ΆΆΜ α θ η μ α τ ι κό π ε ρ ι ο δ ι κό γ ι α το

Ι Ο Υ Λ Ι Ο Σ - Α Υ Γ Ο Υ Σ Τ Ο Σ - Σ Ε Π Τ Ε Μ Β Ρ Ι Ο Σ 2 0 1 3 ε υ ρ ώ 3 , 0 0

Ιστορία της ΓεωμετρίαςΙστορία της Γεωμετρίας

Βαλκανιάδα Νέων 2013Βαλκανιάδα Νέων 2013

Διακρίσεις για την Ε.Μ.Ε.Διακρίσεις για την Ε.Μ.Ε.

89

Ε λ λ η ν ι κ ή Μ α θ η μ α τ ι κ ή Ε τ α ι ρ ε ί α

Μαύρες τρύπεςΜαύρες τρύπες

ΠΛΗΡΩΜΕΝΟ

ΤΕΛΟΣ

ΠΛΗΡΩΜΕΝΟ

ΤΕΛΟΣ

Ταχ.Γραφείο

ΚΕΜΠ.ΑΘ.

Ταχ.Γραφείο

ΚΕΜΠ.ΑΘ.

ΑριθμόςΆδειας

4156

ΑριθμόςΆδειας

4156

ΕΛΤΑ

HellenicPost

HellenicPost

ΕΚΔΟΤΩΝ

ΕΝΤΥΠΟΚΛΕΙΣΤΟΑΡ.ΑΔΕΙΑΣ1099/96ΚΕΜΠ.ΑΘ.

ΕΝΤΥΠΟΚΛΕΙΣΤΟΑΡ.ΑΔΕΙΑΣ1099/96ΚΕΜΠ.ΑΘ.

30 ο30 οΚαρδίτσα 8-9-10 Νοεμβρίου 2013

υκλείδης

ΓυμνάσιοΕ95 Ε.Μ.Ε.

Χρόνια

0

5

25

75

95

100

0

5

25

75

95

100

0

5

25

75

95

100

0

5

25

75

95

100

ÃåíéêÜ ´ÁñèñáÃåíéêÜ ´Áñèñá ÃñÜììá áðü ôçí ÓõíôáêôéêÞ ÅðéôñïðÞ, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Ôá ÌáèçìáôéêÜ óôçí ÍÝá ÅëëÜäá, Ã. Ùñáéüðïõëïò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 ÁóôÝñåò êáé ìáýñåò ôñýðåò, Ã. Ôóïìßäçò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 ÁñéèìçôéêÜ ôñßê êáé õðïëïãéóìïß, Ó. Ãåùñãßïõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Á´ ÔÜîçÁ´ ÔÜîç Ìïíôåëïðïßçóç êáé åîßóùóç, Ð. Áñãýñç . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Ìåèïäïëïãßá Åðßëõóçò ÐñïâëçìÜôùí, Ð. ÊõñÜíáò - Ê. ÓÜëáñçò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

B´ ÔÜîçB´ ÔÜîç Éóôïñßá ôçò Ãåùìåôñßáò, Ã. Ùñáéüðïõëïò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ëýíïíôáò ðñïâëÞìáôá ìå åîéóþóåéò êáé ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò åõèåéþí, Ó. Ôïõñíáâßôçò . . . . . . . . 17 ÅìâáäÜ êáé Ðõèáãüñåéï Èåþñçìá, Ã. Ëõìðåñüðïõëïò, Ô. ÌðáêÜëçò, Ì. Óßóêïõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

ô ÔÜîçô ÔÜîç Ðáñáãïíôïðïßçóç êáé Ôáõôüôçôåò, Ð. ×ñéóôüðïõëïò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Ðüôå äýï Ôñßãùíá åßíáé ßóá, Ñ. Êéïýöôç . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Óåëßäåò ãéá üëïõòÓåëßäåò ãéá üëïõò Ìáèçìáôéêïß Äéáãùíéóìïß, ÅðéôñïðÞ Äéáãùíéóìþí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Ç èåùñßá Ðáé÷íéäéþí êáé ôá ÌáèçìáôéêÜ, Ð. Áñãýñç, ×ñ. Çñáêëåßäçò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Ìáèáßíù í' áãáðþ ôá ÌáèçìáôéêÜ, Ã. Ìåíäùíßäçò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Åðßóêåøç óå ìéá ðñïôüôõðç Ýêèåóç Ìáèçìáôéêþí, ÅðéìÝëåéá: Óô. Ôóéêïðïýëïõ . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Ôá ÌáèçìáôéêÜ ìáò äéáóêåäÜæïõí, Ó. Ãåùñãßïõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

ÐÅÑÉÅ×ÏÌÅÍÁÐÅÑÉÅ×ÏÌÅÍÁ

Åðßôéìïò Ðñüåäñïò: Ùñáéüðïõëïò Ãåþñãéïò

Ðñüåäñïò:ÊåÀóïãëïõ ÓôÝöáíïò

Áíôéðñüåäñïò Á´:ÊõñÜíáò Ðáíáãéþôçò

Áíôéðñüåäñïò ´:Ëõìðåñüðïõëïò Ãåþñãéïò

ÌÝëç:ÁããåëÞ ¢ííáÁëáöÜêç ÓôáõñïýëáÁíôùíïðïýëïõ ÊáôéÜííáÁñãýñç ÐáíáãéþôáÁñäáâÜíç ÐüðçÃåùñãßïõ ÓðýñïòÈåïäùñüðïõëïò ÈñáóýâïõëïòÊéïýöôç ÑïäïýëáÊõñÜíáò ÐáíáãéþôçòÊõñéáêïðïýëïõ ÍÜíóõ

Ëõìðåñüðïõëïò ÃåþñãéïòÌåíäùíßäçò ÃåþñãéïòÌïñöïðïýëïõ ÌáñßáÌðáêÜëçò ÁíáóôÜóéïòÐáëáéïãéáííßäçò ÄçìÞôñéïòÓÜëáñçò ÊùíóôáíôßíïòÓßóêïõ ÌáñßáÔïõñíáâßôçò ÓôÝñãéïòÔóéêïðïýëïõ ÓôÜìçÖåñåíôßíïò Óðõñßäùí×ñéóôïäïýëïõ Íôüñá×ñõóïâÝñãçò Ìé÷áÞëÙñáéüðïõëïò Ãåþñãéïò

ÁðïêåíôñùìÝíïé óõíåñãÜôåòÃéÜííçò ÈùìáÀäçò (Èåó/íßêç)Ãéþñãïò Ñßæïò (ÊÝñêõñá)Ãéþñãïò Ôóáðáêßäçò (Áãñßíéï)ÅéñÞíç ÐåñéóõíÜêç (ÊñÞôç)ÃéÜííçò ÑÜëëçò (×ßïò)

ÓõíôáêôéêÞ åðéôñïðÞÅÊÄÏÓÇ ÔÇÓ ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇÓ ÅÔÁÉÑÅÉÁÓÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏÕ 34 - 106 79 ÁÈÇÍÁÔçë.: 210 3617784 - 3616532 Fax: 210 3641025Åêäüôçò: ÄçìÜêïò ÃåþñãéïòÄéåõèõíôÞò: ÅììáíïõÞë Êñçôéêüò

ÉÄÉÏÊÔÇÓÉÁ ÔÇòÅËËÇÍÉÊÇÓ ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇÓ ÅÔÁÉÑÅÉÁÓ

Óôïé÷åéïèåóßá - Óåëéäïðïßçóç:ÅËËÇÍÉÊÇ ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ÅÔÁÉÑÅÉÁ

Åêôýðùóç:ROTOPRINT (A. ÌÐÑÏÕÓÁËÇ & ÓÉÁ ÅÅ). ôçë.: 210 6623778 - 358

Õðåýèõíïò ôõðïãñáöåßïõ: Ä. Ðáðáäüðïõëïò

a´ãéá ôï ãõìíÜóéïå õ ê ë å ß ä ç òÌÁÈÇÌÁÔÉÊÏ ÐÅÑÉÏÄÉÊÏ ÐËÇÑÏÖÏÑÇÓÇÓ

Ôåý÷ïò 89

Éïýëéïò - Áýãïõóôïò - ÓåðôÝìâñéïò 2013

ÔéìÞ Ôåý÷ïõò Åõñþ 3,00e-mail: info@hms.gr, www.hms.gr

Kùäéêüò EË.ÔÁ.: 2054

ISSN: 1105 - 7998ÅðéìÝëåéá ¸êäïóçò:

Áñãýñç ÐáíáãéþôáÊéïýöôç ÑïäïýëáÊõñéáêïðïýëïõ ÍÜíóõÓÜëáñçò Êùíóôáíôßíïò

• Ôá äéáöçìéæüìåíá âéâëßá äå óçìáßíåé üôé ðñïôåßíïíôáé áðü ôçí Å.Ì.Å.• Ïé óõíåñãáóßåò, ôá Üñèñá, ïé ðñïôåéíüìåíåò áóêÞóåéò, ïé ëýóåéò áóêÞóåùí êôë. ðñÝðåé

íá óôÝëíïíôáé Ýãêáéñá, óôá ãñáöåßá ôçò Å.Ì.Å. ìå ôçí Ýíäåéîç “Ãéá ôïí Åõêëåßäç A´”. Ôá÷åéñüãñáöá äåí åðéóôñÝöïíôáé. ¼ëá ôá Üñèñá õðüêåéíôáé óå êñßóç

ÅôÞóéá óõíäñïìÞ (10,00+2,00 Ôá÷õäñïìéêÜ=åõñþ 12,00).ÅôÞóéá óõíäñïìÞ ãéá Ó÷ïëåßá åõñþ 10,00 Ôï áíôßôéìï ãéá ôá ôåý÷ç ðïõ ðáñáããÝëíïíôáé óôÝëíåôáé: 1. Ìå áðëÞ ôá÷õäñïìéêÞåðéôáãÞ óå äéáôáãÞ Å.Ì.Å. Ôá÷. Ãñáöåßï ÁèÞíá 54 Ô.È. 30044 2. Óôçí éóôïóåëßäá ôçòÅ.Ì.Å., üðïõ õðÜñ÷åé äõíáôüôçôá ôñáðåæéêÞò óõíáëëáãÞò ìå ôçí ôñÜðåæá EUROBANK3. Ðëçñþíåôáé óôá ãñáöåßá ôçò Å.Ì.Å. 4. Ìå áíôéêáôáâïëÞ, óå åôáéñåßáôá÷õìåôáöïñþí óôï ÷þñï óáò, êáôÜ ôçí ðáñáëáâÞ.

