Αναφορές

Συγκριτική Ανάλυση Μοντέλων Θνησιμότητας για τον

Ελληνικό Πληθυσμό

Απόστολος Μποζίκας

e-mail: bozikas@unipi.grΤμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης

Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Νάουσα, 4-7 Μαΐου 2016

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Το Πρόβλημα

I Κατά τις τελευταίες δεκαετίες το προσδόκιμο ζωής κατά τη γέννηση

αυξήθηκε σημαντικά σε παγκόσμιο επίπεδο (εξέλιξη ιατρικής,

συνθήκες διαβίωσης)

I Στην Ελλάδα, τα τελευταία 50 χρόνια αυξήθηκε (1961-2010):

για τους άνδρες από 70.2 σε 78 έτη

για τις γυναίκες από 73.8 σε 83.3 έτη

I Αυτό έχει ως συνέπεια την αύξηση των ηλικιωμένων με άμεσες

συνέπειες στους φορείς ασφάλισης

I Ανάγκη για τη χρήση του καταλληλότερου μοντέλου πρόβλεψης

για τα δεδομένα θνησιμότητας του ελληνικού πληθυσμού

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Το Πρόβλημα

I Κατά τις τελευταίες δεκαετίες το προσδόκιμο ζωής κατά τη γέννηση

αυξήθηκε σημαντικά σε παγκόσμιο επίπεδο (εξέλιξη ιατρικής,

συνθήκες διαβίωσης)

I Στην Ελλάδα, τα τελευταία 50 χρόνια αυξήθηκε (1961-2010):

για τους άνδρες από 70.2 σε 78 έτη

για τις γυναίκες από 73.8 σε 83.3 έτη

I Αυτό έχει ως συνέπεια την αύξηση των ηλικιωμένων με άμεσες

συνέπειες στους φορείς ασφάλισης

I Ανάγκη για τη χρήση του καταλληλότερου μοντέλου πρόβλεψης

για τα δεδομένα θνησιμότητας του ελληνικού πληθυσμού

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Το Πρόβλημα

I Κατά τις τελευταίες δεκαετίες το προσδόκιμο ζωής κατά τη γέννηση

αυξήθηκε σημαντικά σε παγκόσμιο επίπεδο (εξέλιξη ιατρικής,

συνθήκες διαβίωσης)

I Στην Ελλάδα, τα τελευταία 50 χρόνια αυξήθηκε (1961-2010):

για τους άνδρες από 70.2 σε 78 έτη

για τις γυναίκες από 73.8 σε 83.3 έτη

I Αυτό έχει ως συνέπεια την αύξηση των ηλικιωμένων με άμεσες

συνέπειες στους φορείς ασφάλισης

I Ανάγκη για τη χρήση του καταλληλότερου μοντέλου πρόβλεψης

για τα δεδομένα θνησιμότητας του ελληνικού πληθυσμού

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Το Πρόβλημα

I Κατά τις τελευταίες δεκαετίες το προσδόκιμο ζωής κατά τη γέννηση

αυξήθηκε σημαντικά σε παγκόσμιο επίπεδο (εξέλιξη ιατρικής,

συνθήκες διαβίωσης)

I Στην Ελλάδα, τα τελευταία 50 χρόνια αυξήθηκε (1961-2010):

για τους άνδρες από 70.2 σε 78 έτη

για τις γυναίκες από 73.8 σε 83.3 έτη

I Αυτό έχει ως συνέπεια την αύξηση των ηλικιωμένων με άμεσες

συνέπειες στους φορείς ασφάλισης

I Ανάγκη για τη χρήση του καταλληλότερου μοντέλου πρόβλεψης

για τα δεδομένα θνησιμότητας του ελληνικού πληθυσμού

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Το Πρόβλημα

I Κατά τις τελευταίες δεκαετίες το προσδόκιμο ζωής κατά τη γέννηση

αυξήθηκε σημαντικά σε παγκόσμιο επίπεδο (εξέλιξη ιατρικής,

συνθήκες διαβίωσης)

I Στην Ελλάδα, τα τελευταία 50 χρόνια αυξήθηκε (1961-2010):

για τους άνδρες από 70.2 σε 78 έτη

για τις γυναίκες από 73.8 σε 83.3 έτη

I Αυτό έχει ως συνέπεια την αύξηση των ηλικιωμένων με άμεσες

συνέπειες στους φορείς ασφάλισης

I Ανάγκη για τη χρήση του καταλληλότερου μοντέλου πρόβλεψης

για τα δεδομένα θνησιμότητας του ελληνικού πληθυσμού

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Σκοπός

I Εξέταση 3 μοντέλων πρόβλεψης θνησιμότητας:

