1

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ — ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ — ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ

2019 — 2020

Υπολογιστική Φυσική, ΕΚΠΑ 2019-20 Κώστας Βελλίδης

2Υπολογιστική Φυσική, ΕΚΠΑ 2019-20 Κώστας Βελλίδης

Στοιχεία επικοινωνίας

Mail: cev16ua@gmail.com για όλες τις ερωτήσεις και εργασίες

Κώστας Βελλίδης: ΙΕΣΕ, β’ όροφος, τηλ. 210 727 6895 Τομέας Πυρηνικής & Σωματιδιακής Φυσικής, β’ όροφος, γραφείο νβ3, τηλ. 210 727 6946

3

ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ

Υπολογιστική Φυσική, ΕΚΠΑ 2019-20 Κώστας Βελλίδης

4

Πολυωνυμική παρεμβολή Lagrange

Υπολογιστική Φυσική, ΕΚΠΑ 2019-20 Κώστας Βελλίδης

Δίνονται οι τιμές μιας συνάρτησης στα διαφορετικά μεταξύ τους σημεία . Ζητάμε να βρούμε ένα πολυώνυμο , το πολύ βαθμού , το οποίο να παίρνει τις ίδιες τιμές με τη συνάρτηση στα σημεία παρεμβολής : . Υπό προϋποθέσεις για την ομαλότητα της στο διάστημα , το πολυώνυμο παρεμβολής προσεγγίζει τη συνάρτηση σε όλο αυτό το διάστημα.

fi = f(xi), i = 0(1)n f(x)xi pn(x) n

f(x) xi pn(xi) = fif(x) [x0, xn]

pn(x)

Οι συνθήκες για το πολυώνυμο οδηγούν σε ένα γραμμικό σύστημα εξισώσεων με αγνώστους . Η λύση του, ακόμη και για μικρό , είναι πολύ ασταθής λόγω των μεγάλων σφαλμάτων στρογγύλευσης που αναπτύσσονται. Το προσδιορίζεται πολύ πιο εύκολα από την έκφραση:

pn(xi) = fi pn(x) = anxn + an−1xn−1 + … + a1x + a0n + 1 n + 1 ai

npn(x)

pn(x) =n

∑i=0

fiLi(x) όπου Li(xj) = δij i, j = 0(1)n

αν και αν είναι το σύμβολο του Kronecker. Το πολυώνυμο που δίνεται από αυτήν την έκφραση λέγεται πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange. Τα πολυώνυμα λέγονται συντελεστές παρεμβολής Lagrange και έχουν τη μορφή:

δij = 1 i = j 0 i ≠ j pn(x)

Li(x)

Li(x) =(x − x0)…(x − xi−1)(x − xi+1)…(x − xn)

(xi − x0)…(xi − xi−1)(xi − xi+1)…(xi − xn)

5

Πεπερασμένες διαφορές

Προς τα εμπρός: Δfm = f(xm+1) − f(xm) = fm+1 − fm

Δkfm = Δ(Δk−1fm) = Δk−1fm+1 − Δk−1fm

Προς τα πίσω: ∇fm = f(xm) − f(xm−1) = fm − fm−1

∇kfm = ∇(∇k−1fm) = ∇k−1fm − ∇k−1fm−1

Δkfm = ∇kfm+k

Δnf (x) = f (x + nh) + (−1)1(n1) f (x + (n − 1)h) + … + (−1)n(n

n) f (x) (nk) =

n!k!(n − k)!

Πηλίκα διαφορών: f(x0x1) =f0 − f1x0 − x1

f(x0x1…xk−1xk) =f(x0x1…xk−1) − f(x1…xk−1xk)

x0 − xk=

k

∑i=0

fi∏k

j=0, j≠i (xi − xj)

f(x0x1…xm) =Δmf0m!hm

Υπολογιστική Φυσική, ΕΚΠΑ 2019-20 Κώστας Βελλίδης

6

Πολυωνυμική παρεμβολή Newton

Πολυώνυμο παρεμβολής Newton: pn(x) = f0 + f(x0x1)(x − x0) + … + f(x0x1…xn)(x − x0)…(x − xn−1)