ÔéìÞ Ôåý÷ïõò: åõñþ 3,00

×ÏÑÇÃÏÓ ÅÊÄÏÓÇÓ

neaperiexA 89.qxp 11/10/2013 11:09 �� Page 1

Αγαπητοί αναγνώστες και αναγνώστριες του περιοδικού Ευκλείδης Α΄

Στο πρώτο τεύχος της σχολικής χρονιάς 2013-14 θα θέλαμε η ανανεωμένη ανοικτή Συντακτική επιτροπή του περιοδικού και ο νέος πρόεδρός της να σας ευχηθούμε υγεία και δημιουργικότητα. Από φέτος ξεκινάμε μία προσπάθεια ώστε το περιοδικό μας να επικαιροποιηθεί, δηλαδή να ανταποκρίνεται ακόμη καλύτερα στις ανάγκες των μαθητών και των καθηγητών του Γυμνασίου και όχι μόνο. Θέλουμε να υπενθυμίσουμε ότι ο Ευκλείδης Α΄ είναι περιοδικό της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας που φιλοδοξεί να αποκτήσει τη μέγιστη δυνατή αποδοχή και αναγνωσιμότητα γι αυτό και είναι ανοικτό σε ιδέες, σε εργασίες, σε άρθρα από όλους όσοι θέλουν να μοιραστούν τις γνώσεις και τις απόψεις τους. Ο Ευκλείδης Α΄ θέλουμε να είναι περιοδικό:

Ανοικτό στην εκπαιδευτική κοινότητα Με ύλη που θα καλύπτει τις σύγχρονες ανάγκες του μαθητή στο

Ελληνικό Γυμνασίου. Με κείμενα προσεγμένα, επιλεγμένα, εύληπτα που θα απευθύνονται σε

μαθητές κάθε επιπέδου.

Επιλέξαμε να διευρύνουμε τις θεματικές ενότητες για τις εργασίες που θα φιλοξενεί το περιοδικό. Συγκεκριμένα υπάρχουν οι ενότητες:

1) Τα μαθηματικά στον κόσμο. Στην ενότητα αυτή θα φιλοξενούνται κείμενα που θα δείχνουν τη σχέση και την αλληλεπίδραση των Μαθηματικών με διάφορους τομείς της ανθρώπινης δραστηριότητας. Οι καλές τέχνες, η επιστήμη, η λογοτεχνία και άλλες πτυχές του ανθρώπινου πολιτισμού και της κοινωνίας θα αποτελέσουν τις επιμέρους ενότητες οι οποίες θα καλύπτονται με άρθρα και εργασίες μαθητών και συναδέλφων.

2) Τα Μαθηματικά στο Σχολείο. Η ενότητα αυτή υπάρχει ήδη στο περιοδικό (μία για κάθε τάξη). Ο στόχος των εργασιών που θα φιλοξενούνται στην ενότητα αυτή θα είναι να βοηθήσουν τους μαθητές και τους διδάσκοντες να αποκτήσουν ένα υποστηρικτικό υλικό προσεγμένο και λειτουργικό. Να σημειωθεί ότι τα θέματα αυτής της ενότητας θα έχουν κυρίως τη δομή των θεμάτων που κατά τεκμήριο χρησιμοποιούνται στη γραπτή αξιολόγηση των μαθητών στα σχολεία. Σε κάθε τάξη θα υπάρχουν θέματα για όλους και θέματα για προχωρημένους.

3) Θέματα από την ιστορία των Μαθηματικών. Τα κείμενα που θα φιλοξενούνται στην ενότητα αυτή θα διέπονται από μία βασική αρχή: Η ιστορία των Μαθηματικών έχει μεγάλο ενδιαφέρον όταν αναλύει τις ιδέες κυρίως και όχι μόνο γεγονότα και βιογραφίες. Οι ιδέες της μέτρησης απομακρυσμένων αντικειμένων, η εύρεση αθροισμάτων, η εύρεση κανονικοτήτων κ.λ.π θα αποτελούν τον κεντρικό πυρήνα των κειμένων ώστε αυτά να είναι ελκυστικά, κατανοητά δηλαδή ενδιαφέροντα.

4) Μαθηματικά και Τεχνολογία. Η χρήση της τεχνολογίας στη διδασκαλία των Μαθηματικών είναι ένα θέμα με μεγάλο ενδιαφέρον και φιλοδοξούμε να αποτελέσει σημαντική ενότητα για το περιοδικό. Υπάρχουν σήμερα ιστότοποι στους οποίους οι μαθητές μπορούν να βρίσκουν εξαιρετικό υλικό και ο στόχος του περιοδικού θα είναι σε αυτή την ενότητα να δίνει οδηγίες, πληροφορίες, εξηγήσεις και ότι άλλο θα βοηθήσει τον μαθητή να αξιοποιήσει το ψηφιακό υλικό. Επιπλέον θα δίνονται οδηγίες για κατασκευές και διερευνήσεις με χρήση συγκεκριμένων λογισμικών σε απλή, κατανοητή περιγραφή με κατάλληλες εικόνες.

5) Καλές πρακτικές σχολείων. Υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός από Γυμνάσια σε όλη τη χώρα στα οποία υλοποιούνται σημαντικές δραστηριότητες και εκδηλώσεις σε θέματα που σχετίζονται με τα Μαθηματικά. Το περιοδικό προσκαλεί τα Γυμνάσια στα οποία υπάρχουν αυτές οι ¨καλές πρακτικές¨ να περιγράψουν τις δράσεις τους ώστε να φιλοξενούνται στις σελίδες του.

6) Διάφορα αλλά όχι αδιάφορα θέματα. Εδώ θα φιλοξενούνται ενδιαφέροντα και πρωτότυπα άρθρα για θέματα σχετικά με την επιστήμη γενικά (π.χ την Αστρονομία) καθώς και δραστηριότητες που θα δείχνουν ότι τα Μαθηματικά μπορεί να είναι και διασκεδαστικά.

7) Τέλος η ενότητα που αφορά τους Μαθηματικούς διαγωνισμούς της ΕΜΕ θα συνεχίσει να φιλοξενεί το υλικό της ομάδας που ασχολείται με τους διαγωνισμούς αυτούς.

Κλείνοντας θα θέλαμε να ευχαριστήσουμε τους συναδέλφους και τους μαθητές από όλες τις περιοχές της Ελλάδας που στέλνουν υλικό, που επικοινωνούν με το περιοδικό και μοιράζονται τις ιδέες τους.

Η Συντακτική επιτροπή του Ευκλείδη Α΄ και ο Πρόεδρός της Στέφανος Κεΐσογλου

Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Β΄ Αθήνας   

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α΄ 89 τ.1/3

Τα Μαθηματικά και οι δάσκαλοι τους στη νέα Ελλάδα

Γ. Ωραιόπουλος

1. ΥΠΟΔΟΥΛΟΙ ΕΛΛΗΝΕΣ

Τον 17ο αιώνα παρουσιάζεται στη Δυτική Ευρώπη μεγάλη ανάπτυξη επιστημονική και οικονομική, ιδιαίτερα στα Μαθηματικά, την αστρονομία, και στις εφαρμογές των μηχανών. Δημιουργούνται πλούσια κράτη με τη ναυσι-πλοΐα και το εμπόριο με εξαιρετικούς επιστή-μονες και τεχνικούς. Η πολιτισμική αυτή Ανα-γέννηση είχε μεγάλη επίδραση και στη τότε σκλαβωμένη Ελλάδα, που άρχισε να σκέπτε-ται για την απελευθέρωσή της με πρώτο τον ήρωα δάσκαλο Ρήγα Φεραίο (1757-1798) και τους συντρόφους. Οι οποίοι δυστυχώς συνε-λήφθηκαν από τους Τούρκους, βασανίστηκαν και τους έπνιξαν στο Δούναβη.

Πολλοί Έλληνες την εποχή εκείνη ξεκι-

νούν για την Ευρώπη, τη Ρωσία και αλλού για να εργαστούν και να σπουδάσουν.

Ο Εμμανουήλ (Μανουήλ) Γλυτζούνης (1590-1596) έφηβος άφησε την πατρίδα του τη Χίο και έφθασε στην Ιταλία, όπου συνά-ντησε Έλληνες που τον βοήθησαν. Τελικά έ-μεινε στη Βενετία, μέλος της Ελληνικής κοι-νότητας και του «φροντιστηρίου» της.

«Βιβλίο πρακτικής Αριθμητικής» του Μανουήλ Γλυζούνη, από τη Χίο.

Εκεί, ενώ σπούδαζε, ίδρυσε εκδοτικό οίκο και ασχολούταν με τις διορθώσεις και τις ε-κτυπώσεις βιβλίων. Ο ίδιος έγραψε «Βιβλίον πρόχειρον τοις πάσι περιέχον των πρακτικών αριθμητικών ή την λογαριαστικήν». Στο βιβλίο αυτό, ο Γλυζούνης περιλάμβανε προβλήματα πρακτικής αριθμητικής και αντλούσε τα παρα-δείγματά του από τις καθημερινές εμπορικές συναλλαγές.

Η πρώτη έκδοση του έγινε το 1568. Το βιβλίο έγινε γνωστό και ως "Γλυτζούνι" και γνώρισε μεγάλη εκδοτική επιτυχία αφού έγι-ναν 21 γνωστές επανεκδόσεις του έως και το 1818 καθώς το χρησιμοποειούσαν σαν σχολι-κό βιβλίο στην προσπάθεια διδασκαλίας και διάδοσης της επιστημονικής γνώσης προκει-μένου να λυτρώσουν το υπόδουλο έθνος από την άγνοια και τις προλήψεις. Η γραφή του εί-ναι στην εκλαϊκευμένη γλώσσα.

Την πρόσθεση τη γράφει σύνοψη, την α-φαίρεση υφηλμόν, τα κλάσματα τσακίσματα, την απλοποίηση σχισμόν.

