ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΑΡΙΘΜΩΝ

Εδώ θα ορίσουμε την έννοια του αριθμού προσομοιώνοντας την αφαιρετική διαδικασία που μας οδηγεί στη σύλληψη αυτής της έννοιας.

Βλέποντας δύο ανθρώπους, δύο αυτοκίνητα, δύο ποτήρια, δύο δάχτυλα, δύο μολύβια κτλ οδηγηθήκαμε στην έννοια του αριθμού 2 αφήνοντας στην πάντα ότι επρόκειτο για ανθρώπους ή για αυτοκίνητα ή για ποτήρια ή για δάχτυλα ή για μολύβια. Αγνοούσαμε, δηλαδή, όλες τις ιδιότητες των ζευγαριών αυτών, πέραν του γεγονότος ότι ήταν ζευγάρια.

Κάποιοι για να κατακτήσουν τον αριθμό 2 μπορεί να χρειαστεί να γνωρίσουν λίγες δυάδες πραγμάτων, ενώ κάποιοι περισσότερες. Εμείς, όμως, αν θέλουμε να 'μαστε ακριβείς δε θα πρέπει να βασιστούμε στην οξυδέρκεια κάποιου, αλλά στη δικιά μας σαφήνεια, ν' αρχίζουν και να τελειώνουν όλα στα δικά μας λεγόμενα. Δεν απευθυνόμαστε σε κάποιον οξύνοα ή αμβλύνοα, αλλά δημιουργούμε. Υπό μία έννοια απευθυνόμαστε σε κάποιον χωρίς καθόλου εγκέφαλο, αφού δεν υπάρχει κανείς στον οποίο να εξηγούμε τους αριθμούς. Πού οδηγούμαστε απ' αυτό; Ότι πρέπει για να ορίσουμε το 2 να κοιτάξουμε όχι μερικές, όχι πολλές, αλλά όλες τις δυνατές δυάδες.

Από τα παραπάνω ίσως έχει ήδη αρχίσει να φαίνεται ότι κάθε έννοια που αφαιρείται από μια παρατήρηση κάποιων πραγμάτων μπορούμε να την αναπαραστήσουμε με τη συλλογή όλων των

αντικειμένων που χαρακτηρίζονται απ' την έννοια αυτή. Σα να λέμε πως η έννοια «πράσινος» είναι η συλλογή όλων των πράσινων αντικειμένων. Έτσι, αν συμβολίσουμε με {α,β,γ,δ} τη συλλογή που περιέχει τα αντικείμενα (με τη γενική έννοια του όρου) α, β, γ, δ τότε

• η συλλογή {α,β} είναι η συλλογή που περιέχει δύο γράμματα,• η συλλογή {0,1} είναι η συλλογή που περιέχει δύο αριθμούς,• η συλλογή {,} είναι η συλλογή που περιέχει δύο ζώα,• η συλλογή {,} είναι η συλλογή που περιέχει δύο ανθρώπινα όργανα,• η συλλογή {,} είναι η συλλογή που περιέχει δύο συνοικίες,• η συλλογή {x-lnx=eπ,x=συνx} είναι η συλλογή που περιέχει δύο εξισώσεις,• η συλλογή {,} είναι η συλλογή που περιέχει δύο μέσα μαζικής μεταφοράς,• η συλλογή {¾,¼} είναι η συλλογή που περιέχει δύο κλάσματα• η συλλογή {,} είναι η συλλογή που περιέχει δύο αντικείμενα του σπιτιού,

κτλ... κτλ...

Όπως είπαμε το 2 είναι η η συλλογή όλων των συλλογών με δύο στοιχεία, δηλαδή, συμβολικά μιλώντας είναι η κλάση {{α,β},{0,1},{,},{,},{,},{x-lnx=eπ,x=συνx},{,},{¾,¼},,

{,},...}.

Το να βρούμε μια διάδα ήταν απλό. Το να βρούμε κι άλλο ζευγάρι πάλι ήταν απλό. Το να βρούμε όλα τα ζευγάρια πώς θα γίνει;Σ' αυτό θα μας κατατοπίσει ο πρωτόγονος άνθρωπος:

Όταν ο πρωτόγονος άνθρωπος άρχισε να εκτρέφει ζώα, προέκυψε η ανάγκη να εξασφαλίσει ότι δεν θα είχε απώλειες ζώων, καθόσον το να αιχμαλωτίζει άγρια ζώα, σε μια εποχή που ένα

απλό κάταγμα επέφερε πιθανότατα το θάνατο, ήταν πολύ δύσκολη δουλειά. Εφόσον δεν είχαν αριθμούς, για να μπορεί να πει «έχω 17 γελάδια» και να το σημειώσει κάπου, έπρεπε να κάνει κάποιο κόλπο.

