Πανεπιστήmicroιο ΠατρώνΤmicroήmicroα Μηχανολόγων amp Αεροναυπηγών Μηχανικών

Εργαστήριο Στοχαστικών ΜηχανολογικώνΣυστηmicroάτων amp Αυτοmicroατισmicroού

ΟΜΑ∆ΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΜΕ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ

Σ∆ ΦΑΣΟΗΣ

Καθηγητής

Πάτρα 2010

1

1η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 11

Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος ελέγχου ϑερmicroοκρασίας ψυγείου

΄Ασκηση 12

Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα συστήmicroατος ελέγχου ϑέσεως ανελκυστήρα ∆ιακρίνετεδύο περιπτώσεις ῾῾Προσεγγιστική᾿᾿ και ῾῾ ακριβής ᾿᾿ τοποθέτηση της καmicroπίνας Πώς προ-τείνετε να microετράται η ϑέση της καmicroπίνας σε κάθε περίπτωση

΄Ασκηση 13

Θεωρείστε το σύστηmicroα οδηγός - αυτοκίνητο και σχεδιάστε το δοmicroικό του διάγραmicromicroαΕίναι το σύστηmicroα αυτό κλειστού ή ανοικτού ϐρόχου

΄Ασκηση 14

Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του ϕυγοκεντρικού ϱυθmicroιστή (κατευθυντή) του Wattγια τον έλεγχο ταχύτητας άξονα ατmicroοmicroηχανής

΄Ασκηση 15

Σχεδιάστε ένα απλοποιηmicroένο δοmicroικό διάγραmicromicroα για την παράσταση ενός συστήmicroατοςκλειστού ϐρόχου για τον έλεγχο (ϑέσης και ταχύτητας) ενός άξονα ψηφιακής (NC) ερ-γαλειοmicroηχανής microε microικρο-υπολογιστή

2

2η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 21

Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις των παρακάτω ηλεκτρικών κυκλωmicroάτων Για κάθεένα ϑεωρείστε την τάση v1 σαν είσοδο και την v2 σαν έξοδο

C

R R1

LR2

R1

C

R2

+

-

+

-

u1 2

+

2

-1 2

1u u u uu

΄Ασκηση 22

Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις του παρακάτω ηλεκτρικού συστήmicroατος Υποδείξτετις εισόδους και εξόδους Είναι το σύστηmicroα γραmicromicroικό

C1 R2C2L1

R1

i2

i i

΄Ασκηση 23

∆οθέντων των σταθερών ελαστικότητας k1 k2 των τmicroηmicroάτων του άξονα του σχήmicroατοςυπολογίστε την συνολική σταθερά ελαστικότητας του άξονα

k1 k2

΄Ασκηση 24

Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις των παρακάτω microηχανικών συστηmicroάτων Ποιοςείναι ο κατά περίπτωση αριθmicroός των ϐαθmicroών ελευθερίας

3

΄Ασκηση 25

Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις του παρακάτω microηχανικού συστήmicroατος που παριστάνειτο microηχανισmicroό κίνησης εργαλειοmicroηχανής

΄Ασκηση 26

Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις για το ακόλουθο microηχανικό σύστηmicroα microε γρανάζιαΠοιός είναι ο αριθmicroός των ϐαθmicroών ελευθερίας του συτήmicroατος

4

I1k1 n1

n2c1

θ2Ι2

k2θ3Ι3 c2T θ1

IδανικάΓρανάζια

ΛόγοςΓραναζιών

Ν= n n12

n1 αρ οδόντων γραν 1n αρ οδόντων γραν 22

΄Ασκηση 27

Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις του ακόλουθου ηλεκτροmicroηχανικού συστήmicroατοςΟ κινητήρας είναι συνεχούς ϱεύmicroατος ελεγχόmicroενου οπλισmicroού

υ

R L

+-

+- υ

Τ ω θ1

Ι1κ

θ2

Ι2C

b

5

3η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 31

Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις της παρακάτω microηχανικής διατάξεως που παριστάνειένα απλό ϱοmicroποτικό σύστηmicroα Ποιος είναι ο αριθmicroός των ϐαθmicroών ελευθερίας της διατάξεως

mI

l

l2

KMg

FΤ

m

΄Ασκηση 32

Υποδείξτε την είσοδο και έξοδο του παρακάτω υδραυλικού συστήmicroατος και καταστρώ-στε τις δυναmicroικές εξισώσεις που το περιγράφουν στις κάτωθι περιπτώσεις (α) ΑντίστασηR2 στρωτής ϱοής (ϐ) αντίσταση R2 τυρβώδους ϱοής Σε περίπτωση εmicroφάνισης microη γραmicro-microικότητας προβείτε σε γραmicromicroικοποίηση των εξισώσεων

h

R1 R 2

ρ

(στρωτή)ANTΛΙΑπίεσηςP

g

1

A

΄Ασκηση 33

Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις που απαιτούνται για την περιγραφή του παρακάτωυδραυλικού συστήmicroατος Θεωρώντας τις στάθmicroες h1 και h2 ως εξόδους του συστήmicroατος ενσυνεχεία εκφράστε τις εξισώσεις αυτές στο χώρο κατάστασης Ποιες microεταβλητές επιλέξατεως microεταβλητές κατάστασης

2

2η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 21

Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις των παρακάτω ηλεκτρικών κυκλωmicroάτων Για κάθεένα ϑεωρείστε την τάση v1 σαν είσοδο και την v2 σαν έξοδο

C

R R1

LR2

R1

C

R2

+

-

+

-

u1 2

+

2

-1 2

1u u u uu

΄Ασκηση 22

Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις του παρακάτω ηλεκτρικού συστήmicroατος Υποδείξτετις εισόδους και εξόδους Είναι το σύστηmicroα γραmicromicroικό

C1 R2C2L1

R1

i2

i i

΄Ασκηση 23

∆οθέντων των σταθερών ελαστικότητας k1 k2 των τmicroηmicroάτων του άξονα του σχήmicroατοςυπολογίστε την συνολική σταθερά ελαστικότητας του άξονα

k1 k2

΄Ασκηση 24

Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις των παρακάτω microηχανικών συστηmicroάτων Ποιοςείναι ο κατά περίπτωση αριθmicroός των ϐαθmicroών ελευθερίας

3

΄Ασκηση 25

Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις του παρακάτω microηχανικού συστήmicroατος που παριστάνειτο microηχανισmicroό κίνησης εργαλειοmicroηχανής

΄Ασκηση 26

Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις για το ακόλουθο microηχανικό σύστηmicroα microε γρανάζιαΠοιός είναι ο αριθmicroός των ϐαθmicroών ελευθερίας του συτήmicroατος

4

I1k1 n1

n2c1

θ2Ι2

k2θ3Ι3 c2T θ1

IδανικάΓρανάζια

ΛόγοςΓραναζιών

Ν= n n12

n1 αρ οδόντων γραν 1n αρ οδόντων γραν 22

΄Ασκηση 27

Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις του ακόλουθου ηλεκτροmicroηχανικού συστήmicroατοςΟ κινητήρας είναι συνεχούς ϱεύmicroατος ελεγχόmicroενου οπλισmicroού

υ

R L

+-

+- υ

Τ ω θ1

Ι1κ

θ2

Ι2C

b

5

3η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 31

Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις της παρακάτω microηχανικής διατάξεως που παριστάνειένα απλό ϱοmicroποτικό σύστηmicroα Ποιος είναι ο αριθmicroός των ϐαθmicroών ελευθερίας της διατάξεως

mI

l

l2

KMg

FΤ

m

΄Ασκηση 32

Υποδείξτε την είσοδο και έξοδο του παρακάτω υδραυλικού συστήmicroατος και καταστρώ-στε τις δυναmicroικές εξισώσεις που το περιγράφουν στις κάτωθι περιπτώσεις (α) ΑντίστασηR2 στρωτής ϱοής (ϐ) αντίσταση R2 τυρβώδους ϱοής Σε περίπτωση εmicroφάνισης microη γραmicro-microικότητας προβείτε σε γραmicromicroικοποίηση των εξισώσεων

h

R1 R 2

ρ

(στρωτή)ANTΛΙΑπίεσηςP

g

1

A

΄Ασκηση 33

Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις που απαιτούνται για την περιγραφή του παρακάτωυδραυλικού συστήmicroατος Θεωρώντας τις στάθmicroες h1 και h2 ως εξόδους του συστήmicroατος ενσυνεχεία εκφράστε τις εξισώσεις αυτές στο χώρο κατάστασης Ποιες microεταβλητές επιλέξατεως microεταβλητές κατάστασης

3

΄Ασκηση 25

Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις του παρακάτω microηχανικού συστήmicroατος που παριστάνειτο microηχανισmicroό κίνησης εργαλειοmicroηχανής

΄Ασκηση 26

Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις για το ακόλουθο microηχανικό σύστηmicroα microε γρανάζιαΠοιός είναι ο αριθmicroός των ϐαθmicroών ελευθερίας του συτήmicroατος

4

I1k1 n1

n2c1

θ2Ι2

k2θ3Ι3 c2T θ1

IδανικάΓρανάζια

ΛόγοςΓραναζιών

Ν= n n12

n1 αρ οδόντων γραν 1n αρ οδόντων γραν 22

΄Ασκηση 27

Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις του ακόλουθου ηλεκτροmicroηχανικού συστήmicroατοςΟ κινητήρας είναι συνεχούς ϱεύmicroατος ελεγχόmicroενου οπλισmicroού

υ

R L

+-

+- υ

Τ ω θ1

Ι1κ

θ2

Ι2C

b

5

3η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 31

Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις της παρακάτω microηχανικής διατάξεως που παριστάνειένα απλό ϱοmicroποτικό σύστηmicroα Ποιος είναι ο αριθmicroός των ϐαθmicroών ελευθερίας της διατάξεως

mI

l

l2

KMg

FΤ

m

΄Ασκηση 32

Υποδείξτε την είσοδο και έξοδο του παρακάτω υδραυλικού συστήmicroατος και καταστρώ-στε τις δυναmicroικές εξισώσεις που το περιγράφουν στις κάτωθι περιπτώσεις (α) ΑντίστασηR2 στρωτής ϱοής (ϐ) αντίσταση R2 τυρβώδους ϱοής Σε περίπτωση εmicroφάνισης microη γραmicro-microικότητας προβείτε σε γραmicromicroικοποίηση των εξισώσεων

h

R1 R 2

ρ

(στρωτή)ANTΛΙΑπίεσηςP

g

1

A

΄Ασκηση 33

Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις που απαιτούνται για την περιγραφή του παρακάτωυδραυλικού συστήmicroατος Θεωρώντας τις στάθmicroες h1 και h2 ως εξόδους του συστήmicroατος ενσυνεχεία εκφράστε τις εξισώσεις αυτές στο χώρο κατάστασης Ποιες microεταβλητές επιλέξατεως microεταβλητές κατάστασης

4

I1k1 n1

n2c1

θ2Ι2

k2θ3Ι3 c2T θ1

IδανικάΓρανάζια

ΛόγοςΓραναζιών

Ν= n n12

n1 αρ οδόντων γραν 1n αρ οδόντων γραν 22

΄Ασκηση 27

Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις του ακόλουθου ηλεκτροmicroηχανικού συστήmicroατοςΟ κινητήρας είναι συνεχούς ϱεύmicroατος ελεγχόmicroενου οπλισmicroού

υ

R L

+-

+- υ

Τ ω θ1

Ι1κ

θ2

Ι2C

b

5

3η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 31

Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις της παρακάτω microηχανικής διατάξεως που παριστάνειένα απλό ϱοmicroποτικό σύστηmicroα Ποιος είναι ο αριθmicroός των ϐαθmicroών ελευθερίας της διατάξεως

mI

l

l2

KMg

FΤ

m

΄Ασκηση 32

Υποδείξτε την είσοδο και έξοδο του παρακάτω υδραυλικού συστήmicroατος και καταστρώ-στε τις δυναmicroικές εξισώσεις που το περιγράφουν στις κάτωθι περιπτώσεις (α) ΑντίστασηR2 στρωτής ϱοής (ϐ) αντίσταση R2 τυρβώδους ϱοής Σε περίπτωση εmicroφάνισης microη γραmicro-microικότητας προβείτε σε γραmicromicroικοποίηση των εξισώσεων

h

R1 R 2

ρ

(στρωτή)ANTΛΙΑπίεσηςP

g

1

A

΄Ασκηση 33

Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις που απαιτούνται για την περιγραφή του παρακάτωυδραυλικού συστήmicroατος Θεωρώντας τις στάθmicroες h1 και h2 ως εξόδους του συστήmicroατος ενσυνεχεία εκφράστε τις εξισώσεις αυτές στο χώρο κατάστασης Ποιες microεταβλητές επιλέξατεως microεταβλητές κατάστασης

5

3η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 31

Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις της παρακάτω microηχανικής διατάξεως που παριστάνειένα απλό ϱοmicroποτικό σύστηmicroα Ποιος είναι ο αριθmicroός των ϐαθmicroών ελευθερίας της διατάξεως

mI

l

l2

KMg

FΤ

m

΄Ασκηση 32

Υποδείξτε την είσοδο και έξοδο του παρακάτω υδραυλικού συστήmicroατος και καταστρώ-στε τις δυναmicroικές εξισώσεις που το περιγράφουν στις κάτωθι περιπτώσεις (α) ΑντίστασηR2 στρωτής ϱοής (ϐ) αντίσταση R2 τυρβώδους ϱοής Σε περίπτωση εmicroφάνισης microη γραmicro-microικότητας προβείτε σε γραmicromicroικοποίηση των εξισώσεων

h

R1 R 2

ρ

(στρωτή)ANTΛΙΑπίεσηςP

g

1

A

΄Ασκηση 33

Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις που απαιτούνται για την περιγραφή του παρακάτωυδραυλικού συστήmicroατος Θεωρώντας τις στάθmicroες h1 και h2 ως εξόδους του συστήmicroατος ενσυνεχεία εκφράστε τις εξισώσεις αυτές στο χώρο κατάστασης Ποιες microεταβλητές επιλέξατεως microεταβλητές κατάστασης

6

m1

R 1

m2

R 2

A 1

h2

A2

gρh1

q

q

΄Ασκηση 34

Θεωρείστε το ϑερmicroόmicroετρο του σχήmicroατος που αποτελείται από δύο microάζες m1 και m2 ει-δικές ϑερmicroότητες cp1 και cp2 αντίστοιχα Οι συνολικές ϑερmicroικές αντιστάσεις σηmicroειώνονταιστο σχήmicroα και το Ϲητούmicroενο είναι η κατάστρωση των δυναmicroικών εξισώσεων του συστήmicroα-τος

R2R1

12

΄Ασκηση 35

Για το παρακάτω σύστηmicroα ϱευστό (παροχής microάζας qm1) εισέρχεται στη δεξαmicroενή microεϑερmicroοκρασία T1 Εάν η στάθmicroη του ϱευστού στη δεξαmicroενή είναι h και η ϑερmicroοκρασία τουT2 καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις του συστήmicroατος ως προς τις δύο αυτές microεταβλητές(που λαmicroβάνονται ως έξοδοι) Η ειδική ϑερmicroότης του ϱευστού είναι cp και η πυκνότητα του Είναι οι δυναmicroικές εξισώσεις που καταστρώσατε γραmicromicroικές

gm1 T1 g

R

T2h

A(στρωτή)

7

΄Ασκηση 36

Θεωρείστε τον κλίβανο του σχήmicroατος microε ϑερmicroοχωρητικότητα C1 και ϑερmicroοκρασία T1Η ϑερmicroοχωρητικότητα και ϑερmicroοκρασία του αέρα στο εσωτερικό του κλιβάνου είναι C2 καιT2 αντίστοιχα ενώ εκείνη του περιβάλοντα χώρου είναι T3 Καταστρώστε τις δυναmicroικέςεξισώσεις του συστήmicroατος λαmicroβάνοντας ως εισόδους την ϑερmicroοκρασία T3 και το ϱεύmicroα iδιά microέσου της αντιστάσεως και ως εξόδους τις ϑερmicroοκρασίες T1 και T2

C 1 T 1C 2 T2

T3ΘερmicroικήΑντίσταση

R2΄ΘερmicroικήΑντίσταση

R1

i

R

8

4η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 41

Υπολογίστε την ελεύθερη απόκριση του παρακάτω συστήmicroατος για αρχικές συνθήκες

Cy

k2mk1

y(0)=1

2

m= 1 kgk = 03 Nmk =07 Nmc = 2 N sm

21

΄Ασκηση 42

Υπολογίστε την ελεύθερη απόκριση του παρακάτω συστήmicroατος για αρχικές συνθήκες

θ(0)=0 c

I

θ

΄Ασκηση 43

Υπολογίστε την εξαναγκασmicroένη απόκριση του παρακάτω συσήmicroατος στην είσοδο

T (t) = 1 + t (t ge 0)

Ποια ϑα είναι η συνολική απόκριση του συστήmicroατος εάν τη χρονική στιγmicroή t = 0 οιαρχικές συνθήκες ήσαν

θ(0) = 0 rad θ(0) = 2 radsec

9

Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της συνο-λικής απόκρισης του συστήmicroατος

΄Ασκηση 44

Υπολογίστε την εξαναγκασmicroένη απόκριση του παρακάτω συστήmicroατος σε είσοδο microοναδι-αίας ϐαθmicroίδας Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασηςτης απόκρισης

x(ΕΙΣΟΣΟΣ)

Κ1

C1m

y(EΞΟ∆ΟΣ)

Κ2

C2

΄Ασκηση 45

Υπολογίστε την εξαναγκασmicroένη απόκριση του συστήmicroατος του προβλήmicroατος 44 γιατην παρακάτω είσοδο Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroηςκατάστασης της απόκρισης

x

1

0 1 3t

10

5η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 51

Υπολογίστε τον microετασχηmicroατισmicroό Laplace της παρακάτω συναρτήσεως

f(t) = sin(ωt) (t ge 0)

΄Ασκηση 52

Υπολογίστε τον αντίστροφο microετασχηmicroατισmicroό Laplace της συναρτήσεως

F (s) =5(s + 2)

s2(s + 1)(s + 3)

΄Ασκηση 53

Υποθέστε ένα σύστηmicroα πρώτης τάξεως που περιγράφεται από την διαφορική εξίσωση

y + ay = x

Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό της ελεύ-ϑερης και εξαναγκασmicroένης απόκρισης για

x(t) = sin(ωt) (t ge 0) y(0) = b

΄Ασκηση 54

Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςελεύθερης απόκρισης του παρακάτω microηχανικού συστήmicroατος εάν οι αρχικές συνθήκεςείναι

k

y

Cm

11

΄Ασκηση 55

Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςαπόκρισης του παρακάτω υδραυλικού συστήmicroατος στην είσοδο

qm(t) =

4t

minus4t + 160

0 le t le 22 le t le 44 le t le infin

t

qm

0 2 4

8

Οι αρχικές συνθήκες ϑεωρούνται microηδενικές Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώςκαι το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της απόκρισης

g

h(έξοδος)

ρ

ΑR

(στρωτή)

q (είσοδος)m

΄Ασκηση 56

Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςαπόκρισης του παρακάτω συστήmicroατος εάν

f(t) = 2u(t) y(0) = 0 (m) y(0) = 1 (msec)

όπου u(t) παριστάνει τη συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroακαθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της απόκρισης

y

Cm

k

f

12

6η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 61

Υπολογίστε το ύψος του νερού στη δεξαmicroενή του σχήmicroατος εάν την χρονική στιγmicroήmicroηδέν το αρχικό ύψος ήταν 2(m) και από την ιδια χρονική στιγmicroή η παροχή microάζας γίνεταισταθερή και ίση microε 1(kgsec) Ποια είναι η χρονική σταθερά του συστήmicroατος

΄Ασκηση 62

Θεωρείστε το ηλεκτρικό σύστηmicroα του σχήmicroατος και υπολογίστε το ϕορτίο στον πυκνωτήσαν συνάρτηση του χρόνου εάν είναι γνωστό ότι την αρχική χρονική στιγmicroή t = 0 ϕορτίοήταν q(0) = 0(Q) και v(t) = 1(V ) για όλους τους ϑετικούς χρόνους Πόσο χρονικόδιάστηmicroα απαιτείται προκειmicroένου η απόκριση να ϕθάσει (microε 2 ακρίβεια) την τελική τιmicroήτης

Επαναλάβατε την άσκηση για q(0) = 0001(Q) και v(t) = 10(V )

u(t)+-

C

R

13

΄Ασκηση 63

Υπολογίστε και χαράξτε την καmicroπύλη του ηλεκτρικού ϕορτίου στον πυκνωτή της προ-ηγούmicroενης άσκησης εάν q(0) = 0(Q) και v(t) = t2(V ) για όλους τους ϑετικούς χρόνους

΄Ασκηση 64

Υπολογίστε την ελεύθερη απόκριση του παρακάτω microηχανικού συστήmicroατος για αρχικέςσυνθήκες x(0)=0 (m) και v(0)=1 (msec) σε καθε microία από τις ακόλουθες περιπτώσεις

(α) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 8(Nm)

(ϐ) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 4(Nm)

(γ) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 2(Nm)

Επίσης υπολογίστε τις χρονικές σταθερές ϕυσική συχνότητα microε και χωρίς απόσβεσηκαθώς και τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος σε κάθε περίπτωση

k

C

x

m

΄Ασκηση 65

Επιλέξτε την τιmicroή της σταθεράς απόσβεσης c του παρακάτω συστήmicroατος προκειmicroένουνα ικανοποιηθούν οι εξής προδιαγραφές (α) Μέγιστη ποσοστιαία υπερακόντιση ελάχιστη και πάντως όχι microεγαλύτερη από 20(ϐ) Χρόνος ανύψωσης ελάχιστος και πάντως όχι microεγαλύτερος από 3 secs

(γ) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) ελάχιστος και πάντως όχι microεγαλύτερος από3 secs

k Cθ

Ι

14

΄Ασκηση 66

(α) Καταστρώστε τις εξισώσεις κατάστασης του υδραυλικού συστήmicroατος του σχήmicroατος(ϐ) Υπολογίστε την στάθmicroη του ϱευστού στην δεύτερη δεξαmicroενή σαν συνάρτηση του χρόνουεάν qm(t) = 2(kgsec) για όλους τους ϑετικούς χρόνους(γ) Υπολογίστε τις χρονικές σταθερέςφυσικές συχνότητες microε και χωρίς απόσβεση καιλόγους απόσβεσης του συστήmicroατος

qm

h

R

A R

1

1

2 2h2

A1

ρ

g

΄Ασκηση 67

Θεωρείστε ένα σύστηmicroα πέmicroπτης τάξεως microε πόλους

s = minus2minus3plusmn jminus5plusmn 2j

Ποιες είναι οι χρονικές σταθερές ϕυσικές συχνότητες microε και χωρίς απόσβεση καθώςκαι οι λόγοι απόσβεσης του συστήmicroατος

7

΄Ασκηση 36

Θεωρείστε τον κλίβανο του σχήmicroατος microε ϑερmicroοχωρητικότητα C1 και ϑερmicroοκρασία T1Η ϑερmicroοχωρητικότητα και ϑερmicroοκρασία του αέρα στο εσωτερικό του κλιβάνου είναι C2 καιT2 αντίστοιχα ενώ εκείνη του περιβάλοντα χώρου είναι T3 Καταστρώστε τις δυναmicroικέςεξισώσεις του συστήmicroατος λαmicroβάνοντας ως εισόδους την ϑερmicroοκρασία T3 και το ϱεύmicroα iδιά microέσου της αντιστάσεως και ως εξόδους τις ϑερmicroοκρασίες T1 και T2

C 1 T 1C 2 T2

T3ΘερmicroικήΑντίσταση

R2΄ΘερmicroικήΑντίσταση

R1

i

R

8

4η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 41

Υπολογίστε την ελεύθερη απόκριση του παρακάτω συστήmicroατος για αρχικές συνθήκες

Cy

k2mk1

y(0)=1

2

m= 1 kgk = 03 Nmk =07 Nmc = 2 N sm

21

΄Ασκηση 42

Υπολογίστε την ελεύθερη απόκριση του παρακάτω συστήmicroατος για αρχικές συνθήκες

θ(0)=0 c

I

θ

΄Ασκηση 43

Υπολογίστε την εξαναγκασmicroένη απόκριση του παρακάτω συσήmicroατος στην είσοδο

T (t) = 1 + t (t ge 0)

Ποια ϑα είναι η συνολική απόκριση του συστήmicroατος εάν τη χρονική στιγmicroή t = 0 οιαρχικές συνθήκες ήσαν

θ(0) = 0 rad θ(0) = 2 radsec

9

Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της συνο-λικής απόκρισης του συστήmicroατος

΄Ασκηση 44

Υπολογίστε την εξαναγκασmicroένη απόκριση του παρακάτω συστήmicroατος σε είσοδο microοναδι-αίας ϐαθmicroίδας Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασηςτης απόκρισης

x(ΕΙΣΟΣΟΣ)

Κ1

C1m

y(EΞΟ∆ΟΣ)

Κ2

C2

΄Ασκηση 45

Υπολογίστε την εξαναγκασmicroένη απόκριση του συστήmicroατος του προβλήmicroατος 44 γιατην παρακάτω είσοδο Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroηςκατάστασης της απόκρισης

x

1

0 1 3t

10

5η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 51

Υπολογίστε τον microετασχηmicroατισmicroό Laplace της παρακάτω συναρτήσεως

f(t) = sin(ωt) (t ge 0)

΄Ασκηση 52

Υπολογίστε τον αντίστροφο microετασχηmicroατισmicroό Laplace της συναρτήσεως

F (s) =5(s + 2)

s2(s + 1)(s + 3)

΄Ασκηση 53

Υποθέστε ένα σύστηmicroα πρώτης τάξεως που περιγράφεται από την διαφορική εξίσωση

y + ay = x

Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό της ελεύ-ϑερης και εξαναγκασmicroένης απόκρισης για

x(t) = sin(ωt) (t ge 0) y(0) = b

΄Ασκηση 54

Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςελεύθερης απόκρισης του παρακάτω microηχανικού συστήmicroατος εάν οι αρχικές συνθήκεςείναι

k

y

Cm

11

΄Ασκηση 55

Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςαπόκρισης του παρακάτω υδραυλικού συστήmicroατος στην είσοδο

qm(t) =

4t

minus4t + 160

0 le t le 22 le t le 44 le t le infin

t

qm

0 2 4

8

Οι αρχικές συνθήκες ϑεωρούνται microηδενικές Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώςκαι το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της απόκρισης

g

h(έξοδος)

ρ

ΑR

(στρωτή)

q (είσοδος)m

΄Ασκηση 56

Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςαπόκρισης του παρακάτω συστήmicroατος εάν

f(t) = 2u(t) y(0) = 0 (m) y(0) = 1 (msec)

όπου u(t) παριστάνει τη συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroακαθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της απόκρισης

y

Cm

k

f

12

6η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 61

Υπολογίστε το ύψος του νερού στη δεξαmicroενή του σχήmicroατος εάν την χρονική στιγmicroήmicroηδέν το αρχικό ύψος ήταν 2(m) και από την ιδια χρονική στιγmicroή η παροχή microάζας γίνεταισταθερή και ίση microε 1(kgsec) Ποια είναι η χρονική σταθερά του συστήmicroατος

΄Ασκηση 62

Θεωρείστε το ηλεκτρικό σύστηmicroα του σχήmicroατος και υπολογίστε το ϕορτίο στον πυκνωτήσαν συνάρτηση του χρόνου εάν είναι γνωστό ότι την αρχική χρονική στιγmicroή t = 0 ϕορτίοήταν q(0) = 0(Q) και v(t) = 1(V ) για όλους τους ϑετικούς χρόνους Πόσο χρονικόδιάστηmicroα απαιτείται προκειmicroένου η απόκριση να ϕθάσει (microε 2 ακρίβεια) την τελική τιmicroήτης

Επαναλάβατε την άσκηση για q(0) = 0001(Q) και v(t) = 10(V )

u(t)+-

C

R

13

΄Ασκηση 63

Υπολογίστε και χαράξτε την καmicroπύλη του ηλεκτρικού ϕορτίου στον πυκνωτή της προ-ηγούmicroενης άσκησης εάν q(0) = 0(Q) και v(t) = t2(V ) για όλους τους ϑετικούς χρόνους

΄Ασκηση 64

Υπολογίστε την ελεύθερη απόκριση του παρακάτω microηχανικού συστήmicroατος για αρχικέςσυνθήκες x(0)=0 (m) και v(0)=1 (msec) σε καθε microία από τις ακόλουθες περιπτώσεις

(α) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 8(Nm)

(ϐ) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 4(Nm)

(γ) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 2(Nm)

Επίσης υπολογίστε τις χρονικές σταθερές ϕυσική συχνότητα microε και χωρίς απόσβεσηκαθώς και τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος σε κάθε περίπτωση

k

C

x

m

΄Ασκηση 65

Επιλέξτε την τιmicroή της σταθεράς απόσβεσης c του παρακάτω συστήmicroατος προκειmicroένουνα ικανοποιηθούν οι εξής προδιαγραφές (α) Μέγιστη ποσοστιαία υπερακόντιση ελάχιστη και πάντως όχι microεγαλύτερη από 20(ϐ) Χρόνος ανύψωσης ελάχιστος και πάντως όχι microεγαλύτερος από 3 secs

(γ) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) ελάχιστος και πάντως όχι microεγαλύτερος από3 secs

k Cθ

Ι

14

΄Ασκηση 66

(α) Καταστρώστε τις εξισώσεις κατάστασης του υδραυλικού συστήmicroατος του σχήmicroατος(ϐ) Υπολογίστε την στάθmicroη του ϱευστού στην δεύτερη δεξαmicroενή σαν συνάρτηση του χρόνουεάν qm(t) = 2(kgsec) για όλους τους ϑετικούς χρόνους(γ) Υπολογίστε τις χρονικές σταθερέςφυσικές συχνότητες microε και χωρίς απόσβεση καιλόγους απόσβεσης του συστήmicroατος

qm

h

R

A R

1

1

2 2h2

A1

ρ

g

΄Ασκηση 67

Θεωρείστε ένα σύστηmicroα πέmicroπτης τάξεως microε πόλους

s = minus2minus3plusmn jminus5plusmn 2j

Ποιες είναι οι χρονικές σταθερές ϕυσικές συχνότητες microε και χωρίς απόσβεση καθώςκαι οι λόγοι απόσβεσης του συστήmicroατος

8

4η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 41

Υπολογίστε την ελεύθερη απόκριση του παρακάτω συστήmicroατος για αρχικές συνθήκες

Cy

k2mk1

y(0)=1

2

m= 1 kgk = 03 Nmk =07 Nmc = 2 N sm

21

΄Ασκηση 42

Υπολογίστε την ελεύθερη απόκριση του παρακάτω συστήmicroατος για αρχικές συνθήκες

θ(0)=0 c

I

θ

΄Ασκηση 43

Υπολογίστε την εξαναγκασmicroένη απόκριση του παρακάτω συσήmicroατος στην είσοδο

T (t) = 1 + t (t ge 0)

Ποια ϑα είναι η συνολική απόκριση του συστήmicroατος εάν τη χρονική στιγmicroή t = 0 οιαρχικές συνθήκες ήσαν

θ(0) = 0 rad θ(0) = 2 radsec

9

Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της συνο-λικής απόκρισης του συστήmicroατος

΄Ασκηση 44

Υπολογίστε την εξαναγκασmicroένη απόκριση του παρακάτω συστήmicroατος σε είσοδο microοναδι-αίας ϐαθmicroίδας Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασηςτης απόκρισης

x(ΕΙΣΟΣΟΣ)

Κ1

C1m

y(EΞΟ∆ΟΣ)

Κ2

C2

΄Ασκηση 45

Υπολογίστε την εξαναγκασmicroένη απόκριση του συστήmicroατος του προβλήmicroατος 44 γιατην παρακάτω είσοδο Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroηςκατάστασης της απόκρισης

x

1

0 1 3t

10

5η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 51

Υπολογίστε τον microετασχηmicroατισmicroό Laplace της παρακάτω συναρτήσεως

f(t) = sin(ωt) (t ge 0)

΄Ασκηση 52

Υπολογίστε τον αντίστροφο microετασχηmicroατισmicroό Laplace της συναρτήσεως

F (s) =5(s + 2)

s2(s + 1)(s + 3)

΄Ασκηση 53

Υποθέστε ένα σύστηmicroα πρώτης τάξεως που περιγράφεται από την διαφορική εξίσωση

y + ay = x

Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό της ελεύ-ϑερης και εξαναγκασmicroένης απόκρισης για

x(t) = sin(ωt) (t ge 0) y(0) = b

΄Ασκηση 54

Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςελεύθερης απόκρισης του παρακάτω microηχανικού συστήmicroατος εάν οι αρχικές συνθήκεςείναι

k

y

Cm

11

΄Ασκηση 55

Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςαπόκρισης του παρακάτω υδραυλικού συστήmicroατος στην είσοδο

qm(t) =

4t

minus4t + 160

0 le t le 22 le t le 44 le t le infin

t

qm

0 2 4

8

Οι αρχικές συνθήκες ϑεωρούνται microηδενικές Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώςκαι το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της απόκρισης

g

h(έξοδος)

ρ

ΑR

(στρωτή)

q (είσοδος)m

΄Ασκηση 56

Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςαπόκρισης του παρακάτω συστήmicroατος εάν

f(t) = 2u(t) y(0) = 0 (m) y(0) = 1 (msec)

όπου u(t) παριστάνει τη συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroακαθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της απόκρισης

y

Cm

k

f

12

6η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 61

Υπολογίστε το ύψος του νερού στη δεξαmicroενή του σχήmicroατος εάν την χρονική στιγmicroήmicroηδέν το αρχικό ύψος ήταν 2(m) και από την ιδια χρονική στιγmicroή η παροχή microάζας γίνεταισταθερή και ίση microε 1(kgsec) Ποια είναι η χρονική σταθερά του συστήmicroατος

΄Ασκηση 62

Θεωρείστε το ηλεκτρικό σύστηmicroα του σχήmicroατος και υπολογίστε το ϕορτίο στον πυκνωτήσαν συνάρτηση του χρόνου εάν είναι γνωστό ότι την αρχική χρονική στιγmicroή t = 0 ϕορτίοήταν q(0) = 0(Q) και v(t) = 1(V ) για όλους τους ϑετικούς χρόνους Πόσο χρονικόδιάστηmicroα απαιτείται προκειmicroένου η απόκριση να ϕθάσει (microε 2 ακρίβεια) την τελική τιmicroήτης

Επαναλάβατε την άσκηση για q(0) = 0001(Q) και v(t) = 10(V )

u(t)+-

C

R

13

΄Ασκηση 63

Υπολογίστε και χαράξτε την καmicroπύλη του ηλεκτρικού ϕορτίου στον πυκνωτή της προ-ηγούmicroενης άσκησης εάν q(0) = 0(Q) και v(t) = t2(V ) για όλους τους ϑετικούς χρόνους

΄Ασκηση 64

Υπολογίστε την ελεύθερη απόκριση του παρακάτω microηχανικού συστήmicroατος για αρχικέςσυνθήκες x(0)=0 (m) και v(0)=1 (msec) σε καθε microία από τις ακόλουθες περιπτώσεις

(α) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 8(Nm)

(ϐ) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 4(Nm)

(γ) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 2(Nm)

Επίσης υπολογίστε τις χρονικές σταθερές ϕυσική συχνότητα microε και χωρίς απόσβεσηκαθώς και τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος σε κάθε περίπτωση

k

C

x

m

΄Ασκηση 65

Επιλέξτε την τιmicroή της σταθεράς απόσβεσης c του παρακάτω συστήmicroατος προκειmicroένουνα ικανοποιηθούν οι εξής προδιαγραφές (α) Μέγιστη ποσοστιαία υπερακόντιση ελάχιστη και πάντως όχι microεγαλύτερη από 20(ϐ) Χρόνος ανύψωσης ελάχιστος και πάντως όχι microεγαλύτερος από 3 secs

(γ) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) ελάχιστος και πάντως όχι microεγαλύτερος από3 secs

k Cθ

Ι

14

΄Ασκηση 66

(α) Καταστρώστε τις εξισώσεις κατάστασης του υδραυλικού συστήmicroατος του σχήmicroατος(ϐ) Υπολογίστε την στάθmicroη του ϱευστού στην δεύτερη δεξαmicroενή σαν συνάρτηση του χρόνουεάν qm(t) = 2(kgsec) για όλους τους ϑετικούς χρόνους(γ) Υπολογίστε τις χρονικές σταθερέςφυσικές συχνότητες microε και χωρίς απόσβεση καιλόγους απόσβεσης του συστήmicroατος

qm

h

R

A R

1

1

2 2h2

A1

ρ

g

΄Ασκηση 67

Θεωρείστε ένα σύστηmicroα πέmicroπτης τάξεως microε πόλους

s = minus2minus3plusmn jminus5plusmn 2j

Ποιες είναι οι χρονικές σταθερές ϕυσικές συχνότητες microε και χωρίς απόσβεση καθώςκαι οι λόγοι απόσβεσης του συστήmicroατος

9

Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της συνο-λικής απόκρισης του συστήmicroατος

΄Ασκηση 44

Υπολογίστε την εξαναγκασmicroένη απόκριση του παρακάτω συστήmicroατος σε είσοδο microοναδι-αίας ϐαθmicroίδας Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασηςτης απόκρισης

x(ΕΙΣΟΣΟΣ)

Κ1

C1m

y(EΞΟ∆ΟΣ)

Κ2

C2

΄Ασκηση 45

Υπολογίστε την εξαναγκασmicroένη απόκριση του συστήmicroατος του προβλήmicroατος 44 γιατην παρακάτω είσοδο Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroηςκατάστασης της απόκρισης

x

1

0 1 3t

10

5η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 51

Υπολογίστε τον microετασχηmicroατισmicroό Laplace της παρακάτω συναρτήσεως

f(t) = sin(ωt) (t ge 0)

΄Ασκηση 52

Υπολογίστε τον αντίστροφο microετασχηmicroατισmicroό Laplace της συναρτήσεως

F (s) =5(s + 2)

s2(s + 1)(s + 3)

΄Ασκηση 53

Υποθέστε ένα σύστηmicroα πρώτης τάξεως που περιγράφεται από την διαφορική εξίσωση

y + ay = x

Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό της ελεύ-ϑερης και εξαναγκασmicroένης απόκρισης για

x(t) = sin(ωt) (t ge 0) y(0) = b

΄Ασκηση 54

Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςελεύθερης απόκρισης του παρακάτω microηχανικού συστήmicroατος εάν οι αρχικές συνθήκεςείναι

k

y

Cm

11

΄Ασκηση 55

Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςαπόκρισης του παρακάτω υδραυλικού συστήmicroατος στην είσοδο

qm(t) =

4t

minus4t + 160

0 le t le 22 le t le 44 le t le infin

t

qm

0 2 4

8

Οι αρχικές συνθήκες ϑεωρούνται microηδενικές Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώςκαι το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της απόκρισης

g

h(έξοδος)

ρ

ΑR

(στρωτή)

q (είσοδος)m

΄Ασκηση 56

Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςαπόκρισης του παρακάτω συστήmicroατος εάν

f(t) = 2u(t) y(0) = 0 (m) y(0) = 1 (msec)

όπου u(t) παριστάνει τη συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroακαθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της απόκρισης

y

Cm

k

f

12

6η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 61

Υπολογίστε το ύψος του νερού στη δεξαmicroενή του σχήmicroατος εάν την χρονική στιγmicroήmicroηδέν το αρχικό ύψος ήταν 2(m) και από την ιδια χρονική στιγmicroή η παροχή microάζας γίνεταισταθερή και ίση microε 1(kgsec) Ποια είναι η χρονική σταθερά του συστήmicroατος

΄Ασκηση 62

Θεωρείστε το ηλεκτρικό σύστηmicroα του σχήmicroατος και υπολογίστε το ϕορτίο στον πυκνωτήσαν συνάρτηση του χρόνου εάν είναι γνωστό ότι την αρχική χρονική στιγmicroή t = 0 ϕορτίοήταν q(0) = 0(Q) και v(t) = 1(V ) για όλους τους ϑετικούς χρόνους Πόσο χρονικόδιάστηmicroα απαιτείται προκειmicroένου η απόκριση να ϕθάσει (microε 2 ακρίβεια) την τελική τιmicroήτης

Επαναλάβατε την άσκηση για q(0) = 0001(Q) και v(t) = 10(V )

u(t)+-

C

R

13

΄Ασκηση 63

Υπολογίστε και χαράξτε την καmicroπύλη του ηλεκτρικού ϕορτίου στον πυκνωτή της προ-ηγούmicroενης άσκησης εάν q(0) = 0(Q) και v(t) = t2(V ) για όλους τους ϑετικούς χρόνους

΄Ασκηση 64

Υπολογίστε την ελεύθερη απόκριση του παρακάτω microηχανικού συστήmicroατος για αρχικέςσυνθήκες x(0)=0 (m) και v(0)=1 (msec) σε καθε microία από τις ακόλουθες περιπτώσεις

(α) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 8(Nm)

(ϐ) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 4(Nm)

(γ) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 2(Nm)

Επίσης υπολογίστε τις χρονικές σταθερές ϕυσική συχνότητα microε και χωρίς απόσβεσηκαθώς και τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος σε κάθε περίπτωση

k

C

x

m

΄Ασκηση 65

Επιλέξτε την τιmicroή της σταθεράς απόσβεσης c του παρακάτω συστήmicroατος προκειmicroένουνα ικανοποιηθούν οι εξής προδιαγραφές (α) Μέγιστη ποσοστιαία υπερακόντιση ελάχιστη και πάντως όχι microεγαλύτερη από 20(ϐ) Χρόνος ανύψωσης ελάχιστος και πάντως όχι microεγαλύτερος από 3 secs

(γ) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) ελάχιστος και πάντως όχι microεγαλύτερος από3 secs

k Cθ

Ι

14

΄Ασκηση 66

(α) Καταστρώστε τις εξισώσεις κατάστασης του υδραυλικού συστήmicroατος του σχήmicroατος(ϐ) Υπολογίστε την στάθmicroη του ϱευστού στην δεύτερη δεξαmicroενή σαν συνάρτηση του χρόνουεάν qm(t) = 2(kgsec) για όλους τους ϑετικούς χρόνους(γ) Υπολογίστε τις χρονικές σταθερέςφυσικές συχνότητες microε και χωρίς απόσβεση καιλόγους απόσβεσης του συστήmicroατος

qm

h

R

A R

1

1

2 2h2

A1

ρ

g

΄Ασκηση 67

Θεωρείστε ένα σύστηmicroα πέmicroπτης τάξεως microε πόλους

s = minus2minus3plusmn jminus5plusmn 2j

Ποιες είναι οι χρονικές σταθερές ϕυσικές συχνότητες microε και χωρίς απόσβεση καθώςκαι οι λόγοι απόσβεσης του συστήmicroατος

10

5η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 51

Υπολογίστε τον microετασχηmicroατισmicroό Laplace της παρακάτω συναρτήσεως

f(t) = sin(ωt) (t ge 0)

΄Ασκηση 52

Υπολογίστε τον αντίστροφο microετασχηmicroατισmicroό Laplace της συναρτήσεως

F (s) =5(s + 2)

s2(s + 1)(s + 3)

΄Ασκηση 53

Υποθέστε ένα σύστηmicroα πρώτης τάξεως που περιγράφεται από την διαφορική εξίσωση

y + ay = x

Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό της ελεύ-ϑερης και εξαναγκασmicroένης απόκρισης για

x(t) = sin(ωt) (t ge 0) y(0) = b

΄Ασκηση 54

Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςελεύθερης απόκρισης του παρακάτω microηχανικού συστήmicroατος εάν οι αρχικές συνθήκεςείναι

k

y

Cm

11

΄Ασκηση 55

Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςαπόκρισης του παρακάτω υδραυλικού συστήmicroατος στην είσοδο

qm(t) =

4t

minus4t + 160

0 le t le 22 le t le 44 le t le infin

t

qm

0 2 4

8

Οι αρχικές συνθήκες ϑεωρούνται microηδενικές Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώςκαι το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της απόκρισης

g

h(έξοδος)

ρ

ΑR

(στρωτή)

q (είσοδος)m

΄Ασκηση 56

Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςαπόκρισης του παρακάτω συστήmicroατος εάν

f(t) = 2u(t) y(0) = 0 (m) y(0) = 1 (msec)

όπου u(t) παριστάνει τη συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroακαθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της απόκρισης

y

Cm

k

f

12

6η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 61

Υπολογίστε το ύψος του νερού στη δεξαmicroενή του σχήmicroατος εάν την χρονική στιγmicroήmicroηδέν το αρχικό ύψος ήταν 2(m) και από την ιδια χρονική στιγmicroή η παροχή microάζας γίνεταισταθερή και ίση microε 1(kgsec) Ποια είναι η χρονική σταθερά του συστήmicroατος

΄Ασκηση 62

Θεωρείστε το ηλεκτρικό σύστηmicroα του σχήmicroατος και υπολογίστε το ϕορτίο στον πυκνωτήσαν συνάρτηση του χρόνου εάν είναι γνωστό ότι την αρχική χρονική στιγmicroή t = 0 ϕορτίοήταν q(0) = 0(Q) και v(t) = 1(V ) για όλους τους ϑετικούς χρόνους Πόσο χρονικόδιάστηmicroα απαιτείται προκειmicroένου η απόκριση να ϕθάσει (microε 2 ακρίβεια) την τελική τιmicroήτης

Επαναλάβατε την άσκηση για q(0) = 0001(Q) και v(t) = 10(V )

u(t)+-

C

R

13

΄Ασκηση 63

Υπολογίστε και χαράξτε την καmicroπύλη του ηλεκτρικού ϕορτίου στον πυκνωτή της προ-ηγούmicroενης άσκησης εάν q(0) = 0(Q) και v(t) = t2(V ) για όλους τους ϑετικούς χρόνους

΄Ασκηση 64

Υπολογίστε την ελεύθερη απόκριση του παρακάτω microηχανικού συστήmicroατος για αρχικέςσυνθήκες x(0)=0 (m) και v(0)=1 (msec) σε καθε microία από τις ακόλουθες περιπτώσεις

(α) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 8(Nm)

(ϐ) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 4(Nm)

(γ) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 2(Nm)

Επίσης υπολογίστε τις χρονικές σταθερές ϕυσική συχνότητα microε και χωρίς απόσβεσηκαθώς και τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος σε κάθε περίπτωση

k

C

x

m

΄Ασκηση 65

Επιλέξτε την τιmicroή της σταθεράς απόσβεσης c του παρακάτω συστήmicroατος προκειmicroένουνα ικανοποιηθούν οι εξής προδιαγραφές (α) Μέγιστη ποσοστιαία υπερακόντιση ελάχιστη και πάντως όχι microεγαλύτερη από 20(ϐ) Χρόνος ανύψωσης ελάχιστος και πάντως όχι microεγαλύτερος από 3 secs

(γ) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) ελάχιστος και πάντως όχι microεγαλύτερος από3 secs

k Cθ

Ι

14

΄Ασκηση 66

(α) Καταστρώστε τις εξισώσεις κατάστασης του υδραυλικού συστήmicroατος του σχήmicroατος(ϐ) Υπολογίστε την στάθmicroη του ϱευστού στην δεύτερη δεξαmicroενή σαν συνάρτηση του χρόνουεάν qm(t) = 2(kgsec) για όλους τους ϑετικούς χρόνους(γ) Υπολογίστε τις χρονικές σταθερέςφυσικές συχνότητες microε και χωρίς απόσβεση καιλόγους απόσβεσης του συστήmicroατος

qm

h

R

A R

1

1

2 2h2

A1

ρ

g

΄Ασκηση 67

Θεωρείστε ένα σύστηmicroα πέmicroπτης τάξεως microε πόλους

s = minus2minus3plusmn jminus5plusmn 2j

Ποιες είναι οι χρονικές σταθερές ϕυσικές συχνότητες microε και χωρίς απόσβεση καθώςκαι οι λόγοι απόσβεσης του συστήmicroατος

11

΄Ασκηση 55

Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςαπόκρισης του παρακάτω υδραυλικού συστήmicroατος στην είσοδο

qm(t) =

4t

minus4t + 160

0 le t le 22 le t le 44 le t le infin

t

qm

0 2 4

8

Οι αρχικές συνθήκες ϑεωρούνται microηδενικές Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώςκαι το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της απόκρισης

g

h(έξοδος)

ρ

ΑR

(στρωτή)

q (είσοδος)m

΄Ασκηση 56

Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςαπόκρισης του παρακάτω συστήmicroατος εάν

f(t) = 2u(t) y(0) = 0 (m) y(0) = 1 (msec)

όπου u(t) παριστάνει τη συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroακαθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της απόκρισης

y

Cm

k

f

12

6η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 61

Υπολογίστε το ύψος του νερού στη δεξαmicroενή του σχήmicroατος εάν την χρονική στιγmicroήmicroηδέν το αρχικό ύψος ήταν 2(m) και από την ιδια χρονική στιγmicroή η παροχή microάζας γίνεταισταθερή και ίση microε 1(kgsec) Ποια είναι η χρονική σταθερά του συστήmicroατος

΄Ασκηση 62

Θεωρείστε το ηλεκτρικό σύστηmicroα του σχήmicroατος και υπολογίστε το ϕορτίο στον πυκνωτήσαν συνάρτηση του χρόνου εάν είναι γνωστό ότι την αρχική χρονική στιγmicroή t = 0 ϕορτίοήταν q(0) = 0(Q) και v(t) = 1(V ) για όλους τους ϑετικούς χρόνους Πόσο χρονικόδιάστηmicroα απαιτείται προκειmicroένου η απόκριση να ϕθάσει (microε 2 ακρίβεια) την τελική τιmicroήτης

Επαναλάβατε την άσκηση για q(0) = 0001(Q) και v(t) = 10(V )

u(t)+-

C

R

13

΄Ασκηση 63

Υπολογίστε και χαράξτε την καmicroπύλη του ηλεκτρικού ϕορτίου στον πυκνωτή της προ-ηγούmicroενης άσκησης εάν q(0) = 0(Q) και v(t) = t2(V ) για όλους τους ϑετικούς χρόνους

΄Ασκηση 64

Υπολογίστε την ελεύθερη απόκριση του παρακάτω microηχανικού συστήmicroατος για αρχικέςσυνθήκες x(0)=0 (m) και v(0)=1 (msec) σε καθε microία από τις ακόλουθες περιπτώσεις

(α) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 8(Nm)

(ϐ) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 4(Nm)

(γ) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 2(Nm)

Επίσης υπολογίστε τις χρονικές σταθερές ϕυσική συχνότητα microε και χωρίς απόσβεσηκαθώς και τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος σε κάθε περίπτωση

k

C

x

m

΄Ασκηση 65

Επιλέξτε την τιmicroή της σταθεράς απόσβεσης c του παρακάτω συστήmicroατος προκειmicroένουνα ικανοποιηθούν οι εξής προδιαγραφές (α) Μέγιστη ποσοστιαία υπερακόντιση ελάχιστη και πάντως όχι microεγαλύτερη από 20(ϐ) Χρόνος ανύψωσης ελάχιστος και πάντως όχι microεγαλύτερος από 3 secs

(γ) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) ελάχιστος και πάντως όχι microεγαλύτερος από3 secs

k Cθ

Ι

14

΄Ασκηση 66

(α) Καταστρώστε τις εξισώσεις κατάστασης του υδραυλικού συστήmicroατος του σχήmicroατος(ϐ) Υπολογίστε την στάθmicroη του ϱευστού στην δεύτερη δεξαmicroενή σαν συνάρτηση του χρόνουεάν qm(t) = 2(kgsec) για όλους τους ϑετικούς χρόνους(γ) Υπολογίστε τις χρονικές σταθερέςφυσικές συχνότητες microε και χωρίς απόσβεση καιλόγους απόσβεσης του συστήmicroατος

qm

h

R

A R

1

1

2 2h2

A1

ρ

g

΄Ασκηση 67

Θεωρείστε ένα σύστηmicroα πέmicroπτης τάξεως microε πόλους

s = minus2minus3plusmn jminus5plusmn 2j

Ποιες είναι οι χρονικές σταθερές ϕυσικές συχνότητες microε και χωρίς απόσβεση καθώςκαι οι λόγοι απόσβεσης του συστήmicroατος

12

6η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 61

Υπολογίστε το ύψος του νερού στη δεξαmicroενή του σχήmicroατος εάν την χρονική στιγmicroήmicroηδέν το αρχικό ύψος ήταν 2(m) και από την ιδια χρονική στιγmicroή η παροχή microάζας γίνεταισταθερή και ίση microε 1(kgsec) Ποια είναι η χρονική σταθερά του συστήmicroατος

΄Ασκηση 62

Θεωρείστε το ηλεκτρικό σύστηmicroα του σχήmicroατος και υπολογίστε το ϕορτίο στον πυκνωτήσαν συνάρτηση του χρόνου εάν είναι γνωστό ότι την αρχική χρονική στιγmicroή t = 0 ϕορτίοήταν q(0) = 0(Q) και v(t) = 1(V ) για όλους τους ϑετικούς χρόνους Πόσο χρονικόδιάστηmicroα απαιτείται προκειmicroένου η απόκριση να ϕθάσει (microε 2 ακρίβεια) την τελική τιmicroήτης

Επαναλάβατε την άσκηση για q(0) = 0001(Q) και v(t) = 10(V )

u(t)+-

C

R

13

΄Ασκηση 63

Υπολογίστε και χαράξτε την καmicroπύλη του ηλεκτρικού ϕορτίου στον πυκνωτή της προ-ηγούmicroενης άσκησης εάν q(0) = 0(Q) και v(t) = t2(V ) για όλους τους ϑετικούς χρόνους

΄Ασκηση 64

Υπολογίστε την ελεύθερη απόκριση του παρακάτω microηχανικού συστήmicroατος για αρχικέςσυνθήκες x(0)=0 (m) και v(0)=1 (msec) σε καθε microία από τις ακόλουθες περιπτώσεις

(α) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 8(Nm)

(ϐ) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 4(Nm)

(γ) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 2(Nm)

Επίσης υπολογίστε τις χρονικές σταθερές ϕυσική συχνότητα microε και χωρίς απόσβεσηκαθώς και τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος σε κάθε περίπτωση

k

C

x

m

΄Ασκηση 65

Επιλέξτε την τιmicroή της σταθεράς απόσβεσης c του παρακάτω συστήmicroατος προκειmicroένουνα ικανοποιηθούν οι εξής προδιαγραφές (α) Μέγιστη ποσοστιαία υπερακόντιση ελάχιστη και πάντως όχι microεγαλύτερη από 20(ϐ) Χρόνος ανύψωσης ελάχιστος και πάντως όχι microεγαλύτερος από 3 secs

(γ) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) ελάχιστος και πάντως όχι microεγαλύτερος από3 secs

k Cθ

Ι

14

΄Ασκηση 66

(α) Καταστρώστε τις εξισώσεις κατάστασης του υδραυλικού συστήmicroατος του σχήmicroατος(ϐ) Υπολογίστε την στάθmicroη του ϱευστού στην δεύτερη δεξαmicroενή σαν συνάρτηση του χρόνουεάν qm(t) = 2(kgsec) για όλους τους ϑετικούς χρόνους(γ) Υπολογίστε τις χρονικές σταθερέςφυσικές συχνότητες microε και χωρίς απόσβεση καιλόγους απόσβεσης του συστήmicroατος

qm

h

R

A R

1

1

2 2h2

A1

ρ

g

΄Ασκηση 67

Θεωρείστε ένα σύστηmicroα πέmicroπτης τάξεως microε πόλους

s = minus2minus3plusmn jminus5plusmn 2j

Ποιες είναι οι χρονικές σταθερές ϕυσικές συχνότητες microε και χωρίς απόσβεση καθώςκαι οι λόγοι απόσβεσης του συστήmicroατος

13

΄Ασκηση 63

Υπολογίστε και χαράξτε την καmicroπύλη του ηλεκτρικού ϕορτίου στον πυκνωτή της προ-ηγούmicroενης άσκησης εάν q(0) = 0(Q) και v(t) = t2(V ) για όλους τους ϑετικούς χρόνους

΄Ασκηση 64

Υπολογίστε την ελεύθερη απόκριση του παρακάτω microηχανικού συστήmicroατος για αρχικέςσυνθήκες x(0)=0 (m) και v(0)=1 (msec) σε καθε microία από τις ακόλουθες περιπτώσεις

(α) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 8(Nm)

(ϐ) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 4(Nm)

(γ) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 2(Nm)

Επίσης υπολογίστε τις χρονικές σταθερές ϕυσική συχνότητα microε και χωρίς απόσβεσηκαθώς και τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος σε κάθε περίπτωση

k

C

x

m

΄Ασκηση 65

Επιλέξτε την τιmicroή της σταθεράς απόσβεσης c του παρακάτω συστήmicroατος προκειmicroένουνα ικανοποιηθούν οι εξής προδιαγραφές (α) Μέγιστη ποσοστιαία υπερακόντιση ελάχιστη και πάντως όχι microεγαλύτερη από 20(ϐ) Χρόνος ανύψωσης ελάχιστος και πάντως όχι microεγαλύτερος από 3 secs

(γ) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) ελάχιστος και πάντως όχι microεγαλύτερος από3 secs

k Cθ

Ι

14

΄Ασκηση 66

(α) Καταστρώστε τις εξισώσεις κατάστασης του υδραυλικού συστήmicroατος του σχήmicroατος(ϐ) Υπολογίστε την στάθmicroη του ϱευστού στην δεύτερη δεξαmicroενή σαν συνάρτηση του χρόνουεάν qm(t) = 2(kgsec) για όλους τους ϑετικούς χρόνους(γ) Υπολογίστε τις χρονικές σταθερέςφυσικές συχνότητες microε και χωρίς απόσβεση καιλόγους απόσβεσης του συστήmicroατος

qm

h

R

A R

1

1

2 2h2

A1

ρ

g

΄Ασκηση 67

Θεωρείστε ένα σύστηmicroα πέmicroπτης τάξεως microε πόλους

s = minus2minus3plusmn jminus5plusmn 2j

Ποιες είναι οι χρονικές σταθερές ϕυσικές συχνότητες microε και χωρίς απόσβεση καθώςκαι οι λόγοι απόσβεσης του συστήmicroατος

14

΄Ασκηση 66

(α) Καταστρώστε τις εξισώσεις κατάστασης του υδραυλικού συστήmicroατος του σχήmicroατος(ϐ) Υπολογίστε την στάθmicroη του ϱευστού στην δεύτερη δεξαmicroενή σαν συνάρτηση του χρόνουεάν qm(t) = 2(kgsec) για όλους τους ϑετικούς χρόνους(γ) Υπολογίστε τις χρονικές σταθερέςφυσικές συχνότητες microε και χωρίς απόσβεση καιλόγους απόσβεσης του συστήmicroατος

qm

h

R

A R

1

1

2 2h2

A1

ρ

g

΄Ασκηση 67

Θεωρείστε ένα σύστηmicroα πέmicroπτης τάξεως microε πόλους

s = minus2minus3plusmn jminus5plusmn 2j

Ποιες είναι οι χρονικές σταθερές ϕυσικές συχνότητες microε και χωρίς απόσβεση καθώςκαι οι λόγοι απόσβεσης του συστήmicroατος

15

7η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 71

Υπολογίστε τη συνάρτηση microεταφοράς για καθένα από τα συστήmicroατα που παριστάνονταιαπό τα παρακάτω δοmicroικά διαγράmicromicroατα

G2

G1

G3

++

+-X

(α)

Y

X YG 1

+-

G2

G6

G7

G 3+ +

-G4

G 8

G5

(γ)

΄Ασκηση 72

Για το σύστηmicroα του παρακάτω διαγράmicromicroατος (α) Υπολογίστε την συνάρτηση microεταφοράς(ϐ) Ποια είναι η διαφορικη εξίσωση που το διέπει(γ) Καταστρώστε τις εξισώσεις κατάστασης

16

+-- -

1s 1s 1s b3

b 2

b1

α1

α2

α3

++ΥΧ Ζ1 Ζ2 Ζ3

΄Ασκηση 73

Χρησιmicroοποιείστε το κριτήριο των Routh-Hurwitz για τον έλεγχο ευστάθειας των συστη-microάτων microε χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο

(α) s4 + 10s3 + 32s2 + 50s + 100

(ϐ) s5 + 10s4 + 30s3 + 80s2 + 344s + 480

(γ) s4 + 3s3 + 8s2 minus 3s + 9

(δ) 2s4 + 12s2 + 50

(ε) s3 + s + 1

Σε περίπτωση αστάθειας πόσοι από τους πόλους κάθε πολυωνύmicroου είναι ασταθείς

΄Ασκηση 74

Για το παρακάτω σύστηmicroα ελέγχου κλειστού ϐρόχου υπολογίστε το διάστηmicroα των τιmicroώντου κέρδους κ του ενισχυτή (κατευθυντή) στο οποίο το σύστηmicroα είναι ευσταθές

+

-R K

ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ

1s+4

Y

17

΄Ασκηση 75

Υπολογίστε το πεδίο τιmicroών των παραmicroέτρων κ και Τ (κέρδος ενισχυτήκατευθυντή καιχρονική σταθερά εγκατάστασης αντίστοιχα) στο οποίο οι χρονικές σταθερές του παρακάτωσυστήmicroατος κλειστού ϐρόχου είναι microικρότερες από bminus1secs

R +

-K

Y1s(Ts+1)

ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΕΓΚΑΣΤΑΣΤΑΣΗ

18

8η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 81

Θεωρείστε το παρακάτω σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου microε ολοκληρωτική δράση καιαπαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις

(α) Ποιος είναι ο τύπος του συστήmicroατος ως προς την είσοδο αναφοράςΠοιες είναι οι τιmicroές των σταθερών σφάλmicroατος ϑέσης ταχύτητας και επιτάχυνσης(ϐ) Υπολογίστε τη συνάρτηση microεταφοράς microεταξύ της εξόδου και της διαταραχής(γ) Ποιος είναι ο τυπος του συστήmicroατος ως προς την διαταραχή(δ) Υπολογίστε τις τιmicroές των σταθερών σφάλmicroατος (ως προς την διαταραχή) ϑέσης