Ο Γλυτζούνης άφησε στη διαθήκη του ένα μεγάλο ποσό (1000 δουκάτα) για να κτιστεί σχολείο στη Χίο και για το μισθό του δασκά-λου που θα δίδασκε σε αυτό ενώ για να μείνει του άφησε το πατρικό του σπίτι. Με την κλη-ρονομιά αυτή ήθελε να δείξει πόσο σημαντική ήταν η ύπαρξη σχολείου για τη μόρφωση των ελλήνων που ήταν την εποχή εκείνη υπόδου-λοι στους τούρκους.

Η Σχολή της Χίου, ιδρυθείσα το 1792, ό-πως είναι σήμερα.

---------------------------------------------------------------------------------- Τα Μαθηματικά και οι δάσκαλοι τους στη νέα Ελλάδα -------------------------------------------------------------------------------

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α΄ 89 τ.1/4

Τα Γιάννενα με τη σχολή του Εμ. Γκιού-μα, του Επιφανείου και τη Σχολή Φιλαν-θρώπων στο Νησί της Λίμνης και τους άλ-λους δασκάλους, παρά την τουρκική κατοχή ήταν ένα πνευματικό κέντρο.

Ο Μεθόδιος Ανθρακίτης (1660-1763)

από τα Ζαγοροχώρια, όπου γεννήθηκε, γρά-φηκε στη Γκιούμειο Σχολή με διευθυντή τον Γεώργιο Σουγδουρή που δίδασκε Φιλοσοφία και «Νεότερη Φυσική» από το βιβλίο του. Ο Ανθρακίτης σπούδασε στην Ιταλία, μαθηματι-κά, Αστρονομία και Φιλοσοφία. Επιστρέφο-ντας στην Ελλάδα, γύρω στα 1708, δίδαξε στα Γιάννενα και στη Καστοριά όπου ανέλαβε τη διεύθυνση της ανώτερης τοπικής σχολής, το ''Ιεροσπουδαστήριον''.

Οι Γιαννιώτες κληρικοί όμως τον κατηγό-

ρησαν σαν άθεο και το Πατριαρχείο τον κάλε-σε στην Κωνσταντινούπολη. Για να τον τιμω-ρήσει του ζήτησαν να κάψει όλα τα έργα του. Από τα βιβλία του διασώθηκε το «Οδός Μα-θηματική» σε 4 χειρόγραφους τόμους, περίπου 7000 σελίδες. Εκδόσεις του βιβλίου αυτού έγι-ναν αργότερα στη Βενετία με τη βοήθεια του μαθηματικού Μπαλάνου Βασιλόπουλου.

Σελίδα από το βιβλίο «Οδός Μαθηματική»

Τα περιεχόμενα του βιβλίου αυτού είναι κεφάλαια από τα Στοιχεία του Ευκλείδη, Γεω-μετρία επίπεδη και Στερεομετρία, Τριγωνομε-τρία, Γεωγραφία με τη γήινη σφαίρα κ.α.

Ο Μπαλάνος Βασιλόπουλος (1699-1765) κληρικός και δάσκαλος έζησε 40 χρόνια στα Γιάννενα όπου δίδασκε Μαθηματικά. Έγραψε Αριθμητική και Γεωμετρία και έγινε διευθυ-ντής στην Σχολή Γκιούμα γνωστή επίσης με τις ονομασίες Μπαλαναία Σχολή, Μεγάλη

Σχολή και Πρώτη Σχολή των Ιωαννίνων. Στην σχολή Γκιούμα παρέμεινε ως το 1756 όπου τον διαδέχτηκε ο γιος του Κοσμάς Μπαλάνος.

Ο κληρικός και συγγραφέας Μπαλάνος Βασιλόπουλος

Στα Γιάννενα δίδαξαν και οι Κερκυραίοι

Ευγένιος Βούλγαρης (1716-1979) και Νικη-φόρος Θεοτόκης (1731-1800) που σπούδασαν στην Ευρώπη Φυσικομαθηματικά και Φιλο-σοφία. Αυτοί ήταν δάσκαλοι στη Σχολή Αγίου Όρους, στην Κωνσταντινούπολη και στη Ρου-μανία. Δίδασκαν από ξένα βιβλία που είχαν μεταφράσει αλλά και από δικά τους. Τελικά έμειναν στη Ρωσία ως κληρικοί.

Ο Ιωσήφ Μοισιόδαξ, μαθητής του Μπα-λάνου, σπούδασε στη Βιέννη Φιλοσοφία και Μαθηματικά. Ήταν διευθυντής στην Ιάσειο Σχολή. Έγραψε την «Απολογία» (1780) και μετάφρασε ξένα βιβλία.

Ο Αθαν. Ψαλλίδας (1764-1829) Διευθυ-ντής του Σχολείου στα Γιάννενα, συγγραφέας και μεταφραστής μαθηματικών βιβλίων.

Ο Αθανάσιος Ψαλίδας σε λιθογραφία του 1872.

---------------------------------------------------------------------------------- Τα Μαθηματικά και οι δάσκαλοι τους στη νέα Ελλάδα -------------------------------------------------------------------------------

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α΄ 89 τ.1/5

Το εξώφυλλο του βιβλίου "Αληθής Ευ-

δαιμονία" του Αθαν. Π. Ψαλλίδα, που εκδό-θηκε στη Βιέννη, το1791

Ο ελληνικός διαφωτισμός με τη γραφή

και μετάφραση του μαθηματικού βιβλίου επι-κράτησε και σε άλλες περιοχές, όπως γύρω από τη Σμύρνη.

Ο Λέσβιος Βενιαμίν (1769-1824) γεννή-

θηκε στο Πλωμάρι της Λέσβου από όπου πήρε και το ονομά του και πέθανε στο Ναύπλιο το 1824. Ήταν ιδρυτής και διευθυντής στις Κυ-δωνιές (Αϊβαλί) της περίφημης σχολής. Διδά-χτηκε Φυσικο-μαθηματικά στην Πάτμο, στη Χίο, στην Πίζα της Ιταλίας και στο Παρίσι. Το 1799 επέστρεψε στις Κυδωνιές και δίδασκε στην σχολή. Ήταν σοφός και φλογερός δά-σκαλος, με τον οποίο διαφωνούσαν οι συντη-ρητικοί. Αναγκάζεται να φύγει από το σχολείο του ύστερα από 10 χρονη διδασκαλία. Η διδα-σκαλία του περιλάμβανε μαθήματα φιλοσοφί-ας, φυσικομαθηματικών, αστρονο-μίας, καθώς και τη διεξαγωγή πειραμάτων. Χάρη στο δι-δακτικό έργο του η σχολή απέκτησε μεγάλη φήμη αλλά λόγω του περιεχομένου του κατη-γορήθηκε από την εκκλησία ως άθεος. Συνέχι-σε πάντως να διδάσκει μέχρι το 1812.

Το 1818 ανέλαβε την και αναδιοργάνωση

και τη διεύθυνση της ακαδημίας στο Βουκου-ρέστι. Κατά την παραμονή του στη Βλαχία, έ-γινε μέλος στη Φιλική Εταιρεία. Το 1812 έγινε διευθυντής της Ευαγγελικής Σχολής της Σμύρνης. Έλαβε ενεργό μέρος στην επανά-σταση του Έθνους. Με την έναρξη της επανά-στασης μετέβη στην Ελλάδα προσπαθώντας να μαζέψει πολεμοφόδια για τον αγώνα.

Μετά την απελευθέρωση πήρε μέρος στην Α' Εθνοσυνέλευση Επιδαύρου το 1821 και έ-γινε Βουλευτής στη Β΄ Εθνοσυνέλευση το 1823.

Ο σοφός Βενιαμίν ο Λέσβιος, ο Φιλικός, ο Ιερομόναχος, ο δάσκαλος του γένους.

Έγραψε πολλά εγχειρίδια με διδακτικό πε-

ριεχόμενο : Στοιχεία Αριθμητικής”, “Γεωμε-τρίας Ευκλείδου”, “Στοιχεία της Μεταφυσι-κής”, “Στοιχεία Φυσικής”, “Στοιχεία Άλγε-βρας”, “Στοιχεία Ηθικής”, “Τριγωνομετρία”.

Έγραψε: «... Αφαίρεσον τα Μαθηματικά

της Γης θέλεις ιδεί τον άνθρωπον επιζώντα επί της Γης».

Αναφέρουμε ακόμη μερικούς συγγραφείς

με τα βιβλία τους. Κώστας Τσεκάνης, Άγγελος Δελαδέσιμας, Σπυρίδων Ασάνης, Παναγιώτης Σπανόπουλος, Δημήτρης Δαρβάτης, Μιχαήλ Χρισταράς, Α-θανάσιος Σταγειρίτης, Κ. Βαρδαλάτης, Ιερο-διάκονος Στέφανος, Νικόλας Γλυνός, Αντώνι-ος Ρωκανος, Δημήτρης Γοβδελάς κ.α.

Όλοι αυτοί έγραψαν μαθηματικά βιβλία,

από τα οποία δίδαξαν σε διάφορες ελληνικές πόλεις με εκδόσεις τους στην Ευρώπη.

Υπάρχουν όμως μαθηματικοί ανώνυμοι που δεν μπόρεσαν να γράψουν και να εκδώ-σουν βιβλία. Υπάρχουν επίσης μαθηματικοί που έγραψαν μαθηματικά άρθρα όπως στο «Λόγιο Ερμή», που εξέδιδε στη Βιέννη ο λο-γοτέχνης Άνθιμος Γαζής από το χωριό Μηλιές του Πηλίου.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Αστέρες και μαύρες τρύπες -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α΄ 89 τ.1/6

Αστέρες και μαύρες τρύπες

=============================================================================================== Τσομίδης Γιώργος

Τί είναι οι αστέρες ή αλλιώς τα γνωστά σε όλους μας αστέρια και πώς δημιουργούνται οι μαύρες τρύπες; Σε αυτό το άρθρο θα εξερευνήσουμε τη γέννηση, την εξέλιξη και το θάνατο των αστεριών ξεκινώντας το αστρικό μας ταξίδι από τη Μεγάλη Έκρηξη (Big Bang) έως το σήμερα.

