Μαθηματικά κατεύθυνσης

Γ΄ Λυκείου

Όλη η θεωρία και οι ασκήσεις των

πανελλαδικών εξετάσεων

Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς

ς

www.askisopolis.gr

[1]

Η θεωρία

των πανελλαδικών εξετάσεων

[2]

[3]

Ορισμοί

1) Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της;

(2004)

2) Να ορίσετε πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α, β) και πότε σε ένα

κλειστό διάστημα [α, β]. (2004,2008,2012)

3) Πότε η ευθεία y = λx + β λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f στο +∞;

(2005,2011)

4)Πότε μια συνάρτηση f : A λέγεται “1-1”;

(2005,2015)

5)Έστω Α ένα υποσύνολο του .Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α;

(2006)

6) Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σ’ ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Πότε λέμε

ότι η f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ;

(2006)

7) Έστω f μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Τι ονομάζουμε αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της

f στο Δ; (2006,2011,2014,2016)

8) Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; (2007,2012,2016)

9) Πότε η ευθεία y λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +∞;

(2007,2016)

10) Nα ορίσετε πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σ’ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της. (2005,2010) 11) Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της; (2007,2009,2015) 12) Πότε η ευθεία x = x0 λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης

f ; (2009 ,2010 ,2015)

13)Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σ’ ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Πότε λέμε

ότι η f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ;

(2010,2014)

14) Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β] του πεδίου ορισμού

της; (2010,2013)

15) Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει στο x0A (ολικό) μέγιστο, το f(x0);

(2010,2014)

16) Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σ’ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; (2010 )

17) Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει στο x0A τοπικό μέγιστο;

(2012)

18) Έστω συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Ποια σημεία λέγονται κρίσιμα σημεία της f;

(2013)

19)Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει στο x0A τοπικό ελάχιστο;

(2015)

Δεν έχουν πέσει

20)Τι ονομάζουμε γραφική παράσταση συνάρτησης;

21) Τι ονομάζουμε σύνθεση της f με την g ;

22) Πότε μία συνάρτηση λέγεται γνησίως μονότονη σ’ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της;

23)Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει στο x0A (ολικό) ελάχιστο, το f(x0);

24) Πότε μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της ή απλώς συνεχής;

[4]

25) Τι ορίζουμε σαν εφαπτομένη της fC στο σημείο της 0 0Α x ,f x ;

26) Πότε ένα κινητό κινείται προς τα δεξιά και πότε προς τα αριστερά κοντά στο t0;

27) Πότε μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της ή απλώς παραγωγίσιμη ;

28) Πότε μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο α,β ;

29) Ποια συνάρτηση ονομάζεται πρώτη παράγωγος της f ή απλά παράγωγος της f.

30) Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x, y συνδέονται με τη σχέση y f (x) , τι ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως

προς το x στο σημείο 0x .

31) Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει στο x0A τοπικό ακρότατο;

32) Πότε το f0x Α είναι θέση τοπικού ελαχίστου και πότε θέση τοπικού μεγίστου ;

33) Ποια σημεία μιας συνάρτησης f λέγονται κρίσιμα σημεία και ποιες είναι οι θέσεις πιθανών ακροτάτων

της f ;

34) Πότε το σημείο 0 0Α x ,f x ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της

παραγωγίσιμης συνάρτησης f στο α,β ; ( στο x0 μπορεί να είναι απλώς συνεχής)

35) Πότε η ευθεία y = λx + β λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f στο ;

36)Να δώσετε τον ορισμό του ορισμένου ολοκληρώματος μιας συνεχούς συνάρτησης f στο , .

Ερωτήσεις

1) Aν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της, να γραφεί η εξίσωση της

εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο 0 0( (x , f x )).

(2000)

2) Αν f 0(x) σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τι συμπεραίνετε για τη μονοτονία της συνάρτησης f ;

(2000)

3)Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγου μιας συνάρτησης f

στο διάστημα -2,6.

Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα

(2000)

4) Να συμπληρώσετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν γνωστές ιδιότητες του

ορισμένου ολοκληρώματος.

α. a f x dx

..... β. a f x g x dx

..... γ. a f x g x dx

.....,όπου λ,μ και

f,g συνεχείς συναρτήσεις στο [α,β]

-2 1 3 6x

y

[5]

(2001)

5) Τι σημαίνει γεωμετρικά το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού;

(2003,2008,2013,2016)

6) Τι σημαίνει γεωμετρικά το Θεώρημα Rolle του Διαφορικού Λογισμού;

(2007)

7) Να διατυπώσετε το θεώρημα Rolle. (2012 εσπερινά)

8) Να διατυπώσετε το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού λογισμού.

(2013,2016)

9) Να διατυπώσετε το θεώρημα του Fermat.

(2013)

10)Να διατυπώσετε το θεώρημα του Bolzano.

(2014)

11) Να διατυπώσετε το κριτήριο παρεμβολής.

(2016)

Δεν έχουν πέσει

12) Πως ορίζονται οι πράξεις των συναρτήσεων;

13) Πως ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση 1f και τι γνωρίζετε για τις γραφικές τους παραστάσεις;

14) Ποια θεωρήματα ισχύουν για το όριο και τη διάταξη;

15) των ορίων;

16) Ποια είναι τα βασικά τριγωνομετρικά όρια στο 0x ;

17) Ποιες είναι οι ιδιότητες του μη πεπερασμένου ορίου ;

18) Ποια είναι τα όρια πολυωνυμικής και ρητής συνάρτησης στο ;

19) Ποια είναι τα όρια της εκθετικής και της λογαριθμικής συνάρτησης στα άκρα του πεδίου ορισμού της;

20) Αν δύο συναρτήσεις f,g είναι συνεχείς στο x0 ,τότε ποιες άλλες συναρτήσεις που ορίζονται μέσω της f

είναι συνεχείς στο x0 ;

21) Να δώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος Bolzano ;

22) Να διατυπώσετε το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών.

23) Να διατυπώσετε για μία συνεχή συνάρτηση f το θεώρημα ελάχιστης και μέγιστης τιμής.

24) Ποια είναι η σχέση κλίσης της εφαπτομένης συνάρτησης f στο σημείο 0 0Α x ,f x

και της παραγώγου της f στο xo και ποια είναι η εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο x0.

25) Να δώσετε τον συμβολισμό της νιοστής παραγώγου και πως ορίζεται σε σχέση με τη v 1f

.

26) Πως ορίζεται η στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού, τη χρονική στιγμή 0t ;

27) Να διατυπώσετε το θεώρημα βάσει του εξετάζουμε την κυρτότητα μιας συνάρτησης f.

[6]

28)Ποια είναι η σχετική θέση της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f με μια εφαπτομένη της με βάση

τη κυρτότητα μιας συνάρτησης;

29)Ποιες είναι οι πιθανές θέσεις σημείων καμπής;

Αν μια συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και το σημείο 0 0Α x ,f x είναι σημείο καμπής της, τότε

ποια σχέση ισχύει για τη δεύτερη παράγωγο της f στο 0x ;

Πότε ένα σημείο είναι βέβαιο σημείο καμπής;

30) Να διατυπώσετε τους κανόνες DeL’Hospital.

31)Να διατυπώσετε τις ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος.

32) Να δώσετε τους τύπους της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες και της ολοκλήρωσης με αλλαγή μεταβλητής.

33) Να διατυπώσετε το θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού.

Αποδείξεις

1) Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της ,τότε

είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. (2000,2003,2007,2013)

2) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

Να αποδείξετε ότι :

• αν f 0(x) σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο

το διάστημα Δ. (2000,2012)

• αν f 0(x) σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο

το διάστημα Δ. (2006)

3)Εστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, τότε

• όλες οι συναρτήσεις της μορφής:G(x)=F(x)+C, CΙR είναι παράγουσες της f στο Δ και

• κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή: G x F x C, C .

(2001,2003,2010,2015

4)Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ' ένα διάστημα [α, β]. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [α, β], τότε

να δείξετε ότι β

α f (t) dt G(β) G(α) .

(2002,2008,2013)

5) Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο xo, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη

στο xo και ισχύει: o o of g x f x g x .

(εσπερινό 2002,2007,2009)

6)Έστω η συνάρτηση f (x) εφx .Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο

1R – x / συνx 0 και ισχύει 2

1 f x

συν x .

(εσπερινό 2003,2015,ομογενείς 2016))

7) Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ' ένα διάστημα ∆ και x0 ένα εσωτερικό σημείο του ∆. Αν η f

παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι

0f x 0 .

(2004,2011,2016)

[7]

8)Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα ∆. Αν

• η f είναι συνεχής στο ∆ και

• f΄ x 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του ∆,

τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα ∆.

(2004,2009,2014)

9)Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]. Αν

• η f είναι συνεχής στο [α, β] και

• f α f β

Να δείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει ένας, τουλάχιστον 0x α, β τέτοιος,

ώστε 0f x η .

(2005,2010,2015)

10)Έστω η συνάρτηση f με f(x) x . Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο (0,+∞) και ισχύει:

1

f (x)2

x

. (2005,2009)

11) Έστω η συνάρτηση νf x x , ν Ν – 0,1 . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο

R και ισχύει ν 1f x ν x

(2007 εσπερινά)

12) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση ( ) lnf x x , x * είναι παραγωγίσιμη στο * και ισχύει:

1

lnx

x.

(2008)

13) Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα α,β , με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x0, στο

οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f x 0 στο 0α, x και f x 0 στο 0x ,β , τότε να αποδείξετε

ότι το 0f x είναι τοπικό μέγιστο της f.

(2012,2016)

14) Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα α,β , με εξαίρεση ίσως ένα σημείο x0 στο

οποίο, όμως, η f είναι συνεχής. Αν η f x διατηρεί πρόσημο στο 0 0α, x x , β , τότε να

αποδείξετε ότι το 0f x δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο α,β

(2014)

Δεν έχουν πέσει

15) Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε πολυώνυμο P x , ισχύει 0

0lim

x x

P x P x ,

0 x .

16) Να αποδείξετε ότι για τα πολυώνυμα ,P x Q x ,με 0 0Q x , 0 x ισχύει

0

0

0

lim

x x

P x P x

Q x Q x.

[8]

17)Έστω η σταθερή συνάρτηση ( ) f x c , c . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι

παραγωγίσιμη στο και ισχύει ( ) 0 f x , δηλαδή 0 c .

18) Έστω η συνάρτηση ( ) f x x . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει

( ) 1 f x , δηλαδή ( ) 1x ΄ .

19) Έστω η συνάρτηση ( ) f x x , * . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι

παραγωγίσιμη στο * και ισχύει1( ) f x x , δηλαδή

1( ) x x .

20)Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ( ) xf x , 0 είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει

( ) ln xf x a , δηλαδή ( ) ln x x a .

21)Έστω δυο συναρτήσεις ,f g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν

• οι ,f g είναι συνεχείς στο Δ και

• ( ) ( ) f x g x για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ, να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για

κάθε x να ισχύει: ( ) ( ) f x g x c .

22)Έστω, δυο συναρτήσεις f και g, συνεχείς στο διάστημα [ , ] με ( ) ( )f x g x για κάθε [ , ]x .

Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των f,g, και

τις ευθείες x = α και x = β είναι: ( ) ( ( ) ( )) E f x g x dx

.

23) Έστω, μια συνάρτηση g συνεχής στο διάστημα [ , ] με 0g x για κάθε [ , ]x .

Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση

της g, του άξονα x΄x και τις ευθείες x = α και x = β είναι: ( ) ( ) E g x dx

[9]

Σωστό -λάθος Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα,

την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη.

1) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x0, τότε η f΄ είναι πάντοτε συνεχής στο x0.

Σωστό Λάθος

2) Αν η f δεν είναι συνεχής στο x0,τότε η f είναι παραγωγίσιμη στο x0.

Σωστό Λάθος

3) Αν η f έχει δεύτερη παράγωγο στο x0,τότε η f΄ είναι συνεχής στο x0.

Σωστό Λάθος

4) Η συνάρτηση 1 x(x)f e είναι γνησίως αύξουσα στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.

Σωστό Λάθος

5) Η συνάρτηση f με 2

1f´ x 2 x( ) 3

x

, όπου x ,

2

είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα

αυτό.

Σωστό Λάθος

6) Αν f´ x g( ) (x 3) για κάθε x , τότε η συνάρτηση h x f x( ) ( ) )g x( είναι γνησίως φθίνουσα στο

Δ.

Σωστό Λάθος

7) Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο [α, β] και συνεχής στο (α, β], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [α, β]

μία μέγιστη τιμή.

Σωστό Λάθος

8) Κάθε συνάρτηση, που είναι 1-1 στο πεδίο ορισμού της, είναι γνησίως μονότονη.

Σωστό Λάθος

9) Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο , και συνεχής στο , , τότε η f παίρνει πάντοτε στο ,

μία ελάχιστη τιμή.

Σωστό Λάθος

10) Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο x0 και 0x x

lim f x 0

,τότε 0x x

lim f x 0

.

Σωστό Λάθος

11) Αν 0x x

lim f x 0

τότε f (x) 0 κοντά στο x0 .

Σωστό Λάθος

12) Αν f x dx 0

, τότε κατ’ ανάγκη θα είναι f x 0 για κάθε x , .

Σωστό Λάθος

13) Η εικόνα f ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα.

Σωστό Λάθος

14) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο IR. και δεν είναι αντιστρέψιμη, τότε υπάρχει κλειστό

διάστημα , , στο οποίο η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle.

Σωστό Λάθος

15) Έστω συνάρτηση f ορισμένη και παραγωγίσιμη στο διάστημα , και σημείο 0x , στο οποίο η

f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο. Τότε πάντα ισχύει ότι 0f x 0 .

Σωστό Λάθος

16) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα , και υπάρχει 0x , τέτοιο ώστε 0f x 0 ,

τότε κατ’ ανάγκη θα ισχύει f f 0 .

Σωστό Λάθος

17) Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο xo , τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

Σωστό Λάθος

[10]

18) Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής σ' ένα σημείο xo , τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.

Σωστό Λάθος

19) Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής σ' ένα διάστημα Δ και ισχύει f 0(x) σε κάθε εσωτερικό σημείο x

του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ .

Σωστό Λάθος

20) Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων f και g στο xo , τότε ισχύει:

lim lim lim( ) ( ) ( ) ( )

o o ox x x x x x

f x g x f x g x .

Σωστό Λάθος

21) Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ.

Αν f x 0( ) για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι κυρτή στο Δ.

Σωστό Λάθος

22) Αν μια συνάρτηση f είναι κυρτή σε ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f

σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται «πάνω» από τη γραφική της παράσταση.

Σωστό Λάθος

23) Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f είναι

παραγωγίσιμη στο x0 και 0f 0(x ) , τότε η f παρουσιάζει υποχρεωτικά τοπικό ακρότατο στο x0.

Σωστό Λάθος

24) Έστω μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ' ένα διάστημα , , με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x0, στο

οποίο όμως η f είναι συνεχής.Αν f x 0 στο 0, x και f x 0 στο 0x , , τότε το 0f x είναι

τοπικό ελάχιστο της f .

Σωστό Λάθος

25) Μία συνάρτηση f : είναι συνάρτηση 1 1 , αν και μόνο αν για οποιαδήποτε x1, x2 A ισχύει η

συνεπαγωγή:αν 1 2x x , τότε 1 2f x ) )f (x( .

Σωστό Λάθος

26) Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x, y συνδέονται με τη σχέση y = f(x), όταν f είναι μία παραγωγίσιμη

συνάρτηση στο x0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο x0 την παράγωγο

0f x .

Σωστό Λάθος

27) Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων f και g στο x0, τότε ισχύει 0

0

0

x x

x x

x x

lim f xf (x)

limg(x) lim g x

( )

( )

, εφόσον

0x x

lim g(x) 0

.

Σωστό Λάθος

28) 0x x

lim f (x) l

, 0 0x ,x x , αν και μόνο αν 0x x

lim f (x)

0x x

lim f (x) l

.

Σωστό Λάθος

29) Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο x0,τότε η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη στο x0

και ισχύει: 0 0 0f g ΄ x f x g΄ x( ) .

Σωστό Λάθος

30) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα ∆. Αν f x 0 σε κάθε εσωτερικό

σημείο x του ∆, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ.

Σωστό Λάθος

31) Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ’ ένα διάστημα , . Αν G είναι μια παράγουσα της f στο , ,

τότε β

α f(t)dt G(β) G(α) .

Σωστό Λάθος

[11]

32) Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις µε πεδίο ορισμού και ορίζονται οι συνθέσεις fog και gof , τότε

αυτές οι συνθέσεις είναι υποχρεωτικά ίσες.

Σωστό Λάθος

33) Οι γραφικές παραστάσεις C και C΄ των συναρτήσεων f και –1f είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία

y x που διχοτομεί τις γωνίες ˆxOy και ˆx΄Oy΄ .

Σωστό Λάθος

34) Αν υπάρχει το όριο της f στο x0, τότε0 0

kk

x x x xlim f(x) lim f(x)

, εφόσον f x 0 κοντά στο x0, µε k

και k ≥ 2.

Σωστό Λάθος

35) Έστω δύο συναρτήσεις f, g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι f, g είναι συνεχείς στο ∆ και

f x g x για κάθε εσωτερικό σημείο x του ∆, τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε x ∈ ∆

να ισχύει: f x g x c.

Σωστό Λάθος

36) Μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα ∆ του πεδίου ορισμού της, όταν για

οποιαδήποτε 1 2x , x µε 1 2x x ισχύει: 1 2f x f x .

Σωστό Λάθος

37) Έστω η συνάρτηση f x x . H συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0, και ισχύει 2

f (x)x

.

Σωστό Λάθος

38) Ο συντελεστής διεύθυνσης λ, της εφαπτομένης στο σημείο 0 0x , f x , της γραφικής παράστασης

fC μιας συνάρτησης f, παραγωγίσιμης στο σημείο x0 του πεδίου ορισμού της είναι 0f x .

Σωστό Λάθος

39) Έστω η συνάρτηση f x x , όπου x . H συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη και ισχύει

f x x .

