Download - Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

Transcript
Page 1: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

µοντέλα υπολογισµού επηρεασµένα από τηνϕύση και τη βιολογίαΜεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών “Πληροφορική”Μάθημα: Βιοπληροφορική

Κων/νος Γιαννάκης[email protected]

23 Φεβρουαρίου 2016

Τμήμα Πληροφορικής, Ιόνιο Πανεπιστήμιο

QUIT- Quantum and UnconventIonal CompuTing group

0

Page 2: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

κατευθύνσεις διάλεξης

⊙Κλασικός Υπολογισμός⊙Μοριακός Υπολογισμός⊙Κβαντικός Υπολογισμός⊙Εμπνευσμένα από την φύση (Bio-inspired models) βασισμέναστα παραπάνω⊙QUIT- Quantum and UnconventIonal CompuTing group

⇒ http://quit.di.ionio.gr/ ⇐

1

Page 3: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

standard computation

Page 4: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

ιστορικά στοιχεία

∙ Οι βάσεις της μπήκαν στα χρόνια πριν τον 2ο ΠΠ (κυρίως τηδεκαετία του ’30).

∙ Πατέρας της Θεωρίας Υπολογισμού θεωρείται ο Alan Turing.

∙ Επιστήμονες με μεγάλη συμβολή την ίδια περίοδοσ είναι οι KurtGödel, Alonzo Church, Stephen Kleene κ.ά.

∙ Τα αυτόματα και η θεωρία αυτών αναπτύχθηκαν κατά τιςδεκαετίες του ’40 και του ’50.

3

Page 5: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

αυτόµατα

∙ Κλάδος της Θεωρίας Υπολογισμού που ασχολείται μεεξιδανικευμένα και αφαιρετικά υπολογιστικά μοντέλα.

∙ Πεπερασμένα αυτόματα.∙ Όχι άπειρη μνήμη.

∙ Βασικά συστατικά οι καταστάσεις, οι μεταβάσεις και ηείσοδος-έξοδος.

Ρφθμιση ήχουΡφθμιση εικόνας

Ένταση Άλλες ρυθμίσειςΆλλες ρυθμίσεις

Κάτω Κάτω Κάτω

Άλλες ρυθμίσεις

Πάνω ΠάνωΠάνω

ΠάνωΚάτω

4

Page 6: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

ντετερµινιστικά αυτόµατα (dfa)

∙ Για μία δεδομένη είσοδο υπάρχει μία μοναδική κατάσταση πουμπορεί να επισκευθεί.

∙ (Q, Σ, δ : Q x Σ → Q, q0, F)

q0

1

1

00

q1

5

Page 7: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

µη-ντετερµινιστικά αυτόµατα (νfa)

∙ Για μία δεδομένη είσοδο υπάρχει μία, περισσότερες ή και καμίακατάσταση που μπορεί να επισκευθεί (ακόμα και για το ίδιοσύμβολο).

∙ Επιτρέπονται και μεταβάσεις χωρίς την ανάγνωση κάποιουσυμβόλου.

∙ (Q, Σ, δ : Q x Σ ∪ {ϵ} → P(Q), q0, F)

q0 q1 Άλλες ρυθμίσειςΆλλες ρυθμίσεις

1 1

q2

0,10,1

6

Page 8: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

η σχέση dfa και nfa

Αποδεικνύεται ότι:Για κάθε μη ντετερμινιστικό πεπερασμένο αυτόματο

υπάρχει ένα ισοδύναμο ντετερμινιστικό.

∙ Η μετατροπή από NFA σε DFA μπορεί να επιφέρει εκθετικάπερισσότερες καταστάσεις!

7

Page 9: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

λογική

∙ Συλλογιστική λογική (500 π.Χ. - 19ος αιώνας)

∙ Συμβολική λογική (μέσα με τέλη του 19ου αιώνα)∙ George Boole, Cantor κ.ά.

∙ Μαθηματική λογική (τέλη του 19ου αιώνα - μέσα του 20ουαιώνα)

∙ Frege, Russel, Hilbert κ.ά.

∙ Η λογική στην επιστήμη των υπολογιστών

8

Page 10: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

πιθανοτικά και µαρκοβιανά µοντέλα

Page 11: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

στοχαστικές διαδικασίες

∙ Διαδικασίες που εμπεριέχουν τυχαιότητα (random processes).

∙ Poisson processes, Μαρκοβιανές διαδικασίες κ.ά.

∙ Εφαρμογή στην βιομηχανία και την οικονομία (π.χ.χρηματιστήριο) όσο και σε ερευνητικό επίπεδο.

10

Page 12: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

µαρκοβιανή ιδιότητα

* Η μετάβαση στην επόμενη κατάσταση δεν εξαρτάται από τιςπροηγούμενες καταστάσεις.

* Μοναδικό ρόλο παίζει η τρέχουσα κατάσταση στην οποίαβρίσκεται μία δεδομένη στιγμή το σύστημα.

Ορισμός

P(Xn = xn|Xn−1 = xn−1 . . . X0 = x0) = P(Xn = xn|Xn−1 = xn−1)

* birth processes, gambling, random walkers, queueing theory,information theory and information retrieval.