Για ισαπέχοντα σημεία :xi = x0 + ih, i = 0(1)n pn(x) = f0 + (θ1) Δf0 + … + (θ

n) Δnf0

θ =x − x0

h

Με διαφορές προς τα πίσω: pn(x) = f0 − (θ1)∇f0 + (θ

2)∇2f0 − … + (−1)n(θn)∇nf0

Διόρθωση στην παρεμβολή: Rn+1 = f(x) − pn(x) =f (n+1)(ξ)(n + 1)!

n

∏i=0

(x − xi)

ξ ∈ I = [min{x, x0, x1, …, xn}, max{x, x0, x1, …, xn}]

f(x) ∈ Cn+1(I ) δηλ. έχει συνεχείς τις πρώτες παραγώγους της στο διάστημα .

n + 1I

Υπολογιστική Φυσική, ΕΚΠΑ 2019-20 Κώστας Βελλίδης

7

ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ

Υπολογιστική Φυσική, ΕΚΠΑ 2019-20 Κώστας Βελλίδης

8

Παραγώγιση Newton-Gregory

Προσεγγίζοντας τη συνάρτηση με κάποιο πολυώνυμο παρεμβολής: f (k)(x) ≈ p(k)(x)

Π.χ., επιλέγοντας ένα πολυώνυμο Newton , η πρώτη παράγωγος προσεγγίζεται από την παράγωγο του πολυωνύμου:

pn(x) = f0 + (θ1) Δf0 + … + (θ

n) Δnf0

f′�(x) ≈1h [Δf0 + (θ −

12 ) Δ2f0 + … +

ddθ (θ

n) Δnf0]f′�(x0) ≈

1h [Δf0 −

12

Δ2f0 + … +d

dθ (θn) |θ=0 Δnf0]

Η τάξη παραγώγισης πρέπει να μην υπερβαίνει το βαθμό παρεμβολής, π.χ.:

n = 1 ⇒ f′�(x0) ≈1h

Δf0 =f1 − f0

h

n = 2 ⇒ f′�(x0) ≈1h (Δf0 −

12

Δ2f0) = −f2 − 4f1 + 3f0

2h

f′�′�(x0) ≈d2p2(x)

dx2|x=x0

=1h2

d2p2(x)dθ2

|θ=0 =1h2

Δ2f0 =f2 − 2f1 + f0

2h2

Υπολογιστική Φυσική, ΕΚΠΑ 2019-20 Κώστας Βελλίδης

9

Η μέθοδος των προσδιοριστέων συντελεστών

• Αντί να χρησιμοποιήσουμε έτοιμο τύπο παρεμβολής, φτιάχνουμε έναν τύπο παραγώγισης εξειδικευμένο στο πρόβλημα, προσεγγίζοντας την παράγωγο με γραμμικό συνδυασμό γνωστών τιμών της συνάρτησης σε κάποια σημεία. Προσδιορίζουμε τους συντελεστές του συνδυασμού απαιτώντας μέγιστη ακρίβεια της προσέγγισης για μια σειρά στοιχειωδών συναρτήσεων που αντικαθιστούμε στη θέση της συνάρτησης.

• Η πρακτικότερη επιλογή στοιχειωδών συναρτήσεων είναι τα μονώνυμα .1, x, x2, …

• Αν χρησιμοποιήσουμε ένα συνδυασμό με παραμέτρους, τότε χρειαζόμαστε όλα τα μονώνυμα με . Επειδή ο τελεστής παραγώγισης είναι γραμμικός, ο τελικός τύπος παραγώγισης θα είναι ακριβής για πολυώνυμα βαθμού μέχρι και .

nxk | k = 0(1)m m ≥ n − 1

i ≥ m

• Οι ανισότητες (αντί για αυστηρά ισότητες) στους βαθμούς και προκύπτουν γιατί ανάμεσα στις εξισώσεις που δημιουργούνται αντικαθιστώντας τη συνάρτηση με μονώνυμα είναι πιθανό να υπάρχουν και ταυτότητες, οπότε αυξάνεται ο βαθμός των μονωνύμων που απαιτούνται για τον προσδιορισμό όλων των συντελεστών και ο βαθμός των πολυωνύμων για τα οποία ο τελικός τύπος είναι ακριβής.

m i

Υπολογιστική Φυσική, ΕΚΠΑ 2019-20 Κώστας Βελλίδης

10

Η μέθοδος των προσδιοριστέων συντελεστών: Παράγωγος σε δοσμένο σημείο της συνάρτησης

Αναζητούμε τους συντελεστές και έτσι ώστε ο τύπος , με και την προϋπόθεση , να έχει τη μέγιστη δυνατή ακρίβεια.

