτευγμάτων το οποίο δεν ξεπέρασε κανείς στην ανθρώπινη ιστορία

Όπως αναφέρει ο Wallis laquo ο Αρχιμήδης αφήνει ένα συγκεκριμένο μυστήριο να καλύπτει τον τρόπο με τον οποίο κατέληγε στα αποτελέσματά του Είναι σαν να είχε καλύψει σκοπίμως τα ίχνη του τα ίχνη των ερευνών του σα να ήταν απρόθυμος να αποκαλύψει το μυστικό της μεθόδου έρευνάς του στους μεταγενέστερους ενώ επιθυμούσε να αποσπάσει τη συναίνεσή τους για τα αποτελέσματά του raquo

Ο ίδιος ο Αρχιμήδης ως φορέας ενός ανώτερου φιλοσοφικού πνεύματος θεωρούσε ταπεινή και ανάξια κάθε τέχνη που εξυπηρετούσε πρακτικές ανάγκες ή αποσκοπούσε στο οικονομικό κέρδος Γι` αυτό και έστρεψε όλη του την προσοχή και τις επιδιώξεις στους καθαρούς στοχασμούς χωρίς να καταδεχτεί να αφήσει κάποιο γραπτό στοιχείο για τις τεχνολογικές του ανακαλύψεις με μοναδική εξαίρεση όσες αναφέρονται στο έργο του laquoπερί σφαιροποιίαςraquo Δεν είναι καθόλου τυχαίο λοιπόν το ότι ο Κικέρων αργότερα βρήκε τον τάφο του και πάνω μία αναπαράσταση ενός κυλίνδρου περιγεγραμμένου σε σφαίρα με μία περιγραφή που έδινε το λόγο του κυλίνδρου προς τη σφαίρα

Σε ποιους τομείς εφαρμόστηκαν οι θεωρίες του Εξαιρετικές του μελέτες και για τη μέθοδο και για το αποτέλεσμα είναι εκείνες που έδωσαν τα εμβαδά Κύκλου Έλλειψης Παραβολής και Έλικας καθώς και τα εμβαδά και τους όγκους των Κυλίνδρων των Κώνων και κυρίως των Σφαιρών

Σημαντικότατη θεωρείται και η ανακάλυψη από τον ίδιο τύπου που δίνει το εμβαδόν τριγώνου από τις πλευρές του και ακόμα η επέκτασή του στα εγγεγραμμένα τετράπλευρα Ο Αρχιμήδης επίσης γνώριζε να κατασκευάζει τη λύση ειδικών τριτοβάθμιων προβλημάτων και μεταξύ αυτών και του Δηλίου Προβλήματος Τις λύσεις αυτές τις έδινε με την τομή δύο κωνικών (Ευτόκιος) Μοναδική είναι η προσφορά του στην ανώτερη μετρική Γεωμετρία Συγκεκριμένα εξέφρασε τους όγκους στερεών εκ περιστροφής κωνικών τομών εφαρμόζοντας απειροστικές μεθόδους ανάλυσης των στερεών αυτών

39

Στη σύγχρονη κλασική γεωμετρία όλο σχεδόν το μετρικό της μέρος οφείλεται στον Αρχιμήδη με αποτέλεσμα αυτή ουσιαστικά να είναι ισορροπημένη μείξη της Ευκλείδειας και της Αρχιμήδειας αρχαίας γεωμετρίας

Έτσι ο σοφός μας αποτελεί ουσιαστικά τον πατέρα της ανώτερης μετρικής γεωμετρίας της αρχαιότητας και ταυτόχρονα την πηγή έμπνευσης των νεώτερων μελετών του διαφορικού και απειροστικού λογισμού

Η πρωτοτυπία και η αποτελεσματικότητα των μελετών του έγιναν αιτία να χαρακτηριστεί από τους ιστορικούς των μαθηματικών ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών και όλων των εθνών

Ρεύμα στα ανάκτορα της Βρετανίας μέσω εφεύρεσης του Αρχιμήδη ( httpkatestimenoblogspotcom201109blog-post_1015html )

laquoΗ Βασίλισσα Ελισάβετ πρόκειται να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση ενός αρχαίου Έλληνα για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Και όταν λέμε αρχαίο Έλληνα εννοούμε τον Αρχιμήδη και όχι τον 90χρονο σύζυγό της Φίλιππο της Ελλάδαςraquo

Με αυτόν τον τίτλο πληροφορεί το βρετανικό κοινό η εφημερίδα ldquoDaily Mailrdquo για την απόφαση της Αυτής Μεγαλειότητας να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση του αρχαίου Έλληνα εφευρέτη Αρχιμήδη από τις Συρακούσες για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Πρόκειται για τη σύγχρονη εκδοχή του ατέρμονα κοχλία της έλικος του Αρχιμήδους όπως έμεινε γνωστή η εφεύρεση και είναι ένας σωληνοειδής κοχλίας που χρησίμευε για την άντληση νερού και την άρδευση καλλιεργημένων εκτάσεων

Η σύγχρονη εκδοχή της εφεύρεσης θα χρησιμοποιεί το νερό που μεταφέρεται από ένα τεχνητό φράγμα για να παράγει υδροηλεκτρική ενέργεια Ο μηχανισμός έχει ήδη μεταφερθεί μέσω του Τάμεση στο Romney Weir στα ανάκτορα του Γουίντσορ Σύμφωνα με το δημοσίευμα της εφημερίδας οι έλικες θα είναι έτοιμες για την παραγωγή ενέργειας τον προσεχή Νοέμβριο ενώ θα μπορούν να καλύψουν πλήρως τις ανάγκες του κάστρου σε ενέργεια μέσα στον επόμενο χρόνο

Εκτός αυτού οι τουρμπίνες είναι σχεδιασμένες ώστε να μην εμποδίζουν την ασφαλή διέλευση σολομού και χελιού μέσα στον ποταμό Τάμεση

Οι laquoέλικες του Αρχιμήδηraquo βάρους 40 τόνων κατασκευάστηκαν από ένα εργοστάσιο στην Ολλανδία και στοίχησαν 700000 λίρες Αγγλίας ενώ το κόστος εγκατάστασής τους θα ξεπεράσει το ένα εκατομμύριο λίρες

40

Ιππαρχος ή Φιλοκερδής ηθικός

Ιππίας ελάσσων ή Περί του Ψεύδους ανατρεπτικός

Ιππίας μείζων ή Περί του Καλού ανατρεπτικός

Ίων ή Περί Ιλιάδος πειραστικός

Κλειτοφών ή Προτρεπτικός ηθικός

Κρατύλος ή Περί Ονομάτων Ορθότητος λογικός

Κριτίας ή Ατλαντικός ηθικός

Κρίτων ή Περί του Πρακτέου ηθικός

Λάχης ή Περί Ανδρείας ηθικός

Λύσις ή Περί Φιλίας μαιευτικός

Μενέξενος ή Επιτάφιος ηθικός

Μένων ή Περί Αρετής πειραστικός

Μίνως ή Περί Νόμου πολιτικός

Νόμοι ή Περί Νομοθεσίας πολιτικός

Παρμενίδης ή Περί Ιδεών λογικός

Πολιτεία ή Περί Δικαίου πολιτικός

Πολιτικός ή Περί της Βασιλείας λογικός

Πρωταγόρας ή Σοφισταί επιδεικτικός

Σοφιστής ή Περί του Όντος λογικός

Συμπόσιον ή Περί Αγαθού ηθικός

Τίμαιος ή Περί Φύσεως φυσικός

Φαίδρος ή Περί Έρωτος ηθικός

Φαίδων ή Περί Ψυχής ηθικός

Φίληβος ή Περί Ηδονής ηθικός

Χαρμίδης ή Περί Σωφροσύνης πειραστικός

20

21

ΕυκλείδηςΒΙΟΓΡΑΦΙΑ

Υπολογίζεται ότι έζησε το βrsquo μισό του 4ου έως τις αρχές του 3ου πΧ αιώνα πιο συγκεκριμένα περίπου το 325 πΧ έως το 265 πΧ Κορυφαίος μαθηματικός της αρχαιότητας που επηρέασε με το έργο του σε ανυπέρβλητο βαθμό τον επιστημονικό τρόπο σκέψης σε όλο τον κόσμο Για τη ζωή του δεν υπάρχουν επιβεβαιωμένες πληροφορίες Πιθανώς εκπαιδεύτηκε στην Αθήνα στην Ακαδημία του Πλάτωνα και δίδαξε στην Αλεξάνδρεια Ξέρουμε ότι ήταν μεγαλύτερος στην ηλικία από τον Αρχιμήδη πράγμα που σημαίνει ότι η χρονολόγηση της ακμής του laquoγύρω στο 300 πΧraquo δεν πρέπει να απέχει πολύ από την αλήθεια Ο Πρόκλος επίσης τον χαρακτηρίζει σύγχρονο του βασιλιά Πτολεμαίου Αrsquo στον

οποίο είχε το θάρρος να του πει κατά πρόσωπο πως δεν υπάρχει βασιλική οδός προς τη γεωμετρία Ο Πάππος τον επαινεί για την ηθική του ακεραιότητα τη μετριοφροσύνη και την ευμενή στάση του προς όσους είναι ικανοί να προαγάγουν τη μαθηματική γνώση Ο Στοβαίος διηγείται το ακόλουθο ενδιαφέρον περιστατικό Ένας νέος επισκέφθηκε κάποτε τον Ευκλείδη και τον παρακάλεσε να τον διδάξει γεωμετρία Μόλις έμαθε το πρώτο θεώρημα ρώτησε τον Ευκλείδη laquoΚαι τώρα τι θα κερδίσω με το θεώρημα αυτόraquo Ο Ευκλείδης τότε γύρισε προς τον υπηρέτη του και του είπε laquoΔώσrsquo του τρεις δεκάρες ώστε να κερδίσει κάτι από το θεώρημα το οποίο έμαθεraquo Αυτά είναι όλα όσα γνωρίζουμε για τον Ευκλείδη ως άνθρωπο Πολύ μεγαλύτερη σημασία όμως έχει το έργο του το οποίο ακόμα και σήμερα μαρτυρεί τα απαράμιλλα χαρίσματά του ως δασκάλου

ΕΡΓΟ

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη

Μετά το θάνατο του Μεγάλου Αλεξάνδρου στα 323 πΧ η αχανής μακεδονική αυτοκρατορία διαιρέθηκε σε τρεις περιοχές Η περιοχή πού περιλάμβανε την Αίγυπτο περιήλθε κάτω από την άξια ηγεμονία του ικανού στρατηγού του Αλεξάνδρου Πτολεμαίου του Σωτήρος ο οποίος σύντομα κέρδισε τη βασιλεία της περιοχής Ο Πτολεμαίος επέλεξε για πρωτεύουσα της περιοχής του την Αλεξάνδρεια λίγα μόνο μίλια από τις εκβολές του ποταμού Νείλου και γύρω στα 300 πΧ άνοιξε τις πόρτες του περίφημου πανεπιστημίου της Αλεξάνδρειας Ανάμεσα στους μελετητές που κλήθηκαν να επανδρώσουν το νέο ίδρυμα ήταν και ο μαθηματικός Ευκλείδης που πιθανότατα υπήρξε μαθητής της Ακαδημίας του Πλάτωνα στην Αθήνα

22

Ο Ευκλείδης από τη στιγμή που ανέλαβε τα καθήκοντά του στην Αλεξάνδρεια όρισε ανάμεσα στους στόχους του τη συγκρότηση του μνημειώδους και ιστορικά σημαντικού έργου του των Στοιχείων Αυτή η αξιόλογη και εκτεταμένη εργασία γραμμένη σε δεκατρία βιβλία ή μέρη αποτελεί την αρχαιότερη εφαρμογή της αξιωματικής μεθόδου που έχει φτάσει στα χέρια μας Θεωρείται ο πρώτος μεγάλος σταθμός στην ιστορία της οργάνωσης των μαθηματικών και η μετέπειτα επίδραση της στον επιστημονικό τρόπο γραφής πολύ δύσκολα μπορεί να περιγραφεί

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη διεκδικούν αναμφισβήτητα μια θέση ανάμεσα στις μεγάλες στιγμές των μαθηματικών Η εργασία αυτή εκτόπισε τόσο γρήγορα και ολοκληρωτικά όλες τις προηγούμενες εργασίες ανάλογου περιεχομένου που σήμερα δεν υπάρχουν αντίγραφα προηγουμένων προσπαθειών και απλά γνωρίζουμε την ύπαρξη τους από σχόλια μεταγενέστερων συγγραφέων Τα Στοιχεία του Ευκλείδη από την πρώτη εμφάνιση τους κέρδισαν τεράστια εκτίμηση Με μοναδική εξαίρεση τη Βίβλο καμιά άλλη εργασία δεν χρησιμοποιήθηκε μελετήθηκε ή εκδόθηκε τόσο πολύ Για πάνω από δύο χιλιετίες κυριάρχησε στο χώρο διδασκαλίας της γεωμετρίας Από την πρώτη έκδοση της στα 1472 έχει γνωρίσει πάνω από χίλιες εκδόσεις Το περιεχόμενο και η μορφή της επέδρασαν εντυπωσιακά στην ανάπτυξη του αντικειμένου της και της λογικής θεμελίωσης των μαθηματικών

Ο Πρόκλος ένας κατοπινός σχολιαστής των μαθηματικών που έζησε στον 5ο αιώνα έχει δώσει μια εξήγηση της έννοιας του όρου laquoστοιχείαraquo Τα στοιχεία μιας αποδεικτικής μελέτης είναι τα πιο σημαντικά θεωρήματα ή τα θεωρήματα κλειδιά που χρησιμοποιούνται συχνά και πλατιά στο αντικείμενο της μελέτης Είναι τα θεωρήματα που χρειάζονται για την απόδειξη όλων ή των περισσότερων από τα άλλα θεωρήματα Η λειτουργία τους συγκρίνεται με αυτή των γραμμάτων του αλφαβήτου σε σχέση με τη γλώσσα Τα γράμματα στα ελληνικά ονομάζονται και στοιχεία Η επιλογή των προτάσεων που θα λειτουργήσουν ως στοιχεία κάποιου θέματος μελέτης απαιτεί μεγάλη ικανότητα και κρίση από το συγγραφέα

Δεν υποτιμά καθόλου την αίγλη του έργου του Ευκλείδη το γεγονός ότι είχαν προηγηθεί ανάλογες προσπάθειες Σύμφωνα με τον Πρόκλο η πρώτη προσπάθεια να γραφτούν Στοιχεία έγινε από τον Ιπποκράτη το Χίο στα μέσα του πέμπτου πΧ αιώνα Η επόμενη προσπάθεια ήταν του Λέοντα που χρονολογικά τοποθετείται κάπου ανάμεσα στον Πλάτωνα και τον Εύδοξο Όπως μαθαίνουμε η εργασία του Λέοντα περιείχε μια μεγαλύτερη και πιο χρήσιμη επιλογή προτάσεων από τον Ιπποκράτη Το βιβλίο που χρησιμοποιούνταν στην Ακαδημία του Πλάτωνα είχε επιμεληθεί ο Θεύδιος από τη Μαγνησία και θεωρούνταν μια θαυμάσια συλλογή στοιχείων Η εργασία του Θεύδιου ήταν ασφαλώς ο άμεσος πρόδρομος της εργασίας του Ευκλείδη ο οποίος την είχε χωρίς αμφιβολία στη διάθεση του ειδικά αν όπως πιστεύουν σπούδασε στην Ακαδημία του Πλάτωνα

Ο Ευκλείδης γνώριζε επίσης την εργασία του Θεαίτητου και του Εύδοξου Δεν είναι καθόλου υποτιμητικό ότι η εργασία του Ευκλείδη αποτελεί σε μεγάλο βαθμό συγκέντρωση και επιμέλεια των εργασιών των προγενεστέρων του αφού η ουσιαστική αξία των Στοιχείων βρίσκεται ακριβώς στην τέλεια επιδεξιότητα με την οποία επιλέχτηκαν και τοποθετήθηκαν

23

σε λογική σειρά οι προτάσεις ξεκινώντας από μια μικρή ομάδα αρχικών υποθέσεων Ούτε είναι υποτιμητικό το γεγονός ότι η εξονυχιστική μελέτη των σύγχρονων κριτικών έχουν αποκαλύψει ορισμένα μειονεκτήματα στη δομή της εργασίας του Ευκλείδη Δε θα μπορούσε κανείς να περιμένει μια τέτοια αρχική και κολοσσιαία προσπάθεια με την αξιωματική μέθοδο να μην παρουσιάζει καμία ατέλεια

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη έχουν γραφεί γύρω στο 300 πΧ αλλά το αυθεντικό χειρόγραφο κείμενο του Ευκλείδη δεν διασώζεται Αντίθετα σώζονται δεκάδες αντίγραφα που σε τελική ανάλυση κατάγονται από αυτό Το αρχαιότερο πλήρες αντίγραφο περιέχεται σε έναν χειρόγραφο περγαμηνό κώδικα που φυλάσσεται σήμερα στη Βιβλιοθήκη της Οξφόρδης και χρονολογείται από του έτους 888 ενώ μικρά αποσπάσματα του έργου διασώζονται σε παπύρους προγενέστερης εποχής καθώς και σε ένα παλίμψητο χειρόγραφο του 7ου ή του 8ου

μΧ αι που φυλάσσεται στο Βρετανικό Μουσείο Βλέπουμε λοιπόν ότι το αρχαιότερο χειρόγραφο που περιέχει το πλήρες κείμενο των Στοιχείων του Ευκλείδη χρονολογείται από τα τέλη του 9ου μΧ αι και επομένως απέχει από την εποχή μας όσο απέχει από την εποχή που ο ίδιος ο Ευκλείδης έγραψε το έργο

Όλες οι σύγχρονες εκδόσεις στηρίζονται σε μια επανέκδοση που έκανε ο Θεωνάς από την Αλεξάνδρεια ένας Έλληνας σχολιαστής που έζησε εφτακόσια περίπου χρόνια μετά τον Ευκλείδη Μόνο στις αρχές του 19ου αιώνα ανακαλύφθηκε ένα παλιότερο αντίγραφο Στα 1808 όταν ο Ναπολέοντας διέταξε να μεταφερθούν όλα τα αξιόλογα χειρόγραφα από τις ιταλικές βιβλιοθήκες στο Παρίσι ο Φ Πέιραρντ (F Peyrard) ανακάλυψε στη βιβλιοθήκη του Βατικανού ένα αντίγραφο των Στοιχείων από έκδοση προγενέστερη από του Θεωνά Η μελέτη όμως αυτής της παλιότερης έκδοσης αποκάλυψε δευτερεύουσες μόνο διαφορές από τον Θεωνά

Οι πρώτες πλήρεις μεταφράσεις των Στοιχείων στα λατινικά δεν έγιναν από τα ελληνικά αλλά από τα αραβικά Τον 8ο αιώνα οι Άραβες μετέφρασαν έναν αριθμό βυζαντινών χειρογράφων με ελληνικές εργασίες και στα 1120 ο Άγγλος μελετητής Άντελαρντ (Adelard) από το Μπαθ μετέφρασε τα Στοιχεία στα λατινικά χρησιμοποιώντας μια απ αυτές τις παλιότερες αραβικές μεταφράσεις Άλλες λατινικές μεταφράσεις από τα αραβικά έκαναν ο Γκεράρντο από την Κρεμώνα (Gherardo 1114-1187) και 150 χρόνια μετά τον Άντελαρντ ο Γιοχάννες Καμπάνους (Johannes Campanus) Η πρώτη τυπωμένη έκδοση των Στοιχείων έγινε στη Βενετία στα 1482 η έκδοση αυτή ήταν η μετάφραση του Καμπάνους Αυτό το πολύ σπάνιο βιβλίο ήταν θαυμάσια τυπωμένο και ήταν το πρώτο αξιόλογο μαθηματικό βιβλίο που τυπώθηκε Μια σημαντική λατινική μετάφραση από τα ελληνικά έγινε από τον Κομμαντίνο (Commandino) στα 1572 Αυτή η μετάφραση χρησιμοποιήθηκε ως βάση για πολλές άλλες μεταφράσεις που ακολούθησαν ανάμεσα σ αυτές και η εργασία του Ρόμπερτ Σίμσον (Robert Simson) που άσκησε σημαντική επιρροή και αποτέλεσε με τη σειρά της τη βάση για πάρα πολλές αγγλικές εκδόσεις

24

Αναλυτική περιγραφή των laquo στοιχείων raquo

Ειδικότερα το πρώτο βιβλίο αναφέρεται σε τεμνόμενες και παράλληλες ευθείες στην ισότητα ευθύγραμμων σχημάτων και στο τέλος το πυθαγόρειο θεώρημα Στο 2ο βιβλίο αναφέρονται συνέπειες από το πυθαγόρειο θεώρημα και γίνονται μετασχηματισμοί ευθύγραμμων σχημάτων σε ισοδύναμα τετράγωνα Εδώ περιέχεται και το πρόβλημα

της laquoχρυσής τομήςraquo Πολλές από τις προτάσεις αυτού μπορούν με σύγχρονους συμβολισμούς να πάρουν μορφή αλγεβρική γιrsquo αυτό έχει επικρατήσει να λέγεται για το 2ο βιβλίο ότι εισάγει τη laquoγεωμετρική άλγεβραraquo Στο 3ο βιβλίο εξετάζεται ο κύκλος και στο τέταρτο βιβλίο λύνονται προβλήματα σχετικά με τα εγγεγραμμένα στον κύκλο κανονικά πολύγωνα Στο 5ο βιβλίο σπουδάζεται η laquoθεωρία των λόγωνraquo του Ευδόξου Πρόκειται ουσιαστικά για τη θεωρία των πραγματικών αριθμών δοσμένη όμως σε μορφή γεωμετρική Το 6ο βιβλίο ασχολείται με την ομοιότητα επίπεδων σχημάτων και σrsquo αυτά αποδεικνύεται ότι από όλα τα ορθογώνια με δοσμένη περίμετρο το τετράγωνο έχει το μέγιστο εμβαδόν Στα βιβλία 7ο-9ο που αφορούν στην αριθμοθεωρία είναι εκπληκτικό πώς με παντελή μπορεί να πει κανείς έλλειψη συμβολισμών (αριθμοί δεν αναγράφονται) κατορθώνεται μια ακροβασία στην αλληλουχία των συλλογισμών που καταλήγει σε πολύ ενδιαφέροντα αριθμητικά αποτελέσματα Ειδικότερα στο 7ο βιβλίο μελετιούνται οι άρτιοι και οι περιττοί αριθμοί οι πρώτοι και οι σύνθετοι καθώς και οι τέλειοι εξετάζονται διάφορα προβλήματα διαιρετότητας ορίζεται το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο αριθμών (ΕΚΠ) καθώς και ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης τους και δίνεται η μέθοδος προσδιορισμού του που ονομάστηκε laquoΕυκλείδειος Αλγόριθμοςraquo Στα δύο επόμενα βιβλία εξακολουθεί η σπουδή αριθμοθεωρητικών θεμάτων στο 8ο εισάγονται επίσης και μελετιούνται οι γεωμετρικές πρόοδοι και στο 9ο έχουν συμπεριληφθεί τρεις σημαντικότατες προτάσεις Πρόκειται για α) το αποκαλούμενο laquoθεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικήςraquo β) την απόφανση ότι υπάρχουν απειράριθμοι πρώτοι και γ) την πρόταση που οδηγεί σε ένα γενικό τύπο που παρέχει άρτιους τέλειους αριθμούς Στο 10ο βιβλίο που αποτελεί ένα από τα ωραιότερα μέρη των Στοιχείων γίνεται μια ταξινόμηση των τετραγωνικών άρρητων και των τετραγωνικών ριζών τους και κατασκευάζεται ένα σύνολο ασύμμετρων μεγεθών το οποίο μαζί με το σύνολο των ρητών συναποτελεί επέκταση αυτού του τελευταίου τέτοια ώστε κάθε στοιχείο της να είναι κατασκευασμένο με κανόνα και διαβήτη Τέλος τα βιβλία της στερεομετρίας το 11ο βιβλίο ασχολείται με θεμελιώδεις σχέσεις μεταξύ ευθειών και επιπέδων καθώς και με τις στερεές γωνίες στο 12ο αναφέρεται σε επιφάνειες και όγκους στερεών και στο 13ο γίνεται η μελέτη της σφαίρας σε συσχετισμό με τα εγγεγραμμένα σε αυτήν κανονικά πολύεδρα

25

Άλλα έργα

bull Δεδομένα (94 θεωρήματα) έργο ανώτερης γεωμετρίας Στο έργο αυτό περιέχονται προτάσεις σε σχήματα στα οποία δίνονται ορισμένα στοιχεία τους κατά σχήμα θέση ή μέγεθος

bull Περί διαιρέσεων (36 προτάσεις) με περιεχόμενό του τη διαίρεση σχημάτων με δοσμένη σχέση

bull Πορίσματα (3 βιβλία που χάθηκαν) σώθηκαν ορισμένα αποσπάσματα που το 1860 έγινε απόπειρα ανασύνθεσής τους από τον Πάππο

bull Οπτικά-κατοπτρικά αντίστοιχα γεωμετρική οπτική ανάκλαση του φωτός πάνω σε επίπεδο κάτοπτρο

bull Φαινόμενα εγχειρίδιο κοσμογραφίας απλές προτάσεις για τη σφαίρα

bull Κατατομή κανόνος στοιχεία πυθαγόρεια θεωρία μουσικής

bull Ψευδάρεια laquoπαράδοξαraquo με στόχο να ασκηθούν οι σπουδαστές στην ανεύρεση λογικών σφαλμάτων κατά τις αποδείξεις

bull Κωνικαί τομαί Μηχανικά δεν γνωρίζουμε τίποτα γιrsquo αυτά τα έργα

Αιτήματα του Ευκλείδη

Τα αιτήματα είναι αρχικές προτάσεις οι οποίες προσιδιάζουν στη συγκεκριμένη κάθε φορά επιστήμη στην προκειμένη περίπτωση στη Γεωμετρία Ο Ευκλείδης διατυπώνει 5 αιτήματα

1 Ζητείται να γίνει δεκτό ότι από οποιοδήποτε σημείο σε οποιοδήποτε σημείο άγεται ευθεία γραμμή

2 Και (ότι) πεπερασμένη ευθεία προεκτείνεται σε ευθεία κατά συνεχή τρόπο

3 Και (ότι) με οποιοδήποτε κέντρο και διάστημα γράφεται κύκλος

4 Και (ότι) όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους

5 Και αν η ευθεία η οποία τέμνει δύο ευθείες σχηματίζει δύο εντός και επί τrsquo αυτά μέρη γωνίες μικρότερες των δύο ορθών τότε οι δύο ευθείες προεκτεινόμενες επrsquo απείρου συναντώνται προς εκείνα τα μέρη τους όπου βρίσκονται μικρότερες των δύο ορθών

Ακολουθούν τα laquoαιτήματαraquo διατυπωμένα σε αρχαίο κείμενο όπως αυτά βρίσκονται στο Βιβλίο Ι

26

Ο ρόλος των τριών πρώτων από τα αιτήματα αυτά είναι να εξασφαλίσουν τη νομιμότητα των κατασκευών της ευθείας και του κύκλου και κατά συνέπεια εκείνων και μόνο των γραμμών και των γεωμετρικών σχημάτων που κατασκευάζονται με πεπερασμένο αριθμό βημάτων από τα δύο αυτά βασικά σχήματα Στα Στοιχεία επομένως δεν έχουν θέση καμπύλες όπως είναι οι κωνικές τομές τη τετραγωνίζουσα κλπ ή κατασκευές όπως κατασκευές νεύσεως Η φύση των δύο τελευταίων αιτημάτων είναι διαφορετική Αποσκοπούν να δηλώσουν ότι κάποια γεωμετρικά σχήματα έχουν ορισμένες ειδικές ιδιότητες

Πολλοί ιστορικοί των μαθηματικών έχουν ασχοληθεί κατά το παρελθόν με το ερώτημα εάν τα αξιώματα του Ευκλείδη ικανοποιούν τις σύγχρονες απαιτήσεις (πληρότητα συνέπεια ανεξαρτησία) ενός αξιωματικού συστήματος Από την προσεκτική μελέτη των αποδείξεων κι των κατασκευών που περιέχονται στα Στοιχεία προκύπτει ότι ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί μερικές φορές απόρρητες παραδοχές οι οποίες δεν περιλαμβάνονται στα αξιώματα Επομένως το σύστημα των αξιωμάτων του δεν ικανοποιεί την απαίτηση της πληρότητας

Μεγάλο ιστορικό ενδιαφέρον εξάλλου έχει το ερώτημα της ανεξαρτησίας των αιτημάτων του Ευκλείδη ιδιαίτερα σε ότι αφορά το πέμπτο από αυτά Το αίτημα αυτό αναφέρεται συχνά και ως laquoαίτημα των παραλλήλωνraquo γιατί μια ισοδύναμη διατύπωσή του είναι η εξής από ένα σημείο εκτός ευθείας άγεται μια μόνο παράλληλη προς τη ευθεία Πολλοί μαθηματικοί από την αρχαιότητα έως τα μέσα του 18ου αιώνα προσπάθησαν να εξαγάγουν το αίτημα αυτό από τα άλλα αιτήματα όλες οι προσπάθειες όμως απέβησαν άκαρπες Από τα τέλη του 18ου αιώνα η προσδοκώμενη εξάρτηση του αιτήματος επιχειρήθηκε να αποδειχτεί με έμμεσο τρόπο Η σκέψη ήταν η εξής αν το αίτημα των παραλλήλων μπορεί να εξαχθεί από τα άλλα τέσσερα αιτήματα μαζί με την άρνηση του πέμπτου θα πρέπει να οδηγούν σε αντίφαση Το νέο σύστημα αξιωμάτων όμως αντί να οδηγήσει σε αντίφαση αποδείχτηκε ότι παράγει συνέπειες μαθηματικές θεωρίες Έτσι ανακαλύφθηκαν οι λεγόμενες μη ευκλείδειες γεωμετρίες και ταυτόχρονα αποδείχθηκε η ανεξαρτησία των αιτημάτων του Ευκλείδη

27

Ας δούμε τώρα την διατύπωση και την απόδειξη της πρότασης (5) που περιέχεται στο Βιβλίο Ι των laquoστοιχείωνraquo και αναφέρεται στη γνωστή μας πρόταση της ισότητας των παρά τη βάση γωνιών ισοσκελούς τριγώνου

28

Γιατί διδάσκουμε το μάθημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στο ζήτημα της laquoχρησιμότηταςraquo των σχολικών Μαθηματικών θα μπορούσε κανείς να αντιπαραθέσει (και πράγματι αντιπαρατέθηκαν) πολλές διαφορετικές απόψεις Εμείς θα παραθέσουμε απλώς ένα απόσπασμα από τις αυτοβιογραφικές σημειώσεις του Albert Einstein το οποίο δείχνει μια άλλη τελείως διαφορετική αντίληψη σχετικά με την laquoχρησιμότηταraquo της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Γράφοντας για τα γεγονότα της παιδικής και εφηβικής του ζωής που είχαν μεγάλη επίδραση στην μετέπειτα εξέλιξη του ο Einstein σημειώνει

Σε ηλικία 12 ετών δοκίμασα μια δεύτερη τελείως διαφορετική έκπληξη σε ένα μικρό βιβλίο Ευκλείδειας επίπεδης γεωμετρίαςhellip Εδώ υπήρχαν ισχυρισμοί όπως για παράδειγμα τα τρία ύψη ενός τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο οι οποίοι - αν και καθόλου προφανείς - μπορούσαν ωστόσο να αποδειχτούν με τέτοια βεβαιότητα ώστε να μην χωρεί η παραμικρή αμφιβολία Αυτή η σαφήνεια και βεβαιότητα μου προξένησαν μια εντύπωση που δεν μπορεί να περιγραφεί Το γεγονός ότι τα αξιώματα έπρεπε να γίνουν δεκτά χωρίς απόδειξη δεν με ενόχλησε Σε κάθε περίπτωση μου αρκούσε πλήρως το γεγονός ότι μπορούσαν να στηρίζω τις αποδείξεις σε προτάσεις η εγκυρότητα των οποίων ήταν για μένα αναμφισβήτητη

Η περίπτωση του Einstein του επιστήμονα που άλλαξε ριζικά τις αντιλήψεις μας και την γεωμετρική δομή του σύμπαντος αποκαλύπτει την σπουδαιότητα ορισμένων παιδαγωγικών σκοπών και τη συνάφειά τους με το ερώτημα που θέσαμε ως τίτλο αυτής της ενότητας καλλιέργεια και ανάπτυξη της συγκροτημένης σκέψης μύηση στην επιστημονική μέθοδο μελέτες του κόσμου Αυτοί οι σκοποί παρόλη τη γενικότητά τους συνδέονται άμεσα με τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας που άσκησαν καθοριστική επίδραση στο νεαρό Einstein τα οποία είναι

bull Σαφήνεια στην έκθεση

bull Ολοκληρωτική απόδειξη κάθε υπόθεσης

bull Απόλυτη συνάφεια σχημάτων και συλλογισμών

bull Τάξη και ομορφιά

Αν τα στοιχεία αυτά αποτελούν ουσιώδη συστατικά της μαθηματικής παιδείας τότε παρέχουν κατά την άποψή μας μια αυτονόητη απάντηση στο ερώτημα laquoΓιατί διδάσκουμε την Ευκλείδεια Γεωμετρίαraquo

Αντιλήψεις και αντιπαραθέσεις για τη διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Οι ένθερμοι υποστηρικτές της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προβάλλουν την παιδαγωγική αξία της λογικής και διάφανης επιχειρηματολογίας των γεωμετρικών αποδείξεων ενώ οι πολέμιοί της επικαλούνται την αναμφισβήτητη δυσκολία των περισσότερων μαθητών να κατανοήσουν τις γεωμετρικές έννοιες και τις πολύ χαμηλές επιδόσεις τους στην αντιμετώπιση σχετικών προβλημάτων Ενδιάμεσα βρίσκονται συνήθως οι σκεπτικιστές οι οποίοι επισημαίνουν τον περιορισμένο επιστημολογικά ρόλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και την ανάγκη να ανανεωθεί η διδασκαλία των Μαθηματικών δίνοντας μεγαλύτερη έμφαση σε πιο σύγχρονους και laquoχρήσιμουςraquo κλάδους (πχ Πιθανότητες και Στατιστική) Από την εποχή που ο Dieudonne κήρυξε τον πόλεμο κατά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας οι αντιλήψεις

29

αυτές έγιναν αντικείμενο επεξεργασίας και αντιπαρατέθηκαν μεταξύ τους από σημαντικούς μαθηματικούς και παιδαγωγούς ενώ οι σχετικές συζητήσεις συνεχίζονται με αμείωτη ένταση μέχρι σήμερα Σε μια ειδική μελέτη της Διεθνούς Επιτροπής για τη Μαθηματική Εκπαίδευση (ICMI) έγινε απόπειρα σύνθεσης των διαφόρων τάσεων και διατυπώθηκαν οι εξής τρεις εναλλακτικές λύσεις για τη διδασκαλία του μαθήματος

1 η λύση

Απορρίπτουμε την ιδέα ότι η Γεωμετρία πρέπει ή μπορεί να χρησιμοποιηθεί στο σχολείο ως ένα σύστημα γνώσεων (παραγωγικά οργανωμένο ή όχι) όπου οι έννοιες και τα γεγονότα πρέπει να γίνουν γνωστά απλά και μόνο επειδή ανήκουν στο σύστημα Αντίθετα η Γεωμετρία και ο χώρος θεωρούνται ως πηγές άντλησης εξαιρετικών θεμάτων για την οργάνωση πολλαπλών δραστηριοτήτων σε διαφορετικά επίπεδα Οι laquoχρησιμοθηρικέςraquo όψεις της Γεωμετρίας θα εξυπηρετηθούν με την παροχή αλγεβρικών μεθόδων

2 η λύση

Εξακολουθούμε να επιχειρούμε τη διδασκαλία ενός αξιωματικού ή ψευδο-αξιωματικού μαθήματος σχολικής Γεωμετρίας το οποίο στηρίζεται είτε σε laquoτροποποίησηraquo των laquoΣτοιχείωνraquo του Ευκλείδη (για παράδειγμα αξιωματική θεμελίωση τύπου Pogorelov) είτε πχ στους γεωμετρικούς σχηματισμούς

3 η λύση

Για ορισμένες ομάδες μαθητών τουλάχιστον παρουσιάζουμε laquoνησίδεςraquo Γεωμετρίας δηλαδή laquoτοπικάraquo παραγωγικά συστήματα μέσα στο πλαίσιο του γενικού αναλυτικού προγράμματος (Έτσι μπορούμε για παράδειγμα να έχουμε ενότητες για τις ιδιότητες των εγγεγραμμένων σε κύκλο γωνιών ή τη στοιχειώδη προβολική Γεωμετρία)

Στην Ελλάδα για προφανείς ιστορικούς και πολιτιστικούς λόγους συνεχίζεται μια παράδοση που προσεγγίζεται εγγύτατα τη δεύτερη από τις προηγούμενες εναλλακτικές λύσεις Ακόμη και την περίοδο της μεταρρύθμισης των laquoΝέων Μαθηματικώνraquo η διεθνής πίεση για εκσυγχρονισμό των σχολικών Μαθηματικών και εγκατάλειψη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αφομοιώθηκε στη χώρα μας μέσα από έναν ιδιότυπο συμβιβασμό από τη μια μεριά διατηρήθηκε όλη η παραδοσιακή σχολική ύλη την οποία σε μεγάλο βαθμό συντηρούσαν οι εισαγωγικές εξετάσεις των ΑΕΙ και από την άλλη δόθηκε υπερβολική έμφαση στην αυστηρή αξιωματική θεμελίωσης της Γεωμετρίας καθώς και με την εισαγωγή νέας ύλης πάνω στους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς Στις αντιφατικές επιλογές εκείνης της περιόδου βρίσκονται κατά την άποψη μας οι ρίζες της μετέπειτα υποβάθμισης και παρακμής του μαθήματος της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

30

Το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στη σύγχρονη Διδακτική των Μαθηματικών τα θεμελιώδη επιστημολογικά χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας όπως είναι η παραγωγική οργάνωση του περιεχομένου η αποδεικτική διαδικασία και η έμφαση στις γεωμετρικές κατασκευές αναφέρονται συνήθως ως laquoανώτερα επίπεδα γεωμετρικής σκέψηςraquo και η μάθηση τους έχει γίνει αντικείμενο συστηματικής μελέτης και έρευνας Ένα βασικό θεωρητικό μοντέλο στο οποίο έχει στηριχθεί η διεξαγωγή μεγάλου αριθμού ερευνών σε διάφορες χώρες αποτελούν τα λεγόμενα laquoεπίπεδα van Hieleraquo Σύμφωνα με αυτό το μοντέλο η μάθηση της Γεωμετρίας εξελίσσεται ιεραρχικά περνώντας από πέντε διαδοχικά επίπεδα

bull 1ο επίπεδο Εποπτικό

bull 2ο επίπεδο ΠεριγραφικόΑναλυτικό

bull 3ο επίπεδο ΑφηρημένοΣχεσιακό

bull 4ο επίπεδο ΤυπικόΠαραγωγικό

bull 5ο επίπεδο Μεταμαθηματικό

Οι μαθητές κατανοούν τη σημασία και τη διαδικασία οικοδόμησης ενός αξιωματικού μαθηματικού συστήματος και τις σχέσεις ανάμεσα σε διαφορετικά συστήματα Για παράδειγμα αναγνωρίζουν ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία δεν είναι παρά ένας από τους πολλούς δυνατούς τρόπους περιγραφής ενός αφηρημένου μαθηματικού σύμπαντος

Είναι φανερό ότι η διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προϋποθέτει τα δύο πρώτα επίπεδα και έχει ως κύριο σκοπό την κατάκτηση των δύο επόμενων επιπέδων (για το 5ο

μάλλον δεν μπορεί να γίνεται λόγος στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση) Σε θεωρητικό επίπεδο τόσο και η θεωρία των van Hiele όσο και η γενικότερη θεωρία των σταδίων μάθησης του Piaget προβλέπουν ότι η κατάκτηση αυτών των επιπέδων είναι μια επίπονη και ιεραρχικά εξελισσόμενη διαδικασία που απαιτεί μακροχρόνια και προσεχτικά σχεδιασμένη διδασκαλία Αυτές οι θεωρητικές προβλέψεις φαίνεται να επιβεβαιώνονται από πολλές εμπειρικές έρευνες που έχουν διεξαχθεί σε διάφορες χώρες και τα αποτελέσματά τους οδηγούν σε ένα βασικό συμπέρασμα laquo η καθιερωμένη παραδοσιακή διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αδυνατεί να οδηγήσει τους μαθητές στην κατάκτηση των ανώτερων επιπέδων γεωμετρικής σκέψης raquo

Από τα αποτελέσματα αυτών των ερευνών αξίζει νrsquo αναφέρουμε εδώ ένα εντυπωσιακό στατιστικό στοιχείο που αποκαλύπτει τις διαστάσεις του προβλήματος σε μια έρευνα που έγινε στις ΗΠΑ μεταξύ 1520 μαθητών που είχαν ολοκληρώσει ένα έτος διδασκαλίας της θεωρητικής Ευκλείδειας Γεωμετρίας διαπιστώθηκε ότι μόνο το 30 είχε φτάσει σε ένα επίπεδο που μπορεί να χαρακτηριστεί από 75 επιτυχία στην απόδειξη απλών γεωμετρικών προτάσεων (πχ ότι οι διαγώνιες ενός ορθογωνίου είναι ίσες) Το ποσοστό των μαθητών που είχαν 100 επιτυχία δεν ξεπέρασε το 3

31

Κοινή πεποίθηση όλων αυτών των ερευνητών είναι ότι για να κατανοηθούν οι παραγωγικές αποδείξεις της Ευκλείδειας Γεωμετρίας απαιτείται μια ισχυρή διαισθητική βάση την οποία οι μαθητές θα αποκτήσουν μέσα από επαγωγικές εμπειρικές ανακαλύψεις τη διαπίστωση και επαλήθευση υποθέσεων τις γεωμετρικές κατασκευές και εφαρμογές Έτσι λοιπόν η διδασκαλία της Γεωμετρίας δεν θα πρέπει να στηρίζεται σrsquo ένα τεχνητό διαχωρισμό ανάμεσα σε laquoΠρακτική Γεωμετρίαraquo σχεδίασης και μετρήσεων και μια laquoΘεωρητική Γεωμετρίαraquo αποδείξεων αλλά να συνδυάζει μια ισορροπημένη ανάπτυξη των δύο αυτών όψεων του μαθήματος σrsquo όλο το φάσμα της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Η επινόηση διδακτικών μέσων και μεθόδων που θα επιτρέψουν την υλοποίηση αυτού του στόχου φαίνεται ότι αποτελεί σήμερα το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ

Η Γεωμετρία του Ευκλείδη απετέλεσε το θεμέλιο για την ανάπτυξη της laquoδυτικήςraquo επιστήμης και τεχνικής και σ αυτή τη Γεωμετρία στηρίζονται οι προϋποθέσεις της κλασικής Φυσικής από την Αναγέννηση και μετά Μόλις το 19ο αιώνα διαπιστώθηκε όμως (Λάμπερτ Γκάους Μπολυάι Λομπατσέβσκι κά) ότι η ευκλείδεια Γεωμετρία στηρίζεται στην απλοϊκή αντίληψη του επίπεδου χώρου ο οποίος είναι μεν χρήσιμος για την περιοχή που αντιλαμβάνεται με τις αισθήσεις του ένας άνθρωπος αλλά όχι για πολύ μεγάλες τιμές των φυσικών μεγεθών (αποστάσεις ταχύτητες μάζες κτλ) Τότε παύει να ισχύει η επίπεδη αντίληψη και μαζί της η Ευκλείδεια Γεωμετρία επειδή στην πραγματικότητα ο χώρος είναι κυρτός Έτσι η Γεωμετρία συμπληρώνεται με βάση αντιλήψεις που στηρίζονται στον υπερβολικό ελλειπτικό κά χώρο

Σήμερα η γεωμετρία του Ευκλείδη διδάσκεται παγκοσμίως και ανελλιπώς επί 23 αιώνες με τον τιμητικό τίτλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Στη σύγχρονη όμως σχολική γεωμετρία περιλαμβάνονται και υπολογισμοί και μετρήσεις οι οποίες από το έργο του Ευκλείδη απουσιάζουν εντελώς

Η συνολική προσφορά του Ευκλείδη στα Μαθηματικά και τις εφαρμοσμένες τέχνες υπήρξε σημαντικότατη και ταυτόχρονα βάση από την οποία εξόρμησαν οι μεταγενέστεροι μαθηματικοί γεωγράφοι και αστρονόμοι για να οδηγηθούν στο τελικό μαθηματικό θαύμα της Ελληνικής Αρχαιότητας

32

33

ΒΙΟΓΡΑΦΙΑ Ο Αρχιμήδης ήταν ένας από τους μεγάλους μαθηματικούς μηχανικούς και φυσικούς του αρχαίου Ελληνικού χώρου και μια από τις μεγαλύτερες μαθηματικές ευφυΐες του κόσμου Γεννήθηκε έζησε και πέθανε στις Συρακούσες την μεγάλη Ελληνική αποικία της Σικελίας

Πατέρας του Αρχιμήδη ήταν ο αστρονόμος Φειδίας που είχε δεσμούς φιλίας με το βασιλικό γένος των Συρακουσών Ο Αρχιμήδης ταξίδεψε στην Αίγυπτο και ήρθε σε επαφή με τους διαδόχους του Ευκλείδη του Ερατοσθένη και το Δισίθεο ενώ ήταν φίλος και συμμαθητής του Κόνωνα του Σάμιου

Υπήρξε λαμπρό παράδειγμα πρωτότυπου ερευνητή ο οποίος δεν ενδιαφέρθηκε να διευκολύνει τους αρχάριους αλλά ασχολήθηκε κυρίως για την αποκάλυψη νέων αληθειών για δική του ικανοποίηση και των ώριμων ήδη διανοούμενων Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο ενώ η κατανόηση του Ευκλείδη δεν απαιτεί εξαιρετική προηγούμενη γνώση και ευφυΐα τα προϊόντα της μαθηματικής σκέψεως τα οποία πρόκειται τώρα να εξετάσουμε είναι προσιτά αποκλειστικώς και μόνο στην ανάγνωση υψηλής πνευματικής στάθμης

Πήγε στην Αίγυπτο ως εκπαιδευτικός και ήρθε σε επαφή όχι βέβαια με τον Ευκλείδη που είχε στο μεταξύ πεθάνει αλλά με τους διαδόχους του και έκανε στενούς δεσμούς με εξαιρετικούς γεωμετρικούς όπως ο Κόνων ο Σάμιος ο Ερατοσθένης ο Κυρηναίος ο Δισίθεος κλπ από τους οποίους κατόπιν όσα έργα συνέταξε μετά την επιστροφή του στην πατρίδα του

34

Το έργο τουΤο έργο του Αρχιμήδη υπήρξε τεράστιο τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά και η ερευνητική ματιά του κάλυψε πολλούς τομείς γεωμετρία οπτική (κατοπτρική) υδραυλική μηχανική αρχιτεκτονική και την πολιορκητική Συνέδεσε το όνομά του με την γένεση της μηχανικής στην αρχαία Ελλάδα και με την λύση περίφημων μαθηματικών προβλημάτων καθώς και με τις αμυντικές εφευρέσεις του που χρησιμοποιήθηκαν όταν οι Ρωμαίοι πολιορκούσαν την πατρίδα του τις Συρακούσες

Σχολιαστής του έργου του Αρχιμήδη υπήρξε ο Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης (6ος αι μΧ) που καταγόταν από την ελληνική πόλη της Συρίας Ασκαλών

Στον χώρο της εφαρμοσμένης μηχανικής ο Αρχιμήδης επινόησε ιδιοφυείς μηχανές κάθε είδους Εφηύρε τον ρωμαϊκό ζυγό (καντάρι) το τρίσπαστο (ανυψωτική τριπλή τροχαλία) και τον ατέρμονα κοχλία έλιξ του Αρχιμήδους μηχανή άντλησης νερού από ποταμούς και φρέατα (η οποία χρησιμοποιείται ακόμα και στις μέρες μας σε περιοχές της βόρειας Αφρικής) Κατασκεύασε ένα υδραυλικό ρολόι το οποίο υπολόγιζε με μεγάλη ακρίβεια τις ώρες (και ειδοποιούσε για την αλλαγή της ώρας)

Μεγάλη φήμη απέκτησαν οι πολεμικές μηχανές του Αρχιμήδη αρχιτρόνιτο (πυροβόλο ατμού) καταπέλτες άρπαγες (μηχανισμός που ανύψωνε και αναποδογύριζε πλοία) και κάτοπτρα για την καύση των Ρωμαϊκών εχθρικών πλοίων (με παραβολικά κάτοπτρα όπως αποδείχτηκε από τα πειράματα του μηχανικού Ι Σακκά ο οποίος το 1973 απόδειξε τον τρόπο με τον οποίο ο Αρχιμήδης έκαψε τον ρωμαϊκό στόλο) Σύμφωνα με την παράδοση όταν η πόλη μετά από τριετή αντίσταση των ελλήνων κατελήφθη με προδοσία ένας ρωμαίος στρατιώτης σκότωσε τον Έλληνα επιστήμονα ενώ αυτός ήταν προσηλωμένος σε κάποιο γεωμετρικό πρόβλημα ΜΗ ΜΟΥ ΤΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥΣ ΤΑΡΑΤΤΕ πρόλαβε να του απαντήσει ο Έλληνας επιστήμονας

Ο Αρχιμήδης επηρέασε σε μεγάλο βαθμό την ευρωπαϊκή επιστημονική σκέψη καθώς και τους Άραβες επιστήμονες οι οποίοι αντέγραψαν όλα τα έργα του στα αραβικά γλώσσα στην οποία διασώθηκαν αρκετά αφού τα πρωτότυπα είχαν χαθεί

35

Διασωθέντα συγγράμματα

bull Περί σφαίρας και κυλίνδρου Βιβλίο α και βbull Κύκλου μέτρησις Σώζονται τρία θεωρήματαbull Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων (32 θεωρήματα 1 πόρισμα)bull Περί ελίκων (28 θεωρήματα 6 πορίσματα)bull Περί επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων ή Μηχανικά Βιβλ α και βbull Περί μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος (=μέθοδος)bull Βιβλίο λημμάτωνbull Πρόβλημα Βοεικόνbull Κατασκευή πλευράς του περιγραφομένου εις κύκλο επταγώνουbull Ωρολόγιον Αρχιμήδους (Σώζεται στα αραβικά)bull Περί κύκλων εφαπτομένων αλλήλωνbull Αρχαί της Γεωμετρίαςbull Ψαμμίτηςbull Τετραγωνισμός παραβολήςbull Οχουμένων (Υδροστατική)bull Στομάχιον (Σώζονται λίγα αποσπάσματα)

Συγγράμματα μη διασωθέντα (ή συγγράμματα μη αποκαλυφθέντα μέχρι σήμερα)

bull Αριθμητικάbull Βαρουλκός Υδροσκοπίαι Πνευματικήbull Επισίδια Βιβλία (Μάλλον περί στατιστικής - Τζέτζης)bull Περί τριγώνωνbull Περί τετραπλεύρουbull Περί ζευγώνbull Περί 13 ημικανονικών πολυέδρωνbull Ισοπεριμετικάbull Ισορροπίαιbull Καύσις δια κατόπτρων (επ΄ αυτού έγινε επιτυχές πείραμα στο ΝΣ)bull Περί Αρχιτεκτονικήςbull Περί βαρύτητος και ελαφρότητος (Πυκνόμετρα - Αραιόμετρα)bull Περί δρομομέτρων (Οδόμετρα πλοίων)bull Περί κέντρου Βάρους ή Κεντροβαρικάbull Κατοπρικάbull Περί παραλλήλων γραμμώνbull Περί κοίλων και παραβολικών κατόπτρωνbull Προοπτικήbull Στοιχεία μηχανικώνbull Πλινθίδες και Κύλινδροιbull Στοιχεία επί των στηρίξεωνbull Σφαιροποιΐα

36

Εφευρέσεις

bull Αραιόμετρο - Πυκνόμετροbull Αστρονομική συσκευήbull Βαρουλκόςbull Γερανοί (Αρπάγες)bull Καταπέλτεςbull Κάτοπτραbull Κοχλίας ή έλιξbull Οδόμετρο (δρομόμετρο)bull Πλανητάριον (σφαίρα)bull Πολύσπαστον (Βαρούλκο) τρίσπαστοbull Σίφωνbull Στομάχιον (επιτραπέζιο παιγνίδι το πρώτο παζλ)bull Τηλεβόλον Αρχιμήδους bull Χαριστίων (μοχλός)bull Ωρολόγιο υδραυλικό

37

Τα συγγράμματα του Αρχιμήδη που σώθηκαν μέχρι σήμερα είναι τα ακόλουθα Περί σφαίρας και κυλίνδρου Κύκλου μέτρησις περί σφαιροειδέων και κωνοειδέων Περί λίκων Επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων Ψαμμίτης Τετραγωνισμός παραβολής Οχούμενων Στομάχιον Προς Ερατοσθένην Έφοδος Βιβλίον περί λημμάτων Πρόβλημα βοεικόν Αποσπάσματα Μερικά από αυτά διασώθηκαν Πολλά επίσης είναι τα συγγράμματα του που χάθηκαν

Έκανε τα πρώτα βήματα για το μαθηματικό υπολογισμό επιφανειών με ακανόνιστο περίγραμμα και συμμετρικών εκ περιστροφής σωμάτων μέθοδος που εξελίχθηκε τεκμηριώθηκε και ονομάστηκε στην σύγχρονη εποχή laquoΟλοκληρωτικός Λογισμόςraquo υπολόγισε μία προσεγγιστική τιμή για τον άρρητο αριθμό π διατύπωσε το νόμο προεκτάσεις του γενίκευσε την εφαρμογή λέγοντας laquoΔώστε μου σημείο να στηριχθώ και θα κινήσω την γηraquo διατύπωσε την ομώνυμη αρχή για την άνωση του νερού κατασκεύασε διάφορες μηχανές ένα τύπο πολύσπαστου τον κοχλία μία αντλητική μηχανή με την laquoαρχιμήδειον έλικαraquo κά

Η συμβολή του ΑρχιμήδηΗ συμβολή του Αρχιμήδη στην ανάπτυξη της Μηχανικής συνιστάται πέρα από την επινόηση των τροχαλιών του πολύσπαστου και των οδοντωτών τροχών και ενός ιδιόμορφου αντλητικού συγκροτήματος στην έλικα που φέρει το όνομα του Ακόμα στην επακριβή διατύπωση των νόμων των μοχλών και των ισορροπιών ή κέντρα βαρών Εδώ υπάρχει και η περίφημη πρόταση laquo σύμμετρα μεγέθη ισορροπούν σε αποστάσεις αντιστρόφως ανάλογες προς το βάρος τους raquo

Σε σχέση με τους μοχλούς και τις δυνατότητες τους μας αναφέρει τη φράση laquo δος μοι πα στω και ταν γαν κινάσω raquo Απέδειξε στον Ιέρωνα ότι με ένα σύστημα τροχαλιών ndash οδοντωτών τροχών και μοχλών μπορεί να μετακινήσει ένα τεράστιο πλοίο με όλο το πλήρωμα μέσα μόνος του Ήταν ακόμα ο ίδιος που σχεδίασε και επιμελήθηκε τη ναυπήγηση του πλοίου

Ανέλαβε μετά από εντολή του Ιέρωνα την οχύρωση της πόλης και διηύθυνε ο ίδιος την άμυνα της εναντίον των Ρωμαίων

Στην αστρονομία ο Λίβιος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης είναι laquoμοναδικός παρατηρητής του ουρανού και των αστέρων raquo Ο Ίππαρχος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης ασχολήθηκε με τη μελέτη των ηλιοστασίων καθώς και με τον υπολογισμό της διάρκειας του έτους

Ο Μακρόβιος αναφέρει ότι ο Αρχιμήδης ανακάλυψε τις αποστάσεις των πλανητών ενώ στο έργο laquoΨαμμίτηςraquo περιγράφει τη συσκευή μέσω της οποίας μέτρησε τη φαινομενική γωνιακή διάμετρο του ήλιου

38

Ο Κικέρων αναφέρεται με θαυμασμό για τον Αρχιμήδη στα laquoΚατοπτρικάraquo Στα Μαθηματικά που ο ίδιος θεωρούσε ως τα πιο σημαντικά παρουσίασε την μέθοδο του προσδιορισμού του αριθμού π Τελειοποίησε το ελληνικό σύστημα αρίθμησης και παρουσίασε μια μέθοδο παράστασης των πολύ μεγάλων αριθμών Ασχολήθηκε με τη διαφορική Γεωμετρία βρήκε τους τύπους πρόσθεσης και αφαίρεσης τόξων Υπολόγισε το εμβαδόν της σφαίρας και του κυλίνδρου Μελέτησε διάφορα στερεά εκ περιστροφής όπως τα στερεά που παράγονται από περιστροφή έλλειψης υπερβολής και παραβολής γύρω από έναν άξονα

Στη Γεωμετρία το έργο του Αρχιμήδη αποτελείται κατά κύριο λόγο από πρωτότυπες μελέτες σχετικά με τον τετραγωνισμό των καμπυλόγραμμων επίπεδων σχημάτων καθώς και με τον τετραγωνισμό και τον κυβισμό καμπύλων επιφανειών

Τέλος επινόησε στο σύνολό της την Υδροστατική Επιστήμη την οποία ανέπτυξε πλήρως Οι μελέτες του αναπαριστούν ένα σύνολο μαθηματικών και γεωμετρικών επιτευγμάτων το οποίο δεν ξεπέρασε κανείς στην ανθρώπινη ιστορία

Όπως αναφέρει ο Wallis laquo ο Αρχιμήδης αφήνει ένα συγκεκριμένο μυστήριο να καλύπτει τον τρόπο με τον οποίο κατέληγε στα αποτελέσματά του Είναι σαν να είχε καλύψει σκοπίμως τα ίχνη του τα ίχνη των ερευνών του σα να ήταν απρόθυμος να αποκαλύψει το μυστικό της μεθόδου έρευνάς του στους μεταγενέστερους ενώ επιθυμούσε να αποσπάσει τη συναίνεσή τους για τα αποτελέσματά του raquo

Ο ίδιος ο Αρχιμήδης ως φορέας ενός ανώτερου φιλοσοφικού πνεύματος θεωρούσε ταπεινή και ανάξια κάθε τέχνη που εξυπηρετούσε πρακτικές ανάγκες ή αποσκοπούσε στο οικονομικό κέρδος Γι` αυτό και έστρεψε όλη του την προσοχή και τις επιδιώξεις στους καθαρούς στοχασμούς χωρίς να καταδεχτεί να αφήσει κάποιο γραπτό στοιχείο για τις τεχνολογικές του ανακαλύψεις με μοναδική εξαίρεση όσες αναφέρονται στο έργο του laquoπερί σφαιροποιίαςraquo Δεν είναι καθόλου τυχαίο λοιπόν το ότι ο Κικέρων αργότερα βρήκε τον τάφο του και πάνω μία αναπαράσταση ενός κυλίνδρου περιγεγραμμένου σε σφαίρα με μία περιγραφή που έδινε το λόγο του κυλίνδρου προς τη σφαίρα

Σε ποιους τομείς εφαρμόστηκαν οι θεωρίες του Εξαιρετικές του μελέτες και για τη μέθοδο και για το αποτέλεσμα είναι εκείνες που έδωσαν τα εμβαδά Κύκλου Έλλειψης Παραβολής και Έλικας καθώς και τα εμβαδά και τους όγκους των Κυλίνδρων των Κώνων και κυρίως των Σφαιρών

Σημαντικότατη θεωρείται και η ανακάλυψη από τον ίδιο τύπου που δίνει το εμβαδόν τριγώνου από τις πλευρές του και ακόμα η επέκτασή του στα εγγεγραμμένα τετράπλευρα Ο Αρχιμήδης επίσης γνώριζε να κατασκευάζει τη λύση ειδικών τριτοβάθμιων προβλημάτων και μεταξύ αυτών και του Δηλίου Προβλήματος Τις λύσεις αυτές τις έδινε με την τομή δύο κωνικών (Ευτόκιος) Μοναδική είναι η προσφορά του στην ανώτερη μετρική Γεωμετρία Συγκεκριμένα εξέφρασε τους όγκους στερεών εκ περιστροφής κωνικών τομών εφαρμόζοντας απειροστικές μεθόδους ανάλυσης των στερεών αυτών

39

Στη σύγχρονη κλασική γεωμετρία όλο σχεδόν το μετρικό της μέρος οφείλεται στον Αρχιμήδη με αποτέλεσμα αυτή ουσιαστικά να είναι ισορροπημένη μείξη της Ευκλείδειας και της Αρχιμήδειας αρχαίας γεωμετρίας

Έτσι ο σοφός μας αποτελεί ουσιαστικά τον πατέρα της ανώτερης μετρικής γεωμετρίας της αρχαιότητας και ταυτόχρονα την πηγή έμπνευσης των νεώτερων μελετών του διαφορικού και απειροστικού λογισμού

Η πρωτοτυπία και η αποτελεσματικότητα των μελετών του έγιναν αιτία να χαρακτηριστεί από τους ιστορικούς των μαθηματικών ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών και όλων των εθνών

Ρεύμα στα ανάκτορα της Βρετανίας μέσω εφεύρεσης του Αρχιμήδη ( httpkatestimenoblogspotcom201109blog-post_1015html )

laquoΗ Βασίλισσα Ελισάβετ πρόκειται να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση ενός αρχαίου Έλληνα για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Και όταν λέμε αρχαίο Έλληνα εννοούμε τον Αρχιμήδη και όχι τον 90χρονο σύζυγό της Φίλιππο της Ελλάδαςraquo

Με αυτόν τον τίτλο πληροφορεί το βρετανικό κοινό η εφημερίδα ldquoDaily Mailrdquo για την απόφαση της Αυτής Μεγαλειότητας να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση του αρχαίου Έλληνα εφευρέτη Αρχιμήδη από τις Συρακούσες για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Πρόκειται για τη σύγχρονη εκδοχή του ατέρμονα κοχλία της έλικος του Αρχιμήδους όπως έμεινε γνωστή η εφεύρεση και είναι ένας σωληνοειδής κοχλίας που χρησίμευε για την άντληση νερού και την άρδευση καλλιεργημένων εκτάσεων

Η σύγχρονη εκδοχή της εφεύρεσης θα χρησιμοποιεί το νερό που μεταφέρεται από ένα τεχνητό φράγμα για να παράγει υδροηλεκτρική ενέργεια Ο μηχανισμός έχει ήδη μεταφερθεί μέσω του Τάμεση στο Romney Weir στα ανάκτορα του Γουίντσορ Σύμφωνα με το δημοσίευμα της εφημερίδας οι έλικες θα είναι έτοιμες για την παραγωγή ενέργειας τον προσεχή Νοέμβριο ενώ θα μπορούν να καλύψουν πλήρως τις ανάγκες του κάστρου σε ενέργεια μέσα στον επόμενο χρόνο

Εκτός αυτού οι τουρμπίνες είναι σχεδιασμένες ώστε να μην εμποδίζουν την ασφαλή διέλευση σολομού και χελιού μέσα στον ποταμό Τάμεση

Οι laquoέλικες του Αρχιμήδηraquo βάρους 40 τόνων κατασκευάστηκαν από ένα εργοστάσιο στην Ολλανδία και στοίχησαν 700000 λίρες Αγγλίας ενώ το κόστος εγκατάστασής τους θα ξεπεράσει το ένα εκατομμύριο λίρες

40

21

ΕυκλείδηςΒΙΟΓΡΑΦΙΑ

Υπολογίζεται ότι έζησε το βrsquo μισό του 4ου έως τις αρχές του 3ου πΧ αιώνα πιο συγκεκριμένα περίπου το 325 πΧ έως το 265 πΧ Κορυφαίος μαθηματικός της αρχαιότητας που επηρέασε με το έργο του σε ανυπέρβλητο βαθμό τον επιστημονικό τρόπο σκέψης σε όλο τον κόσμο Για τη ζωή του δεν υπάρχουν επιβεβαιωμένες πληροφορίες Πιθανώς εκπαιδεύτηκε στην Αθήνα στην Ακαδημία του Πλάτωνα και δίδαξε στην Αλεξάνδρεια Ξέρουμε ότι ήταν μεγαλύτερος στην ηλικία από τον Αρχιμήδη πράγμα που σημαίνει ότι η χρονολόγηση της ακμής του laquoγύρω στο 300 πΧraquo δεν πρέπει να απέχει πολύ από την αλήθεια Ο Πρόκλος επίσης τον χαρακτηρίζει σύγχρονο του βασιλιά Πτολεμαίου Αrsquo στον

οποίο είχε το θάρρος να του πει κατά πρόσωπο πως δεν υπάρχει βασιλική οδός προς τη γεωμετρία Ο Πάππος τον επαινεί για την ηθική του ακεραιότητα τη μετριοφροσύνη και την ευμενή στάση του προς όσους είναι ικανοί να προαγάγουν τη μαθηματική γνώση Ο Στοβαίος διηγείται το ακόλουθο ενδιαφέρον περιστατικό Ένας νέος επισκέφθηκε κάποτε τον Ευκλείδη και τον παρακάλεσε να τον διδάξει γεωμετρία Μόλις έμαθε το πρώτο θεώρημα ρώτησε τον Ευκλείδη laquoΚαι τώρα τι θα κερδίσω με το θεώρημα αυτόraquo Ο Ευκλείδης τότε γύρισε προς τον υπηρέτη του και του είπε laquoΔώσrsquo του τρεις δεκάρες ώστε να κερδίσει κάτι από το θεώρημα το οποίο έμαθεraquo Αυτά είναι όλα όσα γνωρίζουμε για τον Ευκλείδη ως άνθρωπο Πολύ μεγαλύτερη σημασία όμως έχει το έργο του το οποίο ακόμα και σήμερα μαρτυρεί τα απαράμιλλα χαρίσματά του ως δασκάλου

ΕΡΓΟ

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη

Μετά το θάνατο του Μεγάλου Αλεξάνδρου στα 323 πΧ η αχανής μακεδονική αυτοκρατορία διαιρέθηκε σε τρεις περιοχές Η περιοχή πού περιλάμβανε την Αίγυπτο περιήλθε κάτω από την άξια ηγεμονία του ικανού στρατηγού του Αλεξάνδρου Πτολεμαίου του Σωτήρος ο οποίος σύντομα κέρδισε τη βασιλεία της περιοχής Ο Πτολεμαίος επέλεξε για πρωτεύουσα της περιοχής του την Αλεξάνδρεια λίγα μόνο μίλια από τις εκβολές του ποταμού Νείλου και γύρω στα 300 πΧ άνοιξε τις πόρτες του περίφημου πανεπιστημίου της Αλεξάνδρειας Ανάμεσα στους μελετητές που κλήθηκαν να επανδρώσουν το νέο ίδρυμα ήταν και ο μαθηματικός Ευκλείδης που πιθανότατα υπήρξε μαθητής της Ακαδημίας του Πλάτωνα στην Αθήνα

22

Ο Ευκλείδης από τη στιγμή που ανέλαβε τα καθήκοντά του στην Αλεξάνδρεια όρισε ανάμεσα στους στόχους του τη συγκρότηση του μνημειώδους και ιστορικά σημαντικού έργου του των Στοιχείων Αυτή η αξιόλογη και εκτεταμένη εργασία γραμμένη σε δεκατρία βιβλία ή μέρη αποτελεί την αρχαιότερη εφαρμογή της αξιωματικής μεθόδου που έχει φτάσει στα χέρια μας Θεωρείται ο πρώτος μεγάλος σταθμός στην ιστορία της οργάνωσης των μαθηματικών και η μετέπειτα επίδραση της στον επιστημονικό τρόπο γραφής πολύ δύσκολα μπορεί να περιγραφεί

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη διεκδικούν αναμφισβήτητα μια θέση ανάμεσα στις μεγάλες στιγμές των μαθηματικών Η εργασία αυτή εκτόπισε τόσο γρήγορα και ολοκληρωτικά όλες τις προηγούμενες εργασίες ανάλογου περιεχομένου που σήμερα δεν υπάρχουν αντίγραφα προηγουμένων προσπαθειών και απλά γνωρίζουμε την ύπαρξη τους από σχόλια μεταγενέστερων συγγραφέων Τα Στοιχεία του Ευκλείδη από την πρώτη εμφάνιση τους κέρδισαν τεράστια εκτίμηση Με μοναδική εξαίρεση τη Βίβλο καμιά άλλη εργασία δεν χρησιμοποιήθηκε μελετήθηκε ή εκδόθηκε τόσο πολύ Για πάνω από δύο χιλιετίες κυριάρχησε στο χώρο διδασκαλίας της γεωμετρίας Από την πρώτη έκδοση της στα 1472 έχει γνωρίσει πάνω από χίλιες εκδόσεις Το περιεχόμενο και η μορφή της επέδρασαν εντυπωσιακά στην ανάπτυξη του αντικειμένου της και της λογικής θεμελίωσης των μαθηματικών

Ο Πρόκλος ένας κατοπινός σχολιαστής των μαθηματικών που έζησε στον 5ο αιώνα έχει δώσει μια εξήγηση της έννοιας του όρου laquoστοιχείαraquo Τα στοιχεία μιας αποδεικτικής μελέτης είναι τα πιο σημαντικά θεωρήματα ή τα θεωρήματα κλειδιά που χρησιμοποιούνται συχνά και πλατιά στο αντικείμενο της μελέτης Είναι τα θεωρήματα που χρειάζονται για την απόδειξη όλων ή των περισσότερων από τα άλλα θεωρήματα Η λειτουργία τους συγκρίνεται με αυτή των γραμμάτων του αλφαβήτου σε σχέση με τη γλώσσα Τα γράμματα στα ελληνικά ονομάζονται και στοιχεία Η επιλογή των προτάσεων που θα λειτουργήσουν ως στοιχεία κάποιου θέματος μελέτης απαιτεί μεγάλη ικανότητα και κρίση από το συγγραφέα

Δεν υποτιμά καθόλου την αίγλη του έργου του Ευκλείδη το γεγονός ότι είχαν προηγηθεί ανάλογες προσπάθειες Σύμφωνα με τον Πρόκλο η πρώτη προσπάθεια να γραφτούν Στοιχεία έγινε από τον Ιπποκράτη το Χίο στα μέσα του πέμπτου πΧ αιώνα Η επόμενη προσπάθεια ήταν του Λέοντα που χρονολογικά τοποθετείται κάπου ανάμεσα στον Πλάτωνα και τον Εύδοξο Όπως μαθαίνουμε η εργασία του Λέοντα περιείχε μια μεγαλύτερη και πιο χρήσιμη επιλογή προτάσεων από τον Ιπποκράτη Το βιβλίο που χρησιμοποιούνταν στην Ακαδημία του Πλάτωνα είχε επιμεληθεί ο Θεύδιος από τη Μαγνησία και θεωρούνταν μια θαυμάσια συλλογή στοιχείων Η εργασία του Θεύδιου ήταν ασφαλώς ο άμεσος πρόδρομος της εργασίας του Ευκλείδη ο οποίος την είχε χωρίς αμφιβολία στη διάθεση του ειδικά αν όπως πιστεύουν σπούδασε στην Ακαδημία του Πλάτωνα

Ο Ευκλείδης γνώριζε επίσης την εργασία του Θεαίτητου και του Εύδοξου Δεν είναι καθόλου υποτιμητικό ότι η εργασία του Ευκλείδη αποτελεί σε μεγάλο βαθμό συγκέντρωση και επιμέλεια των εργασιών των προγενεστέρων του αφού η ουσιαστική αξία των Στοιχείων βρίσκεται ακριβώς στην τέλεια επιδεξιότητα με την οποία επιλέχτηκαν και τοποθετήθηκαν

23

σε λογική σειρά οι προτάσεις ξεκινώντας από μια μικρή ομάδα αρχικών υποθέσεων Ούτε είναι υποτιμητικό το γεγονός ότι η εξονυχιστική μελέτη των σύγχρονων κριτικών έχουν αποκαλύψει ορισμένα μειονεκτήματα στη δομή της εργασίας του Ευκλείδη Δε θα μπορούσε κανείς να περιμένει μια τέτοια αρχική και κολοσσιαία προσπάθεια με την αξιωματική μέθοδο να μην παρουσιάζει καμία ατέλεια

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη έχουν γραφεί γύρω στο 300 πΧ αλλά το αυθεντικό χειρόγραφο κείμενο του Ευκλείδη δεν διασώζεται Αντίθετα σώζονται δεκάδες αντίγραφα που σε τελική ανάλυση κατάγονται από αυτό Το αρχαιότερο πλήρες αντίγραφο περιέχεται σε έναν χειρόγραφο περγαμηνό κώδικα που φυλάσσεται σήμερα στη Βιβλιοθήκη της Οξφόρδης και χρονολογείται από του έτους 888 ενώ μικρά αποσπάσματα του έργου διασώζονται σε παπύρους προγενέστερης εποχής καθώς και σε ένα παλίμψητο χειρόγραφο του 7ου ή του 8ου

μΧ αι που φυλάσσεται στο Βρετανικό Μουσείο Βλέπουμε λοιπόν ότι το αρχαιότερο χειρόγραφο που περιέχει το πλήρες κείμενο των Στοιχείων του Ευκλείδη χρονολογείται από τα τέλη του 9ου μΧ αι και επομένως απέχει από την εποχή μας όσο απέχει από την εποχή που ο ίδιος ο Ευκλείδης έγραψε το έργο

Όλες οι σύγχρονες εκδόσεις στηρίζονται σε μια επανέκδοση που έκανε ο Θεωνάς από την Αλεξάνδρεια ένας Έλληνας σχολιαστής που έζησε εφτακόσια περίπου χρόνια μετά τον Ευκλείδη Μόνο στις αρχές του 19ου αιώνα ανακαλύφθηκε ένα παλιότερο αντίγραφο Στα 1808 όταν ο Ναπολέοντας διέταξε να μεταφερθούν όλα τα αξιόλογα χειρόγραφα από τις ιταλικές βιβλιοθήκες στο Παρίσι ο Φ Πέιραρντ (F Peyrard) ανακάλυψε στη βιβλιοθήκη του Βατικανού ένα αντίγραφο των Στοιχείων από έκδοση προγενέστερη από του Θεωνά Η μελέτη όμως αυτής της παλιότερης έκδοσης αποκάλυψε δευτερεύουσες μόνο διαφορές από τον Θεωνά

Οι πρώτες πλήρεις μεταφράσεις των Στοιχείων στα λατινικά δεν έγιναν από τα ελληνικά αλλά από τα αραβικά Τον 8ο αιώνα οι Άραβες μετέφρασαν έναν αριθμό βυζαντινών χειρογράφων με ελληνικές εργασίες και στα 1120 ο Άγγλος μελετητής Άντελαρντ (Adelard) από το Μπαθ μετέφρασε τα Στοιχεία στα λατινικά χρησιμοποιώντας μια απ αυτές τις παλιότερες αραβικές μεταφράσεις Άλλες λατινικές μεταφράσεις από τα αραβικά έκαναν ο Γκεράρντο από την Κρεμώνα (Gherardo 1114-1187) και 150 χρόνια μετά τον Άντελαρντ ο Γιοχάννες Καμπάνους (Johannes Campanus) Η πρώτη τυπωμένη έκδοση των Στοιχείων έγινε στη Βενετία στα 1482 η έκδοση αυτή ήταν η μετάφραση του Καμπάνους Αυτό το πολύ σπάνιο βιβλίο ήταν θαυμάσια τυπωμένο και ήταν το πρώτο αξιόλογο μαθηματικό βιβλίο που τυπώθηκε Μια σημαντική λατινική μετάφραση από τα ελληνικά έγινε από τον Κομμαντίνο (Commandino) στα 1572 Αυτή η μετάφραση χρησιμοποιήθηκε ως βάση για πολλές άλλες μεταφράσεις που ακολούθησαν ανάμεσα σ αυτές και η εργασία του Ρόμπερτ Σίμσον (Robert Simson) που άσκησε σημαντική επιρροή και αποτέλεσε με τη σειρά της τη βάση για πάρα πολλές αγγλικές εκδόσεις

24

Αναλυτική περιγραφή των laquo στοιχείων raquo

Ειδικότερα το πρώτο βιβλίο αναφέρεται σε τεμνόμενες και παράλληλες ευθείες στην ισότητα ευθύγραμμων σχημάτων και στο τέλος το πυθαγόρειο θεώρημα Στο 2ο βιβλίο αναφέρονται συνέπειες από το πυθαγόρειο θεώρημα και γίνονται μετασχηματισμοί ευθύγραμμων σχημάτων σε ισοδύναμα τετράγωνα Εδώ περιέχεται και το πρόβλημα

της laquoχρυσής τομήςraquo Πολλές από τις προτάσεις αυτού μπορούν με σύγχρονους συμβολισμούς να πάρουν μορφή αλγεβρική γιrsquo αυτό έχει επικρατήσει να λέγεται για το 2ο βιβλίο ότι εισάγει τη laquoγεωμετρική άλγεβραraquo Στο 3ο βιβλίο εξετάζεται ο κύκλος και στο τέταρτο βιβλίο λύνονται προβλήματα σχετικά με τα εγγεγραμμένα στον κύκλο κανονικά πολύγωνα Στο 5ο βιβλίο σπουδάζεται η laquoθεωρία των λόγωνraquo του Ευδόξου Πρόκειται ουσιαστικά για τη θεωρία των πραγματικών αριθμών δοσμένη όμως σε μορφή γεωμετρική Το 6ο βιβλίο ασχολείται με την ομοιότητα επίπεδων σχημάτων και σrsquo αυτά αποδεικνύεται ότι από όλα τα ορθογώνια με δοσμένη περίμετρο το τετράγωνο έχει το μέγιστο εμβαδόν Στα βιβλία 7ο-9ο που αφορούν στην αριθμοθεωρία είναι εκπληκτικό πώς με παντελή μπορεί να πει κανείς έλλειψη συμβολισμών (αριθμοί δεν αναγράφονται) κατορθώνεται μια ακροβασία στην αλληλουχία των συλλογισμών που καταλήγει σε πολύ ενδιαφέροντα αριθμητικά αποτελέσματα Ειδικότερα στο 7ο βιβλίο μελετιούνται οι άρτιοι και οι περιττοί αριθμοί οι πρώτοι και οι σύνθετοι καθώς και οι τέλειοι εξετάζονται διάφορα προβλήματα διαιρετότητας ορίζεται το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο αριθμών (ΕΚΠ) καθώς και ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης τους και δίνεται η μέθοδος προσδιορισμού του που ονομάστηκε laquoΕυκλείδειος Αλγόριθμοςraquo Στα δύο επόμενα βιβλία εξακολουθεί η σπουδή αριθμοθεωρητικών θεμάτων στο 8ο εισάγονται επίσης και μελετιούνται οι γεωμετρικές πρόοδοι και στο 9ο έχουν συμπεριληφθεί τρεις σημαντικότατες προτάσεις Πρόκειται για α) το αποκαλούμενο laquoθεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικήςraquo β) την απόφανση ότι υπάρχουν απειράριθμοι πρώτοι και γ) την πρόταση που οδηγεί σε ένα γενικό τύπο που παρέχει άρτιους τέλειους αριθμούς Στο 10ο βιβλίο που αποτελεί ένα από τα ωραιότερα μέρη των Στοιχείων γίνεται μια ταξινόμηση των τετραγωνικών άρρητων και των τετραγωνικών ριζών τους και κατασκευάζεται ένα σύνολο ασύμμετρων μεγεθών το οποίο μαζί με το σύνολο των ρητών συναποτελεί επέκταση αυτού του τελευταίου τέτοια ώστε κάθε στοιχείο της να είναι κατασκευασμένο με κανόνα και διαβήτη Τέλος τα βιβλία της στερεομετρίας το 11ο βιβλίο ασχολείται με θεμελιώδεις σχέσεις μεταξύ ευθειών και επιπέδων καθώς και με τις στερεές γωνίες στο 12ο αναφέρεται σε επιφάνειες και όγκους στερεών και στο 13ο γίνεται η μελέτη της σφαίρας σε συσχετισμό με τα εγγεγραμμένα σε αυτήν κανονικά πολύεδρα

25

Άλλα έργα

bull Δεδομένα (94 θεωρήματα) έργο ανώτερης γεωμετρίας Στο έργο αυτό περιέχονται προτάσεις σε σχήματα στα οποία δίνονται ορισμένα στοιχεία τους κατά σχήμα θέση ή μέγεθος

bull Περί διαιρέσεων (36 προτάσεις) με περιεχόμενό του τη διαίρεση σχημάτων με δοσμένη σχέση

bull Πορίσματα (3 βιβλία που χάθηκαν) σώθηκαν ορισμένα αποσπάσματα που το 1860 έγινε απόπειρα ανασύνθεσής τους από τον Πάππο

bull Οπτικά-κατοπτρικά αντίστοιχα γεωμετρική οπτική ανάκλαση του φωτός πάνω σε επίπεδο κάτοπτρο

bull Φαινόμενα εγχειρίδιο κοσμογραφίας απλές προτάσεις για τη σφαίρα

bull Κατατομή κανόνος στοιχεία πυθαγόρεια θεωρία μουσικής

bull Ψευδάρεια laquoπαράδοξαraquo με στόχο να ασκηθούν οι σπουδαστές στην ανεύρεση λογικών σφαλμάτων κατά τις αποδείξεις

bull Κωνικαί τομαί Μηχανικά δεν γνωρίζουμε τίποτα γιrsquo αυτά τα έργα

Αιτήματα του Ευκλείδη

Τα αιτήματα είναι αρχικές προτάσεις οι οποίες προσιδιάζουν στη συγκεκριμένη κάθε φορά επιστήμη στην προκειμένη περίπτωση στη Γεωμετρία Ο Ευκλείδης διατυπώνει 5 αιτήματα

1 Ζητείται να γίνει δεκτό ότι από οποιοδήποτε σημείο σε οποιοδήποτε σημείο άγεται ευθεία γραμμή