ταχύτητας και επιτάχυνσης

RK

+-

KIs+ +

-αs

b

K

Dδιαταρχή

αbKKIθετικέςσταθερές

΄Ασκηση 82 Σύγκριση Συστηmicroάτων Αυτοmicroάτου Ελέγχου (Εν Σειρά - Πρόσω Εν Σειρά)

R-

+ ____K IS

1 Y R K IKAT1

+

-K2

KAT2

1

EΓΚ

Υ

ΚΑΤ ΕΓΚ

ΕΝ ΣΕΙΡΑ ΠΡΟΣΩ ΕΝ ΣΕΙΡΑ

Θεωρείστε τα συστήmicroατα του παραπάνω σχήmicroατος για τον έλεγχο της ενδεικνυόmicroενηςεγκατάστασης πρώτης τάξης Το πρώτο σύστηmicroα ϐασίζεται σε αντιστάθmicroιση εν σειρά καιχρησιmicroοποιεί ολοκληρωτικό κατευθυντή το δε δεύτερο ϐασίζεται σε συνδυασmicroό πρόσω microεεν σειρά αντιστάθmicroιση και χρησιmicroοποιεί δύο αναλογικούς κατευθυντές Σε κάθε περίπτωσηενδιαφέρει ο σχεδιασmicroός του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε η σταθερά σφάλ-microατος ταχύτητος να είναι ίση microε 2 (προδιαγραφή σχεδιασmicroού) Απαντείστε στις παρακάτωερωτήσεις

(α) Είναι δυνατόν να επιτευχθή η προδιαγραφή και microε τα δύο συστήmicroατα ελέγχου

19

Υπολογίστε τις απαιτούmicroενες προς το σκοπό τούτο τιmicroές των σταθερών των κατευθυν-τών σε κάθε περίπτωση

(ϐ) Συγκρίνετε τα δύο συστήmicroατα ελέγχου που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη ερώτησηΥπολογίστε microεγέθη της microεταβατικής απόκρισης καθενός πχ τον χρόνο αποκατάστασηςτο χρόνο ανύψωσης τη microέγιστη υπερακόντιση Ποιο εκ των δύο συστηmicroάτων υπερέχει

(γ) Τώρα υποθέστε ότι η πραγmicroατική τιmicroή του κέρδους της εγκατάστασης είναι κατά10 ανώτερη από την ονοmicroαστική επί τη ϐάσει της οποίας έγινε ο σχεδιασmicroός τωνσυστηmicroάτων και ο υπολογισmicroός των κερδών των κατευθυντών στο πρώτο ερώτηmicroα Πώς ϑασυmicroπεριφερθή τώρα κάθε ένα εκ των δύο συστηmicroάτων

Θα εξακολουθήση να χαρακτηρίζεται από πεπερασmicroένη σταθερά σφάλmicroατος ταχύτηταςπαρά το σφάλmicroα microοντελοποίησης

(δ) Ποιο από τα δύο συστήmicroατα ελέγχου ϑα συνιστούσατε σε κάποιον πελάτη σας πουϑα ενδιαφέρετο για την συγκεκριmicromicroένη προδιαγραφή

΄Ασκηση 83 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Ταχύτητας Ταινίας (Σερβιmicroηχανισmicroός)

Θεωρείστε το πρόβληmicroα ελέγχου ταχύτητας της ταινίας σε microια microαγνητική συσκευή ανα-παραγωγής και εγγραφής ήχου (πχκασσετόφωνο) Θεωρείστε την αδράνεια των περι-στρεφόmicroενων αξόνων και ταινίας ως έχουσα ονοmicroαστική τιmicroή J = 010(kgm2) και τοισοδύναmicroο συντελεστή ιξώδους απόσβεσης c = 1(Nmsec) Η ελαστικότητα των αξόνωνκαι ταινίας ϑεωρείται αmicroεληταία και αγνοείται Ως τελικό στοιχείο ελέγχου επιλέγεταικινητήρας ελεγχόmicroενης ϱοπής microε συνάρτηση microεταφοράς microεταξύ ϱοπής και εφαρmicroοζόmicroεν-ης τάσεως πρώτης τάξεως και χαρακτηριζόmicroενης από χρονική σταθερά ίση microε 050(secs)και κέρδος ίσο microε 10(Nmvolt) Ο microετρητής της ταχύτητας της ταινίας είναι πολύ γρή-γορος και τα δυναmicroικά χαρακτηριστικά του microπορούν εποmicroένως να αγνοηθούν Η ϱοπήδιαταραχής οφείλεται σε διάφορους λόγους συmicroπεριλαmicroβανοmicroένων των microεταβολών στηναδράνεια λόγω της κίνησης της ταινίας

Οι προδιαγραφές του συστήmicroατος ελέγχου έχουν ως εξής

(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 0001(radssec)

(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς ϱοπή διαταραχής 1(Nm) όχι microεγαλύτερο από001(radssec)

(iii) Χρόνο αποκατάστασης όχι microεγαλύτερον από 01(secs)

(iv) Μέγιστη υπερακόντιση όχι microεγαλύτερη από 5

(α) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αντιστάθmicroισης εν σειρά το οποίο να περιλαmicroβάνει τον απλούσ-τερο δυνατό κατευθυντή ενός microόνο όρου και να πληροί την προδιαγραφή (i)

(ϐ) Πληροί το σύστηmicroα που σχεδιάσατε την προδιαγραφή (ii)

20

(γ) Υπολογίστε τους πόλους του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου που σχεδιάσατε Είναι οιπόλοι αυτοί επιθυmicroητοί

Πού πρέπει να ϐρίσκονται οι πόλοι κλειστού ϐρόχου προκειmicroένου να πληρούνται οι προ-διαγραφές (iii) και (iv)

(δ) Τροποποιείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου σε σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης καιεν σειρά (2 κατευθυντών) εάν έχετε διαθέσιmicroο και ένα πολύ γρήγορο επιταχυνσιόmicroετρογια τη microέτρηση των γωνιακής επιτάχυνσηςΠληροί το νέο σας σύστηmicroα τις προδιαγραφές (iii) και (iv)

Εξακολουθεί να πληροί τις προδιαγραφές (i) και (ii)

(ε) Πώς ϑα τροποποιούσατε περαιτέρω το σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης και εν σειράπροκειmicroένου να microηδενισθούν τα σφάλmicroατα που αναφέρονται στις προδιαγραφές (i)και (ii)

΄Ασκηση 84 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Υδραυλικού Συστήmicroατος

qm1

R1 qmd

R2A 2

ρ

g

A1

h

ρ

ΒΑΛΒ

h22d ΚΑΤ

1

h2

Για το υδραυλικό σύστηmicroα του σχήmicroατος

(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του απλούστερου δυνατού συστήmicroατος ελέγχου τηςστάθmicroης της δεξαmicroενής 2 που να επιτυγχάνει microηδενικά σφάλmicroατα microόνιmicroης κατάσ-τασης ως προς microοναδιαία ϐαθmicroίδα είσοδο αναφοράς h2d καθώς και διαταραχή qmdΤο σύστηmicroα αυτό microπορεί να χρησιmicroοποιεί ένα microετρητή στάθmicroης στη δεξαmicroενή 2 γιατη microέτρηση της εξόδου και τη ϐαλβίδα που ϱυθmicroίζει την παροχή στη δεξαmicroενή 1 σαντελικό στοιχείο ελέγχου

21

(ϐ) Πως microπορεί να ϐελτιωθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο προηγούmicroενο ερώτη-microα εάν καταστεί διαθέσιmicroος και ένας δεύτερος microετρητής στάθmicroης (για τη δεξαmicroενή1)

Ποιά είναι τα πλεονεκτήmicroατα αυτού ως προς το προηγούmicroενο

΄Ασκηση 85 Σταθεροποίηση Ασταθούς Εγκατάστασης ΄ΕλεγχοςΑνεστραmicromicroένου Εκκρεmicroούς

Θεωρείστε το πρόβληmicroα ανεστραmicromicroένου εκκρεmicroούς microε γραmicromicroικοποιηmicroένη δυναmicroικήεξίσωση

M middot L middot θ minus (M + m) middot g middot θ = f

Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου ικανό να σταθεροποιήση το σύστηmicroα και ναδιατηρή τη γωνία ϑ γύρω από την τιmicroή microηδέν (umlρυθmicroιστής uml) χειριζόmicroενο κατάλληλα τηνοριζόντια δύναmicroη f Οι προδιαγραφές είναι

(i) Λόγος απόσβεσης 0707(ii) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) 8(secs)

΄Ασκηση 86 Αυτόmicroατος Ελεγχος Θερmicroικού Συστήmicroατος

Aέρας κλιβάνουΤ C2 2

C1T1

RI Θερmicroαντικό στοιχ

i i

R2

AτmicroοσφαιρικήΘερmicroοκρασία

Το

22

Θεωρείστε τον κλίβανο του σχήmicroατος ο οποίος ϑερmicroαίνεται από ϑερmicroαντικό στοιχείοmicroε ηλεκτρική αντίσταση R Το ϑερmicroαντικό αυτό στοιχείο έχει ϑερmicroοχωρητικότητα C1 καιϑερmicroοκρασία T1 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ του ϑερmicroαντικού στοιχείου και του αέρατου κλιβάνου παριστάνεται σαν R1 Επίσης η ϑερmicroοχωρητικότητα του αέρα του κλιβάνουπαριστάνεται σαν C2 και η ϑερmicroοκρασία του σαν T2 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ τουκλιβάνου και της ατmicroόσφαιρας είναι R2 ενώ η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος To Οιτιmicroές των σταθερών του συστήmicroατος είναι R = 1(kΩ) R1 = R2 = 1(KsecJoule) C1 =C2 = 100(JouleK)

Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου για τον έλεγχο της ϑερmicroοκρασί-ας T2 του αέρα του κλιβάνου χειριζόmicroενοι κατάλληλα το ηλεκτρικό ϱεύmicroα i πού οδηγείταιστην αντίσταση R Οι προδιαγραφές για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου έχουν ως εξής

(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 001(K)

(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 οφειλόmicroενο σε είσοδο T0 microοναδιαίας ϐαθmicroίδαςmicroικρότερο από 001(Κ)

(iii) Μέγιστη υπερακόντιση σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερη απο10

(iv) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 20(secs)

(v) Ευαισθησία του σφάλmicroατος microόνιmicroης κατάστασης της T2 (οφειλόmicroενο σε είσοδο αναφοράςmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ως προς την ϑερmicroοχωρητικότητα C2 microικρότερη από 01

Απαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις

(α) Αναπτύξτε το δυναmicroικό microοντέλο της εγκατάστασης συmicroπεριλαmicroβανοmicroένης και της η-λεκτρικής αντίστασης

(ϐ) Σχεδιάστε ένα δοmicroικό διάγραmicromicroα της εγκατάστασης κατάλληλο για την επίτευξη τωνπροδιαγραφών του συστήmicroατος ελέγχου Υπολογίστε τις χρονικές σταθερές της εγκατάσ-τασης

(γ) ΄Ελεγχος δύο ϑέσεων microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (ϑερmicroοκρασία Τ2)

Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου δύο ϑέσεων (two-position control)κατάλληλο για τηδιατήρηση της ϑερmicroοκρασίας T2 σταθερής Χρησιmicroοποιείστε microόνον έναν ϑερmicroοκρασιακόmicroετρητή (για τη microέτρηση της T2)

(δ) ΄Ελεγχος τύπου PID microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (Θερmicroοκρασία T2)

(δ1) Επιλέξτε τον απλούστερο δυνατό κατευθυντή (τύπου (PID) που είναι ικανός για τηνεπίτευξη των προδιαγραφών (i) και (ii)

(δ2) Μπορεί ο κατευθυντής που επιλέξατε στο προηγούmicroενο ερώτηmicroα να ικανοποιήση καιτις προδιαγραφές (iii)(iv) και (v)

(δ3) Υποθέστε τώρα ότι ο ϑερmicroοκρασιακός microετρητής δεν είναι ιδεατός αλλά χαρακτηρίζεταιαπό microία χρονική σταθερά 1(sec) και κέρδος DC (κέρδος microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδοmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ίσο microε 1 Εξετάστε εάν το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στηνερώτηση (δ1) microπορεί ακόmicroη να ικανοποιήση τις προδιαγραφές (i) και (ii)

23

(ε) Ελεγχος τύπου PID microε δύο ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T2)

Πώς ϑα microπορούσε το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάστηκε στο ερώτηmicroα (δ1) να ϐελτιωθήεάν είναι διαθέσιmicroοι δύο ιδεατοί ϑερmicroοκρασιακοί microετρητές για microέτρηση της T2 και της T0

Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του ϐελτιωmicroένου αυτού συστήmicroατος ελέγχου

(στ) Ελεγχος microε τρεις ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T1 T2)

Τώρα υποθέστε ότι τρεις ιδεατοί microετρητές είναι διαθέσιmicroοι για την microέτρηση των ϑερmicroοκρασιώνT0 T1 T2 και ότι τα κέρδη τους είναι microεταβλητά και microπορούν να επιλεγουν αυθαίρετα

(στ1) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου ικανό να εξαλείψη τελείως την επίδραση της ϑερmicroοκρασί-ας περιβάλλοντος T0 και ταυτόχρονα να παρουσιάζη πεπερασmicroένο σφάλmicroα microόνιmicroηςκατάστασης στην T2 για συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς Τιπλεονέκτηmicroα παρουσιάζει η επιπρόσθετη δυνατότητα microέτρησης της ϑερmicroοκρασίαςT1

(στ2) Υποδείξτε πως microπορεί να microεταβληθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο ερώτη-microα (στ1) ούτως ώστε το σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης στην T2 οφειλόmicroενο σε συνάρτησηmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς να microηδενισθή

(Ϲ) Προσοmicroοίωση σε ΗΥ

Χρησιmicroοποιείστε ένα κατάλληλο λογισmicroικό πακέτο (MATLABMATRIXx ή οποιοδήπότεάλλο) για την προσοmicroοίωση της εγκατάστασης και των διαφόρων συστηmicroάτων αυτοmicroάτουελέγχου που σχεδιάσατε

Χρησιmicroοποείστε ως εισόδουςδιαταραχή συναρτήσεις ϐαθmicroίδας αλλά και άλλες συναρτή-σεις (πχ αναρρίχησης κάποιας microορφής περιοδική συνάρτηση για την ϑερmicroοκρασία T0)και επαληθεύστε τα κατά περίπτωση αποτελέσmicroατά σας

Σχολιάστε την αρχική δυναmicroική συmicroπεριφορά της εγκατάστασης και το πως ϐελτιώνεταιmicroε τα διάφορα συστήmicroατα ελέγχου Εκτυπώστε γραφικές παραστάσεις των αποκρίσεων πουυπολογίσατε microε την ϐοήθεια του ΗΥ

24

9η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 91 Χάραξη Τόπου των Ριζών

Θεωρείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου του σχήmicroατος και χαράξτε τον τόπο των ϱιζώνγια τις παρακάτω περιπτώσεις

(α) G(s) = 10s(s2 + 3s + 9)2

(β) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 100)

(γ) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 225)

(δ) G(s) = (s2 + 225)s(s2 + 1)

R +-

K G(s)y

΄Ασκηση 92 Τόπος των Ριζών σε Σύστηmicroα Ελέγχου microε Ανάδραση των Μεταβλητών

Κατάστασης

Θεωρείστε το παρακάτω υδραυλικό σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου στόχος του οποίου είναιο έλεγχος της στάθmicroης h3 του ϱευστού που συγκεντρώνεται στη τρίτη δεξαmicroενή Για τηνεπίτευξη του στόχου αυτού χρησιmicroοποιείται ανάδραση των παροχών microάζας qm2 και qm3καθώς και της στάθmicroης h3 Τα κέρδη των αντίστοιχων microετρητών είναι 1 κ και 1 Η χρονικήσταθερά της πρώτης δεξαmicroενής δίνεται ίση microε 5 (secs) της δεύτερης 7 (secs)ενώ το εmicroβαδότου πυθmicroένα της τρίτης είναι 5(m2) και η πυκνότητα του ϱευστού 1000(kgm3)

(α) Χαράξτε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου

(ϐ) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου καθώς το κέρδος κ τουδεύτερου microετρητή microεταβάλλεται

25

ρh3

h 3r

qm1

qm2

R2qm3

qm2

kqm3

ρ

ρ

g

h3

KATTH Σ

΄Ασκηση 93 Σχεδιασmicroός Σερβοmicroηχανισmicroού

Θεωρείστε το σύστηmicroα του παρακάτω σχήmicroατος Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένασύστηmicroα ελέγχου της microετατόπισης Θ χρησιmicroοποιώντας microέτρηση του Θ και (ιδεατό) κιν-ητήρα συνεχούς ϱεύmicroατος ο οποίος ϑα ασκεί ϱοπή Τ στην αδράνεια Ι Οι προδιαγραφέςσχεδιασmicroού για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου είναι

(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδο microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερο από 01(rads)κατ΄ απόλυτον τιmicroή

(ii) Χρονικές σταθερές microικρότερες του 1(sec)

(iii) Λόγος απόσβεσης microεγαλύτερος ή ίσος του 0707

(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου

(ϐ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί την προδια-γραφή (i) Εν συνεχεία υπολογίστε την χρονική σταθερά και τον λόγο απόσβεσης τουσυστήmicroατος που σχεδιάσατε και συγκρίνετέ τα microε τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάσ-τασης Τι παρατηρείτε

(γ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές(i) και(ii) Εν συνεχεία υπολογίστε τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος που σχεδιάσατε

(δ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές (i)και (iii) Εν συνεχεία υπολογίστε τις χρονικές σταθερές του συστήmicroατος που σχεδιάσατε

26

υ ΙT

θ

K

΄Ασκηση 94 Τόπος των Ριζών για Σύστηmicroα Κλειστού Βρόχου microε Κατευθυντή ΠΦ

Για παρακάτω σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου(α) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών ως προς το αναλογικό κέρδος k(ϐ) Είναι δυνατόν να επιλεγή το κέρδος k ούτως ώστε ο λόγος απόσβεσης να είναι 06 Ποια είναι η απαιτούmicroενη προς τον σκοπό τούτο τιmicroή του k

Y(s)R(s) +-

s+1s+10k s +121

s (s +100)2

2KATTH Σ ΠΦ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

2

΄Ασκηση 95 Χρήση του Τόπου των Ριζών στον Σχεδιασmicroό Κατευθυντή

σε Παράλληλη ∆ιάταξη

Θεωρείστε το απλουστευmicroένο πρόβληmicroα ελέγχου προσανατολισmicroού πυραύλου κατά τηνεκτόξευση Ενδιαφερόmicroαστε συγκεκριmicroένα να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρό-χου το οποίο ϑα χρησιmicroοποιεί microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ και ϑα ασκή ϱοπήΤ(ως προς το κέντρο microάζας microέσω πλευρικών κινητήρων) για τον έλεγχό της Το σύστηmicroαϑα είναι παράλληλης διάταξης microε κατευθυντή ΥΦ ΠΦ ή και συνδυασmicroό των δύο και microεπροδιαγραφές

(i) Φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση ίση microε 5 (radssec)(ii) Λόγος απόσβεσης 0707(iii) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 05 (sec)

(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου(ϐ) Ποιον από τους προαναφερθέντες τύπους κατευθυντή ϑα επιλέγατε στην περίπτωση

αυτή και γιατί (απαντείστε χωρίς να κάνετε υπολογισmicroούς)(γ) Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών για τον σχεδιασmicroό του συστήmicroατος

κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε να ικανοποιούνται ει δυνατόν οι προδιαγραφές (i) και (ii)(δ) Ικανοποιεί την προδιαγραφή (iii) το σύστηmicroα που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη

27

ερώτηση

(ε) Υποθέστε τώρα ότι η microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ δεν είναι ιδεατή αλλάγίνεται microέσω συσκευής microε χρονική σταθερά 01(sec) Πώς ϑα πρέπει να microεταβληθή ο κα-τευθυντής που σχεδιάσατε προκειmicroένου να εξακολουθήση να ικανοποιή τις προδιαγραφές(i) και (ii)

Είναι δυνατόν να ικανοποιείται και η (iii) (Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών)

TKέντρο microάζας

πλευρικοίκινητήρες

Θ

28

10η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 101

Χαράξτε τα διαγράmicromicroατα Bode των παρακάτω συναρτήσεων microεταφοράς (α) G(s) = (002s + 1)3(10s + 1)(ϐ) G(s) = 10s(s + 10)(s + 100)(γ) G(s) = 4s(s2 + 10s + 100)(δ) G(s) = s2(s + 05)(s + 02)(s2 + s + 100)

΄Ασκηση 102

Χρησιmicroοποιείστε το κατάλληλο διάγραmicromicroα Bode για τον προσεγγιστικό υπολογισmicroό τωντιmicroών κέρδους κ του αναλογικού κατευθυντή για τις οποίες το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχουτου σχήmicroατος είναι ευσταθές Επαληθεύστε ποιοτικά την απάντησή σας χρησιmicroοποιώνταςτη microέθοδο του τόπου των ϱιζών

R(s)+ -

kY(s)

s+1s3

s+1s+10

29

ΛΥΣΕΙΣ

1η ΟΜΑ∆Α

Λύση 12

(α) ῾῾Προσεγγιστική᾿᾿ τοποθέτηση καmicroπίνας

K ινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα θέση

καmicroπίνας

∆ιακόπτης(Κατευθυντής

τύπουΑνοικτόΚλειστό

ΤΕΛΙΚΟΣΤΟΙΧΕΙΟΕΛΕΓΧΟΥ

ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

Στη περίπτωση αυτή η ϑέση της καmicroπίνας umlmicroετράταιuml διακριτά microέσω microοχλών τοποθετη-microένων σε κάθε όροφο Ο microοχλός αυτός δρα σαν κατευθυντής ανοικτούκλειστού τύπου(κλειστός όταν η καmicroπίνα δεν είναι στο επίπεδο ορόφου ανοικτός όταν είναι)

(ϐ) Ακριβής τοποθέτηση καmicroπίνας

Ενισχυτής Κινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα

Αισθητήριοθέσης

αναφοράςθέση

ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΤΕΛΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑΕΛΕΓΧΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

θέση καmicroπίνας

Η ακριβής ϑέση της καmicroπίνας microπορεί να microετράται microε διάφορους τρόπους Ενας απλόςέmicromicroεσος τρόπος είναι microε microέτρηση του συρmicroατόσχοινου

30

Λύση 15

Πρόγραmicromicroακαθοδήγησης DA Eνισχυτής Κινητήρας Φορτίο

Ταχύmicroετρο

Αισθητήριοθέσης

(Encoder)

HY

+

-

τάση υ1

τάση υ 2

ΤΕΛΣΤΟΙΧΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ

Σχήmicroα 1 ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού Βρόχου

DA Μετατροπέας ψηφιακού σήmicroατος σε αναλογικόΣηmicro Ο ενισχυτής εκτελεί ουσιαστικά σύγκριση των τάσεων U1και U2 και ενισχύει τη

διαφορά τους U1 minus U2

2η ΟΜΑ∆Α

Λύση 26

Ισοδύναmicroο σύστηmicroα χωρίς γρανάζια microε αναγωγή στον δεξιό άξονα

k2 c 2T θΙ

k1 11

θ12

c1I12 =0I I32

θ 2 θ3

όπου T prime = N middot T I prime1 = I1N2

θprime1 = θ1Nkprime1 = k1N

2

Είναι ϕανερό ότι η γωνιακή microετατόπιση σηmicroείου microεταξύ του ελατηρίου kprime1 και του α-ποσβεστήρα c1 δεν περιγράφεται συναρτήσει των υπολοίπων ορισmicroένων microετατοπίσεων καιπρέπει να ορισθεί ανεξάρτητα Εστω ότι η microετατόπιση αυτή καλείται θ12 (ϐλδιάγραmicromicroα)Για την κατάστρωση των εξισώσεων κίνησης υποθέτω ότι στο σηmicroείο αυτό ευρίσκεταιαδράνεια microηδενικού microέτρου (I12 = 0 ) (ϐλ διάγραmicromicroα)

Υπόθεση θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0

θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0

31

∆ιαγράmicromicroατα ελευθέρου σώmicroατος

I1θ1Τ

Ι =012

Με εφαρmicroογή του νόmicroου του Νεύτωνα

I prime1 middot θprime1 = T prime minus kprime1(θprime1 minus θ12)

I12 middot θ12 = 0 = kprime1(θprime1 minus θ12)minus c1(θ12 minus θ2)

I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)

I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3

και η τελική microορφή των εξισώσεων προκύπτει microετά από αντικατάσταση των T prime θprime1 kprime1

32

I1 middotN2 1N

θ1 = N middot T minus k1N2(

θ1

Nminus θ12

) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)

0 = k1N2(

θ1

Nminus θ12

)minus c1

(˙θ12 minus θ2

)

I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)

I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3

Εξισώσεις κίνησης

Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31

2ϐα-

ϑmicroών ελευθερίας

Λύση 27

+-υ

R L

i+-

υb

Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr

rArr υ = iR + Ldi

dt+ Kb middot ω (1)

I 1

T θ 1

Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0

θ1 gt θ2 gt 0

Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr

rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)

33

Cθ2

θ2I2

k(θ -θ )1 2

Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr

rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)

Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι

34

3η ΟΜΑ∆Α

Λύση 33

Εξισώσεις διατήρησης microάζας

dm1

dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)

dm2

dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)

οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2

αντίστοιχα

Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1

gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2

Επίσης m1 = A1h1

m2 = A2h2

Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g

R1h1

A2h2 = gR1

h1 + qm2 minus gR2

h2

∣∣∣∣∣∣

(1α)

(2α)

Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής

ddt

[h1

h2

]=

[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2

] [h1

h2

]+

[1A1 00 1A1

] [qm1

qm2

]

[h1

h2

]=

[1 00 1

] [h1

h2

]

35

Λύση 36

qh1

qhC2T2

i i

C1T1θερmicroική αντίσταση R2

θερmicroική αντίσταση R1

T3

Υπόθεση T2 T1 T3

qh2

R

Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε

Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα

Θερmicroοχωρητικότητα C1 d

dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)

Θερmicroοχωρητικότητα C2 d

dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)

Επιπρόσθετα

qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)

qh1 =T1 minus T3

R1

Θερmicroική αντίσταση R1 (4)

qh2 =T2 minus T1

R2

Θερmicroική αντίσταση R2 (5)

Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)

c1 middot dT1

dt= T2minusT1

R2minus T1minusT3

R1

c2 middot dT2

dt= i2 middotRminus T2minusT1

R2

∣∣∣∣∣∣

είσοδοι T3 i (6)

έξοδοι T1 T2 (7)

36

4η ΟΜΑ∆Α

Λύση 43

Μαθηmicroατικό microοντέλο

Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)

Εξαναγκασmicroένη απόκριση

Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)

χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3

Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e

minus3t (t ge 0)

microεh(0) = 0

h(0) = 1

rArr c1 + c2 = 0

minusc1 minus 3c2 = 1

rArr c1 = 12

c2 = minus12

άρα

h(t) =1

2eminust minus 1

2eminus3t (t ge 0) (2)

Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =

int t

0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =

int t

012

(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)

) middot (1 + τ) middot dτ

= 12eminust

int t

0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1

2eminus3t

int t

0e3τ (1 + τ) middot dτ

= 12eminust

[τ middot eτ

]t

τ=0minus 1

2eminus3t

[13e3τ (1 + τ)minus 1

9e3τ

]t

τ=0

= 12eminustt middot et minus 1

6eminus3t

[e3t(1 + t)minus 1

]+ 1

18eminus3t middot

[e3t minus 1

]

= 12tminus 1

6(1 + t) + 1

6eminus3t + 1

18minus 1

18eminus3t =

16

+-- -

1s 1s 1s b3

b 2

b1

α1

α2

α3

++ΥΧ Ζ1 Ζ2 Ζ3

΄Ασκηση 73

Χρησιmicroοποιείστε το κριτήριο των Routh-Hurwitz για τον έλεγχο ευστάθειας των συστη-microάτων microε χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο

(α) s4 + 10s3 + 32s2 + 50s + 100

(ϐ) s5 + 10s4 + 30s3 + 80s2 + 344s + 480

(γ) s4 + 3s3 + 8s2 minus 3s + 9

(δ) 2s4 + 12s2 + 50

(ε) s3 + s + 1

Σε περίπτωση αστάθειας πόσοι από τους πόλους κάθε πολυωνύmicroου είναι ασταθείς

΄Ασκηση 74

Για το παρακάτω σύστηmicroα ελέγχου κλειστού ϐρόχου υπολογίστε το διάστηmicroα των τιmicroώντου κέρδους κ του ενισχυτή (κατευθυντή) στο οποίο το σύστηmicroα είναι ευσταθές

+

-R K

ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ

1s+4

Y

17

΄Ασκηση 75

Υπολογίστε το πεδίο τιmicroών των παραmicroέτρων κ και Τ (κέρδος ενισχυτήκατευθυντή καιχρονική σταθερά εγκατάστασης αντίστοιχα) στο οποίο οι χρονικές σταθερές του παρακάτωσυστήmicroατος κλειστού ϐρόχου είναι microικρότερες από bminus1secs

R +

-K

Y1s(Ts+1)

ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΕΓΚΑΣΤΑΣΤΑΣΗ

18

8η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 81

Θεωρείστε το παρακάτω σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου microε ολοκληρωτική δράση καιαπαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις

(α) Ποιος είναι ο τύπος του συστήmicroατος ως προς την είσοδο αναφοράςΠοιες είναι οι τιmicroές των σταθερών σφάλmicroατος ϑέσης ταχύτητας και επιτάχυνσης(ϐ) Υπολογίστε τη συνάρτηση microεταφοράς microεταξύ της εξόδου και της διαταραχής(γ) Ποιος είναι ο τυπος του συστήmicroατος ως προς την διαταραχή(δ) Υπολογίστε τις τιmicroές των σταθερών σφάλmicroατος (ως προς την διαταραχή) ϑέσης

ταχύτητας και επιτάχυνσης

RK

+-

KIs+ +

-αs

b

K

Dδιαταρχή

αbKKIθετικέςσταθερές

΄Ασκηση 82 Σύγκριση Συστηmicroάτων Αυτοmicroάτου Ελέγχου (Εν Σειρά - Πρόσω Εν Σειρά)

R-

+ ____K IS

1 Y R K IKAT1

+

-K2

KAT2

1

EΓΚ

Υ

ΚΑΤ ΕΓΚ

ΕΝ ΣΕΙΡΑ ΠΡΟΣΩ ΕΝ ΣΕΙΡΑ

Θεωρείστε τα συστήmicroατα του παραπάνω σχήmicroατος για τον έλεγχο της ενδεικνυόmicroενηςεγκατάστασης πρώτης τάξης Το πρώτο σύστηmicroα ϐασίζεται σε αντιστάθmicroιση εν σειρά καιχρησιmicroοποιεί ολοκληρωτικό κατευθυντή το δε δεύτερο ϐασίζεται σε συνδυασmicroό πρόσω microεεν σειρά αντιστάθmicroιση και χρησιmicroοποιεί δύο αναλογικούς κατευθυντές Σε κάθε περίπτωσηενδιαφέρει ο σχεδιασmicroός του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε η σταθερά σφάλ-microατος ταχύτητος να είναι ίση microε 2 (προδιαγραφή σχεδιασmicroού) Απαντείστε στις παρακάτωερωτήσεις

(α) Είναι δυνατόν να επιτευχθή η προδιαγραφή και microε τα δύο συστήmicroατα ελέγχου

19

Υπολογίστε τις απαιτούmicroενες προς το σκοπό τούτο τιmicroές των σταθερών των κατευθυν-τών σε κάθε περίπτωση

(ϐ) Συγκρίνετε τα δύο συστήmicroατα ελέγχου που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη ερώτησηΥπολογίστε microεγέθη της microεταβατικής απόκρισης καθενός πχ τον χρόνο αποκατάστασηςτο χρόνο ανύψωσης τη microέγιστη υπερακόντιση Ποιο εκ των δύο συστηmicroάτων υπερέχει

(γ) Τώρα υποθέστε ότι η πραγmicroατική τιmicroή του κέρδους της εγκατάστασης είναι κατά10 ανώτερη από την ονοmicroαστική επί τη ϐάσει της οποίας έγινε ο σχεδιασmicroός τωνσυστηmicroάτων και ο υπολογισmicroός των κερδών των κατευθυντών στο πρώτο ερώτηmicroα Πώς ϑασυmicroπεριφερθή τώρα κάθε ένα εκ των δύο συστηmicroάτων

Θα εξακολουθήση να χαρακτηρίζεται από πεπερασmicroένη σταθερά σφάλmicroατος ταχύτηταςπαρά το σφάλmicroα microοντελοποίησης

(δ) Ποιο από τα δύο συστήmicroατα ελέγχου ϑα συνιστούσατε σε κάποιον πελάτη σας πουϑα ενδιαφέρετο για την συγκεκριmicromicroένη προδιαγραφή

΄Ασκηση 83 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Ταχύτητας Ταινίας (Σερβιmicroηχανισmicroός)

Θεωρείστε το πρόβληmicroα ελέγχου ταχύτητας της ταινίας σε microια microαγνητική συσκευή ανα-παραγωγής και εγγραφής ήχου (πχκασσετόφωνο) Θεωρείστε την αδράνεια των περι-στρεφόmicroενων αξόνων και ταινίας ως έχουσα ονοmicroαστική τιmicroή J = 010(kgm2) και τοισοδύναmicroο συντελεστή ιξώδους απόσβεσης c = 1(Nmsec) Η ελαστικότητα των αξόνωνκαι ταινίας ϑεωρείται αmicroεληταία και αγνοείται Ως τελικό στοιχείο ελέγχου επιλέγεταικινητήρας ελεγχόmicroενης ϱοπής microε συνάρτηση microεταφοράς microεταξύ ϱοπής και εφαρmicroοζόmicroεν-ης τάσεως πρώτης τάξεως και χαρακτηριζόmicroενης από χρονική σταθερά ίση microε 050(secs)και κέρδος ίσο microε 10(Nmvolt) Ο microετρητής της ταχύτητας της ταινίας είναι πολύ γρή-γορος και τα δυναmicroικά χαρακτηριστικά του microπορούν εποmicroένως να αγνοηθούν Η ϱοπήδιαταραχής οφείλεται σε διάφορους λόγους συmicroπεριλαmicroβανοmicroένων των microεταβολών στηναδράνεια λόγω της κίνησης της ταινίας

Οι προδιαγραφές του συστήmicroατος ελέγχου έχουν ως εξής

(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 0001(radssec)

(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς ϱοπή διαταραχής 1(Nm) όχι microεγαλύτερο από001(radssec)

(iii) Χρόνο αποκατάστασης όχι microεγαλύτερον από 01(secs)

(iv) Μέγιστη υπερακόντιση όχι microεγαλύτερη από 5

(α) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αντιστάθmicroισης εν σειρά το οποίο να περιλαmicroβάνει τον απλούσ-τερο δυνατό κατευθυντή ενός microόνο όρου και να πληροί την προδιαγραφή (i)

(ϐ) Πληροί το σύστηmicroα που σχεδιάσατε την προδιαγραφή (ii)

20

(γ) Υπολογίστε τους πόλους του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου που σχεδιάσατε Είναι οιπόλοι αυτοί επιθυmicroητοί

Πού πρέπει να ϐρίσκονται οι πόλοι κλειστού ϐρόχου προκειmicroένου να πληρούνται οι προ-διαγραφές (iii) και (iv)

(δ) Τροποποιείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου σε σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης καιεν σειρά (2 κατευθυντών) εάν έχετε διαθέσιmicroο και ένα πολύ γρήγορο επιταχυνσιόmicroετρογια τη microέτρηση των γωνιακής επιτάχυνσηςΠληροί το νέο σας σύστηmicroα τις προδιαγραφές (iii) και (iv)

Εξακολουθεί να πληροί τις προδιαγραφές (i) και (ii)

(ε) Πώς ϑα τροποποιούσατε περαιτέρω το σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης και εν σειράπροκειmicroένου να microηδενισθούν τα σφάλmicroατα που αναφέρονται στις προδιαγραφές (i)και (ii)

΄Ασκηση 84 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Υδραυλικού Συστήmicroατος

qm1

R1 qmd

R2A 2

ρ

g

A1

h

ρ

ΒΑΛΒ

h22d ΚΑΤ

1

h2

Για το υδραυλικό σύστηmicroα του σχήmicroατος

(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του απλούστερου δυνατού συστήmicroατος ελέγχου τηςστάθmicroης της δεξαmicroενής 2 που να επιτυγχάνει microηδενικά σφάλmicroατα microόνιmicroης κατάσ-τασης ως προς microοναδιαία ϐαθmicroίδα είσοδο αναφοράς h2d καθώς και διαταραχή qmdΤο σύστηmicroα αυτό microπορεί να χρησιmicroοποιεί ένα microετρητή στάθmicroης στη δεξαmicroενή 2 γιατη microέτρηση της εξόδου και τη ϐαλβίδα που ϱυθmicroίζει την παροχή στη δεξαmicroενή 1 σαντελικό στοιχείο ελέγχου

21

(ϐ) Πως microπορεί να ϐελτιωθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο προηγούmicroενο ερώτη-microα εάν καταστεί διαθέσιmicroος και ένας δεύτερος microετρητής στάθmicroης (για τη δεξαmicroενή1)

Ποιά είναι τα πλεονεκτήmicroατα αυτού ως προς το προηγούmicroενο

΄Ασκηση 85 Σταθεροποίηση Ασταθούς Εγκατάστασης ΄ΕλεγχοςΑνεστραmicromicroένου Εκκρεmicroούς

Θεωρείστε το πρόβληmicroα ανεστραmicromicroένου εκκρεmicroούς microε γραmicromicroικοποιηmicroένη δυναmicroικήεξίσωση

M middot L middot θ minus (M + m) middot g middot θ = f

Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου ικανό να σταθεροποιήση το σύστηmicroα και ναδιατηρή τη γωνία ϑ γύρω από την τιmicroή microηδέν (umlρυθmicroιστής uml) χειριζόmicroενο κατάλληλα τηνοριζόντια δύναmicroη f Οι προδιαγραφές είναι

(i) Λόγος απόσβεσης 0707(ii) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) 8(secs)

΄Ασκηση 86 Αυτόmicroατος Ελεγχος Θερmicroικού Συστήmicroατος

Aέρας κλιβάνουΤ C2 2

C1T1

RI Θερmicroαντικό στοιχ

i i

R2

AτmicroοσφαιρικήΘερmicroοκρασία

Το

22

Θεωρείστε τον κλίβανο του σχήmicroατος ο οποίος ϑερmicroαίνεται από ϑερmicroαντικό στοιχείοmicroε ηλεκτρική αντίσταση R Το ϑερmicroαντικό αυτό στοιχείο έχει ϑερmicroοχωρητικότητα C1 καιϑερmicroοκρασία T1 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ του ϑερmicroαντικού στοιχείου και του αέρατου κλιβάνου παριστάνεται σαν R1 Επίσης η ϑερmicroοχωρητικότητα του αέρα του κλιβάνουπαριστάνεται σαν C2 και η ϑερmicroοκρασία του σαν T2 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ τουκλιβάνου και της ατmicroόσφαιρας είναι R2 ενώ η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος To Οιτιmicroές των σταθερών του συστήmicroατος είναι R = 1(kΩ) R1 = R2 = 1(KsecJoule) C1 =C2 = 100(JouleK)

Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου για τον έλεγχο της ϑερmicroοκρασί-ας T2 του αέρα του κλιβάνου χειριζόmicroενοι κατάλληλα το ηλεκτρικό ϱεύmicroα i πού οδηγείταιστην αντίσταση R Οι προδιαγραφές για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου έχουν ως εξής

(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 001(K)

(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 οφειλόmicroενο σε είσοδο T0 microοναδιαίας ϐαθmicroίδαςmicroικρότερο από 001(Κ)

(iii) Μέγιστη υπερακόντιση σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερη απο10

(iv) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 20(secs)

(v) Ευαισθησία του σφάλmicroατος microόνιmicroης κατάστασης της T2 (οφειλόmicroενο σε είσοδο αναφοράςmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ως προς την ϑερmicroοχωρητικότητα C2 microικρότερη από 01

Απαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις

(α) Αναπτύξτε το δυναmicroικό microοντέλο της εγκατάστασης συmicroπεριλαmicroβανοmicroένης και της η-λεκτρικής αντίστασης

(ϐ) Σχεδιάστε ένα δοmicroικό διάγραmicromicroα της εγκατάστασης κατάλληλο για την επίτευξη τωνπροδιαγραφών του συστήmicroατος ελέγχου Υπολογίστε τις χρονικές σταθερές της εγκατάσ-τασης

(γ) ΄Ελεγχος δύο ϑέσεων microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (ϑερmicroοκρασία Τ2)

Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου δύο ϑέσεων (two-position control)κατάλληλο για τηδιατήρηση της ϑερmicroοκρασίας T2 σταθερής Χρησιmicroοποιείστε microόνον έναν ϑερmicroοκρασιακόmicroετρητή (για τη microέτρηση της T2)

(δ) ΄Ελεγχος τύπου PID microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (Θερmicroοκρασία T2)

(δ1) Επιλέξτε τον απλούστερο δυνατό κατευθυντή (τύπου (PID) που είναι ικανός για τηνεπίτευξη των προδιαγραφών (i) και (ii)

(δ2) Μπορεί ο κατευθυντής που επιλέξατε στο προηγούmicroενο ερώτηmicroα να ικανοποιήση καιτις προδιαγραφές (iii)(iv) και (v)

(δ3) Υποθέστε τώρα ότι ο ϑερmicroοκρασιακός microετρητής δεν είναι ιδεατός αλλά χαρακτηρίζεταιαπό microία χρονική σταθερά 1(sec) και κέρδος DC (κέρδος microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδοmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ίσο microε 1 Εξετάστε εάν το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στηνερώτηση (δ1) microπορεί ακόmicroη να ικανοποιήση τις προδιαγραφές (i) και (ii)

23

(ε) Ελεγχος τύπου PID microε δύο ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T2)

Πώς ϑα microπορούσε το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάστηκε στο ερώτηmicroα (δ1) να ϐελτιωθήεάν είναι διαθέσιmicroοι δύο ιδεατοί ϑερmicroοκρασιακοί microετρητές για microέτρηση της T2 και της T0

Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του ϐελτιωmicroένου αυτού συστήmicroατος ελέγχου

(στ) Ελεγχος microε τρεις ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T1 T2)

Τώρα υποθέστε ότι τρεις ιδεατοί microετρητές είναι διαθέσιmicroοι για την microέτρηση των ϑερmicroοκρασιώνT0 T1 T2 και ότι τα κέρδη τους είναι microεταβλητά και microπορούν να επιλεγουν αυθαίρετα

(στ1) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου ικανό να εξαλείψη τελείως την επίδραση της ϑερmicroοκρασί-ας περιβάλλοντος T0 και ταυτόχρονα να παρουσιάζη πεπερασmicroένο σφάλmicroα microόνιmicroηςκατάστασης στην T2 για συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς Τιπλεονέκτηmicroα παρουσιάζει η επιπρόσθετη δυνατότητα microέτρησης της ϑερmicroοκρασίαςT1

(στ2) Υποδείξτε πως microπορεί να microεταβληθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο ερώτη-microα (στ1) ούτως ώστε το σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης στην T2 οφειλόmicroενο σε συνάρτησηmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς να microηδενισθή

(Ϲ) Προσοmicroοίωση σε ΗΥ

Χρησιmicroοποιείστε ένα κατάλληλο λογισmicroικό πακέτο (MATLABMATRIXx ή οποιοδήπότεάλλο) για την προσοmicroοίωση της εγκατάστασης και των διαφόρων συστηmicroάτων αυτοmicroάτουελέγχου που σχεδιάσατε

Χρησιmicroοποείστε ως εισόδουςδιαταραχή συναρτήσεις ϐαθmicroίδας αλλά και άλλες συναρτή-σεις (πχ αναρρίχησης κάποιας microορφής περιοδική συνάρτηση για την ϑερmicroοκρασία T0)και επαληθεύστε τα κατά περίπτωση αποτελέσmicroατά σας

Σχολιάστε την αρχική δυναmicroική συmicroπεριφορά της εγκατάστασης και το πως ϐελτιώνεταιmicroε τα διάφορα συστήmicroατα ελέγχου Εκτυπώστε γραφικές παραστάσεις των αποκρίσεων πουυπολογίσατε microε την ϐοήθεια του ΗΥ

24

9η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 91 Χάραξη Τόπου των Ριζών

Θεωρείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου του σχήmicroατος και χαράξτε τον τόπο των ϱιζώνγια τις παρακάτω περιπτώσεις

(α) G(s) = 10s(s2 + 3s + 9)2

(β) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 100)

(γ) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 225)

(δ) G(s) = (s2 + 225)s(s2 + 1)

R +-

K G(s)y

΄Ασκηση 92 Τόπος των Ριζών σε Σύστηmicroα Ελέγχου microε Ανάδραση των Μεταβλητών

Κατάστασης

Θεωρείστε το παρακάτω υδραυλικό σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου στόχος του οποίου είναιο έλεγχος της στάθmicroης h3 του ϱευστού που συγκεντρώνεται στη τρίτη δεξαmicroενή Για τηνεπίτευξη του στόχου αυτού χρησιmicroοποιείται ανάδραση των παροχών microάζας qm2 και qm3καθώς και της στάθmicroης h3 Τα κέρδη των αντίστοιχων microετρητών είναι 1 κ και 1 Η χρονικήσταθερά της πρώτης δεξαmicroενής δίνεται ίση microε 5 (secs) της δεύτερης 7 (secs)ενώ το εmicroβαδότου πυθmicroένα της τρίτης είναι 5(m2) και η πυκνότητα του ϱευστού 1000(kgm3)

(α) Χαράξτε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου

(ϐ) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου καθώς το κέρδος κ τουδεύτερου microετρητή microεταβάλλεται

25

ρh3

h 3r

qm1

qm2

R2qm3

qm2

kqm3

ρ

ρ

g

h3

KATTH Σ

΄Ασκηση 93 Σχεδιασmicroός Σερβοmicroηχανισmicroού

Θεωρείστε το σύστηmicroα του παρακάτω σχήmicroατος Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένασύστηmicroα ελέγχου της microετατόπισης Θ χρησιmicroοποιώντας microέτρηση του Θ και (ιδεατό) κιν-ητήρα συνεχούς ϱεύmicroατος ο οποίος ϑα ασκεί ϱοπή Τ στην αδράνεια Ι Οι προδιαγραφέςσχεδιασmicroού για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου είναι

(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδο microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερο από 01(rads)κατ΄ απόλυτον τιmicroή

(ii) Χρονικές σταθερές microικρότερες του 1(sec)

(iii) Λόγος απόσβεσης microεγαλύτερος ή ίσος του 0707

(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου

(ϐ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί την προδια-γραφή (i) Εν συνεχεία υπολογίστε την χρονική σταθερά και τον λόγο απόσβεσης τουσυστήmicroατος που σχεδιάσατε και συγκρίνετέ τα microε τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάσ-τασης Τι παρατηρείτε

(γ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές(i) και(ii) Εν συνεχεία υπολογίστε τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος που σχεδιάσατε

(δ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές (i)και (iii) Εν συνεχεία υπολογίστε τις χρονικές σταθερές του συστήmicroατος που σχεδιάσατε

26

υ ΙT

θ

K

΄Ασκηση 94 Τόπος των Ριζών για Σύστηmicroα Κλειστού Βρόχου microε Κατευθυντή ΠΦ

Για παρακάτω σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου(α) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών ως προς το αναλογικό κέρδος k(ϐ) Είναι δυνατόν να επιλεγή το κέρδος k ούτως ώστε ο λόγος απόσβεσης να είναι 06 Ποια είναι η απαιτούmicroενη προς τον σκοπό τούτο τιmicroή του k

Y(s)R(s) +-

s+1s+10k s +121

s (s +100)2

2KATTH Σ ΠΦ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

2

΄Ασκηση 95 Χρήση του Τόπου των Ριζών στον Σχεδιασmicroό Κατευθυντή

σε Παράλληλη ∆ιάταξη

Θεωρείστε το απλουστευmicroένο πρόβληmicroα ελέγχου προσανατολισmicroού πυραύλου κατά τηνεκτόξευση Ενδιαφερόmicroαστε συγκεκριmicroένα να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρό-χου το οποίο ϑα χρησιmicroοποιεί microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ και ϑα ασκή ϱοπήΤ(ως προς το κέντρο microάζας microέσω πλευρικών κινητήρων) για τον έλεγχό της Το σύστηmicroαϑα είναι παράλληλης διάταξης microε κατευθυντή ΥΦ ΠΦ ή και συνδυασmicroό των δύο και microεπροδιαγραφές

(i) Φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση ίση microε 5 (radssec)(ii) Λόγος απόσβεσης 0707(iii) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 05 (sec)

(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου(ϐ) Ποιον από τους προαναφερθέντες τύπους κατευθυντή ϑα επιλέγατε στην περίπτωση

αυτή και γιατί (απαντείστε χωρίς να κάνετε υπολογισmicroούς)(γ) Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών για τον σχεδιασmicroό του συστήmicroατος

κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε να ικανοποιούνται ει δυνατόν οι προδιαγραφές (i) και (ii)(δ) Ικανοποιεί την προδιαγραφή (iii) το σύστηmicroα που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη

27

ερώτηση

(ε) Υποθέστε τώρα ότι η microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ δεν είναι ιδεατή αλλάγίνεται microέσω συσκευής microε χρονική σταθερά 01(sec) Πώς ϑα πρέπει να microεταβληθή ο κα-τευθυντής που σχεδιάσατε προκειmicroένου να εξακολουθήση να ικανοποιή τις προδιαγραφές(i) και (ii)

Είναι δυνατόν να ικανοποιείται και η (iii) (Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών)

TKέντρο microάζας

πλευρικοίκινητήρες

Θ

28

10η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 101

Χαράξτε τα διαγράmicromicroατα Bode των παρακάτω συναρτήσεων microεταφοράς (α) G(s) = (002s + 1)3(10s + 1)(ϐ) G(s) = 10s(s + 10)(s + 100)(γ) G(s) = 4s(s2 + 10s + 100)(δ) G(s) = s2(s + 05)(s + 02)(s2 + s + 100)

΄Ασκηση 102

Χρησιmicroοποιείστε το κατάλληλο διάγραmicromicroα Bode για τον προσεγγιστικό υπολογισmicroό τωντιmicroών κέρδους κ του αναλογικού κατευθυντή για τις οποίες το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχουτου σχήmicroατος είναι ευσταθές Επαληθεύστε ποιοτικά την απάντησή σας χρησιmicroοποιώνταςτη microέθοδο του τόπου των ϱιζών

R(s)+ -

kY(s)

s+1s3

s+1s+10

29

ΛΥΣΕΙΣ

1η ΟΜΑ∆Α

Λύση 12

(α) ῾῾Προσεγγιστική᾿᾿ τοποθέτηση καmicroπίνας

K ινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα θέση

καmicroπίνας

∆ιακόπτης(Κατευθυντής

τύπουΑνοικτόΚλειστό

ΤΕΛΙΚΟΣΤΟΙΧΕΙΟΕΛΕΓΧΟΥ

ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

Στη περίπτωση αυτή η ϑέση της καmicroπίνας umlmicroετράταιuml διακριτά microέσω microοχλών τοποθετη-microένων σε κάθε όροφο Ο microοχλός αυτός δρα σαν κατευθυντής ανοικτούκλειστού τύπου(κλειστός όταν η καmicroπίνα δεν είναι στο επίπεδο ορόφου ανοικτός όταν είναι)

(ϐ) Ακριβής τοποθέτηση καmicroπίνας

Ενισχυτής Κινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα

Αισθητήριοθέσης

αναφοράςθέση

ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΤΕΛΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑΕΛΕΓΧΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

θέση καmicroπίνας

Η ακριβής ϑέση της καmicroπίνας microπορεί να microετράται microε διάφορους τρόπους Ενας απλόςέmicromicroεσος τρόπος είναι microε microέτρηση του συρmicroατόσχοινου

30

Λύση 15

Πρόγραmicromicroακαθοδήγησης DA Eνισχυτής Κινητήρας Φορτίο

Ταχύmicroετρο

Αισθητήριοθέσης

(Encoder)

HY

+

-

τάση υ1

τάση υ 2

ΤΕΛΣΤΟΙΧΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ

Σχήmicroα 1 ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού Βρόχου

DA Μετατροπέας ψηφιακού σήmicroατος σε αναλογικόΣηmicro Ο ενισχυτής εκτελεί ουσιαστικά σύγκριση των τάσεων U1και U2 και ενισχύει τη

διαφορά τους U1 minus U2

2η ΟΜΑ∆Α

Λύση 26

Ισοδύναmicroο σύστηmicroα χωρίς γρανάζια microε αναγωγή στον δεξιό άξονα

k2 c 2T θΙ

k1 11

θ12

c1I12 =0I I32

θ 2 θ3

όπου T prime = N middot T I prime1 = I1N2

θprime1 = θ1Nkprime1 = k1N

2

Είναι ϕανερό ότι η γωνιακή microετατόπιση σηmicroείου microεταξύ του ελατηρίου kprime1 και του α-ποσβεστήρα c1 δεν περιγράφεται συναρτήσει των υπολοίπων ορισmicroένων microετατοπίσεων καιπρέπει να ορισθεί ανεξάρτητα Εστω ότι η microετατόπιση αυτή καλείται θ12 (ϐλδιάγραmicromicroα)Για την κατάστρωση των εξισώσεων κίνησης υποθέτω ότι στο σηmicroείο αυτό ευρίσκεταιαδράνεια microηδενικού microέτρου (I12 = 0 ) (ϐλ διάγραmicromicroα)

Υπόθεση θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0

θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0

31

∆ιαγράmicromicroατα ελευθέρου σώmicroατος

I1θ1Τ

Ι =012

Με εφαρmicroογή του νόmicroου του Νεύτωνα

I prime1 middot θprime1 = T prime minus kprime1(θprime1 minus θ12)

I12 middot θ12 = 0 = kprime1(θprime1 minus θ12)minus c1(θ12 minus θ2)

I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)

I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3

και η τελική microορφή των εξισώσεων προκύπτει microετά από αντικατάσταση των T prime θprime1 kprime1

32

I1 middotN2 1N

θ1 = N middot T minus k1N2(

θ1

Nminus θ12

) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)

0 = k1N2(

θ1

Nminus θ12

)minus c1

(˙θ12 minus θ2

)

I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)

I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3

Εξισώσεις κίνησης

Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31

2ϐα-

ϑmicroών ελευθερίας

Λύση 27

+-υ

R L

i+-

υb

Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr

rArr υ = iR + Ldi

dt+ Kb middot ω (1)

I 1

T θ 1

Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0

θ1 gt θ2 gt 0

Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr

rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)

33

Cθ2

θ2I2

k(θ -θ )1 2

Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr

rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)

Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι

34

3η ΟΜΑ∆Α

Λύση 33

Εξισώσεις διατήρησης microάζας

dm1

dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)

dm2

dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)

οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2

αντίστοιχα

Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1

gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2

Επίσης m1 = A1h1

m2 = A2h2

Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g

R1h1

A2h2 = gR1

h1 + qm2 minus gR2

h2

∣∣∣∣∣∣

(1α)

(2α)

Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής

ddt

[h1

h2

]=

[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2

] [h1

h2

]+

[1A1 00 1A1

] [qm1

qm2

]

[h1

h2

]=

[1 00 1

] [h1

h2

]

35

Λύση 36

qh1

qhC2T2

i i

C1T1θερmicroική αντίσταση R2

θερmicroική αντίσταση R1

T3

Υπόθεση T2 T1 T3

qh2

R

Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε

Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα

Θερmicroοχωρητικότητα C1 d

dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)

Θερmicroοχωρητικότητα C2 d

dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)

Επιπρόσθετα

qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)

qh1 =T1 minus T3

R1

Θερmicroική αντίσταση R1 (4)

qh2 =T2 minus T1

R2

Θερmicroική αντίσταση R2 (5)

Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)

c1 middot dT1

dt= T2minusT1

R2minus T1minusT3

R1

c2 middot dT2

dt= i2 middotRminus T2minusT1

R2

∣∣∣∣∣∣

είσοδοι T3 i (6)

έξοδοι T1 T2 (7)

36

4η ΟΜΑ∆Α

Λύση 43

Μαθηmicroατικό microοντέλο

Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)

Εξαναγκασmicroένη απόκριση

Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)

χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3

Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e

minus3t (t ge 0)

microεh(0) = 0

h(0) = 1

rArr c1 + c2 = 0

minusc1 minus 3c2 = 1

rArr c1 = 12

c2 = minus12

άρα

h(t) =1

2eminust minus 1

2eminus3t (t ge 0) (2)

Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =

int t

0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =

int t

012

(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)

) middot (1 + τ) middot dτ

= 12eminust

int t

0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1

2eminus3t

int t

0e3τ (1 + τ) middot dτ

= 12eminust

[τ middot eτ

]t

τ=0minus 1

2eminus3t

[13e3τ (1 + τ)minus 1

9e3τ

]t

τ=0

= 12eminustt middot et minus 1

6eminus3t

[e3t(1 + t)minus 1

]+ 1

18eminus3t middot

[e3t minus 1

]

= 12tminus 1

6(1 + t) + 1

6eminus3t + 1

18minus 1

18eminus3t =

17

΄Ασκηση 75

Υπολογίστε το πεδίο τιmicroών των παραmicroέτρων κ και Τ (κέρδος ενισχυτήκατευθυντή καιχρονική σταθερά εγκατάστασης αντίστοιχα) στο οποίο οι χρονικές σταθερές του παρακάτωσυστήmicroατος κλειστού ϐρόχου είναι microικρότερες από bminus1secs

R +

-K

Y1s(Ts+1)

ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΕΓΚΑΣΤΑΣΤΑΣΗ

18

8η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 81

Θεωρείστε το παρακάτω σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου microε ολοκληρωτική δράση καιαπαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις

(α) Ποιος είναι ο τύπος του συστήmicroατος ως προς την είσοδο αναφοράςΠοιες είναι οι τιmicroές των σταθερών σφάλmicroατος ϑέσης ταχύτητας και επιτάχυνσης(ϐ) Υπολογίστε τη συνάρτηση microεταφοράς microεταξύ της εξόδου και της διαταραχής(γ) Ποιος είναι ο τυπος του συστήmicroατος ως προς την διαταραχή(δ) Υπολογίστε τις τιmicroές των σταθερών σφάλmicroατος (ως προς την διαταραχή) ϑέσης

ταχύτητας και επιτάχυνσης

RK

+-

KIs+ +

-αs

b

K

Dδιαταρχή

αbKKIθετικέςσταθερές

΄Ασκηση 82 Σύγκριση Συστηmicroάτων Αυτοmicroάτου Ελέγχου (Εν Σειρά - Πρόσω Εν Σειρά)

R-

+ ____K IS

1 Y R K IKAT1

+

-K2

KAT2

1

EΓΚ

Υ

ΚΑΤ ΕΓΚ

ΕΝ ΣΕΙΡΑ ΠΡΟΣΩ ΕΝ ΣΕΙΡΑ

Θεωρείστε τα συστήmicroατα του παραπάνω σχήmicroατος για τον έλεγχο της ενδεικνυόmicroενηςεγκατάστασης πρώτης τάξης Το πρώτο σύστηmicroα ϐασίζεται σε αντιστάθmicroιση εν σειρά καιχρησιmicroοποιεί ολοκληρωτικό κατευθυντή το δε δεύτερο ϐασίζεται σε συνδυασmicroό πρόσω microεεν σειρά αντιστάθmicroιση και χρησιmicroοποιεί δύο αναλογικούς κατευθυντές Σε κάθε περίπτωσηενδιαφέρει ο σχεδιασmicroός του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε η σταθερά σφάλ-microατος ταχύτητος να είναι ίση microε 2 (προδιαγραφή σχεδιασmicroού) Απαντείστε στις παρακάτωερωτήσεις

(α) Είναι δυνατόν να επιτευχθή η προδιαγραφή και microε τα δύο συστήmicroατα ελέγχου

19

Υπολογίστε τις απαιτούmicroενες προς το σκοπό τούτο τιmicroές των σταθερών των κατευθυν-τών σε κάθε περίπτωση

(ϐ) Συγκρίνετε τα δύο συστήmicroατα ελέγχου που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη ερώτησηΥπολογίστε microεγέθη της microεταβατικής απόκρισης καθενός πχ τον χρόνο αποκατάστασηςτο χρόνο ανύψωσης τη microέγιστη υπερακόντιση Ποιο εκ των δύο συστηmicroάτων υπερέχει

(γ) Τώρα υποθέστε ότι η πραγmicroατική τιmicroή του κέρδους της εγκατάστασης είναι κατά10 ανώτερη από την ονοmicroαστική επί τη ϐάσει της οποίας έγινε ο σχεδιασmicroός τωνσυστηmicroάτων και ο υπολογισmicroός των κερδών των κατευθυντών στο πρώτο ερώτηmicroα Πώς ϑασυmicroπεριφερθή τώρα κάθε ένα εκ των δύο συστηmicroάτων

Θα εξακολουθήση να χαρακτηρίζεται από πεπερασmicroένη σταθερά σφάλmicroατος ταχύτηταςπαρά το σφάλmicroα microοντελοποίησης

(δ) Ποιο από τα δύο συστήmicroατα ελέγχου ϑα συνιστούσατε σε κάποιον πελάτη σας πουϑα ενδιαφέρετο για την συγκεκριmicromicroένη προδιαγραφή

΄Ασκηση 83 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Ταχύτητας Ταινίας (Σερβιmicroηχανισmicroός)