1 ως προς την εφαρμογή τους στα ελληνικά δεδομένα

2 ως προς την αποτελεσματικότητα των προβλέψεων που παράγουν

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Σκοπός

I Εξέταση 3 μοντέλων πρόβλεψης θνησιμότητας:

1 ως προς την εφαρμογή τους στα ελληνικά δεδομένα

2 ως προς την αποτελεσματικότητα των προβλέψεων που παράγουν

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Σκοπός

I Εξέταση 3 μοντέλων πρόβλεψης θνησιμότητας:

1 ως προς την εφαρμογή τους στα ελληνικά δεδομένα

2 ως προς την αποτελεσματικότητα των προβλέψεων που παράγουν

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Δομή

1 Περιγραφή Μοντέλων

2 Προσαρμογή στα Δεδομένα

΄Ελεγχος Καλής Προσαρμογής

3 Προβλέψεις

Αξιολόγηση Προβλέψεων

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Δομή

1 Περιγραφή Μοντέλων

2 Προσαρμογή στα Δεδομένα

΄Ελεγχος Καλής Προσαρμογής

3 Προβλέψεις

Αξιολόγηση Προβλέψεων

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Δομή

1 Περιγραφή Μοντέλων

2 Προσαρμογή στα Δεδομένα

΄Ελεγχος Καλής Προσαρμογής

3 Προβλέψεις

Αξιολόγηση Προβλέψεων

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Δομή

1 Περιγραφή Μοντέλων

2 Προσαρμογή στα Δεδομένα

΄Ελεγχος Καλής Προσαρμογής

3 Προβλέψεις

Αξιολόγηση Προβλέψεων

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Δομή

1 Περιγραφή Μοντέλων

2 Προσαρμογή στα Δεδομένα

΄Ελεγχος Καλής Προσαρμογής

3 Προβλέψεις

Αξιολόγηση Προβλέψεων

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Δεδομένα και Συμβολισμοί

I Δεδομένα

πηγή: Human Mortality Database (2015)ηλικίες x : 60-94έτη t: 1981-2010εξαίρεση γενεών t − x (≤ 5 παρατηρήσεις): 1887-1891 και 1946-1950

I Συμβολισμοί

τ.μ. αριθμός θανάτων: Dx,t

κεντρική έκθεση στον κίνδυνο: Ex,t

(αρχική) έκθεση στον κίνδυνο: E 0x,t ≈ Ex,t + 1/2

ένταση θνησιμότητας: µx,t = dx,t/Ex,t (θεωρούμε≡ mx,t)

πιθανότητα θανάτου: qx,t = dx,t/E0x,t

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Δεδομένα και Συμβολισμοί

I Δεδομένα

πηγή: Human Mortality Database (2015)ηλικίες x : 60-94έτη t: 1981-2010εξαίρεση γενεών t − x (≤ 5 παρατηρήσεις): 1887-1891 και 1946-1950

I Συμβολισμοί

τ.μ. αριθμός θανάτων: Dx,t

κεντρική έκθεση στον κίνδυνο: Ex,t

(αρχική) έκθεση στον κίνδυνο: E 0x,t ≈ Ex,t + 1/2

ένταση θνησιμότητας: µx,t = dx,t/Ex,t (θεωρούμε≡ mx,t)

πιθανότητα θανάτου: qx,t = dx,t/E0x,t

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Περιγραφή Μοντέλων

I Lee and Carter (1992): logµx ,t = αx + β(1)x κ

(1)t (M1)

I Renshaw and Haberman (2006): logµx ,t = αx + β(1)x κ

(1)t + γt−x (M2)

I Cairns et al. (2006): logit qx ,t = κ(1)t + (x − x)κ

(2)t (M3)

όπου, logit qx,t = logqx,t

1− qx,t

I Συμβολισμοί:

αx : παράμετρος ηλικίας που εκφράζει τη μέση θνησιμότητα στην

ηλικία x

κ(i)t : παράμετρος χρόνου που εκφράζει το γενικό επίπεδο

θνησιμότητας στο έτος t

β(1)x : παράμετρος ηλικίας που εκφράζει την απόκλιση από τη μέση

θνησιμότητα, καθώς το γενικό επίπεδο θνησιμότητας αλλάζει

γt−x : παράμετρος χρόνου που εκφράζει την επίδραση της

ημερομηνίας γέννησης t − x στο υπό μελέτη μοντέλο

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Περιγραφή Μοντέλων

I Lee and Carter (1992): logµx ,t = αx + β(1)x κ

(1)t (M1)