11

Page 13: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

αλυσίδες markov

Πιθανότητα μετάβασης από μία κατάσταση i σε μία άλλη j

pij = P(X1 = j|X0 = i)

μετά απο n βήματαp(n)ij = P(Xn = j|X0 = i)

12

Page 14: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

µαρκοβιανές διαδικασίες αποϕάσεων

Διάκριση

∙ autonomous ή controlled∙ fully ή partially observed

13

Page 15: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

pomdp

∙ Μη αυτόνομα και μη παρατηρήσιμα μαρκοβιανά μοντέλα.∙ Δεν γνωρίζει την ακριβή κατάσταση στην οποία βρίσκεται.∙ Διατηρεί μία κατανομή πιθανότητας (belief state).∙ NP-complete

14

Page 16: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

πιθανοτική λογική και υπολογισµός

Page 17: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

λογική και πιθανότητες

Κλασική λογική

ϕ1, ϕ2, . . . ϕn � ψ

Πιθανοτική λογική

ϕX11 , ϕX22 , . . . ϕ

Xnn � ψY

16

Page 18: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

λογική και πιθανότητες (συν...)

Γένεση 18:32

Καί είπεν ο Αβραάμ, Ας μή παροξυνθή ο Κύριός μου, εάν λαλήσω έτιάπαξ; εάν ευρεθώσιν εκεί δέκα; καί είπε, Δέν θέλω απολέσει αυτήνχάριν τών δέκα.

Υποκειμενική vs Αντικειμενική θεώρηση πιθανοτήτων

17

Page 19: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

πιθανοτικός υπολογισµός

* Μαζί με την είσοδο μπαίνει και πιθανότητα στο σύστημα

* Το παραγόμενο αποτέλεσμα εξαρτάται όχι μόνο από την είσοδο,αλλά και από κάποιες τυχαίες ρίψεις ενός κέρματος.

P(w) :=∑

p∈Acc(w)∏n

i=1(pi,wi,pi+1)∑p∈Run(w)

∏ni=1(pi,wi,pi+1)

. (1)

18

Page 20: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

pfa (probabilistic finite automata)

∙ Προτάθηκαν από τον Rabin (1963)

∙ Μοιάζουν με απλές αλυσίδες Markov

19

Page 21: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

membrane computing

Page 22: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

membrane computing

∙ Known as P systems with several proposed variants.∙ Evolution depicted through rewriting rules on multisets of theform u→v

∙ imitating natural chemical reactions, u, v are multisets of objects.

∙ The hierarchical status of membranes evolves by constantlycreating and destroying membranes, by membrane division etc.

∙ Represented either by a Venn diagram or a tree.∙ Types of communication rules:

∙ symport rules (one-way passing through a membrane)∙ antiport rules (two-way passing through a membrane)

21

Page 23: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

examples

◦ Membranes create hierarchical structures.◦ Each membrane contains objects and rules.

(a) Hierarchical nestedmembranes

(b) With simple objects and rules

22

Page 24: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

p systems evolution and computation

∙ Via purely non deterministic, parallel rules.

∙ Characteristics of membrane systems: the membrane structure,multisets of objects and rules.

∙ They can be represented by a string of labelled matchingparentheses.

∙ Use of rules =⇒ transitions among configurations.∙ A sequence of transitions is interpreted as computation.∙ Accepted computations are those which halt and a successfulcomputation is associated with a result.

23

Page 25: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

p automata

∙ Variants of P systems with automata-like behaviour.∙ Computation starts from an initial configuration.∙ Acceptance is defined by a set of final states.

∙ They define a computable set of configurations satisfying certainconditions.

∙ The set of accepted input sequences forms the acceptedlanguage.

∙ A configuration of a P automaton with n membranes is definedas a n-tuple of multisets of object in each membrane.

∙ A run of a P automaton is defined as a process of altering itsconfigurations in each step.

∙ Transition function depends on the computational mode(maximally parallel mode, sequential mode, etc).

24

Page 26: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

rules used in membrane computing

...

...

b)

a)

c) exo

(a,in)aa(b,in)ba

(a,out)cab

c→abbbba

(a,out)caa

c→bbcca

=⇒

=⇒

=⇒

25

Page 27: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

a case study

∙ A biological model of mitochondrial fusion by Alexiou et al,expressed in BioAmbient calculus.

∙ Cell is divided into hierarchically nested ambients.∙ 3 proteins are required (Mfn1, Mfn2 and OPA1) for the successfulfusion.

∙ Fusion can occur:∙ by the merging of two membrane-bounded segments.∙ when segments may enter or exit one another.

∙ Synchronized capabilities that can alter ambients’ state are:entry, exit, or merge of other compartments.

26

Page 28: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

our approach

∙ Every ambient ≡ membrane subsystem.∙ Hierarchical structure of ambients ≡ membrane-like segments.

∙ Biomolecular rules from Bioambient calculus to P automatarewriting rules.

∙ Actions altering ambients’ state (entry, exit, or merge).

Initial configuration:

[[[[[[]AO1 []K ]PM1M2 ]RM1M2 ]GM1M2 ]OMOM1M2 [[[[[]BO1 ]PO1 ]RO1 ]GO1 ]IMOM1M2 ]skin/cell

Final configuration:

[[]PM1M2 []RM1M2 []GM1M2 []OMOM1M2 []PO1 []RO1 []GO1 []IMOM1M2 []K []AO1 []BO1 ]skin/cell

27

Page 29: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

the production of the the protein mfn1-mfn2

Initial config. consecutive use of appropriate rule−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ final config. and halt.

∙ Initial configuration: [[[[]PM1M2]RM1M2]GM1M2]OMOM1M2

∙ Final configuration: []PM1M2[]RM1M2[]GM1M2[]OMOM1M2

∙ Halting configuration through consecutive exo operations.

[[[[]PM1M2 ]RM1M2 ]GM1M2 ]OMOM1M2exo−−→ [[[]PM1M2 ]RM1M2 ]GM1M2 []OMOM1M2

exo−−→

[[]PM1M2 ]RM1M2 []GM1M2 []OMOM1M2exo−−→ []PM1M2 []RM1M2 []GM1M2 []OMOM1M2

∙ Similarly for the rest parts of the model.

