•• ••

ΑΙΝΣΤΑΙΝ

" . - · /

Η /ΘΕΩΡΙΑ · τΗΣ

ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤ ΑΣ · ' • • 1

ΕΚΔΟΣΕΙΣ . ΚΟΡΟΝΤΖΗ

-------~·~· ___ _:___ ______ .!__ _________ -------- - ---- ----

ΜΕΤΑΦΡΑΣΗ: ΣΤΑ ΥΡΟΣ ΜΑΡΟΥΛΑΚΟΣ

Copyright: Δ. ΚΟΡΟΝΤΖΗ

Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΕΝΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

Η ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ

ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Αuτό τό μικρό βιβλίο εχει γιά σκοπό νά κάνει γνωστή , μέ

δσο τό δυνατό άκριβέστερο τρόπο, τή Θεω'ρία τής σχετικότητας

σ . αuτούς πού ένδιαφέρονται άπό τήν γενική, τήν έπιστημονική

καί φιλοσοφική lίποψη, καί πού δέν διαθέτουν τό μαθηματικό

έργαλείο τής θεωρητικής Φυσικής 1 • ·Η άνάγνωση προϋποθέτει

περίπου γνώσεις τελειόφοιτου γυμνασίου (Λυκείου) καί-παρά

τόν μικρό δγκο τοϋ βιβλίου-μιά γερή δόση ύπομονής καί

θέλησης . · Ο συγγραφέας δέν τσιγγου'(εύτηκε τόν κόπο του γιά νά

παρουσιάσει τίς βασικές ίδέες μ . ενα τρόπο δσο τό δυνατόν

ξεκάθαρο καί άπλό, συνοπτικά καί μέ τή σειρά καί τήν άλλη­λουχία μέ τίς όποίες γεννήθηκαν στήν πραγματικότητα.

Γιά νά είμαι ξεκάθαρος μοϋ φάνηκε άναπόφευκτο νά κάνω

συχνές έπανrιλήψεις, χωρίς νά φροντίζω διόλου νά δώσω στό

κείμενο μιά γλαφυρή μορφή .

'Ακολούθησα ένσυνείδητα τή γνώμη τοϋ μεγαλοφυοϋς

θεωρητικοί> L. Boltzmann, ν ' άφίσω τήν φροντίδα τής κομψό­τητας στούς ράφτες καί στούς τσαyγάρηδες . Δέν Πιστεύω νά έκρυψα στόν άναγνώστη τίς δυσκολίες πού είναι άναπόσπαστες άπ · τό θέμα. ·Απεναντίας άναφέρω έπίτηδες, μέ περιληπτικό

τρόπο τίς έμπειρικές καί φυσικές βάσεις τής θεωρίας, ωστε ό

άναγνώστης πού δέν εlναι καλά έξοικειωμένος μέ τή φυσική νά

μ ή βρεθεί σέ μιά κατάσταση ϊδια μέ κείνη τοϋ ταξιδιώτη πού τά

σπίτια τόν έμπόδιζαν νά δεί τήν πqλη.

Εϋχομαι αύτό τό μικρό βιβλίο νά εlναι ενα κίνητρο γιά

πολλούς άναγνώστες καί νά τούς κάνει νά περάσουν μερικές

εύχάριστες ώρες.

Α. Einstein

ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΕΝΗΣ

ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ι

ΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΠΕΡΙΕΧΌΜΕΝΟ

ΤΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΠΡΟΤΆΣΕΩΝ

Χωρίς άμφιβολία ε'ίχατε γνωρίσει άγαπητέ άναγνώστη, δταν

ε'ίσασταν νεαρός, τό ύπέροχο οίκοδόμημα τfjς Γεωμετρίας του

Εuκλείδη, καί θυμόσαστε 'ίσως, μέ πφισσότερο σεβασμό παρά

ίκανοποίηση, αuτό τό έπιβλητικό οίκοδόμημα στό ύψηλό σκαλο­πάτι του όποίου, ευσυνείδητοι δάσκαλοι σίiς ύποχρέωναν ν, άνε­

βαίνετε κατά τή διάρκεια άναρίθμητων ώρ&ν. Σύμφωνα μ' αuτό

τό παρελθόν θά περιφρονούσατε όποιονδήποτε ι'ίνθρωπο πού θά

αντιμετώπιζε εστω καί τήν ευτελέστερη πρόταση αύτής τής έπι­

στήμης σάν άνακριβή.

'Αλλά αuτό τό α'ίσθημα τfjς ύπερήφανης βεβαιότητας θά σίiς

έγκατέλειπε 'ίσως, ι'ίν σίiς εβαζαν τό έρώτημα: «τί έννοεί­τε μέ τή διαβεβαίωση δτι αuτές oi προτάσεις εΙ ναι άληθινές;••. Σ' αuτή τήν έρώτηση θέλουμε νά σταθοϋμε λίγο.

'Η Γεωμετρία ξεκινάει άπό μερικές γενικές εννοιες σάν τό

σημείο, τήν εuθεία, τό έπίπεδο, στίς όποίες μποροuμε νά εχου­

με λογικές παραστάσεις λίγο πολύ ξακάθαρες, καί . άπό μερικές άπλές προτάσεις (άξιώματα), πού μποροϋμε νά τίς βλέπουμε,

σύμφωνα μ' αύτές τίς λογικές παραστάσεις σάν ••άληθινές».

'Όλες οί ι'iλλες προτάσεις άνάγονται στή συνέχεια, διά μέσου

μιίiς λογικής μεθόδου τής όποίας αίσθανόμαστε ύποχρεωμένοι νά

παραδεχτοϋμε τήν ίσχύ, σέ άξιώματα, δηλ. θεωροϋνται άποδειγ­

μένες. Μιά πρόταση ε{ναι κατά συνέπεια άκριβής ή «άληθινή»

δταν εχει προκύψει άπ, τά άξιώματα μέ τρόπο γενικά παραδεγ­

μένα. Τό ζήτημα τής γνώσης έάν αuτή ή ή άλλη γεωμετρική

πρόταση εlvαι ••άληθινή>•, άvάγεται κατά συνέπεια, στό ζήτημα

τής γνώσης έάv τά άξιώματα ε{ ναι <<άληθιvά». 'Αλλά ξέρουμε άπό

πολύ καιρό δτι όχι μόνο δέν μπορουμε μέ γεωμετρικές μεθόδους v · άπαvτήσοuμε σ' αuτήν τήν τελευταία έρώτηση, &.λλά κι' δ τι ή 'ίδια ή έρώτηση δέν ί:χει κανένα νόημα. Δέv μποροϋμε vά

7

ρωτήσουμε έάν εlναι άλήθεια ότι άπό δύο σημεία περνάει μόνο μία εύθεία. Μποροϋμε μόνο νά ποϋμε δτι ή Εύicλείδειος Γεωμε­τρία έπεξεργάζεται σχήματα πού όνομάζει «εύθείες•• καί στά όποία άποδίδει τήν ίδιότητα νά προσδιορίζονται μ. ενα τρόπο

μονοσήμαντο, μέ δύο απ' τά σημεία τους. 'Η εννοια τοϋ

«άληθινοu» δέν έφαρμόζεται στίς παραστάσεις τής καθαρής

γεωμετρίας, γιατί μέ τόν όρο <<αληθινό» έννοοϋμε σέ τελευταία

&.νάλυση, πάντα τή σύμπτωση μ' ενα άντικείμενο <<Πραγματικό».

'Αλλά, δμως ή Γεωμετρία δέν ασχολείται μέ τή σχέση πού ύπάρ­

χει μεταξύ τών έννοιών της καί τών άντικειμένων τής πείρας, άλλά μόνο μέ τή λογική σχέση πού ύπάρχει μεταξύ τών έννοιών

της.

Τό ότι εχουμε τήν προδιό:θεση νά βλέπουμε τίς προτάσεις τής Γεωμετρίας σάν ,,αληθινές» έξηγείται εuκολα. Στίς εννοιες

τfjς γεωμετρίας αντιστοιχοuν σχεδόν άκριβώς, αντικείμενα πού

βρίσκονται σή φύση, καί αύτά τά άντικείμενα εΙ ναι άναμφίβολα ή

μόνη αίτία τής γέννεσης αύτώv τών έννοιών. ΕΙναι ύπόθεση τής

Γεωμετρίας, γιά νά δώσει στή δομή της τή μεγαλύτερη δυνατή

λογική συνοχή νά μή τά λάβει ύπ' όψη της. Ή συνήθεια π . χ. νά

φανταζόμαστε μιά εύθεία ανάμεσα σέ δύο σημεία σημειωμένα σ.

ενα σώμα στερεό καί άκαμπτο, ε{ναι βαθειά ριζωμένη στό μυαλό μας. Είμαστε, έξ aλλου, συνηθισμένοι νά ύποθέτουμε δτι τρία

σημεία βρίσκονται σέ μιά εύθεία έάν, μέ μιά άνάλογη έκλογή του

σημείου δρασης, μποροϋμε νά κάνουμε νά συμπέσουν οί θέσεις

τους.

·Εάν τώρα, άκολουθώντας τό συνηθισμένο τρόπο σκέψης

μας, προσθέσουμε τίς προτάσεις τής εύκλείδειας γεωμετρίας, τή μόνη πρόταση πού λέει, δ τι σέ δύο σημεία ένός στερεοu σώματος

αντιστοιχεί πάντα ή 'ίδια aπόσταση (εύθεία), όποιες καί νάναι οί

μεταβολές θέσης πού του προκαλοuμε, τότε, οί προτάσεις τής εύκλείδειας Γεωμετρίας, γίνονται προτάσεις γιά τή δυνατή

σχετική θέση τών στερεών, σωμάτων.z ·Η Γεωμετρία πού Εχει

συμπληρωθεί ετσι πρέπει νά χάρακτηρισθεί σάν ενας κλάδος τής Φυσικfjς. Καί τώρα πιά , τό ζήτημα τής <<αλήθειας» τών γεωμετρι­

κών προτάσεων, ετσι ερμηνευμένων μπαίνει μέ τό δίκιο του, γιατί

μπορεί νά αναρωτηθεί κανείς, άν αύτές ο{ προτάσεις, ίσχύουν

έπίσης γιά τά πραγματικά άντικείμενα πού τά εχουμε προσαρμό-

8

σει στίς γεωμετρικές έννοιες. Μέ τρόπο κάπως d:νακριβή

μποροϋμε, κατά συνέπεια, νά ποϋμε, ότι όταν μιλaμε γιά

«άλήθεια>> μιaς γεωμετρικής πρότασης ετσι έννοούμενης, έξυπα­κούομε τήν ίσχύ της σέ μιά κατασκευή μέ τό διαβήτη καί τόν

κανόνα.

'Η πεποίθηση της ••d:λήθειας>> τών γεωμετρικών προτάσεων

μ αuτή τήν έννοια στηρίζεται βέβαια σέ πειράματα άρκετά άτελή. Θά δεχθοuμε δμως πρός στιγμήν τήν d:λήθεια αuτών τών

προτάσεων: στή συνέχεια θά δοϋμε, στό τελευταίο μέρος τών

σκέψεών μας (όταν θιi άσχοληθοϋμε μέ τή θεωρία τής γενικής σχετικότητας), ιϊν εΙναι περιορισμένη καί σέ ποιό βαθμό.

9

2 ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ

Σύμφωνα μέ τή φυσική έρμηνεία τής aπόστασης, πού μόλις

άναφέραμε, μποροuμε νά προσδιορίσουμε τήv άπόσταση δύο σημείων σ, ενα σώμα μ ή ελαστικό, χρησιμοποιώντας μιά μονάδα

μέτρησης.

Γι' αuτόν τό σκοπό χρειαζόμαστε μιάν εuθεία (εuθύγραμμο

τμήμα (s), πού θά μiiς χρησιμεύσει γιά μονάδα μέτρησης. "Αν τώρα Α καί Β είναι δυό σημεία ένός σώματος, μ ή ελαστικου, τότε

ή εuθεία πού τά ένώνει μπορεί νά κατασκευασθεί σύμφωνα μέ τούς

νόμους τής Γεωμετρίας. Μπορουμε στή συνέχεια νά έφαρμόσου­

με σ, αuτή τήν εύθεία τό εύθύγραμμο τμήμα s ξεκινώντας άπό τό Α τόσες φορές δσες χρειάζονται γιά νά φθάσουμε στό Β. 'Ο

άριθμός τών συνεχόμενων έφαρμογών είναι τό μέτρημα τής

εύθείας ΑΒ. Πάνω σ' αύτή τή μέθοδο στηρίζεται κάθε μέτρημα

μήκους .

Κάθε περιγραφή ένός τόπου δπου συμβαίνει ενα γεγονός, η

δπου βρίσκεται ενα aντικείμενο , συνίσταται στό νά ύποδειχθεί τό σημείο ένός μή έλαστικου σώματος (σώμα <iναφορiiς) μέ τό ό­

ποίο αύτό τό γεγονός συμπίπτει.

Αύτή ή μέθοδος δέν χρησιμοποιείται μόνο στήν έπιστημονι­

κή περιγραφή, άλλά καί στήν καθημερινή ζωή.' Αναλύοντας τήν

ενδειξη του τόπου «στό Παρίσι, πλατεία του Pantheon» βρίσκεται δτι ή σημασία της είναι ή έξής : Τό εδαφος είναι τό μή

έλαστικό σώμα στό όποίο αναφέρεται ή ενδειξη του τόπου . Σ' αύτό τό εδαφος ,,ή πλατεία του Pantheon στό Παρίσι» σημειώνε­ται μ, ενα σημείο συνοδευόμενο μ, ενα δνομα μέ τό όποίο τό

σχετικό γεγονός συμπίπτει στό χώρο.4

Ή πρωτόγονη αύτή μέθοδος γιά τήν ενδειξη τών τόπων

μπορεί νά χρησιμοποιηθεί μόνο γιά τόπους πού βρίσκονται στήν

επιφάνεια τών μή έλαστικών σωμάτων καί εξαρτάται άπό τήν

10

ϋπαρξη διακριτικώv σημείων πάνω σ' αύτή τήν έπιφάνεια. "Ας δουμε πώς τό aνθρώπινο πνευμα ξεπερνάει αύτούς τούς δύο περιο­

ρισμούς χωρίς νά ύποστεί καμμιά μεταβολή ή ούσία τής ί:νδειξης

του τόπου . 'Εάν, γιά παράδειγμα, ε να σύνεφο πλανιέται πάνω aπ'

τήν πλατεία τοϋ Pantheon, ό τόπος αύτοϋ τοϋ σύνεφου , αναφερό­

μενος στή ν επιφάνεια τής γής, μπορεί νά προσδιοριστεί

στήνοντας ενα κοντάρι πού νά φτάνει τό σύνεφο, κάθετα στήν

πλατεία. Τό μήκος του κονταριου, μετρημένο μέ τόνκανόνα, μαζί

μέ τήν Ενδειξη του τόπου του <<ΠΟδός» του κονταριου δίνει τότε

μιά τέλεια ί:νδειξη του τόπου . Αύτό τό παράδειγμα μί'iς δείχνει μέ

τί τρόπο πραγματοποιήθηκε ή τελειοποίηση τής εννοιας του

τόπου .

α) 'Επιμήκυνση τοϋ μ ή έλαστικοϋ σώματος, στό όποίο

αναφέρεται ή ενδειξη του τόπου, μέ τέτοιο τρόπο ωστε νά φθάσει

τό aντικείμενο πού πρέπει νά έντοπισθεί.

β) Γιά νά χαρακτηρισθεί . ενα μέρος χρησιμοποιείτα ι ό

aριθμός άντί γιά σημεία πού ί:χουν ενα δνομα. (έδώ τό μήκος του

κονταριου, μετρημένο μέ τόν κανόνα).

γ) Λέγεται έπίσης ϋψος του σύνεφου ακόμα κι' δταν δέν

ύπάρχει στημένο κοντάρι γιά νά τό φθάσει. Στήν περίπτωσή μας

ύπολογίζεται τό μήκος πού θά επρεπε νά εχει τό κοντάρι γιά νά

φθάσει τό σύνεφο, κάνοντας οπτικές παρατηρήσεις στό σύνεφο

ιiπό διάφορα σημεία του έδάφους καί λαμβάνοντας ύπ' δψη τίς

iδιότητες μετάδοσης του φωτός .

Φαίνεται οτι μ ' αύτόν τόν τρόπο, aποκτάμε ενα πλεονέκτημα

γιά τήν περιγραφή τών τόπων , aν κατορθώνουμε, μέ τή χρήση

aριθμητικών μετρήσεων, νά aποφεύγουμε τά σημεία μέ ονόματα

πού εχει τό στερεό μή έλαστικό σώμα στό όποίο aναφέρεται ή

ενδειξη τών τόπων. Αύτό τό κατορθώνει ή φυσική χρησιμοποι­

ώντας στίς μετρήσεις της τό σύστημα τών καρτεσιανών

συντεταγμένων.

Αύτό τό σύστημα aποτελείται άπό τρία έπίπεδα στερά

κάθετα aνά δύο, καί ένωμένα μ ' ενα στερεό σώμα. 'Ο τόπος

ένός όποιουδήποτε γεγονότος, σέ σχέση μέ τό σύστημα τών

συντεταγμένων, είναι (στήν ούσία) προσδιορισμένος δίνοντας τά

μήκη τών τριών καθέτων ή συντεταγμένων (χ, y, z) (σχ. 2 σελ. 41) πού φέρονται άπό τόν τόπο πρός τά τρία έπίπεδα.

11

Τά μήκη των τριών καθέτων μποροϋν νά προσδιορισθοϋν μέ

εναν άπ' τούς χειρισμούς μέ στερεές καί μ ή έλαστικές ράβδους,

χειρισμούς όρισμένους άπ ' τούς νόμους καί τίς μεθόδους τής

Εύκλείδειας Γεωμετρίας.

Στήν πρακτική, τά έπίπεδα πού άποτελοϋν τό σύστημα των

συντετΟ:γμένων δέν είναι γενικά πραγματοποιημένα: τό 'ίδιο οί συντεταγμένες δέν ε{ναι στήν πραγματικότητα προσδιορισμένες

μέ τή χρήση κατασκευών μέ στερεές καί μή έλαστικές, ράβδους .

άλλά μέ εμμεσο τρόπο . 'Η φυσική σημασία του προσδιορισμοί)

τών τόπων όφείλει πάντα έντούτοις νά άναζητείται · σύμφωνα μέ

τά παραπάνω δεδομένα, ι'iν δέν θέλουμε τά άποτελέσματα τής

Φυσικής καί τής 'Αστρονομίας νά πέφτουν στό κενό.5

'Έχουμε λοιπόν τό άκόλουθο άποτέλεσμα: Κάθε περιγραφή

γεγονότων στό χώρο άπαιτεί τή χρήση ένός στερεοϋ σώματος

στό όποίο αύτά τά γεγονότα πρέπει νά άναφέρονται.

Αuτή ή σχέση ύποθέτει δτι οί Νόμοι τής Εύκλείδειας

Γεωμετρίας iσχύουν γιά τίς «εύθείες» δπου ή «εύθεία» παριστά­νεται φυσικά άπό δύο σημεία σέ ενα σώμα στερεό καί μή

έλαστικό.

12

3 ΧΩΡΟΣ ΚΑΙ ΧΡΟΝΟΣ ΣΤΗ ΚΛΑΣΙΚΉ

ΜΗΧΑΝΙΚΉ

Έάν, χωρίς νά πολυpτενοχωριέμαι καί χωρίς νά μπώ σέ λεπτομερειακές επεξηγήσεις, όρίσω τό σκοπό τής Μηχανικής

μέ τούς άκόλουθους δ ρους: «·Η Μηχανική όφείλει νά περιγρά­

ψ~ι πώζ τά σώματα άλλάζουν τόπο μέ τό χρόνο .. , βαραίνω τή συνείδησή μου μέ μερικά θανάσιμα άμαρτήματα έναντίον τοϋ

άγίου πνεύματος τής σαψήνειας, καί αύτά τά άμαρτήματα πρέπει πρώτα άπ' δλα νά ξεσκεπασθοϋν .

Δέν εlναι ξεκάθαρο τί ύπονοείται έδώ μέ «τόπο» καί «χώρο», "Ας ύποθέσουμε ότι, εύρισκόμενος μπροστά στό παράθυρο τοϋ

βαγονιοϋ ένος τραίνου πού κινείται μέ σταθερή ταχύτητα, άφίνω νά πέσει, χωρίς νά σπρώξω, μιά πέτρα στήν άποβάθρα. Βλέπω

τότε (κάνοντας άφαίρεση τής έπίδρασης πού έξασκεί ή αντί­

σταση τοϋ άέρα) τήν πέτρα νά πέφτει σέ εύθεία γραμμή . 'Αλλά

ενας διαβάτης πού βλέπει τό εγκλημα άπ' τό δρόμο, διαπιστώνει

δτι ή πέτρα στήν πτώση της διαγράφει μία παραβολή. 'Ερωτώ

τώρα: 0{ «τόποι» πού διασχίζει ή πέτρα βρίσκονται «πραγματι­κά» σέ μιά εύθεία ή σέ μιά παραβολή; η σημαίνει έδώ έξ · άλλου,

κίνηση στό «χώρο»; Ή άπάντηση, σύμφωνα μέ τίς σκέψεις τοϋ

προηγουμένου κεφαλαίου, ~ρχεται μόνη της. ν Ας άφήσουμε

πρώτα άπ' όλα κατά μέρος τόν σκοτεινό δ ρο «χώρο» μέ τόν δ­

ποίο-άς τό δμολογήσουμε τίμια-δέν μποροϋμε άπολύτως

τίποτα νά καταλάβουμε. Στή θέση του βάζουμε , «κίνηση σέ

σχέση μ' ενα σώμα άναφορaς πρακτικά στερεό καί μ ή έλαστικό» ,

Οί τόποι σέ σχέση μέ τό σώμα άναφορiiς (βαγόνι ή εδαφος) ε χουν

ήδη όρισθεί λεπτομερειακά στό προηγούμενο κεφάλαιο.

Τοποθετώντας στή θέση «aώμα άναφορiiς» τήν tννοια «σύστημα

συντεταγμένων» πού εΙναι χρήσψο γιά τή μαθηματική άπεικόνι­ση, μποροϋμε νά ποϋμε: ·Η πέτρα διαγράφει, σέ σχέση μ' εvα

σύστημα συντεγαγμένων στερεά συνδεμένων στό βαγόνι, μιά

13

ευθεία, άλλά σέ σχέση μ' ενα σύστημα συντεταγμένων στερεά

συνδεμένων στό εδαφος μιά παραβολή. Αύτό τό παράδειγμα

δείχνει ξεκάθαρα δτι δέν ύπάρχει τροχιά aπό μόνη τηςΙ>, aλλά

μόνο μιά τροχιά σέ σχέση μέ ενα όρισμένο σωμα άναφορiiς .

Μιά πλήρης περιγραφή τής κίνησης πραγματοποιείται μόνο

δταν δείχνεται πως τό ά&μα aλλάζει θέση μέ τό χρόνο, δηλαδή

όταν δείχνεται γιά κάθε σημείο τής τροχιiiς άέ ποιά στιγμή τό σ&μα βρίσκεται έκεί. Αύτές οί ένδείξειςπρέπει νά συμπληρωθοuν

μέ εvαν όρισμό τοϋ χρόνου τέτοιο πού αύτές οί τιμές τοϋ χρόνου

νά μποροuν' σύμφωνα μ, αuτόν τόν όρισμό, νά θεωρηθοuν cφχικά

σάν μεγέθη παρατηρήσιμα (άποτελέσματα μετρήσεων). · Ικανο­ποιοuμε στήν περίπτωσή μας αύτή τήν aπαίτηση-παραμένοντας

στό πεδίο τής κλασικfjς μηχανικfjς-μέ τόν άκόλουθο τρόπο.

Φανταζόμαστε δύο ρολόγια φτιαγμένα άκριβώς μέ τόν 'ίδιο

τρόπο, aπ' τά όποία τό ενα τό εχει ό άνθρωπος πού βρίσκεται

μπροστά στό παράθυρο τοϋ βαγονιοu καί τό άλλο τό εχει ό

άνθρωπος πού βρίσκεται στό δρόμο. Καθένας άπ · αυτούς βλέπει σέ ποιό σημείο, σέ σχέση μέ τό σ&μα του άναφορiiς, βρίσκεται

άκριβώς ή πέτρα δταν τό ρολόϊ του δείχνει εναν δρισμένο χρόνο. Παραιτούμεθα έδ& άπό του νά λάβουμε ύπ' όψη μας τήν

άνακρίβεια πού όφείλεται στή μετάδοση του φωτός μέ πεπερα­

σμέννη ταχύτητα. Θά μιλήσουμε γι· αύτήν, καθώς καί γιά μιά

άλλη δυσκολία πού παρουσιάζεται έδ&, πιό πέρα μέ τρόπο λεπτομεpιακό.

14

4

ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΤΟΥ ΓΑΛΙΛΑΙΟΥ

Είναι γνωστό δτι ό βασικός νόμος τής μηχανικής του

Γαλιλαίου καί τοϋ Νεύτωνα, γνωστός μέ τό όνομα νόμος τής αδράνειας, εκφράζεται μέ τούς ακόλουθους δρους:

'Ένα σώμα άρκετά άπομακρυσμένο άπό άλλα σώματα διατηρεί τή 1

κατάστασή του, τής ακινησίας ή εόθύγραμμης καί όμαλής

κίνησης. Αότή ή πρόταση δέν αναγγέλλει μόνο κάτι πού αφορά

τίς κινήσεις τών σωμάτων, αλλά μας λέει κιόλας ποιά σώματα

αναφοράς ή συστήματα συντεταγμένων είναι παραδεκτά γιά τή

μηχανική περιγραφή. Τά σώματα στά όποία ό νόμος τής

αδράνειας μπορεί ασφαλώς νά έφαρμοσθεί μέ μεγάλη προσέγγι­

ση ε{ ναι τά όρατά ακίνητα ι'iστρα. 'Αλλά ι'iν χρησιμοποιοuμε ενα

σύστημα συντεταγμένων στέρεα συνδεδεμένο στή Γή, κάθε

σταθερό αστέρι διαγράφει σέ σχέση μ· αότό κατά τή διάρκεια

μιας μέρας (άστρονομικής) εναν κϋκλο τεραστίας ακτίνας,

πραγμα πού αντιφάσκει μέ τό νόμο τής αδράνειας. ~Αν λοιπόν

θέλουμε νά διατηρήσουμε αύτόν τό νόμο δέν πρέπει νά

αναφέρουμε τίς κινήσεις παρά μόνο σέ συστήματα συντεταγμέ­

νων σέ σχέση μέ τά όποία τά σταθε'ρά άστρα δέν κάνουν κυκλικές

κινήσεις. 'Ένα σύστημα συντεταγμένων του όποίου ή κατάσταση

κίνησης είναι τέτοια πού σέ σχέση μ • αότό ό νόμος τής αδράνειας παραμένει σέ iσχύ, όνομάζεται «Σύστημα συντεταγμέ­

νων του Γαλιλαίου». Μόνο σέ συστήματα συντεταγμένων όπως

αύτό τοϋ Γαλιλαίου, ίσχύουν οί νόμοι τοϋ.Γαλιλαίου-Νεύτωνα.

15

5 Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

(ΜΕ ΤΗΝ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΕΝΗ ΕΝΝΟΙΑ)

Ξεκινaμε πάλι, γιά νά είμαστε δσο τό δυνατό πιό σαφείς; άπ • τό παράδειγμα του βαγονιου του τραίνου πού κινείται μέ σταθερή

ταχύτητα. 'Ονομάζουμε τήν κίνησή του μετάθεση όμαλή(«όμα­

λή" γιατί ή ταχύτητά του καί ή κατεύθυνσή του εlναι σταθερές

καί «μετάθεση» γιατί τό βαγόνι άλλάζει βέβαια θέση σέ σχέση μέ

τήν άποβάθρα, άλλά δέν κάνει κίνηση κυκλική). ~Ας υποθέσου­

με ενα κοράκι πού, σέ σχέση μέ εναν παρατηρητή στήν

άποβάθρα, πετάει στόν άέρα σέ εύθεία γραμμή καί μέ σταθερή

ταχύτητα. Γιά εναν παρατηρητή μέσα στό βαγόνι πού κινείται, ή κίνηση τοϋ κόρακα θά εΙναι στήν πραγματικότητα διαφορετική

σέ ταχύτητα καί σέ κατεύθυνση, άλλά ταυτόχρονα εύθύγραμμη

καί όμοιόμορφη. Χρησιμοποιώντας γενικούς δρους μπορουμε νά

πουμε: 'Εάν μιά μάζα m Πραγματοποιεί μιά κίνηση εύθύγραμμη καί όμοιόμορφη σέ σχέση μέ ενα σύστημα συντεταγμένων Κ

πραγματοποιεί έπίσης μία εύθύγραμμη καί όμοιόμορφή κίνηση

σέ σχέση μ' ενα άλλο σύστημα Κ· έάν τό Κ· πραγματοποιεί σέ

σχέση μέ τόΚ μιά κίνηση μετάθεσης όμοιόμορφη. 'Απ' αύτό

συμπεραίνεται, λαμβάνοντας ύπ' όψιν αύτό πού δείχθηκε στό

προηγούμενο κεφάλαιο, δτι:

·Εάν Κ εΙ ναι ενα σύστημα συντεταγμένων του Γαλιλαίου,

όπόιοδήποτε liλλο σύστημα συντεταγμένων Κ' πού έκτελεί μία κίνηση όμοιόμορφης μετάθεσης σέ σχέση μέ τό Κ,ε{ναι έπίσης

ενα σύστημα τοϋ Γαλιλαίου. Σέ σχέση μέ τό Κ' οί νόμοι τής

μηχανικής τοϋ Γαλιλαίου-Νεύτωνα, εΙναι έξ ίσου άληθινοί δσο

καί σέ σχέση μέ τό Κ

~Α ν θέλουμε μπορq.ϋμε νά κάνουμε ενα βήμα πιό πέρα στή

γενίκευση διατυπώνοντας τήν άκόλουθη πρόταση: Έάν κ·· εΙ ναι σχετικά μέ Κ ενα σύστημα συντεταγμένων πού έκτελεί μιά

16

κίνηση όμοιόμορφη δίχως περιφορά, τά φαινόμενα τής φύσης συμβαίνουν, σχετικά μέ Κ' σύμφωνα μέ τούς ίδιους γενικούς

νόμους πού συμβαίνουν σχετικά μέ Κ, ·Ονομάζουμε αύτή τή

διατύπωση «άρχή τής σχετικότητας» (μέ τήν περιορισμένη

σημασία).

'Όσο ε'ίμασταν πεπεισμένοι δτι δλα τά φαινόμενα τής φύσης

μποροϋν ν' άναπαρασταθοϋν μέ τή βοήθεια τής κλασσικής

μηχανικής , δέν μπορούσαμε ν' άμφιβάλλουμε γιά τήν ίσχύ αύτή ς

τής άρχής . 'Αλλά μέ τήν πρόσφατη άνάπτυξη τής 'Ηλεκτροδυ­

ναμικής καί τής 'Οπτικής, γινόταν δλο καί περισσότερο

προφανές δτι ή κλασσική Μηχανική ήταν μιά άνεπαρκής βάση

γιά τή περιγραφή δλων τών φυσικών φαινομένων . 'Από κεί

μπήκε τό έρώτημα τής ίσχής τής άρχής τής σχετικότητας, καί δέν

φαινόταν άδύνατο δτι ή άπάντηση θά μπορο ε νά ήταν

aρνητική.

' Εν πάσει περιπτώσει ύπάρχουν δύο γεγονότα πού πρωταρ­

χικά συνηγοροϋν πολύ ύπέρ τής ίσχής τής aρχής τής σχετικότη­

τας . Πράγματι, ακόμη κι' dν ή κλασσική Μηχανική δέν

προσφέρει μιά aρκετά πλατιά βάση γιά τήν θεωρητική αναπαρά­

σταση δλων τών φυσικών φαινομένων, πρέπει νά τής αναγνωρι­

σθεί ενα μεγάλο ποσοστό ιiλήθειας, γιατί έξηγεί μέ μιά θαυμαστή

ακρίβεια τίς πραγματικές κινήσεις τών ούρανίων σωμάτων. Γι ' ' ' t ' , - , ' ' , , "J , • , ,

αυτο η αρχη της σχετικοτητας πρεπει επισης να ισχυει με μια

μεγάλη ακρίβεια καί στόν τομέα τής μηχανικής. Είναι δμως a priori λίγο πιθανό δτι μιά άρχή τόσο μεγάλης γενικότητας πού ίσχύει μέ μιά τέτοια ακρίβεια γιά μιά τάξη φαινομένων, yάναι

άνεπαρκής γιά μιά άλλη.

Τό δεύτερο επιχείρημα, πού θά επανέλθουμε aργότερα, είναι

τό άκόλουθο . "Αν ή άρχή τής σχετικότητας (μέ τήν περιορισμένη

σημασία) δέν ίσχυε, τά συστήματα συντεταγμένων τοϋ Γαλιλαί­

ου,Κ, Κ ' Κ': .. πού έκτελοϋν όμαλές κινήσεις τά μέν μέ τά δέ, δέν θά ήταν ίσοδύναμα γιά τήν περιγραφή τών ν~μων ~ης φύσης. Θά

νόμιζε τότε κανείς δτι οί νόμοι τής φύσης δέν θά μποροϋσαν νά

διατυπωθοϋν μέ τρόπο ίδιαίτερα άπλό καί φυσικό, παρά μόνο dν,

μεταξύ δλων τών συστημάτων συντεταγμένων τοϋ Γαλιλαίου,

έκλεγόταν σάν σώμα αναφοράς ενα μεταξύ αύτών (Κ0) πού εχει όρισμένη κίνηση . Θά i::πρεπε τότε νά τό θεωρήσουμε αύτό (έξ

17

αίτία-~ τών πλεονεκτημάτων πού παρουσιάζει γιά τήν περιγραφή

τών q:,.Jινομένων τής φύσης) ότι βρίσκεται σέ <<άπόλυτη

άκινnrη(L» καί τά ι'iλλα συστήματα του Γαλιλαίου Κ ότι

βρίσκοντιt· σέ <<Κίνηση>>. "Αν, γιά παράδειγμα, ή άποβάθρα μας

ήταν τό συuf"ημα Κ0 τό βαγόνι του τραίνου θά ήταν ενα σύστημα Κ σέ σχέση μέ ~ό όποίο οί λιγότερο άπλοί νόμοι δέν 'ίσχυαν παρά

μόνο σέ σχέση μέΚn Αuτή ή έλάχιστη άπλοποίηση θά όφείλετο ό"τό γεγονός ότι τό βαγόνι Κ κινείται <<πραγματικά» σέ σχέση μέ

Κ0 Σ' αυτούς τούς γενικούς νόμους τής φύσης, διατυπωμένους σέ · σχέση μέ Κ τό μέγεθος καί ή κατεύθυνση τής ταχύτητας του

βαγονιοu θά επρεπε νά παίζουν ενα ρόλο. Θά επρεπε, παραδείγ­

ματος χάρη, τό ϋψος του ήχου ένός σωλήνα έκκλησιαστικου

όργάνου νά είναι διαφορετικό άν&λογα μέ τό άν ό άξωνας αότοϋ

του σωλήνα είναι παράλληλος η κάθετος πρός τήν κατεύθυνση τοϋ τραίνου. Καθώς είναι γνωστό, σύμφωνα μέ τή κίνηση γύρω

άπ' τόν 'Ήλιο, ή Γή μας μπορεί νά συγκριθεί μ' ενα βαγόνι

κινούμενο μέ ταχύτητα περίπου 30 χλμ. στό δευτερόλεπτο (30Km/sec). Στή περίπτωση πού ή άρχή τής σχετικότητας δέν θά 'ίσχυε θά επρεπε ή διεύθυνση τής κίνησης τής Γής νά έπεμβαίνει

κάθε στιγμή στούς νόμους τής φύσης καί κατά συνέπεια, τά

φυσικά σώματα νά έξαρτιοϋνται στή συμπεριφορά τους άπ' τόν

προσανατολισμό τους στό διάστημα σχετικά μέ τή Γή. Γιατί, δεδομένης τής άλλαγής διεύθυνσης πού γίνεται στή διάρκεια­

ένός ετους στήν ταχύτητα τής περιφοράς τής Γής, αύτή δέν

μπορεί νά βρίσκεται σέ άκινησία, σχετικά μέ τό ύποτιθέμενο

σύστημα Κο, στή διάρκεια μι<iς όλόκληρης χρονιάς. 'Όμως παρά

τίς πιό προσεχτικές παρατηρήσεις δέν διαπιστώθηκε ποτέ μιά

τέτοια άνισοτροπία στό γήϊνο φυσικό χώρο, δηλαδή μία φυσική

'δυσαναλογία (μ ή Αναλογία) μεταξύ τών διαφόρων κατευθύνσεων. Αuτό είναι ενα έπιχείρημα πού βαραίνει πολύ ύπέρ τής άρχής tής

σχετικότητας.

18

6 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ ΤΩΝ ΤΑΧΥΤΉΤΩΝ ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΗΝ ΚΛΑΣΣΙΚΉ ΜΗΧΑΝΙΚΉ

"Ας ύποθέσουμε δτι τό τραίνο γιά τό όποίο εχουμε ήδη

μιλήσει πολλές φορές, κινείται μέ μιά σταθερή ταχύτητα ν, κι·

δ τι ενας <'iνθρωπος περπατάει σ, ε να απ' τά βαγόνια, κατά μfjκος

τοϋ βαγονιοϋ, δηλαδή στήν 'ίδια κατεύθυνση μέ τό τραίνο μέ

ταχύτητα w.

Πόσο γρήγορα ή μέ ποιά ταχύτητα W ό <'iνθρωπος περπατάει σχετικά μέ τήν aποβάθρα;' Η μόνη δυνατή aπάντηση φαίνεται νά

βγαίνει &π' τήν ακόλουθη σκέψη:

Έάν ό Cίνθρωπος ί:μενε άκίνητος γιά ενα δευτερόλεπτο, θά

προχωροϋσε, σχετικά μέ τήν άποβάθρα, μιά άπόσταση ν 'ίση μέ

τήν ταχύτητα τοϋ βαγονιοϋ. ·Αλλά στήν πραγματικότητα διανύει

σ· αuτό τό δευτερόλεπτο, σχετικά μέ τό βαγόνι καί κατά συνέπεια

σχετικά καί μέ τήν αποβάθρα, τήν απόσταση w, πού είναι 'ίση μέ τήν ταχύτητα τοϋ βαδίσματός του . "Αρα διανύει συνολικά σ'

αuτό τό δευτερόλεπτο, σχετικά μέ τήν άποβάθρα, τό μfjκος

W =ν+ w

Θά δοίJμε &ργότερα δτι αι'Jτό τό άποτέλεσμα, πού έκφράζει τό

θεώρημα τής πρόσθεσης των ταχυτήτων τής κλασσικής

Μηχανικής, δέν μπορεί νά διατηρηθεί, καί δτι κατά συνέπεια ό

νόμος πού μόλις γράψαμε δέν είναι άπόλυτα άκριβής. Γιά τήν όJρα δμως, ύποθέτουμε δτι είναι άληθινός.

19

7 ΤΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΙΚΑ ΑΣΥΜΒΙΒΑΣΤΟ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ ΚΑΙ

ΤΗΣ ΑΡΧΗΣ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

Δύσκολα βρίσκεται στή φυσική ενας νόμος πιό άπλός ιiπ'

αuτόν της μετάδοσης του φωτός στό κενό. Κάθε μαθητής ζέρει ii νομίζει δτι ξέρει πώς τό φώς μεταδίδεται σέ εuθεία γραμμή μέ

ταχύτητα 300.000 km/s. Ξέρουμε έν πάσει περιπτώσει, μέ μεγάλη ακρίβεια δτι αύτή ή ταχύτητα είναι ή 'ίδια γιά δλα τά χρώματα :

γιατί ι'iν δέν ήταν ετσι, ή μικρότερη εκπομπή φωτός ένός

σταθερου aστέρα, δταν παθαίνει εκλειψη άπ' τόν σκοτεινό

σύντροφό του δέν θά παρατηρείτο ταύτόχρονα γιά τα διάφορα

χρώματα .

Μέ μιά άνάλογη aποψη, στηριζόμενος στίς παρατηρήσεις

πού εγιναν στούς διπλούς άστέρες, ό 'Ολλανδός ιiστρονόμος De Sitter μπόρεσε νά δείξει δτι ή ταχύτητα μετάδοσης του φωτός δέν μπορεί νά έξαρτάται ιiπ' τήν ταχύτητα μέ τήν όποία κινείται- ή

φωτε~νή πηγή. ·Η ύπόθεση δτι αύτή ή ταχύτητα μετάδοσης

έξαρτάται ιiπ ' τήν κατεύθυνση «στό διάστημα•• είναι άπό μόνη

της άπίθανη .

Κοντολογής , ι'iς δεχθοϋμε δτι δικαιολογημένα ό μαθητής

μας παραδέχεται τόν άπλό νόμο μετάδοσης τοϋ φωτός μέ σταθερή ταχύτητα c ( στό κενό) . Π ο ιός θά πίστευε δ τι αuτός ό άπλός νόμος

εριξε τόν έυσυνείδητο καί γνωστικό φυσικό στίς μεγαλύτερες

δυσκολίες. Nci Πως ξεπήδησαν αύτές οί δυσκολίες.

Τό φαινόμενο μετάδοσης τοϋ φωτός πρέπει φυσικά, δπως

κάθε φαινόμενο, ν' αναφερθεί σ' ενα σώμα στερεό καί μή

ί':λαστικό, άναφοράς (σύστημα συντεταγμένων) . Διαλέγουμε γιά

τέτοιο τήν aποβάθρα μας καί ύποθέτουμε δτι ό dέρας άπό πάνω

της εχει aφαιρεθεί . 'Υποθέτουμε δτι στείλαμε κατά μή·κος τής

άποβάθρας μιά φωτεινή άκτίνα πού μεταδίδεται σέ σχέση μ· αύτή

2ό

μέ τήν ταχύτητα c. 'Υποθέτουμε ιiκόμη δτι τό βαγόνι μας κινεiται στίς σιδηροτροχιές μέ ταχύτητα ν καί στήν 'ίδια κατεύθυνση πού

μεταδίδεται ή φωτεινή ιiκτινα, aλλά φυσικά, μέ μιά ταχύτητα

πολύ μικρότερη άπ' αuτή. Ρωτiiμε τώρα: Ποιά είναι ή ταχύτητα

μετάδοσης τής φωτεινής ακτίνας σχετικά μέ τό βαγόνι; είναι

εuκολο νά δοϋμε έδώ οτι τά δεδομένα τοϋ πρηγούμενου

κεφαλαίου μπορουν νά έφαρμοσθουν έδώ, γιατί ό άνθρωπος πού

κινείται κατά μήκος του βαγονιου τοϋ τραίνου σέ κίνηση καί

κατά τόν 'ίδιο τρόπο δπως αύτός παίζει τό ρόλο τής φωτεινής

άκτίνας. 'Η ταχύτητά του W σχετικά μέ τήν άποβάθρα άντικα­θίσταται έδώ aπό τήν ταχύτητα του φωτός σχετικά μ' αύτήν: w είναι ή ζητούμενη ταχύτητα τοϋ φωτός σχετικά μέ τό βαγόνι, άρα ή άξία της είναι

W = c-v 'Η ταχύτητα μετάδοσης τής φωτεινής άκτίνας σχετικά μέ τό

βαγόνι είναι, κατά συνέπεια, πιό μικρή άπό c.

Αύτό τό aποτέλεσμα δμως aντιφάσκει μέ τήν aρχή τής

σχετικότητας πού έκτέθηκε στό κεφάλαιο 5. Σύμφωνα μ' αύτή τήν άρχή, ό νόμος μετάδοσης του φωτός στό κενό θι'iπρεπε, οπως

κάθε ι'iλλος γενικός νόμος τής φύσης, νάναι ό 'ίδιος, ε'ίτε

διαλέγουμε τό βαγόνι ε'ίτε τίς σιδητοτροχιές γιά σώμα aναφορiiς. ' Αλλά αύτό φαίνεται σύμφωνα μέ τή σκέψη μας άδύνατο. Γιατί, . κάθε φωτεινή άκτίνα μεταδίδεται, μέ ταχύτητα c, ό νόμος μετάδοσης τοϋ φωτός θι'iπρεπε νάναι διαφορετικός σχετικά με τό

βαγόνι, γεγονός πού άντιφάσκει μέ τήν άρχή τής σχετικότητας.

Μπροστά σ ' αύτό τό δίλημμα φαίνεται άναπόφευχτο νά

γίνει ενα άπ' τά δύο: ii πρέπει νά εγκαταλειφθεί ή άρχή τής σχετικότητας, ή ό άπλός νόμος μετάδοσης του φωτός στό κενό.

'ο αναγνώστης πού παρακολούθησε προσεχτικά τή μελέτη μας

εως τώρα θά περιμένει όπωσδήποτε δτι ή aρχή τής σχετικότητας,

πού φαίνεται στό μυαλό τόσο φυσική, τόσο άπλή καί σχεδόν

άλάνθαστη, πρέπει νά παραμείνει καί δτι ό νόμος μετάδοσης του

φωτός στό κενό πρέπει ν· aντικατασταθεί μ' εναν aλλο π ιό

πολύπλοκο, πού νά συμβιβάζεται μέ τήν aρχή Ίής σχετικότητας . . Αλλά ή άνάπτυξη τής θεωρητικής φυσικής ί:δειξε δτι αύτός ό δρόμος δέν ήταν δυνατός. Οί θεωρητικές έρευνες έξαιρετικά

πρωτότυπες του Η. Α. Lorentz στά ήλεκτροδυναμικά καί όπτικά

21

φαινόμενα πού παρουσιάζονται ιiπ' τά σώματα σέ κίνηση έδειξαν πράγματι δτι τά πειραματα σ ' αύτό τόν τομέα όδηγοϋν αναγκαία

σέ μιά θεωρία τών ηλεκτρομαγνητικών φαινομένων πού Εχει σάν

άναπόφευχτη συνέπεια τη σταθερότητα τής ταχύτητας τοϋ φωτός

στό κενό. Γι' αuτό τό λόγο, ιiξιοσημείωτοι θεωρητικοί έκλιναν

στό ν' άπορίψουν τήν άρχή τής σχετικότητας, παρ' δλο πού δέ

βρέθηκε κανένα πείραμα πού νά της αντιλέγει.

'Ακριβώς έδώ έπενέβη ή θεωρία τής σχετικότητας. Μέ μιά

άνάλυση τών φυσικών έννοιών τοϋ χρόνου καί τοί> χώρου, εδειξε

δτι στήν πραγματικότητα δέν ύπάρχει τίποτα τό aσυμβίβαστο

άνάμεσα στήν άρχή τής σχετικότητας καί τό νόμο μετάδοσης του

φωτός καί δτι άπεναντίας, διατηρώντας σταθερά καί συστημα­

τικά αύτές τίς δύο aρχές φθάνουμε σέ μιά λογική θεωρία πού

aντέχει σέ κάθε aντίρηση. 'Ονομάζουμε αuτή τή θεωρία, γιά νά

τήν διακρίνουμε aπ' τήν πιό γενική πού θά έπεξεργασθοί>με πιό

μακρυά, <<Θεωρία της περιορισμένης σχετικότητας» της όποίας

aρχίζουμε νά έκθέτουμε τίς βασικές ίδέες.

22

ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΣΤΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

·Υποθέτω δτι ό κεραυνός επληξε τίς γραμμές του σιδηροδρό­

μου μας σέ δύο σημεία Α καί Β . Πολύ μακρυά τό ε να dπ · τό aλλο, καί βεβαιώνω δτι οί δύο aστραπές ήταν «ταυτόχρονες»." Αν τώρα

σaς ρωτήσω, αγαπητέ άναγνώστη, ι'iν αύτή ή βεβαίωση εχει ενα

νόημα, μοu άπαντα τε μέ πεποίθηση «Ναί". 'Αλλά aν έπιμένω καί

σaς παρακαλέσω νά μου έξηγήσετε μέ ακριβέστερο τρόπο τό νόημα αuτής τής βεβαίωσης , διαπιστώνετε μετά aπό λίγη σκέψη

δτι ή dπάντηση σ· αύτή τήν έρώτηση δέν εΙναι τόσο άπλή όσο

φαίνεται άπό πρώτη ματιά.

