Download - Συλλογή Ασκήσεων Υδραυλικής Εφαρμογή ... · 2019-05-23 · ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

Transcript
Page 1: Συλλογή Ασκήσεων Υδραυλικής Εφαρμογή ... · 2019-05-23 · ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 1

Συλλογή Ασκήσεων Υδραυλικής–

Εφαρμογή Ισοζυγίου Υδραυλικής Ενέργειας α.μ.β.υ.

(Εξισ. Bernoulli + τριβές)

Άσκηση 4.1

Σε ένα συντριβάνι, νερό αντλείται από τη δεξαμενή με ρυθμό Q=5,0 lt/s και εκτοξεύεται

κατακόρυφα, όπως στο σκαρίφημα. Όλα τα τμήματα της σωλήνωσης έχουν διάμετρο DA=1,5

in, με απόλυτη τραχύτητα ε=0,006 in. Στην απόληξη της σωλήνωσης τοποθετείται ένα

ακροφύσιο το οποίο διαμορφώνει τη διάμετρο της δέσμης του πίδακα σε DΠ=20mm. Οι

τοπικοί συντελεστές αντίστασης στο σημείο

εισόδου, στην καμπύλη και στο ακροφύσιο

είναι αντίστοιχα Κin=1,0, Kc=0,7 και Kj=0,5.

(α) Πόσο είναι το ισοδύναμο ύψος απωλειών?

(β) Τι ισχύ, PA (σε kW) θα πρέπει να δίνει η

αντλία στην εγκατάσταση για να διατηρεί

αυτήν την παροχή?

(γ) Σε τι ύψος, Ηπ, πάνω από την ελεύθερη

επιφάνεια θα φθάνει το νερό του πίδακα?

Δίνονται: Κινηματικό ιξώδες του νερού: ν=1,12x10-6

m2/s. Επιτάχυνση βαρύτητας: g=9,81

m/s2. Πυκνότητα νερού: ρ=1000 kg/m

3, 1 in=25,4 mm

Επίλυση

H μέση ταχύτητα σε όλα τα τμήματα της σωλήνωσης που έχουν διάμετρο DA=1,5in είναι:

π

=2

A

AD

Q4U

( ) ( )s/m39.4U

m1054,25,1

s/m100,54

in5,1

s/lt0,54U A22

33

2A =×××π

××=

×π

×=

(1)

Η τιμή της ταχύτητας στο σωλήνα δεν ευρίσκεται εντός των συνιστώμενων ορίων μιας άρτια

σχεδιασμένης εγκατάστασης (1-2m/s) και θα πρέπει να ληφθούν τα κατάλληλα μέτρα για τη

μείωσή της π.χ. με αύξηση της διαμέτρου του αγωγού. Θα συνεχίσουμε την ανάλυση με την

ίδια διάμετρο.Με όμοιο τρόπο (από την εξίσωση της συνέχειας) υπολογίζεται η μέση

ταχύτητα του πίδακα αμέσως μετά το ακροφύσιο:

( ) ( )s/m92,15V

m1020

s/m100,54

mm20

s/lt0,54V

23

33

2=

××π

××=

×π

×=

(2)

Α) Υπολογισμός ισοδυνάμου ύψους απωλειών

Σε όλα τα τμήματα της σωλήνωσης υπολογίζεται ότι,

Η τιμή του αριθμού Reynolds είναι:

A

DΠ=20mm

Φ1,5” 0,5m

V

2 1

3

2,0m

Page 2: Συλλογή Ασκήσεων Υδραυλικής Εφαρμογή ... · 2019-05-23 · ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 2

( ) 5

26

2

AAAA 1049,1Res/m1012,1

m1054,25,1s/m39,4Re

DUDURe ×=

×

×××=

ν=

µ

ρ=

(3)

Η σχετική τραχύτητα είναι: 004,0in5,1

in006,0==ε (4)

Έτσι, από το διάγραμμα Moody, με βάση τις τιμές των Re& ε, προκύπτει η τιμή του

συντελεστή τριβής:

029,0f ≈

Toολικό ισοδύναμο ύψος απωλειών της εγκατάστασης υπολογίζεται ότι είναι

( )444 3444 2143421

απώλειες τοπικές

2

AjCin

απώλειεςγραμμικές

2

A

A

Lg2

UKKK

g2

U

D

lfH +++= (5)

g2

UKK

D

lfKH

2

AjC

A

inL

+++=

( )

( ) ( ) ×+=×

×

×××+=

××

++×+=

−m982,0903,12,2

s/m81,92

s/m39,4

m1054,25,1

m5,2029,02,2

s/m81,92

s/m39,45,07,0

in5,1

m5,2029,00,1H

2

2

2

2

2

L

m1 05 4,25,1

s/m1 00,54

i n5,1

s/l t0,54

s/m8 1,92

s/m3 8,45,07,0i n5,1

m5,20 2 9,00,1

s/m8 1,92

s/m3 8,45,07,0i n5,1

m5,20 2 9,00,1Hg2

UKK

D

lfK 2

2

33

22

2

2

2

L

2AjC

Ai nL

×××π

××=×π

×

××

++×+=

××

++×+=

+++=

m03,4HL = (6)

Β) Υπολογισμός υδραυλικής ισχύος της αντλίας

Η υδραυλική ισχύς PA, που δίνει η αντλία στην εγκατάσταση, δίνεται από την έκφραση

ΡΑ={παροχή όγκου}x{Διαφορά πίεσης στα άκρα της αντλίας} (7)

Έστω ΗΑ το ισοδύναμο μανομετρικό ύψος της αντλίας. Τότε,

( ) ( )Ain,Aout,AA gHQppQP ρ=−= (8)

Page 3: Συλλογή Ασκήσεων Υδραυλικής Εφαρμογή ... · 2019-05-23 · ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 3

Για να υπολογίσουμε το ΗΑ, θα κάνουμε ένα ισοζύγιο ολικής ενέργειας (Ι.Ο.Ε.) α.μ.β. νερού

μεταξύ των σημείων (1) & (2), δηλαδή μεταξύ της ελεύθερης επιφάνειας της δεξαμενής του

συντριβανιού και του πίδακα του νερού αμέσως μετά την έξοδο του από το ακροφύσιο.

g2

UCy

PH

g2

UCy

P2

222

221

2

111

1 ++γ

=∆+++γ

→ (9)

το οποίο, μετά τις απλοποιήσεις από την καταγραφή των συνθηκών που επικρατούν τοπικά,

atm21 pPP == , 21 yy = , s/m0,0U1 = , LA)21( HHH −=∆ → και

0,1C2 = ∗

γίνεται

g2

VHH

g2

VHH

2

LA

2

LA +==−

( )m918,12m03,4

s/m81,92

s/m92,15m03,4H

2

2

A +=×

+= m95,16HA =

Άρα

AA gHQP ρ=

W398,831s

mN398,831

s

m

s

mkg398,831m95,16

s

m81,9

m

kg1000

s

m105P

223

33

A ===××××= −

kW83,0PA = (10)

Γ) Υπολογισμός ύψους πίδακα

Για να υπολογίσουμε το ύψος Ηπ, που θα φθάσει ο πίδακας, θα κάνουμε ένα ισοζύγιο ολικής

ενέργειας (Ι.Ο.Ε.) α.μ.β. νερού μεταξύ των σημείων (2) & (3), δηλαδή στον πίδακα νερού

αμέσως μετά την έξοδο από το ακροφύσιο και στο ανώτερο σημείο του πίδακα.

g2

UCy

PH

g2

UCy

P2

333

332

2

222

2 ++γ

=∆+++γ

− (11)

το οποίο, μετά τις απλοποιήσεις από την καταγραφή των συνθηκών που επικρατούν τοπικά,

atm32 pPP == , m0y2 = , π= Hy3 , VU2 = , s/m0,0U3 = , m0,0H )32( =∆ − και

1CC 32 ==

γίνεται

( )

×=== ππ 2

222

s/m81,92

s/m92,15

g2

VHH

g2

V m92,12H =π (12)

∗ Σε όλο τον πίδακα έχουμε ομοιόμορφη ροή νερού και όλα τα υλικά σημεία του νερού έχουν την ίδια μέση

ταχύτητα V (σταθερή κατανομή ταχύτητας-εμβολικό προφίλ), άρα ο διορθωτικός συντελεστής κινητικής

ενέργειας ισούται με 1.