28

Page 30: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

definition i

A generic P system (of degree m, m ≥ 1) with the characteristics described above can be defined as a construct

Π=(V, T, C, H, µ, w1 , ..., wm, (R1 , ..., Rm), (H1 , ..., Hm) i0) ,

where

1. V is an alphabet and its elements are called objects.

2. T ⊆ V is the output alphabet.

3. C ⊆ V, C ∩ T = ⊘ are catalysts.

4. H is the set {pino, exo, mate, drip} of membrane handling rules.

5. µ is a membrane structure consisting of m membranes, with the membranes and the regions labeled in a one-to-one way withelements of a given set H.

6. wi , 1 ≤ i ≤ m, are strings representing multisets over V associated with the regions 1,2, ... ,m of µ.

7. Ri , 1 ≤ i ≤ m, are finite sets of evolution rules over the alphabet set V associated with the regions 1,2, ... , m of µ. These objectevolution rules have the form u → v.

8. Hi , 1 ≤ i ≤ m, are finite sets of membrane handling rules rules over the set H associated with the regions 1,2, ... , m of µ.

9. i0 is a number between 1 and m and defines the initial configuration of each region of the P system.

29

Page 31: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

definition ii

Formally, a one-way P automaton with n membranes (n ≥ 1) andantiport rules is a construct

Π=(V, µ, P1, ..., Pn, c0, F),

where:

1. V is a finite alphabet of objects,2. µ is the underlying membrane structure of the automaton with

n membranes,3. Pi is a finite set of antiport rules for membrane i with 1≤i≤n

without promoters/inhibitors, where each antiport rule is of theform (a, out; b, in) with a, b being multisets consisting ofelements of the set V,

4. c0 is the initial configuration of Π , and5. F is the set of accepting configurations of Π.

30

Page 32: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

schematic view

Figure: The step by step process through consecutive exo operations.

31

Page 33: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

schematic view

32

Page 34: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

discussion

X Inherent compartmentalization, easy extensibility and directintuitive appearance for biologists.

X Suitable in cases when few number of objects are involved orslow reactions.

X Need for deeper understanding of mitochondrial fusion◦ Connections with neurodegenerative diseases and malfunctions.

X Probability theory and stochasticity (many biological functionsare of stochastic nature).

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis1

Drp1

Mff Fis133

Page 35: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

dna computing

Page 36: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

adleman’s experiment i

35

Page 37: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

adleman’s experiment ii

36

Page 38: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

more on dna computing

∙ DNA is found in almost all living organisms.∙ Storing information.∙ DNA is stored as a code made of four chemical bases (A, T, G ,C).

∙ Adenine(A) with Thymine(T)∙ Guanine(G) with Cytosine(C)

∙ DNA computer is a molecular computer that worksbiochemically to solve complex problems and differentpossible solutions are created all at once.

∙ Its computation process is achieved using enzymes that react withDNA strands and cause chain reactions.

37

Page 39: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

more on dna computing

∙ First Practical DNA computer: 2002 (used in gene analysis).∙ Dense data storage.∙ Massively parallel computation.∙ Energy efficient.

∙ 1 gram of DNA = 2.2 Petabytes∙ 1 PB = 1000 terabytes∙ Modern supercomputers = 109 operations/joule

∙ DNA computer = 2*1019operations/joule

38

Page 40: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

advantages and disadvantages

∙ Cheap resource.∙ DNA biochips are eco-friendly.∙ Small size.

∙ Not completely accurate.∙ Short life-span

∙ Solutions could dissolve away before the end of the process.

39

Page 41: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

quantum computing

Page 42: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

ένα κβαντικό παιχνίδι - captain picard vs q

∙ Το παιχνίδι “PQ Penny Flip” το επινόησε ο φυσικός David A. Meyerτο 1999.

∙ Το διαστημόπλοιο Enterprise βρίσκεται σε κίνδυνο. Ο Qπροσφέρεται να βοηθήσει με την προϋπόθεση ο Captain Picardκαταφέρει να τον κερδίσει στο ακόλουθο παιχνίδι:

∙ Ο Picard τοποθετεί ένα νόμισμα σε ένα κουτί στη θέση “κεφάλι”.∙ Ο Q επιλέγει είτε να επιδράσει στο νόμισμα είτε όχι.∙ Μετά ο Picard επιλέγει αν θα αναποδογυρίσει το νόμισμα είτε όχι.∙ Στο τέλος πάλι ο Q επιλέγει είτε να επιδράσει στο νόμισμα είτε όχι.∙ Αν ανοίγοντας το κουτί το νόμισμα είναι στη θέση “κεφάλι”, κερδίζειο Q. Διαφορετικά κερδίζει ο Captain Picard.

41

Page 43: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

το αποτέλεσµα

∙ Ο Picard, πιστεύοντας ότι έχει πιθανότητα 0,5 να κερδίσει,δέχεται να παίξει.

∙ Παίζουν και ο Q κερδίζει το παιχνίδι.∙ Ο Picard, επικαλούμενος ότι ο Q κάνει δύο κινήσεις, ενώ ο ίδιοςμία, πείθει τον Q να παίξουν το ίδιο παιχνίδι άλλες 9 φορές.

∙ Ο Q δέχεται.∙ Ο Q κερδίζει όλες τις φορές.∙ Ο Captain Picard αναρωτιέται αν ο Q κλέβει. Τι ακριβώςσυμβαίνει;

42

Page 44: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

ο νόµος του moore

∙ Το 1965 ο Gordon Earle Moore, συνιδρυτής της Intel,παρατήρησε ότι οι πυκνότητες τρανζίστορ στα ολοκληρωμένακυκλώματα διπλασιάζονται περίπου κάθε 24 μήνες.

