Β Ο Η Θ Η Μ Α

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ω Ν Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ

Β ′ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Σ Τ Α Δ Ι Α Ν Υ Σ Μ Α Τ Α

Ε π ι μ έ λ ε ι α ( μ ε Α λ φ α β η τ ι κ ή σ ε ι ρ ά ) :

Β ε λ λ ί κ η ς Γ ι ώ ρ γ ο ς

Κ α ρ α τ σ ι ώ λ η ς Δ η μ ή τ ρ η ς

Κ α σ λ ή ς Κ ώ σ τ α ς

Λ α λ ο ύ μ η ς Ν ί κ ο ς

Μ π ί τ ζ α ς Π α ν α γ ι ώ τ η ς

Μ π ο ζ α τ ζ ί δ η ς Β α σ ί λ η ς

Π έ τ σ ι ο υ Χ α ρ ά

Ρ ο κ ί δ η ς Μ ι χ ά λ η ς

Τ ζ ε λ α π τ σ ή ς Θ α ν ά σ η ς

Τ σ ο ύ μ ο ς Κ ώ σ τ α ς

που π

που π

Το μυαλό δεν είναι ένα δοχείο

ρέπει να γεμίσει, αλλά μια φωτιά

ρέπει ν’ ανάψει.

ΠΛΟΥΤΑΡΧΟΣ

Έκδοση 1η

10 Οκτωβρίου 2016

Αναθεώρηση έκδοσης Σεπτέμβριος 2017

Πίνακας περιεχομένων

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ................................................................................................ 7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ........................................................................................ 9

1.1 H ΈΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΎΣΜΑΤΟΣ ....................................................................................................................9

Ορισμός διανύσματος ..................................................................................................................... 9

Ίσα διανύσματα ............................................................................................................................ 10

Αντίθετα διανύσματα ................................................................................................................... 11

Γωνία δύο διανυσμάτων ............................................................................................................... 12

1.2 ΠΡΌΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΊΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΆΤΩΝ ..................................................................................................13

1.2.1 Πρόσθεση Διανυσμάτων .............................................................................................................. 13

1.2.2 Ιδιότητες της Πρόσθεσης Διανυσμάτων ....................................................................................... 14

1.2.3 Αφαίρεση Διανυσμάτων ............................................................................................................... 15

1.2.4 Διάνυσμα Θέσεως......................................................................................................................... 15

Μεθοδολογία Νο 1 - Απόδειξη διανυσματικής ισότητας ......................................................................................... 16

Μεθοδολογία Νο 2 - Μετατροπή ισότητας μηκών σε διανυσματική ισότητα ......................................................... 18

Μεθοδολογία Νο 3 - Δύο σημεία ταυτίζονται ......................................................................................................... 19

Μεθοδολογία Νο 4 - Παραλληλόγραμμο- Τραπέζιο ............................................................................................... 20

1.2.5 Μέτρο Αθροίσματος Διανυσμάτων .............................................................................................. 21

Μεθοδολογία Νο 5 - Σχέσεις μέτρων ...................................................................................................................... 22

Μεθοδολογία Νο 6 - Γεωμετρικοί τόποι ................................................................................................................. 24

Ε ρ ω τ ή σ ε ι ς κ λ ε ι σ τ ο ύ τ ύ π ο υ ..................................................................................................... 27

Ασκήσεις ..................................................................................................................................................... 33

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΌΣ ΑΡΙΘΜΟΎ ΜΕ ΔΙΆΝΥΣΜΑ ............................................................................................37

1.3.1 Ορισμός Πολλαπλασιασμού Αριθμού με Διάνυσμα .................................................................... 37

1.3.2 Ιδιότητες Πολλαπλασιασμού Αριθμού με Διάνυσμα ................................................................... 37

Μεθοδολογία Νο 7 - Σταθερό διάνυσμα ................................................................................................................. 38

Μεθοδολογία Νο 8 - Προσδιορισμός σημείου ....................................................................................................... 39

1.3.3 Γραμμικός Συνδυασμός Διανυσμάτων ......................................................................................... 40

Μεθοδολογία Νο 9 - Γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων .................................................................................. 41

1.3.4 Συνθήκη Παραλληλίας Διανυσμάτων ........................................................................................... 43

Μεθοδολογία Νο 10 - Παράλληλα διανύσματα ...................................................................................................... 44

Μεθοδολογία Νο 11 - Συνευθειακά σημεία ............................................................................................................ 46

1.3.5 Διανυσματική Ακτίνα Μέσου Τμήματος ....................................................................................... 47

Μεθοδολογία Νο 12 - Διάμεσοι τριγώνου .............................................................................................................. 48

Ε ρ ω τ ή σ ε ι ς κ λ ε ι σ τ ο ύ τ ύ π ο υ ..................................................................................................... 51

Ασκήσεις ..................................................................................................................................................... 57

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΈΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΊΠΕΔΟ.................................................................................................................63

1.4.1 Άξονας ........................................................................................................................................... 63

1.4.2 Καρτεσιανό Επίπεδο ..................................................................................................................... 63

1.4.3 Συντεταγμένες Διανύσματος ........................................................................................................ 64

1.4.4 Ισότητα Διανυσμάτων ................................................................................................................... 65

Μεθοδολογία Νο 13 - Παραλληλία διανύσματος με άξονες .................................................................................. 66

Μεθοδολογία Νο 14 - Μηδενικό διάνυσμα-Ισότητα διανυσμάτων ....................................................................... 67

1.4.5 Συντεταγμένες γραμμικού συνδυασμού διανυσμάτων ............................................................... 68

1.4.6 Συντεταγμένες Μέσου Τμήματος ................................................................................................. 68

1.4.7 Συντεταγμένες Διανύσματος με Γνωστά Άκρα ............................................................................. 69

1.4.8 Μέτρο διανύσματος ..................................................................................................................... 70

1.4.9 Απόσταση Δύο Σημείων ................................................................................................................ 70

1.4.10 Συνθήκη Παραλληλίας Διανυσμάτων ...................................................................................... 71

1.4.11 Συντελεστής Διεύθυνσης Διανύσματος ................................................................................... 72

Μεθοδολογία Νο 15 - Παραλληλία διανυσμάτων .................................................................................................. 73

Μεθοδολογία Νο 16 - Ομόρροπα - Αντίρροπα διανύσματα ................................................................................... 75

Μεθοδολογία Νο 17 - Γωνία διανύσματος με τον άξονα x'x ................................................................................... 76

Ε ρ ω τ ή σ ε ι ς κ λ ε ι σ τ ο ύ τ ύ π ο υ ..................................................................................................... 77

Ασκήσεις ..................................................................................................................................................... 83

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΌ ΓΙΝΌΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΆΤΩΝ ......................................................................................................89

1.5.1 Ορισμός Εσωτερικού Γινομένου ................................................................................................... 89

1.5.2 Φυσική ερμηνεία του εσωτερικού γινομένου .............................................................................. 89

1.5.3 Αναλυτική Έκφραση Εσωτερικού Γινομένου ................................................................................ 90

Μεθοδολογία Νο 18 - Ομόρροπα-Αντίρροπα Διανύσματα ..................................................................................... 93

Μεθοδολογία Νο 19 - Κάθετα διανύσματα ............................................................................................................ 95

1.5.4 Συνημίτονο Γωνίας Δύο Διανυσμάτων ......................................................................................... 96

Μεθοδολογία Νο 20 - Γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων ............................................................................... 97

Μεθοδολογία Νο 21 - Αποδεικτικές σχέσεις (ταυτότητες) μέτρων διανυσμάτων .................................................. 99

1.5.5 ..........................................................................................................................................................100

Μεθοδολογία Νο 24 - Γεωμετρικοί τόποι ............................................................................................................. 101

Ε ρ ω τ ή σ ε ι ς κ λ ε ι σ τ ο ύ τ ύ π ο υ ...................................................................................................105

Α σ κ ή σ ε ι ς .............................................................................................................................................109

1.6 ΛΥΜΈΝΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΆ ΠΑΡΑΔΕΊΓΜΑΤΑ.................................................................................................115

1.7 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΈΣ ΑΣΚΉΣΕΙΣ ....................................................................................................................123

1.8 ΔΙΑΓΩΝΊΣΜΑΤΑ ..................................................................................................................................151

1.9 ΕΥΡΕΤΉΡΙΟ ΌΡΩΝ................................................................................................................................169

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 9 από 172

Κεφάλαιο 1ο Διανύσματα

1.1 H έννοια του διανύσματος

Ορισμός διανύσματος

Ορισμός: Διάνυσμα λέγεται ένα προσανατολισμένο

ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

διατεταγμένα. Το πρώτο άκρο λέγεται αρχή ή σημείο

εφαρμογής, ενώ το δεύτερο λέγεται πέρας του διανύσματος.

Το διάνυσμα με αρχή Α και πέρας Β συμβολίζεται με ΑΒ

, ενώ μπορούμε να το

συμβολίσουμε και με ένα πεζό ελληνικό ή λατινικό γράμμα βάζοντας πάνω του

ένα βέλος π.χ. α

, β, v, u

.

Το διάνυσμα του οποίου η αρχή και το τέλος συμπίπτουν λέγεται μηδενικό και

συμβολίζεται 0

ή ΑΑ

. Η εικόνα του είναι ένα σημείο του επιπέδου.

Ορισμός: Μέτρο ενός διανύσματος ΑΒ

λέγεται το μήκος του ευθυγράμμου

τμήματος ΑΒ.

Συμβολίζεται |ΑΒ|

και προφανώς είναι |ΑΒ| 0≥

. Ισχύει |ΑΑ| 0=

.

Αν το μέτρο του ΑΒ

είναι 1, τότε ονομάζεται μοναδιαίο διάνυσμα.

Ορισμός: Φορέας διανύσματος είναι η ευθεία πάνω

στην οποία βρίσκεται το διάνυσμα, π.χ. η ευθεία ε

είναι φορέας του ΑΒ

.

Ορισμός: Παράλληλα ή συγγραμμικά

διανύσματα είναι τα διανύσματα που έχουν

τον ίδιο φορέα ή παράλληλους φορείς, π.χ.

ΑΒ//ΓΔ

.

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 10 από 172 www.askisiologio.gr

Τα συγγραμμικά διανύσματα διακρίνονται σε ομόρροπα ή αντίρροπα.

Ορισμός: Δύο παράλληλα διανύσματα λέγονται ομόρροπα

(δηλαδή με ίδια φορά):

α) Όταν έχουν παράλληλους φορείς και βρίσκονται στο ίδιο

ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία που ενώνει τις αρχές τους

π.χ. ΑΒ ΓΔ↑↑

.

β) Όταν έχουν τον ίδιο φορέα και η μία από τις ημιευθείες

που ορίζουν περιέχεται στην άλλη, π.χ. ΕΖ ΗΘ↑↑

.

Ορισμός: Δύο παράλληλα διανύσματα λέγονται

αντίρροπα (δηλαδή με αντίθετη φορά):

α) Όταν έχουν παράλληλους φορείς και βρίσκονται σε

διαφορετικά ημιεπίπεδα ως προς την ευθεία που ενώνει

τις αρχές τους π.χ. ΑΒ ΓΔ↑↓

.

β) Όταν έχουν τον ίδιο φορέα και καμία από τις

ημιευθείες που ορίζουν δεν περιέχεται στην άλλη π.χ. τα

ΕΖ ΗΘ↑↓

.

Ίσα διανύσματα

Ορισμός: Δύο μη μηδενικά διανύσματα λέγονται

ίσα όταν έχουν την ίδια κατεύθυνση (ομόρροπα)

και ίσα μέτρα.

π.χ. Αν ΓΔ ΕΖ↑↑

και |ΓΔ||ΕΖ|=

, τότε ΓΔ ΕΖ=

.

Αν ΓΔ ΚΛ↑↑

και |ΓΔ||ΚΛ|=

, τότε ΓΔ ΚΛ=

.

Παρατ ηρήσε ι ς

• Η ισοδυναμία ΑΒ ΓΔ= ⇔

«τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΔ, ΒΓ έχουν κοινό

μέσο» αποτελεί ένα κριτήριο ισότητας δύο διανυσμάτων.

Άμεση εφαρμογή αυτού του κριτηρίου αποτελούν οι ισοδυναμίες

ΑΒ ΓΔ ΑΓ ΒΔ ΔΒ ΓΑ= ⇔ = ⇔ =

.

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 11 από 172

• Αν ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο, τότε ΑΒ ΔΓ=

και ΑΔ ΒΓ=

.

Προσοχή! Το αντίστροφο δεν ισχύει. Δηλαδή, αν

ΑΒ ΔΓ=

ή ΑΔ ΒΓ=

, τότε δεν είμαστε σίγουροι ότι

το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο, γιατί υπάρχει

περίπτωση τα σημεία Α, Β, Γ και Δ να είναι

συνευθειακά.

Αντίθετα διανύσματα

Ορισμός: Δύο μη μηδενικά διανύσματα λέγονται αντίθετα όταν έχουν αντίθετη

κατεύθυνση (αντίρροπα) και ίσα μέτρα.

Αν το u

είναι αντίθετο του v, γράφουμε u v= −

( ή v u= −

).

π.χ. Αν ΓΔ ΕΖ↑↓

και |ΓΔ||ΕΖ|=

, τότε

ΓΔ ΕΖ= −

.

ΑνΓΔ ΚΛ↑↓

και |ΓΔ||ΚΛ|=

, τότε ΓΔ ΚΛ= −

.

Αν Μ είναι το μέσο του τμήματος ΑΒ, τότε ΑΜ ΜΒ=

και ΑΜ ΒΜ= −

.

Παρατ ηρήσε ι ς

• Όταν αλλάζουμε τη θέση των άκρων σε ένα διάνυσμα, τότε παίρνουμε το

αντίθετο διάνυσμα, δηλαδή ΓΔ ΔΓ= −

.

• Αν ισχύει η ισότητα μηκών ( ) ( )ΑΜ ΜΒ= , τότε το Μ δεν είναι απαραίτητα

μέσο του ΑΒ. Από αυτή την ισότητα καταλαβαίνουμε ότι το Μ ισαπέχει

από τα Α και Β, οπότε είναι κάποιο σημείο της μεσοκαθέτου του τμήματος

ΑΒ.

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 12 από 172 www.askisiologio.gr

Γωνία δύο διανυσμάτων

Ορισμός: Έστω δύο μη μηδενικά διανύσματα α

και β. Με

αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε τα διανύσματα ΟΑ = α

και

ΟΒ = β

. Η κυρτή γωνία ΑΟΒ∧

, που ορίζουν οι ημιευθείες

ΟΑ και ΟΒ ονομάζεται γωνία των διανυσμάτων α

και β.

Τη συμβολίζουμε με α,β∧

ή β,α

∧

ή γενικά με θ και παίρνει τιμές

ο ο0 θ 180≤≤ (ή 0 θ π≤ ≤ ).

Παρατ ηρήσε ι ς

• Για να υπολογίσουμε τη γωνία δύο διανυσμάτων, θα πρέπει αυτά να έχουν

κοινή αρχή. Οπότε με παράλληλη μεταφορά του ενός από τα δύο, τα

διανύσματα αποκτούν κοινή αρχή.

• Τα ομόρροπα διανύσματα σχηματίζουν γωνία o0 .

• Τα αντίρροπα διανύσματα σχηματίζουν γωνία o180 .

• Αν oθ = 90 , τα διανύσματα λέγονται κάθετα ή ορθογώνια.

• Το μηδενικό διάνυσμα 0

σχηματίζει οποιαδήποτε γωνία θ ( o o0 θ 180≤≤ )

με κάθε άλλο διάνυσμα.

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 13 από 172

1.2 Πρόσθεση και Αφαίρεση Διανυσμάτων

1.2.1 Πρόσθεση Διανυσμάτων

Ορισμός: Έστω δύο διανύσματα α

και β

. Με αρχή ένα τυχαίο σημείο Ο

παίρνουμε διάνυσμα ΟΑ = α

.

Στη συνέχεια, με αρχή το Α παίρνουμε ένα

διαδοχικό διάνυσμα ΑΜ = β

.

Τότε το διάνυσμα ΟΜ

είναι το άθροισμα ή η συνισταμένη των α

και β

,

δηλαδή α +β = ΟΜ

.

Ενναλακτικά, για να προσθέσουμε δύο διανύσματα

εφαρμόζουμε τον λεγόμενο κανόνα του

παραλληλογράμμου. Με αρχή ένα τυχαίο σημείο Ο

παίρνουμε διανύσματα ΟΑ = α

και ΟΒ = β

και

σχηματίζουμε το παραλληλόγραμμο ΟΑΜΒ με

πλευρές τις ΟΑ, ΟΒ.

Τότε το άθροισμα α +β

ορίζεται από το διάνυσμα της περιεχόμενης διαγωνίου

ΟΜ

. Δηλαδή α +β ΟΜ=

.

Παρατ ηρήσε ι ς

• Για να προσθέσουμε δύο διανύσματα, τα κάνουμε διαδοχικά (δηλαδή το

πέρας του πρώτου να είναι η αρχή του δευτέρου). Τότε το διάνυσμα που

ορίζεται από την αρχή του πρώτου και από το πέρας του δευτέρου

διανύσματος είναι το άθροισμά τους. Δηλαδή ΟΑ + ΑΜ = ΟΜ

. Με τον ίδιο

τρόπο προσθέτουμε και περισσότερα από δύο διανύσματα. Τα διανύσματα

γίνονται διαδοχικά με παράλληλη μεταφορά.

• Όταν έχουμε πρόσθεση διανυσμάτων που το πέρας του ενός είναι η αρχή

του άλλου, τότε το άθροισμα ισούται με το διάνυσμα που προκύπτει αν

διαγράψουμε τα ενδιάμεσα σημεία. Δηλαδή, ΑΒ ΒΓ ΑΓ+ =

.

• Ένα διάνυσμα ΑΒ

μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο διανυσμάτων με

άπειρους σε πλήθος τρόπους: ΑΒ ΑΓ ΓΒ ΑΔ ΔΒ ...= + = + =

.

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 14 από 172 www.askisiologio.gr

1.2.2 Ιδιότητες της Πρόσθεσης Διανυσμάτων

Για την πρόσθεση των διανυσμάτων ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες της πρόσθεσης

πραγματικών αριθμών. Αν α,β,γ

είναι τρία διανύσματα, τότε:

α) α +β = β+α

(αντιμεταθετική)

β) (α +β)+ γ = α +(β+ γ)

(προσεταιριστική)

γ) α +0 = 0+α

(ουδέτερο στοιχείο)

δ) α +(-α) = 0

(αντίθετο στοιχείο)

Απ όδ ε ι ξη

α) Από το διπλανό σχήμα έχουμε:

α +β = ΟΑ + ΑΜ = ΟΜ

και β+α = ΟΒ+ΒΜ = ΟΜ

.

Άρα α +β = β+α

.

β) Από το διπλανό σχήμα έχουμε:

(α +β)+ γ = (ΟΑ + ΑΒ)+ΒΓ = ΟΒ+ΒΓ = ΟΓ

και

α +(β+ γ) = ΟΑ +(ΑΒ+ΒΓ)= ΟΑ + ΑΓ = ΟΓ

.

Επομένως (α +β)+ γ = α +(β+ γ)

.

Οι ιδιότητες (γ) και (δ) είναι προφανείς.

Παρατ ηρήσε ι ς

• Η προσεταιριστική ιδιότητα μας δίνει τη δυνατότητα να προσθέσουμε ν

διαφορετικά διανύσματα. Αφού τα καταστήσουμε διαδοχικά, το άθροισμά

τους θα είναι το διάνυσμα με αρχή την αρχή του πρώτου και πέρας το

πέρας του τελευταίου.

• Κάθε διάνυσμα γράφεται σαν άθροισμα δύο ή περισσοτέρων π.χ.

ΑΒ = ΑΓ + ΓΒ

και ΑΒ = ΑΔ + ΔΕ + ΕΒ

.

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 15 από 172

1.2.3 Αφαίρεση Διανυσμάτων

Ορισμός: Η διαφορά α -β

του διανύσματος

β

από το διάνυσμα α

ορίζεται ως το

άθροισμα των διανυσμάτων α

και β−

.

Δηλαδή α -β = α +(-β)

.

Εναλλακτικά η διαφορά α -β

είναι το διάνυσμα της

δεύτερης διαγωνίου του γνωστού

παραλληλογράμμου της πρόσθεσης διανυσμάτων.

1.2.4 Διάνυσμα Θέσεως

Έστω Ο ένα σταθερό σημείο του χώρου. Τότε για κάθε σημείο Μ του χώρου

ορίζουμε το διάνυσμα ΟΜ

, το οποίο λέγεται διάνυσμα θέσεως του Μ (ή

διανυσματική ακτίνα του Μ). Το σημείο Ο που είναι η κοινή αρχή όλων των

διανυσματικών ακτίνων των σημείων του χώρου λέγεται σημείο αναφοράς στον

χώρο.

Αν Ο είναι ένα σημείο αναφοράς, τότε για

οποιοδήποτε διάνυσμα AB

έχουμε

OA + AB = OB ΑΒ = ΟΒ-ΟΑ⇒

.

Επομένως κάθε διάνυσμα στο χώρο είναι ίσο με τη διανυσματική ακτίνα του

πέρατος μείον τη διανυσματική ακτίνα της αρχής.

Δηλαδή: ΑΒ = ΟΒ- ΟΑ

.

Παρατ ηρήσε ι ς

• Οποιοδήποτε διάνυσμα μπορεί με τον παραπάνω τύπο να γραφεί ως

διαφορά δύο άλλων διανυσμάτων τα οποία έχουν κοινή αρχή ένα

επιθυμητό σημείο π.χ. Ο.

• Αν διαβάσουμε τον παραπάνω τύπο ξεκινώντας από το δεύτερο μέλος προς

το πρώτο, δηλαδή ΟΒ-ΟΑ ΑΒ=

, τότε αυτός μας δείχνει πως γίνεται η

αφαίρεση δύο διανυσμάτων τα οποία έχουν κοινή αρχή.

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 16 από 172 www.askisiologio.gr

• Ένα διάνυσμα ΑΒ

μπορεί να γραφεί ως διαφορά δύο διανυσμάτων με

κοινή αρχή με άπειρους σε πλήθος τρόπους: ΑΒ ΓΒ ΓΑ ΔΒ ΔΑ ...= − = − =

.

Μεθοδ ο λο γ ία Ν ο 1 - Α πό δ ε ι ξη δ ια νυ σματ ικής ι σό τ ητ ας

Για να αποδε ίξουμε μια δ ιανυσματ ική ισότητα εργαζόμαστε με

κάποιον από τους παρακάτω τρόπους:

α ) Μεταφέρουμε τα δ ιανύσματα στο ένα μέλος , κάνουμε τ ι ς

πράξε ις και καταλήγουμε σε μια σχέση που ισχύε ι και ε ίναι

ισοδύναμη της αρχικής.

β ) Με τη μέθοδο των δ ιανυσματ ικών ακτίνων. Δηλαδή επιλέγουμε

ως σημε ίο αναφοράς ένα σημείο Ο και γράφουμε κάθε δ ιάνυσμα

π.χ. ΑΒ

σύμφωνα με τη σχέση ΑΒ ΟΒ ΟΑ= −

. Μπορούμε όμως να

επιλέξουμε και ως σημείο αναφοράς κάποιο από τα δοσμένα

σημεία της άσκησης.

Παράδ ε ι γμ α Ν ο 1

Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α, Β, Γ και Δ ισχύει

ΑΔ ΒΓ ΑΓ ΔΒ+ = −

.

Λ ύ σ η

1ος τρόπος

ΑΔ ΒΓ ΑΓ ΔΒ ΑΔ ΔΒ ΒΓ ΑΓ 0 ΑΒ ΒΓ ΓΑ 0 ΑΑ 0+ = − ⇔ + + − = ⇔ + + = ⇔ =

που ισχύει.

2ος τρόπος

α) (με σημείο αναφοράς οποιοδήποτε σταθερό σημείο Ο)

Έστω Ο ένα οποιοδήποτε σταθερό σημείο. Αναλύουμε κάθε διάνυσμα ως

διαφορά δύο διανυσμάτων που έχουν κοινή αρχή το Ο, οπότε έχουμε:

ΑΔ ΒΓ ΑΓ ΔΒ ΟΔ ΟΑ ΟΓ ΟΒ ΟΓ ΟΑ (ΟΒ ΟΔ)

ΟΔ ΟΑ ΟΓ ΟΒ ΟΓ ΟΑ ΟΒ ΟΔ ΟΔ ΟΒ ΟΒ ΟΔ

+ = − ⇔ − + − = − − − ⇔

− + − = − − + ⇔ − = − +

που ισχύει.

β) (με σημείο αναφοράς κάποιο από τα δοσμένα σημεία της άσκησης)

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 17 από 172

Μπορούμε να εργαστούμε με τη μέθοδο των διανυσματικών ακτίνων, όπως και

προηγουμένως στο α) του 2ου τρόπου επίλυσης, αλλά να επιλέξουμε ως σημείο

αναφοράς κάποιο από τα δοσμένα σημεία της άσκησης π.χ. το Α. Οπότε:

ΑΔ ΒΓ ΑΓ ΔΒ ΑΔ ΑΑ ΑΓ ΑΒ ΑΓ ΑΑ (ΑΒ ΑΔ)

ΑΔ 0 ΑΓ ΑΒ ΑΓ 0 ΑΒ ΑΔ ΑΔ ΑΓ ΑΒ ΑΓ ΑΒ ΑΔ

+ = − ⇔ − + − = − − − ⇔

− + − = − − + ⇔ + − = − +

που ισχύει.

Παράδ ε ι γμ α Ν ο 2

Θεωρούμε τα σημεία Α, Β, Γ, Δ και Ε. Να αποδείξετε ότι

ΑΓ ΔΕ ΒΔ ΕΓ ΒΑ− = + −

.

Λ ύ σ η

1ος τρόπος

( )ΑΓ ΔΕ ΒΔ ΕΓ ΒΑ ΑΓ ΔΕ ΒΔ ΕΓ ΒΑ 0

ΑΓ ΔΕ ΕΓ ΒΔ ΒΑ 0 ΑΓ ΔΓ ΔΒ ΒΑ 0

ΑΓ ΓΔ ΔΑ 0 ΑΑ 0

− = + − ⇔ − − − + = ⇔

− + − + = ⇔ − + + = ⇔

+ + = ⇔ =

που ισχύει.

2ος τρόπος

Επιλέγουμε ως σημείο αναφοράς το Α και έχουμε:

ΑΓ ΔΕ ΒΔ ΕΓ ΒΑ

ΑΓ ΑΑ ΑΕ ΑΔ ΑΔ ΑΒ ΑΓ ΑΕ ΑΑ ΑΒ

ΑΓ 0 ΑΕ ΑΔ ΑΔ ΑΒ ΑΓ ΑΕ 0 ΑΒ

ΑΓ ΑΕ ΑΔ ΑΔ ΑΒ

− = + − ⇔

− − + = − + − − + ⇔

− − + = − + − − + ⇔

− + − +

ΑΓ ΑΕ ΑΒ 0

0 0

− + − = ⇔

=

που ισχύει.

Εφαρμόστε παρακάτω τη μεθοδολογία 1.

Θεωρούμε τα σημεία Α, Β, Γ και Δ. Να αποδείξετε ότι ΒΓ ΒΔ ΑΓ ΑΔ− = −

.

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 18 από 172 www.askisiologio.gr

Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α, Β, Γ, Δ, Ε και Ζ ισχύει

ΑΔ ΒΖ ΓΖ ΑΕ ΒΕ ΓΔ− + = − +

.

Μεθοδ ο λο γ ία Ν ο 2 - Μ ε τα τρ οπή ι σό τη τ ας μηκών σ ε

δ ι α νυ σμ ατ ική ι σό τ ητ α

Γενικά μία ισότητα μηκών δεν μετατρέπετα ι όπως ε ίναι σε

δ ιανυσματ ική ισότητα. Είναι αναγκαίο να γνωρίζουμε αν τα

δ ιανύσματα ε ίναι ομόρροπα ή αντ ίρροπα.

Κάθε ισότητα μηκών (μέτρων) γ ίνε ται δ ιανυσματ ική, όπως ε ίναι ,

αν τα δ ιανύσματα ε ίναι ομόρροπα, ενώ βάζουμε ένα πλην ( )− , αν

τα δ ιανύσματα ε ίνα ι αντ ίρροπα. Ισχύε ι και αντ ίστροφα.

Παράδ ε ι γμ α Ν ο 1

α) Αν ΒΜ ΜΓ↑↑

, να μετατρέψετε την ισότητα ( ) ( )BM 2 MΓ= σε

διανυσματική.

β) Αν ΒΜ ΜΓ↑↓

, να μετατρέψετε την ισότητα ( ) ( )BM 2 MΓ= σε

διανυσματική.

Λ ύ σ η

α) Αν ( ) ( )BM 2 MΓ= και ΒΜ ΜΓ↑↑

, τότε ΒΜ 2ΜΓ=

.

β) Αν ( ) ( )BM 2 MΓ= και ΒΜ ΜΓ↑↓

, τότε ΒΜ 2ΜΓ= −

.

Εφαρμόστε παρακάτω τη μεθοδολογία 2.

Αν ΑΒ ΓΔ↑↑

, να μετατρέψετε την ισότητα ( ) ( )3

2 ΑB ΓΔ2

= σε

διανυσματική.

Αν ΑΒ ΓΔ↑↓

, να μετατρέψετε την ισότητα ( ) ( )3

2 ΑB ΓΔ2

= σε

διανυσματική.

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 19 από 172

Μεθοδ ο λο γ ία Ν ο 3 - Δύο σημε ία τ αυτ ί ζ ο ντ α ι

Για να αποδε ίξουμε ότ ι δύο σημεία Κ και Λ ταυτ ί ζοντα ι ( )Κ Λ≡ ,

αρκεί να αποδείξουμε ότ ι ΚΛ 0=

, δηλαδή ότ ι το δ ιάνυσμα ΚΛ

ε ίνα ι μηδεν ικό.

Αν ισχύε ι ΟΚ ΟΛ=

, τότε έχουμε ΟΚ ΟΛ 0 ΛΚ 0− = ⇔ =

, οπότε πάλι

προκύπτε ι ότ ι τα Κ και Λ συμπίπτουν.

Παράδ ε ι γμ α Ν ο 1

Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ, Δ και Ε του χώρου, για τα οποία ισχύει

ΑΓ ΔΓ ΕΔ ΕΒ− = −

. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α και Β συμπίπτουν.

Λ ύ σ η

1ος τρόπος

Έχουμε:

ΑΓ ΔΓ ΕΔ ΕΒ ΑΓ ΔΓ ΕΔ ΕΒ 0

ΑΓ ΓΔ ΔΕ ΕΒ 0 (ΑΓ ΓΔ) (ΔΕ ΕΒ) 0

ΑΔ ΔΒ 0 ΑΒ 0

− = − ⇔ − − + = ⇔

+ + + = ⇔ + + + = ⇔

+ = ⇔ =

Άρα τα σημεία Α και Β συμπίπτουν.

2ος τρόπος

Θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο των διανυσματικών ακτινών. Έστω ότι Ο σημείο

αναφοράς, τότε:

ΑΓ ΔΓ ΕΔ ΕΒ

(ΟΓ ΟΑ) (ΟΓ ΟΔ) (ΟΔ ΟΕ) (ΟΒ ΟΕ)

ΟΓ ΟΑ ΟΓ ΟΔ ΟΔ ΟΕ ΟΒ ΟΕ

ΟΑ ΟΒ ΑΟ ΟΒ 0 ΑΒ 0

− = − ⇔

− − − = − − − ⇔

− − + = − − + ⇔

− = − ⇔ + = ⇔ =

Άρα τα σημεία Α και Β συμπίπτουν.

Εφαρμόστε παρακάτω τη μεθοδολογία 3.

Αν ισχύει ΑΚ ΛΒ ΛΚ+ =

, να αποδείξετε ότι τα σημεία Α και Β ταυτίζονται.

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 20 από 172 www.askisiologio.gr

Αν ισχύει ΑΜ ΑΝ ΒΜ ΒΝ+ = +

, να αποδείξετε ότι τα σημεία Α και Β

ταυτίζονται.

Μεθοδ ο λο γ ία Ν ο 4 - Παραλλ ηλόγρ αμμο - Τραπ έζ ι ο

α) Παραλληλόγραμμο : Όταν δίνε τα ι μ ια δ ιανυσματική ισότητα,

στην οποία περιέχοντα ι τ έσσερα μη συνευθε ιακά σημεία Α, Β, Γ

και Δ και θέλουμε να δε ί ξουμε ότ ι το τε τράπλευρο ΑΒΓΔ ε ίναι

παραλληλόγραμμο, τότε προσπαθούμε να αποδεί ξουμε ότ ι δύο

δ ιανύσματα που ορί ζοντα ι από τ ις απέναντι πλευρές του ΑΒΓΔ

ε ίνα ι ίσα μεταξύ τους. Δηλαδή, αρκε ί να δε ίξουμε ότ ι ΑΒ ΔΓ=

ή

ΑΔ ΒΓ=

.

Προσοχή! Δεν ξεχνάμε ότ ι ισχύει και ο κανόνας του

παραλληλογράμμου στην πρόσθεση διανυσμάτων, δηλαδή

ΑΒ ΑΔ ΑΓ+ =

. Επιπλέον ισχύει και ΑΒ ΑΔ ΔΒ− =

από την αφαίρεση

δ ιανυσμάτων.

