ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών
© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 1
Συλλογή Ασκήσεων Υδραυλικής–
Εφαρμογή Ισοζυγίου Υδραυλικής Ενέργειας α.μ.β.υ.
(Εξισ. Bernoulli + τριβές)
Άσκηση 4.1
Σε ένα συντριβάνι, νερό αντλείται από τη δεξαμενή με ρυθμό Q=5,0 lt/s και εκτοξεύεται
κατακόρυφα, όπως στο σκαρίφημα. Όλα τα τμήματα της σωλήνωσης έχουν διάμετρο DA=1,5
in, με απόλυτη τραχύτητα ε=0,006 in. Στην απόληξη της σωλήνωσης τοποθετείται ένα
ακροφύσιο το οποίο διαμορφώνει τη διάμετρο της δέσμης του πίδακα σε DΠ=20mm. Οι
τοπικοί συντελεστές αντίστασης στο σημείο
εισόδου, στην καμπύλη και στο ακροφύσιο
είναι αντίστοιχα Κin=1,0, Kc=0,7 και Kj=0,5.
(α) Πόσο είναι το ισοδύναμο ύψος απωλειών?
(β) Τι ισχύ, PA (σε kW) θα πρέπει να δίνει η
αντλία στην εγκατάσταση για να διατηρεί
αυτήν την παροχή?
(γ) Σε τι ύψος, Ηπ, πάνω από την ελεύθερη
επιφάνεια θα φθάνει το νερό του πίδακα?
Δίνονται: Κινηματικό ιξώδες του νερού: ν=1,12x10-6
m2/s. Επιτάχυνση βαρύτητας: g=9,81
m/s2. Πυκνότητα νερού: ρ=1000 kg/m
3, 1 in=25,4 mm
Επίλυση
H μέση ταχύτητα σε όλα τα τμήματα της σωλήνωσης που έχουν διάμετρο DA=1,5in είναι:
π
=2
A
AD
Q4U
( ) ( )s/m39.4U
m1054,25,1
s/m100,54
in5,1
s/lt0,54U A22
33
2A =×××π
××=
×π
×=
−
−
(1)
Η τιμή της ταχύτητας στο σωλήνα δεν ευρίσκεται εντός των συνιστώμενων ορίων μιας άρτια
σχεδιασμένης εγκατάστασης (1-2m/s) και θα πρέπει να ληφθούν τα κατάλληλα μέτρα για τη
μείωσή της π.χ. με αύξηση της διαμέτρου του αγωγού. Θα συνεχίσουμε την ανάλυση με την
ίδια διάμετρο.Με όμοιο τρόπο (από την εξίσωση της συνέχειας) υπολογίζεται η μέση
ταχύτητα του πίδακα αμέσως μετά το ακροφύσιο:
( ) ( )s/m92,15V
m1020
s/m100,54
mm20
s/lt0,54V
23
33
2=
××π
××=
×π
×=
−
−
(2)
Α) Υπολογισμός ισοδυνάμου ύψους απωλειών
Σε όλα τα τμήματα της σωλήνωσης υπολογίζεται ότι,
Η τιμή του αριθμού Reynolds είναι:
A
DΠ=20mm
Φ1,5” 0,5m
V
2 1
3
Hπ
2,0m
ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών
© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 2
( ) 5
26
2
AAAA 1049,1Res/m1012,1
m1054,25,1s/m39,4Re
DUDURe ×=
×
×××=
ν=
µ
ρ=
−
−
(3)
Η σχετική τραχύτητα είναι: 004,0in5,1
in006,0==ε (4)
Έτσι, από το διάγραμμα Moody, με βάση τις τιμές των Re& ε, προκύπτει η τιμή του
συντελεστή τριβής:
029,0f ≈
Toολικό ισοδύναμο ύψος απωλειών της εγκατάστασης υπολογίζεται ότι είναι
( )444 3444 2143421
απώλειες τοπικές
2
AjCin
απώλειεςγραμμικές
2
A
A
Lg2
UKKK
g2
U
D
lfH +++= (5)
g2
UKK
D
lfKH
2
AjC
A
inL
+++=
( )
( ) ( ) ×+=×
×
×××+=
××
++×+=
−m982,0903,12,2
s/m81,92
s/m39,4
m1054,25,1
m5,2029,02,2
s/m81,92
s/m39,45,07,0
in5,1
m5,2029,00,1H
2
2
2
2
2
L
m1 05 4,25,1
s/m1 00,54
i n5,1
s/l t0,54
s/m8 1,92
s/m3 8,45,07,0i n5,1
m5,20 2 9,00,1
s/m8 1,92
s/m3 8,45,07,0i n5,1
m5,20 2 9,00,1Hg2
UKK
D
lfK 2
2
33
22
2
2
2
L
2AjC
Ai nL
×××π
××=×π
×
××
++×+=
××
++×+=
+++=
−
−
m03,4HL = (6)
Β) Υπολογισμός υδραυλικής ισχύος της αντλίας
Η υδραυλική ισχύς PA, που δίνει η αντλία στην εγκατάσταση, δίνεται από την έκφραση
ΡΑ={παροχή όγκου}x{Διαφορά πίεσης στα άκρα της αντλίας} (7)
Έστω ΗΑ το ισοδύναμο μανομετρικό ύψος της αντλίας. Τότε,
( ) ( )Ain,Aout,AA gHQppQP ρ=−= (8)
ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών
© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 3
Για να υπολογίσουμε το ΗΑ, θα κάνουμε ένα ισοζύγιο ολικής ενέργειας (Ι.Ο.Ε.) α.μ.β. νερού
μεταξύ των σημείων (1) & (2), δηλαδή μεταξύ της ελεύθερης επιφάνειας της δεξαμενής του
συντριβανιού και του πίδακα του νερού αμέσως μετά την έξοδο του από το ακροφύσιο.
g2
UCy
PH
g2
UCy
P2
222
221
2
111
1 ++γ
=∆+++γ
→ (9)
το οποίο, μετά τις απλοποιήσεις από την καταγραφή των συνθηκών που επικρατούν τοπικά,
atm21 pPP == , 21 yy = , s/m0,0U1 = , LA)21( HHH −=∆ → και
0,1C2 = ∗
γίνεται
g2
VHH
g2
VHH
2
LA
2
LA +==−
( )m918,12m03,4
s/m81,92
s/m92,15m03,4H
2
2
A +=×
+= m95,16HA =
Άρα
AA gHQP ρ=
W398,831s
mN398,831
s
m
s
mkg398,831m95,16
s
m81,9
m
kg1000
s
m105P
223
33
A ===××××= −
kW83,0PA = (10)
Γ) Υπολογισμός ύψους πίδακα
Για να υπολογίσουμε το ύψος Ηπ, που θα φθάσει ο πίδακας, θα κάνουμε ένα ισοζύγιο ολικής
ενέργειας (Ι.Ο.Ε.) α.μ.β. νερού μεταξύ των σημείων (2) & (3), δηλαδή στον πίδακα νερού
αμέσως μετά την έξοδο από το ακροφύσιο και στο ανώτερο σημείο του πίδακα.
g2
UCy
PH
g2
UCy
P2
333
332
2
222
2 ++γ
=∆+++γ
− (11)
το οποίο, μετά τις απλοποιήσεις από την καταγραφή των συνθηκών που επικρατούν τοπικά,
atm32 pPP == , m0y2 = , π= Hy3 , VU2 = , s/m0,0U3 = , m0,0H )32( =∆ − και
1CC 32 ==
γίνεται
( )
×=== ππ 2
222
s/m81,92
s/m92,15
g2
VHH
g2
V m92,12H =π (12)
∗ Σε όλο τον πίδακα έχουμε ομοιόμορφη ροή νερού και όλα τα υλικά σημεία του νερού έχουν την ίδια μέση
ταχύτητα V (σταθερή κατανομή ταχύτητας-εμβολικό προφίλ), άρα ο διορθωτικός συντελεστής κινητικής
ενέργειας ισούται με 1.
ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών
© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 4
Άσκηση 4.2
Σε ένα υδροηλεκτρικό εργοστάσιο, νερό διοχετεύεται από έναν ταμιευτήρα σε υδροστρόβιλο
Τ, μέσω σωλήνωσης σταθερής διαμέτρου d=30 cm. Το μανομετρικό ύψος του
υδροστροβίλου είναι ΗΤ=65 m. Στην ελεύθερη έξοδο της εγκατάστασης δημιουργείται -με τη
χρήση ακροφυσίου- πίδακας ύψους hf=5,0m. Η διάμετρος του πίδακα αμέσως μετά την έξοδο
του ακροφυσίου είναι df=15 cm.
(α) Yπολογίστε το συνολικό ύψος απωλειών της εγκατάστασης, ΗL.
(β) Πόση είναι η παροχή, Q, του νερού διαμέσου του στροβίλου (σε m3/s, m
3/hr</s)?
(γ) Τέλος, υπολογίστε τη συνολική μέση μανομετρική απώλεια ανά μέτρο μήκους στον
αγωγό, h*(h*=hl/L σε cm/m) υποθέτοντας ότι αυτός είναι κατασκευασμένος από χάλυβα με
τραχύτητα ε=0,0045cm.
Επίλυση
(α) Για να υπολογίσουμε το ισοδύναμο ύψος απωλειών της εγκατάστασης, ΗL, θα κάνουμε
ένα ισοζύγιο ολικής ενέργειας (Ι.Ο.Ε.) α.μ.β. νερού μεταξύ των σημείων (1) & (3), δηλαδή
στην ελεύθερη επιφάνεια του ταμιευτήρα και στην κορυφή του πίδακα αντίστοιχα.
g2
UCy
PH
g2
UCy
P2
333
331
2
111
1 ++γ
=∆+++γ
→ (1)
το οποίο, μετά τις απλοποιήσεις από την καταγραφή των συνθηκών που επικρατούν τοπικά,
atm31 pPP == , s/m0,0U1 → , s/m0,0U3 = , και ( )LT)31( HHH +−=∆ →
γίνεται
( ) ( ) TfTDLT31L3LT1 HhhhHHyyHyHHy −−+=−−=⇔=+−
( ) −−+= mmmmHL 650,54535 mHL 0,10= (1)
(β) Για να υπολογίσουμε την παροχή όγκου διαμέσου του Υ/Σ, αρκεί να υπολογίσουμε τη
μέση ταχύτητα του νερού σε οποιαδήποτε θέση της εγκατάστασης όπου είναι γνωστή η
διάμετρος της φλέβας του νερού. Επιλέγουμε να υπολογίσουμε τη μέση ταχύτητα του νερού
hD=35m
hT=45m
T
d
d
hf=5,0m df
1
2
3 U2
2 df
V
ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών
© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 5
κατά την έξοδό του από το ακροφύσιο.Για να υπολογίσουμε εκεί την ταχύτητα, θα κάνουμε
ένα ισοζύγιο ολικής ενέργειας (Ι.Ο.Ε.) α.μ.β. νερού μεταξύ των σημείων (2) & (3), δηλαδή
στην έξοδο του νερού από το ακροφύσιο και στην κορυφή του πίδακα αντίστοιχα.
g2
UCy
PH
g2
UCy
P2
333
332
2
222
2 ++γ
=∆+++γ
→ (3)
το οποίο, μετά τις απλοποιήσεις από την καταγραφή των συνθηκών που επικρατούν τοπικά,
atm31 pPP == , m0,0y2 = , 1C2 = #, m0,0H )32( =∆ → και s/m0,0U3 =
γίνεται
=⇔= f23
2
2 gh2Uyg2
U
××= ms
mU 0,581,92
22 smU /905,92 = (4)
Έτσι η παροχή όγκου, Q, υπολογίζεται
( ) ××=== smmQUd
UAQf
905,912,044
2
2
2
22
ππ
hrmslsmQ /49,438/804,121/10804,121 333 ==×= − (5)
(γ)Από την εξίσωση της συνέχειας υπολογίζουμε τη μέση ταχύτητα, V, του νερού εντός του
αγωγού:
=±=± 0AUQi
ii
i
i =−π
04
dU
4
dV
2
f2
2
( )
( )×==
2
2
22
2
30
12905,9/
cm
cmmVddUV f smV /5848,1=
Η τιμή της ταχύτητας στον αγωγό ευρίσκεται εντός των συνιστώμενων ορίων μιας άρτια
σχεδιασμένης εγκατάστασης (1-2m/s).
Στη συνέχεια, υπολογίζουμε την τιμή του αριθμού Reynolds στον αγωγό:
5
2610245,4Re
/1012,1
3,0/5848,1ReRe ×=
×
×===
− sm
msmVdVd
νµ
ρ
Η σχετική τραχύτητα του αγωγού είναι: 00015,0cm30
cm0045,0==ε (6)
# Σε όλο τον πίδακα έχουμε ομοιόμορφη ροή νερού και όλα τα υλικά σημεία του νερού έχουν την ίδια μέση
ταχύτητα V (σταθερή κατανομή ταχύτητας-εμβολικό προφίλ), άρα ο διορθωτικός συντελεστής κινητικής
ενέργειας ισούται με 1.
ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών
© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 6
Έτσι, από το διάγραμμα Moody, με βάση τις τιμές των Re&ε, προκύπτει η τιμή του
συντελεστή τριβής:
015,0≈f
To ισοδύναμο ύψος των γραμμικών απωλειών στον αγωγό είναι:g2
V
d
Lfh
2
l = . (7)
Δε γνωρίζουμε το μήκος Lτης εγκατάστασης, αλλά μπορούμε να υπολογίσουμε τη συνολική
μέση μανομετρική απώλεια ανά μέτρο μήκουςστον αγωγό,h*,ως εξής:
( )
×××===
2
2
*2
*
/81,923,0
/585,1015,0
2
1
smm
smh
g
U
df
L
hh l mmmh /402,6* = (8)
Δηλαδή, για κάθε m του αγωγού το συνολικό (συμπεριλαμβανομένων των τοπικών
απωλειών) ισοδύναμο ύψος γραμμικών απωλειών είναι 6,402mm.Κάθε 10m αγωγού
6,402cm, κάθε 100m 0,6402mκ.ο.κ.
Πλέον μπορούμε να σχεδιάσουμε το διάγραμμα υδραυλικής ενέργειας α.μ.β.υ.κατά μήκος της
διαδρομής του νερού στην εγκατάσταση, δηλαδή από την ελεύθερη επιφάνεια του νερού στον
ταμιευτήρα έως την ελεύθερη επιφάνεια του νερού στην έξοδο του ακροφυσίου και (αρχή του
πίδακα). Η διαδρομή του νερού έχει αναπτυχθεί οριζόντια χωρίς συγκεκριμένη κλίμακα
απεικόνισης της θέσης των διατομών ενδιαφέροντος κατά μήκος του αγωγού. Ενδεικτικά
έχουμε υποθέσει 500m μήκος αγωγούαπό την είσοδο μέχρι τοακροφύσιο. Η κατακόρυφες
διαστάσεις είναι υπό κλίμακα 1/1000.