α β f′�(x) ≈ αf(x) + βf(x − h) h > 0f(x) ∈ C2 ([x − h, x])

Θέτουμε και , οπότε ο ζητούμενος τύπος απαιτεί .A = f′�(x) B = αf(x) + βf(x − h) A = B

f(x) = 1 ⇒ A = 0, B = α + β ⇒ α + β = 0

f(x) = x ⇒ A = 1, B = (α + β)x − βh = − βh ⇒ − βh = 1 } ⇒ α =1h

, β = −1h

⇒ f′�(x) ≈f(x) − f(x − h)

h

f(x) = x2 ⇒ A = 2x, B = 2x − h ⇒ A ≠ B Παραγώγιση ακρίβειας πρώτου βαθμού.

Σφάλμα αποκοπής: E =f(x) − f(x − h)

h− f′�(x)

Taylor: f(x − h) = f(x) − hf′�(x) +h2

2!f′�′�(ξ), ξ ∈ (x − h, x)

} ⇒ E = −h2

f′�′�(ξ)

Υπολογιστική Φυσική, ΕΚΠΑ 2019-20 Κώστας Βελλίδης

11

Η μέθοδος των προσδιοριστέων συντελεστών: Παράγωγος στο μέσο δύο δοσμένων σημείων της συνάρτησης

Αναζητούμε και ώστε ο τύπος , με και την προϋπόθεση , να έχει τη μέγιστη δυνατή ακρίβεια.

α β f′�0 ≈ αf1 + βf−1 fi = f(xi) = f(x0 + ih) | i = − 1, 0, 1f(x) ∈ C3 ([x−1, x1])

Θέτουμε και , οπότε ο ζητούμενος τύπος απαιτεί .A = f′�0 B = αf1 + βf−1 A = B

f(x) = 1 ⇒ A = 0, B = α + β ⇒ α + β = 0

f(x) = x ⇒ A = 1, B = (α − β)h ⇒ α − β =1h

⇒ f′ �0 ≈f1 − f−1

2h

f(x) = x2 ⇒ A = 2x0, B = 2x0 ⇒ A = B

f(x) = x3 ⇒ A = 3x20 , B = 3x2

0 + h2 ⇒ A ≠ B Παραγώγιση ακρίβειας 2ου βαθμού.

Σφάλμα αποκοπής:

E =f1 − f−1

2h− f′�0

=h2

12 [f′�′�′�(ξ1) + f′�′�′�(ξ2)]

} α =12h

β = −12h

{⇒

Taylor: f1 = f(x0 + h) = f0 + hf′�0 +h2

2!f′�′�0 +

h3

3!f′�′�′�(ξ1), ξ1 ∈ (x0, x1)

f−1 = f(x0 − h) = f0 − hf′�0 +h2

2!f′�′�0 −

h3

3!f′�′�′�(ξ2), ξ2 ∈ (x−1, x0)

m ≤ f′�′�′�(ξ1,2) ≤ M, m ≡ minx∈[x−1,x1]

{f′�′�′�(x)}, M ≡ maxx∈[x−1,x1]

{f′�′ �′ �(x)} ⇒ m ≤f′�′�′�(ξ1) + f′�′�′�(ξ2)

2≤ M

⇒ ∃ξ ∈ [x−1, x1] : f′�′�′�(ξ) =f′�′�′�(ξ1) + f′�′�′�(ξ2)

2⇒ E =

h2

6f′�′�′ �(ξ), ξ ∈ [x−1, x1]