Θεωρείστε το πρόβληmicroα ελέγχου ταχύτητας της ταινίας σε microια microαγνητική συσκευή ανα-παραγωγής και εγγραφής ήχου (πχκασσετόφωνο) Θεωρείστε την αδράνεια των περι-στρεφόmicroενων αξόνων και ταινίας ως έχουσα ονοmicroαστική τιmicroή J = 010(kgm2) και τοισοδύναmicroο συντελεστή ιξώδους απόσβεσης c = 1(Nmsec) Η ελαστικότητα των αξόνωνκαι ταινίας ϑεωρείται αmicroεληταία και αγνοείται Ως τελικό στοιχείο ελέγχου επιλέγεταικινητήρας ελεγχόmicroενης ϱοπής microε συνάρτηση microεταφοράς microεταξύ ϱοπής και εφαρmicroοζόmicroεν-ης τάσεως πρώτης τάξεως και χαρακτηριζόmicroενης από χρονική σταθερά ίση microε 050(secs)και κέρδος ίσο microε 10(Nmvolt) Ο microετρητής της ταχύτητας της ταινίας είναι πολύ γρή-γορος και τα δυναmicroικά χαρακτηριστικά του microπορούν εποmicroένως να αγνοηθούν Η ϱοπήδιαταραχής οφείλεται σε διάφορους λόγους συmicroπεριλαmicroβανοmicroένων των microεταβολών στηναδράνεια λόγω της κίνησης της ταινίας

Οι προδιαγραφές του συστήmicroατος ελέγχου έχουν ως εξής

(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 0001(radssec)

(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς ϱοπή διαταραχής 1(Nm) όχι microεγαλύτερο από001(radssec)

(iii) Χρόνο αποκατάστασης όχι microεγαλύτερον από 01(secs)

(iv) Μέγιστη υπερακόντιση όχι microεγαλύτερη από 5

(α) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αντιστάθmicroισης εν σειρά το οποίο να περιλαmicroβάνει τον απλούσ-τερο δυνατό κατευθυντή ενός microόνο όρου και να πληροί την προδιαγραφή (i)

(ϐ) Πληροί το σύστηmicroα που σχεδιάσατε την προδιαγραφή (ii)

20

(γ) Υπολογίστε τους πόλους του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου που σχεδιάσατε Είναι οιπόλοι αυτοί επιθυmicroητοί

Πού πρέπει να ϐρίσκονται οι πόλοι κλειστού ϐρόχου προκειmicroένου να πληρούνται οι προ-διαγραφές (iii) και (iv)

(δ) Τροποποιείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου σε σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης καιεν σειρά (2 κατευθυντών) εάν έχετε διαθέσιmicroο και ένα πολύ γρήγορο επιταχυνσιόmicroετρογια τη microέτρηση των γωνιακής επιτάχυνσηςΠληροί το νέο σας σύστηmicroα τις προδιαγραφές (iii) και (iv)

Εξακολουθεί να πληροί τις προδιαγραφές (i) και (ii)

(ε) Πώς ϑα τροποποιούσατε περαιτέρω το σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης και εν σειράπροκειmicroένου να microηδενισθούν τα σφάλmicroατα που αναφέρονται στις προδιαγραφές (i)και (ii)

΄Ασκηση 84 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Υδραυλικού Συστήmicroατος

qm1

R1 qmd

R2A 2

ρ

g

A1

h

ρ

ΒΑΛΒ

h22d ΚΑΤ

1

h2

Για το υδραυλικό σύστηmicroα του σχήmicroατος

(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του απλούστερου δυνατού συστήmicroατος ελέγχου τηςστάθmicroης της δεξαmicroενής 2 που να επιτυγχάνει microηδενικά σφάλmicroατα microόνιmicroης κατάσ-τασης ως προς microοναδιαία ϐαθmicroίδα είσοδο αναφοράς h2d καθώς και διαταραχή qmdΤο σύστηmicroα αυτό microπορεί να χρησιmicroοποιεί ένα microετρητή στάθmicroης στη δεξαmicroενή 2 γιατη microέτρηση της εξόδου και τη ϐαλβίδα που ϱυθmicroίζει την παροχή στη δεξαmicroενή 1 σαντελικό στοιχείο ελέγχου

21

(ϐ) Πως microπορεί να ϐελτιωθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο προηγούmicroενο ερώτη-microα εάν καταστεί διαθέσιmicroος και ένας δεύτερος microετρητής στάθmicroης (για τη δεξαmicroενή1)

Ποιά είναι τα πλεονεκτήmicroατα αυτού ως προς το προηγούmicroενο

΄Ασκηση 85 Σταθεροποίηση Ασταθούς Εγκατάστασης ΄ΕλεγχοςΑνεστραmicromicroένου Εκκρεmicroούς

Θεωρείστε το πρόβληmicroα ανεστραmicromicroένου εκκρεmicroούς microε γραmicromicroικοποιηmicroένη δυναmicroικήεξίσωση

M middot L middot θ minus (M + m) middot g middot θ = f

Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου ικανό να σταθεροποιήση το σύστηmicroα και ναδιατηρή τη γωνία ϑ γύρω από την τιmicroή microηδέν (umlρυθmicroιστής uml) χειριζόmicroενο κατάλληλα τηνοριζόντια δύναmicroη f Οι προδιαγραφές είναι

(i) Λόγος απόσβεσης 0707(ii) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) 8(secs)

΄Ασκηση 86 Αυτόmicroατος Ελεγχος Θερmicroικού Συστήmicroατος

Aέρας κλιβάνουΤ C2 2

C1T1

RI Θερmicroαντικό στοιχ

i i

R2

AτmicroοσφαιρικήΘερmicroοκρασία

Το

22

Θεωρείστε τον κλίβανο του σχήmicroατος ο οποίος ϑερmicroαίνεται από ϑερmicroαντικό στοιχείοmicroε ηλεκτρική αντίσταση R Το ϑερmicroαντικό αυτό στοιχείο έχει ϑερmicroοχωρητικότητα C1 καιϑερmicroοκρασία T1 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ του ϑερmicroαντικού στοιχείου και του αέρατου κλιβάνου παριστάνεται σαν R1 Επίσης η ϑερmicroοχωρητικότητα του αέρα του κλιβάνουπαριστάνεται σαν C2 και η ϑερmicroοκρασία του σαν T2 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ τουκλιβάνου και της ατmicroόσφαιρας είναι R2 ενώ η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος To Οιτιmicroές των σταθερών του συστήmicroατος είναι R = 1(kΩ) R1 = R2 = 1(KsecJoule) C1 =C2 = 100(JouleK)

Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου για τον έλεγχο της ϑερmicroοκρασί-ας T2 του αέρα του κλιβάνου χειριζόmicroενοι κατάλληλα το ηλεκτρικό ϱεύmicroα i πού οδηγείταιστην αντίσταση R Οι προδιαγραφές για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου έχουν ως εξής

(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 001(K)

(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 οφειλόmicroενο σε είσοδο T0 microοναδιαίας ϐαθmicroίδαςmicroικρότερο από 001(Κ)

(iii) Μέγιστη υπερακόντιση σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερη απο10

(iv) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 20(secs)

(v) Ευαισθησία του σφάλmicroατος microόνιmicroης κατάστασης της T2 (οφειλόmicroενο σε είσοδο αναφοράςmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ως προς την ϑερmicroοχωρητικότητα C2 microικρότερη από 01

Απαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις

(α) Αναπτύξτε το δυναmicroικό microοντέλο της εγκατάστασης συmicroπεριλαmicroβανοmicroένης και της η-λεκτρικής αντίστασης

(ϐ) Σχεδιάστε ένα δοmicroικό διάγραmicromicroα της εγκατάστασης κατάλληλο για την επίτευξη τωνπροδιαγραφών του συστήmicroατος ελέγχου Υπολογίστε τις χρονικές σταθερές της εγκατάσ-τασης

(γ) ΄Ελεγχος δύο ϑέσεων microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (ϑερmicroοκρασία Τ2)

Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου δύο ϑέσεων (two-position control)κατάλληλο για τηδιατήρηση της ϑερmicroοκρασίας T2 σταθερής Χρησιmicroοποιείστε microόνον έναν ϑερmicroοκρασιακόmicroετρητή (για τη microέτρηση της T2)

(δ) ΄Ελεγχος τύπου PID microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (Θερmicroοκρασία T2)

(δ1) Επιλέξτε τον απλούστερο δυνατό κατευθυντή (τύπου (PID) που είναι ικανός για τηνεπίτευξη των προδιαγραφών (i) και (ii)

(δ2) Μπορεί ο κατευθυντής που επιλέξατε στο προηγούmicroενο ερώτηmicroα να ικανοποιήση καιτις προδιαγραφές (iii)(iv) και (v)

(δ3) Υποθέστε τώρα ότι ο ϑερmicroοκρασιακός microετρητής δεν είναι ιδεατός αλλά χαρακτηρίζεταιαπό microία χρονική σταθερά 1(sec) και κέρδος DC (κέρδος microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδοmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ίσο microε 1 Εξετάστε εάν το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στηνερώτηση (δ1) microπορεί ακόmicroη να ικανοποιήση τις προδιαγραφές (i) και (ii)

23

(ε) Ελεγχος τύπου PID microε δύο ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T2)

Πώς ϑα microπορούσε το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάστηκε στο ερώτηmicroα (δ1) να ϐελτιωθήεάν είναι διαθέσιmicroοι δύο ιδεατοί ϑερmicroοκρασιακοί microετρητές για microέτρηση της T2 και της T0

Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του ϐελτιωmicroένου αυτού συστήmicroατος ελέγχου

(στ) Ελεγχος microε τρεις ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T1 T2)

Τώρα υποθέστε ότι τρεις ιδεατοί microετρητές είναι διαθέσιmicroοι για την microέτρηση των ϑερmicroοκρασιώνT0 T1 T2 και ότι τα κέρδη τους είναι microεταβλητά και microπορούν να επιλεγουν αυθαίρετα

(στ1) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου ικανό να εξαλείψη τελείως την επίδραση της ϑερmicroοκρασί-ας περιβάλλοντος T0 και ταυτόχρονα να παρουσιάζη πεπερασmicroένο σφάλmicroα microόνιmicroηςκατάστασης στην T2 για συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς Τιπλεονέκτηmicroα παρουσιάζει η επιπρόσθετη δυνατότητα microέτρησης της ϑερmicroοκρασίαςT1

(στ2) Υποδείξτε πως microπορεί να microεταβληθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο ερώτη-microα (στ1) ούτως ώστε το σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης στην T2 οφειλόmicroενο σε συνάρτησηmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς να microηδενισθή

(Ϲ) Προσοmicroοίωση σε ΗΥ

Χρησιmicroοποιείστε ένα κατάλληλο λογισmicroικό πακέτο (MATLABMATRIXx ή οποιοδήπότεάλλο) για την προσοmicroοίωση της εγκατάστασης και των διαφόρων συστηmicroάτων αυτοmicroάτουελέγχου που σχεδιάσατε

Χρησιmicroοποείστε ως εισόδουςδιαταραχή συναρτήσεις ϐαθmicroίδας αλλά και άλλες συναρτή-σεις (πχ αναρρίχησης κάποιας microορφής περιοδική συνάρτηση για την ϑερmicroοκρασία T0)και επαληθεύστε τα κατά περίπτωση αποτελέσmicroατά σας

Σχολιάστε την αρχική δυναmicroική συmicroπεριφορά της εγκατάστασης και το πως ϐελτιώνεταιmicroε τα διάφορα συστήmicroατα ελέγχου Εκτυπώστε γραφικές παραστάσεις των αποκρίσεων πουυπολογίσατε microε την ϐοήθεια του ΗΥ

24

9η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 91 Χάραξη Τόπου των Ριζών

Θεωρείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου του σχήmicroατος και χαράξτε τον τόπο των ϱιζώνγια τις παρακάτω περιπτώσεις

(α) G(s) = 10s(s2 + 3s + 9)2

(β) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 100)

(γ) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 225)

(δ) G(s) = (s2 + 225)s(s2 + 1)

R +-

K G(s)y

΄Ασκηση 92 Τόπος των Ριζών σε Σύστηmicroα Ελέγχου microε Ανάδραση των Μεταβλητών

Κατάστασης

Θεωρείστε το παρακάτω υδραυλικό σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου στόχος του οποίου είναιο έλεγχος της στάθmicroης h3 του ϱευστού που συγκεντρώνεται στη τρίτη δεξαmicroενή Για τηνεπίτευξη του στόχου αυτού χρησιmicroοποιείται ανάδραση των παροχών microάζας qm2 και qm3καθώς και της στάθmicroης h3 Τα κέρδη των αντίστοιχων microετρητών είναι 1 κ και 1 Η χρονικήσταθερά της πρώτης δεξαmicroενής δίνεται ίση microε 5 (secs) της δεύτερης 7 (secs)ενώ το εmicroβαδότου πυθmicroένα της τρίτης είναι 5(m2) και η πυκνότητα του ϱευστού 1000(kgm3)

(α) Χαράξτε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου

(ϐ) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου καθώς το κέρδος κ τουδεύτερου microετρητή microεταβάλλεται

25

ρh3

h 3r

qm1

qm2

R2qm3

qm2

kqm3

ρ

ρ

g

h3

KATTH Σ

΄Ασκηση 93 Σχεδιασmicroός Σερβοmicroηχανισmicroού

Θεωρείστε το σύστηmicroα του παρακάτω σχήmicroατος Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένασύστηmicroα ελέγχου της microετατόπισης Θ χρησιmicroοποιώντας microέτρηση του Θ και (ιδεατό) κιν-ητήρα συνεχούς ϱεύmicroατος ο οποίος ϑα ασκεί ϱοπή Τ στην αδράνεια Ι Οι προδιαγραφέςσχεδιασmicroού για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου είναι

(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδο microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερο από 01(rads)κατ΄ απόλυτον τιmicroή

(ii) Χρονικές σταθερές microικρότερες του 1(sec)

(iii) Λόγος απόσβεσης microεγαλύτερος ή ίσος του 0707

(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου

(ϐ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί την προδια-γραφή (i) Εν συνεχεία υπολογίστε την χρονική σταθερά και τον λόγο απόσβεσης τουσυστήmicroατος που σχεδιάσατε και συγκρίνετέ τα microε τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάσ-τασης Τι παρατηρείτε

(γ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές(i) και(ii) Εν συνεχεία υπολογίστε τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος που σχεδιάσατε

(δ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές (i)και (iii) Εν συνεχεία υπολογίστε τις χρονικές σταθερές του συστήmicroατος που σχεδιάσατε

26

υ ΙT

θ

K

΄Ασκηση 94 Τόπος των Ριζών για Σύστηmicroα Κλειστού Βρόχου microε Κατευθυντή ΠΦ

Για παρακάτω σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου(α) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών ως προς το αναλογικό κέρδος k(ϐ) Είναι δυνατόν να επιλεγή το κέρδος k ούτως ώστε ο λόγος απόσβεσης να είναι 06 Ποια είναι η απαιτούmicroενη προς τον σκοπό τούτο τιmicroή του k

Y(s)R(s) +-

s+1s+10k s +121

s (s +100)2

2KATTH Σ ΠΦ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

2

΄Ασκηση 95 Χρήση του Τόπου των Ριζών στον Σχεδιασmicroό Κατευθυντή

σε Παράλληλη ∆ιάταξη

Θεωρείστε το απλουστευmicroένο πρόβληmicroα ελέγχου προσανατολισmicroού πυραύλου κατά τηνεκτόξευση Ενδιαφερόmicroαστε συγκεκριmicroένα να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρό-χου το οποίο ϑα χρησιmicroοποιεί microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ και ϑα ασκή ϱοπήΤ(ως προς το κέντρο microάζας microέσω πλευρικών κινητήρων) για τον έλεγχό της Το σύστηmicroαϑα είναι παράλληλης διάταξης microε κατευθυντή ΥΦ ΠΦ ή και συνδυασmicroό των δύο και microεπροδιαγραφές

(i) Φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση ίση microε 5 (radssec)(ii) Λόγος απόσβεσης 0707(iii) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 05 (sec)

(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου(ϐ) Ποιον από τους προαναφερθέντες τύπους κατευθυντή ϑα επιλέγατε στην περίπτωση

αυτή και γιατί (απαντείστε χωρίς να κάνετε υπολογισmicroούς)(γ) Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών για τον σχεδιασmicroό του συστήmicroατος

κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε να ικανοποιούνται ει δυνατόν οι προδιαγραφές (i) και (ii)(δ) Ικανοποιεί την προδιαγραφή (iii) το σύστηmicroα που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη

27

ερώτηση

(ε) Υποθέστε τώρα ότι η microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ δεν είναι ιδεατή αλλάγίνεται microέσω συσκευής microε χρονική σταθερά 01(sec) Πώς ϑα πρέπει να microεταβληθή ο κα-τευθυντής που σχεδιάσατε προκειmicroένου να εξακολουθήση να ικανοποιή τις προδιαγραφές(i) και (ii)

Είναι δυνατόν να ικανοποιείται και η (iii) (Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών)

TKέντρο microάζας

πλευρικοίκινητήρες

Θ

28

10η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 101

Χαράξτε τα διαγράmicromicroατα Bode των παρακάτω συναρτήσεων microεταφοράς (α) G(s) = (002s + 1)3(10s + 1)(ϐ) G(s) = 10s(s + 10)(s + 100)(γ) G(s) = 4s(s2 + 10s + 100)(δ) G(s) = s2(s + 05)(s + 02)(s2 + s + 100)

΄Ασκηση 102

Χρησιmicroοποιείστε το κατάλληλο διάγραmicromicroα Bode για τον προσεγγιστικό υπολογισmicroό τωντιmicroών κέρδους κ του αναλογικού κατευθυντή για τις οποίες το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχουτου σχήmicroατος είναι ευσταθές Επαληθεύστε ποιοτικά την απάντησή σας χρησιmicroοποιώνταςτη microέθοδο του τόπου των ϱιζών

R(s)+ -

kY(s)

s+1s3

s+1s+10

29

ΛΥΣΕΙΣ

1η ΟΜΑ∆Α

Λύση 12

(α) ῾῾Προσεγγιστική᾿᾿ τοποθέτηση καmicroπίνας

K ινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα θέση

καmicroπίνας

∆ιακόπτης(Κατευθυντής

τύπουΑνοικτόΚλειστό

ΤΕΛΙΚΟΣΤΟΙΧΕΙΟΕΛΕΓΧΟΥ

ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

Στη περίπτωση αυτή η ϑέση της καmicroπίνας umlmicroετράταιuml διακριτά microέσω microοχλών τοποθετη-microένων σε κάθε όροφο Ο microοχλός αυτός δρα σαν κατευθυντής ανοικτούκλειστού τύπου(κλειστός όταν η καmicroπίνα δεν είναι στο επίπεδο ορόφου ανοικτός όταν είναι)

(ϐ) Ακριβής τοποθέτηση καmicroπίνας

Ενισχυτής Κινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα

Αισθητήριοθέσης

αναφοράςθέση

ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΤΕΛΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑΕΛΕΓΧΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

θέση καmicroπίνας

Η ακριβής ϑέση της καmicroπίνας microπορεί να microετράται microε διάφορους τρόπους Ενας απλόςέmicromicroεσος τρόπος είναι microε microέτρηση του συρmicroατόσχοινου

30

Λύση 15

Πρόγραmicromicroακαθοδήγησης DA Eνισχυτής Κινητήρας Φορτίο

Ταχύmicroετρο

Αισθητήριοθέσης

(Encoder)

HY

+

-

τάση υ1

τάση υ 2

ΤΕΛΣΤΟΙΧΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ

Σχήmicroα 1 ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού Βρόχου

DA Μετατροπέας ψηφιακού σήmicroατος σε αναλογικόΣηmicro Ο ενισχυτής εκτελεί ουσιαστικά σύγκριση των τάσεων U1και U2 και ενισχύει τη

διαφορά τους U1 minus U2

2η ΟΜΑ∆Α

Λύση 26

Ισοδύναmicroο σύστηmicroα χωρίς γρανάζια microε αναγωγή στον δεξιό άξονα

k2 c 2T θΙ

k1 11

θ12

c1I12 =0I I32

θ 2 θ3

όπου T prime = N middot T I prime1 = I1N2

θprime1 = θ1Nkprime1 = k1N

2

Είναι ϕανερό ότι η γωνιακή microετατόπιση σηmicroείου microεταξύ του ελατηρίου kprime1 και του α-ποσβεστήρα c1 δεν περιγράφεται συναρτήσει των υπολοίπων ορισmicroένων microετατοπίσεων καιπρέπει να ορισθεί ανεξάρτητα Εστω ότι η microετατόπιση αυτή καλείται θ12 (ϐλδιάγραmicromicroα)Για την κατάστρωση των εξισώσεων κίνησης υποθέτω ότι στο σηmicroείο αυτό ευρίσκεταιαδράνεια microηδενικού microέτρου (I12 = 0 ) (ϐλ διάγραmicromicroα)

Υπόθεση θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0

θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0

31

∆ιαγράmicromicroατα ελευθέρου σώmicroατος

I1θ1Τ

Ι =012

Με εφαρmicroογή του νόmicroου του Νεύτωνα

I prime1 middot θprime1 = T prime minus kprime1(θprime1 minus θ12)

I12 middot θ12 = 0 = kprime1(θprime1 minus θ12)minus c1(θ12 minus θ2)

I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)

I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3

και η τελική microορφή των εξισώσεων προκύπτει microετά από αντικατάσταση των T prime θprime1 kprime1

32

I1 middotN2 1N

θ1 = N middot T minus k1N2(

θ1

Nminus θ12

) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)

0 = k1N2(

θ1

Nminus θ12

)minus c1

(˙θ12 minus θ2

)

I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)

I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3

Εξισώσεις κίνησης

Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31

2ϐα-

ϑmicroών ελευθερίας

Λύση 27

+-υ

R L

i+-

υb

Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr

rArr υ = iR + Ldi

dt+ Kb middot ω (1)

I 1

T θ 1

Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0

θ1 gt θ2 gt 0

Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr

rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)

33

Cθ2

θ2I2

k(θ -θ )1 2

Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr

rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)

Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι

34

3η ΟΜΑ∆Α

Λύση 33

Εξισώσεις διατήρησης microάζας

dm1

dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)

dm2

dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)

οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2

αντίστοιχα

Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1

gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2

Επίσης m1 = A1h1

m2 = A2h2

Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g

R1h1

A2h2 = gR1

h1 + qm2 minus gR2

h2

∣∣∣∣∣∣

(1α)

(2α)

Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής

ddt

[h1

h2

]=

[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2

] [h1

h2

]+

[1A1 00 1A1

] [qm1

qm2

]

[h1

h2

]=

[1 00 1

] [h1

h2

]

35

Λύση 36

qh1

qhC2T2

i i

C1T1θερmicroική αντίσταση R2

θερmicroική αντίσταση R1

T3

Υπόθεση T2 T1 T3

qh2

R

Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε

Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα

Θερmicroοχωρητικότητα C1 d

dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)

Θερmicroοχωρητικότητα C2 d

dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)

Επιπρόσθετα

qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)

qh1 =T1 minus T3

R1

Θερmicroική αντίσταση R1 (4)

qh2 =T2 minus T1

R2

Θερmicroική αντίσταση R2 (5)

Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)

c1 middot dT1

dt= T2minusT1

R2minus T1minusT3

R1

c2 middot dT2

dt= i2 middotRminus T2minusT1

R2

∣∣∣∣∣∣

είσοδοι T3 i (6)

έξοδοι T1 T2 (7)

36

4η ΟΜΑ∆Α

Λύση 43

Μαθηmicroατικό microοντέλο

Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)

Εξαναγκασmicroένη απόκριση

Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)

χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3

Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e

minus3t (t ge 0)

microεh(0) = 0

h(0) = 1

rArr c1 + c2 = 0

minusc1 minus 3c2 = 1

rArr c1 = 12

c2 = minus12

άρα

h(t) =1

2eminust minus 1

2eminus3t (t ge 0) (2)

Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =

int t

0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =

int t

012

(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)

) middot (1 + τ) middot dτ

= 12eminust

int t

0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1

2eminus3t

int t

0e3τ (1 + τ) middot dτ

= 12eminust

[τ middot eτ

]t

τ=0minus 1

2eminus3t

[13e3τ (1 + τ)minus 1

9e3τ

]t

τ=0

= 12eminustt middot et minus 1

6eminus3t

[e3t(1 + t)minus 1

]+ 1

18eminus3t middot

[e3t minus 1

]

= 12tminus 1

6(1 + t) + 1

6eminus3t + 1

18minus 1

18eminus3t =

18

8η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 81

Θεωρείστε το παρακάτω σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου microε ολοκληρωτική δράση καιαπαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις

(α) Ποιος είναι ο τύπος του συστήmicroατος ως προς την είσοδο αναφοράςΠοιες είναι οι τιmicroές των σταθερών σφάλmicroατος ϑέσης ταχύτητας και επιτάχυνσης(ϐ) Υπολογίστε τη συνάρτηση microεταφοράς microεταξύ της εξόδου και της διαταραχής(γ) Ποιος είναι ο τυπος του συστήmicroατος ως προς την διαταραχή(δ) Υπολογίστε τις τιmicroές των σταθερών σφάλmicroατος (ως προς την διαταραχή) ϑέσης

ταχύτητας και επιτάχυνσης

RK

+-

KIs+ +

-αs

b

K

Dδιαταρχή

αbKKIθετικέςσταθερές

΄Ασκηση 82 Σύγκριση Συστηmicroάτων Αυτοmicroάτου Ελέγχου (Εν Σειρά - Πρόσω Εν Σειρά)

R-

+ ____K IS

1 Y R K IKAT1

+

-K2

KAT2

1

EΓΚ

Υ

ΚΑΤ ΕΓΚ

ΕΝ ΣΕΙΡΑ ΠΡΟΣΩ ΕΝ ΣΕΙΡΑ

Θεωρείστε τα συστήmicroατα του παραπάνω σχήmicroατος για τον έλεγχο της ενδεικνυόmicroενηςεγκατάστασης πρώτης τάξης Το πρώτο σύστηmicroα ϐασίζεται σε αντιστάθmicroιση εν σειρά καιχρησιmicroοποιεί ολοκληρωτικό κατευθυντή το δε δεύτερο ϐασίζεται σε συνδυασmicroό πρόσω microεεν σειρά αντιστάθmicroιση και χρησιmicroοποιεί δύο αναλογικούς κατευθυντές Σε κάθε περίπτωσηενδιαφέρει ο σχεδιασmicroός του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε η σταθερά σφάλ-microατος ταχύτητος να είναι ίση microε 2 (προδιαγραφή σχεδιασmicroού) Απαντείστε στις παρακάτωερωτήσεις

(α) Είναι δυνατόν να επιτευχθή η προδιαγραφή και microε τα δύο συστήmicroατα ελέγχου

19

Υπολογίστε τις απαιτούmicroενες προς το σκοπό τούτο τιmicroές των σταθερών των κατευθυν-τών σε κάθε περίπτωση

(ϐ) Συγκρίνετε τα δύο συστήmicroατα ελέγχου που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη ερώτησηΥπολογίστε microεγέθη της microεταβατικής απόκρισης καθενός πχ τον χρόνο αποκατάστασηςτο χρόνο ανύψωσης τη microέγιστη υπερακόντιση Ποιο εκ των δύο συστηmicroάτων υπερέχει

(γ) Τώρα υποθέστε ότι η πραγmicroατική τιmicroή του κέρδους της εγκατάστασης είναι κατά10 ανώτερη από την ονοmicroαστική επί τη ϐάσει της οποίας έγινε ο σχεδιασmicroός τωνσυστηmicroάτων και ο υπολογισmicroός των κερδών των κατευθυντών στο πρώτο ερώτηmicroα Πώς ϑασυmicroπεριφερθή τώρα κάθε ένα εκ των δύο συστηmicroάτων

Θα εξακολουθήση να χαρακτηρίζεται από πεπερασmicroένη σταθερά σφάλmicroατος ταχύτηταςπαρά το σφάλmicroα microοντελοποίησης

(δ) Ποιο από τα δύο συστήmicroατα ελέγχου ϑα συνιστούσατε σε κάποιον πελάτη σας πουϑα ενδιαφέρετο για την συγκεκριmicromicroένη προδιαγραφή

΄Ασκηση 83 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Ταχύτητας Ταινίας (Σερβιmicroηχανισmicroός)

Θεωρείστε το πρόβληmicroα ελέγχου ταχύτητας της ταινίας σε microια microαγνητική συσκευή ανα-παραγωγής και εγγραφής ήχου (πχκασσετόφωνο) Θεωρείστε την αδράνεια των περι-στρεφόmicroενων αξόνων και ταινίας ως έχουσα ονοmicroαστική τιmicroή J = 010(kgm2) και τοισοδύναmicroο συντελεστή ιξώδους απόσβεσης c = 1(Nmsec) Η ελαστικότητα των αξόνωνκαι ταινίας ϑεωρείται αmicroεληταία και αγνοείται Ως τελικό στοιχείο ελέγχου επιλέγεταικινητήρας ελεγχόmicroενης ϱοπής microε συνάρτηση microεταφοράς microεταξύ ϱοπής και εφαρmicroοζόmicroεν-ης τάσεως πρώτης τάξεως και χαρακτηριζόmicroενης από χρονική σταθερά ίση microε 050(secs)και κέρδος ίσο microε 10(Nmvolt) Ο microετρητής της ταχύτητας της ταινίας είναι πολύ γρή-γορος και τα δυναmicroικά χαρακτηριστικά του microπορούν εποmicroένως να αγνοηθούν Η ϱοπήδιαταραχής οφείλεται σε διάφορους λόγους συmicroπεριλαmicroβανοmicroένων των microεταβολών στηναδράνεια λόγω της κίνησης της ταινίας

Οι προδιαγραφές του συστήmicroατος ελέγχου έχουν ως εξής

(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 0001(radssec)

(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς ϱοπή διαταραχής 1(Nm) όχι microεγαλύτερο από001(radssec)

(iii) Χρόνο αποκατάστασης όχι microεγαλύτερον από 01(secs)

(iv) Μέγιστη υπερακόντιση όχι microεγαλύτερη από 5

(α) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αντιστάθmicroισης εν σειρά το οποίο να περιλαmicroβάνει τον απλούσ-τερο δυνατό κατευθυντή ενός microόνο όρου και να πληροί την προδιαγραφή (i)

(ϐ) Πληροί το σύστηmicroα που σχεδιάσατε την προδιαγραφή (ii)

20

(γ) Υπολογίστε τους πόλους του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου που σχεδιάσατε Είναι οιπόλοι αυτοί επιθυmicroητοί

Πού πρέπει να ϐρίσκονται οι πόλοι κλειστού ϐρόχου προκειmicroένου να πληρούνται οι προ-διαγραφές (iii) και (iv)

(δ) Τροποποιείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου σε σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης καιεν σειρά (2 κατευθυντών) εάν έχετε διαθέσιmicroο και ένα πολύ γρήγορο επιταχυνσιόmicroετρογια τη microέτρηση των γωνιακής επιτάχυνσηςΠληροί το νέο σας σύστηmicroα τις προδιαγραφές (iii) και (iv)

Εξακολουθεί να πληροί τις προδιαγραφές (i) και (ii)

(ε) Πώς ϑα τροποποιούσατε περαιτέρω το σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης και εν σειράπροκειmicroένου να microηδενισθούν τα σφάλmicroατα που αναφέρονται στις προδιαγραφές (i)και (ii)

΄Ασκηση 84 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Υδραυλικού Συστήmicroατος

qm1

R1 qmd

R2A 2

ρ

g

A1

h

ρ

ΒΑΛΒ

h22d ΚΑΤ

1

h2

Για το υδραυλικό σύστηmicroα του σχήmicroατος

(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του απλούστερου δυνατού συστήmicroατος ελέγχου τηςστάθmicroης της δεξαmicroενής 2 που να επιτυγχάνει microηδενικά σφάλmicroατα microόνιmicroης κατάσ-τασης ως προς microοναδιαία ϐαθmicroίδα είσοδο αναφοράς h2d καθώς και διαταραχή qmdΤο σύστηmicroα αυτό microπορεί να χρησιmicroοποιεί ένα microετρητή στάθmicroης στη δεξαmicroενή 2 γιατη microέτρηση της εξόδου και τη ϐαλβίδα που ϱυθmicroίζει την παροχή στη δεξαmicroενή 1 σαντελικό στοιχείο ελέγχου

21

(ϐ) Πως microπορεί να ϐελτιωθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο προηγούmicroενο ερώτη-microα εάν καταστεί διαθέσιmicroος και ένας δεύτερος microετρητής στάθmicroης (για τη δεξαmicroενή1)

Ποιά είναι τα πλεονεκτήmicroατα αυτού ως προς το προηγούmicroενο

΄Ασκηση 85 Σταθεροποίηση Ασταθούς Εγκατάστασης ΄ΕλεγχοςΑνεστραmicromicroένου Εκκρεmicroούς

Θεωρείστε το πρόβληmicroα ανεστραmicromicroένου εκκρεmicroούς microε γραmicromicroικοποιηmicroένη δυναmicroικήεξίσωση

M middot L middot θ minus (M + m) middot g middot θ = f

Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου ικανό να σταθεροποιήση το σύστηmicroα και ναδιατηρή τη γωνία ϑ γύρω από την τιmicroή microηδέν (umlρυθmicroιστής uml) χειριζόmicroενο κατάλληλα τηνοριζόντια δύναmicroη f Οι προδιαγραφές είναι

(i) Λόγος απόσβεσης 0707(ii) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) 8(secs)

΄Ασκηση 86 Αυτόmicroατος Ελεγχος Θερmicroικού Συστήmicroατος

Aέρας κλιβάνουΤ C2 2

C1T1

RI Θερmicroαντικό στοιχ

i i

R2

AτmicroοσφαιρικήΘερmicroοκρασία

Το

22

Θεωρείστε τον κλίβανο του σχήmicroατος ο οποίος ϑερmicroαίνεται από ϑερmicroαντικό στοιχείοmicroε ηλεκτρική αντίσταση R Το ϑερmicroαντικό αυτό στοιχείο έχει ϑερmicroοχωρητικότητα C1 καιϑερmicroοκρασία T1 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ του ϑερmicroαντικού στοιχείου και του αέρατου κλιβάνου παριστάνεται σαν R1 Επίσης η ϑερmicroοχωρητικότητα του αέρα του κλιβάνουπαριστάνεται σαν C2 και η ϑερmicroοκρασία του σαν T2 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ τουκλιβάνου και της ατmicroόσφαιρας είναι R2 ενώ η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος To Οιτιmicroές των σταθερών του συστήmicroατος είναι R = 1(kΩ) R1 = R2 = 1(KsecJoule) C1 =C2 = 100(JouleK)

Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου για τον έλεγχο της ϑερmicroοκρασί-ας T2 του αέρα του κλιβάνου χειριζόmicroενοι κατάλληλα το ηλεκτρικό ϱεύmicroα i πού οδηγείταιστην αντίσταση R Οι προδιαγραφές για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου έχουν ως εξής

(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 001(K)

(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 οφειλόmicroενο σε είσοδο T0 microοναδιαίας ϐαθmicroίδαςmicroικρότερο από 001(Κ)

(iii) Μέγιστη υπερακόντιση σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερη απο10

(iv) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 20(secs)

(v) Ευαισθησία του σφάλmicroατος microόνιmicroης κατάστασης της T2 (οφειλόmicroενο σε είσοδο αναφοράςmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ως προς την ϑερmicroοχωρητικότητα C2 microικρότερη από 01

Απαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις

(α) Αναπτύξτε το δυναmicroικό microοντέλο της εγκατάστασης συmicroπεριλαmicroβανοmicroένης και της η-λεκτρικής αντίστασης

(ϐ) Σχεδιάστε ένα δοmicroικό διάγραmicromicroα της εγκατάστασης κατάλληλο για την επίτευξη τωνπροδιαγραφών του συστήmicroατος ελέγχου Υπολογίστε τις χρονικές σταθερές της εγκατάσ-τασης

(γ) ΄Ελεγχος δύο ϑέσεων microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (ϑερmicroοκρασία Τ2)

Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου δύο ϑέσεων (two-position control)κατάλληλο για τηδιατήρηση της ϑερmicroοκρασίας T2 σταθερής Χρησιmicroοποιείστε microόνον έναν ϑερmicroοκρασιακόmicroετρητή (για τη microέτρηση της T2)

(δ) ΄Ελεγχος τύπου PID microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (Θερmicroοκρασία T2)

(δ1) Επιλέξτε τον απλούστερο δυνατό κατευθυντή (τύπου (PID) που είναι ικανός για τηνεπίτευξη των προδιαγραφών (i) και (ii)

(δ2) Μπορεί ο κατευθυντής που επιλέξατε στο προηγούmicroενο ερώτηmicroα να ικανοποιήση καιτις προδιαγραφές (iii)(iv) και (v)

(δ3) Υποθέστε τώρα ότι ο ϑερmicroοκρασιακός microετρητής δεν είναι ιδεατός αλλά χαρακτηρίζεταιαπό microία χρονική σταθερά 1(sec) και κέρδος DC (κέρδος microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδοmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ίσο microε 1 Εξετάστε εάν το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στηνερώτηση (δ1) microπορεί ακόmicroη να ικανοποιήση τις προδιαγραφές (i) και (ii)

23

(ε) Ελεγχος τύπου PID microε δύο ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T2)

Πώς ϑα microπορούσε το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάστηκε στο ερώτηmicroα (δ1) να ϐελτιωθήεάν είναι διαθέσιmicroοι δύο ιδεατοί ϑερmicroοκρασιακοί microετρητές για microέτρηση της T2 και της T0

Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του ϐελτιωmicroένου αυτού συστήmicroατος ελέγχου

(στ) Ελεγχος microε τρεις ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T1 T2)

Τώρα υποθέστε ότι τρεις ιδεατοί microετρητές είναι διαθέσιmicroοι για την microέτρηση των ϑερmicroοκρασιώνT0 T1 T2 και ότι τα κέρδη τους είναι microεταβλητά και microπορούν να επιλεγουν αυθαίρετα

(στ1) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου ικανό να εξαλείψη τελείως την επίδραση της ϑερmicroοκρασί-ας περιβάλλοντος T0 και ταυτόχρονα να παρουσιάζη πεπερασmicroένο σφάλmicroα microόνιmicroηςκατάστασης στην T2 για συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς Τιπλεονέκτηmicroα παρουσιάζει η επιπρόσθετη δυνατότητα microέτρησης της ϑερmicroοκρασίαςT1

(στ2) Υποδείξτε πως microπορεί να microεταβληθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο ερώτη-microα (στ1) ούτως ώστε το σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης στην T2 οφειλόmicroενο σε συνάρτησηmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς να microηδενισθή

(Ϲ) Προσοmicroοίωση σε ΗΥ

Χρησιmicroοποιείστε ένα κατάλληλο λογισmicroικό πακέτο (MATLABMATRIXx ή οποιοδήπότεάλλο) για την προσοmicroοίωση της εγκατάστασης και των διαφόρων συστηmicroάτων αυτοmicroάτουελέγχου που σχεδιάσατε

Χρησιmicroοποείστε ως εισόδουςδιαταραχή συναρτήσεις ϐαθmicroίδας αλλά και άλλες συναρτή-σεις (πχ αναρρίχησης κάποιας microορφής περιοδική συνάρτηση για την ϑερmicroοκρασία T0)και επαληθεύστε τα κατά περίπτωση αποτελέσmicroατά σας

Σχολιάστε την αρχική δυναmicroική συmicroπεριφορά της εγκατάστασης και το πως ϐελτιώνεταιmicroε τα διάφορα συστήmicroατα ελέγχου Εκτυπώστε γραφικές παραστάσεις των αποκρίσεων πουυπολογίσατε microε την ϐοήθεια του ΗΥ

24

9η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 91 Χάραξη Τόπου των Ριζών

Θεωρείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου του σχήmicroατος και χαράξτε τον τόπο των ϱιζώνγια τις παρακάτω περιπτώσεις

(α) G(s) = 10s(s2 + 3s + 9)2

(β) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 100)

(γ) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 225)

(δ) G(s) = (s2 + 225)s(s2 + 1)

R +-

K G(s)y

΄Ασκηση 92 Τόπος των Ριζών σε Σύστηmicroα Ελέγχου microε Ανάδραση των Μεταβλητών

Κατάστασης

Θεωρείστε το παρακάτω υδραυλικό σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου στόχος του οποίου είναιο έλεγχος της στάθmicroης h3 του ϱευστού που συγκεντρώνεται στη τρίτη δεξαmicroενή Για τηνεπίτευξη του στόχου αυτού χρησιmicroοποιείται ανάδραση των παροχών microάζας qm2 και qm3καθώς και της στάθmicroης h3 Τα κέρδη των αντίστοιχων microετρητών είναι 1 κ και 1 Η χρονικήσταθερά της πρώτης δεξαmicroενής δίνεται ίση microε 5 (secs) της δεύτερης 7 (secs)ενώ το εmicroβαδότου πυθmicroένα της τρίτης είναι 5(m2) και η πυκνότητα του ϱευστού 1000(kgm3)

(α) Χαράξτε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου

(ϐ) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου καθώς το κέρδος κ τουδεύτερου microετρητή microεταβάλλεται

25

ρh3

h 3r

qm1

qm2

R2qm3

qm2

kqm3

ρ

ρ

g

h3

KATTH Σ

΄Ασκηση 93 Σχεδιασmicroός Σερβοmicroηχανισmicroού

Θεωρείστε το σύστηmicroα του παρακάτω σχήmicroατος Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένασύστηmicroα ελέγχου της microετατόπισης Θ χρησιmicroοποιώντας microέτρηση του Θ και (ιδεατό) κιν-ητήρα συνεχούς ϱεύmicroατος ο οποίος ϑα ασκεί ϱοπή Τ στην αδράνεια Ι Οι προδιαγραφέςσχεδιασmicroού για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου είναι

(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδο microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερο από 01(rads)κατ΄ απόλυτον τιmicroή

(ii) Χρονικές σταθερές microικρότερες του 1(sec)

(iii) Λόγος απόσβεσης microεγαλύτερος ή ίσος του 0707

(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου

(ϐ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί την προδια-γραφή (i) Εν συνεχεία υπολογίστε την χρονική σταθερά και τον λόγο απόσβεσης τουσυστήmicroατος που σχεδιάσατε και συγκρίνετέ τα microε τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάσ-τασης Τι παρατηρείτε

(γ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές(i) και(ii) Εν συνεχεία υπολογίστε τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος που σχεδιάσατε

(δ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές (i)και (iii) Εν συνεχεία υπολογίστε τις χρονικές σταθερές του συστήmicroατος που σχεδιάσατε

26

υ ΙT

θ

K

΄Ασκηση 94 Τόπος των Ριζών για Σύστηmicroα Κλειστού Βρόχου microε Κατευθυντή ΠΦ

Για παρακάτω σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου(α) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών ως προς το αναλογικό κέρδος k(ϐ) Είναι δυνατόν να επιλεγή το κέρδος k ούτως ώστε ο λόγος απόσβεσης να είναι 06 Ποια είναι η απαιτούmicroενη προς τον σκοπό τούτο τιmicroή του k

Y(s)R(s) +-

s+1s+10k s +121

s (s +100)2

2KATTH Σ ΠΦ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

2

΄Ασκηση 95 Χρήση του Τόπου των Ριζών στον Σχεδιασmicroό Κατευθυντή

σε Παράλληλη ∆ιάταξη

Θεωρείστε το απλουστευmicroένο πρόβληmicroα ελέγχου προσανατολισmicroού πυραύλου κατά τηνεκτόξευση Ενδιαφερόmicroαστε συγκεκριmicroένα να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρό-χου το οποίο ϑα χρησιmicroοποιεί microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ και ϑα ασκή ϱοπήΤ(ως προς το κέντρο microάζας microέσω πλευρικών κινητήρων) για τον έλεγχό της Το σύστηmicroαϑα είναι παράλληλης διάταξης microε κατευθυντή ΥΦ ΠΦ ή και συνδυασmicroό των δύο και microεπροδιαγραφές

(i) Φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση ίση microε 5 (radssec)(ii) Λόγος απόσβεσης 0707(iii) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 05 (sec)

(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου(ϐ) Ποιον από τους προαναφερθέντες τύπους κατευθυντή ϑα επιλέγατε στην περίπτωση

αυτή και γιατί (απαντείστε χωρίς να κάνετε υπολογισmicroούς)(γ) Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών για τον σχεδιασmicroό του συστήmicroατος

κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε να ικανοποιούνται ει δυνατόν οι προδιαγραφές (i) και (ii)(δ) Ικανοποιεί την προδιαγραφή (iii) το σύστηmicroα που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη

27

ερώτηση

(ε) Υποθέστε τώρα ότι η microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ δεν είναι ιδεατή αλλάγίνεται microέσω συσκευής microε χρονική σταθερά 01(sec) Πώς ϑα πρέπει να microεταβληθή ο κα-τευθυντής που σχεδιάσατε προκειmicroένου να εξακολουθήση να ικανοποιή τις προδιαγραφές(i) και (ii)

Είναι δυνατόν να ικανοποιείται και η (iii) (Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών)

TKέντρο microάζας

πλευρικοίκινητήρες

Θ

28

10η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 101

Χαράξτε τα διαγράmicromicroατα Bode των παρακάτω συναρτήσεων microεταφοράς (α) G(s) = (002s + 1)3(10s + 1)(ϐ) G(s) = 10s(s + 10)(s + 100)(γ) G(s) = 4s(s2 + 10s + 100)(δ) G(s) = s2(s + 05)(s + 02)(s2 + s + 100)

΄Ασκηση 102

Χρησιmicroοποιείστε το κατάλληλο διάγραmicromicroα Bode για τον προσεγγιστικό υπολογισmicroό τωντιmicroών κέρδους κ του αναλογικού κατευθυντή για τις οποίες το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχουτου σχήmicroατος είναι ευσταθές Επαληθεύστε ποιοτικά την απάντησή σας χρησιmicroοποιώνταςτη microέθοδο του τόπου των ϱιζών

R(s)+ -

kY(s)

s+1s3

s+1s+10

29

ΛΥΣΕΙΣ

1η ΟΜΑ∆Α

Λύση 12

(α) ῾῾Προσεγγιστική᾿᾿ τοποθέτηση καmicroπίνας

K ινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα θέση

καmicroπίνας

∆ιακόπτης(Κατευθυντής

τύπουΑνοικτόΚλειστό

ΤΕΛΙΚΟΣΤΟΙΧΕΙΟΕΛΕΓΧΟΥ

ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

Στη περίπτωση αυτή η ϑέση της καmicroπίνας umlmicroετράταιuml διακριτά microέσω microοχλών τοποθετη-microένων σε κάθε όροφο Ο microοχλός αυτός δρα σαν κατευθυντής ανοικτούκλειστού τύπου(κλειστός όταν η καmicroπίνα δεν είναι στο επίπεδο ορόφου ανοικτός όταν είναι)

(ϐ) Ακριβής τοποθέτηση καmicroπίνας

Ενισχυτής Κινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα

Αισθητήριοθέσης

αναφοράςθέση

ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΤΕΛΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑΕΛΕΓΧΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

θέση καmicroπίνας

Η ακριβής ϑέση της καmicroπίνας microπορεί να microετράται microε διάφορους τρόπους Ενας απλόςέmicromicroεσος τρόπος είναι microε microέτρηση του συρmicroατόσχοινου

30

Λύση 15

Πρόγραmicromicroακαθοδήγησης DA Eνισχυτής Κινητήρας Φορτίο

Ταχύmicroετρο

Αισθητήριοθέσης

(Encoder)

HY

+

-

τάση υ1

τάση υ 2

ΤΕΛΣΤΟΙΧΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ

Σχήmicroα 1 ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού Βρόχου

DA Μετατροπέας ψηφιακού σήmicroατος σε αναλογικόΣηmicro Ο ενισχυτής εκτελεί ουσιαστικά σύγκριση των τάσεων U1και U2 και ενισχύει τη

διαφορά τους U1 minus U2

2η ΟΜΑ∆Α

Λύση 26

Ισοδύναmicroο σύστηmicroα χωρίς γρανάζια microε αναγωγή στον δεξιό άξονα

k2 c 2T θΙ

k1 11

θ12

c1I12 =0I I32

θ 2 θ3

όπου T prime = N middot T I prime1 = I1N2

θprime1 = θ1Nkprime1 = k1N

2

Είναι ϕανερό ότι η γωνιακή microετατόπιση σηmicroείου microεταξύ του ελατηρίου kprime1 και του α-ποσβεστήρα c1 δεν περιγράφεται συναρτήσει των υπολοίπων ορισmicroένων microετατοπίσεων καιπρέπει να ορισθεί ανεξάρτητα Εστω ότι η microετατόπιση αυτή καλείται θ12 (ϐλδιάγραmicromicroα)Για την κατάστρωση των εξισώσεων κίνησης υποθέτω ότι στο σηmicroείο αυτό ευρίσκεταιαδράνεια microηδενικού microέτρου (I12 = 0 ) (ϐλ διάγραmicromicroα)

Υπόθεση θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0

θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0

31

∆ιαγράmicromicroατα ελευθέρου σώmicroατος

I1θ1Τ

Ι =012

Με εφαρmicroογή του νόmicroου του Νεύτωνα

I prime1 middot θprime1 = T prime minus kprime1(θprime1 minus θ12)

I12 middot θ12 = 0 = kprime1(θprime1 minus θ12)minus c1(θ12 minus θ2)

I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)

I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3

και η τελική microορφή των εξισώσεων προκύπτει microετά από αντικατάσταση των T prime θprime1 kprime1

32

I1 middotN2 1N

θ1 = N middot T minus k1N2(

θ1

Nminus θ12

) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)

0 = k1N2(

θ1

Nminus θ12

)minus c1

(˙θ12 minus θ2

)

I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)

I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3

Εξισώσεις κίνησης

Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31

2ϐα-

ϑmicroών ελευθερίας

Λύση 27

+-υ

R L

i+-

υb

Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr

rArr υ = iR + Ldi

dt+ Kb middot ω (1)

I 1

T θ 1

Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0

θ1 gt θ2 gt 0

Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr

rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)

33

Cθ2

θ2I2

k(θ -θ )1 2

Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr

rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)

Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι

34

3η ΟΜΑ∆Α

Λύση 33

Εξισώσεις διατήρησης microάζας

dm1

dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)

dm2

dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)

οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2

αντίστοιχα

Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1

gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2

Επίσης m1 = A1h1

m2 = A2h2

Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g

R1h1

A2h2 = gR1

h1 + qm2 minus gR2

h2

∣∣∣∣∣∣

(1α)

(2α)

Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής

ddt

[h1

h2

]=

[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2

] [h1

h2

]+

[1A1 00 1A1

] [qm1

qm2

]

[h1

h2

]=

[1 00 1

] [h1

h2

]

35

Λύση 36

qh1

qhC2T2

i i

C1T1θερmicroική αντίσταση R2

θερmicroική αντίσταση R1

T3

Υπόθεση T2 T1 T3

qh2

R

Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε

Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα

Θερmicroοχωρητικότητα C1 d

dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)

Θερmicroοχωρητικότητα C2 d

dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)

Επιπρόσθετα

qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)

qh1 =T1 minus T3

R1

Θερmicroική αντίσταση R1 (4)

qh2 =T2 minus T1

R2

Θερmicroική αντίσταση R2 (5)

Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)

c1 middot dT1

dt= T2minusT1

R2minus T1minusT3

R1

c2 middot dT2

dt= i2 middotRminus T2minusT1

R2

∣∣∣∣∣∣

είσοδοι T3 i (6)

έξοδοι T1 T2 (7)

36

4η ΟΜΑ∆Α

Λύση 43

Μαθηmicroατικό microοντέλο

Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)

Εξαναγκασmicroένη απόκριση

Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)

χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3

Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e

minus3t (t ge 0)

microεh(0) = 0

h(0) = 1

rArr c1 + c2 = 0

minusc1 minus 3c2 = 1

rArr c1 = 12

c2 = minus12

άρα

h(t) =1

2eminust minus 1

2eminus3t (t ge 0) (2)

Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =

int t

0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =

int t

012

(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)

) middot (1 + τ) middot dτ

= 12eminust

int t

0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1

2eminus3t

int t

0e3τ (1 + τ) middot dτ

= 12eminust

[τ middot eτ

]t

τ=0minus 1

2eminus3t

[13e3τ (1 + τ)minus 1

9e3τ

]t

τ=0

= 12eminustt middot et minus 1

6eminus3t

[e3t(1 + t)minus 1

]+ 1

18eminus3t middot

[e3t minus 1

]

= 12tminus 1

6(1 + t) + 1

6eminus3t + 1

18minus 1

18eminus3t =

19

Υπολογίστε τις απαιτούmicroενες προς το σκοπό τούτο τιmicroές των σταθερών των κατευθυν-τών σε κάθε περίπτωση

(ϐ) Συγκρίνετε τα δύο συστήmicroατα ελέγχου που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη ερώτησηΥπολογίστε microεγέθη της microεταβατικής απόκρισης καθενός πχ τον χρόνο αποκατάστασηςτο χρόνο ανύψωσης τη microέγιστη υπερακόντιση Ποιο εκ των δύο συστηmicroάτων υπερέχει

(γ) Τώρα υποθέστε ότι η πραγmicroατική τιmicroή του κέρδους της εγκατάστασης είναι κατά10 ανώτερη από την ονοmicroαστική επί τη ϐάσει της οποίας έγινε ο σχεδιασmicroός τωνσυστηmicroάτων και ο υπολογισmicroός των κερδών των κατευθυντών στο πρώτο ερώτηmicroα Πώς ϑασυmicroπεριφερθή τώρα κάθε ένα εκ των δύο συστηmicroάτων

Θα εξακολουθήση να χαρακτηρίζεται από πεπερασmicroένη σταθερά σφάλmicroατος ταχύτηταςπαρά το σφάλmicroα microοντελοποίησης

(δ) Ποιο από τα δύο συστήmicroατα ελέγχου ϑα συνιστούσατε σε κάποιον πελάτη σας πουϑα ενδιαφέρετο για την συγκεκριmicromicroένη προδιαγραφή

΄Ασκηση 83 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Ταχύτητας Ταινίας (Σερβιmicroηχανισmicroός)

Θεωρείστε το πρόβληmicroα ελέγχου ταχύτητας της ταινίας σε microια microαγνητική συσκευή ανα-παραγωγής και εγγραφής ήχου (πχκασσετόφωνο) Θεωρείστε την αδράνεια των περι-στρεφόmicroενων αξόνων και ταινίας ως έχουσα ονοmicroαστική τιmicroή J = 010(kgm2) και τοισοδύναmicroο συντελεστή ιξώδους απόσβεσης c = 1(Nmsec) Η ελαστικότητα των αξόνωνκαι ταινίας ϑεωρείται αmicroεληταία και αγνοείται Ως τελικό στοιχείο ελέγχου επιλέγεταικινητήρας ελεγχόmicroενης ϱοπής microε συνάρτηση microεταφοράς microεταξύ ϱοπής και εφαρmicroοζόmicroεν-ης τάσεως πρώτης τάξεως και χαρακτηριζόmicroενης από χρονική σταθερά ίση microε 050(secs)και κέρδος ίσο microε 10(Nmvolt) Ο microετρητής της ταχύτητας της ταινίας είναι πολύ γρή-γορος και τα δυναmicroικά χαρακτηριστικά του microπορούν εποmicroένως να αγνοηθούν Η ϱοπήδιαταραχής οφείλεται σε διάφορους λόγους συmicroπεριλαmicroβανοmicroένων των microεταβολών στηναδράνεια λόγω της κίνησης της ταινίας

Οι προδιαγραφές του συστήmicroατος ελέγχου έχουν ως εξής

(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 0001(radssec)

(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς ϱοπή διαταραχής 1(Nm) όχι microεγαλύτερο από001(radssec)

(iii) Χρόνο αποκατάστασης όχι microεγαλύτερον από 01(secs)

(iv) Μέγιστη υπερακόντιση όχι microεγαλύτερη από 5

(α) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αντιστάθmicroισης εν σειρά το οποίο να περιλαmicroβάνει τον απλούσ-τερο δυνατό κατευθυντή ενός microόνο όρου και να πληροί την προδιαγραφή (i)

(ϐ) Πληροί το σύστηmicroα που σχεδιάσατε την προδιαγραφή (ii)

20

(γ) Υπολογίστε τους πόλους του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου που σχεδιάσατε Είναι οιπόλοι αυτοί επιθυmicroητοί

Πού πρέπει να ϐρίσκονται οι πόλοι κλειστού ϐρόχου προκειmicroένου να πληρούνται οι προ-διαγραφές (iii) και (iv)

(δ) Τροποποιείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου σε σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης καιεν σειρά (2 κατευθυντών) εάν έχετε διαθέσιmicroο και ένα πολύ γρήγορο επιταχυνσιόmicroετρογια τη microέτρηση των γωνιακής επιτάχυνσηςΠληροί το νέο σας σύστηmicroα τις προδιαγραφές (iii) και (iv)

Εξακολουθεί να πληροί τις προδιαγραφές (i) και (ii)

(ε) Πώς ϑα τροποποιούσατε περαιτέρω το σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης και εν σειράπροκειmicroένου να microηδενισθούν τα σφάλmicroατα που αναφέρονται στις προδιαγραφές (i)και (ii)

΄Ασκηση 84 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Υδραυλικού Συστήmicroατος

qm1

R1 qmd

R2A 2

ρ

g

A1

h

ρ

ΒΑΛΒ

h22d ΚΑΤ

1

h2

Για το υδραυλικό σύστηmicroα του σχήmicroατος

(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του απλούστερου δυνατού συστήmicroατος ελέγχου τηςστάθmicroης της δεξαmicroενής 2 που να επιτυγχάνει microηδενικά σφάλmicroατα microόνιmicroης κατάσ-τασης ως προς microοναδιαία ϐαθmicroίδα είσοδο αναφοράς h2d καθώς και διαταραχή qmdΤο σύστηmicroα αυτό microπορεί να χρησιmicroοποιεί ένα microετρητή στάθmicroης στη δεξαmicroενή 2 γιατη microέτρηση της εξόδου και τη ϐαλβίδα που ϱυθmicroίζει την παροχή στη δεξαmicroενή 1 σαντελικό στοιχείο ελέγχου

21

(ϐ) Πως microπορεί να ϐελτιωθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο προηγούmicroενο ερώτη-microα εάν καταστεί διαθέσιmicroος και ένας δεύτερος microετρητής στάθmicroης (για τη δεξαmicroενή1)

Ποιά είναι τα πλεονεκτήmicroατα αυτού ως προς το προηγούmicroενο

΄Ασκηση 85 Σταθεροποίηση Ασταθούς Εγκατάστασης ΄ΕλεγχοςΑνεστραmicromicroένου Εκκρεmicroούς

Θεωρείστε το πρόβληmicroα ανεστραmicromicroένου εκκρεmicroούς microε γραmicromicroικοποιηmicroένη δυναmicroικήεξίσωση

M middot L middot θ minus (M + m) middot g middot θ = f

Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου ικανό να σταθεροποιήση το σύστηmicroα και ναδιατηρή τη γωνία ϑ γύρω από την τιmicroή microηδέν (umlρυθmicroιστής uml) χειριζόmicroενο κατάλληλα τηνοριζόντια δύναmicroη f Οι προδιαγραφές είναι

(i) Λόγος απόσβεσης 0707(ii) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) 8(secs)

΄Ασκηση 86 Αυτόmicroατος Ελεγχος Θερmicroικού Συστήmicroατος

Aέρας κλιβάνουΤ C2 2

C1T1

RI Θερmicroαντικό στοιχ

i i

R2

AτmicroοσφαιρικήΘερmicroοκρασία

Το

22

Θεωρείστε τον κλίβανο του σχήmicroατος ο οποίος ϑερmicroαίνεται από ϑερmicroαντικό στοιχείοmicroε ηλεκτρική αντίσταση R Το ϑερmicroαντικό αυτό στοιχείο έχει ϑερmicroοχωρητικότητα C1 καιϑερmicroοκρασία T1 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ του ϑερmicroαντικού στοιχείου και του αέρατου κλιβάνου παριστάνεται σαν R1 Επίσης η ϑερmicroοχωρητικότητα του αέρα του κλιβάνουπαριστάνεται σαν C2 και η ϑερmicroοκρασία του σαν T2 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ τουκλιβάνου και της ατmicroόσφαιρας είναι R2 ενώ η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος To Οιτιmicroές των σταθερών του συστήmicroατος είναι R = 1(kΩ) R1 = R2 = 1(KsecJoule) C1 =C2 = 100(JouleK)

Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου για τον έλεγχο της ϑερmicroοκρασί-ας T2 του αέρα του κλιβάνου χειριζόmicroενοι κατάλληλα το ηλεκτρικό ϱεύmicroα i πού οδηγείταιστην αντίσταση R Οι προδιαγραφές για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου έχουν ως εξής

(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 001(K)

(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 οφειλόmicroενο σε είσοδο T0 microοναδιαίας ϐαθmicroίδαςmicroικρότερο από 001(Κ)

(iii) Μέγιστη υπερακόντιση σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερη απο10

(iv) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 20(secs)

(v) Ευαισθησία του σφάλmicroατος microόνιmicroης κατάστασης της T2 (οφειλόmicroενο σε είσοδο αναφοράςmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ως προς την ϑερmicroοχωρητικότητα C2 microικρότερη από 01

Απαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις

(α) Αναπτύξτε το δυναmicroικό microοντέλο της εγκατάστασης συmicroπεριλαmicroβανοmicroένης και της η-λεκτρικής αντίστασης

(ϐ) Σχεδιάστε ένα δοmicroικό διάγραmicromicroα της εγκατάστασης κατάλληλο για την επίτευξη τωνπροδιαγραφών του συστήmicroατος ελέγχου Υπολογίστε τις χρονικές σταθερές της εγκατάσ-τασης

(γ) ΄Ελεγχος δύο ϑέσεων microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (ϑερmicroοκρασία Τ2)

Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου δύο ϑέσεων (two-position control)κατάλληλο για τηδιατήρηση της ϑερmicroοκρασίας T2 σταθερής Χρησιmicroοποιείστε microόνον έναν ϑερmicroοκρασιακόmicroετρητή (για τη microέτρηση της T2)