Page 4: Συλλογή Ασκήσεων Υδραυλικής Εφαρμογή ... · 2019-05-23 · ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 4

Άσκηση 4.2

Σε ένα υδροηλεκτρικό εργοστάσιο, νερό διοχετεύεται από έναν ταμιευτήρα σε υδροστρόβιλο

Τ, μέσω σωλήνωσης σταθερής διαμέτρου d=30 cm. Το μανομετρικό ύψος του

υδροστροβίλου είναι ΗΤ=65 m. Στην ελεύθερη έξοδο της εγκατάστασης δημιουργείται -με τη

χρήση ακροφυσίου- πίδακας ύψους hf=5,0m. Η διάμετρος του πίδακα αμέσως μετά την έξοδο

του ακροφυσίου είναι df=15 cm.

(α) Yπολογίστε το συνολικό ύψος απωλειών της εγκατάστασης, ΗL.

(β) Πόση είναι η παροχή, Q, του νερού διαμέσου του στροβίλου (σε m3/s, m

3/hr&lt/s)?

(γ) Τέλος, υπολογίστε τη συνολική μέση μανομετρική απώλεια ανά μέτρο μήκους στον

αγωγό, h*(h*=hl/L σε cm/m) υποθέτοντας ότι αυτός είναι κατασκευασμένος από χάλυβα με

τραχύτητα ε=0,0045cm.

Επίλυση

(α) Για να υπολογίσουμε το ισοδύναμο ύψος απωλειών της εγκατάστασης, ΗL, θα κάνουμε

ένα ισοζύγιο ολικής ενέργειας (Ι.Ο.Ε.) α.μ.β. νερού μεταξύ των σημείων (1) & (3), δηλαδή

στην ελεύθερη επιφάνεια του ταμιευτήρα και στην κορυφή του πίδακα αντίστοιχα.

g2

UCy

PH

g2

UCy

P2

333

331

2

111

1 ++γ

=∆+++γ

→ (1)

το οποίο, μετά τις απλοποιήσεις από την καταγραφή των συνθηκών που επικρατούν τοπικά,

atm31 pPP == , s/m0,0U1 → , s/m0,0U3 = , και ( )LT)31( HHH +−=∆ →

γίνεται

( ) ( ) TfTDLT31L3LT1 HhhhHHyyHyHHy −−+=−−=⇔=+−

( ) −−+= mmmmHL 650,54535 mHL 0,10= (1)

(β) Για να υπολογίσουμε την παροχή όγκου διαμέσου του Υ/Σ, αρκεί να υπολογίσουμε τη

μέση ταχύτητα του νερού σε οποιαδήποτε θέση της εγκατάστασης όπου είναι γνωστή η

διάμετρος της φλέβας του νερού. Επιλέγουμε να υπολογίσουμε τη μέση ταχύτητα του νερού

hD=35m

hT=45m

T

d

d

hf=5,0m df

1

2

3 U2

2 df

V

Page 5: Συλλογή Ασκήσεων Υδραυλικής Εφαρμογή ... · 2019-05-23 · ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 5

κατά την έξοδό του από το ακροφύσιο.Για να υπολογίσουμε εκεί την ταχύτητα, θα κάνουμε

ένα ισοζύγιο ολικής ενέργειας (Ι.Ο.Ε.) α.μ.β. νερού μεταξύ των σημείων (2) & (3), δηλαδή

στην έξοδο του νερού από το ακροφύσιο και στην κορυφή του πίδακα αντίστοιχα.

g2

UCy

PH

g2

UCy

P2

333

332

2

222

2 ++γ

=∆+++γ

→ (3)

το οποίο, μετά τις απλοποιήσεις από την καταγραφή των συνθηκών που επικρατούν τοπικά,

atm31 pPP == , m0,0y2 = , 1C2 = #, m0,0H )32( =∆ → και s/m0,0U3 =

γίνεται

=⇔= f23

2

2 gh2Uyg2

U

××= ms

mU 0,581,92

22 smU /905,92 = (4)

Έτσι η παροχή όγκου, Q, υπολογίζεται

( ) ××=== smmQUd

UAQf

905,912,044

2

2

2

22

ππ

hrmslsmQ /49,438/804,121/10804,121 333 ==×= − (5)

(γ)Από την εξίσωση της συνέχειας υπολογίζουμε τη μέση ταχύτητα, V, του νερού εντός του

αγωγού:

=±=± 0AUQi

ii

i

i =−π

04

dU

4

dV

2

f2

2

( )

( )×==

2

2

22

2

30

12905,9/

cm

cmmVddUV f smV /5848,1=

Η τιμή της ταχύτητας στον αγωγό ευρίσκεται εντός των συνιστώμενων ορίων μιας άρτια

σχεδιασμένης εγκατάστασης (1-2m/s).

Στη συνέχεια, υπολογίζουμε την τιμή του αριθμού Reynolds στον αγωγό:

5

2610245,4Re

/1012,1

3,0/5848,1ReRe ×=

×

×===

− sm

msmVdVd

νµ

ρ

Η σχετική τραχύτητα του αγωγού είναι: 00015,0cm30

cm0045,0==ε (6)

# Σε όλο τον πίδακα έχουμε ομοιόμορφη ροή νερού και όλα τα υλικά σημεία του νερού έχουν την ίδια μέση

ταχύτητα V (σταθερή κατανομή ταχύτητας-εμβολικό προφίλ), άρα ο διορθωτικός συντελεστής κινητικής

ενέργειας ισούται με 1.

Page 6: Συλλογή Ασκήσεων Υδραυλικής Εφαρμογή ... · 2019-05-23 · ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 6

Έτσι, από το διάγραμμα Moody, με βάση τις τιμές των Re&ε, προκύπτει η τιμή του

συντελεστή τριβής:

015,0≈f

To ισοδύναμο ύψος των γραμμικών απωλειών στον αγωγό είναι:g2

V

d

Lfh

2

l = . (7)

Δε γνωρίζουμε το μήκος Lτης εγκατάστασης, αλλά μπορούμε να υπολογίσουμε τη συνολική

μέση μανομετρική απώλεια ανά μέτρο μήκουςστον αγωγό,h*,ως εξής:

( )

×××===

2

2

*2

*

/81,923,0

/585,1015,0

2

1

smm

smh

g

U

df

L

hh l mmmh /402,6* = (8)

Δηλαδή, για κάθε m του αγωγού το συνολικό (συμπεριλαμβανομένων των τοπικών

απωλειών) ισοδύναμο ύψος γραμμικών απωλειών είναι 6,402mm.Κάθε 10m αγωγού

6,402cm, κάθε 100m 0,6402mκ.ο.κ.

Πλέον μπορούμε να σχεδιάσουμε το διάγραμμα υδραυλικής ενέργειας α.μ.β.υ.κατά μήκος της

διαδρομής του νερού στην εγκατάσταση, δηλαδή από την ελεύθερη επιφάνεια του νερού στον

ταμιευτήρα έως την ελεύθερη επιφάνεια του νερού στην έξοδο του ακροφυσίου και (αρχή του

πίδακα). Η διαδρομή του νερού έχει αναπτυχθεί οριζόντια χωρίς συγκεκριμένη κλίμακα

απεικόνισης της θέσης των διατομών ενδιαφέροντος κατά μήκος του αγωγού. Ενδεικτικά

έχουμε υποθέσει 500m μήκος αγωγούαπό την είσοδο μέχρι τοακροφύσιο. Η κατακόρυφες

διαστάσεις είναι υπό κλίμακα 1/1000.