Σωστό Λάθος

40) Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν

• η f είναι συνεχής στο Δ και

• f΄ x 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ,

τότε η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ.

Σωστό Λάθος

41) Έστω μία συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f x 0 σε κάθε εσωτερικό

σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ.

Σωστό Λάθος

42) Αν η f είναι συνεχής στο , με f 0 και υπάρχει , ώστε f 0 , τότε κατ’ ανάγκη

f 0 .

Σωστό Λάθος

43) Αν υπάρχει το 0x x

lim f(x) g(x)

τότε κατ’ ανάγκη υπάρχουν τα 0x x

lim f(x)

και 0x x

lim g(x)

.

Σωστό Λάθος

44) Αν η f έχει αντίστροφη συνάρτηση 1f και η γραφική παράσταση της f έχει κοινό σημείο Α με την

ευθεία y = x, τότε το σημείο Α ανήκει και στη γραφική παράσταση της 1f .

Σωστό Λάθος

45) Αν 0x x

lim f(x)

= 0 και f x 0 κοντά στο x0 , τότε 0x x

1lim

f(x)

.

Σωστό Λάθος

[12]

46) Αν η f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε ισχύει

x

α f(t) dt f(x) f(α)

για κάθε x ∈ Δ.

Σωστό Λάθος

47) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ’ αυτό, τότε αυτή ή είναι

θετική για κάθε x ∈ Δ ή είναι αρνητική για κάθε x ∈ Δ, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ.

Σωστό Λάθος

48) Τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος Δ, στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση

με το 0, λέγονται κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα Δ.

Σωστό Λάθος

49) Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα , με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του xo. Αν η

f είναι κυρτή στο o, x και κοίλη στο ox , ή αντιστρόφως, τότε το σημείο o ox ,f x είναι

υποχρεωτικά σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f.

Σωστό Λάθος

50) Μία συνάρτηση f : . λέγεται συνάρτηση 1-1, όταν για οποιαδήποτε 1 2x , x ισχύει η

συνεπαγωγή: αν 1 2x x , τότε 1 2f x f x .

Σωστό Λάθος

51) Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι παρουσιάζει στο x A (ολικό) ελάχιστο, το f x ,

όταν f x f x για κάθε x A .

Σωστό Λάθος

52) Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν όριο στο xο και ισχύει f x g x κοντά στο xο, τότε

0 0x x x x

lim f x > lim g x

.

Σωστό Λάθος

53)Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα , και παραγωγίσιμη στο ανοικτό

διάστημα (α, β) τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ∈(α, β) τέτοιο, ώστε: f(β)-f(α)

f ξβ α

.

Σωστό Λάθος

54) Αν x ≠ 0 , τότε ισχύει 2x 0

1lim

x .

Σωστό Λάθος

55) Έστω η συνάρτηση f x x . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 1R – x / x 0 και

ισχύει: 2

1f (x)

συν x .

Σωστό Λάθος

56) Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο 0x , τότε: o ox x x x

lim k f(x) k lim f(x)

για κάθε σταθερά

k .

Σωστό Λάθος

57) Αν υπάρχει το 0

lim ( ) 0

x x

f x τότε ( ) 0f x κοντά στο x0.

Σωστό Λάθος

58) Ισχύει ο τύπος 13 3 x xx , για κάθε x .

Σωστό Λάθος

59) Ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x g x f x g x dx

, όπου , f g είναι συνεχείς συναρτήσεις

στο [α, β].

Σωστό Λάθος

[13]

60)Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο xο και g x 0 , τότε η συνάρτηση f

gείναι

παραγωγίσιμη στο xο και ισχύει:

o o o oo 2

o

f(x )g (x ) f (x )g(x )f x

g g(x )

.

Σωστό Λάθος

61) Για κάθε x≠0 ισχύει 1

ln x x

.

Σωστό Λάθος 62) Μια συνάρτηση f : είναι 1–1, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η

εξίσωση f x y έχει ακριβώς μία λύση ως προς x .

Σωστό Λάθος

63) Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ’ ένα διάστημα , . Αν G είναι μια παράγουσα της f στο , ,

τότεβ

α f(t)dt G(α) G(β) .

Σωστό Λάθος 64) Έστω f πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Δ και 0x . Έστω επίσης f x 0 για κάθε

x . Αν 0x x

lim f(x)

τότε 0x x

1lim

f(x) .

Σωστό Λάθος

65) Αν μία συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σ' ένα σημείο xo , τότε δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο xo .

Σωστό Λάθος

66) Έστω η συνάρτηση f x x με πεδίο ορισμού το 0, ,τότε1

f (x)x

για κάθε x 0, .

Σωστό Λάθος

67) Αν ένα τουλάχιστον από τα όρια0x x

lim f(x)

,0x x

lim f(x)

είναι +∞ ή –∞, τότε η ευθεία 0x x λέγεται

οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f.

Σωστό Λάθος

68) Αν f συνάρτηση συνεχής στο , και για κάθε x , ισχύει f x 0 τότε f x dx 0

.

Σωστό Λάθος

69) Έστω μία συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό

σημείο του Δ. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στό Δ ,τότε f x 0 σε κάθε εσωτερικό

σημείο x του Δ.

Σωστό Λάθος 70) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0 και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο x0 , τότε η σύνθεσή τους

gof είναι συνεχής στο x0 .

Σωστό Λάθος 71) Αν α > 1 τότε x

xlim α 0

.

Σωστό Λάθος 72) Η εικόνα f(Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς συνάρτησης f είναι διάστημα.

Σωστό Λάθος

73) Αν f, g, g΄ είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα [α, β], τότε

β β β

α α α

f(x)g (x)dx f(x)dx g (x)dx .

Σωστό Λάθος

[14]

74) Αν η f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε ισχύει

x

α f(t) dt f(x)

για κάθε x ∈ Δ.

Σωστό Λάθος 75) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα , , τότε το

σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα , όπου Α= x αlim f x

και Β=

x β

lim f x

.

Σωστό Λάθος

76) Έστω δύο συναρτήσεις f, g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι f, g είναι συνεχείς στο ∆ και

f x g x για κάθε εσωτερικό σημείο x του ∆, τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε x ∈ ∆

να ισχύει: f x cg x .

Σωστό Λάθος

77) Μια συνάρτηση f είναι 1-1, αν και μόνο αν κάθε οριζόντια ευθεία (παράλληλη στον xx΄) τέμνει τη

γραφική παράστασή της το πολύ σε ένα σημείο.

Σωστό Λάθος 78) Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο

0x και 0x x

lim f x 0

,τότε f x 0 κοντά στο0x .

Σωστό Λάθος 79) Aν f είναι συνεχής συνάρτηση στο , , τότε η f παίρνει στο , μια μέγιστη τιμή Μ και μια

ελάχιστη τιμή m.

Σωστό Λάθος 80) Έστω η συνάρτηση f x x με πεδίο ορισμού το , τότε f x – x , για κάθε x .

Σωστό Λάθος

81) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης –f είναι συμμετρική, ως προς τον άξονα x΄x, της γραφικής

παράστασης της f.

Σωστό Λάθος

82) Αν f ,g,h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η h f(g ) , τότε ορίζεται και η h g f και ισχύει

( )h g f h g f .

Σωστό Λάθος

83) Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του 2 έχουν ασύμπτωτες.

Σωστό Λάθος

84) Αν μια συνάρτηση f : A είναι 1−1, τότε για την αντίστροφη συνάρτηση 1f ισχύει:

1f (f (x)) x , x A και 1f (f (y)) y , y f(A)

Σωστό Λάθος 85) Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές

ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της.

Σωστό Λάθος 86) Αν μια συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο IR και στρέφει τα κοίλα προς τα άνω, τότε κατ’

ανάγκη θα ισχύει f x 0 για κάθε πραγματικό αριθμό x.

Σωστό Λάθος

87) Αν η f είναι συνεχής σε διάστημα Δ και α,β,γ∈Δ τότε ισχύειβ γ β

α α γf(x)dx f(x)dx f(x)dx

Σωστό Λάθος

88) Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι 1–1, αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες.

Σωστό Λάθος

89) Αν μια συνάρτηση f είναι κοίλη σ’ ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f

σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται κάτω από τη γραφική της παράσταση, με εξαίρεση το σημείο επαφής

τους.

Σωστό Λάθος

[15]

90) Το ολοκλήρωμαβ

αf(x)dx είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται πάνω από

τον άξονα x΄x μείον το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται κάτω από τον άξονα x΄x.

Σωστό Λάθος

91) Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ’ ένα σύνολο της μορφής 0 0, x x , και ένας πραγματικός

αριθμός. Τότε ισχύει η ισοδυναμία: 0 0x x x x

lim f (x) lim (f (x) ) 0

.

Σωστό Λάθος

92) Αν μια συνάρτηση f είναι

• συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β]

• παραγωγίσιμη στο ανοιχτό διάστημα (α, β) και

• f(α) = f(β)

τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ∈ (α, β) τέτοιο, ώστε: f΄ (ξ) = 0. Σωστό Λάθος

93) Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέμε ότι παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο0x A , όταν

0f x f x για κάθε x A .

Σωστό Λάθος

94) Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα , και ισχύει f x 0 για κάθε x , , τότε

το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f, τις ευθείες x ,x και τον

άξονα είναι β

αΕ(Ω) f (x)dx

Σωστό Λάθος

95) x 0

συνx 1lim 1

x

.

Σωστό Λάθος 96) Αν μια συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο IR και στρέφει τα κοίλα προς τα άνω, τότε κατ’

ανάγκη θα ισχύει f x 0 για κάθε πραγματικό αριθμό x.

Σωστό Λάθος

97) Αν 0x x

lim f(x)

= 0 και f x 0 κοντά στο x0 , τότε 0x x

1lim

f(x)

.

Σωστό Λάθος

98) Έστω η συνάρτηση f x x . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 1R – x / x 0 και

ισχύει: 2

1f (x)

συν x .

Σωστό Λάθος

99) x 0

ημxlim 0

x .

Σωστό Λάθος

100) Έστω συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα ∆ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του ∆. Αν η f είναι

γνησίως αύξουσα στο ∆, τότε η παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά θετική στο εσωτερικό του ∆.

Σωστό Λάθος

101) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα , , τότε το

σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα , όπου Α= x αlim f x

και Β=

x β

lim f x

.

Σωστό Λάθος

102) Αν 0x x

lim f x 0

τότε f (x) 0 κοντά στο x0 .

Σωστό Λάθος

[16]

103) συνx ημx, x .

Σωστό Λάθος

104) Αν xf x , 0 , τότε ισχύει x x 1( ) x .

Σωστό Λάθος

105) Αν 0x x

lim f x

ή – , τότε 0x x

1lim 0

f x .

Σωστό Λάθος

106) Αν f συνάρτηση συνεχής στο , και για κάθε x , ισχύει f x 0 τότε f x dx 0

.

Σωστό Λάθος

107) Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f είναι το σύνολο Α των τετμημένων των σημείων της γραφικής

παράστασης Cf της συνάρτησης.

Σωστό Λάθος

108) Για κάθε συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα ∆ και για κάθε πραγματικό αριθμό c, ισχύει ότι:

cf (x) cf (x) , για κάθε x ∈ ∆.

Σωστό Λάθος

109) Το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το κλειστό διάστημα [α, β] είναι το

κλειστό διάστημα [m, M], όπου m η ελάχιστη και Μ η μέγιστη τιμή της.

Σωστό Λάθος

110) Αν 0x x

lim f (x)

τότε f x 0 κοντά στο x0 .

Σωστό Λάθος

111) Για κάθε συνάρτηση f η γραφική παράσταση της f αποτελείται από τα τμήματα της Cf, που

βρίσκονται πάνω από τον άξονα x΄x, και από τα συμμετρικά, ως προς τον άξονα x΄x, των τμημάτων

της Cf, που βρίσκονται κάτω από τον άξονα x΄x.

Σωστό Λάθος

112) Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν όριο στο xo, και ισχύει f(x)≤g(x) κοντά στο xo, τότε ισχύει:

0 0x x x x

lim f x lim g x

Σωστό Λάθος

113) Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο xo και og(x ) 0 , τότε και η συνάρτηση f

g είναι

παραγωγίσιμη στο xo και ισχύει:

0 0 0 0

2

f x g x f x g xf

g g x

.

Σωστό Λάθος

114) Έστω P(x), Q(x) πολυώνυμα διάφορα του μηδενικού. Οι ρητές συναρτήσεις

P x

Q x, με βαθμό του αριθμητή

P(x) μεγαλύτερο τουλάχιστον κατά δύο του βαθμού του παρανομαστή, έχουν πλάγιες ασύμπτωτες.

Σωστό Λάθος

115) Ισχύει ότι: x

ημxlim

x=1.

Σωστό Λάθος

116) Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι παρουσιάζει στο 0 x A (ολικό) μέγιστο το 0f x ,

όταν 0f x f x για κάθε x A .

Σωστό Λάθος

117) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ, τότε είναι και 1-1 στο διάστημα αυτό.

Σωστό Λάθος

[17]

118) Έστω η συνάρτηση f x x . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 1R – x / x 0 και

ισχύει: 2

1f (x)

ημ x .

Σωστό Λάθος

119) Ένα τοπικό μέγιστο μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο.

Σωστό Λάθος

120) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι συμμετρική, ως προς τον άξονα x΄x, της γραφικής

παράστασης της f.

Σωστό Λάθος

121) Αν είναι 0<α<1 τότε x

xlim

.

Σωστό Λάθος

122) Για την πολυωνυμική συνάρτηση ν ν 1

ν ν 1 1 0P x α x α x α x( ) α

με να 0 ισχύει: 0xlim P x

.

Σωστό Λάθος

123) Έστω μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ' ένα διάστημα , , με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x0, στο

οποίο όμως η f είναι συνεχής.Αν 0f ΄ x στο 0, x και 0f ΄ x στο 0 , x , τότε το 0f x

είναι τοπικό μέγιστο της f .

Σωστό Λάθος

124) Ισχύει ότι: x x για κάθε xR.

Σωστό Λάθος

125) Αν μια συνάρτηση f είναι 1 1 στο πεδίο ορισμού της, τότε υπάρχουν σημεία της γραφικής

παράστασης της f με την ίδια τεταγμένη. Σωστό Λάθος

126) Αν 0x x

lim f (x)

, τότε 0x x

lim f (x)

.

Σωστό Λάθος

127) Για δύο οποιεσδήποτε συναρτήσεις f, g παραγωγίσιμες στο x0 ισχύει:

0 0 0 0 0f g ΄ x f x g( ) ( ) ( ) ( ) (x f x ( )x)g΄ .

Σωστό Λάθος

128) Αν μια συνάρτηση f παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο, τότε αυτό θα είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά της

μέγιστα. Σωστό Λάθος

129) Έστω συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ.

Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ, τότε η παράγωγός της είναι υποχρεωτικά αρνητική

στο εσωτερικό του Δ. Σωστό Λάθος

130)Έστω μια συνάρτηση f που είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής 0 0α,x x ,β Ισχύει η

ισοδυναμία o 0 0

x x x x x xlim f x lim f x lim f x

Σωστό Λάθος

131) Έστω f συνάρτηση συνεχής στο , .Αν ισχύει f x 0 για κάθε x , και η συνάρτηση δεν

είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό ,τότε f x dx 0

.

Σωστό Λάθος

132) Για κάθε x ισχύει ημx x .

Σωστό Λάθος

[18]

133) Αν lnf x x για κάθε 0x , τότε 1

f xx

για κάθε 0x .

Σωστό Λάθος

134) Υπάρχει πολυωνυμική συνάρτηση βαθμού 2 , η οποία έχει ασύμπτωτη.

Σωστό Λάθος

135) Αν f x dx 0

, τότε κατ’ ανάγκη θα είναι f x 0 για κάθε x , .

Σωστό Λάθος

136) Κάθε συνάρτηση f, για την οποία ισχύει f x 0 για κάθε 0 0x ,x x , , είναι σταθερή

στο 0 0, x x , .

Σωστό Λάθος

137) Το πεδίο ορισμού της g f αποτελείται από όλα τα στοιχεία x του πεδίου ορισμού της f , για τα

οποία το f (x) ανήκει στο πεδίο ορισμού της g .

Σωστό Λάθος

138) Αν f είναι μια συνεχής συνάρτηση στο , , τότε ισχύει f x dx f x dx

.

Σωστό Λάθος

[19]

Η θεωρία του σχολικού βιβλίου

σε ερωτήσεις

[20]

[21]

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

12. Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση;

Έστω Α ένα υποσύνολο του . Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α

μια διαδικασία (κανόνα) f , με την οποία κάθε στοιχείο x A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο

πραγματικό αριθμό y. Το y ονομάζεται τιμή της f στο x και συμβολίζεται με f x .Για να

εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε:

f : A

x f x

Το γράμμα x παριστάνει οποιοδήποτε στοιχείο του Α και λέγεται ανεξάρτητη

μεταβλητή, ενώ το γράμμα y, που παριστάνει την τιμή της f στο x, λέγεται εξαρτημένη

μεταβλητή.

Το πεδίο ορισμού Α της f συμβολίζεται με fD .

Το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα x A , λέγεται σύνολο

τιμών της f και συμβολίζεται με f A . Είναι δηλαδή:

f A y / y f x ,x A

13. Τι ονομάζουμε γραφική παράσταση συνάρτησης;

Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και Οxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο.

Το σύνολο των σημείων M x, y για τα οποία ισχύει y f x , δηλαδή το σύνολο των

σημείων M x,f x , x A , λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται με fC .

14. Πότε δύο συναρτήσεις f και g είναι ίσες;

Δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες όταν:

• έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και

• για κάθε x A ισχύει f (x) g(x) .

Για να δηλώσουμε ότι δύο συναρτήσεις f και g είναι ίσες γράφουμε f g .

15. Πως ορίζονται οι πράξεις των συναρτήσεων;

Ορίζουμε ως άθροισμα f g , διαφορά f g , γινόμενο fg και πηλίκο f

g δύο συναρτήσεων f, g τις

συναρτήσεις με τύπους (f g)(x) f (x) g(x) , (f g)(x) f (x) g(x) ,

(fg)(x) f (x)g(x) , f f (x)

(x)g g(x)

.