Γ ια να δε ί ξουμε ότ ι το ΑΒΓΔ ε ίναι κάποιο άλλο ε ίδος παρ/μου

(ορθογώνιο , ρόμβος κτλ. ) , δε ίχνουμε επιπλέον κάποια ιδ ιότητά

του.

β) Τραπέζιο : Γ ια να αποδεί ξουμε ότ ι το ΑΒΓΔ ε ίνα ι τραπέζ ιο ,

αρκεί να δε ίξουμε ότ ι δύο δ ιανύσματα που ορί ζονται από δύο

απέναντ ι πλευρές ε ίναι μεταξύ τους παράλληλα π.χ . ΑΒ//ΓΔ

.

Παράδ ε ι γμ α Ν ο 1

Αν Α, Β, Γ και Δ είναι μη συνευθειακά σημεία και ισχύει

ΑΒ ΓΜ ΔΜ,+ =

να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι

παραλληλόγραμμο.

Λ ύ σ η

Στη δοσμένη διανυσματική ισότητα παίρνουμε σημείο αναφοράς το Α και

έχουμε:

ΑΒ ΓΜ ΔΜ ΑΒ ΑΜ ΑΓ ΑΜ ΑΔ

ΑΒ ΑΓ ΑΔ ΑΓ ΑΒ ΑΔ ΒΓ ΑΔ

+ = ⇔ + − = − ⇔

− = − ⇔ − = ⇔ =

Επειδή ΒΓ ΑΔ=

, άρα ( ) ( )ΒΓ // ΑΔ= , επομένως το ΑΒΓΔ είναι

παραλληλόγραμμο.

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 21 από 172

Εφαρμόστε παρακάτω τη μεθοδολογία 4.

Δίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓΔ και ένα σημείο Κ. Αν ισχύει

ΚΑ ΚΒ ΚΔ ΚΓ− = −

να δείξετε ότι είναι παραλληλόγραμμο.

Αν α

, β

, γ

και δ

είναι αντίστοιχα τα διανύσματα θέσεως των σημείων Α,

Β, Γ και Δ ως προς σημείο αναφοράς Ο, τι συμπέρασμα βγάζετε για το

είδος του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ στην κάθε μία από τις παρακάτω

περιπτώσεις;

i. α β δ γ− = −

ii. |α γ|=|β- δ| −

iii. α β δ γ− = −

και |α γ|=|β- δ| −

.

1.2.5 Μέτρο Αθροίσματος Διανυσμάτων

Στο διπλανό τρίγωνο ΟΑΒ και από την τριγωνική ανισότητα γνωρίζουμε ότι:

ΟΑ - ΑΒ ΟΒ ΟΑ + ΑΒ≤ ≤ .

Επομένως, αν α

, β

είναι οποιαδήποτε μη μηδενικά

διανύσματα του επιπέδου, για τα μέτρα (μήκη) τους

ισχύει:

( )|α|-|β| |α + β||α|+|β| 1≤ ≤

.

Παρατ ηρήσε ι ς

• α) Από τη σχέση ( )1 προκύπτει ότι:

α β |α +β|=|α|+|β|↑↑ ⇔

α β |α +β|= |α|-|β|↑↓ ⇔

α β |α|-|β| |α +β||α|+|β|⇔ < < (τριγωνική ανισότητα)

Δηλαδή η ισότητα από δεξιά στη σχέση ( )1 ισχύει όταν τα διανύσματα

είναι ομόρροπα, ενώ από αριστερά όταν είναι αντίρροπα. Αν τα

διανύσματα δεν είναι παράλληλα, τότε ισχύει η τριγωνική ανισότητα.

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 22 από 172 www.askisiologio.gr

Αν |α|-|β| =|α +β|=|α|+|β|

, τότε τουλάχιστον ένα από τα α

, β

είναι

το 0

.

• β) Αν στη σχέση ( )1 βάλουμε όπου β

το β−

, παίρνουμε

|α|-|β| |α β||α|+|β| .≤ − ≤

• γ) Ισχύει και |α|-|β| |α β|≤ −

.

Απ όδ ε ι ξη

Γνωρίζουμε ότι για κάθε κ ∈ ισχύει κ |κ|≤ , άρα για κ |α|-|β|=

έχουμε

|α|-|β| ||α|-|β||≤

και σύμφωνα με την προηγούμενη παρατήρηση

έχουμε |α|-|β| |α|-|β| |α β|≤ ≤ −

. Άρα |α|-|β| |α β|≤ −

.

• δ) Για τρία διανύσματα ισχύει |α +β+ γ| |α|+|β| + |γ| ≤

.

Μεθοδ ο λο γ ία Ν ο 5 - Σ χ έσε ι ς μ έτ ρω ν

Χρησιμοποιώντας την ανισοτ ική σχέση των μέτρων

|α|-|β| |α + β||α|+|β|≤ ≤

και τ ι ς σχέσεις που προέκυψαν από τ ι ς

προηγούμενες παρατηρήσε ις , μπορούμε να αποδεί ξουμε

αν ισοτ ικές σχέσεις μέτρων (μονές ή δ ιπλές) , ο ι οποίες ζητούνται

σε ασκήσεις .

Προσοχή! Αν χρησιμοποιήσουμε κάποια από τ ι ς σχέσεις των

προηγούμενων παρατηρήσεων, θα πρέπε ι πρώτα να την

αποδεί ξουμε.

Παράδ ε ι γμ α Ν ο 1

Αν |α|= 3

και |β|= 4

, να αποδείξετε ότι 1 |α β| 7≤ − ≤

.

Λ ύ σ η

Σύμφωνα με την παρατήρηση (β) (απαιτείται η απόδειξη) ισχύει:

|α|-|β| |α β||α|+|β| ≤ − ≤

.

Άρα |α β||α|+|β| |α β| 3 4 7− ≤ ⇔ − ≤ + =

και

|α β| |α|-|β| |α β||3 4|=1− ≥ ⇔ − ≥ −

, οπότε 1 |α β| 7≤ − ≤

.

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 23 από 172

Παράδ ε ι γμ α Ν ο 2

Αν |ΟΚ|= 2

και |ΟΛ|= 3

, να αποδείξετε ότι 1 |ΚΛ| 5≤ ≤

.

Λ ύ σ η

Σύμφωνα με την παρατήρηση (β) ισχύει |α|-|β| |α β||α|+|β| ≤ − ≤

.

Οπότε έχουμε:

|ΚΛ|=|ΛΚ|=|ΟΚ - ΟΛ||ΟΚ|+|ΟΛ|= 2+3 = 5≤

και

|ΚΛ|=|ΛΚ|=|ΟΚ - ΟΛ|||ΟΚ|-|ΟΛ||=|2- 3|=1≥

.

Άρα 1 |ΚΛ| 5≤ ≤

.

Εφαρμόστε παρακάτω τη μεθοδολογία 5.

Αν |α|= 2

και |β|= 5

, να αποδείξετε ότι 3 |α β| 7≤ − ≤

.

Αν ΟΑ = 5

και ΟΒ = 3

, να αποδείξετε ότι 2 |ΑΒ| 8≤ ≤

.

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 24 από 172 www.askisiologio.gr

Μεθοδ ο λο γ ία Ν ο 6 - Γ εωμ ετρ ι κο ί τ όπ ο ι

Όταν ζητάμε να βρούμε τον γεωμετρ ικό τόπο των σημε ίων Μ του

επιπέδου, τότε από τα δεδομένα της άσκησης προσπαθούμε να

καταλήξουμε σε μ ία σχέση της μορφής:

α ) ΜΑ ΒΓ/ /

, όπου Α, Β και Γ ε ίνα ι σταθερά σημεία. Τότε ο

ζητούμενος γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είνα ι η ευθε ία η

οποία διέρχεται από το σημε ίο Α και ε ίναι παράλληλη προς την

ευθεία ΒΓ.

β ) |ΜΑ|= κ

, όπου Α ε ίναι σταθερό σημείο και κ θετ ικός

πραγματικός αρ ιθμός. Τότε ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος των

σημε ίων Μ ε ίναι ε ίνα ι κύκλος κέντρου Α και ακτίνας κ .

γ ) |ΜΑ|=|ΜΒ|

, όπου Α και Β σταθερά σημεία. Τότε ο ζητούμενος

γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ ε ίνα ι η μεσοκάθετος του

ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ.

Παράδ ε ι γμ α Ν ο 1

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ

για τα οποία ισχύει:

α) ΑΜ ΒΓ/ /

β) ΒΜ ΒΓ/ /

.

Λ ύ σ η

α) Η σχέση ΑΜ ΒΓ/ /

ισχύει μόνο όταν οι ευθείες ΑΜ και ΒΓ είναι παράλληλες.

Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία ( )ε , η οποία διέρχεται από

το Α και είναι παράλληλη προς τη ΒΓ.

β) Οι ευθείες ΒΜ και ΒΓ έχουν το Β κοινό σημείο και επειδή ισχύει ΒΜ ΒΓ/ /

,

άρα οι ευθείες αυτές συμπίπτουν. Επομένως το Μ είναι σημείο της ευθείας ΒΓ,

δηλαδή ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία ΒΓ.

Παράδ ε ι γμ α Ν ο 2

Έστω Α ένα γνωστό σταθερό σημείο. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο

των σημείων Μ για τα οποία ισχύει:

α) |ΑΜ|= 3

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 25 από 172

β) |ΜΑ|= α

, α ∈ .

Λ ύ σ η

α) Το |ΑΜ|

είναι η απόσταση των σημείων Α και Μ. Άρα ζητάμε να βρούμε τον

γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ που απέχουν από το σταθερό σημείο Α σταθερή

απόσταση ίση με 3. Το σύνολο αυτών των σημείων είναι ο κύκλος με κέντρο το

Α και ακτίνα ίση με 3.

β) Επειδή α ∈ , διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις:

• Αν α 0> , τότε η περίπτωση είναι παρόμοια με το ερώτημα (α), οπότε ο

ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι ο κύκλος με κέντρο το Α και ακτίνα

ίση με α.

• Αν α 0= , τότε έχουμε |ΜΑ|= 0

, δηλαδή ΜΑ = 0

. Άρα το σημείο Μ

ταυτίζεται με το σημείο Α.

• Αν α 0< , τότε η σχέση |ΜΑ|= α

είναι αδύνατη, γιατί γνωρίζουμε ότι

|ΜΑ| 0≥

. Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι το κενό σύνολο.

Παράδ ε ι γμ α Ν ο 3

Αν Α και Β είναι δύο γνωστά σταθερά σημεία και ισχύει

|ΜΒ+ΒΑ|=|ΑΒ ΑΜ|−

, να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ.

Λ ύ σ η

Ισχύει |ΜΒ+ΒΑ|=|ΑΒ ΑΜ| |ΜΑ|=|ΜΒ|− ⇔

, δηλαδή το σημείο Μ ισαπέχει από

τα άκρα του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος

του Μ είναι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ.

Εφαρμόστε παρακάτω τη μεθοδολογία 6.

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα

οποία ισχύει:

i. ΒΜ ΑΓ/ /

ii. ΑΜ ΑΓ/ /

.

Έστω Α, Β γνωστά σταθερά σημεία. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των

σημείων Μ για τα οποία ισχύει |ΑΒ+ΒΜ|=1

.

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 26 από 172 www.askisiologio.gr

Αν Α και Β είναι δύο γνωστά σταθερά σημεία και ισχύει

|ΜΑ + ΑΒ|=|ΒΑ ΒΜ|−

, να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ.

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 27 από 172

Ερωτήσεις κλειστού τύπου

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Τι λέγεται διάνυσμα;

2. Ποιο διάνυσμα είναι το μηδενικό;

3. Τι λέγεται μέτρο ή μήκος διανύσματος;

4. Ποιο διάνυσμα λέγεται μοναδιαίο;

5. Τι λέγεται φορέας διανύσματος;

6. Ποια διανύσματα λέγονται παράλληλα ή συγγραμμικά;

7. Πότε δύο διανύσματα λέγονται ομόρροπα;

8. Πότε δύο διανύσματα λέγονται αντίρροπα;

9. Πότε δύο διανύσματα είναι ίσα;

10. Πότε δύο διανύσματα είναι αντίθετα;

11. Πως ορίζεται η γωνία δύο διανυσμάτων;

12. Ποια η σχέση δύο διανυσμάτων, αν η γωνία τους είναι 0° , 90° , ο180 ;

13. Να περιγραφούν οι τρόποι με τους οποίους προσθέτουμε δύο διανύσματα.

14. Να περιγραφούν οι τρόποι με τους οποίους αφαιρούμε δύο διανύσματα.

15. Να γραφεί δοσμένο διάνυσμα ΚΛ

ως διαφορά διανυσματικών ακτινών των

άκρων του, με σημείο αναφοράς Ο.

16. Ποια ανισοτική σχέση δίνει το μέτρο του αθροίσματος δύο διανυσμάτων;

Ασκήσεις συμπλήρωσης κενού

1. Δύο διανύσματα λέγονται ομόρροπα όταν …………………………………… .

2. Δύο διανύσματα λέγονται αντίρροπα όταν …………………………………… .

3. Δύο διανύσματα είναι ίσα μεταξύ τους όταν ………………………………… .

4. Δύο διανύσματα είναι αντίθετα μεταξύ τους όταν ……………………… .

5. Έστω τα διανύσματα ΟΑ = α

και ΟΒ = β

. Ονομάζουμε γωνία των α

, β

την…………………………………………. .

6. Αν θ η γωνία των α

, β

τότε:

α) θ = 0 , αν τα α

και β

είναι ……………………. .

β) θ = π , αν τα α

και β

είναι ………………….… .

γ) Αν α β⊥

, τότε θ = ... .

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 28 από 172 www.askisiologio.gr

7. Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Να βρείτε τα διανύσματα:

α) ΑΒ ΒΓ+

=… β) ΑΒ ΔΑ+

=…

γ) ΑΒ ΒΓ ΓΔ+ +

=… δ) ΒΓ ΔΓ−

=…

ε) ΑΓ ΑΒ−

=… στ) ΒΓ ΓΔ ΒΑ+ −

=…

8. Να συμπληρώσετε τα κενά με ένα γράμμα ώστε με βάση το διπλανό σχήμα

να αληθεύουν οι ισότητες:

α) ΒΑ ΔΕ Β...+ =

β) ΑΕ ΑΒ Α...+ =

γ)ΓΔ ΒΔ Β...+ =

δ) ΖΒ ΖΕ Ζ...+ =

ε)ΒΔ ΖΕ Β...− =

9. Να συμπληρώσετε τα κενά με ένα διάνυσμα ώστε, με βάση το σχήμα της

προηγούμενης άσκησης, να αληθεύουν οι ισότητες:

α) ΔΕ ΔΑ ...− =

β) ΑΓ ΑΒ ...− =

γ) ΓΖ ΒΔ ΔΖ ...+ − =

δ) ΒΔ ΑΔ ΓΖ ...− − =

ε) ΓΒ ΔΑ ΓΑ ...+ − =

10. Να βρείτε το διάνυσμα x

σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις:

x ......=

β) x ......=

α)

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 29 από 172

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

1. Αν ΑΒ ΓΔ=

, τότε ισχύει:

α. ΑΓ ΒΔ=

β. ΑΔ ΒΔ=

γ. ΑΓ ΔΒ=

δ. ΑΔ ΓΒ=

ε. τίποτα από τα προηγούμενα

2. Η σχέση |α|-|β| |α +β|≤

ισχύει μόνο αν τα α

και β

είναι:

α. παράλληλα β. ομόρροπα γ. αντίρροπαδ. αντίθετα ε. οποιαδήποτε διανύσματα

3. Αν Κ είναι ένα σημείο του επιπέδου του παλληλογράμμου ΑΒΓΔ, τότε ισχύει:

α. ΚA ΚB ΚΓ ΚΔ+ = +

β. ΚA ΚB ΚΓ ΚΔ 0+ + + =

γ. ΚA ΚB ΚΔ ΚΓ+ = −

δ. ΚA ΚΓ ΚΒ ΚΔ− = −

ε. Τίποτα από τα προηγούμενα

4. Αν α β= −

, τότε τα διανύσματα α

και β

είναι:

α. κάθετα β. ομόρροπα γ. αντίρροπαδ. αντίθετα ε. οποιαδήποτε διανύσματα

5. Αν Ο είναι το κέντρο του παλληλογράμμου ΑΒΓΔ, τότε ισχύει:

α. AΟ ΟΓ ΒΓ+ =

β. ΟA ΟB ΟΓ ΟΔ 0+ + + =

γ. AΟ ΟB ΑΒ+ =

δ. ΟA ΟΓ ΑΓ− =

ε. Τίποτα από τα προηγούμενα

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 30 από 172 www.askisiologio.gr

Ερωτήσεις αντιστοίχισης

1. Να αντιστοιχίσετε κάθε ένα από τα διανύσματα της Α στήλης με το ίσο του της

Β στήλης.

Στήλη (Α) Στήλη (Β)

1α ΒΓ ΓΑ ΑΒ= − +

1β 2ΒΓ=

2α ΒΓ ΔΓ ΒΑ= − −

2β 0=

3α ΓΔ ΒΑ ΔΑ ΓΒ= − + −

3β ΓΔ=

4α ΑΓ ΔΒ ΒΑ ΓΔ= − + −

4β 2ΑΓ=

5α ΑΓ ΒΑ ΔΓ ΓΒ= + − +

5β ΑΔ=

2. Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι ΑΒ = α

και ΑΔ = β

. Να αντιστοιχίσετε κάθε

διάνυσμα της στήλης Α του παρακάτω πίνακα με το ίσο του της στήλης Β.

Στήλη (Α) Στήλη (Β)

1. ΑΓ

Α. -α

2. ΓΒ

Β. α +β

3. ΓΔ

Γ. β- α

4. ΒΔ Δ. α -β

Ε. -β

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 31 από 172

Στήλη (Α) Στήλη (Β)

Ζ. α - β

2

Χαρακτηρισμός προτάσεων ως σωστές (Σ ) ή λανθασμένες

(Λ)

1. Αν ΑΒ ΓΔ=

, τότε ΒΑ ΔΓ=

.

Σ Λ

2. Αν |ΑΒ|=|ΓΔ|

, τότε ΑΒ ΓΔ=

.

Σ Λ

3. Δύο αντίθετα διανύσματα έχουν το ίδιο μέτρο.

Σ Λ

4. Διανύσματα με μέτρο 1 λέγονται μοναδιαία.

Σ Λ

5. Δύο ομόρροπα διανύσματα είναι ίσα.

Σ Λ

6. Όταν δύο διανύσματα είναι ίσα, τότε είναι ομόρροπα.

Σ Λ

7. Αν η γωνία δύο διανυσμάτων είναι 0° , τότε είναι ομόρροπα.

Σ Λ

8. Το μηδενικό διάνυσμα είναι παράλληλο προς οποιοδήποτε

άλλο διάνυσμα.

Σ Λ

9. Αν δύο διανύσματα είναι συγγραμμικά, τότε είναι είτε ομόρροπα

είτε αντίρροπα.

Σ Λ

10. Κάθε διάνυσμα στο χώρο είναι ίσο με τη διανυσματική ακτίνα

της αρχής μείον τη διανυσματική ακτίνα του πέρατός του.

Σ Λ

11. Ισχύει ότι α 0 α+ =

.

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 32 από 172 www.askisiologio.gr

Σ Λ

12. Ισχύει ότι α β α β+ = − −

.

Σ Λ

13. Ισχύει ότι |α β||α| |β|+ = +

.

Σ Λ

14. Ισχύει ότι |α| |β||α β|− ≤ +

για οποιαδήποτε διανύσματα α

και β

.

Σ Λ

15. Αν |α β| |α| |β  |+ = −

, τότε η γωνία των α

και β

είναι ο180 .

Σ Λ

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 33 από 172

Ασκήσεις Έννοια διανύσματος-Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσμάτων

1Να γράψετε με τη μορφή ενός διανύσματος τις παρακάτω παραστάσεις:

α) ΑΒ ΒΓ+

β) ΑΒ ΓΑ+

γ) ΑΒ ΓΒ−

δ) ΑΒ ΑΓ−

ε) ΑΒ ΒΓ ΓΔ+ +

στ) ΑΒ ΜΝ ΒΜ+ +

ζ) ( )ΒΓ ΓΔ ΒΑ+ −

η) ΑΒ ΒΑ+

Απάντηση

α) AΓ

β) ΓB

γ) AΓ

δ) ΓB

ε) AΔ

στ) AΝ

ζ) AΔ

η) 0

2Δίνεται ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και το μέσο του Μ. Να γράψετε όλα τα

διανύσματα που έχουν ως άκρα δύο διαφορετικά σημεία από τα Α, Μ, Β

και τα οποία είναι με το ΑΜ

:

α) ίσα β) αντίθετα γ) ομόρροπα

δ) αντίρροπα ε) παράλληλα Απάντηση

α) ΜB

β) ΜΑ,ΒΜ

γ) AΜ,AB,ΜB

δ) ΜΑ,ΒΜ,ΒΑ

ε) AB,ΜB,ΒΜ,ΜΑ,ΒΑ

3Έστω τα σημεία Κ, Λ, Μ, Ν.

α) Να συγκρίνετε τα διανύσματα α ΚΝ ΛΜ= +

και β ΚΜ ΛΝ= +

.

β) Να βρείτε σημείο Α, ώστε να ισχύει ΜΝ ΛΑ ΛΝ ΚΜ+ = −

.

Απάντηση

α) Είναι ίσα.β) Το Α ταυτίζεται με το Κ.

4Για τα σημεία Α, Β, Γ, Δ να δείξετε ότι:

α) ΑΒ ΔΓ ΔΒ ΓΑ+ = −

β) ΑΔ ΒΓ ΑΓ ΒΔ+ = +

.

Απάντηση

α) Γράφουμε τα διανύσματα με σημείο αναφοράς π.χ. το Α.β) Όμοια.

5Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ.

α) Αν ΒΔ ΑΓ=

και ΑΕ ΒΓ=

, να αποδείξετε ότι το Γ είναι το μέσο του ΔΕ

.

β) Να βρείτε σημείο Μ στο επίπεδο του τριγώνου τέτοιο ώστε

ΑΒ ΑΓ ΑΜ 0+ + =

.

Απάντηση

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 34 από 172 www.askisiologio.gr

α) ΓΔ ΓB ΒΔ ...... ΕΓ= + = =

β) Αντικαταστούμε AB ΒΔ=

και καταλήγουμε AΜ ΔΑ=

.

6Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ και Δ, Ε δύο

σημεία στο επίπεδο του τριγώνου τέτοια ώστε ΑΒ ΑΓ ΑΔ ΑΕ+ = +

, να

δείξετε ότι:

α) το Μ είναι και μέσο του ΔΕ

β) για οποιοδήποτε σημείο Ν του επιπέδου του τριγώνου ισχύει

ΝΒ ΝΓ ΝΔ ΝΕ+ = +

.Απάντηση

α) AB AΓ AΔ AΕ AB AΔ AΕ AΓ ...+ = + ⇔ − = − ⇔

β) Όμοια.

7Αν τα διανύσματα ΑΒ

και ΓΔ

είναι ίσα, να αποδείξετε ότι τα τμήματα ΑΔ

και ΒΓ έχουν κοινό μέσο.

Απάντηση

ΑΒΓΔ #=

8Αν τα τμήματα ΑΓ και ΒΔ έχουν το ίδιο μέσο, να αποδείξετε ότι τα

διανύσματα ΑΒ

και ΔΓ

είναι ίσα.

Απάντηση

ΑΒΓΔ #=

9Θεωρούμε ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τα διανύσματα ΒΜ ΓΒ=

και

ΒΕ ΔΜ=

. Να δείξετε ότι το Μ είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος

ΑΕ.

Απάντηση

ΒΑ ΒΕ 2ΒΜ+ =

10Έστω τα σημεία Α, Β, Γ, Δ ανά τρία μη-συνευθειακά. Αν ισχύει

ΟΑ ΟΓ ΟΒ ΟΔ+ = +

, να δείξετε ότι το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο.

Απάντηση

ΟΑ ΟB ΟΔ ΟΓ ΒΑ ΓΔ− = − ⇔ =

11 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Ρ τυχαίο σημείο της πλευράς ΒΓ. Αν Μ είναι

σημείο τέτοιο, ώστε ΡΜ ΑΡ ΡΒ ΡΓ= + +

, να δείξετε ότι το τετράπλευρο

ΑΒΜΓ είναι παραλληλόγραμμο.

Απάντηση

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 35 από 172

ΡΜ ΡB ΡΓ AΡ ΒΜ AΓ− = + ⇔ =

12Δίνονται τρία σημεία Α, Β και Γ. Να βρείτε τα σημεία Μ, για τα οποία

ισχύει:

α) ΜΑ ΜΒ ΜΓ ΓΒ+ − =

β) ΜΑ ΜΒ ΜΓ ΒΓ− + =

γ) ΜΒ ΜΓ ΜΑ ΒΓ+ − =

δ) ΜΒ ΜΓ ΜΑ 0+ − =

Απάντηση

α) Το Μ ταυτίζεται με το Α. β) Το Μ ταυτίζεται με το Α.

γ) AB ΒΜ=

δ) AΓ ΒΜ=

13Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ, Δ καθώς και τα Μ, Ν τέτοια, ώστε

ΑΜ ΑΒ ΑΔ ΒΔ= + −

και ΑΝ ΑΒ ΑΔ ΑΓ= − +

.

α) Να δείξετε ότι ΜΝ ΔΑ ΒΓ= +

.

β) Αν το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο, τι συμπεραίνετε για τα σημεία Μ

και Ν;

Απάντηση

α) ΜΝ ΜΑ AΝ ...... ΔΑ ΒΓ= + = = +

β) Ταυτίζονται.

14Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Να βρείτε σημείο Μ στο επίπεδο του

παραλληλογράμμου, για το οποίο ισχύει ΜΑ ΜΒ ΜΓ ΜΔ+ + =

.

Απάντηση

Το Μ ταυτίζεται με το Β.

15Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύκλο . Να αποδείξετε ότι

|ΑΒ| |ΒΓ| |ΓΑ| 6R+ + <

.

Απάντηση

Έχουμε 6 ακτίνες είναι 3 διαμέτρους.

16Έστω κύκλος κέντρου Ο και ακτίνας . Για δύο σημεία του επιπέδου

ισχύουν 3

|ΟΑ|4

≤

και 5

|ΟΒ|4

<

. Θεωρούμε και το διάνυσμα ΟΜ ΟΑ ΟΒ= +

. Να δείξετε ότι το σημείο Μ είναι εσωτερικό του κύκλου.

Απάντηση

|OM||OA +OB| ...... 2= = ≤

17 Αν |α β| 0± ≠

, να αποδείξετε ότι α β

1|α β| |α β|

+ ≥+ −

.

( )O,R

ρ 2=

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 36 από 172 www.askisiologio.gr

Απάντηση

Γνωρίζουμε ότι |α β||α| |β|+ ≤ +

και |α β||α| |β|− ≤ +

.

Αντιστρέφουμε κατά μέρη- πράξεις-πρόσθεση κατά μέρη.

18Αν ισχύει |β| 1≤

, να αποδείξετε ότι

( )1 |α| |α β| 1− + ≤

.

Απάντηση

|α +β||α|+|β| 1+|α|≤ ≤

19Δίνεται το σημείο Α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του

επιπέδου για τα οποία ισχύει:

α) |ΑΜ| 5=

β) |ΑΜ| λ=

, όπου λ ∈ .

Απάντηση

α) Κύκλος με κέντρο το Α και ακτίνα 5.β) Αν λ 0< δεν υπάρχει σημείο.

Αν λ 0= το Μ ταυτίζεται με το Α.Αν λ 0> είναι κύκλος με κέντρο Α και ακτίνα λ.

20Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα

οποία ισχύει:

α) ΑΜ ΒΓ/ /

β) ΒΜ ΒΓ/ /

.

Απάντηση

α) Η ευθεία που διέρχεται από το Α και είναι παράλληλη στη ΒΓ .β) Η ευθεία ΒΓ .

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 37 από 172

1.3 Πολλαπλασιασμός Αριθμού με Διάνυσμα

1.3.1 Ορισμός Πολλαπλασιασμού Αριθμού με

Διάνυσμα

Έστω λ ένας πραγματικός αριθμός με λ 0≠ και α

ένα μη μηδενικό διάνυσμα.

Ονομάζουμε γινόμενο του λ με το α

και το συμβολίζουμε ⋅λ α

(ή λα

) ένα

διάνυσμα το οποίο:

• είναι ομόρροπο του α

, αν λ > 0 και αντίρροπο του α

, αν λ < 0

• έχει μέτρο |λ||α|

.

Αν λ = 0 ή α = 0

, τότε το λ α⋅

είναι το μηδενικό διάνυσμα.

Για παράδειγμα, εάν το διάνυσμα α

του διπλανού

σχήματος έχει μέτρο 4, τότε το 3α

είναι ομόρροπο στο α

και έχει μέτρο 12, ενώ το 3α−

είναι αντίρροπο του α

και

έχει μέτρο και αυτό 12.

1.3.2 Ιδιότητες Πολλαπλασιασμού Αριθμού με

Διάνυσμα

α) λ(α +β) = λα + λβ

β) (λ + μ)α = λα + μα

γ) λ(μα) = (λμ)α

Ως συνέπεια του ορισμού του γινομένου αριθμού με διάνυσμα και των ιδιοτήτων

έχουμε:

i. λα = 0 λ 0⇔ =

ή α 0=

ii. ( ) ( ) ( )λα λ α λα− = − = −

iii. ( )λ α β λα λβ− = −

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 38 από 172 www.askisiologio.gr

iv. ( )λ μ α λα μα− = −

v. Αν λα λβ=

και λ 0≠ , τότε α β=

(διαγραφή αριθμού)

vi. Αν λα μα=

και α 0≠

, τότε λ μ= (διαγραφή

διανύσματος)

Μεθοδ ο λο γ ία Ν ο 7 - Σ τ αθερ ό δ ιά νυ σμ α

Για να δε ί ξουμε ότ ι μια παράσταση διανυσμάτων αποτελε ί

σ ταθερό διάνυσμα (ανεξάρτητο αγνώστου σημείου) , αρκε ί να

αποδεί ξουμε ότ ι ισούται με δ ιανύσματα που αποτελούνται από

σταθερά σημεία, δηλαδή δεν υπάρχε ι το μεταβλητό σημείο

μέσα στην παράσταση.

Παράδ ε ι γμ α Ν ο 1

Δίνονται τα σημεία Α, Β και Γ. Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε

σημείο Μ το διάνυσμα 3ΜΑ 5ΜΒ 2ΜΓ− +

είναι σταθερό.

Λ ύ σ η

Με σημείο αναφοράς το Α έχουμε:

3ΜΑ 5ΜΒ 2ΜΓ 3ΑΜ 5(ΑΒ ΑΜ) 2(ΑΓ ΑΜ)

3ΑΜ 5ΑΜ 2ΑΜ 5ΑΒ 2ΑΓ 2ΑΓ 5ΑΒ

− + = − − − + − =

− + − − + = +

που είναι σταθερό διάνυσμα.

Εφαρμόστε παρακάτω τη μεθοδολογία 7.

Δίνονται τα σημεία Α, Β και Γ. Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε σημείο

Μ το διάνυσμα 5ΜΑ 8ΜΒ 3ΜΓ− +

είναι ανεξάρτητο του Μ.

Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ και Δ. Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε

σημείο Μ το διάνυσμα 5ΜΑ ΜΒ 2ΜΓ 4ΜΔ+ − −

είναι σταθερό.

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 39 από 172

Μεθοδ ο λο γ ία Νο 8 - Προ σδ ι ορ ι σμ ός σημ ε ί ου

Όταν μας ζητε ί ται να προσδιορίσουμε ένα σημείο το οποίο

βρ ίσκετα ι σε δοσμένη διανυσματ ική ισότητα, τότε στη δοσμένη

σχέση, παίρνουμε ως σημε ίο αναφοράς κάποιο από τα γνωστά

σημεία και κάνουμε πράξεις .

Προσπαθούμε να εκφράσουμε το δ ιάνυσμα που ορί ζεται από το

ζητούμενο σημε ίο και από το γνωστό σημείο , συναρτήσει

δ ιανυσμάτων τα οποία δεν περιέχουν το άγνωστο σημείο.

Παράδ ε ι γμ α Ν ο 1

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να προσδιορίσετε το σημείο Κ στο επίπεδο του

τριγώνου, για το οποίο ισχύει 4ΚΒ ΚΓ 0+ =

.

Λ ύ σ η

Παίρνουμε ως σημείο αναφοράς το Β και έχουμε:

( )4ΚΒ ΚΓ 0 4 ΒΚ ΒΓ ΒΚ 0 5ΒΚ ΒΓ

1ΒΚ ΒΓ.

5

+ = ⇔ − + − = ⇔ − = − ⇔

=

Παράδ ε ι γμ α Ν ο 2

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να προσδιορίσετε το σημείο Μ, ώστε να ισχύει

ΑΒ ΑΓ ΑΜ 0+ + =

.

Λ ύ σ η

Η διανυσματική ισότητα έχει ήδη σημείο αναφοράς το Α, οπότε επιλύουμε ως

προς ΑΜ

και έχουμε ( )ΑΜ ΑΒ ΑΓ= − +

.

