γλώσσες
Σελίδες
Νομικός
___________________________________________________________________________ 6η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Αρχικά
x 0limln x 2 ln2 0
και
3x
x 0lim e 2x 1 0
Θεωρούμε τη συνάρτηση 3xf x e 2x 1,x R
Η f είναι γνησίως αύξουσα στο R αφού για οποιαδήποτε 1 2
x ,x R ισχύει:
1 23x 3x
1 2 1 2x x 3x 3x e e
και
1 2 1 2 1 2
x x 2x 2x 2x 1 2x 1
οπότε
1 23x 3x
1 2 1 2e 2x 1 e 2x 1 f x f x
Επομένως, για x 0 έχουμε f x f 0 0 άρα
x 0
1lim ln x 2
f x
Ενώ για x 0 έχουμε f x f 0 0 άρα
x 0
1lim ln x 2
f x
άρα το ζητούμενο όριο δεν υπάρχει.
Λύνει ο Μάκης Χατζόπουλος
Για μαθητές
___________________________________________________________________________ 6η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Έστω ότι υπάρχει το ζητούμενο όριο και είναι πραγματικός αριθμός k ,
δηλαδή
3xx 0
ln x 2lim k
e 2x 1R
Για x 0 θέτουμε
3x
ln x 2g x
e 2x 1
Τότε
3xg x e 2x 1 ln x 2 , x κοντά στο 0
Άρα
x 0 x 0
3xg x e 2x 1 ln x 2 k 0 ln2,lim lim άτοπο!
Έστω ότι υπάρχει το ζητούμενο όριο και είναι ,
δηλαδή
3xx 0
ln x 2lim
e 2x 1
Οπότε θα ισχύει και
3xx 0
ln x 2lim
e 2x 1
Άρα υπάρχει α κοντά στο 0 τέτοιο, ώστε
3α
ln α 20 1
e 2α 1
Όμως
12α 03α 3αα 0 3α 0 e 1 e 2α 1 0 ln α 2 0 α 2 1 α 1,
άτοπο, διότι το α είναι κοντά στο 0
Έστω ότι υπάρχει το ζητούμενο όριο και είναι ,
δηλαδή
3xx 0
ln x 2lim
e 2x 1
Οπότε θα ισχύει και
Λύνει ο Παύλος Τρύφων
Για μαθητές
___________________________________________________________________________ 6η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
3xx 0
ln x 2lim
e 2x 1
Άρα υπάρχει β κοντά στο 0 τέτοιο, ώστε
3β
ln β 20 2
e 2β 1
Όμως
22β 03β 3ββ 0 3β 0 e 1 e 2β 1 0 ln β 2 0 β 2 1 β 1,
άτοπο, διότι το β είναι κοντά στο 0
Άρα το ζητούμενο όριο δεν υπάρχει.
α) Θεωρούμε τη συνάρτηση
3xg x e 2x 1,x R
Για κάθε ¡ §1 2
x ,x με 1 2
x x έχουμε:
1 2
1 2
3x 3x3x 3x1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
3x 3x e ee 2x 1 e 2x 1 g x g x
2x 2x 2x 1 2x 1
Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο R
Επίσης
0g 0 e 0 1 0
Άρα για
x 0 g x g 0 0 g x 0
x 0 g x g 0 0 g x 0
Υποθέτουμε ότι υπάρχει 0 α 1 τέτοιο, ώστε
x 0limf x
Τότε θα ισχύει:
x 0x 0 α 1
x 0
x 0
1lim ln x α
lim f x g x lnα lnα 0
και και και και ,άτοπο!
lnα 0lim f x lnα1lim ln x α
g x
Επίσης για α 1είναι:
Για καθηγητές
___________________________________________________________________________ 6η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
0
0
3x 3x 3xx 0 x 0 x 0 x 0 x 03x
1ln x 1ln x 1 1 1x 1limf x lim lim lim lim
5e 2x 1 3e 2 x 1 3e 2e 2x 1
Άρα δεν υπάρχει α 0 για το οποίο
x 0limf x
β) Για α 1είναι
3x
ln x 1f x ,x 1,x 0
e 2x 1
Ισχύουν οι γενικές σχέσεις:
lnx x 1,για κάθε x 0 1 (με την ισότητα να ισχύει μόνο για x 1)
και
xe x 1,για κάθε x 2R (με την ισότητα να ισχύει μόνο για x 0 )
Η σχέση 1 για x το x 1 δίνει:
ln x 1 x ,για κάθε x 0
Η σχέση 2 για x το 3x δίνει:
3xe 3x 1,για κάθε x 0
Άρα για x 0έχουμε:
3x 3x
3x
0 ln x 1 xln x 1 x ln x 1 x 1
f x1 1 5e 3x 1 e 2x 1 5x 0 05xe 2x 1
___________________________________________________________________________ 6η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Το ζητούμενο όριο γράφεται:
3x 3x 3xx 0 x 0 x 0 x 0
ln(x 2) 1 1lim lim ln(x 2) lim ln(x 2) lim
e 2x 1 e 2x 1 e 2x 1.