(δ) ΄Ελεγχος τύπου PID microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (Θερmicroοκρασία T2)

(δ1) Επιλέξτε τον απλούστερο δυνατό κατευθυντή (τύπου (PID) που είναι ικανός για τηνεπίτευξη των προδιαγραφών (i) και (ii)

(δ2) Μπορεί ο κατευθυντής που επιλέξατε στο προηγούmicroενο ερώτηmicroα να ικανοποιήση καιτις προδιαγραφές (iii)(iv) και (v)

(δ3) Υποθέστε τώρα ότι ο ϑερmicroοκρασιακός microετρητής δεν είναι ιδεατός αλλά χαρακτηρίζεταιαπό microία χρονική σταθερά 1(sec) και κέρδος DC (κέρδος microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδοmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ίσο microε 1 Εξετάστε εάν το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στηνερώτηση (δ1) microπορεί ακόmicroη να ικανοποιήση τις προδιαγραφές (i) και (ii)

23

(ε) Ελεγχος τύπου PID microε δύο ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T2)

Πώς ϑα microπορούσε το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάστηκε στο ερώτηmicroα (δ1) να ϐελτιωθήεάν είναι διαθέσιmicroοι δύο ιδεατοί ϑερmicroοκρασιακοί microετρητές για microέτρηση της T2 και της T0

Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του ϐελτιωmicroένου αυτού συστήmicroατος ελέγχου

(στ) Ελεγχος microε τρεις ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T1 T2)

Τώρα υποθέστε ότι τρεις ιδεατοί microετρητές είναι διαθέσιmicroοι για την microέτρηση των ϑερmicroοκρασιώνT0 T1 T2 και ότι τα κέρδη τους είναι microεταβλητά και microπορούν να επιλεγουν αυθαίρετα

(στ1) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου ικανό να εξαλείψη τελείως την επίδραση της ϑερmicroοκρασί-ας περιβάλλοντος T0 και ταυτόχρονα να παρουσιάζη πεπερασmicroένο σφάλmicroα microόνιmicroηςκατάστασης στην T2 για συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς Τιπλεονέκτηmicroα παρουσιάζει η επιπρόσθετη δυνατότητα microέτρησης της ϑερmicroοκρασίαςT1

(στ2) Υποδείξτε πως microπορεί να microεταβληθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο ερώτη-microα (στ1) ούτως ώστε το σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης στην T2 οφειλόmicroενο σε συνάρτησηmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς να microηδενισθή

(Ϲ) Προσοmicroοίωση σε ΗΥ

Χρησιmicroοποιείστε ένα κατάλληλο λογισmicroικό πακέτο (MATLABMATRIXx ή οποιοδήπότεάλλο) για την προσοmicroοίωση της εγκατάστασης και των διαφόρων συστηmicroάτων αυτοmicroάτουελέγχου που σχεδιάσατε

Χρησιmicroοποείστε ως εισόδουςδιαταραχή συναρτήσεις ϐαθmicroίδας αλλά και άλλες συναρτή-σεις (πχ αναρρίχησης κάποιας microορφής περιοδική συνάρτηση για την ϑερmicroοκρασία T0)και επαληθεύστε τα κατά περίπτωση αποτελέσmicroατά σας

Σχολιάστε την αρχική δυναmicroική συmicroπεριφορά της εγκατάστασης και το πως ϐελτιώνεταιmicroε τα διάφορα συστήmicroατα ελέγχου Εκτυπώστε γραφικές παραστάσεις των αποκρίσεων πουυπολογίσατε microε την ϐοήθεια του ΗΥ

24

9η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 91 Χάραξη Τόπου των Ριζών

Θεωρείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου του σχήmicroατος και χαράξτε τον τόπο των ϱιζώνγια τις παρακάτω περιπτώσεις

(α) G(s) = 10s(s2 + 3s + 9)2

(β) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 100)

(γ) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 225)

(δ) G(s) = (s2 + 225)s(s2 + 1)

R +-

K G(s)y

΄Ασκηση 92 Τόπος των Ριζών σε Σύστηmicroα Ελέγχου microε Ανάδραση των Μεταβλητών

Κατάστασης

Θεωρείστε το παρακάτω υδραυλικό σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου στόχος του οποίου είναιο έλεγχος της στάθmicroης h3 του ϱευστού που συγκεντρώνεται στη τρίτη δεξαmicroενή Για τηνεπίτευξη του στόχου αυτού χρησιmicroοποιείται ανάδραση των παροχών microάζας qm2 και qm3καθώς και της στάθmicroης h3 Τα κέρδη των αντίστοιχων microετρητών είναι 1 κ και 1 Η χρονικήσταθερά της πρώτης δεξαmicroενής δίνεται ίση microε 5 (secs) της δεύτερης 7 (secs)ενώ το εmicroβαδότου πυθmicroένα της τρίτης είναι 5(m2) και η πυκνότητα του ϱευστού 1000(kgm3)

(α) Χαράξτε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου

(ϐ) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου καθώς το κέρδος κ τουδεύτερου microετρητή microεταβάλλεται

25

ρh3

h 3r

qm1

qm2

R2qm3

qm2

kqm3

ρ

ρ

g

h3

KATTH Σ

΄Ασκηση 93 Σχεδιασmicroός Σερβοmicroηχανισmicroού

Θεωρείστε το σύστηmicroα του παρακάτω σχήmicroατος Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένασύστηmicroα ελέγχου της microετατόπισης Θ χρησιmicroοποιώντας microέτρηση του Θ και (ιδεατό) κιν-ητήρα συνεχούς ϱεύmicroατος ο οποίος ϑα ασκεί ϱοπή Τ στην αδράνεια Ι Οι προδιαγραφέςσχεδιασmicroού για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου είναι

(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδο microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερο από 01(rads)κατ΄ απόλυτον τιmicroή

(ii) Χρονικές σταθερές microικρότερες του 1(sec)

(iii) Λόγος απόσβεσης microεγαλύτερος ή ίσος του 0707

(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου

(ϐ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί την προδια-γραφή (i) Εν συνεχεία υπολογίστε την χρονική σταθερά και τον λόγο απόσβεσης τουσυστήmicroατος που σχεδιάσατε και συγκρίνετέ τα microε τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάσ-τασης Τι παρατηρείτε

(γ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές(i) και(ii) Εν συνεχεία υπολογίστε τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος που σχεδιάσατε

(δ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές (i)και (iii) Εν συνεχεία υπολογίστε τις χρονικές σταθερές του συστήmicroατος που σχεδιάσατε

26

υ ΙT

θ

K

΄Ασκηση 94 Τόπος των Ριζών για Σύστηmicroα Κλειστού Βρόχου microε Κατευθυντή ΠΦ

Για παρακάτω σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου(α) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών ως προς το αναλογικό κέρδος k(ϐ) Είναι δυνατόν να επιλεγή το κέρδος k ούτως ώστε ο λόγος απόσβεσης να είναι 06 Ποια είναι η απαιτούmicroενη προς τον σκοπό τούτο τιmicroή του k

Y(s)R(s) +-

s+1s+10k s +121

s (s +100)2

2KATTH Σ ΠΦ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

2

΄Ασκηση 95 Χρήση του Τόπου των Ριζών στον Σχεδιασmicroό Κατευθυντή

σε Παράλληλη ∆ιάταξη

Θεωρείστε το απλουστευmicroένο πρόβληmicroα ελέγχου προσανατολισmicroού πυραύλου κατά τηνεκτόξευση Ενδιαφερόmicroαστε συγκεκριmicroένα να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρό-χου το οποίο ϑα χρησιmicroοποιεί microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ και ϑα ασκή ϱοπήΤ(ως προς το κέντρο microάζας microέσω πλευρικών κινητήρων) για τον έλεγχό της Το σύστηmicroαϑα είναι παράλληλης διάταξης microε κατευθυντή ΥΦ ΠΦ ή και συνδυασmicroό των δύο και microεπροδιαγραφές

(i) Φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση ίση microε 5 (radssec)(ii) Λόγος απόσβεσης 0707(iii) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 05 (sec)

(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου(ϐ) Ποιον από τους προαναφερθέντες τύπους κατευθυντή ϑα επιλέγατε στην περίπτωση

αυτή και γιατί (απαντείστε χωρίς να κάνετε υπολογισmicroούς)(γ) Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών για τον σχεδιασmicroό του συστήmicroατος

κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε να ικανοποιούνται ει δυνατόν οι προδιαγραφές (i) και (ii)(δ) Ικανοποιεί την προδιαγραφή (iii) το σύστηmicroα που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη

27

ερώτηση

(ε) Υποθέστε τώρα ότι η microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ δεν είναι ιδεατή αλλάγίνεται microέσω συσκευής microε χρονική σταθερά 01(sec) Πώς ϑα πρέπει να microεταβληθή ο κα-τευθυντής που σχεδιάσατε προκειmicroένου να εξακολουθήση να ικανοποιή τις προδιαγραφές(i) και (ii)

Είναι δυνατόν να ικανοποιείται και η (iii) (Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών)

TKέντρο microάζας

πλευρικοίκινητήρες

Θ

28

10η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 101

Χαράξτε τα διαγράmicromicroατα Bode των παρακάτω συναρτήσεων microεταφοράς (α) G(s) = (002s + 1)3(10s + 1)(ϐ) G(s) = 10s(s + 10)(s + 100)(γ) G(s) = 4s(s2 + 10s + 100)(δ) G(s) = s2(s + 05)(s + 02)(s2 + s + 100)

΄Ασκηση 102

Χρησιmicroοποιείστε το κατάλληλο διάγραmicromicroα Bode για τον προσεγγιστικό υπολογισmicroό τωντιmicroών κέρδους κ του αναλογικού κατευθυντή για τις οποίες το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχουτου σχήmicroατος είναι ευσταθές Επαληθεύστε ποιοτικά την απάντησή σας χρησιmicroοποιώνταςτη microέθοδο του τόπου των ϱιζών

R(s)+ -

kY(s)

s+1s3

s+1s+10

29

ΛΥΣΕΙΣ

1η ΟΜΑ∆Α

Λύση 12

(α) ῾῾Προσεγγιστική᾿᾿ τοποθέτηση καmicroπίνας

K ινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα θέση

καmicroπίνας

∆ιακόπτης(Κατευθυντής

τύπουΑνοικτόΚλειστό

ΤΕΛΙΚΟΣΤΟΙΧΕΙΟΕΛΕΓΧΟΥ

ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

Στη περίπτωση αυτή η ϑέση της καmicroπίνας umlmicroετράταιuml διακριτά microέσω microοχλών τοποθετη-microένων σε κάθε όροφο Ο microοχλός αυτός δρα σαν κατευθυντής ανοικτούκλειστού τύπου(κλειστός όταν η καmicroπίνα δεν είναι στο επίπεδο ορόφου ανοικτός όταν είναι)

(ϐ) Ακριβής τοποθέτηση καmicroπίνας

Ενισχυτής Κινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα

Αισθητήριοθέσης

αναφοράςθέση

ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΤΕΛΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑΕΛΕΓΧΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

θέση καmicroπίνας

Η ακριβής ϑέση της καmicroπίνας microπορεί να microετράται microε διάφορους τρόπους Ενας απλόςέmicromicroεσος τρόπος είναι microε microέτρηση του συρmicroατόσχοινου

30

Λύση 15

Πρόγραmicromicroακαθοδήγησης DA Eνισχυτής Κινητήρας Φορτίο

Ταχύmicroετρο

Αισθητήριοθέσης

(Encoder)

HY

+

-

τάση υ1

τάση υ 2

ΤΕΛΣΤΟΙΧΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ

Σχήmicroα 1 ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού Βρόχου

DA Μετατροπέας ψηφιακού σήmicroατος σε αναλογικόΣηmicro Ο ενισχυτής εκτελεί ουσιαστικά σύγκριση των τάσεων U1και U2 και ενισχύει τη

διαφορά τους U1 minus U2

2η ΟΜΑ∆Α

Λύση 26

Ισοδύναmicroο σύστηmicroα χωρίς γρανάζια microε αναγωγή στον δεξιό άξονα

k2 c 2T θΙ

k1 11

θ12

c1I12 =0I I32

θ 2 θ3

όπου T prime = N middot T I prime1 = I1N2

θprime1 = θ1Nkprime1 = k1N

2

Είναι ϕανερό ότι η γωνιακή microετατόπιση σηmicroείου microεταξύ του ελατηρίου kprime1 και του α-ποσβεστήρα c1 δεν περιγράφεται συναρτήσει των υπολοίπων ορισmicroένων microετατοπίσεων καιπρέπει να ορισθεί ανεξάρτητα Εστω ότι η microετατόπιση αυτή καλείται θ12 (ϐλδιάγραmicromicroα)Για την κατάστρωση των εξισώσεων κίνησης υποθέτω ότι στο σηmicroείο αυτό ευρίσκεταιαδράνεια microηδενικού microέτρου (I12 = 0 ) (ϐλ διάγραmicromicroα)

Υπόθεση θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0

θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0

31

∆ιαγράmicromicroατα ελευθέρου σώmicroατος

I1θ1Τ

Ι =012

Με εφαρmicroογή του νόmicroου του Νεύτωνα

I prime1 middot θprime1 = T prime minus kprime1(θprime1 minus θ12)

I12 middot θ12 = 0 = kprime1(θprime1 minus θ12)minus c1(θ12 minus θ2)

I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)

I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3

και η τελική microορφή των εξισώσεων προκύπτει microετά από αντικατάσταση των T prime θprime1 kprime1

32

I1 middotN2 1N

θ1 = N middot T minus k1N2(

θ1

Nminus θ12

) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)

0 = k1N2(

θ1

Nminus θ12

)minus c1

(˙θ12 minus θ2

)

I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)

I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3

Εξισώσεις κίνησης

Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31

2ϐα-

ϑmicroών ελευθερίας

Λύση 27

+-υ

R L

i+-

υb

Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr

rArr υ = iR + Ldi

dt+ Kb middot ω (1)

I 1

T θ 1

Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0

θ1 gt θ2 gt 0

Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr

rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)

33

Cθ2

θ2I2

k(θ -θ )1 2

Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr

rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)

Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι

34

3η ΟΜΑ∆Α

Λύση 33

Εξισώσεις διατήρησης microάζας

dm1

dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)

dm2

dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)

οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2

αντίστοιχα

Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1

gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2

Επίσης m1 = A1h1

m2 = A2h2

Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g

R1h1

A2h2 = gR1

h1 + qm2 minus gR2

h2

∣∣∣∣∣∣

(1α)

(2α)

Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής

ddt

[h1

h2

]=

[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2

] [h1

h2

]+

[1A1 00 1A1

] [qm1

qm2

]

[h1

h2

]=

[1 00 1

] [h1

h2

]

35

Λύση 36

qh1

qhC2T2

i i

C1T1θερmicroική αντίσταση R2

θερmicroική αντίσταση R1

T3

Υπόθεση T2 T1 T3

qh2

R

Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε

Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα

Θερmicroοχωρητικότητα C1 d

dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)

Θερmicroοχωρητικότητα C2 d

dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)

Επιπρόσθετα

qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)

qh1 =T1 minus T3

R1

Θερmicroική αντίσταση R1 (4)

qh2 =T2 minus T1

R2

Θερmicroική αντίσταση R2 (5)

Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)

c1 middot dT1

dt= T2minusT1

R2minus T1minusT3

R1

c2 middot dT2

dt= i2 middotRminus T2minusT1

R2

∣∣∣∣∣∣

είσοδοι T3 i (6)

έξοδοι T1 T2 (7)

36

4η ΟΜΑ∆Α

Λύση 43

Μαθηmicroατικό microοντέλο

Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)

Εξαναγκασmicroένη απόκριση

Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)

χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3

Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e

minus3t (t ge 0)

microεh(0) = 0

h(0) = 1

rArr c1 + c2 = 0

minusc1 minus 3c2 = 1

rArr c1 = 12

c2 = minus12

άρα

h(t) =1

2eminust minus 1

2eminus3t (t ge 0) (2)

Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =

int t

0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =

int t

012

(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)

) middot (1 + τ) middot dτ

= 12eminust

int t

0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1

2eminus3t

int t

0e3τ (1 + τ) middot dτ

= 12eminust

[τ middot eτ

]t

τ=0minus 1

2eminus3t

[13e3τ (1 + τ)minus 1

9e3τ

]t

τ=0

= 12eminustt middot et minus 1

6eminus3t

[e3t(1 + t)minus 1

]+ 1

18eminus3t middot

[e3t minus 1

]

= 12tminus 1

6(1 + t) + 1

6eminus3t + 1

18minus 1

18eminus3t =

20

(γ) Υπολογίστε τους πόλους του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου που σχεδιάσατε Είναι οιπόλοι αυτοί επιθυmicroητοί

Πού πρέπει να ϐρίσκονται οι πόλοι κλειστού ϐρόχου προκειmicroένου να πληρούνται οι προ-διαγραφές (iii) και (iv)

(δ) Τροποποιείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου σε σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης καιεν σειρά (2 κατευθυντών) εάν έχετε διαθέσιmicroο και ένα πολύ γρήγορο επιταχυνσιόmicroετρογια τη microέτρηση των γωνιακής επιτάχυνσηςΠληροί το νέο σας σύστηmicroα τις προδιαγραφές (iii) και (iv)

Εξακολουθεί να πληροί τις προδιαγραφές (i) και (ii)

(ε) Πώς ϑα τροποποιούσατε περαιτέρω το σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης και εν σειράπροκειmicroένου να microηδενισθούν τα σφάλmicroατα που αναφέρονται στις προδιαγραφές (i)και (ii)

΄Ασκηση 84 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Υδραυλικού Συστήmicroατος

qm1

R1 qmd

R2A 2

ρ

g

A1

h

ρ

ΒΑΛΒ

h22d ΚΑΤ

1

h2

Για το υδραυλικό σύστηmicroα του σχήmicroατος

(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του απλούστερου δυνατού συστήmicroατος ελέγχου τηςστάθmicroης της δεξαmicroενής 2 που να επιτυγχάνει microηδενικά σφάλmicroατα microόνιmicroης κατάσ-τασης ως προς microοναδιαία ϐαθmicroίδα είσοδο αναφοράς h2d καθώς και διαταραχή qmdΤο σύστηmicroα αυτό microπορεί να χρησιmicroοποιεί ένα microετρητή στάθmicroης στη δεξαmicroενή 2 γιατη microέτρηση της εξόδου και τη ϐαλβίδα που ϱυθmicroίζει την παροχή στη δεξαmicroενή 1 σαντελικό στοιχείο ελέγχου

21

(ϐ) Πως microπορεί να ϐελτιωθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο προηγούmicroενο ερώτη-microα εάν καταστεί διαθέσιmicroος και ένας δεύτερος microετρητής στάθmicroης (για τη δεξαmicroενή1)

Ποιά είναι τα πλεονεκτήmicroατα αυτού ως προς το προηγούmicroενο

΄Ασκηση 85 Σταθεροποίηση Ασταθούς Εγκατάστασης ΄ΕλεγχοςΑνεστραmicromicroένου Εκκρεmicroούς

Θεωρείστε το πρόβληmicroα ανεστραmicromicroένου εκκρεmicroούς microε γραmicromicroικοποιηmicroένη δυναmicroικήεξίσωση

M middot L middot θ minus (M + m) middot g middot θ = f

Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου ικανό να σταθεροποιήση το σύστηmicroα και ναδιατηρή τη γωνία ϑ γύρω από την τιmicroή microηδέν (umlρυθmicroιστής uml) χειριζόmicroενο κατάλληλα τηνοριζόντια δύναmicroη f Οι προδιαγραφές είναι

(i) Λόγος απόσβεσης 0707(ii) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) 8(secs)

΄Ασκηση 86 Αυτόmicroατος Ελεγχος Θερmicroικού Συστήmicroατος

Aέρας κλιβάνουΤ C2 2

C1T1

RI Θερmicroαντικό στοιχ

i i

R2

AτmicroοσφαιρικήΘερmicroοκρασία

Το

22

Θεωρείστε τον κλίβανο του σχήmicroατος ο οποίος ϑερmicroαίνεται από ϑερmicroαντικό στοιχείοmicroε ηλεκτρική αντίσταση R Το ϑερmicroαντικό αυτό στοιχείο έχει ϑερmicroοχωρητικότητα C1 καιϑερmicroοκρασία T1 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ του ϑερmicroαντικού στοιχείου και του αέρατου κλιβάνου παριστάνεται σαν R1 Επίσης η ϑερmicroοχωρητικότητα του αέρα του κλιβάνουπαριστάνεται σαν C2 και η ϑερmicroοκρασία του σαν T2 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ τουκλιβάνου και της ατmicroόσφαιρας είναι R2 ενώ η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος To Οιτιmicroές των σταθερών του συστήmicroατος είναι R = 1(kΩ) R1 = R2 = 1(KsecJoule) C1 =C2 = 100(JouleK)

Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου για τον έλεγχο της ϑερmicroοκρασί-ας T2 του αέρα του κλιβάνου χειριζόmicroενοι κατάλληλα το ηλεκτρικό ϱεύmicroα i πού οδηγείταιστην αντίσταση R Οι προδιαγραφές για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου έχουν ως εξής

(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 001(K)

(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 οφειλόmicroενο σε είσοδο T0 microοναδιαίας ϐαθmicroίδαςmicroικρότερο από 001(Κ)

(iii) Μέγιστη υπερακόντιση σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερη απο10

(iv) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 20(secs)

(v) Ευαισθησία του σφάλmicroατος microόνιmicroης κατάστασης της T2 (οφειλόmicroενο σε είσοδο αναφοράςmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ως προς την ϑερmicroοχωρητικότητα C2 microικρότερη από 01

Απαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις

(α) Αναπτύξτε το δυναmicroικό microοντέλο της εγκατάστασης συmicroπεριλαmicroβανοmicroένης και της η-λεκτρικής αντίστασης

(ϐ) Σχεδιάστε ένα δοmicroικό διάγραmicromicroα της εγκατάστασης κατάλληλο για την επίτευξη τωνπροδιαγραφών του συστήmicroατος ελέγχου Υπολογίστε τις χρονικές σταθερές της εγκατάσ-τασης

(γ) ΄Ελεγχος δύο ϑέσεων microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (ϑερmicroοκρασία Τ2)

Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου δύο ϑέσεων (two-position control)κατάλληλο για τηδιατήρηση της ϑερmicroοκρασίας T2 σταθερής Χρησιmicroοποιείστε microόνον έναν ϑερmicroοκρασιακόmicroετρητή (για τη microέτρηση της T2)

(δ) ΄Ελεγχος τύπου PID microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (Θερmicroοκρασία T2)

(δ1) Επιλέξτε τον απλούστερο δυνατό κατευθυντή (τύπου (PID) που είναι ικανός για τηνεπίτευξη των προδιαγραφών (i) και (ii)

(δ2) Μπορεί ο κατευθυντής που επιλέξατε στο προηγούmicroενο ερώτηmicroα να ικανοποιήση καιτις προδιαγραφές (iii)(iv) και (v)

(δ3) Υποθέστε τώρα ότι ο ϑερmicroοκρασιακός microετρητής δεν είναι ιδεατός αλλά χαρακτηρίζεταιαπό microία χρονική σταθερά 1(sec) και κέρδος DC (κέρδος microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδοmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ίσο microε 1 Εξετάστε εάν το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στηνερώτηση (δ1) microπορεί ακόmicroη να ικανοποιήση τις προδιαγραφές (i) και (ii)

23

(ε) Ελεγχος τύπου PID microε δύο ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T2)

Πώς ϑα microπορούσε το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάστηκε στο ερώτηmicroα (δ1) να ϐελτιωθήεάν είναι διαθέσιmicroοι δύο ιδεατοί ϑερmicroοκρασιακοί microετρητές για microέτρηση της T2 και της T0

Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του ϐελτιωmicroένου αυτού συστήmicroατος ελέγχου

(στ) Ελεγχος microε τρεις ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T1 T2)

Τώρα υποθέστε ότι τρεις ιδεατοί microετρητές είναι διαθέσιmicroοι για την microέτρηση των ϑερmicroοκρασιώνT0 T1 T2 και ότι τα κέρδη τους είναι microεταβλητά και microπορούν να επιλεγουν αυθαίρετα

(στ1) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου ικανό να εξαλείψη τελείως την επίδραση της ϑερmicroοκρασί-ας περιβάλλοντος T0 και ταυτόχρονα να παρουσιάζη πεπερασmicroένο σφάλmicroα microόνιmicroηςκατάστασης στην T2 για συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς Τιπλεονέκτηmicroα παρουσιάζει η επιπρόσθετη δυνατότητα microέτρησης της ϑερmicroοκρασίαςT1

(στ2) Υποδείξτε πως microπορεί να microεταβληθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο ερώτη-microα (στ1) ούτως ώστε το σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης στην T2 οφειλόmicroενο σε συνάρτησηmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς να microηδενισθή

(Ϲ) Προσοmicroοίωση σε ΗΥ

Χρησιmicroοποιείστε ένα κατάλληλο λογισmicroικό πακέτο (MATLABMATRIXx ή οποιοδήπότεάλλο) για την προσοmicroοίωση της εγκατάστασης και των διαφόρων συστηmicroάτων αυτοmicroάτουελέγχου που σχεδιάσατε

Χρησιmicroοποείστε ως εισόδουςδιαταραχή συναρτήσεις ϐαθmicroίδας αλλά και άλλες συναρτή-σεις (πχ αναρρίχησης κάποιας microορφής περιοδική συνάρτηση για την ϑερmicroοκρασία T0)και επαληθεύστε τα κατά περίπτωση αποτελέσmicroατά σας

Σχολιάστε την αρχική δυναmicroική συmicroπεριφορά της εγκατάστασης και το πως ϐελτιώνεταιmicroε τα διάφορα συστήmicroατα ελέγχου Εκτυπώστε γραφικές παραστάσεις των αποκρίσεων πουυπολογίσατε microε την ϐοήθεια του ΗΥ

24

9η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 91 Χάραξη Τόπου των Ριζών

Θεωρείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου του σχήmicroατος και χαράξτε τον τόπο των ϱιζώνγια τις παρακάτω περιπτώσεις

(α) G(s) = 10s(s2 + 3s + 9)2

(β) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 100)

(γ) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 225)

(δ) G(s) = (s2 + 225)s(s2 + 1)

R +-

K G(s)y

΄Ασκηση 92 Τόπος των Ριζών σε Σύστηmicroα Ελέγχου microε Ανάδραση των Μεταβλητών

Κατάστασης

Θεωρείστε το παρακάτω υδραυλικό σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου στόχος του οποίου είναιο έλεγχος της στάθmicroης h3 του ϱευστού που συγκεντρώνεται στη τρίτη δεξαmicroενή Για τηνεπίτευξη του στόχου αυτού χρησιmicroοποιείται ανάδραση των παροχών microάζας qm2 και qm3καθώς και της στάθmicroης h3 Τα κέρδη των αντίστοιχων microετρητών είναι 1 κ και 1 Η χρονικήσταθερά της πρώτης δεξαmicroενής δίνεται ίση microε 5 (secs) της δεύτερης 7 (secs)ενώ το εmicroβαδότου πυθmicroένα της τρίτης είναι 5(m2) και η πυκνότητα του ϱευστού 1000(kgm3)

(α) Χαράξτε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου

(ϐ) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου καθώς το κέρδος κ τουδεύτερου microετρητή microεταβάλλεται

25

ρh3

h 3r

qm1

qm2

R2qm3

qm2

kqm3

ρ

ρ

g

h3

KATTH Σ

΄Ασκηση 93 Σχεδιασmicroός Σερβοmicroηχανισmicroού

Θεωρείστε το σύστηmicroα του παρακάτω σχήmicroατος Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένασύστηmicroα ελέγχου της microετατόπισης Θ χρησιmicroοποιώντας microέτρηση του Θ και (ιδεατό) κιν-ητήρα συνεχούς ϱεύmicroατος ο οποίος ϑα ασκεί ϱοπή Τ στην αδράνεια Ι Οι προδιαγραφέςσχεδιασmicroού για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου είναι

(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδο microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερο από 01(rads)κατ΄ απόλυτον τιmicroή

(ii) Χρονικές σταθερές microικρότερες του 1(sec)

(iii) Λόγος απόσβεσης microεγαλύτερος ή ίσος του 0707

(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου

(ϐ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί την προδια-γραφή (i) Εν συνεχεία υπολογίστε την χρονική σταθερά και τον λόγο απόσβεσης τουσυστήmicroατος που σχεδιάσατε και συγκρίνετέ τα microε τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάσ-τασης Τι παρατηρείτε

(γ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές(i) και(ii) Εν συνεχεία υπολογίστε τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος που σχεδιάσατε

(δ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές (i)και (iii) Εν συνεχεία υπολογίστε τις χρονικές σταθερές του συστήmicroατος που σχεδιάσατε

26

υ ΙT

θ

K

΄Ασκηση 94 Τόπος των Ριζών για Σύστηmicroα Κλειστού Βρόχου microε Κατευθυντή ΠΦ

Για παρακάτω σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου(α) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών ως προς το αναλογικό κέρδος k(ϐ) Είναι δυνατόν να επιλεγή το κέρδος k ούτως ώστε ο λόγος απόσβεσης να είναι 06 Ποια είναι η απαιτούmicroενη προς τον σκοπό τούτο τιmicroή του k

Y(s)R(s) +-

s+1s+10k s +121

s (s +100)2

2KATTH Σ ΠΦ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

2

΄Ασκηση 95 Χρήση του Τόπου των Ριζών στον Σχεδιασmicroό Κατευθυντή

σε Παράλληλη ∆ιάταξη

Θεωρείστε το απλουστευmicroένο πρόβληmicroα ελέγχου προσανατολισmicroού πυραύλου κατά τηνεκτόξευση Ενδιαφερόmicroαστε συγκεκριmicroένα να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρό-χου το οποίο ϑα χρησιmicroοποιεί microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ και ϑα ασκή ϱοπήΤ(ως προς το κέντρο microάζας microέσω πλευρικών κινητήρων) για τον έλεγχό της Το σύστηmicroαϑα είναι παράλληλης διάταξης microε κατευθυντή ΥΦ ΠΦ ή και συνδυασmicroό των δύο και microεπροδιαγραφές

(i) Φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση ίση microε 5 (radssec)(ii) Λόγος απόσβεσης 0707(iii) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 05 (sec)

(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου(ϐ) Ποιον από τους προαναφερθέντες τύπους κατευθυντή ϑα επιλέγατε στην περίπτωση

αυτή και γιατί (απαντείστε χωρίς να κάνετε υπολογισmicroούς)(γ) Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών για τον σχεδιασmicroό του συστήmicroατος

κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε να ικανοποιούνται ει δυνατόν οι προδιαγραφές (i) και (ii)(δ) Ικανοποιεί την προδιαγραφή (iii) το σύστηmicroα που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη

27

ερώτηση

(ε) Υποθέστε τώρα ότι η microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ δεν είναι ιδεατή αλλάγίνεται microέσω συσκευής microε χρονική σταθερά 01(sec) Πώς ϑα πρέπει να microεταβληθή ο κα-τευθυντής που σχεδιάσατε προκειmicroένου να εξακολουθήση να ικανοποιή τις προδιαγραφές(i) και (ii)

Είναι δυνατόν να ικανοποιείται και η (iii) (Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών)

TKέντρο microάζας

πλευρικοίκινητήρες

Θ

28

10η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 101

Χαράξτε τα διαγράmicromicroατα Bode των παρακάτω συναρτήσεων microεταφοράς (α) G(s) = (002s + 1)3(10s + 1)(ϐ) G(s) = 10s(s + 10)(s + 100)(γ) G(s) = 4s(s2 + 10s + 100)(δ) G(s) = s2(s + 05)(s + 02)(s2 + s + 100)

΄Ασκηση 102

Χρησιmicroοποιείστε το κατάλληλο διάγραmicromicroα Bode για τον προσεγγιστικό υπολογισmicroό τωντιmicroών κέρδους κ του αναλογικού κατευθυντή για τις οποίες το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχουτου σχήmicroατος είναι ευσταθές Επαληθεύστε ποιοτικά την απάντησή σας χρησιmicroοποιώνταςτη microέθοδο του τόπου των ϱιζών

R(s)+ -

kY(s)

s+1s3

s+1s+10

29

ΛΥΣΕΙΣ

1η ΟΜΑ∆Α

Λύση 12

(α) ῾῾Προσεγγιστική᾿᾿ τοποθέτηση καmicroπίνας

K ινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα θέση

καmicroπίνας

∆ιακόπτης(Κατευθυντής

τύπουΑνοικτόΚλειστό

ΤΕΛΙΚΟΣΤΟΙΧΕΙΟΕΛΕΓΧΟΥ

ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

Στη περίπτωση αυτή η ϑέση της καmicroπίνας umlmicroετράταιuml διακριτά microέσω microοχλών τοποθετη-microένων σε κάθε όροφο Ο microοχλός αυτός δρα σαν κατευθυντής ανοικτούκλειστού τύπου(κλειστός όταν η καmicroπίνα δεν είναι στο επίπεδο ορόφου ανοικτός όταν είναι)

(ϐ) Ακριβής τοποθέτηση καmicroπίνας

Ενισχυτής Κινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα

Αισθητήριοθέσης

αναφοράςθέση

ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΤΕΛΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑΕΛΕΓΧΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

θέση καmicroπίνας

Η ακριβής ϑέση της καmicroπίνας microπορεί να microετράται microε διάφορους τρόπους Ενας απλόςέmicromicroεσος τρόπος είναι microε microέτρηση του συρmicroατόσχοινου

30

Λύση 15

Πρόγραmicromicroακαθοδήγησης DA Eνισχυτής Κινητήρας Φορτίο

Ταχύmicroετρο

Αισθητήριοθέσης

(Encoder)

HY

+

-

τάση υ1

τάση υ 2

ΤΕΛΣΤΟΙΧΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ

Σχήmicroα 1 ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού Βρόχου

DA Μετατροπέας ψηφιακού σήmicroατος σε αναλογικόΣηmicro Ο ενισχυτής εκτελεί ουσιαστικά σύγκριση των τάσεων U1και U2 και ενισχύει τη

διαφορά τους U1 minus U2

2η ΟΜΑ∆Α

Λύση 26

Ισοδύναmicroο σύστηmicroα χωρίς γρανάζια microε αναγωγή στον δεξιό άξονα

k2 c 2T θΙ

k1 11

θ12

c1I12 =0I I32

θ 2 θ3

όπου T prime = N middot T I prime1 = I1N2

θprime1 = θ1Nkprime1 = k1N

2

Είναι ϕανερό ότι η γωνιακή microετατόπιση σηmicroείου microεταξύ του ελατηρίου kprime1 και του α-ποσβεστήρα c1 δεν περιγράφεται συναρτήσει των υπολοίπων ορισmicroένων microετατοπίσεων καιπρέπει να ορισθεί ανεξάρτητα Εστω ότι η microετατόπιση αυτή καλείται θ12 (ϐλδιάγραmicromicroα)Για την κατάστρωση των εξισώσεων κίνησης υποθέτω ότι στο σηmicroείο αυτό ευρίσκεταιαδράνεια microηδενικού microέτρου (I12 = 0 ) (ϐλ διάγραmicromicroα)

Υπόθεση θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0

θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0

31

∆ιαγράmicromicroατα ελευθέρου σώmicroατος

I1θ1Τ

Ι =012

Με εφαρmicroογή του νόmicroου του Νεύτωνα

I prime1 middot θprime1 = T prime minus kprime1(θprime1 minus θ12)

I12 middot θ12 = 0 = kprime1(θprime1 minus θ12)minus c1(θ12 minus θ2)

I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)

I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3

και η τελική microορφή των εξισώσεων προκύπτει microετά από αντικατάσταση των T prime θprime1 kprime1

32

I1 middotN2 1N

θ1 = N middot T minus k1N2(

θ1

Nminus θ12

) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)

0 = k1N2(

θ1

Nminus θ12

)minus c1

(˙θ12 minus θ2

)

I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)

I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3

Εξισώσεις κίνησης

Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31

2ϐα-

ϑmicroών ελευθερίας

Λύση 27

+-υ

R L

i+-

υb

Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr

rArr υ = iR + Ldi

dt+ Kb middot ω (1)

I 1

T θ 1

Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0

θ1 gt θ2 gt 0

Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr

rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)

33

Cθ2

θ2I2

k(θ -θ )1 2

Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr

rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)

Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι

34

3η ΟΜΑ∆Α

Λύση 33

Εξισώσεις διατήρησης microάζας

dm1

dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)

dm2

dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)

οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2

αντίστοιχα

Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1

gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2

Επίσης m1 = A1h1

m2 = A2h2

Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g

R1h1

A2h2 = gR1

h1 + qm2 minus gR2

h2

∣∣∣∣∣∣

(1α)

(2α)

Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής

ddt

[h1

h2

]=

[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2

] [h1

h2

]+

[1A1 00 1A1

] [qm1

qm2

]

[h1

h2

]=

[1 00 1

] [h1

h2

]

35

Λύση 36

qh1

qhC2T2

i i

C1T1θερmicroική αντίσταση R2

θερmicroική αντίσταση R1

T3

Υπόθεση T2 T1 T3

qh2

R

Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε

Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα

Θερmicroοχωρητικότητα C1 d

dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)

Θερmicroοχωρητικότητα C2 d

dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)

Επιπρόσθετα

qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)

qh1 =T1 minus T3

R1

Θερmicroική αντίσταση R1 (4)

qh2 =T2 minus T1

R2

Θερmicroική αντίσταση R2 (5)

Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)

c1 middot dT1

dt= T2minusT1

R2minus T1minusT3

R1

c2 middot dT2

dt= i2 middotRminus T2minusT1

R2

∣∣∣∣∣∣

είσοδοι T3 i (6)

έξοδοι T1 T2 (7)

36

4η ΟΜΑ∆Α

Λύση 43

Μαθηmicroατικό microοντέλο

Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)

Εξαναγκασmicroένη απόκριση

Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)

χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3

Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e

minus3t (t ge 0)

microεh(0) = 0

h(0) = 1

rArr c1 + c2 = 0

minusc1 minus 3c2 = 1

rArr c1 = 12

c2 = minus12

άρα

h(t) =1

2eminust minus 1

2eminus3t (t ge 0) (2)

Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =

int t

0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =

int t

012

(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)

) middot (1 + τ) middot dτ

= 12eminust

int t

0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1

2eminus3t

int t

0e3τ (1 + τ) middot dτ

= 12eminust

[τ middot eτ

]t

τ=0minus 1

2eminus3t

[13e3τ (1 + τ)minus 1

9e3τ

]t

τ=0

= 12eminustt middot et minus 1

6eminus3t

[e3t(1 + t)minus 1

]+ 1

18eminus3t middot

[e3t minus 1

]

= 12tminus 1

6(1 + t) + 1

6eminus3t + 1

18minus 1

18eminus3t =

21

(ϐ) Πως microπορεί να ϐελτιωθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο προηγούmicroενο ερώτη-microα εάν καταστεί διαθέσιmicroος και ένας δεύτερος microετρητής στάθmicroης (για τη δεξαmicroενή1)

Ποιά είναι τα πλεονεκτήmicroατα αυτού ως προς το προηγούmicroενο

΄Ασκηση 85 Σταθεροποίηση Ασταθούς Εγκατάστασης ΄ΕλεγχοςΑνεστραmicromicroένου Εκκρεmicroούς

Θεωρείστε το πρόβληmicroα ανεστραmicromicroένου εκκρεmicroούς microε γραmicromicroικοποιηmicroένη δυναmicroικήεξίσωση

M middot L middot θ minus (M + m) middot g middot θ = f

Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου ικανό να σταθεροποιήση το σύστηmicroα και ναδιατηρή τη γωνία ϑ γύρω από την τιmicroή microηδέν (umlρυθmicroιστής uml) χειριζόmicroενο κατάλληλα τηνοριζόντια δύναmicroη f Οι προδιαγραφές είναι

(i) Λόγος απόσβεσης 0707(ii) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) 8(secs)

΄Ασκηση 86 Αυτόmicroατος Ελεγχος Θερmicroικού Συστήmicroατος

Aέρας κλιβάνουΤ C2 2

C1T1

RI Θερmicroαντικό στοιχ

i i

R2

AτmicroοσφαιρικήΘερmicroοκρασία

Το

22

Θεωρείστε τον κλίβανο του σχήmicroατος ο οποίος ϑερmicroαίνεται από ϑερmicroαντικό στοιχείοmicroε ηλεκτρική αντίσταση R Το ϑερmicroαντικό αυτό στοιχείο έχει ϑερmicroοχωρητικότητα C1 καιϑερmicroοκρασία T1 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ του ϑερmicroαντικού στοιχείου και του αέρατου κλιβάνου παριστάνεται σαν R1 Επίσης η ϑερmicroοχωρητικότητα του αέρα του κλιβάνουπαριστάνεται σαν C2 και η ϑερmicroοκρασία του σαν T2 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ τουκλιβάνου και της ατmicroόσφαιρας είναι R2 ενώ η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος To Οιτιmicroές των σταθερών του συστήmicroατος είναι R = 1(kΩ) R1 = R2 = 1(KsecJoule) C1 =C2 = 100(JouleK)

Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου για τον έλεγχο της ϑερmicroοκρασί-ας T2 του αέρα του κλιβάνου χειριζόmicroενοι κατάλληλα το ηλεκτρικό ϱεύmicroα i πού οδηγείταιστην αντίσταση R Οι προδιαγραφές για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου έχουν ως εξής

(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 001(K)

(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 οφειλόmicroενο σε είσοδο T0 microοναδιαίας ϐαθmicroίδαςmicroικρότερο από 001(Κ)

(iii) Μέγιστη υπερακόντιση σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερη απο10

(iv) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 20(secs)

(v) Ευαισθησία του σφάλmicroατος microόνιmicroης κατάστασης της T2 (οφειλόmicroενο σε είσοδο αναφοράςmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ως προς την ϑερmicroοχωρητικότητα C2 microικρότερη από 01

Απαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις

(α) Αναπτύξτε το δυναmicroικό microοντέλο της εγκατάστασης συmicroπεριλαmicroβανοmicroένης και της η-λεκτρικής αντίστασης

(ϐ) Σχεδιάστε ένα δοmicroικό διάγραmicromicroα της εγκατάστασης κατάλληλο για την επίτευξη τωνπροδιαγραφών του συστήmicroατος ελέγχου Υπολογίστε τις χρονικές σταθερές της εγκατάσ-τασης

(γ) ΄Ελεγχος δύο ϑέσεων microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (ϑερmicroοκρασία Τ2)

Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου δύο ϑέσεων (two-position control)κατάλληλο για τηδιατήρηση της ϑερmicroοκρασίας T2 σταθερής Χρησιmicroοποιείστε microόνον έναν ϑερmicroοκρασιακόmicroετρητή (για τη microέτρηση της T2)

(δ) ΄Ελεγχος τύπου PID microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (Θερmicroοκρασία T2)

(δ1) Επιλέξτε τον απλούστερο δυνατό κατευθυντή (τύπου (PID) που είναι ικανός για τηνεπίτευξη των προδιαγραφών (i) και (ii)

(δ2) Μπορεί ο κατευθυντής που επιλέξατε στο προηγούmicroενο ερώτηmicroα να ικανοποιήση καιτις προδιαγραφές (iii)(iv) και (v)

(δ3) Υποθέστε τώρα ότι ο ϑερmicroοκρασιακός microετρητής δεν είναι ιδεατός αλλά χαρακτηρίζεταιαπό microία χρονική σταθερά 1(sec) και κέρδος DC (κέρδος microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδοmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ίσο microε 1 Εξετάστε εάν το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στηνερώτηση (δ1) microπορεί ακόmicroη να ικανοποιήση τις προδιαγραφές (i) και (ii)

23

(ε) Ελεγχος τύπου PID microε δύο ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T2)

Πώς ϑα microπορούσε το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάστηκε στο ερώτηmicroα (δ1) να ϐελτιωθήεάν είναι διαθέσιmicroοι δύο ιδεατοί ϑερmicroοκρασιακοί microετρητές για microέτρηση της T2 και της T0

Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του ϐελτιωmicroένου αυτού συστήmicroατος ελέγχου

(στ) Ελεγχος microε τρεις ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T1 T2)

Τώρα υποθέστε ότι τρεις ιδεατοί microετρητές είναι διαθέσιmicroοι για την microέτρηση των ϑερmicroοκρασιώνT0 T1 T2 και ότι τα κέρδη τους είναι microεταβλητά και microπορούν να επιλεγουν αυθαίρετα

(στ1) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου ικανό να εξαλείψη τελείως την επίδραση της ϑερmicroοκρασί-ας περιβάλλοντος T0 και ταυτόχρονα να παρουσιάζη πεπερασmicroένο σφάλmicroα microόνιmicroηςκατάστασης στην T2 για συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς Τιπλεονέκτηmicroα παρουσιάζει η επιπρόσθετη δυνατότητα microέτρησης της ϑερmicroοκρασίαςT1

(στ2) Υποδείξτε πως microπορεί να microεταβληθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο ερώτη-microα (στ1) ούτως ώστε το σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης στην T2 οφειλόmicroενο σε συνάρτησηmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς να microηδενισθή

(Ϲ) Προσοmicroοίωση σε ΗΥ

Χρησιmicroοποιείστε ένα κατάλληλο λογισmicroικό πακέτο (MATLABMATRIXx ή οποιοδήπότεάλλο) για την προσοmicroοίωση της εγκατάστασης και των διαφόρων συστηmicroάτων αυτοmicroάτουελέγχου που σχεδιάσατε

Χρησιmicroοποείστε ως εισόδουςδιαταραχή συναρτήσεις ϐαθmicroίδας αλλά και άλλες συναρτή-σεις (πχ αναρρίχησης κάποιας microορφής περιοδική συνάρτηση για την ϑερmicroοκρασία T0)και επαληθεύστε τα κατά περίπτωση αποτελέσmicroατά σας

Σχολιάστε την αρχική δυναmicroική συmicroπεριφορά της εγκατάστασης και το πως ϐελτιώνεταιmicroε τα διάφορα συστήmicroατα ελέγχου Εκτυπώστε γραφικές παραστάσεις των αποκρίσεων πουυπολογίσατε microε την ϐοήθεια του ΗΥ

24

9η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 91 Χάραξη Τόπου των Ριζών

Θεωρείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου του σχήmicroατος και χαράξτε τον τόπο των ϱιζώνγια τις παρακάτω περιπτώσεις

(α) G(s) = 10s(s2 + 3s + 9)2

(β) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 100)

(γ) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 225)

(δ) G(s) = (s2 + 225)s(s2 + 1)

R +-

K G(s)y

΄Ασκηση 92 Τόπος των Ριζών σε Σύστηmicroα Ελέγχου microε Ανάδραση των Μεταβλητών

Κατάστασης

Θεωρείστε το παρακάτω υδραυλικό σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου στόχος του οποίου είναιο έλεγχος της στάθmicroης h3 του ϱευστού που συγκεντρώνεται στη τρίτη δεξαmicroενή Για τηνεπίτευξη του στόχου αυτού χρησιmicroοποιείται ανάδραση των παροχών microάζας qm2 και qm3καθώς και της στάθmicroης h3 Τα κέρδη των αντίστοιχων microετρητών είναι 1 κ και 1 Η χρονικήσταθερά της πρώτης δεξαmicroενής δίνεται ίση microε 5 (secs) της δεύτερης 7 (secs)ενώ το εmicroβαδότου πυθmicroένα της τρίτης είναι 5(m2) και η πυκνότητα του ϱευστού 1000(kgm3)

(α) Χαράξτε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου

(ϐ) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου καθώς το κέρδος κ τουδεύτερου microετρητή microεταβάλλεται

25

ρh3

h 3r

qm1

qm2

R2qm3

qm2

kqm3

ρ

ρ

g

h3

KATTH Σ

΄Ασκηση 93 Σχεδιασmicroός Σερβοmicroηχανισmicroού

Θεωρείστε το σύστηmicroα του παρακάτω σχήmicroατος Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένασύστηmicroα ελέγχου της microετατόπισης Θ χρησιmicroοποιώντας microέτρηση του Θ και (ιδεατό) κιν-ητήρα συνεχούς ϱεύmicroατος ο οποίος ϑα ασκεί ϱοπή Τ στην αδράνεια Ι Οι προδιαγραφέςσχεδιασmicroού για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου είναι

(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδο microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερο από 01(rads)κατ΄ απόλυτον τιmicroή

(ii) Χρονικές σταθερές microικρότερες του 1(sec)

(iii) Λόγος απόσβεσης microεγαλύτερος ή ίσος του 0707

(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου

(ϐ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί την προδια-γραφή (i) Εν συνεχεία υπολογίστε την χρονική σταθερά και τον λόγο απόσβεσης τουσυστήmicroατος που σχεδιάσατε και συγκρίνετέ τα microε τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάσ-τασης Τι παρατηρείτε

(γ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές(i) και(ii) Εν συνεχεία υπολογίστε τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος που σχεδιάσατε

(δ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές (i)και (iii) Εν συνεχεία υπολογίστε τις χρονικές σταθερές του συστήmicroατος που σχεδιάσατε

26

υ ΙT

θ

K

΄Ασκηση 94 Τόπος των Ριζών για Σύστηmicroα Κλειστού Βρόχου microε Κατευθυντή ΠΦ

Για παρακάτω σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου(α) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών ως προς το αναλογικό κέρδος k(ϐ) Είναι δυνατόν να επιλεγή το κέρδος k ούτως ώστε ο λόγος απόσβεσης να είναι 06 Ποια είναι η απαιτούmicroενη προς τον σκοπό τούτο τιmicroή του k

Y(s)R(s) +-

s+1s+10k s +121

s (s +100)2

2KATTH Σ ΠΦ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

2

΄Ασκηση 95 Χρήση του Τόπου των Ριζών στον Σχεδιασmicroό Κατευθυντή

σε Παράλληλη ∆ιάταξη

Θεωρείστε το απλουστευmicroένο πρόβληmicroα ελέγχου προσανατολισmicroού πυραύλου κατά τηνεκτόξευση Ενδιαφερόmicroαστε συγκεκριmicroένα να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρό-χου το οποίο ϑα χρησιmicroοποιεί microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ και ϑα ασκή ϱοπήΤ(ως προς το κέντρο microάζας microέσω πλευρικών κινητήρων) για τον έλεγχό της Το σύστηmicroαϑα είναι παράλληλης διάταξης microε κατευθυντή ΥΦ ΠΦ ή και συνδυασmicroό των δύο και microεπροδιαγραφές

(i) Φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση ίση microε 5 (radssec)(ii) Λόγος απόσβεσης 0707(iii) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 05 (sec)

(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου(ϐ) Ποιον από τους προαναφερθέντες τύπους κατευθυντή ϑα επιλέγατε στην περίπτωση

αυτή και γιατί (απαντείστε χωρίς να κάνετε υπολογισmicroούς)(γ) Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών για τον σχεδιασmicroό του συστήmicroατος

κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε να ικανοποιούνται ει δυνατόν οι προδιαγραφές (i) και (ii)(δ) Ικανοποιεί την προδιαγραφή (iii) το σύστηmicroα που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη

27

ερώτηση

(ε) Υποθέστε τώρα ότι η microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ δεν είναι ιδεατή αλλάγίνεται microέσω συσκευής microε χρονική σταθερά 01(sec) Πώς ϑα πρέπει να microεταβληθή ο κα-τευθυντής που σχεδιάσατε προκειmicroένου να εξακολουθήση να ικανοποιή τις προδιαγραφές(i) και (ii)

Είναι δυνατόν να ικανοποιείται και η (iii) (Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών)

TKέντρο microάζας

πλευρικοίκινητήρες

Θ

28

10η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 101

Χαράξτε τα διαγράmicromicroατα Bode των παρακάτω συναρτήσεων microεταφοράς (α) G(s) = (002s + 1)3(10s + 1)(ϐ) G(s) = 10s(s + 10)(s + 100)(γ) G(s) = 4s(s2 + 10s + 100)(δ) G(s) = s2(s + 05)(s + 02)(s2 + s + 100)

΄Ασκηση 102

Χρησιmicroοποιείστε το κατάλληλο διάγραmicromicroα Bode για τον προσεγγιστικό υπολογισmicroό τωντιmicroών κέρδους κ του αναλογικού κατευθυντή για τις οποίες το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχουτου σχήmicroατος είναι ευσταθές Επαληθεύστε ποιοτικά την απάντησή σας χρησιmicroοποιώνταςτη microέθοδο του τόπου των ϱιζών

R(s)+ -

kY(s)

s+1s3

s+1s+10

29

ΛΥΣΕΙΣ

1η ΟΜΑ∆Α

Λύση 12

(α) ῾῾Προσεγγιστική᾿᾿ τοποθέτηση καmicroπίνας

K ινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα θέση

καmicroπίνας

∆ιακόπτης(Κατευθυντής

τύπουΑνοικτόΚλειστό

ΤΕΛΙΚΟΣΤΟΙΧΕΙΟΕΛΕΓΧΟΥ

ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

Στη περίπτωση αυτή η ϑέση της καmicroπίνας umlmicroετράταιuml διακριτά microέσω microοχλών τοποθετη-microένων σε κάθε όροφο Ο microοχλός αυτός δρα σαν κατευθυντής ανοικτούκλειστού τύπου(κλειστός όταν η καmicroπίνα δεν είναι στο επίπεδο ορόφου ανοικτός όταν είναι)

(ϐ) Ακριβής τοποθέτηση καmicroπίνας

Ενισχυτής Κινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα

Αισθητήριοθέσης

αναφοράςθέση

ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΤΕΛΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑΕΛΕΓΧΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

θέση καmicroπίνας

Η ακριβής ϑέση της καmicroπίνας microπορεί να microετράται microε διάφορους τρόπους Ενας απλόςέmicromicroεσος τρόπος είναι microε microέτρηση του συρmicroατόσχοινου

30

Λύση 15

Πρόγραmicromicroακαθοδήγησης DA Eνισχυτής Κινητήρας Φορτίο

Ταχύmicroετρο

Αισθητήριοθέσης

(Encoder)

HY

+

-

τάση υ1

τάση υ 2

ΤΕΛΣΤΟΙΧΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ

Σχήmicroα 1 ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού Βρόχου

DA Μετατροπέας ψηφιακού σήmicroατος σε αναλογικόΣηmicro Ο ενισχυτής εκτελεί ουσιαστικά σύγκριση των τάσεων U1και U2 και ενισχύει τη

διαφορά τους U1 minus U2

2η ΟΜΑ∆Α

Λύση 26

Ισοδύναmicroο σύστηmicroα χωρίς γρανάζια microε αναγωγή στον δεξιό άξονα

k2 c 2T θΙ

k1 11

θ12

c1I12 =0I I32

θ 2 θ3

όπου T prime = N middot T I prime1 = I1N2

θprime1 = θ1Nkprime1 = k1N

2

Είναι ϕανερό ότι η γωνιακή microετατόπιση σηmicroείου microεταξύ του ελατηρίου kprime1 και του α-ποσβεστήρα c1 δεν περιγράφεται συναρτήσει των υπολοίπων ορισmicroένων microετατοπίσεων καιπρέπει να ορισθεί ανεξάρτητα Εστω ότι η microετατόπιση αυτή καλείται θ12 (ϐλδιάγραmicromicroα)Για την κατάστρωση των εξισώσεων κίνησης υποθέτω ότι στο σηmicroείο αυτό ευρίσκεταιαδράνεια microηδενικού microέτρου (I12 = 0 ) (ϐλ διάγραmicromicroα)

Υπόθεση θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0

θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0

31

∆ιαγράmicromicroατα ελευθέρου σώmicroατος

I1θ1Τ

Ι =012

Με εφαρmicroογή του νόmicroου του Νεύτωνα

I prime1 middot θprime1 = T prime minus kprime1(θprime1 minus θ12)

I12 middot θ12 = 0 = kprime1(θprime1 minus θ12)minus c1(θ12 minus θ2)

I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)

I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3

και η τελική microορφή των εξισώσεων προκύπτει microετά από αντικατάσταση των T prime θprime1 kprime1

32

I1 middotN2 1N

θ1 = N middot T minus k1N2(

θ1

Nminus θ12

) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)

0 = k1N2(

θ1

Nminus θ12

)minus c1

(˙θ12 minus θ2

)

I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)

I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3

Εξισώσεις κίνησης

Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31

2ϐα-

ϑmicroών ελευθερίας

Λύση 27

+-υ

R L

i+-

υb

Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr

rArr υ = iR + Ldi

dt+ Kb middot ω (1)

I 1

T θ 1

Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0

θ1 gt θ2 gt 0

Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr

rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)

33

Cθ2

θ2I2

k(θ -θ )1 2

Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr

rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)

Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι

34

3η ΟΜΑ∆Α

Λύση 33

Εξισώσεις διατήρησης microάζας

dm1

dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)

dm2

dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)

οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2

αντίστοιχα

Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1

gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2

Επίσης m1 = A1h1

m2 = A2h2

Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g

R1h1

A2h2 = gR1

h1 + qm2 minus gR2

h2

∣∣∣∣∣∣

(1α)

(2α)

Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής

ddt

[h1

h2

]=

[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2

] [h1

h2

]+

[1A1 00 1A1

] [qm1

qm2

]

[h1

h2

]=

[1 00 1

] [h1

h2

]

35

Λύση 36

qh1

qhC2T2

i i

C1T1θερmicroική αντίσταση R2

θερmicroική αντίσταση R1

T3

Υπόθεση T2 T1 T3

qh2

R

Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε

Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα

Θερmicroοχωρητικότητα C1 d

dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)

Θερmicroοχωρητικότητα C2 d

dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)

Επιπρόσθετα

qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)

qh1 =T1 minus T3

R1

Θερmicroική αντίσταση R1 (4)

qh2 =T2 minus T1

R2

Θερmicroική αντίσταση R2 (5)

Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)

c1 middot dT1

dt= T2minusT1

R2minus T1minusT3

R1

c2 middot dT2

dt= i2 middotRminus T2minusT1

R2

∣∣∣∣∣∣

είσοδοι T3 i (6)

έξοδοι T1 T2 (7)

36

4η ΟΜΑ∆Α

Λύση 43

Μαθηmicroατικό microοντέλο

Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)

Εξαναγκασmicroένη απόκριση

Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)

χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3

Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e

minus3t (t ge 0)

microεh(0) = 0

h(0) = 1

rArr c1 + c2 = 0

minusc1 minus 3c2 = 1

rArr c1 = 12

c2 = minus12

άρα

h(t) =1

2eminust minus 1

2eminus3t (t ge 0) (2)

Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =

int t

0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =

int t

012

(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)

) middot (1 + τ) middot dτ

= 12eminust

int t

0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1

2eminus3t

int t

0e3τ (1 + τ) middot dτ

= 12eminust

[τ middot eτ

]t

τ=0minus 1

2eminus3t

[13e3τ (1 + τ)minus 1

9e3τ

]t

τ=0

= 12eminustt middot et minus 1

6eminus3t

[e3t(1 + t)minus 1

]+ 1

18eminus3t middot

[e3t minus 1

]

= 12tminus 1

6(1 + t) + 1

6eminus3t + 1

18minus 1

18eminus3t =

22

Θεωρείστε τον κλίβανο του σχήmicroατος ο οποίος ϑερmicroαίνεται από ϑερmicroαντικό στοιχείοmicroε ηλεκτρική αντίσταση R Το ϑερmicroαντικό αυτό στοιχείο έχει ϑερmicroοχωρητικότητα C1 καιϑερmicroοκρασία T1 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ του ϑερmicroαντικού στοιχείου και του αέρατου κλιβάνου παριστάνεται σαν R1 Επίσης η ϑερmicroοχωρητικότητα του αέρα του κλιβάνουπαριστάνεται σαν C2 και η ϑερmicroοκρασία του σαν T2 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ τουκλιβάνου και της ατmicroόσφαιρας είναι R2 ενώ η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος To Οιτιmicroές των σταθερών του συστήmicroατος είναι R = 1(kΩ) R1 = R2 = 1(KsecJoule) C1 =C2 = 100(JouleK)

Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου για τον έλεγχο της ϑερmicroοκρασί-ας T2 του αέρα του κλιβάνου χειριζόmicroενοι κατάλληλα το ηλεκτρικό ϱεύmicroα i πού οδηγείταιστην αντίσταση R Οι προδιαγραφές για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου έχουν ως εξής

(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 001(K)

(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 οφειλόmicroενο σε είσοδο T0 microοναδιαίας ϐαθmicroίδαςmicroικρότερο από 001(Κ)

(iii) Μέγιστη υπερακόντιση σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερη απο10

(iv) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 20(secs)

(v) Ευαισθησία του σφάλmicroατος microόνιmicroης κατάστασης της T2 (οφειλόmicroενο σε είσοδο αναφοράςmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ως προς την ϑερmicroοχωρητικότητα C2 microικρότερη από 01

Απαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις

(α) Αναπτύξτε το δυναmicroικό microοντέλο της εγκατάστασης συmicroπεριλαmicroβανοmicroένης και της η-λεκτρικής αντίστασης

(ϐ) Σχεδιάστε ένα δοmicroικό διάγραmicromicroα της εγκατάστασης κατάλληλο για την επίτευξη τωνπροδιαγραφών του συστήmicroατος ελέγχου Υπολογίστε τις χρονικές σταθερές της εγκατάσ-τασης

(γ) ΄Ελεγχος δύο ϑέσεων microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (ϑερmicroοκρασία Τ2)

Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου δύο ϑέσεων (two-position control)κατάλληλο για τηδιατήρηση της ϑερmicroοκρασίας T2 σταθερής Χρησιmicroοποιείστε microόνον έναν ϑερmicroοκρασιακόmicroετρητή (για τη microέτρηση της T2)

(δ) ΄Ελεγχος τύπου PID microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (Θερmicroοκρασία T2)