Εφαρμόστε παρακάτω τη μεθοδολογία 8.

Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ και Δ. Να προσδιορίσετε το σημείο Μ, για το

οποίο ισχύει ΑΓ ΒΜ ΒΔ ΓΔ+ = −

.

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να προσδιορίσετε στο επίπεδο του τριγώνου το

σημείο Μ, για το οποίο ισχύει 2ΜΑ ΜΒ 3ΜΓ 0− + =

.

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 40 από 172 www.askisiologio.gr

1.3.3 Γραμμικός Συνδυασμός Διανυσμάτων

Ορισμός: Γραμμικός συνδυασμός δύο

διανυσμάτων α

και β

λέγεται κάθε διάνυσμα

της μορφής v = κα + λβ

, όπου κ, λ ∈ .

π.χ. το διάνυσμα v = -2α +3β

είναι γραμμικός συνδυασμός των α

και β

.

Ανάλογα ορίζεται και ο γραμμικός συνδυασμός τριών ή περισσοτέρων

διανυσμάτων.

Παρατ ηρήσε ι ς

• Για δύο μη συγγραμμικά διανύσματα α

, β

, αν έχουμε κα λβ 0+ =

με

κ, λ ∈ , τότε κ λ 0= = .

Απ όδ ε ι ξη

Έστω ότι κ 0≠ , οπότε λύνοντας ως προς α

έχουμε:

λα β

κ= −

, δηλαδή α //β

, που είναι άτοπο. Άρα κ 0= . Όμοια προκύπτει

ότι λ 0= .

• Ένα διάνυσμα x

γράφεται με μοναδικό τρόπο ως γραμμικός συνδυασμός

δυο μη συγγραμμικών διανυσμάτων α

και β

.

Απ όδ ε ι ξη

Έστω ότι το διάνυσμα x

γράφεται με δύο τρόπους ως γραμμικός

συνδυασμός των δυο μη συγγραμμικών διανυσμάτων α

και β

.

Δηλαδή 1 1x κ α λ β= +

και 2 2x κ α λ β= +

. Θα αποδείξουμε ότι 1 2κ κ= και

1 2λ λ= .

( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2

1 2 1 2 1 1

κ α λ β κ α λ β κ α λ β κ α λ β 0

κ κ α λ λ β 0 κ λ 0

+ = + ⇔ + − − = ⇔

− + − = ⇔ − =

και 2 2κ λ 0− = . Δηλαδή 1 2κ κ= και 1 2λ λ= .

• Αν ισχύει κα λβ κ α λ β′ ′+ = +

, τότε κ κ′= και λ λ′= .

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 41 από 172

Μεθοδ ο λο γ ία Ν ο 9 - Γ ραμμ ικός συ νδ υα σμός

δ ι α νυ σμ άτ ω ν

α) Αν θέλουμε να εκφράσουμε ένα διάνυσμα x

ως γραμμικό

συνδυασμό δύο μη συγγραμμικών δ ιανυσμάτων α

και β

, τό τε

εκφράζουμε το x

ως γραμμικό συνδυασμό των α

και β

με δύο

τρόπους και επε ιδή η γραφή του ως γραμμικού συνδυασμού

ε ίνα ι μοναδική, ε ξ ισώνουμε τους αντ ίστοιχους συντελεστές .

β ) Αν δ ίνεται ότ ι ο γραμμικός συνδυασμός δύο μη

συγγραμμικών δ ιανυσμάτων ε ίναι ίσος με 0

, τότε εξ ισώνουμε

τους συντελεστές του γραμμικού συνδυασμού με 0.

Παράδ ε ι γμ α Ν ο 1

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Πάνω στις πλευρές ΑΓ και ΒΓ παίρνουμε τα

σημεία Δ και Ε αντίστοιχα έτσι ώστε 2

ΓΔ ΓΑ3

=

και 1

ΒΕ ΒΓ4

=

. Αν Μ

είναι το σημείο τομής των ΒΔ και ΑΕ, να εκφράσετε το ΓΜ

ως

γραμμικό συνδυασμό των ΑΒ γ=

και ΑΓ β=

.

Λ ύ σ η

Σύμφωνα με το σχήμα και τις δοσμένες σχέσεις έχουμε:

( )

( ) ( )

ΓΜ ΓΑ ΑΜ β λΑΕ β λ ΒΕ ΒΑ

1 λβ λ ΒΓ ΒΑ β β γ λ γ

4 4

λ λ 3λ λ 4λ γ 1 β γ β.

4 4 4 4

= + = − + = − + − =

− + − = − + − − − =

− − + − = +

Επίσης έχουμε:

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 42 από 172 www.askisiologio.gr

( ) ( )

( ) ( )

ΓΜ ΒΜ ΒΓ μΒΔ ΑΓ ΑΒ μ ΒΑ ΑΔ ΑΓ ΑΒ

1 μ1 μ ΑΒ μ ΑΓ 1 μ γ 1 β.

3 3

= − = − − = + − + =

− + = − + −

Επειδή η γραφή ως γραμμικού συνδυασμού είναι μοναδική, εξισώνουμε τους

αντίστοιχους συντελεστές και λύνουμε το σύστημα

3λ1 μ

4

λ 4 μ 3

4 3

= −

− − =

από όπου βρίσκουμε 2

λ3

= και 1

μ2

= . Άρα 1 5

ΓΜ γ β2 6

= −

.

Παράδ ε ι γμ α Ν ο 2

Αν για τα μη συγγραμμικά διανύσματα α

και β

ισχύει

( )λ

μ α λ μ 1 β 03

− + + − =

, να βρείτε τα λ και μ.

Λ ύ σ η

Αφού τα α

και β

δεν είναι συγγραμμικά και ισχύει ( )λ

μ α λ μ 1 β 03

− + + − =

,

έχουμε:

λμ 0

3− = και λ μ 1 0+ − = . Λύνουμε το σύστημα και προκύπτει

3λ

4= και

1μ .

4=

Εφαρμόστε παρακάτω τη μεθοδολογία 9.

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Πάνω στις πλευρές ΒΓ και ΑΒ παίρνουμε τα σημεία

Κ και Λ αντίστοιχα έτσι ώστε 1

ΒΚ ΒΓ3

=

και 1

ΑΛ ΑΒ4

=

. Αν Μ είναι το

σημείο τομής των ΑΚ και ΑΓ, να εκφράσετε το ΒΜ

ως γραμμικό

συνδυασμό των ΑΓ u=

και ΑB v=

.

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 43 από 172

Αν για τα μη συγγραμμικά διανύσματα u

και v

ισχύει

( )1

3α 2β u α β v 02

+ + − =

, να βρείτε τα α και β.

1.3.4 Συνθήκη Παραλληλίας Διανυσμάτων

Θεώρημα: Δύο διανύσματα α

και β

με β 0≠

είναι παράλληλα, αν και μόνο αν

υπάρχει λ ∈ τέτοιο ώστε α λβ=

.

Απ όδ ε ι ξη

Αν ισχύει α λβ=

με β 0≠

, τότε τα διανύσματα α

και β

είναι παράλληλα.

Αντίστροφα

Έστω ότι τα διανύσματα α

και β

είναι παράλληλα με β 0≠

. Θέτουμε |α|

κ =|β|

,

οπότε |α|= κ|β|

. Συνεπώς:

• αν α β↑↑

, τότε α = κβ

• αν α β↑↓

, τότε α κβ= −

• αν α 0=

, τότε α = 0 β⋅

.

Σε κάθε περίπτωση υπάρχει μοναδικό λ ώστε α λβ=

.

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 44 από 172 www.askisiologio.gr

Μεθοδ ο λο γ ία Ν ο 10 - Παράλλ ηλα δ ιανύ σματ α

α) Αν θέλουμε να αποδε ίξουμε ότ ι δύο δ ιανύσματα α

, β

ε ί ναι

μεταξύ τους παράλληλα, αρκε ί να δεί ξουμε ότ ι α λβ=

, λ ∈ .

β) Αν θέλουμε να βρούμε την τ ιμή κάποιου x ∈ , έ τσ ι ώστε δύο

δ ιανύσματα u

και v

, τα οποία γράφονται ως γραμμικός

συνδυασμός δύο άλλων διανυσμάτων α

κα ι β

, να ε ίναι μεταξύ

τους παράλληλα, τότε αντ ικαθιστούμε τα u

και v

σ τη σχέση

u λv=

και ε ξ ισώνουμε τους αντ ίστο ιχους συντελεστές.

Παράδ ε ι γμ α Ν ο 1

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και στο επίπεδό του ορίζουμε τα σημεία Δ και Ε

έτσι ώστε να ισχύουν οι σχέσεις ΑΔ 5ΑΒ 4ΑΓ= +

και ΑΕ 4ΑΒ 5ΑΓ= +

. Να

αποδείξετε ότι τα διανύσματα ΔΕ

και ΒΓ

είναι παράλληλα.

Λ ύ σ η

Επιλέγουμε το διάνυσμα ΔΕ

(επειδή είναι ένα από τα διανύσματα για τα οποία

θέλουμε να αποδείξουμε την παραλληλία) και το γράφουμε συναρτήσει των

δοσμένων διανυσμάτων ΑΔ

και ΑΕ

. Οπότε έχουμε:

( ) ( )ΔΕ ΑΕ ΑΔ 4ΑΒ 5ΑΓ 5ΑΒ 4ΑΓ

4ΑΒ 5ΑΓ 5ΑΒ 4ΑΓ ΑΓ ΑΒ ΒΓ.

= − = + − + =

+ − − = − =

Άρα ΔΕ ΒΓ=

, δηλαδή ισχύει ΔΕ λΒΓ=

με λ 1= . Επομένως τα διανύσματα ΔΕ

και ΒΓ

είναι παράλληλα.

Παράδ ε ι γμ α Ν ο 2

Δίνονται τα διανύσματα α

και β

. Να βρείτε το x ∈ , έτσι ώστε τα

διανύσματα u xα β= −

και x

v 3α β3

= −

να είναι μεταξύ τους

παράλληλα.

Λ ύ σ η

Αν τα διανύσματα u

και v

είναι παράλληλα, τότε θα ισχύει u λv=

. Οπότε:

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 45 από 172

2

3λ xλχ

u λv xα β 3λα β λx3 1

3

xλ x3 λ

x 3.3xx

x 93 13

=

= ⇔ − = − ⇔ ⇔− = −

=

= ⇔ ⇔ = ±

⋅ =− = −

Εφαρμόστε παρακάτω τη μεθοδολογία 10.

Αν u 3α 2β= +

και v α β= −

, να αποδείξετε ότι το διάνυσμα w u 2v= +

είναι παράλληλο με το α

.

Δίνονται τα διανύσματα α

και β

. Να βρείτε το x ∈ , έτσι ώστε τα

διανύσματα u 4xα β= +

και v α xβ= +

να είναι μεταξύ τους παράλληλα.

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 46 από 172 www.askisiologio.gr

Μεθοδ ο λο γ ία Ν ο 11 - Συ ν ευ θε ιακά σημε ία

Για να δε ί ξουμε ότ ι τρ ία σημεία Α, Β, Γ ε ίνα ι συνευθειακά,

αρκεί να δεί ξουμε ότ ι δύο διανύσματα που σχηματί ζοντα ι από

αυτά ε ίνα ι παράλληλα μεταξύ τους . Δηλαδή αρκεί π .χ. να

δε ίξουμε ότ ι ΑΒ = λ ΑΓ⋅

, οπότε ΑΒ ΑΓ/ /

. Τότε επε ιδή τα

δ ιανύσματα ΑΒ

και ΑΓ

έχουν ένα κοινό άκρο, το Α και

επ ιπλέον ε ίνα ι και παράλληλα, απορρίπτετα ι η περ ίπτωση να

ε ίνα ι σε δ ιαφορετ ικούς φορείς . Οπότε ανήκουν στην ίδ ια

ευθεία, δηλαδή τα σημεία Α, Β και Γ ε ίνα ι συνευθειακά.

Παράδ ε ι γμ α Ν ο 1

Αν για τα σημεία Α, Β, Γ, Δ και Ε ισχύει η σχέση

3ΕΒ 5ΑΒ 7ΕΑ 2ΑΔ 10ΕΓ 0+ + + − =

, να αποδείξετε ότι τα σημεία Β, Γ και

Δ είναι συνευθειακά.

Λ ύ σ η

Με σημείο αναφοράς το Β, η δοσμένη σχέση γίνεται:

3ΕΒ 5ΑΒ 7ΕΑ 2ΑΔ 10ΕΓ 0

3ΕΒ 5ΑΒ 7(ΒΑ ΒΕ) 2(ΒΔ ΒΑ) 10(ΒΓ ΒΕ) 0

3ΕΒ 5ΑΒ 7ΑΒ 7ΕΒ 2ΑΒ 10ΒΓ 10ΕΒ 0

2ΒΔ 10ΒΓ ΒΔ

+ + + − = ⇔

+ + − + − − − = ⇔

+ − + + − − = ⇔

= ⇔

5ΒΓ.=

Άρα ΒΔ ΒΓ/ /

, συνεπώς τα σημεία Β, Γ και Δ είναι συνευθειακά.

Παράδ ε ι γμ α Ν ο 2

Αν για οποιαδήποτε σημεία Ο, Α, Β, Γ ισχύει 3ΟΑ 2ΟΒ ΟΓ 0− − =

, να

αποδείξετε ότι τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.

Λ ύ σ η

( ) ( )3ΟΑ 2ΟΒ ΟΓ 0 2ΟΑ 2ΟΒ ΟΑ ΟΓ 0

2 ΟΑ ΟΒ ΟΑ ΟΓ 0 2ΒΑ ΓΑ 0 ΑΓ 2ΑΒ.

− − = ⇔ − + − = ⇔

− + − = ⇔ + = ⇔ = −

Άρα ΑΓ ΑΒ/ /

, συνεπώς τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.

Εφαρμόστε παρακάτω τη μεθοδολογία 11.

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 47 από 172

Αν ισχύει ΑΚ 3ΒΚ 2ΒΑ ΒΛ 3ΑΜ+ − = +

, να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ, Λ,

Μ είναι συνευθειακά.

Δίνονται τα διανύσματα ΟΚ α β γ= + +

, ΟΛ 5α 3β 4γ= + +

και

ΟΜ 13α 7β 10γ= + +

. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ, Λ, Μ είναι

συνευθειακά.

1.3.5 Διανυσματική Ακτίνα Μέσου Τμήματος

Η διανυσματική ακτίνα του μέσου ευθυγράμμου τμήματος ισούται με το

ημιάθροισμα των διανυσματικών ακτίνων των άκρων του τμήματος.

Δηλαδή, αν Ο είναι ένα σημείο αναφοράς και Μ είναι το μέσο του ΑΒ, θα ισχύει:

ΟΑ +ΟΒΟΜ =

2

.

Απόδειξη

Έστω ένα διάνυσμα ΑΒ

και Ο σημείο αναφοράς. Επειδή ΑΜ = ΜΒ

, έχουμε:

ΟΑ + ΟΒΟΜ- ΟΑ = ΟΒ - ΟΜ 2ΟΜ = ΟΑ + ΟΒ ΟΜ =

2⇔ ⇔

.

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 48 από 172 www.askisiologio.gr

Μεθοδ ο λο γ ία Νο 12 - Δ ιάμεσο ι τ ρ ι γώ νου

Όταν σε τρ ίγωνο θέλουμε να αποδε ί ξουμε μια διανυσματική

ισότητα που περ ιλαμβάνε ι δ ιάμεσο, αντ ικαθιστούμε το

δ ιάνυσμα της δ ιαμέσου με το διανυσματικό ημιάθροισμα των

προσκείμενων πλευρών της.

Δηλαδή, αν ΑΜ είναι δ ιάμεσος του τρ ιγώνου ΑΒΓ, τότε

ΑΒ ΑΓΑΜ .

2

+=

Παράδ ε ι γμ α Ν ο 1

Αν ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ είναι διάμεσοι τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι

ΑΔ ΒΕ ΓΖ 0+ + =

.

Λ ύ σ η

ΑΔ ΒΕ ΓΖ

1 1 1 1 1(ΑΒ ΑΓ) (ΒΓ ΒΑ) (ΓΑ ΓΒ) (ΑΒ ΒΑ ΑΓ ΓΑ ΒΓ ΓΒ) 0 0.

2 2 2 2 2

+ + =

= + + + + + = + + + + + = ⋅ =

Παράδ ε ι γμ α Ν ο 2

Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Αν Μ και Ν είναι τα μέσα των διαγωνίων

ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε σημείο Ο

ισχύει ΑΒ ΑΔ ΓΒ ΓΔ 4ΜΝ+ + + =

.

Λ ύ σ η

( ) ( )( ) ( )

ΑΒ ΑΔ ΓΒ ΓΔ ΑΒ ΑΔ ΓΒ ΓΔ 2ΑΝ 2ΓΝ

2 ΑΝ ΓΝ 2 ΝΑ ΝΓ 2 2ΝΜ 4ΝΜ 4ΜΝ.

+ + + = + + + = + =

+ = − ⋅ + = − ⋅ = − =

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 49 από 172

Εφαρμόστε παρακάτω τη μεθοδολογία 12.

Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Κ το μέσο της ΑΒ. Αν Λ είναι το μέσο

της ΔΚ, να εκφράσετε τα διανύσματα ΑΛ

και ΓΛ

συναρτήσει των ΑΒ α=

και ΑΔ β=

.

Έστω Δ, Ε, Ζ τα μέσα των πλευρών ΒΓ, ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα, ενός

τριγώνου ΑΒΓ. Αν Μ είναι το μέσο του ΑΔ, να εκφράσετε τα διανύσματα

ΑΔ

και ΑΜ

συναρτήσει των ΑΒ α=

και ΑΓ β=

.

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 50 από 172 www.askisiologio.gr

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 51 από 172

Ερωτήσεις κλειστού τύπου

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Τι ονομάζουμε γινόμενο αριθμού με διάνυσμα;

2. Τι ονομάζουμε γραμμικό συνδυασμό δύο διανυσμάτων;

3. Ποια η συνθήκη παραλληλίας δύο διανυσμάτων α

και β→

;

4. Αν α λ β→ →

= ⋅ , τι συμπεράσματα προκύπτουν αν λ 0> , λ 0< ή λ 0=

αντίστοιχα;

5. Πως ορίζεται η διανυσματική ακτίνα μέσου τμήματος AB ;

6. Στο παρακάτω σχήμα, είναι τα σημεία Α, Γ, Ε συνευθειακά; Να

δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

Ασκήσεις συμπλήρωσης κενού

Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά:

1. α) λ α β→ →

⋅ + =

……… β) ( )λ μ α→

+ ⋅ =………. γ) λ μα→

=

……….

2. α) λα = 0 ⇔

……… β) ( ) ( )λα λ α− = − =

……… γ) ( )λ α β− =

………

3. α) Αν λα λβ=

και λ 0≠ , τότε ……… β) Αν λα μα=

και α 0≠

, τότε

………

4. Αν λ 0= ή α 0=

, τότε ορίζουμε ως λ α⋅

το ……… .

5. Το γινόμενο 1

αλ⋅

το συμβολίζουμε και με ……… .

6. Γραμμικός συνδυασμός δύο διανυσμάτων α

και β

ονομάζεται κάθε

διάνυσμα της μορφής ……… όπου κ, λ ∈ .

7. Αν α

και β

είναι δύο διανύσματα, με β 0≠

, τότε α β/ / ⇔

……… .

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 52 από 172 www.askisiologio.gr

8. Αν Ο είναι ένα σημείο αναφοράς και Μ είναι το μέσο του ΑΒ

, τότε

ΟΜ .........=

.

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

1. Τα διανύσματα α

και β

είναι ομόρροπα και κ, λ 0,1, 1≠ − . Αν ισχύει

κα λβ 0+ =

, τότε τα κ, λ είναι:

α. θετικοί β. αρνητικοί γ. ετερόσημοι

δ. αντίστροφοι ε. τίποτα από τα προηγούμενα

2. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ΒΜ διάμεσός του. Το άθροισμα ΒΑ ΒΓ+

είναι ίσο

με:

α. 2ΑΓ

β. ΓΑ

γ. 2ΒΜ

δ. 2ΜΒ

ε. ΒΜ

3. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με Μ, Ν τα μέσα των πλευρών ΑΒ α=

και ΑΓ β=

αντίστοιχα, τότε το ΜΝ

είναι ίσο με:

α. ( )2 α β−

β. ( )2 β α−

γ. ( )2 α β+

δ. ( )1α β

2−

ε. ( )1

β α2

−

4. Ποιο από τα παρακάτω διανύσματα είναι παράλληλο προς το διάνυσμα

2α 4β−

;

α. 2α 4β+

β. 2β α−

γ. 4α 2β−

δ. α 4β−

ε.1

α β2

−

Ερωτήσεις αντ ιστο ίχισης

1. Να αντιστοιχίσετε κάθε διάνυσμα της Α στήλης με το παράλληλό του στη

Β στήλη.

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 53 από 172

Στήλη (Α) Στήλη (Β)

1. α

Α. 1 1

α β6 3

+

1. 2β

Β.1 3

α β4 4

−

2.1

α β2

+

Γ. α−

3. α 3β−

Δ.2

α β2

−

4. 2α β−

Ε.1

β4

2. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ο το κέντρο του. Να αντιστοιχίσετε

κάθε διάνυσμα της στήλης Α του παρακάτω πίνακα με το ίσο του στη στήλη

Β.

Στήλη (Α) Στήλη (Β)

1. 2ΑΟ

Α. 2ΔΟ

2. ΟΓ−

Β. ΑΒ ΑΔ+

3.1

ΓΑ2

Γ. ΒΔ

4. 2ΟΔ Δ. ΓΒ ΓΔ+

5. ΔΑ ΔΓ+ Ε. ΟΑ

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 54 από 172 www.askisiologio.gr

Χαρακτηρισμός προτάσεων ως σωστές (Σ ) ή λανθασμένες

(Λ)

1. Αν α

και β

ομόρροπα, τότε α κβ =

, κ < 0 .

Σ Λ

2. Αν α

και β

αντίρροπα, τότε α λβ=

με λ < 0 .

Σ Λ

3. Αν λα λβ=

, τότε α β=

, λ R∈ .

Σ Λ

4. Αν κα κβ=

, και κ 0≠ , τότε τα διανύσματα δεν μπορούν

να είναι ίσα.

Σ Λ

5. Αν λα μα=

και α 0≠

, τότε λ μ= .

Σ Λ

6. Αν κ 0≠ και α 0≠

, τότε |κα|= κ|α|

.

Σ Λ

7. Αν Μ μέσο του AB , τότε ΟΑ ΟΒ

ΟΜ2

−=

.

Σ Λ

8. Το διάνυσμα οα

α|α|

= −

είναι αντίρροπο του α→

.

Σ Λ

9. Αν 1

ΑΒ α|α|

=

και 1

ΑΓ β|β|

=

, τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι

ισοσκελές.

Σ Λ

10. Αν α 2β 0+ =

και β 0≠

, τότε α β↑↓

.

Σ Λ

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 55 από 172

11. Αν ΑΜ είναι η διάμεσος τριγώνου ΑΒΓ, τότε ΑΒ + ΑΓ

ΑΜ2

= .

Σ Λ

12. Αν Α, Β, Γ, Δ είναι τέσσερα διαφορετικά σημεία τέτοια ώστε

ΑΒ 3ΓΔ=

, τότε τα σημεία Α, Β, Γ, Δ είναι πάντα συνευθειακά.

Σ Λ

13. Αν ισχύει κα λβ 0+ =

, με κ,λ ∈ και κ,λ 0≠ , τότε

τα α

, β

έχουν την ίδια φορά.

Σ Λ

14. Αν α 2β= −

, τότε η γωνία των διανυσμάτων α

, β

είναι ο0 .

Σ Λ

15. Έστω το διάνυσμα α

και λ 0< . Τότε ισχύει |λα| λ|α|= −

.

Σ Λ

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 56 από 172 www.askisiologio.gr

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 57 από 172

Ασκήσεις Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα

1Δίνονται τα διανύσματα ΜΑ 2α 3β= −

, ΜΒ 5α 3β= +

, ΜΓ 6α 5β= +

όπου α→

, β

μη-μηδενικά διανύσματα του επιπέδου. Να δείξετε ότι τα

σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά.

Απάντηση

4ΑΓ ΑΒ

3=

, άρα ΑΓ ΑΒ/ /

.

2Δίνονται τα σημεία Α, Β, Κ, Λ και Μ, για τα οποία ισχύει:

2ΑΛ 3ΒΛ 2ΜΒ ΑΚ ΑΜ ΒΚ+ + = + +

. Να δείξετε ότι τα σημεία Κ, Λ και

Μ είναι συνευθειακά.

Απάντηση

3ΚΛ ΚΜ

5=

, άρα ΚΛ ΚΜ/ /

.

3 Να δείξετε ότι τα διανύσματα 1 2

v α 2β γ4 3

= − +

και 1 8 8

w α β γ3 3 9

= − +

είναι παράλληλα.

Απάντηση

4w v

3=

4Αν τα διανύσματα α

, β

, γ

είναι μη-συγγραμμικά ανά δύο και ισχύει

( )α // β γ+

και ( )β// α γ+

, να δείξετε ότι ( )γ // α β+

.

Απάντηση

α β γ+ = −

, άρα ( )γ // α β+

.

5Δίνονται τα σημεία Α, Β και Γ. Να δείξετε ότι για οποιοδήποτε σημείο

Μ του επιπέδου, το διάνυσμα ( )v κ ΜΑ κ 3 ΜΒ 3 ΜΓ= ⋅ − + ⋅ + ⋅

είναι

σταθερό, για κάθε τιμή του κ ∈ .

Σημείο αναφοράς Α.

6 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και οι διάμεσοί του ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ. Επιπλέον

υπάρχουν κ,λ,μ ∗∈ , ώστε κ ΑΔ μ ΒΕ λ ΓΖ 0⋅ + ⋅ + ⋅ =

.

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 58 από 172 www.askisiologio.gr

α) Να εκφράσετε τα διανύσματα ΑΔ

, ΒΕ

, ΓΖ

ως προς τα ΑΒ

και ΑΓ.

β) Να δείξετε ότι κ λ μ= = .

Απάντηση

α) ΑΒ ΑΓ

ΑΔ2

+=

,ΑΓ

ΒΕ ΒΑ2

= +

,ΑΒ

ΓΖ ΓΑ2

= +

β) Αντικαθιστούμε στη δεδομένη σχέση τα διανύσματα από το (α) ερώτημα.

7Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου, αν ισχύει

|ΜΑ ΜΒ 2ΜΓ 4ΜΔ||ΜΑ ΜΒ 2ΜΓ 4ΜΔ|+ + + = + + −

.

Αν Ε, Ζ, Η τα μέσα των ΑΒ

, ΕΓ

, ΖΔ

αντίστοιχα,

το Μ ανήκει σε κύκλο κέντρου Η και ακτίνας |ΔΖ|

.

8Δύο κάθετες χορδές ΑΒ και ΓΔ κύκλου κέντρου Ο τέμνονται στο Ρ. Να

δείξετε ότι:

α) 2ΟΡ ΟΑ ΟΒ ΟΓ ΟΔ= + + +

β) ΡΑ ΡΒ ΡΓ ΡΔ ΟΑ ΟΒ ΟΓ ΟΔ 4ΡΟ+ + + = + + + +

γ) αν Κ, Λ τα μέσα των ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα, τότε το ΟΚΡΛ είναι

παραλληλόγραμμο.

Απάντηση

α) Αν Μ, Ν είναι τα μέσα των ΑΒ, ΓΔ αντίστοιχα,

τότε ΟΜΡΝ ορθογώνιο παρ/μο, οπότε ΟΑ ΟΒ 2ΟΜ+ =

,

ΟΓ ΟΔ 2ΟΝ+ =

και πρόσθεση κατά μέρη.β) Σημείο αναφοράς Ο.

γ) Από το (α) ερώτημα προκύπτει ΟΡ ΟΚ ΟΛ ΟΚΡΛ= + ⇔ #

.

9Δίνεται ότι τα διανύσματα α

και β

δεν είναι παράλληλα. Να αποδείξετε

ότι το ίδιο ισχύει και για τα διανύσματα u 5α 3β= +

, v α 2β= −

.

Απάντηση

Με άτοπο.

10Στο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ παίρνουμε τα σημεία Ε και Ζ της

διαγωνίου ΑΓ έτσι ώστε 1

ΑΕ ΖΓ ΑΓ4

= = .

α) Αν ΑΒ α=

και ΒΓ β=

, να εκφράσετε τα διανύσματα ΔΕ

και ΔΖ

συναρτήσει των α

και β

.

β) Να αποδείξετε ότι το ΕΒΖΔ είναι παραλληλόγραμμο.

Απάντηση

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 59 από 172

α) 1

ΔΕ α4

=

,3 1

ΔΖ α β4 4

= −

β) 3 1

ΒΕ ΖΔ α β4 4

= = − +

11Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και Μ εσωτερικό του σημείο, τέτοιο ώστε

1 1|ΑΜ| |ΜΒ|

2 5=

. Αν Κ είναι τυχαίο σημείο του επιπέδου και α ΚΑ=

,

β ΚΒ=

, να δείξετε ότι:

α) ( )2ΑΜ β α

7= −

β) ( )5ΒΜ α β

7= −

γ) ( )1ΚΜ 5α 2β

7= +

.

Απάντηση

α) ΑΜ ΜΒ↑↑

άρα ( )1 1 1 1ΑΜ ΜΒ ΑΜ ΑΒ ΑΜ ...

2 5 2 5= ⇔ = − ⇔

β) Από τη σχέση 1 1

ΒΜ ΑΜ5 2

− =

και το ερώτημα (α).

γ) Προσθέτουμε κατά μέρη τις σχέσεις ΚΜ ΚΑ ΑΜ= +

,

ΚΜ ΚΒ ΒΜ= +

και χρησιμοποιούμε τα ερωτήματα (α) και (β).

12 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ, Ε και Ζ τέτοια, ώστε:

1ΑΔ ΑΒ, ΑΖ ΖΓ

4= =

και

1ΓΕ ΒΓ

2=

.

α) Να εκφράσετε τα διανύσματα ΔΖ

και ΔΕ

ως γραμμικό συνδυασμό

των ΑΒ

και ΑΓ

.

β) Να δείξετε ότι τα σημεία Δ, Ε και Ζ είναι συνευθειακά.

γ) Αν Η το μέσο της ΖΕ, να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΗΓΔ είναι

παραλληλόγραμμο.

Απάντηση

α) 1 1

ΔΖ ΑΓ ΑΒ2 4

= −

,3 3

ΔΕ ΑΓ ΑΒ2 4

= −

β) ΔΕ 3ΔΖ=

, άρα ΔΕ ΔΖ/ /

.

γ) ΑΔ ΗΓ=

13Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα α

, β

, γ

με α β↑↑

και β 4γ= −

.

α) Να προσδιορίσετε το διάνυσμα x

για το οποίο ισχύει 2|α| x |γ| |α β| α 4γ |β| x |β| |α| α |β| α β⋅ + ⋅ + ⋅ + = − ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ −

.

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 60 από 172 www.askisiologio.gr

β) Δίνεται ο ισχυρισμός «Το διάνυσμα x

είναι αντίρροπο του γ

». Να

δικαιολογήσετε αν είναι σωστός ή λανθασμένος.

Απάντηση

α) x 3|γ| α= ⋅

β) Σωστός

14Έστω τετράπλευρο ΑΒΓΔ και Μ, Ν τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΓΔ

αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:

α) ΑΔ ΒΓ 2ΜΝ+ =

β) ΑΓ ΒΔ 2ΜΝ+ =

.

Απάντηση

α) ΜΝ ΜΒ ΒΓ ΓΝ= + +

, ΜΝ ΜΑ ΑΔ ΔΝ= + +

και πρόσθεση κατά μέρη.β) Από το (α) ερώτημα.

15Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάμεσος του ΑΜ. Πάνω στα τμήματα ΑΒ,

ΑΜ, ΑΓ παίρνουμε τα σημεία Δ, Ε, Ζ αντίστοιχα ώστε 1

ΑΔ = ΑΒ2

,

1ΑΕ = ΑΜ

3

,

1ΑΖ = ΑΓ

4

.

α) Αν ΑΒ α=

και ΑΓ β=

, να εκφράσετε συναρτήσει των α

, β

τα

διανύσματα ΔΕ

και ΕΖ

.

β) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Δ, Ε και Ζ είναι συνευθειακά.

Απάντηση

α) 1 1

ΔΕ α β3 6

= − +

,1 1

ΔΖ β α4 2

= −

.

β) Προκύπτει 2

ΔΕ ΔΖ3

=

, άρα ΔΕ ΔΖ/ /

.

16Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ, Ε, Ζ για τα οποία ισχύουν οι σχέσεις

ΑΖ λΖΒ=

, BΔ λΔΓ=

, ΓΕ λΕΑ=

, με λ 1≠ − . Να αποδείξετε ότι:

α) ΑΖ ΒΔ ΓΕ 0+ + =

β) ΑΔ ΒΕ ΓΖ 0+ + =

γ) Για κάθε σημείο Ο έχουμε ΟΑ ΟΒ ΟΓ ΟΔ ΟΕ ΟΖ+ + = + +

.

