. 1
: .
2011
. 2
. 3
A n i n t r o d u c t i o n t o
n u m b e r t h e o r y E d w a r d B . B u r g e r .
2 1 .
:
R i e a m a n n J o h n D e r b y s h i r e ,
, ( 7 ) .
F e r m a t S i m o n S i n g h ,
, ( 1 3 ) .
S i m o n S i n g h , (
1 0 1 1 ) .
M a r c u s D u S a u d o y ,
( )
1 3
F e r m a t 1 9 9 4 .
, 2 0 1 1 , B u r g e r
.
.
( 2 0 1 1 )
. 4
. 5
. ;
.
:
.
1 . ( p r i m e s )
1
.
2 .
2,3,5,7,11,13,17,...
3 .
; .
4 . 1 8 9 6
ln.
5 . R i e m a n n
.
R i e m a n n .
.
6 .
.
. 6
1 .
.
;
.
2 . ,
2 2 2x y z ,
x 3 , y 4 z 5 .
;
3 . 1 6 3 7 P . d e F e r m a t ( 1 6 0 1 - 1 6 6 5 )
n n nx y z n 3
.
3 5 0
,
1 9 9 4 .
4 .
.
5 .
,
.
.
. 7
. :
1 .
.
,
.
2 .
.
,
.
m o d u l a r
1 .
,
.
2 .
,
.
.
.
. 8
1 .
.
2 .
.
1 .
,
.
2 .
1 8 4 4
1 . ,
,
.
2 .
: 22
7
;
,
.
! ! !
. 9
.
,
1,2,3,... .
( n a t u r a l )
. . . 7
6
.
{..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...} ( I n t e g e r s )
, .
( R a t i o n a l )
{ }
, ( I r r a t i o n a l ) , (
) .
2 , .
,
( R e a l ) .
.
. 1 0
.
.
.
1 . 2,4,6,8,... ( e v e n )
2 2 .
2 . 1,3,5,7,.. ( o d d )
2 1
2 1 .
3 .
1,4,9,16,... ;
4 . 1,4,2,1,4,2,1,...
3,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,...
11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,...
L o t h a r
C o l l a t z t o 1 9 3 7 : ,
2, 3 1 .
5 . 2 . 2 3 4 5 62 4 , 2 8 , 2 16 , 2 32 , 2 64 9, . . . , 2 512.
4 , 8 , 1 , 3 , 6 , 5
7
462 70.368.744.177.664 , 9
532 9.007.199.254.740.992 .
, ,
2 1 6 7 7
242 16.777.216 .
. 1 1
.
1 . C a r l F r i e d r i c h G a u s s 3 0 1 7 7 7
. , ,
.
2 . G a u s s .
.
3 . 3
.
B u t t n e r
( 1)1 2 3 ...
2.
.
4 . G a u s s
.
.
5 . . :
6 .
. .
. 1 2
.
1 . 1,3 ,6 ,10,15,21,28,
2 .
( t r i a n g u l a r )
.
3 .
G a u s s 3 ,
5 0 5 0
1 0 0 . ; .
1 - 2 - 3 -
4 - . . . .
4 . -
( 1)
2
5 .
.
, ,
. . .
6 . 6 .
- ;
. 1 3
7 . 1 7 9 6 1 9 G a u s s
.
P i e r r e d e F e r m a t 1 6 3 8
.
8 .
1 0 0 .
,
.
( c o m b i n a t o r i a l
n u m b e r t h e o r y ) .
.
1 .
.
1
1 .
( a r i t h m e t i c
p r o g r e s s i o n ) .
2 . . 2
2 . 2 , 4 , 6 , 8 , ,
.
3 . 1
1 0 . 1 0 0 0
. ; ,
-
1
1 ( 1)
. 1 4
4 .
( ; ; )
. :
1
2 1
2 ( 1)
2
1 - .
.
1 . 1 . 0 0 0 . 0 0 0 .
2 .
1 . 0 0 0 . 0 0 0 .
3 .