Υπολογιστική Φυσική, ΕΚΠΑ 2019-20 Κώστας Βελλίδης

12

ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ

Υπολογιστική Φυσική, ΕΚΠΑ 2019-20 Κώστας Βελλίδης

13

Ολοκλήρωση Newton-Cotes

Προσεγγίζοντας τη συνάρτηση με κάποιο πολυώνυμο παρεμβολής: ∫b

af(x)dx ≈ ∫

b

ap(x)dx

Π.χ., επιλέγοντας ένα πολυώνυμο Newton , προκύπτουν οι τύποι ολοκλήρωσης Newton-Cotes:

pn(x) = f0 + (θ1) Δf0 + … + (θ

n) Δnf0

∫xn−a

xa

f(x)dx ≈ ∫xn−a

xa

pn(x)dx

x = x0 + θh ⇒ dx = hdθ ⇒ ∫xn−a

xa

f(x)dx ≈ h∫n−a

apn(x)dθ

με ισαπέχοντα σημεία παρεμβολής :xi, i = 0(1)n

Κλειστοί τύποι Newton-Cotes.a = 0 ⇒ ∫xn

x0

f(x)dx ≈ h∫n

0pn(x)dθ

Ανοιχτοί τύποι Newton-Cotes.a = − 1 ⇒ ∫xn+1

x−1

f(x)dx ≈ h∫n+1

−1pn(x)dθ

Τύποι Newton-Cotes μερικής έκτασης.a = 1 ⇒ ∫xn−1

x1

f(x)dx ≈ h∫n−1

1pn(x)dθ

Υπολογιστική Φυσική, ΕΚΠΑ 2019-20 Κώστας Βελλίδης

14

Κλειστοί τύποι Newton-Cotes

n = 1 ⇒ ∫x1

x0

f(x)dx ≈ h∫1

0p1(x)dθ = h∫

1

0[f0 + (θ

1) Δf0] dθ = h [f0θ +θ2

2Δf0]

1

0

= h [f0 +12

( f1 − f0)] =h2

( f0 + f1)

Εφαρμογή σε ίσα διαδοχικά διαστήματα στα σημεία :k = 2,3,… xi = x0 + ih, i = 0(1)k

∫xk

x0

f(x)dx ≈h2

( f0 + 2f1 + … + 2fk−1 + fk) Κανόνας του τραπεζίου.

n = 2 ⇒ ∫x2

x0

f(x)dx ≈ h∫2

0p2(x)dθ = h∫

1

0[f0 + (θ

1) Δf0 + (θ2) Δ2f0] dθ = h [2f0 + 2( f1 − f0) −

13

( f2 − 2f1 + f0)] =h3

( f0 + 4f1 + f2)

Εφαρμογή σε ίσα διαδοχικά διαστήματα στα σημεία :2k, k = 2,3,…, xi = x0 + ih, i = 0(1)2k

∫x2k

x0

f(x)dx ≈h3

( f0 + 4f1 + 2f2 + … + 2f2k−2 + 4f2k−1 + f2k) Κανόνας του 1/3 ήκανόνας του Simpson.

n = 3 ⇒ ∫x3

x0

f(x)dx ≈ h∫3

0p3(x)dθ = h∫

1

0[f0 + (θ

1) Δf0 + (θ2) Δ2f0 + (θ

3) Δ3f0] dθ =38

h( f0 + 3f1 + 3f2 + f3)

Εφαρμογή σε ίσα διαδοχικά διαστήματα στα σημεία :3k, k = 2,3,…, xi = x0 + ih, i = 0(1)3k

∫x3k

x0

f(x)dx ≈38

h( f0 + 3f1 + 3f2 + 2f3 + … + 2f3k−3 + 3f3k−2 + 3f3k−1 + f3k) Κανόνας των 3/8.

Υπολογιστική Φυσική, ΕΚΠΑ 2019-20 Κώστας Βελλίδης

15

Σφάλματα αποκοπής στους τύπους Newton-Cotes

En,a = ∫xn−a

xa

[pn(x) − f(x)] dx = − ∫xn−a

xa

Rn+1(x)dx = −f (n+1)(ξ)(n + 1)! ∫

xn−a

xa

n

∏i=0

(x − xi)dx = −f (n+1)(ξ)hn+2

(n + 1)! ∫n−a

a

n

∏i=0

(θ − i)dθ

ξ ∈ I = [min{x, x0, x1, …, xn}, max{x, x0, x1, …, xn}]

Από τη διόρθωση στην παρεμβολή:

f(x) ∈ Cn+1(I )

Στον κανόνα του τραπεζίου: E1,0 =h3

12f (2)(ξ) ξ ∈ [x0, x1]