Απάντηση

α) ( ) λΑΖ λΖΒ ΑΖ λ ΑΒ ΑΖ ΑΖ ΑΒ

λ 1= ⇔ = − ⇔ =

+

,

όμοια για τα ΒΔ

, ΓΕ

και πρόσθεση κατά μέρη.

β) ( ) ( ) ( )ΑΔ ΒΕ ΓΖ ΑΖ ΖΔ ΒΔ ΔΕ ΓΕ ΕΖ ... 0+ + = + + + + + = =

γ) ( ) ( ) ( )ΟΑ ΟΒ ΟΓ ΟΔ ΟΕ ΟΖ

ΟΔ ΟΑ ΟΕ ΟΒ ΟΖ ΟΓ 0 ... (β) ερώτημα.

+ + = + + ⇔

− + − + − = ⇔ ⇔

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 61 από 172

17 α) Δίνονται τα διανύσματα ΟΑ 7α 15β 14γ= + −

, ΟΒ 3α 7β 4γ= + −

,

ΟΓ α 3β γ= + +

.

Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.

β) Δίνονται τα σημεία Α, Β και Γ. Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε

σημείο Μ το διάνυσμα x 2016ΜΑ 2017ΜΒ ΜΓ= ⋅ − ⋅ +

είναι σταθερό.

γ) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τυχαίο σημείο Ρ του επιπέδου

του. Να προσδιορίσετε τη θέση του σημείου Ρ ώστε να ισχύει

ΡΑ ΡΒ ΡΓ ΡΔ 0+ + + =

.

Απάντηση

α) ΑΒ 2ΒΓ=

άρα ΑΒ ΒΓ/ /

.

β) x 2017ΑΒ ΑΓ= − +

γ) ΑΓ

ΑΡ2

=

, άρα το Ρ συμπίπτει με το κέντρο του παρ/μου.

18Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ, πλευράς α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο

των σημείων Μ του επιπέδου ώστε να ισχύει |3ΜΑ ΜΒ ΜΓ| α− + =

.

Απάντηση

Αν 1

ΑΚ ΑΔ3

=

, ο γεωμετρικός τόπος του Μ είναι

κύκλος κέντρου Κ και ακτίνας α

3.

19Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων

Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει |ΜΑ ΜΒ||ΜΓ ΜΔ|+ = +

.

Απάντηση

Αν Κ, Λ είναι τα μέσα των ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα, τότε ο γεωμετρικός τόπος είναι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΚΛ.

20 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ . Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ

του επιπέδου, για τα οποία ισχύει ( )2ΒΜ λΑΓ 2 λ 1 ΑΒ= − +

, λ ∈ .

Απάντηση

Αν Δ το μέσο της ΑΓ, προκύπτει ΑΜ λΒΔ=

. Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία που είναι παράλληλη στη διάμεσο ΒΔ και διέρχεται από το Α.

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 62 από 172 www.askisiologio.gr

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 63 από 172

1.4 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.4.1 Άξονας

Ορισμός: Πάνω σε μία ευθεία x x′ επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το

διάνυσμα ΟΙ = i

να είναι μοναδιαίο και να βρίσκεται πάνω στην ημιευθεία Οχ.

Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή το Ο και μοναδιαίο διάνυσμα ΟΙ = i

και τον συμβολίζουμε με ′x x .

Η ημιευθεία Ox λέγεται θετικός ημιάξονας, ενώ η Ox′ αρνητικός.

• Για κάθε σημείο Μ του άξονα x x′ υπάρχει μοναδικό x∈ , τέτοιο ώστε

OM = xi

.

Ο αριθμός x λέγεται τετμημένη του σημείου Μ.

• Ισχύει και το αντίστροφο, δηλαδή σε κάθε x∈ αντιστοιχεί ένα μοναδικό

σημείο Μ του άξονα x x′ με τετμημένη χ, τέτοιο ώστε OM = xi

.

Το σημείο αυτό συμβολίζεται με ( )Μ x .

1.4.2 Καρτεσιανό Επίπεδο

Ορισμός: Σε ένα επίπεδο παίρνουμε δύο

κάθετους άξονες x x′ και y y′ με κοινή

αρχή Ο και τα μοναδιαία διανύσματα i

και j αντίστοιχα. Τότε λέμε ότι έχουμε

ένα ορθοκανονικό σύστημα

συντεταγμένων στο επίπεδο ή ένα

καρτεσιανό επίπεδο και το

συμβολίζουμε Oxy .

Είναι oρθογώνιο γιατί οι άξονες x x′ και

y y′ είναι κάθετοι και κανονικό διότι τα

i και j

είναι μοναδιαία.

Ο ′x x είναι ο άξονας των τετμημένων και ο ′y y είναι ο άξονας των

τεταγμένων.

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 64 από 172 www.askisiologio.gr

Αν προβάλλουμε τώρα ένα σημείο Μ πάνω στους άξονες x x′ και y y′ , θα βρούμε

σημεία ( )1M x και ( )2M y , οπότε συμπεραίνουμε ότι:

• Κάθε σημείο Μ του επιπέδου αντιστοιχίζεται σε ένα ζεύγος ( ),x y

πραγματικών αριθμών που λέγονται συντεταγμένες του Μ.

Το x λέγεται τετμημένη του Μ και το y λέγεται τεταγμένη του Μ.

• Και αντίστροφα, κάθε ζεύγος (x, y) πραγματικών αριθμών αντιστοιχίζεται

σε ένα σημείο Μ του επιπέδου. Συμβολίζουμε το σημείο Μ(x,y) ή ( ),x y .

Παρατ ήρηση

Ένα σημείο του x x′ έχει συντεταγμένες (x,0), ενώ ένα σημείο του y y′ έχει

συντεταγμένες (0, y) .

1.4.3 Συντεταγμένες Διανύσματος

Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων και α

ένα διάνυσμα. Με αρχή το Ο παίρνουμε το

ΟΑ = α

. Αν 1Α και 2Α είναι οι προβολές του Α

στους άξονες x x′ και y y′ αντίστοιχα, έχουμε

1 2ΟΑ = ΟΑ + ΟΑ

( )1 . Αν χ και y είναι οι

συντεταγμένες του Α, τότε ισχύει ότι 1ΟΑ = xi

και

2ΟΑ = y j

. Επομένως α = xi + y j

( )2 , δηλαδή το

α

είναι γραμμικός συνδυασμός των i και j

.

Απομένει να δείξουμε ότι τα χ και y είναι

μοναδικά.

Έστω x′ και y′ τέτοια ώστε α = x i + y j′ ′

( )3 . Από τις σχέσεις ( )2 και ( )3 έχουμε

xi + y j = x i + y j (x - x )i = (y - y )j′ ′ ′ ′⇔

. Αν υποθέσουμε ότι x x΄ x - x΄ 0≠ ⇔ ≠ , τότε

θα ισχύει y - y

i = jx - x

′

′

. Δηλαδή i //j

, που είναι άτοπο, διότι τα i

και j

δεν είναι

παράλληλα. Άρα x = x′ και y = y′ .

Σύμφωνα με τα παραπάνω:

Κάθε διάνυσμα στο επίπεδο γράφεται με μοναδικό τρόπο ως γραμμικός

συνδυασμός των μοναδιαίων διανυσμάτων i και j

ως εξής:

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 65 από 172

α = xi + y j

.

Το ζεύγος (x, y) είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος α

.

Το x είναι η τετμημένη του α

και το y η τεταγμένη του α

.

Τα διανύσματα xi

και y j

λέγονται συνιστώσες του α

.

Π.χ. εάν α = -2i + 4j

, τότε α = (-2,4)

.

1.4.4 Ισότητα Διανυσμάτων

Δύο διανύσματα είναι ίσα, αν και μόνον αν οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους

είναι ίσες. Αν 1 1α = (x , y )

και 2 2β = (x , y )

, ισχύει:

1 2α   =β= x x⇔

και 1 2y = y .

Παρατ ηρήσε ι ς

• Οι συντεταγμένες ενός διανύσματος με αρχή το Ο είναι ίδιες με τις

συντεταγμένες του πέρατος του διανύσματος (x ) ΟΑ Α = (x,y),y ⇔

. Π.χ. εάν

Α = (3,5) , τότε ΟΑ = (3,5)

.

• Αν α = 0

, τότε x = 0 και y = 0 .

• Ισχύει α//x'x y = 0⇔

.

• Ισχύει α//y'y x = 0⇔

.

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 66 από 172 www.askisiologio.gr

Μεθοδ ο λο γ ία Ν ο 13 - Παραλλ ηλ ία δ ι ανύ σματος μ ε

ά ξο νες

Ένα δ ιάνυσμα ε ίνα ι παράλληλο στον άξονα x'x , αν η τεταγμένη

του ε ίναι μηδέν, δηλαδή αν έχει τη μορφή α = (κ,0)

Ένα δ ιάνυσμα ε ίνα ι παράλληλο στον άξονα y ' y , αν η τε τμημένη

του ε ίναι μηδέν, δηλαδή αν έχει τη μορφή β = (0,ν)

Παράδ ε ι γμ α Ν ο 1

Δίνεται το διάνυσμα 2 2α = (λ + λ -2,λ -1)

, με α 0≠

. Να βρείτε την τιμή του λ∈

ώστε:

α) α//x'x

β) α//y'y

Λ ύ σ η

α) Για να είναι α//x'x

θα πρέπει η τεταγμένη του να είναι μηδέν, δηλαδή 2λ -1 = 0 ⇔ λ = -1 ή λ =1 .

Όμως για λ =1 μηδενίζεται και η τετμημένη και τότε το α

είναι το μηδενικό

διάνυσμα, που είναι άτοπο.

Άρα α//x'x

όταν λ = -1 .

β) Αντίστοιχα, για να είναι α//y'y

θα πρέπει η τετμημένη του να είναι μηδέν,

δηλαδή 2λ + λ - 2 = 0 ⇔ λ = -2 ή λ =1 .

Όμως για λ =1 μηδενίζεται και η τετμημένη και τότε το α

είναι το μηδενικό

διάνυσμα, που είναι άτοπο.

Άρα α//y'y

όταν λ = -2 .

Εφαρμόστε παρακάτω τη μεθοδολογία 13.

Δίνεται το διάνυσμα 2 2α = (λ -5λ +6,λ - 4)

, με α 0≠

. Να βρείτε την τιμή

του λ∈ ώστε:

α) α//x'x

β) α//y'y

.

Δίνεται το διάνυσμα 2 2α = (λ -2λ - 3,λ -1)

, με α 0≠

. Να βρείτε την τιμή

του λ∈ ώστε:

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 67 από 172

α) α//x'x

β) α//y'y

.

Μεθοδ ο λο γ ία Νο 14 - Μηδ εν ικό δ ι ά νυ σμα - Ι σότ ητ α

δ ι α νυ σμ άτ ω ν

Όταν ζητε ί τα ι (ή δ ίνε τα ι ) ότ ι δύο δ ιανύσματα α = (κ,λ)

κα ι β = (μ,ν)

ε ίνα ι ίσα , αρκεί να δε ίξουμε (ή να εκμεταλλευτούμε ) ό τ ι ο ι

αντ ίστοιχες συντεταγμένες τους ε ίνα ι ίσες. Δηλαδή κ = μ κα ι λ = ν.

Αντίστοιχα, αν ζητε ί ται (ή δ ίνεται ) ό τ ι ένα διάνυσμα ε ίνα ι το

μηδεν ικό διάνυσμα, αρκε ί να δείξουμε (ή να εκμεταλλευτούμε)

ότ ι κάθε μία από τ ις συντε ταγμένες του ισούται με μηδέν .

Παράδ ε ι γμ α Ν ο 1

Να βρείτε την τιμή του λ ώστε τα διανύσματα 2 2α = (4- λ ,λ - λ -2)

και

β = (0,4λ - 8)

να είναι ίσα.

Λ ύ σ η

Για να είναι α = β

θα πρέπει να ισχύουν:

24 - λ = 0 και 2λ - λ - 2 = 4λ - 8 .

Οπότε για λ = 2 είναι α = β

(κοινή λύση των δύο εξισώσεων).

Παράδ ε ι γμ α Ν ο 2

Να βρείτε την τιμή του λ ώστε το 2α = (4 - 2λ,λ -5λ +6)

να είναι το

μηδενικό διάνυσμα.

Λ ύ σ η

Για να είναι το α

το μηδενικό διάνυσμα, θα πρέπει να ισχύουν:

4 - 2λ = 0 και 2λ - 5λ + 6 = 0 .

Οπότε για λ = 2 είναι α = 0

(κοινή λύση των δύο εξισώσεων).

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 68 από 172 www.askisiologio.gr

Εφαρμόστε παρακάτω τη μεθοδολογία 14.

Να βρείτε την τιμή του λ ώστε τα διανύσματα 2 2α = (λ - 4,λ +6)

και

β = (0,5λ)

να είναι ίσα.

Να βρείτε την τιμή του λ ώστε το 2α = (6- 3λ,λ - λ -2)

να είναι το

μηδενικό διάνυσμα.

1.4.5 Συντεταγμένες γραμμικού συνδυασμού

διανυσμάτων

Αν 1 1α = (x , y )

και 2 2β = (x , y )

και λ∈ , τότε:

α) 1 2 1 2α +β = (x + x ,y + y )

β) 1 1λα = (λx ,λy )

.

Απ όδ ε ι ξη

α) 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2α +β = (x i + y j)+ (x i + y j) = (x + x )i + (y + y )j = (x + x ,y + y )

.

β) 1 1 1 1 1 1λα = λ(x i + y j) = (λx )i + (λy )j = (λx ,λy )

.

Για τον γραμμικό συνδυασμό λα + μβ

έχουμε:

1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( ) (λ x , y + μ x , y = λx + μx , λy + μy ).

Π.χ. Αν ( )α 2,3=

και ( )β 3,4= −

, τότε:

α β = (2- 3,3+ 4) = (-  ,7)+ 1

4α = 4(2,3) = (4 2,4 3) = (8,12)⋅ ⋅

2α +3β = 2(2,3)+3(-3,4)= (4,6)+(-9,12) = (-5,18)

.

1.4.6 Συντεταγμένες Μέσου Τμήματος

Αν ΑΒ ευθύγραμμο τμήμα με άκρα 1 1Α(x , y ) και 2 2Β(x , y ), τότε το

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 69 από 172

μέσο Μ(x, y) του ΑΒ έχει συντεταγμένες: 1 2x + xx =

2 και 1 2y + y

y =2

.

Απ όδ ε ι ξη

Έστω ( )x,y οι συντεταγμένες του μέσου Μ του ΑΒ.

Επειδή ΟΑ +ΟΒ

ΟΜ =2

και ΟΜ = (x,y)

, 1 1Α = (x ,y )

, 2 2ΟΒ = (x , y )

, έχουμε:

1 1 2 2 1 2 1 2[(x , y )+ (x , y )] x + x y + y(x, y) = = ,

2 2 2

.

Επομένως 1 2x + xx =

2 και 1 2y + y

y =2

.

Π.χ. Αν ( )Α 1,3 και ( )Β -3,5 , τότε το μέσο Μ(x, y) έχει συντεταγμένες:

1- 3x = = -1

2 και

3+5y = = 4

2.

1.4.7 Συντεταγμένες Διανύσματος με Γνωστά Άκρα

Αν AB

διάνυσμα με άκρα τα σημεία 1 1Α(x , y ) και 2 2Β(x , y ), τότε οι συντε-

ταγμένες ( )x,y του AB

δίνονται από τις σχέσεις: 2 1x = x – x και 2 1y = y – y .

Δηλαδή 2 1 2 1= x – x ,y –B ( )yA

.

Απ όδ ε ι ξη

Έστω ΑΒ = (x,y)

. Επειδή ΑΒ = ΟΒ- ΟΑ

και

1 1ΟΑ = (x , y )

, 2 2ΟΒ = (x , y )

, έχουμε

2 2 1 1 2 1 2 1(x, y) = (x , y )- (x , y ) = (x - x , y - y ).

Επομένως 2 1 2 1= x – x ,y –B ( )yA

.

Δηλαδή:

τετμημένη του AB =

τετμημένη του πέρατος Β-

τετμημένη της αρχής Α

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 70 από 172 www.askisiologio.gr

τεταγμένη του AB =

τεταγμένη του πέρατος Β-τεταγμένη της αρχής Α.

Π.χ. Αν ( )Α 4,6 και ( )Β 6,9 , τότε ΑΒ = (6- 4,9 - 6) = (2,3)

.

1.4.8 Μέτρο διανύσματος

Το μέτρο ενός διανύσματος α = (x,y)

δίνεται από τον τύπο 2 2|α|= x + y

.

Απ όδ ε ι ξη

Έστω α = (x,y)

ένα διάνυσμα του καρτεσιανού

επιπέδου και σημείο Α με διανυσματική ακτίνα

ΟΑ = α

. Αν 1Α και 2Α είναι οι προβολές του Α στους

άξονες x x′ και y y′ αντίστοιχα, επειδή το Α έχει

τετμημένη x και τεταγμένη y θα ισχύει ( )1ΟΑ =|x|

και ( )2ΟΑ =|y|. Οπότε από το Πυθαγόρειο Θεώρημα

έχουμε:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 2|α| = (ΟΑ) = (ΟΑ ) +(Α Α) = (ΟΑ ) + (ΟΑ ) =|x| +|y| = x + y

.

Επομένως 2 2|α|= x + y

.

Π.χ. αν α = (2,3)

, τότε 2 2|α|= 2 +3 = 4+ 9 = 13

.

Παρατ ήρηση

Ισχύει η ισοδυναμία: α = 0 |α| 0⇔ =

.

1.4.9 Απόσταση Δύο Σημείων

Εάν γνωρίζουμε τις συντεταγμένες των άκρων ενός ευθυγράμμου τμήματος

1 1Α(x , y ) και 2 2Β(x , y ), τότε το μήκος του τμήματος ( )ΑΒ δίνεται από τον τύπο:

2 22 1 2 1(ΑΒ) = (x - x ) + (y - y ) .

Σύμφωνα με τον παραπάνω τύπο, εάν γνωρίζουμε τις συντεταγμένες των άκρων

ενός διανύσματος, μπορούμε να υπολογίσουμε το μέτρο του. Δηλαδή, εάν

1 1Α(x , y ) και 2 2Β ,x y( ) , τότε 2 22 1 2 1|ΑΒ|= (x - x ) + (y - y )

.

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 71 από 172

Π.χ. εάν ( )Α 1,-2 και ( )Β -3,4 τότε:

2 2 2 2(ΑΒ) = (-3 -1) + (4 - (-2)) = (-4) +6 = 16 +36 = 52 = 2 13 .

Παρατ ήρηση

Για την απόσταση ενός σημείου Μ(x, y) από τους άξονες x x′ και y y′ ισχύουν τα

εξής:

• Η απόσταση του Μ από τον x x′ ισούται με |y|.

• Η απόσταση του Μ από τον y y′ ισούται με |x|.

1.4.10 Συνθήκη Παραλληλίας Διανυσμάτων

Ορισμός: Έστω 1 1α = (x , y )

και 2 2β = (x , y )

, τότε η ορίζουσα 1 1

1 2 2 1

2 2

x y= x y - x y

x y

ονομάζεται ορίζουσα των διανυσμάτων α

και β και συμβολίζεται με ( )det α,β .

Δύο διανύσματα α

και β είναι παράλληλα αν και μόνο αν ( )det α,β = 0

.

Π.χ. Αν α = (2,-3)

και β = (4,-6)

, τότε 2 -3

= 2(-6)- 4(-3) = -12+12 = 04 -6

. Οπότε

α /β/

.

Αν α = (2,-3)

και β = (1,3)

, τότε 2 -3

= 2 3 -1(-3) = 6 +3 = 9 01 3

⋅ ≠ . Οπότε τα

διανύσματα α

και β δεν είναι παράλληλα.

Παρατ ήρηση

Σύμφωνα με την παραπάνω συνθήκη τρία σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά αν

και μόνο αν ( )det ΑΒ,ΒΓ = 0

.

Αντιθέτως τρία σημεία Α, Β και Γ είναι κορυφές τριγώνου, αν ( )det ΑΒ,ΒΓ 0≠

.

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 72 από 172 www.askisiologio.gr

1.4.11 Συντελεστής Διεύθυνσης Διανύσματος

Ορισμός: Έστω α = (x,y)

ένα διάνυσμα του καρτεσιανού

επιπέδου και σημείο Α με διανυσματική ακτίνα ΟΑ = α.

Η γωνία θ που διαγράφει ο ημιάξονας Οχ, αν στραφεί

γύρω από το Ο κατά την θετική φορά, μέχρι να

συμπέσει με την ημιευθεία ΟΑ ονομάζεται γωνία του

α

με τον χ΄χ. Είναι φανερό ότι 0 θ < 0.≤

Ορισμός: Έστω α = (x,y)

και x 0≠ . Το πηλίκο y

x

ονομάζεται συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος α

και συμβολίζεται με α

λ

ή λ.

Γνωρίζουμε επίσης ότι το πηλίκο y

x είναι ίσο με την εφθ . Οπότε

αεφθλ  = .

• Αν α//x x′

, τότε λ = 0 .

• Αν α//y΄y

, τότε δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης.

Τα διανύσματα α

και β είναι παράλληλα, αν και μόνο αν οι κλίσεις τους 1λ και

2 λ είναι ίσες. Δηλαδή 1 2//   λ = λα β  ⇔

.

Απόδ ε ι ξη

Έστω 1 1α = (x , y )

και 2 2β = (x , y )

με 1x 0≠ και 2x 0≠ και συντελεστές

διεύθυνσης 1λ και 2 λ αντίστοιχα.

Τότε έχουμε τις ισοδυναμίες:

1 1 2 21 11 2 2 1 1 2 2 1

2 2 1 2 1 2

x y y yy yα β = 0 x y - x y = 0 x y = x y = =

x y x x/

x x/ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

.

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 73 από 172

Μεθοδ ο λο γ ία Ν ο 15 - Παραλλ ηλ ία δ ι ανυ σμάτω ν

Όταν ζητε ί τα ι να δε ίξουμε ότ ι δύο δ ιανύσματα ε ίναι παράλληλα

ή συγγραμμικά, αρχικά ελέγχουμε αν ορ ίζονται ο ι συντελεστές

δ ιεύθυνσης. Οπότε :

α ) Αν και γ ια τα δύο διανύσματα δεν ορ ί ζονται συντελεστές , ε ίναι

παράλληλα στον y'y , οπότε ε ίνα ι μεταξύ τους παράλληλα.

β ) Αν δεν ορ ίζε τα ι συντελεστής μόνο γ ια το ένα διάνυσμα, τότε

αυτά δεν ε ίναι παράλληλα.

γ ) Αν ορί ζοντα ι συντελεστές και γ ια τα δύο διανύσματα, τότε

μπορούμε να εξετάσουμε αν ε ίνα ι παράλληλα με έναν από τους

παρακάτω τρόπους:

1) α = λβ

2) 1 2λ = λ (όπου 1λ και 2λ ο ι συντελεστές δ ι εύθυνσης των

δ ιανυσμάτων)

3) ( )det α,β = 0

(Η μέθοδος αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί και

γ ια διανύσματα στα οποία δεν ορ ίζονται συντελεστές

δ ιεύθυνσης ) .

Παράδ ε ι γμ α Ν ο 1

Να βρείτε τις τιμές του κ ώστε τα διανύσματα 2α = (2κ +3,2κ -1)

και

2β = (κ + 4,κ + κ +1)

να είναι παράλληλα.

Λ ύ σ η

Αρχικά παρατηρούμε ότι δεν μπορεί να είναι παράλληλα στον y'y για την ίδια

τιμή του κ, αφού για το α

θα πρέπει να είναι 3

κ = -2

και για το β πρέπει να είναι

κ = -4.Οπότε για να είναι παράλληλα θα πρέπει να ορίζονται οι συντελεστές

διεύθυνσης. Τότε:

1ος τρόπος

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 74 από 172 www.askisiologio.gr

Οι συντελεστές διεύθυνσης των α

και β είναι αντίστοιχα

2

1

2κ -1λ =

2κ + 3 και

2

2

κ + κ -1λ =

κ + 4. Άρα για να είναι παράλληλα θα πρέπει να ισχύει:

2 2

1 2

2κ -1 κ + κ -1 2λ = λ = ........... κ = -

2κ + 3 κ + 4 3⇔ ⇔ ⇔ ή κ =1.

2ος τρόπος

Για να είναι παράλληλα θα πρέπει η ορίζουσα των συντεταγμένων τους να είναι

ίση με μηδέν. Δηλαδή:

2

2

2κ +3 2κ -1 2det(α,β) = 0 = 0 .............. κ = -

3κ + 4 κ + κ -1⇔ ⇔ ⇔

ή κ =1.

Εφαρμόστε παρακάτω τη μεθοδολογία 15.

Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε τα διανύσματα 2α = (λ -1,λ -1)

και

2β = (λ,λ -3λ)

να είναι παράλληλα.

Να βρείτε τις τιμές του κ ώστε τα διανύσματα α = (κ +1,0)

και

2β = (κ -1,0)

να είναι παράλληλα.

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 75 από 172

Μεθοδ ο λο γ ία Ν ο 16 - Ομόρ ρο πα - Α ν τ ί ρ ροπα

δ ι α νύ σμ ατ α

Όταν γνωρίζουμε τ ις συντεταγμένες δύο παράλληλων

δ ιανυσμάτων και ζητε ί τα ι να εξετάσουμε αν ε ίναι ομόρροπα ή

αντ ίρροπα, γράφουμε το ένα ως λ φορές το άλλο, δηλαδή α = λβ

και τότε :

Αν λ 0≥ , τα διανύσματα ε ίναι ομόρροπα.

Αν λ 0≤ , τα διανύσματα ε ίναι αντ ίρροπα.

Παράδ ε ι γμ α Ν ο 1

Δίνονται τα διανύσματα α = (-3,12)

και β = ( 5,-4 5)

. Να εξετάσετε αν

είναι παράλληλα και αν αυτό συμβαίνει, να βρείτε αν είναι ομόρροπα

ή αντίρροπα.

Λ ύ σ η

Οι συντελεστές διεύθυνσης των δύο διανυσμάτων είναι α β

λ = λ = -4 , άρα τα δύο

διανύσματα είναι παράλληλα.

Επιπλέον παρατηρούμε ότι α = 3(-1,4)

και β = - 5(-1,4)

, άρα είναι 3

α = - β5

,

επομένως τα δύο διανύσματα είναι αντίρροπα.

Εφαρμόστε παρακάτω τη μεθοδολογία 16.

Δίνονται τα διανύσματα α = (-1,3)

και 3 9

β = ( ,- )4 4

. Να εξετάσετε αν είναι

παράλληλα και αν αυτό συμβαίνει, να βρείτε αν είναι ομόρροπα ή

αντίρροπα.

Δίνονται τα διανύσματα α = ( 2,1)

και β = (-6,-3 2)

. Να εξετάσετε αν

είναι παράλληλα και αν αυτό συμβαίνει, να βρείτε αν είναι ομόρροπα ή

αντίρροπα.

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 76 από 172 www.askisiologio.gr

Μεθοδ ο λο γ ία Ν ο 17 - Γω ν ί α δ ια νύ σματο ς μ ε τ ο ν ά ξονα

x ' x

Όταν ζητε ί τα ι να βρούμε τη γωνία θ που σχηματί ζε ι ένα διάνυσμα

α

με τον x'x , εκμεταλλευόμαστε το γεγονός ότ ι ο συντελεστής

δ ιεύθυνσης του δ ιανύσματος ισούται με την εφαπτομένη της

γωνίας θ , δηλαδή λ = εφθ .

Παράδ ε ι γμ α Ν ο 1

Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα α = (- 3,1)

με τον

άξονα x'x .

Λ ύ σ η

Ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος είναι 1 3

λ = - = -33

.

Άρα έχουμε 3

εφθ = -3

με ο0 θ <180≤ . Άρα η γωνία θ που σχηματίζει το

διάνυσμα α

με τον x'x , είναι ο150 .

Εφαρμόστε παρακάτω τη μεθοδολογία 17.

Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα α = (1,-1)

με τον άξονα

x'x .

Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα α = (- 2,1)

με τον άξονα

x'x .

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 77 από 172

Ερωτήσεις κλειστού τύπου

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Έστω ένα διάνυσμα α=xi+y j

. Τι ονομάζονται συνιστώσες και τι

συντεταγμένες του διανύσματος α

;

2. Πότε δύο διανύσματα είναι ίσα όταν γνωρίζουμε τις συντεταγμένες τους;

3. Να γράψετε τη σχέση που δίνει το άθροισμα των διανυσμάτων ( )1 1α x ,y=

και ( )2 2β x ,y=

.

4. Να γράψετε τη σχέση που δίνει το γινόμενο ενός αριθμού λ με το

διάνυσμα ( )1 1α x , y=

.

5. Ποιες σχέσεις δίνουν τις συντεταγμένες του μέσου ενός ευθύγραμμου

τμήματος ΑΒ, με ( )1 1A x ,y και ( )2 2B x ,y ;

6. Ποιες σχέσεις δίνουν τις συντεταγμένες ενός διανύσματος ΑΒ

αν

( )1 1A x ,y και ( )2 2B x ,y τα άκρα του;

7. Ποια σχέση δίνει το μέτρο διανύσματος ( )α x,y=

;

8. Να γράψετε τη σχέση που δίνει την απόσταση δύο σημείων με γνωστές

συντεταγμένες.

9. Ποια η συνθήκη παραλληλίας διανυσμάτων, με χρήση ορίζουσας;

10. Ποιος είναι ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος ( )α x,y=

;

11. Ποια η συνθήκη παραλληλίας διανυσμάτων, με χρήση συντελεστών

διεύθυνσης;

Ασκήσεις συμπλήρωσης κενού

1. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά, ώστε να προκύψουν αληθείς

προτάσεις.

i. Αν i, j τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων xx′ και yy′ αντίστοιχα, τότε

κάθε διάνυσμα α

γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως εξής: α =

……………… .

ii. Αν α=xi+y j

, τα διανύσματα xi και y j

λέγονται ………………… του

διανύσματος α

και οι αριθμοί x , y λέγονται …………………… του

διανύσματος α

.

iii. Αν 1 1A(x , y ) και 2 2B(x , y ) σημεία του επιπέδου, τότε το μέσο Μ του ΑΒ

είναι M(... , ...) .

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 78 από 172 www.askisiologio.gr

iv. Αν 1 1A(x , y ) και 2 2B(x , y ) σημεία του επιπέδου, τότε το διάνυσμα ΑΒ

έχει

Συντεταγμένες ( )ΑΒ ...,...=

.

v. Αν ( )α x,y=

τυχαίο διάνυσμα του επιπέδου, τότε |α|=

… .

vi. Δύο διανύσματα α

, β είναι παράλληλα όταν :

α)……………….

β)……………….

γ)……………….

2. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

Διάνυσμα μέτρο

διανύσματος

γωνία διανύσματος

με τον Οx

( )α 1,1= −

( )β 1, 3= −

( )γ 3,3 3= −

( )δ 3,1=

1 2v ,

22

=

Ερωτήσεις αντιστοίχισης

1. Δίνονται τα σημεία ( )A 1,2 , Β(3, 0), ( )Γ 4, 1− και ( )Δ 5,7− . Σε καθένα από τα

διανύσματα της στήλης Α να αντιστοιχίσετε τις συντεταγμένες του στη στήλη Β.

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 79 από 172

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β

α. ΑΒ

β. ΒΓ

γ. ΔΓ

δ. ΑΔ

1. ( )1, 1−

2. ( )1,6−

3. ( )6,5−

4. ( )2, 2−

5. ( )9, 8−

2. Να αντιστοιχίσετε κάθε διάνυσμα της στήλης Α με το μέτρο που βρίσκεται στη

στήλη Β.

στήλη Α

διάνυσμα

στήλη Β

μέτρο

1. 8i j− +

2. xi + yj

3. ( ) ( )2ημθ i - 2συνθ j

4. ( )x - y i + 2 xy j

Α. 2

Β. ημθ + συνθ

Γ. 3

Δ. 2 2x + y

Ε. ημθ - συνθ

Ζ. 2

Η. |x + y|

3. Να αντιστοιχίσετε κάθε διάνυσμα της στήλης Α με τον συντελεστή διεύθυνσης

που βρίσκεται στη στήλη Β.

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 80 από 172 www.askisiologio.gr

στήλη Α

διάνυσμα

στήλη Β

συντελεστής διεύθυνσης

1. 2i +2j

2. 2i

3.2

j2

4. 2i - 2j

Α. 2

Β. 2

Γ. 0

Δ. 4

Ε. δεν ορίζεται

Ζ. 1

Η. -1

Χαρακτηρισμός προτάσεων ως σωστές (Σ ) ή λανθασμένες

(Λ)

1. Αν δύο διανύσματα είναι ίσα, τότε έχουν σίγουρα ίδιες συντεταγμένες.

Σ Λ

2. Αν ( )α β x, y= = −

, τότε ( )3α 2β 5x, 5y+ = −

.

Σ Λ

3. Αν το ( )M x,y είναι μέσο του ΑΒ με ( )1 1A x ,y και ( )2 2B x ,y ,

τότε 1 22x = x + x και 1 22y = y + y .

Σ Λ

4. Αν ( )1 1A x ,y και ( )2 2B x ,y , τότε 1 2 1 2ΑΒ (x x ,y y )= − −

.