. . 3 6 .
, 3 6 - 9 = 2 7 .
.
; .
; .
;
. 1 5
.
1 .
,
.
;
2 . 1
2 .
: 1 , 2 , 4 , 8 , 1 6 , .
3 . 1 0 ; 1 0 0 0
; - ;
4 . . 3
2 . 6 ;
1 0 0 ;
5 .
( g e o m e t r i c p r o g r e s s i o n ) .
1
( r a t i o ) .
6 . -
1
1
1 .
7 . 1 0
, ,
.
;
;
. 1 6
.
1 . 1
r . 2 3 1, r, r , r , ...,r ,... .
( e x p o n e n t i a l g r o w t h ) .
2 . r 1 ( )
( g r o w s e x p o n e n t i a l l y ) , 0 r 1 ( ) ( d e c a y s e x p o n e n t i a l l y ) .
3 . 1 0
1
2
.
4 . 3 0 0 . .
.
:
2
s 1 r r ... r ( 1 )
r : 2 3 1
r S r r r ... r ( 2 )
( 2 ) - ( 1 ) :
1
(r 1) S r 1
r 1 : 1
r 1S
r 1 .
5 . 1 0
2 : 11
11
10
2 1S 2 1 2047
2 1 .
. 1 7
6 .
.
,
.
! ! !
8 8 ,
.
1 , 2 2 , 3
22 , 4 32
6 4 .
,
.
, ,
.
;
0,033gr
,
.
( ,
671.023.802.629 ! ! ! )
. 1 8
.
1 . 1
2.
:
5S , 10S , 20S , 30S . ;
2 .
1 1 1 1 1 1
, , , , ,2 4 8 16 64 128
. . .
.
,
,
;
3 .
r 0 r 1
.
10
10
1 1( ) 0,0009765625...2 2
,
20
20
1 1( ) 0,00000095367431640625...2 2
.
r
0 r 1 0 .
4 .
12 3
r 1S 1 r r r ... r
r 1 0 r 1
1r 0
1
S1 r .
. 1 9
5 .
2 3
1 1 11 ...
2 2 2 .
6 . , 0,999... .
,
,
;
! ! !
! ! ! .
0,9 9
10,
0,99 9 9
10 100,
0,999 9 9 9
10 100 1000,
:
9 9 9 1 1 10,999... ... 9( ...) 9 S
10 100 1000 10 100 1000
S
1
10
.
.
0,999... ; ; ;
0,999... 1 !!!
. 2 0
. 1202
1 .
.
.
;
2 .
.
3 . :
1, 1,2 ,3 ,5 ,8, 13 ,21,34,55,89, 144, 233, 377, 610 ,987,
1597, 2584,4181, 6765, 1094 6 . . .
144 ! ! !
4 .
F i b o n a c c i
L e o n a r d o P i s a n o F i b o n a c c i ( 1 1 7 0
. . ) . F i b o n a c c i 1 2 0 2
l i b e r a b a c i ,
.
, , ,
.
. 2 1
5 .
.
:
2 1 1 2F F F F 1 F 1 .
6 . 1 9 E d o u a r d L u c a s
L 2,1 ,3 ,4,7,11,18,29,47,76,123,199,
L u c a s ( L u c a s s e q u e n c e ) .
;
7 .
:
1 . 1 3 3F F L , 2 4 4F F L 2 2F F L
2 . 1 2 2(F F ... F ) 1 F
L u c a s ;
.
1 .
:
[ V I ] [ 5 ] .
[ 3 ] . ,
, .
,
.
. 2 2
2 .
= 1
1 - ,
2 1 1 5 1 0 1 2
0,61803398875
1 1 5
2 1,61803398875 .
.
3 . ,
(
, ) .
4. 150 : 1,61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811 77203 09179 80576 28621 35448 62270 52604 62818 90244 97072 07204 18939 11374 84754 08807 53868 91752 12663 38622 23536 93179 31800 60766...
http://goldennumber.net/phi20000.htm
5 .