I Renshaw and Haberman (2006): logµx ,t = αx + β(1)x κ

(1)t + γt−x (M2)

I Cairns et al. (2006): logit qx ,t = κ(1)t + (x − x)κ

(2)t (M3)

όπου, logit qx,t = logqx,t

1− qx,t

I Συμβολισμοί:

αx : παράμετρος ηλικίας που εκφράζει τη μέση θνησιμότητα στην

ηλικία x

κ(i)t : παράμετρος χρόνου που εκφράζει το γενικό επίπεδο

θνησιμότητας στο έτος t

β(1)x : παράμετρος ηλικίας που εκφράζει την απόκλιση από τη μέση

θνησιμότητα, καθώς το γενικό επίπεδο θνησιμότητας αλλάζει

γt−x : παράμετρος χρόνου που εκφράζει την επίδραση της

ημερομηνίας γέννησης t − x στο υπό μελέτη μοντέλο

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Περιγραφή Μοντέλων

I Lee and Carter (1992): logµx ,t = αx + β(1)x κ

(1)t (M1)

I Renshaw and Haberman (2006): logµx ,t = αx + β(1)x κ

(1)t + γt−x (M2)

I Cairns et al. (2006): logit qx ,t = κ(1)t + (x − x)κ

(2)t (M3)

όπου, logit qx,t = logqx,t

1− qx,t

I Συμβολισμοί:

αx : παράμετρος ηλικίας που εκφράζει τη μέση θνησιμότητα στην

ηλικία x

κ(i)t : παράμετρος χρόνου που εκφράζει το γενικό επίπεδο

θνησιμότητας στο έτος t

β(1)x : παράμετρος ηλικίας που εκφράζει την απόκλιση από τη μέση

θνησιμότητα, καθώς το γενικό επίπεδο θνησιμότητας αλλάζει

γt−x : παράμετρος χρόνου που εκφράζει την επίδραση της

ημερομηνίας γέννησης t − x στο υπό μελέτη μοντέλο

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Περιγραφή Μοντέλων

I Lee and Carter (1992): logµx ,t = αx + β(1)x κ

(1)t (M1)

I Renshaw and Haberman (2006): logµx ,t = αx + β(1)x κ

(1)t + γt−x (M2)

I Cairns et al. (2006): logit qx ,t = κ(1)t + (x − x)κ

(2)t (M3)

όπου, logit qx,t = logqx,t

1− qx,t

I Συμβολισμοί:

αx : παράμετρος ηλικίας που εκφράζει τη μέση θνησιμότητα στην

ηλικία x

κ(i)t : παράμετρος χρόνου που εκφράζει το γενικό επίπεδο

θνησιμότητας στο έτος t

β(1)x : παράμετρος ηλικίας που εκφράζει την απόκλιση από τη μέση

θνησιμότητα, καθώς το γενικό επίπεδο θνησιμότητας αλλάζει

γt−x : παράμετρος χρόνου που εκφράζει την επίδραση της

ημερομηνίας γέννησης t − x στο υπό μελέτη μοντέλο

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Προσαρμογή στα Δεδομένα

I Χρήση της γλώσσας στατιστικού προγραμματισμού R

I Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

I Για τα μοντέλα M1 και M2 θεωρούμε ότι:

τ.μ. Dx ,t ∼ Poisson(Ex ,t µx ,t)

I Για το μοντέλο M3:

τ.μ. Dx ,t ∼ Binomial(E 0x ,t , qx ,t)

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Προσαρμογή στα Δεδομένα

I Χρήση της γλώσσας στατιστικού προγραμματισμού R

I Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

I Για τα μοντέλα M1 και M2 θεωρούμε ότι:

τ.μ. Dx ,t ∼ Poisson(Ex ,t µx ,t)

I Για το μοντέλο M3:

τ.μ. Dx ,t ∼ Binomial(E 0x ,t , qx ,t)

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Προσαρμογή στα Δεδομένα

I Χρήση της γλώσσας στατιστικού προγραμματισμού R

I Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

I Για τα μοντέλα M1 και M2 θεωρούμε ότι:

τ.μ. Dx ,t ∼ Poisson(Ex ,t µx ,t)

I Για το μοντέλο M3:

τ.μ. Dx ,t ∼ Binomial(E 0x ,t , qx ,t)