: διάγραμμα ολικής υδραυλικής ενέργειας α.μ.β.υ. (Η)

: διάγραμμα δυναμικής ενέργειας α.μ.β.υ. (z )

: διάγραμμα ισοδύναμου μανομετρικού ύψους [h=p/(ρg)]

: συνεισφορά κινητικής ενέργειας α.μ.β.υ. [CU2/(2g)]

Page 7: Συλλογή Ασκήσεων Υδραυλικής Εφαρμογή ... · 2019-05-23 · ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 7

: διάγραμμα ολικής υδραυλικής ενέργειας α.μ.β.υ. (Η)

: διάγραμμα δυναμικής ενέργειας α.μ.β.υ. (z )

: διάγραμμα ισοδύναμου μανομετρικού ύψους [h=p/(ρg)]

: συνεισφορά κινητικής ενέργειας α.μ.β.υ. [CU2/(2g)]

d

hD=35m

hT=45m

d

hf=5m df

T

Q

5,0m

100m

80m

60m

40m

20m

0m

45m

z

h=p/(ρg)

500m

U22/(2g)

35m

80m

CV2/(2g)

65m

z

H, z, h

H

Page 8: Συλλογή Ασκήσεων Υδραυλικής Εφαρμογή ... · 2019-05-23 · ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 8

Άσκηση 4.3

Σε ένα αντλιοστάσιο είναι απαραίτητη η πλήρωση της

δεξαμενής (Δ) χωρητικότητας Ω=1200lt σε ½ ώρα. Η

πλήρωση γίνεται με τη βοήθεια αντλίας (Α) η οποία

αντλεί νερό από πηγάδι (Π) σταθερής στάθμης, και το

στέλνει στη δεξαμενή με σωλήνωση από γαλβανισμένο

σίδηρο. Όλα τα τμήματα της σωλήνωσης έχουν διάμετρο

D=1 in, ενώ το συνολικό της μήκος είναι L=16 m. Η

απόλυτη τραχύτητα των σωλήνων είναι ε=0,006 in. Oι

αδιάστατοι τοπικοί συντελεστές αντίστασης είναι: για τις

γωνίες Κ=0,85, ενώ για τα τμήματα εισόδου και εξόδου,

Κ3=0,72 και K2=1,0 αντίστοιχα. Να υπολογιστούν: (α) η

παροχή Q, (β) το μανομετρικό ύψος των απωλειών της

εγκατάστασης, ΗL, (γ) το απαιτούμενο μανομετρικό ύψος

της αντλίας, HA, και η ιδραυλική ισχύς της, ΡΑ.

Επίλυση

Η δεξαμενή θα πρέπει να γεμίζει σε ½ ώρα, άρα η εγκατάσταση θα πρέπει να αναπτύσσει

παροχή, Q, κατ’ ελάχιστο

s/m10667,0hr/lt2400hr2/1

lt1200Q 33−×=== (1)

Θα υπολογίσουμε το μανομετρικό ύψος απωλειών στην εγκατάσταση. Η μέση ταχύτητα στην

εγκατάσταση (αφού παντού η διάμετρος είναι 1in) είναι

( )s/m316,1

m1054,2

s/m10667,04

D

Q4U

22

33

2=

××π

××=

π=

(2)

Η τιμή της ταχύτητας στο σωλήνα ευρίσκεται εντός των συνιστώμενων ορίων μιας άρτια

σχεδιασμένης εγκατάστασης (1-2m/s).

Οι γραμμικές απώλειες θα υπολογισθούν από τη σχέση Darcy-Weisbach. Υπολογίζουμε την

τιμή του αριθμού Reynolds στον αγωγό:

4

2610985,2Re

s/m1012,1

m0254,0s/m316,1Re

UdUdRe ×=

×

×=

ν=

µ

ρ=

− (3)

Η σχετική τραχύτητα του

αγωγού είναι:

006,0in1

in006,0==ε (4) (4)

Έτσι, από το διάγραμμα

Moody, με βάση τις τιμές

των Re& ε, προκύπτει η

τιμή του συντελεστή τριβής:

0342,0f ≈

12 m

A

Φ 1”

Π

2

1

Δ

4

3

1,0 m

0,5 m

Page 9: Συλλογή Ασκήσεων Υδραυλικής Εφαρμογή ... · 2019-05-23 · ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 9

Toσυνολικό ισοδύναμο μανομετρικό ύψος των απωλειών στην εγκατάσταση είναι:

( )

( )

( )

( )( )

2

2

2

2

2

23

2

23

2'

llL

s/m81,92

s/m316,112,554,21

s/m81,92

s/m316,10,185,0472,0

m0254,0

m160342,0

g2

UKK4K

D

Lf

g2

UKK4K

g2

U

D

LfhhH

××+=

××

+×++×=

=

+++=

+++=+=

άρα m785,0HL = (5)

Για να υπολογίσουμε το απαιτούμενο μανομετρικό ύψος της αντλίας, ΗΑ, θα κάνουμε ένα

ισοζύγιο ολικής ενέργειας (Ι.Ο.Ε.) α.μ.β. νερού (εξίσωση Bernoulli) μεταξύ των σημείων (1)

& (2), δηλαδή στην ελεύθερη επιφάνεια του πηγαδιού και στην έξοδο της εγκατάστασης.

g2

UCy

PH

g2

UCy

P2

222

221

2

111

1 ++γ

=∆+++γ

→ (7)

το οποίο, μετά τις απλοποιήσεις από την καταγραφή των συνθηκών που επικρατούν τοπικά,

atm21 pPP == , , s/m0,0U1 = , LA)21( HHH −=∆ → και 0,1058,1C2 ≅= ∗

γίνεται

g2

UCyHHy

2

222LA1 +=−+ ( )12

2

LA yyg2

VHH −++= (8)

( ) ( )m1m12s/m81,92

s/m316,1m785,0H

2

2

A ++×

+= m873,13HA = (9)

Άρα, η υδραυλική ισχύς της αντλίας μπορεί να υπολογισθεί από τη σχέση

AA gHQP ρ= =××××=−

s

m

s

mkg77,90m873,13

s

m81,9

m

kg1000

s

m10667,0P

223

33

A

W77,90PA = (10)

∗ Αφού Re>4000 έχουμε τυρβώδη ροή στην εγκατάσταση

Page 10: Συλλογή Ασκήσεων Υδραυλικής Εφαρμογή ... · 2019-05-23 · ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 10

Άσκηση 4.4

Σε ένα υδραγωγείο, μια αντλία Α χρησιμοποιείται για την πλήρωση δύο ανοικτών κυλινδρικών δεξαμενών Α και Β με διαμέτρους DA=7mκαι DB=5mαντίστοιχα. Οι δεξαμενές τροφοδοτούνται από την ίδια αντλία με χαλύβδινους σωλήνες διαμέτρου d=5in. Μετά την έξοδο της αντλίας ο σωλήνας διακλαδώνεται σε δύο κλάδους Α & Β. Η ροή σε κάθε κλάδο ελέγχεται με τη βοήθεια συρτών (διακοπτών), ΔΑ& ΔΒ. Το ισοδύναμο ύψος των υδραυλικών απωλειών σε κάθε κλάδο δίνεται από την έκφραση (ΗL =7,7U2/2g), όπου U η μέση ταχύτητα του νερού στο σωλήνα. Για τη συγκεκριμένeς υψομετρικές στάθμες του νερού των δεξαμενών Α& Β και της αντλίας Α, ηαπόλυτη πίεση στην είσοδο της αντλίας είναι pin=1bar, και η ογκομετρική παροχή διαμέσου της αντλίας είναι q=50 l/s.

Να υπολογισθούν:

(α) οι ταχύτητες ανόδου των σταθμών του νερού σε κάθε δεξαμενή, VA&VB στις παρακάτω περιπτώσεις συνδυασμού διακοπτών ΔΑ& ΔΒ (συμπληρώστε τις κενές θέσεις του πίνακα)

ΔΑ ΔΒ VA UA VB UB

ΟΝ OFF

Κλειστός Ανοικτός

Ανοικτός Ανοικτός

Όταν και οι δύο διακόπτες είναι ανοικτοί:

(β) Πόσο πρέπει να είναι το ισοδύναμο μανομετρικό ύψος, ΗΑ, της αντλίας?

(γ) Πόση είναι η ισχύς, ΡΑ, της αντλίας σε kW?

(δ) Πόση είναι η απόλυτη πίεση, pout, στην έξοδο της αντλίας?