Στην αρχή δεν υπήρχε «τίποτα» ή σχεδόν «τίποτα», αλλά σίγουρα όχι αυτό που εννοούμε με τη καθημερινή έννοια του όρου. Η Φυσική απορρίπτει το «τίποτα» και πάντοτε αναζητεί αυτό που υπάρχει, απλώς μπορεί να μην το έχουμε παρατηρήσει ακόμη. Η σύγχρονη Φυσική αποκα-λεί αυτό το «τίποτα» αρχικό σημείο για το οποίο δεν έχουμε καμία τεκμηριωμένη επιστημονική γνώση παρά μόνο θεωρητικές υποθέσεις. Επιστήμη είναι η απόδειξη και η τεκμηρίωση των υ-ποθέσεων της θεωρίας και οι έρευνες στο διάσημο CERN της Ελβετίας αφορούν ακριβώς αυτό το αρχικό σημείο. Ουσιαστικά, η σύγχρονη Φυσική μπορεί να εξηγήσει φαινόμενα από το πρώτο εκατομμυριοστό του δευτερολέπτου και έπειτα από τη από το πρώτο εκατομμυριοστό του

Μετά τη Μεγάλη Έκρηξη ο χώρος γέμισε με αρχέγονο υλικό το οποίο αποτελείτο από με-σοαστρικό νέφος και κόκκους σκόνης. Αυτά είναι τα συστατικά τα οποία δημιούργησαν ή δημι-ουργούν ακόμη και σήμερα τα αστέρια.

Αστέρι θεωρείται κάθε λαμπερό ουράνιο σώμα το οποίο παράγει ενέργεια μέσω πυρηνικών αντιδράσεων σύντηξης στον πυρήνα του. Πώς όμως καταφέρνουν να γεννιούνται; Η δημιουργία των αστεριών – Πρωταστέρες

Τα συστατικά της κυήσεως ενός αστεριού είναι το με-σοαστρικό νέφος και οι κόκκοι σκόνης. Το μεσοαστρικό νέ-φος αποτελείται από 74% Υδρογόνο, 24% Ήλιο και κατά 2% από άλλα στοιχεία. Οι κόκκοι σκόνης αποτελούνται από Σίδηρο, Πυρίτιο, Παγοκρυστάλλους κ.α.

Λόγω της αρχικής έκρηξης αυτά τα υλικά είχαν πολύ υψηλή κινητική ενέργεια και συνεπώς μπορούσαν να συ-γκρούονται μεταξύ τους. Όταν τα άτομα του υδρογόνου συ-γκρούονται με τους κόκκους σκόνης, λόγω κρούσης, η κινη-τική ενέργεια των ατόμων του υδρογόνου μεταφέρεται στους κόκκους σκόνης οι οποίοι με αυτό τον τρόπο θερμαί-νονται. Ένα μέρος αυτής της ενέργειας αποβάλλεται από

τους κόκκους σκόνης με τη μορφή υπέρυθρης ακτινοβολίας και το σύστημα (νέφους και σκό-νης) σταδιακά χάνει ενέργεια. Η μείωση της ενέργειας έχει ως αποτέλεσμα το αέριο να χάνει κι-νητική ενέργεια άρα και τη ταχύτητα του και λόγω αυτού το αέριο αρχίζει να «καταρρέει», να «μαζεύεται», προς το κέντρο του νέφους. Φανταστείτε το σαν ένα τεράστιο σύννεφο το οποίο αρχίζει να συρρικνώνεται. Λόγω αυτή της συρρίκνωσης αυξάνεται η πυκνότητα και η θερμο-κρασία του νέφους και άρα δημιουργείται μεγαλύτερο βαρυτικό πεδίο1. Έχουμε δηλαδή ολοένα και μεγαλύτερη συμπύκνωση/συστολή ύλης που τελικά σχηματίζεται μία σφαιρική μάζα και έ-τσι δημιουργείται ένας Πρωταστέρας.

Πρωταστέρας είναι μία τεράστια σφαίρα ασταθούς αερίου η οποία ακτινοβολεί φως στο διάστημα λόγω υψηλής θερμοκρασίας. Ο πρωταστέρας θα συνεχίσει να συστέλλεται και θα κα-ταλήξει να είναι ένα φωτεινό άστρο. Γενικότερα, πρωταστέρες με μεγαλύτερες μάζες εξελίσσο-νται ταχύτερα και κατά μέσο όρο η εξέλιξή τους διαρκεί 10 10 έτη. Σκεφτείτε, ότι ο δικός μας Ήλιος είναι η «ενήλικη» ζωή ενός πρωταστέρα.

                                                            1 Όσο περισσότερη ύλη εμπεριέχεται σε ένα χώρο, τόσο μεγαλύτερο-ισχυρότερο είναι το βαρυτικό πεδίο του χώ-ρου.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Αστέρες και μαύρες τρύπες -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α΄ 89 τ.1/7

Η εξέλιξη του αστεριού Λόγω της αστάθειας του αερίου, που είναι το «σώμα» του πρωταστέρα, η δυναμική2 κατάρ-

ρευση της ύλης λόγω βαρύτητας, έχεις ως αποτέλεσμα την αύξηση της πυκνότητας στο κέντρο του πρωταστέρα. Με άλλα λόγια, φανταστείτε ένα τεράστιο χωνί το οποίο καταλήγει σε ένα κουβά. Το χωνί είναι γεμάτο από ρευστή πλαστελίνη η οποία λόγω βαρύτητας ρέει προς τον κουβά. Ένα «αόρατο» χέρι πιέζει της πλαστελίνη μέσα στο κουβά τόσο δυνατά ώστε η πλαστε-

λίνη από υγρή γίνεται στερεή και η πίεση είναι τόσο ι-σχυρή ώστε όλη η πλαστελίνη η οποία υπήρχε αρχικά στο χωνί να χωράει τελικά σε ένα πολύ πιο μικρό χώρο όπως αυτόν του κουβά. Αυτή είναι η διαδικασία η οποία συντελείται σε έναν πρωταστέρα. Ως εκ τούτου, ο πυρή-νας του πρωταστέρα γίνεται αδιαφανής (στην αρχή ήτα-νε αέριο) και δεν έχουμε απώλεια ενέργειας. Η διατήρη-ση της ενεργείας δημιουργεί αύξηση της θερμοκρασίας και της πίεσης και με αυτό τον τρόπο (πάρτε μία βαθιά ανάσα…!), η υδροστατική ισορροπία επιβραδύνει της κατάρρευση της μάζας προς το εσωτερικό και αρχίζει η βραδεία συστολή, δηλαδή το «φρενάρισμα» της κατάρ-ρευσης της ύλης προς το κέντρο του αστεριού.

Ας το δούμε πιο απλά. Φανταστείτε μία τεράστια τούρτα γενεθλίων η οποία έχει πολλά στρώματα από σοκολάτα, κρέμα, μπισκότα, σαντιγύ κτλ. Το κάτω στρώμα (βάση) είναι το μπισκότο και το πάνω είναι η σαντιγύ (κορυφή). Έτσι όπως με-ταφέρει η μητέρα σας τη τούρτα για να τη βάλει στο τραπέζι της φεύγει από τα χέρια και πέφτει πάνω στο τραπέζι κάθετα. Με το χτύπημα της τούρτας πάνω στο τραπέζι ξεκινάει μία σειρά από αλυσιδωτά γεγονότα. Το στρώμα της σαντιγύ συμπιέζεται πάνω στο στρώμα τη κρέμας και γί-νονται ένα, όπου με τη σειρά του συμπιέζεται πάνω στη σοκολάτα και γίνονται ένα και τελικά όλα μαζί συμπιέζονται πάνω στο μπισκότο και καταλήγουμε στη γνωστή σκηνή όπου η μητέρα σας φωνάζει για τους λεκέδες στο σαλόνι της και έχουμε μία τούρτα η οποία πλέον μοιάζει με πίνακα αφηρημένης τέχνης όπου δεν μπορείς να ξεχωρίσεις το σχήματα και τα χρώματα!

Πώς δουλεύει λοιπόν η υδροστατική πίεση; Φανταστείτε το στρώμα της σοκολάτας να είναι παγωτό σοκολάτα (δηλαδή πιο σκληρό) το οποίο μπορεί να σταματήσει τη βίαιη κατάρρευση του στρώματος της σαντιγοκρέμας χωρίς να γίνουν όλα μαζί ένα πράγμα. Αυτό ακριβώς κάνει η υδροστατική πίεση, συγκρατεί τους πάνω «ορόφους». Είναι και ο λόγος που οι τεκτονικές πλά-κες της Γής δεν βουλιάζουν στο στρώμα του μάγματος (λάβα) που βρίσκεται από κάτω τους. Νομίζω ότι τώρα τα πράγματα πέρα από πιο γευστικά είναι και πιο ξεκάθαρα, τουλάχιστον οπτι-κά. Το γεγονός ότι δεν μπορείτε να πιέσετε ένα μπουκάλι με νερό με τα χέρια σας και να το σπάσετε, είναι αφενός λόγω του πλα-στικού του μπουκαλιού και αφετέρου λόγω της υδροστατική πίε-σης του νερού στο εσωτερικό του.

Άρα, καθώς συστέλλεται ο αστέρας αυξάνεται παράλληλα η θερμοκρασία του. Στη συνέχεια λόγω της αύξησης της θερμοκρα-σίας ο αστέρας αποκτάει ακτινοβόλο πυρήνα, δηλαδή η ενέργειά του μεταδίδεται με μορφή ακτινοβολίας. Αυτή η διαδικασία συνε-χίζεται έως ότου η θερμοκρασία του πυρήνα να ξεπεράσει του 10 βαθμούς Kelvin ή τους 999726,84 βαθμούς Κεσίου, οπότε και αρχίζουν οι πρώτες θερμοπυρηνικές αντιδράσεις (καύση) του υδρογόνου.

                                                            2 Δυναμική εννοείται μία κατάσταση η οποία εμπεριέχει τάση για μεταβολή θέσης ενός αντικειμένου όπως για πα-ράδειγμα είναι η ταχύτητα.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Αστέρες και μαύρες τρύπες -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α΄ 89 τ.1/8

Με τη παραπάνω δια-δικασία, η οποία διαρκεί εκατομμύρια χρόνια, κα-ταλήγουμε στον αγαπητό μας Ήλιο, ο οποίος θεω-ρείται ένα αστέρι μικρού μεγέθους! Αν και το «μι-κρό», όσον αφορά τα με-γέθη του σύμπαντος, είναι κάτι το σχετικό όπως συ-νήθιζε να λέει ο θείος Αλ-βέρτος. Ο Ήλιος αποτελεί το 99.8632% της συνολι-κής μάζας του ηλιακού συστήματος.