: διάγραμμα ολικής υδραυλικής ενέργειας α.μ.β.υ. (Η)
: διάγραμμα δυναμικής ενέργειας α.μ.β.υ. (z )
: διάγραμμα ισοδύναμου μανομετρικού ύψους [h=p/(ρg)]
: συνεισφορά κινητικής ενέργειας α.μ.β.υ. [CU2/(2g)]
ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών
© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 7
: διάγραμμα ολικής υδραυλικής ενέργειας α.μ.β.υ. (Η)
: διάγραμμα δυναμικής ενέργειας α.μ.β.υ. (z )
: διάγραμμα ισοδύναμου μανομετρικού ύψους [h=p/(ρg)]
: συνεισφορά κινητικής ενέργειας α.μ.β.υ. [CU2/(2g)]
d
hD=35m
hT=45m
d
hf=5m df
T
Q
5,0m
100m
80m
60m
40m
20m
0m
45m
z
h=p/(ρg)
500m
U22/(2g)
35m
80m
CV2/(2g)
65m
z
H, z, h
H
ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών
© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 8
Άσκηση 4.3
Σε ένα αντλιοστάσιο είναι απαραίτητη η πλήρωση της
δεξαμενής (Δ) χωρητικότητας Ω=1200lt σε ½ ώρα. Η
πλήρωση γίνεται με τη βοήθεια αντλίας (Α) η οποία
αντλεί νερό από πηγάδι (Π) σταθερής στάθμης, και το
στέλνει στη δεξαμενή με σωλήνωση από γαλβανισμένο
σίδηρο. Όλα τα τμήματα της σωλήνωσης έχουν διάμετρο
D=1 in, ενώ το συνολικό της μήκος είναι L=16 m. Η
απόλυτη τραχύτητα των σωλήνων είναι ε=0,006 in. Oι
αδιάστατοι τοπικοί συντελεστές αντίστασης είναι: για τις
γωνίες Κ=0,85, ενώ για τα τμήματα εισόδου και εξόδου,
Κ3=0,72 και K2=1,0 αντίστοιχα. Να υπολογιστούν: (α) η
παροχή Q, (β) το μανομετρικό ύψος των απωλειών της
εγκατάστασης, ΗL, (γ) το απαιτούμενο μανομετρικό ύψος
της αντλίας, HA, και η ιδραυλική ισχύς της, ΡΑ.
Επίλυση
Η δεξαμενή θα πρέπει να γεμίζει σε ½ ώρα, άρα η εγκατάσταση θα πρέπει να αναπτύσσει
παροχή, Q, κατ’ ελάχιστο
s/m10667,0hr/lt2400hr2/1
lt1200Q 33−×=== (1)
Θα υπολογίσουμε το μανομετρικό ύψος απωλειών στην εγκατάσταση. Η μέση ταχύτητα στην
εγκατάσταση (αφού παντού η διάμετρος είναι 1in) είναι
( )s/m316,1
m1054,2
s/m10667,04
D
Q4U
22
33
2=
××π
××=
π=
−
−
(2)
Η τιμή της ταχύτητας στο σωλήνα ευρίσκεται εντός των συνιστώμενων ορίων μιας άρτια
σχεδιασμένης εγκατάστασης (1-2m/s).
Οι γραμμικές απώλειες θα υπολογισθούν από τη σχέση Darcy-Weisbach. Υπολογίζουμε την
τιμή του αριθμού Reynolds στον αγωγό:
4
2610985,2Re
s/m1012,1
m0254,0s/m316,1Re
UdUdRe ×=
×
×=
ν=
µ
ρ=
− (3)
Η σχετική τραχύτητα του
αγωγού είναι:
006,0in1
in006,0==ε (4) (4)
Έτσι, από το διάγραμμα
Moody, με βάση τις τιμές
των Re& ε, προκύπτει η
τιμή του συντελεστή τριβής:
0342,0f ≈
12 m
A
Φ 1”
Π
2
1
Δ
4
3
1,0 m
0,5 m
ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών
© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 9
Toσυνολικό ισοδύναμο μανομετρικό ύψος των απωλειών στην εγκατάσταση είναι:
( )
( )
( )
( )( )
2
2
2
2
2
23
2
23
2'
llL
s/m81,92
s/m316,112,554,21
s/m81,92
s/m316,10,185,0472,0
m0254,0
m160342,0
g2
UKK4K
D
Lf
g2
UKK4K
g2
U
D
LfhhH
××+=
××
+×++×=
=
+++=
+++=+=
άρα m785,0HL = (5)
Για να υπολογίσουμε το απαιτούμενο μανομετρικό ύψος της αντλίας, ΗΑ, θα κάνουμε ένα
ισοζύγιο ολικής ενέργειας (Ι.Ο.Ε.) α.μ.β. νερού (εξίσωση Bernoulli) μεταξύ των σημείων (1)
& (2), δηλαδή στην ελεύθερη επιφάνεια του πηγαδιού και στην έξοδο της εγκατάστασης.
g2
UCy
PH
g2
UCy
P2
222
221
2
111
1 ++γ
=∆+++γ
→ (7)
το οποίο, μετά τις απλοποιήσεις από την καταγραφή των συνθηκών που επικρατούν τοπικά,
atm21 pPP == , , s/m0,0U1 = , LA)21( HHH −=∆ → και 0,1058,1C2 ≅= ∗
γίνεται
g2
UCyHHy
2
222LA1 +=−+ ( )12
2
LA yyg2
VHH −++= (8)
( ) ( )m1m12s/m81,92
s/m316,1m785,0H
2
2
A ++×
+= m873,13HA = (9)
Άρα, η υδραυλική ισχύς της αντλίας μπορεί να υπολογισθεί από τη σχέση
AA gHQP ρ= =××××=−
−
s
m
s
mkg77,90m873,13
s
m81,9
m
kg1000
s
m10667,0P
223
33
A
W77,90PA = (10)
∗ Αφού Re>4000 έχουμε τυρβώδη ροή στην εγκατάσταση
ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών
© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 10
Άσκηση 4.4
Σε ένα υδραγωγείο, μια αντλία Α χρησιμοποιείται για την πλήρωση δύο ανοικτών κυλινδρικών δεξαμενών Α και Β με διαμέτρους DA=7mκαι DB=5mαντίστοιχα. Οι δεξαμενές τροφοδοτούνται από την ίδια αντλία με χαλύβδινους σωλήνες διαμέτρου d=5in. Μετά την έξοδο της αντλίας ο σωλήνας διακλαδώνεται σε δύο κλάδους Α & Β. Η ροή σε κάθε κλάδο ελέγχεται με τη βοήθεια συρτών (διακοπτών), ΔΑ& ΔΒ. Το ισοδύναμο ύψος των υδραυλικών απωλειών σε κάθε κλάδο δίνεται από την έκφραση (ΗL =7,7U2/2g), όπου U η μέση ταχύτητα του νερού στο σωλήνα. Για τη συγκεκριμένeς υψομετρικές στάθμες του νερού των δεξαμενών Α& Β και της αντλίας Α, ηαπόλυτη πίεση στην είσοδο της αντλίας είναι pin=1bar, και η ογκομετρική παροχή διαμέσου της αντλίας είναι q=50 l/s.
Να υπολογισθούν:
(α) οι ταχύτητες ανόδου των σταθμών του νερού σε κάθε δεξαμενή, VA&VB στις παρακάτω περιπτώσεις συνδυασμού διακοπτών ΔΑ& ΔΒ (συμπληρώστε τις κενές θέσεις του πίνακα)
ΔΑ ΔΒ VA UA VB UB
ΟΝ OFF
Κλειστός Ανοικτός
Ανοικτός Ανοικτός
Όταν και οι δύο διακόπτες είναι ανοικτοί:
(β) Πόσο πρέπει να είναι το ισοδύναμο μανομετρικό ύψος, ΗΑ, της αντλίας?
(γ) Πόση είναι η ισχύς, ΡΑ, της αντλίας σε kW?
(δ) Πόση είναι η απόλυτη πίεση, pout, στην έξοδο της αντλίας?