Επίλυση

(α) Πρόκειται για ένα απλό πρόβλημα που επιλύεται με εφαρμογή του νόμου της συνέχειας,

όπως αναλυτικά παρουσιάζεται στο Πρόβλημα 3.1. Τα αποτελέσματα της επίλυσης δίνονται

στον πίνακα που ακολουθεί

ΔΑ ΔΒ VA (m/s) VB(m/s) UA(m/s) UB(m/s)

ΟΝ OFF 1,30x10-3

0 3,95 0 (1)

OFF ON 0 2,55x10-3

0 3,95

ON ON 0,861x10-3

2,62 1,33

και ( )

s/m95,3Um0254,05

s/m10504U

d

q4U

2

33

2=

××π

××=

π=

(1)

ΔA

1

pin

y3=55m

Y1=15m

2

Pout

A

y3=25m

DB=5 m DA=7 m

B

yΑ=28m

A

ΔΒ

UA UB

U

Page 11: Συλλογή Ασκήσεων Υδραυλικής Εφαρμογή ... · 2019-05-23 · ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 11

(β) Θα γράψουμε το ισοζύγιο ολικής υδραυλικής ενέργειας α.μ.β. υγρού (εξίσωση Bernoulli)

μεταξύ των θέσεων 1 (είσοδος αντλίας) και των σταθμών στις δύο δεξαμενές, yA&yB,

θεωρώντας τις δύο δεξαμενές ως μία κοινή. (Επειδή οι δύο δεξαμενές είναι συγκοινωνούντα

δοχεία οι στάθμες τους θα είναι στο ίδιο υψόμετρο.)

g2

VCy

PH

g2

UCy

p2

ABAAB

ABAB1

2

111 ++

γ=∆+++

γ→ (2)

Οι συνθήκες που επικρατούν τοπικά είναι

bar1p1 = , bar1pPPP atmBAAB ≅=== , m28yyy BAAB === ,

( )B,LA,LAAB1 HHHH +−=∆ → , (3)

s/m10861,0VVV 3

BAAB

−×=== .

Για τους συντελεστές προσαρμογής κινητικής ενέργειας,

η ροή του νερού (η άνοδος της στάθμης) στις δεξαμενές είναι πρακτικά ομοιόμορφη1,

επομένως 1CC BA ==

ενώ στον αγωγό εισόδου των 5in,

αφού 400010479,4s/m1012,1

inm0254,0in5s/m95,3UdUdRe 5

26>×=

×

××=

ν=

µ

ρ=

−, έχουμε τυρβώδη

ροή και θέτουμε C1=1,058

Επίσης, σύμφωνα με την εκφώνηση, τα ισοδύναμα ύψη μανομετρικών απωλειών εξ αιτίας

τριβών (ιξώδους) στους δύο κλάδους δίνονται από τις εκφράσεις:

g2

U7,7H

2

AA,L = και

g2

U7,7H

2

BB,L = (4)

Επιπλέον θα χρησιμοποιηθούν και τα αποτελέσματα του πίνακα στο ερώτημα (α).

Έτσι η (3) γίνεται

++γ

=

×+×−+++

γ g2

Vy

P

g2

U7,7

g2

U7,7H

g2

UCy

p 2

ABAB

2

B

2

AA

2

111

( )

+×+−+−=

g2

U

g2

U7,7

g2

UC

g2

VyyH

2

B

2

A

2

1

2

1ABA (5)

( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]

2

22223

A

s/m81,92

s/m33,1s/m62,27,7s/m95,3058,1s/m10861,0m15m28H

×

+×+×−×+−=

και μετά από πράξεις προκύπτει η τιμή του ισοδύναμου μανομετρικού ύψους της αντλίας

m547,15HA = (6)

1 Επειδή η ταχύτητα του νερού στις δεξαμενές είναι πολύ μικρή σχετικά με τη διαμέτρους των δεξαμενών,

μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η κατανομή της ταχύτητας είναι σταθερή (η ταχύτητα ανόδου των σταθμών είναι

ομοιόμορφη) - σαν όλη η μάζα του νερού να κινείται με την ίδια ταχύτητα.

Page 12: Συλλογή Ασκήσεων Υδραυλικής Εφαρμογή ... · 2019-05-23 · ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 12

(γ) Η υδραυλική ισχύς, ΡΑ, που παρέχει η αντλία στην εγκατάσταση δίνεται από την έκφραση

ΡΑ={παροχή όγκου}×{Διαφορά πίεσης στα άκρα της αντλίας} (7)

( ) ××××=ρ=−= −

s

m1050m547,15

s

m81,9

m

kg1000PqgHqppP

33

23AAinoutA

kW63,7W8,7625s

J8,7625

s

Nm8,7625PA ==== (8)

(δ) Η απόλυτη πίεση στην έξοδο της αντλίας δίνεται από την προηγούμενη έκφραση

( ) ××+=ρ+=ρ=− m547,15s

m81,9

m

kg1000bar1pgHppqgHqpp

23outAinoutAinout

bar53,2m

N105252,2

m

N1,252516p

2

5

2out =×== (9)

Page 13: Συλλογή Ασκήσεων Υδραυλικής Εφαρμογή ... · 2019-05-23 · ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 13

Άσκηση 4.5

Στο αντλιοστάσιο ενός υδραγωγείου, η αντλία Α δίνει ένα ισοδύναμο μανομετρικό ύψος ΗΑ=45,0m στο νερό που παροχετεύεται διαμέσου του σωλήνα διαμέτρου D=30cm. Το νερό παροχετεύεται, από το σημείο 1 που είναι σε υψομετρική στάθμη 15,0m,στην ελεύθερη έξοδο 3 που είναι σε υψομετρική στάθμη 55,0m. Εάν η απόλυτη πίεση στο σημείο 1 (στην είσοδο της αντλίας) είναι pin=0,86 barκαι το ισοδύναμο ύψος απώλειας ενέργειας από την έξοδο της αντλίας έως την ελεύθερη έξοδο του σωλήνα δίνεται από την έκφραση ΗL,23=8V2/2g, όπου V η μέση ταχύτητα του νερού στο σωλήνα, να ευρεθούν:

(α) Πόση είναι η παροχή, q, διαμέσου του σωλήνα? (30μον) (β) Πόση είναι η ισχύς, PA, της αντλίας σε kW? (10μον) (γ) Πόση είναι η απόλυτη πίεση, pout, στην έξοδο της αντλίας? (20μον)

Λύση

(α) Για να υπολογίσουμε την παροχή, q, θα κάνουμε ένα ισοζύγιο ολικής ενέργειας (Ι.Ο.Ε.)

ανα μονάδα βάρους (α.μ.β.) νερού μεταξύ των σημείων (1) & (3), δηλαδή στην είσοδο της

αντλίας και στην έξοδο της εγκατάστασης.

g2

UCy

pH

g2

UCy

p2

333

331

2

111

1 ++γ

=∆+++γ

− (1)

το οποίο, μετά τις απλοποιήσεις από την καταγραφή των συνθηκών που επικρατούν τοπικά

στις διατομές (1) & (3),

p1=pin=0,86bar, p3=patm=1bar

Γ== UVUA , (σταθερή διάμετρος σωλήνωσης)

( ) ( ))32(,LA)32(,LA)31( HHHHH −−− −=−=∆ (μεταξύ των διατομών 1 & 2, στα άκρα της

αντλίας, οι υδραυλικές απώλειες έχουν συμπεριληφθεί στο ισοδύναμο μανομετρικό ύψος της

αντλίας, άρα οι απώλειες εμφανίζονται μόνο για το τμήμα 2-3), και

31 CC = 2

γίνεται

( ) ( ) =

γ−

γ−−−+

γ=−++

γ−− )32(,L

1313A3

3)32(,LA1

1 Hpp

yyHyp

HHyp

(2)

( ) =

γ−

γ−−−

g2

V0,8

ppyyH

2

1313A ( )

γ−

γ−−−= 13

13A

ppyyH

8

g2V (3)

η οποία, μετά από αντικαταστάσεις των αριθμητικών τιμών, δίνει

2 Εφ’όσον η διάμετρος παραμένει σταθερή σε όλη την εγκατάσταση, η μέση ταχύτητα είναι παντού ίδια και

επομένως ο τύπος της ροής (στρωτή/τυρβώδης) θα είναι παντού ίδιος, άρα C1=C3

D=30cm

V

1

3

pin

y3=55m

y1=15m

2

Pout

A

Page 14: Συλλογή Ασκήσεων Υδραυλικής Εφαρμογή ... · 2019-05-23 · ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 14

( )( )

×

×−−−−××=

33

25

2m/N1081,9

m/N1086,01m15m55m45

s

m81,9

4

1V

s/m96,2V = (4)

Η τιμή της ταχύτητας στο σωλήνα δεν ευρίσκεται εντός των συνιστώμενων ορίων μιας άρτια

σχεδιασμένης εγκατάστασης (1-2m/s) και θα πρέπει να ληφθούν μέτρα να μειωθεί (π.χ. με

αύξηση της διαμέτρου του αγωγού).