, , .
L u c a P a c i o l i ( 1 4 4 5 - 1 5 2 4 ) .
J o h a n n e s K e p l e r ( 1 5 7 1 - 1 6 3 0 ) .
L . L o r e n z ( 1 8 2 9 - 1 8 9 1 ) .
L e o n a r d o D a V i n c i
( 1 4 5 2 - 1 5 1 9 ) .
http://goldennumber.net/phi20000.htm
. 2 3
.
1 . F i b o n a c c i
.
2 .
F i b o n a c c i , :
1 2 3 5 8 131 , 2 , 1.5 , 1.66 , 1.6 , 1.625
1 1 2 3 5 8
21 34 55 891.615 , 1.619 , 1.617 , 1.618 ,...
13 21 34 55
! ! !
3 .
.
:
11
1
2 (1 1) 11
1 1 1
3 (2 1) 1 11 1
12 2 21
1
5 (3 2) 2 11 1
13 3 31
11
1
8 (5 3) 3 11 1
15 5 51
11
11
1
. 2 4
4 .
. .
, :
1
11
11
11
11
11
11 ...
.
1
1
.
5 . : 1 5
2
,
1 5
2
.
. 2 5
. ;
1 . :
2 , 4 , 8 , 16 , 32 ,
200 , 195 , 185 , 170 , 150 ,
9 , 6 , 18 , 15 , 45 , 42 , 126 ,
50 , 49 , 47 , 44 , 40 , 35 , 29 , 22 , 14 ,
2 . 2 0
;
3 . .
4 5 .
.
;
4 .
.
. 2 6
.
Fibonacci
1 .
.
;
F i b o n a c c i ;
2 . J a c q u e s B i n e t 1 8 4 3
.
3 . :
: 21x 1 x x 1
x
( 4 )
2 1
2 1 .
4 . :
3 2 2 ( 1) 1 2 1 4 3 2 (2 1) 2 2( 1) 3 25 4 2 (3 2) 3 2 3( 1) 2 5 3
;
. 2 7
5 . :
2
3
4
5
6
1
2 1
3 2
5 3
8 5
...
6 .
F i b o n a c c i ; ;
7 .
F i b o n a c c i :
1 F F .
8 . ( ; ; ) .
1 F F
9 . :
F ( )
1 5 1 5 1 5 1 5( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2F 1 5 1 5 5
2 2 .
1 0 . F i b o n a c c i
.
1 1 .
1 1
L 1 L u c a s ;
. 2 8
.
1 .
1 8 8 3
C l a u s ,
. L u c a s ! !
2 .
,
.
3 . ,
.
4 .
.
5 .
, ,
, .
6 .
! ! !
7 . :
h t t p : / / u s e r s . s c h . g r / t h a f o u n a r / g a m e s / t o w e r s O f H a n o i / t o w e r s O f H a n o i .
h t m l
http://users.sch.gr/thafounar/games/towersOfHanoi/towersOfHanoi.htmlhttp://users.sch.gr/thafounar/games/towersOfHanoi/towersOfHanoi.html
. 2 9
. ! !
1 .
.
2 . 1
;
1 .
2
;
3 .
3
;
7
.
4
;
, 1 5 .
3 .
1 , 3 , 7 , 15 ,
4 .
,
: 1h 2 h 1 .
5 .
.
6 .
6 4
3 .
642 1
. ,
,
.
.
583.344.214.028 1 5 0 0
. 3 0
.
1. 300..
,
.
2. ,
. (),
( ) ,
( )
,
.
, , .
3.
.
4 .
( f u n d a m e n t a l t h e o r e m o f a r i t h m e t i c )
1
.
5 .
1
.
6 . 2 , 3 , 5 , 7 , 1 1 , 1 3 , 1 7 , 1 9 , 2 3 ,
7 . 12 ( c o m p o s i t e )
2 2 3 . ( f a c t o r i n g ) .
. 3 1
8 . 1
. . 6
6 2 3
6 1 2 3 .
