- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

1

Ενότητα 3η

(Ισχύς, συντελεστής ισχύος, βελτίωση συντελεστή ισχύος. Τριφασικά δίκτυα, γραμμές μεταφοράς)

Στην παρούσα ενότητα παρουσιάζεται το θέμα της ισχύος σε μονοφασικά και τριφασικά συμμετρικά

κυκλώματα. Η ανάλυση των τριφασικών συμμετρικών κυκλωμάτων/συστημάτων ανάγεται στην ανάλυση

ενός ισοδύναμου μονοφασικού κυκλώματος και τα αποτελέσματα που προκύπτουν επεκτείνονται στη

συνέχεια στο τριφασικό σύστημα. Στα κυκλώματα ΕΡ υπεισέρχεται η μιγαδική ισχύς, η οποία εμπεριέχει

την πραγματική και την άεργη ισχύ του κυκλώματος. Η πραγματική ή μέση ισχύς είναι αυτή η οποία

παράγει το πραγματικό έργο, π.χ. τη μηχανική ισχύ στον άξονα ενός κινητήρα, τη θερμότητα που παράγει

μια ηλεκτρική θερμάστρα ή ένα ηλεκτρικός θερμοσίφωνας κλπ., σε ένα κύκλωμα και καταγράφεται από

τους μετρητές ηλεκτρικής ενέργειας, ενώ η άεργη ισχύς δεν παράγει πραγματικό έργο, αλλά είναι

αναγκαία για τη δημιουργία μαγνητικού ή ηλεκτρικού πεδίου στα πηνία και στους πυκνωτές του

κυκλώματος αντίστοιχα. Είναι αναγκαίο, η πραγματική ισχύς να παρέχεται στο φορτίο με όσο το δυνατόν

υψηλότερο συντελεστή ισχύος. Υψηλός συντελεστής ισχύος σημαίνει ότι η πηγή προσφέρει την ίδια

πραγματική ισχύ στο φορτίο με μικρότερη ένταση ρεύματος γραμμής, άρα με μικρότερες απώλειες

γραμμής και επομένως με χαμηλότερο κόστος διάθεσης της ισχύος προς το φορτίο. Τα αντίθετα

συμβαίνουν όταν μειώνεται ο συντελεστής ισχύος. Στις περιπτώσεις που αυτό δεν είναι εφικτό, π.χ. σε

ισχυρά επαγωγικά φορτία, τότε επιβάλλεται να γίνει διόρθωση του συντελεστή ισχύος του φορτίου με την

τοποθέτηση κοντά σε αυτό πυκνωτών αντιστάθμισης κατάλληλης χωρητικότητας.

(3.1) Ισχύς σε μονοφασικά γραμμικά κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση

Ο σκοπός των ηλεκτρικών κυκλωμάτων και γενικότερα των ηλεκτρικών δικτύων είναι η μεταφορά

ενέργειας/ισχύος από την πηγή ή τις πηγές ηλεκτρικής ενέργειας στις θέσεις κατανάλωσής της, δηλαδή

στα ηλεκτρικά φορτία που μπορεί να είναι ωμικοί αντιστάτες, πηνία ή πυκνωτές ή και συνδυασμός των

αυτών.

Για την ανάλυση του θέματος θα εξεταστούν μονοφασικά κυκλώματα, τα οποία διεγείρονται από

πηγές τάσης ή ρεύματος με ημιτονοειδή σήματα, αφού το σύνολο σχεδόν της ηλεκτρικής ενέργειας

παράγεται, διανέμεται και καταναλώνεται υπό ημιτονοειδή μορφή. Το θέμα της ισχύος παρουσιάζεται

πρώτα στο πεδίο του χρόνου, προκειμένου να διευκρινιστεί η φυσική σημασία των εννοιών που

εξετάζονται, και στη συνέχεια στο πεδίο της συχνότητας, από όπου προκύπτουν τα κατάλληλα εργαλεία

για την πρακτική αντιμετώπιση του θέματος.

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

2

(3.1.1) Ισχύς στο πεδίο του χρόνου

Έστω η διάταξη του Σχήματος 3.1(α), η οποία αποτελείται από τα κυκλώματα Κ1 και Κ2 συνδεδεμένα

μεταξύ τους με δύο αγωγούς. Το κύκλωμα Κ1 περιέχει και πηγές, ενώ το κύκλωμα Κ2 περιέχει μόνο

παθητικά στοιχεία. Έστω, ακόμη, ότι η τάση και το ρεύμα ακροδεκτών είναι ημιτονοειδή σήματα του

χρόνου και δίνονται από τις σχέσεις

0 cos 2 cos V Vv t V t V t

και

0 cos 2 cos I Ii t I t I t

όπου V0 είναι το πλάτος της τάσης, I0 είναι το πλάτος του ρεύματος, V είναι ενεργός τιμή της τάσης και I

είναι η ενεργός τιμή του ρεύματος. Υπενθυμίζεται ότι (εξ.2.6) η σχέση μεταξύ πλάτους και ενεργού τιμής

ενός ημιτονοειδούς μεγέθους, π.χ. ηλεκτρικής τάσης, είναι

(α)

P

i(t)

wt

p(t)

phiv - phii

v(t)p, v, i, P

0

(1) (2)

(β)

Σχήμα 3.1. (α) Ροή ηλεκτρικής ισχύος από ένα κύκλωμα σε άλλο. (β) Κυματομορφές των p(t), v(t), i(t) και P για επαγωγική συμπεριφορά του παθητικού κυκλώματος Κ2.

(3.1)

(3.2)

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

3

000,707

2

VV V

Λαμβάνοντας υπόψη τις συζευγμένες φορές αναφοράς (παρ.1.2.1), η στιγμιαία ηλεκτρική ισχύς, p(t),

που μεταφέρεται από το ένα κύκλωμα στο άλλο στη διάταξη του Σχήματος 3.1 μπορεί να είναι θετική

0 p t v t i t

που σημαίνει ότι η ισχύς ρέει από το κύκλωμα Κ1 προς το κύκλωμα Κ2 ή αρνητική

0 p t v t i t

που σημαίνει ότι η ισχύς ρέει από το κύκλωμα Κ2 προς το κύκλωμα Κ1.

Η στιγμιαία ηλεκτρική ισχύς (εξ.1.3) στο κύκλωμα του Σχήματος 1.3(α) είναι

0 0 0 0cos cos cos cos V I V Ip t v t i t V t I t V I t t

και λαμβάνοντας υπόψη την τριγωνομετρική ταυτότητα

1cos cos cos cos2 A B A B A B

η εξ.(3.6) μετατρέπεται στην

0 0

0 0 0 0

cos cos1 1cos cos 22 2

cos cos 2

V I

V I V I

V I V I

p t V I t t

p t V I V I t

p t V I V I t

Η εξ.(3.8) παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον στην ανάλυση της ηλεκτρικής ισχύος κυκλώματος ΕΡ

στη μόνιμη ημιτονοειδή κατάσταση. Ο πρώτος όρος είναι μία σταθερά, ανεξάρτητη από το χρόνο και

ονομάζεται μέση ισχύς (average power) ή πραγματική ισχύς (real power) ή ενεργός ή δρώσα ισχύς active

power) και ο δεύτερος όρος είναι μια εναλλασσόμενη ημιτονοειδή ισχύς με διπλάσια συχνότητα από αυτή

που επιβάλλεται από τις πηγές του κυκλώματος (Κ1) και ονομάζεται άεργη ισχύς (reactive power).

Στο Σχήμα 3.1(β) παρουσιάζονται οι κυματομορφές των όρων της εξ.(3.8), δηλαδή της στιγμιαίας

ισχύος p t , της μέσης ισχύος cos V IP V I και της ημιτονοειδούς ισχύος

cos 2 V IV I t όταν το παθητικό κύκλωμα Κ1 έχει επαγωγική συμπεριφορά (το ρεύμα καθυστερεί

της τάσης ακροδεκτών).

Η στιγμιαία ισχύς ως φυσικό μέγεθος έχει περιορισμένη εφαρμογή. Ενδιαφέρει συνήθως σε

ηλεκτρονικά κυκλώματα με ημιαγωγούς (τρανζίστορ, θυρίστορ κλπ.) η μέγιστη τιμή της στιγμιαίας

ισχύος να μην υπερβεί κάποιο ανώτερο όριο, προκειμένου να διασφαλιστεί η ασφαλής και

(3.4)

(3.5)

(3.6)

(3.7)

(3.8)

(3.3)

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

4

αποτελεσματική λειτουργία αυτών των διατάξεων. Από το Σχήμα 3.1(β), παρατηρούμε ότι η στιγμιαία

ισχύς μηδενίζεται στα σημεία που μηδενίζεται η τάση ή το ρεύμα.

Η μέση ισχύς που μεταφέρεται από το ένα κύκλωμα στο άλλο εντός μιας περιόδου Τ είναι η μέση

τιμή της ποσότητας p(t) στην εξ.(3.8)

0 0 0 00 0

0 00

1 1 1 1cos cos 22 2

1 1 cos2

T T

V I V I

T

V I

p t p t dt V I V I t dtT T

p t V I dtT

και

0 01 cos cos2

V I V Ip t P V I V I

Δηλαδή, η πραγματική ισχύς ισούται με το γινόμενο των ενεργών τιμών της τάσης επί του ρεύματος επί το

συνημίτονο της μεταξύ τους διαφοράς φάσης. Βέβαια, η εξ.(3.9) προκύπτει και με απλή θεώρηση της

εξ.(3.8), εάν ληφθεί υπόψη ότι ο δεύτερος όρος του δεύτερου μέλους της εξ.(3.8) ισούται με μηδέν, αφού

η μέση τιμή ημιτονοειδούς συνάρτησης του χρόνου είναι μηδενική. Επειδή σε ένα παθητικό κύκλωμα,

όπως για παράδειγμα το Κ2, η διαφορά φάσης μεταξύ της τάσης και του ρεύματος ακροδεκτών βρίσκεται

πάντα στο διάστημα

2 2 V I

η ποσότητα cos V I είναι πάντοτε θετική ( 0 cos 1 V I ) και επομένως η πραγματική ισχύς

(εξ.3.9) είναι πάντοτε θετική. Για την περίπτωση της διάταξης του Σχήματος 3.1(α) η πραγματική ισχύς

ρέει από το κύκλωμα Κ1 προς το κύκλωμα Κ2, όπου και καταναλώνεται.

Ο όρος cos V I στην εξ.(3.9) ονομάζεται συντελεστής ισχύος (ΣΙ, power factor, pf) και

παρουσιάζει ιδιαίτερο πρακτικό και οικονομικό ενδιαφέρον στη μεταφορά και διανομή της ηλεκτρικής

ενέργειας στις καταναλώσεις (ηλεκτρικά φορτία). Η σημασία του συντελεστή ισχύος θα αναλυθεί στην

επόμενη παράγραφο.

Η εναλλασσόμενη ισχύς που μεταβάλλεται ημιτονοειδώς με διπλάσια συχνότητα γύρω από τη μέση ισχύ,

δεν εκφράζει μια πραγματικά καταναλισκόμενη ισχύ, αφού η μέση τιμή της εντός μιας περιόδου είναι

μηδενική, και για το λόγο αυτό ονομάζεται άεργη ισχύς. Όπως παρατηρούμε από το Σχήμα 3.1(β), η

άεργη ισχύς αλλάζει πρόσημο και συνεπώς εκφράζει μια ανταλλαγή ισχύος μεταξύ των κυκλωμάτων Κ1 και

Κ2. Έτσι, για το διάστημα 0 – (1) (αρνητική ημιπερίοδος) είναι p(t) < 0 και η ισχύς ρέει από το κύκλωμα

Κ2 προς το κύκλωμα Κ1, ενώ για το διάστημα (1) – (2) είναι p(t) > 0 και η ισχύς ρέει από το κύκλωμα Κ1

προς το κύκλωμα Κ2. Διαφορετικά, κατά τη θετική ημιπερίοδο προσφέρεται άεργη και πραγματική ισχύς

από την πηγή προς το φορτίο και κατά την αρνητική ημιπερίοδο επιστρέφεται άεργη ισχύς από το φορτίο

(3.9)

(3.10)

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

5

v(t)

p(t)

i(t)wt0

(α) (β)

p(t)v(t)

i(t)

wt0

(γ) (δ)

p(t)

v(t)i(t)

wt0

(ε) (στ)

Σχήμα 3.2. Κυκλώματα με παθητικά στοιχεία R, L, C και οι κυματομορφές της στιγμιαίας ισχύος p(t), της τάσης v(t) και του ρεύματος i(t). (α), (β) Για καθαρό ωμικό αντιστάτη.

(γ), (δ) Για καθαρή αυτεπαγωγή. (ε), (στ) Για καθαρή χωρητικότητα.

προς την πηγή. Τελικώς, επειδή τα θετικά εμβαδά της p(t) είναι μεγαλύτερα από τα αρνητικά εμβαδά

συνάγεται ότι, κατά μέσο όρο, κατά τη θετική ημιπερίοδο υπάρχει μια καθαρή ροή ισχύος (η πραγματική

ισχύς) που ρέει σταθερά από το κύκλωμα Κ1 προς το κύκλωμα Κ2.

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

6

Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η μελέτη της συμπεριφοράς των παθητικών στοιχείων R, L και C

στη ροή ισχύος, η οποία αναλύεται στη συνέχεια. Στο Σχήμα 3.2 παρουσιάζονται οι κυματομορφές τάσης,

ρεύματος και στιγμιαίας ισχύος των τριών παθητικών στοιχείων, όταν τροφοδοτούνται από πηγή ΕΡ.

Εάν το κύκλωμα αποτελείται μόνο από αντιστάσεις (Σχήμα 3.2α), η διαφορά φάσης μεταξύ της τάσης

και του ρεύματος είναι 00 V Iκαι η στιγμιαία ισχύς παρουσιάζει μόνο θετικά εμβαδά (καμπύλη p(t)

στο Σχήμα 3.2β) με μία μέση ισχύς (εξ.3.9) 2

20 0

12

RVP V I V I R IR

Εάν το κύκλωμα περιλαμβάνει μόνο πηνία (Σχήμα 3.2γ) ή μόνο πυκνωτές (Σχήμα 3.2δ), η διαφορά

φάσης μεταξύ της τάσης και του ρεύματος είναι 090 V I για τα πηνία και 090 V I

για τους

πυκνωτές και επομένως θα είναι cos 0 V I . Άρα, η πραγματική ισχύς που καταναλώνεται σε

παθητικά κυκλώματα με καθαρή επαγωγική ή χωρητική συμπεριφορά είναι

0 L CP P

Όπως παρατηρούμε από τα Σχήματα 3.2(δ) και (στ), η στιγμιαία ισχύς στα παθητικά στοιχεία

αποθήκευσης είναι ημιτονοειδούς μορφής με συχνότητα διπλάσια της συχνότητας της πηγής και

επομένως αντιπροσωπεύει άεργη ισχύ. Κατά τη θετική ημιπερίοδο της στιγμιαίας ισχύος, όπου η τάση και

το ρεύμα παίρνουν θετικές τιμές, η ισχύς ρέει από την πηγή προς το στοιχείο για τη δημιουργία

μαγνητικού ή ηλεκτρικού πεδίου, στην περίπτωση πηνίου ή πυκνωτή αντίστοιχα, ενώ κατά την αρνητική

ημιπερίοδο της στιγμιαίας ισχύος, όπου η τάση και το ρεύμα έχουν αντίθετα πρόσημα, η ισχύς ρέει από το

στοιχείο προς την πηγή. Δηλαδή, η άεργη ισχύς ανταλλάσσεται διαρκώς ανάμεσα στο στοιχείο και την πηγή.