Για να πάρουμε μία ιδέα του πόσο «μικρό» είναι το άστρο του ηλιακού μας συστήματος, ας ταξιδέψουμε μερικά par-sec (1 parsec = 3,26 έτη φωτός3) μέσα στο αχανές διάστημα ως τον αστερισμό του Μέγα Κύωνα.

Όπως παρατηρείτε πρόκειται για ένα «μεγάλο» αστέρι όπου ο Ήλιος μας, δίπλα του θα έ-

μοιαζε όπως ένα μυρμήγκι μπροστά σε μία φάλαινα. Ας μην αναφέρουμε πως θα φάνταζε η Γη μπροστά του.

Το όνομα αυτού του αστεριού είναι VY Μέγας Κύωνας (Canis Majoris) και τον συνοδεύουν μερικά εντυπωσιακά στατιστικά στοιχεία:

Βρίσκεται τον αστερισμό του Μεγάλου Σκύλου, 5000 έτη φωτός μακριά. Έχει 2,100 φορές το μέγεθος του Ήλιου μας. Αν τον βάζαμε στο κέντρο του ηλιακού μας συστήματος θα ξεπερνούσε την τροχιά του

Κρόνου. Το φως θέλει περισσότερο από 8 ώρες για να διασχίσει την περιφέρεια του. Αναλογιστείτε

ότι το φως από τον Ήλιο για να φτάσει στη Γη χρειάζεται περίπου 8 λεπτά της ώρας. Αυτό είναι και το μεγαλύτε-

ρο άστρο που γνωρίζουμε αλλά ο Γαλαξίας μας πιθα-νότατα έχει και άλλα άστρα ακόμη μεγαλύτερα τα οποία όμως κρύβονται πίσω από αέρια και σκόνη και δεν μπορούμε να τα δούμε, όχι ακόμα τουλάχιστον.

Αλλά όσο πιο μεγάλος ο α-στέρας, τόσο πιο «ψυχρός». Ας τον θαυμάσουμε και από μία άλλη οπτική γωνία (η μικρή κουκίδα στα αριστερά είναι ο Ήλιος μας):

                                                            3 1 έτος φωτός είναι η απόσταση που διανύει το φως μετά από ταξίδι ενός έτους μέσα στο διάστημα. Αυτή η από-σταση είναι περίπου εννιάμισι τρισεκατομμύρια χιλιόμετρα.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α΄ 89 τ.1/9

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΤΡΙΚ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΣΤΑ........ ΓΡΗΓΟΡΑ!!!!!! ============================================================================= Γεωργίου Σπύρος

(Μέρος Α΄)

Παρακάτω δίνονται μερικοί έξυπνοι τρόποι γρήγορων και άμεσων υπολογισμών, για να εντυπωσιάζετε με τις …υπολογιστικές σας ικανότητες. Πολλαπλασιασμός κάθε διψήφιου αριθμού με το 11 ● Έστω ένας διψήφιος π.χ. το 45 Χωρίζουμε τον αριθμό νοερά αφήνοντας κενό ανάμεσα στο 4 και στο 5.  (4__5)  Προσθέτουμε τους δυο αριθμούς 4+5=9 Τοποθετούμε το αποτέλεσμα ανάμεσα στο 4 και στο 5 (4_9_5)  Τελικά:  45 x 11= 495 ● Αν το άθροισμα των δυο ψηφίων είναι μεγαλύτερο του 10, τότε προσθέτουμε το κρατούμενο στο πρώτο ψηφίο για παράδειγμα ο αριθμός 67. (6__7)  6+7=13 Γράφουμε το 3 και (1+6=7) (7_3_7)  Πράγματι:

67 x 11=737  Πολλαπλασιασμός κάθε αριθμού με το 11 Για παράδειγμα 51236 x 11 -Στην αρχή γράφουμε τον αριθμό με ένα μηδενικό στην αρχή σαν πρώτο ψηφίο 051236 -Χωρίζουμε νοητά τα ψηφία του παραπάνω αριθμού 

0 5 1 2 3 6 -Αφήνουμε το τελευταίο ψηφίο (το 6ο) ως έχει και κινούμαστε από τα δεξιά προς τα αριστερά, προσθέτοντας ανά δυο διαδοχικά τα ψηφία, κάθε ψηφίο δηλαδή με το γειτονικό του. Τα αποτελέσματα τοποθετούνται διαδοχικά. Δηλαδή: 

0 5 1 2 3 6 (0+5) (5+1) (1+2) (2+3) (3+6) 6

5 6 3 5 9 6 -Τελικά 51236 x 11=563596. (Αν υπάρχει κρατούμενο, τότε μεταφέρουμε το κρατούμενο στης επόμενης τάξης ψηφίο). Πως θα υψώσεις στο τετράγωνο κάθε διψήφιο αριθμό που τελειώνει σε 5  Για παράδειγμα το 35. - Πάρε το ψηφίο της δεκάδας και αύξησέ το κατά 1. ( 3+1=4 )  - Πολλαπλασίασε τον αριθμό που βρήκες (4) με το ψηφίο της δεκάδας   3x4=12 - Γράψε το αποτέλεσμα και δίπλα το 25 (1225)   352=1225  Πως θα υψώσεις στο τετράγωνο κάθε διψήφιο αριθμό Για παράδειγμα το 36.  - Σκέψου την πλησιέστερη δεκάδα στο 36.  - Είναι το 40 είναι 4 μονάδες πάνω από το 36.  - Τώρα θα κατεβείς από τον αρχικό αριθμό όσες μονάδες ανέβηκες, το 36 θα γίνει 32

------------------------------------------------------------------------------- Αριθμητικά τρικ και υπολογισμοί στα........ γρήγορα!!!!!! ----------------------------------------------------------------------------

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α΄ 89 τ.1/10

- Νοερά πολλαπλασιάζεις 32x40, το κάνεις ως εξής : Πρώτα πολλαπλασιάζεις το 32 με το 10

32x10 =320.   Έπειτα πολλαπλασιάζεις το αποτέ-λεσμα

με το 4. Θυμήσου ότι για να πολλαπλασιάσεις με το 4, διπλασιάζεις δυο φόρες. 

Διπλασιάζεις μια φορά 320+320=640.  

Το διπλασιάζεις ξανά 1280.  - Κρατάμε το 1280.  -Το 36 είναι 4 μονάδες «μακριά» από το 40.  -Υψώνεις στο τετράγωνο την διαφορά 4, 4x4=16 -Προσθέτεις στο 16 το 1280 1280+16=1296 -Τελικά 36^2=1296 Με εξάσκηση γίνεται νοερά, χωρίς μολυβί και χαρτί.  

Για να πολλαπλασιάσεις με το 5 Αρκεί να διαιρέσεις τον αριθμό με το 2

και μετά να πολλαπλασιάσεις με το 10.  5x13 13/2=6.5 6.5x10=65  

Για να πολλαπλασιάσεις με το 9  Αρκεί να πολλαπλασιάσεις με το 10 και

κατόπιν από το αποτέλεσμα να αφαιρέσεις το ίδιο τον αριθμό.  9x45 10x45=450 450-45=405 

Υπολογισμός κυβικής ρίζας Πως θα σας φαινόταν να υπολογίζατε την

κυβική ρίζα ενός αριθμού σε λίγα δευτερόλεπτα. Αν μη τι άλλο θα ήταν εξαιρετικά εντυπωσιακό. Παρ ότι μοιάζει εξαιρετικά δύσκολο, δεν είναι. Αν το κάνετε μπροστά σε φίλους, σίγουρα θα κλέψετε την παράσταση.

Ζητείστε από έναν φίλο σας να επιλέξει οποιονδήποτε αριθμό από το 1 μέχρι το 100 χωρίς να σας τον αποκαλύψει , στην συνέχεια να χρησιμοποιήσει την αριθμομηχανή του κινητού του και να τον υψώσει στην τρίτη δύναμη. Να σας ανακοινώσει το αποτέλεσμα

και εσείς αμέσως να βρείτε τον αριθμό. Την κυβική ρίζα του αποτελέσματος. Δείτε πως θα το κάνετε, αρχικά θα πρέπει να μπορείτε να απομνημονεύσετε όλους τους κύβους από το 1 μέχρι το 10.

13 1 23 8 33 27 43 64 53 125 63 216 73 343 83 512 93 729

103 1000

Παρατηρώντας τον παραπάνω πινάκα διαπιστώνουμε ότι όλα τα τελικά ψηφία των κύβων είναι διαφορετικά άρα σίγουρα γνωρίζουμε το τελευταίο ψηφίο της κυβικής ρίζας. Παρατηρούμε επίσης ότι εξαιρώντας τα 2, 3, 7 και 8 το τελευταίο ψηφίο του κύβου και του αριθμού που ψάχνουμε είναι το ίδιο. Ας δούμε συγκεκριμένα παραδείγματα, παρακαλείτε ένα φίλο σας να σκεφτεί έναν αριθμό από το 1 μέχρι το 100, το κάνει, στην συνέχεια τον υψώνει με το κομπιουτεράκι στην τρίτη δύναμη και σας ανακοινώνει το αποτέλεσμα π.χ ο αριθμός 250047, το τελευταίο ψηφίο του αριθμού είναι το 7, κοιτάμε τον παραπάνω πίνακα και διαπιστώνουμε τότε το τελευταίο ψηφίο της κυβικής του ρίζας είναι το 3. Στην συνέχεια αγνοούμε από τον αριθμό τα τρία τελευταία ψηφία, ο 250047 γίνεται 250, κοιτάμε ξανά τον παραπάνω πινάκα το 250 βρίσκεται ανάμεσα στο 216 και το 343 άρα το ψηφίο που μας ενδιαφέρει βρίσκεται ανάμεσα στο 6 και το 7. Πάντα επιλέγουμε το μικρότερο αριθμό εν προκειμένω το 6. Άρα ο ζητούμενος αριθμός είναι το 63. Ένα παράδειγμα ακόμη. Να βρεθεί η κυβική ρίζα του 704969. Από το τελευταίο ψηφίο καταλαβαίνουμε ότι το τελευταίο ψηφίο της κυβικής ρίζας είναι το 9. Αγνοούμε τα τρία τελευταία ψηφία του 704969 άρα μένει 704. Από τον παραπάνω πίνακα το 704 βρίσκεται ανάμερα στο 8 και στο 9, παίρνουμε το μικρότερο, άρα κυβική ρίζα είναι το 89.