Μετά aπό λίγο χρόνο θά κατέβει στό μυαλό σας ή ακόλουθη

dπάντηση : <<Τό νόημα αύτής τής δήλωσης είναι σαφές aπό μόνο

του καί δέν χρειάζεται άλλη έπεξήγηση: βέβαια, θά μου

χρειαζόταν νά σκεφθώ ενα όρισμένο διάστημα , άν ijμουν ύποχρε­

ωμένος μέ παρατηρήσεις, ν' άποδείξω, έάν στή συγκεκριμένη

περίπτωση τά δύο γεγονότα είναι ταυτόχρονα ή όχι ». Αύτή ή

άπάντηση δέν ιJ.έ ίκανοποιεί γιά τίς άκόλουθες αiτίες. "Ας . ύ

ποθέσουμε δτι εvας μετεωρολόγος βρήκε μέ βαθειές σκέψεις δτι ό

κεραυνός πρέπει πάντα νά πέσει ταυτόχρονα στά σημεία Α καί Β·

θά έπρεπε τότε νά έπαληθεύσουμε άν αύτό τό θεωρητικό άπο­

τέλεσμα άνταποκρίνεται ή όχι στήν πραγματικότητα. Τό ίδιο

συμβαίνει γιά δλες τίς φυσικές δηλώσεις δπου ή εννοια τοϋ

«ταυτόχρονου>> παίζει !:να ρόλο. Αύτή ή έννοια δέν ύπάρχει γιά

τόν φυσικό παρά άν εχει τή δυνατότητα νά έπαληθεύσει,

συγκεκριμένα, aν εΙναι ij όχι άκριβής. 'Έχουμε λοιπόν άνάγκη άπό !:να τέτοιο όρισμό τοϋ ταυτόχρονου πού νά μίiς δίνει μιά

μέθοδο μέ τήν όποία νά μποροϋμε ν' aποφασίζουμε, στήν περί­

πτωση πού μδ.ς άπασχολεί μέ πειράματα, έάν τά δύο χτυπήματα

τοϋ κεραυνοϋ ήταν ταυτόχρονα ή όχι. 'Όσο αύτή ή άπαίτηση δέν

εlναι ίκανοποιημένη είμαι σάν φυσικός (καθώς καί σάν μή

23

φυσικός) θϋμα μιάς αύταπάτης, ι'iν πιστεύω δτι μπορώ νά προσδ<ίJ­

σω ενα νόημα στή δήλωση τοϋ ταυτόχρονου. ('Εάν δέν τό

παραδέχεστε αuτό, άγαπητέ άναγνώστη, μέ πεποίθηση, είναι

περιττό νά σ~>νεχίσετε).

Μετά ιiπό λίγο χρόνο σκέψης θά μπορούσατε νά μου κάνατε

τήν άκόλουθη πρόταση γιά νά διαπιστωθεί τό ταυτόχρονο.

Μετράμε τήν εuθεία ΑΒ κατά μήκος τών σιδηροτροχιών καί

τοπqθετοϋμε στή μέση Μ αuτής τής εuθείας εναν παρατηρητή μέ

μιά ,' crυσκευή (γιά παράδειγμα δύο καθρέπτες μέ κλίση 900) ποίJ τοϋ έπιτρέπει νά παρατηρεί ταυτόχρονα τά δύο σημεία Α καί Β.

"Αν δεί τίς άστραπές συγχρόνως, είναι ταυτόχρονοι.

Είμαι πολύ ίκανοποιημένος άπ' αuτή τήν πρόταση,

έντούτοις δμως δέν μπορώ νά θεωρήσω τό πράγμα τελείως

ξεκαθαρισμένο, γιατί αiσθάνομαι ύποχρεωμένος νά κάνω τήν

άκόλουθη παρατήρηση:

••' Ο όρισμός σας θά ήταν τελείως σωστός, έάν ijξερα ijδη δ τι τό φώς, πού μεταδίδει στόν παρατηρηη1 στό Μ τό αίσθημα τών δύο άστραπών, μεταδίδεται μέ τήν 'ίδια ταχύτητα στήν εtJθεία

Α- Μ καί στήν ευ' θεία Β- Μ. Μιά έπαλήθευση αuτής τής ύπό­

θεσης δέν θά ήταν δυνατή παρά μόνο αν διαθέταμε ενα μέσο μέτρησης τοϋ χρόνου. Φαίνεται λοιπόν έδώ δτι κινούμαστε σ·

εναν φαϋλο κύκλο».

Μετά άπό λίγες σκέψεις, θά μοϋ ρίξετε μέ τό δίκιο σας ενα

βλέμα λίγο ύποτιμητικό δηλώνοντας: ,, ·Επιμένω έντούτοις στόν προηγούμενο όρισμό μου, άφοu στήν πραγματικότητα δέν

προϋποθέτει τίποτα γι.ά τό φώς. ·Ο όρισμός τοϋ ταυτόχρονου δέν

οφείλει νά πληρεί παρά μία μόνο συνθήκη, νά μάς δίνει σέ κάθε

πραγματική περίπτωση ενα έμπειρικό μέσο γιά νά άποφασίζουμε έάν ή ι'iποψη γιά τόν Προσδιορισμό έπαληθεύεται ij οχι. Είναι άναμφισβήτητο δτι ό όρισμός μου πληρεί αuτή τή συνθήκη. Τό

νά βεβαιώσουμε δτι τό φώς κάνει τόν'ίδιο χρόνο γιά νά διατρέξει

τήν εύθεία Α~ Μ καί τήν εύθεία Β_. Μ δέν είναι στήν

πραγματικότητα μιά ύπόθεση πάνω στή φύση τοϋ φωτός, άλλά

μιά συνθήκη πού μπορώ νά κάνω έλεύθερα, γιά νά φθάσω σ'

εναν δρισμό τοϋ ταυτόχρονου».

Είναι σαφές δτι αύτός ό όρισμός μπορεί νά χρησιμοποιηθεί

όχι μόνο γιά νά δοθεί εvα άιφιβές νόημα στό ταυτόχρονο δύο

24

γεγονότων, άλλά γιά εναν όποιονδήποτε άριθμό γεγονότων, ό­

ποιαδήποτε κι' άν εlναι ή σχετική θέση τών τόπων δ που

συμβαίνουν σέ σχέση μέ τό σώμα άναφορiiς (έδώ ή άποβάθρα)Ί.

'Έτσι φθάνουμε σ' εναν όρισμά τοϋ χρόνου στή Φυσική.

"Ας φαντασθοϋμε πράγματι τοποθετημένα στά σημεία Α, Β, C τών σιδηροτροχιών (σύστημα συντεταγμένων) ρολόγια 'ίδιας

κατασκευής, καί κανονισμένα μέ τέτοιο τρόπο πού οί άντίστοιχες

θέσεις τών δεικτών τους νά ε{ ναι ταυτόχρονες (μέ τήν πραπαpανω

σημασία). 'Εννοοϋμε τότε μέ «χρόνο» ένός γεγονότος τήν

ενδειξη (θέσα τών δεικτών) του ρολογιοϋ του άμεσα πλησίον τοϋ

γεγονότος . Σέ κάθε γεγονός ετσι άντιστοιχείά μιά τιμή τοϋ

χρόνου πού εlναι ••κατ' άρχήν•• παρατηρήσιμη.

Αuτή ή σύμβαση περιέχει άκόμη μιά φυσική ύπόθεση τής ό­

ποίας ή ίσχύ δέν μπορεί ν' άμφισβητηθεί, άφοϋ καμμιά έμπειρική

άπόδειξη δέν τήν εχει άκρωτηριάσει. 'Υποτίθεται πράγματι, δτι

δ λα αuτά τά ρολόγια <<δουλεύουν στόν 'ίδιο ρυθμό» άν ε{ναι 'ίδιας

κατασκευής.

Μέ πιό άκριβij λόγια: "Αν δύο ρολόγια σταματημένα σέ

διαφορετικά μέρη τοϋ σώματος άναφορiiς κανονισθοϋν μέ τέτοιο

τρόπο πού ή θέση πού εχουν οί δείκτες τοϋ ένός καί ή θέση πού

εχουν οί δείκτες τοϋ άλλου εlναι ταυτόχρονες (μέ τήν παραπάνω εννοια) τότε 'ίσες θέσεις τών δεικτών, εlναι πάντα ταυτόχρονες.

25

9 Η ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΟΥ

Μέχρι τώρα ή σκέψη μας εtχε ύπ' όψη ενα σώμα άναφορiiς

ίδιαίτερο , πού τό 6ποδείχναμε μέ <<σιδηροτροχιές>> , "Ας ύποθε­σουμε ε να τραίνο πολύ μακρύ κινούμενο πάνω σ, αύτές μέ

σταθερή ταχύτητα ν στή κατεύθυνση πού δείχνει τό σχήμα I. Οί ταξιδιώτες αύτου του τραίνου θά εχουν τή δυνατότητα νά

χρησιμοποιοϋν τό τραίνο σάν σώμα άναφορiiς μή έλαστικό

Α

Μ' I

I

Μ

σχήμα I.

_,,.Α1Ν0

~

8

(σύστημα συντεταγμένων), στό όποίο άναφέρονται δλα τά

γεγονότα. Κάθε γεγονός πού λαμβάνει χώρα κατά μήκος τών

σιδηροτροχιών, λαμβάνει χώρα έπίσης σ, ενα όρισμένο σημείο

τοϋ τραίνου . 'Ο όρισμός τοϋ ταυτόχρονου μπορεί νά διατυπωθεί

dκριβώς μέ τόν 'ίδιο τρόπο τόσο σέ σχέση μέ τό τραίνο δσο καί μέ

τίς σιδηροτροχιές. ·Η ακόλουθη έρώτηση μπαίνει ετσι τελείως

φυσιολογικά.

Δύο γεγονότα (γιά παράδειγμα οί δύο άστραπές Α καί Β), πού εlναι ταυτόχρονες σέ σχέση μέ τίς σιδηροτροχιές, εlναι έπίσης

ταυτόχρονες σέ σχέση μέ τό τραίνο; Θά δείξουμε σέ λίγο δτι ή

άπάντηση πρέπει νά εiναι aρνητική.

'Όταν λέμε ότι οί άστραπές Α καί Β εlναι ταυτόχρονες σέ

26

σχέση μέ τίς σιδηροτροχιές έννοοϋμε μ ' αύτό δτι οί άκτίνες πού

ξ ε κι νοϋν aπ' τά σημεία Α καί Β συναντιοϋνται στή μέση Μ τής

aπόστασης Α~Β πού βρίσκεταί στίς σιδηροτροχιές .. Αλλά στά γεγονότα Α καί Β dντιστοιχοϋν μέρη Α καί Β στό τραίνο. 'Έστω

Μ' τό μέσον τής εύθείας Α-Β τοϋ τραίνου πού κινείται . Αuτό τό

σημείο Μ' συμπίπτει dκριβώς μέ τό σημείο Μ τή στιγμή πού

πέφτουν οί άστραπέςΧ , άλλά μετακινείται στό σχέδιο πρός τά

δεξιά μέ τήν ταχύτητα υ. 'Εάν ενας παρατηρητή ς στό τραίνο

καθισμένος στό Μ ' δέν κινιόταν μ · αύτή τήν ταχύτητα θά εμενε

μόνιμα στό Μ καί οί φωτεινές dκτίνες πού ξεκινοϋν aπό Α καί Β,

θά τόν φτάναν ταυτόχρονα , δηλαδή αύτές οί δύο άκτίνες θά

σ υναντιώντουσαν στό σημείο πού βρίσκεται. 'Αλλά στήν πραγματικότητα τρέχει (εiδωμένος aπό τήν aποβάθρα) πρός τήν

άκτίνα τοϋ φωτός έρχόμενη aπό Β, ένώ aπομακρύνεται μπροστά

σ' αuτή πού ερχεται άπό Α. Θά δεί , κατά συνέπεια , τήν άκτίνα τοϋ

φωτός πού ε ρχεται άπό Β νωρίτερα άπ ' αύτή ν πού ερχεται άπό Α.

Οί παρατηρητές πού χρησιμοποιοϋν τό τραίνο σάν σώμα

άναφορiiς πρέπει νά φθάσουν στό συμπέρασμα δτι ή άστραπή Β

επεσε νωpίτερα aπ ' τήν Α . Φθάνουμε ετσι στό παρακάτω σπουδαίο συμπέρασμα:

Γεγονότα πού είναι ταυτόχρονα σέ σχέση μέ τίς σιδηροτρο­

χιές δέν ε{ναι ταυτόχρονα σέ σχέση μέ τό τραίνο καί aντιστρό­

φως (σχετικότητα τοϋ ταυτόχρονου). Κάθε σώμα άναφορdς

(σύστημα συντεταγμένων) εχει τόν δικό του χρόνο· μία εvδειξη χρόνου δέν εχει νόημα παρά μόνο άν δεχθεί τό σώμα άναφορiiς

στό όποίο ή ενδειξη άναφέρεται.

Πρίν τή Θεωρία τής σχετικότητας ή Φυσική είχε πάντα

δεχθεί σιωπηρά δτι ή ενδειξη τοϋ χρόνου είχε μιά άξία άπόλυτη,

δηλαδή δτι ήταν άνεξάρτητη άπ ' τήν κατάσταση κίνησης τοϋ

σώματος άναφορiiς. 'Αλλά μόλις δείξαμε δτι αύτή ή ύπόθεση

είναι άσυμβίβαση μέ τόν τόσο φυσιολογικό όρισμά τοϋ ταυτό­

χρονου· έάν άποριφθεί, ή διένεξη, πού έκτέθηκε στό κεφάλαιο 7, dνάμεσα στό νόμο μετάδοσης τοϋ φωτός στό κενό καί τήν άρχή

τής σχετικότητας έξαφανίζεται.

Σ' αuτή τή διένεξη θά όδηγοϋσε, πράγματι, ή θεώρηση του

κεφαλαίου 6, πού δέν ίσχύει πλέον. 'Απ' τό γεγονός δτι ό

ταξιδιώτης διάνυε τήν άπόσταση w σ ' ενα δευτερόλεπτο σέ

27

σ-χέση μέ τό βαγόνι, συμπεράναμε ότι διένυε τήν 'ίδια άπόσταση

έξ ίσου σ' ενα δευτερόλεπτο σέ σχέση μέ τίς σιδηροτροχιές,

θεωρούμενες σάν σώμα άναφοράς, δέν μποροϋμε νά ύποστηρί­

ξουμε δτι ό ταξιδιώτης περπατώντας διάνυσε τήν άπόσταση w σχετικά μέ τήν aποβάθρα σ' ε να χρόνο πού-μετρημένος απ,

τήν σιδηροτρο-χιά-ίσοϋται μ, ενα δευτερόλεπτο.

'Ο συλλογισμός τοϋ κεφαλαίου 6 βασίζεται dκόμη σέ μιά Cίλλ η ύπόθεση πού, κάτω άπ' τό φώς μιας προσεχτικής σκέψης,

φαίνεται αύθαίρετη, παρ' όλο πού ύπήρξε πάντα ύποτίθέμενη

(σιωπηρά) πρίν τό χτίσιμο τής Θεωρίας τής σχετικότητας .

28

10 Η ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΗΣ

ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ

"Ας θεωρήσουμε δύο σημεία όριaμένα του τραίνου (9) πού κινείται μέ ταχύτητα ν κατά μήκος τής aποβάθρας, καί ι'iς

ιiναρωτηθοuμε ποιά είναι ή ιiπόστασή τους . Ξέρουμε ηδη δτι γιά

νά μετρήσουμε μιά aπόσταση χρειαζόμαστε ενα σώμα aναφορaς,

σέ σχέση μέ τό όποίο μετριέται ή ιiπόσταση . Τό πιό άπλό εΙ ναι νά

χρησιμοποιηθεί τό 'ίδιο τό τραίνο σάν σώμα aναφορaς, (σύστημα

συντεταγμένων). 'Ένας παρατηρητής στό τραίνο μετρά τήν

ιiπόσταση μεταφέροντας τόν μετρικό κανόνα του σ' εύθεία

γραμμή κατά μήκος τοϋ δαπέδου τών βαγονιών τόσες φορές δσες

χρειάζεται γιά νά φθάσει ιiπ, τό ενα σημειωμένο σημείο μέχρι τό

άλλο. 'Ο ιiριθμός πού δείχνει πόσες φορές χρειάστηκε νά

μεταθέσει τόν κανόνα δίνει τήν ιiναζητούμενη ιiπόσταση.

Τά πράγματα είναι τελείως διαφορετικά δ.ταν πρόκειται νά

μετρήσουμε αύτή τήν aπόσταση τοποθετούμενοι στήν aποβάθρα.

·Η παρακάτω μέθοδος μπορεί τότε νά χρησιμοποιηθεί. "Ας

ονομάσουμε τά δύο σημεία τοϋ τραίνου πού κινείται μέ ταχύτητα

ν, τών όποίων θέλουμε νά μί::τρήσουμε τήν aπόσταση, Α καίΒ:

'Αναρωτιόμαστε πρώτα ποιά είναι τά σημεία Α καί Β τής aποβάθρας μπροστά aπ' τά όποία τά σημεία .Α 'καίΒ 'περνοϋν σέ μιά δρισμένη στιγμή t σέ σχέση μέ τήν aποβάθρα. Αύτά τά δύο σημεία Α καί Β τής άποβάθρας μποροuν νά προσδιορισθοϋν, χάρη στόν όρισμό τοϋ χρόνου πού δόθηκε στό κεφάλαιο 8. Μετράμε τότε τήν aπόσταση αύτών τών σημείων ΑΒ έφαρμόζον­

τας όρισμένες φορές τήν μονάδα μετρήσεως κατά μήκος τής

άποβάθρας .

Δέν είναι καθόλου αποδειγμένο έκ των προτέρων δτι ή τελευταία μέτρηση θά δώσει τό ίδιο aποτέλεσμα μέ τήν πρώτη.

29

Τό μήκος τοϋ τραίνου, μετρημένο άπό τήν aποβάθρα, μπορεί νάναι διαφορετικό άπ' αύτό πού μετρήθηκε πάνω στό τραίνο.

Αύτή ή περίπτωση φέρνει μιά δεύτερη παρατήρηση κατά τοϋ

συλλογισμοί>, φαινομενικά τόσο προφανή, τοϋ κεφαλαίου 6. "Αν δ ταξιδιώτης διανύει μέσα στό βαγόνι τήν άπόσταση w στήν μονάδα τοϋ χρόνου, μετρημένη μέσα στό τραίνο, αύτή ή

άπόσταση δένεΙ ναι ύποχρεωτικά ιση με w οταν μετριεται άπ' τήν άποβάθρα .

30

11 Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΤΟΥ I.,ORENTZ

Οί σκέψεις τών τριών τελευταίων κεφαλαίων μiiς δείχνουν

ότι τό φαινομενικά άσυμβίβαστο του νόμου μετάδοσης του φωτός

μέ τήν άρχή τής σχετικότητας του κεφαλαίου 7, προερχόταν άπό εναν συλλογισμό πού δανειζόταν άπ' τήν κλασική μηχανική.

Πρόκειται γιά τίς παρακάτω δύο ύποθέσεις πού τίποτε δέν τίς δικαιολογεί:

1° Τό διάστημα χρόνου πού χωρίζει δύο γεγονότα ε{ναι άνεξάρτητο άπ' τήν κινητική κατάσταση του σώματος άναφο­

ρι1ς.

2° ' Η άπόσταση στό χrορο δύο σημείων ένός σώματος μή έλαστικου εlναι άνεξάρτητη άΠ' τήν κινητική κατάσταση του σώματος άναφορι1ς.

"Αν άπορίψουμε αύτές τίς δύο ύποθέσεις, τό δίλημμα του

κεφαλαίου 7 έξαφανίζεται, γιατί τό θεώρημα τής πρόσθεσης των ταχυτήτων του κεφαλαίου 6 δέν ίσχύει πιά. Βλέπουμε ότι ετσι

έμφανίζεται t'l δυνατότητα vά συμφιλιώσουμε τό νόμο μετάδοσης του φωτός στό κενό μέ τήν άρχή τής σχετικότητας . Βάζουμε τό

έρώτημα:

Πώς πρέπει ν· άλλάξουμε τό συλλογισμό του κεφαλαίου 6 γιά νά έξαφανισθεί t'l φαινομενική άντίφαση άνάμεσα σ ' αύτά τά

δύο βασικά άποτελέσματα του πειράματος. Αύτή ή έρώτηση ό

δηγεί σέ μιά άλλη πιό γενική. Στό συλλογισμό του κεφαλαίου 6 θεωρούμε τόπους καί χρόνους σέ σχέση μέ τό τραίνο καί σέ

σχέση μέ τήν άποβάθρα. πως νά προσδιορισθεί ό τόπος καί ό χρόνος ένός γεγονότος σέ σχέση μέ τό τραίνο, όταν γνωρίζουμε

τόν τόπο καί τό χρόνο αύτοϋ τοϋ γεγονότος σέ σχέση μέ τήν άποβάθρα; Μπορουμε νά φανταστουμε μία άπάντηση σ· αύτή τήν

έρώτηση πού νά ε{ ναι τέτοια ώστε δ νόμος μετάδοσης του φωτός

στό κενό νά μήν άντιφάσκει πιά μέ •ήν άρχή •fiς σχε•ικό•ηοας; Μέ &λλα λόγια:

31

Μποροuμε νά συλλάβουμε ιiνάμεσα στό χώρο καί τό χρόνο

γεγονότων σέ σχέση μέ δύο σώματα ιiναφορaς, μιά σχέση τέτοια

πού κάθε φωτεινή ιiκτίνα &χει τήνίδια ταχύτητα μετάδοσης c σέ σχέση μέ τό τραίνο; Αύτή ή έρώτηση δδηγεί σέ"μιά πέρα γιά πέρα σίγουρη καταφατικά ιiπάντηση καί σ' εναν νόμο μετασχηματισ­

μοί) των χωρο-χρονικών μεγεθών έvός γεγονότος δταν περνάμε

aπό ενα σύστημα ιiναφορaς σ' ενα άλλο.

Πρίν ιiσχοληθοuμε μ· αύτό τό θέμα, θέλουμε νά κάνουμε τήν

ιiκόλουθη πρόσθετη σκέψη. Μέχρι τώρα θεωρήσαμε γεγονότα

πού συμβαίνουν μόνο κατά μήκος τής aποβάθρας, τήν όποίαν aπό

μαθηματική άποψη, παρίστανε μίά εύθεία . Μποροuμε δμως νά φαντασθοϋμε, δπως ύποδείχνεται στό κεφάλαιο 2, αύτό τό σώμα άναφοράς έπεκτεινόμενο πλάγια καί πρός τά πάνω μέ μιά δομή

ιiπό ράβδους μέ τέτοιο τρόπο ώστε ενα γεγονός πού συμβαίνει ό

πουδήποτε νά μπορεί νά έντοπισθεί σέ σχέση μ' αύτή τή δομή.

Μέ ανάλογο τρόπο μποροuμε νά φανταστοϋμε τό τραίνο πού

_κινείται μέ ταχύτητα ν, δτι εχει έπεκταθεί πρός δλο τό χώρο, ετσι

ώστε κάθε γεγονός, δσο ιiπομακρυσμένο καί νάναι, νά μπορεί νά

έντοπισθεί έπίσης σέ σχέση μ. αuτή τή δεύτερη δομή.

Δίχως νά κάνουμε βασικά λάθη, μποροϋμε νά κάνουμε

aφαίρεση του γεγονότος δτι αuτές οί δομές, θά !:πρεπε στήν

πραγματικότητα νά καταστραφοϋν αμοιβαία, έξ αiτίας τοϋ

αδιαπέραστου τών στερεών σωμάτων. Σέ κάθε μία ιiπ' αuτές τίς

δομές φανταζόμαστε τρία κάθετα έπίπεδα πού τά ονομάζουμε

<<έπίπεδα συντεταγμένων» (σύστημα συντεταγμένων).

'Έτσι στήν aποβάθρα aντιστοιχεί ενα σύστημα συντεταγμέ­

νων Κ καί στό τραίνο ενα σύστημα συντεταγμένων Κ Ή. 'Ένα ό

ποιοδήποτε γεγονός προσδιορίζεται στό χώρο σέ σχέση μέ Κ, μέ

τρείς .καθέτους, χ, y, z, φερμένες πρός τά έπίπεδα συντεταγμέ­

νων, καί στό χρόνο μέ μιά τιμή του χρόνου t. Τό ίδιο γεγονός προσδιορίζεται στό χώρο καί χρόνο, σέ σχέση με Κ·, μέ τίς

άντίστοιχες τιμές χ', y', z', t', πού, έξυπακούεται, δέν

συμπίπτουν μέ χ, y, z, t. Παραπάνω εχουμε ήδη δείξει μέ

λεπτομερειακό τρόπο πώς αύτά τά μεγέθη πρέπει νά θεωρηθοuν

σάν αποτέλεσμα φυσικών μετρήσεων.

32

.z: .:ι:

Τό πρόβλημά μας παίρνει τήν παρακάτω άκριβή μορφή:

Ποιές εΙ ναι οί τιμές χ', y', z', t' ένός γεγονότος, σέ σχέση μέ Κ', έάν τά μεγέθη χ, y, z, t τοϋ ίδιου γεγονότος σέ σχέση μέ Κ ε{ναι

γνωστά; Οί σχέσεις πρέπει νά διαλεχτοϋν μέ τρόπο ώστε δ νόμος

μετάδοσης τοϋ φωτός στό κενό νά Ικανοποιείται σέ σχέση μέ Κ

καί Κ', γιά μία καί τήνίδια φωτεινή άκτίνα (στήν πραγματικό•η­

τα γιά κάθε φωτεινή άκτίνα),

Αύτό τό πρόβλημα, γιά τό σχετικό προσανατολισμό στό

χώρο τών συστημάτων συντεταγμένων τοϋ σχήματος 2 (σελ. ), λύνεται μέ τίς έξισώσεις:

χ-υt :r= ·~·

ν 1 -Cϊ y' = y, r = ~.

t- !!..; tt=n~ ·

νt-cι

Αύτό τό σύστημα έξισώσεων όνομάζεται ((μετασχηματισμός του Lorentz» 10,

"Αν, &ντί του νόμου μετάδοσης τοϋ φωτός, παίρναμε γιά

βάση, τίς σιωπηλές παραδεγμένες ύποθέσεις άπ · τήν παλιά

33

Μηχανική τοϋ άπόλυτου χαρακτήρα τοϋ χρόνου καί τοϋ μήκους, θά είχαμε άντί τών έξισώσεων μετασχηματισμοί), τίς άκόλουθες

έξισώσεις:

χ'= χ- vt. y' = y. %' _ . %,

t' == ι.

σύστημα πού συχνά όνομάζεται «μετασχηματισμός τοϋ Γαλιλαί­

ου».

'Ο μετάσχηματισμός τοϋ Γαλιλαίου μπορεί νά παραχθεί

άπ • τόν μετασχηματισμό τοϋ Lorentz, άν προσδώσουμε στό c τιμή άπειρη .

Εlναι εϋκολο νά δοϋμε π.χ. πώς ό νόμος μετάδοσης του

φωτός στό κενό lσχύει, σύμφωνα μέ τόν μετασχηματισμό τοϋ

Lorentz, τόσο γιά τό σώμα άναφορίiς Κ δσο καί γιά τό σώμα άναφορίiς Κ Ό 'Υποθέτουμε δτι στέλνουμε μιά φωτεινή άκτίνα

κατά μήκος τοϋ θετικοϋ άξονα των χ καί δτι μεταδίδεται σύμφωνα μέ τήν έξίσωση χ =ct, δηλ. μέ τήν ταχύτητα c. Σύμφωνα μέ τίς έξισώσεις μετασχηματισμοϋ τοϋ Lorentz, αύτή ή άπλή σχέση άνάμεσα χ καί t προκαλεί μιά σχέcrη άνάμεσα στά χ' καί t '.

Πράγματι, άντικαθιστιf>ντας στήν πρώτη καί τέταρτη έξίσωση τοϋ μετασχηματισμοί) τοϋ Lorentz τό χ μέ τήν τιμή ct, ~ου~: ·

, (c- υ)l

Χ=Rί' 1---c'

ι' =(ι ~)~. Jι-~

άπ • δrtου βγάζουμε άμέσως, διαιρώντας χ' = ct'

Σύμφωνα μ • αύτή τήν έξίσωση μεταδίδεται τό φώς σέ σχέση μέ τό σόστημα i<.'. Βλέπουμε ~τσι δτι ή ταχύτητα μετάδοσης εlναι

34

ϊση μέ c, έπίσης σέ σχέση μέ τό σώμα άναφορaς Κ'. Τό ϊδιο συμ­βαίνει γιά τίς φωτεινές άκτίνες πού μεταδίδονται σέ όποια­

δήποτε κατεύθυνση. Αύτό δεν εΙναι περίεργο, γιατίοί έξισώσεις

μετασχηματισμοϋ τοϋ Lorentz, εχουν παραχθεί σύμφωνα μ' αύτή τήν άρχή.

35

12

Η ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΤΩΝ ΚΑΝΟΝΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΡΟΛΟΓΙΩΝ ΣΕ ΚΙΝΗΣΗ

Υ Ας ύποθέσουμε εναν κανόνα ένός μέτρου (m) στόν άξονα τών χ' του Κ' ετσι rοστε ή μία άπ' τίς άκρες του (ή άρχή) νά συμπίπτει

μέ τό σημείο χ' =0, καί ή άλλη ( τό τέλος) μέ τό σημείο χ'= Ι. Π ο ιό εΙναι τό μήκος του κανόνα σέ σχέση μέ τό σύστημα Κ; Γιά νά τό μάθουμε μaς φτάνει ν · άναρωτη.θοuμε πού βρίσκεται η άρχή καί τό τέλος του κανόνα σέ σχεόη μέ τό Κ, σέ μιά δρισμένη στιγμή t, του συστήματος Κ. Σύμφωνα μέ τήν πρώτη έξίσωση του

μετασχηματισμοί) του Lorentz_, οί τιμές αύτών τών δύο σημείων, στό χρόνο t, ε{ναι:

χ (άρχή του κανόνα) = Ο J 1 ~·

f:1ji Χ (τέλος τοi) κανόνα) = tν L - CZ;

r;-:-ϋϊ η άπόστασή τους εΙ ναι ίση μέ ν L - Ci. Σέ σχέση μέ κ όμως δ κανόνας κινείται μέ ταχύτητα υ. Συμπεραίνεται, κατά συνέπεια, δτι τό μfjκος ένός κανόνα μή έλαστικου πού κινείται μέ μιά

ταχ~τα υ στήν κατεύθυνση του μήκους του εlναι ίση μέ 1-~ μέτρα. 'Ο μ ή έλαστικός κανόνας σέ κίνηση

εΙ ναι .. κιfτά συνέπεια, πιό κοντός άπ · δτι δ ίδιος κανόνας σέ άκινησία, τό μijκος του μάλιστα μικραίνε~ ~ταχύτητά του μεγαλώνει. Γιά τήν ταχύτητα υ = c, VJ-iί' θά ήταν ίσο μέ μηδέν· γιά πιό μεγάλες άκόμη ταχυτητες, τό ριζικό

θά ήταν φαντασ:τικό. 'Απ' αύτό συμπεραίνουμε δτι στή Θεωρία

36

της σχετικότητας ή ταχύτητα c παίζει τό ρόλο δριακfiς ταχύτη­τας, πού κανένα πραγματικό σώμα δέν μπορεί νά τή φθάσει, καί κατά μείζονα λόγο νά τήν ξεπεράσει.

'Εξ άλλου, ό ρόλος της ταχύτητας c σάν δριακfjς ταχύτητας συμπεραίνεται κι;. άπ' τίς ίδιες τίς έξισώσειζ του μετασχημα:τι­σμοu τοϋ Lorentz, γιατί δέν εχουν νόημα άν δώσουμε στό υ μιά τιμή μεγαλύτερη άπό c;

w Αν άντίθετα, είχαμε θωρήσει ~ναν κανόνα στόν άξονα τών

χ, άκίνητο σέ σχέση μέ Κ, θά βρίσκαμε ότι σέ σχέση μέ Κ' τό

μήκος του ε{ναι ίσο μέ Vi- ~ · αύτό ε{ναι τf:λείως σύμφωνο μέ τήν άρχή τής σχετικότητας, πού βρίσκεται στή βάση τών

σκέψεών μqς.

ΕΙναι προφανές έκ τών προτέρων δτι πρέπει νά πάρουμε . μερικές πληροφορίες άπ' τίς έξισώσεις μετασχηματισμοί\ γιά τή

φυσική συμπεριφορά τών κανόνων καί τών ρολογιών. Γιατί τά μεγέθη Χ, y, Ζ, t ε{ ναι άποτελέσματα ·μετρήσεων πού εχουμε

χρησιμοποιώντας κανόνες καί ρολόγια. w Αν είχαμε πάρει γιά

βάση τό μετασχηματισμό του Γαλιλαίου, δέν θά είχαμε βρεί

μίκρυμα τοϋ κανόνα σάν συνέπεια τής κίνησής του.

Τώρα άς θεωρήσουμε ~να ρολόϊ πού μετράει δευτερόλεπτα άκίνητο στήν άρχή (χ' =Ο) τοϋ Κ' μόνιμα. WΕστω t' =Ο καί t' =Ι δύο συνεχόμενα χτυπήματα αύτοϋ τοϋ ρολογιοϋ. ·Η πρώτη καί ή

τέταρτη έξίσωση τοϋ μετασχηματισμοί) τοϋ Lorentz δίνουν γι' αύτά τά δύο χτυπήματα

.t= ο et 1 t = .. r;ι;

V1 -Ci

Σέ σχέση μέ τό Κ, τό ρολόϊ κινείται μέ ταχύτητα υ· σέ σχέση

μ· αότό τό σώμα άναφορii, τό διάστημα χρόνου πού χωρίζει τά δύο σ\ίνε;όμενα χτυπήματα δέν ε{ναι ~να δευτερόλεπτο, άλλά

(!.- 7r )-.f δευτερόλεπτα, δηλαδή_fνας χρόνος λίγο μεγαλύτε­~ος. 'Εξ α{τίας τής κίνησής του ·τό ρολόϊ δουλεύει πιό άργά άπ' δτι άκίνητο. 'Εδώ ή ταχύτητα c παίζει έπίσης τό ρόλο όριακής ταχύτητας πού ε{ναι άδύνατο νά έπιτεt)χθεί.

37

13

ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ ΤΩΝ ΤΑΧΥΤΉΤΩΝ

ΤΟ ΠΕΙΡΑΜΑ ΤΟΥ ΦΙΖΩ

'Επειδή δέν μποροuμε πρακτικά νά μεταδώσουμε στά

ρολόγια καί στούς κανόνες παρό μόνο κινήσεις πού συγκρινόμε­νες μέ τή ταχύτητα c τοϋ φωτός εΙ ναι πολύ άργές, τ' άποτελέσμα­τα του προηγουμένου κεφαλαίου μόλις μποροϋν ν' άντιμετωπί­

σουν άπ' εύθείας τήν πραγματικότητα. Καί έπειδή, θά φανοϋν

στόν άναγνώστη πολύ περίεργα, θέλουμε νά βγάλουμε άπ' τή

θεωρία μιά άλλη συνέπεια, πού μπορεί εϋκολα νά τή συμπεράνου­

με άπ' τούς προηγούμενους συλλογισμούς καί πού εlναι άριστα

έπιβεβαιωμένη άπ' τό πείραμα.

Στό κεφάλαιο 6 θεμελιώσαμε τό θεώρημα τής πρόσθεσης τών ταχυτήτων γιά ταχύτητες ίδιας κατεύθυνσης σύμφωνα μέ τίς

ύποθέσεις τής κλασσικής Μηχανικής. Αύτό τό θεώρημα μπορεί

έπίσης εύκολα νά έξαχθεί άπ' τόν μετασχηματισμό τοϋ

Γαλιλαίου (κεφ. 11). 'Αντί τοϋ ταξιδιώτη πού περπατάει στό

βαγόνι, θεωροϋμε &να σημείο κινούμενο σέ σχέση μέ τό σύστημα

συντεταγμένων Κ', σύμφωνα μέ τήν έξίσωση

χ' = wt '

Σύμφωνα μέ τή πρώτη καί τή τέταρτη έξίσωση του μετασχηματι­σμοί) του Γαλιλαίου, μποροϋμε νά έκφράσουμε χ' καί t' σέ συνάρτηση τοϋ χ ιcαί τοϋ t, ~τσι ~χουμε

χ = (v+w) t

Αύτή ή έξίσωση δέν έκφράζει τίποτ' άλλο άπό τόν νόμο κίνησης

38

τοϋ σημείου σέ σχέση μέ τό σύστημα Κ (τοϋ ταξιδιώτη σέ σχέση

μέ τήν άποβάθρα)· παριστάνουμε αύτή τήν ταχύτητα μέ W, καί βρίσκουμε δπως στό κεφάλαιο 11,

W = v+w (Α)

Μποροϋμε δμως νά κάνουμε τόνίδιο συλλογισμό στηριζόμε­

νοι στή θεωρία τfjς σχετικότητας. Πρέπει τότε ν' άντικαταστα­

θοϋν στή έξίσωση

χ = wt'

χ καί ι' μέ χ καί t χρησιμοποιώντας τήν πρώτη καί τέταρτη έξίσωση τοϋ μετασχηματισμοϋ τοϋ Lorentz. Τότε άντί τήν έξίσωση (Α) εχουμε

v+w w = l+~ , .. (Β)

πού aντιστοιχεί στό θεώρημα πρόσθεσης ταχυτήτων 'ίδιας

κατεύθυνσης σύμφωνα μέ τή θεωρία τfjς σχετικότητας. Τώρα

μπαίνει τό έρώτημα, τής γνώσης πιό aπ' τά δύο θεωρήματα

συμφωνεί καλύτερα μέ τό πείραμα . Σ' αύτό τό σημείο ε'ίμαστε πληροφορημένοι aπό ενα πείραμα πολύ σπουδαίο, πού έγινε aπ'

τόν μεγαλοφυή φυσικό Φιζώ πάνω aπό μισό αίώνα τώρα, καί άπό

τότε εχει έπα να λ ηφθεί άπό μερικούς aπ' τούς καλύτερους

πειραματιστές, ετσι ωστε τό άποτέλεσμά του δέν άφίνει καμμιά άμφιβολία. Τό πείραμα άφορά τό έξή ς ζήτημα: "Ας ύποθέσουμε

δτι τό φώς μεταδίδεται σ ' ενα ύγρό άκίνητο σέ μιά όρισμένη ταχύτητα ω. Μέ τί ταχύτητα μεταδίδεται στήν κατεύθυνση τοϋ

βέλους, κατά μήκος τοϋ σωλήνα Τ (σχ. 3), άν αύτός διασχίζεται aπ' τό ύγρό μέ τήν ταχύτητα υ;

39

τ

Σύμφωνα μέ τήν άρχή τής σχετικότητας , πρέπει σέ κάθε

περίπτωση νά ύποτεθεί ότι , σέ σχέση μέ τό ύγρό, τό φώς

μεταδίδεται πάντα μέ τήνίδια ταχύτητα ω, είτε τό ύγρό κινείται ή

όχι σέ σχέση μ' liλλα σώματα. Κί:ιτά συνέπεια, ή ταχύτητα τοϋ φωτός σέ σχέση μέ τό ύγρό καί ή ταχύτητα τοϋ ύγρου σέ σχέση μέ

τόν σωλήνα ε{ναι γνωστές αύτό πού ζητείται ε{ναι ή ταχύτητα

του φωτός σέ σχέση μέ τόν σωλήνα .

Εlναι φανερό δτι βρισκόμαστε ξανά έδώ άντιμέτωποι . μέ τό

πρόβλημα του κεφαλαίου 6. Ό σωλήνας παίζει τό ρόλο τής άποβάθρας ή τοϋ συστήματος συντεταγμένων Κ, τό ύγρό παίζει

τό ρόλο του βαγονιοϋ ,ή τοϋ συστήματος συντεταγμένων Κ', τό

φώς, τέλος παίζει τό ρόλο του ταξιδιώτη πού περπατάει ή τοϋ

κινούμενου σημείου σ' αύτό τό κεφάλαιο. "Αν όνομασθεί W ή ταχύτητα τοϋ φωτός σέ σχέση μέ τόν σωλήνα, τή βρίσκουμε άπό τήν , έξίσωση (Α) ή τήν έξίσωση (Β) σύμφωνα μέ τό liν δ

μετασχηματισμός του Γαλιλαίου ή τοϋ Lorentz άνταποκρίνεται στήν πραγματικότητα.

Τό πείραμα (1 1) άποφασίζει ύπέρ τής έξίσωσης (Β) που προήλθε άπ' τή Θεωρία τής σχετικότητας, καί μάλιστα μέ τρόπο

πολύ άκριβή. ·Η έπίδραση τής ταχύτητας υ του ύγρου στή

μετάδοση τοί> φωτός δίνεται άπ' τόν τύπο (Β), σύμφωνα μέ τά

πολύ σημαντικά πειράματα πού ~κανε τελευταία ό Zeeman , μέ μιά προσέγγιση άνώτερη άπό 1%.

Πρέπει έντούτοις νά σημειωθεί ότι, πολύ πρίν τή δημιουργία

τής Θεωρίας τής σχετικότητας, δ Η . Α. Lorentz, άιcολουθώνταζ τόν ήλειcτροδυναμιιcό μόνο δρόμο, παρουσίασε μιά θεωρία αύτοί>

τοϋ φαινομένου χρησιμοποιώντας μερικές ύποθέσεις γιά τήν

40

ιiλεκτρομαγνητική δqμή τής ϋλης. Αύτή ή περίπτωση σ,~ως δέν

μειώνει σέ τίποτα τήν άποδειχτική ίσχύ τοϋ πειράματος σάν

κρίσιμο πείραμα ύπέρ τής Θεωρίας τής σχετικότητας. Γιατί ή

ήλεκτροδυναμική τών Maxwell-Lorentz, πάνω στήν όποία στηριζόταν ή πρώτη θεωρία, δέν άντιφάσκει καθόλου πρός τή

θεωρία τής σχετικότητας. ·Αλλά μiiλλον προήλθε άπ' τήν

ήλεκτροδυναμική σάν μιά .περίληψη έξαιρετικά άπλή. Καί μιά

γενίκΕυση τών ύποθέσεων πού πρίν ήi-αν ά.νεξάρτητες οί μέν άπό τίς δέ, καί πάνω στίς όποίες εlχε χτισθεί ή ήλεκτροδυναμική.

41

14 Η ΕΥΡΙΣΤΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ

ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤ ΑΣ

Οί ίδέες πού έκτέθηκαν εως τώρα, μποροϋν νά συνοψισθοϋν σύντομα μέ τόν άκόλουθο τρόπο. ·Η πείρα μiiς όδήγησε στήν

πεποίθηση δτι, άπ · τή μιά μεριά, ή άρχή τής σχετικότητας (περιορισμένης) εΙναι άληθινή καί δτι, άπ ' τήν άλλη μεριά, ό

νόμος μετάδοσης τής φωτός στό κενό πρέπει νά θεωρηθεί δτι

εlναι ίσος μέ μιά σταθερά c. · Ενώνοντας αύτά τά δυό άξιώματα

βγάλαμε τό νόμο μετασχηματισμοί) γιά τίς όρθογώνιες συντεταγ­

μένες χ, y, z, καί τόν χρόνο t, πού άποτελοϋν τούς μηχανισμούς τfjς φύσης, καί τό άποτέλεσμα δέν ήταν ό μετασχηματισμός τοϋ

Γαλιλαίου, άλλά (άντίθετα άπ · τήν κλασσική Μηχανική), ό μετασχηματισμός τοϋ Lorentz.

Σ'. αύτή τή σειρά ίδεών, δ vόμος μετάδοσης τοϋ φωτός, τοϋ όποίου ή ύπόθεση δικαιολογείται άπ' τήν πραγματική μας

γνώση, επαιξε σπουδαίο ρόλο. 'Αλλά μόλις είμαστε σέ θέση νά

χρησιμοποιοϋμε τόν μετασχηματισμό τοϋ Lorentz, μποροϋμε νά τόν συμπεριλάβουμε στήν άρχή τής σχετικότητας καί νά

συνοψίσουμε τή Θεωρία μέ τόν παρακάτω τρόπο:

Κάθε γενικός νόμος τfjς φύσης πρέπει νά εlναι τέτοιος πού νά

μετασχηματίζεται σ' εναν νόμο ίδιας μορφής δtαν είσαχθοϋν, στή θέση τών χώρο-χρονικών μεταβλητών χ, y, z, t τοϋ πρωταρχικοϋ συστήματος συντεταγμένων Κ, νέες χωρο-χρονι­

κές μεταβλητές χ', y', z' t' τοϋ συστήματος συντεταγμένων Κ', δπου ή μαθηματική σχέση άνάμεσα στά τονούμενα καί · μ ή

τονούμενα μεγέθη δίνεται άπ' τόν μετασχηματισμό τοϋ Lorentz. Πιό σύντομα: οί γενικοί νόμοι της φύσης ε{ναι άμεtάβλητοι, σχετικά μέ τόν μετασχηματισμό τοϋ Lorentz.

Αύτό εΙ ναι μιά άκριβής μαθηματική συνθήκη πού ή Θεωρία της σχετικότητας (περιορισμένη) ύπαγορεύει σ' lνα νόμο τής

φύσης. t.:l. ετσι γίνεται ενα πολύτιμο βοήθημα στήν ερευνα τώv

γενικών νόμων τής φύσης. w Αν άνακαλύπταμε ενα γενικό νόμο

πού δέν ίκανοποιεί αύτή τή συνθήκη, μιά τότε τουλάχιστον άπ'

τίς δύο βασικές ύποθέσεις τής Θεωρίας θά εlχε άναιρεθεί. w Ας

δοί>με τώρα, σέ τί γενικά συμπεράσματα εχει φθάσει πρός τό

παρόν.

43

15

ΓΕΝΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΆΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

'Απ' τίς προηγούμενες σκέψεις, συμπεραίνεται προφανώς

δτι ή Θεωρία τής σχετικότητας (περιορισμένη) βγήκε άπ' τήν

'Ηλεκτροδυναμική καί τήν 'Οπτική. Σ' αύτούς τούς τομείς δέν

άλλαξε πολύ τίς προτάσεις τής θεώρίας, άλλά άπλοποίησε πολύ τό θεωρητικό οίκοδόμημα, δηλαδή τήν παραγωγή τών νόμων

καί-αότό πού είναι άσύγκριτα σπουδαιότερο-μίκρυνε πολύ τόν

άριθμό τών άνεξάρτητων μεταξύ τους ύποθέσεων στίς δποίες

στηρίζεται. 'Έκανε σέ τέτοιο βαθμό προφανή τή θεωρία τών

Maxwell-Lorentz πού θά τή δεχόντουσαν γενικά οί φυσικοί άκόμη κι· άν τό πείραμα μιλοϋσε ύπέρ αύτής μέ τρόπο λιγώτερο

πειστικό.

·Η κλασσική Μηχανική χρειαζόταν μιά άλλαγή γιά νά

έμφανισθεί μέ τό άξίωμα τής θεωρίας τής περιορισμένης

σχετικότητας. Αότή ή άλλαγή έντούτοις, έχει σχέση στήν ούσία

μέ τούς νόμους τών γρήγορων κινήσεων, δπου οί ταχύτητες υ τής

ϋλης δέν είναι πολύ μικρές συγκρινόμενες μέ τήν ταχύτητα τοϋ φωτός. 'Η πείρα μaς δείχνει δτι μόνο iά ήλεκτρόνια καί τά ίόντα

εχουν τέτοιες ταχείς κινήσεις γιά άλλες κινήσεις οί διαφορές

τών νόμων τής κλασσικής Μηχανικής είναι πολύ μικρές γιά νά

μποροϋν νά Παρατηρηθοϋν στή πρακτική. Θά μιλήσουμε γιά τήν

κίνηση τών άστρων δταν θά άσχοληθοϋμε μέ τή Θεωρία τής

γενικής σχετικότητας. Σύμφωνα μέ τή Θεωρία τfjς σχετικότητας, ή κινητική ένέργεια ένός ύλικοϋ σημείου μάζας m δέν δίνεται πιά άπό τόν τύπο υι

m2'

άλλά μέ τό τύπο

44.

Αύτός ό τύπος τείνει πρός τό άπειρο δταν ή ταχύτητα υ τείνει

πρός τήν ταχύτητα τοϋ φωτός c. 'Η ταχύτητα πρέπει, κατά συνέπεια, νά μένει πάντα μικρότερη άπό c, δσο μεγάλες κι' άv ε{ ναι οί ένέργειες πού χρησιμοποιοϋνται γιά νά τήν έπιταχύνουν .

'Αναπτύσσοντας σέ σειρά τήν εκφραση γιά τήν κινητική

ένέργεια, βγαίνει

υι 3 u' mc1 + m- + -m- + ••• 2 8 c1

γ2

'Όταν τό c2 ε{ναι μικρό σέ σχέση μέ τή μονάδα ό τρίτος

δρος ε{ ναι πάντα μικρός σέ σχέση μέ τόν δεύτερο, τόν μόνο πού

χρησιμοποιεί ή κλασσική Μηχανική. ·Ο πρώτος δρος mc2 δέν περιέχει τήν ταχύτητα, δέν πρέπει λοιπόν νά πέρνεται ύπ' όψη

δταν πρόκειται μονάχα νά μάθουμε πώς ή ένέργεια ί:νός ύλικοϋ

σημείου έξαρτίiται άπ' τήν ταχύτητα. Θά μιλήσουμε πιό πέρα γιά

τήν κύρια σημασία του.