Το πεδίο ορισμού των f g , f g και fg είναι η τομή A B των πεδίων ορισμού Α και Β των

συναρτήσεων f και g αντιστοίχως, ενώ το πεδίο ορισμού της f

g είναι το A B , εξαιρουμένων των

τιμών του x που μηδενίζουν τον παρονομαστή g x , δηλαδή το σύνολο

x | x A και x B με g x 0

[22]

16.Τι ονομάζουμε σύνθεση της f με την g;

Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού

Α, Β αντιστοίχως, τότε ονομάζουμε

σύνθεση της f με την g, και τη συμβολίζουμε

με gof , τη συνάρτηση με τύπο

(gof)(x) g(f(x)) .

Το πεδίο ορισμού της gof αποτελείται από όλα τα

στοιχεία x του πεδίου ορισμού της f για τα οποία το

f (x) ανήκει στο πεδίο ορισμού της g. Δηλαδή είναι

το σύνολο

1A x A| f(x) B .

Είναι φανερό ότι η gof ορίζεται αν 1A ,

δηλαδή αν f (A) B .

ΣΧΟΛΙΑ

• Γενικά, αν f, g είναι δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι gof και fog , τότε αυτές

δ ε ν ε ί ν α ι υ π ο χ ρ ε ω τ ι κ ά ίσες.

• Αν f , g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η ho(gof ) , τότε ορίζεται και η (hog)of και

ισχύει ho(gof ) (hog)of .

Τη συνάρτηση αυτή τη λέμε σύνθεση των f, g και h και τη συμβολίζουμε με hogof . Η σύνθεση

συναρτήσεων γενικεύεται και για περισσότερες από τρεις συναρτήσεις.

17. Πότε μία συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα και πότε γνησίως

μονότονη σ’ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της;

Μια συνάρτηση f λέγεται:

• γνησίως αύξουσα σ’ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε

1 2x , x Δ με 1 2x x ισχύει: 1 2f (x ) f (x ) (Σχ. α)

• γνησίως φθίνουσα σ’ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε 1 2x , x Δ

με 1 2x x ισχύει: 1 2f (x ) f (x ) (Σχ. β)

Για να δηλώσουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα (αντιστοίχως γνησίως φθίνουσα) σε ένα διάστημα Δ,

γράφουμε f Δ (αντιστοίχως f Δ).

Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σ’ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού

της, τότε λέμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο Δ.

Δ

Ο

(a)

x2 x1 x

y

f (x2)

f (x1)

Δ

Ο x2 x1

f (x1)

f (x2)

x

y

(β)

[23]

18. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο και πότε ελάχιστο;

Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι:

• Παρουσιάζει στο 0x A (ολικό) μέγιστο, το 0f (x ) , όταν

0f (x) f (x ) για κάθε x A (Σχ. α)

• Παρουσιάζει στο 0x A (ολικό) ελάχιστο, το 0f (x ) , όταν

0f (x) f (x ) για κάθε x A (Σχ. β).

19. Πότε μια συνάρτηση λέγεται 1-1;

Μια συνάρτηση f :A λέγεται συνάρτηση 1 1 , όταν για οποιαδήποτε 1 2x , x A ισχύει η

συνεπαγωγή: αν 1 2x x , τότε 1 2f (x ) f (x ) .

Με απαγωγή σε άτοπο αποδεικνύεται ότι:

Μια συνάρτηση f :A είναι συνάρτηση 1 1 , αν και μόνο αν για οποιαδήποτε

1 2x , x A ισχύει η συνεπαγωγή: αν 1 2f (x ) f (x ) , τότε 1 2x x .

ΣΧΟΛΙΑ

• Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει ότι μια συνάρτηση f είναι 1 1 , αν και μόνο αν:

— Για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f (x) y έχει ακριβώς μια

λύση ως προς x.

— Δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής της παράστασης με την ίδια τεταγμένη. Αυτό

σημαίνει ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της f το πολύ σε

ένα σημείο.

• Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε προφανώς, είναι συνάρτηση "11" .

x

y

συνάρτηση 1-1

O

O x2 x1

B A

x

y

συνάρτηση όχι 1-1

(a) C f

f (x0)

f (x)

O

x

y

x0 x

(β)

C f

f (x0)

f (x)

O

x

y

x0 x

[24]

20. Πως ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση 1f μιας συνάρτησης f και τι γνωρίζετε για τις

γραφικές τους παραστάσεις;

Έστω μια συνάρτηση f : A . Αν υποθέσουμε ότι αυτή είναι 11 , τότε για κάθε στοιχείο y

του συνόλου τιμών, )(Af , της f υπάρχει μοναδικό στοιχείο x του πεδίου ορισμού της Α για το

οποίο ισχύει yxf )( . Επομένως ορίζεται μια συνάρτηση g: f(A) με την οποία κάθε

)(Afy αντιστοιχίζεται στο μοναδικό Ax για το οποίο ισχύει yxf )( .

Από τον τρόπο που ορίστηκε η g προκύπτει ότι:

— έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών )(Af της f,

— έχει σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού Α της f και

— ισχύει η ισοδυναμία:

xygyxf )()( .

Αυτό σημαίνει ότι, αν η f αντιστοιχίζει το x στο y, τότε η g

αντιστοιχίζει το y στο x και αντιστρόφως. Δηλαδή η g είναι η

αντίστροφη διαδικασία της f. Για το λόγο αυτό η g λέγεται

αντίστροφη συνάρτηση της f και συμβολίζεται με 1f . Επομένως έχουμε

xyfyxf )()( 1

οπότε Axxxff ,))((

1 και )(,))((1

Afyyyff .

Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων f και 1f είναι συμμετρικές ως προς

την ευθεία xy που διχοτομεί τις γωνίες xOy και yOx .

ΟΡΙΟ –ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής 0 0, x x , , τότε:

0x x

lim f x

αν και μόνο αν 0 0x x x x

lim f x lim f x

0 0x x x x

lim f x lim f x 0

0

0x x h 0lim f x limf x h

0

0x xlim x x

και 0x x

lim c c

21. Ποια θεωρήματα ισχύουν για το όριο και τη διάταξη;

Για το όριο και τη διάταξη ισχύουν τα παρακάτω θεωρήματα.

ΘΕΩΡΗΜΑ 1ο

• Αν0x x

lim f (x) 0

, τότε f (x) 0 κοντά στο 0x

• Αν0x x

lim f (x) 0

, τότε f (x) 0 κοντά στο 0x

g

f

f(A) A

y=f(x) g(y)=x

[25]

ΘΕΩΡΗΜΑ 2ο

Αν οι συναρτήσεις f ,g έχουν όριο στο 0x και ισχύει

f (x) g(x) κοντά στο 0x , τότε 0 0x x x x

lim f (x) lim g(x)

.

22. Ποιες είναι οι ιδιότητες των ορίων;

Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων f και g στο 0x , τότε:

1. 0 0 0x x x x x x

lim f (x) g x lim f (x) lim g(x)

2. 0 0x x x x

lim kf (x) k lim f (x)

για κάθε σταθερά k .

3. 0 0 0x x x x x x

lim f (x)g x lim f (x) lim g(x)

4.

0

0

0

x x

x x

x x

lim f (x)f (x)

limg x lim g x

, εφόσον 0x x

lim g x 0

.

5. 0 0x x x x

lim f (x) lim f (x)

6. 0 0

kk

x x x xlim f (x) lim f (x)

εφόσον f (x) 0 κοντά στο 0x .

7. 0 0x x x x

lim f (x) lim f (x)

,

23. Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε πολυώνυμο P x , ισχύει 0

0x xlim P x P x

,

0x .

Έστω 1

1 1 0P x x x ... x

. Σύμφωνα με τις ιδιότητες ορίων, ισχύει:

0 0 0 0 0 0

1 1

1 1 0 1 1 0x x x x x x x x x x x xlim P x lim x x ... x lim x lim x lim x lim

0 0 0

1 1

1 1 0 0 1 0 1 0 0x x x x x xlim x lim x ... lim x x x ... x P x

.

24. Να αποδείξετε ότι για τα πολυώνυμα P x ,Q x ,με 0Q x 0 , 0x ισχύει

0

0

x x0

P x P xlim

Q x Q x ,

Είναι

0

0

0

x x 0

x x0

x x

lim P xP x P xlim

Q x lim Q x Q x

.

[26]

25. Να διατυπώσετε το κριτήριο παρεμβολής.

Έστω οι συναρτήσεις f ,g,h . Αν

• h(x) f (x) g(x) κοντά στο 0x και

•0 0x x x x

lim h(x) lim g(x)

,τότε και0x x

lim f (x)

.

26. Ποια είναι τα βασικά τριγωνομετρικά όρια στο 0x ;

1. x x για κάθε x (η ισότητα ισχύει μόνο για x 0 )

2. 0

0x xlim x x

3. 0

0x xlim x x

4. x 0

xlim 1

x

5. x 0

x 1lim 0

x

27. Ποιες είναι οι ιδιότητες του μη πεπερασμένου ορίου 0x ;

1. 0 0 0

x x x x x xlim f (x) lim f (x) lim f (x)

2. 0 0 0

x x x x x xlim f (x) lim f (x) lim f (x)

.

3. Αν 0x x

lim f (x)

, τότε f (x) 0 κοντά στο 0x , ενώ

αν 0x x

lim f (x)

τότε f (x) 0 κοντά στο 0x .

4. Αν 0x x

lim f (x)

τότε 0x x

lim f (x)

, ενώ

αν 0x x

lim f (x)

τότε 0x x

lim f (x)

.

5. Αν 0x x

lim f (x)

ή , τότε 0x x

1lim 0

f (x)

6. Αν 0x x

lim f (x) 0

και f (x) 0 κοντά στο 0x , τότε 0x x

1lim

f (x) , ενώ

αν 0x x

lim f (x) 0

και f (x) 0 κοντά στο 0x , τότε 0x x

1lim

f (x) .

7. Αν 0x x

lim f (x)

ή , τότε 0x x

lim f (x)

.

8. Αν 0x x

lim f (x)

, τότε 0x x

lim f (x)

[27]

Συνέπειες

1. 2x 0

1lim

x και γενικά

2x 0

1lim

x ,

2. x 0

1lim

x και γενικά

2 1x 0

1lim

x

, , ενώ

x 0

1lim

x και γενικά

2 1x 0

1lim

x

, ,

Δηλαδή δεν υπάρχει στο μηδέν το όριο της 2 1

1f x

x ,

,

28. Ποια είναι τα όρια πολυωνυμικής και ρητής συνάρτησης στο ;

Για την πολυωνυμική συνάρτηση 1

1 1 0P x x x ... x

με 0 , ισχύει

x xlim P x lim x

και x xlim P x lim x

Για τη ρητή συνάρτηση 1

1 1 0

1

1 1 0

x x ... xf x

x x ... x

, 0 , 0 , ισχύει:

x x

xlim f x lim

x

και x x

xlim f x lim

x

29. Ποια είναι τα όρια της εκθετικής και της λογαριθμικής συνάρτησης στα άκρα

του πεδίου ορισμού τους;

1. Αν 1 , τότε: x

xlim 0

, x

xlim

, x 0lim log x

και xlim log x

2. Αν 0 1 , τότε: x

xlim

, x

xlim 0

, x 0lim log x

και xlim log x

30. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0 του πεδίου ορισμού της;

Έστω μια συνάρτηση f και ένα σημείο 0x του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι

συνεχής στο 0x , όταν0

0x xlim f (x) f (x )

.

31. Πότε μια συνάρτηση θα λέμε ότι είναι συνεχής ;

Μία συνάρτηση f που είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της, θα λέμε ότι

είναι συνεχής συνάρτηση.

32. Πότε μια συνάρτηση είναι συνεχής στο (α, β);

Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα , , όταν είναι

συνεχής σε κάθε σημείο του , .

[28]

33. Πότε μια συνάρτηση είναι συνεχής στο , ;

Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα , , όταν είναι

συνεχής σε κάθε σημείο του ( , ) και επιπλέον x

lim f (x) f ( )

και x

lim f(x) f ( )

34. Αν δύο συναρτήσεις f,g είναι συνεχείς στο 0χ , τότε ποιες άλλες συναρτήσεις που

ορίζονται μέσω των f,g είναι συνεχείς στο 0χ ;

Αν οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς στο 0x , τότε είναι συνεχείς στο 0x και οι

συναρτήσεις: gf , fc , όπου c , gf , g

f, || f και ν f

Επιπλέον αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0x και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο )( 0xf ,

τότε η σύνθεσή τους gof είναι συνεχής στο 0x .

35. Να διατυπώσετε το θεώρημα Bolzano και να «δώσετε» την γεωμετρική του

ερμηνεία.

[ , ] . Αν: Έστω μια συνάρτηση f , ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα

• η f είναι συνεχής στο [ , ] και, επιπλέον, ισχύει

• f ( ) f ( ) 0 ,

τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, 0x ( , ) τέτοιο, ώστε

0f (x ) 0 .Δηλαδή, υπάρχει μια, τουλάχιστον, ρίζα της

εξίσωσης f (x) 0 στο ανοικτό διάστημα. ( , ) .

Γεωμετρική ερμηνεία

Στο διπλανό σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση μιας

συνεχούς συνάρτησης f στο [ , ] . Επειδή τα σημεία A( ,f ( )) και

B( ,f ( )) βρίσκονται εκατέρωθεν του άξονα x x , η γραφική παράσταση της f τέμνει τον

άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο.

ΣΧΟΛΙΟ Από το θεώρημα του Bolzano προκύπτει ότι:

— Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ’ αυτό, τότε

αυτή ή είναι θετική για κάθε x ή είναι αρνητική για κάθε x , δηλαδή διατηρεί

πρόσημο στο διάστημα Δ. (Σχ. 1)

—

x0 x0

x0

y

B(β, f (β))

Α(α, f (α)) f (a)

f (β)

O β

a x

y

f (x)>0

O β a x

(α)

y

f (x)<0

O

β a x

1

(β)

[29]

Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από το διαστήματα στα οποία οι

διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της.

x

y

ρ5

ρ4 ρ3

ρ2

ρ1

+

+

+

Αυτό μας διευκολύνει στον προσδιορισμό του προσήμου της f για τις διάφορες τιμές του x.

Συγκεκριμένα, ο προσδιορισμός αυτός γίνεται ως εξής:

α)Βρίσκουμε τις ρίζες της f.

β) Σε καθένα από τα υποδιαστήματα που ορίζουν οι διαδοχικές ρίζες, επιλέγουμε έναν αριθμό

και βρίσκουμε το πρόσημο της f στον αριθμό αυτό. Το πρόσημο αυτό είναι και το πρόσημο

της f στο αντίστοιχο διάστημα.

36. Να διατυπώσετε το θεώρημα των ενδιάμεσων τιμών και να το αποδείξετε.

Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ , ] . Αν:

• η f είναι συνεχής στο [ , ] και

• f ( ) f ( )

τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των f ( ) και f ( ) υπάρχει ένας, τουλάχιστον 0x ( , )

τέτοιος, ώστε 0f (x ) .

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Ας υποθέσουμε ότι f ( ) f ( ) . Τότε θα ισχύει f ( ) f ( ) .Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση

g(x) f (x) , x [ , ] , παρατηρούμε ότι:

• η g είναι συνεχής στο [ , ] και

• g( )g( ) 0 ,

αφού

g( ) f ( ) 0 και

g( ) f ( ) 0 .

Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano,

υπάρχει 0x ( , ) τέτοιο, ώστε

0 0g(x ) f (x ) 0 , οπότε 0f (x ) .

37. Τι γνωρίζετε για την εικόνα ενός διαστήματος Δ μιας συνεχούς και μη σταθερής

συνάρτησης;

Η εικόνα f Δ ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι

διάστημα.

x0 x0 x0

y

B(β, f (β))

f (a)

f (β)

O β

y=η

η

a x

Α(α , f (α))

[30]

38. Να διατυπώσετε για μια συνεχή συνάρτηση το θεώρημα μέγιστης και

ελάχιστης τιμής.

Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο [ , ] , τότε η f παίρνει στο [ , ] μια μέγιστη τιμή Μ

και μια ελάχιστη τιμή m.

Δηλαδή, υπάρχουν 1 2x , x [ , ] τέτοια, ώστε, αν 1m f (x ) και 2M f (x ) , να ισχύει

( )m f x M , για κάθε x , .

ΣΧΟΛΙΟ

Από το παραπάνω θεώρημα και το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών προκύπτει ότι το σύνολο τιμών

μιας συνεχούς συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το [ , ] είναι το κλειστό διάστημα m,M ,

όπου m η ελάχιστη τιμή και Μ η μέγιστη τιμή της.

Τέλος, αποδεικνύεται ότι:

Aν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα , ,

τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα ( , ) όπου

xlim f (x)

και

xB lim f (x)

.

Αν, όμως, η f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο ( , ) , τότε το σύνολο τιμών της στο

διάστημα αυτό είναι το διάστημα (B,A) .

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

39. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένη της Cf στο σημείο της 0 0A(x ,f (x )) ;

Έστω f μια συνάρτηση και 0 0A(x ,f (x )) ένα σημείο της fC . Αν υπάρχει το 0

0

x x0

f (x) f (x )lim

x x

και

είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της fC στο σημείο της Α, την ευθεία ε

που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ.

Επομένως, η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο 0 0A(x ,f (x )) είναι

0 0y f x x x , όπου 0

0

x x0

f (x) f (x )lim

x x

40. Πότε μια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο 0x του πεδίου

ορισμού της;

Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο 0x του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει

το0

0

x x0

f (x) f (x )lim

x x

και είναι πραγματικός αριθμός.

Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο 0x και συμβολίζεται με 0f x . Δηλαδή:

0

00

x x0

f (x) f (x )f (x ) lim

x x

.