Σ Λ

5. Αν ( )α = x, y

, τότε 2 2|α| χ y= +

.

Σ Λ

6. Αν |α| 0=

, τότε οι συντεταγμένες του α

είναι ( )0,0 .

Σ Λ

7. Αν ( )α x,y= −

, τότε 2 2|α| χ y= − +

.

Σ Λ

8. Αν τα α

και β είναι παράλληλα, τότε η ορίζουσα των

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 81 από 172

συντεταγμένων τους ισούται με 0. Σ Λ

9. Τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά όταν ( )det ΑΒ,ΒΓ 0≠

.

Σ Λ

10. Η κλίση ενός διανύσματος ( )α x,y=

είναι ίση με τον λόγο x

y.

Σ Λ

11. Αν τα α

και β είναι συγγραμμικά και όχι κάθετα στον x x′ , τότε

οι λόγοι της τεταγμένης τους προς την τετμημένη τους είναι ίσοι. Σ Λ

12. Αν α

3λ

4= , τότε ( )α 4,3=

.

Σ Λ

13. Αν 1 2λ λ 0+ = , τότε οι γωνίες που σχηματίζουν τα α

και β

με τον άξονα x΄x είναι παραπληρωματικές. Σ Λ

14. Το διάνυσμα ( )α 0,1=

συμβολίζεται με i.

Σ Λ

15. Το ( )α ημθ,συνθ=

είναι πάντα διάφορο του μηδενός.

Σ Λ

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 82 από 172 www.askisiologio.gr

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 83 από 172

Ασκήσεις Συντεταγμένες στο επίπεδο

1Δίνονται τα διανύσματα α 2i, β 3i 5j= = − +

και ( )γ 1,4=

. Να βρείτε τα

διανύσματα:

α) v α 2β 4γ= − + −

, β)1

w = 2α - v +β+ γ2

.

Απάντηση

α)v ( 12, 6)= − −

β) 27

w ( ,13)2

=

2Δίνεται το διάνυσμα ( )2 2α λ 3λ 2,λ 7λ 10= − + − +

, λ∈ . Να βρείτε τις

τιμές του λ∈ , για τις οποίες ισχύει:

α) α 0=

, β) α 0≠

, γ) 'α//x x

, δ) 'α//y y

και α 0≠

.

Απάντηση

α) λ 2= β) λ 2≠γ) λ 5= δ) λ 1=

3Έστω σημείο ( )A 3,-1 . Να βρείτε σημείο Β τέτοιο, ώστε:

α) το Β να είναι το συμμετρικό του Α ως προς το σημείο 3

M ,- 22

β) τα σημεία Α και Β να είναι άκρα διαμέτρου κύκλου κέντρου

( )K 2,- 2 .

Απάντηση

α) Β(0, 3)−

β) Β(2 2 3, 2 2 1)− − −

4Να βρείτε τα κ,λ ∈ , ώστε τα σημεία ( )A -κ +1,2 και ( )B -λ +2,λ να

είναι συμμετρικά:

α) ως προς το σημείο ( )O 0,0

β) τον άξονα y y′

γ) την ευθεία y = x .

Απάντηση

α) κ 5,λ 2= = − β) κ 1, λ 2= =

γ) 1

κ 1,λ2

= = −

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 84 από 172 www.askisiologio.gr

5Αν ( ) ( ) ( )α 3,1 , β 1, 3 , γ 1, 1= − = − − = −

και ( )δ 0, 5=

, να βρείτε τις

γωνίες των διανυσμάτων με τον άξονα x x′ .

Απάντηση

α 150∧

= , β 60∧

= , γ 135∧

= , δ 90∧

=

6Δίνονται τα διανύσματα ( )α = x +1,2

και ( )β = x,2x +1

.

α) Να δείξετε ότι για κάθε x∈ τα διανύσματα α

και β δεν είναι

συγγραμμικά.

β) Αν x 3= − , να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα α

με τον

άξονα x x′ .

γ) Αν x 1= − , να γράψετε το διάνυσμα γ 3i= −

ως γραμμικό συνδυασμό

των α

και β.

δ) Αν x 2= − , να βρείτε διάνυσμα v αντίρροπο του α

με |v| 10=

.

Απάντηση

α) det(α,β) 0≠

β) 135

γ) 3

γ α 3β2

= +

δ) v ( 2, 2 2)= −

7Οι τετμημένες των σημείων Α και Β είναι ρίζες της εξίσωσης

( )2 22x λ λ 2 x 2016 0− − − + = .

Να προσδιορίσετε την τιμή του λ∈ , ώστε το μέσο Μ του

ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ να έχει τετμημένη ίση με 5

2.

Απάντηση

λ 4= ή λ 3= −

8Οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσμάτων α

και β

με α, β//

y y′ ,

είναι ρίζες της εξίσωσης ( )2x - 2λ +3 x + 4 = 0 . Να προσδιορίσετε την

τιμή του λ∈ , ώστε τα διανύσματα α

και β να είναι παράλληλα.

Απάντηση

1λ

2= ή

7λ

2= −

9Να γράψετε το διάνυσμα u 5i 4j= +

ως γραμμικό συνδυασμό των

διανυσμάτων α i 2j= +

και β i j= −

.

Απάντηση

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 85 από 172

u 3α 2β= +

10Δίνεται το διάνυσμα ( ) ( )α 0,3 |α| 1, 1= + ⋅ −

.

α) Να βρείτε το μέτρο και τις συντεταγμένες του διανύσματος α

.

β) Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα α

με τον άξονα x x′

Απάντηση

α) |α|= 3

, α(3,0)

β)180 ή 0

11Έστω ( )Α λ,2λ - 3 , ( )B λ +1,2λ -1 , ( )Γ λ -1,2λ -5 , λ∈ , σημεία του

καρτεσιανού επιπέδου.

α) Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά.

β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του συμμετρικού του Γ ως προς το μέσο

Μ του AB .

Απάντηση

α) det 0=β) Γ '(λ 2,2λ 1)+ +

12Έστω τα διανύσματα ( )1 1α x ,y=

και ( )2 2β x ,y=

με ( )det α,β 0=

.

Να δείξετε ότι:

α) αν 1 2x x 0⋅ > , τότε α β↑↑

β) αν 1 2x x 0⋅ < , τότε α β↑↓

.

Απάντηση

( )det α,β 0 α λβ= ⇔ =

, αντικατάσταση, πράξεις.

13 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές ( )A 5,1 , ( )B 2, 2− , ( )Γ 1,3 και σημεία

Δ, Ε τέτοια ώστε 1

ΑΔ ΑΒ3

=

και 1

ΑΕ ΑΓ3

=

. Να βρείτε τις συντεταγμένες

του σημείου τομής των ευθειών BE και ΓΔ .

Απάντηση

13 3,

4 4

14Δίνονται τα διανύσματα α

, β

και γ

, με ( )3α 2β 2,9 ,+ = −

( )α 2β 10, 5− = −

και ( )γ |γ| 1,3= −

.

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων α

, β και γ

.

β) Να γράψετε το διάνυσμα γ ως γραμμικό συνδυασμό των

διανυσμάτων α

και β.

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 86 από 172 www.askisiologio.gr

γ) Να υπολογίσετε την τιμή του λ∈ , ώστε το διάνυσμα ( )δ λ,6 λ= −

να είναι παράλληλο στο διάνυσμα v α β= −

.

Απάντηση

α) α (2,1),β ( 4,3),γ (4,3)= = − =

β) 12 1

γ α β5 5

= +

γ) λ 9=

15Δίνονται τα διανύσματα α

, β τέτοια, ώστε ( )2α β 4,0+ =

και

( )α β 3, 3+ =

.

α) Να δείξετε ότι ( )α 1, 3= −

και ( )β 2,2 3=

.

β) Να βρείτε τις γωνίες των διανυσμάτων α

και β με τον άξονα x x′ .

γ) Να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων α

και β.

Απάντηση

α) Λύνουμε το σύστηματων δοσμένων σχέσεων.

β) α 120 ,β 60∧ ∧

= =

γ) α,β 120∧

=

16Δίνεται το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με ( )Α 1,2− και ( )B 4,8− . Να βρείτε

τα σημεία Γ και Δ του τμήματος ΑΒ για τα οποία ισχύει

( ) ( ) ( )ΑΓ ΓΔ ΔΒ= = .

Απάντηση

Γ( 2,4),Δ( 3,6)− −

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 87 από 172

17Να βρείτε το εμβαδόν τετραγώνου ΑΒΓΔ στο οποίο είναι ( )Β 3, 3− και

( )Δ 5,1 .

Απάντηση

Ε 10=

18Τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ τριγώνου ΑΒΓ είναι τα σημεία

( )Δ 1,3− , ( )Ε 5,2 και ( )Ζ 4,0 αντίστοιχα. Να βρείτε τις συντεταγμένες

των κορυφών Α, Β και Γ του τριγώνου.

Απάντηση

Α( 2,1),Β(0,5),Γ(10, 1)− −

19Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ( )Α 1,0− , ( )Β 5,2 και ( )Γ 1,2 . Αν για τα σημεία

Δ, Ε ισχύει ΑΔ 3ΔΓ= −

και ΒΕ 3ΕΓ= −

, να αποδείξετε ότι:

α) το τετράπλευρο ΑΒΔΕ είναι τραπέζιο

β) 1

ΑΔ ΑΒ ΑΕ2

= +

.

Απάντηση

Δ(2,3) , Ε( 1,2)− , ΑB ΕΔ/ /

20Οι τετμημένες των σημείων Α, Β είναι οι ρίζες της εξίσωσης

( )2 2x λ 5λ 4 x 7 0− − + − = και οι τεταγμένες τους είναι οι ρίζες της

εξίσωσης ( )2 2y λ 3λ 6 y 5 0− − + − = . Να βρείτε την τιμή του λ για την

οποία το τμήμα ΑΒ έχει ως μέσο το σημείο ( )Μ 1,2− .

Απάντηση

λ 2=

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 88 από 172 www.askisiologio.gr

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 89 από 172

1.5 Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων

1.5.1 Ορισμός Εσωτερικού Γινομένου

Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων α

, β

και το συμβολίζουμε α β⋅

τον πραγματικό αριθμό που ισούται με

α β |α||β|συν= θ⋅

όπου θ η γωνία των α

, β.

Αν α 0=

ή β 0=

, τότε α β = 0⋅

.

Παρατ ήρηση

• Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι αριθμός και όχι διάνυσμα.

Για παράδειγμα εάν |α|= 3

, |β|= 6

και π

α,β =3

∧

, τότε

π 1α β =|α||β|συν = 3 6 = 9

3 2⋅ ⋅ ⋅

.

1.5.2 Φυσική ερμηνεία του εσωτερικού γινομένου

Το εσωτερικό γινόμενο F ΟA⋅

παριστάνει το έργο

της δύναμης F

που μετακινεί το σημείο

εφαρμογής Ο από τη θέση Ο μέχρι τη θέση Α.

Άμεσες συνέπειες του ορισμού είναι οι εξής:

α) α β = β α⋅ ⋅

(αντιμεταθετική ιδιότητα)

β) Αν α β⊥

, τότε α β = 0⋅

και αντιστρόφως

γ) Αν α β↑↑

, τότε α β |α | |= | β⋅

και αντιστρόφως

δ) Αν α β↑↓

, τότε α β |α= - <| 0|β|⋅

και αντιστρόφως

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 90 από 172 www.askisiologio.gr

Παρατ ήρηση

• Εάν το εσωτερικό γινόμενο είναι θετικός αριθμός, τότε η γωνία των

διανυσμάτων είναι οξεία, ενώ εάν είναι αρνητικός τότε είναι αμβλεία.

Ορισμός: Τετράγωνο του α

λέγεται το εσωτερικό γινόμενο α α⋅

και το

συμβολίζουμε με 2

α

.

Το τετράγωνο ενός διανύσματος ισούται με το τετράγωνο του μέτρου του. Δηλαδή

22α =|α|

.

Απ όδ ε ι ξη

22 2 2α = α α =|α| |α| συν α,α =|α| συν0 =|α| 1=|α|

∧ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

.

Παρατ ήρηση

Οι δυνάμεις 3

α

,4

α

κτλ. δεν ορίζονται.

1.5.3 Αναλυτική Έκφραση Εσωτερικού Γινομένου

Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων

των ομώνυμων συντεταγμένων τους. Δηλαδή, αν 1 1= xα ( ), y

και 2 2= x ,β y  ( )

, τότε:

1 2 1 2 = x x +α β y y⋅

.

Π.χ. εάν α = (3,-2)

και β = (4,5)

, τότε α β = 3 4 + (-2) 5 =12 -10 = 2⋅ ⋅ ⋅

.

Ιδιότητες

α) (λα) β = α (λβ) = λ(α β)⋅ ⋅ ⋅

λ∈

β) α (β + γ) = α β + α γ⋅ ⋅ ⋅

(επιμεριστική ιδιότητα)

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 91 από 172

γ) Αν ορίζονται οι συντελεστές διεύθυνσης 1λ και 2 λ για τα α

, β, τότε

1 2α β λ λ = -1⊥ ⇔ ⋅

.

Απ όδ ε ι ξη

α) Έστω 1 1= xα ( ), y

και 2 2= x ,β y  ( )

.

• 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2(λα) β = (λx ,λy ) (x , y ) = (λx ) x +(λy ) y = λx x + λy y =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

1 2 1 2= λ(x x + y y ) = λα β⋅ ⋅ ⋅

• 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2α (λβ) = (x ,y ) (λx ,λy ) = x (λx )+ y (λy ) = λx x + λy y =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

1 2 1 2= λ(x x + y y ) = λα β⋅ ⋅ ⋅

Άρα (λα) β = α (λβ) = λ(α β)⋅ ⋅ ⋅

.

β) Έστω 1 1= xα ( ), y

, 2 2= x ,β y  ( )

και 3 3γ (x )= ,y

.

Έχουμε 1 1 2 3 2 3 1 2 3 1 2 3α (β+ γ) = (x ,y ) (x + x ,y + y ) = x (x + x )+ y (y + y ) =⋅ ⋅ ⋅ ⋅

1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 2 1 3 1 3= x x + x x + y y + y y = (x x + y y )+ (x x + y y ) = α β+ α γ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

.

γ) Έστω 1 1= xα ( ), y

και 2 2= x ,β y  ( )

με 1 2x ,x 0≠ . Επειδή τα α

και β δεν είναι

παράλληλα στον y΄y, έχουμε:

1 2 1 2 1 2 1 2α β α β = 0 x x + y y = 0 y y = -x x⊥ ⇔ ⋅ ⇔ ⋅ ⋅ ⇔ ⋅ ⋅ ⇔

211 2

1 2

yy= -1 λ λ = -1

x x⇔ ⋅ ⇔ ⋅ .

Παρατ ηρήσε ι ς

• Γενικά, για το εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων δεν ισχύει πάντα η

προσεταιριστική ιδιότητα. Δηλαδή ( ) ( )α β γ α β γ⋅ ⋅ ≠ ⋅ +

.

• Δεν ισχύει και ο νόμος της διαγραφής. Δηλαδή, αν α γ β γ⋅ = ⋅

με γ 0≠

,

τότε δεν ισχύει α β=

. Το αντίστροφο όμως ισχύει, δηλαδή αν α β=

, τότε

α γ β γ⋅ = ⋅

για κάθε γ.

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 92 από 172 www.askisiologio.gr

• Επίσης δεν ισχύει ( )2 2 2

α β α β⋅ = ⋅

με α,β 0≠

.

• Να έχουμε υπ’ όψη μας ότι ( ) ( )α β α β |α||β|+ ⊥ − ⇔ =

.

Απ όδ ε ι ξη

Μπορούμε να το δικαιολογήσουμε γεωμετρικά ως εξής:

Αν τα α

και β είναι οι πλευρές παραλληλογράμμου, τότε τα α β+

, α β−

είναι οι διαγώνιες. Οπότε είναι γνωστό από τη γεωμετρία ότι αν σε

παραλληλόγραμμο οι διαγώνιες είναι κάθετες ( ) ( )α β α β+ ⊥ −

, τότε αυτό

είναι ρόμβος και έχει ίσες πλευρές |α||β|=

. Ισχύει και το αντίστροφο.

• Επίσης αν |α +β|=|α β| α β− ⇔ ⊥

, γιατί το παραλληλόγραμμο με

πλευρές α

και β είναι ορθογώνιο.

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 93 από 172

Μεθοδ ο λο γ ία Ν ο 18 - Ομόρ ρο πα -Αν τ ί ρ ροπ α Δ ι ανύ σματα

Μπορούμε να αποδεί ξουμε ότ ι δυο διανύσματα ε ίνα ι ομόρροπα

ή αντ ίρροπα, βασιζόμενο ι στα παρακάτω:

Αν α β |α| |β|⋅ = ⋅

, τότε α β↑↑

ή αν συν α,β 1∧

=

, τό τε α β↑↑

.

Αν α β |α| |β|⋅ = − ⋅

, τότε α β↑↓

ή αν συν α,β 1∧

= −

, τό τε α β↑↓

.

Ή μπορούμε να δε ίξουμε ότ ι δύο δ ιανύσματα α

, β ε ίναι

ομόρροπα ή αντ ίρροπα, όταν από δοσμένη ισότητα καταλήξουμε

σε σχέση της μορφής α = λβ

.

Τότε :

αν λ>0, ε ίναι α β↑↑

αν λ<0, ε ίναι α β↑↓

.

Παράδ ε ι γμ α Ν ο 1

Αν για τα διανύσματα α

, β, γ

ισχύουν |α||β|=1=

, |γ|= 3

και

α 2β γ 0+ − =

να δείξετε ότι α β↑↑

.

Λ ύ σ η

Στη διανυσματική ισότητα κρατάμε στο 1ο μέλος τα διανύσματα των οποίων

ζητάμε το εσωτερικό γινόμενο και βασιζόμενοι στο γεγονός ότι, ίσα διανύσματα

έχουν και ίσα μέτρα, λαμβάνουμε σχέση μέτρων των διανυσμάτων.

Στην συνέχεια, υψώνοντας στο τετράγωνο κατά μέλη βρίσκουμε το ζητούμενο

εσωτερικό γινόμενο.

Έτσι έχουμε α 2β γ 0 α 2β γ+ − = ⇔ + =

. Επομένως |α + 2β|=|γ|

.

Άρα

2 2|α + 2β| |γ|= ⇔ 2 2 2 2

2(α 2β) γ α 4α β 4β γ+ = ⇔ + ⋅ + = ⇔

2 2 2|α| 4α β 4|β| |γ| 1 4α β 4 9 4α β 4 α β 1.+ ⋅ + = ⇔ + ⋅ + = ⇔ ⋅ = ⇔ ⋅ =

Επίσης |α| |β|=1⋅

. Άρα α β↑↑

.

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 94 από 172 www.askisiologio.gr

Παράδ ε ι γμ α Ν ο 2

Αν 2

α = 5 (2α -5β) β⋅ ⋅

, να δείξετε ότι α β↑↑

.

Λ ύ σ η

Έχουμε 2 2 2 2 2

2α 5 (2α 5β) β α 10α β 25β α 10α β 25β 0 (α 5β) 0

α 5β 0 α 5β α β.

= ⋅ − ⋅ ⇒ = ⋅ − ⇒ − ⋅ + = ⇔ − =

⇒ − = ⇒ = ⇒ ↑↑

Εφαρμόστε παρακάτω τη μεθοδολογία 18.

Αν ισχύει |β|= 2|α|

και |α +β|=|α|

, να δείξετε ότι α β↑↓

.

Για τα μη μηδενικά διανύσματα α

, β δίνεται ότι ( ) ( )α β α β+ ⊥ −

και

( )α α β⊥ +

. Να δείξετε ότι α β↑↓

.

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 95 από 172

Μεθοδ ο λο γ ία Νο 19 - Κάθετα δ ια νύ σμ ατ α

Όταν δ ίνε τα ι (ή ζητε ί ται να δε ίξουμε ) ότ ι δύο δ ιανύσματα α

και

β ε ί ναι κάθετα, τότε χρησιμοποιούμε κατάλληλα την ιδ ιότητα

α β α β 0⊥ ⇔ ⋅ =

.

Παράδ ε ι γμ α Ν ο 1

Αν |α|= 2

, |β|= 3

και π

α,β3

∧ =

, να υπολογίσετε το κ ∈ ώστε τα

διανύσματα u 3α β= −

και v κα 2β= +

να είναι κάθετα.

Λ ύ σ η

Υπολογίζουμε αρχικά το α β⋅

. Οπότε 1

α β 2 3 32

⋅ = ⋅ ⋅ =

.

2 2

u v u v 0 (3α β) (κα 2β) 0 3κα 6α β κα β 2β 0⊥ ⇔ ⋅ = ⇔ − ⋅ + = ⇔ + ⋅ − ⋅ − =

3κ 4 6 3 3κ 2 9 0 9κ 18 18 0 κ 0⇔ ⋅ + ⋅ − − ⋅ = ⇔ + − = ⇔ = .

Παράδ ε ι γμ α Ν ο 2

Αν α (2,3)=

, β (x 1,2)= −

και γ (x,x 2)= +

, να βρείτε τον πραγματικό

αριθμό χ∈ ώστε ( )α β γ⊥ +

.

Λ ύ σ η

Αρχικά βρίσκουμε το διάνυσμα β γ+

.

Έχουμε β γ (x 1 x,2 x 2) (2x 1,x 4)+ = − + + + = − +

.

Επειδή ( )α β γ⊥ +

, ισχύει ότι:

2α (β γ) 0 2 (2x 1) 3 (x 4) 0 4x 2 3x 4 0 7x 2 x

7⋅ + = ⇔ ⋅ − + ⋅ + = ⇔ − + + = ⇔ = − ⇔ = −

Εφαρμόστε παρακάτω τη μεθοδολογία 19.

Αν ( )α κ,3=

και ( )β 2,2=

, να βρείτε τον κ ∈ , ώστε να ισχύει α β⊥

.

Αν ( ) 21α xβ α β |α β|

χ

+ + = +

, x 0,≠ 1, να αποδείξετε ότι α β⊥

.

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 96 από 172 www.askisiologio.gr

1.5.4 Συνημίτονο Γωνίας Δύο Διανυσμάτων

Αν γνωρίζουμε τα μέτρα και το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, τότε

μπορούμε να υπολογίσουμε τη γωνία τους θ από τον τύπο:

α βσυνθ =

|α| |β|

⋅

⋅

.

Επίσης εάν 1 1= xα ( ), y

και 2 2= x ,β y  ( )

, τότε 1 2 1 2

2 2 2 21 1 2 2

x x + y yσυνθ =

x + y × x + y.

Παρατ ήρηση

• Ανάλογα την περίπτωση, μπορούμε από τους παραπάνω τύπους να

υπολογίσουμε τη γωνία δύο διανυσμάτων μέσω του συνημιτόνου της.

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 97 από 172

Μεθοδ ο λο γ ία Νο 20 - Γ ρα μμ ι κός συ νδυ ασμ ός

δ ι α νυ σμ άτ ω ν

Όταν τα διανύσματα u

και v δ ίνονται ως γραμμικός συνδυασμός

δύο άλλων δ ιανυσμάτων α

κα ι β τότε :

α )Εύρεση εσωτερικού γινομένου

Μπορούμε να βρούμε το εσωτερ ικό γινόμενο των u

κα ι v, αρκεί

να γνωρίζουμε τα μέτρα και τη γωνία των α

κα ι β.

β) Εύρεση μέτρου διανυσμάτων

Δεδομένου ότ ι ισχύε ι 2

2|u| u=

, μπορούμε να υπολογ ίσουμε το

μέτρο των u

και v υπολογί ζοντας πρώτα το τε τράγωνο των μέτρων

τους

γ ) Εύρεση γωνίας διανυσμάτων

Χρησιμοποιώντας τον τύπο u v

συν u,v|u| |v|

∧ ⋅= ⋅

μπορούμε να

υπολογίσουμε τη γωνία των u

κα ι v.

Παράδ ε ι γμ α Ν ο 1

Αν u 2α 4β= +

και ν α β= −

με |α|=|β|=1

και 2π

α,β3

∧ =

, να βρείτε:

α) το u v⋅

,

β) τα |u|

και |v|

,

γ) τη γωνία των u

και v.

Λ ύ σ η

Βρίσκουμε πρώτα το εσωτερικό γινόμενο των α

και β.

Έχουμε 2π 1 1

α β |α||β| συν( ) 1 1 ( )3 2 2

⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ − = −

.

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 98 από 172 www.askisiologio.gr

2 2 2 2

α)u v (2α 4β) (α β) 2α 2α β 4α β 4β 2α 2α β 4β

12 1 2 ( ) 4 1 2 1 4 3.

2

⋅ = + ⋅ − = − ⋅ + ⋅ − = + ⋅ − =

= ⋅ + ⋅ − − ⋅ = − − = −

β) Έχουμε:

2 2 22 2 1

|u| u (2α 4β) 4α 16α β 16β 4 1 16 ( ) 16 1 4 8 16 12.2

= = + = + ⋅ + = ⋅ + ⋅ − + ⋅ = − + =

Οπότε |u| 12 2 3= =

. Δεδομένου ότι ισχύει 2

2|u| u=

, μπορούμε να

υπολογίσουμε το μέτρο των u

και v, υπολογίζοντας πρώτα το τετράγωνο των

μέτρων τους.

Ομοίως την ίδια διαδικασία ακολουθούμε για το μέτρο του v.

22 22 2|v| v

1(α β) α 2α β β 1 2 ( ) 1 1 1 1 1.

2= = − = − ⋅ + = − ⋅ − + ⋅ = − + =

Άρα |v| 1=

.

γ) Για τη γωνία των διανυσμάτων u

και ν υπολογίζουμε το συν u,v

∧

.

Έτσι έχουμε 2

u v 3 3 2 3 6 3 3συν u,v

12 22 3 1 (2 3)|u| |v|

∧ ⋅ − − ⋅ −= = = = = − ⋅⋅

.

Επομένως 5π

u,v6

∧ =

.

Εφαρμόστε παρακάτω τη μεθοδολογία 20.

Αν u α β= +

και v α β= −

με |α| 3=

, |β|=1

και π

α,β6

∧ =

, να βρείτε

i. το u v⋅

ii. τα |u|

και |v|

iii. τη γωνία των u

και v.

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 99 από 172

Μεθοδ ο λο γ ία Ν ο 21 - Απ οδ ε ι κτ ικές σχ έσε ι ς

( τ αυ τ ότ η τ ες ) μέ τ ρ ων δ ι α νυ σμάτ ων

Όταν μας ζητε ί ται να αποδεί ξουμε μια σχέση μέτρων

δ ιανυσμάτων, συνήθως ξεκινάμε από τη ζητούμενη σχέση και

χρησιμοποιώντας διπλές συνεπαγωγές καταλήγουμε σε κάποια

προφανή σχέση.

Φυσικά, μπορούμε να ξεκ ινήσουμε από κάποιο από τα δύο μέλη

και να καταλήξουμε στο άλλο.

Επίσης, σ τ ι ς αποδεικτ ικές σχέσε ις μέτρων δ ιανυσμάτων, θα

πρέπε ι να θυμόμαστε τη γνωστή ιδ ιότητα 2

2α |α|=

.

Παράδ ε ι γμ α Ν ο 1

Να αποδείξετε τις παρακάτω σχέσεις για τα διανύσματα α

και β.

α) 2 24α β |α +β| |α β|⋅ = − −

β) |α β| |α| |β|− ≥ −

Λ ύ σ η

α) Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα 2

2α |α|=

έχουμε:

( ) ( )2 2

2 24α β |α +β| |α β| 4α β α β α β⋅ = − − ⇔ ⋅ = + − − ⇔

2 2 2 24α β |α| 2α β |β| |α| 2α β |β| 4α β 4α β⇔ ⋅ = + ⋅ + − + ⋅ − ⇔ ⋅ = ⋅

Κάτι που προφανώς ισχύει, άρα αντίστοιχα ισχύει και η αρχική σχέση.

β) Αρχικά υψώνουμε τα δύο μέλη της ανίσωσης στο τετράγωνο (επιτρέπεται αφού

γνωρίζουμε πως τα δύο μέλη, ως μέτρα, είναι μη αρνητικά), οπότε έχουμε:

( ) ( )2 22

2|α β| |α| |β| |α β| |α| |β| α β |α| |β|− ≥ − ⇔ − ≥ − ⇔ − ≥ − ⇔

2 2 2 2|α| 2α β |β| |α| 2|α| |β| |β| α β |α| |β|⇔ − ⋅ + ≥ − ⋅ + ⇔ ⋅ ≤ ⋅ ⇔

|α| |β|συν(α,β) |α| |β| συν(α,β) 1⇔ ⋅ ≤ ⋅ ⇔ ≤

.

Κάτι που προφανώς ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική σχέση.

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 100 από 172 www.askisiologio.gr

Εφαρμόστε παρακάτω τη μεθοδολογία 21.

Να αποδείξετε ότι:

i. 2 2 2|α β| |α| |β| 2αβ− = + −

ii. 2 2 22αβ |α β| |α| |β|= + − −

Να εξετάσετε πότε ισχύει η ισότητα |α β|=|α|+|β|+

.

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 101 από 172

Μεθοδ ο λο γ ία Ν ο 24 - Γ εωμετρ ι κο ί τ όπ ο ι

Όταν ζητε ί τα ι ο γεωμετρ ικός τόπος του σημε ίου Μ που

ικανοποιε ί μια δ ιανυσματ ική σχέση, κάνουμε πράξεις γ ια να

καταλήξουμε σε απλούστερη σχέση από την οποία θα φαίνετα ι η

ιδ ιότητα του σημείου Μ.

Έστω Α και Β δύο σταθερά σημεία του επιπέδου και Μ ένα τυχαίο

σημε ίο του οποίου ζητε ί τα ι ο γεωμετρικός τόπος. Αν μετά από

πράξε ις καταλήξουμε σε σχέση η οποία περ ιέχε ι εσωτερικό

γ ινόμενο διανυσμάτων και ε ίναι της μορφής:

α ) ΜΑ ΜΒ 0⋅ =

, τότε ο γεωμετρικός τόπος ε ίνα ι κύκλος δ ιαμέτρου

ΑΒ.

β) ΜΑ ΑΒ 0⋅ =

, τότε ο γεωμετρικός τόπος ε ίνα ι η κάθετη ευθεία

στην ΑΒ στο σημε ίο Α.

Παράδ ε ι γμ α Ν ο 1

Δίνονται τα σταθερά σημεία Α, Β και έστω Ο το μέσο του τμήματος

ΑΒ. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου για

τα οποία ισχύει:

α) ΜΑ ΜΒ κ⋅ =

, κ ∈

β) ΑΜ ΑΒ λ⋅ =

, λ∈ .

Λ ύ σ η

α) Έχουμε:

( ) ( ) ( ) ( )ΜΑ ΜΒ κ ΜΟ ΟΑ ΜΟ ΟΒ κ ΜΟ ΟΑ ΜΟ ΟΑ κ⋅ = ⇔ + ⋅ + = ⇔ + ⋅ − = ⇔

2 2 2 2 2 2

ΜΟ ΟΑ κ |ΜΟ | |ΟΑ | κ |ΜΟ ||ΟΑ | κ− = ⇔ − = ⇔ = +

.

Οπότε:

• Αν 2

|ΟΑ | κ 0+ <

, ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Μ είναι το κενό

σύνολο.

• Αν 2

|ΟΑ | κ 0+ =

, ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Μ είναι το σημείο Ο.

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 102 από 172 www.askisiologio.gr

• Αν 2

|ΟΑ | κ 0+ >

, ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Μ είναι κύκλος με

κέντρο Ο και ακτίνα 2

|ΟΑ |+κ

.

β) Αν Γ είναι η προβολή του του Μ στην ΑΒ, έχουμε:

ΑΜ ΑΒ λ ΑΓ ΑΒ λ.⋅ = ⇔ ⋅ =

Οπότε |λ|

|ΑΓ| |ΑΒ||λ| |ΑΓ||ΑΒ|

⋅ = ⇔ =

.

Άρα ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Μ είναι η κάθετη ευθεία στην ΑΒ στο

σημείο Γ, αφού το Γ απέχει σταθερή απόσταση από το Α.

Παράδ ε ι γμ α Ν ο 2

Δίνονται τα σταθερά σημεία Α, Β και έστω Ο το μέσο του τμήματος

ΑΒ. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου για

τα οποία ισχύει:

α) 2 2

ΜΑ ΜΒ κ− =

, κ ∈

β) 2 2

ΜΑ ΜΒ λ+ =

, λ > 0 .

Λ ύ σ η

α) Αν Δ είναι η προβολή του του Μ στην ΑΒ, έχουμε:

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 103 από 172

( ) ( )2 2

ΜΑ ΜΒ κ ΜΑ ΜΒ ΜΑ ΜΒ κ 2ΜΟ ΒΑ κ

2ΑΒ ΟΜ κ 2ΑΒ ΟΔ κ.

− = ⇔ + ⋅ − = ⇔ ⋅ = ⇔

⋅ = ⇔ ⋅ =

.

Άρα |κ|

2|ΑΒ| |ΟΔ||κ| |ΟΔ||ΑΒ|

⋅ = ⇔ =

, κ ∈ . Επομένως ο γεωμετρικός τόπος

του σημείου Μ είναι η κάθετη ευθεία στην ΑΒ στο σημείο Δ.