2 Και (ότι) πεπερασμένη ευθεία προεκτείνεται σε ευθεία κατά συνεχή τρόπο

3 Και (ότι) με οποιοδήποτε κέντρο και διάστημα γράφεται κύκλος

4 Και (ότι) όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους

5 Και αν η ευθεία η οποία τέμνει δύο ευθείες σχηματίζει δύο εντός και επί τrsquo αυτά μέρη γωνίες μικρότερες των δύο ορθών τότε οι δύο ευθείες προεκτεινόμενες επrsquo απείρου συναντώνται προς εκείνα τα μέρη τους όπου βρίσκονται μικρότερες των δύο ορθών

Ακολουθούν τα laquoαιτήματαraquo διατυπωμένα σε αρχαίο κείμενο όπως αυτά βρίσκονται στο Βιβλίο Ι

26

Ο ρόλος των τριών πρώτων από τα αιτήματα αυτά είναι να εξασφαλίσουν τη νομιμότητα των κατασκευών της ευθείας και του κύκλου και κατά συνέπεια εκείνων και μόνο των γραμμών και των γεωμετρικών σχημάτων που κατασκευάζονται με πεπερασμένο αριθμό βημάτων από τα δύο αυτά βασικά σχήματα Στα Στοιχεία επομένως δεν έχουν θέση καμπύλες όπως είναι οι κωνικές τομές τη τετραγωνίζουσα κλπ ή κατασκευές όπως κατασκευές νεύσεως Η φύση των δύο τελευταίων αιτημάτων είναι διαφορετική Αποσκοπούν να δηλώσουν ότι κάποια γεωμετρικά σχήματα έχουν ορισμένες ειδικές ιδιότητες

Πολλοί ιστορικοί των μαθηματικών έχουν ασχοληθεί κατά το παρελθόν με το ερώτημα εάν τα αξιώματα του Ευκλείδη ικανοποιούν τις σύγχρονες απαιτήσεις (πληρότητα συνέπεια ανεξαρτησία) ενός αξιωματικού συστήματος Από την προσεκτική μελέτη των αποδείξεων κι των κατασκευών που περιέχονται στα Στοιχεία προκύπτει ότι ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί μερικές φορές απόρρητες παραδοχές οι οποίες δεν περιλαμβάνονται στα αξιώματα Επομένως το σύστημα των αξιωμάτων του δεν ικανοποιεί την απαίτηση της πληρότητας

Μεγάλο ιστορικό ενδιαφέρον εξάλλου έχει το ερώτημα της ανεξαρτησίας των αιτημάτων του Ευκλείδη ιδιαίτερα σε ότι αφορά το πέμπτο από αυτά Το αίτημα αυτό αναφέρεται συχνά και ως laquoαίτημα των παραλλήλωνraquo γιατί μια ισοδύναμη διατύπωσή του είναι η εξής από ένα σημείο εκτός ευθείας άγεται μια μόνο παράλληλη προς τη ευθεία Πολλοί μαθηματικοί από την αρχαιότητα έως τα μέσα του 18ου αιώνα προσπάθησαν να εξαγάγουν το αίτημα αυτό από τα άλλα αιτήματα όλες οι προσπάθειες όμως απέβησαν άκαρπες Από τα τέλη του 18ου αιώνα η προσδοκώμενη εξάρτηση του αιτήματος επιχειρήθηκε να αποδειχτεί με έμμεσο τρόπο Η σκέψη ήταν η εξής αν το αίτημα των παραλλήλων μπορεί να εξαχθεί από τα άλλα τέσσερα αιτήματα μαζί με την άρνηση του πέμπτου θα πρέπει να οδηγούν σε αντίφαση Το νέο σύστημα αξιωμάτων όμως αντί να οδηγήσει σε αντίφαση αποδείχτηκε ότι παράγει συνέπειες μαθηματικές θεωρίες Έτσι ανακαλύφθηκαν οι λεγόμενες μη ευκλείδειες γεωμετρίες και ταυτόχρονα αποδείχθηκε η ανεξαρτησία των αιτημάτων του Ευκλείδη

27

Ας δούμε τώρα την διατύπωση και την απόδειξη της πρότασης (5) που περιέχεται στο Βιβλίο Ι των laquoστοιχείωνraquo και αναφέρεται στη γνωστή μας πρόταση της ισότητας των παρά τη βάση γωνιών ισοσκελούς τριγώνου

28

Γιατί διδάσκουμε το μάθημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στο ζήτημα της laquoχρησιμότηταςraquo των σχολικών Μαθηματικών θα μπορούσε κανείς να αντιπαραθέσει (και πράγματι αντιπαρατέθηκαν) πολλές διαφορετικές απόψεις Εμείς θα παραθέσουμε απλώς ένα απόσπασμα από τις αυτοβιογραφικές σημειώσεις του Albert Einstein το οποίο δείχνει μια άλλη τελείως διαφορετική αντίληψη σχετικά με την laquoχρησιμότηταraquo της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Γράφοντας για τα γεγονότα της παιδικής και εφηβικής του ζωής που είχαν μεγάλη επίδραση στην μετέπειτα εξέλιξη του ο Einstein σημειώνει

Σε ηλικία 12 ετών δοκίμασα μια δεύτερη τελείως διαφορετική έκπληξη σε ένα μικρό βιβλίο Ευκλείδειας επίπεδης γεωμετρίαςhellip Εδώ υπήρχαν ισχυρισμοί όπως για παράδειγμα τα τρία ύψη ενός τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο οι οποίοι - αν και καθόλου προφανείς - μπορούσαν ωστόσο να αποδειχτούν με τέτοια βεβαιότητα ώστε να μην χωρεί η παραμικρή αμφιβολία Αυτή η σαφήνεια και βεβαιότητα μου προξένησαν μια εντύπωση που δεν μπορεί να περιγραφεί Το γεγονός ότι τα αξιώματα έπρεπε να γίνουν δεκτά χωρίς απόδειξη δεν με ενόχλησε Σε κάθε περίπτωση μου αρκούσε πλήρως το γεγονός ότι μπορούσαν να στηρίζω τις αποδείξεις σε προτάσεις η εγκυρότητα των οποίων ήταν για μένα αναμφισβήτητη

Η περίπτωση του Einstein του επιστήμονα που άλλαξε ριζικά τις αντιλήψεις μας και την γεωμετρική δομή του σύμπαντος αποκαλύπτει την σπουδαιότητα ορισμένων παιδαγωγικών σκοπών και τη συνάφειά τους με το ερώτημα που θέσαμε ως τίτλο αυτής της ενότητας καλλιέργεια και ανάπτυξη της συγκροτημένης σκέψης μύηση στην επιστημονική μέθοδο μελέτες του κόσμου Αυτοί οι σκοποί παρόλη τη γενικότητά τους συνδέονται άμεσα με τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας που άσκησαν καθοριστική επίδραση στο νεαρό Einstein τα οποία είναι

bull Σαφήνεια στην έκθεση

bull Ολοκληρωτική απόδειξη κάθε υπόθεσης

bull Απόλυτη συνάφεια σχημάτων και συλλογισμών

bull Τάξη και ομορφιά

Αν τα στοιχεία αυτά αποτελούν ουσιώδη συστατικά της μαθηματικής παιδείας τότε παρέχουν κατά την άποψή μας μια αυτονόητη απάντηση στο ερώτημα laquoΓιατί διδάσκουμε την Ευκλείδεια Γεωμετρίαraquo

Αντιλήψεις και αντιπαραθέσεις για τη διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Οι ένθερμοι υποστηρικτές της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προβάλλουν την παιδαγωγική αξία της λογικής και διάφανης επιχειρηματολογίας των γεωμετρικών αποδείξεων ενώ οι πολέμιοί της επικαλούνται την αναμφισβήτητη δυσκολία των περισσότερων μαθητών να κατανοήσουν τις γεωμετρικές έννοιες και τις πολύ χαμηλές επιδόσεις τους στην αντιμετώπιση σχετικών προβλημάτων Ενδιάμεσα βρίσκονται συνήθως οι σκεπτικιστές οι οποίοι επισημαίνουν τον περιορισμένο επιστημολογικά ρόλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και την ανάγκη να ανανεωθεί η διδασκαλία των Μαθηματικών δίνοντας μεγαλύτερη έμφαση σε πιο σύγχρονους και laquoχρήσιμουςraquo κλάδους (πχ Πιθανότητες και Στατιστική) Από την εποχή που ο Dieudonne κήρυξε τον πόλεμο κατά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας οι αντιλήψεις

29

αυτές έγιναν αντικείμενο επεξεργασίας και αντιπαρατέθηκαν μεταξύ τους από σημαντικούς μαθηματικούς και παιδαγωγούς ενώ οι σχετικές συζητήσεις συνεχίζονται με αμείωτη ένταση μέχρι σήμερα Σε μια ειδική μελέτη της Διεθνούς Επιτροπής για τη Μαθηματική Εκπαίδευση (ICMI) έγινε απόπειρα σύνθεσης των διαφόρων τάσεων και διατυπώθηκαν οι εξής τρεις εναλλακτικές λύσεις για τη διδασκαλία του μαθήματος

1 η λύση

Απορρίπτουμε την ιδέα ότι η Γεωμετρία πρέπει ή μπορεί να χρησιμοποιηθεί στο σχολείο ως ένα σύστημα γνώσεων (παραγωγικά οργανωμένο ή όχι) όπου οι έννοιες και τα γεγονότα πρέπει να γίνουν γνωστά απλά και μόνο επειδή ανήκουν στο σύστημα Αντίθετα η Γεωμετρία και ο χώρος θεωρούνται ως πηγές άντλησης εξαιρετικών θεμάτων για την οργάνωση πολλαπλών δραστηριοτήτων σε διαφορετικά επίπεδα Οι laquoχρησιμοθηρικέςraquo όψεις της Γεωμετρίας θα εξυπηρετηθούν με την παροχή αλγεβρικών μεθόδων

2 η λύση

Εξακολουθούμε να επιχειρούμε τη διδασκαλία ενός αξιωματικού ή ψευδο-αξιωματικού μαθήματος σχολικής Γεωμετρίας το οποίο στηρίζεται είτε σε laquoτροποποίησηraquo των laquoΣτοιχείωνraquo του Ευκλείδη (για παράδειγμα αξιωματική θεμελίωση τύπου Pogorelov) είτε πχ στους γεωμετρικούς σχηματισμούς

3 η λύση

Για ορισμένες ομάδες μαθητών τουλάχιστον παρουσιάζουμε laquoνησίδεςraquo Γεωμετρίας δηλαδή laquoτοπικάraquo παραγωγικά συστήματα μέσα στο πλαίσιο του γενικού αναλυτικού προγράμματος (Έτσι μπορούμε για παράδειγμα να έχουμε ενότητες για τις ιδιότητες των εγγεγραμμένων σε κύκλο γωνιών ή τη στοιχειώδη προβολική Γεωμετρία)

Στην Ελλάδα για προφανείς ιστορικούς και πολιτιστικούς λόγους συνεχίζεται μια παράδοση που προσεγγίζεται εγγύτατα τη δεύτερη από τις προηγούμενες εναλλακτικές λύσεις Ακόμη και την περίοδο της μεταρρύθμισης των laquoΝέων Μαθηματικώνraquo η διεθνής πίεση για εκσυγχρονισμό των σχολικών Μαθηματικών και εγκατάλειψη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αφομοιώθηκε στη χώρα μας μέσα από έναν ιδιότυπο συμβιβασμό από τη μια μεριά διατηρήθηκε όλη η παραδοσιακή σχολική ύλη την οποία σε μεγάλο βαθμό συντηρούσαν οι εισαγωγικές εξετάσεις των ΑΕΙ και από την άλλη δόθηκε υπερβολική έμφαση στην αυστηρή αξιωματική θεμελίωσης της Γεωμετρίας καθώς και με την εισαγωγή νέας ύλης πάνω στους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς Στις αντιφατικές επιλογές εκείνης της περιόδου βρίσκονται κατά την άποψη μας οι ρίζες της μετέπειτα υποβάθμισης και παρακμής του μαθήματος της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

30

Το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στη σύγχρονη Διδακτική των Μαθηματικών τα θεμελιώδη επιστημολογικά χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας όπως είναι η παραγωγική οργάνωση του περιεχομένου η αποδεικτική διαδικασία και η έμφαση στις γεωμετρικές κατασκευές αναφέρονται συνήθως ως laquoανώτερα επίπεδα γεωμετρικής σκέψηςraquo και η μάθηση τους έχει γίνει αντικείμενο συστηματικής μελέτης και έρευνας Ένα βασικό θεωρητικό μοντέλο στο οποίο έχει στηριχθεί η διεξαγωγή μεγάλου αριθμού ερευνών σε διάφορες χώρες αποτελούν τα λεγόμενα laquoεπίπεδα van Hieleraquo Σύμφωνα με αυτό το μοντέλο η μάθηση της Γεωμετρίας εξελίσσεται ιεραρχικά περνώντας από πέντε διαδοχικά επίπεδα

bull 1ο επίπεδο Εποπτικό

bull 2ο επίπεδο ΠεριγραφικόΑναλυτικό

bull 3ο επίπεδο ΑφηρημένοΣχεσιακό

bull 4ο επίπεδο ΤυπικόΠαραγωγικό

bull 5ο επίπεδο Μεταμαθηματικό

Οι μαθητές κατανοούν τη σημασία και τη διαδικασία οικοδόμησης ενός αξιωματικού μαθηματικού συστήματος και τις σχέσεις ανάμεσα σε διαφορετικά συστήματα Για παράδειγμα αναγνωρίζουν ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία δεν είναι παρά ένας από τους πολλούς δυνατούς τρόπους περιγραφής ενός αφηρημένου μαθηματικού σύμπαντος

Είναι φανερό ότι η διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προϋποθέτει τα δύο πρώτα επίπεδα και έχει ως κύριο σκοπό την κατάκτηση των δύο επόμενων επιπέδων (για το 5ο

μάλλον δεν μπορεί να γίνεται λόγος στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση) Σε θεωρητικό επίπεδο τόσο και η θεωρία των van Hiele όσο και η γενικότερη θεωρία των σταδίων μάθησης του Piaget προβλέπουν ότι η κατάκτηση αυτών των επιπέδων είναι μια επίπονη και ιεραρχικά εξελισσόμενη διαδικασία που απαιτεί μακροχρόνια και προσεχτικά σχεδιασμένη διδασκαλία Αυτές οι θεωρητικές προβλέψεις φαίνεται να επιβεβαιώνονται από πολλές εμπειρικές έρευνες που έχουν διεξαχθεί σε διάφορες χώρες και τα αποτελέσματά τους οδηγούν σε ένα βασικό συμπέρασμα laquo η καθιερωμένη παραδοσιακή διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αδυνατεί να οδηγήσει τους μαθητές στην κατάκτηση των ανώτερων επιπέδων γεωμετρικής σκέψης raquo

Από τα αποτελέσματα αυτών των ερευνών αξίζει νrsquo αναφέρουμε εδώ ένα εντυπωσιακό στατιστικό στοιχείο που αποκαλύπτει τις διαστάσεις του προβλήματος σε μια έρευνα που έγινε στις ΗΠΑ μεταξύ 1520 μαθητών που είχαν ολοκληρώσει ένα έτος διδασκαλίας της θεωρητικής Ευκλείδειας Γεωμετρίας διαπιστώθηκε ότι μόνο το 30 είχε φτάσει σε ένα επίπεδο που μπορεί να χαρακτηριστεί από 75 επιτυχία στην απόδειξη απλών γεωμετρικών προτάσεων (πχ ότι οι διαγώνιες ενός ορθογωνίου είναι ίσες) Το ποσοστό των μαθητών που είχαν 100 επιτυχία δεν ξεπέρασε το 3

31

Κοινή πεποίθηση όλων αυτών των ερευνητών είναι ότι για να κατανοηθούν οι παραγωγικές αποδείξεις της Ευκλείδειας Γεωμετρίας απαιτείται μια ισχυρή διαισθητική βάση την οποία οι μαθητές θα αποκτήσουν μέσα από επαγωγικές εμπειρικές ανακαλύψεις τη διαπίστωση και επαλήθευση υποθέσεων τις γεωμετρικές κατασκευές και εφαρμογές Έτσι λοιπόν η διδασκαλία της Γεωμετρίας δεν θα πρέπει να στηρίζεται σrsquo ένα τεχνητό διαχωρισμό ανάμεσα σε laquoΠρακτική Γεωμετρίαraquo σχεδίασης και μετρήσεων και μια laquoΘεωρητική Γεωμετρίαraquo αποδείξεων αλλά να συνδυάζει μια ισορροπημένη ανάπτυξη των δύο αυτών όψεων του μαθήματος σrsquo όλο το φάσμα της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Η επινόηση διδακτικών μέσων και μεθόδων που θα επιτρέψουν την υλοποίηση αυτού του στόχου φαίνεται ότι αποτελεί σήμερα το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ

Η Γεωμετρία του Ευκλείδη απετέλεσε το θεμέλιο για την ανάπτυξη της laquoδυτικήςraquo επιστήμης και τεχνικής και σ αυτή τη Γεωμετρία στηρίζονται οι προϋποθέσεις της κλασικής Φυσικής από την Αναγέννηση και μετά Μόλις το 19ο αιώνα διαπιστώθηκε όμως (Λάμπερτ Γκάους Μπολυάι Λομπατσέβσκι κά) ότι η ευκλείδεια Γεωμετρία στηρίζεται στην απλοϊκή αντίληψη του επίπεδου χώρου ο οποίος είναι μεν χρήσιμος για την περιοχή που αντιλαμβάνεται με τις αισθήσεις του ένας άνθρωπος αλλά όχι για πολύ μεγάλες τιμές των φυσικών μεγεθών (αποστάσεις ταχύτητες μάζες κτλ) Τότε παύει να ισχύει η επίπεδη αντίληψη και μαζί της η Ευκλείδεια Γεωμετρία επειδή στην πραγματικότητα ο χώρος είναι κυρτός Έτσι η Γεωμετρία συμπληρώνεται με βάση αντιλήψεις που στηρίζονται στον υπερβολικό ελλειπτικό κά χώρο

Σήμερα η γεωμετρία του Ευκλείδη διδάσκεται παγκοσμίως και ανελλιπώς επί 23 αιώνες με τον τιμητικό τίτλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Στη σύγχρονη όμως σχολική γεωμετρία περιλαμβάνονται και υπολογισμοί και μετρήσεις οι οποίες από το έργο του Ευκλείδη απουσιάζουν εντελώς

Η συνολική προσφορά του Ευκλείδη στα Μαθηματικά και τις εφαρμοσμένες τέχνες υπήρξε σημαντικότατη και ταυτόχρονα βάση από την οποία εξόρμησαν οι μεταγενέστεροι μαθηματικοί γεωγράφοι και αστρονόμοι για να οδηγηθούν στο τελικό μαθηματικό θαύμα της Ελληνικής Αρχαιότητας

32

33

ΒΙΟΓΡΑΦΙΑ Ο Αρχιμήδης ήταν ένας από τους μεγάλους μαθηματικούς μηχανικούς και φυσικούς του αρχαίου Ελληνικού χώρου και μια από τις μεγαλύτερες μαθηματικές ευφυΐες του κόσμου Γεννήθηκε έζησε και πέθανε στις Συρακούσες την μεγάλη Ελληνική αποικία της Σικελίας

Πατέρας του Αρχιμήδη ήταν ο αστρονόμος Φειδίας που είχε δεσμούς φιλίας με το βασιλικό γένος των Συρακουσών Ο Αρχιμήδης ταξίδεψε στην Αίγυπτο και ήρθε σε επαφή με τους διαδόχους του Ευκλείδη του Ερατοσθένη και το Δισίθεο ενώ ήταν φίλος και συμμαθητής του Κόνωνα του Σάμιου

Υπήρξε λαμπρό παράδειγμα πρωτότυπου ερευνητή ο οποίος δεν ενδιαφέρθηκε να διευκολύνει τους αρχάριους αλλά ασχολήθηκε κυρίως για την αποκάλυψη νέων αληθειών για δική του ικανοποίηση και των ώριμων ήδη διανοούμενων Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο ενώ η κατανόηση του Ευκλείδη δεν απαιτεί εξαιρετική προηγούμενη γνώση και ευφυΐα τα προϊόντα της μαθηματικής σκέψεως τα οποία πρόκειται τώρα να εξετάσουμε είναι προσιτά αποκλειστικώς και μόνο στην ανάγνωση υψηλής πνευματικής στάθμης

Πήγε στην Αίγυπτο ως εκπαιδευτικός και ήρθε σε επαφή όχι βέβαια με τον Ευκλείδη που είχε στο μεταξύ πεθάνει αλλά με τους διαδόχους του και έκανε στενούς δεσμούς με εξαιρετικούς γεωμετρικούς όπως ο Κόνων ο Σάμιος ο Ερατοσθένης ο Κυρηναίος ο Δισίθεος κλπ από τους οποίους κατόπιν όσα έργα συνέταξε μετά την επιστροφή του στην πατρίδα του

34

Το έργο τουΤο έργο του Αρχιμήδη υπήρξε τεράστιο τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά και η ερευνητική ματιά του κάλυψε πολλούς τομείς γεωμετρία οπτική (κατοπτρική) υδραυλική μηχανική αρχιτεκτονική και την πολιορκητική Συνέδεσε το όνομά του με την γένεση της μηχανικής στην αρχαία Ελλάδα και με την λύση περίφημων μαθηματικών προβλημάτων καθώς και με τις αμυντικές εφευρέσεις του που χρησιμοποιήθηκαν όταν οι Ρωμαίοι πολιορκούσαν την πατρίδα του τις Συρακούσες

Σχολιαστής του έργου του Αρχιμήδη υπήρξε ο Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης (6ος αι μΧ) που καταγόταν από την ελληνική πόλη της Συρίας Ασκαλών

Στον χώρο της εφαρμοσμένης μηχανικής ο Αρχιμήδης επινόησε ιδιοφυείς μηχανές κάθε είδους Εφηύρε τον ρωμαϊκό ζυγό (καντάρι) το τρίσπαστο (ανυψωτική τριπλή τροχαλία) και τον ατέρμονα κοχλία έλιξ του Αρχιμήδους μηχανή άντλησης νερού από ποταμούς και φρέατα (η οποία χρησιμοποιείται ακόμα και στις μέρες μας σε περιοχές της βόρειας Αφρικής) Κατασκεύασε ένα υδραυλικό ρολόι το οποίο υπολόγιζε με μεγάλη ακρίβεια τις ώρες (και ειδοποιούσε για την αλλαγή της ώρας)

Μεγάλη φήμη απέκτησαν οι πολεμικές μηχανές του Αρχιμήδη αρχιτρόνιτο (πυροβόλο ατμού) καταπέλτες άρπαγες (μηχανισμός που ανύψωνε και αναποδογύριζε πλοία) και κάτοπτρα για την καύση των Ρωμαϊκών εχθρικών πλοίων (με παραβολικά κάτοπτρα όπως αποδείχτηκε από τα πειράματα του μηχανικού Ι Σακκά ο οποίος το 1973 απόδειξε τον τρόπο με τον οποίο ο Αρχιμήδης έκαψε τον ρωμαϊκό στόλο) Σύμφωνα με την παράδοση όταν η πόλη μετά από τριετή αντίσταση των ελλήνων κατελήφθη με προδοσία ένας ρωμαίος στρατιώτης σκότωσε τον Έλληνα επιστήμονα ενώ αυτός ήταν προσηλωμένος σε κάποιο γεωμετρικό πρόβλημα ΜΗ ΜΟΥ ΤΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥΣ ΤΑΡΑΤΤΕ πρόλαβε να του απαντήσει ο Έλληνας επιστήμονας

Ο Αρχιμήδης επηρέασε σε μεγάλο βαθμό την ευρωπαϊκή επιστημονική σκέψη καθώς και τους Άραβες επιστήμονες οι οποίοι αντέγραψαν όλα τα έργα του στα αραβικά γλώσσα στην οποία διασώθηκαν αρκετά αφού τα πρωτότυπα είχαν χαθεί

35

Διασωθέντα συγγράμματα

bull Περί σφαίρας και κυλίνδρου Βιβλίο α και βbull Κύκλου μέτρησις Σώζονται τρία θεωρήματαbull Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων (32 θεωρήματα 1 πόρισμα)bull Περί ελίκων (28 θεωρήματα 6 πορίσματα)bull Περί επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων ή Μηχανικά Βιβλ α και βbull Περί μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος (=μέθοδος)bull Βιβλίο λημμάτωνbull Πρόβλημα Βοεικόνbull Κατασκευή πλευράς του περιγραφομένου εις κύκλο επταγώνουbull Ωρολόγιον Αρχιμήδους (Σώζεται στα αραβικά)bull Περί κύκλων εφαπτομένων αλλήλωνbull Αρχαί της Γεωμετρίαςbull Ψαμμίτηςbull Τετραγωνισμός παραβολήςbull Οχουμένων (Υδροστατική)bull Στομάχιον (Σώζονται λίγα αποσπάσματα)

Συγγράμματα μη διασωθέντα (ή συγγράμματα μη αποκαλυφθέντα μέχρι σήμερα)

bull Αριθμητικάbull Βαρουλκός Υδροσκοπίαι Πνευματικήbull Επισίδια Βιβλία (Μάλλον περί στατιστικής - Τζέτζης)bull Περί τριγώνωνbull Περί τετραπλεύρουbull Περί ζευγώνbull Περί 13 ημικανονικών πολυέδρωνbull Ισοπεριμετικάbull Ισορροπίαιbull Καύσις δια κατόπτρων (επ΄ αυτού έγινε επιτυχές πείραμα στο ΝΣ)bull Περί Αρχιτεκτονικήςbull Περί βαρύτητος και ελαφρότητος (Πυκνόμετρα - Αραιόμετρα)bull Περί δρομομέτρων (Οδόμετρα πλοίων)bull Περί κέντρου Βάρους ή Κεντροβαρικάbull Κατοπρικάbull Περί παραλλήλων γραμμώνbull Περί κοίλων και παραβολικών κατόπτρωνbull Προοπτικήbull Στοιχεία μηχανικώνbull Πλινθίδες και Κύλινδροιbull Στοιχεία επί των στηρίξεωνbull Σφαιροποιΐα

36

Εφευρέσεις

bull Αραιόμετρο - Πυκνόμετροbull Αστρονομική συσκευήbull Βαρουλκόςbull Γερανοί (Αρπάγες)bull Καταπέλτεςbull Κάτοπτραbull Κοχλίας ή έλιξbull Οδόμετρο (δρομόμετρο)bull Πλανητάριον (σφαίρα)bull Πολύσπαστον (Βαρούλκο) τρίσπαστοbull Σίφωνbull Στομάχιον (επιτραπέζιο παιγνίδι το πρώτο παζλ)bull Τηλεβόλον Αρχιμήδους bull Χαριστίων (μοχλός)bull Ωρολόγιο υδραυλικό

37

Τα συγγράμματα του Αρχιμήδη που σώθηκαν μέχρι σήμερα είναι τα ακόλουθα Περί σφαίρας και κυλίνδρου Κύκλου μέτρησις περί σφαιροειδέων και κωνοειδέων Περί λίκων Επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων Ψαμμίτης Τετραγωνισμός παραβολής Οχούμενων Στομάχιον Προς Ερατοσθένην Έφοδος Βιβλίον περί λημμάτων Πρόβλημα βοεικόν Αποσπάσματα Μερικά από αυτά διασώθηκαν Πολλά επίσης είναι τα συγγράμματα του που χάθηκαν

Έκανε τα πρώτα βήματα για το μαθηματικό υπολογισμό επιφανειών με ακανόνιστο περίγραμμα και συμμετρικών εκ περιστροφής σωμάτων μέθοδος που εξελίχθηκε τεκμηριώθηκε και ονομάστηκε στην σύγχρονη εποχή laquoΟλοκληρωτικός Λογισμόςraquo υπολόγισε μία προσεγγιστική τιμή για τον άρρητο αριθμό π διατύπωσε το νόμο προεκτάσεις του γενίκευσε την εφαρμογή λέγοντας laquoΔώστε μου σημείο να στηριχθώ και θα κινήσω την γηraquo διατύπωσε την ομώνυμη αρχή για την άνωση του νερού κατασκεύασε διάφορες μηχανές ένα τύπο πολύσπαστου τον κοχλία μία αντλητική μηχανή με την laquoαρχιμήδειον έλικαraquo κά

Η συμβολή του ΑρχιμήδηΗ συμβολή του Αρχιμήδη στην ανάπτυξη της Μηχανικής συνιστάται πέρα από την επινόηση των τροχαλιών του πολύσπαστου και των οδοντωτών τροχών και ενός ιδιόμορφου αντλητικού συγκροτήματος στην έλικα που φέρει το όνομα του Ακόμα στην επακριβή διατύπωση των νόμων των μοχλών και των ισορροπιών ή κέντρα βαρών Εδώ υπάρχει και η περίφημη πρόταση laquo σύμμετρα μεγέθη ισορροπούν σε αποστάσεις αντιστρόφως ανάλογες προς το βάρος τους raquo

Σε σχέση με τους μοχλούς και τις δυνατότητες τους μας αναφέρει τη φράση laquo δος μοι πα στω και ταν γαν κινάσω raquo Απέδειξε στον Ιέρωνα ότι με ένα σύστημα τροχαλιών ndash οδοντωτών τροχών και μοχλών μπορεί να μετακινήσει ένα τεράστιο πλοίο με όλο το πλήρωμα μέσα μόνος του Ήταν ακόμα ο ίδιος που σχεδίασε και επιμελήθηκε τη ναυπήγηση του πλοίου

Ανέλαβε μετά από εντολή του Ιέρωνα την οχύρωση της πόλης και διηύθυνε ο ίδιος την άμυνα της εναντίον των Ρωμαίων

Στην αστρονομία ο Λίβιος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης είναι laquoμοναδικός παρατηρητής του ουρανού και των αστέρων raquo Ο Ίππαρχος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης ασχολήθηκε με τη μελέτη των ηλιοστασίων καθώς και με τον υπολογισμό της διάρκειας του έτους

Ο Μακρόβιος αναφέρει ότι ο Αρχιμήδης ανακάλυψε τις αποστάσεις των πλανητών ενώ στο έργο laquoΨαμμίτηςraquo περιγράφει τη συσκευή μέσω της οποίας μέτρησε τη φαινομενική γωνιακή διάμετρο του ήλιου

38

Ο Κικέρων αναφέρεται με θαυμασμό για τον Αρχιμήδη στα laquoΚατοπτρικάraquo Στα Μαθηματικά που ο ίδιος θεωρούσε ως τα πιο σημαντικά παρουσίασε την μέθοδο του προσδιορισμού του αριθμού π Τελειοποίησε το ελληνικό σύστημα αρίθμησης και παρουσίασε μια μέθοδο παράστασης των πολύ μεγάλων αριθμών Ασχολήθηκε με τη διαφορική Γεωμετρία βρήκε τους τύπους πρόσθεσης και αφαίρεσης τόξων Υπολόγισε το εμβαδόν της σφαίρας και του κυλίνδρου Μελέτησε διάφορα στερεά εκ περιστροφής όπως τα στερεά που παράγονται από περιστροφή έλλειψης υπερβολής και παραβολής γύρω από έναν άξονα

Στη Γεωμετρία το έργο του Αρχιμήδη αποτελείται κατά κύριο λόγο από πρωτότυπες μελέτες σχετικά με τον τετραγωνισμό των καμπυλόγραμμων επίπεδων σχημάτων καθώς και με τον τετραγωνισμό και τον κυβισμό καμπύλων επιφανειών

Τέλος επινόησε στο σύνολό της την Υδροστατική Επιστήμη την οποία ανέπτυξε πλήρως Οι μελέτες του αναπαριστούν ένα σύνολο μαθηματικών και γεωμετρικών επιτευγμάτων το οποίο δεν ξεπέρασε κανείς στην ανθρώπινη ιστορία

Όπως αναφέρει ο Wallis laquo ο Αρχιμήδης αφήνει ένα συγκεκριμένο μυστήριο να καλύπτει τον τρόπο με τον οποίο κατέληγε στα αποτελέσματά του Είναι σαν να είχε καλύψει σκοπίμως τα ίχνη του τα ίχνη των ερευνών του σα να ήταν απρόθυμος να αποκαλύψει το μυστικό της μεθόδου έρευνάς του στους μεταγενέστερους ενώ επιθυμούσε να αποσπάσει τη συναίνεσή τους για τα αποτελέσματά του raquo

Ο ίδιος ο Αρχιμήδης ως φορέας ενός ανώτερου φιλοσοφικού πνεύματος θεωρούσε ταπεινή και ανάξια κάθε τέχνη που εξυπηρετούσε πρακτικές ανάγκες ή αποσκοπούσε στο οικονομικό κέρδος Γι` αυτό και έστρεψε όλη του την προσοχή και τις επιδιώξεις στους καθαρούς στοχασμούς χωρίς να καταδεχτεί να αφήσει κάποιο γραπτό στοιχείο για τις τεχνολογικές του ανακαλύψεις με μοναδική εξαίρεση όσες αναφέρονται στο έργο του laquoπερί σφαιροποιίαςraquo Δεν είναι καθόλου τυχαίο λοιπόν το ότι ο Κικέρων αργότερα βρήκε τον τάφο του και πάνω μία αναπαράσταση ενός κυλίνδρου περιγεγραμμένου σε σφαίρα με μία περιγραφή που έδινε το λόγο του κυλίνδρου προς τη σφαίρα

Σε ποιους τομείς εφαρμόστηκαν οι θεωρίες του Εξαιρετικές του μελέτες και για τη μέθοδο και για το αποτέλεσμα είναι εκείνες που έδωσαν τα εμβαδά Κύκλου Έλλειψης Παραβολής και Έλικας καθώς και τα εμβαδά και τους όγκους των Κυλίνδρων των Κώνων και κυρίως των Σφαιρών

Σημαντικότατη θεωρείται και η ανακάλυψη από τον ίδιο τύπου που δίνει το εμβαδόν τριγώνου από τις πλευρές του και ακόμα η επέκτασή του στα εγγεγραμμένα τετράπλευρα Ο Αρχιμήδης επίσης γνώριζε να κατασκευάζει τη λύση ειδικών τριτοβάθμιων προβλημάτων και μεταξύ αυτών και του Δηλίου Προβλήματος Τις λύσεις αυτές τις έδινε με την τομή δύο κωνικών (Ευτόκιος) Μοναδική είναι η προσφορά του στην ανώτερη μετρική Γεωμετρία Συγκεκριμένα εξέφρασε τους όγκους στερεών εκ περιστροφής κωνικών τομών εφαρμόζοντας απειροστικές μεθόδους ανάλυσης των στερεών αυτών

39

Στη σύγχρονη κλασική γεωμετρία όλο σχεδόν το μετρικό της μέρος οφείλεται στον Αρχιμήδη με αποτέλεσμα αυτή ουσιαστικά να είναι ισορροπημένη μείξη της Ευκλείδειας και της Αρχιμήδειας αρχαίας γεωμετρίας

Έτσι ο σοφός μας αποτελεί ουσιαστικά τον πατέρα της ανώτερης μετρικής γεωμετρίας της αρχαιότητας και ταυτόχρονα την πηγή έμπνευσης των νεώτερων μελετών του διαφορικού και απειροστικού λογισμού

Η πρωτοτυπία και η αποτελεσματικότητα των μελετών του έγιναν αιτία να χαρακτηριστεί από τους ιστορικούς των μαθηματικών ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών και όλων των εθνών

Ρεύμα στα ανάκτορα της Βρετανίας μέσω εφεύρεσης του Αρχιμήδη ( httpkatestimenoblogspotcom201109blog-post_1015html )

laquoΗ Βασίλισσα Ελισάβετ πρόκειται να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση ενός αρχαίου Έλληνα για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Και όταν λέμε αρχαίο Έλληνα εννοούμε τον Αρχιμήδη και όχι τον 90χρονο σύζυγό της Φίλιππο της Ελλάδαςraquo

Με αυτόν τον τίτλο πληροφορεί το βρετανικό κοινό η εφημερίδα ldquoDaily Mailrdquo για την απόφαση της Αυτής Μεγαλειότητας να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση του αρχαίου Έλληνα εφευρέτη Αρχιμήδη από τις Συρακούσες για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Πρόκειται για τη σύγχρονη εκδοχή του ατέρμονα κοχλία της έλικος του Αρχιμήδους όπως έμεινε γνωστή η εφεύρεση και είναι ένας σωληνοειδής κοχλίας που χρησίμευε για την άντληση νερού και την άρδευση καλλιεργημένων εκτάσεων

Η σύγχρονη εκδοχή της εφεύρεσης θα χρησιμοποιεί το νερό που μεταφέρεται από ένα τεχνητό φράγμα για να παράγει υδροηλεκτρική ενέργεια Ο μηχανισμός έχει ήδη μεταφερθεί μέσω του Τάμεση στο Romney Weir στα ανάκτορα του Γουίντσορ Σύμφωνα με το δημοσίευμα της εφημερίδας οι έλικες θα είναι έτοιμες για την παραγωγή ενέργειας τον προσεχή Νοέμβριο ενώ θα μπορούν να καλύψουν πλήρως τις ανάγκες του κάστρου σε ενέργεια μέσα στον επόμενο χρόνο

Εκτός αυτού οι τουρμπίνες είναι σχεδιασμένες ώστε να μην εμποδίζουν την ασφαλή διέλευση σολομού και χελιού μέσα στον ποταμό Τάμεση

Οι laquoέλικες του Αρχιμήδηraquo βάρους 40 τόνων κατασκευάστηκαν από ένα εργοστάσιο στην Ολλανδία και στοίχησαν 700000 λίρες Αγγλίας ενώ το κόστος εγκατάστασής τους θα ξεπεράσει το ένα εκατομμύριο λίρες

40

ΕυκλείδηςΒΙΟΓΡΑΦΙΑ

Υπολογίζεται ότι έζησε το βrsquo μισό του 4ου έως τις αρχές του 3ου πΧ αιώνα πιο συγκεκριμένα περίπου το 325 πΧ έως το 265 πΧ Κορυφαίος μαθηματικός της αρχαιότητας που επηρέασε με το έργο του σε ανυπέρβλητο βαθμό τον επιστημονικό τρόπο σκέψης σε όλο τον κόσμο Για τη ζωή του δεν υπάρχουν επιβεβαιωμένες πληροφορίες Πιθανώς εκπαιδεύτηκε στην Αθήνα στην Ακαδημία του Πλάτωνα και δίδαξε στην Αλεξάνδρεια Ξέρουμε ότι ήταν μεγαλύτερος στην ηλικία από τον Αρχιμήδη πράγμα που σημαίνει ότι η χρονολόγηση της ακμής του laquoγύρω στο 300 πΧraquo δεν πρέπει να απέχει πολύ από την αλήθεια Ο Πρόκλος επίσης τον χαρακτηρίζει σύγχρονο του βασιλιά Πτολεμαίου Αrsquo στον

οποίο είχε το θάρρος να του πει κατά πρόσωπο πως δεν υπάρχει βασιλική οδός προς τη γεωμετρία Ο Πάππος τον επαινεί για την ηθική του ακεραιότητα τη μετριοφροσύνη και την ευμενή στάση του προς όσους είναι ικανοί να προαγάγουν τη μαθηματική γνώση Ο Στοβαίος διηγείται το ακόλουθο ενδιαφέρον περιστατικό Ένας νέος επισκέφθηκε κάποτε τον Ευκλείδη και τον παρακάλεσε να τον διδάξει γεωμετρία Μόλις έμαθε το πρώτο θεώρημα ρώτησε τον Ευκλείδη laquoΚαι τώρα τι θα κερδίσω με το θεώρημα αυτόraquo Ο Ευκλείδης τότε γύρισε προς τον υπηρέτη του και του είπε laquoΔώσrsquo του τρεις δεκάρες ώστε να κερδίσει κάτι από το θεώρημα το οποίο έμαθεraquo Αυτά είναι όλα όσα γνωρίζουμε για τον Ευκλείδη ως άνθρωπο Πολύ μεγαλύτερη σημασία όμως έχει το έργο του το οποίο ακόμα και σήμερα μαρτυρεί τα απαράμιλλα χαρίσματά του ως δασκάλου

ΕΡΓΟ

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη

Μετά το θάνατο του Μεγάλου Αλεξάνδρου στα 323 πΧ η αχανής μακεδονική αυτοκρατορία διαιρέθηκε σε τρεις περιοχές Η περιοχή πού περιλάμβανε την Αίγυπτο περιήλθε κάτω από την άξια ηγεμονία του ικανού στρατηγού του Αλεξάνδρου Πτολεμαίου του Σωτήρος ο οποίος σύντομα κέρδισε τη βασιλεία της περιοχής Ο Πτολεμαίος επέλεξε για πρωτεύουσα της περιοχής του την Αλεξάνδρεια λίγα μόνο μίλια από τις εκβολές του ποταμού Νείλου και γύρω στα 300 πΧ άνοιξε τις πόρτες του περίφημου πανεπιστημίου της Αλεξάνδρειας Ανάμεσα στους μελετητές που κλήθηκαν να επανδρώσουν το νέο ίδρυμα ήταν και ο μαθηματικός Ευκλείδης που πιθανότατα υπήρξε μαθητής της Ακαδημίας του Πλάτωνα στην Αθήνα

22

Ο Ευκλείδης από τη στιγμή που ανέλαβε τα καθήκοντά του στην Αλεξάνδρεια όρισε ανάμεσα στους στόχους του τη συγκρότηση του μνημειώδους και ιστορικά σημαντικού έργου του των Στοιχείων Αυτή η αξιόλογη και εκτεταμένη εργασία γραμμένη σε δεκατρία βιβλία ή μέρη αποτελεί την αρχαιότερη εφαρμογή της αξιωματικής μεθόδου που έχει φτάσει στα χέρια μας Θεωρείται ο πρώτος μεγάλος σταθμός στην ιστορία της οργάνωσης των μαθηματικών και η μετέπειτα επίδραση της στον επιστημονικό τρόπο γραφής πολύ δύσκολα μπορεί να περιγραφεί

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη διεκδικούν αναμφισβήτητα μια θέση ανάμεσα στις μεγάλες στιγμές των μαθηματικών Η εργασία αυτή εκτόπισε τόσο γρήγορα και ολοκληρωτικά όλες τις προηγούμενες εργασίες ανάλογου περιεχομένου που σήμερα δεν υπάρχουν αντίγραφα προηγουμένων προσπαθειών και απλά γνωρίζουμε την ύπαρξη τους από σχόλια μεταγενέστερων συγγραφέων Τα Στοιχεία του Ευκλείδη από την πρώτη εμφάνιση τους κέρδισαν τεράστια εκτίμηση Με μοναδική εξαίρεση τη Βίβλο καμιά άλλη εργασία δεν χρησιμοποιήθηκε μελετήθηκε ή εκδόθηκε τόσο πολύ Για πάνω από δύο χιλιετίες κυριάρχησε στο χώρο διδασκαλίας της γεωμετρίας Από την πρώτη έκδοση της στα 1472 έχει γνωρίσει πάνω από χίλιες εκδόσεις Το περιεχόμενο και η μορφή της επέδρασαν εντυπωσιακά στην ανάπτυξη του αντικειμένου της και της λογικής θεμελίωσης των μαθηματικών

Ο Πρόκλος ένας κατοπινός σχολιαστής των μαθηματικών που έζησε στον 5ο αιώνα έχει δώσει μια εξήγηση της έννοιας του όρου laquoστοιχείαraquo Τα στοιχεία μιας αποδεικτικής μελέτης είναι τα πιο σημαντικά θεωρήματα ή τα θεωρήματα κλειδιά που χρησιμοποιούνται συχνά και πλατιά στο αντικείμενο της μελέτης Είναι τα θεωρήματα που χρειάζονται για την απόδειξη όλων ή των περισσότερων από τα άλλα θεωρήματα Η λειτουργία τους συγκρίνεται με αυτή των γραμμάτων του αλφαβήτου σε σχέση με τη γλώσσα Τα γράμματα στα ελληνικά ονομάζονται και στοιχεία Η επιλογή των προτάσεων που θα λειτουργήσουν ως στοιχεία κάποιου θέματος μελέτης απαιτεί μεγάλη ικανότητα και κρίση από το συγγραφέα

Δεν υποτιμά καθόλου την αίγλη του έργου του Ευκλείδη το γεγονός ότι είχαν προηγηθεί ανάλογες προσπάθειες Σύμφωνα με τον Πρόκλο η πρώτη προσπάθεια να γραφτούν Στοιχεία έγινε από τον Ιπποκράτη το Χίο στα μέσα του πέμπτου πΧ αιώνα Η επόμενη προσπάθεια ήταν του Λέοντα που χρονολογικά τοποθετείται κάπου ανάμεσα στον Πλάτωνα και τον Εύδοξο Όπως μαθαίνουμε η εργασία του Λέοντα περιείχε μια μεγαλύτερη και πιο χρήσιμη επιλογή προτάσεων από τον Ιπποκράτη Το βιβλίο που χρησιμοποιούνταν στην Ακαδημία του Πλάτωνα είχε επιμεληθεί ο Θεύδιος από τη Μαγνησία και θεωρούνταν μια θαυμάσια συλλογή στοιχείων Η εργασία του Θεύδιου ήταν ασφαλώς ο άμεσος πρόδρομος της εργασίας του Ευκλείδη ο οποίος την είχε χωρίς αμφιβολία στη διάθεση του ειδικά αν όπως πιστεύουν σπούδασε στην Ακαδημία του Πλάτωνα

Ο Ευκλείδης γνώριζε επίσης την εργασία του Θεαίτητου και του Εύδοξου Δεν είναι καθόλου υποτιμητικό ότι η εργασία του Ευκλείδη αποτελεί σε μεγάλο βαθμό συγκέντρωση και επιμέλεια των εργασιών των προγενεστέρων του αφού η ουσιαστική αξία των Στοιχείων βρίσκεται ακριβώς στην τέλεια επιδεξιότητα με την οποία επιλέχτηκαν και τοποθετήθηκαν

23

σε λογική σειρά οι προτάσεις ξεκινώντας από μια μικρή ομάδα αρχικών υποθέσεων Ούτε είναι υποτιμητικό το γεγονός ότι η εξονυχιστική μελέτη των σύγχρονων κριτικών έχουν αποκαλύψει ορισμένα μειονεκτήματα στη δομή της εργασίας του Ευκλείδη Δε θα μπορούσε κανείς να περιμένει μια τέτοια αρχική και κολοσσιαία προσπάθεια με την αξιωματική μέθοδο να μην παρουσιάζει καμία ατέλεια

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη έχουν γραφεί γύρω στο 300 πΧ αλλά το αυθεντικό χειρόγραφο κείμενο του Ευκλείδη δεν διασώζεται Αντίθετα σώζονται δεκάδες αντίγραφα που σε τελική ανάλυση κατάγονται από αυτό Το αρχαιότερο πλήρες αντίγραφο περιέχεται σε έναν χειρόγραφο περγαμηνό κώδικα που φυλάσσεται σήμερα στη Βιβλιοθήκη της Οξφόρδης και χρονολογείται από του έτους 888 ενώ μικρά αποσπάσματα του έργου διασώζονται σε παπύρους προγενέστερης εποχής καθώς και σε ένα παλίμψητο χειρόγραφο του 7ου ή του 8ου

μΧ αι που φυλάσσεται στο Βρετανικό Μουσείο Βλέπουμε λοιπόν ότι το αρχαιότερο χειρόγραφο που περιέχει το πλήρες κείμενο των Στοιχείων του Ευκλείδη χρονολογείται από τα τέλη του 9ου μΧ αι και επομένως απέχει από την εποχή μας όσο απέχει από την εποχή που ο ίδιος ο Ευκλείδης έγραψε το έργο

Όλες οι σύγχρονες εκδόσεις στηρίζονται σε μια επανέκδοση που έκανε ο Θεωνάς από την Αλεξάνδρεια ένας Έλληνας σχολιαστής που έζησε εφτακόσια περίπου χρόνια μετά τον Ευκλείδη Μόνο στις αρχές του 19ου αιώνα ανακαλύφθηκε ένα παλιότερο αντίγραφο Στα 1808 όταν ο Ναπολέοντας διέταξε να μεταφερθούν όλα τα αξιόλογα χειρόγραφα από τις ιταλικές βιβλιοθήκες στο Παρίσι ο Φ Πέιραρντ (F Peyrard) ανακάλυψε στη βιβλιοθήκη του Βατικανού ένα αντίγραφο των Στοιχείων από έκδοση προγενέστερη από του Θεωνά Η μελέτη όμως αυτής της παλιότερης έκδοσης αποκάλυψε δευτερεύουσες μόνο διαφορές από τον Θεωνά

Οι πρώτες πλήρεις μεταφράσεις των Στοιχείων στα λατινικά δεν έγιναν από τα ελληνικά αλλά από τα αραβικά Τον 8ο αιώνα οι Άραβες μετέφρασαν έναν αριθμό βυζαντινών χειρογράφων με ελληνικές εργασίες και στα 1120 ο Άγγλος μελετητής Άντελαρντ (Adelard) από το Μπαθ μετέφρασε τα Στοιχεία στα λατινικά χρησιμοποιώντας μια απ αυτές τις παλιότερες αραβικές μεταφράσεις Άλλες λατινικές μεταφράσεις από τα αραβικά έκαναν ο Γκεράρντο από την Κρεμώνα (Gherardo 1114-1187) και 150 χρόνια μετά τον Άντελαρντ ο Γιοχάννες Καμπάνους (Johannes Campanus) Η πρώτη τυπωμένη έκδοση των Στοιχείων έγινε στη Βενετία στα 1482 η έκδοση αυτή ήταν η μετάφραση του Καμπάνους Αυτό το πολύ σπάνιο βιβλίο ήταν θαυμάσια τυπωμένο και ήταν το πρώτο αξιόλογο μαθηματικό βιβλίο που τυπώθηκε Μια σημαντική λατινική μετάφραση από τα ελληνικά έγινε από τον Κομμαντίνο (Commandino) στα 1572 Αυτή η μετάφραση χρησιμοποιήθηκε ως βάση για πολλές άλλες μεταφράσεις που ακολούθησαν ανάμεσα σ αυτές και η εργασία του Ρόμπερτ Σίμσον (Robert Simson) που άσκησε σημαντική επιρροή και αποτέλεσε με τη σειρά της τη βάση για πάρα πολλές αγγλικές εκδόσεις

24

Αναλυτική περιγραφή των laquo στοιχείων raquo

Ειδικότερα το πρώτο βιβλίο αναφέρεται σε τεμνόμενες και παράλληλες ευθείες στην ισότητα ευθύγραμμων σχημάτων και στο τέλος το πυθαγόρειο θεώρημα Στο 2ο βιβλίο αναφέρονται συνέπειες από το πυθαγόρειο θεώρημα και γίνονται μετασχηματισμοί ευθύγραμμων σχημάτων σε ισοδύναμα τετράγωνα Εδώ περιέχεται και το πρόβλημα

της laquoχρυσής τομήςraquo Πολλές από τις προτάσεις αυτού μπορούν με σύγχρονους συμβολισμούς να πάρουν μορφή αλγεβρική γιrsquo αυτό έχει επικρατήσει να λέγεται για το 2ο βιβλίο ότι εισάγει τη laquoγεωμετρική άλγεβραraquo Στο 3ο βιβλίο εξετάζεται ο κύκλος και στο τέταρτο βιβλίο λύνονται προβλήματα σχετικά με τα εγγεγραμμένα στον κύκλο κανονικά πολύγωνα Στο 5ο βιβλίο σπουδάζεται η laquoθεωρία των λόγωνraquo του Ευδόξου Πρόκειται ουσιαστικά για τη θεωρία των πραγματικών αριθμών δοσμένη όμως σε μορφή γεωμετρική Το 6ο βιβλίο ασχολείται με την ομοιότητα επίπεδων σχημάτων και σrsquo αυτά αποδεικνύεται ότι από όλα τα ορθογώνια με δοσμένη περίμετρο το τετράγωνο έχει το μέγιστο εμβαδόν Στα βιβλία 7ο-9ο που αφορούν στην αριθμοθεωρία είναι εκπληκτικό πώς με παντελή μπορεί να πει κανείς έλλειψη συμβολισμών (αριθμοί δεν αναγράφονται) κατορθώνεται μια ακροβασία στην αλληλουχία των συλλογισμών που καταλήγει σε πολύ ενδιαφέροντα αριθμητικά αποτελέσματα Ειδικότερα στο 7ο βιβλίο μελετιούνται οι άρτιοι και οι περιττοί αριθμοί οι πρώτοι και οι σύνθετοι καθώς και οι τέλειοι εξετάζονται διάφορα προβλήματα διαιρετότητας ορίζεται το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο αριθμών (ΕΚΠ) καθώς και ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης τους και δίνεται η μέθοδος προσδιορισμού του που ονομάστηκε laquoΕυκλείδειος Αλγόριθμοςraquo Στα δύο επόμενα βιβλία εξακολουθεί η σπουδή αριθμοθεωρητικών θεμάτων στο 8ο εισάγονται επίσης και μελετιούνται οι γεωμετρικές πρόοδοι και στο 9ο έχουν συμπεριληφθεί τρεις σημαντικότατες προτάσεις Πρόκειται για α) το αποκαλούμενο laquoθεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικήςraquo β) την απόφανση ότι υπάρχουν απειράριθμοι πρώτοι και γ) την πρόταση που οδηγεί σε ένα γενικό τύπο που παρέχει άρτιους τέλειους αριθμούς Στο 10ο βιβλίο που αποτελεί ένα από τα ωραιότερα μέρη των Στοιχείων γίνεται μια ταξινόμηση των τετραγωνικών άρρητων και των τετραγωνικών ριζών τους και κατασκευάζεται ένα σύνολο ασύμμετρων μεγεθών το οποίο μαζί με το σύνολο των ρητών συναποτελεί επέκταση αυτού του τελευταίου τέτοια ώστε κάθε στοιχείο της να είναι κατασκευασμένο με κανόνα και διαβήτη Τέλος τα βιβλία της στερεομετρίας το 11ο βιβλίο ασχολείται με θεμελιώδεις σχέσεις μεταξύ ευθειών και επιπέδων καθώς και με τις στερεές γωνίες στο 12ο αναφέρεται σε επιφάνειες και όγκους στερεών και στο 13ο γίνεται η μελέτη της σφαίρας σε συσχετισμό με τα εγγεγραμμένα σε αυτήν κανονικά πολύεδρα

25

Άλλα έργα

bull Δεδομένα (94 θεωρήματα) έργο ανώτερης γεωμετρίας Στο έργο αυτό περιέχονται προτάσεις σε σχήματα στα οποία δίνονται ορισμένα στοιχεία τους κατά σχήμα θέση ή μέγεθος

bull Περί διαιρέσεων (36 προτάσεις) με περιεχόμενό του τη διαίρεση σχημάτων με δοσμένη σχέση

bull Πορίσματα (3 βιβλία που χάθηκαν) σώθηκαν ορισμένα αποσπάσματα που το 1860 έγινε απόπειρα ανασύνθεσής τους από τον Πάππο

bull Οπτικά-κατοπτρικά αντίστοιχα γεωμετρική οπτική ανάκλαση του φωτός πάνω σε επίπεδο κάτοπτρο

bull Φαινόμενα εγχειρίδιο κοσμογραφίας απλές προτάσεις για τη σφαίρα

bull Κατατομή κανόνος στοιχεία πυθαγόρεια θεωρία μουσικής

bull Ψευδάρεια laquoπαράδοξαraquo με στόχο να ασκηθούν οι σπουδαστές στην ανεύρεση λογικών σφαλμάτων κατά τις αποδείξεις

bull Κωνικαί τομαί Μηχανικά δεν γνωρίζουμε τίποτα γιrsquo αυτά τα έργα

Αιτήματα του Ευκλείδη

Τα αιτήματα είναι αρχικές προτάσεις οι οποίες προσιδιάζουν στη συγκεκριμένη κάθε φορά επιστήμη στην προκειμένη περίπτωση στη Γεωμετρία Ο Ευκλείδης διατυπώνει 5 αιτήματα

1 Ζητείται να γίνει δεκτό ότι από οποιοδήποτε σημείο σε οποιοδήποτε σημείο άγεται ευθεία γραμμή

2 Και (ότι) πεπερασμένη ευθεία προεκτείνεται σε ευθεία κατά συνεχή τρόπο

3 Και (ότι) με οποιοδήποτε κέντρο και διάστημα γράφεται κύκλος

4 Και (ότι) όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους

5 Και αν η ευθεία η οποία τέμνει δύο ευθείες σχηματίζει δύο εντός και επί τrsquo αυτά μέρη γωνίες μικρότερες των δύο ορθών τότε οι δύο ευθείες προεκτεινόμενες επrsquo απείρου συναντώνται προς εκείνα τα μέρη τους όπου βρίσκονται μικρότερες των δύο ορθών

Ακολουθούν τα laquoαιτήματαraquo διατυπωμένα σε αρχαίο κείμενο όπως αυτά βρίσκονται στο Βιβλίο Ι

26

Ο ρόλος των τριών πρώτων από τα αιτήματα αυτά είναι να εξασφαλίσουν τη νομιμότητα των κατασκευών της ευθείας και του κύκλου και κατά συνέπεια εκείνων και μόνο των γραμμών και των γεωμετρικών σχημάτων που κατασκευάζονται με πεπερασμένο αριθμό βημάτων από τα δύο αυτά βασικά σχήματα Στα Στοιχεία επομένως δεν έχουν θέση καμπύλες όπως είναι οι κωνικές τομές τη τετραγωνίζουσα κλπ ή κατασκευές όπως κατασκευές νεύσεως Η φύση των δύο τελευταίων αιτημάτων είναι διαφορετική Αποσκοπούν να δηλώσουν ότι κάποια γεωμετρικά σχήματα έχουν ορισμένες ειδικές ιδιότητες

Πολλοί ιστορικοί των μαθηματικών έχουν ασχοληθεί κατά το παρελθόν με το ερώτημα εάν τα αξιώματα του Ευκλείδη ικανοποιούν τις σύγχρονες απαιτήσεις (πληρότητα συνέπεια ανεξαρτησία) ενός αξιωματικού συστήματος Από την προσεκτική μελέτη των αποδείξεων κι των κατασκευών που περιέχονται στα Στοιχεία προκύπτει ότι ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί μερικές φορές απόρρητες παραδοχές οι οποίες δεν περιλαμβάνονται στα αξιώματα Επομένως το σύστημα των αξιωμάτων του δεν ικανοποιεί την απαίτηση της πληρότητας

Μεγάλο ιστορικό ενδιαφέρον εξάλλου έχει το ερώτημα της ανεξαρτησίας των αιτημάτων του Ευκλείδη ιδιαίτερα σε ότι αφορά το πέμπτο από αυτά Το αίτημα αυτό αναφέρεται συχνά και ως laquoαίτημα των παραλλήλωνraquo γιατί μια ισοδύναμη διατύπωσή του είναι η εξής από ένα σημείο εκτός ευθείας άγεται μια μόνο παράλληλη προς τη ευθεία Πολλοί μαθηματικοί από την αρχαιότητα έως τα μέσα του 18ου αιώνα προσπάθησαν να εξαγάγουν το αίτημα αυτό από τα άλλα αιτήματα όλες οι προσπάθειες όμως απέβησαν άκαρπες Από τα τέλη του 18ου αιώνα η προσδοκώμενη εξάρτηση του αιτήματος επιχειρήθηκε να αποδειχτεί με έμμεσο τρόπο Η σκέψη ήταν η εξής αν το αίτημα των παραλλήλων μπορεί να εξαχθεί από τα άλλα τέσσερα αιτήματα μαζί με την άρνηση του πέμπτου θα πρέπει να οδηγούν σε αντίφαση Το νέο σύστημα αξιωμάτων όμως αντί να οδηγήσει σε αντίφαση αποδείχτηκε ότι παράγει συνέπειες μαθηματικές θεωρίες Έτσι ανακαλύφθηκαν οι λεγόμενες μη ευκλείδειες γεωμετρίες και ταυτόχρονα αποδείχθηκε η ανεξαρτησία των αιτημάτων του Ευκλείδη

27

Ας δούμε τώρα την διατύπωση και την απόδειξη της πρότασης (5) που περιέχεται στο Βιβλίο Ι των laquoστοιχείωνraquo και αναφέρεται στη γνωστή μας πρόταση της ισότητας των παρά τη βάση γωνιών ισοσκελούς τριγώνου

28

Γιατί διδάσκουμε το μάθημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στο ζήτημα της laquoχρησιμότηταςraquo των σχολικών Μαθηματικών θα μπορούσε κανείς να αντιπαραθέσει (και πράγματι αντιπαρατέθηκαν) πολλές διαφορετικές απόψεις Εμείς θα παραθέσουμε απλώς ένα απόσπασμα από τις αυτοβιογραφικές σημειώσεις του Albert Einstein το οποίο δείχνει μια άλλη τελείως διαφορετική αντίληψη σχετικά με την laquoχρησιμότηταraquo της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Γράφοντας για τα γεγονότα της παιδικής και εφηβικής του ζωής που είχαν μεγάλη επίδραση στην μετέπειτα εξέλιξη του ο Einstein σημειώνει

Σε ηλικία 12 ετών δοκίμασα μια δεύτερη τελείως διαφορετική έκπληξη σε ένα μικρό βιβλίο Ευκλείδειας επίπεδης γεωμετρίαςhellip Εδώ υπήρχαν ισχυρισμοί όπως για παράδειγμα τα τρία ύψη ενός τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο οι οποίοι - αν και καθόλου προφανείς - μπορούσαν ωστόσο να αποδειχτούν με τέτοια βεβαιότητα ώστε να μην χωρεί η παραμικρή αμφιβολία Αυτή η σαφήνεια και βεβαιότητα μου προξένησαν μια εντύπωση που δεν μπορεί να περιγραφεί Το γεγονός ότι τα αξιώματα έπρεπε να γίνουν δεκτά χωρίς απόδειξη δεν με ενόχλησε Σε κάθε περίπτωση μου αρκούσε πλήρως το γεγονός ότι μπορούσαν να στηρίζω τις αποδείξεις σε προτάσεις η εγκυρότητα των οποίων ήταν για μένα αναμφισβήτητη

Η περίπτωση του Einstein του επιστήμονα που άλλαξε ριζικά τις αντιλήψεις μας και την γεωμετρική δομή του σύμπαντος αποκαλύπτει την σπουδαιότητα ορισμένων παιδαγωγικών σκοπών και τη συνάφειά τους με το ερώτημα που θέσαμε ως τίτλο αυτής της ενότητας καλλιέργεια και ανάπτυξη της συγκροτημένης σκέψης μύηση στην επιστημονική μέθοδο μελέτες του κόσμου Αυτοί οι σκοποί παρόλη τη γενικότητά τους συνδέονται άμεσα με τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας που άσκησαν καθοριστική επίδραση στο νεαρό Einstein τα οποία είναι

bull Σαφήνεια στην έκθεση

bull Ολοκληρωτική απόδειξη κάθε υπόθεσης

bull Απόλυτη συνάφεια σχημάτων και συλλογισμών

bull Τάξη και ομορφιά

Αν τα στοιχεία αυτά αποτελούν ουσιώδη συστατικά της μαθηματικής παιδείας τότε παρέχουν κατά την άποψή μας μια αυτονόητη απάντηση στο ερώτημα laquoΓιατί διδάσκουμε την Ευκλείδεια Γεωμετρίαraquo

Αντιλήψεις και αντιπαραθέσεις για τη διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Οι ένθερμοι υποστηρικτές της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προβάλλουν την παιδαγωγική αξία της λογικής και διάφανης επιχειρηματολογίας των γεωμετρικών αποδείξεων ενώ οι πολέμιοί της επικαλούνται την αναμφισβήτητη δυσκολία των περισσότερων μαθητών να κατανοήσουν τις γεωμετρικές έννοιες και τις πολύ χαμηλές επιδόσεις τους στην αντιμετώπιση σχετικών προβλημάτων Ενδιάμεσα βρίσκονται συνήθως οι σκεπτικιστές οι οποίοι επισημαίνουν τον περιορισμένο επιστημολογικά ρόλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και την ανάγκη να ανανεωθεί η διδασκαλία των Μαθηματικών δίνοντας μεγαλύτερη έμφαση σε πιο σύγχρονους και laquoχρήσιμουςraquo κλάδους (πχ Πιθανότητες και Στατιστική) Από την εποχή που ο Dieudonne κήρυξε τον πόλεμο κατά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας οι αντιλήψεις

29

αυτές έγιναν αντικείμενο επεξεργασίας και αντιπαρατέθηκαν μεταξύ τους από σημαντικούς μαθηματικούς και παιδαγωγούς ενώ οι σχετικές συζητήσεις συνεχίζονται με αμείωτη ένταση μέχρι σήμερα Σε μια ειδική μελέτη της Διεθνούς Επιτροπής για τη Μαθηματική Εκπαίδευση (ICMI) έγινε απόπειρα σύνθεσης των διαφόρων τάσεων και διατυπώθηκαν οι εξής τρεις εναλλακτικές λύσεις για τη διδασκαλία του μαθήματος

1 η λύση

Απορρίπτουμε την ιδέα ότι η Γεωμετρία πρέπει ή μπορεί να χρησιμοποιηθεί στο σχολείο ως ένα σύστημα γνώσεων (παραγωγικά οργανωμένο ή όχι) όπου οι έννοιες και τα γεγονότα πρέπει να γίνουν γνωστά απλά και μόνο επειδή ανήκουν στο σύστημα Αντίθετα η Γεωμετρία και ο χώρος θεωρούνται ως πηγές άντλησης εξαιρετικών θεμάτων για την οργάνωση πολλαπλών δραστηριοτήτων σε διαφορετικά επίπεδα Οι laquoχρησιμοθηρικέςraquo όψεις της Γεωμετρίας θα εξυπηρετηθούν με την παροχή αλγεβρικών μεθόδων

2 η λύση

Εξακολουθούμε να επιχειρούμε τη διδασκαλία ενός αξιωματικού ή ψευδο-αξιωματικού μαθήματος σχολικής Γεωμετρίας το οποίο στηρίζεται είτε σε laquoτροποποίησηraquo των laquoΣτοιχείωνraquo του Ευκλείδη (για παράδειγμα αξιωματική θεμελίωση τύπου Pogorelov) είτε πχ στους γεωμετρικούς σχηματισμούς

3 η λύση

Για ορισμένες ομάδες μαθητών τουλάχιστον παρουσιάζουμε laquoνησίδεςraquo Γεωμετρίας δηλαδή laquoτοπικάraquo παραγωγικά συστήματα μέσα στο πλαίσιο του γενικού αναλυτικού προγράμματος (Έτσι μπορούμε για παράδειγμα να έχουμε ενότητες για τις ιδιότητες των εγγεγραμμένων σε κύκλο γωνιών ή τη στοιχειώδη προβολική Γεωμετρία)

Στην Ελλάδα για προφανείς ιστορικούς και πολιτιστικούς λόγους συνεχίζεται μια παράδοση που προσεγγίζεται εγγύτατα τη δεύτερη από τις προηγούμενες εναλλακτικές λύσεις Ακόμη και την περίοδο της μεταρρύθμισης των laquoΝέων Μαθηματικώνraquo η διεθνής πίεση για εκσυγχρονισμό των σχολικών Μαθηματικών και εγκατάλειψη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αφομοιώθηκε στη χώρα μας μέσα από έναν ιδιότυπο συμβιβασμό από τη μια μεριά διατηρήθηκε όλη η παραδοσιακή σχολική ύλη την οποία σε μεγάλο βαθμό συντηρούσαν οι εισαγωγικές εξετάσεις των ΑΕΙ και από την άλλη δόθηκε υπερβολική έμφαση στην αυστηρή αξιωματική θεμελίωσης της Γεωμετρίας καθώς και με την εισαγωγή νέας ύλης πάνω στους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς Στις αντιφατικές επιλογές εκείνης της περιόδου βρίσκονται κατά την άποψη μας οι ρίζες της μετέπειτα υποβάθμισης και παρακμής του μαθήματος της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

30

Το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στη σύγχρονη Διδακτική των Μαθηματικών τα θεμελιώδη επιστημολογικά χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας όπως είναι η παραγωγική οργάνωση του περιεχομένου η αποδεικτική διαδικασία και η έμφαση στις γεωμετρικές κατασκευές αναφέρονται συνήθως ως laquoανώτερα επίπεδα γεωμετρικής σκέψηςraquo και η μάθηση τους έχει γίνει αντικείμενο συστηματικής μελέτης και έρευνας Ένα βασικό θεωρητικό μοντέλο στο οποίο έχει στηριχθεί η διεξαγωγή μεγάλου αριθμού ερευνών σε διάφορες χώρες αποτελούν τα λεγόμενα laquoεπίπεδα van Hieleraquo Σύμφωνα με αυτό το μοντέλο η μάθηση της Γεωμετρίας εξελίσσεται ιεραρχικά περνώντας από πέντε διαδοχικά επίπεδα

bull 1ο επίπεδο Εποπτικό

bull 2ο επίπεδο ΠεριγραφικόΑναλυτικό

bull 3ο επίπεδο ΑφηρημένοΣχεσιακό

bull 4ο επίπεδο ΤυπικόΠαραγωγικό

bull 5ο επίπεδο Μεταμαθηματικό

Οι μαθητές κατανοούν τη σημασία και τη διαδικασία οικοδόμησης ενός αξιωματικού μαθηματικού συστήματος και τις σχέσεις ανάμεσα σε διαφορετικά συστήματα Για παράδειγμα αναγνωρίζουν ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία δεν είναι παρά ένας από τους πολλούς δυνατούς τρόπους περιγραφής ενός αφηρημένου μαθηματικού σύμπαντος

Είναι φανερό ότι η διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προϋποθέτει τα δύο πρώτα επίπεδα και έχει ως κύριο σκοπό την κατάκτηση των δύο επόμενων επιπέδων (για το 5ο

μάλλον δεν μπορεί να γίνεται λόγος στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση) Σε θεωρητικό επίπεδο τόσο και η θεωρία των van Hiele όσο και η γενικότερη θεωρία των σταδίων μάθησης του Piaget προβλέπουν ότι η κατάκτηση αυτών των επιπέδων είναι μια επίπονη και ιεραρχικά εξελισσόμενη διαδικασία που απαιτεί μακροχρόνια και προσεχτικά σχεδιασμένη διδασκαλία Αυτές οι θεωρητικές προβλέψεις φαίνεται να επιβεβαιώνονται από πολλές εμπειρικές έρευνες που έχουν διεξαχθεί σε διάφορες χώρες και τα αποτελέσματά τους οδηγούν σε ένα βασικό συμπέρασμα laquo η καθιερωμένη παραδοσιακή διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αδυνατεί να οδηγήσει τους μαθητές στην κατάκτηση των ανώτερων επιπέδων γεωμετρικής σκέψης raquo

Από τα αποτελέσματα αυτών των ερευνών αξίζει νrsquo αναφέρουμε εδώ ένα εντυπωσιακό στατιστικό στοιχείο που αποκαλύπτει τις διαστάσεις του προβλήματος σε μια έρευνα που έγινε στις ΗΠΑ μεταξύ 1520 μαθητών που είχαν ολοκληρώσει ένα έτος διδασκαλίας της θεωρητικής Ευκλείδειας Γεωμετρίας διαπιστώθηκε ότι μόνο το 30 είχε φτάσει σε ένα επίπεδο που μπορεί να χαρακτηριστεί από 75 επιτυχία στην απόδειξη απλών γεωμετρικών προτάσεων (πχ ότι οι διαγώνιες ενός ορθογωνίου είναι ίσες) Το ποσοστό των μαθητών που είχαν 100 επιτυχία δεν ξεπέρασε το 3

31

Κοινή πεποίθηση όλων αυτών των ερευνητών είναι ότι για να κατανοηθούν οι παραγωγικές αποδείξεις της Ευκλείδειας Γεωμετρίας απαιτείται μια ισχυρή διαισθητική βάση την οποία οι μαθητές θα αποκτήσουν μέσα από επαγωγικές εμπειρικές ανακαλύψεις τη διαπίστωση και επαλήθευση υποθέσεων τις γεωμετρικές κατασκευές και εφαρμογές Έτσι λοιπόν η διδασκαλία της Γεωμετρίας δεν θα πρέπει να στηρίζεται σrsquo ένα τεχνητό διαχωρισμό ανάμεσα σε laquoΠρακτική Γεωμετρίαraquo σχεδίασης και μετρήσεων και μια laquoΘεωρητική Γεωμετρίαraquo αποδείξεων αλλά να συνδυάζει μια ισορροπημένη ανάπτυξη των δύο αυτών όψεων του μαθήματος σrsquo όλο το φάσμα της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Η επινόηση διδακτικών μέσων και μεθόδων που θα επιτρέψουν την υλοποίηση αυτού του στόχου φαίνεται ότι αποτελεί σήμερα το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ

Η Γεωμετρία του Ευκλείδη απετέλεσε το θεμέλιο για την ανάπτυξη της laquoδυτικήςraquo επιστήμης και τεχνικής και σ αυτή τη Γεωμετρία στηρίζονται οι προϋποθέσεις της κλασικής Φυσικής από την Αναγέννηση και μετά Μόλις το 19ο αιώνα διαπιστώθηκε όμως (Λάμπερτ Γκάους Μπολυάι Λομπατσέβσκι κά) ότι η ευκλείδεια Γεωμετρία στηρίζεται στην απλοϊκή αντίληψη του επίπεδου χώρου ο οποίος είναι μεν χρήσιμος για την περιοχή που αντιλαμβάνεται με τις αισθήσεις του ένας άνθρωπος αλλά όχι για πολύ μεγάλες τιμές των φυσικών μεγεθών (αποστάσεις ταχύτητες μάζες κτλ) Τότε παύει να ισχύει η επίπεδη αντίληψη και μαζί της η Ευκλείδεια Γεωμετρία επειδή στην πραγματικότητα ο χώρος είναι κυρτός Έτσι η Γεωμετρία συμπληρώνεται με βάση αντιλήψεις που στηρίζονται στον υπερβολικό ελλειπτικό κά χώρο

Σήμερα η γεωμετρία του Ευκλείδη διδάσκεται παγκοσμίως και ανελλιπώς επί 23 αιώνες με τον τιμητικό τίτλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Στη σύγχρονη όμως σχολική γεωμετρία περιλαμβάνονται και υπολογισμοί και μετρήσεις οι οποίες από το έργο του Ευκλείδη απουσιάζουν εντελώς

Η συνολική προσφορά του Ευκλείδη στα Μαθηματικά και τις εφαρμοσμένες τέχνες υπήρξε σημαντικότατη και ταυτόχρονα βάση από την οποία εξόρμησαν οι μεταγενέστεροι μαθηματικοί γεωγράφοι και αστρονόμοι για να οδηγηθούν στο τελικό μαθηματικό θαύμα της Ελληνικής Αρχαιότητας

32

33

ΒΙΟΓΡΑΦΙΑ Ο Αρχιμήδης ήταν ένας από τους μεγάλους μαθηματικούς μηχανικούς και φυσικούς του αρχαίου Ελληνικού χώρου και μια από τις μεγαλύτερες μαθηματικές ευφυΐες του κόσμου Γεννήθηκε έζησε και πέθανε στις Συρακούσες την μεγάλη Ελληνική αποικία της Σικελίας

Πατέρας του Αρχιμήδη ήταν ο αστρονόμος Φειδίας που είχε δεσμούς φιλίας με το βασιλικό γένος των Συρακουσών Ο Αρχιμήδης ταξίδεψε στην Αίγυπτο και ήρθε σε επαφή με τους διαδόχους του Ευκλείδη του Ερατοσθένη και το Δισίθεο ενώ ήταν φίλος και συμμαθητής του Κόνωνα του Σάμιου

Υπήρξε λαμπρό παράδειγμα πρωτότυπου ερευνητή ο οποίος δεν ενδιαφέρθηκε να διευκολύνει τους αρχάριους αλλά ασχολήθηκε κυρίως για την αποκάλυψη νέων αληθειών για δική του ικανοποίηση και των ώριμων ήδη διανοούμενων Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο ενώ η κατανόηση του Ευκλείδη δεν απαιτεί εξαιρετική προηγούμενη γνώση και ευφυΐα τα προϊόντα της μαθηματικής σκέψεως τα οποία πρόκειται τώρα να εξετάσουμε είναι προσιτά αποκλειστικώς και μόνο στην ανάγνωση υψηλής πνευματικής στάθμης

Πήγε στην Αίγυπτο ως εκπαιδευτικός και ήρθε σε επαφή όχι βέβαια με τον Ευκλείδη που είχε στο μεταξύ πεθάνει αλλά με τους διαδόχους του και έκανε στενούς δεσμούς με εξαιρετικούς γεωμετρικούς όπως ο Κόνων ο Σάμιος ο Ερατοσθένης ο Κυρηναίος ο Δισίθεος κλπ από τους οποίους κατόπιν όσα έργα συνέταξε μετά την επιστροφή του στην πατρίδα του

34

Το έργο τουΤο έργο του Αρχιμήδη υπήρξε τεράστιο τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά και η ερευνητική ματιά του κάλυψε πολλούς τομείς γεωμετρία οπτική (κατοπτρική) υδραυλική μηχανική αρχιτεκτονική και την πολιορκητική Συνέδεσε το όνομά του με την γένεση της μηχανικής στην αρχαία Ελλάδα και με την λύση περίφημων μαθηματικών προβλημάτων καθώς και με τις αμυντικές εφευρέσεις του που χρησιμοποιήθηκαν όταν οι Ρωμαίοι πολιορκούσαν την πατρίδα του τις Συρακούσες

Σχολιαστής του έργου του Αρχιμήδη υπήρξε ο Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης (6ος αι μΧ) που καταγόταν από την ελληνική πόλη της Συρίας Ασκαλών

Στον χώρο της εφαρμοσμένης μηχανικής ο Αρχιμήδης επινόησε ιδιοφυείς μηχανές κάθε είδους Εφηύρε τον ρωμαϊκό ζυγό (καντάρι) το τρίσπαστο (ανυψωτική τριπλή τροχαλία) και τον ατέρμονα κοχλία έλιξ του Αρχιμήδους μηχανή άντλησης νερού από ποταμούς και φρέατα (η οποία χρησιμοποιείται ακόμα και στις μέρες μας σε περιοχές της βόρειας Αφρικής) Κατασκεύασε ένα υδραυλικό ρολόι το οποίο υπολόγιζε με μεγάλη ακρίβεια τις ώρες (και ειδοποιούσε για την αλλαγή της ώρας)

Μεγάλη φήμη απέκτησαν οι πολεμικές μηχανές του Αρχιμήδη αρχιτρόνιτο (πυροβόλο ατμού) καταπέλτες άρπαγες (μηχανισμός που ανύψωνε και αναποδογύριζε πλοία) και κάτοπτρα για την καύση των Ρωμαϊκών εχθρικών πλοίων (με παραβολικά κάτοπτρα όπως αποδείχτηκε από τα πειράματα του μηχανικού Ι Σακκά ο οποίος το 1973 απόδειξε τον τρόπο με τον οποίο ο Αρχιμήδης έκαψε τον ρωμαϊκό στόλο) Σύμφωνα με την παράδοση όταν η πόλη μετά από τριετή αντίσταση των ελλήνων κατελήφθη με προδοσία ένας ρωμαίος στρατιώτης σκότωσε τον Έλληνα επιστήμονα ενώ αυτός ήταν προσηλωμένος σε κάποιο γεωμετρικό πρόβλημα ΜΗ ΜΟΥ ΤΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥΣ ΤΑΡΑΤΤΕ πρόλαβε να του απαντήσει ο Έλληνας επιστήμονας

Ο Αρχιμήδης επηρέασε σε μεγάλο βαθμό την ευρωπαϊκή επιστημονική σκέψη καθώς και τους Άραβες επιστήμονες οι οποίοι αντέγραψαν όλα τα έργα του στα αραβικά γλώσσα στην οποία διασώθηκαν αρκετά αφού τα πρωτότυπα είχαν χαθεί

35

Διασωθέντα συγγράμματα

bull Περί σφαίρας και κυλίνδρου Βιβλίο α και βbull Κύκλου μέτρησις Σώζονται τρία θεωρήματαbull Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων (32 θεωρήματα 1 πόρισμα)bull Περί ελίκων (28 θεωρήματα 6 πορίσματα)bull Περί επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων ή Μηχανικά Βιβλ α και βbull Περί μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος (=μέθοδος)bull Βιβλίο λημμάτωνbull Πρόβλημα Βοεικόνbull Κατασκευή πλευράς του περιγραφομένου εις κύκλο επταγώνουbull Ωρολόγιον Αρχιμήδους (Σώζεται στα αραβικά)bull Περί κύκλων εφαπτομένων αλλήλωνbull Αρχαί της Γεωμετρίαςbull Ψαμμίτηςbull Τετραγωνισμός παραβολήςbull Οχουμένων (Υδροστατική)bull Στομάχιον (Σώζονται λίγα αποσπάσματα)

Συγγράμματα μη διασωθέντα (ή συγγράμματα μη αποκαλυφθέντα μέχρι σήμερα)

bull Αριθμητικάbull Βαρουλκός Υδροσκοπίαι Πνευματικήbull Επισίδια Βιβλία (Μάλλον περί στατιστικής - Τζέτζης)bull Περί τριγώνωνbull Περί τετραπλεύρουbull Περί ζευγώνbull Περί 13 ημικανονικών πολυέδρωνbull Ισοπεριμετικάbull Ισορροπίαιbull Καύσις δια κατόπτρων (επ΄ αυτού έγινε επιτυχές πείραμα στο ΝΣ)bull Περί Αρχιτεκτονικήςbull Περί βαρύτητος και ελαφρότητος (Πυκνόμετρα - Αραιόμετρα)bull Περί δρομομέτρων (Οδόμετρα πλοίων)bull Περί κέντρου Βάρους ή Κεντροβαρικάbull Κατοπρικάbull Περί παραλλήλων γραμμώνbull Περί κοίλων και παραβολικών κατόπτρωνbull Προοπτικήbull Στοιχεία μηχανικώνbull Πλινθίδες και Κύλινδροιbull Στοιχεία επί των στηρίξεωνbull Σφαιροποιΐα

36

Εφευρέσεις

bull Αραιόμετρο - Πυκνόμετροbull Αστρονομική συσκευήbull Βαρουλκόςbull Γερανοί (Αρπάγες)bull Καταπέλτεςbull Κάτοπτραbull Κοχλίας ή έλιξbull Οδόμετρο (δρομόμετρο)bull Πλανητάριον (σφαίρα)bull Πολύσπαστον (Βαρούλκο) τρίσπαστοbull Σίφωνbull Στομάχιον (επιτραπέζιο παιγνίδι το πρώτο παζλ)bull Τηλεβόλον Αρχιμήδους bull Χαριστίων (μοχλός)bull Ωρολόγιο υδραυλικό