9 .
.
1 0 .
.
.
1 .
;
2 . 2 0 0 . . ( 2 7 6 - 1 9 5 . . )
.
3 . ( s i e v e ) .
4 .
1 0 0 :
1 1 0 0
( ) .
2 .
3 .
5 7 .
1 0 0 .
. 3 2
5 . 4
1 0 0 .
3 0 0 ;
;
6 .
.
7 . .
2 , 3 , 5 , 7 1 0
.
.
1 0 .
1 0 .
1 0 0
.
8 .
3 0 0 .
. 3 3
9 . ,
.
1 0 . 3 9 7 ; .
397 19.24 , 2 , 3 , 5 , 7 , 1 1 , 1 3 , 1 7 , 1 9 . ; ; ;
.
1 . ;
1 . 9
.
.
.
2 . *
1 2 3 , , ,..., .
* .
* 1 2 3 ... 1.
* 1 , . * q . * q
1 2 3 , , ,..., ;
* 1 2 3 , , ,..., 1 .
* q . * .
3 .
.
. 3 4
2 . ;
1 . 2
3 ( ; ; ; ) .
2 .
2 , 3 , 4
;
3 .
;
4 . .
.
5 . .
*
.
* k 2 3 ... ( 1) .
* k 2 2 3 ... ( 1) 2
2 .
* k 3 2 3 ... ( 1) 3
3 .
*
k 4 2 3 ... ( 1) 4 ,
k 5 2 3 ... ( 1) 5
. . .
k ( 1) 2 3 ... ( 1) ( 1) .
*
.
6 . ,
6 .
2 3 4 5 6 7 5040 .
5042 , 5043 , 5044 , 5045 , 5046 , 5047 .
. 3 5
Euler
A.
1 . 1 7 3 7 L e o n h a r d E u l e r ,
:
1 1 1 1 1 1 1 1
... 1 ...1 1 1 1 2 3 4 5
1 1 1 12 3 5 7
2 .
,
.
3 .
( h a r m o n i c s e r i e s ) .
, .
.
( ) ( d i v e r g e s ) .
4 . ; .
1 1 1 1 1 1 11 ...
2 3 4 5 6 7 8
1 1 1 1 1 1 11 ( ) ( ) ( ) ...
2 3 4 5 6 7 8
1 1 1 1 1 1 11 ( ) ( ) ( ) ...
2 4 4 8 8 8 8
1 1 11 ...
2 2 2
1 1 1 ...
. 3 6
5 . E u l e r
:
s s s s s
s s s s
1 1 1 1 1 1 1 1 11 ... ...
1 1 1 12 3 4 5 61 1 1 1
2 3 5 7 s 1 .
6 . : s s s s
1 1 1 1(s) 1 ...
2 3 4 5 ,
( z e t a f u n c t i o n )
:
s 1(s) (1 p ) ,
,
E u l e r ! ! !
7 .
.
E u l e r .
: s s s s
1 1 1 1(s) 1 ... (1)
2 3 4 5
s
1
2 :
s s s s s s
1 1 1 1 1 1(s) ... (2)
2 2 4 6 8 10
( 2 ) ( 1 ) :
s s s s s s s
1 1 1 1 1 1 1(1 ) (s) 1 ... (3)
2 3 5 7 9 11 13
( 3 ) s
1
3 :
s s s s s s s s s
1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) (s) ... (4)
3 2 3 9 15 21 27 33 39
. 3 7
( 4 ) ( 1 ) :
s s s s s s s s s
1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) (1 ) (s) 1 ... (5)
3 2 5 7 11 13 17 19 23
2
3 .
:
s s s s s s s s s
1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) (1 ) (1 ) (s) 1 ...
5 3 2 7 11 13 17 19 23
:
s s s s s
1 1 1 1 1... (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (s) 1
11 7 5 3 2
:
s s s s
1 1 1 1(s) ...
1 1 1 11 1 1 1
2 3 5 7
* 1 . ( )
.