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Προσαρμογή στα Δεδομένα

I Χρήση της γλώσσας στατιστικού προγραμματισμού R

I Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

I Για τα μοντέλα M1 και M2 θεωρούμε ότι:

τ.μ. Dx ,t ∼ Poisson(Ex ,t µx ,t)

I Για το μοντέλο M3:

τ.μ. Dx ,t ∼ Binomial(E 0x ,t , qx ,t)

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Προσαρμογή στα Δεδομένα

I Χρήση της γλώσσας στατιστικού προγραμματισμού R

I Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

I Για τα μοντέλα M1 και M2 θεωρούμε ότι:

τ.μ. Dx ,t ∼ Poisson(Ex ,t µx ,t)

I Για το μοντέλο M3:

τ.μ. Dx ,t ∼ Binomial(E 0x ,t , qx ,t)

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Προσαρμογή στα Δεδομένα

I Χρήση της γλώσσας στατιστικού προγραμματισμού R

I Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

I Για τα μοντέλα M1 και M2 θεωρούμε ότι:

τ.μ. Dx ,t ∼ Poisson(Ex ,t µx ,t)

I Για το μοντέλο M3:

τ.μ. Dx ,t ∼ Binomial(E 0x ,t , qx ,t)

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Προσαρμογή στα Δεδομένα - M1

60 65 70 75 80 85 90 95

−4.5

−3.5

−2.5

−1.5

αx vs. x

age

60 65 70 75 80 85 90 95

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

βx(1)

vs. x

age

1980 1990 2000 2010

−8−6

−4−2

02

4

κt(1)

vs. t

year

60 65 70 75 80 85 90 95

−5−4

−3−2

αx vs. x

age

60 65 70 75 80 85 90 95

0.01

0.02

0.03

0.04

βx(1)

vs. x

age

1980 1990 2000 2010

−10

−50

5

κt(1)

vs. t

year

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Προσαρμογή στα Δεδομένα - M2

60 65 70 75 80 85 90 95

−4.5

−3.5

−2.5

−1.5

αx vs. x

age

60 65 70 75 80 85 90 95

0.015

0.025

0.035

βx(1) vs. x

age

1980 1990 2000 2010

−6−4

−20

24

κt(1)

vs. t

year

1890 1910 1930 1950−0

.20−0

.100.0

00.1

0

γt−x vs. t−x

cohort

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Προσαρμογή στα Δεδομένα - M2

60 65 70 75 80 85 90 95

−4.5

−3.5

−2.5

αx vs. x

age

60 65 70 75 80 85 90 95

0.020

0.030

0.040

βx(1) vs. x

age

1980 1990 2000 2010

−50

5

κt(1)

vs. t

year

1890 1910 1930 1950−1

.0−0

.50.0

0.5

γt−x vs. t−x

cohort

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Προσαρμογή στα Δεδομένα - M3

1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010

−3.0

−2.9

−2.8

−2.7

κt(1)

vs. t

year

1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010

0.096

0.100

0.104

0.108

κt(2)

vs. t

year

1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010

−3.5

−3.4

−3.3

−3.2

−3.1

−3.0

κt(1)

vs. t

year

1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010

0.120

0.125

0.130

0.135

0.140

κt(2)

vs. t

year

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

΄Ελεγχος Καλής Προσαρμογής

1 Συμπεριφορά Καταλοίπων

2 Κριτήρια Πληροφορίας

3 Λόγος Πιθανοφάνειας

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Συμπεριφορά Καταλοίπων

I Μέτρηση αποκλίσεων μεταξύ των παρατηρούμενων και

προσαρμοσμένων τιμών

I Εξαρτάται από την επιλογή της κατανομής των θανάτων για το κάθε

μοντέλο

I ΄Ελλειψη τυχαιότητας στις αποκλίσεις των καταλοίπων

→ ανεπάρκεια του μοντέλου να συλλάβει ειδικά αποτελέσματαηλικίας, χρόνου και ημερομηνίας γέννησης του υπό εξέταση πληθυσμού