37

Τα συγγράμματα του Αρχιμήδη που σώθηκαν μέχρι σήμερα είναι τα ακόλουθα Περί σφαίρας και κυλίνδρου Κύκλου μέτρησις περί σφαιροειδέων και κωνοειδέων Περί λίκων Επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων Ψαμμίτης Τετραγωνισμός παραβολής Οχούμενων Στομάχιον Προς Ερατοσθένην Έφοδος Βιβλίον περί λημμάτων Πρόβλημα βοεικόν Αποσπάσματα Μερικά από αυτά διασώθηκαν Πολλά επίσης είναι τα συγγράμματα του που χάθηκαν

Έκανε τα πρώτα βήματα για το μαθηματικό υπολογισμό επιφανειών με ακανόνιστο περίγραμμα και συμμετρικών εκ περιστροφής σωμάτων μέθοδος που εξελίχθηκε τεκμηριώθηκε και ονομάστηκε στην σύγχρονη εποχή laquoΟλοκληρωτικός Λογισμόςraquo υπολόγισε μία προσεγγιστική τιμή για τον άρρητο αριθμό π διατύπωσε το νόμο προεκτάσεις του γενίκευσε την εφαρμογή λέγοντας laquoΔώστε μου σημείο να στηριχθώ και θα κινήσω την γηraquo διατύπωσε την ομώνυμη αρχή για την άνωση του νερού κατασκεύασε διάφορες μηχανές ένα τύπο πολύσπαστου τον κοχλία μία αντλητική μηχανή με την laquoαρχιμήδειον έλικαraquo κά

Η συμβολή του ΑρχιμήδηΗ συμβολή του Αρχιμήδη στην ανάπτυξη της Μηχανικής συνιστάται πέρα από την επινόηση των τροχαλιών του πολύσπαστου και των οδοντωτών τροχών και ενός ιδιόμορφου αντλητικού συγκροτήματος στην έλικα που φέρει το όνομα του Ακόμα στην επακριβή διατύπωση των νόμων των μοχλών και των ισορροπιών ή κέντρα βαρών Εδώ υπάρχει και η περίφημη πρόταση laquo σύμμετρα μεγέθη ισορροπούν σε αποστάσεις αντιστρόφως ανάλογες προς το βάρος τους raquo

Σε σχέση με τους μοχλούς και τις δυνατότητες τους μας αναφέρει τη φράση laquo δος μοι πα στω και ταν γαν κινάσω raquo Απέδειξε στον Ιέρωνα ότι με ένα σύστημα τροχαλιών ndash οδοντωτών τροχών και μοχλών μπορεί να μετακινήσει ένα τεράστιο πλοίο με όλο το πλήρωμα μέσα μόνος του Ήταν ακόμα ο ίδιος που σχεδίασε και επιμελήθηκε τη ναυπήγηση του πλοίου

Ανέλαβε μετά από εντολή του Ιέρωνα την οχύρωση της πόλης και διηύθυνε ο ίδιος την άμυνα της εναντίον των Ρωμαίων

Στην αστρονομία ο Λίβιος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης είναι laquoμοναδικός παρατηρητής του ουρανού και των αστέρων raquo Ο Ίππαρχος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης ασχολήθηκε με τη μελέτη των ηλιοστασίων καθώς και με τον υπολογισμό της διάρκειας του έτους

Ο Μακρόβιος αναφέρει ότι ο Αρχιμήδης ανακάλυψε τις αποστάσεις των πλανητών ενώ στο έργο laquoΨαμμίτηςraquo περιγράφει τη συσκευή μέσω της οποίας μέτρησε τη φαινομενική γωνιακή διάμετρο του ήλιου

38

Ο Κικέρων αναφέρεται με θαυμασμό για τον Αρχιμήδη στα laquoΚατοπτρικάraquo Στα Μαθηματικά που ο ίδιος θεωρούσε ως τα πιο σημαντικά παρουσίασε την μέθοδο του προσδιορισμού του αριθμού π Τελειοποίησε το ελληνικό σύστημα αρίθμησης και παρουσίασε μια μέθοδο παράστασης των πολύ μεγάλων αριθμών Ασχολήθηκε με τη διαφορική Γεωμετρία βρήκε τους τύπους πρόσθεσης και αφαίρεσης τόξων Υπολόγισε το εμβαδόν της σφαίρας και του κυλίνδρου Μελέτησε διάφορα στερεά εκ περιστροφής όπως τα στερεά που παράγονται από περιστροφή έλλειψης υπερβολής και παραβολής γύρω από έναν άξονα

Στη Γεωμετρία το έργο του Αρχιμήδη αποτελείται κατά κύριο λόγο από πρωτότυπες μελέτες σχετικά με τον τετραγωνισμό των καμπυλόγραμμων επίπεδων σχημάτων καθώς και με τον τετραγωνισμό και τον κυβισμό καμπύλων επιφανειών

Τέλος επινόησε στο σύνολό της την Υδροστατική Επιστήμη την οποία ανέπτυξε πλήρως Οι μελέτες του αναπαριστούν ένα σύνολο μαθηματικών και γεωμετρικών επιτευγμάτων το οποίο δεν ξεπέρασε κανείς στην ανθρώπινη ιστορία

Όπως αναφέρει ο Wallis laquo ο Αρχιμήδης αφήνει ένα συγκεκριμένο μυστήριο να καλύπτει τον τρόπο με τον οποίο κατέληγε στα αποτελέσματά του Είναι σαν να είχε καλύψει σκοπίμως τα ίχνη του τα ίχνη των ερευνών του σα να ήταν απρόθυμος να αποκαλύψει το μυστικό της μεθόδου έρευνάς του στους μεταγενέστερους ενώ επιθυμούσε να αποσπάσει τη συναίνεσή τους για τα αποτελέσματά του raquo

Ο ίδιος ο Αρχιμήδης ως φορέας ενός ανώτερου φιλοσοφικού πνεύματος θεωρούσε ταπεινή και ανάξια κάθε τέχνη που εξυπηρετούσε πρακτικές ανάγκες ή αποσκοπούσε στο οικονομικό κέρδος Γι` αυτό και έστρεψε όλη του την προσοχή και τις επιδιώξεις στους καθαρούς στοχασμούς χωρίς να καταδεχτεί να αφήσει κάποιο γραπτό στοιχείο για τις τεχνολογικές του ανακαλύψεις με μοναδική εξαίρεση όσες αναφέρονται στο έργο του laquoπερί σφαιροποιίαςraquo Δεν είναι καθόλου τυχαίο λοιπόν το ότι ο Κικέρων αργότερα βρήκε τον τάφο του και πάνω μία αναπαράσταση ενός κυλίνδρου περιγεγραμμένου σε σφαίρα με μία περιγραφή που έδινε το λόγο του κυλίνδρου προς τη σφαίρα

Σε ποιους τομείς εφαρμόστηκαν οι θεωρίες του Εξαιρετικές του μελέτες και για τη μέθοδο και για το αποτέλεσμα είναι εκείνες που έδωσαν τα εμβαδά Κύκλου Έλλειψης Παραβολής και Έλικας καθώς και τα εμβαδά και τους όγκους των Κυλίνδρων των Κώνων και κυρίως των Σφαιρών

Σημαντικότατη θεωρείται και η ανακάλυψη από τον ίδιο τύπου που δίνει το εμβαδόν τριγώνου από τις πλευρές του και ακόμα η επέκτασή του στα εγγεγραμμένα τετράπλευρα Ο Αρχιμήδης επίσης γνώριζε να κατασκευάζει τη λύση ειδικών τριτοβάθμιων προβλημάτων και μεταξύ αυτών και του Δηλίου Προβλήματος Τις λύσεις αυτές τις έδινε με την τομή δύο κωνικών (Ευτόκιος) Μοναδική είναι η προσφορά του στην ανώτερη μετρική Γεωμετρία Συγκεκριμένα εξέφρασε τους όγκους στερεών εκ περιστροφής κωνικών τομών εφαρμόζοντας απειροστικές μεθόδους ανάλυσης των στερεών αυτών

39

Στη σύγχρονη κλασική γεωμετρία όλο σχεδόν το μετρικό της μέρος οφείλεται στον Αρχιμήδη με αποτέλεσμα αυτή ουσιαστικά να είναι ισορροπημένη μείξη της Ευκλείδειας και της Αρχιμήδειας αρχαίας γεωμετρίας

Έτσι ο σοφός μας αποτελεί ουσιαστικά τον πατέρα της ανώτερης μετρικής γεωμετρίας της αρχαιότητας και ταυτόχρονα την πηγή έμπνευσης των νεώτερων μελετών του διαφορικού και απειροστικού λογισμού

Η πρωτοτυπία και η αποτελεσματικότητα των μελετών του έγιναν αιτία να χαρακτηριστεί από τους ιστορικούς των μαθηματικών ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών και όλων των εθνών

Ρεύμα στα ανάκτορα της Βρετανίας μέσω εφεύρεσης του Αρχιμήδη ( httpkatestimenoblogspotcom201109blog-post_1015html )

laquoΗ Βασίλισσα Ελισάβετ πρόκειται να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση ενός αρχαίου Έλληνα για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Και όταν λέμε αρχαίο Έλληνα εννοούμε τον Αρχιμήδη και όχι τον 90χρονο σύζυγό της Φίλιππο της Ελλάδαςraquo

Με αυτόν τον τίτλο πληροφορεί το βρετανικό κοινό η εφημερίδα ldquoDaily Mailrdquo για την απόφαση της Αυτής Μεγαλειότητας να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση του αρχαίου Έλληνα εφευρέτη Αρχιμήδη από τις Συρακούσες για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Πρόκειται για τη σύγχρονη εκδοχή του ατέρμονα κοχλία της έλικος του Αρχιμήδους όπως έμεινε γνωστή η εφεύρεση και είναι ένας σωληνοειδής κοχλίας που χρησίμευε για την άντληση νερού και την άρδευση καλλιεργημένων εκτάσεων

Η σύγχρονη εκδοχή της εφεύρεσης θα χρησιμοποιεί το νερό που μεταφέρεται από ένα τεχνητό φράγμα για να παράγει υδροηλεκτρική ενέργεια Ο μηχανισμός έχει ήδη μεταφερθεί μέσω του Τάμεση στο Romney Weir στα ανάκτορα του Γουίντσορ Σύμφωνα με το δημοσίευμα της εφημερίδας οι έλικες θα είναι έτοιμες για την παραγωγή ενέργειας τον προσεχή Νοέμβριο ενώ θα μπορούν να καλύψουν πλήρως τις ανάγκες του κάστρου σε ενέργεια μέσα στον επόμενο χρόνο

Εκτός αυτού οι τουρμπίνες είναι σχεδιασμένες ώστε να μην εμποδίζουν την ασφαλή διέλευση σολομού και χελιού μέσα στον ποταμό Τάμεση

Οι laquoέλικες του Αρχιμήδηraquo βάρους 40 τόνων κατασκευάστηκαν από ένα εργοστάσιο στην Ολλανδία και στοίχησαν 700000 λίρες Αγγλίας ενώ το κόστος εγκατάστασής τους θα ξεπεράσει το ένα εκατομμύριο λίρες

40

Ο Ευκλείδης από τη στιγμή που ανέλαβε τα καθήκοντά του στην Αλεξάνδρεια όρισε ανάμεσα στους στόχους του τη συγκρότηση του μνημειώδους και ιστορικά σημαντικού έργου του των Στοιχείων Αυτή η αξιόλογη και εκτεταμένη εργασία γραμμένη σε δεκατρία βιβλία ή μέρη αποτελεί την αρχαιότερη εφαρμογή της αξιωματικής μεθόδου που έχει φτάσει στα χέρια μας Θεωρείται ο πρώτος μεγάλος σταθμός στην ιστορία της οργάνωσης των μαθηματικών και η μετέπειτα επίδραση της στον επιστημονικό τρόπο γραφής πολύ δύσκολα μπορεί να περιγραφεί

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη διεκδικούν αναμφισβήτητα μια θέση ανάμεσα στις μεγάλες στιγμές των μαθηματικών Η εργασία αυτή εκτόπισε τόσο γρήγορα και ολοκληρωτικά όλες τις προηγούμενες εργασίες ανάλογου περιεχομένου που σήμερα δεν υπάρχουν αντίγραφα προηγουμένων προσπαθειών και απλά γνωρίζουμε την ύπαρξη τους από σχόλια μεταγενέστερων συγγραφέων Τα Στοιχεία του Ευκλείδη από την πρώτη εμφάνιση τους κέρδισαν τεράστια εκτίμηση Με μοναδική εξαίρεση τη Βίβλο καμιά άλλη εργασία δεν χρησιμοποιήθηκε μελετήθηκε ή εκδόθηκε τόσο πολύ Για πάνω από δύο χιλιετίες κυριάρχησε στο χώρο διδασκαλίας της γεωμετρίας Από την πρώτη έκδοση της στα 1472 έχει γνωρίσει πάνω από χίλιες εκδόσεις Το περιεχόμενο και η μορφή της επέδρασαν εντυπωσιακά στην ανάπτυξη του αντικειμένου της και της λογικής θεμελίωσης των μαθηματικών

Ο Πρόκλος ένας κατοπινός σχολιαστής των μαθηματικών που έζησε στον 5ο αιώνα έχει δώσει μια εξήγηση της έννοιας του όρου laquoστοιχείαraquo Τα στοιχεία μιας αποδεικτικής μελέτης είναι τα πιο σημαντικά θεωρήματα ή τα θεωρήματα κλειδιά που χρησιμοποιούνται συχνά και πλατιά στο αντικείμενο της μελέτης Είναι τα θεωρήματα που χρειάζονται για την απόδειξη όλων ή των περισσότερων από τα άλλα θεωρήματα Η λειτουργία τους συγκρίνεται με αυτή των γραμμάτων του αλφαβήτου σε σχέση με τη γλώσσα Τα γράμματα στα ελληνικά ονομάζονται και στοιχεία Η επιλογή των προτάσεων που θα λειτουργήσουν ως στοιχεία κάποιου θέματος μελέτης απαιτεί μεγάλη ικανότητα και κρίση από το συγγραφέα

Δεν υποτιμά καθόλου την αίγλη του έργου του Ευκλείδη το γεγονός ότι είχαν προηγηθεί ανάλογες προσπάθειες Σύμφωνα με τον Πρόκλο η πρώτη προσπάθεια να γραφτούν Στοιχεία έγινε από τον Ιπποκράτη το Χίο στα μέσα του πέμπτου πΧ αιώνα Η επόμενη προσπάθεια ήταν του Λέοντα που χρονολογικά τοποθετείται κάπου ανάμεσα στον Πλάτωνα και τον Εύδοξο Όπως μαθαίνουμε η εργασία του Λέοντα περιείχε μια μεγαλύτερη και πιο χρήσιμη επιλογή προτάσεων από τον Ιπποκράτη Το βιβλίο που χρησιμοποιούνταν στην Ακαδημία του Πλάτωνα είχε επιμεληθεί ο Θεύδιος από τη Μαγνησία και θεωρούνταν μια θαυμάσια συλλογή στοιχείων Η εργασία του Θεύδιου ήταν ασφαλώς ο άμεσος πρόδρομος της εργασίας του Ευκλείδη ο οποίος την είχε χωρίς αμφιβολία στη διάθεση του ειδικά αν όπως πιστεύουν σπούδασε στην Ακαδημία του Πλάτωνα

Ο Ευκλείδης γνώριζε επίσης την εργασία του Θεαίτητου και του Εύδοξου Δεν είναι καθόλου υποτιμητικό ότι η εργασία του Ευκλείδη αποτελεί σε μεγάλο βαθμό συγκέντρωση και επιμέλεια των εργασιών των προγενεστέρων του αφού η ουσιαστική αξία των Στοιχείων βρίσκεται ακριβώς στην τέλεια επιδεξιότητα με την οποία επιλέχτηκαν και τοποθετήθηκαν

23

σε λογική σειρά οι προτάσεις ξεκινώντας από μια μικρή ομάδα αρχικών υποθέσεων Ούτε είναι υποτιμητικό το γεγονός ότι η εξονυχιστική μελέτη των σύγχρονων κριτικών έχουν αποκαλύψει ορισμένα μειονεκτήματα στη δομή της εργασίας του Ευκλείδη Δε θα μπορούσε κανείς να περιμένει μια τέτοια αρχική και κολοσσιαία προσπάθεια με την αξιωματική μέθοδο να μην παρουσιάζει καμία ατέλεια

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη έχουν γραφεί γύρω στο 300 πΧ αλλά το αυθεντικό χειρόγραφο κείμενο του Ευκλείδη δεν διασώζεται Αντίθετα σώζονται δεκάδες αντίγραφα που σε τελική ανάλυση κατάγονται από αυτό Το αρχαιότερο πλήρες αντίγραφο περιέχεται σε έναν χειρόγραφο περγαμηνό κώδικα που φυλάσσεται σήμερα στη Βιβλιοθήκη της Οξφόρδης και χρονολογείται από του έτους 888 ενώ μικρά αποσπάσματα του έργου διασώζονται σε παπύρους προγενέστερης εποχής καθώς και σε ένα παλίμψητο χειρόγραφο του 7ου ή του 8ου

μΧ αι που φυλάσσεται στο Βρετανικό Μουσείο Βλέπουμε λοιπόν ότι το αρχαιότερο χειρόγραφο που περιέχει το πλήρες κείμενο των Στοιχείων του Ευκλείδη χρονολογείται από τα τέλη του 9ου μΧ αι και επομένως απέχει από την εποχή μας όσο απέχει από την εποχή που ο ίδιος ο Ευκλείδης έγραψε το έργο

Όλες οι σύγχρονες εκδόσεις στηρίζονται σε μια επανέκδοση που έκανε ο Θεωνάς από την Αλεξάνδρεια ένας Έλληνας σχολιαστής που έζησε εφτακόσια περίπου χρόνια μετά τον Ευκλείδη Μόνο στις αρχές του 19ου αιώνα ανακαλύφθηκε ένα παλιότερο αντίγραφο Στα 1808 όταν ο Ναπολέοντας διέταξε να μεταφερθούν όλα τα αξιόλογα χειρόγραφα από τις ιταλικές βιβλιοθήκες στο Παρίσι ο Φ Πέιραρντ (F Peyrard) ανακάλυψε στη βιβλιοθήκη του Βατικανού ένα αντίγραφο των Στοιχείων από έκδοση προγενέστερη από του Θεωνά Η μελέτη όμως αυτής της παλιότερης έκδοσης αποκάλυψε δευτερεύουσες μόνο διαφορές από τον Θεωνά

Οι πρώτες πλήρεις μεταφράσεις των Στοιχείων στα λατινικά δεν έγιναν από τα ελληνικά αλλά από τα αραβικά Τον 8ο αιώνα οι Άραβες μετέφρασαν έναν αριθμό βυζαντινών χειρογράφων με ελληνικές εργασίες και στα 1120 ο Άγγλος μελετητής Άντελαρντ (Adelard) από το Μπαθ μετέφρασε τα Στοιχεία στα λατινικά χρησιμοποιώντας μια απ αυτές τις παλιότερες αραβικές μεταφράσεις Άλλες λατινικές μεταφράσεις από τα αραβικά έκαναν ο Γκεράρντο από την Κρεμώνα (Gherardo 1114-1187) και 150 χρόνια μετά τον Άντελαρντ ο Γιοχάννες Καμπάνους (Johannes Campanus) Η πρώτη τυπωμένη έκδοση των Στοιχείων έγινε στη Βενετία στα 1482 η έκδοση αυτή ήταν η μετάφραση του Καμπάνους Αυτό το πολύ σπάνιο βιβλίο ήταν θαυμάσια τυπωμένο και ήταν το πρώτο αξιόλογο μαθηματικό βιβλίο που τυπώθηκε Μια σημαντική λατινική μετάφραση από τα ελληνικά έγινε από τον Κομμαντίνο (Commandino) στα 1572 Αυτή η μετάφραση χρησιμοποιήθηκε ως βάση για πολλές άλλες μεταφράσεις που ακολούθησαν ανάμεσα σ αυτές και η εργασία του Ρόμπερτ Σίμσον (Robert Simson) που άσκησε σημαντική επιρροή και αποτέλεσε με τη σειρά της τη βάση για πάρα πολλές αγγλικές εκδόσεις

24

Αναλυτική περιγραφή των laquo στοιχείων raquo

Ειδικότερα το πρώτο βιβλίο αναφέρεται σε τεμνόμενες και παράλληλες ευθείες στην ισότητα ευθύγραμμων σχημάτων και στο τέλος το πυθαγόρειο θεώρημα Στο 2ο βιβλίο αναφέρονται συνέπειες από το πυθαγόρειο θεώρημα και γίνονται μετασχηματισμοί ευθύγραμμων σχημάτων σε ισοδύναμα τετράγωνα Εδώ περιέχεται και το πρόβλημα

της laquoχρυσής τομήςraquo Πολλές από τις προτάσεις αυτού μπορούν με σύγχρονους συμβολισμούς να πάρουν μορφή αλγεβρική γιrsquo αυτό έχει επικρατήσει να λέγεται για το 2ο βιβλίο ότι εισάγει τη laquoγεωμετρική άλγεβραraquo Στο 3ο βιβλίο εξετάζεται ο κύκλος και στο τέταρτο βιβλίο λύνονται προβλήματα σχετικά με τα εγγεγραμμένα στον κύκλο κανονικά πολύγωνα Στο 5ο βιβλίο σπουδάζεται η laquoθεωρία των λόγωνraquo του Ευδόξου Πρόκειται ουσιαστικά για τη θεωρία των πραγματικών αριθμών δοσμένη όμως σε μορφή γεωμετρική Το 6ο βιβλίο ασχολείται με την ομοιότητα επίπεδων σχημάτων και σrsquo αυτά αποδεικνύεται ότι από όλα τα ορθογώνια με δοσμένη περίμετρο το τετράγωνο έχει το μέγιστο εμβαδόν Στα βιβλία 7ο-9ο που αφορούν στην αριθμοθεωρία είναι εκπληκτικό πώς με παντελή μπορεί να πει κανείς έλλειψη συμβολισμών (αριθμοί δεν αναγράφονται) κατορθώνεται μια ακροβασία στην αλληλουχία των συλλογισμών που καταλήγει σε πολύ ενδιαφέροντα αριθμητικά αποτελέσματα Ειδικότερα στο 7ο βιβλίο μελετιούνται οι άρτιοι και οι περιττοί αριθμοί οι πρώτοι και οι σύνθετοι καθώς και οι τέλειοι εξετάζονται διάφορα προβλήματα διαιρετότητας ορίζεται το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο αριθμών (ΕΚΠ) καθώς και ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης τους και δίνεται η μέθοδος προσδιορισμού του που ονομάστηκε laquoΕυκλείδειος Αλγόριθμοςraquo Στα δύο επόμενα βιβλία εξακολουθεί η σπουδή αριθμοθεωρητικών θεμάτων στο 8ο εισάγονται επίσης και μελετιούνται οι γεωμετρικές πρόοδοι και στο 9ο έχουν συμπεριληφθεί τρεις σημαντικότατες προτάσεις Πρόκειται για α) το αποκαλούμενο laquoθεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικήςraquo β) την απόφανση ότι υπάρχουν απειράριθμοι πρώτοι και γ) την πρόταση που οδηγεί σε ένα γενικό τύπο που παρέχει άρτιους τέλειους αριθμούς Στο 10ο βιβλίο που αποτελεί ένα από τα ωραιότερα μέρη των Στοιχείων γίνεται μια ταξινόμηση των τετραγωνικών άρρητων και των τετραγωνικών ριζών τους και κατασκευάζεται ένα σύνολο ασύμμετρων μεγεθών το οποίο μαζί με το σύνολο των ρητών συναποτελεί επέκταση αυτού του τελευταίου τέτοια ώστε κάθε στοιχείο της να είναι κατασκευασμένο με κανόνα και διαβήτη Τέλος τα βιβλία της στερεομετρίας το 11ο βιβλίο ασχολείται με θεμελιώδεις σχέσεις μεταξύ ευθειών και επιπέδων καθώς και με τις στερεές γωνίες στο 12ο αναφέρεται σε επιφάνειες και όγκους στερεών και στο 13ο γίνεται η μελέτη της σφαίρας σε συσχετισμό με τα εγγεγραμμένα σε αυτήν κανονικά πολύεδρα

25

Άλλα έργα

bull Δεδομένα (94 θεωρήματα) έργο ανώτερης γεωμετρίας Στο έργο αυτό περιέχονται προτάσεις σε σχήματα στα οποία δίνονται ορισμένα στοιχεία τους κατά σχήμα θέση ή μέγεθος

bull Περί διαιρέσεων (36 προτάσεις) με περιεχόμενό του τη διαίρεση σχημάτων με δοσμένη σχέση

bull Πορίσματα (3 βιβλία που χάθηκαν) σώθηκαν ορισμένα αποσπάσματα που το 1860 έγινε απόπειρα ανασύνθεσής τους από τον Πάππο

bull Οπτικά-κατοπτρικά αντίστοιχα γεωμετρική οπτική ανάκλαση του φωτός πάνω σε επίπεδο κάτοπτρο

bull Φαινόμενα εγχειρίδιο κοσμογραφίας απλές προτάσεις για τη σφαίρα

bull Κατατομή κανόνος στοιχεία πυθαγόρεια θεωρία μουσικής

bull Ψευδάρεια laquoπαράδοξαraquo με στόχο να ασκηθούν οι σπουδαστές στην ανεύρεση λογικών σφαλμάτων κατά τις αποδείξεις

bull Κωνικαί τομαί Μηχανικά δεν γνωρίζουμε τίποτα γιrsquo αυτά τα έργα

Αιτήματα του Ευκλείδη

Τα αιτήματα είναι αρχικές προτάσεις οι οποίες προσιδιάζουν στη συγκεκριμένη κάθε φορά επιστήμη στην προκειμένη περίπτωση στη Γεωμετρία Ο Ευκλείδης διατυπώνει 5 αιτήματα

1 Ζητείται να γίνει δεκτό ότι από οποιοδήποτε σημείο σε οποιοδήποτε σημείο άγεται ευθεία γραμμή

2 Και (ότι) πεπερασμένη ευθεία προεκτείνεται σε ευθεία κατά συνεχή τρόπο

3 Και (ότι) με οποιοδήποτε κέντρο και διάστημα γράφεται κύκλος

4 Και (ότι) όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους

5 Και αν η ευθεία η οποία τέμνει δύο ευθείες σχηματίζει δύο εντός και επί τrsquo αυτά μέρη γωνίες μικρότερες των δύο ορθών τότε οι δύο ευθείες προεκτεινόμενες επrsquo απείρου συναντώνται προς εκείνα τα μέρη τους όπου βρίσκονται μικρότερες των δύο ορθών

Ακολουθούν τα laquoαιτήματαraquo διατυπωμένα σε αρχαίο κείμενο όπως αυτά βρίσκονται στο Βιβλίο Ι

26

Ο ρόλος των τριών πρώτων από τα αιτήματα αυτά είναι να εξασφαλίσουν τη νομιμότητα των κατασκευών της ευθείας και του κύκλου και κατά συνέπεια εκείνων και μόνο των γραμμών και των γεωμετρικών σχημάτων που κατασκευάζονται με πεπερασμένο αριθμό βημάτων από τα δύο αυτά βασικά σχήματα Στα Στοιχεία επομένως δεν έχουν θέση καμπύλες όπως είναι οι κωνικές τομές τη τετραγωνίζουσα κλπ ή κατασκευές όπως κατασκευές νεύσεως Η φύση των δύο τελευταίων αιτημάτων είναι διαφορετική Αποσκοπούν να δηλώσουν ότι κάποια γεωμετρικά σχήματα έχουν ορισμένες ειδικές ιδιότητες

Πολλοί ιστορικοί των μαθηματικών έχουν ασχοληθεί κατά το παρελθόν με το ερώτημα εάν τα αξιώματα του Ευκλείδη ικανοποιούν τις σύγχρονες απαιτήσεις (πληρότητα συνέπεια ανεξαρτησία) ενός αξιωματικού συστήματος Από την προσεκτική μελέτη των αποδείξεων κι των κατασκευών που περιέχονται στα Στοιχεία προκύπτει ότι ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί μερικές φορές απόρρητες παραδοχές οι οποίες δεν περιλαμβάνονται στα αξιώματα Επομένως το σύστημα των αξιωμάτων του δεν ικανοποιεί την απαίτηση της πληρότητας

Μεγάλο ιστορικό ενδιαφέρον εξάλλου έχει το ερώτημα της ανεξαρτησίας των αιτημάτων του Ευκλείδη ιδιαίτερα σε ότι αφορά το πέμπτο από αυτά Το αίτημα αυτό αναφέρεται συχνά και ως laquoαίτημα των παραλλήλωνraquo γιατί μια ισοδύναμη διατύπωσή του είναι η εξής από ένα σημείο εκτός ευθείας άγεται μια μόνο παράλληλη προς τη ευθεία Πολλοί μαθηματικοί από την αρχαιότητα έως τα μέσα του 18ου αιώνα προσπάθησαν να εξαγάγουν το αίτημα αυτό από τα άλλα αιτήματα όλες οι προσπάθειες όμως απέβησαν άκαρπες Από τα τέλη του 18ου αιώνα η προσδοκώμενη εξάρτηση του αιτήματος επιχειρήθηκε να αποδειχτεί με έμμεσο τρόπο Η σκέψη ήταν η εξής αν το αίτημα των παραλλήλων μπορεί να εξαχθεί από τα άλλα τέσσερα αιτήματα μαζί με την άρνηση του πέμπτου θα πρέπει να οδηγούν σε αντίφαση Το νέο σύστημα αξιωμάτων όμως αντί να οδηγήσει σε αντίφαση αποδείχτηκε ότι παράγει συνέπειες μαθηματικές θεωρίες Έτσι ανακαλύφθηκαν οι λεγόμενες μη ευκλείδειες γεωμετρίες και ταυτόχρονα αποδείχθηκε η ανεξαρτησία των αιτημάτων του Ευκλείδη

27

Ας δούμε τώρα την διατύπωση και την απόδειξη της πρότασης (5) που περιέχεται στο Βιβλίο Ι των laquoστοιχείωνraquo και αναφέρεται στη γνωστή μας πρόταση της ισότητας των παρά τη βάση γωνιών ισοσκελούς τριγώνου

28

Γιατί διδάσκουμε το μάθημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στο ζήτημα της laquoχρησιμότηταςraquo των σχολικών Μαθηματικών θα μπορούσε κανείς να αντιπαραθέσει (και πράγματι αντιπαρατέθηκαν) πολλές διαφορετικές απόψεις Εμείς θα παραθέσουμε απλώς ένα απόσπασμα από τις αυτοβιογραφικές σημειώσεις του Albert Einstein το οποίο δείχνει μια άλλη τελείως διαφορετική αντίληψη σχετικά με την laquoχρησιμότηταraquo της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Γράφοντας για τα γεγονότα της παιδικής και εφηβικής του ζωής που είχαν μεγάλη επίδραση στην μετέπειτα εξέλιξη του ο Einstein σημειώνει

Σε ηλικία 12 ετών δοκίμασα μια δεύτερη τελείως διαφορετική έκπληξη σε ένα μικρό βιβλίο Ευκλείδειας επίπεδης γεωμετρίαςhellip Εδώ υπήρχαν ισχυρισμοί όπως για παράδειγμα τα τρία ύψη ενός τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο οι οποίοι - αν και καθόλου προφανείς - μπορούσαν ωστόσο να αποδειχτούν με τέτοια βεβαιότητα ώστε να μην χωρεί η παραμικρή αμφιβολία Αυτή η σαφήνεια και βεβαιότητα μου προξένησαν μια εντύπωση που δεν μπορεί να περιγραφεί Το γεγονός ότι τα αξιώματα έπρεπε να γίνουν δεκτά χωρίς απόδειξη δεν με ενόχλησε Σε κάθε περίπτωση μου αρκούσε πλήρως το γεγονός ότι μπορούσαν να στηρίζω τις αποδείξεις σε προτάσεις η εγκυρότητα των οποίων ήταν για μένα αναμφισβήτητη

Η περίπτωση του Einstein του επιστήμονα που άλλαξε ριζικά τις αντιλήψεις μας και την γεωμετρική δομή του σύμπαντος αποκαλύπτει την σπουδαιότητα ορισμένων παιδαγωγικών σκοπών και τη συνάφειά τους με το ερώτημα που θέσαμε ως τίτλο αυτής της ενότητας καλλιέργεια και ανάπτυξη της συγκροτημένης σκέψης μύηση στην επιστημονική μέθοδο μελέτες του κόσμου Αυτοί οι σκοποί παρόλη τη γενικότητά τους συνδέονται άμεσα με τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας που άσκησαν καθοριστική επίδραση στο νεαρό Einstein τα οποία είναι

bull Σαφήνεια στην έκθεση

bull Ολοκληρωτική απόδειξη κάθε υπόθεσης

bull Απόλυτη συνάφεια σχημάτων και συλλογισμών

bull Τάξη και ομορφιά

Αν τα στοιχεία αυτά αποτελούν ουσιώδη συστατικά της μαθηματικής παιδείας τότε παρέχουν κατά την άποψή μας μια αυτονόητη απάντηση στο ερώτημα laquoΓιατί διδάσκουμε την Ευκλείδεια Γεωμετρίαraquo

Αντιλήψεις και αντιπαραθέσεις για τη διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Οι ένθερμοι υποστηρικτές της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προβάλλουν την παιδαγωγική αξία της λογικής και διάφανης επιχειρηματολογίας των γεωμετρικών αποδείξεων ενώ οι πολέμιοί της επικαλούνται την αναμφισβήτητη δυσκολία των περισσότερων μαθητών να κατανοήσουν τις γεωμετρικές έννοιες και τις πολύ χαμηλές επιδόσεις τους στην αντιμετώπιση σχετικών προβλημάτων Ενδιάμεσα βρίσκονται συνήθως οι σκεπτικιστές οι οποίοι επισημαίνουν τον περιορισμένο επιστημολογικά ρόλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και την ανάγκη να ανανεωθεί η διδασκαλία των Μαθηματικών δίνοντας μεγαλύτερη έμφαση σε πιο σύγχρονους και laquoχρήσιμουςraquo κλάδους (πχ Πιθανότητες και Στατιστική) Από την εποχή που ο Dieudonne κήρυξε τον πόλεμο κατά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας οι αντιλήψεις

29

αυτές έγιναν αντικείμενο επεξεργασίας και αντιπαρατέθηκαν μεταξύ τους από σημαντικούς μαθηματικούς και παιδαγωγούς ενώ οι σχετικές συζητήσεις συνεχίζονται με αμείωτη ένταση μέχρι σήμερα Σε μια ειδική μελέτη της Διεθνούς Επιτροπής για τη Μαθηματική Εκπαίδευση (ICMI) έγινε απόπειρα σύνθεσης των διαφόρων τάσεων και διατυπώθηκαν οι εξής τρεις εναλλακτικές λύσεις για τη διδασκαλία του μαθήματος

1 η λύση

Απορρίπτουμε την ιδέα ότι η Γεωμετρία πρέπει ή μπορεί να χρησιμοποιηθεί στο σχολείο ως ένα σύστημα γνώσεων (παραγωγικά οργανωμένο ή όχι) όπου οι έννοιες και τα γεγονότα πρέπει να γίνουν γνωστά απλά και μόνο επειδή ανήκουν στο σύστημα Αντίθετα η Γεωμετρία και ο χώρος θεωρούνται ως πηγές άντλησης εξαιρετικών θεμάτων για την οργάνωση πολλαπλών δραστηριοτήτων σε διαφορετικά επίπεδα Οι laquoχρησιμοθηρικέςraquo όψεις της Γεωμετρίας θα εξυπηρετηθούν με την παροχή αλγεβρικών μεθόδων

2 η λύση

Εξακολουθούμε να επιχειρούμε τη διδασκαλία ενός αξιωματικού ή ψευδο-αξιωματικού μαθήματος σχολικής Γεωμετρίας το οποίο στηρίζεται είτε σε laquoτροποποίησηraquo των laquoΣτοιχείωνraquo του Ευκλείδη (για παράδειγμα αξιωματική θεμελίωση τύπου Pogorelov) είτε πχ στους γεωμετρικούς σχηματισμούς

3 η λύση

Για ορισμένες ομάδες μαθητών τουλάχιστον παρουσιάζουμε laquoνησίδεςraquo Γεωμετρίας δηλαδή laquoτοπικάraquo παραγωγικά συστήματα μέσα στο πλαίσιο του γενικού αναλυτικού προγράμματος (Έτσι μπορούμε για παράδειγμα να έχουμε ενότητες για τις ιδιότητες των εγγεγραμμένων σε κύκλο γωνιών ή τη στοιχειώδη προβολική Γεωμετρία)

Στην Ελλάδα για προφανείς ιστορικούς και πολιτιστικούς λόγους συνεχίζεται μια παράδοση που προσεγγίζεται εγγύτατα τη δεύτερη από τις προηγούμενες εναλλακτικές λύσεις Ακόμη και την περίοδο της μεταρρύθμισης των laquoΝέων Μαθηματικώνraquo η διεθνής πίεση για εκσυγχρονισμό των σχολικών Μαθηματικών και εγκατάλειψη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αφομοιώθηκε στη χώρα μας μέσα από έναν ιδιότυπο συμβιβασμό από τη μια μεριά διατηρήθηκε όλη η παραδοσιακή σχολική ύλη την οποία σε μεγάλο βαθμό συντηρούσαν οι εισαγωγικές εξετάσεις των ΑΕΙ και από την άλλη δόθηκε υπερβολική έμφαση στην αυστηρή αξιωματική θεμελίωσης της Γεωμετρίας καθώς και με την εισαγωγή νέας ύλης πάνω στους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς Στις αντιφατικές επιλογές εκείνης της περιόδου βρίσκονται κατά την άποψη μας οι ρίζες της μετέπειτα υποβάθμισης και παρακμής του μαθήματος της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

30

Το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στη σύγχρονη Διδακτική των Μαθηματικών τα θεμελιώδη επιστημολογικά χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας όπως είναι η παραγωγική οργάνωση του περιεχομένου η αποδεικτική διαδικασία και η έμφαση στις γεωμετρικές κατασκευές αναφέρονται συνήθως ως laquoανώτερα επίπεδα γεωμετρικής σκέψηςraquo και η μάθηση τους έχει γίνει αντικείμενο συστηματικής μελέτης και έρευνας Ένα βασικό θεωρητικό μοντέλο στο οποίο έχει στηριχθεί η διεξαγωγή μεγάλου αριθμού ερευνών σε διάφορες χώρες αποτελούν τα λεγόμενα laquoεπίπεδα van Hieleraquo Σύμφωνα με αυτό το μοντέλο η μάθηση της Γεωμετρίας εξελίσσεται ιεραρχικά περνώντας από πέντε διαδοχικά επίπεδα

bull 1ο επίπεδο Εποπτικό

bull 2ο επίπεδο ΠεριγραφικόΑναλυτικό

bull 3ο επίπεδο ΑφηρημένοΣχεσιακό

bull 4ο επίπεδο ΤυπικόΠαραγωγικό

bull 5ο επίπεδο Μεταμαθηματικό

Οι μαθητές κατανοούν τη σημασία και τη διαδικασία οικοδόμησης ενός αξιωματικού μαθηματικού συστήματος και τις σχέσεις ανάμεσα σε διαφορετικά συστήματα Για παράδειγμα αναγνωρίζουν ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία δεν είναι παρά ένας από τους πολλούς δυνατούς τρόπους περιγραφής ενός αφηρημένου μαθηματικού σύμπαντος

Είναι φανερό ότι η διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προϋποθέτει τα δύο πρώτα επίπεδα και έχει ως κύριο σκοπό την κατάκτηση των δύο επόμενων επιπέδων (για το 5ο

μάλλον δεν μπορεί να γίνεται λόγος στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση) Σε θεωρητικό επίπεδο τόσο και η θεωρία των van Hiele όσο και η γενικότερη θεωρία των σταδίων μάθησης του Piaget προβλέπουν ότι η κατάκτηση αυτών των επιπέδων είναι μια επίπονη και ιεραρχικά εξελισσόμενη διαδικασία που απαιτεί μακροχρόνια και προσεχτικά σχεδιασμένη διδασκαλία Αυτές οι θεωρητικές προβλέψεις φαίνεται να επιβεβαιώνονται από πολλές εμπειρικές έρευνες που έχουν διεξαχθεί σε διάφορες χώρες και τα αποτελέσματά τους οδηγούν σε ένα βασικό συμπέρασμα laquo η καθιερωμένη παραδοσιακή διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αδυνατεί να οδηγήσει τους μαθητές στην κατάκτηση των ανώτερων επιπέδων γεωμετρικής σκέψης raquo

Από τα αποτελέσματα αυτών των ερευνών αξίζει νrsquo αναφέρουμε εδώ ένα εντυπωσιακό στατιστικό στοιχείο που αποκαλύπτει τις διαστάσεις του προβλήματος σε μια έρευνα που έγινε στις ΗΠΑ μεταξύ 1520 μαθητών που είχαν ολοκληρώσει ένα έτος διδασκαλίας της θεωρητικής Ευκλείδειας Γεωμετρίας διαπιστώθηκε ότι μόνο το 30 είχε φτάσει σε ένα επίπεδο που μπορεί να χαρακτηριστεί από 75 επιτυχία στην απόδειξη απλών γεωμετρικών προτάσεων (πχ ότι οι διαγώνιες ενός ορθογωνίου είναι ίσες) Το ποσοστό των μαθητών που είχαν 100 επιτυχία δεν ξεπέρασε το 3

31

Κοινή πεποίθηση όλων αυτών των ερευνητών είναι ότι για να κατανοηθούν οι παραγωγικές αποδείξεις της Ευκλείδειας Γεωμετρίας απαιτείται μια ισχυρή διαισθητική βάση την οποία οι μαθητές θα αποκτήσουν μέσα από επαγωγικές εμπειρικές ανακαλύψεις τη διαπίστωση και επαλήθευση υποθέσεων τις γεωμετρικές κατασκευές και εφαρμογές Έτσι λοιπόν η διδασκαλία της Γεωμετρίας δεν θα πρέπει να στηρίζεται σrsquo ένα τεχνητό διαχωρισμό ανάμεσα σε laquoΠρακτική Γεωμετρίαraquo σχεδίασης και μετρήσεων και μια laquoΘεωρητική Γεωμετρίαraquo αποδείξεων αλλά να συνδυάζει μια ισορροπημένη ανάπτυξη των δύο αυτών όψεων του μαθήματος σrsquo όλο το φάσμα της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Η επινόηση διδακτικών μέσων και μεθόδων που θα επιτρέψουν την υλοποίηση αυτού του στόχου φαίνεται ότι αποτελεί σήμερα το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ

Η Γεωμετρία του Ευκλείδη απετέλεσε το θεμέλιο για την ανάπτυξη της laquoδυτικήςraquo επιστήμης και τεχνικής και σ αυτή τη Γεωμετρία στηρίζονται οι προϋποθέσεις της κλασικής Φυσικής από την Αναγέννηση και μετά Μόλις το 19ο αιώνα διαπιστώθηκε όμως (Λάμπερτ Γκάους Μπολυάι Λομπατσέβσκι κά) ότι η ευκλείδεια Γεωμετρία στηρίζεται στην απλοϊκή αντίληψη του επίπεδου χώρου ο οποίος είναι μεν χρήσιμος για την περιοχή που αντιλαμβάνεται με τις αισθήσεις του ένας άνθρωπος αλλά όχι για πολύ μεγάλες τιμές των φυσικών μεγεθών (αποστάσεις ταχύτητες μάζες κτλ) Τότε παύει να ισχύει η επίπεδη αντίληψη και μαζί της η Ευκλείδεια Γεωμετρία επειδή στην πραγματικότητα ο χώρος είναι κυρτός Έτσι η Γεωμετρία συμπληρώνεται με βάση αντιλήψεις που στηρίζονται στον υπερβολικό ελλειπτικό κά χώρο

Σήμερα η γεωμετρία του Ευκλείδη διδάσκεται παγκοσμίως και ανελλιπώς επί 23 αιώνες με τον τιμητικό τίτλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Στη σύγχρονη όμως σχολική γεωμετρία περιλαμβάνονται και υπολογισμοί και μετρήσεις οι οποίες από το έργο του Ευκλείδη απουσιάζουν εντελώς

Η συνολική προσφορά του Ευκλείδη στα Μαθηματικά και τις εφαρμοσμένες τέχνες υπήρξε σημαντικότατη και ταυτόχρονα βάση από την οποία εξόρμησαν οι μεταγενέστεροι μαθηματικοί γεωγράφοι και αστρονόμοι για να οδηγηθούν στο τελικό μαθηματικό θαύμα της Ελληνικής Αρχαιότητας

32

33

ΒΙΟΓΡΑΦΙΑ Ο Αρχιμήδης ήταν ένας από τους μεγάλους μαθηματικούς μηχανικούς και φυσικούς του αρχαίου Ελληνικού χώρου και μια από τις μεγαλύτερες μαθηματικές ευφυΐες του κόσμου Γεννήθηκε έζησε και πέθανε στις Συρακούσες την μεγάλη Ελληνική αποικία της Σικελίας

Πατέρας του Αρχιμήδη ήταν ο αστρονόμος Φειδίας που είχε δεσμούς φιλίας με το βασιλικό γένος των Συρακουσών Ο Αρχιμήδης ταξίδεψε στην Αίγυπτο και ήρθε σε επαφή με τους διαδόχους του Ευκλείδη του Ερατοσθένη και το Δισίθεο ενώ ήταν φίλος και συμμαθητής του Κόνωνα του Σάμιου

Υπήρξε λαμπρό παράδειγμα πρωτότυπου ερευνητή ο οποίος δεν ενδιαφέρθηκε να διευκολύνει τους αρχάριους αλλά ασχολήθηκε κυρίως για την αποκάλυψη νέων αληθειών για δική του ικανοποίηση και των ώριμων ήδη διανοούμενων Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο ενώ η κατανόηση του Ευκλείδη δεν απαιτεί εξαιρετική προηγούμενη γνώση και ευφυΐα τα προϊόντα της μαθηματικής σκέψεως τα οποία πρόκειται τώρα να εξετάσουμε είναι προσιτά αποκλειστικώς και μόνο στην ανάγνωση υψηλής πνευματικής στάθμης

Πήγε στην Αίγυπτο ως εκπαιδευτικός και ήρθε σε επαφή όχι βέβαια με τον Ευκλείδη που είχε στο μεταξύ πεθάνει αλλά με τους διαδόχους του και έκανε στενούς δεσμούς με εξαιρετικούς γεωμετρικούς όπως ο Κόνων ο Σάμιος ο Ερατοσθένης ο Κυρηναίος ο Δισίθεος κλπ από τους οποίους κατόπιν όσα έργα συνέταξε μετά την επιστροφή του στην πατρίδα του

34

Το έργο τουΤο έργο του Αρχιμήδη υπήρξε τεράστιο τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά και η ερευνητική ματιά του κάλυψε πολλούς τομείς γεωμετρία οπτική (κατοπτρική) υδραυλική μηχανική αρχιτεκτονική και την πολιορκητική Συνέδεσε το όνομά του με την γένεση της μηχανικής στην αρχαία Ελλάδα και με την λύση περίφημων μαθηματικών προβλημάτων καθώς και με τις αμυντικές εφευρέσεις του που χρησιμοποιήθηκαν όταν οι Ρωμαίοι πολιορκούσαν την πατρίδα του τις Συρακούσες

Σχολιαστής του έργου του Αρχιμήδη υπήρξε ο Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης (6ος αι μΧ) που καταγόταν από την ελληνική πόλη της Συρίας Ασκαλών

Στον χώρο της εφαρμοσμένης μηχανικής ο Αρχιμήδης επινόησε ιδιοφυείς μηχανές κάθε είδους Εφηύρε τον ρωμαϊκό ζυγό (καντάρι) το τρίσπαστο (ανυψωτική τριπλή τροχαλία) και τον ατέρμονα κοχλία έλιξ του Αρχιμήδους μηχανή άντλησης νερού από ποταμούς και φρέατα (η οποία χρησιμοποιείται ακόμα και στις μέρες μας σε περιοχές της βόρειας Αφρικής) Κατασκεύασε ένα υδραυλικό ρολόι το οποίο υπολόγιζε με μεγάλη ακρίβεια τις ώρες (και ειδοποιούσε για την αλλαγή της ώρας)

Μεγάλη φήμη απέκτησαν οι πολεμικές μηχανές του Αρχιμήδη αρχιτρόνιτο (πυροβόλο ατμού) καταπέλτες άρπαγες (μηχανισμός που ανύψωνε και αναποδογύριζε πλοία) και κάτοπτρα για την καύση των Ρωμαϊκών εχθρικών πλοίων (με παραβολικά κάτοπτρα όπως αποδείχτηκε από τα πειράματα του μηχανικού Ι Σακκά ο οποίος το 1973 απόδειξε τον τρόπο με τον οποίο ο Αρχιμήδης έκαψε τον ρωμαϊκό στόλο) Σύμφωνα με την παράδοση όταν η πόλη μετά από τριετή αντίσταση των ελλήνων κατελήφθη με προδοσία ένας ρωμαίος στρατιώτης σκότωσε τον Έλληνα επιστήμονα ενώ αυτός ήταν προσηλωμένος σε κάποιο γεωμετρικό πρόβλημα ΜΗ ΜΟΥ ΤΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥΣ ΤΑΡΑΤΤΕ πρόλαβε να του απαντήσει ο Έλληνας επιστήμονας

Ο Αρχιμήδης επηρέασε σε μεγάλο βαθμό την ευρωπαϊκή επιστημονική σκέψη καθώς και τους Άραβες επιστήμονες οι οποίοι αντέγραψαν όλα τα έργα του στα αραβικά γλώσσα στην οποία διασώθηκαν αρκετά αφού τα πρωτότυπα είχαν χαθεί

35

Διασωθέντα συγγράμματα

bull Περί σφαίρας και κυλίνδρου Βιβλίο α και βbull Κύκλου μέτρησις Σώζονται τρία θεωρήματαbull Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων (32 θεωρήματα 1 πόρισμα)bull Περί ελίκων (28 θεωρήματα 6 πορίσματα)bull Περί επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων ή Μηχανικά Βιβλ α και βbull Περί μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος (=μέθοδος)bull Βιβλίο λημμάτωνbull Πρόβλημα Βοεικόνbull Κατασκευή πλευράς του περιγραφομένου εις κύκλο επταγώνουbull Ωρολόγιον Αρχιμήδους (Σώζεται στα αραβικά)bull Περί κύκλων εφαπτομένων αλλήλωνbull Αρχαί της Γεωμετρίαςbull Ψαμμίτηςbull Τετραγωνισμός παραβολήςbull Οχουμένων (Υδροστατική)bull Στομάχιον (Σώζονται λίγα αποσπάσματα)

Συγγράμματα μη διασωθέντα (ή συγγράμματα μη αποκαλυφθέντα μέχρι σήμερα)

bull Αριθμητικάbull Βαρουλκός Υδροσκοπίαι Πνευματικήbull Επισίδια Βιβλία (Μάλλον περί στατιστικής - Τζέτζης)bull Περί τριγώνωνbull Περί τετραπλεύρουbull Περί ζευγώνbull Περί 13 ημικανονικών πολυέδρωνbull Ισοπεριμετικάbull Ισορροπίαιbull Καύσις δια κατόπτρων (επ΄ αυτού έγινε επιτυχές πείραμα στο ΝΣ)bull Περί Αρχιτεκτονικήςbull Περί βαρύτητος και ελαφρότητος (Πυκνόμετρα - Αραιόμετρα)bull Περί δρομομέτρων (Οδόμετρα πλοίων)bull Περί κέντρου Βάρους ή Κεντροβαρικάbull Κατοπρικάbull Περί παραλλήλων γραμμώνbull Περί κοίλων και παραβολικών κατόπτρωνbull Προοπτικήbull Στοιχεία μηχανικώνbull Πλινθίδες και Κύλινδροιbull Στοιχεία επί των στηρίξεωνbull Σφαιροποιΐα

36

Εφευρέσεις

bull Αραιόμετρο - Πυκνόμετροbull Αστρονομική συσκευήbull Βαρουλκόςbull Γερανοί (Αρπάγες)bull Καταπέλτεςbull Κάτοπτραbull Κοχλίας ή έλιξbull Οδόμετρο (δρομόμετρο)bull Πλανητάριον (σφαίρα)bull Πολύσπαστον (Βαρούλκο) τρίσπαστοbull Σίφωνbull Στομάχιον (επιτραπέζιο παιγνίδι το πρώτο παζλ)bull Τηλεβόλον Αρχιμήδους bull Χαριστίων (μοχλός)bull Ωρολόγιο υδραυλικό

37

Τα συγγράμματα του Αρχιμήδη που σώθηκαν μέχρι σήμερα είναι τα ακόλουθα Περί σφαίρας και κυλίνδρου Κύκλου μέτρησις περί σφαιροειδέων και κωνοειδέων Περί λίκων Επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων Ψαμμίτης Τετραγωνισμός παραβολής Οχούμενων Στομάχιον Προς Ερατοσθένην Έφοδος Βιβλίον περί λημμάτων Πρόβλημα βοεικόν Αποσπάσματα Μερικά από αυτά διασώθηκαν Πολλά επίσης είναι τα συγγράμματα του που χάθηκαν

Έκανε τα πρώτα βήματα για το μαθηματικό υπολογισμό επιφανειών με ακανόνιστο περίγραμμα και συμμετρικών εκ περιστροφής σωμάτων μέθοδος που εξελίχθηκε τεκμηριώθηκε και ονομάστηκε στην σύγχρονη εποχή laquoΟλοκληρωτικός Λογισμόςraquo υπολόγισε μία προσεγγιστική τιμή για τον άρρητο αριθμό π διατύπωσε το νόμο προεκτάσεις του γενίκευσε την εφαρμογή λέγοντας laquoΔώστε μου σημείο να στηριχθώ και θα κινήσω την γηraquo διατύπωσε την ομώνυμη αρχή για την άνωση του νερού κατασκεύασε διάφορες μηχανές ένα τύπο πολύσπαστου τον κοχλία μία αντλητική μηχανή με την laquoαρχιμήδειον έλικαraquo κά

Η συμβολή του ΑρχιμήδηΗ συμβολή του Αρχιμήδη στην ανάπτυξη της Μηχανικής συνιστάται πέρα από την επινόηση των τροχαλιών του πολύσπαστου και των οδοντωτών τροχών και ενός ιδιόμορφου αντλητικού συγκροτήματος στην έλικα που φέρει το όνομα του Ακόμα στην επακριβή διατύπωση των νόμων των μοχλών και των ισορροπιών ή κέντρα βαρών Εδώ υπάρχει και η περίφημη πρόταση laquo σύμμετρα μεγέθη ισορροπούν σε αποστάσεις αντιστρόφως ανάλογες προς το βάρος τους raquo

Σε σχέση με τους μοχλούς και τις δυνατότητες τους μας αναφέρει τη φράση laquo δος μοι πα στω και ταν γαν κινάσω raquo Απέδειξε στον Ιέρωνα ότι με ένα σύστημα τροχαλιών ndash οδοντωτών τροχών και μοχλών μπορεί να μετακινήσει ένα τεράστιο πλοίο με όλο το πλήρωμα μέσα μόνος του Ήταν ακόμα ο ίδιος που σχεδίασε και επιμελήθηκε τη ναυπήγηση του πλοίου

Ανέλαβε μετά από εντολή του Ιέρωνα την οχύρωση της πόλης και διηύθυνε ο ίδιος την άμυνα της εναντίον των Ρωμαίων

Στην αστρονομία ο Λίβιος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης είναι laquoμοναδικός παρατηρητής του ουρανού και των αστέρων raquo Ο Ίππαρχος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης ασχολήθηκε με τη μελέτη των ηλιοστασίων καθώς και με τον υπολογισμό της διάρκειας του έτους

Ο Μακρόβιος αναφέρει ότι ο Αρχιμήδης ανακάλυψε τις αποστάσεις των πλανητών ενώ στο έργο laquoΨαμμίτηςraquo περιγράφει τη συσκευή μέσω της οποίας μέτρησε τη φαινομενική γωνιακή διάμετρο του ήλιου

38

Ο Κικέρων αναφέρεται με θαυμασμό για τον Αρχιμήδη στα laquoΚατοπτρικάraquo Στα Μαθηματικά που ο ίδιος θεωρούσε ως τα πιο σημαντικά παρουσίασε την μέθοδο του προσδιορισμού του αριθμού π Τελειοποίησε το ελληνικό σύστημα αρίθμησης και παρουσίασε μια μέθοδο παράστασης των πολύ μεγάλων αριθμών Ασχολήθηκε με τη διαφορική Γεωμετρία βρήκε τους τύπους πρόσθεσης και αφαίρεσης τόξων Υπολόγισε το εμβαδόν της σφαίρας και του κυλίνδρου Μελέτησε διάφορα στερεά εκ περιστροφής όπως τα στερεά που παράγονται από περιστροφή έλλειψης υπερβολής και παραβολής γύρω από έναν άξονα

Στη Γεωμετρία το έργο του Αρχιμήδη αποτελείται κατά κύριο λόγο από πρωτότυπες μελέτες σχετικά με τον τετραγωνισμό των καμπυλόγραμμων επίπεδων σχημάτων καθώς και με τον τετραγωνισμό και τον κυβισμό καμπύλων επιφανειών

Τέλος επινόησε στο σύνολό της την Υδροστατική Επιστήμη την οποία ανέπτυξε πλήρως Οι μελέτες του αναπαριστούν ένα σύνολο μαθηματικών και γεωμετρικών επιτευγμάτων το οποίο δεν ξεπέρασε κανείς στην ανθρώπινη ιστορία

Όπως αναφέρει ο Wallis laquo ο Αρχιμήδης αφήνει ένα συγκεκριμένο μυστήριο να καλύπτει τον τρόπο με τον οποίο κατέληγε στα αποτελέσματά του Είναι σαν να είχε καλύψει σκοπίμως τα ίχνη του τα ίχνη των ερευνών του σα να ήταν απρόθυμος να αποκαλύψει το μυστικό της μεθόδου έρευνάς του στους μεταγενέστερους ενώ επιθυμούσε να αποσπάσει τη συναίνεσή τους για τα αποτελέσματά του raquo

Ο ίδιος ο Αρχιμήδης ως φορέας ενός ανώτερου φιλοσοφικού πνεύματος θεωρούσε ταπεινή και ανάξια κάθε τέχνη που εξυπηρετούσε πρακτικές ανάγκες ή αποσκοπούσε στο οικονομικό κέρδος Γι` αυτό και έστρεψε όλη του την προσοχή και τις επιδιώξεις στους καθαρούς στοχασμούς χωρίς να καταδεχτεί να αφήσει κάποιο γραπτό στοιχείο για τις τεχνολογικές του ανακαλύψεις με μοναδική εξαίρεση όσες αναφέρονται στο έργο του laquoπερί σφαιροποιίαςraquo Δεν είναι καθόλου τυχαίο λοιπόν το ότι ο Κικέρων αργότερα βρήκε τον τάφο του και πάνω μία αναπαράσταση ενός κυλίνδρου περιγεγραμμένου σε σφαίρα με μία περιγραφή που έδινε το λόγο του κυλίνδρου προς τη σφαίρα

Σε ποιους τομείς εφαρμόστηκαν οι θεωρίες του Εξαιρετικές του μελέτες και για τη μέθοδο και για το αποτέλεσμα είναι εκείνες που έδωσαν τα εμβαδά Κύκλου Έλλειψης Παραβολής και Έλικας καθώς και τα εμβαδά και τους όγκους των Κυλίνδρων των Κώνων και κυρίως των Σφαιρών

Σημαντικότατη θεωρείται και η ανακάλυψη από τον ίδιο τύπου που δίνει το εμβαδόν τριγώνου από τις πλευρές του και ακόμα η επέκτασή του στα εγγεγραμμένα τετράπλευρα Ο Αρχιμήδης επίσης γνώριζε να κατασκευάζει τη λύση ειδικών τριτοβάθμιων προβλημάτων και μεταξύ αυτών και του Δηλίου Προβλήματος Τις λύσεις αυτές τις έδινε με την τομή δύο κωνικών (Ευτόκιος) Μοναδική είναι η προσφορά του στην ανώτερη μετρική Γεωμετρία Συγκεκριμένα εξέφρασε τους όγκους στερεών εκ περιστροφής κωνικών τομών εφαρμόζοντας απειροστικές μεθόδους ανάλυσης των στερεών αυτών

39

Στη σύγχρονη κλασική γεωμετρία όλο σχεδόν το μετρικό της μέρος οφείλεται στον Αρχιμήδη με αποτέλεσμα αυτή ουσιαστικά να είναι ισορροπημένη μείξη της Ευκλείδειας και της Αρχιμήδειας αρχαίας γεωμετρίας

Έτσι ο σοφός μας αποτελεί ουσιαστικά τον πατέρα της ανώτερης μετρικής γεωμετρίας της αρχαιότητας και ταυτόχρονα την πηγή έμπνευσης των νεώτερων μελετών του διαφορικού και απειροστικού λογισμού

Η πρωτοτυπία και η αποτελεσματικότητα των μελετών του έγιναν αιτία να χαρακτηριστεί από τους ιστορικούς των μαθηματικών ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών και όλων των εθνών

Ρεύμα στα ανάκτορα της Βρετανίας μέσω εφεύρεσης του Αρχιμήδη ( httpkatestimenoblogspotcom201109blog-post_1015html )

laquoΗ Βασίλισσα Ελισάβετ πρόκειται να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση ενός αρχαίου Έλληνα για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Και όταν λέμε αρχαίο Έλληνα εννοούμε τον Αρχιμήδη και όχι τον 90χρονο σύζυγό της Φίλιππο της Ελλάδαςraquo

Με αυτόν τον τίτλο πληροφορεί το βρετανικό κοινό η εφημερίδα ldquoDaily Mailrdquo για την απόφαση της Αυτής Μεγαλειότητας να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση του αρχαίου Έλληνα εφευρέτη Αρχιμήδη από τις Συρακούσες για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Πρόκειται για τη σύγχρονη εκδοχή του ατέρμονα κοχλία της έλικος του Αρχιμήδους όπως έμεινε γνωστή η εφεύρεση και είναι ένας σωληνοειδής κοχλίας που χρησίμευε για την άντληση νερού και την άρδευση καλλιεργημένων εκτάσεων

Η σύγχρονη εκδοχή της εφεύρεσης θα χρησιμοποιεί το νερό που μεταφέρεται από ένα τεχνητό φράγμα για να παράγει υδροηλεκτρική ενέργεια Ο μηχανισμός έχει ήδη μεταφερθεί μέσω του Τάμεση στο Romney Weir στα ανάκτορα του Γουίντσορ Σύμφωνα με το δημοσίευμα της εφημερίδας οι έλικες θα είναι έτοιμες για την παραγωγή ενέργειας τον προσεχή Νοέμβριο ενώ θα μπορούν να καλύψουν πλήρως τις ανάγκες του κάστρου σε ενέργεια μέσα στον επόμενο χρόνο

Εκτός αυτού οι τουρμπίνες είναι σχεδιασμένες ώστε να μην εμποδίζουν την ασφαλή διέλευση σολομού και χελιού μέσα στον ποταμό Τάμεση

Οι laquoέλικες του Αρχιμήδηraquo βάρους 40 τόνων κατασκευάστηκαν από ένα εργοστάσιο στην Ολλανδία και στοίχησαν 700000 λίρες Αγγλίας ενώ το κόστος εγκατάστασής τους θα ξεπεράσει το ένα εκατομμύριο λίρες

40

σε λογική σειρά οι προτάσεις ξεκινώντας από μια μικρή ομάδα αρχικών υποθέσεων Ούτε είναι υποτιμητικό το γεγονός ότι η εξονυχιστική μελέτη των σύγχρονων κριτικών έχουν αποκαλύψει ορισμένα μειονεκτήματα στη δομή της εργασίας του Ευκλείδη Δε θα μπορούσε κανείς να περιμένει μια τέτοια αρχική και κολοσσιαία προσπάθεια με την αξιωματική μέθοδο να μην παρουσιάζει καμία ατέλεια

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη έχουν γραφεί γύρω στο 300 πΧ αλλά το αυθεντικό χειρόγραφο κείμενο του Ευκλείδη δεν διασώζεται Αντίθετα σώζονται δεκάδες αντίγραφα που σε τελική ανάλυση κατάγονται από αυτό Το αρχαιότερο πλήρες αντίγραφο περιέχεται σε έναν χειρόγραφο περγαμηνό κώδικα που φυλάσσεται σήμερα στη Βιβλιοθήκη της Οξφόρδης και χρονολογείται από του έτους 888 ενώ μικρά αποσπάσματα του έργου διασώζονται σε παπύρους προγενέστερης εποχής καθώς και σε ένα παλίμψητο χειρόγραφο του 7ου ή του 8ου

μΧ αι που φυλάσσεται στο Βρετανικό Μουσείο Βλέπουμε λοιπόν ότι το αρχαιότερο χειρόγραφο που περιέχει το πλήρες κείμενο των Στοιχείων του Ευκλείδη χρονολογείται από τα τέλη του 9ου μΧ αι και επομένως απέχει από την εποχή μας όσο απέχει από την εποχή που ο ίδιος ο Ευκλείδης έγραψε το έργο

Όλες οι σύγχρονες εκδόσεις στηρίζονται σε μια επανέκδοση που έκανε ο Θεωνάς από την Αλεξάνδρεια ένας Έλληνας σχολιαστής που έζησε εφτακόσια περίπου χρόνια μετά τον Ευκλείδη Μόνο στις αρχές του 19ου αιώνα ανακαλύφθηκε ένα παλιότερο αντίγραφο Στα 1808 όταν ο Ναπολέοντας διέταξε να μεταφερθούν όλα τα αξιόλογα χειρόγραφα από τις ιταλικές βιβλιοθήκες στο Παρίσι ο Φ Πέιραρντ (F Peyrard) ανακάλυψε στη βιβλιοθήκη του Βατικανού ένα αντίγραφο των Στοιχείων από έκδοση προγενέστερη από του Θεωνά Η μελέτη όμως αυτής της παλιότερης έκδοσης αποκάλυψε δευτερεύουσες μόνο διαφορές από τον Θεωνά

Οι πρώτες πλήρεις μεταφράσεις των Στοιχείων στα λατινικά δεν έγιναν από τα ελληνικά αλλά από τα αραβικά Τον 8ο αιώνα οι Άραβες μετέφρασαν έναν αριθμό βυζαντινών χειρογράφων με ελληνικές εργασίες και στα 1120 ο Άγγλος μελετητής Άντελαρντ (Adelard) από το Μπαθ μετέφρασε τα Στοιχεία στα λατινικά χρησιμοποιώντας μια απ αυτές τις παλιότερες αραβικές μεταφράσεις Άλλες λατινικές μεταφράσεις από τα αραβικά έκαναν ο Γκεράρντο από την Κρεμώνα (Gherardo 1114-1187) και 150 χρόνια μετά τον Άντελαρντ ο Γιοχάννες Καμπάνους (Johannes Campanus) Η πρώτη τυπωμένη έκδοση των Στοιχείων έγινε στη Βενετία στα 1482 η έκδοση αυτή ήταν η μετάφραση του Καμπάνους Αυτό το πολύ σπάνιο βιβλίο ήταν θαυμάσια τυπωμένο και ήταν το πρώτο αξιόλογο μαθηματικό βιβλίο που τυπώθηκε Μια σημαντική λατινική μετάφραση από τα ελληνικά έγινε από τον Κομμαντίνο (Commandino) στα 1572 Αυτή η μετάφραση χρησιμοποιήθηκε ως βάση για πολλές άλλες μεταφράσεις που ακολούθησαν ανάμεσα σ αυτές και η εργασία του Ρόμπερτ Σίμσον (Robert Simson) που άσκησε σημαντική επιρροή και αποτέλεσε με τη σειρά της τη βάση για πάρα πολλές αγγλικές εκδόσεις

24

Αναλυτική περιγραφή των laquo στοιχείων raquo

Ειδικότερα το πρώτο βιβλίο αναφέρεται σε τεμνόμενες και παράλληλες ευθείες στην ισότητα ευθύγραμμων σχημάτων και στο τέλος το πυθαγόρειο θεώρημα Στο 2ο βιβλίο αναφέρονται συνέπειες από το πυθαγόρειο θεώρημα και γίνονται μετασχηματισμοί ευθύγραμμων σχημάτων σε ισοδύναμα τετράγωνα Εδώ περιέχεται και το πρόβλημα

της laquoχρυσής τομήςraquo Πολλές από τις προτάσεις αυτού μπορούν με σύγχρονους συμβολισμούς να πάρουν μορφή αλγεβρική γιrsquo αυτό έχει επικρατήσει να λέγεται για το 2ο βιβλίο ότι εισάγει τη laquoγεωμετρική άλγεβραraquo Στο 3ο βιβλίο εξετάζεται ο κύκλος και στο τέταρτο βιβλίο λύνονται προβλήματα σχετικά με τα εγγεγραμμένα στον κύκλο κανονικά πολύγωνα Στο 5ο βιβλίο σπουδάζεται η laquoθεωρία των λόγωνraquo του Ευδόξου Πρόκειται ουσιαστικά για τη θεωρία των πραγματικών αριθμών δοσμένη όμως σε μορφή γεωμετρική Το 6ο βιβλίο ασχολείται με την ομοιότητα επίπεδων σχημάτων και σrsquo αυτά αποδεικνύεται ότι από όλα τα ορθογώνια με δοσμένη περίμετρο το τετράγωνο έχει το μέγιστο εμβαδόν Στα βιβλία 7ο-9ο που αφορούν στην αριθμοθεωρία είναι εκπληκτικό πώς με παντελή μπορεί να πει κανείς έλλειψη συμβολισμών (αριθμοί δεν αναγράφονται) κατορθώνεται μια ακροβασία στην αλληλουχία των συλλογισμών που καταλήγει σε πολύ ενδιαφέροντα αριθμητικά αποτελέσματα Ειδικότερα στο 7ο βιβλίο μελετιούνται οι άρτιοι και οι περιττοί αριθμοί οι πρώτοι και οι σύνθετοι καθώς και οι τέλειοι εξετάζονται διάφορα προβλήματα διαιρετότητας ορίζεται το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο αριθμών (ΕΚΠ) καθώς και ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης τους και δίνεται η μέθοδος προσδιορισμού του που ονομάστηκε laquoΕυκλείδειος Αλγόριθμοςraquo Στα δύο επόμενα βιβλία εξακολουθεί η σπουδή αριθμοθεωρητικών θεμάτων στο 8ο εισάγονται επίσης και μελετιούνται οι γεωμετρικές πρόοδοι και στο 9ο έχουν συμπεριληφθεί τρεις σημαντικότατες προτάσεις Πρόκειται για α) το αποκαλούμενο laquoθεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικήςraquo β) την απόφανση ότι υπάρχουν απειράριθμοι πρώτοι και γ) την πρόταση που οδηγεί σε ένα γενικό τύπο που παρέχει άρτιους τέλειους αριθμούς Στο 10ο βιβλίο που αποτελεί ένα από τα ωραιότερα μέρη των Στοιχείων γίνεται μια ταξινόμηση των τετραγωνικών άρρητων και των τετραγωνικών ριζών τους και κατασκευάζεται ένα σύνολο ασύμμετρων μεγεθών το οποίο μαζί με το σύνολο των ρητών συναποτελεί επέκταση αυτού του τελευταίου τέτοια ώστε κάθε στοιχείο της να είναι κατασκευασμένο με κανόνα και διαβήτη Τέλος τα βιβλία της στερεομετρίας το 11ο βιβλίο ασχολείται με θεμελιώδεις σχέσεις μεταξύ ευθειών και επιπέδων καθώς και με τις στερεές γωνίες στο 12ο αναφέρεται σε επιφάνειες και όγκους στερεών και στο 13ο γίνεται η μελέτη της σφαίρας σε συσχετισμό με τα εγγεγραμμένα σε αυτήν κανονικά πολύεδρα

25

Άλλα έργα

bull Δεδομένα (94 θεωρήματα) έργο ανώτερης γεωμετρίας Στο έργο αυτό περιέχονται προτάσεις σε σχήματα στα οποία δίνονται ορισμένα στοιχεία τους κατά σχήμα θέση ή μέγεθος

bull Περί διαιρέσεων (36 προτάσεις) με περιεχόμενό του τη διαίρεση σχημάτων με δοσμένη σχέση

bull Πορίσματα (3 βιβλία που χάθηκαν) σώθηκαν ορισμένα αποσπάσματα που το 1860 έγινε απόπειρα ανασύνθεσής τους από τον Πάππο

bull Οπτικά-κατοπτρικά αντίστοιχα γεωμετρική οπτική ανάκλαση του φωτός πάνω σε επίπεδο κάτοπτρο

bull Φαινόμενα εγχειρίδιο κοσμογραφίας απλές προτάσεις για τη σφαίρα

bull Κατατομή κανόνος στοιχεία πυθαγόρεια θεωρία μουσικής

bull Ψευδάρεια laquoπαράδοξαraquo με στόχο να ασκηθούν οι σπουδαστές στην ανεύρεση λογικών σφαλμάτων κατά τις αποδείξεις

bull Κωνικαί τομαί Μηχανικά δεν γνωρίζουμε τίποτα γιrsquo αυτά τα έργα

Αιτήματα του Ευκλείδη

Τα αιτήματα είναι αρχικές προτάσεις οι οποίες προσιδιάζουν στη συγκεκριμένη κάθε φορά επιστήμη στην προκειμένη περίπτωση στη Γεωμετρία Ο Ευκλείδης διατυπώνει 5 αιτήματα

1 Ζητείται να γίνει δεκτό ότι από οποιοδήποτε σημείο σε οποιοδήποτε σημείο άγεται ευθεία γραμμή

2 Και (ότι) πεπερασμένη ευθεία προεκτείνεται σε ευθεία κατά συνεχή τρόπο

3 Και (ότι) με οποιοδήποτε κέντρο και διάστημα γράφεται κύκλος

4 Και (ότι) όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους

5 Και αν η ευθεία η οποία τέμνει δύο ευθείες σχηματίζει δύο εντός και επί τrsquo αυτά μέρη γωνίες μικρότερες των δύο ορθών τότε οι δύο ευθείες προεκτεινόμενες επrsquo απείρου συναντώνται προς εκείνα τα μέρη τους όπου βρίσκονται μικρότερες των δύο ορθών

Ακολουθούν τα laquoαιτήματαraquo διατυπωμένα σε αρχαίο κείμενο όπως αυτά βρίσκονται στο Βιβλίο Ι

26

Ο ρόλος των τριών πρώτων από τα αιτήματα αυτά είναι να εξασφαλίσουν τη νομιμότητα των κατασκευών της ευθείας και του κύκλου και κατά συνέπεια εκείνων και μόνο των γραμμών και των γεωμετρικών σχημάτων που κατασκευάζονται με πεπερασμένο αριθμό βημάτων από τα δύο αυτά βασικά σχήματα Στα Στοιχεία επομένως δεν έχουν θέση καμπύλες όπως είναι οι κωνικές τομές τη τετραγωνίζουσα κλπ ή κατασκευές όπως κατασκευές νεύσεως Η φύση των δύο τελευταίων αιτημάτων είναι διαφορετική Αποσκοπούν να δηλώσουν ότι κάποια γεωμετρικά σχήματα έχουν ορισμένες ειδικές ιδιότητες

Πολλοί ιστορικοί των μαθηματικών έχουν ασχοληθεί κατά το παρελθόν με το ερώτημα εάν τα αξιώματα του Ευκλείδη ικανοποιούν τις σύγχρονες απαιτήσεις (πληρότητα συνέπεια ανεξαρτησία) ενός αξιωματικού συστήματος Από την προσεκτική μελέτη των αποδείξεων κι των κατασκευών που περιέχονται στα Στοιχεία προκύπτει ότι ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί μερικές φορές απόρρητες παραδοχές οι οποίες δεν περιλαμβάνονται στα αξιώματα Επομένως το σύστημα των αξιωμάτων του δεν ικανοποιεί την απαίτηση της πληρότητας

Μεγάλο ιστορικό ενδιαφέρον εξάλλου έχει το ερώτημα της ανεξαρτησίας των αιτημάτων του Ευκλείδη ιδιαίτερα σε ότι αφορά το πέμπτο από αυτά Το αίτημα αυτό αναφέρεται συχνά και ως laquoαίτημα των παραλλήλωνraquo γιατί μια ισοδύναμη διατύπωσή του είναι η εξής από ένα σημείο εκτός ευθείας άγεται μια μόνο παράλληλη προς τη ευθεία Πολλοί μαθηματικοί από την αρχαιότητα έως τα μέσα του 18ου αιώνα προσπάθησαν να εξαγάγουν το αίτημα αυτό από τα άλλα αιτήματα όλες οι προσπάθειες όμως απέβησαν άκαρπες Από τα τέλη του 18ου αιώνα η προσδοκώμενη εξάρτηση του αιτήματος επιχειρήθηκε να αποδειχτεί με έμμεσο τρόπο Η σκέψη ήταν η εξής αν το αίτημα των παραλλήλων μπορεί να εξαχθεί από τα άλλα τέσσερα αιτήματα μαζί με την άρνηση του πέμπτου θα πρέπει να οδηγούν σε αντίφαση Το νέο σύστημα αξιωμάτων όμως αντί να οδηγήσει σε αντίφαση αποδείχτηκε ότι παράγει συνέπειες μαθηματικές θεωρίες Έτσι ανακαλύφθηκαν οι λεγόμενες μη ευκλείδειες γεωμετρίες και ταυτόχρονα αποδείχθηκε η ανεξαρτησία των αιτημάτων του Ευκλείδη

27

Ας δούμε τώρα την διατύπωση και την απόδειξη της πρότασης (5) που περιέχεται στο Βιβλίο Ι των laquoστοιχείωνraquo και αναφέρεται στη γνωστή μας πρόταση της ισότητας των παρά τη βάση γωνιών ισοσκελούς τριγώνου

28

Γιατί διδάσκουμε το μάθημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στο ζήτημα της laquoχρησιμότηταςraquo των σχολικών Μαθηματικών θα μπορούσε κανείς να αντιπαραθέσει (και πράγματι αντιπαρατέθηκαν) πολλές διαφορετικές απόψεις Εμείς θα παραθέσουμε απλώς ένα απόσπασμα από τις αυτοβιογραφικές σημειώσεις του Albert Einstein το οποίο δείχνει μια άλλη τελείως διαφορετική αντίληψη σχετικά με την laquoχρησιμότηταraquo της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Γράφοντας για τα γεγονότα της παιδικής και εφηβικής του ζωής που είχαν μεγάλη επίδραση στην μετέπειτα εξέλιξη του ο Einstein σημειώνει

Σε ηλικία 12 ετών δοκίμασα μια δεύτερη τελείως διαφορετική έκπληξη σε ένα μικρό βιβλίο Ευκλείδειας επίπεδης γεωμετρίαςhellip Εδώ υπήρχαν ισχυρισμοί όπως για παράδειγμα τα τρία ύψη ενός τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο οι οποίοι - αν και καθόλου προφανείς - μπορούσαν ωστόσο να αποδειχτούν με τέτοια βεβαιότητα ώστε να μην χωρεί η παραμικρή αμφιβολία Αυτή η σαφήνεια και βεβαιότητα μου προξένησαν μια εντύπωση που δεν μπορεί να περιγραφεί Το γεγονός ότι τα αξιώματα έπρεπε να γίνουν δεκτά χωρίς απόδειξη δεν με ενόχλησε Σε κάθε περίπτωση μου αρκούσε πλήρως το γεγονός ότι μπορούσαν να στηρίζω τις αποδείξεις σε προτάσεις η εγκυρότητα των οποίων ήταν για μένα αναμφισβήτητη

Η περίπτωση του Einstein του επιστήμονα που άλλαξε ριζικά τις αντιλήψεις μας και την γεωμετρική δομή του σύμπαντος αποκαλύπτει την σπουδαιότητα ορισμένων παιδαγωγικών σκοπών και τη συνάφειά τους με το ερώτημα που θέσαμε ως τίτλο αυτής της ενότητας καλλιέργεια και ανάπτυξη της συγκροτημένης σκέψης μύηση στην επιστημονική μέθοδο μελέτες του κόσμου Αυτοί οι σκοποί παρόλη τη γενικότητά τους συνδέονται άμεσα με τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας που άσκησαν καθοριστική επίδραση στο νεαρό Einstein τα οποία είναι

bull Σαφήνεια στην έκθεση

bull Ολοκληρωτική απόδειξη κάθε υπόθεσης

bull Απόλυτη συνάφεια σχημάτων και συλλογισμών

bull Τάξη και ομορφιά

Αν τα στοιχεία αυτά αποτελούν ουσιώδη συστατικά της μαθηματικής παιδείας τότε παρέχουν κατά την άποψή μας μια αυτονόητη απάντηση στο ερώτημα laquoΓιατί διδάσκουμε την Ευκλείδεια Γεωμετρίαraquo

Αντιλήψεις και αντιπαραθέσεις για τη διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Οι ένθερμοι υποστηρικτές της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προβάλλουν την παιδαγωγική αξία της λογικής και διάφανης επιχειρηματολογίας των γεωμετρικών αποδείξεων ενώ οι πολέμιοί της επικαλούνται την αναμφισβήτητη δυσκολία των περισσότερων μαθητών να κατανοήσουν τις γεωμετρικές έννοιες και τις πολύ χαμηλές επιδόσεις τους στην αντιμετώπιση σχετικών προβλημάτων Ενδιάμεσα βρίσκονται συνήθως οι σκεπτικιστές οι οποίοι επισημαίνουν τον περιορισμένο επιστημολογικά ρόλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και την ανάγκη να ανανεωθεί η διδασκαλία των Μαθηματικών δίνοντας μεγαλύτερη έμφαση σε πιο σύγχρονους και laquoχρήσιμουςraquo κλάδους (πχ Πιθανότητες και Στατιστική) Από την εποχή που ο Dieudonne κήρυξε τον πόλεμο κατά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας οι αντιλήψεις