Στα κυκλώματα ΕΡ, θεωρείται η σύμβαση ότι η άεργη ισχύς που αναφέρεται στις επαγωγές

λαμβάνεται ως θετική, ενώ η άεργη ισχύς που αναφέρεται στις χωρητικότητες λαμβάνεται ως αρνητική.

Ή διαφορετικά, οι επαγωγές (τα πηνία) θεωρούνται καταναλώσεις άεργης ισχύος, ενώ οι χωρητικότητες

(πυκνωτές) θεωρούνται πηγές άεργης ισχύος.

(3.1.2) Ισχύς στο πεδίο της συχνότητας

(3.1.2.1) Μιγαδική ισχύς

Για τον ορισμό της μιγαδικής ισχύος (complex power) κυκλώματος ΕΡ αναφερόμαστε στο κύκλωμα Κ

δύο ακροδεκτών του Σχήματος 3.3(α), στο οποίο η τάση και το ρεύμα ακροδεκτών στο πεδίο της

συχνότητας είναι

0 2

V VV V V

0 2

I II I I

(3.12

(3.13)

(3.14)

(3.11)

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

7

αντίστοιχα. Όπου V0, I0 είναι το πλάτος της τάσης και του ρεύματος αντίστοιχα, V, I είναι η ενεργός τιμή

της τάσης και του ρεύματος αντίστοιχα και φV, φI είναι η αρχική φάση της τάσης και του ρεύματος

αντίστοιχα. Στις περισσότερες εφαρμογές ανάλυσης δικτύων/κυκλωμάτων ηλεκτρικών εγκαταστάσεων,

όπου η πηγή τάσης του κυκλώματος είναι η τάση ΕΡ του δικτύου, η αρχική φάση της τάσης λαμβάνεται

φV = 00 και το διάνυσμα της τάσης στο πεδίο της συχνότητας θεωρείται ως διάνυσμα αναφοράς.

Εάν το μιγαδικό συζυγές του ρεύματος είναι (Σχήμα 3.3β)

0 2

I II I I

ορίζεται η ποσότητα

0 0 0 01 1 12 2 2

V I V I V IS V I V I V I V I

(α) (β)

(γ) (δ) Σχήμα 3.3. (α) Κύκλωμα ΕΡ δύο ακροδεκτών στο πεδίο της συχνότητας. (β) Το μιγαδικό συζυγές διάνυσμα του

ρεύματος. (γ) Τρίγωνο ισχύος. (δ) Τρίγωνο ισχύος για επαγωγικό (Q>0) και χωρητικό (Q< 0) φορτίο.

η οποία ονομάζεται μιγαδική ισχύς. Η μιγαδική ισχύς στο πεδίο της συχνότητας είναι ένα διάνυσμα με

μέτρο

0 012

S V I V I

και όρισμα

(3.15)

(3.16)

(3.17)

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

8

V IS

Το μέτρο της μιγαδικής ισχύος (εξ.3.17) ονομάζεται φαινόμενη ισχύς (apparent power) και

υπολογίζεται εύκολα από το γινόμενο των ενεργών τιμών της τάσης και του ρεύματος ακροδεκτών του

κυκλώματος. Η ενεργός τιμή της τάσης και του ρεύματος ακροδεκτών λαμβάνεται εύκολα από τις

ενδείξεις ενός αμπερομέτρου (Α), το οποίο συνδέεται σε σειρά με το φορτίο και ενός βολτομέτρου (V), το

οποίο συνδέεται παράλληλα προς το φορτίο, όπως φαίνεται στο Σχήμα 3.3(α).

Η μιγαδική ισχύς (εξ.3.16) σε ορθογωνική μορφή είναι

0 0 0 01 1cos sin2 2

cos sin

V I V I

V I V I

S V I j V I

S V I j V I

Από την εξ.(3.19), παρατηρούμε ότι το πραγματικό μέρος της μιγαδικής ισχύος είναι η μέση (πραγματική

ή ενεργός) ισχύς, η οποία υπολογίστηκε στην παρ.(3.1.1), εξ.(3.9),

0 01 cos cos2

V I V IP V I V I

και το φανταστικό μέρος είναι η άεργη ισχύς, η οποία ονομάζεται και φανταστική ισχύς,

0 01 sin sin2

V I V IQ V I V I

Λαμβάνοντας υπόψη τις εξς.(3.20) και (3.21), η μιγαδική ισχύς γράφεται

2 2 1tan

QS P j Q P QP

και παριστάνεται ως διάνυσμα στο μιγαδικό επίπεδο στο Σχήμα 3.3(γ). Το ορθογώνιο τρίγωνο του

Σχήματος 3.3(γ) με υποτείνουσα τη φαινόμενη ισχύ και με κάθετες πλευρές την πραγματική και άεργη

ισχύ ονομάζεται τρίγωνο ισχύος. Από το Σχήμα 3.3(γ) ορίζεται και ο συντελεστής ισχύος του

κυκλώματος

2 2

cos

V IP PPFS P Q

Θα πρέπει να επισημανθεί ότι η εξ.(3.23) ισχύει μόνο για τα γραμμικά κυκλώματα με ημιτονοειδή

διέγερση, τα οποία εξετάζονται στην παρούσα ενότητα, όπου ο συντελεστής ισχύος συμπίπτει με το

συνηµίτονο της διαφοράς φάσης μεταξύ της τάσης και ρεύματος ακροδεκτών. Στην περίπτωση των μη

γραμμικών κυκλωμάτων, το φορτίο απορροφά από την πηγή ένα περιοδικό μεν εναλλασσόμενο ρεύμα,

όχι όμως ημιτονοειδές. Για τον προσδιορισμό του πραγματικού συντελεστή ισχύος ενός μη γραμμικού

φορτίου πρέπει να αναλυθεί το ρεύμα φορτίου σε σειρά Fourier (μετασχηματισμός Fourier) , δηλαδή να

υπολογιστούν τα πλάτη του ρεύματος της θεμελιώδους αρμονικής (fundamental frequency) και τα πλάτη

(3.18)

(3.19)

(3.20)

(3.21)

(3.22)

(3.23)

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

9

των ανώτερων αρμονικών ρευμάτων (higher order current harmonics) και στη συνέχεια να υπολογιστεί ο

πραγματικός συντελεστής ισχύος του φορτίου. Το θέμα, όμως, αυτό θα αναλυθεί σε επόμενη ενότητα.

Μέχρι τώρα έχουν οριστεί τα τρία είδη ισχύος που συναντώνται στα γραμμικά κυκλώματα ΕΡ, η

φαινόμενη, η πραγματική και η άεργη ισχύς. Και οι τρεις ποσότητες ισχύος πρέπει να εκφράζονται

κανονικά με τη φυσική μονάδα μέτρησης της ισχύος, η οποία είναι το Watt (W). Εντούτοις, για να είναι

δυνατή η διάκριση μεταξύ τους, χρησιμοποιούνται διαφορετικές μονάδες μέτρησης για κάθε μία από

αυτές. Βέβαια, η διαφοροποίηση αυτή στις μονάδες μέτρησης είναι μόνο λεκτική, αφού και οι τρεις

ποσότητες εκφράζουν πάντοτε ισχύ. Έτσι, η μονάδα μέτρησης της πραγματικής (μέσης, ενεργού) ισχύος

είναι το Watt (W), η μονάδα μέτρησης της άεργης (φανταστικής) ισχύος είναι το Volt – Ampere –

Reactive (VAR) και η μονάδα μέτρησης της φαινόμενης ισχύος είναι το Volt – Ampere (VA).

Ας προσπαθήσουμε τώρα να συνδέσουμε τη μιγαδική ισχύ που προσφέρεται από την πηγή στο φορτίο

με τη σύνθετη αντίσταση του φορτίου. Λαμβάνοντας υπόψη τις εξς.(3.13)-(3.14) και με εφαρμογή του

νόμου του Ohm στο πεδίο της συχνότητας, η σύνθετη αντίσταση του φορτίου (κύκλωμα Κ στο Σχήμα

3.3α) είναι

0 0 0 0

0 0 0 0

cos sin

cos sin

VV I V I V I

I

VV I V I V I

I

V V V VVZ j R j XI I I II

VV V V VZ j R j XI I I II

Όπου το πραγματικό μέρος της σύνθετης αντίστασης του φορτίου είναι

0

0

cos cos V I V IV VRI I

και το φανταστικό μέρος της σύνθετης αντίστασης του φορτίου είναι

0

0

sin sin V I V IV VXI I

Αντικαθιστώντας τις εξς.(3.25) και (3.26) στην εξ.(3.19), η μιγαδική ισχύς που προσφέρεται στο

φορτίο θα είναι

2 2 2 20 0

1 12 2

S P j Q R I j X I R I j X I

Από την εξ.(3.27), παρατηρούμε ότι η ενεργός ισχύς που καταναλώνεται στο φορτίο σχετίζεται

αποκλειστικά και μόνο με τις ωμικές αντιστάσεις και η άεργη ισχύς σχετίζεται αποκλειστικά και μόνο με

το φανταστικό μέρος της σύνθετης αντίστασης του φορτίου, οφείλεται δε μόνο σε στοιχεία που

αποθηκεύουν ενέργεια (πηνία ή πυκνωτές). Το μέτρο της πραγματικής και άεργης ισχύος (εξ.3.27) είναι

2 20

12

P R I R I

και

(3.24)

(3.25)

(3.26)

(3.27)

(3.28)

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

10

2 20

12

Q X I X I

αντίστοιχα.

Εάν το φορτίο έχει επαγωγική συμπεριφορά θα είναι

X L

και

2 20

1 02

LQ X I X I

Εάν το φορτίο έχει χωρητική συμπεριφορά θα είναι

1

XC

και

2 20

1 1 1 02

CQ I IC C

Δηλαδή, επιβεβαιώνεται η παρατήρηση που διατυπώθηκε στην παρ.(3.1.1) ότι, η άεργη ισχύς στο πηνίο

είναι θετική και επομένως καταναλώνει άεργη ισχύ, ενώ η άεργη ισχύς στον πυκνωτή είναι αρνητική και

επομένως παράγει άεργη ισχύς. Η ιδιότητα αυτή του πυκνωτή να παράγει άεργη ισχύ, αξιοποιείται στην

πράξη για τη βελτίωση του συντελεστή ισχύος σε ισχυρά επαγωγικά φορτία, όπως θα αναλύσουμε σε

επόμενη παράγραφο.

Το γεγονός ότι το πηνίο χαρακτηρίζεται από θετική άεργη ισχύ και ο πυκνωτής από αρνητική άεργη

ισχύ, αυτό πρέπει να λαμβάνεται υπόψη κατά τη σχεδίαση του τριγώνου ισχύος. Έτσι, όταν η άεργη ισχύς

του καταναλωτή είναι θετική, το τρίγωνο ισχύος σχεδιάζεται με την κάθετη πλευρά Q πάνω από τον

οριζόντιο πραγματικό άξονα, ενώ όταν η άεργη ισχύς είναι αρνητική, η κάθετη πλευρά Q σχεδιάζεται

κάτω από τον οριζόντιο πραγματικό άξονα (Σχήμα 3.3δ).

(3.1.2.2) Βελτίωση του συντελεστή ισχύος

Ο συντελεστής ισχύος είναι ένα ιδιαίτερα σημαντικό μέγεθος από οικονομικής σκοπιάς και αφορά

τόσο τον καταναλωτή (φορτίο) όσο και την εταιρία παραγωγής και διανομής ηλεκτρικής ενέργειας

(ΔΕΗ).

Για την κατανόηση της σημασίας του συντελεστή ισχύος, ας θεωρήσουμε ένα επαγωγικό φορτίο που

καταναλώνει πραγματική ισχύ Ρ με συντελεστή ισχύος cos(φV – φΙ) = cosφ, όπου φ = φV – φΙ, και

απορροφά από το δίκτυο ενεργό ένταση ρεύματος Ι υπό ενεργό τάση V. Το μέτρο της έντασης του

ρεύματος που απορροφά ο καταναλωτής από το δίκτυο προκύπτει από την εξ.(3.20) και είναι

(3.29)

(3.30)

(3.31)

(3.32)

(3.33)

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

11

cos cos

V I

P PI IV V

Θεωρώντας ότι η πραγματική ισχύς, Ρ, που απορροφά ο καταναλωτής από το δίκτυο ηλεκτρικής

ενέργειας είναι δεδομένη και σταθερή, όπως σταθερή θεωρείται και η τάση του δικτύου, τότε οι

παράγοντες που μπορούν να μεταβληθούν είναι το ρεύμα και ο συντελεστής ισχύος.

Αυτό που ενδιαφέρει κυρίως είναι το μέτρο της έντασης του ρεύματος που απορροφά ο καταναλωτής

το δίκτυο. Από την εξ.(3.34), παρατηρούμε ότι η ένταση του ρεύματος μειώνεται με την αύξηση του

συντελεστή ισχύος και αυξάνεται με τη μείωση του συντελεστή ισχύος. Μείωση του συντελεστή ισχύος

σημαίνει ότι η διαφορά φάσης μεταξύ της τάσης και της έντασης μεγαλώνει και επομένως ο καταναλωτής

απορροφά περισσότερη άεργη ισχύ από το δίκτυο. Τα αντίθετα συμβαίνουν με την αύξηση του

συντελεστή ισχύος. Δηλαδή, ο συντελεστής ισχύος είναι ένα μέτρο της άεργης ισχύος που ανταλλάσσεται

μεταξύ καταναλωτή και δικτύου ηλεκτρικής ενέργειας.

Σύμφωνα με τα παραπάνω, εάν ο καταναλωτής έχει χαμηλό συντελεστή ισχύος απορροφά μεγάλη

ένταση ρεύματος από το δίκτυο, με αποτέλεσμα να εμφανίζονται υψηλές απώλειες ισχύος (απώλειες

Joule, RI2) επάνω στη γραμμή μεταφοράς ηλεκτρικής ενέργειας. Επιπλέον, χαμηλός συντελεστής ισχύος

σημαίνει ότι ο καταναλωτής απορροφά μεγάλη άεργη ισχύ από το δίκτυο, την οποία βεβαίως πρέπει να

παράγουν οι γεννήτριες (πηγές) του δικτύου. Το αποτέλεσμα είναι, με τη μείωση του συντελεστή ισχύος,

να αυξάνεται το κόστος διάθεσης ηλεκτρικής ισχύος στον καταναλωτή, το οποίο κόστος επιβαρύνει

βεβαίως την εταιρία διανομής ηλεκτρικής ενέργειας. Αυτός είναι ο λόγος που η εταιρία διανομής

ηλεκτρικής ενέργειας απαιτεί από τους καταναλωτές να απορροφούν πραγματική ηλεκτρική ισχύ από το

δίκτυο με υψηλό συντελεστή ισχύος.