1 1 1 1
...1 1 1 1
1 1 1 12 3 5 7
.
1 1 1 1 1 1 1 1... 1 ...
1 1 1 1 2 3 4 51 1 1 1
2 3 5 7 .
. 3 8
2 0 ;
.
2 , 3 , 5 , 7 , 1 1 , 1 3 , 1 7 , 1 9 .
;
;
;
,
;
(n)
n . (20) 8 .
, , n
(n) .
(n) ;
.
1 . 1 8 o A d r i e n - M a r i e -
L e g e n d r e G a u s s n
(n)
n
ln(n).
2 . 1 8 5 0 P a f n u t y C h e b y s h e v :
(n)
n
ln(n)
n
1 .
. 3 9
3 . 1 8 5 9 B e r n h a r d R i e m a n n
( o n t h e N u m b e r o f P r i m e
L e s s T h a n a G i v e n M a g n i t u d e )
.
R i e m a n n z e t a f u n c t i o n .
s x iy (s) 0
0 x 1 ( R i e m a n n H y p o t h e s i s )
(s) 0
1 / 2 .
R i e m a n n
(n) n
ln(n).
R i e m a n n .
1 9 0 0 D a v i d H i l b e r t 2 3
,
R i e m a n n .
2 0 0 0 C a m b r i d g e C l a y
1 . 0 0 0 . 0 0 0 . $ .
.
2 0 0 1
Z e t a G r i d 1 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0
(s) 0
1 / 2 ,
R i e m a n n .
4 . T o 1 8 9 6 o J a s q u e s S a l o m o n H a d a m a r d
C h a r l e s d e l a V a l l e e P o u s s i n ,
:
(n)
n
ln(n)
1 .
... ! ! !
. 4 0
5 .
(n)
n
ln(n).
.
n
0
Li(n) (1/ logt)dt
( l o g a r i t h m i c i n t e r g r a l ) .
6 . 1 9 1 4 J o h n L i t t l e w o o d
Li(n)
(n) .
.
7 . . . . 1 8 9 6
,
. G . H . H a r d y 1 9 2 1
.
8 . 1 9 3 3 S a m u e l S k e w e s
R i e m a n n ,
Li(n) (n) n
34101010 .
S k e w e s n u m b e r
.
Li(n)
(n) ( ) n
ln(n) * 2 . ( )
. 4 1
9 . 1 9 4 8 P a u l E r d o s
A t l e S e l b e r g
( e l e m e n t a r y )
.
.
. S e l b e r g ,
, 1 9 5 0 F i e l d s ( N o b e l
) . E r d o s , 1 5 0 0
5 0 0 , 1 9 5 2
C o l e P r i z e (
) .
.
,
,
1 . G a u s s
. 1 8 3 7
J o h a n n D i r i c h l e t .
2 . ,
2 , 3 , 5 , 7 , 1 1 , 1 3 , 1 7 , 1 9 , 3 , 5 , 7
.
;
2 0 0 4 B e n G r e e n T e r e n c e T a o
, .
n, n 3, n 6 ;
. 4 2
3 . ( t w i n p r i m e s ) ;
.
(3,5), (5,7), (11,13) . ;
.
n 2 n 2n .
n n n
n (1 ) n .
4 . 1 7 4 2 C h r i s t i a n
G o l d b a c h ( 1 6 9 0 - 1 7 6 4 )
2
.
8 = 3 + 5 ,
1 6 = 5 + 1 1 .
,
. .
4 2 = 5 + 3 7 = 1 1 + 3 1 = 1 3 + 2 9 = 1 9 + 2 3 .
5 . P . F e r m a t ( 1 6 0 1 - 1 6 6 5 ) n2
nF 2 1
.
1 2 3 4F 5, F 17, F 257, F 65537
32
5F 2 1 4294967297 ,
641. .
* 3 . ( )
. 4 3
6 . M . M e r s e n n e ( 1 5 8 8 - 1 6 4 8 )
p ppM 2 1
;
p 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203,
2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701,
23209, 44497, 86243, 132049
,
11
11M 2 1 2047 23 89 .
pM
. .