29

αυτές έγιναν αντικείμενο επεξεργασίας και αντιπαρατέθηκαν μεταξύ τους από σημαντικούς μαθηματικούς και παιδαγωγούς ενώ οι σχετικές συζητήσεις συνεχίζονται με αμείωτη ένταση μέχρι σήμερα Σε μια ειδική μελέτη της Διεθνούς Επιτροπής για τη Μαθηματική Εκπαίδευση (ICMI) έγινε απόπειρα σύνθεσης των διαφόρων τάσεων και διατυπώθηκαν οι εξής τρεις εναλλακτικές λύσεις για τη διδασκαλία του μαθήματος

1 η λύση

Απορρίπτουμε την ιδέα ότι η Γεωμετρία πρέπει ή μπορεί να χρησιμοποιηθεί στο σχολείο ως ένα σύστημα γνώσεων (παραγωγικά οργανωμένο ή όχι) όπου οι έννοιες και τα γεγονότα πρέπει να γίνουν γνωστά απλά και μόνο επειδή ανήκουν στο σύστημα Αντίθετα η Γεωμετρία και ο χώρος θεωρούνται ως πηγές άντλησης εξαιρετικών θεμάτων για την οργάνωση πολλαπλών δραστηριοτήτων σε διαφορετικά επίπεδα Οι laquoχρησιμοθηρικέςraquo όψεις της Γεωμετρίας θα εξυπηρετηθούν με την παροχή αλγεβρικών μεθόδων

2 η λύση

Εξακολουθούμε να επιχειρούμε τη διδασκαλία ενός αξιωματικού ή ψευδο-αξιωματικού μαθήματος σχολικής Γεωμετρίας το οποίο στηρίζεται είτε σε laquoτροποποίησηraquo των laquoΣτοιχείωνraquo του Ευκλείδη (για παράδειγμα αξιωματική θεμελίωση τύπου Pogorelov) είτε πχ στους γεωμετρικούς σχηματισμούς

3 η λύση

Για ορισμένες ομάδες μαθητών τουλάχιστον παρουσιάζουμε laquoνησίδεςraquo Γεωμετρίας δηλαδή laquoτοπικάraquo παραγωγικά συστήματα μέσα στο πλαίσιο του γενικού αναλυτικού προγράμματος (Έτσι μπορούμε για παράδειγμα να έχουμε ενότητες για τις ιδιότητες των εγγεγραμμένων σε κύκλο γωνιών ή τη στοιχειώδη προβολική Γεωμετρία)

Στην Ελλάδα για προφανείς ιστορικούς και πολιτιστικούς λόγους συνεχίζεται μια παράδοση που προσεγγίζεται εγγύτατα τη δεύτερη από τις προηγούμενες εναλλακτικές λύσεις Ακόμη και την περίοδο της μεταρρύθμισης των laquoΝέων Μαθηματικώνraquo η διεθνής πίεση για εκσυγχρονισμό των σχολικών Μαθηματικών και εγκατάλειψη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αφομοιώθηκε στη χώρα μας μέσα από έναν ιδιότυπο συμβιβασμό από τη μια μεριά διατηρήθηκε όλη η παραδοσιακή σχολική ύλη την οποία σε μεγάλο βαθμό συντηρούσαν οι εισαγωγικές εξετάσεις των ΑΕΙ και από την άλλη δόθηκε υπερβολική έμφαση στην αυστηρή αξιωματική θεμελίωσης της Γεωμετρίας καθώς και με την εισαγωγή νέας ύλης πάνω στους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς Στις αντιφατικές επιλογές εκείνης της περιόδου βρίσκονται κατά την άποψη μας οι ρίζες της μετέπειτα υποβάθμισης και παρακμής του μαθήματος της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

30

Το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στη σύγχρονη Διδακτική των Μαθηματικών τα θεμελιώδη επιστημολογικά χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας όπως είναι η παραγωγική οργάνωση του περιεχομένου η αποδεικτική διαδικασία και η έμφαση στις γεωμετρικές κατασκευές αναφέρονται συνήθως ως laquoανώτερα επίπεδα γεωμετρικής σκέψηςraquo και η μάθηση τους έχει γίνει αντικείμενο συστηματικής μελέτης και έρευνας Ένα βασικό θεωρητικό μοντέλο στο οποίο έχει στηριχθεί η διεξαγωγή μεγάλου αριθμού ερευνών σε διάφορες χώρες αποτελούν τα λεγόμενα laquoεπίπεδα van Hieleraquo Σύμφωνα με αυτό το μοντέλο η μάθηση της Γεωμετρίας εξελίσσεται ιεραρχικά περνώντας από πέντε διαδοχικά επίπεδα

bull 1ο επίπεδο Εποπτικό

bull 2ο επίπεδο ΠεριγραφικόΑναλυτικό

bull 3ο επίπεδο ΑφηρημένοΣχεσιακό

bull 4ο επίπεδο ΤυπικόΠαραγωγικό

bull 5ο επίπεδο Μεταμαθηματικό

Οι μαθητές κατανοούν τη σημασία και τη διαδικασία οικοδόμησης ενός αξιωματικού μαθηματικού συστήματος και τις σχέσεις ανάμεσα σε διαφορετικά συστήματα Για παράδειγμα αναγνωρίζουν ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία δεν είναι παρά ένας από τους πολλούς δυνατούς τρόπους περιγραφής ενός αφηρημένου μαθηματικού σύμπαντος

Είναι φανερό ότι η διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προϋποθέτει τα δύο πρώτα επίπεδα και έχει ως κύριο σκοπό την κατάκτηση των δύο επόμενων επιπέδων (για το 5ο

μάλλον δεν μπορεί να γίνεται λόγος στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση) Σε θεωρητικό επίπεδο τόσο και η θεωρία των van Hiele όσο και η γενικότερη θεωρία των σταδίων μάθησης του Piaget προβλέπουν ότι η κατάκτηση αυτών των επιπέδων είναι μια επίπονη και ιεραρχικά εξελισσόμενη διαδικασία που απαιτεί μακροχρόνια και προσεχτικά σχεδιασμένη διδασκαλία Αυτές οι θεωρητικές προβλέψεις φαίνεται να επιβεβαιώνονται από πολλές εμπειρικές έρευνες που έχουν διεξαχθεί σε διάφορες χώρες και τα αποτελέσματά τους οδηγούν σε ένα βασικό συμπέρασμα laquo η καθιερωμένη παραδοσιακή διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αδυνατεί να οδηγήσει τους μαθητές στην κατάκτηση των ανώτερων επιπέδων γεωμετρικής σκέψης raquo

Από τα αποτελέσματα αυτών των ερευνών αξίζει νrsquo αναφέρουμε εδώ ένα εντυπωσιακό στατιστικό στοιχείο που αποκαλύπτει τις διαστάσεις του προβλήματος σε μια έρευνα που έγινε στις ΗΠΑ μεταξύ 1520 μαθητών που είχαν ολοκληρώσει ένα έτος διδασκαλίας της θεωρητικής Ευκλείδειας Γεωμετρίας διαπιστώθηκε ότι μόνο το 30 είχε φτάσει σε ένα επίπεδο που μπορεί να χαρακτηριστεί από 75 επιτυχία στην απόδειξη απλών γεωμετρικών προτάσεων (πχ ότι οι διαγώνιες ενός ορθογωνίου είναι ίσες) Το ποσοστό των μαθητών που είχαν 100 επιτυχία δεν ξεπέρασε το 3

31

Κοινή πεποίθηση όλων αυτών των ερευνητών είναι ότι για να κατανοηθούν οι παραγωγικές αποδείξεις της Ευκλείδειας Γεωμετρίας απαιτείται μια ισχυρή διαισθητική βάση την οποία οι μαθητές θα αποκτήσουν μέσα από επαγωγικές εμπειρικές ανακαλύψεις τη διαπίστωση και επαλήθευση υποθέσεων τις γεωμετρικές κατασκευές και εφαρμογές Έτσι λοιπόν η διδασκαλία της Γεωμετρίας δεν θα πρέπει να στηρίζεται σrsquo ένα τεχνητό διαχωρισμό ανάμεσα σε laquoΠρακτική Γεωμετρίαraquo σχεδίασης και μετρήσεων και μια laquoΘεωρητική Γεωμετρίαraquo αποδείξεων αλλά να συνδυάζει μια ισορροπημένη ανάπτυξη των δύο αυτών όψεων του μαθήματος σrsquo όλο το φάσμα της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Η επινόηση διδακτικών μέσων και μεθόδων που θα επιτρέψουν την υλοποίηση αυτού του στόχου φαίνεται ότι αποτελεί σήμερα το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ

Η Γεωμετρία του Ευκλείδη απετέλεσε το θεμέλιο για την ανάπτυξη της laquoδυτικήςraquo επιστήμης και τεχνικής και σ αυτή τη Γεωμετρία στηρίζονται οι προϋποθέσεις της κλασικής Φυσικής από την Αναγέννηση και μετά Μόλις το 19ο αιώνα διαπιστώθηκε όμως (Λάμπερτ Γκάους Μπολυάι Λομπατσέβσκι κά) ότι η ευκλείδεια Γεωμετρία στηρίζεται στην απλοϊκή αντίληψη του επίπεδου χώρου ο οποίος είναι μεν χρήσιμος για την περιοχή που αντιλαμβάνεται με τις αισθήσεις του ένας άνθρωπος αλλά όχι για πολύ μεγάλες τιμές των φυσικών μεγεθών (αποστάσεις ταχύτητες μάζες κτλ) Τότε παύει να ισχύει η επίπεδη αντίληψη και μαζί της η Ευκλείδεια Γεωμετρία επειδή στην πραγματικότητα ο χώρος είναι κυρτός Έτσι η Γεωμετρία συμπληρώνεται με βάση αντιλήψεις που στηρίζονται στον υπερβολικό ελλειπτικό κά χώρο

Σήμερα η γεωμετρία του Ευκλείδη διδάσκεται παγκοσμίως και ανελλιπώς επί 23 αιώνες με τον τιμητικό τίτλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Στη σύγχρονη όμως σχολική γεωμετρία περιλαμβάνονται και υπολογισμοί και μετρήσεις οι οποίες από το έργο του Ευκλείδη απουσιάζουν εντελώς

Η συνολική προσφορά του Ευκλείδη στα Μαθηματικά και τις εφαρμοσμένες τέχνες υπήρξε σημαντικότατη και ταυτόχρονα βάση από την οποία εξόρμησαν οι μεταγενέστεροι μαθηματικοί γεωγράφοι και αστρονόμοι για να οδηγηθούν στο τελικό μαθηματικό θαύμα της Ελληνικής Αρχαιότητας

32

33

ΒΙΟΓΡΑΦΙΑ Ο Αρχιμήδης ήταν ένας από τους μεγάλους μαθηματικούς μηχανικούς και φυσικούς του αρχαίου Ελληνικού χώρου και μια από τις μεγαλύτερες μαθηματικές ευφυΐες του κόσμου Γεννήθηκε έζησε και πέθανε στις Συρακούσες την μεγάλη Ελληνική αποικία της Σικελίας

Πατέρας του Αρχιμήδη ήταν ο αστρονόμος Φειδίας που είχε δεσμούς φιλίας με το βασιλικό γένος των Συρακουσών Ο Αρχιμήδης ταξίδεψε στην Αίγυπτο και ήρθε σε επαφή με τους διαδόχους του Ευκλείδη του Ερατοσθένη και το Δισίθεο ενώ ήταν φίλος και συμμαθητής του Κόνωνα του Σάμιου

Υπήρξε λαμπρό παράδειγμα πρωτότυπου ερευνητή ο οποίος δεν ενδιαφέρθηκε να διευκολύνει τους αρχάριους αλλά ασχολήθηκε κυρίως για την αποκάλυψη νέων αληθειών για δική του ικανοποίηση και των ώριμων ήδη διανοούμενων Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο ενώ η κατανόηση του Ευκλείδη δεν απαιτεί εξαιρετική προηγούμενη γνώση και ευφυΐα τα προϊόντα της μαθηματικής σκέψεως τα οποία πρόκειται τώρα να εξετάσουμε είναι προσιτά αποκλειστικώς και μόνο στην ανάγνωση υψηλής πνευματικής στάθμης

Πήγε στην Αίγυπτο ως εκπαιδευτικός και ήρθε σε επαφή όχι βέβαια με τον Ευκλείδη που είχε στο μεταξύ πεθάνει αλλά με τους διαδόχους του και έκανε στενούς δεσμούς με εξαιρετικούς γεωμετρικούς όπως ο Κόνων ο Σάμιος ο Ερατοσθένης ο Κυρηναίος ο Δισίθεος κλπ από τους οποίους κατόπιν όσα έργα συνέταξε μετά την επιστροφή του στην πατρίδα του

34

Το έργο τουΤο έργο του Αρχιμήδη υπήρξε τεράστιο τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά και η ερευνητική ματιά του κάλυψε πολλούς τομείς γεωμετρία οπτική (κατοπτρική) υδραυλική μηχανική αρχιτεκτονική και την πολιορκητική Συνέδεσε το όνομά του με την γένεση της μηχανικής στην αρχαία Ελλάδα και με την λύση περίφημων μαθηματικών προβλημάτων καθώς και με τις αμυντικές εφευρέσεις του που χρησιμοποιήθηκαν όταν οι Ρωμαίοι πολιορκούσαν την πατρίδα του τις Συρακούσες

Σχολιαστής του έργου του Αρχιμήδη υπήρξε ο Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης (6ος αι μΧ) που καταγόταν από την ελληνική πόλη της Συρίας Ασκαλών

Στον χώρο της εφαρμοσμένης μηχανικής ο Αρχιμήδης επινόησε ιδιοφυείς μηχανές κάθε είδους Εφηύρε τον ρωμαϊκό ζυγό (καντάρι) το τρίσπαστο (ανυψωτική τριπλή τροχαλία) και τον ατέρμονα κοχλία έλιξ του Αρχιμήδους μηχανή άντλησης νερού από ποταμούς και φρέατα (η οποία χρησιμοποιείται ακόμα και στις μέρες μας σε περιοχές της βόρειας Αφρικής) Κατασκεύασε ένα υδραυλικό ρολόι το οποίο υπολόγιζε με μεγάλη ακρίβεια τις ώρες (και ειδοποιούσε για την αλλαγή της ώρας)

Μεγάλη φήμη απέκτησαν οι πολεμικές μηχανές του Αρχιμήδη αρχιτρόνιτο (πυροβόλο ατμού) καταπέλτες άρπαγες (μηχανισμός που ανύψωνε και αναποδογύριζε πλοία) και κάτοπτρα για την καύση των Ρωμαϊκών εχθρικών πλοίων (με παραβολικά κάτοπτρα όπως αποδείχτηκε από τα πειράματα του μηχανικού Ι Σακκά ο οποίος το 1973 απόδειξε τον τρόπο με τον οποίο ο Αρχιμήδης έκαψε τον ρωμαϊκό στόλο) Σύμφωνα με την παράδοση όταν η πόλη μετά από τριετή αντίσταση των ελλήνων κατελήφθη με προδοσία ένας ρωμαίος στρατιώτης σκότωσε τον Έλληνα επιστήμονα ενώ αυτός ήταν προσηλωμένος σε κάποιο γεωμετρικό πρόβλημα ΜΗ ΜΟΥ ΤΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥΣ ΤΑΡΑΤΤΕ πρόλαβε να του απαντήσει ο Έλληνας επιστήμονας

Ο Αρχιμήδης επηρέασε σε μεγάλο βαθμό την ευρωπαϊκή επιστημονική σκέψη καθώς και τους Άραβες επιστήμονες οι οποίοι αντέγραψαν όλα τα έργα του στα αραβικά γλώσσα στην οποία διασώθηκαν αρκετά αφού τα πρωτότυπα είχαν χαθεί

35

Διασωθέντα συγγράμματα

bull Περί σφαίρας και κυλίνδρου Βιβλίο α και βbull Κύκλου μέτρησις Σώζονται τρία θεωρήματαbull Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων (32 θεωρήματα 1 πόρισμα)bull Περί ελίκων (28 θεωρήματα 6 πορίσματα)bull Περί επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων ή Μηχανικά Βιβλ α και βbull Περί μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος (=μέθοδος)bull Βιβλίο λημμάτωνbull Πρόβλημα Βοεικόνbull Κατασκευή πλευράς του περιγραφομένου εις κύκλο επταγώνουbull Ωρολόγιον Αρχιμήδους (Σώζεται στα αραβικά)bull Περί κύκλων εφαπτομένων αλλήλωνbull Αρχαί της Γεωμετρίαςbull Ψαμμίτηςbull Τετραγωνισμός παραβολήςbull Οχουμένων (Υδροστατική)bull Στομάχιον (Σώζονται λίγα αποσπάσματα)

Συγγράμματα μη διασωθέντα (ή συγγράμματα μη αποκαλυφθέντα μέχρι σήμερα)

bull Αριθμητικάbull Βαρουλκός Υδροσκοπίαι Πνευματικήbull Επισίδια Βιβλία (Μάλλον περί στατιστικής - Τζέτζης)bull Περί τριγώνωνbull Περί τετραπλεύρουbull Περί ζευγώνbull Περί 13 ημικανονικών πολυέδρωνbull Ισοπεριμετικάbull Ισορροπίαιbull Καύσις δια κατόπτρων (επ΄ αυτού έγινε επιτυχές πείραμα στο ΝΣ)bull Περί Αρχιτεκτονικήςbull Περί βαρύτητος και ελαφρότητος (Πυκνόμετρα - Αραιόμετρα)bull Περί δρομομέτρων (Οδόμετρα πλοίων)bull Περί κέντρου Βάρους ή Κεντροβαρικάbull Κατοπρικάbull Περί παραλλήλων γραμμώνbull Περί κοίλων και παραβολικών κατόπτρωνbull Προοπτικήbull Στοιχεία μηχανικώνbull Πλινθίδες και Κύλινδροιbull Στοιχεία επί των στηρίξεωνbull Σφαιροποιΐα

36

Εφευρέσεις

bull Αραιόμετρο - Πυκνόμετροbull Αστρονομική συσκευήbull Βαρουλκόςbull Γερανοί (Αρπάγες)bull Καταπέλτεςbull Κάτοπτραbull Κοχλίας ή έλιξbull Οδόμετρο (δρομόμετρο)bull Πλανητάριον (σφαίρα)bull Πολύσπαστον (Βαρούλκο) τρίσπαστοbull Σίφωνbull Στομάχιον (επιτραπέζιο παιγνίδι το πρώτο παζλ)bull Τηλεβόλον Αρχιμήδους bull Χαριστίων (μοχλός)bull Ωρολόγιο υδραυλικό

37

Τα συγγράμματα του Αρχιμήδη που σώθηκαν μέχρι σήμερα είναι τα ακόλουθα Περί σφαίρας και κυλίνδρου Κύκλου μέτρησις περί σφαιροειδέων και κωνοειδέων Περί λίκων Επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων Ψαμμίτης Τετραγωνισμός παραβολής Οχούμενων Στομάχιον Προς Ερατοσθένην Έφοδος Βιβλίον περί λημμάτων Πρόβλημα βοεικόν Αποσπάσματα Μερικά από αυτά διασώθηκαν Πολλά επίσης είναι τα συγγράμματα του που χάθηκαν

Έκανε τα πρώτα βήματα για το μαθηματικό υπολογισμό επιφανειών με ακανόνιστο περίγραμμα και συμμετρικών εκ περιστροφής σωμάτων μέθοδος που εξελίχθηκε τεκμηριώθηκε και ονομάστηκε στην σύγχρονη εποχή laquoΟλοκληρωτικός Λογισμόςraquo υπολόγισε μία προσεγγιστική τιμή για τον άρρητο αριθμό π διατύπωσε το νόμο προεκτάσεις του γενίκευσε την εφαρμογή λέγοντας laquoΔώστε μου σημείο να στηριχθώ και θα κινήσω την γηraquo διατύπωσε την ομώνυμη αρχή για την άνωση του νερού κατασκεύασε διάφορες μηχανές ένα τύπο πολύσπαστου τον κοχλία μία αντλητική μηχανή με την laquoαρχιμήδειον έλικαraquo κά

Η συμβολή του ΑρχιμήδηΗ συμβολή του Αρχιμήδη στην ανάπτυξη της Μηχανικής συνιστάται πέρα από την επινόηση των τροχαλιών του πολύσπαστου και των οδοντωτών τροχών και ενός ιδιόμορφου αντλητικού συγκροτήματος στην έλικα που φέρει το όνομα του Ακόμα στην επακριβή διατύπωση των νόμων των μοχλών και των ισορροπιών ή κέντρα βαρών Εδώ υπάρχει και η περίφημη πρόταση laquo σύμμετρα μεγέθη ισορροπούν σε αποστάσεις αντιστρόφως ανάλογες προς το βάρος τους raquo

Σε σχέση με τους μοχλούς και τις δυνατότητες τους μας αναφέρει τη φράση laquo δος μοι πα στω και ταν γαν κινάσω raquo Απέδειξε στον Ιέρωνα ότι με ένα σύστημα τροχαλιών ndash οδοντωτών τροχών και μοχλών μπορεί να μετακινήσει ένα τεράστιο πλοίο με όλο το πλήρωμα μέσα μόνος του Ήταν ακόμα ο ίδιος που σχεδίασε και επιμελήθηκε τη ναυπήγηση του πλοίου

Ανέλαβε μετά από εντολή του Ιέρωνα την οχύρωση της πόλης και διηύθυνε ο ίδιος την άμυνα της εναντίον των Ρωμαίων

Στην αστρονομία ο Λίβιος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης είναι laquoμοναδικός παρατηρητής του ουρανού και των αστέρων raquo Ο Ίππαρχος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης ασχολήθηκε με τη μελέτη των ηλιοστασίων καθώς και με τον υπολογισμό της διάρκειας του έτους

Ο Μακρόβιος αναφέρει ότι ο Αρχιμήδης ανακάλυψε τις αποστάσεις των πλανητών ενώ στο έργο laquoΨαμμίτηςraquo περιγράφει τη συσκευή μέσω της οποίας μέτρησε τη φαινομενική γωνιακή διάμετρο του ήλιου

38

Ο Κικέρων αναφέρεται με θαυμασμό για τον Αρχιμήδη στα laquoΚατοπτρικάraquo Στα Μαθηματικά που ο ίδιος θεωρούσε ως τα πιο σημαντικά παρουσίασε την μέθοδο του προσδιορισμού του αριθμού π Τελειοποίησε το ελληνικό σύστημα αρίθμησης και παρουσίασε μια μέθοδο παράστασης των πολύ μεγάλων αριθμών Ασχολήθηκε με τη διαφορική Γεωμετρία βρήκε τους τύπους πρόσθεσης και αφαίρεσης τόξων Υπολόγισε το εμβαδόν της σφαίρας και του κυλίνδρου Μελέτησε διάφορα στερεά εκ περιστροφής όπως τα στερεά που παράγονται από περιστροφή έλλειψης υπερβολής και παραβολής γύρω από έναν άξονα

Στη Γεωμετρία το έργο του Αρχιμήδη αποτελείται κατά κύριο λόγο από πρωτότυπες μελέτες σχετικά με τον τετραγωνισμό των καμπυλόγραμμων επίπεδων σχημάτων καθώς και με τον τετραγωνισμό και τον κυβισμό καμπύλων επιφανειών

Τέλος επινόησε στο σύνολό της την Υδροστατική Επιστήμη την οποία ανέπτυξε πλήρως Οι μελέτες του αναπαριστούν ένα σύνολο μαθηματικών και γεωμετρικών επιτευγμάτων το οποίο δεν ξεπέρασε κανείς στην ανθρώπινη ιστορία

Όπως αναφέρει ο Wallis laquo ο Αρχιμήδης αφήνει ένα συγκεκριμένο μυστήριο να καλύπτει τον τρόπο με τον οποίο κατέληγε στα αποτελέσματά του Είναι σαν να είχε καλύψει σκοπίμως τα ίχνη του τα ίχνη των ερευνών του σα να ήταν απρόθυμος να αποκαλύψει το μυστικό της μεθόδου έρευνάς του στους μεταγενέστερους ενώ επιθυμούσε να αποσπάσει τη συναίνεσή τους για τα αποτελέσματά του raquo

Ο ίδιος ο Αρχιμήδης ως φορέας ενός ανώτερου φιλοσοφικού πνεύματος θεωρούσε ταπεινή και ανάξια κάθε τέχνη που εξυπηρετούσε πρακτικές ανάγκες ή αποσκοπούσε στο οικονομικό κέρδος Γι` αυτό και έστρεψε όλη του την προσοχή και τις επιδιώξεις στους καθαρούς στοχασμούς χωρίς να καταδεχτεί να αφήσει κάποιο γραπτό στοιχείο για τις τεχνολογικές του ανακαλύψεις με μοναδική εξαίρεση όσες αναφέρονται στο έργο του laquoπερί σφαιροποιίαςraquo Δεν είναι καθόλου τυχαίο λοιπόν το ότι ο Κικέρων αργότερα βρήκε τον τάφο του και πάνω μία αναπαράσταση ενός κυλίνδρου περιγεγραμμένου σε σφαίρα με μία περιγραφή που έδινε το λόγο του κυλίνδρου προς τη σφαίρα

Σε ποιους τομείς εφαρμόστηκαν οι θεωρίες του Εξαιρετικές του μελέτες και για τη μέθοδο και για το αποτέλεσμα είναι εκείνες που έδωσαν τα εμβαδά Κύκλου Έλλειψης Παραβολής και Έλικας καθώς και τα εμβαδά και τους όγκους των Κυλίνδρων των Κώνων και κυρίως των Σφαιρών

Σημαντικότατη θεωρείται και η ανακάλυψη από τον ίδιο τύπου που δίνει το εμβαδόν τριγώνου από τις πλευρές του και ακόμα η επέκτασή του στα εγγεγραμμένα τετράπλευρα Ο Αρχιμήδης επίσης γνώριζε να κατασκευάζει τη λύση ειδικών τριτοβάθμιων προβλημάτων και μεταξύ αυτών και του Δηλίου Προβλήματος Τις λύσεις αυτές τις έδινε με την τομή δύο κωνικών (Ευτόκιος) Μοναδική είναι η προσφορά του στην ανώτερη μετρική Γεωμετρία Συγκεκριμένα εξέφρασε τους όγκους στερεών εκ περιστροφής κωνικών τομών εφαρμόζοντας απειροστικές μεθόδους ανάλυσης των στερεών αυτών

39

Στη σύγχρονη κλασική γεωμετρία όλο σχεδόν το μετρικό της μέρος οφείλεται στον Αρχιμήδη με αποτέλεσμα αυτή ουσιαστικά να είναι ισορροπημένη μείξη της Ευκλείδειας και της Αρχιμήδειας αρχαίας γεωμετρίας

Έτσι ο σοφός μας αποτελεί ουσιαστικά τον πατέρα της ανώτερης μετρικής γεωμετρίας της αρχαιότητας και ταυτόχρονα την πηγή έμπνευσης των νεώτερων μελετών του διαφορικού και απειροστικού λογισμού

Η πρωτοτυπία και η αποτελεσματικότητα των μελετών του έγιναν αιτία να χαρακτηριστεί από τους ιστορικούς των μαθηματικών ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών και όλων των εθνών

Ρεύμα στα ανάκτορα της Βρετανίας μέσω εφεύρεσης του Αρχιμήδη ( httpkatestimenoblogspotcom201109blog-post_1015html )

laquoΗ Βασίλισσα Ελισάβετ πρόκειται να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση ενός αρχαίου Έλληνα για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Και όταν λέμε αρχαίο Έλληνα εννοούμε τον Αρχιμήδη και όχι τον 90χρονο σύζυγό της Φίλιππο της Ελλάδαςraquo

Με αυτόν τον τίτλο πληροφορεί το βρετανικό κοινό η εφημερίδα ldquoDaily Mailrdquo για την απόφαση της Αυτής Μεγαλειότητας να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση του αρχαίου Έλληνα εφευρέτη Αρχιμήδη από τις Συρακούσες για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Πρόκειται για τη σύγχρονη εκδοχή του ατέρμονα κοχλία της έλικος του Αρχιμήδους όπως έμεινε γνωστή η εφεύρεση και είναι ένας σωληνοειδής κοχλίας που χρησίμευε για την άντληση νερού και την άρδευση καλλιεργημένων εκτάσεων

Η σύγχρονη εκδοχή της εφεύρεσης θα χρησιμοποιεί το νερό που μεταφέρεται από ένα τεχνητό φράγμα για να παράγει υδροηλεκτρική ενέργεια Ο μηχανισμός έχει ήδη μεταφερθεί μέσω του Τάμεση στο Romney Weir στα ανάκτορα του Γουίντσορ Σύμφωνα με το δημοσίευμα της εφημερίδας οι έλικες θα είναι έτοιμες για την παραγωγή ενέργειας τον προσεχή Νοέμβριο ενώ θα μπορούν να καλύψουν πλήρως τις ανάγκες του κάστρου σε ενέργεια μέσα στον επόμενο χρόνο

Εκτός αυτού οι τουρμπίνες είναι σχεδιασμένες ώστε να μην εμποδίζουν την ασφαλή διέλευση σολομού και χελιού μέσα στον ποταμό Τάμεση

Οι laquoέλικες του Αρχιμήδηraquo βάρους 40 τόνων κατασκευάστηκαν από ένα εργοστάσιο στην Ολλανδία και στοίχησαν 700000 λίρες Αγγλίας ενώ το κόστος εγκατάστασής τους θα ξεπεράσει το ένα εκατομμύριο λίρες

40

Αναλυτική περιγραφή των laquo στοιχείων raquo

Ειδικότερα το πρώτο βιβλίο αναφέρεται σε τεμνόμενες και παράλληλες ευθείες στην ισότητα ευθύγραμμων σχημάτων και στο τέλος το πυθαγόρειο θεώρημα Στο 2ο βιβλίο αναφέρονται συνέπειες από το πυθαγόρειο θεώρημα και γίνονται μετασχηματισμοί ευθύγραμμων σχημάτων σε ισοδύναμα τετράγωνα Εδώ περιέχεται και το πρόβλημα

της laquoχρυσής τομήςraquo Πολλές από τις προτάσεις αυτού μπορούν με σύγχρονους συμβολισμούς να πάρουν μορφή αλγεβρική γιrsquo αυτό έχει επικρατήσει να λέγεται για το 2ο βιβλίο ότι εισάγει τη laquoγεωμετρική άλγεβραraquo Στο 3ο βιβλίο εξετάζεται ο κύκλος και στο τέταρτο βιβλίο λύνονται προβλήματα σχετικά με τα εγγεγραμμένα στον κύκλο κανονικά πολύγωνα Στο 5ο βιβλίο σπουδάζεται η laquoθεωρία των λόγωνraquo του Ευδόξου Πρόκειται ουσιαστικά για τη θεωρία των πραγματικών αριθμών δοσμένη όμως σε μορφή γεωμετρική Το 6ο βιβλίο ασχολείται με την ομοιότητα επίπεδων σχημάτων και σrsquo αυτά αποδεικνύεται ότι από όλα τα ορθογώνια με δοσμένη περίμετρο το τετράγωνο έχει το μέγιστο εμβαδόν Στα βιβλία 7ο-9ο που αφορούν στην αριθμοθεωρία είναι εκπληκτικό πώς με παντελή μπορεί να πει κανείς έλλειψη συμβολισμών (αριθμοί δεν αναγράφονται) κατορθώνεται μια ακροβασία στην αλληλουχία των συλλογισμών που καταλήγει σε πολύ ενδιαφέροντα αριθμητικά αποτελέσματα Ειδικότερα στο 7ο βιβλίο μελετιούνται οι άρτιοι και οι περιττοί αριθμοί οι πρώτοι και οι σύνθετοι καθώς και οι τέλειοι εξετάζονται διάφορα προβλήματα διαιρετότητας ορίζεται το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο αριθμών (ΕΚΠ) καθώς και ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης τους και δίνεται η μέθοδος προσδιορισμού του που ονομάστηκε laquoΕυκλείδειος Αλγόριθμοςraquo Στα δύο επόμενα βιβλία εξακολουθεί η σπουδή αριθμοθεωρητικών θεμάτων στο 8ο εισάγονται επίσης και μελετιούνται οι γεωμετρικές πρόοδοι και στο 9ο έχουν συμπεριληφθεί τρεις σημαντικότατες προτάσεις Πρόκειται για α) το αποκαλούμενο laquoθεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικήςraquo β) την απόφανση ότι υπάρχουν απειράριθμοι πρώτοι και γ) την πρόταση που οδηγεί σε ένα γενικό τύπο που παρέχει άρτιους τέλειους αριθμούς Στο 10ο βιβλίο που αποτελεί ένα από τα ωραιότερα μέρη των Στοιχείων γίνεται μια ταξινόμηση των τετραγωνικών άρρητων και των τετραγωνικών ριζών τους και κατασκευάζεται ένα σύνολο ασύμμετρων μεγεθών το οποίο μαζί με το σύνολο των ρητών συναποτελεί επέκταση αυτού του τελευταίου τέτοια ώστε κάθε στοιχείο της να είναι κατασκευασμένο με κανόνα και διαβήτη Τέλος τα βιβλία της στερεομετρίας το 11ο βιβλίο ασχολείται με θεμελιώδεις σχέσεις μεταξύ ευθειών και επιπέδων καθώς και με τις στερεές γωνίες στο 12ο αναφέρεται σε επιφάνειες και όγκους στερεών και στο 13ο γίνεται η μελέτη της σφαίρας σε συσχετισμό με τα εγγεγραμμένα σε αυτήν κανονικά πολύεδρα

25

Άλλα έργα

bull Δεδομένα (94 θεωρήματα) έργο ανώτερης γεωμετρίας Στο έργο αυτό περιέχονται προτάσεις σε σχήματα στα οποία δίνονται ορισμένα στοιχεία τους κατά σχήμα θέση ή μέγεθος

bull Περί διαιρέσεων (36 προτάσεις) με περιεχόμενό του τη διαίρεση σχημάτων με δοσμένη σχέση

bull Πορίσματα (3 βιβλία που χάθηκαν) σώθηκαν ορισμένα αποσπάσματα που το 1860 έγινε απόπειρα ανασύνθεσής τους από τον Πάππο

bull Οπτικά-κατοπτρικά αντίστοιχα γεωμετρική οπτική ανάκλαση του φωτός πάνω σε επίπεδο κάτοπτρο

bull Φαινόμενα εγχειρίδιο κοσμογραφίας απλές προτάσεις για τη σφαίρα

bull Κατατομή κανόνος στοιχεία πυθαγόρεια θεωρία μουσικής

bull Ψευδάρεια laquoπαράδοξαraquo με στόχο να ασκηθούν οι σπουδαστές στην ανεύρεση λογικών σφαλμάτων κατά τις αποδείξεις

bull Κωνικαί τομαί Μηχανικά δεν γνωρίζουμε τίποτα γιrsquo αυτά τα έργα

Αιτήματα του Ευκλείδη

Τα αιτήματα είναι αρχικές προτάσεις οι οποίες προσιδιάζουν στη συγκεκριμένη κάθε φορά επιστήμη στην προκειμένη περίπτωση στη Γεωμετρία Ο Ευκλείδης διατυπώνει 5 αιτήματα

1 Ζητείται να γίνει δεκτό ότι από οποιοδήποτε σημείο σε οποιοδήποτε σημείο άγεται ευθεία γραμμή

2 Και (ότι) πεπερασμένη ευθεία προεκτείνεται σε ευθεία κατά συνεχή τρόπο

3 Και (ότι) με οποιοδήποτε κέντρο και διάστημα γράφεται κύκλος

4 Και (ότι) όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους

5 Και αν η ευθεία η οποία τέμνει δύο ευθείες σχηματίζει δύο εντός και επί τrsquo αυτά μέρη γωνίες μικρότερες των δύο ορθών τότε οι δύο ευθείες προεκτεινόμενες επrsquo απείρου συναντώνται προς εκείνα τα μέρη τους όπου βρίσκονται μικρότερες των δύο ορθών

Ακολουθούν τα laquoαιτήματαraquo διατυπωμένα σε αρχαίο κείμενο όπως αυτά βρίσκονται στο Βιβλίο Ι

26

Ο ρόλος των τριών πρώτων από τα αιτήματα αυτά είναι να εξασφαλίσουν τη νομιμότητα των κατασκευών της ευθείας και του κύκλου και κατά συνέπεια εκείνων και μόνο των γραμμών και των γεωμετρικών σχημάτων που κατασκευάζονται με πεπερασμένο αριθμό βημάτων από τα δύο αυτά βασικά σχήματα Στα Στοιχεία επομένως δεν έχουν θέση καμπύλες όπως είναι οι κωνικές τομές τη τετραγωνίζουσα κλπ ή κατασκευές όπως κατασκευές νεύσεως Η φύση των δύο τελευταίων αιτημάτων είναι διαφορετική Αποσκοπούν να δηλώσουν ότι κάποια γεωμετρικά σχήματα έχουν ορισμένες ειδικές ιδιότητες

Πολλοί ιστορικοί των μαθηματικών έχουν ασχοληθεί κατά το παρελθόν με το ερώτημα εάν τα αξιώματα του Ευκλείδη ικανοποιούν τις σύγχρονες απαιτήσεις (πληρότητα συνέπεια ανεξαρτησία) ενός αξιωματικού συστήματος Από την προσεκτική μελέτη των αποδείξεων κι των κατασκευών που περιέχονται στα Στοιχεία προκύπτει ότι ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί μερικές φορές απόρρητες παραδοχές οι οποίες δεν περιλαμβάνονται στα αξιώματα Επομένως το σύστημα των αξιωμάτων του δεν ικανοποιεί την απαίτηση της πληρότητας

Μεγάλο ιστορικό ενδιαφέρον εξάλλου έχει το ερώτημα της ανεξαρτησίας των αιτημάτων του Ευκλείδη ιδιαίτερα σε ότι αφορά το πέμπτο από αυτά Το αίτημα αυτό αναφέρεται συχνά και ως laquoαίτημα των παραλλήλωνraquo γιατί μια ισοδύναμη διατύπωσή του είναι η εξής από ένα σημείο εκτός ευθείας άγεται μια μόνο παράλληλη προς τη ευθεία Πολλοί μαθηματικοί από την αρχαιότητα έως τα μέσα του 18ου αιώνα προσπάθησαν να εξαγάγουν το αίτημα αυτό από τα άλλα αιτήματα όλες οι προσπάθειες όμως απέβησαν άκαρπες Από τα τέλη του 18ου αιώνα η προσδοκώμενη εξάρτηση του αιτήματος επιχειρήθηκε να αποδειχτεί με έμμεσο τρόπο Η σκέψη ήταν η εξής αν το αίτημα των παραλλήλων μπορεί να εξαχθεί από τα άλλα τέσσερα αιτήματα μαζί με την άρνηση του πέμπτου θα πρέπει να οδηγούν σε αντίφαση Το νέο σύστημα αξιωμάτων όμως αντί να οδηγήσει σε αντίφαση αποδείχτηκε ότι παράγει συνέπειες μαθηματικές θεωρίες Έτσι ανακαλύφθηκαν οι λεγόμενες μη ευκλείδειες γεωμετρίες και ταυτόχρονα αποδείχθηκε η ανεξαρτησία των αιτημάτων του Ευκλείδη

27

Ας δούμε τώρα την διατύπωση και την απόδειξη της πρότασης (5) που περιέχεται στο Βιβλίο Ι των laquoστοιχείωνraquo και αναφέρεται στη γνωστή μας πρόταση της ισότητας των παρά τη βάση γωνιών ισοσκελούς τριγώνου

28

Γιατί διδάσκουμε το μάθημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στο ζήτημα της laquoχρησιμότηταςraquo των σχολικών Μαθηματικών θα μπορούσε κανείς να αντιπαραθέσει (και πράγματι αντιπαρατέθηκαν) πολλές διαφορετικές απόψεις Εμείς θα παραθέσουμε απλώς ένα απόσπασμα από τις αυτοβιογραφικές σημειώσεις του Albert Einstein το οποίο δείχνει μια άλλη τελείως διαφορετική αντίληψη σχετικά με την laquoχρησιμότηταraquo της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Γράφοντας για τα γεγονότα της παιδικής και εφηβικής του ζωής που είχαν μεγάλη επίδραση στην μετέπειτα εξέλιξη του ο Einstein σημειώνει

Σε ηλικία 12 ετών δοκίμασα μια δεύτερη τελείως διαφορετική έκπληξη σε ένα μικρό βιβλίο Ευκλείδειας επίπεδης γεωμετρίαςhellip Εδώ υπήρχαν ισχυρισμοί όπως για παράδειγμα τα τρία ύψη ενός τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο οι οποίοι - αν και καθόλου προφανείς - μπορούσαν ωστόσο να αποδειχτούν με τέτοια βεβαιότητα ώστε να μην χωρεί η παραμικρή αμφιβολία Αυτή η σαφήνεια και βεβαιότητα μου προξένησαν μια εντύπωση που δεν μπορεί να περιγραφεί Το γεγονός ότι τα αξιώματα έπρεπε να γίνουν δεκτά χωρίς απόδειξη δεν με ενόχλησε Σε κάθε περίπτωση μου αρκούσε πλήρως το γεγονός ότι μπορούσαν να στηρίζω τις αποδείξεις σε προτάσεις η εγκυρότητα των οποίων ήταν για μένα αναμφισβήτητη

Η περίπτωση του Einstein του επιστήμονα που άλλαξε ριζικά τις αντιλήψεις μας και την γεωμετρική δομή του σύμπαντος αποκαλύπτει την σπουδαιότητα ορισμένων παιδαγωγικών σκοπών και τη συνάφειά τους με το ερώτημα που θέσαμε ως τίτλο αυτής της ενότητας καλλιέργεια και ανάπτυξη της συγκροτημένης σκέψης μύηση στην επιστημονική μέθοδο μελέτες του κόσμου Αυτοί οι σκοποί παρόλη τη γενικότητά τους συνδέονται άμεσα με τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας που άσκησαν καθοριστική επίδραση στο νεαρό Einstein τα οποία είναι

bull Σαφήνεια στην έκθεση

bull Ολοκληρωτική απόδειξη κάθε υπόθεσης

bull Απόλυτη συνάφεια σχημάτων και συλλογισμών

bull Τάξη και ομορφιά

Αν τα στοιχεία αυτά αποτελούν ουσιώδη συστατικά της μαθηματικής παιδείας τότε παρέχουν κατά την άποψή μας μια αυτονόητη απάντηση στο ερώτημα laquoΓιατί διδάσκουμε την Ευκλείδεια Γεωμετρίαraquo

Αντιλήψεις και αντιπαραθέσεις για τη διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Οι ένθερμοι υποστηρικτές της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προβάλλουν την παιδαγωγική αξία της λογικής και διάφανης επιχειρηματολογίας των γεωμετρικών αποδείξεων ενώ οι πολέμιοί της επικαλούνται την αναμφισβήτητη δυσκολία των περισσότερων μαθητών να κατανοήσουν τις γεωμετρικές έννοιες και τις πολύ χαμηλές επιδόσεις τους στην αντιμετώπιση σχετικών προβλημάτων Ενδιάμεσα βρίσκονται συνήθως οι σκεπτικιστές οι οποίοι επισημαίνουν τον περιορισμένο επιστημολογικά ρόλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και την ανάγκη να ανανεωθεί η διδασκαλία των Μαθηματικών δίνοντας μεγαλύτερη έμφαση σε πιο σύγχρονους και laquoχρήσιμουςraquo κλάδους (πχ Πιθανότητες και Στατιστική) Από την εποχή που ο Dieudonne κήρυξε τον πόλεμο κατά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας οι αντιλήψεις

29

αυτές έγιναν αντικείμενο επεξεργασίας και αντιπαρατέθηκαν μεταξύ τους από σημαντικούς μαθηματικούς και παιδαγωγούς ενώ οι σχετικές συζητήσεις συνεχίζονται με αμείωτη ένταση μέχρι σήμερα Σε μια ειδική μελέτη της Διεθνούς Επιτροπής για τη Μαθηματική Εκπαίδευση (ICMI) έγινε απόπειρα σύνθεσης των διαφόρων τάσεων και διατυπώθηκαν οι εξής τρεις εναλλακτικές λύσεις για τη διδασκαλία του μαθήματος

1 η λύση

Απορρίπτουμε την ιδέα ότι η Γεωμετρία πρέπει ή μπορεί να χρησιμοποιηθεί στο σχολείο ως ένα σύστημα γνώσεων (παραγωγικά οργανωμένο ή όχι) όπου οι έννοιες και τα γεγονότα πρέπει να γίνουν γνωστά απλά και μόνο επειδή ανήκουν στο σύστημα Αντίθετα η Γεωμετρία και ο χώρος θεωρούνται ως πηγές άντλησης εξαιρετικών θεμάτων για την οργάνωση πολλαπλών δραστηριοτήτων σε διαφορετικά επίπεδα Οι laquoχρησιμοθηρικέςraquo όψεις της Γεωμετρίας θα εξυπηρετηθούν με την παροχή αλγεβρικών μεθόδων

2 η λύση

Εξακολουθούμε να επιχειρούμε τη διδασκαλία ενός αξιωματικού ή ψευδο-αξιωματικού μαθήματος σχολικής Γεωμετρίας το οποίο στηρίζεται είτε σε laquoτροποποίησηraquo των laquoΣτοιχείωνraquo του Ευκλείδη (για παράδειγμα αξιωματική θεμελίωση τύπου Pogorelov) είτε πχ στους γεωμετρικούς σχηματισμούς

3 η λύση

Για ορισμένες ομάδες μαθητών τουλάχιστον παρουσιάζουμε laquoνησίδεςraquo Γεωμετρίας δηλαδή laquoτοπικάraquo παραγωγικά συστήματα μέσα στο πλαίσιο του γενικού αναλυτικού προγράμματος (Έτσι μπορούμε για παράδειγμα να έχουμε ενότητες για τις ιδιότητες των εγγεγραμμένων σε κύκλο γωνιών ή τη στοιχειώδη προβολική Γεωμετρία)

Στην Ελλάδα για προφανείς ιστορικούς και πολιτιστικούς λόγους συνεχίζεται μια παράδοση που προσεγγίζεται εγγύτατα τη δεύτερη από τις προηγούμενες εναλλακτικές λύσεις Ακόμη και την περίοδο της μεταρρύθμισης των laquoΝέων Μαθηματικώνraquo η διεθνής πίεση για εκσυγχρονισμό των σχολικών Μαθηματικών και εγκατάλειψη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αφομοιώθηκε στη χώρα μας μέσα από έναν ιδιότυπο συμβιβασμό από τη μια μεριά διατηρήθηκε όλη η παραδοσιακή σχολική ύλη την οποία σε μεγάλο βαθμό συντηρούσαν οι εισαγωγικές εξετάσεις των ΑΕΙ και από την άλλη δόθηκε υπερβολική έμφαση στην αυστηρή αξιωματική θεμελίωσης της Γεωμετρίας καθώς και με την εισαγωγή νέας ύλης πάνω στους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς Στις αντιφατικές επιλογές εκείνης της περιόδου βρίσκονται κατά την άποψη μας οι ρίζες της μετέπειτα υποβάθμισης και παρακμής του μαθήματος της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

30

Το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στη σύγχρονη Διδακτική των Μαθηματικών τα θεμελιώδη επιστημολογικά χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας όπως είναι η παραγωγική οργάνωση του περιεχομένου η αποδεικτική διαδικασία και η έμφαση στις γεωμετρικές κατασκευές αναφέρονται συνήθως ως laquoανώτερα επίπεδα γεωμετρικής σκέψηςraquo και η μάθηση τους έχει γίνει αντικείμενο συστηματικής μελέτης και έρευνας Ένα βασικό θεωρητικό μοντέλο στο οποίο έχει στηριχθεί η διεξαγωγή μεγάλου αριθμού ερευνών σε διάφορες χώρες αποτελούν τα λεγόμενα laquoεπίπεδα van Hieleraquo Σύμφωνα με αυτό το μοντέλο η μάθηση της Γεωμετρίας εξελίσσεται ιεραρχικά περνώντας από πέντε διαδοχικά επίπεδα

bull 1ο επίπεδο Εποπτικό

bull 2ο επίπεδο ΠεριγραφικόΑναλυτικό

bull 3ο επίπεδο ΑφηρημένοΣχεσιακό

bull 4ο επίπεδο ΤυπικόΠαραγωγικό

bull 5ο επίπεδο Μεταμαθηματικό

Οι μαθητές κατανοούν τη σημασία και τη διαδικασία οικοδόμησης ενός αξιωματικού μαθηματικού συστήματος και τις σχέσεις ανάμεσα σε διαφορετικά συστήματα Για παράδειγμα αναγνωρίζουν ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία δεν είναι παρά ένας από τους πολλούς δυνατούς τρόπους περιγραφής ενός αφηρημένου μαθηματικού σύμπαντος

Είναι φανερό ότι η διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προϋποθέτει τα δύο πρώτα επίπεδα και έχει ως κύριο σκοπό την κατάκτηση των δύο επόμενων επιπέδων (για το 5ο

μάλλον δεν μπορεί να γίνεται λόγος στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση) Σε θεωρητικό επίπεδο τόσο και η θεωρία των van Hiele όσο και η γενικότερη θεωρία των σταδίων μάθησης του Piaget προβλέπουν ότι η κατάκτηση αυτών των επιπέδων είναι μια επίπονη και ιεραρχικά εξελισσόμενη διαδικασία που απαιτεί μακροχρόνια και προσεχτικά σχεδιασμένη διδασκαλία Αυτές οι θεωρητικές προβλέψεις φαίνεται να επιβεβαιώνονται από πολλές εμπειρικές έρευνες που έχουν διεξαχθεί σε διάφορες χώρες και τα αποτελέσματά τους οδηγούν σε ένα βασικό συμπέρασμα laquo η καθιερωμένη παραδοσιακή διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αδυνατεί να οδηγήσει τους μαθητές στην κατάκτηση των ανώτερων επιπέδων γεωμετρικής σκέψης raquo

Από τα αποτελέσματα αυτών των ερευνών αξίζει νrsquo αναφέρουμε εδώ ένα εντυπωσιακό στατιστικό στοιχείο που αποκαλύπτει τις διαστάσεις του προβλήματος σε μια έρευνα που έγινε στις ΗΠΑ μεταξύ 1520 μαθητών που είχαν ολοκληρώσει ένα έτος διδασκαλίας της θεωρητικής Ευκλείδειας Γεωμετρίας διαπιστώθηκε ότι μόνο το 30 είχε φτάσει σε ένα επίπεδο που μπορεί να χαρακτηριστεί από 75 επιτυχία στην απόδειξη απλών γεωμετρικών προτάσεων (πχ ότι οι διαγώνιες ενός ορθογωνίου είναι ίσες) Το ποσοστό των μαθητών που είχαν 100 επιτυχία δεν ξεπέρασε το 3

31

Κοινή πεποίθηση όλων αυτών των ερευνητών είναι ότι για να κατανοηθούν οι παραγωγικές αποδείξεις της Ευκλείδειας Γεωμετρίας απαιτείται μια ισχυρή διαισθητική βάση την οποία οι μαθητές θα αποκτήσουν μέσα από επαγωγικές εμπειρικές ανακαλύψεις τη διαπίστωση και επαλήθευση υποθέσεων τις γεωμετρικές κατασκευές και εφαρμογές Έτσι λοιπόν η διδασκαλία της Γεωμετρίας δεν θα πρέπει να στηρίζεται σrsquo ένα τεχνητό διαχωρισμό ανάμεσα σε laquoΠρακτική Γεωμετρίαraquo σχεδίασης και μετρήσεων και μια laquoΘεωρητική Γεωμετρίαraquo αποδείξεων αλλά να συνδυάζει μια ισορροπημένη ανάπτυξη των δύο αυτών όψεων του μαθήματος σrsquo όλο το φάσμα της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Η επινόηση διδακτικών μέσων και μεθόδων που θα επιτρέψουν την υλοποίηση αυτού του στόχου φαίνεται ότι αποτελεί σήμερα το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ

Η Γεωμετρία του Ευκλείδη απετέλεσε το θεμέλιο για την ανάπτυξη της laquoδυτικήςraquo επιστήμης και τεχνικής και σ αυτή τη Γεωμετρία στηρίζονται οι προϋποθέσεις της κλασικής Φυσικής από την Αναγέννηση και μετά Μόλις το 19ο αιώνα διαπιστώθηκε όμως (Λάμπερτ Γκάους Μπολυάι Λομπατσέβσκι κά) ότι η ευκλείδεια Γεωμετρία στηρίζεται στην απλοϊκή αντίληψη του επίπεδου χώρου ο οποίος είναι μεν χρήσιμος για την περιοχή που αντιλαμβάνεται με τις αισθήσεις του ένας άνθρωπος αλλά όχι για πολύ μεγάλες τιμές των φυσικών μεγεθών (αποστάσεις ταχύτητες μάζες κτλ) Τότε παύει να ισχύει η επίπεδη αντίληψη και μαζί της η Ευκλείδεια Γεωμετρία επειδή στην πραγματικότητα ο χώρος είναι κυρτός Έτσι η Γεωμετρία συμπληρώνεται με βάση αντιλήψεις που στηρίζονται στον υπερβολικό ελλειπτικό κά χώρο

Σήμερα η γεωμετρία του Ευκλείδη διδάσκεται παγκοσμίως και ανελλιπώς επί 23 αιώνες με τον τιμητικό τίτλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Στη σύγχρονη όμως σχολική γεωμετρία περιλαμβάνονται και υπολογισμοί και μετρήσεις οι οποίες από το έργο του Ευκλείδη απουσιάζουν εντελώς

Η συνολική προσφορά του Ευκλείδη στα Μαθηματικά και τις εφαρμοσμένες τέχνες υπήρξε σημαντικότατη και ταυτόχρονα βάση από την οποία εξόρμησαν οι μεταγενέστεροι μαθηματικοί γεωγράφοι και αστρονόμοι για να οδηγηθούν στο τελικό μαθηματικό θαύμα της Ελληνικής Αρχαιότητας

32

33

ΒΙΟΓΡΑΦΙΑ Ο Αρχιμήδης ήταν ένας από τους μεγάλους μαθηματικούς μηχανικούς και φυσικούς του αρχαίου Ελληνικού χώρου και μια από τις μεγαλύτερες μαθηματικές ευφυΐες του κόσμου Γεννήθηκε έζησε και πέθανε στις Συρακούσες την μεγάλη Ελληνική αποικία της Σικελίας

Πατέρας του Αρχιμήδη ήταν ο αστρονόμος Φειδίας που είχε δεσμούς φιλίας με το βασιλικό γένος των Συρακουσών Ο Αρχιμήδης ταξίδεψε στην Αίγυπτο και ήρθε σε επαφή με τους διαδόχους του Ευκλείδη του Ερατοσθένη και το Δισίθεο ενώ ήταν φίλος και συμμαθητής του Κόνωνα του Σάμιου

Υπήρξε λαμπρό παράδειγμα πρωτότυπου ερευνητή ο οποίος δεν ενδιαφέρθηκε να διευκολύνει τους αρχάριους αλλά ασχολήθηκε κυρίως για την αποκάλυψη νέων αληθειών για δική του ικανοποίηση και των ώριμων ήδη διανοούμενων Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο ενώ η κατανόηση του Ευκλείδη δεν απαιτεί εξαιρετική προηγούμενη γνώση και ευφυΐα τα προϊόντα της μαθηματικής σκέψεως τα οποία πρόκειται τώρα να εξετάσουμε είναι προσιτά αποκλειστικώς και μόνο στην ανάγνωση υψηλής πνευματικής στάθμης

Πήγε στην Αίγυπτο ως εκπαιδευτικός και ήρθε σε επαφή όχι βέβαια με τον Ευκλείδη που είχε στο μεταξύ πεθάνει αλλά με τους διαδόχους του και έκανε στενούς δεσμούς με εξαιρετικούς γεωμετρικούς όπως ο Κόνων ο Σάμιος ο Ερατοσθένης ο Κυρηναίος ο Δισίθεος κλπ από τους οποίους κατόπιν όσα έργα συνέταξε μετά την επιστροφή του στην πατρίδα του

34

Το έργο τουΤο έργο του Αρχιμήδη υπήρξε τεράστιο τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά και η ερευνητική ματιά του κάλυψε πολλούς τομείς γεωμετρία οπτική (κατοπτρική) υδραυλική μηχανική αρχιτεκτονική και την πολιορκητική Συνέδεσε το όνομά του με την γένεση της μηχανικής στην αρχαία Ελλάδα και με την λύση περίφημων μαθηματικών προβλημάτων καθώς και με τις αμυντικές εφευρέσεις του που χρησιμοποιήθηκαν όταν οι Ρωμαίοι πολιορκούσαν την πατρίδα του τις Συρακούσες

Σχολιαστής του έργου του Αρχιμήδη υπήρξε ο Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης (6ος αι μΧ) που καταγόταν από την ελληνική πόλη της Συρίας Ασκαλών

Στον χώρο της εφαρμοσμένης μηχανικής ο Αρχιμήδης επινόησε ιδιοφυείς μηχανές κάθε είδους Εφηύρε τον ρωμαϊκό ζυγό (καντάρι) το τρίσπαστο (ανυψωτική τριπλή τροχαλία) και τον ατέρμονα κοχλία έλιξ του Αρχιμήδους μηχανή άντλησης νερού από ποταμούς και φρέατα (η οποία χρησιμοποιείται ακόμα και στις μέρες μας σε περιοχές της βόρειας Αφρικής) Κατασκεύασε ένα υδραυλικό ρολόι το οποίο υπολόγιζε με μεγάλη ακρίβεια τις ώρες (και ειδοποιούσε για την αλλαγή της ώρας)

Μεγάλη φήμη απέκτησαν οι πολεμικές μηχανές του Αρχιμήδη αρχιτρόνιτο (πυροβόλο ατμού) καταπέλτες άρπαγες (μηχανισμός που ανύψωνε και αναποδογύριζε πλοία) και κάτοπτρα για την καύση των Ρωμαϊκών εχθρικών πλοίων (με παραβολικά κάτοπτρα όπως αποδείχτηκε από τα πειράματα του μηχανικού Ι Σακκά ο οποίος το 1973 απόδειξε τον τρόπο με τον οποίο ο Αρχιμήδης έκαψε τον ρωμαϊκό στόλο) Σύμφωνα με την παράδοση όταν η πόλη μετά από τριετή αντίσταση των ελλήνων κατελήφθη με προδοσία ένας ρωμαίος στρατιώτης σκότωσε τον Έλληνα επιστήμονα ενώ αυτός ήταν προσηλωμένος σε κάποιο γεωμετρικό πρόβλημα ΜΗ ΜΟΥ ΤΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥΣ ΤΑΡΑΤΤΕ πρόλαβε να του απαντήσει ο Έλληνας επιστήμονας

Ο Αρχιμήδης επηρέασε σε μεγάλο βαθμό την ευρωπαϊκή επιστημονική σκέψη καθώς και τους Άραβες επιστήμονες οι οποίοι αντέγραψαν όλα τα έργα του στα αραβικά γλώσσα στην οποία διασώθηκαν αρκετά αφού τα πρωτότυπα είχαν χαθεί

35

Διασωθέντα συγγράμματα

bull Περί σφαίρας και κυλίνδρου Βιβλίο α και βbull Κύκλου μέτρησις Σώζονται τρία θεωρήματαbull Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων (32 θεωρήματα 1 πόρισμα)bull Περί ελίκων (28 θεωρήματα 6 πορίσματα)bull Περί επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων ή Μηχανικά Βιβλ α και βbull Περί μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος (=μέθοδος)bull Βιβλίο λημμάτωνbull Πρόβλημα Βοεικόνbull Κατασκευή πλευράς του περιγραφομένου εις κύκλο επταγώνουbull Ωρολόγιον Αρχιμήδους (Σώζεται στα αραβικά)bull Περί κύκλων εφαπτομένων αλλήλωνbull Αρχαί της Γεωμετρίαςbull Ψαμμίτηςbull Τετραγωνισμός παραβολήςbull Οχουμένων (Υδροστατική)bull Στομάχιον (Σώζονται λίγα αποσπάσματα)

Συγγράμματα μη διασωθέντα (ή συγγράμματα μη αποκαλυφθέντα μέχρι σήμερα)

bull Αριθμητικάbull Βαρουλκός Υδροσκοπίαι Πνευματικήbull Επισίδια Βιβλία (Μάλλον περί στατιστικής - Τζέτζης)bull Περί τριγώνωνbull Περί τετραπλεύρουbull Περί ζευγώνbull Περί 13 ημικανονικών πολυέδρωνbull Ισοπεριμετικάbull Ισορροπίαιbull Καύσις δια κατόπτρων (επ΄ αυτού έγινε επιτυχές πείραμα στο ΝΣ)bull Περί Αρχιτεκτονικήςbull Περί βαρύτητος και ελαφρότητος (Πυκνόμετρα - Αραιόμετρα)bull Περί δρομομέτρων (Οδόμετρα πλοίων)bull Περί κέντρου Βάρους ή Κεντροβαρικάbull Κατοπρικάbull Περί παραλλήλων γραμμώνbull Περί κοίλων και παραβολικών κατόπτρωνbull Προοπτικήbull Στοιχεία μηχανικώνbull Πλινθίδες και Κύλινδροιbull Στοιχεία επί των στηρίξεωνbull Σφαιροποιΐα

36

Εφευρέσεις

bull Αραιόμετρο - Πυκνόμετροbull Αστρονομική συσκευήbull Βαρουλκόςbull Γερανοί (Αρπάγες)bull Καταπέλτεςbull Κάτοπτραbull Κοχλίας ή έλιξbull Οδόμετρο (δρομόμετρο)bull Πλανητάριον (σφαίρα)bull Πολύσπαστον (Βαρούλκο) τρίσπαστοbull Σίφωνbull Στομάχιον (επιτραπέζιο παιγνίδι το πρώτο παζλ)bull Τηλεβόλον Αρχιμήδους bull Χαριστίων (μοχλός)bull Ωρολόγιο υδραυλικό

37

Τα συγγράμματα του Αρχιμήδη που σώθηκαν μέχρι σήμερα είναι τα ακόλουθα Περί σφαίρας και κυλίνδρου Κύκλου μέτρησις περί σφαιροειδέων και κωνοειδέων Περί λίκων Επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων Ψαμμίτης Τετραγωνισμός παραβολής Οχούμενων Στομάχιον Προς Ερατοσθένην Έφοδος Βιβλίον περί λημμάτων Πρόβλημα βοεικόν Αποσπάσματα Μερικά από αυτά διασώθηκαν Πολλά επίσης είναι τα συγγράμματα του που χάθηκαν

Έκανε τα πρώτα βήματα για το μαθηματικό υπολογισμό επιφανειών με ακανόνιστο περίγραμμα και συμμετρικών εκ περιστροφής σωμάτων μέθοδος που εξελίχθηκε τεκμηριώθηκε και ονομάστηκε στην σύγχρονη εποχή laquoΟλοκληρωτικός Λογισμόςraquo υπολόγισε μία προσεγγιστική τιμή για τον άρρητο αριθμό π διατύπωσε το νόμο προεκτάσεις του γενίκευσε την εφαρμογή λέγοντας laquoΔώστε μου σημείο να στηριχθώ και θα κινήσω την γηraquo διατύπωσε την ομώνυμη αρχή για την άνωση του νερού κατασκεύασε διάφορες μηχανές ένα τύπο πολύσπαστου τον κοχλία μία αντλητική μηχανή με την laquoαρχιμήδειον έλικαraquo κά

Η συμβολή του ΑρχιμήδηΗ συμβολή του Αρχιμήδη στην ανάπτυξη της Μηχανικής συνιστάται πέρα από την επινόηση των τροχαλιών του πολύσπαστου και των οδοντωτών τροχών και ενός ιδιόμορφου αντλητικού συγκροτήματος στην έλικα που φέρει το όνομα του Ακόμα στην επακριβή διατύπωση των νόμων των μοχλών και των ισορροπιών ή κέντρα βαρών Εδώ υπάρχει και η περίφημη πρόταση laquo σύμμετρα μεγέθη ισορροπούν σε αποστάσεις αντιστρόφως ανάλογες προς το βάρος τους raquo

Σε σχέση με τους μοχλούς και τις δυνατότητες τους μας αναφέρει τη φράση laquo δος μοι πα στω και ταν γαν κινάσω raquo Απέδειξε στον Ιέρωνα ότι με ένα σύστημα τροχαλιών ndash οδοντωτών τροχών και μοχλών μπορεί να μετακινήσει ένα τεράστιο πλοίο με όλο το πλήρωμα μέσα μόνος του Ήταν ακόμα ο ίδιος που σχεδίασε και επιμελήθηκε τη ναυπήγηση του πλοίου

Ανέλαβε μετά από εντολή του Ιέρωνα την οχύρωση της πόλης και διηύθυνε ο ίδιος την άμυνα της εναντίον των Ρωμαίων

Στην αστρονομία ο Λίβιος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης είναι laquoμοναδικός παρατηρητής του ουρανού και των αστέρων raquo Ο Ίππαρχος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης ασχολήθηκε με τη μελέτη των ηλιοστασίων καθώς και με τον υπολογισμό της διάρκειας του έτους

Ο Μακρόβιος αναφέρει ότι ο Αρχιμήδης ανακάλυψε τις αποστάσεις των πλανητών ενώ στο έργο laquoΨαμμίτηςraquo περιγράφει τη συσκευή μέσω της οποίας μέτρησε τη φαινομενική γωνιακή διάμετρο του ήλιου

38

Ο Κικέρων αναφέρεται με θαυμασμό για τον Αρχιμήδη στα laquoΚατοπτρικάraquo Στα Μαθηματικά που ο ίδιος θεωρούσε ως τα πιο σημαντικά παρουσίασε την μέθοδο του προσδιορισμού του αριθμού π Τελειοποίησε το ελληνικό σύστημα αρίθμησης και παρουσίασε μια μέθοδο παράστασης των πολύ μεγάλων αριθμών Ασχολήθηκε με τη διαφορική Γεωμετρία βρήκε τους τύπους πρόσθεσης και αφαίρεσης τόξων Υπολόγισε το εμβαδόν της σφαίρας και του κυλίνδρου Μελέτησε διάφορα στερεά εκ περιστροφής όπως τα στερεά που παράγονται από περιστροφή έλλειψης υπερβολής και παραβολής γύρω από έναν άξονα

Στη Γεωμετρία το έργο του Αρχιμήδη αποτελείται κατά κύριο λόγο από πρωτότυπες μελέτες σχετικά με τον τετραγωνισμό των καμπυλόγραμμων επίπεδων σχημάτων καθώς και με τον τετραγωνισμό και τον κυβισμό καμπύλων επιφανειών

Τέλος επινόησε στο σύνολό της την Υδροστατική Επιστήμη την οποία ανέπτυξε πλήρως Οι μελέτες του αναπαριστούν ένα σύνολο μαθηματικών και γεωμετρικών επιτευγμάτων το οποίο δεν ξεπέρασε κανείς στην ανθρώπινη ιστορία

Όπως αναφέρει ο Wallis laquo ο Αρχιμήδης αφήνει ένα συγκεκριμένο μυστήριο να καλύπτει τον τρόπο με τον οποίο κατέληγε στα αποτελέσματά του Είναι σαν να είχε καλύψει σκοπίμως τα ίχνη του τα ίχνη των ερευνών του σα να ήταν απρόθυμος να αποκαλύψει το μυστικό της μεθόδου έρευνάς του στους μεταγενέστερους ενώ επιθυμούσε να αποσπάσει τη συναίνεσή τους για τα αποτελέσματά του raquo

Ο ίδιος ο Αρχιμήδης ως φορέας ενός ανώτερου φιλοσοφικού πνεύματος θεωρούσε ταπεινή και ανάξια κάθε τέχνη που εξυπηρετούσε πρακτικές ανάγκες ή αποσκοπούσε στο οικονομικό κέρδος Γι` αυτό και έστρεψε όλη του την προσοχή και τις επιδιώξεις στους καθαρούς στοχασμούς χωρίς να καταδεχτεί να αφήσει κάποιο γραπτό στοιχείο για τις τεχνολογικές του ανακαλύψεις με μοναδική εξαίρεση όσες αναφέρονται στο έργο του laquoπερί σφαιροποιίαςraquo Δεν είναι καθόλου τυχαίο λοιπόν το ότι ο Κικέρων αργότερα βρήκε τον τάφο του και πάνω μία αναπαράσταση ενός κυλίνδρου περιγεγραμμένου σε σφαίρα με μία περιγραφή που έδινε το λόγο του κυλίνδρου προς τη σφαίρα

Σε ποιους τομείς εφαρμόστηκαν οι θεωρίες του Εξαιρετικές του μελέτες και για τη μέθοδο και για το αποτέλεσμα είναι εκείνες που έδωσαν τα εμβαδά Κύκλου Έλλειψης Παραβολής και Έλικας καθώς και τα εμβαδά και τους όγκους των Κυλίνδρων των Κώνων και κυρίως των Σφαιρών

Σημαντικότατη θεωρείται και η ανακάλυψη από τον ίδιο τύπου που δίνει το εμβαδόν τριγώνου από τις πλευρές του και ακόμα η επέκτασή του στα εγγεγραμμένα τετράπλευρα Ο Αρχιμήδης επίσης γνώριζε να κατασκευάζει τη λύση ειδικών τριτοβάθμιων προβλημάτων και μεταξύ αυτών και του Δηλίου Προβλήματος Τις λύσεις αυτές τις έδινε με την τομή δύο κωνικών (Ευτόκιος) Μοναδική είναι η προσφορά του στην ανώτερη μετρική Γεωμετρία Συγκεκριμένα εξέφρασε τους όγκους στερεών εκ περιστροφής κωνικών τομών εφαρμόζοντας απειροστικές μεθόδους ανάλυσης των στερεών αυτών

39

Στη σύγχρονη κλασική γεωμετρία όλο σχεδόν το μετρικό της μέρος οφείλεται στον Αρχιμήδη με αποτέλεσμα αυτή ουσιαστικά να είναι ισορροπημένη μείξη της Ευκλείδειας και της Αρχιμήδειας αρχαίας γεωμετρίας

Έτσι ο σοφός μας αποτελεί ουσιαστικά τον πατέρα της ανώτερης μετρικής γεωμετρίας της αρχαιότητας και ταυτόχρονα την πηγή έμπνευσης των νεώτερων μελετών του διαφορικού και απειροστικού λογισμού

Η πρωτοτυπία και η αποτελεσματικότητα των μελετών του έγιναν αιτία να χαρακτηριστεί από τους ιστορικούς των μαθηματικών ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών και όλων των εθνών

Ρεύμα στα ανάκτορα της Βρετανίας μέσω εφεύρεσης του Αρχιμήδη ( httpkatestimenoblogspotcom201109blog-post_1015html )

laquoΗ Βασίλισσα Ελισάβετ πρόκειται να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση ενός αρχαίου Έλληνα για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Και όταν λέμε αρχαίο Έλληνα εννοούμε τον Αρχιμήδη και όχι τον 90χρονο σύζυγό της Φίλιππο της Ελλάδαςraquo

Με αυτόν τον τίτλο πληροφορεί το βρετανικό κοινό η εφημερίδα ldquoDaily Mailrdquo για την απόφαση της Αυτής Μεγαλειότητας να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση του αρχαίου Έλληνα εφευρέτη Αρχιμήδη από τις Συρακούσες για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Πρόκειται για τη σύγχρονη εκδοχή του ατέρμονα κοχλία της έλικος του Αρχιμήδους όπως έμεινε γνωστή η εφεύρεση και είναι ένας σωληνοειδής κοχλίας που χρησίμευε για την άντληση νερού και την άρδευση καλλιεργημένων εκτάσεων

Η σύγχρονη εκδοχή της εφεύρεσης θα χρησιμοποιεί το νερό που μεταφέρεται από ένα τεχνητό φράγμα για να παράγει υδροηλεκτρική ενέργεια Ο μηχανισμός έχει ήδη μεταφερθεί μέσω του Τάμεση στο Romney Weir στα ανάκτορα του Γουίντσορ Σύμφωνα με το δημοσίευμα της εφημερίδας οι έλικες θα είναι έτοιμες για την παραγωγή ενέργειας τον προσεχή Νοέμβριο ενώ θα μπορούν να καλύψουν πλήρως τις ανάγκες του κάστρου σε ενέργεια μέσα στον επόμενο χρόνο

Εκτός αυτού οι τουρμπίνες είναι σχεδιασμένες ώστε να μην εμποδίζουν την ασφαλή διέλευση σολομού και χελιού μέσα στον ποταμό Τάμεση

Οι laquoέλικες του Αρχιμήδηraquo βάρους 40 τόνων κατασκευάστηκαν από ένα εργοστάσιο στην Ολλανδία και στοίχησαν 700000 λίρες Αγγλίας ενώ το κόστος εγκατάστασής τους θα ξεπεράσει το ένα εκατομμύριο λίρες

40

Άλλα έργα

bull Δεδομένα (94 θεωρήματα) έργο ανώτερης γεωμετρίας Στο έργο αυτό περιέχονται προτάσεις σε σχήματα στα οποία δίνονται ορισμένα στοιχεία τους κατά σχήμα θέση ή μέγεθος

bull Περί διαιρέσεων (36 προτάσεις) με περιεχόμενό του τη διαίρεση σχημάτων με δοσμένη σχέση

bull Πορίσματα (3 βιβλία που χάθηκαν) σώθηκαν ορισμένα αποσπάσματα που το 1860 έγινε απόπειρα ανασύνθεσής τους από τον Πάππο

bull Οπτικά-κατοπτρικά αντίστοιχα γεωμετρική οπτική ανάκλαση του φωτός πάνω σε επίπεδο κάτοπτρο

bull Φαινόμενα εγχειρίδιο κοσμογραφίας απλές προτάσεις για τη σφαίρα

bull Κατατομή κανόνος στοιχεία πυθαγόρεια θεωρία μουσικής

bull Ψευδάρεια laquoπαράδοξαraquo με στόχο να ασκηθούν οι σπουδαστές στην ανεύρεση λογικών σφαλμάτων κατά τις αποδείξεις

bull Κωνικαί τομαί Μηχανικά δεν γνωρίζουμε τίποτα γιrsquo αυτά τα έργα

Αιτήματα του Ευκλείδη

Τα αιτήματα είναι αρχικές προτάσεις οι οποίες προσιδιάζουν στη συγκεκριμένη κάθε φορά επιστήμη στην προκειμένη περίπτωση στη Γεωμετρία Ο Ευκλείδης διατυπώνει 5 αιτήματα

1 Ζητείται να γίνει δεκτό ότι από οποιοδήποτε σημείο σε οποιοδήποτε σημείο άγεται ευθεία γραμμή

2 Και (ότι) πεπερασμένη ευθεία προεκτείνεται σε ευθεία κατά συνεχή τρόπο

3 Και (ότι) με οποιοδήποτε κέντρο και διάστημα γράφεται κύκλος

4 Και (ότι) όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους

5 Και αν η ευθεία η οποία τέμνει δύο ευθείες σχηματίζει δύο εντός και επί τrsquo αυτά μέρη γωνίες μικρότερες των δύο ορθών τότε οι δύο ευθείες προεκτεινόμενες επrsquo απείρου συναντώνται προς εκείνα τα μέρη τους όπου βρίσκονται μικρότερες των δύο ορθών

Ακολουθούν τα laquoαιτήματαraquo διατυπωμένα σε αρχαίο κείμενο όπως αυτά βρίσκονται στο Βιβλίο Ι

26

Ο ρόλος των τριών πρώτων από τα αιτήματα αυτά είναι να εξασφαλίσουν τη νομιμότητα των κατασκευών της ευθείας και του κύκλου και κατά συνέπεια εκείνων και μόνο των γραμμών και των γεωμετρικών σχημάτων που κατασκευάζονται με πεπερασμένο αριθμό βημάτων από τα δύο αυτά βασικά σχήματα Στα Στοιχεία επομένως δεν έχουν θέση καμπύλες όπως είναι οι κωνικές τομές τη τετραγωνίζουσα κλπ ή κατασκευές όπως κατασκευές νεύσεως Η φύση των δύο τελευταίων αιτημάτων είναι διαφορετική Αποσκοπούν να δηλώσουν ότι κάποια γεωμετρικά σχήματα έχουν ορισμένες ειδικές ιδιότητες

Πολλοί ιστορικοί των μαθηματικών έχουν ασχοληθεί κατά το παρελθόν με το ερώτημα εάν τα αξιώματα του Ευκλείδη ικανοποιούν τις σύγχρονες απαιτήσεις (πληρότητα συνέπεια ανεξαρτησία) ενός αξιωματικού συστήματος Από την προσεκτική μελέτη των αποδείξεων κι των κατασκευών που περιέχονται στα Στοιχεία προκύπτει ότι ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί μερικές φορές απόρρητες παραδοχές οι οποίες δεν περιλαμβάνονται στα αξιώματα Επομένως το σύστημα των αξιωμάτων του δεν ικανοποιεί την απαίτηση της πληρότητας

Μεγάλο ιστορικό ενδιαφέρον εξάλλου έχει το ερώτημα της ανεξαρτησίας των αιτημάτων του Ευκλείδη ιδιαίτερα σε ότι αφορά το πέμπτο από αυτά Το αίτημα αυτό αναφέρεται συχνά και ως laquoαίτημα των παραλλήλωνraquo γιατί μια ισοδύναμη διατύπωσή του είναι η εξής από ένα σημείο εκτός ευθείας άγεται μια μόνο παράλληλη προς τη ευθεία Πολλοί μαθηματικοί από την αρχαιότητα έως τα μέσα του 18ου αιώνα προσπάθησαν να εξαγάγουν το αίτημα αυτό από τα άλλα αιτήματα όλες οι προσπάθειες όμως απέβησαν άκαρπες Από τα τέλη του 18ου αιώνα η προσδοκώμενη εξάρτηση του αιτήματος επιχειρήθηκε να αποδειχτεί με έμμεσο τρόπο Η σκέψη ήταν η εξής αν το αίτημα των παραλλήλων μπορεί να εξαχθεί από τα άλλα τέσσερα αιτήματα μαζί με την άρνηση του πέμπτου θα πρέπει να οδηγούν σε αντίφαση Το νέο σύστημα αξιωμάτων όμως αντί να οδηγήσει σε αντίφαση αποδείχτηκε ότι παράγει συνέπειες μαθηματικές θεωρίες Έτσι ανακαλύφθηκαν οι λεγόμενες μη ευκλείδειες γεωμετρίες και ταυτόχρονα αποδείχθηκε η ανεξαρτησία των αιτημάτων του Ευκλείδη

27

Ας δούμε τώρα την διατύπωση και την απόδειξη της πρότασης (5) που περιέχεται στο Βιβλίο Ι των laquoστοιχείωνraquo και αναφέρεται στη γνωστή μας πρόταση της ισότητας των παρά τη βάση γωνιών ισοσκελούς τριγώνου

28

Γιατί διδάσκουμε το μάθημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στο ζήτημα της laquoχρησιμότηταςraquo των σχολικών Μαθηματικών θα μπορούσε κανείς να αντιπαραθέσει (και πράγματι αντιπαρατέθηκαν) πολλές διαφορετικές απόψεις Εμείς θα παραθέσουμε απλώς ένα απόσπασμα από τις αυτοβιογραφικές σημειώσεις του Albert Einstein το οποίο δείχνει μια άλλη τελείως διαφορετική αντίληψη σχετικά με την laquoχρησιμότηταraquo της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Γράφοντας για τα γεγονότα της παιδικής και εφηβικής του ζωής που είχαν μεγάλη επίδραση στην μετέπειτα εξέλιξη του ο Einstein σημειώνει

Σε ηλικία 12 ετών δοκίμασα μια δεύτερη τελείως διαφορετική έκπληξη σε ένα μικρό βιβλίο Ευκλείδειας επίπεδης γεωμετρίαςhellip Εδώ υπήρχαν ισχυρισμοί όπως για παράδειγμα τα τρία ύψη ενός τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο οι οποίοι - αν και καθόλου προφανείς - μπορούσαν ωστόσο να αποδειχτούν με τέτοια βεβαιότητα ώστε να μην χωρεί η παραμικρή αμφιβολία Αυτή η σαφήνεια και βεβαιότητα μου προξένησαν μια εντύπωση που δεν μπορεί να περιγραφεί Το γεγονός ότι τα αξιώματα έπρεπε να γίνουν δεκτά χωρίς απόδειξη δεν με ενόχλησε Σε κάθε περίπτωση μου αρκούσε πλήρως το γεγονός ότι μπορούσαν να στηρίζω τις αποδείξεις σε προτάσεις η εγκυρότητα των οποίων ήταν για μένα αναμφισβήτητη

Η περίπτωση του Einstein του επιστήμονα που άλλαξε ριζικά τις αντιλήψεις μας και την γεωμετρική δομή του σύμπαντος αποκαλύπτει την σπουδαιότητα ορισμένων παιδαγωγικών σκοπών και τη συνάφειά τους με το ερώτημα που θέσαμε ως τίτλο αυτής της ενότητας καλλιέργεια και ανάπτυξη της συγκροτημένης σκέψης μύηση στην επιστημονική μέθοδο μελέτες του κόσμου Αυτοί οι σκοποί παρόλη τη γενικότητά τους συνδέονται άμεσα με τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας που άσκησαν καθοριστική επίδραση στο νεαρό Einstein τα οποία είναι

bull Σαφήνεια στην έκθεση

bull Ολοκληρωτική απόδειξη κάθε υπόθεσης

bull Απόλυτη συνάφεια σχημάτων και συλλογισμών

bull Τάξη και ομορφιά

Αν τα στοιχεία αυτά αποτελούν ουσιώδη συστατικά της μαθηματικής παιδείας τότε παρέχουν κατά την άποψή μας μια αυτονόητη απάντηση στο ερώτημα laquoΓιατί διδάσκουμε την Ευκλείδεια Γεωμετρίαraquo