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Συμπεριφορά Καταλοίπων - M1

60 65 70 75 80 85 90 95

−3−2

−10

12

3

age

resid

uals

1980 1990 2000 2010

−3−2

−10

12

3calendar year

resid

uals

1890 1910 1930 1950

−3−2

−10

12

3

year of birth

resid

uals

60 65 70 75 80 85 90 95

−3−2

−10

12

3

age

resid

uals

1980 1990 2000 2010

−3−2

−10

12

3

calendar year

resid

uals

1890 1910 1930 1950

−3−2

−10

12

3

year of birth

resid

uals

I ΄Ελλειψη παραμέτρου ημερομηνίας γέννησης → δεξιά διαγράμματα

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Συμπεριφορά Καταλοίπων - M2

60 65 70 75 80 85 90 95

−3−2

−10

12

3

age

resid

uals

1980 1990 2000 2010

−3−2

−10

12

3calendar year

resid

uals

1890 1910 1930 1950

−3−2

−10

12

3

year of birth

resid

uals

60 65 70 75 80 85 90 95

−3−2

−10

12

3

age

resid

uals

1980 1990 2000 2010

−3−2

−10

12

3

calendar year

resid

uals

1890 1910 1930 1950

−3−2

−10

12

3

year of birth

resid

uals

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Συμπεριφορά Καταλοίπων - M3

60 65 70 75 80 85 90 95

−3−2

−10

12

3

age

resid

uals

1980 1990 2000 2010−3

−2−1

01

23

calendar year

resid

uals

1890 1910 1930 1950

−3−2

−10

12

3

year of birth

resid

uals

60 65 70 75 80 85 90 95

−3−2

−10

12

3

age

resid

uals

1980 1990 2000 2010

−3−2

−10

12

3

calendar year

resid

uals

1890 1910 1930 1950

−3−2

−10

12

3

year of birth

resid

uals

I ΄Ελλειψη παραμέτρου ηλικίας → αριστερά διαγράμματα (ειδικά στις γυναίκες)I ΄Ελλειψη παραμέτρου ημερομηνίας γέννησης → δεξιά διαγράμματα

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Κριτήρια Πληροφορίας

I AIC = 2k − 2 log L, όπου k ο αριθμός των ελεύθερων παραμέτρων

I AIC (c) = AIC +2k(k + 1)

n − k − 1, όπου n ο αριθμός των παρατηρήσεων

I BIC = (log n)k − 2 log L

Ανδρες

Μοντέλο

Μέγιστη

Πιθανοφάνεια

Αριθμός

Παραμέτρων AIC(c) BIC

M1 -5,472.27 98 11,162(2) 11,623(3)

M2 -5,080.40 151 10,516(1) 11,207(1)

M3 -5,573.81 60 11,275(3) 11,563(2)

Γυναίκες

M1 -6,234.97 98 12,687(2) 13,149(2)

M2 -5,171.16 151 10,697(1) 11,388(1)

M3 -7,923.67 60 15,975(3) 16,263(3)

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Κριτήρια Πληροφορίας

I AIC = 2k − 2 log L, όπου k ο αριθμός των ελεύθερων παραμέτρων

I AIC (c) = AIC +2k(k + 1)

n − k − 1, όπου n ο αριθμός των παρατηρήσεων

I BIC = (log n)k − 2 log L

Ανδρες

Μοντέλο

Μέγιστη

Πιθανοφάνεια

Αριθμός

Παραμέτρων AIC(c) BIC

M1 -5,472.27 98 11,162(2) 11,623(3)

M2 -5,080.40 151 10,516(1) 11,207(1)

M3 -5,573.81 60 11,275(3) 11,563(2)

Γυναίκες

M1 -6,234.97 98 12,687(2) 13,149(2)

M2 -5,171.16 151 10,697(1) 11,388(1)

M3 -7,923.67 60 15,975(3) 16,263(3)

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Κριτήρια Πληροφορίας

I AIC = 2k − 2 log L, όπου k ο αριθμός των ελεύθερων παραμέτρων

I AIC (c) = AIC +2k(k + 1)

n − k − 1, όπου n ο αριθμός των παρατηρήσεων

I BIC = (log n)k − 2 log L

Ανδρες

Μοντέλο

Μέγιστη

Πιθανοφάνεια

Αριθμός

Παραμέτρων AIC(c) BIC

M1 -5,472.27 98 11,162(2) 11,623(3)

M2 -5,080.40 151 10,516(1) 11,207(1)

M3 -5,573.81 60 11,275(3) 11,563(2)

Γυναίκες

M1 -6,234.97 98 12,687(2) 13,149(2)

M2 -5,171.16 151 10,697(1) 11,388(1)

M3 -7,923.67 60 15,975(3) 16,263(3)