Είναι:
x 0
lim ln(x 2) ln(0 2) ln2 0 .
Έστω η συνάρτηση: 3xf(x) e 2x 1, x R .
Για κάθε 1 2
x , x R με 1 2
x x , έχουμε:
1 23x 3x
1 23x 3x e e και
1 22x 2x .
Οπότε,
1 2 1 23x 3x 3x 3x
1 2 1 2 1 2e 2x e 2x e 2x 1 e 2x 1 f(x ) f(x ) ,
δηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα, Οπότε έχει μοναδική ρίζα την 3 0f(0) e 2 0 1 0 .
Ακόμη η f είναι συνεχής ως άθροισμα των συνεχών συναρτήσεων 3x
1f (x) e και
2
f (x) 2x 1. Άρα, διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα ( ,0) και (0, ) .
Έχουμε τον εξής πίνακα:
ΔΙΑΣΤΗΜΑ ( ,0) (0, )
ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ: 0x 1 1
0f(x ) 3
3
1e 2 1 3 0
e 3 3e 2 1 e 1 0
ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΗΣ f
Επίσης, ισχύει:
3x 0
x 0lim e 2x 1 e 1 0 .
Οπότε, έχουμε,
3x
x 0
1lim
e 2x 1 και
3x
x 0
1lim
e 2x 1.
Επομένως, είναι:
3xx 0
ln(x 2)lim ln2 ( )
e 2x 1 και
3xx 0
ln(x 2)lim ln2 ( )
e 2x 1.
Συνεπώς, παρατηρούμε ότι ισχύει:
3x 3xx 0 x 0
ln(x 2) ln(x 2)lim lim
e 2x 1 e 2x 1.
Άρα, το
3xx 0
ln(x 2)lim
e 2x 1 δεν υπάρχει.
Λύνει ο Νίκος Ελευθερίου
Για μαθητές
___________________________________________________________________________ 6η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Tο πεδίο ορισμού της
3χ
ln(x 2)
e 2x 1είναι το 2,0 (0, ) αφού για 3χf(x) e 2x 1είναι
3χf (x) 3e 2 0
Άρα f < στο Rδηλ. για x 0 f(x) f(0) 0 ενώ για x 0 f(x) f(0) 0 .
Δηλαδή το όριο είναι καλά ορισμένο. Άρα
3χ 3xx 0 x 0
1 ln(x 2)lim lim
e 2x 1 e 2x 1
και
3x 3xx 0 x 0
1 ln(x 2)lim lim
e 2x 1 e 2x 1
επειδή
x 0lim(ln(x 2)) ln2 0 .
Άρα το όριο δεν υπάρχει.
α) Για α 1είναι
x 0limln x α lnα 0 και από την προηγούμενη λύση ισχύει
3x 3xx 0 x 0
1 ln(x α)lim lim
e 2x 1 e 2x 1.
Όμοια
3x 3xx 0 x 0
1 ln(x α)lim lim
e 2x 1 e 2x 1.
Άρα το όριο δεν υπάρχει.
Για 0 α 1 είναι
x 0limln x α lnα 0 και ισχύουν
3xx 0
ln(x α)lim
e 2x 1,
3xx 0
ln(x α)lim
e 2x 1.
Άρα το όριο δεν υπάρχει.
Για α 1το όριο είναι α.μ. 0
0και με de L’ H. ισούται με
3xx 0
1 1lim
5(3e 2)(x 1).
Δηλ. δεν υπάρχει α 0 με την απαίτηση της άσκησης.
Λύνει ο Κώστας Δεββές
Για μαθητές
Για καθηγητές
___________________________________________________________________________ 6η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
β) Αρκεί ισοδύναμα να αποδείξω ότι (είναι 3xe + 2x -1 > 0 x > 0 )
3x 3x
3x
ln(x 1) 1e 2x 1 5ln(x 1) e 2x 5ln(x 1) 1
5e 2x 1.
Θέτω
3xφ(x) e 2x 5ln(x 1) με x 0
Είναι φ(0) 1και
3x 5φ (x) 3e 2
x 1με φ (0) 0 και
3x
2
5φ (x) 9e 0
(x 1).
Δηλαδή
φ <στο 0,
άρα για x 0 φ (x) φ (0) 0 φ <στο 0, άρα φ(x) φ(0) 1 x 0ο.ε.δ.