Αντιλήψεις και αντιπαραθέσεις για τη διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Οι ένθερμοι υποστηρικτές της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προβάλλουν την παιδαγωγική αξία της λογικής και διάφανης επιχειρηματολογίας των γεωμετρικών αποδείξεων ενώ οι πολέμιοί της επικαλούνται την αναμφισβήτητη δυσκολία των περισσότερων μαθητών να κατανοήσουν τις γεωμετρικές έννοιες και τις πολύ χαμηλές επιδόσεις τους στην αντιμετώπιση σχετικών προβλημάτων Ενδιάμεσα βρίσκονται συνήθως οι σκεπτικιστές οι οποίοι επισημαίνουν τον περιορισμένο επιστημολογικά ρόλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και την ανάγκη να ανανεωθεί η διδασκαλία των Μαθηματικών δίνοντας μεγαλύτερη έμφαση σε πιο σύγχρονους και laquoχρήσιμουςraquo κλάδους (πχ Πιθανότητες και Στατιστική) Από την εποχή που ο Dieudonne κήρυξε τον πόλεμο κατά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας οι αντιλήψεις

29

αυτές έγιναν αντικείμενο επεξεργασίας και αντιπαρατέθηκαν μεταξύ τους από σημαντικούς μαθηματικούς και παιδαγωγούς ενώ οι σχετικές συζητήσεις συνεχίζονται με αμείωτη ένταση μέχρι σήμερα Σε μια ειδική μελέτη της Διεθνούς Επιτροπής για τη Μαθηματική Εκπαίδευση (ICMI) έγινε απόπειρα σύνθεσης των διαφόρων τάσεων και διατυπώθηκαν οι εξής τρεις εναλλακτικές λύσεις για τη διδασκαλία του μαθήματος

1 η λύση

Απορρίπτουμε την ιδέα ότι η Γεωμετρία πρέπει ή μπορεί να χρησιμοποιηθεί στο σχολείο ως ένα σύστημα γνώσεων (παραγωγικά οργανωμένο ή όχι) όπου οι έννοιες και τα γεγονότα πρέπει να γίνουν γνωστά απλά και μόνο επειδή ανήκουν στο σύστημα Αντίθετα η Γεωμετρία και ο χώρος θεωρούνται ως πηγές άντλησης εξαιρετικών θεμάτων για την οργάνωση πολλαπλών δραστηριοτήτων σε διαφορετικά επίπεδα Οι laquoχρησιμοθηρικέςraquo όψεις της Γεωμετρίας θα εξυπηρετηθούν με την παροχή αλγεβρικών μεθόδων

2 η λύση

Εξακολουθούμε να επιχειρούμε τη διδασκαλία ενός αξιωματικού ή ψευδο-αξιωματικού μαθήματος σχολικής Γεωμετρίας το οποίο στηρίζεται είτε σε laquoτροποποίησηraquo των laquoΣτοιχείωνraquo του Ευκλείδη (για παράδειγμα αξιωματική θεμελίωση τύπου Pogorelov) είτε πχ στους γεωμετρικούς σχηματισμούς

3 η λύση

Για ορισμένες ομάδες μαθητών τουλάχιστον παρουσιάζουμε laquoνησίδεςraquo Γεωμετρίας δηλαδή laquoτοπικάraquo παραγωγικά συστήματα μέσα στο πλαίσιο του γενικού αναλυτικού προγράμματος (Έτσι μπορούμε για παράδειγμα να έχουμε ενότητες για τις ιδιότητες των εγγεγραμμένων σε κύκλο γωνιών ή τη στοιχειώδη προβολική Γεωμετρία)

Στην Ελλάδα για προφανείς ιστορικούς και πολιτιστικούς λόγους συνεχίζεται μια παράδοση που προσεγγίζεται εγγύτατα τη δεύτερη από τις προηγούμενες εναλλακτικές λύσεις Ακόμη και την περίοδο της μεταρρύθμισης των laquoΝέων Μαθηματικώνraquo η διεθνής πίεση για εκσυγχρονισμό των σχολικών Μαθηματικών και εγκατάλειψη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αφομοιώθηκε στη χώρα μας μέσα από έναν ιδιότυπο συμβιβασμό από τη μια μεριά διατηρήθηκε όλη η παραδοσιακή σχολική ύλη την οποία σε μεγάλο βαθμό συντηρούσαν οι εισαγωγικές εξετάσεις των ΑΕΙ και από την άλλη δόθηκε υπερβολική έμφαση στην αυστηρή αξιωματική θεμελίωσης της Γεωμετρίας καθώς και με την εισαγωγή νέας ύλης πάνω στους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς Στις αντιφατικές επιλογές εκείνης της περιόδου βρίσκονται κατά την άποψη μας οι ρίζες της μετέπειτα υποβάθμισης και παρακμής του μαθήματος της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

30

Το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στη σύγχρονη Διδακτική των Μαθηματικών τα θεμελιώδη επιστημολογικά χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας όπως είναι η παραγωγική οργάνωση του περιεχομένου η αποδεικτική διαδικασία και η έμφαση στις γεωμετρικές κατασκευές αναφέρονται συνήθως ως laquoανώτερα επίπεδα γεωμετρικής σκέψηςraquo και η μάθηση τους έχει γίνει αντικείμενο συστηματικής μελέτης και έρευνας Ένα βασικό θεωρητικό μοντέλο στο οποίο έχει στηριχθεί η διεξαγωγή μεγάλου αριθμού ερευνών σε διάφορες χώρες αποτελούν τα λεγόμενα laquoεπίπεδα van Hieleraquo Σύμφωνα με αυτό το μοντέλο η μάθηση της Γεωμετρίας εξελίσσεται ιεραρχικά περνώντας από πέντε διαδοχικά επίπεδα

bull 1ο επίπεδο Εποπτικό

bull 2ο επίπεδο ΠεριγραφικόΑναλυτικό

bull 3ο επίπεδο ΑφηρημένοΣχεσιακό

bull 4ο επίπεδο ΤυπικόΠαραγωγικό

bull 5ο επίπεδο Μεταμαθηματικό

Οι μαθητές κατανοούν τη σημασία και τη διαδικασία οικοδόμησης ενός αξιωματικού μαθηματικού συστήματος και τις σχέσεις ανάμεσα σε διαφορετικά συστήματα Για παράδειγμα αναγνωρίζουν ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία δεν είναι παρά ένας από τους πολλούς δυνατούς τρόπους περιγραφής ενός αφηρημένου μαθηματικού σύμπαντος

Είναι φανερό ότι η διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προϋποθέτει τα δύο πρώτα επίπεδα και έχει ως κύριο σκοπό την κατάκτηση των δύο επόμενων επιπέδων (για το 5ο

μάλλον δεν μπορεί να γίνεται λόγος στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση) Σε θεωρητικό επίπεδο τόσο και η θεωρία των van Hiele όσο και η γενικότερη θεωρία των σταδίων μάθησης του Piaget προβλέπουν ότι η κατάκτηση αυτών των επιπέδων είναι μια επίπονη και ιεραρχικά εξελισσόμενη διαδικασία που απαιτεί μακροχρόνια και προσεχτικά σχεδιασμένη διδασκαλία Αυτές οι θεωρητικές προβλέψεις φαίνεται να επιβεβαιώνονται από πολλές εμπειρικές έρευνες που έχουν διεξαχθεί σε διάφορες χώρες και τα αποτελέσματά τους οδηγούν σε ένα βασικό συμπέρασμα laquo η καθιερωμένη παραδοσιακή διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αδυνατεί να οδηγήσει τους μαθητές στην κατάκτηση των ανώτερων επιπέδων γεωμετρικής σκέψης raquo

Από τα αποτελέσματα αυτών των ερευνών αξίζει νrsquo αναφέρουμε εδώ ένα εντυπωσιακό στατιστικό στοιχείο που αποκαλύπτει τις διαστάσεις του προβλήματος σε μια έρευνα που έγινε στις ΗΠΑ μεταξύ 1520 μαθητών που είχαν ολοκληρώσει ένα έτος διδασκαλίας της θεωρητικής Ευκλείδειας Γεωμετρίας διαπιστώθηκε ότι μόνο το 30 είχε φτάσει σε ένα επίπεδο που μπορεί να χαρακτηριστεί από 75 επιτυχία στην απόδειξη απλών γεωμετρικών προτάσεων (πχ ότι οι διαγώνιες ενός ορθογωνίου είναι ίσες) Το ποσοστό των μαθητών που είχαν 100 επιτυχία δεν ξεπέρασε το 3

31

Κοινή πεποίθηση όλων αυτών των ερευνητών είναι ότι για να κατανοηθούν οι παραγωγικές αποδείξεις της Ευκλείδειας Γεωμετρίας απαιτείται μια ισχυρή διαισθητική βάση την οποία οι μαθητές θα αποκτήσουν μέσα από επαγωγικές εμπειρικές ανακαλύψεις τη διαπίστωση και επαλήθευση υποθέσεων τις γεωμετρικές κατασκευές και εφαρμογές Έτσι λοιπόν η διδασκαλία της Γεωμετρίας δεν θα πρέπει να στηρίζεται σrsquo ένα τεχνητό διαχωρισμό ανάμεσα σε laquoΠρακτική Γεωμετρίαraquo σχεδίασης και μετρήσεων και μια laquoΘεωρητική Γεωμετρίαraquo αποδείξεων αλλά να συνδυάζει μια ισορροπημένη ανάπτυξη των δύο αυτών όψεων του μαθήματος σrsquo όλο το φάσμα της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Η επινόηση διδακτικών μέσων και μεθόδων που θα επιτρέψουν την υλοποίηση αυτού του στόχου φαίνεται ότι αποτελεί σήμερα το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ

Η Γεωμετρία του Ευκλείδη απετέλεσε το θεμέλιο για την ανάπτυξη της laquoδυτικήςraquo επιστήμης και τεχνικής και σ αυτή τη Γεωμετρία στηρίζονται οι προϋποθέσεις της κλασικής Φυσικής από την Αναγέννηση και μετά Μόλις το 19ο αιώνα διαπιστώθηκε όμως (Λάμπερτ Γκάους Μπολυάι Λομπατσέβσκι κά) ότι η ευκλείδεια Γεωμετρία στηρίζεται στην απλοϊκή αντίληψη του επίπεδου χώρου ο οποίος είναι μεν χρήσιμος για την περιοχή που αντιλαμβάνεται με τις αισθήσεις του ένας άνθρωπος αλλά όχι για πολύ μεγάλες τιμές των φυσικών μεγεθών (αποστάσεις ταχύτητες μάζες κτλ) Τότε παύει να ισχύει η επίπεδη αντίληψη και μαζί της η Ευκλείδεια Γεωμετρία επειδή στην πραγματικότητα ο χώρος είναι κυρτός Έτσι η Γεωμετρία συμπληρώνεται με βάση αντιλήψεις που στηρίζονται στον υπερβολικό ελλειπτικό κά χώρο

Σήμερα η γεωμετρία του Ευκλείδη διδάσκεται παγκοσμίως και ανελλιπώς επί 23 αιώνες με τον τιμητικό τίτλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Στη σύγχρονη όμως σχολική γεωμετρία περιλαμβάνονται και υπολογισμοί και μετρήσεις οι οποίες από το έργο του Ευκλείδη απουσιάζουν εντελώς

Η συνολική προσφορά του Ευκλείδη στα Μαθηματικά και τις εφαρμοσμένες τέχνες υπήρξε σημαντικότατη και ταυτόχρονα βάση από την οποία εξόρμησαν οι μεταγενέστεροι μαθηματικοί γεωγράφοι και αστρονόμοι για να οδηγηθούν στο τελικό μαθηματικό θαύμα της Ελληνικής Αρχαιότητας

32

33

ΒΙΟΓΡΑΦΙΑ Ο Αρχιμήδης ήταν ένας από τους μεγάλους μαθηματικούς μηχανικούς και φυσικούς του αρχαίου Ελληνικού χώρου και μια από τις μεγαλύτερες μαθηματικές ευφυΐες του κόσμου Γεννήθηκε έζησε και πέθανε στις Συρακούσες την μεγάλη Ελληνική αποικία της Σικελίας

Πατέρας του Αρχιμήδη ήταν ο αστρονόμος Φειδίας που είχε δεσμούς φιλίας με το βασιλικό γένος των Συρακουσών Ο Αρχιμήδης ταξίδεψε στην Αίγυπτο και ήρθε σε επαφή με τους διαδόχους του Ευκλείδη του Ερατοσθένη και το Δισίθεο ενώ ήταν φίλος και συμμαθητής του Κόνωνα του Σάμιου

Υπήρξε λαμπρό παράδειγμα πρωτότυπου ερευνητή ο οποίος δεν ενδιαφέρθηκε να διευκολύνει τους αρχάριους αλλά ασχολήθηκε κυρίως για την αποκάλυψη νέων αληθειών για δική του ικανοποίηση και των ώριμων ήδη διανοούμενων Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο ενώ η κατανόηση του Ευκλείδη δεν απαιτεί εξαιρετική προηγούμενη γνώση και ευφυΐα τα προϊόντα της μαθηματικής σκέψεως τα οποία πρόκειται τώρα να εξετάσουμε είναι προσιτά αποκλειστικώς και μόνο στην ανάγνωση υψηλής πνευματικής στάθμης

Πήγε στην Αίγυπτο ως εκπαιδευτικός και ήρθε σε επαφή όχι βέβαια με τον Ευκλείδη που είχε στο μεταξύ πεθάνει αλλά με τους διαδόχους του και έκανε στενούς δεσμούς με εξαιρετικούς γεωμετρικούς όπως ο Κόνων ο Σάμιος ο Ερατοσθένης ο Κυρηναίος ο Δισίθεος κλπ από τους οποίους κατόπιν όσα έργα συνέταξε μετά την επιστροφή του στην πατρίδα του

34

Το έργο τουΤο έργο του Αρχιμήδη υπήρξε τεράστιο τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά και η ερευνητική ματιά του κάλυψε πολλούς τομείς γεωμετρία οπτική (κατοπτρική) υδραυλική μηχανική αρχιτεκτονική και την πολιορκητική Συνέδεσε το όνομά του με την γένεση της μηχανικής στην αρχαία Ελλάδα και με την λύση περίφημων μαθηματικών προβλημάτων καθώς και με τις αμυντικές εφευρέσεις του που χρησιμοποιήθηκαν όταν οι Ρωμαίοι πολιορκούσαν την πατρίδα του τις Συρακούσες

Σχολιαστής του έργου του Αρχιμήδη υπήρξε ο Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης (6ος αι μΧ) που καταγόταν από την ελληνική πόλη της Συρίας Ασκαλών

Στον χώρο της εφαρμοσμένης μηχανικής ο Αρχιμήδης επινόησε ιδιοφυείς μηχανές κάθε είδους Εφηύρε τον ρωμαϊκό ζυγό (καντάρι) το τρίσπαστο (ανυψωτική τριπλή τροχαλία) και τον ατέρμονα κοχλία έλιξ του Αρχιμήδους μηχανή άντλησης νερού από ποταμούς και φρέατα (η οποία χρησιμοποιείται ακόμα και στις μέρες μας σε περιοχές της βόρειας Αφρικής) Κατασκεύασε ένα υδραυλικό ρολόι το οποίο υπολόγιζε με μεγάλη ακρίβεια τις ώρες (και ειδοποιούσε για την αλλαγή της ώρας)

Μεγάλη φήμη απέκτησαν οι πολεμικές μηχανές του Αρχιμήδη αρχιτρόνιτο (πυροβόλο ατμού) καταπέλτες άρπαγες (μηχανισμός που ανύψωνε και αναποδογύριζε πλοία) και κάτοπτρα για την καύση των Ρωμαϊκών εχθρικών πλοίων (με παραβολικά κάτοπτρα όπως αποδείχτηκε από τα πειράματα του μηχανικού Ι Σακκά ο οποίος το 1973 απόδειξε τον τρόπο με τον οποίο ο Αρχιμήδης έκαψε τον ρωμαϊκό στόλο) Σύμφωνα με την παράδοση όταν η πόλη μετά από τριετή αντίσταση των ελλήνων κατελήφθη με προδοσία ένας ρωμαίος στρατιώτης σκότωσε τον Έλληνα επιστήμονα ενώ αυτός ήταν προσηλωμένος σε κάποιο γεωμετρικό πρόβλημα ΜΗ ΜΟΥ ΤΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥΣ ΤΑΡΑΤΤΕ πρόλαβε να του απαντήσει ο Έλληνας επιστήμονας

Ο Αρχιμήδης επηρέασε σε μεγάλο βαθμό την ευρωπαϊκή επιστημονική σκέψη καθώς και τους Άραβες επιστήμονες οι οποίοι αντέγραψαν όλα τα έργα του στα αραβικά γλώσσα στην οποία διασώθηκαν αρκετά αφού τα πρωτότυπα είχαν χαθεί

35

Διασωθέντα συγγράμματα

bull Περί σφαίρας και κυλίνδρου Βιβλίο α και βbull Κύκλου μέτρησις Σώζονται τρία θεωρήματαbull Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων (32 θεωρήματα 1 πόρισμα)bull Περί ελίκων (28 θεωρήματα 6 πορίσματα)bull Περί επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων ή Μηχανικά Βιβλ α και βbull Περί μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος (=μέθοδος)bull Βιβλίο λημμάτωνbull Πρόβλημα Βοεικόνbull Κατασκευή πλευράς του περιγραφομένου εις κύκλο επταγώνουbull Ωρολόγιον Αρχιμήδους (Σώζεται στα αραβικά)bull Περί κύκλων εφαπτομένων αλλήλωνbull Αρχαί της Γεωμετρίαςbull Ψαμμίτηςbull Τετραγωνισμός παραβολήςbull Οχουμένων (Υδροστατική)bull Στομάχιον (Σώζονται λίγα αποσπάσματα)

Συγγράμματα μη διασωθέντα (ή συγγράμματα μη αποκαλυφθέντα μέχρι σήμερα)

bull Αριθμητικάbull Βαρουλκός Υδροσκοπίαι Πνευματικήbull Επισίδια Βιβλία (Μάλλον περί στατιστικής - Τζέτζης)bull Περί τριγώνωνbull Περί τετραπλεύρουbull Περί ζευγώνbull Περί 13 ημικανονικών πολυέδρωνbull Ισοπεριμετικάbull Ισορροπίαιbull Καύσις δια κατόπτρων (επ΄ αυτού έγινε επιτυχές πείραμα στο ΝΣ)bull Περί Αρχιτεκτονικήςbull Περί βαρύτητος και ελαφρότητος (Πυκνόμετρα - Αραιόμετρα)bull Περί δρομομέτρων (Οδόμετρα πλοίων)bull Περί κέντρου Βάρους ή Κεντροβαρικάbull Κατοπρικάbull Περί παραλλήλων γραμμώνbull Περί κοίλων και παραβολικών κατόπτρωνbull Προοπτικήbull Στοιχεία μηχανικώνbull Πλινθίδες και Κύλινδροιbull Στοιχεία επί των στηρίξεωνbull Σφαιροποιΐα

36

Εφευρέσεις

bull Αραιόμετρο - Πυκνόμετροbull Αστρονομική συσκευήbull Βαρουλκόςbull Γερανοί (Αρπάγες)bull Καταπέλτεςbull Κάτοπτραbull Κοχλίας ή έλιξbull Οδόμετρο (δρομόμετρο)bull Πλανητάριον (σφαίρα)bull Πολύσπαστον (Βαρούλκο) τρίσπαστοbull Σίφωνbull Στομάχιον (επιτραπέζιο παιγνίδι το πρώτο παζλ)bull Τηλεβόλον Αρχιμήδους bull Χαριστίων (μοχλός)bull Ωρολόγιο υδραυλικό

37

Τα συγγράμματα του Αρχιμήδη που σώθηκαν μέχρι σήμερα είναι τα ακόλουθα Περί σφαίρας και κυλίνδρου Κύκλου μέτρησις περί σφαιροειδέων και κωνοειδέων Περί λίκων Επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων Ψαμμίτης Τετραγωνισμός παραβολής Οχούμενων Στομάχιον Προς Ερατοσθένην Έφοδος Βιβλίον περί λημμάτων Πρόβλημα βοεικόν Αποσπάσματα Μερικά από αυτά διασώθηκαν Πολλά επίσης είναι τα συγγράμματα του που χάθηκαν

Έκανε τα πρώτα βήματα για το μαθηματικό υπολογισμό επιφανειών με ακανόνιστο περίγραμμα και συμμετρικών εκ περιστροφής σωμάτων μέθοδος που εξελίχθηκε τεκμηριώθηκε και ονομάστηκε στην σύγχρονη εποχή laquoΟλοκληρωτικός Λογισμόςraquo υπολόγισε μία προσεγγιστική τιμή για τον άρρητο αριθμό π διατύπωσε το νόμο προεκτάσεις του γενίκευσε την εφαρμογή λέγοντας laquoΔώστε μου σημείο να στηριχθώ και θα κινήσω την γηraquo διατύπωσε την ομώνυμη αρχή για την άνωση του νερού κατασκεύασε διάφορες μηχανές ένα τύπο πολύσπαστου τον κοχλία μία αντλητική μηχανή με την laquoαρχιμήδειον έλικαraquo κά

Η συμβολή του ΑρχιμήδηΗ συμβολή του Αρχιμήδη στην ανάπτυξη της Μηχανικής συνιστάται πέρα από την επινόηση των τροχαλιών του πολύσπαστου και των οδοντωτών τροχών και ενός ιδιόμορφου αντλητικού συγκροτήματος στην έλικα που φέρει το όνομα του Ακόμα στην επακριβή διατύπωση των νόμων των μοχλών και των ισορροπιών ή κέντρα βαρών Εδώ υπάρχει και η περίφημη πρόταση laquo σύμμετρα μεγέθη ισορροπούν σε αποστάσεις αντιστρόφως ανάλογες προς το βάρος τους raquo

Σε σχέση με τους μοχλούς και τις δυνατότητες τους μας αναφέρει τη φράση laquo δος μοι πα στω και ταν γαν κινάσω raquo Απέδειξε στον Ιέρωνα ότι με ένα σύστημα τροχαλιών ndash οδοντωτών τροχών και μοχλών μπορεί να μετακινήσει ένα τεράστιο πλοίο με όλο το πλήρωμα μέσα μόνος του Ήταν ακόμα ο ίδιος που σχεδίασε και επιμελήθηκε τη ναυπήγηση του πλοίου

Ανέλαβε μετά από εντολή του Ιέρωνα την οχύρωση της πόλης και διηύθυνε ο ίδιος την άμυνα της εναντίον των Ρωμαίων

Στην αστρονομία ο Λίβιος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης είναι laquoμοναδικός παρατηρητής του ουρανού και των αστέρων raquo Ο Ίππαρχος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης ασχολήθηκε με τη μελέτη των ηλιοστασίων καθώς και με τον υπολογισμό της διάρκειας του έτους

Ο Μακρόβιος αναφέρει ότι ο Αρχιμήδης ανακάλυψε τις αποστάσεις των πλανητών ενώ στο έργο laquoΨαμμίτηςraquo περιγράφει τη συσκευή μέσω της οποίας μέτρησε τη φαινομενική γωνιακή διάμετρο του ήλιου

38

Ο Κικέρων αναφέρεται με θαυμασμό για τον Αρχιμήδη στα laquoΚατοπτρικάraquo Στα Μαθηματικά που ο ίδιος θεωρούσε ως τα πιο σημαντικά παρουσίασε την μέθοδο του προσδιορισμού του αριθμού π Τελειοποίησε το ελληνικό σύστημα αρίθμησης και παρουσίασε μια μέθοδο παράστασης των πολύ μεγάλων αριθμών Ασχολήθηκε με τη διαφορική Γεωμετρία βρήκε τους τύπους πρόσθεσης και αφαίρεσης τόξων Υπολόγισε το εμβαδόν της σφαίρας και του κυλίνδρου Μελέτησε διάφορα στερεά εκ περιστροφής όπως τα στερεά που παράγονται από περιστροφή έλλειψης υπερβολής και παραβολής γύρω από έναν άξονα

Στη Γεωμετρία το έργο του Αρχιμήδη αποτελείται κατά κύριο λόγο από πρωτότυπες μελέτες σχετικά με τον τετραγωνισμό των καμπυλόγραμμων επίπεδων σχημάτων καθώς και με τον τετραγωνισμό και τον κυβισμό καμπύλων επιφανειών

Τέλος επινόησε στο σύνολό της την Υδροστατική Επιστήμη την οποία ανέπτυξε πλήρως Οι μελέτες του αναπαριστούν ένα σύνολο μαθηματικών και γεωμετρικών επιτευγμάτων το οποίο δεν ξεπέρασε κανείς στην ανθρώπινη ιστορία

Όπως αναφέρει ο Wallis laquo ο Αρχιμήδης αφήνει ένα συγκεκριμένο μυστήριο να καλύπτει τον τρόπο με τον οποίο κατέληγε στα αποτελέσματά του Είναι σαν να είχε καλύψει σκοπίμως τα ίχνη του τα ίχνη των ερευνών του σα να ήταν απρόθυμος να αποκαλύψει το μυστικό της μεθόδου έρευνάς του στους μεταγενέστερους ενώ επιθυμούσε να αποσπάσει τη συναίνεσή τους για τα αποτελέσματά του raquo

Ο ίδιος ο Αρχιμήδης ως φορέας ενός ανώτερου φιλοσοφικού πνεύματος θεωρούσε ταπεινή και ανάξια κάθε τέχνη που εξυπηρετούσε πρακτικές ανάγκες ή αποσκοπούσε στο οικονομικό κέρδος Γι` αυτό και έστρεψε όλη του την προσοχή και τις επιδιώξεις στους καθαρούς στοχασμούς χωρίς να καταδεχτεί να αφήσει κάποιο γραπτό στοιχείο για τις τεχνολογικές του ανακαλύψεις με μοναδική εξαίρεση όσες αναφέρονται στο έργο του laquoπερί σφαιροποιίαςraquo Δεν είναι καθόλου τυχαίο λοιπόν το ότι ο Κικέρων αργότερα βρήκε τον τάφο του και πάνω μία αναπαράσταση ενός κυλίνδρου περιγεγραμμένου σε σφαίρα με μία περιγραφή που έδινε το λόγο του κυλίνδρου προς τη σφαίρα

Σε ποιους τομείς εφαρμόστηκαν οι θεωρίες του Εξαιρετικές του μελέτες και για τη μέθοδο και για το αποτέλεσμα είναι εκείνες που έδωσαν τα εμβαδά Κύκλου Έλλειψης Παραβολής και Έλικας καθώς και τα εμβαδά και τους όγκους των Κυλίνδρων των Κώνων και κυρίως των Σφαιρών

Σημαντικότατη θεωρείται και η ανακάλυψη από τον ίδιο τύπου που δίνει το εμβαδόν τριγώνου από τις πλευρές του και ακόμα η επέκτασή του στα εγγεγραμμένα τετράπλευρα Ο Αρχιμήδης επίσης γνώριζε να κατασκευάζει τη λύση ειδικών τριτοβάθμιων προβλημάτων και μεταξύ αυτών και του Δηλίου Προβλήματος Τις λύσεις αυτές τις έδινε με την τομή δύο κωνικών (Ευτόκιος) Μοναδική είναι η προσφορά του στην ανώτερη μετρική Γεωμετρία Συγκεκριμένα εξέφρασε τους όγκους στερεών εκ περιστροφής κωνικών τομών εφαρμόζοντας απειροστικές μεθόδους ανάλυσης των στερεών αυτών

39

Στη σύγχρονη κλασική γεωμετρία όλο σχεδόν το μετρικό της μέρος οφείλεται στον Αρχιμήδη με αποτέλεσμα αυτή ουσιαστικά να είναι ισορροπημένη μείξη της Ευκλείδειας και της Αρχιμήδειας αρχαίας γεωμετρίας

Έτσι ο σοφός μας αποτελεί ουσιαστικά τον πατέρα της ανώτερης μετρικής γεωμετρίας της αρχαιότητας και ταυτόχρονα την πηγή έμπνευσης των νεώτερων μελετών του διαφορικού και απειροστικού λογισμού

Η πρωτοτυπία και η αποτελεσματικότητα των μελετών του έγιναν αιτία να χαρακτηριστεί από τους ιστορικούς των μαθηματικών ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών και όλων των εθνών

Ρεύμα στα ανάκτορα της Βρετανίας μέσω εφεύρεσης του Αρχιμήδη ( httpkatestimenoblogspotcom201109blog-post_1015html )

laquoΗ Βασίλισσα Ελισάβετ πρόκειται να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση ενός αρχαίου Έλληνα για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Και όταν λέμε αρχαίο Έλληνα εννοούμε τον Αρχιμήδη και όχι τον 90χρονο σύζυγό της Φίλιππο της Ελλάδαςraquo

Με αυτόν τον τίτλο πληροφορεί το βρετανικό κοινό η εφημερίδα ldquoDaily Mailrdquo για την απόφαση της Αυτής Μεγαλειότητας να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση του αρχαίου Έλληνα εφευρέτη Αρχιμήδη από τις Συρακούσες για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Πρόκειται για τη σύγχρονη εκδοχή του ατέρμονα κοχλία της έλικος του Αρχιμήδους όπως έμεινε γνωστή η εφεύρεση και είναι ένας σωληνοειδής κοχλίας που χρησίμευε για την άντληση νερού και την άρδευση καλλιεργημένων εκτάσεων

Η σύγχρονη εκδοχή της εφεύρεσης θα χρησιμοποιεί το νερό που μεταφέρεται από ένα τεχνητό φράγμα για να παράγει υδροηλεκτρική ενέργεια Ο μηχανισμός έχει ήδη μεταφερθεί μέσω του Τάμεση στο Romney Weir στα ανάκτορα του Γουίντσορ Σύμφωνα με το δημοσίευμα της εφημερίδας οι έλικες θα είναι έτοιμες για την παραγωγή ενέργειας τον προσεχή Νοέμβριο ενώ θα μπορούν να καλύψουν πλήρως τις ανάγκες του κάστρου σε ενέργεια μέσα στον επόμενο χρόνο

Εκτός αυτού οι τουρμπίνες είναι σχεδιασμένες ώστε να μην εμποδίζουν την ασφαλή διέλευση σολομού και χελιού μέσα στον ποταμό Τάμεση

Οι laquoέλικες του Αρχιμήδηraquo βάρους 40 τόνων κατασκευάστηκαν από ένα εργοστάσιο στην Ολλανδία και στοίχησαν 700000 λίρες Αγγλίας ενώ το κόστος εγκατάστασής τους θα ξεπεράσει το ένα εκατομμύριο λίρες

40

Ο ρόλος των τριών πρώτων από τα αιτήματα αυτά είναι να εξασφαλίσουν τη νομιμότητα των κατασκευών της ευθείας και του κύκλου και κατά συνέπεια εκείνων και μόνο των γραμμών και των γεωμετρικών σχημάτων που κατασκευάζονται με πεπερασμένο αριθμό βημάτων από τα δύο αυτά βασικά σχήματα Στα Στοιχεία επομένως δεν έχουν θέση καμπύλες όπως είναι οι κωνικές τομές τη τετραγωνίζουσα κλπ ή κατασκευές όπως κατασκευές νεύσεως Η φύση των δύο τελευταίων αιτημάτων είναι διαφορετική Αποσκοπούν να δηλώσουν ότι κάποια γεωμετρικά σχήματα έχουν ορισμένες ειδικές ιδιότητες

Πολλοί ιστορικοί των μαθηματικών έχουν ασχοληθεί κατά το παρελθόν με το ερώτημα εάν τα αξιώματα του Ευκλείδη ικανοποιούν τις σύγχρονες απαιτήσεις (πληρότητα συνέπεια ανεξαρτησία) ενός αξιωματικού συστήματος Από την προσεκτική μελέτη των αποδείξεων κι των κατασκευών που περιέχονται στα Στοιχεία προκύπτει ότι ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί μερικές φορές απόρρητες παραδοχές οι οποίες δεν περιλαμβάνονται στα αξιώματα Επομένως το σύστημα των αξιωμάτων του δεν ικανοποιεί την απαίτηση της πληρότητας

Μεγάλο ιστορικό ενδιαφέρον εξάλλου έχει το ερώτημα της ανεξαρτησίας των αιτημάτων του Ευκλείδη ιδιαίτερα σε ότι αφορά το πέμπτο από αυτά Το αίτημα αυτό αναφέρεται συχνά και ως laquoαίτημα των παραλλήλωνraquo γιατί μια ισοδύναμη διατύπωσή του είναι η εξής από ένα σημείο εκτός ευθείας άγεται μια μόνο παράλληλη προς τη ευθεία Πολλοί μαθηματικοί από την αρχαιότητα έως τα μέσα του 18ου αιώνα προσπάθησαν να εξαγάγουν το αίτημα αυτό από τα άλλα αιτήματα όλες οι προσπάθειες όμως απέβησαν άκαρπες Από τα τέλη του 18ου αιώνα η προσδοκώμενη εξάρτηση του αιτήματος επιχειρήθηκε να αποδειχτεί με έμμεσο τρόπο Η σκέψη ήταν η εξής αν το αίτημα των παραλλήλων μπορεί να εξαχθεί από τα άλλα τέσσερα αιτήματα μαζί με την άρνηση του πέμπτου θα πρέπει να οδηγούν σε αντίφαση Το νέο σύστημα αξιωμάτων όμως αντί να οδηγήσει σε αντίφαση αποδείχτηκε ότι παράγει συνέπειες μαθηματικές θεωρίες Έτσι ανακαλύφθηκαν οι λεγόμενες μη ευκλείδειες γεωμετρίες και ταυτόχρονα αποδείχθηκε η ανεξαρτησία των αιτημάτων του Ευκλείδη

27

Ας δούμε τώρα την διατύπωση και την απόδειξη της πρότασης (5) που περιέχεται στο Βιβλίο Ι των laquoστοιχείωνraquo και αναφέρεται στη γνωστή μας πρόταση της ισότητας των παρά τη βάση γωνιών ισοσκελούς τριγώνου

28

Γιατί διδάσκουμε το μάθημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στο ζήτημα της laquoχρησιμότηταςraquo των σχολικών Μαθηματικών θα μπορούσε κανείς να αντιπαραθέσει (και πράγματι αντιπαρατέθηκαν) πολλές διαφορετικές απόψεις Εμείς θα παραθέσουμε απλώς ένα απόσπασμα από τις αυτοβιογραφικές σημειώσεις του Albert Einstein το οποίο δείχνει μια άλλη τελείως διαφορετική αντίληψη σχετικά με την laquoχρησιμότηταraquo της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Γράφοντας για τα γεγονότα της παιδικής και εφηβικής του ζωής που είχαν μεγάλη επίδραση στην μετέπειτα εξέλιξη του ο Einstein σημειώνει

Σε ηλικία 12 ετών δοκίμασα μια δεύτερη τελείως διαφορετική έκπληξη σε ένα μικρό βιβλίο Ευκλείδειας επίπεδης γεωμετρίαςhellip Εδώ υπήρχαν ισχυρισμοί όπως για παράδειγμα τα τρία ύψη ενός τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο οι οποίοι - αν και καθόλου προφανείς - μπορούσαν ωστόσο να αποδειχτούν με τέτοια βεβαιότητα ώστε να μην χωρεί η παραμικρή αμφιβολία Αυτή η σαφήνεια και βεβαιότητα μου προξένησαν μια εντύπωση που δεν μπορεί να περιγραφεί Το γεγονός ότι τα αξιώματα έπρεπε να γίνουν δεκτά χωρίς απόδειξη δεν με ενόχλησε Σε κάθε περίπτωση μου αρκούσε πλήρως το γεγονός ότι μπορούσαν να στηρίζω τις αποδείξεις σε προτάσεις η εγκυρότητα των οποίων ήταν για μένα αναμφισβήτητη

Η περίπτωση του Einstein του επιστήμονα που άλλαξε ριζικά τις αντιλήψεις μας και την γεωμετρική δομή του σύμπαντος αποκαλύπτει την σπουδαιότητα ορισμένων παιδαγωγικών σκοπών και τη συνάφειά τους με το ερώτημα που θέσαμε ως τίτλο αυτής της ενότητας καλλιέργεια και ανάπτυξη της συγκροτημένης σκέψης μύηση στην επιστημονική μέθοδο μελέτες του κόσμου Αυτοί οι σκοποί παρόλη τη γενικότητά τους συνδέονται άμεσα με τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας που άσκησαν καθοριστική επίδραση στο νεαρό Einstein τα οποία είναι

bull Σαφήνεια στην έκθεση

bull Ολοκληρωτική απόδειξη κάθε υπόθεσης

bull Απόλυτη συνάφεια σχημάτων και συλλογισμών

bull Τάξη και ομορφιά

Αν τα στοιχεία αυτά αποτελούν ουσιώδη συστατικά της μαθηματικής παιδείας τότε παρέχουν κατά την άποψή μας μια αυτονόητη απάντηση στο ερώτημα laquoΓιατί διδάσκουμε την Ευκλείδεια Γεωμετρίαraquo

Αντιλήψεις και αντιπαραθέσεις για τη διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Οι ένθερμοι υποστηρικτές της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προβάλλουν την παιδαγωγική αξία της λογικής και διάφανης επιχειρηματολογίας των γεωμετρικών αποδείξεων ενώ οι πολέμιοί της επικαλούνται την αναμφισβήτητη δυσκολία των περισσότερων μαθητών να κατανοήσουν τις γεωμετρικές έννοιες και τις πολύ χαμηλές επιδόσεις τους στην αντιμετώπιση σχετικών προβλημάτων Ενδιάμεσα βρίσκονται συνήθως οι σκεπτικιστές οι οποίοι επισημαίνουν τον περιορισμένο επιστημολογικά ρόλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και την ανάγκη να ανανεωθεί η διδασκαλία των Μαθηματικών δίνοντας μεγαλύτερη έμφαση σε πιο σύγχρονους και laquoχρήσιμουςraquo κλάδους (πχ Πιθανότητες και Στατιστική) Από την εποχή που ο Dieudonne κήρυξε τον πόλεμο κατά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας οι αντιλήψεις

29

αυτές έγιναν αντικείμενο επεξεργασίας και αντιπαρατέθηκαν μεταξύ τους από σημαντικούς μαθηματικούς και παιδαγωγούς ενώ οι σχετικές συζητήσεις συνεχίζονται με αμείωτη ένταση μέχρι σήμερα Σε μια ειδική μελέτη της Διεθνούς Επιτροπής για τη Μαθηματική Εκπαίδευση (ICMI) έγινε απόπειρα σύνθεσης των διαφόρων τάσεων και διατυπώθηκαν οι εξής τρεις εναλλακτικές λύσεις για τη διδασκαλία του μαθήματος

1 η λύση

Απορρίπτουμε την ιδέα ότι η Γεωμετρία πρέπει ή μπορεί να χρησιμοποιηθεί στο σχολείο ως ένα σύστημα γνώσεων (παραγωγικά οργανωμένο ή όχι) όπου οι έννοιες και τα γεγονότα πρέπει να γίνουν γνωστά απλά και μόνο επειδή ανήκουν στο σύστημα Αντίθετα η Γεωμετρία και ο χώρος θεωρούνται ως πηγές άντλησης εξαιρετικών θεμάτων για την οργάνωση πολλαπλών δραστηριοτήτων σε διαφορετικά επίπεδα Οι laquoχρησιμοθηρικέςraquo όψεις της Γεωμετρίας θα εξυπηρετηθούν με την παροχή αλγεβρικών μεθόδων

2 η λύση

Εξακολουθούμε να επιχειρούμε τη διδασκαλία ενός αξιωματικού ή ψευδο-αξιωματικού μαθήματος σχολικής Γεωμετρίας το οποίο στηρίζεται είτε σε laquoτροποποίησηraquo των laquoΣτοιχείωνraquo του Ευκλείδη (για παράδειγμα αξιωματική θεμελίωση τύπου Pogorelov) είτε πχ στους γεωμετρικούς σχηματισμούς

3 η λύση

Για ορισμένες ομάδες μαθητών τουλάχιστον παρουσιάζουμε laquoνησίδεςraquo Γεωμετρίας δηλαδή laquoτοπικάraquo παραγωγικά συστήματα μέσα στο πλαίσιο του γενικού αναλυτικού προγράμματος (Έτσι μπορούμε για παράδειγμα να έχουμε ενότητες για τις ιδιότητες των εγγεγραμμένων σε κύκλο γωνιών ή τη στοιχειώδη προβολική Γεωμετρία)

Στην Ελλάδα για προφανείς ιστορικούς και πολιτιστικούς λόγους συνεχίζεται μια παράδοση που προσεγγίζεται εγγύτατα τη δεύτερη από τις προηγούμενες εναλλακτικές λύσεις Ακόμη και την περίοδο της μεταρρύθμισης των laquoΝέων Μαθηματικώνraquo η διεθνής πίεση για εκσυγχρονισμό των σχολικών Μαθηματικών και εγκατάλειψη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αφομοιώθηκε στη χώρα μας μέσα από έναν ιδιότυπο συμβιβασμό από τη μια μεριά διατηρήθηκε όλη η παραδοσιακή σχολική ύλη την οποία σε μεγάλο βαθμό συντηρούσαν οι εισαγωγικές εξετάσεις των ΑΕΙ και από την άλλη δόθηκε υπερβολική έμφαση στην αυστηρή αξιωματική θεμελίωσης της Γεωμετρίας καθώς και με την εισαγωγή νέας ύλης πάνω στους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς Στις αντιφατικές επιλογές εκείνης της περιόδου βρίσκονται κατά την άποψη μας οι ρίζες της μετέπειτα υποβάθμισης και παρακμής του μαθήματος της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

30

Το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στη σύγχρονη Διδακτική των Μαθηματικών τα θεμελιώδη επιστημολογικά χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας όπως είναι η παραγωγική οργάνωση του περιεχομένου η αποδεικτική διαδικασία και η έμφαση στις γεωμετρικές κατασκευές αναφέρονται συνήθως ως laquoανώτερα επίπεδα γεωμετρικής σκέψηςraquo και η μάθηση τους έχει γίνει αντικείμενο συστηματικής μελέτης και έρευνας Ένα βασικό θεωρητικό μοντέλο στο οποίο έχει στηριχθεί η διεξαγωγή μεγάλου αριθμού ερευνών σε διάφορες χώρες αποτελούν τα λεγόμενα laquoεπίπεδα van Hieleraquo Σύμφωνα με αυτό το μοντέλο η μάθηση της Γεωμετρίας εξελίσσεται ιεραρχικά περνώντας από πέντε διαδοχικά επίπεδα

bull 1ο επίπεδο Εποπτικό

bull 2ο επίπεδο ΠεριγραφικόΑναλυτικό

bull 3ο επίπεδο ΑφηρημένοΣχεσιακό

bull 4ο επίπεδο ΤυπικόΠαραγωγικό

bull 5ο επίπεδο Μεταμαθηματικό

Οι μαθητές κατανοούν τη σημασία και τη διαδικασία οικοδόμησης ενός αξιωματικού μαθηματικού συστήματος και τις σχέσεις ανάμεσα σε διαφορετικά συστήματα Για παράδειγμα αναγνωρίζουν ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία δεν είναι παρά ένας από τους πολλούς δυνατούς τρόπους περιγραφής ενός αφηρημένου μαθηματικού σύμπαντος

Είναι φανερό ότι η διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προϋποθέτει τα δύο πρώτα επίπεδα και έχει ως κύριο σκοπό την κατάκτηση των δύο επόμενων επιπέδων (για το 5ο

μάλλον δεν μπορεί να γίνεται λόγος στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση) Σε θεωρητικό επίπεδο τόσο και η θεωρία των van Hiele όσο και η γενικότερη θεωρία των σταδίων μάθησης του Piaget προβλέπουν ότι η κατάκτηση αυτών των επιπέδων είναι μια επίπονη και ιεραρχικά εξελισσόμενη διαδικασία που απαιτεί μακροχρόνια και προσεχτικά σχεδιασμένη διδασκαλία Αυτές οι θεωρητικές προβλέψεις φαίνεται να επιβεβαιώνονται από πολλές εμπειρικές έρευνες που έχουν διεξαχθεί σε διάφορες χώρες και τα αποτελέσματά τους οδηγούν σε ένα βασικό συμπέρασμα laquo η καθιερωμένη παραδοσιακή διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αδυνατεί να οδηγήσει τους μαθητές στην κατάκτηση των ανώτερων επιπέδων γεωμετρικής σκέψης raquo

Από τα αποτελέσματα αυτών των ερευνών αξίζει νrsquo αναφέρουμε εδώ ένα εντυπωσιακό στατιστικό στοιχείο που αποκαλύπτει τις διαστάσεις του προβλήματος σε μια έρευνα που έγινε στις ΗΠΑ μεταξύ 1520 μαθητών που είχαν ολοκληρώσει ένα έτος διδασκαλίας της θεωρητικής Ευκλείδειας Γεωμετρίας διαπιστώθηκε ότι μόνο το 30 είχε φτάσει σε ένα επίπεδο που μπορεί να χαρακτηριστεί από 75 επιτυχία στην απόδειξη απλών γεωμετρικών προτάσεων (πχ ότι οι διαγώνιες ενός ορθογωνίου είναι ίσες) Το ποσοστό των μαθητών που είχαν 100 επιτυχία δεν ξεπέρασε το 3

31

Κοινή πεποίθηση όλων αυτών των ερευνητών είναι ότι για να κατανοηθούν οι παραγωγικές αποδείξεις της Ευκλείδειας Γεωμετρίας απαιτείται μια ισχυρή διαισθητική βάση την οποία οι μαθητές θα αποκτήσουν μέσα από επαγωγικές εμπειρικές ανακαλύψεις τη διαπίστωση και επαλήθευση υποθέσεων τις γεωμετρικές κατασκευές και εφαρμογές Έτσι λοιπόν η διδασκαλία της Γεωμετρίας δεν θα πρέπει να στηρίζεται σrsquo ένα τεχνητό διαχωρισμό ανάμεσα σε laquoΠρακτική Γεωμετρίαraquo σχεδίασης και μετρήσεων και μια laquoΘεωρητική Γεωμετρίαraquo αποδείξεων αλλά να συνδυάζει μια ισορροπημένη ανάπτυξη των δύο αυτών όψεων του μαθήματος σrsquo όλο το φάσμα της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Η επινόηση διδακτικών μέσων και μεθόδων που θα επιτρέψουν την υλοποίηση αυτού του στόχου φαίνεται ότι αποτελεί σήμερα το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ

Η Γεωμετρία του Ευκλείδη απετέλεσε το θεμέλιο για την ανάπτυξη της laquoδυτικήςraquo επιστήμης και τεχνικής και σ αυτή τη Γεωμετρία στηρίζονται οι προϋποθέσεις της κλασικής Φυσικής από την Αναγέννηση και μετά Μόλις το 19ο αιώνα διαπιστώθηκε όμως (Λάμπερτ Γκάους Μπολυάι Λομπατσέβσκι κά) ότι η ευκλείδεια Γεωμετρία στηρίζεται στην απλοϊκή αντίληψη του επίπεδου χώρου ο οποίος είναι μεν χρήσιμος για την περιοχή που αντιλαμβάνεται με τις αισθήσεις του ένας άνθρωπος αλλά όχι για πολύ μεγάλες τιμές των φυσικών μεγεθών (αποστάσεις ταχύτητες μάζες κτλ) Τότε παύει να ισχύει η επίπεδη αντίληψη και μαζί της η Ευκλείδεια Γεωμετρία επειδή στην πραγματικότητα ο χώρος είναι κυρτός Έτσι η Γεωμετρία συμπληρώνεται με βάση αντιλήψεις που στηρίζονται στον υπερβολικό ελλειπτικό κά χώρο

Σήμερα η γεωμετρία του Ευκλείδη διδάσκεται παγκοσμίως και ανελλιπώς επί 23 αιώνες με τον τιμητικό τίτλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Στη σύγχρονη όμως σχολική γεωμετρία περιλαμβάνονται και υπολογισμοί και μετρήσεις οι οποίες από το έργο του Ευκλείδη απουσιάζουν εντελώς

Η συνολική προσφορά του Ευκλείδη στα Μαθηματικά και τις εφαρμοσμένες τέχνες υπήρξε σημαντικότατη και ταυτόχρονα βάση από την οποία εξόρμησαν οι μεταγενέστεροι μαθηματικοί γεωγράφοι και αστρονόμοι για να οδηγηθούν στο τελικό μαθηματικό θαύμα της Ελληνικής Αρχαιότητας

32

33

ΒΙΟΓΡΑΦΙΑ Ο Αρχιμήδης ήταν ένας από τους μεγάλους μαθηματικούς μηχανικούς και φυσικούς του αρχαίου Ελληνικού χώρου και μια από τις μεγαλύτερες μαθηματικές ευφυΐες του κόσμου Γεννήθηκε έζησε και πέθανε στις Συρακούσες την μεγάλη Ελληνική αποικία της Σικελίας

Πατέρας του Αρχιμήδη ήταν ο αστρονόμος Φειδίας που είχε δεσμούς φιλίας με το βασιλικό γένος των Συρακουσών Ο Αρχιμήδης ταξίδεψε στην Αίγυπτο και ήρθε σε επαφή με τους διαδόχους του Ευκλείδη του Ερατοσθένη και το Δισίθεο ενώ ήταν φίλος και συμμαθητής του Κόνωνα του Σάμιου

Υπήρξε λαμπρό παράδειγμα πρωτότυπου ερευνητή ο οποίος δεν ενδιαφέρθηκε να διευκολύνει τους αρχάριους αλλά ασχολήθηκε κυρίως για την αποκάλυψη νέων αληθειών για δική του ικανοποίηση και των ώριμων ήδη διανοούμενων Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο ενώ η κατανόηση του Ευκλείδη δεν απαιτεί εξαιρετική προηγούμενη γνώση και ευφυΐα τα προϊόντα της μαθηματικής σκέψεως τα οποία πρόκειται τώρα να εξετάσουμε είναι προσιτά αποκλειστικώς και μόνο στην ανάγνωση υψηλής πνευματικής στάθμης

Πήγε στην Αίγυπτο ως εκπαιδευτικός και ήρθε σε επαφή όχι βέβαια με τον Ευκλείδη που είχε στο μεταξύ πεθάνει αλλά με τους διαδόχους του και έκανε στενούς δεσμούς με εξαιρετικούς γεωμετρικούς όπως ο Κόνων ο Σάμιος ο Ερατοσθένης ο Κυρηναίος ο Δισίθεος κλπ από τους οποίους κατόπιν όσα έργα συνέταξε μετά την επιστροφή του στην πατρίδα του

34

Το έργο τουΤο έργο του Αρχιμήδη υπήρξε τεράστιο τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά και η ερευνητική ματιά του κάλυψε πολλούς τομείς γεωμετρία οπτική (κατοπτρική) υδραυλική μηχανική αρχιτεκτονική και την πολιορκητική Συνέδεσε το όνομά του με την γένεση της μηχανικής στην αρχαία Ελλάδα και με την λύση περίφημων μαθηματικών προβλημάτων καθώς και με τις αμυντικές εφευρέσεις του που χρησιμοποιήθηκαν όταν οι Ρωμαίοι πολιορκούσαν την πατρίδα του τις Συρακούσες

Σχολιαστής του έργου του Αρχιμήδη υπήρξε ο Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης (6ος αι μΧ) που καταγόταν από την ελληνική πόλη της Συρίας Ασκαλών

Στον χώρο της εφαρμοσμένης μηχανικής ο Αρχιμήδης επινόησε ιδιοφυείς μηχανές κάθε είδους Εφηύρε τον ρωμαϊκό ζυγό (καντάρι) το τρίσπαστο (ανυψωτική τριπλή τροχαλία) και τον ατέρμονα κοχλία έλιξ του Αρχιμήδους μηχανή άντλησης νερού από ποταμούς και φρέατα (η οποία χρησιμοποιείται ακόμα και στις μέρες μας σε περιοχές της βόρειας Αφρικής) Κατασκεύασε ένα υδραυλικό ρολόι το οποίο υπολόγιζε με μεγάλη ακρίβεια τις ώρες (και ειδοποιούσε για την αλλαγή της ώρας)

Μεγάλη φήμη απέκτησαν οι πολεμικές μηχανές του Αρχιμήδη αρχιτρόνιτο (πυροβόλο ατμού) καταπέλτες άρπαγες (μηχανισμός που ανύψωνε και αναποδογύριζε πλοία) και κάτοπτρα για την καύση των Ρωμαϊκών εχθρικών πλοίων (με παραβολικά κάτοπτρα όπως αποδείχτηκε από τα πειράματα του μηχανικού Ι Σακκά ο οποίος το 1973 απόδειξε τον τρόπο με τον οποίο ο Αρχιμήδης έκαψε τον ρωμαϊκό στόλο) Σύμφωνα με την παράδοση όταν η πόλη μετά από τριετή αντίσταση των ελλήνων κατελήφθη με προδοσία ένας ρωμαίος στρατιώτης σκότωσε τον Έλληνα επιστήμονα ενώ αυτός ήταν προσηλωμένος σε κάποιο γεωμετρικό πρόβλημα ΜΗ ΜΟΥ ΤΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥΣ ΤΑΡΑΤΤΕ πρόλαβε να του απαντήσει ο Έλληνας επιστήμονας

Ο Αρχιμήδης επηρέασε σε μεγάλο βαθμό την ευρωπαϊκή επιστημονική σκέψη καθώς και τους Άραβες επιστήμονες οι οποίοι αντέγραψαν όλα τα έργα του στα αραβικά γλώσσα στην οποία διασώθηκαν αρκετά αφού τα πρωτότυπα είχαν χαθεί

35

Διασωθέντα συγγράμματα

bull Περί σφαίρας και κυλίνδρου Βιβλίο α και βbull Κύκλου μέτρησις Σώζονται τρία θεωρήματαbull Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων (32 θεωρήματα 1 πόρισμα)bull Περί ελίκων (28 θεωρήματα 6 πορίσματα)bull Περί επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων ή Μηχανικά Βιβλ α και βbull Περί μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος (=μέθοδος)bull Βιβλίο λημμάτωνbull Πρόβλημα Βοεικόνbull Κατασκευή πλευράς του περιγραφομένου εις κύκλο επταγώνουbull Ωρολόγιον Αρχιμήδους (Σώζεται στα αραβικά)bull Περί κύκλων εφαπτομένων αλλήλωνbull Αρχαί της Γεωμετρίαςbull Ψαμμίτηςbull Τετραγωνισμός παραβολήςbull Οχουμένων (Υδροστατική)bull Στομάχιον (Σώζονται λίγα αποσπάσματα)

Συγγράμματα μη διασωθέντα (ή συγγράμματα μη αποκαλυφθέντα μέχρι σήμερα)

bull Αριθμητικάbull Βαρουλκός Υδροσκοπίαι Πνευματικήbull Επισίδια Βιβλία (Μάλλον περί στατιστικής - Τζέτζης)bull Περί τριγώνωνbull Περί τετραπλεύρουbull Περί ζευγώνbull Περί 13 ημικανονικών πολυέδρωνbull Ισοπεριμετικάbull Ισορροπίαιbull Καύσις δια κατόπτρων (επ΄ αυτού έγινε επιτυχές πείραμα στο ΝΣ)bull Περί Αρχιτεκτονικήςbull Περί βαρύτητος και ελαφρότητος (Πυκνόμετρα - Αραιόμετρα)bull Περί δρομομέτρων (Οδόμετρα πλοίων)bull Περί κέντρου Βάρους ή Κεντροβαρικάbull Κατοπρικάbull Περί παραλλήλων γραμμώνbull Περί κοίλων και παραβολικών κατόπτρωνbull Προοπτικήbull Στοιχεία μηχανικώνbull Πλινθίδες και Κύλινδροιbull Στοιχεία επί των στηρίξεωνbull Σφαιροποιΐα

36

Εφευρέσεις

bull Αραιόμετρο - Πυκνόμετροbull Αστρονομική συσκευήbull Βαρουλκόςbull Γερανοί (Αρπάγες)bull Καταπέλτεςbull Κάτοπτραbull Κοχλίας ή έλιξbull Οδόμετρο (δρομόμετρο)bull Πλανητάριον (σφαίρα)bull Πολύσπαστον (Βαρούλκο) τρίσπαστοbull Σίφωνbull Στομάχιον (επιτραπέζιο παιγνίδι το πρώτο παζλ)bull Τηλεβόλον Αρχιμήδους bull Χαριστίων (μοχλός)bull Ωρολόγιο υδραυλικό

37

Τα συγγράμματα του Αρχιμήδη που σώθηκαν μέχρι σήμερα είναι τα ακόλουθα Περί σφαίρας και κυλίνδρου Κύκλου μέτρησις περί σφαιροειδέων και κωνοειδέων Περί λίκων Επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων Ψαμμίτης Τετραγωνισμός παραβολής Οχούμενων Στομάχιον Προς Ερατοσθένην Έφοδος Βιβλίον περί λημμάτων Πρόβλημα βοεικόν Αποσπάσματα Μερικά από αυτά διασώθηκαν Πολλά επίσης είναι τα συγγράμματα του που χάθηκαν

Έκανε τα πρώτα βήματα για το μαθηματικό υπολογισμό επιφανειών με ακανόνιστο περίγραμμα και συμμετρικών εκ περιστροφής σωμάτων μέθοδος που εξελίχθηκε τεκμηριώθηκε και ονομάστηκε στην σύγχρονη εποχή laquoΟλοκληρωτικός Λογισμόςraquo υπολόγισε μία προσεγγιστική τιμή για τον άρρητο αριθμό π διατύπωσε το νόμο προεκτάσεις του γενίκευσε την εφαρμογή λέγοντας laquoΔώστε μου σημείο να στηριχθώ και θα κινήσω την γηraquo διατύπωσε την ομώνυμη αρχή για την άνωση του νερού κατασκεύασε διάφορες μηχανές ένα τύπο πολύσπαστου τον κοχλία μία αντλητική μηχανή με την laquoαρχιμήδειον έλικαraquo κά

Η συμβολή του ΑρχιμήδηΗ συμβολή του Αρχιμήδη στην ανάπτυξη της Μηχανικής συνιστάται πέρα από την επινόηση των τροχαλιών του πολύσπαστου και των οδοντωτών τροχών και ενός ιδιόμορφου αντλητικού συγκροτήματος στην έλικα που φέρει το όνομα του Ακόμα στην επακριβή διατύπωση των νόμων των μοχλών και των ισορροπιών ή κέντρα βαρών Εδώ υπάρχει και η περίφημη πρόταση laquo σύμμετρα μεγέθη ισορροπούν σε αποστάσεις αντιστρόφως ανάλογες προς το βάρος τους raquo

Σε σχέση με τους μοχλούς και τις δυνατότητες τους μας αναφέρει τη φράση laquo δος μοι πα στω και ταν γαν κινάσω raquo Απέδειξε στον Ιέρωνα ότι με ένα σύστημα τροχαλιών ndash οδοντωτών τροχών και μοχλών μπορεί να μετακινήσει ένα τεράστιο πλοίο με όλο το πλήρωμα μέσα μόνος του Ήταν ακόμα ο ίδιος που σχεδίασε και επιμελήθηκε τη ναυπήγηση του πλοίου

Ανέλαβε μετά από εντολή του Ιέρωνα την οχύρωση της πόλης και διηύθυνε ο ίδιος την άμυνα της εναντίον των Ρωμαίων

Στην αστρονομία ο Λίβιος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης είναι laquoμοναδικός παρατηρητής του ουρανού και των αστέρων raquo Ο Ίππαρχος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης ασχολήθηκε με τη μελέτη των ηλιοστασίων καθώς και με τον υπολογισμό της διάρκειας του έτους

Ο Μακρόβιος αναφέρει ότι ο Αρχιμήδης ανακάλυψε τις αποστάσεις των πλανητών ενώ στο έργο laquoΨαμμίτηςraquo περιγράφει τη συσκευή μέσω της οποίας μέτρησε τη φαινομενική γωνιακή διάμετρο του ήλιου

38

Ο Κικέρων αναφέρεται με θαυμασμό για τον Αρχιμήδη στα laquoΚατοπτρικάraquo Στα Μαθηματικά που ο ίδιος θεωρούσε ως τα πιο σημαντικά παρουσίασε την μέθοδο του προσδιορισμού του αριθμού π Τελειοποίησε το ελληνικό σύστημα αρίθμησης και παρουσίασε μια μέθοδο παράστασης των πολύ μεγάλων αριθμών Ασχολήθηκε με τη διαφορική Γεωμετρία βρήκε τους τύπους πρόσθεσης και αφαίρεσης τόξων Υπολόγισε το εμβαδόν της σφαίρας και του κυλίνδρου Μελέτησε διάφορα στερεά εκ περιστροφής όπως τα στερεά που παράγονται από περιστροφή έλλειψης υπερβολής και παραβολής γύρω από έναν άξονα

Στη Γεωμετρία το έργο του Αρχιμήδη αποτελείται κατά κύριο λόγο από πρωτότυπες μελέτες σχετικά με τον τετραγωνισμό των καμπυλόγραμμων επίπεδων σχημάτων καθώς και με τον τετραγωνισμό και τον κυβισμό καμπύλων επιφανειών

Τέλος επινόησε στο σύνολό της την Υδροστατική Επιστήμη την οποία ανέπτυξε πλήρως Οι μελέτες του αναπαριστούν ένα σύνολο μαθηματικών και γεωμετρικών επιτευγμάτων το οποίο δεν ξεπέρασε κανείς στην ανθρώπινη ιστορία

Όπως αναφέρει ο Wallis laquo ο Αρχιμήδης αφήνει ένα συγκεκριμένο μυστήριο να καλύπτει τον τρόπο με τον οποίο κατέληγε στα αποτελέσματά του Είναι σαν να είχε καλύψει σκοπίμως τα ίχνη του τα ίχνη των ερευνών του σα να ήταν απρόθυμος να αποκαλύψει το μυστικό της μεθόδου έρευνάς του στους μεταγενέστερους ενώ επιθυμούσε να αποσπάσει τη συναίνεσή τους για τα αποτελέσματά του raquo

Ο ίδιος ο Αρχιμήδης ως φορέας ενός ανώτερου φιλοσοφικού πνεύματος θεωρούσε ταπεινή και ανάξια κάθε τέχνη που εξυπηρετούσε πρακτικές ανάγκες ή αποσκοπούσε στο οικονομικό κέρδος Γι` αυτό και έστρεψε όλη του την προσοχή και τις επιδιώξεις στους καθαρούς στοχασμούς χωρίς να καταδεχτεί να αφήσει κάποιο γραπτό στοιχείο για τις τεχνολογικές του ανακαλύψεις με μοναδική εξαίρεση όσες αναφέρονται στο έργο του laquoπερί σφαιροποιίαςraquo Δεν είναι καθόλου τυχαίο λοιπόν το ότι ο Κικέρων αργότερα βρήκε τον τάφο του και πάνω μία αναπαράσταση ενός κυλίνδρου περιγεγραμμένου σε σφαίρα με μία περιγραφή που έδινε το λόγο του κυλίνδρου προς τη σφαίρα

Σε ποιους τομείς εφαρμόστηκαν οι θεωρίες του Εξαιρετικές του μελέτες και για τη μέθοδο και για το αποτέλεσμα είναι εκείνες που έδωσαν τα εμβαδά Κύκλου Έλλειψης Παραβολής και Έλικας καθώς και τα εμβαδά και τους όγκους των Κυλίνδρων των Κώνων και κυρίως των Σφαιρών

Σημαντικότατη θεωρείται και η ανακάλυψη από τον ίδιο τύπου που δίνει το εμβαδόν τριγώνου από τις πλευρές του και ακόμα η επέκτασή του στα εγγεγραμμένα τετράπλευρα Ο Αρχιμήδης επίσης γνώριζε να κατασκευάζει τη λύση ειδικών τριτοβάθμιων προβλημάτων και μεταξύ αυτών και του Δηλίου Προβλήματος Τις λύσεις αυτές τις έδινε με την τομή δύο κωνικών (Ευτόκιος) Μοναδική είναι η προσφορά του στην ανώτερη μετρική Γεωμετρία Συγκεκριμένα εξέφρασε τους όγκους στερεών εκ περιστροφής κωνικών τομών εφαρμόζοντας απειροστικές μεθόδους ανάλυσης των στερεών αυτών

39

Στη σύγχρονη κλασική γεωμετρία όλο σχεδόν το μετρικό της μέρος οφείλεται στον Αρχιμήδη με αποτέλεσμα αυτή ουσιαστικά να είναι ισορροπημένη μείξη της Ευκλείδειας και της Αρχιμήδειας αρχαίας γεωμετρίας

Έτσι ο σοφός μας αποτελεί ουσιαστικά τον πατέρα της ανώτερης μετρικής γεωμετρίας της αρχαιότητας και ταυτόχρονα την πηγή έμπνευσης των νεώτερων μελετών του διαφορικού και απειροστικού λογισμού

Η πρωτοτυπία και η αποτελεσματικότητα των μελετών του έγιναν αιτία να χαρακτηριστεί από τους ιστορικούς των μαθηματικών ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών και όλων των εθνών

Ρεύμα στα ανάκτορα της Βρετανίας μέσω εφεύρεσης του Αρχιμήδη ( httpkatestimenoblogspotcom201109blog-post_1015html )

laquoΗ Βασίλισσα Ελισάβετ πρόκειται να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση ενός αρχαίου Έλληνα για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Και όταν λέμε αρχαίο Έλληνα εννοούμε τον Αρχιμήδη και όχι τον 90χρονο σύζυγό της Φίλιππο της Ελλάδαςraquo

Με αυτόν τον τίτλο πληροφορεί το βρετανικό κοινό η εφημερίδα ldquoDaily Mailrdquo για την απόφαση της Αυτής Μεγαλειότητας να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση του αρχαίου Έλληνα εφευρέτη Αρχιμήδη από τις Συρακούσες για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Πρόκειται για τη σύγχρονη εκδοχή του ατέρμονα κοχλία της έλικος του Αρχιμήδους όπως έμεινε γνωστή η εφεύρεση και είναι ένας σωληνοειδής κοχλίας που χρησίμευε για την άντληση νερού και την άρδευση καλλιεργημένων εκτάσεων

Η σύγχρονη εκδοχή της εφεύρεσης θα χρησιμοποιεί το νερό που μεταφέρεται από ένα τεχνητό φράγμα για να παράγει υδροηλεκτρική ενέργεια Ο μηχανισμός έχει ήδη μεταφερθεί μέσω του Τάμεση στο Romney Weir στα ανάκτορα του Γουίντσορ Σύμφωνα με το δημοσίευμα της εφημερίδας οι έλικες θα είναι έτοιμες για την παραγωγή ενέργειας τον προσεχή Νοέμβριο ενώ θα μπορούν να καλύψουν πλήρως τις ανάγκες του κάστρου σε ενέργεια μέσα στον επόμενο χρόνο

Εκτός αυτού οι τουρμπίνες είναι σχεδιασμένες ώστε να μην εμποδίζουν την ασφαλή διέλευση σολομού και χελιού μέσα στον ποταμό Τάμεση

Οι laquoέλικες του Αρχιμήδηraquo βάρους 40 τόνων κατασκευάστηκαν από ένα εργοστάσιο στην Ολλανδία και στοίχησαν 700000 λίρες Αγγλίας ενώ το κόστος εγκατάστασής τους θα ξεπεράσει το ένα εκατομμύριο λίρες

40

Ας δούμε τώρα την διατύπωση και την απόδειξη της πρότασης (5) που περιέχεται στο Βιβλίο Ι των laquoστοιχείωνraquo και αναφέρεται στη γνωστή μας πρόταση της ισότητας των παρά τη βάση γωνιών ισοσκελούς τριγώνου

28

Γιατί διδάσκουμε το μάθημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στο ζήτημα της laquoχρησιμότηταςraquo των σχολικών Μαθηματικών θα μπορούσε κανείς να αντιπαραθέσει (και πράγματι αντιπαρατέθηκαν) πολλές διαφορετικές απόψεις Εμείς θα παραθέσουμε απλώς ένα απόσπασμα από τις αυτοβιογραφικές σημειώσεις του Albert Einstein το οποίο δείχνει μια άλλη τελείως διαφορετική αντίληψη σχετικά με την laquoχρησιμότηταraquo της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Γράφοντας για τα γεγονότα της παιδικής και εφηβικής του ζωής που είχαν μεγάλη επίδραση στην μετέπειτα εξέλιξη του ο Einstein σημειώνει

Σε ηλικία 12 ετών δοκίμασα μια δεύτερη τελείως διαφορετική έκπληξη σε ένα μικρό βιβλίο Ευκλείδειας επίπεδης γεωμετρίαςhellip Εδώ υπήρχαν ισχυρισμοί όπως για παράδειγμα τα τρία ύψη ενός τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο οι οποίοι - αν και καθόλου προφανείς - μπορούσαν ωστόσο να αποδειχτούν με τέτοια βεβαιότητα ώστε να μην χωρεί η παραμικρή αμφιβολία Αυτή η σαφήνεια και βεβαιότητα μου προξένησαν μια εντύπωση που δεν μπορεί να περιγραφεί Το γεγονός ότι τα αξιώματα έπρεπε να γίνουν δεκτά χωρίς απόδειξη δεν με ενόχλησε Σε κάθε περίπτωση μου αρκούσε πλήρως το γεγονός ότι μπορούσαν να στηρίζω τις αποδείξεις σε προτάσεις η εγκυρότητα των οποίων ήταν για μένα αναμφισβήτητη

Η περίπτωση του Einstein του επιστήμονα που άλλαξε ριζικά τις αντιλήψεις μας και την γεωμετρική δομή του σύμπαντος αποκαλύπτει την σπουδαιότητα ορισμένων παιδαγωγικών σκοπών και τη συνάφειά τους με το ερώτημα που θέσαμε ως τίτλο αυτής της ενότητας καλλιέργεια και ανάπτυξη της συγκροτημένης σκέψης μύηση στην επιστημονική μέθοδο μελέτες του κόσμου Αυτοί οι σκοποί παρόλη τη γενικότητά τους συνδέονται άμεσα με τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας που άσκησαν καθοριστική επίδραση στο νεαρό Einstein τα οποία είναι

bull Σαφήνεια στην έκθεση

bull Ολοκληρωτική απόδειξη κάθε υπόθεσης

bull Απόλυτη συνάφεια σχημάτων και συλλογισμών

bull Τάξη και ομορφιά

Αν τα στοιχεία αυτά αποτελούν ουσιώδη συστατικά της μαθηματικής παιδείας τότε παρέχουν κατά την άποψή μας μια αυτονόητη απάντηση στο ερώτημα laquoΓιατί διδάσκουμε την Ευκλείδεια Γεωμετρίαraquo

Αντιλήψεις και αντιπαραθέσεις για τη διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Οι ένθερμοι υποστηρικτές της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προβάλλουν την παιδαγωγική αξία της λογικής και διάφανης επιχειρηματολογίας των γεωμετρικών αποδείξεων ενώ οι πολέμιοί της επικαλούνται την αναμφισβήτητη δυσκολία των περισσότερων μαθητών να κατανοήσουν τις γεωμετρικές έννοιες και τις πολύ χαμηλές επιδόσεις τους στην αντιμετώπιση σχετικών προβλημάτων Ενδιάμεσα βρίσκονται συνήθως οι σκεπτικιστές οι οποίοι επισημαίνουν τον περιορισμένο επιστημολογικά ρόλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και την ανάγκη να ανανεωθεί η διδασκαλία των Μαθηματικών δίνοντας μεγαλύτερη έμφαση σε πιο σύγχρονους και laquoχρήσιμουςraquo κλάδους (πχ Πιθανότητες και Στατιστική) Από την εποχή που ο Dieudonne κήρυξε τον πόλεμο κατά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας οι αντιλήψεις

29

αυτές έγιναν αντικείμενο επεξεργασίας και αντιπαρατέθηκαν μεταξύ τους από σημαντικούς μαθηματικούς και παιδαγωγούς ενώ οι σχετικές συζητήσεις συνεχίζονται με αμείωτη ένταση μέχρι σήμερα Σε μια ειδική μελέτη της Διεθνούς Επιτροπής για τη Μαθηματική Εκπαίδευση (ICMI) έγινε απόπειρα σύνθεσης των διαφόρων τάσεων και διατυπώθηκαν οι εξής τρεις εναλλακτικές λύσεις για τη διδασκαλία του μαθήματος

1 η λύση

Απορρίπτουμε την ιδέα ότι η Γεωμετρία πρέπει ή μπορεί να χρησιμοποιηθεί στο σχολείο ως ένα σύστημα γνώσεων (παραγωγικά οργανωμένο ή όχι) όπου οι έννοιες και τα γεγονότα πρέπει να γίνουν γνωστά απλά και μόνο επειδή ανήκουν στο σύστημα Αντίθετα η Γεωμετρία και ο χώρος θεωρούνται ως πηγές άντλησης εξαιρετικών θεμάτων για την οργάνωση πολλαπλών δραστηριοτήτων σε διαφορετικά επίπεδα Οι laquoχρησιμοθηρικέςraquo όψεις της Γεωμετρίας θα εξυπηρετηθούν με την παροχή αλγεβρικών μεθόδων

2 η λύση

Εξακολουθούμε να επιχειρούμε τη διδασκαλία ενός αξιωματικού ή ψευδο-αξιωματικού μαθήματος σχολικής Γεωμετρίας το οποίο στηρίζεται είτε σε laquoτροποποίησηraquo των laquoΣτοιχείωνraquo του Ευκλείδη (για παράδειγμα αξιωματική θεμελίωση τύπου Pogorelov) είτε πχ στους γεωμετρικούς σχηματισμούς

3 η λύση

Για ορισμένες ομάδες μαθητών τουλάχιστον παρουσιάζουμε laquoνησίδεςraquo Γεωμετρίας δηλαδή laquoτοπικάraquo παραγωγικά συστήματα μέσα στο πλαίσιο του γενικού αναλυτικού προγράμματος (Έτσι μπορούμε για παράδειγμα να έχουμε ενότητες για τις ιδιότητες των εγγεγραμμένων σε κύκλο γωνιών ή τη στοιχειώδη προβολική Γεωμετρία)

Στην Ελλάδα για προφανείς ιστορικούς και πολιτιστικούς λόγους συνεχίζεται μια παράδοση που προσεγγίζεται εγγύτατα τη δεύτερη από τις προηγούμενες εναλλακτικές λύσεις Ακόμη και την περίοδο της μεταρρύθμισης των laquoΝέων Μαθηματικώνraquo η διεθνής πίεση για εκσυγχρονισμό των σχολικών Μαθηματικών και εγκατάλειψη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αφομοιώθηκε στη χώρα μας μέσα από έναν ιδιότυπο συμβιβασμό από τη μια μεριά διατηρήθηκε όλη η παραδοσιακή σχολική ύλη την οποία σε μεγάλο βαθμό συντηρούσαν οι εισαγωγικές εξετάσεις των ΑΕΙ και από την άλλη δόθηκε υπερβολική έμφαση στην αυστηρή αξιωματική θεμελίωσης της Γεωμετρίας καθώς και με την εισαγωγή νέας ύλης πάνω στους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς Στις αντιφατικές επιλογές εκείνης της περιόδου βρίσκονται κατά την άποψη μας οι ρίζες της μετέπειτα υποβάθμισης και παρακμής του μαθήματος της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

30

Το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στη σύγχρονη Διδακτική των Μαθηματικών τα θεμελιώδη επιστημολογικά χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας όπως είναι η παραγωγική οργάνωση του περιεχομένου η αποδεικτική διαδικασία και η έμφαση στις γεωμετρικές κατασκευές αναφέρονται συνήθως ως laquoανώτερα επίπεδα γεωμετρικής σκέψηςraquo και η μάθηση τους έχει γίνει αντικείμενο συστηματικής μελέτης και έρευνας Ένα βασικό θεωρητικό μοντέλο στο οποίο έχει στηριχθεί η διεξαγωγή μεγάλου αριθμού ερευνών σε διάφορες χώρες αποτελούν τα λεγόμενα laquoεπίπεδα van Hieleraquo Σύμφωνα με αυτό το μοντέλο η μάθηση της Γεωμετρίας εξελίσσεται ιεραρχικά περνώντας από πέντε διαδοχικά επίπεδα

bull 1ο επίπεδο Εποπτικό

bull 2ο επίπεδο ΠεριγραφικόΑναλυτικό

bull 3ο επίπεδο ΑφηρημένοΣχεσιακό

bull 4ο επίπεδο ΤυπικόΠαραγωγικό

bull 5ο επίπεδο Μεταμαθηματικό

Οι μαθητές κατανοούν τη σημασία και τη διαδικασία οικοδόμησης ενός αξιωματικού μαθηματικού συστήματος και τις σχέσεις ανάμεσα σε διαφορετικά συστήματα Για παράδειγμα αναγνωρίζουν ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία δεν είναι παρά ένας από τους πολλούς δυνατούς τρόπους περιγραφής ενός αφηρημένου μαθηματικού σύμπαντος

Είναι φανερό ότι η διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προϋποθέτει τα δύο πρώτα επίπεδα και έχει ως κύριο σκοπό την κατάκτηση των δύο επόμενων επιπέδων (για το 5ο

μάλλον δεν μπορεί να γίνεται λόγος στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση) Σε θεωρητικό επίπεδο τόσο και η θεωρία των van Hiele όσο και η γενικότερη θεωρία των σταδίων μάθησης του Piaget προβλέπουν ότι η κατάκτηση αυτών των επιπέδων είναι μια επίπονη και ιεραρχικά εξελισσόμενη διαδικασία που απαιτεί μακροχρόνια και προσεχτικά σχεδιασμένη διδασκαλία Αυτές οι θεωρητικές προβλέψεις φαίνεται να επιβεβαιώνονται από πολλές εμπειρικές έρευνες που έχουν διεξαχθεί σε διάφορες χώρες και τα αποτελέσματά τους οδηγούν σε ένα βασικό συμπέρασμα laquo η καθιερωμένη παραδοσιακή διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αδυνατεί να οδηγήσει τους μαθητές στην κατάκτηση των ανώτερων επιπέδων γεωμετρικής σκέψης raquo

Από τα αποτελέσματα αυτών των ερευνών αξίζει νrsquo αναφέρουμε εδώ ένα εντυπωσιακό στατιστικό στοιχείο που αποκαλύπτει τις διαστάσεις του προβλήματος σε μια έρευνα που έγινε στις ΗΠΑ μεταξύ 1520 μαθητών που είχαν ολοκληρώσει ένα έτος διδασκαλίας της θεωρητικής Ευκλείδειας Γεωμετρίας διαπιστώθηκε ότι μόνο το 30 είχε φτάσει σε ένα επίπεδο που μπορεί να χαρακτηριστεί από 75 επιτυχία στην απόδειξη απλών γεωμετρικών προτάσεων (πχ ότι οι διαγώνιες ενός ορθογωνίου είναι ίσες) Το ποσοστό των μαθητών που είχαν 100 επιτυχία δεν ξεπέρασε το 3

31

Κοινή πεποίθηση όλων αυτών των ερευνητών είναι ότι για να κατανοηθούν οι παραγωγικές αποδείξεις της Ευκλείδειας Γεωμετρίας απαιτείται μια ισχυρή διαισθητική βάση την οποία οι μαθητές θα αποκτήσουν μέσα από επαγωγικές εμπειρικές ανακαλύψεις τη διαπίστωση και επαλήθευση υποθέσεων τις γεωμετρικές κατασκευές και εφαρμογές Έτσι λοιπόν η διδασκαλία της Γεωμετρίας δεν θα πρέπει να στηρίζεται σrsquo ένα τεχνητό διαχωρισμό ανάμεσα σε laquoΠρακτική Γεωμετρίαraquo σχεδίασης και μετρήσεων και μια laquoΘεωρητική Γεωμετρίαraquo αποδείξεων αλλά να συνδυάζει μια ισορροπημένη ανάπτυξη των δύο αυτών όψεων του μαθήματος σrsquo όλο το φάσμα της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Η επινόηση διδακτικών μέσων και μεθόδων που θα επιτρέψουν την υλοποίηση αυτού του στόχου φαίνεται ότι αποτελεί σήμερα το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ

Η Γεωμετρία του Ευκλείδη απετέλεσε το θεμέλιο για την ανάπτυξη της laquoδυτικήςraquo επιστήμης και τεχνικής και σ αυτή τη Γεωμετρία στηρίζονται οι προϋποθέσεις της κλασικής Φυσικής από την Αναγέννηση και μετά Μόλις το 19ο αιώνα διαπιστώθηκε όμως (Λάμπερτ Γκάους Μπολυάι Λομπατσέβσκι κά) ότι η ευκλείδεια Γεωμετρία στηρίζεται στην απλοϊκή αντίληψη του επίπεδου χώρου ο οποίος είναι μεν χρήσιμος για την περιοχή που αντιλαμβάνεται με τις αισθήσεις του ένας άνθρωπος αλλά όχι για πολύ μεγάλες τιμές των φυσικών μεγεθών (αποστάσεις ταχύτητες μάζες κτλ) Τότε παύει να ισχύει η επίπεδη αντίληψη και μαζί της η Ευκλείδεια Γεωμετρία επειδή στην πραγματικότητα ο χώρος είναι κυρτός Έτσι η Γεωμετρία συμπληρώνεται με βάση αντιλήψεις που στηρίζονται στον υπερβολικό ελλειπτικό κά χώρο

Σήμερα η γεωμετρία του Ευκλείδη διδάσκεται παγκοσμίως και ανελλιπώς επί 23 αιώνες με τον τιμητικό τίτλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Στη σύγχρονη όμως σχολική γεωμετρία περιλαμβάνονται και υπολογισμοί και μετρήσεις οι οποίες από το έργο του Ευκλείδη απουσιάζουν εντελώς

Η συνολική προσφορά του Ευκλείδη στα Μαθηματικά και τις εφαρμοσμένες τέχνες υπήρξε σημαντικότατη και ταυτόχρονα βάση από την οποία εξόρμησαν οι μεταγενέστεροι μαθηματικοί γεωγράφοι και αστρονόμοι για να οδηγηθούν στο τελικό μαθηματικό θαύμα της Ελληνικής Αρχαιότητας

32

33

ΒΙΟΓΡΑΦΙΑ Ο Αρχιμήδης ήταν ένας από τους μεγάλους μαθηματικούς μηχανικούς και φυσικούς του αρχαίου Ελληνικού χώρου και μια από τις μεγαλύτερες μαθηματικές ευφυΐες του κόσμου Γεννήθηκε έζησε και πέθανε στις Συρακούσες την μεγάλη Ελληνική αποικία της Σικελίας

Πατέρας του Αρχιμήδη ήταν ο αστρονόμος Φειδίας που είχε δεσμούς φιλίας με το βασιλικό γένος των Συρακουσών Ο Αρχιμήδης ταξίδεψε στην Αίγυπτο και ήρθε σε επαφή με τους διαδόχους του Ευκλείδη του Ερατοσθένη και το Δισίθεο ενώ ήταν φίλος και συμμαθητής του Κόνωνα του Σάμιου