(δ1) Επιλέξτε τον απλούστερο δυνατό κατευθυντή (τύπου (PID) που είναι ικανός για τηνεπίτευξη των προδιαγραφών (i) και (ii)

(δ2) Μπορεί ο κατευθυντής που επιλέξατε στο προηγούmicroενο ερώτηmicroα να ικανοποιήση καιτις προδιαγραφές (iii)(iv) και (v)

(δ3) Υποθέστε τώρα ότι ο ϑερmicroοκρασιακός microετρητής δεν είναι ιδεατός αλλά χαρακτηρίζεταιαπό microία χρονική σταθερά 1(sec) και κέρδος DC (κέρδος microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδοmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ίσο microε 1 Εξετάστε εάν το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στηνερώτηση (δ1) microπορεί ακόmicroη να ικανοποιήση τις προδιαγραφές (i) και (ii)

23

(ε) Ελεγχος τύπου PID microε δύο ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T2)

Πώς ϑα microπορούσε το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάστηκε στο ερώτηmicroα (δ1) να ϐελτιωθήεάν είναι διαθέσιmicroοι δύο ιδεατοί ϑερmicroοκρασιακοί microετρητές για microέτρηση της T2 και της T0

Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του ϐελτιωmicroένου αυτού συστήmicroατος ελέγχου

(στ) Ελεγχος microε τρεις ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T1 T2)

Τώρα υποθέστε ότι τρεις ιδεατοί microετρητές είναι διαθέσιmicroοι για την microέτρηση των ϑερmicroοκρασιώνT0 T1 T2 και ότι τα κέρδη τους είναι microεταβλητά και microπορούν να επιλεγουν αυθαίρετα

(στ1) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου ικανό να εξαλείψη τελείως την επίδραση της ϑερmicroοκρασί-ας περιβάλλοντος T0 και ταυτόχρονα να παρουσιάζη πεπερασmicroένο σφάλmicroα microόνιmicroηςκατάστασης στην T2 για συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς Τιπλεονέκτηmicroα παρουσιάζει η επιπρόσθετη δυνατότητα microέτρησης της ϑερmicroοκρασίαςT1

(στ2) Υποδείξτε πως microπορεί να microεταβληθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο ερώτη-microα (στ1) ούτως ώστε το σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης στην T2 οφειλόmicroενο σε συνάρτησηmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς να microηδενισθή

(Ϲ) Προσοmicroοίωση σε ΗΥ

Χρησιmicroοποιείστε ένα κατάλληλο λογισmicroικό πακέτο (MATLABMATRIXx ή οποιοδήπότεάλλο) για την προσοmicroοίωση της εγκατάστασης και των διαφόρων συστηmicroάτων αυτοmicroάτουελέγχου που σχεδιάσατε

Χρησιmicroοποείστε ως εισόδουςδιαταραχή συναρτήσεις ϐαθmicroίδας αλλά και άλλες συναρτή-σεις (πχ αναρρίχησης κάποιας microορφής περιοδική συνάρτηση για την ϑερmicroοκρασία T0)και επαληθεύστε τα κατά περίπτωση αποτελέσmicroατά σας

Σχολιάστε την αρχική δυναmicroική συmicroπεριφορά της εγκατάστασης και το πως ϐελτιώνεταιmicroε τα διάφορα συστήmicroατα ελέγχου Εκτυπώστε γραφικές παραστάσεις των αποκρίσεων πουυπολογίσατε microε την ϐοήθεια του ΗΥ

24

9η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 91 Χάραξη Τόπου των Ριζών

Θεωρείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου του σχήmicroατος και χαράξτε τον τόπο των ϱιζώνγια τις παρακάτω περιπτώσεις

(α) G(s) = 10s(s2 + 3s + 9)2

(β) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 100)

(γ) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 225)

(δ) G(s) = (s2 + 225)s(s2 + 1)

R +-

K G(s)y

΄Ασκηση 92 Τόπος των Ριζών σε Σύστηmicroα Ελέγχου microε Ανάδραση των Μεταβλητών

Κατάστασης

Θεωρείστε το παρακάτω υδραυλικό σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου στόχος του οποίου είναιο έλεγχος της στάθmicroης h3 του ϱευστού που συγκεντρώνεται στη τρίτη δεξαmicroενή Για τηνεπίτευξη του στόχου αυτού χρησιmicroοποιείται ανάδραση των παροχών microάζας qm2 και qm3καθώς και της στάθmicroης h3 Τα κέρδη των αντίστοιχων microετρητών είναι 1 κ και 1 Η χρονικήσταθερά της πρώτης δεξαmicroενής δίνεται ίση microε 5 (secs) της δεύτερης 7 (secs)ενώ το εmicroβαδότου πυθmicroένα της τρίτης είναι 5(m2) και η πυκνότητα του ϱευστού 1000(kgm3)

(α) Χαράξτε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου

(ϐ) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου καθώς το κέρδος κ τουδεύτερου microετρητή microεταβάλλεται

25

ρh3

h 3r

qm1

qm2

R2qm3

qm2

kqm3

ρ

ρ

g

h3

KATTH Σ

΄Ασκηση 93 Σχεδιασmicroός Σερβοmicroηχανισmicroού

Θεωρείστε το σύστηmicroα του παρακάτω σχήmicroατος Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένασύστηmicroα ελέγχου της microετατόπισης Θ χρησιmicroοποιώντας microέτρηση του Θ και (ιδεατό) κιν-ητήρα συνεχούς ϱεύmicroατος ο οποίος ϑα ασκεί ϱοπή Τ στην αδράνεια Ι Οι προδιαγραφέςσχεδιασmicroού για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου είναι

(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδο microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερο από 01(rads)κατ΄ απόλυτον τιmicroή

(ii) Χρονικές σταθερές microικρότερες του 1(sec)

(iii) Λόγος απόσβεσης microεγαλύτερος ή ίσος του 0707

(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου

(ϐ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί την προδια-γραφή (i) Εν συνεχεία υπολογίστε την χρονική σταθερά και τον λόγο απόσβεσης τουσυστήmicroατος που σχεδιάσατε και συγκρίνετέ τα microε τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάσ-τασης Τι παρατηρείτε

(γ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές(i) και(ii) Εν συνεχεία υπολογίστε τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος που σχεδιάσατε

(δ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές (i)και (iii) Εν συνεχεία υπολογίστε τις χρονικές σταθερές του συστήmicroατος που σχεδιάσατε

26

υ ΙT

θ

K

΄Ασκηση 94 Τόπος των Ριζών για Σύστηmicroα Κλειστού Βρόχου microε Κατευθυντή ΠΦ

Για παρακάτω σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου(α) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών ως προς το αναλογικό κέρδος k(ϐ) Είναι δυνατόν να επιλεγή το κέρδος k ούτως ώστε ο λόγος απόσβεσης να είναι 06 Ποια είναι η απαιτούmicroενη προς τον σκοπό τούτο τιmicroή του k

Y(s)R(s) +-

s+1s+10k s +121

s (s +100)2

2KATTH Σ ΠΦ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

2

΄Ασκηση 95 Χρήση του Τόπου των Ριζών στον Σχεδιασmicroό Κατευθυντή

σε Παράλληλη ∆ιάταξη

Θεωρείστε το απλουστευmicroένο πρόβληmicroα ελέγχου προσανατολισmicroού πυραύλου κατά τηνεκτόξευση Ενδιαφερόmicroαστε συγκεκριmicroένα να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρό-χου το οποίο ϑα χρησιmicroοποιεί microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ και ϑα ασκή ϱοπήΤ(ως προς το κέντρο microάζας microέσω πλευρικών κινητήρων) για τον έλεγχό της Το σύστηmicroαϑα είναι παράλληλης διάταξης microε κατευθυντή ΥΦ ΠΦ ή και συνδυασmicroό των δύο και microεπροδιαγραφές

(i) Φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση ίση microε 5 (radssec)(ii) Λόγος απόσβεσης 0707(iii) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 05 (sec)

(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου(ϐ) Ποιον από τους προαναφερθέντες τύπους κατευθυντή ϑα επιλέγατε στην περίπτωση

αυτή και γιατί (απαντείστε χωρίς να κάνετε υπολογισmicroούς)(γ) Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών για τον σχεδιασmicroό του συστήmicroατος

κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε να ικανοποιούνται ει δυνατόν οι προδιαγραφές (i) και (ii)(δ) Ικανοποιεί την προδιαγραφή (iii) το σύστηmicroα που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη

27

ερώτηση

(ε) Υποθέστε τώρα ότι η microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ δεν είναι ιδεατή αλλάγίνεται microέσω συσκευής microε χρονική σταθερά 01(sec) Πώς ϑα πρέπει να microεταβληθή ο κα-τευθυντής που σχεδιάσατε προκειmicroένου να εξακολουθήση να ικανοποιή τις προδιαγραφές(i) και (ii)

Είναι δυνατόν να ικανοποιείται και η (iii) (Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών)

TKέντρο microάζας

πλευρικοίκινητήρες

Θ

28

10η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 101

Χαράξτε τα διαγράmicromicroατα Bode των παρακάτω συναρτήσεων microεταφοράς (α) G(s) = (002s + 1)3(10s + 1)(ϐ) G(s) = 10s(s + 10)(s + 100)(γ) G(s) = 4s(s2 + 10s + 100)(δ) G(s) = s2(s + 05)(s + 02)(s2 + s + 100)

΄Ασκηση 102

Χρησιmicroοποιείστε το κατάλληλο διάγραmicromicroα Bode για τον προσεγγιστικό υπολογισmicroό τωντιmicroών κέρδους κ του αναλογικού κατευθυντή για τις οποίες το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχουτου σχήmicroατος είναι ευσταθές Επαληθεύστε ποιοτικά την απάντησή σας χρησιmicroοποιώνταςτη microέθοδο του τόπου των ϱιζών

R(s)+ -

kY(s)

s+1s3

s+1s+10

29

ΛΥΣΕΙΣ

1η ΟΜΑ∆Α

Λύση 12

(α) ῾῾Προσεγγιστική᾿᾿ τοποθέτηση καmicroπίνας

K ινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα θέση

καmicroπίνας

∆ιακόπτης(Κατευθυντής

τύπουΑνοικτόΚλειστό

ΤΕΛΙΚΟΣΤΟΙΧΕΙΟΕΛΕΓΧΟΥ

ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

Στη περίπτωση αυτή η ϑέση της καmicroπίνας umlmicroετράταιuml διακριτά microέσω microοχλών τοποθετη-microένων σε κάθε όροφο Ο microοχλός αυτός δρα σαν κατευθυντής ανοικτούκλειστού τύπου(κλειστός όταν η καmicroπίνα δεν είναι στο επίπεδο ορόφου ανοικτός όταν είναι)

(ϐ) Ακριβής τοποθέτηση καmicroπίνας

Ενισχυτής Κινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα

Αισθητήριοθέσης

αναφοράςθέση

ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΤΕΛΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑΕΛΕΓΧΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

θέση καmicroπίνας

Η ακριβής ϑέση της καmicroπίνας microπορεί να microετράται microε διάφορους τρόπους Ενας απλόςέmicromicroεσος τρόπος είναι microε microέτρηση του συρmicroατόσχοινου

30

Λύση 15

Πρόγραmicromicroακαθοδήγησης DA Eνισχυτής Κινητήρας Φορτίο

Ταχύmicroετρο

Αισθητήριοθέσης

(Encoder)

HY

+

-

τάση υ1

τάση υ 2

ΤΕΛΣΤΟΙΧΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ

Σχήmicroα 1 ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού Βρόχου

DA Μετατροπέας ψηφιακού σήmicroατος σε αναλογικόΣηmicro Ο ενισχυτής εκτελεί ουσιαστικά σύγκριση των τάσεων U1και U2 και ενισχύει τη

διαφορά τους U1 minus U2

2η ΟΜΑ∆Α

Λύση 26

Ισοδύναmicroο σύστηmicroα χωρίς γρανάζια microε αναγωγή στον δεξιό άξονα

k2 c 2T θΙ

k1 11

θ12

c1I12 =0I I32

θ 2 θ3

όπου T prime = N middot T I prime1 = I1N2

θprime1 = θ1Nkprime1 = k1N

2

Είναι ϕανερό ότι η γωνιακή microετατόπιση σηmicroείου microεταξύ του ελατηρίου kprime1 και του α-ποσβεστήρα c1 δεν περιγράφεται συναρτήσει των υπολοίπων ορισmicroένων microετατοπίσεων καιπρέπει να ορισθεί ανεξάρτητα Εστω ότι η microετατόπιση αυτή καλείται θ12 (ϐλδιάγραmicromicroα)Για την κατάστρωση των εξισώσεων κίνησης υποθέτω ότι στο σηmicroείο αυτό ευρίσκεταιαδράνεια microηδενικού microέτρου (I12 = 0 ) (ϐλ διάγραmicromicroα)

Υπόθεση θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0

θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0

31

∆ιαγράmicromicroατα ελευθέρου σώmicroατος

I1θ1Τ

Ι =012

Με εφαρmicroογή του νόmicroου του Νεύτωνα

I prime1 middot θprime1 = T prime minus kprime1(θprime1 minus θ12)

I12 middot θ12 = 0 = kprime1(θprime1 minus θ12)minus c1(θ12 minus θ2)

I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)

I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3

και η τελική microορφή των εξισώσεων προκύπτει microετά από αντικατάσταση των T prime θprime1 kprime1

32

I1 middotN2 1N

θ1 = N middot T minus k1N2(

θ1

Nminus θ12

) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)

0 = k1N2(

θ1

Nminus θ12

)minus c1

(˙θ12 minus θ2

)

I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)

I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3

Εξισώσεις κίνησης

Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31

2ϐα-

ϑmicroών ελευθερίας

Λύση 27

+-υ

R L

i+-

υb

Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr

rArr υ = iR + Ldi

dt+ Kb middot ω (1)

I 1

T θ 1

Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0

θ1 gt θ2 gt 0

Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr

rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)

33

Cθ2

θ2I2

k(θ -θ )1 2

Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr

rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)

Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι

34

3η ΟΜΑ∆Α

Λύση 33

Εξισώσεις διατήρησης microάζας

dm1

dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)

dm2

dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)

οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2

αντίστοιχα

Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1

gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2

Επίσης m1 = A1h1

m2 = A2h2

Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g

R1h1

A2h2 = gR1

h1 + qm2 minus gR2

h2

∣∣∣∣∣∣

(1α)

(2α)

Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής

ddt

[h1

h2

]=

[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2

] [h1

h2

]+

[1A1 00 1A1

] [qm1

qm2

]

[h1

h2

]=

[1 00 1

] [h1

h2

]

35

Λύση 36

qh1

qhC2T2

i i

C1T1θερmicroική αντίσταση R2

θερmicroική αντίσταση R1

T3

Υπόθεση T2 T1 T3

qh2

R

Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε

Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα

Θερmicroοχωρητικότητα C1 d

dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)

Θερmicroοχωρητικότητα C2 d

dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)

Επιπρόσθετα

qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)

qh1 =T1 minus T3

R1

Θερmicroική αντίσταση R1 (4)

qh2 =T2 minus T1

R2

Θερmicroική αντίσταση R2 (5)

Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)

c1 middot dT1

dt= T2minusT1

R2minus T1minusT3

R1

c2 middot dT2

dt= i2 middotRminus T2minusT1

R2

∣∣∣∣∣∣

είσοδοι T3 i (6)

έξοδοι T1 T2 (7)

36

4η ΟΜΑ∆Α

Λύση 43

Μαθηmicroατικό microοντέλο

Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)

Εξαναγκασmicroένη απόκριση

Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)

χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3

Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e

minus3t (t ge 0)

microεh(0) = 0

h(0) = 1

rArr c1 + c2 = 0

minusc1 minus 3c2 = 1

rArr c1 = 12

c2 = minus12

άρα

h(t) =1

2eminust minus 1

2eminus3t (t ge 0) (2)

Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =

int t

0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =

int t

012

(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)

) middot (1 + τ) middot dτ

= 12eminust

int t

0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1

2eminus3t

int t

0e3τ (1 + τ) middot dτ

= 12eminust

[τ middot eτ

]t

τ=0minus 1

2eminus3t

[13e3τ (1 + τ)minus 1

9e3τ

]t

τ=0

= 12eminustt middot et minus 1

6eminus3t

[e3t(1 + t)minus 1

]+ 1

18eminus3t middot

[e3t minus 1

]

= 12tminus 1

6(1 + t) + 1

6eminus3t + 1

18minus 1

18eminus3t =

23

(ε) Ελεγχος τύπου PID microε δύο ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T2)

Πώς ϑα microπορούσε το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάστηκε στο ερώτηmicroα (δ1) να ϐελτιωθήεάν είναι διαθέσιmicroοι δύο ιδεατοί ϑερmicroοκρασιακοί microετρητές για microέτρηση της T2 και της T0

Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του ϐελτιωmicroένου αυτού συστήmicroατος ελέγχου

(στ) Ελεγχος microε τρεις ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T1 T2)

Τώρα υποθέστε ότι τρεις ιδεατοί microετρητές είναι διαθέσιmicroοι για την microέτρηση των ϑερmicroοκρασιώνT0 T1 T2 και ότι τα κέρδη τους είναι microεταβλητά και microπορούν να επιλεγουν αυθαίρετα

(στ1) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου ικανό να εξαλείψη τελείως την επίδραση της ϑερmicroοκρασί-ας περιβάλλοντος T0 και ταυτόχρονα να παρουσιάζη πεπερασmicroένο σφάλmicroα microόνιmicroηςκατάστασης στην T2 για συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς Τιπλεονέκτηmicroα παρουσιάζει η επιπρόσθετη δυνατότητα microέτρησης της ϑερmicroοκρασίαςT1

(στ2) Υποδείξτε πως microπορεί να microεταβληθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο ερώτη-microα (στ1) ούτως ώστε το σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης στην T2 οφειλόmicroενο σε συνάρτησηmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς να microηδενισθή

(Ϲ) Προσοmicroοίωση σε ΗΥ

Χρησιmicroοποιείστε ένα κατάλληλο λογισmicroικό πακέτο (MATLABMATRIXx ή οποιοδήπότεάλλο) για την προσοmicroοίωση της εγκατάστασης και των διαφόρων συστηmicroάτων αυτοmicroάτουελέγχου που σχεδιάσατε

Χρησιmicroοποείστε ως εισόδουςδιαταραχή συναρτήσεις ϐαθmicroίδας αλλά και άλλες συναρτή-σεις (πχ αναρρίχησης κάποιας microορφής περιοδική συνάρτηση για την ϑερmicroοκρασία T0)και επαληθεύστε τα κατά περίπτωση αποτελέσmicroατά σας

Σχολιάστε την αρχική δυναmicroική συmicroπεριφορά της εγκατάστασης και το πως ϐελτιώνεταιmicroε τα διάφορα συστήmicroατα ελέγχου Εκτυπώστε γραφικές παραστάσεις των αποκρίσεων πουυπολογίσατε microε την ϐοήθεια του ΗΥ

24

9η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 91 Χάραξη Τόπου των Ριζών

Θεωρείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου του σχήmicroατος και χαράξτε τον τόπο των ϱιζώνγια τις παρακάτω περιπτώσεις

(α) G(s) = 10s(s2 + 3s + 9)2

(β) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 100)

(γ) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 225)

(δ) G(s) = (s2 + 225)s(s2 + 1)

R +-

K G(s)y

΄Ασκηση 92 Τόπος των Ριζών σε Σύστηmicroα Ελέγχου microε Ανάδραση των Μεταβλητών

Κατάστασης

Θεωρείστε το παρακάτω υδραυλικό σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου στόχος του οποίου είναιο έλεγχος της στάθmicroης h3 του ϱευστού που συγκεντρώνεται στη τρίτη δεξαmicroενή Για τηνεπίτευξη του στόχου αυτού χρησιmicroοποιείται ανάδραση των παροχών microάζας qm2 και qm3καθώς και της στάθmicroης h3 Τα κέρδη των αντίστοιχων microετρητών είναι 1 κ και 1 Η χρονικήσταθερά της πρώτης δεξαmicroενής δίνεται ίση microε 5 (secs) της δεύτερης 7 (secs)ενώ το εmicroβαδότου πυθmicroένα της τρίτης είναι 5(m2) και η πυκνότητα του ϱευστού 1000(kgm3)

(α) Χαράξτε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου

(ϐ) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου καθώς το κέρδος κ τουδεύτερου microετρητή microεταβάλλεται

25

ρh3

h 3r

qm1

qm2

R2qm3

qm2

kqm3

ρ

ρ

g

h3

KATTH Σ

΄Ασκηση 93 Σχεδιασmicroός Σερβοmicroηχανισmicroού

Θεωρείστε το σύστηmicroα του παρακάτω σχήmicroατος Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένασύστηmicroα ελέγχου της microετατόπισης Θ χρησιmicroοποιώντας microέτρηση του Θ και (ιδεατό) κιν-ητήρα συνεχούς ϱεύmicroατος ο οποίος ϑα ασκεί ϱοπή Τ στην αδράνεια Ι Οι προδιαγραφέςσχεδιασmicroού για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου είναι

(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδο microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερο από 01(rads)κατ΄ απόλυτον τιmicroή

(ii) Χρονικές σταθερές microικρότερες του 1(sec)

(iii) Λόγος απόσβεσης microεγαλύτερος ή ίσος του 0707

(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου

(ϐ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί την προδια-γραφή (i) Εν συνεχεία υπολογίστε την χρονική σταθερά και τον λόγο απόσβεσης τουσυστήmicroατος που σχεδιάσατε και συγκρίνετέ τα microε τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάσ-τασης Τι παρατηρείτε

(γ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές(i) και(ii) Εν συνεχεία υπολογίστε τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος που σχεδιάσατε

(δ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές (i)και (iii) Εν συνεχεία υπολογίστε τις χρονικές σταθερές του συστήmicroατος που σχεδιάσατε

26

υ ΙT

θ

K

΄Ασκηση 94 Τόπος των Ριζών για Σύστηmicroα Κλειστού Βρόχου microε Κατευθυντή ΠΦ

Για παρακάτω σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου(α) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών ως προς το αναλογικό κέρδος k(ϐ) Είναι δυνατόν να επιλεγή το κέρδος k ούτως ώστε ο λόγος απόσβεσης να είναι 06 Ποια είναι η απαιτούmicroενη προς τον σκοπό τούτο τιmicroή του k

Y(s)R(s) +-

s+1s+10k s +121

s (s +100)2

2KATTH Σ ΠΦ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

2

΄Ασκηση 95 Χρήση του Τόπου των Ριζών στον Σχεδιασmicroό Κατευθυντή

σε Παράλληλη ∆ιάταξη

Θεωρείστε το απλουστευmicroένο πρόβληmicroα ελέγχου προσανατολισmicroού πυραύλου κατά τηνεκτόξευση Ενδιαφερόmicroαστε συγκεκριmicroένα να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρό-χου το οποίο ϑα χρησιmicroοποιεί microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ και ϑα ασκή ϱοπήΤ(ως προς το κέντρο microάζας microέσω πλευρικών κινητήρων) για τον έλεγχό της Το σύστηmicroαϑα είναι παράλληλης διάταξης microε κατευθυντή ΥΦ ΠΦ ή και συνδυασmicroό των δύο και microεπροδιαγραφές

(i) Φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση ίση microε 5 (radssec)(ii) Λόγος απόσβεσης 0707(iii) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 05 (sec)

(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου(ϐ) Ποιον από τους προαναφερθέντες τύπους κατευθυντή ϑα επιλέγατε στην περίπτωση

αυτή και γιατί (απαντείστε χωρίς να κάνετε υπολογισmicroούς)(γ) Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών για τον σχεδιασmicroό του συστήmicroατος

κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε να ικανοποιούνται ει δυνατόν οι προδιαγραφές (i) και (ii)(δ) Ικανοποιεί την προδιαγραφή (iii) το σύστηmicroα που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη

27

ερώτηση

(ε) Υποθέστε τώρα ότι η microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ δεν είναι ιδεατή αλλάγίνεται microέσω συσκευής microε χρονική σταθερά 01(sec) Πώς ϑα πρέπει να microεταβληθή ο κα-τευθυντής που σχεδιάσατε προκειmicroένου να εξακολουθήση να ικανοποιή τις προδιαγραφές(i) και (ii)

Είναι δυνατόν να ικανοποιείται και η (iii) (Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών)

TKέντρο microάζας

πλευρικοίκινητήρες

Θ

28

10η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 101

Χαράξτε τα διαγράmicromicroατα Bode των παρακάτω συναρτήσεων microεταφοράς (α) G(s) = (002s + 1)3(10s + 1)(ϐ) G(s) = 10s(s + 10)(s + 100)(γ) G(s) = 4s(s2 + 10s + 100)(δ) G(s) = s2(s + 05)(s + 02)(s2 + s + 100)

΄Ασκηση 102

Χρησιmicroοποιείστε το κατάλληλο διάγραmicromicroα Bode για τον προσεγγιστικό υπολογισmicroό τωντιmicroών κέρδους κ του αναλογικού κατευθυντή για τις οποίες το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχουτου σχήmicroατος είναι ευσταθές Επαληθεύστε ποιοτικά την απάντησή σας χρησιmicroοποιώνταςτη microέθοδο του τόπου των ϱιζών

R(s)+ -

kY(s)

s+1s3

s+1s+10

29

ΛΥΣΕΙΣ

1η ΟΜΑ∆Α

Λύση 12

(α) ῾῾Προσεγγιστική᾿᾿ τοποθέτηση καmicroπίνας

K ινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα θέση

καmicroπίνας

∆ιακόπτης(Κατευθυντής

τύπουΑνοικτόΚλειστό

ΤΕΛΙΚΟΣΤΟΙΧΕΙΟΕΛΕΓΧΟΥ

ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

Στη περίπτωση αυτή η ϑέση της καmicroπίνας umlmicroετράταιuml διακριτά microέσω microοχλών τοποθετη-microένων σε κάθε όροφο Ο microοχλός αυτός δρα σαν κατευθυντής ανοικτούκλειστού τύπου(κλειστός όταν η καmicroπίνα δεν είναι στο επίπεδο ορόφου ανοικτός όταν είναι)

(ϐ) Ακριβής τοποθέτηση καmicroπίνας

Ενισχυτής Κινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα

Αισθητήριοθέσης

αναφοράςθέση

ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΤΕΛΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑΕΛΕΓΧΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

θέση καmicroπίνας

Η ακριβής ϑέση της καmicroπίνας microπορεί να microετράται microε διάφορους τρόπους Ενας απλόςέmicromicroεσος τρόπος είναι microε microέτρηση του συρmicroατόσχοινου

30

Λύση 15

Πρόγραmicromicroακαθοδήγησης DA Eνισχυτής Κινητήρας Φορτίο

Ταχύmicroετρο

Αισθητήριοθέσης

(Encoder)

HY

+

-

τάση υ1

τάση υ 2

ΤΕΛΣΤΟΙΧΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ

Σχήmicroα 1 ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού Βρόχου

DA Μετατροπέας ψηφιακού σήmicroατος σε αναλογικόΣηmicro Ο ενισχυτής εκτελεί ουσιαστικά σύγκριση των τάσεων U1και U2 και ενισχύει τη

διαφορά τους U1 minus U2

2η ΟΜΑ∆Α

Λύση 26

Ισοδύναmicroο σύστηmicroα χωρίς γρανάζια microε αναγωγή στον δεξιό άξονα

k2 c 2T θΙ

k1 11

θ12

c1I12 =0I I32

θ 2 θ3

όπου T prime = N middot T I prime1 = I1N2

θprime1 = θ1Nkprime1 = k1N

2

Είναι ϕανερό ότι η γωνιακή microετατόπιση σηmicroείου microεταξύ του ελατηρίου kprime1 και του α-ποσβεστήρα c1 δεν περιγράφεται συναρτήσει των υπολοίπων ορισmicroένων microετατοπίσεων καιπρέπει να ορισθεί ανεξάρτητα Εστω ότι η microετατόπιση αυτή καλείται θ12 (ϐλδιάγραmicromicroα)Για την κατάστρωση των εξισώσεων κίνησης υποθέτω ότι στο σηmicroείο αυτό ευρίσκεταιαδράνεια microηδενικού microέτρου (I12 = 0 ) (ϐλ διάγραmicromicroα)

Υπόθεση θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0

θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0

31

∆ιαγράmicromicroατα ελευθέρου σώmicroατος

I1θ1Τ

Ι =012

Με εφαρmicroογή του νόmicroου του Νεύτωνα

I prime1 middot θprime1 = T prime minus kprime1(θprime1 minus θ12)

I12 middot θ12 = 0 = kprime1(θprime1 minus θ12)minus c1(θ12 minus θ2)

I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)

I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3

και η τελική microορφή των εξισώσεων προκύπτει microετά από αντικατάσταση των T prime θprime1 kprime1

32

I1 middotN2 1N

θ1 = N middot T minus k1N2(

θ1

Nminus θ12

) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)

0 = k1N2(

θ1

Nminus θ12

)minus c1

(˙θ12 minus θ2

)

I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)

I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3

Εξισώσεις κίνησης

Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31

2ϐα-

ϑmicroών ελευθερίας

Λύση 27

+-υ

R L

i+-

υb

Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr

rArr υ = iR + Ldi

dt+ Kb middot ω (1)

I 1

T θ 1

Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0

θ1 gt θ2 gt 0

Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr

rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)

33

Cθ2

θ2I2

k(θ -θ )1 2

Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr

rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)

Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι

34

3η ΟΜΑ∆Α

Λύση 33

Εξισώσεις διατήρησης microάζας

dm1

dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)

dm2

dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)

οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2

αντίστοιχα

Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1

gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2

Επίσης m1 = A1h1

m2 = A2h2

Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g

R1h1

A2h2 = gR1

h1 + qm2 minus gR2

h2

∣∣∣∣∣∣

(1α)

(2α)

Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής

ddt

[h1

h2

]=

[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2

] [h1

h2

]+

[1A1 00 1A1

] [qm1

qm2

]

[h1

h2

]=

[1 00 1

] [h1

h2

]

35

Λύση 36

qh1

qhC2T2

i i

C1T1θερmicroική αντίσταση R2

θερmicroική αντίσταση R1

T3

Υπόθεση T2 T1 T3

qh2

R

Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε

Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα

Θερmicroοχωρητικότητα C1 d

dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)

Θερmicroοχωρητικότητα C2 d

dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)

Επιπρόσθετα

qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)

qh1 =T1 minus T3

R1

Θερmicroική αντίσταση R1 (4)

qh2 =T2 minus T1

R2

Θερmicroική αντίσταση R2 (5)

Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)

c1 middot dT1

dt= T2minusT1

R2minus T1minusT3

R1

c2 middot dT2

dt= i2 middotRminus T2minusT1

R2

∣∣∣∣∣∣

είσοδοι T3 i (6)

έξοδοι T1 T2 (7)

36

4η ΟΜΑ∆Α

Λύση 43

Μαθηmicroατικό microοντέλο

Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)

Εξαναγκασmicroένη απόκριση

Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)

χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3

Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e

minus3t (t ge 0)

microεh(0) = 0

h(0) = 1

rArr c1 + c2 = 0

minusc1 minus 3c2 = 1

rArr c1 = 12

c2 = minus12

άρα

h(t) =1

2eminust minus 1

2eminus3t (t ge 0) (2)

Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =

int t

0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =

int t

012

(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)

) middot (1 + τ) middot dτ

= 12eminust

int t

0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1

2eminus3t

int t

0e3τ (1 + τ) middot dτ

= 12eminust

[τ middot eτ

]t

τ=0minus 1

2eminus3t

[13e3τ (1 + τ)minus 1

9e3τ

]t

τ=0

= 12eminustt middot et minus 1

6eminus3t

[e3t(1 + t)minus 1

]+ 1

18eminus3t middot

[e3t minus 1

]

= 12tminus 1

6(1 + t) + 1

6eminus3t + 1

18minus 1

18eminus3t =

24

9η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 91 Χάραξη Τόπου των Ριζών

Θεωρείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου του σχήmicroατος και χαράξτε τον τόπο των ϱιζώνγια τις παρακάτω περιπτώσεις

(α) G(s) = 10s(s2 + 3s + 9)2

(β) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 100)

(γ) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 225)

(δ) G(s) = (s2 + 225)s(s2 + 1)

R +-

K G(s)y

΄Ασκηση 92 Τόπος των Ριζών σε Σύστηmicroα Ελέγχου microε Ανάδραση των Μεταβλητών

Κατάστασης

Θεωρείστε το παρακάτω υδραυλικό σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου στόχος του οποίου είναιο έλεγχος της στάθmicroης h3 του ϱευστού που συγκεντρώνεται στη τρίτη δεξαmicroενή Για τηνεπίτευξη του στόχου αυτού χρησιmicroοποιείται ανάδραση των παροχών microάζας qm2 και qm3καθώς και της στάθmicroης h3 Τα κέρδη των αντίστοιχων microετρητών είναι 1 κ και 1 Η χρονικήσταθερά της πρώτης δεξαmicroενής δίνεται ίση microε 5 (secs) της δεύτερης 7 (secs)ενώ το εmicroβαδότου πυθmicroένα της τρίτης είναι 5(m2) και η πυκνότητα του ϱευστού 1000(kgm3)

(α) Χαράξτε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου

(ϐ) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου καθώς το κέρδος κ τουδεύτερου microετρητή microεταβάλλεται

25

ρh3

h 3r

qm1

qm2

R2qm3

qm2

kqm3

ρ

ρ

g

h3

KATTH Σ

΄Ασκηση 93 Σχεδιασmicroός Σερβοmicroηχανισmicroού

Θεωρείστε το σύστηmicroα του παρακάτω σχήmicroατος Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένασύστηmicroα ελέγχου της microετατόπισης Θ χρησιmicroοποιώντας microέτρηση του Θ και (ιδεατό) κιν-ητήρα συνεχούς ϱεύmicroατος ο οποίος ϑα ασκεί ϱοπή Τ στην αδράνεια Ι Οι προδιαγραφέςσχεδιασmicroού για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου είναι

(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδο microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερο από 01(rads)κατ΄ απόλυτον τιmicroή

(ii) Χρονικές σταθερές microικρότερες του 1(sec)

(iii) Λόγος απόσβεσης microεγαλύτερος ή ίσος του 0707

(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου

(ϐ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί την προδια-γραφή (i) Εν συνεχεία υπολογίστε την χρονική σταθερά και τον λόγο απόσβεσης τουσυστήmicroατος που σχεδιάσατε και συγκρίνετέ τα microε τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάσ-τασης Τι παρατηρείτε

(γ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές(i) και(ii) Εν συνεχεία υπολογίστε τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος που σχεδιάσατε

(δ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές (i)και (iii) Εν συνεχεία υπολογίστε τις χρονικές σταθερές του συστήmicroατος που σχεδιάσατε

26

υ ΙT

θ

K

΄Ασκηση 94 Τόπος των Ριζών για Σύστηmicroα Κλειστού Βρόχου microε Κατευθυντή ΠΦ

Για παρακάτω σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου(α) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών ως προς το αναλογικό κέρδος k(ϐ) Είναι δυνατόν να επιλεγή το κέρδος k ούτως ώστε ο λόγος απόσβεσης να είναι 06 Ποια είναι η απαιτούmicroενη προς τον σκοπό τούτο τιmicroή του k

Y(s)R(s) +-

s+1s+10k s +121

s (s +100)2

2KATTH Σ ΠΦ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

2

΄Ασκηση 95 Χρήση του Τόπου των Ριζών στον Σχεδιασmicroό Κατευθυντή

σε Παράλληλη ∆ιάταξη

Θεωρείστε το απλουστευmicroένο πρόβληmicroα ελέγχου προσανατολισmicroού πυραύλου κατά τηνεκτόξευση Ενδιαφερόmicroαστε συγκεκριmicroένα να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρό-χου το οποίο ϑα χρησιmicroοποιεί microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ και ϑα ασκή ϱοπήΤ(ως προς το κέντρο microάζας microέσω πλευρικών κινητήρων) για τον έλεγχό της Το σύστηmicroαϑα είναι παράλληλης διάταξης microε κατευθυντή ΥΦ ΠΦ ή και συνδυασmicroό των δύο και microεπροδιαγραφές

(i) Φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση ίση microε 5 (radssec)(ii) Λόγος απόσβεσης 0707(iii) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 05 (sec)

(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου(ϐ) Ποιον από τους προαναφερθέντες τύπους κατευθυντή ϑα επιλέγατε στην περίπτωση

αυτή και γιατί (απαντείστε χωρίς να κάνετε υπολογισmicroούς)(γ) Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών για τον σχεδιασmicroό του συστήmicroατος

κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε να ικανοποιούνται ει δυνατόν οι προδιαγραφές (i) και (ii)(δ) Ικανοποιεί την προδιαγραφή (iii) το σύστηmicroα που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη

27

ερώτηση

(ε) Υποθέστε τώρα ότι η microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ δεν είναι ιδεατή αλλάγίνεται microέσω συσκευής microε χρονική σταθερά 01(sec) Πώς ϑα πρέπει να microεταβληθή ο κα-τευθυντής που σχεδιάσατε προκειmicroένου να εξακολουθήση να ικανοποιή τις προδιαγραφές(i) και (ii)

Είναι δυνατόν να ικανοποιείται και η (iii) (Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών)

TKέντρο microάζας

πλευρικοίκινητήρες

Θ

28

10η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 101

Χαράξτε τα διαγράmicromicroατα Bode των παρακάτω συναρτήσεων microεταφοράς (α) G(s) = (002s + 1)3(10s + 1)(ϐ) G(s) = 10s(s + 10)(s + 100)(γ) G(s) = 4s(s2 + 10s + 100)(δ) G(s) = s2(s + 05)(s + 02)(s2 + s + 100)

΄Ασκηση 102

Χρησιmicroοποιείστε το κατάλληλο διάγραmicromicroα Bode για τον προσεγγιστικό υπολογισmicroό τωντιmicroών κέρδους κ του αναλογικού κατευθυντή για τις οποίες το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχουτου σχήmicroατος είναι ευσταθές Επαληθεύστε ποιοτικά την απάντησή σας χρησιmicroοποιώνταςτη microέθοδο του τόπου των ϱιζών

R(s)+ -

kY(s)

s+1s3

s+1s+10

29

ΛΥΣΕΙΣ

1η ΟΜΑ∆Α

Λύση 12

(α) ῾῾Προσεγγιστική᾿᾿ τοποθέτηση καmicroπίνας

K ινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα θέση

καmicroπίνας

∆ιακόπτης(Κατευθυντής

τύπουΑνοικτόΚλειστό

ΤΕΛΙΚΟΣΤΟΙΧΕΙΟΕΛΕΓΧΟΥ

ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

Στη περίπτωση αυτή η ϑέση της καmicroπίνας umlmicroετράταιuml διακριτά microέσω microοχλών τοποθετη-microένων σε κάθε όροφο Ο microοχλός αυτός δρα σαν κατευθυντής ανοικτούκλειστού τύπου(κλειστός όταν η καmicroπίνα δεν είναι στο επίπεδο ορόφου ανοικτός όταν είναι)

(ϐ) Ακριβής τοποθέτηση καmicroπίνας

Ενισχυτής Κινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα

Αισθητήριοθέσης

αναφοράςθέση

ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΤΕΛΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑΕΛΕΓΧΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

θέση καmicroπίνας

Η ακριβής ϑέση της καmicroπίνας microπορεί να microετράται microε διάφορους τρόπους Ενας απλόςέmicromicroεσος τρόπος είναι microε microέτρηση του συρmicroατόσχοινου

30

Λύση 15

Πρόγραmicromicroακαθοδήγησης DA Eνισχυτής Κινητήρας Φορτίο

Ταχύmicroετρο

Αισθητήριοθέσης

(Encoder)

HY

+

-

τάση υ1

τάση υ 2

ΤΕΛΣΤΟΙΧΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ

Σχήmicroα 1 ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού Βρόχου

DA Μετατροπέας ψηφιακού σήmicroατος σε αναλογικόΣηmicro Ο ενισχυτής εκτελεί ουσιαστικά σύγκριση των τάσεων U1και U2 και ενισχύει τη

διαφορά τους U1 minus U2

2η ΟΜΑ∆Α

Λύση 26

Ισοδύναmicroο σύστηmicroα χωρίς γρανάζια microε αναγωγή στον δεξιό άξονα

k2 c 2T θΙ

k1 11

θ12

c1I12 =0I I32

θ 2 θ3

όπου T prime = N middot T I prime1 = I1N2

θprime1 = θ1Nkprime1 = k1N

2

Είναι ϕανερό ότι η γωνιακή microετατόπιση σηmicroείου microεταξύ του ελατηρίου kprime1 και του α-ποσβεστήρα c1 δεν περιγράφεται συναρτήσει των υπολοίπων ορισmicroένων microετατοπίσεων καιπρέπει να ορισθεί ανεξάρτητα Εστω ότι η microετατόπιση αυτή καλείται θ12 (ϐλδιάγραmicromicroα)Για την κατάστρωση των εξισώσεων κίνησης υποθέτω ότι στο σηmicroείο αυτό ευρίσκεταιαδράνεια microηδενικού microέτρου (I12 = 0 ) (ϐλ διάγραmicromicroα)

Υπόθεση θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0

θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0

31

∆ιαγράmicromicroατα ελευθέρου σώmicroατος

I1θ1Τ

Ι =012

Με εφαρmicroογή του νόmicroου του Νεύτωνα

I prime1 middot θprime1 = T prime minus kprime1(θprime1 minus θ12)

I12 middot θ12 = 0 = kprime1(θprime1 minus θ12)minus c1(θ12 minus θ2)

I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)

I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3

και η τελική microορφή των εξισώσεων προκύπτει microετά από αντικατάσταση των T prime θprime1 kprime1

32

I1 middotN2 1N

θ1 = N middot T minus k1N2(

θ1

Nminus θ12

) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)

0 = k1N2(

θ1

Nminus θ12

)minus c1

(˙θ12 minus θ2

)

I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)

I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3

Εξισώσεις κίνησης

Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31

2ϐα-

ϑmicroών ελευθερίας

Λύση 27

+-υ

R L

i+-

υb

Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr

rArr υ = iR + Ldi

dt+ Kb middot ω (1)

I 1

T θ 1

Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0

θ1 gt θ2 gt 0

Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr

rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)

33

Cθ2

θ2I2

k(θ -θ )1 2

Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr

rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)

Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι

34

3η ΟΜΑ∆Α

Λύση 33

Εξισώσεις διατήρησης microάζας

dm1

dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)

dm2

dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)

οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2

αντίστοιχα

Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1

gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2

Επίσης m1 = A1h1

m2 = A2h2

Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g

R1h1

A2h2 = gR1

h1 + qm2 minus gR2

h2

∣∣∣∣∣∣

(1α)

(2α)

Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής

ddt

[h1

h2

]=

[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2

] [h1

h2

]+

[1A1 00 1A1

] [qm1

qm2

]

[h1

h2

]=

[1 00 1

] [h1

h2

]

35

Λύση 36

qh1

qhC2T2

i i

C1T1θερmicroική αντίσταση R2

θερmicroική αντίσταση R1

T3

Υπόθεση T2 T1 T3

qh2

R

Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε

Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα

Θερmicroοχωρητικότητα C1 d

dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)

Θερmicroοχωρητικότητα C2 d

dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)

Επιπρόσθετα

qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)

qh1 =T1 minus T3

R1

Θερmicroική αντίσταση R1 (4)

qh2 =T2 minus T1

R2

Θερmicroική αντίσταση R2 (5)

Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)

c1 middot dT1

dt= T2minusT1

R2minus T1minusT3

R1

c2 middot dT2

dt= i2 middotRminus T2minusT1

R2

∣∣∣∣∣∣

είσοδοι T3 i (6)

έξοδοι T1 T2 (7)

36

4η ΟΜΑ∆Α

Λύση 43

Μαθηmicroατικό microοντέλο

Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)

Εξαναγκασmicroένη απόκριση

Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)

χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3

Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e

minus3t (t ge 0)

microεh(0) = 0

h(0) = 1

rArr c1 + c2 = 0

minusc1 minus 3c2 = 1

rArr c1 = 12

c2 = minus12

άρα

h(t) =1

2eminust minus 1

2eminus3t (t ge 0) (2)

Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =

int t

0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =

int t

012

(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)

) middot (1 + τ) middot dτ

= 12eminust

int t

0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1

2eminus3t

int t

0e3τ (1 + τ) middot dτ

= 12eminust

[τ middot eτ

]t

τ=0minus 1

2eminus3t

[13e3τ (1 + τ)minus 1

9e3τ

]t

τ=0

= 12eminustt middot et minus 1

6eminus3t

[e3t(1 + t)minus 1

]+ 1

18eminus3t middot

[e3t minus 1

]

= 12tminus 1

6(1 + t) + 1

6eminus3t + 1

18minus 1

18eminus3t =

25

ρh3

h 3r

qm1

qm2

R2qm3

qm2

kqm3

ρ

ρ

g

h3

KATTH Σ

΄Ασκηση 93 Σχεδιασmicroός Σερβοmicroηχανισmicroού

Θεωρείστε το σύστηmicroα του παρακάτω σχήmicroατος Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένασύστηmicroα ελέγχου της microετατόπισης Θ χρησιmicroοποιώντας microέτρηση του Θ και (ιδεατό) κιν-ητήρα συνεχούς ϱεύmicroατος ο οποίος ϑα ασκεί ϱοπή Τ στην αδράνεια Ι Οι προδιαγραφέςσχεδιασmicroού για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου είναι

(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδο microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερο από 01(rads)κατ΄ απόλυτον τιmicroή

(ii) Χρονικές σταθερές microικρότερες του 1(sec)

(iii) Λόγος απόσβεσης microεγαλύτερος ή ίσος του 0707

(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου

(ϐ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί την προδια-γραφή (i) Εν συνεχεία υπολογίστε την χρονική σταθερά και τον λόγο απόσβεσης τουσυστήmicroατος που σχεδιάσατε και συγκρίνετέ τα microε τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάσ-τασης Τι παρατηρείτε

(γ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές(i) και(ii) Εν συνεχεία υπολογίστε τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος που σχεδιάσατε

(δ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές (i)και (iii) Εν συνεχεία υπολογίστε τις χρονικές σταθερές του συστήmicroατος που σχεδιάσατε

26

υ ΙT

θ

K

΄Ασκηση 94 Τόπος των Ριζών για Σύστηmicroα Κλειστού Βρόχου microε Κατευθυντή ΠΦ

Για παρακάτω σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου(α) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών ως προς το αναλογικό κέρδος k(ϐ) Είναι δυνατόν να επιλεγή το κέρδος k ούτως ώστε ο λόγος απόσβεσης να είναι 06 Ποια είναι η απαιτούmicroενη προς τον σκοπό τούτο τιmicroή του k

Y(s)R(s) +-

s+1s+10k s +121

s (s +100)2

2KATTH Σ ΠΦ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

2

΄Ασκηση 95 Χρήση του Τόπου των Ριζών στον Σχεδιασmicroό Κατευθυντή

σε Παράλληλη ∆ιάταξη

Θεωρείστε το απλουστευmicroένο πρόβληmicroα ελέγχου προσανατολισmicroού πυραύλου κατά τηνεκτόξευση Ενδιαφερόmicroαστε συγκεκριmicroένα να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρό-χου το οποίο ϑα χρησιmicroοποιεί microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ και ϑα ασκή ϱοπήΤ(ως προς το κέντρο microάζας microέσω πλευρικών κινητήρων) για τον έλεγχό της Το σύστηmicroαϑα είναι παράλληλης διάταξης microε κατευθυντή ΥΦ ΠΦ ή και συνδυασmicroό των δύο και microεπροδιαγραφές

(i) Φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση ίση microε 5 (radssec)(ii) Λόγος απόσβεσης 0707(iii) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 05 (sec)

(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου(ϐ) Ποιον από τους προαναφερθέντες τύπους κατευθυντή ϑα επιλέγατε στην περίπτωση

αυτή και γιατί (απαντείστε χωρίς να κάνετε υπολογισmicroούς)(γ) Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών για τον σχεδιασmicroό του συστήmicroατος

κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε να ικανοποιούνται ει δυνατόν οι προδιαγραφές (i) και (ii)(δ) Ικανοποιεί την προδιαγραφή (iii) το σύστηmicroα που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη

27

ερώτηση

(ε) Υποθέστε τώρα ότι η microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ δεν είναι ιδεατή αλλάγίνεται microέσω συσκευής microε χρονική σταθερά 01(sec) Πώς ϑα πρέπει να microεταβληθή ο κα-τευθυντής που σχεδιάσατε προκειmicroένου να εξακολουθήση να ικανοποιή τις προδιαγραφές(i) και (ii)

Είναι δυνατόν να ικανοποιείται και η (iii) (Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών)

TKέντρο microάζας

πλευρικοίκινητήρες

Θ

28

10η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 101

Χαράξτε τα διαγράmicromicroατα Bode των παρακάτω συναρτήσεων microεταφοράς (α) G(s) = (002s + 1)3(10s + 1)(ϐ) G(s) = 10s(s + 10)(s + 100)(γ) G(s) = 4s(s2 + 10s + 100)(δ) G(s) = s2(s + 05)(s + 02)(s2 + s + 100)

΄Ασκηση 102

Χρησιmicroοποιείστε το κατάλληλο διάγραmicromicroα Bode για τον προσεγγιστικό υπολογισmicroό τωντιmicroών κέρδους κ του αναλογικού κατευθυντή για τις οποίες το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχουτου σχήmicroατος είναι ευσταθές Επαληθεύστε ποιοτικά την απάντησή σας χρησιmicroοποιώνταςτη microέθοδο του τόπου των ϱιζών

R(s)+ -

kY(s)

s+1s3

s+1s+10

29

ΛΥΣΕΙΣ

1η ΟΜΑ∆Α

Λύση 12

(α) ῾῾Προσεγγιστική᾿᾿ τοποθέτηση καmicroπίνας

K ινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα θέση

καmicroπίνας

∆ιακόπτης(Κατευθυντής

τύπουΑνοικτόΚλειστό

ΤΕΛΙΚΟΣΤΟΙΧΕΙΟΕΛΕΓΧΟΥ

ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

Στη περίπτωση αυτή η ϑέση της καmicroπίνας umlmicroετράταιuml διακριτά microέσω microοχλών τοποθετη-microένων σε κάθε όροφο Ο microοχλός αυτός δρα σαν κατευθυντής ανοικτούκλειστού τύπου(κλειστός όταν η καmicroπίνα δεν είναι στο επίπεδο ορόφου ανοικτός όταν είναι)

(ϐ) Ακριβής τοποθέτηση καmicroπίνας

Ενισχυτής Κινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα

Αισθητήριοθέσης

αναφοράςθέση

ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΤΕΛΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑΕΛΕΓΧΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

θέση καmicroπίνας

Η ακριβής ϑέση της καmicroπίνας microπορεί να microετράται microε διάφορους τρόπους Ενας απλόςέmicromicroεσος τρόπος είναι microε microέτρηση του συρmicroατόσχοινου

30

Λύση 15

Πρόγραmicromicroακαθοδήγησης DA Eνισχυτής Κινητήρας Φορτίο

Ταχύmicroετρο

Αισθητήριοθέσης

(Encoder)

HY

+

-

τάση υ1

τάση υ 2

ΤΕΛΣΤΟΙΧΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ

Σχήmicroα 1 ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού Βρόχου

DA Μετατροπέας ψηφιακού σήmicroατος σε αναλογικόΣηmicro Ο ενισχυτής εκτελεί ουσιαστικά σύγκριση των τάσεων U1και U2 και ενισχύει τη

διαφορά τους U1 minus U2

2η ΟΜΑ∆Α

Λύση 26

Ισοδύναmicroο σύστηmicroα χωρίς γρανάζια microε αναγωγή στον δεξιό άξονα

k2 c 2T θΙ

k1 11

θ12

c1I12 =0I I32

θ 2 θ3

όπου T prime = N middot T I prime1 = I1N2

θprime1 = θ1Nkprime1 = k1N

2

Είναι ϕανερό ότι η γωνιακή microετατόπιση σηmicroείου microεταξύ του ελατηρίου kprime1 και του α-ποσβεστήρα c1 δεν περιγράφεται συναρτήσει των υπολοίπων ορισmicroένων microετατοπίσεων καιπρέπει να ορισθεί ανεξάρτητα Εστω ότι η microετατόπιση αυτή καλείται θ12 (ϐλδιάγραmicromicroα)Για την κατάστρωση των εξισώσεων κίνησης υποθέτω ότι στο σηmicroείο αυτό ευρίσκεταιαδράνεια microηδενικού microέτρου (I12 = 0 ) (ϐλ διάγραmicromicroα)

Υπόθεση θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0

θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0

31

∆ιαγράmicromicroατα ελευθέρου σώmicroατος

I1θ1Τ

Ι =012

Με εφαρmicroογή του νόmicroου του Νεύτωνα

I prime1 middot θprime1 = T prime minus kprime1(θprime1 minus θ12)

I12 middot θ12 = 0 = kprime1(θprime1 minus θ12)minus c1(θ12 minus θ2)

I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)

I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3

και η τελική microορφή των εξισώσεων προκύπτει microετά από αντικατάσταση των T prime θprime1 kprime1

32

I1 middotN2 1N

θ1 = N middot T minus k1N2(

θ1

Nminus θ12

) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)

0 = k1N2(

θ1

Nminus θ12

)minus c1

(˙θ12 minus θ2

)

I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)

I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3

Εξισώσεις κίνησης

Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31

2ϐα-

ϑmicroών ελευθερίας

Λύση 27

+-υ

R L

i+-

υb

Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr

rArr υ = iR + Ldi

dt+ Kb middot ω (1)

I 1

T θ 1

Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0

θ1 gt θ2 gt 0

Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr

rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)

33

Cθ2

θ2I2

k(θ -θ )1 2

Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr

rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)

Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι

34

3η ΟΜΑ∆Α

Λύση 33

Εξισώσεις διατήρησης microάζας

dm1

dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)

dm2

dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)

οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2

αντίστοιχα

Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1

gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2

Επίσης m1 = A1h1

m2 = A2h2

Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g

R1h1

A2h2 = gR1

h1 + qm2 minus gR2

h2

∣∣∣∣∣∣

(1α)

(2α)

Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής

ddt

[h1

h2

]=

[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2

] [h1

h2

]+

[1A1 00 1A1

] [qm1

qm2

]

[h1

h2

]=

[1 00 1

] [h1

h2

]

35

Λύση 36

qh1

qhC2T2

i i

C1T1θερmicroική αντίσταση R2

θερmicroική αντίσταση R1

T3

Υπόθεση T2 T1 T3

qh2

R

Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε

Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα

Θερmicroοχωρητικότητα C1 d

dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)

Θερmicroοχωρητικότητα C2 d

dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)

Επιπρόσθετα

qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)

qh1 =T1 minus T3

R1

Θερmicroική αντίσταση R1 (4)

qh2 =T2 minus T1

R2

Θερmicroική αντίσταση R2 (5)

Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)

c1 middot dT1

dt= T2minusT1

R2minus T1minusT3

R1

c2 middot dT2

dt= i2 middotRminus T2minusT1

R2

∣∣∣∣∣∣

είσοδοι T3 i (6)

έξοδοι T1 T2 (7)

36

4η ΟΜΑ∆Α

Λύση 43

Μαθηmicroατικό microοντέλο

Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)

Εξαναγκασmicroένη απόκριση

Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)

χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3

Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e

minus3t (t ge 0)

microεh(0) = 0

h(0) = 1

rArr c1 + c2 = 0

minusc1 minus 3c2 = 1

rArr c1 = 12

c2 = minus12

άρα

h(t) =1

2eminust minus 1

2eminus3t (t ge 0) (2)

Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =

int t

0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =

int t

012

(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)

) middot (1 + τ) middot dτ

= 12eminust

int t

0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1

2eminus3t

int t

0e3τ (1 + τ) middot dτ

= 12eminust

[τ middot eτ

]t

τ=0minus 1

2eminus3t

[13e3τ (1 + τ)minus 1

9e3τ

]t

τ=0

= 12eminustt middot et minus 1

6eminus3t

[e3t(1 + t)minus 1

]+ 1

18eminus3t middot

[e3t minus 1

]

= 12tminus 1

6(1 + t) + 1

6eminus3t + 1

18minus 1

18eminus3t =

26

υ ΙT

θ

K

΄Ασκηση 94 Τόπος των Ριζών για Σύστηmicroα Κλειστού Βρόχου microε Κατευθυντή ΠΦ

Για παρακάτω σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου(α) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών ως προς το αναλογικό κέρδος k(ϐ) Είναι δυνατόν να επιλεγή το κέρδος k ούτως ώστε ο λόγος απόσβεσης να είναι 06 Ποια είναι η απαιτούmicroενη προς τον σκοπό τούτο τιmicroή του k

Y(s)R(s) +-

s+1s+10k s +121

s (s +100)2

2KATTH Σ ΠΦ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

2

΄Ασκηση 95 Χρήση του Τόπου των Ριζών στον Σχεδιασmicroό Κατευθυντή

σε Παράλληλη ∆ιάταξη

Θεωρείστε το απλουστευmicroένο πρόβληmicroα ελέγχου προσανατολισmicroού πυραύλου κατά τηνεκτόξευση Ενδιαφερόmicroαστε συγκεκριmicroένα να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρό-χου το οποίο ϑα χρησιmicroοποιεί microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ και ϑα ασκή ϱοπήΤ(ως προς το κέντρο microάζας microέσω πλευρικών κινητήρων) για τον έλεγχό της Το σύστηmicroαϑα είναι παράλληλης διάταξης microε κατευθυντή ΥΦ ΠΦ ή και συνδυασmicroό των δύο και microεπροδιαγραφές

(i) Φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση ίση microε 5 (radssec)(ii) Λόγος απόσβεσης 0707(iii) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 05 (sec)

(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου(ϐ) Ποιον από τους προαναφερθέντες τύπους κατευθυντή ϑα επιλέγατε στην περίπτωση

αυτή και γιατί (απαντείστε χωρίς να κάνετε υπολογισmicroούς)(γ) Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών για τον σχεδιασmicroό του συστήmicroατος

κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε να ικανοποιούνται ει δυνατόν οι προδιαγραφές (i) και (ii)(δ) Ικανοποιεί την προδιαγραφή (iii) το σύστηmicroα που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη

27

ερώτηση

(ε) Υποθέστε τώρα ότι η microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ δεν είναι ιδεατή αλλάγίνεται microέσω συσκευής microε χρονική σταθερά 01(sec) Πώς ϑα πρέπει να microεταβληθή ο κα-τευθυντής που σχεδιάσατε προκειmicroένου να εξακολουθήση να ικανοποιή τις προδιαγραφές(i) και (ii)

Είναι δυνατόν να ικανοποιείται και η (iii) (Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών)

TKέντρο microάζας

πλευρικοίκινητήρες

Θ

28

10η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 101

Χαράξτε τα διαγράmicromicroατα Bode των παρακάτω συναρτήσεων microεταφοράς (α) G(s) = (002s + 1)3(10s + 1)(ϐ) G(s) = 10s(s + 10)(s + 100)(γ) G(s) = 4s(s2 + 10s + 100)(δ) G(s) = s2(s + 05)(s + 02)(s2 + s + 100)

΄Ασκηση 102

Χρησιmicroοποιείστε το κατάλληλο διάγραmicromicroα Bode για τον προσεγγιστικό υπολογισmicroό τωντιmicroών κέρδους κ του αναλογικού κατευθυντή για τις οποίες το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχουτου σχήmicroατος είναι ευσταθές Επαληθεύστε ποιοτικά την απάντησή σας χρησιmicroοποιώνταςτη microέθοδο του τόπου των ϱιζών

R(s)+ -

kY(s)

s+1s3

s+1s+10

29

ΛΥΣΕΙΣ

1η ΟΜΑ∆Α

Λύση 12

(α) ῾῾Προσεγγιστική᾿᾿ τοποθέτηση καmicroπίνας

K ινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα θέση

καmicroπίνας

∆ιακόπτης(Κατευθυντής

τύπουΑνοικτόΚλειστό

ΤΕΛΙΚΟΣΤΟΙΧΕΙΟΕΛΕΓΧΟΥ

ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

Στη περίπτωση αυτή η ϑέση της καmicroπίνας umlmicroετράταιuml διακριτά microέσω microοχλών τοποθετη-microένων σε κάθε όροφο Ο microοχλός αυτός δρα σαν κατευθυντής ανοικτούκλειστού τύπου(κλειστός όταν η καmicroπίνα δεν είναι στο επίπεδο ορόφου ανοικτός όταν είναι)

(ϐ) Ακριβής τοποθέτηση καmicroπίνας

Ενισχυτής Κινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα

Αισθητήριοθέσης

αναφοράςθέση

ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΤΕΛΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑΕΛΕΓΧΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

θέση καmicroπίνας

Η ακριβής ϑέση της καmicroπίνας microπορεί να microετράται microε διάφορους τρόπους Ενας απλόςέmicromicroεσος τρόπος είναι microε microέτρηση του συρmicroατόσχοινου

30

Λύση 15

Πρόγραmicromicroακαθοδήγησης DA Eνισχυτής Κινητήρας Φορτίο

Ταχύmicroετρο

Αισθητήριοθέσης

(Encoder)

HY

+

-

τάση υ1

τάση υ 2

ΤΕΛΣΤΟΙΧΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ

Σχήmicroα 1 ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού Βρόχου

DA Μετατροπέας ψηφιακού σήmicroατος σε αναλογικόΣηmicro Ο ενισχυτής εκτελεί ουσιαστικά σύγκριση των τάσεων U1και U2 και ενισχύει τη