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Κριτήρια Πληροφορίας

I AIC = 2k − 2 log L, όπου k ο αριθμός των ελεύθερων παραμέτρων

I AIC (c) = AIC +2k(k + 1)

n − k − 1, όπου n ο αριθμός των παρατηρήσεων

I BIC = (log n)k − 2 log L

Ανδρες

Μοντέλο

Μέγιστη

Πιθανοφάνεια

Αριθμός

Παραμέτρων AIC(c) BIC

M1 -5,472.27 98 11,162(2) 11,623(3)

M2 -5,080.40 151 10,516(1) 11,207(1)

M3 -5,573.81 60 11,275(3) 11,563(2)

Γυναίκες

M1 -6,234.97 98 12,687(2) 13,149(2)

M2 -5,171.16 151 10,697(1) 11,388(1)

M3 -7,923.67 60 15,975(3) 16,263(3)

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Λόγος Πιθανοφάνειας

I Το M1 αποτελεί ειδική περίπτωση του M2 (M1 ⊆ M2)

I H0 : το ειδικότερο μοντέλο M1 είναι καλύτερο από το M2

H1 : το γενικότερο μοντέλο M2 είναι καλύτερο

I ψLR = 2 logL2

L1(≈ χ2

(n2−n1),α)

Η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται όταν: ψLR > χ2(n2−n1),α

Ανδρες

H0 : Ειδικό

Μοντέλο

H1 : Γενικό

Μοντέλο

Στατιστική Ελέγχου

Λόγου Πιθανοφάνειας

Βαθμοί

Ελευθερίας p-Value

M1 M2 783.74 53 < 0.0001

Γυναίκες

M1 M2 2,127.6 53 < 0.0001

Στατιστική Ελέγχου Λόγου Πιθανοφάνειας (LR) για το ζευγάρι M1 - M2

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Λόγος Πιθανοφάνειας

I Το M1 αποτελεί ειδική περίπτωση του M2 (M1 ⊆ M2)

I H0 : το ειδικότερο μοντέλο M1 είναι καλύτερο από το M2

H1 : το γενικότερο μοντέλο M2 είναι καλύτερο

I ψLR = 2 logL2

L1(≈ χ2

(n2−n1),α)

Η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται όταν: ψLR > χ2(n2−n1),α

Ανδρες

H0 : Ειδικό

Μοντέλο

H1 : Γενικό

Μοντέλο

Στατιστική Ελέγχου

Λόγου Πιθανοφάνειας

Βαθμοί

Ελευθερίας p-Value

M1 M2 783.74 53 < 0.0001

Γυναίκες

M1 M2 2,127.6 53 < 0.0001

Στατιστική Ελέγχου Λόγου Πιθανοφάνειας (LR) για το ζευγάρι M1 - M2

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Λόγος Πιθανοφάνειας

I Το M1 αποτελεί ειδική περίπτωση του M2 (M1 ⊆ M2)

I H0 : το ειδικότερο μοντέλο M1 είναι καλύτερο από το M2

H1 : το γενικότερο μοντέλο M2 είναι καλύτερο

I ψLR = 2 logL2

L1(≈ χ2

(n2−n1),α)

Η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται όταν: ψLR > χ2(n2−n1),α

Ανδρες

H0 : Ειδικό

Μοντέλο

H1 : Γενικό

Μοντέλο

Στατιστική Ελέγχου

Λόγου Πιθανοφάνειας

Βαθμοί

Ελευθερίας p-Value

M1 M2 783.74 53 < 0.0001

Γυναίκες

M1 M2 2,127.6 53 < 0.0001

Στατιστική Ελέγχου Λόγου Πιθανοφάνειας (LR) για το ζευγάρι M1 - M2

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Προβλέψεις

I Υπολογισμός μελλοντικών τιμών της εκτιμήτριας ηx ,tn+s (2011-2030):

ηx ,tn+s = αx +N∑i=1

β(i)x κ

(i)tn+s + γtn+s−x

όπου ηx ,tn+s = log µx ,tn+s ή logit qx ,tn+s

I Παράμετρος κ(i)tn+s (μοντέλα M1-M3)

Τυχαίος περίπατος με μετατόπιση (random walk with a drift)

I Παράμετρος γtn+s−x (μοντέλο M2)

Ανδρες: ARIMA (0,1,1) με μετατόπιση

Γυναίκες: ARIMA (2,1,0) με μετατόπιση

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Προβλέψεις

I Υπολογισμός μελλοντικών τιμών της εκτιμήτριας ηx ,tn+s (2011-2030):

ηx ,tn+s = αx +N∑i=1

β(i)x κ

(i)tn+s + γtn+s−x

όπου ηx ,tn+s = log µx ,tn+s ή logit qx ,tn+s

I Παράμετρος κ(i)tn+s (μοντέλα M1-M3)