Υπήρξε λαμπρό παράδειγμα πρωτότυπου ερευνητή ο οποίος δεν ενδιαφέρθηκε να διευκολύνει τους αρχάριους αλλά ασχολήθηκε κυρίως για την αποκάλυψη νέων αληθειών για δική του ικανοποίηση και των ώριμων ήδη διανοούμενων Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο ενώ η κατανόηση του Ευκλείδη δεν απαιτεί εξαιρετική προηγούμενη γνώση και ευφυΐα τα προϊόντα της μαθηματικής σκέψεως τα οποία πρόκειται τώρα να εξετάσουμε είναι προσιτά αποκλειστικώς και μόνο στην ανάγνωση υψηλής πνευματικής στάθμης

Πήγε στην Αίγυπτο ως εκπαιδευτικός και ήρθε σε επαφή όχι βέβαια με τον Ευκλείδη που είχε στο μεταξύ πεθάνει αλλά με τους διαδόχους του και έκανε στενούς δεσμούς με εξαιρετικούς γεωμετρικούς όπως ο Κόνων ο Σάμιος ο Ερατοσθένης ο Κυρηναίος ο Δισίθεος κλπ από τους οποίους κατόπιν όσα έργα συνέταξε μετά την επιστροφή του στην πατρίδα του

34

Το έργο τουΤο έργο του Αρχιμήδη υπήρξε τεράστιο τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά και η ερευνητική ματιά του κάλυψε πολλούς τομείς γεωμετρία οπτική (κατοπτρική) υδραυλική μηχανική αρχιτεκτονική και την πολιορκητική Συνέδεσε το όνομά του με την γένεση της μηχανικής στην αρχαία Ελλάδα και με την λύση περίφημων μαθηματικών προβλημάτων καθώς και με τις αμυντικές εφευρέσεις του που χρησιμοποιήθηκαν όταν οι Ρωμαίοι πολιορκούσαν την πατρίδα του τις Συρακούσες

Σχολιαστής του έργου του Αρχιμήδη υπήρξε ο Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης (6ος αι μΧ) που καταγόταν από την ελληνική πόλη της Συρίας Ασκαλών

Στον χώρο της εφαρμοσμένης μηχανικής ο Αρχιμήδης επινόησε ιδιοφυείς μηχανές κάθε είδους Εφηύρε τον ρωμαϊκό ζυγό (καντάρι) το τρίσπαστο (ανυψωτική τριπλή τροχαλία) και τον ατέρμονα κοχλία έλιξ του Αρχιμήδους μηχανή άντλησης νερού από ποταμούς και φρέατα (η οποία χρησιμοποιείται ακόμα και στις μέρες μας σε περιοχές της βόρειας Αφρικής) Κατασκεύασε ένα υδραυλικό ρολόι το οποίο υπολόγιζε με μεγάλη ακρίβεια τις ώρες (και ειδοποιούσε για την αλλαγή της ώρας)

Μεγάλη φήμη απέκτησαν οι πολεμικές μηχανές του Αρχιμήδη αρχιτρόνιτο (πυροβόλο ατμού) καταπέλτες άρπαγες (μηχανισμός που ανύψωνε και αναποδογύριζε πλοία) και κάτοπτρα για την καύση των Ρωμαϊκών εχθρικών πλοίων (με παραβολικά κάτοπτρα όπως αποδείχτηκε από τα πειράματα του μηχανικού Ι Σακκά ο οποίος το 1973 απόδειξε τον τρόπο με τον οποίο ο Αρχιμήδης έκαψε τον ρωμαϊκό στόλο) Σύμφωνα με την παράδοση όταν η πόλη μετά από τριετή αντίσταση των ελλήνων κατελήφθη με προδοσία ένας ρωμαίος στρατιώτης σκότωσε τον Έλληνα επιστήμονα ενώ αυτός ήταν προσηλωμένος σε κάποιο γεωμετρικό πρόβλημα ΜΗ ΜΟΥ ΤΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥΣ ΤΑΡΑΤΤΕ πρόλαβε να του απαντήσει ο Έλληνας επιστήμονας

Ο Αρχιμήδης επηρέασε σε μεγάλο βαθμό την ευρωπαϊκή επιστημονική σκέψη καθώς και τους Άραβες επιστήμονες οι οποίοι αντέγραψαν όλα τα έργα του στα αραβικά γλώσσα στην οποία διασώθηκαν αρκετά αφού τα πρωτότυπα είχαν χαθεί

35

Διασωθέντα συγγράμματα

bull Περί σφαίρας και κυλίνδρου Βιβλίο α και βbull Κύκλου μέτρησις Σώζονται τρία θεωρήματαbull Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων (32 θεωρήματα 1 πόρισμα)bull Περί ελίκων (28 θεωρήματα 6 πορίσματα)bull Περί επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων ή Μηχανικά Βιβλ α και βbull Περί μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος (=μέθοδος)bull Βιβλίο λημμάτωνbull Πρόβλημα Βοεικόνbull Κατασκευή πλευράς του περιγραφομένου εις κύκλο επταγώνουbull Ωρολόγιον Αρχιμήδους (Σώζεται στα αραβικά)bull Περί κύκλων εφαπτομένων αλλήλωνbull Αρχαί της Γεωμετρίαςbull Ψαμμίτηςbull Τετραγωνισμός παραβολήςbull Οχουμένων (Υδροστατική)bull Στομάχιον (Σώζονται λίγα αποσπάσματα)

Συγγράμματα μη διασωθέντα (ή συγγράμματα μη αποκαλυφθέντα μέχρι σήμερα)

bull Αριθμητικάbull Βαρουλκός Υδροσκοπίαι Πνευματικήbull Επισίδια Βιβλία (Μάλλον περί στατιστικής - Τζέτζης)bull Περί τριγώνωνbull Περί τετραπλεύρουbull Περί ζευγώνbull Περί 13 ημικανονικών πολυέδρωνbull Ισοπεριμετικάbull Ισορροπίαιbull Καύσις δια κατόπτρων (επ΄ αυτού έγινε επιτυχές πείραμα στο ΝΣ)bull Περί Αρχιτεκτονικήςbull Περί βαρύτητος και ελαφρότητος (Πυκνόμετρα - Αραιόμετρα)bull Περί δρομομέτρων (Οδόμετρα πλοίων)bull Περί κέντρου Βάρους ή Κεντροβαρικάbull Κατοπρικάbull Περί παραλλήλων γραμμώνbull Περί κοίλων και παραβολικών κατόπτρωνbull Προοπτικήbull Στοιχεία μηχανικώνbull Πλινθίδες και Κύλινδροιbull Στοιχεία επί των στηρίξεωνbull Σφαιροποιΐα

36

Εφευρέσεις

bull Αραιόμετρο - Πυκνόμετροbull Αστρονομική συσκευήbull Βαρουλκόςbull Γερανοί (Αρπάγες)bull Καταπέλτεςbull Κάτοπτραbull Κοχλίας ή έλιξbull Οδόμετρο (δρομόμετρο)bull Πλανητάριον (σφαίρα)bull Πολύσπαστον (Βαρούλκο) τρίσπαστοbull Σίφωνbull Στομάχιον (επιτραπέζιο παιγνίδι το πρώτο παζλ)bull Τηλεβόλον Αρχιμήδους bull Χαριστίων (μοχλός)bull Ωρολόγιο υδραυλικό

37

Τα συγγράμματα του Αρχιμήδη που σώθηκαν μέχρι σήμερα είναι τα ακόλουθα Περί σφαίρας και κυλίνδρου Κύκλου μέτρησις περί σφαιροειδέων και κωνοειδέων Περί λίκων Επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων Ψαμμίτης Τετραγωνισμός παραβολής Οχούμενων Στομάχιον Προς Ερατοσθένην Έφοδος Βιβλίον περί λημμάτων Πρόβλημα βοεικόν Αποσπάσματα Μερικά από αυτά διασώθηκαν Πολλά επίσης είναι τα συγγράμματα του που χάθηκαν

Έκανε τα πρώτα βήματα για το μαθηματικό υπολογισμό επιφανειών με ακανόνιστο περίγραμμα και συμμετρικών εκ περιστροφής σωμάτων μέθοδος που εξελίχθηκε τεκμηριώθηκε και ονομάστηκε στην σύγχρονη εποχή laquoΟλοκληρωτικός Λογισμόςraquo υπολόγισε μία προσεγγιστική τιμή για τον άρρητο αριθμό π διατύπωσε το νόμο προεκτάσεις του γενίκευσε την εφαρμογή λέγοντας laquoΔώστε μου σημείο να στηριχθώ και θα κινήσω την γηraquo διατύπωσε την ομώνυμη αρχή για την άνωση του νερού κατασκεύασε διάφορες μηχανές ένα τύπο πολύσπαστου τον κοχλία μία αντλητική μηχανή με την laquoαρχιμήδειον έλικαraquo κά

Η συμβολή του ΑρχιμήδηΗ συμβολή του Αρχιμήδη στην ανάπτυξη της Μηχανικής συνιστάται πέρα από την επινόηση των τροχαλιών του πολύσπαστου και των οδοντωτών τροχών και ενός ιδιόμορφου αντλητικού συγκροτήματος στην έλικα που φέρει το όνομα του Ακόμα στην επακριβή διατύπωση των νόμων των μοχλών και των ισορροπιών ή κέντρα βαρών Εδώ υπάρχει και η περίφημη πρόταση laquo σύμμετρα μεγέθη ισορροπούν σε αποστάσεις αντιστρόφως ανάλογες προς το βάρος τους raquo

Σε σχέση με τους μοχλούς και τις δυνατότητες τους μας αναφέρει τη φράση laquo δος μοι πα στω και ταν γαν κινάσω raquo Απέδειξε στον Ιέρωνα ότι με ένα σύστημα τροχαλιών ndash οδοντωτών τροχών και μοχλών μπορεί να μετακινήσει ένα τεράστιο πλοίο με όλο το πλήρωμα μέσα μόνος του Ήταν ακόμα ο ίδιος που σχεδίασε και επιμελήθηκε τη ναυπήγηση του πλοίου

Ανέλαβε μετά από εντολή του Ιέρωνα την οχύρωση της πόλης και διηύθυνε ο ίδιος την άμυνα της εναντίον των Ρωμαίων

Στην αστρονομία ο Λίβιος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης είναι laquoμοναδικός παρατηρητής του ουρανού και των αστέρων raquo Ο Ίππαρχος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης ασχολήθηκε με τη μελέτη των ηλιοστασίων καθώς και με τον υπολογισμό της διάρκειας του έτους

Ο Μακρόβιος αναφέρει ότι ο Αρχιμήδης ανακάλυψε τις αποστάσεις των πλανητών ενώ στο έργο laquoΨαμμίτηςraquo περιγράφει τη συσκευή μέσω της οποίας μέτρησε τη φαινομενική γωνιακή διάμετρο του ήλιου

38

Ο Κικέρων αναφέρεται με θαυμασμό για τον Αρχιμήδη στα laquoΚατοπτρικάraquo Στα Μαθηματικά που ο ίδιος θεωρούσε ως τα πιο σημαντικά παρουσίασε την μέθοδο του προσδιορισμού του αριθμού π Τελειοποίησε το ελληνικό σύστημα αρίθμησης και παρουσίασε μια μέθοδο παράστασης των πολύ μεγάλων αριθμών Ασχολήθηκε με τη διαφορική Γεωμετρία βρήκε τους τύπους πρόσθεσης και αφαίρεσης τόξων Υπολόγισε το εμβαδόν της σφαίρας και του κυλίνδρου Μελέτησε διάφορα στερεά εκ περιστροφής όπως τα στερεά που παράγονται από περιστροφή έλλειψης υπερβολής και παραβολής γύρω από έναν άξονα

Στη Γεωμετρία το έργο του Αρχιμήδη αποτελείται κατά κύριο λόγο από πρωτότυπες μελέτες σχετικά με τον τετραγωνισμό των καμπυλόγραμμων επίπεδων σχημάτων καθώς και με τον τετραγωνισμό και τον κυβισμό καμπύλων επιφανειών

Τέλος επινόησε στο σύνολό της την Υδροστατική Επιστήμη την οποία ανέπτυξε πλήρως Οι μελέτες του αναπαριστούν ένα σύνολο μαθηματικών και γεωμετρικών επιτευγμάτων το οποίο δεν ξεπέρασε κανείς στην ανθρώπινη ιστορία

Όπως αναφέρει ο Wallis laquo ο Αρχιμήδης αφήνει ένα συγκεκριμένο μυστήριο να καλύπτει τον τρόπο με τον οποίο κατέληγε στα αποτελέσματά του Είναι σαν να είχε καλύψει σκοπίμως τα ίχνη του τα ίχνη των ερευνών του σα να ήταν απρόθυμος να αποκαλύψει το μυστικό της μεθόδου έρευνάς του στους μεταγενέστερους ενώ επιθυμούσε να αποσπάσει τη συναίνεσή τους για τα αποτελέσματά του raquo

Ο ίδιος ο Αρχιμήδης ως φορέας ενός ανώτερου φιλοσοφικού πνεύματος θεωρούσε ταπεινή και ανάξια κάθε τέχνη που εξυπηρετούσε πρακτικές ανάγκες ή αποσκοπούσε στο οικονομικό κέρδος Γι` αυτό και έστρεψε όλη του την προσοχή και τις επιδιώξεις στους καθαρούς στοχασμούς χωρίς να καταδεχτεί να αφήσει κάποιο γραπτό στοιχείο για τις τεχνολογικές του ανακαλύψεις με μοναδική εξαίρεση όσες αναφέρονται στο έργο του laquoπερί σφαιροποιίαςraquo Δεν είναι καθόλου τυχαίο λοιπόν το ότι ο Κικέρων αργότερα βρήκε τον τάφο του και πάνω μία αναπαράσταση ενός κυλίνδρου περιγεγραμμένου σε σφαίρα με μία περιγραφή που έδινε το λόγο του κυλίνδρου προς τη σφαίρα

Σε ποιους τομείς εφαρμόστηκαν οι θεωρίες του Εξαιρετικές του μελέτες και για τη μέθοδο και για το αποτέλεσμα είναι εκείνες που έδωσαν τα εμβαδά Κύκλου Έλλειψης Παραβολής και Έλικας καθώς και τα εμβαδά και τους όγκους των Κυλίνδρων των Κώνων και κυρίως των Σφαιρών

Σημαντικότατη θεωρείται και η ανακάλυψη από τον ίδιο τύπου που δίνει το εμβαδόν τριγώνου από τις πλευρές του και ακόμα η επέκτασή του στα εγγεγραμμένα τετράπλευρα Ο Αρχιμήδης επίσης γνώριζε να κατασκευάζει τη λύση ειδικών τριτοβάθμιων προβλημάτων και μεταξύ αυτών και του Δηλίου Προβλήματος Τις λύσεις αυτές τις έδινε με την τομή δύο κωνικών (Ευτόκιος) Μοναδική είναι η προσφορά του στην ανώτερη μετρική Γεωμετρία Συγκεκριμένα εξέφρασε τους όγκους στερεών εκ περιστροφής κωνικών τομών εφαρμόζοντας απειροστικές μεθόδους ανάλυσης των στερεών αυτών

39

Στη σύγχρονη κλασική γεωμετρία όλο σχεδόν το μετρικό της μέρος οφείλεται στον Αρχιμήδη με αποτέλεσμα αυτή ουσιαστικά να είναι ισορροπημένη μείξη της Ευκλείδειας και της Αρχιμήδειας αρχαίας γεωμετρίας

Έτσι ο σοφός μας αποτελεί ουσιαστικά τον πατέρα της ανώτερης μετρικής γεωμετρίας της αρχαιότητας και ταυτόχρονα την πηγή έμπνευσης των νεώτερων μελετών του διαφορικού και απειροστικού λογισμού

Η πρωτοτυπία και η αποτελεσματικότητα των μελετών του έγιναν αιτία να χαρακτηριστεί από τους ιστορικούς των μαθηματικών ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών και όλων των εθνών

Ρεύμα στα ανάκτορα της Βρετανίας μέσω εφεύρεσης του Αρχιμήδη ( httpkatestimenoblogspotcom201109blog-post_1015html )

laquoΗ Βασίλισσα Ελισάβετ πρόκειται να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση ενός αρχαίου Έλληνα για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Και όταν λέμε αρχαίο Έλληνα εννοούμε τον Αρχιμήδη και όχι τον 90χρονο σύζυγό της Φίλιππο της Ελλάδαςraquo

Με αυτόν τον τίτλο πληροφορεί το βρετανικό κοινό η εφημερίδα ldquoDaily Mailrdquo για την απόφαση της Αυτής Μεγαλειότητας να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση του αρχαίου Έλληνα εφευρέτη Αρχιμήδη από τις Συρακούσες για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Πρόκειται για τη σύγχρονη εκδοχή του ατέρμονα κοχλία της έλικος του Αρχιμήδους όπως έμεινε γνωστή η εφεύρεση και είναι ένας σωληνοειδής κοχλίας που χρησίμευε για την άντληση νερού και την άρδευση καλλιεργημένων εκτάσεων

Η σύγχρονη εκδοχή της εφεύρεσης θα χρησιμοποιεί το νερό που μεταφέρεται από ένα τεχνητό φράγμα για να παράγει υδροηλεκτρική ενέργεια Ο μηχανισμός έχει ήδη μεταφερθεί μέσω του Τάμεση στο Romney Weir στα ανάκτορα του Γουίντσορ Σύμφωνα με το δημοσίευμα της εφημερίδας οι έλικες θα είναι έτοιμες για την παραγωγή ενέργειας τον προσεχή Νοέμβριο ενώ θα μπορούν να καλύψουν πλήρως τις ανάγκες του κάστρου σε ενέργεια μέσα στον επόμενο χρόνο

Εκτός αυτού οι τουρμπίνες είναι σχεδιασμένες ώστε να μην εμποδίζουν την ασφαλή διέλευση σολομού και χελιού μέσα στον ποταμό Τάμεση

Οι laquoέλικες του Αρχιμήδηraquo βάρους 40 τόνων κατασκευάστηκαν από ένα εργοστάσιο στην Ολλανδία και στοίχησαν 700000 λίρες Αγγλίας ενώ το κόστος εγκατάστασής τους θα ξεπεράσει το ένα εκατομμύριο λίρες

40

Γιατί διδάσκουμε το μάθημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στο ζήτημα της laquoχρησιμότηταςraquo των σχολικών Μαθηματικών θα μπορούσε κανείς να αντιπαραθέσει (και πράγματι αντιπαρατέθηκαν) πολλές διαφορετικές απόψεις Εμείς θα παραθέσουμε απλώς ένα απόσπασμα από τις αυτοβιογραφικές σημειώσεις του Albert Einstein το οποίο δείχνει μια άλλη τελείως διαφορετική αντίληψη σχετικά με την laquoχρησιμότηταraquo της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Γράφοντας για τα γεγονότα της παιδικής και εφηβικής του ζωής που είχαν μεγάλη επίδραση στην μετέπειτα εξέλιξη του ο Einstein σημειώνει

Σε ηλικία 12 ετών δοκίμασα μια δεύτερη τελείως διαφορετική έκπληξη σε ένα μικρό βιβλίο Ευκλείδειας επίπεδης γεωμετρίαςhellip Εδώ υπήρχαν ισχυρισμοί όπως για παράδειγμα τα τρία ύψη ενός τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο οι οποίοι - αν και καθόλου προφανείς - μπορούσαν ωστόσο να αποδειχτούν με τέτοια βεβαιότητα ώστε να μην χωρεί η παραμικρή αμφιβολία Αυτή η σαφήνεια και βεβαιότητα μου προξένησαν μια εντύπωση που δεν μπορεί να περιγραφεί Το γεγονός ότι τα αξιώματα έπρεπε να γίνουν δεκτά χωρίς απόδειξη δεν με ενόχλησε Σε κάθε περίπτωση μου αρκούσε πλήρως το γεγονός ότι μπορούσαν να στηρίζω τις αποδείξεις σε προτάσεις η εγκυρότητα των οποίων ήταν για μένα αναμφισβήτητη

Η περίπτωση του Einstein του επιστήμονα που άλλαξε ριζικά τις αντιλήψεις μας και την γεωμετρική δομή του σύμπαντος αποκαλύπτει την σπουδαιότητα ορισμένων παιδαγωγικών σκοπών και τη συνάφειά τους με το ερώτημα που θέσαμε ως τίτλο αυτής της ενότητας καλλιέργεια και ανάπτυξη της συγκροτημένης σκέψης μύηση στην επιστημονική μέθοδο μελέτες του κόσμου Αυτοί οι σκοποί παρόλη τη γενικότητά τους συνδέονται άμεσα με τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας που άσκησαν καθοριστική επίδραση στο νεαρό Einstein τα οποία είναι

bull Σαφήνεια στην έκθεση

bull Ολοκληρωτική απόδειξη κάθε υπόθεσης

bull Απόλυτη συνάφεια σχημάτων και συλλογισμών

bull Τάξη και ομορφιά

Αν τα στοιχεία αυτά αποτελούν ουσιώδη συστατικά της μαθηματικής παιδείας τότε παρέχουν κατά την άποψή μας μια αυτονόητη απάντηση στο ερώτημα laquoΓιατί διδάσκουμε την Ευκλείδεια Γεωμετρίαraquo

Αντιλήψεις και αντιπαραθέσεις για τη διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Οι ένθερμοι υποστηρικτές της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προβάλλουν την παιδαγωγική αξία της λογικής και διάφανης επιχειρηματολογίας των γεωμετρικών αποδείξεων ενώ οι πολέμιοί της επικαλούνται την αναμφισβήτητη δυσκολία των περισσότερων μαθητών να κατανοήσουν τις γεωμετρικές έννοιες και τις πολύ χαμηλές επιδόσεις τους στην αντιμετώπιση σχετικών προβλημάτων Ενδιάμεσα βρίσκονται συνήθως οι σκεπτικιστές οι οποίοι επισημαίνουν τον περιορισμένο επιστημολογικά ρόλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και την ανάγκη να ανανεωθεί η διδασκαλία των Μαθηματικών δίνοντας μεγαλύτερη έμφαση σε πιο σύγχρονους και laquoχρήσιμουςraquo κλάδους (πχ Πιθανότητες και Στατιστική) Από την εποχή που ο Dieudonne κήρυξε τον πόλεμο κατά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας οι αντιλήψεις

29

αυτές έγιναν αντικείμενο επεξεργασίας και αντιπαρατέθηκαν μεταξύ τους από σημαντικούς μαθηματικούς και παιδαγωγούς ενώ οι σχετικές συζητήσεις συνεχίζονται με αμείωτη ένταση μέχρι σήμερα Σε μια ειδική μελέτη της Διεθνούς Επιτροπής για τη Μαθηματική Εκπαίδευση (ICMI) έγινε απόπειρα σύνθεσης των διαφόρων τάσεων και διατυπώθηκαν οι εξής τρεις εναλλακτικές λύσεις για τη διδασκαλία του μαθήματος

1 η λύση

Απορρίπτουμε την ιδέα ότι η Γεωμετρία πρέπει ή μπορεί να χρησιμοποιηθεί στο σχολείο ως ένα σύστημα γνώσεων (παραγωγικά οργανωμένο ή όχι) όπου οι έννοιες και τα γεγονότα πρέπει να γίνουν γνωστά απλά και μόνο επειδή ανήκουν στο σύστημα Αντίθετα η Γεωμετρία και ο χώρος θεωρούνται ως πηγές άντλησης εξαιρετικών θεμάτων για την οργάνωση πολλαπλών δραστηριοτήτων σε διαφορετικά επίπεδα Οι laquoχρησιμοθηρικέςraquo όψεις της Γεωμετρίας θα εξυπηρετηθούν με την παροχή αλγεβρικών μεθόδων

2 η λύση

Εξακολουθούμε να επιχειρούμε τη διδασκαλία ενός αξιωματικού ή ψευδο-αξιωματικού μαθήματος σχολικής Γεωμετρίας το οποίο στηρίζεται είτε σε laquoτροποποίησηraquo των laquoΣτοιχείωνraquo του Ευκλείδη (για παράδειγμα αξιωματική θεμελίωση τύπου Pogorelov) είτε πχ στους γεωμετρικούς σχηματισμούς

3 η λύση

Για ορισμένες ομάδες μαθητών τουλάχιστον παρουσιάζουμε laquoνησίδεςraquo Γεωμετρίας δηλαδή laquoτοπικάraquo παραγωγικά συστήματα μέσα στο πλαίσιο του γενικού αναλυτικού προγράμματος (Έτσι μπορούμε για παράδειγμα να έχουμε ενότητες για τις ιδιότητες των εγγεγραμμένων σε κύκλο γωνιών ή τη στοιχειώδη προβολική Γεωμετρία)

Στην Ελλάδα για προφανείς ιστορικούς και πολιτιστικούς λόγους συνεχίζεται μια παράδοση που προσεγγίζεται εγγύτατα τη δεύτερη από τις προηγούμενες εναλλακτικές λύσεις Ακόμη και την περίοδο της μεταρρύθμισης των laquoΝέων Μαθηματικώνraquo η διεθνής πίεση για εκσυγχρονισμό των σχολικών Μαθηματικών και εγκατάλειψη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αφομοιώθηκε στη χώρα μας μέσα από έναν ιδιότυπο συμβιβασμό από τη μια μεριά διατηρήθηκε όλη η παραδοσιακή σχολική ύλη την οποία σε μεγάλο βαθμό συντηρούσαν οι εισαγωγικές εξετάσεις των ΑΕΙ και από την άλλη δόθηκε υπερβολική έμφαση στην αυστηρή αξιωματική θεμελίωσης της Γεωμετρίας καθώς και με την εισαγωγή νέας ύλης πάνω στους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς Στις αντιφατικές επιλογές εκείνης της περιόδου βρίσκονται κατά την άποψη μας οι ρίζες της μετέπειτα υποβάθμισης και παρακμής του μαθήματος της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

30

Το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στη σύγχρονη Διδακτική των Μαθηματικών τα θεμελιώδη επιστημολογικά χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας όπως είναι η παραγωγική οργάνωση του περιεχομένου η αποδεικτική διαδικασία και η έμφαση στις γεωμετρικές κατασκευές αναφέρονται συνήθως ως laquoανώτερα επίπεδα γεωμετρικής σκέψηςraquo και η μάθηση τους έχει γίνει αντικείμενο συστηματικής μελέτης και έρευνας Ένα βασικό θεωρητικό μοντέλο στο οποίο έχει στηριχθεί η διεξαγωγή μεγάλου αριθμού ερευνών σε διάφορες χώρες αποτελούν τα λεγόμενα laquoεπίπεδα van Hieleraquo Σύμφωνα με αυτό το μοντέλο η μάθηση της Γεωμετρίας εξελίσσεται ιεραρχικά περνώντας από πέντε διαδοχικά επίπεδα

bull 1ο επίπεδο Εποπτικό

bull 2ο επίπεδο ΠεριγραφικόΑναλυτικό

bull 3ο επίπεδο ΑφηρημένοΣχεσιακό

bull 4ο επίπεδο ΤυπικόΠαραγωγικό

bull 5ο επίπεδο Μεταμαθηματικό

Οι μαθητές κατανοούν τη σημασία και τη διαδικασία οικοδόμησης ενός αξιωματικού μαθηματικού συστήματος και τις σχέσεις ανάμεσα σε διαφορετικά συστήματα Για παράδειγμα αναγνωρίζουν ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία δεν είναι παρά ένας από τους πολλούς δυνατούς τρόπους περιγραφής ενός αφηρημένου μαθηματικού σύμπαντος

Είναι φανερό ότι η διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προϋποθέτει τα δύο πρώτα επίπεδα και έχει ως κύριο σκοπό την κατάκτηση των δύο επόμενων επιπέδων (για το 5ο

μάλλον δεν μπορεί να γίνεται λόγος στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση) Σε θεωρητικό επίπεδο τόσο και η θεωρία των van Hiele όσο και η γενικότερη θεωρία των σταδίων μάθησης του Piaget προβλέπουν ότι η κατάκτηση αυτών των επιπέδων είναι μια επίπονη και ιεραρχικά εξελισσόμενη διαδικασία που απαιτεί μακροχρόνια και προσεχτικά σχεδιασμένη διδασκαλία Αυτές οι θεωρητικές προβλέψεις φαίνεται να επιβεβαιώνονται από πολλές εμπειρικές έρευνες που έχουν διεξαχθεί σε διάφορες χώρες και τα αποτελέσματά τους οδηγούν σε ένα βασικό συμπέρασμα laquo η καθιερωμένη παραδοσιακή διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αδυνατεί να οδηγήσει τους μαθητές στην κατάκτηση των ανώτερων επιπέδων γεωμετρικής σκέψης raquo

Από τα αποτελέσματα αυτών των ερευνών αξίζει νrsquo αναφέρουμε εδώ ένα εντυπωσιακό στατιστικό στοιχείο που αποκαλύπτει τις διαστάσεις του προβλήματος σε μια έρευνα που έγινε στις ΗΠΑ μεταξύ 1520 μαθητών που είχαν ολοκληρώσει ένα έτος διδασκαλίας της θεωρητικής Ευκλείδειας Γεωμετρίας διαπιστώθηκε ότι μόνο το 30 είχε φτάσει σε ένα επίπεδο που μπορεί να χαρακτηριστεί από 75 επιτυχία στην απόδειξη απλών γεωμετρικών προτάσεων (πχ ότι οι διαγώνιες ενός ορθογωνίου είναι ίσες) Το ποσοστό των μαθητών που είχαν 100 επιτυχία δεν ξεπέρασε το 3

31

Κοινή πεποίθηση όλων αυτών των ερευνητών είναι ότι για να κατανοηθούν οι παραγωγικές αποδείξεις της Ευκλείδειας Γεωμετρίας απαιτείται μια ισχυρή διαισθητική βάση την οποία οι μαθητές θα αποκτήσουν μέσα από επαγωγικές εμπειρικές ανακαλύψεις τη διαπίστωση και επαλήθευση υποθέσεων τις γεωμετρικές κατασκευές και εφαρμογές Έτσι λοιπόν η διδασκαλία της Γεωμετρίας δεν θα πρέπει να στηρίζεται σrsquo ένα τεχνητό διαχωρισμό ανάμεσα σε laquoΠρακτική Γεωμετρίαraquo σχεδίασης και μετρήσεων και μια laquoΘεωρητική Γεωμετρίαraquo αποδείξεων αλλά να συνδυάζει μια ισορροπημένη ανάπτυξη των δύο αυτών όψεων του μαθήματος σrsquo όλο το φάσμα της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Η επινόηση διδακτικών μέσων και μεθόδων που θα επιτρέψουν την υλοποίηση αυτού του στόχου φαίνεται ότι αποτελεί σήμερα το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ

Η Γεωμετρία του Ευκλείδη απετέλεσε το θεμέλιο για την ανάπτυξη της laquoδυτικήςraquo επιστήμης και τεχνικής και σ αυτή τη Γεωμετρία στηρίζονται οι προϋποθέσεις της κλασικής Φυσικής από την Αναγέννηση και μετά Μόλις το 19ο αιώνα διαπιστώθηκε όμως (Λάμπερτ Γκάους Μπολυάι Λομπατσέβσκι κά) ότι η ευκλείδεια Γεωμετρία στηρίζεται στην απλοϊκή αντίληψη του επίπεδου χώρου ο οποίος είναι μεν χρήσιμος για την περιοχή που αντιλαμβάνεται με τις αισθήσεις του ένας άνθρωπος αλλά όχι για πολύ μεγάλες τιμές των φυσικών μεγεθών (αποστάσεις ταχύτητες μάζες κτλ) Τότε παύει να ισχύει η επίπεδη αντίληψη και μαζί της η Ευκλείδεια Γεωμετρία επειδή στην πραγματικότητα ο χώρος είναι κυρτός Έτσι η Γεωμετρία συμπληρώνεται με βάση αντιλήψεις που στηρίζονται στον υπερβολικό ελλειπτικό κά χώρο

Σήμερα η γεωμετρία του Ευκλείδη διδάσκεται παγκοσμίως και ανελλιπώς επί 23 αιώνες με τον τιμητικό τίτλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Στη σύγχρονη όμως σχολική γεωμετρία περιλαμβάνονται και υπολογισμοί και μετρήσεις οι οποίες από το έργο του Ευκλείδη απουσιάζουν εντελώς

Η συνολική προσφορά του Ευκλείδη στα Μαθηματικά και τις εφαρμοσμένες τέχνες υπήρξε σημαντικότατη και ταυτόχρονα βάση από την οποία εξόρμησαν οι μεταγενέστεροι μαθηματικοί γεωγράφοι και αστρονόμοι για να οδηγηθούν στο τελικό μαθηματικό θαύμα της Ελληνικής Αρχαιότητας

32

33

ΒΙΟΓΡΑΦΙΑ Ο Αρχιμήδης ήταν ένας από τους μεγάλους μαθηματικούς μηχανικούς και φυσικούς του αρχαίου Ελληνικού χώρου και μια από τις μεγαλύτερες μαθηματικές ευφυΐες του κόσμου Γεννήθηκε έζησε και πέθανε στις Συρακούσες την μεγάλη Ελληνική αποικία της Σικελίας

Πατέρας του Αρχιμήδη ήταν ο αστρονόμος Φειδίας που είχε δεσμούς φιλίας με το βασιλικό γένος των Συρακουσών Ο Αρχιμήδης ταξίδεψε στην Αίγυπτο και ήρθε σε επαφή με τους διαδόχους του Ευκλείδη του Ερατοσθένη και το Δισίθεο ενώ ήταν φίλος και συμμαθητής του Κόνωνα του Σάμιου

Υπήρξε λαμπρό παράδειγμα πρωτότυπου ερευνητή ο οποίος δεν ενδιαφέρθηκε να διευκολύνει τους αρχάριους αλλά ασχολήθηκε κυρίως για την αποκάλυψη νέων αληθειών για δική του ικανοποίηση και των ώριμων ήδη διανοούμενων Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο ενώ η κατανόηση του Ευκλείδη δεν απαιτεί εξαιρετική προηγούμενη γνώση και ευφυΐα τα προϊόντα της μαθηματικής σκέψεως τα οποία πρόκειται τώρα να εξετάσουμε είναι προσιτά αποκλειστικώς και μόνο στην ανάγνωση υψηλής πνευματικής στάθμης

Πήγε στην Αίγυπτο ως εκπαιδευτικός και ήρθε σε επαφή όχι βέβαια με τον Ευκλείδη που είχε στο μεταξύ πεθάνει αλλά με τους διαδόχους του και έκανε στενούς δεσμούς με εξαιρετικούς γεωμετρικούς όπως ο Κόνων ο Σάμιος ο Ερατοσθένης ο Κυρηναίος ο Δισίθεος κλπ από τους οποίους κατόπιν όσα έργα συνέταξε μετά την επιστροφή του στην πατρίδα του

34

Το έργο τουΤο έργο του Αρχιμήδη υπήρξε τεράστιο τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά και η ερευνητική ματιά του κάλυψε πολλούς τομείς γεωμετρία οπτική (κατοπτρική) υδραυλική μηχανική αρχιτεκτονική και την πολιορκητική Συνέδεσε το όνομά του με την γένεση της μηχανικής στην αρχαία Ελλάδα και με την λύση περίφημων μαθηματικών προβλημάτων καθώς και με τις αμυντικές εφευρέσεις του που χρησιμοποιήθηκαν όταν οι Ρωμαίοι πολιορκούσαν την πατρίδα του τις Συρακούσες

Σχολιαστής του έργου του Αρχιμήδη υπήρξε ο Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης (6ος αι μΧ) που καταγόταν από την ελληνική πόλη της Συρίας Ασκαλών

Στον χώρο της εφαρμοσμένης μηχανικής ο Αρχιμήδης επινόησε ιδιοφυείς μηχανές κάθε είδους Εφηύρε τον ρωμαϊκό ζυγό (καντάρι) το τρίσπαστο (ανυψωτική τριπλή τροχαλία) και τον ατέρμονα κοχλία έλιξ του Αρχιμήδους μηχανή άντλησης νερού από ποταμούς και φρέατα (η οποία χρησιμοποιείται ακόμα και στις μέρες μας σε περιοχές της βόρειας Αφρικής) Κατασκεύασε ένα υδραυλικό ρολόι το οποίο υπολόγιζε με μεγάλη ακρίβεια τις ώρες (και ειδοποιούσε για την αλλαγή της ώρας)

Μεγάλη φήμη απέκτησαν οι πολεμικές μηχανές του Αρχιμήδη αρχιτρόνιτο (πυροβόλο ατμού) καταπέλτες άρπαγες (μηχανισμός που ανύψωνε και αναποδογύριζε πλοία) και κάτοπτρα για την καύση των Ρωμαϊκών εχθρικών πλοίων (με παραβολικά κάτοπτρα όπως αποδείχτηκε από τα πειράματα του μηχανικού Ι Σακκά ο οποίος το 1973 απόδειξε τον τρόπο με τον οποίο ο Αρχιμήδης έκαψε τον ρωμαϊκό στόλο) Σύμφωνα με την παράδοση όταν η πόλη μετά από τριετή αντίσταση των ελλήνων κατελήφθη με προδοσία ένας ρωμαίος στρατιώτης σκότωσε τον Έλληνα επιστήμονα ενώ αυτός ήταν προσηλωμένος σε κάποιο γεωμετρικό πρόβλημα ΜΗ ΜΟΥ ΤΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥΣ ΤΑΡΑΤΤΕ πρόλαβε να του απαντήσει ο Έλληνας επιστήμονας

Ο Αρχιμήδης επηρέασε σε μεγάλο βαθμό την ευρωπαϊκή επιστημονική σκέψη καθώς και τους Άραβες επιστήμονες οι οποίοι αντέγραψαν όλα τα έργα του στα αραβικά γλώσσα στην οποία διασώθηκαν αρκετά αφού τα πρωτότυπα είχαν χαθεί

35

Διασωθέντα συγγράμματα

bull Περί σφαίρας και κυλίνδρου Βιβλίο α και βbull Κύκλου μέτρησις Σώζονται τρία θεωρήματαbull Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων (32 θεωρήματα 1 πόρισμα)bull Περί ελίκων (28 θεωρήματα 6 πορίσματα)bull Περί επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων ή Μηχανικά Βιβλ α και βbull Περί μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος (=μέθοδος)bull Βιβλίο λημμάτωνbull Πρόβλημα Βοεικόνbull Κατασκευή πλευράς του περιγραφομένου εις κύκλο επταγώνουbull Ωρολόγιον Αρχιμήδους (Σώζεται στα αραβικά)bull Περί κύκλων εφαπτομένων αλλήλωνbull Αρχαί της Γεωμετρίαςbull Ψαμμίτηςbull Τετραγωνισμός παραβολήςbull Οχουμένων (Υδροστατική)bull Στομάχιον (Σώζονται λίγα αποσπάσματα)

Συγγράμματα μη διασωθέντα (ή συγγράμματα μη αποκαλυφθέντα μέχρι σήμερα)

bull Αριθμητικάbull Βαρουλκός Υδροσκοπίαι Πνευματικήbull Επισίδια Βιβλία (Μάλλον περί στατιστικής - Τζέτζης)bull Περί τριγώνωνbull Περί τετραπλεύρουbull Περί ζευγώνbull Περί 13 ημικανονικών πολυέδρωνbull Ισοπεριμετικάbull Ισορροπίαιbull Καύσις δια κατόπτρων (επ΄ αυτού έγινε επιτυχές πείραμα στο ΝΣ)bull Περί Αρχιτεκτονικήςbull Περί βαρύτητος και ελαφρότητος (Πυκνόμετρα - Αραιόμετρα)bull Περί δρομομέτρων (Οδόμετρα πλοίων)bull Περί κέντρου Βάρους ή Κεντροβαρικάbull Κατοπρικάbull Περί παραλλήλων γραμμώνbull Περί κοίλων και παραβολικών κατόπτρωνbull Προοπτικήbull Στοιχεία μηχανικώνbull Πλινθίδες και Κύλινδροιbull Στοιχεία επί των στηρίξεωνbull Σφαιροποιΐα

36

Εφευρέσεις

bull Αραιόμετρο - Πυκνόμετροbull Αστρονομική συσκευήbull Βαρουλκόςbull Γερανοί (Αρπάγες)bull Καταπέλτεςbull Κάτοπτραbull Κοχλίας ή έλιξbull Οδόμετρο (δρομόμετρο)bull Πλανητάριον (σφαίρα)bull Πολύσπαστον (Βαρούλκο) τρίσπαστοbull Σίφωνbull Στομάχιον (επιτραπέζιο παιγνίδι το πρώτο παζλ)bull Τηλεβόλον Αρχιμήδους bull Χαριστίων (μοχλός)bull Ωρολόγιο υδραυλικό

37

Τα συγγράμματα του Αρχιμήδη που σώθηκαν μέχρι σήμερα είναι τα ακόλουθα Περί σφαίρας και κυλίνδρου Κύκλου μέτρησις περί σφαιροειδέων και κωνοειδέων Περί λίκων Επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων Ψαμμίτης Τετραγωνισμός παραβολής Οχούμενων Στομάχιον Προς Ερατοσθένην Έφοδος Βιβλίον περί λημμάτων Πρόβλημα βοεικόν Αποσπάσματα Μερικά από αυτά διασώθηκαν Πολλά επίσης είναι τα συγγράμματα του που χάθηκαν

Έκανε τα πρώτα βήματα για το μαθηματικό υπολογισμό επιφανειών με ακανόνιστο περίγραμμα και συμμετρικών εκ περιστροφής σωμάτων μέθοδος που εξελίχθηκε τεκμηριώθηκε και ονομάστηκε στην σύγχρονη εποχή laquoΟλοκληρωτικός Λογισμόςraquo υπολόγισε μία προσεγγιστική τιμή για τον άρρητο αριθμό π διατύπωσε το νόμο προεκτάσεις του γενίκευσε την εφαρμογή λέγοντας laquoΔώστε μου σημείο να στηριχθώ και θα κινήσω την γηraquo διατύπωσε την ομώνυμη αρχή για την άνωση του νερού κατασκεύασε διάφορες μηχανές ένα τύπο πολύσπαστου τον κοχλία μία αντλητική μηχανή με την laquoαρχιμήδειον έλικαraquo κά

Η συμβολή του ΑρχιμήδηΗ συμβολή του Αρχιμήδη στην ανάπτυξη της Μηχανικής συνιστάται πέρα από την επινόηση των τροχαλιών του πολύσπαστου και των οδοντωτών τροχών και ενός ιδιόμορφου αντλητικού συγκροτήματος στην έλικα που φέρει το όνομα του Ακόμα στην επακριβή διατύπωση των νόμων των μοχλών και των ισορροπιών ή κέντρα βαρών Εδώ υπάρχει και η περίφημη πρόταση laquo σύμμετρα μεγέθη ισορροπούν σε αποστάσεις αντιστρόφως ανάλογες προς το βάρος τους raquo

Σε σχέση με τους μοχλούς και τις δυνατότητες τους μας αναφέρει τη φράση laquo δος μοι πα στω και ταν γαν κινάσω raquo Απέδειξε στον Ιέρωνα ότι με ένα σύστημα τροχαλιών ndash οδοντωτών τροχών και μοχλών μπορεί να μετακινήσει ένα τεράστιο πλοίο με όλο το πλήρωμα μέσα μόνος του Ήταν ακόμα ο ίδιος που σχεδίασε και επιμελήθηκε τη ναυπήγηση του πλοίου

Ανέλαβε μετά από εντολή του Ιέρωνα την οχύρωση της πόλης και διηύθυνε ο ίδιος την άμυνα της εναντίον των Ρωμαίων

Στην αστρονομία ο Λίβιος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης είναι laquoμοναδικός παρατηρητής του ουρανού και των αστέρων raquo Ο Ίππαρχος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης ασχολήθηκε με τη μελέτη των ηλιοστασίων καθώς και με τον υπολογισμό της διάρκειας του έτους

Ο Μακρόβιος αναφέρει ότι ο Αρχιμήδης ανακάλυψε τις αποστάσεις των πλανητών ενώ στο έργο laquoΨαμμίτηςraquo περιγράφει τη συσκευή μέσω της οποίας μέτρησε τη φαινομενική γωνιακή διάμετρο του ήλιου

38

Ο Κικέρων αναφέρεται με θαυμασμό για τον Αρχιμήδη στα laquoΚατοπτρικάraquo Στα Μαθηματικά που ο ίδιος θεωρούσε ως τα πιο σημαντικά παρουσίασε την μέθοδο του προσδιορισμού του αριθμού π Τελειοποίησε το ελληνικό σύστημα αρίθμησης και παρουσίασε μια μέθοδο παράστασης των πολύ μεγάλων αριθμών Ασχολήθηκε με τη διαφορική Γεωμετρία βρήκε τους τύπους πρόσθεσης και αφαίρεσης τόξων Υπολόγισε το εμβαδόν της σφαίρας και του κυλίνδρου Μελέτησε διάφορα στερεά εκ περιστροφής όπως τα στερεά που παράγονται από περιστροφή έλλειψης υπερβολής και παραβολής γύρω από έναν άξονα

Στη Γεωμετρία το έργο του Αρχιμήδη αποτελείται κατά κύριο λόγο από πρωτότυπες μελέτες σχετικά με τον τετραγωνισμό των καμπυλόγραμμων επίπεδων σχημάτων καθώς και με τον τετραγωνισμό και τον κυβισμό καμπύλων επιφανειών

Τέλος επινόησε στο σύνολό της την Υδροστατική Επιστήμη την οποία ανέπτυξε πλήρως Οι μελέτες του αναπαριστούν ένα σύνολο μαθηματικών και γεωμετρικών επιτευγμάτων το οποίο δεν ξεπέρασε κανείς στην ανθρώπινη ιστορία

Όπως αναφέρει ο Wallis laquo ο Αρχιμήδης αφήνει ένα συγκεκριμένο μυστήριο να καλύπτει τον τρόπο με τον οποίο κατέληγε στα αποτελέσματά του Είναι σαν να είχε καλύψει σκοπίμως τα ίχνη του τα ίχνη των ερευνών του σα να ήταν απρόθυμος να αποκαλύψει το μυστικό της μεθόδου έρευνάς του στους μεταγενέστερους ενώ επιθυμούσε να αποσπάσει τη συναίνεσή τους για τα αποτελέσματά του raquo

Ο ίδιος ο Αρχιμήδης ως φορέας ενός ανώτερου φιλοσοφικού πνεύματος θεωρούσε ταπεινή και ανάξια κάθε τέχνη που εξυπηρετούσε πρακτικές ανάγκες ή αποσκοπούσε στο οικονομικό κέρδος Γι` αυτό και έστρεψε όλη του την προσοχή και τις επιδιώξεις στους καθαρούς στοχασμούς χωρίς να καταδεχτεί να αφήσει κάποιο γραπτό στοιχείο για τις τεχνολογικές του ανακαλύψεις με μοναδική εξαίρεση όσες αναφέρονται στο έργο του laquoπερί σφαιροποιίαςraquo Δεν είναι καθόλου τυχαίο λοιπόν το ότι ο Κικέρων αργότερα βρήκε τον τάφο του και πάνω μία αναπαράσταση ενός κυλίνδρου περιγεγραμμένου σε σφαίρα με μία περιγραφή που έδινε το λόγο του κυλίνδρου προς τη σφαίρα

Σε ποιους τομείς εφαρμόστηκαν οι θεωρίες του Εξαιρετικές του μελέτες και για τη μέθοδο και για το αποτέλεσμα είναι εκείνες που έδωσαν τα εμβαδά Κύκλου Έλλειψης Παραβολής και Έλικας καθώς και τα εμβαδά και τους όγκους των Κυλίνδρων των Κώνων και κυρίως των Σφαιρών

Σημαντικότατη θεωρείται και η ανακάλυψη από τον ίδιο τύπου που δίνει το εμβαδόν τριγώνου από τις πλευρές του και ακόμα η επέκτασή του στα εγγεγραμμένα τετράπλευρα Ο Αρχιμήδης επίσης γνώριζε να κατασκευάζει τη λύση ειδικών τριτοβάθμιων προβλημάτων και μεταξύ αυτών και του Δηλίου Προβλήματος Τις λύσεις αυτές τις έδινε με την τομή δύο κωνικών (Ευτόκιος) Μοναδική είναι η προσφορά του στην ανώτερη μετρική Γεωμετρία Συγκεκριμένα εξέφρασε τους όγκους στερεών εκ περιστροφής κωνικών τομών εφαρμόζοντας απειροστικές μεθόδους ανάλυσης των στερεών αυτών

39

Στη σύγχρονη κλασική γεωμετρία όλο σχεδόν το μετρικό της μέρος οφείλεται στον Αρχιμήδη με αποτέλεσμα αυτή ουσιαστικά να είναι ισορροπημένη μείξη της Ευκλείδειας και της Αρχιμήδειας αρχαίας γεωμετρίας

Έτσι ο σοφός μας αποτελεί ουσιαστικά τον πατέρα της ανώτερης μετρικής γεωμετρίας της αρχαιότητας και ταυτόχρονα την πηγή έμπνευσης των νεώτερων μελετών του διαφορικού και απειροστικού λογισμού

Η πρωτοτυπία και η αποτελεσματικότητα των μελετών του έγιναν αιτία να χαρακτηριστεί από τους ιστορικούς των μαθηματικών ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών και όλων των εθνών

Ρεύμα στα ανάκτορα της Βρετανίας μέσω εφεύρεσης του Αρχιμήδη ( httpkatestimenoblogspotcom201109blog-post_1015html )

laquoΗ Βασίλισσα Ελισάβετ πρόκειται να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση ενός αρχαίου Έλληνα για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Και όταν λέμε αρχαίο Έλληνα εννοούμε τον Αρχιμήδη και όχι τον 90χρονο σύζυγό της Φίλιππο της Ελλάδαςraquo

Με αυτόν τον τίτλο πληροφορεί το βρετανικό κοινό η εφημερίδα ldquoDaily Mailrdquo για την απόφαση της Αυτής Μεγαλειότητας να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση του αρχαίου Έλληνα εφευρέτη Αρχιμήδη από τις Συρακούσες για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Πρόκειται για τη σύγχρονη εκδοχή του ατέρμονα κοχλία της έλικος του Αρχιμήδους όπως έμεινε γνωστή η εφεύρεση και είναι ένας σωληνοειδής κοχλίας που χρησίμευε για την άντληση νερού και την άρδευση καλλιεργημένων εκτάσεων

Η σύγχρονη εκδοχή της εφεύρεσης θα χρησιμοποιεί το νερό που μεταφέρεται από ένα τεχνητό φράγμα για να παράγει υδροηλεκτρική ενέργεια Ο μηχανισμός έχει ήδη μεταφερθεί μέσω του Τάμεση στο Romney Weir στα ανάκτορα του Γουίντσορ Σύμφωνα με το δημοσίευμα της εφημερίδας οι έλικες θα είναι έτοιμες για την παραγωγή ενέργειας τον προσεχή Νοέμβριο ενώ θα μπορούν να καλύψουν πλήρως τις ανάγκες του κάστρου σε ενέργεια μέσα στον επόμενο χρόνο

Εκτός αυτού οι τουρμπίνες είναι σχεδιασμένες ώστε να μην εμποδίζουν την ασφαλή διέλευση σολομού και χελιού μέσα στον ποταμό Τάμεση

Οι laquoέλικες του Αρχιμήδηraquo βάρους 40 τόνων κατασκευάστηκαν από ένα εργοστάσιο στην Ολλανδία και στοίχησαν 700000 λίρες Αγγλίας ενώ το κόστος εγκατάστασής τους θα ξεπεράσει το ένα εκατομμύριο λίρες

40

αυτές έγιναν αντικείμενο επεξεργασίας και αντιπαρατέθηκαν μεταξύ τους από σημαντικούς μαθηματικούς και παιδαγωγούς ενώ οι σχετικές συζητήσεις συνεχίζονται με αμείωτη ένταση μέχρι σήμερα Σε μια ειδική μελέτη της Διεθνούς Επιτροπής για τη Μαθηματική Εκπαίδευση (ICMI) έγινε απόπειρα σύνθεσης των διαφόρων τάσεων και διατυπώθηκαν οι εξής τρεις εναλλακτικές λύσεις για τη διδασκαλία του μαθήματος

1 η λύση

Απορρίπτουμε την ιδέα ότι η Γεωμετρία πρέπει ή μπορεί να χρησιμοποιηθεί στο σχολείο ως ένα σύστημα γνώσεων (παραγωγικά οργανωμένο ή όχι) όπου οι έννοιες και τα γεγονότα πρέπει να γίνουν γνωστά απλά και μόνο επειδή ανήκουν στο σύστημα Αντίθετα η Γεωμετρία και ο χώρος θεωρούνται ως πηγές άντλησης εξαιρετικών θεμάτων για την οργάνωση πολλαπλών δραστηριοτήτων σε διαφορετικά επίπεδα Οι laquoχρησιμοθηρικέςraquo όψεις της Γεωμετρίας θα εξυπηρετηθούν με την παροχή αλγεβρικών μεθόδων

2 η λύση

Εξακολουθούμε να επιχειρούμε τη διδασκαλία ενός αξιωματικού ή ψευδο-αξιωματικού μαθήματος σχολικής Γεωμετρίας το οποίο στηρίζεται είτε σε laquoτροποποίησηraquo των laquoΣτοιχείωνraquo του Ευκλείδη (για παράδειγμα αξιωματική θεμελίωση τύπου Pogorelov) είτε πχ στους γεωμετρικούς σχηματισμούς

3 η λύση

Για ορισμένες ομάδες μαθητών τουλάχιστον παρουσιάζουμε laquoνησίδεςraquo Γεωμετρίας δηλαδή laquoτοπικάraquo παραγωγικά συστήματα μέσα στο πλαίσιο του γενικού αναλυτικού προγράμματος (Έτσι μπορούμε για παράδειγμα να έχουμε ενότητες για τις ιδιότητες των εγγεγραμμένων σε κύκλο γωνιών ή τη στοιχειώδη προβολική Γεωμετρία)

Στην Ελλάδα για προφανείς ιστορικούς και πολιτιστικούς λόγους συνεχίζεται μια παράδοση που προσεγγίζεται εγγύτατα τη δεύτερη από τις προηγούμενες εναλλακτικές λύσεις Ακόμη και την περίοδο της μεταρρύθμισης των laquoΝέων Μαθηματικώνraquo η διεθνής πίεση για εκσυγχρονισμό των σχολικών Μαθηματικών και εγκατάλειψη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αφομοιώθηκε στη χώρα μας μέσα από έναν ιδιότυπο συμβιβασμό από τη μια μεριά διατηρήθηκε όλη η παραδοσιακή σχολική ύλη την οποία σε μεγάλο βαθμό συντηρούσαν οι εισαγωγικές εξετάσεις των ΑΕΙ και από την άλλη δόθηκε υπερβολική έμφαση στην αυστηρή αξιωματική θεμελίωσης της Γεωμετρίας καθώς και με την εισαγωγή νέας ύλης πάνω στους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς Στις αντιφατικές επιλογές εκείνης της περιόδου βρίσκονται κατά την άποψη μας οι ρίζες της μετέπειτα υποβάθμισης και παρακμής του μαθήματος της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

30

Το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στη σύγχρονη Διδακτική των Μαθηματικών τα θεμελιώδη επιστημολογικά χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας όπως είναι η παραγωγική οργάνωση του περιεχομένου η αποδεικτική διαδικασία και η έμφαση στις γεωμετρικές κατασκευές αναφέρονται συνήθως ως laquoανώτερα επίπεδα γεωμετρικής σκέψηςraquo και η μάθηση τους έχει γίνει αντικείμενο συστηματικής μελέτης και έρευνας Ένα βασικό θεωρητικό μοντέλο στο οποίο έχει στηριχθεί η διεξαγωγή μεγάλου αριθμού ερευνών σε διάφορες χώρες αποτελούν τα λεγόμενα laquoεπίπεδα van Hieleraquo Σύμφωνα με αυτό το μοντέλο η μάθηση της Γεωμετρίας εξελίσσεται ιεραρχικά περνώντας από πέντε διαδοχικά επίπεδα

bull 1ο επίπεδο Εποπτικό

bull 2ο επίπεδο ΠεριγραφικόΑναλυτικό

bull 3ο επίπεδο ΑφηρημένοΣχεσιακό

bull 4ο επίπεδο ΤυπικόΠαραγωγικό

bull 5ο επίπεδο Μεταμαθηματικό

Οι μαθητές κατανοούν τη σημασία και τη διαδικασία οικοδόμησης ενός αξιωματικού μαθηματικού συστήματος και τις σχέσεις ανάμεσα σε διαφορετικά συστήματα Για παράδειγμα αναγνωρίζουν ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία δεν είναι παρά ένας από τους πολλούς δυνατούς τρόπους περιγραφής ενός αφηρημένου μαθηματικού σύμπαντος

Είναι φανερό ότι η διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προϋποθέτει τα δύο πρώτα επίπεδα και έχει ως κύριο σκοπό την κατάκτηση των δύο επόμενων επιπέδων (για το 5ο

μάλλον δεν μπορεί να γίνεται λόγος στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση) Σε θεωρητικό επίπεδο τόσο και η θεωρία των van Hiele όσο και η γενικότερη θεωρία των σταδίων μάθησης του Piaget προβλέπουν ότι η κατάκτηση αυτών των επιπέδων είναι μια επίπονη και ιεραρχικά εξελισσόμενη διαδικασία που απαιτεί μακροχρόνια και προσεχτικά σχεδιασμένη διδασκαλία Αυτές οι θεωρητικές προβλέψεις φαίνεται να επιβεβαιώνονται από πολλές εμπειρικές έρευνες που έχουν διεξαχθεί σε διάφορες χώρες και τα αποτελέσματά τους οδηγούν σε ένα βασικό συμπέρασμα laquo η καθιερωμένη παραδοσιακή διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αδυνατεί να οδηγήσει τους μαθητές στην κατάκτηση των ανώτερων επιπέδων γεωμετρικής σκέψης raquo

Από τα αποτελέσματα αυτών των ερευνών αξίζει νrsquo αναφέρουμε εδώ ένα εντυπωσιακό στατιστικό στοιχείο που αποκαλύπτει τις διαστάσεις του προβλήματος σε μια έρευνα που έγινε στις ΗΠΑ μεταξύ 1520 μαθητών που είχαν ολοκληρώσει ένα έτος διδασκαλίας της θεωρητικής Ευκλείδειας Γεωμετρίας διαπιστώθηκε ότι μόνο το 30 είχε φτάσει σε ένα επίπεδο που μπορεί να χαρακτηριστεί από 75 επιτυχία στην απόδειξη απλών γεωμετρικών προτάσεων (πχ ότι οι διαγώνιες ενός ορθογωνίου είναι ίσες) Το ποσοστό των μαθητών που είχαν 100 επιτυχία δεν ξεπέρασε το 3

31

Κοινή πεποίθηση όλων αυτών των ερευνητών είναι ότι για να κατανοηθούν οι παραγωγικές αποδείξεις της Ευκλείδειας Γεωμετρίας απαιτείται μια ισχυρή διαισθητική βάση την οποία οι μαθητές θα αποκτήσουν μέσα από επαγωγικές εμπειρικές ανακαλύψεις τη διαπίστωση και επαλήθευση υποθέσεων τις γεωμετρικές κατασκευές και εφαρμογές Έτσι λοιπόν η διδασκαλία της Γεωμετρίας δεν θα πρέπει να στηρίζεται σrsquo ένα τεχνητό διαχωρισμό ανάμεσα σε laquoΠρακτική Γεωμετρίαraquo σχεδίασης και μετρήσεων και μια laquoΘεωρητική Γεωμετρίαraquo αποδείξεων αλλά να συνδυάζει μια ισορροπημένη ανάπτυξη των δύο αυτών όψεων του μαθήματος σrsquo όλο το φάσμα της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Η επινόηση διδακτικών μέσων και μεθόδων που θα επιτρέψουν την υλοποίηση αυτού του στόχου φαίνεται ότι αποτελεί σήμερα το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ

Η Γεωμετρία του Ευκλείδη απετέλεσε το θεμέλιο για την ανάπτυξη της laquoδυτικήςraquo επιστήμης και τεχνικής και σ αυτή τη Γεωμετρία στηρίζονται οι προϋποθέσεις της κλασικής Φυσικής από την Αναγέννηση και μετά Μόλις το 19ο αιώνα διαπιστώθηκε όμως (Λάμπερτ Γκάους Μπολυάι Λομπατσέβσκι κά) ότι η ευκλείδεια Γεωμετρία στηρίζεται στην απλοϊκή αντίληψη του επίπεδου χώρου ο οποίος είναι μεν χρήσιμος για την περιοχή που αντιλαμβάνεται με τις αισθήσεις του ένας άνθρωπος αλλά όχι για πολύ μεγάλες τιμές των φυσικών μεγεθών (αποστάσεις ταχύτητες μάζες κτλ) Τότε παύει να ισχύει η επίπεδη αντίληψη και μαζί της η Ευκλείδεια Γεωμετρία επειδή στην πραγματικότητα ο χώρος είναι κυρτός Έτσι η Γεωμετρία συμπληρώνεται με βάση αντιλήψεις που στηρίζονται στον υπερβολικό ελλειπτικό κά χώρο

Σήμερα η γεωμετρία του Ευκλείδη διδάσκεται παγκοσμίως και ανελλιπώς επί 23 αιώνες με τον τιμητικό τίτλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Στη σύγχρονη όμως σχολική γεωμετρία περιλαμβάνονται και υπολογισμοί και μετρήσεις οι οποίες από το έργο του Ευκλείδη απουσιάζουν εντελώς

Η συνολική προσφορά του Ευκλείδη στα Μαθηματικά και τις εφαρμοσμένες τέχνες υπήρξε σημαντικότατη και ταυτόχρονα βάση από την οποία εξόρμησαν οι μεταγενέστεροι μαθηματικοί γεωγράφοι και αστρονόμοι για να οδηγηθούν στο τελικό μαθηματικό θαύμα της Ελληνικής Αρχαιότητας

32

33

ΒΙΟΓΡΑΦΙΑ Ο Αρχιμήδης ήταν ένας από τους μεγάλους μαθηματικούς μηχανικούς και φυσικούς του αρχαίου Ελληνικού χώρου και μια από τις μεγαλύτερες μαθηματικές ευφυΐες του κόσμου Γεννήθηκε έζησε και πέθανε στις Συρακούσες την μεγάλη Ελληνική αποικία της Σικελίας

Πατέρας του Αρχιμήδη ήταν ο αστρονόμος Φειδίας που είχε δεσμούς φιλίας με το βασιλικό γένος των Συρακουσών Ο Αρχιμήδης ταξίδεψε στην Αίγυπτο και ήρθε σε επαφή με τους διαδόχους του Ευκλείδη του Ερατοσθένη και το Δισίθεο ενώ ήταν φίλος και συμμαθητής του Κόνωνα του Σάμιου

Υπήρξε λαμπρό παράδειγμα πρωτότυπου ερευνητή ο οποίος δεν ενδιαφέρθηκε να διευκολύνει τους αρχάριους αλλά ασχολήθηκε κυρίως για την αποκάλυψη νέων αληθειών για δική του ικανοποίηση και των ώριμων ήδη διανοούμενων Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο ενώ η κατανόηση του Ευκλείδη δεν απαιτεί εξαιρετική προηγούμενη γνώση και ευφυΐα τα προϊόντα της μαθηματικής σκέψεως τα οποία πρόκειται τώρα να εξετάσουμε είναι προσιτά αποκλειστικώς και μόνο στην ανάγνωση υψηλής πνευματικής στάθμης

Πήγε στην Αίγυπτο ως εκπαιδευτικός και ήρθε σε επαφή όχι βέβαια με τον Ευκλείδη που είχε στο μεταξύ πεθάνει αλλά με τους διαδόχους του και έκανε στενούς δεσμούς με εξαιρετικούς γεωμετρικούς όπως ο Κόνων ο Σάμιος ο Ερατοσθένης ο Κυρηναίος ο Δισίθεος κλπ από τους οποίους κατόπιν όσα έργα συνέταξε μετά την επιστροφή του στην πατρίδα του

34

Το έργο τουΤο έργο του Αρχιμήδη υπήρξε τεράστιο τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά και η ερευνητική ματιά του κάλυψε πολλούς τομείς γεωμετρία οπτική (κατοπτρική) υδραυλική μηχανική αρχιτεκτονική και την πολιορκητική Συνέδεσε το όνομά του με την γένεση της μηχανικής στην αρχαία Ελλάδα και με την λύση περίφημων μαθηματικών προβλημάτων καθώς και με τις αμυντικές εφευρέσεις του που χρησιμοποιήθηκαν όταν οι Ρωμαίοι πολιορκούσαν την πατρίδα του τις Συρακούσες

Σχολιαστής του έργου του Αρχιμήδη υπήρξε ο Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης (6ος αι μΧ) που καταγόταν από την ελληνική πόλη της Συρίας Ασκαλών

Στον χώρο της εφαρμοσμένης μηχανικής ο Αρχιμήδης επινόησε ιδιοφυείς μηχανές κάθε είδους Εφηύρε τον ρωμαϊκό ζυγό (καντάρι) το τρίσπαστο (ανυψωτική τριπλή τροχαλία) και τον ατέρμονα κοχλία έλιξ του Αρχιμήδους μηχανή άντλησης νερού από ποταμούς και φρέατα (η οποία χρησιμοποιείται ακόμα και στις μέρες μας σε περιοχές της βόρειας Αφρικής) Κατασκεύασε ένα υδραυλικό ρολόι το οποίο υπολόγιζε με μεγάλη ακρίβεια τις ώρες (και ειδοποιούσε για την αλλαγή της ώρας)

Μεγάλη φήμη απέκτησαν οι πολεμικές μηχανές του Αρχιμήδη αρχιτρόνιτο (πυροβόλο ατμού) καταπέλτες άρπαγες (μηχανισμός που ανύψωνε και αναποδογύριζε πλοία) και κάτοπτρα για την καύση των Ρωμαϊκών εχθρικών πλοίων (με παραβολικά κάτοπτρα όπως αποδείχτηκε από τα πειράματα του μηχανικού Ι Σακκά ο οποίος το 1973 απόδειξε τον τρόπο με τον οποίο ο Αρχιμήδης έκαψε τον ρωμαϊκό στόλο) Σύμφωνα με την παράδοση όταν η πόλη μετά από τριετή αντίσταση των ελλήνων κατελήφθη με προδοσία ένας ρωμαίος στρατιώτης σκότωσε τον Έλληνα επιστήμονα ενώ αυτός ήταν προσηλωμένος σε κάποιο γεωμετρικό πρόβλημα ΜΗ ΜΟΥ ΤΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥΣ ΤΑΡΑΤΤΕ πρόλαβε να του απαντήσει ο Έλληνας επιστήμονας

Ο Αρχιμήδης επηρέασε σε μεγάλο βαθμό την ευρωπαϊκή επιστημονική σκέψη καθώς και τους Άραβες επιστήμονες οι οποίοι αντέγραψαν όλα τα έργα του στα αραβικά γλώσσα στην οποία διασώθηκαν αρκετά αφού τα πρωτότυπα είχαν χαθεί

35

Διασωθέντα συγγράμματα

bull Περί σφαίρας και κυλίνδρου Βιβλίο α και βbull Κύκλου μέτρησις Σώζονται τρία θεωρήματαbull Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων (32 θεωρήματα 1 πόρισμα)bull Περί ελίκων (28 θεωρήματα 6 πορίσματα)bull Περί επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων ή Μηχανικά Βιβλ α και βbull Περί μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος (=μέθοδος)bull Βιβλίο λημμάτωνbull Πρόβλημα Βοεικόνbull Κατασκευή πλευράς του περιγραφομένου εις κύκλο επταγώνουbull Ωρολόγιον Αρχιμήδους (Σώζεται στα αραβικά)bull Περί κύκλων εφαπτομένων αλλήλωνbull Αρχαί της Γεωμετρίαςbull Ψαμμίτηςbull Τετραγωνισμός παραβολήςbull Οχουμένων (Υδροστατική)bull Στομάχιον (Σώζονται λίγα αποσπάσματα)

Συγγράμματα μη διασωθέντα (ή συγγράμματα μη αποκαλυφθέντα μέχρι σήμερα)

bull Αριθμητικάbull Βαρουλκός Υδροσκοπίαι Πνευματικήbull Επισίδια Βιβλία (Μάλλον περί στατιστικής - Τζέτζης)bull Περί τριγώνωνbull Περί τετραπλεύρουbull Περί ζευγώνbull Περί 13 ημικανονικών πολυέδρωνbull Ισοπεριμετικάbull Ισορροπίαιbull Καύσις δια κατόπτρων (επ΄ αυτού έγινε επιτυχές πείραμα στο ΝΣ)bull Περί Αρχιτεκτονικήςbull Περί βαρύτητος και ελαφρότητος (Πυκνόμετρα - Αραιόμετρα)bull Περί δρομομέτρων (Οδόμετρα πλοίων)bull Περί κέντρου Βάρους ή Κεντροβαρικάbull Κατοπρικάbull Περί παραλλήλων γραμμώνbull Περί κοίλων και παραβολικών κατόπτρωνbull Προοπτικήbull Στοιχεία μηχανικώνbull Πλινθίδες και Κύλινδροιbull Στοιχεία επί των στηρίξεωνbull Σφαιροποιΐα

36

Εφευρέσεις

bull Αραιόμετρο - Πυκνόμετροbull Αστρονομική συσκευήbull Βαρουλκόςbull Γερανοί (Αρπάγες)bull Καταπέλτεςbull Κάτοπτραbull Κοχλίας ή έλιξbull Οδόμετρο (δρομόμετρο)bull Πλανητάριον (σφαίρα)bull Πολύσπαστον (Βαρούλκο) τρίσπαστοbull Σίφωνbull Στομάχιον (επιτραπέζιο παιγνίδι το πρώτο παζλ)bull Τηλεβόλον Αρχιμήδους bull Χαριστίων (μοχλός)bull Ωρολόγιο υδραυλικό

37

Τα συγγράμματα του Αρχιμήδη που σώθηκαν μέχρι σήμερα είναι τα ακόλουθα Περί σφαίρας και κυλίνδρου Κύκλου μέτρησις περί σφαιροειδέων και κωνοειδέων Περί λίκων Επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων Ψαμμίτης Τετραγωνισμός παραβολής Οχούμενων Στομάχιον Προς Ερατοσθένην Έφοδος Βιβλίον περί λημμάτων Πρόβλημα βοεικόν Αποσπάσματα Μερικά από αυτά διασώθηκαν Πολλά επίσης είναι τα συγγράμματα του που χάθηκαν

Έκανε τα πρώτα βήματα για το μαθηματικό υπολογισμό επιφανειών με ακανόνιστο περίγραμμα και συμμετρικών εκ περιστροφής σωμάτων μέθοδος που εξελίχθηκε τεκμηριώθηκε και ονομάστηκε στην σύγχρονη εποχή laquoΟλοκληρωτικός Λογισμόςraquo υπολόγισε μία προσεγγιστική τιμή για τον άρρητο αριθμό π διατύπωσε το νόμο προεκτάσεις του γενίκευσε την εφαρμογή λέγοντας laquoΔώστε μου σημείο να στηριχθώ και θα κινήσω την γηraquo διατύπωσε την ομώνυμη αρχή για την άνωση του νερού κατασκεύασε διάφορες μηχανές ένα τύπο πολύσπαστου τον κοχλία μία αντλητική μηχανή με την laquoαρχιμήδειον έλικαraquo κά

Η συμβολή του ΑρχιμήδηΗ συμβολή του Αρχιμήδη στην ανάπτυξη της Μηχανικής συνιστάται πέρα από την επινόηση των τροχαλιών του πολύσπαστου και των οδοντωτών τροχών και ενός ιδιόμορφου αντλητικού συγκροτήματος στην έλικα που φέρει το όνομα του Ακόμα στην επακριβή διατύπωση των νόμων των μοχλών και των ισορροπιών ή κέντρα βαρών Εδώ υπάρχει και η περίφημη πρόταση laquo σύμμετρα μεγέθη ισορροπούν σε αποστάσεις αντιστρόφως ανάλογες προς το βάρος τους raquo

Σε σχέση με τους μοχλούς και τις δυνατότητες τους μας αναφέρει τη φράση laquo δος μοι πα στω και ταν γαν κινάσω raquo Απέδειξε στον Ιέρωνα ότι με ένα σύστημα τροχαλιών ndash οδοντωτών τροχών και μοχλών μπορεί να μετακινήσει ένα τεράστιο πλοίο με όλο το πλήρωμα μέσα μόνος του Ήταν ακόμα ο ίδιος που σχεδίασε και επιμελήθηκε τη ναυπήγηση του πλοίου

Ανέλαβε μετά από εντολή του Ιέρωνα την οχύρωση της πόλης και διηύθυνε ο ίδιος την άμυνα της εναντίον των Ρωμαίων

Στην αστρονομία ο Λίβιος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης είναι laquoμοναδικός παρατηρητής του ουρανού και των αστέρων raquo Ο Ίππαρχος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης ασχολήθηκε με τη μελέτη των ηλιοστασίων καθώς και με τον υπολογισμό της διάρκειας του έτους

Ο Μακρόβιος αναφέρει ότι ο Αρχιμήδης ανακάλυψε τις αποστάσεις των πλανητών ενώ στο έργο laquoΨαμμίτηςraquo περιγράφει τη συσκευή μέσω της οποίας μέτρησε τη φαινομενική γωνιακή διάμετρο του ήλιου

38

Ο Κικέρων αναφέρεται με θαυμασμό για τον Αρχιμήδη στα laquoΚατοπτρικάraquo Στα Μαθηματικά που ο ίδιος θεωρούσε ως τα πιο σημαντικά παρουσίασε την μέθοδο του προσδιορισμού του αριθμού π Τελειοποίησε το ελληνικό σύστημα αρίθμησης και παρουσίασε μια μέθοδο παράστασης των πολύ μεγάλων αριθμών Ασχολήθηκε με τη διαφορική Γεωμετρία βρήκε τους τύπους πρόσθεσης και αφαίρεσης τόξων Υπολόγισε το εμβαδόν της σφαίρας και του κυλίνδρου Μελέτησε διάφορα στερεά εκ περιστροφής όπως τα στερεά που παράγονται από περιστροφή έλλειψης υπερβολής και παραβολής γύρω από έναν άξονα

Στη Γεωμετρία το έργο του Αρχιμήδη αποτελείται κατά κύριο λόγο από πρωτότυπες μελέτες σχετικά με τον τετραγωνισμό των καμπυλόγραμμων επίπεδων σχημάτων καθώς και με τον τετραγωνισμό και τον κυβισμό καμπύλων επιφανειών

Τέλος επινόησε στο σύνολό της την Υδροστατική Επιστήμη την οποία ανέπτυξε πλήρως Οι μελέτες του αναπαριστούν ένα σύνολο μαθηματικών και γεωμετρικών επιτευγμάτων το οποίο δεν ξεπέρασε κανείς στην ανθρώπινη ιστορία

Όπως αναφέρει ο Wallis laquo ο Αρχιμήδης αφήνει ένα συγκεκριμένο μυστήριο να καλύπτει τον τρόπο με τον οποίο κατέληγε στα αποτελέσματά του Είναι σαν να είχε καλύψει σκοπίμως τα ίχνη του τα ίχνη των ερευνών του σα να ήταν απρόθυμος να αποκαλύψει το μυστικό της μεθόδου έρευνάς του στους μεταγενέστερους ενώ επιθυμούσε να αποσπάσει τη συναίνεσή τους για τα αποτελέσματά του raquo

Ο ίδιος ο Αρχιμήδης ως φορέας ενός ανώτερου φιλοσοφικού πνεύματος θεωρούσε ταπεινή και ανάξια κάθε τέχνη που εξυπηρετούσε πρακτικές ανάγκες ή αποσκοπούσε στο οικονομικό κέρδος Γι` αυτό και έστρεψε όλη του την προσοχή και τις επιδιώξεις στους καθαρούς στοχασμούς χωρίς να καταδεχτεί να αφήσει κάποιο γραπτό στοιχείο για τις τεχνολογικές του ανακαλύψεις με μοναδική εξαίρεση όσες αναφέρονται στο έργο του laquoπερί σφαιροποιίαςraquo Δεν είναι καθόλου τυχαίο λοιπόν το ότι ο Κικέρων αργότερα βρήκε τον τάφο του και πάνω μία αναπαράσταση ενός κυλίνδρου περιγεγραμμένου σε σφαίρα με μία περιγραφή που έδινε το λόγο του κυλίνδρου προς τη σφαίρα

Σε ποιους τομείς εφαρμόστηκαν οι θεωρίες του Εξαιρετικές του μελέτες και για τη μέθοδο και για το αποτέλεσμα είναι εκείνες που έδωσαν τα εμβαδά Κύκλου Έλλειψης Παραβολής και Έλικας καθώς και τα εμβαδά και τους όγκους των Κυλίνδρων των Κώνων και κυρίως των Σφαιρών

Σημαντικότατη θεωρείται και η ανακάλυψη από τον ίδιο τύπου που δίνει το εμβαδόν τριγώνου από τις πλευρές του και ακόμα η επέκτασή του στα εγγεγραμμένα τετράπλευρα Ο Αρχιμήδης επίσης γνώριζε να κατασκευάζει τη λύση ειδικών τριτοβάθμιων προβλημάτων και μεταξύ αυτών και του Δηλίου Προβλήματος Τις λύσεις αυτές τις έδινε με την τομή δύο κωνικών (Ευτόκιος) Μοναδική είναι η προσφορά του στην ανώτερη μετρική Γεωμετρία Συγκεκριμένα εξέφρασε τους όγκους στερεών εκ περιστροφής κωνικών τομών εφαρμόζοντας απειροστικές μεθόδους ανάλυσης των στερεών αυτών

39

Στη σύγχρονη κλασική γεωμετρία όλο σχεδόν το μετρικό της μέρος οφείλεται στον Αρχιμήδη με αποτέλεσμα αυτή ουσιαστικά να είναι ισορροπημένη μείξη της Ευκλείδειας και της Αρχιμήδειας αρχαίας γεωμετρίας

Έτσι ο σοφός μας αποτελεί ουσιαστικά τον πατέρα της ανώτερης μετρικής γεωμετρίας της αρχαιότητας και ταυτόχρονα την πηγή έμπνευσης των νεώτερων μελετών του διαφορικού και απειροστικού λογισμού

Η πρωτοτυπία και η αποτελεσματικότητα των μελετών του έγιναν αιτία να χαρακτηριστεί από τους ιστορικούς των μαθηματικών ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών και όλων των εθνών

Ρεύμα στα ανάκτορα της Βρετανίας μέσω εφεύρεσης του Αρχιμήδη ( httpkatestimenoblogspotcom201109blog-post_1015html )

laquoΗ Βασίλισσα Ελισάβετ πρόκειται να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση ενός αρχαίου Έλληνα για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Και όταν λέμε αρχαίο Έλληνα εννοούμε τον Αρχιμήδη και όχι τον 90χρονο σύζυγό της Φίλιππο της Ελλάδαςraquo

Με αυτόν τον τίτλο πληροφορεί το βρετανικό κοινό η εφημερίδα ldquoDaily Mailrdquo για την απόφαση της Αυτής Μεγαλειότητας να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση του αρχαίου Έλληνα εφευρέτη Αρχιμήδη από τις Συρακούσες για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Πρόκειται για τη σύγχρονη εκδοχή του ατέρμονα κοχλία της έλικος του Αρχιμήδους όπως έμεινε γνωστή η εφεύρεση και είναι ένας σωληνοειδής κοχλίας που χρησίμευε για την άντληση νερού και την άρδευση καλλιεργημένων εκτάσεων

Η σύγχρονη εκδοχή της εφεύρεσης θα χρησιμοποιεί το νερό που μεταφέρεται από ένα τεχνητό φράγμα για να παράγει υδροηλεκτρική ενέργεια Ο μηχανισμός έχει ήδη μεταφερθεί μέσω του Τάμεση στο Romney Weir στα ανάκτορα του Γουίντσορ Σύμφωνα με το δημοσίευμα της εφημερίδας οι έλικες θα είναι έτοιμες για την παραγωγή ενέργειας τον προσεχή Νοέμβριο ενώ θα μπορούν να καλύψουν πλήρως τις ανάγκες του κάστρου σε ενέργεια μέσα στον επόμενο χρόνο

Εκτός αυτού οι τουρμπίνες είναι σχεδιασμένες ώστε να μην εμποδίζουν την ασφαλή διέλευση σολομού και χελιού μέσα στον ποταμό Τάμεση

Οι laquoέλικες του Αρχιμήδηraquo βάρους 40 τόνων κατασκευάστηκαν από ένα εργοστάσιο στην Ολλανδία και στοίχησαν 700000 λίρες Αγγλίας ενώ το κόστος εγκατάστασής τους θα ξεπεράσει το ένα εκατομμύριο λίρες

40

Το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Στη σύγχρονη Διδακτική των Μαθηματικών τα θεμελιώδη επιστημολογικά χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας όπως είναι η παραγωγική οργάνωση του περιεχομένου η αποδεικτική διαδικασία και η έμφαση στις γεωμετρικές κατασκευές αναφέρονται συνήθως ως laquoανώτερα επίπεδα γεωμετρικής σκέψηςraquo και η μάθηση τους έχει γίνει αντικείμενο συστηματικής μελέτης και έρευνας Ένα βασικό θεωρητικό μοντέλο στο οποίο έχει στηριχθεί η διεξαγωγή μεγάλου αριθμού ερευνών σε διάφορες χώρες αποτελούν τα λεγόμενα laquoεπίπεδα van Hieleraquo Σύμφωνα με αυτό το μοντέλο η μάθηση της Γεωμετρίας εξελίσσεται ιεραρχικά περνώντας από πέντε διαδοχικά επίπεδα

bull 1ο επίπεδο Εποπτικό

bull 2ο επίπεδο ΠεριγραφικόΑναλυτικό

bull 3ο επίπεδο ΑφηρημένοΣχεσιακό

bull 4ο επίπεδο ΤυπικόΠαραγωγικό

bull 5ο επίπεδο Μεταμαθηματικό

Οι μαθητές κατανοούν τη σημασία και τη διαδικασία οικοδόμησης ενός αξιωματικού μαθηματικού συστήματος και τις σχέσεις ανάμεσα σε διαφορετικά συστήματα Για παράδειγμα αναγνωρίζουν ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία δεν είναι παρά ένας από τους πολλούς δυνατούς τρόπους περιγραφής ενός αφηρημένου μαθηματικού σύμπαντος