Με αυτά τα δεδομένα επομένως η παροχή υπολογίζεται ότι είναι

( )

×π×=

π=

4

m3,0

s

m96,2Q

4

DVQ

22

hr

m23,753

s

m20923,0Q

33

== (5)

(β) Η υδραυλική ισχύς PA, που δίνει η αντλία στην εγκατάσταση, δίνεται από την έκφραση

ΡΑ={παροχή όγκου}x{Διαφορά πίεσης στα άκρα της αντλίας}, ή

( ) ( )Ain,Aout,AA gHQppQP ρ=−= (6)

Άρα

W6,92364s

mN6,92364

s

m

s

mkg6,92364m0,45

s

m81,9

m

kg1000

s

m20923,0P

223

3

A ===×××=

kW36,92PA = (7)

(γ) Από την (5) έχουμε

( ) ( ) ρ+=ρ=− Ain,Aout,AAin,Aout,A gHppgHpp (8)

×+×=××+=2

5

2

5

32out,Am

N10415,4

m

N1086,0m45

m

kg1000

s

m81,9bar86,0p

bar275,5m

N10275,5p

2

5

out,A =×= (9)

Σε ίδια έκφραση με την (9) καταλήγουμε και εάν κάνουμε ένα ισοζύγιο ενέργειας α.μ.β.

νερού (Bernoulli) μεταξύ των διατομών 1 (in) και 2 (out)

A122

A1

2

222

2A

2

111

1 Hppp

Hp

g2

UCy

pH

g2

UCy

p+

γ=

γ

γ=+

γ++

γ=+++

γ (10)

ή AinoutAin

out gHppHg

pgp ρ+=

+

ρρ= (11)

Page 15: Συλλογή Ασκήσεων Υδραυλικής Εφαρμογή ... · 2019-05-23 · ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 15

Άσκηση 4.6

Στον πυθμένα μιας πολύ μεγάλης δεξαμενής γεμάτης με νερό συνδέεται ένας σωλήνας διαμέτρου D=1in. Στην άλλη άκρη του σωλήνα τοποθετείται ακροφύσιο και δημιουργείται ένας πίδακας νερού διαμέτρου d=15mm. Το ισοδύναμο ύψος απωλειών στο σωλήνα (συμπεριλαμβανομένων της εισόδου, των καμπυλών και

του ακροφυσίου) δίνεται από την έκφραση

g2

u2,9H

2

L = .

Να υπολογισθούν:

(α) Η μέση ταχύτητα του νερού στο σωλήνα, u,και αμέσως μετά το ακροφύσιο, V

(β) Το ύψος hf του πίδακα

(γ) Η τιμή του αριθμού Reynolds στο σωλήνα

Λύση

(α) Για να υπολογίσουμε την ταχύτηα, u, αρκεί να υπολογίσουμε τη V. Θα κάνουμε ένα

ισοζύγιο ολικής ενέργειας (Ι.Ο.Ε.) ανα μονάδα βάρους (α.μ.β.) νερού μεταξύ των σημείων (1)

& (3), δηλαδή στην ελεύθερη επιφάνεια της δεξαμενής και στην έξοδο του ακροφυσίου.

g2

UCy

pH

g2

UCy

p2

333

331

2

111

1 ++γ

=∆+++γ

− (1)

το οποίο, μετά τις απλοποιήσεις από την καταγραφή των συνθηκών που επικρατούν τοπικά

στις διατομές (1) & (3),

p1=p3=patm U1=0 U3=V g2

u2,9HH

2

L31 ==∆ − 1C3 = #,

γίνεται

( )g2

V

g2

u2,9yy

g2

VyHy

22

31

2

3L1 =−−+=− (2)

Mε τη βοήθεια της εξίσωσης της συνέχειας (δηλαδή της σταθερής παροχής όγκου πριν και

μετά το ακροφύσιο), συσχετίζουμε την ταχύτητα στον αγωγό, u, με την ταχύτητα μετά το

ακροφύσιο, V,

2

222

D

dVu

4

dV

4

Du =

π=

π (3)

Έτσι η (2) γίνεται

# Σε όλο τον πίδακα έχουμε ομοιόμορφη ροή νερού και όλα τα υλικά σημεία του νερού έχουν την ίδια μέση

ταχύτητα V (σταθερή κατανομή ταχύτητας-εμβολικό προφίλ), άρα ο διορθωτικός συντελεστής κινητικής

ενέργειας ισούται με 1.

10m

9m

V u

D

hf

d=15 mm

3

4

2

1

Page 16: Συλλογή Ασκήσεων Υδραυλικής Εφαρμογή ... · 2019-05-23 · ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 16

( ) ( ) ( )

+=−=

−−=−−

4

42

31

22

2

2

31

22

31

D

d2,91

g2

Vyy

g2

V

D

dV

g2

2,9yy

g2

V

g2

u2,9yy

( ) ( )

+−=

+=−

−1

4

4

31

2

4

42

31

D

d2,91yyg2V

D

d2,91

g2

Vyy

( )

( )

( )

=

×+

−××=

+

−=

s

m93,175

mm4,25

mm152,91

m)019(ms81,92

D

d2,91

yyg2V

4

4

2

4

4

31

s

m264,13V = (4)

από την οποία και με τη βοήθεια της (3) υπολογίζουμε την ταχύτητα στο σωλήνα, u,

( )

( )×==

2

2

2

2

mm4,25

mm15

s

m264,13

D

dVu

s

m626,4u = (5)

Η τιμή της ταχύτητας στο σωλήνα ευρίσκεται εκτός των συνιστώμενων ορίων μιας άρτια

σχεδιασμένης εγκατάστασης (1-3,0 m/s).

(β) Για να υπολογίσουμε το ύψος hf, που θα φθάσει ο πίδακας, θα κάνουμε ένα ισοζύγιο

ολικής ενέργειας (Ι.Ο.Ε.) α.μ.β. νερού μεταξύ των σημείων (3) & (4), δηλαδή στον πίδακα

νερού αμέσως μετά την έξοδο από το ακροφύσιο και στο ανώτερο σημείο του πίδακα.

g2

UCy

PH

g2

UCy

P2

444

443

2

333

3 ++γ

=∆+++γ

− (6)

το οποίο, μετά τις απλοποιήσεις από την καταγραφή των συνθηκών που

επικρατούν τοπικά,

atm34 pPP == , m0y3 = , f4 hy = , VU3 = , s/m0,0U4 = , ΔΗ3-4=0 και C3=1

γίνεται

( )

×==

2

2

ff

2

s/m81,92

s/m264,13hh

g2

Vm97,8h f = (7)

(γ) H τιμή του αριθμού Reynolds στον αγωγό είναι

×

×

ρ=

− s/m1012,1

m0254,0s

m264,13

ReuDuD

Re26

45 1010008,3Re >×= (8)

άρα στον αγωγό επικρατεί πλήρως ανεπτυγμένη τυρβώδης ροή.

Page 17: Συλλογή Ασκήσεων Υδραυλικής Εφαρμογή ... · 2019-05-23 · ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 17

Άσκηση 4.7

Σε έναν αγωγό ενιαίας διαμέτρου d=30mm ρέει νερό

με μέση ταχύτητα U=1,85m/s. Η υψομετρική διαφορά

μεταξύ των οριζόντιων τμημάτων του αγωγού ΑΔ και

ΒΓ είναι h=27m. H οριζόντια απόσταση μεταξύ των

κατακόρυφων τμημάτων του αγωγού ΑΒ και ΓΔ είναι

L=25m Ο τοπικός συντελεστής αντίστασης στις

καμπύλες Α, Β, Γ, Δ είναι παντού Κ=1,2. Η πίεση στη

διατομή (1) του αγωγού είναι p1=4,5bar. Ο αγωγός

είναι χαλύβδινος με απόλυτη τραχύτητα ε=0,046mm.

(α) Να ευρεθούν οι παροχές qAB, qBΓ, qΓΔ, στα τμήματα ΑΒ, ΒΓ & ΓΔ του αγωγού. (5μον.)

(β) Να υπολογισθούν τα ισοδύναμα μανομετρικά ύψη των γραμμικών απωλειών ενέργειας

λόγω τριβών h12&h23, στα ευθύγραμμα τμήματα 12 & 23 του αγωγού (15μον)

(γ) Να υπολογισθούν τα ισοδύναμα μανομετρικά ύψη ολικών απωλειών ενέργειας λόγω

τριβών Η12& Η23, στα τμήματα 12 & 23 της εγκατάστασης (15μον)

(δ) Να υπολογισθούν οι πιέσεις p2&p3 στις διατομές (2) & (3) (15μον).