β) Έχουμε:

2 22 2 2 2ΑΒ 2λ ΑΒ

ΜΑ ΜΒ λ 2ΜΟ λ ΜΟ μ2 4

−+ = ⇔ + = ⇔ = =

. Οπότε:

• Αν μ < 0 , ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Μ είναι το κενό σύνολο.

• Αν μ = 0 , ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Μ είναι το σημείο Ο.

• Αν >μ 0 , ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Μ είναι κύκλος με κέντρο Ο

και ακτίνα λ .

Εφαρμόστε παρακάτω τη μεθοδολογία 24.

Έστω ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ μήκους 8. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο

των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει:

α) ΜΚ ΜΛ 0⋅ =

β) ΜΚ ΜΛ 9⋅ =

.

Δίνεται διάνυσμα α 0≠

και το σταθερό σημείο Α. Να βρείτε τον γεωμετρικό

τόπο των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει α ΑΜ λ⋅ =

, λ∈ .

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 104 από 172 www.askisiologio.gr

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 105 από 172

Ερωτήσεις κλειστού τύπου

Ερωτήσεις Κατανόησης

1.Να δώσετε τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου δύο διανυσμάτων α

και β.

2. Τι γνωρίζεται για το εσωτερικό γινόμενο δύο κάθετων διανυσμάτων;

3. Τι γνωρίζεται για το εσωτερικό γινόμενο δύο ομόρροπων διανυσμάτων;

4. Τι γνωρίζεται για το εσωτερικό γινόμενο δύο αντίρροπων διανυσμάτων;

5. Να δείξετε ότι το τετράγωνο ενός διανύσματος ισούται με το τετράγωνο του

μέτρου του.

6. Ποια είναι η αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινομένου δύο διανυσμάτων

( )1 1α x ,y=

και ( )2 2β x ,y=

;

7. Με ποιους τρόπους βρίσκω το συνημίτονο της γωνίας δύο διανυσμάτων;

Ασκήσεις συμπλήρωσης κενού

1. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά, ώστε να προκύψουν αληθείς

προτάσεις.

Έστω α

, β τυχαία διανύσματα.

i. Αν α β 0⋅ =

, τότε ……………….. .

ii. Αν α β |α| |β|⋅ = ⋅

, τότε …………… .

iii. Αν α β |α| |β|⋅ = − ⋅

, τότε ………….. .

Αν ( )1 1α x ,y=

και ( )2 2β x ,y=

τυχαία διανύσματα τότε:

i. α β⋅ =

………………….. .

ii. =συνθ …………………, όπου θ η γωνία των διανυσμάτων α

, β.

2. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 106 από 172 www.askisiologio.gr

Διανύσματα μέτρο

|α|

μέτρο

|β|

εσωτερικό γινόμενο

⋅α β

α

β

( )-1,4 ( )−2, 3

( )3,2 ( )−1, 2

( )1, 3 ( )1,1

1 6,

22

3 1,

3 3

Ερωτήσεις αντιστοίχισης

1. Να αντιστοιχίσετε κάθε σχέση της στήλης Α με την ισοδύναμη της που

βρίσκεται στη στήλη Β.

Στήλη Α Στήλη Β

1. α β 0⋅ =

2. α β 0⋅ >

3. α β 0⋅ <

4. |α β||α| |β|+ = +

5. |α β||α| |β|− = +

Α. α,β∧

αμβλεία

Β. α,β∧

ορθή

Γ. α β↑↑

Δ. α,β∧

οξεία

Ε. α β↑↓

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 107 από 172

Χαρακτηρισμός προτάσεων ως σωστές (Σ ) ή λανθασμένες

(Λ)

1. Το (α β) γ⋅ ⋅

παριστάνει διάνυσμα.

Σ Λ

2. Το (λα) β⋅

παριστάνει διάνυσμα.

Σ Λ

3. Η παράσταση α (β γ)⋅ +

είναι διάνυσμα.

Σ Λ

4. Αν α β 1⋅ = −

, τότε α β⊥

.

Σ Λ

5. Αν α β↑↑

, τότε α β |α||β|⋅ =

και αντιστρόφως.

Σ Λ

6. Ισχύει 2 2

2α |α| |α |= =

.

Σ Λ

7. Το εσωτερικό γινόμενο ισούται με α β |α||β|ημφ⋅ =

,

όπου φ η γωνία των δύο διανυσμάτων.

Σ Λ

8. Αν ( )1, 1α x y=

και ( )2 2β = x ,y

, τότε 1 2 1 2α β = x x - y y⋅

.

Σ Λ.

9. Ισχύει |α β||α| |β|⋅ = ⋅

για οποιαδήποτε α

, β.

Σ Λ.

10. Αν ( )α 3,5=

και 1 1

β ,3 5

= −

, τότε α β⊥

.

Σ Λ.

11. Αν α β↑↑

, τότε α β-|α| |β|= 0⋅ ⋅

. .

Σ Λ.

12. Αν α β > 0⋅

, τότε η γωνία των διανυσμάτων α

, β είναι οξεία.

Σ Λ.

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 108 από 172 www.askisiologio.gr

13. Αν α

, β μη μηδενικά διανύσματα, τότε

2

2

α ββ

|α|

⋅=

.

Σ Λ.

14. Αν α β 0⋅ =

, τότε α 0=

ή β 0=

.

Σ Λ.

15. Αν ( )1, 1α x y=

και ( )2 2β = x ,y

, τότε 1 2 1 2

2 2 2 21 1 2 2

x x -y yσυνθ=

x +y x +y⋅.

Σ Λ.

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 109 από 172

Ασκήσεις Εσωτερικό γινόμενο

1 Αν |α| 2=

, |β|= 2

και 3π

α,β4

∧ =

, να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

α) α β⋅

, β) 3

2α β2

⋅ −

, γ)

21

α 2β2

+

, δ) ( ) 1

α 3β α β3

− ⋅ − +

.

Απάντηση

α) α) α β 2⋅ = −

, β) 3

2α β 2 32

⋅ − =

,

γ) γ) 2

1α 2β 5

2

+ =

, δ) ( ) 1 38

α 3β α β3 3

− ⋅ − + = −

.

2 Αν ( )α 1,3= −

, ( )β 2, 2= −

και 2

γ 2,3

= −

, να υπολογίσετε:

α) ( )α γ β⋅ ⋅

, β) ( ) ( )α β 2β γ− ⋅ +

, γ) ( )2

α β 3γ− +

.

Απάντηση

α) ( )4 6 2,2 2 6− − + , β) 20 2

243

− − , γ) 12 2 2+ .

3Για τα μη-μηδενικά διανύσματα α

και β

, να δείξετε τις ισοδυναμίες:

α) ( ) ( )|α|=|β| α β α β⇔ + ⊥ −

, β)|α +β||α β| α β= − ⇔ ⊥

,

γ) 2 2 2|α +β| |α| +|β| α β= ⇔ ⊥

, δ) 2 2 2|α +β| 2|α| +2|β| α β= ⇔ =

.

Απάντηση

α) ( ) ( ) ( ) ( )α α α β α β α β 0 |α||β|+ ⊥ − ⇔ + ⋅ − = ⇔ =

… ,

β) 2 2|α +β||α β| |α +β| |α β| α β= − ⇔ = − ⇔ ⇔ ⊥

… ,

γ) ( ) ( )2 2

2 2 2|α +β| |α| +|β| α β α β α β α β= ⇔ + ⋅ + = + ⇔ ⇔ ⊥

… ,

δ) ( ) ( )2|α +β| α β α β= + ⋅ + =

… .

4 Αν 1

|α|2

=

, |β| 2 2=

,π

α,β4

∧ =

και α β γ 0+ − =

, να υπολογίσετε:

α) το |γ|

,

β) την παράσταση α γ β γ⋅ + ⋅

,

γ) τη γωνία α β,γ∧ +

.

Απάντηση

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 110 από 172 www.askisiologio.gr

α) 41

|γ|2

=

,

β) 41

α γ β γ4

⋅ + ⋅ = =

… ,

γ) ( )συν α β,γ =1 α β,γ 0 α +β γ∧ ∧ + ⇔ + = ° ⇔ ↑↑

.

5Να βρείτε τις γωνίες των διανυσμάτων:

α) ( )α 1,2=

και ( )β 3, 1= − −

, β) ( )α 2 3,1 2 3= + −

και ( )β 2,1=

,

γ) ( )α 2, 2= −

και ( )β 2,1=

, δ)1

α , 12

= −

και

2β , 2

2

= −

.

Απάντηση

α) 50

συν α,β =10

∧ −

,

β) 1 π

συν α,β = α,β =2 6

∧ ∧ ⇔

,

γ) συν α,β = 0 α β∧

⇔ ⊥

,

δ) συν α,β =1 α β∧

⇔ ↑↑

.

6Αν τα διανύσματα α

και β

είναι κάθετα και έχουν ίσα μέτρα, να δείξετε

ότι τα διανύσματα v 3α 2β= +

και u 2α 3β= −

είναι επίσης κάθετα και

έχουν ίσα μέτρα.

Απάντηση

v u 0 v u⋅ = = ⇔ ⊥

… ,2 2 2|v| 13|α| |u| |v||u|= = = = ⇔ =

… … .

7Δίνονται τα διανύσματα α

και β

τέτοια ώστε |α||β| 1= =

και

2πα,β .

3

∧ =

Να βρείτε διάνυσμα x

αν ( )x // α β+

και ( )β α x⊥ +

.

Απάντηση

( )1x α β

2= +

.

8 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, με |ΑΒ| 3=

, |ΑΔ| 2=

και π

Α6

∧

= .

Να υπολογίσετε την οξεία γωνία των διαγωνίων του.

Απάντηση

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 111 από 172

1συνθ

13= .

9 Έστω τα διανύσματα α

, β τέτοια ώστε

3|α|

2=

, |β| 1=

και π

α,β3

∧ =

.

α) Να υπολογίσετε το κ ∈ , ώστε τα διανύσματα v 2α β= +

και

w κα 3β= −

να είναι κάθετα.

β) Να υπολογίσετε τη γωνία των διανυσμάτων v και w α β= −

.

Απάντηση

α) 10

κ7

= ,

β) 5 7 19

συν v,w7 19

∧ = ⋅

.

10Δίνεται το διάνυσμα ( )α 1, 2= −

. Να βρείτε διάνυσμα:

α) v α⊥

, με 3

|v| 2 52

= =

, β) v //α

, με α v 10⋅ = −

.

Απάντηση

α) ( )v 4,2=

ή ( )v 4, 2= − −

,

β) ( )v 2,4= −

.

11Αν για τα διανύσματα α

, β, γ ισχύουν α 2β γ 0+ − =

και |β| 2|α|=

,

|γ| 5|α|=

, να δείξετε ότι:

α) γ 5α=

, β) β 2α=

.

Απάντηση

α) Αποδεικνύουμε ότι γ α↑↑

και επειδή|γ| 5|α|=

, άρα γ 5α=

.

β) Όμοια με το (α) ερώτημα.

12 Δίνονται τα διανύσματα ( )α 3,1 αβ= −

και |β|

β 3,2

=

. Να βρείτε:

α) το εσωτερικό γινόμενο α β⋅

,

β) τη γωνία των διανυσμάτων α

και β.

Απάντηση

α) α β 2⋅ =

,

β) π

α,β3

∧ =

.

13Για τα μη μηδενικά διανύσματα α

, β ισχύει |α +β|+|α β|= 6−

.

α) Να αποδείξετε ότι 9 α β 9− ≤ ⋅ ≤

.

β) Αν επιπλέον ισχύει 2 2

α β 9+ =

, να αποδείξετε ότι α β⊥

.

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 112 από 172 www.askisiologio.gr

Απάντηση

α) ( )

22|α +β|+|α β|= 6 |α +β| 6 |α β|

..... 3|α β| 9 α β 0 α β 9.

− ⇔ = − − ⇔

⇔ − = − ⋅ ≥ ⇔ ⋅ ≤

β) ( )2

23|α β| 9 α β 9|α β| 9 α β ..... α β 0.− = − ⋅ ⇔ − = − ⋅ ⇔ ⇔ ⋅ =

14Για τα διανύσματα α

και β

ισχύουν |α +β| 19,|α| 3= =

και |β| 2=

.

α) Να δείξετε ότι α β 3⋅ =

.

β) Να υπολογίσετε τη γωνία των διανυσμάτων α

και β.

γ) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος v α β= −

.

Απάντηση

α) 2|α +β| 19 |α +β| 19 ..... α β 3= ⇔ = ⇔ ⇔ ⋅ =

,

β) π

α,β3

∧ =

,

γ) |v|= 7

.

15Δίνονται τα διανύσματα ( )α 2 |β|,4= −

, ( )β 2,4 |α|= −

και v α β= −

.

α) Να υπολογίσετε τα μέτρα των διανυσμάτων α

και β.

β) Να υπολογίσετε τα v β⋅

και |v|

.

γ) Να βρείτε διάνυσμα x

, ώστε ( )x 2v //β+

και ( )x β v+ ⊥

.

Απάντηση

α) |α|= 4

, |β|= 2

, β) v β 4⋅ = −

,

γ) x 2α 9β= − −

.

16 Έστω τα μη-μηδενικά διανύσματα α

και β, με

2πα,β

3

∧ =

και ο

ρόμβος ΑΒΓΔ με ΑΓ 3α 3β= +

και ΒΔ α β= −

.

α) Να δείξετε ότι |α| |β|=

.

β) Να εκφράσετε τα διανύσματα ΑΔ

και ΑΒ

ως γραμμικό συνδυασμό

των διανυσμάτων α

και β.

γ) Αν ΑΔ 2α β= +

και ΑΒ α 2β= +

, να βρείτε τις γωνίες του ρόμβου.

Απάντηση

α) ( ) ( )ΑΓ ΒΔ 0 3α 3β α β 0 ..... |α||β|⋅ = ⇔ + ⋅ − = ⇔ ⇔ =

,

β) ΑΔ 2α β= +

, ΑΒ α 2β= +

,

γ) π

ΑΒ,ΑΔ3

∧ =

,

2πΒΑ,ΒΓ

3

∧ =

.

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 113 από 172

17Έστω τα διανύσματα α

και β

τέτοια, ώστε |α| 2, |β| 1= =

και

πα,β .

3

∧ =

Έστω και τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ 2α 4β, ΑΓ 4α 2β= + = +

και

Μ το μέσο της πλευράς ΒΓ.

α) Να δείξετε ότι α β 1⋅ =

.

β) Να βρείτε τα διανύσματα ΑΜ

και ΒΓ

.

γ) Να υπολογίσετε τα μέτρα των διανυσμάτων ΑΜ

και ΑΓ

.

δ) Να υπολογίσετε το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων ΑΜ

και

ΑΓ

.Απάντηση

α) α β |α| |β| συν α,β ..... 1∧

⋅ = ⋅ ⋅ = =

,

β) ΑΜ 3α 3β= +

, ΒΓ 2α 2β= −

,

γ) |ΑΜ| 63=

, |ΑΓ| 2 21=

,

δ) 4 3

συν ΑΜ,ΑΓ7

∧ =

.

18Έστω τα διανύσματα α

και β

τέτοια, ώστε |α| 2=

, |β| 1=

και

( ) ( )α β 2α 3β+ ⊥ −

.

α) Να δείξετε ότι α β 1⋅ =

.

β) Να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων α

και β.

γ) Να δείξετε ότι |α +β| |2α 3β|= −

.

Απάντηση

α) ( ) ( ) ( ) ( )α β 2α 3β α β 2α 3β 0 ..... α β 1+ ⊥ − ⇔ + ⋅ − = ⇔ ⇔ ⋅ =

,

β) π

α,β4

∧ =

,

γ) |α +β||2α 3β|= 5= −

.

19Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του

επιπέδου για τα οποία ισχύει ΑΒ ΑΜ ΑΓ ΑΜ 0⋅ + ⋅ =

.

ΑπάντησηΗ ευθεία που διέρχεται από το Α

και είναι κάθετη στη διάμεσο ΑΚ.

20Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ μήκους 24. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει:

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 114 από 172 www.askisiologio.gr

α) ΜΑ ΜΒ 0⋅ =

β) ΜΑ ΜΒ 25⋅ =

.Απάντηση

α) Κύκλος με κέντρο το μέσο του ΑΒ και ακτίνα ( )ΑΒ

122

= ,

β) Κύκλος με κέντρο το μέσο του ΑΒ και ακτίνα 13.

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 115 από 172

1.6 Λυμένα επαναληπτικά παραδείγματα

Παράδειγμα I

Δίνοντα ι τα σημεία ( )Α 1,-1 , ( )Β -2,3 και ( )Γ 7,5− .

Α. Να βρεί τε τα δ ιανύσματα AB

και AΓ

.

Β. Να υπολογίσετε το εσωτερ ικό γ ινόμενο AB AΓ⋅

, τα μέτρα και

το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων αυτών.

Γ. Αν θεωρήσουμε α = AB

κα ι β = AΓ

και τα δ ιανύσματα u = α -β

και w = κα +β

, τό τε :

α) Να υπολογίσετε το συνημίτονο της γωνίας των α

κα ι u

και να

δε ίξετε ότ ι η γωνία τους ε ίνα ι αμβλε ία .

β) Να βρε ί τε το κ ώστε να ισχύει β w⊥

.

Λ ύ σ η

Α. Οι συντεταγμένες των AB

και AΓ

είναι:

( ) ( )AB 2 1,3 1 3,4= − − + = −

και ( ) ( )AΓ 7 1,5 1 8,6= − − + = −

.

Β. Έχουμε ότι AB AΓ 2 ( 8) 4 6 16 24 40⋅ = − ⋅ − + ⋅ = + =

, καθώς επίσης και τα μέτρα

|AB| 9 16 5= + =

και |ΑΓ| 64 36 10= + =

.

Οπότε το συνημίτονο της γωνίας τους θα είναι 40 4

συν(AB,AΓ)5 10 5

= =⋅

.

Γ. α) Για το συνημίτονο της γωνίας των α

και u

έχουμε:

( )( ) 2α α βα u α α β

συν α,u|α||u| |α||u| |α||u|

−⋅ − ⋅= = =

.

Όμως είναι 2 2

2|u| α 2α β β 25 2 40 100 45 |u| 3 5= − ⋅ + = − ⋅ + = ⇔ =

.

Άρα τελικά έχουμε ( ) 25 - 40 -15 5συν α,u = = = -

55 3 5 15 5⋅

.

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 116 από 172 www.askisiologio.gr

Επομένως, αφού το συνημίτονο της γωνίας τους είναι αρνητικό, η γωνία θα είναι

αμβλεία.

β) Αφού δίνεται ότι β w⊥

, θα έχουμε:

( )2

β w β w 0 β κα β 0 κα β β 0 40κ 100 0⊥ ⇔ ⋅ = ⇔ + = ⇔ ⋅ + = ⇔ + = ⇔

5κ

2⇔ = − .

Παράδειγμα II

Για τα δ ιανύσματα α

και β δ ίνε τα ι ότ ι |α|=|β|=1

κα ι

2πα,β =

3

∧

.

Α. Να υπολογίσετε το εσωτερ ικό γινόμενο α β⋅

.

Β. Αν ε ίνα ι u = κα + λβ

και ( )w = κ -1 α - λβ

, τό τε να βρεί τε τα κ και

λ αν γνωρίζε τε ότ ι u α⊥

κα ι w β⊥

.

Γ. Γ ια 1

κ =5

και 2

λ =5

, να βρεί τε :

α) τα μέτρα των δ ιανυσμάτων u

και w

,

β) τη γωνία των διανυσμάτων αυτών.

Λ ύ σ η

Α. Έχουμε ότι 2π 1

α β 1 1 συν3 2

⋅ = ⋅ ⋅ = −

.

Β. Αφού τα διανύσματα u

και α

είναι κάθετα, έχουμε:

( )u α u α 0 κα λβ β 0 ....... 2κ λ 0⊥ ⇔ ⋅ = ⇔ + ⋅ = ⇔ ⇔ − =

.

Επιπλέον, αφού τα διανύσματα w

και β είναι κάθετα, έχουμε:

( )w β w β 0 (κ 1)α λβ β 0 ....... κ 2λ 1⊥ ⇔ ⋅ = ⇔ − − ⋅ = ⇔ ⇔ + =

.

Από τις δύο παραπάνω σχέσεις προκύπτει ότι 1

κ5

= και 2

λ5

= .

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 117 από 172

Γ. α) Αφού το διάνυσμα u

δίνεται ως γραμμικός συνδυασμός των α

και β, για

να βρούμε το μέτρο του, αρχικά θα πρέπει να υπολογίσουμε το τετράγωνο του

μέτρου. Δηλαδή:

2 22

2 1 2 α 4α β 4β 1 2 4 3|u| α β

5 5 25 25 25

+ ⋅ + − + = + = = =

,

άρα 3

|u|5

=

.

Αντίστοιχα για το w

έχουμε:

2 22

2 4 2 16α 16α β 4β 16 8 4 12|w| α β

5 5 25 25 25

− + ⋅ + − + = − = = =

,

άρα 2 3

|w|5

=

.

β) Για να βρούμε τη γωνία των διανυσμάτων, αρχικά υπολογίζουμε το

συνημίτονο αυτής, οπότε έχουμε:

( )1 2 4 2

α β α β15 5 5 5

συν u,w .....23 2 3

5 5

− + −

= = = −

.

Άρα 2π

u,w3

∧ =

.

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 118 από 172 www.askisiologio.gr

Παράδειγμα III

Δίνοντα ι τα δ ιανύσματα ( )α 1,2=

και β ( 1,4)= −

.

Α. Να βρεί τε :

α ) τα μέτρα των δ ιανυσμάτων

β ) το εσωτερ ικό τους γ ινόμενο

γ ) τη γωνία τους .

Β. Αν ε ίναι w λα β= −

κα ι u κα β= +

, να βρεί τε :

α ) τ ις συντεταγμένες των w

και u

β) τα κ , λ ώστε να ε ίνα ι α //w

και β u⊥

.

Γ. Να γράψετε το δ ιάνυσμα ( )γ = 2,6

ως γραμμικό συνδυασμό των

α

κα ι β.

Λ ύ σ η

Α. α) Έχουμε ότι 2 2|α| 1 2 5= + =

και 2 2|β|= (-1) + 4 = 17

.

β) Για το εσωτερικό γινόμενο έχουμε α β 1 ( 1) 2 4 7⋅ = ⋅ − + ⋅ =

.

γ) Αν θεωρήσουμε α,β θ∧ ∧

=

, έχουμε:

α β 7συνθ .

5 17|α||β|

⋅= =

⋅

.

Β. α) Έχουμε ότι ( ) ( ) ( ) ( ) ( )w λα β λ 1,2 1,4 λ,2λ 1,4 λ 1,2λ 4= − = − − = − − = + −

και u κα β κ(1,2) ( 1,4) (κ,2κ) ( 1,4) (κ 1,2κ 4)= + = + − = + − = − +

.

β) Αφού α //w

θα είναι:

α w

2 2λ 4α//w λ λ ,λ 1 .... 2 4

1 λ 1

−⇔ = ⇔ = ≠ − ⇔ ⇔ = −

+

αδύνατο.

Επομένως δεν υπάρχει λ ώστε α //w

.

Αντίστοιχα αφού β u⊥

θα είναι:

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 119 από 172

17β u β u 0 1(κ 1) 4(2κ 4) 0 .... κ

7⊥ ⇔ ⋅ = ⇔ − − + + = ⇔ ⇔ = −

.

Γ. Έστω γ xα yβ= +

ο ζητούμενος γραμμικός συνδυασμός, οπότε αρκεί να

βρούμε τα x και y.

Έχουμε (2,6) x(1,2) y( 1,4) (2,6) (x,2x) ( y,4y) (2,6) (x y,2x 4y)= + − ⇔ = + − ⇔ = − +

,

οπότε θα πρέπει να ισχύει:

x y 2 x y 2 7 1x , y

2x 4y 6 x 2y 3 3 3

− = − = ⇔ ⇔ = =

+ = + = .

Άρα το διάνυσμα γ γράφεται

7 1γ α β

3 3= +

.

Παράδειγμα IV

Δίνοντα ι τα δ ιανύσματα α

, β

με |α| 1=

, |β| 3=

,π

α,β6

∧ =

.

Α. Να βρεί τε το κ ώστε τα διανύσματα u α 2β= −

κα ι v κα β= +

να ε ίνα ι κάθετα.

Β. Αν w 2α β= +

, να βρεί τε :

i . τα μέτρα των διανυσμάτων u

κα ι w

i i . το εσωτερικό γ ινόμενο u w⋅

.

Λ ύ σ η

Α. Αρχικά βρίσκουμε το εσωτερικό γινόμενο των α

, β.

Έχουμε

2

π 3 3 3α β |α| |β| συν 1 3

6 2 2 2⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =

.

Εφόσον u v⊥

έχουμε:

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 120 από 172 www.askisiologio.gr

2 2

2 2

u v 0 (α 2β) (κα β) 0 κα α β 2κα β 2β 0

3 3 3 9κ|α| 2κ 2|β| 0 κ 3κ 6 0 κ .

2 2 2 4

⋅ = ⇔ − ⋅ + = ⇔ + ⋅ − ⋅ − = ⇔

+ − − = ⇔ + − − = ⇔ = −

Β. i. Για τα μέτρα των διανυσμάτων u

και w

βρίσκουμε τα τετράγωνα τους.

Έχουμε 2 2 2 2

2 2 3|u| u (α 2β) α 4α β 4β 1 4 4 3 1 2 12 11

2= = − = − ⋅ + = − ⋅ + ⋅ = − + =

.

Άρα |u| 11=

.

Ομοίως 2 2 2 2

2 2 3|w| w (2α β) 4α 4α β β 4 4 3 4 6 3 13

2= = + = + ⋅ + = + ⋅ + = + + =

.

Άρα |w| 13=

.

ii.2 2 3 9 17

u w (α 2β) (2α β) 2α 3α β 2β 2 3 2 3 2 6 .2 2 2

⋅ = − ⋅ + = − ⋅ − = − ⋅ − ⋅ = − − = −

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 121 από 172

Παράδειγμα V Στο καρτεσ ιανό σύστημα συντεταγμένων Oxy θεωρούμε τα

σημε ία Α , Β και Γ γ ια τα οποία ισχύουν ΟΑ 3j=

, OB 2i 3 j= − −

και

ΒΓ 10i 2 j= +

.

Α. Να βρεί τε τ ι ς συντεταγμένες των σημείων Α, Β και Γ.

Β. Να βρεί τε ποια σημε ία του άξονα y y′ απέχουν από το μέσο

Μ του ΒΓ απόσταση ίση με 5 .

Γ. Να βρε ίτε τ ι ς συντεταγμένες του σημείου Δ , ώστε το

τε τράπλευρο ΑΒΓΔ να ε ίνα ι παραλληλόγραμμο.

Δ. Έστω σημείο Ε για το οποίο ισχύε ι 4ΒΕ 3ΒΓ ΑΒ= −

.

i . Να βρε ίτε τ ι ς συντεταγμένες του Ε.

i i . Να αποδεί ξε τε ότ ι τα σημε ία Α, Γ και Ε ε ίνα ι

συνευθειακά.

Λ ύ σ η

A. Οι συντεταγμένες των σημείων είναι ( )Α 0,3 , ( )Β 2, 3− − . Για το Γ έχουμε:

ΒΓ (10,2) (χ 2, y 3) (10,2) .... x 8= ⇔ + + = ⇔ ⇔ =

, y 1= − . Άρα ( )Γ 8, 1− .

Β. Το μέσο Μ του ΒΓ έχει συντεταγμένες 2 8

χ 32

− += = και

3 1y 2

2

− −= = − .

Άρα ( )Μ 3, 2− . Τα σημεία N του y y′ έχουν μορφή ( )0, y . Επειδή η απόσταση

είναι 5 θα ισχύει 2

2 2 2(MN) 5 (0 3) (y 2) 5 9 (y 2) 25 ... y 2= ⇔ − + + = ⇔ + + = ⇔ ⇔ = ή y 6= − .

Άρα ( )N 0,2 ή ( )N 0, 6′ − .

Γ. Έστω ( )Δ x, y . Εφόσον το ΑΒΓΔ είναι παρ/μο θα ισχύει:

ΑΒ ΔΓ ( 2, 6) (8 χ, 1 y) ... x 10, y 5= ⇔ − − = − − − ⇔ ⇔ = = −

.

Άρα ( )Δ 10, 5− .

Δ. i. Έστω ( )Ε x, y . Έχουμε:

4ΒΕ 3ΒΓ ΑΒ 4(χ 2, y 3) 3(10,2) ( 2, 6) ... x 6, y 0= − ⇔ + + = − − − ⇔ ⇔ = =

.

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 122 από 172 www.askisiologio.gr

Οπότε ( )Ε 6,0 .

ii. Για να είναι τα Α, Γ και Ε συνευθειακά πρέπει det(ΑΓ,ΑΕ) 0=

.

Βρίσκουμε τα ΑΓ (8, 4)= −

και ΑΕ (6, 3)= −

. Οπότε

8 4det(ΑΓ,ΑΕ) ... 24 24 0

6 3

−= = = − + =

−

.

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 123 από 172

1.7 Επαναληπτικές ασκήσεις

Έννοια διανύσματος-Πρόσθεση-Αφαίρεση διανυσμάτων

1Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα διανύσματα ΓΔ ΑΒ=

και ΒΕ ΑΓ= −

.

Να αποδείξετε ότι το Β είναι μέσο του ΔΕ.

Απάντηση

Αρκεί να δείξουμε ότι ΒΔ ΕΒ=

.

2Έστω Α, Β, Γ, Δ σημεία μη συνευθειακά ανά τρία, για τα οποία

ισχύει ΑΓ ΕΓ ΑΕ ΒΓ ΑΔ− = + −

. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο.

Απάντηση

Αρκεί να δείξουμε ότι ΑΔ ΒΓ=

.

3Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Αν ισχύουν ΑΜ ΑΒ ΓΔ= +

και

ΑΝ ΑΔ ΓΒ= +

, να αποδείξετε ότι τα σημεία Μ και Ν ταυτίζονται.

Απάντηση

Αρκεί να δείξουμε ότι ΑΔ ΒΓ=

.

4Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ.α) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα οποία

ισχύει |ΜΑ ΓΔ ΒΑ ΒΔ| 2− − + =

.

β) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Ν που ικανοποιούν

τη σχέση |ΝΔ ΑΒ ΔΒ| |ΝΒ ΓΒ| 0− + − − =

.

Απάντησηα) Κύκλος με κέντρο Γ και ακτίνα 2.β) Η μεσοκάθετος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΓ.

5Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με βάση ΒΓ τέτοιο ώστε

οΑΒ,ΓΑ 80∧

=

. Να βρείτε τις γωνίες ΒΑ,ΒΓ

∧

και ΒΓ,ΓΑ

∧

.

Απάντηση

oΒΑ,ΒΓ = 40∧

και oΒΓ,ΓΑ =140

∧

.

6Δίνονται τα διανύσματα α

, β και γ

για τα οποία ισχύουν |α| 5=

,

|γ| 4=

, |β γ| 7+ =

, |α β| 2+ ≤

και β γ↑↑

.

α) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος β.

β) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα α και β

είναι αντίρροπα.

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 124 από 172 www.askisiologio.gr

Απάντηση

α) |β| 3=

β) συν α,β = -1∧

, άρα α,β = π

∧

.

7Δίνονται τα διανύσματα (μη μηδενικά) α

, β και γ

για τα οποία

ισχύουν α β γ 0+ + =

και |α| |β| |γ|

5 3 2= =

.

Να αποδείξετε ότι:

α) τα διανύσματα β και γ

είναι ομόρροπα.

β) τα διανύσματα α και β

είναι αντίρροπα.

Απάντηση

α)συν α,β =1∧

, άρα οα,β = 0

∧

.

β) 5

α β3

= −

8Για οποιαδήποτε διανύσματα α

και β

να αποδείξετε ότι

2 2 25|α β| 5|α| |β|

4+ ≤ +

.

Απάντηση

2 2 25|α β| 5|α| |β| .....

4+ ≤ + ⇔ ⇔

21

2α β 02

− ≥

που ισχύει.

9Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και έστω Β′ και Γ′ τα συμμετρικά των Β και Γ αντίστοιχα ως προς κέντρο συμμετρίας την κορυφή Α.

α) Να αποδείξετε ότι ΒΓ Γ Β′ ′=

και ΒΓ ΓΒ′ ′=

.

β) Για οποιοδήποτε σημείο Ο ισχύει ΟΓ ΟΓ ΒΟ Β Ο 0′ ′+ + + =

.Απάντηση

α) ΒΓ ΒΑ ΑΓ ΑΒ Γ Α Γ Β′ ′ ′ ′= + = + =

β) ( ) ( )ΟΓ ΟΓ ΒΟ Β Ο 0 ..... 2ΟΑ 2ΟΑ 0′ ′+ + + = ⇔ ⇔ − =

που ισχύει.

10Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ, Δ καθώς και τα Μ, Ν τέτοια, ώστε

ΑΜ ΑΒ ΑΔ ΒΔ= + −

και ΑΝ ΑΒ ΑΔ ΑΓ= − +

.