Είναι φανερό ότι η διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προϋποθέτει τα δύο πρώτα επίπεδα και έχει ως κύριο σκοπό την κατάκτηση των δύο επόμενων επιπέδων (για το 5ο

μάλλον δεν μπορεί να γίνεται λόγος στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση) Σε θεωρητικό επίπεδο τόσο και η θεωρία των van Hiele όσο και η γενικότερη θεωρία των σταδίων μάθησης του Piaget προβλέπουν ότι η κατάκτηση αυτών των επιπέδων είναι μια επίπονη και ιεραρχικά εξελισσόμενη διαδικασία που απαιτεί μακροχρόνια και προσεχτικά σχεδιασμένη διδασκαλία Αυτές οι θεωρητικές προβλέψεις φαίνεται να επιβεβαιώνονται από πολλές εμπειρικές έρευνες που έχουν διεξαχθεί σε διάφορες χώρες και τα αποτελέσματά τους οδηγούν σε ένα βασικό συμπέρασμα laquo η καθιερωμένη παραδοσιακή διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αδυνατεί να οδηγήσει τους μαθητές στην κατάκτηση των ανώτερων επιπέδων γεωμετρικής σκέψης raquo

Από τα αποτελέσματα αυτών των ερευνών αξίζει νrsquo αναφέρουμε εδώ ένα εντυπωσιακό στατιστικό στοιχείο που αποκαλύπτει τις διαστάσεις του προβλήματος σε μια έρευνα που έγινε στις ΗΠΑ μεταξύ 1520 μαθητών που είχαν ολοκληρώσει ένα έτος διδασκαλίας της θεωρητικής Ευκλείδειας Γεωμετρίας διαπιστώθηκε ότι μόνο το 30 είχε φτάσει σε ένα επίπεδο που μπορεί να χαρακτηριστεί από 75 επιτυχία στην απόδειξη απλών γεωμετρικών προτάσεων (πχ ότι οι διαγώνιες ενός ορθογωνίου είναι ίσες) Το ποσοστό των μαθητών που είχαν 100 επιτυχία δεν ξεπέρασε το 3

31

Κοινή πεποίθηση όλων αυτών των ερευνητών είναι ότι για να κατανοηθούν οι παραγωγικές αποδείξεις της Ευκλείδειας Γεωμετρίας απαιτείται μια ισχυρή διαισθητική βάση την οποία οι μαθητές θα αποκτήσουν μέσα από επαγωγικές εμπειρικές ανακαλύψεις τη διαπίστωση και επαλήθευση υποθέσεων τις γεωμετρικές κατασκευές και εφαρμογές Έτσι λοιπόν η διδασκαλία της Γεωμετρίας δεν θα πρέπει να στηρίζεται σrsquo ένα τεχνητό διαχωρισμό ανάμεσα σε laquoΠρακτική Γεωμετρίαraquo σχεδίασης και μετρήσεων και μια laquoΘεωρητική Γεωμετρίαraquo αποδείξεων αλλά να συνδυάζει μια ισορροπημένη ανάπτυξη των δύο αυτών όψεων του μαθήματος σrsquo όλο το φάσμα της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Η επινόηση διδακτικών μέσων και μεθόδων που θα επιτρέψουν την υλοποίηση αυτού του στόχου φαίνεται ότι αποτελεί σήμερα το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ

Η Γεωμετρία του Ευκλείδη απετέλεσε το θεμέλιο για την ανάπτυξη της laquoδυτικήςraquo επιστήμης και τεχνικής και σ αυτή τη Γεωμετρία στηρίζονται οι προϋποθέσεις της κλασικής Φυσικής από την Αναγέννηση και μετά Μόλις το 19ο αιώνα διαπιστώθηκε όμως (Λάμπερτ Γκάους Μπολυάι Λομπατσέβσκι κά) ότι η ευκλείδεια Γεωμετρία στηρίζεται στην απλοϊκή αντίληψη του επίπεδου χώρου ο οποίος είναι μεν χρήσιμος για την περιοχή που αντιλαμβάνεται με τις αισθήσεις του ένας άνθρωπος αλλά όχι για πολύ μεγάλες τιμές των φυσικών μεγεθών (αποστάσεις ταχύτητες μάζες κτλ) Τότε παύει να ισχύει η επίπεδη αντίληψη και μαζί της η Ευκλείδεια Γεωμετρία επειδή στην πραγματικότητα ο χώρος είναι κυρτός Έτσι η Γεωμετρία συμπληρώνεται με βάση αντιλήψεις που στηρίζονται στον υπερβολικό ελλειπτικό κά χώρο

Σήμερα η γεωμετρία του Ευκλείδη διδάσκεται παγκοσμίως και ανελλιπώς επί 23 αιώνες με τον τιμητικό τίτλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Στη σύγχρονη όμως σχολική γεωμετρία περιλαμβάνονται και υπολογισμοί και μετρήσεις οι οποίες από το έργο του Ευκλείδη απουσιάζουν εντελώς

Η συνολική προσφορά του Ευκλείδη στα Μαθηματικά και τις εφαρμοσμένες τέχνες υπήρξε σημαντικότατη και ταυτόχρονα βάση από την οποία εξόρμησαν οι μεταγενέστεροι μαθηματικοί γεωγράφοι και αστρονόμοι για να οδηγηθούν στο τελικό μαθηματικό θαύμα της Ελληνικής Αρχαιότητας

32

33

ΒΙΟΓΡΑΦΙΑ Ο Αρχιμήδης ήταν ένας από τους μεγάλους μαθηματικούς μηχανικούς και φυσικούς του αρχαίου Ελληνικού χώρου και μια από τις μεγαλύτερες μαθηματικές ευφυΐες του κόσμου Γεννήθηκε έζησε και πέθανε στις Συρακούσες την μεγάλη Ελληνική αποικία της Σικελίας

Πατέρας του Αρχιμήδη ήταν ο αστρονόμος Φειδίας που είχε δεσμούς φιλίας με το βασιλικό γένος των Συρακουσών Ο Αρχιμήδης ταξίδεψε στην Αίγυπτο και ήρθε σε επαφή με τους διαδόχους του Ευκλείδη του Ερατοσθένη και το Δισίθεο ενώ ήταν φίλος και συμμαθητής του Κόνωνα του Σάμιου

Υπήρξε λαμπρό παράδειγμα πρωτότυπου ερευνητή ο οποίος δεν ενδιαφέρθηκε να διευκολύνει τους αρχάριους αλλά ασχολήθηκε κυρίως για την αποκάλυψη νέων αληθειών για δική του ικανοποίηση και των ώριμων ήδη διανοούμενων Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο ενώ η κατανόηση του Ευκλείδη δεν απαιτεί εξαιρετική προηγούμενη γνώση και ευφυΐα τα προϊόντα της μαθηματικής σκέψεως τα οποία πρόκειται τώρα να εξετάσουμε είναι προσιτά αποκλειστικώς και μόνο στην ανάγνωση υψηλής πνευματικής στάθμης

Πήγε στην Αίγυπτο ως εκπαιδευτικός και ήρθε σε επαφή όχι βέβαια με τον Ευκλείδη που είχε στο μεταξύ πεθάνει αλλά με τους διαδόχους του και έκανε στενούς δεσμούς με εξαιρετικούς γεωμετρικούς όπως ο Κόνων ο Σάμιος ο Ερατοσθένης ο Κυρηναίος ο Δισίθεος κλπ από τους οποίους κατόπιν όσα έργα συνέταξε μετά την επιστροφή του στην πατρίδα του

34

Το έργο τουΤο έργο του Αρχιμήδη υπήρξε τεράστιο τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά και η ερευνητική ματιά του κάλυψε πολλούς τομείς γεωμετρία οπτική (κατοπτρική) υδραυλική μηχανική αρχιτεκτονική και την πολιορκητική Συνέδεσε το όνομά του με την γένεση της μηχανικής στην αρχαία Ελλάδα και με την λύση περίφημων μαθηματικών προβλημάτων καθώς και με τις αμυντικές εφευρέσεις του που χρησιμοποιήθηκαν όταν οι Ρωμαίοι πολιορκούσαν την πατρίδα του τις Συρακούσες

Σχολιαστής του έργου του Αρχιμήδη υπήρξε ο Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης (6ος αι μΧ) που καταγόταν από την ελληνική πόλη της Συρίας Ασκαλών

Στον χώρο της εφαρμοσμένης μηχανικής ο Αρχιμήδης επινόησε ιδιοφυείς μηχανές κάθε είδους Εφηύρε τον ρωμαϊκό ζυγό (καντάρι) το τρίσπαστο (ανυψωτική τριπλή τροχαλία) και τον ατέρμονα κοχλία έλιξ του Αρχιμήδους μηχανή άντλησης νερού από ποταμούς και φρέατα (η οποία χρησιμοποιείται ακόμα και στις μέρες μας σε περιοχές της βόρειας Αφρικής) Κατασκεύασε ένα υδραυλικό ρολόι το οποίο υπολόγιζε με μεγάλη ακρίβεια τις ώρες (και ειδοποιούσε για την αλλαγή της ώρας)

Μεγάλη φήμη απέκτησαν οι πολεμικές μηχανές του Αρχιμήδη αρχιτρόνιτο (πυροβόλο ατμού) καταπέλτες άρπαγες (μηχανισμός που ανύψωνε και αναποδογύριζε πλοία) και κάτοπτρα για την καύση των Ρωμαϊκών εχθρικών πλοίων (με παραβολικά κάτοπτρα όπως αποδείχτηκε από τα πειράματα του μηχανικού Ι Σακκά ο οποίος το 1973 απόδειξε τον τρόπο με τον οποίο ο Αρχιμήδης έκαψε τον ρωμαϊκό στόλο) Σύμφωνα με την παράδοση όταν η πόλη μετά από τριετή αντίσταση των ελλήνων κατελήφθη με προδοσία ένας ρωμαίος στρατιώτης σκότωσε τον Έλληνα επιστήμονα ενώ αυτός ήταν προσηλωμένος σε κάποιο γεωμετρικό πρόβλημα ΜΗ ΜΟΥ ΤΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥΣ ΤΑΡΑΤΤΕ πρόλαβε να του απαντήσει ο Έλληνας επιστήμονας

Ο Αρχιμήδης επηρέασε σε μεγάλο βαθμό την ευρωπαϊκή επιστημονική σκέψη καθώς και τους Άραβες επιστήμονες οι οποίοι αντέγραψαν όλα τα έργα του στα αραβικά γλώσσα στην οποία διασώθηκαν αρκετά αφού τα πρωτότυπα είχαν χαθεί

35

Διασωθέντα συγγράμματα

bull Περί σφαίρας και κυλίνδρου Βιβλίο α και βbull Κύκλου μέτρησις Σώζονται τρία θεωρήματαbull Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων (32 θεωρήματα 1 πόρισμα)bull Περί ελίκων (28 θεωρήματα 6 πορίσματα)bull Περί επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων ή Μηχανικά Βιβλ α και βbull Περί μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος (=μέθοδος)bull Βιβλίο λημμάτωνbull Πρόβλημα Βοεικόνbull Κατασκευή πλευράς του περιγραφομένου εις κύκλο επταγώνουbull Ωρολόγιον Αρχιμήδους (Σώζεται στα αραβικά)bull Περί κύκλων εφαπτομένων αλλήλωνbull Αρχαί της Γεωμετρίαςbull Ψαμμίτηςbull Τετραγωνισμός παραβολήςbull Οχουμένων (Υδροστατική)bull Στομάχιον (Σώζονται λίγα αποσπάσματα)

Συγγράμματα μη διασωθέντα (ή συγγράμματα μη αποκαλυφθέντα μέχρι σήμερα)

bull Αριθμητικάbull Βαρουλκός Υδροσκοπίαι Πνευματικήbull Επισίδια Βιβλία (Μάλλον περί στατιστικής - Τζέτζης)bull Περί τριγώνωνbull Περί τετραπλεύρουbull Περί ζευγώνbull Περί 13 ημικανονικών πολυέδρωνbull Ισοπεριμετικάbull Ισορροπίαιbull Καύσις δια κατόπτρων (επ΄ αυτού έγινε επιτυχές πείραμα στο ΝΣ)bull Περί Αρχιτεκτονικήςbull Περί βαρύτητος και ελαφρότητος (Πυκνόμετρα - Αραιόμετρα)bull Περί δρομομέτρων (Οδόμετρα πλοίων)bull Περί κέντρου Βάρους ή Κεντροβαρικάbull Κατοπρικάbull Περί παραλλήλων γραμμώνbull Περί κοίλων και παραβολικών κατόπτρωνbull Προοπτικήbull Στοιχεία μηχανικώνbull Πλινθίδες και Κύλινδροιbull Στοιχεία επί των στηρίξεωνbull Σφαιροποιΐα

36

Εφευρέσεις

bull Αραιόμετρο - Πυκνόμετροbull Αστρονομική συσκευήbull Βαρουλκόςbull Γερανοί (Αρπάγες)bull Καταπέλτεςbull Κάτοπτραbull Κοχλίας ή έλιξbull Οδόμετρο (δρομόμετρο)bull Πλανητάριον (σφαίρα)bull Πολύσπαστον (Βαρούλκο) τρίσπαστοbull Σίφωνbull Στομάχιον (επιτραπέζιο παιγνίδι το πρώτο παζλ)bull Τηλεβόλον Αρχιμήδους bull Χαριστίων (μοχλός)bull Ωρολόγιο υδραυλικό

37

Τα συγγράμματα του Αρχιμήδη που σώθηκαν μέχρι σήμερα είναι τα ακόλουθα Περί σφαίρας και κυλίνδρου Κύκλου μέτρησις περί σφαιροειδέων και κωνοειδέων Περί λίκων Επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων Ψαμμίτης Τετραγωνισμός παραβολής Οχούμενων Στομάχιον Προς Ερατοσθένην Έφοδος Βιβλίον περί λημμάτων Πρόβλημα βοεικόν Αποσπάσματα Μερικά από αυτά διασώθηκαν Πολλά επίσης είναι τα συγγράμματα του που χάθηκαν

Έκανε τα πρώτα βήματα για το μαθηματικό υπολογισμό επιφανειών με ακανόνιστο περίγραμμα και συμμετρικών εκ περιστροφής σωμάτων μέθοδος που εξελίχθηκε τεκμηριώθηκε και ονομάστηκε στην σύγχρονη εποχή laquoΟλοκληρωτικός Λογισμόςraquo υπολόγισε μία προσεγγιστική τιμή για τον άρρητο αριθμό π διατύπωσε το νόμο προεκτάσεις του γενίκευσε την εφαρμογή λέγοντας laquoΔώστε μου σημείο να στηριχθώ και θα κινήσω την γηraquo διατύπωσε την ομώνυμη αρχή για την άνωση του νερού κατασκεύασε διάφορες μηχανές ένα τύπο πολύσπαστου τον κοχλία μία αντλητική μηχανή με την laquoαρχιμήδειον έλικαraquo κά

Η συμβολή του ΑρχιμήδηΗ συμβολή του Αρχιμήδη στην ανάπτυξη της Μηχανικής συνιστάται πέρα από την επινόηση των τροχαλιών του πολύσπαστου και των οδοντωτών τροχών και ενός ιδιόμορφου αντλητικού συγκροτήματος στην έλικα που φέρει το όνομα του Ακόμα στην επακριβή διατύπωση των νόμων των μοχλών και των ισορροπιών ή κέντρα βαρών Εδώ υπάρχει και η περίφημη πρόταση laquo σύμμετρα μεγέθη ισορροπούν σε αποστάσεις αντιστρόφως ανάλογες προς το βάρος τους raquo

Σε σχέση με τους μοχλούς και τις δυνατότητες τους μας αναφέρει τη φράση laquo δος μοι πα στω και ταν γαν κινάσω raquo Απέδειξε στον Ιέρωνα ότι με ένα σύστημα τροχαλιών ndash οδοντωτών τροχών και μοχλών μπορεί να μετακινήσει ένα τεράστιο πλοίο με όλο το πλήρωμα μέσα μόνος του Ήταν ακόμα ο ίδιος που σχεδίασε και επιμελήθηκε τη ναυπήγηση του πλοίου

Ανέλαβε μετά από εντολή του Ιέρωνα την οχύρωση της πόλης και διηύθυνε ο ίδιος την άμυνα της εναντίον των Ρωμαίων

Στην αστρονομία ο Λίβιος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης είναι laquoμοναδικός παρατηρητής του ουρανού και των αστέρων raquo Ο Ίππαρχος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης ασχολήθηκε με τη μελέτη των ηλιοστασίων καθώς και με τον υπολογισμό της διάρκειας του έτους

Ο Μακρόβιος αναφέρει ότι ο Αρχιμήδης ανακάλυψε τις αποστάσεις των πλανητών ενώ στο έργο laquoΨαμμίτηςraquo περιγράφει τη συσκευή μέσω της οποίας μέτρησε τη φαινομενική γωνιακή διάμετρο του ήλιου

38

Ο Κικέρων αναφέρεται με θαυμασμό για τον Αρχιμήδη στα laquoΚατοπτρικάraquo Στα Μαθηματικά που ο ίδιος θεωρούσε ως τα πιο σημαντικά παρουσίασε την μέθοδο του προσδιορισμού του αριθμού π Τελειοποίησε το ελληνικό σύστημα αρίθμησης και παρουσίασε μια μέθοδο παράστασης των πολύ μεγάλων αριθμών Ασχολήθηκε με τη διαφορική Γεωμετρία βρήκε τους τύπους πρόσθεσης και αφαίρεσης τόξων Υπολόγισε το εμβαδόν της σφαίρας και του κυλίνδρου Μελέτησε διάφορα στερεά εκ περιστροφής όπως τα στερεά που παράγονται από περιστροφή έλλειψης υπερβολής και παραβολής γύρω από έναν άξονα

Στη Γεωμετρία το έργο του Αρχιμήδη αποτελείται κατά κύριο λόγο από πρωτότυπες μελέτες σχετικά με τον τετραγωνισμό των καμπυλόγραμμων επίπεδων σχημάτων καθώς και με τον τετραγωνισμό και τον κυβισμό καμπύλων επιφανειών

Τέλος επινόησε στο σύνολό της την Υδροστατική Επιστήμη την οποία ανέπτυξε πλήρως Οι μελέτες του αναπαριστούν ένα σύνολο μαθηματικών και γεωμετρικών επιτευγμάτων το οποίο δεν ξεπέρασε κανείς στην ανθρώπινη ιστορία

Όπως αναφέρει ο Wallis laquo ο Αρχιμήδης αφήνει ένα συγκεκριμένο μυστήριο να καλύπτει τον τρόπο με τον οποίο κατέληγε στα αποτελέσματά του Είναι σαν να είχε καλύψει σκοπίμως τα ίχνη του τα ίχνη των ερευνών του σα να ήταν απρόθυμος να αποκαλύψει το μυστικό της μεθόδου έρευνάς του στους μεταγενέστερους ενώ επιθυμούσε να αποσπάσει τη συναίνεσή τους για τα αποτελέσματά του raquo

Ο ίδιος ο Αρχιμήδης ως φορέας ενός ανώτερου φιλοσοφικού πνεύματος θεωρούσε ταπεινή και ανάξια κάθε τέχνη που εξυπηρετούσε πρακτικές ανάγκες ή αποσκοπούσε στο οικονομικό κέρδος Γι` αυτό και έστρεψε όλη του την προσοχή και τις επιδιώξεις στους καθαρούς στοχασμούς χωρίς να καταδεχτεί να αφήσει κάποιο γραπτό στοιχείο για τις τεχνολογικές του ανακαλύψεις με μοναδική εξαίρεση όσες αναφέρονται στο έργο του laquoπερί σφαιροποιίαςraquo Δεν είναι καθόλου τυχαίο λοιπόν το ότι ο Κικέρων αργότερα βρήκε τον τάφο του και πάνω μία αναπαράσταση ενός κυλίνδρου περιγεγραμμένου σε σφαίρα με μία περιγραφή που έδινε το λόγο του κυλίνδρου προς τη σφαίρα

Σε ποιους τομείς εφαρμόστηκαν οι θεωρίες του Εξαιρετικές του μελέτες και για τη μέθοδο και για το αποτέλεσμα είναι εκείνες που έδωσαν τα εμβαδά Κύκλου Έλλειψης Παραβολής και Έλικας καθώς και τα εμβαδά και τους όγκους των Κυλίνδρων των Κώνων και κυρίως των Σφαιρών

Σημαντικότατη θεωρείται και η ανακάλυψη από τον ίδιο τύπου που δίνει το εμβαδόν τριγώνου από τις πλευρές του και ακόμα η επέκτασή του στα εγγεγραμμένα τετράπλευρα Ο Αρχιμήδης επίσης γνώριζε να κατασκευάζει τη λύση ειδικών τριτοβάθμιων προβλημάτων και μεταξύ αυτών και του Δηλίου Προβλήματος Τις λύσεις αυτές τις έδινε με την τομή δύο κωνικών (Ευτόκιος) Μοναδική είναι η προσφορά του στην ανώτερη μετρική Γεωμετρία Συγκεκριμένα εξέφρασε τους όγκους στερεών εκ περιστροφής κωνικών τομών εφαρμόζοντας απειροστικές μεθόδους ανάλυσης των στερεών αυτών

39

Στη σύγχρονη κλασική γεωμετρία όλο σχεδόν το μετρικό της μέρος οφείλεται στον Αρχιμήδη με αποτέλεσμα αυτή ουσιαστικά να είναι ισορροπημένη μείξη της Ευκλείδειας και της Αρχιμήδειας αρχαίας γεωμετρίας

Έτσι ο σοφός μας αποτελεί ουσιαστικά τον πατέρα της ανώτερης μετρικής γεωμετρίας της αρχαιότητας και ταυτόχρονα την πηγή έμπνευσης των νεώτερων μελετών του διαφορικού και απειροστικού λογισμού

Η πρωτοτυπία και η αποτελεσματικότητα των μελετών του έγιναν αιτία να χαρακτηριστεί από τους ιστορικούς των μαθηματικών ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών και όλων των εθνών

Ρεύμα στα ανάκτορα της Βρετανίας μέσω εφεύρεσης του Αρχιμήδη ( httpkatestimenoblogspotcom201109blog-post_1015html )

laquoΗ Βασίλισσα Ελισάβετ πρόκειται να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση ενός αρχαίου Έλληνα για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Και όταν λέμε αρχαίο Έλληνα εννοούμε τον Αρχιμήδη και όχι τον 90χρονο σύζυγό της Φίλιππο της Ελλάδαςraquo

Με αυτόν τον τίτλο πληροφορεί το βρετανικό κοινό η εφημερίδα ldquoDaily Mailrdquo για την απόφαση της Αυτής Μεγαλειότητας να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση του αρχαίου Έλληνα εφευρέτη Αρχιμήδη από τις Συρακούσες για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Πρόκειται για τη σύγχρονη εκδοχή του ατέρμονα κοχλία της έλικος του Αρχιμήδους όπως έμεινε γνωστή η εφεύρεση και είναι ένας σωληνοειδής κοχλίας που χρησίμευε για την άντληση νερού και την άρδευση καλλιεργημένων εκτάσεων

Η σύγχρονη εκδοχή της εφεύρεσης θα χρησιμοποιεί το νερό που μεταφέρεται από ένα τεχνητό φράγμα για να παράγει υδροηλεκτρική ενέργεια Ο μηχανισμός έχει ήδη μεταφερθεί μέσω του Τάμεση στο Romney Weir στα ανάκτορα του Γουίντσορ Σύμφωνα με το δημοσίευμα της εφημερίδας οι έλικες θα είναι έτοιμες για την παραγωγή ενέργειας τον προσεχή Νοέμβριο ενώ θα μπορούν να καλύψουν πλήρως τις ανάγκες του κάστρου σε ενέργεια μέσα στον επόμενο χρόνο

Εκτός αυτού οι τουρμπίνες είναι σχεδιασμένες ώστε να μην εμποδίζουν την ασφαλή διέλευση σολομού και χελιού μέσα στον ποταμό Τάμεση

Οι laquoέλικες του Αρχιμήδηraquo βάρους 40 τόνων κατασκευάστηκαν από ένα εργοστάσιο στην Ολλανδία και στοίχησαν 700000 λίρες Αγγλίας ενώ το κόστος εγκατάστασής τους θα ξεπεράσει το ένα εκατομμύριο λίρες

40

Κοινή πεποίθηση όλων αυτών των ερευνητών είναι ότι για να κατανοηθούν οι παραγωγικές αποδείξεις της Ευκλείδειας Γεωμετρίας απαιτείται μια ισχυρή διαισθητική βάση την οποία οι μαθητές θα αποκτήσουν μέσα από επαγωγικές εμπειρικές ανακαλύψεις τη διαπίστωση και επαλήθευση υποθέσεων τις γεωμετρικές κατασκευές και εφαρμογές Έτσι λοιπόν η διδασκαλία της Γεωμετρίας δεν θα πρέπει να στηρίζεται σrsquo ένα τεχνητό διαχωρισμό ανάμεσα σε laquoΠρακτική Γεωμετρίαraquo σχεδίασης και μετρήσεων και μια laquoΘεωρητική Γεωμετρίαraquo αποδείξεων αλλά να συνδυάζει μια ισορροπημένη ανάπτυξη των δύο αυτών όψεων του μαθήματος σrsquo όλο το φάσμα της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Η επινόηση διδακτικών μέσων και μεθόδων που θα επιτρέψουν την υλοποίηση αυτού του στόχου φαίνεται ότι αποτελεί σήμερα το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ

Η Γεωμετρία του Ευκλείδη απετέλεσε το θεμέλιο για την ανάπτυξη της laquoδυτικήςraquo επιστήμης και τεχνικής και σ αυτή τη Γεωμετρία στηρίζονται οι προϋποθέσεις της κλασικής Φυσικής από την Αναγέννηση και μετά Μόλις το 19ο αιώνα διαπιστώθηκε όμως (Λάμπερτ Γκάους Μπολυάι Λομπατσέβσκι κά) ότι η ευκλείδεια Γεωμετρία στηρίζεται στην απλοϊκή αντίληψη του επίπεδου χώρου ο οποίος είναι μεν χρήσιμος για την περιοχή που αντιλαμβάνεται με τις αισθήσεις του ένας άνθρωπος αλλά όχι για πολύ μεγάλες τιμές των φυσικών μεγεθών (αποστάσεις ταχύτητες μάζες κτλ) Τότε παύει να ισχύει η επίπεδη αντίληψη και μαζί της η Ευκλείδεια Γεωμετρία επειδή στην πραγματικότητα ο χώρος είναι κυρτός Έτσι η Γεωμετρία συμπληρώνεται με βάση αντιλήψεις που στηρίζονται στον υπερβολικό ελλειπτικό κά χώρο

Σήμερα η γεωμετρία του Ευκλείδη διδάσκεται παγκοσμίως και ανελλιπώς επί 23 αιώνες με τον τιμητικό τίτλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Στη σύγχρονη όμως σχολική γεωμετρία περιλαμβάνονται και υπολογισμοί και μετρήσεις οι οποίες από το έργο του Ευκλείδη απουσιάζουν εντελώς

Η συνολική προσφορά του Ευκλείδη στα Μαθηματικά και τις εφαρμοσμένες τέχνες υπήρξε σημαντικότατη και ταυτόχρονα βάση από την οποία εξόρμησαν οι μεταγενέστεροι μαθηματικοί γεωγράφοι και αστρονόμοι για να οδηγηθούν στο τελικό μαθηματικό θαύμα της Ελληνικής Αρχαιότητας

32

33

ΒΙΟΓΡΑΦΙΑ Ο Αρχιμήδης ήταν ένας από τους μεγάλους μαθηματικούς μηχανικούς και φυσικούς του αρχαίου Ελληνικού χώρου και μια από τις μεγαλύτερες μαθηματικές ευφυΐες του κόσμου Γεννήθηκε έζησε και πέθανε στις Συρακούσες την μεγάλη Ελληνική αποικία της Σικελίας

Πατέρας του Αρχιμήδη ήταν ο αστρονόμος Φειδίας που είχε δεσμούς φιλίας με το βασιλικό γένος των Συρακουσών Ο Αρχιμήδης ταξίδεψε στην Αίγυπτο και ήρθε σε επαφή με τους διαδόχους του Ευκλείδη του Ερατοσθένη και το Δισίθεο ενώ ήταν φίλος και συμμαθητής του Κόνωνα του Σάμιου

Υπήρξε λαμπρό παράδειγμα πρωτότυπου ερευνητή ο οποίος δεν ενδιαφέρθηκε να διευκολύνει τους αρχάριους αλλά ασχολήθηκε κυρίως για την αποκάλυψη νέων αληθειών για δική του ικανοποίηση και των ώριμων ήδη διανοούμενων Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο ενώ η κατανόηση του Ευκλείδη δεν απαιτεί εξαιρετική προηγούμενη γνώση και ευφυΐα τα προϊόντα της μαθηματικής σκέψεως τα οποία πρόκειται τώρα να εξετάσουμε είναι προσιτά αποκλειστικώς και μόνο στην ανάγνωση υψηλής πνευματικής στάθμης

Πήγε στην Αίγυπτο ως εκπαιδευτικός και ήρθε σε επαφή όχι βέβαια με τον Ευκλείδη που είχε στο μεταξύ πεθάνει αλλά με τους διαδόχους του και έκανε στενούς δεσμούς με εξαιρετικούς γεωμετρικούς όπως ο Κόνων ο Σάμιος ο Ερατοσθένης ο Κυρηναίος ο Δισίθεος κλπ από τους οποίους κατόπιν όσα έργα συνέταξε μετά την επιστροφή του στην πατρίδα του

34

Το έργο τουΤο έργο του Αρχιμήδη υπήρξε τεράστιο τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά και η ερευνητική ματιά του κάλυψε πολλούς τομείς γεωμετρία οπτική (κατοπτρική) υδραυλική μηχανική αρχιτεκτονική και την πολιορκητική Συνέδεσε το όνομά του με την γένεση της μηχανικής στην αρχαία Ελλάδα και με την λύση περίφημων μαθηματικών προβλημάτων καθώς και με τις αμυντικές εφευρέσεις του που χρησιμοποιήθηκαν όταν οι Ρωμαίοι πολιορκούσαν την πατρίδα του τις Συρακούσες

Σχολιαστής του έργου του Αρχιμήδη υπήρξε ο Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης (6ος αι μΧ) που καταγόταν από την ελληνική πόλη της Συρίας Ασκαλών

Στον χώρο της εφαρμοσμένης μηχανικής ο Αρχιμήδης επινόησε ιδιοφυείς μηχανές κάθε είδους Εφηύρε τον ρωμαϊκό ζυγό (καντάρι) το τρίσπαστο (ανυψωτική τριπλή τροχαλία) και τον ατέρμονα κοχλία έλιξ του Αρχιμήδους μηχανή άντλησης νερού από ποταμούς και φρέατα (η οποία χρησιμοποιείται ακόμα και στις μέρες μας σε περιοχές της βόρειας Αφρικής) Κατασκεύασε ένα υδραυλικό ρολόι το οποίο υπολόγιζε με μεγάλη ακρίβεια τις ώρες (και ειδοποιούσε για την αλλαγή της ώρας)

Μεγάλη φήμη απέκτησαν οι πολεμικές μηχανές του Αρχιμήδη αρχιτρόνιτο (πυροβόλο ατμού) καταπέλτες άρπαγες (μηχανισμός που ανύψωνε και αναποδογύριζε πλοία) και κάτοπτρα για την καύση των Ρωμαϊκών εχθρικών πλοίων (με παραβολικά κάτοπτρα όπως αποδείχτηκε από τα πειράματα του μηχανικού Ι Σακκά ο οποίος το 1973 απόδειξε τον τρόπο με τον οποίο ο Αρχιμήδης έκαψε τον ρωμαϊκό στόλο) Σύμφωνα με την παράδοση όταν η πόλη μετά από τριετή αντίσταση των ελλήνων κατελήφθη με προδοσία ένας ρωμαίος στρατιώτης σκότωσε τον Έλληνα επιστήμονα ενώ αυτός ήταν προσηλωμένος σε κάποιο γεωμετρικό πρόβλημα ΜΗ ΜΟΥ ΤΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥΣ ΤΑΡΑΤΤΕ πρόλαβε να του απαντήσει ο Έλληνας επιστήμονας

Ο Αρχιμήδης επηρέασε σε μεγάλο βαθμό την ευρωπαϊκή επιστημονική σκέψη καθώς και τους Άραβες επιστήμονες οι οποίοι αντέγραψαν όλα τα έργα του στα αραβικά γλώσσα στην οποία διασώθηκαν αρκετά αφού τα πρωτότυπα είχαν χαθεί

35

Διασωθέντα συγγράμματα

bull Περί σφαίρας και κυλίνδρου Βιβλίο α και βbull Κύκλου μέτρησις Σώζονται τρία θεωρήματαbull Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων (32 θεωρήματα 1 πόρισμα)bull Περί ελίκων (28 θεωρήματα 6 πορίσματα)bull Περί επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων ή Μηχανικά Βιβλ α και βbull Περί μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος (=μέθοδος)bull Βιβλίο λημμάτωνbull Πρόβλημα Βοεικόνbull Κατασκευή πλευράς του περιγραφομένου εις κύκλο επταγώνουbull Ωρολόγιον Αρχιμήδους (Σώζεται στα αραβικά)bull Περί κύκλων εφαπτομένων αλλήλωνbull Αρχαί της Γεωμετρίαςbull Ψαμμίτηςbull Τετραγωνισμός παραβολήςbull Οχουμένων (Υδροστατική)bull Στομάχιον (Σώζονται λίγα αποσπάσματα)

Συγγράμματα μη διασωθέντα (ή συγγράμματα μη αποκαλυφθέντα μέχρι σήμερα)

bull Αριθμητικάbull Βαρουλκός Υδροσκοπίαι Πνευματικήbull Επισίδια Βιβλία (Μάλλον περί στατιστικής - Τζέτζης)bull Περί τριγώνωνbull Περί τετραπλεύρουbull Περί ζευγώνbull Περί 13 ημικανονικών πολυέδρωνbull Ισοπεριμετικάbull Ισορροπίαιbull Καύσις δια κατόπτρων (επ΄ αυτού έγινε επιτυχές πείραμα στο ΝΣ)bull Περί Αρχιτεκτονικήςbull Περί βαρύτητος και ελαφρότητος (Πυκνόμετρα - Αραιόμετρα)bull Περί δρομομέτρων (Οδόμετρα πλοίων)bull Περί κέντρου Βάρους ή Κεντροβαρικάbull Κατοπρικάbull Περί παραλλήλων γραμμώνbull Περί κοίλων και παραβολικών κατόπτρωνbull Προοπτικήbull Στοιχεία μηχανικώνbull Πλινθίδες και Κύλινδροιbull Στοιχεία επί των στηρίξεωνbull Σφαιροποιΐα

36

Εφευρέσεις

bull Αραιόμετρο - Πυκνόμετροbull Αστρονομική συσκευήbull Βαρουλκόςbull Γερανοί (Αρπάγες)bull Καταπέλτεςbull Κάτοπτραbull Κοχλίας ή έλιξbull Οδόμετρο (δρομόμετρο)bull Πλανητάριον (σφαίρα)bull Πολύσπαστον (Βαρούλκο) τρίσπαστοbull Σίφωνbull Στομάχιον (επιτραπέζιο παιγνίδι το πρώτο παζλ)bull Τηλεβόλον Αρχιμήδους bull Χαριστίων (μοχλός)bull Ωρολόγιο υδραυλικό

37

Τα συγγράμματα του Αρχιμήδη που σώθηκαν μέχρι σήμερα είναι τα ακόλουθα Περί σφαίρας και κυλίνδρου Κύκλου μέτρησις περί σφαιροειδέων και κωνοειδέων Περί λίκων Επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων Ψαμμίτης Τετραγωνισμός παραβολής Οχούμενων Στομάχιον Προς Ερατοσθένην Έφοδος Βιβλίον περί λημμάτων Πρόβλημα βοεικόν Αποσπάσματα Μερικά από αυτά διασώθηκαν Πολλά επίσης είναι τα συγγράμματα του που χάθηκαν

Έκανε τα πρώτα βήματα για το μαθηματικό υπολογισμό επιφανειών με ακανόνιστο περίγραμμα και συμμετρικών εκ περιστροφής σωμάτων μέθοδος που εξελίχθηκε τεκμηριώθηκε και ονομάστηκε στην σύγχρονη εποχή laquoΟλοκληρωτικός Λογισμόςraquo υπολόγισε μία προσεγγιστική τιμή για τον άρρητο αριθμό π διατύπωσε το νόμο προεκτάσεις του γενίκευσε την εφαρμογή λέγοντας laquoΔώστε μου σημείο να στηριχθώ και θα κινήσω την γηraquo διατύπωσε την ομώνυμη αρχή για την άνωση του νερού κατασκεύασε διάφορες μηχανές ένα τύπο πολύσπαστου τον κοχλία μία αντλητική μηχανή με την laquoαρχιμήδειον έλικαraquo κά

Η συμβολή του ΑρχιμήδηΗ συμβολή του Αρχιμήδη στην ανάπτυξη της Μηχανικής συνιστάται πέρα από την επινόηση των τροχαλιών του πολύσπαστου και των οδοντωτών τροχών και ενός ιδιόμορφου αντλητικού συγκροτήματος στην έλικα που φέρει το όνομα του Ακόμα στην επακριβή διατύπωση των νόμων των μοχλών και των ισορροπιών ή κέντρα βαρών Εδώ υπάρχει και η περίφημη πρόταση laquo σύμμετρα μεγέθη ισορροπούν σε αποστάσεις αντιστρόφως ανάλογες προς το βάρος τους raquo

Σε σχέση με τους μοχλούς και τις δυνατότητες τους μας αναφέρει τη φράση laquo δος μοι πα στω και ταν γαν κινάσω raquo Απέδειξε στον Ιέρωνα ότι με ένα σύστημα τροχαλιών ndash οδοντωτών τροχών και μοχλών μπορεί να μετακινήσει ένα τεράστιο πλοίο με όλο το πλήρωμα μέσα μόνος του Ήταν ακόμα ο ίδιος που σχεδίασε και επιμελήθηκε τη ναυπήγηση του πλοίου

Ανέλαβε μετά από εντολή του Ιέρωνα την οχύρωση της πόλης και διηύθυνε ο ίδιος την άμυνα της εναντίον των Ρωμαίων

Στην αστρονομία ο Λίβιος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης είναι laquoμοναδικός παρατηρητής του ουρανού και των αστέρων raquo Ο Ίππαρχος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης ασχολήθηκε με τη μελέτη των ηλιοστασίων καθώς και με τον υπολογισμό της διάρκειας του έτους

Ο Μακρόβιος αναφέρει ότι ο Αρχιμήδης ανακάλυψε τις αποστάσεις των πλανητών ενώ στο έργο laquoΨαμμίτηςraquo περιγράφει τη συσκευή μέσω της οποίας μέτρησε τη φαινομενική γωνιακή διάμετρο του ήλιου

38

Ο Κικέρων αναφέρεται με θαυμασμό για τον Αρχιμήδη στα laquoΚατοπτρικάraquo Στα Μαθηματικά που ο ίδιος θεωρούσε ως τα πιο σημαντικά παρουσίασε την μέθοδο του προσδιορισμού του αριθμού π Τελειοποίησε το ελληνικό σύστημα αρίθμησης και παρουσίασε μια μέθοδο παράστασης των πολύ μεγάλων αριθμών Ασχολήθηκε με τη διαφορική Γεωμετρία βρήκε τους τύπους πρόσθεσης και αφαίρεσης τόξων Υπολόγισε το εμβαδόν της σφαίρας και του κυλίνδρου Μελέτησε διάφορα στερεά εκ περιστροφής όπως τα στερεά που παράγονται από περιστροφή έλλειψης υπερβολής και παραβολής γύρω από έναν άξονα

Στη Γεωμετρία το έργο του Αρχιμήδη αποτελείται κατά κύριο λόγο από πρωτότυπες μελέτες σχετικά με τον τετραγωνισμό των καμπυλόγραμμων επίπεδων σχημάτων καθώς και με τον τετραγωνισμό και τον κυβισμό καμπύλων επιφανειών

Τέλος επινόησε στο σύνολό της την Υδροστατική Επιστήμη την οποία ανέπτυξε πλήρως Οι μελέτες του αναπαριστούν ένα σύνολο μαθηματικών και γεωμετρικών επιτευγμάτων το οποίο δεν ξεπέρασε κανείς στην ανθρώπινη ιστορία

Όπως αναφέρει ο Wallis laquo ο Αρχιμήδης αφήνει ένα συγκεκριμένο μυστήριο να καλύπτει τον τρόπο με τον οποίο κατέληγε στα αποτελέσματά του Είναι σαν να είχε καλύψει σκοπίμως τα ίχνη του τα ίχνη των ερευνών του σα να ήταν απρόθυμος να αποκαλύψει το μυστικό της μεθόδου έρευνάς του στους μεταγενέστερους ενώ επιθυμούσε να αποσπάσει τη συναίνεσή τους για τα αποτελέσματά του raquo

Ο ίδιος ο Αρχιμήδης ως φορέας ενός ανώτερου φιλοσοφικού πνεύματος θεωρούσε ταπεινή και ανάξια κάθε τέχνη που εξυπηρετούσε πρακτικές ανάγκες ή αποσκοπούσε στο οικονομικό κέρδος Γι` αυτό και έστρεψε όλη του την προσοχή και τις επιδιώξεις στους καθαρούς στοχασμούς χωρίς να καταδεχτεί να αφήσει κάποιο γραπτό στοιχείο για τις τεχνολογικές του ανακαλύψεις με μοναδική εξαίρεση όσες αναφέρονται στο έργο του laquoπερί σφαιροποιίαςraquo Δεν είναι καθόλου τυχαίο λοιπόν το ότι ο Κικέρων αργότερα βρήκε τον τάφο του και πάνω μία αναπαράσταση ενός κυλίνδρου περιγεγραμμένου σε σφαίρα με μία περιγραφή που έδινε το λόγο του κυλίνδρου προς τη σφαίρα

Σε ποιους τομείς εφαρμόστηκαν οι θεωρίες του Εξαιρετικές του μελέτες και για τη μέθοδο και για το αποτέλεσμα είναι εκείνες που έδωσαν τα εμβαδά Κύκλου Έλλειψης Παραβολής και Έλικας καθώς και τα εμβαδά και τους όγκους των Κυλίνδρων των Κώνων και κυρίως των Σφαιρών

Σημαντικότατη θεωρείται και η ανακάλυψη από τον ίδιο τύπου που δίνει το εμβαδόν τριγώνου από τις πλευρές του και ακόμα η επέκτασή του στα εγγεγραμμένα τετράπλευρα Ο Αρχιμήδης επίσης γνώριζε να κατασκευάζει τη λύση ειδικών τριτοβάθμιων προβλημάτων και μεταξύ αυτών και του Δηλίου Προβλήματος Τις λύσεις αυτές τις έδινε με την τομή δύο κωνικών (Ευτόκιος) Μοναδική είναι η προσφορά του στην ανώτερη μετρική Γεωμετρία Συγκεκριμένα εξέφρασε τους όγκους στερεών εκ περιστροφής κωνικών τομών εφαρμόζοντας απειροστικές μεθόδους ανάλυσης των στερεών αυτών

39

Στη σύγχρονη κλασική γεωμετρία όλο σχεδόν το μετρικό της μέρος οφείλεται στον Αρχιμήδη με αποτέλεσμα αυτή ουσιαστικά να είναι ισορροπημένη μείξη της Ευκλείδειας και της Αρχιμήδειας αρχαίας γεωμετρίας

Έτσι ο σοφός μας αποτελεί ουσιαστικά τον πατέρα της ανώτερης μετρικής γεωμετρίας της αρχαιότητας και ταυτόχρονα την πηγή έμπνευσης των νεώτερων μελετών του διαφορικού και απειροστικού λογισμού

Η πρωτοτυπία και η αποτελεσματικότητα των μελετών του έγιναν αιτία να χαρακτηριστεί από τους ιστορικούς των μαθηματικών ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών και όλων των εθνών

Ρεύμα στα ανάκτορα της Βρετανίας μέσω εφεύρεσης του Αρχιμήδη ( httpkatestimenoblogspotcom201109blog-post_1015html )

laquoΗ Βασίλισσα Ελισάβετ πρόκειται να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση ενός αρχαίου Έλληνα για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Και όταν λέμε αρχαίο Έλληνα εννοούμε τον Αρχιμήδη και όχι τον 90χρονο σύζυγό της Φίλιππο της Ελλάδαςraquo

Με αυτόν τον τίτλο πληροφορεί το βρετανικό κοινό η εφημερίδα ldquoDaily Mailrdquo για την απόφαση της Αυτής Μεγαλειότητας να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση του αρχαίου Έλληνα εφευρέτη Αρχιμήδη από τις Συρακούσες για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Πρόκειται για τη σύγχρονη εκδοχή του ατέρμονα κοχλία της έλικος του Αρχιμήδους όπως έμεινε γνωστή η εφεύρεση και είναι ένας σωληνοειδής κοχλίας που χρησίμευε για την άντληση νερού και την άρδευση καλλιεργημένων εκτάσεων

Η σύγχρονη εκδοχή της εφεύρεσης θα χρησιμοποιεί το νερό που μεταφέρεται από ένα τεχνητό φράγμα για να παράγει υδροηλεκτρική ενέργεια Ο μηχανισμός έχει ήδη μεταφερθεί μέσω του Τάμεση στο Romney Weir στα ανάκτορα του Γουίντσορ Σύμφωνα με το δημοσίευμα της εφημερίδας οι έλικες θα είναι έτοιμες για την παραγωγή ενέργειας τον προσεχή Νοέμβριο ενώ θα μπορούν να καλύψουν πλήρως τις ανάγκες του κάστρου σε ενέργεια μέσα στον επόμενο χρόνο

Εκτός αυτού οι τουρμπίνες είναι σχεδιασμένες ώστε να μην εμποδίζουν την ασφαλή διέλευση σολομού και χελιού μέσα στον ποταμό Τάμεση

Οι laquoέλικες του Αρχιμήδηraquo βάρους 40 τόνων κατασκευάστηκαν από ένα εργοστάσιο στην Ολλανδία και στοίχησαν 700000 λίρες Αγγλίας ενώ το κόστος εγκατάστασής τους θα ξεπεράσει το ένα εκατομμύριο λίρες

40

33

ΒΙΟΓΡΑΦΙΑ Ο Αρχιμήδης ήταν ένας από τους μεγάλους μαθηματικούς μηχανικούς και φυσικούς του αρχαίου Ελληνικού χώρου και μια από τις μεγαλύτερες μαθηματικές ευφυΐες του κόσμου Γεννήθηκε έζησε και πέθανε στις Συρακούσες την μεγάλη Ελληνική αποικία της Σικελίας

Πατέρας του Αρχιμήδη ήταν ο αστρονόμος Φειδίας που είχε δεσμούς φιλίας με το βασιλικό γένος των Συρακουσών Ο Αρχιμήδης ταξίδεψε στην Αίγυπτο και ήρθε σε επαφή με τους διαδόχους του Ευκλείδη του Ερατοσθένη και το Δισίθεο ενώ ήταν φίλος και συμμαθητής του Κόνωνα του Σάμιου

Υπήρξε λαμπρό παράδειγμα πρωτότυπου ερευνητή ο οποίος δεν ενδιαφέρθηκε να διευκολύνει τους αρχάριους αλλά ασχολήθηκε κυρίως για την αποκάλυψη νέων αληθειών για δική του ικανοποίηση και των ώριμων ήδη διανοούμενων Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο ενώ η κατανόηση του Ευκλείδη δεν απαιτεί εξαιρετική προηγούμενη γνώση και ευφυΐα τα προϊόντα της μαθηματικής σκέψεως τα οποία πρόκειται τώρα να εξετάσουμε είναι προσιτά αποκλειστικώς και μόνο στην ανάγνωση υψηλής πνευματικής στάθμης

Πήγε στην Αίγυπτο ως εκπαιδευτικός και ήρθε σε επαφή όχι βέβαια με τον Ευκλείδη που είχε στο μεταξύ πεθάνει αλλά με τους διαδόχους του και έκανε στενούς δεσμούς με εξαιρετικούς γεωμετρικούς όπως ο Κόνων ο Σάμιος ο Ερατοσθένης ο Κυρηναίος ο Δισίθεος κλπ από τους οποίους κατόπιν όσα έργα συνέταξε μετά την επιστροφή του στην πατρίδα του

34

Το έργο τουΤο έργο του Αρχιμήδη υπήρξε τεράστιο τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά και η ερευνητική ματιά του κάλυψε πολλούς τομείς γεωμετρία οπτική (κατοπτρική) υδραυλική μηχανική αρχιτεκτονική και την πολιορκητική Συνέδεσε το όνομά του με την γένεση της μηχανικής στην αρχαία Ελλάδα και με την λύση περίφημων μαθηματικών προβλημάτων καθώς και με τις αμυντικές εφευρέσεις του που χρησιμοποιήθηκαν όταν οι Ρωμαίοι πολιορκούσαν την πατρίδα του τις Συρακούσες

Σχολιαστής του έργου του Αρχιμήδη υπήρξε ο Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης (6ος αι μΧ) που καταγόταν από την ελληνική πόλη της Συρίας Ασκαλών

Στον χώρο της εφαρμοσμένης μηχανικής ο Αρχιμήδης επινόησε ιδιοφυείς μηχανές κάθε είδους Εφηύρε τον ρωμαϊκό ζυγό (καντάρι) το τρίσπαστο (ανυψωτική τριπλή τροχαλία) και τον ατέρμονα κοχλία έλιξ του Αρχιμήδους μηχανή άντλησης νερού από ποταμούς και φρέατα (η οποία χρησιμοποιείται ακόμα και στις μέρες μας σε περιοχές της βόρειας Αφρικής) Κατασκεύασε ένα υδραυλικό ρολόι το οποίο υπολόγιζε με μεγάλη ακρίβεια τις ώρες (και ειδοποιούσε για την αλλαγή της ώρας)

Μεγάλη φήμη απέκτησαν οι πολεμικές μηχανές του Αρχιμήδη αρχιτρόνιτο (πυροβόλο ατμού) καταπέλτες άρπαγες (μηχανισμός που ανύψωνε και αναποδογύριζε πλοία) και κάτοπτρα για την καύση των Ρωμαϊκών εχθρικών πλοίων (με παραβολικά κάτοπτρα όπως αποδείχτηκε από τα πειράματα του μηχανικού Ι Σακκά ο οποίος το 1973 απόδειξε τον τρόπο με τον οποίο ο Αρχιμήδης έκαψε τον ρωμαϊκό στόλο) Σύμφωνα με την παράδοση όταν η πόλη μετά από τριετή αντίσταση των ελλήνων κατελήφθη με προδοσία ένας ρωμαίος στρατιώτης σκότωσε τον Έλληνα επιστήμονα ενώ αυτός ήταν προσηλωμένος σε κάποιο γεωμετρικό πρόβλημα ΜΗ ΜΟΥ ΤΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥΣ ΤΑΡΑΤΤΕ πρόλαβε να του απαντήσει ο Έλληνας επιστήμονας

Ο Αρχιμήδης επηρέασε σε μεγάλο βαθμό την ευρωπαϊκή επιστημονική σκέψη καθώς και τους Άραβες επιστήμονες οι οποίοι αντέγραψαν όλα τα έργα του στα αραβικά γλώσσα στην οποία διασώθηκαν αρκετά αφού τα πρωτότυπα είχαν χαθεί

35

Διασωθέντα συγγράμματα

bull Περί σφαίρας και κυλίνδρου Βιβλίο α και βbull Κύκλου μέτρησις Σώζονται τρία θεωρήματαbull Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων (32 θεωρήματα 1 πόρισμα)bull Περί ελίκων (28 θεωρήματα 6 πορίσματα)bull Περί επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων ή Μηχανικά Βιβλ α και βbull Περί μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος (=μέθοδος)bull Βιβλίο λημμάτωνbull Πρόβλημα Βοεικόνbull Κατασκευή πλευράς του περιγραφομένου εις κύκλο επταγώνουbull Ωρολόγιον Αρχιμήδους (Σώζεται στα αραβικά)bull Περί κύκλων εφαπτομένων αλλήλωνbull Αρχαί της Γεωμετρίαςbull Ψαμμίτηςbull Τετραγωνισμός παραβολήςbull Οχουμένων (Υδροστατική)bull Στομάχιον (Σώζονται λίγα αποσπάσματα)

Συγγράμματα μη διασωθέντα (ή συγγράμματα μη αποκαλυφθέντα μέχρι σήμερα)

bull Αριθμητικάbull Βαρουλκός Υδροσκοπίαι Πνευματικήbull Επισίδια Βιβλία (Μάλλον περί στατιστικής - Τζέτζης)bull Περί τριγώνωνbull Περί τετραπλεύρουbull Περί ζευγώνbull Περί 13 ημικανονικών πολυέδρωνbull Ισοπεριμετικάbull Ισορροπίαιbull Καύσις δια κατόπτρων (επ΄ αυτού έγινε επιτυχές πείραμα στο ΝΣ)bull Περί Αρχιτεκτονικήςbull Περί βαρύτητος και ελαφρότητος (Πυκνόμετρα - Αραιόμετρα)bull Περί δρομομέτρων (Οδόμετρα πλοίων)bull Περί κέντρου Βάρους ή Κεντροβαρικάbull Κατοπρικάbull Περί παραλλήλων γραμμώνbull Περί κοίλων και παραβολικών κατόπτρωνbull Προοπτικήbull Στοιχεία μηχανικώνbull Πλινθίδες και Κύλινδροιbull Στοιχεία επί των στηρίξεωνbull Σφαιροποιΐα

36

Εφευρέσεις

bull Αραιόμετρο - Πυκνόμετροbull Αστρονομική συσκευήbull Βαρουλκόςbull Γερανοί (Αρπάγες)bull Καταπέλτεςbull Κάτοπτραbull Κοχλίας ή έλιξbull Οδόμετρο (δρομόμετρο)bull Πλανητάριον (σφαίρα)bull Πολύσπαστον (Βαρούλκο) τρίσπαστοbull Σίφωνbull Στομάχιον (επιτραπέζιο παιγνίδι το πρώτο παζλ)bull Τηλεβόλον Αρχιμήδους bull Χαριστίων (μοχλός)bull Ωρολόγιο υδραυλικό

37

Τα συγγράμματα του Αρχιμήδη που σώθηκαν μέχρι σήμερα είναι τα ακόλουθα Περί σφαίρας και κυλίνδρου Κύκλου μέτρησις περί σφαιροειδέων και κωνοειδέων Περί λίκων Επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων Ψαμμίτης Τετραγωνισμός παραβολής Οχούμενων Στομάχιον Προς Ερατοσθένην Έφοδος Βιβλίον περί λημμάτων Πρόβλημα βοεικόν Αποσπάσματα Μερικά από αυτά διασώθηκαν Πολλά επίσης είναι τα συγγράμματα του που χάθηκαν

Έκανε τα πρώτα βήματα για το μαθηματικό υπολογισμό επιφανειών με ακανόνιστο περίγραμμα και συμμετρικών εκ περιστροφής σωμάτων μέθοδος που εξελίχθηκε τεκμηριώθηκε και ονομάστηκε στην σύγχρονη εποχή laquoΟλοκληρωτικός Λογισμόςraquo υπολόγισε μία προσεγγιστική τιμή για τον άρρητο αριθμό π διατύπωσε το νόμο προεκτάσεις του γενίκευσε την εφαρμογή λέγοντας laquoΔώστε μου σημείο να στηριχθώ και θα κινήσω την γηraquo διατύπωσε την ομώνυμη αρχή για την άνωση του νερού κατασκεύασε διάφορες μηχανές ένα τύπο πολύσπαστου τον κοχλία μία αντλητική μηχανή με την laquoαρχιμήδειον έλικαraquo κά

Η συμβολή του ΑρχιμήδηΗ συμβολή του Αρχιμήδη στην ανάπτυξη της Μηχανικής συνιστάται πέρα από την επινόηση των τροχαλιών του πολύσπαστου και των οδοντωτών τροχών και ενός ιδιόμορφου αντλητικού συγκροτήματος στην έλικα που φέρει το όνομα του Ακόμα στην επακριβή διατύπωση των νόμων των μοχλών και των ισορροπιών ή κέντρα βαρών Εδώ υπάρχει και η περίφημη πρόταση laquo σύμμετρα μεγέθη ισορροπούν σε αποστάσεις αντιστρόφως ανάλογες προς το βάρος τους raquo

Σε σχέση με τους μοχλούς και τις δυνατότητες τους μας αναφέρει τη φράση laquo δος μοι πα στω και ταν γαν κινάσω raquo Απέδειξε στον Ιέρωνα ότι με ένα σύστημα τροχαλιών ndash οδοντωτών τροχών και μοχλών μπορεί να μετακινήσει ένα τεράστιο πλοίο με όλο το πλήρωμα μέσα μόνος του Ήταν ακόμα ο ίδιος που σχεδίασε και επιμελήθηκε τη ναυπήγηση του πλοίου

Ανέλαβε μετά από εντολή του Ιέρωνα την οχύρωση της πόλης και διηύθυνε ο ίδιος την άμυνα της εναντίον των Ρωμαίων

Στην αστρονομία ο Λίβιος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης είναι laquoμοναδικός παρατηρητής του ουρανού και των αστέρων raquo Ο Ίππαρχος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης ασχολήθηκε με τη μελέτη των ηλιοστασίων καθώς και με τον υπολογισμό της διάρκειας του έτους

Ο Μακρόβιος αναφέρει ότι ο Αρχιμήδης ανακάλυψε τις αποστάσεις των πλανητών ενώ στο έργο laquoΨαμμίτηςraquo περιγράφει τη συσκευή μέσω της οποίας μέτρησε τη φαινομενική γωνιακή διάμετρο του ήλιου

38

Ο Κικέρων αναφέρεται με θαυμασμό για τον Αρχιμήδη στα laquoΚατοπτρικάraquo Στα Μαθηματικά που ο ίδιος θεωρούσε ως τα πιο σημαντικά παρουσίασε την μέθοδο του προσδιορισμού του αριθμού π Τελειοποίησε το ελληνικό σύστημα αρίθμησης και παρουσίασε μια μέθοδο παράστασης των πολύ μεγάλων αριθμών Ασχολήθηκε με τη διαφορική Γεωμετρία βρήκε τους τύπους πρόσθεσης και αφαίρεσης τόξων Υπολόγισε το εμβαδόν της σφαίρας και του κυλίνδρου Μελέτησε διάφορα στερεά εκ περιστροφής όπως τα στερεά που παράγονται από περιστροφή έλλειψης υπερβολής και παραβολής γύρω από έναν άξονα

Στη Γεωμετρία το έργο του Αρχιμήδη αποτελείται κατά κύριο λόγο από πρωτότυπες μελέτες σχετικά με τον τετραγωνισμό των καμπυλόγραμμων επίπεδων σχημάτων καθώς και με τον τετραγωνισμό και τον κυβισμό καμπύλων επιφανειών

Τέλος επινόησε στο σύνολό της την Υδροστατική Επιστήμη την οποία ανέπτυξε πλήρως Οι μελέτες του αναπαριστούν ένα σύνολο μαθηματικών και γεωμετρικών επιτευγμάτων το οποίο δεν ξεπέρασε κανείς στην ανθρώπινη ιστορία

Όπως αναφέρει ο Wallis laquo ο Αρχιμήδης αφήνει ένα συγκεκριμένο μυστήριο να καλύπτει τον τρόπο με τον οποίο κατέληγε στα αποτελέσματά του Είναι σαν να είχε καλύψει σκοπίμως τα ίχνη του τα ίχνη των ερευνών του σα να ήταν απρόθυμος να αποκαλύψει το μυστικό της μεθόδου έρευνάς του στους μεταγενέστερους ενώ επιθυμούσε να αποσπάσει τη συναίνεσή τους για τα αποτελέσματά του raquo

Ο ίδιος ο Αρχιμήδης ως φορέας ενός ανώτερου φιλοσοφικού πνεύματος θεωρούσε ταπεινή και ανάξια κάθε τέχνη που εξυπηρετούσε πρακτικές ανάγκες ή αποσκοπούσε στο οικονομικό κέρδος Γι` αυτό και έστρεψε όλη του την προσοχή και τις επιδιώξεις στους καθαρούς στοχασμούς χωρίς να καταδεχτεί να αφήσει κάποιο γραπτό στοιχείο για τις τεχνολογικές του ανακαλύψεις με μοναδική εξαίρεση όσες αναφέρονται στο έργο του laquoπερί σφαιροποιίαςraquo Δεν είναι καθόλου τυχαίο λοιπόν το ότι ο Κικέρων αργότερα βρήκε τον τάφο του και πάνω μία αναπαράσταση ενός κυλίνδρου περιγεγραμμένου σε σφαίρα με μία περιγραφή που έδινε το λόγο του κυλίνδρου προς τη σφαίρα

Σε ποιους τομείς εφαρμόστηκαν οι θεωρίες του Εξαιρετικές του μελέτες και για τη μέθοδο και για το αποτέλεσμα είναι εκείνες που έδωσαν τα εμβαδά Κύκλου Έλλειψης Παραβολής και Έλικας καθώς και τα εμβαδά και τους όγκους των Κυλίνδρων των Κώνων και κυρίως των Σφαιρών

Σημαντικότατη θεωρείται και η ανακάλυψη από τον ίδιο τύπου που δίνει το εμβαδόν τριγώνου από τις πλευρές του και ακόμα η επέκτασή του στα εγγεγραμμένα τετράπλευρα Ο Αρχιμήδης επίσης γνώριζε να κατασκευάζει τη λύση ειδικών τριτοβάθμιων προβλημάτων και μεταξύ αυτών και του Δηλίου Προβλήματος Τις λύσεις αυτές τις έδινε με την τομή δύο κωνικών (Ευτόκιος) Μοναδική είναι η προσφορά του στην ανώτερη μετρική Γεωμετρία Συγκεκριμένα εξέφρασε τους όγκους στερεών εκ περιστροφής κωνικών τομών εφαρμόζοντας απειροστικές μεθόδους ανάλυσης των στερεών αυτών

39

Στη σύγχρονη κλασική γεωμετρία όλο σχεδόν το μετρικό της μέρος οφείλεται στον Αρχιμήδη με αποτέλεσμα αυτή ουσιαστικά να είναι ισορροπημένη μείξη της Ευκλείδειας και της Αρχιμήδειας αρχαίας γεωμετρίας

Έτσι ο σοφός μας αποτελεί ουσιαστικά τον πατέρα της ανώτερης μετρικής γεωμετρίας της αρχαιότητας και ταυτόχρονα την πηγή έμπνευσης των νεώτερων μελετών του διαφορικού και απειροστικού λογισμού

Η πρωτοτυπία και η αποτελεσματικότητα των μελετών του έγιναν αιτία να χαρακτηριστεί από τους ιστορικούς των μαθηματικών ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών και όλων των εθνών

Ρεύμα στα ανάκτορα της Βρετανίας μέσω εφεύρεσης του Αρχιμήδη ( httpkatestimenoblogspotcom201109blog-post_1015html )

laquoΗ Βασίλισσα Ελισάβετ πρόκειται να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση ενός αρχαίου Έλληνα για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Και όταν λέμε αρχαίο Έλληνα εννοούμε τον Αρχιμήδη και όχι τον 90χρονο σύζυγό της Φίλιππο της Ελλάδαςraquo

Με αυτόν τον τίτλο πληροφορεί το βρετανικό κοινό η εφημερίδα ldquoDaily Mailrdquo για την απόφαση της Αυτής Μεγαλειότητας να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση του αρχαίου Έλληνα εφευρέτη Αρχιμήδη από τις Συρακούσες για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Πρόκειται για τη σύγχρονη εκδοχή του ατέρμονα κοχλία της έλικος του Αρχιμήδους όπως έμεινε γνωστή η εφεύρεση και είναι ένας σωληνοειδής κοχλίας που χρησίμευε για την άντληση νερού και την άρδευση καλλιεργημένων εκτάσεων

Η σύγχρονη εκδοχή της εφεύρεσης θα χρησιμοποιεί το νερό που μεταφέρεται από ένα τεχνητό φράγμα για να παράγει υδροηλεκτρική ενέργεια Ο μηχανισμός έχει ήδη μεταφερθεί μέσω του Τάμεση στο Romney Weir στα ανάκτορα του Γουίντσορ Σύμφωνα με το δημοσίευμα της εφημερίδας οι έλικες θα είναι έτοιμες για την παραγωγή ενέργειας τον προσεχή Νοέμβριο ενώ θα μπορούν να καλύψουν πλήρως τις ανάγκες του κάστρου σε ενέργεια μέσα στον επόμενο χρόνο

Εκτός αυτού οι τουρμπίνες είναι σχεδιασμένες ώστε να μην εμποδίζουν την ασφαλή διέλευση σολομού και χελιού μέσα στον ποταμό Τάμεση

Οι laquoέλικες του Αρχιμήδηraquo βάρους 40 τόνων κατασκευάστηκαν από ένα εργοστάσιο στην Ολλανδία και στοίχησαν 700000 λίρες Αγγλίας ενώ το κόστος εγκατάστασής τους θα ξεπεράσει το ένα εκατομμύριο λίρες

40

ΒΙΟΓΡΑΦΙΑ Ο Αρχιμήδης ήταν ένας από τους μεγάλους μαθηματικούς μηχανικούς και φυσικούς του αρχαίου Ελληνικού χώρου και μια από τις μεγαλύτερες μαθηματικές ευφυΐες του κόσμου Γεννήθηκε έζησε και πέθανε στις Συρακούσες την μεγάλη Ελληνική αποικία της Σικελίας

Πατέρας του Αρχιμήδη ήταν ο αστρονόμος Φειδίας που είχε δεσμούς φιλίας με το βασιλικό γένος των Συρακουσών Ο Αρχιμήδης ταξίδεψε στην Αίγυπτο και ήρθε σε επαφή με τους διαδόχους του Ευκλείδη του Ερατοσθένη και το Δισίθεο ενώ ήταν φίλος και συμμαθητής του Κόνωνα του Σάμιου

Υπήρξε λαμπρό παράδειγμα πρωτότυπου ερευνητή ο οποίος δεν ενδιαφέρθηκε να διευκολύνει τους αρχάριους αλλά ασχολήθηκε κυρίως για την αποκάλυψη νέων αληθειών για δική του ικανοποίηση και των ώριμων ήδη διανοούμενων Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο ενώ η κατανόηση του Ευκλείδη δεν απαιτεί εξαιρετική προηγούμενη γνώση και ευφυΐα τα προϊόντα της μαθηματικής σκέψεως τα οποία πρόκειται τώρα να εξετάσουμε είναι προσιτά αποκλειστικώς και μόνο στην ανάγνωση υψηλής πνευματικής στάθμης

Πήγε στην Αίγυπτο ως εκπαιδευτικός και ήρθε σε επαφή όχι βέβαια με τον Ευκλείδη που είχε στο μεταξύ πεθάνει αλλά με τους διαδόχους του και έκανε στενούς δεσμούς με εξαιρετικούς γεωμετρικούς όπως ο Κόνων ο Σάμιος ο Ερατοσθένης ο Κυρηναίος ο Δισίθεος κλπ από τους οποίους κατόπιν όσα έργα συνέταξε μετά την επιστροφή του στην πατρίδα του

34

Το έργο τουΤο έργο του Αρχιμήδη υπήρξε τεράστιο τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά και η ερευνητική ματιά του κάλυψε πολλούς τομείς γεωμετρία οπτική (κατοπτρική) υδραυλική μηχανική αρχιτεκτονική και την πολιορκητική Συνέδεσε το όνομά του με την γένεση της μηχανικής στην αρχαία Ελλάδα και με την λύση περίφημων μαθηματικών προβλημάτων καθώς και με τις αμυντικές εφευρέσεις του που χρησιμοποιήθηκαν όταν οι Ρωμαίοι πολιορκούσαν την πατρίδα του τις Συρακούσες

Σχολιαστής του έργου του Αρχιμήδη υπήρξε ο Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης (6ος αι μΧ) που καταγόταν από την ελληνική πόλη της Συρίας Ασκαλών

Στον χώρο της εφαρμοσμένης μηχανικής ο Αρχιμήδης επινόησε ιδιοφυείς μηχανές κάθε είδους Εφηύρε τον ρωμαϊκό ζυγό (καντάρι) το τρίσπαστο (ανυψωτική τριπλή τροχαλία) και τον ατέρμονα κοχλία έλιξ του Αρχιμήδους μηχανή άντλησης νερού από ποταμούς και φρέατα (η οποία χρησιμοποιείται ακόμα και στις μέρες μας σε περιοχές της βόρειας Αφρικής) Κατασκεύασε ένα υδραυλικό ρολόι το οποίο υπολόγιζε με μεγάλη ακρίβεια τις ώρες (και ειδοποιούσε για την αλλαγή της ώρας)

Μεγάλη φήμη απέκτησαν οι πολεμικές μηχανές του Αρχιμήδη αρχιτρόνιτο (πυροβόλο ατμού) καταπέλτες άρπαγες (μηχανισμός που ανύψωνε και αναποδογύριζε πλοία) και κάτοπτρα για την καύση των Ρωμαϊκών εχθρικών πλοίων (με παραβολικά κάτοπτρα όπως αποδείχτηκε από τα πειράματα του μηχανικού Ι Σακκά ο οποίος το 1973 απόδειξε τον τρόπο με τον οποίο ο Αρχιμήδης έκαψε τον ρωμαϊκό στόλο) Σύμφωνα με την παράδοση όταν η πόλη μετά από τριετή αντίσταση των ελλήνων κατελήφθη με προδοσία ένας ρωμαίος στρατιώτης σκότωσε τον Έλληνα επιστήμονα ενώ αυτός ήταν προσηλωμένος σε κάποιο γεωμετρικό πρόβλημα ΜΗ ΜΟΥ ΤΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥΣ ΤΑΡΑΤΤΕ πρόλαβε να του απαντήσει ο Έλληνας επιστήμονας

Ο Αρχιμήδης επηρέασε σε μεγάλο βαθμό την ευρωπαϊκή επιστημονική σκέψη καθώς και τους Άραβες επιστήμονες οι οποίοι αντέγραψαν όλα τα έργα του στα αραβικά γλώσσα στην οποία διασώθηκαν αρκετά αφού τα πρωτότυπα είχαν χαθεί

35

Διασωθέντα συγγράμματα

bull Περί σφαίρας και κυλίνδρου Βιβλίο α και βbull Κύκλου μέτρησις Σώζονται τρία θεωρήματαbull Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων (32 θεωρήματα 1 πόρισμα)bull Περί ελίκων (28 θεωρήματα 6 πορίσματα)bull Περί επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων ή Μηχανικά Βιβλ α και βbull Περί μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος (=μέθοδος)bull Βιβλίο λημμάτωνbull Πρόβλημα Βοεικόνbull Κατασκευή πλευράς του περιγραφομένου εις κύκλο επταγώνουbull Ωρολόγιον Αρχιμήδους (Σώζεται στα αραβικά)bull Περί κύκλων εφαπτομένων αλλήλωνbull Αρχαί της Γεωμετρίαςbull Ψαμμίτηςbull Τετραγωνισμός παραβολήςbull Οχουμένων (Υδροστατική)bull Στομάχιον (Σώζονται λίγα αποσπάσματα)

Συγγράμματα μη διασωθέντα (ή συγγράμματα μη αποκαλυφθέντα μέχρι σήμερα)

bull Αριθμητικάbull Βαρουλκός Υδροσκοπίαι Πνευματικήbull Επισίδια Βιβλία (Μάλλον περί στατιστικής - Τζέτζης)bull Περί τριγώνωνbull Περί τετραπλεύρουbull Περί ζευγώνbull Περί 13 ημικανονικών πολυέδρωνbull Ισοπεριμετικάbull Ισορροπίαιbull Καύσις δια κατόπτρων (επ΄ αυτού έγινε επιτυχές πείραμα στο ΝΣ)bull Περί Αρχιτεκτονικήςbull Περί βαρύτητος και ελαφρότητος (Πυκνόμετρα - Αραιόμετρα)bull Περί δρομομέτρων (Οδόμετρα πλοίων)bull Περί κέντρου Βάρους ή Κεντροβαρικάbull Κατοπρικάbull Περί παραλλήλων γραμμώνbull Περί κοίλων και παραβολικών κατόπτρωνbull Προοπτικήbull Στοιχεία μηχανικώνbull Πλινθίδες και Κύλινδροιbull Στοιχεία επί των στηρίξεωνbull Σφαιροποιΐα

36

Εφευρέσεις

bull Αραιόμετρο - Πυκνόμετροbull Αστρονομική συσκευήbull Βαρουλκόςbull Γερανοί (Αρπάγες)bull Καταπέλτεςbull Κάτοπτραbull Κοχλίας ή έλιξbull Οδόμετρο (δρομόμετρο)bull Πλανητάριον (σφαίρα)bull Πολύσπαστον (Βαρούλκο) τρίσπαστοbull Σίφωνbull Στομάχιον (επιτραπέζιο παιγνίδι το πρώτο παζλ)bull Τηλεβόλον Αρχιμήδους bull Χαριστίων (μοχλός)bull Ωρολόγιο υδραυλικό

37

Τα συγγράμματα του Αρχιμήδη που σώθηκαν μέχρι σήμερα είναι τα ακόλουθα Περί σφαίρας και κυλίνδρου Κύκλου μέτρησις περί σφαιροειδέων και κωνοειδέων Περί λίκων Επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων Ψαμμίτης Τετραγωνισμός παραβολής Οχούμενων Στομάχιον Προς Ερατοσθένην Έφοδος Βιβλίον περί λημμάτων Πρόβλημα βοεικόν Αποσπάσματα Μερικά από αυτά διασώθηκαν Πολλά επίσης είναι τα συγγράμματα του που χάθηκαν

Έκανε τα πρώτα βήματα για το μαθηματικό υπολογισμό επιφανειών με ακανόνιστο περίγραμμα και συμμετρικών εκ περιστροφής σωμάτων μέθοδος που εξελίχθηκε τεκμηριώθηκε και ονομάστηκε στην σύγχρονη εποχή laquoΟλοκληρωτικός Λογισμόςraquo υπολόγισε μία προσεγγιστική τιμή για τον άρρητο αριθμό π διατύπωσε το νόμο προεκτάσεις του γενίκευσε την εφαρμογή λέγοντας laquoΔώστε μου σημείο να στηριχθώ και θα κινήσω την γηraquo διατύπωσε την ομώνυμη αρχή για την άνωση του νερού κατασκεύασε διάφορες μηχανές ένα τύπο πολύσπαστου τον κοχλία μία αντλητική μηχανή με την laquoαρχιμήδειον έλικαraquo κά

Η συμβολή του ΑρχιμήδηΗ συμβολή του Αρχιμήδη στην ανάπτυξη της Μηχανικής συνιστάται πέρα από την επινόηση των τροχαλιών του πολύσπαστου και των οδοντωτών τροχών και ενός ιδιόμορφου αντλητικού συγκροτήματος στην έλικα που φέρει το όνομα του Ακόμα στην επακριβή διατύπωση των νόμων των μοχλών και των ισορροπιών ή κέντρα βαρών Εδώ υπάρχει και η περίφημη πρόταση laquo σύμμετρα μεγέθη ισορροπούν σε αποστάσεις αντιστρόφως ανάλογες προς το βάρος τους raquo

Σε σχέση με τους μοχλούς και τις δυνατότητες τους μας αναφέρει τη φράση laquo δος μοι πα στω και ταν γαν κινάσω raquo Απέδειξε στον Ιέρωνα ότι με ένα σύστημα τροχαλιών ndash οδοντωτών τροχών και μοχλών μπορεί να μετακινήσει ένα τεράστιο πλοίο με όλο το πλήρωμα μέσα μόνος του Ήταν ακόμα ο ίδιος που σχεδίασε και επιμελήθηκε τη ναυπήγηση του πλοίου

Ανέλαβε μετά από εντολή του Ιέρωνα την οχύρωση της πόλης και διηύθυνε ο ίδιος την άμυνα της εναντίον των Ρωμαίων

Στην αστρονομία ο Λίβιος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης είναι laquoμοναδικός παρατηρητής του ουρανού και των αστέρων raquo Ο Ίππαρχος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης ασχολήθηκε με τη μελέτη των ηλιοστασίων καθώς και με τον υπολογισμό της διάρκειας του έτους

Ο Μακρόβιος αναφέρει ότι ο Αρχιμήδης ανακάλυψε τις αποστάσεις των πλανητών ενώ στο έργο laquoΨαμμίτηςraquo περιγράφει τη συσκευή μέσω της οποίας μέτρησε τη φαινομενική γωνιακή διάμετρο του ήλιου

38

Ο Κικέρων αναφέρεται με θαυμασμό για τον Αρχιμήδη στα laquoΚατοπτρικάraquo Στα Μαθηματικά που ο ίδιος θεωρούσε ως τα πιο σημαντικά παρουσίασε την μέθοδο του προσδιορισμού του αριθμού π Τελειοποίησε το ελληνικό σύστημα αρίθμησης και παρουσίασε μια μέθοδο παράστασης των πολύ μεγάλων αριθμών Ασχολήθηκε με τη διαφορική Γεωμετρία βρήκε τους τύπους πρόσθεσης και αφαίρεσης τόξων Υπολόγισε το εμβαδόν της σφαίρας και του κυλίνδρου Μελέτησε διάφορα στερεά εκ περιστροφής όπως τα στερεά που παράγονται από περιστροφή έλλειψης υπερβολής και παραβολής γύρω από έναν άξονα

Στη Γεωμετρία το έργο του Αρχιμήδη αποτελείται κατά κύριο λόγο από πρωτότυπες μελέτες σχετικά με τον τετραγωνισμό των καμπυλόγραμμων επίπεδων σχημάτων καθώς και με τον τετραγωνισμό και τον κυβισμό καμπύλων επιφανειών

Τέλος επινόησε στο σύνολό της την Υδροστατική Επιστήμη την οποία ανέπτυξε πλήρως Οι μελέτες του αναπαριστούν ένα σύνολο μαθηματικών και γεωμετρικών επιτευγμάτων το οποίο δεν ξεπέρασε κανείς στην ανθρώπινη ιστορία

Όπως αναφέρει ο Wallis laquo ο Αρχιμήδης αφήνει ένα συγκεκριμένο μυστήριο να καλύπτει τον τρόπο με τον οποίο κατέληγε στα αποτελέσματά του Είναι σαν να είχε καλύψει σκοπίμως τα ίχνη του τα ίχνη των ερευνών του σα να ήταν απρόθυμος να αποκαλύψει το μυστικό της μεθόδου έρευνάς του στους μεταγενέστερους ενώ επιθυμούσε να αποσπάσει τη συναίνεσή τους για τα αποτελέσματά του raquo

Ο ίδιος ο Αρχιμήδης ως φορέας ενός ανώτερου φιλοσοφικού πνεύματος θεωρούσε ταπεινή και ανάξια κάθε τέχνη που εξυπηρετούσε πρακτικές ανάγκες ή αποσκοπούσε στο οικονομικό κέρδος Γι` αυτό και έστρεψε όλη του την προσοχή και τις επιδιώξεις στους καθαρούς στοχασμούς χωρίς να καταδεχτεί να αφήσει κάποιο γραπτό στοιχείο για τις τεχνολογικές του ανακαλύψεις με μοναδική εξαίρεση όσες αναφέρονται στο έργο του laquoπερί σφαιροποιίαςraquo Δεν είναι καθόλου τυχαίο λοιπόν το ότι ο Κικέρων αργότερα βρήκε τον τάφο του και πάνω μία αναπαράσταση ενός κυλίνδρου περιγεγραμμένου σε σφαίρα με μία περιγραφή που έδινε το λόγο του κυλίνδρου προς τη σφαίρα

Σε ποιους τομείς εφαρμόστηκαν οι θεωρίες του Εξαιρετικές του μελέτες και για τη μέθοδο και για το αποτέλεσμα είναι εκείνες που έδωσαν τα εμβαδά Κύκλου Έλλειψης Παραβολής και Έλικας καθώς και τα εμβαδά και τους όγκους των Κυλίνδρων των Κώνων και κυρίως των Σφαιρών

Σημαντικότατη θεωρείται και η ανακάλυψη από τον ίδιο τύπου που δίνει το εμβαδόν τριγώνου από τις πλευρές του και ακόμα η επέκτασή του στα εγγεγραμμένα τετράπλευρα Ο Αρχιμήδης επίσης γνώριζε να κατασκευάζει τη λύση ειδικών τριτοβάθμιων προβλημάτων και μεταξύ αυτών και του Δηλίου Προβλήματος Τις λύσεις αυτές τις έδινε με την τομή δύο κωνικών (Ευτόκιος) Μοναδική είναι η προσφορά του στην ανώτερη μετρική Γεωμετρία Συγκεκριμένα εξέφρασε τους όγκους στερεών εκ περιστροφής κωνικών τομών εφαρμόζοντας απειροστικές μεθόδους ανάλυσης των στερεών αυτών

39

Στη σύγχρονη κλασική γεωμετρία όλο σχεδόν το μετρικό της μέρος οφείλεται στον Αρχιμήδη με αποτέλεσμα αυτή ουσιαστικά να είναι ισορροπημένη μείξη της Ευκλείδειας και της Αρχιμήδειας αρχαίας γεωμετρίας

Έτσι ο σοφός μας αποτελεί ουσιαστικά τον πατέρα της ανώτερης μετρικής γεωμετρίας της αρχαιότητας και ταυτόχρονα την πηγή έμπνευσης των νεώτερων μελετών του διαφορικού και απειροστικού λογισμού

Η πρωτοτυπία και η αποτελεσματικότητα των μελετών του έγιναν αιτία να χαρακτηριστεί από τους ιστορικούς των μαθηματικών ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών και όλων των εθνών