(Συνεχίζεται…)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α΄ 89 τ.1/11 

ΤΤάάξξηη  

Μοντελοποίηση και εξίσωση

========================================================================== Αργύρη Παναγιώτα 1. Γελοιογραφία και αλγεβρική παράσταση :

Για να αναπαραστήσουμε μια ποσότητα που μεταβάλλεται, όπως είναι η ηλικία, το ύψος, η ταχύτητα, οι βαθμοί στα μαθήματα κτλ., χρησιμοποιούμε γράμματα ή σύμβολα, τα οποία λέγονται μεταβλητές.

Εξίσωση με έναν άγνωστο ονομάζεται μία ισότητα ,που περιέχει αριθμούς και ένα γράμμα (άγνωστος)

Λύση της εξίσωσης είναι ο αριθμός, που όταν αντικαταστήσει τον άγνωστο, επαληθεύει την ισότητα.

 

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Μοντελοποίηση και εξίσωση -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α΄ 89 τ.1/12 

2. Μυστήρια των αριθμών –Εξίσωση

Να σκεφτείτε έναν άλλο αριθμό και να ακολουθήσετε τα πιο πάνω βήματα.

Να εξηγήσετε γιατί η απάντηση είναι πάντα 7.

3. Εξισώσεις και προβλήματα Α) Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο η βάση είναι διπλάσια και κατα 3 μεγαλύτερη απο τις ίσες πλευρές του. α) Να γράψετε την αλγεβρική παράσταση που εκφράζει την περίμετρο του. Έστω χ μία απο τις ίσες πλευρές του, τότε η βάση του θα είναι : 2x +3 Άρα η περίμετρός του : x+x+2x+3=4x+3 Β) Αν η περίμετρος είναι 15cm, ποιες είναι οι διαστάσεις του ισοσκελούς τριγώνου ; 4x+3=15 4x=15-3 4x=12 x=12:3=4 cm κάθε μία απο τις ίσες πλευρές και η βάση του 11cm. Β) Το κόστος για χ δευτερόλεπτα συνομιλίας με ένα τηλέφωνο είναι 0,5 ευρώ αυξημένο κατά 10 ευρώ πάγιο κόστος συνομιλίας. Πόσα δευτερόλεπτα ομιλίας αντιστοιχούν σε μηναίο λογραρισμό 40 ευρώ; 0,5 10 40 0,5 30 60x x x sec Γ) Το πηλίκο του τετραπλασίου ενός αριθμού με το 5 είναι 16. Ποιος είναι ο αριμός αυτός ;

4 16 3 80 205x x x

Βιβλιογραφία : Σχολικό βιβλίο Α Γυμνασίου ,Ενότητα 1β.(ισότητα –εξίσωση).Υπουργείο Παιδείας και Πολιτισμού .Παιδαγωγικό Ινστιτούτο Κύπρου.Υπηρεσεία Ανάπτυξης Προγραμμάτων.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α΄ 89 τ.1/13

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων

==================================================================== Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Επειδή δεν υπάρχει μία «συνταγή» ή ένας ενιαίος αλγόριθμος που να λύνει όλα τα προβλήματα, είναι χρήσιμο, αντί να κάνουμε τυχαίες σκέψεις, να χρησιμοποιούμε μία μεθοδολογία ακολουθώντας κάποια βήματα τα οποία θα μας οδηγήσουν πιο εύκολα στη λύση του προβλήματος. Έτσι χωρί-ζουμε τη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος σε 4 βήματα, όπως παρακάτω. 1) Αναγνώριση δεδομένων, ζητουμένων του προβλήματος, καθώς και φράσεων «κλειδιά», που κρύβουν μαθηματικές έννοιες. 2) Ανάλυση των δεδομένων, ζητουμένων και φράσεων «κλειδιά». 3) Σύνθεση 4) Επαλήθευση-ανασκόπηση Εφαρμογές της παραπάνω διαδικασίας θα κάνουμε με δύο χαρακτηριστικά προβλήματα. Πρόβλημα 1ο Ο γεωπόνος μιας περιφέρειας επισκέπτεται ένα χωριό κάθε 10 μέρες, ο κτηνίατρος κάθε 12 μέρες και ο δασάρχης κάθε 15 μέρες. Μία ημέρα συνα-ντήθηκαν και οι 3 μαζί στο χωριό. α) Mετά από πόσες μέρες θα ξανασυναντηθούν για πρώτη φορά; β) Πόσες φορές θα έχει πάει ο καθένας τους στο χωριό, όταν ξανασυναντηθούν για πρώτη φορά; Λύση Βήμα πρώτο. Αναγνώριση δεδομένων, ζητουμέ-νων καθώς και φράσεων «κλειδιά» που κρύβουν μαθηματικές έννοιες. Διαβάζουμε προσεχτικά, πολλές φορές, το πρό-βλημα για να κατανοήσουμε ποια είναι τα δεδομέ-να, ποια τα ζητούμενα και ποιες οι φράσεις «κλει-διά» τα οποία υπογραμμίζουμε πάνω στο πρόβλη-μα ή τα καταγράφουμε στο χαρτί μας. Στο πρό-βλημά μας είναι: Δεδομένα: ο γεωπόνος επισκέπτεται το χωριό κά-θε 10 μέρες. Ο κτηνίατρος επισκέπτεται το χωριό κάθε 12 μέρες. Ο δασάρχης επισκέπτεται το χωριό κάθε 15 μέρες. «Λέξη – κλειδί» είναι η λέξη ‘κάθε’» Ζητούμενα:το ερώτημα α) με φράση «κλειδί» για πρώτη φορά. το ερώτημα β)

Βήμα δεύτερο (το σημαντικότερο βήμα): ανά-λυση δεδομένων, ζητουμένων και φράσεων «κλειδιά» Ανάλυση σημαίνει να κατανοήσουμε ποιες μαθη-ματικές έννοιες εκφράζουν τα δεδομένα, τα ζητού-μενα καθώς και οι φράσεις «κλειδιά». Ανάλυση δεδομένων. Στο πρόβλημά μας, ο γεω-πόνος επισκέπτεται το χωριό κάθε 10 μέρες, ση-μαίνει ότι το επισκέπτεται αριθμό ημερών πολλα-πλάσιο του 10, ο κτηνίατρος πολλαπλάσιο του 12 και ο δασάρχης πολλαπλάσιο του 15. Συνεπώς θα συναντώνται και οι 3 μαζί στο χωριό, στα κοινά πολλαπλάσια των αριθμών 10, 12, 15. Ανάλυση ζητουμένων α) Επειδή το πρόβλημά μας ζητάει να βρούμε πότε θα ξανασυναντηθούν για πρώτη φορά, καταλαβαί-νουμε ότι μας ζητάει να βρούμε το πρώτο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 10, 12 και 15 που είναι το Ε.Κ.Π τους. β) Επειδή έχουμε βρει από το ερώτημα α) μετά από πόσες μέρες θα ξανασυναντηθούν για πρώτη φορά και οι επισκέψεις γίνονται κάθε 10, 12 και 15 μέρες δεν έχουμε παρά να διαιρέσουμε το Ε.Κ.Π με τους αριθμούς 10, 12 και 15. Βήμα τρίτο: ΣΥΝΘΕΣΗ Σύνθεση σημαίνει να εκτελέσουμε τις πράξεις και να βρούμε τη λύση του προβλήματος σύμφωνα με την ανάλυση που έχουμε κάνει παραπάνω, δηλαδή για το πρόβλημά μας να βρούμε το Ε.Κ.Π και να το διαιρέσουμε με τους αριθμούς 10, 12 και 15. Το βήμα της σύνθεσης αφήνεται στον αναγνώ-στη. Τέταρτο βήμα: ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ – ΑΝΑΣΚΟ-ΠΗΣΗ Στο βήμα αυτό γίνεται επαλήθευση του προβλήμα-τος και εξετάζουμε π.χ

i. Αν χρησιμοποιήθηκαν όλα τα δεδομένα ii. Αν η λύση του προβλήματος είναι λογική

καθώς και άλλα ερωτήματα ανάλογα με τη φύση του προβλήματος.

Π.χ στο πρόβλημά μας η επαλήθευση μπορεί να γίνει με το να βρούμε αναλυτικά το Ε.Κ.Π και να μετρήσουμε τον αριθμό των πολλαπλασίων των 10, 12 και 15 που είναι πριν από το Ε.Κ.Π για να βρούμε πόσες φορές έχει επισκεφτεί ο καθένας το χωριό μέχρι την ημέρα που συναντήθηκαν και οι 3 για πρώτη φορά.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------- Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων --------------------------------------------------------------------------------------------------------

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α΄ 89 τ.1/14

Πρόβλημα 2ο Ένας ανθοπώλης έχει 48 κόκκινα, 40 άσπρα

και 16 κίτρινα γαρίφαλα. α) Πόσες το πολύ ομοιόμορφες ανθοδέσμες μπορεί να φτιάξει με αυτά τα γαρίφαλα; β) Από πόσα γαρίφαλα κάθε χρώματος θα αποτελείται κάθε ανθοδέσμη;

Βήμα πρώτο: αναγνώριση δεδομένων, ζητουμέ-νων και φράσεων «κλειδιά»

Δεδομένα: ο ανθοπώλης έχει 48 κόκκινα, 40 άσπρα και 16 κίτρινα γαρίφαλα. Ζητούμενα: α) Πόσες το πολύ ομοιόμορφες ανθοδέσμες μπορεί να φτιάξει; Με φράσεις «κλειδιά» i) το πολύ ii) ομοιόμορφες β) Από πόσα γαρίφαλα κάθε χρώματος θα έχει κάθε ανθοδέσμη;

Βήμα δεύτερο: ΑΝΑΛΥΣΗ δεδομένων, ζητουμέ-νων και φράσεων «κλειδιά».