∙ “The number of transistors incorporated in a chip willapproximately double every 24 months.”

∙ Ο 8086 (1978) ήταν 16-bit, είχε 29.000 τρανζίστορ και για τηνκατασκευή χρησιμοποιήθηκε τεχνολογία ολοκλήρωσης 3.2 μm.

∙ Στο σήμερα, η προηγούμενη γενιά της Intel (Haswell-E)κατασκευάστηκε με τεχνολογία ολοκλήρωσης 22nm και περιείχε2,6 δισεκατομμύρια τρανζίστορ.

∙ Η τελευταία γενιά (Skylake) κατασκευάζεται με τεχνολογίαολοκλήρωσης 14nm.

43

Page 45: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

συνέπειες του νόµου του moore

∙ Μία εμπειρική παρατήρηση που αντέχει εδώ και 50 χρόνια!

∙ Λόγω της ολοένα και περισσότερο σμίκρυνσης της τεχνολογίαςολοκλήρωσης, φαίνεται πως βρισκόμαστε στο προοίμιο μιαςνέας εποχής, όπου τα τρανζίστορ θα τείνουν να φτάσουν τομέγεθος των ατόμων.

∙ Τότε οι σημερινές τεχνικές σχεδίασης δεν θα είναι εφαρμόσιμες.

44

Page 46: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

κβαντικά bits και κβαντικές πύλες

∙ Στους κλασικούς υπολογιστές τα δεδομένα κωδικοποιούνται σεbits.

∙ Για τους κβαντικούς υπολογιστές και τον κβαντικό υπολογισμό τοαντίστοιχο του κλασικού bit είναι το κβαντικό bit, ή πιο απλάqubit (η στοιχειώδης μονάδα κβαντικής πληροφορίας).

∙ Ένας κβαντικός υπολογιστής επενεργεί στα qubits μέσω τωνκβαντικών πυλών που υλοποιούν κβαντικούς μετασχηματισμούς.

∙ Στο τέλος του υπολογισμού μέσω της μέτρησης θα προκύψει τοτελικό αποτέλεσμα.

45

Page 47: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

qubits

∙ Ένα bit μπορεί να βρίσκεται σε μόνο μια από δύο δυνατέςκαταστάσεις (0 ή 1).

∙ Ένα qubit βρίσκεται σε επαλληλία (ή υπέρθεση) και των δύοκαταστάσεων ταυτόχρονα.

∙ Αν μετρήσουμε ένα qubit, τότε αυτό “καταρρέει ” σε μία από τιςδύο καταστάσεις με κάποια πιθανότητα. Το άθροισμα τωνπιθανοτήτων είναι ίσο με 1.

∙ ΠΡΟΣΟΧΗ! Ένα qubit δεν είναι ισοδύναμο με ένα κλασικό bitακόμη και αν η πιθανότητα το bit να είναι στην κατάσταση 0 ή 1είναι ίση με την πιθανότητα το qubit να βρεθεί στην ίδιακατάσταση όταν μετρηθεί.

∙ Στην υπέρθεση υφίσταται και μια σχετική φάση μεταξύ τωνκαταστάσεων.

∙ εμφάνιση φαινομένων συμβολής των δύο καταστάσεων.

46

Page 48: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

ο συµβολισµός του dirac

∙ Χρησιμοποιούμε το συμβολισμό που εισήγαγε ο διάσημοςφυσικός Paul Dirac.

∙ Η κατάσταση 0 συμβολίζεται με το ket |0⟩ και η κατάσταση 1συμβολίζεται με το ket |1⟩.

∙ Κάθε ket αντιστοιχεί σε ένα διάνυσμα ενός (κατάλληλου) χώρουHilbert. Στη συγκεκριμένη περίπτωση τα kets |0⟩ και |1⟩ μπορούννα αντιστοιχηθούν σε διανύσματα στήλες, όπως φαίνεταιπαρακάτω:

|0⟩ =[10

], |1⟩ =

[01

]. (2)

47

Page 49: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

kets και bras

∙ Στη γενική περίπτωση ένα qubit βρίσκεται στην κατάσταση |ψ⟩που περιγράφεται από την παρακάτω σχέση:

|ψ⟩ = c0 |0⟩+ c1 |1⟩ (3)

όπου c0 και c1 ονομάζονται πλάτη πιθανότητας (probabilityamplitudes) και είναι μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει|c0|2 + |c1|2 = 1.

∙ Σε κάθε ket |ψ⟩ αντιστοιχεί ένα bra ⟨ψ| ώστε να ισχύει:

⟨ψ| = c∗0 ⟨0|+ c∗1 ⟨1| (4)

όπου c∗0 και c∗1 οι συζυγείς των c0 και c1.

48

Page 50: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

ορολογία και συµβολισµοί

∙ Με Hn συμβολίζουμε ένα χώρο Hilbert διάστασης n.∙ Cn×n είναι το σύνολο των πινάκων n× n με στοιχεία μιγαδικούςαριθμούς.

∙ Αν U είναι ένας τετραγωνικός πίνακας n× n, τότε U είναι οσυζυγής του και U† ο ανάστροφος συζυγής του (adjoint).

∙ Η χρονική εξέλιξη των κβαντικών συστημάτων περιγράφεται απόορθομοναδιαίους τελεστές (unitary operators).

49

Page 51: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

ορολογία και συµβολισµοί

∙ Οι ορθομοναδιαίοι πίνακες έχουν πολλές χρήσιμες ιδιότητες:∙ Διατηρούν το μέγεθος (norm) των διανυσμάτων στα οποίαεπενεργούν.

∙ Έχουν αντίστροφο πίνακα για τον οποίο ισχύει U−1 = U†, ή αλλιώς,U†U = UU† = I.