Για κάθε ζώο που είχε, έπαιρνε κι από ένα βότσαλο. Έτσι είχε τόσα βότσαλα, όσα και τα γελάδια του. Οπότε το βράδυ που 'βαζε τα

γελάδια του πίσω στο μαντρί, για κάθε ένα ζώο που έμπαινε μέσα, άφηνε στην πάντα ένα βότσαλο. Αν δεν περίσσευε κανένα βότσαλο στο χέρι του, θα συμπέραινε ότι δεν είχε απώλειες ζώων.

Το «ζουμί» σ' αυτή την ιστορία είναι ότι δε χρειαζόμαστε τους αριθμούς για να εξακριβώσουμε το πλήθος 17 αγελάδων ή 17 αρκούδων ή 17 καρπών. Χρειαζόμαστε απλά 17 βότσαλα και το ν' αφήνουμε κάθε φορά από ένα, για κάθε αγελάδα, αρκούδα ή καρπό που έχουμε σημειώσει ότι

εξετάσαμε. Μιλώντας αυστηρά, για να ορίσουμε το 17 χρειαζόμαστε ένα οποιοδήποτε σύνολο 17 αντικειμένων και μία αντιστοιχία ανάμεσα σ' αυτό και σ' οποιοδήποτε άλλο ψάχνουμε το πλήθος του.

Ας δούμε τώρα το πώς αυτό μας βοηθάει να ορίσουμε αυστηρά τον αριθμό «δύο»:1. Κατ' αρχάς παίρνουμε ένα οποιοδήποτε σύνολο με δύο στοιχεία (πχ το {,}).2. Ακολούθως παίρνουμε ένα οποιοδήποτε σύνολο (πχ Α), απ' το σύνολο όλων των συνόλων1.3. Μετά προσπαθούμε ν' αντιστοιχήσουμε κάθε στοιχείο του Α σε κάποιο του {,},

προσέχοντας να μην υπάρχει κανένα στοιχείο του {,} που να περισσεύει ή που να έχει διπλοσημειωθεί. Με μαθηματική ορολογία, εξετάζουμε αν υπάρχει αμφιρριπτική συνάρτηση2 από το {,} στο Α.

4. Αν γίνεται αυτό που προσπαθούσαμε στο βήμα 3, τότε το Α ανήκει στη συλλογή ονόματι «δύο». Αλλιώς δεν ανήκει.

Με άλλα λόγια το 2 είναι το σύνολο όλων των συνόλων που 'ναι ισοπληθή με το {,}.

«Και λοιπόν;», θα πει κάποιος. «Τι μας ενδιαφέρει αυτό; Όλοι καταλαβαίνουμε τι είναι το 2». Κατ' αρχάς η αυστηρή δόμηση των Μαθηματικών εξασφαλίζει το αυταπόδεικτό τους και ανιχνεύει τα όριά τους. Κατά δεύτερον έτσι μπορούμε να ορίσουμε κι άλλους αριθμούς, πέραν απ' την καθημερινή μας αντίληψη. Ας πάρουμε, για παράδειγμα, το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών, δηλαδή το {0,1,2,3,4,5,...,187,188,189,...,3872,3873...} ή συμβολικά το N. Το σύνολο όλων των συνόλων που είναι ισπληθή με το N ορίζουν έναν αριθμό, όπως ακριβώς ορίζανε τον αριθμό 2 τα σύνολα όλων των δυάδων που υπάρχουν. Αυτός ο αριθμός συμβολίζεται ως À0 και ονομάζεται «άλεφ μηδέν». Ας πάρουμε επίσης το σύνολο R, δηλαδή το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών (ουσιαστικά όλους τους αριθμούς που ξέρεις απ' το σχολείο). Με άλλα λόγια R={0,1,2,3,-5,-

7,0.37,¾,π,e,262.1238764087247...}. Ο αριθμός που προκύπτει συλλέγοντας όλα τα σύνολα που 'ναι ισοπληθή με το R συμβολίζεται ως c (continuum=συνεχές).

ΣΧΕΣΕΙΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ

Είδαμε ότι κάθε αριθμός μπορεί να εξαχθεί από κάποιο σύνολο με ένα επιθυμητό πλήθος στοιχείων. Πχ ο αριθμός 5 από το σύνολο των πέντε δακτύλων μας ή ο αριθμός À0 από το N. Έτσι οδηγούμαστε σ' έναν συμβολισμό που παριστάνει τον αριθμό κατευθείαν απ' το σύνολο που χρησιμοποιούμε. Έχουμε δηλαδή ως cardA τον αριθμό που προκύπτει απ' όλα τα ισοπληθή με το Α

σύνολα και το διαβάζουμε ως «cardinal του A». Μ' αυτόν τον τρόπο γλιτώνουμε από φλύαρες

1 Στην πραγματικότητα η έννοια «σύνολο όλων των συνόλων» περιέχει αντιφάσεις. Θα τις αγνοήσουμε όμως προς το παρόν, χάριν της συζητήσεως.

2 Συνάρτηση από ένα σύνολο προς ένα άλλο είναι μια αντιστοίχηση που σε κάθε στοιχείο του πρώτου αντιστοιχίζει ένα ακριβώς του δεύτερου.

Ένριψη είναι η αντιστοίχηση στην οποία δεν έχουμε διπλοπεράσματα. Εκεί όπου κάθε στοιχείο του δεύτερου συνόλου αντιστοιχεί το πολύ σ' ένα μοναδικό στοιχείο του πρώτου, εκεί που δεν υπάρχουν δύο στοιχεία του πρώτου που να αντιστοιχούν σε ένα του δεύτερου μιλάμε, δηλαδή, για ενριπτική συνάρτηση.

Επίρριψη είναι η αντιστοίχηση που δεν αφήνει κενά. Εκεί όπου κάθε στοιχείο του δεύτερου συνόλου έχει ταίρι μιλάμε, δηλαδή, για επιρριπτική συνάρτηση.

Αμφίρριψη είναι η απεικόνηση που 'ναι ένριψη και επίρριψη.

εξηγήσεις και ο αναγνώστης κατανοεί περί του ποιου αριθμού μιλάμε απλά κοιτώντας το σύνολο που βρίσκεται δίπλα απ' το «card». Δηλαδή αντί να λέμε «ο αριθμός που προκύπτει παίρνοντας όλα τα

ισοπληθή με το Α σύνολα» λέμε «cardA». Πιο συγκεκριμένα παριστάνουμε με card{,} το σύνολο {{α,β},{0,1},{,},{,},{,},{x-lnx=eπ,x=συνx},{,},{¾,¼},,{,},...}, δηλαδή τον αριθμό 2. Επίσης, κατά τα παραπάνω, έχουμε ότι cardN=À0 , cardR=c, card{,,,}=4 και card{1,3,5,7,2,6,8,0}=8. Ουσιαστικά ο cardA είναι το αποτέλεσμα τις καταμέτρησης των στοιχείων του συνόλου A3.

Τώρα ήρθε η ώρα να δούμε τις συγκρίσεις των αριθμών! Στην αριθμητική που ξέραμε ισχύει ότι, αν πάρουμε δύο αριθμούς α και β, τότε ή θα ισχύει α=β ή α<β ή α>β. Αυτό ακριβώς ισχύει κι εδώ, δηλαδή και για τους υπερπεπερασμένους (άπειρους σε μέγεθος) αριθμούς. Το γεγονός ότι ισχύει πάντα μία απ' τις τρεις σχέσεις βασίζεται στο θεώρημα καλής διάταξης και το γεγονός ότι δεν ισχύουν συγχρόνως δύο σχέσεις (πχ να ισχύει α<β και α>β) βασίζεται στο θεώρημα Bernstain-Scöhrder. Και τα δύο είναι δύσκολο ν' αποδειχθούν, οπότε θα αρκεστούμε δω στο να τις θεωρούμε αποδεδειγμένες.