Τό πιό σπουδαίο γενικοϋ χαρακτήρα συμπέρασμα στό όποίο

όδήγησε ή Θεωρία τής περιορισμένης σχετικότητας σχετίζεται

μέ τήν εννοια τής μάζας. 'Η πρίν τή σχετικότητα Φυσική

γνωρίζει δύο άρχές διατήρησης βασικής σημασίας, τήν άρχή διατήρησης τής ένέργειας καί την άρχή διατήρησης τής μάζας:

αuτές οί δύο βασικές άρχές φαίνονται σάν τελείως άνεξάρτητες ή

μιά άπ' τήν άλλη. Χάρη στή Θεωρία τής σχετικότητας,

ένώθηκαν σέ μία μόνο άρχή. Θά έκθέσουμε σύντομα πώς αύτή ή

ενωση εγινε, καί πώς πρέπει νά τήν έρμηνεύσουμε.

'Η άρχή τής σχετικότητας άπαιτεί ή άρχή τής διατήρησης

τής ένέργειας νά μήν iσχύει μόνο σέ σχέση μ' ενα σύστημα

συντεταγμένων Κ, άλλά έπίσης σέ σχέση μέ 'κάθε σύστημα συντεταγμένων Κ' πού εχει κίνηση όμαλής μετάθεσης σέ σχέση

μέ Κ (μέ μιά λέξη σέ σχέση μέ κάθε σύστημα συντεταγμένων τοϋ

<<Γαλιλαίου»). Γιά τό πέρασμα άπό ενα τέτοιο σύστημα σ' ενα άλλο, ό μετασχηματισμός τοϋ Lorentz χρησιμεύει γιά κανόνας, άντίθετα άπ' τήν κλασσική Μηχανική.

'Απ' αυτούς τούς συλλογισμούς καί τίς βασικές έξισώσεις

τής 'Ηλεκτροδυναμικής τοϋ Maxwell μπορεί νά έξαχθεί μέ

άπόλυτη άναγκαιότητα καί μέ θεωρήσε'ις σχετικά άπλές τό παρά κάτω συμπέρασμα: 'Ένα σώμα κινούμενο μέ ταχύτητα υ, πού

45

άποροφά μιά ποσότητα ένεργείας Εσ(12)σέ μορφή άκτινοβολίας

χωρίς νά μεταβληθεί ή ταχύτητά του, παθαίνει μιά αύξηση ένεργείας 'ίση μέ

__ Ε_ο_ ,

R -I

Ή άναζητούμενη ένέργεια τοϋ σώματος δίνεται τότε

λαμβάνοντας ύπ' οψη τήν παραπάνω εκφραση γιά τήν κινητική

ένέργεια, μέ τόν τύπο

"Αρα τό σώμα εχει τήν 'ίδια ένέργεια μ' ~να σώμα μάζας

m-ι-1f κινούμενο μέ τήν ταχύτητα υ. Κατά συνέπ::ω μποροu­με νά ποϋμε: "Αν ~να σώμα άπορροφά μιά ένέργεια Εο, ή άδρανής

του μάζα αύξάνει κατά {t · ή άδρανής μάζα ένός σώματος δέν ε{ναι σταθερή, άλλά μεταβάλλεται άνάλογα μέ τή μεταβολή τής ένεργείας του. 'Η άδρανής μάζα μάλιστα ι:vός συστήματος

σώματος μπορεί νά θεωρηθεί άπ' εύθείας σάν τό μέτρημα (μέγεθος) τής ένεργείας του. ·Η άρχή διατήρησης τής μάζας ένός

συστήματος ταυτίζεται μ' αύτή ν τής διατήρησης τής ένεργείας

καί δέν ίσχύει παρά μόνο όταν τό σύστημα δέν άπορροφά ούτε

έκπέμπει ένέργεια. "Αν ή εκφραση πού δίνει τήν ένέργεια

γραφτεί μέ τή μορφή

46

φαίνεται ότι ό όρος mc2, πού μaς έντυπωσίασε, ε{ναι ή ένέργεια

πού εlχει ήδηΙJ τό σώμα πρίν άπορροφήσει τήν ένέργεια Εο. 'Η

άπ' εύθείας σύγκριση αύτή ς τής άρχής μέ τό .πείραμα άποτυχαί­

νει γιά τήν ώρα , γιατί οί μεταβολές τής ένέργειας Εο πού

μποροϋμε νά μεταδώσουμε σ' ε να σύστημα δέν εΙ ναι άρκετά

μεγάλες ετσι ώστε νά γίνει άντιληπτή t]_μεταβολή τής άδρανοϋς

μάζας τοϋ συστήματος. ·Η ποσότητα ~ εlναι πολύ μικρή σέ σύγκριση μέ τή μάζα m πού διέθετε ενα σώμα πρίν ύποστεί μιά μεταβολή ένεργείας. Σ' αύτή τήν α{τία όφείλεται τό γεγονός ότι ή

άρχή διατήρησης τής μάζας πού εχει είδική άξία μπορεί ν'

'άποδειχθεί.

··Ακόμα μιά τελευταία παρατήρηση βασικοϋ χαρακτήρα. 'Η

έπιτυχία τής έρμηνείας τής ήλεκτρομαγνητικής δράσης σέ

άπόσταση μέ ένδιάμεσες μεθόδους πεπερασμένης ταχύτητας τών

Farada}·~Maxwell, είχε σάν άποτέλεσμα νά διαδοθεί άνάμεσα

στούς φυσικούς ή πεποίθηση δτι δέν ύπάρχει σέ άπόσταση δράση

άπ' εύθείας καί στιγμιαία τοϋ τύπου του νόμου του Newton. Ή Θεωρία τής σχετικότητας άντικαθιστii τήν στιγμιαία δράση σέ

άπόσταση , ή τήν δράση σέ · άπόσταση μέ μιά πεπερασμένη

ταχύτητα μετάδοσης, μέ τή δράση σέ άπόσταση μέ τή ταχύτητα

τοϋ φωτός . Αύτό προέρχεται άπ ' τό βασικό ρόλο πού παίζει σ ·

αύτή τή θεωρία ή ταχύτητα c. Θά δοuμε στό δεότερο μέρος μέ ποιό τρόπο αύτό τό άποτέλεσμα μεταβάλλεται στή Θεωρία τής γενικής

σχετικότητας.

47

16

Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΕΝΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΟ ΠΕΙΡΑΜΑ

Τό έρώτημα μέχρι σέ ποιό σημείο ή Θεωρία τής περιορισμέ­

νης σχετικότητας στηρίζεται άπ. τό πείραμα δέν εχει άπλή

aπάντηση, κι. αύτό γιά τό λόγο πού ήδη εχουμε ύπόδείξει μέ τήν εuκαιρία τοϋ βασικοϋ πειράματος τοϋ Φιζώ. 'Η Θεωρία τής

περιορισμένης σχετικότητας ε{ναι μιά άποκρυστάλλωση τής

θεωρίας τών ηλεκτρομαγνητικών φαινομένων τών Maxwell­LoreΏ tz . Κατά συνέπεια δλα τά πειραματικά γεγονότα πού ύiτοστη ρίζουν τή μία , ύποστη ρίζουν καί τήν <'iλλ η. 'Α ναφέρω έδώ τό ιδιαίτερα σπουδαίο γεγονός των επιδράσεων πού ύφίσταται τό

φώς, πού μάς ε ρχεται άπ. τά σταθερά άστέρια, άπ . τή σχετική

κίνηση τfjς Γfjς σέ σχέση μ· αύτά καί πού ή Θεωρία τfjς

σχετικότητας έπιτρέπει νά συναχθiί, μ. εναν ίδιαίτερα άπλό

τρόπο καί σέ συμφωνία μέ τό πείραμα . Πρόκειται γιά τήν έτήσια

μετάθεση τής φαινομενικής θέσης τών σταθερών άστέρων έξ

αίτίας τής κίνησης τής Γής γύρω άπ ' τόν 'Ήλιο (όφθαλμαπάτη)

καί τήν έπίδραση τής μεσημβρινής συνιστώσης τών σχετικών

κινήσεων τών σταθερών άστέρων, σέ σχέση μέ τή Γή , στό χρώμα

τοϋ φωτός πού φθάνει εως έμίiς. Αύτή ή τελευταία έπίδραση εμφανίζεται μέ μία μικρή μετάθεση τών γραμμών τοϋ φάσματος

τοϋ φωτός πού ί:ρχεται άπό ί:να σταθερό άστέρα, σέ σχέση μέ τή

θέση των 'ίδιων γραμμών τοϋ φάσματος πού παράγονται άπό μιά

γίηνη πηγή φωτός (άρχ~ τοϋ Doppler) . Τά πειραματικά έπιχειρήματα , ύπέρ τής θεωρίας τών Maxwell-Lorentz, πού είναι ταυτόχρονα καί έπιχειρήματα ύπέρ τής Θεωρίας τής σχετικότη­

τας, εΙναι πάρα πολλά γιά νά έκτεθοuν εδώ. Περιορίζουν

πράγματι τίς θεωρητικές δυνατότητες τόσο πού καμμία <'iλλη θεωρία έκτός άπ ' αύτήν των Maxweii-Lorentz δέν μπόρεσε νά σταθεί άπέναντι στό πείραμα. 'Αλλά ύπάρχουν δύο τάξεις πειραματικών γεγονότων πού ε-χ_ουν διαπιστωθεί εως τώρα δ που ή

48

θεωρία τών Maxwell-Lorentz δέν μπορεί νά έξηγήσει παρά μόνο dν εισάγει μιά βοηθητική ύπόθεση ή όποία, δί-χως τή -χρησιμο­ποίηση της Θεωρίας της σχετικότητας, φαίνεται &πό μόνη της

περίεργη.

ΕΙ ναι γνωστό ότι oi καθοδικές άκτίνες καί οί λεγόμενες . άκτίνες β, πού έκπέμπονται άπό ραδιοενεργές ούσίες .άποτελοϋ­

νται άπό ήλεκτρισμένα άρνητικά σωματίδια (ήλεκτρόνια) πολύ

μικρής άδράνειας καί μεγάλης ταχύτητας . Μελετώντας τήν

έκτροπή αύτών τών άκτίνων κάτω άπ' τήν έπίδραση ήλεκτρικών

καί μαγνητικών πεδίων, μπορέί νά προσδιορισθεί μέ τρόπο πολύ

άιφιβή ό νόμος τής κίνησης αύτών τών σωματιδίων.

·Η θεωρητική μελέτη αύτών τών ήλεκτpονίων βρίσκεται

μπροστά στή δυσκολία ότι μόνη ή ·Ηλεκτροδυναμική δένε{ ναι

ίκανή νά μtiς δώσει νά καταλάβουμε τή φύση τους. Γιατί,

δεδομένου ότι fιλεκτρικές μaζες ίδιου σημείου άπωθουνται, οί

άρνητικές ήλεκτρικές μάζες πού συνθέτουν &να ήλεκτρόνιο θά

ε πρεπε νά διαλυθοϋν κάτω άπ' τήν έπίδραση τής άμοιβαίας τους

άπώθησης dν δέν ύπήρχαν άλλες δρώσες δυνάμεις, τών όποίων ή

φύση έχει μείνει γιά μάς &ως τώρα σκοτεινή' 4 • ·Υποθέτοντας δτι

οί σχετικές άποστάσεις τών ήλεκτρικών μαζών πού άποτελουν τό

fιλεκτρόνιο παραμένουν άμετάβλητες όταν τό fιλεκτρόνιο κινείται (μή έλαστική !:νωση μέ τή σημασία τής κλασσικής

Μηχανικής), συμπεραίνεται ενας νόμος κίνησης του fιλεκτρο­

νίου πού δέν συμφωνεί μέ τό πείραμα. ·Ο Η. Α. Lorentz, όδηγημένος άπό θεωρήσεις καθαρά τυπικές, είσήγαγε πρώτος

τήν ύπόθεση δτι τό σώμα τοί> ήλεκτρονίου ύφίσταται έ/Ξ. αίτίαc τής κίνησής του μιά όυστολή στήν κατεύθυνση αύτής τής κίνη-

σης, πού είναι άνάλογη στήν έκφραση J · ca . Αύ-. ι -a·

υ

τή ή ύπόθεση, πού δέν δικαιολογείται μέ τίποτε στήν Ήλεκτρο­

δυναμικ:ή, δίνει τό νόμο τής κίνησης πού έπιβε~αιώθηκ:ε πειρα­ματικά μέ μεγάλη άκρίβf:ια αύτά τά τελευταία -χρόνια.

·Η Θεωρία τής σ-χετικότητας όδηγεί στόν ίδιο τό νόμο τής κίνησης χωρίς νά έχει άνάγκη μιας δποιασδήποτε ύπόθεσης πάνω στή δομή καί τή συμπεριφορά του fιλειcτρονίου. Τά πράγματα παρουσιάζονται μέ τpόπο άνάλογο, δπως τό είδαμε στό .ιcεφ. 13, στό πείραμα τοϋ Φιζώ, τοϋ όποίου τό άποτέλεσμα

49

έξηγήθηκε άπ' τή Θεωρία τής σχετικότητας χωρίς νά ύπάρξει

άνάγκη νά γίνει καμμιά ύπόθεση πάνω στή φύση του ύγροu.

rνfιά δεύτερη τάξη γεγονότων, στήν όποία άναφερόμαστε

έδώ, συνδέεται μέ τό έρώτημα ίiν στά πειράματα πού γίνονται στή Γή άποκαλύπτεται ή κίνησή της άνάμεσα ότό Σύμπαν. 'Έχουμε ijδη παρατηρήσει στό κεφ. 5 δτι δλες οί προσπάθειες σ' αύτή τήν κατεύθυνση κατέληξαν σέ άρνητικό άποτέλεσμα. Πρίν έμφανι­

στή ή Θεωρία τής σχετικότητας, ήταν δύσκολο στήν έπιστήμη νά

έξηγήσει αuτό τό άρνητικό άποτέλεσμα. ' Η κατάσταση τών

πραγμάτων ήταν ή έξής. Οί χρόνιες JJροκαταλήψεις πάνω στό

χρόνο καί τό χώρο δέν έπέτρεπαν καμμιά αμφιβολία δτι γιά τό

πέρασμα από ενα σύστημα <iναφορtiς σ' ενα (iλλο μετράει ό

μετασχηματισμός του Γαλιλαίου. ' Υποθέτοντας δτι ίσχύουν οί

έξισώσεις τοϋ Maxweli-Lorentz γιά ενα σύστημα άναφορtiς Κ, βρίσκεται δτι δέν ίσχύουν γιά ενα σύστημα αναφορaς κ '

κινούμενο όμαλά σέ σχέση μέ Κ, έάν δεχθουμε δτι άνάμεσα στίς

συντεταγμένες του Κ καί του Κ' ύπάρχουν οί σχέσεις του

μετασχηματισμοί) του Γαλιλαίου. Φαίνεται λοιπόν δτι ενα (Κ)

απ' δλα τά συστήματα συντεταγμένων τοϋ Γαλιλαίου, ί:χοντας

iδιαίτερη κίνηση, διακρίνετάι φυσικά άπ · δ λα τ· άλλα. Αύτό τό

άποτέλεσμα έρμηνευόταν στή φυσική θεωρώντας τό Κ σάν

άκίνητο σέ σχέση μ· εναν ύποθετικό αiθέρα πού μετέδιδε τό φώς.

·Απεναντίας, δλα τά συστήματα συντεταγμένων Κ', πού

κινοϋνται σέ σχέση μέ Κ, επρεπε νά ιcινοuντο σέ σχέση μέ τόν

αίθέρα. Σ' αuτή τή κίνηση σχετικά μέ τόν αίθέρα (<φευμα

αίθέρα» σχετικά μέ Κ') άπέδιδαν τούς πιό πολύπλοκους νόμους

πού ύποτίθεται 'ίσχυαν σχετικά μέ Κ'. 'Η ταν λοιπόν ύποχρεωτι­

κό νά γίνει παραδεκτό ενα τέτοιο ρευμα αίθέρα σχετικά μέ τή Γή ,

καί οί φυσικοί προσπαθοϋσαν γιά πολύ καιρό νά τό κάνουν νά

φανεί.

Γιά νά τό κατορθώσει, ό Michelson βρήκε μιά μέθοδο πού φαινόταν νάναι άποφασιστική. 'Άς φαντασθοuμε δύο κάτοπτρα

τοποθετημένα σ' ενα σώμα μ ή έλαστικό καί εχοντας γυρισμένες

τίς άντανακλαστικές τους έπιφάνειες τό ενα πρός τό άλλο. Μιά

φωτεινή άκτίνα χρειάζεται εναν όρισμένο χρόνο γιά νά πάει άπ' τό ενα κάτοπτρο στό άλλο καί νά ξανάρθει, άν δλο αύτό τό

σύστημα είναι άκίνητο σέ σχέση μέ τόν αίθέρα. ' Αλλά βρίσκεται

50

(μέ τόν ύπολογισμό) γι αύτό τό γεγονός ενας χρόνος λίγο

διαφορετικός Τ' δταν τό σώμα καί τά κάτοπτρα κινοϋνται σέ

σχέση μέ τόν αlθέρα. 'Ακόμη περισσότερο, ό ύπολογιcψός

δείχνει δτι, γιά μιά δοσμένη ταχύτητα υ σέ σχέση μέ τόν αίθέρα,

αύτός ό χρόνος τ' είναι διαφορετικός σύμφωνα μέ τό άν τό σώμα

κινείται κιiθετα ij παράλληλα πρός τά έπίπεδα τών κατόπτρων. Παρ' δλο πού ή ετσι μετρημένη διαφορά άνάμεσα στίς δύο

διqρκειες του χρόνου είναι πάρα πολύ μικρή, τό πείραμα

aλληλοτυπίας (interference) πού εκαναν ό Michelson καί ό Morley θά ε πρεπε νά τή δείξει καθαρά. 'Αλλά αύτ6 τό πείραμα εδοσε ενα aρνητικό aποτέλεσμα καί εριξε τούς φυσικούς σέ μεγάλη άμηχανία. Γιά νά βγεί ή θεωρία άπ' αύτή τή κακή κατάσταση, οί

Lorentz καί Fitzerald ύπόθεσαν δτι ή κίνηση του σώματος σέ σχέση μέ τόν αiθέρα του προκαλεί μιά σμίκρυνση.στή κατεύθυν­

ση τής κίνησής του, πού κάνει ακριβώς νά εξαφανίζεται ή

προκείμενη διαφορά του χρόνου. Μιά σύγκριση μέ τίς σκέψε ις

τοu κεφαλαίου 12 δείχνει δτι αύτό τό μέσο ήταν έπίσης τό καλό aπό τήν <'iποψη τής Θεωρίας τής σχετικότητας. 'Αλλά ή έρμη­

νεία τής κατάστασης aπό τή Θεωρία τής σχετικότητας είναι

aσύγκριτα πιό ίκανοποιητική. Σύμφωνα μ' αύτή δέν ύπάρχει

ευνοούμενο σύστημα συντεταγμένων πού προκαλεί τή δημιουρ­

γία τfjς iδέας τοϋ αiθέρα, οϋτε, κατά συνέπεια, τοϋ ρεύματος αίθέρα, οϋτε πειράματος γιά νά τόν κάνει νά φανεί. 'Η συστολή

τών σωμάτων σέ κίνηση ακολουθεί έδώ, δίχως εiδικές ύποθέσεις,

τίς δύο βασικές άρχές. Αύτό πού μετράει σ· αύτή τ ή συστολή, δέν

είναι ή κίνηση ιiπό μόνη της στήv όποία δέ μποροuμε v' aποδώσουμε κανένα νόημα, aλλά ή κίνηση σέ σχέση μέ σώμα

<ivαφοράς ξεχωριστό σέ κάθε ε ίδική περίπτωση. 'Έτσι τό

σύστημα κατόπτρων τών Michelson καί Morley δέν μίκρυνε γιά ενα σύστημα aναφορaς σέ κίνηση μέ τή Γη, άλλά γιά ενα

σύστημα aναφορaς πού είναι σέ ακινησία σέ σχέση μέ τόν fjλιο.

51

17

Ο ΧΩΡΟΣ ΜΕ ΤΕΣΣΕΡΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ ΤΟΥ MINKOWSKI

'Ο μ ή μαθηματικός δταν άκούει νά μιλάνε γιά «τέσσερις

διαστάσεις•• παθαίνει μυστική άνατριχίλα, συναίσθημα πού μοιάζει μ· αύτό πού μάς προκαλεί τό φάντασμα τοϋ θεάτρου.

Έντούτοις, τίποτε δέ\ι είναι πιό κοινό άπ' τή βεβαίωση δτι δ

κόσμος στόν όποίο ζοϋμε, είναι ενα χωρο-χρονικό συνεχές

(continuum) μέ τέσσερις διαστάσεις.

·Ο χώρος είνaι ενα συνεχές (continuum) μέ τρείς διαστάσεις αύτό πάει νά πεί δτι εlναι δυνατό νά προσδιορισθεί ή θέση ένός

σημείου (άκίνητου) μέ τρείς άριθμούς (συντεταγμένες) χ, y, z καί δτι ύπάρχει γιά κάθε σημείο ενας δποιοσδήποτε άριθμός σημείων

«γειτονικών» τών δποίων τι θέση μπορεί νά προσδιορισθεί μέ

συντεταγμένες χ', Υ', z,, πού είναι έπίσης δσο θέλουμε γειτονικές μέ τίς συντεταγμένες χ, y, z τοϋ πρώτου σημείου. 'Εξ αίτίας αύτή ς τής τελευταίας ίδιότητας μιλάμε γιά ενα συνεχές (continuum) καί γιά «τρείς διαστάσεις» έξ αίτίας τών τριών συντεταγμένων.

Μέ άνάλογο τρόπο ό κόσμος τών φυσικών γεγονότων, πού

όνομάστηκε άπ' τόν Minkowski άπλώς <<κόσμος••, είναι μέ τέσσερις διαστάσεις, μέ τή χωρο-χρονική σημασία. Γιατί

άποτελείται άπό μεμωνομένα γεγονότα καθένα άπ' τά όποία

προσδιορίζεται μέ τέσσερις άριθμούς, δηλαδή μέ τρείς συντεταγ­

μένες τοϋ χώρου χ, y, z, καί μιά συντεταγμένη τοϋ χρόνου t. 'Ο κόσμος ~τσι έννοούμενος είναι έπίσης ενα συνεχές (continuum), γιατί γιά κάθε γεγονός ύπάρχει ενας δποιοσδήποτε άριθμός «γειτονικών» γεγονότων (πραγματικά ij φανταστικά), τών όποίων ο{ συντεταγμένες x1,y 1, z1, t 1 διαφέρουν όσο λίγο θέλουμε άπ' τίς συντεταγμένες χ, y, z, t 1'Οϋ πρώτου γεγονότος. Τό ότι δέν είμαστε συνηθισμένοι νά θεωροϋμε τό κόσμο σάν ενα συνεχές μέ τέσσερις διαστάσεις αύτό tξηγείται άπ · τό γεγονός ότι στή πρό

52

· τής σχετικότητας φυσική ό χρόνος έπαιξε διαφορετικό ρόλο καί

πιό άνεξάρτητο, σέ σχέση μέ τίς συντεταγμένες. Αύτός εlναι ό λόγος πού έχουμε τή συνήθεια νά χρησιμοποιοϋμε τό χρόνο σάν

€να άνεξάρτητο συνεχές. Πράγματι, σύμφωνα μέ τή κλασσική

Μηχανική δ χρόνος ε{ ναι άπόλυτος,.δηλαδή άνεξάρτητος άπό τή θέση καί τή κατάσταση κίνησης του συστήματος άναφορdς.

Εlναι άκριβ&ς αύτό πού έκφράζει ή τελευταία έξίσωση του

μετασχηματισμου του Γαλιλαίου (t · = t).

Χάρη στή Θεωρία τής σχετικότητας, ή άντίληψη του

«Κόσμου» μέ τέσσερις διαστάσεις γίνεται τελείως φυσιολογική , άφοϋ, σύμφωνα μ' αύτή τή θεωρία, δ χρόνος στερείται τήν

άνεξαρτησία του, δπως τό δείχνει · ή τέταρτη ~ξίσωση τοϋ μετασχηματισμου του Lorentz

v t-- x ,. cs t=R· 1-­cl

Γιατί, σύμφωνα μ ' αύτή τήν έξίσωση·, ή διαφορά χρόνου Δt · δύο γεγονότων σέ σχέση μέ Κ· δέν μηδενίζεται γενικά, άκόμη κι' άν

ή διαφορά Δt τοu χρόνου σέ σχέση μέ Κ μηδενίζεται. 'Η

άπόσταση καθαρά στό χώρο δύο γεγονότων σέ σχέση μέ κ εχει

σάν άποτέλεσμα μιά διαφορά χρόνου τ&ν ίδιων γεγονότων σέ σχέση μέ Κ· . · Εντούτοις δέν εΙ ναι αύτό πού άποτελεί τή

σπουδαία άνακάλυψη τοϋ Minkowski γιά τήν τυπική (μαθηματι­κή) άνάπτυξη τής Θεωρίας τής σχετικότητας . Αύτή συνίσταται

μάλλον στή γνώση δτι τό χωρο-χρονικό συνεχές μέ τέσσερις ·

διαστάσεις τής Θεωρίας τής σχετικότητας παρουσιάζει , τή πιό μεγάλη συγγένεια μέ τό συνεχές μέ τρείς διαστάσεις του

γεωμετρικοί> χώρου τοu Εύκλείδη 1 s, στίς βασικές του ίδιότητες.

Γιά νά φανεί ξεκάθαρα αύτή ή συγγένεια , έξυπακούεται δτι

πρέπει ή συντεταγμένη τοϋ συνηθισ~έΧQ.V χρόνου t ν ' άντικατα­σταθεί μέ τό φανταστικό μέγεθος γ- :L C f πού τοϋ ε{ναι άνάλογο. Σ' αύτή τή περίπτωση δJ.ίως ο{ νόμοι τής φύσης, πού

ίκανοποιοuν τίς άπαιτήσεις τής Θεωρίας τής σχετικότητας

(περιορισμένη), παίρνουν μαθηματικές μορφές δπου ή συντεταγ­μένη τοϋ χρόνου παίζει άκριpως τόν lδιο ρόλο μέ τίς τρεϊς

53

συντεταγμένες τοϋ χώρου. Αύτές οί τέσσερις συντεταγμένες άντι­

στοιχοϋν άκριβώς, στίς τρείς συντεταγμένες τοϋ χώρου τής

γεωμετρίας τοϋ Εύκλείδη . Είναι προφανές, άκόμη καί γιά τόν μή

μαθηματικό, δτι μ ' αύτή τήν καθαρά τυπική (μαθηματική") γνώση

ή θεωρία όφείλει νά κερδίσει σημαντικά σέ σαφήνεια.

Αuτές οί άνεπαρκείς ύποδείξεις δίνουν στόν άναγνώστη μιά

σαφή ίδέα γιά τίς σπουδαίες άντιλήψεις τοϋ Minkowski, δίχως τίς όποίες ή Θ εωρία τής γενικής σχετικότητας, πού θά έκθέσουμε

στίς βασικές της άρχές θά εμενε στά σπάργανα . 'Επειδή δμως γι

αύτόν πού δέν εχει έντρυφίσει στά μαθηματικά είναι δύσκολο ν ,

άποκτήσει πάνω σ ' αύτό τό ζήτημα μιά γνώση πιό άκριβή καί

καθώς οϋτε ή Θεωρία τής περιορισμένης σχετικότητας οϋτε ή Θεωρία τής γενικής δέν τήν χρειάζονται γιά νά γίνουν άντιληπτές

τό άφίνω στήν aκρη καί θά επανέλθω πρός τό τέλος αuτοϋ τοϋ

μικροϋ βιβλίου .

54

ΜΕΡΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

18 ΟΙ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΕΝΗΣ ΚΑΙ

ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

'Η βασική σχέση πού άναπτύξαμε εως τώρα ήταν ή άρχή τής περιορισμένης σχετικότητας, δηλαδή ή άρχή τής φυσικής

σχετικότητας κάθε όμαλfjς κίνησης. ~Ας άναλύσουμε προσεκτι­

κά άκόμα μιά φορά τό περιεχόμενό της .

'Ανέκαθεν ήταν προφανές ότι κάθε κίνηση , σύμφωνα μέ τη'ν

εννοιά της, δέν μπορεί νά θεωρηθεί παρά μόνο σάν σχετική . Ξα­

ναπαίρνοντας τό παράδειγμα πού χρησιμοποιήσαμε συχνά, τής

άποβάθρας καί τοϋ βαγονιοϋ, ή κίνηση πού λαμβάνει χώρα μπο­

ρεί νά όρισθεί έξ ίσου δικαιωματικά μέ τίς δυό άκόλουθες μορ­

φές:

α) Τό βαγόνι κινείται σέ σχέση μέ τήν άποβάθρα­

βγ Η άποβάθρα κινείται σέ σχέση μέ τό βαγόνι.

Στή περίπτωση α, ή άποβάθρα χρησιμεύει σά σώμα άναφο­

ρaς, στή περίπτωση β τό βαγόνι .. Γιά τόν άπλό προσδιορισμό ή περιγραφή τής κίνησης, εiναι άρχικά άδιάφορο σέ ποιό σώμα ά­ναφορiiς άναφέρεται. 'Όπως τόχουμε ήδη πεί, αύτό έξυπακούεται

καί δέν πρέπει νά συγχέεται μέ τόν πιό πλατύ όρισμό πού όνομά­

σαμε «άρχή τfjς σχετικότητας» καί πού μπήκε 6-τή βάση των έ­

ρευνών μας.

'Η άρχή πού χρησιμοποιήσαμε δέν δηλώνει μόνο ότι μπο­

ροuμε, γιά τήν περιγραφή κάθε γεγονότος, νά διαλέξουμε τήν ά­

ποβάθρα ή τό βαγόνι σάν σώμα άναφορaς (γιατί κιαυτό ε{ ναι έπί­σης προφανές). ·Η άρχή μας δηλώνει μάλλον αύτό; ~Αν οί γενι­

κοί νόμοι της φύσης διατυπωθοϋν, δπως συμπεραίνονται άπό τό

πείραμα, χρησιμοποιώντας:

56

α. έι τε τήν άποβάθρα σάν σώμα άναφορaς,

β. είτε τό βαγόνι σάν σώμα άναφορiiς, _

τότε αύτοί οί γενικοί νόμοι τής φύσης, (γιά παράδειγμα, oi νόμοι τής Μηχανικής ή όνόμος μετάδοσης τοϋ φωτός στό κενό) εχουν

άκριβώς τήν 'ίδια μορφή καί στίς δυό περιπτώσεις. Αύτό μπορεί

έπίσης νά έκφρασθεί μέ τόν άκόλουθο τρόπο: Γιά τή φυσική περιγραφή τών γεγονότων τής φύσης κανένα άπ' τά σώματα

άναφορ_ί'iς, Κ, Κ' δέν διακρίνεται άπ · τ· άλλο. ·Η τελευταία

αύτή πρόταση δέν πρέπει νά ε{ναι άληθινή έκ τών προτέρων

δπως ή πρώτη· δέν συμπεριλαμβάνεται στίς εννοιες τής «κίνη­σης, καί στοϋ «σώματος άναφορίiς» καί δέν μπορεί νά παραχθεί

άπ' αύτές μόνο τό πείραμα μπορεί ν' dποφασίσει άν ε{ναι

σωστή ή οχι.

Μέχρι τώρα δμως, δέν δηλώσαμε πουθενά τήν ίσοδυναίμα

δλων τών σωμάτων dναφορiiς Κ σχετικά μέ τή διατύπωση τών νό­

μων τής φύσης.

· Ο δρόμος ήταν μάλλον ό dκόλουθος. Ξεκινήσαμε στήν άρχή

άπ. τήν ύπόθεση ότι ύπάρχει ενα σώμα άναφορί'iς σέ τέτοια κα­

τάσταση κίνησης πού, σέ σχέση μ· αuτό, ή άρχή του Γαλιλαίου

Ισχύει : 'Ένα ύλικό σημείο μόνο του καί άρκετά άπομακρυσμένο

άπό δ λα τ· άλλα σημεία πραγματοποιεί μιά εUθύγραμμη καί όμα­

λ~ κίνηση. Σχετικά μέ Κ (σώμα άναφορί'iς τοϋ Γαλιλαίου), οί νό­μοι τής φύσης πρέπει νά ε{ ναι τό δυνατότερο άπλοί. ·Εκτός δμως

dπό τό Κ δλα τά σώματα άναφορίiς Κ ' πρέπει νά ε{ ναι εύνοούμενα

μ · αuτή τήό'ημασία καί νά ε{ ναι τελείως άνάλογα μέ Κ γιά τή δια­

τύπωση τών νόμων τής φύσης, άν πραγματοποιοϋν σχετικά μέ Κ,

μιά κίνηση εύθύγραμμη, όμαλή καί μή περιστροφική· δλα αύτά τά

σώματα άναφορίiς θεωροϋνται σώματα άναφορίiς τοϋ Γαλιλαίου .

Μόνο γιαυτά τά σώματα άναφορί'iς εγινε δεκτή ή άρχή τής σχετι­

κότητας, άλλά όχι γιά τά άλλα (πού πραγματοποιοϋν διαφορετι­

κές κινήσεις). Μ ' αύτή τή σημασία μιλί'iμε γιά τήν άρχή τής Πε­

ριορισμένης σχετικότητας η γιά τή Θεωρία τής περιορισμένης

σχετικότητας.

Σέ άντίθεση μέ τά προηγούμενα μέ «άρχή τής γενικής σχε­

τικότητας» θά έννοuμε τήν παρακάτω δήλωση . Κάθε σώμα άνα­

ρίiς, όποιαδήπότε κι' άν είναι ή κινητικτJ του κατάσταση, είναι άνάλογο γιά τήν περιγραφή τής φύσης (διατύπωση τών γενικών

νόμων τής φύσης).

Πρέπει όμως νά παρατηρήσουμε άμέσως ότι αύτή ή διατύπω-

57

ση θά πρέπει άργότερα ν' άντικατασταθεί μέ μιά άλλη πιό άφη­

ρημένη, γιά λόγους πού θά φανούν πιό κάτω.

'Αφου ή εiσαγωγή τής άρχής τής περιορισμένης σχετικότη­

τας άποδείχθηκε δικαιολογημένη, πρέπει νά φαίνεται δελεαστι­

κό σέ κάθε πνευμα πού θέλει νά γενικεύει νά ριψοκινδυνέψει τό

βήμα πρός τήν άρχή τής γενικής σχετικότητας. Μιά θεώρηση ό­μως φαινομενικά πολύ· στέρεη κάνει νά φαίνεται κατ' άρχάς σάν

άπελπισμένη,μιά τέτοια άπόπειρα. 'Ο άναγνώστης άς μεταφερθεί νοερά στό βαγόνι πού τόσο συχνά χρησιμοποιήθηκε, τό όποίο πραγματοποιεί μιά όμαλή κίνηση. 'Όσο μετακινείται τό βαγόνι

μέ κίνηση όμαλή, ό ταξιδιώτης δέν άντιλαμβάνεται τίποτα γιά

τήν κίνηση αuτουνου του βαγονιού. Γιαυτό τό λόγο μπορεί

χωρίς κανένα δισταγμό νά έρμηνεύσει τό γεγονός δηλώνοντας

ότι τό βαγόνι εΙ ναι άκίνητο καί ή άποβάθρα σέ κίνηση. 'Εξ

άλλου , σύμφωνα μέ τήν aρχή τής σχετικότητας, αuτή ή

έρμηνεία δικαιολογείται απόλυτα από τήν άποψη τής φυσικής.

"Αν όμως μετά άπό ενα απότομο φρενάρισμα ή κίνηση του

βαγονιοϋ γίνει μή όμαλή, ό ταξιδιώτης αίσθάνεται μιά βίαιη

ανάλογη κίνηση πρός τά έμπρός.

'Η επιταχυνόμενη κίνηση του βαγονιου εκδηλώνεται άπ' τή

μηχανική συμπεριφορά τών σωμάτων σχετικά μαuτό · αuτή ή μηχανική συμπεριφορά στήν προηγούμενη περίπτωση δέν ε{ναι

ή 'ίδια, καί γιαυτό τό λόγο φαίνεται άδύνατο νά ίσχύουν οί ίδιοι μηχανικοί νόμοι σχετικά μέ τό βαγόνι κινούμενο μέ κίνηση μή

όμαλή καί σχετικά μέ τό βαγόνι άκίνητο η κινούμενο μέ όμαλή

κίνηση. Σέ κάθε περίπτωση ε{ναι προφανές ότι, σχετικά μέ τό

βαγόνι κινούμενο μέ κίνηση μή όμαλή, ή βασική αρχή του Γαλι­

λαίου δέν ίσχύει. Γιά τήν rορα λοιπόν αίσθανόμαστε ύποχρεωμέ­

νοι, άντίθετα μέ τήν άρχή τής γενικής σχετικότητας, ν' άποδώ­

σουμε στή μή δμαλή κίνηση ενα εlδος άπόλυτης φυσικής πραγ­

ματικότητας. Σέ λίγο θά δοϋμε όμως ότι αuτό τό συμπέρασμα δέν

ε{ναι σωστό.

58

ΤΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ

'Όταν τίθεται τό έρώτημα: « Γιατί μιά πέτρα πού άφέθηκε , δ­

ταν εχει ύψωθεί, πέφτει στή Γή;•• συνήθως παίρνει τήν άκόλουθη aπάντηση. «Γιατίελκεται aπ ' τή Γή •• . 'Η μοντέρνα Φυσική δίνει

στήν aπάντηση μιά μορφή λίγο διαφορετική γιά τόν παρακάτω

λόγο. Μέ μιά πιό άκριβή μελέτη τών ήλεκτρομαγνητικών φαινο­

μένων φθάσαμε στήν άποψη δ τι δέν ύπάρχει άπ ' εύθείας δράση

σέ aπόσταση. "Αν ί:νας μαγνήτης ελκει ενα κομμάτι σίδερο, δέν

πρέπει νά ίκανοποιηθοϋμε μέ τήν aποψη δτι ό μαγνήτης δρii άπ'

εύθείας στό σίδερο διά μέσου τοϋ κενοϋ χώρου πού τά χωρίζει,

άλλά σύμφωνα μέ τόν Faraday, πρέπει νά φαντασθοϋμε δτι ό μα­γνήτης παράγει πάντα στό διάστημα πού τόν περιβάλει κάτι τό

φυσικά πραγματικό πού τό ύποδείχνουν μέ τό όνομα •<μαγνητικό

πεδίο•• .

Αύτό τό μαγνητικό πεδίο δρti μέ τή σειρά του στό κομμάτι ά­πό σίδερο μέ τέτοιο τρόπο ωστε τό σίδερο τείνει νά κινηθεί πρός τόν μαγνήτη. Δέν θ ά συζητήσουμε έδώ τή δικαιολόγηση αύτής τής ένδιάμεσης εννοιας, πού άπό μόνη της εΙναι αύθαίρετη. " Ας παρατηρήσουμε μόνο ότι χάρη σ' αύτη μποροϋν νά έξηγηθοϋν μέ τρόπο πιό ίκανοποιητικό άπ' δτι δίχως αύτή, τά ήλεκτρομαγνη­:τικά φαινόμενα καί ιδιαίτερα, ή μετάδοση τών ήλεκτρομαγνητι­

κών κυμάτων.

Μ· ε να τέτοιο άνάλογο τρόπο θεωροϋνται καί άποτελέσματα

τής βαρύτητας.

'Η δράση τής γής πάνω στήν πέτρα συμβαίνει μέ <'iμμεσο τρό­πο. · Η γή γεννάει στό άμεσο περιβάλλον της ενα πεδίο βαρύτη­τας, πού δρii πάνω στήν πέτρα καί προκαλεί τήν κίνηση πτώσης. Ξέρουμε πειραματικά δτι ή ενταση αύτής τήζ δράσης μικαίνει, σύμφωνα lt · εναν τέλεια όρισμένο νόμο, δσο άπομακρυνόμαστε άπ' τή γή. Σύμφωνα μέ τή σύλληψή μας, αύτό σημαίνει:' Ο νόμος

59

πού διέπει τίς διαστημικές ίδιότητες; (Ιδιότητες τοϋ χώρου) τοϋ πεδίου βαρύτητας πρέπει νά ε{ ναι τέλεια προσδιορισμένος γιά νά

παριστάνει μέ άκρίβεια τή μείωση τής δύναμης τής βαρύτητας μέ

τήν άπόσταση τοϋ δρώντος σώματος. Πρέπει νά φαντασθοϋμε

περίπου ότι τό σώμα (γιά παράδειγμα ή γfi) γεννάει άπ; εύθείας τό πεδίο στό άμεσο περιβάλλον της σέ μιά μεγαλύτερη άπόσταση ή ενταση καί ή διεύθυνση τοϋ πεδίου προσδιορίζονται άπ' τό νόμο πού διέπει τίς iδιότητες στό χώρο τών ίδιων τών πεδίων βαρύτη­

τας.

Τό πεδίο βαρύτητας παρουσιάζει, άντίθετα μέ τά ήλεκτρικά καί μαγνητικά πεδία, μιά ίδιαίτερα σημαντική ίδιότητα, πού εΙ­

ναι βασικής σημασίας γιαυτό πού θ' άκολουθήσει. Τά σώματα πού κινοϋνται κάτω άπ' τή μόνη έπίδραση τοϋ πεδίου βαρύτητας

ύπόκεινται σέ μιά έπιτάχυνση πού δέν έξαρτaται καθόλου άπό τήν ϋλη οϋτε άπ · τήν φυσική κατάσταση του σώματος. 'Ένα κομμάτι μο­λύβδου κι' ί:να κομμάτι ξύλο, γιά παράδειγμα, πέφτουν έξ 'ίσου

γρήγορα στό πεδίο βαρύτητας (τό κενό), ι'iν άφεθοϋν νά πέσουν δίχως η μέ τήν 'ίδια άρχική ταχύτητα. Μπορεί άκόμη νά διατυπω­

θεί διαφορετικά αύτός δ νόμος πού ίσχύει μέ άκρίβεια σύμφωνα

μέ τήν παρακάτω θεώρηση:

Σύμφωνα μέ τό νόμο κίνησης του Newton, εχουμε:

(Δύναμη) = (άδρανής μάζα) Χ (έπιτάχυνση), δπου ή <<άδρά­νής μάζα,, εΙ ναι μιά σταθερή πού χαρακτηρίζει τό έπιταχυνόμενο

σώμα. 'Αλλά ι'iν ή αίτία τής έπιτάχυνσης εiναι ή βαρύτητα, εχου­

με : (Δύναμη)= (μάζα βαριά) Χ (ενταση πεδίου βαρύτητας), δπου

«μάζα βαριά>> είναι έπίσης μιά σταθερή πού χαρακτηρίζει τό σαι­μα. ' Απ' αuτές τίς δύο σχέσεις βγαίνει :

(μάζα βαριά) (έπιτάχυνση ) = Χ(ενταση πεδίου βαρύτητας)

(μάζα άδρανή)

'Αλλά άν, καθώς τό άποδεικνύει τό πείραμα, ή έπι τάχυνση γιά ενα δοσμένο πεδίο βαρύτητας ε{ναι πάντα ή ίδια τοϋ σώματος, ενα δοσμένο πεδίο βαρύτητας ε{ ναι πάντα ή ίδια καί άνεξάρτητη άπ' τή φύση καί. τήν κατάσταση του σώματος, πρέπει πότε ό λό­

γος του βάρους Πρός τήν άδρανή μάζα νάναι έπίσης ό ίδιος γιά

60

δλα τά σώματα. Μπορεί λοιπόν, διαλέγοντας κατάλληλα τίς μο­

νάδες, αύτός ό λόγος νά γίνει ίσος μέ Ι βγάζουμε τότε τήν άκόλου- , θη πρόταση: Τό βάρος ένός σώματος εlναι ίσο μέ τήνάδρανή τόυ μάζα.

Μέχρι τώρα ή Μηχανική ε{ χε, ε{ ναι άλήθεια, καταγράψει αύ­τή -iήν πρόταση, άλλά δέv τήv εlχε έρμηvέψει. Δέv μποροϋμε vά φθάσουμε σέ μιά ίιcανοποιητική έρμηνεία παρά μόνο άναγνωρί­

ζοντας αύτό τό γεγονός: 'Η ίδια ίδιότητα ένός σώματος έμφανί­

ζεται, σύμφωνα μέ τίς περιστάσεις σάv «άδράvεια•• ij σάν «βά­ρος••. Στό έπόμενο κεφάλαιο θά δοϋμε εως ποιό σημείο εlναι πράγματι ή περίπτωση καί πώς αύτό τό ζήτημα συνδέεται με τό

άξίωμα τfjς γενικής σχετικότητας.

61

20

Η ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΑΔΡΑΝΟΥΣ ΜΑΖΑΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΒΑΡΟΥΣ ΣΑΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑ ΥΠΕΡ

ΤΟΥ ΑΞΙΩΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ

ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

"Ας φαντασθοuμε εν α μεγάλο κομμάτι άπ' τό διάστημα τόσο

άπομακρυσμένο άπ' τ' άστρα κι, άπό άλλες μεγάλες μάζες ωστε

νά βρισκόμαστε μέ μιά πολύ μεγάλη προσέγγιση στή περίπτωση

πού προβλέπεται άπ' τόν βασικό νόμο του Γαλιλαίου. ΕΙ ναι τότε

δυνατό γι, αuτό τό μέρος του κόσμου νά διαλεχτεί ενα σώμα

άναφορaς του Γαλιλαίου σχετικά μέ τό όποίο άκίνητα σημεία νά

μένουν άκίνητα καί σημεία σέ κίνηση νά διατηρουν μέ μόνιμο

τρόπο τήν εuθύγραμμη καί όμαλή κίνησή τους." Ας φαντασθουμε

γιά σώμα άναφορaς ενα τεράστιο κουτί σχήματος δωματίου καί

δτι στό εσωτερικό του βρίσκεται ενας παρατηρητής έφωδιασμέ­

νος μέ συσκευές. Γι' αuτόν τόν παρατηρητή ή βαρύτητα βεβαίως

δέν ύπάρχει. Πρέπει νά δεθεί μέ σκοινιά στό εδαφος γιά νά μή πετάξει aργά πρός τό ταβάνι στή παραμικρή σύγκρουση μέ τό

πάτωμα.

"Ας ύποθέσουμε δτι στήν έξωτερική μέση τής σκεπής είναι

πιασμένος ενας γάντζος στόν όποίο είναι δεμένο ενα σχοινί πού

ενα όποιοδήποτε ον άρχίζει νά τό τραβάει μέ μιά σταθερή δύνα­

μη. Τό κουτί κι' ό παρατηρητής άρχίζουν τότε νά πετουν μέ μιά

κίνηση όμαλά έπιταχυνόμενη πρός τά <<Πάνω••. 'Η ταχύτητά τους

θά μεγάλωνε κατά τή διάρκεια του χρόνου μέ τρόπο έκπληκτικό,

άν έξετάζαμε δ λα αύτά σχετικά μ· ε να σώμα άναφορiiς, πού δέν τό

τραβάνε μέ σχοινί.

'Αλλά δ άνθρωπος μέσα στό κουτί πώς κρίνει τό γεγονός; ·Η

έπιτάχυνση του κουτιου του μεταδίδεται διά μέσου του πατώμα­τος μέ τή μορφή άντιπίεσης. Πρέπει λοιπόν ν· άπορροφa αύτή τή

πίεσn διά μέσου τών ποδιών του. liν δέν θέλει νά πέσει φαρδύι;

62

πλατύς στό πάτωμα. Εlναι λοιπόν όρθιος μέσα στό κουτί δπως aκριβώς ενας ι'iνθρωπος στό δωμάτιο ένός σπιτιού στή γή μας. ··Αν aφήσει νά πέσει ενα σώμα πού κράταγε στό χέρι, ή έπιτάχυν­ση τοϋ κουτιοϋ δέν μεταδίδεται πιά σ' αύτό τό σώμα· αύτό θά πλησιάσει λοιπόν στό πάτωμα του κουτιοu μέ μιά σχετική κίνη­

ση έπιταχυνόμενη. Ό παρατηρητής έξάλλου θ' ιiποκτήση τή πεποίθηση δτι ή έπιτάχυνση τοv σώματος πρός τό πάτωμα είναι πάντα ή ϊδια, όποιοδήποτε κι • aν εlναι τό σώμα μέ τό όποίο θά κάνει τό

πείραμα.

Στηριζόμενος λοιπόν στίς γνώσεις του του πεδίου βαρύτη­

τας, γιά τό όποίο μιλήσαμε στό προηγούμενο κεφάλαιο, ό άνθρω­

πος τοϋ κουτιοϋ θά φθάσει στό συμπέρασμα δτι βρίσκεται, καθώς καί τό κουτί, σ' ε να πεδίο βαρύτητας σταθερό στό χρόνο. Σέ

κάποια στιγμή θά έκπλαγεί βέβαια ποίJ τό κουτί δέν πέφτει σ'

αύτό τό πεδίο βαρύτητας. 'Ανακαλύπτοντας δμως τό γάντζο τοϋ

μέσου τής σκεπής καί τό τεντωμένο σχοινί πού είναι δεμένο,

φθάνει λογικά στό συμπέρασμα δτι τό κουτί είναι κρεμασμένο

καί μένει άκίνητο στό πεδίο βαρύτητας.