Ομοιόμορφες σημαίνει, οι ανθοδέσμες μεταξύ τους να περιέχουν τον ίδιο αριθμό κόκκινα, τον ί-διο άσπρα και τον ίδιο κίτρινα γαρίφαλα. Το πολύ σημαίνει τον μεγαλύτερο αριθμό ομοιόμορφων ανθοδεσμών που μπορεί να φτιάξει ο ανθοπώλης. α) Επειδή έχουμε να μοιράσουμε τα 48 κόκκινα, τα 40 άσπρα και τα 16 κίτρινα γαρίφαλα σε ομοιό-μορφες ανθοδέσμες, καταλαβαίνουμε ότι ο αριθ-μός των ανθοδεσμών θα διαιρεί τους αριθμούς 48, 40 και 16 δηλαδή θα είναι κοινός διαιρέτης τους. Το πρόβλημα ζητάει να βρούμε το μεγαλύτερο από τους κοινούς διαιρέτες, πρέπει να βρούμε τον Μ.Κ.Δ των αριθμών 48, 40 και 16. β) Εφόσον τα γαρίφαλα μοιράζονται στις ανθο-δέσμες με τον μέγιστο κοινό διαιρέτη Μ.Κ.Δ, δεν έχουμε παρά να διαιρέσουμε τους αριθμούς 48, 40 και 16 με τον Μ.Κ.Δ.

ΣΥΝΘΕΣΗ ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ Η σύνθεση και η επαλήθευση αφήνεται στον

αναγνώστη. Προτεινόμενα προς λύση προβλήματα. Πρόβλημα 1ο: Έχουμε 126 τετράδια, 112 μολύβια και 42 γό-

μες. α) Πόσα το πολύ ομοιόμορφα δέματα μπορούμε να φτιάξουμε; β) Πόσα τετράδια, μολύβια και γόμες θα περιέχει το κάθε δέμα;

Πρόβλημα 2ο: H καμπάνα μιας εκκλησίας χτυπά κάθε 6 λε-

πτά, μιας άλλης κάθε 9 λεπτά και μιας τρίτης κάθε 15 λεπτά. Αν χτυπήσουν όλες μαζί στις 8 π.μ. α) Ποια ώρα θα ξαναχτυπήσουν όλες μαζί για πρώτη φορά; β) Πόσες φορές θα έχει χτυπήσει η κάθε καμπά-

να μέχρι τη στιγμή που θα ξαναχτυπήσουν όλες μαζί για πρώτη φορά;

Πρόβλημα 3ο: Δύο μοτοσυκλετιστές αναχωρούν από το ίδιο

σημείο Α στον ίδιο δρόμο, προς την ίδια κατεύ-θυνση. Ο πρώτος τρέχει με 60 km/h και ο δεύτερος με 80 km/h και ξεκινά 1 h αργότερα από τον πρώ-το. Σε πόσες ώρες από τη στιγμή που ξεκίνησε ο πρώτος και σε ποια απόσταση από το σημείο Α ο δεύτερος θα φτάσει τον πρώτο;

Επειδή δεν υπάρχει μία «συνταγή» ή ένας ε-νιαίος αλγόριθμος που να λύνει όλα τα προβλήμα-τα, είναι χρήσιμο, αντί να κάνουμε τυχαίες σκέ-ψεις, να χρησιμοποιούμε μία μεθοδολογία ακο-λουθώντας κάποια βήματα τα οποία θα μας οδη-γήσουν πιο εύκολα στη λύση του προβλήματος. Έτσι χωρίζουμε τη διαδικασία επίλυσης του προ-βλήματος σε 4 βήματα, όπως παρακάτω. 1) Αναγνώριση δεδομένων, ζητουμένων του

προβλήματος, καθώς και φράσεων «κλει-διά», που κρύβουν μαθηματικές έννοιες.

2) Ανάλυση των δεδομένων , ζητουμένων και φράσεων «κλειδιά».

3) Σύνθεση 4) Επαλήθευση-ανασκόπηση

Εφαρμογές της παραπάνω διαδικασίας θα κά-νουμε με δύο χαρακτηριστικά προβλήματα.

Πρόβλημα 1ο Ο γεωπόνος μιας περιφέρειας επισκέπτεται

ένα χωριό κάθε 10 μέρες, ο κτηνίατρος κάθε 12 μέρες και ο δασάρχης κάθε 15 μέρες. Μία ημέρα συναντήθηκαν και οι 3 μαζί στο χωριό. α) Mετά απο πόσες μέρες θα ξανασυναντηθούν για πρώτη φορά; β) Pόσες φορές θα έχει πάει ο καθένας τους στο χωριό, όταν ξανασυναντηθούν για πρώτη φορά;

Λύση Βήμα πρώτο. Αναγνώριση δεδομένων, ζη-

τουμένων καθώς και φράσεων «κλειδιά» που κρύβουν μαθηματικές έννοιες.

Διαβάζουμε προσεχτικά, πολλές φορές, το πρόβλημα για να κατανοήσουμε ποια είναι τα δε-δομένα, ποιά τα ζητούμενα και ποιες οι φράσεις «κλειδιά» τα οποία υπογραμμίζουμε πάνω στο πρόβλημα ή τα καταγράφουμε στο χαρτί μας. Στο πρόβλημά μας είναι: Δεδομένα: ο γεωπόνος επισκέπτεται το χωριό κά-θε 10 μέρες. Ο κτηνίατρος επισκέπτεται το χωριό κάθε 12 μέρες. Ο δασάρχης επισκέπτεται το χωριό κάθε 15 μέρες. «Λέξη – κλειδί» είναι η λέξη ‘κάθε’» Ζητούμενα: το ερώτημα α) με φράση «κλειδί» για πρώτη φορά. το ερώτημα β)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------- Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων --------------------------------------------------------------------------------------------------------

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α΄ 89 τ.1/15

Βήμα δεύτερο (το σημαντικότερο βήμα): ανά-λυση δεδομένων, ζητουμένων και φράσεων «κλειδιά» Ανάλυση σημαίνει να κατανοήσουμε ποιες μαθη-ματικές έννοιες εκφράζουν τα δεδομένα, τα ζητού-μενα καθώς και οι φράσεις «κλειδιά». Ανάλυση δεδομένων. Στο πρόβλημά μας, ο γεωπόνος επι-σκέπτεται το χωριό κάθε 10 μέρες. Αυτό σημαίνει οτι το επισκέπτεται αριθμό ημερών πολλαπλάσιο του 10, ο κτηνίατρος πολλαπλάσιο του 12 και ο δασάρχης πολλαπλάσιο του 15. Ανάλυση ζητουμένων Συνεπώς θα συναντώνται και οι 3 μαζί στο χωριό, στα κοινά πολλαπλάσια των αριθμών 10, 12, 15. α) Επειδή το πρόβλημά μας ζητάει να βρούμε πότε θα ξανασυναντηθούν για πρώτη φορά, καταλαβαί-νουμε ότι μας ζητάει να βρούμε το πρώτο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 10, 12 και 15 που είναι το Ε.Κ.Π τους. β) Eπειδή έχουμε βρει απο το ερώτημα α) μετά απο πόσες μέρες θα ξανασυναντηθούν για πρώτη φορά και οι επισκέψεις γίνονται κάθε 10, 12 και 15 μέρες δεν έχουμε παρά να διαιρέσουμε το Ε.Κ.Π με τους αριθμούς 10, 12 και 15. Βήμα τρίτο: ΣΥΝΘΕΣΗ Σύνθεση σημαίνει να εκτελέσουμε τις πράξεις και να βρούμε τη λύση του προβλήματος σύμφωνα με την ανάλυση που έχουμε κάνει παραπάνω, δηλαδή για το πρόβλημά μας να βρούμε το Ε.Κ.Π και να το διαιρέσουμε με τους αριθμούς 10, 12 και 15. Το βήμα της σύνθεσης αφήνεται στον αναγνώ-στη. Τέταρτο βήμα: ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ – ΑΝΑΣΚΟ-ΠΗΣΗ Στο βήμα αυτο γίνεται επαλήθευση του προβλήμα-τος και εξετάζουμε π.χ iii. Αν χρησιμοποιήθικαν όλα τα δεδομένα iv. Αν η λύση του προβλήματος είναι λογική

καθώς και άλλα ερωτήματα ανάλογα με τη φύση του προβλήματος.

Π.χ στο πρόβλημά μας η επαλήθευση μπορεί να γίνει με το να βρούμε αναλυτικά το Ε.Κ.Π και να μετρήσουμε τον αριθμό των πολλαπλασίων των 10, 12 και 15 που είναι πριν από το Ε.Κ.Π για να βρούμε πόσες φορές έχει επισκεφτεί ο καθένας το χωριό μέχρι την ημέρα που συναντήθηκαν και οι 3 για πρώτη φορά.

Πρόβλημα 2ο Ένας ανθοπώλης έχει 48 κόκκινα, 40 άσπρα

και 16 κίτρινα γαρίφαλα. α) Πόσες το πολύ ομοιόμορφες ανθοδέσμες μπο-ρεί να φτιάξει με αυτά τα γαρίφαλα; β) Από πόσα γαρίφαλα κάθε χρώματος θα αποτε-λείται κάθε ανθοδέσμη; Βήμα πρώτο: αναγνώριση δεδομένων, ζητουμέ-

νων και φράσεων «κλειδιά» Δεδομένα: ο ανθοπώλης έχει 48 κόκκινα, 40 άσπρα και 16 κίτρινα γαρίφαλα. Ζητούμενα: α) πόσες το πολύ ομοιόμορφες ανθοδέσμες μπορεί να φτιάξει; Με φράσεις «κλειδιά» i) το πολύ ii)ομοιόμορφες β) απο πόσα γαρίφαλα κάθε χρώματος θα έχει κάθε ανθοδέσμη;

Βήμα δεύτερο: ΑΝΑΛΥΣΗ δεδομένων, ζητουμέ-νων και φράσεων «κλειδιά». Ομοιόμορφες σημαίνει, οι ανθοδέσμες μεταξύ τους να περιέχουν τον ίδιο αριθμό κόκκινα, τον ί-διο άσπρα και τον ίδιο κίτρινα γαρίφαλα. Το πολύ σημαίνει τον μεγαλύτερο αριθμό ομοιόμορφων ανθοδεσμών που μπορεί να φτιάξει ο ανθοπώλης. α) Επειδή έχουμε να μοιράσουμε τα 48 κόκκινα, τα 40 άσπρα και τα 16 κίτρινα γαρίφαλα σε ομοιό-μορφες ανθοδέσμες, καταλαβαίνουμε ότι ο αριθ-μός των ανθοδεσμών θα διαιρεί τους αριθμούς 48, 40, και 16. Δηλαδή θα είναι κοινός διαιρέτης τους. Το πρόβλημα ζητάει να βρούμε το μεγαλύ-τερο από τους κοινούς διαιρέτες, άρα πρέπει να βρούμε τον Μ.Κ.Δ των αριθμών 48, 40 και 16. β) Εφόσον τα γαρίφαλα μοιράζονται στις ανθοδέ-σμες με τον μέγιστο κοινό διαιρέτη Μ.Κ.Δ, δεν έχουμε παρά να διαιρέσουμε τους αριθμούς 48, 40 και 16 με τον Μ.Κ.Δ. ΣΥΝΘΕΣΗ ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ Η σύνθεση και η επαλήθευση αφήνεται στον ανα-γνώστη. Προτεινόμενα προς λύση προβλήματα.