Επίλυση
(α) Πρόκειται για ένα απλό πρόβλημα που επιλύεται με εφαρμογή του νόμου της συνέχειας,
όπως αναλυτικά παρουσιάζεται στο Πρόβλημα 3.1. Τα αποτελέσματα της επίλυσης δίνονται
στον πίνακα που ακολουθεί
ΔΑ ΔΒ VA (m/s) VB(m/s) UA(m/s) UB(m/s)
ΟΝ OFF 1,30x10-3
0 3,95 0 (1)
OFF ON 0 2,55x10-3
0 3,95
ON ON 0,861x10-3
2,62 1,33
και ( )
s/m95,3Um0254,05
s/m10504U
d
q4U
2
33
2=
××π
××=
π=
−
(1)
ΔA
VΒ
1
pin
y3=55m
Y1=15m
2
Pout
A
y3=25m
DB=5 m DA=7 m
VΑ
B
yΑ=28m
A
YΒ
ΔΒ
UA UB
U
ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών
© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 11
(β) Θα γράψουμε το ισοζύγιο ολικής υδραυλικής ενέργειας α.μ.β. υγρού (εξίσωση Bernoulli)
μεταξύ των θέσεων 1 (είσοδος αντλίας) και των σταθμών στις δύο δεξαμενές, yA&yB,
θεωρώντας τις δύο δεξαμενές ως μία κοινή. (Επειδή οι δύο δεξαμενές είναι συγκοινωνούντα
δοχεία οι στάθμες τους θα είναι στο ίδιο υψόμετρο.)
g2
VCy
PH
g2
UCy
p2
ABAAB
ABAB1
2
111 ++
γ=∆+++
γ→ (2)
Οι συνθήκες που επικρατούν τοπικά είναι
bar1p1 = , bar1pPPP atmBAAB ≅=== , m28yyy BAAB === ,
( )B,LA,LAAB1 HHHH +−=∆ → , (3)
s/m10861,0VVV 3
BAAB
−×=== .
Για τους συντελεστές προσαρμογής κινητικής ενέργειας,
η ροή του νερού (η άνοδος της στάθμης) στις δεξαμενές είναι πρακτικά ομοιόμορφη1,
επομένως 1CC BA ==
ενώ στον αγωγό εισόδου των 5in,
αφού 400010479,4s/m1012,1
inm0254,0in5s/m95,3UdUdRe 5
26>×=
×
××=
ν=
µ
ρ=
−, έχουμε τυρβώδη
ροή και θέτουμε C1=1,058
Επίσης, σύμφωνα με την εκφώνηση, τα ισοδύναμα ύψη μανομετρικών απωλειών εξ αιτίας
τριβών (ιξώδους) στους δύο κλάδους δίνονται από τις εκφράσεις:
g2
U7,7H
2
AA,L = και
g2
U7,7H
2
BB,L = (4)
Επιπλέον θα χρησιμοποιηθούν και τα αποτελέσματα του πίνακα στο ερώτημα (α).
Έτσι η (3) γίνεται
++γ
=
×+×−+++
γ g2
Vy
P
g2
U7,7
g2
U7,7H
g2
UCy
p 2
ABAB
2
B
2
AA
2
111
( )
+×+−+−=
g2
U
g2
U7,7
g2
UC
g2
VyyH
2
B
2
A
2
1
2
1ABA (5)
( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]
2
22223
A
s/m81,92
s/m33,1s/m62,27,7s/m95,3058,1s/m10861,0m15m28H
×
+×+×−×+−=
−
και μετά από πράξεις προκύπτει η τιμή του ισοδύναμου μανομετρικού ύψους της αντλίας
m547,15HA = (6)
1 Επειδή η ταχύτητα του νερού στις δεξαμενές είναι πολύ μικρή σχετικά με τη διαμέτρους των δεξαμενών,
μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η κατανομή της ταχύτητας είναι σταθερή (η ταχύτητα ανόδου των σταθμών είναι
ομοιόμορφη) - σαν όλη η μάζα του νερού να κινείται με την ίδια ταχύτητα.
ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών
© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 12
(γ) Η υδραυλική ισχύς, ΡΑ, που παρέχει η αντλία στην εγκατάσταση δίνεται από την έκφραση
ΡΑ={παροχή όγκου}×{Διαφορά πίεσης στα άκρα της αντλίας} (7)
( ) ××××=ρ=−= −
s
m1050m547,15
s
m81,9
m
kg1000PqgHqppP
33
23AAinoutA
kW63,7W8,7625s
J8,7625
s
Nm8,7625PA ==== (8)
(δ) Η απόλυτη πίεση στην έξοδο της αντλίας δίνεται από την προηγούμενη έκφραση
( ) ××+=ρ+=ρ=− m547,15s
m81,9
m
kg1000bar1pgHppqgHqpp
23outAinoutAinout
bar53,2m
N105252,2
m
N1,252516p
2
5
2out =×== (9)
ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών
© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 13
Άσκηση 4.5
Στο αντλιοστάσιο ενός υδραγωγείου, η αντλία Α δίνει ένα ισοδύναμο μανομετρικό ύψος ΗΑ=45,0m στο νερό που παροχετεύεται διαμέσου του σωλήνα διαμέτρου D=30cm. Το νερό παροχετεύεται, από το σημείο 1 που είναι σε υψομετρική στάθμη 15,0m,στην ελεύθερη έξοδο 3 που είναι σε υψομετρική στάθμη 55,0m. Εάν η απόλυτη πίεση στο σημείο 1 (στην είσοδο της αντλίας) είναι pin=0,86 barκαι το ισοδύναμο ύψος απώλειας ενέργειας από την έξοδο της αντλίας έως την ελεύθερη έξοδο του σωλήνα δίνεται από την έκφραση ΗL,23=8V2/2g, όπου V η μέση ταχύτητα του νερού στο σωλήνα, να ευρεθούν:
(α) Πόση είναι η παροχή, q, διαμέσου του σωλήνα? (30μον) (β) Πόση είναι η ισχύς, PA, της αντλίας σε kW? (10μον) (γ) Πόση είναι η απόλυτη πίεση, pout, στην έξοδο της αντλίας? (20μον)
Λύση
(α) Για να υπολογίσουμε την παροχή, q, θα κάνουμε ένα ισοζύγιο ολικής ενέργειας (Ι.Ο.Ε.)
ανα μονάδα βάρους (α.μ.β.) νερού μεταξύ των σημείων (1) & (3), δηλαδή στην είσοδο της
αντλίας και στην έξοδο της εγκατάστασης.
g2
UCy
pH
g2
UCy
p2
333
331
2
111
1 ++γ
=∆+++γ
− (1)
το οποίο, μετά τις απλοποιήσεις από την καταγραφή των συνθηκών που επικρατούν τοπικά
στις διατομές (1) & (3),
p1=pin=0,86bar, p3=patm=1bar
Γ== UVUA , (σταθερή διάμετρος σωλήνωσης)
( ) ( ))32(,LA)32(,LA)31( HHHHH −−− −=−=∆ (μεταξύ των διατομών 1 & 2, στα άκρα της
αντλίας, οι υδραυλικές απώλειες έχουν συμπεριληφθεί στο ισοδύναμο μανομετρικό ύψος της
αντλίας, άρα οι απώλειες εμφανίζονται μόνο για το τμήμα 2-3), και
31 CC = 2
γίνεται
( ) ( ) =
γ−
γ−−−+
γ=−++
γ−− )32(,L
1313A3
3)32(,LA1
1 Hpp
yyHyp
HHyp
(2)
( ) =
γ−
γ−−−
g2
V0,8
ppyyH
2
1313A ( )
γ−
γ−−−= 13
13A
ppyyH
8
g2V (3)
η οποία, μετά από αντικαταστάσεις των αριθμητικών τιμών, δίνει
2 Εφ’όσον η διάμετρος παραμένει σταθερή σε όλη την εγκατάσταση, η μέση ταχύτητα είναι παντού ίδια και
επομένως ο τύπος της ροής (στρωτή/τυρβώδης) θα είναι παντού ίδιος, άρα C1=C3
D=30cm
V
1
3
pin
y3=55m
y1=15m
2
Pout
A
ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών
© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 14
( )( )
×
×−−−−××=
33
25
2m/N1081,9
m/N1086,01m15m55m45
s
m81,9
4
1V
s/m96,2V = (4)
Η τιμή της ταχύτητας στο σωλήνα δεν ευρίσκεται εντός των συνιστώμενων ορίων μιας άρτια
σχεδιασμένης εγκατάστασης (1-2m/s) και θα πρέπει να ληφθούν μέτρα να μειωθεί (π.χ. με
αύξηση της διαμέτρου του αγωγού).