Έστω δύο αριθμοί α και β προς σύγκριση. Ανάγουμε την σύγκριση αυτών των δύο, στη σύγκριση των γεννητριών συνόλων τους. Δηλαδή, αν είναι α=cardΑ και β=cardΒ, θα συγκρίνουμε τους α και β μέσω της σύγκρισης των Α και Β. Με άλλα λόγια, θ' αναγάγουμε τις σχέσεις α=β, α<β και α>β

σε σχέσεις μεταξύ των Α και Β:

Προφανώς α=β αν και μόνον αν είναι συλλογές που αποτελούνται από τα ίδια σύνολα (ας μην ξεχνάμε πως κάθε αριθμός ορίστηκε σαν μια συλλογή συνόλων!). Σ' αυτήν την περίπτωση το Α

αφού θα είναι στοιχείο της συλλογής α θα 'ναι και στοιχείο της συλλογής β (προφανώς, αφού αυτές είναι ίδιες!). Αυτό σημαίνει ότι το Α θα 'ναι ισοπληθές με το Β, αφού εξ ορισμού όλα τα στοιχεία του β είναι ισοπληθή με το Β. Άρα για να δείξουμε ότι α=β, αρκεί να δείξουμε ότι το Α

είναι ισοπληθές του Β.

Σαν παράδειγμα θα δείξουμε ότι cardZ=À04. Να σημειωθεί ότι Z={...,-6,-5,-4,-3,-2,-

1,0,1,2,3,4,5...}, δηλαδή οι ακέραιοι είναι όλοι οι φυσικοί μαζί με τ' αρνητικά τους.

Η αντιστοιχία που εξαντλεί όλα τα στοιχεία του ενός και του άλλου είναι η εξής: Σε

3 Και γι' αυτό στην βιβλιογραφία θα τον δεις με την ονομασία «πληθικός αριθμός», εν αντιθέσει με τον «διατακτικό αριθμό» που λαμβάνει υπόψιν και τη διάταξη των στοιχείων. Εδώ, μιας και δεν αναφερθήκαμε στην δεύτερη κατηγορία αριθμών, θα αρκεστούμε να μιλάμε περί «αριθμού» προκειμένου να μην χάνεται η ουσία εξαιτίας μιας υστερικής μαθηματικής αυστηρότητας.4 Ας μην μας εκπλήξει το συμπέρασμα που θα βγάλουμε, κρίνοντας απ' το γεγονός ότι το Z έχει κάποια στοιχεία που δεν υπάρχουν μέσα στο N (τους αρνητικούς, προφανώς) ή, με μαθηματική ορολογία, ότι το N είναι γνήσιο υποσύνολο του Z (συμβολικά: NÌZ). Αυτή η ιδιότητα ισχύει αν ληφθεί υπόψιν η φυσική σημασία των στοιχείων του ενός και του άλλου συνόλου, ενώ εμείς, όπως ειπώθηκε στην αρχή, εξετάζουμε μόνον το γεγονός ότι το καθένα αποτελείται από διακριτά μεταξύ τους στοιχεία. Δηλαδή, συμπεραίνουμε ότι το 5 υπάρχει και στο N και στο Z, ενώ το -8 υπάρχει μόνο στο Z, αν και μόνον αν ληφθεί η φυσική σημασία του 5 και του -8, δηλαδή ότι το ένα είναι θετικό και το άλλο αρνητικό. Αν αγνοήσω τη φυσική τους σημασία, απλά δεν μπορώ να εξακριβώσω αν το 5 ανήκει στο ένα ή στο άλλο σύνολο διότι απλά δεν το μελετάω σαν τέτοιο, αλλά σαν μια άχρωμη οντότητα στη θέση της οποίας μπορεί να μπει κάποιος άλλος αριθμός ή γενικότερα ένα οποιοδήποτε αντικείμενο. Με δυο λόγια αυτά τα δύο σύνολα πρέπει να εξεταστούν σαν δύο σύνολα αποτελούμενα από διακριτά μεταξύ τους στοιχεία χωρίς, όμως, καμιά περαιτέρω πληροφορία για τη φύση αυτών ώστε να μπορεί να εξακριβωθεί αν κάποιο απ' αυτά έχει σχέση με κάποιο απ' τα άλλα.