Στην πράξη, τώρα, υπάρχουν καταναλωτές με ισχυρά επαγωγικά φορτία, τα οποία καταναλώνουν

μεγάλες ποσότητες άεργης ισχύος και επομένως παρουσιάζουν χαμηλό συντελεστή ισχύος. Τέτοιοι

καταναλωτές είναι, για παράδειγμα, βιομηχανικές και εμπορικές εγκαταστάσεις, όπου λειτουργεί

συνήθως ένας μεγάλος αριθμός συσκευών με επαγωγική συμπεριφορά, όπως ηλεκτρικοί κινητήρες,

μετασχηματιστές κλπ. Στις περιπτώσεις αυτές, απαιτείται η βελτίωση του συντελεστή ισχύος της

ηλεκτρικής εγκατάστασης, δηλαδή η αύξηση του συντελεστή ισχύος στην επιθυμητή τιμή.

Η βελτίωση του συντελεστή ισχύος επαγωγικού φορτίου επιτυγχάνεται με την προσθήκη πυκνωτών

συνδεδεμένων παράλληλα προς το φορτίο, η διαδικασία δε αυτή ονομάζεται αντιστάθμιση άεργης ισχύος.

Με την τοποθέτηση των πυκνωτών αντιστάθμισης, οι οποίοι είναι πηγές άεργης ισχύος, ένα μέρος της

άεργης ισχύος που καταναλώνει το επαγωγικό φορτίο παράγεται τοπικά από τους πυκνωτές και

προσφέρεται στο φορτίο, ενώ το υπόλοιπο ποσό άεργης ισχύος του φορτίου παρέχεται από το δίκτυο

ηλεκτρικής ενέργειας. Το αποτέλεσμα είναι η αύξηση (βελτίωση) του συντελεστή ισχύος του επαγωγικού

(3.34)

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

12

καταναλωτή, αφού τώρα το δίκτυο παρέχει στο φορτίο μόνο ένα τμήμα από το συνολικό ποσό άεργης

ισχύος που χρειάζεται.

(α) (β)

(γ) (δ)

(ε) (στ)

Σχήμα 3.4. (α) Επαγωγικό φορτίο χωρίς αντιστάθμιση. (β) Επαγωγικό φορτίο με πυκνωτή αντιστάθμισης. (γ) Διανυσματικό διάγραμμα τάσης-έντασης χωρίς αντιστάθμιση. (δ) Διανυσματικό διάγραμμα ισχύων χωρίς

αντιστάθμιση. (ε) Διανυσματικό διάγραμμα τάσης-έντασης με αντιστάθμιση. (στ) Διανυσματικό διάγραμμα ισχύων με αντιστάθμιση.

Ας υπολογίσουμε τώρα την αναγκαία χωρητικότητα των πυκνωτών αντιστάθμισης. Έστω το

επαγωγικό φορτίο του Σχήματος 3.4(α) που συνδέεται σε δίκτυο ΕΡ με σταθερή τάση

V και το οποίο

απορροφά άεργη ισχύ QL και ένταση ρεύματος

LI με συντελεστή ισχύος cosφ1. Στο Σχήμα 3.4(γ) δίνεται

το διανυσματικό διάγραμμα τάσης-έντασης του επαγωγικού φορτίου χωρίς αντιστάθμιση. Το διάνυσμα

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

13

της τάσης λαμβάνεται ως διάνυσμα αναφοράς (φV = 00) και συμπίπτει με τον πραγματικό άξονα. Το

ρεύμα

LI καθυστερεί ως προς την τάση

V κατά τη γωνία φΙ = φ1 και αναλύεται σε δύο συνιστώσες Ip και

Iq, οι οποίες είναι οι προβολές του διανύσματος του ρεύματος

LI στον πραγματικό και φανταστικό άξονα

αντίστοιχα. Τα μέτρα των συνιστωσών Ip και Iq είναι

1cos

p LI I

και

1sin

q LI I

αντίστοιχα

Οι δύο συνιστώσες του ρεύματος έχουν συγκεκριμένο ρόλο στη μεταφορά ισχύος προς το φορτίο.

Συγκεκριμένα, στη συμφασική προς την τάση συνιστώσα του ρεύματος, Ip οφείλεται η μεταφορά της

πραγματικής ισχύος (Watt) προς το φορτίο, ενώ στην κάθετη συνιστώσα του ρεύματος, Iq οφείλεται η

μεταφορά της άεργης ισχύος (VAR) προς το φορτίο. Πράγματι, συνδυάζοντας τις εξς.(3.20) και (3.35),

καθώς και τις εξς.(3.21) και (3.36) και θέτοντας

L LI I , προκύπτει

1cos cos L V I L pP V I V I V I

και

1sin sin L L V I L qQ V I V I V I

Η συνιστώσα Ip ονομάζεται και βαττική συνιστώσα και η συνιστώσα Iq ονομάζεται άεργη ή αβαττική

συνιστώσα. Σύμφωνα λοιπόν με τις εξς.(3.37 και (3.38), η πραγματική ισχύς είναι ανάλογη της βαττικής

συνιστώσας Ip και η άεργη ισχύς είναι ανάλογη της άεργης ή αβαττικής συνιστώσας του ρεύματος Iq. Ακόμη,

συνδυάζοντας τις εξς.(3.35) και (3.36), ισχύει

2 2

L p qI I I

Έστω, τώρα, ότι επιχειρείται η βελτίωση του συντελεστή ισχύος του επαγωγικού φορτίου στην τιμή

cosφ2 > cosφ1, τοποθετώντας παράλληλα προς το φορτίο πυκνωτή αντιστάθμισης άεργης ισχύος

κατάλληλης χωρητικότητας (Σχήμα 3.4β). Το διανυσματικό διάγραμμα τάσης-ρευμάτων για τη διάταξη

του Σχήματος 3.4(β) φαίνεται στο Σχήμα 3.4(ε). Το ρεύμα του πυκνωτή

C CI j I προπορεύεται της τάσης

κατά 900 (παρ.2.4.3) και αφαιρείται από το άεργο ρεύμα του επαγωγικού φορτίου. Έτσι, ενώ χωρίς

αντιστάθμιση το άεργο ρεύμα που απορροφά το φορτίο είναι Iq, με την αντιστάθμιση το φορτίο απορροφά

από το δίκτυο μικρότερο άεργο ρεύμα, ίσο με: ' q L CI I I

(3.37)

(3.38)

(3.39)

(3.40)

(3.35)

(3.36)

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

14

Δηλαδή, μικρότερο κατά το ρεύμα του πυκνωτή. Μείωση όμως του άεργου ρεύματος σημαίνει (εξ.3.39)

και μείωση του ρεύματος που απορροφά το φορτίο από το δίκτυο για την ίδια πραγματική ισχύ (Σχήμα

3.4ε).

Στα ίδια ποιοτικά συμπεράσματα καταλήγουμε εάν αναλύσουμε το θέμα της αντιστάθμισης με βάση

τη μιγαδική ισχύ και το τρίγωνο ισχύων. Τα διανυσματικά διαγράμματα μιγαδικής ισχύος χωρίς και με

αντιστάθμιση του φορτίου φαίνονται στα Σχήματα 3.4(δ) και (στ) αντίστοιχα. Παρατηρούμε ότι με την

αντιστάθμιση μειώνεται η άεργη ισχύς που απορροφά το φορτίο από το δίκτυο, κατά το ποσόν της

άεργης ισχύος του πυκνωτή (QL – QC). Τελικώς, με τη μείωση της άεργης ισχύος, μειώνεται και η

φαινόμενη ισχύς που απορροφά το φορτίο από το δίκτυο (2 1 S S ).

Το ζητούμενο σε διατάξεις αντιστάθμισης είναι να επιλεγεί ο κατάλληλος πυκνωτής, δηλαδή να

προσδιοριστεί η αναγκαία χωρητικότητα του πυκνωτή ή των πυκνωτών, σε περίπτωση εγκατάστασης

ομάδων πυκνωτών. Από τα Σχήματα 3.4(δ) και (στ), προκύπτουν

1tan LQP

και

2tan L CQ Q

P

Αντικαθιστώντας το QL από την εξ.(3.41) στην εξ.(3.42), η αναγκαία άεργη ισχύς του πυκνωτή είναι

1 2tan tan CQ P

Επιπλέον, η άεργη ισχύς που παράγει ένας υπολογίζεται και από την εξ.(3.31) και είναι 2

2 2 C C CC

VQ X I CVX

Συνδυάζοντας τις εξς.(3.43) και (3.44), προκύπτει

1 22 tan tan

PCV

Παράδειγμα 3.1

Φορτίο με σύνθετη αντίσταση 15 30

loadZ j συνδέεται με πηγή ΕΡ (δίκτυο ΔΕΗ), συχνότητας

50 (Hz) και τάσης 230 2 sin Sv t t V με γραμμή, η οποία εμφανίζει σύνθετη αντίσταση

1,5 4

lineZ j . Ζητούνται να υπολογιστούν: (α) το ρεύμα load LI I και η τάση

LV στο φορτίο, (β)

την πραγματική LP και άεργη ισχύ LQ που απορροφά το φορτίο, (γ) την πραγματική line lP P και άεργη

ισχύ lQ που καταναλώνεται στη γραμμή, (δ) την πραγματική SP και άεργη ισχύ SQ που παράγεται από τη

(3.41)

(3.42)

(3.43)

(3.44)

(3.45)

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

15

γεννήτρια, (ε) οι συντελεστές ισχύος στο φορτίο και στην πηγή και (στ) η χωρητικότητα του πυκνωτή που

πρέπει να συνδεθεί παράλληλα προς την πηγή, ώστε ο συντελεστής ισχύος της πηγής να ισούται με τη

μονάδα. Να δειχθεί επίσης ότι διατηρείται στο κύκλωμα το ισοζύγιο της ενεργού και άεργης ισχύος.

Λύση

Για την επίλυση του προβλήματος γίνεται αναφορά στο κύκλωμα του Σχήματος 3.5(α)

μετασχηματισμένο στο πεδίο της συχνότητας.

(α) Με εφαρμογή του νόμου των τάσεων του Kirchhoff στο πεδίο της συχνότητας στο μοναδικό βρόχο

του κυκλώματος του Σχήματος 3.5(α) προκύπτει

0

S L l L l LV I R R j X X

και

0 0 0

00

230 0 230 0 230 0 2,66 5,48 6,09 64,11 ( )1,5 15 4 30 16,5 34 37,79 64,11

SL

l L l L

L

VIR R j X X

I j Aj j

Για τον υπολογισμό της έντασης του ρεύματος χρησιμοποιήθηκε η ενεργός τιμή της τάσης της πηγής (230

V) και όχι το πλάτος της τάσης ( 230 2 325 ) V . Επομένως, η ένταση του ρεύματος φορτίου που

υπολογίστηκε, καθώς και η τάση φορτίου που θα υπολογιστεί στη συνέχεια θα αφορά στην ενεργός τιμή

των μεγεθών αυτών.

(α) (β)

Σχήμα 3.5. Κύκλωμα στο πεδίο της συχνότητας Παραδείγματος 3.1. (α) Χωρίς αντιστάθμιση. (β) Με πυκνωτή αντιστάθμισης.

Η τάση στο φορτίο υπολογίζεται με εφαρμογή του νόμου του Ohm,

0 0 06,09 64,11 33,54 63,43 204,11 2,42 204,13 2,13 ( )

L L L L L LV I Z I R j X j V

(β) Η μιγαδική ισχύς που απορροφά το φορτίο από το δίκτυο είναι (εξ.3.16)

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

16

0 0

0 0

1 12 2204,1277 6,0859 0 64,11 1242,3 64,11 542,4 1.117,6( )

LL L L L V I

L

S V I V I V I

S j VA

Και η πραγματική και η άεργη ισχύς του φορτίου θα είναι

542,4( )LP W

και

1.117,6( )LQ VAR

αντίστοιχα.

(γ) Η μιγαδική ισχύς που καταναλώνεται στη γραμμή υπολογίζεται από την εξ.(3.27)

2 2 2

37,038 1,5 4 55,56 148,15( )

l l l l L l L L l l

l

S P j Q R I j X I I R j X

S j j VA

και η πραγματική και η άεργη ισχύς που καταναλώνεται στη γραμμή θα είναι

55,56( )lP W

και

148,15( )lQ VA

(δ) Λαμβάνοντας υπόψη τις συζευγμένες φορές αναφοράς (εξ.1.8), ώστε η παραγόμενη ισχύς να

παράγεται από την πηγή, η μιγαδική ισχύς της πηγής είναι (εξ.3.16)

0 0

12230 6,0859 64,11 1399,757 64,11 611,13 1.259,3( )

S S L S L V I

S

S V I V I

S j VA

Η πραγματική και η άεργη ισχύς που παράγεται από την πηγή είναι

611,13( ) SP W

και

1.259,3( ) SQ VAR

Από τα αποτελέσματα στα ερωτήματα (β), (γ) και (δ) επαληθεύεται το ισοζύγιο ενεργού και άεργης

ισχύος: 0, 0 S L l S L lP P P Q Q Q . Οι μικρές αποκλίσεις οφείλονται στις στρογγυλοποιήσεις στα

δεκαδικά των αριθμών.

(ε) Ο συντελεστής ισχύος είναι το συνημίτονο της διαφοράς φάσης μεταξύ των διανυσμάτων τάσης και

έντασης. Η διαφορά φάσης μεταξύ των διανυσμάτων τάσης και έντασης στην πηγή είναι

0 00 64,11 64,11 V I

και ο συντελεστής (pf)S ισχύος στην πηγή

0cos cos 64,11 0,4366 V ISpf

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

17

Αντίστοιχα, ο συντελεστής ισχύος στο φορτίο (pf)Lείναι

0 0 02,13 64,11 61,98 V I

και

0cos cos 61,98 0,4698 V ILpf

(στ) Το κύκλωμα με πυκνωτή αντιστάθμισης παρουσιάζεται στο Σχήμα 3.5(β). Στο ερώτημα (δ) βρέθηκε

ότι η άεργη ισχύς που παράγεται από την πηγή είναι 1.259,3 (VAR). Για να λειτουργεί η πηγή με

συντελεστή ισχύος ίσο με τη μονάδα, πρέπει αυτή την άεργη ισχύ να την προσφέρει ο πυκνωτής. Δηλαδή,

ο πυκνωτής πρέπει να παράγει ισχύ: 1.259,3( )CQ VAR . Η αναγκαία χωρητικότητα του πυκνωτή

αντιστάθμισης υπολογίζεται από την εξ.(3.44) και είναι

62 2 2

1.259,3 75,77 10 ( ) 75,77 ( )2 2 50 230

C C

S S

Q QC F FV f V

Παράδειγμα 3.2

Το κύκλωμα του Σχήματος 3.6(α) διεγείρεται από την πηγή ρεύματος 100 2 cos ( )Si t t A .