α) Να δείξετε ότι ΜΝ ΔΑ ΒΓ= +

.β) Αν το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο, τι συμπεραίνετε για τα σημεία Μ και Ν;

Απάντηση

α) ΜΝ ΑΝ ΑΜ ..... ΔΑ ΒΓ= − = = +

β) Τα σημεία Μ και Ν ταυτίζονται.

11

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 125 από 172

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ και Δ, Ε δύο σημεία στο επίπεδο του τριγώνου τέτοια ώστε

ΑΒ ΑΓ ΑΔ ΑΕ+ = +

, να δείξετε ότι: α) το Μ είναι και μέσο του ΔΕ β) για οποιοδήποτε σημείο Ν του επιπέδου του τριγώνου ισχύει

ΝΒ ΝΓ ΝΔ ΝΕ+ = +

.Απάντηση

α) ΑΒ ΑΓ 2ΑΜ ΑΔ ΑΕ 2ΑΜ+ = ⇔ + =

β) ΝΒ ΝΓ ΝΑ ΑΒ ΝΑ ΑΓ ..... ΝΔ ΝΕ+ = + + + = = +

12Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ, Δ και Ε. Αν ισχύει η σχέση

ΑΒ ΑΓ ΑΔ ΑΕ+ = +

, να αποδείξετε ότι τα ευθύγραμμα τμήματα ΒΓ και ΔΕ έχουν κοινό μέσο.

Απάντηση

Αν Μ, Ν μέσα των ΒΓ, ΔΕ αντίστοιχα, τότε ΑΜ ΑΝ=

.

13α) Αν ισχύουν ΑΒ ΚΛ=

και ΑΓ ΚΜ=

, να αποδείξετε ότι ΒΓ ΛΜ.=

β) Αν ισχύει ΔΜ ΑΜ ΜΒ ΓΜ− = +

, να αποδείξετε ότι τα διανύσματα

ΑΒ

και ΓΔ

είναι αντίρροπα.

Απάντηση

α) ΒΓ ΑΓ ΑΒ ΚΜ ΚΛ ΛΜ= − = − =

β) ΔΜ ΑΜ ΜΒ ΓΜ ..... ΑΒ ΓΔ− = + ⇔ ⇔ = −

14Έστω διανύσματα α

, β

και x 0> . Να αποδείξετε ότι

( )2 2 21|α β| 1 x |α| 1 |β|

x

+ ≤ + + +

.

Απάντηση

( )2

2 2 21 1|α β| 1 x |α| 1 |β| ..... x |α| |β| 0

x x

+ ≤ + + + ⇔ ⇔ − ≥

15Για δύο διανύσματα α

και β

να αποδείξετε ότι:

α) 21 |α| 1 |α|+ ≤ +

β) 21 |α| 1 |β| |α β|+ ≤ + + −

.

Απάντηση

α) ( )2

2 21 |α| 1 |α| 1 |α| 1 |α| ... 2|α| 0+ ≤ + ⇔ + ≤ + ⇔ ⇔ ≥

β) Λόγω του ερωτήματος (α), αρκεί να δείξουμε 1 |α| 1 |β| |α β|+ ≤ + + −

.

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 126 από 172 www.askisiologio.gr

Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα

16Δίνεται στο επίπεδο ένα τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρείτε και να σχεδιάσετε τα σημεία Μ του επιπέδου τα οποία έχουν την ιδιότητα

3ΜΑ ΜΓ 2ΜΒ+ =

.

Απάντηση

ΜΝ ΑΒ=

όπου Ν το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΓ.

17Θεωρούμε τα σημεία του επιπέδου Σ, Ρ, Α, Β, Γ για τα οποία ισχύει

η ισότητα 5ΡΣ ΣΒ 4ΓΣ 5ΡΑ+ − =

.Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.

Απάντηση

5ΡΣ ΣΒ 4ΓΣ 5ΡΑ ..... ΑΒ 4ΑΓ+ − = ⇔ ⇔ = −

18Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ, πλευράς α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο

των σημείων Μ του επιπέδου ώστε να ισχύει |3ΜΑ ΜΒ ΜΓ| α.− + =

Απάντηση

Αν 1

ΑΚ ΑΔ3

=

, ο γεωμετρικός τόπος του Μ είναι

κύκλος κέντρου Κ και ακτίνας α

3.

19Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ, ένα μεταβλητό σημείο Μ και το διάνυσμα

u 2ΜΑ ΜΒ ΜΓ= + +

. Αν ΑΔ είναι διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ και

Κ είναι το μέσο της ΑΔ, τότε:

α) Να εκφράσετε το διάνυσμα u ως συνάρτηση του ΜΚ

.

β) Να αποδείξετε ότι αν |u| 2|ΑΔ|=

, τότε το Μ κινείται σε κύκλο.

Απάντηση

α) u 4ΜΚ=

β) 1

|ΜΚ| |ΑΔ|2

=

, άρα κύκλος κέντρου Κ και 1

R |ΑΔ|2

=

.

20Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ.

α) Αν ΑΔ 3ΑΒ 5ΑΓ= +

και ΑΕ ΑΒ 7ΑΓ= +

, να δείξετε ότι ΔΕ ΒΓ./ /

β) Έστω Μ το μέσο του ΒΓ

. Με αρχή το Μ γράφουμε τα διανύσματα

ΜΔ ΒΑ=

και ΜΕ ΓΑ=

. Να αποδείξετε ότι το Α είναι το μέσο του

ΔΕ

.Απάντηση

α)ΔΕ ΑΕ ΑΔ ..... 2ΒΓ= − = =

β) ΑΔ ΜΔ ΜΑ ..... ΕΑ= − = =

, δηλαδή το Α είναι το μέσο του ΔΕ

.

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 127 από 172

21α) Να αποδείξετε ότι για δύο μη συγγραμμικά διανύσματα α

, β

και κ,λ∈ ισχύει η ισοδυναμία κα λβ 0 κ λ+ = ⇔ =

.

β) Να αποδείξετε ότι αν 1 1 2 2x α y β x α y β+ = +

, τότε 1 2x x= και

1 2y y= .

γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του x ∈ τα διανύσματα

( )u x 1 α β= − +

και ( )v 3x 2 α 2β= + −

είναι συγγραμμικά.

Απάντηση

α) Έστω κ,λ 0≠ τότε λ

α βκ

= −

… β) 1 2 1 2(χ χ )α (y y )β 0 ...− + − = ⇒

γ) x 0=

22Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Δ για το οποίο ισχύει

ΒΔ 3ΑΓ 4ΑΒ= −

.

α) Να αποδείξετε ότι ΑΔ ΒΓ↑↑

.

β) Να βρείτε το x ∈ , ώστε να ισχύει x ΑΓ 3ΑΒ ΓΔ⋅ = +

.Απάντηση

α) ΑΔ 3ΒΓ=

β) x 2=

23Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ, Ε, Ζ ώστε να ισχύει

2ΑΔ ΑΒ

3=

,

4ΑΖ ΑΓ

5=

και ΓΕ ΒΓ=

.

α) Να εκφράσετε τα διανύσματα ΔΕ

και ΔΖ

συναρτήσει των ΑΒ

και ΑΓ

.β) Να εξετάσετε αν τα σημεία Δ, Ε και Ζ είναι συνευθειακά.

Απάντηση

α) 5

ΔΕ 2ΑΓ ΑΒ3

= −

,4 2

ΔΖ ΑΓ ΑΒ5 3

= −

β) 3ΔΕ 6ΑΓ 5ΑΒ,15ΔΖ 12ΑΓ 10ΑΒ ...= − = − =

24Στο επίπεδο δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα α

, β και γ

, τα

οποία ανά δυο είναι μη συγγραμμικά.

Αν είναι γνωστό ότι α β γ+ / /

και β γ α+ / /

, να υπολογίσετε το

άθροισμα α β γ+ +

.

Απάντηση

α β γ 0+ + =

25Έστω ΑΒΓ ισοσκελές τρίγωνο με βάση ΒΓ και τα μεταβλητά σημεία

Κ και Ν για τα οποία ΑK λΑΒ=

και ΓΝ λΓΑ=

με λ ∈ .Να βρείτε που κινείται το μέσο Μ του τμήματος ΚΝ.

ΑπάντησηΑν Ρ είναι το μέσο του ΑΓ, τότε το Μ κινείται σε ευθεία

που διέρχεται από το Ρ και είναι παράλληλη στη ΒΓ.

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 128 από 172 www.askisiologio.gr

26Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ, Ε, Ζ για τα οποία ισχύει

ΑΖ λΖΒ=

, ΒΔ λΔΓ=

, και ΓΕ λΕΑ=

με λ -1≠ .Να αποδείξετε ότι:

α) ΑΖ ΒΔ ΓΕ 0+ + =

.

β) ΑΔ ΒΕ ΓΖ 0+ + =

.

γ) Για κάθε σημείο Ο ισχύει ΟΑ ΟΒ ΟΓ ΟΔ ΟΕ ΟΖ+ + = + +

.Απάντηση

α) Έχουμε Α, Ζ, Β συνευθειακά άρα ΑΖ κΑΒ=

, ομοίως

ΒΔ κΒΓ,ΓΕ κΑΓ= =

. Άρα ΑΖ ΒΔ ΓΕ κ(ΑΒ ΒΓ ΓΑ) 0+ + = + + =

.

β) ΑΔ ΒΕ ΓΖ ΑΒ ΒΔ ΒΓ ΓΕ ΓΑ ΑΖ ... 0+ + = + + + + + = =

γ) ΟΑ ΟΔ ΟΒ ΟΕ ΟΓ ΟΖ ...− + − + − =

27Στον κύκλο κέντρου Ο του σχήματος οι χορδές ΑΒ και ΓΔ είναι κάθετες και Κ, Λ είναι τα μέσα τους αντίστοιχα.

α) Να αποδείξετε ότι ΟΑ ΟΒ ΟΓ ΟΔ 2ΟΜ+ + + =

.β) Αν επιπλέον γνωρίζετε ότι τα Ε και Ζ είναι μέσα των χορδών ΒΓ και ΑΔ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το ΟΕΜΖ είναι παρ/μο.

Απάντηση

α) ...2ΟΚ 2ΟΛ 2ΟΜ+ =

διότι ΟΚΜΛ ορθογώνιο.

β) Αρκεί ΟΖ ΕΜ=

28Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και τα σημεία Κ και Λ των πλευρών του ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα ώστε ΑΚ 2ΚΒ= και ΓΛ 2ΛΔ= . Έστω Ε το μέσο του ΑΓ, Ζ το μέσο του ΒΔ και Σ το μέσο του ΚΛ. Έστω ακόμα

ότι α, β, γ και δ

είναι τα διανύσματα θέσης των σημείων Α, Β, Γ,

Δ αντίστοιχα με σημείο αναφοράς τυχαίο σημείο Ο του χώρου. α) Να εκφράσετε τις διανυσματικές ακτίνες των σημείων Κ, Λ, Ε, Ζ

και Σ ως συνάρτηση των διανυσμάτων α, β, γ και δ

.

β) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Ε, Σ και Ζ είναι συνευθειακά. γ) Να αποδείξετε ότι ΕΣ 2ΣΖ= .

Απάντηση

α) 2β α 2δ γ 2β α 2δ γ α γ β δ

ΟΚ ,ΟΛ ,ΟΣ ,ΟΕ ,ΟΖ3 3 3 2 2

+ + + + + + += = = = =

β) Πρέπει ΕΣ //ΣΖ

γ) Από (β).

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 129 από 172

29Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ α=

και ΑΔ β=

. Στη

διαγώνιο ΑΓ παίρνουμε σημείο Ε ώστε 1

ΑΕ = ΑΓ4

. Στην πλευρά

ΒΓ παίρνουμε σημείο Ζ ώστε 2

ΒΖ = ΒΓ3

και στην προέκταση της

πλευράς ΔΓ σημείο Ρ ώστε 3

ΓΡ = ΔΓ5

.

α) Να γράψετε τα διανύσματα ΑΕ

, ΑΖ

και ΑΡ

ως γραμμικό

συνδυασμό των α

και β.

β) Να γράψετε τα διανύσματα ΕΖ

και ΕΡ

ως γραμμικό συνδυασμό

των α και β

.

γ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Ε, Ζ και Ρ είναι συνευθειακά. Απάντηση

α) 1 2 8

ΑΕ (α β),ΑΖ α β,ΑΡ α β4 3 5

= + = + = +

β) 3 5 27 3

ΕΖ α β,ΕΡ α β4 12 20 4

= + = +

γ) 9

ΕΡ ΕΖ5

=

30α) Αν ισχύουν β |β|α=

και α |α|β=

, να αποδείξετε ότι α β=

.

β) Να βρείτε το διάνυσμα x, αν είναι γνωστό ότι

( ) ( )1 1χ - 3α = χ - 6β

5 2

.

Απάντηση

α) α β↑↑

και |α||β|=

άρα α β=

.

β) χ 2α 10β= − +

31Αν για τα διανύσματα α

, β και γ

ισχύουν |α|= 4

, |γ|= 3

και

2α β 5γ 0+ + =

, να αποδείξετε ότι 7 β 23≤ ≤

.

Απάντηση

β 2α 5γ ...= − − ⇒

32Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ.α) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό x για τον οποίο ισχύει

x ΔΑ ΔΒ x ΔΓ 0⋅ − + ⋅ =

.

β) Έστω τα διανύσματα v ΜΑ ΜΒ ΜΓ= − +

και

u 2ΜΔ ΜΑ ΜΓ= − −

.

i. Να βρείτε το πέρας του v.

ii. Να αποδείξετε ότι το u είναι σταθερό.

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 130 από 172 www.askisiologio.gr

iii. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα οποία

ισχύει |u||v|=

.

Απάντησηα) x 1=

β) i)v ΜΔ=

ii)u BΔ=

iii) Κύκλος με κέντρο το Δ και ακτίνα |ΒΔ|

.

33Δίνεται ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει

|ΜΑ + ΜΒ|=|ΜΓ ΜΔ|−

.

Απάντηση

Κύκλος με κέντρο το Κ (μέσο του ΑΒ) και ακτίνα 1

ρ |ΔΓ|2

=

.

Συντεταγμένες στο επίπεδο

34Να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό x, ώστε τα διανύσματα

( )α 4,x=

και ( )β x,1=

να είναι:

α) ομόρροπα

β) αντίρροπα. Απάντηση

α) x 2=β) x 2= −

35Δίνονται τα διανύσματα ( )α x, y=

και ( )β 5,12=

.

α) Να βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων α, β και α β−

.

β) Να αποδείξετε ότι ( ) ( )2 22 2x + y x -5 + y -12 13+ ≥ .

γ) Πότε ισχύει η ισότητα στη σχέση του ερωτήματος (β); Απάντηση

α) 2 2|α| χ y= +

, |β| 13=

και 2 2|α β| (χ 5) (y 12)− = − + −

β) 2 2 2 2χ y (χ 5) (y 12) |α| |α β||α (α β)| ....+ + − + − = + − ≥ − − =

γ) Το ( )= ισχύει όταν ( )α α β↑↓ −

.

36Δίνονται τα σημεία ( )Α 2,0 , ( )Β 1,2− και ( )Γ 3, 3− − . Να υπολογίσετε:

α) το μήκος των πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ

β) το μήκος της διαμέσου από την κορυφή Α.

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 131 από 172

Απάντηση

α) (ΑΒ) 13,(ΑΓ) 34,(ΒΓ) 29= = =

β) Μ μέσο ΒΓ, οπότε 89

(ΑΜ)2

= .

37Δίνονται τα διανύσματα α

και β

για τα οποία ισχύουν οι σχέσεις

( )α 3, 2 |β|= − −

και ( )β = 4 |α|, 3−

.

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων α και β

.

β) Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα β με τον άξονα

χ χ′ .

γ) Αν ( )γ μ,2 μ= −

, να βρείτε τον πραγματικό αριθμό μ, ώστε να είναι

γ α/ /

.

Απάντηση

α) α (3, 7),β ( 1, 3)= − = −

β) οω =120

γ) 3

μ2

= −

38Έστω Οxy σύστημα συντεταγμένων και τα διανύσματα ( )ΟΑ 1,2= −

,

( )ΟΒ 3,1= −

και ( )ΟΓ 2, 1= − −

.

Να βρείτε σημείο Μ στον άξονα x x′ , ώστε η παράσταση

( ) 2 2d x |MA| |MB - 2MΓ|= +

να παίρνει ελάχιστη τιμή.

Απάντηση

( )Μ -1,0

39Δίνονται τα διανύσματα ( )α 2, 1= −

και ( )β 1, 2= − −

.

α) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος v 2α 3β= −

.

β) Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα u 3α β= +

με τον

άξονα x x′ .

γ) Να βρείτε διάνυσμα γ που να είναι αντίρροπο του α

και να έχει

μέτρο διπλάσιο του |α|

.

Απάντηση

α) |v| 65=

β) οω = 315

γ) γ ( 8,4)= −

40Δίνονται τα σημεία ( )A 4,6− , ( )B 0,3 , ( )Γ 4, 1− − και ( )Δ 5,3 .

α) Να βρείτε τις αποστάσεις ( )ΑΒ και ( )ΒΓ .

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 132 από 172 www.askisiologio.gr

β) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων ΑΒ

, ΒΓ

, ΓΔ

και

ΔΑ

.

γ) Να βρείτε τους συντελεστές διεύθυνσης των παραπάνω

διανυσμάτων.

δ) Ποια από αυτά τα διανύσματα είναι παράλληλα και γιατί;

ε) Να βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων αυτών.

στ) Να αιτιολογήσετε γιατί το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ισοσκελές τραπέζιο.

Απάντηση

α) (ΑΒ) 5,(ΒΓ) 4 2= =β)

ΑΒ (4, 3),ΒΓ ( 4, 4),

ΓΔ ( 3,4),ΔΑ (3,3)

= − = − −

= − =

γ) 1 2 3 4

3 4λ ,λ 1,λ ,λ 1

4 3= − = = − = δ) ΒΓ //ΔΑ

ε) (ΑΒ) 5,(ΒΓ) 4 2,

(ΓΔ) 5,(ΔΑ) 3 2

= =

= =στ) Επειδή ΒΓ//ΔΑ και (ΑΒ)=(ΓΔ)

41Δίνονται τα διανύσματα ( )α 1,2=

και ( )β 2,3=

.

α) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος γ 5α 3β= −

.

β) Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το γ με τον άξονα x x′ .

Απάντηση

α) |γ|= 2

β) 3π

4

42Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων Οxy δίνονται τα σημεία

( )Β 2,3 και ( )Γ 4,5 .

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου Μ του τμήματος ΒΓ.

β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΓΜ

.

γ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος α 2ΟΓ 3ΓΜ= +

.

δ) Αν ( )β 10,κ 12= +

, να βρείτε τον αριθμό κ ∈ ώστε τα α, β να

είναι συγγραμμικά. Απάντηση

α) Μ(3,4) β) ΓΜ ( 1,1)= −

γ) α (5,13)=

δ) κ 14=

43Αν τα σημεία Α, Β, Γ έχουν διανύσματα θέσης ως προς το Ο τα

( )α 1,3 ,= −

( )β 3,5=

και ( )γ 3,2= −

αντίστοιχα, τότε:

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων ΑΒ

και ΑΓ

.

β) Να δείξετε ότι τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.

γ) Να βρείτε τη σχετική θέση των σημείων αυτών. Απάντηση

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 133 από 172

α) ΑΒ (4,2)=

, ΑΓ ( 6, 3)= − −

β) det(AB,ΑΓ) 0=

γ) 2

ΑΒ ΓΑ3

=

44Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ( )Α 0,4 , ( )Β 2,0− , ( )Γ 5,0 και σημείο Κ της

ΒΓ τέτοιο ώστε 3ΒΚ 4ΚΓ 0− =

.

α) Να εκφράσετε το διάνυσμα ΑΚ

ως γραμμικό συνδυασμό των ΑΒ

και ΑΓ

.

β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του ΑΚ

.Απάντηση

α) 3 4

ΑΚ AB ΑΓ7 7

= +

β) 13

ΑΚ ( , 4)7

= −

45Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος u

το οποίο έχει μέτρο

125 και είναι:

α) ομόρροπο με το ( )α 4,3=

β) αντίρροπο με το ( )β 3, 4= −

.

Απάντηση

α) u (100,75)=

β) u ( 225,300)= −

46 Δίνονται τα σημεία 3

A 1,2

−

, ( )B 2, 1− και μ 4

Γ μ,2

−

, όπου μ .∈

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων ΑΒ

και ΒΓ

.

β) Να αποδείξετε ότι, για κάθε μ∈ τα σημεία Α, Β και Γ είναι

συνευθειακά.

γ) Να βρείτε την τιμή του μ έτσι, ώστε ΒΓ 2010ΑΒ=

.

δ) Για μ 2012= να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 1

ΑΒ ΒΓ2010

+

.

Απάντηση

α) 1 μ 2

AB (1, ),ΒΓ (μ 2, )2 2

−= = −

β) det(AB,ΑΓ) 0=

για κάθε μ .∈

γ) μ 2012= δ) 5

47Δίνονται τα διανύσματα ( )α 2λ 5,λ 1= − +

και ( )β 4λ 1, 2λ= − −

,

λ ∈ .

Να προσδιορίσετε την τιμή του λ, ώστε να ισχύει α β↑↑

.

Απάντηση

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 134 από 172 www.askisiologio.gr

1λ

8= −

48Δίνονται τα σημεία ( )A 2,0− , ( )B 4, 2− και ( )Γ 6,2− .

α) Να βρείτε τα διανύσματα ΑΒ

, ΒΓ

και ΓΑ

.

β) Να βρείτε τα μέτρα των παραπάνω διανυσμάτων.

γ) Αν ( )1 1Μ x , y είναι το μέσο του ΒΓ

, να βρείτε το διάνυσμα ΑΜ

.

δ) Αν ( )u 16,κ=

, να βρείτε το κ ώστε τα διανύσματα ΑΜ

και u να

είναι παράλληλα. Απάντηση

α) AB (6, 2), ΒΓ ( 10,4), ΓΑ (4, 2)= − = − = −

β) |ΑΒ| 2 10, |ΒΓ| 2 29, |ΓΑ| 2 5= = =

γ) ΑΜ (1,0)=

δ) κ 0=

49Δίνονται τα σημεία ( )Α 2,9 , ( )Β 3,4 , ( )Γ 5,7 και το διάνυσμα

( )x κ 2,λ 5= − −

.

α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι κορυφές τριγώνου.

β) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς κ, λ ώστε να ισχύει

x ΒΓ 2ΑΒ= −

.

γ) Να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΒΜ του τριγώνου ΑΒΓ. Απάντηση

α) det(AB,ΑΓ) 0≠

β) κ 2,λ 18= =

γ) 65

|ΒΜ|2

=

.

50Για δύο διανύσματα α

και β

ισχύουν οι σχέσεις ( )3α 2β 2,9+ = −

και ( )α 2β 10, 5− = −

.

α) Να βρείτε τα διανύσματα α

και β.

β) Να γράψετε το διάνυσμα ( )γ 4,7=

ως γραμμικό συνδυασμό των

α

και β.

γ) Να βρείτε το λ ∈ , ώστε το διάνυσμα ( )δ λ,2 λ= −

να είναι

παράλληλο στο διάνυσμα α β−

.

Απάντηση

α) α (2,1)=

, β (4, 3)= −

β) γ 8α 5β= − −

γ) 6

λ5

=

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 135 από 172

51Δίνονται τα σημεία ( )Α 2,1− και ( )Β 7,4 . Να βρείτε τα σημεία Μ, Ν

για τα οποία ισχύει:

α) 1

ΑΜ ΜΒ2

=

β) ΑΝ 4ΝΒ= −

.Απάντηση

( )Μ 1,2 και ( )Ν 10,5

Εσωτερικό γινόμενο

52Δύο διανύσματα α

, β έχουν μέτρα 3 και 2 3 αντίστοιχα και η

γωνία που σχηματίζουν είναι 5π

6. Θεωρούμε και τα διανύσματα

u α β= +

και v α β= −

.

α) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο α β⋅

.

β) Να βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων u και v

.

γ) Να αποδείξετε ότι η γωνία των διανυσμάτων u και v

είναι

αμβλεία. Απάντηση

α) α β 9⋅ = −

β) |u| 3=

, |v| 3 13= ⋅

γ) u,v 0∧

συν <

53α) Αν για τα διανύσματα α

και β

ισχύει η ισότητα

( )2

α 3β 2α 3β= ⋅ −

, να αποδείξετε ότι α β↑↑

.

β) Αν για τα διανύσματα γ και β

ισχύει η ισότητα ( )

2

γ 8β γ 2β= − ⋅ +

, να αποδείξετε ότι γ β↑↓

.

γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος α β γ+ +

.

Απάντηση

α) α 3β=

β) γ 4β= −

γ) |α β γ| 0+ + =

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 136 από 172 www.askisiologio.gr

54Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ 2α β= +

και ΑΓ 3β= −

, όπου |α||β|=1=

και 2π

α,β3

∧ =

.

α) Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων α β⋅

, ( )2

4β 2α+

και

|α β|.−

β) Αν Μ το μέσο της πλευράς ΒΓ :

i. Να εκφράσετε τα διανύσματα ΑΜ

και ΒΓ

συναρτήσει των

α

και β.

ii. Να βρείτε τη γωνία των ΑΜ

και ΒΓ

.

Απάντηση

α) 1

α β2

⋅ = −

, 2(4β 2α) 12+ =

, |α β| 3− =

β) i) ΑΜ α β= −

, ΒΓ 2α 4β= − −

ii)π

3

55Δίνονται τα διανύσματα ( )α |β|-1,2=

και ( )β 1,|α| 2= −

.

α) Να βρείτε το διάνυσμα α β+

και στη συνέχεια το μέτρο του.

β) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα α και β

είναι κάθετα.

γ) Να αποδείξετε ότι 2 2

α β 5+ =

.

Απάντηση

α) α β (|β|,|α|)+ =

,2 2

|α β| α β+ = +

β) α β 0⋅ =

γ) 2 2

α β ... 5+ = =

56α) Αν α

, β είναι μη συγγραμμικά διανύσματα και κ, λ πραγματικοί

αριθμοί και επιπλέον ισχύει κα + λβ = 0

, να δείξετε ότι κ λ 0= = .

β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τρίγωνου ΑΒΓ, αν ισχύει

( ) ( )2 2

ΑΒ ΑΓ ΑΓ ΑΓ ΑΒ ΑΒ 0⋅ ⋅ + − ⋅ =

.

Απάντησηα) με άτοποβ) ορθογώνιο και ισοσκελές με βάση το (α) ερώτημα.

57α) Αν α

και β

είναι δύο διανύσματα του επιπέδου, να αποδείξετε

ότι |α β||α| |β|⋅ ≤ ⋅

(1).

β) Χρησιμοποιώντας τη σχέση (1) να βρείτε τη μέγιστη και την

ελάχιστη τιμή της παράστασης A = 6x - 8y αν 2 2x + y = 36 , καθώς

και τις τιμές των x, y για τις οποίες η παράσταση Α παίρνει τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της. γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε x ∈ ισχύει |4ημx - 3συνx| 5≤ .

Απάντηση

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 137 από 172

α ) εφαρμογή βιβλίου – υψώνω στο τετράγωνο.

β) εφαρμογή του (α) ερωτήματος για τα x = (χ, y),α = (6,-8)

.

γ) όμοια με το (β).

58Δίνονται τα διανύσματα ( )α 1, 1= −

και ( )β 1,2=

.

α) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο των α και β

.

β) Αν είναι ΟΑ α=

, ΟΒ β=

, Ο η αρχή των αξόνων και ΑΓ ύψος του

τριγώνου ΟΑΒ, να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΑΓ

.Απάντηση

α) α β 1⋅ = −

β) 6 3

ΑΓ ( , )5 5

= −

59Για τα διανύσματα α

, β ισχύουν οι σχέσεις ( )2α + 3β = ,  4 -2

και

( )α 3β 7,8− = −

.

α) Να αποδείξετε ότι ( )α 1,2= −

και ( )β 2, 2= −

.

β) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό κ, ώστε τα διανύσματα κα +β

και2α + 3β

να είναι κάθετα.

Απάντησηα) Λύνουμε το σύστημα με τα διανύσματα.

β) 3

κ2

=

60Έστω ότι για τα διανύσματα α

, β ισχύει α β 2⋅ = −

.

α) Να βρείτε διάνυσμα x τέτοιο ώστε ( )x α β/ / −

και ( )α x 2β⊥ −

.

β) Αν οα,β 120∧

=

και ΑΒ β=

, να βρείτε το |β|

και τον γεωμετρικό

τόπο των σημείων Μ για τα οποία ισχύει ΜΑ ΜΒ 1⋅ =

.Απάντηση

α) 4 4

χ α β3 3

= − −

β) |β| 4=

, κύκλος με κέντρο το μέσο του ΑΒ και ακτίνα 10 .

Υπόδειξη: 1ο θεώρημα διαμέσων.

61Δίνονται τα διανύσματα ( )β 1,3=

, ( )γ 2,4= −

.

α) Να βρείτε τη γωνία γ,β∧

,

β) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος δ γ 3β= −

,

γ) Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα δ με τον άξονα

x x′ .

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 138 από 172 www.askisiologio.gr

Απάντηση

α) ογ,β 45∧

=

β) |δ| 5 2=

γ) οφ 45∧

=

62Δίνονται τα διανύσματα α

, β, u α 2β= +

και v = 5α - 4β

για τα

οποία ισχύει |α||β|=1=

, ο ο0 < α,β < 90∧

και u v⊥

. Να

αποδείξετε ότι:

α) 1

α β2

⋅ =

β) οα,β = 60∧

γ) Τα διανύσματα u v+

και 3α -β

είναι παράλληλα.

Απάντηση

α) Από u v 0⋅ =

και με αντικατάσταση των u, v προκύπτει ότι

1α β

2⋅ =

.

β) Προκύπτει από τον τύπο του εσωτερικού γινομένου και το (α) ερώτημα.

γ) u v (α 2β) (5α 4β) 6α 2β 2 (3α β)+ = + + − = − = ⋅ −

. Άρα u v //3α β+ −

.

63 Δίνονται |α|= 2

, |β| 2=

,π

α,β4

∧ =

και τα διανύσματα u = 2α β−

και w = 3β 2α+

. Να βρείτε:

α) τα μέτρα των διανυσμάτων u και w

β) το εσωτερικό γινόμενο u w⋅

γ) το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων u και w

δ) το κ ώστε τα διανύσματα v κα β= −

και w

να είναι κάθετα.

Απάντηση

α) |u| 2,|w| 2 17= =

β) u w 4⋅ =

γ) 17

συν u,v17

∧ =

δ)

5κ

4=

64

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 139 από 172

Δίνονται |α|=1

, |β|= 3

,π

α,β6

∧ =

.

α) να βρείτε το κ ώστε τα διανύσματα u = α 2β−

και v = κα β+

να

είναι κάθετα

β) αν w = 2α β+

, να βρείτε:

i. τα μέτρα των διανυσμάτων u

και w

,

ii. το εσωτερικό γινόμενο u w⋅

.

Απάντηση

α) 9

κ4

= −

β) i) |u| 7,|w| 13= =

, ii)17

u w2

⋅ = −

65Δίνονται τα διανύσματα ( )α 2,5=

, ( )β 3,7=

και ( )γ 1,3=

.

α) Να εξετάσετε αν ( )// 8γ α 4β−

.

β) Να βρείτε το x ∈ ώστε ( )2

α β γ δ− ⋅ ⊥

, όπου ( )2δ x,x=

.

Απάντηση

α) 8α 4β (4,12) 4 γ (8α 4β)//γ− = = ⋅ ⇔ −

β) 1

x3

= −

66Δίνονται τα διανύσματα ( )α 2,3=

και ( )β 3, 2= − −

.

α) Να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας των α

, β.

β) Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος

v 3α 3β= +

.

γ) Να βρείτε τη γωνία φ που σχηματίζει το v−

με τον άξονα x x′ .Απάντηση

α) 12

συν α,β13

∧ = −

β) λ 1= −

γ) ο45

67Δίνονται τα διανύσματα ( )α 2,5=

και ( )β 3,7= −

.

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 140 από 172 www.askisiologio.gr

α) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος γ 2α β= −

.

β) Να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων α και β

.

γ) Να γράψετε το διάνυσμα ( )δ 1,8=

σαν γραμμικό συνδυασμό των

διανυσμάτων α

και β.

Απάντηση

α) |γ| 58=

β) 2

συν α,β2

∧ =

γ) 31 11

δ α β29 29

= +

68Δίνονται τα διανύσματα ( )α 2x 1, x 1= − − −

και ( )β x 2,2x 5= − + +

.

α) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες είναι ( )α α β⊥ +

.

β) Για τη μεγαλύτερη από τις τιμές του x που βρήκατε στο ερώτημα

(α), να βρείτε διάνυσμα γ ώστε γ α/ /

και γ β 78⋅ =

.

Απάντησηα) x 5= ή x 1= −

β) ( )γ 2, 10= −

69Έστω τα διανύσματα ( )α 3,1=

, ( )β 2, 6= −

.

α) Να αποδείξετε ότι α β⊥

.

β) Να βρείτε διάνυσμα τέτοιο ώστε α x 2

.β x

 

3

⋅ =

⋅ =

Απάντηση

α) Δείχνουμε ότι α β 0⋅ =

.