κάθε ζυγό αριθμό (δηλαδή έναν απ' τους 0,2,4,6,8,10,12,...) του N αντιστοιχίζουμε διαδοχικά τα θετικά στοιχεία του Z, ενώ σε κάθε μονό αριθμό (δηλαδή έναν απ' τους 1,3,5,7,9,11,13,...) του N αντιστοιχίζουμε διαδοχικά όλα τα αρνητικά στοιχεία του Z. Ο κάτωθι πίνακας δείχνει τα πρώτα οκτώ βήματα της αντιστοιχίας μας:

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ...

Z 0 -1 1 -2 2 -3 2 -4 4 ...

Είναι φανερό πως δεν περίσσεψε τίποτα, αλλά ούτε και υπήρξε διπλοπέρασμα, άρα μόλις δείξαμε ότι cardN=cardZ ή με άλλα λόγια cardZ=À0 .

Το α<β δεν σημαίνει, προφανώς, ότι αÌβ, αλλά σημαίνει ότι κάθε στοιχείο Α του συνόλου α

έχει λιγότερα στοιχεία από κάθε Β, που ανήκει στο β. Όμως εμείς έχουμε διαθέσιμα μόνο δύο σύνολα, τους γεννήτορες των α και β, δηλαδή κάποιο Α και κάποιο Β, τέτοια ώστε α=cardA και β=cardB. Θα ξεπεράσουμε το πρόβλημα αυτό στο τέλος.

Ας πάρουμε πάντως δύο συγκεκριμένα σύνολα Α και Β, στοιχεία των α και β αντίστοιχα. Προσπαθούμε να δείξουμε ότι «όσο και να προσπαθήσουμε να αντιστοιχήσουμε το Α

στο Β πάντα θα περισσεύουν στοιχεία του Β απ' την αντιστοίχησή μας». Προσοχή! Δεν αρκεί να βρούμε μία αντιστοίχηση για την οποία να περισσεύουν στοιχεία του Β, πρέπει να δείξουμε πως δεν υπάρχει καμία, που να μην αφήνει περίσσευμα στο Β. Όπως θα δούμε παρακάτω, αυτό αρκεί, δε χρειάζεται να εξετάσουμε άλλο στοιχείο του α ή του β.

Είναι δυνατόν το Α να 'χουμε δείξει πως έχει λιγότερα στοιχεία απ' το Β, αλλά ότι μπορεί να 'χει ίσα ή περισσότερα από ένα άλλο Β' στοιχείο του β; Όχι! Τα Β και Β' είναι ισοπληθή, οπότε το ένα είναι ουσιαστικά «μεταμφίεση» του άλλου, αν λάβουμε υπόψιν μόνο την πληθυκότητά τους. Άρα, ό,τι ισχύει μεταξύ του Α και του Β, ισχύει και μεταξύ του Α και του Β'. Άρα δείξαμε ότι το Α έχει λιγότερα στοιχεία από κάθε στοιχείο του β. Ομοίως συμπεραίνουμε ότι και κάθε στοιχείο του α είναι μικρότερο του Β και κάθε στοιχείου του β.

Σαν παράδειγμα θα δείξουμε ότι À0 < c. Να θυμίσουμε ότι À0=cardN και c=cardR.

Αρκεί λοιπόν να συγκρίνουμε το N με το R. Θα δείξουμε ότι ακόμα και να περιοριστούμε στους αριθμούς απ' το 0 μέχρι το 1, αντί για όλους (δηλαδή όλο το R), ακόμα και τότε δε μπορούμε να βρούμε μια αντιστοιχία που να εξαντλεί όλα τα στοιχεία των πραγματικών αριθμών. Θα υπάρχει πάντα κάποιος αριθμός, κάπου μεταξύ του 0 και του 1, ο οποίος δε θα 'χει «ταίρι». Ας είναι, για παράδειγμα, μια απόπειρα αντιστοίχησης η παρακάτω:

Το 0 αντιστοιχεί στο 0.23687776578478

Το 1 αντιστοιχεί στο 0.09875968796875

Το 2 αντιστοιχεί στο 0.56786786753731

Το 3 αντιστοιχεί στο 0.54099522781786

Το 4 αντιστοιχεί στο 0.56676579805760

Το 5 αντιστοιχεί στο 0.65778537967907

Το 6 αντιστοιχεί στο 0.56798555680980...

Το 11 αντιστοιχεί στο 0.49080998090900...