Στον κανόνα του Simpson: E2,0 =h5

90f (4)(ξ) ξ ∈ [x0, x2]

Στον κανόνα των 3/8: E3,0 =h5

80f (4)(ξ) ξ ∈ [x0, x3]

Συμπέρασμα: Αν η ολοκληρωτέα συνάρτηση είναι πολυώνυμο μέχρι πρώτου βαθμού (κανόνας τραπεζίου) ή μέχρι τρίτου βαθμού (κανόνες Simpson και 3/8), τότε οι αντίστοιχοι κανόνες ολκλήρωσης είναι ακριβείς.

f(x)

Υπολογιστική Φυσική, ΕΚΠΑ 2019-20 Κώστας Βελλίδης

16

Ολοκλήρωση με τη μέθοδο των προσδιοριστέων συντελεστών

• Η μέθοδος βασίζεται στην ίδια ιδέα με την αντίστοιχη μέθοδο παραγώγισης, προσεγγίζει το ολοκλήρωμα με γραμμικό συνδυασμό γνωστών τιμών της συνάρτησης σε κάποια σημεία:

Οι συντελεστές προσδιορίζονται απαιτώντας μέγιστη ακρίβεια της προσέγγισης για μια σειρά στοιχειωδών συναρτήσεων [τυπικά τα μονώνυμα ] που αντικαθιστούμε στη θέση της συνάρτησης.

∫1

−1f(x)dx ≈

n

∑i=0

ai f(xi)

aixk, k = 0(1)n

• Αναφερόμαστε πάντα στο διάστημα ολοκλήρωσης , επειδή κάθε ολοκλήρωμα

μπορεί με το μετασχηματισμό να μετασχηματιστεί στο

ισοδύναμό του με .

[−1, + 1]

∫b

ag(y)dy y =

b − a2

x +b + a

2b − a

2 ∫1

−1f(x)dx f(x) = g ( b − a

2x +

b + a2 )

• Εκτός από τους συντελεστές , μπορούν να προσδιοριστούν και τα σημεία με που μεγιστοποιούν την ακρίβεια της προσέγγισης.

ai xi−1 ≤ x0 < x1 < … < xn−1 < xn ≤ 1

• Συνεπώς, υπάρχουν τρεις τρόποι εφαρμογής της μεθόδου:1.Τα σημεία παρεμβολής είναι δεδομένα και οι συντελεστές είναι προσδιοριστέοι.2.Οι συντελεστές είναι δεδομένοι και τα σημεία παρεμβολής είναι προσδιοριστέα.3.Όλες οι παράμετροι και είναι προσδιοριστέες.

xi aiai xi

ai xiΥπολογιστική Φυσική, ΕΚΠΑ 2019-20 Κώστας Βελλίδης

17

Προσδιοριστέοι συντελεστές

Απαιτούμε η ολοκλήρωση να είναι ακριβής για καθένα στη σειρά από τα μονώνυμα , ώστε να προκύψουν γραμμικά ανεξάρτητες εξισώσεις:xk, k = 0(1)n n + 1

xk0a0 + xk

1a1 + … + xkn−1an−1 + xk

nan =1 − (−1)k+1

k + 1k = 0(1)n

Αυτό το γραμμικό σύστημα, με αγνώστους τους προσδιοριστέους συντελεστές , έχει μια μοναδική λύση, αφού η ορίζουσα των συντελεστών των αγνώστων (ορίζουσα Vandermonde) είναι μη μηδενική:

ai

����������

1 1 . . . 1 1x0 x1 . . . xn�1 xn

. . . . . . .xn�10 xn�1

1 . . . xn�1n�1 xn�1

n

xn0 xn

1 . . . xnn�1 xn

n

����������<latexit sha1_base64="RZZovp8PN3f9Yj8GcmRztY4EqTw=">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</latexit>

=n

∏i>j=0

(xi − xj) ≠ 0

Όταν τα σημεία μαζί με τα σημεία και είναι ισαπέχοντα ανά δύο διαδοχικά, οι τύποι που προκύπτουν από αυτήν τη μέθοδο είναι οι κλειστοί και ανοιχτοί τύποι Newton-Cotes αν το διάστημα συμπίπτει με το διάστημα , αντίστοιχα.