∙ Κάθε παρατηρήσιμο (observable) φυσικό μέγεθος αντιστοιχεί σεέναν ερμιτιανό, αλλιώς αυτοσυζυγή (self-adjoint), τελεστή(U = U†).

∙ Το αποτέλεσμα μιας μέτρησης είναι πάντα μία από τις ιδιοτιμές(eigenvalues) του ερμιτιανού πίνακα.

50

Page 52: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

κβαντικός υπολογισµός

∙ Μια βασική κατάσταση συνήθως αναπαρίσταται από το ket|i⟩ = (0, . . . , 1, . . . , 0)T.

∙ Πρόκειται για το ket που έχει 0 σε κάθε θέση εκτός από τη θέση iόπου υπάρχει η τιμή 1.

∙ Γενικότερα, κάθε κατάσταση |ψ⟩ του συστήματος μπορεί ναπεριγραφεί ως μια επαλληλία από kets της μορφής:

|ψ⟩ =n∑i=1

ci |i⟩ , (5)

όπου:∙ n ο αριθμός των βασικών καταστάσεων,∙ |i⟩ είναι η βασική κατάσταση i και∙ ci ∈ C είναι τα πλάτη πιθανότητας που ικανοποιούν τη σχέση|c1|2 + |c2|2 + · · ·+ |cn|2 = 1.

51

Page 53: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

κβαντικός υπολογισµός

∙ Μετά τη μέτρηση το σύστημα θα βρίσκεται σε μία από τιςβασικές καταστάσεις |i⟩ (κατάρρευση της υπέρθεσης).

∙ Η πιθανότητα το σύστημα να βρεθεί στην κατάσταση |i⟩ είναι|ci|2.

∙ Πολλές φορές χρησιμοποιούμε το τανυστικό γινόμενο (tensorproduct) μεταξύ διανυσμάτων και μεταξύ πινάκων. Το τανυστικόγινόμενο των kets |0⟩ και |1⟩ συμβολίζεται με |0⟩ ⊗ |1⟩ και δίνει ωςαποτέλεσμα το ket |01⟩.

52

Page 54: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

ο αλγόριθµος του deutsch

∙ Ο πρώτος κβαντικός αλγόριθμος αναπτύχθηκε από τον Deutsch(1985, 1989). Ο αλγόριθμος αυτός, αν και λύνει ένα τετριμμένοπρόβλημα, δείχνει ξεκάθαρα τη διαφορά ανάμεσα σε κλασικό καικβαντικό υπολογισμό.

∙ Δίνεται μία συνάρτηση f(x) : {0, 1} −→ {0, 1}. Για κάθε τέτοιασυνάρτηση υπάρχουν δύο περιπτώσεις: (1) f(0) = f(1), οπότε ησυνάρτηση ονομάζεται σταθερή και (2) f(0) = f(1), οπότε ησυνάρτηση ονομάζεται ισορροπημένη.

∙ Ζητούμενο: Δεν γνωρίζουμε τη συνάρτηση f(x) και θέλουμε ναμάθουμε αν είναι σταθερή ή ισορροπημένη υπολογίζοντας τηντιμή της μόνο μία φορά.

53

Page 55: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

ο αλγόριθµος του deutsch

∙ Με έναν κλασικό υπολογιστή πρέπει να υπολογίσουμε και τις δύοτιμές f(0) και f(1) και να συγκρίνουμε τα αποτελέσματα. Αν όμωςχρησιμοποιήσουμε το κβαντικό κύκλωμα που φαίνεταιπαρακάτω μπορούμε, κάνοντας έναν μόνο υπολογισμό της f(x),να μάθουμε αν είναι σταθερή ή ισορροπημένη.

Figure: Ο αλγόριθμος του Deutsch.

54

Page 56: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

ο αλγόριθµος του deutsch

∙ Αν εκτελέσουμε τις πράξεις που φαίνονται στο προηγούμενοδιάγραμμα θα διαπιστώσουμε ότι η κατάσταση του κβαντικούκυκλώματος ακριβώς πριν τη μέτρηση είναι:

∙ (±1) |0⟩ ( |0⟩−|1⟩√2 ), f(x), αν η f(x) είναι σταθερή.

∙ (±1) |1⟩ ( |0⟩−|1⟩√2 ), f(x), αν η f(x) είναι ισορροπημένη.

∙ Για να συμπεράνουμε αν η f(x) είναι σταθερή ή ισορροπημένη,μετράμε το άνω qubit.

55

Page 57: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

ο αλγόριθµος του shor

∙ Οι δημοφιλέστεροι αλγόριθμοι κρυπτογράφησης δημόσιωνκλειδιών (όπως ο RSA) βασίζονται στην δυσκολία τηςπαραγοντοποίησης μεγάλων αριθμών. Πιστεύεται ότι σήμεραείναι υπολογιστικά ανέφικτη η ανάλυση μεγάλων αριθμών σεπαράγοντες πρώτων αριθμών.

∙ Με τον αλγόριθμο του Peter Shor (1994) ένας κβαντικόςυπολογιστής θα μπορούσε να λύσει αυτό το πρόβλημααποτελεσματικά (δηλαδή πολυωνυμικά).

56

Page 58: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

ο αλγόριθµος του grover

∙ Ας υποθέσουμε ότι έχουμε έναν αταξινόμητο πίνακα n στοιχείωνκαι ότι θέλουμε να βρούμε ένα συγκεκριμένο στοιχείο.

∙ Για να εντοπίσουν το συγκεκριμένο στοιχείο, οι γνωστοί κλασικοίαλγόριθμοι χρειάζονται στη χειρότερη περίπτωση n βήματα καιn/2 βήματα κατά μέσο όρο.