1 9 8 3
132049M , 39751
, .
.
. 4 4
.
1 . ( d i v i s i o n )
.
4 7 3 .
( q u o t i e n t ) 1 5 ( r e m a i n d e r ) 2 :
47 3 15 2 .
.
51: 4 0 , 1 , 2 , 3 .
:
,
.
2 .
.
0 ,
:
0 .
.
1 . 1 2 6 1 1 2
.
, , .
;
. 4 5
2 .
( ) 1 2 6 1 1 2 .
( g r e a t e s t c o m m o n d i v i s o r )
.
:
126 2 3 3 7 112 2 2 2 2 7 ,
2 7 14 ( ( 1 2 6 , 1 1 2 ) = 1 4 ) , 1 4 .
3 .
( E u c l i d e a n a l g o r i t h m ) .
: ,
,
, , ( , ) = ( , ) .
. .
.
4 . ,
( 1 2 6 , 1 1 2 ) .
, :
126 112 1 14
112 14 8 0
1 4 ( 1 2 6 , 1 1 2 ) = 1 4 .
( 2 4 5 , 2 1 7 ) ! ! .
, ( , ) = 1
( r e l a t i v e l y
p r i m e n u m b e r s ) .
,
1 .
5 . 8 4 5 5 :
84 55 29
55 29 26
29 26 3
26 3 2
1
1
1
8
1 13 2
. 4 6
:
3 2
3 26 3 3 26
29 26 26 29
1
( 8) 1 9
( 1) 9 9 10
9 ( 1) 10 19 10
( 1)
26
29 55 29 29 55
84 55 55 84 5519 10 19 29
1
84 5 19 2951
6 . , ,
x y 1 x,y .
.
1 .
9 + 8 ;
5 ! ! ! ,
! ! !
.
1 2 .
9 + 8 = 3
; ; ;
. 4 7
2 .
0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 1 0 , 1 1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 ,
4 .
0 , 1 , 2 , 3 , 0 , 1 , 2 , 3 , 0 , 1 , 2 , 3 , 0 , 1 , 2 , .
0 , 1 , 2 , 3 .
,
3 0 .
4 .
1 4 2 2 ,
4 2 ,
2 .
3 . 1 4 2 2 4
22 14(mod4)
14 22(mod4) .
4 .
, , .
2 2 1 7
4 2 1 :
22 17 39 2 1 3 ,
22 17 5 2 1 1,
22 17 374 2 1 2 .
. 4 8
5 . ( m o d u l a r a r i t h m e t i c )
:
(mod) 0(mod)
( ) - .
(mod) (mod) :
(mod)
(mod )
(mod)
(mod) :
(mod)
(mod)
(mod)
(mod) m
m m (mod)
m m (mod)
6 . m o d u l a r
G a u s s 1 8 0 1 .
3 . .
.
7 . m o d u l a r .
,
1 0 0 . 0 0 0 .
9 ,
.
A B C - D E F - G H I
. .
7A 3B 9C 7D 3E 9F 7G 3H 9I
0(mod10)
.
I S B N
U P C s .
. 4 9
.
1 .
( C r y p t o g r a p h y ) .
( D e c r y p t i o n ) .
2 .
.
.
.
.
.
3 .
, ,
3 , .
( C a e s a r c i p f e r ) .
4 .
. , ,
,
.
A
.
5 .
( M o n o a l p h a b e t i c s u b s t r i t u t i o n
c i p h e r s ) .
. 5 0
6 .
(
) .
7 . ( F r e q u e n c y
a n a l y s i s )
.
,
.
8 .
.
, .
9 . 1 5 2 3
! ! !
2 4
.
2 4
.
.
, ,
.
. 5 1
1 0 .
.
.
.
.
.
;
,
, - , . . .
1 1 .
( E n i g m a ) ,
.
.
2210 .