___________________________________________________________________________ 6η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Θεωρώ την συνάρτηση 3xf x e 2x 1 , x R
Η f είναι παραγωγίσιμη ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων με:
3xf x 3e 2 0 για κάθε x R
Επομένως αφού είναι συνεχής στο R και f x 0 για κάθε x R η f είναι γνησίως
αύξουσα στο R
Έτσι έχουμε:
f
x 0 f x f 0 f x 01
f
x 0 f x f 0 f x 0 1
Για x 0 έχουμε:
3x
x 0 x 0
ln x 2 1lim lim ln x 2
f xe 2x 1
αφού
x 0lim f x 0 και f x 0 για κάθε x 0 και επομένως
x 0
1lim
f x
ενώ
x 0limln x 2 ln2 0
Για x 0 έχουμε:
3x
x 0 x 0
ln x 2 1lim lim ln x 2
f xe 2x 1
αφού
x 0lim f x 0 και f x 0 για κάθε x 0 και επομένως
x 0
1lim
f x
ενώ
x 0limln x 2 ln2 0
Eπομένως το ζητούμενο όριο δεν υπάρχει αφού τα δυο πλευρικά όρια δεν είναι ίσα.
Λύνει ο Αντώνης Συκιώτης
Για μαθητές
___________________________________________________________________________ 6η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Η συνάρτηση 3xh x e 2x 1 είναι γνησίως αύξουσα άρα έχει μοναδική ρίζα το 0
Για κάθε x 0 έχουμε:
3x 3x
ln x 2ln x 2 x
e 2x 1 e 2x 1
x
1
Το όριο
3x
x 0
e 2x 1lim
x είναι της μορφής
0
0 και
3x
3x
x 0 x 0
e 2x 1lim lim 3e 2 5
x
Επομένως από το θεώρημα DLH έχουμε ότι:
3x
x 0
e 2x 1lim 5
x
Επίσης
x 0 x 0
ln x 2 1lim lim ln x 2
x x
Άρα από την σχέση 1 έχουμε ότι:
3x 3x
x 0 x 0
ln x 2ln x 2 xlim lim
e 2x 1 e 2x 1
x
Για κάθε x 0 έχουμε:
3x 3x
ln x 2ln x 2 x
e 2x 1 e 2x 1
x
1
Το όριο
3x
x 0
e 2x 1lim
x είναι της μορφής
0
0 και
3x
3x
x 0 x 0
e 2x 1lim lim 3e 2 5
x
Επόμένως από το θεώρημα DLH έχουμε ότι:
3x
x 0
e 2x 1lim 5
x
Λύνει ο Ανδρέας Πάτσης
Για μαθητές
___________________________________________________________________________ 6η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Επίσης
x 0 x 0
ln x 2 1lim lim ln x 2
x x
Άρα από την σχέση 1 έχουμε ότι:
3x 3x
x 0 x 0
ln x 2ln x 2 xlim lim
e 2x 1 e 2x 1
x
Αφού τα πλευρικά όρια στο 0 είναι διαφορετικά το όριο στο 0 της συνάρτησης
3x
ln x 2
e 2x 1 δεν υπάρχει.
___________________________________________________________________________ 6η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Θέτω 3xh(x) e 2x 1 , x .R Η h < R ως άθροισμα γνησίως αυξουσών συναρτήσεων.
Συνεπώς x 0 3xh(x) 0 e 2x 1 0 (1) , x 0 3xe 2x 1 0 (2) .
Επίσης η συνάρτηση φ(x) = ln(x 2) , x 2 είναι συνεχής στο 2, ως σύνθεση συνεχών
συναρτήσεων.
Επόμενα
3x
x 0
ln(x 2)lim
e 2x 1=
3x
x 0
1lim ln(x 2)
e 2x 1=
διότι
x 0limln(x 2) ln2 0 ,
3x
x 0
1lim
e 2x 1 από (1).
΄Ομοια
3x
x 0
ln(x 2)lim
e 2x 1=
3x
x 0
1lim ln(x 2)
e 2x 1= ,
διότι
x 0limln(x 2) ln2 0 ,
3x
x 0
1lim
e 2x 1 από (2).
΄Αρα δεν υπάρχει το
3xx 0
ln(x 2)lim
e 2x 1 .
α) Θέτω 3xh(x) e 2x 1 , x .R Τότε 3xh (́x) 3e 2 0 οπότε h < R .
Συνεπώς x 0 3xh(x) 0 e 2x 1 0 (1) , x 0 3xe 2x 1 0 (2) .
Επίσης η συνάρτηση φ(x) = ln(x α) , x α είναι συνεχής στο α, ως σύνθεση
συνεχών συναρτήσεων.
Εάν α = 1
x 0limf(x)=
3xx 0
ln(x 1)lim( )
e 2x 1
0
0
3xx 0
11x 1lim( )53e 2
.
Εάν α > 1
x 0lim f(x) =
3x
x 0
ln(x α)lim
e 2x 1=+ από (1).
x 0lim f(x) =
3x
x 0
ln(x α)lim
e 2x 1=- από (2).