"Αραγε ε χουμε τό δικαίωμα νά χαμογελάσουμε καί νά ποϋμε

δτι τό συμπέρασμα αύτοϋ τοϋ άνθρώπου είναι λάθος; Δέν τό

νομίζω, άν θέλουμε νά μείνουμε συνεπείς μέ τούς έαυτούς μας όφείλουμε μάλιστα ν' αναγνωρίσουμε δτι ό τρόπος του ν' άντι­

λαμβάνεται τά πράγματα δέν άμαρτάει ούτε ένάντια τής λογικής

ούτε ένάντια στούς γνωστούς νόμους τής Μηχανικής. Μποροϋμε

νά θεωρήσουμε τό κουτί σάν aκίνητο, aκόμη κι' ι'iν είναι έπιταχυ­

νόμενο σχετικά μέ τό «διάστημα τοϋ Γαλιλαίου» πού θεωρήσαμε

στήν aρχή. 'Έχουμε, κατά συνέπεια, σοβαρούς λόγους, άν επε­

κτείνουμε τήν άρχή τής σχετικότητας σέ σώματα άναφοράς έπι­

ταχυνόμενα τά μέν σέ σχέση μέ τά δέ, καί άποκτίiμε ετσι ενα

δυνατό έπιχείρημα ύπέρ ένός aξιώματος (α'ίτημα) τής γενικής

σχετικότητας.

Πρέπει νά παρατηρηθεί δτι ή δυνατότητα αύτή ς τής aντίλη­

ψης στηρίζεται στή βασική ίδιότητα του πεδίου βαρύτητας νά

μεταδίδει σ' δ λα τά σώματα τήνίδια έπιτάχυνση, ή αύτό πού είναι

τό ϊδιο, στή πρόταση τής ίσότητας τής ιiδρανής μάζας καί τοϋ

βάρους. "Αν αuτός ό νόμος τής φύσης δέν ύπήρχε, ό dνθρωπος

στό έπιταχυνόμενο κουτί δέν θά μποροuσε νά έξηγήσει τή συμπε-

63

ριφορά .των σωμάτων τοϋ περιβάλοντός του μέ τήν υπόθεση tνός πεδίου βαρύτητας, καί κανένα πείραμα δέν θά τοϋ έπέτρεπε νά

ύποθέσει δτι τό σώι,ια του άναφορiiς εΙναι «άκίνητο».

w Ας ύποθέσουμε ότι δ άνθρωπος στό κουτί στερεώνει στό

έσωτερικό ταβάνι ενα σχοινί καί κρεμάεί στήν άλλη άκρη ενα σώμα. Κάτω άπ' τήν έπίδραση τοϋ σώματος τό σχοινί θά τεντωθεί «Κάθετα». w Αν ρωτήσουμε ποιά ε{ναι ή αίτία τοϋ τεντώματος τοϋ σχοινιου, δ άνθρωπος του κουτιου θά πεί: «Τό κρε ασμένο σώμα

ύπόκειται στό πεδίο βαρύτητας σέ μία δύναμη πού κατευθύνεται

πρός τά κάτω καί τήν όποία ίσορροπεί ή τάση του σχοινιου· τό

μέγεθος τής τάσης τοϋ σχοινι ϋ προσδιορίζεται άπ' τό βάρος του

κρεμασμένου σώματος''· Έξάλλου, ενας παρατηρητής πού πλα­νcϊται έλεύθερα στό διάστημα θά tρμηνεύσει τή κατάσταση μέ τόν

άκόλουθο τρόπο: «Τό σχοινί εΙναι ύποχρεωμένο νά συμμετέχει

στήν έπιταχυνόμενη κίνηση του κουτιου καί τή μεταδίδει στό

σώμα πού ε{ναι δεμένο. 'Η τάση τοϋ σχοινιοϋ ε{ναι άκριβώς

άρκετά μεγάλη γιά νά προκαλέσει τήν έπιτάχυνση στό σώμα. Τό μέγεθος τής τάσης του σχοινιοu προσδιορίζεται άπ' τήν dδραvή

μάζα τοϋ σώματος>>, Μ' αύτό τό παράδειγμα βλέπουμε δτι ή

έπέ1eτασή μας τής άρχής τής σχετικότητας κάνει νά έμφανίζεται

ή πρόταση τής ίσότητας τής άδρανής μάζας καί του βάρους σάν

άvαγκαία. 'Αποκτήσαμε ετσι μιά φυσική έρμηνεία αύτής τής

πρότασης.

Μέ τή θεώρησή του έπιταχυνόμενου κουτιου, φαίνεται δτι μιά Θεωρία τής γενικής σχετικότητας πρέπει νά δώσει σπουδαία

άποτελέσματα πάνω στούς νόμους τής βαρύτητας. Στήν πραγμα­

τικότητα, ή λογική άνάπτυξη τής ίδέας τής γενικής σχετικότητας

εδωσε τούς νόμους πού έπαληθεύει τό πεδίο βαρύτητας. 'Οφείλω

έντούτοις νά προειδοποιήσω άπό τώρα τόν άναγνώστη γιά μία

παρεξήγηση πού μποροϋν νά προκαλέσουν αύτές ο{ θεωρήσεις.

Γιά τόν άνθρωπο · στό κουτί ύπάρχει ενα πεδίο βαρύτητας, παρ·

δλο πού τέτοιο πεδίο δέν ύπήρξε γιά τό πρώτο σύστημα συντεταγ­

μένων πού διαλέξαμε. Θά μποροϋσε εϋκολα νά πιστευτεί δτι ή ϋπαρξη ένός πεδίου βαρύτητας ε{ναι πάντα μόνο φαινομενική. Θά μποροϋσε νά σκεφθεί κάνείς, δτι, δποιοδήποτε καί νάναι τό δο­σμένο πεδίο βαρύτητας, πάντα εΙναι δυνατό νά έκλεγή ενα άλλο σώμα άναφορίiς μέ τέτοιο τρόπο ώστε σέ σχέση μ' αύτό νά μήν

64

ύπάρχει καθόλου πεδίο βαρύτητας. Αύτό δέν εΙναι καθόλου άλη­θινό γιά όλα τά πεδία βαρύτητας, παρά μόνο γι, αύτά πού εχουν

μιά ιδιαίτερη δομή ετσι εΙναι, γιά παράδειγμα, άδύνατο νά δια­

λεχθεί !:να σώμα άναφορaς τέτοιο πού σέ σχέση μ' αύτό, τό πεδίο

βαρύτητας τής γής, (σ· δλη του τήν εκταση) νά έξαφανισθεί .

Τώρα καταλαβαίνουμε γιατί τό επιχείρημα πού μπήκε νωρί­

τερα, στό τέλος του κεφαλαίου 18, ένάντια στήν άρχή τής γεvικής σχετικότητας δέν εΙναι άποδεκτό. Ε{ναι βέβαια άλήθεια δτι ό

ταξιδιώτης στό βαγόνι πού φρενάρησε αίσθάνεται, έξ αίτίας αύ­τουνου του φρεναρίσματος, ενα τράνταγμα πρός τά έμπρός καί ότι

ετσι aντιλαμβάνεται τή μ ή δμαλή κίνηση (έπιτάχυνση) του βαγο­

νιου. ·Αλλά κανείς δέν τόν ύποχρεώνει ν· άπόδώσει αuτό τό

τράνταγμα σέ μιά «πραγματική>> επιτάχυνση του βαγονιοu . Θά

μποροϋσε νά έρμηνεύσει έπίσης αύτό πού αίσθάνθηκε μέ τόν

άκόλουθο τρόπο: «Τό σώμα μου ό.ναφορaς (τό βαγόνι) βρίσκι:ται

σέ μόνιμη άκινησία. ·Αλλά κατά τήν περίοδο του φρεναρίσματος

επικρατεί σέ σχέση μ. αύτό, εν α πεδίο βαρ{ι r:' tας :-;:ατευθυνόμενο πρός τά έμπρός καί μεταβλητό μέ τό χρόνο. Κάτω άπ ' τήν έπί­

δραση αύτουνου τοϋ πεδίου, ή aποβάθρα Υ.αθώς καί ή γή μετακι­

νοϋνται μέ μιά κίνηση μή όμαλή μέ τρόπο ιi>στε ή άρχική τους

ταχύτητα κατευθυνόμενη πρός τά πίσω, μειώνεται σταθερά. Σ' αύτό τό πεδίο βαρύτητας όφείλεται επίσης τό τράνταγμα του

παρατηρητή.

6.5

21

ΣΕ ΤΙ ΟΙ ΒΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ

ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΕΝΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΙΝΑΙ ΑΝΕΠΑΡΚΕΙΣ;

"Ο πως τοχουμε ήδη σημειώσει σέ πολλές εόκαιρίες, ή κλασ­

σική Μηχανική ξεκινάει aπ' τήν έξfjς aρχή: 'Υλικά σημεία

άρκετά άπομακρυσμένα τό ενα άπ' τ' dλλο έκτελοϋν κίνηση εύθύγραμμη καί όμαλή η μένουν aκίνητα. νΕχουμε έπίσης παρα­

τηρήσει περισσότερες aπό μιά φορά δτι αύτός δ βασικός νόμος

δέν μπορεί νά ίσχύει παρά γιά σώματα &ναφορaς Κ πού βρίσιω­

νται σέ κατάσταση κίνησης ίδιαίτερη καί πού έκτελοϋν τό ενα σέ

σχέση μέ τό ι'iλλο, μία κίνηση όμαλfjς μετάθεσης . Σχετικά μέ

ι'iλλα σώματα ιiναφορaς Κ' ό νόμος δέν ίσχύει. 'Έτσι τόσο στή

κλασσική Μηχανική δσο καί στή Θεωρία τής περιορισμένης

σχετικότητας γίνεται διάκριση, άνάμεσα στά σώματα άναφορί'iς Κ σχετικά μέ τά όποία οί νόμοι τής φύσης ίσχύουν, καί τά σώματα

άναφορiiς Κ· σχετικά μέ τά όποία οί νόμοι τής φύσης δέν ίσχύ­

ουν.

Κανένας άνθρωπος δμως πού σκέπτεται λογικά, δέν μπορεί νά ίκανοποι ηθεί μ' αύτή τή κατάσταση πραγμάτων. 'Α ναρωτιέ­

ται: «Πώς ε{ναι δυνατό μερικά σώματα ιiναφορiiς (ij ή κινητική τους κατάσταση) νά διακρίνοvται aπό ι'iλλα σώματα ιiναφορiiς (ij απ' τήν κινητική τους κατάσταση); Ποιά είναι ή αίτία αύτfις τfις

προτίμησης;» Γιά νά δειχθεί καθαρά αύτό πού έννοώ μ' αύτή τήν

έρώτ_ηση, θά χρησιμοποιήσω μία σύγκριση.

·Υποθέτω δτι βρίσκομαι μπροστά σέ μιά κουζίνα ύγραερίου

πάνω στ ή ν όποία βρίσκονται δύο κατσαρόλες πού μοιάζουν τόσο

πολύ πού μπορεί νά τίς μπερδέψω. Καί οί δύο έχουν νερό μέχρι τή

μέση. Παρατηρώ δτι άπ' τή μία βγαίνει συνέχεια aτμός καί όχι

άπ' τήν άλλη. 'Εκπλήσσομαι, άκόμη κι' Ciνδέν ε{χαδείποτέ μου

66

κουζίνα ύγραερίου καί κατσαρόλα. 'Αλλά άν παρατηρήσω κάτι

τό γαλαζωπό καί φωτεινό κάτω άπ' τή πρώτη κατσαρόλα καί

τίποτε κάτω άπ' τή δεύτερη, η εκπληξή μου έξαφανίζεται, άκόμη

κι' ι'iν δέν εlχα δεί ποτέ φλόγα ύγραερίου. Γιατί μπορώ νά π&

μόνο δτι αύτό τό γαλαζωπό εlναι ή αίτία πού κάνει νά ξεφεύγει ό άτμός ή τουλάχιστον δτι εΙ ναι ϊσως ή αiτία. 'Αλλά ι'iν δέν διακρί­

νω αύτό τό γαλαζωπό κάτω άπό καμμία κατσαρόλα καί διαπιστώ­

σω δτι ή μία άπ' αύτές βγάζει συνέχεια άτμό, καί όχι ή άλλη,

έκπλήσσομαι καί δέν θά ε{μαι ίκανοποιημένος δσο δέν θά εχω

διακρίνει κάποια περίσταση πού νά μπορώ νά τή θεωρήσω ύπεύ­

θυνη τής διαφορετικής συμπεριφοράς πού εχουν οί δύο κατσαρό­

λες.

Μέ άνάλογο τρόπο ψάχνω μάταια στή κλασσική Μηχανική

(ή στή Θεωρία τής περιορισμένης σχετικότητας) αuτό τό κάτι

πραγματικό στό όποίο νά μπορώ νά aποδώσω τή διαφορετική

συμπεριφορά των σωμάτων σέ σχέση μέ τά συστήματα άναφορtiς Κ καί Κ' 16. ·Ο Newton εΙ χε ήδη δεί αuτή τήν άντίρρηση καί προσπάθησε μάταια νά τήν έπικυρώσει. 'Ο Ε. Mach ε{ ναι πού τήν αναγνώρισε τό πιό ξεκάθαρα καί aπαίτησε, έξ αίτίας της, νά

στερεωθεί ή Μηχανική πάνω σέ νέα βάση. Αuτή ή άντίρρηση δέν

μπορεί ν' aποφευχθεί παρά μόνο aπό μία Φυσική πού ίκανοποιεί

τήν άρχή τής γενικής σχετικότητας. Γιατί οί έξισώσεις μιίiς

τέτοιας Φυσικής ίσχύουν γιά κάθε σώμα άναφορtiς, όποιοδήποτε

κι' άν εlναι ή κινητική του κατάσταση.

67

22

ΜΕΡΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΗΣ ΑΡΧΗΣ ΤΗΣ

ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

Οί σκέψεις τοϋ κεφαλαίου 20 δείχνουν δτι ή άρχή τής γενι­κής σχετικότητας μfiς έπιτρέπει νά έξάγουμε, μέ μιά καθαρά

θεωρητική μέθοδο, Ιδιότητες τοϋ πεδίου βαρύτητας. Πράγματι,

ίiς ύποθέσουμε δτι είναι γνωστή ή έξέλιξη στό χώρο καί στό

χρόνο, μιi'iς όποιασδήποτε διαδικασίας τής φύσης τέτοια πού νά έκτυλίσσεται στό τομέα τοϋ Γαλιλαίου , σχετικά μ' ενα σώμα

αναφοράς τοϋ Γαλιλαίου Κ. Μπορεί τότε νά βρεθεί μέ πράξεις

καθαρά θεωρητικές, δηλαδή άπλώς μέ τόν ύπολογισμό, πώς αύτή

ή γνωστή διαδικασία τής φύσης φαίνεται, δταν παρατηρείται άπό

τό σώμα aναφορfiς Κ', πού είναι έπιταχυνόμενο σχετικά μέ Κ .

'Επειδή δμ'ως σχετικά μ' αύτό τό νέο σώμα αναφοράς Κ' ύπάρχει

ενα πεδίο βαρύτητας , ή θεώρησή μας μfiς μαθαίνει μέ ποιό τρόπο

τό πεδίο βαρύτητας ασκεί τήν έπίδρασή του στή μελετημένη

διαδικασία.

Μαθαίνουμε, γιά παράδειγμα, δτι ενα σώμα πού έκτελεί, σέ

σχέση μέ Κ, μιά κίνηση εύθύγραμμη καί όμαλή (σύμφωνα μέ τό

νόμο τοϋ Γαλιλαίου), σέ σχέση μέ τό επιταχυνόμενο σώμα άνα­

φορίiς Κ' (τό κουτί), έκτελεί μιά κίνηση έπιταχυνόμενη καί

γενικά καμπυλωτή. Αύτή ή έπιτάχυνση ή καμπύλη αντιστοιχεί

στ~ν έπίδραση του πεδίου βαρύτητας πού έπικρατεί σχετικά μέ Κ·, πάνω στό κινούμενο σώμα . Εrναι γνωστό ότι μ· αύτό τό

τρόπο, άσκεί τήν έπίδρασή του τό πεδίο βαρύτητας στή κίνηση

τών σωμάτων, ετσι πού ή θεώρησή μας δέν φέρνει, κατ' aρχήν,

τίποτε τό καινούργιο.

'Αποκτάται δμως ί:να νέο αποτέλεσμα θεμελιώδους σημασί­

ας, δταν έφαρμοσθεί μιά άνάλογη' θεώρηση σέ μιά φωτεινή άκτί­

νά. Σέ σχέση μέ τό σώμα άναφορίiς τοϋ Γαλιλαίου Κ, αύτή ή

άκτίνα μεταδίδεται σέ εύθεία γραμμή μέ ταχύτητα c. Σέ σχέση

68

δμως μέ τό έπιταχυνόμενο κουτί (σώμα άναφορίiς Κ'), ή τροχιά τής ίδιας φωτεινής άκτίνας , καθώς εΙνα,ι εϋκολο νά δειχθεί, δέν

εΙναι πιά μιά εύθεία γραμμή. 'Απ' όπου βγαίνει τό συμπέρασμα

δτι, στά πεδία βαρύτητας οί φωτεινές ·άκτίνες μετάδίδονται γενι11:ά διαγράφοντας καμπυλωτές τροχιές. Αύτό τό άποτέλεσμα εχει μεγά­

λη σημασία άπό διπλή άποψη .

Πρώτα άπ' δλα μπορεί νά παραβληθεί μέ τήν πραγματικότη­

τα. Παρ' δλο πού μιά λεπτομερής έξέταση μίiς δείχνει δτι ή

καμπύλη τών φωτεινών άκτίνων εΙναι πάρα πολύ μικρή γιά τά

πεδία βαρύτητας πού τό πείραμα βάζει στή διάθεσή μας, γιά τίς .

φωτεινές άκτίνες πού (ξυρίζουν) τήν άκρη του 'Ήλιου πρέπει νά

φτάνει I ,7 δεύτεpα τόξου . VΕτσι τά σταθερά άστέρια πού βρίσκο­

νται κοντά στόν 'Ήλιο καί πού μποροuμε νά παρατηρήσουμε

δταν αύτός παθαίνει όλική εκλειψη θά πρέπει νά φανουν άπομα­

κρυσμένα άπ' αύτόν στήν άπόσταση πού ύποδείχνεται πάρα πά­

νω σέ σχέσ.η μέ τή θέση πού κατείχαν στόν ούρανό δταν ό 'Ήλιος

βρίσκεται σ ' ενα άλλο μέρος του ούράνιου χώρου. ' Η έξέταση

· ή ς άκρίβειας ή όχι αύτής τής συνέπειας εΙ ναι ύπόθεση μεγίστης

ημασίας, τής όποίας έλπίζουμε δτι οί αστρονόμοι θά μίiς δώ­σουν προσεχώς τή λύσηι 7.

Δεύτερο, αύτή ή συνέπεια δείχνει δτι , σύμφωνα μέ τή θεωρία

τής γενικής σχετικότητας, δ νόμος πού συχνά άναφέρθηκε τfjς

σταθερότητας τής ταχύτητας του φωτός στό κενό, πού εΙναι μία

άπ' τίς δύο βασικές ύποθέσεις τ:ής Θεωρίας τής περιορισμένης σχετικότητας, δέν μπορεί νά gχει μιά άπεριόριστη ίσχύ. Πράγμα­

τι , μιά καμπύλη φωτεινών άκτίνων δέν μπορεί νά παραχθεί παρά

μόνο άν μέ τόν τόπο μεταβάλλεται καί ή ταχύτητα μετάδοσης τοϋ

φωτός . Εlναι δυνατό νά θεωρηθεί ότι άύτή ή συνέπεια άνατρέπει τή Θεωρία τfjς περιορισμένης σχετικότητας καί μαζί μ' αύτή τή

Θεωρία τής σχετικότητας γενικά. Στήν πραγματικότητα δμως δέν

ε{ναι ετσι. Μπορεί νά συναχθεί μόνο δτι ή Θεωρίαa τής περιορι­

σμένης σχετικότητας δέν μπορεί νά εχει εναν άπεριόριστο τομέα

ίσχύος τ' άποτελέσματά της ίσχύουν στό βαθμό πού εΙ ναι δυνατό

ν' άμεληθουν οί επιδράσεις πού άσκόυν τά πεδία βαρύτητας πάνω

στά φαινόμενα, (γιά παράδειγμα στό φώς).

'Επειδή οί άντίπαλοι τής Θεωρίας τής σχετικότητας δηλώ­

νουν συχνά δτι ή Θεωρία τής περιορισμένης σχετικότητας άνα-

69

τρέπεΙαι άπ • τή ~εωρία τής γενικής σχετικότητας, θά κάνω νά γίνει άντιληπτή ή άληθινή κατάσταση τών πραγμάτων μέ μία

σύγκριση. Πρίν τή δημιουργία τής ήλεκτροδυναμικής, ο{ νόμοι

τής ήλεκτροστατικής θεωροuντο άπλά σάν νόμοι του ήλεκτρι­

σμοϋ. Ξέρουμε σήμερα δτι ή ήλεκτροστατική δέν άντανακλii σωστά τίς ήλεκτρικές ένέργειες παρά μόνο στή περίπτωση πού οί

ήλεκτρικές μάζες βρίσκονται σέ άκινησία σέ σχέση μέ τό σύστη­

μα άδρανείας. Μήπως γι' αύτό τό λόγο ή ήλεκτροστατική άνα­τράπηκε άπ · τίς έξισώσεις τοϋ πεδίου τοϋ Maxwell στήν ηλεκτρο­δυναμική; Καθόλου. 'Η ηλεκτροστατική περιέχεται στήν ήλεκ­

τροδυναμική σάν όριακή περίπτωση· οί νόμοι τής τελευταίας

όδηγοuν άπ • εύθείας σ· αύτούς τής πρώτης στή περίπτωση πού τά πεδία εΙ ναι αμετάβλητα στό χρόνο. ΕΙ ναι ~ καλύτερη τύχη μιας θεωρίας ν ' άνοίγει τό δρόμο σέ μιά πιό πλατειά στήν όποία

συνεχίζει νά ζεί σάν εtδική περίπτωση.

Στό παράδειγμα τής μετάδοσης του φωτός πού μόλις άναπτύ­

χθηκε, ε'ίδαμε δτι ή άρχή τής γενικής σχετικότητας μtiς έπιτρέπει

νά έξάγουμε, μέ μιά θεωρητική 'μέθοδο , τήν έπίδραση πού άσκεί

τό πεδίο βαρύτητας στήν έξέλιξη φαινομένων των όποίων οί

νόμοι είναι ήδη γνωστοί στήν περίπτωση πού τό πεδίο βαρύτητας

δέν ύπάρχει . 'Αλλά τό πιό ένδιαφέρον πρόβλημα στό όποίο ή

άρχή τής γενικής σχετικότητας δίνει τό κλειδί τής λύσης του

άφορii τήν ερευνα των νόμων στούς όποίους ύπακούει τό 'ίδιο τό

πεδίο βαρύτητας . ' Η κατάσταση τών πραγμάτων είναι έδώ ή

έξή ς.

Γνωρίζουμε χωρο-χρονικούς τομείς πού, διαλέγοντας κατάλ­

ληλα τό σύστημα άναφορίiς, συμπεριφέρονται (κατά προσέγγι­ση) μέ τρόπο «Γαλιλαιϊκό», δηλαδή τομείς όπου τά πεδία βαρύ­

τητας δέν ύπάρχουν. ~Αν άναφέρουμε ίiναν τέτοιο τομέα σ ' ίiνα

σώμα άναφορtiς Κ' κινούμενο μ' όποιαδήποτε κίνηση, ύπάρχει

σχετικά μέ Κ ' ίiνα πεδίο βαρύτητας πού μεταβάλλεται στό χρόνο καί τό χώρο 1 &. 'Η κατάσταση αύτοu τοϋ πεδίου έξαρτiiται φυσικά

άπ' τήν κί\)ηση πού διαλέξαμε γιά τό Κ Ό Ό γενικός νόμος του

πεδίου βαρύτητας πρέπει νά άνταποκρίνεται σύμφωνα μέ τή Θεω­

ρία τής γενικής σχετικότητας, σ· δλα τά πεδία βαρύτητας ετσι

δοσμένα. 'Ακόμη κι· ι'iν δέν είναι καθόλου δυνατά νά δημιουργη­

θοϋν μ' αύτό τό τρόπο δ λα 'τά πεδία βαρύτητας, τρέψουμε έντού­τοις τήν έλπίδα νά γίνει δυνατό νά βγεί άπ' αύτά τά είδικά πεδία

70

βαρύτητας δ γενικός νόμος τής βαρύτητας. Αύτή ή έλπίδα πραγ­

ματοποιήθηκε μέ τόν πιό έκθαμβωτικό τρόπο. 'Ανάμεσα δμως

στό διαυγή δραματισμό αύτοu τοu σκοποί> καί τή τέλεια πραγμα­

τοποίησή του έπρεπε άκόμη νά ξεπερασθεί μιά σοβαρή δυσκολία πού δέν πρέπει νά τή κρύψω άπ' τόν άναγνώστη, γιατί βρίσκεται

στό βάθος τοϋ ζητήματος . Είναι άναγκαίο νά έμβαθύνουμε περισ­

σότερο τίς εvνοιες του χωρο-χρονικοu συνεχοuς.

71

23

Η ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΤΩΝ ΡΟΛΟΓΙΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΩΝ

ΠΑΝΩ Σ' ΕΝΑ ΣΩΜΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΜΕ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

Μέχpι τώpα δέν μίλησα έπίτηδες γιά τή φυσική έpμηνεία τών ένδείξεων τοϋ χώρου καί τοϋ χρόνου στή περίπτωση τής

Θεωρίας τής γενικής σχετικότητας. 'Έτσι εγινα Ι:νοχος μιiiς

κάποιας άμέλειας πού , δπως ξέρουμε σύμφωνα μέ τή Θεωρία τής

περιορισμένης σχετικότητας, δέν εlναι διόλου χωρίς σπουδαιό­

τητα καί συγχωρητέα. Εlναι πιά καιρός νά καλύψουμε αύτό τό κενό· άλλά παρατηρώ έκ τών προτέρων δτι αuτό τό ζήτημα άπαι­

τεί άπ ' τόν άναγνώστη ύπομονή καί ίκανότητα άφαίρεσης πάνω

άπ' τό συνηθισμένο έπίπεδο.

Ξεκινάμε πάλι άπό τελείως είδικές περιπτώσεις πού !:χουμε

συχνά έπικαλεσθεί. "Εστω δ τι εΙ ναι δοσμένος ενας χω ρο-χρονι­

κός τομέας στόν όποίο δέν ύπάρχει πεδίο βαρύτητας σχετικά μ'

ενα σώμα άναφορiiς Κ, του όποίου ή κινηηκή κατάσταση διαλέ­

χτηκε κατάλληλα· σέ σχέση μέ τόν θεωρούμενο τομέα , τό Κ είναι

τότε ε να σώμα άναφορiiς του Γαλιλαίου, καί τά άποτελέσματα τής

Θεωρίας τής περιορισμένης σχετικότητας ίσχύουν σέ σχέση μέ

τό Κ. "Ας ύποθέσουμε δτι ό 'ίδιος τομέας άναφέρεται σ' ε να

δεύτερο σώμα άναφοpίiς κ. πού εχει μιά κίνηση όμαλής περι­

στροφής σέ σχέση μέ τό Κ. Γιά καλύτερη κατανόηση ας ύποθέ­

σουμε δτι τό κ. παριστάνεται μ, ενα κυκλικό δίσκο έπίπεδο πού

έκτελεί μιά περιστροφική όμαλή κίνηση στό έπίπεδό του γύρω

άπ' τό κέντρο του. "Ενας παρατηρητής καθισμένος στ ή ν περιφέ­

ρεια τοϋ κυκλικου δίσκου Κ· ύπόκειται σέ μιά δύναμη πο~ δρα

στήν κατεύθυνση τής άκτίνας πρός τά εξω καί πού έρμηνεύεται

σάν ενα άποτέλεσμα τής άδράνειας (φυγόκεντρος δύναμη) άπό

εναν παρατηρητή πού είναι άκίνητος σέ σχέση μέ τό πρώτο σώμα

72

αναφορaς Κ. ·Αλλά ό παρατηρητής καθισμένος πάνω στό δίσκο

μπορεί νά θεωρήσει τό δίσκο του σάν σώμα &:ναφορfiς «&:κίνητο»·

αύτό τό δικαίωμα τό εχει σύμφωνα μέ τήν άρχή τής γενικής

σχετικότητας. Θεωρεί τή δύναμη πού δρii έπάνω του καί γενικά

πάνω στά σώματα πού εΙ ναι ακίνητα σέ σχέση μέ τό δίσκο σάν τό

αποτέλεσμα ένός πεδίου βαρύτητας. Βέβαια, ή διάδοση στό χώρο

αύτου του πεδίου βαρύτητας εΙναι τέτοια πού σύμφωνα μέ τή

θεωρία τής βαρύτητας τοϋ Newton, εΙναι &:δύνατη. 'Επειδή δμως ό παρατηρητής πιστεύει στή γενική σχετικότητα, αύτό τό γεγο­

νός δέν τό ένοχλεί· πιστεύει μέ τό δίκιο του δτι μπορεί νά διατυ­

πωθεί ενας γενικός νόμος βαρύτητας πού έξηγεί σωστά όχι μόνο

τήν κίνηση των άστρων, αλλά έπίσης τό πεδίο τής δύναμης πού

παρατηρεί.

Αύτός ό παρατηρητής κάνει πειράματα πάνω στό δίσκο του

μέ ρολόγια καί μετρικούς κανόνες μέ σκοπό ν' αποκτήσει, στη ρι­

ζόμενος πάνω σέ παρατηρήσεις, άκριβείς όρισμούς γιά τή σημα­

σία των ένδείξεων του χρόνου καί του χώρου σέ σχέση μέ τό

δίσκο Κ'. τί θά μάθει άπ' αύτά τά πειράματα;

Ό παρατηρητής άρχίζει τοποθετώντας τό ενα άπ' τά δύο

ρολόγια ίδιας κατασκευής, στό κέντρο του δίσκου καί τό άλλο

στή περιφέρεια, μέ τρόπο πού νά εΙναι άκίνητα σέ σχέση μέ τό

δίσκο. Κατ' αρχήν ζητίiμε νά μάθουμε άν αύτά τά δύο ρολόγια

εχουν τήν ίδια ταχύτητα &:πό τήν άποψη του Γαλιλαιϊκου σώμα­

τος άναφορiiς Κ πού δέν εχει περιστροφική κίνηση. Σύμφωνα μ'

αύτό τό ρολόϊ πού βρίσκεται στό κέντρο τοϋ δίσκου δέν εχει ταχύτητα, ένώ τό ρολόϊ πού εlναι στή περιφέρεια βρίσκεται σέ

κίνηση έξ αίτίας τfjς περιστροφής σέ σχέση μέ τό Κ. Σύμφωνα μ· ενα άποτέλεσμα του κεφαλαίου 12 αύτό τό ρολόϊ κινείται σταθερά πιά σιγά σέ σχέση μέ τό Κ άπ' τό ρολόϊ στό κέντρο του δίσκου.

Τό ίδιο πρίiγμα προφανώς θά ε πρεπε νά διαπιστώσει καί ό άνθρω­

πος πάνω στό δίσκο πού διαπιστώνουμε καί έμείς καθισμένοι

περίπου στό κέντρο του δίσκου πλάϊ στό ρολόϊ πού βρίσκεται

έκεί. Πάνω στό δίσκο μας καί γενικά μέσα σέ κάθε πεδίο βαρύτη­

τας ενα ρολόϊ θά κινηθεί πιό άργά ή πιό γρήγορα σύμφωνα μέ τή

θέση πού κατέχει (σέ ήρεμία). Δέν ε{ναι λοιπόν δυνατόν νά δώ­σουμε ενα λογικό δρισμό τοϋ χρόνου χρησιμοποιώντας ρολόγια

πού βρίσκονται σέ ήρεμία σέ σχέση μέ ενα σώμα άναφορiiς. Μιά

άνάλογη δυσκολία παρουσιάζεται δταν προσπαθοϋμε νά έφαρμό-

73

σουμε έδώ τόν προηγούμενο όρισμό μας τής συγχρονικότητας,

πρόβλημα πού δέν θέλω νά έπεκταθώ πάνω σ' αύτό περισσότερο.

'Οόρισμός δμως τών συντεταγμένων στό χώρο, παρουσιάζει

έδώ δμοιες aνυπέρβλητες δυσκολίες. Πραγματικά άν ό παρατη­

ρητής πού βρίσκεται σέ κίνηση μαζί μέ τόν δίσκο, τοποθετήσει

τόν μετρικό κανόνα του (πού είναι μικρός σέ σχέση μέ τήν άκτίνα

του δίσκου) στήν έφαπτόμενη τής περιφέρειας, αύτου του τελευ­

ταίου, τό μήκος του θά είναι, σέ σχέση μέ τό σύστημα του Γαλι­

λαίου μικρότερο aπό I, γιατί σύμφωνα μέ τό κεφάλαιο 12, τά σώματα σέ κίνηση ύφίστανται μιά έλάττωση του μήκους τους

πρός τή κατεύθυνση τής κίνησής τους. "Αν, άντίθετα, τοποθετή­

σει τόν κανόνα του στ ή διεύθυνση τής άκτί νας του δίσκου, δέν θά έλαττωθεί τό μήκος του σέ σχέση μέ τό Κ. "Αν λοιπόν ό παρατη­

ρητής μετρήσει στήν ά.ρχή τήν περιφέρεια του δίσκου, μετά τήν

διάμετρό του, μέ τόν κανόνα καί στή συνέχεια διαιρέσει τά aποτε­

λέσματα αύτών τών μετρήσεων τό ενα μέ τό άλλο, δέν βρίσκει

σάν πηλίκο τό γνωστό aριθμό π = 3, 14 ... aλλά ενα aριθμό μεγαλύτερο20 ένώ γιά ενα δίσκο άκίνητο σέ σχέση μέ τό κ ή πράξη αύτή θά εδινε φυσιολογικά σάν άποτέλεσμα, άκριβώς τόν άριθμό π. 'Από δώ εχει aποδειχτεί ότι οί προτάσεις τής

Ευκλείδειου γεωμετρίας δέν μπορεί νά είναι έντελώς aληθινές

πάνω στό δίσκο πού περιφέρεται, καί γενικά μέσα σ, ε να πεδίο

βαρύτητας τουλάχιστον δταν θέλουμε νά εχει ό κανόνας τό μήκος

τής μονάδας σέ κάθε σημείο καί σέ κάθε διεύθυνση. 'Η εννοια

τής ευθείας γραμμής χάνει έπίσης τήν σημασία της. Δέν ε'ίμαστε

επομένως σέ θέση νά όρίσουμε ακριβώς σέ σχέση μέ τόν δίσκο τίς

συντεταγμένες χ, y, z μέ τή μέθοδο πού χρησιμοποιήσαμε στή θεωρία τής περιορισμένης σχετικότητας. Καί δσο οί συντεταγμέ­νες καί οί χρόνοι τών γεγονότων δέν είναι όρισμένοι, οί νόμοι τής

φύσης δπου συναντίiμε αυτά τά γεγονότα δέν εχουν άκριβές νόη­

μα.

'Όλες οί σκέψεις πού κάναμε εως τώρα πάνω στή γενική

σχετικότητα φαίνεται ετσι δτι ξαναπέσαν σέ άμφιβολία. Τό γεγο­

γόν είναι δτι είναι άναγκαίος εvας λεπτός έλιγμός γιά νά έφαρμο­

σθεί μέ άκριβή τρόπο τό α'ίτημα ( άξίωμα) τής γενικής σχετικότη­τας. Θά προετοιμάσουμε τόν άναγνώστη γι' αύτό μέ τίς άκόλου­

θες θεωρήσεις.

74

24

ΣΥΝΕΧΕΣ (CONTINUUM) (ΔΙΑΣΤΗΜΑ) ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟ ΚΑΙ ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟ

'Υποθέτω δτι βρίσκομαι προστά στήν επιφάνεια ένός μαρ­μάρινου τραπεζιοu. Μπορώ νά φθάσω άπό ενα όποιοδήποτε ση­

μείο αύτής τής επιφάνειας σ' ενα όποιοδήποτε άλλο μετακινού­μενος συνεχώς πολλές φορές πρός ενα <<γειτονικό>> σημείο, μ,

άλλα λόγια, πηγαίνοντας άπό ενα σημείο στό άλλο χωρίς,νά κάνω

«ίiλματα>>. Αuτό πού σημαίνει έδώ ••γειτονικό>> καί «ίiλματα» ό

άναγνώστης (άν δέν ε{ναι ύπερβολικά άπαιτητικός) σίγουρα τό

καταλαβαίνει μέ άρκετή σαφήνεια. Αuτό πού έκφράζεται λέγο­

ντας δτι ή επιφάνεια είναι ενα συνεχές .

.. Ας φανταστουμε τώρα δτι διαθέτουμε εναν μεγάλο άριθμό άπό ραβδάκια πού εχουν 'ίδιο μfjκος καίεΙ ναι μικρά σέ σχέση μέ

τίς διαστάσει<, τfjς έπιφάνειας του τραπεζιου. Μ' αuτό θέλουμε νά

πουμε ότι είναι δυνατό νά κάνουμε νά συμπέσουν τά aκρα αuτών

τών μικρών ράβδων άνά δύο. "Ας τοποθετήσουμε τέσσερα άπ'

αuτά τά ραβδάκια πάνω στήν έπιφάνεια του τραπεζιου μέ τέτοιο

τρόπο πού οί άκρες τους νά σχηματίζουν ενα τετράπλευρο του

όποίου οί διαγώνιοι νά εΙναι 'ίσες (Ενα τετράγωνο). Γιά νά άπο­

κτήσουμε τήν ίσότητα τών διαγωνίων χρησιμοποιουμε ενα δοκι­

μαστικό ραβδάκι. Δίπλα άπ' αuτό τό τετράγωνο βάζουμε όλόϊδια

τετράγωνα πού εχουν μέ τό πρώτο μιά κοινή πλευρά. Μέ κάθε νέο τετράγωνο κάνουμε τό 'ίδιο μέχρι νά γεμίσει ή επιφάνεια του

τραπεζιου άπό τετράγωνα, ετσι πού κάθε πλευρά ένός τετραγώνου

ν' άνήκει σέδύο τετράγωνα καί κάθε κορυφή ένός τετραγώνου σέ

τέσσερα τετράγωνα.

Εlναι ενα άληθινό θαuμα νά μπορέσει κανείς νά κάνει αuτή

τή δουλειά χωρίς νά συναντήσει τίς πιό μεγάλες δυσκολίες. Φτά­

νει νά φανταστοuμε τό παρακάτω γεγονός. "Αν τρία τετράγωνα

εχουν μιά κοινή κορυφή, εχουν κιόλας τοποθετηθεί οί δυό πλευ-

75

ρές τοϋ τέταρτου. 'Από δ& ή μέθοδος γιά νά τοποθετηθοϋν οί δύο

<iλλες πλευρές ε{ναι τέλεια όρισμένη καί δέν μπορώ πιά τώρα νά

κανονίσω κατάλληλα τό τετράπλευρο γιά νά κάνω 'ίσες τίς διαγώ­

νιες . "Αν εΙναι 'ίσες ιiπό μόνες τους, τότε βλέπω μιά ίδιαίτερη

εϋνοια τής έπιφάνειας τοϋ τραπεζιοu καί τών μικρών ράβδων, πού

κάνει νά γεννιέται μέσα μου ενα α'ίσθημα εκπληξης άνακατεμένη

μέ εύγνωμοσύνη. Θάχουμε πολλές άλλες άκόμη άνάλογες έκπλή­

ξεις, <iv ή κατασκευή πετύχει .

"Α Υ όλα πάνε καλά, λέω ότι τά σημεία τής έπιφάνειας του

τραπεζιοϋ άποτελοuν ενα συνεχές Εύκλείδειο σχετικά μέ τό ραβ­

δάκι πού χρησιμοποιώ σάν άπόσταση. "Αν διαλέξω τή κορυφή

ένός σημείου σάν «σημείο άρχή>>, μπορώ νά χαρακτηρίσω μία

όποιαδήποτε κορυφή ένός τετραγώνου, σέ σχέση μ· αύτή τήν

ιiρχή, μέ δύο άριθμούς. Δέν έχω παρά νά δείξω πόσα ραβδάκια

πρέπει νά διατρέξω <<δεξιά» καί συνέχεια <<πρός τά πάνω» ξεκινώ­

ντας άπ' τό σημείο άρχή γιά νά φθάσω τή ζητόύμενη κορυφή .

Αύτοί ο{ δύο άριθμοί ε{ναι τότε οί << καρτεσιανές συντεταγμένες»

αύτής τής κορυφής σέ σχέση μέ τό << σύστημα τών "καρτεσιανών συντεταγμένων» προσδιορισμένο άπ' τά ραβδάκια.

'Η παρακάτω μεταβολή τοϋ φανταστικοί) πειράματός μας

μίiς δείχνει δτι μπορεί νά ύπάρξουν περιπτώσεις πού τό πείραμα

δέν πετυχαίνει. " Ας ύποθέσουμε ότι τά ραβδάκια <<διαστέλονται»

μέ τό άνέβασμα τής θερμοκρασίας , καί δτι ή έπιφάνεια του τραπε­

ζιοu εχει ζεσταθεί στ ή μέση, καί όχι στίς ιϊκρες σ' αύτή τή

περίπτωση μποροuμε πάντα νά κάνουμε νά συμπέσουν δύο άπ · τά ραβδάκια μας σ' όποιοδήποτε μέρος του τραπεζιοϋ. 'Η κατα­

σκευή μας όμως των τετραγώνων θάχει χαλάσει, δεδομένου δτι τά

ραβδάκια τής μέσης του τραπεζιοu διαστέλονται, άλλά όχι αύτά

πού βρίσκονται στό έξω μέρος.

Σέ σχέση μέ τά ραβδάκια μας ( δρισμένα σάν μονάδες μέτρη­σης), ή έπιφάνεια τοu τραπεζιοu δέν ε{ναι πιά ενα Εύκλείδειο

συνεχές, καί δέν μποροuμε πιά μέ τή βοήθειά τους νά προσδιορί­

σουμε τίς καρτεσιανές συντεταγμένες, άφοu ή παραπάνω κατα­

σκευή δέ μπορεί νά γίνει. 'Επειδή όμως ύπάρχουν άλλα άντικεί­

μενα πού δέν έπηρεάζονται μέ τόν 'ίδιο τρόπο (ή καθόλου) μέ τά ραβδάκια άπ · τή θερμοκρασία του τραπεζιου, μπορείΎά .διατηρη­θεί μέ φυσιολογικό τρόπο ή ίδέα ότι ή έπιφάνεια του τραπεζιου

76

είναι ενα ••εύκλείδειο συνεχές,· αύτό πετυχαίνεται μέ ίκανοποιη­

τικό τρόπο χρησιμοποιώντας μιά πιό λεπτή σύμβαση δσον άφο­

. ρίi τό μέτρημα ή τή σύγιφιση του μήκους.

"Α ν δμως τά ραβδάκια παντός ε'ίδους , δηλαδή όποιασδήποτε

ούσίας, συμπεριφέρονται, δσον άφορα τή θερμοκρασία, μέ τόv

ϊδιο τρόπο πάνω στήν έπιφάνεια του τραπεζιου, πού είναι διαφορε­τικά θερμασμένη καί dν δέν ε'ίχαμε dλλο μέσο νά διαπιστώσουμε

τή δράση τής θερμοκρασίας παρά τή γεωμετρική συμπεριφορά

τών μικρών ράβδων σ' άνάλογα πειράματα μ' αύτό πού περιγρά­

φτηκε πιό πάνω, θά μποροuσε νά φανεί χρήσιμο νά δώσουμε σέ

δύο σημεία του τραπεζιου τήν μονάδa aπόστασης, dν οί dκρες ένός άπ' τά ραβδάκια συνέπιπταν μ' αύτά · γιατί πώς θά ήταν

δυνατό νά όρισθεί διαφορετικά ή άπόσταση , χωρίς τήν πιό εξορ­

γιστική αύθαιρεσία; Τότε δμως ή μέθοδος τών καρτεσιανών συν­

τεταγμένων πρέπει νά έγκαταλειφθεί καί νά aντικατασταθεί μέ

μιά dλλη , πού δέν προϋποθέτει τήν iσχύ τής εύκλείδειας Γεωμε­

τρίας γιά τά μή έλαστικά σώματα21 • Ό άναγνώστης θά παρατη­

ρήσει δτι ή κατάσταση πού περιγράφεται έδώ άντιστοιχεί μέ

κείνη πού είχε δημιουργήσει τό άξίωμα τής γενικής σχετικότη ­τας ( κεφ. 23).

77

25 ΟΙ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΤΟΥ ΓΚΑΟΥΣ

Αuτή ή άναλυτική καί γεωμετρική έξέταση τοϋ προβλήμα­

τος μπορεί, σύμφωνα μέ τόν Γκάους, νά πραγματοποιηθεί μέ τόν

άιcόλουθο τρόπο. "Ας φανταστοϋμε πάνω στήν έπιφάνεια τοϋ τραπεζιοu χαραγμένο ενα σύστημα άπό δποιεσδήποτε καμπύλες

(σχ. 4) πού όνομάζουμε καμπύλες u,

Κάθε μία απ αυτες θά σημειωθεί μ εναν άριθμό. Στό

σχέδιο είναι οί καμπύλες u= I, u=2, καί u=3. 'Ανάμεσα δμως· στίς καμπύλες u= I καί u=2 πρέπει νά φανταστοϋμε εναν (iπειρο

άριθμό άπό καμπύλες, πού άντιστοιχοϋν σ' δλους τούς πραγμα­

τικούς άριθμούς άνάμεσα στό Ι καί 2. Τότε εχουμε ενα σύστημα aπό καμπύλες u (iπειρα κοντά ή μιά στήν <'iλλη πού καλύπτουν

δλη τήν έπιφάνεια τοϋ τραπεζιοϋ.

Καμμιά καμπύλη u, δέν πρέπει νά τέμνει τήν <'iλλη, καί άπό κάθε σημείο τής έπιφάνειας τοϋ τραπεζιοϋ δέν πρέπει νά περνάει

παρά μία καί μοναδική καμπύλη. Σέ κάθε σημείο τής έπιφάνειας

τοϋ τραπεζιοϋ aντιστοιχεί τότε μία άξία τέλεια όρισμένη. Φαν­

ταζόμαστε πάλι ενα σύστημα άπό καμπύλες ν χαραγμένες στήν έπιφάνεια, πού πληροuν τίς 'ίδιες συνθήκες, πού ε{ναι μέ άνάλο-

78

γο τρόπο άριθμημένες, καί πού μποροϋν έξ ίσου νά έχουν ενα όποιοδήποτε σχήμα. Σέ κάθε σημείο τής έπιφάνειας τοϋ τραπε­ζιοϋ άντιστοιχοϋν έτσι μιά τιμή u, καί μιά τιμή ν, καί όνομάζουμε αύτούς τούς δύο άριθμούς συντεταγμένες τfjς έπιφανείας τοϋ τραπεζιοϋ, (συντεταγμένες τοϋ Γκάους).

Τό σημείο Ρ του σχήματός μας, γιά παράδειγμα, εχει γιά συντεταγμένες τοϋ Γκάους u=3, ν= I. Σέ δυό γειτονικά σημεία Ρ καί Ρ' πάνω στήν έπιφάνεια άντιστοι χουν τότε οί συντεταγμέ-νες Ρ: u, ν Ρ : u+du, v+dν,

δπου du καί dν είναι πολύ μικροί άριθμοί. 'Έστω ό πολύ μικρός άριθμός ds ή άπόσταση, μετρημένη μ' ενα ραβδάκι, τών σημεί­ων Ρ καί ΡΌ Σύμφωνα μέ τόν Γκάους εχουμε τότε:

ds2=g 1 1 du2+2g 12dudν+g22dv2, δπου g1 1, g 12, g22 είναι μεγέθη πού έξαρτώνται dπό u καί ν μέ τρόπο τέλεια προσδιορισμένο. Τά μεγέθη g11 , g12 , καί g22 προσ­διορίζουν τή συμπεριφορά τών μικρών ράβδων σχετικά μέ τίς καμπύλες u καί ν, κατά συνέπεια έπίσης σχετικά μέ τήν έπιφά­νεια του τραπεζιου.