xi −1 1

[−1,1] [x0, xn]

Υπολογιστική Φυσική, ΕΚΠΑ 2019-20 Κώστας Βελλίδης

18

Προσδιοριστέα σημεία παρεμβολής

Σε αυτήν την περίπτωση, οι συντελεστές δεσμεύονται από τη συνθήκη η ολοκλήρωση να είναι ακριβής και για το πρώτο μονώνυμο :

aif(x) = 1

n

∑i=0

ai = 2

Άρα χρειαζόμαστε τα επόμενα μονώνυμα, μέχρι και βαθμού , για να προσδιορίσουμε και τα σημεία παρεμβολής .

n + 1n + 1 xi

a0xk0 + a1xk

1 + … + an−1xkn−1 + anxk

n =1 − (−1)k+1

k + 1k = 1(1)(n + 1)

οπότε η μέθοδος γίνεται πρακτικά δύσχρηστη.

Τώρα το σύστημα των εξισώσεων με αγνώστους τα είναι μη γραμμικό:xi

Υπολογιστική Φυσική, ΕΚΠΑ 2019-20 Κώστας Βελλίδης

19

Προσδιοριστέοι συντελεστές και σημεία παρεμβολής

Τώρα απαιτούμε η ολοκλήρωση να είναι ακριβής για καθένα στη σειρά από τα μονώνυμα , ώστε να προκύψουν γραμμικά ανεξάρτητες εξισώσεις που

θα δεσμεύσουν και τους συντελεστές και τα σημεία παρεμβολής :xk, k = 0(1)(2n + 1) 2n + 2

ai xi

a0xk0 + a1xk

1 + … + an−1xkn−1 + anxk

n =1 − (−1)k+1

k + 1k = 0(1)(2n + 1)

Οι τύποι που προκύπτουν αναφέρονται ως τύποι τετραγωνισμού Gauss και είναι ακριβείς για πολυώνυμα μέχρι και βαθμού τουλάχιστον .2n + 1

Το σύστημα με αγνώστους όλες τις προσδιοριστέες παραμέτρους είναι και πάλι μη γραμμικό. Το πρόβλημα αυτό παρακάμπτεται χρησιμοποιώντας πλήρη πολυώνυμα, αντί των απλών μονωνύμων, δηλαδή απαιτούμε η ολοκλήρωση να είναι ακριβής για πολυωνυμικές συναρτήσεις με :f(x) = Qk(x) k ≤ 2n + 1

∫1

−1Qk(x)dx =

n

∑i=0

aiQk(xi) k = 0(1)(2n + 1)

Αυτή η συνθήκη δίνει και πάλι ανεξάρτητες εξισώσεις, όσες απαιτούνται για να δεσμεύσουν όλους τους αγνώστους, αλλά μπορούν να λυθούν εύκολα χρησιμοποιώντας ειδικούς τύπους ορθογώνιων πολυωνύμων .

2n + 2

Qk(x)

Υπολογιστική Φυσική, ΕΚΠΑ 2019-20 Κώστας Βελλίδης

20

Πολυώνυμα Legendre

P0(x) = 1, Pn(x) =1

2nn!dn

dxn(x2 − 1)n, n = 1,2,3,…, x ∈ (−∞, + ∞)

P0(x) = 1, P1(x) = x, P2(x) =12

(3x2 − 1), P3(x) =12

(5x3 − 3x)

(n + 1)Pn+1(x) − (2n + 1)xPn(x) + nPn−1(x) = 0, n = 1,2,3,…

Κάθε πολυώνυμο βαθμού είναι ορθογώνιοστο πολυώνυμο Legendre στο διάστημα :

Qm(x) m < nPn(x) [−1,1] ∫

1

−1Qm(x)Pn(x)dx = 0, m < n

Τα πολυώνυμα Legendre είναι ορθογώνια μεταξύ τους στο διάστημα :[−1,1] ∫

1

−1Pm(x)Pn(x)dx = 0, m ≠ n

∫1

−1xnPn(x)dx =

2n+1(n!)2

(2n + 1)! ∫1

−1P2

n(x)dx =2

2n + 1

Συντελεστής μεγιστοβάθμιου όρου:(2n)!