[31]

41. Πότε ένα κινητό κινείται προς τα δεξιά και πότε προς τα αριστερά κοντά στο 0t ;

Όταν ένα κινητό κινείται προς τα δεξιά, τότε κοντά στο 0t ισχύει 0

)()(

0

0

tt

tStS, οπότε είναι 0)( 0 tυ ,

ενώ, όταν το κινητό κινείται προς τα αριστερά κοντά στο 0t ισχύει 0

)()(

0

0

tt

tStS, οπότε είναι 0)( 0 tυ .

42. Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο 0x , τότε

είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

Για 0x x έχουμε 00 0

0

f (x) f (x )f (x) f (x ) (x x )

x x

,

οπότε

0 0 0 0

0 00 0 0 0

x x x x x x x x0 0

f (x) f (x ) f (x) f (x )lim[f (x) f (x )] lim (x x ) lim lim (x x ) f (x ) 0 0

x x x x

αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο 0x . Επομένως, 0

0x xlim f (x) f (x )

, δηλαδή η f είναι συνεχής στο 0x .

ΣΧΟΛΙΟ

•Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σ’ ένα σημείο 0x , τότε, σύμφωνα με το προηγούμενο

θεώρημα, δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο 0x .

•Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ’ ένα σημείο 0x , τότε, δεν ξέρουμε αν είναι παραγωγίσιμη στο

0x .

43. Πότε μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της Α;

H f είναι παραγωγίσιμη στο Α ή, απλά, παραγωγίσιμη, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο

0x A .

44. Πότε μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα , του πεδίου

ορισμού της;

Η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα , του πεδίου ορισμού της, όταν είναι

παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο 0x ( , ) .

45. Πότε μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα , του πεδίου ορισμού

της;

Η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα , του πεδίου ορισμού της, όταν είναι

παραγωγίσιμη στο , και επιπλέον ισχύει ( ) ( )

lim

x

f x f

x και

( ) ( )lim

x

f x f

x.

[32]

46. Πως ορίζεται η στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού τη χρονική στιγμή 0t ;

Η στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού, τη χρονική στιγμή 0t , είναι η παράγωγος της συνάρτησης θέσης

x s t τη χρονική στιγμή 0t . Δηλαδή 0 0t s t .

47. Τι ονομάζεται κλίση της f στο 0x και ποια είναι η εξίσωση της εφαπτομένης της fC

στο 0x ;

Κλίση της f στο 0x ή συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της fC στο 0x , ονομάζεται το 0f x .

Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι: 0 0 0y f x f x x x .

48. Ποια συνάρτηση ονομάζεται πρώτη παράγωγος μιας συνάρτησης f;

Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και Α1 το σύνολο των σημείων του Α στο οποίο αυτή είναι

παραγωγίσιμη. Αντιστοιχίζοντας κάθε 1x A στο f x , ορίζουμε τη συνάρτηση

1f : A

x f x

η οποία ονομάζεται πρώτη παράγωγος της f ή απλά παράγωγος της f.

49. Έστω η σταθερή συνάρτηση f (x) c , c . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι

παραγωγίσιμη στο και ισχύει f (x) 0 , δηλαδή ( ) c 0 .

Πράγματι, αν 0x είναι ένα σημείο του , τότε για 0x x ισχύει:

0

0 0

f (x) f (x ) c c0

x x x x

. Επομένως,

0

0

x x0

f (x) f (x )lim 0

x x

, δηλαδή (c) 0 .

50. Έστω η συνάρτηση f(x) x . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη

στο και ισχύει f (x) 1 , δηλαδή ( ) x 1.

Πράγματι, αν 0x είναι ένα σημείο του , τότε για 0x x ισχύει:

0 0

0 0

f (x) f (x ) x x1

x x x x

. Επομένως,

0 0

0

x x x x0

f (x) f (x )lim lim 1 1

x x

, δηλαδή (x) 1 .

51. Έστω η συνάρτηση f (x) x , 0 1, . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι

παραγωγίσιμη στο και ισχύει1

f (x) x , δηλαδή

1(x ) x

.

Πράγματι, αν 0x είναι ένα σημείο του , τότε για 0x x ισχύει:

1 2 11 2 10 0 0 0 0

0 0

0 0 0

f (x) f (x ) x x (x x )(x x x x )x x x x

x x x x x x

,

οπότε 0 0

1 2 1 1 1 1 100 0 0 0 0 0

x x x x0

f (x) f (x )lim lim (x x x x ) x x x x

x x

,

δηλαδή 1(x ) x .

[33]

52. Έστω η συνάρτηση f(x) x . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη

στο (0, ) και ισχύει1

f (x)2 x

, δηλαδή 1x

2 x

.

Να αποδείξετε ότι η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0x 0 .

Πράγματι, αν 0x είναι ένα σημείο του , τότε για 0x x ισχύει:

0 0 00 0

0 0 0 0 0 0

x x ( x x )( x x )f (x) f (x ) x x

x x x x (x x )( x x ) (x x )( x x )

,

οπότε

0 0

0

x x x x0 0 0

f (x) f (x ) 1 1lim lim

x x x x 2 x

, δηλαδή.

1( x )

2 x

Στο 0x 0 είναι x 0 x 0 x 0

f (x) f (0) x 1lim lim lim

x 0 x x

, δηλαδή η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο

0x 0 .

53. Αν οι συναρτήσεις f ,g είναι παραγωγίσιμες στο 0x , να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

f g είναι παραγωγίσιμη στο 0x και ισχύει: 0 0 0(f g) (x ) f (x ) g (x ) .

Για 0x x , ισχύει:

0 0 0 0 0

0 0 0 0

(f g)(x) (f g)(x ) f (x) g(x) f (x ) g(x ) f (x) f (x ) g(x) g(x )

x x x x x x x x

.

Επειδή οι συναρτήσεις f ,g είναι παραγωγίσιμες στο 0x , έχουμε:

0 0 0

0 0 00 0

x x x x x x0 0 0

(f g)(x) (f g)(x ) f (x) f (x ) g(x) g(x )lim lim lim f (x ) g (x ),

x x x x x x

Δηλαδή 0 0 0(f g) (x ) f (x ) g (x ) .

54. Έστω η συνάρτηση f (x) x ,

* . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι

παραγωγίσιμη στο *

και ισχύει1

f (x) x , δηλαδή

1(x ) x

.

Πράγματι, για κάθε *x έχουμε:

11

2 2

1 (1) x 1(x ) x(x ) x

x (x ) x

.

55. Έστω η συνάρτηση f(x) εφx . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη

στο 1 x|συνx 0 και ισχύει 2

1f (x)

συν x , δηλαδή

2

1(εφx)

συν x .

[34]

Πράγματι, για κάθε 1x έχουμε:

2 2

2 2 2 2

ημx (ημx) συνx ημx(συνx) συνxσυνx ημxημx συν x ημ x 1(εφx)

συνx συν x συν x συν x συν x

56. Πότε η συνάρτηση f g x είναι παραγωγίσιμη στο 0x και πότε σε ένα

διάστημα Δ;

Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο 0x και η f είναι παραγωγίσιμη στο 0g(x ) , τότε η

συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη στο 0x και ισχύει 0 0 0(f g) (x ) f (g(x )) g (x )

Γενικά, αν μια συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και η f είναι παραγωγίσιμη στο

g( ) , τότε η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει

f g x f g x g x

.

Δηλαδή, αν u g x , τότε f u f u u .

57. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f (x) x , είναι παραγωγίσιμη στο (0, )

και ισχύει 1

f (x) x , δηλαδή

1(x ) x

.

Πράγματι, αν ln xy x e και θέσουμε u ln x , τότε έχουμε

uy e . Επομένως,

u u ln x 11y (e ) e u e x x

x x

.

58. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση x

f (x) , 0 είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει

x

f (x) ln , δηλαδή x x

( ) ln

Πράγματι, αν x x lny e και θέσουμε u x ln , τότε έχουμε

uy e . Επομένως, u u x ln xy (e ) e u e ln ln .

59. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x) ln | x | , *

x είναι παραγωγίσιμη στο * και

ισχύει 1

(ln | x |)x

Πράγματι.

— αν x 0 , τότε 1

(ln | x |) (ln x)x

, ενώ

— αν x 0 , τότε ln | x | ln( x) , οπότε, αν θέσουμε y ln( x) και u x , έχουμε y ln u .

Επομένως, 1 1 1

y (ln u) u ( 1)u x x

και άρα 1

(ln | x |)x

.

[35]

60. Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x,y συνδέονται με τη σχέση y f(x) , τι ονομάζουμε

ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο 0x ;

Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x, y συνδέονται με τη σχέση y f (x) , όταν f είναι μια συνάρτηση

παραγωγίσιμη στο x0 , τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο 0x την

παράγωγο 0f (x ) .

61. Να διατυπώσετε το θεώρημα Rolle και να το ερμηνεύσετε γεωμετρικά.

Αν μια συνάρτηση f είναι:

• συνεχής στο κλειστό διάστημα [ , ]

• παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( , ) και

• f ( ) f ( )

τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ( , ) τέτοιο, ώστε:

f ( ) 0

Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον,

( , ) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της fC στο

M( ,f ( )) να είναι παράλληλη στον άξονα των x.

62. Να διατυπώσετε το θεώρημα Μέσης τιμής και να το ερμηνεύσετε γεωμετρικά.

Αν μια συνάρτηση f είναι:

• συνεχής στο κλειστό διάστημα [ , ] και

• παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( , )

τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ( , ) τέτοιο, ώστε:

f ( ) f ( )f ( )

Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα,

τουλάχιστον, ( , ) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της

γραφικής παράστασης της f στο σημείο M( ,f ( ))

να είναι παράλληλη της ευθείας ΑΒ.

63. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν

• η f είναι συνεχής στο Δ και

• f (x) 0 για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ, να αποδείξετε ότι:

η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ.

Αρκεί να αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε 1 2x , x ισχύει 1 2f (x ) f (x ) . Πράγματι

• Αν 1 2x x , τότε προφανώς 1 2f (x ) f (x ) .

y

O x β ξ΄ ξ α

Μ(ξ,f (ξ))

Β(β,f (β)) Α(α,f (α))

Β(β,f (β))

β ξ΄ ξ a x

y

Ο

M(ξ,f (ξ))

A(a,f (a))

[36]

• Αν 1 2x x , τότε στο διάστημα 1 2[x , x ] η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής.

Επομένως, υπάρχει 1 2(x , x ) τέτοιο, ώστε 2 1

2 1

f (x ) f (x )f ( )

x x

(1)

Επειδή το ξ είναι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει f ( ) 0 ,οπότε, λόγω της (1), είναι 1 2f (x ) f (x ) .

• Αν 2 1x x , τότε ομοίως αποδεικνύεται ότι. 1 2f (x ) f (x ) .Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις είναι

1 2f (x ) f (x ) .

64. Αν για μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα σύνολο Α που αποτελείται από ένωση

διαστημάτων, είναι παραγωγίσιμη στο Α και f (x) 0 για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του

Α, τότε η f είναι σταθερή στο Α; Δώστε παράδειγμα.

Έστω η συνάρτηση

0,1

0,1)(

x

xxf . Παρατηρούμε ότι, αν και 0)( xf για κάθε

),0()0,( x , εντούτοις η f δεν είναι σταθερή στο ),0()0,( .

65.Έστω δυο συναρτήσεις f ,g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν

• οι f ,g είναι συνεχείς στο Δ και

• f (x) g (x) για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ, να αποδείξετε ότι

υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε x να ισχύει: f (x) g(x) c

Η συνάρτηση f g είναι συνεχής στο Δ και για κάθε

εσωτερικό σημείο x ισχύει

(f g) (x) f (x) g (x) 0 .

Επομένως, σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, η

συνάρτηση f g είναι σταθερή στο Δ. Άρα, υπάρχει

σταθερά C τέτοια, ώστε για κάθε x να ισχύει

f (x) g(x) c , οπότε f (x) g(x) c .

66. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι σ υ ν ε χ ή ς σε ένα διάστημα Δ.

• Αν f (x) 0 σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε

όλο το Δ.

• Αν f (x) 0 σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα

σε όλο το Δ.

Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που είναι f (x) 0 .

Έστω 1 2x , x με 1 2x x . Θα δείξουμε ότι 1 2f (x ) f (x ) . Πράγματι, στο διάστημα 1 2[x , x ] η f

ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει 1 2(x , x ) τέτοιο, ώστε

2 1

2 1

f (x ) f (x )f ( )

x x

, οπότε έχουμε 2 1 2 1f (x ) f (x ) f ( )(x x ) .

Επειδή f ( ) 0 και 2 1x x 0 , έχουμε 2 1f (x ) f (x ) 0 , οπότε 1 2f (x ) f (x ) .

• Στην περίπτωση που είναι f (x) 0 εργαζόμαστε αναλόγως.

y

O x

y=g(x)+c

y=g(x)

[37]

ΣΧΟΛΙΟ

Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος δεν ισχύει. Δηλαδή, αν η f είναι γνησίως αύξουσα

(αντιστοίχως γνησίως φθίνουσα) στο Δ, η παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά θετική

(αντιστοίχως αρνητική) στο εσωτερικό του Δ.

67. Να δώσετε τους ορισμούς για το τοπικό μέγιστο, το τοπικό ελάχιστο και το τοπικό ακρότατο.

• Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο 0x A τοπικό

μέγιστο, όταν υπάρχει 0 , τέτοιο ώστε 0f (x) f (x ) για κάθε 0 0x A (x , x ) .

Το 0x λέγεται θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, ενώ το 0f (x ) τοπικό μέγιστο της f.

• Μία συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο 0x A τοπικό

ελάχιστο, όταν υπάρχει 0 , τέτοιο ώστε 0f (x) f (x ) , για κάθε 0 0x A (x , x ) .

Το 0x λέγεται θέση ή σημείο τοπικού ελαχίστου, ενώ το 0f (x ) τοπικό ελάχιστο της f.

• Τα τοπικά μέγιστα και τα τοπικά ελάχιστα της f λέγονται τοπικά ακρότατα αυτής.

68. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα του Fermat.

Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ και 0x ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f

παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο 0x και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε:

0f (x ) 0

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Ας υποθέσουμε ότι η f παρουσιάζει στο 0x τοπικό

μέγιστο. Επειδή το 0x είναι εσωτερικό σημείο του Δ και η

f παρουσιάζει σ’ αυτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει 0

τέτοιο, ώστε 0 0( , ) x x και

0( ) ( )f x f x , για κάθε 0 0( , ) x x x . (1)

Επειδή, επιπλέον, η f είναι παραγωγίσιμη στο 0x , ισχύει

0 0

0 00

x x x x0 0

f (x) f (x ) f (x) f (x )f (x ) lim lim

x x x x

.

Επομένως,

— αν 0 0x (x , x ) , τότε, λόγω της (1), θα είναι 0

0

f (x) f (x )0

x x

, οπότε θα έχουμε

0

00

x x0

f (x) f (x )f (x ) lim 0

x x

(2)

— αν 0 0x (x , x ) , τότε, λόγω της (1), θα είναι 0

0

f (x) f (x )0

x x

, οπότε θα έχουμε

0

00

x x0

f (x) f (x )f (x ) lim 0

x x

. (3)

Έτσι, από τις (2) και (3) έχουμε 0f (x ) 0 .Η απόδειξη για τοπικό ελάχιστο είναι ανάλογη.

y

O

f (x0)

x0δ x0+δ x0 x

[38]

69. Ποιες είναι οι πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων και ποια σημεία ονομάζονται κρίσιμα;

Οι π ι θ α ν έ ς θ έ σ ε ι ς τ ων τ ο π ι κ ώ ν α κ ρ ο τ ά τ ω ν μιας συνάρτησης f σ’ ένα διάστημα Δ

είναι:

1. Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η παράγωγος της f μηδενίζεται.

2. Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται.

3. Τα άκρα του Δ (αν ανήκουν στο πεδίο ορισμού της).

Τα ε σ ω τ ε ρ ι κ ά σημεία του Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με

το μηδέν, λέγονται κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα Δ.

70. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα ( , ) , με εξαίρεση ίσως ένα σημείο

του 0x ,στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι:

i) Αν f (x) 0 στο 0( , x ) και f (x) 0 στο 0

(x , ) , τότε το 0f (x ) είναι τοπικό μέγιστο της f.

ii) Αν f (x) 0 στο 0( , x ) και f (x) 0 στο 0

(x , ) , τότε το 0f (x ) είναι τοπικό ελάχιστο της f.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

i) Επειδή 0)( xf για κάθε ),( 0xαx και η f είναι συνεχής στο 0x , η f είναι γνησίως αύξουσα στο

],( 0xα . Έτσι έχουμε )()( 0xfxf , για κάθε ],( 0xαx . (1)

Επειδή 0)( xf για κάθε ),( 0 βxx και η f είναι συνεχής στο 0x , η f είναι γνησίως φθίνουσα στο

),[ 0 βx . Έτσι έχουμε: )()( 0xfxf , για κάθε ),[ 0 βxx . (2)

Επομένως, λόγω των (1) και (2), ισχύει:

)()( 0xfxf , για κάθε ),( βαx ,

που σημαίνει ότι το )( 0xf είναι μέγιστο της f στο ),( βα και άρα τοπικό μέγιστο αυτής.

ii) Εργαζόμαστε αναλόγως.

71. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα ( , ) , με εξαίρεση ίσως ένα σημείο

του 0x ,στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν η f (x) διατηρεί πρόσημο στο 0 0

( , x ) (x , ) , να

αποδείξετε ότι το 0f (x ) δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο ( , ) .

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Έστω ότι 0)( xf , για κάθε ),(),( 00 βxxαx .

Επειδή η f είναι συνεχής στο 0x θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα ],( 0xα και

),[ 0 βx . Επομένως, για 201 xxx ισχύει )()()( 201 xfxfxf . Άρα το )( 0xf δεν είναι τοπικό ακρότατο

της f. Θα δείξουμε, τώρα, ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο ),( βα . Πράγματι, έστω ),(, 21 βαxx με

21 xx .

— Αν ],(, 021 xαxx , επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο ],( 0xα , θα ισχύει )()( 21 xfxf .

— Αν ),[, 021 βxxx , επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο ),[ 0 βx , θα ισχύει )()( 21 xfxf .