Στήν περίπτωση πού τά σημεία τής θεωρούμενης έπιφάνει­

ας άποτελουν, σέ σχέση μέ τά μετρικά ραβδάκια , ενα εύκλείδιο

συνεχές , ό.λλά μόνο σ' αύτή τήν περίπτωση , είναι δυνατό νά

χαραχτουν οί καμπύλες u καί v μέ τέτοιο τρόπο καί vά τούς δοθουν αριθμοί πού νά εχουμε άπλώς. ds2=du2+dν2 •

Τότε οί καμπύλες u καί ν είναι εύθείες γραμμές μέ τή σημασία τής εύκλείδιας Γεωμετρίας καί κάθετες μεταξύ τους. Οί

συντεταγμένες του Γκάους είναι τότε άπλώς καρτεσιανές συντε­

ταγμένες. Βλέπουμε δτι οί συντεταγμένες του Γκάους δέν είναι

τίποτε <'iλλο άπό τήν aντιστοιχία δύο ό.ριθμώv σέ κάθε σημείο

τής θεωρούμενης έπιφάνειας, μέ τέτοιο τρόπο πού γιά γειτονικά

σημεία στό χώρο άντιστοιχοϋν άριθμοί πού διαφέρουν πολύ

λίγο μεταξύ τους. ·

Αύτές οί θεωρήσεις' εφαρμόζονται πρώτα σ' ε να συνεχές μέ

δύο διαστάσεις . 'Η μέθοδος δμως μπορεί έπίσης νά έφαρμοσθεί

σ' ενα συνεχές τριών, τεσσάρων καί περισσότερων διαστάσεων.

"Αν, γιά παράδειγμα, ί:χουμε ενα συνεχές τεσσάρων διαστάσε­

ων, μποροϋμε νά τό παραστήσουμε μέ τόν άκόλουθο τρόπο . Σέ

κάθε σημείο του συνεχοϋς δίνουμε αύθαίρετα τέσσερις άριθμούς

79

Χι, χ2, XJ, χ4, πού ονομάζουμε <<συντεταγμένες>>, Σέ γειτονικά

σημεία άντιάτοιχουν γειτονικές τιμές τών συντεταγμένων. "Αν τώρα στά γειτονικά σημεία Ρ καί Ρ' άντιστοιχεί μιά άπόσταση ds πού μπορεί νά προσδιορισθεί μέ μετρήσεις καί εlναι φυσικά όρισμένη, εχουμε τόν τύπο ds2 =gι ιdxι2+2gι2dxιx2+ .... +g44dx42 δπου τά μεγέθηg 1 1 , •• εχουν τιμές πού μεταβάλλονται μέ τόν τόπο του συνεχους. Μόνο· στήν περίπτωση πού τό συνεχές είναι

εύκλείδιο είναι δυνατό νά συνδεθοίiν οί συντεταγμένες χ 1 ... χ4 στά σημεία του συνεχους, ετσι πού νά !:χουμε άπλώς ds2 =

, = dx 12+dx2

2+dx32+dx42.

Τότε οί σχέσεις iσχύουν στό συνεχές μέ τέσσερις διαστά­

σεις πού ε{ ναι άνάλογες μ· αύτές πού ίσχύουν στίς μετρήσεις μας στό συνεχές μέ τρείς διαστάσεις.

·Η παράσταση τοϋ Γκάους γιά τό ds2 πού δείχθηκε πιό πάνω δέν εlναι έξ άλλου πάντα δυνατή· ε{ναι δυνατή μόνο στήν περίπτωση δπου τομείς άρκετά μικροί του θεωρούμενου συνε­

χοϋς μποροϋν νά φαίνονται σάν συνεχή εύκλείδεια. Αύτό ε{ναι

προφανώς άληθινό στήν περίπτωση τfjς έπιφάνειας του τραπε­

ζιου δπου ή θερμοκρασία μεταβάλλεται τοπικά. Γιατί γιά ενα

μικρό μέρος αύτfjς τfjς έπιφάνειας ή θερμοκρασία ε{ναι πρακτι­

κά σταθερή, καί ή γεωμετρική συμπεριφορά τών μικρών ράβδων

ε{ναι , κατά συνέπεια, σχεδόν αύτή πού θά επρεπε νάταν σύμφωνα

μέ τούς κανόνες τfjς Εύκλείδειας Γεωμετρίας. Οί δυσαναλογίες

τfjς κατασκευfjς τών τετραγώνων τfjς προηγούμενης παραγρά­

φου δέ φαίνονται παρά μόνο δταν αύτή ή κατασκευή έκτείνεται

σ· ενα σοβαρό μέρος τfjς έπιφάνειας τοϋ τραπεζιοϋ.

Συνοψίζοντας μποροϋμε λοιπόν νά ποϋμε: 'Ο Γκάους

~φηυρε μιά μέθοδο γιά τή μαθηματική έξέταση τών όποιωνδή­

ποτε συνεχών, δπου ο{ μετρικές σχέσεις («άπόσταση>• yειτονι­κών σημείων) εΙναι όρισμένες. Σέ κάθε σημείο τοϋ συνεχοϋς

άντιστοιχοϋν τόσοι άριθμοί (συντεταγμένες του Γκάους) δσες

διαστάσεις εχει τό συνεχές.

Αύτή ή άντιστοιχία πρέπει νάναι μονοσήμαντη καί τέτοια

πού σέ δύο γειτονικά σημεία ν' άντιστοιχοϋ:ν άριθμοί άπειρο­

ελάχιστα διαφορετικοί (συντεταγμένες του Γκάους). Τό σύστη­

μα συντεταγμένων τοϋ Γκάους εlναι μιά λογική γενίκευση τοϋ συστήματος τών Καρτεσιανών συντεταγμένων. • Εφαρμόζεται

80

έπίσης σέ μή εύκλείδεια συνεχή, άλλά, έξυπακούεται, μόνο σέ

περιπτώσεις πού μικρά τμήματα τοϋ θεωρούμενου συνεχοϋς

συμπεριφέρονται μέ εύlfλείδειο τρόπο, σέ σχέση μέ τή μέτρηση, όρισμένη («άπόστασψ>) μέ μία προσέγγιση τόσο μεγαλύτερη,

δσο τό έξεταζόμενο τμήμα τοϋ συνεχοϋς ε{ναι πιό μικρό.

81

26. Τό ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΙΚΟ ΣΥΝΕΧΕΣ ΤΗΣ

ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΕΝΗΣ ΣΧΕΤΙ­ΚΟΤΗΤΑΣ ΘΕΩΡΟΥΜΕΝΟ ΣΑΝ

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟ ΣΥΝΕΧΕΣ

Τώρα ι;'ίμαστ ι; σr. θr.ση vά διατυπώσουμε μέ ποιό &κριβή

τρόπο τήv ίδέα τοϋ Minkowski πού μόνο άναφέρουμε στό κεφ. 17. Σύμφωνα μέ τή θεωρία τfjς περιορισμένης σχετικότητάς , μερικά συστήματα συντεταγμένων, πού όνομάσαμε «συστήματα

συντεταγμένων τοϋ Γαλιλαίου •• , εΙναι προτιμητέα γιά τήν

περιγραφή τοϋ χωρο-χρονικ:ου συνεχοuς μέ τέσσερις διαστά­

σεις. Γι αυτά τά συστήματα, οί τέσσερις συντεταγμένες χ , y, z, ι πού προσδιορίζουν ενα γεγονός ή μ' ι'iλλα λόγια, ενα σημείο τοϋ

συνεχοϋς μέ τέσσερις διαστάσεις , εlναι φυσικά όρισμένα μέ άπλό τρόπο, όπως τό δείξαμε λεπτομερειακά στό πρώτο μέρος

αύτοϋ τοϋ βιβλίου . Γιά τό πέρασμα άπό ενα σύστημα του

Γαλιλαίου σ' i:να ι'iλλο, πού έκτελεί σέ σχέση μέ τό πρώτο μιά δ­

μαλή κίνηση, i.σχύουν οί έξισώσεις τοϋ μετασχηματισμοί) τοϋ

Lorentz. Αύτές οί έξισώσεις πού άποτελοϋν τή βάση γιά τό

βγάλσιμο τών συνεπειών τfjς Θεωρίας τfjς περιορισμένης σχετι­

κότητας, δέν ε{ναι άπό μόνες τους τίποτε ι'iλλο άπ' τήν έκφραση

της παγκόσμιας ίσχύος τοϋ νόμου μετάδοσης τοϋ φωτός γιά όλα

τά συστήματα άναφορίiς τοϋ Γαλιλαίου .

' Ο Minkowski βρfjκε ότι οί μετασχηματισμοί τοϋ Lorentz έπαληθεύουν τίς dκόλουθες άπλές συνθfjκες. "Ας θεωρήσουμε δυό γειτονικά συμβάντα, τών δποίων ή σχετική θέση ε{ναι δοσμένη στό συνεχές μέ τέσσερις διαστάσεις, σέ σχέση μέ τό σύστημα άναφορίiς τοϋ Γαλιλαίου, με τίς διαφορές τών

χωρικών συντεταγμένων dx, dy, dz, καί τή διαφορά τοϋ χρόνου

dt . " Ας ύποθέσουμε, ότι σέ σχέση μ' εvα δεύτερο σύστημα

άναφορίiς τοϋ Γαλιλαίου, οί άνάλογες διαφορές γιαυτά τά δύο

82

γεγονότα είναι dx', dy ', dz' ,' dt'. Αύτές οί διαφορές έπαλ ηθεύ­ουν πάντα τή συνθ\\κη (22).

dx2+dy2+dz2-c2 dt2=dx '2+dy '2+dz 'z-czdt '2

Αύτή ή συνθήκη εχει γιά συνέπεια τήν ίσχύ του μετασχη­

ματισμού τού Lorentz. Μπορούμε νά τήν έκφράσουμε μέ τόν aκόλουθο τρόπο: Τό μέγεθος πού aνήκει σέ δύο γειτονικά

σημεία του χωρο-χρονικοίJ συνεχοuς μέ τέσσερις διαστάσεις

ds2=dx2+dy2+dz2-c2-dt2

εχει yιά δ λα τά ευνοούμενα συστήματα άναφοράς ( συσ~ατα του Γαλιλαίου) τήν 'ίδια τιμή. "Αν aντικατασταθεί χ, y, z,ν- lct μέ Χ 1 , χ2 , χ1. Χ4 παίρνουμε έπίσης σάν άποτέλεσμα δτι ds2=dx 1

2+dx22+ dx.12+dx42 εlναι &νεξάρτητο τής έκλογi'jς τοu σιοματος &ναφορί'iς.

'Ονομάζουμε τό μέγεθος ds <<aπόσταση" τών δύο γεγονότων ή τών δύο σημείων μέ τέσσερις διαστάσεις.

"Αν λοιπόν έκλέξουμε σάν μεταβλητή τοu χρόνου τή φαντα­

στική μεταβλητή \}=ict aντί τής πραγματικής μεταβλητικής t, είναι δυνατό, σύμφωνα μέ τή θεωρία τής περιορισμένης σχετι­

κότητας, τό χωρο-χρονικό συνεχές νά θεωρηθεί σάν ενα συνεχές

<<εύκλείδειο» μέ τέσσερις διαστάσεις, πρiiγμα πού συμπεραίνε­

ται ι:iπ' τίς θεωρήσεις του προηγούμενου κεφαλαίου.

83

27 ΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΙΚΟ ΣΥΝΕΧΕΣ ΤΗΣ

ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΕΝΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟ ΣΥΝΕΧΕΣ.

Στό πρώτο μέρος αύτοϋ τοϋ βιβλίου μπορέσαμε νά χρησιμο­

ποιήσουμε χωρο-χρονιιcές συντεταγμένες πού μποροϋν νά έ

ρμηνευτοϋν στή Φυσιιcή άπλii καί άμεσα καί πού μποροϋν σύμ­

φωνα μέ τό ιcεφ. 26 νά κοιταχτοϋν σάν καρτεσιανές συντεταγ­μένες μέ τέσσερις διαστάσεις.

Αύτό ήταν δυνατό σύμφωνα μέ τό νόμο τής σταθερότητας

τής ταχύτητας τοϋ φωτός πού σύμφωνα μέ τό κεφ. 2 I, ή Θεωρία τής γενικής σχετικότητας δέν μποροϋσε νά κρατήσει· άπεναντί­

ας φτάσαμε στό συμπέράσμα, δτι σύμφωνα μ' αύτή τήν τελευ­

ταία, ή ταχύτητα τοϋ φωτός πρέπει πάντα νά έξαρτdται άπ • τίς συντεταγμένες, άν ύπάρχει ~να πεδίο βαρύτητας. Συναντήσαμε έξ άλλου, στό κεφ. 13 μιά εΙδική περίπτωση δπου ή παρουσία έ νός πεδίου βαρύτητας lιcανε άδύνατο τόν δρισμό τών συντεταγ­μένων καί τοϋ χρόνου, πού μiiς εlχε δδηγήσει στό σκοπό μας,

στή Θεωρία τής περιορισμένης σχετικότητας.

ΝΕχοντας αύτά τ' άποτελέσματα, φτάνουμε στήν πεποίθη­

ση δτι σύμφωνα μέ τήν άρχή τής γενικής σχετικότητας, τό χωρο-χρονιιcό συνεχές δέν μπορεί νά θεωρηθεί σάν ~να εύιcλεί­

δειο συνεχές, κι· δτι έδώ παρουσιάζεται ή γενική περίπτωση πού συναντήσαμε στό συνεχές μέ δυό διαστάσεις τής έπιφάνειας τοϋ τραπεζιοϋ μέ θερμοκρασία τοπικά μεταβλητή. 'Όπως έκεί

ήταν άδύνατο νά ιcατασιcευασθεi ~να σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων μέ ραβδάκια ίδιου μήκους, τό ίδιο έδώ εlναι

άδύνατο νά καταqκευασθεί lνα σύστημα (σώμα άναφορdς) μέ σώματα μή έλαστικά καi μέ ρολόγια, μέ τρόπο ιίΧJτε ο{ κανόνες

καί τά ρολόγια γερά συνδεδεμένα μεταξύ τους, νά δείχνουν τόν τόπο καί τό χρόνο. Αύτό εlναι τό βάθος τής δυσκολίας πού

84

συναντήσαμε σiό κεφ. 23.

Οί i:ξηγήσεις τών κεφαλαίων 25 καί 26 δείχνουν τό δρόμο γιά νά ξεπεραστεί αύτή ή δυσκολία. Θά άναφέρουμε μέ αύθαίρε­το τρόπο τό χωρο-χρονικό συνεχές σέ συντεταγμένες τοϋ Γκά­ους. Σέ κάθε σημείο τοϋ συνεχοϋς (γεγονός) !:χουμε _τέσσερις άριθμούς χ 1 , χ2 , χ3 , χ4 (συντεταγμένες), πού δέν έχουν καμμιά dμεση φυσική σημασία, άλλά χρησιμεύουν μόνο γιά νά άριθμη­θοϋν τά σημεία τοϋ συνεχοϋς μέ καθορισμένο, άλλά αυθαίρετο τρόπο. Αuτή ή διάταξη δέν πρέπει κάν νάναι τέτοια πού νά μας ύποχρεώνει νά θεωροϋμε τά χ 1 , χ2 , χ3 σάν συντεταγμένες τοϋ <<χώρου» καί τό χ4 σάν συντεταγμένη τοϋ <<χρόνου>>.

·Ο άναγνώστης θά μποpοϋσε νά σκ~φτ~ί δτι μιά τέτοια περιγραφή τοϋ κόσμου θά ήταν τελείως άνεπαρκής. η νόημα

εχει ν' dποδοθοϋν σ . εvα γεγονός οί όρισμένες συντεταγμένες χ,, χ2, xJ, χ4 έάν αuτές οί συντεταηlενες δέν εχουν άπό μόνες τους κιμμιά σημασία; Μιά σκέψη δμως πιό προσεκτική δείχνει δτι αuτή ή εννοια δέν ε{ναι θεμελιωμένη. "Ας θεωρήσουμε, γιά παράδειγμα, ί:να ύλικό σημείο μέ μιά όποιαδήποτε κίνηση. "Αν ε{χε μιά στιγμιαία ϋπαρξη χωρίς διάρκεια, θά περιγραφόταν στό

χώρο καί χρόνο άπό ενα μόνο σύστημα τιμών χ 1 , χ2 , χ3 , χ4 • ' Η

χρονική του ϋπαρξη, κατά συνέπεια, χαρακτηρίζετα.ι dπό εναν άπειροστά μεγάλο άριθμό τέτοιων συστημάτων τιμών, τών ό­

ποίων οί συντεταγμένες πλησιάζουν συνεχώς μεταξύ τους. Στό

ύλικό σημείο άντιστοιχεί λοιπόν μιά γραμμή (μέ μιά διάσταση)

μέσα στό συνεχές μέ τέσσερις διαστάσεις σέ πολλά κινούμε­

να σημεία άντιστοιχοϋν άνάλογες γραμμές αύτοϋ τοϋ ε'ίδους

στό συνεχές μας. Οί μόνες προτάσεις πού άφοροϋν αuτά

τά σημεία καί πού μποροϋν νά διεκδικήσουν μιά φυσική πραγ­

ματικότητα εΙ ναι στ· άλήθεια οί προτάσεις πάνω στίς συναντή­

σεις αύτών τών σημείων. Μιά τέτοια συνάντηση έμφανίζεται

στή μαθηματική μας άπεικόνιση μέ τό γεγονός δτι οί δύο

γραμμές πού παριστάνουν τίς άντίστοιχες κινήσεις τών σημείων

Εχουν Ενα όρισμένο σύστημα τιμών τών συντεταγμένων Χι , Χ2, Χ3,

χ4 κοινό. Μετά άπό <δριμη σκέψη ό άναγνώστης θά άναγνω:. ρίσει χωρίς άμφιβολία δτι τέτοιες συναντήσεις ε{ναι ο{ μόνες

πραγματικές διαπιστώσεις ένός χωρο-χρονικοϋ χαρακτήρα πού

σ υναντήσαμε στίς προτάσεις τής Φυσικής.

85

'Όταν περιγράφαμε προηγούμενα τήν κίνηση ένός ύλικοt•

σημείου σέ σχέση μ' eνα σώμα ιiναφορaς, τό μόνο πού όρί­

ζαμε ήταν οί συναντήσεις αύτοϋ τοϋ σημείου μέ όρισμένα

σημεία του σώματος ιiναφοράς. Τό 'ίδιο οί aντίστοιχες ένδείξεις

τοϋ χρόνου μποροϋν νά άναχθοϋν στή διαπίστωση συναντήσεων

του σώματος μέ ρολόγια , κ:αί ή διαπίστωση αύτή γίνεται δταν οί δείκτες του ρολογιου συναντώνται μέ καθορισμένα σημεία τής

πλάκας. Τό 'ίδιο συμβαίνει καί στήν περίπτωση μετρήσεων στό

χώρο, μέ τή χρήση μετρικών κανόνων δπως γίνεται φανερό μέ

λίγη σκέψη .

Γενικά μποροϋμε νά δηλώσουμε τό έξής: Κάθε φυσική

περιγραφή άvαλύεται σ ' εvα όρισμένο άριθμό προτάσεων πού κάθε μία άπ' αύτές άναφέρεται στή χωρο-χρονική σύμπτωση

δύο γεγονότων Α καί Β.

Κάθε μία aπ ' αuτές τίς προτάσεις μεταφράζεται σέ συντε­

ταγμένες του Γκάους μέ τή σύμπτωση τών τεσσάρων συντεταγ­

μένων χ 1 , χ 2 • χ1 , χ4 • ·Η περιγραφή του χωρο-χρονικου συνεχους

μέ τίς συντεταγμένες του Γκάους aντικαθιστά ετσι πλήρως τήν

περιγραφή μέ τή χρήση ένός σώματος ιiναφορaς, χωρίς νά

παρουσιάζει τά ελλαττώματα αuτfiς τής τελευταίας μεθόδου

περιγραφής αύτή . δέν συνδέεται μέ τόν εύκλείδειο χαρακτfiρα

τοϋ συνεχους πού παριστάνει .

86

28

ΑΚΡΙΒΗΣ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΗΣ ΑΡΧΗΣ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

Τώρα πιά μποροϋμε ν' aντικαταστήσουμε τήν προσωρινή

διατύπωση τοϋ κεφαλαίου Ι 8 τής άρχής τής γενικής σχετικότη­τας μέ μιά άκ:ριβή διατύπωση .

. Η &ρχή πού είχε υίοθετηθεί τότε: ".Όλα τά σώματα αναφο­ράς Κ, Κ· , ... είναι κατάλληλα γιά τήν περιγραφή της φύσης (διατύπωση τών γενικών νόμων τής φύσης), όποιαδήποτε κι ι'iν

ει:ναι ή κινητική τους κατάσταση>> δέν μπορεί πιά νά διατηρη­

θεί, γιατί ή χρήση σώματος άναφοράς μή έλαστικοϋ, δέν είναι

γενικά δυνατή γιά τή χωρο-χρονική περιγραφή μέ τή σημασία

τής μεθόδου πού άκολουθήθηκε στή θεωρία τής περιορισμένης

σχετικότητας.

Τό σώμα αναφοράς πρέπει ν' aντικατασταθεί μέ τό σύστη­

μα τών συντεταγμένων τοϋ Γκάους. Στή βασική iδέα τής dρχής

τής γενικής σχετικότητας άντιστοιχεί αuτή ή πρόταση: «'Όλα

tά συστήματα συντεταγμένων τοu Γκάους εlναι γενικά ίσοδύνα­

μα γιά τή διατύπωση τών γενικών νόμων τfjς φύσης».

Είναι δυνατό αι'Jτή ή &ρχή τής γενικής σχετικότητας νά

διατυπωθεί μέ εναν aλλο τρόπο έπίσης, πού τήν κάνει νά φανεί dκόμη καλύτερα σάν μιά έπέκταση τής άρχής τής περιορισμέ­

νης σχετικότητας. Σύμφωνα μέ τή Θεωρία τής περιορισμένης

σχετικότητας, οί έξισώσεις πού έκφράζουν τούς γενικούς νό­

μους τής φύσης μεταβάλλονται σέ έξισώσεις 'ίδιας μορφής, αν

άντικατασταθοuν, χρησιμοποιώντας τόν μετασχηματισμό τοϋ

Lorentz, οί χωρο-χρονικές μεταβλητές χ, y, z, t ένός σώματος dναφοράς (τοϋ Γαλιλαίου) μέ τίς μεταβλητές χ', y' , z', t' ένός νέου σώματος άναφοράς Κ'. Σύμφωνα μέ τή Θεωρία τής γενικής σχετικότητας, άντίθετα, οί έξισώσεις πρέπει νά μεταβάλλονται

σ έξισώσεις 'ίδιας μορφής δταν πραγματοποιοuνται όποιεσδή-

87

ποτε άντικαταστάσεις τών μεταβλητών τοϋ Γκάους χ 1 , χ2 , χ 3 , χ4 •

γιατί κάθε μετασχηματισμός (όχι μόνο ό μετασχηματισμός τοϋ

Lorentz) άνταποκρίνεται στό πέρασμα ένός συστήματος συντε­·ταγμένων τοϋ Γκάους σ' €να άλλο.

'Άν δέν εlναι έπιθυμητό νά έγκαταλειφθεί ό συνηθισμένος

τρόπος νά βλέπουμε σέ τρείς διαστάσεις, εlναι δυνατό νά χαρα­

κτηρισθεί ή dνάπτυξη πού ύπέστη ή Θεωρία τfjς γενικής σχετι­

κότητας μέ τόν άκόλουθο τρόπο: 'Η θεωρία τfjς περιορισμένης

σχετικότητας αναφέρεται σέ τομείς του Γαλιλαίου, δηλαδή σέ

τομείς πού δέν ύπάρχει πεδίο βαρύτητας. Χρησιμοποιείται σάν σώμα άναφορίiς €να σώμα άναφορίiς τοϋ Γαλιλαίου, δηλαδή €να

σώμα μή έλαστικό μέ τέτοια κίνηση, πού σέ σχέση μ' αι':ιτό, ή άρχή τοϋ Γαλιλαίου τi'jς εύθύγραμμης καί όμαλής κίνησης «ξεχωριστών» ύλικών σημείων νά ίσχύει.

·Ορισμένες θεωρήσεις μίiς ύποχρεώνουν ν' άναφέρουμε

έπίσης τούς 'ίδιους τομείς τοϋ Γαλιλαίου σέ σώματα άναφορίiς

μή γαλιλαιϊκά. Τότε ύπάρχει σέ σχέση μαυτά, €να πεδίο βαρύ­

τητας ίδιαίτερου ε'ίδοuς (κεφ. 20 καί 23).

Στά πεδία βαρύτητας δμως δέν ύπάρχουν σώματα μή έλαστι­

κά πού νά έχουν εύκλείδειες ίδιότητες ή ύποθετική ϋπαρξη

σώματος άναφορiiς μή έλαστικοϋ ε{ναι, κατά συνέπεια, l:iχρτη­

στη στή Θεωρία τής Γενικής σχετικότητας.

'Η κίνηση τών ρολογιών έπιρεάζετάι έπίσης άπ' τά πεδία βαρύτητας, τόσο πού ενας άπ. εύθείας φυσικός όρισμός τοϋ

χρόνου μέ τή χρήση ρολογιών δέν εχει καθόλου τόν ίδιο βαθμό

άκριβείας δσο στή Θεωρία τής περιορισμένης σχετικότητας.

Γι' αύτό χρησιμοποιοϋν-!αι έλαστικά σώματα άναφορiiς, πού όχι μόνο στό σύνολό τους κινοϋνται μ· εναν όποιοδήποτε

τρόπο, άλλά καί πού παθαίνουν στή διάρκεια τfiς κίνησής τους όποιαδήποτε άλλαγή μορφής σχήματος. Γιά τόν όρισμά τοϋ

χρόνου χρη·σιμοποιοϋνται ρολόγια πού ή κίνησή τους ύπόκειται

σ' εναν δποιοδήποτε νόμο , δσοδήποτε άνώμαλος κι' l:iν ε{ ναι,

καί πού πρέπει νά τά φανταστοϋμε καθένα στερεωμένο σ· ενα

σημείο τοϋ έλαστικοϋ σώματος άναφορίiς καί πού όφείλουν νά

iιcανοποιοϋν τή μοναδική συνθήκη δτι oi ταυτόχρονα παρατη­ρήσιμες ένδείξεις δύο γειτονικών στό χώρο ρολογιών διαφέρουν

aπειροελάχιστα ή μιά άπ' τήν άλλη.

88

Αύτό τό έλαστικό σώμα άναφορίiς, πού είναι δυνατό, όχι

χωρίς λόγο, νά όνομασθεί «μαλάκιο άναφορίiς", εΙναι στήν ούσία άνάλογο μ· ενα όποιοδήποτε σύστημα συντεταγμένων μέ

τέσσερις διαστάσεις τοϋ Γκάους . Αύτό πού δίνει στό «μαλάκιο"

σέ σχέση μέ τό σύστημα συντεταγμένων του Γκάους ενα κάποιο χαρακτήρα διαίσθησης, είναι ή τυπική διατήρηση (στ' άλήθεια

άδικαιολόγητη) τής χωριστής ϋπαρξης τών συντεταγμένων τοϋ

χώρου σέ σχέση μέ τή συντεταγμένη του χρόνου. Κάθε σημείο

τοϋ μαλάκιου έξετάζεται σάν σημείο τοϋ χώρου καί κάθε σημείο πού είναι ακίνητο σέ σχέση μ , αύτό έξετάζετ"αι άπλώς σάν

<iκίνητο, δσο θεωρείται τό μαλάκιο σώμα σάν σώμα dναφορίiς.

'Η άρχή τής γενικής σχετικότητας άπαιτεί δλα αύτά, τάμαλάκια

σώματα νά μποροuν νά χρησιμοποιηθοuν, μέ ίσα δικαιώματα καί

'ίσες έ πιτυχίες, σάν σώματα άναφοράς γιά τή διατύπωση τών

γενικών νόμων τής φύσης οί 'ίδιοι οί νόμοι όφείλ~υν νά είναι τελείως άνεξάρτητοι άπ' τήν έκλογή του μαλάκιου σώματος.

Στή μεγάλη γενίκευση, πού έπιβάλλεται μ' αύτό τόv τρόπο

στούς νόμους τής φύσης, βρίσκεται ή μοναδική δύναμη πού

είναι αναπόσπαστη μέ τήν άρχή τής γενικής σχετικότητας.

89

29 Η ΛΥΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΠΑΝΩ ΣΤΗ ΒΑΣΗ ΤΗΣ ΑΡΧΗΣ

ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

"Αν ό &ναγνώστης παρακ:ολούθησε ολες τίς προηγούμενες

θεωρήσεις μας, δέν θά δοκιμάσει καμμιά δυσκολία γιά νά καταλάβει τίς μέθοδες πού όδηγουν στή λύση του προβλήματος

τfjς βαρύτητας.

'Αρχίζουμε θεωρώντας εναν τομέα του Γαλιλαίου, δηλαδή

εναν τομέα στόν όποίο δέν ύπάρχει πεδίο βαρύτητας σχετικά μέ

τό Γαλιλαιϊκό σώμα άναφορiiς Κ. 'Η συμπεριφορά τών κανόνων

καί των ρολογιών σέ σχέση μέ Κ μiiς είναι γνωστή απ· τή

Θεωρία τfjς περιορισμένης σχετικότητας, καθώς καί ή συμπερι­

φορά των <<ξεχωριστών» ύλικών σημείων· αύτά εχουν μιά όμαλή

καί εύθύγραμμο κίνηση.

'Α ναφέρουμε τώρα αύτόν τόν τομέα σ' ε να όποιοδήποτε

σύστημα συντεταγμένων τοϋ Γκάους ή σ· ενα <<μαλάκιο•• σάν

σώμα ciναφορί'iς Κ'. Σέ σχέση μέ Κ' ύπάρχει τότε ενα πεδίο

βαρύτητας (Ιδιαιτέρου ε'ίδους). Μ' εναν άπλό μετασχηματισμό

μαθαίνουμε τότε πώς συμπεριφέρονται, σέ σχέση μέ Κ', οί

κανόνες καί τά ρολόγια καθώς καί τά ύλικά σημεία πού κινου­

νται ελεύθερα. Αύτή ή συμπεριφορά έρμηνεύεται σάν ή συμπερι­

φορά κανόνων, ρολογιών καί ύλικών σημείων κάτω άπ' τήν

έπίδραση του πεδίου βαρύτητας G. Στή συνέχεια είσάγεται ή ύπόθεση ότι τό πεδίο βαρύτητας έπιδρί'i πάνω στούς κανόνες, τά

ρολόγια καί τά ύλικά σημεία πού κινοuνται έλεύθερα σύμφωνα μέ τούς 'ίδιους νόμους, άκόμη καί στή περίπτωση όπου τό

καθοριστικό πεδίο βαρύτητας δέν μπορεί νά παραχθεί, μ, εναν

άπλό μετασχηματισμό συντεταγμένων, τfjς εiδικής περίπτωσης

τοϋ Γαλιλαίου.

90

Μετά έξετάζεται ή χωρο-χρονική συμπεριφορά του πεδίου βαρύτητας G, πού προήλθε μ' εναν άπλό μετασχηματισμό τών συντεταγμένων τής εiδικής περίπτωσης του Γαλιλαίου, καί

διατυπώνεται αότή ή συμπεριφορά μ' εναν νόμο πού iσχύει

πάντα, μ' όποιοδήποτε τρόπο κι, ι':ίν εχει διαλεχτεί τό σώμα

aναφορaς (τό μαλάκιο) πού χρησιμοποιήθηκε στή περιγραφή.

Αότός ό νόμος δέν εlναι ακόμη δ γενικός νόμος του πεδίου

βάρύτητας, δεδομένου δτι τό πεδίο βαρύτητας G πού μελετήθη­κε εlναι ένός είδικου. Γιά νά βρεθεί ό γενικός νόμος του πεδίου

βαρύτητας, είναι ιiκόμη αναγκαίο νά γενικευθεί ό νόμος πού βγήκε μ' αuτό τό τρόπο, πρiiγμα πού εΙναι δυνατό χωρίς

αύθαιρεσία λαμβάνοντας ύπ' όψη τίς παρακάτω aπαιτήσεις:

α) 'Η ζητουμένη γενίκευση πρέπει νά ίκανοποιεί έπίσης τό

aξίωμα (α'ίτημα) τής γενικής σχετικότητας

β) "Αν στόν θεωρούμενο τομέα ύπάρχει ϋλη, ή aδρανής

μάζα της μόνο κι' ετσι, σύμφωνα μέ τό κεφάλαιο 15, ή ένέργειά της εχουν aξία γιά τή παραγωγή ένός πεδίου·

γ) Τό πεδίο βαρύτητας καί ή ϋλη πρέπει μαζί νά ίκανοποι­

ουν τό νόμο τής διατήρησης τής ένέργειας (καί τής ώθησης).

Τελικά ή άρχή τής γενικής σχετικότητας μiiς έπιτρέπει νά

προσδιορίσουμε τήν έπίδραση του πεδίου βαρύτητας στήν έξέ­

λιξη δλων τών γεγονότων πού, στή περίπτωση δπου δέν ύπάρχει

πεδίο βαρύτητας, έξελίσσονται σύμφωνα μέ γνωστούς νόμους,

δηλαδή πού περιλαμβάνονται στή Θεωρία τής περιορισμένης σχετικότητας. Χρησιμοποιεϊται , έν γένει, ή μέθοδος πού i:χει έκτεθεί fiδη γιά τούς κανόνες, τά ρολόγια καί τά ύλικά σημεία

πού κινουνται έλεύθερα.

'Η θεωρία τής βαρύτητας πού προήλθε μέ αύτό τό τρόπο άπ · τό ιiξίωμα τής γενικής σχετικότητας δένε{ ναι μόνο &ξιοση­μείωτη γιά τήν όμορφιά της δέν σβύνει μόνο τό έλάττωμα, πού

ιivαφ~ρθηκε στό κεφάλαιο 21. πού εΙvαι αναπόσπαστο &πό τή κλασσική Μηχανική· δέν έξηγεί μόνο τόν πειραματικό νόμο τής ίσότητας τής άδρανής μάζας ιωί τuu βύ.puυς ένός σώματος, άλλά

έξήγησε έπιπλέον δύο ιiποτ.ελέσματα τής άστρονομικής παρατή­

ρησης, άπέναντι στά όποία ή κλασσική Μηχανική φάνηκε

άνίκανη. Τό δεύτερο άπ' αότά τά γεγονότα, δηλαδή ή καμπύλη

91

τών φωτεινών άκτίνων πού όφείλεται στό πεδίο βαρύτητας τοϋ

'Ήλιου, εχει ήδη &ναφερθεί· τό πρώτο &φορa τή τροχιά τοϋ

πλανήτη ·Ερμή.

"Αν οί έξισώσεις τής Θεωρίας τής γενικής σχετικότητας

περιορισθοϋν στή περίπτωση δπου τά πεδία βαρύτητας πρέπει

νά θεωροϋνται aδύνατα καί δπου δλες οί μάζες μετακιvοϋνται, σέ σχέση μέ τό σύστημα συντεταγμένων, μέ ταχύτητες πού είναι

μικρές συγκρινόμενες μ, αύτή του φωτός, εχουμε πρώτ, άπ, δ λα

τή θεωρία τοϋ Newton σάν πρώτη προσέγγιση. Αύτή ή θεωρία βγαίνει έδώ χωρίς νά γίνει ίδιαίτερη ύπόθεση , ένώ ό Newton ήταν ύποχρεωμένος νά είσάγει τήν ύπόθεση δτι ή δύναμη ελξης

άνάμεσα σέ ύλικά σημεία πού τό ενα έπιδρa στό αλλο είναι

άντιστρόφως άνάλογη μέ τό τετράγωνο της άπόστασής της. "Α ν

αύξηθεί ή άκρίβεια του ύπολογισμου, διαπιστώνονται διαφορές

aπό τή θεωρία του Newton, πού βέβαια ξεφεύγουν άκόμη δλες dπ ' τή παρατήρηση έξ αίτίας της μικρότητάς τους.

'Εδώ πρέπει νά συγκεντρώσουμε τ ή προσοχή μας σέ μιά

άπ ' αύτές τίς διαφορές. Σύμφωνα μέ τή θεωρία τοϋ Newton, ενας πλανήτης διαγράφει μιά ελλειψη πού θά επρεπε νά διατηρεί, σέ

σχέση μέ τά σταθερά άστέρια, αίώνια τήν 'ίδια θέση, αν μπορού­

σαμε νά μ ή λάβουμε ύπ ' δψη τήν έπίδραση τών αλλων πλανη­τών πάνω στό πλανήτη πού θεωροϋμε, καί τήν κίνηση τών 'ίδιων

τών σταθερών άστέρων. "Αν γίνει aφαίρεση αύτών τών δύο

έπιδράσεων, ή τροχιά του πλανήτη θά επρεπε νά είναι μιά

άμετάβλητη έλλειψη σέ σχέση μέ τά σταθερά άστέρια, αν ή

θεωρία του Newton είναι αύστηρά άκριβής. Αύτή ή συνέπεια,

πού μπορεί νά έξετασθεί μέ μιά πολύ μεγάλη άκρίβεια, διαβεβαι­

ώθηκε γιά δλους τούς πλανήτες, έκτός άπ' τόν πλανήτη 'Ερμή

πού εlναι ό πιό κοντινός του 'Ήλιου, μέ τήν &κρίβεια πού ή παρατήρηση έπιτρέπει νά φτάσουμε σήμερα. 'Αλλά σ' δτι

άφορα τόν πλανήτη 'Ερμή, ξέρουμε άπό τόν Leverrier ότι ή έλλειψη πού παριστάνει τή τροχιά του διορθωμένη λαμβάνοντας

ύπ' pψη τίς διορθώσεις πού &ναφέρθηκαν πιό πάνω δέν εΙ ναι άκίνητη, σέ σχέση μέ τά σταθερά άστέρια, άλλά εχει μιά

περιστροφική κίνηση πάρα πολύ άργή στό έπίπεδο τής τροχιάς

καί στήν κατεύθυνση της κίνησης τής περιφοράς. Βρίσκεται γι'

αύτή τή περιστροφική κίνηση τής ελλειψης ή τιμή τών 43 δεύτερων τόξου τόν αίώνα, μιά τιμή σίγουρη κατά προσέγγιση

92

μερικών δεύτερων τόξου. 'Η κλασσική Μηχανική δέν καταφέρ­νει νά έξηγήσει αύτό τό φαινόμενο παρά μόνο στηριζόμενη σέ

ύποθέσεις λίγο πιστευτές ιcαί πού τίς ί:χουν φανταστεί μόνο γι ·

αύτό τό γεγονός .

Συμπεραίνεται άπ ' τή Θεωρία τής γενικής σχετικότητας δτι

κάθε ελλειψη πλανήτη πρέπει άναγκαία νά γυρνάει γύρω aπ.

τόν 'Ήλιο μέ τόν τρόπο πού δείχτηκε πιό πάνω· δτι αι)τή ή

περιστροφή ε{ναι γιά δλους τούς πλανήτες, έκτός aπ . τόν

'Ερμή , πάρα πολύ μικρή γιά νά μπορεί νά διαπιστωθεί μέ τήν

ακρίβεια πού ή παρατήρηση επιτρέπει νά φθάσουμε σήμερα . άλλά δτι άνέρχεται γιά τόν ·Ερμή σέ 43 δεύτερα τόξου τόν α{ώνα, ακριβώς όπως τό έδειξε ή παρατήρηση .

Έξ aλλου μπορέσαμε νά συμπεράνουμε απ · τή θεωρία μιά

συνέπεια ίκανή νά επαληθευθεί άπό τό πείραμα, αύτή είναι ή

μετάθεση τοϋ φάσματος τοϋ φωτός πού μfiς ερχεται ιiπό τά

μεγάλα άστέρια σέ σχέση μ· αύτό πού δίνει στή γή τό φώς ποίι

παράγεται μ· άνάλογο τρόπο (δηλαδή άπ' τό ϊδιο εlδος μορίου).

Δέν άμφιβάλλω δτι αύτή ή συνέπεια τής θεωρίας θά i:πιβεβαιω­

θεί έπίσης σέ λίγο.

93

ΜΕΡΟΣ ΤΡΙΤΟ

ΣΚΕΨΕΙΣ ΠΑΝΩ ΣΤΟ ΣΥΜΠΑΝ ΘΕΩΡΟΥΜΕΝΟ ΣΑΝ ΕΝΑ ΣΥΝΟΛΟ

30 ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΚΕΣ Δ ΥΣΚΟΛΙΕΣ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΟΥ NEWTON

Έκτός άπ' τή δυσκολία πού έκτέθη κε στό κεφάλαιο 21, μιά δεύτερη δυσκολία άρχής είναι άκόμη άναπόσπαστη μέ τήν οuράνια κλασσική Μηχανική πού ό άστρονόμος Seeliger έχει, δσο τουλάχιστον ξέρω, διερευνήσει λεπτομερειακά γιά πρώτη

φορά. "Αν τεθεί τό έρώτημα: πώς τό σύμπαν μπορεί νά θεωρηθεί σάν ενα σύνολο, ή πρώτη άπάντηση πού παρουσιάζεται είναι

αuτή: . ο κόσμος είναι Ciπειρος σέ σχέση μέ τό χώρο (καί τό χρόνο). Παντοϋ ύπάρχουν άστέρια, ετσι πού ή πυκνότης τής

ϋλης είναι βέβαια διαφορετική στή λεπτομέρεια, άλλά κατά

μέσο δ ρο εΙ ναι παντοϋ ή 'ίδια. Μ' Ciλλα λόγια: 'Όσο μακρυά κι'

άν ταξιδέψουμε άνάμεσα στό διάστημα του σύμπαντος, βρίσκον­

ται παντοϋ διασκορπισμένα πολυάριθμα άστέρια σταθερά, 'ίδιου

ε'ίδους περίπου καί 'ίδιας πυκνότητας.

Αuτή ή aντίληψη είναι aσυμβίβαστη μέ τή θεωρία του Newton. 'Η τελευταία άπαιτεί μάλλον δτι τό σύμπαν εχει είδος κέντρου, δπου ή πυκνότητα τών άστέρων εlναι μεγίστη, καί οτι

αύτή ή πυκνότητα μειώνεται δσο προχωροϋμε άπ' τό κέντρο

πρός τά έξω, γιά ν' aντικατασταθεί, σέ μεγάλη aπόσταση, μ'

ε να κενό άπειρο. 'ο κόσμος τών άστέρων θά ε πρεπε ν' άποτελεί

ενα νησί πεπερασμένο στόν άπέραντο ώκεανό τοϋ διαστήμα­

τος2.1.

Αύτή ή aντίληψη είναι άπό μόνη της λίγο ίκανοποιητική.

Είναι άκόμη λιγώτερο γιατί όδηγεί στό συμπέρασμα δτι τό φώς

πού έκπέμπεται aπό τ' άστέρια, καθώς καί τ' aπομακρυσμένα

άστέρια τοϋ άστρικοϋ συστήματος, άπομαιφύνονται συνεχώς

πρός τό άπειρο χωρίς ποτέ νά επιστρέφουν καί χωρίς ποτέ νά

μπαίνουv σέ άλληλοεπίδραση μ{; άλλα άντικείμενα τής φύσης.

Ό κόσμος τής ϋλης περιορισμένος σ· ενα πεπερασμένο διάστη-

95

μα θά έπρεπε νά φτωχαίνει συστηματικά λίγο-λίγο.

Γιά νά ξεφύγει άπ' αύτές τίς συνέπειες, δ Seeliger c'iλλαξε τό νόμο τοϋ Newton ύποθέτοντας ότι, γιά μεγάλες άποστάσεις, ή ελξη δύο μαζών μειώνεται πιό γρήγορα άπ, ότι σύμφωνα μέ τό

νόμο τοϋ άντίστροφου τετραγώνου τής άπόστασης. 'Έτσι έχου­

με τό άποτέλεσμα ότι ή μέση πυκνότητα τής uλης μπορεί νά

ε{ναι σταθερή παντοi:J εως τό άπειρο, χωρίς νά συνεπάγονται

πεδία βαρύτητας άπειρα μεγάλα· ξεφορτωνόμαστε έπίσης τή

λίγο συμπαθητική aνiίληψη ότι ό κόσμος πρέπει νά εχει ενα

ε'ίδος κέντρου. Βέβαια, καταφέρνουμε ν· άπαλλαγοϋμε άπ · τίς δυσκολίες πού περιγράφτηκαν, άλλά μέ τίμημα μιά άλλαγή κι'

ενα μπέρδεμα τοϋ νόμου τοϋ Newton, πού δέν στηρίζονται ούτε στό πείραμα ούτε στή θεωρία. ΕΙναι δυνατό νά φανταστοuμε εα

στό πείραμα ούτε στή θεωρία. Εlναι δυνατό νά φανταστοϋμε ενα

μεγάλο άριθμό άπό νόμους πού όλοι νά δίνουν τό ίδιο άποτέλε­σμα· χωρίς νά μποροϋμε νά δείξουμε μιά αίτία πού νά κάνει νά

προτιμηθεί ενας άπό τούς ίiλλους γιατί ενας όποιοσδήποτε άπ,

αύτούς τούς νόμους στηρίζεται τόσο λίγο στίς γενικές θεωρητι­

κές άρχές δσο καί ό νόμος τοϋ Newton.

96

31

Η Δ ΥΝΑΤΟΤΗΤΑ ΕΝΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΥ ΚΟΣΜΟΥ ΚΑΙ ΕΝΤΟΥΤΟΙΣ

ΜΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΕΝΟΥ

Οί είκασίες πάνω στή δομή του κόσμου !:γιναν έπίσης σέ

μία τελείως διαφορετική κατεύθυνση. 'Η άνάπτυξη τής μ ή εύκλείδειας Γεωμετρίας όδήγησε στήν liποψη οτι εlναι δυνατό

ν· άμφιβάλλουμε γιά τό aπειρο του διαστήματός μας, δίχως νά

ελθει σέ άντίθεση μέ τό πείραμα (Riemann, Helmoholtz). Αύτά τά άντικείμενα !:χουν ήδη έξετασθεί λεπτομεριακά Κ!Jί μέ μιά

άσύγκριτη διαύγεια άπό τόν Helmholtz καί τό Poincare, έδώ δμως δέν μπορώ παρά μόνο νά τά σκιαγραφήσω σύντομα.

Φανταζόμαστε πρώτα ενα ε'ίδος ϋπαρξης μέ δύο διαστάσεις.

"Ας ύποθέσουμε στή συνέχεια δτι ύπάρχουν όντα πλατειά μέ

οργανα πλατειά καί, ίδιαίτερα, κανόνες μή έλαστικοί πλατείς έλεύθερα κινητοί σ' ενα έπίπεδο. 'Έξω άπ' αύτό τό έπίπεδο δέν

ύπάρχει τίποτα γι' αύτά τά όντα, καί όλα όσα συμβαίνουν στό

έπίπεδό τους, αύτό πού παρατηροϋν στόν έαυτό τους καί στά πλατειά άντικείμενά τους άποτελοϋν &να αίτιακό κλειστό σύ­

στημα. Οί κατασκευές είδικά, τής έπίπεδης εύκλείδειας Γεωμε­

τρίας μπορουν νά πραγματοποιηθουν μέ τή χρήση μικρών

ράβδων, γιά παράδειγμα ή κατασκευή του δικτύου πάνω στήν

έπιφάνεια του τραπεζιοϋ πού θεωρήσαμε στό κεφ. 24. ·Ο κόσμος αύτών τών δντων εlναι, άντίθετα άπ · τόν δικό μας, μέ δύο

διαστάσεις, άλλά liπειρα έκτεταμένος δπως ό δικός μας. ·Εκεί

βρίσκεται ενας ίiπειρος άριθμός άπό 'ίσα τετράγωνα σχηματι­

σμένα άπό μικρές ράβδους, δηλαδή ό ογκος του (έπιφάνεια)

ε{ναι άπειρος. "Άν αuτά τά οντα δηλώσουν δτι ό κόσμος τους

εlναι «έπίπεδος,,, αύτό εχει ενα νόημα, δηλαδή ότι οί κατασκευ­

ές τής εύκλείδειας έπίπεδης Γεωμετρίας, μποροϋν νά έκτελε­

σθοϋν μέ τή χρήση μικρών ράβδων, κάθε ραβδάκι άντιπροσω-

97

πεύοντας πάντα τό 'ίδιο μήκος άνεξάρτητα άπό τή θέση του.

-Ας φανταστοϋμε τώρα ενα άλλο clδος ϋπαρξης μέ δύο

διαστάσεις, όχι πιά σ' ενα επίπεδο, άλλά πάνω σέ μιά σφαιρική

έπιφάνεια. Τά έπίπεδα δντα μέ τούς μετρικούς τους κανόνες καί

τά άντικείμενά τους εΙ ναι άκριβώς εφαρμοσμένα σ' αύτή τήν

έπιφάνεια καί δέν μποροί>ν νά τήν άφίσουν· δλος ό κόσμος πού μποροί>ν νά παρατηρήσουν έκτείνεται άντίθετα άποκλειστικά

στήν έπιφάνεια τής σφαίρας. Αuτά τά δντα, μπορουν νά θεωρουν

τή γεωμετρία του κόσμου τους σάν μιά γεωμετρία μέ δύο

διαστάσεις καί, τά ραβδάκια τους σάν τήν πραγματοποίηση τής

<<ευΘείας»; Δέν τό μποροϋν. Γιατί προσπαθώντας νά πραγματο­

ποιήσουν μιά ι:uθι:ία, θά ίiχουν μιά καμπύλη πού έμείς, «οvτα μέ

τρείς διαστάσεις,, παριστάνουμε μέ τόν πιό μεγάλο κύκλο,

δηλαδή μιά κλειστή καμπύλη περιορισμένη όρισμένου μήκους,

πού είναι δυνατό νά μετρηθεί μ' ε να ν κανόνα . Αύτός ό κόσμος

εχει εξ 'ίσου μιά επιφάνεια περιορισμένη πού μπορεί νά συγκρι­

θεί μ' αύτήν ένός τετραγώνου σχηματισμένο άπό ραβδάκια. 'Η

μεγάλη γοητεία αuτής τής σκέψης βρίσκεται στήν ακόλουθη

γνώση: ' Ο κόσμος αύτών τών δντων είναι περιορισμένος καί

έντούτοις χωρίς δρια.