Πρόβλημα 1ο: Έχουμε 126 τετράδια, 112 μο-λύβια και 42 γόμες. α) Πόσα το πολύ ομοιόμορφα δέματα μπορούμε να φτιάξουμε; β) Πόσα τετράδια, μολύβια και γόμες θα περιέχει το κάθε δέμα;

Πρόβλημα 2ο: Η καμπάνα μιας εκκλησίας χτυπά κάθε 6 λεπτά, μιας άλλης κάθε 9 λεπτά και μιας τρίτης κάθε 15 λεπτά. Αν χτυπήσουν όλες μα-ζί στις 8 π.μ, α) Ποια ώρα θα ξαναχτυπήσουν όλες μαζί για πρώτη φορά; β) Πόσες φορές θα έχει χτυπήσει η κάθε καμπά-να μέχρι τη στιγμή που θα ξαναχτυπήσουν όλες μαζί για πρώτη φορά;

Πρόβλημα 3ο: Δύο μοτοσικλετιστές αναχω-ρούν από το ίδιο σημείο Α στον ίδιο δρόμο, προς την ίδια κατεύθυνση. Ο πρώτος τρέχει με 60 km/h και ο δεύτερος με 80 km/h και ξεκινά 1 h αργότε-ρα από τον πρώτο. Σε πόσες ώρες από τη στιγμή που ξεκίνησε ο πρώτος και σε ποια απόσταση από το σημείο Α ο δεύτερος θα φτάσει τον πρώτο;

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α΄ 89 τ.1/16

ΤΤάάξξηη

H Ιστορία της Γεωμετρίας ======================================================================= Γεώργιος Ωραιόπουλος

1. Αρχή από τις χώρες της ανατολής

Η λέξη Γεωμετρία είναι ελληνική σύνθε-τη από τις λέξεις Γη (Γέα) και Μέτρο (Μέ-τρηση). Οι αρχαίοι λαοί είχαν τα χωράφια τους σε σχήμα ορθογώνιο πλάι σε ποταμούς. Πολύ συχνά χρειάζονταν να μετρούν την επι-φάνεια και την περίμετρο τους, η οποία επιθυ-μούσαν να έχει περίπου ίσες διαστάσεις, για να στοιχίζει φθηνότερα η κατασκευή της πε-ρίφραξή τους όταν αυτή καταστρεφόταν από τα ποτάμια που πλημύριζαν. Έτσι χωράφι 100m2 μπορούσε να έχει διαστάσεις 50m και 2m και περίμετρο 50+50+2+2=104m, αν όμως το χωράφι ήταν τετράγωνο επειδή 100m2=10.10 θα είχε περίμετρο 10.4=40m

Από αρχαιότερους χρόνους οι λαοί στα σπήλαια έκαναν ωραία σχήματα, και στις επι-φάνειες των αγγείων ή σε πήλινες πλάκες και πάπυρους.

Οι Βαβυλώνιοι από το 2500 π.Χ. είχαν τα χωράφια τους πλάι στους ποταμούς Τίγρη και Ευφράτη. Στο Βρετανικό Μουσείο υπάρχει μια πήλινη πλάκα με 5 κύκλους, που σε καθέ-να από αυτούς είναι 4 τόξα.

Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα ήξεραν τριάδες πλευρών ορθογωνίου τριγώνου: (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17).

Ήξεραν ακόμα τα εμβαδά του τριγώνου, ορθογωνίου, τραπεζίου, κύκλου με τον τύπο

23E διάμετρος4

όπου το π = 3.

Επίσης ήξεραν απλούς όγκους. Απόδειξη της ανάπτυξης της Γεωμετρίας είναι το πρό-βλημα. «Να υπολογιστεί η ακτίνα του περιγε-γραμμένου σε τρίγωνο κύκλου».

Οι Αιγύπτιοι κατασκεύαζαν και αυτοί τα

χωράφια τους όπως και οι Βαβυλώνιοι δίπλα στα υδατοφράγματα του Νείλου, που πλημμύ-ριζε κάθε χρόνο. Έγραφαν σε πάπυρους από δεξιά προς τα αριστερά. Ο πάπυρος της Μό-σχας από τα 5 προβλήματα που έχει τα 4 είναι γεωμετρικά. Εγνώριζαν τους τύπους των εμ-βαδών τριγώνου, ορθογωνίου τραπεζίου, κύ-κλου με τύπο από τον οποίο έβγαινε

215π 3,16049

Ιστορικές είναι οι πυραμίδες της Γκίζας. Οι Κινέζοι υποστηρίζουν ότι είχαν μελε-

τήσει πριν από άλλους λαούς, όπως και το Πυ-θαγόρειο Θεώρημα όπου

22 β γα 4 γ β 4βγ2

Τις κινέζικες γεωμετρικές γνώσεις είναι δύ-σκολο να τις μελετήσουμε επειδή τον 3ο π.Χ αιώνα ο αυτοκράτορας Σιχ Χιανγκ διέταξε να καούν όλα τα διδακτικά βιβλία. Πολλά από αυτά ξαναγράφτηκαν χωρίς όμως αποδείξεις. Οι Κινέζοι και οι Ινδοί επιστήμονες τονίζουν πόσο παλιά είναι η Γεωμετρία τους με το «Ιε-ρό Βιβλίο» και το ποίημα «Σούλβασούτρα» των Ινδών που με το Βουδισμό γράφει για την κατασκευή τετραγώνων και ορθογωνίων, σχέ-σεις διαγωνίου και πλευρές τετραγώνου, κα-θώς και τετραγωνισμό κύκλου.

Στην ανάπτυξη της Γεωμετρίας εκτός από τους Έλληνες που ήταν πρωτοπόροι συνέβα-λαν οι Πέρσες, οι Βαβυλώνιοι οι Ινδοί και οι Άραβες.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α΄ 89 τ.1/17

Λύνοντας προβλήματα με εξισώσεις και γραφικές παραστάσεις ευθειών ======================================================================= Τουρναβίτης Στέργιος

Πολλά προβλήματα της καθημερινής ζωής, της πρακτικής αριθμητικής, φυσικής κ.ά. λύνονται αν «μεταφραστούν» από την φυσική μας γλώσσα, στη γλώσσα της άλγεβρας. Μία εξίσωση στην άλγεβρα, είναι το ισοδύναμο μιας πρότασης του προβλήματος ή ολόκληρου του προβλήματος. Περιέχει τον άγνωστο (συνήθως συμβολίζεται με ) τους γνωστούς αριθμούς που συνδέονται μεταξύ τους με τις τέσσερις πράξεις και μία ισότητα.

Η επίλυση μιας εξίσωσης βασίζεται στην εκμάθηση κάποιων συγκεκριμένων τεχνικών και καταλήγει (κατά τη γνώμη μας) σε ένα απλό ζήτημα. Το πιο δύσκολο είναι να καταστρώσουμε την εξίσωση. Ας δούμε μερικά προβλήματα που λύνονται με την βοήθεια της μετάφρασης στη γλώσσα της άλγεβρας και των εξισώσεων που τα εκφράζουν. 1. Σκέψου έναν αριθμό, τριπλασίασέ τον, πρόσθεσε 7 και θα βρεις 19. Ποιος είναι ο αριθμός; Λύση:

Α΄ τρόπος: Πίνακας 1

Σε κανονική γλώσσα: Στη γλώσσα της άλγεβρας: ένας αριθμός ο τριπλάσιος του αριθμού 3 στον τριπλάσιο του αριθμού προσθέτουμε 7 3 7 ο νέος αριθμός που προκύπτει είναι ο 19 3 7 19 Για να προσδιορίσουμε τον αριθμό αρκεί να λύσουμε την τελευταία εξίσωση.

Πίνακας 2

Εξίσωση-Περιγραφή τεχνικών επίλυσης Εξίσωση-Ισοδύναμες εξισώσεις η εξίσωση του προβλήματος 3 7 19

αφαιρούμε τον 7 από τα δύο μέλη της εξίσωσης 3 7 7 19 7 κάνουμε τις δυνατές πράξεις (αναγωγή ομοίων

όρων) 3 12

διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου 33

123

η τελική ισοδύναμη εξίσωση-λύση 4 Επαλήθευση: Ο αριθμός 4 μετασχηματίζεται και καταλήγει στον 19, σύμφωνα και με την 2η στήλη του πίνακα 1.

43 4

3 4 7 19

Ο αριθμός 4 επαληθεύει την εξίσωση του προβλήματος, επομένως και το πρόβλημα.

Β΄τρόπος: Από την εξίσωση 3 7 19 αν αφαιρέσουμε τον 19έχουμε:

3 7 19 19 19 ή 3 12 0.

-------------------------------------------------------- Λύνοντας προβλήματα με εξισώσεις και γραφικές παραστάσεις ευθειών -------------------------------------------------------

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α΄ 89 τ.1/18

Με την βοήθεια του διαδικτύου κατεβάζουμε και εγκαθιστούμε το “Geogebra”. Στη συνέχεια πληκτρολογούμε 3 12 στο πεδίο της εισαγωγής (κάτω αριστερά) και αν το

κάνουμε σωστά, θα πάρουμε την διπλανή εικόνα.

Παρατηρούμε ότι