— Τέλος, αν 201 xxx , τότε όπως είδαμε )()()( 201 xfxfxf .

Επομένως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει )()( 21 xfxf , οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο ),( βα .

Ομοίως, αν 0)( xf για κάθε ),(),( 00 βxxαx .

[39]

72. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό

του Δ, πότε θα λέμε ότι η f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω και πότε προς τα κάτω;

Έστω μία συνάρτηση f σ υ ν ε χ ή ς σ’ ένα διάστημα Δ και

π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ. Θα λέμε ότι:

• Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ, αν η f είναι γνησίως αύξουσα

στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ.

• Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ, αν η f είναι γνησίως φθίνουσα

στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ.

73. Με βάση ποιο θεώρημα εξετάζουμε την κυρτότητα μιας συνάρτησης f; Ισχύει το αντίστροφό

του; Δώστε παράδειγμα.

Έστω μια συνάρτηση f σ υ ν ε χ ή ς σ’ ένα διάστημα Δ και δυο φορές παραγωγίσιμη στο

ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ.

• Αν 0)( xf για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ, τότε η f είναι

κυρτή στο Δ

• Αν 0)( xf για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ, τότε η f είναι

κοίλη στο Δ.

Το αντίστροφο του θεωρήματος δεν ισχύει. Για παράδειγμα,

έστω η συνάρτηση 4)( xxf (Σχ. 42). Επειδή η 34)( xxf

είναι γνησίως αύξουσα στο , η 4)( xxf είναι κυρτή στο 0 .

Εντούτοις, η )(xf δεν είναι θετική στο 0 αφού 0)0( f .

74. Ποια είναι η σχετική θέση της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f με μία εφαπτομένη

της με βάση τη κυρτότητα της συνάρτησης f;

Αν μια συνάρτηση f είναι κυρτή (αντιστοίχως κοίλη) σ’ ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της

γραφικής παράστασης της f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται “κάτω” (αντιστοίχως “πάνω”) από τη

γραφική της παράσταση , με εξαίρεση το σημείο επαφής τους.

75. Πότε το σημείο Α( 0 0x ,f (x ) ) ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης

της f;

Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα ( , ) , με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του 0x .

Αν

• η f είναι κυρτή στο 0( , x ) και κοίλη στο 0(x , ) , ή αντιστρόφως, και

• η fC έχει εφαπτομένη στο σημείο 0 0A(x ,f (x )) ,

τότε το σημείο 0 0A(x ,f (x )) ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f.

76. Ποιες είναι οι πιθανές θέσεις σημείων καμπής;

Αν μια συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και το σημείο 0 0A(x ,f (x )) είναι

σημείο καμπής της, τότε ποια σχέση ισχύει για τη δεύτερη παράγωγο της f στο 0x ;

Πότε ένα σημείο είναι βέβαιο σημείο καμπής;

y=x4

O x

y 42

[40]

Ο ι π ι θ α ν έ ς θ έ σ ε ι ς σ η μ ε ί ω ν κ α μ π ή ς μιας συνάρτησης f σ’ ένα διάστημα Δ είναι:

i) τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f μηδενίζεται, και

ii) τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία δεν υπάρχει η f .

Αν το ))(,( 00 xfxA είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f και η f είναι δυο φορές

παραγωγίσιμη, τότε 0)( 0 xf .

Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ’ ένα διάστημα ),( βα και ),(0 βαx .Αν

• η f αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του 0x και

• ορίζεται εφαπτομένη της fC στο ))(,( 00 xfxA

τότε το ))(,( 00 xfxA είναι σημείο καμπής.

77. Πότε η ευθεία 0x x λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης

της f;

Αν ένα τουλάχιστον από τα όρια 0x x

lim f (x)

, 0x x

lim f (x)

είναι ή , τότε η ευθεία x x 0 λέγεται

κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f.

78. Πότε η ευθεία y λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f

στο (αντιστοίχως στο );

Αν xlim f (x)

(αντιστοίχως xlim f (x) )

, τότε η ευθεία y λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της

γραφικής παράστασης της f στο (αντιστοίχως στο ).

79. Πότε η ευθεία y x λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f

στο , (αντιστοίχως στο );

Η ευθεία y x λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο , αντιστοίχως στο

, αν

xlim [f (x) ( x )] 0

, αντιστοίχως xlim [f (x) ( x )] 0

.

ΣΧΟΛΙΑ

1. Αποδεικνύεται ότι:

— Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του 2 δεν έχουν ασύμπτωτες.

— Οι ρητές συναρτήσεις )(

)(

xQ

xP, με βαθμό του αριθμητή )(xP μεγαλύτερο τουλάχιστον κατά δύο του

βαθμού του παρονομαστή, δεν έχουν πλάγιες ασύμπτωτες.

2. Σύμφωνα με τους παραπάνω ορισμούς, ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f

αναζητούμε:

— Στα άκρα των διαστημάτων του πεδίου ορισμού της στα οποία η f δεν ορίζεται.

— Στα σημεία του πεδίου ορισμού της, στα οποία η f δεν είναι συνεχής.

— Στο , , εφόσον η συνάρτηση είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής ),( α , αντιστοίχως

),( α .

[41]

80. Να διατυπώσετε τους κανόνες de L’ Hospital

ΘΕΩΡΗΜΑ 1ο (μορφή 0

0)

Αν 0x x

lim f (x) 0

, 0x x

lim g(x) 0

, 0x , και υπάρχει το 0x x

f (x)lim

g (x)

(πεπερασμένο ή

άπειρο), τότε:0 0x x x x

f (x) f (x)lim lim

g(x) g (x)

.

ΘΕΩΡΗΜΑ 2ο (μορφή

)

Αν 0x x

lim f (x)

, 0x x

lim g(x)

, 0x , και υπάρχει το 0x x

f (x)lim

g (x)

(πεπερασμένο ή

άπειρο), τότε: 0 0x x x x

f (x) f (x)lim lim

g(x) g (x)

.

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

81. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Τι ονομάζετε αρχική συνάρτηση

ή παράγουσα της f στο Δ ;

Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ

ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει

F (x) f (x) , για κάθε x .

82. Να αποδείξετε ότι:

Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, τότε

• όλες οι συναρτήσεις της μορφής G(x) F(x) c , c ,

είναι παράγουσες της f στο Δ και

• κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή G(x) F(x) c , c .

• Κάθε συνάρτηση της μορφής G(x) F(x) c , όπου c , είναι μια παράγουσα της f στο Δ,

αφού G (x) (F(x) c) F (x) f (x) , για κάθε x .

• Έστω G είναι μια άλλη παράγουσα της f στο Δ. Τότε για κάθε x ισχύουν

F (x) f (x) και G (x) f (x) , οπότε G (x) F (x) , για κάθε x .

Άρα, υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε G(x) F(x) c , για κάθε x .

[42]

83. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική

παράσταση της συνάρτησης 2

f (x) x , τον άξονα των x και τις ευθείες x 0 και

x 1 είναι 1

E3

.

Μια μέθοδος να προσεγγίσουμε το ζητούμενο εμβαδόν είναι η εξής:

Χωρίζουμε το διάστημα ]1,0[ σε ν ισομήκη υποδιαστήματα, μήκους ν

xΔ1

, με άκρα τα σημεία:

00 x , ν

x1

1 , ν

x2

2 , ………….…., ν

νxν

11

, 1

ν

νxν .

• Σχηματίζουμε τα ορθογώνια με βάσεις τα υποδιαστήματα αυτά και ύψη την ελάχιστη τιμή

της f σε καθένα από αυτά. (Σχ. 6). Μια προσέγγιση του εμβαδού που ζητάμε είναι το

άθροισμα, νε , των εμβαδών των παραπάνω ορθογωνίων. Δηλαδή, το:

νν

νf

ννf

ννf

νfεν

1112111)0(

222

2 1210

1

ν

ν

ννν

])1(21[1 222

3 ν

ν

2

2

3 6

132

6

)12()1(1

ν

ννννν

ν

.

• Αν, τώρα, σχηματίσουμε τα ορθογώνια με βάσεις

τα παραπάνω υποδιαστήματα και ύψη την

μέγιστη τιμή της f σε καθένα απ’ αυτά (Σχ. 7),

τότε το άθροισμα

νν

νf

ννf

ννfΕν

11211

των εμβαδών των ορθογωνίων αυτών είναι μια

ακόμη προσέγγιση του ζητούμενου εμβαδού.

Είναι όμως,

νν

νf

ννf

ννfΕν

11211

222211

ν

ν

ννν

)21(1 222

3ν

ν

2

2

3 6

132

6

)12)(1(1

ν

ννννν

ν

.

Το ζητούμενο, όμως, εμβαδόν Ε βρίσκεται μεταξύ των νε και νE . Δηλαδή ισχύει νν ΕΕε ,

οπότε νν

νν

ΕΕε

limlim .

Επειδή 3

1limlim

ν

νν

νΕε , έχουμε

3

1Ε .

vv1

2v

1v

1

1 O x

y 7

. . .

y=x2

1

Ω

1 O x

y

y=x2 5

2v

1v

vv1

1

1 O x

y 6

. . .

y=x2

[43]

84. Να δώσετε τον ορισμό του εμβαδού χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση

μιας συνάρτησης f με f x 0 , τον άξονα x΄x και τις ευθείες x = α και x = β.

Για να ορίσουμε το εμβαδόν του χωρίου Ω εργαζόμαστε ως εξής:

• Χωρίζουμε το διάστημα [ , ] σε ν ισομήκη

υποδιαστήματα, μήκους x

, με τα σημεία

0 1 2x x x ... x .

• Σε κάθε υποδιάστημα 1[x , x ] επιλέγουμε αυθαίρετα

ένα σημείο και σχηματίζουμε τα ορθογώνια που έχουν

βάση x και ύψη τα f ( ) . Το άθροισμα των εμβαδών

των ορθογωνίων αυτών είναι

1 2 1S f ( ) x f ( ) x f ( ) x [f ( ) f ( )] x .

• Υπολογίζουμε το lim S

.

Αποδεικνύεται ότι το lim S

υπάρχει στο και είναι ανεξάρτητο από την επιλογή των

σημείων . Το όριο αυτό ονομάζεται εμβαδόν του επιπέδου χωρίου Ω και συμβολίζεται με

. Είναι φανερό ότι ( ) 0 .

85. Να δώσετε τον ορισμό του ορισμένου ολοκληρώματος μιας συνεχούς συνάρτησης f στο

, .

Με τα σημεία 0 1 2x x x ... x

χωρίζουμε το διάστημα [ , ] σε ν ισομήκη

υποδιαστήματα μήκους x

.

Στη συνέχεια επιλέγουμε αυθαίρετα ένα

1[x , x ] , για κάθε 1,2,..., , και

σχηματίζουμε το άθροισμα

1 2S f ( ) x f ( ) x f ( ) x f ( ) x

το οποίο συμβολίζεται, σύντομα, ως εξής: 1

S f ( ) x

(1).

“Το όριο του αθροίσματος S , δηλαδή το lim

1

( )ν

κν

κ

f ξ Δx (1) υπάρχει στο και είναι

ανεξάρτητο από την επιλογή των ενδιάμεσων σημείων ”.

Το παραπάνω όριο (1) ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της συνεχούς συνάρτησης f από το

α στο β, συμβολίζεται με f x dxβ

α και διαβάζεται “ολοκλήρωμα της f

Δx

β a

v

xν-1 x2 ... x1 xν=β α=x0 ξν ξk

Ω

ξ2 ξ1 O

x

y=f (x) y

f(ξ1) f(ξ2) f(ξk)

f(ξν)

xk ... xk-1

xv-1 ξv

y=f (x)

ξk

ξ2 ξ1

x

x2 x1 xv=β a=x0 O

y

[44]

από το α στο β”. Δηλαδή, 1

f (x)dx lim f ( ) x

.

Από τους ορισμούς του εμβαδού και του ορισμένου ολοκληρώματος

προκύπτει ότι:

Αν f (x) 0 για κάθε x [ , ] , τότε το ολοκλήρωμα f (x)dx

δίνει το εμβαδόν E( ) του χωρίου Ω που περικλείεται από τη

γραφική παράσταση της f τον άξονα x x και τις ευθείες x

και x . Δηλαδή, f x dx ( )β

αΕ Ω .

Επομένως Αν f (x) 0 , τότε f (x)dx 0

86. Ποιες οι ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος;

ΘΕΩΡΗΜΑ 1ο

Έστω f ,g σ υ ν ε χ ε ί ς συναρτήσεις στο [ , ] και , . Τότε ισχύουν

• f (x)dx f (x)dx

• [f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx

και γενικά

• [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx

ΘΕΩΡΗΜΑ 2ο

Αν η f είναι σ υ ν ε χ ή ς σε διάστημα Δ και , , , τότε ισχύει

f (x)dx f (x)dx f (x)dx

ΘΕΩΡΗΜΑ 3ο

Έστω f μια σ υ ν ε χ ή ς συνάρτηση σε ένα διάστημα [ , ] . Αν ( ) 0f x για κάθε [ , ] x και

η συνάρτηση f δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό, τότε ( ) 0

f x dx .

87. Ποιος είναι ο τύπος της κατά παράγοντες ολοκλήρωσης;

β

α

β

α

β

α dxxgxfxgxfdxxgxf )()()]()([)()( ,

όπου gf , είναι συνεχείς συναρτήσεις στο ],[ βα .

88. Ποιος είναι ο τύπος της ολοκλήρωσης με αλλαγή μεταβλητής;

2

1

( ( )) ( ) ( )

u

uf g x g x dx f u du ,

όπου , f g είναι συνεχείς συναρτήσεις, ( )u g x , ( )du g x dx και 1 ( ) u g , 2 ( ) u g .

β α

Ω

O x

y=f (x)

y

[45]

90. Να διατυπώσετε το θεμελιώδες θεώρημα ολοκληρωτικού λογισμού και να το

αποδείξετε.

Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ’ ένα διάστημα [ , ] . Αν G είναι μια παράγουσα της f στο

[ , ] , τότε ( ) ( ) ( )

f t dt G G

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, η συνάρτηση ( ) ( )

x

F x f t dt είναι μια παράγουσα της

f στο [ , ] . Επειδή και η G είναι μια παράγουσα της f στο [ , ] , θα υπάρχει c τέτοιο,

ώστε ( ) ( ) G x F x c . (1)

Από την (1), για x , έχουμε ( ) ( ) ( )

G F c f t dt c c , οπότε ( ) c G .

Επομένως, ( ) ( ) ( ) G x F x G ,

οπότε, για x , έχουμε ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

G F G f t dt G

και άρα ( ) ( ) ( )

f t dt G G .

91. Έστω, δυο συναρτήσεις f και g, συνεχείς στο διάστημα [ , ] με f(x) g(x) 0 για

κάθε x [ , ] . Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις

γραφικές παραστάσεις των f,g, και τις ευθείες x = α και x = β είναι:

E( ) (f (x) g(x))dx

Ω

(α) O x

y=g(x)

y=f (x) y

Ω1

(β) O x

y=f (x) y

Ω2

(γ) O x

y=g(x)

y

Παρατηρούμε ότι

β

α

β

α

β

αdxxgxfdxxgdxxfΩΕΩΕΩΕ ))()(()()()()()( 21 . Επομένως, E( ) (f (x) g(x))dx

.

[46]

92. Έστω, δυο συναρτήσεις f και g, συνεχείς στο διάστημα [ , ] Να αποδείξετε ότι το

εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των f,g, και τις

ευθείες x = α και x = β είναι: E( ) (f (x) g(x))dx

Επειδή οι συναρτήσεις f ,g είναι συνεχείς στο [ , ] , θα υπάρχει αριθμό c τέτοιος ώστε

f (x) c g(x) c 0 , για κάθε x [ , ] . Είναι φανερό ότι το χωρίο Ω έχει το ίδιο εμβαδόν με το

χωρίο Ω Επομένως, σύμφωνα με τον τύπο (1), έχουμε:

( ) ( ) [(f (x) c) (g(x) c)]dx (f (x) g(x))dx

.Άρα E( ) (f (x) g(x))dx

.

93. Έστω, μια συνάρτηση g συνεχής στο διάστημα [ , ] με g x 0 για κάθε x [ , ] Να

αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση

της g, του άξονα x΄x και τις ευθείες x = α και x = β είναι: E( ) g(x)dx

Επειδή ο άξονας x x είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης

f (x) 0 , έχουμε

E( ) (f (x) g(x))dx [ g(x)]dx g(x)dx

.

Επομένως, αν για μια συνάρτηση g ισχύει 0)( xg για κάθε

],[ βαx , τότε E( ) g(x)dx

β

Ω

α O

x

y=g (x)

y

β α

(α)

Ω

O x

y

y=g (x)

y=f (x)

β α

(β)

Ω΄

O x

y

y=f (x)+c

y=g (x)+c

[47]

Θέματα πανελλαδικών εξετάσεων

ανά κεφάλαιο

[48]

[49]

Συναρτήσεις – Όρια

1.Δίνεται η συνάρτηση

2

2 2 5 x

x 8x 16 ,0 x 5f x

α ln x 5 e 2 1 e , x 5

.

α) Να βρεθούν τα όρια: x 5 x 5lim f x , lim f x

β) Να βρεθούν τα , , ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο x0=5.

γ) Για τις τιμές των α,β του ερωτήματος Β) να βρείτε το xlim f x

. 2000

2. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο:

2

, 11

( )

2 3, 1 .

x xx

x

f x

x x

α) Να βρείτε την τιμή του α ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο σημείο x0 = 1.

β) Να υπολογίσετε τα όρια 2 2

lim ( ) , lim ( ). x x

f x f x Εσπερινά 2000

3.Δίνεται η συνάρτηση x 1

f x , x 1x 1

, όπου α είναι ένας πραγματικός αριθμός.

α) Να βρείτε την τιμή του α, ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από το σημείο 3,2 .

Αν 3 τότε:

β) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1.

γ) Να αποδείξετε ότι η αντίστροφη συνάρτηση της f είναι η 1 x 1f x , x 3

3 x

.

δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και 1f .

Ομογενείς 2016

Παράγωγος και Γραφική παράσταση

4. Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f.

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της f .