Τά όντα δμως τής σφαιρικής έπιφάνειας δέν εχουν ανάγκη

νά κάνουν ενα κοσμικό ταξείδι γιά νά διαπιστώσουν δτι δέν ζοϋν

σ' εναν εuκλείδειο κόσμο. Μποροϋν νά πεισθοϋν γι' αύτό πάνω

σέ κάθε μέρος του κόσμου τους, πού δέν εlvαι πολύ μικρό.

Χαράζουν ξεκινώντας ιiπό ενα σημείο , πρός δλες τίς κατευθύν­

σεις, «εuθείες γραμμές•• (κυκλικά τόξα στή γεωμετρία μέ τρείς

διαστάσεις) 'ίδιου μήκους. 'Η γραμμή πού ένώνει τίς ελεύθερες

άκρες αuτών των γραμμών θά όνομασθεί ιiπ' αύτά <<Κύκλος>>. Ό

λόγος τής περιφέρειας ένός κύκλου πρός τή διάμετρό του,

μετρημένες καί οί δύο μέ τόν 'ίδιο κανόνα, είναι, σύμφωνα μέ τήν

έπίπεδη εύκλείδειο Γεωμέτρία, 'ίσος μέ μιά σταθερή π πού είναι

άνεξάρτητη ιiπ' τήν διάμετρο τοϋ κύκλου. Τά όντα μας θά βροϋν

στήν σφαιρική τους έπιφάνεια αuτό τό λόγο 'ίσο μέ

98

sin(~) π (~) •

δηλαδτΊ μιά cιμή μικρότερη απο π καί πού διαφέρει τόσο

περισσότερο άπ. τό π όσο ή άκτίνα του κύκλου είναι πιό

μεγάλη σέ σχέση μέ τήν &κτίνα R τοϋ ••σφαιρικοϋ κόσμου». ΑΙ'Jτή ή σχέση επιτρέπει στά οντα τής σφαίρας νά προσδιορί­

σουν τήν άκτίv_α R τοϋ κόσμου τους, &κόμη κι' aν διαθέτουν ενα σχετικά μικρό τμήμα του σφαιρικοί> τους κόσμου γιά τίς μετρή­

σεις τους. "Αν δμως αύτό τό τμήμα είναι πάρα πολύ μικρό, δέν

μπορουν πιά νά διαπιστώσουν δτι βρίσκονται σ. ενα σφαιρικό

κόσμο καί οχ ι σ' εναν κόσμο εύκλείδειο · ενα μικρό τμήμα μιiiς

σφαιρικής έπιφάνειας διακρίνεται λίγο άπό ενα άνάλογο τμήμα

ένός έπιπέδου .

"Αν κατά συνέπεια, τά οντα τής σφαίρας ζοϋν σ' !fνα

πλανήτη του όποίου τό ήλιακό σύστημα καταλαμβάνει !:να

τμήμα ιiπείρως μικρό του σφαιρικοί> κόσμου, δέν εχουν τή

δυνατότητα ν. άποφασίσουν αν ζουν σ. ε να κόσμο περιορισμέ­

νο ij Cίπειρο , γιατί τό τμήμα του κόσμου πού είναι προσιτό στή

πείρα τους είναι καί στίς δύο περιπτώσεις έπίπεδο ij εύκλείδειο. Αύτός ό τρόπος άντιμετώπισης δείχνει άμέσως δτι γιά τά όντα

μας τής σφαίρας ή περιφέρεια του κύκλου αύξάνει στήν άρχή μέ

τήν άκτίνα Εως τήν «Περιφέρεια του Κόσμου>> γιά νά μειωθεί λίγο

λίγο εως τό μηδέν, ένώ ή ιiκτίνα συνεχίζει πάντα ν' αύξάνει. Ή

έπιφάνεια του κύκλου αύξάνει δσο πάει καί περισσότερο εως

δτου νά γίνει τελικά 'ίση μέ όλική έπιφάνεια του σφαιρικοί>

κόσμου . . ο άναγνώστης 'ίσως νά εκπλήσσεται πού τοποθετήσαμε τά

όντα μας σέ μιά σφαίρα καί όχι σέ μιά Cίλλη έπιφάνεια κλειστή.

·Αλλά αύτό δικαιολογείται άπ' τό γεγονός δτι ή σφαίρα διακρί­

νεται ιiπ · δ λες τίς dλλες κλειστές επιφάνειες μέ τήν ίδιότητα δτι δλα τά σημεία της είναι ίσοδύναμα. ·Ο λόγος τής περιwέρειας

ένός κύκλου πρός τήν άκτίνα του r, έξαρτiiται βέβαια άπό τό r, άλλά γιά μιά δοσμένη τιμή του r είναι ό 'ίδιος γιά δλα τά σημεία του σφαιρικου κόσμου· ό σφαιρικός κόσμος είναι μιά «έπιφά­

νεια σταθερής καμπύλης».

Σ' αύτόν τόν σφαιρικό κόσμο μέ δυό διαστάσεις άντιστοι­

χεί ό άνάλογος μέ τρείς διαστάσεις πού άνακαλύφθηκε άπό τόν

Riemann. Τά σημεία του ε{ναι έπίσης δλα ίσοδύναμα. 'Έχει εvαν περιορισμένο όγκο, πού καθορίζεται άπ' τήν ••άκτίνα» του

99

(2π2R2) . Ηναι δυνατό νά φανταστοϋμε ενα σφαιρικό διάστημα;

Τό νά φανταστοuμε ενα διάστημα, αuτό δέν πάει νά πεί τίποτε

άλλο άπό τό νά φανταστοϋμε ενα σύνολο πειραμάτων στό

<<διάστημα» , δηλαδή πειράματα πού μποροuν νά πραγματοποιη­

θοϋν άπ' τή κίνηση σωμάτων <<μή έλαστικών••. Μ' αύτή τήν

εννοια ε{vαι δυνατό νά φανταστοϋμε ενα σφαιρικό διάστημα.

"Ας χαράξουμε άπό ενα σημείο ε.uθείες γραμμές (χορδές)

πρός όλες τίς κατευθύνσεις κι ' άς φέρουμε σέ κάθε μία ι:iπ' αuτές

τό μήκος r του μετρικοu κανόνα . 'Όλες οί (έλεύθερες) ι'iκρες

αύτών τών άποστάσεων βρίσκονται σέ μιά σφαιρική έπιφάνεια . Μποροϋμε είδικά νά μετρήσουμε τήν έκταση (s) αύτής τής τελευταίας μ' ενα τετράγωνο σχηματισμένο μέ κανόνες. "Αν ό κόσμος εlναι ευκλείδειος, S= πr2 • αν εlναι σφαιρικός , τό S εlναι πάντα μικρότερο άπό πr2 . Τό S αύξάvει μαζί μέ τό r άπό μηδέν εως ενα μέγιστο προσδιορισμένο άπό τήν «άκτίνα του κόσμου» γιά νά μειωθεί στή συνέχεια λίγο, λίγο , εως τό μηδέν, ένώ ή

άκτίναr τής σφαίρας συνεχίζει νά αύξάνει. Οί άκτινωτές εύθείες

γραμμές πού ξεκινοϋν άπό τό άρχικό σημείο άπομακρύνονται

στήν άρχή ή μία άπ ' τήν άλλη , πλησιάζουν στή συνέχειαή μιά

τήν {iλλη καί συναντιοϋνται τελικά στό << άντίθετο σημείο» στό

σημείο πού ξεκίνησαν · εχουν μετρήσει τότε δλο τό σφαιρικό

διάστημα . Εύκολα πειθόμαστε ότι τό σφαιρικό διάστημα μέ

τρείς διαστάσεις ε{ ναι τελείως άνάλογο μ' αύτό των δύο διαστά­

σεων (σφαιρική έπιφάνεια). ΕΙναι .περιορισμένο (δηλαδή περιο­

ρισμένου όγκου) χωρίς νά έχει άκρη (όρια) .

"Ας παρατηρήσουμε ότι ύπάρχει άκόμη μιά παραλαγή

σφαιρικοu διαστήματος, «τό έλλειπτικό διάστημα>> . Μπορεί νά

θεωρηθεί σάν ενα σφαιρικό διάστημα όπου τά <<άντίθετα σημεί­

α» ε{ναι ταυτόσημα (δέν μποροϋν νά διακριθοϋν) . 'Ένας έλλει­

Πτικός κόσμος μπορεί, κατά συνέπεια, νά θεωρηθεί κατά κάποιο τρόπο σάν ενας κόσμος σφαιρικός πού διαθέτει μιά κεντρική συμμετρία.

Συμπεραίνεται άπ' αύτά πού ε'ίπαμε δτι κλειστά διαστήματα

δίχως όρια είναι δυνατά. ' Ανάμεσα σ ' αύτά τό σφαιρικό διάστη­

μα (ή έλλειπτικό) διακρίνεται γιά τήν άπλότητά του , δεδομένου δτι δ λα του τά σημεία ε{ναι ίσοδύναμα. Μετά άπ' αύτή τή διερεύνηση, μπαίνει στούς άστρονόμους καί τούς φυσικούς τό

100

έξαιρετιιcά ένδιαφέρον έρώτημα τής γνώσης του αν ό κόσμος πού ζοϋμε εlναι άπειρος ή περιορισμένος, μέ τόν τρόπο τοϋ σφαιρικοϋ κόσμου. ·Η πείρα μας άπέχει πολύ άπ · τό νά είναι άρκετή γιά ν· άπαντήσουμε σ· αύτό τό έρώτημα. ·Η Θεωρία

ομως τής γενικής σχετικότητας έπι τρέπει ν. άπαντήσουμε σ,

αύτό μέ μιά κάποια βεβαιότητα· δίνει έπίσης τή λύση στη

δυσκολία πού άναφέρθηκε στό κεφάλαιο 30.

JOJ

32 Η ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ

ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

Σύμφωνα μέ τή Θεωρία τής γενικής σχετικότητας, οί γεωμε­

τρικές ίδιότητες τοϋ -χώρου δέν ε{ναι άνεξάρτητες, έπηρεάζονται άπό τήν ϋλη . Υ Αρα δέν είναι δυνατό νά δηλώσουμε τίποτε

κατηγορηματικά πάνω στή γεωμετρική δομή τοϋ κόσμου παρά

μόνο aν ύποτεθεί γνωστή ή κατάσταση τής ϋλης. Γνωρίζουμε

άπ ' τό πε ί ραμα δτι γιά ε να σύστημα συντεταγμένων κατάλληλα

διαλεγμένο οί ταχύτητες τών aστρων είναι μικρές σέ σχέση μέ

τή ταχύτητα μετάδοσης τοϋ φωτός. Μποροϋμε, συνεπως , νά

γνωρίζουμε σέ πρώτη προσέγγιση τή σύσταση του κόσμου

(χονδρικά), θεωρόντας τήν ύλη άκίνητη.

Ξέρουμε ήδη σύμφωνα μέ τίς προηγούμενες σκέψεις μας δτι ή συμπεριφορά τών κανόνων καί τών ρολογιών έπηρεάζεται άπ'

τά πεδία βαρύτητας, δηλαδή άπ' τή διανομή τής ϋλης. 'Απ' δπου συνεπάγεται δτι δέν μπορεί νά ύπάρχει ζήτημα , στό κόσμο

μας, άκριβοuς iσχύος τής εύκλείδειας Γεωμετρίας. Είναι δμως

δυνατό ό κόσμος μας νά δ,ιαφέρει λίγο άπό εναν κόσμο εύκλεί­

δειο, καί αύτή ή ύπόθεση είναι τόσο π~ό πολύ πιθανή πού ό

ύπολογισμός δείχνει δτι άκόμη καί μάζες τοϋ μεγέθους τοϋ

'Ήλιου μας eχουν μιά πολύ περιορισμένη έπίδραση πάνω στή

μετρική τοϋ περιβάλλοντος διαστήματος. Θά μπορούσαμε νά

φανταστοϋμε τό κόσμο μας πώς συμπεριφέρεται, άπό τή γεωμε­

τρική άποψη, σάν μιά έπιφάνεια άκανόνιστα καμπυλωτή στή

λεΠτομέριεα , άλλά πού δέν ξεφεύγει πουθενά μέ ύπολογίσιμο τρόπο άπό ενα έπίπεδο, δπως, γιά παράδειγμα, ή έπιφάνεια μιας

λίμνης ταραγμένης άπό μικρά κύματα. Θά μπορούσαμε νά

όνομάσουμε μέ άνάλογο τρόπο εναν τέτοιο κόσμο σχεδόν-εύ-

κλείδειο. Τό διάστημά του θά ήταν άπειρο. ·Ο ύπολογισμός

102

δμως δείχνει δτι σ. ενα κόσμο σχεδόν εύκλείδειο ή μέση πυκνό­

τητα τής ϋλης θά ήταν μηδέν. 'Ένας τέτοιος κόσμος δέν θά

μποροϋσε τότε νά είναι γεμάτος παντοϋ άπό ϋλη· θά παρουσίαζε

τόν λίγο ίκανοποιητικό πίνακα πού σκιαγραφήσαμε στό κεφά­

λαιο 30.

w Αν δμως στό κόσμο ή μέση πυκνότητα τής ϋλης ξεφεύγει

έστω καί λίγο άπ · τό μηδέν, τότε ό κόσμος δέν ε{ ναι σχεδόν εύκλείδειος. ·Ο ύπολογισμός δείχνει άντίθετα πώς άν ή ϋλη

ήταν όμοιόμορφα καταμερισμένη, ό κόσμος θά επρεπε άναγκαία

νά είναι σφαιρικός (ή έλλειπτικός) . ·Επειδή δμως στήν πραγμα­

τικότητα ή ϋλη είναι στή λεπτομέρεια άνώμαλα καταμερισμένη, ό πραγματικός κόσμος θά ξεφεύγει στή λεπτομέρεια άπ · τό σφαιρικό σχήμα, θά είναι σχεδόν σφαιρικός. Θά πρέπει δμως νά

είναι άναγκαία (πεπερασμένος) , περιορισμένος. 'Η θεωρία δίνει μάλιστα μιά άπλή σχέση24 άνάμεσα στή χωρική εκταση τοϋ

κόσμου καί τή μέση πυκνότητα τής ϋλης.

103

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

ι

ΑΠΛΗ ΠΑΡΑΓΩΓΉ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ

ΤΟΥ LORENTZ (Συμπλήρωμα στό κεφ. 11)

Γιά τόν σχετικό προσανατολισμό τών συστημάτων συνη­

ταγμένων πού ύποδείχνεται άπό τό σχήμα 2 (σελ. 41), οί άξονες τών χ τών δύο συστημάτων συμπίπτουν μέ μόνιμο τρόπο. ·Εδώ

μποροϋμε νά διαιρέσουμε τό πρόβλημα θεωρώντας στήν άρχή τά

γεγονότα έντοπισμένα στόν άξονα τών χ. 'Ένα τέτοιο γεγονός

παριστάνεται, σχετικά μέ τό σύστημα συντεταγμένων Κ, μέ τήν

τεταγμένη χ καί τόν χρόνο t, καί, σχετικά μέ τό σύστημα

συντεταγμένων Κ ·, άπ · τήν τεταγμένη χ· κ α ί τόν χρόνο t '. Τ ό πρόβλημα είναι νά βρεθοϋν oi χ' κ:αί t' όταν δίνονται οί χ κ:αί t.

'Ένα φωτεινό σήμα πού προχωρεί κατά μήκος τοϋ θετικ:οϋ

άξονα τών χ μεταδίδεται σύμφωνα μέ τήν έξίσωση

χ = ct

ή

χ - ct = Ο

' Αφοϋ τό ϊδιο φωτεινό σήμα μεταδίδεται έπίσης σχετικά μέ Κ'

μέ τήν ταχύτητα c, ή μετάδοση σΧετικά μέ Κ· θά περαστένεται μέ τόν άνάλογο τύπο

z'- cl' ==ο.

105

Τά χωρο-χρονικά σημεία (γεγονότα) πού ίκανοποιοϋν τήν

tξίσωση ( I) πρέπει να ιιcανοποιοϋν ε πι σης τήν έξίσωση (2). Αύτό εlναι προφανώς δυνατό άν ή σχέση

(χ' - cf') = λ (χ - cl)

ίσχύει γενικά, δπου λ δείχνει μιά σταθερά· γιατί, σύμφωνα μέ

(3), ή έξάλειψη του (χ- ct) προκαλεί τήν έξάλειψη του (χ' - ct ' ).

Μιά άκριβώς άνάλογη θεώρηση έφαρμοσμένη σέ φωτεινές

άκτίνες πού μεταδίδονται κατά μήκος του άξονα τών άρνητικών χ δίνει τή συνθήκη

χ' + ct' = μ (χ + cl).

Μέ τή πρόσθεση ή τήν άφαίρεση τών έξισώσεων (3) καί (4), δπου γιά λόγους εύκολίας είσάγεται άντί τών σταθερών λ καί μ,

οί σταθερές

ε χουμε

λ+μ α= ---• 2

{χ' = αχ - bcl, ct' = act - bx.

λ-μ b=--· 2

Τό πρόβλημά μας θά ήταν λυμένο, άν οί σταθερές α καί β

ήταν γνωστές συνάγονται ιiπ' τίς παρακάτω θεωρήσεις.

Γιά τήν άρχή του Κ' εχουμε μόνιμα χ' = Ο καί κατά συνέπεια, σύμφωνα μέ τή πρώτη τών έξισώσεων (5)

106

bc X=-t. α

Δείχνοντας μέ υ τή ταχύτητα πού κινείται ή άρχή τοϋ Κ'

σχετικά μέ Κ, έχουμε

bc V=-·

α

'Έχουμε τήν 'ίδια τιμή υ άπ' τήν έξίσωση (5) δταν ύπολογι­σθεί ή ταχύτητα, σέ σχέση μέ Κ, άπό ενα άλλο σημείο τοϋ Κ' ή

άκόμη τή ταχύτητα (κατευθυνόμενη σύμφωνα μέ τόν άρνητικό

άξονα τών χ) άπό ενα σημείο τοϋ Κ σέ σχέση μέ Κ'. Κοντολογία

άξονα τών χ) άπό ί:να σημείο τοu Κ σέ σχέση μέ Κ'. Κοντολο­

γίς, μποροϋμε νά θεωρήσουμε τό υ δτι παριστάνει τήν σχετική

ταχύτητα τών δύο συστημάτων.

'Εξ άλλου είναι σαφές, σύμφωνα μέ τήν άρχή τής σχετικό­

τητας, δτι τό μήκος, στό σύστημα Κ, ένός μετρικοί> κανόνα μήκους μιίiς μονάδας, πού είναι άκίνητο σχετικά μέ Κ·, πρέπει

νά είναι άκριβώς τό 'ίδιο μ' αύτό, στό σύστημα Κ', ένός μετρικοί> κανόνα μήκους μιίiς μονάδας πού είναι άκίνητος

σχετικά μέ Κ. Γιά νά δοϋμε πώς παρουσιάζονται, στό σύστημα

Κ, τά σημεία τοϋ aξονα τών χ., φτάνει νά πάρουμε ενα <<στιγμι­

αίο" του Κ' καί τοϋ κ- αύτό σημαίνει δτι πρέπει νά είσάγουμε

γιά τό t (χρόνος του Κ) μιά προσδιορισμένη τ~μή, γιά παράδειγ­

μα t =Ο. 'Από τήν πρώτη τών έξισώσεων (5) εχουμε γι' αύτή τή τιμή χ ' = ax.

Δύο σημεία τοϋ aξονα τών χ', πού χωρίζονται μέ τήν

άπόσταση χ' - I, μετρημένη στό Κ', χωρίζονται στό στιγμι­αίο μας μέ τήν άπόσταση

ι Δχ =-·

α

'Αλλά ίiν πάρουμε τό στιγμιαίο στό Κ' (t' = 0), εχουμε άπό τήν (5), έξαλείφοντας τό t καί λαμβάvοντες ύπ' όψη τήν (6),

Συμπεραίνεται δτι δύο σημεία του άξονα τών Χ, χωρισμένα

(σχετικά μέ Κ) μέ τήν άπόσταση I, &χουν στό στιγμιαίο μας τήν

107

ιiπόσταση

Καθώς, σύμφωνα μ· αυτα που ειπαμε, τά δύο στιγμιαία

πρέπει νά εΙ ναι ίσα, Δχ στήν (7) πρέπει νά εΙ ναι ίσο μέ Δχ' στήν (7α), ετσι πού εχουμε

1 aι == •

υt 1~­

cl Οί έξισώσεις (6) καί (7β) προσδιορίζουν τίς σταθερές α καί

β. 'Αντικαθιστώντας τίς τιμές αύτών τών σταθερών στή (5), εχουμε τή πρώτη καί τή τέταρτη άπό τίς έξισώσεις πού άναφέρ­

θηκαν στό κεφάλαιο 11 .

x-vt χ'""" r;-ι;'

ν 1 -Cϊ ι-Ε..χ

t' c' - Jι vι· • cι

'Εξάγαμε Ι!τσι τό μετασχηματισμό τοϋ Lorentz γιά τά γεγονότα στόν άξονα τών χ. Αύτός ικανοποιεί τή συνθήκη

' Η έπέιcταση αύτοϋ τοϋ συμπεράσματος σέ γεγονότα πού συμβαίνουν έκτός τοϋ άξονα των χ έξάγεται διατηρώντας τίς έξισώqεις (8) ιcαί προσθέτοντας τίς σχέσεις

{ Υ:= y, % = z.

108

Γιά τό δτι τό άξίωμα τής σταθερότητας τής ταχύτητας του φωτός

στό κενό , γιά φωτεινές άκτίνες όποιασδήποτε κατεύθυνσης.

Ισχύει τόσο τό σύστημα Κ δσο καί στό σύστημα Κ·, εΙναι

δυνατό νά πεισθουμε μέ τόν άκόλουθο τρόπο .

.. Ας ύποθέσουμε δτι στέλνεται άπ' τήν άρχή του Κ μιά

φωτεινή άκτίνα στό χρόνο t = Ο. Μεταδίδεται σύμφωνα μέ τήν έξίσωση

r = J χι + ya + .zι = ct,

ij , ύψώνοντας αύτή τήν έξίσωση στό τετράγωνο , σύμφωνα μέ

τήν έξίσωση

χ2 + ya + za - cΨ = Ο.

'ο νόμος μετάδοσης του φωτός συνδυασμένος μέ τό άξίωμα

τής σχετικότητας άπαιτεί, ή μετάδοση του 'ίδιου σ(οματος-έξε­

ταζόμενο άπό Κ' -νά συμβαίνει σύμφωνα μέ τόν άνάλογο τύπο

r' -ct' ~~

χ'Ι + y'Ι + .z'2 - c2f12 = 0.

Ή έξίσωση ( I Οα) γιά νά είναι συνέπεια τής έξίσωσης ( 10) πρέπει νά εχουμε

(11) χ'• + y':ι + z':ι _ c2f'Ι

= σ(χ2 + Ί/ + .zι - cΨ),

Έπειδή ή έξίσωση (8α) πρέπεινά iσχύει γιά τά σημεία του

aξονα τών χ , τό σ πρέπει νά είναι 'ίσο μέ I. Εϋκολα φαίνεται δτι ό μετασχηματισμός τοϋ Lorentz ίκανοποιεί πραγματικά τήν έξί­σωση ( 11) γιά σ = ι · πράγματι, ή ( 11) εΙ ναι συνέπεια τών (8α) καί

109

'(9), κατά συνέπεια έπίσης τών (8) καί (9). Μ· αύτό τό τρόπο ' παράχθηκε ό μετασχηματισμός του Lorentz.

Αuτός δ μετασχηματισμός πού παριστάνεται άπό τίς (8) καί (9) πρέπει άκόμη νά γενικευθεϊ. Είναι σίγουρο δτι λίγο ένδιαφέ­ρει νά διαλεχτουν οί άξονες του Κ· παράλληλοι μ· αύτούς τοϋ

Κ. ·Επίσης λίγο ένδιαφέρει ι'iν ή ταχύτητα μετάθεσης του Κ' σέ

σχέση μέ Κ νά κ:ατευθuνεται σύμφωνα μέ τόν άξονα τών χ.

Μποροϋμε νά συνθέσουμε τό μετασχηματισμό του Lorentz μ· αύτή τή γενική σημασία-καθώς τό δείχνει μιά άπλή θεώρη­

ση- μέ δύο τρόπους μετασχηματισμών, δηλαδή μέ μετασχημα­

τίσμούς μέ ίδιαίτερη σημασία καί μέ μετασχηματισμούς καθαρά

στό χώρο, πράγμα ποu αναλογεί στήν aντικατάσταση τοϋ συστήματος ορθογωνίων σ.υντεταγμένων μέ ενα νέο σt>στημα . τοϋ όιτοίου οί uξονες είναι διαφορετικά προσανατολισμένοι .

·Απ' τ ή μαθηματική άποψη ό γενικευμένος μετασχηματισμός

του Lorentz μπορεί νά χαρακτηρισθεί μέ τόν <iκόλοt<θο τρόπο :

ΑΙ)τός έκφράζει χ', y', z' t' μέ όμογενείς γραμμικές συναρ­

τήσεις τών χ, y,z, t ένός τέτοιου ε'ίδους πού ή σχέση

(11 a) χ' 2 + y' 2 + z' 2 - c2!'2

= χ2 + yz + 2 2 _ c2[2

εiναι ταυτόσημα επαληθευμένη . Αlιτό σημαίνει: "Av ιiντικατα­σταθοuν στό πρωτο μέλος χ·, y ·, z · , t • μέ τίς έκφράσεις τους σέ

χ, y. z, t. τότε τό πριίηο μέλος τής ( I I α) γίνεται 'ίδιο μέ τό δεύτερο.

110

2 Ο ΚΟΣΜΟΣ ΜΕ ΤΕΣΣΕΡΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ

ΤΟΥ MINKOWSKI

(συμπλήρωμα στό κεφάλαιο 17).

'Ο γενικευμένος μετασχηματισμός του Lorentz, μπορεί aκό­μη νά χαρακτηριστεί μ, εναν πιό άπλό τρόπο, αν εiσάγουμε, στή

θέση τοϋ t, τ ή φανταστική ποσότητα Flct σά μεταβJ:;!l.τ_ή τοϋ χρόνου. Θέτοντας, λοιπόν, χι=χ, x~=y, x1=z, καί χ4 = V-Ιct καί

μ· εναν ιiνάλογο τρόπο γιά τό τονούμενο σύστημα Κ·, ή

συνθήκη πού είναι ταυτόσημα ίκανοποιημένη ιiπό τό μετασχη­

ματισμό εκφράζεται ετσι:

(12) _c · x~a +χ~~+~~+ x~a =χ~+ Χ:+ χ:+ χ:. Πράγματι, σ· αύτή ν τήν έξίσωση μετασχηματίζεται ή (11 α)

δταν διαλέξαμε τίς « συντεταγμένες•• πού σημειώσαμε .

Φαίνεται , σύμφωνα μέ τή ( 12) δτι ή φανταστική συντεταγμέ­

νη χ4 τοϋ χρόνου ε ίσέ ρχεται στή συνθήκη τοϋ μετασχηματισμοί> ιiκριβώς μέ τόν 'ίδω τρόπο δ πως οί συντεταγμένες τοϋ χώρου Χι,

χ 2 , χ, . Γι' αuτό σύμφωνα μέ τή θεωρία τής σχετικότητας ό «χρό­

νος» χ 4 εiσέρχεται στούς νόμους τής φύσης μέ τόν 'ίδιο τρόπο μέ τίς συντεταγμένες τοϋ χώρου Χι, χ 2 , χ1 .

Τό συνεχές μέ τέσσερις διαστάσεις, πού πε ριγράφεται μέ τίς

<<συντεταγμένες» Χι, χ2, χ ,, χ4, ονομάστηκε aπό τόν Minkowski ••κόσμος», καί τό σημείο-γεγονός, σημείο τοϋ « κόσμου» . 'Από

ενα γίγνεσθαι στό διάστημα μέ τρ είς διαστάσεις. ή Φυσική γίνεται

κατά κάποιο τρόπο τό ον στόν «Κόσμο .. μέ τέσσερις διαστάσεις.

Αύτός ό <<Κόσμος» μέ τέσσερις διαστάσεις εχει μιά βαθειά ό­

μοιότητα μέ τό ••διάστημα» μέ τρείς διαστάσεις τής ιiναλυτικής

Γεωμετρίας (Εύκλείδειος). Πράγματι, άν εiσαχθεί σ· αύτή τήν

τελευταία ενα νέο σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων (χι ' ,

Χ2 ', Χ3 ')ΠΟύ !:χει τήv 'ίδια aρχή, τότε τά Χι', Xz', X.J' ε{vαι όfλογε-

111

νείς γραμμικές συναρτήσεις τών Χ 1 , χ 2 , Χ1 , πού έπαληθεύουν ταυ­

τόσημα τήν έξίσωση:

Ή άναλογία μέ τήν (ι 2) είναι πλήρης . Ό «Κόσμος» του Minkowski είναι δυνατόν νά κυτταχτεί aπό τήν aποψη τή

μαθηματική , σάν. ενα εuκλείδιο διάστημα μέ τέσσερις διαστά­

σεις (μέ μία συντεταγμένη φανταστική του χρόνου). Ό μετα­

σχηματισμός του Lorentz άντιστοιχεί σέ μία <<Περιστροφή>> του συστήματος συντεταγμένων στόν κόσμο μέ τέσσερις διαστά­

σεις .

112

3 Η ΕΠΙΒΕΒΑΙΩΣΗ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΑΠΟ ΤΟ

ΠΕΙΡΑΜΑ.

Φανταζόμαστε τή διαδικασία έξέλιξης μιάς έπιστήμης, άπ'

τήν έπιστημονολογική ι'iποψη, σάν μιά συνεχή διαδικασία

έπαγωγής. Οί θεωρίες φαίνονται σάν περιλήψεις ένός μεγάλου

άριθμοϋ ξεχωριστών πειραμάτων σέ πειραματικούς νόμους, ιiπ'

δπου μέ ιiπαγωγή συμπεραίνονται συγκριτικά οί γενικοί νόμοι.

Ή έξέλιξη τής 'Επιστήμης μοιάζει , ιiπ' αuτή τήν ι'iποψη, μέ τήν ταξινόμηση ένός καταλόγου, σέ μιά καθαρά έμπειρική

έpγασία.

Αύτή ή άντίληψη δμως δέν aντιπροσωπεύει δλη τήν πραγ­

ματική διαδικασία. ·Αποσιωπά τό σπουδαίο ρόλο πού παίζουν ή

διαίσθηση καί ή άπαγωγική σκέψη στήν έξέλιξη τής άκριβοϋς

έπιστήμης. Μόλις μιά έπιστήμη ξεπεράσει τό πιό πρωτόγονο

στάδιο, οί θεωρητικοί πρόοδοι δέν πραγματοποιοϋνται πιά ά:.

πλώς μέ μιά έργασία ταξινόμησης . ' ο έρευνητής, ωθούμενος aπ'

τά γεγονότα του πειράματος, άναπτύσσει ενα σύστημα σκέψεων

πού, τό πιό συχνά, είναι λογικά οiκοδομημένο σ' ί:να μικρό

άριθμό βασικών ύποθέσεων, τά λεγόμενα άξιώiιατα. 'Ένα τέτοιο σύστημα σκέψεων τό ονομάζουμε Θεωρία. 'Η αiτία uπαρξης

μι aς θεωρίας βρίσκεται στό γεγονός δ τι ένοποιεί ε να ν μεγάλο

άριθμό ξεχωριστών πειραμάτων· σαυτό εγκειται ή «ιiλήθεια»

της.

Γιά τό 'ίδιο σύμπλεγμα πειραματικών γεγονότων μπορεί νά υ

ύπάρχουν διαφορετικές θεωρίες, πού vα διαφέρουν σημαντικά ή

μία ιiπ' τήν ι'iλλη. 'Η συμφωνία τών θεωριών στίς προσιτές μέ

τό πείραμα συνέπειες μπορεί νά είναι τόσο μεγάλη πού νά είναι

δύσκολο νά βρεθοuν συνέπειες προσιτές στό πείραμα σχετικά μέ

τίς όποίες οί δύο θεωρίες νά διακρίνονται ή μία άπό τήν dλλη.

IJ3

Μιά τέτοια περίπτωση γενικοu ένδιαφέροντος παρουσιάζει, γιά

παράδειγμα, στόν τομέα τής Βιολογίας, ή θεωρία του Darwin rfjς έξέλιξης τών είδών μέ τήν έπιλογή στήν πάλη γιά τήν

i: πιβίωση , καί ή θεωρία τής έξέλιξης πού στηρίζεται στήν ύπό­

θεση τής μετάδοσης τών aποκτημένων χαρακτήρων .

Μιά Cίλλη περίπτωση πολύ μεγάλης συμφωνίας τών συνε

πειών δύο θεωριών παρουσιάζεται , απ, τή μιά μεριά , απ. τ

Μηχανική του Newton καί, aπ' τήν <':ίλλη με ριά, aπ' τή Θεωρί' τής γενικής σχετικότητας . Αuτή ή συμφωνία πάει τόσο μακρυι

πού δέν εγινε δυνατό νά βρεθοuν εως τώρα παρά λ ίγες συνέπε ι

ες τής Θεωρίας τής γενικής σχετικότητας προσιτές στό πείραμι

στίς όποίες νά μήν όδηγεί ή πρό τής σχετικότητας Φυσι κή παρ

δλη τή βαθειά διαφορά τών βασικών ύποθέσεων τών θ εωριών

Θά θεωρήσουμε aκόμη μιά φορά αuτές τίς σημαντικές συνέπε ιε c

καί θά έκθέσουμε σύντομα τά πειράματα πού συγκεντρcΏθηκα\

εως τώρα.

114

1. Η ΚΙΝΗΣΗ ΤΟΥ ΠΕΡΙ-ΗΛΙΟΥ ΤΟΥ ΕΡΜΗ. Σύμφωνα μέ τή Μηχανική τοϋ Newton καί τό νόμο του τής

βαρύτητας, ενας άπομονωμένος πλανήτης πού περιφέρεται γύρω

άπό εναν ijλιο θά διέγραφε μιά ελλειψη γύρω του (ή πιό άκριβrος

γύρω άπ' τό κοινό κέντρο βάρους τοϋ iJλιου καί τοϋ πλανήτη) .

Ό ηλιος (ή τό κοινό κέντρο βάρους) βρίσκεται σέ μία άπ' τίς

έστίεζ τήζ έλλειπτικής τροχιάς , μέ τέτοιο τρόπο πού ή &πόστα­

ση ijλιος-πλανήτης αuξάνει , στή διάρκεια μιας πλανητικής

τροχιάς, aπό ενα έλάχιστο σ, ενα μέγιστο, καί μετά μειώνεται ε ως ενα έλάχιστο . "Α ν άντικατασταθεί στόν ύπολογισμό ό

νόμος τής ελξης τοϋ Mewton μ' εναν ι'iλλο λίγο διαφορετικό ,

βρίσκεται δτι ή κίνηση πού ύπακόύει σ' αuτό τό νόμο θά επρεπε

νά ε{ναι ακόμη τέτοια πού ή aπόσταση fiλιος-πλαvήτης ταλαv­

τεύεταί περιοδικά · ή γωνία δμως πού διαγράφεται στή διάρκεια

μιίiς τέτοιας περιόδου (aπό τό ενα περι-ήλιο στό ι'iλλο) από μιά

γραμμή πού ενώνει τόν ηλιο μέ τόν πλανήτη θά ήταν διαφορετι­

κή aπό 3600. ' η τροχιά δέν θ ά ήταν κλειστή, άλλά θά κάλυπτε

στό πέρασμα του χρόνου ενα δακτυλιωτό τμήμα του τροχιακοί)

έπιπέδου (ιiνάμεσα στόν κύκλο τής πιό μικρής καί τόν κύκλο τής πιό μεγάλης άπόστασης τοϋ πλανήτη άπ ' τόν fiλιο).

Σύμφωνα μέ τή Θεωρία τής γε:vικfjς σχετικότητας, πού aπο­

μακρύνεται λίγο άπ' αuτή τοϋ Newton, πρέπει νά ύπάρχει

έπίσης μιά μικρή διαφορά του νόμου τής τροχιακής κίνησης

των Kepler-Newton, ετσι πού ή γωνία πού διαγράφει ή άκτίνα fiλιος-πλανήτης ανάμεσα σ, ί:να περι-ήλιο καί τό επόμενο

διαψερει απ, τή γωνία tής δλοκληρωμένης περιφοράς (δηλαδή

απ' τή γωνία 2π στ ή ν aπόλυτη . μέτρηση γω\!ιών πού χρησιμο­

ποιείται στή Φυσική) μέ τήν ποσότητα

fic1( ι - ι:') .

115

Σ· αuτή τήν &κφραση α παριστάνει τό μισό τοϋ μεγάλου άξονα τής &λλειψης, e τήν έκεντρικότητά της, c τήν ταχύτητα του φωτός, Τ τή διάρκεια μιiiς περιφοράς. Αuτό τό άποτέλεσμα μπορεί έπίσης νά έκφρασθεί μέ τόν άκόλουθο τρόπο: Σύμφωνα

μέ τή Θεωρία τής γενικής σχετικότητας, δ μεγάλος άξονας τής έλλειψης γυρίζει γύρω άπ' τον f\λιο στήν κατεύθυνση τής τρο­χιακής κίνησης τοϋ πλανήτη. Αύτή ή περιστροφή πρέπει νά

φτάσει, σύμφωνα μέ τή θεωρία, γιά τόν πλανήτη 'Ερμή 43 δεύτερα τόξου σ· εναν αίώνα, γιά τούς άλλους δμως πλανήτες

του ήλιακου μας συστήματος εΙναι τόσο μικρή πού δέν μπορεί νά διαπιστωθεί.

Στήν πραγματικότητα, ο{ άστρονόμοι βρήκαν δτι ή θεωρία

τοϋ Newton δέν άρκεί γιά νά ύπολογισθεί ή παρατηρημένη

κίνηση τοϋ · Ερμή μέ τήν τωρινή άκρίβεια πού εΙναι προσιτή

στήν παρατήρηση. 'Αφου λήφθηκαν ύπ' οψη δλες οί έπιδρά­

σεις πού άσκοϋν οί άλλοι πλανήτες στόν ·Ερμή, άναγνωρίσθη­

κε (Leνerrier στά 1859 καί Newcomb στά 1895) δτι εμενε άκόμη νά έξηγηθεί μιά κίνηση τοϋ περιηλίου του ·Ερμή, πού δέν

διαφέρει αίσθητά άπό τά 43 δεύτερα τόξου στόν αίώνα γιά τά όποία μόλις μιλήσαμε. Αύτό τό έμπειρικό άποτέλεσμα συμφωνεί μέ τό συμπέρασμα τής Θεωρίας τής γενικής σχετικότητας κατά

προσέγγιση μερικών δεύτερων.

116

2. Η ΕΚΤΡΟΠΉ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ ΑΠΟ ΤΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ

'Εκθέσαμε ijδη στό κεφάλαιο 22 δτι, σύμφωνα μέ τή Θεωρία τfjς γενικfjς σχετικότητας, μιά φωτεινή άκτίνα πρέπει νά ύπο­

στεί σ· ενα πεδίο βαρύτητας μιά καμπύλη άνάλογη μαύτή πού

πρέπει νά ύποστεί ή τροχιά ένός σώματος έκτοξευμένου σ. εν α

πεδίο βαρύτητας. Μιά φωτεινή άκτίνα πού ξυρίζει ενα ούράνιο

σώμα παθαίνει σύμφωνα μέ τή θεωρία, μιά έκτροπή πρός αύτό ,

ή γωνία εκτροπής α γιά μιά φωτεινή άκτίνα πού περνάει σέ μία άπόσταση ιiπ' τόν ηλιο 'ίση μέ Δ άκτίνες του ijλιου είναι:

α=. ι' 7 δεύτερα τόξου

Δ Πρέπει νά προστεθεί δτι , σύμφωνα μέ τή θεωρία, αύτή ή

έκτροπή όφείλεται κατά τό ημισυ στό πεδίο ελξης (του Newton) του ijλιου καί κατά τό aλλο ijμισυ στή γεωμετρική μεταβολή του χώρου (« καμπύλη») πού παράγεται άπ' τόν ijλιο.

Αύτό τό άποτέλεσμα μπορεί νά έπαληθευτεί πειραματικά

παίρνονταςφωτογραφίες των dστρων στή διάρκεια μιάς όλικής ειcλειψης του ijλιου. Πρέπει νά περιμένουμε τήν εκλειψη, γιατί .,

δλες τίς liλλες ώρες ή άτμόσφαιρα εiναι τόσο εντονα φωτισμένη

άπ ' τό φώς τοϋ fiλιου πού τά γειτονικά άστέρια είναι άόρατα. Τό

σχήμα 5 δείχνει καθαρά ποιό 6ά εiναι τό άναμενόμενο άποτέλε-

117

σμα. " Αν δέν ύπfjρχε δ ijλιος, ενα άστέρι πού βρίσκεται πρα­

κτικά σέ άπόσταση ίiπειρη, θά φαινόταν στήν κατεύθυνση 0 1•

'Εξ αίτίας δμως τής έκτροπής άπό τόν ijλιο, φαίνεται στήν

κατεύθυνση 0 2, δηλαδή σέ μιά άπόσταση άπό τό κέντρο τοί>

fjλιου λίγο μεγαλύτερη άπ' δτι είναι στήν πραγματικότητα.

Πρακτικά ή έπαλήθευση γίνεται μέ τόν άκόλουθο τρόπο .

Φωτογραφίζουμε τά άστέρια στό γειτνίασμά τοϋ ijλιου τή

στιγμή πού παθαίνει δλική εκλειψη . Στή συνέχεια παίρνουμε

μιά δεύτερη φωτογραφία των 'ίδιων άστέρων δταν ό fjλιος κατα­

λαμβάνει μιά aλλη θέση στόν ούρανό (δηλαδή μερικούς μηνες

άργότερα ή νωρίτερα). Οί είκόνες τών άστέρων πού πάρθηκαν

κατά τήν εκλειψη τοϋ ηλιου όφείλουν τότε νά έχουν μετατεθεί

άκτινwτά, σέ σχέση μέ τή φωτογραφία τής σύγκρισης , πρός τά

εξω (aπομακρυνόμενα άπ' τό κέντρο του iiλιου) μέ μιά ποσότη­

τα πού άναλογεί μέ τή γωνία α.

'Η έπαλήθευση αύτοϋ τοϋ σημαντικοϋ aποτελέσματος οφεί­

λεται στήν βασιλική άστρονομική έταιρία τοϋ Λονδίνου. Χωρίς

νά σταματήσει έξ αίτίας τοϋ πολέμου καί τών ψυχολογικών έπι­

πτώσεών του, αύτή ή έταιρία εστειλε πολλούς άπ . τούς π ιό σημαντικούς άστρονόμους της (Eddington, Crommelin , Daνi­son) καί έξώπλισε δύο άποστολές γιά νά βγάλουν φωτογραφίες ,

στή διάρκεια τής δλικfjς εκλειψης τοϋ ijλιου στίς 29 Μαίου 1919, στό Sobral (Βραζιλία) καί στό νησί Principe (δυτική 'Αφρική).

Οί σχετικές διαφορές πού επρεπε νά είχαν άνάμεσα στίς

φωτογραφίες πού βγάλαν κατά τή διάρκεια τής εκλειψης τοϋ

ήλιου καί στίς φωτογραφίες σύγκρισης άνέρχονταν όε μερικά

έκατοστά του χιλιοστοί> μόνο. 'Η άκρίβεια τών φωτογραφιών

καί τών μετρήσεων ήταν άσυνήθιστες.

Τό άποτέλεσμα τής μέτρησης έπιβεβαίωσε τή θεωρία μέ

τρόπο τελείως ίκανοποιητικό. Οί ορθογώνιες συνιστώσες τών

διαφόρων παρατηρημένων καί ύπολογισμένων διαφορών των

άστέρων (σέ δεύτερα τόξου) περιλαμβάνονται στόν παρακάτω

πίνακα:

118

'Αριθμός Πρώτη συντεταγμένη Δεύτερη συντεταγμένη τοί> aστέρος Παρατηρημένη ·γ πολογισμένη Παρατηρημένη· γ πολογισμένη

5 -0,29 -0,31 -0,46 -0,43 4 -0,11 -0,10 +0,83 +0,74 3 -0,20 -0,12 +1,00 +0,87 6 -0,10 -0,04 +0,57 +0,40

10 -0,08 +0,09 +0,35 +0,32 2 +0,95 +0,85 -0,27 -0,09

119

3. Η ΜΕΤΑΘΕΣΗ ΤΩΝ ΦΑΣΜΑΤΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΩΝ ΠΡΟΣ ΤΟ ΚΟΚΚΙΝΟ

Δείξαμε στό κεφάλαιο 23 ότι σ' Ιtνα σύστημα Κ ', πού εχει

μιά κίνηση περιστροφής σέ σχέση μ. ενα γαλιλαιϊκό σύστημα

Κ, ή κίνηση πού εχουν όλόϊδια ρολόγια πού δέν μετατίθονται

έξαρτίiται άπ' τή θέση πού καταλαμβάνουν. Θά έκτιμήσουμε

αύτή τήν έξάρτηση ποσοτικά. 'Ένα ρολόϊ τοποθετημένο σέ μιά άπόσταση r άπό τό κέντρο τοϋ δίσκου, εχει σέ σχέση μέ κ τήν ταχύτητα u=wr, μέ w παριστάνεται ή ταχύτητα περιστροφής τοϋ δίσκου (Κ') σέ σχέση μέ Κ. (σήμ. μετ/του. w ε{ναι ή γωνιακή ταχύτητα). "Αν παραστήσουμε μέ V0 τόν άριθμό τών κτυπημά­

των τοϋ ρολογιοϋ σέ κάθε μονάδα χρόνου (ταχύτητα κίνησης)

σχετικά μέ Κ, στήν περίπτωση πού τό ρολόϊ δέν μετακινείται ,

τότε ή ταχύτητα ν τών κτυπημάτων τοϋ ρολογιοϋ πού μετακι­

νείται μέ τήν ταχύτητα u σέ σχέση μέ Κ καί σέ μή μετάθεση σέ σχέση μέ τό δίσκο, ε{ναι σύμφωνα μέ τό κεφάλαιο 12 'ίση μέ

ν= νojl- ~ c' ή μέ μιά άρκετή προσέγγιση 'ίση μέ

ν= ν0 (1-~~} ij άκόμη 'ίση μέ

ν= ν0 (1 ~]~)-"Αν παραστήσουμε μέ +Φ τή διαφορά δυναμικοϋ τής φυγό­

κεντρης δύναμης άνάμεσα στόν τόπο πού κατέχει τό ρολόϊ καί

τό κέντρο τοϋ δίσκου, δηλαδή τό εργο μετρημένο άρνητικά πού πρέπει νά προσφέρουμε στή μονάδα τής μάζας ένάντια στή

120

φυγόκεντρο δύναμη, γιά νά μεταφερθεί ιlπ' τόν τόπο πού κατα­

λαμβάνει τό ρολόϊ πάνω στό δίσκο πού περιστρέφεται, στό κέντρο του, εχουμε Φ= wZrZ ετσι που βγαίνει ν=νο(Ι+ _!__

2 c2

Φαίνεται ετσι πρώτ' ιlπ' όλα ότι δύο ρολόγια ίδιας κατα­

σκευής, τοποθετημένα σέ διαφορετικές άποστάσεις άπ' τό κέν~

τρο τοϋ δίσκου, δουλεύουν μέ διαφορετική ταχύτητα, άποτέλε­

σμα πού άληθεύει έπίσης γιά εναν παρατηρητή πού γυρίζει μαζί

μέ τό δίσκο.

' Επειδή ύπάρχει ε να πεδίο βαρύτητας (θεωρούμενο σέ σχέση

μέ τό δίσκο) τοί> όποίου τό δυναμικό εlναι Φ, τό άποτέλεσμα πού βγήκε θά ίσχύει έπίσης γιά τά πεδία βαρύτητας γενικά. 'Επειδή άκόμα μποροϋμε νά δοϋμε ενα άτομο πού έκπέμπει φασματικές

γραμμές σάν ενα ρολόϊ, εχουμε τήν παρακάτω πρόταση:

'Ένα άτομο άπορροφii ή έκπέμπει φώς μιiiς συχνότητας πού

έξαρτiiται dπ ' τό δυναμικό του πεδίου βαρύτητας στό όποίο βρί­σκεται.