διαφορά τους U1 minus U2

2η ΟΜΑ∆Α

Λύση 26

Ισοδύναmicroο σύστηmicroα χωρίς γρανάζια microε αναγωγή στον δεξιό άξονα

k2 c 2T θΙ

k1 11

θ12

c1I12 =0I I32

θ 2 θ3

όπου T prime = N middot T I prime1 = I1N2

θprime1 = θ1Nkprime1 = k1N

2

Είναι ϕανερό ότι η γωνιακή microετατόπιση σηmicroείου microεταξύ του ελατηρίου kprime1 και του α-ποσβεστήρα c1 δεν περιγράφεται συναρτήσει των υπολοίπων ορισmicroένων microετατοπίσεων καιπρέπει να ορισθεί ανεξάρτητα Εστω ότι η microετατόπιση αυτή καλείται θ12 (ϐλδιάγραmicromicroα)Για την κατάστρωση των εξισώσεων κίνησης υποθέτω ότι στο σηmicroείο αυτό ευρίσκεταιαδράνεια microηδενικού microέτρου (I12 = 0 ) (ϐλ διάγραmicromicroα)

Υπόθεση θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0

θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0

31

∆ιαγράmicromicroατα ελευθέρου σώmicroατος

I1θ1Τ

Ι =012

Με εφαρmicroογή του νόmicroου του Νεύτωνα

I prime1 middot θprime1 = T prime minus kprime1(θprime1 minus θ12)

I12 middot θ12 = 0 = kprime1(θprime1 minus θ12)minus c1(θ12 minus θ2)

I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)

I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3

και η τελική microορφή των εξισώσεων προκύπτει microετά από αντικατάσταση των T prime θprime1 kprime1

32

I1 middotN2 1N

θ1 = N middot T minus k1N2(

θ1

Nminus θ12

) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)

0 = k1N2(

θ1

Nminus θ12

)minus c1

(˙θ12 minus θ2

)

I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)

I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3

Εξισώσεις κίνησης

Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31

2ϐα-

ϑmicroών ελευθερίας

Λύση 27

+-υ

R L

i+-

υb

Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr

rArr υ = iR + Ldi

dt+ Kb middot ω (1)

I 1

T θ 1

Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0

θ1 gt θ2 gt 0

Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr

rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)

33

Cθ2

θ2I2

k(θ -θ )1 2

Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr

rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)

Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι

34

3η ΟΜΑ∆Α

Λύση 33

Εξισώσεις διατήρησης microάζας

dm1

dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)

dm2

dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)

οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2

αντίστοιχα

Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1

gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2

Επίσης m1 = A1h1

m2 = A2h2

Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g

R1h1

A2h2 = gR1

h1 + qm2 minus gR2

h2

∣∣∣∣∣∣

(1α)

(2α)

Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής

ddt

[h1

h2

]=

[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2

] [h1

h2

]+

[1A1 00 1A1

] [qm1

qm2

]

[h1

h2

]=

[1 00 1

] [h1

h2

]

35

Λύση 36

qh1

qhC2T2

i i

C1T1θερmicroική αντίσταση R2

θερmicroική αντίσταση R1

T3

Υπόθεση T2 T1 T3

qh2

R

Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε

Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα

Θερmicroοχωρητικότητα C1 d

dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)

Θερmicroοχωρητικότητα C2 d

dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)

Επιπρόσθετα

qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)

qh1 =T1 minus T3

R1

Θερmicroική αντίσταση R1 (4)

qh2 =T2 minus T1

R2

Θερmicroική αντίσταση R2 (5)

Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)

c1 middot dT1

dt= T2minusT1

R2minus T1minusT3

R1

c2 middot dT2

dt= i2 middotRminus T2minusT1

R2

∣∣∣∣∣∣

είσοδοι T3 i (6)

έξοδοι T1 T2 (7)

36

4η ΟΜΑ∆Α

Λύση 43

Μαθηmicroατικό microοντέλο

Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)

Εξαναγκασmicroένη απόκριση

Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)

χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3

Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e

minus3t (t ge 0)

microεh(0) = 0

h(0) = 1

rArr c1 + c2 = 0

minusc1 minus 3c2 = 1

rArr c1 = 12

c2 = minus12

άρα

h(t) =1

2eminust minus 1

2eminus3t (t ge 0) (2)

Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =

int t

0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =

int t

012

(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)

) middot (1 + τ) middot dτ

= 12eminust

int t

0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1

2eminus3t

int t

0e3τ (1 + τ) middot dτ

= 12eminust

[τ middot eτ

]t

τ=0minus 1

2eminus3t

[13e3τ (1 + τ)minus 1

9e3τ

]t

τ=0

= 12eminustt middot et minus 1

6eminus3t

[e3t(1 + t)minus 1

]+ 1

18eminus3t middot

[e3t minus 1

]

= 12tminus 1

6(1 + t) + 1

6eminus3t + 1

18minus 1

18eminus3t =

27

ερώτηση

(ε) Υποθέστε τώρα ότι η microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ δεν είναι ιδεατή αλλάγίνεται microέσω συσκευής microε χρονική σταθερά 01(sec) Πώς ϑα πρέπει να microεταβληθή ο κα-τευθυντής που σχεδιάσατε προκειmicroένου να εξακολουθήση να ικανοποιή τις προδιαγραφές(i) και (ii)

Είναι δυνατόν να ικανοποιείται και η (iii) (Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών)

TKέντρο microάζας

πλευρικοίκινητήρες

Θ

28

10η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 101

Χαράξτε τα διαγράmicromicroατα Bode των παρακάτω συναρτήσεων microεταφοράς (α) G(s) = (002s + 1)3(10s + 1)(ϐ) G(s) = 10s(s + 10)(s + 100)(γ) G(s) = 4s(s2 + 10s + 100)(δ) G(s) = s2(s + 05)(s + 02)(s2 + s + 100)

΄Ασκηση 102

Χρησιmicroοποιείστε το κατάλληλο διάγραmicromicroα Bode για τον προσεγγιστικό υπολογισmicroό τωντιmicroών κέρδους κ του αναλογικού κατευθυντή για τις οποίες το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχουτου σχήmicroατος είναι ευσταθές Επαληθεύστε ποιοτικά την απάντησή σας χρησιmicroοποιώνταςτη microέθοδο του τόπου των ϱιζών

R(s)+ -

kY(s)

s+1s3

s+1s+10

29

ΛΥΣΕΙΣ

1η ΟΜΑ∆Α

Λύση 12

(α) ῾῾Προσεγγιστική᾿᾿ τοποθέτηση καmicroπίνας

K ινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα θέση

καmicroπίνας

∆ιακόπτης(Κατευθυντής

τύπουΑνοικτόΚλειστό

ΤΕΛΙΚΟΣΤΟΙΧΕΙΟΕΛΕΓΧΟΥ

ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

Στη περίπτωση αυτή η ϑέση της καmicroπίνας umlmicroετράταιuml διακριτά microέσω microοχλών τοποθετη-microένων σε κάθε όροφο Ο microοχλός αυτός δρα σαν κατευθυντής ανοικτούκλειστού τύπου(κλειστός όταν η καmicroπίνα δεν είναι στο επίπεδο ορόφου ανοικτός όταν είναι)

(ϐ) Ακριβής τοποθέτηση καmicroπίνας

Ενισχυτής Κινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα

Αισθητήριοθέσης

αναφοράςθέση

ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΤΕΛΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑΕΛΕΓΧΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

θέση καmicroπίνας

Η ακριβής ϑέση της καmicroπίνας microπορεί να microετράται microε διάφορους τρόπους Ενας απλόςέmicromicroεσος τρόπος είναι microε microέτρηση του συρmicroατόσχοινου

30

Λύση 15

Πρόγραmicromicroακαθοδήγησης DA Eνισχυτής Κινητήρας Φορτίο

Ταχύmicroετρο

Αισθητήριοθέσης

(Encoder)

HY

+

-

τάση υ1

τάση υ 2

ΤΕΛΣΤΟΙΧΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ

Σχήmicroα 1 ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού Βρόχου

DA Μετατροπέας ψηφιακού σήmicroατος σε αναλογικόΣηmicro Ο ενισχυτής εκτελεί ουσιαστικά σύγκριση των τάσεων U1και U2 και ενισχύει τη

διαφορά τους U1 minus U2

2η ΟΜΑ∆Α

Λύση 26

Ισοδύναmicroο σύστηmicroα χωρίς γρανάζια microε αναγωγή στον δεξιό άξονα

k2 c 2T θΙ

k1 11

θ12

c1I12 =0I I32

θ 2 θ3

όπου T prime = N middot T I prime1 = I1N2

θprime1 = θ1Nkprime1 = k1N

2

Είναι ϕανερό ότι η γωνιακή microετατόπιση σηmicroείου microεταξύ του ελατηρίου kprime1 και του α-ποσβεστήρα c1 δεν περιγράφεται συναρτήσει των υπολοίπων ορισmicroένων microετατοπίσεων καιπρέπει να ορισθεί ανεξάρτητα Εστω ότι η microετατόπιση αυτή καλείται θ12 (ϐλδιάγραmicromicroα)Για την κατάστρωση των εξισώσεων κίνησης υποθέτω ότι στο σηmicroείο αυτό ευρίσκεταιαδράνεια microηδενικού microέτρου (I12 = 0 ) (ϐλ διάγραmicromicroα)

Υπόθεση θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0

θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0

31

∆ιαγράmicromicroατα ελευθέρου σώmicroατος

I1θ1Τ

Ι =012

Με εφαρmicroογή του νόmicroου του Νεύτωνα

I prime1 middot θprime1 = T prime minus kprime1(θprime1 minus θ12)

I12 middot θ12 = 0 = kprime1(θprime1 minus θ12)minus c1(θ12 minus θ2)

I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)

I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3

και η τελική microορφή των εξισώσεων προκύπτει microετά από αντικατάσταση των T prime θprime1 kprime1

32

I1 middotN2 1N

θ1 = N middot T minus k1N2(

θ1

Nminus θ12

) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)

0 = k1N2(

θ1

Nminus θ12

)minus c1

(˙θ12 minus θ2

)

I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)

I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3

Εξισώσεις κίνησης

Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31

2ϐα-

ϑmicroών ελευθερίας

Λύση 27

+-υ

R L

i+-

υb

Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr

rArr υ = iR + Ldi

dt+ Kb middot ω (1)

I 1

T θ 1

Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0

θ1 gt θ2 gt 0

Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr

rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)

33

Cθ2

θ2I2

k(θ -θ )1 2

Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr

rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)

Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι

34

3η ΟΜΑ∆Α

Λύση 33

Εξισώσεις διατήρησης microάζας

dm1

dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)

dm2

dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)

οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2

αντίστοιχα

Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1

gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2

Επίσης m1 = A1h1

m2 = A2h2

Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g

R1h1

A2h2 = gR1

h1 + qm2 minus gR2

h2

∣∣∣∣∣∣

(1α)

(2α)

Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής

ddt

[h1

h2

]=

[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2

] [h1

h2

]+

[1A1 00 1A1

] [qm1

qm2

]

[h1

h2

]=

[1 00 1

] [h1

h2

]

35

Λύση 36

qh1

qhC2T2

i i

C1T1θερmicroική αντίσταση R2

θερmicroική αντίσταση R1

T3

Υπόθεση T2 T1 T3

qh2

R

Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε

Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα

Θερmicroοχωρητικότητα C1 d

dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)

Θερmicroοχωρητικότητα C2 d

dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)

Επιπρόσθετα

qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)

qh1 =T1 minus T3

R1

Θερmicroική αντίσταση R1 (4)

qh2 =T2 minus T1

R2

Θερmicroική αντίσταση R2 (5)

Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)

c1 middot dT1

dt= T2minusT1

R2minus T1minusT3

R1

c2 middot dT2

dt= i2 middotRminus T2minusT1

R2

∣∣∣∣∣∣

είσοδοι T3 i (6)

έξοδοι T1 T2 (7)

36

4η ΟΜΑ∆Α

Λύση 43

Μαθηmicroατικό microοντέλο

Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)

Εξαναγκασmicroένη απόκριση

Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)

χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3

Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e

minus3t (t ge 0)

microεh(0) = 0

h(0) = 1

rArr c1 + c2 = 0

minusc1 minus 3c2 = 1

rArr c1 = 12

c2 = minus12

άρα

h(t) =1

2eminust minus 1

2eminus3t (t ge 0) (2)

Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =

int t

0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =

int t

012

(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)

) middot (1 + τ) middot dτ

= 12eminust

int t

0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1

2eminus3t

int t

0e3τ (1 + τ) middot dτ

= 12eminust

[τ middot eτ

]t

τ=0minus 1

2eminus3t

[13e3τ (1 + τ)minus 1

9e3τ

]t

τ=0

= 12eminustt middot et minus 1

6eminus3t

[e3t(1 + t)minus 1

]+ 1

18eminus3t middot

[e3t minus 1

]

= 12tminus 1

6(1 + t) + 1

6eminus3t + 1

18minus 1

18eminus3t =

28

10η ΟΜΑ∆Α

΄Ασκηση 101

Χαράξτε τα διαγράmicromicroατα Bode των παρακάτω συναρτήσεων microεταφοράς (α) G(s) = (002s + 1)3(10s + 1)(ϐ) G(s) = 10s(s + 10)(s + 100)(γ) G(s) = 4s(s2 + 10s + 100)(δ) G(s) = s2(s + 05)(s + 02)(s2 + s + 100)

΄Ασκηση 102

Χρησιmicroοποιείστε το κατάλληλο διάγραmicromicroα Bode για τον προσεγγιστικό υπολογισmicroό τωντιmicroών κέρδους κ του αναλογικού κατευθυντή για τις οποίες το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχουτου σχήmicroατος είναι ευσταθές Επαληθεύστε ποιοτικά την απάντησή σας χρησιmicroοποιώνταςτη microέθοδο του τόπου των ϱιζών

R(s)+ -

kY(s)

s+1s3

s+1s+10

29

ΛΥΣΕΙΣ

1η ΟΜΑ∆Α

Λύση 12

(α) ῾῾Προσεγγιστική᾿᾿ τοποθέτηση καmicroπίνας

K ινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα θέση

καmicroπίνας

∆ιακόπτης(Κατευθυντής

τύπουΑνοικτόΚλειστό

ΤΕΛΙΚΟΣΤΟΙΧΕΙΟΕΛΕΓΧΟΥ

ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

Στη περίπτωση αυτή η ϑέση της καmicroπίνας umlmicroετράταιuml διακριτά microέσω microοχλών τοποθετη-microένων σε κάθε όροφο Ο microοχλός αυτός δρα σαν κατευθυντής ανοικτούκλειστού τύπου(κλειστός όταν η καmicroπίνα δεν είναι στο επίπεδο ορόφου ανοικτός όταν είναι)

(ϐ) Ακριβής τοποθέτηση καmicroπίνας

Ενισχυτής Κινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα

Αισθητήριοθέσης

αναφοράςθέση

ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΤΕΛΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑΕΛΕΓΧΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

θέση καmicroπίνας

Η ακριβής ϑέση της καmicroπίνας microπορεί να microετράται microε διάφορους τρόπους Ενας απλόςέmicromicroεσος τρόπος είναι microε microέτρηση του συρmicroατόσχοινου

30

Λύση 15

Πρόγραmicromicroακαθοδήγησης DA Eνισχυτής Κινητήρας Φορτίο

Ταχύmicroετρο

Αισθητήριοθέσης

(Encoder)

HY

+

-

τάση υ1

τάση υ 2

ΤΕΛΣΤΟΙΧΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ

Σχήmicroα 1 ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού Βρόχου

DA Μετατροπέας ψηφιακού σήmicroατος σε αναλογικόΣηmicro Ο ενισχυτής εκτελεί ουσιαστικά σύγκριση των τάσεων U1και U2 και ενισχύει τη

διαφορά τους U1 minus U2

2η ΟΜΑ∆Α

Λύση 26

Ισοδύναmicroο σύστηmicroα χωρίς γρανάζια microε αναγωγή στον δεξιό άξονα

k2 c 2T θΙ

k1 11

θ12

c1I12 =0I I32

θ 2 θ3

όπου T prime = N middot T I prime1 = I1N2

θprime1 = θ1Nkprime1 = k1N

2

Είναι ϕανερό ότι η γωνιακή microετατόπιση σηmicroείου microεταξύ του ελατηρίου kprime1 και του α-ποσβεστήρα c1 δεν περιγράφεται συναρτήσει των υπολοίπων ορισmicroένων microετατοπίσεων καιπρέπει να ορισθεί ανεξάρτητα Εστω ότι η microετατόπιση αυτή καλείται θ12 (ϐλδιάγραmicromicroα)Για την κατάστρωση των εξισώσεων κίνησης υποθέτω ότι στο σηmicroείο αυτό ευρίσκεταιαδράνεια microηδενικού microέτρου (I12 = 0 ) (ϐλ διάγραmicromicroα)

Υπόθεση θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0

θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0

31

∆ιαγράmicromicroατα ελευθέρου σώmicroατος

I1θ1Τ

Ι =012

Με εφαρmicroογή του νόmicroου του Νεύτωνα

I prime1 middot θprime1 = T prime minus kprime1(θprime1 minus θ12)

I12 middot θ12 = 0 = kprime1(θprime1 minus θ12)minus c1(θ12 minus θ2)

I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)

I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3

και η τελική microορφή των εξισώσεων προκύπτει microετά από αντικατάσταση των T prime θprime1 kprime1

32

I1 middotN2 1N

θ1 = N middot T minus k1N2(

θ1

Nminus θ12

) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)

0 = k1N2(

θ1

Nminus θ12

)minus c1

(˙θ12 minus θ2

)

I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)

I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3

Εξισώσεις κίνησης

Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31

2ϐα-

ϑmicroών ελευθερίας

Λύση 27

+-υ

R L

i+-

υb

Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr

rArr υ = iR + Ldi

dt+ Kb middot ω (1)

I 1

T θ 1

Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0

θ1 gt θ2 gt 0

Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr

rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)

33

Cθ2

θ2I2

k(θ -θ )1 2

Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr

rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)

Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι

34

3η ΟΜΑ∆Α

Λύση 33

Εξισώσεις διατήρησης microάζας

dm1

dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)

dm2

dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)

οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2

αντίστοιχα

Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1

gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2

Επίσης m1 = A1h1

m2 = A2h2

Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g

R1h1

A2h2 = gR1

h1 + qm2 minus gR2

h2

∣∣∣∣∣∣

(1α)

(2α)

Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής

ddt

[h1

h2

]=

[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2

] [h1

h2

]+

[1A1 00 1A1

] [qm1

qm2

]

[h1

h2

]=

[1 00 1

] [h1

h2

]

35

Λύση 36

qh1

qhC2T2

i i

C1T1θερmicroική αντίσταση R2

θερmicroική αντίσταση R1

T3

Υπόθεση T2 T1 T3

qh2

R

Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε

Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα

Θερmicroοχωρητικότητα C1 d

dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)

Θερmicroοχωρητικότητα C2 d

dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)

Επιπρόσθετα

qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)

qh1 =T1 minus T3

R1

Θερmicroική αντίσταση R1 (4)

qh2 =T2 minus T1

R2

Θερmicroική αντίσταση R2 (5)

Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)

c1 middot dT1

dt= T2minusT1

R2minus T1minusT3

R1

c2 middot dT2

dt= i2 middotRminus T2minusT1

R2

∣∣∣∣∣∣

είσοδοι T3 i (6)

έξοδοι T1 T2 (7)

36

4η ΟΜΑ∆Α

Λύση 43

Μαθηmicroατικό microοντέλο

Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)

Εξαναγκασmicroένη απόκριση

Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)

χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3

Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e

minus3t (t ge 0)

microεh(0) = 0

h(0) = 1

rArr c1 + c2 = 0

minusc1 minus 3c2 = 1

rArr c1 = 12

c2 = minus12

άρα

h(t) =1

2eminust minus 1

2eminus3t (t ge 0) (2)

Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =

int t

0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =

int t

012

(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)

) middot (1 + τ) middot dτ

= 12eminust

int t

0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1

2eminus3t

int t

0e3τ (1 + τ) middot dτ

= 12eminust

[τ middot eτ

]t

τ=0minus 1

2eminus3t

[13e3τ (1 + τ)minus 1

9e3τ

]t

τ=0

= 12eminustt middot et minus 1

6eminus3t

[e3t(1 + t)minus 1

]+ 1

18eminus3t middot

[e3t minus 1

]

= 12tminus 1

6(1 + t) + 1

6eminus3t + 1

18minus 1

18eminus3t =

29

ΛΥΣΕΙΣ

1η ΟΜΑ∆Α

Λύση 12

(α) ῾῾Προσεγγιστική᾿᾿ τοποθέτηση καmicroπίνας

K ινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα θέση

καmicroπίνας

∆ιακόπτης(Κατευθυντής

τύπουΑνοικτόΚλειστό

ΤΕΛΙΚΟΣΤΟΙΧΕΙΟΕΛΕΓΧΟΥ

ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

Στη περίπτωση αυτή η ϑέση της καmicroπίνας umlmicroετράταιuml διακριτά microέσω microοχλών τοποθετη-microένων σε κάθε όροφο Ο microοχλός αυτός δρα σαν κατευθυντής ανοικτούκλειστού τύπου(κλειστός όταν η καmicroπίνα δεν είναι στο επίπεδο ορόφου ανοικτός όταν είναι)

(ϐ) Ακριβής τοποθέτηση καmicroπίνας

Ενισχυτής Κινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα

Αισθητήριοθέσης

αναφοράςθέση

ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΤΕΛΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑΕΛΕΓΧΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

θέση καmicroπίνας

Η ακριβής ϑέση της καmicroπίνας microπορεί να microετράται microε διάφορους τρόπους Ενας απλόςέmicromicroεσος τρόπος είναι microε microέτρηση του συρmicroατόσχοινου

30

Λύση 15

Πρόγραmicromicroακαθοδήγησης DA Eνισχυτής Κινητήρας Φορτίο

Ταχύmicroετρο

Αισθητήριοθέσης

(Encoder)

HY

+

-

τάση υ1

τάση υ 2

ΤΕΛΣΤΟΙΧΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ

Σχήmicroα 1 ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού Βρόχου

DA Μετατροπέας ψηφιακού σήmicroατος σε αναλογικόΣηmicro Ο ενισχυτής εκτελεί ουσιαστικά σύγκριση των τάσεων U1και U2 και ενισχύει τη

διαφορά τους U1 minus U2

2η ΟΜΑ∆Α

Λύση 26

Ισοδύναmicroο σύστηmicroα χωρίς γρανάζια microε αναγωγή στον δεξιό άξονα

k2 c 2T θΙ

k1 11

θ12

c1I12 =0I I32

θ 2 θ3

όπου T prime = N middot T I prime1 = I1N2

θprime1 = θ1Nkprime1 = k1N

2

Είναι ϕανερό ότι η γωνιακή microετατόπιση σηmicroείου microεταξύ του ελατηρίου kprime1 και του α-ποσβεστήρα c1 δεν περιγράφεται συναρτήσει των υπολοίπων ορισmicroένων microετατοπίσεων καιπρέπει να ορισθεί ανεξάρτητα Εστω ότι η microετατόπιση αυτή καλείται θ12 (ϐλδιάγραmicromicroα)Για την κατάστρωση των εξισώσεων κίνησης υποθέτω ότι στο σηmicroείο αυτό ευρίσκεταιαδράνεια microηδενικού microέτρου (I12 = 0 ) (ϐλ διάγραmicromicroα)

Υπόθεση θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0

θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0

31

∆ιαγράmicromicroατα ελευθέρου σώmicroατος

I1θ1Τ

Ι =012

Με εφαρmicroογή του νόmicroου του Νεύτωνα

I prime1 middot θprime1 = T prime minus kprime1(θprime1 minus θ12)

I12 middot θ12 = 0 = kprime1(θprime1 minus θ12)minus c1(θ12 minus θ2)

I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)

I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3

και η τελική microορφή των εξισώσεων προκύπτει microετά από αντικατάσταση των T prime θprime1 kprime1

32

I1 middotN2 1N

θ1 = N middot T minus k1N2(

θ1

Nminus θ12

) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)

0 = k1N2(

θ1

Nminus θ12

)minus c1

(˙θ12 minus θ2

)

I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)

I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3

Εξισώσεις κίνησης

Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31

2ϐα-

ϑmicroών ελευθερίας

Λύση 27

+-υ

R L

i+-

υb

Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr

rArr υ = iR + Ldi

dt+ Kb middot ω (1)

I 1

T θ 1

Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0

θ1 gt θ2 gt 0

Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr

rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)

33

Cθ2

θ2I2

k(θ -θ )1 2

Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr

rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)

Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι

34

3η ΟΜΑ∆Α

Λύση 33

Εξισώσεις διατήρησης microάζας

dm1

dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)

dm2

dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)

οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2

αντίστοιχα

Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1

gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2

Επίσης m1 = A1h1

m2 = A2h2

Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g

R1h1

A2h2 = gR1

h1 + qm2 minus gR2

h2

∣∣∣∣∣∣

(1α)

(2α)

Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής

ddt

[h1

h2

]=

[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2

] [h1

h2

]+

[1A1 00 1A1

] [qm1

qm2

]

[h1

h2

]=

[1 00 1

] [h1

h2

]

35

Λύση 36

qh1

qhC2T2

i i

C1T1θερmicroική αντίσταση R2

θερmicroική αντίσταση R1

T3

Υπόθεση T2 T1 T3

qh2

R

Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε

Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα

Θερmicroοχωρητικότητα C1 d

dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)

Θερmicroοχωρητικότητα C2 d

dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)

Επιπρόσθετα

qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)

qh1 =T1 minus T3

R1

Θερmicroική αντίσταση R1 (4)

qh2 =T2 minus T1

R2

Θερmicroική αντίσταση R2 (5)

Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)

c1 middot dT1

dt= T2minusT1

R2minus T1minusT3

R1

c2 middot dT2

dt= i2 middotRminus T2minusT1

R2

∣∣∣∣∣∣

είσοδοι T3 i (6)

έξοδοι T1 T2 (7)

36

4η ΟΜΑ∆Α

Λύση 43

Μαθηmicroατικό microοντέλο

Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)

Εξαναγκασmicroένη απόκριση

Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)

χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3

Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e

minus3t (t ge 0)

microεh(0) = 0

h(0) = 1

rArr c1 + c2 = 0

minusc1 minus 3c2 = 1

rArr c1 = 12

c2 = minus12

άρα

h(t) =1

2eminust minus 1

2eminus3t (t ge 0) (2)

Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =

int t

0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =

int t

012

(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)

) middot (1 + τ) middot dτ

= 12eminust

int t

0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1

2eminus3t

int t

0e3τ (1 + τ) middot dτ

= 12eminust

[τ middot eτ

]t

τ=0minus 1

2eminus3t

[13e3τ (1 + τ)minus 1

9e3τ

]t

τ=0

= 12eminustt middot et minus 1

6eminus3t

[e3t(1 + t)minus 1

]+ 1

18eminus3t middot

[e3t minus 1

]

= 12tminus 1

6(1 + t) + 1

6eminus3t + 1

18minus 1

18eminus3t =

30

Λύση 15

Πρόγραmicromicroακαθοδήγησης DA Eνισχυτής Κινητήρας Φορτίο

Ταχύmicroετρο

Αισθητήριοθέσης

(Encoder)

HY

+

-

τάση υ1

τάση υ 2

ΤΕΛΣΤΟΙΧΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ

Σχήmicroα 1 ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού Βρόχου

DA Μετατροπέας ψηφιακού σήmicroατος σε αναλογικόΣηmicro Ο ενισχυτής εκτελεί ουσιαστικά σύγκριση των τάσεων U1και U2 και ενισχύει τη

διαφορά τους U1 minus U2

2η ΟΜΑ∆Α

Λύση 26

Ισοδύναmicroο σύστηmicroα χωρίς γρανάζια microε αναγωγή στον δεξιό άξονα

k2 c 2T θΙ

k1 11

θ12

c1I12 =0I I32

θ 2 θ3

όπου T prime = N middot T I prime1 = I1N2

θprime1 = θ1Nkprime1 = k1N

2

Είναι ϕανερό ότι η γωνιακή microετατόπιση σηmicroείου microεταξύ του ελατηρίου kprime1 και του α-ποσβεστήρα c1 δεν περιγράφεται συναρτήσει των υπολοίπων ορισmicroένων microετατοπίσεων καιπρέπει να ορισθεί ανεξάρτητα Εστω ότι η microετατόπιση αυτή καλείται θ12 (ϐλδιάγραmicromicroα)Για την κατάστρωση των εξισώσεων κίνησης υποθέτω ότι στο σηmicroείο αυτό ευρίσκεταιαδράνεια microηδενικού microέτρου (I12 = 0 ) (ϐλ διάγραmicromicroα)

Υπόθεση θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0

θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0

31

∆ιαγράmicromicroατα ελευθέρου σώmicroατος

I1θ1Τ

Ι =012

Με εφαρmicroογή του νόmicroου του Νεύτωνα

I prime1 middot θprime1 = T prime minus kprime1(θprime1 minus θ12)

I12 middot θ12 = 0 = kprime1(θprime1 minus θ12)minus c1(θ12 minus θ2)

I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)

I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3

και η τελική microορφή των εξισώσεων προκύπτει microετά από αντικατάσταση των T prime θprime1 kprime1

32

I1 middotN2 1N

θ1 = N middot T minus k1N2(

θ1

Nminus θ12

) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)

0 = k1N2(

θ1

Nminus θ12

)minus c1

(˙θ12 minus θ2

)

I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)

I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3

Εξισώσεις κίνησης

Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31

2ϐα-

ϑmicroών ελευθερίας

Λύση 27

+-υ

R L

i+-

υb

Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr

rArr υ = iR + Ldi

dt+ Kb middot ω (1)

I 1

T θ 1

Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0

θ1 gt θ2 gt 0

Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr

rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)

33

Cθ2

θ2I2

k(θ -θ )1 2

Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr

rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)

Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι

34

3η ΟΜΑ∆Α

Λύση 33

Εξισώσεις διατήρησης microάζας

dm1

dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)

dm2

dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)

οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2

αντίστοιχα

Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1

gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2

Επίσης m1 = A1h1

m2 = A2h2

Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g

R1h1

A2h2 = gR1

h1 + qm2 minus gR2

h2

∣∣∣∣∣∣

(1α)

(2α)

Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής

ddt

[h1

h2

]=

[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2

] [h1

h2

]+

[1A1 00 1A1

] [qm1

qm2

]

[h1

h2

]=

[1 00 1

] [h1

h2

]

35

Λύση 36

qh1

qhC2T2

i i

C1T1θερmicroική αντίσταση R2

θερmicroική αντίσταση R1

T3

Υπόθεση T2 T1 T3

qh2

R

Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε

Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα

Θερmicroοχωρητικότητα C1 d

dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)

Θερmicroοχωρητικότητα C2 d

dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)

Επιπρόσθετα

qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)

qh1 =T1 minus T3

R1

Θερmicroική αντίσταση R1 (4)

qh2 =T2 minus T1

R2

Θερmicroική αντίσταση R2 (5)

Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)

c1 middot dT1

dt= T2minusT1

R2minus T1minusT3

R1

c2 middot dT2

dt= i2 middotRminus T2minusT1

R2

∣∣∣∣∣∣

είσοδοι T3 i (6)

έξοδοι T1 T2 (7)

36

4η ΟΜΑ∆Α

Λύση 43

Μαθηmicroατικό microοντέλο

Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)

Εξαναγκασmicroένη απόκριση

Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)

χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3

Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e

minus3t (t ge 0)

microεh(0) = 0

h(0) = 1

rArr c1 + c2 = 0

minusc1 minus 3c2 = 1

rArr c1 = 12

c2 = minus12

άρα

h(t) =1

2eminust minus 1

2eminus3t (t ge 0) (2)

Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =

int t

0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =

int t

012

(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)

) middot (1 + τ) middot dτ

= 12eminust

int t

0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1

2eminus3t

int t

0e3τ (1 + τ) middot dτ

= 12eminust

[τ middot eτ

]t

τ=0minus 1

2eminus3t

[13e3τ (1 + τ)minus 1

9e3τ

]t

τ=0

= 12eminustt middot et minus 1

6eminus3t

[e3t(1 + t)minus 1

]+ 1

18eminus3t middot

[e3t minus 1

]

= 12tminus 1

6(1 + t) + 1

6eminus3t + 1

18minus 1

18eminus3t =

31

∆ιαγράmicromicroατα ελευθέρου σώmicroατος

I1θ1Τ

Ι =012

Με εφαρmicroογή του νόmicroου του Νεύτωνα

I prime1 middot θprime1 = T prime minus kprime1(θprime1 minus θ12)

I12 middot θ12 = 0 = kprime1(θprime1 minus θ12)minus c1(θ12 minus θ2)

I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)

I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3

και η τελική microορφή των εξισώσεων προκύπτει microετά από αντικατάσταση των T prime θprime1 kprime1

32

I1 middotN2 1N

θ1 = N middot T minus k1N2(

θ1

Nminus θ12

) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)

0 = k1N2(

θ1

Nminus θ12

)minus c1

(˙θ12 minus θ2

)

I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)

I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3

Εξισώσεις κίνησης

Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31

2ϐα-

ϑmicroών ελευθερίας

Λύση 27

+-υ

R L

i+-

υb

Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr

rArr υ = iR + Ldi

dt+ Kb middot ω (1)

I 1

T θ 1

Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0

θ1 gt θ2 gt 0

Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr

rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)

33

Cθ2

θ2I2

k(θ -θ )1 2

Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr

rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)

Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι

34

3η ΟΜΑ∆Α

Λύση 33

Εξισώσεις διατήρησης microάζας

dm1

dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)

dm2

dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)

οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2

αντίστοιχα

Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1

gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2

Επίσης m1 = A1h1

m2 = A2h2

Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g

R1h1

A2h2 = gR1

h1 + qm2 minus gR2

h2

∣∣∣∣∣∣

(1α)

(2α)

Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής

ddt

[h1

h2

]=

[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2

] [h1

h2

]+

[1A1 00 1A1

] [qm1

qm2

]

[h1

h2

]=

[1 00 1

] [h1

h2

]

35

Λύση 36

qh1

qhC2T2

i i

C1T1θερmicroική αντίσταση R2

θερmicroική αντίσταση R1

T3

Υπόθεση T2 T1 T3

qh2

R

Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε

Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα

Θερmicroοχωρητικότητα C1 d

dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)

Θερmicroοχωρητικότητα C2 d

dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)

Επιπρόσθετα

qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)

qh1 =T1 minus T3

R1

Θερmicroική αντίσταση R1 (4)

qh2 =T2 minus T1

R2

Θερmicroική αντίσταση R2 (5)

Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)

c1 middot dT1

dt= T2minusT1

R2minus T1minusT3

R1

c2 middot dT2

dt= i2 middotRminus T2minusT1

R2

∣∣∣∣∣∣

είσοδοι T3 i (6)

έξοδοι T1 T2 (7)

36

4η ΟΜΑ∆Α

Λύση 43

Μαθηmicroατικό microοντέλο

Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)

Εξαναγκασmicroένη απόκριση

Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)

χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3

Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e

minus3t (t ge 0)

microεh(0) = 0

h(0) = 1

rArr c1 + c2 = 0

minusc1 minus 3c2 = 1

rArr c1 = 12

c2 = minus12

άρα

h(t) =1

2eminust minus 1

2eminus3t (t ge 0) (2)

Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =

int t

0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =

int t

012

(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)

) middot (1 + τ) middot dτ

= 12eminust

int t

0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1

2eminus3t

int t

0e3τ (1 + τ) middot dτ

= 12eminust

[τ middot eτ

]t

τ=0minus 1

2eminus3t

[13e3τ (1 + τ)minus 1

9e3τ

]t

τ=0

= 12eminustt middot et minus 1

6eminus3t

[e3t(1 + t)minus 1

]+ 1

18eminus3t middot

[e3t minus 1

]

= 12tminus 1

6(1 + t) + 1

6eminus3t + 1

18minus 1

18eminus3t =

32

I1 middotN2 1N

θ1 = N middot T minus k1N2(

θ1

Nminus θ12

) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)

0 = k1N2(

θ1

Nminus θ12

)minus c1

(˙θ12 minus θ2

)

I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)

I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3

Εξισώσεις κίνησης

Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31

2ϐα-

ϑmicroών ελευθερίας

Λύση 27

+-υ

R L

i+-

υb

Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr

rArr υ = iR + Ldi

dt+ Kb middot ω (1)

I 1

T θ 1

Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0

θ1 gt θ2 gt 0

Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr

rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)

33

Cθ2

θ2I2

k(θ -θ )1 2

Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr

rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)

Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι

34

3η ΟΜΑ∆Α

Λύση 33

Εξισώσεις διατήρησης microάζας

dm1

dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)

dm2

dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)

οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2

αντίστοιχα

Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1

gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2

Επίσης m1 = A1h1

m2 = A2h2

Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g

R1h1

A2h2 = gR1

h1 + qm2 minus gR2

h2

∣∣∣∣∣∣

(1α)

(2α)

Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής

ddt

[h1

h2

]=

[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2

] [h1

h2

]+

[1A1 00 1A1

] [qm1

qm2

]

[h1

h2

]=

[1 00 1

] [h1

h2

]

35

Λύση 36

qh1

qhC2T2

i i

C1T1θερmicroική αντίσταση R2

θερmicroική αντίσταση R1

T3

Υπόθεση T2 T1 T3

qh2

R

Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε

Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα

Θερmicroοχωρητικότητα C1 d

dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)

Θερmicroοχωρητικότητα C2 d

dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)

Επιπρόσθετα

qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)

qh1 =T1 minus T3

R1

Θερmicroική αντίσταση R1 (4)

qh2 =T2 minus T1

R2

Θερmicroική αντίσταση R2 (5)

Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)

c1 middot dT1

dt= T2minusT1

R2minus T1minusT3

R1

c2 middot dT2

dt= i2 middotRminus T2minusT1

R2

∣∣∣∣∣∣

είσοδοι T3 i (6)

έξοδοι T1 T2 (7)

36

4η ΟΜΑ∆Α

Λύση 43

Μαθηmicroατικό microοντέλο

Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)

Εξαναγκασmicroένη απόκριση

Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)

χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3

Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e

minus3t (t ge 0)

microεh(0) = 0

h(0) = 1

rArr c1 + c2 = 0

minusc1 minus 3c2 = 1

rArr c1 = 12

c2 = minus12

άρα

h(t) =1

2eminust minus 1

2eminus3t (t ge 0) (2)

Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =

int t

0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =

int t

012

(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)

) middot (1 + τ) middot dτ

= 12eminust

int t

0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1

2eminus3t

int t

0e3τ (1 + τ) middot dτ

= 12eminust

[τ middot eτ

]t

τ=0minus 1

2eminus3t

[13e3τ (1 + τ)minus 1

9e3τ

]t

τ=0

= 12eminustt middot et minus 1

6eminus3t

[e3t(1 + t)minus 1

]+ 1

18eminus3t middot

[e3t minus 1

]

= 12tminus 1

6(1 + t) + 1

6eminus3t + 1

18minus 1

18eminus3t =

33

Cθ2

θ2I2

k(θ -θ )1 2

Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr

rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)

Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι

34

3η ΟΜΑ∆Α

Λύση 33

Εξισώσεις διατήρησης microάζας

dm1

dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)

dm2

dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)

οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2

αντίστοιχα

Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1

gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2

Επίσης m1 = A1h1

m2 = A2h2

Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g

R1h1

A2h2 = gR1

h1 + qm2 minus gR2

h2

∣∣∣∣∣∣

(1α)

(2α)

Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής

ddt

[h1

h2

]=

[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2

] [h1

h2

]+

[1A1 00 1A1

] [qm1

qm2

]

[h1

h2

]=

[1 00 1

] [h1

h2

]

35

Λύση 36

qh1

qhC2T2

i i

C1T1θερmicroική αντίσταση R2

θερmicroική αντίσταση R1

T3

Υπόθεση T2 T1 T3

qh2

R

Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε

Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα

Θερmicroοχωρητικότητα C1 d

dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)

Θερmicroοχωρητικότητα C2 d

dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)

Επιπρόσθετα

qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)

qh1 =T1 minus T3

R1

Θερmicroική αντίσταση R1 (4)

qh2 =T2 minus T1

R2

Θερmicroική αντίσταση R2 (5)

Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)

c1 middot dT1

dt= T2minusT1

R2minus T1minusT3

R1

c2 middot dT2

dt= i2 middotRminus T2minusT1

R2

∣∣∣∣∣∣

είσοδοι T3 i (6)

έξοδοι T1 T2 (7)

36

4η ΟΜΑ∆Α

Λύση 43

Μαθηmicroατικό microοντέλο

Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)

Εξαναγκασmicroένη απόκριση

Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)

χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3

Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e

minus3t (t ge 0)

microεh(0) = 0

h(0) = 1

rArr c1 + c2 = 0

minusc1 minus 3c2 = 1

rArr c1 = 12

c2 = minus12

άρα

h(t) =1

2eminust minus 1

2eminus3t (t ge 0) (2)

Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =

int t

0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =

int t

012

(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)

) middot (1 + τ) middot dτ

= 12eminust

int t

0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1

2eminus3t

int t

0e3τ (1 + τ) middot dτ

= 12eminust

[τ middot eτ

]t

τ=0minus 1

2eminus3t

[13e3τ (1 + τ)minus 1

9e3τ

]t

τ=0

= 12eminustt middot et minus 1

6eminus3t

[e3t(1 + t)minus 1

]+ 1

18eminus3t middot

[e3t minus 1

]

= 12tminus 1

6(1 + t) + 1

6eminus3t + 1

18minus 1

18eminus3t =

34

3η ΟΜΑ∆Α

Λύση 33

Εξισώσεις διατήρησης microάζας

dm1

dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)

dm2

dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)

οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2

αντίστοιχα

Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1

gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2

Επίσης m1 = A1h1

m2 = A2h2

Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g

R1h1

A2h2 = gR1

h1 + qm2 minus gR2

h2

∣∣∣∣∣∣

(1α)

(2α)

Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής

ddt

[h1

h2

]=

[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2

] [h1

h2

]+

[1A1 00 1A1

] [qm1

qm2

]

[h1

h2

]=

[1 00 1

] [h1

h2

]

35

Λύση 36

qh1

qhC2T2

i i

C1T1θερmicroική αντίσταση R2

θερmicroική αντίσταση R1

T3

Υπόθεση T2 T1 T3

qh2

R

Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε

Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα

Θερmicroοχωρητικότητα C1 d

dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)

Θερmicroοχωρητικότητα C2 d

dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)

Επιπρόσθετα

qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)

qh1 =T1 minus T3

R1

Θερmicroική αντίσταση R1 (4)

qh2 =T2 minus T1

R2

Θερmicroική αντίσταση R2 (5)

Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)

c1 middot dT1

dt= T2minusT1

R2minus T1minusT3

R1

c2 middot dT2

dt= i2 middotRminus T2minusT1

R2

∣∣∣∣∣∣

είσοδοι T3 i (6)

έξοδοι T1 T2 (7)

36

4η ΟΜΑ∆Α

Λύση 43

Μαθηmicroατικό microοντέλο

Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)

Εξαναγκασmicroένη απόκριση

Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)

χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3

Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e

minus3t (t ge 0)

microεh(0) = 0

h(0) = 1

rArr c1 + c2 = 0

minusc1 minus 3c2 = 1

rArr c1 = 12

c2 = minus12

άρα

h(t) =1

2eminust minus 1

2eminus3t (t ge 0) (2)

Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =

int t

0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =

int t

012

(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)

) middot (1 + τ) middot dτ

= 12eminust

int t

0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1

2eminus3t

int t

0e3τ (1 + τ) middot dτ

= 12eminust

[τ middot eτ

]t

τ=0minus 1

2eminus3t

[13e3τ (1 + τ)minus 1

9e3τ

]t

τ=0

= 12eminustt middot et minus 1

6eminus3t

[e3t(1 + t)minus 1

]+ 1

18eminus3t middot

[e3t minus 1

]

= 12tminus 1

6(1 + t) + 1

6eminus3t + 1

18minus 1

18eminus3t =

35

Λύση 36

qh1

qhC2T2

i i

C1T1θερmicroική αντίσταση R2

θερmicroική αντίσταση R1

T3

Υπόθεση T2 T1 T3

qh2

R

Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε

Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα

Θερmicroοχωρητικότητα C1 d

dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)

Θερmicroοχωρητικότητα C2 d

dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)

Επιπρόσθετα

qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)

qh1 =T1 minus T3

R1

Θερmicroική αντίσταση R1 (4)

qh2 =T2 minus T1

R2

Θερmicroική αντίσταση R2 (5)

Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)

c1 middot dT1

dt= T2minusT1

R2minus T1minusT3

R1

c2 middot dT2

dt= i2 middotRminus T2minusT1

R2

∣∣∣∣∣∣

είσοδοι T3 i (6)

έξοδοι T1 T2 (7)

36

4η ΟΜΑ∆Α

Λύση 43

Μαθηmicroατικό microοντέλο

Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)

Εξαναγκασmicroένη απόκριση

Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)

χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3

Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e

minus3t (t ge 0)

microεh(0) = 0

h(0) = 1

rArr c1 + c2 = 0

minusc1 minus 3c2 = 1

rArr c1 = 12

c2 = minus12

άρα

h(t) =1

2eminust minus 1

2eminus3t (t ge 0) (2)

Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =

int t

0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =

int t

012

(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)

) middot (1 + τ) middot dτ

= 12eminust

int t

0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1

2eminus3t

int t

0e3τ (1 + τ) middot dτ

= 12eminust

[τ middot eτ

]t

τ=0minus 1

2eminus3t

[13e3τ (1 + τ)minus 1

9e3τ

]t

τ=0

= 12eminustt middot et minus 1

6eminus3t

[e3t(1 + t)minus 1

]+ 1

18eminus3t middot

[e3t minus 1

]

= 12tminus 1

6(1 + t) + 1

6eminus3t + 1

18minus 1

18eminus3t =

36

4η ΟΜΑ∆Α

Λύση 43

Μαθηmicroατικό microοντέλο

Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)

Εξαναγκασmicroένη απόκριση

Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)

χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3

Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e

minus3t (t ge 0)

microεh(0) = 0

h(0) = 1

rArr c1 + c2 = 0

minusc1 minus 3c2 = 1

rArr c1 = 12

c2 = minus12

άρα

h(t) =1

2eminust minus 1

2eminus3t (t ge 0) (2)

Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =

int t

0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =

int t

012

(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)

) middot (1 + τ) middot dτ

= 12eminust

int t

0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1

2eminus3t

int t

0e3τ (1 + τ) middot dτ

= 12eminust

[τ middot eτ

]t

τ=0minus 1

2eminus3t

[13e3τ (1 + τ)minus 1

9e3τ

]t

τ=0

= 12eminustt middot et minus 1

6eminus3t

[e3t(1 + t)minus 1

]+ 1

18eminus3t middot

[e3t minus 1

]

= 12tminus 1

6(1 + t) + 1

6eminus3t + 1

18minus 1

18eminus3t =

37

= minus1

9+

1

3t +

1

9eminus3t (3)

(t ge 0)

Ελεύθερη απόκριση

yελ(t) = c1eminust + c2e

minus3t (t ge 0)

yελ(0) = 0 hArr c1 + c2 = 0yελ(0) = 2 hArr minusc1 minus 3c2 = 2

rArr c1 = 1

c2 = minus1

Εποmicroένως yελ(t) = eminust minus eminus3t (t ge 0) (4)

Συνολική απόκριση

y(t) = yελ(t) + yεξ(t) = minus1

9+

1

3t + eminust minus 8

9eminus3t (t ge 0) (5)

Τmicroήmicroα Μόνιmicroης Κατάστασης

yss(t) =1

9+minus1

3t (t ge 0) (6)

Μεταβατικό τmicroήmicroα

yτ (t) = eminust minus 8

9eminus3t (t ge 0) (7)

Λύση 45

Κατάστρωση microαθηmicroατικού microοντέλου

Υπόθεση x gt y gt 0x gt y gt 0

Νόmicroος Νεύτωνα

my = c2(xminus y) + k2(xminus y)minus k1y minus c1y rArr

rArr my + (c1 + c2)y + (k1 + k2)y = k2x + c2x

rArr y + 3y + 4y = 2x + 2x (1)

Υπολσmicroός ϐαρυτικής συνάρτησης του συστήmicroατος y + 3y + 4y = x

38

y

m

Χαρακτηριστική λ2 + 3λ + 4 = 0 rArr λ12 = minus3plusmnjradic

72

και η ϐαρυτική είναι της microορφής

h1(t) = eminus32t[(α + jβ) middot ej

radic7

2t + (αminus jβ) middot eminusj

radic7

2(t)]

rArr h1(t) = eminus32t[(α + jβ)

(cos

radic7

2t + jsin

radic7

2t)

+ (αminus jβ) middot (cosradic

72

tminus jsinradic

72

t)]

rArr h1(t) = eminus32t[2α middot cos

radic7

2tminus 2β middot

radic7

2t]

rArr h1(t) = 2eminus32t middot

[α middot

radic7

2tminus β middot sin

radic7

2t]

(t ge 0) (2)

Τα α β υπολογίζονται απο τις συνθήκες

h1(0) = 0 rArr 2α = 0 rArr α = 0 (3)

h1(0) = 1 rArr +3eminus32t middot βsin

radic7

2tminus 2eminus

32t middot β middot cos

radic7

2t middot

radic7

2 t=0 = 1

rArr minus2 middot βradic

72

= 1 rArr β = minus1radic

7 (4)

Εποmicroένως

h1(t) =2radic7eminus

32t middot sin

radic7

2t (t ge 0) (5)

Υπολσmicroός εξαναγκασmicroένης απόκρισης του y + 3y + 4y = 2x + 2x

39

Από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξης

yεξ(t) =

int t

0

h1(tminus τ) middot[2x(τ) + 2

dx(τ)

dτ

]middot dτ (6)

Εποmicroένως ϑα έχουmicroε

α) Χρονικό διάστηmicroα [0 1]

yεξ =2radic7

int t

0

eminus32(tminusτ) middot sin

radic7

2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ (7)

ϐ) Χρονικό διάστηmicroα [1 3)

yεξ(t) =2radic7

int 1

0

eminus32(tminusτ) middot sin

radic7

2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ+

+2radic7

int t

1

eminus32(tminusτ) middot sin

radic7

2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ (8)

γ) Χρονικό διάστηmicroα [3infin)

yεξ(t) = 2radic7

int 1

0eminus

32(tminusτ) middot sin

radic7

2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ

+ 2radic7

int 3minus

1eminus

32(tminusτ) middot sin

radic7

2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ

+ 7radic7

int t

3minus eminus32(tminusτ middot sin

radic7

2(tminus τ) middot [0 + 2 middot δ(τ minus 3)] middot dτ

(9)

Το microεταβατικό τmicroήmicroα της απόκρισης αποτελείται από την (7)(8) και το τmicroήmicroα της (9)που τείνει στο microηδέν για t rarrinfin Το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης είναι το microέρος της (9) πουδεν microηδενίζεται για t rarrinfin

40

5η ΟΜΑ∆Α

Λύση 55

bull Μοντελοποίηση του υδραυλικού συστήmicroατος

d

dt(A middot h middot ρ) = qm minus qprimem (1)

όπου qprimem παροχή microάζας από τη δεξαmicroενή προς το περιβάλλονΑπό την αντίσταση στρωτής ϱοής

qprimem =gh

R(2)

και αντικαθιστώντας την (2) στην (1) έχουmicroε

A middot middot h +g

Rh = qm rArr h +

g

RAmiddot h =

1

Amiddot qm rArr h + 001h = 10minus5 middot qm (3)

bull Μετσmicroός Laplace της εισόδου

Μέθοδος Α Παρατηρούmicroε ότι η είσοδος περιγράφεται ως

qm(t) = 4r(t)minus 8r(tminus 2) + 4r(tminus 4) (4)

microε r(t) = t (συνάρτηση αναρρίχησης)Εποmicroένως χρησιmicroοποιώντας τις ιδιότητες του microετσmicroού Laplace και λαmicroβάνοντας

υπόψιν ότι R(s) = 1s2 έχουmicroε από την (4)

Qm(s) =4

s2minus 8

s2eminus2s +

4

s2eminus4s (5)

Μέθοδος ΒΕφαρmicroόζουmicroε τον ορισmicroό του microετσmicroού

41

Qm(s) =intinfin

0qm(t) middot eminusst middot dt

=int 2

04teminusstdt +

int 4

2(minus4t + 16)eminusstdt

= 4minus2

seminus2s + 1

s2 minus 1s2 e

minus2sminus 4

minus1

s(4eminus4s minus 2eminus2s)

minus 1s2

(eminus4s minus eminus2s

)+ 16

(minus1s

)middot

eminus4s minus eminus2s

= 4s2 minus 8

s2 eminus2s + 4

s2 eminus4s

(6)

bull Υπολογισmicroός της απόκρισης

Από την (3)

H(s) =10minus5

s + 001Qm(s) rArr

rArr H(s) =4 middot 10minus5

s + 001

1

s2

[1minus 2 middot eminus2s + eminus4s

](7)

Ορίζοντας σαν

f(t) = Lminus1

[4 middot 10minus5

(s + 001)s2

](8)

και χρησιmicroοποιώντας ιδιότητες του microετσmicroού Laplace η (7) δίνει

h(t) = f(t)minus 2f(tminus 2) + f(tminus 4) (t gt 4) (9)

Οσον αφορά την (8) έχουmicroε

f(t) = 4 middot 10minus5 middot[minus104 middot u(t) + 102 middot t + 104eminus001t

]rArr

rArr f(t) = 4

[minus10minus1 middot u(t) + 10minus3t + 10minus1eminus001t

](10)

(u(t) 1 t gt 0)

και εποmicroένως microε αντικατάσταση στην (9)

42

h(t) = 4 middot 10minus1

[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t

]0 le t le 2

h(t) = 4 middot 10minus1

[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2 middot u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)minus 2eminus001(tminus2)

]2 le t le 4

h(t) = 4 middot 10minus1

[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)

minus 2eminus001(tminus2) minus u(tminus 4) + 10minus2(tminus 4) + eminus001(tminus4)

]4 le t le infin

(11)Παρατηρείστε ότι ολόκληρη η απόκριση είναι microεταβατική (το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάσ-

τασης είναι microηδέν)

Λύση 56

∆ιαφορική Εξίσωση

my + c middot y + ky = f rArr y + 4y + 8y = f (1)

Μετσmicroός Laplace

[s2Y (s)minus s middot y(0)minus y(0)] + 4[s middot Y (s)minus y(0)] + 8 middot Y (s) = F (s) rArr

rArr Y (s) =1

s2 + 4s + 8+

1

s2 + 4s + 8F (s)

και για F (s) = 2s

Y (s) =s + 2

s(s2 + 4s + 8)(2)

Αντίστροφος microετσmicroος Laplace

Y (s) =s + 2

s(s2 + 4s + 8)=

A

(s + 2minus 2j)+

Alowast

(s + 2 + 2j)+

B

s

όπου

43

A = s+2s(s+2+2j)

s=minus2+2j

= 2j(minus2+2j)4j

= 14(minus1+j)

= minus1minusj8

B = s+2s2+4s+8

s=0

= 14

και εποmicroένως

y(t) =1

8

[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t

]+

1

4u(t) =

=1

8eminus2t

[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)

]+

1

4u(t)

=1

8eminus2t

[minus2cos2t + 2sin2t

]+

1

4u(t) (t ge 0) (3)

Τmicroήmicroα microεταβατικό

yτ (t) =1

8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)

Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης

yss(t) =1

4u(t) (t ge 0) (5)

44

6η ΟΜΑ∆Α

Λύση 65

∆ιαφορική εξίσωση

Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)

Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης

θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0

έχουmicroε

ωn = 22ζωn = c

=rArr ωn = 2(rs)

ζ = c4

Προδιαγραφές(α)

Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)

Αρα c

4ge 046 rArr c ge 184 (2)

(ϐ)tr =

π minus β

ωn

radic1minus ζ2

=π minus β

2radic

1minus ζ2le 3(secs)

όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2

Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε

tr le 3(secs) hArr J le 09

Αρα c

4le 09 rArr c le 36 (3)

(γ)ts =

4

ζωn

=4

2ζ=

2

ζle 3(secs) rArr ζ ge 2

3

Αρα c

4ge 2

3rArr c ge 8

3(4)

45

ζ

tr

3

0095

Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]

Λύση 66

(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού

συστήmicroατος είναι

d

dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)

d

dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)

qm1 =gh1

R1

ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)

qm2 =gh2

R2

ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)

Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε

A1h1 = qm minus gR1

h1

A2h2 = gR1

h1 minus gR2middot h2

rArr

h1 = minus gR1A1

middot h1 + 1A1

qm (5α)

h2 = minus gR2A2

middot h2 + gR1A2

middot h1 (5β)

ή σε διανυσmicroατική microορφή

39

Από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξης

yεξ(t) =

int t

0

h1(tminus τ) middot[2x(τ) + 2

dx(τ)

dτ

]middot dτ (6)

Εποmicroένως ϑα έχουmicroε

α) Χρονικό διάστηmicroα [0 1]

yεξ =2radic7

int t

0

eminus32(tminusτ) middot sin

radic7

2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ (7)

ϐ) Χρονικό διάστηmicroα [1 3)

yεξ(t) =2radic7

int 1

0

eminus32(tminusτ) middot sin

radic7

2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ+

+2radic7

int t

1

eminus32(tminusτ) middot sin

radic7

2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ (8)

γ) Χρονικό διάστηmicroα [3infin)

yεξ(t) = 2radic7

int 1

0eminus

32(tminusτ) middot sin

radic7

2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ

+ 2radic7

int 3minus

1eminus

32(tminusτ) middot sin

radic7

2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ

+ 7radic7

int t

3minus eminus32(tminusτ middot sin

radic7

2(tminus τ) middot [0 + 2 middot δ(τ minus 3)] middot dτ

(9)

Το microεταβατικό τmicroήmicroα της απόκρισης αποτελείται από την (7)(8) και το τmicroήmicroα της (9)που τείνει στο microηδέν για t rarrinfin Το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης είναι το microέρος της (9) πουδεν microηδενίζεται για t rarrinfin

40

5η ΟΜΑ∆Α

Λύση 55

bull Μοντελοποίηση του υδραυλικού συστήmicroατος

d

dt(A middot h middot ρ) = qm minus qprimem (1)

όπου qprimem παροχή microάζας από τη δεξαmicroενή προς το περιβάλλονΑπό την αντίσταση στρωτής ϱοής

qprimem =gh

R(2)

και αντικαθιστώντας την (2) στην (1) έχουmicroε

A middot middot h +g

Rh = qm rArr h +

g

RAmiddot h =

1

Amiddot qm rArr h + 001h = 10minus5 middot qm (3)

bull Μετσmicroός Laplace της εισόδου

Μέθοδος Α Παρατηρούmicroε ότι η είσοδος περιγράφεται ως

qm(t) = 4r(t)minus 8r(tminus 2) + 4r(tminus 4) (4)

microε r(t) = t (συνάρτηση αναρρίχησης)Εποmicroένως χρησιmicroοποιώντας τις ιδιότητες του microετσmicroού Laplace και λαmicroβάνοντας

υπόψιν ότι R(s) = 1s2 έχουmicroε από την (4)

Qm(s) =4

s2minus 8

s2eminus2s +

4

s2eminus4s (5)

Μέθοδος ΒΕφαρmicroόζουmicroε τον ορισmicroό του microετσmicroού

41

Qm(s) =intinfin

0qm(t) middot eminusst middot dt

=int 2

04teminusstdt +

int 4

2(minus4t + 16)eminusstdt

= 4minus2

seminus2s + 1

s2 minus 1s2 e

minus2sminus 4

minus1

s(4eminus4s minus 2eminus2s)

minus 1s2

(eminus4s minus eminus2s

)+ 16

(minus1s

)middot

eminus4s minus eminus2s

= 4s2 minus 8

s2 eminus2s + 4

s2 eminus4s

(6)

bull Υπολογισmicroός της απόκρισης

Από την (3)

H(s) =10minus5

s + 001Qm(s) rArr

rArr H(s) =4 middot 10minus5

s + 001

1

s2

[1minus 2 middot eminus2s + eminus4s

](7)

Ορίζοντας σαν

f(t) = Lminus1

[4 middot 10minus5

(s + 001)s2

](8)

και χρησιmicroοποιώντας ιδιότητες του microετσmicroού Laplace η (7) δίνει

h(t) = f(t)minus 2f(tminus 2) + f(tminus 4) (t gt 4) (9)

Οσον αφορά την (8) έχουmicroε

f(t) = 4 middot 10minus5 middot[minus104 middot u(t) + 102 middot t + 104eminus001t

]rArr

rArr f(t) = 4

[minus10minus1 middot u(t) + 10minus3t + 10minus1eminus001t

](10)

(u(t) 1 t gt 0)

και εποmicroένως microε αντικατάσταση στην (9)

42

h(t) = 4 middot 10minus1

[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t

]0 le t le 2

h(t) = 4 middot 10minus1

[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2 middot u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)minus 2eminus001(tminus2)

]2 le t le 4

h(t) = 4 middot 10minus1

[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)

minus 2eminus001(tminus2) minus u(tminus 4) + 10minus2(tminus 4) + eminus001(tminus4)

]4 le t le infin

(11)Παρατηρείστε ότι ολόκληρη η απόκριση είναι microεταβατική (το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάσ-

τασης είναι microηδέν)

Λύση 56

∆ιαφορική Εξίσωση

my + c middot y + ky = f rArr y + 4y + 8y = f (1)

Μετσmicroός Laplace

[s2Y (s)minus s middot y(0)minus y(0)] + 4[s middot Y (s)minus y(0)] + 8 middot Y (s) = F (s) rArr

rArr Y (s) =1

s2 + 4s + 8+

1

s2 + 4s + 8F (s)

και για F (s) = 2s

Y (s) =s + 2

s(s2 + 4s + 8)(2)

Αντίστροφος microετσmicroος Laplace

Y (s) =s + 2

s(s2 + 4s + 8)=

A

(s + 2minus 2j)+

Alowast

(s + 2 + 2j)+

B

s

όπου

43

A = s+2s(s+2+2j)

s=minus2+2j

= 2j(minus2+2j)4j

= 14(minus1+j)

= minus1minusj8

B = s+2s2+4s+8

s=0

= 14

και εποmicroένως

y(t) =1

8

[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t

]+

1

4u(t) =

=1

8eminus2t

[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)

]+

1

4u(t)

=1

8eminus2t

[minus2cos2t + 2sin2t

]+

1

4u(t) (t ge 0) (3)

Τmicroήmicroα microεταβατικό

yτ (t) =1

8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)

Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης

yss(t) =1

4u(t) (t ge 0) (5)