Με αυτά τα δεδομένα επομένως η παροχή υπολογίζεται ότι είναι
( )
×π×=
π=
4
m3,0
s
m96,2Q
4
DVQ
22
hr
m23,753
s
m20923,0Q
33
== (5)
(β) Η υδραυλική ισχύς PA, που δίνει η αντλία στην εγκατάσταση, δίνεται από την έκφραση
ΡΑ={παροχή όγκου}x{Διαφορά πίεσης στα άκρα της αντλίας}, ή
( ) ( )Ain,Aout,AA gHQppQP ρ=−= (6)
Άρα
W6,92364s
mN6,92364
s
m
s
mkg6,92364m0,45
s
m81,9
m
kg1000
s
m20923,0P
223
3
A ===×××=
kW36,92PA = (7)
(γ) Από την (5) έχουμε
( ) ( ) ρ+=ρ=− Ain,Aout,AAin,Aout,A gHppgHpp (8)
×+×=××+=2
5
2
5
32out,Am
N10415,4
m
N1086,0m45
m
kg1000
s
m81,9bar86,0p
bar275,5m
N10275,5p
2
5
out,A =×= (9)
Σε ίδια έκφραση με την (9) καταλήγουμε και εάν κάνουμε ένα ισοζύγιο ενέργειας α.μ.β.
νερού (Bernoulli) μεταξύ των διατομών 1 (in) και 2 (out)
A122
A1
2
222
2A
2
111
1 Hppp
Hp
g2
UCy
pH
g2
UCy
p+
γ=
γ
γ=+
γ++
γ=+++
γ (10)
ή AinoutAin
out gHppHg
pgp ρ+=
+
ρρ= (11)
ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών
© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 15
Άσκηση 4.6
Στον πυθμένα μιας πολύ μεγάλης δεξαμενής γεμάτης με νερό συνδέεται ένας σωλήνας διαμέτρου D=1in. Στην άλλη άκρη του σωλήνα τοποθετείται ακροφύσιο και δημιουργείται ένας πίδακας νερού διαμέτρου d=15mm. Το ισοδύναμο ύψος απωλειών στο σωλήνα (συμπεριλαμβανομένων της εισόδου, των καμπυλών και
του ακροφυσίου) δίνεται από την έκφραση
g2
u2,9H
2
L = .
Να υπολογισθούν:
(α) Η μέση ταχύτητα του νερού στο σωλήνα, u,και αμέσως μετά το ακροφύσιο, V
(β) Το ύψος hf του πίδακα
(γ) Η τιμή του αριθμού Reynolds στο σωλήνα
Λύση
(α) Για να υπολογίσουμε την ταχύτηα, u, αρκεί να υπολογίσουμε τη V. Θα κάνουμε ένα
ισοζύγιο ολικής ενέργειας (Ι.Ο.Ε.) ανα μονάδα βάρους (α.μ.β.) νερού μεταξύ των σημείων (1)
& (3), δηλαδή στην ελεύθερη επιφάνεια της δεξαμενής και στην έξοδο του ακροφυσίου.
g2
UCy
pH
g2
UCy
p2
333
331
2
111
1 ++γ
=∆+++γ
− (1)
το οποίο, μετά τις απλοποιήσεις από την καταγραφή των συνθηκών που επικρατούν τοπικά
στις διατομές (1) & (3),
p1=p3=patm U1=0 U3=V g2
u2,9HH
2
L31 ==∆ − 1C3 = #,
γίνεται
( )g2
V
g2
u2,9yy
g2
VyHy
22
31
2
3L1 =−−+=− (2)
Mε τη βοήθεια της εξίσωσης της συνέχειας (δηλαδή της σταθερής παροχής όγκου πριν και
μετά το ακροφύσιο), συσχετίζουμε την ταχύτητα στον αγωγό, u, με την ταχύτητα μετά το
ακροφύσιο, V,
2
222
D
dVu
4
dV
4
Du =
π=
π (3)
Έτσι η (2) γίνεται
# Σε όλο τον πίδακα έχουμε ομοιόμορφη ροή νερού και όλα τα υλικά σημεία του νερού έχουν την ίδια μέση
ταχύτητα V (σταθερή κατανομή ταχύτητας-εμβολικό προφίλ), άρα ο διορθωτικός συντελεστής κινητικής
ενέργειας ισούται με 1.
10m
9m
V u
D
hf
d=15 mm
3
4
2
1
ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών
© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 16
( ) ( ) ( )
+=−=
−−=−−
4
42
31
22
2
2
31
22
31
D
d2,91
g2
Vyy
g2
V
D
dV
g2
2,9yy
g2
V
g2
u2,9yy
( ) ( )
+−=
+=−
−1
4
4
31
2
4
42
31
D
d2,91yyg2V
D
d2,91
g2
Vyy
( )
( )
( )
=
×+
−××=
+
−=
−
s
m93,175
mm4,25
mm152,91
m)019(ms81,92
D
d2,91
yyg2V
4
4
2
4
4
31
s
m264,13V = (4)
από την οποία και με τη βοήθεια της (3) υπολογίζουμε την ταχύτητα στο σωλήνα, u,
( )
( )×==
2
2
2
2
mm4,25
mm15
s
m264,13
D
dVu
s
m626,4u = (5)
Η τιμή της ταχύτητας στο σωλήνα ευρίσκεται εκτός των συνιστώμενων ορίων μιας άρτια
σχεδιασμένης εγκατάστασης (1-3,0 m/s).
(β) Για να υπολογίσουμε το ύψος hf, που θα φθάσει ο πίδακας, θα κάνουμε ένα ισοζύγιο
ολικής ενέργειας (Ι.Ο.Ε.) α.μ.β. νερού μεταξύ των σημείων (3) & (4), δηλαδή στον πίδακα
νερού αμέσως μετά την έξοδο από το ακροφύσιο και στο ανώτερο σημείο του πίδακα.
g2
UCy
PH
g2
UCy
P2
444
443
2
333
3 ++γ
=∆+++γ
− (6)
το οποίο, μετά τις απλοποιήσεις από την καταγραφή των συνθηκών που
επικρατούν τοπικά,
atm34 pPP == , m0y3 = , f4 hy = , VU3 = , s/m0,0U4 = , ΔΗ3-4=0 και C3=1
γίνεται
( )
×==
2
2
ff
2
s/m81,92
s/m264,13hh
g2
Vm97,8h f = (7)
(γ) H τιμή του αριθμού Reynolds στον αγωγό είναι
×
×
=ν
=µ
ρ=
− s/m1012,1
m0254,0s
m264,13
ReuDuD
Re26
45 1010008,3Re >×= (8)
άρα στον αγωγό επικρατεί πλήρως ανεπτυγμένη τυρβώδης ροή.
ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών
© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 17
Άσκηση 4.7
Σε έναν αγωγό ενιαίας διαμέτρου d=30mm ρέει νερό
με μέση ταχύτητα U=1,85m/s. Η υψομετρική διαφορά
μεταξύ των οριζόντιων τμημάτων του αγωγού ΑΔ και
ΒΓ είναι h=27m. H οριζόντια απόσταση μεταξύ των
κατακόρυφων τμημάτων του αγωγού ΑΒ και ΓΔ είναι
L=25m Ο τοπικός συντελεστής αντίστασης στις
καμπύλες Α, Β, Γ, Δ είναι παντού Κ=1,2. Η πίεση στη
διατομή (1) του αγωγού είναι p1=4,5bar. Ο αγωγός
είναι χαλύβδινος με απόλυτη τραχύτητα ε=0,046mm.
(α) Να ευρεθούν οι παροχές qAB, qBΓ, qΓΔ, στα τμήματα ΑΒ, ΒΓ & ΓΔ του αγωγού. (5μον.)
(β) Να υπολογισθούν τα ισοδύναμα μανομετρικά ύψη των γραμμικών απωλειών ενέργειας
λόγω τριβών h12&h23, στα ευθύγραμμα τμήματα 12 & 23 του αγωγού (15μον)
(γ) Να υπολογισθούν τα ισοδύναμα μανομετρικά ύψη ολικών απωλειών ενέργειας λόγω
τριβών Η12& Η23, στα τμήματα 12 & 23 της εγκατάστασης (15μον)
(δ) Να υπολογισθούν οι πιέσεις p2&p3 στις διατομές (2) & (3) (15μον).