· Η συχνότητα ένός άτόμου , πού βρίσκεται στήν έπιφάνεια έ­

νός οt.φανίου σώματος, είναι λίγο πιό μικρή άπ' τή συχνότητα

πού εχει ενα dτομο τοϋ 'ίδιου στοιχείου πού βρίσκεται στό

έλεύθερο διάστημα (fj στήν έπιφάνεια ένός ούράνιου σώματος πιό μικροί>) Μ .

' Επειδή Φ =-Κ-ι-r δπου Κ παριστάνει τήν σταθερά τής βαρύτητας τoϋNewton , Μ

τή μάζα, r τήν άκτίνα τοϋ ούρανίου σώματος , θά έπρεπε νά διαπι­

στωθεί μιά μετάθεση πρός τό κόκκινο τών φασματικών γραμμών

πού παράγονται στήν έπιφάνεια τών άστέρων, σέ σχέση μαυτές

πού παράγονται στή ν έπιφάνεια τfjς Γfjς, μιας άξίας

ν-ν0 ΚΜ --=- --Vo c2r

Γιά τόν ηλιο, η μετάθεση πρός τό κόκκινο πού θά έπρεπε νά

παράγεται' ανέρχεται περίπου σέ χιλιοστά μήκους κύματος. Γιά

τά σταθερά ιiστέρια , δέν εlναι δυνατό νά γίνει σίγουρος ύπο­

λογισμός, γιατί δέν γνωρίζουμε γενικά οϋτε τή μάζα Μ οϋτε τήν

άκτίνα r.

Δέν είναι γνωστό dν αύτό τό άποτέλεσμα ύπάρχει πραγμα-

121

τικά· τό έρώτημα μένει aνοιχτό, καί οί aστρονόμοι δουλεύουν

τώρο. μέ πολύ θέρμη γιά νά δώσουν μία άπάντηση . Γιά τόν Jϊλιο

ι : ίναι δύσκολο νά κάνεις νά φανεί ή ϋπαρξη του aποτελέσματος,

i:ξ αίτίας τής μικρότητάς του. Ένώ ό Grebe καί ό Bachen (Βόννη), στηριζόμενοι στίς δικές τους μετρήσεις καί σ' αύτές

τών Eνershod καί Schwarzsctuld, καθώς καί ό Perot κατόπιν τών παρατηρήσεών του θεωρούν τήν ϋπαρξή του γιά τή γραμμή τοϋ

κυανογόνου βέβαιη, Ciλλοι έρευνητές, ίδιαίτερα ό St. zohn , είναι σύμφωνα μέ τίς μετρήσεις του aντίθετης γνώμης.

Οί στατιστικές έρευνες στά σταθερά aστέρια έδειξαν δτι οί

μέσες μmαθέσεις τών γραμμών πpός τό κόκκινο ύπάρχουν σίγουρα. . Η έξέταση δμως τών δεδομένων πού έγινε μέχρι σήμερα δέν έπιτρέπει νά δηλωθεί μέ βεβαιότητα, αν αύτές οί

μεταθέσεις όφείλονται πραγματικά στήν έπίδοση τής βαρύτη­

τας. Στή μελέτη του Εί Freundlich μέ τίτλο, έξέταση τής

Θεωρίας τής γενικής σχετικότητας, βρίσκονται συγκεντρωμένα,

καί διερευνημένα σέ βάθος, άπ' τήν άποψη τοϋ ζητήματος πού

μaς ένδιαφέρει έδώ, τά άποτελέσματα τής παρατήρησης (Die Natur wissenscha ften, 1919, φύλλο 35, σελ. 520, Springer, Berlin).

Σέ κάθε περίπτωση, τά προσεχή χρόνια θά φέρουν μιά

σίγουρη, άπόφαση. "Αν ή μετάθεση τών γραμμών του φάσματος πρός τό κόκκινο πού προκαλείται άπ' τό δυναμικό τής βαρύτη­

τας δέν ύπάρχει, ή Θεωρία τfίς γενικής σχετικότητας εΙναι

aνυπεράσπιστη. 'Εξ Ciλλου, ή μελέτη τής μετάθεσης τών γραμ­

μών, δταν θά εχει άποδείξει μέ βέβαιο τρόπο δτι ή αίτία της βρίσκεται στό δυναμικό τής βαρύτητας, θά προσφέρει σημαντι­

κές πληροφορίες γιά τίς μάζες τών ούρανίων σωμάτων.

i22

ΜΕΡΟΣ ΤΕΤΑΡΤΟ

Η ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ25

Αύτό πού χαρακτηρίζει τή Φυσική τοϋ Newton είναι δτι είναι ύποχρεωμένη ν' άποδίδει, παράλληλα μέ τήν ϋλη, στό

χώρο καί τό χρόνο μιά άνεξάρτητη πραγματική ϋπαρξη. Γιατί

στό νόμο κίνησης τοϋ Newton ύπάρχει ή Εννοια τής έπιτάχυν­σης . Ή έπιτάχυνση δμως σ' αuτή τή θεωρία δέν μπορεί νά

σημαίνει τίποτε <'iλλο παρά τήν ••έπιτάχυνση σέ σχέση μέ τό διάστημα (χώρο)». Συνεπώς, τό διάστημα του Newton πρέπει , νά

θεωρείται δτι βρίσκεται σέ «άκινησία» ή τουλάχιστο, δτι δέν

εlναι «έπιταχυνόμενο», liν θέλουμε νά βλέπουμε τήν έπιτάχυνση

σάν ενα μέγεθος πού εχει ενα νόημα. Τό 'ίδιο συμβαίνει καί γιά

τό χρόνο, πού περιλαμβάνεται έπίσης στήν εννοια τής έπιτάχυν­

σης. ·Ο 'ίδιος ό Newton καί οί σύγχρονοί του πού ήταν

προικισμένοι μέ κριτικό πνεuμα δυσκολευόντουσαν ν' άποδώ­

σουν στό διάστημα καί στή κινητική του κciτάσταση μιά φυσική

πραγματικότητα, άλλά αύτή τήν έποχή δέν ύπήρχε <'iλλη διέξο­

δος, <'iν ijθελαν νά δώσουν στή Μηχανική ενα σαφές νόημα.

Τό ϊδιο τό γεγονός ν· άποδωθεϊ γενικά στό διάστημα μιά

φυσική πραγματικότητα ε{ναι ενας περίεργος ίσχυρισμός καί

δλως ίδιαίτερα τό κενό διάστημα. 'Απ' τούς πανάρχαιους χρόνους οί φιλόσοφοι άπέρριπταν εναν τέτοιο ίσχυρισμό .. ο Descrtes σκεπτόταν περίπου μέ τόν παρακάτω τρόπο: τό διάστη­μα ταυτίζεται μέ τήν εκταση , άλλά ή εκταση συνδέεται μέ τό

σώμα, συνεπώς, δέν ύπάρχει διάστημα δίχως σώμα, δηλαδή δέν

ύπάρχει κενό διάστημα. ·Η άδυναμία αuτοϋ τοϋ συλλογισμοϋ

εγκειται κυρίως σ' αύτό: εlναι βέβαια άλήθεια δτι ή εννοια τής

εκτασης όφείλει τή γέννησή της σέ πειράματα πού κάναμε μέ

τήν εύκαιρία τής θέσης (έπαφής) στερ&ών σωμάτων . 'Απ ' αύτό δμως δέν μποροϋμε νά συμπεράνουμε δτι ή εννοια τής εκτασης

δέν δικαιολογείται στή περίπτωση πού τά στερεά σώματα δέν

124

πήραν μέρος στή δημιουργία της . Μιά τέτοια έπέκταση τών

έννοιών μπορεί έπίσης εμμεσα νά δικαιολογηθεί άπ. τήν άξία

πού παρουσιάζει γιά τή κατανόηση τών έμπειρικών δεδομένων.

'Η κατηγορηματική δήλωση δτι ή εκταση συνδέεται μέ τά

σώματα ε{ναι κατ' αύτό τό τρόπο άσχημα θεμελιωμένη. Θά

δόuμε δμως άργότερα δτι ή Θεωρία τής γενικής σχετικότητας

επιβεβαιώνει, (μέ έμμεσο τρόπο), τήν αντίληψη τοϋ Descartes. Αύτό πού τόν όδήγησε στήν τόσο περίεργη άντίληψή του ήταν

βέβαια τό αϊσθημα δτι δέν πρέπει ν . αποδίδεται μιά πραγματικό­

τητα σ, ενα πράγμα πού δένε{ ναι «άμεσα προσιτό» στό πείραμα,

δπως ε{ναι ή περίπτωση τοϋ διαστήματος, δίχως έπιτακτική

άναγκαιότητα .

' Η ψυχολογική καταγωγή τής εννοιας του διαστήματος , ij ή αναγκαιότητά της, δέν ε{ναι τόσο προφανής δσο θά μποροϋσε νά φανεί έξ αiτίας τών συνηθειών τής σκέψης μας . Οί άρχαίοι

γεωμέτρες έξετάζουν άντικείμενα πού τά εχει συλλάβει τό

πνεϋμα (σημείο , εuθεία , έπίπεδο), δχι δμως τό διάστημα (άπό

μόνο του) σάν τέτοιο, δπως άργότερα τό εκανε ή άvαλυτική

Γεωμετρία. 'Η έννοια τοϋ διαστήματος δμως μc'iς έπιβάλλεται

άπό δρισμένα πρωτόγονα πειράματα. 'Έστω δτι έχω ενα κουτί:

μπορώ νά βάλω μέσα άντικείμενα μέμιά δρισμένη τάξη, ετσι πού

νά γεμίσει . 'Η δυνατότητα τέτοιων ταξινομήσεων ε{ ναι μιά

ίδιότητα του ύλικοϋ άντικειμένου πού όνομάζεται κουτί, κάτι

πού ε{ναι άναπόσπαστο μ' αύτό, τό «διάστημα» πού ••κλείνει » .

Αuτό τό κάτι πού ε{ναι διαφορετικό γιά διαφορετικά κουτιά , καί

τό όποίο φυσικά θεωρείται άνεξάρτητο άπ · τό γεγονός liν τά άντικείμενα βρίσκονται ij δχι μέσα στό κουτί. 'Όταν αuτό δέν περιέχει άντικείμενα, ό χώρος του φαίνεται «Κενός» .

'Έως τώρα ή εννοια μας του χώρου συνδέεται μέ τό κουτί.

Βρίσκεται δμως δτι οί δυνατότητες τοποθετήσεως πού άποτε­λουν τό διάστημα του κουτιου ε{ναι άνεξάρτητες άπό τό πάχος

τών τοιχωμάτων του. Δέν μποροuμε άραγε νά μειώσουμε αύτό τό

πάχος εως τό μηδέν δίχως νά έξαφανιστεί τό διάστημα; 'Ότι ενα

τέτοιο δριακό πέρασμα ε{ναι φυσιολογικό, ε{ναι προφανές, καί

τώρα τό διάστημα ύπάρχει γιά τή σκέψη μας δίχως κουτί, σάν άνεξάρτητο άντικείμενο, πού έντούτοις φαίνεται τόσο μή πραγ­

ματικό δταν ξεχνίiμέ τήν καταγωγή αύτής τής εvνοιας. Γίνεται άντιληπτό γιατί στόν Descartes προκαλοuσε άπέχθεια τό νά

125

ιίντιμετωπίζεται τό διάστημα σάν ενα aντικείμενο aνεξάρτητο

Ιίιτ, τά ύλικά σώματα καί ύπαρκτό δίχως uλη 26 • (Αύτό δέν τό\ '

i:μπόδισε έξ dλλου νά έξετάσει τό χώρο όάν βασική εννοια στήν

1ίναλυτική του Γεωμετρία). Μιά ματιά πού ρίχτηκε στό κενό

zώρο ένός βαρομέτρου aπό ύδράργυρο aφόπλισε 'ίσως τούς

τελευταίους καρτεσιανούς. Δέν μπορεί δμως νά άρνηθοϋν δτι σ'

αuτό τό πρωτόγονο i)δη στάδιο φαίνεται λίγο ίκανοποιητικό νά

θεωρηθεί ή εννοια τοϋ χώρου η ό χώρος σάν ενα πραγματικό

aντικείμενο ανεξάρτητο.

Οί τρόπόι πού τά σώματα μποροϋν νά τοποθετηθοϋν μέσα στό χώρο (κουτί) είναι τό aντικείμενο τi'jς εύκλείδειας Γεωμετρί­

ας μέ τρείς διαστάσεις, τής όποίας ή aξιωματική δομή μάς κάνει

εϋκολα νά μή βλέπουμε δτι άναφέρεται σέ έμπειρικές καταστά­

σεις.

"Αν μέ τό τρόπο πού σκιαγραφήθηκε πιό πάνω, σέ σύνδεση

μέ τά πειράματα τοϋ «γεμίσματος>> τοϋ κουτιοϋ, σχηματίσθηκε ή εννοια τοϋ χώρου, αuτός ε{ναι πρώτα άπ' δλα περιορισμένος.

Αύτός δμως ό περιορισμός φαίνεται βοηθητικός, γιατί εlναι

έμφανές δτι εiναι πάντα δυνατό νά βρεθεί ενα κουτί πιό μεγάλο

πού νά περικλείει τό πιό μικρό. Τό διάστημα φαίνεται ετσι σάν

κάτι τό απεριόριστο.

'Εδώ δέν έπιθυμώ νά δείξω δτι οί aντιλήψεις σύμφωνα μέ

τίς όποίες τό διάστημα μέ τρείς διαστάσεις καί ενας «εuκλείδει­

ος χαρακτήρας» τοϋ χώρου προέρχονται άπό πειράματα (σχετι­

!Cά πρωτόγονα), άλλά νά έξετάσω πρώτ' άπ' δλα, κάτω άπό

<iλλες άπόψεις, τό ρόλο πού έπαιξε ή εννοια τοϋ χώρου στήν

έξέλιξη τής φυσικής σκέψης.

'Όταν ενα κουτί πιό μικρό b βρίσκεται σέ σχετική ήρεμία στό έσωτερικό ένός dδειου μεγαλύτερου κουτιοϋ Β, ό κενός

χώρος τοϋ b εΙναι μέρος τοϋ κενοϋ χώρου τοϋ Β, καί στά δύο κουτιά άνήκει τό ίδιο «διάστημα» πού περιέχει καί τά δυό. Αuτή

ή άντίληψη ε{ναι λιγώτερο άπλή, άν τό b κινείται σέ σχέση μέ τό Β. Τότε τείνουμε νά σκεφτοϋμε δτι τό b περικλείει πάντα τόν ίδιο χώρο, άλλά ενα μεταβλητό μέρος τοϋ χώρου τοϋ Β. VΕτσι

είμαστε ύπΟ'χρεωμένοι νά κάνουμε νά άντιστοιχεί σέ κάθε κουτί

ενας ίδιαίτερος χώρος (πού. δέν τόν άντιλαμβανόμαστε σάν

. περιορισμένο} καί νά υποθέσουμε ότι αύτοί οί δύο χώροι κινοϋνται δ εvας σέ σχέση μέ τόν άλλο.

126

Πρίν τραβηχτεί ή προσοχή άπ' αύτό· τό μπέρδεμα, τό

διάστημα φαίνεται σάν ενα μέσον άπεριόριστο (δοχείο) μέσα στό όποίο τά ύλικά άντικείμενα μετατίθονται. ' Εξ ι:iλλου, πρέπει

vά σκεφθουμε δτι ύπάρχει ενας ι'iπειρος άριθμός άπό διαστήματα

πού κινουνται τό ενα σέ σχέση μέ τό ι'iλλο. 'Η άντίληψη δτι τό

διάστημα χαίρει μιίiς άντικειμενικής ϋπαρξης άνεξάρτητης άπ'

τά αντικείμενα άνήκει ηδη στήν προεπιστημονική σκέψη , δχι

δμως ή ίδέα τής ϋπαρξης ένός Cίπειρου άριθμου διαστημάτων

πού κινουνται τό ενα σέ σχέση μέ τό ι:iλλο. Αύτή ή τελευταία

ίδέα είναι βέβαια λογικά αναπόφευκτη, άλλά γιά μεγάλο διάστη­

μα δέν επαιξε σπουδαίο ρόλο, οϋτε άκόμη στήν έπιστημονική

σκέψη.

Τώρα, τί γίνεται μέ τήν ψυχολογική καταγωγή τής εννοιας

του χρόνου; Αύτή ή εννοια εlναι άναμφίβολα συνδεδεμένη μέ

τήν <<άνάμνησψ>, καθώς καί στή διάκριση άνάμεσα σέ αίσθητά

πειράματα καί στήν άνάμνησή τους. 'Από μόνη της, είναι

άμφίβολο αν ή διάκριση άνάμεσα στό αίσθητό πείραμα καί τήν

άνάμνηση (η άπλα παράσταση) ε{ναι γιά μίiς ενα ι:iμεσο ψυχολο­

γικό δεδομένο. Σέ καθένα ciπό μας εχει συμβεί νά βρεθεί σέ

ciμφιβολία ι'iν εχει αiσθητή γνώση ένός πράγματος η ι'iν άπλ&ς

τό εχει όνειρευτεί. Εlναι πιθανό δτι αύτή η διάκριση νά ε{ναι ενα προϊόν του πνεύματος ταξινόμησης.

Στήν << ciνάμνησψ> aντιστοιχεί ενα πείραμα πού θεωρείται

σάν << προηγούμενο» σέ σύγκριση μέ τήν τωρινή πείρα· αύτό

είναι μιά άρχή γιά τή γνώση των πειραμάτων (φανταστικών),

πού ή δυνατότητα vά πραγματοποιηθοuv κάνει νά γεννιέται ή

εννοια του ύποκειμενικου χρόνου, δηλαδή σ' αύτή τήν εννοια

τοϋ χρόνου πού άναφέρετcίι στή κατηγορία πειραμάτων πού

εγιναν άπό τό άτομο .

127

ΤΟ ΠΕΔΙΟ

Στή μηχανική τοϋ Newton, ό χώρος καί ό χρόνος παίζουν εναν διπλό ρόλο. Πρώτα άπ' δλα τό ρόλο τοϋ στηρίγματος ή τοϋ

πλαισίου τής φυσικής διαδικασίας, πού σέ σχέση μ' αύτό

περιγράφονται τά γεγονότα μέ τίς συντεταγμένες τοϋ χώρου καί

τοϋ χρόνου. 'Η ϋλη, κατ' &ρχήν, θεωρείται δτι άποτελείται ό:πό

<<ύλικά σημεία», πού οί κινήσεις τους άποτελοϋν τήν φυσική

διαδικασία. "Αν ή ϋλη θεωρείται συνεχής, αύτό γίνεται κατά

κάπ~:ηο τρόπο προσωρινό , στή περίπτωση είδικά πού δέν θέλει ή

πού δέν μπορεί νά περιγράψει τή κρυφή της φύση. Σέ τέτοιες

περιπτώσεις, μικρά μέρη ϋλης (στοιχεία δγκου) έξετάζονται σάν

ύλικά άημεία, τουλάχιστον δταν πρόκειται μόνο γιά κινήσεις καί δχι γιά διαδικασίες πού ή άναγωγή τους σέ κινήσεις δέν

είναι γιά τήν <δρα δυνατή ή συμφέρουσα (παράδειγμα , άλλαγές

θερμοκρασίας, χημικές διαδικασίες). Τό δεύτερο ρόλο πού

παίζουν ό χώρος καί ό χρόνος είναι αύτός του <<συστήματος

άδρανείας» . Τά συστήματα άδρανείας θεωροϋντο προτιμητέα

άπ' δ λα τά φανταστικά συστήματα άναφοράς, γιατί σέ σχέση μ '

αύτά 'ίσχυε ό νόμος τής άδράνειας.

Τό ούσιώδες είναι δτι ή <<φυσική πραγματικότητα», θεωρού­

μενη άνεξάρτητη άπό τά σκεπτόμενα δντα, ήταν άντιληπτή δτι

αποτελείτο, άπό χώρο καί χρόνο, απ, τή μιά μεριά, καί ιiπ, τήν

άλλη άπό ύλικά σημεία, άμετάβλητα, πού ήταν σέ κίνηση σέ

σχέση μ' αύτά-τουλάχιστον θεωρητικά. 'Η ίδέα τής άνεξάρ­

τητης ϋπαρξης τοϋ χώρου καί του χρόνου μπορεί νά έκφραστεί

μ' αuτό τόν έντυπωσιακό τρόπο: "Αν ή ϋλη έξαφανιζόταν, θά

εμεναν μόνοι ό χώρος καί ό χρόνος (σάν ενα είδος σκηνfjς γιά

τίς φυσικές διαδικασίες).

Αύτή ή aποψη ξεπεράστηκε χάρη σέ μιά έξέλιξη, πού

πρωταρχικά, δέν φαινόταν νά εχει τίποτε τό κοινό μέ τό

128

πρόβλημα τοϋ χώρου καί τοϋ χρόνου: είναι ή έμφάνιση της

έννοιας τόv πεδίου καί ή τελική της τάση ν ' aντικαταστήσει~ θεωρητικά τήν εννοια τοϋ σωματιδίου (ύλικό σημείο) . Στό

πλαίσιο τής κλασσικής Φυσικής ή εννοια του πεδίου παρουσια­

ζόταν σάν βοηθητική, εiδικά στή περίπτωση πού ή uλη έξεταζό­

ταν σάν ενα συνεχές. Μελετώvτας , γιά παράδειγμα, τήν θε ρμική αγωγιμότητα ένός στερεοί) σώματος, ή κατάστασή του περιγρά­

φεται δείχνοντας τή θι;;ρμοκρασία του σέ καθένα aπ, τά σημεία

του γιά κάθε όρισμένη στιγμή. ' Από τή μαθηματική άποψη ,

αύτό σημαί'!ει ότί ή θερμοκρασία τ παριστάνεται σάν μαθηματι­

κή Εκφραση (συ'!άρτηση) τών συντεταγμένων του χώρου καί τοϋ

χρόνου t (πεδίο t!ερμοκρασίας). 'ο νόμος τής θερμικής αγωγι­

μότητας παριστάνεται σάν μιά τοπική σχέση (διαφορική έξίσω­

ση), πού αγκαλιάζει όλες τίς είδικές περιπτώσεις τής θερμικής

αγωγιμότητας . ' Η θερμοκρασίας εΙ ναι έδώ ενα άπλό παράδειγμα

τής εννοιας του πεδίου. Ειναι ενα μέγεθος (ij ενα σύμπλεγμα aπό μεγέθη) πού είναι συvάρτηση τών 'σύντεταγμένων του χώρου καί του χρόνου . 'Ένα ι'iλλο παράδειγμα ε{ναι ή περιγραφή η1ς κίvησης ένός ύγροu. Σέ κάθε σημείο ύπάρχει γιά κάθε στιγμή

μία ταχύτητα πού περιγράφεται ποσοτικά μέ τίς τρείς της

«συνιστώσες >> σχετικά μέ τούς Ciξονες ένός συστήματος συντε­ταγμένων (διάνυσμα). Οί συνιστώσες τής ταχύτητας σ' ενα

σημείο (συνιστώσες του πεδίου) εlναι έδώ τό 'ίδιο συναρτήσεις

τών συντεταγμένων (χ, y, z) καί του χρόνου t.

Χαρακτηριστικό γι ' αύτά τά πεδία πού μιλήσαμε ε{ναι ότι

δέν έμφανίζονται παρά μόνο στό έσωτερικό μιίiς σταθμητής

μάζας, καί όφείλουν μόνο νά περιγράψουν μιά κατάσταση τής

uλης . Έκεί όπου δέν ύπάρχει uλη,-σύμφωνα μέ τήν iστορία

τής καταγωγής τής eννοιας του πεδίου-δέν ύπάρχει έπίσης

πεδίο. Στό πρώτο τέταρτο. δμως του 19ου αίώνα συνέβη, τά

φαινόμενα τής interferenc.e καί τfίς κίνιισης του φωτός νά

έξηγηθοuν μέ μιά έκπληκτική άκρίβεια, έξετάζοντας τό φώς σάν ενα κυματικό πεδίο , πού ε{ναι τελείως άνάλογο μέ τό μηχανικό

κυματικό πεδίο σ ' ενα στερεό έλαστικό σώμα. 'Έτσι εγινε ύπο­

χρεωτικό νά είσαχθεί ενα πεδίο πού μποροίJσε νά ύπάρχει στό

κενό χώρο δίχως σταθμιτή ϋλη.

Αύτό τό γεγονός δημιούργησε μιά παράδοξη κατάσταση, γιατί ή ~ννοια του πεδίου, σύμφωνα μέ τή καταγωγή της, ήrον

129

προορισμένη νά περιγράφει καταστάσεις στό έσωτερικό ένός

σταθμιτου σώματος. Αύτό φαινόταν τόσο σίγουρο πού ήταν

πεπείσμένοι δτι πρέπει ν' άντιλαμβανόμαστε κάθε πεδίο σάν μιά

κατάσταση πού επρεπε νά έρμηνευτεί μηχανικά, πράγμα πού

. ύπόθετε τ-ή παρουσία τής uλης. Γι' αύτό ήταν ύποχρεωμένοι νά παραδεχτουν στό διάστημα, πού μέχρι τότε τό θεωρουσαν καινό,

δτι ύπάρχει σέ κάθε σημείο μιά uλη πού ονόμασαν <<αίθέρα".

Τό ξεπέρασμα τής ύπόθεσης ένός ύλικοϋ στηρίγματος γιά

τήν εννοια του πεδίου άνήκει στά πιό ενδιαφέροντα γεγονότα,

άπό τήν ψυχολογική Ciποψη, τής έξέλιξης τής φυσικής σκέψης .

Στό δεύτερο ijμισυ του 19ου αίώνα f:γινε, σέ συνδυασμό μέ τίς

ερευνες τών Faraday καί Maxwell, σαφές δτι ή περιγραφή τών ήλεκ:τρομαγνητικών φαινομένων, μέ χρήση τοϋ πεδίου ήταν πολύ άνώτερη άπ' τή μέθοδο πού στηριζόταν στίς ενvοιεςτών

μηχανικών σημείων. Μέ τήν εiσαγωγή τής εννοιας τοϋ πεδίου

στήν 'Ηλεκτροδυναμική, ό Maxwell κατόρθωσε νά προείπει τήν uπαρξη ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων πού ή βασική ταί1τισή τους μέ τά κύματα τοϋ φωτός ήταν ηδη άναμφίβολη έξ αΙτίας της

ίσότητας τής ταχίηητας μετάδοσης. Μ· αύτό τό τρόπο ή · Οπτι­κή aπορροφήθηκε, γενικά, άπ' τήν 'Ηλεκτροδυναμική. Τό

ψυχολογικό άποτέλεσμα αύτής τής σπουδαίας έπιτυχίας ήταν

δτι ή εννοια τοϋ πεδίου aπόκτησε άπέναντι στό μηχανιστικό

πλαίσιο τής κλασσικής Φυσικής, μιά δλο καί πιό μεγάλη

άνεξαρτησία.

Τούλάχιστον εyινε δεκτό στήν aρχή, σάν κάτι τό πολύ

φυσιολογικό, δτι τά ηλεκτρομαγνητικά πεδία πρέπει νά έρμη­

νευτουν σάν καταστάσεις του αίθέρα, καί έργάστηκαν μέ πολύ

ζήλο γιά νά έξηγήσουν αύτές τίς καταστάσεις μηχαvικά. Μονά­

χα δταν δλες αύτές οί προσπάθειες aπότυχα\1 σταθερά συνήθι­

σαν σιγά, σιγά νά έγκαταλείψουν τέτοιες-μηχανικές έρμηνf;ίες.

'Εντούτοις πάντα παρέμενε ή πεπείθηση δτι τά τ']λεκτρομαγνη- · τικά πεδία ήταν καταστάσεις τοϋ αίθέρα· αύτή ήταν ή κατάστα­

ση του προβλήματος στήν άρχή αύτουνου του αίώνα.

·Η θεωρία τοϋ αiθέρα προκάλεσε τό παρακάτω έρώτημα:

Πώς συμπεριφέρεται ό αίθέρας άπέναντι στά σταθμιτά σώματα.

κάτω άπό τή μηχανική σχέση; Συμμετέχει στίς κίνήσεις αlιτών τών σωμάτων, ij τά μέρη του βρίσκονται σέ ήρεμία μεταξύ τους;

130

Πολλά ί::ξυπνα πειράματα ί::γιναν γιά νά λυθεί αύτό τό έρώτημα. Σ' αύτή τή σειρά προβλημάτων μπαίνουν καί τά σπουδαία

φαινόμενα τής οφθαλμαπάτης τών σταθερών ιiστέρων έξ αiτίας

τής έτήσιας κίνησης τής Γής, καθώς καί τό «φαινόμεν~ του· Dopler» (έπίδραση τήι; σχετικής κίνησης τών σταθερών aστέ­ρων πάνω στή συχνότητα του φωτός πού μδ.ς ερχεται ιiπό μιά

εκπομπή γνωστής συχνότητας). Τά ιiποτελέσματα δλων αύτών

τών φαινομένων καί δλων αύτών τών πειραμάτων (έκτός ιiπό

αύτό των Michelson -Morley) έξηγήθηκαν ιiπό τόν Η. Α. Lo­rentz, πού ύπόθεσε δτι ό αίθέρας δέν συμμετέχει καθόλου στίς κινήσεις τών σταθμιτών σωμάτων καί δτι μέρη του αiθέρα δέν έκτελοiJν διόλου σχετικές κινήσεις μεταξύ τους. ·Ο αiθέρας μ·

αύτό τό τρόπο παρουσιαζόταν σάv τήν προσωποποίηση tνόζ διαστήματος σέ aπόλυτη ήρεμία. 'Η ερευνα του Lorentz δμως πραγματοποίησε κάτι περισσότερο. 'Εξήγησε τίς τότε γνωστές

ήλεκτρομαγνητικές καί όπτικές διαδικασίες στό έσωτερικό {ων σταθμιτ&ν σωμάτων, ύποθέτοντας δτι ή έπίδραση τής σταθμι­

τής ϋλης στό ήλεκτρικό πεδίο ( καί aντίστροφα) πρέπει ν.

aποδοθεί στό γεγονός δτι τά σωματίδια της ϋλης φέρουν ήλεκ­

τρικά φορτία πού παίρνουν μέρος στίς κινήσεις τους. 'Όσον

άφορα τό πείραμα των Michelson καί Morley, ό Lorentz εδειξε τουλάχιστον δτι τό aποτέλεσμά του δέν !:ρχεται σέ aντίθεση μέ

τή θεωρία του αiθέρα σέ ήρεμία.

Παρ' δλες αύτές τίς ώραίες επιτυχίες, ή θεωρία δέν ήταν

έντούτοις τελείως ίκανοποιητική, γιά τόν aκόλουθο τρόπeι. ·Η

κλασσική Μηχανική, γιά τήν όποία δέν μποροiJμε ν' άμφιβάλ­

λουμε δτι iσχύει μέ μεγάλη προσέγγιση, βεβαιώνει τήν ισοδυνα­

μία δλων τών συστημάτων ιiδρανείας (ij χώροι ιiδρανείας) γιά τή διατύπωση των νόμων τής φύσης . (Οί νόμοι τής φύσης μένουν

ιiμετάβλητοι δταν περνάμε ιiπό ενα σύστημα ιiδρανείας στό

Cίλλο).

Τά ήλεκτρομαγνητικά καί όπτικά πειράματα βεβαιώνουν τό

'ίδιο μέ μιά ά:ξιοσημείωτη ιiκρίβεια. 'Η θεμελίωση δμως τής

ήλεκτρομαγνητικής θεωρίας προτιμάει ενα ίδιαίτερο σύστημα

ciδρανείας, δηλαδή τόν φωτεινό αiθέρα σέ ήρεμία. Αύτή ή

aντίληψη τής θεωριτικής θεμελίωσης ήταν λίγο ίκανοποιητική.

'Υπήρχε άραγε τρόπος νά μεταβληθεί αύτή ή θεμελίωση μέ

τρόπο πού νά άναγνωρίζεται-δπως τό ε κανε ή κλασσική Μηχα-

131

νική-ή ισοδυναμία δλως τών συστημάτων άδρανείαζ (άρχή τής

περιορισμένης σχετικότητας) .

'Η aπάντηση σ ' αuτό τό έρώτημα εΙ ναι ή Θεωρία τής

περιορισμένης σχετικότητας. Δέχεται άπ' τ ή θεωρία τών

Maxwell-Lorentz τήν ύπόθεση τής σταθερότητας τής ταχύτητας τοϋ φωτός στό κενό. Γι_ά νά συμφωνήση αuτή ή ύπόθεση μέ τήν

ισοδυναμία τών συστημάτων άδρανείας (άρχή τής περιορισμέ­

νης σχετικότητας) , πρέπει νά έγκαταληφθεί ό απόλυτος χαρα­

κτήρας του ταυτόχρονου . 'Εξ άλλου , οί μετασχηματισμοί τοϋ

Lorentz γιά τό χρόνο καί .στίς συντεταγμένες του χώρου ισχύουν γιά τό πέρασμα άπό ενα σύστημα άδρανείας σ ' ενα άλλο. 'Όλο

τό περιεχόμενο τής Θεωρίας τής περιορισμένης σχετικότητας

περιέχεται σ ' αuτό τό άξίωμα: Οί νόμοι τής φύσης είναι

άμετάβλητοι σχετικά μέ τούς μετασχηματισμούς του Lorentz. ' 'Η σπουδαιότητα αύτοu του aξιώματος συνίσταται στό δτι

περιορίζει κατά κάποιο τρόπο τούς δυνατούς νόμους τής φύσης.

Πώς aντιμετωπίζει ή Θεωρία τής περιορισμένης σχετικότη­

τας τό πρόβλημα του χώρου; Πρώτα άπ' δ λα πρέπει νά έπιφυλα­

χτ~.. jμε νά πιστέψουμε δτι ό τετραδιά.στατος χαρακτήρας τής

πραγματικότητας εχει είσαχθεί μόνο ό:π' αύτή τή θεωρία. Στή

κλασσική Μηχανική έπίσης κάθε γεγονός έντοπίζεται μέ τέσσε­

ρις άριθ.μούς , δηλαδή άπό τρείς συντεταγμένες του χώpbυ καί μιά του χρόνου. 'Έτσι τό σύνολο των. φυσικ&ν <<γεγqνότων»

θεωρείται σάν νά ήταν βουτηγμένο σ' ε να πολλαπλό συνεχές μέ

τέσσερις διαστάσεις. Σύμφωνα δμως μέ τή κλασσική Μηχανική

αύτό τό τετραδιάστατο συνεχές διαιρείται άντικειμενικά στόν

μονοδιάστατο χρόνο καί στίς τρισδιάστατες (χωρικές) τομές,

πού περιέχουν μόνο ταυτόχρονα γεγονότα. Αύτή ή διαίρεση ε{ναι ή ίδια γιά δλα τά συστήματα άδρανείας. Τό ταυτόχρονο

δύο γεγονότων πού είναι προσδιορισμένα σέ σχέση μ' ενα .σύστημα άδρανείας έπιβάλλει τό ταυτόχρονο αύτ&ν τών γεγονό­

των .σέ σχέση μt δλα τά συστήματα ' αδρανείας. Ε{ ναι αύτή άκριβώς ή σημασία τής διαβεβαίωσης τής κλασσικής Μηχανι­

κής ότι ό χρόνος εΙναι aπόλυτος. Σύμφωνα δμως μέ τή Θεωρία τής Περιορισμένης .σχετικότητας τά πράγματα ε{ναι διαφορετι­κά. Τό σύνολο τών γεγονότων, πού εΙ ναι ταυτόχρονα μ· ενα όρισμένο γεγονός, ύπάρχει βέβαια σχετικά μ' ενα όρισμένο σύσητμα άδρανείας, δέν ε{ναι όμως άνεξάρτητο άπ' τήν έκλογή

132

ένός τέτοιου συστήματος . Τό συνεχές μέ τέσσερις διαστάσεις

δέν διαιρείται πιά aντικειμενικά σέ τομές πού περιέχουν δλα τά

ταυτόχρονα γεγονότα · τό •• τώρα» χάνει τήν aντικειμενική του

σημασία γιά τόν κόσμο πού έκτείνεται στό διάστημα . 'Απ' αύτό συμπεραίνεται δτι ε{ναι ύποχρεωτικό νά aντιλαμβανόμαστε

aντικειμενικά τό χώρο καί τό χρόνο σάν ενα συνεχές άδιαίρετο

μέ τέσσερις διαστάσεις, αν θέλουμε νά εκφράσουμε τό περιεχό­

μενο τών aντικειμενικών σχέσεων χωρίς νά εχουμε άνάγκη άπό

μεθόδους i:ιύθαίρετες καί συμβατικές περιττές.

Μόλις ή Θεωρία της περιορισμένης σχετικότητας εκανε

προφανή τή φυσική ίσοδυναμία δλων τών συστημάτων άδρανε ί­

ας, ή ύπόθεση τοu αίθέρα σέ ήρεμία δέν μποροuσε νά σταθεί.

'Υποχρεωθήκαμε ετσι νά έγκαταλείψουμε τήν ίδέα δτι τό ηλεκ­

τρομαγνητικό πεδίο πρέπει νά εχει ί:να ύλικό στήριγμα. 'Έτσι

τό πεδίο γίνεται ενα στοιχείο πού δέν άνάγεται στή φυσική

περιγραφή, μέ τήν 'ίδια σημασία πού δέν άνάγεται καί ή εννοια

της ϋλης στή θεωρία τσu Newton.

Μέχρι τώρα προσπαθήσαμε νά δείξουμε σέ ποιό βαθμό οί

εννοιες του χώρου καί του χρόνου μεταβλήθηκαν άπό τή Θεωρία της περιορισμένης σχετικότητας. Τώρα ι'iς παρατηρήσουμε τά

στοιχεία πού δέχτηκε αύτή ή θεωρία άπ · τήν κλασική Μηχανι­κή. ' Εδώ τό 'ίδιο , οί νόμοι τής φύσης ίσχύουν μόνο ι'iν πάρουμε

γι.ά βάση γιά τή χωρο-χρονική περιγραφή ενα σύστημα άδρα­

νείας . Γιατί μόνο σέ σχέση μ' ί:να σύστημα dδρανείας ή aρχή της

~αδράνειας καί ή aρχή της σταθερότητας της ταχύτητας του

φωτός ίσχύουν . Τό 'ίδιο οί νόμοι του πεδίου εχουν νόημα καί

ίσχύ μόνο σέ σχέση μέ συστήματα' αδρανείας. 'Όπως καί στή

κλασική Μηχανική, δ χώρος είναι έδώ ί:νας άνεξάρτητος παρά­

γοντας , γιά τήν περιγ ραφή της φυσικης πραγματικότητας. ' Ο

χώρος (άδρανείας) , ii άκριβέστερα αύτός ό χώρος μαζί μέ τό χρόνο πού του άνήκει, παραμένουν δταν κάνουμε νά έξαφανι­

στουν μέ τή σκέψη ή ϋλη καί τό πεδίο. Αύτή ή δομή μέ τέσσερις

διαστάσεις (διάστημα του Minkowski) θεωρείται σάν στήριγμα τfjς ϋλ ης .καί τοϋ πεδίου. Οί χώροι άδρανείας καί οί χρόνοι πού τούς άνήκουν εΙναι εύνοούμενα συστήματα συντεταγμένων μέ

τέσσερις διαστάσεις , πού συνδέονται μεταξύ τους μέ τούς γραμ­

μικούς μετασχηματισμούς του Lorentz. 'Επειδή δέν ύπάρχουν πιά σ αuτή τή δομή μέ !_έσσιψις διαστάσεις τομές, πού νά

133

παριστάνουν αντικειμενικά τό «τώρα», ή εννοια τοϋ γίγνεσθαι

δέν έξαφανίζεται βέβαια τελείως, γίνεται δμως πιό περίπλοκη.

Φαίνεται, συνεπώς, πιό φυσιολογικό νά παριστάνεται ή φυσική

πραγματικότητα αάν ενα δν μέ τέσόερις διαστάσεις, παρά δπως

γινότClν εως τώρα, σάν τό γίγνεσθαι ένός δντος μέ τρείς διαστά­

σεις.

Αύτός ό μή έλαστικός τετραδιάστατος χώρος τής Θεωρίας

τής περιορισμένης σχετικότητας εΙναι κατά κάποιο τρόπο τό

τετραδιάστατο άνάλογο τοϋ τρισδιάστατου μή έλαστικοϋ αίθέρα

τοϋ Η.Α. Lorentz. Γιαυτή τή θεωρία ίσχύέι έπίσης ή πρόταση: ·Η περιγραφή τών φυσικών καταστάσεων ύποθέτει κατά πρ<iπο

λόγο τό χώρο σάν δοσμένο καί ύπαρκτό μέ ανεξάρτητο τρόπο .

Αύτή ή θεωρία έπίσης δέν έξαλείφει τήν δυσκολία τοϋ

Deckartes πού ό.φορά τήν ό.νεξάρτη~η ϋπαρξη καί μάλιστα έκ τών προτέρων τοϋ «κενοϋ χώρου>> . Οί παρακάτω στοιχειώδεις

σκέψεις εχουν γιά σκοπό νά δείξουν, σέ ποιό βαθμό αt'Jτή ή

δυσκολία ξεπερνιέται άπό τή Θεωρία της γενικής σχετικότητας.

134

Η ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

Τό πρόσωπο Α («έγώ,), γιά παράδειyμα, διαπιστώνει δτι

<<άρθρώνει». Διαπιστώνει έπίσης μία τέτοια συμπεριφορά τοϋ Β

προσώπου πού αύτή ή συμπεριφορά εχει μιά σχέση μέ τή δική

του έμπειρία «άρθρώνει••. Συμβαίνει ετσι τό Ανά συσχετίζει μέ

τό Β τήν έμπειρία « ιiρθρώνει••. Στό Α γεννιέται ή άντίληψη δτι

στήν έμπειρία «άρθρώνει•• μετέχουν έπίσης κι' άλλα πρόσωπα.

Τό γεγονός «άρθρώνει•• δέν είναι άντιληπτό πιά σάν μιά άπο­

κλειστικά προσωπική εμπειρία, άλλά σάν μιά έμπειρία (ij μόνο σάν μιά «δυνατή έμπειρία••) κι' t'iλλων προσώπων. Γεννιέται

ετσι ή άντίληψη δτι τό γεγονός «άρθρώνει» πού στήν άρχή είχε

συνειδητοποιηθεί σάν «Προσωπική έμπειρία•• είναι τώρα άντι­

ληπτό έπίσης σάν «γεγονός•• (άντικειμενικό). 'Έτσι είναι γιά τό

σύνολο των γεγονότων πού σj(εφτόμαστε δταν μιλfiμε γιά τόν

«πραγματικό εξω κόσμο••.

Είδαμε δ τι ε'ίμαστε ύποχρεωμένοι ν' άποδώσουμε στίς

έμπειρίες μιά χρονική σειρά αύτου του ε'ίδους: 'Άν β είναι

επειτα άπό α, καί γ επειτα άπό β, τό γ είναι έπίσης επειτα άπό α

(σειρά έμπειρι&ν). Τώρα, τί συμβαίνει μέ τά γεγονότα πού τά

έχουμε συντονίσει μέ τίς έμπειρίες; Τό πρώτο πρfiγμα πού

εχουμε νά κάνουμε είναι νά ύποθέσουμε δτι ύπάρχει μιά χροvική σειρά τών γεγονότων πού συμφωνεί μέ τή χρονική σειρά τών

έμπειριών. Είναι ά!φιβώς αύτό πού γινόταν γενικά, μέ άσυνείδη­

το τρόπο εως τή στιγμή πού σκεπτικές άμφιβολίες παρουσιά­

σθηκαν27. Γιά νά φθάσουμε σέ μιά άvτικειμενοποίηση του

κόσμου, χρειάζεται άκόμη μιά συμπληρωματική δομική ίδέα: τό

γεγονός ε{ναι έπίσης έντοπισμένο στό χώρο καί όχι μόνο στό

χρόνο.

Στά προηγούμενα προσπαθήσαμε νά περιγράψουμε πώς οί

136

εννοιες τοϋ χώρου, τοϋ χρόνου καί τοϋ γεγονότος μποροϋν νά

τεθοϋν · σέ ψυχολογική σχέση μέ τίς προσωπικές έμπειρίες .

'Από τήν άποψη τής λογικής, εlναι οί έλεύθερες δημιουργίες

τής ανθρώπινης έξυπνάδας, τά όργανα τής σκέψης, πού πρέπει

νά χρησιμεύσουν γιά τήν αποκατάσταση μιaς σχέσης άνάμεσα

στίς έμπειρίες, κατά τρόπο πού νά μποροϋν νά άγκαλιαστοϋν καλύτερα. ·Η προσπάθεια τοϋ νά λάμβάνουμε όλότελα ύπ 'όψη

τήν έμπειρική προέλευση αύτών τών βασικών έννοιών, δείχνει μέχρι ποιοϋ σημείου ε'ίμαστε στενά συνδεδεμένοι μ' αuτές τίς

εννοιες . · Αποχτaμε ετσι συνείδηση τής έλευθερίας μας, τήν όποία δέν εlναι πάντα εύκολο δμως νά τή χρησιμοποιοϋμε κατά

τρόπο όρθολογικό.

Σ'αuτή τή παρατήρηση πού άφορά τή ψυχολογική προέ­

λευση τών έννοιών χώρου-χρόνου-γεγονότος (θά τίς όνομ<Κου­

με συνοπτικά έννοιες ••διαστημικής φύσης», σέ άντίθεση μέ τίς

εννοιες τής ψυχολογιιcής σφαίρας) μποροϋμε άκόμα νά προσθέ­

σουμε κάτι ούσιώδες. Γιά νά μελετήσουμε τήν έννοια τοϋ

χώρου,. ξεκινήσαμε άπό πειράματα πού εγιναν μέ κουτιά καί μέ

τή θέση στερεών σωμάτων μέσα σ' αύτά. 'Η δημιουργία αύτή ς

τής εvνοιας προuποθέτει κατά συνέπεια, τήν έννοια αuτών των

σωμάτων (γιά παράδειγμα, τών «κουτιών»). Παρόμοια τά πρόσω­

πα πού ύποχρεώθηκαν νά μποϋν σ, αuτά γιά νά δημιουργήσουν

τήν έννοια τοϋ άντικειμενικοϋ χρόνου παίζουν σ , αuτή τή

συσχέτιση τό ρόλο σωμάτων-άντικειμένων.

Μοϋ φαίνεταt λοιπόν ότι πρίν άπ' τ ίς έννοιεςτοϋ χώρου καί

τοϋ χρόνου πρέπει νά προσδιοριστεί ή εννοια τοϋ στερεοϋ

σώματος.

Αuτές οί έννοιες τής διαστημικής φύσης άνήκουν ijδη δλες

στή προεπιστημονική σκέψη, δίπλα στίς έννοιες τής φυσιολογι­

κής σφαίρας, δπως ό πόνος, ό σκοπός, κ.τ.λ . Γιά τή φυσική

σκέψη, δπως καί γιά τήν έπιστημονική σκέψη γενικά, εlναι

χαρακτηριστικό δτι πρέπει κατ· άρχήν νά έξετάσουμε μέ τή βοήθεια τής ••διαστημικής φύσης, δλες τίς σχέσεις πούχουνε

χαραχτήρα νόμου.

· Ο φυσικός προσπαθεί νά άναγάγει τά χρώματα καί τού'i

ijχους σέ νibrations , καί ό φυσιολόγος τή σκέψη καί τό πόνο

σέ νευρικές διαδικασίες, κατά τέτοιο τρόπο πού τό ψυχικό

στοιχείο σάv τέτοιο, έξαφαvίζεται άπό τήv αΙτιατή άλλυσίδα τοi·

137

όντος καί νά μήν έμφανίζεται, συνεπώς, πουθενά σάν άνεξάρτη­

τη σχέση στίς αίτιακές συνδέσεις. Αύτή ή άντιμετώπιση , πού θεωρεί γενικά δυνατό νά συλλάβει όλες τίς σχέσεις χρησιμο­

ποιώντας άποκλειστικά εννοιες τής «διαστημικής φύσης>> .ε{ναι

άκριβώς αύτό πού έννοοϋμε τώρα μέ <<ύλισμό» (άφοϋ ή «ϋλη»

εχασε τό ρόλο τής βασικής εννοιας).

Γιατί άραγε εΙ ναι άναγκαίο νά κατεβάσουμε άπ · · τίς όλύ­μπιες περιοχές τοϋ Πλάτωνα τίς θεμελιώδεις €ννοιες τfjς έπιστη­

μονικfjς σκέψης καί νά προσπαθήσουμε ν· άνακαλύψουμε τή

γήϊνη καταγωγή τους ; Θά άπαντούσαμε, ότι ε{ναι άναγκαίο γιά

νά τίς άπαλλάξουμε άπ' τό ταμπού πού τίς περιβάλλει καί νά

άποκτήσουμε ετσι μιά πιό μεγάλη έλευθερία γιά τό σχηματισμό

τών έννοιών. ΕΙ ναι κυρίως στούς Χιοϋμ . καί Μάχ πού άνήκει ή άφθαρτη τιμή νά εχουν είσαγάγει αύτή τήν κριτική σκέψη.