44

6η ΟΜΑ∆Α

Λύση 65

∆ιαφορική εξίσωση

Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)

Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης

θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0

έχουmicroε

ωn = 22ζωn = c

=rArr ωn = 2(rs)

ζ = c4

Προδιαγραφές(α)

Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)

Αρα c

4ge 046 rArr c ge 184 (2)

(ϐ)tr =

π minus β

ωn

radic1minus ζ2

=π minus β

2radic

1minus ζ2le 3(secs)

όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2

Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε

tr le 3(secs) hArr J le 09

Αρα c

4le 09 rArr c le 36 (3)

(γ)ts =

4

ζωn

=4

2ζ=

2

ζle 3(secs) rArr ζ ge 2

3

Αρα c

4ge 2

3rArr c ge 8

3(4)

45

ζ

tr

3

0095

Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]

Λύση 66

(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού

συστήmicroατος είναι

d

dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)

d

dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)

qm1 =gh1

R1

ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)

qm2 =gh2

R2

ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)

Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε

A1h1 = qm minus gR1

h1

A2h2 = gR1

h1 minus gR2middot h2

rArr

h1 = minus gR1A1

middot h1 + 1A1

qm (5α)

h2 = minus gR2A2

middot h2 + gR1A2

middot h1 (5β)

ή σε διανυσmicroατική microορφή

40

5η ΟΜΑ∆Α

Λύση 55

bull Μοντελοποίηση του υδραυλικού συστήmicroατος

d

dt(A middot h middot ρ) = qm minus qprimem (1)

όπου qprimem παροχή microάζας από τη δεξαmicroενή προς το περιβάλλονΑπό την αντίσταση στρωτής ϱοής

qprimem =gh

R(2)

και αντικαθιστώντας την (2) στην (1) έχουmicroε

A middot middot h +g

Rh = qm rArr h +

g

RAmiddot h =

1

Amiddot qm rArr h + 001h = 10minus5 middot qm (3)

bull Μετσmicroός Laplace της εισόδου

Μέθοδος Α Παρατηρούmicroε ότι η είσοδος περιγράφεται ως

qm(t) = 4r(t)minus 8r(tminus 2) + 4r(tminus 4) (4)

microε r(t) = t (συνάρτηση αναρρίχησης)Εποmicroένως χρησιmicroοποιώντας τις ιδιότητες του microετσmicroού Laplace και λαmicroβάνοντας

υπόψιν ότι R(s) = 1s2 έχουmicroε από την (4)

Qm(s) =4

s2minus 8

s2eminus2s +

4

s2eminus4s (5)

Μέθοδος ΒΕφαρmicroόζουmicroε τον ορισmicroό του microετσmicroού

41

Qm(s) =intinfin

0qm(t) middot eminusst middot dt

=int 2

04teminusstdt +

int 4

2(minus4t + 16)eminusstdt

= 4minus2

seminus2s + 1

s2 minus 1s2 e

minus2sminus 4

minus1

s(4eminus4s minus 2eminus2s)

minus 1s2

(eminus4s minus eminus2s

)+ 16

(minus1s

)middot

eminus4s minus eminus2s

= 4s2 minus 8

s2 eminus2s + 4

s2 eminus4s

(6)

bull Υπολογισmicroός της απόκρισης

Από την (3)

H(s) =10minus5

s + 001Qm(s) rArr

rArr H(s) =4 middot 10minus5

s + 001

1

s2

[1minus 2 middot eminus2s + eminus4s

](7)

Ορίζοντας σαν

f(t) = Lminus1

[4 middot 10minus5

(s + 001)s2

](8)

και χρησιmicroοποιώντας ιδιότητες του microετσmicroού Laplace η (7) δίνει

h(t) = f(t)minus 2f(tminus 2) + f(tminus 4) (t gt 4) (9)

Οσον αφορά την (8) έχουmicroε

f(t) = 4 middot 10minus5 middot[minus104 middot u(t) + 102 middot t + 104eminus001t

]rArr

rArr f(t) = 4

[minus10minus1 middot u(t) + 10minus3t + 10minus1eminus001t

](10)

(u(t) 1 t gt 0)

και εποmicroένως microε αντικατάσταση στην (9)

42

h(t) = 4 middot 10minus1

[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t

]0 le t le 2

h(t) = 4 middot 10minus1

[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2 middot u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)minus 2eminus001(tminus2)

]2 le t le 4

h(t) = 4 middot 10minus1

[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)

minus 2eminus001(tminus2) minus u(tminus 4) + 10minus2(tminus 4) + eminus001(tminus4)

]4 le t le infin

(11)Παρατηρείστε ότι ολόκληρη η απόκριση είναι microεταβατική (το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάσ-

τασης είναι microηδέν)

Λύση 56

∆ιαφορική Εξίσωση

my + c middot y + ky = f rArr y + 4y + 8y = f (1)

Μετσmicroός Laplace

[s2Y (s)minus s middot y(0)minus y(0)] + 4[s middot Y (s)minus y(0)] + 8 middot Y (s) = F (s) rArr

rArr Y (s) =1

s2 + 4s + 8+

1

s2 + 4s + 8F (s)

και για F (s) = 2s

Y (s) =s + 2

s(s2 + 4s + 8)(2)

Αντίστροφος microετσmicroος Laplace

Y (s) =s + 2

s(s2 + 4s + 8)=

A

(s + 2minus 2j)+

Alowast

(s + 2 + 2j)+

B

s

όπου

43

A = s+2s(s+2+2j)

s=minus2+2j

= 2j(minus2+2j)4j

= 14(minus1+j)

= minus1minusj8

B = s+2s2+4s+8

s=0

= 14

και εποmicroένως

y(t) =1

8

[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t

]+

1

4u(t) =

=1

8eminus2t

[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)

]+

1

4u(t)

=1

8eminus2t

[minus2cos2t + 2sin2t

]+

1

4u(t) (t ge 0) (3)

Τmicroήmicroα microεταβατικό

yτ (t) =1

8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)

Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης

yss(t) =1

4u(t) (t ge 0) (5)

44

6η ΟΜΑ∆Α

Λύση 65

∆ιαφορική εξίσωση

Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)

Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης

θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0

έχουmicroε

ωn = 22ζωn = c

=rArr ωn = 2(rs)

ζ = c4

Προδιαγραφές(α)

Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)

Αρα c

4ge 046 rArr c ge 184 (2)

(ϐ)tr =

π minus β

ωn

radic1minus ζ2

=π minus β

2radic

1minus ζ2le 3(secs)

όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2

Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε

tr le 3(secs) hArr J le 09

Αρα c

4le 09 rArr c le 36 (3)

(γ)ts =

4

ζωn

=4

2ζ=

2

ζle 3(secs) rArr ζ ge 2

3

Αρα c

4ge 2

3rArr c ge 8

3(4)

45

ζ

tr

3

0095

Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]

Λύση 66

(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού

συστήmicroατος είναι

d

dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)

d

dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)

qm1 =gh1

R1

ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)

qm2 =gh2

R2

ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)

Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε

A1h1 = qm minus gR1

h1

A2h2 = gR1

h1 minus gR2middot h2

rArr

h1 = minus gR1A1

middot h1 + 1A1

qm (5α)

h2 = minus gR2A2

middot h2 + gR1A2

middot h1 (5β)

ή σε διανυσmicroατική microορφή

41

Qm(s) =intinfin

0qm(t) middot eminusst middot dt

=int 2

04teminusstdt +

int 4

2(minus4t + 16)eminusstdt

= 4minus2

seminus2s + 1

s2 minus 1s2 e

minus2sminus 4

minus1

s(4eminus4s minus 2eminus2s)

minus 1s2

(eminus4s minus eminus2s

)+ 16

(minus1s

)middot

eminus4s minus eminus2s

= 4s2 minus 8

s2 eminus2s + 4

s2 eminus4s

(6)

bull Υπολογισmicroός της απόκρισης

Από την (3)

H(s) =10minus5

s + 001Qm(s) rArr

rArr H(s) =4 middot 10minus5

s + 001

1

s2

[1minus 2 middot eminus2s + eminus4s

](7)

Ορίζοντας σαν

f(t) = Lminus1

[4 middot 10minus5

(s + 001)s2

](8)

και χρησιmicroοποιώντας ιδιότητες του microετσmicroού Laplace η (7) δίνει

h(t) = f(t)minus 2f(tminus 2) + f(tminus 4) (t gt 4) (9)

Οσον αφορά την (8) έχουmicroε

f(t) = 4 middot 10minus5 middot[minus104 middot u(t) + 102 middot t + 104eminus001t

]rArr

rArr f(t) = 4

[minus10minus1 middot u(t) + 10minus3t + 10minus1eminus001t

](10)

(u(t) 1 t gt 0)

και εποmicroένως microε αντικατάσταση στην (9)

42

h(t) = 4 middot 10minus1

[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t

]0 le t le 2

h(t) = 4 middot 10minus1

[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2 middot u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)minus 2eminus001(tminus2)

]2 le t le 4

h(t) = 4 middot 10minus1

[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)

minus 2eminus001(tminus2) minus u(tminus 4) + 10minus2(tminus 4) + eminus001(tminus4)

]4 le t le infin

(11)Παρατηρείστε ότι ολόκληρη η απόκριση είναι microεταβατική (το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάσ-

τασης είναι microηδέν)

Λύση 56

∆ιαφορική Εξίσωση

my + c middot y + ky = f rArr y + 4y + 8y = f (1)

Μετσmicroός Laplace

[s2Y (s)minus s middot y(0)minus y(0)] + 4[s middot Y (s)minus y(0)] + 8 middot Y (s) = F (s) rArr

rArr Y (s) =1

s2 + 4s + 8+

1

s2 + 4s + 8F (s)

και για F (s) = 2s

Y (s) =s + 2

s(s2 + 4s + 8)(2)

Αντίστροφος microετσmicroος Laplace

Y (s) =s + 2

s(s2 + 4s + 8)=

A

(s + 2minus 2j)+

Alowast

(s + 2 + 2j)+

B

s

όπου

43

A = s+2s(s+2+2j)

s=minus2+2j

= 2j(minus2+2j)4j

= 14(minus1+j)

= minus1minusj8

B = s+2s2+4s+8

s=0

= 14

και εποmicroένως

y(t) =1

8

[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t

]+

1

4u(t) =

=1

8eminus2t

[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)

]+

1

4u(t)

=1

8eminus2t

[minus2cos2t + 2sin2t

]+

1

4u(t) (t ge 0) (3)

Τmicroήmicroα microεταβατικό

yτ (t) =1

8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)

Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης

yss(t) =1

4u(t) (t ge 0) (5)

44

6η ΟΜΑ∆Α

Λύση 65

∆ιαφορική εξίσωση

Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)

Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης

θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0

έχουmicroε

ωn = 22ζωn = c

=rArr ωn = 2(rs)

ζ = c4

Προδιαγραφές(α)

Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)

Αρα c

4ge 046 rArr c ge 184 (2)

(ϐ)tr =

π minus β

ωn

radic1minus ζ2

=π minus β

2radic

1minus ζ2le 3(secs)

όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2

Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε

tr le 3(secs) hArr J le 09

Αρα c

4le 09 rArr c le 36 (3)

(γ)ts =

4

ζωn

=4

2ζ=

2

ζle 3(secs) rArr ζ ge 2

3

Αρα c

4ge 2

3rArr c ge 8

3(4)

45

ζ

tr

3

0095

Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]

Λύση 66

(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού

συστήmicroατος είναι

d

dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)

d

dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)

qm1 =gh1

R1

ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)

qm2 =gh2

R2

ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)

Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε

A1h1 = qm minus gR1

h1

A2h2 = gR1

h1 minus gR2middot h2

rArr

h1 = minus gR1A1

middot h1 + 1A1

qm (5α)

h2 = minus gR2A2

middot h2 + gR1A2

middot h1 (5β)

ή σε διανυσmicroατική microορφή

42

h(t) = 4 middot 10minus1

[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t

]0 le t le 2

h(t) = 4 middot 10minus1

[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2 middot u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)minus 2eminus001(tminus2)

]2 le t le 4

h(t) = 4 middot 10minus1

[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)

minus 2eminus001(tminus2) minus u(tminus 4) + 10minus2(tminus 4) + eminus001(tminus4)

]4 le t le infin

(11)Παρατηρείστε ότι ολόκληρη η απόκριση είναι microεταβατική (το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάσ-

τασης είναι microηδέν)

Λύση 56

∆ιαφορική Εξίσωση

my + c middot y + ky = f rArr y + 4y + 8y = f (1)

Μετσmicroός Laplace

[s2Y (s)minus s middot y(0)minus y(0)] + 4[s middot Y (s)minus y(0)] + 8 middot Y (s) = F (s) rArr

rArr Y (s) =1

s2 + 4s + 8+

1

s2 + 4s + 8F (s)

και για F (s) = 2s

Y (s) =s + 2

s(s2 + 4s + 8)(2)

Αντίστροφος microετσmicroος Laplace

Y (s) =s + 2

s(s2 + 4s + 8)=

A

(s + 2minus 2j)+

Alowast

(s + 2 + 2j)+

B

s

όπου

43

A = s+2s(s+2+2j)

s=minus2+2j

= 2j(minus2+2j)4j

= 14(minus1+j)

= minus1minusj8

B = s+2s2+4s+8

s=0

= 14

και εποmicroένως

y(t) =1

8

[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t

]+

1

4u(t) =

=1

8eminus2t

[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)

]+

1

4u(t)

=1

8eminus2t

[minus2cos2t + 2sin2t

]+

1

4u(t) (t ge 0) (3)

Τmicroήmicroα microεταβατικό

yτ (t) =1

8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)

Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης

yss(t) =1

4u(t) (t ge 0) (5)

44

6η ΟΜΑ∆Α

Λύση 65

∆ιαφορική εξίσωση

Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)

Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης

θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0

έχουmicroε

ωn = 22ζωn = c

=rArr ωn = 2(rs)

ζ = c4

Προδιαγραφές(α)

Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)

Αρα c

4ge 046 rArr c ge 184 (2)

(ϐ)tr =

π minus β

ωn

radic1minus ζ2

=π minus β

2radic

1minus ζ2le 3(secs)

όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2

Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε

tr le 3(secs) hArr J le 09

Αρα c

4le 09 rArr c le 36 (3)

(γ)ts =

4

ζωn

=4

2ζ=

2

ζle 3(secs) rArr ζ ge 2

3

Αρα c

4ge 2

3rArr c ge 8

3(4)

45

ζ

tr

3

0095

Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]

Λύση 66

(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού

συστήmicroατος είναι

d

dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)

d

dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)

qm1 =gh1

R1

ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)

qm2 =gh2

R2

ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)

Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε

A1h1 = qm minus gR1

h1

A2h2 = gR1

h1 minus gR2middot h2

rArr

h1 = minus gR1A1

middot h1 + 1A1

qm (5α)

h2 = minus gR2A2

middot h2 + gR1A2

middot h1 (5β)

ή σε διανυσmicroατική microορφή

43

A = s+2s(s+2+2j)

s=minus2+2j

= 2j(minus2+2j)4j

= 14(minus1+j)

= minus1minusj8

B = s+2s2+4s+8

s=0

= 14

και εποmicroένως

y(t) =1

8

[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t

]+

1

4u(t) =

=1

8eminus2t

[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)

]+

1

4u(t)

=1

8eminus2t

[minus2cos2t + 2sin2t

]+

1

4u(t) (t ge 0) (3)

Τmicroήmicroα microεταβατικό

yτ (t) =1

8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)

Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης

yss(t) =1

4u(t) (t ge 0) (5)

44

6η ΟΜΑ∆Α

Λύση 65

∆ιαφορική εξίσωση

Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)

Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης

θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0

έχουmicroε

ωn = 22ζωn = c

=rArr ωn = 2(rs)

ζ = c4

Προδιαγραφές(α)

Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)

Αρα c

4ge 046 rArr c ge 184 (2)

(ϐ)tr =

π minus β

ωn

radic1minus ζ2

=π minus β

2radic

1minus ζ2le 3(secs)

όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2

Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε

tr le 3(secs) hArr J le 09

Αρα c

4le 09 rArr c le 36 (3)

(γ)ts =

4

ζωn

=4

2ζ=

2

ζle 3(secs) rArr ζ ge 2

3

Αρα c

4ge 2

3rArr c ge 8

3(4)

45

ζ

tr

3

0095

Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]

Λύση 66

(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού

συστήmicroατος είναι

d

dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)

d

dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)

qm1 =gh1

R1

ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)

qm2 =gh2

R2

ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)

Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε

A1h1 = qm minus gR1

h1

A2h2 = gR1

h1 minus gR2middot h2

rArr

h1 = minus gR1A1

middot h1 + 1A1

qm (5α)

h2 = minus gR2A2

middot h2 + gR1A2

middot h1 (5β)

ή σε διανυσmicroατική microορφή

44

6η ΟΜΑ∆Α

Λύση 65

∆ιαφορική εξίσωση

Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)

Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης

θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0

έχουmicroε

ωn = 22ζωn = c

=rArr ωn = 2(rs)

ζ = c4

Προδιαγραφές(α)

Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)

Αρα c

4ge 046 rArr c ge 184 (2)

(ϐ)tr =

π minus β

ωn

radic1minus ζ2

=π minus β

2radic

1minus ζ2le 3(secs)

όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2

Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε

tr le 3(secs) hArr J le 09

Αρα c

4le 09 rArr c le 36 (3)

(γ)ts =

4

ζωn

=4

2ζ=

2

ζle 3(secs) rArr ζ ge 2

3

Αρα c

4ge 2

3rArr c ge 8

3(4)

45

ζ

tr

3

0095

Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]

Λύση 66

(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού

συστήmicroατος είναι

d

dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)

d

dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)

qm1 =gh1

R1

ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)

qm2 =gh2

R2

ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)

Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε

A1h1 = qm minus gR1

h1

A2h2 = gR1

h1 minus gR2middot h2

rArr

h1 = minus gR1A1

middot h1 + 1A1

qm (5α)

h2 = minus gR2A2

middot h2 + gR1A2

middot h1 (5β)

ή σε διανυσmicroατική microορφή

45

ζ

tr

3

0095

Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]

Λύση 66

(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού

συστήmicroατος είναι

d

dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)

d

dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)

qm1 =gh1

R1

ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)

qm2 =gh2

R2

ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)

Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε

A1h1 = qm minus gR1

h1

A2h2 = gR1

h1 minus gR2middot h2

rArr

h1 = minus gR1A1

middot h1 + 1A1

qm (5α)

h2 = minus gR2A2

middot h2 + gR1A2

middot h1 (5β)

ή σε διανυσmicroατική microορφή

46

d

dt

[h1

h2

]=

[minusgR1A1 0gR1A2 minusgR2A2

][h1

h2

]+

[1

A1ρ

0

]gm (6α)

[h1

h2

]=

[1 00 1

][h1

h2

] Εξοδοι (6β)

Αριθmicroητική αντικατάσταση

d

dt

[h1

h2

]=

[minus106 0108 minus1016

][h1

h2

]+

[1

60000

]qm (7α)

[h1

h2

]=

[1 00 1

][h1

h2

](7β)

ϐ) Στάθmicroη στη δεύτερη δεξαmicroενή

Παίρνοντας microετσmicroό Laplace των (5)

(s + 106) middotH1(s) = 1

6000middotQm(s)

(s + 1016

) middotH2(s) = 108middotH1(s)

rArr

(s + 10

16

)middotH2(s) = 10

8middot 1

60001

s+ 106

middotQm(s)

rArr(s +

10

6

) (s +

10

16

)

︸ ︷︷ ︸s+ 220

96middots+ 100

96

middotH2(s) = 14800

Qm(s) (8)

Για qm(t) = 2u(t) rArr Qm(s) = 2s και εποmicroένως

H2(s) =1

4800

(s + 106)(s + 10

16)middot 2

s=

1

2400

0 96

s+

0 576

s + 106

minus 1 536

s + 1016

rArr h2(t) = 12400

middot

0 96u(t)+0 576eminus106

tminus1 536eminus1016

t

(t ge 0) (9)

γ) Χαρακτηριστικά συστήmicroατος΄Εχοντας δύο πραγmicroατικούς πόλους s = minus10

6minus10

16το σύστηmicroα έχει χρονικές σταθερές

τ1 = 0 6(secs) τ2 = 1 6(secs)Συγκρίνοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο στην (8) microε την τυπική microορφή s2+2ζωns+

ω2n έχουmicroε

47

ω2n =

100

96rArr wn = 10

radic96 (rs)

2ζωn =220

96rArr ζ =

220 middot radic96

2 middot 96 middot 10=

22

2 middot radic96= 11

radic96 gt 1

ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση

Λύση 67

Re-3-5 -2x

x

x

x

x

Im2jj

-j-2j

s = minus2 τ = 05(sec)

s = minus3plusmn j τ = 033(sec)

ωn =radic

10(rs)

ζ = 3radic

10

ωd =radic

10 middot radic1minus 09 = 1(rs)

s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)

ωn =radic

29(rs)

ζ = 5radic

29

ωd =radic

29 middotradic

1minus 2529

=radic

29 2radic29

= 2(rs)

48

7η ΟΜΑ∆Α

Λύση 72

(α) Συνάρτηση microεταφοράς

1s+α11s

1s b3

X +-

y+

b1 s2 +b 2 s

α2

α 3

Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3

b 1 s2 + b 2 s + b3Y

ΕποmicroένωςY (s)

X(s)=

b1s2 + b2s + b3

s3 + α1s2 + α2s + α3

(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς

(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s

2 + b2s + b3) middotX(s)

και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x

(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-

τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε

49

z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3

z2 = z1

z3 = z2

y = b1z1 + b2z2 + b3z3

και δε διανυσmicroατική microορφή

z1

z2

z3

=

minusα1 minusα2 minusα3

1 0 00 0 0

middot

z1

z2

z3

+

100

x

y = [b1 b2 b3]

z1

z2

z3

Λύση 75

Γιατ lt bminus1 rArr minus1

τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)

Im

Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό

z = s + b (z isin) (2)

και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z

(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr

rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)

Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια

z2

z1

z0

∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)

50

Αρα

T gt 0 (4α΄)

1minus 2bT gt 0 hArr T lt1

2b(4β΄)

b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)

51

8η ΟΜΑ∆Α

Λύση 85

Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g

)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)

F (s)=

1

1200s2 minus 700(1)

η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD

Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά

1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1

FΘΑΝΑΦ

ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

Θ+-

Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι

Θ(s)

ΘΑΝΑΦ(s)=

Kp+KDs

1200s2minus700

1 + Kp+KDs

1200s2minus700

=Kp + KDs

1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)

Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε

2ζwn = KD

1200

ω2n = Kpminus700

1200

(3)

(4)

Προδιαγραφή (ii)

Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε

ts =4

ζωn

(5)

52

Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)

ts =4 middot 2 400

KD

sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)

Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1

2και για ζ = 0707 ωn = 1

2middot0707= 1radic

2

Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε

Kp minus 700

1200=

1

2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300

Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)

Λύση 86

(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης

Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση

qh = R middot i2 (1)

Θερmicroοχωρητικότητα C1

C1 middot dT1

dt= qh minus qh1 (2)

όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2

Από την ϑερmicroική αντίσταση

qh1 =1

R1

(T1 minus T2) (3)

Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2

dt= qh1 minus qh2 (4)

όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης

qh2 =1

R2

(T2 minus T0) (5)

53

Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)

C1 middot dT1

dt=minus1

R1

(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1

dt+

1

R1

middot T1 = i2R +1

R1

T2 (6α΄)

C2 middot dT2

dt+

(1

R1

+1

R2

)middot T2 =

1

R1

T1 +1

R2

To (6β΄)

Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε

100 middot dT1

dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)

100 middot dT2

dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)

(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή

εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε

(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000

100s + 1middotX(s) +

1

100s + 1middot T2(s) (8α΄)

και από την (7β)

(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε

(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000

100s + 1middotX(s) +

1

100s + 1T2(s) + To(s) rArr

rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)

rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)

Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης

54

s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2

s2 = minus262x10minus2

Αρα χρονικές σταθερές

τ1 =100

038sim= 263(secs)

τ2 =100

262sim= 38(secs)

(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2

T2r +- ye

x

0

T 0

T2

1

10 -1s + 10 -3

++ s2+310 -2s + 10 -410 -1

ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)

(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2

(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-

ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)

Προδιαγραφή (i)

T2

T2r

=10minus1Kp

s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)

55

T2r +-

T 0

T2

10 -1s + 10 -3

++ s2+310 -2s + 10 -410 -1

KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

και

Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4

s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)

Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει

(ye)ss =10minus4

10minus4 + 10minus1Kp

lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)

Προδιαγραφή(ii)

T2

T0

=(10minus1s + 10minus3

)middot 10minus1

s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)

Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε

(T2)ss =10minus4

10minus4 + 10minus1kp

lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)

Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)

(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή

Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)

Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε

ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp

2ζωn = 3 middot 10minus2

rArr ζ =

3 middot 10minus2

2radic

10minus4 + 10minus1kp

gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)

56

Προδιαγραφή (iv)

τ lt 20(secs) rArr minus1

τlt minus 1

20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)

-

Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +

1

20(19)

microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1

20

)2

+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1

20

)+ (10minus4 + 10minus1kp) =

= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp

)

= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp

)(20)

Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ

Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0

(100s + 1)T1 = 1000X + T2

(c2 middot s + 2) middot T2 = T1

rArr T1 = 1000

100s+1middotX + T2

100s+1

(c2 middot s + 2) middot T2 = T2

100s+1+ 1000

100s+1X

και εποmicroένως

T2(s)

X(s)=

1000

100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)

Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται

T2

T2r

=1000Kp

100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)

Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει

57

Ye(s)

T2r(s)

=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1

100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =

1

1000Kp + 1(23)

Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα

(δ3)Στην περίπτωση αυτή

Gs(s) =1

s + 1(24)

Προδιαγραφή (i)

T2

T2r

=

10minus1kp

s2+3middot10minus2s+10minus4

1 + 10minus1kp

(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)

=

=10minus1 middotKp middot (s + 1)

s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)

Εποmicroένως

Ye(s)

T2r(s)=

s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4

s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)

Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής

s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106

so 1 + 103Kp

Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για

31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)

Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s

(ye)ss =1

1 + 103Kp

lt1

100hArr Kp gt 0099 (28)

58

Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)

Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To

Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται

T2r +-

To

στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To

Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε

T1 =1

100(1000x + T2 minus T1) T2 =

1

100(To + T1 minus 2T2) (29)

59

Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι

(στ1)

10 -2s +10 -410 -1

To

+

-+

++

-

-

-+-

T2r

1100 1s

2

x 10 3 1100 1s

g1

g2

T2

T1

Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου

60

στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής

10 -2 s + 10 -4

10 -1

K Is+

-

To

T2r + ---

x

g

g1

2

T1

T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

61

9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Λύση 93

(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική

I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T

και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής

R Gc(s)T T

s2 + s + 4Θ

(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)

Τότε θe(equiv Rminus θ)

R=

s2 + s + 4

s2 + s + (4 + Kp)(2)

και για R(s) = 1sέχουmicroε

θe(s) =s2 + s + 4

s2 + s + 4 + Kp

1

s

και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε

(θe)ss = limsrarr0

s middot θe(s) =4

4 + Kp

(3)

και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)

Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι

s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n

και εποmicroένως

ζ =1

2radic

44= 0075 και τ = 2(secs) (5)

Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι

ζΕΓΚ =1

4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)

Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου

62

minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10

minus8

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

8

10

0016003200500750105015

024

045

2

4

6

8

10

2

4

6

8

10

0016003200500750105015

024

045

RootLocus of the system with Pminuscontroller

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD

Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε

Θe(s)

R(s)=

s2 + s + 4

s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)

και για R(s) = 1s

(Θe)ss = limsrarr0

s middotΘe(s) = limsrarr0

middots s2 + s + 4

s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)

1

s=

=4

4 + Kp

(9)

όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως

(Θs)ss =4

4 + Kp

lt 01 rArr Kp gt 36 (10)

Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε

τ =1

ζωn

=2

1 + KD

(ζ lt 1) (11)

63

ζ =1 + KD

2radic

4 + Kp

(12)

Για τ =

2

1 + KD

lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)

Εποmicroένως επιλέγουmicroε

KP = 40KD = 2

(14)

΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για

Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται

s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s

s2 + s + 44= 0

minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

8

091

0975

01402804205607082

091

0975

24681012

01402804205607082

RootLocus of the system with PDminuscontroller

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40

ζ =1 + KD

2radic

44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)

64

ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)

οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)

τ =1

ζωn

=2

1 + KD

= 02(sec) (17)

`Λύση 94

(α) Τόπος των Ριζών

Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου

1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)

(s + 10)s2(s2 + 100)= 0

minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20

minus15

minus10

minus5

0

5

10

15

200204

06

08

0204

06

08

5

10

15

20

5

10

15

20

RootLocus of the system

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(a)

(b)

5310o

Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2

65

Φ1 = +90o Φ2 = minus90o

α =

sumPi minus

sumzi

nminusm=minus10minus (minus1)

2= minus9

2

Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0

Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης

d

ds

(1

F (s)

)=

d

ds

[s2(s + 10)(s2 + 100)

(s + 1)(s2 + 121)

]= 0

Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz

(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)

Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o

Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)

Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)

66

10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι

K middot s + 1

s3middot s + 1

s + 10=

k

10middot (s + 1)2

s3(010s + 1)

Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1

10= minus20(db)

Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά

16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16

20rArr x = 631

και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας

k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0

ΣύστηmicroαΑσταθές

67

k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0

ΣύστηmicroαΕυσταθές

Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής

1 + k middot (s+1)2

s3(s+10)= 0

minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

016032046062074084

093

098

016032046062074084

093

098

246810

RootLocus of the system

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

k=625

(2)(3)

47

ω2n =

100

96rArr wn = 10

radic96 (rs)

2ζωn =220

96rArr ζ =

220 middot radic96

2 middot 96 middot 10=

22

2 middot radic96= 11

radic96 gt 1

ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση

Λύση 67

Re-3-5 -2x

x

x

x

x

Im2jj

-j-2j

s = minus2 τ = 05(sec)

s = minus3plusmn j τ = 033(sec)

ωn =radic

10(rs)

ζ = 3radic

10

ωd =radic

10 middot radic1minus 09 = 1(rs)

s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)

ωn =radic

29(rs)

ζ = 5radic

29

ωd =radic

29 middotradic

1minus 2529

=radic

29 2radic29

= 2(rs)

48

7η ΟΜΑ∆Α

Λύση 72

(α) Συνάρτηση microεταφοράς

1s+α11s

1s b3

X +-

y+

b1 s2 +b 2 s

α2

α 3

Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3

b 1 s2 + b 2 s + b3Y

ΕποmicroένωςY (s)

X(s)=

b1s2 + b2s + b3

s3 + α1s2 + α2s + α3

(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς

(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s

2 + b2s + b3) middotX(s)

και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x

(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-

τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε

49

z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3

z2 = z1

z3 = z2

y = b1z1 + b2z2 + b3z3

και δε διανυσmicroατική microορφή

z1

z2

z3

=

minusα1 minusα2 minusα3

1 0 00 0 0

middot

z1

z2

z3

+

100

x

y = [b1 b2 b3]

z1

z2

z3

Λύση 75

Γιατ lt bminus1 rArr minus1

τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)

Im

Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό

z = s + b (z isin) (2)

και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z

(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr

rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)

Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια

z2

z1

z0

∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)

50

Αρα

T gt 0 (4α΄)

1minus 2bT gt 0 hArr T lt1

2b(4β΄)

b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)

51

8η ΟΜΑ∆Α

Λύση 85

Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g

)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)

F (s)=

1

1200s2 minus 700(1)

η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD

Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά

1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1

FΘΑΝΑΦ

ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

Θ+-

Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι

Θ(s)

ΘΑΝΑΦ(s)=

Kp+KDs

1200s2minus700

1 + Kp+KDs

1200s2minus700

=Kp + KDs

1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)

Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε

2ζwn = KD

1200

ω2n = Kpminus700

1200

(3)

(4)

Προδιαγραφή (ii)

Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε

ts =4

ζωn

(5)

52

Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)

ts =4 middot 2 400

KD

sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)

Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1

2και για ζ = 0707 ωn = 1

2middot0707= 1radic

2

Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε

Kp minus 700

1200=

1

2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300

Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)

Λύση 86

(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης

Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση

qh = R middot i2 (1)

Θερmicroοχωρητικότητα C1

C1 middot dT1

dt= qh minus qh1 (2)

όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2

Από την ϑερmicroική αντίσταση

qh1 =1

R1

(T1 minus T2) (3)

Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2

dt= qh1 minus qh2 (4)

όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης

qh2 =1

R2

(T2 minus T0) (5)

53

Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)

C1 middot dT1

dt=minus1

R1

(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1

dt+

1

R1

middot T1 = i2R +1

R1

T2 (6α΄)

C2 middot dT2

dt+

(1

R1

+1

R2

)middot T2 =

1

R1

T1 +1

R2

To (6β΄)

Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε

100 middot dT1

dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)

100 middot dT2

dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)

(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή

εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε

(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000

100s + 1middotX(s) +

1

100s + 1middot T2(s) (8α΄)

και από την (7β)

(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε

(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000

100s + 1middotX(s) +

1

100s + 1T2(s) + To(s) rArr

rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)

rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)

Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης

54

s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2

s2 = minus262x10minus2

Αρα χρονικές σταθερές

τ1 =100

038sim= 263(secs)

τ2 =100

262sim= 38(secs)

(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2

T2r +- ye

x

0

T 0

T2

1

10 -1s + 10 -3

++ s2+310 -2s + 10 -410 -1

ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)

(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2

(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-

ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)

Προδιαγραφή (i)

T2

T2r

=10minus1Kp

s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)

55

T2r +-

T 0

T2

10 -1s + 10 -3

++ s2+310 -2s + 10 -410 -1

KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

και

Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4

s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)

Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει

(ye)ss =10minus4

10minus4 + 10minus1Kp

lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)

Προδιαγραφή(ii)

T2

T0

=(10minus1s + 10minus3

)middot 10minus1

s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)

Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε

(T2)ss =10minus4

10minus4 + 10minus1kp

lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)

Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)

(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή

Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)

Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε

ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp

2ζωn = 3 middot 10minus2

rArr ζ =

3 middot 10minus2

2radic

10minus4 + 10minus1kp

gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)

56

Προδιαγραφή (iv)

τ lt 20(secs) rArr minus1

τlt minus 1

20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)

-

Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +

1

20(19)

microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1

20

)2

+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1

20

)+ (10minus4 + 10minus1kp) =

= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp

)

= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp

)(20)

Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ

Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0

(100s + 1)T1 = 1000X + T2

(c2 middot s + 2) middot T2 = T1

rArr T1 = 1000

100s+1middotX + T2

100s+1

(c2 middot s + 2) middot T2 = T2

100s+1+ 1000

100s+1X

και εποmicroένως

T2(s)

X(s)=

1000

100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)

Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται

T2

T2r

=1000Kp

100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)

Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει

57

Ye(s)

T2r(s)

=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1

100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =

1

1000Kp + 1(23)

Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα

(δ3)Στην περίπτωση αυτή

Gs(s) =1

s + 1(24)

Προδιαγραφή (i)

T2

T2r

=

10minus1kp

s2+3middot10minus2s+10minus4

1 + 10minus1kp

(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)

=

=10minus1 middotKp middot (s + 1)

s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)

Εποmicroένως

Ye(s)

T2r(s)=

s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4

s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)

Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής

s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106

so 1 + 103Kp

Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για

31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)

Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s

(ye)ss =1

1 + 103Kp

lt1

100hArr Kp gt 0099 (28)

58

Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)

Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To

Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται

T2r +-

To

στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To

Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε

T1 =1

100(1000x + T2 minus T1) T2 =

1

100(To + T1 minus 2T2) (29)

59

Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι

(στ1)

10 -2s +10 -410 -1

To

+

-+

++

-

-

-+-

T2r

1100 1s

2

x 10 3 1100 1s

g1

g2

T2

T1

Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου

60

στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής

10 -2 s + 10 -4

10 -1

K Is+

-

To

T2r + ---

x

g

g1

2

T1

T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

61

9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Λύση 93

(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική

I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T

και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής

R Gc(s)T T

s2 + s + 4Θ

(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)

Τότε θe(equiv Rminus θ)

R=

s2 + s + 4

s2 + s + (4 + Kp)(2)

και για R(s) = 1sέχουmicroε

θe(s) =s2 + s + 4

s2 + s + 4 + Kp

1

s

και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε

(θe)ss = limsrarr0

s middot θe(s) =4

4 + Kp

(3)

και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)

Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι

s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n

και εποmicroένως

ζ =1

2radic

44= 0075 και τ = 2(secs) (5)

Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι

ζΕΓΚ =1

4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)

Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου

62

minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10

minus8

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

8

10

0016003200500750105015

024

045

2

4

6

8

10

2

4

6

8

10

0016003200500750105015

024

045

RootLocus of the system with Pminuscontroller

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD

Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε

Θe(s)

R(s)=

s2 + s + 4

s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)

και για R(s) = 1s

(Θe)ss = limsrarr0

s middotΘe(s) = limsrarr0

middots s2 + s + 4

s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)

1

s=

=4

4 + Kp

(9)

όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως

(Θs)ss =4

4 + Kp

lt 01 rArr Kp gt 36 (10)

Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε

τ =1

ζωn

=2

1 + KD

(ζ lt 1) (11)

63

ζ =1 + KD

2radic

4 + Kp

(12)

Για τ =

2

1 + KD

lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)

Εποmicroένως επιλέγουmicroε

KP = 40KD = 2

(14)

΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για

Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται

s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s

s2 + s + 44= 0

minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

8

091

0975

01402804205607082

091

0975

24681012

01402804205607082

RootLocus of the system with PDminuscontroller

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40

ζ =1 + KD

2radic

44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)

64

ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)

οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)

τ =1

ζωn

=2

1 + KD

= 02(sec) (17)

`Λύση 94

(α) Τόπος των Ριζών

Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου

1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)

(s + 10)s2(s2 + 100)= 0

minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20

minus15

minus10

minus5

0

5

10

15

200204

06

08

0204

06

08

5

10

15

20

5

10

15

20

RootLocus of the system

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(a)

(b)

5310o

Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2

65

Φ1 = +90o Φ2 = minus90o

α =

sumPi minus

sumzi

nminusm=minus10minus (minus1)

2= minus9

2

Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0

Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης

d

ds

(1

F (s)

)=

d

ds

[s2(s + 10)(s2 + 100)

(s + 1)(s2 + 121)

]= 0

Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz

(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)

Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o

Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)

Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)

66

10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι

K middot s + 1

s3middot s + 1

s + 10=

k

10middot (s + 1)2

s3(010s + 1)

Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1

10= minus20(db)

Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά

16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16

20rArr x = 631

και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας

k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0

ΣύστηmicroαΑσταθές

67

k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0

ΣύστηmicroαΕυσταθές

Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής

1 + k middot (s+1)2

s3(s+10)= 0

minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

016032046062074084

093

098

016032046062074084

093

098

246810

RootLocus of the system

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

k=625

(2)(3)

48

7η ΟΜΑ∆Α

Λύση 72

(α) Συνάρτηση microεταφοράς

1s+α11s

1s b3

X +-

y+

b1 s2 +b 2 s

α2

α 3

Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3

b 1 s2 + b 2 s + b3Y

ΕποmicroένωςY (s)

X(s)=

b1s2 + b2s + b3

s3 + α1s2 + α2s + α3

(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς

(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s

2 + b2s + b3) middotX(s)

και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x

(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-

τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε

49

z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3

z2 = z1

z3 = z2

y = b1z1 + b2z2 + b3z3

και δε διανυσmicroατική microορφή

z1

z2

z3

=

minusα1 minusα2 minusα3

1 0 00 0 0

middot

z1

z2

z3

+

100

x

y = [b1 b2 b3]

z1

z2

z3

Λύση 75

Γιατ lt bminus1 rArr minus1

τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)

Im

Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό

z = s + b (z isin) (2)

και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z

(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr

rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)

Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια

z2

z1

z0

∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)

50

Αρα

T gt 0 (4α΄)

1minus 2bT gt 0 hArr T lt1

2b(4β΄)

b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)

51

8η ΟΜΑ∆Α

Λύση 85

Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g

)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)

F (s)=

1

1200s2 minus 700(1)

η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD

Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά

1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1

FΘΑΝΑΦ

ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

Θ+-

Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι

Θ(s)

ΘΑΝΑΦ(s)=

Kp+KDs

1200s2minus700

1 + Kp+KDs

1200s2minus700

=Kp + KDs

1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)

Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε

2ζwn = KD

1200

ω2n = Kpminus700

1200

(3)

(4)

Προδιαγραφή (ii)

Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε

ts =4

ζωn

(5)

52

Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)

ts =4 middot 2 400

KD

sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)

Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1

2και για ζ = 0707 ωn = 1

2middot0707= 1radic

2

Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε

Kp minus 700

1200=

1

2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300

Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)

Λύση 86

(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης

Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση

qh = R middot i2 (1)

Θερmicroοχωρητικότητα C1

C1 middot dT1

dt= qh minus qh1 (2)

όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2

Από την ϑερmicroική αντίσταση

qh1 =1

R1

(T1 minus T2) (3)

Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2

dt= qh1 minus qh2 (4)

όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης

qh2 =1

R2

(T2 minus T0) (5)

53

Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)

C1 middot dT1

dt=minus1

R1

(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1

dt+

1

R1

middot T1 = i2R +1

R1

T2 (6α΄)

C2 middot dT2

dt+

(1

R1

+1

R2

)middot T2 =

1

R1

T1 +1

R2

To (6β΄)

Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε

100 middot dT1

dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)

100 middot dT2

dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)

(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή

εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε

(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000

100s + 1middotX(s) +

1

100s + 1middot T2(s) (8α΄)

και από την (7β)

(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε

(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000

100s + 1middotX(s) +

1

100s + 1T2(s) + To(s) rArr

rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)

rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)

Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης

54

s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2

s2 = minus262x10minus2

Αρα χρονικές σταθερές

τ1 =100

038sim= 263(secs)

τ2 =100

262sim= 38(secs)

(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2

T2r +- ye

x

0

T 0

T2

1

10 -1s + 10 -3

++ s2+310 -2s + 10 -410 -1

ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)

(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2

(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-

ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)

Προδιαγραφή (i)

T2

T2r

=10minus1Kp

s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)

55

T2r +-

T 0

T2

10 -1s + 10 -3

++ s2+310 -2s + 10 -410 -1

KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

και

Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4

s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)

Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει

(ye)ss =10minus4

10minus4 + 10minus1Kp

lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)

Προδιαγραφή(ii)

T2

T0

=(10minus1s + 10minus3

)middot 10minus1

s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)

Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε

(T2)ss =10minus4

10minus4 + 10minus1kp

lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)

Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)

(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή

Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)

Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε

ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp

2ζωn = 3 middot 10minus2

rArr ζ =

3 middot 10minus2

2radic

10minus4 + 10minus1kp

gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)

56

Προδιαγραφή (iv)

τ lt 20(secs) rArr minus1

τlt minus 1

20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)

-

Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +

1

20(19)

microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1

20

)2

+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1

20

)+ (10minus4 + 10minus1kp) =

= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp

)

= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp

)(20)

Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ

Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0

(100s + 1)T1 = 1000X + T2

(c2 middot s + 2) middot T2 = T1

rArr T1 = 1000

100s+1middotX + T2

100s+1

(c2 middot s + 2) middot T2 = T2

100s+1+ 1000

100s+1X

και εποmicroένως

T2(s)

X(s)=

1000

100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)

Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται

T2

T2r

=1000Kp

100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)

Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει

57

Ye(s)

T2r(s)

=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1

100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =

1

1000Kp + 1(23)

Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα

(δ3)Στην περίπτωση αυτή

Gs(s) =1

s + 1(24)

Προδιαγραφή (i)

T2

T2r

=

10minus1kp

s2+3middot10minus2s+10minus4

1 + 10minus1kp

(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)

=

=10minus1 middotKp middot (s + 1)

s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)

Εποmicroένως

Ye(s)

T2r(s)=

s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4

s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)

Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής

s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106

so 1 + 103Kp

Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για

31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)

Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s

(ye)ss =1

1 + 103Kp

lt1

100hArr Kp gt 0099 (28)

58

Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)

Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To

Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται

T2r +-

To

στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To

Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε

T1 =1

100(1000x + T2 minus T1) T2 =

1

100(To + T1 minus 2T2) (29)

59

Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι

(στ1)

10 -2s +10 -410 -1

To

+

-+

++

-

-

-+-

T2r

1100 1s

2

x 10 3 1100 1s

g1

g2

T2

T1

Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου

60

στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής

10 -2 s + 10 -4

10 -1

K Is+

-

To

T2r + ---

x

g

g1

2

T1

T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

61

9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Λύση 93

(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική

I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T

και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής

R Gc(s)T T

s2 + s + 4Θ

(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)

Τότε θe(equiv Rminus θ)

R=

s2 + s + 4

s2 + s + (4 + Kp)(2)

και για R(s) = 1sέχουmicroε

θe(s) =s2 + s + 4

s2 + s + 4 + Kp

1

s

και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε

(θe)ss = limsrarr0

s middot θe(s) =4

4 + Kp

(3)

και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)

Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι

s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n

και εποmicroένως

ζ =1

2radic

44= 0075 και τ = 2(secs) (5)

Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι

ζΕΓΚ =1

4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)

Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου

62

minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10

minus8

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

8

10

0016003200500750105015

024

045

2

4

6

8

10

2

4

6

8

10

0016003200500750105015

024

045

RootLocus of the system with Pminuscontroller

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD

Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε

Θe(s)

R(s)=

s2 + s + 4

s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)

και για R(s) = 1s

(Θe)ss = limsrarr0

s middotΘe(s) = limsrarr0

middots s2 + s + 4

s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)

1

s=

=4

4 + Kp

(9)

όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως

(Θs)ss =4

4 + Kp

lt 01 rArr Kp gt 36 (10)

Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε

τ =1

ζωn

=2

1 + KD

(ζ lt 1) (11)

63

ζ =1 + KD

2radic

4 + Kp

(12)

Για τ =

2

1 + KD

lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)

Εποmicroένως επιλέγουmicroε

KP = 40KD = 2

(14)

΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για

Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται

s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s

s2 + s + 44= 0

minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

8

091

0975

01402804205607082

091

0975

24681012

01402804205607082

RootLocus of the system with PDminuscontroller

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40

ζ =1 + KD

2radic

44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)

64

ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)

οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)

τ =1

ζωn

=2

1 + KD

= 02(sec) (17)

`Λύση 94

(α) Τόπος των Ριζών

Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου

1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)

(s + 10)s2(s2 + 100)= 0

minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20

minus15

minus10

minus5

0

5

10

15

200204

06

08

0204

06

08

5

10

15

20

5

10

15

20

RootLocus of the system

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(a)

(b)

5310o

Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2

65

Φ1 = +90o Φ2 = minus90o

α =

sumPi minus

sumzi

nminusm=minus10minus (minus1)

2= minus9

2

Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0

Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης

d

ds

(1

F (s)

)=

d

ds

[s2(s + 10)(s2 + 100)

(s + 1)(s2 + 121)

]= 0

Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz

(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)

Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o

Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)

Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)

66

10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι

K middot s + 1

s3middot s + 1

s + 10=

k

10middot (s + 1)2

s3(010s + 1)

Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1

10= minus20(db)

Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά

16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16

20rArr x = 631

και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας

k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0

ΣύστηmicroαΑσταθές

67

k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0

ΣύστηmicroαΕυσταθές

Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής

1 + k middot (s+1)2

s3(s+10)= 0

minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

016032046062074084

093

098

016032046062074084

093

098

246810

RootLocus of the system

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

k=625

(2)(3)

49

z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3

z2 = z1

z3 = z2

y = b1z1 + b2z2 + b3z3

και δε διανυσmicroατική microορφή

z1

z2

z3

=

minusα1 minusα2 minusα3

1 0 00 0 0

middot

z1

z2

z3

+

100

x

y = [b1 b2 b3]

z1

z2

z3

Λύση 75

Γιατ lt bminus1 rArr minus1

τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)

Im

Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό

z = s + b (z isin) (2)

και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z

(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr

rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)

Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια

z2

z1

z0

∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)

50

Αρα

T gt 0 (4α΄)

1minus 2bT gt 0 hArr T lt1

2b(4β΄)

b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)

51

8η ΟΜΑ∆Α

Λύση 85

Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g

)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)

F (s)=

1

1200s2 minus 700(1)

η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD

Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά

1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1

FΘΑΝΑΦ

ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

Θ+-

Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι

Θ(s)

ΘΑΝΑΦ(s)=

Kp+KDs

1200s2minus700

1 + Kp+KDs

1200s2minus700

=Kp + KDs

1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)

Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε

2ζwn = KD

1200

ω2n = Kpminus700

1200

(3)

(4)

Προδιαγραφή (ii)

Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε

ts =4

ζωn

(5)

52

Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)

ts =4 middot 2 400

KD

sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)

Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1

2και για ζ = 0707 ωn = 1

2middot0707= 1radic

2

Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε

Kp minus 700

1200=

1

2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300

Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)

Λύση 86

(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης

Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση

qh = R middot i2 (1)

Θερmicroοχωρητικότητα C1

C1 middot dT1

dt= qh minus qh1 (2)

όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2

Από την ϑερmicroική αντίσταση

qh1 =1

R1

(T1 minus T2) (3)

Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2

dt= qh1 minus qh2 (4)

όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης

qh2 =1

R2

(T2 minus T0) (5)

53

Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)

C1 middot dT1

dt=minus1

R1

(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1

dt+

1

R1

middot T1 = i2R +1

R1

T2 (6α΄)

C2 middot dT2

dt+

(1

R1

+1

R2

)middot T2 =

1

R1

T1 +1

R2

To (6β΄)

Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε

100 middot dT1

dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)

100 middot dT2

dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)

(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή

εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε

(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000

100s + 1middotX(s) +

1

100s + 1middot T2(s) (8α΄)

και από την (7β)

(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε

(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000

100s + 1middotX(s) +

1

100s + 1T2(s) + To(s) rArr

rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)

rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)

Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης

54

s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2

s2 = minus262x10minus2

Αρα χρονικές σταθερές

τ1 =100

038sim= 263(secs)

τ2 =100

262sim= 38(secs)

(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2

T2r +- ye

x

0

T 0

T2

1

10 -1s + 10 -3

++ s2+310 -2s + 10 -410 -1

ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)

(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2

(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-

ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)

Προδιαγραφή (i)

T2

T2r

=10minus1Kp

s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)

55

T2r +-

T 0

T2

10 -1s + 10 -3

++ s2+310 -2s + 10 -410 -1

KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

και

Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4

s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)

Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει

(ye)ss =10minus4

10minus4 + 10minus1Kp

lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)

Προδιαγραφή(ii)

T2

T0

=(10minus1s + 10minus3

)middot 10minus1

s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)

Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε

(T2)ss =10minus4

10minus4 + 10minus1kp

lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)

Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)

(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή

Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)

Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε

ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp

2ζωn = 3 middot 10minus2

rArr ζ =

3 middot 10minus2

2radic

10minus4 + 10minus1kp

gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)

56

Προδιαγραφή (iv)

τ lt 20(secs) rArr minus1

τlt minus 1

20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)

-

Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +

1

20(19)

microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1

20

)2

+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1

20

)+ (10minus4 + 10minus1kp) =

= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp

)

= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp

)(20)

Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ

Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0

(100s + 1)T1 = 1000X + T2

(c2 middot s + 2) middot T2 = T1

rArr T1 = 1000

100s+1middotX + T2

100s+1

(c2 middot s + 2) middot T2 = T2

100s+1+ 1000

100s+1X

και εποmicroένως

T2(s)

X(s)=

1000

100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)

Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται

T2

T2r

=1000Kp

100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)

Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει

57

Ye(s)

T2r(s)

=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1

100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =

1

1000Kp + 1(23)

Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα

(δ3)Στην περίπτωση αυτή

Gs(s) =1

s + 1(24)

Προδιαγραφή (i)

T2

T2r

=

10minus1kp

s2+3middot10minus2s+10minus4

1 + 10minus1kp

(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)

=

=10minus1 middotKp middot (s + 1)

s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)

Εποmicroένως

Ye(s)

T2r(s)=

s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4

s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)

Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής

s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106

so 1 + 103Kp

Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για

31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)

Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s

(ye)ss =1

1 + 103Kp

lt1

100hArr Kp gt 0099 (28)

58

Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)

Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To

Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται

T2r +-

To

στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To

Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε

T1 =1

100(1000x + T2 minus T1) T2 =

1

100(To + T1 minus 2T2) (29)

59

Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι

(στ1)

10 -2s +10 -410 -1

To

+

-+

++

-

-

-+-

T2r

1100 1s

2

x 10 3 1100 1s

g1

g2

T2

T1

Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου

60

στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής

10 -2 s + 10 -4

10 -1

K Is+

-

To

T2r + ---

x

g

g1

2

T1

T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

61

9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Λύση 93

(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική

I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T

και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής

R Gc(s)T T

s2 + s + 4Θ

(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)

Τότε θe(equiv Rminus θ)

R=

s2 + s + 4

s2 + s + (4 + Kp)(2)

και για R(s) = 1sέχουmicroε

θe(s) =s2 + s + 4

s2 + s + 4 + Kp

1

s

και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε

(θe)ss = limsrarr0

s middot θe(s) =4

4 + Kp

(3)

και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)

Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι

s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n

και εποmicroένως

ζ =1

2radic

44= 0075 και τ = 2(secs) (5)

Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι

ζΕΓΚ =1

4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)

Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου

62

minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10

minus8

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

8

10

0016003200500750105015

024

045

2

4

6

8

10

2

4

6

8

10

0016003200500750105015

024

045

RootLocus of the system with Pminuscontroller

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD

Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε

Θe(s)

R(s)=

s2 + s + 4

s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)

και για R(s) = 1s

(Θe)ss = limsrarr0

s middotΘe(s) = limsrarr0

middots s2 + s + 4

s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)

1

s=

=4

4 + Kp

(9)

όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως

(Θs)ss =4

4 + Kp

lt 01 rArr Kp gt 36 (10)

Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε

τ =1

ζωn

=2

1 + KD

(ζ lt 1) (11)

63

ζ =1 + KD

2radic

4 + Kp

(12)

Για τ =

2

1 + KD

lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)

Εποmicroένως επιλέγουmicroε

KP = 40KD = 2

(14)

΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για

Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται

s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s

s2 + s + 44= 0

minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

8

091

0975

01402804205607082

091

0975

24681012

01402804205607082

RootLocus of the system with PDminuscontroller

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40

ζ =1 + KD

2radic

44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)

64

ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)

οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)

τ =1

ζωn

=2

1 + KD

= 02(sec) (17)

`Λύση 94

(α) Τόπος των Ριζών

Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου

1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)

(s + 10)s2(s2 + 100)= 0

minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20

minus15

minus10

minus5

0

5

10

15

200204

06

08

0204

06

08

5

10

15

20

5

10

15

20

RootLocus of the system

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(a)

(b)

5310o

Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2

65

Φ1 = +90o Φ2 = minus90o

α =

sumPi minus

sumzi

nminusm=minus10minus (minus1)

2= minus9

2

Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0

Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης

d

ds

(1

F (s)

)=

d

ds

[s2(s + 10)(s2 + 100)

(s + 1)(s2 + 121)

]= 0

Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz

(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)

Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o

Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)

Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)

66

10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι

K middot s + 1

s3middot s + 1

s + 10=

k

10middot (s + 1)2

s3(010s + 1)

Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1

10= minus20(db)

Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά

16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16

20rArr x = 631

και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας

k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0

ΣύστηmicroαΑσταθές

67

k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0

ΣύστηmicroαΕυσταθές

Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής

1 + k middot (s+1)2

s3(s+10)= 0

minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

016032046062074084

093

098

016032046062074084

093

098

246810

RootLocus of the system

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

k=625

(2)(3)

50

Αρα

T gt 0 (4α΄)

1minus 2bT gt 0 hArr T lt1

2b(4β΄)

b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)

51

8η ΟΜΑ∆Α

Λύση 85

Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g

)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)

F (s)=

1

1200s2 minus 700(1)

η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD

Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά

1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1

FΘΑΝΑΦ

ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

Θ+-

Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι

Θ(s)

ΘΑΝΑΦ(s)=

Kp+KDs

1200s2minus700

1 + Kp+KDs

1200s2minus700

=Kp + KDs

1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)

Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε

2ζwn = KD

1200

ω2n = Kpminus700

1200

(3)

(4)

Προδιαγραφή (ii)

Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε

ts =4

ζωn

(5)

52

Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)

ts =4 middot 2 400

KD

sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)

Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1

2και για ζ = 0707 ωn = 1

2middot0707= 1radic

2

Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε

Kp minus 700

1200=

1

2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300

Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)

Λύση 86

(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης

Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση

qh = R middot i2 (1)

Θερmicroοχωρητικότητα C1

C1 middot dT1

dt= qh minus qh1 (2)

όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2

Από την ϑερmicroική αντίσταση

qh1 =1

R1

(T1 minus T2) (3)

Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2

dt= qh1 minus qh2 (4)

όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης

qh2 =1

R2

(T2 minus T0) (5)

53

Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)

C1 middot dT1

dt=minus1

R1

(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1

dt+

1

R1

middot T1 = i2R +1

R1

T2 (6α΄)

C2 middot dT2

dt+

(1

R1

+1

R2

)middot T2 =

1

R1

T1 +1

R2

To (6β΄)

Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε

100 middot dT1

dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)

100 middot dT2

dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)

(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή

εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε

(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000

100s + 1middotX(s) +

1

100s + 1middot T2(s) (8α΄)

και από την (7β)

(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε

(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000

100s + 1middotX(s) +

1

100s + 1T2(s) + To(s) rArr

rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)

rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)

Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης

54

s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2

s2 = minus262x10minus2

Αρα χρονικές σταθερές

τ1 =100

038sim= 263(secs)

τ2 =100

262sim= 38(secs)

(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2

T2r +- ye

x

0

T 0

T2

1

10 -1s + 10 -3

++ s2+310 -2s + 10 -410 -1

ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)

(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2

(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-

ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)

Προδιαγραφή (i)

T2

T2r

=10minus1Kp

s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)

55

T2r +-

T 0

T2

10 -1s + 10 -3

++ s2+310 -2s + 10 -410 -1

KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

και

Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4

s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)

Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει

(ye)ss =10minus4

10minus4 + 10minus1Kp

lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)

Προδιαγραφή(ii)

T2

T0

=(10minus1s + 10minus3

)middot 10minus1

s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)

Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε

(T2)ss =10minus4

10minus4 + 10minus1kp

lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)

Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)

(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή

Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)

Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε

ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp

2ζωn = 3 middot 10minus2

rArr ζ =

3 middot 10minus2

2radic

10minus4 + 10minus1kp

gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)

56

Προδιαγραφή (iv)

τ lt 20(secs) rArr minus1

τlt minus 1

20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)

-

Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +

1

20(19)

microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1

20

)2

+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1

20

)+ (10minus4 + 10minus1kp) =

= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp

)

= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp

)(20)

Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ

Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0

(100s + 1)T1 = 1000X + T2

(c2 middot s + 2) middot T2 = T1

rArr T1 = 1000

100s+1middotX + T2

100s+1

(c2 middot s + 2) middot T2 = T2

100s+1+ 1000

100s+1X

και εποmicroένως

T2(s)

X(s)=

1000

100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)

Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται

T2

T2r

=1000Kp

100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)

Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει

57

Ye(s)

T2r(s)

=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1

100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =

1

1000Kp + 1(23)

Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα

(δ3)Στην περίπτωση αυτή

Gs(s) =1

s + 1(24)

Προδιαγραφή (i)

T2

T2r

=

10minus1kp

s2+3middot10minus2s+10minus4

1 + 10minus1kp

(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)

=

=10minus1 middotKp middot (s + 1)

s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)

Εποmicroένως

Ye(s)

T2r(s)=

s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4

s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)

Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής

s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106

so 1 + 103Kp

Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για

31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)

Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s

(ye)ss =1

1 + 103Kp

lt1

100hArr Kp gt 0099 (28)

58

Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)

Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To

Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται

T2r +-

To

στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To

Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε

T1 =1

100(1000x + T2 minus T1) T2 =

1

100(To + T1 minus 2T2) (29)

59

Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι

(στ1)

10 -2s +10 -410 -1

To

+

-+

++

-

-

-+-

T2r

1100 1s

2

x 10 3 1100 1s

g1

g2

T2

T1

Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου

60

στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής

10 -2 s + 10 -4

10 -1

K Is+

-

To

T2r + ---

x

g

g1

2

T1

T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

61

9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Λύση 93

(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική

I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T

και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής

R Gc(s)T T

s2 + s + 4Θ

(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)

Τότε θe(equiv Rminus θ)

R=

s2 + s + 4

s2 + s + (4 + Kp)(2)

και για R(s) = 1sέχουmicroε

θe(s) =s2 + s + 4

s2 + s + 4 + Kp

1

s

και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε

(θe)ss = limsrarr0

s middot θe(s) =4

4 + Kp

(3)

και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)

Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι

s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n

και εποmicroένως

ζ =1

2radic

44= 0075 και τ = 2(secs) (5)

Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι

ζΕΓΚ =1

4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)

Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου

62

minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10

minus8

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

8

10

0016003200500750105015

024

045

2

4

6

8

10

2

4

6

8

10

0016003200500750105015

024

045

RootLocus of the system with Pminuscontroller

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD

Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε

Θe(s)

R(s)=

s2 + s + 4

s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)

και για R(s) = 1s

(Θe)ss = limsrarr0

s middotΘe(s) = limsrarr0

middots s2 + s + 4

s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)

1

s=

=4

4 + Kp

(9)

όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως

(Θs)ss =4

4 + Kp

lt 01 rArr Kp gt 36 (10)

Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε

τ =1

ζωn

=2

1 + KD

(ζ lt 1) (11)

63

ζ =1 + KD

2radic

4 + Kp

(12)

Για τ =

2

1 + KD

lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)

Εποmicroένως επιλέγουmicroε

KP = 40KD = 2

(14)

΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για

Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται

s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s

s2 + s + 44= 0

minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

8

091

0975

01402804205607082

091

0975

24681012

01402804205607082

RootLocus of the system with PDminuscontroller

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40

ζ =1 + KD

2radic

44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)