∙ Ο Grover το 1997 παρουσίασε έναν κβαντικό αλγόριθμο(”Quantum mechanics helps in searching for a needle in ahaystack”) που λύνει το πρόβλημα σε

√n βήματα.

57

Page 59: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

κβαντική κρυπτογραϕία

∙ Η Alice επιθυμεί να επικοινωνήσει με ασφάλεια με τον Bob, ενώ ηEve προσπαθεί να κρυφακούσει.

∙ Ας υποθέσουμε ότι η Alice χρησιμοποιεί qubits αντί για bits.∙ Ακόμη και αν η Eve καταφέρει να υποκλέψει το μήνυμα, δενμπορεί να αποθηκεύσει αντίγραφα. Αυτό οφείλεται στοεκπληκτικό θεώρημα της μη κλωνοποίησης (no-cloningtheorem).

∙ Για να διαβάσει τα qubits η Eve, έχει επέμβει με την πράξη τηςμέτρησης δραστικά στο μήνυμα. Αυτή η επέμβαση μπορεί ναγίνει αντιληπτή από την Alice και τον Bob, οι οποίοικαταλαβαίνουν την παρουσία της Eve.

58

Page 60: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

θεώρηµα µη κλωνοποίησης (no-cloning theorem)

∙ Έστω ότι υπάρχει τρόπος να κλωνοποιήσουμε μια κβαντικήκατάσταση μέσω ενός τελεστή C.

∙ Αν εφαρμόσουμε τον C στην κατάσταση |x⟩+|y⟩√2 ⊗ |0⟩, θα

προκύψει η κατάσταση |x⟩+|y⟩√2 ⊗ |x⟩+|y⟩√

2 .∙ Οι τελεστές που δρουν στα κβαντικά συστήματα είναι γραμμικοί.Αυτό σημαίνει αν γράψουμε την αρχική κατάσταση ως(|x⟩⊗|0⟩)+(|y⟩⊗|0⟩)√

2 και μετά δράσουμε με τον C, η νέα κατάστασηπου θα είναι η (|x⟩⊗|x⟩)+(|y⟩⊗|y⟩)√

2 .

∙ Προφανώς |x⟩+|y⟩√2 ⊗ |x⟩+|y⟩√

2 = (|x⟩⊗|x⟩)+(|y⟩⊗|y⟩)√2 και άρα δεν μπορεί

να υπάρξει ένας τελεστής κλωνοποίησης.∙ Αυτό που επιτρέπεται είναι η (τηλε)μεταφορά.

59

Page 61: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

d-wave

∙ Η D-Wave Systems είναι η πρώτη εταιρεία που κατασκεύασεεμπορικούς κβαντικούς υπολογιστές.

∙ Ο D-Wave One (Μάιος 2011) ήταν ο πρώτος εμπορικά διαθέσιμοςκβαντικός υπολογιστής και βασιζόταν σε έναν επεξεργαστή128-qubit.

∙ Ο D-Wave Two (2013), βασιζόταν σε έναν επεξεργαστή 512-qubit.∙ Ο D-Wave 2X (2015) χρησιμοποιεί έναν κβαντικό επεξεργαστή1000+ qubits.

∙ Πρόκειται για υπολογιστή ειδικού σκοπού που σύμφωνα με τιςμετρήσεις της εταιρείας για συγκεκριμένες κατηγορίεςπροβλημάτων υπερέχει των κλασικών υπολογιστών.

∙ Ο D-Wave μέχρι σήμερα είναι αμφιλεγόμενος, καθώς αρκετοίερευνητές από τον ακαδημαϊκό χώρο αμφισβητούν τουςισχυρισμούς της εταιρείας.

60

Page 62: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

γιατί κέρδισε ο q το παιχνίδι

∙ Η κατάσταση του νομίσματος μπορεί να παρασταθεί με ένα ketαπό το δισδιάστατο χώρο Hilbert H2.

∙ Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι η κατάσταση που αντιστοιχεί στηθέση ”κεφάλι” είναι αυτή που φαίνεται παρακάτω:

|H⟩ = |0⟩ =[10

]. (6)

∙ Οι επιλογές του Captain Picard αντανακλούν το κλασικό πεδίοκαι είναι μόνο δύο: είτε θα αφήσει το νόμισμα ως έχει (επιλογήI2) είτε θα το αναποδογυρίσει (επιλογή F). Οι επιλογές αυτέςμπορούν να παρασταθούν από τους ακόλουθους δύο πίνακες:

I2 =[1 00 1

], F =

[0 11 0

]. (7)

61

Page 63: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

γιατί κέρδισε ο q το παιχνίδι

∙ O Q, σε αντιδιαστολή με τον Picard, έχει την ευχέρεια να παίξει σεκβαντικό επίπεδο και, άρα, έχει περισσότερες επιλογές. Η επιλογήτου είναι να δράσει και τις δύο φορές πάνω στο νόμισμα μέσωτου ορθομοναδιαίου (unitary) τελεστή Hadamard πουπεριγράφεται από τον πίνακα Hadamard U:

U =1√2

[1 11 −1

]. (8)

∙ Αν ο Captain Picard επιλέξει να αφήσει το νόμισμα ως έχει(επιλογή I2), τότε η τελική κατάσταση του νομίσματος θα είναι:

UI2U |H⟩ = U(I2(U |H⟩)) = |H⟩ . (9)

62

Page 64: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

γιατί κέρδισε ο q το παιχνίδι

∙ Αν ο Captain Picard επιλέξει να αναποδογυρίσει το νόμισμα(επιλογή F), τότε η τελική κατάσταση του νομίσματος θα είναι:

UFU |H⟩ = U(F(U |H⟩)) = |H⟩ . (10)

∙ Η επαλήθευση γίνεται εύκολα, κάνοντας τους αντίστοιχουςπολλαπλασιασμούς πινάκων.