,
. A l a n T u r i n g ( 1 9 1 2 - 1 9 5 4 )
.
1 2 .
.
.
.
.
. 5 2
.
1 .
.
2 .
.
.
.
;
.
;
.
;
* ,
.
*
.
*
.
*
. * 4 . ( )
3 .
,
.
,
.
4 .
.
! ! !
.
. 5 3
5 . W . D i f f i e M . H e l l m a n
R . M e r c l e
,
.
m o d u l a r
6 . xy 3 (mod7) .
x
x3 : 7 .
:
7 .
. .
8 .
.
0
1 ,
b i t s .
xy 3 (mod7) .
! ! !
.
. . = 3 = 1 ,
.
. 5 4
3 3 (mod7)
6
A 3b (mod7) 3 (mod7) 6
1b 3 (mod7)
3
B 1 (mod7) 6 (mod7) 6
* 5 . ( )
9. ! ! !
1 0 .
xy 3 (mod7)
6 3 ,
.
.
1 1 .
.
.
. 5 5
.
1 .
,
.
2 . W h i t f i e l d D i f f i e
.
.
,
( p r i v a t e )
( p u b l i c ) .
, ,
.
3 . ,
,
. * 6 . ( )
4 .
.
.
. . 5 6
R.S.A.
A . modulo
1 . 1 6 4 0 P . F e r m a t ,
,
F e r m a t . 1 7 3 6 E u l e r .
2 . :
p
p,
, p 1 :p 1.
p 1 1(modp)
7919
7919 , 5862 :
79185862 1(mod7919) .
3 . E u l e r
:
n ( ) .
n 1,2,3,...,n 1. r n , n
r 1(modn) . F e r m a t
E u l e r n
( n 1 ) n .
4 . . 2 1 ,
2 1 :
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 1 0 , 1 1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 , 1 6 , 1 7 , 1 8 , 1 9 , 2 0 .
: 1 , 2 , 4 , 5 , 8 , 1 0 , 1 1 , 1 3 , 1 6 , 1 7 , 1 9 , 2 0 , 1 2
2 1 .
12 1(mod21) ,
12 12 123 1mod(21) , (10 ) 1(mod21) . . .
. . 5 7
. R .R i vest , A.Shamir , L .Adleman
1 . T o 1 9 7 7 M . I . T . R o n R i v e s t , A d i S h a m i r
L e o n a r d A d l e m a n
.
.
( p r i v a t e )
( p u b l i c ) .
R , S , A
.
2 . :
* , .
3 7 .
* 21 .
*
, (3 1) (7 1) 2 6 12 .
*
1 2 , . . 29 .
* : (12,29) 1 x,y
29 x 12 y 1. ( 4 6 ) .
29 12 25 1 1.
* 29 21 ( )
* 5 ( ) .
* .
3 .
:
.
.
. . 5 8
1 0 ,
.
.
, A S C I I
.
1 0 .
2910 : 21
19 . 2919 10 (mod21) .
.
19 ,
519 : 21 10 .
510 19 (mod21) .
10 , 1 0
.
. ;
1 . R o n R i v e s t
,
.
2 . p q
p , q . 4 0 8 . 5 0 8 . 0 9 1
1 8 . 3 1 3 2 2 . 3 0 7 ,
8
.
6510
, 13010
. 5 0
.
(
1 9 9 5 ) 1 5
. * 7 . ( )
. . 5 9
3 .
,
30810 .
.
4 . 1 9 7 7 R S A , M a r t i n
G a r d n e r S c i e n t i f i c A m e r i c a n :
= 1 1 4 . 3 8 1 . 6 2 5 . 7 5 7 . 8 8 8 . 8 6 7 . 6 6 9 . 2 3 5 . 7 7 9 . 9 7 6 . 1 4 6 . 6 1 2 . 0 1 0 . 2 1 8 . 2 9 6 .