β) 3 1

x ,4 4

= −

70 α) Αν |α|= 2

, |β|= 3

και 2π

α,β3

∧ =

, να βρείτε διάνυσμα x

για

το οποίο είναι ( )x // α β−

και ( )α β x⊥ +

.

β) Δίνονται τα διανύσματα ( )α 1,2= −

και ( )β 4, 3= −

. Να βρείτε

διάνυσμα x

ώστε να ισχύουν συγχρόνως α x = 3⋅

και x β/ /

.

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 141 από 172

γ) Θεωρούμε τα διανύσματα ( )α 1,1=

, ( )β = 2,5

και ( )γ 4,7=

.

i. Να αποδείξετε ότι ανά δύο δεν είναι παράλληλα.

ii. Να γράψετε το γ ως γραμμικό συνδυασμό των α

και β

.

Απάντηση

α) ( )3x α β

7= −

β) 6 9

x ,5 10

= −

γ) i) ( ) ( ) ( )det α,β 0,det α,γ 0,det β,γ 0≠ ≠ ≠

ii) γ 2 α β= ⋅ +

71Δίνονται τα διανύσματα α

και β

για τα οποία ισχύει |α|=1

,|β|= 4

και π

α,β3

∧ =

.

α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο  α β⋅

.

β) Δίνεται το διάνυσμα γ α β= −

. Να βρείτε το μέτρο του

διανύσματος γ.

γ) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο  γ α ⋅

.

δ) Να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας γ,β∧

.

Απάντηση

α) α β 2⋅ =

β) |γ| 13=

γ) γ α 1⋅ = −

δ) 7 13

συν γ,β26

∧ = −

72Για οποιαδήποτε διανύσματα α

, β του επιπέδου να αποδείξετε ότι:

α) ( ) ( )( )222 2

α β α β det α,β= ⋅ +

β) ( )α β |det α,β ||α| |β|⊥ ⇔ = ⋅

.

Απάντηση

α) Αν ( )1 1α x , y=

και ( )2 2β x ,y=

, αρκεί να αποδείξουμε ότι

( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1x y x y x x y y x y x y+ + = + + − .

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 142 από 172 www.askisiologio.gr

β) Χρησιμοποιούμε το ερώτημα (α).

73Δίνονται τα διανύσματα α

, β και γ

ώστε |α|=|β|= 5

και |γ|= 7

με 2α 3β 5γ+ =

.

α) Να υπολογίσετε τη γωνία των διανυσμάτων α, β.

β) Αν τα α

, β, γ έχουν κοινή αρχή, να αποδείξετε ότι τα πέρατά

τους είναι συνευθειακά. Απάντηση

α) 2π

α,β3

∧ =

β) Αποδεικνύουμε ότι δύο διανύσματα που ορίζονται

από τα πέρατα των α, β, γ είναι μεταξύ τους παράλληλα.

74α) Δίνονται τα διανύσματα α

και β

με |α - 2β|= 8

και |α + 2β|= 2

και η γωνία των διανυσμάτων α - 2β

και α + 2β

είναι ίση με π

3. Να

βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων α

και β.

β) Αν για τα διανύσματα α και β

ισχύουν |α|=|β|=1

, w 3α + 2β=

, v 7α + 8β= −

, να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων α και β

αν

είναι γνωστό ότι w v⊥

.

γ) Αν |α|=1

, |β|= 2

και |γ|= 2

, με α 2β 4γ 0− + =

, να βρείτε την

τιμή της παράστασης Α 4αβ 16βγ 8γα= − +

.

Απάντηση

α) |α| 21=

,13

|β|2

=

β) π

α,β3

∧ =

γ) Α 177= −

75Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ 2α β= +

και ΑΓ 3β= −

όπου |α|=|β|=1

και 2π

α,β3

∧ =

.

α) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις  α β⋅

και ( )2

4β 2α+

.

β) Αν Μ το μέσο της πλευράς ΒΓ να εκφράσετε τα διανύσματα ΑΜ

και ΒΓ

ως γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων α

και β.

γ) Να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων ΑΜ

και ΒΓ

.

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 143 από 172

Απάντηση

α) 1

α β2

⋅ = −

, ( )2

4β 2α 12+ =

β) ΑΜ α β= −

, ΒΓ 2α 4β= − −

γ) π

ΑΜ,ΒΓ3

∧ =

76Έστω α

, β δύο διανύσματα για τα οποία ισχύει |α|=|β|=1

και

πα,β

3

∧ =

.

α) Να βρείτε το διάνυσμα w

σαν γραμμικό συνδυασμό των

διανυσμάτων α και β

, αν γνωρίζετε ότι το ( )w α β/ / +

και

( )w β α− ⊥

.

β) Αν u α xβ= +

, x ∈ και v 2α β= +

, τότε:

i. Να βρείτε για ποιες τιμές του x, ισχύει u v⊥

.

ii. Να βρείτε ως συνάρτηση του x, το εμβαδό Ε του τετραγώνου

που σχηματίζεται με μήκος πλευράς ίσο με |u+ v|

και να

δείξετε ότι για κάθε x ∈ ισχύει 27

E4

≥ .

Απάντηση

α) 1 1

w α β3 3

= +

β) i) 5

x4

= − , ii) ( )2227 27

E x 5x 13 ..... 2x 5 04 4

≥ ⇔ + + ≥ ⇔ ⇔ + ≥ ισχύει.

77Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι |ΑΒ|= 4

, |ΑΓ|= 6

και η

γωνία των διανυσμάτων ΑΒ

και ΑΓ

είναι π

3. Αν Μ το μέσο της

πλευράς ΒΓ τότε:

α) να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος ΑΜ

β) να υπολογίσετε το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων ΑΜ,

ΑΒ

.Απάντηση

α) |ΑΜ| 4=

β) 7 19

συν ΑΜ,ΑΒ38

∧ =

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 144 από 172 www.askisiologio.gr

78Δίνονται τα διανύσματα α

και β

με, |α|= 2

, |β|= 2 2

και

οα,β = 45 .∧

α) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος u α β= −

.

β) Να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων α

και u

.

γ) Να βρείτε το λ ώστε τα διανύσματα α και v λα β= −

να είναι

κάθετα. Απάντηση

α) |u| 2=

β) Επειδή α u 0 α u⋅ = ⇔ ⊥

γ) λ 1=

79Αν α ( 4,0)= −

και β (8,4)=

να βρείτε:

α) τις συντεταγμένες των διανυσμάτων u α β= −

και v 2α β= +

β) τα μέτρα των διανυσμάτων u

και v

γ) το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων u

και v.

Απάντηση

α) u ( 12, 4)= − −

, v (0,4)=

β) |u| 4 10=

, |v| 4=

γ) 10

συν u,v10

∧ = −

80 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ Α 90∧ =

και ο περιγεγραμμένος

κύκλος C του τριγώνου. Μια ευθεία διέρχεται από την κορυφή Γ του τριγώνου και τέμνει το ύψος ΑΔ του τριγώνου στο Μ και τον

κύκλο στο Ν. Να δείξετε ότι 2

ΑΓ ΓΜ ΓΝ= ⋅

.Απάντηση

Αρκεί να δείξουμε ότι 2|ΑΓ| |ΓΜ| |ΓΝ|= ⋅

.

Λαμβάνουμε υπόψη ότι ΝΜΔΒ είναι εγγράψιμο και ΑΔ ύψος ορθογωνίου τριγώνου.

81Δίνονται τα διανύσματα α

, β και γ

για τα οποία ισχύουν

|α|=|β||γ|=1=

και α β γ 0+ + =

.

α) Να δείξετε ότι |α -β|=|β - γ||γ - α|=

.

β) Να δείξετε ότι 2|α -β| 4≤

και α β 1⋅ ≥ −

.

Απάντηση

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 145 από 172

α) Προκύπτει |α -β|=|β- γ||γ - α| 3= =

.

β) Προκύπτει από το ερώτημα (α).

82 Δίνεται τρίγωνο και η διάμεσός του ΑΔ. Αν ισχύει

( ) ( )ΑΒ ΑΓ ΑΓ ΑΔ ΒΓ ΑΒ⋅ = ⋅ ⋅

, να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι

ορθογώνιο και ισοσκελές. Απάντηση

Προκύπτει ΑΒ ΑΓ 0⋅ =

και ΑΔ ΒΓ 0⋅ =

.

83Δίνονται τα σταθερά σημεία Α, Β, Γ του επιπέδου, για τα οποία

ισχύει 2ΓΑ ΓΒ=

.

α) Να αποδείξετε ότι 1

ΑΓ ΑΒ3

=

.

β) Αν Μ είναι τυχαίο σημείο του ίδιου επιπέδου, να αποδείξετε ότι 2 2 2 2

2ΜΑ ΜΒ 3ΜΓ 6ΓΑ+ − =

.Απάντηση

α) Σημείο αναφοράς Α.

β) Αντικαθιστούμε ΜΑ ΜΓ ΓΑ= +

και ΜΒ ΜΓ ΓΒ= +

.

84Δίνονται τα διανύσματα α

και β

του επιπέδου με |α| 1=

, |β| 1=

και το διάνυσμα u xα β= +

.

α) Να βρείτε το x ∈ ώστε το |u|

να είναι ελάχιστο.

β) Για την τιμή του x που έχετε βρει στο (α) ερώτημα, να δείξετε ότι

το u

είναι κάθετο στο α

.Απάντηση

α) x = -α β⋅

.

β) Προκύπτει α γ = 0⋅

.

85α) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε διανύσματα α

, β

ισχύει

|α β||α| |β|⋅ ≤ ⋅

. Πότε ισχύει η ισότητα;

β) Αν είναι 2 2x y 25+ = , να βρείτε το μέγιστο και το ελάχιστο της

παράστασης A 5x 12y= − .

Απάντηση

α) Για α,β 0≠

, η ισότητα ισχύει αν α,β 0∧

=

ή π.

β) 65 Α 65− ≤ ≤ .

ΑΒΓ

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 146 από 172 www.askisiologio.gr

86Δίνονται τα σημεία ( )Κ 2,0 και ( )Λ 1, 3 και έστω ότι ΚΛ α=

.

α) Να δείξετε ότι |α|= 2

.

β) Αν επιπλέον ισχύει |β|= 3

και π

α,β3

∧ =

, να δείξετε ότι α β 3.⋅ =

γ) Αν ΑΒ 2α β= −

και ΑΓ 4α 3β= +

οι πλευρές του τριγώνου ΑΒΓ,

να εκφράσετε τη διάμεσο ΑΜ

ως γραμμικό συνδυασμό των

διανυσμάτων α

και β.

δ) Αν ΑΜ 3α β= +

, να υπολογίσετε το μήκος της διαμέσου ΑΜ

.

Απάντηση

α) |α|=|ΚΛ|= 2

β) α β |α| |β| συν α,β = ..... = 3∧

⋅ = ⋅ ⋅

γ) ΑΜ 3α β= +

δ) |ΑΜ|= 63

87Δίνονται τα κάθετα διανύσματα α

και β

με |α| 2=

, |β| 2=

. Να

βρείτε συναρτήσει των α

και β το μοναδιαίο διάνυσμα u

το οποίο

ανήκει στο ίδιο επίπεδο με τα α και β

και διχοτομεί τη γωνία των

α

, β.

Απάντηση

1 2u α β

2 4= +

88Αν |α| 3=

και για κάθε κ,λ∈ ισχύει ( ) ( )κα λβ 3λα 4κβ 0,+ − =

να αποδείξετε ότι:

α) α β⊥

,

β) να βρείτε το |β|

.

Απάντηση

α) Προκύπτει α β 0⋅ =

, οπότε α β⊥

.

β) 3

|β|2

=

.

89Δίνονται τα διανύσματα α

, β και γ

για τα οποία ισχύουν |α| 1=

,

|β| 3,=

|γ| 2=

, καθώς επίσης και π

α,β2

∧ =

,

5πβ,γ

6

∧ =

.

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 147 από 172

Να δείξετε ότι α β γ 0+ + =

.

Απάντηση

Αρκεί να δείξουμε ότι |α β γ| 0+ + =

.

90Αν για τα διανύσματα α

, β και γ

ισχύουν |α||β||γ| 1= = =

και

πα,β ,

3

∧ =

πβ,γ

4

∧ =

, να λύσετε ως προς x την εξίσωση

|α β γ||α xβ γ|− + = + +

.

Απάντηση

x 2= −

91Δίνεται κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με ΑΓ 2ΒΔ 3ΑΔ 0+ − =

.

α) Να δείξετε ότι το ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο.

β) Να αποδείξετε ότι ΒΔ ΒΓ 0 |ΑΔ||ΑΒ|⋅ = ⇔ =

.

Απάντηση

α) Προκύπτει ΔΓ 2ΑΒ=

, άρα ΔΓ ΑΒ/ / .β) Σημείο αναφοράς Α.

92Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Δ ένα σημείο της πλευράς ΒΓ για το οποίο

ισχύει ΒΔ λΒΓ=

, λ ∈ . Να αποδείξετε ότι

( ) ( )2 2 2

ΑΔ λΑΓ 1 λ ΑΒ λ λ 1 ΒΓ= + − + −

.

ΑπάντησηΣτη δοσμένη σχέση βάζουμε σημείο αναφοράς Α

και υψώνουμε στο τετράγωνο.

Υψώνουμε στο τετράγωνο και τη ΒΓ ΑΓ ΑΒ= −

.

93Έστω ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ το οποίο είναι εγγεγραμμένο σε

κύκλο ( )O,R . Αν Μ είναι ένα σημείο του τόξου ΒΓ, να αποδείξετε

ότι:

α) 2 2 2

2MA MB MΓ 6R+ + =

β) 2

2MA 2MB MΓ 3R+ ⋅ =

.Απάντηση

α) Σημείο αναφοράς Ο. β) Σημείο αναφοράς Ο.

94Δίνονται τα διανύσματα α

, β με α β 0⋅ ≠

. Να βρείτε τα διανύσματα

x

και y

ώστε να ισχύουν x α/ /

, y β⊥

και α x y= +

.

Απάντηση

x α=

, y 0=

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 148 από 172 www.askisiologio.gr

95 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ . Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων

Μ του επιπέδου, για τα οποία ισχύει ΒΓ ΜΑ ΓΑ ΜΒ 0⋅ + ⋅ =

.

ΑπάντησηΗ κάθετος στην ΑΒ από το Γ.

96Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Δ της ΑΓ, τέτοιο ώστε ΑΔ 2ΔΓ=

.

α) Να δείξετε ότι ΒΑ 2ΒΓ

ΒΔ3

+=

.

β) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου, για

τα οποία ισχύει ΒΜ ΒΑ 2ΒΜ ΒΓ 0⋅ + ⋅ =

.Απάντηση

α) Γράφουμε με δύο τρόπους το ΒΔ

ως άθροισμα διανυσμάτων και προσθέτουμε κατά μέρη.

β) Η κάθετη ευθεία στη ΒΔ στο Β.

97Δίνονται δύο σταθερά σημεία Α και Β. Να βρείτε τον γεωμετρικό

τόπο των σημείων Μ του επιπέδου, αν ισχύει 2 2

ΜΑ ΜΒ 2λ+ =

,όπου λ γνωστός θετικός αριθμός.

Απάντηση

Αν Ο το μέσο του ΑΒ, υψώνουμε στο τετράγωνο τη ΜΑ ΜΒ 2ΜΟ+ =

και με πράξεις καταλήγουμε 2 2

ΜΟ λ ΟΑ= −

. Οπότε διακρίνουμε τις

περιπτώσεις 2

λ ΟΑ 0− >

,2

λ ΟΑ 0− =

και 2

λ ΟΑ 0− <

.

98Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και έστω σημείο Μ του επιπέδου

του για το οποίο ισχύει 2 2 2

ΜΑ ΜΒ ΜΓ= +

. Να προσδιορίσετε τον γεωμετρικό τόπο του Μ.

ΑπάντησηΑν Δ είναι το συμμετρικό του Α ως προς τη ΒΓ,

ο γεωμετρικός τόπος του Μ είναι κύκλος

κέντρου Δ και ακτίνας |ΔΒ|

.

99Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με υποτείνουσα ΒΓ. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου, αν ισχύει

2ΜΒ ΜΓ ΜΑ ΜΒ ΜΑ ΜΓ⋅ = ⋅ + ⋅

.

ΑπάντησηΗ κάθετη ευθεία στην ΑΝ στο Α, όπου Ν το μέσο της ΒΓ.

100Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με υποτείνουσα ΒΓ. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου, αν ισχύει

2 2 2

2ΜΑ ΜΒ ΜΓ= +

.

Απάντηση

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 149 από 172

Η κάθετος στην ΑΝ στο Ν, όπου Ν το μέσο της ΒΓ.

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 150 από 172 www.askisiologio.gr

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 151 από 172

1.8 Διαγωνίσματα

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 152 από 172 www.askisiologio.gr

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 153 από 172

1ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΘΕΜΑ Α

Α.1 Αν α

, β

είναι δύο διανύσματα με β 0≠

, τότε να αποδείξετε την ισοδυναμία:

α //β α λβ⇔ =

, λ∈ .

Μονάδες 15

A.2 Να χαρακτηρίσετε με Σ τις σωστές και με Λ τις λανθασμένες προτάσεις:

α) α =β |α|=|β|⇔

.

β) α = 0 |α|= 0⇔

.

γ) Αν α 0≠

τότε το διάνυσμα 1

α|α|

είναι μοναδιαίο.

δ) ( )det i, j =1

.

ε) ( ) ( )α βγ = αβ γ

.

Μονάδες 10

ΘΕΜΑ Β

Δίνονται τα σημεία Α(-2,0), Β(4,-2) και Γ(-6,2) .

Β.1 Να βρείτε τα διανύσματα ΑB

, ΒΓ

και ΓΑ

.

Μονάδες 5

Β.2 Να βρείτε τα μέτρα των παραπάνω διανυσμάτων.

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 154 από 172 www.askisiologio.gr

Μονάδες 5

Β.3 Αν 1 1Μ(x , y ) είναι το μέσο του ΒΓ

, να βρείτε το διάνυσμα ΑM

.

Μονάδες 7

Β.4 Αν u = (16,κ)

, να βρείτε το κ ώστε τα διανύσματα ΑM

και u

να είναι

παράλληλα. Μονάδες 8

ΘΕΜΑ Γ

Δίνονται τα διανύσματα α

, β

για τα οποία ισχύουν |α|= 2, |β|=1

και

πα,β =

4

∧

.

Γ.1 Να βρείτε το μέτρο του v = α - 3β

.

Μονάδες 7

Γ.2 Να βρείτε το διάνυσμα x

, αν (2α + x)//β

και (β + x) α⊥

.

Μονάδες 8

Γ.3 Να βρείτε το |α + x|

και να το συγκρίνετε με το |v|

.

Μονάδες 10

ΘΕΜΑ Δ

Δίνονται τα διανύσματα α

, β

για τα οποία ισχύουν ( )α = 1,7 - α β⋅

και

3β = |β|,1

10

.

Δ.1 Να αποδείξετε ότι |β|= 10

.

Μονάδες 7

Δ.2 Να αποδείξετε ότι α β = 5⋅

.

Μονάδες 8

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 155 από 172

Δ.3 Να υπολογίσετε τη γωνία των διανυσμάτων α

, β

.

Μονάδες 5

Δ.4 Αν ( )κα - 2β = λ - 2016,12

, βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς κ, λ.

Μονάδες 5

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 156 από 172 www.askisiologio.gr

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 157 από 172

2ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΘΕΜΑ Α

Α.1 Να γράψετε τον ορισμό πολλαπλασιασμού ενός μη μηδενικού πραγματικού

αριθμού λ με το μη μηδενικό διάνυσμα α

.

Μονάδες 6

A.2 Έστω τα μη μηδενικά διανύσματα 1 1α = (x , y )

, 2 2β = (x , y )

μη παράλληλα

στον άξονα y'y και 1λ , 2λ οι συντελεστές διευθύνσεως των διανυσμάτων

αντίστοιχα. Να αποδέιξετε ότι 1 2α β λ λ = -1⊥ ⇔ ⋅

.

Μονάδες 9

A.3 Να χαρακτηρίσετε με Σ τις σωστές και με Λ τις λανθασμένες προτάσεις:

α) Τα ίσα διανύσματα έχουν σε κάθε περίπτωση και ίσα μέτρα.

β) α +β = β+ α

.

γ) Αν α 0≠

και α //x'x

, τότε α = (0, y)

, y ∈ .

δ) Αν λα = λβ

, λ∈ , τότε α = β

.

ε) α //β det(α,β) =1⇔

.

Μονάδες 10

ΘΕΜΑ Β

Δίνονται τα διανύσματα α = (-4,0)

και β = (8,4)

. Να βρείτε:

B.1 Τις συντεταγμένες των διανυσμάτων u = α - β

και v = 2α +β

.

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 158 από 172 www.askisiologio.gr

Μονάδες 7

Β.2 Τα μέτρα των διανυσμάτων u

και v

.

Μονάδες 8

B.3 Το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων u

και v

. Μονάδες 10

ΘΕΜΑ Γ

Δίνονται τα σημεία Α(2,9), Β(3,4) , Γ(6,7) και το διάνυσμα x = (λ - 3,κ + 2)

.

Γ.1 Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων ΑΒ

, ΑΓ

.

Μονάδες 5

Γ.2 Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι κορυφές τριγώνου.

Μονάδες 6

Γ.3 Να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου Μ της ΑΓ και μετά το μήκος της διαμέσου ΒΜ .

Μονάδες 6

Γ.4 Να βρείτε τα κ,λ ώστε να ισχύει x = 3ΑΓ - 2ΑΒ

.

Μονάδες 8

ΘΕΜΑ Δ

Δ.1 Αν ( )2 2α = 2λ - λ + 3,λ -1

και ( )2β = λ + 2λ +1,λ +1

, να βρείτε το λ∈ώστε

α = β

.

Μονάδες 5

Δ.2 Για την τιμή του λ που βρήκατε στο (α) ερώτημα, να βρείτε σημείο Μ, που

ανήκει στον άξονα x 'x , ώστε να ισαπέχει από τα σημεία A(λ -1,λ) και

Β(λ +1,λ - 6).

Μονάδες 6

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 159 από 172

Δ.3 Να βρείτε τη γωνία Μ του τριγώνου MAB του ερωτήματος Δ.2.

Μονάδες 7

Δ.4 Στο τρίγωνο MAB να δείξετε ότι το ύψος ΜΚ είναι ίσο με 10 .

Μονάδες 7

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 160 από 172 www.askisiologio.gr

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 161 από 172

3ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΘΕΜΑ Α

Α.1 Τι ονομάζουμε μέτρο ή μήκος ενός διανύσματος ΑΒ

;

Μονάδες 6

A.2 Έστω τα διανύσματα α

, β

, γ

του καρτεσιανού επιπέδου με 1 1α = (x , y ),

2 2β = (x , y )

και 3 3γ = (x , y )

, να αποδείξετε ότι ( )α β+ γ = αβ+αγ

.

Μονάδες 9

A.3 Να χαρακτηρίσετε με Σ τις σωστές και με Λ τις λανθασμένες προτάσεις:

α) Αν ( )det α,β

είναι η ορίζουσα των διανυσμάτων α

και β

, τότε ισχύει

( )α β = 0 det α,β = -1⋅ ⇔

.

β) α β = β α⋅ ⋅

.

γ) Αν α 0≠

και α //x'x

, τότε α = (x,0)

, x ∈ .

δ) Αν α β α,β = π∧

↑↑ ⇔

.

ε) Αν 1 1α = (x , y )

, 2 2β = (x , y )

είναι δύο διανύσματα, τότε ισχύει

1 1 2 2α β = x y + x y⋅

.

Μονάδες 10

ΘΕΜΑ Β

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 162 από 172 www.askisiologio.gr

Δίνονται τα διανύσματα α = (2,3)

, β = (-3,-2)

.

B.1 Να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας των α

, β

.

Μονάδες 7

Β.2 Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος v 3α 3β= +

.

Μονάδες 8

B.3 Να βρείτε τη γωνία φ που σχηματίζει το -v

με τον άξονα x'x .

Μονάδες 10

ΘΕΜΑ Γ

Δίνονται τα διανύσματα ( )α = 1,-1

, ( )β 2,-3

, γ = i + 3 j

.

Γ.1 Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα α

με τον άξονα x 'x .

Μονάδες 5

Γ.2 Να γράψετε το διάνυσμα γ

ως γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων α

και β

.

Μονάδες 6

Γ.3 Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ |α|=

, ΒΓ |β|=

, ΑΓ |γ|=

.

Να χαρακτηρίσετε το είδος του τριγώνου ΑΒΓ ως προς τις γωνίες του.

Μονάδες 7

Γ.4 Αν u κα β= +

, κ ∈ , να βρείτε το κ ώστε τα διανύσματα α

και u

να είναι

κάθετα.

Μονάδες 7

ΘΕΜΑ Δ

Δίνονται τα σημεία ( )Α x - y, y και ( )Β 2x + y, 2y όπου x ,y ∈ .

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 163 από 172

Δ.1 Να βρείτε, ως συνάρτηση των x, y, τις συντεταγμένες του διανύσματος AB

.

Μονάδες 4

Δ.2 Αν γνωρίζετε ότι το διάνυσμα AB

σχηματίζει με τον άξονα x 'x γωνία o45

και επιπλέον ότι |ΑΒ|= 2

, να βρείτε τα x ,y ∈ .

Μονάδες 8

Δ.3 Αν x = - 2 και y = 2 , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο OAB είναι ισοσκελές

με βάση την AB , όπου Ο η αρχή των αξόνων.

Μονάδες 5

Δ4. Να βρείτε τις συντεταγμένες του συμμετρικού του σημείου Ο ως προς την

AB .

Μονάδες 8

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 164 από 172 www.askisiologio.gr

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 165 από 172

4ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΘΕΜΑ Α

A.1 Εστω ( )A AA x , y και ( )B BB x , y δύο σημεία του καρτεσιανού επιπέδου και

( )M MM x , y το μέσο του τμήματος ΑΒ.

Να αποδείξετε ότι A BM

x + xx

2= και A B

M

y + yy

2= .

Μονάδες 15

Α.2 Να χαρακτηρίσετε με Σ τις σωστές και με Λ τις λανθασμένες προτάσεις:

α) Αν α

, β

είναι δυο διανύσματα, με β 0≠

, τότε α β α λβ/ / ⇔ =

, λ∈

.

β) Αν ΑΜ είναι η διάμεσος τριγώνου ΑΒΓ, τότε ΑΒ+ ΑΓ

ΑΜ =2

.

γ) Αν 1

ΑΒ α|α|

= ⋅

και 1

ΑΓ β|α|

= ⋅

, τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι

ισοσκελές.

δ) Αν α

3λ

4= , τότε ( )α 4,3=

.

ε) Αν ισχύει α β 0⋅ =

, τότε α 0=

ή β 0=

.

Μονάδες 10

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 166 από 172 www.askisiologio.gr

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ και έστω Μ και Ν τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα.

Β.1 Να αποδείξετε ότι ΔΑ ΓΒ ΝΑ ΝΒ 2ΝΜ+ = + =

.

Μονάδες 12

Β.2 Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ έτσι ώστε ( )3λ +1 ΝΜ = ΝΑ + ΝΒ

.

Μονάδες 13

ΘΕΜΑ Γ

Δίνονται τα μοναδιαία διανύσματα α

, β

με 2π

α,β3

∧ =

και τα διανύσματα

u α β= −

και v 2α 4β= +

. Να βρείτε:

Γ.1 το εσωτερικό γινόμενο u v⋅

.(10 μονάδες)

Γ.2 το μέτρο του διανύσματος v

.(8 μονάδες)

Γ.3 την τιμή του λ∈ ώστε τα διανύσματα α

και α λβ+

να είναι κάθετα.

(7 μονάδες)

ΘΕΜΑ Δ

Δίνονται τα διανύσματα α

, β

για τα οποία ισχύουν ( )α 1,8 α β= − ⋅

,

1β 2, |β|

5

=

.

Δ.1 Να αποδείξετε ότι |β| 5=

και α β 5⋅ =

.

Μονάδες 10

Δ.2 Να υπολογίσετε τη γωνία α,β∧

.

Μονάδες 7

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 167 από 172

Δ.3 Αν ( )γ = 4,-3

, να γράψετε το γ

ως γραμμικό συνδυασμό των α

, β

.

Μονάδες 8

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 168 από 172 www.askisiologio.gr

Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h

www.askisiologio.gr Σελίδα 169 από 172

1.9 Ευρετήριο όρων

Άθροισμα διανυσμάτων ............................................... 13

Αναλυτική Έκφραση Εσωτερικού Γινομένου ................ 90

Αντίθετα διανύσματα ................................................... 11

Αντίρροπα διανύσματα ................................................ 10

Άξονας τεταγμένων ...................................................... 63

Άξονας τετμημένων ...................................................... 63

Απόσταση Δύο Σημείων ................................................ 70

Αρχή διανύσματος .......................................................... 9

Αφαίρεση Διανυσμάτων ............................................... 15

Γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων ................... 64, 97

Γραμμικός Συνδυασμός Διανυσμάτων ......................... 40

Γωνία δυο διανυσμάτων............................................... 12

Διάμεσοι τριγώνου ....................................................... 48

Διάνυσμα ........................................................................ 9

Διάνυσμα Θέσεως διανύσματος .................................. 15

Διανυσματική ακτίνα .................................................... 15

Διανυσματική Ακτίνα Μέσου Τμήματος ....................... 47

Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων ............................... 89

Ιδιότητες Πολλαπλασιασμού Αριθμού με Διάνυσμα ... 37

Ίσα διανύσματα ............................................................ 10

Ισότητα διανυσμάτων ................................................... 67

Ισότητα Διανυσμάτων .................................................. 65

Κάθετα διανύσματα...................................................... 95

Κανόνας του παραλληλογράμμου ................................ 13

Κανονικό σύστημα συντεταγμένων .............................. 63

Καρτεσιανό επίπεδο ..................................................... 63

Μέτρο διανύσματος ................................................. 9, 70

Μηδενικό διάνυσμα ..................................................... 67

Μοναδιαίο διάνυσμα ..................................................... 9

Ομόρροπα - Αντίρροπα διανύσματα ............................ 75

Ομόρροπα διανύσματα ................................................ 10

Ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων ..................... 63

Ορίζουσα των διανυσμάτων ......................................... 71

Παράλληλα διανύσματα ............................................... 44

Παράλληλα ή συγγραμικά διανύσματα .......................... 9

Παραλληλία διανυσμάτων ........................................... 73

Πέρας διανύσματος ........................................................ 9

Πολλαπλασιασμός Αριθμού με Διάνυσμα.................... 37

Σημείο εφαρμογής διανύσματος .................................... 9

Σταθερό διάνυσμα ........................................................ 38

Συνευθειακά σημεία ..................................................... 46

Συνημίτονο Γωνίας Δύο Διανυσμάτων ......................... 96

Συνθήκη Παραλληλίας Διανυσμάτων ..................... 43, 71

Συνισταμένη διανυσμάτων ........................................... 13

Συνιστώσες διανύσματος ............................................. 65

Συντελεστής Διεύθυνσης Διανύσματος ........................ 72

Συντεταγμένες Διανύσματος ........................................ 64

Συντεταγμένες Μέσου Τμήματος ................................. 68

Συντεταγμένες σημείου ................................................ 64

Τεταγμένη σημείου ....................................................... 64

Τετμημένη σημείου ................................................ 63, 64

Τριγωνική ανισότητα .................................................... 21

Φορέας διανύσματος ..................................................... 9

Φυσική ερμηνεία του εσωτερικού γινομένου .............. 89

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 170 από 172 www.askisiologio.gr

Ο Μ Α Δ Α ( μ ε Α λ φ α β η τ ι κ ή σ ε ι ρ ά ) :

Α ν δ ρ ι ο π ο ύ λ ο υ Τ α σ ι ά ν ν α Β α σ σ ά λ ο υ Γ ι ά ν ν αΒ ε λ λ ί κ η ς Γ ι ώ ρ γ ο ς Ε λ ε υ θ ε ρ ι ά δ η ς Μ ά ρ ι ο ςΚ α ρ α τ σ ι ώ λ η ς Δ η μ ή τ ρ η ς Κ α σ λ ή ς Κ ώ σ τ α ςΚ ο ν τ ό ς Μ π ά μ π η ς Λ α λ ο ύ μ η ς Ν ί κ ο ςΜ π έ κ α ς Χ ρ ή σ τ ο ς Μ π ί τ ζ α ς Π α ν α γ ι ώ τ η ςΜ π ο ζ α τ ζ ί δ η ς Β α σ ί λ η ς Π α π α δ η μ η τ ρ ί ο υ Γ ι ά ν ν η ςΠ έ τ σ ι ο υ Χ α ρ ά Ρ ο κ ί δ η ς Μ ι χ ά λ η ςΣ τ ά μ ο υ Γ ι ά ν ν η ς Τ ζ ε λ α π τ σ ή ς Θ α ν ά σ η ςΤ σ α β α ρ ή ς Γ ι ώ ρ γ ο ς Τ σ ι φ ά κ η ς Χ ρ ή σ τ ο ςΤ σ ο ρ τ α ν ί δ η ς Δ η μ ή τ ρ η ς Τ σ ο ύ μ ο ς Κ ώ σ τ α ς

Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ

Σελίδα 172 από 172 www.askisiologio.gr