∙ Το συμπέρασμα είναι ότι ο Picard με κλασική στρατηγική δεν θανικήσει ποτέ τον Q που χρησιμοποιεί κβαντική στρατηγική.

63

Page 65: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

basics of quantum computing

∙ QC considers the notion of computing as a natural, physicalprocess.

∙ It must obey to the postulates of quantum mechanics.

∙ Bit ⇒ Qubit.

∙ It was initially discussed in the works of Richard Feynman in theearly ’80s.

64

Page 66: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

explanation forget about schrödinger’s cat!

(a) Bank’srestrictions

(b)Observing apocket

(c) Observingcredit cards

∙ We are in a superposition of having money and not havingmoney!

∙ We have to “measure” the person to know the exact state!∙ Different “ways” to measure (we call them observables).∙ System collapses to the measured “state”!

65

Page 67: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

automata and computation (standard and quantum)

∙ Finite automata ⇒ simple models of computation.

∙ Finite quantum automata∙ A quantum system where each symbol represents the applicationof a unitary transformation.

∙ Proposed after the middle of the 1990s.∙ They can be seen as a generalization of probabilistic finiteautomata.

∙ Transitions are weighted with a probability amplitude ⇒ vectors ina Hilbert space.

∙ Probability semantics under which automata accept or reject.

66

Page 68: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

quantum automata variations

∙ Measure-many approach

∙ Measure-once approach

∙ There are regular languages not recognized by a quantumautomaton.

∙ We have to blame the reversibility of the quantum system!

∙ But they are space-efficient.

∙ 2-way variants are more powerful.

67

Page 69: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

ω-computability receiving infinite inputs

∙ ω-automata.∙ Infinite input∙ Acceptance conditions

∙ E.g. Büchi automata.∙ Büchi acceptance condition.∙ They accept the runs ρ for which In(ρ) ∩ F = ∅ (F ⊆ Q).

∙ Extension of the NFA with infinite inputs∙ The acceptance condition Acc declares how the infinite runs areaccepted by the automaton.

∙ The class of languages recognized from (almost) all the abovemachines are the ω-regular languages.

68

Page 70: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

periodic quantum automata

Page 71: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

terminology needed for clarification

∙ Σ ⇒ the alphabet∙ Σ∗ ⇒ the set of all finite strings over Σ∙ Σω ⇒ the set of all infinite strings∙ If U is a n× n square matrix , U is its conjugate, and U† itstranspose and conjugate.

∙ Cn×n defines the set of all n× n complex matrices.∙ A unitary operator (or matrix) U is an orthogonal matrix withcomplex entries that preserves the norms of vectors.

∙ Equivalently, a matrix U is unitary if it has an inverse and if ∥Uψ∥= ∥ψ∥ for every vector ψ.

∙ Hn is an n-dimensional Hilbert space.∙ Bras ⟨ψ| and Kets |ψ⟩ in Dirac formalism for each state ψ.

70

Page 72: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

quantum computation states and formalism

∙ Two types of quantum states: pure and mixed states.∙ A pure state is a state represented by a single ket vector |ψ⟩ in aHilbert space over complex numbers.

∙ A mixed state is a statistical distribution of pure states (usuallydescribed with density matrices).

∙ The evolution of a quantum system is described by unitarytransformations.

∙ The states of an n-level quantum system are self-adjointpositive mappings of Hn with unit trace.

∙ An observable of a quantum system is a self-adjoint mappingHn → Hn.

∙ Each state qi ∈ Q with |Q| = n can be represented by a vectorei = (0, . . . , 1, . . . , 0).

71

Page 73: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

quantum computation applying matrices, observables, and projection

∙ Each of the states is a superposition of the formn∑i=1

ciei.

∙ n is the number of states∙ ci ∈ C are the coefficients with |c1|2 + |c2|2 + · · ·+ |cn|2 = 1∙ ei denotes the (pure) basis state corresponding to i.

∙ Each symbol σi ∈ Σ a unitary matrix/operator Uσi and eachobservable O an Hermitian matrix O.

∙ The possible outcomes of a measurement are the eigenvaluesof the observable.

∙ Transition from one state to another is achieved through theapplication of a unitary operator Uσi .

∙ The probability of obtaining a result p is ∥πPi∥, where π is thecurrent state (or a superposition) and Pi is the projection matrixof the measured basis state.

∙ The state after the measurement collapses to the πPi/∥πPi∥.

72

Page 74: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

towards quantum automata using dirac formalism

∙ Each state of the machine is a superposition of the basis states|ψi⟩.

∙ They have the form |ψ⟩=c1 |ψ2⟩+ c2 |ψ2⟩+ · · ·+ cn |ψn⟩,

∙ The probability of observing the state|ψ′⟩=c1 |ψ′

2⟩+ c2 |ψ′2⟩+ · · ·+ cn |ψ′

n⟩ is p, with p =∑ψ′∈F

|ci|2 (F is the

set of accepting states).∙ In a MO-automaton the projection matrix P is applied strictlyonce.

∙ In MM-automata, there are three disjoint sets of states: the Qa

(accepting states), the Qr (rejecting states) and the Qn of neutralstates.

∙ Measurement after reading each symbol.

73

Page 75: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

towards quantum ω-automata definition

◦ A simple periodic, one-way quantum ω-automaton is a tuple (Q,Σ, Uδ , q0, π0, F, P, Acc) where:

1. Q is a finite set of states,2. Σ is the input alphabet,3. Ua is the n× n unitary matrix that describes the transitions among

the states for each symbol a ∈ Σ,4. q0 ∈ Q is the initial (pure) state,5. π0 is the initial vector,6. F ∈ Q is the set of final states,7. P is the set [P0, P1, . . . , Pn] of the projection matrices of states, and8. Acc is an acceptance condition.