Σημ. Εάν δεν μπορείτε να υπολογίσετε με ακρίβεια τις γραμμικές απώλειες λόγω τριβών στο

(β) θεωρήστε την τιμή του συντελεστή τριβής f=[0,015+(N/500)]

Λύση

(α) Εφόσον πρόκειται για έναν αγωγό, η παροχή θα είναι παντού (σε κάθε τμήμα του αγωγού)

ίδια, qAB=qΒΓ=qΓΔ=Q, όπου.

( )s

lt308,1

s

m10308,1Q

4

m03,0

s

m85,1

4

dUUAQ

33

22

=×=×π

×=π

== − (1)

(β) Οι γραμμικές απώλειες ενέργειας δίνοναι από το νόμο Darcy-Weisbach,g2

U

D

Lfh

2

f =

Πρώτα προσδιορίζουμε την τιμή του συσντελεστή τριβής, f(Re,ε).

Η τιμή του αριθμού Reynoldsγια τη ροή στον αγωγό είναι:

4

2610955,449554Re

s/m1012,1

m03,0s/m85,1Re

UdUdRe ×==

×

×=

ν=

µ

ρ=

− (2)

Η σχετική τραχύτητα του αγωγού είναι: 0015,0mm30

mm046,0==ε (3)

U

p1 P3

1

2

p2

3

h

Α

Β Γ

Δ

L/2

L

Page 18: Συλλογή Ασκήσεων Υδραυλικής Εφαρμογή ... · 2019-05-23 · ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 18

Έτσι, από το διάγραμμα Moody, με βάση τις τιμές των Re&ε, προκύπτει η τιμή του

συντελεστή τριβής: 025,0f ≈

Έτσι, τo ισοδύναμο μανομετρικό ύψος των γραμμικών απωλειών στο τμήμα 12 του

αγωγούυπολογίζεται ως:

( )m741,5

s/m81,92

s/m85,1

m030,0

m)2/2527(025,0

g2

U

d

2/Lhf

g2

U

D

Lfh

2

22

12

2

12

121212,f =

××

+×=

+== (4)

Αντίστοιχα, τo ισοδύναμο μανομετρικό ύψος των γραμμικών απωλειών στο τμήμα 23 του

αγωγούυπολογίζεται ως:

( ) ( )[ ] ( )

m741,5m1744,09167,32

s/m81,92

s/m85,1

m030,0

m272/25025,0

g2

U

d

h2/Lf

g2

U

D

Lfh

2

22

23

2

23

233223,f

=×=

×+

×=+

== (5)

(γ) Τα ισοδύναμα μανομετρικά ύψη ολικών απωλειών υδρ/κής ενέργειας λόγω τριβών Η12&

Η23, στα αντίστοιχα τμήματα θα υπολογισθούν από τη γενική έκφραση

321321

απωλειεςοπικεςΤ

=

απωλειεςραµµικεςΓ

=

+=TL N

1j

lj

N

1i

fiL hhH , όπου i,jείναι τα εξεταζόμενα τμήματα του αγωγού (6)

Τις γραμμικές απώλειες τις έχουμε ήδη υπολογίσει. Θα χρειασθεί να υπολογίσουμε τις

τοπικές απώλειες.

Το τμήμα 12 του αγωγού έχει δύο γωνιές με τοπικό συντελεστή τριβής Κ=1,2. Έτσι,

( )( )

m4186,0m1744,04,2s/m81,92

s/m85,12,12

g2

UK2

g2

Ukkh

2

222

BA12,l =×=×

××==+= (7)

Page 19: Συλλογή Ασκήσεων Υδραυλικής Εφαρμογή ... · 2019-05-23 · ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 19

Ομοίως, το τμήμα 23 του αγωγού έχει δύο γωνιές με τοπικό συντελεστή τριβής Κ=1,2. Έτσι,

( )( )

m4186,0m1744,04,2s/m81,92

s/m85,12,12

g2

UK2

g2

Ukkh

2

222

23,l =×=×

××==+= ∆Γ (8)

Τώρα πλέον μπορούν να προσδιορισθούν τα ισοδύναμα μανομετρικά ύψη ολικών απωλειών

ενέργειας λόγω τριβών Η12& Η23:

( ) m1596,6m4186,0m741,5m1744,04,29167,32hhH 12,l12,f12,L =+=×+=+= (9)

και

m1596,6m4186,0m741,5hhH 23,l23,f23,L =+=+= (10)

(δ) Οι πιέσεις p2&p3 θα υπολογισθούν με κατάλληλα ισοζύγια ολικής ενέργειας (Ι.Ο.Ε.) ανα

μονάδα βάρους (α.μ.β.) νερού μεταξύ των σημείων (1)-(2) &(2)-(3).

Ι.Ο.Ε. α.μ.β. νερού μεταξύ των σημείων (1)-(2)

g2

UCy

pH

g2

UCy

p2

222

221

2

111

1 ++γ

=∆+++γ

− (11)

το οποίο, μετά τις απλοποιήσεις από την καταγραφή των συνθηκών που επικρατούν τοπικά

στις διατομές (1) & (2),

p1=4,5bar, y1=0 y2=h

UUU 21 == , (σταθερή διάμετρος σωλήνωσης), 21 CC = 3

12,L)21( HH −=∆ −

γίνεται

( ) ( ) γ−γ−+==γ−γ−+

γ+=γ−γ++γ

=−+γ

12,L12212,L211

2212,L1122

12,L11

Hh0pppHyyp

ypHypyp

Hyp

×−×−×=

×−×−×=

222

5

33

5

2

m

N98101596,6

m

N981027

m

N105,4

m

N9810m1596,6

m

N9810m27Pa105,4p

bar247,1Pa10247,1m

N3,124704p 5

22 =×== (12)

Ι.Ο.Ε. α.μ.β. νερού μεταξύ των σημείων (1)-(3)

g2

UCy

pH

g2

UCy

p2

333

331

2

111

1 ++γ

=∆+++γ

− (13)

3 Εφ’όσον η διάμετρος παραμένει σταθερή σε όλη την εγκατάσταση, η μέση ταχύτητα είναι παντού ίδια και

επομένως ο τύπος της ροής (στρωτή/τυρβώδης) θα είναι παντού ίδιος, άρα C1=C2

Page 20: Συλλογή Ασκήσεων Υδραυλικής Εφαρμογή ... · 2019-05-23 · ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 20

το οποίο, μετά τις απλοποιήσεις από την καταγραφή των συνθηκών που επικρατούν τοπικά

στις διατομές (1) & (3),

p1=4,5bar, y1=0 y3=0

UUU 31 == , (σταθερή διάμετρος σωλήνωσης), 31 CC = 4

( ) ( ) m3192,12m1596,6m1596,6HHH 22,L12,L)31( −=+−=+−=∆ −

γίνεται

( ) γ−==γ−γ−+

γ+=γ−γ++γ

=−+γ

13,L13313,L311

3313,L113

3

13,L11

HpppHyyp

ypHypyp

Hyp

×−×=

×−×=

22

5

3

5

3

m

N98103192,12

m

N105,4

m

N9810m3192,12Pa105,4p

bar29,3Pa10291,3m

N6,329148p 5

232 =×== (14)

Το ίδιο αποτέλεσμα θα προκυψει και με ένα Ι.Ο.Ε. α.μ.β. νερού μεταξύ των σημείων (2)-(3)

g2

UCy

pH

g2

UCy

p2

333

332

2

222

2 ++γ

=∆+++γ

− (15)

με τις συνθήκες που επικρατούν τοπικά στις διατομές (2) & (3),

p2=1,247bar, y2=h y3=0

UUU 32 == , (σταθερή διάμετρος σωλήνωσης), 32 CC = 5

4 Εφ’όσον η διάμετρος παραμένει σταθερή σε όλη την εγκατάσταση, η μέση ταχύτητα είναι παντού ίδια και

επομένως ο τύπος της ροής (στρωτή/τυρβώδης) θα είναι παντού ίδιος, άρα C1=C3 5 Εφ’όσον η διάμετρος παραμένει σταθερή σε όλη την εγκατάσταση, η μέση ταχύτητα είναι παντού ίδια και

επομένως ο τύπος της ροής (στρωτή/τυρβώδης) θα είναι παντού ίδιος, άρα C2=C3

Page 21: Συλλογή Ασκήσεων Υδραυλικής Εφαρμογή ... · 2019-05-23 · ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 21

Άσκηση 4.8

Ο μετρητής Ventouri αποτελείται από ένα συγκλίνοντα-αποκλίνοντα κυλινδρικό αγωγό δια

μέσου του οποίου ρέει νερό με ογκομετρική παροχή, Q. Η γεωμετρία του μετρητή Ventouri

είναι δεδομένη (βλέπε σκαρίφημα Εικόνας 1).