Ας είναι τώρα ένας αριθμός ο οποίος να διαφέρει στο 1ο ψηφίο απ' τον αριθμό που αντιστοιχεί στο 0, στο 2ο απ' αυτόν που αντιστοιχεί στο 1, στο 3ο απ' αυτόν που αντιστοιχεί στο 2,..., στο 35ο απ' αυτόν που αντιστοιχεί στο 34... Εν προκειμένω ο αριθμός που κατασκευάζουμε θα μπορούσε να είναι ο 0.50212163273. Μας κάνει μια χαρά γιατί διαφέρει:

• απ' τον 0.23687776578478 (ο αντιστοιχών στο 0) στο 1ο ψηφίο,• απ' τον 0.09875968796875 (ο αντιστοιχών στο 1) στο 2ο,• απ' τον 0.56786786753731 (ο αντιστοιχών στο 2) στο 3ο,• απ' τον 0.54099522781786 (ο αντιστοιχών στο 3) στο 4ο,• απ' τον 0.56676579805760 (ο αντιστοιχών στο 4) στο 5ο,• απ τον 0.65778537967907 (ο αντιστοιχών στο 5) στο 6ο,• απ' τον 0.56798555680980 (ο αντιστοιχών στο 6) στο 7ο,• ...• απ' τον 0.49080998090900 (ο αντιστοιχών στο 11) στο 12ο,• ...

Η συλλογιστική είναι ίδια όποια αντιστοιχία και να τολμήσει κανείς. Ήτοι πάντα θα περισσεύει ένα νούμερο απ' το R το οποίο δεν αντιστοιχεί σε κανένα απ' το N. Άρα À0 < c.

ΝΥΞΕΙΣ ΕΝ ΕΙΔΕΙ ΕΠΙΛΟΓΟΥ

Αποδεικνύεται επίσης εύκολα ότι δεν υπάρχει άπειρος αριθμός μικρότερος του À0 , με άλλα λόγια όλοι οι αριθμοί οι μικρότεροι του À0 είναι πεπερασμένοι.

Μένοντας στις ανισωτικές σχέσεις μεταξύ άπειρων αριθμών θα αναφερθούμε στην υπόθεση του συνεχούς. Σύμφωνα μ' αυτήν δεν υπάρχει αριθμός >À0 και συγχρόνως < c,, δηλαδή ο c είναι ο αμέσως επόμενος του À0 και γι' αυτό τον συμβολίζουμε και ως À1. Η υπόθεση του συνεχούς διατυπώθηκε απ' τον Cantor, ο Gödel απέδειξε πως δεν αντιφάσκει με τα ήδη υπάρχοντα αξιώματα και ο Cohen απέδειξε ότι η άρνησή της δεν αντιφάσκει με τα υπάρχοντα αξιώματα. Με άλλα λόγια αυτοί οι δύο μαζί έδειξαν πως τόσο η υπόθεση του συνεχούς όσο και η άρνησή της συμβιβάζονται με τα υπόλοιπα αξιώματα, ήτοι επί ποινή αντιφάσεως δεν μπορούν ν' αποδειχθούν χρησιμοποιώντας τα ήδη υπάρχοντα αξιώματα της αξιωματικής θεωρίας συνόλων (ZFC).

Ακόμα, μπορούμε να κατασκευάσουμε μια απειρία αριθμών χρησιμοποιώντας την έννοια του δυναμοσυνόλου. Δυναμοσύνολο ενός συνόλου Α (συμβολικά: P(Α)) είναι το σύνολο που αποτελείται

απ' όλες τις δυνατές συλλογές από στοιχεία του Α. Πχ ας είναι Α={1,2,3} τότε P(Α)={Æ,{1},{2},{3},

{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}, όπου Æ είναι το κενό σύνολο, η συλλογή που δεν περιέχει απολύτως τίποτα, ένα άδειο κουτί ένα πράμα. Αποδεικνύεται ότι για οποιοδήποτε σύνολο Α ισχύει cardA<cardP(Α) (στο παράδειγμά μας έχουμε cardA=3<23=8=cardP(Α), άρα αρχινώντας πχ απ' το R

φτιάχνουμε μια ακολουθία άπειρων αριθμών που δεν σταματάει ποτέ: cardR<card P(R)<cardP(P(R))<cardP(P(P(R)))<cardP(P(P(P(R))))<cardP(P(P(P(P(R)))))...