Δίνονται επιπλέον: R1 = 3 (Ω), L1 = 35 (mH), R2 = 7 (Ω), C2 = 400 (µF) και f = 50 (Hz). Ζητούνται να

υπολογιστούν: (α) η ενεργός και η άεργη ισχύς που απορροφάται από κάθε κλάδο του κυκλώματος, (β) η

ενεργός και η άεργη ισχύς που παράγεται από την πηγή και (γ) οι συντελεστές ισχύος των κλάδων και

της πηγής.

Λύση

(α) Το κύκλωμα στο πεδίο της συχνότητας δίνεται στο Σχήμα 3.6(β). Οι σύνθετες αντιστάσεις των

κλάδων (1) και (2) είναι

3 01 1 1 3 2 50 35 10 3 10,9956 11,40 74,74 ( ) Z R j L j j

και

02 2 2 6

2 2

1 1 17 7 7,9577 10,60 48,662 2 50 400 10

Z R j R j j j

C f C

αντίστοιχα.

Τα ρεύματα στους κλάδους (1) και (2) υπολογίζονται με τον κανόνα του διαιρέτη ρεύματος στο πεδίο

της συχνότητας (παρ.1.10). Είναι:

0

0 021

1 2

10,60 48,66100 0 41,95 92,32 101,41 65,56 ( )3 11,00 7 7,96

S

ZI I j Aj jZ Z

και

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

18

0

0 012

1 2

11,40 74,74100 0 58,05 92,32 109,05 57,84 ( )3 11,00 7 7,96

S

ZI I j Aj jZ Z

(α) (β) Σχήμα 3.6. Κυκλώματα Παραδείγματος 3.2. (α) Στο πεδίο του χρόνου. (β) Στο πεδίο της συχνότητας.

Η μιγαδική ισχύς κάθε κλάδου υπολογίζεται από την εξ.(3.27). Η μιγαδική ισχύς του κλάδου (1) είναι

2 2 2 21 1 1 1,0 1,0 1 1

2 2 01 1 1 1

1 12 2

101,41 3 11,00 30.851 113.070 117.210 74,74 ( )

S P jQ R I j X I R I j X I

S I R j L j j VA

και η ενεργός και η άεργη ισχύς του κλάδου (1)

1 30.851( )P W

και

1 113.070( )Q VAR

αντίστοιχα.

Η μιγαδική ισχύς του κλάδου (2) είναι

2 2 2 22 2 2 2,0 2,0 2 2

2 2 22 2 2

2

1 12 21 109,05 7 7,96 83.249 94.640 126.040 48,66 ( )

S P j Q R I j X I R I j X I

S I R j j j VAC

και η ενεργός και η άεργη ισχύς του κλάδου (2)

2 83.249( )P W

και

2 94.640( )Q VAR

αντίστοιχα.

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

19

(β) Η τάση στα άκρα της πηγής είναι ίση με την τάση στα άκρα των κλάδων (1) και (2). Με εφαρμογή του

νόμου του Ohm, προκύπτει

01 2 1 1 2 2 1.141,00 184,34 1.155,80 9,18 ( )

V I Z I Z j V

και η μιγαδική ισχύς που προσφέρει η πηγή είναι (εξ.3.16)

1 2 1 2

0 0

121.155,80 100 9,18 0 115.580 9,18 114.100 18.434( )

S S S V I

S

S V I V I

S j VA

Από τα αποτελέσματα που προέκυψαν στα ερωτήματα (α) και (β) επιβεβαιώνεται το ισοζύγιο

πραγματικής και άεργης ισχύος, αφού ισχύει: 1 2 1 20, 0 S SP P P Q Q Q .

(γ) Ο συντελεστής ισχύος του κλάδου (1) είναι

0 0 0_12 11

cos cos 9,18 65,56 cos 74,74 0,2632 V Ipf

Αντίστοιχα, ο συντελεστής ισχύος του κλάδου (2) είναι

0 0 0_12 22

cos cos 9,18 57,84 cos 48,66 0,6605 V Ipf

και ο συντελεστής ισχύος της πηγής

0 0 0_12cos cos 9,18 0 cos 9,18 0,9872 V ISS

pf

Παράδειγμα 3.3

Δύο μονοφασικοί κινητήρες ΕΡ τροφοδοτούνται από το δίκτυο της ΔΕΗ μέσω καλωδίου (γραμμής),

όπως δείχνει το Σχήμα 3.7(α). Η τάση του δικτύου είναι 230 2 cos ( )Sv t t V , η συχνότητα του

δικτύου είναι 50 (Hz), η πραγματική ισχύς και ο συντελεστής ισχύος των κινητήρων Μ1 και Μ2 είναι PΜ1

= 25 (kW) με (ΣΙ)Μ1 = 80 % και PΜ2 = 40 (kW) με (ΣΙ)Μ2 = 70 % αντίστοιχα και η σύνθετη αντίσταση της

γραμμής είναι 0,02 0,05

lZ j . Παράλληλα προς την πηγή συνδέεται μια συστοιχία (ομάδα)

πυκνωτών, ώστε ο συντελεστής ισχύος της πηγής να ισούται με τη μονάδα. Ζητούνται: (α) να

υπολογιστούν τα ρεύματα των κινητήρων, το ρεύμα της πηγής και το ρεύμα γραμμής πριν την

τοποθέτηση των πυκνωτών αντιστάθμισης. (β) Να υπολογιστούν τα ίδια μεγέθη του ερωτήματος (α) και

επιπλέον να υπολογιστεί η χωρητικότητα και το ρεύμα των πυκνωτών. (γ) Να υπολογιστεί η μιγαδική

ισχύς των κινητήρων, η μιγαδική ισχύς της πηγής, η μιγαδική ισχύς απωλειών της γραμμής και να

σχεδιαστούν τα διανυσματικά διαγράμματα των ρευμάτων και των ισχύων για τα ερωτήματα (α) και (β).

Λύση

Η επίλυση του προβλήματος θα πραγματοποιηθεί στο πεδίο της συχνότητας, στη μόνιμη ημιτονοειδή

κατάσταση. Το φορτίο της πηγής είναι η γραμμή μεταφοράς ηλεκτρικής ενέργειας, στην οποία

καταναλώνεται πραγματική και άεργη ισχύ και οι μονοφασικοί ηλεκτρικοί κινητήρες. Οι ηλεκτρικοί

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

20

κινητήρες είναι συσκευές που μετατρέπουν την ηλεκτρική ισχύ σε μηχανική ισχύ, την οποία αποδίδουν

στον άξονα περιστροφής, όπου και συνδέεται το μηχανικό φορτίο του κινητήρα. Η μετατροπή της

ηλεκτρικής σε μηχανική ισχύ επιτυγχάνεται μέσω ισχυρών μαγνητικών πεδίων, τα οποία παράγονται από

τα πηνία (τυλίγματα) του κινητήρα και τα οποία παρουσιάζουν μεγάλο συντελεστή αυτεπαγωγής.

Δηλαδή, οι ηλεκτρικοί κινητήρες είναι ισχυρά επαγωγικά φορτία κατανάλωσης άεργης ισχύος. Έτσι, ο

ηλεκτρικός κινητήρας απορροφά πραγματική ισχύ για την παραγωγή της μηχανικής ισχύος στον άξονά

του και άεργη ισχύ για τη δημιουργία του αναγκαίου μαγνητικού πεδίου στο διάκενο της μηχανής

(πρόκειται για το διάκενο αέρος μεταξύ του στάτη και του δρομέα της μηχανής).

(α) Για την εύρεση των ρευμάτων που απορροφούν οι κινητήρες από το δίκτυο, θα αγνοηθεί η πτώση

τάσης πάνω στη γραμμή μεταφοράς και επομένως η τάση λειτουργίας των κινητήρων θα θεωρηθεί ότι

είναι ίση με την τάση της πηγής. Η παραδοχή αυτή ισχύει μόνο για γραμμές μικρού μήκους. Για γραμμές

μεσαίου και μεγάλου μήκους υφίσταται μία πτώση τάσης στη γραμμή μεταφοράς, με αποτέλεσμα η τάση

λειτουργίας του κινητήρα (και γενικότερα του φορτίου) να είναι μικρότερη από την τάση της πηγής. Το

θέμα όμως αυτό θα αναλυθεί εκτενώς σε επόμενη ενότητα, όπου και θα παρουσιαστεί η μελέτη

βιομηχανικών εγκαταστάσεων κίνησης.

Κινητήρας Μ1

Το διάνυσμα της τάσης της πηγής λαμβάνεται ως διάνυσμα αναφοράς: 0230 0

S VV V . Ο

συντελεστής ισχύος του κινητήρα είναι: (ΣΙ)Μ1 = 80% = 0,8 και επομένως το ρεύμα του κινητήρα

καθυστερεί ως προς το διάνυσμα της τάσης κατά τη γωνία: φΜ1 = cos-1(0,8) = 36,870. Η ενεργός τιμή της

έντασης του ρεύματος του κινητήρα είναι (εξ.3.34)

1

1 11

25.000 25.000 135,87( )cos 230 cos 0 36,87 230 0,8

M

M MS V M

PI I AV

και η διανυσματική έκφραση του ρεύματος 0

1 1 1 135,87 36,87 ( )

M M MI I A

Η βαττική (Ip,M1) και η άεργη (Iq,M1) συνιστώσα του ρεύματος 1

MI είναι (εξς.3.35 και 3.36)

, 1 1 1cos 135,87 0,8 108,70( )

p M M MI I A

και

2 2, 1 1 1 1 1sin 1 cos 135,87 1 0,8 81,52( )

q M M M M MI I I A

αντίστοιχα.

Η άεργη και η φαινόμενη ισχύς που απορροφά ο κινητήρας από το δίκτυο υπολογίζονται από τις

εξς.(3.21) και (3.22) αντίστοιχα

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

21

1 ,0 1,0 1 1 11 sin sin 230 135,87 0,6 18.750( )2

M S M VS M S M MQ V I V I VAR

2 2 1 11 1 1 1 1

1

2 2 1 01

tan

18.75025.000 18.750 tan 31.250 36,87 ( )25.000

MM M M M M

M

M

QS P jQ P QP

S VA

Κινητήρας Μ2

Ο συντελεστής ισχύος του κινητήρα είναι: (ΣΙ)Μ2= 70 % = 0,7 και επομένως το ρεύμα του κινητήρα

καθυστερεί ως προς το διάνυσμα της τάσης κατά τη γωνία: φΜ2 = cos-1(0,7) = 45,570. Η ενεργός τιμή της

έντασης του ρεύματος του κινητήρα είναι

2

2 2 02

40.000 40.000 248,45( )cos 230 0,7230 cos 0 45,57

M

M MS V M

PI I AV

και η διανυσματική έκφραση του ρεύματος

(α)

(β)

Σχήμα 3.7. (Συνεχίζεται).

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

22

(γ)

(δ)

Σχήμα 3.7. (Συνεχίζεται).

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

23

(ε)

Σχήμα 3.7. (Συνεχίζεται).

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

24

(στ)

Σχήμα 3.7. (α) Κύκλωμα Παραδείγματος 3.3 πριν την αντιστάθμιση. (β) Κύκλωμα με την αντιστάθμιση. (γ) Διανυσματικό διάγραμμα ρευμάτων πριν την αντιστάθμιση. (δ) Διανυσματικό διάγραμμα ισχύων

πριν την αντιστάθμιση. (ε) Διανυσματικό διάγραμμα ρευμάτων με αντιστάθμιση. (στ) Διανυσματικό διάγραμμα ισχύων με αντιστάθμιση.

0

2 2 2 248,45 45,57 ( )

M M MI I A

Η βαττική (Ip,M2) και η άεργη (Iq,M2) συνιστώσα του ρεύματος 2

MI είναι

, 2 2 2cos 248,45 0,7 173,92( )

p M M MI I A

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

25

και

2 2, 2 2 2 2 2sin 1 cos 248,45 1 0,7 177,43( )

q M M M M MI I I A

αντίστοιχα.

Η άεργη και η φαινόμενη ισχύς που απορροφά ο κινητήρας από το δίκτυο είναι

2 ,0 2,0 2 2 21 sin sin 230 248,45 0,714 40.800( )2

M S M VS M S M MQ V I V I VAR

2 2 1 22 2 2 2 2

2

tan

M

M M M M MM

QS P jQ P QP

2 2 1 02

40.80040.000 40.800 tan 57.137 45,57 ( )40.000

MS VA

αντίστοιχα.

Το συνολικό ρεύμα που απορροφούν οι κινητήρες από την γραμμή όταν εργάζονται ταυτόχρονα

υπολογίζεται με αναφορά στο διανυσματικό διάγραμμα των ρευμάτων των κινητήρων στο Σχήμα 3.7(γ).