Σημ. Εάν δεν μπορείτε να υπολογίσετε με ακρίβεια τις γραμμικές απώλειες λόγω τριβών στο
(β) θεωρήστε την τιμή του συντελεστή τριβής f=[0,015+(N/500)]
Λύση
(α) Εφόσον πρόκειται για έναν αγωγό, η παροχή θα είναι παντού (σε κάθε τμήμα του αγωγού)
ίδια, qAB=qΒΓ=qΓΔ=Q, όπου.
( )s
lt308,1
s
m10308,1Q
4
m03,0
s
m85,1
4
dUUAQ
33
22
=×=×π
×=π
== − (1)
(β) Οι γραμμικές απώλειες ενέργειας δίνοναι από το νόμο Darcy-Weisbach,g2
U
D
Lfh
2
f =
Πρώτα προσδιορίζουμε την τιμή του συσντελεστή τριβής, f(Re,ε).
Η τιμή του αριθμού Reynoldsγια τη ροή στον αγωγό είναι:
4
2610955,449554Re
s/m1012,1
m03,0s/m85,1Re
UdUdRe ×==
×
×=
ν=
µ
ρ=
− (2)
Η σχετική τραχύτητα του αγωγού είναι: 0015,0mm30
mm046,0==ε (3)
U
p1 P3
1
2
p2
3
h
Α
Β Γ
Δ
L/2
L
ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών
© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 18
Έτσι, από το διάγραμμα Moody, με βάση τις τιμές των Re&ε, προκύπτει η τιμή του
συντελεστή τριβής: 025,0f ≈
Έτσι, τo ισοδύναμο μανομετρικό ύψος των γραμμικών απωλειών στο τμήμα 12 του
αγωγούυπολογίζεται ως:
( )m741,5
s/m81,92
s/m85,1
m030,0
m)2/2527(025,0
g2
U
d
2/Lhf
g2
U
D
Lfh
2
22
12
2
12
121212,f =
××
+×=
+== (4)
Αντίστοιχα, τo ισοδύναμο μανομετρικό ύψος των γραμμικών απωλειών στο τμήμα 23 του
αγωγούυπολογίζεται ως:
( ) ( )[ ] ( )
m741,5m1744,09167,32
s/m81,92
s/m85,1
m030,0
m272/25025,0
g2
U
d
h2/Lf
g2
U
D
Lfh
2
22
23
2
23
233223,f
=×=
=×
×+
×=+
== (5)
(γ) Τα ισοδύναμα μανομετρικά ύψη ολικών απωλειών υδρ/κής ενέργειας λόγω τριβών Η12&
Η23, στα αντίστοιχα τμήματα θα υπολογισθούν από τη γενική έκφραση
321321
απωλειεςοπικεςΤ
=
απωλειεςραµµικεςΓ
=
+=TL N
1j
lj
N
1i
fiL hhH , όπου i,jείναι τα εξεταζόμενα τμήματα του αγωγού (6)
Τις γραμμικές απώλειες τις έχουμε ήδη υπολογίσει. Θα χρειασθεί να υπολογίσουμε τις
τοπικές απώλειες.
Το τμήμα 12 του αγωγού έχει δύο γωνιές με τοπικό συντελεστή τριβής Κ=1,2. Έτσι,
( )( )
m4186,0m1744,04,2s/m81,92
s/m85,12,12
g2
UK2
g2
Ukkh
2
222
BA12,l =×=×
××==+= (7)
ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών
© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 19
Ομοίως, το τμήμα 23 του αγωγού έχει δύο γωνιές με τοπικό συντελεστή τριβής Κ=1,2. Έτσι,
( )( )
m4186,0m1744,04,2s/m81,92
s/m85,12,12
g2
UK2
g2
Ukkh
2
222
23,l =×=×
××==+= ∆Γ (8)
Τώρα πλέον μπορούν να προσδιορισθούν τα ισοδύναμα μανομετρικά ύψη ολικών απωλειών
ενέργειας λόγω τριβών Η12& Η23:
( ) m1596,6m4186,0m741,5m1744,04,29167,32hhH 12,l12,f12,L =+=×+=+= (9)
και
m1596,6m4186,0m741,5hhH 23,l23,f23,L =+=+= (10)
(δ) Οι πιέσεις p2&p3 θα υπολογισθούν με κατάλληλα ισοζύγια ολικής ενέργειας (Ι.Ο.Ε.) ανα
μονάδα βάρους (α.μ.β.) νερού μεταξύ των σημείων (1)-(2) &(2)-(3).
Ι.Ο.Ε. α.μ.β. νερού μεταξύ των σημείων (1)-(2)
g2
UCy
pH
g2
UCy
p2
222
221
2
111
1 ++γ
=∆+++γ
− (11)
το οποίο, μετά τις απλοποιήσεις από την καταγραφή των συνθηκών που επικρατούν τοπικά
στις διατομές (1) & (2),
p1=4,5bar, y1=0 y2=h
UUU 21 == , (σταθερή διάμετρος σωλήνωσης), 21 CC = 3
12,L)21( HH −=∆ −
γίνεται
( ) ( ) γ−γ−+==γ−γ−+
γ+=γ−γ++γ
=−+γ
12,L12212,L211
2212,L1122
12,L11
Hh0pppHyyp
ypHypyp
Hyp
×−×−×=
×−×−×=
222
5
33
5
2
m
N98101596,6
m
N981027
m
N105,4
m
N9810m1596,6
m
N9810m27Pa105,4p
bar247,1Pa10247,1m
N3,124704p 5
22 =×== (12)
Ι.Ο.Ε. α.μ.β. νερού μεταξύ των σημείων (1)-(3)
g2
UCy
pH
g2
UCy
p2
333
331
2
111
1 ++γ
=∆+++γ
− (13)
3 Εφ’όσον η διάμετρος παραμένει σταθερή σε όλη την εγκατάσταση, η μέση ταχύτητα είναι παντού ίδια και
επομένως ο τύπος της ροής (στρωτή/τυρβώδης) θα είναι παντού ίδιος, άρα C1=C2
ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών
© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 20
το οποίο, μετά τις απλοποιήσεις από την καταγραφή των συνθηκών που επικρατούν τοπικά
στις διατομές (1) & (3),
p1=4,5bar, y1=0 y3=0
UUU 31 == , (σταθερή διάμετρος σωλήνωσης), 31 CC = 4
( ) ( ) m3192,12m1596,6m1596,6HHH 22,L12,L)31( −=+−=+−=∆ −
γίνεται
( ) γ−==γ−γ−+
γ+=γ−γ++γ
=−+γ
13,L13313,L311
3313,L113
3
13,L11
HpppHyyp
ypHypyp
Hyp
×−×=
×−×=
22
5
3
5
3
m
N98103192,12
m
N105,4
m
N9810m3192,12Pa105,4p
bar29,3Pa10291,3m
N6,329148p 5
232 =×== (14)
Το ίδιο αποτέλεσμα θα προκυψει και με ένα Ι.Ο.Ε. α.μ.β. νερού μεταξύ των σημείων (2)-(3)
g2
UCy
pH
g2
UCy
p2
333
332
2
222
2 ++γ
=∆+++γ
− (15)
με τις συνθήκες που επικρατούν τοπικά στις διατομές (2) & (3),
p2=1,247bar, y2=h y3=0
UUU 32 == , (σταθερή διάμετρος σωλήνωσης), 32 CC = 5
4 Εφ’όσον η διάμετρος παραμένει σταθερή σε όλη την εγκατάσταση, η μέση ταχύτητα είναι παντού ίδια και
επομένως ο τύπος της ροής (στρωτή/τυρβώδης) θα είναι παντού ίδιος, άρα C1=C3 5 Εφ’όσον η διάμετρος παραμένει σταθερή σε όλη την εγκατάσταση, η μέση ταχύτητα είναι παντού ίδια και
επομένως ο τύπος της ροής (στρωτή/τυρβώδης) θα είναι παντού ίδιος, άρα C2=C3
ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών
© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 21
Άσκηση 4.8
Ο μετρητής Ventouri αποτελείται από ένα συγκλίνοντα-αποκλίνοντα κυλινδρικό αγωγό δια
μέσου του οποίου ρέει νερό με ογκομετρική παροχή, Q. Η γεωμετρία του μετρητή Ventouri
είναι δεδομένη (βλέπε σκαρίφημα Εικόνας 1).