Ρεύμα στα ανάκτορα της Βρετανίας μέσω εφεύρεσης του Αρχιμήδη ( httpkatestimenoblogspotcom201109blog-post_1015html )

laquoΗ Βασίλισσα Ελισάβετ πρόκειται να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση ενός αρχαίου Έλληνα για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Και όταν λέμε αρχαίο Έλληνα εννοούμε τον Αρχιμήδη και όχι τον 90χρονο σύζυγό της Φίλιππο της Ελλάδαςraquo

Με αυτόν τον τίτλο πληροφορεί το βρετανικό κοινό η εφημερίδα ldquoDaily Mailrdquo για την απόφαση της Αυτής Μεγαλειότητας να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση του αρχαίου Έλληνα εφευρέτη Αρχιμήδη από τις Συρακούσες για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Πρόκειται για τη σύγχρονη εκδοχή του ατέρμονα κοχλία της έλικος του Αρχιμήδους όπως έμεινε γνωστή η εφεύρεση και είναι ένας σωληνοειδής κοχλίας που χρησίμευε για την άντληση νερού και την άρδευση καλλιεργημένων εκτάσεων

Η σύγχρονη εκδοχή της εφεύρεσης θα χρησιμοποιεί το νερό που μεταφέρεται από ένα τεχνητό φράγμα για να παράγει υδροηλεκτρική ενέργεια Ο μηχανισμός έχει ήδη μεταφερθεί μέσω του Τάμεση στο Romney Weir στα ανάκτορα του Γουίντσορ Σύμφωνα με το δημοσίευμα της εφημερίδας οι έλικες θα είναι έτοιμες για την παραγωγή ενέργειας τον προσεχή Νοέμβριο ενώ θα μπορούν να καλύψουν πλήρως τις ανάγκες του κάστρου σε ενέργεια μέσα στον επόμενο χρόνο

Εκτός αυτού οι τουρμπίνες είναι σχεδιασμένες ώστε να μην εμποδίζουν την ασφαλή διέλευση σολομού και χελιού μέσα στον ποταμό Τάμεση

Οι laquoέλικες του Αρχιμήδηraquo βάρους 40 τόνων κατασκευάστηκαν από ένα εργοστάσιο στην Ολλανδία και στοίχησαν 700000 λίρες Αγγλίας ενώ το κόστος εγκατάστασής τους θα ξεπεράσει το ένα εκατομμύριο λίρες

40

Το έργο τουΤο έργο του Αρχιμήδη υπήρξε τεράστιο τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά και η ερευνητική ματιά του κάλυψε πολλούς τομείς γεωμετρία οπτική (κατοπτρική) υδραυλική μηχανική αρχιτεκτονική και την πολιορκητική Συνέδεσε το όνομά του με την γένεση της μηχανικής στην αρχαία Ελλάδα και με την λύση περίφημων μαθηματικών προβλημάτων καθώς και με τις αμυντικές εφευρέσεις του που χρησιμοποιήθηκαν όταν οι Ρωμαίοι πολιορκούσαν την πατρίδα του τις Συρακούσες

Σχολιαστής του έργου του Αρχιμήδη υπήρξε ο Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης (6ος αι μΧ) που καταγόταν από την ελληνική πόλη της Συρίας Ασκαλών

Στον χώρο της εφαρμοσμένης μηχανικής ο Αρχιμήδης επινόησε ιδιοφυείς μηχανές κάθε είδους Εφηύρε τον ρωμαϊκό ζυγό (καντάρι) το τρίσπαστο (ανυψωτική τριπλή τροχαλία) και τον ατέρμονα κοχλία έλιξ του Αρχιμήδους μηχανή άντλησης νερού από ποταμούς και φρέατα (η οποία χρησιμοποιείται ακόμα και στις μέρες μας σε περιοχές της βόρειας Αφρικής) Κατασκεύασε ένα υδραυλικό ρολόι το οποίο υπολόγιζε με μεγάλη ακρίβεια τις ώρες (και ειδοποιούσε για την αλλαγή της ώρας)

Μεγάλη φήμη απέκτησαν οι πολεμικές μηχανές του Αρχιμήδη αρχιτρόνιτο (πυροβόλο ατμού) καταπέλτες άρπαγες (μηχανισμός που ανύψωνε και αναποδογύριζε πλοία) και κάτοπτρα για την καύση των Ρωμαϊκών εχθρικών πλοίων (με παραβολικά κάτοπτρα όπως αποδείχτηκε από τα πειράματα του μηχανικού Ι Σακκά ο οποίος το 1973 απόδειξε τον τρόπο με τον οποίο ο Αρχιμήδης έκαψε τον ρωμαϊκό στόλο) Σύμφωνα με την παράδοση όταν η πόλη μετά από τριετή αντίσταση των ελλήνων κατελήφθη με προδοσία ένας ρωμαίος στρατιώτης σκότωσε τον Έλληνα επιστήμονα ενώ αυτός ήταν προσηλωμένος σε κάποιο γεωμετρικό πρόβλημα ΜΗ ΜΟΥ ΤΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥΣ ΤΑΡΑΤΤΕ πρόλαβε να του απαντήσει ο Έλληνας επιστήμονας

Ο Αρχιμήδης επηρέασε σε μεγάλο βαθμό την ευρωπαϊκή επιστημονική σκέψη καθώς και τους Άραβες επιστήμονες οι οποίοι αντέγραψαν όλα τα έργα του στα αραβικά γλώσσα στην οποία διασώθηκαν αρκετά αφού τα πρωτότυπα είχαν χαθεί

35

Διασωθέντα συγγράμματα

bull Περί σφαίρας και κυλίνδρου Βιβλίο α και βbull Κύκλου μέτρησις Σώζονται τρία θεωρήματαbull Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων (32 θεωρήματα 1 πόρισμα)bull Περί ελίκων (28 θεωρήματα 6 πορίσματα)bull Περί επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων ή Μηχανικά Βιβλ α και βbull Περί μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος (=μέθοδος)bull Βιβλίο λημμάτωνbull Πρόβλημα Βοεικόνbull Κατασκευή πλευράς του περιγραφομένου εις κύκλο επταγώνουbull Ωρολόγιον Αρχιμήδους (Σώζεται στα αραβικά)bull Περί κύκλων εφαπτομένων αλλήλωνbull Αρχαί της Γεωμετρίαςbull Ψαμμίτηςbull Τετραγωνισμός παραβολήςbull Οχουμένων (Υδροστατική)bull Στομάχιον (Σώζονται λίγα αποσπάσματα)

Συγγράμματα μη διασωθέντα (ή συγγράμματα μη αποκαλυφθέντα μέχρι σήμερα)

bull Αριθμητικάbull Βαρουλκός Υδροσκοπίαι Πνευματικήbull Επισίδια Βιβλία (Μάλλον περί στατιστικής - Τζέτζης)bull Περί τριγώνωνbull Περί τετραπλεύρουbull Περί ζευγώνbull Περί 13 ημικανονικών πολυέδρωνbull Ισοπεριμετικάbull Ισορροπίαιbull Καύσις δια κατόπτρων (επ΄ αυτού έγινε επιτυχές πείραμα στο ΝΣ)bull Περί Αρχιτεκτονικήςbull Περί βαρύτητος και ελαφρότητος (Πυκνόμετρα - Αραιόμετρα)bull Περί δρομομέτρων (Οδόμετρα πλοίων)bull Περί κέντρου Βάρους ή Κεντροβαρικάbull Κατοπρικάbull Περί παραλλήλων γραμμώνbull Περί κοίλων και παραβολικών κατόπτρωνbull Προοπτικήbull Στοιχεία μηχανικώνbull Πλινθίδες και Κύλινδροιbull Στοιχεία επί των στηρίξεωνbull Σφαιροποιΐα

36

Εφευρέσεις

bull Αραιόμετρο - Πυκνόμετροbull Αστρονομική συσκευήbull Βαρουλκόςbull Γερανοί (Αρπάγες)bull Καταπέλτεςbull Κάτοπτραbull Κοχλίας ή έλιξbull Οδόμετρο (δρομόμετρο)bull Πλανητάριον (σφαίρα)bull Πολύσπαστον (Βαρούλκο) τρίσπαστοbull Σίφωνbull Στομάχιον (επιτραπέζιο παιγνίδι το πρώτο παζλ)bull Τηλεβόλον Αρχιμήδους bull Χαριστίων (μοχλός)bull Ωρολόγιο υδραυλικό

37

Τα συγγράμματα του Αρχιμήδη που σώθηκαν μέχρι σήμερα είναι τα ακόλουθα Περί σφαίρας και κυλίνδρου Κύκλου μέτρησις περί σφαιροειδέων και κωνοειδέων Περί λίκων Επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων Ψαμμίτης Τετραγωνισμός παραβολής Οχούμενων Στομάχιον Προς Ερατοσθένην Έφοδος Βιβλίον περί λημμάτων Πρόβλημα βοεικόν Αποσπάσματα Μερικά από αυτά διασώθηκαν Πολλά επίσης είναι τα συγγράμματα του που χάθηκαν

Έκανε τα πρώτα βήματα για το μαθηματικό υπολογισμό επιφανειών με ακανόνιστο περίγραμμα και συμμετρικών εκ περιστροφής σωμάτων μέθοδος που εξελίχθηκε τεκμηριώθηκε και ονομάστηκε στην σύγχρονη εποχή laquoΟλοκληρωτικός Λογισμόςraquo υπολόγισε μία προσεγγιστική τιμή για τον άρρητο αριθμό π διατύπωσε το νόμο προεκτάσεις του γενίκευσε την εφαρμογή λέγοντας laquoΔώστε μου σημείο να στηριχθώ και θα κινήσω την γηraquo διατύπωσε την ομώνυμη αρχή για την άνωση του νερού κατασκεύασε διάφορες μηχανές ένα τύπο πολύσπαστου τον κοχλία μία αντλητική μηχανή με την laquoαρχιμήδειον έλικαraquo κά

Η συμβολή του ΑρχιμήδηΗ συμβολή του Αρχιμήδη στην ανάπτυξη της Μηχανικής συνιστάται πέρα από την επινόηση των τροχαλιών του πολύσπαστου και των οδοντωτών τροχών και ενός ιδιόμορφου αντλητικού συγκροτήματος στην έλικα που φέρει το όνομα του Ακόμα στην επακριβή διατύπωση των νόμων των μοχλών και των ισορροπιών ή κέντρα βαρών Εδώ υπάρχει και η περίφημη πρόταση laquo σύμμετρα μεγέθη ισορροπούν σε αποστάσεις αντιστρόφως ανάλογες προς το βάρος τους raquo

Σε σχέση με τους μοχλούς και τις δυνατότητες τους μας αναφέρει τη φράση laquo δος μοι πα στω και ταν γαν κινάσω raquo Απέδειξε στον Ιέρωνα ότι με ένα σύστημα τροχαλιών ndash οδοντωτών τροχών και μοχλών μπορεί να μετακινήσει ένα τεράστιο πλοίο με όλο το πλήρωμα μέσα μόνος του Ήταν ακόμα ο ίδιος που σχεδίασε και επιμελήθηκε τη ναυπήγηση του πλοίου

Ανέλαβε μετά από εντολή του Ιέρωνα την οχύρωση της πόλης και διηύθυνε ο ίδιος την άμυνα της εναντίον των Ρωμαίων

Στην αστρονομία ο Λίβιος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης είναι laquoμοναδικός παρατηρητής του ουρανού και των αστέρων raquo Ο Ίππαρχος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης ασχολήθηκε με τη μελέτη των ηλιοστασίων καθώς και με τον υπολογισμό της διάρκειας του έτους

Ο Μακρόβιος αναφέρει ότι ο Αρχιμήδης ανακάλυψε τις αποστάσεις των πλανητών ενώ στο έργο laquoΨαμμίτηςraquo περιγράφει τη συσκευή μέσω της οποίας μέτρησε τη φαινομενική γωνιακή διάμετρο του ήλιου

38

Ο Κικέρων αναφέρεται με θαυμασμό για τον Αρχιμήδη στα laquoΚατοπτρικάraquo Στα Μαθηματικά που ο ίδιος θεωρούσε ως τα πιο σημαντικά παρουσίασε την μέθοδο του προσδιορισμού του αριθμού π Τελειοποίησε το ελληνικό σύστημα αρίθμησης και παρουσίασε μια μέθοδο παράστασης των πολύ μεγάλων αριθμών Ασχολήθηκε με τη διαφορική Γεωμετρία βρήκε τους τύπους πρόσθεσης και αφαίρεσης τόξων Υπολόγισε το εμβαδόν της σφαίρας και του κυλίνδρου Μελέτησε διάφορα στερεά εκ περιστροφής όπως τα στερεά που παράγονται από περιστροφή έλλειψης υπερβολής και παραβολής γύρω από έναν άξονα

Στη Γεωμετρία το έργο του Αρχιμήδη αποτελείται κατά κύριο λόγο από πρωτότυπες μελέτες σχετικά με τον τετραγωνισμό των καμπυλόγραμμων επίπεδων σχημάτων καθώς και με τον τετραγωνισμό και τον κυβισμό καμπύλων επιφανειών

Τέλος επινόησε στο σύνολό της την Υδροστατική Επιστήμη την οποία ανέπτυξε πλήρως Οι μελέτες του αναπαριστούν ένα σύνολο μαθηματικών και γεωμετρικών επιτευγμάτων το οποίο δεν ξεπέρασε κανείς στην ανθρώπινη ιστορία

Όπως αναφέρει ο Wallis laquo ο Αρχιμήδης αφήνει ένα συγκεκριμένο μυστήριο να καλύπτει τον τρόπο με τον οποίο κατέληγε στα αποτελέσματά του Είναι σαν να είχε καλύψει σκοπίμως τα ίχνη του τα ίχνη των ερευνών του σα να ήταν απρόθυμος να αποκαλύψει το μυστικό της μεθόδου έρευνάς του στους μεταγενέστερους ενώ επιθυμούσε να αποσπάσει τη συναίνεσή τους για τα αποτελέσματά του raquo

Ο ίδιος ο Αρχιμήδης ως φορέας ενός ανώτερου φιλοσοφικού πνεύματος θεωρούσε ταπεινή και ανάξια κάθε τέχνη που εξυπηρετούσε πρακτικές ανάγκες ή αποσκοπούσε στο οικονομικό κέρδος Γι` αυτό και έστρεψε όλη του την προσοχή και τις επιδιώξεις στους καθαρούς στοχασμούς χωρίς να καταδεχτεί να αφήσει κάποιο γραπτό στοιχείο για τις τεχνολογικές του ανακαλύψεις με μοναδική εξαίρεση όσες αναφέρονται στο έργο του laquoπερί σφαιροποιίαςraquo Δεν είναι καθόλου τυχαίο λοιπόν το ότι ο Κικέρων αργότερα βρήκε τον τάφο του και πάνω μία αναπαράσταση ενός κυλίνδρου περιγεγραμμένου σε σφαίρα με μία περιγραφή που έδινε το λόγο του κυλίνδρου προς τη σφαίρα

Σε ποιους τομείς εφαρμόστηκαν οι θεωρίες του Εξαιρετικές του μελέτες και για τη μέθοδο και για το αποτέλεσμα είναι εκείνες που έδωσαν τα εμβαδά Κύκλου Έλλειψης Παραβολής και Έλικας καθώς και τα εμβαδά και τους όγκους των Κυλίνδρων των Κώνων και κυρίως των Σφαιρών

Σημαντικότατη θεωρείται και η ανακάλυψη από τον ίδιο τύπου που δίνει το εμβαδόν τριγώνου από τις πλευρές του και ακόμα η επέκτασή του στα εγγεγραμμένα τετράπλευρα Ο Αρχιμήδης επίσης γνώριζε να κατασκευάζει τη λύση ειδικών τριτοβάθμιων προβλημάτων και μεταξύ αυτών και του Δηλίου Προβλήματος Τις λύσεις αυτές τις έδινε με την τομή δύο κωνικών (Ευτόκιος) Μοναδική είναι η προσφορά του στην ανώτερη μετρική Γεωμετρία Συγκεκριμένα εξέφρασε τους όγκους στερεών εκ περιστροφής κωνικών τομών εφαρμόζοντας απειροστικές μεθόδους ανάλυσης των στερεών αυτών

39

Στη σύγχρονη κλασική γεωμετρία όλο σχεδόν το μετρικό της μέρος οφείλεται στον Αρχιμήδη με αποτέλεσμα αυτή ουσιαστικά να είναι ισορροπημένη μείξη της Ευκλείδειας και της Αρχιμήδειας αρχαίας γεωμετρίας

Έτσι ο σοφός μας αποτελεί ουσιαστικά τον πατέρα της ανώτερης μετρικής γεωμετρίας της αρχαιότητας και ταυτόχρονα την πηγή έμπνευσης των νεώτερων μελετών του διαφορικού και απειροστικού λογισμού

Η πρωτοτυπία και η αποτελεσματικότητα των μελετών του έγιναν αιτία να χαρακτηριστεί από τους ιστορικούς των μαθηματικών ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών και όλων των εθνών

Ρεύμα στα ανάκτορα της Βρετανίας μέσω εφεύρεσης του Αρχιμήδη ( httpkatestimenoblogspotcom201109blog-post_1015html )

laquoΗ Βασίλισσα Ελισάβετ πρόκειται να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση ενός αρχαίου Έλληνα για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Και όταν λέμε αρχαίο Έλληνα εννοούμε τον Αρχιμήδη και όχι τον 90χρονο σύζυγό της Φίλιππο της Ελλάδαςraquo

Με αυτόν τον τίτλο πληροφορεί το βρετανικό κοινό η εφημερίδα ldquoDaily Mailrdquo για την απόφαση της Αυτής Μεγαλειότητας να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση του αρχαίου Έλληνα εφευρέτη Αρχιμήδη από τις Συρακούσες για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Πρόκειται για τη σύγχρονη εκδοχή του ατέρμονα κοχλία της έλικος του Αρχιμήδους όπως έμεινε γνωστή η εφεύρεση και είναι ένας σωληνοειδής κοχλίας που χρησίμευε για την άντληση νερού και την άρδευση καλλιεργημένων εκτάσεων

Η σύγχρονη εκδοχή της εφεύρεσης θα χρησιμοποιεί το νερό που μεταφέρεται από ένα τεχνητό φράγμα για να παράγει υδροηλεκτρική ενέργεια Ο μηχανισμός έχει ήδη μεταφερθεί μέσω του Τάμεση στο Romney Weir στα ανάκτορα του Γουίντσορ Σύμφωνα με το δημοσίευμα της εφημερίδας οι έλικες θα είναι έτοιμες για την παραγωγή ενέργειας τον προσεχή Νοέμβριο ενώ θα μπορούν να καλύψουν πλήρως τις ανάγκες του κάστρου σε ενέργεια μέσα στον επόμενο χρόνο

Εκτός αυτού οι τουρμπίνες είναι σχεδιασμένες ώστε να μην εμποδίζουν την ασφαλή διέλευση σολομού και χελιού μέσα στον ποταμό Τάμεση

Οι laquoέλικες του Αρχιμήδηraquo βάρους 40 τόνων κατασκευάστηκαν από ένα εργοστάσιο στην Ολλανδία και στοίχησαν 700000 λίρες Αγγλίας ενώ το κόστος εγκατάστασής τους θα ξεπεράσει το ένα εκατομμύριο λίρες

40

Διασωθέντα συγγράμματα

bull Περί σφαίρας και κυλίνδρου Βιβλίο α και βbull Κύκλου μέτρησις Σώζονται τρία θεωρήματαbull Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων (32 θεωρήματα 1 πόρισμα)bull Περί ελίκων (28 θεωρήματα 6 πορίσματα)bull Περί επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων ή Μηχανικά Βιβλ α και βbull Περί μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος (=μέθοδος)bull Βιβλίο λημμάτωνbull Πρόβλημα Βοεικόνbull Κατασκευή πλευράς του περιγραφομένου εις κύκλο επταγώνουbull Ωρολόγιον Αρχιμήδους (Σώζεται στα αραβικά)bull Περί κύκλων εφαπτομένων αλλήλωνbull Αρχαί της Γεωμετρίαςbull Ψαμμίτηςbull Τετραγωνισμός παραβολήςbull Οχουμένων (Υδροστατική)bull Στομάχιον (Σώζονται λίγα αποσπάσματα)

Συγγράμματα μη διασωθέντα (ή συγγράμματα μη αποκαλυφθέντα μέχρι σήμερα)

bull Αριθμητικάbull Βαρουλκός Υδροσκοπίαι Πνευματικήbull Επισίδια Βιβλία (Μάλλον περί στατιστικής - Τζέτζης)bull Περί τριγώνωνbull Περί τετραπλεύρουbull Περί ζευγώνbull Περί 13 ημικανονικών πολυέδρωνbull Ισοπεριμετικάbull Ισορροπίαιbull Καύσις δια κατόπτρων (επ΄ αυτού έγινε επιτυχές πείραμα στο ΝΣ)bull Περί Αρχιτεκτονικήςbull Περί βαρύτητος και ελαφρότητος (Πυκνόμετρα - Αραιόμετρα)bull Περί δρομομέτρων (Οδόμετρα πλοίων)bull Περί κέντρου Βάρους ή Κεντροβαρικάbull Κατοπρικάbull Περί παραλλήλων γραμμώνbull Περί κοίλων και παραβολικών κατόπτρωνbull Προοπτικήbull Στοιχεία μηχανικώνbull Πλινθίδες και Κύλινδροιbull Στοιχεία επί των στηρίξεωνbull Σφαιροποιΐα

36

Εφευρέσεις

bull Αραιόμετρο - Πυκνόμετροbull Αστρονομική συσκευήbull Βαρουλκόςbull Γερανοί (Αρπάγες)bull Καταπέλτεςbull Κάτοπτραbull Κοχλίας ή έλιξbull Οδόμετρο (δρομόμετρο)bull Πλανητάριον (σφαίρα)bull Πολύσπαστον (Βαρούλκο) τρίσπαστοbull Σίφωνbull Στομάχιον (επιτραπέζιο παιγνίδι το πρώτο παζλ)bull Τηλεβόλον Αρχιμήδους bull Χαριστίων (μοχλός)bull Ωρολόγιο υδραυλικό

37

Τα συγγράμματα του Αρχιμήδη που σώθηκαν μέχρι σήμερα είναι τα ακόλουθα Περί σφαίρας και κυλίνδρου Κύκλου μέτρησις περί σφαιροειδέων και κωνοειδέων Περί λίκων Επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων Ψαμμίτης Τετραγωνισμός παραβολής Οχούμενων Στομάχιον Προς Ερατοσθένην Έφοδος Βιβλίον περί λημμάτων Πρόβλημα βοεικόν Αποσπάσματα Μερικά από αυτά διασώθηκαν Πολλά επίσης είναι τα συγγράμματα του που χάθηκαν

Έκανε τα πρώτα βήματα για το μαθηματικό υπολογισμό επιφανειών με ακανόνιστο περίγραμμα και συμμετρικών εκ περιστροφής σωμάτων μέθοδος που εξελίχθηκε τεκμηριώθηκε και ονομάστηκε στην σύγχρονη εποχή laquoΟλοκληρωτικός Λογισμόςraquo υπολόγισε μία προσεγγιστική τιμή για τον άρρητο αριθμό π διατύπωσε το νόμο προεκτάσεις του γενίκευσε την εφαρμογή λέγοντας laquoΔώστε μου σημείο να στηριχθώ και θα κινήσω την γηraquo διατύπωσε την ομώνυμη αρχή για την άνωση του νερού κατασκεύασε διάφορες μηχανές ένα τύπο πολύσπαστου τον κοχλία μία αντλητική μηχανή με την laquoαρχιμήδειον έλικαraquo κά

Η συμβολή του ΑρχιμήδηΗ συμβολή του Αρχιμήδη στην ανάπτυξη της Μηχανικής συνιστάται πέρα από την επινόηση των τροχαλιών του πολύσπαστου και των οδοντωτών τροχών και ενός ιδιόμορφου αντλητικού συγκροτήματος στην έλικα που φέρει το όνομα του Ακόμα στην επακριβή διατύπωση των νόμων των μοχλών και των ισορροπιών ή κέντρα βαρών Εδώ υπάρχει και η περίφημη πρόταση laquo σύμμετρα μεγέθη ισορροπούν σε αποστάσεις αντιστρόφως ανάλογες προς το βάρος τους raquo

Σε σχέση με τους μοχλούς και τις δυνατότητες τους μας αναφέρει τη φράση laquo δος μοι πα στω και ταν γαν κινάσω raquo Απέδειξε στον Ιέρωνα ότι με ένα σύστημα τροχαλιών ndash οδοντωτών τροχών και μοχλών μπορεί να μετακινήσει ένα τεράστιο πλοίο με όλο το πλήρωμα μέσα μόνος του Ήταν ακόμα ο ίδιος που σχεδίασε και επιμελήθηκε τη ναυπήγηση του πλοίου

Ανέλαβε μετά από εντολή του Ιέρωνα την οχύρωση της πόλης και διηύθυνε ο ίδιος την άμυνα της εναντίον των Ρωμαίων

Στην αστρονομία ο Λίβιος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης είναι laquoμοναδικός παρατηρητής του ουρανού και των αστέρων raquo Ο Ίππαρχος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης ασχολήθηκε με τη μελέτη των ηλιοστασίων καθώς και με τον υπολογισμό της διάρκειας του έτους

Ο Μακρόβιος αναφέρει ότι ο Αρχιμήδης ανακάλυψε τις αποστάσεις των πλανητών ενώ στο έργο laquoΨαμμίτηςraquo περιγράφει τη συσκευή μέσω της οποίας μέτρησε τη φαινομενική γωνιακή διάμετρο του ήλιου

38

Ο Κικέρων αναφέρεται με θαυμασμό για τον Αρχιμήδη στα laquoΚατοπτρικάraquo Στα Μαθηματικά που ο ίδιος θεωρούσε ως τα πιο σημαντικά παρουσίασε την μέθοδο του προσδιορισμού του αριθμού π Τελειοποίησε το ελληνικό σύστημα αρίθμησης και παρουσίασε μια μέθοδο παράστασης των πολύ μεγάλων αριθμών Ασχολήθηκε με τη διαφορική Γεωμετρία βρήκε τους τύπους πρόσθεσης και αφαίρεσης τόξων Υπολόγισε το εμβαδόν της σφαίρας και του κυλίνδρου Μελέτησε διάφορα στερεά εκ περιστροφής όπως τα στερεά που παράγονται από περιστροφή έλλειψης υπερβολής και παραβολής γύρω από έναν άξονα

Στη Γεωμετρία το έργο του Αρχιμήδη αποτελείται κατά κύριο λόγο από πρωτότυπες μελέτες σχετικά με τον τετραγωνισμό των καμπυλόγραμμων επίπεδων σχημάτων καθώς και με τον τετραγωνισμό και τον κυβισμό καμπύλων επιφανειών

Τέλος επινόησε στο σύνολό της την Υδροστατική Επιστήμη την οποία ανέπτυξε πλήρως Οι μελέτες του αναπαριστούν ένα σύνολο μαθηματικών και γεωμετρικών επιτευγμάτων το οποίο δεν ξεπέρασε κανείς στην ανθρώπινη ιστορία

Όπως αναφέρει ο Wallis laquo ο Αρχιμήδης αφήνει ένα συγκεκριμένο μυστήριο να καλύπτει τον τρόπο με τον οποίο κατέληγε στα αποτελέσματά του Είναι σαν να είχε καλύψει σκοπίμως τα ίχνη του τα ίχνη των ερευνών του σα να ήταν απρόθυμος να αποκαλύψει το μυστικό της μεθόδου έρευνάς του στους μεταγενέστερους ενώ επιθυμούσε να αποσπάσει τη συναίνεσή τους για τα αποτελέσματά του raquo

Ο ίδιος ο Αρχιμήδης ως φορέας ενός ανώτερου φιλοσοφικού πνεύματος θεωρούσε ταπεινή και ανάξια κάθε τέχνη που εξυπηρετούσε πρακτικές ανάγκες ή αποσκοπούσε στο οικονομικό κέρδος Γι` αυτό και έστρεψε όλη του την προσοχή και τις επιδιώξεις στους καθαρούς στοχασμούς χωρίς να καταδεχτεί να αφήσει κάποιο γραπτό στοιχείο για τις τεχνολογικές του ανακαλύψεις με μοναδική εξαίρεση όσες αναφέρονται στο έργο του laquoπερί σφαιροποιίαςraquo Δεν είναι καθόλου τυχαίο λοιπόν το ότι ο Κικέρων αργότερα βρήκε τον τάφο του και πάνω μία αναπαράσταση ενός κυλίνδρου περιγεγραμμένου σε σφαίρα με μία περιγραφή που έδινε το λόγο του κυλίνδρου προς τη σφαίρα

Σε ποιους τομείς εφαρμόστηκαν οι θεωρίες του Εξαιρετικές του μελέτες και για τη μέθοδο και για το αποτέλεσμα είναι εκείνες που έδωσαν τα εμβαδά Κύκλου Έλλειψης Παραβολής και Έλικας καθώς και τα εμβαδά και τους όγκους των Κυλίνδρων των Κώνων και κυρίως των Σφαιρών

Σημαντικότατη θεωρείται και η ανακάλυψη από τον ίδιο τύπου που δίνει το εμβαδόν τριγώνου από τις πλευρές του και ακόμα η επέκτασή του στα εγγεγραμμένα τετράπλευρα Ο Αρχιμήδης επίσης γνώριζε να κατασκευάζει τη λύση ειδικών τριτοβάθμιων προβλημάτων και μεταξύ αυτών και του Δηλίου Προβλήματος Τις λύσεις αυτές τις έδινε με την τομή δύο κωνικών (Ευτόκιος) Μοναδική είναι η προσφορά του στην ανώτερη μετρική Γεωμετρία Συγκεκριμένα εξέφρασε τους όγκους στερεών εκ περιστροφής κωνικών τομών εφαρμόζοντας απειροστικές μεθόδους ανάλυσης των στερεών αυτών

39

Στη σύγχρονη κλασική γεωμετρία όλο σχεδόν το μετρικό της μέρος οφείλεται στον Αρχιμήδη με αποτέλεσμα αυτή ουσιαστικά να είναι ισορροπημένη μείξη της Ευκλείδειας και της Αρχιμήδειας αρχαίας γεωμετρίας

Έτσι ο σοφός μας αποτελεί ουσιαστικά τον πατέρα της ανώτερης μετρικής γεωμετρίας της αρχαιότητας και ταυτόχρονα την πηγή έμπνευσης των νεώτερων μελετών του διαφορικού και απειροστικού λογισμού

Η πρωτοτυπία και η αποτελεσματικότητα των μελετών του έγιναν αιτία να χαρακτηριστεί από τους ιστορικούς των μαθηματικών ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών και όλων των εθνών

Ρεύμα στα ανάκτορα της Βρετανίας μέσω εφεύρεσης του Αρχιμήδη ( httpkatestimenoblogspotcom201109blog-post_1015html )

laquoΗ Βασίλισσα Ελισάβετ πρόκειται να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση ενός αρχαίου Έλληνα για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Και όταν λέμε αρχαίο Έλληνα εννοούμε τον Αρχιμήδη και όχι τον 90χρονο σύζυγό της Φίλιππο της Ελλάδαςraquo

Με αυτόν τον τίτλο πληροφορεί το βρετανικό κοινό η εφημερίδα ldquoDaily Mailrdquo για την απόφαση της Αυτής Μεγαλειότητας να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση του αρχαίου Έλληνα εφευρέτη Αρχιμήδη από τις Συρακούσες για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Πρόκειται για τη σύγχρονη εκδοχή του ατέρμονα κοχλία της έλικος του Αρχιμήδους όπως έμεινε γνωστή η εφεύρεση και είναι ένας σωληνοειδής κοχλίας που χρησίμευε για την άντληση νερού και την άρδευση καλλιεργημένων εκτάσεων

Η σύγχρονη εκδοχή της εφεύρεσης θα χρησιμοποιεί το νερό που μεταφέρεται από ένα τεχνητό φράγμα για να παράγει υδροηλεκτρική ενέργεια Ο μηχανισμός έχει ήδη μεταφερθεί μέσω του Τάμεση στο Romney Weir στα ανάκτορα του Γουίντσορ Σύμφωνα με το δημοσίευμα της εφημερίδας οι έλικες θα είναι έτοιμες για την παραγωγή ενέργειας τον προσεχή Νοέμβριο ενώ θα μπορούν να καλύψουν πλήρως τις ανάγκες του κάστρου σε ενέργεια μέσα στον επόμενο χρόνο

Εκτός αυτού οι τουρμπίνες είναι σχεδιασμένες ώστε να μην εμποδίζουν την ασφαλή διέλευση σολομού και χελιού μέσα στον ποταμό Τάμεση

Οι laquoέλικες του Αρχιμήδηraquo βάρους 40 τόνων κατασκευάστηκαν από ένα εργοστάσιο στην Ολλανδία και στοίχησαν 700000 λίρες Αγγλίας ενώ το κόστος εγκατάστασής τους θα ξεπεράσει το ένα εκατομμύριο λίρες

40

Εφευρέσεις

bull Αραιόμετρο - Πυκνόμετροbull Αστρονομική συσκευήbull Βαρουλκόςbull Γερανοί (Αρπάγες)bull Καταπέλτεςbull Κάτοπτραbull Κοχλίας ή έλιξbull Οδόμετρο (δρομόμετρο)bull Πλανητάριον (σφαίρα)bull Πολύσπαστον (Βαρούλκο) τρίσπαστοbull Σίφωνbull Στομάχιον (επιτραπέζιο παιγνίδι το πρώτο παζλ)bull Τηλεβόλον Αρχιμήδους bull Χαριστίων (μοχλός)bull Ωρολόγιο υδραυλικό

37

Τα συγγράμματα του Αρχιμήδη που σώθηκαν μέχρι σήμερα είναι τα ακόλουθα Περί σφαίρας και κυλίνδρου Κύκλου μέτρησις περί σφαιροειδέων και κωνοειδέων Περί λίκων Επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων Ψαμμίτης Τετραγωνισμός παραβολής Οχούμενων Στομάχιον Προς Ερατοσθένην Έφοδος Βιβλίον περί λημμάτων Πρόβλημα βοεικόν Αποσπάσματα Μερικά από αυτά διασώθηκαν Πολλά επίσης είναι τα συγγράμματα του που χάθηκαν

Έκανε τα πρώτα βήματα για το μαθηματικό υπολογισμό επιφανειών με ακανόνιστο περίγραμμα και συμμετρικών εκ περιστροφής σωμάτων μέθοδος που εξελίχθηκε τεκμηριώθηκε και ονομάστηκε στην σύγχρονη εποχή laquoΟλοκληρωτικός Λογισμόςraquo υπολόγισε μία προσεγγιστική τιμή για τον άρρητο αριθμό π διατύπωσε το νόμο προεκτάσεις του γενίκευσε την εφαρμογή λέγοντας laquoΔώστε μου σημείο να στηριχθώ και θα κινήσω την γηraquo διατύπωσε την ομώνυμη αρχή για την άνωση του νερού κατασκεύασε διάφορες μηχανές ένα τύπο πολύσπαστου τον κοχλία μία αντλητική μηχανή με την laquoαρχιμήδειον έλικαraquo κά

Η συμβολή του ΑρχιμήδηΗ συμβολή του Αρχιμήδη στην ανάπτυξη της Μηχανικής συνιστάται πέρα από την επινόηση των τροχαλιών του πολύσπαστου και των οδοντωτών τροχών και ενός ιδιόμορφου αντλητικού συγκροτήματος στην έλικα που φέρει το όνομα του Ακόμα στην επακριβή διατύπωση των νόμων των μοχλών και των ισορροπιών ή κέντρα βαρών Εδώ υπάρχει και η περίφημη πρόταση laquo σύμμετρα μεγέθη ισορροπούν σε αποστάσεις αντιστρόφως ανάλογες προς το βάρος τους raquo

Σε σχέση με τους μοχλούς και τις δυνατότητες τους μας αναφέρει τη φράση laquo δος μοι πα στω και ταν γαν κινάσω raquo Απέδειξε στον Ιέρωνα ότι με ένα σύστημα τροχαλιών ndash οδοντωτών τροχών και μοχλών μπορεί να μετακινήσει ένα τεράστιο πλοίο με όλο το πλήρωμα μέσα μόνος του Ήταν ακόμα ο ίδιος που σχεδίασε και επιμελήθηκε τη ναυπήγηση του πλοίου

Ανέλαβε μετά από εντολή του Ιέρωνα την οχύρωση της πόλης και διηύθυνε ο ίδιος την άμυνα της εναντίον των Ρωμαίων

Στην αστρονομία ο Λίβιος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης είναι laquoμοναδικός παρατηρητής του ουρανού και των αστέρων raquo Ο Ίππαρχος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης ασχολήθηκε με τη μελέτη των ηλιοστασίων καθώς και με τον υπολογισμό της διάρκειας του έτους

Ο Μακρόβιος αναφέρει ότι ο Αρχιμήδης ανακάλυψε τις αποστάσεις των πλανητών ενώ στο έργο laquoΨαμμίτηςraquo περιγράφει τη συσκευή μέσω της οποίας μέτρησε τη φαινομενική γωνιακή διάμετρο του ήλιου

38

Ο Κικέρων αναφέρεται με θαυμασμό για τον Αρχιμήδη στα laquoΚατοπτρικάraquo Στα Μαθηματικά που ο ίδιος θεωρούσε ως τα πιο σημαντικά παρουσίασε την μέθοδο του προσδιορισμού του αριθμού π Τελειοποίησε το ελληνικό σύστημα αρίθμησης και παρουσίασε μια μέθοδο παράστασης των πολύ μεγάλων αριθμών Ασχολήθηκε με τη διαφορική Γεωμετρία βρήκε τους τύπους πρόσθεσης και αφαίρεσης τόξων Υπολόγισε το εμβαδόν της σφαίρας και του κυλίνδρου Μελέτησε διάφορα στερεά εκ περιστροφής όπως τα στερεά που παράγονται από περιστροφή έλλειψης υπερβολής και παραβολής γύρω από έναν άξονα

Στη Γεωμετρία το έργο του Αρχιμήδη αποτελείται κατά κύριο λόγο από πρωτότυπες μελέτες σχετικά με τον τετραγωνισμό των καμπυλόγραμμων επίπεδων σχημάτων καθώς και με τον τετραγωνισμό και τον κυβισμό καμπύλων επιφανειών

Τέλος επινόησε στο σύνολό της την Υδροστατική Επιστήμη την οποία ανέπτυξε πλήρως Οι μελέτες του αναπαριστούν ένα σύνολο μαθηματικών και γεωμετρικών επιτευγμάτων το οποίο δεν ξεπέρασε κανείς στην ανθρώπινη ιστορία

Όπως αναφέρει ο Wallis laquo ο Αρχιμήδης αφήνει ένα συγκεκριμένο μυστήριο να καλύπτει τον τρόπο με τον οποίο κατέληγε στα αποτελέσματά του Είναι σαν να είχε καλύψει σκοπίμως τα ίχνη του τα ίχνη των ερευνών του σα να ήταν απρόθυμος να αποκαλύψει το μυστικό της μεθόδου έρευνάς του στους μεταγενέστερους ενώ επιθυμούσε να αποσπάσει τη συναίνεσή τους για τα αποτελέσματά του raquo

Ο ίδιος ο Αρχιμήδης ως φορέας ενός ανώτερου φιλοσοφικού πνεύματος θεωρούσε ταπεινή και ανάξια κάθε τέχνη που εξυπηρετούσε πρακτικές ανάγκες ή αποσκοπούσε στο οικονομικό κέρδος Γι` αυτό και έστρεψε όλη του την προσοχή και τις επιδιώξεις στους καθαρούς στοχασμούς χωρίς να καταδεχτεί να αφήσει κάποιο γραπτό στοιχείο για τις τεχνολογικές του ανακαλύψεις με μοναδική εξαίρεση όσες αναφέρονται στο έργο του laquoπερί σφαιροποιίαςraquo Δεν είναι καθόλου τυχαίο λοιπόν το ότι ο Κικέρων αργότερα βρήκε τον τάφο του και πάνω μία αναπαράσταση ενός κυλίνδρου περιγεγραμμένου σε σφαίρα με μία περιγραφή που έδινε το λόγο του κυλίνδρου προς τη σφαίρα

Σε ποιους τομείς εφαρμόστηκαν οι θεωρίες του Εξαιρετικές του μελέτες και για τη μέθοδο και για το αποτέλεσμα είναι εκείνες που έδωσαν τα εμβαδά Κύκλου Έλλειψης Παραβολής και Έλικας καθώς και τα εμβαδά και τους όγκους των Κυλίνδρων των Κώνων και κυρίως των Σφαιρών

Σημαντικότατη θεωρείται και η ανακάλυψη από τον ίδιο τύπου που δίνει το εμβαδόν τριγώνου από τις πλευρές του και ακόμα η επέκτασή του στα εγγεγραμμένα τετράπλευρα Ο Αρχιμήδης επίσης γνώριζε να κατασκευάζει τη λύση ειδικών τριτοβάθμιων προβλημάτων και μεταξύ αυτών και του Δηλίου Προβλήματος Τις λύσεις αυτές τις έδινε με την τομή δύο κωνικών (Ευτόκιος) Μοναδική είναι η προσφορά του στην ανώτερη μετρική Γεωμετρία Συγκεκριμένα εξέφρασε τους όγκους στερεών εκ περιστροφής κωνικών τομών εφαρμόζοντας απειροστικές μεθόδους ανάλυσης των στερεών αυτών

39

Στη σύγχρονη κλασική γεωμετρία όλο σχεδόν το μετρικό της μέρος οφείλεται στον Αρχιμήδη με αποτέλεσμα αυτή ουσιαστικά να είναι ισορροπημένη μείξη της Ευκλείδειας και της Αρχιμήδειας αρχαίας γεωμετρίας

Έτσι ο σοφός μας αποτελεί ουσιαστικά τον πατέρα της ανώτερης μετρικής γεωμετρίας της αρχαιότητας και ταυτόχρονα την πηγή έμπνευσης των νεώτερων μελετών του διαφορικού και απειροστικού λογισμού

Η πρωτοτυπία και η αποτελεσματικότητα των μελετών του έγιναν αιτία να χαρακτηριστεί από τους ιστορικούς των μαθηματικών ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών και όλων των εθνών

Ρεύμα στα ανάκτορα της Βρετανίας μέσω εφεύρεσης του Αρχιμήδη ( httpkatestimenoblogspotcom201109blog-post_1015html )

laquoΗ Βασίλισσα Ελισάβετ πρόκειται να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση ενός αρχαίου Έλληνα για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Και όταν λέμε αρχαίο Έλληνα εννοούμε τον Αρχιμήδη και όχι τον 90χρονο σύζυγό της Φίλιππο της Ελλάδαςraquo

Με αυτόν τον τίτλο πληροφορεί το βρετανικό κοινό η εφημερίδα ldquoDaily Mailrdquo για την απόφαση της Αυτής Μεγαλειότητας να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση του αρχαίου Έλληνα εφευρέτη Αρχιμήδη από τις Συρακούσες για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Πρόκειται για τη σύγχρονη εκδοχή του ατέρμονα κοχλία της έλικος του Αρχιμήδους όπως έμεινε γνωστή η εφεύρεση και είναι ένας σωληνοειδής κοχλίας που χρησίμευε για την άντληση νερού και την άρδευση καλλιεργημένων εκτάσεων

Η σύγχρονη εκδοχή της εφεύρεσης θα χρησιμοποιεί το νερό που μεταφέρεται από ένα τεχνητό φράγμα για να παράγει υδροηλεκτρική ενέργεια Ο μηχανισμός έχει ήδη μεταφερθεί μέσω του Τάμεση στο Romney Weir στα ανάκτορα του Γουίντσορ Σύμφωνα με το δημοσίευμα της εφημερίδας οι έλικες θα είναι έτοιμες για την παραγωγή ενέργειας τον προσεχή Νοέμβριο ενώ θα μπορούν να καλύψουν πλήρως τις ανάγκες του κάστρου σε ενέργεια μέσα στον επόμενο χρόνο

Εκτός αυτού οι τουρμπίνες είναι σχεδιασμένες ώστε να μην εμποδίζουν την ασφαλή διέλευση σολομού και χελιού μέσα στον ποταμό Τάμεση

Οι laquoέλικες του Αρχιμήδηraquo βάρους 40 τόνων κατασκευάστηκαν από ένα εργοστάσιο στην Ολλανδία και στοίχησαν 700000 λίρες Αγγλίας ενώ το κόστος εγκατάστασής τους θα ξεπεράσει το ένα εκατομμύριο λίρες

40

Τα συγγράμματα του Αρχιμήδη που σώθηκαν μέχρι σήμερα είναι τα ακόλουθα Περί σφαίρας και κυλίνδρου Κύκλου μέτρησις περί σφαιροειδέων και κωνοειδέων Περί λίκων Επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων Ψαμμίτης Τετραγωνισμός παραβολής Οχούμενων Στομάχιον Προς Ερατοσθένην Έφοδος Βιβλίον περί λημμάτων Πρόβλημα βοεικόν Αποσπάσματα Μερικά από αυτά διασώθηκαν Πολλά επίσης είναι τα συγγράμματα του που χάθηκαν

Έκανε τα πρώτα βήματα για το μαθηματικό υπολογισμό επιφανειών με ακανόνιστο περίγραμμα και συμμετρικών εκ περιστροφής σωμάτων μέθοδος που εξελίχθηκε τεκμηριώθηκε και ονομάστηκε στην σύγχρονη εποχή laquoΟλοκληρωτικός Λογισμόςraquo υπολόγισε μία προσεγγιστική τιμή για τον άρρητο αριθμό π διατύπωσε το νόμο προεκτάσεις του γενίκευσε την εφαρμογή λέγοντας laquoΔώστε μου σημείο να στηριχθώ και θα κινήσω την γηraquo διατύπωσε την ομώνυμη αρχή για την άνωση του νερού κατασκεύασε διάφορες μηχανές ένα τύπο πολύσπαστου τον κοχλία μία αντλητική μηχανή με την laquoαρχιμήδειον έλικαraquo κά

Η συμβολή του ΑρχιμήδηΗ συμβολή του Αρχιμήδη στην ανάπτυξη της Μηχανικής συνιστάται πέρα από την επινόηση των τροχαλιών του πολύσπαστου και των οδοντωτών τροχών και ενός ιδιόμορφου αντλητικού συγκροτήματος στην έλικα που φέρει το όνομα του Ακόμα στην επακριβή διατύπωση των νόμων των μοχλών και των ισορροπιών ή κέντρα βαρών Εδώ υπάρχει και η περίφημη πρόταση laquo σύμμετρα μεγέθη ισορροπούν σε αποστάσεις αντιστρόφως ανάλογες προς το βάρος τους raquo

Σε σχέση με τους μοχλούς και τις δυνατότητες τους μας αναφέρει τη φράση laquo δος μοι πα στω και ταν γαν κινάσω raquo Απέδειξε στον Ιέρωνα ότι με ένα σύστημα τροχαλιών ndash οδοντωτών τροχών και μοχλών μπορεί να μετακινήσει ένα τεράστιο πλοίο με όλο το πλήρωμα μέσα μόνος του Ήταν ακόμα ο ίδιος που σχεδίασε και επιμελήθηκε τη ναυπήγηση του πλοίου

Ανέλαβε μετά από εντολή του Ιέρωνα την οχύρωση της πόλης και διηύθυνε ο ίδιος την άμυνα της εναντίον των Ρωμαίων

Στην αστρονομία ο Λίβιος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης είναι laquoμοναδικός παρατηρητής του ουρανού και των αστέρων raquo Ο Ίππαρχος μας λέει ότι ο Αρχιμήδης ασχολήθηκε με τη μελέτη των ηλιοστασίων καθώς και με τον υπολογισμό της διάρκειας του έτους

Ο Μακρόβιος αναφέρει ότι ο Αρχιμήδης ανακάλυψε τις αποστάσεις των πλανητών ενώ στο έργο laquoΨαμμίτηςraquo περιγράφει τη συσκευή μέσω της οποίας μέτρησε τη φαινομενική γωνιακή διάμετρο του ήλιου

38

Ο Κικέρων αναφέρεται με θαυμασμό για τον Αρχιμήδη στα laquoΚατοπτρικάraquo Στα Μαθηματικά που ο ίδιος θεωρούσε ως τα πιο σημαντικά παρουσίασε την μέθοδο του προσδιορισμού του αριθμού π Τελειοποίησε το ελληνικό σύστημα αρίθμησης και παρουσίασε μια μέθοδο παράστασης των πολύ μεγάλων αριθμών Ασχολήθηκε με τη διαφορική Γεωμετρία βρήκε τους τύπους πρόσθεσης και αφαίρεσης τόξων Υπολόγισε το εμβαδόν της σφαίρας και του κυλίνδρου Μελέτησε διάφορα στερεά εκ περιστροφής όπως τα στερεά που παράγονται από περιστροφή έλλειψης υπερβολής και παραβολής γύρω από έναν άξονα

Στη Γεωμετρία το έργο του Αρχιμήδη αποτελείται κατά κύριο λόγο από πρωτότυπες μελέτες σχετικά με τον τετραγωνισμό των καμπυλόγραμμων επίπεδων σχημάτων καθώς και με τον τετραγωνισμό και τον κυβισμό καμπύλων επιφανειών

Τέλος επινόησε στο σύνολό της την Υδροστατική Επιστήμη την οποία ανέπτυξε πλήρως Οι μελέτες του αναπαριστούν ένα σύνολο μαθηματικών και γεωμετρικών επιτευγμάτων το οποίο δεν ξεπέρασε κανείς στην ανθρώπινη ιστορία

Όπως αναφέρει ο Wallis laquo ο Αρχιμήδης αφήνει ένα συγκεκριμένο μυστήριο να καλύπτει τον τρόπο με τον οποίο κατέληγε στα αποτελέσματά του Είναι σαν να είχε καλύψει σκοπίμως τα ίχνη του τα ίχνη των ερευνών του σα να ήταν απρόθυμος να αποκαλύψει το μυστικό της μεθόδου έρευνάς του στους μεταγενέστερους ενώ επιθυμούσε να αποσπάσει τη συναίνεσή τους για τα αποτελέσματά του raquo

Ο ίδιος ο Αρχιμήδης ως φορέας ενός ανώτερου φιλοσοφικού πνεύματος θεωρούσε ταπεινή και ανάξια κάθε τέχνη που εξυπηρετούσε πρακτικές ανάγκες ή αποσκοπούσε στο οικονομικό κέρδος Γι` αυτό και έστρεψε όλη του την προσοχή και τις επιδιώξεις στους καθαρούς στοχασμούς χωρίς να καταδεχτεί να αφήσει κάποιο γραπτό στοιχείο για τις τεχνολογικές του ανακαλύψεις με μοναδική εξαίρεση όσες αναφέρονται στο έργο του laquoπερί σφαιροποιίαςraquo Δεν είναι καθόλου τυχαίο λοιπόν το ότι ο Κικέρων αργότερα βρήκε τον τάφο του και πάνω μία αναπαράσταση ενός κυλίνδρου περιγεγραμμένου σε σφαίρα με μία περιγραφή που έδινε το λόγο του κυλίνδρου προς τη σφαίρα

Σε ποιους τομείς εφαρμόστηκαν οι θεωρίες του Εξαιρετικές του μελέτες και για τη μέθοδο και για το αποτέλεσμα είναι εκείνες που έδωσαν τα εμβαδά Κύκλου Έλλειψης Παραβολής και Έλικας καθώς και τα εμβαδά και τους όγκους των Κυλίνδρων των Κώνων και κυρίως των Σφαιρών

Σημαντικότατη θεωρείται και η ανακάλυψη από τον ίδιο τύπου που δίνει το εμβαδόν τριγώνου από τις πλευρές του και ακόμα η επέκτασή του στα εγγεγραμμένα τετράπλευρα Ο Αρχιμήδης επίσης γνώριζε να κατασκευάζει τη λύση ειδικών τριτοβάθμιων προβλημάτων και μεταξύ αυτών και του Δηλίου Προβλήματος Τις λύσεις αυτές τις έδινε με την τομή δύο κωνικών (Ευτόκιος) Μοναδική είναι η προσφορά του στην ανώτερη μετρική Γεωμετρία Συγκεκριμένα εξέφρασε τους όγκους στερεών εκ περιστροφής κωνικών τομών εφαρμόζοντας απειροστικές μεθόδους ανάλυσης των στερεών αυτών

39

Στη σύγχρονη κλασική γεωμετρία όλο σχεδόν το μετρικό της μέρος οφείλεται στον Αρχιμήδη με αποτέλεσμα αυτή ουσιαστικά να είναι ισορροπημένη μείξη της Ευκλείδειας και της Αρχιμήδειας αρχαίας γεωμετρίας

Έτσι ο σοφός μας αποτελεί ουσιαστικά τον πατέρα της ανώτερης μετρικής γεωμετρίας της αρχαιότητας και ταυτόχρονα την πηγή έμπνευσης των νεώτερων μελετών του διαφορικού και απειροστικού λογισμού

Η πρωτοτυπία και η αποτελεσματικότητα των μελετών του έγιναν αιτία να χαρακτηριστεί από τους ιστορικούς των μαθηματικών ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών και όλων των εθνών

Ρεύμα στα ανάκτορα της Βρετανίας μέσω εφεύρεσης του Αρχιμήδη ( httpkatestimenoblogspotcom201109blog-post_1015html )

laquoΗ Βασίλισσα Ελισάβετ πρόκειται να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση ενός αρχαίου Έλληνα για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Και όταν λέμε αρχαίο Έλληνα εννοούμε τον Αρχιμήδη και όχι τον 90χρονο σύζυγό της Φίλιππο της Ελλάδαςraquo

Με αυτόν τον τίτλο πληροφορεί το βρετανικό κοινό η εφημερίδα ldquoDaily Mailrdquo για την απόφαση της Αυτής Μεγαλειότητας να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση του αρχαίου Έλληνα εφευρέτη Αρχιμήδη από τις Συρακούσες για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Πρόκειται για τη σύγχρονη εκδοχή του ατέρμονα κοχλία της έλικος του Αρχιμήδους όπως έμεινε γνωστή η εφεύρεση και είναι ένας σωληνοειδής κοχλίας που χρησίμευε για την άντληση νερού και την άρδευση καλλιεργημένων εκτάσεων

Η σύγχρονη εκδοχή της εφεύρεσης θα χρησιμοποιεί το νερό που μεταφέρεται από ένα τεχνητό φράγμα για να παράγει υδροηλεκτρική ενέργεια Ο μηχανισμός έχει ήδη μεταφερθεί μέσω του Τάμεση στο Romney Weir στα ανάκτορα του Γουίντσορ Σύμφωνα με το δημοσίευμα της εφημερίδας οι έλικες θα είναι έτοιμες για την παραγωγή ενέργειας τον προσεχή Νοέμβριο ενώ θα μπορούν να καλύψουν πλήρως τις ανάγκες του κάστρου σε ενέργεια μέσα στον επόμενο χρόνο

Εκτός αυτού οι τουρμπίνες είναι σχεδιασμένες ώστε να μην εμποδίζουν την ασφαλή διέλευση σολομού και χελιού μέσα στον ποταμό Τάμεση

Οι laquoέλικες του Αρχιμήδηraquo βάρους 40 τόνων κατασκευάστηκαν από ένα εργοστάσιο στην Ολλανδία και στοίχησαν 700000 λίρες Αγγλίας ενώ το κόστος εγκατάστασής τους θα ξεπεράσει το ένα εκατομμύριο λίρες

40

Ο Κικέρων αναφέρεται με θαυμασμό για τον Αρχιμήδη στα laquoΚατοπτρικάraquo Στα Μαθηματικά που ο ίδιος θεωρούσε ως τα πιο σημαντικά παρουσίασε την μέθοδο του προσδιορισμού του αριθμού π Τελειοποίησε το ελληνικό σύστημα αρίθμησης και παρουσίασε μια μέθοδο παράστασης των πολύ μεγάλων αριθμών Ασχολήθηκε με τη διαφορική Γεωμετρία βρήκε τους τύπους πρόσθεσης και αφαίρεσης τόξων Υπολόγισε το εμβαδόν της σφαίρας και του κυλίνδρου Μελέτησε διάφορα στερεά εκ περιστροφής όπως τα στερεά που παράγονται από περιστροφή έλλειψης υπερβολής και παραβολής γύρω από έναν άξονα

Στη Γεωμετρία το έργο του Αρχιμήδη αποτελείται κατά κύριο λόγο από πρωτότυπες μελέτες σχετικά με τον τετραγωνισμό των καμπυλόγραμμων επίπεδων σχημάτων καθώς και με τον τετραγωνισμό και τον κυβισμό καμπύλων επιφανειών

Τέλος επινόησε στο σύνολό της την Υδροστατική Επιστήμη την οποία ανέπτυξε πλήρως Οι μελέτες του αναπαριστούν ένα σύνολο μαθηματικών και γεωμετρικών επιτευγμάτων το οποίο δεν ξεπέρασε κανείς στην ανθρώπινη ιστορία

Όπως αναφέρει ο Wallis laquo ο Αρχιμήδης αφήνει ένα συγκεκριμένο μυστήριο να καλύπτει τον τρόπο με τον οποίο κατέληγε στα αποτελέσματά του Είναι σαν να είχε καλύψει σκοπίμως τα ίχνη του τα ίχνη των ερευνών του σα να ήταν απρόθυμος να αποκαλύψει το μυστικό της μεθόδου έρευνάς του στους μεταγενέστερους ενώ επιθυμούσε να αποσπάσει τη συναίνεσή τους για τα αποτελέσματά του raquo

Ο ίδιος ο Αρχιμήδης ως φορέας ενός ανώτερου φιλοσοφικού πνεύματος θεωρούσε ταπεινή και ανάξια κάθε τέχνη που εξυπηρετούσε πρακτικές ανάγκες ή αποσκοπούσε στο οικονομικό κέρδος Γι` αυτό και έστρεψε όλη του την προσοχή και τις επιδιώξεις στους καθαρούς στοχασμούς χωρίς να καταδεχτεί να αφήσει κάποιο γραπτό στοιχείο για τις τεχνολογικές του ανακαλύψεις με μοναδική εξαίρεση όσες αναφέρονται στο έργο του laquoπερί σφαιροποιίαςraquo Δεν είναι καθόλου τυχαίο λοιπόν το ότι ο Κικέρων αργότερα βρήκε τον τάφο του και πάνω μία αναπαράσταση ενός κυλίνδρου περιγεγραμμένου σε σφαίρα με μία περιγραφή που έδινε το λόγο του κυλίνδρου προς τη σφαίρα

Σε ποιους τομείς εφαρμόστηκαν οι θεωρίες του Εξαιρετικές του μελέτες και για τη μέθοδο και για το αποτέλεσμα είναι εκείνες που έδωσαν τα εμβαδά Κύκλου Έλλειψης Παραβολής και Έλικας καθώς και τα εμβαδά και τους όγκους των Κυλίνδρων των Κώνων και κυρίως των Σφαιρών

Σημαντικότατη θεωρείται και η ανακάλυψη από τον ίδιο τύπου που δίνει το εμβαδόν τριγώνου από τις πλευρές του και ακόμα η επέκτασή του στα εγγεγραμμένα τετράπλευρα Ο Αρχιμήδης επίσης γνώριζε να κατασκευάζει τη λύση ειδικών τριτοβάθμιων προβλημάτων και μεταξύ αυτών και του Δηλίου Προβλήματος Τις λύσεις αυτές τις έδινε με την τομή δύο κωνικών (Ευτόκιος) Μοναδική είναι η προσφορά του στην ανώτερη μετρική Γεωμετρία Συγκεκριμένα εξέφρασε τους όγκους στερεών εκ περιστροφής κωνικών τομών εφαρμόζοντας απειροστικές μεθόδους ανάλυσης των στερεών αυτών

39

Στη σύγχρονη κλασική γεωμετρία όλο σχεδόν το μετρικό της μέρος οφείλεται στον Αρχιμήδη με αποτέλεσμα αυτή ουσιαστικά να είναι ισορροπημένη μείξη της Ευκλείδειας και της Αρχιμήδειας αρχαίας γεωμετρίας

Έτσι ο σοφός μας αποτελεί ουσιαστικά τον πατέρα της ανώτερης μετρικής γεωμετρίας της αρχαιότητας και ταυτόχρονα την πηγή έμπνευσης των νεώτερων μελετών του διαφορικού και απειροστικού λογισμού

Η πρωτοτυπία και η αποτελεσματικότητα των μελετών του έγιναν αιτία να χαρακτηριστεί από τους ιστορικούς των μαθηματικών ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών και όλων των εθνών

Ρεύμα στα ανάκτορα της Βρετανίας μέσω εφεύρεσης του Αρχιμήδη ( httpkatestimenoblogspotcom201109blog-post_1015html )

laquoΗ Βασίλισσα Ελισάβετ πρόκειται να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση ενός αρχαίου Έλληνα για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Και όταν λέμε αρχαίο Έλληνα εννοούμε τον Αρχιμήδη και όχι τον 90χρονο σύζυγό της Φίλιππο της Ελλάδαςraquo

Με αυτόν τον τίτλο πληροφορεί το βρετανικό κοινό η εφημερίδα ldquoDaily Mailrdquo για την απόφαση της Αυτής Μεγαλειότητας να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση του αρχαίου Έλληνα εφευρέτη Αρχιμήδη από τις Συρακούσες για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Πρόκειται για τη σύγχρονη εκδοχή του ατέρμονα κοχλία της έλικος του Αρχιμήδους όπως έμεινε γνωστή η εφεύρεση και είναι ένας σωληνοειδής κοχλίας που χρησίμευε για την άντληση νερού και την άρδευση καλλιεργημένων εκτάσεων

Η σύγχρονη εκδοχή της εφεύρεσης θα χρησιμοποιεί το νερό που μεταφέρεται από ένα τεχνητό φράγμα για να παράγει υδροηλεκτρική ενέργεια Ο μηχανισμός έχει ήδη μεταφερθεί μέσω του Τάμεση στο Romney Weir στα ανάκτορα του Γουίντσορ Σύμφωνα με το δημοσίευμα της εφημερίδας οι έλικες θα είναι έτοιμες για την παραγωγή ενέργειας τον προσεχή Νοέμβριο ενώ θα μπορούν να καλύψουν πλήρως τις ανάγκες του κάστρου σε ενέργεια μέσα στον επόμενο χρόνο

Εκτός αυτού οι τουρμπίνες είναι σχεδιασμένες ώστε να μην εμποδίζουν την ασφαλή διέλευση σολομού και χελιού μέσα στον ποταμό Τάμεση

Οι laquoέλικες του Αρχιμήδηraquo βάρους 40 τόνων κατασκευάστηκαν από ένα εργοστάσιο στην Ολλανδία και στοίχησαν 700000 λίρες Αγγλίας ενώ το κόστος εγκατάστασής τους θα ξεπεράσει το ένα εκατομμύριο λίρες

40

Στη σύγχρονη κλασική γεωμετρία όλο σχεδόν το μετρικό της μέρος οφείλεται στον Αρχιμήδη με αποτέλεσμα αυτή ουσιαστικά να είναι ισορροπημένη μείξη της Ευκλείδειας και της Αρχιμήδειας αρχαίας γεωμετρίας

Έτσι ο σοφός μας αποτελεί ουσιαστικά τον πατέρα της ανώτερης μετρικής γεωμετρίας της αρχαιότητας και ταυτόχρονα την πηγή έμπνευσης των νεώτερων μελετών του διαφορικού και απειροστικού λογισμού

Η πρωτοτυπία και η αποτελεσματικότητα των μελετών του έγιναν αιτία να χαρακτηριστεί από τους ιστορικούς των μαθηματικών ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών και όλων των εθνών

Ρεύμα στα ανάκτορα της Βρετανίας μέσω εφεύρεσης του Αρχιμήδη ( httpkatestimenoblogspotcom201109blog-post_1015html )

laquoΗ Βασίλισσα Ελισάβετ πρόκειται να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση ενός αρχαίου Έλληνα για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Και όταν λέμε αρχαίο Έλληνα εννοούμε τον Αρχιμήδη και όχι τον 90χρονο σύζυγό της Φίλιππο της Ελλάδαςraquo

Με αυτόν τον τίτλο πληροφορεί το βρετανικό κοινό η εφημερίδα ldquoDaily Mailrdquo για την απόφαση της Αυτής Μεγαλειότητας να χρησιμοποιήσει μια εφεύρεση του αρχαίου Έλληνα εφευρέτη Αρχιμήδη από τις Συρακούσες για να ηλεκτροδοτήσει το κάστρο του Γουίντσορ Πρόκειται για τη σύγχρονη εκδοχή του ατέρμονα κοχλία της έλικος του Αρχιμήδους όπως έμεινε γνωστή η εφεύρεση και είναι ένας σωληνοειδής κοχλίας που χρησίμευε για την άντληση νερού και την άρδευση καλλιεργημένων εκτάσεων

Η σύγχρονη εκδοχή της εφεύρεσης θα χρησιμοποιεί το νερό που μεταφέρεται από ένα τεχνητό φράγμα για να παράγει υδροηλεκτρική ενέργεια Ο μηχανισμός έχει ήδη μεταφερθεί μέσω του Τάμεση στο Romney Weir στα ανάκτορα του Γουίντσορ Σύμφωνα με το δημοσίευμα της εφημερίδας οι έλικες θα είναι έτοιμες για την παραγωγή ενέργειας τον προσεχή Νοέμβριο ενώ θα μπορούν να καλύψουν πλήρως τις ανάγκες του κάστρου σε ενέργεια μέσα στον επόμενο χρόνο

Εκτός αυτού οι τουρμπίνες είναι σχεδιασμένες ώστε να μην εμποδίζουν την ασφαλή διέλευση σολομού και χελιού μέσα στον ποταμό Τάμεση

Οι laquoέλικες του Αρχιμήδηraquo βάρους 40 τόνων κατασκευάστηκαν από ένα εργοστάσιο στην Ολλανδία και στοίχησαν 700000 λίρες Αγγλίας ενώ το κόστος εγκατάστασής τους θα ξεπεράσει το ένα εκατομμύριο λίρες

40

Τα εμπρηστικά κάτοπτρα του Αρχιμήδη

Αναμφίβολα το πιο πολυσυζητημένο επίτευγμα του Αρχιμήδη αυτό που πέρασε στη χώρα του μύθου και ξανάγινε πραγματικότητα με τα πειράματα του Ιωάννη Σακά είναι η κατασκευή των ηλιακών κατόπτρων με τα οποία συγκεντρώνοντας και εστιάζοντας τις ηλιακές ακτίνες κατέκαψε τα πλοία των Ρωμαίων που πολιορκούσαν τις Συρακούσες εξ ου και η ονομασία τους laquoεμπρηστικά κάτοπτραraquo

Το ιστορικό της υπόθεσης ταυτίζεται και αποτελεί μέρος της επιστήμης που οι αρχαίοι Έλληνες ονόμαζαν laquoοπτικήraquo συμπλήρωμα της οποίας ήταν η laquoκατοπτρικήraquo Γνωρίζουμε σήμερα πολλά έργα Ελλήνων που γράφτηκαν γύρω από το θέμα της οπτικής τα περισσότερα των οποίων έχουν χαθεί

41

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ

Τελειώνοντας αυτή την ερευνητική εργασία και απαντώντας στα ερευνητικά ερωτήματα που τέθηκαν καταλήγουμε πως οι αρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί με τις γνώσεις που μας κληροδότησαν συνέβαλαν καθοριστικά τόσο στην εξέλιξη της επιστήμης των Μαθηματικών όσο και στην εξέλιξη και άλλων επιστημών γενικότεραΕιδικότερα ο Θαλής ο πατέρας της γεωμετρίας θεμελίωσε τη θεωρία της γεωμετρίας και με την εισαγωγή της απόδειξης κατόρθωσε να αλλάξει τον τρόπο του laquoσκέπτεσθαιraquo του ανθρώπου και να θέσει τη βάση για τη δημιουργία πολιτισμού Παρατηρώντας την ελκτική δύναμη του μαγνήτη στα σιδερένια αντικείμενα ανακάλυψε το μαγνητισμό και παρατηρώντας το ήλεκτρο και την τριβή του σε μάλλινο ύφασμα έθεσε τα θεμέλια του ηλεκτρισμού Σημαντικότατη επίσης η συμβολή του στην ανάπτυξη της αστρονομίας αλλά και της φιλοσοφίας και ειδικότερα της οντολογίας αφού θεωρούσε ως αρχή των πάντων το νερό Τα αποφθέγματά του ακόμα μας διδάσκουν την αξία της αυτογνωσίας και της χρήσης του μέτρου σε όλες τις ενέργειες και συμπεριφορές μας και δίκαια τον κατατάσσουν στους 7 σοφούς της αρχαιότηταςΕξίσου καθοριστική και η συμβολή του Πυθαγόρα στην ανάπτυξη της αριθμητικής και της γεωμετρίας αλλά και της δυτικής φιλοσοφίας Το πυθαγόρειο θεώρημα που ακόμα διδασκόμαστε αποτελεί ένα σημαντικότατο επίτευγμα που βρίσκει εφαρμογή σε πολλούς τομείς Η κατασκευή του laquoκανόναraquo βοήθησε την κατασκευή μουσικών οργάνων και μάλιστα συνδέεται απόλυτα με το παραδοσιακό όργανο laquoκανονάκιraquo Η Πυθαγόρεια σκέψη γενικά συνδέεται με την επιστήμη των μουσικών τόνων και αρμονιώνΟ μεγάλος φιλόσοφος Πλάτων με το σημαντικότατο έργο στην Ακαδημία συνέδεσε τα μαθηματικά με τη φιλοσοφία και με την ανάπτυξη της λογικής και δομημένης σκέψης Δεν είναι τυχαία η επιγραφή που υπήρχε έξω από την Ακαδημία laquoἀγεωμέτρητος μηδείς εἰσίτωraquo αφού θεωρούσε τα μαθηματικά προϋπόθεση σοφίας Η Ευκλείδεια Γεωμετρία που ακόμα διδασκόμαστε στα Ελληνικά σχολεία και η οποία επηρέασε ακόμα και τον Αϊνστάιν αποδεικνύει τη μεγάλη συμβολή του Ευκλείδη και των αποδείξεών του στην ανάπτυξη της γεωμετρίας Οι γνώσεις του τα θεωρήματα που διατύπωσε αποτελούν χρήσιμα εργαλεία στις κατασκευές σε επίπεδο χώρο Εξάλλου τα laquoΣτοιχείαraquo του Ευκλείδη έχουν ξεπεράσει σε αριθμό μεταφράσεων ακόμα και τη Βίβλο και θεωρούνται από παιδαγωγική και μεθοδολογική άποψη ως το πληρέστερο πνευματικό δημιούργημα της ανθρώπινης διάνοιας Φτάνοντας στο νεώτερο από τους μαθηματικούς με τους οποίους ασχοληθήκαμε τον Αρχιμήδη μένουμε έκπληκτοι από την πληθώρα των εφευρέσεών του που τον έκαναν διάσημο και βρίσκουν εφαρμογή ακόμα και σήμερα Στον Αρχιμήδη οφείλουμε την ανάπτυξη της μηχανικής τόσο λόγω των εφευρέσεών του όσο και λόγω της επακριβούς διατύπωσης των νόμων των μοχλών και της ισορροπίας των βαρών Επίσης μπορεί να θεωρηθεί πατέρας της στατικής στερεού σώματος καθώς και της υδροστατικής αφού ανακάλυψε το νόμο της άνωσης Ο ατέρμων κοχλίας μία μηχανή ανύψωσης νερού που επινόησε ο Αρχιμήδης για να απομακρύνει το νερό από ένα αμπάρι πλοίου χρησιμοποιείται ακόμα και σήμερα στις σύγχρονες ελικοειδείς αντλίες που χρησιμοποιούνται για την άντληση αποβλήτων σε εργοστάσια λυμάτων και αλλούΣυμπεραίνουμε λοιπόν ότι οι παραπάνω μαθηματικοί της αρχαιότητας μας κάνουν περήφανους ως Έλληνες αφού οι γνώσεις τους είναι παγκοσμίως γνωστές και επηρέασαν πολλούς λαούς της αρχαιότητας ( Βαβυλώνιους Αιγύπτιους και άλλους) και συνεχίζουν να μας επηρεάζουν Η φυσική η αστρονομία η φιλοσοφία η θεολογία η αρχιτεκτονική και άλλες επιστήμες επηρεάστηκαν από τις γνώσεις τους

42

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

Albin Lesky laquo Ιστορία της Αρχαίας Ελληνικής Λογοτεχνίας raquo Εκδοτικός οίκος Αφών Κυριακίδη Θεσσαλονίκη 1985

Θωμαΐδης Ιωάννης laquo Διδακτική της Ευκλείδειας Γεωμετρίας raquo Εκδόσεις Ζήτη Θεσσαολονίκη 2006

Φίλη Χριστίνα laquo Οι αρχαιοελληνικές καταβολές των σύγχρονων μαθηματικών raquo Εκδόσεις Παπασωτηρίου Αθήνα 2010

Χριστιανίδης Ιωάννης laquo Θέματα από την Ιστορία των Μαθηματικών raquo Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης 2003

ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΕΣ

httpistoriaexnetgrhellas91---html

httpwwwellinikoarxeiocom201103h-arxaia-ellinikh-gewmetriahtml

httpgrmath4phpnetusindexhtm

httpwwwtelemathgrmathematical_ancient_timesancient_greek_mathematiciansgreeksphp

httpusersschgrnikpolmath1arxaioiarxaioihtm

httpmathsforyougrindexphpoption=com_contentampview=categoryampid=35ampItemid=74

httpwwwgooglegrsearchq=CEB1CF81CF87CEB9CEBCCEB7CEB4CEB7amphl=elampclient=firefox-aamphs=YtLamprls=orgmozillaelofficialampprmd=imvnsampsource=lnmsamptbm=ischampei=CXUMT7-cGcX-8QOn6rjOBQampsa=Xampoi=mode_linkampct=modeampcd=2ampved=0CBcQ_AUoAQampbiw=1024ampbih=626

43

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ

Τελειώνοντας αυτή την ερευνητική εργασία και απαντώντας στα ερευνητικά ερωτήματα που τέθηκαν καταλήγουμε πως οι αρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί με τις γνώσεις που μας κληροδότησαν συνέβαλαν καθοριστικά τόσο στην εξέλιξη της επιστήμης των Μαθηματικών όσο και στην εξέλιξη και άλλων επιστημών γενικότεραΕιδικότερα ο Θαλής ο πατέρας της γεωμετρίας θεμελίωσε τη θεωρία της γεωμετρίας και με την εισαγωγή της απόδειξης κατόρθωσε να αλλάξει τον τρόπο του laquoσκέπτεσθαιraquo του ανθρώπου και να θέσει τη βάση για τη δημιουργία πολιτισμού Παρατηρώντας την ελκτική δύναμη του μαγνήτη στα σιδερένια αντικείμενα ανακάλυψε το μαγνητισμό και παρατηρώντας το ήλεκτρο και την τριβή του σε μάλλινο ύφασμα έθεσε τα θεμέλια του ηλεκτρισμού Σημαντικότατη επίσης η συμβολή του στην ανάπτυξη της αστρονομίας αλλά και της φιλοσοφίας και ειδικότερα της οντολογίας αφού θεωρούσε ως αρχή των πάντων το νερό Τα αποφθέγματά του ακόμα μας διδάσκουν την αξία της αυτογνωσίας και της χρήσης του μέτρου σε όλες τις ενέργειες και συμπεριφορές μας και δίκαια τον κατατάσσουν στους 7 σοφούς της αρχαιότηταςΕξίσου καθοριστική και η συμβολή του Πυθαγόρα στην ανάπτυξη της αριθμητικής και της γεωμετρίας αλλά και της δυτικής φιλοσοφίας Το πυθαγόρειο θεώρημα που ακόμα διδασκόμαστε αποτελεί ένα σημαντικότατο επίτευγμα που βρίσκει εφαρμογή σε πολλούς τομείς Η κατασκευή του laquoκανόναraquo βοήθησε την κατασκευή μουσικών οργάνων και μάλιστα συνδέεται απόλυτα με το παραδοσιακό όργανο laquoκανονάκιraquo Η Πυθαγόρεια σκέψη γενικά συνδέεται με την επιστήμη των μουσικών τόνων και αρμονιώνΟ μεγάλος φιλόσοφος Πλάτων με το σημαντικότατο έργο στην Ακαδημία συνέδεσε τα μαθηματικά με τη φιλοσοφία και με την ανάπτυξη της λογικής και δομημένης σκέψης Δεν είναι τυχαία η επιγραφή που υπήρχε έξω από την Ακαδημία laquoἀγεωμέτρητος μηδείς εἰσίτωraquo αφού θεωρούσε τα μαθηματικά προϋπόθεση σοφίας Η Ευκλείδεια Γεωμετρία που ακόμα διδασκόμαστε στα Ελληνικά σχολεία και η οποία επηρέασε ακόμα και τον Αϊνστάιν αποδεικνύει τη μεγάλη συμβολή του Ευκλείδη και των αποδείξεών του στην ανάπτυξη της γεωμετρίας Οι γνώσεις του τα θεωρήματα που διατύπωσε αποτελούν χρήσιμα εργαλεία στις κατασκευές σε επίπεδο χώρο Εξάλλου τα laquoΣτοιχείαraquo του Ευκλείδη έχουν ξεπεράσει σε αριθμό μεταφράσεων ακόμα και τη Βίβλο και θεωρούνται από παιδαγωγική και μεθοδολογική άποψη ως το πληρέστερο πνευματικό δημιούργημα της ανθρώπινης διάνοιας Φτάνοντας στο νεώτερο από τους μαθηματικούς με τους οποίους ασχοληθήκαμε τον Αρχιμήδη μένουμε έκπληκτοι από την πληθώρα των εφευρέσεών του που τον έκαναν διάσημο και βρίσκουν εφαρμογή ακόμα και σήμερα Στον Αρχιμήδη οφείλουμε την ανάπτυξη της μηχανικής τόσο λόγω των εφευρέσεών του όσο και λόγω της επακριβούς διατύπωσης των νόμων των μοχλών και της ισορροπίας των βαρών Επίσης μπορεί να θεωρηθεί πατέρας της στατικής στερεού σώματος καθώς και της υδροστατικής αφού ανακάλυψε το νόμο της άνωσης Ο ατέρμων κοχλίας μία μηχανή ανύψωσης νερού που επινόησε ο Αρχιμήδης για να απομακρύνει το νερό από ένα αμπάρι πλοίου χρησιμοποιείται ακόμα και σήμερα στις σύγχρονες ελικοειδείς αντλίες που χρησιμοποιούνται για την άντληση αποβλήτων σε εργοστάσια λυμάτων και αλλούΣυμπεραίνουμε λοιπόν ότι οι παραπάνω μαθηματικοί της αρχαιότητας μας κάνουν περήφανους ως Έλληνες αφού οι γνώσεις τους είναι παγκοσμίως γνωστές και επηρέασαν πολλούς λαούς της αρχαιότητας ( Βαβυλώνιους Αιγύπτιους και άλλους) και συνεχίζουν να μας επηρεάζουν Η φυσική η αστρονομία η φιλοσοφία η θεολογία η αρχιτεκτονική και άλλες επιστήμες επηρεάστηκαν από τις γνώσεις τους

42

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

Albin Lesky laquo Ιστορία της Αρχαίας Ελληνικής Λογοτεχνίας raquo Εκδοτικός οίκος Αφών Κυριακίδη Θεσσαλονίκη 1985

Θωμαΐδης Ιωάννης laquo Διδακτική της Ευκλείδειας Γεωμετρίας raquo Εκδόσεις Ζήτη Θεσσαολονίκη 2006

Φίλη Χριστίνα laquo Οι αρχαιοελληνικές καταβολές των σύγχρονων μαθηματικών raquo Εκδόσεις Παπασωτηρίου Αθήνα 2010

Χριστιανίδης Ιωάννης laquo Θέματα από την Ιστορία των Μαθηματικών raquo Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης 2003

ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΕΣ

httpistoriaexnetgrhellas91---html

httpwwwellinikoarxeiocom201103h-arxaia-ellinikh-gewmetriahtml

httpgrmath4phpnetusindexhtm

httpwwwtelemathgrmathematical_ancient_timesancient_greek_mathematiciansgreeksphp

httpusersschgrnikpolmath1arxaioiarxaioihtm

httpmathsforyougrindexphpoption=com_contentampview=categoryampid=35ampItemid=74

httpwwwgooglegrsearchq=CEB1CF81CF87CEB9CEBCCEB7CEB4CEB7amphl=elampclient=firefox-aamphs=YtLamprls=orgmozillaelofficialampprmd=imvnsampsource=lnmsamptbm=ischampei=CXUMT7-cGcX-8QOn6rjOBQampsa=Xampoi=mode_linkampct=modeampcd=2ampved=0CBcQ_AUoAQampbiw=1024ampbih=626

43

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

Albin Lesky laquo Ιστορία της Αρχαίας Ελληνικής Λογοτεχνίας raquo Εκδοτικός οίκος Αφών Κυριακίδη Θεσσαλονίκη 1985

Θωμαΐδης Ιωάννης laquo Διδακτική της Ευκλείδειας Γεωμετρίας raquo Εκδόσεις Ζήτη Θεσσαολονίκη 2006

Φίλη Χριστίνα laquo Οι αρχαιοελληνικές καταβολές των σύγχρονων μαθηματικών raquo Εκδόσεις Παπασωτηρίου Αθήνα 2010

Χριστιανίδης Ιωάννης laquo Θέματα από την Ιστορία των Μαθηματικών raquo Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης 2003

ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΕΣ

httpistoriaexnetgrhellas91---html

httpwwwellinikoarxeiocom201103h-arxaia-ellinikh-gewmetriahtml

httpgrmath4phpnetusindexhtm

httpwwwtelemathgrmathematical_ancient_timesancient_greek_mathematiciansgreeksphp

httpusersschgrnikpolmath1arxaioiarxaioihtm

httpmathsforyougrindexphpoption=com_contentampview=categoryampid=35ampItemid=74

httpwwwgooglegrsearchq=CEB1CF81CF87CEB9CEBCCEB7CEB4CEB7amphl=elampclient=firefox-aamphs=YtLamprls=orgmozillaelofficialampprmd=imvnsampsource=lnmsamptbm=ischampei=CXUMT7-cGcX-8QOn6rjOBQampsa=Xampoi=mode_linkampct=modeampcd=2ampved=0CBcQ_AUoAQampbiw=1024ampbih=626

43