Είναι

2 2

1,2 , 1 , 2 , 1 , 2

2 2 2 2 2 21,2 1,2 1,2

1,21 1 01,2

1,2

1,2 1,2 1,2

108,70 173,92 81,52 177,43 282,62 258,95 383,31( )

258,95tan tan 42,50282,62

M p M p M q M q M

M p M q M

q MM

p M

M M M

I I I I I

I I I A

II

I I 0383,31 42,50 ( ) A

Το ρεύμα γραμμής και το ρεύμα της πηγής είναι ίδιο με το ρεύμα των κινητήρων (Σχήμα 3.7α) 0

1,2 383,31 42,50 ( )

S l MI I I A

Η μιγαδική ισχύς που απορροφούν οι κινητήρες από το δίκτυο υπολογίζεται με αναφορά στο

διανυσματικό διάγραμμα ισχύων των κινητήρων στο Σχήμα 3.7(δ). Είναι

2 21,2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 21,2 1,2 1,2

1,2

1,2

1,2

25.000 40.000 18.750 40.800 65.000 59.550 88.155( )

65.000( )59.550( )

65.000 59.550( )

M M M M M

M M M

M

M

M

S P P Q Q

S P Q VA

P WQ VAR

S j VA

Η μιγαδική ισχύς που καταναλώνεται στη γραμμή είναι (εξ.3.27)

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

26

2 2 2 2 2,0 ,0

2

1 12 2

383,31 0,02 0,05 2.939 7.346( )2.939( )7.346( )

2.939 7.346( )

l l l l l l l l l l l l l l

l

l

l

l

S P j Q R I j X I R I j X I I R j X

S j j VAP WQ VAR

S j VA

Οι συνιστώσες του ρεύματος Ip,l Iq,l στις οποίες οφείλεται η μεταφορά της πραγματικής και άεργης ισχύος

που καταναλώνεται στην γραμμή είναι (εξς.3.37 και 3.38)

,2.939 12,78( )230

lp l

S

PI AV

και

,7.346 31,94( )230

lq l

S

QI AV

Λαμβάνοντας υπόψη τις επιμέρους συνιστώσες Ip-M1,2, Ιq-M1,2 και Ip,l, Iq,l, στις οποίες οφείλεται η

μεταφορά πραγματικής και άεργης ισχύος στους κινητήρες και στη γραμμή αντίστοιχα, το ρεύμα της

πηγής είναι

2 2 2 2

1,2 , 1,2 , , ,

2 2 2 2

,1 1 0

,

0

282,62 12,78 258,95 31,94 295,40 290,89 414,58( )

290,89tan tan 44,55295,40

414,58 44,55 295,45 290,

S p M p l q M q l p S q S

S

q SS

p S

S S S

I I I I I I I

I A

II

I I j 85( )A

Τέλος, η μιγαδική ισχύς της πηγής χωρίς αντιστάθμιση, ,

SS , είναι

, 1 2 1,2

0, 65.000 59.550 2.939 7.346 67.939 66.846 95.311 45,54 ( )

S S S M M l M l

S

S P jQ S S S S S

S j j j VA

(β) Η συστοιχία των πυκνωτών αντιστάθμισης (Σχήμα 3.7β) παράγει την άεργη ισχύ που καταναλώνεται

στη γραμμή και την άεργη ισχύ που χρειάζονται οι κινητήρες. Επομένως, η άεργη ισχύς των πυκνωτών θα

είναι

1,2 7.346 59.550 66.896( ) C l MQ Q Q VAR

και η αναγκαία χωρητικότητα της συστοιχίας των πυκνωτών (εξ.3.44)

62 2 2

66.896 4.025,3 10 ( ) 4.025,3( )2 2 50 230

C C

S S

Q QC F FV f V

Το ρεύμα των πυκνωτών είναι

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

27

6

0

2 50 4.025,3 10 230 290,85( )

290,85 290,85 90

SC C S

C

C

VI I CV AX

I j

Πράγματι, προκειμένου ο συντελεστής ισχύος της πηγής να είναι (pf)S = 1,0, το ρεύμα των πυκνωτών

πρέπει να είναι ίσο με το αριθμητικό άθροισμα των άεργων ρευμάτων που οφείλονται στους κινητήρες

και στη γραμμή (Σχήμα 3.7ε),

1,2 , 258,95 31,94 290,89( ) C q M q lI I I A

Με την αντιστάθμιση, η άεργη ισχύς της γραμμής και η άεργη ισχύς των κινητήρων παρέχεται

εξολοκλήρου από τη συστοιχία των πυκνωτών και επομένως η μιγαδική ισχύς της πηγής, ,

SS , θα

ισούται τώρα μόνο με την πραγματική ισχύ που απορροφούν οι κινητήρες συν την ισχύ απωλειών της

γραμμής (Σχήμα 3.7στ). Είναι

, 1 2 1,2

,

0 0

65.000 2.939 ( ) 67.939( )

S S M M l M l

S S

S P j P P P j P P

S P VA W

Επομένως, το ρεύμα της πηγής με αντιστάθμιση, ,

SI , θα είναι

0 0 0,

67.9390 0 295,4 0 ( )230

S

SS

PI AV

(γ) Η μιγαδική ισχύς των κινητήρων, της γραμμής και της πηγής έχουν ήδη υπολογιστεί στα προηγούμενα

ερωτήματα. Η μιγαδική ισχύς των κινητήρων και η μιγαδική ισχύς των απωλειών γραμμής παραμένουν

ίδιες με και χωρίς αντιστάθμιση, επειδή η συστοιχία των πυκνωτών συνδέεται αμέσως μετά την πηγή

(Σχήμα 3.7β). Η μιγαδική ισχύς των κινητήρων είναι 0

1 31.250 36,87 25.000 18.750( )

MS j VA

02 57.137 45,57 40.000 40.800( )

MS j VA

1,2 65.000 59.550( )

MS j VA

και η μιγαδική ισχύς απωλειών στη γραμμή είναι

2.939 7.346( )

lS j VA

Η μιγαδική ισχύς της πηγής χωρίς αντιστάθμιση είναι (Σχήμα 3.7δ)

, 1 2 1,2

0, 65.000 59.550 2.939 7.346 67.939 66.846 95.311 45,54 ( )

S S S M M l M l

S

S P jQ S S S S S

S j j j VA

Με την αντιστάθμιση, η άεργη ισχύς της γραμμής και η άεργη ισχύς των κινητήρων παρέχεται

εξολοκλήρου από τη συστοιχία των πυκνωτών και επομένως η μιγαδική ισχύς της πηγής ισούται τώρα

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

28

μόνο με την πραγματική ισχύ που απορροφούν οι κινητήρες συν την ισχύ απωλειών της γραμμής (Σχήμα

3.7στ). Είναι

, 1 2 1,2

,

0 0

65.000 2.939 ( ) 67.939( )

S S M M l M l

S

S P j P P P j P P

S VA W

Τα διανυσματικά διαγράμματα των ρευμάτων και των ισχύων του κυκλώματος χωρίς και με

αντιστάθμιση παρουσιάζονται στα Σχήματα 3.7(γ) έως (στ).

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

29

(3.2) Ισχύς σε τριφασικά γραμμικά κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση

Στην παρ.(3.1) αναλύθηκε το θέμα της ισχύος σε μονοφασικά κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση

στη μόνιμη ημιτονοειδή κατάσταση. Γενικώς, μονοφασικό κύκλωμα (single-phase circuit) ονομάζεται ένα

κύκλωμα στο οποίο το φορτίο συνδέεται με μια πηγή ΕΡ με δύο αγωγούς. Τα μονοφασικά κυκλώματα

είναι κατάλληλα για τη μεταφορά μικρής ισχύος. Για τη μεταφορά μεγάλων ποσοτήτων ισχύος, τα

μονοφασικά κυκλώματα παρουσιάζουν ορισμένα μειονεκτήματα, όπως ημιτονοειδή μεταβολή της

στιγμιαίας ισχύος, γεγονός που προκαλεί κυμάτωση στη ροπή ενός κινητήρα και επομένως μηχανικά

προβλήματα έδρασης του κινητήρα, αντιοικονομική μεταφορά μεγάλων ποσοτήτων ισχύος, λόγω του

περιορισμού του ύψους της διαθέσιμης τάσης των μονοφασικών πηγών ΕΡ.

Έτσι, για τη μεταφορά μεγάλων ποσοτήτων ισχύος, π.χ. για την ηλεκτροδότηση βιομηχανικών και

εμπορικών εγκαταστάσεων μεγάλης ισχύος, αλλά και για οικιακούς καταναλωτές μεγάλης ισχύος,

χρησιμοποιούνται τα τριφασικά συστήματα (three-phase system). Τα τριφασικά συστήματα αποτελούνται

από την τριφασική πηγή ΕΡ, η οποία μπορεί να είναι στην πράξη είτε ένας τριφασικός μετασχηματιστής

είτε μια τριφασική γεννήτρια ΕΡ, από τη γραμμή μεταφοράς ηλεκτρικής ενέργειας, η οποία μπορεί να είναι

είτε εναέρια γραμμή είτε καλώδιο ορατό ή υπόγειο και από το τριφασικό φορτίο. Στη συνέχεια εξετάζονται

οι δυνατοί τρόποι σύνδεσης των τριφασικών πηγών και των τριφασικών φορτίων και αναλύονται τα

ιδιαίτερα χαρακτηριστικά τους. Ο υπολογισμός των διατομών των αγωγών των τριφασικών εναέριων

γραμμών και καλωδίων εξετάζεται σε επόμενη ενότητα.

(3.2.1) Τριφασική πηγή τάσης

Μια τριφασική πηγή τάσης (three-phase voltage source) αποτελείται από τρεις μονοφασικές πηγές τάσης

κατάλληλα συνδεδεμένων μεταξύ τους, έχουν το ίδιο πλάτος τάσης και την ίδια συχνότητα, διαφέρουν

όμως στην αρχική φάση τους κατά γωνία 1200 η μία με την άλλη. Μια τέτοια πηγή ονομάζεται συμμετρική

τριφασική πηγή τάσης.

Ανάλογα με τον τρόπο σύνδεσης των τριών μονοφασικών πηγών μεταξύ τους, διακρίνουμε τη

συνδεσμολογία τριφασικής πηγής σε αστέρα, που συμβολίζεται Υ, και σε τρίγωνο, που συμβολίζεται Δ.

Στη συνδεσμολογία αστέρα (Σχήμα 3.8α), οι πηγές κατά τη σύνδεσή τους δημιουργούν έναν κοινό κόμβο,

Ν, ο οποίος ονομάζεται ουδέτερος κόμβος (neutral point), και τα ελεύθερα άκρα των τριών πηγών

αποτελούν τα εξωτερικά άκρα, A-B-C, σύνδεσης της τριφασικής πηγής με το εξωτερικό κύκλωμα. Στη

συνδεσμολογία τριγώνου (Σχήμα 3.8β) δεν υπάρχει κοινός κόμβος, αλλά τα άκρα των πηγών συνδέονται

μαζί ανά δύο διαδοχικά, δημιουργώντας έτσι τρεις κόμβους, από όπου εξέρχονται τα άκρα A-B-C

σύνδεσης της τριφασικής πηγής με το εξωτερικό κύκλωμα.

Σε μια τριφασική πηγή, η τάση στα άκρα της κάθε μονοφασικής πηγής ονομάζεται φασική τάση

(phase voltage), ενώ οι τάσεις μεταξύ των εξωτερικών ακροδεκτών A-B-C της τριφασικής πηγής

ονομάζονται πολικές τάσεις ή τάσεις γραμμής (line voltage ή line-to-line voltage). Πρέπει να διευκρινιστεί

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

30

ότι ο επιθετικός προσδιορισμός «φασική» δεν έχει να κάνει με την αρχική φάση ενός εναλλασσόμενου

μεγέθους, αλλά δηλώνει απλώς την ηλεκτρική τάση μιας μονοφασικής πηγής ΕΡ. Αναφερόμενοι στις

συνδεσμολογίες των Σχημάτων 3.8(α) και (β), οι φασικές τάσεις είναι οι vA(t), vB(t), vC(t) και οι πολικές

τάσεις ή τάσεις γραμμής οι vAΒ(t), vBΨ(t), vCΑ(t).

Οι φασικές τάσεις περιγράφονται μαθηματικά στο πεδίο του χρόνου από τις σχέσεις

0 cos Av t V t

(α) (β)

(γ)

Σχήμα 3.8. (Συνεχίζεται).

(3.46)

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

31

(δ)

Σχήμα 3.8. Συνδεσμολογίες τριφασικών πηγών τάσης. (α) Συνδεσμολογία σε αστέρα (Υ).(β) Συνδεσμολογία σε τρίγωνο (Δ). (γ) Διανυσματικό διάγραμμα φασικών και πολικών τάσεων σε συνδεσμολογία αστέρα. (δ) Διανυσματικό

διάγραμμα φασικών ρευμάτων και ρευμάτων γραμμής σε συνδεσμολογία τριγώνου.

00 0

2cos cos 1203

Bv t V t V t

00 0

4cos cos 2403

Cv t V t V t

και οι αντίστοιχες σχέσεις στο πεδίο της συχνότητας

0 00 0 2 0

AV V V

0 00 0

2 120 2 1203

BV V V V

0 00 0

4 240 2 2403

CV V V

όπου V0, V είναι το πλάτος και η ενεργός τιμή της τάσης των τριών μονοφασικών πηγών.

Στο Σχήμα 3.8(γ) παρουσιάζονται τα διανύσματα των φασικών και πολικών τάσεων. Σύμφωνα με τις

εξς.(3.49) – (3.51) και θεωρώντας το διάνυσμα της φασικής τάσης

AV ως διάνυσμα αναφοράς, τότε το

διάνυσμα της φασικής τάσης

BV καθυστερεί ως προς το διάνυσμα

AV κατά 1200 και το διάνυσμα της

φασικής τάσης CV καθυστερεί ως προς το διάνυσμα

AV κατά 2400. Δηλαδή, τα στρεφόμενα διανύσματα

των φασικών τάσεων με γωνιακή συχνότητα ω και με φορά αντίθετη από τη φορά περιστροφής των

δεικτών του ρολογιού, συναντούν τον άξονα αναφοράς με τη σειρά

A B CV V V .

(3.48)

(3.50)

(3.51)

(3.49)

(3.47)

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

32

Η σειρά ABC ονομάζεται θετική σειρά διαδοχής των φάσεων, ενώ η σειρά ACB ονομάζεται αρνητική

σειρά διαδοχής των φάσεων. Η σειρά διαδοχής των φάσεων έχει ιδιαίτερη σημασία στους τριφασικούς

ηλεκτρικούς κινητήρες, επειδή με την αλλαγή της διαδοχής των φάσεων επιτυγχάνεται αλλαγή της φοράς

περιστροφής του άξονα του κινητήρα.

Αναφερόμενοι στο Σχήμα 3.8(α), οι πολικές τάσεις είναι

AB A B A BV V V V V

BC B C B CV V V V V

CA C A C AV V V V V

και η σχεδίαση των διανυσμάτων των πολικών τάσεων παρουσιάζεται στο Σχήμα 3.8(γ). Από τη θέση των

διανυσμάτων των πολικών τάσεων, παρατηρούμε ότι τα διανύσματα των πολικών τάσεων προπορεύονται

από τα αντίστοιχα φασικά διανύσματα κατά 300. Επομένως, όπως διαπιστώνεται και από το Σχήμα 3.8(γ),

το διάνυσμα της πολικής τάσης

ABV προπορεύεται κατά 300, το διάνυσμα της πολικής τάσης

BCV

καθυστερεί κατά -900 και το διάνυσμα της πολικής τάσης CAV καθυστερεί κατά -2100. Ως διάνυσμα

αναφορά λαμβάνεται το διάνυσμα της φασικής τάσης

AV .

Επιπλέον, από τη γεωμετρία του Σχήματος 3.8(γ), προκύπτει ότι το μέτρο των πολικών τάσεων είναι

01 3cos 302 2

3

l l ph ph

l l ph

V V V

V V

όπου l l AB BC CAV V V V είναι το μέτρο των πολικών τάσεων και

ph A B CV V V V είναι το μέτρο

των φασικών τάσεων. Λαμβάνοντας υπόψη την εξ.(3.55), οι πολικές τάσεις σε διανυσματική μορφή

γράφονται

03 30

AB phV V

03 90

BC phV V

03 210 CA phV V

Από τη συνδεσμολογία αστέρος (Σχήμα 3.8α), παρατηρούμε ότι η πηγή και η γραμμή σε κάθε φάση

διαρρέονται από το ίδιο ρεύμα, , , ,

jI j A B C , και το μέτρο της πολικής τάσης είναι μεγαλύτερο από το

μέτρο της φασικής τάσης κατά τον παράγοντα 3 (εξ.3.55).