Εικόνα 1 Βασικά στοιχεία της γεωμετρίας ενός αγωγού Ventouri. Η διάμετρος εισόδου από
D1 μειώνεται σε D2 και διευρύνεται πάλι σε D1 στην έξοδο
Στην είσοδο και στη στένωση του Ventouri υπάρχουν δύο μανομετρικοί σωλήνες που
συνδέονται σε ένα μικρό πιεστικό δοχείο ώστε να ευρίσκονται στην ίδια πίεση (p1=p2=p). Με
τους μανομετρικούς σωλήνες (ή με οποιοδήποτε άλλο είδος πιεσόμετρου) μετράμε το
μανομετρικό ύψος του νερού στις αντίστοιχες διατομές, h1&h2. Να ευρεθεί η σχέση που δίνει
την ογκομετρική παροχή διαμέσου του αγωγού Ventouri, θεωρώντας συνθήκες ιδανικής ροής
δηλαδή ροής χωρίς απώλειες υδραυλικής ενέργειας λόγω τριβών.
Επίλυση - Υπολογισμός ογκομετρικής παροχής ιδανικής ροής, Qth, σε αγωγό Ventouri
Διατύπωση ισοζυγίου ενέργειας σε φλέβα ροής (Bernoulli)
Το ισοζύγιο συνολικής υδραυλικής ενέργειας α.μ.β. νερού (με αναφορά στο σκαρίφημα της
Εικόνας 1) μεταξύ των δύο διατομών 1 & 2, με εμβαδό Α1& Α2 αντίστοιχα, γράφεται
g2
UCz
PH
g2
UCz
PHHH
2
222
221
2
111
12211 ++
γ=∆+++
γ=∆+ →→ (1)
Επειδή όμως έχουμε:
(α) οριζόντιο αγωγό, z1=z2, και
(β) έχουμε θεωρήσει ιδανική ροή (χωρίς ιξώδες), δεν υπάρχουν ενεργειακές απώλειες λόγω
τριβών, ΗL,1-2=0 και η η κατανομή της ταχύτητας θα είναι ομοιόμορφη, επομένως C1=C2=1.
(γ) επιπλέον δεν υπάρχουν αντλίες ή υδροστρόβιλοι που να προθέτουν ή αφαιρούν ενέργεια
από τον όγκο ελέγχου (μεταξύ των διατομών 1 & 2) οπότε ΗΑ=ΗΤ-=0
Από όλα τα προηγούμενα ΔΗ1-2=ΗΑ-ΗΤ-ΗL,1-2=0 κι έτσι η προηγούμενη εξίσωση γίνεται
p1=p2=p
z1 z2
U1
U2
h1 h2
z=0
D1 D2
παροχή,Q
συγκλίνον τµήµα αγωγού
αποκλίνον
τµήµααγωγού
g +z
D1
ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών
© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 22
g2
Uhp
g2
Uhp
g2
UP
g2
UP 2
212
2
111
2
2
2
2
2
11 +γ
γ+=+
γ
γ++
γ=+
γ (2)
και επειδή υπάρχει εξισορρόπηση πίεσεων στο θάλαμο υπερπίεσης (κολεκτέρ) που
καταλήγουν τα μανομετρικά σωληνάκια, p1=p2, η προηγούμενη σχέση καταλήγει στην απλή
μορφή
( ) ( )
−=−
−=−+=+ 1
U
UUhhg21
U
U
g2
Uhh
g2
Uh
g2
Uh
2
1
2
22
1212
1
2
2
2
1
21
2
2
2
2
1
1 (3)
και επειδή -από το νόμο της συνέχειας- ισχύει
2
1
1
22211
A
A
U
UAUAUQ === (4)
και τότε
( ) ( )
( )
−=−
−=−
−=−
2
1
2
2
2
th21
2
1
2
2
2
1
2
1212
2
2
12
121
A
1
A
1Qhhg2
A
1
A
1AUhhg21
A
AUhhg2
(5)
Έτσι η θεωρητική ογκομετρική παροχή για την περίπτωση ιδανικής ροήςσε σωλήνα
Ventouri προκύπτει ως εξής:
( )( )
( )( )212
21
1
212
12
2th
hhg21AA
1A
ίhhg2AA1
1AQ
−−
=
τεε−−
=
(6)
ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών
© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 23
Άσκηση 4.9
Στο τμήμα μιας εγκατάστασης που απεικονίζεται στο σκαρίφημα να υπολογισθούν οι πιέσεις
p1, p2, το ισοδύναμο ύψος απωλειών υδραυλικής ενέργειας λόγω τριβών στη στένωση του
ευθύγραμμου σωλήνα, hA-B, οι πιέσεις pin, pout, στην είσοδο και έξοδο της στένωσης, και να
σχεδιασθεί το διάγραμμα υδραυλικής ενέργειας α.μ.β.υ. κατά μήκος των αγωγών Α & Β οι
οποίοι είναι από γαλβανισμένο σίδηρο.
Δεδομένα
Ισοδύναμα μανομετρικά ύψη στις διατομές (1) & (2): h1=6,0m, h2=2,2m,
Διάμετροικαιμήκηαγωγών DA=3,0in, DB=2,0in, &LA=LB=6,0m
Παροχή Q=9,0 l/s
Κινηματικό ιξώδες του νερού: ν=1,12×10-6
m2/s. Επιτάχυνση βαρύτητας: g=9,81 m/s
2.
Πυκνότητα νερού: ρ=1000 kg/m3, 1 in=25,4 mm
Επίλυση
Οι πιέσεις p1&p2υπολογίζονται απευθείας από τον ορισμό των ισοδύναμων μανομετρικών
υψών:
ghpg
ph ρ=
ρ= (1)
Οπότε αντικαθιστώντας τα δεδομένα έχουμε κατά περίπτωση
bar6,21Pa0,21582s
N0,21582m
s
m
m
kg0,21582m2,2
s
m81,9
m
kg1000p
bar9,58Pa58860s
N0,58860m
s
m
m
kg0,58860m0,6
s
m81,9
m
kg1000p
223232
223231
====××=
====××=
(2)
Επειδή μεταξύ των αγνώστων είναι και οι απώλειες υδραυλικής ενέργειας λόγω τριβών θα
πρέπει να χρησιμοποιήσουμε το ισοζύγιο ολικής υδραυλικής ενέργειας (εξίσωση Bernoulli)
μεταξύ όποιων διατομών απαιτείται. Απαραίτητη προϋπόθεση είναι να υπολογίσουμε όπου
μπορούμε τις μέσες ταχύτητες για να έχουμε μια εκτίμηση της κινητικής ενέργειας σε
διάφορες διατομές.
Η UAμπορεί να υπολογισθεί από τον ορισμό της μέσης ταχύτητας:
Q
p1
1 2
LA
h1
h2 pout
pin
p2 LB
ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών
© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 24
π
==2
AA
AD
Q4
A
QU
( )s/m974,1
m0254,03
s/m100,94U
2
33
A =×π
××=
−
(3)
Την UBμπορούμε να τη βρούμε είτε από τον ορισμό της είτε από την εξίσωση συνέχειας.
(Στην περίπτωση μας είναι πιο απλοί οι υπολογισμοί.)