[50]

β) Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα παρακάτω όρια.

i) x 1limf x

ii) x 3limf x

iii) x 5limf x

iv) x 7limf x

v) x 9limf x

Για τα όρια που δεν υπάρχουν να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

γ) Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα παρακάτω όρια.

i) x 2

1lim

f x ii)

x 6

1lim

f x iii)

x 8limf f x

δ) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η f δεν είναι συνεχής.

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

ε) Να βρείτε τα σημεία 0x του πεδίου ορισμού της f για τα οποία ισχύει 0f x 0 .

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Επαναληπτικές 2016

Ρυθμός μεταβολής

5.Η κατανάλωση σε λίτρα ανά 100 χιλιόμετρα ενός κινητήρα, όταν αυτός λειτουργεί με x χιλιάδες

στροφές ανά λεπτό, δίνεται από τη συνάρτηση

3 21 1( ) 10 , 1<x<5

9 3 f x x x x

α) Να βρείτε την τιμή του x για την οποία έχουμε τη μικρότερη κατανάλωση, καθώς επίσης και πόση

είναι η κατανάλωση αυτή.

β) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της κατανάλωσης του αυτοκινήτου για 1 2x και για 2 4x (δηλαδή

για 2.000 στροφές ανά λεπτό και 4.000 στροφές ανά λεπτό αντίστοιχα).

Εσπερινά 2000

Εφαπτομένη

6. Δίνεται η συνάρτηση f, συνεχής στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, για την οποία ισχύει: 2x

x 0

f (x) e 1lim 5

2x

.

α) Να βρείτε το f(0).

β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x0=0.

γ) Αν xh x e f x , να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και

h στα σημεία 0, 0 f και 0, 0 h αντίστοιχα είναι παράλληλες. 2000

7.Έστω η συνάρτηση f : 1, με f x 2000 ln x 1 . Έστω c > 2000 και έστω ότι η ευθεία

y c και η Cf τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου. Να αποδείξετε ότι οι

εφαπτόμενες της Cf στα Α και Β είναι κάθετες μεταξύ τους. 2000

8.Έστω η συνάρτηση

2

1 x, x 1f x

x 1 , x 1

.

α) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι:

i. συνεχής στο 0x 1 ii. παραγωγίσιμη στο 0x 1

β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A 2,1 .

Εσπερινά 2008

[51]

9.Δίνεται η συνάρτηση f : , με 0 , η οποία είναι συνεχής στο , και παραγωγίσιμη

στο , . Αν ισχύει f 5 και f 5 , να αποδείξετε ότι:

α) Η εξίσωση f x 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο , .

β) Υπάρχει σημείο M ,f στο οποίο η εφαπτομένη της fC είναι κάθετη στην ευθεία

: x 5y 2010 0 .

γ) Η συνάρτηση f παίρνει την τιμή 5

2 . Εσπερινά 2010

10.Δίνεται η συνάρτηση f : , με

3

2

x , x 1f x

x , x 1

, . η οποία είναι συνεχής στο 0x 1 .

α) Να αποδείξετε ότι 2 2 και ότι 1 .

β) Αν 1 1 , να αποδείξετε η εξίσωση f x 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα 1,1 .

γ) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0x 1 , να βρείτε τα α και β.

δ) Αν 5

4 και

1

2 να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο 1,f 1 .

Εσπερινά 2012

11.Δίνεται η συνάρτηση 2

1( )

1

f x

x, x∈ℝ.

α) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f.

β) Να αποδείξετε ότι 2

( )2

f f x για κάθε x .

γ) Να υπολογίσετε το όριο 0

2(1 )

2

x

f x

imx

δ) Να βρείτε τις εξισώσεις όλων των εφαπτομένων της γραφικής παράστασης της f που διέρχονται από το

σημείο (3, 0).

Εσπερινά 2016

Θ.Rolle – Θ.Μ.T.– Συνέπειες Θ.Μ.Τ

12. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0,1 και ισχύει για κάθε x 0,1 .Αν f 0 2 και f 1 4 ,

να δείξετε ότι:

α) Η ευθεία y 3 τέμνει τη fC σ΄ ένα ακριβώς σημείο με τετμημένη 0x 0,1 .

β) υπάρχει 1x 0,1 , τέτοιο ώστε 1

1 2 3 4f f f f

5 5 5 5f x

4

γ) υπάρχει 2x 0,1 , τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της Cf στο σημείο 2 2M x ,f x να είναι παράλληλη

στην ευθεία y 2x 2000 .

2000

[52]

13.Έστω η συνάρτηση f : , η οποία είναι συνεχής στο , , παραγωγίσιμη στο , και

f 2 , f 2 .

α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x 2x έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο , .

β) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν 1 2, , τέτοια ώστε : 1 2f f 4 .

2001

14.Δίνεται η συνάρτηση f, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο με f x 0 για κάθε x .

α) Να δείξετε ότι η f είναι 1-1.

β) Αν η Cf διέρχεται από τα σημεία A 1,2005 και B 2,1 , να λύσετε την εξίσωση

1 2f 2004 f x 8 2 .

γ) Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο Μ της fC , στο οποίο η εφαπτομένη είναι κάθετη

στην ευθεία ε: 1

y x 2005668

.

2005

15.Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : με f 0 0 για την οποία ισχύει ότι:

f x xf x x για κάθε x .

α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g x xf x x είναι σταθερή στο .

β) Να αποδείξετε ότι 1 x

f xx

, x 0 .

γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 1 x x x έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο 3

,2 2

.

δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα 0, τέτοιο, ώστε

2

2

21

. 2011

Μονοτονία - Άκρότατα

16.Θεωρούμε παραγωγίσιμη συνάρτηση f : τέτοια, ώστε: 2 x2xf x x 1 f x e για κάθε

x με .

α) Να αποδείξετε ότι x

2

ef x , x

x 1

β) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f. 2000

17.Tη χρονική στιγμή t0 χορηγείται σ΄ έναν ασθενή ένα φάρμακο. Η συγκέντρωση του φαρμάκου στο αίμα

του ασθενούς δίνεται από τη συνάρτηση 2

tf t ,t 0, ,

t1

και t ο χρόνος σε ώρες. Η

μέγιστη τιμή της συγκέντρωσης είναι ίση με 15 μονάδες και επιτυγχάνεται 6 ώρες μετά τη χορήγηση του

φαρμάκου.

α) Να βρείτε τις τιμές των α, β.

β) Με δεδομένο ότι η δράση του φαρμάκου είναι αποτελεσματική, όταν η τιμή της συγκέντρωσης είναι

τουλάχιστον ίση με 12 μονάδες, να βρείτε το χρονικό διάστημα που το φάρμακο δρα αποτελεσματικά.

2000

[53]

18.Φάρμακο χορηγείται σε ασθενή για πρώτη φορά. Έστω f t η συνάρτηση που περιγράφει τη

συγκέντρωση του φαρμάκου στον οργανισμό του ασθενούς μετά από χρόνο t από τη χορήγησή του, όπου

t 0 . Αν ο ρυθμός μεταβολής της f t είναι 8

2t 1

α) Να βρείτε τη συνάρτηση f t .

β) Σε ποια χρονική στιγμή t, μετά τη χορήγηση του φαρμάκου, η συγκέντρωση του στον οργανισμό

γίνεται μέγιστη;

γ) Να δείξετε ότι κατά τη χρονική στιγμή t 8 υπάρχει ακόμα επίδραση του

φαρμάκου στον οργανισμό, ενώ πριν τη χρονική στιγμή t 10 η επίδρασή του στον οργανισμό έχει

μηδενιστεί. (Δίνεται ln11 2,4 ) 2000

19.Η τιμή Ρ (σε χιλιάδες δραχμές) ενός προϊόντος, t μήνες μετά την εισαγωγή του

στην αγορά, δίνεται από τον τύπο 2

t 6P t 4

25t

4

.

α) Να βρείτε την τιμή του προϊόντος τη στιγμή της εισαγωγής του στην αγορά.

β) Να βρείτε το χρονικό διάστημα, στο οποίο η τιμή του προϊόντος συνεχώς

αυξάνεται.

γ) Να βρείτε τη χρονική στιγμή κατά την οποία η τιμή του προϊόντος γίνεται

μέγιστη.

δ) Να δείξετε ότι η τιμή του προϊόντος μετά από κάποια χρονική στιγμή

συνεχώς μειώνεται, χωρίς όμως να μπορεί να γίνει μικρότερη από

την τιμή του προϊόντος τη στιγμή της εισαγωγής του στην αγορά. 2000

20.Για μια συνάρτηση f, που είναι παραγωγίσιμη στο σύνολο των πραγματικών αριθμών , ισχύει ότι:

3 2 3 2f x f x f x x 2x 6x 1 για κάθε

x ,όπου β, γ πραγματικοί αριθμοί με2 3 .

α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f δεν έχει ακρότατα.

β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα.

γ) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδική ρίζα της εξίσωσης ( ) 0f x στο ανοικτό

διάστημα (0,1). 2001

21.α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 3f x x 2x 1 2x , x , είναι γνησίως αύξουσα.

β) Η εξίσωση 3x 2x 1 2x έχει μία μόνο ρίζα στο διάστημα 0,1 . 2001

22.Ένα τουριστικό λεωφορείο έχει να διανύσει απόσταση 625 km με σταθερή ταχύτητα x km την ώρα.

Σύμφωνα με τον Κώδικα Οδικής Κυκλοφορίας το μέγιστο όριο ταχύτητας είναι 90 km την ώρα. Τα

καύσιμα κοστίζουν 160 δραχμές το λίτρο, η ωριαία κατανάλωση είναι 2

5,5200

x λίτρα και η αμοιβή

του οδηγού είναι 2000 δραχμές την ώρα.

α)Να αποδείξετε ότι το συνολικό κόστος Κ (x) της διαδρομής είναι:

1800000

K(x) 500 x ,0 x 90x

0 x 90 .

β) Να βρείτε την ταχύτητα του λεωφορείου για την οποία το κόστος της διαδρομής γίνεται ελάχιστο.

Εσπερινά 2001

[54]

23.Έστω οι συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το .Δίνεται ότι η συνάρτηση της σύνθεσης fog είναι 1-1.

α) Να δείξετε ότι η g είναι 1-1.

β) Να δείξετε ότι η εξίσωση: 3g f x x x g f x 2x 1 έχει ακριβώς δύο θετικές και μία

αρνητική ρίζα. 2002

24.Δίνεται μια συνάρτηση f ορισμένη στο με συνεχή πρώτη παράγωγο, για την οποία ισχύουν οι σχέσεις:

f x f 2 x και f x 0 για κάθε x .

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη .

β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει μοναδική ρίζα.

γ) Έστω η συνάρτηση

f xg x

f x

.Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g

στο σημείο στο οποίο αυτή τέμνει τον άξονα x΄x, σχηματίζει με αυτόν γωνία 45ο . 2003

25.Δίνεται η συνάρτηση 2kx x

f x4

, x , της οποίας η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης στο

σημείο O 0,0 έχει συντελεστή διεύθυνσης 1 .

α) Να αποδείξετε ότι k 4 .

β) Να αποδείξετε ότι η f έχει ολικό μέγιστο, το οποίο και να βρείτε.

γ) Να αποδείξετε ότι στο διάστημα 2,4 υπάρχει μοναδικό σημείο ξ , στο οποίο η εφαπτομένη της f

είναι παράλληλη στην ευθεία ΑΒ, όπου A 2,f 2 και B 4,f 4 . Εσπερινά 2005

26.Δίνεται η συνάρτηση f x x ln x 1 x 1 ln x , x > 0.

α) i. Να αποδείξετε ότι: 1

ln x 1 ln xx

, x > 0.

ii. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα 0, .

β) Να υπολογίσετε το x

1lim x ln 1

x

γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός αριθμός 0, τέτοιος ώστε 11 . 2006

27.∆ίνεται η συνάρτηση x 1

f x ln xx 1

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης f.

β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει ακριβώς 2 ρίζες στο πεδίο ορισμού της.

γ) Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g x ln x στο

σημείο A ,ln με 0 και η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης xh x e

στο σημείο B ,e με ταυτίζονται, τότε να δείξετε ότι ο αριθμός α είναι ρίζα της εξίσωσης

f x 0 .

δ) Να αιτιολογήσετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g και h έχουν ακριβώς δύο κοινές

εφαπτόμενες. 2006

28.Για κάθε k δίνεται η συνάρτηση 3 2f x 2x kx 10 ,x .

α) Να βρεθεί η τιμή του k για την οποία η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f

στο σημείο Α(1,f(1)) είναι παράλληλη στον άξονα x΄x.

β) Για k = 3

i. να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

[55]

ii. να βρείτε το σύνολο τιμών της f στο διάστημα ,0 .

iii. για κάθε 14,15 να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = α – 5 έχει ακριβώς μία λύση στο διάστημα

0,1 . Εσπερινά 2006

29.Δίνεται μια συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο , για την οποία ισχύει: 3 3 2f x f x 8x 12x 8x 2

για κάθε x .

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1.

β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x 0 έχει μία μόνο ρίζα στο 0,1 .

γ) Αν για τη συνάρτηση g : ισχύει ότι 2f g x 3x f x 2 , για κάθε x ,να βρείτε το 0x

στο οποίο η g παρουσιάζει ελάχιστο. Εσπερινά 2007

30.Έστω συνάρτηση f συνεχής στο για την οποία ισχύει xf x x 2 x για κάθε x 0 .

α) Να βρείτε το f 0 .

β) Να αποδείξετε ότι f x 3 για κάθε x 0,2

.

γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x 2 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο ,2

. Εσπερινά 2007

31.Δίνεται η συνάρτηση 1

f x ln x4x

, x 0 .

α) Να αποδείξετε ότι 5

1f 0

e

,

1f 0

4

και 5f e 0 .

β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο M 1,f 1 .

γ) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f.

δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x 0 έχει ακριβώς δύο ρίζες στο 0, . Ομογενείς 2007

32.Δίνεται η συνάρτηση 3 2f x x x 3x 1 , , x .

α) Αν η f παρουσιάζει ακρότατο στο 0x 1 , να βρείτε την τιμή του λ.

β) Για 0

i. να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

ii. να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της γραφικής παράστασης της f που είναι παράλληλες

στην ευθεία y 9x .

iii. να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x x 0 , έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα 0,1 .

Εσπερινά 2009

33.Δίνεται η συνάρτηση 3f x x 3x x 2 , x .

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο .

β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x 0 έχει ακριβώς μια ρίζα στο διάστημα 0, .

γ) Να λύσετε την εξίσωση 2f x 8 f 6x .

δ) Να βρείτε το όριο

x 0

f x 1lim

x

. Εσπερινά 2010

34.Δίνεται η συνάρτηση 2f x x 3 9 x .

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.

β) Να βρείτε την παράγωγο της f:

i. στο διάστημα 3,3 . ii. στο 0x 3 .

[56]

γ) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f.

δ) Να βρείτε τα ακρότατα της f. Εσπερινά 2010

35.Δίνεται η συνάρτηση 2

1f x

x x

, όπου , ακέραιοι αριθμοί. Η γραφική παράσταση της f στο

σημείο της 5

A 2,12

δέχεται εφαπτομένη της οποίας ο συντελεστής διεύθυνσης είναι 5

18.

α) Να αποδείξετε ότι 1 και 4 .

β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.

δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: 3 2kx 1 4k x x 4 0 (1) είναι ισοδύναμη με την f x k , k

και στη συνέχεια να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης (1) για τις διάφορες τιμές του k .

Εσπερινά 2011

36.Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύουν:

f x 2 ,

2x 0

f x xlim 2

x x

και f 1 f 0 .

α) Να αποδείξετε ότι 0 0f και 1 3f - .

β) Αν η 2

g x f x x 1 , x και ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο

διάστημα 0,1 , να βρείτε τον αριθμό α.

γ) Για 1 να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο 0,1 τέτοιο ώστε f 2 1

δ) Για 1 να αποδείξετε ότι η g παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο ξ του προηγούμενου ερωτήματος.

Εσπερινά 2012

37.Έστω f : μια παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύουν οι σχέσεις:

2

2

xf xx 1f x 1 0

x 1

για κάθε και f 0 0 .

α) Να βρείτε την f.

β) Αν 2

xf x

x 1

, να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.

γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4 3 2f x 1 f 3x 2x 3x έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο 0,1 και

μια τουλάχιστον ρίζα στο 1, 4 .

δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3 24x 9x 4x 3 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο 0,4 . Εσπερινά 2013

38.Δίνεται η συνάρτηση f με 2

f x x 3 x 1 , x .

α) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα και τα διαστήματα στα οποία η f είναι

γνησίως φθίνουσα.

β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f η οποία:

i) είναι παράλληλη προς την ευθεία με εξίσωση y 4x 3 και

ii) η τετμημένη του σημείου επαφής της με την γραφική παράσταση της f είναι ακέραιος αριθμός.

γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g x x 1 f x , x έχει δύο θέσεις τοπικών ελαχίστων και μία

θέση τοπικού μεγίστου. Εσπερινά 2014

39.Δίνεται η συνάρτηση 3f x x x, x , 0 .

α) Να υπολογίσετε την τιμή του α, ώστε η ευθεία y 4x 2 να εφάπτεται στη γραφική παράσταση της f

στο σημείο A 1,f 1 .

Στη συνέχεια για 1

[57]

β) i. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f.

ii. Να λύσετε στο την εξίσωση 3f x x 10 .

γ) Να υπολογίσετε το όριο 2x 0

f x 1lim

x 1 x

. Εσπερινά 2014

40.Δίνεται η συνάρτηση 2

1f x , x

x 1

.

α) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f.

β) Να αποδείξετε ότι 2

f f x2

για κάθε x .

γ) Να υπολογίσετε το όριο

x 0

2f 1 x

2limx

.

δ) Να βρείτε τις εξισώσεις όλων των εφαπτομένων της γραφικής παράστασης της f που διέρχονται από

το σημείο 3,0 . Εσπερινά 2015

41.Δίνεται η συνάρτηση 2

2

1f x x , x 0

x .

α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της.