Τυχαίος περίπατος με μετατόπιση (random walk with a drift)

I Παράμετρος γtn+s−x (μοντέλο M2)

Ανδρες: ARIMA (0,1,1) με μετατόπιση

Γυναίκες: ARIMA (2,1,0) με μετατόπιση

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Προβλέψεις

I Υπολογισμός μελλοντικών τιμών της εκτιμήτριας ηx ,tn+s (2011-2030):

ηx ,tn+s = αx +N∑i=1

β(i)x κ

(i)tn+s + γtn+s−x

όπου ηx ,tn+s = log µx ,tn+s ή logit qx ,tn+s

I Παράμετρος κ(i)tn+s (μοντέλα M1-M3)

Τυχαίος περίπατος με μετατόπιση (random walk with a drift)

I Παράμετρος γtn+s−x (μοντέλο M2)

Ανδρες: ARIMA (0,1,1) με μετατόπιση

Γυναίκες: ARIMA (2,1,0) με μετατόπιση

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Προβλέψεις

I Υπολογισμός μελλοντικών τιμών της εκτιμήτριας ηx ,tn+s (2011-2030):

ηx ,tn+s = αx +N∑i=1

β(i)x κ

(i)tn+s + γtn+s−x

όπου ηx ,tn+s = log µx ,tn+s ή logit qx ,tn+s

I Παράμετρος κ(i)tn+s (μοντέλα M1-M3)

Τυχαίος περίπατος με μετατόπιση (random walk with a drift)

I Παράμετρος γtn+s−x (μοντέλο M2)

Ανδρες: ARIMA (0,1,1) με μετατόπιση

Γυναίκες: ARIMA (2,1,0) με μετατόπιση

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Προβλέψεις

1980 1990 2000 2010 2020 2030

0.01

0.02

0.05

0.10

0.20

Year

Forc

e of

mor

talit

y (lo

g sc

ale)

x = 65

x = 75

x = 85

M1 (LC)

1980 1990 2000 2010 2020 2030

0.01

0.02

0.05

0.10

0.20

Year

Forc

e of

mor

talit

y (lo

g sc

ale)

x = 65

x = 75

x = 85

M2 (RH)

1980 1990 2000 2010 2020 2030

0.01

0.02

0.05

0.10

0.20

Year

Prob

abilit

y of

dea

th (l

ogit

scal

e)

x = 65

x = 75

x = 85

M3 (CBD)

1980 1990 2000 2010 2020 20300.

010.

020.

050.

100.

20Year

Prob

abilit

y of

dea

th (l

ogit

scal

e)

x = 65

x = 75

x = 85

M6 (Cohort CBD)

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Προβλέψεις

1980 1990 2000 2010 2020 2030

0.00

20.

005

0.02

00.

050

0.20

0

Year

Forc

e of

mor

talit

y (lo

g sc

ale)

x = 65

x = 75

x = 85

M1 (LC)

1980 1990 2000 2010 2020 2030

0.00

20.

005

0.02

00.

050

0.20

0

Year

Forc

e of

mor

talit

y (lo

g sc

ale)

x = 65

x = 75

x = 85

M2 (RH)

1980 1990 2000 2010 2020 2030

0.00

20.

005

0.02

00.

050

0.20

0

Year

Prob

abilit

y of

dea

th (l

ogit

scal

e)

x = 65

x = 75

x = 85

M3 (CBD)

1980 1990 2000 2010 2020 20300.

002

0.00

50.

020

0.05

00.

200

Year

Prob

abilit

y of

dea

th (l

ogit

scal

e)

x = 65

x = 75

x = 85

M6 (Cohort CBD)

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Ακρίβεια Προβλέψεων

I Χρήση μέτρων σφάλματος MAE, RMSE, MAPE για τα έτη 2011-2013

Ανδρες

Error M1 M2 M3

MAE 0.006 0.004 0.006

RMSE 0.011 0.007 0.010

MAPE 9.139 5.455 10.180

Γυναίκες

MAE 0.004 0.003 0.005

RMSE 0.007 0.006 0.009

MAPE 8.845 5.213 12.113

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Αξιολόγηση Προβλέψεων

I Λάβαμε υπόψιν μόνο το σφάλμα των προβλέψεων

I Αγνοήσαμε την αβεβαιότητα που προκύπτει κατά την εκτίμηση των

παραμέτρων (parameter risk)