Στη συνδεσμολογία τριγώνου τώρα (Σχήμα 3.8β), το μέτρο των πολικών τάσεων είναι ίσο με το μέτρο

των αντίστοιχων φασικών τάσεων, ενώ διαφέρουν τα φασικά ρεύματα από τα ρεύματα γραμμής. Στο Σχήμα

3.8(δ) παρουσιάζονται τα διανύσματα των φασικών ρευμάτων και ρευμάτων γραμμής. Φασικό ρεύμα, Iph,

(3.52)

(3.53)

(3.54)

(3.55)

(3.56)

(3.57)

(3.58)

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

33

είναι το ρεύμα πηγής μέσα στο τρίγωνο και ρεύμα γραμμής,Il-l, το ρεύμα που διαρρέει την εξωτερική

γραμμή. Τα διανύσματα των φασικών ρευμάτων διαφέρουν μεταξύ τους κατά 1200. Θεωρώντας το

διάνυσμα του φασικού ρεύματος

BAI ως διάνυσμα αναφοράς είναι

0 0,0 0 2 0

BA BA BAI I I

0 0,0 120 2 120

CB CB CBI I I

0 0,0 240 2 240

AC AC ACI I I

Με γνωστά τώρα των φασικών ρευμάτων στη συνδεσμολογία τριγώνου, τα ρεύματα γραμμών

προκύπτουν με εφαρμογή του νόμου των ρευμάτων του Kirchhoff στους τρεις κόμβους του κυκλώματος

του Σχήματος 3.8(β),

0

A AC BA A BA ACI I I I I I

0

B BA CB B CB BAI I I I I I

0

C CB AC C AC CBI I I I I I

τα οποία παρουσιάζονται στο Σχήμα 3.8(δ).

Από το Σχήμα 3.8(δ), προκύπτει ότι στη συνδεσμολογία τριγώνου τα διανύσματα των ρευμάτων

γραμμής καθυστερούν ως προς τα αντίστοιχα διανύσματα των φασικών ρευμάτων κατά -300 και το μέτρο

του ρεύματος γραμμής είναι μεγαλύτερο από το φασικό ρεύμα κατά τον παράγοντα 3 . Πράγματι, είναι

01 3cos 302 2

3

l ph ph

l ph

I I I

I I

όπου l A B CI I I I είναι το μέτρο των ρευμάτων γραμμής και

ph BA CB ACI I I I είναι το μέτρο

των φασικών ρευμάτων. Λαμβάνοντας υπόψη την εξ.(3.62), τα ρεύματα γραμμής σε διανυσματική μορφή

γράφονται

03 30

A phI I

03 150

B phI I

03 270

C phI I

Τέλος, συνδυάζοντας τις εξς.(3.46) – (3.48) και τις εξς.(3.59) – (3.61) προκύπτει ότι για τα φασικά

μεγέθη της τάσης και της έντασης μιας συμμετρικής τριφασικής πηγής τάσης, ισχύει

0

A B CV V V

και

(3.59)

(3.60)

(3.61)

(3.60)

(3.61)

(3.59)

(3.62)

(3.63)

(3.64)

(3.65)

(3.66)

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

34

0

BA CB ACI I I

αντίστοιχα. Παρόμοιες σχέσεις ισχύουν και για τα μεγέθη γραμμής.

(3.2.2) Τριφασική φορτίο

Το φορτίο μιας τριφασικής πηγής αποτελείται από τρία μονοφασικά φορτία, τα οποία συνδέονται

μεταξύ τους σε αστέρα (Σχήμα 3.9α) ή τρίγωνο (Σχήμα 3.9β). Εάν τα τρία μονοφασικά φορτία έχουν την

ίδια σύνθετη αντίσταση, το τριφασικό φορτίο ονομάζεται συμμετρικό. Στην αντίθετη περίπτωση, το

τριφασικό φορτίο ονομάζεται ασύμμετρο. Εδώ, εξετάζονται μόνο συμμετρικά τριφασικά φορτία

(α) (β) Σχήμα 3.9. Συνδεσμολογίες τριφασικού φορτίου. (α) Συνδεσμολογία αστέρος. (β) Συνδεσμολογία τριγώνου.

Στη γενική περίπτωση ενός ασύμμετρου τριφασικού φορτίου, η μετατροπή ενός τριφασικού φορτίου

από συνδεσμολογία αστέρος σε συνδεσμολογία τριγώνου και αντίστροφα είναι δυνατή με τη βοήθεια των

σχέσεων του Kennely. Με αναφορά στα σύμβολα των σύνθετων αντιστάσεων των συνδεσμολογιών του

Σχήματος 3.9(α) και (β), ισχύουν οι εξής σχέσεις μετατροπής από αστέρα σε τρίγωνο και αντιστρόφως.

Μετατροπή από αστέρα σε τρίγωνο

1 2 2 3 3 1

2

AZ Z Z Z Z ZZ

Z

1 2 2 3 3 1

1

BZ Z Z Z Z ZZ

Z

1 2 2 3 3 1

3

CZ Z Z Z Z ZZ

Z

(3.67)

(3.68)

(3.69)

(3.70)

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

35

Μετατροπή από τρίγωνο σε αστέρα

1

B C

A B C

Z ZZZ Z Z

2

A C

A B C

Z ZZZ Z Z

3

A B

A B C

Z ZZZ Z Z

Για την περίπτωση, τώρα, ενός συμμετρικού τριφασικού φορτίου με: 1 2 3

YZ Z Z Z για τη

συνδεσμολογία αστέρος, και

A B CZ Z Z Z για τη συνδεσμολογία τριγώνου, η σχέση μετατροπής από

αστέρα σε τρίγωνο είναι

3

YZ Z

και η σχέση μετατροπής από τρίγωνο σε αστέρα είναι

13

YZ Z

(3.2.2) Συμμετρικό τριφασικό σύστημα σε συνδεσμολογία Υ-Υ

Η συνδεσμολογία ενός συμμετρικού τριφασικού συστήματος σε συνδεσμολογία Υ-Υ παρουσιάζεται

στο Σχήμα 3.10(α). Αποτελείται από τη συμμετρική τριφασική πηγή σε συνδεσμολογία Υ, τη τριφασική

γραμμή τεσσάρων αγωγών και το συμμετρικό τριφασικό φορτίο σε συνδεσμολογία αστέρος. Ο αγωγός

ΝΝ ́ που συνδέει το ουδέτερο σημείο της πηγής με το ουδέτερο σημείο του φορτίου, ονομάζεται

ουδέτερος αγωγός. Ένα τέτοιο τριφασικό σύστημα, που διαθέτει ουδέτερο αγωγό, ονομάζεται τριφασικό

συμμετρικό σύστημα τεσσάρων αγωγών.

Σε ένα τριφασικό συμμετρικό σύστημα τεσσάρων αγωγών το ρεύμα στον ουδέτερο αγωγό είναι μηδενικό

και επομένως ο ουδέτερος αγωγός μπορεί να παραληφθεί. Αυτό αποδεικνύεται ως εξής. Με εφαρμογή του

νόμου των ρευμάτων του Kirchhoff στον κόμβο Ν΄(Σχήμα 3.10α), προκύπτει

0

A B C NI I I I

Έστω ότι, η σύνθετη αντίσταση κάθε μονοφασικού φορτίου είναι

Y YZ Z

και εφαρμόζοντας το νόμο του Ohm σε κάθε μονοφασικό φορτίο, προκύπτουν τα ρεύματα γραμμής

00

ph phA N

AY YY

V VVIZ ZZ

0

0120120

ph phB N

BY YY

V VVIZ ZZ

(3.71)

(3.72)

(3.73)

(3.74)

(3.75)

(3.76)

(3.77)

(3.78)

(3.79)

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

36

(α)

(β)

Σχήμα 3.10. (α) Συμμετρικό τριφασικό σύστημα Υ-Υ τεσσάρων αγωγών. (β) Διανυσματικό διάγραμμα τάσεων και εντάσεων συμμετρικού τριφασικού συστήματος Υ-Υ.

0

0240240

ph phC N

CY YY

V VVIZ ZZ

Προσθέτοντας κατά μέλη τις εξς.(3.78) – (3.80), προκύπτει

1

A B C A N B N C N

Y

I I I V V VZ

και επειδή είναι (εξ.3.66)

(3.80)

(3.81)

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

37

0

A N B N C N AN BN CNV V V V V V

από την εξ.(3.81) προκύπτει

0

A B CI I I

Συνδυάζοντας, τώρα, τις εξς.(3.76) και (3.83), προκύπτει ότι είναι

0

NI

Αποδεικνύεται, λοιπόν, ότι σε ένα τριφασικό συμμετρικό σύστημα Υ-Υ το ρεύμα του ουδέτερου αγωγού

είναι μηδέν και επομένως δεν απαιτείται ουδέτερος αγωγός, ο οποίος παραλείπεται για λόγους οικονομίας

Έτσι, ένα συμμετρικό τριφασικό σύστημα Υ-Υ τεσσάρων αγωγών μετατρέπεται σε αντίστοιχο τριφασικό

σύστημα τριών αγωγών.

Από τις εξς.(3.79) – (3.81), προκύπτει ότι τα ρεύματα στο τριφασικό συμμετρικό σύστημα Υ-Υ του

Σχήματος 3.10(α) έχουν το ίδιο πλάτος ph YV Z και διαφορά φάσης μεταξύ τους 1200, δηλαδή

συνιστούν ένα συμμετρικό τριφασικό σύστημα ρευμάτων (Σχήμα 3.10β).

Από αυτά που αναφέρθηκαν προηγουμένως, γίνεται φανερό ότι η ανάλυση ενός συμμετρικού

τριφασικού συστήματος Υ-Υ ανάγεται τελικώς στην ανάλυση ενός εκ των τριών μονοφασικών κυκλωμάτων

που το αποτελούν. Στη συνέχεια, τα αποτελέσματα για το μονοφασικό κύκλωμα επεκτείνονται στο

τριφασικό κύκλωμα. Βέβαια, πρέπει να επισημανθεί ότι η ανάλυση αυτή αφορά μόνο σε συμμετρικά

τριφασικά συστήματα.

Παράδειγμα 3.4

Στο συμμετρικό τριφασικό σύστημα του Σχήματος 3.11(α) ζητούνται να υπολογιστούν: (α) τα

ρεύματα γραμμής, τα ρεύματα στην τριφασική πηγή και τα ρεύματα στις αντιστάσεις του φορτίου, (β) οι

φασικές και οι πολικές τάσεις στο φορτίο, (γ) η μιγαδική ισχύς που καταναλώνεται στο φορτίο, στη

γραμμή και στην εσωτερική αντίσταση της πηγής, καθώς και της μιγαδικής ισχύος που παράγει η πηγή

και (δ) να σχεδιαστούν τα διανυσματικά διαγράμματα των τάσεων και των ρευμάτων στο φορτίο.

Δίνονται:

2 125cos ( ) Av t t V , 02 125cos 120 ( ) Bv t t V , 02 125cos 240 ( ) Cv t t V ,

0,5 1

SZ j 3 1 , 30 15

lZ j Z j .

(3.82)

(3.83)

(3.84)

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

38

Λύση

(α) Το φορτίο είναι σε συνδεσμολογία τριγώνου και πρέπει να μετατραπεί σε συνδεσμολογία αστέρος,

ώστε να προκύψει ένα συμμετρικό τριφασικό σύστημα Υ-Υ. Η σύνθετη αντίσταση σε κάθε φάση του

μετασχηματισμένου αστέρα θα είναι (εξ.3.75)

(α)

(β)

Σχήμα 3.11. (Συνεχίζεται).

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

39

(γ)

(δ)

Σχήμα 3.11. (α) Τριφασικό συμμετρικό σύστημα Υ-Δ, Παραδείγματος 3.4. (β) Μετατροπή τριφασικού συμμετρικού

συστήματος Υ-Υ. (γ) Μονοφασικό κύκλωμα. (δ) Διανυσματικό διάγραμμα τάσεων και ρευμάτων στο φορτίο.

01 1 30 15 10 5 11,18 26,573 3

YZ Z j j

Το ισοδύναμο τριφασικό σύστημα Υ-Υ φαίνεται στο Σχήμα 3.11(β). Αναλύουμε, επομένως, ένα από

τα τρία μονοφασικά κυκλώματα, π.χ. της φάσης Α, και επεκτείνουμε στη συνέχεια τα αποτελέσματα στο

τριφασικό σύστημα Υ-Δ.

Εφαρμόζοντας το νόμο των τάσεων του Kirchhoff στο βρόχο του κυκλώματος του Σχήματος 3.11(γ)

και στη συνέχεια το νόμο του Ohm στο πεδίο της συχνότητας, υπολογίζουμε τα ρεύματα στο φορτίο, στη

γραμμή και στην πηγή. Είναι

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

40

, , , , ,0 0

S A Zs l A N S A Zs l ph S A S A S l l A N Y YV V V V V V V V V I Z I Z I Z

Όπου: , , ,

S A l A N Y ph YI I I I και η ένταση του ρεύματος είναι

, ,

0 0 0, 0

, 0

0

125 0 125 0 125 0 9,04 12,53 ( )0,5 1 3 1 10 5 13,5 3 13,83 12,53

S A ph Y S l Y

S Aph Y

S l Y

V I Z Z Z

VI A

j j j jZ Z Z

Επομένως, τα ρεύματα και στις τρεις γραμμές των κυκλωμάτων των Σχημάτων 3.11(α) και (β) είναι

0, , , ,

0 0 0, , , ,

0 0 0, , , ,

9,04 12,53 ( )

9,04 12,53 120 9,04 107,47 ( )

9,04 12,53 240 9,04 227,47 ( )

S A l A A N Y ph Y

S B l B B N Y ph Y

S C l C C N Y ph Y

I I I I A

I I I I A

I I I I A

Η φασική τάση στα άκρα του φορτίου στο κύκλωμα του Σχήματος 3.11(γ) είναι

,

09,04 12,53 11,18 26,57 101,07 14,04( )

A N ph A N Y Y

A N

V V I Z

V V

και οι υπόλοιπες φασικές τάσεις

,

0 0 0

,

0 0 0

9,04 107,47 11,18 26,57 101,07 134,04 ( )

9,04 227,47 11,18 26,57 101,07 254,04 ( )

B N ph B N Y Y

B N

C N ph C N Y Y

C N

V V I Z

V V

V V I Z

V V

Οι πολικές τάσεις , ,

A B B C C AV V V στο φορτίο (Σχήμα 3.11α) είναι (εξ.3.56 – 3.58)

0 0 0

0 0 0

0 0 0

3 14,04 30 3 101,07 15,96 174,85 15,96 ( )

3 15,96 120 174,85 104,04 ( )

3 15,96 240 174,85 224,04 ( )

A B A N

B C A N

C A A N

V V V

V V V

V V V

Τέλος, τα ρεύματα των φάσεων του τριγωνικού φορτίου , , ,, , ,

A B B C C AI I I (Σχήμα 3.11α) είναι

0 00

, 0

00

, 0

0

, 0

174,85 15,96 174,85 15,96 5,22 42,53 ( )30 15 33,54 26,57

174,85 104,04 5,22 77,47 ( )33,54 26,57

174,85 224,04 5,22 19733,54 26,57

A BA B

B CB C

C AC A

VI AjZ

VI AZ

VIZ

0,47 ( )A

(β) Οι φασικές τάσεις στο τριγωνικό φορτίο (Σχήμα 3.11α) είναι ίσες με τις πολικές τάσεις, οι οποίες