Ή έπιστήμη πήρε τίς εννοιες τοϋ χώρου, τοϋ χρόνου καί

τοϋ ύλικοϋ σώματος (δπως καί τήν είδική €ννοια τοϋ <<στερεοϋ

σώματος••) άπό τήν προεπι • τημονική σκέψη καί άφοϋ τίς τροπο­

ποίησε τίς εκανε πιό άιφιβείς . Τό πρώτο της έπίτευγμα ήταν ή άνάπτυξη τής Εύκλείδειας Γεωματρίας, πού ή άξιωματική της

διατύπωση δέν πρέπει νά μάς κάνει νά ξεχνάμε τή έμπειρική της

καταγωγή (δυνατότητας θέσης των στερεών σωμάτων). · Εμπει­ρική καταγωγή Εχουν είδικά ο{ τρείς διαστάσεις τοϋ χώρου δπως

άλλάζει μάλιστα καί δ όγκος τους μέ τήν άλλαγή τής θερμοκρα­

«Κύβους» ίδιας φύσης χωρίς κενό).

'Η εννοια τοϋ χώρου εγινε πιό έκλεπτυσμένη μετά τήν

άνακάλυψη δτι δέν ύπάρχει σώμα άπόλυτα μή έλαστικό. 'Όλα

τά σ'ώματα εlναι έλαστικά καί μποροϋν νά παραμορφωθοϋν,

άλλάζει μά~ιστα καί δ δγκος τουcμέ τήν άλλαγή τής θερμοκρα­

σίας. Γι · αύτό, τά σχήματα πού οί δυνατότητες θέσης πρέπει νά

περιγράφονται άπό τήν εύκ:λείδεια Γεωμετρία δέν μποροϋν νά

προσδιοριστοϋν liμα τά ξεχωρίσουμε άπό τό περιεχόμενο τής Φυσικής. ·Αλλά έπειδή αύτή ε{ναι ύποχρεωμένη νά κάνει

χρήση τής Γεωμετρίας γιά νά όρίσει · τίς εννοιές της δέν

μ· οροϋμε νά καθορίσουμε ιcαί νά έξετάσουμε τό περιεχόμενο τής Γεωμετρίας παρά μέσα στό πλαίσιο δλης τήι;: Φυσικής.

Μέσα σ' αύτή τή συνάρτηση πρέπει άιcόμα νά σκεφτοϋμε τήν άτομιστιιcή ιcαί τήν άντίληψή της τής πεπερασμ~νης διαιρε­

τότητας. Γιατί τά διαστήματα τοϋ ύπατομικοϋ χώρου δέν μπο-

138

ρουν νά μετρηθοuν 'Η άτομιστικ:ή μίiς ύποχρεώνει έπίσης νά έγκαταλείψουμε κατ' άρχή τήν ίδέα τών έπιφανειών τών στερε­

ών σωμάτων πού ε{ναι καθορισμένες μ' ενα τρόπο άκριβή καί

στατικό. Γιατί, γιά νά μιλήσουμε μέ άκ:ρίβεια, δέν ύπάρχουν πιά

νόμοι άνεξάρτητοι γιά τίς δυνατότητες θέσης τών στερεών

σωμάτων, οuτε άκόμα στόν μακροσκοπικό τομέα .

Παρ' δλα αύτά , κανείς δέν σκέφθηκε νά έγκαταλείψει τήν

εννοια τοϋ χώρου, γιατί φαινότανε άπαραίτητη στό σύνολο τοϋ

έπιστημονικοϋ συστήματος πού έπαληθεύεται , μέ έξαιρετικό

τρόπο. Ό Μάχ, ήταν 6 πρώτος πού στόν 19ο αίώνα σκ:έφθηκ:ε σσβαρά νά καταργήσει τήν i:ννοια τοϋ χώρου, προσπαθώντας νά

τήν άντικαταστήσει μέ τήν εννοια τοϋ συνόλου τών άποστάσεων

πού έΙναι παροϋσες σέ δλα τά ύλικά σημεία . (Αύτή τή προσπά­θεια τήν έκανε γιά νά φθάσει σέ μιά ίκανοποιητικ:ή άντίληψη

τής άδράνειας) .

139

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

Αότή ή θεωρία όψείλει τή γέννησή της, κατά πρώτο λόγο, στήν προσπάθεια νά γίνει κατανοητή ή lσότητα της aδρανοuς

μάζας καί του βάρους. Ξεκινάει aπό !:να σύστημα dδραvείας S 1

πού ό χώρος του είναι κενός απ' τή φυσική aποψη. Αύτό

σημαίνει δτι στό μέρος του θεωρο\Jμενου χώρου δέν ύπάρχει

οϋτε ϋλη (μέ τήν κοινή της σημασία), οϋτε πεδίο (μέ τή 6ημασία

τής θεωρίας τής περιορισμένης σχετικότητας). ·Υποθέτουμε

δτι, σέ σχέση μέ τό S 1 ί:να δεύτερο σύστημα άναφορiiς S2 εκτελεί

μιά κίνηση όμαλά επιταχυνόμενη. Τό S2 δέν είναι συνεπώς, ενα

σύστημα άδρανείαζ. Σέ σχέση μέ τό S2, κάθε μάζα θά εκτελοu­

σε μιά άπιταχυνόμενη κίνηση καί, στήν πραγματικότητα, άνε­ξάρτητα άπό τή φυσ ική καί χημική της κατάσταση πού δέν

μπορεί νά διακριθεί, τουλάχιστον σέ πρώτη προσέγγιση, άπό

ί:να πεδίο βαρύτητας. Μέ αύτό τό γεγονός πού είναι παρατηρή­

σιμο μπορεί λοιπόν νά συμβιβαστεί αότή ή aντίληψη: Τό S2 είναι έπίσης ίσοδύναμο μ, ενα «σύστημα αδρανείας» σχετικά

δμως μέ τό s2 ύπάρχει ενα πεδίο βαρύτητας (όμογενές) πού δέν πρέπει νά σκοτιζόμαστε γιά τήν καταγωγή του σ' αύτή τήν

άλληλουχία σκέψης. "Αν λοιπόν εlσάγουμε τό πεδίο βαρύτητας

στό συλλογισμό, τό σύστημα άδρανείας χάνει τήν άντικειμενική

του σημασία, ύποτίθεται δτι αύτή ή <<άρχή ισοδυναμίας» μπορεί νά έπεκταθεί σ' όποιεσδήποτε σχετικές κινήσεις των συστημά­

των άvαφορiiς. "Αν μπορεί πάνω σ' αότές τίς βασικές ίδέες vά

χτιστεί μιά ούσιαστική θεωρία, τότε θά συμφωνεί μέ τρόπο

άπόλυτα ίκανοποιητικό μέ τό στέρεα άποδειγμένο άπ' τό πείρα­

μα γεγονός της ίσότητας τής άδραvοuς μάζας μέ τό βάρος.

'Από τήv τετραδιάστατη aποψη, στό πέρασμα άπό τό S1 στό

S2 , άντιστοιχεί ενας μετασχηματισμός μ ή γραμμικός τώv τεσσά­

ρων συντεταγμένων. Τότε μπαίνει τό παρακάτω ερώτημα: Τί

140

ε'ίδους μή γραμμικούς μετασχηματισμούς πρέπει νά δεχτουμε, η

πώς πρέπει νά γενικευθεί δ μετασχηματισμός του Lorentz; Γιά νά άπαντηθεί αuτό τό έρώτημα, ή παρακάτω σκέψη εlναι άποφα­

σιστική. ,

Στό σύσtημα άδρανείας τών προηγουμένων θεωριών άποδί­

δεται ή παρακάτω iδιότητα: Οί διαφορές τών συντεταγμένων

μετριουνται μέ «μή έλαστικούς» κανόνες (σέ ήρεμία) καί όί

διαφορές του χρόνου μέ ρολόγια (σέ ήρεμία). 'Η πρώτη ύπόθε­

ση συμπληρώνεται μέ μιά. άλλη, σύμφωνα μέ τήν. όποία οί προτάσεις γιά τίς «ευθείες,, τfjς εuκλείδιας Γεωμετρίάς ίσχύουν γιά τίς δυνατότητες τής σχετικής θέσης κανόνων σέ ήρεμία .

·Απ· τά άποτελέσματα τής Θεώpίας τής πεpιοpισμένης σχετι­κότητας συμπεραίνεται τότε, μέ στοιχειώδεις σκέψεις, δτι αuτή

ή άπ' ευθείας φυσική έρμηνεία των συντεταγμένων έξαφανίζε­

ται γιά τά συστήματα άναφορaς S2 πού εΙναι έπιταχυνόμενα σχετικά μέ τά συστήματα άδρανείας S1• 'Άν ε{ναι δμως ί:τσι , οί

συντεταγμένες δέν έκφράζουv πιά παρά τή σειρά τfjς «παράθε­

σης" (καί μ' αύτό τόν τρόπο έπίσης τό βαθμό τής διάστασης του

χώρου) καί καθόλου τίς μετρικές ίδιότητες του χώρου. Μπορεί

ετσι νά έπεκταθουν οί μετασχηματισμοί σέ δποιουσδήποτε

συνεχείς28 μετασχηματισμούς. Αuτό έπιβάλλει τήν άρχή τής

γενικής σχετικότητας: Oi νόμοι τfjς φύσης πρέπει νά μεταβάλ­

λονται μαζί μέ δποιουσδήποτε συνεχείς μετασχηματισμούς τών

συντεταγμένων. Αύτό τό άξίωμα συνδυασμένο μέ τό άξίωμα τής μεγαλύτερης δυνατής άπλότητας των νόμων, περιορίζει τούς

νόμους τής φύσης πού γίνεται λόγος μέ τρόπο άσύγκριτα πιό

δυνατό άπ · τήν άρχή τfjς περιορισμένης σχετικότητας.

Αuτή ή σειρά ίδεων στηρίζεται ουσιαστικά στό πεδίο πού

θεωρείται σάν μιά εvνοια άνεξάρτητη. Γιατί οί περιστάσεις πού

άναφέρονται στό s2 ερμηνεύονται σάν πεδίο βαρύτητας, -χωρίς νά μπεί τό ζήτημα uπαρξης μαζών πού γεννοuν αύτό τό πεδίο.

Αύτή ή σειρά των ίδεών κάνει έπίσης κατανοητό, γιατί οί νόμοι

τοϋ καθαροϋ πεδίου βαρύτητας συνδέονται μέ τρόπο πιό εύθύ

μέ τήν ίδέα •fjς γενικής σ-χετικοτητας άπό τούς νόμους των

πεδίων γενικοϋ χαρακτήρα (όταν γιά παράδειγμα ύπάρχει ~να

ήλεκτρομαγνητικό πεδίο). Γιαυτό ί:χουμε λόγους νά ύποθέσουμε δτι τό διάστημα τοϋ Minkowski «έλεύθερο άπό πεδίο» παρου­σιάζει μιά δυνατή ε{δική περίπτωση πού εΙναι δμαλή, ιc:αί

141

μάλιστα ~ιά είδική περίπτωση άπ' τίς πιό άπλές είδικές περιπτώ­

σεις πού μποροϋμε νά φανταστοϋμε. 'Ένας τέτοιος χώρος ε{ναι,

δσον άφορα τή μετρική του ιδιότητα, χαρακτηρισμένος άπ' τό

γεγονός δτι dx 12+dx22+dx32 ε{ναι τό τετράγωνο τής άπόστασης στό χώρο, μετρημένη μ εναν κανόνα, δύο σημείων <'iπειρα

γειτονικών μιας έγκάρσιας τρισδιάστατης τομής πού έχει εναν

χωρικό χαρακτήρα (θεώρημα του Πυθαγόρα), ένώ τό dx4 ε{ναι τό

χρονικό διάστημα , μετρημένο μέ μιά κατάλληλη μονάδα χρό­

νου, δύο γεγονότων ΠΟύ Εχουν τά (χ 1 , Xz, Χ3 ).

'Όλα αuτά σημαίνουν δτι-δπως εlναι δυνατό ν' άποδειχτεί

μέ τή βοήθεια τοϋ μετασχηματισμοϋ τοϋ Lorentz-δτι τό μέγε­

θος (I) ds2=dx 12+dx22+dx32-dx42 έχει μιά άντικειμενική μετρική σημασία. ' Από τή μαθηματική ι'iποψη σ· αύτό τό γεγονός

αντιστοιχεί ή περίσταση u:ού, σχετικά μέ τό μετασχηματισμό

του Lorentz, ds 2 ε{ναι σταθερό.

'Υποβάλλοντας τώρα αuτόν τό χώρο, μέ τή σημασία τής

άρχής της γένικfjς σχετικότητας, σ, ενα όποιοδήποτε αυθαίρετο

συνεχή μετασχηματισμό τών συντεταγμένων , τό μέγεθος πού

εχει aντικειμενική σημασία έκφράζεται στό νέο σύστημα συντε­

ταγμένων μέ τή σχέση

(!α) ds2= g 1kdx 1dxk ,

δπου πρέπει ν' άθροισθοϋν σέ σχέση μέ τούς δείκτες i καί Κ καί σέ σχέση μέ δλους τούς συνδυασμούς 11, 12, .. .. , εως 44. Τά g 1k δέν ε{ναι τώρα σταθερές, aλλά συναρτήσεις τών συντεταγ­

μένων, πού προσδιορίζονται άπ ' τόν μετασχηματισμό πού έκλέ­

χτηκε αύθαίρετα . Παρ' δλα αύτά τά g 1k δέν ε{ ναι αύθαίρετες συναρτήσεις τών νέων συντεταγμένων, αλλά ακριβώς τέτοιες

συναρτήσεις πού ή μορφή (Ι α) νά μπορεί , μ' εναν συνεχή

μετασχηματισμό τών τεσσάρων συντεταγμένων, νά ξανασχημα­

τισθεί στή μορφή ( 1). Γιά νά ε{ναι δυνατό αuτό οί συναρτήσεις (coνariantes), g 1k πρέπει νά ίκανοποιοϋν τίς συνθήκες δρισμέ­νων γενικών έξισώσεων, πού ό Β . Riemann εχει έξάγει περισσό­τερο άπό μισό αiώνα νωρίτερα άrt' τήν έμφάνιση τής Θεωρίας

τfjς γενικfjς σχετικότητας (<< συνθήκη τοϋ Riemann») . Σύμφωνα μέ τήν aρχή τfjς ίσοδυναμίας, ή (Ια) περιγράφει μέ μιά (συμμε­

ταβλητή), (coνariante) γενική μορφή ενα .πεδίο βαρύτητας l:­νός ίδιαίτερου ε'ίδους, άν τά g 1k ίκανοποιοϋν τή συνθήκη τοϋ

Riemann.

142

. ο νόμος του καθαροί\ πεδίου βαρύτητας γενικοϋ χαρακτήρα πρέπει συνεχπώς, νά ίκανοποιεί τίς παρακάτω συνθήκες. Πρέπει

νά ίκανοποιείται, αν ίκανοποιείται ή συνθήκη του Rίemann · πρέπει δμως νά ε{ ναι πιό ό.δύνατος , συνεπώς λιγότερα απαγορευ­

τικός ό.π' τή συνθήκη του Rίemann.

Μ' αύτό τόν τρόπο ό νόμος τοί\ καθαροϋ πεδίου βαρύτητας

εlναι τελείως προσδιορισμένος , πρδ.γμα πού δέν θέλουμε έδώ νά

τό αποδείξουμε λεπτομερειακά.

Τώρα ε'ίμαστε ί:τοιμοι νά δοuμε σέ ποιό βαθμό τό πέρασμα

στή Θεωρία τής γενικής σχετικότητας μεταβάλλει τήν εννοια

τοί\ χώρου. Σύμφωνα μέ τήν κλασική Μηχανική καί μέ τή

.Θεωρία τής περιορισμένης σχετικότητας ό χώρος (ό χώρος+ χρόνος) εχει μιά άνεξάρτητη ύπαρξη άπέναντι στήν Gλη η στό

πεδίο. Γιά νά μπορεί γενικά νά περιγραφεί αύτό πού πληρεί τό

χώρο καί εξαρτάται άπ' τίς συντεταγμένες, πρέπει νά ύποθέσου­

με πρώτ' άπ ' δλα τήν ϋπαρξη τοϋ χωρο-χρόνου η τοϋ συστήμα­

τος αδρανείας μέ τίς μετρικές του ίδιότητες, γιατί διαφορετικά ή περιγραφή «αύτοί\ πού γεμίζει τό χώρο» δέν θά εlχε νόημα29 •

Σύμφωνα μέ τή Θεωρία τής γενικής σχετικότητας, άπεναντίας, ό

χώρος δέν εlναι ανεξάρτητος άπένατι <<σ. αuτό πού γεμίζει τό

χώρο» καί έξαρτδ.ται ό.π' τίς συντεταγμένες. 'Έστω, γιά παρά­

δειγμα, ενα καθαρό πεδίο βαρύτητας πού περιγράφεται aπό τά

g 1k (σάν συναρτήσεις τώy συντεταγμένων) λύνοντας τίς εξισώ­

σεις τής βαρύτητας . " Αν ύποτεθεί δτι έξαλείφτηκε τό πεδίο

βαρύτητας , δηλαδή τά gιk ' δέν μένει πιά ενας χώρος του τύπου

(1), άλλά άπολύτως τίποτα, οϋτε dκόμη ενας «τοπολογικός

χώρος». Γιατί οί συναρτήσεις g1k δέν περιγράφουν μόνο τό

πεδίο , άλλά ταυτόχρονα τίς ίδιότητες τής δομής, τοπολογικές

καί μετρικές , τής πολλαπλότητας. 'Ένας χώρος του τύπου (Ι)

δέν ε{ ναι μέ τή σημασία τής Θεώρίας τής γενικής σχετικότ1)τας ,

ενας χώρος δίχως πεδίο, dλλά μιά είδική περίπτωση του πεδίου

g 1k γιά τό όποίο τά g 1k (γιά τό χρησιμοποιούμενο σύστημα

σύντεταγμένων, Πού άπό μόνο του δέν εχει καμμιά αντικειμε­νική σημασία) εχουν τιμές πού δέν έξαρτώνται άπ' τίς συντε­ταγμένες ενας κενός χώρος, δηλαδή ενας χώρος χωρίς πεδίο δέν

ύπάρχει.

'Ο Descartes λοιπόν δέν ε{ χε καί τόσο {iδικο δταν πίστευε

143

δτι ήταν ύποχρεωμένος νά αρνηθεί 'tήν ϋπαρξη κενου χώρου.

Αύτή ή γνώμη φαίνεται άτοπη μόνο δσο τά σταθμητά σώματα

θεωρουνται σάν φυσική πργματικότητα. Μόνο ή iδέα του πεδίου

σάν aντιπρόσωπος τής πραγματικότητας, σέ συνδυασμό μέ τήν αρχη τής γενικής σχετικόtητας, εfναι πού αποκαλύπτει τήν άληθινή σημασία της ίδέαζ του Descartes: ενας χώρος «έλεύθε­ρος aπό πεδίΟ>> δέν ύπάρχει.

144

ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ

·Η θεωρία του καθαροί> πεδίου βαρύτητας, πού στηρίζεται

στήν Θεωρία τής γενικής σχετικότητας, μάς εlναι εϋκολα προσιτή, γιατί μποροί>με νά έχουμε τή βεβαιότητα δτι τό

διάστημα του Minkowski «έλεύθερο άπό πεδίο•• μέ τήν μετρική πού συμφωνεί μέ τήν {I) πρέπει ν' άνταποκρίνεται στούς

γενικούς νόμους του πεδίου . 'Απ' αύτή τήν εiδική περίπτωση

συμπεραίνεται ό νόμος τής βαρύτητας μέ μιά γενίκευση πού δέν

έχει τίποτε τό αύθαίρετο . Ή κατοπινή άνάπτυξη . τής θεωρίας

δέv εlναι προσδιορισμένη μ. ε να τρόπο τόσο ξεκάθαρο άπ. τήν

άρχή τής γενικής σχετικότητας άκολουθήθηκε αύτές τίς τελευ­

ταίες δεκαετίες πρός διαφορετικές κατευθύνσεις . 'Όλες αύτές οί

προσπάθειες !:χουν τοί>το κοινό, δτι άντιλαμβάνονται τή φυσική πραγματικότητα σάν πεδίο, πού εlναι μιά γενίκευση του πεδίου

βαρύτητας, καί ό νόμος του πεδίου μιά γενίκευση του καθαροί>

πεδίου βαρύτητας. Νομίζω οτι εχω βρεί, μετά άπό πολλά ψηλα­

φίσματα, τή φυσιολογική μορφή γιάυτή τή γενίκευση 30 , άλλά

δ.έν ijμουν εως τώρα σέ κατάσταση νά ξεκαθαρίσω αν αύτός ό

γενικευμένος νόμος άντιστέκεται στά πειραματικά γεγονότα .

Γιά τήν προηγούμενη γενική σκέψη, τό ζήτημα του είδικοϋ

νόμου τοϋ πεδίου ε{ναι δευτερεϋον . Τό κυριώτερο ζήτημα πρός

τό παρόν εlναι νά ξέρουμε, αν μιά θεωρία του πεδίου σάν αύτήν πού έξετάσαμε έδώ μπορεί γενικά νά δδηγήσει στόν σκοπό .

Μ' αύτό έννοώ μιά θεωρία πού περιγράφει τή φυσική

πραγματικότητα (συμπεριλαμβανομένου καί τοϋ χώρου μέ . τέσ­σερις διαστάσεις) πλήρως μ ' ενα πεδίο. ' Η τωρινή γενιά τών

φυσικών τείνει ν· άπαντήσει άpνητικά · πιστεύει, σέ συνδυασμό

μέ τήν τωρινή μορφή τής θεωρίας τών quanta, δτι ή κατάσταση ένός συQτήματος δέν μπορεί νά χαρακτηρισθεί μέ άπ' εύθείας

145

φόπο, άλλά μέ εμμεσο, δείχνοντας τή στατιστική των άποτελε­

φάτων πού μποροϋμε νά €χουμε άπ' τίς μετρήσεις τοϋ συστή­

ματος. Δεσπόζει ή πεποίθηση στούς φυσικούς ότι ή διπλή φύση

(δομή άπό σωματίδια καί δομή κ·ψατική), πού €χει στέρεα

άποδειχτεί άπό τό πείραμα, δέν μπορεί νά άποκτηθεί παρά μ'

ενα τέτοιο άδυνάτισμα τής €ννοιας τής πραγματικότητας. Εlμαι

τής γνώμης ότι μία θεωρητική άρνηση πού πάει τόσο μακρυά

δέν στηρίζεται, γιά τήν rορα, στήν πραγματική μας γνώση καί

ότι δέν πρέπει νά μίiς έμποδίσει νά ακολουθήσουμε τό δρόμο τής

θεωρίας τής σχετικότητας τοϋ πεδίου εως τό τέλος.

ΥΠΟΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

I. τίς μαθηματικές βάσεις τής Θεωρίας τής .περιορισμένης σχετικότητας θά

τίς βρεί κανείς στίς διατριβές (πανεπιστημιακές μελέτες) τών Η. Α . Lorentz. Α. Einsιein καί Η. Minkowski, δημοσιευμένες μέ τόν τίτλο Das Relatiνitatsprinzip, στή συλλογή μονογραφιών Fortischritte der mathematischen Wissenschaften (τeunbner), καθώς καί στό λεπτομεριακό βιβλίο τοϋ κ. Laue μέ τόν τίτλο Das

Relatiνitasprinzip (Vieweg, Brunswick). 'Η θεωρία τής γενικής σχετικότητας καθώς καί τά βοηθήματα τής θεωρίας τών inνariante πού fχουν σχέση έκθέτονται

στή Μελέτη τοϋ συγγραφέα όνομαζόμενη Dir grundlagen der illgemeinen Relatiνitats theorie (Barth, 1916). Αύτό τό fργο προϋποθέτει μιά γνώση σέ βάθος τής Θεωρίας τής περιορισμένης σχετικότητας.

2. "Ετσι συσχετίζεται μέ τήν εύθεία ~να φυσικό ιiντικείμενο. Τρία σημεία, Α, Β, C tνός στερεοϋ σώματος βρίσκονται σέ μιά εύθεία έάv, Α καί C ε!ναί δοσμένα καί τό σημείο Β διαλεχθεί, fτσι, ώστε τό άθροισμα τών ιiποστάσεων ΑΒ καί BC. ε!ναι τό μικρότερο δυνατό. Αύτή ή έλλειπής ένδειξη έδώ άρκεί.

3. Έδώ ύποτίθεται δτι τό μέτρημα fγινε χωρίς ν' ιiφtjσει ύπόλοιπο, δηλ . δτι

τό άποτέλεσμα ε!vαι fνας άριθμός c'ίρτrος . Αύτή ή δυσκολία ξεπερνιέται

χρησιμοποιώντας κανόνες, χαραγμένους, τώv όποίων ή χρtjση δέν άπαιτεί τtj

γνώση καμιdς νέας μεθόδου.

4. Μιά πιό λεπτομερειακή fρευνα γιά νά δειχθεί τί σημαίνει έδίi> «σύμπτωση στό χώρο» δέν ε!ναι άναγκαία. Γιατί αύτή ή fννοια εlναι σαφής δεδομένου ότι,

στήν ε!δικtj συγκεκριμένη περίπτωση, διαφορές άπόψεων δσον άφορa τή Ισχύ

της 1'\ δχι, δύσκολα μποροϋν νά έμφανισθοϋν.

5. 'Η θεωρία τής γενικής σχετικότητας, πού έκτίθεται στό δεύτερο μέρος

αύτοϋ τοϋ βιβλίου κάνει dναγκαίες μία τελειοποίηση καί μία άλλαγή αύτών τών

άντιλήψεων.

6. Δηλαδή, μιά τροχιά πού διαγράφει τό σώμα.

7. Ύποθέτουμε, έξ άλλου, δτι έάν τρία γεγονότα Α, Β, C συμβαίνουν σέ τρία διαφορετικά μέρη, fτσι ώστε Α καί Β καθώς Β καί C εlναι ταυτόχρονα

(ταυτόχρονα μέ τήν &ννοια τόϋ παραπάνω όρισμοϋ), τό κριτήριο τοϋ ταυτόχρο­νου τίi>ν δύο γεγονότων A-C ε!ναι έπίσης έπαληθευμένο. Αύτή ή !κασία ε!ναι μιά

φυσικtj ύπόθεση πού άφορα τό νόμο μετάδοσης τοϋ φωτός. Πρέπει νά εlναι

άπολύτως σωστή, έάν θέλουμε νά &χουμε μιά δυνατότητα διατήρησης τοϋ νόμου

τής σταθερής ταχύτητας τοϋ φωτός στό κενό.

't· ·Ενωμένες άπ · τήν άποβάθρα. 9. Γιά παράδειγμα, τά μέσα τοϋ πρώτου βαγονιοϋ καί τοϋ tκατσστοϋ.

10. Μιά άπλή παραγωγή τοϋ μετασχηματισμοϋ τοϋ Lorentz δίδεται οrό ;

Παράρτημα.

147

11 . ·ο Φιζώ βρήκε δτι : w = w +Ρ (ι-}.). c ~

•tου η = u; εlναι ό συντελεστής διάθλασης τοϋ uγροϋ. Έξ dλλου, έπειδt\ Ci

·αι μικρό σέ σχέση μέ τό I, μπορεi ν' dντικατασταθεi (Β) μέ W = (w + Ρ) (ι_~) c• '

:όμη , στόν 1διο βαθμό προσέγγισης, W + D { 1 _ ~} πού συμφωνεi μέ τό · ., .,, .. ... : ,ι, , _,.

12. !Ξ., ε lναι ή ' tνέργεια πού άποpρuψίi σι σzι.ση μ ι:ω σι.στημα συντεταγμένων σέ κίνηση μέ τό σώμα.

13. Θεωρούμενη σέ σχέση μ' fνα σύστημα συντ/νων σέ κίνηση μέτό σώμα .

14. ·Η Θεωρία της γενικής σχετικότητας κάνει άληθοφανή τήν άποψη δτι οί ήλεκτρικές μάζες ένός ήλεκτρονίου κρατιούνται μαζί άπό δυνάμεις βαρύτητας

(t:λξης) .

15. Κοίτα στό παράρτημα ΙΙ τή λίγο πιό λεπτομερειακή έκθεση (άνάλυση).

16. ·Η άντίρρηση ε!ναι προπαντός σπουδαία δταν ή κινητική κατάσταση τοϋ σώματος άναφορίiς ε! ναι τέτοια πού δέν εχει άνάγκη γιά τή διατήρησή της καμία

έξωτερική έπίδραση, παράδειγμα, στή περίπτωση πού τό σώμα άναφορίiς

έκτελεί μιά κίνηση όμαλή κυκλική.

17. Ή ύπαρξη τής έκτροπής τοϋ φωτός πού άπαιτείται άπ' τή θεωρία

διαπιστώθηκε μέ φωτογ11αφίες, δταν ~γινε ή lκληψη τοϋ ·Ηλίου στίς 29 Μαίου 1919, άπ · τίς δύο άποστολές πού όργάνωσε ή Societe Royale κάτω άπ · τ ή

διεύθυνση τών άστρονόμων Eddington καί Crommplin.

18. Αύτό βγαίνει άπ ' τή γενίκευση τοϋ συλλογισμοϋ τοϋ κεφ . 20.

19. Τό πεδίο έξαφανίζεται στό κέντρο τοϋ δίσκου καί αύξάνει άνάλογα μέ τήν άπόσταση τοϋ κέντρου πρός τά fξω.

20. Σ · δλο αuτό τό συλλογισμό πρέπει νά χρησιμοποιείται σάν σύστημα

συντεταγμένων τό γαλιλαιϊκό σύστημα Κ (πού δέν. περιστρέφεται), δεδομένου

δτι τά άποτελέσματα τής Θεωρίας τής περιορισμένης σχετικότητας δέν μποροϋν

νά θεωρηθοϋν δτι Ισχύουν παρά μόνο σχετiκά ιtέ τό Κ (σχετικά μέ τό Κ· έπικρατεi lνα πεδίο βαρύτητας).

21. Τό πρόβλημά μας τέθηκε στούς μαθημα~ικούς μέ τήν έξής μορφή . ·Αν στό εuκλεiδιο διάσ~ημα μέ τρείς διαστάσεις έ!vαι δοσμένη μιά έπιφάνεια, π.χ . έλλειψοειδής, ύπάρχει σ' αύτή τήν έπιφάνεια, μιά γεωμετρία μέ δυό διαστάσεις

δπως στό έπίπεδο. ·Ο Γκάους (Gauss) fθεσε τό πρόβλημα νά έξετασθεί αuτή ή γεωμετρία μέ δύο διαστάσεις μέ τήν άρχή νά μή ληφθεί ύπ' δψη δtι ή έπιφάνεια

άνήκει σ' fνα εύκλείδειο συνεχές μt τρείς διαστάσεις . ·Αν φανταστοϋμε πάνω στήν έπιφάνεια κατασκευές φτιαγμένες μέ μ ή έλαστικά ραβδάκια (δμοιες μ·

αύτές πάνω στήν έπιφάνεια τοϋ τραπεζιοϋ), δλλοι νόμοι Iσχύουν, άντί τών νόμων

148

τής εύκλείδειας Γεωμετρίας τοϋ έπιπέδου, γι· αύτές τίς κατασκευές. Σt σχέση μέ

τά ραβδάκια, ή έπιφάνεια δέν εΙ ναι ~να εύκλείδειο συνεχές, καί δέν εlναι δυνατό

νά δρισθοϋν σ' α{Jτήν Καρτεσιανές συντεταγμένες. 'Ο Γκάους (Gauss) Ι!δειξε μi: ποιές άρχές εlναι δυνατό νά tξετασθοϋν oi γεωμετρικές σχέσεις πάνω στήν έπιφάνεια, καί fτσι άνοιξε τό δρόμο στή μέθοδο τοϋ Riemann νά έξετάσει τά μ ή εύκλείδεια συνεχή (continua) μέ πολλές διαστάσεις. οι μαθηματικοί λοιπόν εχουν άπό πολύ καιρό κιόλας λύσει τά μαθηματικά προβλήματα στά όποία

όδηγεί τό άξίωμα τής γενικής σχετικότητας.

22. Παράρτημα. Οί σχέσεις (Ιiα) καί (12), πού παράγονται γιά τίς ίδιες τίς συντεταγμένες, Ισχύουν γιά τίi; διαφορές των συντεταγμένων καί κατά συνέπεια,

έπίσης γιά τά διαφορικά των συντεταγμένiιιν (διαφορές άπειροστά μικρές).

23. • Απόδειξη,-Σύμφωνα μέ τή θεωρία τοϋ Newton, καταλήγει σέ μιά μάζα m fνας δρισμένος άριθμός άπό ~δυναμικές γραμμές» πού ερχονται άπ. τό dπειρο καί πού ό άριθμός τους εlναι άνάλογος μέ τή μάζα m. ·Αν ή πυκνότητα p0 τής

μάζας στό κόσμο εlναι κατά μέσο δρο σταθερή, μιά σφαίρα δγκου ν περικλείει

κατά μέσο δ ρο τή μάζα Ρο ν. 'Ο 'άριθμός των δυναμικών γραμμών πού ε!σχωροϋν άπ · τήν έπιφάνεια F τής σφαίρας στό έσωτερικό της ε!ναι Ι!τσι άνάλογη πρός Ρο ν. 'Ο άριθμός τών δυναμικών γραμμών πού ε!σχωροϋν κατά μονάδα

έπιφανείας τής σ!Ραίρας ε!ναι άρα άνάλογος πρός ρ0 --ή πρός p0R. ' Η ενταση

τοϋ πεδίου στήν tπιφάνεια θά αύξαινε άπεριόριστα μέ τήν άιcτίνα R τής σφαίρας, πράγμα πού εlναι άδύνατο.

24. Γιά τήν «άκτίνα» R τοϋ κόσμου δίδεται ή έξίσωση:

Χρησιμοποιώντας τό σύστημα C.G.S., -- = 1,08. 1027• ρ παριστάνει τή μέση

πυκνότητα τής ϋλης.

25. 'Η μετάφραση αύτής τής μελέτης fγινε στή βάση τοϋ χειρόγραφου πού ό Κος Einstein fστειλλε τόν 'Απρίλιο τοϋ 1953.

26. 'Η προσπάθεια τοϋ Kant νά tξαλείψει τή δυσκολία άρνούμενος τήν άντικειμενικότητα τοϋ χώρου μόλις καί μετά β\ας μπορεί νά παρθεί στά σοβαρά.

οι δυνατότητες τοποθέτησης, προσωποποιημένες άπ' τό έσωτεριιcό ένός

κουτιοϋ, ε{ναι μέ τήν ίδια σημασία άντικειμενικές δπως τό ίδιο τό κουτί καί τά

άντικείμενα πού μποροϋν νά τοποθετηθοϋν σ ' αύτό.

27. 'Η χρονική σειρά έμπειριών πού είχαμε, γιά παράδειγμα, άπ' τήν άκουστική όδό μπορεί νά διαφέρουν άπ · τή χρονική σειρά πού είχαμε άiτ ' τήν

όπτική δδό, ετσι πού ή χρονική σειρά των γεγονότων δέν μπορεί νά ταυτισθεί

άπλώς μέ τή χρονική σειρά τών προσωπικών έμπειριών.

28. Αύτή ή λίγο άκριβής fκφραση πρέπει νά άρκεί έδίiΊ.

29. 'Υποθέτοντας δτι αύτό πού γεμίζει τό χώρο (γιά παράδειγμα τό πεδίο) έξαλείφεται, μένει πάντα, σύμφων.α μέ τήν (1), ό μετρικός χώρος, πού θά ήταν

149

έπίσης καθοριστικός γιά τή συμπεριφορά, δσον άφορa τήν άι Γ "7.-.u, L~~~

δοκιμαστικοϋ σώματος πού εΙσάγεται σ' αύτόν. ·

30. Μπορεί νά χαρακτηρισθεί ή γενίκευση μέ τόν άκόλουθο τρόπο. Τό καθαρό πεδίο βαρύτητας τιί>ν g 1 κ ·εχει σύμφώνα μέ τήν παραγωγή του άπ' τό\' κενό χώρο τοϋ Minkowski, τήν Ιδιότητα τής συμμετρίας g1k = gk 1 (g12 = g2 1, ••• ) . Τό

γενικευμένο πεδίο ε!ναι ίδιου είδους, άλλά δίχως τήν ίδμiτητα τής συμμετρίας

πού άναφέρθηκε . ·Η έξαγωγή τοϋ νόμου τοϋ πεδίου είναι τι:λείως άνάλογη μ'

αύτήν τής είδικής περίπτωση τοϋ καθαροϋ πεδίου.

150

ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ (ΠEPIOP/l.MENH 2.ΧtΤΙΚΟΠΙ1Λ)

ΣΕΛ . ΠΡΟΛΟΓΟΣ ....... .. ... ... .. ... ...... .. ... .... .. .... ..... .. .. ....... ... .. .. ........ ..... .... ... .... .. 5 I. ΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΤΩΝ ΓΕΩΜΗΡΙΚΩΝ ΠΡΟΤΆΣΕΩΝ .. ..... ... .... .... .... ... .... .. .... .. .. .... .. ... ... .... ....... ........ .. ...... ... . 7

2., ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ .. .. .. .... .. .. .. .... .. .. ....... .. .. .. ...... IU J .. : ΧΩΡΟΣ ΚΑΙ ΧΡΟΝΟΣ ΣΤΗ ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ .. .. .... .. .. .. . Ι.l 4. , ΤΟ ΣΥΣΊΉΜΑ ΣΥΝΤΠ ΑΓΜΕΝΩΝ ΤΟΥ Γ ΑΛΙΛΑΙΟΥ .. .... .. .... 15 5 . ! Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΣΧΠΙΚΟΤΗΤΑΣ

. (ΜΕ ΤΗΝ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΕΝΗ ΕΝΝΟΙΑ) .. .. ........ .............. .... .. .... ... 16 6. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΊΉΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ ΤΩΝ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΗΝ ΚΛΑΣΙΚΗ MHXANIKH ...... .. .. .. .... .. .. ...... I')

7. ΤΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΙΚΑ ΑΣΥΜΒΙΒΑΠΟ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ ΚΑΙ ΊΉΣ ΑΡΧΗΣ

ΤΗΣ ΣΧΕτJΚΟΤΗΤΑΣ ............. .. .. ................ .... .... .. .. .. ........ .. ........ 20 Χ . ΓΙΑ ΤΗΝ ENNOIA ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΠΗ ΦΥΣΙΚΗ .. .. .... .. .... .. .. . 23 9. Η ΣΧΕΠΚΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΟΥ .... .. ...... .. .. .. .. .. .... .... ... 2ι'>

10. Η ΣΧΠΙΚΟΤΗΊΆ ΊΉΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΗΣ ΑΠΟΠΑΣΗΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ...... .. .. .... ... ... ... ... ......... ...... ......... .. .. .......... .. .... .. ... ... .... .. 2')

11 . Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΠΣΜΟΣ ΤΟΥ LORENTZ ................ ...... .. .. .. .... .ll 12. Η ΣΥΜΠ ΕΡΙΦΟΡΑ ΤΩΝ ΚΑΝΟΝΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ

ΡΟΛΟΓΙΩΝ ΣΕ ΚΙΝΗΣΗ ....... .... ... .. ......... .. ... .. .. ..... ... .. .. .... ...... .... .. J/1 Ι) . ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΛ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ ΤΩΝ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ

ΤΟ ΠΕΙΡΑΜΑ ΤΟΥ ΦΙΖΩ .. .. .. .... .... .. ........ .. ........ .. .. .... .......... ...... .. .l/1 14. Η ΕΥΡΙΣτJΚΗ ΑΞΙΑ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙ ΑΣ ΤΗΣ ΣΧΕτJΚΟΊΉΤΑΣ .. 42 15. ΓΕΝΙΚΑ ΣΥΜΠΙ:ΞΡΑΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ .. .. .. .... .... ........ .. ..... 44 16. Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΕΝΗΣ ΣΧΗΙΚΟΊΉΊΆΣ

ΚΑΙ ΤΟ ΠΕΙΡΑΜΑ ...... ...... .... ..... .. ............ .. .. ... ........ .... .. .. .... .. .. ..... 411 17. Ο ΧΩΡΟΣ ΜΕ ΤΕΣΣΕΡ Ι Σ ΔΙΑΣΊΆΣΕΙΣ

ΤΟΥ MINKOWSKI ... ... ..... .... .. .. ...... ........ ....... ... ... ......... ....... ..... .. ... 52

ΜΕΡΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ (ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΣΧΕΠΚΟΤΗΤΑ)

18. ΟΙ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΕΝΗΣ ΚΑΙ · ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΧΕΠΚΟΤΗΤΑΣ ........ ............ .. .. .... ........ .. .. .............. .. 56

19. ΤΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ...... .... .. ........ .... .. .... .. ........ .... .. .. .. .. ......... 5') 20. Η ΙΣΟΤΗΤ Α ΤΗΣ ΑΔΡΑΝΟΥΣ ΜΑΖΑΣ ΚΑΙ ΤΟΥ

ΒΑΡΟΥΣ ΣΑΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑ ΥΠΕΡ ΤΟΥ ΑΞΙΩΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΧΕτJΚΟΤΗΤΑΣ .... .. .... .. .. ...... ...... .... .. .. .... .... .... . fι 7.

21 . ΣΕ τι ΟΙ ΒΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗ~ ;>.1ΙΙΧΑΝΙΚΗΣ

ΚΑΙ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΕΝΗΣ ΣΧΕτΙΚΟΤΗΤ ΑΣ EINAI ΑΝΕΠΑΡΚΕΙΣ; .. ..... .. ... ................ ......... .. .... ... ..... ...... ... .... .. 66

22. ΜΕΡΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΗΣ ΑΡΧΗΣ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ .... .................... .... ... .. ................ .. .. ... ........ . : ........ 6!<

23 . Η ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΤΩΝ ΡΟΛΟΓΙΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΩΝ ΠΑΝΩ Σ' ΕΝΑ ΣΩΜΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΜΕ ΠΕΡΙΠΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ .................................................... 72

24. ΣΥΝΕΧΕΣ (CONτiNOUM) (ΔIΑΣΤΗΜΑ) ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟ ΚΑΙ ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟ ...... .... ...... .. .. .... .... .. ......... .......................... 75

25 . ΟΙ ΣΥΝΤΠ ΑΓΜΕΝΕΣ ΤΟΥ ΓΚΑΟΥΣ ....................................... 7!! 26. ΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΙΚΟ ΣΥΝΕΧΕΣ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΤΗΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΕΝΗΣ ΣΧΕτΙΚΩΠ-ΙΤΑΣ ΘΕΩΡΟΥΜΕΝΟ

ΣΑΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟ ΣΥΝΕΧΕΣ ..................................................... ΧΖ 27. ΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΙΚΟ ΣΥΝΕΧΕΣ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ

ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΧΕτΙΚΟΤΗΤΑΣ ΔΕΝ EINAI ΕΝΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟ ΣΥΝΕΧΕΣ .......... ... ............ ............ .... ... ........... ... ......... .... ..... ... .... .. . !<4

2Η. ΑΚΡΙΒΗΣ ΔΙΑ ΤΥΠΩΣΗ ΤΗΣ ΑΡΧΗΣ ΤΗΣ

ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΧΕτΙΚΟΤΗΤΑΣ ...... : ........................ ... ................ ...... !<7 29. Η Λ ΥΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤ ΑΣ

ΠΑΝΩ ΣΤΗ ΒΑΣΗ ΤΗΣ ΑΡΧΗΣ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΧΕτΙΚΟΤΗΤΑΣ ............ .. ... .... ................................. ...... ........ ...... 90

ΜΕΡΟΣ ΤΡΠΟ (ΣΚΕΨΕΙΣ ΠΑΝΩ ΣΤΟ ΣΥΜΠΑΝ ΘΕΩΡΟΥΜΕΝΟ

ΣΑΝ ΕΝΑ ΣΥΝΟΛΟ)

30. ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΚΕΣ Δ ΥΣΚΟΛΙΕΣ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΟΥ NEWTON .... .. ...... .. ......................... ..... .... ..... ..... .. ... .... .......... . 95

31 . Η ΔΥΝΑΤΟΤΗΤΑ ΕΝΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΥ ΚΟΣΜΟΥ ΚΑΙ ΕΝΤΟΥΤΟΙΣ ΜΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΕΝΟΥ .... .... ...... .......... ........ . 97

32. Η ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΔΙΑΣτΗΜΑΤΟΣ ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΧΕτΙΚΟΤΗΤΑΣ .... .. ....................... 102

ΜΕΡΟΣ ΤΕΤΛΡΤΟ

Η ΣΧΕτΙΚΟΤΗΤ Α ΚΑΙ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ ΔΙΑΠΗΜΑ ΤΟΣ ................................................................. 124 ΤΟ ΠΕΔΙΟ ... ..... ......... .... .. .......... .... .... ...... .. .. .... .......... .. .. ........ .. .... ΙΖ8 Η ΑΝτΙΚΕΙΜΕΝΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ. 136 Η ENNOIA ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΧΕτΙΚΟΤΗΤΑΣ .............. ... ........... .. ..... .. ...... ............................. 140 ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ... 145 ΥΠΟΣΉΜΕΙΩΣflΣ .. . . .. ........ . .. . 147

ΠΑΡΆΡΤΗΜΑ

Ι . ΑΠΛΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑτJΣΜΟΥ LORENTZI05 2. Ο ΚΟΣΜΟΣ ΜΕ ΤΕΣΣΕΡΙΣ ΔΙΑΣτΑΣΕΙΣΤΟΥ MINKOWSKI.III 3. Η ΕΠΙΒΕΒΑΙΩΣΗ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ,1ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΧΕτΙΚΟΤΗΤΑΣ ΑΠΟ ΤΟ ΠΕΙΡΑΜΑ .......................... .. ...... .. IIJ Η ΚΙΝΗΣΗ ΤΟΥ ΠΕΡΙ-ΗλΙΟΥ ΤΟΥ ΕΡΜΗ .......................... r. 115 Η ΕΚΤΡΟΠΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ ΑΠΟ ΤΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ .. Ι17 Η ΜΕΤΑΘΕΣΗ ΤΩΝ ΦΑΣΜΑτΙΚΩΝ ΓΡΛΜΜΩΝ "ΨΟΣ ΤΟ ΚΟΚΚΙΝΟ ..................... .... .................... ..... ...... .. .. 120

r

Αύτό τό μικρό βιβλίο fχει yιά σκοπό νά κάνει γνωστή, μέ

δσο τό δυν'ατό άκριβέστερο τρόπο, τή Θεωρία τής σχετικότητας σ· αύτούς πού ένδιαφέροvται άπό τήν γενική, τήν έπιστημονικ:ή · καί φιλοσοφική άποψη, καί πού δέν διαθέτουν τό μαθηματικό έργαλείο τής θεωρητικής Φυσικής 1 •• Ή άνάγνωση προϋποθέτει

περίπου γνώσεις τελειόφοιτου γυμνασίου (Λυκείου) καί-παρά

τόν μικρό δγκο τοϋ βιβλίου-μιά γερή δόση ύπομονής καί

θέλησης. 'Ο συγγραφέας δέν τσιγγου~εύτηκε τόν κόπο του γιά νά

παρουσιάσει τίς βασικές lδέες μ. ενα τρόπο όσο τό δυνατόν ξεκάθαρο καί ι'tπλό, συνοπτικά καί μέ τή σειρά καί τήν άλλη­

λουχία μέ τίς δποίες γεννήθηκαν στήν πραγματικότητα.

Γιά νά ε{μαι ξεκάθαρος μοϋ φάνηκε άναπόφευκτο νά κάνω

συχνές έπανrιλήψεις, χωρίς νά φροντίζω .διόλου νά δώσω στό

κείμενο μιά γλαφυρή μορφή.

·Ακολούθησα ένσυνείδητα τή γνώμη τοϋ μεγαλοφυοϋς

θεωρητικοϋ L. Boltzmann, ν' άφίσω τήν φροντίδα τής κομψό: τητας στούς ράφτες καί στόύς τσαγγάρηδες. Δέν πιστεύω νά fκρυψα στόν &.ναyνώστη τίς δυσκολίες πού ε{ναι άναπόσπαστες άπ' τό θέμα. ·Απεναντίας άναφέρω έπίτηδες, μέ περιληπτικό

τρόπό τίς έμπειρικές καί φυσικές βάσεις τής θεωρίας, iliστε δ άναγνώστης πού δένε{ναι καλά έξοικεtωμένος μέ τή φυσική νά

μ ή. βρεθεί σέ μιά κατάσταση ίδια μέ κείνη τοϋ ταξιδιώτη πού τά

σπίτια τόν έμπόδιζαν νά δεί τήν πόλη.

Εύχομαι αύτό τό μικρό βιβλίο νά ε{ναι ενα κίνητρο γιά

πολλούς άναγνώστες καί νά τούς κάνει νά περάσουν μερικές

εύχάριστες ώρες.

Α. Einstein

------------------------