64

ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)

οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)

τ =1

ζωn

=2

1 + KD

= 02(sec) (17)

`Λύση 94

(α) Τόπος των Ριζών

Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου

1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)

(s + 10)s2(s2 + 100)= 0

minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20

minus15

minus10

minus5

0

5

10

15

200204

06

08

0204

06

08

5

10

15

20

5

10

15

20

RootLocus of the system

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(a)

(b)

5310o

Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2

65

Φ1 = +90o Φ2 = minus90o

α =

sumPi minus

sumzi

nminusm=minus10minus (minus1)

2= minus9

2

Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0

Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης

d

ds

(1

F (s)

)=

d

ds

[s2(s + 10)(s2 + 100)

(s + 1)(s2 + 121)

]= 0

Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz

(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)

Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o

Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)

Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)

66

10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι

K middot s + 1

s3middot s + 1

s + 10=

k

10middot (s + 1)2

s3(010s + 1)

Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1

10= minus20(db)

Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά

16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16

20rArr x = 631

και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας

k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0

ΣύστηmicroαΑσταθές

67

k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0

ΣύστηmicroαΕυσταθές

Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής

1 + k middot (s+1)2

s3(s+10)= 0

minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

016032046062074084

093

098

016032046062074084

093

098

246810

RootLocus of the system

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

k=625

(2)(3)

51

8η ΟΜΑ∆Α

Λύση 85

Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g

)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)

F (s)=

1

1200s2 minus 700(1)

η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD

Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά

1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1

FΘΑΝΑΦ

ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

Θ+-

Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι

Θ(s)

ΘΑΝΑΦ(s)=

Kp+KDs

1200s2minus700

1 + Kp+KDs

1200s2minus700

=Kp + KDs

1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)

Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε

2ζwn = KD

1200

ω2n = Kpminus700

1200

(3)

(4)

Προδιαγραφή (ii)

Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε

ts =4

ζωn

(5)

52

Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)

ts =4 middot 2 400

KD

sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)

Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1

2και για ζ = 0707 ωn = 1

2middot0707= 1radic

2

Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε

Kp minus 700

1200=

1

2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300

Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)

Λύση 86

(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης

Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση

qh = R middot i2 (1)

Θερmicroοχωρητικότητα C1

C1 middot dT1

dt= qh minus qh1 (2)

όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2

Από την ϑερmicroική αντίσταση

qh1 =1

R1

(T1 minus T2) (3)

Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2

dt= qh1 minus qh2 (4)

όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης

qh2 =1

R2

(T2 minus T0) (5)

53

Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)

C1 middot dT1

dt=minus1

R1

(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1

dt+

1

R1

middot T1 = i2R +1

R1

T2 (6α΄)

C2 middot dT2

dt+

(1

R1

+1

R2

)middot T2 =

1

R1

T1 +1

R2

To (6β΄)

Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε

100 middot dT1

dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)

100 middot dT2

dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)

(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή

εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε

(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000

100s + 1middotX(s) +

1

100s + 1middot T2(s) (8α΄)

και από την (7β)

(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε

(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000

100s + 1middotX(s) +

1

100s + 1T2(s) + To(s) rArr

rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)

rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)

Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης

54

s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2

s2 = minus262x10minus2

Αρα χρονικές σταθερές

τ1 =100

038sim= 263(secs)

τ2 =100

262sim= 38(secs)

(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2

T2r +- ye

x

0

T 0

T2

1

10 -1s + 10 -3

++ s2+310 -2s + 10 -410 -1

ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)

(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2

(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-

ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)

Προδιαγραφή (i)

T2

T2r

=10minus1Kp

s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)

55

T2r +-

T 0

T2

10 -1s + 10 -3

++ s2+310 -2s + 10 -410 -1

KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

και

Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4

s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)

Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει

(ye)ss =10minus4

10minus4 + 10minus1Kp

lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)

Προδιαγραφή(ii)

T2

T0

=(10minus1s + 10minus3

)middot 10minus1

s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)

Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε

(T2)ss =10minus4

10minus4 + 10minus1kp

lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)

Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)

(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή

Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)

Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε

ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp

2ζωn = 3 middot 10minus2

rArr ζ =

3 middot 10minus2

2radic

10minus4 + 10minus1kp

gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)

56

Προδιαγραφή (iv)

τ lt 20(secs) rArr minus1

τlt minus 1

20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)

-

Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +

1

20(19)

microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1

20

)2

+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1

20

)+ (10minus4 + 10minus1kp) =

= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp

)

= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp

)(20)

Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ

Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0

(100s + 1)T1 = 1000X + T2

(c2 middot s + 2) middot T2 = T1

rArr T1 = 1000

100s+1middotX + T2

100s+1

(c2 middot s + 2) middot T2 = T2

100s+1+ 1000

100s+1X

και εποmicroένως

T2(s)

X(s)=

1000

100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)

Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται

T2

T2r

=1000Kp

100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)

Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει

57

Ye(s)

T2r(s)

=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1

100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =

1

1000Kp + 1(23)

Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα

(δ3)Στην περίπτωση αυτή

Gs(s) =1

s + 1(24)

Προδιαγραφή (i)

T2

T2r

=

10minus1kp

s2+3middot10minus2s+10minus4

1 + 10minus1kp

(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)

=

=10minus1 middotKp middot (s + 1)

s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)

Εποmicroένως

Ye(s)

T2r(s)=

s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4

s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)

Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής

s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106

so 1 + 103Kp

Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για

31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)

Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s

(ye)ss =1

1 + 103Kp

lt1

100hArr Kp gt 0099 (28)

58

Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)

Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To

Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται

T2r +-

To

στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To

Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε

T1 =1

100(1000x + T2 minus T1) T2 =

1

100(To + T1 minus 2T2) (29)

59

Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι

(στ1)

10 -2s +10 -410 -1

To

+

-+

++

-

-

-+-

T2r

1100 1s

2

x 10 3 1100 1s

g1

g2

T2

T1

Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου

60

στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής

10 -2 s + 10 -4

10 -1

K Is+

-

To

T2r + ---

x

g

g1

2

T1

T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

61

9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Λύση 93

(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική

I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T

και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής

R Gc(s)T T

s2 + s + 4Θ

(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)

Τότε θe(equiv Rminus θ)

R=

s2 + s + 4

s2 + s + (4 + Kp)(2)

και για R(s) = 1sέχουmicroε

θe(s) =s2 + s + 4

s2 + s + 4 + Kp

1

s

και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε

(θe)ss = limsrarr0

s middot θe(s) =4

4 + Kp

(3)

και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)

Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι

s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n

και εποmicroένως

ζ =1

2radic

44= 0075 και τ = 2(secs) (5)

Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι

ζΕΓΚ =1

4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)

Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου

62

minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10

minus8

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

8

10

0016003200500750105015

024

045

2

4

6

8

10

2

4

6

8

10

0016003200500750105015

024

045

RootLocus of the system with Pminuscontroller

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD

Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε

Θe(s)

R(s)=

s2 + s + 4

s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)

και για R(s) = 1s

(Θe)ss = limsrarr0

s middotΘe(s) = limsrarr0

middots s2 + s + 4

s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)

1

s=

=4

4 + Kp

(9)

όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως

(Θs)ss =4

4 + Kp

lt 01 rArr Kp gt 36 (10)

Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε

τ =1

ζωn

=2

1 + KD

(ζ lt 1) (11)

63

ζ =1 + KD

2radic

4 + Kp

(12)

Για τ =

2

1 + KD

lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)

Εποmicroένως επιλέγουmicroε

KP = 40KD = 2

(14)

΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για

Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται

s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s

s2 + s + 44= 0

minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

8

091

0975

01402804205607082

091

0975

24681012

01402804205607082

RootLocus of the system with PDminuscontroller

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40

ζ =1 + KD

2radic

44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)

64

ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)

οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)

τ =1

ζωn

=2

1 + KD

= 02(sec) (17)

`Λύση 94

(α) Τόπος των Ριζών

Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου

1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)

(s + 10)s2(s2 + 100)= 0

minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20

minus15

minus10

minus5

0

5

10

15

200204

06

08

0204

06

08

5

10

15

20

5

10

15

20

RootLocus of the system

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(a)

(b)

5310o

Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2

65

Φ1 = +90o Φ2 = minus90o

α =

sumPi minus

sumzi

nminusm=minus10minus (minus1)

2= minus9

2

Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0

Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης

d

ds

(1

F (s)

)=

d

ds

[s2(s + 10)(s2 + 100)

(s + 1)(s2 + 121)

]= 0

Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz

(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)

Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o

Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)

Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)

66

10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι

K middot s + 1

s3middot s + 1

s + 10=

k

10middot (s + 1)2

s3(010s + 1)

Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1

10= minus20(db)

Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά

16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16

20rArr x = 631

και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας

k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0

ΣύστηmicroαΑσταθές

67

k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0

ΣύστηmicroαΕυσταθές

Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής

1 + k middot (s+1)2

s3(s+10)= 0

minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

016032046062074084

093

098

016032046062074084

093

098

246810

RootLocus of the system

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

k=625

(2)(3)

52

Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)

ts =4 middot 2 400

KD

sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)

Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1

2και για ζ = 0707 ωn = 1

2middot0707= 1radic

2

Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε

Kp minus 700

1200=

1

2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300

Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)

Λύση 86

(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης

Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση

qh = R middot i2 (1)

Θερmicroοχωρητικότητα C1

C1 middot dT1

dt= qh minus qh1 (2)

όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2

Από την ϑερmicroική αντίσταση

qh1 =1

R1

(T1 minus T2) (3)

Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2

dt= qh1 minus qh2 (4)

όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης

qh2 =1

R2

(T2 minus T0) (5)

53

Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)

C1 middot dT1

dt=minus1

R1

(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1

dt+

1

R1

middot T1 = i2R +1

R1

T2 (6α΄)

C2 middot dT2

dt+

(1

R1

+1

R2

)middot T2 =

1

R1

T1 +1

R2

To (6β΄)

Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε

100 middot dT1

dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)

100 middot dT2

dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)

(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή

εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε

(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000

100s + 1middotX(s) +

1

100s + 1middot T2(s) (8α΄)

και από την (7β)

(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε

(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000

100s + 1middotX(s) +

1

100s + 1T2(s) + To(s) rArr

rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)

rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)

Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης

54

s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2

s2 = minus262x10minus2

Αρα χρονικές σταθερές

τ1 =100

038sim= 263(secs)

τ2 =100

262sim= 38(secs)

(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2

T2r +- ye

x

0

T 0

T2

1

10 -1s + 10 -3

++ s2+310 -2s + 10 -410 -1

ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)

(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2

(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-

ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)

Προδιαγραφή (i)

T2

T2r

=10minus1Kp

s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)

55

T2r +-

T 0

T2

10 -1s + 10 -3

++ s2+310 -2s + 10 -410 -1

KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

και

Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4

s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)

Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει

(ye)ss =10minus4

10minus4 + 10minus1Kp

lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)

Προδιαγραφή(ii)

T2

T0

=(10minus1s + 10minus3

)middot 10minus1

s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)

Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε

(T2)ss =10minus4

10minus4 + 10minus1kp

lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)

Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)

(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή

Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)

Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε

ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp

2ζωn = 3 middot 10minus2

rArr ζ =

3 middot 10minus2

2radic

10minus4 + 10minus1kp

gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)

56

Προδιαγραφή (iv)

τ lt 20(secs) rArr minus1

τlt minus 1

20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)

-

Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +

1

20(19)

microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1

20

)2

+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1

20

)+ (10minus4 + 10minus1kp) =

= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp

)

= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp

)(20)

Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ

Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0

(100s + 1)T1 = 1000X + T2

(c2 middot s + 2) middot T2 = T1

rArr T1 = 1000

100s+1middotX + T2

100s+1

(c2 middot s + 2) middot T2 = T2

100s+1+ 1000

100s+1X

και εποmicroένως

T2(s)

X(s)=

1000

100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)

Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται

T2

T2r

=1000Kp

100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)

Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει

57

Ye(s)

T2r(s)

=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1

100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =

1

1000Kp + 1(23)

Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα

(δ3)Στην περίπτωση αυτή

Gs(s) =1

s + 1(24)

Προδιαγραφή (i)

T2

T2r

=

10minus1kp

s2+3middot10minus2s+10minus4

1 + 10minus1kp

(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)

=

=10minus1 middotKp middot (s + 1)

s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)

Εποmicroένως

Ye(s)

T2r(s)=

s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4

s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)

Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής

s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106

so 1 + 103Kp

Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για

31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)

Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s

(ye)ss =1

1 + 103Kp

lt1

100hArr Kp gt 0099 (28)

58

Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)

Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To

Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται

T2r +-

To

στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To

Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε

T1 =1

100(1000x + T2 minus T1) T2 =

1

100(To + T1 minus 2T2) (29)

59

Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι

(στ1)

10 -2s +10 -410 -1

To

+

-+

++

-

-

-+-

T2r

1100 1s

2

x 10 3 1100 1s

g1

g2

T2

T1

Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου

60

στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής

10 -2 s + 10 -4

10 -1

K Is+

-

To

T2r + ---

x

g

g1

2

T1

T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

61

9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Λύση 93

(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική

I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T

και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής

R Gc(s)T T

s2 + s + 4Θ

(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)

Τότε θe(equiv Rminus θ)

R=

s2 + s + 4

s2 + s + (4 + Kp)(2)

και για R(s) = 1sέχουmicroε

θe(s) =s2 + s + 4

s2 + s + 4 + Kp

1

s

και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε

(θe)ss = limsrarr0

s middot θe(s) =4

4 + Kp

(3)

και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)

Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι

s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n

και εποmicroένως

ζ =1

2radic

44= 0075 και τ = 2(secs) (5)

Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι

ζΕΓΚ =1

4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)

Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου

62

minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10

minus8

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

8

10

0016003200500750105015

024

045

2

4

6

8

10

2

4

6

8

10

0016003200500750105015

024

045

RootLocus of the system with Pminuscontroller

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD

Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε

Θe(s)

R(s)=

s2 + s + 4

s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)

και για R(s) = 1s

(Θe)ss = limsrarr0

s middotΘe(s) = limsrarr0

middots s2 + s + 4

s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)

1

s=

=4

4 + Kp

(9)

όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως

(Θs)ss =4

4 + Kp

lt 01 rArr Kp gt 36 (10)

Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε

τ =1

ζωn

=2

1 + KD

(ζ lt 1) (11)

63

ζ =1 + KD

2radic

4 + Kp

(12)

Για τ =

2

1 + KD

lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)

Εποmicroένως επιλέγουmicroε

KP = 40KD = 2

(14)

΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για

Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται

s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s

s2 + s + 44= 0

minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

8

091

0975

01402804205607082

091

0975

24681012

01402804205607082

RootLocus of the system with PDminuscontroller

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40

ζ =1 + KD

2radic

44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)

64

ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)

οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)

τ =1

ζωn

=2

1 + KD

= 02(sec) (17)

`Λύση 94

(α) Τόπος των Ριζών

Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου

1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)

(s + 10)s2(s2 + 100)= 0

minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20

minus15

minus10

minus5

0

5

10

15

200204

06

08

0204

06

08

5

10

15

20

5

10

15

20

RootLocus of the system

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(a)

(b)

5310o

Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2

65

Φ1 = +90o Φ2 = minus90o

α =

sumPi minus

sumzi

nminusm=minus10minus (minus1)

2= minus9

2

Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0

Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης

d

ds

(1

F (s)

)=

d

ds

[s2(s + 10)(s2 + 100)

(s + 1)(s2 + 121)

]= 0

Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz

(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)

Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o

Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)

Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)

66

10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι

K middot s + 1

s3middot s + 1

s + 10=

k

10middot (s + 1)2

s3(010s + 1)

Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1

10= minus20(db)

Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά

16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16

20rArr x = 631

και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας

k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0

ΣύστηmicroαΑσταθές

67

k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0

ΣύστηmicroαΕυσταθές

Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής

1 + k middot (s+1)2

s3(s+10)= 0

minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

016032046062074084

093

098

016032046062074084

093

098

246810

RootLocus of the system

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

k=625

(2)(3)

53

Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)

C1 middot dT1

dt=minus1

R1

(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1

dt+

1

R1

middot T1 = i2R +1

R1

T2 (6α΄)

C2 middot dT2

dt+

(1

R1

+1

R2

)middot T2 =

1

R1

T1 +1

R2

To (6β΄)

Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε

100 middot dT1

dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)

100 middot dT2

dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)

(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή

εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε

(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000

100s + 1middotX(s) +

1

100s + 1middot T2(s) (8α΄)

και από την (7β)

(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε

(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000

100s + 1middotX(s) +

1

100s + 1T2(s) + To(s) rArr

rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)

rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)

Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης

54

s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2

s2 = minus262x10minus2

Αρα χρονικές σταθερές

τ1 =100

038sim= 263(secs)

τ2 =100

262sim= 38(secs)

(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2

T2r +- ye

x

0

T 0

T2

1

10 -1s + 10 -3

++ s2+310 -2s + 10 -410 -1

ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)

(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2

(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-

ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)

Προδιαγραφή (i)

T2

T2r

=10minus1Kp

s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)

55

T2r +-

T 0

T2

10 -1s + 10 -3

++ s2+310 -2s + 10 -410 -1

KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

και

Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4

s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)

Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει

(ye)ss =10minus4

10minus4 + 10minus1Kp

lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)

Προδιαγραφή(ii)

T2

T0

=(10minus1s + 10minus3

)middot 10minus1

s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)

Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε

(T2)ss =10minus4

10minus4 + 10minus1kp

lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)

Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)

(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή

Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)

Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε

ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp

2ζωn = 3 middot 10minus2

rArr ζ =

3 middot 10minus2

2radic

10minus4 + 10minus1kp

gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)

56

Προδιαγραφή (iv)

τ lt 20(secs) rArr minus1

τlt minus 1

20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)

-

Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +

1

20(19)

microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1

20

)2

+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1

20

)+ (10minus4 + 10minus1kp) =

= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp

)

= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp

)(20)

Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ

Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0

(100s + 1)T1 = 1000X + T2

(c2 middot s + 2) middot T2 = T1

rArr T1 = 1000

100s+1middotX + T2

100s+1

(c2 middot s + 2) middot T2 = T2

100s+1+ 1000

100s+1X

και εποmicroένως

T2(s)

X(s)=

1000

100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)

Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται

T2

T2r

=1000Kp

100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)

Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει

57

Ye(s)

T2r(s)

=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1

100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =

1

1000Kp + 1(23)

Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα

(δ3)Στην περίπτωση αυτή

Gs(s) =1

s + 1(24)

Προδιαγραφή (i)

T2

T2r

=

10minus1kp

s2+3middot10minus2s+10minus4

1 + 10minus1kp

(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)

=

=10minus1 middotKp middot (s + 1)

s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)

Εποmicroένως

Ye(s)

T2r(s)=

s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4

s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)

Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής

s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106

so 1 + 103Kp

Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για

31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)

Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s

(ye)ss =1

1 + 103Kp

lt1

100hArr Kp gt 0099 (28)

58

Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)

Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To

Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται

T2r +-

To

στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To

Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε

T1 =1

100(1000x + T2 minus T1) T2 =

1

100(To + T1 minus 2T2) (29)

59

Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι

(στ1)

10 -2s +10 -410 -1

To

+

-+

++

-

-

-+-

T2r

1100 1s

2

x 10 3 1100 1s

g1

g2

T2

T1

Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου

60

στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής

10 -2 s + 10 -4

10 -1

K Is+

-

To

T2r + ---

x

g

g1

2

T1

T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

61

9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Λύση 93

(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική

I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T

και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής

R Gc(s)T T

s2 + s + 4Θ

(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)

Τότε θe(equiv Rminus θ)

R=

s2 + s + 4

s2 + s + (4 + Kp)(2)

και για R(s) = 1sέχουmicroε

θe(s) =s2 + s + 4

s2 + s + 4 + Kp

1

s

και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε

(θe)ss = limsrarr0

s middot θe(s) =4

4 + Kp

(3)

και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)

Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι

s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n

και εποmicroένως

ζ =1

2radic

44= 0075 και τ = 2(secs) (5)

Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι

ζΕΓΚ =1

4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)

Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου

62

minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10

minus8

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

8

10

0016003200500750105015

024

045

2

4

6

8

10

2

4

6

8

10

0016003200500750105015

024

045

RootLocus of the system with Pminuscontroller

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD

Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε

Θe(s)

R(s)=

s2 + s + 4

s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)

και για R(s) = 1s

(Θe)ss = limsrarr0

s middotΘe(s) = limsrarr0

middots s2 + s + 4

s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)

1

s=

=4

4 + Kp

(9)

όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως

(Θs)ss =4

4 + Kp

lt 01 rArr Kp gt 36 (10)

Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε

τ =1

ζωn

=2

1 + KD

(ζ lt 1) (11)

63

ζ =1 + KD

2radic

4 + Kp

(12)

Για τ =

2

1 + KD

lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)

Εποmicroένως επιλέγουmicroε

KP = 40KD = 2

(14)

΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για

Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται

s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s

s2 + s + 44= 0

minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

8

091

0975

01402804205607082

091

0975

24681012

01402804205607082

RootLocus of the system with PDminuscontroller

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40

ζ =1 + KD

2radic

44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)

64

ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)

οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)

τ =1

ζωn

=2

1 + KD

= 02(sec) (17)

`Λύση 94

(α) Τόπος των Ριζών

Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου

1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)

(s + 10)s2(s2 + 100)= 0

minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20

minus15

minus10

minus5

0

5

10

15

200204

06

08

0204

06

08

5

10

15

20

5

10

15

20

RootLocus of the system

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(a)

(b)

5310o

Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2

65

Φ1 = +90o Φ2 = minus90o

α =

sumPi minus

sumzi

nminusm=minus10minus (minus1)

2= minus9

2

Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0

Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης

d

ds

(1

F (s)

)=

d

ds

[s2(s + 10)(s2 + 100)

(s + 1)(s2 + 121)

]= 0

Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz

(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)

Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o

Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)

Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)

66

10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι

K middot s + 1

s3middot s + 1

s + 10=

k

10middot (s + 1)2

s3(010s + 1)

Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1

10= minus20(db)

Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά

16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16

20rArr x = 631

και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας

k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0

ΣύστηmicroαΑσταθές

67

k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0

ΣύστηmicroαΕυσταθές

Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής

1 + k middot (s+1)2

s3(s+10)= 0

minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

016032046062074084

093

098

016032046062074084

093

098

246810

RootLocus of the system

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

k=625

(2)(3)

54

s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2

s2 = minus262x10minus2

Αρα χρονικές σταθερές

τ1 =100

038sim= 263(secs)

τ2 =100

262sim= 38(secs)

(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2

T2r +- ye

x

0

T 0

T2

1

10 -1s + 10 -3

++ s2+310 -2s + 10 -410 -1

ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)

(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2

(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-

ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)

Προδιαγραφή (i)

T2

T2r

=10minus1Kp

s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)

55

T2r +-

T 0

T2

10 -1s + 10 -3

++ s2+310 -2s + 10 -410 -1

KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

και

Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4

s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)

Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει

(ye)ss =10minus4

10minus4 + 10minus1Kp

lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)

Προδιαγραφή(ii)

T2

T0

=(10minus1s + 10minus3

)middot 10minus1

s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)

Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε

(T2)ss =10minus4

10minus4 + 10minus1kp

lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)

Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)

(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή

Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)

Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε

ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp

2ζωn = 3 middot 10minus2

rArr ζ =

3 middot 10minus2

2radic

10minus4 + 10minus1kp

gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)

56

Προδιαγραφή (iv)

τ lt 20(secs) rArr minus1

τlt minus 1

20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)

-

Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +

1

20(19)

microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1

20

)2

+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1

20

)+ (10minus4 + 10minus1kp) =

= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp

)

= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp

)(20)

Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ

Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0

(100s + 1)T1 = 1000X + T2

(c2 middot s + 2) middot T2 = T1

rArr T1 = 1000

100s+1middotX + T2

100s+1

(c2 middot s + 2) middot T2 = T2

100s+1+ 1000

100s+1X

και εποmicroένως

T2(s)

X(s)=

1000

100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)

Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται

T2

T2r

=1000Kp

100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)

Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει

57

Ye(s)

T2r(s)

=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1

100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =

1

1000Kp + 1(23)

Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα

(δ3)Στην περίπτωση αυτή

Gs(s) =1

s + 1(24)

Προδιαγραφή (i)

T2

T2r

=

10minus1kp

s2+3middot10minus2s+10minus4

1 + 10minus1kp

(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)

=

=10minus1 middotKp middot (s + 1)

s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)

Εποmicroένως

Ye(s)

T2r(s)=

s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4

s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)

Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής

s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106

so 1 + 103Kp

Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για

31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)

Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s

(ye)ss =1

1 + 103Kp

lt1

100hArr Kp gt 0099 (28)

58

Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)

Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To

Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται

T2r +-

To

στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To

Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε

T1 =1

100(1000x + T2 minus T1) T2 =

1

100(To + T1 minus 2T2) (29)

59

Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι

(στ1)

10 -2s +10 -410 -1

To

+

-+

++

-

-

-+-

T2r

1100 1s

2

x 10 3 1100 1s

g1

g2

T2

T1

Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου

60

στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής

10 -2 s + 10 -4

10 -1

K Is+

-

To

T2r + ---

x

g

g1

2

T1

T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

61

9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Λύση 93

(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική

I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T

και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής

R Gc(s)T T

s2 + s + 4Θ

(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)

Τότε θe(equiv Rminus θ)

R=

s2 + s + 4

s2 + s + (4 + Kp)(2)

και για R(s) = 1sέχουmicroε

θe(s) =s2 + s + 4

s2 + s + 4 + Kp

1

s

και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε

(θe)ss = limsrarr0

s middot θe(s) =4

4 + Kp

(3)

και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)

Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι

s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n

και εποmicroένως

ζ =1

2radic

44= 0075 και τ = 2(secs) (5)

Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι

ζΕΓΚ =1

4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)

Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου

62

minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10

minus8

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

8

10

0016003200500750105015

024

045

2

4

6

8

10

2

4

6

8

10

0016003200500750105015

024

045

RootLocus of the system with Pminuscontroller

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD

Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε

Θe(s)

R(s)=

s2 + s + 4

s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)

και για R(s) = 1s

(Θe)ss = limsrarr0

s middotΘe(s) = limsrarr0

middots s2 + s + 4

s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)

1

s=

=4

4 + Kp

(9)

όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως

(Θs)ss =4

4 + Kp

lt 01 rArr Kp gt 36 (10)

Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε

τ =1

ζωn

=2

1 + KD

(ζ lt 1) (11)

63

ζ =1 + KD

2radic

4 + Kp

(12)

Για τ =

2

1 + KD

lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)

Εποmicroένως επιλέγουmicroε

KP = 40KD = 2

(14)

΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για

Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται

s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s

s2 + s + 44= 0

minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

8

091

0975

01402804205607082

091

0975

24681012

01402804205607082

RootLocus of the system with PDminuscontroller

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40

ζ =1 + KD

2radic

44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)

64

ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)

οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)

τ =1

ζωn

=2

1 + KD

= 02(sec) (17)

`Λύση 94

(α) Τόπος των Ριζών

Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου

1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)

(s + 10)s2(s2 + 100)= 0

minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20

minus15

minus10

minus5

0

5

10

15

200204

06

08

0204

06

08

5

10

15

20

5

10

15

20

RootLocus of the system

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(a)

(b)

5310o

Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2

65

Φ1 = +90o Φ2 = minus90o

α =

sumPi minus

sumzi

nminusm=minus10minus (minus1)

2= minus9

2

Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0

Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης

d

ds

(1

F (s)

)=

d

ds

[s2(s + 10)(s2 + 100)

(s + 1)(s2 + 121)

]= 0

Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz

(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)

Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o

Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)

Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)

66

10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι

K middot s + 1

s3middot s + 1

s + 10=

k

10middot (s + 1)2

s3(010s + 1)

Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1

10= minus20(db)

Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά

16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16

20rArr x = 631

και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας

k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0

ΣύστηmicroαΑσταθές

67

k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0

ΣύστηmicroαΕυσταθές

Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής

1 + k middot (s+1)2

s3(s+10)= 0

minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

016032046062074084

093

098

016032046062074084

093

098

246810

RootLocus of the system

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

k=625

(2)(3)

55

T2r +-

T 0

T2

10 -1s + 10 -3

++ s2+310 -2s + 10 -410 -1

KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

και

Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4

s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)

Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει

(ye)ss =10minus4

10minus4 + 10minus1Kp

lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)

Προδιαγραφή(ii)

T2

T0

=(10minus1s + 10minus3

)middot 10minus1

s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)

Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε

(T2)ss =10minus4

10minus4 + 10minus1kp

lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)

Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)

(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή

Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)

Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε

ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp

2ζωn = 3 middot 10minus2

rArr ζ =

3 middot 10minus2

2radic

10minus4 + 10minus1kp

gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)

56

Προδιαγραφή (iv)

τ lt 20(secs) rArr minus1

τlt minus 1

20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)

-

Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +

1

20(19)

microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1

20

)2

+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1

20

)+ (10minus4 + 10minus1kp) =

= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp

)

= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp

)(20)

Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ

Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0

(100s + 1)T1 = 1000X + T2

(c2 middot s + 2) middot T2 = T1

rArr T1 = 1000

100s+1middotX + T2

100s+1

(c2 middot s + 2) middot T2 = T2

100s+1+ 1000

100s+1X

και εποmicroένως

T2(s)

X(s)=

1000

100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)

Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται

T2

T2r

=1000Kp

100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)

Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει

57

Ye(s)

T2r(s)

=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1

100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =

1

1000Kp + 1(23)

Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα

(δ3)Στην περίπτωση αυτή

Gs(s) =1

s + 1(24)

Προδιαγραφή (i)

T2

T2r

=

10minus1kp

s2+3middot10minus2s+10minus4

1 + 10minus1kp

(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)

=

=10minus1 middotKp middot (s + 1)

s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)

Εποmicroένως

Ye(s)

T2r(s)=

s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4

s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)

Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής

s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106

so 1 + 103Kp

Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για

31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)

Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s

(ye)ss =1

1 + 103Kp

lt1

100hArr Kp gt 0099 (28)

58

Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)

Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To

Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται

T2r +-

To

στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To

Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε

T1 =1

100(1000x + T2 minus T1) T2 =

1

100(To + T1 minus 2T2) (29)

59

Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι

(στ1)

10 -2s +10 -410 -1

To

+

-+

++

-

-

-+-

T2r

1100 1s

2

x 10 3 1100 1s

g1

g2

T2

T1

Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου

60

στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής

10 -2 s + 10 -4

10 -1

K Is+

-

To

T2r + ---

x

g

g1

2

T1

T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

61

9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Λύση 93

(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική

I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T

και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής

R Gc(s)T T

s2 + s + 4Θ

(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)

Τότε θe(equiv Rminus θ)

R=

s2 + s + 4

s2 + s + (4 + Kp)(2)

και για R(s) = 1sέχουmicroε

θe(s) =s2 + s + 4

s2 + s + 4 + Kp

1

s

και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε

(θe)ss = limsrarr0

s middot θe(s) =4

4 + Kp

(3)

και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)

Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι

s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n

και εποmicroένως

ζ =1

2radic

44= 0075 και τ = 2(secs) (5)

Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι

ζΕΓΚ =1

4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)

Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου

62

minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10

minus8

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

8

10

0016003200500750105015

024

045

2

4

6

8

10

2

4

6

8

10

0016003200500750105015

024

045

RootLocus of the system with Pminuscontroller

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD

Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε

Θe(s)

R(s)=

s2 + s + 4

s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)

και για R(s) = 1s

(Θe)ss = limsrarr0

s middotΘe(s) = limsrarr0

middots s2 + s + 4

s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)

1

s=

=4

4 + Kp

(9)

όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως

(Θs)ss =4

4 + Kp

lt 01 rArr Kp gt 36 (10)

Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε

τ =1

ζωn

=2

1 + KD

(ζ lt 1) (11)

63

ζ =1 + KD

2radic

4 + Kp

(12)

Για τ =

2

1 + KD

lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)

Εποmicroένως επιλέγουmicroε

KP = 40KD = 2

(14)

΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για

Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται

s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s

s2 + s + 44= 0

minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

8

091

0975

01402804205607082

091

0975

24681012

01402804205607082

RootLocus of the system with PDminuscontroller

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40

ζ =1 + KD

2radic

44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)

64

ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)

οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)

τ =1

ζωn

=2

1 + KD

= 02(sec) (17)

`Λύση 94

(α) Τόπος των Ριζών

Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου

1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)

(s + 10)s2(s2 + 100)= 0

minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20

minus15

minus10

minus5

0

5

10

15

200204

06

08

0204

06

08

5

10

15

20

5

10

15

20

RootLocus of the system

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(a)

(b)

5310o

Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2

65

Φ1 = +90o Φ2 = minus90o

α =

sumPi minus

sumzi

nminusm=minus10minus (minus1)

2= minus9

2

Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0

Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης

d

ds

(1

F (s)

)=

d

ds

[s2(s + 10)(s2 + 100)

(s + 1)(s2 + 121)

]= 0

Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz

(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)

Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o

Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)

Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)

66

10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι

K middot s + 1

s3middot s + 1

s + 10=

k

10middot (s + 1)2

s3(010s + 1)

Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1

10= minus20(db)

Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά

16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16

20rArr x = 631

και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας

k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0

ΣύστηmicroαΑσταθές

67

k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0

ΣύστηmicroαΕυσταθές

Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής

1 + k middot (s+1)2

s3(s+10)= 0

minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

016032046062074084

093

098

016032046062074084

093

098

246810

RootLocus of the system

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

k=625

(2)(3)

56

Προδιαγραφή (iv)

τ lt 20(secs) rArr minus1

τlt minus 1

20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)

-

Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +

1

20(19)

microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1

20

)2

+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1

20

)+ (10minus4 + 10minus1kp) =

= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp

)

= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp

)(20)

Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ

Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0

(100s + 1)T1 = 1000X + T2

(c2 middot s + 2) middot T2 = T1

rArr T1 = 1000

100s+1middotX + T2

100s+1

(c2 middot s + 2) middot T2 = T2

100s+1+ 1000

100s+1X

και εποmicroένως

T2(s)

X(s)=

1000

100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)

Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται

T2

T2r

=1000Kp

100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)

Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει

57

Ye(s)

T2r(s)

=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1

100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =

1

1000Kp + 1(23)

Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα

(δ3)Στην περίπτωση αυτή

Gs(s) =1

s + 1(24)

Προδιαγραφή (i)

T2

T2r

=

10minus1kp

s2+3middot10minus2s+10minus4

1 + 10minus1kp

(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)

=

=10minus1 middotKp middot (s + 1)

s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)

Εποmicroένως

Ye(s)

T2r(s)=

s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4

s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)

Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής

s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106

so 1 + 103Kp

Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για

31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)

Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s

(ye)ss =1

1 + 103Kp

lt1

100hArr Kp gt 0099 (28)

58

Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)

Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To

Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται

T2r +-

To

στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To

Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε

T1 =1

100(1000x + T2 minus T1) T2 =

1

100(To + T1 minus 2T2) (29)

59

Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι

(στ1)

10 -2s +10 -410 -1

To

+

-+

++

-

-

-+-

T2r

1100 1s

2

x 10 3 1100 1s

g1

g2

T2

T1

Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου

60

στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής

10 -2 s + 10 -4

10 -1

K Is+

-

To

T2r + ---

x

g

g1

2

T1

T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

61

9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Λύση 93

(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική

I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T

και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής

R Gc(s)T T

s2 + s + 4Θ

(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)

Τότε θe(equiv Rminus θ)

R=

s2 + s + 4

s2 + s + (4 + Kp)(2)

και για R(s) = 1sέχουmicroε

θe(s) =s2 + s + 4

s2 + s + 4 + Kp

1

s

και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε

(θe)ss = limsrarr0

s middot θe(s) =4

4 + Kp

(3)

και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)

Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι

s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n

και εποmicroένως

ζ =1

2radic

44= 0075 και τ = 2(secs) (5)

Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι

ζΕΓΚ =1

4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)

Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου

62

minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10

minus8

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

8

10

0016003200500750105015

024

045

2

4

6

8

10

2

4

6

8

10

0016003200500750105015

024

045

RootLocus of the system with Pminuscontroller

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD

Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε

Θe(s)

R(s)=

s2 + s + 4

s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)

και για R(s) = 1s

(Θe)ss = limsrarr0

s middotΘe(s) = limsrarr0

middots s2 + s + 4

s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)

1

s=

=4

4 + Kp

(9)

όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως

(Θs)ss =4

4 + Kp

lt 01 rArr Kp gt 36 (10)

Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε

τ =1

ζωn

=2

1 + KD

(ζ lt 1) (11)

63

ζ =1 + KD

2radic

4 + Kp

(12)

Για τ =

2

1 + KD

lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)

Εποmicroένως επιλέγουmicroε

KP = 40KD = 2

(14)

΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για

Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται

s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s

s2 + s + 44= 0

minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

8

091

0975

01402804205607082

091

0975

24681012

01402804205607082

RootLocus of the system with PDminuscontroller

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40

ζ =1 + KD

2radic

44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)

64

ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)

οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)

τ =1

ζωn

=2

1 + KD

= 02(sec) (17)

`Λύση 94

(α) Τόπος των Ριζών

Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου

1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)

(s + 10)s2(s2 + 100)= 0

minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20

minus15

minus10

minus5

0

5

10

15

200204

06

08

0204

06

08

5

10

15

20

5

10

15

20

RootLocus of the system

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(a)

(b)

5310o

Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2

65

Φ1 = +90o Φ2 = minus90o

α =

sumPi minus

sumzi

nminusm=minus10minus (minus1)

2= minus9

2

Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0

Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης

d

ds

(1

F (s)

)=

d

ds

[s2(s + 10)(s2 + 100)

(s + 1)(s2 + 121)

]= 0

Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz

(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)

Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o

Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)

Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)

66

10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι

K middot s + 1

s3middot s + 1

s + 10=

k

10middot (s + 1)2

s3(010s + 1)

Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1

10= minus20(db)

Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά

16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16

20rArr x = 631

και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας

k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0

ΣύστηmicroαΑσταθές

67

k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0

ΣύστηmicroαΕυσταθές

Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής

1 + k middot (s+1)2

s3(s+10)= 0

minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

016032046062074084

093

098

016032046062074084

093

098

246810

RootLocus of the system

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

k=625

(2)(3)

57

Ye(s)

T2r(s)

=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1

100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =

1

1000Kp + 1(23)

Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα

(δ3)Στην περίπτωση αυτή

Gs(s) =1

s + 1(24)

Προδιαγραφή (i)

T2

T2r

=

10minus1kp

s2+3middot10minus2s+10minus4

1 + 10minus1kp

(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)

=

=10minus1 middotKp middot (s + 1)

s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)

Εποmicroένως

Ye(s)

T2r(s)=

s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4

s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)

Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής

s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106

so 1 + 103Kp

Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για

31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)

Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s

(ye)ss =1

1 + 103Kp

lt1

100hArr Kp gt 0099 (28)

58

Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)

Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To

Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται

T2r +-

To

στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To

Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε

T1 =1

100(1000x + T2 minus T1) T2 =

1

100(To + T1 minus 2T2) (29)

59

Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι

(στ1)

10 -2s +10 -410 -1

To

+

-+

++

-

-

-+-

T2r

1100 1s

2

x 10 3 1100 1s

g1

g2

T2

T1

Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου

60

στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής

10 -2 s + 10 -4

10 -1

K Is+

-

To

T2r + ---

x

g

g1

2

T1

T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

61

9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Λύση 93

(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική

I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T

και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής

R Gc(s)T T

s2 + s + 4Θ

(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)

Τότε θe(equiv Rminus θ)

R=

s2 + s + 4

s2 + s + (4 + Kp)(2)

και για R(s) = 1sέχουmicroε

θe(s) =s2 + s + 4

s2 + s + 4 + Kp

1

s

και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε

(θe)ss = limsrarr0

s middot θe(s) =4

4 + Kp

(3)

και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)

Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι

s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n

και εποmicroένως

ζ =1

2radic

44= 0075 και τ = 2(secs) (5)

Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι

ζΕΓΚ =1

4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)

Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου

62

minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10

minus8

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

8

10

0016003200500750105015

024

045

2

4

6

8

10

2

4

6

8

10

0016003200500750105015

024

045

RootLocus of the system with Pminuscontroller

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD

Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε

Θe(s)

R(s)=

s2 + s + 4

s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)

και για R(s) = 1s

(Θe)ss = limsrarr0

s middotΘe(s) = limsrarr0

middots s2 + s + 4

s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)

1

s=

=4

4 + Kp

(9)

όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως

(Θs)ss =4

4 + Kp

lt 01 rArr Kp gt 36 (10)

Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε

τ =1

ζωn

=2

1 + KD

(ζ lt 1) (11)

63

ζ =1 + KD

2radic

4 + Kp

(12)

Για τ =

2

1 + KD

lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)

Εποmicroένως επιλέγουmicroε

KP = 40KD = 2

(14)

΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για

Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται

s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s

s2 + s + 44= 0

minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

8

091

0975

01402804205607082

091

0975

24681012

01402804205607082

RootLocus of the system with PDminuscontroller

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40

ζ =1 + KD

2radic

44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)

64

ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)

οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)

τ =1

ζωn

=2

1 + KD

= 02(sec) (17)

`Λύση 94

(α) Τόπος των Ριζών

Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου

1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)

(s + 10)s2(s2 + 100)= 0

minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20

minus15

minus10

minus5

0

5

10

15

200204

06

08

0204

06

08

5

10

15

20

5

10

15

20

RootLocus of the system

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(a)

(b)

5310o

Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2

65

Φ1 = +90o Φ2 = minus90o

α =

sumPi minus

sumzi

nminusm=minus10minus (minus1)

2= minus9

2

Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0

Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης

d

ds

(1

F (s)

)=

d

ds

[s2(s + 10)(s2 + 100)

(s + 1)(s2 + 121)

]= 0

Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz

(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)

Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o

Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)

Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)

66

10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι

K middot s + 1

s3middot s + 1

s + 10=

k

10middot (s + 1)2

s3(010s + 1)

Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1

10= minus20(db)

Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά

16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16

20rArr x = 631

και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας

k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0

ΣύστηmicroαΑσταθές

67

k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0

ΣύστηmicroαΕυσταθές

Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής

1 + k middot (s+1)2

s3(s+10)= 0

minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

016032046062074084

093

098

016032046062074084

093

098

246810

RootLocus of the system

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

k=625

(2)(3)

58

Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)

Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To

Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται

T2r +-

To

στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To

Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε

T1 =1

100(1000x + T2 minus T1) T2 =

1

100(To + T1 minus 2T2) (29)

59

Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι

(στ1)

10 -2s +10 -410 -1

To

+

-+

++

-

-

-+-

T2r

1100 1s

2

x 10 3 1100 1s

g1

g2

T2

T1

Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου

60

στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής

10 -2 s + 10 -4

10 -1

K Is+

-

To

T2r + ---

x

g

g1

2

T1

T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

61

9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Λύση 93

(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική

I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T

και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής

R Gc(s)T T

s2 + s + 4Θ

(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)

Τότε θe(equiv Rminus θ)

R=

s2 + s + 4

s2 + s + (4 + Kp)(2)

και για R(s) = 1sέχουmicroε

θe(s) =s2 + s + 4

s2 + s + 4 + Kp

1

s

και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε

(θe)ss = limsrarr0

s middot θe(s) =4

4 + Kp

(3)

και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)

Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι

s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n

και εποmicroένως

ζ =1

2radic

44= 0075 και τ = 2(secs) (5)

Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι

ζΕΓΚ =1

4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)

Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου

62

minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10

minus8

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

8

10

0016003200500750105015

024

045

2

4

6

8

10

2

4

6

8

10

0016003200500750105015

024

045

RootLocus of the system with Pminuscontroller

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD

Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε

Θe(s)

R(s)=

s2 + s + 4

s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)

και για R(s) = 1s

(Θe)ss = limsrarr0

s middotΘe(s) = limsrarr0

middots s2 + s + 4

s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)

1

s=

=4

4 + Kp

(9)

όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως

(Θs)ss =4

4 + Kp

lt 01 rArr Kp gt 36 (10)

Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε

τ =1

ζωn

=2

1 + KD

(ζ lt 1) (11)

63

ζ =1 + KD

2radic

4 + Kp

(12)

Για τ =

2

1 + KD

lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)

Εποmicroένως επιλέγουmicroε

KP = 40KD = 2

(14)

΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για

Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται

s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s

s2 + s + 44= 0

minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

8

091

0975

01402804205607082

091

0975

24681012

01402804205607082

RootLocus of the system with PDminuscontroller

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40

ζ =1 + KD

2radic

44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)

64

ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)

οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)

τ =1

ζωn

=2

1 + KD

= 02(sec) (17)

`Λύση 94

(α) Τόπος των Ριζών

Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου

1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)

(s + 10)s2(s2 + 100)= 0

minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20

minus15

minus10

minus5

0

5

10

15

200204

06

08

0204

06

08

5

10

15

20

5

10

15

20

RootLocus of the system

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(a)

(b)

5310o

Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2

65

Φ1 = +90o Φ2 = minus90o

α =

sumPi minus

sumzi

nminusm=minus10minus (minus1)

2= minus9

2

Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0

Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης

d

ds

(1

F (s)

)=

d

ds

[s2(s + 10)(s2 + 100)

(s + 1)(s2 + 121)

]= 0

Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz

(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)

Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o

Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)

Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)

66

10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι

K middot s + 1

s3middot s + 1

s + 10=

k

10middot (s + 1)2

s3(010s + 1)

Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1

10= minus20(db)

Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά

16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16

20rArr x = 631

και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας

k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0

ΣύστηmicroαΑσταθές

67

k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0

ΣύστηmicroαΕυσταθές

Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής

1 + k middot (s+1)2

s3(s+10)= 0

minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

016032046062074084

093

098

016032046062074084

093

098

246810

RootLocus of the system

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

k=625

(2)(3)

59

Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι

(στ1)

10 -2s +10 -410 -1

To

+

-+

++

-

-

-+-

T2r

1100 1s

2

x 10 3 1100 1s

g1

g2

T2

T1

Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου

60

στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής

10 -2 s + 10 -4

10 -1

K Is+

-

To

T2r + ---

x

g

g1

2

T1

T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

61

9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Λύση 93

(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική

I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T

και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής

R Gc(s)T T

s2 + s + 4Θ

(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)

Τότε θe(equiv Rminus θ)

R=

s2 + s + 4

s2 + s + (4 + Kp)(2)

και για R(s) = 1sέχουmicroε

θe(s) =s2 + s + 4

s2 + s + 4 + Kp

1

s

και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε

(θe)ss = limsrarr0

s middot θe(s) =4

4 + Kp

(3)

και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)

Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι

s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n

και εποmicroένως

ζ =1

2radic

44= 0075 και τ = 2(secs) (5)

Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι

ζΕΓΚ =1

4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)

Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου

62

minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10

minus8

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

8

10

0016003200500750105015

024

045

2

4

6

8

10

2

4

6

8

10

0016003200500750105015

024

045

RootLocus of the system with Pminuscontroller

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD

Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε

Θe(s)

R(s)=

s2 + s + 4

s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)

και για R(s) = 1s

(Θe)ss = limsrarr0

s middotΘe(s) = limsrarr0

middots s2 + s + 4

s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)

1

s=

=4

4 + Kp

(9)

όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως

(Θs)ss =4

4 + Kp

lt 01 rArr Kp gt 36 (10)

Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε

τ =1

ζωn

=2

1 + KD

(ζ lt 1) (11)

63

ζ =1 + KD

2radic

4 + Kp

(12)

Για τ =

2

1 + KD

lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)

Εποmicroένως επιλέγουmicroε

KP = 40KD = 2

(14)

΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για

Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται

s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s

s2 + s + 44= 0

minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

8

091

0975

01402804205607082

091

0975

24681012

01402804205607082

RootLocus of the system with PDminuscontroller

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40

ζ =1 + KD

2radic

44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)

64

ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)

οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)

τ =1

ζωn

=2

1 + KD

= 02(sec) (17)

`Λύση 94

(α) Τόπος των Ριζών

Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου

1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)

(s + 10)s2(s2 + 100)= 0

minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20

minus15

minus10

minus5

0

5

10

15

200204

06

08

0204

06

08

5

10

15

20

5

10

15

20

RootLocus of the system

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(a)

(b)

5310o

Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2

65

Φ1 = +90o Φ2 = minus90o

α =

sumPi minus

sumzi

nminusm=minus10minus (minus1)

2= minus9

2

Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0

Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης

d

ds

(1

F (s)

)=

d

ds

[s2(s + 10)(s2 + 100)

(s + 1)(s2 + 121)

]= 0

Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz

(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)

Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o

Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)

Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)

66

10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι

K middot s + 1

s3middot s + 1

s + 10=

k

10middot (s + 1)2

s3(010s + 1)

Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1

10= minus20(db)

Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά

16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16

20rArr x = 631

και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας

k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0

ΣύστηmicroαΑσταθές

67

k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0

ΣύστηmicroαΕυσταθές

Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής

1 + k middot (s+1)2

s3(s+10)= 0

minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

016032046062074084

093

098

016032046062074084

093

098

246810

RootLocus of the system

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

k=625

(2)(3)

60

στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής

10 -2 s + 10 -4

10 -1

K Is+

-

To

T2r + ---

x

g

g1

2

T1

T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

61

9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Λύση 93

(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική

I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T

και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής

R Gc(s)T T

s2 + s + 4Θ

(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)

Τότε θe(equiv Rminus θ)

R=

s2 + s + 4

s2 + s + (4 + Kp)(2)

και για R(s) = 1sέχουmicroε

θe(s) =s2 + s + 4

s2 + s + 4 + Kp

1

s

και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε

(θe)ss = limsrarr0

s middot θe(s) =4

4 + Kp

(3)

και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)

Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι

s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n

και εποmicroένως

ζ =1

2radic

44= 0075 και τ = 2(secs) (5)

Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι

ζΕΓΚ =1

4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)

Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου

62

minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10

minus8

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

8

10

0016003200500750105015

024

045

2

4

6

8

10

2

4

6

8

10

0016003200500750105015

024

045

RootLocus of the system with Pminuscontroller

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD

Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε

Θe(s)

R(s)=

s2 + s + 4

s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)

και για R(s) = 1s

(Θe)ss = limsrarr0

s middotΘe(s) = limsrarr0

middots s2 + s + 4

s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)

1

s=

=4

4 + Kp

(9)

όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως

(Θs)ss =4

4 + Kp

lt 01 rArr Kp gt 36 (10)

Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε

τ =1

ζωn

=2

1 + KD

(ζ lt 1) (11)

63

ζ =1 + KD

2radic

4 + Kp

(12)

Για τ =

2

1 + KD

lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)

Εποmicroένως επιλέγουmicroε

KP = 40KD = 2

(14)

΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για

Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται

s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s

s2 + s + 44= 0

minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

8

091

0975

01402804205607082

091

0975

24681012

01402804205607082

RootLocus of the system with PDminuscontroller

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40

ζ =1 + KD

2radic

44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)

64

ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)

οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)

τ =1

ζωn

=2

1 + KD

= 02(sec) (17)

`Λύση 94

(α) Τόπος των Ριζών

Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου

1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)

(s + 10)s2(s2 + 100)= 0

minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20

minus15

minus10

minus5

0

5

10

15

200204

06

08

0204

06

08

5

10

15

20

5

10

15

20

RootLocus of the system

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(a)

(b)

5310o

Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2

65

Φ1 = +90o Φ2 = minus90o

α =

sumPi minus

sumzi

nminusm=minus10minus (minus1)

2= minus9

2

Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0

Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης

d

ds

(1

F (s)

)=

d

ds

[s2(s + 10)(s2 + 100)

(s + 1)(s2 + 121)

]= 0

Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz

(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)

Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o

Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)

Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)

66

10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι

K middot s + 1

s3middot s + 1

s + 10=

k

10middot (s + 1)2

s3(010s + 1)

Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1

10= minus20(db)

Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά

16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16

20rArr x = 631

και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας

k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0

ΣύστηmicroαΑσταθές

67

k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0

ΣύστηmicroαΕυσταθές

Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής

1 + k middot (s+1)2

s3(s+10)= 0

minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

016032046062074084

093

098

016032046062074084

093

098

246810

RootLocus of the system

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

k=625

(2)(3)

61

9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Λύση 93

(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική

I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T

και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής

R Gc(s)T T

s2 + s + 4Θ

(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)

Τότε θe(equiv Rminus θ)

R=

s2 + s + 4

s2 + s + (4 + Kp)(2)

και για R(s) = 1sέχουmicroε

θe(s) =s2 + s + 4

s2 + s + 4 + Kp

1

s

και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε

(θe)ss = limsrarr0

s middot θe(s) =4

4 + Kp

(3)

και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)

Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι

s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n

και εποmicroένως

ζ =1

2radic

44= 0075 και τ = 2(secs) (5)

Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι

ζΕΓΚ =1

4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)

Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου

62

minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10

minus8

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

8

10

0016003200500750105015

024

045

2

4

6

8

10

2

4

6

8

10

0016003200500750105015

024

045

RootLocus of the system with Pminuscontroller

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD

Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε

Θe(s)

R(s)=

s2 + s + 4

s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)

και για R(s) = 1s

(Θe)ss = limsrarr0

s middotΘe(s) = limsrarr0

middots s2 + s + 4

s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)

1

s=

=4

4 + Kp

(9)

όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως

(Θs)ss =4

4 + Kp

lt 01 rArr Kp gt 36 (10)

Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε

τ =1

ζωn

=2

1 + KD

(ζ lt 1) (11)

63

ζ =1 + KD

2radic

4 + Kp

(12)

Για τ =

2

1 + KD

lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)

Εποmicroένως επιλέγουmicroε

KP = 40KD = 2

(14)

΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για

Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται

s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s

s2 + s + 44= 0

minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

8

091

0975

01402804205607082

091

0975

24681012

01402804205607082

RootLocus of the system with PDminuscontroller

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40

ζ =1 + KD

2radic

44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)

64

ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)

οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)

τ =1

ζωn

=2

1 + KD

= 02(sec) (17)

`Λύση 94

(α) Τόπος των Ριζών

Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου

1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)

(s + 10)s2(s2 + 100)= 0

minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20

minus15

minus10

minus5

0

5

10

15

200204

06

08

0204

06

08

5

10

15

20

5

10

15

20

RootLocus of the system

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(a)

(b)

5310o

Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2

65

Φ1 = +90o Φ2 = minus90o

α =

sumPi minus

sumzi

nminusm=minus10minus (minus1)

2= minus9

2

Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0

Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης

d

ds

(1

F (s)

)=

d

ds

[s2(s + 10)(s2 + 100)

(s + 1)(s2 + 121)

]= 0

Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz

(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)

Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o

Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)

Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)

66

10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι

K middot s + 1

s3middot s + 1

s + 10=

k

10middot (s + 1)2

s3(010s + 1)

Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1

10= minus20(db)

Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά

16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16

20rArr x = 631

και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας

k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0

ΣύστηmicroαΑσταθές

67

k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0

ΣύστηmicroαΕυσταθές

Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής

1 + k middot (s+1)2

s3(s+10)= 0

minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

016032046062074084

093

098

016032046062074084

093

098

246810

RootLocus of the system

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

k=625

(2)(3)

62

minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10

minus8

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

8

10

0016003200500750105015

024

045

2

4

6

8

10

2

4

6

8

10

0016003200500750105015

024

045

RootLocus of the system with Pminuscontroller

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD

Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε

Θe(s)

R(s)=

s2 + s + 4

s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)

και για R(s) = 1s

(Θe)ss = limsrarr0

s middotΘe(s) = limsrarr0

middots s2 + s + 4

s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)

1

s=

=4

4 + Kp

(9)

όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως

(Θs)ss =4

4 + Kp

lt 01 rArr Kp gt 36 (10)

Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε

τ =1

ζωn

=2

1 + KD

(ζ lt 1) (11)

63

ζ =1 + KD

2radic

4 + Kp

(12)

Για τ =

2

1 + KD

lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)

Εποmicroένως επιλέγουmicroε

KP = 40KD = 2

(14)

΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για

Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται

s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s

s2 + s + 44= 0

minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

8

091

0975

01402804205607082

091

0975

24681012

01402804205607082

RootLocus of the system with PDminuscontroller

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40

ζ =1 + KD

2radic

44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)

64

ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)

οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)

τ =1

ζωn

=2

1 + KD

= 02(sec) (17)

`Λύση 94

(α) Τόπος των Ριζών

Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου

1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)

(s + 10)s2(s2 + 100)= 0

minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20

minus15

minus10

minus5

0

5

10

15

200204

06

08

0204

06

08

5

10

15

20

5

10

15

20

RootLocus of the system

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(a)

(b)

5310o

Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2

65

Φ1 = +90o Φ2 = minus90o

α =

sumPi minus

sumzi

nminusm=minus10minus (minus1)

2= minus9

2

Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0

Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης

d

ds

(1

F (s)

)=

d

ds

[s2(s + 10)(s2 + 100)

(s + 1)(s2 + 121)

]= 0

Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz

(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)

Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o

Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)

Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)

66

10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι

K middot s + 1

s3middot s + 1

s + 10=

k

10middot (s + 1)2

s3(010s + 1)

Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1

10= minus20(db)

Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά

16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16

20rArr x = 631

και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας

k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0

ΣύστηmicroαΑσταθές

67

k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0

ΣύστηmicroαΕυσταθές

Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής

1 + k middot (s+1)2

s3(s+10)= 0

minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

016032046062074084

093

098

016032046062074084

093

098

246810

RootLocus of the system

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

k=625

(2)(3)

63

ζ =1 + KD

2radic

4 + Kp

(12)

Για τ =

2

1 + KD

lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)

Εποmicroένως επιλέγουmicroε

KP = 40KD = 2

(14)

΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για

Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται

s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s

s2 + s + 44= 0

minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

8

091

0975

01402804205607082

091

0975

24681012

01402804205607082

RootLocus of the system with PDminuscontroller

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40

ζ =1 + KD

2radic

44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)

64

ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)

οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)

τ =1

ζωn

=2

1 + KD

= 02(sec) (17)

`Λύση 94

(α) Τόπος των Ριζών

Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου

1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)

(s + 10)s2(s2 + 100)= 0

minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20

minus15

minus10

minus5

0

5

10

15

200204

06

08

0204

06

08

5

10

15

20

5

10

15

20

RootLocus of the system

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(a)

(b)

5310o

Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2

65

Φ1 = +90o Φ2 = minus90o

α =

sumPi minus

sumzi

nminusm=minus10minus (minus1)

2= minus9

2

Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0

Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης

d

ds

(1

F (s)

)=

d

ds

[s2(s + 10)(s2 + 100)

(s + 1)(s2 + 121)

]= 0

Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz

(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)

Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o

Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)

Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)

66

10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι

K middot s + 1

s3middot s + 1

s + 10=

k

10middot (s + 1)2

s3(010s + 1)

Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1

10= minus20(db)

Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά

16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16

20rArr x = 631

και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας

k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0

ΣύστηmicroαΑσταθές

67

k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0

ΣύστηmicroαΕυσταθές

Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής

1 + k middot (s+1)2

s3(s+10)= 0

minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

016032046062074084

093

098

016032046062074084

093

098

246810

RootLocus of the system

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

k=625

(2)(3)

64

ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)

οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)

τ =1

ζωn

=2

1 + KD

= 02(sec) (17)

`Λύση 94

(α) Τόπος των Ριζών

Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου

1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)

(s + 10)s2(s2 + 100)= 0

minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20

minus15

minus10

minus5

0

5

10

15

200204

06

08

0204

06

08

5

10

15

20

5

10

15

20

RootLocus of the system

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(a)

(b)

5310o

Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2

65

Φ1 = +90o Φ2 = minus90o

α =

sumPi minus

sumzi

nminusm=minus10minus (minus1)

2= minus9

2

Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0

Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης

d

ds

(1

F (s)

)=

d

ds

[s2(s + 10)(s2 + 100)

(s + 1)(s2 + 121)

]= 0

Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz

(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)

Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o

Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)

Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)

66

10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι

K middot s + 1

s3middot s + 1

s + 10=

k

10middot (s + 1)2

s3(010s + 1)

Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1

10= minus20(db)

Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά

16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16

20rArr x = 631

και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας

k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0

ΣύστηmicroαΑσταθές

67

k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0

ΣύστηmicroαΕυσταθές

Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής

1 + k middot (s+1)2

s3(s+10)= 0

minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

016032046062074084

093

098

016032046062074084

093

098

246810

RootLocus of the system

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

k=625

(2)(3)

65

Φ1 = +90o Φ2 = minus90o

α =

sumPi minus

sumzi

nminusm=minus10minus (minus1)

2= minus9

2

Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0

Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης

d

ds

(1

F (s)

)=

d

ds

[s2(s + 10)(s2 + 100)

(s + 1)(s2 + 121)

]= 0

Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz

(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)

Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o

Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)

Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)

66

10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι

K middot s + 1

s3middot s + 1

s + 10=

k

10middot (s + 1)2

s3(010s + 1)

Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1

10= minus20(db)

Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά

16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16

20rArr x = 631

και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας

k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0

ΣύστηmicroαΑσταθές

67

k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0

ΣύστηmicroαΕυσταθές

Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής

1 + k middot (s+1)2

s3(s+10)= 0

minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

016032046062074084

093

098

016032046062074084

093

098

246810

RootLocus of the system

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

k=625

(2)(3)

66

10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι

K middot s + 1

s3middot s + 1

s + 10=

k

10middot (s + 1)2

s3(010s + 1)

Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1

10= minus20(db)

Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά

16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16

20rArr x = 631

και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας

k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0

ΣύστηmicroαΑσταθές

67

k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0

ΣύστηmicroαΕυσταθές

Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής

1 + k middot (s+1)2

s3(s+10)= 0

minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

016032046062074084

093

098

016032046062074084

093

098

246810

RootLocus of the system

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

k=625

(2)(3)

67

k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0

ΣύστηmicroαΕυσταθές

Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής

1 + k middot (s+1)2

s3(s+10)= 0

minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2

minus6

minus4

minus2

0

2

4

6

016032046062074084

093

098

016032046062074084

093

098

246810

RootLocus of the system

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

k=625

(2)(3)