74

Page 76: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

their functionality explanation

∙ It starts at its initial pure state q0, i.e. the state vector of thesystem is the π0.

∙ Transitions among the states are expressed with complexamplitude.

∙ Acc defines the acceptance condition.

Periodic quantum acceptance condition

It defines that infinitely often the measurement of the quantum systemfinds with some probability the automaton in one of the final states.

Almost-sure periodic quantum acceptance condition

It defines that infinitely often the measurement of the quantum systemfinds the automaton in one of the final states with probability 1.

75

Page 77: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

periodic quantum automaton

∙ A simple m-periodic, 1-way quantum ω-automaton with periodicmeasurements is a tuple (Q, Σ, Uδ , q0, m, π0, F, P, Acc) where:

1. Q is a finite set of states,2. Σ is the input alphabet,3. Uα : Q × Σ −→ C[0,1] is the n× n unitary matrix that describes the

transitions among the states for each symbol a ∈ Σ,4. q0 ∈ Q is the (pure) initial state,5. m ∈ N defines the measurement period,6. π0 is the vector of the initial pure state q0,7. F ∈ Q is the set of final states,8. P is the set [P0, P1, . . . , Pn] of the projection matrices of states, and9. Acc is the almost-sure periodic quantum acceptance condition.

76

Page 78: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

transitions on quantum periodic automata

∙ The transition matrix for every symbol has the form of: Uϕ = i(cos(ϕ) sin(ϕ)− sin(ϕ) cos(ϕ)

)∙ ϕ defines the period (if m is the period of the transition, thenϕ = π/m).

∙ Counter-clockwise rotation.∙ We can reverse the rotation by transposing the Uϕ.

∙ Then we have UTϕ = i

(cos(ϕ) − sin(ϕ)sin(ϕ) cos(ϕ)

).

∙ Both return the system to its initial state after the same period.

77

Page 79: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

quantum periodic automata periodicity

∙ After m applications of the transition matrix U, the state of thesystem is Um |ψ⟩, where |ψ⟩ is the state of the system before them transitions.

∙ But Um=im(−1 00 −1

)since Um=im

(cos(mϕ) sin(mϕ)− sin(mϕ) cos(mϕ)

)and

ϕ = π/m.

∙ In 2m timesteps we obtain the U2m=(1 00 1

)∙ It is the same!∙ Their difference is a phase of π, since ϕ = 2mπ/m = 2π.

78

Page 80: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

examples

q0 q1

i sin(ϕ)

i cos(ϕ)

i cos(ϕ)

−i sin(ϕ)

Figure: A general form for a 2-state quantum automaton.

q0 q1

a, i√2

a, i√2 b,−i

a, i√2 b,−i

a,−i√2

Figure: For period m = 5, it accepts the ω-language (a4b)ω . Note thati cos(π/(m− 1)) = i sin(π/(m− 1)) = i

√2 for the symbol a, and

i cos(π/1) = −i for the symbol b.

79

Page 81: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

transitions of the state vector

0

π/4

π/2

3π/4

π

5π/4 7π/4

3π/2

r = 1

ϕϕ

ϕ ϕ

Figure: The vector is in the initial state and for every phase transition withangle ϕ = π/4 it is rotated counter-clockwise. After m− 1 (=4) transitionsthe system is in the state that is symmetric to the initial.

80

Page 82: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

discussion

∙ Quantum automata with infinite computation are stillunexplored.

∙ Different variants of machines, distinguished either bymovement orientation or by the measurement mode.

∙ Need for models and verification processes for infinite QC.∙ Useful in the verification of quantum systems and the design ofquantum circuits.

∙ Space efficient for periodic ω-languages of the form (amb)ω .∙ Consistency with the underlying quantum physics.

81

Page 83: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

key references

Adleman, L. M.

Computing with dna.Scientific american 279, 8 (1998), 34–41.

Giannakis, K., and Andronikos, T.

Membrane automata for modeling biomolecular processes.Natural Computing (2015), 1–13.

Giannakis, K., and Andronikos, T.

Mitochondrial fusion through membrane automata.In GeNeDis 2014. Springer, 2015, pp. 163–172.

Giannakis, K., and Andronikos, T.

Use of büchi automata and randomness for the description of biological processes.International Journal of Scientific World 3, 1 (2015), 113–123.

Giannakis, K., Papalitsas, C., and Andronikos, T.

Quantum automata for infinite periodic words.In Information, Intelligence, Systems and Applications, IISA 2015, The 6th International Conference on (2015), IEEE.

Giannakis, K., Papalitsas, C., Kastampolidou, K., Singh, A., and Andronikos, T.

Dominant strategies of quantum games on quantum periodic automata.Computation 3, 4 (2015), 586–599.

Păun, G.

Computing with membranes.Journal of Computer and System Sciences 61, 1 (2000), 108–143.

Sipser, M.

Introduction to the Theory of Computation, vol. 2.Thomson Course Technology Boston, 2006.

Theocharopoulou, G., Giannakis, K., and Andronikos, T.

The mechanism of splitting mitochondria in terms of membrane automata.In Signal Processing and Information Technology (ISSPIT), 2015 IEEE International Symposium on (2015), IEEE.

Yanofsky, N. S., Mannucci, M. A., and Mannucci, M. A.

Quantum computing for computer scientists, vol. 20.Cambridge University Press Cambridge, 2008. 82

Page 84: Μοντέλα υπολογισμού επηρεασμένα από την ϕύση και τη βιολογία

Ερωτήσεις;

83