Λύνει ο Τάκης Καταραχιάς
Για μαθητές
Για καθηγητές
___________________________________________________________________________ 6η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Επόμενα δεν υπάρχει το x 0
limf(x) .
Εάν 0 < α < 1
x 0lim f(x) =
3x
x 0
ln(x α)lim
e 2x 1=από (1).
x 0lim f(x) =
3x
x 0
ln(x α)lim
e 2x 1=+ από (2).
Επόμενα δεν υπάρχει το x 0
limf(x) .
΄Αρα δεν υπάρχει τιμή του α για την οποία ισχύει x 0
limf(x) - .
β) ΄Εστω g(x) ln(x 1) x,x 0 . Τότε
1 xg (́x) 1 0
x 1 x 1 για x 0 .
Επόμενα g 0,> .
Συνεπώς x 0 g(x) g(0) 0 ln(x 1) x 0 0 ln(x 1) x (3).
Επίσης για 3xx 0 e 1 0 , οπότε αν θέσω στην (3) όπου x το 3xe -1 προκύπτει ότι :
3x 3x 3x 3x
3x
1 1lne e 1 3x 1 e e 2x 1 5x 0 0
5xe 2x 1(4).
Από τις σχέσεις (3) και (4) προκύπτει ότι 1
f(x)5
για κάθε x 0.
___________________________________________________________________________ 6η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
α)
Για α 1 έχω ln x α 0
Έχω για x 0 ,
x 0
3x 3xe 1 0 e 1 2x 0 ... f x 1lim
Και για x 0 τότε
x 0
3x 3xe 1 0 e 1 2x 0 ... f x 2lim
Από (1) και (2) δεν υπάρχει το x 0
limf x
Ομοίως για α 1 δεν υπάρχει το x 0
limf x
Για α 1 αποδεικνύεται εύκολα με DLH ότι το x 0
limf x =0
β)
Από την σχέση xe x 1 για κάθε x 0 έχω
3x 3xe 3x 1 e 2x 1 5x 0
3x 3x
1 1 ln(x 1) ln(x 1)
5x 5xe 2x 1 e 2x 1(3)
και από την σχέση
ln(x 1) 1ln(x 1) x
5x 5
Άρα
3x
ln(x 1) 1
5e 2x 1
Λύνει ο Ευσταθιος Φρέσκος
Για καθηγητές
___________________________________________________________________________ 6η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Έχουμε ìx 0
limln(x + 2) = ln2 > 0 . Έστω 3χφ(x) e 2x 1 .
Επειδή 3xφ (x) 3e 2 0 και φ συνεχής, άρα η φ είναι γνησίως αύξουσα. Οπότε:
Αν φ
x > 0 φ(x) > φ(0) φ(x) > 0 <
δηλ. 3x
x 0
1lim
e 2x 1
άρα x 0lim f(x)
.
Αν φ
x 0 φ(x) φ(0) φ(x) 0 <
δηλ.3x
x 0
1lim
e 2x 1
άρα x 0limf(x)
Επομένως δεν υπάρχει το x 0limf(χ)
α) Για α > 1 έχουμε ότι: x α x 1 ln(x α) ln(x 1) και για x > 0 x 0lim f(x)
και x 0limf(x)
(από την προηγούμενη άσκηση).
Ομοίως για α < 1 επειδή x 0limln(α x) lnα 0
, αφού 0 < α < 1 οπότε και πάλι τα πλευρικά
όρια είναι διαφορετικά.
Τέλος για α = 1 με κανόνα De L΄Hospital βρίσκουμε ότι το x 0
1limf(x)
5
β) Για x 0 x 1 1 ln(x 1) ln1 ln(x 1) 0
Παίρνω την παράγωγο της f και έχω:
3x 3x
3x 2
1(e 2x 1) (e 2)ln(x 1)
x 1f (x)(e 2x 1)
.
Θέτω
3x 3x1g(x) (e 2x 1) (e 2)ln(x 1)
x 1
και βρίσκω την παράγωγο που είναι:
3x 3x 3x 3x
2
3x 3x
2
1 1 1g (x) (e 2x 1) (3e 2) (3e 2) 3e ln(x 1)
x 1 x 1(x 1)
1 (e 2x 1) 3e ln(x 1) 0
(x 1)
Λύνει ο Γιώργος Ασημακόπουλος
Για μαθητές
Για καθηγητές
___________________________________________________________________________ 6η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Άρα g γνησίως φθίνουσα οπότε για x > 0 θα έχουμε g (x) < 0 δηλαδή και f (x) 0
άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα .
Όμως xlimf(x) 0
και x 0
1limf(x)
5 άρα ισχύει
1f(x)
5 για κάθε x > 0
Top Related