β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g, όπου g x f x 2 .

γ) Να λύσετε την εξίσωση 3

f f x 2, x 0,2

.

δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει 1

,12

τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f

στο σημείο , f να διέρχεται από το σημείο 5

M 0,2

. Εσπερινά 2015

42.Δίνεται η συνάρτηση

0 , x 0

x ln xf x , 0 x 1

x 1

1 , x 1

.

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο διάστημα 0, .

β) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 0, .

γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε x 0 ισχύει 1

f x f ln xx

.

δ) Να υπολογίσετε το όριο

x

f xx

f elim

e.

Ομογενείς 2016

[58]

Κυρτότητα

43.Έστω η συνάρτηση 3 2 2 2f x x 3x 2 2x 2 2 ,x, . Να αποδείξετε ότι για

οποιαδήποτε τιμή του α η γραφική παράσταση της f έχει μόνο ένα σημείο καμπής, το οποίο για τις

διάφορες τιμές του α ανήκει σε παραβολή. 2001

44.Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σ’ ένα διάστημα [α,β] που έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο στο (α,β). Αν

ισχύει f f 0 και υπάρχουν αριθμοί , , , , έτσι ώστε f f 0 , να

αποδείξετε ότι:

α) Υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f x 0 στο διάστημα , .

β)Υπάρχουν σημεία 1 2, , τέτοια ώστε 1f 0 και 2f 0 .

γ) Υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f. 2003

45.Δίνεται η συνάρτηση 2f x x ln x .

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f, να τη μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και να βρείτε τα ακρότατά

της.

β) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία καμπής της.

γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. 2004

46.Δίνεται η συνάρτηση x ln x, x 0

f x0, x 0

.

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0.

β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της.

γ) Να βρείτε το πλήθος των διαφορετικών θετικών ριζών της εξίσωσης xx e

για όλες τις τιμές του

πραγματικού αριθμού α.

δ) Να αποδείξετε ότι f x 1 f x 1 f x για κάθε x 0 . 2008

47.Δίνεται η συνάρτηση xf x ln x 1 , x 1 , 0 με 1 .

α) Αν f x 1 για κάθε x 1 , να αποδείξετε ότι e .

β) Για e ,

i. να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κυρτή.

ii. να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο 1,0 και γνησίως αύξουσα στο 0, .

iii. αν , 1,0 0, , να αποδείξετε ότι η εξίσωση f 1 f 1

0x 1 x 2

έχει τουλάχιστον μια

ρίζα στο 1, 2 . 2009

48.Δίνεται η συνάρτηση xf x x ln e 1 , x ℝ

α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα.

β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κοίλη.

γ) Να αποδείξετε ότι: xf x f x ln 2 , για κάθε x 0, .

Ομογενείς 2011

[59]

49.Έστω η παραγωγίσιμη στο διάστημα 1,1 συνάρτηση f με f 0 3 και η συνάρτηση

2

1g x f x

1 x

, x 1,1 με g(x) x 3, - x 1,1 ,όπου .Δίνεται επιπλέον ότι η

παράγωγος f της f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 1,1 .

α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g έχουν κοινό σημείο με τετμημένη

0x 0 και κοινή εφαπτομένη στο σημείο αυτό.

β) Να δείξετε ότι g 0 και ότι η κοινή εφαπτομένη των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f

και g στο κοινό τους σημείο με τετμημένη 0x 0 είναι η y x 3 .

γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση f x , x 1,1 , έχει μοναδική ρίζα το 0.

δ) Να δείξετε ότι f x x 3 , για κάθε x 1,1 . Εσπερινά 2012

50.Δίνεται η συνάρτηση 2xf x ln x x, x 0

2 .

α) Να αποδσείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0, και να μελετήσετε την f ως προς τη

κυρτότητα.

β) Να βρείτε έναν θετικό ακέραιο αριθμό α τέτοιο, ώστε στο διάστημα , 1 η εξίσωση

4f x 2x f 4 να έχει μια τουλάχιστον λύση.

γ) Να λύσετε στο διάστημα 0, την ανίσωση 2xln x 2 2x .

Ομογενείς 2013

51.Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : , για την οποία ισχύουν:

• xf x 2xe f x για κάθε x και

• 1f 1 e

α) Να αποδείξετε ότι 2

x

xf x , x

e .

β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το

διάστημα 0,

γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2 x 2x 2e έχει ακριβώς τρείς ρίζες στο σύνολο των πραγματικών

αριθμών.

δ) Δεδομένου ότι η συνάρτηση f είναι κυρτή στο διάστημα ,0 , να βρείτε την εξίσωση της

εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της 1,f 1 και να αποδείξετε ότι:

f x 2e 3ex 0 για κάθε x 0 .

Ομογενείς 2015

52.α) Να λύσετε την εξίσωση 2x 2e x 1 0 - , x .

β) Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f:ℝ→ℝ που ικανοποιούν την σχέση 2 2

2 x 2f x e x 1= - για

κάθε x και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

γ) Αν 2x 2f x e x 1 - , x να αποδειχθεί ότι η f είναι κυρτή.

δ) Αν f είναι η συνάρτηση του ερωτήματος Γ3, να λυθεί η εξίσωση: f x 3 f x f x 3 f x

όταν x 0, .

2016

[60]

Ασύμπτωτες- De l Hospital

53.Έστω f ,g : συνεχείς συναρτήσεις με f(x)-g(x)= x - 4 για κάθε x . Έστω ότι η ευθεία

y 3x 7 είναι ασύμπτωτη της Cf στο .

α) Να βρείτε τα όρια: i.

x

g xlim

x και ii.

2x

g x 3x 2xlim

xf (x) 3x 1

β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία y 2x 3 είναι ασύμπτωτη της Cg στο . 2000

54.Έστω η συνάρτηση 2x x

f x ,x - 2 , ,x 2

.Αν η ευθεία ε: y 2x 1 είναι ασύμπτωτη της

γραφικής παράστασης της f στο , να βρείτε τα α,β. 2001

55.Δίνεται η συνάρτηση -x 1

x ,x 1f x ,

1- e ln x 1 ,x 1,2

.

α) Να υπολογίσετε το όριο x 1

x 1

1 elim

x 1

.

β) Να βρείτε το α ώστε η f να είναι συνεχής στο 0x 1 .

γ) Για 1 να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον 1,2 τέτοια, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής

παράστασης της συνάρτησης f στο A ,f να είναι παράλληλη στον άξονα x΄x. 2001

56.Δίνεται η συνάρτηση

2x , x 0

f x x , 0 x 1

1 x ln x, x 1

όπου , .

α) Να βρείτε τα α και β έτσι ώστε η f να είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της.

β) Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α και β, ισχύει: 1 και 0 , τότε:

i. Να υπολογίσετε το

2x

f xlim

x.

ii. Να υπολογίσετε τα όρια:

x 1

f x f 1lim

x 1

,

x 1

f x f 1lim

x 1

. 2004

57.Δίνεται η συνάρτηση 22 x kx 2

f xx 3

, ,k και x 3 .

α) Αν η ευθεία y x είναι πλάγια ασύμπτωτη της fC στο , να αποδείξετε ότι 1 και k 3 .

β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα 1,2 , στο οποίο η εφαπτομένη της fC είναι

παράλληλη στον άξονα x΄x.

γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο 0x 1 . Εσπερινά 2005

58.Δίνεται η συνάρτηση 2

3x , x 1

4f x

x 8x 4 , x 1

4x

με

α) Να βρείτε την τιμή του για την οποία η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0x 1 .

β) Για 0

[61]

i. να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο .

ii. να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο . 2006

59.Δίνεται η συνάρτηση

2

2

1 1x ,x 2

8 2f x

x 5x 6 ,x 2

2 x 1

.

α) Να αποδείξετε ότι η αι συνεχής και παραγωγίσιμη στο 0x 2 .

β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο M 0,f 0 .

γ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία 1

y x 22

είναι ασύμπτωτη της fC στο . Εσπερινά 2007

60.Δίνεται η συνάρτηση 2f x x 2ln x , x 0 .

α) Να αποδείξετε ότι f x 1 για κάθε x 0 .

β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f.

γ) Έστω η συνάρτηση ln x

, x 0f xg x

k, x 0

.

i. Να βρείτε την τιμή του k ώστε η g να είναι συνεχής.

ii. Αν 1

k2

, να αποδείξετε ότι η g έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα 0,e . 2008

61. Δίνεται η συνάρτηση 2x 2x k

f xx

, k .

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.

β) Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο M 1,f 1 είναι παράλληλη στον

άξονα x΄x, να βρείτε το k.

γ) Για k 1 ,

i. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f.

ii. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία στο διάστημα 1, . Εσπερινά 2008

62.Δίνεται η συνάρτηση 2f x ln 1 x x 1 ln x 2 , x 1 , 1 .

α) Να προσδιορίσετε την τιμή του λ, ώστε να υπάρχει το όριο xlimf x

και να είναι πραγματικός

αριθμός.

β) Έστω ότι 1

i. να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της.

ii. να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f.

iii. να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2f x 0 έχει μοναδική λύση για κάθε 0 . 2009

63.Δίνεται η συνάρτηση 2x , x 1

f x2x 3, x 1

, .

α) Αν η f είναι συνεχής στο 0x 1 , να αποδείξετε ότι 5 .

β) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0x 1 , να αποδείξετε ότι 1 και 4 .

γ) Για 1 και 4 , να προσδιορίσετε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

[62]

f x

g x ,x

x 0 . Εσπερινά 2009

64.Δίνεται η συνάρτηση xf x xe , .

α) Να βρείτε το α, ώστε η εφαπτομένη της fC στο σημείο A 0,f 0 να είναι παράλληλη στην ευθεία

y ex .

β) Για 1 ,

i. να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

ii. να αποδείξετε ότι ο άξονας x΄x είναι οριζόντια ασύμπτωτη της fC στο .

Ομογενείς 2009

65.Δίνεται η συνάρτηση 2x 3

f x 2xx

, x 0 . Να βρείτε:

α) Τα τοπικά ακρότατα της f.

β) Τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f.

γ) Την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A 1,f 1 .

δ) Το σημείο M ,f , 0 , της γραφικής παράστασης της f, στο οποίο η εφαπτομένη είναι

παράλληλη προς το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με A 1,f 1 και B 3,f 3 . Εσπερινά 2010

66.Δίνεται η συνάρτηση 3f x x – 3ln x , x 0 .

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή.

β) Να αποδείξετε ότι ο άξονας y΄y είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f.

γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x 2 έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα 1,e . Ομογενείς 2010

67.Δίνεται η συνάρτηση f : , δύο φορές παραγωγίσιμη στο , με f 0 f 0 0 , η οποία

ικανοποιεί τη σχέση: xe f x f x 1 f x xf x για κάθε x .

α) Να αποδείξετε ότι: xf x ln e x , x .

β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει ακριβώς δύο σημεία καμπής.

δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση xln e x x έχει ακριβώς μία λύση στο διάστημα 0,2

. 2011

68.Έστω η συνεχής συνάρτηση f : ,για την οποία ισχύει: xxf x 1 e , για κάθε x .

α) Να αποδείξετε ότι

xe 1, x 0

f x x

1, x 0

β) Να αποδείξετε ότι oρίζεται η αντίστροφη συνάρτηση –1 f και να βρείτε το πεδίο ορισμού της.

γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A 0,f 0 . Στη

συνέχεια, αν είναι γνωστό ότι η f είναι κυρτή, να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2f x x 2 , x έχει

ακριβώς μία λύση.

δ) Να βρείτε το x 0lim x ln x ln f x

. Επαναληπτικές 2012

[63]

69.Δίνεται η συνάρτηση 22f x x

x , x 0 με , .

α) Αν είναι 0 , να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα 0, .

β) Αν είναι 0 , να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x 0 έχει ακριβώς μία λύση στο 0, .

γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f:

i. έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη για κάθε α,β, την οποία και να βρείτε.

ii.έχει οριζόντια ασύμπτωτη μόνο για α=0 και , την οποία και να βρείτε.

δ) Να βρείτε τις τιμές των α,β για τις οποίες η f παρουσιάζει στο σημείο 0x 1 τοπικό ακρότατο, το

0f x 7 . Στη συνέχεια να καθορίσετε το είδος του ακροτάτου αυτού. Εσπερινά 2012

70.Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : για την οποία ισχύουν:

• 22xf x x f x 3( ) ( ) f x - για κάθε x .

• 1

12

f

α) Να αποδείξετε ότι 3

2 1

xf x

x, x και στη συνέχεια ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

στο ℝ .

β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f του ερωτήματος α).

γ) Να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών την ανίσωση: 3 22 25 1 8 8 1 f x f x .

δ) Να βρείτε την τιμή του κ∈ℝ ώστε: lim 5

x

f x k .

Εσπερινά 2013

71.Δίνεται η συνάρτηση h με 2x x 2

h x , x 1,x 1

.Αν η ευθεία με εξίσωση y x 2 είναι

πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της h στο , τότε:

α) Να αποδείξετε ότι 1 .

β) i. Να εξετάσετε αν η ευθεία με εξίσωση y x 2 είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης

της h και στο .

ii. Να βρείτε την κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της h.

γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση

4x 3

h x 0x

έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα 1,0 .

Εσπερινά 2014

72.Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, για την οποία ισχύουν:

• f x xf x 2x για κάθε x 0,

• f 1 10

α) Να αποδείξετε ότι 2x 9

f x , x 0,x

.

β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f.

γ) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f .

δ) Να αποδείξετε ότι f x 10 x 1 f x για κάθε x 1, . Εσπερινά 2014

[64]

73.Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : για την οποία ισχύει ότι: 2 1xf x x 1 x

x για κάθε

x 0 .

α) Να αποδείξετε ότι 1 x 1

x , x 0f x x x

0, x 0

.

β) Να υπολογίσετε τη παράγωγο f x της συνάρτησης f για κάθε x 0 .

γ) Να αποδείξετε ότι η f έχει στο οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία y 1 .

δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα 1

,

.

Εσπερινά 2015

74.Δίνεται η συνάρτηση 4 3 2f x 3x 4x x , x , όπου α είναι ένας πραγματικός αριθμός. Αν η f

παρουσιάζει στο 0x 1 τοπικό ακρότατο, τότε:

α) Να αποδείξετε ότι 12 .

β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και να βρείτε τις τιμές του , ώστε

f x για κάθε x .

γ) Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη στο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

3

f xg x , x 0

x 1

.

δ) Να υπολογίσετε το όριο

2x

f x 1lim

x x

για τις διάφορες ακέραιες τιμές του ν. Εσπερινά 2015

75.Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : για την οποία ισχύει ότι: 2 1( ) 1 , xf x x x

x για κάθε

0x .

α) Να αποδείξετε ότι

1 1, 0

( )

0 , 0

xx x

f x x x

x

.

β) Να υπολογίσετε την παράγωγο ( )f x της συνάρτησης f για κάθε 0x .

γ) Να αποδείξετε ότι η f έχει στο οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία y = –1.

δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα 1

,

.

Εσπερινά 2015

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης

76.Δίνεται η συνάρτηση 2

2

xf x

x 1

, x .

α) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, τα διαστήματα στα οποία f η είναι γνησίως

φθίνουσα και τα ακρότατα της f.

β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή, τα διαστήματα στα οποία f η είναι κοίλη και να προσδιορίσετε

τα σημεία καμπής της γραφικής της παράστασης.

γ) Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f.

Με βάση τις απαντήσεις σας στα ερωτήματα α),β), γ) να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f.

(Η γραφική παράσταση να σχεδιαστεί με στυλό)

2016

[65]

Ολοκληρώματα

77.Έστω f : συνεχής συνάρτηση και 1

2 2 2 4

0I x f t 2xt f t x t dt ,x . Να αποδείξετε

ότι η συνάρτηση Ι παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο 1

2

00

x 5 t f t dt . 2000

78.Θεωρούμε συνάρτηση f συνεχή στο .

α) Να αποδείξετε ότι: 3 7

0 1

1f 2x 1 dx f x dx

2

β) Έστω ότι 3 7

0 1

4 f 2x 1 dx f x dx 2004 . Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα 1,7

τέτοιο, ώστε f 334 . 2000

79.Η συνάρτηση f : έχει συνεχή παράγωγο και ικανοποιεί τη σχέση:

f xf x e dx 0 ,α,β

με . Να αποδείξετε ότι:

α) f f

β) Η εξίσωση f x 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο , . 2001

80.Δίνεται η συνάρτηση x

x

e 1f x , x

e 1

α) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την 1f .

β) Να δείξετε ότι η εξίσωση 1f x 0 έχει μοναδική ρίζα το 0.

γ) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: 1

121

2

f x dx

. 2002

81.Δίνεται η συνάρτηση 2f x x 1 x .

α) Να αποδείξετε ότι xlim f x 0

.

β) Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f, όταν το x

τείνει στο .

γ) Να αποδείξετε ότι 2 f x x 1 f x 0 .

δ) Να αποδείξετε ότι 1

2 0

1 dx ln 2 1

x 1

. 2003

82.Δίνεται η συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο , για την οποία υποθέτουμε ότι ισχύει f 0 0

και ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 0, .

α) Να αποδείξετε ότι για κάθε x 0 υπάρχει ξ 0,x τέτοιος ώστε f x xf .

β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση x

f xh x e

x , x >0 είναι συνάρτηση 1-1 στο διάστημα 0, .

γ) Αν x 5h x e x x , να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα e 1

1I f x 1 dx

. 2003

[66]

83.Δίνεται η συνάρτηση xg x e f x , όπου f παραγωγίσιμη στο με 3

f 0 f 02

.

α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον 3

0,2

τέτοιο, ώστε:

f f .

β) Αν 2f x 2x 3x , να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 0

g x dx ,α

.

γ) Να βρείτε το όριο lim

. 2004

84.Θεωρούμε τη συνάρτηση xf x x ln x e , x 1, .

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 1, .

β) Να βρεθούν τα όρια: x

ln xlim

x ,

x

x x

elim , lim f x

x .

γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x 2005 έχει μοναδική λύση στο διάστημα 1, .