I Εφαρμογή μεθόδου bootstrap

I Εμφανής αβεβαιότητα στις προβλέψεις

M2: Ανδρες 85 ετών

M3: Γυναίκες 65 ετών

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Αξιολόγηση Προβλέψεων

I Λάβαμε υπόψιν μόνο το σφάλμα των προβλέψεων

I Αγνοήσαμε την αβεβαιότητα που προκύπτει κατά την εκτίμηση των

παραμέτρων (parameter risk)

I Εφαρμογή μεθόδου bootstrap

I Εμφανής αβεβαιότητα στις προβλέψεις

M2: Ανδρες 85 ετών

M3: Γυναίκες 65 ετών

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Αξιολόγηση Προβλέψεων

I Λάβαμε υπόψιν μόνο το σφάλμα των προβλέψεων

I Αγνοήσαμε την αβεβαιότητα που προκύπτει κατά την εκτίμηση των

παραμέτρων (parameter risk)

I Εφαρμογή μεθόδου bootstrap

I Εμφανής αβεβαιότητα στις προβλέψεις

M2: Ανδρες 85 ετών

M3: Γυναίκες 65 ετών

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Αξιολόγηση Προβλέψεων

I Λάβαμε υπόψιν μόνο το σφάλμα των προβλέψεων

I Αγνοήσαμε την αβεβαιότητα που προκύπτει κατά την εκτίμηση των

παραμέτρων (parameter risk)

I Εφαρμογή μεθόδου bootstrap

I Εμφανής αβεβαιότητα στις προβλέψεις

M2: Ανδρες 85 ετών

M3: Γυναίκες 65 ετών

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Αξιολόγηση Προβλέψεων

1980 1990 2000 2010 2020 2030

0.01

0.02

0.05

0.10

Year

For

ce o

f mor

talit

y (lo

g sc

ale)

x = 65

x = 75

x = 85

M1 (LC)

1980 1990 2000 2010 2020 2030

0.01

0.02

0.05

0.10

Year

For

ce o

f mor

talit

y (lo

g sc

ale)

x = 65

x = 75

x = 85

M2 (RH)

1980 1990 2000 2010 2020 2030

0.01

0.02

0.05

0.10

Year

Prob

abilit

y of

dea

th (l

ogit

scal

e)

x = 65

x = 75

x = 85

M3 (CBD)

1980 1990 2000 2010 2020 20300.

010.

020.

050.

10Year

Prob

abilit

y of

dea

th (l

ogit

scal

e)

x = 65

x = 75

x = 85

M6 (Cohort CBD)

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Αξιολόγηση Προβλέψεων

1980 1990 2000 2010 2020 2030

0.00

20.

005

0.02

00.

050

Year

For

ce o

f mor

talit

y (lo

g sc

ale)

x = 65

x = 75

x = 85

M1 (LC)

1980 1990 2000 2010 2020 2030

0.00

50.

020

0.05

0

Year

For

ce o

f mor

talit

y (lo

g sc

ale)

x = 65

x = 75

x = 85

M2 (RH)

1980 1990 2000 2010 2020 2030

0.00

20.

005

0.02

00.

050

Year

Prob

abilit

y of

dea

th (l

ogit

scal

e)

x = 65

x = 75

x = 85

M3 (CBD)

1980 1990 2000 2010 2020 20300.

005

0.02

00.

050

Year

Prob

abilit

y of

dea

th (l

ogit

scal

e)

x = 65

x = 75

x = 85

M6 (Cohort CBD)

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Κινούμενα Διαγράμματα (Animation) - M1

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Κινούμενα Διαγράμματα (Animation) - M2

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Κινούμενα Διαγράμματα (Animation) - M3

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς

Αναφορές

Ενδεικτική Βιβλιογραφία

Cairns, A. J. G., Blake, D., and Dowd, K. (2006). A two-factor model forstochastic mortality with parameter uncertainty: Theory and calibration.Journal of Risk and Insurance, 73(4):687–718.

Human Mortality Database (2015). University of California, Berkeley (USA),and Max Planck Institute for Demographic Research (Germany). Availableat www.mortality.org.

Lee, L. R. and Carter, R. D. (1992). Modeling and Forecasting US Mortality.American Statistical Association, 87(419):659–671.

Renshaw, A. and Haberman, S. (2006). A cohort-based extension to theLee-Carter model for mortality reduction factors. Insurance: Mathematicsand Economics, 38(3):556–570.

Α. Μποζίκας, Υ.Δ. Πανεπιστημίου Πειραιώς