υπολογίστηκαν ήδη στο προηγούμενο ερώτημα. Είναι

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

41

0 0 0

0 0 0

0 0 0

3 14,04 30 3 101,07 15,96 174,85 15,96 ( )

3 15,96 120 174,85 104,04 ( )

3 15,96 240 174,85 224,04 ( )

ph A B A N

ph B C A N

ph C A A N

V V V V

V V V V

V V V V

(γ) Η μιγαδική ισχύς που καταναλώνεται σε κάθε φάση του τριγωνικού φορτίου (Σχήμα 3.11α) είναι

(εξ.3.16)

, , ,

0 0 0,

,

,

,

12

174,85 5,22 15,96 42,53 912,72 26,57 816,33 408,25( )

912,72( )

816,33( )408,25( )

A B A B A B A B A B V I

A B

A B

A B

A B

S V I V I

S j VA

S VA

P WQ VAR

, , ,

0 0 0,

,

,

,

12

174,85 5,22 104,04 77,47 912,72 26,57 816,33 408,25( )

912,72( )

816,33( )408,25( )

B C B C B C B C B C V I

B C

B C

B C

B C

S V I V I

S j VA

S VA

P WQ VAR

, , ,

0 0 0,

,

,

,

12

174,85 5,22 224,04 197,47 912,72 26,57 816,33 408,25( )

912,72( )

816,33( )408,25( )

C A C A C A C A C A V I

C A

C A

C A

C A

S V I V I

S j VA

S VA

P WQ VAR

Τα μέτρα της φαινόμενης (SL,Δ), πραγματικής (PL,Δ) και άεργης (QL,Δ) ισχύος στο τριγωνικό τριφασικό

φορτίο είναι

,

,

,

3 912,72 2.738,16( )3 816,33 2.449( )

3 408,25 1.224,75( )

L

L

C A

S VAP WQ VAR

Η μιγαδική ισχύς που καταναλώνεται σε κάθε φάση της γραμμής υπολογίζεται από την εξ.(3.27)

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

42

2 2 2 2 2, , , 0, 0,

2 0,

, , ,

, , ,

, , ,

1 12 2

9,04 3 1 245,16 81,73 258,42 18,44258,42( )

245,16( )81,73( )

l A l A l A l l l l l l l l l l l

l A

L A L B L C

L A L B L C

L A L B L C

S P j Q R I j X I R I j X I I R j X

S j jS S S VAP P P WQ Q Q VAR

και τα μέτρα της φαινόμενης (Sl,Δ), πραγματικής (Pl,Δ) και άεργης (Ql,Δ) ισχύος που καταναλώνονται στην

τριφασική γραμμή

, 3 258,42 775,26( )3 245,16 735,48( )3 81,73 245,19( )

l A

l

l

S VAP WQ VAR

Η μιγαδική ισχύς που καταναλώνεται στην εσωτερική αντίσταση της πηγής υπολογίζεται από την

εξ.(3.27)

2 2 2 2 2, , , 0, 0, 0,

2 0,

, , ,

, , ,

, , ,

1 12 2

9,04 0,5 1 40,86 81,73 91,37 63,4491,37( )

40,86( )81,73( )

Zs A Zs A Zs A S l S l S l S l l S S

Zs A

Zs A Zs B Zs C

Zs A Zs B Zs C

Zs A Zs B Zs C

S P jQ R I j X I R I j X I I R j X

S j jS S S VAP P P WQ Q Q VAR

και τα μέτρα της φαινόμενης (Sl,Δ), πραγματικής (Pl,Δ) και άεργης (Ql,Δ) ισχύος που καταναλώνονται στην

τριφασική εσωτερική αντίσταση της πηγής

3 91,37 274,11( )3 40,86 122,58( )3 81,73 245,19( )

Zs

Zs

Zs

S VAP WQ VAR

Τέλος, η μιγαδική ισχύς που παράγεται από κάθε μονοφασική πηγή της τριφασικής συμμετρικής

πηγής είναι

, , ,

0 0,

, , ,

, , ,

, , ,

12

125 9,04 0 12,53 1.130 12,53 1.103,1 245,15 1.103,1 245,15( )

1.130( )1.103,1( )245,15( )

S A A S A A S A V I

S A

S A S B S C

S A S B S C

S A S B S C

S V I V I

S j j VA

S S S VAP P P WQ Q Q VAR

και τα μέτρα της φαινόμενης (SS), πραγματικής (PS) και άεργης (QS) ισχύος που παράγεται από την

τριφασική συμμετρική πηγή

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

43

3 1.130 3.390( )3 1.103,1 3.309,3( )

3 245,15 735,45( )

S

S

S

S VAP WQ VAR

(δ) Τα διανυσματικά διαγράμματα των τάσεων και των ρευμάτων στο τριγωνικό φορτίο του τριφασικού

συστήματος Υ-Δ παρατίθενται στο Σχήμα 3.11(δ). Από το Σχήμα 3.11(δ), παρατηρούμε ότι το ρεύμα σε

κάθε φάση του τριγώνου προπορεύεται της αντίστοιχης φασικής (πολικής) τάσης κατά 26,570. Δηλαδή,

επιβεβαιώνεται η χωρητική συμπεριφορά του φορτίου, όπως εξάλλου αναμένετο από την τιμή της

σύνθετης αντίστασης φορτίου (αρνητικό φανταστικό μέρος).

(3.2.3) Συμμετρικό τριφασικό σύστημα σε συνδεσμολογία Δ-Δ

Ένα τριφασικό συμμετρικό σύστημα σε συνδεσμολογία Δ-Δ (Σχήμα 3.12α) αποτελείται από μια

τριφασική συμμετρική πηγή, στην οποία οι επιμέρους μονοφασικές πηγές ΕΡ συνδέονται σε τρίγωνο, από

ένα τριφασικό συμμετρικό φορτίο σε συνδεσμολογία τριγώνου και από μία γραμμή τριών αγωγών. Σε ένα

τέτοιο σύστημα εκλείπουν οι ουδέτεροι κόμβοι, άρα δεν υπάρχει ανάγκη ύπαρξης ουδέτερου αγωγού.

Από το Σχήμα 3.12(α), προκύπτει ότι οι φασικές τάσεις στο φορτίο συμπίπτουν με τις πολικές τάσεις

(τάσεις γραμμής), δηλαδή ισχύει

A B B C C A l l phV V V V V

Όπως έχει ήδη αναφερθεί, στη συνδεσμολογία τριγώνου υπάρχουν δύο ρεύματα, το φασικό ρεύμα

που κυκλοφορεί σε κάθε φάση του φορτίου και το ρεύμα γραμμής, το οποίο διαρρέει τους

αγωγούς της γραμμής. Για τη διερεύνηση της σχέσης μεταξύ των δύο αυτών ρευμάτων,

θεωρούμε ότι η σύνθετη αντίσταση κάθε φάσης του φορτίου είναι

Z Z

Με εφαρμογή του νόμου του Ohm στο πεδίο της συχνότητας, τα φασικά ρεύματα στις φάσεις του

τριφασικού φορτίου είναι

A B A B

A BV VI

ZZ

0120

B C B C

B CV VI

ZZ

(3.85)

(3.86)

(3.87)

(3.88)

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

44

(α)

(β) Σχήμα 3.12. (α) Συνδεσμολογία τριφασικού συμμετρικού συστήματος Δ-Δ. (β) Διανυσματικό

διάγραμμα τάσεων και εντάσεων για το τριφασικό συμμετρικό σύστημα Δ-Δ.

0240

C A C A

C AV VI

ZZ

και με εφαρμογή του νόμου των ρευμάτων του Kirchhoff στους κόμβους του τριφασικού φορτίου στο

πεδίο της συχνότητας, τα ρεύματα γραμμής είναι

, ,

l A C A A B l A A B C AI I I I I I

, ,

l B A B B C l B B C A BI I I I I I

(3.89)

(3.90)

(3.91)

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

45

, ,

l C B C C A l C C A B CI I I I I I

Από τη γεωμετρία του Σχήματος 3.12(β), προκύπτει ότι το μέτρο των ρευμάτων γραμμής είναι 3

φορές μεγαλύτερο από το μέτρο των φασικών ρευμάτων και τα διανύσματα των ρευμάτων γραμμής

καθυστερούν ως προς τα αντίστοιχα διανύσματα των φασικών ρευμάτων κατά -300. Δηλαδή, ισχύει

3

A B B C C A ph

A B C l l ph

I I I I

I I I I I

Επομένως, η διανυσματική έκφραση των ρευμάτων γραμμής είναι

0, , 30

l A l AI I

0, , 150

l B l BI I

0, , 270

l C l CI I

Τέλος, συνδυάζοντας τις εξς.(3.94) – (3.96), προκύπτει ότι η διανυσματική άθροιση των ρευμάτων

γραμμής ισούται με μηδέν.

, , , 0

l A l B l CI I I

(3.2.4) Ισχύς σε τριφασικό σύστημα

Για την ανάλυση του θέματος θεωρούμε ένα τριφασικό συμμετρικό σύστημα Υ-Υ. Βέβαια, τα

συμπεράσματα που θα εξαχθούν για τη συνδεσμολογία Υ-Υ ισχύουν και για τη συνδεσμολογία Δ-Δ.

Έστω, ότι οι τάσεις των μονοφασικών πηγών της τριφασικής συμμετρικής πηγής στο πεδίο του χρόνου

είναι

0 cos 2 cos Av t V t V t

0 00 cos 120 2 cos 120 Bv t V t V t

0 00 cos 240 2 cos 240 Cv t V t V t

και η σύνθετη αντίσταση κάθε φάσης του συμμετρικού τριφασικού φορτίου είναι

L LZ Z

Λαμβάνοντας υπόψη τις εκφράσεις των εξν.(3.98) – (3.100) με την ενεργό τιμή της τάσης, V, και τη

γωνία φορτίου φ, τα ρεύματα στις τρεις φάσεις του φορτίου στο πεδίο του χρόνου είναι

2 cos Ai t I t

(3.92)

(3.94)

(3.95)

(3.96)

(3.93)

(3.97)

(3.98)

(3.100)

(3.99)

(3.101)

(3.102)

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

46

02 cos 120 Bi t I t

02 cos 240 Ci t I t

Η στιγμιαία ισχύς του τριφασικού συστήματος είναι ίση με το άθροισμα των στιγμιαίων ισχύων των

τριών φάσεων, δηλαδή

A B C A A B B C Cp t p t p t p t v t i t v t i t v t i t

Αντικαθιστώντας τις τάσεις και τα ρεύματα από τις εξς.(3.98) – (3.104) στην εξ.(3.105), προκύπτει

0 0

0 0

2 cos cos 2 cos 120 cos 120

2 cos 240 cos 240

p t V I t t V I t t

V I t t

και λαμβάνοντας υπόψη την τριγωνομετρική σχέση

1cos cos cos cos2 A B A B A B

η εξ.(3.106) γίνεται

0

0

cos 2 cos cos 2 240 cos

cos 2 120 cos 3 cos 0

p t V I t V I t

V I t V I

Δηλαδή, η στιγμιαία ισχύς στο φορτίο σε ένα συμμετρικό τριφασικό σύστημα είναι σταθερή, ανεξάρτητη

από το χρόνο, και είναι ίση με τη μέση (πραγματική) ισχύ που παρέχεται στο φορτίο, δίνεται δε από τη

σχέση

3 cos p t P V I

Αντίστοιχα, η άεργη και η φαινόμενη ισχύς στο τριφασικό φορτίο θα είναι

3 sinQ V I

και

3 S S V I

Γνωρίζουμε ήδη ότι στη συνδεσμολογία αστέρος ισχύουν οι εξής σχέσεις μεταξύ φασικών μεγεθών

και μεγεθών γραμμής

,3 l l

ph ph lVV I I

Αντικαθιστώντας, τώρα, την ενεργό φασική τάση από την εξ.(3.112) στις εξς.(3.109) – (3.111)

προκύπτουν οι ισχείς του τριφασικού φορτίου εκφρασμένες σε μεγέθη γραμμής.

3 cos l l lP V I

3 sin l l lQ V I

(3.103)

(3.104)

(3.105)

(3.106)

(3.107)

(3.108)

(3.109)

(3.110)

(3.111)

(3.112)

(3.113)

(3.114)

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

47

3

l l lS S V I

Οι εξς.(3.113) – (3.115) ισχύουν και για συνδεσμολογία του φορτίου σε τρίγωνο. Πράγματι, για

συνδεσμολογία τριγώνου ισχύουν οι εξής σχέσεις μεταξύ φασικών μεγεθών και μεγεθών γραμμής

,3 l

ph ph l lII V V

και αντικαθιστώντας το φασικό ρεύμα από την εξ.(3.116) στις εξς.(3.109) – (3.111) προκύπτουν οι ίδιες

σχέσεις υπολογισμού των ισχύων.

Τέλος, ο συντελεστής ισχύος του φορτίου ορίζεται από τη σχέση

P Ppf

SS

(3.2.5) Σύγκριση τριφασικών συμμετρικών συστημάτων με τα μονοφασικά

Τα τριφασικά συμμετρικά συστήματα παρουσιάζουν δύο βασικά πλεονεκτήματα έναντι των

μονοφασικών συστημάτων μεταφοράς ηλεκτρικής ενέργειας. Αυτά είναι η οικονομία στη μεταφορά της

ηλεκτρικής ενέργειας και η σταθερότητα της στιγμιαίας ισχύος στο φορτίο.

Οικονομία στη μεταφορά Ας υποθέσουμε ότι δύο φορτία με την ίδια πραγματική ισχύ Ρ και τον ίδιο συντελεστή ισχύος cosφ

συνδέονται το ένα σε μονοφασική πηγή (Σχήμα 3.13α) και το άλλο σε τριφασική συμμετρική πηγή

(Σχήμα 3.13β). Υποθέτουμε ακόμη ότι, η τάση στο μονοφασικό σύστημα είναι ίση με την πολική τάση

στο τριφασικό σύστημα, η αντίσταση γραμμής στο μονοφασικό και τριφασικό δίκτυο είναι R1 και R3

αντίστοιχα και το ρεύμα γραμμής στο μονοφασικό και τριφασικό δίκτυο είναι Ι1 και Ι3 αντίστοιχα.

(α) (β)

Σχήμα 3.13. (α) Μονοφασικό σύστημα. (β) Τριφασικό συμμετρικό σύστημα.

Τα ρεύματα γραμμής στο μονοφασικό και τριφασικό σύστημα είναι

(3.115)

(3.116)

(3.117)

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

48

1 cos

l l

PIV

και

3 3 cos

l l

PIV

αντίστοιχα. Οι απώλειες ισχύος στους δύο αγωγούς του μονοφασικού συστήματος είναι 2

2,1 1 1 12 2 ,

cos

loss

l l

PP R I RV

ενώ στους τρεις αγωγούς του τριφασικού συστήματος είναι 2

2,3 3 3 33 3

3 cos

loss

l l

PP R I RV

.