δ) Έστω

e f e1

2 f 2f x dx f x dx . Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Π – 2ln2. 2005

85.Δίνεται η συνάρτηση 2

3x, x 0

f x x

x x x, x 0

.

α) Να αποδείξετε ότι x 0lim f x 3

.

β) Αν f2

και η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο 0x 0 , να

αποδείξετε ότι: 3 .

γ) Αν 3 , να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 0

f x dx

. 2007

86.Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο , για την οποία ισχύει: 3xf x f x 4e και f 0 2 .

α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση x 4xh x e f x e είναι σταθερή.

β) Να αποδείξετε ότι x 3xf x e e .

γ) Να υπολογίσετε το ολκλήρωμα x

0I x f t dt .

δ) Να βρείτε το όριο

2x

I xlim

x. Ομογενείς 2007

87.Δίνεται η συνάρτηση x ln x

f xx

, x 0 .

α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

β) Να υπολογίσετε το όριο xlim f x

.

γ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 2e

1I f x dx . Ομογενείς 2008

[67]

88.Δίνεται μια συνάρτηση f : 0,2 η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ικανοποιεί τις συνθήκες

2xf x 4f x 4f x kxe , 0 x 2 , f 0 2f 0 , 4f 2 2f 2 12e και 2f 1 e , k .

α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 2

2x

f x 2f xg x 3x

e

, 0 x 2 , ικανοποιεί τις υποθέσεις του

θεωρήματος Rolle στο διάστημα 0,2 .

β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει 0,2 τέτοιο, ώστε να ισχύει: 2f 4f 6 e 4f .

γ) Να αποδείξετε ότι k 6 και ότι ισχύει g x 0 για κάθε x 0,2 .

δ) Να αποδείξετε ότι 3 2xf x x e , 0 x 2 .

ε) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 2

21

f xdx

x . 2009

89.Δίνεται η συνάρτηση 2f x 2x ln x 1 , x .

α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.

β) Να λύσετε την εξίσωση

2

2

4

3x 2 12 x 3x 2 ln

x 1

.

γ) Να αποδείξετε ότι η f έχει δύο σημεία καμπής και ότι οι εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της f

στα σημεία καμπής της τέμνονται σε σημείο του άξονα y΄y.

δ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 1

1I xf x dx

. 2010

90.Δίνεται η συνάρτηση f : με 3f x x .

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 (μονάδες 2) και να βρείτε την αντίστροφή της 1f .

β) Να αποδείξετε ότι για κάθε x 0 ισχύει: 31f ημx f x x

6

.

γ) Ένα σημείο Μ κινείται κατά μήκος της καμπύλης 3y x , x 0 με x x t και y y t . Να βρείτε σε ποιο

σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τεταγμένης y t του Μ είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της

τετμημένης x t , αν υποτεθεί ότι x t 0 για κάθε t 0 .

δ) Αν g : είναι συνεχής και άρτια συνάρτηση, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 1

1f x g x dx

.

επαναληπτικές 2016

Ανισοτικές σχέσεις

91.Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : για την οποία ισχύει:

2x 0

f x xlim 2005

x

.

α) Να δείξετε ότι: i. f 0 0 ii. f 0 1

β) Να βρείτε το έτσι, ώστε:

22

22x 0

x f xlim 3

2x f x

γ) Αν επιπλέον η f είναι παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο στο και f x f x για κάθε x ,

να δείξετε ότι:

i. xf x 0 για κάθε x 0 ii. 1

0f x dx 1 2005

[68]

92.Δίνεται συνάρτηση f ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο ℝ, με συνεχή δεύτερη παράγωγο, για την οποία

ισχύει ότι:

• 0

f x f x x dx

• f και

x 0

f xlim 1

x

.

• f x xe x f f x e για κάθε και x .

α) Να δείξετε ότι f (μονάδες 4) και f 0 1 .

β) i) Να δείξετε ότι η f δεν παρουσιάζει ακρότατα στο ℝ.

ii) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ.

γ) Να βρείτε το x

x xlim

f x

.

δ) Nα δείξετε ότι e

2

1

f ln x0 dx

x

.

2016

Εύρεση τύπου συνάρτησης

93.Έστω συνάρτηση f συνεχής στο για την οποία ισχύει: 2

3

0f x 10x 3x f t dt 45 .

α) Να αποδείξετε ότι: 3f x 20x 6x 45 .

β) Δίνεται επίσης μια συνάρτηση g δύο φορές παραγωγίσιμη στο . Να αποδείξετε ότι:

h 0

g x g x hg x lim

h

.

γ) Αν για την συνάρτηση f του ερωτήματος Α και τη συνάρτηση g του ρωτήματος Β, ισχύει ότι:

2h 0

g x h 2g x g x hlim f x 45

h

και g 0 g 0 1 , τότε:

i. να αποδείξετε ότι 5 3g x x x x 1

ii. να αποδείξετε ότι η g είναι 1 – 1. 2008

Εμβαδόν επίπεδου χωρίου

94.Δίνεται η συνάρτηση 2f x x ln x ,x 0

α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα μόνο σημείο της fC , στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον

άξονα x΄x.

β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη fC , τον άξονα x΄x και την ευθεία

0x x , όπου 0x είναι η θέση τοπικού ακρότατου της f. 2001

[69]

95.Έστω η συνάρτηση 4

f x 2x , x 0x

.

α) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν E του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της

συνάρτησης f, τον άξονα x΄x και τις ευθείες x και x 1 , 0 είναι

1

E 2 1 4ln 1

.

β) Να προσδιορίσετε τη τιμή του λ για την οποία το εμβαδόν E γίνεται ελάχιστο. 2001

96.Έστω f μια πραγματική συνάρτηση με τύπο:

2

x 3

x , x 3

f x 1 e , x 3

x 3

α) Αν η f είναι συνεχής, να αποδείξετε ότι α =1

9 .

β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης fC της συνάρτησης f στο σημείο

A 4,f 4 .

γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης

f, τον άξονα x΄x και τις ευθείες x 1 και x 2 . 2001

97.α) Έστω δύο συναρτήσεις h, g συνεχείς στο , .Να αποδείξετε ότι αν

h x g x για κάθε x , , τότε και

h(x)dx g(x)dx

.

β) Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f, που ικανοποιεί τις σχέσεις: f xf x e x 1

, x

και f 0 0 .

i. Να εκφραστεί η f ως συνάρτηση της f.

ii. Να δείξετε ότι x

f x xf x2

για κάθε x 0 .

iii. Αν Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f, τις ευθείες

x 0 , x 1 και τον άξονα x΄x, να δείξετε ότι 1 1

E f 14 2 . 2002

98.Δίνεται η συνάρτηση 1

f x 2x 42x 4

.

α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο που τέμνει τον

άξονα y΄y.

β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f.

γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα

των x και τις ευθείες x 0 , x 1 . 2002

99.Έστω η συνάρτηση 5 3f x x x x .

α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα κοίλα και να αποδείξετε ότι η f έχει αντίστροφη

συνάρτηση.

β) Να αποδείξετε ότι xf e f x 1 για κάθε x .

γ) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο 0,0 είναι ο άξονας

συμμετρίας των γραφικών παραστάσεων της f και της –1f .

δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της –1f , τον

άξονα των x και την ευθεία με εξίσωση x 3 . 2003

[70]

100.Θεωρούμε τη συνάρτηση f : με x x x xf x 2 m 4 5 ,m,x , m 0 .

α) Να βρείτε το m ώστε f x 0 για κάθε x .

β) Αν m 10 , να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη fC , τον άξονα x΄x και

τις ευθείες 0x και x 1 . 2004

101.Θεωρούμε τη συνάρτηση xe , x 0

f xx ln x, x 0

όπου .

α) Να υπολογίσετε τον πραγματικό αριθμό α ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο 0x 0 .

β) Αν για τον πραγματικό αριθμό ισχύει 1 :

i. Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x0=0.

ii. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f.

iii. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της

συνάρτησης f, τον άξονα x΄x και τις ευθείες x 1 και x e . 2005

102.Δίνεται η συνάρτηση xf x e , 0 .

α) Δείξτε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.

β) Δείξτε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της fC , η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων, είναι η

y ex . Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου επαφής Μ.

γ) Δείξτε ότι το εμβαδόν E του χωρίου, το οποίο περικλείεται μεταξύ της fC ,της εφαπτομένης στο Μ

και του άξονα y΄y, είναι e 2

E2

.

δ) Υπολογίστε το 2

lim2

. 2005

103.Θεωρούμε τη συνάρτηση 2

f x 2 x 2 με x 2 .

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1.

β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση 1f της f και να βρείτε τον τύπο της.

γ) i. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και 1f με την ευθεία

y x .

ii. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των

συναρτήσεων f και 1f . 2006

104.Δίνεται η συνάρτηση 3 2f x x 3x 2 , όπου μια σταθερά με , 2

.

α) Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο, ένα τοπικό ελάχιστο και ένα σημείο καμπής.

β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x 0 έχει ακριβώς τρείς πραγματικές ρίζες.

γ) Αν 1 2x , x είναι οι θέσεις τοπικών ακρότατων και 3x η θέση του σημείου καμπής της f, να αποδείξετε

ότι τα σημεία 1 1 2 2A x ,f x ,B x ,f x και 3 3x ,f x βρίσκονται στην ευθεία 2y 2x 2 .

δ) Να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης

f και την ευθεία 2y 2x 2 . 2007

105.Δίνεται η συνάρτηση f x x , x .

α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο 0,f 0 .

[71]

β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τις

ευθείες y x και y 1 .

γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε x 0 ισχύει η ανισότητα 23x x x

2 . Ομογενείς 2008

106.∆ίνονται οι συναρτήσεις f x x 1 και g x ln x , x 0 .

α) Να αποδείξετε ότι: f x g x , για κάθε x 0 .

β) Αν h x f x g x , τότε:

i. Να αποδείξετε ότι: 0 h x e 2 , για κάθε 1,ex .

ii. Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της

συνάρτησης h, τον άξονα x΄x και τις ευθείες x 1 και x e .

iii.Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα e h x

1I e h x 1 h x dx .

Ομογενείς 2009

107.Έστω η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύουν οι σχέσεις

f x – f x x , x και f 0 0 .

α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση xg x e f x – x 1 , x , είναι σταθερή.

β) Να αποδείξετε ότι xf x e x –1 , x .

γ) Να αποδείξετε ότι f x 0 , για κάθε x

δ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα x΄x

και την ευθεία x 1 . Ομογενείς 2010

108.Ένα κινητό Μ κινείται κατά μήκος της καμπύλης y x , x 0 .

Ένας παρατηρητής βρίσκεται στη θέση 0,1 ενός συστήματος

συντεταγμένωνΟxy και παρατηρεί το κινητό από την αρχή Ο, όπως

φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Δίνεται ότι ο ρυθμός μεταβολής της

τετμημένης του κινητού για κάθε χρονική στιγμή t, t 0 είναι

x t 16 m/min.

α) Να αποδείξετε ότι η τετμημένη του κινητού, για κάθε χρονική

στιγμή t, t≥0 δίνεται από τον τύπο: x t 16t

β) Να αποδείξετε ότι το σημείο της καμπύλης μέχρι το οποίο ο παρατηρητής έχει

οπτική επαφή με το κινητό είναι το A 4,2 και, στη συνέχεια, να υπολογίσετε πόσο χρόνο διαρκεί η

οπτική επαφή.

γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου Ω που διαγράφει η οπτική ακτίνα ΠΜ του παρατηρητή από το

σημείο Ο μέχρι το σημείο Α.

δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει χρονική στιγμή 0

1t 0,

4

κατά την οποία η απόσταση d M του

παρατηρητή από το κινητό γίνεται ελάχιστη.

Να θεωρήσετε ότι το κινητό Μ και ο παρατηρητής Π είναι σημεία του συστήματος συντεταγμένων

Οxy. Επαναληπτικές 2011

[72]

109.Δίνεται η συνάρτηση f x x 1 lnx 1 - - , x 0 .

α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα

1 0,1 και γνησίως αύξουσα στο διάστημα 2 1, . Στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο τιμών

της f.

β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x 1 2013x e , x 0 έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες.

γ) Αν 1 2x , x με 1 2x x είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος Γ2, να αποδείξετε ότι υπάρχει

0 1 2x x ,x τέτοιο, ώστε 0 0f x f x 2012 .

δ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης

g x f x 1 με x 0 , τον άξονα x΄x και την ευθεία x e . 2012

110.Δίνεται η συνάρτηση xh x x ln e 1 , x .

α) Να μελετήσετε την h ως προς την κυρτότητα.

β) Να λύσετε την ανίσωση xh 2h e

ee 1

, x .

γ) Να βρείτε την οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της h στο , καθώς και την πλάγια

ασύμπτωτή της στο .

δ) Δίνεται η συνάρτηση xx e h x ln2 , x . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που

περικλείεται από τη γραφική παράσταση της φ(x), τον άξονα x΄x και την ευθεία x = 1.

2014 111.Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : A , A 0, με σύνολο τιμών f , f A , τέτοια,

ώστε f x 2e f x 2f x 3 x για κάθε x 0, .

α) Nα αποδείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση 1f της f.

Για τα ερωτήματα Δ2 και Δ3, δίνεται ότι 1 x 2f x e x 2x 3 , x .

β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση 1f ως προς την κυρτότητα. Στη συνέχεια, να βρείτε το εμβαδόν του

χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης 1f , την εφαπτομένη της

γραφικής παράστασης της 1f στο σημείο που αυτή τέμνει τον άξονα y΄y , και την ευθεία x 1 .

γ) Για κάθε x∈ℝ θεωρούμε τα σημεία 1x, f xA , 1f x , xB των γραφικών παραστάσεων των

συναρτήσεων 1f και f αντίστοιχα.

i. Να αποδείξετε ότι, για κάθε x∈ℝ, το γινόμενο των συντελεστών διεύθυνσης των εφαπτομένων

των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων 1f και f στα σημεία A και B αντίστοιχα, είναι ίσο

με 1.

ii. Να βρείτε για ποια τιμή του x∈ℝ η απόσταση των σημείων A, B γίνεται ελάχιστη, και να βρείτε

την ελάχιστη απόστασή τους. 2014

112.Δίνεται η συνάρτηση l

xnx

f =x

, 0x .

α) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f.

β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την μονοτονία (μονάδες 5) και στη συνέχεια να αποδείξετε

ότι: 1ef x για κάθε 0x .

γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης

f, τον άξονα x΄x και την ευθεία 1

xe

. Ομογενείς 2014

[73]

113.Δίνεται η συνάρτηση 1

f x ln x , x 0x

.

α) Να βρείτε τις οριζόντιες και κατακόρυφες ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f, εάν

υπάρχουν .

β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x 0 έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα 1,e .

γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της

συνάρτησης f, τον άξονα x΄x και τις ευθείες x e και x 2e .

Ομογενείς 2016

114.Δίνεται η συνάρτηση

ln x1, 0 x 1

x

f x 1 , x 1

ln x, x 1

x 1

α) Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0, (μονάδες 3) και να βρείτε, αν υπάρχουν, τις κατακόρυφες

ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f.

β) Να αποδείξετε ότι το 0x 1 είναι το μοναδικό κρίσιμο σημείο της f.

γ) i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x 0 έχει μοναδική ρίζα στο 0, .

ii) Αν Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα των x και

τις ευθείες x 1 και 0x x , όπου 0x η μοναδική ρίζα της εξίσωσης f x 0 στο 0, , να

αποδείξετε ότι 2

0 0x 2x 2Ε

2

.

δ) Αν F είναι μια παράγουσα της f στο 1, , να αποδείξετε ότι 2x 1 F x xF 1 F x για κάθε x 1 .

Επαναληπτικές 2016

115.Δίνεται η συνάρτηση 1

f x x 1 , x 2x 2

.

α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι η f είναι κοίλη στο 2, .

β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f.

γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f

και τις ευθείες y x 1, x και x 1 με 2 .

δ) Να βρείτε για ποιες τιμές του 2, ισχύει ln 2 .

Ομογενείς 2016

[74]

Απαντήσεις στα σωστό-λάθος

1. Λ 2. Λ 3. Σ 4. Λ 5. Σ 6. Λ 7.Λ

8. Λ 9. Λ 10.Σ 11.Σ 12.Λ 13.Σ 14.Σ

15.Λ 16.Λ 17.Σ 18.Λ 19.Λ 20.Σ 21.Σ

22.Λ 23.Λ 24.Λ 25.Λ 26.Σ 27.Σ 28.Σ

29.Λ 30.Λ 31.Σ 32.Λ 33.Σ 34.Σ 35.Σ

36.Λ 37.Λ 38.Σ 39.Σ 40.Σ 41.Λ 42.Λ

43.Λ 44.Σ 45.Σ 46.Λ 47.Σ 48.Σ 49.Λ

50.Σ 51.Λ 52.Λ 53.Σ 54.Λ 55.Σ 56.Σ

57.Σ 58.Λ 59.Σ 60.Λ 61.Σ 62.Σ 63.Λ

64.Λ 65.Σ 66.Λ 67.Λ 68.Λ 69.Λ 70.Λ

71.Σ 72.Λ 73.Λ 74.Σ 75.Σ 76.Σ 77.Σ

78.Σ 79.Σ 80.Λ 81.Σ 82.Σ 83.Λ 84.Σ

85.Σ 86.Λ 87.Σ 88.Σ 89.Λ 90.Σ 91.Σ

92.Σ 93.Σ 94.Λ 95.Λ 96.Λ 97.Λ 98.Λ

99.Λ 100.Σ 101.Λ 102.Σ 103.Λ 104.Λ 105.Σ

106.Σ 107.Σ 108.Σ 109.Σ 110.Λ 111.Λ 112.Σ

113.Λ 114.Λ 115.Λ 116.Σ 117.Σ 118.Λ 119.Σ

120.Λ 121.Λ 122.Λ 123.Σ 124.Σ 125.Λ 126.Σ

127.Λ 128.Σ 129.Λ 130.Σ 131.Σ 132.Λ 133.Λ

134.Λ 135.Λ 136.Λ 137.Σ 138.Σ