2n(n!)2

Υπολογιστική Φυσική, ΕΚΠΑ 2019-20 Κώστας Βελλίδης

21

Πολυώνυμα Chebyshev (ή Tschebyscheff)

Tn(x) = cos(n cos−1 x), n = 0,1,2,…, x ∈ [−1, + 1]

T0(x) = 1, T1(x) = x, T2(x) = 2x2 − 1, T3(x) = 4x3 − 3x

Tn+1(x) − 2xTn(x) + Tn−1(x) = 0, n = 1,2,3,…

Συνάρτηση βάρους: (1 − x2)−1/2

Τα πολυώνυμα Chebyshev είναι ορθογώνια μεταξύ τους: ∫1

−1(1 − x2)−1/2Tm(x)Tn(x)dx = 0, m ≠ n

Συντελεστής μεγιστοβάθμιου όρου: 2n−1

Κάθε πολυώνυμο βαθμού είναι ορθογώνιοστο πολυώνυμο Chebyshev στο διάστημα :

Qm(x) m < nTn(x) [−1,1] ∫

1

−1(1 − x2)−1/2Qm(x)Tn(x)dx = 0, m < n

∫1

−1(1 − x2)−1/2T2

n(x)dx ={ π, n = 0π/2, n > 0

Οι ρίζες του πολυωνύμου Chebyshev , είναι πραγματικές και διακριτές στο διάστημα :

Tn(x), n > 0[−1,1]

xk = cos(2k + 1)π

2n, k = 0(1)(n − 1)

Υπολογιστική Φυσική, ΕΚΠΑ 2019-20 Κώστας Βελλίδης

22

Τύποι τετραγωνισμού Gauss-Legendre

Στον τύπο ∫1

−1Qk(x)dx =

n

∑i=0

aiQk(xi), k = 0(1)(2n + 1) προσεγγίζουμε το πολυώνυμο με έναQk(x)

πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange με σημεία παρεμβολής τα προσδιοριστέα , .pn(x) xi i = 0(1)n

pn(x) =n

∑i=0

Qk(xi)Li(x) : συντελεστές Lagrange.Li(x) } ⇒

⇒n

∑i=0 [∫

1

−1Li(x)dx] Qk(xi) + ∫

1

−1rm(x)

n

∏i=0

(x − xi)dx =n

∑i=0

aiQk(xi) {⇒∫

1

−1rm(x)

n

∏i=0

(x − xi)dx = 0

ai = ∫1

−1Li(x)dx

Η πρώτη σχέση συνεπάγεται ότι το πολυώνυμοn

∏i=0

(x − xi) είναι ορθογώνιο σε κάθε πολυώνυμο

rm(x) που προκύπτει από κάθε αυθαίρετη επιλογή του Qk(x) ⇒n

∏i=0

(x − xi) ∝ Pn+1(x) : πολυώνυμο

Legendre τα σημεία είναι οι ρίζες του πολυωνύμου Legendre .⇒ xi Pn+1(x)

Υπολογιστική Φυσική, ΕΚΠΑ 2019-20 Κώστας Βελλίδης

Οι παράμετροι προσδιορίζονται από τη δεύτερη σχέση, .ai ai = ∫1

−1Li(x)dx

Qk(x) = pn(x) + rm(x)n

∏i=0

(x − xi), m ≤ n : πολυώνυμο πηλίκο.rm(x)

Τότε το πολυώνυμο μηδενίζεται σε κάθε σημείο :Qk(x) − pn(x) xi

23

Παραδείγματα τύπων τετραγωνισμού Gauss-Legendre

n = 1 ⇒ Pn+1(x) = P2(x) =12

(3x2 − 1) ⇒ x0 = −1

3, x1 =

1

3

a0 = ∫1

−1L0(x)dx = ∫

1

−1

x − x1

x0 − x1dx =

1x0 − x1 ( 1

2x2 − x1x)

1

−1= −

2x1

x0 − x1= 1

a1 = ∫1

−1L1(x)dx = ∫

1

−1

x − x0

x1 − x0dx =

1x1 − x0 ( 1

2x2 − x0x)