====2
B
2
A
B
AABAABB
D
D
A
AUUAUAUQ
( )( )
s/m442,4in2
in3
s
m974,1U
2
2
B =×= (4)
Για τον υπολογισμό των απωλειών υδραυλικής ενέργειας λόγω τριβών στη στένωση θα
πρέπει να εφαρμόσουμε την εξίσωση Bernoulliμεταξύ δύο διατομών που να περιέχουν τη
στένωση (και να γνωρίζουμε όλες τις συνιστώσες της υδραυλικής ενέργειας).
g2
UCz
pH
g2
UCz
p2
222
221
2
111
1 ++γ
=∆+++γ
→ (5)
το οποίο, μετά τις απλοποιήσεις από την καταγραφή των συνθηκών που επικρατούν τοπικά,
p1, p2 γνωστά, 21 zz = (οριζόντιος αγωγός), U1, U2γνωστά
( ) BALBLA)21( hhhH −→ −+−=∆ όπου η παρένθεση περιγράφει τις γραμμικές απώλειες
υδρ/κής ενέργειας λόγω τριβών στους σωλήνες Α & Β.
Οι τιμές των C1C2 θα τεθούν μετά την εκτίμηση του είδους της ροής (στρωτή/τυρβώδης)
αφού υπολογισθούν οι αντίστοιχοι αριθμοί Reynolds.
Οι τιμές του αριθμού Reynoldsστους δύο σωλήνες είναι:ν
=µ
ρ=
UDUDRe
( )
( ) 5
B26
2
B
5
A26
2
A
10015,243,201476Res/m1012,1
m1054,20,2s/m442,4Re
10343,15,302,134Res/m1012,1
m1054,20,3s/m974,1Re
×==×
×××=
×==×
×××=
−
−
−
−
(6)
Αφού ReB&ReA> 104, επικρατεί τυρβώδης ροή και στους δύο σωλήνες, άρα C1=C2=1,058
Σημειώνουμε εδώτις κινητικές ενέργειες α.μ.β.υ. στις διατομές (1) & (2) γιατί θα μας
χρειασθούν αργότερα για τα διαγράμματα ενέργειας.
( )
( )m06400,1
s/m81,92
s/m442,4058,1
g2
UC
m21013,0s/m81,92
s/m974,1058,1
g2
UC
2
22
22
2
22
11
=×
×=
=×
×=
(7)
Στη συνέχεια, για να εκμεταλλευθούμε την εξίσωση Bernoulliμε μοναδικό άγνωστο μέγεθος
το hA-B, θα πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε τις απώλειες υδραυλικής ενέργειας λόγω τριβών
στους σωλήνες Α & Β (γραμμικές απώλειες).
Αυτό μπορεί να γίνει με δύο τρόπους, είτε σύμφωνα με τη μέθοδο Darcy-Weisbachκαι το
διάγραμμα Moody, είτε με τη μέθοδο Hazen-Williams. Η πρώτη είναι ακριβής αλλά
περισσότερο κοπιαστική από τη δεύτερη. Θα εφαρμόσουμε και τις δύο μεθοδολογίες και θα
συγκρίνουμε τα αποτελέσματα.
ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών
© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 25
I) Darcy-Weisbach&διάγραμμαMoody
Οι σχετικές τραχύτητες είναι: 002,0in0,3
in006,0A ==ε και 003,0
in0,2
in006,0A ==ε (8)
Έτσι, από το διάγραμμα Moody, με βάση τις τιμές των (ReA, εA) και (ReΒ, εΒ) προκύπτουν οι
τιμές των αντιστοίχων συντελεστών τριβής:
fA≈0,0185
fB≈0,0180
Έτσι από τον τύπο Darcy-Weisbach, τo ισοδύναμο μανομετρικό ύψος γραμμικών απωλειών
της εγκατάστασης υπολογίζεται ότι είναι
( ) ( )
( ) ( ) ( )
[ ]m42736,2m13805,2m28930,0
1775823,00240295,0m03978,12
442,42
0180,0974,1
3
0185,0
s/m
s/m
81,920254,0
6
s/m81,92
s/m442,4
m0254,02
m60180,0
s/m81,92
s/m974,1
m0254,02
m60185,0hh
g2
U
D
Lf
g2
U
D
Lfhh
22
2
2
2
2
2
2
LBLA
2
B
B
B
B
2
A
A
A
ALBLA
=+=
+×=
×+××
××=
××
××+
××
××=+
+=+
(9)
Ενώ επίσης παρατηρούμε ότι η δαπάνη ενέργειας λόγω τριβών στο τμήμα Β είναι περίπου
7,39(=0,1776/0,0240) φορές μεγαλύτερη από ότι στο τμήμα Α.
IΙ) Hazen-Williams
Για λόγους σύγκρισης θα εφαρμόσουμε την αριθμητική σχέση Hazen-Williamsγια νερό 20οC,
γνωρίζοντας ότι δε θα έχουμε τόσο καλή ακρίβεια.
Το ισοδύναμο μανομετρικό ύψος απωλειών, hf(μετρημένο σε m), σε τμήμα ευθύγραμμου
αγωγού (σωλήνα) μήκους L (σε m) και διαμέτρου D (σε mm), κατά τη μόνιμη ροή νερού, με
παροχή Q (σεl/s), σε σωλήνα χαλύβδινο σωλήνα (C=100) δίνεται από την αριθμητική σχέση
ReA ReB
ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών
© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 26
87,4
852,1
10
f D100
QL1022,1h −
×= (10)
Οπότε με αντικατάσταση των δεδομένων για τις γραμμικές απώλειες ενέργειας λόγω τριβών
στα δύο τμήματα Α και Β θα έχουμε
( ) ( )[ ]
75,4171,4579,0
4,2524,253100
0,90,61022,1
D100
QL1022,1D
100
QL1022,1hh
87,487,4
852,1
10
87,4
B
852,1
B
1087,4
A
852,1
A
10
fBfA
=+=
×+××
×××=
×+
×=+
−−
−−
(11)
Εδώ παρατηρούμε ότι η δαπάνη ενέργειας λόγω τριβών στο τμήμα Β είναι περίπου
7,203(=4,171/0,579) φορές μεγαλύτερη από ότι στο τμήμα Α.
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Τα προσεγγιστικά αποτελέσματα της H-Wδιαφέρουν από αυτά της D-
Wαλλά η κατανομή των απωλειών στα δύο τμήματα είναι περίπου ίδια.
Θα συνεχίσουμε τους υπολογισμούς μας με τα αποτελέσματα της D-W.
Η εξίσωση Bernoulliμεταξύ των διατομών (1) & (2) που περιέχουν τη στένωση,
ξαναγράφεται πλέον ως εξής:
( )[ ] +=++−+ −g2
UChhhh
g2
UCh
2
222BALBLA
2
111 (12)
( ) ( )LBLA
2
2
2
121BA hh
g2
U
g2
UChhh +−
−+−=− (13)
Η οποία μετά από αντικατάσταση των τιμών δίνει
( ) ( ) m51877,0m42736,2m06400,1m21013,0m2,2m0,6h BA =−−+−=− (14)
Με κατάλληλα ισοζύγια ενέργειας υπολογίζονται και οι πιέσεις, pin&pout, στην είσοδο και
έξοδο της στένωσης.
Από τις εξισώσεις Bernoulli
μεταξύ των διατομών (1) και (in)
m2893,6m28930,0m6hhhg2
UChh
g2
UCh LA1in
2
inininLA
2
111 =+=−=+=−+
και μεταξύ των διατομών (out) και (2)
m338,4m138,2m2,2hhhhhhg2
UChh
g2
UCh LB2out2LBout
2
222LB
2
outoutout =+=+==−+=−+
αφού U1=Uinκαι C1=Cin
ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών
© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 27
και Uout=U2και Cout=C2
Πλέον μπορούμε να σχεδιάσουμε το διάγραμμα υδραυλικής ενέργειας α.μ.β.υ.
ολική (Η), κινητική [CU2/(2g)], μανομετρική [h=p/(ργ)]
Q
p1
1 2
LA
6,0m
2,20m pout
pin p2 LB
2,138m
10m
8m
6m
4m
2m
0m
1,064m 4,338m
Top Related