Εικόνα 1 Βασικά στοιχεία της γεωμετρίας ενός αγωγού Ventouri. Η διάμετρος εισόδου από

D1 μειώνεται σε D2 και διευρύνεται πάλι σε D1 στην έξοδο

Στην είσοδο και στη στένωση του Ventouri υπάρχουν δύο μανομετρικοί σωλήνες που

συνδέονται σε ένα μικρό πιεστικό δοχείο ώστε να ευρίσκονται στην ίδια πίεση (p1=p2=p). Με

τους μανομετρικούς σωλήνες (ή με οποιοδήποτε άλλο είδος πιεσόμετρου) μετράμε το

μανομετρικό ύψος του νερού στις αντίστοιχες διατομές, h1&h2. Να ευρεθεί η σχέση που δίνει

την ογκομετρική παροχή διαμέσου του αγωγού Ventouri, θεωρώντας συνθήκες ιδανικής ροής

δηλαδή ροής χωρίς απώλειες υδραυλικής ενέργειας λόγω τριβών.

Επίλυση - Υπολογισμός ογκομετρικής παροχής ιδανικής ροής, Qth, σε αγωγό Ventouri

Διατύπωση ισοζυγίου ενέργειας σε φλέβα ροής (Bernoulli)

Το ισοζύγιο συνολικής υδραυλικής ενέργειας α.μ.β. νερού (με αναφορά στο σκαρίφημα της

Εικόνας 1) μεταξύ των δύο διατομών 1 & 2, με εμβαδό Α1& Α2 αντίστοιχα, γράφεται

g2

UCz

PH

g2

UCz

PHHH

2

222

221

2

111

12211 ++

γ=∆+++

γ=∆+ →→ (1)

Επειδή όμως έχουμε:

(α) οριζόντιο αγωγό, z1=z2, και

(β) έχουμε θεωρήσει ιδανική ροή (χωρίς ιξώδες), δεν υπάρχουν ενεργειακές απώλειες λόγω

τριβών, ΗL,1-2=0 και η η κατανομή της ταχύτητας θα είναι ομοιόμορφη, επομένως C1=C2=1.

(γ) επιπλέον δεν υπάρχουν αντλίες ή υδροστρόβιλοι που να προθέτουν ή αφαιρούν ενέργεια

από τον όγκο ελέγχου (μεταξύ των διατομών 1 & 2) οπότε ΗΑ=ΗΤ-=0

Από όλα τα προηγούμενα ΔΗ1-2=ΗΑ-ΗΤ-ΗL,1-2=0 κι έτσι η προηγούμενη εξίσωση γίνεται

p1=p2=p

z1 z2

U1

U2

h1 h2

z=0

D1 D2

παροχή,Q

συγκλίνον τµήµα αγωγού

αποκλίνον

τµήµααγωγού

g +z

D1

Page 22: Συλλογή Ασκήσεων Υδραυλικής Εφαρμογή ... · 2019-05-23 · ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 22

g2

Uhp

g2

Uhp

g2

UP

g2

UP 2

212

2

111

2

2

2

2

2

11 +γ

γ+=+

γ

γ++

γ=+

γ (2)

και επειδή υπάρχει εξισορρόπηση πίεσεων στο θάλαμο υπερπίεσης (κολεκτέρ) που

καταλήγουν τα μανομετρικά σωληνάκια, p1=p2, η προηγούμενη σχέση καταλήγει στην απλή

μορφή

( ) ( )

−=−

−=−+=+ 1

U

UUhhg21

U

U

g2

Uhh

g2

Uh

g2

Uh

2

1

2

22

1212

1

2

2

2

1

21

2

2

2

2

1

1 (3)

και επειδή -από το νόμο της συνέχειας- ισχύει

2

1

1

22211

A

A

U

UAUAUQ === (4)

και τότε

( ) ( )

( )

−=−

−=−

−=−

2

1

2

2

2

th21

2

1

2

2

2

1

2

1212

2

2

12

121

A

1

A

1Qhhg2

A

1

A

1AUhhg21

A

AUhhg2

(5)

Έτσι η θεωρητική ογκομετρική παροχή για την περίπτωση ιδανικής ροήςσε σωλήνα

Ventouri προκύπτει ως εξής:

( )( )

( )( )212

21

1

212

12

2th

hhg21AA

1A

ίhhg2AA1

1AQ

−−

=

τεε−−

=

(6)

Page 23: Συλλογή Ασκήσεων Υδραυλικής Εφαρμογή ... · 2019-05-23 · ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 23

Άσκηση 4.9

Στο τμήμα μιας εγκατάστασης που απεικονίζεται στο σκαρίφημα να υπολογισθούν οι πιέσεις

p1, p2, το ισοδύναμο ύψος απωλειών υδραυλικής ενέργειας λόγω τριβών στη στένωση του

ευθύγραμμου σωλήνα, hA-B, οι πιέσεις pin, pout, στην είσοδο και έξοδο της στένωσης, και να

σχεδιασθεί το διάγραμμα υδραυλικής ενέργειας α.μ.β.υ. κατά μήκος των αγωγών Α & Β οι

οποίοι είναι από γαλβανισμένο σίδηρο.

Δεδομένα

Ισοδύναμα μανομετρικά ύψη στις διατομές (1) & (2): h1=6,0m, h2=2,2m,

Διάμετροικαιμήκηαγωγών DA=3,0in, DB=2,0in, &LA=LB=6,0m

Παροχή Q=9,0 l/s

Κινηματικό ιξώδες του νερού: ν=1,12×10-6

m2/s. Επιτάχυνση βαρύτητας: g=9,81 m/s

2.

Πυκνότητα νερού: ρ=1000 kg/m3, 1 in=25,4 mm

Επίλυση

Οι πιέσεις p1&p2υπολογίζονται απευθείας από τον ορισμό των ισοδύναμων μανομετρικών

υψών:

ghpg

ph ρ=

ρ= (1)

Οπότε αντικαθιστώντας τα δεδομένα έχουμε κατά περίπτωση

bar6,21Pa0,21582s

N0,21582m

s

m

m

kg0,21582m2,2

s

m81,9

m

kg1000p

bar9,58Pa58860s

N0,58860m

s

m

m

kg0,58860m0,6

s

m81,9

m

kg1000p

223232

223231

====××=

====××=

(2)

Επειδή μεταξύ των αγνώστων είναι και οι απώλειες υδραυλικής ενέργειας λόγω τριβών θα

πρέπει να χρησιμοποιήσουμε το ισοζύγιο ολικής υδραυλικής ενέργειας (εξίσωση Bernoulli)

μεταξύ όποιων διατομών απαιτείται. Απαραίτητη προϋπόθεση είναι να υπολογίσουμε όπου

μπορούμε τις μέσες ταχύτητες για να έχουμε μια εκτίμηση της κινητικής ενέργειας σε

διάφορες διατομές.

Η UAμπορεί να υπολογισθεί από τον ορισμό της μέσης ταχύτητας:

Q

p1

1 2

LA

h1

h2 pout

pin

p2 LB

Page 24: Συλλογή Ασκήσεων Υδραυλικής Εφαρμογή ... · 2019-05-23 · ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 24

π

==2

AA

AD

Q4

A

QU

( )s/m974,1

m0254,03

s/m100,94U

2

33

A =×π

××=

(3)

Την UBμπορούμε να τη βρούμε είτε από τον ορισμό της είτε από την εξίσωση συνέχειας.

(Στην περίπτωση μας είναι πιο απλοί οι υπολογισμοί.)