1

−1= −

2x0

x1 − x0= 1

⇒ ∫1

−1f(x)dx ≈ f (−1/ 3) + f (1/ 3)

n = 0 ⇒ Pn+1(x) = P1(x) = x ⇒ x0 = 0

a0 = ∫1

−1L0(x)dx = ∫

1

−1dx = 2

⇒ ∫1

−1f(x)dx ≈ 2f(0)

Υπολογιστική Φυσική, ΕΚΠΑ 2019-20 Κώστας Βελλίδης

24

Τύποι τετραγωνισμού Gauss-Chebyshev

Υπολογιστική Φυσική, ΕΚΠΑ 2019-20 Κώστας Βελλίδης

Ίδια μέθοδος με τον τετραγωνισμό Gauss-Legendre, με τη διαφορά ότι η ολοκληρωτέα συνάρτηση περιέχει τη συνάρτηση βάρους των πολυωνύμων Chebyshev:

ϕ(x) = (1 − x2)1/2 f(x) ⇒ ∫1

−1(1 − x2)−1/2ϕ(x)dx ≈

n

∑i=0

aiϕ(xi) ⇒ ∫1

−1(1 − x2)−1/2Qk(x)dx ≈

n

∑i=0

aiQk(xi)

Τα σημεία παρεμβολής είναι οι ρίζες του πολυωνύμου Chebyshev σε ανιούσα διάταξη:

xi Tn+1(x)

xi = − cos(2i + 1)π2(n + 1)

και οι προσδιοριστέοι συντελεστές γίνονται όλοι ίσοι:ai

ai = ∫1

−1(1 − x2)−1/2Li(x)dx =

πn + 1

οπότε οι τύποι τετραγωνισμού Gauss-Chebyshev γράφονται σε κλειστή μορφή:

∫1

−1(1 − x2)−1/2ϕ(x)dx ≈

πn + 1

n

∑i=0

ϕ (−cos(2i + 1)π2(n + 1) )

⇒ ∫1

−1f(x)dx ≈

πn + 1

n

∑i=0

sin(2i + 1)π2(n + 1)

f (−cos(2i + 1)π2(n + 1) )

25

Παραδείγματα τύπων τετραγωνισμού Gauss-Chebyshev

n = 1 ⇒ Tn+1(x) = T2(x) = 2x2 − 1 ⇒ x0 = − cosπ4

= −1

2, x1 = − cos

3π4

=1

2

a0 = a1 =π2

⇒ ∫1

−1f(x)dx ≈

π

2 2 [f (−1/ 2) + f (1/ 2)]

n = 0 ⇒ Tn+1(x) = P1(x) = x ⇒ x0 = − cosπ2

= 0

a0 = π

⇒ ∫1

−1f(x)dx ≈ πf(0)

Υπολογιστική Φυσική, ΕΚΠΑ 2019-20 Κώστας Βελλίδης

26

ΠΕΡΙΛΗΨΗ

Υπολογιστική Φυσική, ΕΚΠΑ 2019-20 Κώστας Βελλίδης

27Υπολογιστική Φυσική, ΕΚΠΑ 2019-20 Κώστας Βελλίδης

Περίληψη➡ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ Δύο βασικές πολυωνυμικές μέθοδοι:

✓ Παρεμβολή Lagrange για οποιαδήποτε σημεία.✓ Παρεμβολή Newton για ισαπέχοντα σημεία.

➡ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ Δύο βασικές μέθοδοι:

✓ Με πολυωνυμική παρεμβολή Newton (μέθοδος Newton-Gregory).✓ Με τη μέθοδο των προσδιοριστέων συντελεστών.

➡ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ Δύο βασικές μέθοδοι:

✓ Με πολυωνυμική παρεμβολή Newton ➞ Τύποι Newton-Cotes (χαμηλότερης τάξης: κανόνες τραπεζίου, Simpson, 3/8), επαναληπτικοί με πεπερασμένο βήμα 2, 3, 4,… ισαπέχοντων σημείων.

✓ Με προσδιοριστέα σημεία παρεμβολής και προσδιοριστέους συντελεστές ➞ Τύποι τετραγωνισμού Gauss με χρήση ορθογώνιων πολυωνύμων και σημεία παρεμβολής τις ρίζες των πολυωνύμων (Gauss-Legendre, Gauss-Chebyshev), εφαρμόσιμοι στο κανονικοποιημένο διάστημα ολοκλήρωσης [-1,1].