Διαιρώντας κατά μέλη τις εξς.(3.121) και (3.120), προκύπτει

,3 3

,1 1

12

loss

loss

P RP R

Από την εξ.(3.122) συνάγονται τα εξής συμπεράσματα:

1. Εάν οι αντιστάσεις των γραμμών είναι ίσες ( 1 3R R ), δηλαδή οι αγωγοί είναι από το ίδιο υλικό και

έχουν την ίδια διατομή (εξ.1.18), τότε οι απώλειες του τριφασικού συστήματος είναι οι μισές από

τις απώλειες του μονοφασικού συστήματος.

2. Εάν δεχθούμε ίσες απώλειες στα δύο συστήματα ( ,1 ,3loss lossP P ), τότε η αντίσταση της τριφασικής

γραμμής μπορεί να είναι διπλάσια από την αντίσταση της μονοφασικής γραμμής. Αυτό σημαίνει ότι,

για το ίδιο υλικό των αγωγών, η διατομή των αγωγών του τριφασικού συστήματος είναι η μισή από

τη διατομή των αγωγών του μονοφασικού συστήματος (εξ.1.18). Έτσι, ο λόγος του όγκου του

απαιτούμενου υλικού των δύο συστημάτων είναι

3

1

. . 3 1 3

. . 2 2 4

Cond VolCond Vol

Δηλαδή, το τριφασικό σύστημα απαιτεί τα 3/4 του υλικού του μονοφασικού συστήματος,

επιτυγχάνοντας έτσι σημαντική οικονομία υλικού, αλλά και λοιπού ηλεκτρομηχανολογικού

εξοπλισμού.

Σταθερότητα της στιγμιαίας ισχύος Από την ανάλυση που παρουσιάστηκε στην παρ.(3.2.4) προέκυψε ότι ένα συμμετρικό τριφασικό

σύστημα παρέχει σταθερή στιγμιαία ισχύ στο φορτίο, ίση με τη μέση (πραγματική) ισχύ. Αντίθετα, ένα

μονοφασικό σύστημα (παρ.3.1.1) παρέχει στιγμιαία ισχύ στο φορτίο που εμφανίζει έντονη κυμάτωση με

(3.118)

(3.119)

(3.120)

(3.121)

(3.122)

(3.123)

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

49

συχνότητα διπλάσια της συχνότητας της πηγής. Αποτέλεσμα αυτής της κυμάτωσης, είναι η παραγόμενη

ροπή ενός μονοφασικού κινητήρα να μην είναι σταθερή και να εμφανίζονται μηχανικά προβλήματα έδρασης

και κραδασμών, ιδιαίτερα καθώς αυξάνει η ισχύς του κινητήρα. Η κυμάτωση στη ροπή των μονοφασικών

κινητήρων είναι ένας από τους κύριους λόγους για τους οποίους οι κινητήρες αυτοί δεν κατασκευάζονται

για ισχείς μεγαλύτερες από 5 (kW).

Αντίθετα από τους μονοφασικούς κινητήρες, οι τριφασικοί κινητήρες, οι οποίοι αποτελούν ένα

συμμετρικό τριφασικό φορτίο, απορροφούν σταθερή στιγμιαία ισχύ και εξασφαλίζουν έτσι σταθερή ροπή

στο φορτίο.

Παράδειγμα 3.5

Δύο συμμετρικά τριφασικά φορτία το ένα σε συνδεσμολογία τριγώνου και το άλλο σε συνδεσμολογία

αστέρος συνδέονται απευθείας, χωρίς δηλαδή την παρεμβολή γραμμής μεταφοράς μεγάλου μήκους, σε

συμμετρική τριφασική πηγή συχνότητας 50 (Hz). Εάν η ενεργός τιμή της πολικής τάσης της πηγής είναι

400 (V), η σύνθετη αντίσταση ανά φάση του τριγωνικού φορτίου είναι 3 30 Z j και η ωμική

αντίσταση ανά φάση του φορτίου σε αστέρα είναι R = 10 (Ω), ζητούνται να υπολογιστούν:

1. Τα φασικά ρεύματα και τα ρεύματα γραμμής των δύο φορτίων, καθώς και το συνολικό ρεύμα που

παρέχει η πηγή στα φορτία.

2. Οι ισχείς που απορροφούν τα δύο φορτία από το δίκτυο, καθώς και ο συντελεστής ισχύος κάθε

φορτίου και της πηγής.

3. Η χωρητικότητα των πυκνωτών αντιστάθμισης, ώστε ο συντελεστής ισχύος της πηγής να

βελτιωθεί στο 95 %. Να εξεταστούν και οι δύο περιπτώσεις σύνδεσης των πυκνωτών σε αστέρα

και τρίγωνο.

4. Το ρεύμα και η μιγαδική ισχύς της πηγής μετά την αντιστάθμιση.

5. Το ρεύμα στη γραμμή σύνδεσης των πυκνωτών και το ρεύμα στους πυκνωτές για σύνδεση των

πυκνωτών σε αστέρα και τρίγωνο.

(α) Για τον υπολογισμό των ρευμάτων μετατρέπουμε το φορτίο του τριγώνου σε ισοδύναμη

συνδεσμολογία αστέρος (Σχήμα 3.14β) και στη συνέχεια, αφού πρόκειται για συμμετρικό τριφασικό

σύστημα, εργαζόμαστε στο κύκλωμα της μιας φάσης του συστήματος, π.χ. στην φάση Α. Η ισοδύναμη

σύνθετη αντίσταση στο μετασχηματισμένο αστέρα (εξ.3.75) είναι

1 3 30 1 10( )3 3

Y

jZ Z

Εργαζόμαστε με την ενεργό τιμή των μεγεθών τάσης και έντασης. Με αναφορά στο μονοφασικό

κύκλωμα του Σχήματος 3.14(γ) και με εφαρμογή του νόμου του Ohm στο πεδίο της συχνότητας

υπολογίζονται οι ζητούμενες τιμές ρευμάτων για τη φάση Α του συστήματος. Για το ωμικό φορτίο είναι

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

50

00

,230 0 23 0 23 0( )

10

ANY A

VI j AR

και τα αντίστοιχα ρεύματα για τις φάσεις B και C 0

0,

00

,

230 120 23 120 11,5 19,92( )10

230 240 23 240 11,5 19,92( )10

BNY B

BNY C

VI j AR

VI j AR

(α)

(β)

Σχήμα 3.14. (Συνεχίζεται).

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

51

(γ)

(δ)

Σχήμα 3.14. (α) Τροφοδοσία ωμικού και ωμικού-επαγωγικού τριφασικού συμμετρικού φορτίου, Παραδείγματος 3.5. (β) Μετατροπή του φορτίου από συνδεσμολογία τριγώνου σε συνδεσμολογία αστέρος. (γ) Ισοδύναμο κύκλωμα της μιας φάσης του συμμετρικού τριφασικού συστήματος Υ-Υ. (δ) Τριφασικό συμμετρικό σύστημα με πυκνωτές αντιστάθμισης.

Αντίστοιχα, τα ρεύματα στο ωμικό-επαγωγικό φορτίο είναι 0 0

0, , 0

00

, , 0

0

, , 0

230 0 230 0 22,89 84,29 2,28 22,77( )1 10 10,05 84,29

230 120 22,89 204,29 20,82 9,39( )10,05 84,29

230 240 22,8910,05 84,29

ANY AN A

Y

BNY BN B

Y

CNY CN C

Y

VI I j AjZ

VI I j AZ

VI IZ

0324,29 18,55 13,33( ) j A

και η ενεργός τιμή των φασικών ρευμάτων στο τριγωνικό φορτίο (Σχήμα 3.14α)

, , , ,22,89 13,23( )

3

AB BC CA phI I I I A

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

52

Το ρεύμα γραμμής για τη φάση Α προκύπτει με εφαρμογή του νόμου των ρευμάτων του Kirchhoff

στο πεδίο της συχνότητας στον κόμβο του κυκλώματος του Σχήματος 3.14(γ). Είναι

, , ,

0, 23 0 2,28 22,77 25,28 22,77 34,02 42 ( )

l A Y A A

l A

I I I

I j j j A

και για τις φάσεις B και C

, , ,

0,

, , ,

0,

34,02 162 33,35 10,51( )

34,02 282 7,07 33,27( )

l B Y B B

l B

l C Y C C

l C

I I I

I j A

I I I

I j A

Τα ρεύματα της πηγής συμπίπτουν με τα αντίστοιχα ρεύματα γραμμής 0

, ,

0, ,

0, ,

34,02 42

34,02 162

34,02 282

S A l A

S B l B

S C l C

I I

I I

I I

(2) Η μιγαδική ισχύς στα φορτία και στην πηγή Σχήματος 3.14(γ) υπολογίζονται με την εξ.(3.16). Τα

μεγέθη με δείκτη 1 ή 3 αναφέρονται στη μία φάση ή στις τρεις φάσεις αντίστοιχα. Η μιγαδική ισχύς για τη

μία φάση του ωμικού φορτίου είναι

,1 , ,

0 0 0,1

,1

,1

12

230 23 0 0 5920 0 5920 0( )

5920( )0( )

R AN Y A AN Y A V I

R

R

R

S V I V I

S j VA

P WQ VAR

και αντίστοιχα στις τρεις φάσεις

,3

,1

0,3

3 5920 17.760( )0( )

17.760 0 17.760 0 ( )

R

R

R

P WQ VAR

S j VA

Η μιγαδική ισχύς για τη μία φάση του ωμικό-επαγωγικού φορτίου είναι

,1 , ,

0 0 0,1

,1

,1

12

230 22,89 0 84,29 5.264,7 84,29 523,8 5238,6( )

523,8( )

5.238,6( )

Y

Y

Y

Y

Z AN A AN A V I

Z

Z

Z

S V I V I

S j VA

P W

Q VAR

και αντίστοιχα στις τρεις φάσεις

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

53

,3

,1

0,3

3 523,8 1571,4( )

3 5.238,6 15.715,8( )

1571,4 15.715,8 15.794,17 84,29 ( )

Y

Y

Y

Z

Z

Z

P W

Q VAR

S j VA

Η μιγαδική ισχύς για τη μία φάση της πηγής είναι

,1 ,1 ,1

,1 ,1 ,1

0,1 ,1 ,1

5920 523,8 6.443,8( )

0 5238,6 5238,6( )

6.443,8 5238,6 8.304,55 39,11 ( )

Y

Y

S R Z

S R Z

S S S

P P P W

Q Q Q VAR

S P jQ j VA

και η τριφασική μιγαδική ισχύ της πηγής

,3

,1

0,1 ,1 ,1

3 6.443,8 19.331,4( )3 5238,6 15.715,8( )

19.331,4 15.715,8 24.913,64 39,11 ( )

S

S

S S S

P WQ VAR

S P jQ j VA

Οι συντελεστές ισχύος του ωμικού φορτίου, του ωμικού-επαγωγικού φορτίου και της πηγής (πριν την

αντιστάθμιση) είναι

0

0

0

cos0 1,0

cos84,29 0,099

cos39,11 0,776

R

Z

S

pf

pf

pf

(3) Η αναγκαία ισχύς αντιστάθμισης για τη μία φάση των πυκνωτών υπολογίζεται από την εξ.(3.43). Είναι

,1 ,1 1 2

0 01 ,1 1

1 0 02 2

,1

tan tan

39,11 tan tan39,11 0,776

cos 0,95 18,19 tan tan18,19 0,329

6.443,8 0,776 0,329 2.880,38( )

C S

S

C

Q P

S

Q VAR

Για συνδεσμολογία των πυκνωτών σε αστέρα, η χωρητικότητά τους είναι (εξ.3.44)

,1 62 2

2.880,38 173,41 10 ( ) 173,41( )314 230

CY

AN

QC F F

V

και για συνδεσμολογία των πυκνωτών σε τρίγωνο, η χωρητικότητά τους είναι

,1 62 2

2.880,38 57,33 10 ( ) 57,33( )314 400

C

AB

QC F F

V

Η σχέση μεταξύ των YC και C είναι

,1

22 2 2

2,12

3 3

C

ANY AB AB

C AN AN

AB

QVC V V

QC V VV

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

54

(4) Η μιγαδική ισχύς της μίας φάσης της πηγής με αντιστάθμιση, ,1, .

SS

, είναι

0,1, . . ,1 ,1 ,1 6.443,8 5.238,6 2.880,38 6.443,8 2358,22 6.861,76 18,19 ( )

S S S CS P j Q Q j j VA

και η μιγαδική ισχύς και των τριών φάσεων της πηγής

0,3, . . ,1 ,1 ,13 3 3 6.443,8 3 2.358,22 20.585,28 18,19 ( )

S S S CS P j Q Q j VA

Το ρεύμα που παρέχει η πηγή με αντιστάθμιση είναι

0,1, . . 0

, , . . 0

0, , . .

, , . .

6.861,76 18,19 29,83 18,19 ( )230 0

29,83 18,19 ( )29,83( )

SS A

AN

S A

S A

SI A

V

I AI A

(5) Η συνολική άεργη ισχύ που παράγουν οι πυκνωτές είναι

,3 ,13 3 2.880,38 8.641,14( ) C CQ Q VAR

Η ενεργός τιμή του ρεύματος στη γραμμή σύνδεσης των πυκνωτών με το δίκτυο (Σχήμα 3.14δ) είναι

,3, , , ,

8641,14 12,49( )3 3 400

CC A C B C C l C

l l

QI I I I A

V

και το ενεργό ρεύμα των πυκνωτών για συνδεσμολογία αστέρος και τριγώνου είναι

, , 12,49( ) C Y l CI I A

και

,,

12,49 7,22( )3 l C

C

II A .

- -

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

55

Βιβλιογραφία 3ης Ενότητας [1] «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων», Ν. Ι. Μάργαρης, Εκδόσεις ΤΖΙΟΛΑ, Θεσσαλονίκη,

2010. [2] «Ηλεκτρικά Κυκλώματα», Γ. Ε. Χατζαράκης, Τόμος Β ,́ Εκδόσεις ΤΖΙΟΛΑ, Θεσσαλονίκη,

2002. [3] «Ηλεκτροτεχνία», Θ. Ι. Κοσμάνης, Εκπαιδευτικές Σημειώσεις, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας,

Πολυτεχνική Σχολή, Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Βιομηχανίας, Βόλος, 2005. [4] «Ηλεκτρικά Κυκλώματα», Ι. Δ. Κανελλόπουλος, Χ.Ν. Βαζούρας, Σ. Ν. Λιβιεράτος, Εκδόσεις

ΠΑΠΑΣΩΤΗΡΙΟΥ, Αθήνα 2006. [5] «Ηλεκτρικά Κυκλώματα», Δ. Ευθυμιάτου, Β’ Έκδοση, Σχολή Α.Π.Θ., Θεσσαλονίκη, 1976. [6] «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων», Π. Χ. Βαφειάδη, Δεύτερη Έκδοση, Αθήνα 2000.