7 2 1 . 2 4 2 . 3 6 2 . 5 6 2 . 5 6 1 . 8 4 2 . 9 3 5 . 7 0 6 . 9 3 5 . 2 4 5 . 7 3 3 . 8 9 7 . 8 3 0 . 5 9 7 . 1 2 3 . 5 6 3 .
9 5 8 . 7 0 5 . 0 5 8 . 9 8 9 . 0 7 5 . 1 4 7 . 5 9 9 . 2 9 0 . 0 2 6 . 8 7 9 . 5 4 3 . 5 4 1
1 0 0
.
1 7
.
* 8 . ( )
R S A ! !
. . 6 0
.
1 .
1 6 0 6
( 9
. . ) .
. 3 . 7 0 0
- , .
1 6 . 1 4
4 6 .
2 . ,
3 . . .
:
,
,
,
, , ,
,
.
3 .
, ,
,
.
4 . 1 3
, . 6
.
. 1 5 7 0
R a f a e l B o m b e l l i
.
. . 6 1
.
1 .
.
, . :
* 2x 1 7 x 3 ,
* 2x 1 6 ,
* 2x 4 x 2 ,
* px qy 1 p,q
.
. . 3x 2y 1
x 2n 1 y 3n 1 n
* x y ,
, .
o o(x ,y )
o o
x x t, y y t
t .
2 . m o d u l a r
.
34x 2y 1 ; .
.
:
m
m .
3 . 2 2 2x y z ;
,
x 3, y 4, z 5 . .
.
;
. . 6 2
. 10 Hi lbert
1 . 1 9 0 0 ,
. D a v i d H i l b e r t
( 1 8 6 2 - 1 9 4 3 ) 2 3
, ,
.
.
2 . 1 0 .
,
.
3 .
;
1 9 7 0 , Y u r i M a t y a s e v i c h , 2 2
, .
4 .
.
. . 6 3
Fermat
.
1 . P i e r d e F e r m a t 2 0 1 6 0 1
B e a u m o n t - d e L o m a g n e .
1 6 3 1
.
,
. E . T . B e l l
, F e r m a t
.
.
.
2 . F e r m a t
2 6
. 2 5
2 7 .
. F e r m a t
, ! ! !
3 .
:
4 1
4 1.
.
.
1 7 4 9 E u l e r .
. . 6 4
4 .
2 8 ,
:
.
:
,
.
5 . ,
F e r m a t
.
. 4
1 . n n 3
x,y,z n n nx y z .
,
3 5 0 ! ! !
2 .
n 4
n {3,5,7,11,13,...} ,
. ;
. . 6 5
3 .
n . n .
4 . 6 6 6x y z
x,y,z :
o o o(x ,y ,z ) ,
6 6 6 2 3 2 3 2 3
o o o o o o(x ) (y ) (z ) (x ) (y ) (z )
3 3 3x y z
2 2 2
o o o(x ,y ,z ) .
8 8 8x y z
.
5 .
.
! ! !
n ! !
. 4 4 4x y z
1 . ,
, F e r m a t 4 4 4x y z
.
2 .
.
3 . 1 1 1(x ,y ,z ) .
2 2 2(x ,y ,z ) ,
3 3 3(x ,y ,z ) .
. (x,y,z) ,
.
1 1 1(x ,y ,z )
.
. . 6 6
.
1 . 1 7 5 3 L e o n h a r d E u l e r
F e r m a t n 3
2 . .
S o p h i e G e r m a i n s 1 1 7 7 6 .
1 3
, E u l e r
N e w t o n . E c o l e P o l y t e c h n i q u e
A n t o i n e - A u g u s t L e B l a n c .
J o s e p h - L o u i s L a g r a n g e
. S o p h i e
G e r m a i n
.
3 . G a u s s
.
p 2p 1 .
. 3 7 , 5 1 1 , . . .
( G e r m a i n n u m b e r s ) .
4 .
F e r m a t .
: n n nx y z
( n G e r m a i n ) x,y,z
n .
5 . 1 8 2 5 G u s t a v L e j e u n e - D i r i c h l e t A d r i e n -
M a r i e L e g e n d