====2

B

2

A

B

AABAABB

D

D

A

AUUAUAUQ

( )( )

s/m442,4in2

in3

s

m974,1U

2

2

B =×= (4)

Για τον υπολογισμό των απωλειών υδραυλικής ενέργειας λόγω τριβών στη στένωση θα

πρέπει να εφαρμόσουμε την εξίσωση Bernoulliμεταξύ δύο διατομών που να περιέχουν τη

στένωση (και να γνωρίζουμε όλες τις συνιστώσες της υδραυλικής ενέργειας).

g2

UCz

pH

g2

UCz

p2

222

221

2

111

1 ++γ

=∆+++γ

→ (5)

το οποίο, μετά τις απλοποιήσεις από την καταγραφή των συνθηκών που επικρατούν τοπικά,

p1, p2 γνωστά, 21 zz = (οριζόντιος αγωγός), U1, U2γνωστά

( ) BALBLA)21( hhhH −→ −+−=∆ όπου η παρένθεση περιγράφει τις γραμμικές απώλειες

υδρ/κής ενέργειας λόγω τριβών στους σωλήνες Α & Β.

Οι τιμές των C1C2 θα τεθούν μετά την εκτίμηση του είδους της ροής (στρωτή/τυρβώδης)

αφού υπολογισθούν οι αντίστοιχοι αριθμοί Reynolds.

Οι τιμές του αριθμού Reynoldsστους δύο σωλήνες είναι:ν

ρ=

UDUDRe

( )

( ) 5

B26

2

B

5

A26

2

A

10015,243,201476Res/m1012,1

m1054,20,2s/m442,4Re

10343,15,302,134Res/m1012,1

m1054,20,3s/m974,1Re

×==×

×××=

×==×

×××=

(6)

Αφού ReB&ReA> 104, επικρατεί τυρβώδης ροή και στους δύο σωλήνες, άρα C1=C2=1,058

Σημειώνουμε εδώτις κινητικές ενέργειες α.μ.β.υ. στις διατομές (1) & (2) γιατί θα μας

χρειασθούν αργότερα για τα διαγράμματα ενέργειας.

( )

( )m06400,1

s/m81,92

s/m442,4058,1

g2

UC

m21013,0s/m81,92

s/m974,1058,1

g2

UC

2

22

22

2

22

11

×=

×=

(7)

Στη συνέχεια, για να εκμεταλλευθούμε την εξίσωση Bernoulliμε μοναδικό άγνωστο μέγεθος

το hA-B, θα πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε τις απώλειες υδραυλικής ενέργειας λόγω τριβών

στους σωλήνες Α & Β (γραμμικές απώλειες).

Αυτό μπορεί να γίνει με δύο τρόπους, είτε σύμφωνα με τη μέθοδο Darcy-Weisbachκαι το

διάγραμμα Moody, είτε με τη μέθοδο Hazen-Williams. Η πρώτη είναι ακριβής αλλά

περισσότερο κοπιαστική από τη δεύτερη. Θα εφαρμόσουμε και τις δύο μεθοδολογίες και θα

συγκρίνουμε τα αποτελέσματα.

Page 25: Συλλογή Ασκήσεων Υδραυλικής Εφαρμογή ... · 2019-05-23 · ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 25

I) Darcy-Weisbach&διάγραμμαMoody

Οι σχετικές τραχύτητες είναι: 002,0in0,3

in006,0A ==ε και 003,0

in0,2

in006,0A ==ε (8)

Έτσι, από το διάγραμμα Moody, με βάση τις τιμές των (ReA, εA) και (ReΒ, εΒ) προκύπτουν οι

τιμές των αντιστοίχων συντελεστών τριβής:

fA≈0,0185

fB≈0,0180

Έτσι από τον τύπο Darcy-Weisbach, τo ισοδύναμο μανομετρικό ύψος γραμμικών απωλειών

της εγκατάστασης υπολογίζεται ότι είναι

( ) ( )

( ) ( ) ( )

[ ]m42736,2m13805,2m28930,0

1775823,00240295,0m03978,12

442,42

0180,0974,1

3

0185,0

s/m

s/m

81,920254,0

6

s/m81,92

s/m442,4

m0254,02

m60180,0

s/m81,92

s/m974,1

m0254,02

m60185,0hh

g2

U

D

Lf

g2

U

D

Lfhh

22

2

2

2

2

2

2

LBLA

2

B

B

B

B

2

A

A

A

ALBLA

=+=

+×=

×+××

××=

××

××+

××

××=+

+=+

(9)

Ενώ επίσης παρατηρούμε ότι η δαπάνη ενέργειας λόγω τριβών στο τμήμα Β είναι περίπου

7,39(=0,1776/0,0240) φορές μεγαλύτερη από ότι στο τμήμα Α.

IΙ) Hazen-Williams

Για λόγους σύγκρισης θα εφαρμόσουμε την αριθμητική σχέση Hazen-Williamsγια νερό 20οC,

γνωρίζοντας ότι δε θα έχουμε τόσο καλή ακρίβεια.

Το ισοδύναμο μανομετρικό ύψος απωλειών, hf(μετρημένο σε m), σε τμήμα ευθύγραμμου

αγωγού (σωλήνα) μήκους L (σε m) και διαμέτρου D (σε mm), κατά τη μόνιμη ροή νερού, με

παροχή Q (σεl/s), σε σωλήνα χαλύβδινο σωλήνα (C=100) δίνεται από την αριθμητική σχέση

ReA ReB

Page 26: Συλλογή Ασκήσεων Υδραυλικής Εφαρμογή ... · 2019-05-23 · ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 26

87,4

852,1

10

f D100

QL1022,1h −

×= (10)

Οπότε με αντικατάσταση των δεδομένων για τις γραμμικές απώλειες ενέργειας λόγω τριβών

στα δύο τμήματα Α και Β θα έχουμε

( ) ( )[ ]

75,4171,4579,0

4,2524,253100

0,90,61022,1

D100

QL1022,1D

100

QL1022,1hh

87,487,4

852,1

10

87,4

B

852,1

B

1087,4

A

852,1

A

10

fBfA

=+=

×+××

×××=

×+

×=+

−−

−−

(11)

Εδώ παρατηρούμε ότι η δαπάνη ενέργειας λόγω τριβών στο τμήμα Β είναι περίπου

7,203(=4,171/0,579) φορές μεγαλύτερη από ότι στο τμήμα Α.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Τα προσεγγιστικά αποτελέσματα της H-Wδιαφέρουν από αυτά της D-

Wαλλά η κατανομή των απωλειών στα δύο τμήματα είναι περίπου ίδια.

Θα συνεχίσουμε τους υπολογισμούς μας με τα αποτελέσματα της D-W.

Η εξίσωση Bernoulliμεταξύ των διατομών (1) & (2) που περιέχουν τη στένωση,

ξαναγράφεται πλέον ως εξής:

( )[ ] +=++−+ −g2

UChhhh

g2

UCh

2

222BALBLA

2

111 (12)

( ) ( )LBLA

2

2

2

121BA hh

g2

U

g2

UChhh +−

−+−=− (13)

Η οποία μετά από αντικατάσταση των τιμών δίνει

( ) ( ) m51877,0m42736,2m06400,1m21013,0m2,2m0,6h BA =−−+−=− (14)

Με κατάλληλα ισοζύγια ενέργειας υπολογίζονται και οι πιέσεις, pin&pout, στην είσοδο και

έξοδο της στένωσης.

Από τις εξισώσεις Bernoulli

μεταξύ των διατομών (1) και (in)

m2893,6m28930,0m6hhhg2

UChh

g2

UCh LA1in

2

inininLA

2

111 =+=−=+=−+

και μεταξύ των διατομών (out) και (2)

m338,4m138,2m2,2hhhhhhg2

UChh

g2

UCh LB2out2LBout

2

222LB

2

outoutout =+=+==−+=−+

αφού U1=Uinκαι C1=Cin

Page 27: Συλλογή Ασκήσεων Υδραυλικής Εφαρμογή ... · 2019-05-23 · ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

ΠΑΔΑ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Μηχανική Ρευστών

© Δρ. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τήςΠΑΔΑ 24/5/2019 27

και Uout=U2και Cout=C2

Πλέον μπορούμε να σχεδιάσουμε το διάγραμμα υδραυλικής ενέργειας α.μ.β.υ.

ολική (Η), κινητική [CU2/(2g)], μανομετρική [h=p/(ργ)]

Q

p1

1 2

LA

6,0m

2,20m pout

pin p2 LB

2,138m

10m

8m

6m

4m

2m

0m

1,064m 4,338m